Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. LXXXII. Theor. XLI.

In Sphaera centro S intervallo SA descripta, si capiantur SI, SA, SP continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphaeram in loco quovis I attractio est ad attractionem ipsius extra Sphaeram in loco P, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro IS, PS & dimidiata ratione virium centripetarum, in lo∣cis illis P & I, ad centrum tendentium.

Ut si vires centripetae particularum Sphaerae sint reciproce ut distantiae corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in I trahitur a Sphaera tota, erit ad vim qua trahitur in P, in ratio∣ne composita

[illustration]

ex dimidiata ratione dist∣antiae SI ad distantiam SP & ratio∣ne dimidiata vis centripe∣tae in loco I, a particula a∣liqua in cen∣tro oriundae, ad vim centripetam in loco P ab eadem in centro particula ori∣undam, id est, ratione dimidiata distantiarum SI, SP ad invicem reciproce. Hae duae rationes dimidiatae componunt rationem ae∣qualitatis, & propterea attractiones in I & P a Sphaera tota fac∣tae aequantur. Simili computo, si vires particularum Sphaerae sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod at∣tractio in I sit ad attractionem in P, ut distantia SP ad Sphaerae

semidiametrum SA: Si vires illae sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones in I & P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA quad.; si in quadruplicata, ut SP cub. ad SA cub. Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut PS cub.×PI, attractio in I erit reciproce ut SA cub.×PI, id est (ob datum SA cub.) reciproce ut PI. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.

Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P, ordinatim applicata DN inventa fuit ut DEq.×PS / PE×V. Ergo si agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mu∣tatis mutandis, evadet ut DEq.×IS / IE×V. Pone vires centripetas, e Sphaerae puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PEⁿ ad IEⁿ, (ubi numerus n designet indicem potestatum PE & IE) & ordinatae illae fient ut DEq.×PS / PE×PEⁿ & DEq.×IS / IE×IEⁿ, quarum ratio ad invicem est ut PS×IE×IEⁿ ad IS×PE×PEⁿ. Quoniam ob similia triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS ad SE vel SA; pro ratione IE ad PE scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS×IEⁿ ad SA×PEⁿ. Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IEⁿ ad PEⁿ dimidiata est ratio virium in distanti∣is PS, IS. Ergo ordinatae, & propterea areae quas ordinatae describunt, his{que} proportionales attractiones, sunt in ratione com∣posita ex dimidiatis illis rationibus. Q.E.D.