Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum am 6. August 1914 gewidmet von Freunden und Schülern. Mit dem Bildnis von H. A. Schwarz und 53 Figuren im Text.

Uber den
Approximationssatz von Weierstraß.
Von
Ch. H. Mlüntz in München.
Ein sehr bekannter, vielfach bewiesener und untersuchter Satz
von W eierstraß1) besagt, daß jede stetige Funktion f(x) in einem
endlichen reellen Intervalle a x ~- b durch die Folge all er natürlichen Potenzen
X~ -- - X, X2*...* XU...
mit beliebig vorgeschriebener Genauigkeit gleichmäßig approximiert
werden kann, indem sich zu jeder positiven Fehlergrenze J ein
N = N (6) derart finden läßt, daß
If(x) - a - a.x - ac2X2.... - xl <
im ganzen gegebenen Intervalle bleibt, wobei die a, passende Konstanten bedeuten.
Es ist nun leicht zu sehen, daß zu diesem Zwecke nicht alle jene
Potenzen erforderlich sind; und ebenso läßt sich zeigen, daß nicht
j e d es unendliche Teilsystem derselben zum gleichen Zwecke hinreicht.
Man kann daher die Frage nach den Bedingungen aufwerfen, unter
1) Werke, Bd. III, S. 1-37.
Vgl. E. Picard: Traite d'analyse, t. I, S. 275-277 (Paris 1901).
E. Borel: Le~ons sur les fonctions de variables reelles, S. 50-66 (Paris 1905).
E. Landau: Über die Approximation einer stetigen Funktion durch ganze rationale Funktionen", Rendiconti d. C. M. di Palermo, XXV (1908), S. 337-345.
H. Lebesgue: ~Sur la representation approchee des fonctions", ibd., XXVI (1908),
S. 325-328.