Philosophiæ naturalis principia mathematica autore Js. Newton ...

Prop. LII. Prob. XXXIV.

Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora quibus tum oscillationes totae, tum singulae oscillationum partes per∣aguntur.

Centro quovis G, intervallo GH Cycloidis arcum RS aequante, describe semicirculum HKMG semidiametro GK bisectum. Et si vis centripeta distantiis locorum a centro proportionalis ten∣dat ad centrum G, sit{que} ea in perimetro HIK aequalis vi centripetae in perimetro globi QOS (Vide Fig. Prop. L. & LI.) ad ipsius cen∣trum tendente; & eodem tempore quo pendulum T dimittitur e loco supremo S, cadat corpus aliquod L ab H ad G: quoniam vires quibus corpora urgentur

[illustration]

sunt aequales sub initio & spati∣is describendis TR, GL sem∣per proportionales, at{que} adeo, si aequantur TR ad LG, aequales in locis T & L; patet corpora illa describere spatia ST, HL aequa∣lia sub initio, adeo{que} subinde per∣gere aequaliter urgeri, & aequalia spatia describere. Quare, per Prop. XXXVIII., tempus quo corpus describit arcum ST est ad tem∣pus oscillationis unius, ut arcus HI (tempus quo corpus H per∣veniet ad L) ad semicirculum HKM (tempus quo corpus H perveniet ad M.) Et velocitas corporis penduli in loco T est ad velocitatem ipsius in loco infimo R, (hoc est velocitas corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, seu incrementum mo∣mentaneum lineae HL ad incrementum momentaneum lineae HG, arcubus HI, HK aequabili fluxu crescentibus) ut ordinatim ap∣plicata LI ad radium GK, sive ut 〈 math 〉〈 math 〉 ad SR. Unde cum in Oscillationibus inaequalibus describantur aequalibus temporibus arcus totis Oscillationum arcubus proportionales, habentur ex datis

temporibus & velocitates & arcus descripti in Oscillationibus uni∣versis. Quae erant primo invenienda.

Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus inae∣qualibus & earum semiarcubus aequales capiantur rectae GH, gh, centris{que} G, g & intervallis GH, gh describantur semicirculi HZKM, hzkm. In eorum diametris HM, hm capiantur li∣neolae aequales HY, hy, & erigantur normaliter YZ, yz circum∣ferentiis occurrentes in Z & z. Quoniam corpora pendula sub initio motus versantur in circumferentia globi QOS, adeo{que} a vi∣ribus aequalibus urgentur in centrum, incipiunt{que} directe versus centrum moveri, spatia simul confecta aequalia erunt sub initio. Urgeantur igitur corpora H, h a viribus iisdem in H & h, sint{que}

[illustration]

HY, hy spatia aequalia ipso motus initio descripta, & arcus HZ hz denotabunt aequalia tempora. Horum arcuum nascentium ratio prima duplicata est eadem quae rectangulorum GHY, ghy, id est, eadem quae linearum GH, gh; adeo{que} arcus capti in di∣midiata ratione semidiametrorum denotant aequalia tempora. Est ergo tempus totum in circulo HKM, Oscillationi in una Cyclo∣ide respondens, ad tempus totum in circulo hkm Oscillationi in altera Cycloide respondens, ut semiperiferia HKM ad medium proportionale inter hanc semiperiferiam & semiperiferiam circuli alterius hkm, id est in dimidiata ratione diametri HM ad diame∣trum hm, hoc est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis pri∣mae ad perimetrum Cycloidis alterius, adeo{que} tempus illud in Cy∣cloide

quavis est (per Corol. 3. Prop. XLIX.) ut latus quadra∣tum rectanguli BEC contenti sub semidiametro Rotae, qua Cy∣clois descripta fuit, & differentia inter semidiametrum illam & se∣midiametrum globi. Q.E.I. Est & idem tempus (per Corol. Prop. L.) in dimidiata ratione longitudinis fili AR.Q.E.I.

Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum & vires in analogis perimetrorum locis sunt ut distantiae locorum a com∣muni globorum centro, hoc est ut globorum semidiametri, at{que} adeo ut Cycloidum perimetri & perimetrorum partes similes, a∣qualia erunt tempora quibus perimetrorum partes similes Oscil∣lationibus similibus describuntur, & propterea Oscillationes om∣nes erunt Isochronae. Cum igitur Oscillationum tempora in Glo∣bo dato sint in dimidiata ratione longitudinis AR, at{que} adeo (ob datam AC) in dimidiata ratione numeri AR / AC, id est in ra∣tione integra numeri √AR / AC; & hic numerus √AR / AC servata ratio∣ne AR ad AC (ut fit in Cycloidibus similibus) idem semper ma∣neat, & propterea in globis diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, at{que} adeo in globis omnibus concentricis sunt ut numerus √AR / AC, id est, in ratione composita ex dimidiata ra∣tione longitudinis fili AR directe & dimidiata ratione semidiame∣tri globi AC inverse. Q.E.I

Deni{que} si vires absolutae diversorum globorum ponantur inae∣quales, accelerationes temporibus aequalibus factae, erunt ut vires. Unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe, & propterea spatia erunt aequalia quae his temporibus describuntur. Ergo Os∣cillationes in globis & Cycloidibus omnibus, quibuscun{que} cum viribus absolutis factae, sunt in ratione quae componitur ex di∣midiata

ratione longitudinis Penduli directe, & dimidiata rati∣one distantiae inter centrum Penduli & centrum globi inverse, & dimidiata ratione vis absolutae etiam inverse, id est, si vis illa di∣catur V, in ratione numeri √AR / AC×V.Q.E.I.

Corol. 1. Hinc etiam Oscillantium, cadentium & revolventium corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si Rotae, qua Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur aequalis semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens, & Oscillatio jam erit descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quo∣vis ad centrum, tum tempus huic aequale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum se∣cundum) ad tempus semioscillationis in Trochoide quavis APS ut ½ BC ad √BEC.

Corol. 2. Hinc etiam consectantur quae D. C. Wrennus & D. C. Hugenius de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi dia∣meter augeatur in infinitum, mutabitur ejus superficies Sphaerica in planum, vis{que} centripeta aget uniformiter secundum lineas hu∣ic plano perpendiculares, & yclois nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud & punctum describens, aequalis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus Rotae inter idem planum & punctum descri∣bens; ut invenit D. C. Wrennus: Et pendulum inter duas ejusmo∣di Cycloides in simili & aequali Cycloide temporibus aequalibus Oscillabitur, ut demonstravit Hugenius. Sed & descensus gra∣vium, tempore Oscillationis unius, is erit quem Hugenius indi∣cavit.

Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratae ad veram constitutionem Terrae, quatenus Rotae eundo in ejus circulis max∣imis describunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pen∣dula inferius in fodinis & cavernis Terrae suspensa, in Cycloidibus

intra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Iso∣chronae. Nam gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decre∣scit in progressu a superficie Terrae, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione sim∣plici.