De arte supputandi libri quattuor Cutheberti Tonstalli

DE NVMERATIONE.

INITIVM NVMERATIO∣nis ab uno proficiscitur, procedere autem ea potest etiam in infinitū. Verum tamen numeri primarij et simplicia habentes nomina apud omnes gentes sunt tantum decem: uidelicet unum, duo, tria, quatuor, quin{que}, sex, septem, octo, nouem, decem: quibus in singulis nationibus primi nominū im∣positores uarie, {pro} suo quis{que} arbitrio, nomina indiderūt. quicquid ultra decem numeraueris: compositum ex horū in se replicatione reperies. nam unum ad decem addimus, et numeramus undecim: duo ad decem, et duodecim pro∣ducimus: tria ad decem, et procreamus tredecim: at{que} ita reliquos numeros primarios cum decem componimus, nempe quatuordecim, quindecim, sexdecim, septēdecim, decem et octo, decem et nouem, donec iterum ad decem uentum fuerit, ibi quia bis dena collegimus, uiginti ea uo∣camus, quod bis decem significat: quasi bis ginta. b. literae sono in. u. transeunte propter uicinam quādam earum in pronunciatione cognationem. nam ut genta centum: ita ginta decem apud ueteres in compositione significat.

Rursus in numerando progredimur, et singulos numeros primarios cum uiginti coniungimus: quous{que} ad ter dena ueniamus, quae triginta, hoc est ter decem, uocamus: qui∣bus denuo primarios numeros accumulare pergimus, do∣nec ad quater dena perueniamus: quae quadraginta uo∣camus.

At{que} hac numerandi ratione seruata, quinquagin∣ta, sexaginta, septuaginta, octuaginta, nonaginta pro∣creamus, semper prioribus denis primarios numeros ag∣gregantes, donec alia collegerimus: quibus ipsis nomi∣na a numeris primarijs secundum denorum collectorum numerum denominata tribui manifestius est: {quam} ut sit ad∣monendum. Decies dena centum primi nomenclatores Latine uocauerunt. Deinde alia dena rursus procreantes ipsa centena crescente numero coaceruarunt: quous{que} ad decies centena uenirent: quibus nomen indiderūt. Mille. Is summus numerus apud Latinos est: qui uno uocabu∣lo exprimi potest. Reliqui autem omnes in infinitum nu∣meri ex his in se replicatis et repetitis, apud Latinos, at{que} itidem apud omnes omnium gentium linguas, sua habēt collecta nomina. Exempli gratia decies millena. centies millena. millies millena. decies millies millena. at{que} id ge∣nus reliqua. praeter{quam} {quod} Graeca lingua multo caeteris locu∣pletior non solum decies denis. et decies centenis. sua uo∣cabula Ecaton, et Chilia, dedit: ut caeterae nationes: sed etiam decies millenis speciatim indidit nomen: ut Myria dicerentur, et Myriades.

VIDES ita{que} in magno numerorum corpore id esse de∣na ipsa ex primarijs collecta numeris: quod in corpore nostro sunt artus: qui maiora existunt membra. Et quē∣admodum in arundinibus internodia paribus distincta spacijs proceritatem ipsam producunt calamorum: sic in maioribus numeris alia aliis aggregata dena, uelut nume∣rorum internodia, crescentem magnitudinem connectūt. Igitur omnem numerum necesse est, uel primarium esse:

uel ex denis coaceruatis collectum: uel partim ex denis, partim ex primarijs compositum.

Numeros suis litteris et notis Latini, suis Gręci uarie scri∣bunt: quae qui latius nosse uelit: apud Latinos Valerium Probum legat, apud Gręcos Herodiani de numeris libel∣lum. Nostri instituti est eum solum numeros scribendi morem nunc attingere: qui a Chaldeis primum in finiti∣mos, deinde in omnes pene gentes fluxit: ut suis numeri characteribus, non litterarum elementis notarentur, qui mos signandi numeros, tam apud eruditos et Arithmeti∣cae peritos, {quam} apud omnes omnium gentium mercatores et negotiosos sic obtinuit: ut non alius magis per orbem terrae nunc seruetur.

DECEM ita{que} sunt numerorum notae: quas Arithmeti∣ci figuras uocant: signa etiā appellare eas licet: quae om∣nes omnino in infinitum numeros uarie pro locorum ra∣tione positae significare possunt. Harum nouem suos de∣notant quae{que} numeros, uidelicet prima. 1. unum signifi∣cat. secunda. 2. duo. tertia. 3. tria. quarta. 4. quatuor. quin∣ta. 5. quin{que}. sexta. 6. sex. septima. 7. septem. octaua. 8. octo. nona. 9. nouem. Decima uero nota ad formam. o. litterae circulari figura est: quam alij circulum, uulgus cyphram uocat: quae nihil ipsa significat: uerum alijs pręposita nu∣meris, eorum omnium qui sequuntur, auget in decuplum significationem. Exempli gratia. o. primae notae siue figu∣tae. 1. a dextra parte iuncta eam, quae unū expresserat, de∣cem significare facit. 10. at{que} itidem in reliquis.

ILLVD in primis animaduertendum. Cum omnes La∣tini et Graeci, at{que} horum aemuli caeteri aliquid scripturi a

leua recepto more incipiant: at{que} ita in dextram tendant: quisquis his notis numeros scribere uelit: a dextra pagi∣nae parte incipere debet: et numeros caeteris minores a de∣xtra parte ponere, at{que} ita in leuam tendendo progredi: ut quo maiores accedunt numeri, eo magis in leuam semper eos promoueat. Id quod itidem in numeris obseruant La∣tini, Graeci, et alij: ut maximum quem{que} numerum a le∣ua, minimum quem{que} a dextra collocent. Vnde constare penitius inspicienti potest, numerandi artem a Chaldeis esse profectam: qui dum scribunt, a dextra incipiunt, et in leuam progrediuntur. dextram appello paginae partem, quę proposita ante nos charta, dextrę nostrae propior est: leuam, quae sinistrae.

HAE nouem notae et figurae omnes, quibus numeros su∣os denotari diximus, cum non semper easdem sedes occu∣pent, uarie pro locorum positione significant. Nam earū unaquae{que} primo loco, qui ad dextram est, tantum suum numerum enunciat: Secundo loco leuam uersus posita, decies tantūdem. Tertio loco leuam uersus, tantundem centies. Quarto loco leuam uersus, millies tantundem. Quinto loco leuam uersus, tantundē decies millies. Sexto loco leuā uersus, centies millies tantundem. Septimo lo∣co leuam uersus, millies tantundem millies. Octauo loco leuā uersus, decies millies tantundem millies. Nono loco leuam uersus, centies millies tantundem millies. Decimo loco leuam uersus, millies supra millies tantundem milli∣es. Vndecimo loco leuam uersus, decies millies supra mil∣lies tantundem millies. Duodecimo loco leuam uersus, cē∣ties millies supra millies tantundem millies. Tertiodeci∣mo

loco leuā uersus, millies supra millies tantundem mil∣lies. at{que} id quidem millies ad quem modum ulterius etiā in infinitum progredi licet.

Postremum autem in numeris locum circulus nun{quam} obti∣net: quando nihil eum sequitur, cuius significationē au∣geat. Alioqui si qua figura a tergo ei erit, omnes nume∣rorum sedes occupare potest. Exemplum subdamus, in quo omnes numerorum notas suo ordine ponamus, cum aliquarum repetitione us{que} ad tertiumdecimum locum, hoc modo. 〈 math 〉〈 math 〉

Huius seriei numerum et eiusmodi similes, qui in immen∣sum crescunt, recensurus, ne qua tibi inter numerandum oriatur confusio, quartum locum qui mille repraesentat, puncto supra posito notabis. Deinde quinto loco et sexto intermissis, iterum supra septimum locū punctū adijcies. Rursus octauo loco et nono intermissis, decimum locum puncto supra adiecto signabis. Similiter undecimo loco et duodecimo prętermissis, supra tertiumdecimum locum punctum appones. At{que} ita, si maior fuerit numerus, du∣obus locis a quarto semper intermissis, tertium quem{que} puncto supra posito notabis. Haec punctorum adiectio non mediocrem numerandi facilitatem pariet. nam pun∣ctis signata loca, millenaria demonstrant: ad quae, uelut ad quo sdam gradus, inter numerandum sistere licet. ne{que} enim longa numerorū series uno spiritu pronunciari po∣test. Quartus ita{que} locus exhibet mille. Septimus millena millia: uulgus millionē barbare uocat. Latine reddideris,

ut nūc fit supputatio, uel millena millia: uel millies mille∣na. Prisci decies centena millia dixerunt: sicut paulū infra monstrabimus. Decimus locus capit millies millena mil∣lia: uulgus milliones millionum uocat: Latine dixeris: ut nūc mos est loquēdi: uel millies millena millia, uel millies millena millies. Prisci decies millies cētena millia numerū illum uocauerunt. Tertius decimus locus exprimit millies millena millia millies: uulgus millionem de millionibus millionum uocat. Latine recepto nunc supputandi more, enunciabimus, uel millies millena millenorum millia, uel millies millena millia millies. Prisci eum numerum decies millies centena millia millies appellarunt. Numeros inter hos medios siue centenarios, siue denarios promptum est cuiuis enunciare: cum statim ante oculos nobis occurrat: inter quae genera millenariorum suntlocati. Quod post{quam} animaduertimus: illud in primis obseruare debemus: ut numeri illi centenarij et denarij inter puncta adiecta me∣dij, secundum nunc receptū supputandi morem, ea sem∣per exprimant millenariorū genera: quae proxime a dex∣tra parte punctis sunt notata: quous{que} ad prima mille∣naria uenerimus.

IGITVR numerum hunc immensum, punctis supra positis in locis praedictis notatum, Latine sic enunciabi∣mus, a postremis et maximis incipiētes numeris, et in mi∣nimis ac primis desinentes. Qui mos est apud omnes gē∣tes, uerbis numeros eloquendi. 〈 math 〉〈 math 〉

Ter millies millena millia millies, ducenties decies millies

millena millia, noningenties octuagies septies millena millia, sexcenta quinquaginta quatuor millia, trecenta uiginti unum. Aliud exemplum totidem notarum, con∣uerso figurarum ordine, ponamus: quo magis, quod di∣cimus: legentibus innotescat. 〈 math 〉〈 math 〉

Hunc etiam numerum punctis, ut supra dictum est: no∣tatum, Latine sic reddemus. Millies millena millia millies. Ducenties tricies quater millies millena millia. Quingen∣ties sexagies septies millena millia. Octingenta nonagin∣ta millia. centum uiginti tria.

EX HIS, quos posuimus: immensis numeris per notas suas scriptis, punctis{que} notatis, et Latine redditis, facile erit cuiuis numerum quemlibet minorem tum scribere, tum punctis signatum, Latine enunciare.

Si uero maior occurret numerus: eadem erit re ipsa facili∣tas: sed uerba, millies, et millia, toties in singulis maiori∣bus numeris repetita, quoties ea addi pro loci augmento necesse est, auribus fastidium nōleue parient. Et uix un∣{quam} in negocijs humanis maior occurrit numerus: {quam} quem supra posuimus.

IN huiusmodi autem immensis numeris, ad singula lo∣ca punctis signata uerbis enūcianda, toties uocabula hęc, uel millia, uel millena, uel millies, repetenda sunt, quoties puncta, ab eo loco una etiam connumerato, in tota serie us{que} ad primam notam reperientur: id, quod in exemplis iam explicatis licet cernere.

VERVM, ne quis exempla faciliora in libro nostro de∣syderet, eiusmodi quo{que} subiungemus. At{que} ideo notis, ut libet, us{que} ad septimum locum positis (nam infra nihil est opus descendere) illud exemplum esto. 〈 math 〉〈 math 〉

Hoc exemplum, punctis prius signatum, sic Latine red∣des. Sexies millena millia, octingenta quinquaginta qua∣tuor millia, noningenta septuaginta tria. Aliud exemplū us{que} ad decimum locum addo. 〈 math 〉〈 math 〉

Numerum hunc, punctis supra positis prius distinctum, Latine sic reddemus. Septies millies millena millia, no∣ningenties uicies quater millena millia, octingenta quin∣quaginta tria millia, centum sexaginta.

Plura numerorū exempla nihil est opus adscribere, quan∣doquidem ea, quae posuimus: facile indicant, quomodo numeri quiuis alij, et scribi et Latine enunciari debeant.

NON ME latet Romanos ueteres, prisco more, suos nūmos Sestertios computātes, numerum trāscendentem centum millia (qui numerus sextam apud Arithmeticos sedem occupat) Latine non enunciasse, nisi per aduerbia, decies, undecies, et quę supra sunt, us{que} ad centies et mil∣lies, at{que} etiam ultra in immensum: per quae numerū illum centū millium in se replicabāt. in quo uelut in limite quo∣dam numerandi sistebant, iterum incepturi. Interdū etiā uocabula haec, centena millia, quodam sermonis compē∣dio

omittebāt: ut dicerēt. Decies sestertiū. pro decies cen∣tenis millibus sestertiū. qui numerus millena millia sester∣tiorum nummorū exprimit, et septimam apud Aritstme∣ticos sedem tenet. Cēties sestertium. pro centies centenis millibus sestertiorū. qui numerus decies millena millia se∣stertiorum nummorum indicat: et sedem apud Arithme∣ticos occupat octauam. Millies sestertiū. pro millies cen∣tenis millibus sestertiorum nūmorum. qui numerus cen∣ties millena millia sestertiorum nummorū significat, et lo∣cum apud Arithmeticos nonū possidet. et sic ulterius us{que} in immensum ueteres ad eam rationem Latine suos num∣mos computabant. id quod BVDAEVS uir cū primis ętatis nostrae eruditus, in libro suo, de Asse, mira sagaci∣tate plenius annotauit. Caeterum Arithmetici ultra cen∣tena millia transcendentes magis ad millena millia gradū quendam sistendi faciunt: quem tamen ipsum trausiliūt: et per decies, et centies, auctis locis, rursus ad millies mil∣lena millia denuo figunt gradum: at{que} ultra etiam ea, pro∣cedentes in immensum, millena millia millenis accumu∣lant: quemadmodum ante diximus. qui mos supputandi per orbem terrae nūc est receptus. Ita{que} inter priscos et re∣centiores nihil interest aliud, nisi{que} hi millenariorum loca obseruantes millena millia millenis aggregant. At prsci∣centenorum loca uelut gradus quosdam facientes, cētena millia centenis us{que} in immensum accumulabant, semper ea in se replicantes. Caeterum locorum augmenta tam cū prisca supputatione, {quam} cum nunc recepta consentiunt.

Quamobrem nihil uideo, cur priscam computationem:

post{quam} apud omnes nationes est antiquata: mordicus te∣nere debeamus: quando mos nunc receptus maiore rati∣one nititur. Etenim cum, Mille, maximus sit apud Lati∣nos numerus, qui unico uocabulo potest exprimi: magis progredi congruit, donec ad millena millia uentum erit, {quam} ad centena millia, quae infra sunt, facere gradum. Verū si quem magis iuuat prisco more numerū aliquem immē∣sum Latine reddere: breue ad id quo{que} compendium tra∣demus: ut numerum notis scriptum punctis supra uerti∣cē signet, tertio, sexto, nono, et duodecimo loco, cęteris{que}, qui deinceps, duobus semper intermissis, sequentur. illud∣{que} obseruet: ut a postremis incipiens singulas numerorū notas us{que} ad locum sextum, ea significatione, quam sedes suppeditabunt, per aduerbia exprimat: quę uero sextum locum praecedunt: reddat per uocabula. Cum autem ad punctis signata loca uentum erit: uocabula haec, cente∣na millia, ad singula puncta pronunciet. ueluti in primo exemplo per nos supra posito, si quis prisco more nume∣ros enunciare uelit. 〈 math 〉〈 math 〉

Tricies bis millies centena millia millies, centies nouies millies centena millia, octingenties septuagies sexies cen∣tena millia, quinquaginta quatuor millia, trecenta uigin∣ti unum.

ITIDEM in alijs numeris quantumūis immensis cui∣uis erit facile priscos imitari, ueluti in secundo supra posi∣to, quem prisco more sic exprimes.

〈 math 〉〈 math 〉

Duodecies millies centena millia millies, trecenties qua∣dragies quinquies millies centena millia, sexcenties septu∣agies octies centena millia, nonaginta millia, centum ui∣ginti tria. Ad horum exemplum cęteros numeros omnes prisco more Latine reddere nullum est negocium.

GRAECI autem supputando quendam sistendi gra∣dum faciunt ad Myriades: quae decem millia significant: quintam{que} occupant sedem. quo maiorem numerum uno uocabulo non exprimunt. deinde myriades tam multas sibi aggregant, ut ipsarum etiam myriadum faciant my∣riadem: quae summa millies centena millia, sicut loquun∣tur prisci: uel centies millena millia: sicut nunc Arithme∣tici: significat: et nonum locum tenet. ultra quem nume∣rum Gręci uocabulis carentes rursus myriades in se repli∣cāt: donec totidem myriadum myriades accumulauerint: quot propositi numeri magnitudo suggerit.

Hactenus de numeratione dixisse sufficiat.

DE ADDITIONE.

ADDITIO NVMERORVM EST DVO∣rum pluriumue numerorum in unam summam col∣lectio. Id autem fieri potest, siue minores quiuis numeri maioribus addantur, siue econuerso, siue aequales aequa∣libus. Illud summopere obseruandū est: ut siue duo siue plures sint numerorum ordines: quos in unam summam

colligere uelimus: ita eos omnino scribamus: ut sub prima nota primi ordinis primae reliquorum ordinum figurę di∣recte, uelut ad perpendiculum, locentur: sub secunda se∣cundae: sub tertia tertiae: et sic deinceps: ut in singulis or∣dinibus loci quo{que} numerorum, uelut sub una linea per∣pendiculari sibi respondeant. Nam alioqui si numerorū ordines oblique scripti fuerint, et ipsi eorum loci alij alijs permixti se mutuo directe uon respexerint: ut nesciatur: quis cui locus respondeat: magna sequetur in computan∣do confusio. Id{que} non modo in numerorum additione: uerū etiam in deductione, multiplicatione, et partitione eueniet. Quare ne in huiusmodi labyrinthum incidamus: in uniuersum praecipiendum est in tota numerandi arte: ut accurate ante omnia ponantur directi numerorum or∣dines: ut primi in singulis loci primis, secūdi secūdis, ter∣tij tertijs, et sic deinceps respondeant.

AD HAEC in numerorū additione, deductione, mul∣tiplicatione, partitione, per uniuersas numerorum sedes, siue secūdas, siue tertias, siue quartas, siue ulteriores, illud perpetuo seruare debemus: ut tantisper dum numeros ad∣dimus, deducimus, multiplicamus, partimur, omnes om∣nium locorum notas pro primarijs numeris, non autem pro denarijs, centenarijs, millenarijs, aut ulterioribus ac∣cipiamus. Peracto uero opere, quando summam uel col∣lectam, uel deductam, uel multiplicatam, uel partitam re∣sencemus: singulis numerorum sedibus suam uim restitu∣imus: ut tum notae in exprimenda summa eam significa∣tionem habeant: quam loci suppeditabunt.

QVI NVMEROS numeris additurus es: si duo tan∣tum sint ordines: post{quam} alterum numerum supra, alterū infra scripseris: sub ambobus lineam calamo ducito. De∣inde a dextra parte, ubi minimi numeri locati sunt: inci∣piens, inferiorem primi loci numerum superiori eiusdem loci adde: et numerum ex his duobus compositum, si una nota scribi possit (quod certe erit: si minor {quam} de∣cē fuerit) sub linea directe sub primo loco pone. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin fuerit numerus denarius, aut eo maior, ut duabus no∣tis ad eius expressionem sit opus: primam figuram, etiam si circulus sit: sub linea directe sub primo loco signa. Et se∣cundae figurae numerum memoriter tenens ad secundum locum progredere. Vbi si circulos tam in superiore, {quam} infe∣riore ordine reperis: numerum memoria retentum sub linea secūdo loco subscribe. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin neutra figura circulus fuerit: ante omnia reposce a me∣moria numerum depositum: ne eius obrepat obliuio: si re∣liquos numeros prius addas: {quam} illum repetis: eum{que} ad inferiorem eius loci notam memoriter adiungens, illam ipsam sic auctam, ad superiorem secundi loci siguram ad∣de: et umerum ex eis surgentem, si una nota scribi possit: sub linea directe sub secundo loco scribe. 〈 math 〉〈 math 〉

Si uero altera tantum secundi loci nota circulus fuerit: al∣tera figura significans: numerū ipsum memoria retentū ex memoria promens adde significanti figurae: et ex eis sur∣gentem

numerum, si una nota scri∣bi possit, secundo loco subscribe. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin ad eum numerum exprimendum, qui secūdo loco re∣peritur: duabus notis opus erit: primam earum, etiam si circulus erit: sub linea directe sub secundo loco pone: et secundae notae numerum memoria seruans, ad tertium lo∣cum progredere. Vbi itidem per omnia facies, uti secūdo loco fecisti: et numerum ex additione re∣pertum tertio loco repone. et sic ulterius usque ad postremum locum perge. 〈 math 〉〈 math 〉

Quo cum uentum erit: numerum ex additione repertum, si una nota scribi potest: postremo loco depone. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin duabus figuris ad eum exprimendum opus erit: nu∣merus, qui superest memoria re∣tentus: a sinistra postremi nu∣meri, sub linea ponatur. 〈 math 〉〈 math 〉

Illa generaliter in omni numerorū addendi loco obserua∣re debemus: ut quotiescum{que} in ordinibus addendis om∣nes notę eiusdem loci, circuli fuerint: si nullus numerus mente sit retentus, qui lineae subdatur: subscribatur circulus. 〈 math 〉〈 math 〉

Et similiter quotiescū{que} in ordinibus addendis circulus et nota significās eiusdem loci fuerint: nullus{que} numerus su∣perest memoria retentus: qui significanti notae addatur:

illa ipsa nota significans, siue supe∣rioris siue inferioris ordinis fuerit: lineae subscribatur. 〈 math 〉〈 math 〉

Praeterea quotiescum{que} supra lineam ductam plures sunt superiorum ordinum {quam} inferiorum, loci, notae illę quae su∣persunt: eisdem locis sub linea subscribi debent, quibus su∣pra lineam steterunt. 〈 math 〉〈 math 〉

Exemplum duorum ordinū petamus: quod ea omnia cō∣tineat, quae supra docuimus. Id autē erit eiusmodi. 〈 math 〉〈 math 〉

Quisquis hos duos numeros in unum compositurus est, uel mente cogitet, uel uerbis enunciet ea quae sequuntur. Primo loco in inferiori ordine reperio tria. addo ea ad qua tuor quae sunt in superiore ordine. fiunt septē. ea sub linea ducta subscribo primo loco. deinde trāseo ad secundū. re∣perio infra quattuor, supra nouem, addo: fiunt tredecim: quae, quia duabus notis scribi necesse est: primā figuram, quae tria demonstrat: subscribo secundo loco, Alteram ue∣ro, quae unum repraesentat memoriter tenens progredior ad tertium locum. Vbi primū exonerās memoriam, unū, quod mente teneo adiungo ad sex, qui numerus inferioris ordinis primus occurrit. fiūt septem. ea addo ad octo, quę sunt in superiori ordine. sic prodeunt quindecim. et quoni am ea duabus notis scribenda sunt: primā tertio loco sub∣scribo, quin{que}. alteram, quae unum indicat, seruans memo∣ria

transeo ad quartum locum. Vbi primum promens ex memoria unum mente retentum, id adiungo ad tria, quae inferiori ordine sunt scripta. fiunt quattuor. quae addo ad quin{que} in superiori ordine, et subscribo quarto loco nouē. Pergo ad quintum locum ubi supra et infra circuli occur∣rūt. nihil habeo quod addam: at{que} ideo subscribo circulū. sexto loco infra duo, supra circulus occurrūt. nihil est cui addam duo. subscribo duo. accedo ad septimū locum. ibi infra circulus, supra tria sunt: nihil est inferius, quod ad∣iūgam ad tria. subscribo tria. festino ad octauū et postre∣mum locum. reperio infra sex: adiungo ad septem quae su∣pra sunt. exeunt tredecim. is numerus, quia duabus notis signandus est: primā, nempe tria, octauo loco subscribo: et aliam, quę unū significat: a sinistra eiusdem loci qui po∣stremus est, pono. at{que} ita sub linea facio nonum locum. numerus ita{que} sub linea, quem duos supra lineam nume∣ros addentes, composuimus, continet in uniuersum. Cen∣ties tricies ter millena millia, ducenta nouem millia, quin∣genta triginta septem. Quę de duobus ordinibus com∣ponendis diximus: pene nobis instituendis suffecerint, si plures numerorū ordines in unam summam redigere ue∣limus. Verum ut paucis praecipiendis rem magis aperia∣mus: Multos ordines in unum collecturi, numeros primas sedes occupantes primo colligere sic debemus: ut ab infe∣rioribus ordinibus incipientes ad superiores ascēdamus, et numerum ex additione repertum, si primarius erit, pri∣mo loco sub linea ponamus. Sin exdenarijs numeris ali∣quis fuerit, circulus eo loco subsignetur. et nota, quę dena∣rium illum, secūdum suam denominationem repręsentare

debet, memorię commendata secundarum sedium figuris, si infra centum numerus fuerit, annumeretur. Nam alio∣qui si numerus centenarius, aut eo maior us{que} ad mille sur get, ut in magnis additionibus nōnun{quam} euenit: cētena ter tium locum, et quae supersunt dena, secundum occupent. Verumtamen ubi numerus unius sedis us{que} ad centū aut supra ascendit, et nota quae illum significatura est, memo∣riter retenta in tertium ab illa sede locum transferri debet, ne nobis circa secundi loci additionem occupatis, obrepat obliuio numeri retenti, statim eum sub linea paulum sub tertio loco alicubi notemus: ut cum ad illum uenerimus: admoneamur eum reliquis sui loci numeris adiungere. Si uero numerus ex primario et denario compositus erit: numerus primarius sub linea subscribatur: et denarius me moria retentus secundum suam denominationem figuris secundi loci connumeretur: sicut de duobus ordinibus est supradictum. Expedito secundo loco ad tertium transe∣undum est: et itidem per omnia faciendum, quemadmo∣dum in secundo. Deinde ad quartum locum similiter per∣gendum: et deinceps ad reliquos omnes: in quibus obser∣uentur: quae de secundo loco diximus. Vbicun{que} autem eandem sedem circuli aliqui et notę significantes occupāt: circulis omissis, reliquae figurae simul additę sub linea suo loco ponantur. Quae diximus magis illustrabuntur se∣quentibus exemplis.

〈 math 〉〈 math 〉

EX HIS tot numeris unum collecturus, sic cogitabis tacitus: uel si mauis, uerbis enunciabis. primo loco prae∣ter circulos notae reliquae octo constituūt. igitur sub linea scribantur octo. Secundus locus circulos habet. sub linea noto circulum. Tertij loci notae praeter circulos exprimūt decē. uno igitur memoriter seruato pro denario numero, at{que} eo adiūcto ad quarti loci figuras, fiunt quinquaginta quin{que}. horum quin{que} sub linea quarto loco notantur: et quin{que} mēteretēta quinti loci notis, quę circulis permixtę sunt: aggregata faciunt nouē. ealineae subdūtur. Sexto lo∣co, quia circuli sunt: circulus lineę subijcietur. Septimo lo∣co notae omnes compositae producunt centū et octo. sub∣scribuntur ita{que} octo: et centenarij numeri nota, in nonū locum, qui connumerato septimo, tertius ab eo est: sub li∣nea reponenda seruatur. Octauo et postremo ordinum,

qui supra lineam sunt, loco ex numeris collectis surgunt nonaginta. nouem igitur memoriae mandantur. circulus octauo loco reponitur. Nono loco sub linea ex memoria promo nouem ab octauo loco delata. ibi reperio unū pro centenarij numeri nota ex septimo loco ante reconditum: quae simul adiuncta fiunt decem. Nono igitur loco circu∣lum subnoto: et ab eius sinistra unum depono: quod de∣cimū locum facit. Numerus igitur ex additione sub linea collectus erit. Millies millena millia, octies millena millia nonaginta quin{que} millia et octo.

Aliud exemplum multorum ordinum magis intricatum subijcio. 〈 math 〉〈 math 〉

OMNES in hoc exemplo primi loci notae simul iunctae centum et duo constituunt. duo sub linea primo loco scri∣bantur. et centenarius numerus per unitatis notam scri∣bendus

transferatur in tertium locum. In secundo loco, quia nihil habes nisi circulos, subnotetur circulus. Tertio loco, quia omnes figurae circuli sunt: et nihil est, quod ad∣das ad unum ex primo loco pro centenario numero trans∣latum, subscribatur unū. Quartus locus iunctis simul no∣tis centum continet: quamobrem subscribere oportet cir∣culum: et in tertium locum, qui a quarto etiam connume∣rato sextus est: seruare reponendum unum. Quintus lo∣cus centum et octo continet. subnotentur octo. iterum unum in tertium locum, qui septimus est a quinto connu∣merato, seruetur. Sextus locus, quia notae omnes sunt cir∣culi, unum habet subscriptum, ex quarto loco pro cente∣nario numero seruatum. Septimus locus quia multas ha∣bet notas, repeto primo a memoria unum, ex quinto loco pro centenario numero seruatum. adiungo reliquis eius loci figuris. fiunt nonaginta septem. ideo sub linea subscri∣bo septem, seruans nouem memoriter. Demum ad octa∣uum et postremum supra lineam locum properans, no∣uem ante recondita iungo numeris eius loci. surgunt cen∣tum. quamobrem circulum unum octauo loco, alium a sinistra loco nono sub linea repono: et centenarij numeri notam in decimum locum, qui connumerato octauo, ab co tertius est: transfero. continet autem hic numerus coa∣ceruatus. Millies millena millia, septies millena millia, cē∣tum octuaginta millia, centum et duo.

QVI numeros numeris addere prompte uelit: ante om∣nia memoriter ediscere debet: quos numeros procreent singuli sub decem numeri primarij, uel ipsi geminati, uel reliquis primarijs adiūcti. Quod certe tam scitu facile est:

ut pueri adhuc impuberes id ferme non ignorent. Verum si quis adeo rustice est educatus: ut id nesciat: poterit una hora, modo operam dare uelit, id ediscere. Verbi gratia. Nouem et nouem faciunt decem et octo. nouem et octo, decem et septem. nouem et septem creant sexdecim. nouē et sex, quindecim. nouem et quin{que}, quatuordecim. no∣uem et quattuor, tredecim. nouem et tria, duodecim. no∣uem et duo, undecim. Deinde octo et octo producunt sexdecim. octo et septem, quindecim. octo et sex, quattu∣ordecim. octo et quin{que}, tredecim. octo et quatuor, duo∣decim. octo et tria, undecim. octo et duo, decem. Rursus septem et septem creant quatuordecim. septem et sex, tre∣decim. septem et quin{que}, duodecim. septem et quatuor, un decim. septem et tria, decem. septē et duo, nouem. Deinde sex et sex faciunt duodecim. sex et quin{que}, undecim. sex et quatuor, decem. sex et tria, nouem. sex et duo, octo. Prae∣terea quin{que} et quin{que} producunt decem. quin{que} et quatu∣or, nouem. quin{que} et tria, octo. quin{que} et duo, septem. Ad haec quatuor et quatuor procreant octo. quatuor et tria, septem. quatuor et duo, sex. Deni{que} tria et tria constitu∣unt sex. tria et duo, quin{que}. duo et duo, quatuor. Nam unum ad reliquos numeros adiungere pueri omnes infan tiam egressi sciunt. Quae diximus, figuris notata sub ocu∣lis posita sequuntur.

〈 math 〉〈 math 〉

SI quis apud se scrutari uelit: cur hęc ita se habent: ut dum per singulos locos notas addimus: eas{que} pro primarijs com∣putamus: numerus tamē sub linea collectus, quādo locis sua significatio redditur: recte in uniuersum respōdeat. In prōp∣turatio est. Nam quemadmodum in primo numerādi loco, primarias notas, si recte copulatę sūt: numerus sub linea col∣lectus continet: ita necesse est: ut per singulos locos figuras omnes, si recte cōiunctę sunt: numerus sub linea coaceruatus exprimat. Et si quis numerus, dū addimus, memoria retētus, a loco ubi repertus est: in aliū transfertur: id fit: quia maior est, {quam} ut eo loco, quo natus est, reponi debuerit: et quando in suum locū recte translatus est: uelut illius loci foetus numera∣tur. Ad haec cum per omnes quidem locos figurarum forma eadem sit, significatio uero pro augmento loci longe diuersa: denominationem tamen omnes a primo loco recipiunt: ut quot illic unitates singulae repręsentant: totidem secundo lo∣co dena: tertio centena: quarto millena: et sic deinceps, ex∣primant. Quādo igitur singulis numerorum sedibus, nume∣rum ibi collectum, sub linea subij cimus: eadem per omnes se∣des ratio est: quę de primo loco: ut sicut ibi omnes numeros numerus sub linea locatus continet: ita in omnibus locis col∣lectos numeros repręsentet. Et cum omnium locorū notę de∣nominationem a primo loco mutuentur: significationem au∣tem diuersam singuli loci suppeditent: numerus sub linea col∣lectus totidem secundo loco dena, tertio centena, quarto mil∣lena, et sic deinceps, nobis denominabit: quot unitates loco∣rum illorū notę: si primo loco fuissent positę: repręsentarent.

SI SCIRE cupis: an recte numeros collegeris: numero∣rum additionem recte factam esse, per deductionem proba∣bis.

Ita{que} si post{quam} numerorum additorum ordinem aliquem a summa coaceruata deduces: reliquorum ordinum non de∣ductorum summa ex deductione surget: tunc in addendo ni∣hil est erratum. Nam cum partes complures ad cuiusuis rei compositionem coeunt: si qua earum sola sublata erit: caeteras remanere necesse est. Id manifestius fiet: cum de deductione pręcepta dederimus: ad quam nunc properamus. 〈 math 〉〈 math 〉

ET QVONIAM nulla natio est: quae uaria nūmismatū genera non habeat: alia pluris precij, alia uilioris: ideo ad tā uariorū additionem faciendam, singulis et nummorū et sum∣marū generibus suę classes in abaco designandę sunt: ut una quę{que} siue summa siue pecunia, quo maior est alijs: magis si∣nistram occupet: quo uilior: magis dextrā. Veluti si in unā summā colligēdi sint aurei, ualentes singuli denarios uicenos quinos: denarij, ualentes singuli. 4. nūmos sestertios: sester∣tij, ualētes singuli duos asses et semissem: cuiusmodi sunt ue∣tera nūmismata Romana: aurei sinistrā occupent. denarij in dextrā uergentes, medium locū teneant. sestertij uero dextrā. Deinde genera haec tā uaria additurus, a prima classe dextra sestertiorū incipe: numeros{que} omnes colligēs, at{que} obseruās, quot quaternarij reperiuntur: si quis numerus excurrit: qui quaternariū nō perficit: illū ibi subsignato. Ipsos autem qua∣ternarios memoria tenens trāsfer in proximā denariorū clas∣sem. continuo{que} memoriā exonerās, et denarios illic repertos eis adiungens, per omnes ipsius classis numeros discurre: at{que} animaduerte: quot uiceni quini sūt obuij. numerū autem ex∣currentem, qui. 25. nō implet: ibi deponito. At uiceni quini memoria reconditi, in proximā aureorū classem transferātur,

cum illis primum computādi. et numerus omnium collectu illic subnotetur. Itidem si in quauis alia natiōe aurei, denarij, nūmi uiliores illius regionis supputandi sunt: eodem modo curandum: ut singulis sua classis detur. Viam tantum mon∣stramus. caetera facile dabit frequens exercitatio.

Exemplum ante oculos spectandū hic subnotauimus: quod quiuis facile sine praeeunte explicabit. 〈 math 〉〈 math 〉

DE SVBDVCTIONE.

SVBDVCTIO NVMERORVM EET MINO∣ris numeri a maiore: uel aequalis ab aequale subtractio. Hanc autem eandem, uel deductionem, uel subtractionem appellare Latine licet. Vsus eius est: a toto subducta parte, reliquam totius partem cognoscere: et ut apertius dicamus: duobus propositis numeris, alterum ab altero demere: ut ui∣deatur quid sit reliquum: et quantum alter alterum superet. Verbi gratia. sume duos numeros, alterum septem, alterum tria. si a septem tria deducas: reliqua sunt quatuor. totidem ita{que} unitatibus tria superantur. In subductione necesse om∣nino est: ut duo sint numerorū ordines: alter a quo fieri de∣bet deductio: alter, qui summam deducendam contineat. Oportet autem semper uel minorem summam a maiore, uel aequalem ab ęquale subducere. nā maiorem a minore subtra∣here contra rerum aturam est. Qui de computandi scripse∣runt arte: uaria pręcepta de subducendis numeris dederunt: quorū alij nōnun{quam} numeri propositi notas inter subtrahēdū

putauerūt esse delēdas. Alij lōgis ambagibus obscura quędā docuerūt: ut pene difficilius nō esset numeros diuidere, {quam} de∣ducere. Quę dū legerem{us}: et eorū {pro}baremus nihil: {quod} uel tor∣tuosos haberēt āfractus: uel multis lituris figuras cōfūderēt: diu multū{que} inuestigātes, si quid apertius inuenire possemus: tādē Ioānis Garthi philosophi eruditissimi at{que} in Arithme∣tica lōge peritissimi auxilio, lōge facillimā et certissimā uiā in subducendis numeris inuenimus: qua certe numerus omnis quantūuis magnus, quantumuis intricatus, manentibus no∣tis uniuersis, nullo negocio subduci potest. Et ne multa expe∣ctatiōe lectorē torqueamus: ea subducēdi ratio est eiusmodi. Post{quam} maior numerus, a quo fieri debet deductio: supra: et minor numerus, qui deducēdus est: infra ita scribetur: ut loci numerorū locis respondeāt: primi primis, secūdi secūdis, ter∣tij tertijs, et sic deinceps: linea{que} sub ambobus numeris a leua in dextrā perducta erit: sicut in numerorū additiōe supra do∣cuimus: tū a dextra parte, ubi minimi numeri locati sunt: inci∣pientes a primo loco, primum numerum inferioris ordinis a primo superiore, si ille ipse superior maior fuerit: subducamus: et quod ex deductione reperietur: sub linea primo loco ponamus. 〈 math 〉〈 math 〉

Si uero numerus inferior superiore maior erit: ut ab eo deduci nō possit: tūc superiori numero decē memoriter adiūgamus, cōputātes superiorē illū minorē numerū uelut ex primario et denario numero cōpositū: et ab eo sic aucto maiorē numerū inferiorem deducamus. Exempli gr̄a. superior numerus esto, tria, inferior nouem. nemo deducere nouem a tribus potest. ad tria igitur mente adiungamus decem: et nouem a tredecim auferamus: tum quatuor supersunt. is est numerus: quem requirimus: qui sub linea locetur. 〈 math 〉〈 math 〉

{QUOD} si superior ordo circulū habeat: ut inferior numerus, quā∣tuluscū{que} fuerit: ab eo demi nō possit: illū ipsum circulū {pro} de∣cē memoriter numeremus: et ab eo inferiorē notā, quę semper denario numero minor erit: auferamus. Exempli gr̄a. sit circulus supra, infra septē. fieri non potest: ut septē a nihilo deducamus. circulū igitur pro decem animo compu∣temus: et a decē subducamus septē. reliqua erūt tria. 〈 math 〉〈 math 〉

Quotiescū{que} autē denario numero memoriter adiecto, supe∣riorē numerū augebimus: ut inferior qui maior est: ab eo de∣mi possit: toties per omnes numerorū locos, unū ad sequētis loci inferiorem numerū, e uestigio memoriter addemus: illū{que} ipsū adiecta unitate sic auctū, a superiore ei{us} loci nu∣mero, si maior sit: subducemus: et quod reliquū erit: eo ipso loco sub linea reponemus: unde id subtraximus. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin minor erit illius loci numerus superior, {quam} ut ab eo demi possit numerus inferior unitate illa auctus: rur∣sus denario numero adiecto augeatur numerus ille superior: ut inferior ab eo subduci possit. 〈 math 〉〈 math 〉

Id{que} per omnes numerorum locos semper est obseruandum. Sic primo loco expedito, ad secundum transeundum: ubi per omnia faciendum est itidem: ut in primo. Sic cum ad tertiū, quartum, ulteriorem ue locum uentum erit: eadem perpetuo seruanda sunt.

AT SI quibusuis numerorum sedibus in inferiore demen∣do numero circulus, in superiore autem, a quo fit subductio: nota significans reperiatur: si nihil a priore loco propter de∣narium numerum mutuo sumptum me∣moria retentum erit: quod deduci debeat: numerus ille superior integer subscribetur. 〈 math 〉〈 math 〉

Quando uero in utro{que} numerorū ordine circu∣lus nobis occurret: si nihil ex memoria promi potest: quod subscribatur: subnotetur circulus. 〈 math 〉〈 math 〉

Vbicum{que} autem in quouis numerorū loco numerus inferior superiori aequalis erit: cū nihil sit reliquū: subscribatur circu∣lus: pręter{quam} postremo loco. ibi enim si numerus subducendus ei par sit: a quo fit subtractio: nihil omnino subnotari debet, quia tunc per cętera peracta est sub∣ductio. et circulus in numeris postre∣mum locum occupare nun{quam} potest. 〈 math 〉〈 math 〉

{QUOD} si superior numerorum ordo numeris aliquot et notis in∣feriorem transcendat: post{quam} inferioris ordinis numeros om∣nes a superiore subduximus: quicquid de superiore ordine reliquum erit: eisdem locis et notis sub li∣nea numeris relictis adiungatur: quibus supra lineam suo ordine stetit. 〈 math 〉〈 math 〉

Nunc exempla petamus: quę uiā demōstratā clarius illustrēt. 〈 math 〉〈 math 〉

QVISQVIS a quinquagies septies millenis millibus, du∣centis nonaginta quin{que} millibus, quadringētis nonaginta, subducere cupit, quadragies octies millena millia, septingēta sexaginta quin{que} millia, ducēta nonaginta septem. dispositis notarū ordinibus, linea{que} ducta: eiusmodi, quę sequūtur, taci∣tus secū cōsyderet: a primis auspicādo numeroR sedib{us}. Sep∣tem a circulo subducere nō possum. cōputo igitur circulū pro decem: et a decem demo septē. supersunt tria. ea sub linea lo∣cātur. Trāseo ad secundā sedem. numerus inferior subducen∣dus

occurrit, nouem. huic unū addo: quia ad circulū in primo loco assumpsi decem, et pro decem computo. ea a nouem de∣mere nō possum. mutuor igitur alia decem: et addens ea supe∣rioribus nouem, cōputo decem et nouē: a quibus deduco de∣cem. reliqua sunt nouem. quę subscribo. Pergo ad tertiū locū: ubi quia in priore sede sum decē mutuatus: unū adiungo ad numerum inferiorem, nempe, duo: et fiunt tria, ea subduco a quatuor, quę supra sunt. reliquum est unū. id subscribo. Pro∣gredior ad quartū locū. numer{us} uter{que} quin{que} cōtinet. et quia alter alterū exhaurit: nihil erit reliquū. pono igitur sub linea circulū. Quinto loco sex a nouem subtraho. tria relinquūtur: quę lineę subijcio. Sexto loco, quia septem a duobus demi nō possunt: assumptis ad ea decē, fiunt duodecim. a quibus aufe∣ro septē, et quin{que} supersunt: quae lineę subdo. Septimo loco quia. 10. in priore sede sum mutuatus: inferiorē numerū, octo, uno augeo, et nouē cōputo. ea, quia a septē auferre nō possū: ad septem assumptis decē, a septemdecē aufero nouē. reliqua manent octo. ea sub linea depono. Propero ad postremū lo∣cum: quo memoria affert unū: quia ex superiore sede sumpta sunt decē mutua. eo ad inferiorem numerū quaternarium iū∣cto, fiunt quin{que}. quibus a quin{que} superioribus dēptis, nihil superest reliquū. nihil igitur omnino subscribitur: tum quia subductio iam peracta est: tum quia postremus locus circulū nun{quam} capit. Reliquum igitur superioris numeri, a quo inferi∣orem subduximus: sub linea reperietur. Octies millena mil∣lia, quingenta triginta millia, centū nonaginta tria. Iterum aliud exemplum plurium locorū magis impeditū ponamus. 〈 math 〉〈 math 〉

Primo loco, quia supra septē est circulus, assumātur decē: a quibus septē deductis, tria supersunt. Secūdo loco occurrunt octo: quę unitate ex memoria augētur: et fiūt nouē. si ea a de∣cē ad circulū assumptis subtrahātur: remanet unū. Tertio lo∣co unum supra, infra circulus est. unū ex memoria promitur: quod superius exhaurit. et quia nihil superest: subscribemus circulū. Quarto loco, quia inferius circulus est: superius sep∣tem: a quibus nihil est: quod subducamus: ipsa septē subscri∣buntur. Quinto loco, quia octo a circulo demi nequeūt: a de∣cem quę mutuamur: ea deducimus. duo restāt. Sexto loco, ad quatuor: quę infra sunt: unū addimus ex priore sede memo∣ria sumministrante: quę simul addita subducimus a decem ad circulū superiorem assumptis. remanent quin{que}. Septimo lo∣co, septē uno aucta, quia ab uno demi nequeūt: ab undecim tollūtur, sumptis decē. tria subnotamus. Octauo loco, quin{que} quę sunt infra, uno ex priore sede delato, augemus: et sex ab octo subtrahimus. duo manent reliqua. Nono loco supra et infra circulus est. igitur sub linea ponitur circulus. Decimo lo co, sublatis quatuor a decem, quia a circulo nequeunt eximi: sex subsignāda sunt. Vndecimo loco, octo, quę inferius sunt: uno in memoria recondito augemus. etnouē, quia a circulo nō possumus: a decem deducimus. sic unū manet reliquum. Duodecimo loco promimus unū ex memoria: et addimus ad quatuor. quę, quia supra circulus est: auferimus a decem: et quin{que} nobis supersunt. ea sub linea deponimus. et quoniam unū adhuc superest mente reconditum: quod unitatem illam superioris ordinis postremam exhaurit: circulus subscribi de∣beret: nisi postremus esset locus: qui eū non capit. igitur nihil amplius apponitur: quia peractum est opus. Reliqui sum∣ma

est. Quingenties sedecies millies millena millia, uities ter millena millia, quingēta uiginti septē millia, et tredeci. Si quis expedite sine ulla mora numeros uelit subducere: primum memoriter ediscat: quantum erit reliquum: si sin∣guli numeri primarij, minores a maioribus subducantur: id quod pueri pleri{que} omnes tenent. et rursus quid super∣erit: si numeri simplices, maiores a minoribus cum de∣nario numero infra uiginti copulatis fuerint subducti.

Et quemadmodum in additione pręcepimus in primis, in memoria recondendum esse, quos numeros procrearent singuli numeri primarij sibi inuicem copulati: ita hice cō∣uerso pernecessarium putamus: ut expedite quis teneat: quos relinquant numeros singuli numeri primarij, uel in∣uicem a se subducti, uel a procreatis per sui additionē nu∣meris extracti. Quod si quis ignorat: unius horae labor: modo intentus sit animus: id suppeditabit. Verbi gratia, decem a decem et nouem deductis, supersunt nouem. no∣uem a decem et octo demptis, reliqua sunt nouem. nouem a septemdecem sublatis, manent octo. si nouem tollas a sexdecem: remanent septem. si nouē demas a quindecim: restant sex. si nouem auferas a quatuordecim: supererunt quin{que}. nouem exemptis a tredecim, quatuor relicta sunt. Si uero nouem extrahas a duodecim: tria remanebunt. Ab undecim sublatis nouem, duo superesse palam est.

Deinde octo a septemdecem tollantur: nouem remane∣bunt. Octo demantur a sexdecem: octo relinquuntur. octo subducantur a quindecim: septē erunt reliqua. Octo auferantur a quatuordecim: sex adhuc supersunt. Si octo deducas a tredecim: quin{que} manent. Si octo a duodecim

extrahas: quatuor existunt reliqua. Si octo tollas ab un∣decim: tria sunt relicta. Rursus septem a sexdecim tolle: nouem deprehendes. Septem aufer a quindecim: octo reperies. Septem subtrahe a quatuordecim: uidebis su∣peresse septem. Septem deme a tredecim: sex inuenies. Septem a duodecim demptis, quin{que} supersunt. Septem ab undecim sublatis, quatuor relicta sunt. Iam sex a quin∣decim dempta, nouē reliquunt. Sex a quatuordecim sub∣ductis, supersunt octo. Deme sex a tredecim: remanebūt septem. tolle sex a duodecim: reliqua erunt sex. Aufer sex ab undecim: quin{que} tamen supersunt. Age, si quin{que} a quatuordecim subduxeris: nouem superesse inuenies. Si quin{que} a tredecim tollas: octo deprehendes. Si quin{que} a duodecim demas: reperies septem. Si quin{que} ab undecim subducas: reliqua erunt sex. Iam uero, si quatuor a trede∣cim deducantur: relinquentur nouem. Si quatuor tollan∣tur a duodecim: octo remanebunt. Si quatuor ab unde∣cim auferantur: septem erunt reliqua. Rursus tria deman∣tur a duodecim: nouem nobis occurrunt. Subducantur tria ab undecim: octo sese offerunt. Deni{que} duo sublata ab undecim nobis relinquunt nouem.

Haec, quę pluribus uerbis edocuimus: figuris annotata sub oculis subiecimus.

〈 math 〉〈 math 〉

MVLTI, qui de subtractione antehac scripserunt: prę∣cipiunt: quoties numerus maior in aliqua numerorum se∣de deducendus est: {quam} is a quo deduci debeat: statim ab ul∣teriori loco proximo decem esse petenda: delendam{que} esse notam: unde fuerunt petita: et aliam unitate minorem eius loco reponēdam. {QUOD} si circuli sint medij: iubent om∣nes esse delendos: et eorum loco figuras nouenarias ap∣ponendas. Sin unitas sit figura: quae decem commodat: illam in circulum mutādam. Et quia non inutile ad multa erit: quae illi prodūt cognoscere: {quam}uis priores deleant no∣tas: eorum exempla figuris annotata subiecimus. 〈 math 〉〈 math 〉

Numerus superior a quo deductio fieri debeat: signetur. tria millia et decem. inferior, mille centū et undecim. Prin∣cipio quia unum a circulo non possunt deducere, decem a secundo loco sumunt: et figura unitatis ibi deleta: circulū reponunt. ab illis decem exempto uno, nouem supersunt. Secundo loco, quia unum a circulo subducere non licet: et tertius itidem locus circulum habet: ex quarto loco, ubi tria notata sunt, decem petunt: et pro nota ternaria, quam delent: binariam ibi reponunt: circulum{que} tertij loci me∣dium in figuram nouenariam mutant. Deinde unum se∣cundo loco extrahunt a decem: et sub linea reponunt no∣uem. Tertio loco unum auferunt a nouem. manent octo. Quarto loco unum a duobus deducūt. et unum, quod est reliquum: sub linea locant. Haec deducendi uia {quam}{quam} certa

est: et memoriam seruandis unitatibus non onerat: nume∣ri tamen maioris, a quo fit deductio: notas confundit: ut si cui propter errorem in subducendo admissum repeten∣dum esset opus: numerū primo datū agnoscere nō posset. Alij, quoties numerus subducendus maior eo est: a quo fit subtractio: praecipiunt inferioris numeri distantiam a denario, ad superiorem, a quo sieri debet deductio: addi: et numerum ex additione illa procreatum lineae subdi. Et quandocum{que} distantiam accipiunt: semper subtrahendę proximae figurae unitatem mente reconditam addunt. ut illa nota sic aucta deducatur ab ea: quae supra eam posita est. id{que} per omnes numerorum locos seruant. ut si septem a quatuor essent demenda: quia septem a decem per tria distant: tria ad quatuor addunt: septemque sic procreata subscribunt. et unum mente seruatum in proxi∣mi loci numerum inferiorem: qui deducendus est transferunt. 〈 math 〉〈 math 〉

Si uero nota: cui addendum est unum memoria retentū: nouenaria fuerit. quia uno aucta fit decem: et nihil a decē distat: numerum supra uerticem positum, a quo fuisset fa∣cta deductio: integrum subscribunt. ut si nouem secundo loco: quibus unitas ex primo loco seruata addēda est: sub∣ducenda essent: a tribus in superiore ordine positis. quia nouem uno aucta fiunt decem: et nulla est di∣stantia: quae capi possit: tria, quae supra uer∣ticem sunt: sub linea reponunt. 〈 math 〉〈 math 〉

Sin figura cui addenda est unitas: sit circulus: cum nihil sit: cui addatur: eam ipsam a superi∣ore figura auferunt: et reliquum subnotant. 〈 math 〉〈 math 〉

Si uero supra etiam circulus sit: nouem, quae distantia est a decem: lineae subdunt. 〈 math 〉〈 math 〉

Vbicum{que} uero superior nota circulus est: inferior figura significans: distantiam inferioris a decem subscri∣bunt. ut si duo a circulo deduci debeant: quia duo a decem per octo distant: octo subscribuntur. 〈 math 〉〈 math 〉

Caetera quae tradunt: cum his omnino consentiunt: quae nos supra praecepimus. Hic quo{que} subducendi modus: {quam}uis neminem fallat: tamen dum frequenter aucupamur distantiam: dum eam inuentam ad superiorem numerum addimus: diu nos moratur. et pene plus de additione {quam} de subtractione refert. Quamobrem uia per nos supra tradi∣ta magis erit sequenda: quę cum sit certissima, tum longe cęteris est et breuior, et expeditior: nec ullam affert subdu∣centi moram. notas quo{que} primas relinquit semper inta∣ctas: ut si cui propter errorem in subtrahendo admissum, repetendum esset opus: primus numerus ante oculos prę∣sto illi maneat. {QUOD} si quis inuestigare pergat. quare quo∣ties decem ab aliqua numerorum sede mutuamur: toties ad inferiorem sequentis loci numerum: qui deduci debeat: unum addamus: cum prima facie cuiuis uideri possit: uni∣tatem illam ad superiorem sequentis loci numerum, a quo fit subtractio: potius addi debere. Ne praecepta dare ui∣deamur: quorum lectori non constet ratio: causam ape∣riemus: cur ita fieri necesse sit. Nam omnis numerus ul∣tra primum locum uel numeros denarios continet: uel ex denarijs collectos. unde cum in aliquo numerorum loco maior occurrit nota in ordine inferiori, {quam} quae ex minori

superioris ordinis deduci possit: necesse est superiorem or∣dinem ab ulteriori aliqua numerorum sede eum numerū mutuari: qui sufficere possit. is autem erit denarius a prox∣ima ulteriori classe petitus: qui iunctus ad minorem illum primarium superioris ordinis numerum, ad cuius accersi∣tur auxilium: magnitudinem superabit illius maioris nu∣meri: qui prius a minori non potuit subduci. Quocirca cū denarium aliquem numerum ab ulteriori fede petimus, il∣lius notam secūdum praeceptionem nostram ibi relinquē∣tes intactam: si nihil ad inferiorem illius loci figuram, un∣de decē sumpsimus: adderemus: quod denarij numeri com modati notam adhuc restantem exhauriret: decem ibi re∣dundarent: quę ante memoriter fuissent illinc deprompta. Quamobrem, ut illa decem sumpta mutuo, quorum ad∣huc figura nihil mutata ibi manet: cum ad illum locum uentum erit: exhauriamus: unitatem semper ad sequentis loci inferiorem numerum: qui subducendus est: addimus: quae numerum illum denarium ibi redundantem subdu∣cat. Id{que} fit per omnes numerorum sedes: quoties decem uel ad circulum, uel ad alium primarium assumimus.

Si quis experiri uult, an recte subductio facta sit? id quod summę reliquum est, ad numerum subtractum addat. et si ex illa numerorum adiunctione maior numerus, a quo mi norē subduximus: iterū surget: tum necesse est subtracti∣onem recte peractam esse. {QUOD} si alium numerum, {quam} eum a quo prius minorem abstulimus: additio illa {pro}ducet: er∣rorem calculi interuenisse palam est. Nam quemadmodū totum omnibus suis partibus seiunctis par est: ita partes omnes compositae suo toto sunt pares. Cum ita{que} maior

numerus totus a quo subductio facta est: minorem, qui subtractus est, et reliquum quod superest, partes suas ha∣beat: eis{que} par sit: fieri non potest, quin partes illae rursus compositae suum totum, id est primum numerum, a quo minorem abstulimus: denuo procreent. Et si partes illae simul positę alium numerum creant: error manifestus est. nam omnes partes collectas a suo toto dissidere rerum na∣tura non patitur. Vsum autem subductionis esse iam an∣te diximus: ut indicet: quid sit reliquum: et quantum ma∣ior numerus minorem superet. Quod quum per praecep∣ta, quae tradidimus: inuentum fuerit: simul deprehensum erit, quantum ipsi numeri inter se distabunt. Nam quan∣tum alter numerus alterum superabit: tantum inter se di∣stare comperientur: ut quot unitatibus minor a maiori superatus fuerit (quod semper ipsum reliquum indicabit) totidem distent. Verbi gratia. sume duos numeros, alte∣rum septem, alterum tria. deme tria a septem. reliqua sunt quatuor. septem enim tria superant quatuor unitatibus. distant igitur inter se totidem. {QUOD} si duos numeros ęqua∣les sumas: et alterum demas ab altero: quia nihil erit re∣liquum: nihil inter se distabunt. Ita{que} si perscrutari uelis: quantum duo quiuis numeri inter se di∣stabunt: post{quam} altero ab altero sub∣ducto, comperisti reliquum: una opera differenti∣am deprehen∣disti.

{QUOD} SI uarij generis nummi subducendi sunt: descriptis in suas classes, uti in additione diximus: eorū generibus, ueluti aureis ualentibus singulis denarios. 25. denarijs ualentibus singulis sestertios. 4. sestertijs ualentibus singulis duos as∣ses et semissem: cuiusmodi sunt uetera nummismata Roma∣na: numerorum subductio a dextra sumat initium: subtra∣hantur{que} numeri primae nummorum classis inferiores a su∣perioribus: si id fieri potest. Caeterum si id fieri nequit: a proxima denariorum classe sumptus mutuo denarius, et in 4. sestertios resolutus numerum sestertiorum superioris nu∣meri augeat: ut tum demum inferioris subductioni sufficiat. et quoties numerus aliquis mutuo sumetur: toties ad classis sequentis proximum numerum subducendum, unitas est ad∣denda. Similiter si denariorum numerus subducendus ma∣ior sit: {quam} ut a superiore demi possit: aureum mutuum a prox∣ima sinistra classe petamus: ut is in denarios. 25. resolutus numerum denariorum, a quibus fiet fubductio: augeat. et cum ad illam classem uentum erit: ad numerum proximum subducendum unitatem adiungamus. Itidem fiat de qui∣buscumque uarijs nummismatum generibus, cuiusuis nati∣onis, subducendis. Veluti aureis, denarijs, et nummis ui∣lioribus.

Exemplum hic subnotauimus: quod solus facile sine praee∣unte explicabis. 〈 math 〉〈 math 〉

DE MVLTIPLICATIONE.

MVLTIPLICATIO NVMERORVM EST unius in alterum ductu tertij numeri maioris procrea∣tio: qui toties numerum multiplicatum contineat: quoties numerus multiplicans capit unitatem. Et ut apertius dica∣mus. Numerorū multiplicatio est maioris numeri procrea∣tio per alicuius numeri ad se ipsum, frequentem accumulati∣onem, crebram{que} additionem toties repetitam, quoties nu∣merus multiplicans cōtinet unitatem. Vsus eius non modo Astrologis pro reductione signorū ad gradus, graduum ad minuta, minutorū ad dimidia, et sic deinceps, uerū etiam ad uitam humanam degēdam mercatoribus, et omniū hominū conditioni pernecessarius est. Verbigratia. Si quis centū tri∣tici modios, decem nummis unumquem{que}: aut centum uini dolia, decē aureis singula, emit: et scire cupit: quid ei pro uni∣uersis sit soluendū. In multiplicatione peragēda tres omnino numeri requiruntur. Primū numerus multiplicandus: quem per aliū multiplicare destinamus. Deinde numerus multipli∣cans, qui toties eum numerū, quē multiplicare decreuimus: colligat: quoties in se ipso continet unitatem. Nihil autem refert: an minor numerus multiplicet maiorem: an e cōuerso minorem maior. Nam ex eorū mutuo in se ductu idem utro∣bi{que} numerus semper surget. Sicut ter septē, et septies tria eū∣dem numerū creant, facilior tamen longe multiplicandi mo∣dus est: cum numerus minor multiplicantis partes occupat: et numerus maior multiplicandi: {quam} cū contra fit. Tertius nu∣merus, quem requirimus: ex numeri multiplicantis in eum, qui multiplicandus est: ductu, uelut amborū foetus procre∣atur,

per multiplicationem nobis inuestigandus. Numerus is, qui multiplicat: ab eo, quem multiplicare uolumus: eo di∣noscitur, {quod} numerus multiplicās per aduerbiū semper expri∣mitur: multiplicandus autem per nomen. uti si ter septem di∣cas. ternarius numerus multiplicans est: septenarius multi∣plicandus. Illud in primis animaduertendū est: Vnū necse ipsum ne{que} aliū numerū multiplicare. Nēpe semel unū nihil est nisi unum. quatuor semel nihil amplius sunt, {quam} quatuor. Et ut facillima quae{que} primum expediamus. Si quis aliquem numerum per decem multiplicare uelit. unum solum circu∣lum a dextra ei praeponat: qui sequentem numerum auge∣bit in decuplum. Si numerum quemuis per centum multipli∣care uoles. duos a dextra praepone ei circulos: et numerus, qui sequitur, augebitur in centuplum. Sin per mille numerū quemlibet multiplicare cupimus. tribus a dextra adiectis cir∣culis, auctus est in millecuplum. At{que} itidem si quis per eum numerū, quem aliquis quantumuis ulterior numerorum lo∣cus significat: alium numerum multiplicare destinat: is toti∣dem eidem ascribens circulos, quotlocum illum representare possunt: multiplicationem absoluet.

Principio ad numeros oēs expedite multiplicādos nō parū nobis cōducet, in memoria recōditū habere: quē numerū sin∣guli primarij infra decem, alius in alium ducti procreent: id, quod ex numerorū uelut in tabula depictorū quadā descrip∣tione facile deprehēdi potest. Ea autē est huiusmodi. A sini∣stra ab uno incipiēs, ac naturali numeroR serie in dextrā pro∣grediens, singulos primarios us{que} ad decē, modicis interual∣lis scribe. Deinde ab illo ipso uno ad sinistram posito, uelut a quodam uertice, iterum incipiens, eandem numerorū seriem,

deorsum uersus tendendo, modicis et paribus interuallis di∣stingue. singulos{que} primarios us{que} ad decem ita scribe: ut nu∣merorum utra{que} series uelut pythagorae normam angulum rectū facientem nobis depingat. Postea sub prima serie, quae a leua in dextram tendit: a binario numero incipiens, aliam decem numerorū seriem contexe: in qua singuli numeri, qui in dextram progrediuntur: binarij incrementum accipiant. ea series desinat in uiginti. Tertius rursus ordo decem nu∣merorum a ternario numero ad sinistram exordium sumens desinat in triginta, singuli{que} numeri in dextram protensi in∣cremento ternarij augeantur. Quartus itidem ordo a quater∣nario initium capiens, at{que} per decem numeros in dextram progrediens, singulis auctis adijciat quaternarium: desi∣nat{que} in quadraginta. Quinta similiter series a quinario pro∣cedens per decem numeros, quinario quem{que} auctos, finia∣tur in quinquaginta. Sextus ordo a senario ad leuam orsus, per decem numeros, senario quē{que} auctos, ad sexaginta per∣tendat. Septima quo{que} series a septenario exorsa singulis au∣ctis numeris septenarij incrementum adijciat, in septuaginta desinēs. Octauus ordo ab octonario ad octoginta perueniat: octonarij augmentū ad singulos auctos numeros accommo∣dans. Nona series similiter a nouenario progrediens ad no∣naginta, per numeros decem, nouenario quem{que} crescentes protendatur. Decimus ordo a denario procedens sequen∣tes numeros, denario singulos, augeat: desinat{que} in centum. Deinde numeris ita scriptis, lineę parallelę inter singulos or∣dines directę sic ducantur: tam a summo uertice ad imum ca∣dentes, {quam} transuersę a leua in dextram, ut eiusmodi linearum ductu singuli numeri quadratis locellis ubi{que} concludantur.

〈 math 〉〈 math 〉

HAEC numerorū figura mira quadam proprietate primariorū numerorū multiplicationem nobis ante oculos e uestigio demō∣strat. Nam si scire cupis: quē numerū duo quilibet primarij in se ducti creēt. Primū illorū alterū in serie suprema a sinistra in dex∣trā protensa perquire. Deinde alterū uestiga in prima ad sinistrā serie descēdente. quos ambos cū inueneris: ab altero inter paral∣lelas lineas recta semita descēdens, ab altero in trāfuersum paral∣lelas duces sequēs, {pro}gredere: donec ad linearū in quadrāgularem

formā coeuntiū locellū angularē peruenias: in quo numerū, quē requiris: ex amborū in se ductu procreatum deprehendes. Verbi gratia. siuis scire: quem numerū septies octo procreent. in altera serie septē, in altera octo quęre: parallelas{que} utrius{que} numeri, alte∣ras descēdentes, alteras trāsuersas, uelut duces, sequere: donec in quadrāgularē coeāt figurā▪ in cuius angulari locello quinquagin∣ta sex notata inuenies. At{que} itidem in reliquis numeris primarijs. Verūtamen, ut ante dixi: qui sine ulla mora numeros multiplica∣re uelit: primariorū inter se multiplicationē in memoria, uelut in numerato, recōditā habere debet: ut expedite, cū res poscet: sin∣gulos numeros ex primariorū in se ductu generatos, tan{quam} ex the∣sauro depromat. id, quo dpaucis horis quiuis uel infirma memo∣ria facile potest ediscere. Alioqui si ad numerorū figurā supra no∣bis depictā identidē respiciendū erit: quid fiet: quādo librorū nō adest copia? Ne igitur in leuiculis semper sit hęrendum: paucarū horarū industria longi tēporis tediū deuoret: ut quoties usus po∣stulabit: numerorū primariorū multiplicationem mente prius re∣positā memoria suppeditet. Id quod ad numerorū quo{que} partiti∣onem nō minus cōferet. uti latius dicemus: quādo eo uentū erit.

{QUOD} SI cui est animus eiusmodi numerorū figurā in tantā am∣plitudinē dilatare: ut magnos etiā numeros per linearū inspecti∣onē cōpendio quodā multiplicare possit: Ab uno exorsus, quēad∣modū ante diximus, naturalem numerorū seriem, quantū ei libu∣erit: quantū{que} in immēsum uelit: tam a sinistra in dextrā progre∣diens, {quam} a uertice deorsum descendens extēdat: singulos{que} cōtex∣ens ordines illud sem{per} obseruet: ut a quo numero initiū series no∣ua capiet: illius incremēto singuli eius numeri sequētes augeātur.

Pręter cęteras quo{que} ęgregias huius figurę dotes ab Arithmeti∣cis traditas, quas nūc altius attingere nr̄i instituti nō est: illa insi∣gnis habet̄:{que} si ab uno, qui numerus ad leuā sūmus est: ad centū,

qui ad dextrā habetur imus: per āgulos oppositos linea ducatur•• numeri oēs, quos secabit: quadrati reperiētur: qui ex cuius{que} eorū in se ip sū ductu, {pro}creant̄. id quod eueniret: si quātūuis in immēsū pertēderet figura. Ad hęc ubicū{que} occurrunt numeri quadrati: idē ex ductu anguloR oppositoR in oppositos {pro}ducet̄. ut si tria per tria multiplicent̄: perinde sit: acsi unū in nouē ducatur. quod quia ad radicū in numeris inuestigationē: de qua suo loco dicturi su∣mus: pernouisse est utile: hic degustasse, non alienū est uisum.

QVI de numerādi scripserūt arte: de simplicibus numeris inter se multiplicādis, certā hāc dederūt regulā: quę sane et breuis est: et supputationē auspicātib{us} admodum utilis: ut duo quiuis nu∣meri primarij multiplicādi sumant̄: maioris{que} numeri, si alter ma∣ior fuerit: a denario distātia capiatur. Deinde quot in ea distātia reperiētur unitates: toties minor numerus a suo denario, quē ipse denominat: subtrahatur. et numerus relictus erit is, quē quęrim{us}. Verbi gr̄a. Scire uolens, quotū numerū cōponāt quinquies septē: sume tria, distātiā septenarij: qui maior est numerus. ac ter aufer quin{que}, numerū minorē, a denario, quē denominat: hoc est a quin quaginta. su{per}sunt triginta quin{que}: quę ex horū in se ductu {pro}cre∣antur. Sin numeri ęquales fuerint: nihil refert: utrius a denario di∣stātiā assumas: ut quoti ipsa distātia deprehēdas unitates: toties a denario, quē alter denoiabit: alterū numerū demas. uti si octies octo multiplicādi sūt: sume duo, distātiā utrius{que} a denario: bis{que} aufer octo ab octoginta. reliquū erit sexaginta quatuor. is est nu∣merus: quē requirimus, ex illorū in se ductu generatus. Alij au∣tem ad multiplicationem numerorū primariorū, quorū duo qui∣uis additi maiorem denario numerū procreant: aliam docuerunt, regulam: ut uter{que} numerus ad sinistrā, alter sub altero scribatur. Deinde utrius{que} a denario distātia e regione ad dextrā ponatur.

distātię{que}, altera per alterā multiplicent̄▪ et quod {pro}ductū erit: sub linea ducta notetur. Deinde alterutrius distaria ab altero subtra∣hatur: et prius adiecto, si quid memoria seruat: subscripto nume∣ro, ex distātiarū in se ductu procreato, a sinistra locetur. uti si sex∣ies octo multiplicare uelis. supra octo, infra sex repone. Postea contra octo oppone pro distātia ad dextrā duo. cōtra sex oppone quatuor. duc postea duo in quatuor. fiunt octo. ea subscribantur. Exime deinde per oppositos angulos, uel duo a sex: uel si mauis: quatuor ab octo. supersūt quatuor. ea a sinistra numeri prius sub∣scripti locentur. {QUOD} si numeri primarij simul additi numerū de∣nariū non transcendant (hi autem sunt omnes minores infra sex) eos sine ullo pręcepto pueri pleri{que} omnes multiplicare sciunt.

NVMEROS multiplicaturi supremo loco eum scribamus: quem multiplicare destinamus. tum deinde inferius alterum, per quem multiplicare superiorem uolumus: ita reponamus: ut pri∣marij numeri illius ordinis primarijs superioris, deni denis, cen∣teni centenis, et sic deinceps respondeant. Et si numeri sint inae∣quales: maior semper supra pro multiplicādo ponatur: minor in∣fra pro multiplicante. Quo fiet: ut multiplicationis modus futu∣rus sit expeditior. Postea sub ambobus nume∣ris a leua in dextram calamo linea ducatur. 〈 math 〉〈 math 〉

Deinde prima nota multiplicātis numeri in primā multi∣plicādi ducat̄: et si id, quod ex multiplicatiōe, pueniet, in∣fra decem erit: ad dextrā primo loco sub linea reponatur. 〈 math 〉〈 math 〉

Si uero surgat numerus aliquis ex denis collectus: subscriba∣tur circulus: et denorū illorum denominatio memoriae com∣mendetur: ad sequentis loci multiplicationem addenda. 〈 math 〉〈 math 〉

SIN PRODEAT numerus aliquis ex denis et primarijs compositus: primarius primo loco deponatur: denorumque de∣nominatio

mente recondatur: ut ad sequentis loci numerum ex multiplicatione procreandū coniun∣gi possit. 〈 math 〉〈 math 〉

Iterum nota prima numeri multiplicātis ducatur in mul∣tiplicandi secundam: et quod inde creatum erit: post{quam} ei additum fuerit id: quod mente retentum est, si quid tale ex priore loco translatum superest: se∣cundo loco subscribatur. 〈 math 〉〈 math 〉

Rursus eodem modo in tertiam, quartā, et reliquas quā∣tumlibet ulteriores multiplicandi numeri figuras eadem prima nota numeri multiplicantis ducatur: et quod ex ip∣sis in se ductis creabitur: eisdem locis sub linea reponatur: quibus enatum erit. Demum prima illa multi∣plicantis nota, quę suum peregit opus: ne am∣plius turbam faciat: obelisco transfigatur. 〈 math 〉〈 math 〉

Post haec secunda numeri multiplicantis nota in primam multiplicandi, et deinceps in omnes reliquas, co ordine, eodem{que} modo ducatur: quo de prima nota fieri debere diximus. Et numeri ex eorum in se ductu proueniētes ita sub linea et sub figuris ex priore multiplicatione produ∣ctis ponantur: ut primus eorum sub secūda multiplican∣tis nota: secūdus sub tertia: tertius sub quarta: et sic de∣inceps in sinistram procedendo locetur. Et {quam}uis paucio∣res notę numeri multiplicantis, {quam} multiplicandi, fuerint: semper tamen progressus in leuam a secunda nota multi∣plicantis exorsus, minimum, per totidem seruetur locos: quot figurae fuerint in numero multiplicando. Postea se∣cunda nota suum enixa foetum calamo transfigatur.

Tertia deinde et quarta ac reliquę omnes, quot∣quot fuerint: multiplicantis numeri notę in sin∣gulas multiplicandi numeri eodem modo du∣cendę sunt: numeri{que} ex multiplicatione nascē∣tes 〈 math 〉〈 math 〉 sub linea et sub ordinibus ex priore multiplicatione procreatis ita reponendae: ut tertiae notae multiplicantis foetus, a tertio loco, quartae a quarto, et sic deinceps, pro∣gressionis in sinistram capiat exordiū: per totidem{que} notas, minimū, proten∣datur: quot reperiētur in numero mul∣tiplicando. Singulae{que} notę, post{quam} of∣ficio sunt functae: obeliscis inductae calamo transfigantur. 〈 math 〉〈 math 〉

Peracta demum figurarum omnium multiplicatione, rur∣sus sub omnibus numerorum ordinibus ex multiplicatio∣ne procreatis altera linea a leua in dextram ducta, ad pri∣mum locum pertendat. Deinde a primo loco exorsi, om∣nes illos numeros ex figurarum in se ductu natos simul addamus: nume∣ros{que} exlocis singulis collectos eisdē locis sub linea subscribamus. Ita nu∣merus sub linea repositus is erit: quē multiplicatio nobis procreabit. 〈 math 〉〈 math 〉

De circulis autem illud pręmonendum putamus: ut quo∣ties in numero multiplicante nobis occurrit cir∣culus: totidem sub linea circulos reponamus: quot fuerint figurae numeri multiplicandi. 〈 math 〉〈 math 〉

{QUOD} si numerus multiplicandus circulum aliquem habe∣at: is etiam sub linea suo ponatur loco: nisi aliquid in memoria retētum super∣sit: quod illic deponi debeat. 〈 math 〉〈 math 〉

NVNC EA, quae diximus: illustremus exemplis.

Multiplicemus septem millia nonin∣genta 〈 math 〉〈 math 〉 sexaginta tria per mille octin∣genta quinquaginta duo. Post{quam} nu∣meri scripti, subiecta{que} linea fuerit: sic nobiscū tacite meditemur. Primo loco bis tria creant sex. ea sub linea primo loco notamus. Iterum bis sex faciunt duodecim. duo sub linea secundo loco ponimus. unū pro denarij denominatione mente retinemus. Rur∣sus bis nouem procreant decem et octo. quibus unum ex memoria addimus. fiunt decem et nouem. nouem igitur tertio loco lineę subdimus. unum mente recondimus. De∣mum bis septem producūt quatuordecim: quę quum au∣gentur uno ex memoria deprompto: fiunt quindecim. sic quin{que} quarto loco reponimus: unitatem in quintum lo∣cum transferimus. at{que} ita primam illam notam multipli∣cantis numeri, quę suum peregit opus: obelisco transfigi∣mus. Postea secundam multiplicantis notā, nempe quin∣{que}, in primam multiplicandi ducamus, intra nos ita mus∣sitantes. Ter quin{que} creant quindecim. quin{que} secundo lo∣co sub linea ponimus. unum mente seruamus. Iterum quinquies sex faciunt triginta: quibus unum ex memoria depromitur. fiunt triginta unum. ex his unum tertio loco reponimus. tria mente seruantur. Rursus quinquies no∣uem

producunt quadraginta quin{que}: quibus tria ex me∣moria addita quadraginta octo faciunt. octo quarto loco subscribimus, quatuor mente retentis. Demū quinquies septem sunt triginta quin{que}. his ex memoria quatuor ad∣iungantur. fient triginta nouem. ea sub linea ponantur ad sinistram. Ita secunda multiplicantis nota suum enixa foe∣tum obelisco signatur. Tertiam deinde multiplicantis fi∣guram assumentes, sic ducimus in primam multiplicandi. Octies tria sunt uiginti quatuor. quatuor tertio loco lineę subdimus. duo mente retinemus. Iterum octies sex sunt quadraginta octo. ad quae duobus ex memoria additis fi∣ūt quinquaginta. circulus igitur quarto loco subscribitur. et quin{que} memoria seruat. Rursus octies nouem sunt sep∣tuaginta duo: quibus memoria sumministrat quin{que}. sic fiunt septuaginta septem. subnotantur septem loco quin∣to, depositis apud memoriam septem. Deni{que} octies sep∣tem sunt quinquaginta sex: ad quę quum septem ante re∣posita iunguntur: proueniunt sexaginta tria. ea sexto et septimo loco subscribuntur: transfigitur{que} ita calamo ter∣tia multiplicantis figura. Tandem uentū est ad quartam et postremam multiplicantis notam: quae cum sit unitas, et nullum numerum multiplicare possit: omnes figurae numeri multiplicandi, eo ordine, quo sunt scriptae: semel sub reliquis enatorum numerorum ordinibus sic ponan∣tur: ut prima quarto loco sub ipsa unitate notetur: reli∣quae{que} omnes in sinistram, nempe secunda in quintum lo∣cum, tertia in sextum, quarta in septimum, promouean∣tur. His ita peractis, ac sub omnibus enatis numeris li∣nea a leua in dextram ad primum us{que} locū perducta, uni∣uersorum

numerorum ex multiplicatione prouenientium sūma collecta sub linea deponatur. ea erit. Quater decies millena millia, septingenta quadraginta septem millia, quadringenta septuaginta sex.

SED quoniā in hoc exemplo, quod iam explicauimus: nulli interuenerunt circuli: alterum adiungamus: in quo tam in numero multiplicāte, {quam} multiplicando, circuli sint admixti. id autem sit eiusmodi. 〈 math 〉〈 math 〉

Multiplicemus sexdecim millia quingenta tria, per quatuor mil∣lia et uigiti. Post numeros scrip∣tos lineam{que} subiectam primum nobis occurrit in numero multi∣plicante circulus. totidem igitur circulos sub linea reponamus: quot sunt notae numeri multiplicandi. Deinde secūda nota multiplicantis in pri∣mam multiplicandi ducatur. inde sex enascentur. ea secū∣do loco subscribantur. Et quia secunda figura numeri multiplicantis circulus est: ex quo nihil gigni potest: is tertio loco subnotetur. Rursus secunda multiplicantis nota in tertiam, nempe quin{que}, ducatur. et fient decem. subijcitur igitur quarto loco circulus: unum{que} memoriae seruandum commendatur. Et quia quarta figura numeri multiplicandi circulus est: et unum adhuc memoria ser∣uat: id sub linea quinto loco reponatur. Deinde secunda ipsa multiplicantis nota in quintam multiplicandi, nem∣pe sex, ducta, duodecim proueniunt. ea sexto et septimo loco statuantur. postea secunda ipsa multiplicantis nota suo functa officio calamo transfigatur. Iterum tertio loco

in numero multiplicante alter occurrit circulus. quamob∣rem totidem circuli quot reperiuntur figurae numeri mul∣tiplicandi: a tertio loco incipientes, in leuam promouen∣tur. Quarta nota numeri multiplicantis quaternaria in primam multiplicandi ternariam ducta duodecim produ∣cit. duo quarto loco subscribuntur. unum mente recondi∣tur. et quia secunda numeri multiplicandi figura circulus est: unum illud mente retentum quinto loco deponitur. Rursus quarta multiplicantis nota in tertiam, uidelicet quin{que}, ducitur. prodeunt uiginti. circulus ita{que} sexto lo∣co subditur, duobus memoria repositis. Et quia in nume∣ro multiplicando alter itidem circulus est obuius: duo il∣la mente recondita septimo loco sub linea locantur. De∣mum quarta nota numeri multiplicantis in quintā et po∣stremā multiplicandi ducatur. et enascentur uiginti qua∣tuor. ea octauo loco et nono deponantur. Post absolu∣tam multiplicationem, sub omnibus ordinibus linea per∣ducatur. sub qua uniuersorum foetuum collecta summa continebit. Ducenties quadragies ter millena millia, du∣centa uiginti duo millia, et sexaginta.

Quaeret fortasse quispiam. cur ita singuli numeri ex mul∣tiplicatione procreati semper ad leuam oblique promo∣ueantur? et non potius directe sub numero multiplicādo collocentur? Sed quisquis multiplicationis naturam alti∣us consyderabit: statim mirari desinet. Nam cum multi∣plicatio toties numerum, qui multiplicatur: sibi ipsi ad∣dat, at{que} accumulet: quoties numerus, qui eum multipli∣cat: continet unitatem: oportet omnino alium numerum maiorem inuestigari: ad quem is, qui multiplicatur: uicē

habeat unitatis. Et quoniam unitas natura primū in nu∣meris locum tenet: sequentes autem eam numeri in ulteri∣ores sedes secundum sui augmentum truduntur: quisquis numerus unitatis uicem occupabit: is primam itidem se∣dē habeat, necesse est: et quae ipsum sequūtur: in ulterio∣res sedes promoueat. Cum ita{que} numerus multiplicans non solum in omnes multiplicandi notas ducatur: uerū etiam ei leges praescribat: quoties ad inuestigationem nu∣meri maioris, unitatis uicem sit subiturus: necesse est om∣nino et tot maiorum numerorū procreandos ordines po∣ni: quot sunt notae numeri multiplicantis: et rursus illos ipsos ordines a singulis numeri multiplicantis notis, quae representādis unitatibus legem dant: nouas subinde pri∣mas sedes accipere. At{que} ita si primus locus, qui dux cae∣teris est: ab ea sede incipiet: ubi nota multiplicans sita est: siue secunda, siue tertia, siue ulterior fuerit: omnes omni∣no loci, qui eius ductum sequuntur: ulteriores erunt. Et cum maiores numeri ex notarum in se ductu semper quae∣rantur: statim ut sunt inuenti: in sinistram, quae maiorū numerorum sedes est: promoueri debent.

Multiplicationem recte factam esse certa ratione proba∣bimus: si numerus ex multiplicatione procreatus per nu∣merum multiplicantem diuidatur: et sectio nobis nume∣rum, qui multiplicatus est: instauret. {QUOD} si alium nume∣rum reddat: erratum esse necesse est. Hoc autem manife∣stius fiet: post{quam} numerorū partitionem explicuerimus.

DVPLICATIO numerorū est eorū per duo multipli∣catio. Fit autē: quādo nota binaria posita sub primo lo∣co numeri multiplicandi, ducitur in omnes eius figuras,

eo modo, quo ante dictū est. de qua, cum sit species mul∣tiplicationis, at{que} ea quidem longe omnium facillima: ni∣hil attinet separatim pręcepta dare: sicut quidam fecerūt. nō magis {quam} de triplicatione, quadruplicatione, reliquis{que} multiplicationis speciebus, quae sunt infinitę. De quibus adhuc nemo quic{quam} speciatim edidit. {quam}{quam} in multis earum, {quod} sint difficiliores: maior uideri potuisset ratio: si quis id attigisset. Verum in his omnibus quomodo multiplica∣tio sit facienda: ea, quae iam dicta sunt: abunde summi∣nistrant.

DE PARTITIONE.

PARTITIO NVMERORVN EST NV∣meri diuidendi per numerum diuisorem sectio in quasuis partes: quarum quęlibet toties cōtineat unitatem: quoties numerus diuidendus capit diuisorem. Numerus autem diuisor uel minor diuidēdo, uel ei ęqua∣lis, esse debet. Porro maior numerus non diuidit mino∣rem: cum in minore maior non contineatur. Et ut mani∣festius sectionis naturam explicemus. Numerorum par∣titio est partium quarumuis, quotaecum{que} fuerint: pro∣creatio ex numeri diuidendi sectione per numerum di∣uisorem partes illas, quas quaerimus: denominantem. Quantitas autem illarum partium ita deprehenditur: si a numero, qui diuidendus est: diuisorem toties subtraha∣mus: quoties fieri potest: diligenter obseruantes, quoties id faciemus. nam quoties subtractio repetita erit: toties numerus, quem quęrimus: unitatem continebit. Ita nihil

aliud est numeros partiri: {quam} per numeri diuisoris crebram, ab eo qui diuiditur, subductionem, tertium numerū pro∣creare: qui ex tot constet accumulatis unitatibus: quot re petitis iterationibus diuisor numerus a diuidendo subdu∣ctus est. Partitionis enim officiū est nobis aperire: quā∣tum quaelibet pars numeri diuidendi, quotacum{que} sit: in se continet. et quoties in numero diuidendo numerus di∣uisor includitur.

QVEMADMODVM autem in multipicatione prae∣diximus non mediocriter conducere: si quis memoria te∣neret: quos numeros procrearent primarij numeri in se ducti: ita hoc loco admonēdum putamus, numeros par∣tituris supra {quam} dici potest, conferre: si sine ulla mora di∣cere possinr: quibus ex numeris compositi sint, quas{que} in partes soluantur singuli numeri sub centum. Nam sicut primariorum inter se multiplicatio numeros maiores cre∣at: quorum tamen maximus centenarium non transcen∣dit: sic e conuerso procreatorū ex primarijs numerorum partitio ipsos in partes, ex quibus constant: dissoluit: nu∣meros{que} ostendit minores: ex quibus maiores sunt accu∣mulati. Et {quam}uis sufficere possit ad utrum{que} pernoscendū multiplicationis tabula supra a nobis descripta: si quis eam ordine retrogrado consyderet: et ab imis et maximis numeris contemplari incipiens ad summos et minimos tendat: tamē quo magis rem subijciamus oculis: quod{que} pro faciliori partitione mēte cōcepimus: exprimamus: aliā partitionis tabulam non absimilem, ordine tātum nume∣rorum conuerso, describemus. quae in summa parte, et ad sinistram numeros maiores: in ima, et ad dextram mino∣res

contineat. Ea fiet ad hunc modum. Ab ima parte ab uno incipiētes, naturali{que} numerorum serie in leuam pro∣gredientes singulos primarios us{que} ad decem modicis in∣teruallis scribamus. Iterum ab illo ipso uno ad dextram reposito, uelut a quadam basi, capientes exordium ean∣dem numerorum seriem, ad decem us{que} sursum uersus a∣scendendo, modicis et paribus interuallis distinguamus: ut uelut normam quandam rectum habentem angulum utraque series referat. Deinde singulos ordines struen∣tes illud obseruemus: ut a quo numero initium seriei ali∣cuius sumemus: siue binarius, siue ternarius, siue ulteri∣or fuerit: eius incremento singulos decem eum sequen∣tes numeros in sinistram promotos augeamus. Pa∣rallelae deinde lineae inter singulos ordines ductae tam a summo fastigio ad imum cadentes, {quam} transuersae a leua in dextrā, singulos notatos numeros quadratis includant lo∣cellis.

〈 math 〉〈 math 〉 ITA CONTRA {quam} in multiplicationis tabula descriptum est: summas et sinistras partes maiores numeri statim oculis occur∣rentes tenebunt. Quorum si quem per minorem partiri uole∣mus: parallelas a maiori numero diuidendo, tam ad imum mar∣ginem, {quam} ad dextrum latus ducentes, oculis sequamur. Vbi se no∣bis contuendos offerent numeri: ex quibus constat: minores. quorum alter diuisor erit: alter qui nobis indicet: quoties a diui∣dendo

diuisor ipse subductus eum totum exhauriat. Ve∣rum enim uero quisquis huius tabellae descriptae uim me∣moria reconditam tenet: ut non solum quos numeros ge∣nerent multiplicati primarij: dicere expedite possit: sed etiam in quos primarios generati ipsi soluantur: id quod plurimum bidui exercitatione cuiuis licet assequi: is sine ulla mora, numeros quantumuis magnos in partes, quas∣cum{que} uelit: facile partietur. Id{que} ita esse argumento est: {quod} q̲ alioqui in diuidendis numeris hęrent: proposita mul∣tiplicationis tabella sese confestim explicant. quam si or∣dine retrogrado mente repositam haberēt: nihilo facilior illis esset multiplicatio {quam} partitio.

MODVS autem expeditus quoscum{que} partiendi nu∣meros eiusmodi est: ut primū numerus diuidendus a dex∣tro latere scribatur: et ab eius sinistra numerus diuisor. inter quos linea cadēs media ponatur. Deinde sub nume∣ro diuidendo duę lineae parallelae modico interuallo inter se distantes a leua in dextram ducantur. sub quibus iterū diuisor numerus sic subnotetur: ut ultima nota diuisoris ad sinistram sub ultima diuidēdi, et penultima sub penul∣tima, et sic deinceps locetur. At{que} id quidem ita fiet: si to∣tus numerus diuisor a diuidendi notis supra se repositis subduci potest.

CAETERVM si maior fuerit diuisor, {quam} diuidendi nu∣meri notae supra selocatae: ut ab his non possit totus sub∣trahi: tunc postrema diuisoris figura sub penultima diui∣dendi ponatur.

HIC quidem numerus parallelis subiectus diuisor am∣bulans non abs re dici potest: {quod} ad sinistram semper inci∣piens,

post{quam} a diuidendo numero subductus est: siguris suis deletis progrediatur ad dextrā. ille uero ad leuam li∣neę cadentis positus, diuisor stans non immerito uocatur: {quod} manens nos admoneat: quis numerus sit diuisor. Inter parallelas uero numerus is ponatur medius: qui nobis in∣dicat: quoties in diuidendo numero diuisor cōtinetur: ut ab illo toties huius fiat subductio. uulgus hunc numerū quotientem barbare uocat, participium effingens ab ad∣uerbio. is nobis uidetur apte appellari posse numer{us} par∣titionis, aut si mauis, numer{us} sectionis: {quod} ex maioris nu∣meri sectione generetur.

ETVT a facillimis primum incipiamus. Si quem nu∣merum in decem partes diuidere uolemus: primam a dex∣tra parte notam, perlineam cadentem mediam, separem{us} a caeteris. et peracta est partitio. Si in centum: duas pri∣mas seiungamus notas. Si in mille: seponamus tres. Si in decem millia: quattuor distinguamus. Et ut in uniuersum praecipiamus. Quandocū{que} maiores numeros partiri uo∣lumus per minorem numerum unitatis nota et uno circu∣lo aut pluribus scriptum: quem aliqua numerorum sedes significat: totidem a dextra per lineam cadentem notas se∣paremus: quot locū illū pręcedunt. et absoluetur partitio. Notae autem a caeteris separatę reliquū indicabunt: quod ex diuisione superest: et supra diuisorem stantem linea in∣terposita notentur. is locus est eius reliqui: quod post par∣titionem peractam remanebit. Id ita esse palam est. nam si una nota ad dextrā apposita sequentem numerum ultra id, quod ipsa significat: augebit in decuplum: duae addi∣tae eodem modo in centuplum: tres in millecuplum: et sic

deinceps illę ipsę sublatę datū incrementū omnino tollēt.

SIVERO diuisor numerus, per quē partiri uelis: uni∣cam notam habet: is sub ultima diuidendi numeri figura: siue ipsi diuidendo aequalis, siue eo minor fuerit: ponatur. Et si diuisor ipse diuidendo numero aequalis erit: quia tan∣tum semel ab eo subduci potest: unitatis nota sub diuidē∣do inter parallelas inseratur: Statim{que} tam diuisor sub li∣neis, {quam} prima diuidendi figura calamo transfigatur. et di∣uisor in dextram ambulans sub penultima diuidendi no∣ta iterum reponatur.

{QUOD}. si diuidendo numero minor erit diuisor: cōsyderandū erit: quoties diuidendus eum contineat? an semel? an bis? an saepius? numerus{que} id indicans inter lineas parallelas sub diuidendo ponatur. si semel: unitatis nota reponen∣da. si bis: nota binarij. siter: ternarij. et sic deinceps. Tum per illum numerū inter parallelas repositum diuisor mul∣tiplicandus est: numerus{que} ex multiplicatione proueniēs sub parallelis infra diuisorē, prius tamen, ne rationes con∣turbet, deletum ponatur. is{que} numerus a diuidendo supra parallelas locato subducatur. et si quid reliquum erit: su∣pra diuidendi figuras: a quibus fit subtractio: prius dele∣tas, nerationem conturbent: scribatur. Quo facto, dele∣atur etiam numerus subductus sub parallelis repositus. et diuisor in dextram progrediens iterum sub penultima diuidendi figura locetur. Vbi animaduertendū erit: quo∣ties penultima diuidendi cum toto reliquo supra ultimam diuidendi posito (si quod fuerit) contineat diuisorem. Ip∣sum autem reliquum ad respectum penultimae diuidendi, et quoties in progressu occurret, ad sequentium respectū,

denarium illum numerum, quem nota ipsum exprimens denominat: semper significabit. ut si unitatis nota in re∣liquo sit: decem exprimat. si binarij: uiginti. si ternarij: tri∣ginta. et sic deinceps. Numerus uero ipse indicans, quo∣ties penultima diuidendi cum reliquo capit diuisorem, in∣ter parallelas est reponendus. Illud tamen perpetuo est obseruādum. Quandocum{que} diuisor in diuidendo saepius {quam} nouies continetur: nouem inter lineas tantum sunt re∣ponenda. Per numerum autem ipsum inter parallelas po∣situm multiplicandus est diuisor. et numerus ex eo proue∣niens, si una nota scribi possit: sub diuisore prius deleto, ne rationes conturbet: reponatur.

SIN numerus ille proueniens ex denario et primario sit compositus: ut duabus notis signari debeat: primarius semper sub diuisore ponatur. denarius autem ab eius sini∣stra sub reliquo diuidēdi, si quod fuerit, aut sub alia ipsius diuidendi figura supra se posita statuatur. numerus{que} is ab ipsis diuidendi figuris supra se positis subducatur. po∣stea deleantur notae, tam quae subductae sunt, {quam} a quibus fit deductio. et si quid ex hac subductione iterum erit re∣liquum: supra penultimam diuidendi notetur.

DEINDE diuisor in dextram obambulans sub nota proxima penultimae diuidendi rursus collocetur. et itidem per omnia fiat: quemadmodū in penultima. At{que} ad hūc modum diuisor promoueri debet: donec ad primam diui∣dendi figuram uentum erit. ubi si quid ex deductione reli∣quum supererit: id supra diuisorem stantem linea interpo∣sita notetur. qui locus est eius reliqui: quod post diuisio∣nem peractam remanet. quod certe semper minus erit {quam}

diuisor: nisi in partione fuerit erratum.

Quotiescum{que} autem post priorem subductionem inter partiendum cōtinget diuisorem maiorem esse notis diui∣dendi supra se locatis: ut ab his subduci non possit: toties inter lineas circulus ponatur. et per unum locum progre∣diatur diuisor, notae{que} illae diuidendi, a quibus fieri sub∣ductio nō potuit: ad respectum illius, sub qua diuisor lo∣catus est: uel denorū, si in secundo ab ea loco, uel centeno∣rum, si in tertio posita fuerint: in sequenti diuisoris sub∣tractione semper habebunt. Et ut magis ea quae diximus aperiamus exemplo. diuidamus septem millia octingenta uiginti quin{que} per sex. Scriptis primum diuidendo et diuisore cum paral∣lelis medijs, eo modo, quo dixi∣mus: 〈 math 〉〈 math 〉 sic partiturus secum cogitet. Sex in septem semel tā∣tum reperio▪ unitatis igitur notam inter parallelas repo∣no. et quia illa unitas sex non multiplicat: ipsa sex subdu∣co a septem. superest unum reliquum. id supra septem ca∣lamo transfixa statuo. deleo{que} sex diuisorem. et sub penul∣tima diuidendi iterum ea pono. ibi occurrunt in reliquo et penultima diuidendi decem et octo. sex in his ter haben∣tur. igitur tria inter parallelas depono. per quae multiplico sex: et fiunt decem et octo. decē sub reliquo, octo sub di∣uisore prius deleto statuo. deinde octo ab octo subduco et nihil superest. unitatis autem notam decem repraesen∣tantem subtraho ab uno supra se posito reliquum signan∣te. Iterum promoueo diuisorem: et sub proxima penulti∣mae eum colloco. Ibi quia diuisor maior est diuidendo: cir∣culum

inter lineas insero: deleo{que} diuisorem: ac rursus sub prima diuidendi figura eum repono. Illic in diuidendo ui∣ginti quin{que} deprehendo. quorum uiginti ideo manent: quia diuisor proxime cum circulus lineis est insertus: ab his subduci non potuit. in quibus, quia quater sex haben∣tur: quatuor inter lineas scribo. per quae multiplico sex: et et fiunt uiginti quatuor. Ita{que} sub diuisore deleto quatuor subnoto. et sub proxima diuidendi sequente pono notam binarij: quae uiginti significat. tūc quatuor a quin{que} in di∣uidendo numero supra se repositis deduco. et unū super∣est. duo{que} a duobus demo. postea transfigo calamo tam subductos numeros, {quam} a quibus subducti sunt. Vnum{que} quod post diuisionem peractam manet reliquum: supra diuisorem stantem linea interposita colloco. Ita numerus indicans, quoties facta sit subductio, surgit inter lineas. Mille trecenta quatuor.

PRAETEREA si diuisor numerus unicam notam si∣gnificantem cum uno circulo aut pluribus habeat: totidē diuidendi numeri figuras linea cadente interserta separe∣mus a dextra: quot circuli in diuisore notam significan∣tem praecedunt. Deinde per illam significantem notam so∣lam amotis circulis, diuidendum numerum eo modo par∣tiamur: quo cum unica nota fieri debere diximus. praeter∣{quam} {quod} partitio, cum ad separatas per lineam figuras uentū erit: cessabit. et si quid reliquū superest ex ea diuisoris sub∣ductione, quę a figura diuidendi proxime separatas prę∣cedente, facta est: id una cum ipsis figuris separatis totius partitionis reliquum erit. At{que} ideo supra diuisorem stan∣tem, linea interposita, notetur.

〈 math 〉〈 math 〉

{QUOD} SI DIVISOR numerus duas aut plures habeat significantes notas: unum{que} aut plures in fine circulos: to∣tidem in diuidendo numero similiter a dextra separandae sunt figurae: quot circuli in diuisore: figuras ipsas antece∣dunt. et per illas significantes notas solas amotis circulis, diuidendum numerum eo modo partiri oportet: quo cū pluribus notis fieri debere mox pręcipiemus. cesset{que} par∣titio quando ad separatas figuras ueniemus: quas uti iam dictum est ascribemus in reliquum. 〈 math 〉〈 math 〉

QVANDO autem diuisor duas aut plures significan∣tes notas habet: sub diuidendo numero ductis parallelis ita singulae scribantur, ut ultima diuisoris sub ultima diui∣dendi, penultima sub penultima, et sic deinceps, omnino reponantur. nisi totus diuisor numerus maior esset totidē diuidendi figuris supra se locatis: ut ab his subduci non posset. nam tunc diuisoris ultima sub penultima diuiden∣di. et penultima sub antepenultima, in initio statui debe∣ret. sicuti ante dictum est. Quo peracto, consyderandum est: utrum quoties ultima diuisoris in ultima diuidēdi su∣pra

se posita reperitur: toties diuisoris penultima in diui∣dendi penultima, et reliquo ultimę, si quod post diuisoris subtractionē supererit: et antepenultima diuisoris in an∣tepenultima diuidendi, et reliquo penultimę, si quod erit, et sic per cęteras diuisoris notas reperiri possit? et si id pos∣sit fieri: numerus indicans quoties diuisor continetur: in∣ter parallelas ponatur. et per eum singulae diuisoris notae multiplicentur: suo quae{que} ordine: numeri{que} ex multipli∣catione prouenientes sub ipsis multiplicatis diuisoris no∣tis sic ponātur: ut si figuris pluribus scribendi erūt: prima earum sub nota multiplicata, reliquae post eam suo ordine locentur. singuli{que} numeri a figuris diuidendi supra se po∣sitis, et a reliquo, si quod erit, subducantur: deletis tam di∣uisoris {quam} diuidendi notis, eo modo, quo ante dictum est: cū de diuisore unicam notā habente pręciperetur. 〈 math 〉〈 math 〉

AT SI penultima et antepenultima et quaeuis alia di∣uisoris nota toties non reperiatur in diuidendi figuris su∣pra se locatis, et reliquo earumdem, si quod erit: quoties ultima diuisoris in ultima diuidendi cōtinetur: tunc quia toties illę a supra se repositis subduci nō possunt: quoties haec ab ultima diuidendi: subducamus ultimam diuisoris ab ultima diuidēdi semel min{us}, {quam} alioqui subtrahi posset. et consyderemus, an reliquum, quod ex ultima diuidendi figura supererit: penultimae et antepenultimae et caeteris eiusdem figuris tantum sumministret? quantum ad sub∣ductionem reliquarū diuisoris notarū ferendam satis erit.

{QUOD} si post id factum singulae diuisoris notae a diuidendi figuris supra se positis et a reliquo eiusdem adhuc subduci

nequeunt: ultimam diuisoris bis minus, {quam} alioqui subduci posset: ab ultima diuidendi subtrahamus. et iterum con∣syderemus: an reliquum, quod supererit, tantundem pe∣nultimae et caeteris diuidendi figuris, suppeditabit: quan∣tum subductionem diuisoris ferre possit.

{QUOD} SI ne{que} bis minus subducere sufficiat: tentemus, an ter minus satis esse possit. Si ne id quidem procedit: ex∣periamur, an quater minus deducendo proficere possim{us}. At{que} ita rariorem ultimae diuisoris subductionem subin∣de tentemus: donec reliquum, quod in ultima diuidendi per hoc augebitur: caeteris eiusdem figuris tantū summi∣nistret: quantum ad iustam subtractionem cęterarum di∣uisoris notarum ferēdam sufficere possit. Ad id autem in∣uestigandum partitionis tabella, quā supra descripsimus, inspecta plurimum rudes iuuabit. ut quoties ipsam rario∣rem subductionem in ultima diuidendi consyderant: sem∣per interiores ab ea et dexteriores parallelas duces, qua∣drangularem formam minorem contrahentes, inspiciant▪ quarum extremi in marginibus locelli facile indicabunt: quis numerus sit sumendus: quid{que} futurum reliquum.

CVM uero consyderando deprehenderimus: quoties ultimę diuisoris subductio fieri debeat: ut caeterae eiusdem notae a supra positis similiter subtrahi possint: numerum id indicantem inter parallelas supra ultimam diuisoris no tam apponamus. et per illum numerum quamlibet diui∣soris notam multiplicemus: prouenientem{que} ex singulis multiplicationibus numerum sub ipsis multiplicatis di∣uisoris figuris sic ponamus: ut, si notis pluribus scriben∣dus erit: primam earum semper sub multiplicata figura,

reliquas post eam suo ordine collocemus: eas{que} a figuris diuidendi supra se locatis, et a reliquo, quando occurret: subtrahamus: delentes semper prius ipsas diuidendi figu∣ras: a quibus fit deductio. et quod ex singulis subtractio∣nibus reliquum supererit: supra ipsas diuidendi figuras: in quibus repertum est: prius deletas scribamus eo modo: quo ante diximus de unica praecipientes nota.

Quandocum{que} autem in quouis reliquo aliqua nota re∣tro manet non dum per subtractionem exhausta: praece∣dens{que} eam diuidendi figura, ex qua post subductionem nihil reliquum mansit: integre deletur: supra ponatur cir∣culus: ut retro adhuc restantis reliqui nos admoneat: si∣mul{que} eius augeat significationem.

QVOD cum peractum erit: singulae diuisoris notae de∣letis prioribus, per unum locum promoueātur in dextrā. et ultima diuisoris sub penultima diuidendi, eius{que} penul∣tima sub diuidēdi antepenultima, et sic deinceps, locetur. Iterū{que} de diuisoris notis subducendis eodem modo con∣syderandū est: eodem modo faciendum: quemadmodum iam dictum est. Rursus{que} subductione {per}acta, per unum locum promouendus est diuisor. at{que} eadem obseruanda sunt: donec prima diuisoris nota sub primā diuidendi ue∣nerit. ubi finietur opus.

ITAQVE si post subductionē quic{quam} remanserit: quod minus sit: {quam} diuisor: quia partitio finita est: supra diuiso∣rem stantem linea interposita notetur: ut inde nobis ap∣pareat: quota pars diuisoris sub linea subiecti sit ipsum re∣liquum supra positum.

SI VERO reliquū ipsum maius sit: {quam} diuisor: quoniā

errorem interpartiendum certū est interuenisse: opus to∣tum denuo repetendumest.

PRAETEREA quotiescum{que} post unam omnium di∣uisoris notarum subductionem us{que} ad finem operis diui∣sor ipse diuidendi notis supra se locatis maior reperitur: ut ab his non possit totus subuci: toties circulus inter paral∣lelas est reponendus. et singulae diuisoris notae nulla facta subductione per unum locū transferendae sunt in dextrā. Relictae autem illae diuidendi figurae in proxima sequenti diuisoris subductione debent exhauriri. At{que} ideo si post consummatam subtractionem in numero diuidendo cir∣culus ad dextram superest: is inter parallelas a dextra col∣locetur.

ILLVD quo{que} etiam in hac partitione, quae per plures fit diuisoris notas: perpetuo seruandum est: ut si aliqua di∣uisoris nota saepius {quam} nouies in diuidendi figuris supra se reperiatur: nouem tantum inter lineas sint reponenda. quemadmodum in diuisione per unicam diuisoris notam facienda supra dictum est.

ET quoniam auspicantibus pręcepta sine exemplis ob∣scura uideri solent: exēplis illustrem{us} ea, quę iā dicta sunt. 〈 math 〉〈 math 〉

DIVIDAMVS bis millena millia noningenta quinde∣cim millia, quadringenta decem, per quadraginta septem. Scripto statim numero diuidēdo supra parallelas, sub pa∣rallelis diuisorem statuamus. et quia sub ultima diuiden∣di nota binaria, ultima diuisoris nota quaternaria poni nō poterit: {quod} hęc illa sit maior: sub penultima diuidēdi: quę nouem continet: quatuor reponamus: et a dextra septem. Deinde partiturus eiusmodi, quae sequuntur: secū tacitus mussitet. Quatuor in figuris diuidēdi supra positis: quae uiginti nouē denotant: septies reperio. septies enim qua∣tuor, uiginti octo creant: et adhuc unū superest. uerum si septies sumpsero quatuor: et unū reliquū fecero: alterā di∣uisoris notam septenariā per septem multiplicatā in figu∣ra diuidendi supra se posita, et reliquo, quae undecim con∣tinēt: toties nō reperiam. sumo igitur sexies quatuor ex ui∣ginti nouē. et quin{que} facio reliqua: ut utra{que} diuisoris nota toties in supra se locatis reperiatur. repono{que} sex inter line as: et per ea multiplico quatuor: sic fiunt uiginti quatuor. igitur sub multiplicata figura quaternaria prius deleta re∣pono quatuor: et binarij notā, quae uiginti significat: post eam sub ultima diuidendi colloco. Deinde quatuor a no∣uem supra positis demo. quin{que} autem reliqua supra nouē noto. duo{que} etiā a duobus subduco: et utras{que} notas trans∣figo. Iterū multiplico sex inter lineas posita {per} septē, alterā diuidendi notā: et {pro}creo quadraginta duo: quorū duo sub multiplicata figura septenaria repono: quaternarij{que} figu∣rā, quae quadraginta significat, post eam a sinistra, prius septem deletis, statuo. Deinde quia duo ab uno demere nō possum: assumo decem mutuo: et duo ab undecim tollo.

supersunt nouem reliqua. quae supra uerticē signo. et quo∣niam decē mutuo sumpsi: sequentē notā quaternariā uno augeo. sic quin{que} illa iam facta a quin{que} supra se repositis subtraho: deleo{que} utras{que} notas. At{que} ita post primā sub∣ductionem totius diuisoris per numerū partitionis mul∣tiplicati, utram{que} diuisoris ipsius notam per unum locum in dextram promoueo. ibi diuisoris notam quaternariam in nouē reliquis bis reperio: et tamen unū supererit: quod cum quinaria diuidendi figura supra septē locata satis erit ad septem bis subtrahenda. duo igitur inter lineas depo∣no. per ea multiplico quatuor, posteriorem diuisoris notā. et fiunt octo. ea subducūtur a nouem. unū superest. quod supra nonariam diuidendi figuram prius deletā notatur. deleta simul etiam nota diuisoris quaternaria. Rursus sep∣tem multiplico per duo. fiunt quatuordecim. horum notā quaternariam sub multiplicata figura septenaria, unitatis autem notam, quae decem indicat: post eam sub uno reli∣quo statuo. deinde quatuor a quin{que}, et unum ab uno reli∣quo supra se reposito aufero: at{que} utris{que} notis deletis, unū ex quin{que} relictum supra uerticem noto. Rursus{que} post to∣tius diuisoris multiplicati subductionem utrā{que} eius no∣tam per unū locum in dextram promoueo. ubi supra qua∣tuor unitatis notam in diuidendo numero relictam, supra septem quatuor reperio. et quia quadraginta septē in qua∣tuordecim haberi nequeunt: nec ulla potest fieri subdu∣ctio: circulo inter lineas inserto, per unum locum rursus diuisorem ad dextram transfero. ibi supra quaternariā di∣uisoris notam in diuidendo numero quatuor, et ex priore reliquo unū, quod decem denotat: comperio. sic in qua∣tuordecim

ter quatuor habentur: et duo erunt reliqua pro altera diuisoris nota subducenda. tria ita{que} inter lineas de∣pono. et per ea multiplico quatuor: fiunt duodecim. horū notam binariam sub figura quaternaria multiplicata: uni∣tatem autem decem denotātem sub reliquo subsigno. sta∣tim{que} ea subduco a quatuordecim deletis. et duo su{per}sunt. multiplico deinde septem per tria: unde creantur uiginti unum. horū unitatis notā sub figura septenaria multipli∣cata: notā autem binarij a sinistra sub reliquo pono: at{que} ea subtraho a supra positis diuidendi figuris: uidelicet ab unitatis nota et duob{us} reliquis. sic nihil omnino superest. at{que} ita utrę{que} diuisoris et diuidendi notę delentur. Verū∣tamen {quam}{quam} omnes numeri diuidendi significātes notae per subtractionem sunt exhaustae: tamen quia in eo superest adhuc circulus: et partitio plene peracta nō est: propter∣ea {quod} non dum prima diuisoris nota sub primam diuiden∣di successerit: circulus ipse inter lineas ad dextram recon∣datur. Ita numerus partitionis inter lineas comperietur. Sexaginta duo millia, et triginta. 〈 math 〉〈 math 〉

VNVM explicauimus pro rudibus exemplū: ubi dua∣bus notis scriptus erat diuisor. alterū aggrediamur: in quo tres notas, postremam{que} harum minimam, reliquas ante∣riores maiores habeat. cuiusmodi exempla difficilius ex∣plicātur: {quam} si postrema diuisoris nota maior anterioribus esset. Diuidamus ita{que} nouies millena millia, septingenta quadraginta millia, quingenta sexaginta tria, per trecenta octoginta nouem. Et quum notas diuidendi et diuisoris scripserimus: duxerimus{que} parallelas: sub his diuisorem ita statuamus: ut ultima eius nota sit sub ultima diuiden∣di: penultima sub penultima: antepenultima sub antepe∣nultima. Deinde cōsyderemus, quoties ternariam notam ultimā diuisoris a nonaria diuidendi ultima possim{us} sub∣ducere: ut pro caeteris diuisoris notis, quae maiores sunt: subtrahendis, satis supersit. et bis id fieri posse deprehen∣demus. duo igitur inter parallelas ponimus. per quae tria multiplicamus. fiūt sex. ea subducimus a nouem. tria ma∣nent reliqua. ea supra postremā diuidendi deletam nota∣mus: simul deleta etiam diuisoris postrema. Iterū per duo multiplicemus mediam diuisoris octonariam notam. sur∣gunt sexdecim. sex sub octo deletis, reponimus: unitatis{que} notam post octo sub postrema diuisoris. deinde et sex a septem demimus: et unum reliquum supra scribimus. uni∣tatis autem notam a tribus, quae ex priore reliquo super∣sunt: extrahimus: et duo relicta signamus supra uerticē. delentur{que} figurę, tam quae subductae sunt: {quam} a quibus fit subductio. Rursus tertiam diuisoris notam nonariam per duo multiplicemus: et fiūt decem et octo. quorū octo sub nonaria deleta reponimus: unitatis notā pro decem prox∣imo

sequēti loco. et quia octo a quatuor supra positis sub∣ducere nō possumus: decē mutuo sumptis, octo a quatu∣ordecim subducimus. ita deletis notis, sex relicta signan∣tur supra uerticem. pro illis autem decem assumptis unū addimus ad sequentem unitatis notam: quę est in diuiso∣re: et duo illa, quia ab uno supra se reposito auferre non li∣cet: decem mutuantes ab undecim tollimus. rursus{que} dele∣tis notis, nouem relicta signamus supra uerticē. Et quo∣niam decem iterum sumpsimus: iterum sequenti loco unū a duob{us} supra signatis demimus. unum{que}, quod superest: notamus, deleta nota binaria. Et quoniam semel omnes diuisoris notas a supra positis multiplicatas abstulimus: eas per unum locum singulas in dextram promouemus. Ibi iterum consyderamus: quoties tria a decem et nouem supra positis extrahi possunt: ut tamen satis ad cęterarum diuisoris notarum subductionem supersit. id quinquies fi∣eri posse comperimus. quin{que} igitur inter lineas supra tria reconduntur. per ea, tria multiplicantur. et fiunt quinde∣cim. quorum quinque sub multiplicata figura ternaria re∣ponuntur. et unitatis nota pro decem loco sequenti. de∣inde quin{que} subducuntur a nouem supra se positis: et qua∣tuor reliqua supra scribuntur. unitatis autem nota ab uno reliquo tollitur: delentur{que} figurae. Multiplicatur deinde secūda octonaria diuisoris nota per quin{que}. inde surgunt quadraginta. circulus ita{que} sub octo locatur. et quaterna∣ria nota, quę quadraginta significat: post eum. ea subtra∣hitur a quatuor supra positis. et utra{que} nota trāsfigit̄ obe∣lisco. postea multiplicatur tertia nonaria diuisoris nota {per} quin{que}. et crescunt quadraginta quin{que}. quorū quin{que} sub

nouem collocantur. et loco sequenti quatuor pro quadra∣ginta. sic quin{que}, quia circulus supra se notatur: a decem mutuo sumptis auferuntur. et quin{que} manent. quae supra circulum deletum annotantur. et quoniam decem sunt as∣sumpta: unum ad sequentem quaternariam notam addi∣tur: at{que} ita quin{que} a sex supra se locatis deducuntur. dele∣tis{que} figuris, unum, quod relictū est: signatur supra uer∣ticem. Sic omnes diuisoris notae per quin{que} multiplicatae, et a supra positis subductae, per unum locum singulę trās∣feruntur in dextram. Et quia diuisoris notae in diuidendi figuris supra se positis haberi nequeunt: circulus inter li∣neas inseritur. Rursus per unum locum singulae diuisoris notae in dextram procedūt. Ibi consyderamus quoties di∣uisoris ultima ternaria a diuidendi notis supra se locatis, quae designant quindecim: tolli queat. et {quam}uis quinquies id fieri possit: semel tamen minus subducimus: ut sequen∣tium diuisoris notarū habeatur ratio: quatuor{que} inter pa∣rallelas locamus. per ea multiplicamus tria. et fiunt duo∣decim. quorum notam binariam sub tribus multiplicatis locantur: et unitatis nota pro decem, in sede sequenti. Deinde duo subducūtur a quin{que}. et tria reliqua manent. ea supra scribūtur. unitatis autem nota tollitur ab uno su∣pra uerticem posito. statim{que} delentur notę, tam quę sub∣ductae sunt, {quam} a quibus fit subductio. Multiplicatur de∣inde octonaria diuisoris nota per quatuor. et oriuntur tri∣ginta duo. horum duo sub octo recondūtur: ternaria no∣ta loco sequenti. Deinde duo illa demuntur a quin{que}. tria uero, quae ex his supersunt: in uertice notantur. ternaria autem diuisoris nota a tribus, quę supra notantur: aufer∣tur.

delentur{que} utrae{que} notae. Postea tertia diuisoris nota nonaria per quatuor multiplicatur. inde surgunt triginta sex. horum sex sub nouem multiplicatis, ternaria nota lo∣co sequenti subnotatur. ea a supra se repositis auferuntur, nempe sex a sex: et ternaria nota a tribus. Deinde per unū locum in dextram singulae diuisoris notae rursus proce∣dunt. Et quia prima diuisoris nota sub primam diuidendi successit: nihil{que} in diuidendo numero praeter tria super∣est: unde fiat subductio: at{que} eapropter diuisor in diui∣dendo non reperitur: circulus inter lineas ad dextram re∣ponitur. tria autem illa, quae partitione finita, supersunt: supra diuisorem stantem, linea interposita, notantur. Ita partitionis numerus inter lineas surgit. Viginti quinque millia et quadraginta, at{que} in reliquo tres trecentesimae octogesimae nonae partes. Hactenus exempla exposuisse sufficiat: in quibus diuisor plures habet notas. per haec enim intellecta facile sese quiuis explicare potest: etiam si diuisor quatuor aut quin{que} plures ue habeat notas. cuius∣modi exemplum mente consyderandum sub oculis subie∣cimus. 〈 math 〉〈 math 〉

IN OMNI autem sectione quotiescum{que} interpar∣tiendum post subductionem factam diuisor in dextram promouendus est: si reliquum, quod in diuidendi notis supra diuisoris uerticem signatis, ex ea subductione super∣est: maius reperitur: {quam} totus diuisor: error omnino ad∣missus est. et frustra ulterius in ea partitione progredien∣dum esset: nisi quis operam perdere mallet. Quamobrem iterum a capite repetendū est opus. Nam non solum post peractam totam partitionem, reliquum, quod superest: toto diuisore minus erit: si recte processit opus: uerū etiā in medio opere, quandocum{que} in dextram promouendus est diuisor: idem euenire debet. Quae res, si bene animad∣uersa fuerit: non mediocre compendium, cum in omni partitione, tum praecipue in immēsis summis diuidendis, afferet.

ILLVD obseruare est operaeprecium. Maior numerus minorem non diuidit. quippe quum in minore maior non contineatur: id quod huius capitis initio admonuimus. Caeterum ratio iniri potest: qua maior numerus etiam mi∣norem diuidere recte possit. id quod fiet: si de rebus a mi∣nore numero numeratis, prius una in species sub se con∣tentas ducatur: ut earum productus numerus diuisore maior factus, eius sectionem ferat. Veluti si inter septem uiros tres aureos partiri uolumus. Quādoquidem in nu∣mero ternario numerus septenarius non habetur: solua∣mus aureum unum in centum nummos sestertios: quibus aestimatur. centenarium{que} numerum per ternarum mul∣tiplicemus. et enascentur trecenta. quae deinde si in septem

partiamur: numerus sectionis prodibit, quadraginta duo, et sex septimae. Ita{que} si inter septem uiros tres aureos, cen∣tum nummis singulos aestimatos, distribuamus: unus∣quis{que} consequetur quadraginta duos nummos, et prae∣terea unius nummi sex septimas.

AD HAEC maior numerus minorem frangere in mi∣nutias potest. id quod sequenti libro de minutiarum par∣titione praecipientes, monstrabimus.

QVISQVIS experir cupit: an numeros recte diuise∣rit: numerum partitionis per diuisorem multiplicet. et si ex ca multiplicatione at{que} ex reliquo, si quod superest: nu∣merus diuidendus exibit: nihil errauit sectio. Cęterum si alius ex ea multiplicatione numerus: {quam} diuidendus redi∣bit: propter admissum in calculo errorem partitio tota de∣nuo repetenda est. Id{que} ita esse rerum natura monstrat. Nam quemadmodum si partes, quae ab aliquo toto dēp∣tae sunt: iterum componantur: idem totum redeat necesse est: ita si ex partium earumdem instaurata compositione aliud totum prodeat: {quam} ante fuerit: uel partes alienas per errorem esse sumptas, uel easdem male iterum cōiunctas, esse oportet. Cum ita{que} ex numero diuiso per crebram di∣uisoris subductionem exhausto, peracta diuisione, nihil aliud supersit: {quam} partitionis numerus: et reliquū, si quod fuerit: si numerus ipse diuisor ad numerum partitionis re∣stantem toties iterum addatur: quoties ante subductus est: id quod facile fit: si numerum partitionis per diuiso∣rem multiplicemus, adiungamus{que} reliquum, si quod re∣manebit:

numerum ante dissectum denuo instaurari ne∣cesse est. quia et omne totum cum suis partibus consentit: et pars, quae dissentit, aliena est a toto.

DIMIDIATIO numerorum nihil aliud est: {quam} eorum per duo sectio. quae certe et prima, et longe omnium facil∣lima est species partitionis. Et {quam} uis nō magni referat nul∣la de ea praecepta separatim dare: cum ea, quae iam dicta sunt: abunde sufficiant: quia tamen minore tum linearum apparatu tū consyderatione species haec partitionis eget: {quam} caeterae: quae, cum sint innumerabiles: tum omnes hac difficiliores: operęprecium esse putauimus facilitatis eius compendium auspicantibus enarrare. Ne{que} enim duabus parallelis est opus. unica tantum linea sub diuidendo nu∣mero ducatur. Deinde numerū quēuis per mediū secturus quispiā a sinistra incipiēs per omnes notas in dextrā ten∣dat. et si ultimus diuidendi numeri character nota sit uni∣tatis: a penultimo sectionem ordiatur: singulorū{que} loco∣rum parib{us} numeris per mediū sectis, ipsum dimidiū sub linea locis singulis subijciat. Sin impar occurrit numerus, unitate dempta, reliquum numerum per medium secet: di∣midium{que} sub linea reponat. unitas autem ipsa pro decem computata memoria{que} recondita ad sequentem sectionem seruetur: ut uel denarium numerū creet: si circulus ad dex∣tram proximus est: uel ex denario et primario composi∣tum: si alia occurrit nota. is{que} numerus, si par est, per me∣dium secetur. si impar, unitate rursus dempta at{que} ad se∣quentem sectionem, uti iam dictum est: seruata, relictus numerus per medium diuidatur. Si uero in diuidendo nu∣mero prius{quam} ad primā notā uentum erit: unitas occurret:

si nihil superest memoria retentum, quod ei adiungatur: sub linea ponatur circulus. unitas{que} ipsa ad sequentem se∣ctionem seruetur. semper autem dimidium sub linea recō∣datur. Ita progrediendum est in dextram, us{que} ad primam notam: quę si circulus fuerit: et proximus ei numerus par repertus est: sub linea ponatur. Sin proximus ei numerus impar compertus est: a quo dempta unitas mente reten∣ta manet: circulus ipse cum unitate iunctus decem deno∣tabit: quorū quin{que}, quae sunt dimidium: sub linea repo∣nentur. Sin unitatis fuerit nota: si denarius aliquis ex me∣moria ei adiungitur: unitate dempta, decem sunt secan∣da: et quin{que} sub linea recondenda. ipsa autē unitatis no∣ta pro totius sectionis reliquo, supra diuisorem stantem linea interposita, notetur. sic scripta unius integri partem denotabit secundam: quae dimidium capit. Itidem in re∣liqui locum transferetur unitas: etiam si nullus denarius numerus memoria retentus superest: qui cum ea iunga∣tur. Numerus autem partitionis sub linea diuidendo nu∣mero subiecta surgens apparebit.

Hęc {quam} quis propter facilitatem exemplo nihil egeant: unū tamen pro rudibus adiungendum esse duximus. 〈 math 〉〈 math 〉

INVESTIGEMVS ita{que} dimidium in millenis mil∣libus, centum quadraginta et unis millibus, at{que} triginta uno. Scripto suis notis numero, ducta{que} sub eo linea, quia unitas in initio a sinistra occurrit: incipimus a penultima. ubi etiam altera unitas est. Ita{que} quoniā ibi undecim ha∣bentur:

unitate pro denario ad sequentem sectionem ser∣uata, decem relicta per medium secamus. et quin{que} sub li∣nea reponimus. Progredimur deinde ad proximū locum: ubi quatuor reperimus: quibus denarium ex memoria de∣promimus: ut fiant quatuordecim. horū dimidium, sep∣tem, sub linea locamus. rursus{que} progredimur. Ibi occur∣rit unitas: quae secari non potest: Ideo sub linea circulus ponatur: et unitas seruetur in sequentem locum. In quo quia circulus occurrit: cui unitas adiuncta decem faciunt: quin{que} sud linea statuemus. Denuo progredimur. ibi tria occurrunt: quorū uno, quia numerus est impar, dempto, duo secamus: et horū alterum sub linea condimus, dena∣rio numero mente in sequentem sectionem retento. Rur∣sus ad dextram progredimur ad primam unitatis notam: cui decem ex memoria adiuncta creant undecim. unitate ita{que} dempta, decem per medium secamus: et horū quin{que} sub linea reponimus. unitatem autem illā supra diuisorem stantem linea interposita signamus: ut unius integri partē secūdā significet. Ita partitionis numerus sub linea mane∣bit. Quingēta septuaginta millia, quingenta quindecim.

DE PROGRESSIONE.

PROGRESSIO ARITHMETICA EST numerorū inter se ęqualiter distantium in unam summam collectio: et ueluti compendiū quod∣dam eos numeros numerandi, qui paribus interuallis di∣stant. Eius autem duae sunt species. Altera est: in qua na∣turali numerorum serie seruata, numerus quilibet sequens

sola unitate praecedentem superat: sicuti in hoc exemplo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Altera in qua numeros quoslibet omit∣tentes, et paria seruantes interualla, longam numerorum seriem connectimus. veluti. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. In utra{que} autē specie idem est per compendium numeros colligendi mo∣dus. is autem hac bimembri constat regula. Si numerorū inter se aequaliter distantium, at{que} ordine continuo dispo∣sitorum series par occurret: eorum primus numerus iun∣gatur cū postremo: numerus{que} ex eis aggregatus per di∣midium numeri loca seriei numerantis multiplicetur. Ita fiet: vt numerus ex hoc productus summam omniū com∣monstret. veluti in hoc exemplo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. primus numerus. 1. ad postremum. 8. addatur et fient. 9. Cum{que} in tota serie sint. 8. loca. ducamus. 9. in 4, eorum dimidiū. et prodibunt. 36. quae omnium est summa. Similiter si ex∣empli causa proponātur. 1. 3. 5. 7. 9. 11. primus numerus ad postremum addatur et fient. 12. et cū in tota serie sint. 6. lo∣ca: ducamus. 12. in eorum dimidium: nempe. 3. sic surgēt. 36. quae summa est uniuersorū. {QUOD} si numerorū a se ęqua∣liter distantium at{que} ordine continuo dispositorum series erit impar: tune numerus indicans, quot loca sunt in serie, non in eum numerum ducatur: qui indicat quotus locus est in serie medius, sed in eum numerum qui in serie medi∣us reperitur: at{que} ab utro{que} extremo aequaliter distat. Ita numerus procreatus omnium summā patefaciet. sicuti in hoc exemplo. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. quia loca seriei sunt. 7. et me∣dius numerus est. 4. 7. in. 4. ducamus: et fient. 28. quae sū∣ma est uniuersorum. Itidem si exempli causa sumantur. 1. 4. 7. 10. 13. quia loca seriei sunt. 5. et medius numer{us} est. 7.

5. in. 7. ducamus: et fient. 35. quae summa est omnium.

Alia regula datur magis generalis: et tamen non minus certa: {quam} est illa prior. ea autē est huiusmodi. In omni pro∣gressione Arithmetica, siue series par, siue impar fuerit: numerus ab extremorum additione collectus in numerū indicantem, quot loca sunt in serie, multiplicetur. nume∣rus{que} productus postea dimidietur. et summa progressi∣onis habebitur. Exemplum in serie pari. 1. 3. 5. 7. 9. 11. pri∣mus numerus additus ad postremū facit. 12. et quia. 6. lo∣ca seriei sunt. 12. per. 6. multiplicemus. et surgent. 72. quae si dimidientur: fient. 36. quae summa est progressionis. Ex∣emplum in serie impari. 1. 4. 7. 10. 13. extremi numeri simul additi faciunt. 14. et quia in serie sunt. 5. loca. 5. in. 14. ducta creant. 70. quae si dimidientur: prodeunt. 35. quae summa reperietur vniuersae progressionis.

SI VIS experiri an recte summā collegeris. ab vniuersa summa per cōpendiū inuestigata singulos in serie nume∣ros subtrahe. et si nihil erit reliquum: recte collegisti. {QUOD} si quid reliqui mansit: error interuenit.

Alia species progressionis habetur: quam Geometricam uocant: in qua numerorum longo ordine dispositorū in∣terualla sunt inaequalia. quando inter numeros serie qua∣dā cōnexos proportio aliqua reperitur: veluti. dupla. tri∣pla. quadrupla. aut ea maior. de qua in proportionū libro postea dicturi sumus.

DE QVADRATI ET CVBI LATE∣RIBVS INVESTI∣GANDIS.

DE QVADRATI ET CVBI LATERI∣bus exquirendis dicturos praefari primum pau∣ca quaedam nos oportet: quis numerus sit qua∣dratus: quis cubus: quo magis de rebus notis praecepta daturi cuncta intellectu faciliora reddamus. Numerus ita{que} quadratus est: qui ex vnico numeri cuiusuis in se du∣ctu cōstituitur. cuiusmodi numerus est quaternarius. qui ex vnico binarij numeri in se ductu {pro}creatur. bina nam{que} semel in se ducta producunt quatuor. Similiter nouenari{us} numerus quadratus est. nam terna semel in se ducta edu∣cunt nouem. Itidem. 16. quadratus est numerus. quippe quaterna in se semul ducta progenerant sexdecim. Ad eū∣dem modum reliqui numeri omnes in se se∣mel ducti quadrati ideo dicuntur: {quod} si diui∣sim per vnitates scribantur: formam qua∣dratam referant. 〈 math 〉〈 math 〉

VNDE quemadmodum in corpore cōtinuo quadrati latus appellatur: sic in numeris latus quadrati numerus il∣le vocatur: qui unum e lateribus numeri quadrati perfi∣cit: quod Arithmetici quadrati radicem nō inepte appel∣lant: {quod} ex eius in se ductu numer{us} quadratus, velut ex ra∣dice quapiam arbor, surgat.

CVBVS numerus est: qui ex numeri cuiusuis semel in se at{que} iterum in numerum productum multiplicatione, componitur. cuiusmodi numerus est octonarius. nambi∣na in se semel ducta creant. 4. iterū bina in. 4. ducta creāt 8. Similiter. 27. numerus est cubus. terna enim in se ducta creant. 9. iterum{que} terna in nouem ducta faciunt. 27. Itidē. 64. numerus est cubus. quippe quaterna in se semel ducta

educunt. 16. iterum{que} quaterna in. 16. ducta procreant. 64. at{que} ad eūdem modum reliqui numeri omnes semel in se, at{que} iterū in numerū productū multiplicati, cubi ideo di∣cuntur: {quod} si in corporū solidorū formā redigātur: ad exem∣plum cubi, tres dimensiones aequales, nempe lōgitudinē, latitudinem, et crassitudinem, habere reperientur. Est au∣tem cubus corpus solidum sex continēs planicies quadra∣tas, at{que} harum latera duodecim: quorū quatuor inferna sunt. quatuor superna: quatuor ab infernis ad superna {per}∣tendunt. angulos{que} habet octo: videlicet quatuor infer∣nos, quatuor supernos. in quorū singulis terna latera coe∣unt. Latini tesseram uocant. {quam}{quam} in numeris uocabulo ipso graeco Latinitate iam donato magis utuntur: vt cubum uocent. Cubi uero latus numerus ille dicitur: qui vnum e cubi lateribus efficit: et quadrati in eo cōtenti lateri ęqua∣le est. quod cubi radicem satis apposite nuncupant: quem∣admodum de quadrati latere iam admonuim{us}. Quocirca manifestum est, in omni numero cubo numerum quadra∣tum haberi. Caeterūnon econuerso reperies in omni qua∣drato cubum. Vnitatem autem Arithmetici et numerum quadratū, et cubum esse uolunt.

IN huiusmodi laterum exquisitione magnū enascetur studiosis compendium ad Arithmeticam pernoscendam. per hanc enim Ptolemęus astrorum longe peritissimus corporum supra cęlestium et sphaerarū magnitudines ad∣inuenit: uelocitatem{que} motuum in his deprehendit. Ad haec eius cognitio non modo Astrologiae discendae, uerū∣etiam Geometriae, tantopere conducit: vt sine hac, quae in his pulcherrima sunt: intelligi nequeant.

VERVMTAMEN rerum ordo poscit: ut de quadra∣tilatere inuestigando, prius dicere aggrediamur. Et cum quadrati lateris exquisitio nihil aliud sit: {quam} numeri alicu∣ius inuentio: qui in se ductus uel totum numerum propo∣situm, si quadratus fuerit: producit: uel maximum nume∣rum quadratū in eo contentum: si ipse non sit quadratus: numerum ipsum latus facientem sic inuestigabis.

PRINCIPIO numerus quiuis, in quo quadrati radi∣cem inuestigare cupis: punctis supra uerticem signetur in locis imparibus. uidelicet. Primo. Tertio. Quinto. Septi∣mo. Nono. et reliquis itidem. Et quia quadrati lateris in∣uestigatio nihil aliud est: {quam} quaedam diuisionis species: sub numero punctis notato duae lineae parallelae ducendae sunt. inter quas latus ipsum exquitendū ponatur: quem∣admodum in diuisione praecepimus. quia quot adscripta pūcta deprehendes: tot in numero sectiōis numeros pri∣marios habebis, numeri propositi radicem ostendentes. Deinde sub extrema ad sinrstrā nota, puncto loco impari signata, numerus aliquis primarius exquiratur: qui semel in se ductus totum respectu sui loci numerum supra se re∣positum subductus aboleat: uel saltem {quam} proxime fieri po∣test: si totum delere nequit. Huiusmodi autem numerus primarius inuentus inter parallelas inserendus est, at{que} in se multiplicādus. et post{quam} numeri procreati facta erit sub∣ductio: reliquum, si quod erit: supra notas, a quibus fit subtractio: deletas e uestigio, ne rationem conturbent: reponatur. Deinde numerus ipse primarius duplicandus est: et duplum sub proxima figura dexteriori ponendum.

{QUOD} si ex duplicatione numerus duabus notis scriben∣dus

prodeat: earum prima dextram uersus sub proxima figura, quae inter puncto signatas media est: reponi de∣bet. Altera suo ordine sequens ipsam sub ea nota repo∣natur: sub qua primarius numerus inuentus est. Iterum deinde alius numerus primarius exquirendus est: qui in duplum ductus totum numerum, qui supra duplum po∣situs est: ita subtractus exhauriat: ut postea etiam in se ipsū ductus totū numerū a dextra proximo puncto signa∣tū cū reliquo, si quod erit: absorbeat. Sin totū auferre ne∣quit: ab eo tollat: {quam} plurimum potest. Quod cum pera∣ctum erit: totus inter parallelas numerus duplicādus est: duplum{que} sub proxima figura dextram uersus ita ponen∣dum: ut primi dupli nota sub ea figura, quae proxime in∣ter puncto signatas media est: uelut ad perpendiculū re∣ponatur: alię{que} postipsam, suo{que} quę{que} ordine, tendentes in sinistram. Rursus deinde exquirendus est numerus ali∣quis primarius: qui in duplum ductus totum numerum, qui supra duplū situs est: sicsubductus auferat: ut postea etiā in se ipsum ductus numerū a dextra proximo puncto notatū, uel totū deleat cū reliquo, si quod erit: uel {quam} prope id fieri potest. At{que} ad hūc modū {pro}grediendū est ad pri∣mam us{que} notam. Quotiescum{que} autem post numeri pri∣marij duplicati multiplicationem et subductionem, nu∣merum ipsum primarium ducimus in se ipsum: semper id sub aliquo pūcto fieri debet: statim{que} e uestigio quicquid inter parallelas in numero sectionis reperitur: duplican∣dum est: et primi dupli nota sub proxima inter puncta fi∣gura ad dextram reponenda est: caeterae{que} post eam, suo ordine in sinistram progredientes: quemadmodum iam

diximus. Illud quo{que} diligenter obseruandum est. Quan∣docū{que} in quauis inuestigationis parte numerus aliquis primarius inueniri nequit: primū in duplū deinde in se du cēdus, quin productus maior erit numero supra se locato: ut ab illo subduci nō possit: tūc circulus ad numerū inter parallelas ascribēdus est. omnibus{que} notis numeri, cuius radicē quaerimus: intactis dimissis, deletis tamē sub paral∣lelis dupli notis, progressus in dextrā fiat: si non dū pera∣ctū est opus. totus{que} inter parallelas numerus ita duplice∣tur: ut prima dupli nota circularis sub proxima ad dextrā figura, quę inter pūcto signatas media est: reponatur: cae∣terę{que} post eā suo ordine in sinistrā tendentes: ut ante di∣ctū est. Peracta demū radicis inuestigatione, si nihil reli∣quum erit: palam est numerum propositum: cuius latus scrutati sumus: quadratū esse. {QUOD} si quid reliquum man∣sit: non erit quadratus: sed numerus inter parallelas radix esse comperietur maximi numeri quadrati in eo contenti.

Et quoniam obscura sine exemplis non facile intelligi queunt: exempla nunc adiungamus: quae cuncta magis illustrent.〈 math 〉〈 math 〉

EX quinquagies septies millenis millibus, octingentis triginta sex millibus, et uiginti nouem, radicem eruamus.

Post{quam} numeris suo ordine perscriptis, ductae erunt paral∣lelae: loca{que} imparia punctis annotata: sub postremo ad sinistram numero puncto notato numerum aliquem pri∣marium quęramus: qui in se ductus uel totum numerum supra se notatū, qui est. 57. uel {quam} proxime fieri potest: sub∣ductus deleat. is autem erit septenarius. nam. 7. in se du∣cta. 49. creant. quę, si subducantur a. 57. supersunt. 8. ita{que} 7. inter parallelas inserenda sunt. ac post multiplicationē et subductionem factam deletis notis. 8. supra postremū punctum manebunt reliqua: quae supra uerticem noten∣tur. Deinde. 7. inter parallelas posita duplicemus: et fient 14. quorū. 4. sub proxima ad dextram nota octonaria re∣ponantur: et unitas denarium numerum designans a sini∣stra sub numero octonario ex priori subductione relicto. Tum iterum inueniendus est numerus aliquis primarius: qui in quatuordecim, quę dupla sunt: ductus numerū su∣pra illa positū sic auferat: ut postea in se ductus proximū a dextra numerū pūcto notatum cū reliquo, si quod erit: subductus tollat: uel saltem {quam} propeaccedi potest. is autē erit senarius inter parallelas sub proximo puncto inseren∣dus. {per} quē multiplicata. 14. faciūt. 84. quę ab. 88. supra se positis subducta relinquūt. 4. Deinde sex in se ducta cre∣ant. 36. quę a. 43. supra se notatis exēpta, reliqua faciūt. 7. supra uerticem numeri ternarij puncto proxime signati notanda. Iterum deinde duplicare oportet: quicquid in∣ter parallelas inuenitur. quocirca. 76. duplicata faciunt 152. quorū prima nota. 2. sub proxima inter puncta figura senaria ponenda est a dextra: caeterę{que} post can suo ordi∣ne a sinistra. Deinde numerus aliquis primarius rursus est

quęrendus: qui in totum duplum ductus numerum supra se positum auferat. Sed quoniam is inueniri nequit: {quod} nu∣merus duplus. 152. maior sit numero supra se locato. 76. circulus inter parallelas sub proximo ad dextram puncto, ipso inter parallelas numero addatur. notę{que} dupli sub pa rallelis deleantur. Caeterum notae numeri cuius radicem quaerimus: maneant intactae. Progrediamur{que} in dextrā. et rursus duplicem{us} totū inter parallelas numerū. 760. ex ea duplicatione surgent. 1520. quorū nota circularis sub proxima ad dextrā figura binaria, ponenda est inter pun∣cto signatas media: cęterae{que} post eam suo quae{que} ordine. Ac tū numerus aliquis primarius perquiratur: qui in to∣tum duplum ductus numerū supra id locatū, subductus deleat: postea{que} in se ductus proximū a dextra numerum puncto signatū cū reliquo, si quod erit: auferat. uel saltem {quam} proxime fieri potest. Is autem erit quinarius. 5. igitur inter parallelas reponentur. per ea{que} singulę numeri dupli notae seorsum multiplicentur: numeri{que} ex multiplicatio∣ne prouenientes subducātur a figuris supra se locatis. quae statim deleantur. Et demū in se ductus numerus ille qui∣narius subtrahatur a nouenario numero puncto notato. et. 4. crunt relicta. Vnde satis liquet: quoniam toto ope∣re absoluto, adhuc aliquid superest: numerū primo pro∣positum non fuisse quadratum. nam si quadratus fuisset: nihil mansisset reliquum.

Hoc exemplo studiosis quadrati lateris inuestigādi uiam aperuisse suffecerit. Alterum plurium notarum oculis spe∣ctandum at{que} animo consyderandum adiungamus: quod facile sine praeeunte quiuis explicabit.

〈 math 〉〈 math 〉

SI QVIS experiri uelit: an uera radix quadrati nu∣meri sit inuenta. Radicem ipsā in se multiplicet. et si quid reliqui mansit: numero ex multiplicatione producto ad∣dat. quo fiet: ut nisi perperam facta sit inuestigatio: nu∣merus primo propositus redeat. {QUOD} si alius numerus pro∣dit: opus repetendum est: ut error corrigatur.

Ipsum autem reliquum ęquare aliquādo potest quadrati lateris inuenti duplum: superare nun{quam} potest. ut puta, si numerus {pro}positus esset. s. radix maximi numeri quadrati in eo contenti erit. 2. quae in se ducta creant. 4. et. 4. erunt relicta: quę duplum radicis continent. Nam si. 5. reliqua essent: iam fierent. 9. quę aliā radicem habent: uidelicet. 3. Itidē si propositus numerus esset. 15. quadrata radix eius esset. 3. quae in se ducta faciunt. 9. et. 6. reliqua: quę dupli∣catā radicem capiunt. At si relicta essent. 7. prodirent. 16.

quę aliam radicem, nempe. 4. ostentāt. Similiter si nume∣rus propositus esset. 24. radix maximi numeri quadrati in eo cōtenti erit. 4. quę in se multiplicata faciunt. 16. et. 8. re∣linquuntur, quę duplum radicis continent. nam si reliqua essent. 9. iam fierent. 25. et surgeret alia radix: uidelicet. 5. At{que} ad eundem modū deinceps cęteri numeri se habent. quamobrem si in reliquo plus reperias, {quam} quadrati lateris inuenti duplum: errorem calculi palam est interuenisse.

DE RADICVM IN CVBIS IN∣VESTIGATIONE.

I AM ANTE ADMOMVIMVS CVBVM numerum eum esse: qui ex numeri cuiusuis semel in se, at{que} iterum in numerum productum, multipli∣catione componitur. cuius latus inuestigaturi, millenari∣orum loca, punctis supra uerticem adscriptis, signemus. Ductis deinde sub eo numero parallelis: quemadmodum de quadrato numero fieri pręcepimus: sub extremo ad si∣nistrā millenario numerus aliquis primarius exquiratur: qui semel in se, at{que} iterum in numerum productū, mul∣tiplicatus, totum respectu sui loci numerū supra se repo∣situm subductus aboleat. uel saltem, {quam} plurimum potest: si totum auferre nequit. Huiusmodi autem numerus pri∣marius inuētus inter parallelas inseratur. semel{que} in se at{que} iterum in numerum productum multiplicetur. et post{quam} numeri procreati facta erit subductio: reliquum, si quod restabit: supra notas a quibus fit subtractio: deletas e ue∣stigio, ne rationem cōturbent: reponatur. Quantum au∣tem

quiuis numerus primarius prius in se et deinde in nu∣merum procreatum multiplicatus producat: ne quis diu hęsitet: quae sequuntur: ante oculos posita declarabunt.

Semel	Vnum	Semel	1.
Bis	Bina	Bis	8.
Ter	Terna	Ter	27.
Quater	Quaterna	Quater	64.
Quinquies	Quina	Quinquies	125.
Sexies	Sena	Sexies	216.
Septies	Septena	Septies	343.
Octies	Octona	Octies	512.
Nouies	Nouena	Nouies	••29.
Decies	Dena	Decies	1000.

DEINDE numerus ipse primarius triplicandus est. et eius, quod triplum erit: prima nota sub proxima figura praeter unam a dextra reponenda est: caeterae{que} post eam, suo quę{que} ordine, a sinistra. Postea exquirendus est nume∣rus aliquis primarius: qui una cum numero primario p••••∣us inuento, nunc pro denario computando, ductus in to∣tum triplum, deinde solus in numerum ex multiplicatio∣ne procreatum ductus, totum sui loci respectu, numerum supra se repositū cum reliquo, si quod erit: subductus de∣leat. postea{que} etiā solus in se ipsum cubice, hoc est, prius in se, deinde in productū multiplicatus, totum numerum a dextra proximo puncto signatum, cū pręcedenti reliquo, si quod fuerit: exhauriat: aut si totum auferre nequit: tol∣lat ab eo: {quam} plurimum potest. Quod cum peractum erit: iterum triplicādum est: quicquid in numero sectionis in∣ter parallelas cōtinetur. et eius quod ex huiusmodi tripli∣catione

natū erit: prima nota sub proxima praeter unam figura a dextra reponatur. caeterę autem post eā, suo quę{que} ordine. Rursus{que} inuestigandus est numerus aliquis pri∣marius: qui una cum omnibus numeris primarijs prius inter parallelas insertis ductus in totū triplum, postea{que} sine illis solus in numerum ex multiplicatione natum du∣ctus, quicquid supra triplum numerum repositum est: uel totum absorbeat: uel ex eo: {quam} plurimum potest: deleat. Deinde itidem cubice solus in se ipsum ductus totum nu∣merū a dextra proximo puncto suppositū cum reliquo, si quod erit: modo fieri possit: auferat. alioqui ab eo: {quam} plu∣rimum potest: eximat. Post hęc denuo triplicandum est: quicquid inter parallelas reperitur. et numerus alius pri∣marius exquirendus: cętera{que} us{que} in finem operis ad eun∣dem modum peragenda: quemadmodū iam dictum est. {QUOD} si nihil reliqui mansit: numerus, cuius radicem uesti∣gauimus: cubus erat. At si quid est relictum: numerus nō erat cubus. Ceterum eruta radix latus est maximi numeri cubici in eo numero contenti.

VBICVMQVE autem in quauis inuestigationis par∣te numerus aliquis primarius inueneri nequit: qui una cū alijs numeris primarijs prius inter parallelas insertis in to tum triplum ducatur: postea{que} solus in numerum procre∣atum multiplicetur: quin numerus productus maior erit numero supra se locato; ut ab illo subduci non possit: tūc circulus inter parallelas in numerum partitionis insera∣tur. omnibus{que} notis numeri, cuius radicem quaerimus: intactis dimissis, deletisque sub parallelis tripli notis, si non dum finitum est opus: progressus in dextram ultra

proximum numerū puncto signatū fiat. totus{que} inter pa∣rallelas numerus ita triplicetur: ut primi tripli nota circu∣laris sub proxima figura praeter unam, ultra numerum proximo puncto signatum, a dextra reponatur: cęterę{que} posteam, suo quę{que} ordine tendentes in sinistram.

EXEMPLA nunc afferamus: quę singula manifestēt.

At{que} ex ducenties quinquagies millies millenis millibus, quingenties uities ter millenis millibus, quingentis octo∣ginta duobus millibus, quadringentis sexaginta quatu∣or, radicem cubicam eruamus. 〈 math 〉〈 math 〉

STATIMQVE post{quam} numeri suo ordine perscripti: ductae{que} subtus parallelae: et millenariorum sedes pūctis erunt signatę: sub postremo ad sinistram millenario pun∣cto notato numerus aliquis primarius exquiratur: qui se∣mel in se, et iterum in numerū productum multiplicatus, uel totum numerū respectu sui loci supra se repositū, qui est. 250. subductus deleat: uel saltem ex eo, {quam} plurimum potest: auferat. Is numerus est senarius. nam sexies sena sexies. 216. accumulāt. quę si subducas a 250. supersunt 34. ita{que}. 6. inter parallelas inserendasunt. ac post multi∣plicationem

et subductionē deletis notis. 34. pro reliquo sic notāda sunt: ut. 4. supra postremū punctū notētur: et 3. ab eorū sinistra. Deinde. 6. inter parallelas posita tripli∣cemus. et surgēt. 18. quorū. s. sub proxima nota pręter unā a dextra reponātur: a sinistra. 1. Tum inuestigādus est nu merus aliquis primarius: qui una cum numero primario prius inuento pro denario computādo ductus in totū tri∣plum, deinde solus in numerū procreatū ductus, totū eius loci respectu numerū supra repositum subtractus sic tol∣lat: ut postea etiā solus cubice in se ductus uel totū nume∣rum a dextra proximo puncto signatū, et reliquū, si quod pręcedit: exhauriat. uel saltē ex eo, {quam} plurimū potest: de∣leat. Is uero erit. 3. quoniā nota ternaria locata a dextra se∣narij, quę ante reposita est: profert. 63. quę ducta in. 18. cre∣ant. 1134. deinde. 3. sola ducta in ipsa. 1134. producūt. 3402. quę sic subnotāda sunt: ut prima nota sub prima tripli fi∣gura reponatur: cęterę suo ordine sequētes post eā. quarū a supra se positis facta subductione, supersunt. 50. deinde 3. sola in se cubice ducta faciunt. 27. quorū. 7. sub numero ternario proximo puncto signato: et. 2. ab eorum sinistra statuenda sunt. Horū tunc subtractione a supra se locatis notis facta. 476. supersunt. Deinde. 63. quę sunt inter pa∣rallelas triplicētur. et surgent. 189. quorū. 9. sub octonaria nota, quę proxima figura pręter unā est: reponātur: cęte∣rę post eā statuantur a sinistra. Rursus in quirēdus est nu∣merus aliquis primarius, qui una cum numeris primarijs ante inuētis prius in totū triplū, et postea solus in nume∣rum productū multiplicatus numerū supra repositum uel totū subductus auferat: uel {quam} plurimū ex eo potest. Id au∣tem

hoc loco fieri nequa{quam} potest. nam etiā si minimus nu∣merus primarius hoc est ipsa unitas assumeretur ad. 63. ut essent. 631. ea{que} in triplū uidelicet. 189. ducerētur: et postea sola unitas in productū multiplicaretur: surgerent. 119259. quę longe transcen derent numerū supra se repositū. 7658. Ita quoniā subductio fieri nullo modo potest: circulus in∣ter parallelas ad numerum sectiōis apponatur. Sic omni∣bus notis numeri cuius radicē quęrimus: intactis dimissis, deletis{que} sub parallelis tripli notis, facto ultra proximum punctū in dextrā progressu, quicquid inter parallelas est: hoc est. 630. denuo triplicemus. et fient. 1890. quorū circu∣lū, quę prima tripli est nota: sub figura senaria, quę prox∣ima pręter unā est: ultra proximū numerū puncto nota∣tum, signemus: caeteras{que} post eā suo quā{que} ordine. Rur∣sus deinde exquiramus numerū aliquē primariū: qui una cū. 630. in numerū triplum. 1890. ductus, postea{que} solus in numerū productū multiplicatus, numerū supra se repo∣sitū subductus sic aboleat: ut postea etiā cubice ductus in se ipsum, uel totū numerū a dextra proximo puncto, sig∣natū cū reliquo, si quod erit: uel quantū ex eo potest: de∣leat. Is autem est. 4. nam. 6304. in triplum numerū uide∣licet. 1890. ducta producūt. 11914560. Deinde. 4. in ipsum numerū productum multiplicata creant. 47658240. quae sunt supra se positis notis pręter postremā omnino aequa∣les: at{que} eas subductae delent. Postea. 4. in se cubice ducta faciūt. 64. quae totū, quod superest: sic auferūt: ut nihil pe∣nitus supersit. Numerū ita{que} propositū liquet fuisse cubū.

ET quoniā in cubi lateris inuestigatione post triplicati∣onem alicuius primarij numeri factā, statim alius nume∣rus

primarius quęrēdus est: qui una cū primario numero prius inuento in totū triplū ducatur: deinde solus in pro∣ductū, at{que} iterū solus in se cubice multiplicetur (quia nu∣merus ille primarius tam uarie consyderandus est: primū, quid producit: quādo pars est maioris numeri: iterū, quid solus profert multiplicatur in productū: rursus, quid cu∣bice in se ductus procreare ualet) parum exercitatos mora∣tur hęc cogitatio: quisnam numerus primarius tot officia praestare possit. Quāobrem, ut in cęteris omnibus, ita in hac re plurimū iuuabit exercitatio: quę per assuetudinem, quantūuis ardua, prona reddit. Cęterum non mediocriter cōducet: si post numeri primarij inter parallelas positi tri∣plicationē, prius{quam} numerū aliquē primariū cum eo copu∣labis: circulū ei adiungas: tentes{que} quē numerū in triplū ductus faciat. Deinde etiam tentari potest unus aut alter numerus primarius: qui in triplū similiter ducatur. et nu∣merus ex hoc productus ad numerū priorem procreatum ex ductu numeri circulum assumentis addatur. Huiusmo∣di enim numerorū productoR additio eundē proferet nu∣merū: qui fuisset natus: si ab initio numer{us} ille primarius, quē tentauimus: una cū numero primario prius inter pa∣rallelas posito, fuisset in triplum ductus. Sic enim cum ui∣deris: quē numerum ea multiplicatio, at{que} additio procre∣abit: facile coniecturā capies, tum ex numeri supra repo∣siti, tum ex numeroR productoR at{que} additorum uel ma∣gnitudine, uel exilitate, quis numerus primarius assumpti circuli uicē subiturus maxime quadrabit. Veluti in exem∣plo iā dato. post primā senarij numeri inter parallelas po∣siti triplicationē ex qua fiūt. 18. si quis assumēs circulū. 60.

in. 18. ducat: numerus productus erit. 1080. Deinde tente∣mus: si. 3. in. 18. ducātur: quid fiat: et producentur. 54. quae si addant̄ ad. 1080. surgēt. 1134. qui numerus similiter pro∣dijsset: si ab initio. 63. in. 18. fuissent ducta. Postea si tria in numerū ip sum productū. 1134. ducātur: fient. 3402. quę sa∣tis apte respōdent numeris supra se repositis: et tamen sa∣tis supererit: ut. 3. in se cubice postea ducātur. At si per no∣tā binarij id facere tentaremus: numerus supra reponen∣dus nimium redundaret. si per. 4. aut. 5. numerus produ∣ctus foret maior: {quam} ut a supra se repositis posset subduci. Longe autē facillimū erit: si post{quam} numerū inter parallelas positū, adiūcto circulo, in triplū duxisti: primum de nu∣mero quinario, qui inter primarios medius est: eo modo tētes: quo supra dictū est. Ita statim scies: an maiore nu∣mero primario, an minore sit opus. Ad eundem modum tentare proderit: quoties post triplicationē numerus ali∣quis primarius inquirēdus est: qui ea officia pręstet: quae paulo ante sunt dicta. Hoc exemplū explicuisse suffecerit: ut uiam cubi lateris inuestigandi daremus. Alterū pluriū notarum spectandum consyderandum{que} adiungamus. 〈 math 〉〈 math 〉

EXPLICITVS EST LIBER PRIMVS SVP∣PVTATIONEM DOCENS INTEGRORVM. SEQVITVR SECVNDVS, DE PAR∣TIVM SVPPVTATIONE.