Traité de mécanique rationnelle, par Paul Appell.
Appell, Paul, 1855-1930.

Page  [unnumbered] BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET Graduate Library University of Michigan Preservation Office Storage Number: ADH4576 UL FMT B RT a BL m T/C DT 07/18/88 R/DT 07/18/88 CC STAT mm E/L 1 010:: I a 31000752//r40 035/1::a (RLIN)MIUG83-B70990 035/2: I a (CaOTULAS)160003577 040::I cMiU I dMiU 050/1:0: 1a QA8O5 I b.A64 100:1: Ia Appell, Paul, I d 1855-1930. 245:00: 1a Trait6 de me'anique rationnelle, Ic par Paul Appell. 260:: Ia Paris, I b Gauthier-Villars, I c 1893 -300/1:: Ia v. I b diagrs. I c 26 cm. 440/ 1: 0: a Cours de m e-anique de la Facult6 des sciences 504/1:: a Includes bibliographies. 505/2:1: ja t. 1. Statique. Dynamique du point. 1902. —t. 2. Dynamique des systems. —t. 3. Equilibre et mouvement des milieux continus. —t. 4. fasc. I. Figures d'e'quilibre d'une masse liquide homoge~ne en rotation. Leqons publie~es avec le concours de Alex Ve~ronnet. — 5. Ele~ments de calcul tensoriel, applications geome~triques et m ecaniques, avec la collaboration de Rene' Thiry. 650/1: 0: Ia Mechanics, Analytic 950::u math: v.2=6.e'd. v.3=3.e'd. Scanned by Imagenes Digitales Nogales, AZ On behalf of Preservation Division The University of Michigan Libraries Date work Began: Camera Operator:

Page  [unnumbered] c-OULIS DE MtCANIQUY -DE LA FACULTE DES SCIENCES. DE PAR Paul APPELL, ME MBRE DE L) INSTITUT, r:,PFlOPSSEUR A LA FACULTE DES SCIE.NCES. TOME PREMIER. - DYNAMIQUE STATIQUE. DU POINT. PARIS, GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES DU BUREAU, DES LONGITUDES, DE L'tCOLE POLYTECITNIQUE, Quai des Grands-Augustins, 55.. 1893

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Page  [unnumbered] TRAITE 1)E MECANIQUE RATIONNELLE.

Page  [unnumbered] PARIS. - IMPRIMERIE GAUTHIIER-VILLARS El FIlLS, 18363 Quai des Grands-Aulgustins,5.

Page  [unnumbered] COURS IDE MECANIQUE DE LA FACULTE -DES SCIENCES. TRAITE DE PAR Paul APPELL, MEMBRE DE L INSTITUT, PROFESSEUR A LA FACULTE DES SCIENCES. TOME PREMIER. STATIQUE. - DYNAMIQUE DU POINT. PAR IS, GAUTHI-ER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ACOLE POLYTECHNIQUE, Quai des Grands-Augustins, 55. 1893 Tous droits reserves.

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Page  V PREFACECe Traitc6 est le re'sunmh des le~ons que je fais depuis pinsieurs annees 'a la Faculte' des Sciences de Paris sur le progframme de la Icene.Comme la Me'canique 'tait, jusqu.'a' present, 'a peine enscigone' dans les Iy s onespoechez le leceter aucutne connaissance de cette science et je, cornnmnce par 1exposition des notions preiliminaires indispensables, the'orie des vecteurs, cinematique du point et du corps solide, principes de la Me'canique, travail des forces. Vient ensuite la Me'canique proprei-ent dite, divisee en StLatique et Dynamique. Ce qni fait le caracLe're disLinctif de cet Onvrage etceequi ustifiera,,je, 1espe're, la publication d'une, nouvelle Me'canique rationnelle apre's tanL d'autres excellents Trait's, c Iest Fintroduction de la Me'canique analytique dans les commencements Mm~res du cours. An lien de rele'guer les me'thodes(1 Lagyrange 'a la fin et d'en faire une exposition entierement s~pare'e, j'ai essay6' de les introduire dans le courant de I'Ouvrage. Ainsi, apre's avoir expose' la Statique e'lementaire d'une manie're detainkee, j'e'tablis le principe des vitesses virtuelles comme resumant toutes los 6quations de e'~quilibre et jo I'ap

Page  VI NII PIR F ACE. plique 'a de nombreux exemples. Puis, dans la dynamique du point materiel, apre's avoir traiLe' par les mk4hodes d'1mentaires le mouvement d'un point libre, d'un point sur une courbe on sur une surface, j'indique la demonstration de Dirichiet pour la stabilite' de e'~quilibre d'un point, puis j'expose, touj ours pour le point materiel, les equations de Lagrange, celles d'Hamilton, les the'ore'mes de Jacobi, le, principe de la moindre action, les th~ore.mes de Tait eL Thomson. De cette fa~on, le lecteur se trouve amen6 'a connairce bles h lres par leur application aux exemples les plus simples possibles. La Dynamique analytique est ensuite de'veloppe'e dans sa generalit' 'a propos des mouvements des syste'mes, qui se trouvent ainsi~Ludi's deux fois, d'abord par l'application des principes ge'neraux, pusFlaide des me'thodes de Lagrange, Hamilton, Jacobi. De nombreux exemples imprime's en plus petits caracte'res sont traite's dans le texte; d'autres sont propose's comme exercices avec de courtes indications sur la solution. M. Guichard, professeur 'a la Faculte' des Sciences de Clermont-Ferrand, a bien vonlu revoir ma redaction qu~e ses conseils m'neemi 'n iorer en un grand nombre de points j e lui en exprime ici tous mes rernerciements. Je dois egalement des remerciemeneLs 'a MM. Abraham et Delassus qui, en faisant une preminire redaction de rues le~ons, out considerablement simplifie6 une partie de ma tache. Paris, le 3o -ao~t 18933.

Page  1 I NTRODUCTION. Parmi les Sciences mathe'matiques, la premie~re est la Science duiCalcul, qui repose sur la seule notion de nombre et "a laque11e on 5' efforce de ramnener toutes leeurs in nut aGoin itre, qui fait intervenir une notion nouvelle, celie d'espace en Ge'ome'trie, on considere des points qui de'crivent des lignes, des lignes qui de'crivent des surfaces, etc.; mais on ne s'occupe en auctine manie're dui temps dans lequet s'effectuent ces mouvements. Si l'on fait intervenir cette notion de temps, on obtient tine science pins complexe, la Cine'matique, qui etudie les proprie'tes g~omntriques des miouvements dans leu-rs rapports avec le temps, sans se demander quelles sont les causes physiques de ces mouvements. Cest cette question que 1'on se pose en M~caniqute; it faut cependant, observer qu'il est impossible de de'couvrir les ve'ritables causes des phe'nome'nes physiques, et qu'on se contente de substituer aux causes re'elles qui produisent les phe' nomenes d'autLres causes fictives, app el~es forces, capables de produire tes me'mes effets. La Me'canique a pour objet de re'soudre les deux problemes suivants i0 Trouver le mouvement que prend un syste'me de corps sous ['action de forces donne'es; I. I

Page  2 2 ~~~~~INTRODUCTION. 20 Trouver les forces capables d'imprimer "a un systerme de corps uin mouvement donne'. Avant d'aborder la Me'canique, nous exposerons la the'orie des grandeurs g 'omriques ou vecteurs, suivie de notionsAlnn taires de Cine'niatique.

Page  3 TRAITEr DE STATIQUE. - DYNAMIQUE DU POINT. PREMIERE PALRTIE. NOTIONS PRELIMINAIRES. CHAPITRE 1. Tll1'ORIE IDES VECTEURS. '1. Les theories ge'ome'tricques expose'es dans ce Chapitre sont duies principalement 'a PoinsoL, Chasles et lV~bias; elies trouvent leur application dans plusieurs questions importantes de Ge'ome'trie, de Cine'matique, de Me'canique et de Physique:ainsi, on represente par des vecteurs les vilesses, les accelerations, les roLations et les forces. La me'Lhode d'exposition que nous avons adopte'e est emprunte'e en grande parlie 'a Cauchy (Lecons de AVlcartique, par l'abbe' Moigno) et 'a MM. Sarrau et Kcenigs; nous sommes revenu par moments aux me'thodes classiques, notamment a propos des operations e'lementaires (no 15) et de la the'or-ie des couples, que noues de'veloppons directement (nos 25 et suiv.) apre~s lFavoir aussi. de'duite des the'ore~mes generaux.

Page  4 4 PREMIEIRE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. I. - DEFINITIONS. 2. Grandeurs ge'ome'triques ou vecteurs. - Une grandeur ge'ome'trique ouivecteur est un segment de dr-oite A, B1 (fig. i), ayant une or-igine A, et une extre~mite B1. Ce segment est de'fini par [es elments suivants jOI son origine ou point d'application A1 290 sa dir-ectilon, qui est celle de la droiLe inde'finie A1 B1; 30 son sens, qui est celiti dui mouvement d'un mobile ailant de l'origine A, vers 1'extrelmit6 B,, et que l'on indique par une fle'che place'e 'a 1'extre'mite'; 40 sa. gr-andeur P,, qui est la. longueuir A, B,.. Fig. i B1 y 1' Analytiquement, on de'finit un vecteur par les coordonne'es, (Xi Iy,, z,) et (x' yl, zi) de 1'origine et de 1'extre'mitLe par rapport 'a trois axes coordonne's, ou encore par les coordonn~es (Xi,Y 7, Z4) de l'origine et les projections (Xi, Y,, Z,) du segmenU Al IB, sur les trois axes, ces projections ay'ant des signes, suivant les conventions ordinaires de la Georn~trie analyticque.. Ces projections souL e'videmment rI$= X-XI, Y1 zj Ji Z1 - ZNous de'signerons habituellement un vecteur par une settle leLtre PI, repre'sentaint sa lon1gueur on gr-andelur, et place'e "a 1extre'mit6. 3. Sens positif de la rotation autour d'un axe. - Soit un axe

Page  5 CHAPITRE I. - THEORIE DES VECTELIRS.5 5 (fig. 2) sur lequel on a choisi uLn sens positif, de z' vors z par oxemplo; un mobile M, de'crivant une courbe quelconque C dans l'espace, tourne au-tour de l'axe dans le senS-po- Fi.2 sitif quand un observateur, ayTant les pieds en Fig 2 et, la e-te en z, voit le mobile tourner de sa gauche ve7rS sa droite; dans le cas contraire, le mobile tourne dans le Sens ne'gatif. Par exemple, conside'rons deux vecteurs Al P4 Ax et BP, (fig0. 4); supposons qu'un m1obile parconrant A4 P4 tourne autour de BP, pris comme axe dans un certain sens; la figure montre quo reciproquomont un mobile parcourant IBP2 tLourno antour do A, P4 da~ns Jo enime sons. 4. Moment par rapport 'a un point. - Le mom-ent d'un voctour P4 par rapport 'a un pointL B (fig. 3) ostL un vec tour BG,, d'origino B, ayant: 0 une lon1gueur e'gale an produit P4 ~ do P4 par sa distance ~ an Fi g. 3. point B; 20 une direction perpendiculaire A, an plan BA4 P4; 30 Lin sons tel qunIun mo- GI bile parconrant A4 Pi, doeA.4 'vrs PI, tourne/ autour do BG, dans lo sons positif. La &P BK grandeur do co moment est e'gale an double do l'aire du tLriangle BA4 P1 elle ost nulleK qnand P4 on O' sont nuls. Le moment no change pas quand on transporto Jo vectour P, on un point; do sa direction on cqn'on de'place lo point B sur une parallelo "a 00 vecteur. 53. Moment par rapport 'a un axe. -Le moment d'un -voctour P4 par rapport 'a un axe A (fig. 4), suir loquel on a choisi uri sons positif, ost; egal 'a la valour alge'brique do la projection sur cot; axe du moment do P4 par rapport 'a un point; pris sur 1'axe. Pour justifier cotto definition, ii faut; montrer quo la valour qu'olle donne pour Jo moment do P4, par rapport ~ 'a Fxe, ost inde& poudanto du choix. dui point sur cot axe. Monons par un point B do

Page  6 6 PREMIERE PARTIE. '- NOTIONS PRELIMINAIRES. 1'axe un plan II perpendiculaire 'a l'axe et soient a, p, la projection de Ai P1 Sur ce plan, BG, le moment de P1 par rapport "a B, Bg, Fig 4 P2 5aprojection Sur l'axe A. L'angle des deux plans A1 BP1, a1 Bpi etant e'gal "a celui de leurs perpendiculaires, on a 9-aire a1 Bpi = 2 air'e Al BPI cos G Bg-1 13g, =I3G, cos GIB g1. Comme le moment BG, est edgal 'a 2-aire A1 BP,, sa projection Bg, est, aussi elgale en valeur absolue -A" 2 aire a, Bp,., expresslon evidemment inde'pendante dui choix dui point B3 Sur l'axe A. Le signe d e cette projection Bg1 est aussi. independant dii choix du point B:ce signe est ~ — on - sui-vant qu'Iun mobile parcourant A1 Pi tourne autour de A dans le Sens positif oii le Sens n~gatif. On concliit de 1h diverses expressions dii moment d'iin vecteur P1 par rapport "a un axe. Appelons ~ la plus courte distance dui vecteur "a laxe et 0 l'angle dui vecteur avec l'axe; 6 se projette en vraie grandeur Sur le plan II, p, est 6'gal 'a P1 sin O, et le moment ORY1,. est oiil. faut prendre le signe ~4 ou le signe - suivant qu'un mobile

Page  7 CHAPITRE I. - THEORIE DES VECTEUJRS.7 7 parcourant le vecteur Ai Pi tourne autour de l'axe A dans le sens positif ou le sens ne'gatif. Prenons sur l'axe A dans le sens positif un segment BP2 de iongueur P2, et de'signons par voi (PI, P2) le volume du. Le'Lrae~dre' ayant A, P4 et BP2 comme are'tes oppose'es, ce volume e'LanL pris positivement ou ne'gativement, suivant qu'Iun mobile parcourant l'un des -vecteurs P1 ou P2, de l'origine vers l'extre'mite' tourne autour de l'autre, dans le sens positif ou. le senls ne'gatif. Le moment de P1 par rapport 'a lFaxe A est alors 6vl(P.,,P2) En effet, I'egalite' a lien en signe; elte a lieu- aussi en valeur absolue, car le volume du te'traedre considers' ne change pas quand on fait glisser les sommets A, et P, jusqu'en a4 et pi, ce qui donne un nouveau te'trae~dre dont le volume V est le tiers du produit de P2 par l'aire a, Bp,; la valeur absolue du moment 2- aire a, Bp, est donc, egale 'a 6 V divise6 par P2. Rernarque. - Prenant le momnent 'R~4 sons la forme ~~ P, ~ sinG0, on voit qu'il est nul quand lFun des trois facteurs est nul, c'lesta-dire quand. le vecteur est nul ou quand il est dans an me'lne plan avec l'axe. 6. Moment relatif de deux vecteurs P1 et P2. - On nomme ainsi Ia qantt6 6ol P1,P2) de'finie dans- le num'ro pr~ce'dent. L'expression alge'brique de cette quantite' s'obtient imme'diatement d'apre's la formule e'lementaire de la Ge'omietrie analytique qui donne le volume d'un te'trae~dre en fonction des coordonne'es de ses sommets. Appelons Xi, ~I, z, les coordonne'es du. point A,, X1, Y,, Z, les projections de P4 sur k6s trois axes, et posons appelons, de Meme, X2, Y2, z2 les coordonne'es de B, X2, Y2, Z2 les projections de P2, et L2, M,, N2 les quantite's analogues 'a L1, M, IN1 relatives "a P2. On aura, en grandeur et en signe, en supposant les axes Ox, Gy, Oz rectangulaires et orient6s de facon

Page  8 8 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. qu'une rotation de 90o dans le sens positif autour de Oz amene Ox sur Oy, X1 Yl Z1 I.Z2 y2,2 I X2a-X2 Y2 X -Y2 2 - Z2 I developpant, apres avoir retranche la premiere ligne de la deuxieme et la troisieme de la quatrieme, on a 6vol(P1, P2) = L X) +- M Y2 - N1Z2 - L2X1 - M2YI -+ N2 Z1, on encore, si l'on remarque les identites L1Xi- M1iY1 -- NiZl o, L2X2- M2Y2Y- N2Z2- o, 6 vol (P1, P2) = (L1 — L2)(X1 -4- X2) -- (M1 - M2)(Y1 -- Y2) - (N 1 - N2)(Z1 - Z2). 7. Expressions analytiques des moments. - Soil un axe A (fig. 5) sur lequel on a pris comme sens positif le sens 0'0", Fig. 5. A P2 \ Al 0' PI allant du point O' de coordonnees (x', y', z') a un point O" de coordonnees (x", y', z"). Les projections X2, Y2, Z2 du vecteur OO'", qui va jouer le role de P2 et les quantites La, M2, N2 relatives h ce vecteur sont respectivement x"-x, y"-y', "- z'; y'z"-z'y", zx"- x'z", x'y"- y'". Le moment 1ltI du vecteur P1 par rapport a l'axe A etant egal a 6vol. (PI, P2), divise par P2, on a (x"-x') L - - (y" —y') M, - (z"- z') N.-+(y'z"- z'y") X1 —(z'x"-x'z")Y1 -(x'y" —y'") Z -- V( x' - x")2 + (y'-y")2+ (z'- z")2

Page  9 CHAPITRE I. - THEORIE DES VECTEU R S. 9 Cette expression ge'nerale donne les valeurs du moment de P1 par rapport aux trois axes coordonne's. Pour 1'axe Oz par exemple, il suffit de supposer xc', y', z', x11, y' nuils etL,z' 7i. On trouive alors pour moment N1. De M eme, pour les axes Ox et Oy, on trouverait L1 et M,. Ainsi les moments du vecteur P1 par rapport aux trois axes sont les quantite's appele'es Li, Ml, N, dan S le nume'ro precedent. Le moment 0G, du vecteur P1 par rapport 'a 1origine 0 est un vecteur ayant pour projections Sur les trois axes les quantite's L1, M1, N1, d'apre's la definition meme du moment par rapport 'a un axe. Si l'on prend tout autre point 0' de coordonne'es cc', y', z', les coordonne'es du point A, par rapport 'a de nouveaux axes, paralle~les aux premiers, ayant pour origine le point 0', sont xc1 - xi, Yi -y' z1 - z'. Les projections dii vecteur sur ces axes restent Xi I Y1, Z1; ses moments, par rapport auix nouveaux axes, deviennent LI y-' Z -(zi-') Y1, All (z - z') XI - (cc1- cc') Z1, NI (XI -w') Y - (y - y) XI, expressions obtenues en remplacant, dans L1, M1, N1,, xi, y~,, parcc1- c', i -, z - z', Le moment O'G' du vecteur Pi par rapr O ' est un vecteur ayant pour projections LU, M', N'. On pent L crire aussi, d'apre~s les valeurs de L1, M1, N1, Li -I -(yNI - zY) l l ZI-XZ) Remar-que. -Soient six quian~tits arbitraires X1, Y4, Z, L1, M,, N1 dont les trois premieres ne sont pas toutes nulles et qui verifient 1Fidentite6 les equations L1~yZ1-zY,, Ml — ZXj-cZ1, N1izxYl -yX1, ot'. cc,y, z designent des coordonne'es courantes, repre'sen tent une droite D, car, en vertu. de 1'identite' admise, elles se re'duisent 'a deux. Soit A1 un point arbitrair-e pris suir cette droite, le Vecteur P4, d'origine -A1 et de projections X1, Y1, Z1, est dirig6 sui

Page  10 I10 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PREllIMINAIRES. v aDt la droite D et a pour moments, par rapport aux axes, Li, MI, N1,. Les six quantiue's X1, Y,, Z,, L,, MI, N1 sont les coordonne'es de la droite D, d'apre~s Phicker., II. - SYSTEMES DE VECTEURS. 8. Vecteurs concourants. Somme ge'om6trique ou resultante. - Soient PI, P2,..,Pn des vecteurs ayant me~me origine A; par le point P1 nmenons un segment PI Q2 ~gal et parallide " P2, par Q2 un segment Q2Q3 egal et para1lle1e "a P,,... et ainsi de suite, par Q,-, un segment Q11,i Q,, egal et paralblel "a P,,. Le polygone aiusi construit AP, Q2... Q/,-1 Q11 se nomme po lygone des gr-andeur-s o-eoin?,triqties; la grandeur ge'ometrique AQ11, ayant pour origine A e t pour extrc'mite' Q~,, est la somme ge'ometriqlue ou. 7cesultante R des grandeurs ge'ometriques donne'es (fig-. 6). On exprime ce fait par 1'e'quation les parentheses indiquant qu'il s'agit d'une sommne geome'trique. Fig,. 6. PI A~~~~~~~G P3R 2 J 0 '2 -, Pour construire la resultante, nous avons pris les composantes PI, P2,..., P,, dans un certain ordre: la resultante est la Mmem quel que soi't I'ordre suivi. C'est ce qui re'sulte imme'diatement de la deterinination analytique de la resultante. Soient X1, Y,, Z, ]es projections du segment PI Sur trois axes coordonne's OX, Oy, OZ, X2, Y2, Z2 celles du. segment P2,..., xl Y,,, Z,, celles de P,; Soient, d'autre part, X, Y, Z les projections

Page  11 CHAPITRE I. - THEORIE DES VECTEUJRS. T I I de la resultante AQ,,. D'apre~s le the'ore~me des projections, la projection da segment AQ, suir 'Ln axe est 'gate "i la somme des projections des C tWs AP,, Pi Q2, Q2 Q3, -I. Qn-4Q/1 du contour polygonal AP, Q2 Q1.. Q'1- Q11 Ces valeurs sont e'videmment inde'pendantes de l'ordre dans lequel on prend les vecteurs composants. Les formuies precedentes donnent les projections de la re'sultante sur les axes:on obtient des formules identiques pour les moments de la resnltante par rapport a~ix trois axes. De'signons par x, y, z les coordonne'es du point A. Les moments dii vecteur PhA(Xk, Yk, ZR) par rapport aux axes sont Lk = yZk- ZYk, Mk= ZXk- XZkg, Nk= Xyk-YXk; les moments de la resultante par rapport aux me'mes axes sont L =yZ - Y, M = zX- XZ, N =xY -yX. D'apr~s. les valeurs ci-dessus de X, Y, Z, on a e'videmment L = Li -V-L2~..~L,1, M = Mk, N Ek Comme on pent prendre tel axe que l'on vent pour axe coordonne' on vo it qne la prolection de la resultante 'deplusicurs vecteurs concourants sur tin axe est e'gale a' la somme des proJections des vecteurs sar cet axe; le moment de la resultante par rapport a, tin axe est egal a' la somme des moments des vecteurs Par rapport ait M eme axe. (Ce dernier Lhe'ore~me est du At Varignon.) On en concint que le moment par rapport a' unpoint 0 de la resultante de plusieuirs vectear7s concourants est la somnme g ome'trique des moments des vecteurs composants. En effet, le point 0 e'tant pris pour origine, L, M, N 'sont les projections sur les trois axes du moment OG de la resuitante par rapport 'a ce point, LA~, Mk, NA les projections dn moment OGA dii vecteur Ph~ par rapport au M eme point 0; les equations precedentes expriment precise'ment que O Gest la somme ge'ome'triqne deO0Gi, 0 G2,... G/1 I

Page  12 12-) PRE1AIIERE PARTIE. - NOTIONS PElI1tlAINAIRES. Rema7rqte. - Etant donne' un vecteur AP, on- peut vouloir le decomposer en d'autres vecteurs ayanLA pour origine, c'est-a'-dire trouver des vecteurs qui, compose's ensemble, donnent NP. Par exemple, on peut toujours, "a laide d'nD paralle'logramme, decomposer AP en deux -vecteurs dirige's suivant deux directions donne'es AB et AC, dont le plan con tient AP. De me'me, on pent toujours, 'a l'aide d'un paralhlelpipede, de'composer AP en trois vecteurs dirige's siiivant trois directions donnees NB, NC, AD formant un trie~dre. 9. Syste'mes de vecteurs quelconques. R~isultante ge'n6rale et moment resultant. - RLant donne's des vecteurs quelconques Pi, P... P,,, applique's en des points A,, A,,..., A,,, on choisit unpoint arbitraire 0 de 1'espace, eL l'on appelle I 0 Re'siltante ge'7Wrale, la resultante OR de vecteurs 0OF OP~,.. OP I ayant 0 pour origine, e'gaux et paralid~es auxvecteurs donne's; 20 Mloment U~esultant par rapport a-LipointO0, la resultante OG des moments 0G1,7 OG2,.. OG,, des vecteurs donne's par rapport 'a ce point. Si l'on fait varier in position dui point 0 dans l'espace, la rt-e suittante ge'ne'rae OR reste la me'me en grandeur et direction Fi g. 0 / P,~~~~F /2 A~ ~~~A d'apre~s in facon mheme dont elie est de'finie; au contraire, le moment r-esultant OG (fig. y) change, "a m-noms qu'on ne de'place 0 sur la droit~e OR.

Page  13 CHAPITRE I. - THEORIE DES VECTEIJRS.13 i 3. Prenons pour origine le point 0, appelons x4, yA, zA les coordonne'es du point AA; XA, YA, ZA, les projections di -vecteur PA; LA, MVIA NA ses moments par rapport aux trois axes suppose's rectangulaires. Soient, d'autre part, X, Y, Z les projections de la resultante generale OR; L, Ml N celles dui moment resultant OG relatif an point 0. On a, en de'signant par I nne somrne e'tendue ai tons les vectenrs conside'res, Soient x', y, I ' les coordonne'es d'nn antre point 0'; nons avons vui (no 7) qne le moment resnltant O'G' d'nn vecteur tel que PA, par rapport an point 0', a pour projections (G~~) LI,: - (Y'Zk - 'yk), M M/ - (Z'Xk - XZ) Done, en appelant X', Y', 7 et L', M', N' les projections de O'R et O'G' sur les axes, on a (R') XI - EXk 7o=X, Yz=Y Z'-=Z; (G') L'= L$' -=L -(y!Z-z'Y), M'= l- (z'X-x'Z), N'= N -(x'Y-y'X). Avec ces formules, on pent calcnler R'et G'pour tons les points 0' de l'espace de's qn'on les connailt pour nn point 0. Elles mnontrent que le mnoment resultant O'G', par- rapport ait point 0', est la sommie g omnetrique dat moment r'sultant par- rapport aut po'int 0 et dit moment, par- rappor-t a' 0', de la r-esultante generale OR r-elatiee atitpoint 0. 10. Variation de la r~sultante g6n6rale et du moment resultant; invariants; axe central. - Supposons d'abord la resultante generale diff6rente de zero: l moment resnitant G' est alors diffhrent de G, a MOms qn ' ne soit sitn snr OR. Mais la projection dui moment resultant snr la direction de la resultante generale est constante. On a, en effet, R7G'c os R'G' -_ L'X'-~- M'Y' — N'Z' expression dont le second membre est, d'apre's les valeurs de X',

Page  14 r4 PREM~IERE PARTIE. -NOTIONS PRELIMINAIRES. Y', Z', IL, ml, N', e'gal 'a LX +MY + NZ, c'7est-a"-dire constant; et, comnme li' est constant, on a G'cos R'G'= const. =Gcos RG, ce qui de'montre le the'ore'me. D'apre~s cela, quelles que soient l'origine des coordonne'es et les directions des axes rectangulaires, ]es ciuantite's X2 __~ Y2 ~ Zi, LX -t- MY -+-NZ conservent des vale urs inva7riables; on peut les appeler des invariants du systerne de vecteurs. Si ['on nomme produit ge'ome'tri que de deux vecteurs le produit de ces deux vecteurs par le COSInus de leur angle, on peut dire que 1'invariant LX +-~ MY + NZ est le produit ge'ometrique de la re'sultante generale et du moment resultant pour un point (Juelconque de 1'espace. Nous donnons plus loin (no 17) une autre signification ge'omitrique remarquable du deuxi~me in-variat La resultante generale e'Lant toujours supposee diffhrente de zero, on pent choisir le pointL 0' (x', y', z'), de facon que le moment resultant 0'G' soit dirige' suivant la me~me droite que la re& suLtante ge'n erale 0'R'. 1i faut et ili sufiLt pour cela que L', iV', N' soient proportionnels 'a X, Y, Z, L -(y'Z -z'Y) - M-(z'X - Y'Z) N- N(x'Y -y'X) X y Z Ces equations line'aires en x', y', z' donnent, comme lieui de 0', une droite D'D parallele 'a la direction de la resultanie generale qu'on nomme axe central (fig. 8). En un point 0' de cet axe, la resuliante et le moment r~suiltant sont dirige's suivant 1'axe, dans le Meme sens on dans des sens contraires suivant que LX-q-MY iNZ~ est positif ou' inegatif. Le moment r~sultant g est alors minimum, car il coincide avec sa projection sur la resuliante generale. En particulier si, R e'tant diff6rent de zero, l'invariant LX 4~ MY -i- NZ est nu], la projection du moment re'sultant relatif 'a un. point

Page  15 CHAPITRE I. - THEORIE DES VECTELJRS. ' I 5 quelconque stir la resultante generate est nulie; ce moment es[ perpendiculaire "a la r'sutante, et le moment mninimum O'g est flu 1 Fig. 8. IR' Remarque. -En multipliant les termnes des rapports (i) respectivement par X, Y, Z et ajoutant termes A termes, on trouve, pour la valeur commune de ces rapports, LX-+MY -+-NZ G cos RG (2) X2 +Y2 -+-Z2 R valeur qui est DUlle lorsque le moment minimu 1i 'est. Lorsque la resultante generale est nulle, les formules montrent que L', M', N' sont e'gaux a L, M, N: le moment resultant est alors le meme pour to us les points de l'cspace. Les considerations qui conduisent 'a la notion de l'axe central n' ont pins de sens dans cecaes. On convient de prendre comnic axe central uine droite arbitraire parallele au moment resnltant. 41. Somme des moments par rapport ii un axe quelconque. Droites de moment nul. - Soit un axe A joignant deux points O'(x', y', z') et 0(,,y", z"), le moment 0rnLI, dlu vecteur Pk-, par rapport a eeL axe, est donn6 par une formunle pr~c~dente (n" 7). La somme des moments DF-Ck de tous les vecteurs par' rapport au m~nw. axe est donc (x"- x') L ~ y"y'M -v(z"- ') N -.+- (.y' z" z'.y't)X -i — (z' x'- x'z) Y -v- (xY"- Yt" Z

Page  16 i6 PREMIERE PABRTIE. - NOTIONS PREILIMITNAIRES. On appelle dr-oites de momtent inut les droites A par rapport auxquelles la somme des moments des vecteurs donne's est nulle. Ces droites sont d~finies par 1'~quation obtenue en 6galant h zero le nume'rateur de MK; cette 6quation 6tant lin~aire et homoge'ne par rapport aux six coordonn~es x" - 'I, y'-y', z- z', y'z"- z y"I Z'x"- x'z", x'y"-y'x" de la droite A d'apr~s Plicker, les droites de moment nul forment un complexe line'aire, tn di6 pour la premi~re fois par Chasles. Ces droites son t norn-ales an moment r~snltant relatif?h iun quelconcque de leurs points. 12. Equations r6duites.. Complexe de Chasles. - Prenons pour axe O z laxe central, en ehoisissant commne sens positif le sens de la r~sultante ge'n~rale R. Appelons g-la valeur alge'brique du moment minimum estim~e positivemenet dans le sens Oz. On a alors X -Y = L=Ml-=o, Z = R, N g Le moment resultant par rapport A un point 0' (fig. 9) quelconque a pour pr~ojections Fi g. 9. G' R 3/~~~1// formnuies qui permettent d'e'uclier in distribution des moments resultants (lans lespace. Comme le moment r6sultant est le m~me en tons les points d'une para~l~e At Oz, et que la distribution des moments ritsultants esi ym'trique autour de 0Oz, puisque les formules sont ind6-pendantes de lorientation des axes xOy, il suffit dittudier ia variation dn moment nrtsultant AG relatif At tons les points A de 0 x; cette variation ritsnlte imm&t diatenient des formules ci-dessus, dans lesquelles on suppose y'= o. Nous obtiendrons, dans littude du mouvement hitlico'idal d'nn corps solide, une repritsentation trits simple de cette distribution des moments retsultants dans l'espace.

Page  17 CHIAPITRE I. - THEORIE DES VECTEIJRS. ' 17 L'6quation du complexe de Chasles, forme' pair les droites de moment nul 09K2 - o=0 dcvient Les droites O'O" de ce complexe, passant par un point 0' donne' engrendrent un plan H perpendiculaire au moment r6sultant relatif au point 0'. Inversement, les droites du complexe situe'es dans un plan H1 passent par un point 0' tel que le moment r~sultant relatif ~o ee point soit normal an plan. D'apr~s Chasles, on dit que 0' est le foyer du plan H:ce foyer est Ai distance finie tant que le plan nest pas parallhle At laxe central. Lorsqu'un plan H tourne autour d'une droite fixe D, son foyer d~crit une droite conjugue'e A, et, inversement, quand un plan tourne autour de A son foyer d~crit D. On verra sans peine cc que deviennent ces th~or6ines quand g on R sront nuls. III. - SYSTEMES E'QUIVALENTS. OPERATIONS ELEMENTAIRES. REDUCTION D'UN SYSTEME DE VECTEURS. 13. D6finition de 1'6quivalence. - Deux syste'mes de v~ecteurs sont dits equivalents quand leurs re'sultantes generales et leuirs moments resultants par rapport 'a tin point de l'espace sont identiques. Leurs motnents rdsultants sont alors identiques par rapport 'a tout autre point de l'espace; en particulier, les deux systemes ont m eme axe cent ral et m eme moment minimtim. Par exemple, un syste'ne de vecteurs concourant~s est equivalent an v'ecteur rdsultant. *Soient (S) et (So) deux syste~mes de vecteurs, X., Y, Z, L, M, N les projections sur les troi~s axes de la resultante generale et in moment resultant du systerne (S) par rapport 'a 1'origine 0, Xo, Yo, Zo, Lo, Mo, No les quantite's analoglues relatives au syste'me (S,). Les conditions d'equivalence des deux. systi'nmes sont X =X0, Y =Yo, Z =Zo, L =:Lo, M =Mo, N -_No. 14. Syste'me de vecteurs 6quivalent 'a z6ro. - Un syste~me (S) est dit eqaiva lent a' ze'ro quand sa risultante generale et son moment resultant par rapport "a un point sont nuls. Ces grandeurs sont alors nulles pour tout point de l'espace. Ce fait s'exprime par les six equations X-o 0 Y-o 0 Z =o; L = o M-o, N =o. I. ~~~~~~~~~~~~~~2

Page  18 18 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRfLIMINAIRES. Prenons, par exemple, le syste'me de deux vecteurs e'gattx et directement opposes, c'est-a'-dire le syst~me forme' par deux vecteurs P et - P 6'gaux et dirige's en Sens contraire, suivant la droite AB joignant leurs points d'application (fig. io); ce syste'me esL Fig. io. A ICB evidermemen quivalent 'a zero. Re'ciproquement, Si le syste'me de deux vecteurs P et Q est equivalent 'a zero, ces veeteurs sont egaux et directement opposes. Eli effet, la resultante ge'nerale devant etre unite, Q est e'gal et oppose' 'a P. Le moment resultant devant atre nut par rapport 'a un point quelconque, prenons-le par iPapport a-L point d'applicationDA du vecteur P. Le inollen de P par rapport a-L point A est nul:le moment resultant se re'duit donc an moment de Q, et, comme il doit etre nul, la direction de Q passe par A, ce qli de'montre la proposition. De me'me qu'en Alge'bre deux quantite's e6gales ont une diff&rence nulle et re'ciproquemeDt, dans la the'orie des vecteurs on a ce tlheore~me Pour7 que deux syste~mes de vecteur7S (S) et (S0) soient f~QuiVALEN0TS, il faut et il suffit que le syste'ine Jorrne'par- les vectewrs de (S) et ceux de (S0) CHAN'G]tS DE SEINV SOit ]~QUIVALENT A ZftO. En effet, en changeant de sens les vecteurs de (S0), on obtient -tn syste'me (- So) dont la resultante generale et le moment r&'sulttant relatifs 'a 0 sont les e'bements analogues de (So) change's,de sens. La resultante generale et le moment resultant du systeme total forme' par la reunion de (S) et (- S0) ont donc pour projections X-Xo, Y -Y0, Z - Z; L -Lo, M -M0, N -No.

Page  19 CHAPITRE I. - THIEORIE DES 'VECTEIJRS. Pour que les deux syste'mes soient equivalents, it faut et ii suffit que ces six quantite's soient nulles, ce qui dc'montre le the'ore'me. Nous donnerons en Statique (Chapitre V) les exemples les pinus inmportants de syste"Mes de vecteurs equivalents "a zero. 15i. Op6rations 616mentaires. - On obtient des syste~mes e6quivalents 'a un syste'me donne' 'a1Faide des operations d'l'mentaires suivantes: Io Adjonction on suppression de deux. v~eceurs e'gaux et directement oppose's; transport d'un vecteur en un point de sa direction. 20 Composition de phisieurs veeteurs concourants en un seul; decomposition d'lun. vecteur en vecteurs concourants. Le transport d'Lin -vecteur AP en un point B de sa direction est une con sequence de la premniere op'ration; en effet, appliqun an point B (fig. i i), suivant la droite AB, deux, vecteurs 6'gaux Fig.. et directernent oppose's P' et -P, dont le premier, P', est egal 'a P et de me'ne sens que P. Supprimions ensuile les deux vecteurs P et - P' e'gaux. et directement oppose's; ii reste le vecteur BP', qni n'cest auitre que AP transportd' au point B de sa direction. Nous allons nmontrer que ces deux. opeirations 616'mentaireS De ch~angent ni la 7dsuiltante gene~rale ni le moment resultant dit systeme par- rapport a un point quelconqute. Le point e6tant pris pour origine, ii faut e'tablir que les six soTMmes X = -YXk, Y I k, z =EZkg, L =ILk, M IM~k, N = Nk

Page  20 20 PRIEMIERE PARTIE. - NOTION'S PRfLIMINAILIES. soni. invariables. En effet, ajouter on supprimer deux vecueurs e~gaux et directerent opposes, c'est ajouter ou supprimer dans chaque somme deux termes e'gaux et de signes contraires. Remplacer pinsieurs vecteurs concourants par le vecteur resultant, c'est remplacer dlans les trois premieres sommes la somme des projections de ces vecteurs par la projection de leur resultante, et dans les trois antres la somme des momen ts de ces vecteurs par le moment de la re'sutainte, ce qui revient 'a remplacer plusieurs termes de chaque somme par leur somme. Pour la Meme raison, la decomposition d'nn vecteur en vecteurs concourants n.'afte~re pas les six sommes. On peut, 'a l'aide de ces operations, chercher at remplacer tin sNyste'me de vecteurs (S) par un syste~me equivalent plus simple. 1I6. R6duction A deux vecteurs. - Un syste~me de -vecteurs pent e'tre re'duit d'nne infinite6 de manie~res 'a deux vecteuirs dont i'un. passe par un point arbitraire. Nous ferons voir d'abord qu'Lin SYSt'me PI, P2,..., P,, est quivalent 'a trois vecteurs applique's en des points 0, 04, 02, pris 'a volonte', non en ligne droite (fig. v2-). Fig. i2. Pn~~~ / t / 02 0, De'composons le vecteur P4 en trois dirig's, respectivement suivant les droites 0A4, 04 A4, 02 A4, puis, de'placarit le point d'application. de chaque vecteuir sur sa direction, transportons ces composantes, la premie~re au point 0, la (Ieuxi~eme an point 04, la troisie'me an point 02. De'composons de Meme le vecteur A, P, eti trois dirige's suivant les droites OA,, 04 A,, 02 A.2 et transportons ces composantes en 0, 04, 02, et ainsi de snite. Les vecteiirs

Page  21 CHAPITRE I. - THEORITE DES VECTEURS. 121 applique's en 0 ont une re'suliante R~. les vecteurs applique's en 0, Ont une re'sulLante 112, eL de Meme les vecteurs applique's en 02 ont une resuliante R3. Le sysue~me des -veeleurs propos~s est ainsi remplace' par le sysLe~me des trois vecteurs R,1, R2, R3, applique's en Lrois points arbitraires 0, 01, 02. iNous avons d~ecoipose' le vecteur P1 en Lrois, dirige's suivant les droites 0A1,, 01 A,, 02A,; celte decomposition esi possible Loutes les fois que le point A, n'esL pas situ6' dans le plan des trois points 0, 0,, 02; car alors les trois droites formentu trie'dre. Si le point A1 e'Lait situe' dans le plan 0 0 1027 sans que le veceteur P1 y fLtt limeme, on de'placeraiL le point d'application de ce vecteur suir sa. dirention, de manie're "a lamener hors dui plan. Si ce vecteur hitait situe' dans le: plan, on le de'composerait en deux veeteurs dirige's suivant les droites 0Aj, 04 A1. Nous avons rernplace' les veeteurs propose's par trois vecteurs R~, 11R2, R3, applique's en trois points arbitraires 0, 01, 02. VoiCi comment OD re'duit ces trois vecteurs 'a deux. Soil OL (i.i3l) Fig. 13. 0' 00 R~~~~~~R F la droite d'intersection du plan mene' par le point 0 et le vecteur 112 et du plan mene' par le point 0 et le 'vecteur R,. Prenons u point 0' arbitrairement sur cette droite. Le vecteur R12 situe' dans le premier plan, pent e'tre decompose en deux vecteurs, dirige's suivant les droites O0,i, 0'0,; nous transporterons ces deux composantes, lFune an point 0, lFautre an point 0'. De me'me, le v~ecteur 11,, situ6' dans le second plan, peut e'Lre decompose en

Page  22 22 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRlIftMINAIRES. deux, dirige's suivant les droites 002, 0'02, et nons transporteron~s ces deux composantes, l'une en 0, l'autre en 0'. Nous avons mainlenant trois vecteurs appiqcue's an point 0, et deux applique's en 0'.- les trois~premiers ont une resultante F, les deux autres une resultante (D. De cette manie're, le syste~me des trois vecteurs. R, R,12, 113, et par consecquent, le syste'me des vecteurs propose's sont remplace's parne syst~me equivalent des deux vecteurs F et 4F. Si les deux vecteurs 112, 113 e'aient situe's dans Un me'me plan avec le point 0, on mn'neraiL par le point 0 une droite quielconque OL dans ce plan. 11 y a une infinite' de manie~res de re'duire le syste'me des vecteurs propose's 'a deux vecteurs. Nous remarquons d'abord que, sans de'placer les points d'application 0 et 0' des deux vecteurs F et 4F, on pent faire varier ces deux vecteuirs. Concevons, en effet, quo l'on appliqLue aux deux extre'mite's de la droite 00' deux vecteurs eigaux et directement oppos'sf Jet -f; les deux vecteurs F etf, applique's en 0, donnent une resultante S; les deux vecteurs (F et - f, applique's en 0', donnent Line re'suttante ~;le systeme des deux vecteurs F et (F est ainsi remplace' par le systme equivalent des deux vecteurs 5, Y. La resultante Y est situe'e dans tnplan determine', le plan mene' par le point 0 et le vecteur (F). Le point d'application 0 de la premie~re resultante est un point arbitraire; laissant ce point 0 fixe, on petit de'placer le point 0' h volonte' sur la droite 0'E et, pa osquent, dans le plan 00~F, ai cause de la grandeur arbitraire de - f. En general, les deux vecLeurs F et 4F, equivalents "a tons les vecteurs propose's, ne sont pas situe's dans unmme plan. La resultante generale et te moment resultant du syste~me pri~mitif par rapport 'a un point quelconque sont e'gaux 'a la r~sultante generale et an moment resultant -du syste~me des deux vecteuirs F et (F par rapport an me'me point (fig'. 14). Par exemple, si l'on prend un point A Sur la direction de F, la resultante generate AR en A s'obtient en composant un vecteur AFe' gal et parailel 'a F avec un vecLeur A(Fe' gal et parallele 'a (F; le moment resultant AG, par rapport au. point A, est e'gal au moment de (F, car celui -de F est nnl; le vecteur AG est done perpendiculaire an plan AO'( et le point A est le foyer du. plan (no 12).

Page  23 CHAPITRE 1. - THEORIE DES VECTEURS. -23 Donc, le foyer d'un plan passant par FLinn des vecteurs F, (F se trouvant sur 1'autre, ces vecteurs sont dirige's suivant deux droites conjugudes D et A. Une droite s'appuLyant "a la fois sur les directions de F et (F est evidm en ne droite de Moment nud; inversement si nub Fig. ij. G 0' F/ F't IC N /~~~~~~~~~~~~~~~~1 de F e'tant nul par rapport "a cette droite, celui de, (F doit e'tre auiissi. On ddmontrera, a titre d'exercice, que l'on pent toujours rdduire les vecteurs d'un syste'me "a (leix, dont l'inn F, est dirige' suivant une droite arbitraire D' non paraltlel ~t la resuliante gendrale. 117. Signification g6om6trique de 11invariant LX ~~ MY ~j NZ. - AppeIons X', Y', ZT' L', M',I N', X" xi/",1 Zf, L", M", N" les projections et les moments des deux vecteurs F et 41 equivalents au syst~me.110 ose'. On X =X'X LL -~- L", en se reportant 1 lexpression du moment relatif de deux vecteurs donn~e' plus haut (no 6), on a donc ce qui donne Une signification remarquable de l'invariant LX -+- MY -i- NZ.

Page  24 2j PREMIE~RE PARTIE. - NOTIONS PRELIMIINAIRES. Soient maintenant Pi, P2,.. PI, les vecteurs primitifs du syst~me propos6, on a les six relations (I) ~~~~X = Xk, L ILk, (2) ~~~~Lk Xk -4- Alk Yk~ Nk Zk = 0. En vertu des relations (i) et de l'icentit6 (2), on trouve aussi LX — i MY -+- NZ =X'(LiXk -4- Ml Yk -1- NiZ -4- Lk Xi +~ MkcYI -~- Nk Zi), la derni~re somme V s'e'tendant A toutes les, combinaisons des indices i et k. Or l'expression sous le signe V est encore le moment relatif dle Pi et Pk; par suite LX -~~- MY ~-+ NZ — 6X'vol. (PI, Pk,~) le nombre de termes du second membre 6tan~t n - I; ces formules montrent que, qitelle qite soit la 7nanbi~re de 7-ddaii,e des vecteurs- ak deitx vecteur-s equivalents F et cP, le tjti-a~dre (F, 4P) est constant et egal & la somtme alge'brique des t'tr-a~dr-es obtenuts en cointbinant deux a deux les vecteuars Pk (Chasles). Pour que les deux vecteurs F et -cD soient dans un me'me plan, il faut et il suffit que le t~tra~dre (F, cP) de Chasles soit nu]. 18. Reduction effective de deux syste'mes equivalents P'un A l'autre. - Soit d'abord un syste~me (S) equivalent 'a zero:les deux vecteurs F et FD, anixquels on penit le re'duire, soft aussi equivalents 'a zero, c'est-at-dire, d'apres ce qie nous avons vui (no 141), egaux et directement opposes. On petit alors les stupprimer et redduire effectivement le syste~me (5S) "a zero. Soient maintenant deux syste~mes de vecteurs (S) et (So) equivalents; on pent les reddnire effectivement I'uin 'a 1'autAre par les operations Midmentaires. En effet, partons de (5):ajoutons "a (S) le syste'me (S0) -S0) forme' par les vecteurs de (S0) et ces In mes vecteurs change's de Sens; ce qui est une des operations e'iementaires redpe'tee un certain nombre de fois. L'ensemble des systemes (S) et (- Se), dtant equivalent "a zero, se reditit a' -zro par les operatt'ons edlmentaires. Ii reste done le syste'ne So, ce qui dedmontre la proposition. 19. Couples. - On appelle, d'apre's Poinsot, couple 1'ensemble de deu vecturs P - P edgaux, paralle"Ies et de sens con tars

Page  25 CHAPITRE I. - TIIEOLRIE DES VECTEIJRS..Le bras de levier dii couple est la distance AB (fig. i 5) des deux. vecteurs; le moment dii couple est te produit A1B. P du bras de levier par un des vecteurs. Quand le moment est nut, le couple Fig. i5. P JG -p est equivalent 'a zero; car, on bien tes, deux vecteurs sont nuts, OuI biern AB -o et alors les deux -vecteurs sont e6gaux ci dir-ectement opp0oses Un couple tant un syste~me de vecteurs dont la resultante generate est nulie, -le moment 7'esuitant d'un couple est constant en grandeur, direction et sens pour tous les points de l'espace. Ce moment resultant s'appetle l'axe clu couple. L'axe d'un couple est done uin vecteur de'fini en grandeur, direction et sells, mnais clont le point d'application peut e'tre choisi ar-bitrair~ement dans l'espace. Pour voir quel est cc 'vecte-ur, cherchons te moment resuttant par rapport 'a un point 0 du. bras de levier AB sit-Lie entre A et B; les moments des deux vecteurs P et - P scront dirige's perpendicutairement an plan du couple, dans le mrnze sens, car tes deux vecteurs P et - P ont Meme sens de rotation, autour du point 0; le moment resultaut GG on axe da couple est donc perpendicutaire au plan du couple et e6gal 'a P. GA -i — P. GB, ou a P. ABI c'cst-a-dire an moment du couple. D'apre~s cela, deux couples de mrnme axe sont equi. alents, car its ont tons deux tine resultante generale nuile et me'me moment re'sultant. US pourront donc alre re'duits l'un 'al'autre par les operations e'tementaires. 20. Composition des couples. - Un nombre quelconque de couples est toujours, 6quivalent 'a nn couple unique dont l'axe est- la somime ge'ome'trique des axes des couples composants. En cifet, lc syste~me form6" par p couples PI, - Pi; P2, 2

Page  26 26 PREMIERE1 PARTIE. - NOTIONS PRl~fIMINAIRES..,P,- P, est un syste~me de vecteurs, dont la re'sultante g'n6'rate est, nulle. Le moment resultant de ce systeme est donc le M eme par rapport a tous les points de l'espace (fig. i6). Fig. i6. G 0 P -P Pour obtenir ce moment resultant OG, par rapport au. point 0, on petit proce'der comme il suit: on.prend d'abord le moment re&sultant OG, de P, et, - P,, moment qui est, egal 'a laxe dui premier couple, puis le moment resnltant 0G2 de P2 et, - P2, qui est, egal 'a 1'axe dii 'Second couple, et, ainsi de suite jusqu'ah 0 Gp, qni est e'gal a laxe du dernier couple; puis on compose entLre eux tons ces moinents, composants, OG.,, OG2, 1 OGp,. Conside'rons alors tin couple d'axe OG e~gal an. moment, resultant; cc couple unique est. equivalent an syste'me des couples donne's car it a, comme ce Sys teme, nne resnltante generale nulle, et nn moment resultant egal A 0G. On ponrra, par les operations e'lementaires, reduire le syste'me de couples donne' an couple unique d'axe 0G. Si OG - le couple unique final est equivalent 'a zero; le syste~me propose egalement. 21. Reduction 'a un vecteur et A un couple. - Un syste~me de vecteurs, quelconques est, equivalent "a un vecteur unique e'gal?i la resultante generale, applique' en un point, arbitraire et 'aun couple unique dont 1'axe est le moment, r~sultant, par rapport, 'a ce point. En effet, soient, OR la resultante generate et, OG le moment resultant du systeme par rapport, 'a un point 'arbitraire 0. Le nouveau syste'me forme' par le vecteur R et, un couple (P, - P) d'axe OG est equivalent an syste~me propose, car it a me'me re'sultantLe generale OR et met~me moment resuktant OG par rapport au

Page  27 CHAPITRE 1. - THEORIE DES VECTEIJRS. 2 9-7 point 0 (fig. 17). Le syste'me propose pourra donce "tre re'duit au systeme R, P, - P par les operations 6'lemeniaires. Fig. 17. Comme le point 0 est pris "a volont6', Ai y a une infinite' de facons de determiner un vecteur et un couple equivalents 'a un sysLtame donne. Une fois le point 0 choisi, le couple (P, -1)) n'est pas entie~rement determine', puisqu'on peuit prendre pour ce couple -Liun quelconque des couples en nombre infini ayant OG pour axe. Si le point 0 est pris stur l'axe central DDU en 0', la re'sulLante generale 0'R et le moment resultant O'g sont dirige's suivant i'axe central; dans cc cas, le plan du couple (P, - P) est perpenFig. i8. ID II I f9 p I (R dinlaire 'a la direction de la mum (fig. [8). resultante 13 et son axe est mini 22. Torseur. - Le ge'ome'tre anglais Ball nomme torseu7 ou tor'sion lc syste'me precedent forme' par un vecteur O'R (fig-. i8) et un couple dont lc plan est perpendiculaire it cc vecteur. On appelle poin-t d'application, dir~ection, sens et grandeur du tor

Page  28 28 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. seur, le point d'application, la direction, le sens et la grandeur du vecteur U'R. La fl~che fdu torseur est le rapport de in grandeur de laxe du couple g ~ celle du vecteur R, ce rapport 6tant regarde' comme positif on n~~gatif, suivant que les vecteurs O'R et. O'g sont de m6me sens ou de sens contraires. En adoptant ces denominations on -voit que: un syst~me quelconque de vecteurs est Equivalent ~ un torseur dirig6 suivant laxe central, ayant pour grandeur et sens la grandeur et. le sens de la r~sultante g~ne& rale, et pour f1che Ia quantit6 g G Gcost{,C _ LX~ —MY -ivNZ f ~ ~ RX2 i~Y2.+.Z2 f est done la valeur commu-ne trouve'e pour les rapports e'gaux qui figurent dans les equations de Faxe central. Des torseurs donne's en nombre quelconque se composent touj ours en un torseur unique. En effet, chaque torseur donne' est un syst~me de trois v~ecteurs; lensemble des torseurs donne's est done un certain syst~me de Yecteurs qui, d'apr~s les r~gles donn~es pr~c~demment, est equivalent ~ un torseur unique que ion sait d~terminer. 23. Cas particuliers de la reduction pr'ce'dente. - 11 pent arriver, en particulier, qu'uLn syste~me de vecteurs non equivalent 'a zero soil ecquivalent 'a tun couple unique on A uin vecteur unique. Un syste~me est equivalent 'a uin couple unique cjuand in re'sul-. lante generale est nulle. Pour qu'un syste~me soit equivalent 'a un vecteur unique, il faut, cliil suffit que, la resultante generale e'tant diff~renlte de zero, le moment minimumn g Soil nul, c'esL-a"-dire que le moment, par rapport a un point quelconque de l'espace, soil perpendicula ire a la direction de la rce'sultante gene'rale. En effet, pour Lin sysleame forme' d'un vecteur unique, 1'axe central coincide avec cc vecteur et le moment minimum est nul; re'ciproquement, si le moment minimum d'un syste~me est, nul, ce sysLe~me est equivalent aun vecteur unique dirige' suivant l'axe central, le couple d'axe minimum qu'il faut ajouter' dans le cas general 6tant devenu nul. On a alorsf - o.

Page  29 CIIAPITRE I. - THEORIE DES VECTEIJRS. 24.' Rsum6. - En resume', on a le Tableau suivant: 29 1A -+- lMY +i NZ o. LX -v- MY ~i NZ — o. Syste'me equivalent At deux vecteurs non situe's dans uu m~me plan; 6quivalent aussi ~ un vecteur dirige' suivant laxe central et?i un couple dont le plan est perpendiculairo At cet axe, c'est-~-dire to un torse-ur. Syst~me e'quivoi0 X2Y — Z lent Ao un vecteur' X~- ~ —i-Z2 > 0. unique dirig6 suiSysttome eoqui- iant laxe central. valent A deux-Nec- 20, X y, Systeome eoquivateurs situe'sdans LV M 2 -v N'21> o. unique.uncul 30 X ~Y ~Z o, Systhne eoquivaL M1 N o. lent A zero. 24 bis. Moment relatif de deux syst~mes de vecteurs. - En employant les notations du no 13, on appelle momnent relatif de deux sys(tomes de veclears (5) et (SO) la quantite' (1) LX -~- MY0 -v NZ -v[ Lo X -v MO Y +- No Z, dont la vraleur est indtopendante du choix des axes. On peuit, en effet, 1'tocrire sous la forme (L ~ Lo) (X -v- Xo) -v- (M -vi MO) (Y -v- Y0) -v- (N -v No) (Z -v~ Z0) -(LX -v MY -v NZ) - (Lo X0 -v MO Y0-v No Z0), dans laquelle les trois termes sont des invariants pour le systtome total (S) -v-(SO) ou lun des systtores (S ) ou. (So). D'aprtos la signification de ces trois invariants telle qu'elle rtosulte du no '17, le moment relatif de (S) et (SO) est togal Ao six fois la somme des volumes des ttotratodres obtenus, en associant tous les vecteurs de (S) Ao tous ceux de (SO). En appelant 8 la plus courte distance des axes centraux des deux systtomes, a~ leur angle, R, R0 les rtosultantes gtontrales dirigtoes suivant ces, axes, g et go les moments minima des deux systtomes estinits suivant les rtosultantes, le moment relatif des deux systtomes est ('2) ~~ RR0 8 sinc a H- (g RO -vgo R) cos a, ohi le premier termne est le moment relatif de R et R0, comme on le ve'rifie, imme'diatement en prenant l'un des axes centraux. pour axe OZ (no 12) et -voyant ce que de-vient 1lexpression (i).

Page  30 3o PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRlIftMINAIRES. IV. - DIGRESSION SUR LA THEORIE E'LEMENTAIRE DES COUPLES. 20i. Couples 6quivalents. - Nous avons ditduit la thitorie des couples des th 6oretmes ge'nitraux. Poinsot procite d'une facon inverse en commencant par e'tablir les proprie'ttes des couples pour en ditduire ensuite celles d'un systitme quelconque de vecteurs. Nous allons, it titre d'exercice, indiquer cette me'thode en pen de mots en empruntant quelques detmonstrations At M6bius, afin de rendre la thitorie inditpendante de celle des Yecteurs parallitles. On peat, par- des ope'rattons ~leinenltaires, transformzer an couple en an aatr7e quelconque de Ine'ine axe. Nous distinguerons deux cas dans la detmonstration 10 Les couples de metme axe qu'on veut transformer iun dans Fautre sont situe's dans un ma'ine plan. Supposons d'abord que les vecteurs des deux couples ne sont pas paralItles, les directions de ces vecteurs forment alors un parallitlogramme ABCD (fig-. 19); comm-e on peut transporter un \vecteur en un point de sa direcFig. 19. A p tion, on peut appliquer les vecteurs des deux couples aux quatre somimets du paralle'logramme, ceux du premier aux sommets A et C en P et - P, ceux du deuxiitme aux somimets D et B en Q et -Q. Le moment du premier couple est it laire du parallitlogramme commie AP est it AB; le moment du second es.it l aire du parallitlogramme comme DQ cst At DA; on a done, ces moments ittant itgaux, P _AB (I) Q ~~~AD Les axes des deux couples sont alors etgaux et parallitles:pour qu'ils soient de metme sens (tous deux dirigits en avant du plan de la figure), it faut que les vecteurs soient disposits dans le nmhme sens de circulation sur le pitrimittre du parallilogramme. Cela pose', partons du couple P, - P et ajoutons, suivant le citti AD, deux vecteurs etgaux et directement opposits, le vecteur Q et un vecteur

Page  31 CLIAPITRE I. - THEORIE DES VECTEURS. 3 3 i Q'applique' en A; de meime ajoutons, suivant BC, deux vecteurs e6gaux et directement oppose's - Q, - Q' applique's en B et C. Nous aurons un syst~me dc vecteurs equivalent au couple P, -P:mais lensemble P, -P, Q,- Q' est Equivalent Al zero, car les deux vecteurs P et Q' out une r~sultante R qui, dl'apr~s la proportion (i), est dirig~e snivant la diagonale AC, et les deux vecteurs - P et - Q' out line r~sultante - B dirig~e suivanL CA, c'est4A-dire 6gale et directement oppose'e Al R; nous pouvons dlone supprimer les vecteurs P, - P, Q', - Q' qui sont Equivalents Al zero et il reste le couple Q, - Q 6quivalent au premier. Lorsque les vecteurs des deux couples de m~me axe P, - PQ -Q situ~s dans un mime plan sont parall~les, le raisonnement precedent ne s'applique plus; mais si, dans le m~me plan, on considre un couple auxiliaire F, - F de m~me axe que les deux proposes, ayant ses vecteurs obliques sur ceux des proposes, on peut, d'apr~s ce qui prec~de, transformeis pi- P en F, - F, puis F, - F en Q-Qc'est-fi-dire finalement P, -P e n Q, - Q. En r~sume', on peut transporter un couple Ai vNolontf6 dans son plan et modifier son bras de levier et ses vecteurs pourvu que son axe ne change pas. 20 De'montrons maintenant qu'on peut transporter un couple dlans un plan parall~le au sien et modifier son bras de levier et ses vecteurs pourvu que son axe ne change pas. Pour cela, il suffit de montrer qu'on peut transporter un couple paralllement Al lui-me'me, dans,. un plan parallele au siena une fois le couple transports dans cc plan, on le modifiera conform~ment aux r~gles du premier cas. Soient P, -P (fig. 20) un couple ci P', - emime couple transpori1' Fig. 20. P -3 R D ~~~~P parall~lement Ai lui-me'me hors de son plan A, B, A', B' les points d'application des vecteurs des deux couples. Construisons un parallhleipip~de ayant ces quatre vecteurs pour ar6tes oppose'es et prenons les points dWintersection C et D des diagonales des deux faces PP'B B', - P -P'A A'.

Page  32 32 PREAIIERE PARTIE. - NOTIONS PRfLIM~INAIRES. Partons du premier couple P, - P et suivant CD appliquons deux vecteurs R, - R 6gaux directenment oppose's et e'gaux a CD, c'est-'~-dire?i P. Le couple P, - R pent Wte remplace', d'apr~s le cas precedent, par le couple li, - P' situd' dans le medme plan que lui; le couple - P, R peut, de m6me,.tr rpacpa-RP':le couple primitif est ainsi remplac6 par les deux R, - P' ct - B, P' qui se r~duisent 6videmment A P', - P' par la suppression des -vecteurs R, - R e'gaux et directement oppos6s. 26. Composition directe des couples. - Nous allons montrer directement que des couples en nombre quelconque peuvent Wte remplac~s par un couple unique dont laxe est la somme ge'ome'trique des axes des couples composants. Ii suffit Nvidemment d'6tablir le th6or~me pour deux couples. Soient done Ai composer deux couples d'axes AG, All. Placons-nous dans Ic cas g~ne'ral ohi les deux directions AG, All sont distinctes (fig. 2 1). Soient Fig. 21. K -P B - G it, fi ct ll'les deux plans des deux couples. Sur leur intersection, prenons une, Iongueur AB i.- Nous pouvons, dapr~s les the'or~unes diablis plus haut, modifier chacun des couples dans son plan, de facon que son bras de leviercoincide avec AB. Soicat alors P, -P1, Q, - Q les deux couples. Nous m~nerons les axes par le point A. Ce seront deux segments AG, All respectivement perpendiculaires aux plans 11,11' et 6gaux A P ct Q, puisque Ic bras de lev:ier des couples est e'gal ~ l'unite. Les deux vecteurs concourants P et Q out une resultante R diagonale de leur paralle'logramme; de m~me, - P et -Q ont une rdsultante - R. Pour avoir lFaxe du couple R, - B il nous faut mener par A perpendiculairement au plan R - R un segmnent AK dont la lonugeur soit 6gale an moment R de ce ~ouple; les six droites AP, AQ, AR, AG, All, AK sont, dapr~s cc qui prec~de, dans le plan perpendiculaire ~ AB en A, et sont de plus perpendiculaires ct 6gales deux A deux. Ii suit de lM que la figure AGIIK se de'duit de la figure APQR en faisant tourner celle-ci d'un angle droit autour de AB; par consequent, laxe AK du couple r~sultant est la diagonale du parall~logramme construit suir les axes des couples composants. C. Q.- F. D.

Page  33 CHAPITRE I. - THEORIE DES VECTE URS. 3 33 Si les axcs des couples Ai composer avaient me'me direction, on ferait jouer At une droite quelconque du plan des deux. couples le r6le de lintersection des plans fi et II dans la demonstration pr~c~dente. 27. R6duction directe des vecteurs At un vecteur et un couple. - M6tliode de Poinsot. - Pour montrer qu'un syst~me quelconque de vecteurs est equivalent Ai un couple et A un vecteur appliqu6 en un point arbitraire, Poinsot einploie une me'thode qui a pour point de d~part la proposition suivante On peut transporter un vecteur P en un point quelconque 0 de lespace en ajoutant un couple convenable dont lax-e est perpendiculaire R-U. vecteur. En effet, appliquons en 0 (fig. 2,2) deux -Nvecteurs P', - P' e'gaux et oppos~s Fig. 22. -pr 0 P, It ~P qui ont me'me grandeur et direction que le vecteur propos6; les deux vecteurs P et - P' constituent un couple dont l'axe OG est perpendiculaire As P'. Nous -voyons done que le vecteur P se trouve remplace' par le vNecteur P' et le couple G. 1R6ciproquement, lensemble d'un vecteur P' et d'un couple dont laxe OG lui est perpendiculaire se re'duit A un vecteur unique P 6gal et parall~le ~i P'. Le plan du couple OG contient le vecteur P'; transportons cc couple dans son plan sans changer son axe et modifions-le de facon que lun (le Fig. 23. P. 0 R ses 'vecteurs - P' soit applique' en 0, e'gal et opposi ' P'; les -vecteurs P', - P' peuvent i'tre supprimi's, et le syste'me se r~duit au vecteur unique P. Cela pose', soient PI, P2,..., P,, (fig. 2,3) des vecteurs donne's:choisis 1. 3

Page  34 34 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. sons arbitrairement un point O. Nous venons de voir qu'on peut remplacer chacun des vecteurs Pi par un vecteur egal et paralllel OP' et un couple Gi. Les vecteurs OP' ont une resultante OR egale a la resultante generale. Les couples Gi ont de nenme un couple resultant G; ce qui demontre la proposition enoncee. V. - VECTEURS PARALLELES. 28. Application des theoremes generaux.- Lorsque tous les vecteurs d'un systeme sont paralleles, ce systeme est equivalent ou a une resultante unique, ou a un couple unique, ou a zdro. En effet, tous les moments composants, par rapport a un point, etant diriges perpendiculairement a la direction commune des vecteurs, le moment resultant, s'il n'est pas nul, est perpendiculaire a cette direction'; la resultante generale, si elle n'est pas nulle, est parallele a cette direction. L'invariant LX + MY+ NZ est done nul. Soient a, 3, y les cosinus directeurs d'une demi-droite parallele a la direction commune des vecteurs. Appelons P, P2,..., P,, les grandeurs des vecteurs estimtees suivant cette denti-droite, de sorte que les vecteurs diriges dans le sens de cette demi-droite seront positifs, et les vecteurs diriges en sens contraire negatifs. On aura, en appelant xA, yl, zk les coordonnees du point d'application du vecteur PA, X,, Y,, Zk ses projections sur les axes supposes rectangulaires, et LA, Mi, Nk ses moments par rapport aux axes, X,- = P,., Yk/ = Pk, Zk '(Pk; JL,= PA- (yyk- P z.), M,.= Pl/ (cazSl-,. ), N/ = P/,.( 1 X.- ayY) Puis, en posant P=- Pi 4- P2-..-.+ Pn = ZP., le signeSindiquant une somme etendue a tous les vecteurs, on a, pour les projections de la resultante generale et du moment resultant, X -aP, Y=pP, Z=-yP; L=-Z y Pk-k- EP /,Z, M = CP/,z/,-YZPx:k, N = EPkXZ/,-a2P.y/c. On vdrifie immediatement la relation LX - MY -- NZ = o.

Page  35 CHAPITRE I. - TiHORIE DES VECTEURS. 35 Done, si P o, systeme equivalent a un vecteur unique; P =o, L2 4-,12 - N2 > o,, a un couple unique; P-=o, L M N=o, L a zero. Les conditions necessaires et suffisantes pour que le syteme soit equivalent a zero sont done E Pj-k x P/I,/cY S Pz,,Z, EPk =o, -P-x - -- E -. Remarque. - Dans le cas particulier ou l'on aurait P/, =, ~ Pkxk = o, Zy PhYk - o, E Pk ZA. = o, les conditions precedentes seraient verifiees quels que soient a, 3, y, le systeme serait equivalent a zero quelle que soit la direction commune que l'on donne aux vecteurs paralleles, pourvu qu'on n'altere pas leurs rapports de grandeurs. On dit alors que le systeme des vecteurs paralleles est en equilibre astatique. 29. Centre des vecteurs paralleles. - Supposons P>o; le systeme est equivalent a un vecteur unique, dont la valeur algebrique est P et dont les projections sont aP,,P, yP; ce vecteur est dirige suivant l'axe central: nous l'appellerons, pour abreger, le vecteur resultant du systemne. Les equations de l'axe central sont actuellement yZ-zY -L=o, zX-xZ-M = o, xY-yX-N =o, car la valeur commune des trois rapports egaux qui forment les equations de cet axe est ntlle. Ces equations deviennert, d'apres les valeurs precedentes de X, Y, Z, L, M, N, Y(Py — Pyk)- P (Pz - N Pk)z) =o,.~,; on peut les ecrire Px - Pk.XI, Iy - P/cy/ _= Pz- P, /.. ~ —~- - P -- _ PkXk E XPkyk, ZPk z4. ou, en posant = - I p -- X — y —' _ - __~~~

Page  36 36 PRE1MIIRE PARTIE. - NOTIONS PS~LPIMINAIRES. Le point ayant pour coordonne'es ~, -n, ne depend pas de 7o, 3,y, c'est-at-dire de la direction commune des vect-eurs; ii1 depend seulement de leurs points d'application (xi, yk, 'Z.ik) eL des rapports de leurs grandeurs, car les expressions de E, -f,, ~ sont hiomogenes et de degre' zero par rapport 'a Pi, P2,...,- P,1. L'axe central passe done par le point fixe (~, -n, ~) quels que soient a, y~et, comme le vecteur resultant P d-u. syste'me de -vecteurs est dirige' suivant l'axe central, il passe par le point (~, t,, Donc, Si, laissant fixes les points d'application, l'on change, la direction commune des grandeturs gedome'triques conside'rees et sil'on fait varier ces grandetirs proportionnellement, leur re'sultante passe par un point fixe de coordonne'es (~,~.Ce point, fixe se nomme centre des vecteur-spai-alle'les; il existe toutes les fois que IP/A~~o. On choisit ordinairement ce point comme point d'applicationl dui vecteur resultant, ce qu'on peut faire en transportant cc vecteur au point,, de sa direction. Exemnple. - On retrou-Ne sans peine, Ai titre d'exempic, les proprie'Les 6l16nentaires d'un syst~me de deux vecteurs paralhles appliques en. deux -points Al et A2 et ayant pour valeurs alge'briques P1 et P2. Quand P1 ~-~ P, est diff~rent dc z~ro, le syst~me admet un vecteur r~sultant, c'est-A-(lirc1 cst 6quivalent A un vecteur unique ayant pour valeur alg~briquc P =P1 -i — P 2, et appliqu6 en un point A (centre des deux vecteurs parall~les) (fig. 24) d~termine' par la relation AA, P2 AA2 Fig. 24. P2 A A 2 A Al A2 P2 P PI~~~~~~~P P- P + P (lans laquelle, suivant les conventions habituelles de la G~om~trie, le rapport des deux segments AA., et AA2 est positif on ne'gatif, suivant que ces deux segments sont de m~me sens ou de sens contraires.

Page  37 CHAPITRE I. - THEORIE DES VECTEURS. 37 Dans le cas particulier oui P1 4- P2 = o, les deux vecteurs donnes sont egaux et de sens contraires; le centre des vecteurs paralleles n'existe plus. Les deux vecteurs forment en general un couple, a moins qu'ils ne soient directement opposes et, par suite, equivalents a zero. 30. Moments des vecteurs paralleles par rapport a un plan.Un systeme de vecteurs paralleles, dont la resultante generale P- E= P n'est pas nulle, est equivalent a un vecteur resultant unique P applique au centre des vecteurs paralleles, d'apres la convention faite plus haut. Les formules qui donnent les coordonnees,, ^tr, de ce centre conduisenti, quand on les traduit en langage geometrique, au theoreme des moments par rapport a un plan. Etant donne un plan H, qu'on peut toujours prendre pour plan xOy, et un axe Oz (fig. 25) de direction arbitraire, on appelle Fig. 25. P P )l A-1 1XXXI A / I /I / I / 0 I/ / / / r' r. y / moment d' une des grandeurs geometriques paralleles par rapport a ce plan H le produit de la valeur algebrique Pk de la grandeur par la coordonnee zk de sonpoint d'application, Pkz,. Le moment ainsi defini est une quantite positive, negative ou nulle, dont la valeur depend du point d'application de la grandeur geometrique, de sorte que ce moment change quand on la transporte en un point de sa direction. La propriete fondamentale resultant de cette definition est la suivante: Quand des grandeurs geometriques paralleles ont une resultante, le moment de cette resultante par rapport a un plan est e'gal a la sonmme algebrique des moments des composantes

Page  38 38 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRE'LI1AIINAIRES. a~ condcition de prendr-e, pour point d'application dle la I-estdtante, le centr-e des vecteur7S paraUe'les. Pour le deimontrer, supposons d'abord laxe Oz perpendictulaire au plan Hl, le z du centre des vecteurs parallkies est donne' par le'hquation P Pk k o Li P - ~P/; or cette equation exprirne pre'cise'menL le the'ore'nie que nous voulons de'montrer. Si l'axe Oz est oblique an plan H1, on prendra un axe auixiliaire OZ' normal au plan et faisant avec Oz un angle a. Appelons <,, Zn, ~' es coordonnudes z- des points d'applicaLion compLees parallidlement 'a ce nouvel axe, c'est-a"-dire normalernent a-ii plan; on aura, d'apres ce qui precede, nmais les coordoan nes z' et z souL lie'es par les relations e'videntes >zCosL al z =Z2 COS %,Coa en s ubstituant, on a la relation 'a dedmontrer P )PkZA.. Le thedoredme des monients est donce diabli dans sa ge'neralite'. En l'appliquant successivement aux trois plans coordounnes supposes obliques, on obtient, pour determiner les coordonne'es ~ Yi du cent~re des vecteurs paralle'les en axes obliques, les rnedmes formules qu'acec des axes rectangulair~es. Remarque I. - Le thedor~me des moments par rapport A un plan ne pent s'appliquer que si E k O. Lorsque XPk - o, les vecteurs sont 6quivalents A un couple ou ~ zdro. Medme dans ce dernie7r cas, le thedore'me ne peut pas s'appliquer, car si la rdsultante est alors nulle, le Centre des vecteurs parallles est ~i linfini. 11 ny a dexception que pour le cas encore plus particulier ott les vecteurs tanit 6qui-valents At zdro sont en edquilibre astatique; alors ~,~~sont incd6 -termnines. Re~narque II. - Dans le cas partieulier oii tous les vecteurs sont dirige's dans le me'me Sens, lc centre des vecteurs parallttes est inte'rieur tt toute surface convexe entourant tous les points d'application des composanteS.

Page  39 CHAPITRE I. - THEORIE DES VECTEURS. 3 En effet, prenons pour sens positif celui des vecteurs donne's PI,. I n pour plan des xy un plan tan-ent II ~ cette surface, et pour axe Ozune perpendiculaire 'a ce plan situe'e du mdcme c6te' que la surface (fig. 26). Fig. 26. AA2 Alors les zde tons les points d'application sont positifs, et 1'6quation X Pk Zk montre que ~ est edgaleiment positif. Le centre des vecteuirs parall~les se trouvant par rapport A un plan tangent quelconque du me'me cotd que la surface est situ6' A lintdrieur de celle-ci. EXERCICES. 1. D~montrer que la grandeur R du vecteur r~sultant de plusieurs vecteurs concourants P., P2,O. P,, est donn~e par la formule suivante R'3z1P51-+- 2X1P2P cos P2,' la premi~re somme 6tant 6tendue A tons les vecteurs, la seconde, A tontes les combinaisons de ces vecteurs deux A deux. 2. Pour qu'un systdme de vecteurs soit 6quivalent A zdro, il faut et il suffit que le moment rdsultant soit nU] par rapport 6 trois points non. situds en ligne droite. 3. Dualite~ dans ia the'orie des vecteurs. - Soit une sph~re imaginaire de centre 0, X2 ~4 y2 __Z +_ I - -— n et u n vecteur Pi de projections X,, Y1, Z, et de moments L,1 Mi, N,; sur la droite conjugude de P, par rapport A la sph6re, prenons un vecteur P' de projections XI = L,, YV = MI,, Z11=z N,, cc qui est possible, car la direction L,, Ml, N, est normale au plan OP,. Ddmontrer qu'il y a reciprocitd entre les vecteurs P1 et P,, c'est-6-dire quc Pt est dirig6 suivant la droite conjugude de PI~ et que ses projections SOnt 6gales aux moments de PI, X,= LI, M,= l, N' (transformation dualistique de M. Klein dans un cas particulier signald par M. Kcenigs). 4. D'aprds la transformation prdcddente, 6 un systdme (5) de vecteurs correspond un systdme (S'). Ddmontrer que le moment rdsultant de iun par rapport 6 0 est 6gal h la rdsultante gdndrale de lautre.

Page  40 40 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELI1AIINAIRES. 5. S i iunndes syst~mes pr~c~dents (S), (SI) se r6duit A un couple, lautre se r~duit S un vecteur passant par lorigine et r6ciproquement. 6. Trouver les courbes gauches dont les tangentes sont des droites de momenlt n1ul. - En prenant pour axe des z laxe central du systme, i'6quation diff6rentielle de ces courbes est f dz =xdy -ydx, f 6tant la flche du torseur. D6montrer que les 6quations de la courbe la plus g6n6rale v6rifiant cette 6quation peuvent s'6crire cp (0 ) d6signant one fonction arbitraire de 0. 7. D6montrer que le plan osculateur A lune des courbes de lexercice pr&c6 -dent a son foyer au point d'osculation. 8. On pent d'une infinit6 de mani6res former des syst~mes de deux vecteurs F et (D 6quivalents S un syst~me de vecteurs donn~s et tels que F et 4) soient rectangulaires. D6montrer que les droites F et 4P forment un complexe du second ordre. On retrouve ce me'me complexe en cherchant le complexe form6 par les moments resultants relatifs h tous les points de lespace. 9. Si deux. vecteurs F et (D soot 6quivalents S on syst~me donn6, leur perpendiculaire commune rencontre normalement laxe central du systme. 10. Soient plusieurs couples et le couple r6sultant:prouver que la projection, sur un plan quelconque, do parall6logramime construit sur les deux vecteurs du couple r~sultant, a une aire 6quivalente A la somme des aires des projections des parall6logrammes construits sur les vecteurs des couples composants. 11. Soient P', pil,..., I (k) des vecteurs formant un syst~me e'quivalient t ze'ro, et Ml', Ml',..., Ml(k) les moments respectifs d'un autre syst6me S de vecteors par rapport aux axes P', P',..., P(k). D6montrer la relation p'IMl'-+- P"'M"l'-.. + (k) M(k) =. On d6montre d'abord le th6or6me, pour on vecteur P do syst6me S, en remarquant que la somme des moments des vecteurs P', P',..,P(k), par rapport h P, est nulle. 12. C007-donne~es barycentriques de Mdbius. - Soit on t~tra~dre AAA A,: on appelle coordonn6es barycentriques d'un point M les valeurs alg~briques PI, P, I, P P4 des quatre vecteurs parall~es qu'il faut appliquer aux sommets A,, A,, A,,1 A,, poor que le centre de ces vecteurs paralldles co~ncide avec M. D6montrer que A chaque point MI correspondent des valeurs de P,' P2, P3, P,, d~termin~es h on facteur pr~s. Une 6quation lin6aire et homog~ne en PI',, P3, P4 repr~sente on plan dont les distances aux quatre sommets sont proportionnelles aux coefficients de P,, P,, P, P4. Si ces coefficients soot 6gaux, l'6qoation repr6sente le

Page  41 CHAPITRE 1. - THEORIE DES VECTEURS. 4 4 1 plan dc l'infini. Une surface 'd'ordre m est repr6sent6e par une 6quation homogene de degr6 m en P,, P2, P3, P4. 13. Trou ver le torse~u redsidtant de deux torseiu's rectangulaii'es C071COur'ants. SolUtio7n. - Prenons les droites qui portent ces torseUrs pour axes des x et des y, et une perpendiculaire it ces droites pour axe des z. SoitX le vecteur, L le couple du torseur port6 par Ox, 'A la flche (fig. 27) on aura L )AX. De Fig. 27. 0' 42 L X R G meme, en ditsignant par M, Y, Ii les quantit~s analogues pour le second torseur, on aura M = piY. Soit R la ritsultante'de X et Y, G de L et Al. L'axe central du systirme total a pour 6quation ), ~-z Y= -Ly-ZX -xY -yX. X y il est parall6le At OR, et rencontre Oz en un point 0', donud par Soit O'R' cet axe. Ddignons par R', G1' la r6sultante gitodrale do syst~me et Ic moment r6sultant en 0'. R' est 6gale At R; il faut calculer G', ou plut6t le rapport K = fc'est-it-dire la flche du torseur rtisultant. Or le rapport de G' At R' est itgal au rapport de leurs projections L', X sur l'axe des x. On trouve ainsi L'z)AX-+- zY, K )X2 ~Y2 Ic torseur r6sultant est entiitrement dittermin6. 14. Chercher le lieu du torseur ritsultant O'R'G' de 1lexercice pricitdent, quand les flches 'X et p. des torseurs composants restent constantes et que leurs intensit6s X et Y sont variables.

Page  42 42 PREMIERE PARTlE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. La surface cherch6e est le conolde Ce conoYde a re~u de Cayley le nom de cylindcroide, parce qu'il partage avec les cylindrels cette propri&6t que ]es pieds des normales issues doun point quelconque sont dans on m~me plan. On s'assure, de plus, qu'ils sont situ~s sur une conique, en v~rifiant que le lieu des projections d'un point quelconque de Fespace sur les g~n6ratrices du cylindroide est one C07iique. 15. D6montrer d'une mani~re g6n6rale que le torseur r6sultant de deux Lorseurs quelconques, de positions fixes, engendre on cylindroide lorsque les flches des torseurs composants restent constantes, leurs intensitds 6tant variables. On prendra pour axe Oz la perpendiculaire commune aux deux torsdurs. 16. Un syst~me de vecteurs quelconques est toujours Equivalent S six vecteurs dirig~s suivant les six arftes d'un t~trakclre. '17. Soit SABC le t6tra6dre. Prenons pour sens positif sur les ar~tes issues de S les sens SA, SB, SC; pois, sur chaque ar~te de la base, telle que NB, le sens des rotations positives AB autour de lar~te oppos~e SC, et appelons ~, -~, ~, 'A, ~, v les valeurs algdbriques des six vecteurs dirige's suivant SA, SB, SC, BC, CA, AB. D~montrer que linvariant LX +~ MY -+ NZ a pour valeur V d6signant le volume du t~tra~dre donn6. '18. Pour que le syst~me des vecteurs suit Squivalent Szero, il faut et ii suffit que les six composantes ',, y~ )p, v soient nulles. 19. Pour quoun syst~me de vecteurs soit Sqoivalent Sz~ro, il faut et il suffit que la somme des moments par rapport A chacune des six ar~tes d'un t~tra~dre soit nulle. 20. Un syst~me de vecteors, tous situ~s dans on mdme plan, est Squivalent 00 bien S one r6sultante unique, on A un couple, ou A z~ro. 21. Un syst~nse de vecteurs, tous situ~s dans on m6me plan, est Squivalent trois vecteurs dirig~s soivant les co't~s doun triangle arbitrairement choisi clans cc plan.

Page  43 CIIAPtTRE LI. - CtNEI~AITIQUE. 4![ 3 CHAPITRE II. CINEMATI QUE. 31. La Cine'natique n'a e'e consLitue'e comme une Science disLind~e qu'At tine 4poque relativement re'cente. Deja' d'Alembert avail indiquLi l'importance de le'Lude des lois du mouvement en celles-rnieles; mais c'est Amnpere qui, le premier, montra la ne'cessite' de faire pr'ce'der la Dynaniique d'une the'orie des proprie'Les e'ornLriques des corps en mouivement. Ces propri't's ontoeee e e *exposees en i838, Ih la FaculLe' des Sciece e Paris, par Poncelet, 'a qui l'on doit, en Ire autres, les the'ore'mes sur le de'placement continu d'un solide dans Fespace, sauf la notion d'axe insLanLane6 de roLaLion eL de glissement, qui est due 'a Chasles; les formules qui donnenL les variations des coordonne'es des points d'un solide mobile dans l'espace renmontent 'a Euler (Acaclernie dle _Berl, i75o). La Cine'matique comporLe des applicaLions ge'ome'triques nonibreuses:telle esL la me'thode de consiruction des tangentes de Roberval, la Lhe'orie du centre instantane',de rota Lion, qui est due 'a Chasles et dont -un cas particuilier adea e~e donne' par Descartes 'a propos de la tangente 'a la cycloide; Lelles sont encore les proprie'tes des syste~mes de droites, de plans et de points que Chasles a rattach~es an mouvement d'unn corps solide et qui conduisent de la facon la plus simple 'a la notion de cmexe de droites du premier ode En16,M. Resal fit, paraitre un traite' sur la Cilternatiqiue par-e, qui se trouva ainsi dd'initivement constitue'e "a e'~tat de Science distincte. Nous n'exposerons ici que les notions qui sont indispensables pour~ la suite du Cours de Me'caniq-ue. C'est ainsi que nous ne nous occuperons pas des de'placements d'un. corps solide dont la position. depend de deux on. plusieurs parame"tres independants,

Page  44 4A PREMIER1E PARTIE. -NOTIONS PRELIAIINAIRES. de'placemen.ts e'tudie's principalement par MM. Sch~nemann Mannheim, Ribaucour, Tait ci Thomson. I. - CINEMATIQUE DU POINT. 32. D6finitions. - Quand on. dii qu'uin corps es t en repos on en miouvement, On sous-entend Loujours qx~ie ce repos on. ce mouvement ont lieu par rapport "a certains autres corps; ainsi un objet immobile "a la surface de la Terre est en repos par rapport "a la Terre, la Terre elleMeme est en mnonvement par rapport an Soleil, etc. En d'autres termes, on nI'observe que des mouvelnents r-elatifs. Cependant, nons pouvons imaginer trois axes coordonne's absoinment fixes Icl mouvement d'un corps, par rapport 'a ces axes, s'appellera mouvement abso lit du corps. Le mouvemeni absoin est done une pure abstraction; mais les mouvements relatifs ponvant toujours e'tre ramen~s aux mouvements absolus, ci ceux-ci Rtant soumis 'a des lois plus simples, il convient de comnmencer par l'etude du. inottcmnent absolit. Pour simplifier l'6tude de la Cindematiqtuc, on e'Ludie d'abord le mouvement d'un point, puis celui d'un corps de dimensions quelconques. Pour de'finir l'instantL oil tin certain phe'nomnene s' accomplit, on lc rapporte 'a un instant determine' appele' initial et l'on se donne lc nombre qui mesure avec une certaine Unite' (la seconde de temps moyen, par exemple) I'intervalle de temps compris entre i['instant initial et l'instant consider4', ce nomibre e'LanL precede' du signe +on. dn sigue -, snivant que l'instant considers" esi poste'rieur on ante'rieur 'a l'instant initial. D'apre's cela, quand nous parlerons d'un instant t, la letire t designera un nombre positif on ne'gaLif de secondes. 33.' Mouvement d'un point. - Soient trois axes Ox, Oy, O~z absolument fixes ci un point mobile M, dont les coordo~nn'es x, y, z(fig. 28) sont des fonctions continues donne'es du. tempst La courbe de'crite par le point est la tr-alectoir-e du mobile ses equations s'obtiennent en ediminant t eDtre les equations qui dedinissent x, y, z en fonctions de t.

Page  45 CHAPITRE II. - ClNEMATIQUE. On peut aussi definir le mouvement de la facon suivante: on donne la trajectoire, puis, prenant sur cette trajectoire un point Fig. 28. /' 2 S /0 3/ Mo comme origine des arcs, un sens MoS comme sens des arcs positifs, on donne en fonction du temps la valeur algebrique s de l'arc Mo0M qui separe le mobile du point Mo. 34. Mouvement rectiligne uniforme; vitesse. - On dit que le mouvement est rectiligne quand la trajectoire est une droite. Si l'on prend cette droite pour axe Ox, les deux modes precedents de definition du mouvenent se confondent, et le mouveinent est defini par l'expression de l'abscisse du mobile en fonction du temps. Le plus simple des mouvements rectilignes est celui pour lequel x est une fonction du premier degre du temps x = at -+ b a et b designant des constantes. Ce mouvement est caracterise par ce fait que la variation Ax de x, pendant un intervalle de temps quelconque At, est proportionnelle a At. Soit M la position du mobile a l'instant t, M1 sa position a l'instant t -+ At, At etant positif; la grandeur geometrique MM, a pour valeur algebrique, estimee suivant l'axe Ox, Ax. Si, dans Fig. 29. 0 M M, W le sens MM1 on porte, a partir de NI, une longueur MW egale a MMt la grandeur geometrique MIW, dont la valeur algebrique

Page  46 46 PREMIE11RE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRIES. Ax est ~ s appelle vitesse dii mourvemnet un1iforme (fig'. 29). La -valeur alge'brique de cette vitesse estL 6gate 'a la constante a. 30". Mouvement rectiligne varie'; vitesse. - Soit Linmoie,ment rectilge ai' dans lequel on a x - p(t). Le d'pl.emn MM1, que subit le. mobile qUand t croit de At, est une grandeur geon'trique dont la valeur alg'brique est, Ax. Si, dans le sens. MM1I (fig. 3o), on porte une longueur MW e'gale "a MmN, le vecAt Fig. 3o. 0 M ml V W Ax teur MW, dont. la valeur alge'brique est yt~s appelle vitesse Mnoyelme di mobile dans l'intervalle de temps At. C'est la vitesse que posse'deraiLtiun mobile fictif anime' d'un'moilvement uiniforme et, allant de M en M1, pendant le Lemps At. ~Si At tend vers zero, -le vecteur MW tend vers un vecteur liimite MV, dont 1'expression alg'brqu es l derieedt( o.p'~(t), que l'on appelle vilesse dU1 mobile "a l'instant t. Par exeinpie, si l'on a. x at2- _bi -iv c, a,7 b, c de'signanL des constantes, la vitesse MV 'a linstant t aura pour valeur alge'brique estime'e suivant l'axe Ox dx= - -at-, —b. La variation de cetle vitesse est proportionnelle 'a la variation du temps. On dit que le nrouvement rectiligne ainsi de'fini est itniforme'nient varuie. 36. Vitesse dans le mouvement curviligne. - Soient Ml et M, les positions du mobile aux instants t et t -~ — At. Portons stir MM., (fig. 31I), dans le sens MM,, une longieur MW e'gale 'a corde MM, * le vecteur MW s'appelle vilesse moyeine da mobile At

Page  47 CHAPITRE It. - CINEMIATIQJE. 4 47 pendant le temps At; c'est la vitesse que posse'derait un mobile fictif anime' d'un mouvemnent rectiligne uniforme qui parcourrait le segment de droite MM, dans le temps At. Lorsque At Lend vers, Fig. 3i. vT zero, la vitesse moyenne MWtend vers un vecteur limite MV tagn tla trajectoire en M, que l'on appelle vitesse dut mobile& l'instant t. Soient x, y, z les coordonne'es du mobile:les projections de la grandeur ge'om6trique MM, sur les trois axes SOnt AX, AJ/ z celles de la grandeur MW, on vitesse moyenne, serontl done Ax AY Az -K, -,I — At At At Si At tend vers zero, MW tend vers MV; on aura done pour les projections de la vitesse "a l'instant t dx dy dzdjV dV dtSupposons le mouvement de'fini par la trajectoire et par 1'expression de l'arc M0,M -s en fonction de t. Comme le rapport de l'arc MM, "a la corde MM, tend vers l'unite' quand At tend vers zero, la vitesse a pour valeur absolue lim arecMM1 d Si lPon meane la tangente "a la trajectoire MT dans le sens des arcs positifs, la vitesse est dirige'e dans le sens MT, on en sens con traire, suivant que ds est positif ou negatif. Donc la valeur alg'-,

Page  48 48 PIREMIJ~RE PARTIE. - NOTIONS PEl~fIMINAIRES. brique v de la vitesse estime'e positivement dans le sens MT est W- Quiand cette vitesse v est constante, on dii que le miouvement, curviiligne est uniforme. 37. Acc61lration. - La conception de l'acce'leration dans Jes cas les plus simiples appartient "a Galil~e. Soient MV, MV, les vitesses du mobile aux instants t et tA A t (fig. 3 2) Fig. 32. Menons par M un segment MU e'gal et parallel "a MV, et soil MH la difference geome'trique entre MU et MV, c'esLtai-dire la grandeur ge'ome'Lrique qu'il faut composer avec MV pour obtenir MU. Si l'on porte sur M1H une longueur MI e'gale "a MH, le vecteur MI est F'acce~lwrtiOn, Moyenne du mobile pendant le temps At. Quand At tend vers zero, ce vecteur MI tend vers une IImite MJ, qu'on nomme accelc~ation du mobile a l'instctnt t. Pour obtenir les projections de l'acce'leration Sur les axes coordonne's, remarquons que la vitesse MV 'a 1'instant t a pour projection Sur un axe, Ox par exemple, dx et la vitesse M, V, linstant t -+ At, ou son e6gale MU a pour proj ection, Sur le Mmine Idx dx axe, A~ A. La projection de MH 'tant la difference des projections de MU et MV est done A ~. D'apre's cela, les proj ectLion)s cit

Page  49 CHAPITLIE.11. - CINEMATIQUE. 4 ig do Facce~14ation moyenne MIl aM 'sont At Adx A dy Ad (MI) At At d At A -t' -At Faisant tendre At vers zero, on a pour los projections do I'acce'ileration MJ 'a 1'instant t d2x d2y l2 Z (MJ) clt2' cit2 't ~ dt2 Soient, par exemple, ay b, c, a', b', c', a", b", c" ddsignant des constantes. La trajectoire est alors tine parabole. Les projections de la vitesse somr dx ~~~~~dt dt eelles de laccedidration i2 x i2y d c2z sont constantes. L'ace'idration est done constante en grandeur, direction, sens. Re'ciproquenment, si dans un mouvemnent lacedidration est constante en grandeur, direction, sens, ce mouvemnent est ddfini par des equations de la forme (i). En effet, en partant des 6quations (3), on remonte successi-emnent par des intdgrations aux 6quations (2), puis aux 6quations (i). Ce mouvenient sera e'tudi6 en ddtail i~ propos du mouvernent des corps pesants dans le 'vide. 11 est important de remarquer que si Facedid'ration d'un mouvoment est constante en. grandeur, direction et sons, l'accdldration moyenne pendant un intervalle de temps queleonque At a la Mndme valour constante en grandeur, direction et sons. En effet, les 6quations (3) 6tant supposdes satisfaites, on en ddduit par 1Fintdgration les equations (2), qui donnent, pour les projections de laccedidration moyenne pendant le temps At, les memes valeurs 2a, 2a', 2a"f que pour les projections de Facedidration h l'instant t. 38. Acce'lerations tangentielle et normale (HuYGENS) -Si le mouvomont ost dedfini gdome'triquement par la trajoctoire et par 1. 4,

Page  50 50 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. l'expression de l'arc MN0M ou s, compte positivement dans un sens determine MRS, en fonction du temps (fig. 33), on determine l'acceleration comme il suit: Fig. 33. T Jt/ M dJ - S' C N\ Soient a, 3, y les cosinus directeurs par rapport a des axes rectangulaires de la tangente MT menee a la trajectoirc dans le sens des arcs positifs, et a', f', y' les cosinus directeurs de la normale principale MN comptee positivement de M vers le centre de courbure principal C; soit-enfin MIC -= le rayon de courbure principal de la trajectoire. Des formules bien connues de Frenet et Serret donnent di c' ' d - ' dcy y T dds p ds s p On a evidemment dx dx ds cls cly ds dz ds dt =ds d dt d dt ' = dt = dt Differentions encore une fois par rapport a t, en ayant soin d'ecrire da d ds a' ds dTt ds dt- d t *... etc.... nous aurons pour les projections de l'acceleration d2x d2s a' ds\2 d t~ -f - d)- ' dt2 d= 2 +- t-)Jh d2y d2s '- ds\2 d2 Z d2 S yds\ 2 dt2 ~ dt2 + p dt) p d t tC~

Page  51 CIIAPITRE II. - CINEMIATIQUE. 5 51 Ces formnules s'interpre'tent aisdment. Portons stir la tangente. en prenant MT comme sens positif, unm segment MJt dont ina c12 s valeur algedbrique Jt solL dt2'~ et, suivant la. normale MN, unm segmerit MJ,, 6gal "a ~- () Les formules, expriment que la projection de 1'acce'leration MJ sur chacun des trois axes est edgale "a la somme des projections de-s deix. grandeurs geometriques MJt et MJ,,; dans L'espace, F'acce'leration MJ est done la r'stiltante des grandeurs Jt et MJ,, que 1Pon nomme ctcce'~l'ratio7n tangentiellie et acce'lectation normale. La projection Jt de L'acce'leration MJ "ds sur la Langente MT s'edcrit enrmplacant ~ pr d2s - dc dv cis i dV 2 d~ _2 d dls at 2ds, La projection J, sur la normnale MC est Louj ours positive J i d~cS)2 V2 L'acce'leration lNIJ est donc situd'e dans leplcan oscalaite1ar, d-L cAt de la concavit d de la trajectoire. Exeinpies. - 10 Si le mouvement est rectiligne, p est infini, la compo-,sante normale s'annule; l'acc~le'ration se confond alors avec sa composante tangentielle. Re'ciproquement, si 1'acc~le'ration normale est nulle, p est i nfini et la trajectoire est une droite. 2-0 Si la vitesse est constante, c'est-A-dire si lc mouvement curviligne est uniforme, l'acc~le'ration tangentielle est nulle; l'acce'leration est dirig~ee suivant la normale principale et varie en raison inverse du rayon de courbure. Ainsi, lorsqu'un mobile parcourt une circonfe'rence de rayon R avec une vitesse de grandeur constante v, l'acce'leration tangentielle est nulle; l'acce'leration J est normnale ct e6gale Ai Ri c'est-Ai-dire constante en grandear et dirige'e suivant le rayon. Re'ciproquement, lorsque, dans an certain mouvement, l'acc~l~ration tangentielle est constamment nulle, la vitesse est constante en grandeur et le mouveinent uniforme. 39. De'viation. - Soient M (fig. 34) la position du. mobile au temps t, V sa vitesse At cet instant, Ml sa position A l'instant t -4 — A. Si, A partir de l'instant t, le mouvement e'tait rectiligne et uniforme, le mobile parcourrait. la droite MV avec une vitesse constante V et, At linstant t -+- At, il se trouverait Ai une distance MM' e'gale A VAt. Le vecteur MD, d'gal ei paral

Page  52 5. PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMIINAIRES. l6le ~ M'Mi, s'appelle ddviation pendant 1'cspace de temps At: c'est le d6 -placement qu'il faudrait ajouter ge'om~triquemnent a MM' pour obtenir le Fi g. 341. V de'placemrent re'el MM, du mobile. Les coordonn~es des points M' et All etant respectivement (Al') (Mll) la d~viation a f dxH~Wt dtv~ d x-H Ax, y-IAy, z -Az)our projections Ax - — At A y- At, Az - ~ Al Y - d-~~~~(i (AID) quantit~s infininient petites' du second ordre par rapport cifet, par la formule de Taylor, aAt; on a, ell dx t -2d-1 t2 D'apr~s cette formule, on voit que lc vecteur MK, obtenu en prenant s U MID une longueur MK At2 tend iers lFacc~le'ration MJ A linstant 1, quand At tend vers zero, car ses projections tendent vers celles de L'acce'le'ration. La -valeur approche'e du vecteur MD (d&viation) est done -i At;). Si l'ace'le'ration J dn mouvement est constante en grand~eur et direction (no 37, exemple), lc vecteur MIK est e'gal h J, co mie on le v~rifiera sans peine;la valeur approch~e - J At2 du vecteur MD est alors sa valeur exacte 2 en grandeur, direction et sens,

Page  53 CHAPITRE II. - CINLIMATIQTJE. 5 53 II. - TRANSLATION ET ROTATION D'UN SYST]tME INVARIABLE. 40. Mouvement de translation. - On appelle syste'ine invariable on coips solide un ensemble de points invariablement lie's les uns aux. autres. Un corps solide est anime' d'un mnouvement de translation quand il se de'place de telle facon que tous les segments de droiies, joignant les points du corps deux a deux, restentparalble"es 'a eux-memes. Pour cela,2 il suffitL 6-videmment que le trie~dre obtenu en joignant uin point A du corps (fig. 355) 'a trois points B, Fig. 35. B A C C, D du corps, non situe's dans un meme plan avec le point A, se de'place paralie~ement a l-mme. Q uand un corps est anime6 dunn mouvement de translation, tons5 les points du corps ont 'a chaque instant la Menie vitesse et re'ciproquement. En effetL, soient A, (x1,,y,, z1) et A2 (X2 y2, 2 2) deux points quelconques du corps; le segmentL A, A2 se de'placant paralle'lement "a lui-me'me, ses projections sur les axes X2 - X Y2 -YI i 2 Z1 sont constantes. Leurs de'rive'es par rapport an temps sont done nalles, et l'on a dlx. dX2 dy I = ~Y 2 dz I CIZ 2 cit dt dtclt dt dt equations qui expriment que les deux. points ont meine vitesse. Reciproquement, si tons les points du corps out 'a chaque instant MeMe vitesse, le corps estu anime' d'un mouvement de translation. En effet, les deux. points Ai et A2 ayant MeMe vitesse, on a les equations (i), d'oi'i lon conclut en integrant que XI-X29, Y'-Y2,

Page  54 54 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIAIINAIRES. Zi- Z2 sont constanles, c'Ist-a-dire quo le segment Ai A seplace- paralie~ement "a Ili-me~me. La vitesse commune at tons les points s'appolle vitesse dit,nouvcement de tr-anslation. On voit irmmediatement en diff6rentiant, les equations (i) que, dains un mnouvement de translation, tous los points ont, 'a chaque instant, la irnemfe acceleration, qu'~on app elle acceleration dat mourvement de translation. 41. Rotation autour d'un axe fixe. Vitesse angulaire. Repre& sentation g6ome'trique. - Quand un corps solido tourno autour d'un axo fixo AB (fig'. 36), chaquo pointMN du corps de'crit u Fig. 36. P A cerclo perpoudiculairo 'a l'axe, ayant son centre on P stir l'axe; sa -vitosso ost, done normale an plan MAB dans le sons dun monvemont. Los arcs de'crits dans le me~me temps par deux points diff~rents sont proportionnels aux distances do ces points 'a l'axe; los vitessos do ces deux points sont done entre eles comme leurs distances "a lFaxe. On nom~me vitesse anguilaire la vitosso des points situe's 'a l'unite' do distance do l'axe; si l'on de'signe par w ctett vitesse- angutlaire, la grandeur do la vitesse V du point NI est douc ol\IP, NIP e'tant, la distance du point NI 'a l'axe. Lorsqn'on de'finit le mou-L Nrement do rotation en donnant on fonction do t l'anglo 0 dont le dOA corps a tourn' "a partir d'une position initiale, o ost 'gal a Pour determiner los vitossos dans un monvement do rotation 'a un instant t, il fant connaitre trois elemonts l'Faxe de rotation, la vitesse angulaire ot le sens de la r-otation. On ropresento ces. trois elements par un -vectour do la facon suivante:Prenons sur l'axe do rotation AB un point q~uolconquie A, ot portons sur l'axe un

Page  55 CHAPITIRE II. - CINEMATIQUE. 5 55 segment A w, de longueur to, da'ns un senls tel qu'un observateur, ayant les pieds en A et la te'te en to, voie le mouvement de rotation ' effectuer de sa g'auche vers sa droite. La grandeur ge'ome'trique Ato ainsi de'finie represente la rotation:en confondant le mouvernent de rotation avec le vecteur qui le represente, on dit souvent que le corps est anime' d'une rotation Ato. Comme le point A, origine du- vecteur peut etre choisi o~i l'on veut sur l'axe, on pent, sans changer la rotation, transporler le segment repre'sentatif to en un point quelconque de sa direction. 42. Expressions analytiques des projections de la vitesse d'un point du corps. -Soient Aco (fig. 37) Ia rotation de vitesse anFig. 37. to) P V gulaire to, p, q, 7r ses projections sur les trois axes Ox, Oy, Oz 5Uppose5 rectangulaires, x,,,.yo, z,, les coordonn'es dui point A. Soient Mun point du. corps ayant pour coordonne'es x, y, z, MV sa vitesse, VX, Vy, Vz les projections de cette vitesse sur les trois axes:ce sont ces quantite's que nous allons calculer. Pour cela, remarquons que la -vitesse V de M est en grandeur, direction et sens le moment de la rotation Ato par rapport av point M; en effet, cette vit~esse est e3gale 'a tMP, perpendiculaire a.plan MAto et dirigele de facon qu.'un mobile allant de A en to tourne dans le senls positif autour de V. On a donne" (no 7) les projections dui moment d'un -vecteur par rapport 'a un point x', TII z<. Appliquons ces forinules an *cas actuel, en remarquant qui'on prend le moment par rapport an point x, Y, z. Nous

Page  56 56 PREMI~RE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. trouvons Vy r (x - 0) -p(z — zo), Vz ~p(y -yo) - q (x - xo), Lorsque le point A est "a lorigine, ces expressions deviennent Vx= qz - 7y, VY-1x -- PZ, V- =py - qx. III. - VITESSE DANS LE MOUVEMENT RELATIF. COMPOSITION DES TRANSLATIONS ET DES ROTATIONS. VITESSES DES POINTS D'UN SOLIDE LIBRE. 43. Mouvement relatif; vitesse, - Imaginons un syste~me invariable (S), anime'd'un mouLvement connu, et un point M mobile par rapport 'a ce syste~me. Le syste'me (S) sera, par exemple, la terre et le point M un point pesant abandonne' a l eim~e 'a la surface de la terre et tombant suivant une v-erticale. Pour un observateur entraine' a-vec le syste'me (S), qu'on nommiie systerne de compal-aison, et ne se doutant pas. dui mouvement, le mobile M posse'de, par rapport au syste~me (S), un certain mouvement appehe' mouvernent r-elatif; la trajectoire, la vitesse, I'acce'leration de cc mouvement sonLt appele'es tr-alecto ire, vitesse, acceleratlion relaztive. Le m eme point a, dans i'espace, nn certain niouvement absolu. Soieut (S) et M (fig. 38) les positions du syste'me in-variable et Fig. 38. du point 'a l'instant t, (S,) et (M,) leurs positions "a l'instant t -t-A/t, le de'placernent absolit dii mobile est MM,. Appelons MI la position cju'occupe 'a linstant t -d- At le point dui syste'me (S) qui

Page  57 CHAPITRE II. - CINEMIATIQUE. I J7 coincidait avec M "a linstant t: le de'placement NMM esL le dei'pla-.cement relatif du point M; le de'placement MMI' s'appelle de'placement d'entr-atnement. Le vecteur MM, diant la somme gedometrique des vecteurs M'Mj et MM', si 1'on porte sur chacun de ces vecteurs des segments MWa, M'Wr, AIWe, egaux respectivement aux quotients do ces vecteurs par At, ces segments seront la vitesse absolue moyenne, la vitesse relative moyenne et Ila vitesse d'entrailnement moyenne; la premiere est la somme geomdltrique des cleux autres (Wa) (WVr) 4~ (We). Lorsqune At tend vers zero (fig'. 39), ces trois segments tendent Fig. 39. M Ve~~~V vers la vitesse absolue V,, la vitesse relative Vr et la vitesse cl'entrainement Ye on a donc e'dgalite' geomdariclue (Va) (Vr) (Ye). La vitesse d'entrainement Ve est, d'apre~s ce qui prece'de, la vTitesse du point du syste~me (S) qui coincide avec M "a linstant consider6, ou encore la -vitesse q1ue posse'derait le point M si, dans la position qu'il occupe, il dtait invariablement lied an syste'me (S). Nous verrons pilus loin comment on determine lFaccedldration absolue par une formule analogue acec un termie deplus. Mais anparavant nons donneron s quelques applications, dn thidoreme pre'ddent. 441. Composition des translations. - Soit un syst~mo invariable SI anime'd uno translation de vitesse VI, et un douxi~rmo syst~me S2 anime' par rapport ~ S1 d'une translation de vitesso V2 (fig.- 4o). La vitesso absolue Va, d'un point Al de S2 ost la sommo gedometriquo deo la vitosse relative do Ml, qui est V2, ot de sa vitesse d'entrainemont, qui ost V1. Los vitossos absolues des diffdrents points do S2 sont donc los, m~mes

Page  58 58 PREMIE~RE PNRTIE. - NOTIONS PRl~fIMINAIRES. quc si S2 e'tait anine' d'une translation unique, dont la vitesse serait la somme g~om~trique des deux vitesses VI et V2.- On dit que les deux tranislations se composent en une seule. Decnmcme plusieurs translations se coinFig. tjo. posent en une scule, dont la vitesse '6gale la r~sultan.te des vitesses dJes translations donn~es. 40". Syst~me de deux rotations. -Soit un corps solide Si anim6 d(Line rotation Al to,; imaginons que cc corps Si entraine un axe A2 t2, et qu'un corps solide S2 soit, par rapport ~i Si, anim6 d'une rotation. c02 autour, (Ie laxe A2 to2 (fig. 41I). F;- Ot. 115g. 1 -1 (I Cherchons Ia vitesse absolue d'un point queleonque MI doi corps S2. La -vitesse relative. do point Al par rapport A SI est la vitesse V2 qu'il poss~de dans la rotationWt2 C'eSt le moment du vecteurWt2 par rapport A MI; la vitesse d'entrainement est la -vitesse VI que poss~derait NIl si ce point htait li6 ~ S1: c'est la -vitesse due A la rotation to1, ou le moment Jle to1 par rapport A NI. La vitesse absolue Va de NI est done le mom07ent re'sultant des deux veceiters to1 et to2 par~ rapport a NI. Cette vitesse est inde'pendante de I'ordre dans lequel se succ~dent les rotations to1 Ot to2. Examinons quelques cas particuliers io Les rotations sont COncourantes. Le moment r~sultant de to1 et to2, par rapport ~ un point- quelconquc Al, est 6gal an moment de leur r~sultante to (fig. 42). La vitesse absoluie do point NI est donc la minimc quc si IC Corps S2 6tait anim6 de la seule rotation A1 t.

Page  59 CHAPITRE II. - CINEMATIQUE. 3 59 2-0 Soient deux rotations parall~lcs WI et W2 nze fo-Ma7t pas un couple; le syst~me de ces deux vecteurs est 6quivalent A un vecteur unique A w, que, ion obtient par une r~gle connue (no 29). Donc le moment resultant par' Fig. 42. (0M ) A, A___ A2 rapport A un point M e6gale le moment de la resultante Aw. Les vitesses des diffi~rents points de S2 sont donc encore les me'mes que si le corps ktait anim6 de la seule rotation w. 30 Dans le cas oii. les deux rotations forment un couple, le moment r&sultant 6tant 6gal A l'axe du couple, quel que soit le point M, tous les points du corps S2 out me'ine vitesse. Les vitesses 'de ces points sont donc les m~mes que Si le corps S2 etait anime' d une translation dont la vitesse, serait e6gale A laxe du couple (fig. 43). Fig. 43. 6) 46. Rotations en nombre quelconque. - Soit un corps SI anim6 d'une rotation Al wl, cc corps entraine un axe A2 t2 et un corps S2, dont lc mouvement relatif par rapport A S1 est une rotation w02; le corps S2 entraine un axe A3W3 et un corps S3, dont le mouvement relatif par rapport S2 est une rotationW 6); et ainsi de suite jusqu'A un corps 5,,, dont le mouivement relatif par rapport ~ S,,1l est une rotation w,,. Nous dirons, pour abr6ger, que le corps 5,, est anibne' siinultanebn2ent des rotations w1, W2,..., W,,. Cherchons la vitesse absolue d'un Ipoint lMi invariablement lie' au dernier corps solide 5,,. Cette vitesse est 6'gale an moment resultant du syste'me de vecteurs wl, W2, *..., par rapport anpoint M. Comme cette proposition a e't6 e'tablie pour le cas de deux rotations, il suffit, pour l'6ablir dans tonte sa ge'neralite', de montrer que, si elle est vraie pour (n - i) rotations, elle est encore vraie pour n. Or la vitesse absolue d'un point Mv do corps 5,, est la somme g6om6trique de sa

Page  60 6o PREMIIERE PARTIlE. -' NOTIONS PRl~fIMINAIRES. vitesse relative V,. par rapport au corps Sn,_1 et de sa -vitesse delltrainemient Ve fg 44). Fig. 44. Ve A ~~A AI A_ A2 371 La vitesse relative de M par rapport h S,_1 est la vitesse due hi la rotation con),'s-hdr le moment de wn, par rapport At M; la vitesse d'entrainement dui point lM est e'gale Ai la vitesse qu'il aurait s'il 6tait invariablement 1ii au corps S,,-1, c'est4~-dire au moment r6sultant de Wl, W2,..., W1 -par rapport A M:la vitesse absolue, qui est la r~sultante.de ces denx moments, est done bien le moment r~snltant des vecteurs WI, 02,..., Wn, par rapport A Mv. Cette vitesse est ind~pendante de l'ordre des rotations. Le probl~me qui consisterait A combiner entre elles de la me'me maniere des rotations et des translations se ram~ne au pr~c~dent, en remplacant chaque translation par un couple des rotations. Cela pose', imiaginons un second systnime de vecteurs to', wI,,.. W/, Equivalent an premier wj, w)2, ~.,w,,, c'est-li-dire pouvant se dlduire dui premier par les oplrations 'lblenMtaires. Les deux syst~mes de rotations represent~es par ces -vecteurs donneront au point M la m~me vitesse; uls peuvent done se remplacer l'un lautre quand on ne consid~re que les vitesses. Voici les deux consequences les plus importantes de ce fait: 10 Un systelne de vecteur s est Equivalent A deux vecteurs, dont I'u passe par un point pris h volonte'. Done les vitesses des points du corps Sn sont les me'mes qne si le corps e'tait anime' de deux rotations, dont lune passe par un point pris A volonte' (Chasles). 20 Un syst~me de vecteurs est equivalent?s un vecteur unique w passant par un point arbitraire 0 et At un couple d'axe OV0. Done les vitesses des points du corps S,, sont les me'mes que si le corps l'tait anime' d'une rotation unique O w, appliqu~e en un point arbitraire 0, et d'un couple de rotations d'axe 0V0, c'est-di-dire d'une translation de vitesse OVo (fig. 45). Q uand le point 0 change, la rotation O w reste la me'me, la translation 0V0 change, mnais le produit g = OVo cos (w, Vo) reste constant. Si DDU est Faxe central du syst~me de vecteurs w1, W2,...-, Wfl, ce systlme est lquivalent ~t un vecteur unique w (rotation) dirig6 Snivant DDU et Ai un couple daxe minimum g (translation de vitesse g) dirig6 6galement suivant DD'. Les vitesses des points du corps Sn, sont done les m~mes que s'il C'tait anime' d'une rotation w et d'une translation g dans la direc

Page  61 CHAPITRE 1I. -- CINEMATIQUJE. 6 6 t irion de cette rotation; cc mouvement identique ~ celui d'unc vis dans un 6crou fixe s'appelle in-ouvenment he'licoidal; laxe D)D' est laxe instantane' de rotation et de glissemcnt. Fig. 45. (-W) 0 47. Cas particuliers. - Signalons les cas particuliers suivants, qui sont, avec d'autres expressions, les diff~rents cas 6tudi~s dans la th~orie des vecteurs (no 23). Si le moment minimum g est nul, le syst~n-e des rotations donn~es est equivalent A une rotation unique autour de laxe central. Si w est nul, le syste'me est 6quivalent A une translation unique. Si co et V0 sont nuls, le syst~me des rotations est 6quivalent it zero; les vitesses de tous les points du corps S,, sont nulles. 48, Consitquences g~omkriques. - 11 est 6vident que chacun des th~or~mes 6nonc~s dans le premier Chapitre, sur la th~orie des vecteurs, en. donnera un sur les rotations et les translations imprirn~es it un corps 5,,, si ion remplace les vecteurs par des rotations, les couples par des translations de vitesse e'gale it laxe du couple, et le moment retsultant relatif i un point M par la vitesse que possite ce point dans lc ruouvement do corps. Les thitoritmes de Gitome'trie relatifs aux plans et At leurs foyers, aux droites conjugu~es, aux droites de moment nul, auront des significations simiples; par exemple, si un plan LI est invariablement hit au corps S,, en mou'vement, le foyer de II est le point de ce plan dont la vitesse lui est normale, etc. Le fait qo'un nombre quelconque de rotations et de translations appliquites At un corps solide impriment At ses diffitrents points les mitmes vitesses qu'un mouvement hitlicoidal trouv\7e sa vitritable raison dans ce thetoritme que, dansIS lemouvenmen~t le pluts gitnjral d'un solide, les vitesses a un instant sont les metmes que dans wtn mouvement hdlicoi'dal. Cest ce que nous allons ditmontrer. 49. Distribution des vitesses dans un corps solide mobile. - Rapporions le mouvement 'a trois axes reciangulaires 01xj,yj,Z1 fixes dans 1'espace; eL, pour dd'finir la position dti corps, suppo

Page  62 62 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. Sons tirois axes rectangulaires mobiles Ox yz ren: cme les premiers, invariablement lie's an corps (fig 46). Il suffira de connalitre le mouvement de ces axes, qui sera de'fini. par les expressions des coordonne'es x0, Yo, Z0 de l'origine mobile et des neuf cosiflus directeurs des axes mobiles par rapport aux. axes fixes en fonecLion du temps. Nous supposerons ces neuf cosinus donne's par le Tableau suivant x y z 1 1 ~~~~~2 YI f3 I 2 Soil M uin point du corps, ayant pour coordonne'es x, y', z par rapport aux axes mobiles, x,, y,~, z, par rapport aux axes fixes. Les nombres.y-, zseront constants, car le Point M est linvariablement lie' aux axes mobiles. Les formules de changement de coordonne'es donnent -I XO +- OCX 4- a Iy ~I OC2 Z, -1 YO — P3 X -IY pl P32, Z O X Y4- + ~(y ~1 En diff~rentiant ces expressions par rapport 'a t, nouis aurons les projections de la vitesse V du. point M (fig. 46) sur les axes fixes d =CX1 dxO da dcqI dU2 C dy.I dy 0 d~3 dpi d32' c t it- dt cit dt t-dz dzt dt dy dyt Pour interpretLer ces formules d'une facon simple, cherchons

Page  63 CIIAPITRE II. - CINEI1MTIQUE. 63 les projections de la vitesse V sur les axes mobiles, projections que nous appelons Vx, Vr, Vz. On a evidemment V x=a V;,+ p V,-~-: V,, Vy = 1l Vxi 1 Vy V, V V. =:2 VX, t 2 Vy, -24- V,. Fig. 46. V y Calculons les seconds membres en y remplacant Vx,, Vy,, Vz, par les expressions ci-dessus, et remarquant que les quantites telles que dl cld d c it dt It * sont nulles, en vertu des relations a2 - p2__2 = T Puis, tenons comple des relations 1a L 1 -- pP2+ - = 20, C(1A.2 2 2 ^ C + = o2 2 4-2XI -+?- P1 0+,y( = (0, qui donnent, par differentiation par rapport a t, les formules da I dpI3 dl / da2 dP C^ \ cta + c-t - c- d t + dt dcli9 d ciB3. 9 / dc n idp dy\ dt- +i 2 - 2+2 d t+ t r7 + 2 dt ' dca cdB dy 7 dil (3 I: ' dyi\ a' (i + ~' 3[ + 7, a- - = - + - 'LI da d ^ dl _t + t ct dlont nous posons les deux termes egaux a des quantites p,, i'. Nous trouverons ainsi Vx= V~ + qz - ry, Vy = V 4- rX — p, Vz = V~ +py - qx,

Page  64 64_/ PIREMIER1E PARTIE. - NOTIONS PRl~fIMINAIRES. Vj, V ' V de'signant les projections de la vilesse Vo du poinL 0 sur les axes mobiles c/cc0x dyo dzo dt d t dt' Ces formules ont -une signification -simple. Elles montrent que la vitesse V de chaque point M du corps solide est la somme geome'Lrique de deux vecteurs; l'un Vo, le me~me pour tons les points iN, e'gal et paraildel 'a la vitesse du point 0; l'au ire it, variable aveT c la position du point MI et ayant pour projections sur les axes mobiles qz - ry, r-x - pz, py - qx. Le -vecteur VJo est la vitesse qu'osderait le point NI, si le corps solide e'Lait anrne6 d'un. niouve~ment de translation de vitesse VO; le vecteur ia est la vitesse que posse'derait cc Meme point, Si le corps solide etait anim6 d'une rotation Ow, ayant pour projectionsp, q, r' sur les axes mobiles; cette rotation se nomme r-otation instantanee. On exprime cc fait en disapt que la vitesse d'un point quelconque du corps est la Iresultante d'une vitesse de translation egale &'1 la vitesse. d'un. point quelconque 0 du corps et d'une vitesse de r'otation a itto ur d'un axe passant par- 0. Les composantes. de la vitesse, suivant les axes fixes 01 xi, Olyl, 04, ], se de'duisent immediatemient de ce re'suliat. D'abord les projections de VO sur les axes fixes sonL dxoc dlyo dzo. dt' lt' dt'~ puis, en de'signant par pi, q1, r14 les projections de la rotation instantane'e Oro sur les axes fixes,7 on a, d'apre~s les fornmules relativ~es aux. rotations (no 42), l'expression suivante pour la projection du vecteur at sur l'axe Ox, q, (z1- z0)- r,(y, -yo)La projection de la vitesse V sur Ox, est donc d ct dit on a deux formules analogues pour Vy etz

Page  65 CHAPITRE I[. - CINEMATIQUE. 65 50. Axe instantan6 de rotation et de glissement. - L'dtat des vitesses des diffirents points du corps solide etant le meme que si le corps etait anime d'une rotation Oo et d'une translation OVO est le meme que si le corps etait anime de trois rotations simultanees, la rotation Oo et deux rotations oo, - to formant un couple d'axe OVO. D'apres ce que nous avons vu dans la theorie de la composition des rotations, l'etat des vitesses sera le meme qcie si le corps etait anime d'un mouvement helicoidal autour de l'axe central du systeme de vecteurs w, oo, - 0o; les equations de cet axe s'obtiendront en cherchant le lieu des points dont la vitesse est parallele a la direction de la rotation instantanee to (fig. 47). On a ainsi Fig. 47. D w c G __ 9 AY o\ 0' D' pour les equations de l'axe instantane DD' de rotation et de glissement, par rapport aux axes mobiles, V -+ q z-r y V_ V+ rx -p V~ '-py -q x (D) - P q et, par rapport aux axes fixes, dxt + q(z-Zo) — 1(yj yo) W-tl (DI) pi dt -+ (x- X) +-Pi(Zi - Zo) qant e glissement estim i g e'tant le glissement estime positivement dans le sens de to, la va I..

Page  66 66 PREMIIERE PARTIE. - NOTIONS PRl~fIMINAIRES. leur conmmune de Lo-Lis ces rapporis est dxO q y CIO ClZ gpY0 qV +rYq 217Th~ 11 2f f Les cas particuliers qui peuveni se presenter sonL les suivants SI f esL nu], le glissement est nul; si f esL infini, la rotation est nulle. 5i1. Grandeur de la vitesse d'un point du corps.- Prenons un p'oin t Al (Il corps situe' ~ une distance ~ de l'axe instantane' de rotation et de glissement DD. La xitesse due A la rotation esL un -veceur MIU perpendieuFi g. 418. Iq & - D'I laire au plan MDD' e'gal Ai co'; la vitesse due A la translation est un vecteur Mg 6ga1 et parallle A g. La vitesse resultante V est done da-ns un plan perpendiculairc ~i; clle est-donne'e par V2 - 02 ~2~-Ig2, ta ngV Quand Ml d~crit la droite ~ perpendiculaire As DD', V engendre un paraboloide hyperbolique. Ces propositions donnent, sous une forme simple, la distribution des moments resultants autour de laxe central dans un systhnec quelconque de vecteurs, co etant la re'sultante g~ne'rale et g le couple minimum (n '12). 52. Mouvement continu. - Le lieuL ge'ometrique de F axe instantane' de rotation et de glissement~dans le corps,est une certaine surface re'glee E dont on obtiendrait le'qtation en Miminant t entre les e'quatioDS (D) de l'axe par rapport auLx axes mobiles; le lietu du. ineme axe danS l'espace absolu, c'est-a-dire par rapport aux ax-es

Page  67 CIIAPITRE 11. - CINEMATIQUE. -6 fixes, estL une autre surface re'glee E, dontL on obtiendrait 1'e'quation at laide des e6quations (D, ). A un instant quelconque, ces deux surfaces ont une ge'neratrice commune qui est l'axe instantane' ceeL instant. Elles sont de plus Lanbentes le long de cette ge'neratrice. En effet, soient A la ge'neratrice commune 'a 1instant t, A' Ia gdne'ratLrice de E infiniment voisine de A qui coincide "a i'instant -A — dlt avec lagTerahcA'd-E infinirnent voisine de A, Pd un point quelconque de A et P un point de A'infiniment voisin de Md; le plan tangent en d 'a E diffre infiniment, pea du plan AP. De'signon s par P4 le point de A' qui coincide a-vec P "a linstan't I +-I dt; le plan tangent en Pd 'a Y, dCifre infiniment, pea duL plan AP1 (fig'. 48 bis). Or on ame'ne lc point P ~ coincider avec P1 par Fig. 618 bis. A JA' \A' M uine translation PPI paralldel 'a A (glissement) suivie d'uine rotation infiniment, petite autour de A; par suite, on fait co'fncider le plan AP avec le plan AP, par une rotation infinirnent petite autour de A. Les plans tangents en Md aux deux surfaces sont donc- les rnemes, car uls diffe'rent infiniment peu. des plans AP et AP,, qui diffrent. infiniment pen. 1un de 1'autre. On pent donc se representer le mouvement general d'un solide de la fa~on suivante, qui a d'te indiqud~e par Poncelet Une surface re'glee liee ati solide se wneut suri tine surface teg-le'efixe a' laquelle elle est tan gente suivant une gendratrice et sur laquelle ellei- oule en glissant le long- de cette g'enelwtr-ice. Examinons quelques cas particuliers de ces the'ore~mes. 5j3. Le corps solide a un point fixe. - On peut prendre cc point fixe pour origine 0 des axes fixes et des axes mobiles. La vitesse du point 0

Page  68 68 PREMIE~RE PARTIE. - NOTI-ONS PRELIAIINAIRES. 6tant nulle, les vitesses des diffe'rents points du corps sont les n-i~mes que si le corps tournait aittour d'un axe passant par le point fixe (Euler) cet axe se nomme axe instantan6d ce rotation; laxe du mouvemeiit h6licoldal coincide avec lui, mais le g-lissein-ent du. MOUVeMent h~licofdal est nul; la rotation instantan~e seule subsiste. Le nmouvement fini du corps s'obtient en faisant roUler- le cine C de sommet 0, lieu des axes instanitan~s dans le corps, sur le CO'De C1 de ine'ine sommet, lieu des axes inDstantan~s dans l'espace. Les points du corps situe's Sur une spb~re de centre 0 forment unic figure sphe'rique de forine invariable mobile sur cette spb~re. Les co'nes C et C1 de sommet 0 conpent cette sph~re suivant deux courbes c et c1, la premiere c invariablement lise A la figure sph~rique mobile, lauitre cl fixc sur la sph~re. Le mouvement de la figure sphe'rique s'obtiendra en faisant rouler la courbe c li~e ii cette figure sur la courbe fixe. cl. 54. Le corps se d6place parall~lement A un plan fixe. - Les -vitesses (]es diff~rents points du corps sont alors paralilels 'a un plan fixe 11: on pent considdrer cc cas comme limite du prec~dent lorsque le point fixe 0 s'61oiffne inde'finiment dans une direction perpendiculaire au plan HI. Une sph~re de centre 0 passant par nn point d~termin6 du corps se re'duit alors Ai un plan parallle au plan HI on, si Ion venct, A cc plan lui-men7ee; tons les points du corps situes a un certain instant dans cc plan y restent ind6 -finiment et forinent nne figure plane de forme invariable mobile Sur uni plan fixe. Le monvement b~licofdal instantan6 se r~dnit encore A une rotation dont l'axe est perpendiculaire an plan HI. Le lien des axe s instantan~s d-.e rotation dans le corps est un cylindre C, dans lespace, tim cylindre Ci (le g~n~ratrices perpendienlaires an plan II; le niouvement fini s'obtient en faisant rouler sans glissemient le cylindre C sur C1. Les points du corps situ~s dams le plan HI forment une figure plane invariable dont le mouveinent fait 6videmment conmaitre celni du corps entier; cc mouvement s'obtient par le ronlement de la section droite c du cylindre C par le plan H sur la section droite ci, du cylindre C1 par cc m~me plan. )5.~3 Roulement et pivotement d'une surface mobile sur une surface fixe. - Imaginons nn corps solide mobile termine' par nine surface rigide S assujettie Ai rester en contact avec nine surface fixe S1. A ebaque instant t, tin certain point A de la surface mobile S se tronve en contact avec un lpoint A1 de la surface fixe Si. Si, & linstant t, la vitesse VO du point A (Ic S qui se tronve au contact n'est pas nulle, cette vitesse est situ'e dans lc plan tangent commun aux. deux. surfaces an. point de contact: en effet, soient B le point de contact & l'instant t -i — dt, A' la nouvelle position de A; les vecteurs BA1 et BA' 6tant dans le plan tangent commun en B aux. deux surfaces, il en est de m~me du vecteur A1 A' qui est Ic de'placemrent absoiu (lc A. Les vitesses des difl6rents points du corps solide mobile sont les me'mes que si ce corps 6'tait anime' d'une translation de vitesse VD et d'une rotation

Page  69 CHAPITRE LI. - CINEMIATIQIJE. 3 6o A o autour d'un axe passant par A. On dit que in surface S r-orle et pivote sur SI quand, ~ chaque instant t, la vitesse da point A qui est au contact est nulle. Dans cc cas, V0 ktant nul, les -vitesses des points dui solide mobile sont ~ chaque instant les m~nies que si le corps ktait nnimi6 d'une rotation Aw autour d'un axe passant par A l axe instantan6 de rotation et de Fig. L19. w gliss ement passe d~onc par A, et le gl-issernent est nul. Le lieu de Aw dans lc corps S est une surface r~gl~e Y-, dans lespace absolu, une surface r&3 -glue El; le mou-vement s'obtient en faisant rouler X sur El. Le lieu dii point A sur S est une courbe C, intersection del X avec S; le lieu du point AI sur SI, une courbe C1 intersection de El avTec SI ces deux courbes roullent aussi lune sur lautre. La rotation instantan~e A w peut 6trc d~composee en deux l'Fune A o,, normale aux deux surfaces qu'on appelle la vitesse angulair-e de pivoteInent, lautre Atut situ6e dans le plan tangent qui est la vitesse de r-oulement. Lorsque le mounvenment est tel que la vNiteSse de pivotement co,, est constamment nulle, le mouvement de S sur SI est Lin rouleinent. IV. - ACCELERATIONS. THEOREME DE CORIOLIS. 56. Distribution des acce6lerations dans un solide en mouve ment. - Dans le ens general, les projections de la vitesse d'un p.oint M1 dii corps sur les axes fixes x4,y, z, e'tnnt dy 1 I b + r1 xl -pi ZI, C c ply1-qlxl, o&t a, b, c de'signent les q uantLitLes V, - q1l zo + r, yo, etce..., on obtient les projections de 1'acce'lerati-on de ce point en diffdren

Page  70 70 PREMIIERE PARTIE. - NOTIONS PRELItIIHNAIRES. tiant ces formules, qui donnent d2xl a d zl cly cl dq1 dil1 -q- — 1 - y dt2 ct ct t i t 1 dt dxa1 ou, en remplacant les derivees premieres c — par leurs valeuirs reddui sant et faisant p' + 2q -+- r 2 2, cl slccd cit -- i d qlc- rq. 7 ----p (/pix- 4-qlyi 'q-4 riil) dt21~d i d d -- d2x q -I - I d t dt En permutant les lettres, on aura de meme les expressions de d2yd1 ci2z cdt et -dt- c'est-a-dire les projections de l'acceleration sur les axes fixes. 57. Acceleration dans le mouvement relatif. Th6oreme de Coriolis. - Nous avons donne precedemnment (n~ 43) un theoreme d'une grande importance liant l'une h l'autre la vitesse absolue d'un mobile et sa vitesse relative par rapport a un systelme (S) aninm d'un mouvement connu. Nous nous proposons d'exposer un theoreme du meme genre, liant l'une a l'autre l'acceleration absolue et l'acceleration relative. Nous allons employer une me-thode analytique qui donne aussi le theore'me sur les vitesses precedemment demontre par la Geometrie (n~ 43). Pour definir le mouvement du systeme de comparaison (S) par rapport auquel on etudie le mouvement relatif, nous supposerons trois axes mobiles Oxyz invariablement lies a (S), et nous definirons leur mouvement comme nous l'avons fait dans le n~ 49. Soit M ]e point mobile: comme il se deplace a la fois dans le systeme (S) et dans l'espace absolu, ses coordonnees par rapport aux axes lobiles x,,z seront des fonctions du temps, ainsi que ses coordonnees absolues x,,,y,,. Ces coordonnees sont liees par les 'formules XI = Xo -+4 aG - - C1x-I -'- a;2zk ( zI -..0 -+- -x -'- Y -+-' 7^.Z

Page  71 CHAPITRE II. - CINEMATIQUE. 71 Le point mobile M a une vitesse et une acceleration absolues ayant pour projections sur les axes fixes (VJ) (Ja) dxi dt' clt ' clyl dt ' dit2 dzi dt ' dt2 I Fig. 5o. il a une vitesse et une acceleration tions sur les axes mobiles (, ) (J,,) clx dx dt cfta-r ~df-' dy c12y relatives ayant pour projecdz dtV d2 Z dt2 ct sur les axes fixes dx dy dz 7 d -i- xjT dt x dt dIt dt dx dy dz d i-+ I dt2 + t7 ' dt ldtt + 2 dt2 pldx d2y cl 2z dt2 x d s z2 d xT d2ydl d.z '; clt~-72 ' -TY-; clt' (J,')

Page  72 72 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. Le point a aussi une vitesse et une acceleration d'entranement ayant pour projections sur les axes fixes dxo dx c dia dC ( V e ) ( —~- +- X d[ -+ y w —ff -' z —w, ~ - dt - d yT- ~ c-~ d on appelle vitesse et accdldration d 'enratnement d -u point la meit lie aux axes mobiles. La direntiaion des for Culesiy dy 2onne d x1 dax d2 d22 d2 dt dt2 dt l dt -(- 2) T —[ - T d d-t Y dt2 dt2 ) dt2 d t c23 c^^ dt2 d dxt d dyi dt2 TdF Xd dtr dt dt " dt dt /' et formules obenues en regardant x y, comme constantes, car on appelle vitesse et accelesuation d'entrsidnement du point M la vitesse et l'acceleration qu'aurait ce point s'il eLtait invariablement liie aux axes mobiles. La differentiation des formules () donne I / i=2( d I d xx d2 cly d2 dz (2) dtJYi = 2 -d dt - c t2 d (d: dx d da1 dY d 2dz) c~~ dl t d t d t dt c'tc et deux formules analogues pour les derivees secondes de y, et z\. Pour interpreter ces equations, considerons le vecteur J' ayant pour origine le point M et pour projections Sur les axes fixes les quantites ( dcdx x d22I dy du2 dz X dt dt dt dt dt dt)' (J') IJ dp (ddx d3 i ddr d3, ddz\ i ( dy dx clyI dy dy, dz zn a e edt dt it ct dt adt On appelle ce vecteur F'acceleration complementair-e. Les

Page  73 CHAPITRE II. - CINEMATIQUE. 73 equations (2) expriment que la projection de Ja sur chacun des trois axes fixes est egale a la somme des projections de Jr, Je et J' sur le meme axe, c'est-a-dire que, dans l'espace, le vecteur J, est la somme geometrique de Jr, Je et J'. L'acceleration absolue est done la resultante de l'accele'ation relative, de l'acceleration d'entratnement et de I'acceleration complmeentaire. I1 reste a trouver une interpretation simple de J': pour cela, cherchons les projections de J' sur les axes mobiles J3, J', J~. On a evidemment JJ. = +r, pJ, -tJ YJ ~ -.J. 'Le systeme de comparaison (S), par rapport auquel on etudie le mouvement relatif, constitue un corps solide ou systeme invariable en mouvement. En appliquant a ce systeme les resultats de l'etude faite precedemment, nous savons que les vitesses des differents points de ce systeme invariable sont, ia 'instant considere, les memes que si le corps etait anime d'une certaine translation et d'une rotation instantanee o ayant pour projections sur les axes mobiles p, q, r, avec claa d 2 t 2 72 d clt d d (d - d ~t + ~ q dt 2 t dy)t Ces formules etant rappelees, on trouve immeidiatement J/. dt d/ dz cly - 9~ c-i / dy cldx dt dt ' J t P) z dt qclt Si done on considere le point Vr (fig. 5o) ayant pour coordondx dy dz nees par rapport aux axes mobiles — t, /-T ', c'est-a-dire 'extrenite du vecteur OV' d'origine 0 egal et parallele a la vitesse relative Vr, les'projections de J' sur les axes x,y,z sont egales aux doubles des projections de la vitesse que prendrait ce point V. si l'angle oOV, suppose invariable, tournait autour de l'axe Oo suppose fixe, avec la vitesse angulaire C. Le vecteur J' est done en grandeur, direction et sens, egal au double de cette vitesse, c'est-a-dire au double du moment de o par rapport au point V.; il est applique au point M. On peut, en detaillant, le definir comme il suit: le vecteur J' est perpendiculaire au plan toOV, de

Page  74 74 PREMIIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. l'axe instantane et de la vitesse relative; il a pour grandeur Ic double du produit de o par la distance du point V;. ' l'axe Oo, c'est-a-dire a Vr sin(o, V,-); enfin il est dirige par rapport au plan oOV,' du cote oh la rotation instantanee o tendrait a entrainer l'extremite V' d'une parallele OV t' la vitesse relative. En resume, on a (Va) = (V,.) + (Ve), (Ja) = (J.) -+ (Jc) + (J'). Ce vecteur J' est nul si 1'un des trois facteurs to, Vr, sin (to,Vr) est nul. Le cas le plus important est le suivant. 58. Mouvement de translation des axes mobiles. Composition des mouvements. - Si (o est constamnmez t nul, la 7otation instantanee est toujour7s nzulle. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les axes mobiles aient un niouvement de translation; lfacceleration absolue J^ est alors la r7sultante de 'naccelecratioln 'elative Jr et de l'accele-ratio7 d'entratnenzent Je. Ce cas particulier du mouvement relatif porte le nom de composition des mouvemenets. Pour definir le mouvement de translation des axes mobiles, qu'on peut alors supposer paralleles aux axes fixes (fig. 5 ),ilsuffi tevidemment de definirle mouvement d'tun Fig. 5i. M e de c c q pOint 0 dul syaste de comparaison, ce q e on peint fire te lonnant la variation du vecteur 0 0 en fonction du temps; le mouvement relatif de M est defini de menme par la variation du vecteur OM. Le mouvement absolu de M, defini par la variation du vecteur resultant O0 M, s'appelle moutemenent 7esultanit cles ceux premiers; d'apres ce qui precede, la vitesse et l'acceleration de ce mouvement sont les sommes geometriques des vitesses et des accelerations des deux mouvements composants.

Page  75 CIIALITRE II. -- CINEIATIQUJE,. I EXERCTCES. 1. Hodopraphe. - Un point Al 6tant en mouvement, on nihne par tin point fixe 0 Un vecteur OMl' 6gal et paralide hi la vitesse AIV du point A l'instant t. Le lieu de cc point MLF est une courbe appcl6e hociograp he. La vitesse du point A\l' est 6-ale et parall~le A l'acc~l~ration du point Al. 2. D6terminer la trajectoire d'un mobile sachant cju'elle est plane et que les comlposantes tangentielles et normales de l'acc6l6ration soot constantes. Beiponse. - En comptant le temps t A partir d'un instant convenable, et la —re doe trajectoire s S partir d'une origine eonvenable, on trouve s — at2, -, LC nol p est le rayon de COUrbore, a et b des constantes. La trajectoire est une spirate logarithmique. 3. Un mouvement qoi a lieu dans on plan est, d~fini par deux 6quations faisant.connaitre les coordonn~es polaires du miobile 7r et 0 en function do temps. On demande dle calculer soit directement, Suit COMinle application de la th~orie do mouvement relatif, les composantes de la vitesse et cde l'acc6l6ration suivant le rayon vecteur et la perpendiculaire au rayon vecteuor. Riep~oise. - Composantes de la vitesse di' d (lc l'acc6l6ration di — A 2~ - A2~~~~ cit2 - cIt d' it cit1 4. Un mobile parcourt une lem-niscate ~2 = 2a2CO 2 0 avec une vitesse de grandeur constante a. Exprime ]i es coordonn6es do mnobile en function du temps et calculer l'acc~l6ration. (Cet exercice exige la eunnaissance des functions elliptiques.) Response. - Suit s larc de courbe compt6 h partir do point ofl 0 o. On tronI ve at t S _ _ _ _ _ _ _ _ rl/\(2' ') (2a'- r'2) r =-aV/2 cnt, csOS dnt,, s i n s snt, le module des functions elliptiques 6tant -;on en ddduit imm6diatement x et y, 2' en function de temps. 5. D6montrer que, dans on corps solide en mouvement, S un instant donn6: a. Le lien des lpoints do corps dont les points ont des vitesses concourant en no l)oint donn6 est, one cubiqoc gauche;

Page  76 -6 PREMIERE PARTIE. - -NOTION-S PBELI4MINAIRES. b. Le lieu des directions de ces vitesses, un edne da second de-re; c. Le lieu des points dont la vitesse a la m~ine grandeur, un cylindre de rdvolution autour de laxe du mouvernent hldicolfdal (CIIASLES). 6. Dans un corps solide en mouvement, les plans normaux aux tiajectoires des points du corps situ6s dans un m~me plan passent par un m~ime point; les plans normaux aux trajectoires des points situ~s sur une droite D passent par une droite A; les plans normaux aux trajectoires des points d'une surface d'ordre /it enveloppent une surface de classe m (CHASLES). (Ces propridt6s r~sultent imm6 -diatement des propri6t6s des plans et de leurs foyers, indiqu~es dans le no 12.) 7. Les plans normaux aux trajectoires de deux. points quelconques a et b du corps rencontrent l'axe D de rotation et de glissement en deux points a, ~, qui sont les pieds des perpendiculaires abaiss6es des points a et b stir lui. De sorte que Ion a a, _ab cos (ab, D ) (CHASLES). 8. Si Ion considre les vitesses que possi~dent au nmhme instant les diffhrents points -d'un solide comme des droites ind6finies, ces vitesses forment un cornplexe du second ordre dont les coniques sont des paraboles (exercice identiquie 1' exercice 8, page 4o). 9. Dans un corps solide en mouvement, on projette At un instant t les vitesses des diffetrents points du systbmne sur un plan 7 perpendiculaire ft Faxe central; dbmontrer que ces projections sont perpendiculaires aux droites joignant les projections des points sur le mftme plan au pied de laxe sur ce plan. '10. Construction det laxe inlstantane' de ro0tation et de gliSSeMenlt cl'apr~s Poncelet. - On m~ne par un point arbitraire 0 de lespace trois vecten~rs OV, OV',1 OV" 6gaux aux vitesses de trois points M, Ml', M" du corps; laxe instantan6 est perpendiculaire an plan -r.des trois points V, V7, V'. Projetons sur cc plan deux des points Al Ct AF en m et m' et leurs vitesses en 71w et inVe; les perpendiculaires Mev~es en mn et nt' ft inv et 71 se coupent an pied de Faxe sur Ie plan 7-z. L'axc est donc dkterminft. I1. Un corps solicle est mobile autour d'un point fixe 0. Ddmontrer que, si laxe instantan6 de rotation est fixe dans Ie corps, il est aussi fixe dans lespace, et que Ic mouvement du corps se rbclnit At une rotation autour d'un axe fixe. 1R6ciproquemient, si laxe instantanft est fixe dans 1lespace, il est aussi fixc dans le corps. 12. On considbre une courbe gauche rapportbe ft des axes fixes 01 xy, et sur cette courbe un point mobile 0 dont les coordonn6es sont des fonctions donnbes de lFarc s. On suppose que le mouvement du point 0 est dftfini par 1'dquation s =t et l'on considdre le tribdre trirectangle Oxyz form6 par la tangente Ox dans lc sens du mouvement, la normale principale Oy dans le sens du rayon de courbure principal p, et la binormale Oz. at. Trouver les composantes p, q, r, de la rotation instantan6e du tribdrc mobile suivant les axes mobiles. Re~ponzse. p -, q o, r-i ( rayon de torsion) ft. Trouver les 6quations de Faxe instantan6 de rotation et de glissement.

Page  77 CIIAPITRE IL. - CINE3lITIQUE. 7 7 7 13. Ddmontrer, en vcrtu de la propridtd prdc6dente, que Si const., la courbe est one Mdice trac~e sur on CYlincire cjuelconque (BERTRAND). ( On consid~re nn tri~dre auxiliaire O~x'y'z' ayant son origine fixe et ses ar~tes paralleles aox. axes mobiles O xyz. Si const., Faxe instantan6 de rotation de cc nooveau tri~dre estfixe dans le tri~dcre, par eons~quent fixe dans l'espace (exereice II ), et la tangente Ox A la courbe fait avec la direction de eet axe fixe an ang-le constant). 14. Une droite AB de lespace est invariablement li~e A on axe fixe Oz, autour doquel. elle tourne, avee one, vitesse angulaire constante w. Un corps solide C, invariablement lid A la dioite AB, tourne aotoor de eette droite avec la mdmce vitesse angulaire relative to. Trouver, ponr ce corps solide C, laxe instantan6 de rotation et de gis sement, la surface r6glde fix e et la surface rdglde mobile ~ 130. On fait rouler on cylindre de rdvolution (C) dans on cylindrec de rdvolution ( C') de rayon dooble, en le faisant glisser en mdme temps paralllement aox gdndratrices, de telle facon qoon point dn cylindre (C) ddcrive one droite Jixe rencorntrant ndcessairement l'axe do cylindre (C'). Ddmontrer que, dans ce moovement, tous les points du solide mobile ddcrivent d~es ellipses. Ce moovemnent est, en excluant le cas d'on ddplacement paralidle A on plan fixe, le seal clans leqael toas les points de la fig-ure Mnobile paissent cleCr7ire des courbes planes. (Voir DARBOUX, Coinptes renclas, t. XCII, 00 Annales cle l'Ecole N07rmale, 1890.) 16. Ddmontrer qu-c Ion pent obtenir le ddplacement contino d'un corps solide par le procddd suivanti, imagin6 par Poinsot. Un cflne C de forme invariable, lid ao corps solide, roole, sans glisser, sor un cbne C, de forme invariable, anim6 don mouvement de translation. (La ddmonstration se fera factilement en prenant on point fixe qoelconque 0 clans le corps solide et 6todiant le moovement relatif do corps par rapport A des axes 0 x'y'z' de directions fixes mnend~s par 0. ) 17. Le lieu des axes de coorbure des trajectoires des diffdrents points d'unc (Iroite le long de cette droite est on byperboloide; le lieo des centres des splidres oscolatrices est one cubique gauche ( MANNHEIM). 18. Sar le theordme de Coriolis. - Si la rotation instantanDe to do systdme de comparaison est la rdsultante de deux rotations to' et to", l'accdldration compl6 -inentaire J' est la rdsultante des deox accdldrations compldmentaires qui seraieut dues aux. rotations composantes to' et to". Si la vitesse relative V,. est la rdsultante de deux vitesses relatives V'. et V', l'accdldration compldmentaire J' est la r6sultante des deox accdldrations compl6 -mnentaires qui seraient dues aux vitesses composantes V". et V," (RESAL).

Page  78 PREMIERE PARTIE. -~ NOTIONS PRELIMINAIRES. CHAPITRE III. PRINCIPES DE LA MftCANIQUE:FORCES, MASSES. 59. La Me'canique repose sur un petit nombre de principes cqu'll est impossible de verifier directementL et auxquels on a te conduit par une tongue suite d'inductions: les consequences qu'on en de'duit sont ve'rifie'es par i'observation. La premie~re ide'e de ces principes remonte 'a Galilee qui., dans lYkude des lois de la chut e des corps (plan incline, pendule, mouvement parabolique), a in1 -troduit les notions d'inertie, d'acce'leration, de composition des nmouvements. iluygens fatL le continuateur de Galile'e dans la the'orie d~iimouvement d'un point:ilie'tudia le premier le mue mient, d'un syst~ime maLeriel. Enfin Newton e'Lendit le champ de la Me'can-ique par la de'eouverte de la loi 'attraction universelle iifl formula explicitenment les principes en trois propositions qui portent actuellernent les noms de pl-incipe de l'iner-tie, pr-incipo~ des inouveinents relatifs, pl'incipe de l'egalite' de l'ciction, el d~e I1(1 reaction. I. - PRINCIPES. 60. Point mate'riel. - Afin de commencer par le proble~me le pins simple, on e'tudie d'abord le mouvenment d'nne portion de, matie~re assez petite pour qu'on puisse, sans errenr sensible, d&'terminer sa position comme celle d'un. point ge'ome'trique. Une telle portion de matie~re s'appelle un point mnateliel. On consi-. dare ensuite les corps comme formn's par la reunion d'unn tre's grand nombre de pointLs materiels. 61. Principe de 1'inertie. - Ce principe comprend deux parties:iI' Quand tin point mate;'liel est en r-epos dans l'espace, si acitctne aiction exute'tcure ne s'exer-ce suly lid, il reste en r-epos,

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Page  79 CHAP. III. - PRINCIPES DE LA,.1LECANIQUE FORCE, MASSE. 7 20 Quand liln point mnateriel est. en mouvernent dans l'espace, si aucuine action exterieure nie s' exerce suir Iiti, son moiv'einent est rectiligne et uniforme. Certains fails semublent, en contradiction avec la seconde paric du principe price'dent. Ainsi, quand on lance une'bille stir inuc surface plane horlizon tale, on voit la bille deicrire uine ligne droite; mais, quoique l'action qui a produit le mouvenment ne s'exerce plus suir le corps, la vilesse diminne graduellement ci finit me~me par' s'annuler. Cetie 'diminutiion provient de cc cque le fait seui du mouvernent faiL naitre d'autres actions qui s' exercent stir la bille, lc frotiement etla resistance de lFair. 62. Forces. - It re'sulie de ce principe que, si Lin point maiedriel d'abord en repos se met en motivemneni, on, plus ge'neralemnent, si un point materiel en mouvement n'cst pas anime' d'un mouvement rectiligne et uniforme, certaines actions exueirienres an point s'exerccnD. sur lui. On donne le nom. de forces "acs c Lions qni prodniseni on modifienL le monvement d'nn point mal&' riel, ci lon diL quc le point est solliciLe6 par des forces on encore qjie des forces lni sont appliqne'cs:le point maieriel est alors le, point d'application des forces. Une force qui s'cxcrce sur un point rnaleriel en repos ci cor1 -ple"LementL libre le met en mouvement ci, par suite, lu~i fail acqu&,.rir une vitesse finic an bout d'nn certain temps, apres liui avoir fai l prendre, conformeiincnt 'a la loi de contintui~e, troutes les vitesses inierme'diaires. Nous regarderons comme e'vident cc faii quc lc mouvement, communiqn6 par une force 'a nn point maie'riel en repos, presente les me'mes circonsiances quc lcs monvements 6iudie's en Cine'matiqnc, a' partir d'un instant o&l la vitesse est nutlie. Sons i'action de la force, le mobile, parLani du repos en M0, de~crira une cerLaine trajecLoire:la vitesse iniLiale dn mobile V0, sera nulle, lacce'leraiion initiale M0J0 sera dirige'e snivant la Langenie, dans le sen~s du monvemeni, car la composante norm ale de l'acce'heraiion est nulle au debut avec V,. Le premier effet de la force sur le point sera donc de lui imprimer une certaine acc&'lh'ration initiale Jo. 63. Principe des mouvements relatifs et de l'inde'pendance des effets des forces. - Quand, sous 1'action de certaines forces,

Page  80 8o PREMIERE PART LE. - INOTIONS PRELIMIINAIRES. un sj-ste'me de points materiels inde'pendants les uns des autres ont an, motivement commun de translation dans l'espace, si une for-ce noutcelle agit stir l'uin des poinitS, le mouvemnent relaitif que prend ce point clans le syste'me est inde'pendant dit inouvement ge'nerail de translation dut syste'me, c'est-a'-dire est le ineme que si le systernie etait aut repos. De ce principe on de'duiL le re'sutaM suivant. Soit un syStmene de points M, A, B, C,..., aninmes d'uin mouvement de translation Fig. 59. J~~~~~~~~e B C coinrnin dans leciuel la vitesse et l'accelleratLion d'entrainemenL ontuninsattV tJ;S une force nouvelle agit pendant le temps t - to sur l'un des points, M, par exemple, elle tuii imprime at l'instant t, par rapport an syste'me, une certaine vitesse et une certaine acceleration relaiives Vr et J,. qui sont e6gales "a celles que p)rendrait, 'a 1'instant t, le M eme point MI s'il e'tait parti du repos At linstant t0 sous lFaction de la n, me force. La vitesse et l'acce'le'ration absolues Va et Ja du point M au temps t seronL done donnees par les formules (Va) =(VI.) A-(Ve), (Ja) (Jr) -A(Jo) exprimant des e'galite's geometriques. 64. Consequences du deuxi~me principe.- Composition des accel~rations. - Si les points MI, A, B, C,..ont e&6e lance's avec des vitesses V0 e'gales, paralid'les et de M eme sens, et ne SOnt SOUMis it l'action d'aucune force, le mouvement de translation est rectiligne et uniforme; la vitesse d'entrainement Veest Vo, l'acce'he'ation d'entrainement Je est nulle. L'accele'ration absolue qu'imprime une force au point M en un certain intervalle de temps est alors e6gale 'a 1Facce'leration relative qu'elle lui imprime, c'est

Page  81 CHAP. III. - PRINCIPES DE LA MECANIQIJE FORCE, MASSE. 8 i a-dire "a lacce'leratlion qu'elle lui imprimerait dans le me'me intervalle de temups s'il partait dii repos. Cette acceliration est, done inde'pendante cle la vitesse V0 avec laquelle le point a 6te' lance'. Plus ge'neralement, imaginons qu'une force agissant suir un point maheriel partant. du repos, pendant un eertain -temps i -to lui imprimne une vitesse V etL une ace'leratLion J; qu'une deuxine m force, dans une deuxi'm-e experience, agissant sur le men-me point partant du repos, lui imnprime, dans ile temps t - to, une vitesse VCt une acceleration J'. Si les deux forces agissent simultane'ment sur le point partant du repos, cules lui imprimient, dans le me~me temps t - to, tine vilesse eigale 'a la somme geome'trique (V) +4 (V) et une acceleration eigale 'a (J) -A~- (J'). En effet, prenons un systeme de points identiques M, A, B, C,... partant du repos et faisons agir stir tons la premie~re force 'a partir de l'instanLto t; les points prendront un. nmotvement, de translation commun dont la 'vitesse et l'acce'leration an temps I seront V et J, par hypothe'se. Si maintenant, an debut. de cc mouvernent, I == t, Onl faitL agir sur M la deuxie~me force (ce qui revient 'a faire agir sur lui les deux forces en me'me temps), le mouvernent relatif que prend M est le me'me que si M partait du repos et, an Lemps t, sa vitesse et son acceleration relatives sont V et J'; sa vitesse et son acce' le'ration absolues sont done (V) +d (V') et (J) -H- (J'). Si le point M e&ait soumis simultane~ment "a lFaction des deux forces, mais etait animie d'une vitesse initiale' V0,'sa vitesse au temps t serait (Vo) -A — (V) +d (V'), mais, d'apre~s le premier cas particulier examine ci-dessus, son accel1l-ation ser-ait la mernee que s' ilpar-tait dit Irepos (J) -v- (J). Les me~mes the'orermes on t lieu pour trois ou uin nombre quel.conque de forces, comme on le prouve de proche en proche en montrant que, si le the'or~eme est vrai pour it forces, il l'es pour s -+ i. Pour cela, on reprend le raisonnement precedent en faisaint agir is forces sur tons les points My A, B, C,..,puis en ajotant une nouvelle force sur Ie point M. 65. Notion g~n6rale de la r6sultante. - On appelle i-estil tanste de plusicurs forces applique'es "a un point une force unique capable d'iinprimer au point partant dii re)os le rnie'me mouvement 1. 6

Page  82 8s2 PRIlEMIIRE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAILRES. que les forces considerees agissant simultanetment. Cette force unique, dont on admet f'existence, produira aussi le meme mouvement que toutes les autres reunies quand le point sera animd d'une vitesse initiale, ou sollicite deja par d'autres forces. D'apres ce qui precede, Ia resultante de plusieCurs forces iamprime ca anz point mate'riel en un temps qtuelconq te t- to tlne acedleration egale a la soinine geom7etrique des acc'elerationls que chaque force separemzent inprimnerait cia mobile dans le imnme temps t - to. On admet que cette notion de resultante est independante du point materiel sur lequel les forces agissent. 66. Principe de l'6galit6 de 1action et de la reaction.- Si un point materiel nt exerce unze action str tn1 acttre point mn', cette action est di'igee suicant la droite 7mrnz' et le second point 7n' exerce sur lepremnier inz nte action (rractionz) egale et opposee a celle de mi sur nt'. I1 est inutile de donner actuellement des exemples de cc principe: on en trouvera constamment dans ]a suite. II. - DEFINITION ET MESURE DES FORCES. 67. Force constante ( ). - Comme on ne considere les forces qu'au point de vue de leurs effets, toute notion sur les forces doit etre puisee dans la consideration des mouvements produits par ces forces. Une force constante agissant sur un point materiel sera une force toujours la mneme dans ses effets. Le moatvement coZmmunZiqze par tine force constante & tn point materiel partant dut repos est rectiligne et uiziformnmenit acceere. Supposons qu'iine force constante, agissant a partir de l'instant t - o sur un pointr materiel partant d i repos, lui communique, au bout du temps t,, une vitesse V, et, au bout du temps t2, une vi (') Cette methode est emprunt6e en grande partie a un Traitd de M. Bonnet: Lecons de Mecanique e'le7nentaire, Paris, Mallet-Bachelier, i858.

Page  83 CHAP. III. - PRINCIPES DE LA M3ICANIQUE: FORCE, MIASSE. 83 tesse V: nous allons demontrer que la vitesse, au bout du temps t, - t2, est la somme geometrique des vitesses V4 et V2. Imaginons des points M, A, B, C,... tous identiques au point considere M, partant du repos a l'instant t - o sous laction de forces identiques a la force constante. Ces points prendront evidemment un mouvement de translation commun et, a l'instant t\, ils auront tous la vitesse V1; si, a cet instant, on supprimait les forces qui agissent sur tous ces points, le systeme des points prendrait, d'apres le principe de l'inertie, un mouvement de translation rectiligne ct uniforme de vitesse VI. Retablissons a l'instant t la seule force qui agit sur le point AM, de sorte que, en realite, cette force ne cesse pas d'agir sur IMA, le mouvement relatif que prend ce point dans le systeme est le meme clue si le systenme ainsi que le point partaient du repos; au bout d'un espace de temps t2 apres l'instant tI, le point Al a donc acquis, par rapport au systeme, une vitesse relative V2; sa vitesse absolue a l'instant t -H- t2 est donc la somme geometrique de la vitesse d'entrainement VI et de la vitesse relative Va. Ce qui demontre le theoreme. On en conclut que la vitesse a lFinstant t, +- t + t3 est la resultante des vitesses VI, V2, V3 aux instants t,, t, t3,..., la vitesse a L'instant 1t -- t, —.... t,,I la resultante des vitesses aux instants t1, t1,..., t,. 11 resulte de la que la vitesse a constamment la meme direction etle menme sens. Soient en effet deux instants t, et t, que nous supposerons d'abord commensurables entre eux; posons ti = P, t = P2 0, p, etp2 etant entiers, et appelons u la vitesse a l'instant 0. La vitesse V a l'ainstant t1 =0 - 0- 0 + - +. + (pi fois) est la resultante de p4 vitesses egales a it, par consequent, elle a la meme direction que la vitesse ta; de mme, la vitesse VT 'i l'instant t = -- 0 +-...-(p fois) est la resultante de p, vitesses egales i u, elle a la meme direction que z. Done les deux vitesses VI et V2 ont la meme direction. Si t2 est incommensurable avec t,' on regardera t, comme la

Page  84 8 PREMIEIRE PARTIE. - NOTIONS PREILIMINAIRES. limite d'un nombre commensurable avec t2, et ]'on conclura que la vitesse VI ne pent differer en direction de la vitesse Va. La vitesse av7ant constamment la meme direction, le mouvement est d'abord rectiligne; puis, la propriete edablie plus haut montre que la vitesse a l'instant t +- t., est la somme algSebrique des vitesses VI et V; cela prouve que la vitesse croit de quantiles egales en des temps egaux quelconques. Done le mouvement est uinifora7nme nt acccele'r, il a ctne acceleratiool constante en grandetiu, direction et sens. Reciproquement, tout moucvemen t rectiligne unizforlne7me7nt accelelre est di a uine force constazle. En effet, en comptant le temps t a partir de l'instant ofl la vitesse etait nulle, on a S - J t2, s etant la longueur de la droite OM, parcourue a l'instant t, et J l'acceleration du mouvement. A l'instant determine t, le mobile est en M1 a une distance s, = OM = - J t et sa vitesse V, est Jt, (fig. 53). Fig. 53. B 0 M,Ow 0 M A Si, a partir de cet instant, on etudie le mouvement relatif du mobile par rapport a un systeme de points 01, A B, dont le premier 0, coincide avec M, i l'instant t,, et qui sont animes d'un mouvement de translation commun de vitesse constante V,, cc mouvement relatif sera rectiligne, et l'on aura, en appelant s' la longueur 01 Ml et t' le temps t t-, 001 = -+- V1 t' - s-+- J t t', s'= s - 001 = -- (tl --- t') t - j J i t' - j t'2. Le mouvement relatif de M, par rapport aux points O, A, B,..., est done le meme que le mouvement absolu; il faut en conclure

Page  85 CHAP. 1II. - PRINCIPES DE L.A. MICANIQUE FORCE, MASSE. 85 qiie la force est constante, puisqut'elle est constante dam-s ses ej/e ts. Dans ce qui precede, nous avons suppose' la vitesse initiale nulle. Or nous avons vu, que 1'acce'lerafLon i pim ~ prne f orce de'termine'e au bout dii temps ta~ un point makiriel est la ine'me, quelle que soiL la vitesse initiate avec laqiielle le point a 6L6 lance'. Donc, si la force est constante, le point M a, quelle que soiL sa vitesse initiale, Line acceleration constante en grandeur et en direction, la me~me que s'il partait du repos. En resume': ne force constante agissant stir un mobile M Iiti impriine dams tous les cas iin inouvement dont l'acce'leration, est constante en grandeuir et en, direction- f'ctiproquement, si i'accel~ration, est constante en, grandeur et direction, laforce est constante. Nous appellerons cette acceleration constante 1'acce'leration dute a' laforce constante. Rernarqute. - Dans le m ouvement produit par une force constante, lFacce'leration moyenne pendant LID intervalle de temps quelconque est encore egale At 1acce'leration J due 'a la force, comme il re'sufte de la remnarque faite 'a la fin du no 37; la de'viation pendant un in-Lervalle de temps quelconque At est un vecteur rigoureiisement eoal "aI -2JA n 39). 68. Re'sultante de pluseurs forces constantes. Mesure des forces constantes. - La resultante de plusieurs forces constantes est une force constante. En efflet, 1'acce'leration que prend un point sous ['action de plisieurs forces constantes e'tant la soinme geometrique d'acce'lerations constantes en grandeur, direction et sens, est elle-me'me constante. On appelle direction et sens d'une force constante, la direclion et le sens de 1'acceleration due 'a cette force. Noiis mesurerons les intensite's des forces constantes par la cormparaison des accelerations qu'elles impriment a' tinpoint mater;iel de~termine' A. Deux forces constantes ontmeine intensite' quand, agissant sur

Page  86 86 PREAIIERE PARTIE. - NOTIONS PRlIMtAINAIRES. le, point A dans la M eme direction, cites hui iinprimenh la inehme acUira~ion. L'intensite' d'une force constante est la somme des intensite's de deux autres, quand l'acce'leration due 'a la premie~re force, agissant seuie stir le point A, est la M eme que celle pie produisent les deux autres forces agissantL simultanehmentL dans le em~e sens; c'est-a'-dire quand. la longuLeur ou. grandeur de I'acce'Wration produite par la premie~re force est la somme des graildeurs des accelerations que produiraient se'pare'meni. les deux autres. Prenons alors, pour unite de force, une force constante qu I agissant suir le point A lui imprime une acceleration de grandeur d'termine'e X,. Toute force irmprimant an point la M eme acce era - tion aura pour intensite'; les forces imprimant au point ics acc'l'rations 2)\, 3)~,..., uX, ' auront pour intensi es I I respectives 2, 3,..,a *.i. 'n aniere genrae une force, imprimnant au point A une acceleration J, aura pour inteinsihe un. nombre F e'gal au rapport de J 'a FmLes intensite's des forces constantes seront done, par definition, proportionnelles aux accelerations dues 'a ces forces agissant sur le point particulier A. QU'arrive-t-il Si i'on fait agir ces M emes forces sur tout autLre point M? On admet que si deux forces constantes impriment a point particulier Ales memes accelerations, c'est-ai-dire ont meme intensite', cites impriment e'galement les M emes accelerations 'a tout autre point MI. On peut alors dernontrer que Les accelerations J, et J2, irnpr7 in ees et itn? p oint mater ie1I quel-e conque Mpar deux forces constantes d'intensite's F1 et F2, son2t proportionnelles &'t ces forces. En effet, su-pposons que les deux forces aient une commuLne mesure f, qui soit contenue p, fois dans F1 et p2 fois dans F2, et appelons j la grandeur de 1'aeccle'ration. que la force f imprimerait an point MI. D'apre~s le the'ore'me stir la composition des accele'raLions, la force F1 ou. p'f agissantL sur All lui imprime une

Page  87 CHAP. III. - PRINCIPES DE LA aMECANIQUE: FORCE,,MASSE. 87 acc6leration J, egale a pj; de meme, la force F, ou p2f lui imprime uce acceleration J2 egale a p2j, et t'on a J1 pFl Fi Fi F2 J- - _ F U o I = - J2 P2 F2 J2 J2 Le theoreme s'etend evidemment au cas limite oi le rapport de F aI F2 serait incolmmensurable. Si l'on faisait agir sur ce meme point M d'aulres forces constantes d'intensite F3 F4,..., produisant des accelerations J3, J,..., on aurait de mmee F1 _F2 F3 F4 J1 J2 J3 J4 69. Masse. - La valeur commune de ces rapports s'appelle masse du point m. La masse d'lnz point materiel est donc le rapport constant qui existe entre 1'intensite d'une force constante et l'acceleration qu'elle imprime au point. 70. Representation des forces constantes par des vecteurs. - Nous avons defini le point d'application d'une force constante, sa direction, son sens et son intensite. Nous la representerons par un vecteur ayant pour origine le point d'application, meme direction et meme sens que la force, et ayant une grandeur MF expriFig. 54. M F mee par le meme nombre que l'intensite de la force. Si MlJ est l'acceleration due a la force, la force est representee par une grandeur geometrique MF fig. 54) ayant meme direction et meme sens que MJ, et l'on a MF = m, F = mJ, MJ m designant la masse du point.

Page  88 88 PREMIIERE PARTIE. - NOTIONS PRIELIMINAIRES. 71. Composition et decomposition des forces constantes. - Soient F4, F2 les vecteurs representant des forces constantes qui imprimeraient au point M les accelerations J4, J2 (fig. 55); par Fig. 55. \ F2 definition, la resultante F des deux forces F4 et F2 est une force constante, imprimant au point une acceleration J egale a la somme geometrique de J4 et Ja. Les grandeurs MF,, MF2, MF ont memes directions et memes sens respectifs que MJ1, MJ2 et MJ; de plus, on a AMF1 MF2 MF jl JMJ2 MJ l MF est done la somme geometrique de MF4 et MF2, car la figure MF, FF2 est homothetique de MJ1 JJ2 par rapport au point M. En s'appuyant sur le theoreme relatif a la composition des accelerations, on en procedant de proche en proche, on demontre de meme le theoreime general suivant: La grandeur geometrique qui represente la resultante de plusieurs forces conzstantes cppliquetes a etn meme point est la somme geometr ique des grandeurs geometriques representant les forces composantes. On peut done appliquer a la composition et a la decomposition des forces constantes agissant sur un mmee point tout ce qui a ete dit sur la composition des vecteurs concourants. 72. Forces variables. - Une force est variable quand elle imprime a un point materiel, partant du repos ou lance avec une vitesse initiale quelconque, un mouvement dont l'acceleration n'est pas constante en grandeur, direction et sens. Supposons qu'a l'instant t le mobile est en M avec une vitesse V

Page  89 CHAP. IlI. - PRINCIPES DE LA iVIECANIQIJE FORCE, 1A1ASSE. 89 et ai l'.instant t +~ At en Mi avec une vitesse V1 n appelIle valeur moyenne de la force var-iable pendant l'espace de temps At la force cornstante qui, agissant sur le mobile M, anime' de la vitesse V, mj Comrnunicfuerait dans le temps Al Une vitesse e'gale 'a V4 en grandeur et direction (sans l'amener d'ailleurs au point M4) (i.56). Pour determiner cette force constante, iA suffit de rapFig. 56. peler quie l'acce'lkration due 'a une force constante est e'gale "a l'acceleration moyenrie, pendant un intervalle de temps quelconque, du notiovement qu'elte produut (no 67, remarque). La force constante cherche'e devant, pendant le temps At, faire passer Ta vitesse dui mobile de la valeur V "a la valeur VI, l'acce'leration inoyenne MI dui mouvement qui serait produit par Ta force constante est identique 'a l'acce'leration moyenne MI dii mouvement effectif, car elles sont toutes deux egales an quoteient de la variaton g~ome'trique de la vitesse par l'espace de temps At. L'acelration qui serait due 'ai la force constant e itant MI, celie-ci a meTme direction et sens que MI, et a une intensite Fm egale 'a rn.Ml. La valeur moyeune F, de la force variable pendant l'intervalle de temps At est ainsi determin~e' en grandeur, direction et sens. On appelle valeur de la force a' l'instant t la limite F de la force moyenne Fm,, quand l'intervalle At tend vers zero. Soit J l'acce'1eration dii mobile an. temps t, limite de MI, la force F a meme direction et Meme sens que J, et elle a pour grandeur F m-rJ. Cette -force est repre'sente'e par un vecteur F, limite de Fm, et l'on peat re'sumer le re'sultat obtenu par e'~galite6 ge'ometrique (F) i(J) qui exprime le the'oe'~me fondainental de la Me'canique.

Page  90 90 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMXINAIIRES. Remarqute. - Dans ce qui precede, nous avons pose uine certamne definition de la force nioyenne. On poarraiL obtenir une autre expression approche'e de la force pendant l'intervalle de teinps At, en appelant valeur atpproche'e de la force pendant eeL intervalle la force constanlte Fa, qui, pendant le temps At, imprimerait an point M la rnerme deviation MD que la force variable (no 39). Cette force Fa est dirige'e suivant MD et edgale 'a 27)2. M D on m MIK (figo. 34); sa I'mit porAt -o, esL la valeur mnJ: c'esL la force 'a l'instant t. 73. Composition des forces variables. R~sultante. - Conside'rons des forces variables (jUi, agissant suiccessivement sur le men-ne point ANT, lance' avec des vitesses inAiiles arbitraires, lIii communiquent respeciivement, dans le mn eme intervalle de temps t, des acce 'Irations J,, J2,., J,,. Les valeurs de ces forces it Finstant t sont (Fl) = /n(JI), (F2) 711(J2),..., (F,,) =- 711(J,,). Lorsque toutes ces forces agissent en men'me temps sur le point Mi, lance' avec tine vitesse initiale arbitraire, elles Iui communiquent, Fig. 57. M 1 ~~~~~~3 J F danis le M eme intervalle de Lemps t~, uine acceleration J e-gale 'a Ila somme g ometin eJJ,.. La valeur F 'a l'instant t de la force unique cmi commrnniquerait

Page  91 CHAP. III. - PRINCIPES DE LA IMECANIQJE: FORCE, MASSE. 91 au point cette meme acceleration J (fig. 57) est (F)= n(J); on aura done (F) - (FI) - (F2) +... -+ (F,1). Cette force unique, qui se nomme resultante des forces donnees F1, F2,..., F,,, est done, a chaque instant t, representee par le vecteur resultant des vecteurs representatifs de F,, F2,..., Fn. 74. Equations du mouvement. Soit un point M de masse m sollicite par des forces representees a l'instant t par les vecteurs F,, F2,..., F,,. Appelons x, y, z les coordonnees du point m, (X,, Y,, Z ), (X2, Y2, Zl),..., (Xz, Y,,, Z,,) les projections des forces sur les axes; les projections X, Y, Z de leur resultante F sont (F) X= Xi, Y = Yi, Z Zi; les projections de l'acceleration J sont dJ- x d2y cd z ~(J ) c ~dt2 ' cdt2' dt2 La relation geometrique (F)= e?(J) donne done, pour les projections sur les trois axes, les relations dcl2 d2 Y dcl z (i) mc2 ~- 1 2 = Y' m =,t qui sont les equations due mouvenent. Dans le cas le plus general qui puisse se presenter, la resultante F depend de la position du point, c'est-a-dire de x, y, z, de dx dy ldz sa vitesse, c'est-a-dire de- -t, d c- et da temps; on aura done d/ clx dIz (2) x=-(XyZ,' it' cit' t, et pour Y et Z cles expressions analogues. Pour trouver le mouvement du point sous l'action des forces donnees, il faudra integrer les equations du mouvement, qui sont des equations differentielles du second ordre definissant x, y, en fonction de t.

Page  92 92- PREMIER~1E PARTIE. - NOTI ONS PREt1iMINAIRES. Nous nons bornonS 'a indicjuer cette question, qui sera de'taill~ee an comimencementL de [a Dynarnique. 75. tquilibre. - Plusieurs forces applique'es a Un point mate'riel se font e'quilibre lorsque, le poinL e'tant an repos, ces forces ne lui imnpriment aucun mouvemnent. La somnme ge'ornierique des accdrations dues 'a ces forces est alors nulle; doDc la somme geonmetrique des forces, c'est-a-dire leur re'sultante, est nulle. Cette condition ne'cessaire de e'~quilibre est e'videmment suLffisante..En general, un syste~me materiel soumis 'a l'action de certaines forces est eni equilibre si, cc svste~me 6 anut an repos, ces forc'es ne lui impriment aucuin m~ouvement. 7 6. 'Statique;- Dynamique. -- La partie de la Me'canique dans laquelle on 6tLudie les conditions que doivent remplir les forces applique'es "a un syste'me de points, pour que l'e6quilibre existe, se nomine la Statique. La partie de la Me'caniique danis laquelle on etudie les relations qui bienL les forces aux mnotvements qu'elles produisent est la Dynar-niqute. Nous comrnenceroLns par e'6tude de la Statique, qui n'est qu'une g'om'trie d'un gyenre particulier.; nous traiterons ensuite l y narnique. Get ordre se trouve justifie' par cette consideration que, grace at un principe dui 'a d'Alemnberv, la mise en equation d'un problenme de Dynamique pent 6tre ramene'e 'a la resolution d'un proble'me de Statique. Dans l'ordre historique, la Statique est la partie la plus ancienne de la Mlecanique. La Staique remonte, en effet, jusqn'a' Archi'nde, cqui a donne' le principe du levier dans son livre de 1fqtiponder-antibis. Quant it 'aa Dynamnique, elle ne fait son apparition cul'avec les d'coulvertes de Galilee. III. - UNITtS DE FORCES; HOMOGE'NE'ITE'. 77. Pesanteur; poids. - Un point pesant tombant, sans vitesse initiale, d'une petite hauteur, prend par rapport 'a la terre un mouvement rectiligne uniforme'ment acce'le're suivant la verticale. L'acce'leration g- de cc notiovement, variable avec la latitude et laltitude, a pour valeur, "a Paris, 9rn, 8o8. En vertu. du mouveinent de la terre, a. cc mouvement relatif correspond un mouve

Page  93 CHAP. 11I. - PRINCIPES DE LA MIECANIQIJE FORCE, MASSE. 93 ment absoiu qui n'est pas reCtiligne, et uniforme; it fant en conlclure q-ue le point pesant est so-umis a une force 'a la surface de la terre:cette force est l'at traction de la terrle. Q uand un point materie1 pesant, est retenu par un obstacle, l'action de la terre s'exerce encore sur luii, mais l'effet de cette force est modifie' cela tient 'a ce que l'obstacle exerce aussi une action sur le point. Par exemple, si un point pesant attach' "a l'extre'mitw' d'un fil est immobile par rapport 'a la terre, le flu exerce srle point une certaitne action qui est la tension diu fil. On appelle poicis absolu dui point la force fictive egale et dir-ectemnent opposee a' cette tension. Si la terre e'Lait immobile, le point materiel suspendu an fii serait en e'quilibre Sons F'acuion de la tension du fii et de l'attrac lion de la terre. Cette dernie're serait donc e'gale et oppose'e 'a la tension, c'est-a'-dire e'gale aut poids absolu duipoint. Mais, en realitei, lc point materiel n'est ni immobile ni anime d'un miouvement rectiligne uiniforme:la Lension etlatrcinesefnps ulibre, et le poids abso lit est dijfcerent de l'alttraetion. Nous N~rosplus tard qu'un point materiel pesant, tombant dans le vide d'une petite bauteur, prend sensiblement, par rapport 'a la terre, le me'me mouvemnent que si la terre e'tait immobile et si Ic point e'tait sollici~e' par son poids absoiu. Comme ce nmouvement po'de une acceleration constante g, le poids absolu p d'Un point de masse rn est Une force constante en un me'me lieu p= mg. Ce poids vanie, comme gavec Ia latitude et l'altiLude. 78. Kilogramme-force. - Dans les applications, on prend fi'&qu~emmnent pour uinite' de force le poicis absolu dle ak ~ Par-is, c'est-a'-dir-e la sommne des poids absolhus cdes points mateiriels cons tituant 111 d'eaii distihlle, a son mnaximum~ de densite, a" Par-is. 11 est indispensable d'aj outer que ce poids absolu esL pris en -un lieu determine de la terre, I Paris, pa xemple, car le poids absolu d'Un point mate'riel change d'u n point 'a l'autre de la terre. DanIS ce syste'me, la masse d'un point est deifinie par la formule 7 = p g

Page  94 9i[ PREMAIERE PARTIE. -- NOTIONS PR ELIMINAIRES. p etant le poids absolu evalue en kilogrammes-forces et g l'acceleration due a la pesanteur. Si ]'on fait )p - g, on a nm = i. L'unit6 de masse est done la masse d'un point dont le poids absolu est g kilogrammes-forces. A Paris, g etant egal a 9,808, l'unie de masse sera la masse de 91it 808 d'eau distillee a 4~. L'inconvenient de ce systeme est que l'unite de force, kilogramme-force, est une quantite dont la definition exige l'incication d'un lieu determine a la surface de la terre; de plus, la masse d'un corps, qui est une qualite physique inherente a ce corps, est exprimee par des nombres diff6rents, suivant que le kilogramme-force est defini en un lieu ou l'autre de la terre. C'est ce cu'on peut eviter, ainsi que l'a deja montre Gauss, en adoptant comme unites principales les unites de longueutr, masse et temps pour en deduire l'unite de force. 79. Unites absolues. Dyne. - On peut comparer entre elles les masses des corps a l'aide d'une balance. En effet, soient, en un lieu determine de la terre, g I'acceleration due a la pesanteur, p, p', p",... les poids absolus de points materiels de masses m, m', nm".... On aura p = mg, p'= 7I'g, p"-= zm"g, Done, si p -p', m - n', si p =p p", i = z721 ni",...;d'une maniere generale, les masses des points materiels sont proportionnelles a leurs poids absolus en un m6me lieu, c'est-a-dire a leurs poids relatifs evalues a l'aide d'une balance. On pourra done, en choisissant arbitrairement une unite de masse, mesurer toutes les autres. Les intensites des forces seront ensuite exprimees en nonmbres par la formule F = m J, in etant la masse du point sur lequel agit la force et J l'acceleration due a la force. Si lon suppose mn et J egaux a l'unite, F sera exprimee par i; donc, dans ce systeme, l'unite de force est la force qui, agissant sur l'unite de masse, lui imprime une acceleration egale a l'unite de longueur, l'unite de temps etant choisie. Conformement aux principes adoptes par la Commission britannique en I871, puis par le Congres des electriciens en I881, on a

Page  95 CHAP. Ill. -PRINCIPES DE LA 1AIICANIQUE FORCE, MASSE. 95 pris COMMe UDItes primitives:pour les lonugeurs, le centirni~te; pour les masses, le griamnme-7nasse, c'esL-a"-dire la masse de ice, d'eau distillie'e 40; pour le temps, la seconde de tempjs solaire Inoyen. Dans ce syste~me d'u-nite's C. G. S. (centime'tre, grammne, seconde), la masse d'un corps est exprime'e par le M eme nomnbre pie son polids relatif en grammes; l'unite' de force appele'e dyne est la force quii, agi ssant sur la masse de Igr~, i imprime une acce& Ikerati on de iC1 Le poids absoin de ag Paris est de 980,8 cdynes, car ce poids absolu communique 'a la miasse de igr une acceleration de 9111,808S oi —, de 98oc', 8. 80. Homog~n6it. -Si, pour les applications, il est indispensable de faire choix d'un syste'me d'un.itis de'Lermine'es, it n'en est pas de M eme pour la the'orie. Dans les recherches Lhe'oriques,il1est. prf6rable de laisser les unite's fondamentales ind 'termin 'es, de facon que les formules obtenues puissent etre applique'es 'a Lout, syst~me d'unite's. Les formules devant, alors subsister, quel que soit le choix des trois unite's fondamentales, devront presenter une triple homoge'ne'ie par rapport, aux longuLeurs, aux temps etau masses. Soient, I Une Iongueur, i un temps, in Unle masse, v une vitesse, j une accederation, f une force mesure's i l'aide d'un certain systeme d'unite's fondamentales, de longueur, ternpset, masse. Si l'on prend uue uniue' de longueur ), fois plus petite, une unite' de temps rv Lois plus petite et, une unite' de masse u. Lois plu~s petite, les mesuires des quiantius ci-dessus deviendront, car une vitesse est, le quotient d'une lonugeur par un temps,un acWlration le quotient d'une vitesse par un temips et -une force le produit d'une acceieration par -uno masse. Si donc les unite's fonidamentales ne sont pas speicifie'es, les formules devront subsisLer quels cjue soient les factours ),, u., Par exemple, la dure'e de l'oscillation infiniment petite d'un pendule simple do longtieur 1, en un lieu- oii lFacce'leration due Lii la pesanteur est g-, est donne'e par la formulo t~1

Page  96 96 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. Si l'on change d'unite's comme ci-dessus, on a Ja formule ne change pas; elle est bien homoge~ne. EXERCICES. 1. Etablir les formules qui permettent de passer du systme d'unit~s m~treseconde-kilogramme-force, A Paris, au syst~me C. G. S. 2. Admettant que l'on sache que la dur~e t de l'oscillation. infiniment petite d'un pen dule simple ne U~pend que de sa longueur 1 etc de l'acc~l~ration g, t ~ p(,g), ddduire des conditions d'homog~n~iL6 cette cons6quence que I est ndeessairement (le la forme t kVLk k d6signant un coefficient num6rique (ic r, 3. Admettant que la vitesse v doun corps pesant abandoonn A lui-m~me dans le vide sans vitesse initiale d~pend uniquement de la hauteur de chute h et de l'accdl6ration g, v p h, g), ddrnontrer que v est n~cessairement de la forme k — h, k ddsignant on coefficient num~rique (ic 2) 4. Sachant qne la vitesse v doi son dans un gaz est une fonction de l'e7aslicite e et de la clensite' d, d~montrer qu'elle est donn6e par la formule k ddsignant un coefficient numdriquie (k rapport des chaleurs sp~cifiques do gaz 4pression. constante et A volume constant). L'6lAasticit6 est la pression du gaz sur l'unit6 de surface el la densit6 la masse de l'unitd' de volumie du gaz.

Page  97 CHAPITRE IV. - TRAVAIL; FONCTION DE FORCES. 9 97 CHAPITRE LY. TRAVAIL; FONCTION DE FORCES. 81. Avant de commencer la Statique, ii est uti~le d'introduire une notion purement cinermatique et me'me, dans la plupart des cas,purernent ge'ome'Lrique., ccelie dai tlracrail cl'7ne Jor-ce. I. - POINT MATERIEL. 82. Travail 616mentaire. - SoiL une force F appliqu~e'' tiin poinL mnateriel M supposons que ce point suibisse un de'placement infinimentL petit quielconque MiNI'(fig. 58). On appelle tr-aFig. 538. F cail e'lernentaire de la force F, correspondant an de'placement MM', le produit g~ome'trique de F par MM', (I) ~~~~~F.MAM'. cos FMM', C' est-at-dire le produit de la force par le de'placement et le cosinus de 1'angle de la direction de la force avec celle du de'placem~ent. Ce -travail e'lementaire est une quantit' alge'bricque Sup Iene in f~rieure on e6gale 'a zero, suivant que l'angle FMM' est supe'rieuLr, inf~rieur ou egal 'a un angle droit. Quand cc travail est posit if, il est dit no teur; quand il, est ne'gaiif,. il, est dit resistan't. Si le de'placerment infiniment petit MM' s'effectue peiidant un temps dt., I. 7

Page  98 98 PREMIERE PARTIE. - NOTIONS 'PRELIMINSAIRES. la vitesse du point pendant ce deplacement cst v = -, et l'on pent ecrire l'expression du travail elementaire (2) F cos(F, ) dct; car l'angle de la force avec la vitesse est identique a l'angle de ]a force avec le deplacement. Le travail elementaire, pounant s'ecrire \lM'. [ F cosFMM'], est egal au deplacement MM' du point materiel multiplie par la projection de la force sur la direction du deplacement. Done, si plusieurs forces sont appliquees au pointM, pour un mme del)lacement, le travail de la resultante de ces forces est egal a la somme des travaux des composantes; car la projection de la resultante sur la direction du deplacement est egale a la somme des projections des composantes. En ecrivant le travail sous la forme F. [MM'cosFMM'], on peut le definir le produit de la force par la projection da deplacement sur la direction de la force. Si donc le deplacement MM' est la somme gdeometrique de plusieurs deplacements ou, si la vitesse du point est la somme geometrique de plusieurs vitesses, le travail elementaire de la force F correspondant au deplacement resultant, ou a la vitesse resultante, est ]a soinme des travaux elementaires de la force F correspondant aux deplacements composants ou aux vitesses composantes. Lorsque le travail elementaire d'une force est nulle, il faut, ou bien que le deplacement soit nul, ou bien que la force soit nulle, ouI qu'elle soit normale au deplacement. 83. Expression analytique du travail 61ementaire. - Soient x, y, z les coordonnees du point M par rapport a trois axes rectangulaires, x + dx, y + (y, z - dz celles du point infiniment voisin MA'; X, Y, Z les projections de la force F sur les trois axes.

Page  99 CIIAPITRE IV. - TRAVAIL; FOTNCTION DE- FORCES. 99 Les cosiIIus directeurs de la force F ci ceux. du de'placement MM' sonft X Y Z dx dy dz Calculant le cosFMM' do 1'angle de ces deux directions, on a, pour l'expression dui travail 'I'mentaire en coordonn'es cartesien'nes rectanigulaires, F. MM'. cos FMM'V X Xdx -+- Y dy -v~ Z dz. 84. Travail total. Unit6 de travail. - Conside'rons un mobile M qui subit Lin de'placement fini en partant d'un point MO 'a ILustant to, cL arrivant ati point M, at linstant t,, apre~s avoir de'criL une courbe M0 M, (Jig. 59), suivant une certaine loi de Fig. 59. M M 2 Ni if0 mouvement. Soit F Line force agissant sur ce mobile'; on appelle trav-ail total de F, correspondant au de'placemenL fini considers', la somme des travaux ele'lnentaires de cette force pour tous les de'placements infiniment pet its successifs dont se compose le ce'placement fini. Ainsi on divise l'arc MOM, en parties infiniment petites MOM', M'M", M'UM", *.., et lon calcule la somme G lrn (F0.M NF. cos F'0MO M'-i —F. 'M.".sF' F0 de'signant la valour de la force F, qui agit suir le mobile enMO F' la valeuir de cette force quand le mobile est en M'.,,,Cette somme G est le -travail total de F. Elle est donne'e par la formule (i) ~~~~~~ ~ X dx -v- Y dy ~4 Zdz-,

Page  100 TOO PREMIER, E PARTIE. - NOTIONS PRl~fIMINALIRES. qui exprime la somme des travaux. e'lmentaires. Par exemple, si la force F est constamment normiale 'a la trajectoire, tons les e'lements de la Somme sont nuls et le travail total est nul. Lorsqu'on a choisi les unite's fondamentales, on trouve que le travail -tolal d'tine force unite' agissant sur un point qui. se de'place d'une longuceur egale h 1' unite, dans le Sens de la force, est exprime' par l'unite'. Cest cc travail qu.'on prend comme uinite' de travail. Par exeruple, lFunite' de force e'tanL le kilogramme' force et litinite' de longlucur le mnetre, lunite' de -travail cjue nous venons de de'finiir est le kilograrmmetre. Pouir le caldul effectif de C, diff~rents cas souL 'a distingtuer. 85i. La force d6pend du temps on de la vitesse. -- Dans le cas le phils general qui pfisse se presenter, la force F depend de la position du mobile, de sa vitesse et du -temps; de sorLe que X, Y, Zsont des fonctions donne'es de x, Y, z, -X dy t z ett.Dn cc cas, pour calculer C, il faut connaitre le monvement du mobile de MO en M,, c'esL-a'-dire les expressions des coordonne'es dnL mobile en. fonction dii temps. On pent alors, en substituant ces expressions de x, y, zet celles qu'~on en de'duit par diffirentiation pour dx, dy, clz dans i'inte'grale de~finie ('), ramener cette integrale 'a la forme qui. permet de calculer C. 86. La force ne depend que de la position dui mobile. - Dans cc cas, pour avoir C, it suf/it de connal~re la colurbe C que le m~obile a suivie de MO en M,; ii est inutile de connaitre la facon dont cette courbe est parcourue, de sorte quc le calcul du travail total devient un probbnme de Geonmetrie. En cifet, on pent exprimer les coordonne'es d'un point M de la courbe C en fonction d'un parame'tre q variant de qo a qj quand le point M parcourt l'arc de courbe MOM,,

Page  101 CHAPITRE IV. - TRA-VAIL; FONCTION DE FORCES. 101 Les composantes X, Y, Z, de'pendant uniquement de x, y, zI deviennent des fonc Lions de q le lon1g de la con rbe; on a done, en substituant dans l'inte'grale (i) ees valeurs de x, y, z elt eelles qu on en de'duiL pour dx, dy, dz, formule qui permet de ealeuler C. Si la mInem eourbe e'LaiL pareourue par le mobile en senis eontr-ai're de M, en MO, le travail total serait - G, ear il faudrait intervertir les limites qo et q,. 87. Cas particulier dans lequel G d6pend seulement des positions initiales et finales. Fonction des forces. Potentiel. - Supposons que X, Y, Z soient des foneclions de x, y, z continues et admettant des de'rive'es partielles du premier ordre en touls les points d'unie region de 1'espaee dans laquelle seront situees toutes les eourbes conside're'es. Cherehons ce que doivent etre ces fonetions X(x'y,2-), Y(x,Y,z), Z(x,y,z), pour que le travail total eorrespondant 'a un de'placement fini MOM.,1 de'pende senlement des positions initiale et finale MO et M,, et non de la eourbe suivie par le mobile. Soient d'abord deux points MO, M, (fig. 6o) infiniment voisins,, Fig. 6o. IN0 F" F' F0~~~~ situe's dans un plan parall~el au plan des xy, ayant pour coordonnees, le premier M0 (x,y, z), le seeond M, (x ~ dx,,y + dly, z). Amenons le mobile de MO en M, en le de'placant d'abord para1le'lement 'a laxe Ox d'une lonugeur dx, pour 1'amener en M', puis paralle~lement 'a Oy, d'Line lon1gueur dy, pour l'amener en M,. Le

Page  102 I 102 PREAIIERE PARTIE. - N.\OTIO.N-S PRrLMI~iiNNJUES. travail e'le'mentaire correspondant au de'placernent M0 M' est Xj(x, y, z) dx; en M' la force a une -valeur F' dontL la projection Y'stir l'axe des y est Y (x + dx, y, z).; le -travail e'lementaire de F' correspondant au d'pl-acement M'M, est done Y'dy on. Y (x ~ dx, y, z) dy. D'oh, pour le -travail total correspondant an de'placement M, MI'MI, C- -X (X, y,z) dx — Y (x -v-dx, y, z)dy. Si Fon delplacait le mobile, d'abord paralle'lernent 'a Oy jtisqu.'en M" d'Line loingueur dy, puis de M" en M,, paraliderneent 'a Ox, d'une longueur dx, on trouverait pour le travail C- =Y (XI,,z) dy -i-X (,y -i-dy, z) dx. No-Ls voulons que ces deux vale-urs de G soient e6gales; en les, egalant et faisant Y (x +dx,)1, Z) Y (XIy YIZ) + -y dx, jxX (XIydy, z) X (XIy, z)~ u —dy, on trouve apre's des reductions e'videntes On trouvera, en operant de me'me dans des plans paralle~es, aux d'eux antres plans coordonne's, les deux autres conditions ne'cessaires dZ OY zO Ox Ces conditions expriment que l'expressioti Xdx -~-~Yd +Z dz est Line diffdrentielle to tale d'une fonction U des variables inde'pendantes X, Y, Z. Nous allons montrer qu'elles sont sujjlisantes, dui moins avec cer-taines r-estr-ictions que nous indiqueronS. En effet, si ces conditions sont remnplies, on a l'identite' Xdcx -~Y dy -+-Zdcz =dU (x, y,z)

Page  103 ClIAPITRE IN'. - TRA.VAIL; FONCTION DE FORCES. o io3 qui enirailne les trois autres au au au ax a7V az La foniction U, qui n'esi de'termine'e qu a une constante additive pres, s'appelle la fonetion des fiorces. On dii aussi u leos forces de'riveni d'uin potenuiel, nmais le potentiel esi la fonetion -U. Le travail tLotal de la force F, 'qua'nd le mobile va de MO en M le lon g de la conrbe C (ftig. Gi), est alors C X dx — Ycdy ~-Zdcz d =U -, Fig. 6i. C M0 U4 de'signani la valeur finale que prend en M, la fonction U suticie pai' con tin uitd le long de la courbe, la valear initiale de U en M. etant Uo. Donc, si U esi, dans la region d'espace considare'e, tine fonction izniforme de x, y-, z, avec uine setnle deierminaiion en chaque point de ceite region,.UO et U, ont des valears parfaitemeni de'termine'es ei le travail -total G esi independant dii chemin suivi de MO 'a M,.: En particutlier, si le mobile deacrii alors tin chemin ferme6, M1T colincidera avec MO, et le travail total sera nul. Mais si la fonction U est "a deierminaiions multiples co~mme un arc tangente, le travail total n'est pas absolument independant du chenuin suivi de M, en M,, car il vanie suivant que, partant de A avec tine determination U0, on esiL amene' par coniinuui~ at prendre en M, l'une out l'atire des determninations de U. On peut dire aussi que, dans c e cas, le travail -total relatif "a Lin contour ferme' n'esi pas neacessairement nul. Ces deux facons de s'exprimer sont d'ailleurs ident~iques an fond, car, si ]'n considere deux

Page  104 lo' PREMIERE PARTIE. -NOTIONS PRELIT11NTAILIES. chernins C et C' allant de MO en Al, et Si l'on appelle i~; eL rle travail total correspondant aux deux dd'placementzs finis MO CM1, MOC'M,, le travail total correspondant an dedplacement, fermd' MO CM11 C' M0 est G - V'. Done, Si 6 ~' ce dernier travail est nul eL rdeciproquement. Supposons, par exemple, U -arc taag Y; la force F a pour projections x les expressions qui sont des fonctions continues avec des d~ri~vees dans toute la partic dc l'espace situe6c l 'ext6rieur doun cylindre de revolution de rayon aussi petit qu'on le v\ent, ayant pour axe Oz (fig. 692). La fonction U e'tant langle xOP que fait avec Ox la projection OP do rayon vecteur OM sur le plan des xy, on v\oit que, si le mobile d~crit Line courbe ferm6e MlCM ne tournant pas autour de Faxe Oz, le trav~ail1 total est nal, car la fonction U, suivie par continuite' le long do contour C, reprend en M sa v\aleur initiale. Mais, si le mobile d6crit une cou rbe ferm6e Al C'M tournant une fois dans Fig. 62. C,~~~~~~ C,~~ le sens positif aotoor de Oz, la variation de U e'tant 2-t, le trav~ail total est 2Tc si le contour tourne n fois autour de Oz dans le sens positif, le travail total est 2flt,. Ces considerations out 6te' d6veloppe'es par M. J1. Bertrand (Jo117nal de V E~cole Polytec/zuique, 280 Cahier). D'uone manie."re generale, on peut d'tablir la proposition suivan te, qoe noues nous contenLerons d'e'noneer pour ne pas entrer dans des de'veloppemen ts anal)yticjnes trop e'tendus. Si l'on peut, par ddformnation, con tinue, re'diire uinc courbe ferrnee C a' unpoint,, sans l'amener et passer par aucuin point o&lesfonctions X, Y, Z cessent d'~tre continues et d'ad~nettre

Page  105 CHAP1TRE [V. - TRAVAIL; FONCTION DE FORCES. ]05 des de'ivees premieres, le tracvail total de F le long de cette courbe fermee est nal. La demonstration se fera aisement si l'on s'appuie sur la formule suivante: La courbe C, en se reduisant a un point P, engendrera par ses positions successives une portion de surface S sur laquelle, par hypothese, X, Y, Z sont finis, continus et admettent des derivees. On a alors la formule suivante, dont on trouvera la demonstration dans le Cours d'Analyse de M. Picard, t. I, p. 117 (formule d'Ampere et de Stokes), (= f X dx + Y dcy Z dz (C) =la premi -intgrae prise le lon de C et( )- z d yr la premiere integrale etant prise le long de C etla deuxienme sur la surface S. Les elements de l'inegrale double S etant tous nuls en vertu des conditions memes qui expriment l'existence d'une fonction des forces, on a =- o. 88. Surfaces de niveau. - Voici quelques remarques importantes sur le cas ou il existe une fonction de forces U ou un potentiel -U. Soit M (x, y, z) une position du point materiel et Mx' une demi-droite parallele a Oxr (ig. 63), la projection de la force F Fig. 63: NF D M M /ur cte demi-droie esgale - dire 'a e ox sur cette demi-droite est egale a. - c'est-a-dire a la linaite da rapport U'-U MM'

Page  106 io6 PREMAIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIMINAIRES. quand. MM' tend vers zero, Al' 6tLant un point pri~s Sur la denildroite Mx' et U' la valeur de la fonction U en ce point. Con-Ime on peat prendre une direction quelconque pour direction de 1'axe Ox, on voit qjue, pour avoir la projection de la force F sur Line derni-droite quelconque MD, it suffit de prendre la limite dui rapport MM quand MM" tend vers zero, Ml' tant tin point pris Sur MD et U" Rtant la' valeur de la fonction U en ce point. Cette lirnite s'appelle la de'riV'6e de la fonction U prit se suicant la direction MD. Les surfaces ayant pour eqjuation U(x, y, Z)~ C, C de'signant une constante, se nomment surfaces de niveaui. En faisant varier C d'une manie're continue, on a une suite de suirfaces telles clue, par tout point pris dans la region de 1'espace oui la fonction U est de'finie, passe une de ces sur-faces. La force qu-i a~git Sur le point mate'riel dans une position M est normale 'a la surface de niveau. particulie're S qui passe par lx, car ses projections sont e'gales aux. trois de'rive'es partielles' de U on- U - C. De pins, la force F est dirige'e par rapport a cette surface du cokt6 oui U va en croissant. En effet, soit MN la normale "a la Surface de nva.S mene'e du Cote' ou. U va en croissant, la projection de la force Sur cette normale coincide avec la force M eme; elle est positive on negative suivant qjue la force est dirige'e suivant MIN on. suivant la direction oppose'e. Comme ette projection a pour expression U1- U M1 6tant nn point de MN infiniment voisin de Ml, elle estpositive, car U, est suppose' superieur 'a U. La force est done dirige'e suivant MN, et son intensite F s'obtieiit en prenant la de'rive'e de U suivant cette normale, ce que l'on e'crit symboliquement F: au on7.

Page  107 ClIAPITRE IV. -- TRAVAIL; FONCTION DE FORCES. 107 Si I'on meane Line surface de niveau S1 infinimeni, voisine de S du c6oe out U va en croissant, cette surface S, coupe les normales tetles que MN en des points tels que Mi, et, comme U prend une valeur coustante U1 sur cette surface S,, 1'expression U1-U F = im M m dont le numerateur est constant pour toutes les positions du pointI M sur la surface 5, montre cque la force varie en raison inverse de la portion. de normale " la surface de niveau S comprise entre cette surface et une surface de niveau infiniment voisine. 89. Exemples. - i0 Ii existe une fonction des forces pour une force perpendiculaire ~ un plan fixe et fonction de Ta distance du mobile i cc plan. En effot, prenons le plan pour plan des xy, la force etant parali~e Fig. 64. F 0.2 Nv I "KP A Oz; X et Y sont nuls et, de plus, Z est une fonction de z, p(z). Le travail elementaire etant Z dz ou y(z) dz est Ta diff-rentielle totale de la foncti on U ~ (z) dz. Les surfaces de niveau sont des plans paralbiles an plan des xy. Ainsi, la force etant le poids du point M, on a, en prenant laxe des z vertical vers le haut, Z n-rg, U 72-imgZ — Co0nst. 20 II existe une fonction des forces pour uno force dirig~e suivant la perpendiculaire abaisse'e du point M sur un axe fixe et fonction de Ta distance du point A cet axe. Prenons Taxe pour axe Oz, appolons p Ia distance MQ du point M A F'axe et 4 la valour de Ta force estilne'e positinzement

Page  108 io8 PREMIE~RE PARTIE. - NOTIONS PRlIftIMINAIRES. dans le sens QM1. Les projections de cette force e'tant x 10 10 -on a, pour le travail 616mentaire, l'expression XcxA-+-Y dy -F-Z dz~ (xcdx — ycdy)z - 4Ddp, car, p2 tant ~ga b x2-y2, p0 CIp 'gale x cix ~i-y dy. Par h ypoth'se, ) cd6 -pend uniquerne7nt cA p:le travail ele'nientaire est done la diff~rentielle totale d'une fonction de 0 u f C dp Les surfaces de niveau sont d~es cylindres de revolution autour de GOz. 3o Enfin il y a une fonction des forces pour une force dont. la direction passe constammrent par un point fixe 0 et qui est fonction de la seule distance du mobile A cc point. Prenons cc point 0 pour origine;soient 7 -la distance GM et F la valeur de la force estime'e positivement dans le sens GM. Les projections de la force ktant F -, F2, F, r r~ r le travail 6l6mentaire a pour expression - ( xdx -v-ydcy -z c1Z) F dr, r car la relation X2 -i-y2~Z2-= r2 donne, par diff~rentiation, xc/x ycdy zc/z - 7;'dr. Comme F est suppos6 fonction de r, le travail 616mentaire est la diffhrentielle totale d'unc fonction d~e r U f dr. Les surfaces de niveau sont des sph~res de centre 0. Ainsi un mobile in htant attir6 par nn centre fixe 0 en raison inverse du carre' de la- distance, onl a F

Page  109 CHAPITRE IV. - TRAVAIL; FONCTION DE FO RCES. l09 oi ~ est un coefficient positif, car la force 6tant dirige'e dans le sens MO est ne'gative. Alors u dr C. Dans cet exemple, lc travail total de la force, quand le mobile passe d'une position NIO eloigne'e inde'finiment ~ une position NIl situde al une di~stance r1 du centre attractif 0, est Les trois lois des forces prdce'dentes sont des cas particuliers de celle-ci. Un point MI est sollicit6 par une force qui est dirige'e suivant u ne normale MIP al une surface fixe S, et dont l'intensiL6 est fonction de la iongueur MP de cette normale. Ii existe alors uine fonction des forces dedpendant uniquement de NIP; les surfaces de niveau sont parallles ai S. Cest cc qu'on ddmontrera ai titre d'exercice (Exercice 7). 40 Lorsqu'un point matdriel est sollicit6 sirnultandment par plusiurs des lois de force pr~c~dentes, il existe encore une fonction des forces; cela re& sulte du th~or~me suivant Si un mobile est sournis a' un systme de deux forces F1, F2 qui donnerctient lieu sedpariment &~ des fonctions de forces Ul, U2, il existe encore tine fonction, de forces Jgale &~ U1 -+- U2. Soient, en cifet, x1I7- a, YJdU= aud' u les projections de la premii~re force et dU2 du, 9 dU2 d2= x Y2 -jy- z9 2z celles de la deuxiame, les projections de la resultante seront d'videmment =x- d(U1 -v U2), a d(U, ~ 1~ ) Z ~ U2). cc qui de'montre la proposition e'noncae. 90. Remarque sur les surfaces de niveau. - Si les surfaces de naiveau sont seulement dedfinies gedome'triquernent et non par leur equation U =const., la loi dc force n'est p~as entie~rement determinec. Si, en effet, une cerLaine fonciion V(x, y, z) reste con

Page  110 11O PREMIERE PARTIE. - NOTIONS PRELIAIINAIRES. stante sur les surfaces de niveau, la fonction des forces sera necessairement de la forme U= (V) et la loi de force sera oV dV 0V X =,'(V), Y= '(V) Z = -(V); la fonction e tant arbitraire, nous arrivons a cette conclusion que, sur une meme surface de niveau, la force n'est connue qu'a un facteur constant arbitraire pres. Par exemple, le fait que les surfaces de niveau sont des spheres de meme centre O apprend que la force passe par le point 0 et est fonction de la distance du mobile au point 0. II. - SYSTEMES DE POINTS. 91. Travail des forces appliquees a un systeme de points. Fonction des forces. Potentiel. - Soient ln points Ml (x,, y,, z,), MI2 (x2, y2 Z2),.., *, M, (x,,,y,,, z,) sollicites par des forces donnees, le premier par des forces dont la resultante est F1 (X,,,, Z,); le deuxieme par des forces dont la resultante est F2 (X2, Y2, Z2), * * Pour un deplacement infiniment petit imprime au systeme, la somme des travaux elementaires des forces F,, F.,..., F,, esL X, dx1 -i- Y1 dyc -H Z1 dzi -- XX2 cdx -+- Y2 Cly2 + Z2 dz2....................... \ X~, Cld,, -+ Y,, dyn +- Z,, dz,. Lorsque les forces dependent seulement de la position du systeme, c'est-a-dire quand XY,, Y, Z, X2, Y2, Z2,... sont des fonclions de x,, y,, z,, Z 2, X2,..,x,,, yz,, z, et que l'expression (I) est une differentielle totale exacte d'une fonction U des coordonnees xiy,, zy, X,.X2, Y 2... XZy,, ZI on dit que les forces donnees admettent une fonction des forces U ou derivent d'un potentiel -U. On a alors dU dU oU x/= =_-k' Y/c- - d' Z. (k = — I, 2,?..., n). Quand le systeme passe d'une position P0 a une position Pi, la

Page  111 CIlAPITRE IV. - TRAVA IL; FONCTION DE FORCES. II1 somme des travaux totaux de toutes les forces F,, F,..., F,, est donnee par (PU) "'(Pc) elle est done eg'ale "a la variation U, - Uo que subit la fonction U suivie par continuite quand le systenme passe de la premiere position a la deuxieme. Si la fonction U est une fonction uniforme des coordonnees, U0 et U, out des valeurs uniques; le travail total de toutes les forces, <, est alors entierement independant de la facon dont le systeme a passe d'une position a l'autre. 92. Exemples. - 1~ Soient deux points M1 et M2; supposons que l'action de Mi sur M2 soit une force F1 dirigee suivant la droite MiM2; d'apres le principe de l'egalite de laction et de la reaction, laction d-e A2 sur Ml est une force F2 6gale et opposee (fig. 65). L'ensemble de ces deux Fig. 65. M2 ri F1 M, forces se nomme l'action mutuelle des deux points; convenons d'appeler vacleur algebrique F de l'action mutuelle des cldex points l'intensite commune des deux forces F1 et F2, precede du signe - ou du signe -, suivant que les deux points se repoussent (comme dans la figure) ou s'attirent. On a alors pour les projections de F1 et F2, en appelant r la distance M1M2, X.) r X Y2 -.Y I - -.r Z1 (F1) F -, F — y-, F - '; (F2) F '1 FY '2 F2 Z r ' I' Faisant la somme des travaux elementaires de ces deux forces, somme

Page  112 1T2 PR1EIIEIrE, PABTIE. - INOTIO-NS PRELIMIINAIRES. que ion appelle travail eldmentaire cle iactiwon 72utauele F, onl trouve F expression qui se rdduit F d1r, en -vertu des relations 6-videntes r dr- (X 2 -l (1)(cl - CIx1) ~~ O2 - Y ') (Cdy2 - IY 1) ~~ (Z 2 - Z 1) (dZ 2 - IZ1) Si done F'action m-utuelle des deux points est une fonction de leur scuic distance r, F =y(r), la Somme des traviux 6idmentaires des deux foiccs F1 et 132 est la diffdrentielle totale exacte de Ta fonction U f o(r)dCr. Ainsi, pour deux points s'attiran I proportionnellemlent A leurs masses in1 et 712 et en raison in-verse du cal-r6 des distances, on a F -f 7- 1 f ddsignant une constante, cloii U:f 7 ~.) — const. Supposons leS points d'abord placds ~ une distance infinie 'inn de lautre, puis amends A Ta distance 7r, le travail total sera la variation de in fonction U, quanld on passe de Ta premidre position A la deuxidme, c'est-d —dire f m 1 u?0 Soit maintenant unt nombre quciconque de pQints MI, M2, All, supposons que deux- quelconqjues de ces points Ali et Al/ exercent inn Sur Fautre un~e action mutuelle dont la -valcur aigdb rique Fjl'g est fonction de la senle distance rik des deux points MiAMJk. Si le systdme subit an ddplacement infiniment petit, la Somme des travauix 616mentaires de tonics ces actions mutneiles est, d'aprds cc qui prdcdde, Y Fu/~:drvl, la Somme ftant d'tendue A toutes les combinaisons des indices i ci k deux d deux, i 6iant diffdrent de k. Cette somnme esi la diffdrentielle totale d'une fonction. U fFildr ii existe done une fonction. des forces. Par exempie, pour an systdine de trois points de masses ml1, in2, im3, s'attirant deux d deux proportionnelicMent aux masses et en raison inverse du carr6 des distances, on a mrn~ 2k. Fi r -

Page  113 CLIAPITRE IV. - TRAVAIL; FONCTION DE FORCES. II 1 Io 3 di'o ft U f(T2f3;m.~ \72 3 713[ ' 12/ 4une constante prds. Cette valeur de U est le travail total des actions mutuelles quand les trois points. suppose's d'abord infinjiment 6loignds les uns des autrcs, sont amene's dans leurs positions actuelles. EXERCICES. I. Quelles sont les dimensions du travail par rapport aux. unitds fondamentales iongueur, temps, masse? (Si lou prend une unit4 de longucur I~ fois pins petite, de temps -,fois plus petite, de masse p. fois pius petite., le travail C devient 2. Un point Ml est attir6 on repouss6 par deux. centres fixes 0 et 0,, en raison inverse des carrds des distances. Calculer la fonction des forces et 6tudier ies surfaces de niveau. 3. Un flu 6iastique, dont la longueur naturelie est 1, est attach6 par une de ses extr6mit~s en un point fixe 0, puis est tir6 de facon A acquerir une iongueur ), > 1; caiculer ie travail produit par ia tension du ili, quand ce dernier revient de ia iongueur )X A la ion gueur naturelie 1. On admet que, lorsque le flu a tine longucur 7r, la tension T est proportionnelie et son allongement. T =I k(7- 1). Rdsultat: 2 4. Soit U =A, arc tangY -i — B arcetang, yx Z x- a l1tudier ia vaieur du travail total sur une courbe ferm66 C. (Ce travail est (le la fotrmne 2 M rA~-~2n7zB, ms et n entier-s.) Si A et B sont incomnmensurables, ou pent tracer la courbe C de facon que le travail le long de C diff~re aussi penI qu'on le veut d'une quantit6 donn6e A l'avance. 5. Une enveloppe renfermne un volume v de gaz dont la pression sur l'unit6 de surface de lenveloppe est p. Admettant que p est seulement fonction de v, d6 -montrer que le travail total des pressions du gaz sur tons ies 6idments de lenveioppe est f~pdv quand le volume croit de vo A V, - Repon7se.-On divise Ia surface en 6i6ments infiniment petits 6gaux cia; sur chacun d'eux agit une pression normale pda; quand le volume croit de v 4 v -+ do, du prend la position da'; si done ion d~signe par a la projection- du ddpiacement de da sur la normale 4 du, le travail 6l6mentaire de ia pression pdar est pscia et i'ensemble des travaux. 6ldmentaires des pressions est p f s cia. Or - cdu est le volume du cylindre dont les 1. 8

Page  114 I4 PREMlIERE PARTIE-. - NOTIONS PRlIftMINAIRES. bases oppos~es sont dcr et d-i'; f scld, est donc laceroissement de volume total, et lensemble des travaux 6l6mentaires est pclv. 6. Une force F est appliqu6e en un point d'un syst~me de forme invariable que lon fait tourner d'un angle infiniment petit 80 autour d'un axe fixe Oz; d6 -montrer que le travail 6l6mentaire de cette force est N 60, N d6signa nt le moment de la force F par rapport 0 z. 7. Un point est sollicit6 par une force F normale A une surface fixe S. Si lon d~signe par p la distance du point Al A la surface compt~c sur la normale F, d6 -montrer que le travail 6l6mentaire de F est ~- F clp, oft il faut prendre ~I 00 - suivant que la force tend 0 augmenter no 0 diminuer p. 8. L'action mutuelle de deux points de masses in et mn' sito6s 0 une distance 7r in? in 6tant F -f 2~, oii f d6signe une constante (attraction unicerselle de Newton), comment vanie le facteur f quand on fait on changement d'unit6s?

Page  115 CIIAPITLIE V. - E~QUILIBRE D'UN POINT. IDEUXIEME PARTIE. STATI1QUEC CHAPITRE Y. EQIJILIBRE D'UI\ POINT; EQIJILII3IE D'UN CORPS SOLIDE. I. - POINT MATERIEL. 93. Point libre. - Pour qu'un point libre MI soit en eiquitibre, it fauLt et ii suffit que la re'sultante R des forces qui lui sont appliqvees soil nulle., c'est-a"-dire cjie les trois projections X, Y, Z de R le soient Si, dans une position quelconque M(x, y, z), on abandonne le point M saDs vitesse initiale sous 'action de la resultante II, la valeur initiale de cette resultante ne d~pend. que de x, y, z et t; no-Ls supposerons qu'elle est indepentdante de t. AMors les trois equations (i) deiterminent les coordonn~es des positions d'e'quilibre. Lorsqu'il existe une fonction des for-ces U (x, y, z), les proj ectons X, Y, Z sont les de'rive'es partielies de Uetiles equations deviennent Ce sont pre'ciserment les equations que 1'on a "a re'soudre lorsque l'on cherche les maxima et les minima d'ine fonction U de trois variables ind~pendantes x, y, z. Nous de'nontrerons en Dyna

Page  116 ti6 IT6 ~~DEUXILEl PARTIE. - STATIQUE. inique (Chap. IX), d'apre's Lejeune-Dirichiet, que, si la fonction U est rdel'eement maxi'mum en un point M, (x,, y,, z,), cc point est une position d'equilibre stable. cela. signifie qu'en deartant infinhirent peu, d'tLine mnanie're arbitraire, le pointma tedriel de la position M,, et liiidonnant une vitesse initiale i~nfiniment petite, on obtient un moiovemnent dans lequ'el le mobile s'ecarte infinirnent pen de M,. 9z4. Exemple. Attractions proportionnelles aux distances. - Trouver les positions d'6quilibre d'un point mat~riel attir6 par des centres fixes proportionnellem-ent aux. distances et aux m-fasses des centres d'attraction. Soient Pi, P2..,P (ig. 66) les centres fixes et 7in1, in2,.., nz" leurs Fi g. 66. 3F F F R ~~~~~P3 P~~~~~P (a,2 bz c2) masses. Les forces d'attraction FI, F1,., Ft agissant sur le point mate'ril Al seronL dirige'es suivant MP,, MP2, MP1,.., MP,,; leurs grandeurs respectives seront, f design ant une constante, F1 ~fml MP1, F2 =f n12 MP 2,., Fit= fi7n1IMP,,. So-ient a,, bl, c1, a2, b2, C.2,..., ca,, b,,, cl, les coordonn~es des centres attractifs, x, y,.z celles du pointMA. Les projections de la force Fk sur les trois axes sont 6gales aux projections correspondantes dii segment MPfr multipli~es par flnf; clles sont done Les projections de la riesultante sont alors (2) X =f Mk(ak- X), Y zf>21nk(bk- Y), Z =fEink(Ck-Z), le signe E indiquant une somme 6tendue Al toutes les forces, clest-fi-dire Ai toutes les valeurs k =iI 2,... n.. En posant ~t: Imk, I.t - nik ak, P.- LIMzzlfk, ~k ~ if k Ck,

Page  117 CHAPITRE V. - EQUJILIB3RE D'UN POINT. " 117 on pent e'crire Conside'rons- le point G ay-ant pour coordonn~es -q,,;on appelle ce point lc centre de gravite du syst~me de masses Pi, P2,...,P,. Les 6quations ci-dessus montrent que la resultante des forces qui agissent sur M est la force que l'on obtiendrait en supposant le syst~me des centres attractijs remplace' par le seul point G auquel on supposerait la 7nasse ti. La re'sultante est clirige'e sitic~ant MG, et sa valeuir est f ~L MG. 11 ne peut done y a-voir 6quilibre que si M se confond avee le centre de graviti6 G dui syst~me. Dans ce qui pre'c~de, 7)n1, 7in2,...,m,, sont des nombres esseatiellement positifs; admettons maintenant que ces nombres ne de'signen t plus des masses, mais seuleMent des coefficients, et supposons que certains d'eatre eux sont n6gatifs; cela revient is admettre que Jes forces correspondantes sont rispulsives, car, les projections d'une de ces forces Fkg changeant de signe avec Mk~, Fk~ changera de sens quand Mk deviendra nisgatif. Lorsque pL est diffesrent de zisro, tons les calculs ci-dessus subsistent et ion arrive aux mitynes rissultats. Si st est, anu, les trois esquations (2) deviennent indispendaatcs de x, y, Z, la rissultante des forces est constante en grandeur et en direction et il n'y a pas de position d'dq ulibr-e. Enfin, si ion a simultane'ment X, Y, Z sont nulles quelles que soient x, y, z; par consesquent, le point M se trouve en dquilibre clans une position quelconque. Ii existe actuellement une fonction des forces U; dans lc cas gisne'ral, [5 diffisrent de zisro, on a 2 2 G Quand st est positif, cette foaction est nulle au point G, nesgative en tout antre point:elle est done maxrimum. dans la position disquilibre, qui est par suite stable. L'in-verse anrait lien pour V. nisgatif. Lorsque V. est nul, X, Y, Z oat des valenrs constantes f Yml, ak, f Enmk bk, f EMk Ck, et la fonction des forces est U =f (X E 7nale -~j E nl,:bk/g-z rn'kCk). 95. Point mobile sans frottement sur une surface fixe. - Soient uesurface fixe donne'e S (fig. 67) et sur cette surface un point mobile M sollicite' par des forces donne'es doni F esL la resultante. Pour que le point soil en edquilibre, il fant et ii suffit que cette resuliante F,

Page  118 i i8 DEUXIbIE PARtTIE. - STATIQUE. Si elle n'est pas nulle, soit normale 'a la surface. En effet, si la force n'est pas normale, on pent. la decomposer en deux, l'une normale qui presse le point sur la surface, l'autre tangentielle qui fait glisser le point snr la surface; le'quilibre n'a done pas lien. Si F ig. 67,. dan s tine certaine position Ml la force F est, normale, e'iquilibre a lieuLia condition que le point ne ptuisse quitter la surface ni d'uD cot ni de lautre; c' est, le cas lc plus fre'quent. Mais, si le point est, simplement pose stir la surface, comme un objet; pose' stir une table, ii ne suffit pas que la force soit normale pour qu'il y aLt eqtiilibre, il faut en outre qu'elle soit dirige'e de facon 'a appliquer le point contre la surfce. Le point, pouvant glisser sans frottenent, stir la surface, 1Faction de la surface stir le point, est tine force qul ne doit, opposer aucune resistance au. glissementa, c'est-A —dire n'avoir aticune coinposante tangentielle. C'est -done uine force normale que l'on appelle reaction normale. Quand le point, est en equilibe larato normale est, Cgale et, oppose'e "a F. D'apre's le principe de leigalite' de l'action et, de la reaction, lc point Alv exerce stir la surface tine action e'gale et oppose'e 'a MN, que l'on appelle pression dit point sur la surjace. Traduisons analytiquiement ces resultats soient, I equation de la surface en coordo~nn'es rectangulaires et, X, Y, Z les projections de la force F. La reaction normale MN a pour projections des quantit's proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale 'a la surface, c Iest-A-dire des quLantite's de la forme (N) f f Ptiisqu'il doit y avoir equilibre entre cette reaction et la force F,

Page  119 CIIAPITRE V. - EQIJILIBRE D'UN POINT.19 on a les trois conditions qui, jointes "a j(x, y, z) =o, donnentL quatre equations pour de'terminer x, y, et ),. Solt Mi un. point de la surface dont les coordonne~es satisfont 'a ces ec~uations. Si le poinL materiel ne pentA quitter la surface ni de l'un ni de 1'autre c etd il est en e~quilibre en ce point. Dans le cas contraire, ii faut en outre imposer a )\ n certain signe. Adinettons, par exemple, que le point puisse quitter la surface dii co"t oiii f(x, y, z) devient positif; il. faut alors que la force soiL dirige'e du c6te ohif(x, y, z) est n'gatif, et la reaction du cote oppose Or la grandeur ge'ome'Lrique dontL les projections son L df df O~f est dirig~e'par rapport a la s~urface du co'te oui f (x, y, z) devient positif, comme il. re'sulte des remarques faites 'a propos des surfaces de niveau (88) applique'es aux surfaces J(x, y, z) = const. La raction N devant htre dirige'e du M eme co'te, )I dev'a etre positif. Lorsque le point ne petit pas quitter la surface, on simplifie le calcul par la me'thode suivante. On commence par exprimer les coordonnudes d'un point de la surface en fonction de deux parame'Lres qj et q2, soien.t par exemple x -_?p(qi, q2), y - d ~q', q )2 z - b7ql q2); pour qui'il y ait e6quilibre, ii faut et it suiffit que F soit normale 'a la surface, c'est-A-dire "a chacuine des deux courbes que ion obtient en laissant successivement q,, puis q2 constant; les equations du proble~me sont done QI= XJYJ Z o2=xa~ I +IYy ~z~0. aq2 &(J2 3q2 - X, YZ, dependant de' la position de Ni, sontL des fonctions de qj et q2; les deux equations ci-dessus en qet q2 deLerminent les valeurs des deux parame'tres pour les positions d'e'quilibre.

Page  120 120 120 B~~EUXIEME PARTIE. - STATIQUE. Un cas inte'ressan[ est celui oihi, en designantpar Q, et Q, les premiers membres des equations ci-dessus, l'expression Q, dq1~ -Q2dq2 est la diffhrentielle totale exacte d'une fonction U(q,, q2); on esi alors conduit, pour trouver 1'e'quilibre, "a annuler les de'rive'es partielles Q, et Q2 deU(q,, q2 ) c'est-ah-dire "a chercher les maxima et les minima de cette fonctlion de deux variables inde'pendantLes qj et q2. Ceate fonction pent s Uicrire U(q1, q2)zz X d -i- Yd6y I Zdz, oiu, dans le second membre, Loutes les quantite's sont remplace'es par leurs valeurs en qet q2. Dans le cas particutier o Ui la force F derive d'un potentiel, on a, quels que soient x,,~ f Xd. -~- Ydy~-,Z d~z =U(x, y, z); la fonction U(q,, q2) existe alors et on l'obtient en remplacant, dans U (x, y, z), les coordonne'es par leurs expressions en fonction de q, et q2. NouLs demontrerons en Dynarn-ique que, si U (q,, q2) passe dans Liecertaine position du mobile par un maximum effectif, e'~quilibre correspondant est stable. 96. Point mobile sans frottement sur une courbe fixe. - Soient uine courbe fixe C et, sur ceLte courbe, un point M mobile sans frottement soliiciue' par des forces dont la resultante est F. On voit, comme dans le cas d'un point mobile sur une surface, que, dans 1'e'quilibre, la force F, si elie n'est pas nulle, di atre normale 'a -la courbe. Si cette condition esL remplie, la force F sera de'trui-te par la resistance de la courbe et e'~quilibre aura lieu. L'action de la courbe sur le point est une force normale MN qu'on appelle reaction nor-male: le point M exerce sur la courbe une pression egale et oppose'e 'a cette reiaction. Lorsque le point est en e6quilibre, la reaction normale esL e'gate ei oppose'e "a la force F; la pression du point sur la courbe est e'gale "a F (fig. 68). Soient f(X7 y2Z)zo fi A(X,yz 0

Page  121 CHAPITRE V. - EQIJILIBRE D'IJN POINT.12 121 les equations de la courbe rapportede "a trois axes rectangtilaires, et X, Y, Z les projections de la resultante F des forces applique'es an point M (X,y, z) Pour exprimer qti'il y a e6quili~bre, il suffit d'ecrire que F est e~ga~e et directement opposee "a la reaction norFi g. 68. N, male N. Cette derniere force penit touj ours se decomposer en deux atitres dirige'es suivant les normales MIN' et MN" aux deuax surfaces f~ o, f, o:, qui, par leur intersection, dedfinissent la courbe, car les trois directions MN, MN', MN" sont dans le plan normal. Ces deux composantes de la rdaction MN' et MN' auront respectivement pour projections Ox ay Jz' Ox7 >a' 'Z Pui~squ'il y a edquilibre entre ces deux forces et Ia force F, on a ox x ay~~o Y j j'OY z z - Ces trois iquations, jointes aux deuLx equations de la courbe, determinent les cinq inconnues x, y, z, ), etL, On simplifie le calcul en supposant pie les coordonne'es d'un point de Ia courbe soient exprimees en fonction d'Lun parametre q par les equations Les cosinus directeurs de la tangente e'tant proportionnels 'a?' (q), y'(q), &'(q), la condition d'ecquilibre s'obti-ent en egalant a zero la quiantite' que nous di'signerons par Q. A chaque valeur de q annulant correspond une position d'eiquilibre. Dans le cas actuel, la

Page  122 122 DEUXIEMIE PARTIE. - STATIQUE. recherche des positions d'equilibre se ramene Loujours a la recherche des maxima et minima d'une fonction quz i ne depend plus que d'une variable. Posons, en effet, U(q) = fXx - Ydy + Z Qz= f dq, o0 Ilon suppose, dans la premiere integrale, x, y, z remplaces par leurs valeurs en fonction de q, de facon a rendre cette integrale identique a la deuxieme: la condition d'equilibre s'obtient en cherchant les valeurs de'q qui annulent la derivee de U par rapport a q; on les trouve done en cherchant les maxima et minima de U. Lorsqu'il existe une fonction des forces U (x, y, z), la fonction U (q) s'obtient evidemment en y remplacant x, y, z par leurs expressions en fonction de q. Nous verrons plus tard, par une methode generale, qu'a un maximum effectif de U (C) correspond une position d'equilibre stable. Nous indiquons, a titre d'exercice (fin du Chapitre, Exercice 7), une methode particuliere pour verifier cette proposition. II, - ENSEMBLE DE POINTS MATERIELS, 97. Principes gen6raux relatifs aux ensembles de points materiels. - Si l'ensemble est forne de points libres et independants les uns des autres, on pent repeter pour chacun d'eux ce que nous avons dit sur le point materiel completement libre. Pour que l'equilibre existe, il fat et il suffit que la resultante des forces qui agissent sur chaque point soit nulle. Cette condition n'est plus necessaire si l'ensemble est soumis a des liaisons de.finies geometriquement ou exprimees par des equations entre les coordonnees des points. C'est ce qui arrive, par exemple, si l'un des points est assujetti a rester sur une surface; ou encore, si la distance de deux points de l'ensemble est constante. Relativement a ces ensembles, nous poserons les deux principes suivants: ~1 Si cun ensemble est en equilibre soues l'action d'un systeme de Jorces, l'equilibre sera conserlve si, sanls changer les forces, on introduit de nouvelles liaisons. 2~ Si un ensemble est en equilibre sous l'action d'un7 systeme

Page  123 CH-APITRE V. - EQUIJLIBPE DUN SOLIDE. 123 de forces (A), l'6quilibre sera conserc6e, s i /'on ~-jouite ou supprime a' (A-) un systernie (B) qui inainitient l'enseinble en e~quilbe. Si les forces qui agissent sur chacun des points ont~une re'sultanie nulle, l'ensemble est en ecquilibre; c'esL une consequence irnnediate dui premier principe. En parti culier, un syste'me cquelconque, de forces (A) sera maintenu en equilibre par le systLeme ( -A), obtenu en chano-eant le sens de touics les forces de (A). 98. equivalence des syst~mes de forces appliqu6es d un ensemble. - Deux sysle'nes de forces (A) et (B) sont dits eJquicalents relcttivemnent a' an ensemble, SWi existe ain trois~iene syste'me (C), qul inaintient s'pcreinzent (A) et (B) en 6quiilibre. Dans ces conditions, LontL systcnme qni mainLient (A) en e'quilibre produit le manie, effet sur (B). En effet, soiL (D) un tel systebme, (A) ~ (D) et (B) -s (C) e'tantL en e'qtillibre, ii en est de meme (deuxie'me Principe) du syste'me (A) -A~- (B) ~ (C) +d (D); on pent supprirner (A) -d- (C) qtui est en e-juilibre. 11 resie nn eytme en ecjnilibre form' de (B) et (D). En particulier, (B) sera miaintenu en equi libre par ( -A). Si l'on remnptace toutes les forces qui agissent suir chacun des points par leurs re'sultantes, on obtient tin systerme eqtiivalent. En effet, soiL (A) le syste'me, primitif, (R) le sysLe'me forme" par l'ensemble des re'sultantes, chiacuin d'enx est maintenu en equilibre (~ 97) par le systeme (- U). On -voit facilement qne les operations suivantes transforment tin syste'me en un systbrne equivalent: Adjonction ou suppression d'utn syste'me en, equilibre. Remplatcement d 'une partie des forces par tin s~yste'me equiva lent. III. - REDUCTION DES FORCES APPLIQUBLES A UN CORPS SOLIDE. EQUILIBRE. 99. Corps solide. - Un corps solide est ain ensemble depoints materiels incariableinent tie's entre eux. - Lorscqu'une force est

Page  124 42~ DEUXIEME PARTIE. - STATIQIJE. applique'e "a l'nin de ces points, on dit qu'elle est applique'e an corps. Le corps solide ainsi de'fini est une abstraction. Tons les corps de la nature se deforment sotis laction des forces qni leur sont appliqUe'es; mais les corps appele's communement solides suibissent des deformations tre's petites, q pnvn Ltre n'gi~ig'es dans une premi~re approximation. On admet les deux propositions suivantes 10 Deux forces 6 gales cl directement opposees app lique'es a' un corps solide sefont eqailibre; 2-0 Un corps solide mobile autoar d'atn axe fixe, soamtis a' l'act ion Cl'ane seatle force, perpenclicalaire a' l'axe, ne rencon trant pas l'axe, n?'est pas en eqailib7-e. Dc la premiere de ces propositions ii re'sulte imme'diatement qne Si l'on ajoute on supprime deux forces egales et directement opposees, on obtient uin nouveaui syst~me d e forces equivalent an systeme primitif. On en de'dnit, comme nonLs lFavons rnontre' dans la the'orie des vecteurs (no 15), Ta proposition suivante Si lVon transporte le point dcl'pplicaition cl'ane force en an point quelconque de sa direction, poar7ca) que cc point soit inca7riablemnent lie' aat Corps SOlicle, le, iioaeaat syste'me de forces est equicalent aat syste'me primnitif. Nons ponvons maintenant de'montrer nin the'ore'me cjni est la reciproqjie de Ta premic~re des propositions ci-dessus Deax forces app liqaeesa an cor-pssolide ne peacevittsefair-e eqalilibre qae si edles so/it egales ct directemnent opposees. Soient P et Q les deux forces conside'rees, A et B leurs points d'application; puiscqne le corps solide est en e6quilibre, irstr encore en equilibre si l'on fixe certains de ses points; c'est cc (Jni resulte du premier principe (97) et cc qu'on petit d'ailleurs concevoir directement, car le corps, restant immobile qnand ii est entie'rement libre, restera e'videmment immobile si on limiLe d'une manie~re quelconque les mouvemients qu'il pent prendre..Soit 0 nn point de la droite AP; si Q ne passe pas par 0, on

Page  125 CHAPITRE V. - EQIJILIBJIE D'UN SOLIDE. 125 pourra mener par 0, un axe perpendiCUlaire a Q ne rencontrant pas Q. Fixons eeL axe, ce qui ne de'truit pas 1'U'quilibre (premier principe 97). La force P, qui pen tre transporte'e en 0, est de'truite par la fixit6' de l'axe (fig. 69). La seule force Q devrait Fig. 69. 11 0 L A~~~ maintrenir lecrp en qiireLaso~' cu qoinet i ncomptibe avec lau.forces P et Q' ayant Meme direction et applique'es au point A sont e'gales et oppose'es puisqu'elles se font e'quilibre. Les deux forces primitives P et Q sont done e'gales et directernent opposees. 100. Re'duction des forces appliques A un corps solide. - Systomes 6quivalents. - Equilibre. - D'apres ce qui precede, on obtient un syste~me de forces equivalent an syst~me primitif en effectuant les operations d'lementaires suivantes Adlonction, out suppression de deax forces e'gales et directemnent oppose'es; transport ci'une force en an point de sa direction. Composition de Plusieurs forces concourantes en unie scale, oua djcomnposition d 'ane force en forces conco urantes. Nous avons vu. que tons les syste~mes de vecteurs obtenus "a laide de ces operations sont equivalents, c'est-a —dire ont M eme re'sultante generale et merne moment resuitant; et que, re'ciproquement, denx syste~mes de vecteurs equivalents peuvent se ramener l'un "a lautre par ces operations. Done, deax syste'nes de forces represente's par des syste'mes de vectears equivalents sont equivialents.

Page  126 L26 DEUXIEIE PARTIE. - STATIQUE. Reciproquement, deux systemes de forces equivalents sont representes par deux systemes de vecteurs equivalents. En effet, soient (A) et (B) les deux systemes de forces equivalents, le systeme (-A) + (B) est en equilibre. A l'aide des deux operations elementaires ci-dessus, on pourra le reduire a deux forces qui devront etre egales et opposees (~ 99). Le systeme de vecteurs (-A) + (B) est equivalent a zero; (A) et (B) sont equivalen ts. En particulier, pour qu'ily ait equilibre, ilfaut et il suffit que le systeme des forces appliquees au corps soit equivalent a zero. 101. Reduction a deux forces. - Comme nous Flavons demontre dans la theorie des vecteurs, un systeme (S) de forces applique a un corps solide peut etre reduit, par les operations elementaires, a deux, F et (I, dont l'une est appliquee en un point pris arbitrairement. Ces deux forces F et 4) forment un systeLme equivalent au systeme donne. 102. Reduction a une force et a un couple. - D'apres ce que nous avons vu dans la theorie des vecteurs, un systeme quelconque de forces (S) peut etre remplace par une force unique R egale a la resultante generale appliquee en un point arbitraire O et par un couple dont l'axe est egal au moment resultant OG par rapport an point O. Pour qu'il y ait equilibre, il faut et il suffit que le systeme (S) soit equivalent a zero, c'est-a-dire que la resultante generale OR et le moment resultant OG soient nuls. 103. Equations d'6quilibre. - Appelant X, Y, Z les sommes des projections des forces sur les trois axes, L, M, N les sommes de leurs moments par rapport aux trois axes, on a les six equations d'equilibre X=o, Y=o, Z=o; L=o, M= o, N=o. 104. Cas particuliers de la reduction. - Pour que le systeme (S) admette une resultante unique, il faut et il suffit que la resultante generale OR soit differente de zero et que le moment

Page  127 CIIAPITIIE V. - EQUILIBIIE D'UN SOLIDE. 127 resultant OG soil perpendiculaicre & la direction de la resultante genelr'ale. La resultante unique est alors dirigee suivicant l'axe central. Analytiquement, on a les conditions X2- y2+ Z2 > o, LX -4- MY + Z = o. Pour que le systeme (S) se reduise ai un couple unique, il faut et il suffit que la resultante generatle soit tulle, sans que le moment resultant le soit. X = o, Y = o, Z = o. 105. Autre forme des conditions d'equilibre. - Pour Vl'qutilibre, ilfct et il suffit qtue la so7me2e des moments des forces patr r7apport a chacune des six ardetes dl'un tetl'adclre soit nulle. Cette condition est evidemment necessaire: elle est suffisante. En effet, supposons-la remplie pour un ettraedre ABCD: la somme des moments etant nulle par rapport aux trois aretes AB, AC, AD, issues du sommet A, le moment resultant par rapport au point A est nul, et les forces considerees ont une resultante unique passant par A ou bien se font equilibre. Le meme raisonnement pouvant etre appliqud a chaque sommet, les forces se font equilibre, car il est impossible qu'elles aient une resultante unique passant par les qcuatre sommets. Comme application, on demontre que quatre forces appliquees aux quatre sommets d'un tetraedre, proportionnelles aux aires des faces opposees et dirigees normalement vers ces faces, se font equilibre. On verifie que la somme des moments par rapport a chacune des six aretes du tetra6dre est nulle (fig'. 70). Fig. 70. B A C D En effet, soient ca, i, y, 8 les forces appliquees aux sommets A, B, C, D du tetraedre,. =/.BCD, p = k.CDA, y ='A. DAB, G = k.ABC.

Page  128 I 9's 128 ~~DEUXIE;ME PALITIE. - STATIQUE. Prenons les moments par rapport A 1'are'te CD:les forces y et ~ out des moments nuls; les forces a et Pont des moments de signes contraires. La force a e'tant dirige'e suivant la hauteur AA', langle de a avec CD est droit, et ia plus courte distance de a At CD est la perpendiculaire A'A, abaiss~e de A' sur CD; le moment de a par rapport ~ CD a donc pour valeni, absolue ~. A' A" c.AA'.cotu Q.BD.AA'. cot o 3 kVcot Q V de'signant le volume d u te'tra~dre et y langle di~dre suivant l'are'te CD. Le moment de P a la me'me -valeur absolue. La somme des moments par rapport ~i une arkte quelconque CD est donc nulle. IV. - APPLICATIONS. FORCES DANS UN PLAN. FORCES PARALLELES; CENTRES DE GRAVITE. 106. Forces dans un plan. - Prenons ce plan pour plan des xy, nous aurons evidernment Z = o1 L =o, M =0 LX -~-MY~ —NZ -0o. Par consecqnent Si 2 ~y2 ole systeine a tune resultante unicque dirigde' suivant l'axe central; Si X -o Y - oavec N ~o, le SystLern e se rdduit 'a un couple; Si X oY oN-o le syste'ne eSt en equihbre Lorscjue iN est nul, les forces ont une re'sultante passant par le point 0 ou se font d'quilibre; si done la somme des moments des forces par rapport - ' detu- points'du plan est nutle, in re'sultante passe par ces points, on. bien ii y a edquilibre; enfin, si cette somme est nulle pour trois points dui plan, non en ligne droite, il y a nedcessairement edquilibre. '107. Exemples. - ro Prenons dans Ie plan des xy on polygone quelconque et appliquons an milieu de chacun de ses c6te's et perpendiculairement A sa direction une force proportionnelle A sa longuecur et dirig6e vers l'exte'rieur du polygone; ces forces se font 6quilibre. Nous allons 6tablir g~om~triquement cette proposition. D6montrons-la tout d'abord pour un triangle ABC. Les trois forces A'(K.BC), B7(K.AC), C'(K.AB) SOnt concourant~es comme 6tant perpendiculaires aux milieux des c6te's du triangle; de plus, la somme de leurs projections sur on. axe quelconque est 6'videt-nment nulle; ces trois forces se font done 6cquilibre (fig. -i).

Page  129 CHAPITRE V. - E~QUILIBRE D'UN SOLIDE.19 I ), 9 Passons maintenant au cas d'un polygone quelconque. A laide de dlingonales issues d'un sommet, partageons-le en triangles. Perpendiculairenient aux c6t~s de chacun des triangles ainsi dterminins et en leurs milieux appliquons une s~rie de forces proportionnelles ~ ces c6t~s et dirige'es vers 1'ext~rieur dui triangle correspondant. D'apr~s ce qui vient d'e'tre dit, cc Fig. 7. syst~me die forces est en 6quilibre:or an m-ilieu de chaque diagonale sont appliqu~es deux forces 6gales et oppos~es; on pent done les supprimer sans. troubler l'6quilibre, et le polygone reste en repos sous Faction des forces appliqu~es normalement ~ ses eo't~s; ln proposition est done dkimontr~e. 2,0 Soit donn6 un polygone plan A.BCDE (fig. 72), sur lequel nous deternminons un sens de circ ulation; appliquons A chaque sommet de ce polyF'ig.) 72. gone une force dirig~e dans le sens dui c6t6 qui y aboutit et proportionnellc ai sa longucur. Si l e polygone est convexe, ces forces se r~duisent ~ in couple. En effet, la sommne des projections de ces forces sur un axe quelconque est nulle commie 6gale d K fois la projection du contour ferm& ABCDE. De plus, la somme des moments par rapport A un point quelconque 0 du plan du polygone n'est pas nulle; en effet, c'est e'cst--dire N =-~ 2K[ surf. GAB ~~ surf. OBC~ 1 N -~ 2K surf. (ABCDE). II ne pent done pas y a-\oir 6quilibre. 1.9 9

Page  130 j3o i~~o ~ DEUXIEM-AE PARTIE. - STATIQUEF. Si le polygone est conca-ve, il n'en est plus de mn~he; prenons, en efiet, le polygone A'B'C'D'; ia sonime des moments par rapport?~ un point 0 du plan sera, en ayant 6gard ~i leurs signes, ~ 2K(surf. D'IC'- surf. B'I A'): ii y aura done 6quilibre si les deux triangles D'IC', BI IA' sont 6quivalents. 108. Centre d'un syst~me de forces situfies dans un plan et admettant une r~sultante. - Soit une figure plane Al1A2... A,, de forme invariable, aux diff~rents points de laquelle sont applique'es des forces F1, F2,.., Fit, toutes situe'es dans le plan de la figure et admettant une resultante R. De'placons la figure plane dans son plan, en supposant que les forces F1,., F,, restent applique'es aux mcimes points Al, A2,..., A,, de in figure mobile, et conservent chacune une grandeur et une direction. constantes. La r~suitante R est alors 6gaiement constante en grandeur et e4 direction, et passe par un point fixe C, invariabiement lie' A la figure m"O'bile, qu'on appelle, d'apr~s Mbbius, cent7re desfo7rces F1, F2,, Fit. Pour le d6montrer, on pent e'videmment, an lieu de d~placer la figure en laissant aux forces leurs directions et leurs grandeurs, laisser in figure immobile en faisant tourner tontes les forces dans le me'me sens d'un m~me angle autour de leurs points d'application; car, dans les deux faCoDS de proce'der, les positions relatives de in figure et des forces sont les m~mes. D~montrons d'abord le th~or~nme pour deux forces F1 et F2 (fig.;3). Fig. 3. A 43 B Qu uand on fait tourner F1 et F2, d'un rne're angle a, autour de A1 et A2 dans le m~me sens, i'angle Al1BA2 de leurs directions ne change pas, et le point B de'crit une circonf~rence 7passant par les points A1, et A2. La i'~suitante R, des deux forces F1 et F2 est constante en grandeur et fait avec chacune des forces F1 et F2 un angle constant; car lc para~lllogramame des forces F1 et F2 a une forine invariable. La direction de in resultante RB1 rencontre done le cercle c; en urn point fixe C1, oiii ion peut toujours Ia supposer transport~e, et cette r~suitante tourne autour

Page  131 CIIAPITRE V. - EQUILIBRE D'UN, SOL-IDE. i 3 i du point C1 du medme angle, a que les forces F1 et F2 autour de leurs points d'application. Si maintenant on compose de medme R1 avec F3, ces deux forces ont une rdsultante R2 appliqude en un point ddtermin6 C2, autour duquel elle ne fait que tourner de langle ax quand F1, F2, F3 tournent de langle a7 autourde leurs points d'application. On composera R2 avec, F4,..., et ion arrmvera finalernent -S la rdsultante R de toutcs les forces proposdes appliqude' au centre C de ces forces. 109. Gas du couple; directions principales. - Supposons maintenant que les forces F1, F2,..,F,, (fig. 74) forment un couple en de'placant Fig. 74. F3 A2 A3 2 A0~~~~~~~ la figure dans son plan et laissant les forces constantes en grandeurs et directions, on peut toujours amener la figure dans une position ddequilibre. En effet, les (n - i) forces F2, F3,..., F,1 ont une. resuliante - F1 qui est edgale et opposde h F1 et qu'on pent supposer appliqude' an centre B1I des forces F2, F3,..., F,. L'ensemble de toutes les forces est alors remplace' par le couple F2, - F1 dont les forces sont appliqudes aux points Al et B,, invariablement lie's A la figure mobile. Pour amener la figure A dire en equilibre, il fant et il suffit qu'on la dd'place de manidre A rendre la droite Al1B, parallidle S la direction fixe Fl. On obtient ainsi deux positions ddequilibre dont lune se ddduit de 1Fautre par une rotation de 1800. II exisie deux directions rectangulaires OP et OQ (fig,. -75), invariaFig. 73. y Pk~ Ah P 10 blement lie'es a' la figUre mnobile et caracte'rise'es par la proprie'te' sui-vante:lorsque la figure est amende dans la position particulidre ouS e'dqui

Page  132 i 3,-) 132 ~~~DEUXIEMEAl,, PARTIE. -. STATIQUE. libre a lieu, si i'on decornpose chaque force Fk en deux. composantes P/A eL Q/A respectivement parall~les Al OP et OQ, les foices paralifiles Pk~ se font 6quilibre et les forces Qk e'galemnent. Ces directions se nomment directions pr-incipales (Mbbius). En effet, la figure fitant amen~e dans la position d'6quilibre, rapportonsla A deux axes rectangulaires Ox et Oy; nous aurons Ics trois conditions d'6quifibre (I) IXXL=o OY yk=, 2Xkyl,=-Y~YkXk. Soit 0 langle d'une direction OP a-vec Ox, la composante Pk de F/R paralliliement i~ OP est Pk XkCoOS ~ + Y/1: sin 0, et, les projections X% et Y' die Pk. sur les axes sont XI Xk cos20 1cs i Y' = X/.COS 0 SinG0 Y/,:sin2 0. Les sommes EX et ~YY' sont 6videmnment nulles; pour que les forces P/1. se fassent 6quilibre, il faut et il suffit que la Somme 1(Xkyk-y,'YkM) soil nulle aussi, cc qui donne, en vertu de la troisi~me des equations (i), i2O d'of I'on tire une, valeur pour taug2-0 et, par suite, deux. ialeurs pour 0 fournissant deux. directions rectangulaires OP et OQ. Les directions principalcs se trou-vent ainsi d~termnin~es. En les prenant comme axes coordonn~s on doit trouver pour tang20 la valeur o; donc, pour que Ies axes coincident a-vec les directions principales, il faut et il suffit que l'on ait, en supposant 1'6cquilibre ktabli, yXk YI2= >2Yk Xk= 0. Remar-que. - Si de plus EXxkXk-YykY) est nulle, 0 estinde'termnini6; tumtes les directions sont alors principales. 110. Forces parall~les. - SoiL un. corps solide sollicite' par des forces paralld~es "a une Meme direc Lion; appelons oc, ~i3,y les cosinus directetirs d'une demi-droite GD paralle'le "a cette direction, P4, pl~...IP,1 les valeurs algedbriques des forces Iparallo'les estine'es positivement dans le sens GD, nedgativement en sens contraire, et xL, yk, Zl les coordonne'es du point d'application de Pi. LUs diffdrents cas possibles sont les suivants (no 28).

Page  133 CIJAPITRE V. -EQIJILIBRE D'UN SOLIDE.[3 Io Yp>o Re'sultante unique, parallel 'a la direction donn~e, ayant pour valeur alg'brique Y-P/k et appliqu.'e an centre des forces paralledes XPkXk _ ~PkYk EPIC ___, 7i E Pk E Pk dont la position est inde'pendante de la direction des forces; 920 lP/f== o, avec [2 +] M2 +~ N2 > o. Couple unique d'axe L, Ml N; 3) XPAZ=o - oy P~ I~quilibre. Equilibre astatique. -Supposons qute, le corps se de'placant, les forces paralie'es restent constantes en grandeur, direction et sens et demeurent applicquees en des points fixes dii corps; e'~quilibre est dit astcatique quand it subsiste quelle quie soit l'orientation du corps oti, ce qui revient a-L merne, qele cjue soit l'orientation des forces par rapport an corps, c'est-a'-dire quels que soient a~,, ourcelaIi faut et 'I suffit quie l'on alt ~~ XP1~x1~o, /-.y =o, 5Pk~Zk=o.Dans ce cas, le ccntre de celles des forces paralid'es, qui Lirent daDs uin sens, coincide avec le centre de celles qui tirent en sens contraire, de sorte que ces deux syste'mes de forces se font touj ours equiilibre. 111. Centres de gravit6. -Nous avons de'j'"aade'ini lepoids d'un point mate'riel:c'est uine force verticale dont l'intensite' p est e'galc at la masse du point materiel multipli~e' par I'acceleration g, due 'a la pesanteur, acce1eration qui, en un inehme lieu, est la me'me pour tons les corps. La direction de la verticale change d'un lieu 'a l'autre; l'observation a pro-Lve' que la valeur de g vanie avec la latitude et l'altitude; mais ces variations sont insensibles dans lItkendue d'un corps de dimensions ordinaires. Un corps solide pesant peuit donc C re considermi comme uine reiunion d'un grand niombre de points materiels lie's entre eux et sollicite's par des forCes verticales paralle'es proportionnelles 'a leurs masses. La resultante de ces forces, qui est e'gale 'a leur somme, s'appelle le poids c/u corps. Le point d'applicat~ion de cette re'suliante, ou. le

Page  134 I34 DEUXIEME PARTIE. - STATIQUE. centre des forces paralleles, se nomme specialement centre de graoite; il occupe dans le corps une position independante de l'orientation de celui-ci; car, lorsque le corps se deiplace, tout se passe, pour un observateur entraine avec lui, comme si, le corps restant immobile, les forces paralleles tournaient d'un mnme angle autour de leurs points d'application, ce qui n'altere pas la position du centre des forces paralleles. Ainsi, le centre de grcavite est le point du corps par lequel passe constamment le poids du corps quelle que soit son orientation. Si done on fixe le centre de gravite, en laissant au corps solide la ]iblerte de tourner autour de ce point, le corps, soumis uniquement a l'action de la pesanteur, reste en equilibre dans toutes les positions qu'il peut prendre. 112. Expression des coordonnees du centre de gravite. - Soient mn, n.,..., nm, les masses, p, P2,.., p,, les poids des points materiels qui constituent un corps solide, (x,, y,, z), (x2, Y2,.)2),.. (xn,, y,, zn) leurs coordonnees, P et I le poids et la masse du corps. On aura P = 7- 6g, P = p -4- P +-.. p = P I Mg. Si l'on designe par ( l, r, e) les coordonnees du centre de gravite, on a, d'apres les formules qui donnent le centre des forces paralleles, Pi X -3- [ ). 7 —.. /-I- X/L, II I, X — - ], 4S1 — —... ~- ~2n X, I ]PI X --- 1 /). ~ + - 1 -+./2 2 t-... -- tnz, ou, sous forme abrege'e, _ P _ _ _x I E Py _ nz y _ Y1 z _ _/? z ' ~p~ m 1 ' Zp = Z m p = 1f On voit, d'apres ces formules, que la position du centre de gravite depend uniquement des masses des points. Cette observation est importante, car elle permet d'etendre la notion de centre de gravite a' des systemes non pesants. Mnee, dans certaines questions relatives a des points materiels de masses im7, m.I7,..., n,, non incariablenent lies entre eux, il est utile d'introduire le point dont les coordonnees s, or, J sont definies

Page  135 CILAPITRE V. - EQUILIBRE D'UN SOLIDE. 3 par les formtiles precedentes:cc pointL qu'Euiler proposait d'apPeler centr-e d 'iner-tie continue ai porter le nom de centr-e de gr-avile' quoicjue les considerations qui condui-sent 'a la notion du centre de gravite' ne soient plus applicables. Le centre de gravite' est e'videmment situe' ak linte'rieur de toute surface convexe entourant les points conside'res (no 30, RBeinar-que). Lorsque l'on conna'it les centres de gravite' G, et G, de detix parties d'un corps et [curs masses M1 et M2, on en de'duit imniAdiatement ic centre dc, gravite' dii. corps, car ce centre est le centre des forces Parallemles Mi et M2g applique'es aux deux points GI et G2. D'une manie~re gene'rale,.lorsque l'on connait les centres de gravite' GI, G2,.., G-p de piusicurs parties d'un corps et leurs masses Ml, M2,..., MP, le centre de gravite' du corps est le centLre des forces paralle~les MI g, M2g.., Mpg applique'es auxpoints GI, G2, C. pG. En appelant xiy4, ~X2 z2),;2 xP, Yp ~~. tes coordonnees des centres de gravite' de ces diverses parties, on aura pouir les coordonne'es,, du centre de gravi1te' d-o corps Lorsque i'on veut determiner lc centre de gravite' d'un corps solide de forme donne'e, par exemple d'une masse de metal, on doit appliquer les formules pr'ce'dentes 'a un corps form6 d'un nombre extre'mement grand de points materiels situe's 'a des distances mutuelles extre'mernent petiteS. On tourne la difficahe, en regardant lc corps comme continu, cc qnil n'est pas conforme "a la Le'alite', mais fonrnit une approximation tre's suffisane pour les applications. Nous renverrons le lecteur de'sireux de se rendre compte d'nne facon detaillee de la legitimite' de cette substitution d'un corps continn a tin corps do~nn6 an Chapitre VI de la MHcaniqute de Poisson relatif 'a 1'attraction des corps. Un corps solide ktant ainsi assimile' "a un volume continu, on le suipposera. divise' en un nombre infiniment grand de parties infiniment petites dan tos ls snsenplacant le centre de gravit' de chacune de ces parties en un point quLelconque de sa. masse; les formules qui donnent les coordonne'es dui centre de gravit6' d'un corps divise, en parties de masses M,, A'II MP coiinentalors, Ia a place

Page  136 j36 i36 ~~DEIJXIbIE PARTIE. -- STATIQUE. des sommes qtii figurent au nume'rateur et au de'nominateur, des integrates Lriples. Lorsqu'tin corps a une epaisseur tre's pehile par rapport 'a ses autres dimensions, on assimile le corps at une surface telle est, par exemple, une feuille de papier on de me'tai tre's mince. De medme, il est des ens ofi l'on peut conside'rer un. corps comme re'duit a' une ligne. tel est le cas d'un fil long et fin. Nous indiquLerons 'a la fin dui Chapitre quelejues formules pour ia de'termination dui centre de gravite' des lignes, des surfaces et, des volumes. V. - SUITE DES APPLICATIONS. FORCES QUELCONQUES DANS L'ESPACE. 113. Exemples d'6quilibre. - io Des forces appliqaes aux centres de graviti A', B', C', D' des faces cl'an tdtraitclie ABCD, proportionnelles aux aires des faces et dirige'es norin-alernent & ces faces, toutes vers l'intirieutr, se font iquilibre. En effet, ces forces sont, par rapport aut6 trae'dre A'B'C'D' ayant pour sommets les centres de graviut' des faces dui premier, dans in position indiquite it la fin du no 105i. On conclut de lit que des forces appliques aux centres de gi'acit des faces d'Un polyitre, proportionne lies aux aires des faces et clirig~es normaleinent aux faces, toutes vers l'inte'rieur, se font equilibre. 11 suffit de decomposer lc polyddre epi tittraitres et d'appliquer it cct ensemble de tittraitres un raisonnement identique it celui qui a 6tti ernployt it la fin dui premier exemple du 0 107; 2-0 Des couples dont les axes SOnt proportionnels aux aires des faces d'un polyitre et clirigeds nornmaleinent & ces faces, tous vers l'in-tdrieur, se font dquilibre. En effet, la somme des projections des axes de ces couples sur une direction quelconque est nuile. 114. Conditions pour qu'on puisse diriger suivant trois, quatre, cinq, six droites des forces en 6quilibre. - Cherchons comment doivent ittre situites dans lespace trois ou quatre, ou cinq, ou. six droites, pour qu'on puisse diriger suivant ces droites des forces se faisant e'quilibre. Nous ferons d'abord 1la remarque suivante:lorsque plusieurs forces F.,, F2,..., F,, se font itquilibre, la somme cde leurs moments par rapport it un axe quelconque est nulle; done, si lon peut mener in axe A s'appuyant sur les directions de (n -i) des forces, le moment de chacune de ces forces ittant nul, le moment de la derniitre force est nil aussi, et laxe A rencontre 6galement la direction de cette derniitre force, it distance flnie ou infinie. Cette proprie'tti a metme lieu pour in axe A ilnaginaire, quoiqu'on ne puisse plus parler de moments par rapport it cet axe:en effet, soient (x', y', z') et (x", y', z") deux. points rdels ou imaginaires, A laxe joignant ces deux points, et Xk Yk, Zk, Lk~, Nl1~, Nk. les projections et les moments d'une

Page  137 CHAPITRE V. - EQUILIBRE D'UN SOLID.E. 7 i37 force Fk appiiqu~e au. Point Xk, Yk~, z/k. La condition pour que laxe A et la force F/ig soient dans un me'me plan s'obtient, d'apr~s les formules e'16 -mnentaires de in Ge'ometrie analytique, en 6crivant que in quantit6 Dk (x" - x') L k -+- (y - y') Al k+ (z"- z') N k -- (y'z"/- zI'y) Xk 41- ( Z'X"- X',Z") Yk -~ (X'Y"- Y'X") Z k est nuliec. Les forces F1, F2, F, F se faisant ecquilibre, la somme D L' ~ 1L'2 -I —* -v L'-1 est, 6videmment nulle:si done les quantit~s DR1-, OIR2,., DK,,1 sont nulles, c 'est-~-dire si laxe A rencontre les (n7 - 1) premidres forces, in quanti46lb est aussi nulle, et laxe A rencontre aussi la derni~re force A~ distance finie on. infinie. Si le point x', y', z' est r~el, la condition DtI-Lk 0 signifie que le moment de Fig: par rapport, h cc point est normal A A. to Trois droites. - Supposons que suivant trois droites on ait, dirig6 trois forces en 6quilibre. Tout axe s'appulyant sur deux de ces droites dexvra s'appuyer sur in troisi~me. Les tr-Ois ciroites sont done ize'cessa-ir-enent clans an in-tme plan.: si cle ce d'en tre cles sont concoarantes, la troisidmte doit passer- par- leUr point cle concoars; sin on, les tr-Ois ciroiIes sont parallles. Ces conditions sont n~cessaires. Si elies sont satisfaites, on pent 6videmment, diriger suivant les trois droites des forces en 6quilibre. 2'0 Quatre ciroites.- Supposons que, suivant quatre droites, Di, D2, D3, D4, on nit dirig6 cquntre forces se faisant 6quilibre. Tout axe A s'appuyant sur trois de ces droites doit reneontrer in cquatri~rne. Si done noeus nous placons dans le ens g~n~rai, ofi ii n'existe pas de plan contenant A~ in fois deux des droites, ln surface r~gl~e du second ordre (hyperboloide ou paraboloide), engendre'e par un axe A s'appuynnt sur trois des droites, deyin admettre in quntri~me comme gi~n.ratrice du mc'me systme que les trois premi~res. On a ainsi in condition n~eessaire indiqu-6e par M16bius ilfaut qae Di, D2, D3, D4~ soient quatre ge'ne'ro0trices clan me'tne syst~zne cl'ane sar-face cla second ordre. Pour 6tablir que cette condition est suffisante, nous enmpronterons ~ M. Darboux la dem.onstration soivante (Note ins~re'e dans le premier volume de in Mdcaniqae de Despeyroos; Hermann, 6diteur) Prenons sor on hyperbololde quntre ge'n~ratriees DI, D2, D3, D,0 d'un m~me systdme:par un point A de lespace (fig. 76), menons des parall~les Al, A2, A3, A.3 A ces g~n~ratrices; appliquons sur A.3 une force F'~ et soient, F, F.,,F les composantes suivant, les droites Al, A2, A3 d'une force 6gale et contraire ih Fl appliqu.6e an point A. Les quatre forces F., F',, F'., Fl ainsi obtenoes ont 6videmment one somnie g6ometrique nalie. Transportons maintenant ces forces para~lement A elles-me'mes sor les droites Di, D2, D3, Di, en F,, F2, F3, F.,. Ces quntre nouvelles forces se font 6quilibre:en effet, leur r~sultante g~ne'rale est nulle; leur moment r~sultnnt est done le m~me

Page  138 i38 i38 ~~DEUXIEME PARTIE. - STATIQUE. par rapport Ai tons les points de lespace. Ce moment r~snltant est on bien nul, on bien perpendiculaire h tontes les g6ne'ratrices A du second syst~me (Ic 1hyperboloide, car chacnne de ces g~ne'ratrices A, rencontrant les quatre droites DI, D2, D3, D~, la somme des moments par rapport A A c'estA-dire Ta projection du moment rdsnitant sur A, est nulle. Fig -6. 2 F' A Le moment resultant est clonc nul, puisqu'il ne pent pas ~tre perpendiculaire A~ toutes les g~n~ratrices dun nehme syst~me d'un hyperboloide qui ne sont pas parall~les A. un m~me plan. It y a donc 6qui libre. Si les quatre droites D1, D2, D3, D4 sont des g~n~ratrices d'un m~mc syst~nme d'un paraboloide hyperbolicjue, les droites auxiliaires Al, A2, A3. A4, sont cla7nS atn minene plan. On pent alor~s, en proc~dant comine daos le cas pr~c~dent, p)lacer sur les t7roiS premi~res droites D1, D2, D3 trois forces fl f:,.3, dont Ia resultantc g~n'i'ale est oulle et dont le moment r~sultant de loogn cur a, le m6me pour tons Tes points de Tespace, est dirig6 perpendiculaiirement A tontes les g6n~ratrices A du second syst~11e, c'estA-dire perpendicnlairement an second plan directenr. On pent de rn~mc placer sur DI, D2 et D!, trois forces gI, P2 4, dont Ta r~sultante g~n~rale est nunie et dont le moment resultaot b est normal an second plan directeur, c'est-A-dire a maine direction que a. Si Ton place snr Tes qnatrc droites les forces obtenues en superposant les forces du. premier syst~me multiplides par ) A celles dn second mnltipli~es par p., Ta resnltantc gdndrale est nunie et le moment r~snltant perpendiculaire an sccond plan directeur est ) a ~+ P.b. On pent disposer dn rapport de X et I-, de facon. qnc cc moment soit uni Jcs qnatr~e forces se foot alors 6qnilibre. 30 Cinq ciroites. - Si, snivant einq droites DI, D2, D3, Dh,, D5, on pent diriger cinq forces se faisant 6qnilibre, toute trans-versale rencontranlt quatre d'entre clles doit rencontrer Ia cinqui~me. Ii existe dcnx droites r~elles on imaginaires A' et A" reocontrant DI, D2, D3, D,; en effet, les

Page  139 CHAPITRE V. - E-QUILIBRE D'UN SOLIDE.13 1) 1 3 9 droites A s'appuyant sur DI, D2, D3 engendrent une surface du second ordre S, que Ta droite D,~ rencontre en deux points r~els ou imaginaires p' et p"; le s deux g~ne'ratrices de S du syst~me A, passant par ces deux points, forment deux transversales rencontrant les quatre droites DI, D2, D3, D4. Ces deux transversales A' et A" doiv\Ient rencontrer e'galement D5. II faut donc qa'il existe deux dr-oites s'appiyait a' lafois sitr les cinq dr-oites don~nies, on, d'aprds le langage de la Ge'om~trie des droites, que ics cinq dr-oites appar-tiennent &~ une con g7uence lin~ai7re- On montre, par un raisonnement identique an pr~c~dent (cas du paraboloide), que la condiLion est suffisante. 40 Six dr-Oites. - POWr que suivanlt six droites oni patisse dir-iger des for'ces se faisanit e'quilib7re, ilfaut et il sujjfit qu'elles ctppartiennien t et un c02np-lexe li7ndcaure. Employons une mn6thode analytique due iA Misbins et Somoff. Sur 1'une (les six droites D/k prenons, dans un seas disterminis, un segment dl, de longucur i, et soient ocA,, 3kg, (I, les projections de cc segment sur les trois axes, )1k, [Lk, N2k ses moments par rapport aux trois axes. Ces six quantitiss, 116es par 1'identiti sont proportionnelles aux cjuantite's que PlUcker appelle leS c00ordonne'es de la dr-Oite Dk. Suivant la droite D1k dirigeons maintenant une force dont la valeur algisbrique, estimise dans le sens du segment dk, soit Fk. Les projections et les moments de cette force seront Si I'on fait la meisme opisration pour chacune des six droites considisrises (k 5,i 2, 3,.., 6), on a, en exprimant cjne les six forces se font isquilibre, les six isquations chaque somme, E e'tant istendu~e aux six forces. Ces six isquations, istant linisaircs et homogisnes en F1, F2, F 3, F~, F5, F6, donneront pour ces quantiLVs inconnucs des valcurs naules, is momns quc le distcrminant des coefficients des inconnucs soit nul. On a done Ta condition nsiccssairc et suffisante 11 PI '(' Xi' '11 '), a22 2 ~)2 [3 2~ qui exprime quc les six droites appartiennent As un rnesme comple xe linisaire.

Page  140 I Ito i 4o ~DEUIJXLEIE PARTIE. -- STATIQUE. Un calcul identicjue imontre que, si le noimbre des droites donne'es e'tait. superieur h ix on pourrait toujours diriger suivant ces droites des forces en equilibre, car les six 6quations (i) contiendraient des inconnues Fk~ en nonmbre sup~rieur ~ six. 41-i. Plan central dans un corps solide sollicit6 par des forces dont la r6sultante g6n6rale n'est pas nulle. - Soit un corps solide sollicit6 par des forces dont la resultante generale n'est pas nulle; supposons que, lorsque le corps se de'place, chaque force conserve une grandeur et une direction constante et reste appliqu~e en un point fixe dans le corps. C'est ce qui arrivNerait, par exemple, pour un corps solide pesant constitu6 par la r~union de plusieur's corps airnant~s l action de la terre su~r chaque ain-ant donne lieu A uin couple dont les forces sont constantes en grandeur et direction et applique'es aux p6les de laimiant; le poids total du syst~ine est 6galemnent une force constante en grandeur et direction, appliqu~e en un point fixe dans le corps. Ce systdme de forces admet une r~snltante g6 -n~rale 6gale au poids. 11 est 6vident qunune translation dn corps ne change rien d 1'6tat du corps:il suffira done d'6tudier leffet des rotations. Soient Fk~ (Xk, Yk, Z/,:) une des forces, Ak (X,: YZk) son point d'application (fig. 77); consid~rons une droite Op, faisant avec les a-,\es eoordonne's des angles dont les cosinus sont a, P, y, et d~comnposons chaque force FA/ en une force Pk parallele A Op et en une force perpendiculaire. La vNaleur alg6brique de Pk est PA: X k - P Yk -~ Zk; les coordonne'es ~, -f, du centre des forces para~lkes Pk sont donufies par, [es formules o it les sommes E sont ktendues A toutes les forces du systhne, et oh l'on n'ia pas 6crit lindice k. Si l'ou fait varier la direction Op d'une manihre arbitraire, le lieu du point (~, -~, ~) est, en ghnhral, un plan II1, dont on obtiendrait l'quation en 6liminant cc, P, y entre les trois 6quations linhaires et homnog~nes ci-dessus (i). Ce plan se nomme, d'aprhs Mhbius, plan central:it est fixe dans le corps quelle que soit son orientation, car lorsque le corps se d~place le centre des forces Pke, para~lles A une direction fixe Of), reste fixe dans le corps. Dans certains cas particuliers, le lieu du point ~, -t, dans le corps pent 6tre ine dr-oite (ligne centrale) et m6ine un poinl (centre des forces), cc dernier cas se prhsentant quand,, sont indt%pendants de a, ~y

Page  141 CIIAPITRE V. - EQUILIBRE D SUN SOLIDE.14 14, '116. Plans principaux; positions r6duites du corps et des axes. - De'placons d'abord le corps de telle facon que le plan central 11 quii est invariablement lid au corps devienne perpendiculaire A in direction de la rdsuttante gdndraie qui est fixe dans lespace. Prenons ensuite pour origine 0 Ic centre des composantes des forces FI, paraildies Ai in direction de cette rdsultante, point qui se trou-Ne dans lc plan 17; prenons le plan 11' lui-medme pour plan de xy et pour axe des z in normale au plan. Nouis avons, en iaissanr pour le moment les directions des axes OX et Oy ind6 -termindes ainsi que lorientation du corps autour de Faxe Oz YXX-o XYY o, ~Z-R Fig. 77 F car in resultante generale est parailie A Oz, pnis _Xz = o, XyZ =o, EzZo = ~_zX o, EzYz o, car le centre des forces paralidles forme'es par les composantes Z1, Z2. Z se trouve A lorigine, et le point,, ddfini par ics formuies (i) servant A ddterminer le plan central doit dtre dans le plan =o quels quc, Les projections F, F,... F1 des forces Fkr sur le plan H1 ou plan des xy constituent un systdme de forces situ.6es dans un plan et formant un couple:d'aprds ce que nous avons v~u no 109, on peut, en faisant tournor le corps autour de Oz, ramiener ces forces F~ A se faire edquilibre. Puis, enprenant alors pour axes Ox, et Oy, les directions principales du systdmc. de forces F, on aura,XY = EyX o. La position du corps et celie des axes coordonnu's d'tant ainsi de'teimind'es (positions 7-echtites), les seules sommes qui ne sont pas nuiles sont les trois suiv~antes YEZ = R, -N2xX= A) ~y = B,

Page  142 I$2 DEUXIEME PARTIE. - STATIQUE. que nous d6signons par R, A et B. Les plans zOx et zOy sont les plans principaux du corps. 117. Theoreme de Minding. - Deplacons le corps d'une maniere quelconque en supposant toujours les forces F/, constantes en grandeurs et directions (fig. 78). Nous allons montrer qu'il existe une infinit6 de positions pour lesquelles les forces F/. admettent une resultante unique: lensemble de ces resultantes uniques forme dans le corps une congruence dont les rayons rencontrent deux coniques fixes situees dans les plans principaux. Au lieu de deplacer le corps en laissant les forces constantes en grandeurs et en directions, on obtient les m6mes dispositions relatives du corps et des forces en laissant le corps immobile et faisant varier simultanement les directions de toutes les forces de la facon suivante. Chaque Fig. 78. (k.)' F.' k AXk( Xt) 'XO XX force Fk/ etant decomposee en ses trois composantes X/., Y/, ZL, paralleles aux axes choisis dans le numero precedent, faisons tourner tous les tricdres, tels que X/,YY.Z/, autour des points d'application A., de facon que ces tri6dres restent paralleles a un m6me tri6dre trirectangle Ox'y'z' dont les aretes font avec les axes fixes des angles dont les cosinus sont a, a', a"; P, f3', 3"; y, y', '". Les forces F/, r6sultantes de X/., Y., Z/,., prennent alors d'autres positions F. dont les projections sur les axes Ox yz sont XL u = a X ' + p Y po + t Z t, Z,.I= "X/ — P"Y/.+ 'Z,,Z La nouvelle resultante generale R' a pour projections (I) X'= yR, Y' = 'R, Z' = y"R,

Page  143 CHAPITRE V. - EQUILIBRE D'UN SOLIDE. 4 143 et. le nouveau moment r~sultant par' rapport au point 0 a pour projections (2)~~~~~~~fE(k /:Y comme on le voit en remplacant X%, Y'. Z' par leurs valeurs et supprimant les sommes telles que ExY, Y-xZ,..., qui sont nulles d'aprds le choix des axes. Pour que dans leurs nouvelles positions les forces F% admettent une r~sultante unique, il faut et il suffit cjue ion ait c'esLt-f-dire on encore, d'apr~s des formules 616mentaires Lien coninues qui apprennent que y'a- o%'y" et y(J'- fPy" sont respectivement 6gaux Al f et a' (3) AP3 - B3n'= o. Cette condition 6tant remplie, les forces out une resultante unique dont les equations sont L'= yZ - zY', MI'=z X'- xZ', N'= x Y'-yX', de sorte que X', Y', Z' et L', MI, N' sont les coordonn~es de la r~sultante d'apr~s Pl~cker. On montre comme il suit que cette r~sultante rencontre deux coniques fixes. En r~sol-vant 1'6quation (3) et la derni~re des 6quations (2) par rapport A f et a', on trouve (4) ~~~ ~~BN' AN' _ N1 Cela pos6, les deux. relations e'videntes a2 ~ j2 ~~ a"2 -2 2I [1~Y2, deviennent, si ion y remplace les cosinus par leurs valeurs tire'es des eaquations (1), (2) et (4), N'12 MI2 X / A2~- B2 Al =0R (5) i~~~~~~~~~N'12 L'2 2' A2- 3 -2 Y'13 B relations qui exprime nt que la direction de la re'sultante appartient, A deux

Page  144 144 i44 ~~DEUXIEME PARTIE. - STATIQUE. complexes (In second degr6. Les coordoiim~es du point oit la r~sultantc coupe le plan z Oy e'tant N' la premi~re des conditions ci-dessus exprime que cc point est sur la conique 1/2 Z A 2_B2 R La deuxi~me de ces conditions exprim-e de rndme que le point d'intersection de Ia resultante avec zOx est sur la conique A - 32 B32 R focale de la preic~dente. On trouvera des d~veloppements de'taill~s sur cette th~orie dans les Mhmoires de Minding (Crelle, t. '14 et 1Ia). '118. Axes d'6quilibre. - Imaginons un corps solide libre remplissant les m~ines conditions que pr~ce'demment:lorsque ce corps change de positionl, les forces qui le sollicitent restent constantes en grandeur et direction et leurs points d'application restenL fixes dans Ic corps. Comme nous 1Favons dit:Unte tr-anslation ne chang,-e r-ien et l'tat dit coryps:it satJ/it done cl'jttdier l'effet des rotations. Sapposons le cor-ps en equilibr-e dans la position actuelle et posons avec M~5bius (Statiq tie, Chapitre VIII) Y~yZ = ZY~zY=F, _YzX = YxZ-=G~ XxY _ Ey X = I, YxXX 1, ~y =In, ~2ZZ 1 les sommes e'tant 6tcn dues Al toutes les forces. MWbius nomme axe d'dquilibr-e une droite telle que le corps solide reste eni 6quilibre quand on ic fait tourner d'un angle quelconque autour de cette droite. Pour, que l'axe Oz soit un axe d'6quilibre, il faut et il sulfft que Ion ait, outtre les six dqaations d'dqidilibre, les conditions suivantes En effet, le corps tournant d'un angle quelconque oc antour de Oz, et Ics axes Ox, Oy restant fixes, les projections des forces ne changent pas, lcs coordonn~es du point (x, y, z) du corps de-Niennent x x cosoc-y sina, y' xSinlc -t- y Cos a, zF =Z. L'6quilibre subsistant dans cette nouvelle position, on doit avoir, quel que soit, a,

Page  145 CHAPITRE V. - EQUILIBRE D'UN SOLIDE. 4 1,5 4 en rernplacant x', y', z' par leurs valeurs, r~duisant, puis 6galant A zero les coefficients de sina, cosa et les termes ind~pendants de a, on obtient les conditions (i). Toute droite parall~le Al Oz est niors un axe d'6quilibre pour le v~rifier, ii suffit, de transporter les axes paral1~1ement Al eUX-mdrnes et de -verifier que les trois rn~mes conditions sont remplies. La th~orie ge'n~rale des axes d'6quilibre est propos~e coinme exercice Al la fin du Chapitre (voir- exercice ~28). 119. Ekquilibre astatique. - On dit que 1'6quilibre est astatique quand il subsiste quelle que soit in position cdonn~e au corps, les hypotheses sur les forces 6tant les mn~mes que dans le num~ro pr~c~dent. 1i faut pour cela que chacun des trois axes coordonne's Ox, Oy, Oz soit un axe d'e6quilibre, c'est-A-dire que 1'on nit, avec les six conditions d'6quilibre, les six conditions suivantes Ces conditions n~cessaires pour 1'6quilibre astatique sont suffisantes:en effet, si diles sont remplies, ics composantes des forces parall~lement ~ chacun des trois axes sont s~pare'ment en e6quilibre, nstntique, comme On le -voit en comparant les conditions ci-dessus a-vec celies que L'on a trouve'es pour 1'6quilibre astatique d'un syst~me de forces para11kies (ao 110). On trouvera des d~velop~pements e'tendus sur cette question dans le M~moire de M. Darboux snr i'cquilib7re astatique, dans une Note de M. Darboux piac~e A laI fin de in likcaniqtte de Despeyrous, et dans les IJi~caniqutes de Somoff et de Moigno (lecons de Cauchy) auxquelles nous avons fait piusieurs emprunts. VI. - CORPS SOLIDES ASSUJETTIS A DES LIAISONS. 120. M~thode. - La me'thode generale que DoUS emploieronS consuste 'a regarde r les corps comme libres, e'n introduisant comme incon~nues auxiliaires les reaclions provenant des liaisons qui letir sont imposedes, reactions qne l'on nomme for-ces de liaison. 121. Corps ayant un point fixe. - Imaginons un solide ayant unpoint 0 fixe, autotur duquel ii peut tourner librement. De'signons par F1,I F2,. -.., Fn les forces qui agissent stir ce solide. Un tel corps est ce cjne i'on pent appeler un lecier dans le sens le pins general du mot. Nous cherchons done les conditions d'equilibre d'nn levier. Le corps solide exerce sur le point fixe tine pression R (fig. 79); I. ~~~~~~~~~~~Io

Page  146 i46 DEUJXILME PARTIE. -STATIQUE. e n verta du prinicipe cle e'~galit' de l'action et de la reaction, le point fixe exerce stir le corps tine reaction Q e'gale et, directement oppos e' ' B., de sorte que le corps solide petit etre considers' Fi g. 79. comme libre sons F'action des forces F,, F,,... F,1 Q Si le corps est en edquilibre, c'est que les n premieres forces -ont une resultante unique, e'gale et directement opposee "a Q; la condition d. equilibre est donc que les forces doine'es aient; une re'sultante -unique passant par le point fixe. Cette condition est suffisante, car, en remplacant les forces applique'es au corps par cette re'suItan te, celle-ci est de'truite par la resistance du point fixe qui ddveloppe une reaction e'gale et dir-ectement oppose'e. Nous pouvons retrouver analytiquement ces resultants; prenons des axes rectaingulaires passant par le point fixe 0; designon par X, Y, Z, L, Mv, N les projections de la resultante geinerale et, du moment, resultant par rapport 'a lorigine des forces F appliquees an corps solide, et par X', Y', Z' les projections de la re'action Q du point fixe; les conditions d'edquilibre seront U) ~~~X ~-X%, = ~Y -+- Y'-=O Z _+ Z'-=o (2) ~~~L =o, III=o0 N-=o; les equations (2,), ne contenant pas la reaction, sont les conditions nedcessaires de e'~quilibre; elles expriment d'ailleurs que les forces F appliqudes au corps se reddnisent "a Line force unique passant par 1'origine. Les equations (i) montrent alors que la re'action (X', Y', 7J) est edgale et oppose'e 'a cette resultante (X, Y, Z), qui n'est donc autre que lapressioiz sur le point fixe. Prenons lc cas particulier d'un levier soumis 'a deux forces seulement F4, F2; pour qu'ilty ait edquilibre, il faut et; il suffit que ces

Page  147 CHAPITRE V. - EQIJILIBRE D' UN SOLID-E. [47 forces soient Lenues en e6quilibre par la reaction Q du point 0. Les trois forces F1, F2, Q devant se faire e'quilibre, iA fant que F.,, F2 soient dans nn meme plan avec 0 et que la somme des momients des forces F1, F2 par rapport 'a 0 soiL nulle; c'est la condition e'lementaire bien connne de leiquilibre du levier. 'l22. Corps ayant un axe fixe. -Soient F1, F2,..,F,, les forces qui agissent siur le corps solide; celui-ci exercera sur les divers points de l'axe des pressions P', P", PU1, *.., et Faxe exercera a son tour des r'actions QQQ. Le corps pourra eLre considr co e libre, mais solliciLed par les.forces F,, F2, Fl, Q', Q". ~Pour qn'il y ait e'quilibre, il faut, en parLieu lier, cjue la sonmme des moments de to aLes ces forces, par rapport 'a t'axe fixe que nous prenons pour axe des z, soit nulle. Et comme les moments des reactions Q', Q',. sont nuls, il faut que i'on ait N -0. C'est une condition ne'cessaire de Fe'qcuitibre. Elle est suffisanlte;, en effet, si elle est remplie, les forces se re'duiset 'a nne re'sultante generale OR, qni est de'truiLe par la resistance de l'axe et un couple dont l'axe OG est perpendicalaire 'a Oz;, puisque N est nul. On pent faire tourner ce couple dans son plan, de facon qUe son bras de le-vier coincide avec l'axe; alors les forces cppT' qui le COn Stituent, etant applique'es en des poinis de lFaxe, sont de'truites par sa resistance; le corps est donc bien en e'quilibre. Le proble~me que nous venons de trailer donne les conditions d'equilibre d'un treuil. Calculons maintenant les reactions de l'axe. On peut toujours admettre que la fixite' de l'axe a e'e obtenue en rendant invariables deny de ses points, 0, 0'. Ces points exerceront sar le solide des reactions Q', Q". Prenons le point 0 pour origine. De'signons par X, Y, Z, L, M, N les me'mes elements que prd'cedemment, et par XI, Y', 7/3, Vl, Y', 71' les projections des reactions Q1, Q'. Soit I la distance 00'. Nous aurons les conditions d'e'quilibre (fig. 8o) X -+- V-X'-X o, 0 Y V Y'~" o,0 Z -+- Z-+I Z' = o; L -hY 0) o, M~hXV =o, N -o. La dernie're de ces equations est inde'pendante des re~aCtioDS:

Page  148 i48 DEXIJX1ME PARTIE. -STATIQUE. c'est, la condition ne'cessaire et suffisante de e'~quilibre. Les deux equations preice'dentes donnent X" et Y'. Portant alors dans les Fig. 8o. X" 0' 3/ P deux premieres, on calcule X! et Y'; mais Z' et Z' ne sont assujettLies qu'at la condition unique Z ~+-Z'~-[-Z'= o, e'Ii est impossible de calculer compl-tement, les rFac Lions. An point de vue physique, les reactions Q1, Q' sont cependant bien de'termine'es; mais les solides naturels ne posse'dent, pas les proprie'tes que lPon suppose aux corps solides en Me'canique rationnelle u is sont de'formables et leur deforination met en jeul des forces edastiques; en tenant coinpte de ces forces, on peut determiner comple'tement les reactions. I 23. Corps tournant autour d'un axe et glissant le long de l'axe. - Dans ce cas, les reactions Q1,Q1, Q0",..de 1'axe suir le corps sont normal-es 'a l'axe:en prenant l'axe pour axe Oz, on a les deux conditions d'eiquilibre N 0o, Z = O. '124. Corps s'appuyant sur un plan fixe. 10 Cas d'un seul point cl'appiti. - Conside'rons d'abord le cas oii le corps ne s'appuie que par un point sur le plan fixe; le plan exerce snr le corps uine reaction norn'iale, si nons supposons qjue le corps pent glisser sans frottement. Le corps pent etre conside're comme libre, mais soumis aux forces F1, F,, F,,, cqui

Page  149 CIIAPITRE V. - E~QUILIBRE D'UN SOLIDE. 149 agissenL direciement suir liii, et 'a celte reaclion Q. Pour que le corps soil en C'quilibre, il fau l que les forces F aien L une resultanle unique, egale el directement oppose'e 'a Q (fig. 8 i), c'esL-a"-dire Fig. Si. que les forces donn~es aient une resultante passanL par le point d'appui, normale au plan et dirige'e de facon "a appliquer le corps sur le plan. Ces condilions soul 6'videmment suffisantes, car, lorsqu'elles soul remphies, la r~snlLante ne peut determniner aucun glissemenl el esl de'truiLe par la fixite' du plan qui de'veloppe une reiachion egale el oppose'e Q. 11 serail aise' de relrouver analytiquemenl ces r'sltalws. 20 Cas de plusieur-s points d'appui en ligne dr-oit~e. - AdmetIons que le corps s'appLuie stir le plan fixe par des points A,, A-2,...,I AP de la droile Ox. En Ions ces points, le plan exerce des reac lions normales Q,, Q21.... Qp, toutcs dirige'es dans le Me~me sens (fig. 829). Ces forces onL une resultante normale au Fig. 82. 'A Q., y A, A AP az. plan, dirige'e clans le mehne sens, et dont le poinl d'applicalion. tombe suir Ox enlre les points extreh-nes A,, AP,

Page  150 i~~o ~ DEUJXIEME PARTIE. -STATIQUE. IPour que le'quilibre ail. lieni, il faut cjue les forces donne'es fassent e'qnulibre aux r~actions dii plan, c'est-A-dire qu'elles aient une resuhtante lunique, normuale an plan, dirige'e de facon "a appliquer le corps sur le plan, et dont le prolongement rencontre Ox en un point sitnLu entre A, et Ap. Ces conditions ne'cessaires sonL suffisantes, car cette resultante peut alors Rtre de'composee en deux autres, norm ales anL plan et app licquees en deux points d'appuii; ces forces seront d&truites par la resistance dui plan. Pour exprinmer analytiquernent ces conditions, nous pren~drons pour axe des x la droite Ox, l'axe des z normal ai. plan et situe' diiMeMe Co~t6 que le corps par rapport h cc plan. Toutes [es re'aclions Qi, Q2,.. QP sont alors positives. Les equations d'eiquilibre souL X -o0 Y- o, Z~__Q1~-~_Q2H-4..-Q,) o; en de'signanL par a1., a2i-,...Ia les abseisses des points d'appui. Q uatre de ces equations, quli sont inde'pendantes des re'actions, expriment des conditions ne'cessaires d'ezjuilibre; elies niontrent que les forces donne'es doivent avoir une resultante 'unique normale auL plan des xj' et rencontrant lFaxe des x. La troisie~me equation nous montre que Z doit etre ne'gatifr, c'estLa-dire. que la resultante doi~ a~re dirige'e de facon 'a appliquer le corps sur le plan. Soilt x l'abscisse dIi point oiui la resultante rencontre Ox. Son moment par rapport ~iOy sera MA - xZ; on devra. done avoir xZ-~ aj0Qi -+a2 Q2 — 4... ~a ~ Q d'oAi lon tire, en remplacant Z par sa. valeur, a, Q Ia-)-aQ.2-4-.i pQ et cette quantite estL, comme on sait, comprise enti'e les deux valeurs extremes a., et ap, car les quanLiue's Q1, Q2.. Qp soul positives; le prolongement de la resultante rencontre done 0Ox entre les points d'appui extremes.

Page  151 CHAPITRE V. - EQIJILIBRE D'UN SOLIDE. '5 151 Les reactions dii plan doivent maintenant verifier les deux equation s S'il n'y a que deux points d'appui, cules donnent les detLix r&IcLions. S'il y a plus de deux points d'appui, les reactions ne sont pas de'termninees par ces deux relations. On les de'Lerminerait cornphAeternent en in troduisant des con siderations d'elasticite6. 3(o Gas geieral. - Supposons que le corps solide repose sur le plan fixe par une se'rie de points Ai1, A2,~ -..,I AP non en ligne droite. Le plan exerce des reactions normales Q1, Q2, *, Qp, qui ont une resultante unique Q, car elles soft toutes dirige'es dans le mnerne sens et, d'apre's ce que i['on a vu sur la composi Lion des forces paralle'les, le point oiui cette resultante perce le plan est situ' 'a l'inte'rieur de tout polygone convexe qui renfermne tons les points d'appui; en particulier, il est 'a l'inte'rieur du polygone de sustentation, polygone convexe dont les, sommets sont des points d'appui et qui renferme tons les autres. Pour ciu'it y ait equilibre, ii faut que les forces do~nn'es fassent e'quilibre 'a la r~sultante Q; ii1 faut done que les forces F aient une resultante unique normale an pl an, dirige'e de facon. 'a appliqtuer le corps sur le plan et qui le traverse 'a 1 inueirieur dii polygone de sustentation. Ces conditions sont suffisantes, car, dans ces hypotheses, on pourra touji ours de'comnposer cette resultante en trois forces normnales an plan et applique'es 'a trois des points d'appui, forces qui seront de'truites par la resistance du plan. Prenons toujours le nmerme systeine d'axes; ie corps pouvant atre consider6' coinnme libre, mais soumis 'a lFaction des forces F,, F2,..., F,,, Q4, Q2)..., QP, les conditions d'equilibre serontL, en de'signant par a1, bi, a.-, b2,.. les coordonne'es des points d'appui, Z - a Q~ 1 - Q2 Q-i- — 4 o. 0 Les eqnations (i), e6tant ind~pendlantes des reactions, exprimnen

Page  152 152 DEUXIE'11,1E PARTIE. -STATIQUE. une condition nedcessaire d'd'quilibre: c'est que les forces donne'es aient une resultan'te unique normiale an plan; en effet, la quantitd' LX +-~ MY + NZ est nulle, et Von ne pent avoir Z - o, sans quoi toutes les reactions seraient nulles, puiscjn'elles ne peuvent etre que positives on unties. Dans ce cas particulier, oii toutes les reacLions seraient unites, Z, L et Al seraient nuts, il y aurait ecltiilibre entre les forces directement applique'es. En decartant cc cas d'd'quilibre dyvident, on vouL que les forces F4,., F,1 doivent avoir une resultante normiale an plan; ii fa-ut, en outre, que Z soiL nedgatif, comeI r'sulte de la premie~re des dquations (2-), eL que la re'sultante unique perce le plan des xy Ai l'intedrienr du polygone de sustentation, condition que l'on de'duirait des deux dernie'res equaLions (2-). S'it u'y a que trois points d'appui, les equations (2-) permettent de deteriuiner les trois reactions. S'i!1 y en a plus, ii fant tenir compte de l'edtasticitd' des corps. 40 Application. - Pour montrer comment on peut d~terrniner les -conditions auxiliaires dX6quilibre, nous traiterons le cas d'une table rectanlgiilaire reposant par quatre pieds sur un plan horizontal. Soit AIA2A3A4 cette table, sur laquelle nous placerons des corps quelconques. Soit P le poids total de ces corps et de la table, et A. le point ofi la verticale du centre de gra-vit6 perce la table; d~signons par B1, B2, B3, B4 (fig. 833) les points d'appui; prenons le plan horizontal fxe pour Fig. 83. J34~~~~~~~~ 0 ~ ~ ~ A plan des xy, le centre du rectangle de sustentation pour origine et des axes des x et des y parall~lcs aux cote's de ce rectangle; les coordonn~es des points d'appui IB1, B2, B3, B4 seront respectivement (a, b), (a, -b) (- a, - b), (- a, b). Soient xy les coordonn~cs de A; d~signons par Qj,

Page  153 CHAPITRE V. - EQUILIBRE D'UN SOLIDE.'3 j53 Q 2, Q3, Q~ les reactions du sol. Nous 6crirons d'abord. les conditions g~n6 -rales d'6quilibre qui se r6duisent ici ~ Qi1-4v Q2 -~- Q34-v Q4 -P = O, (i) ~~b Q - bQ2- bQ3-4-bQ4- Py = o -aQj —a Q2-+- aQ3~ —aQ,4-i-Px =o. Pour a-voir une nouvNelle condition, nous admettrons que le sol n'est pas absolument rigide et qu.il c~de en chacjne point d'une quantitd' tr~s petite proportionnelle A la pression qu'il subit; d6signons par F1, E2, ~3, sles quailtit~s dont les quatre pieds pe'n~trent dans le sol, nous anrons par hypoth~se El 62 E3 __ Q-i Q 2 QJQ4' i le point 0 consid~r6 successivement comme milieu de B, B3 et B2 B4 s'est abaiss4' de 2,I 2 4 ' On cloit done avoir S11 ~ ~ ' S3 2 ~- ~ et, par suite, (2) Q1 - Q2Q3 -Q4 O. S'il y avait eu. p points d'appui, en 6crivant qu'ils sont reste's dans un mdme plan apr~s la d~forrnation du sol, on aurait eu. p - 3 conditions, qui, jointes aux trois 6quations gdnerales, auraient permis de d6terminer toutes les rdactions. Dans notre cas particulier, les dquations (i) et (2-), r~solues par rapport h Q1, Q2, Q3,, Q4, donnent pour ces qnantit6s les valeurs Q, correspondant aux signes -~- —, Q2 aux signe s. —,Q3- et Q4 - ~~; il faut que ces valcurs soient positives, ce qui revient A dire que le point A doit se trouNver h Fint~rieur du losange ayant pour sommets les milieux des co'tes de la table. Si le point A se trouvait A lextdrieur de cc losange, du cWt de Al, par exemple (fig. 83), la rdaction Q3 serait ndgative et les trois autres positives; cela 6tant impossible, on admiet que le pied B3 ne porte plus sur le sol et Ion calcule les rdactions QI, Q2, Q!,, coimme si la table ne reposait que sur trois pieds, cc qui rev~ient d supposer Q3 0- dans les 6quations (i). 12.")i. Plusieurs corps solides. - Pour trouver les conditionis d'equilibre dni systeme form 4 par plusieurs corps solides assujets

Page  154 15,4 i54 ~~DEUXIEIME PARTIE. - STATIQIJE. "a des liaisons mubuelles, on peul employer la me'ihode suivanie. On exprirne que chacun des corps du syste'me est en equilibre sons iFaction des forces qui lui soni direciemnent appliqnedes et des reactions des autres corps sur lui, ces dernie'res forces e'Lant souise ~la loi de Fl'ogalitd de lFaction ci de la rdacuion. Nous ne trailons pas ici d'applicaiion de cette me'tkode; notis -verrons plus loin (Chapitre VII) que le principe des vilesses virtuelles fou rnA uine methode bieni plus rapide pour re'soudre ces sorLes de cquestions. VII. - QUELQUES FORMULES POUR LE CALCUL DES CENTRES DE GRAVITE. '126. Lignes. - Sur la ligne AB, prenons deux points P et P (fg8);n fig - 8 4"~~i et clesignons par in? la masse de, lare PP'; le rapport arc est la densitd6 moyenne de Fare PP'. Si ce rapport est inddpendant de la position Fig. 84. p, B p A ' des points P et P', on dit que la ligne AB est hoiMog~e. S'il est variable, on appelle denisWt de la ligne au point P la limite p de la densit(-. mnoyenne de Fare PP' quand P tend vers P. La densit6 p au point P variant avec la position du point est une fonction du paranmkre qui datermine la position de P sur la courbe. Soit ds un 616ment de eourbe infiniment petit comprenant le point P de coordonne'es x, y, z:la masse dMn de cet 6ldment est pcls, e tPon a, en appelant M la masse totale de la courbe, ~, ~, les coordonn~es du centre de gravit6 r pds, M~ xocls, Ml r yo ds, Al, r~ds. Qunand la ligne est hornog~ne, p est constant, la miasse M est alors p 1, I de'signant la longueur de la courbe, et i'on a 1 = X ds 1 -r, = r"), CIS I" = z ds. 7 It

Page  155 CIIAPITRE V. - E~QUILIBRE D'UN SOLIDE.'5 t55 1271. Th6or~me de Guldin. - L'air~e engendrdje par- ane coarbe planie toar-nant auttowr d'in axe sititeclans son plan, cjul nie la tr-averse pas, est edgale et la longueUr- de la cowrbe Mitltiplije par- la circonfe'rence que dedcrit le centre de gravWt de la COU7rbe supposde Iiomogdne. En effet, rapportons la courbe plane A laxe de rotation (fig. 84) pr~is comme axe Ox et A une perpendiculaire Oy. Un 6ldment ds, ayant pour ordonn~e y, engendre en tournant un didinent superficiel ciA, que Ion pent assimiler A la surface lat~rale d'un trone de co'ne dA 2- 1t7n ds; on a done A -z a ydCSzz - n J,I ce qui ddmontre le thdorhne. Si laxe traversait la eourbe, l'expression. trouve'e pour A repr~senterait, non la surface totale, mais la diffdrence des surfaces engeadrdes par les portions de la courbe situdes de part et d'autre de laxe, car dans l'intiegrale A 1'6l1rnentyds est positif on ne'gatif, suivant que idi1dment ds est au-dessus ou an-dessous de laxe. 128. Surfaces. - Soit m la masse d'un dl1inent de la surface d'aire a, le rapport -est la densite' moyenne de 1'616ment a'. La densit6 p de la surface en un point P est la limite du rapport quand ca est un 'l6;nent sutper'ficiel in/iniment petit entourant ]e point P. En gdndral, p est nne fonction des deux paramk~res qui d~finissent la position du point P sur la surface. Quand p est constant, la surface est dite homnogedne. Soit cla un 6l6ment superficiel infiniment petit entourant le point P de coordonn~es x, y, z; la masse din de cet 6l1rnent est F cda, et Ion a, en appelanti Al la masse totale, ~,~,~les coordonn6es du centre de gravit6 Quand la surface est homog~ne, p est constant, la masse M est p S, S ddsignant laire de la surface, et ion a S ~xcla -r, ~ ycl S ~ zdua 129. Aires planes. Prenons Ic plan de laire pour plan des xy; la coordonne'e ~ est alors 6vidernment nulle. LelMment da aura diffdrentes expressions SUiv\ant le syst~me de coordonn6es employ6; par exemple, en

Page  156 t56 i56 ~~DEUXIEME PARTIE. - STATIQUE. coordonne'es polaires r et 0, cia doit 6tre pris 6gal i rdrcl0; en coordonn~es earL~siennes dangle a, cia est 6gal S clx ely sin a,.En particulier, si ion a une aire plane homog~ne rapport~e h des coordonn~es carte'siennes rectan gulaires, les formules deviennent S clx dy, S~ x CIX dy, S j j dcx dy, formules dans lescquelles on peut toujours effectuer line int~gration. '130. Th6or~me de Guldin. - Le 'volumie engendr6 par une aire plane tournant auttour d'un axe si~tu6 clans son plan et qui ne la traverse pas est igal et l'aire donnIje, Multiplije par la circonfPrence djCr-ite par le centrie de grarvt de cette aire? supposie hornog~ne. Un Si1unent clxdy de laire S engendre par sa rotation autour de laxe Ox un 6i6ment de volume, cqui est la diff~rence des volumes des cylindres engendr~s par les rectangles ABCD, A'B'CD (fig. 85), c'est-S —dire aux infininient petits du troisi~me ordre pr~s 2.y clx dy; done le volume V est 27 'IdyclXcly - 7C S ce cqui d~nmontre le th~or6nie. F ig. 85). LdV A I C D Remiarquons que, si laxe traversait la courbe, la formule ci-dessus roepr~seneteait la diff~rence des vNolumes engendr~s par les portions d'aire situ~es de part et d'autre de Ox. Conmme g6n~ralisation de ce th~or~me, nous signalerons d'importantes recherches de Ml. Kwnigs sur les volumes engendre's par un contour (Journal cle Yi. Jordan, t. V; i889), recherches qui donnent une application nouvelle cle la the'orie des vecteurs.

Page  157 CHAIPITRE V. - E~QUILInIRE D'UN SOLIDE. 7 1 137 '131. Volumes. - Dans un corps solide, prenons un volume v comprenant line masse 7m?; le rapport 7nest dit clensite' 7noyenne de ce -volume. p Lorsque le volume v Lend vers z~ro et se re'duit Ai un point P, nous admettons que le rapport -~ tend vNers une limite p, qu'on nomme densitj au point P. Cette quantitd p est une fonetion des coordonudes du point P? quand p est constant, on dit que le corps est homogdne. La masse din d'un 6idment de volume d' entourant le point P de coordounnes x, y, z est p dt'. On a done, en appelant Alx la Masse to tale, les formule s if~ p dv, M~fff1 X pcA dv ff pdv, M z ~ pdv. Si le corps est homogdne et a pour vrolum~e VT, Mx est 6gal A PAT et ion a L'expression de dv ddpend du syst~nie de coordonnles employdes en. coordonn6es carte'siennes obliques, il faut prendre clv 6gal A kdxdydz, en ddsignant par k le volume du paralldldpipdde dont les ardtes, paralidles aux. axes, out pour longueur lunit6; en coordonodes polaires dans lespace r, 0, cT, on a pour dv 1lexpression 7r2dr sin 0dOclp, etc. Dans lc cas d'un corps homiog~ne, on pourra toujours coinmeneer par effectuer june des trois intdgrations et ramiener les intdgrales triples A des intdgrales doubles. EXERCICES. t. Si n forces concourantes se font 6quilibre, leur point comnmun d'application est le centre de aravit6 die 7n points de masses 6gales plac~s S leurs extr~mit~s (LEIBNITZ. 2. Positions d'6quilibre d'un point libre MA attir6 par des centres fixes 01, 0,,...,I 0,, en raison inverse de la distance. 11 existe une fonction des forces log MOW,. MO1,... MO,,. Chaque position d'6quilibre 0' est le centre des moycunes distances des inverses des points 0 k par rapport d 0'. Quand les points Ok soot dans un m~me plan, les positions d6quilibre sont les racines de la d~riv~e d'un polynflme en z ayant pour racines les quantit~s imaginaires repr~sent~es par les points 0,, (CHASLES). ( Voir F. LucAS, Com1ptes s-eacdus, 1879 et '888.) 3. Soit un point i\' en 6quilibre dans une position d~termin~e A sous laction de forces d~termin~es P,, I..., I,,; stir AP k on prend un point 0,, tel que XOk (hPk, )v, h et vd~signant des constantes (v > - i). D~montrer que la fonction FMOV+ -i — Mov. -+i-..+mov, est maximum on minimum quand le point M cofncide avec la position d'6quilibre A. Si -, il taut remplacer

Page  158 It 58 r58 ~~DEUXIE2IE PALRTIE. - STATIQIUE. cette fonction par log M1.0 - MO,.. MIO,, Si V =-i le point A est le centre des rnoyennes distances des points 0k' 4. Positions d'6quilibre doun point pesant mobile sans frottement sur uneh6 lice tracde sur un cylindre de rdvolution d'axe vertical et attir6 par oin point de laxe proportionnellentent Al~ a distance. Re'ponse. - Une position d'6quilibre stable. 5. Positions d'6quilibre d'un point NI mobile sans frottement sur une circonf6 -rence de rayon a, sollicit6 par une force dont la direction passe par un point fixe A de la circonf~rence et clont la valeor alg~brique estim6e en prenant AM comme sens positif est i - a AM Reponise.- Trois positions d'6qoilibre:deox poor lesqoelles A.M =a, one pour laqoelle AMI 2 a; les deox premilres stables, la troisi~ine instable. 6. Etant donn6e one force F dont les projections X, Y, Z dlpendent de x, y, z trouver une surface S telle qu'on point mobile sans frottemnent sor cette sorface et soomnis A laction de F soit en 6quilibre dans tootes les positions sor la surface S. Re~ponzse. - S'il existe on facteur int6grant,-. tel qoc lon ait,L( X dx~ —Ydcy -i- Z dz) =df (x, y, z) les surfaces chereb~es soot f (x, y, z) =const.; s'il existe une fonction de forces, les surfaces cherebdes soot les surfaces de niveau. 6 bis. Trouver de mndme des coorbes sor lesqoelles le point est en 6qoilibre dans tootes les positions. (Ces coorbes existent toojours:elles soot assojetties A v~rifier l'Scloation X dx ~4 Ydcy -+ Zd -l o qui permet de prendre arbitrairement x et y en fonction doun pararnftre q et de determiner ensuite z. ) 7. Un point Mt, sollicit6 par one force F pent glisser sans frottement sur oine courbe fixe dont les coordonnfes sont exprim6es en fonction doun paramdtre q. On m~ne A cette coorbe la tangente MT dans le sens des q croissants. D~montret que le cosmous de langle TMIF a le signe de la foniction appel~e Q (no 96); en conclure que, pour qu'une position d'6quilibre q =q, soit stable, il faut et il suffit que la fonction Q s'annule en passant do positif au n~gatif quand q atteint et dfpasse la valeur q,. 8. Positions d'6qoilibre doun point mobile AvI pos6 sur la surface ext~rieore doun ellipsolde et repooss6 par on point fixe P proportionnellement h la distance. (Le point Mv poovant quitter la surface vers 1'ext~rieur, il faut tenir compte do signe de 'X. Si P est ext6rieor h lellipsoide, one position d'6qoilibre instable; s'il est intdrieur, pas de position d'6qoilibre. G6om~triquement, le probl6me revient S mener du point P des normales A la surface; il faut ensoite choisir parmi les pieds des normales.) 9. Un point mobile sur one parabole y2- 2PX o est attir6 par on point fixe

Page  159 CIIAPITJIE V. - EQUJILIBJRE D'UN SOLIDE.15 15oI (a, b) du plan de la courbe proportionnellement A la distance. Positions d'6quilibre. Stabilit6. On a Les ordonnc~es des positions d'6quilibre (pieds des normales issues de a,' b) soot les -valeurs de y annulant la fonction cD (y) =ip Ka - 21 ) y2 +I (b -y1'valeurs q-ue ion trouverait co chcrchant S rendre maximum ou minimum la fonction -L [(a -x) -i- (b -y)2] exprimde en fonction de y. Il y a stabilit6 quand cette fonction cst maximum. 10. Aux trois sommets A, B, C d'un triangle, on attache des fils 6lastiques dont les longueurs naturelles soot a, 3, y; on les allonge pour les attacher ensemble en no oceud et Ion suppose que la force 6lastique de chaque fil est proportionnelle S son allongement par units de longucur ( par exemple., x 6tant lallongenment du premier flu, sa force 6lastique est kLI-; k est le m6me pour les trois fils). Quelles ac relations faut-il Stablir entre les trois longucurs ac, ~3, ypour que la position d'6quilibrc do ncend se trouve an centre de gravitS du triangle? II. Un systeme de forces appliqudes S un corps solide 6tant rapport6 A des axes obliques, ddmontrer que les six 6quations d'6quilibre gardent la m~me forme qu'en coordoonnes rectangulaires I Xk =rzo, Y -0, Z.-O ~(YkZk -Zk Yk) zO. 12. Si lou consid~re no polygone plan ferm.6 et que, dans le plan de ce polygone, on applique perpendiculairement h tons les c~t~s moins un des forces proportionnelles h ces 'c6t~s, toutes dirig~es, vers l'ext6rieur, ces forces not noc rdsultante perpendiculaire et proportionnelle an dernier c~t6. 13. Si plusicurs forces appliqu~es S no corps solide se font 6quilibre on se r6duisent A no couple, Ic centre de gravitS de masses 6gales placdes aux extr6 -mit~s de ces forces cofincide avec le centre de gravit6 de masses 6gales plac~es aux points dapplication (CROFTON). 14. Etant doonn uni polygone gauche ferm.6 P, on dirige, suivant les co't~s de cc polygone, dans UD me'me sens de circulation, des forces 6gales aux cdt~s. D~montrer: i que ces forces se r~duisent A no couple; 20 que, si ion construit dans le plan de cc couple, Lno polygone II dont Faire soit Ia moiti6 du moment do couple. Ia projection de P sur un plan quelconque a m~me aire que la projection de II sur Ic m6me plan (GICclAtn)? 15. 1Lant doonn no quadrilatdrc plan convexe ABCD, diriger snivant les c6t~s de cc quadrilat~re quatre forces se faisant 6quilibre (voir Mflcus, Statiqzte, 16. Sur une planchette, on a flxS deux aiguilles aimante'es dont les lignes des p oles de logugeur a et b se coupent S angle droit en leurs milieux. La planchette

Page  160 .i6o e~~o ~ DEUXI~iME PARTIE. - STATIQUE. flottant sur oin liquide immobile, trouver r o sa position d'6quilibre; 20 les directions principales (no 109). On sait que Faction de la terre sur one aiguille aimant6e r~guli~remcnt, c'est-A-dire n'ayant que deux p~ies et one, ligne neutre, se r~duit S un couple dont les forces sont constantes en grandeur et direction et appliqu.6es aux p~les de Faimant. On appellera, dans 1lexercice propos6, P la valeur commune de la projection horizontale des deux forces do couple agissant sur Faiguille a, Q la m~me quantitd pour laiguille b. Les forces P et Q sont dirig6es snivant le meridien magndtique dn lieu. 17. Quand uin corps solide est sollicit6 par deox forces appliqu~es en des points fixes dans le corps, constantes en grandeur, direction et sens, il existe tonjours un axe parall~le A une direction donn6e tel que, en fixant cet axe, le corps soit en 6quilibre indiff~rent dans toutes les positions qu'il pent prendre ( MBlIUS). 18. Quand un corps est en 6quilibre astatique, si Fon consid~re les composantes des forces paralbl~es A one direction donn~e, on obtient un systdme de forces parall~les en 6quilibre. Le centre de celles de ces forces paraliles qui ont uin sens dftermin6 cotncide avec le centre dle celles de ces forces par~albiles qui ont le sens oppos6. 19. Consid~rons on corps solide sollicit6 par des forces appliqu~es en des points fixes' du corps, constantes en grandeur, direction et sens. Quelles sont les conditions n6cessaires et suffisantes pour qu'on puisse amener ce corps S Stre en 6quilibre astatique par Fadjonction d'une seutle force, appliqude en on point fixe P, constante en grandeur, direction et sens? RoPe.)onse. X X XY X VZ X et deux proportions analogues dans lesquelles x serait remplac6 par y 00. z. Le point P existe alors et se nomme centre des for-ces do syst~me. Dans ce cas, les coordonu~es do point ~, -fi, ~, calculkes dans le num6ro 115, sont ind~pendantes de x~, 3, y:ce point est prdcis~ment le point P. 20. Chercher de m6me les conditions poor quoil existe one ligne centrale, c'est-S-dire poor que le point ~, -t,, ~ do num6ro 1135 d~crive one droite. Dans ce cas, on penit toujoors ajouter ao syst~me deux forces, de facon S r6ali ser 1i6quilibre astatique. 21. Lorsque le point, d6crit effectivement oin plan (plan central), on peuit ajouter trois forces, de facon A 6tablhr Fdquilibre astatique. 22. Un corps solide est mobile autour d'un. point fixe et sollicit6 par des forces appliqo.6es en des points invariables do corps, constanDtes en grandeur et direction. Quelles conditions doivent remplir ces forces pour que le corps soit en 6quilibre dans toutes los positions qu.il pent prendre autoor do point 0 (6quilibre astatique do levier)? 23. M16me question en supposant le corps mobile aUtour doun axe fixe. 24. MWme question en supposant quoil puisse toorner antour doun axe et glisser he lon1g de cet axe.

Page  161 CIIAPITRE V. - EQULLIBRE DUN POINT. ifli 25. Un corps solide., mobile autoor d'un point ou d'un axe fixe, est sollicit6 par des forces constantes en grandeur et direction appliqu~es en cdes points'invariables do corps, trouver les positions d'6quilibre, du corps. ( Voyez les exercices 27; voyez aussi MoIGNo, Lecons de M~canique anzalytique, d'apr~s Cauchy, P. 234 et sniv.) 26. Etant donn6 on syst~me de forces appliqo~es u n corps solide et on tri~dre quelconque OP, OQ, OS, on decompose chaque force Fk en trois composantes Pk, qk, Sk, paralil~es aux ar~tes do tri~dre, et lou appelle A le centre des forces paralI6les PO~ et P = FPk leur r6sultante, 13 celui des forces qk, C celui des forces SO, q et s leurs r~sultantes. D6rnontrer que le produit de la surface do triangle ABC par le volume do paralldbipip~de, ayant pour ar~tes p, q, s, est constant, quelle que SOit lorientation do tri~dre OPQS (MINDING). 27. Exercices sur le the'ordne de Mlludinig. - io Une d roite qoelconque A, s'appuyant sur les deux coniques focales trouv~es clans le n' 117, 6tant choisie, d~montrer qu'it existe one position do corps (c'est-5 —dire on syst~me (le valeurs des neuf cosinus) pour laquelle les forces ont one r~sultante unique dirigde suivant A. (Il faut remarquer cjoe, les axes mobiles devant poovoir coffucider avec les axes fixes, lc determinant des neuf cosmous 6gale ~'-; il est commode dexprimer les cosmous S Ilaide des angles d'Euler.) 20 Par on point P quelconque dii corps, on peot moener quatre droites s'appuyant sur les deux coniques focales:il existe donc quatre positions do corps, pour lesquelles les forces admettent one r6soltante passant par on point P do corps. 3' Si les forces, agissant sur on solide, restent constantes en grandeur et direction et appliqu~es en des points fixes dans le solide; si, de plus, ces forces se r6doisent h on couple, it existe quatre positions d'6quilibrc do corps. (En effet, les forces 6tant F,, F,,..., F,,, appliqudes aux points A,, A,,..,A,,, les forces F,, F, 3... IF,, ont one r~sultante g~ndrale R 6gale et oppos~e A F,. Dapr~s cc qui prdc~de, il existe quatre positions do corps poor lesquelles les forces F,, F3,., F,, ont one rdsultante unique l( passant par le point A, do corps. Ces quatre positions sont alors 6videnmcent des positions dd6quilibre, puisque, dans chacune delles, R et F, sont 6gales et directernent opposdeS). Les tth~or~mes prdcddents out lieu dans les cas les plus g6n~raux. Si ]cs forces ont des positions particulidres, le nombre qoatre peut Stre augments et devenir m~me infini. 28. Axes c1'e~quilibi-e. - Un corps 6tant en 6quilibre dans Ia position actuelle, on dlemande, en faisant Ics lbypotb6ses do no 118, si cc corps admet on axe d'6 -cluilibre. (Solutionz. - It suffit de chercher s'il existe on axe d'6quilibre Oz' passant par 0:pour cela, on r~apporte le syst~me A trois nouveaux axes Ox', Oy', Oz', faisant avec les anciens des angles dont les cosmous soot a, a', i'; P, P', il`; Y', yI, y' et l'ou 6value les quantit~s F, G', HI, 1', in', it relatives `t ces nouveaux axes. Si I'on pose, poor abr6ger, et si Ion appelle f, h ' ]es qoantit~s analogues par rapport aux nouveaux axcs, I. I I*

Page  162 i62 162 ~~DELUXIEME AiRTIE. - STATIQUJE. on arrive au rdsultat suivant. Considdrant la forme quadratique i~(u, Uit' t) =~fU2+~gu'2+ hu'"-2~ 2FU'Ut" - 2 G u'ut- 2 H tu', on peut 6crire Pour qoc 1'axe Oz', d6fini par les cosinos y', y', ysoit on axe d'6quilibre, il faut et il suffit que ion puisse ddterminer y, yf, y" par les 6quations 0 0 - 0 A = 0, qui exigent que le discriminant de ~ soit nul ). 29. Soient des points mat~riels de masses ninl, Min,...,I inI, M la somnme de ces masses, G leor centre de gravitit, A un point arbitraire; d6montrer les deux relations 2 2 -2 2 -2 ~ 2 Min'n ddsignant la distance do point in, an point ink (LAGRANGE). 30. Centres de gravite~ de lignes hoinogines. Arc de cercie. - La distance do centre de gravit6 an centre du cercle est une quatri~me proportionnelle entre 1'arc, le rayon et la corde. Arc de chainette y - ~ ec +iei) (I Le centre de gravit6 doun arc AB a rn~me abscisse que Ie point de concours des tangentes aux extr~mit~s A et B. Si le point A est le somnmet de la courbe, l'ordonn~e do centre de gravitd est la moiti6 de l'ordonn6e du point oft Ia normale en B rencontre Oy. 31. Aires planes homogdnes. - Si one aire plane hornog~ne admet on diametre rectiligne conjogod doune certaine direction de cordes, le centre de gravit6 est sur ce diarn~tre. EXEMPLES Centre cle graeite' de l'aire d'un triangle (il coincide avec le centre de gravit6 de masses 6gales plac~es aux trois sonmmets); d'Un1 trapize (il est situit soti ln droite joignant les milieux des bases b et B, et divise cette droite dans le rapport de 2 B +i b it 2 b ~ B). Centre de gravited d-une portion de plan limnite'e par un arc de chainette AB, l'axe des x, base cle la chatnette, et les deux orclonneres des points A et B. (L'nbscisse do centre de gravit6 est itgnle At celle do centre de gravit6 de l'nrc AB; son ordoonne est 6gale itl rnmoiti6 de celle do centre de gravit6 de 1'arc.) 32.- Aires non hoinogdnes. Centres cie percussion. - Soit one aire plane S; consid6rons, one droite AA' de son plan et sopposons que la densit6 p soit propor

Page  163 CILAPITLIE V. - EQIJILIBRE D'tUN SOLIDE. 3 i63 tionnelle ~ la distance 6 de cc point ~ la droite IcX'. Le centre de gravit6 G de la surface matirielle ainsi d6(inie est appel6 le centr'e le percussion de cette surface par rapport 'is laxe AA'. Ce point se pr6sente dans la thdorie des percussions; il se prdsente aussi en H-ydrostatique. Ddmontrer que le centre de percussion G et laxe AA' forment un systuime de p6les et polaires par rapport istune conique fixe imaginaire, nyant pour centre le centre de gravitis de l'aire S supposise homogisne. 33. Aires coarbes homogenes. - Soient S one portion d'aire sphisrique de rayon fl a sa projection sur un plan diamistral et 6 la distance dn centre do gravitis de laire is cc plan; dismontrer la formule 3i. VolUMes ho71nog~nos. - Si on volume homogisne admet on plan diamiftral conjugu.6 d'nne certaine direction do cordes, le centre do gravitis est dans cc plan. EXEMPLES:TJtra~dre (le centre do gravitis cofincide avec le centre de gravitis de quatre masses igales placies aux qnatre sommets). C'ylindro tronzque (le centre de gravit6 est an milieu do la droite parallle aux giniratrics, joignant les centres do percussion des doux bases par rapport is la droite d'intersection des plans des deux bases). 35j. Soient trois axes obliques Ox, Oy, Oz; disignons par S, Faire de la section faite dans un solide homogine par un plan parallile ant plan xOy; par ',rz les coordonnies do centre do gravit6 de cette aire supposie homogine; dimontrer que le centre do graviti duo solide a pour coorclounnes krS'cz, Y'd-~ -r, - k fZS, ri'dz, \ k ~'S~z dz, e0 t z lisignant los ordonnies z des plans limitant Ic solide, V le volume dli solido (V =kf "S-dz) et ik le volume du parafllilpipide, dont la base paralbie au plan des xy a Fnniti pour surface et doat Farsic paralisle is Oz a pour longUeur Funit6. (On dicompose le solide en tranchies infinimient minces par des plans parallle an plan xOy.) 36. Do lh risulte quo, si los centres do grasvited des sections planles parallsles sont danIs an planl fixe, le centre do ras'vite~ da solide est aussi clans co plan. Si los cenltres do grasvite~ des sections se cleplacenlt SUr uno droite, le centre do gravite ciu volume est sar cette droite. Cette dernisire circonstance se preisente pour la partie d'un solide do rivolution comprise en1tre dleux. plans perpendionlaires is laxe, et pour le volume limiti par one surface do. second ordre et deux plans paralliles. 37. Si Faire S. ost une fonction do second de-r6 deono a, en disignant par S,, S,, r7 los aires des deny bases do solide et do Ia section 6quidistante des bases, et par ih Ia hauteur do solidle, 6 0

Page  164 i64 DEUXIEME PARITIE.-STATIQUE. les, distances du centre de gravit6 du volume aux deux bases S0 et SI, sont entre clues comme St-2 a est A o-~ 2 C. Ces formules s'appliquent aux troncs de pyraramide et de c6ne, aux segments des surfaces r~g1~es compris entre des plans parallides. 38. Dans les solides que nous venous de citer, on a ce th6ordme:Le centice de giravitd du solide est le centr~e de gravite' de tirois masses, placetes aux centi-es de gravite' des deux bases et de la section moyenne, et e~gales 7respectivement aux air-es des bases et au quadruqple de I'ai7,e de la section mnoyenne. (DAiwoux, Note de la Md~canique de Despeyrous, p. 3803-388.)

Page  165 CLIAPITRE VI. - SYSTLUES DEFORMABLES.15 i65 CITAPITRE VI. SYSTEMES DEFORMABLES. '132. Principe de solidification. - Nous aVons ktudie', jtisqu'a present, les conditions d'e'quilibre d'un corps solide, c'est-a'-dire d'un sys1e~me de forme invariable. Imaginons un sysLe'me materiel dont, les diff~rentes parties sont, liees les unes aux autres d'une certaine facon, mais non d'une facon invariable:le syste'me est1 alors de'formable. No-Ls pourrons, pour bous ces SyTStemes, enoncer la proposition suivante, qu'on appelle quelquefois principe de,solidification et qui esLtiun cas particulier du premier principc enonce dans le no 97. Q uand an syste'ine deforinatbie est en &5quilibre, les forces exterietares (C'est-a-dire les forces autres cjue les reactions mutuelles des diff6rentes parties) qai lui sont app lique'es satisfont aux conditions d'e6quilibre des forces app lique'es a' an corps solide. En effet, le syste~me, e~tanL en 6quilibre, y restera e'videmment s'L 1'on relie les points materiels les uns aux autres d'une manie'rc 'nvariable, c'est-Ai-dire si l'on solidifie le systerme. Les forces exte'rieures doivent se faire e'quilibre sur le corps solide ainsi constitue"; elies satisfont done aux six equations ge'n~rales de I'equiilibre. Ces conditions, neicessaires, ne sont pas, en general, suffisantes. I. -POLYGONE FUNICULAIRE.,133. Definition. - On appelle ainsi Lin syste~me de poi~nts maLe'riels Ml, M,,.., M,, chacun d'eux etant relie' an suivant par -un cordon flexible et inextensible. Les diff~rents sommets du polygone sontL soumis "a des forces F1, F,., F, 1,I IJ sons l'action desquelles la figure pent prendre une certaine position d 6quilibre

Page  166 166 i66 P~~E-UIJXIEE PXUTIE. - STVTIQ-UE,. qui sera un polygone plan ou. gauche; nous allons clhercher les conditions de cet, equilibre. Conside'rons d'abord le cas oft il n'y aurait que d'eux points M.,, M,, eu deux forces F4, F2; d'apre's le princilpe de solidification, le'qcuilibre ne pent, avoir lieu cjue si les forces F1, F2, qui agissent, sur Al,, Al., sont, egales ei directernent, oppos~es. Ceate condition, iihe'essaire, n' est, pas suffisante; ii fant, en otire, cjne ces forces sojent dirig~es de facon 'a tendre le cordon. Si elies ktaient, dirige'es de facon 'a rapprocher les deux points, l'e'quilibre serait evidein'i-ent rompu: pour maintenir l'e'quilibre, ii faudrait alors remplacer le cordon par une tig.;e Kgid-.oe (fig,. 8 6) Fi g. 8 6. F, M, A B 134. Tension. - L'e'quilibre ay ant lieu, prenons sur le cordon Mli M2 Un point, quelconque A et, isolons la portion M, A: le cordon P41 A obtenu est en eiquilibre; or il n'est sollicitei que par la force F4 et par lFaction de la portion AM, dui ill; it faLut done que cette action puisse se remplacer -par une force C'gale- et, directemient oppse' P F4. Cette force est appele'e tension du cordon en A; elle est, 6gale en valetir absolue 'a F4; elle est, la rn eine en tons les points duL cordon. La portion AM2, est, de me me en equilibre sons lFaction de F2 ec, de la tension appliqwue' en A dans le sens AM4; enfin une portion quelconque AB du. fil. est, en equilibre sons l'action des tensions applique'es "a ses deux extre'niit's dans les sens AMI, et, BM2 En general, si l'on considere une portion quelconqite, par exernple PM3MAllM2M6 I'Q d'un polygone funiculaire en e6qnilibre, obtenue en coupant les cordons M2M3 et M6M, en P ci, Q, dele pent etre reard~e'commee'Lant ene'quilibre sonsl1'action des forces directement, applique'es aux sommets M3, M.j, N1 M6 (fig'. 8y) et destenion de c~~sPM3, M6Q appliju~es en P et, Q dans les sens M3P et M6Q. Ces forces et, ces deuix,- tensions satisfont donc aux conditions d'ecquilibre de forces applique'es 'a un corps solide. Par exemple, si les forces F3, F4, F,, F6 ont, une reisultante unique li, ii y aura e'quilibre entre les tensions des C OtCs extreines

Page  167 CIIAPlTRE VI. - SYSTEIMES DEFORMABLES. I67 M13P et MIQ et cetle resultante: les deux coles extremes se couperont done en un point de la resultante R (n~ 114). Fig. 87. T67 16 3,2 3 3 135. Equilibre cle polygonle frnlzictlairtie. Polyygole de Val'ignon. - Considerons un polygone funiculaire en equilibre souns l'action de forces appliquees en ces diff6rents sommets. Pour eviter toute confusion sur le sens des tensions, appelons Ti, i+ la tension du cote MiMlci+ portee str ce cote dans le sens AMiAMi et Ti+, i la meme tension portee en sens contraire, de telle sorte que Ti,i+, et T+, i soient deux forces egales et directement opposees. Supposons que l'on coupe les cordons M23 et M6M7 en P et Q et que l'on considere la partie PNi,3MM, lM0 IQ du polygone funiculaire; cette partie est en equilibre sous l'action des tensions T3,2 et T6,7 appliquees aux points P et Q et des forces donnees F3, F:, F5, F6 agissant sur les sommets interrnediaires. Le point M13 considere comme libre est sollicite par la force F3 et les deux tensions T3,2, T3,: des cordons attaches a ce point: ces trois forces sont done en equilibre; de meme le point M, est en equilibre sous l'action de la force directement appliquee F. et des deux tensions T,3, T3, des cordons attachles a ce point; et ainsi de suite. On aura done les conditions d'ecuilibre en exprimant que chaque sommet est en equilibre sous l'action de la force qui lui est appliquee et des tensions des cordons aboutissant a ce sozmmet. Ces conditions se resument d'une maniiere simple dans la construction suivante qui conduit au polygone de Varignon. Par uil point arbitraire A, menons un vecteur AA2 egal et paraliele a la tension T3,2 du premier c6te considere et par le point A2 un vecteur

Page  168 i68 DEUX I i ME PARTIE. - STATIQUE. A2 A3 identiclque a F: puisque les trois forces T3,2, F3 et I'3,, se font equilibre, le vecteur A3A fermant le triangle AA2A3 est egal et parallele a T34,, et, par suite, le vecteur AA3 est identique a T.,3. Maintenant, comme les forces T4,3, F. et T,,5 se font equilibre, si par le point A3, extremite d'un vecteur AA3 egal et parallele a T4,3, on mTne un vecteur A3 A, identique a F,, le vecteur A. A est identique a T,,, et le vecteur de sens contraire AA, est identique a T5,4; on continue ainsi de proche en proche et l'on arrive finalement a mener le vecteur A5A, eggal et parallele a F6 et le vecteur NAA identique a la derniere tension T7,,. En resume, pour que la partie consideree (voir fig. 87) PM3MM5,MGQ du polygone funiculaire soit en equilibre, il faut et il suffit qu'en portant bout a bout des vecteurs A2A3, A3Ai, A, AS, A:;Ao egaux et paralleles aux forces F3, F,, F;, Fe appliquees aux sommets, on puisse trouver un point A tel que les vecteurs AA2, AA:3, A. AA, AA,, AAG soient paralleles a PMA, IM3M., M Ms, M5 Me,, AI Q et diriges en sens contraire de ces cordons; cette derniere condition resulte de ce qu'un vecteur tel que AA3 est identique a la tension T,,3, laquelle est dirigee dans le sens M3 M,. Ces conditions sont suffisantes: car, si elles sont remplies, chaque sommet Mi est en equilibre sous l'action de la force Fi et de deux tensions Ti, i_, Ti, i+' respectivement egales aux vecteurs AA;_,, A i A. Le moment resultant des tensions extremes T3,2, Tc,7 et des forces F3, F,, F5, Fe est alors nul, ainsi que le moment resultant de chaque force Fi et des deux tensions Tii_4, Ti, i+ appliquees au point Mi. En considerant les moments des forces et des tensions par rapport a un meme point, on aurait done des vecteurs avec lesquels on pourrait construire un polvgone analogue a celui de Varignon. I1 peut arriver que loutes les conditions d'equilibre soient remplies, sauf celles qui sont relatives aux sens des tensions par rapport aux cotes; alors certains cotes sont comprimes au lieu d'etre tendus et l'equilibre ne subsiste pas. Pour le maintenir, il faudrait remplacer ces cotes par des barres rigides pouvant resister a la compression. 136. Conditions aux limites. - Les conditions d'equilibre que

Page  169 CHAPITRE VI. - SYSTEMES DEFORMABLES. 169 nous venons d'indiquer doivent etre remplies par une portion quelconque du polygone. Les sommets extremes du polygone funiculaire peuvent etre assujettis a des conditions de differentes natures appelees conditions aux lizmites. 1~ Les extle'nmites sont libres. - It peut se faire que le polygone funiculaire l MI. I...MI, soit libre dans l'espace, les extremites MA et M,, etant libres et sollicitees par des forces connues F, et F,,. Supposons, pour simplifier, n = 5, le polygone etant MIM2M5,M MoMM. Alors les tensions des cotes extremes M,1M9 et M,, M sont connues; en effet, MI, est en equilibre sous l'action de F, et de la tension T,: cette tension est donc egale et opposee a F1. De meme T5,, est egale et opposee a F5. Si l'on construit le polygone de Varignon correspondant au polygone funiculaire total, le premier cote AA, sera egal et parallele a F,, le deuxieme Ai A,2 egal et parallele a F.,..., le dernier AA, edgal et paralele a F5 (fig. 88). Le polygone ainsi construit est le polygone des Fig. 88. A, T- u -A, v forces F,, F,, F;, F4, F5; ce polygone doit se fererr A5 doit coincider avec A, car les forces Fk renplissant les conditions d'equilibre de forces appliquees a un corps solide, leur resultante generale est nulle. Les tensions telles que T~+,l, sont egales ct paralleles aux diagonales AAk du polygone de Varignon. 2~ Les extreinites M, et AM, son/t attachees en des points fixes. - II faut alors prendre conmme inconnues auxiliaires les forces F, et F,, representant les actions des points fixes sur les extremites M, et M,, ou, ce qui revient au meme, les deux tensions extrehmes T2,, T,_-,, 12

Page  170 170 DEUXIIME PARTIE. - STATIQUE. 3~ Le polygoole funiculaire est ferine. - Le polygone est ferme quand le dernier point M' est lie directement au premier M, par un cordon. Dans ce cas, on pourra appliquer les conditions generales d'equilibre et la construction de Varignon a l'ensemble du polygone en imaginant qu'on coupe le cordon M1 M5, en deux points P et Q et qu'on applique suivant M1 P la tension T1,,, et suivant Ma Q la tension T,,. I1 faudra alors mener par A un vecteurAAO egal et parallele a T1,, puis, 'a la suite, des vecteuirs AoAl, Al A2,..., AA A egaux et paralleles a F1, F.,..., F (fig. 89); Fig. 89. A2 2 A, 4T 3 2 2 q; 4\ 5x \ A ^ P2 3 t les tensions des cordons seront egales et paralleles a AA1, AA.2,..., AA2, la tension T,,5 etant egale et parallele i AA0, T2,1 a AA,..., Tk+~,k a AAA,.... La derniere tension Ti,5 sera egale et parallele t AA5; par suite, A;j coincidera avec Ao, car AA0 est aussi egal et parallele a T, 5. Donc, pour l'equilibre d'un polygone funiculaire ferme, il faut et il suffit: I~ que le polygone des forces directement appliquees se ferme; 20 qu'il existe un point A tel que chaque c6te M,.M,.r du polygone funiculaire soit parallele a la diagonale AA,. et de sens contraire. Remarque. - Si le nombre des co6es du polygone funiculaire augmente indefiniment, chacun d'eux tendant vers zero, ce poly

Page  171 CHAPITRE VI. - SYSTEM3ES DEFORMABLES.11 I 17 1 i gone devient -une courbe, le polygone de Varignon aussi. Ce cas limite sera traile' directement dans le ~ 11. En general, la figure d'e quilibre est un polygone g'auche; ce polygone sera plan si les forces F,... F/,,l sont concourantes ott parallidles. '137. Forces concourantes. - Qute le polygon7e soit outvert oui fer-inj, si toutes leS for-ces F, sa itj' les for-ces extr-e'7es F1 et F,, sont concoitrctntes, la figur-e cldqutilibre est plante, et les m-olnents des tensions parrappor-t ait point de concours des forces sont touts e'gqaux. Soit 0 le point de concours des forces, nous avons -Nut qu'on pent considarer le~point mat6riel M'2 comme en e'quilibre sons laction de F2 et des tensions T2,1, T2,3; ces forces, devant se faire 6quilibre, sont dans un m6me plan; done All, M2, M13, 0 sont dans un me't-e plan P. On -verra de m6me que I\12, M3, M14, 0 sont dans un ma6me plan, qui necst autre que P, comme ayant en. commsun avec lui les trois points 0, M12, M13,..et ainsi de sute: l fuye d'6quilibre sera done plane et son plan. passera par le point 0. Le point AM2 6tant en 6quilibre sons Faction des forces F12, T.?,, T2,3, la somme alg~brique des moments de ces forces par rapport an point 0 est nulle; et, puisque le moment de F2 est nul1, on vout que la somime des monients de T2,1 et de T2,3 est nulle, on que le moment de, T1,2 6,ale celui de T2,3. En continuant de la sorte, on verr a que toutes les tensions T,., 7~41 ont m~me moment par rapport an point 0 (fig. 90). Fig. 90. F~~~~~~~~~ 0 '138. Forces parall~es. - La figurlt7e cl'equilibre est encor'e plane quand toates les for-ces, sautf les deux extr~ies1,eS son tpar-allles. Dans ce ecas, les pr-ojections des tensions sutr un7?e perpendicutlaire a la direction co~mmune des fo7'ces sont dg-ales. La premiere partie de cette proposition s'6tablit comme pour, les forces concourantes; pour d~montrer la deuxi~me, obseryons que les forces F2, T91,) T2,3 se faisant 6cquilibre, la somme alg6brique de leurs projections sur

Page  172 1 7? 1 72 ~DEUXLEM1E PARTIE. - STATIQUJE. une perpendiculaire x'x ~i la direction des forces est nulle, et, comme la projection de F2 est nulle, il en r~sulte que la projection de T2,2 est 6galc A celle de T2,3; celle-ci est de melme 6gale A la projection de T3,4, etc., Supposons, par exemple, que les deux extr~mite's du polygone soient attach~es en deux points fixes et que les forces agissant sur les sommets interrn~diaires soient des poids:le polygone est alors dans le plan vertical des deux points fixes. Nous admettons, de plus, qu'il y a un co't6 horizontal MOM, dont nous appelons la tension To, les tensions des c6t~s suirvants Ml Ml, M2 M3,... ktant T1,2, T2,3,..., et les inclinaisons de ccs ctWs sur ihorizon, 0a', C2,...- les points Ml, M,.,... sont sollicite's par des poids PI, P2. Pour constru-ire actuellement le polygone des forces relatif A la portion MOAII M2,..du polygone funiculaire (fig. 92) il faut Fig. 91 13 T0 A T, y 12, P2 0 m-rener par un point A. un v~ecteur AB 6gal ct paralkle h la tension To dans le Sens Ml M2, puis des vecteuirs BB,, Bi B,...'gaux et para~llles A i P2. Les points B, B,, B2,... sont Sur une -Nerticale, les diagonaics AB,, AB2,... parall~les aux. Cet6S AllM2, M2M13,.. et 6gales aux tensions T2,1,, T3,2. On a clone tang v.,. tano a9 P1T tanga/. To - Tq,2 cos il T3,2 COS~2...,:,k O a Si Yon suppose quc le nornbre des sominets Ml, 1W2,... augmente ind~finimnent, chaque c6t6 tendant vers z~ro, le polygone devient une courbe plane telle qu-en appelant a langle de la tangente en un point Al avec l'horizon, T la tension en cc point et P le poids total de lare ]N10M,1 com-Ypte' f partir du point le plu~s has M10 oii la tension est To, on ait tangar -y, T~o -T coso.

Page  173 CHAPITRE VI. - SYSTEMES DEFOR1AIABLES.17 173 Par exemple, si i'on imagine un flu homogene pesant en &{quilibre, le poids P du flu, eompt6 depuis le point le plus bas Mo jusqu'en M, est projportionnel. A larc MOM ou. s:on a done pour la courbe d'e'quilibre (chainet te) tang~z a (a constante); a nous donnons plus loin I'6quation de cette courbe Sonis forme finie (no '151). Si le flt pesant n'est pas bomog~ne, mais Si sa densit6 lin~aire 8 (telle qu'eue est d~finie au no '126) est une fonction connue de lare s, compt6 S (S depuis le point MO, on a P Af~cs Lang ~c / ds,adsgnt a encore une constante. Ponts suspendus. - Nons snpposerons les tringles de support -verticales, 6quidistantes et portant le me'me poids, nous ne'gligerons le poids tin c~ble et des tringles, nous admettrons enfin que le calble, syme'trique Ipar rapport fl nn plan vertical perpendicnlaire an plan qni le contient, est flexible et inextensible. Prenons le plan vertical contenant le ca'ble pour p)lan du tableau, la trace du plan de sym~trie pour axe des y, et pour axe (les x la trace xx' du tablier du pont, snppos6 borizontal. Nous admettrons que le nombre des tringles est pair, c'est-fi-dire qu'au milieu du polygone il y a un c6t6 AMM, borizontal (fig. 91). Appelons a la distance de (Icux tringles et d~signons par xl,., d'k les coordonn~es du sOmmet Mk. Les a coordonn~es de Ml seront -, b. Les coordonn~es des autres sommets se 2 calculeront de procbe en procbe fl laide des forinules x1, =/ x ~-I v a, k i ~a tang aEk:-1, dans lesquelles tangocl.-1 est 6,gali, k- ~ car tons les poidsp1, P2, To sont 6gaux fi un m~me poids p. On trouve ainsi ~ b --- iE~l~~...(k~)Dz b~ap k(k- i) Dans ces expressions figure encore la tension inconnue TO; on la determine en remarquant que Ion conna'it le point d'attacbe du dernier sommet M,, soit h la bauteur de cc point; on devra avoir It,= b-+-2 n(n1- 1)) To 2

Page  174 I - /., I I;74 ~DEUXIEME PARI4TE.- STATIQUE. formnule qui donne To. Les somrnets du polygone soul stir-tine parabole d'axe -vertical. Si, en effet, dans les formules a cap k k - 2 ~~~ ~~~~To 2 on fait varier k d'une facon continue, le point x, y d~crit une parabole dont 1 axe est vertical, e t les somnmets du polygone sont les points de cette parabole qui correspondent ~ des v\Ialeu~rs enti~res de k. Onl d~montrera ais~inent, en outre, que les co't~s du polygone sont tangents en leurs milicux h u-ne deu-xi~me parabole d'axe \vertical. Si lc nombre des tringles 6tait tr~s grand et les c~ts trds petits, Ic polygone pourrait dtre assimil6 h une courbe qui serait n~cessairement u-ne parabole, d'apr~s cc qui pr~c6de. On peut le v~rifier aussi en. remarquant que la taugente de linelinaison du co't6,M, est proportionnelle labscisse du- milieu. de cc cWt: si le polygone est assimil6 Ai une courbe, le coefficient augulaire de la tangente en un point de cette courbe doit ftre proportionnel S lab scisse de cc point, proprie't6 earact~ristique d'une parabole daxe -vertical. ~39. Applications graphiques de la th6orie des polygones funiculaires.- Les propriededs gedome'Lriques eL me'caniques des polygones funiculaires donnent lieu 'a d'imporaantes Lhedories dont le germe esL dans une Note de PoncelaeL c qui se trouvenL de'veloppd'es dans les Trait es de Stalique gratphique de Cuirnanrn, de M. CreMOna, de Nil. Maurice Le'vy, de M. PRotchd'. Nous nous bornons dans cc cjni suiL-t S raiLer des exemples. io Dite7rntilation gra~phiqute de la 7-esitltante de plusiew-s forces sitttdes clans an- plICt. - Soit dans un. plan un nombre quelcouque de forces, quatre, palr exemple, F1, F2, F3, F4, admettant une resultante g-C' u~rale diff~rente de z6ro. Construisons le polygone de ces forces en menant par un point As un vecteur A5A1 6gal et parallle a F,, par A1 un vecteur AlA2 6gal et paralil~e h F3,.., par A3 un -vecteur A3 A4 6gal et paralil~e h F4, et nunmhrotons les c~ts de cc polygonc en appelant r- le e~t6 parall~e -et 6gal h F,.. La r6sultantc des forces F.1,... F4 est 6gale et parall~le h As A, e~t6 que nous num~rotcrons 5. Prenons un. point A dans le plan et joignons-le aux sommets A3~, A1, A2, A3, A4 du polygone des forces:nous appellerons (/', s) la diagonaic joignant le point A an point d'intersection des c~t~s r- et s. Nous avons ainsi u-n polygone de Varignon: nous allons construire un polygone funiculaire correspondaut. Pour cela menons une droite arbitraire L5M1 paralile h Ia diagonale (5,T) et appeIous M, ic point oii elle rencontre la direction F1; par M,, inenous une, droite 'AlM12 (fig.- 92)) parall~lc A (1, 2) et appelons M31 le point oii ie

Page  175 CIIAFITRE VI. - SYSTEMES DEFOIRMABLES. 175 rencontre la direction de F2, et ainsi de suite,..., par M14 menons AlMNs parallele a (4,5). Cette derni6re droite coupe la premiere LsMI en un point M5 qui appartient a la resultante R. En effet, si l'on suppose les A A3 - A'. /, /// 'N X -M / " ' t \ I/ droites LaMi, MM11,..., M N5 rcmplac6es par des cordons ou des barres rigides, les forces F1, F2, F3, F4 transport6es aux points M1, Ms,..., A^ de leurs directions, et les deux cordons extremes L5M1l, M4 N5 tires par des tensions egales aux diagonales (, 5) et (4,5) du polygone de Varignon, on a un polygone funiculaire en equilibre. D'apres le principe de solidification, il y a equilibre entre ces deux tensions extremes dirigees suivant les cotes MiLL, MINs, ct les forces F1, F2, F3, F; appliquees aux sommets. La resultante de ces dernieres forces est done egale et directement opposee a la r6sultante des deux tensions extremes; elle passe par le point M,, intersection des cotes L^AII et MI^N. La resultante est ainsi entielrement determinee, car on connait en A2A4. sa grandeur et sa direction. Si l'on fait varier la position du premier c6te LMA, en d6placant cc c6ot parallement i lui-meme, le polygone funiculaire se d6forme, le point MsA se deplace et decrit la r6sultante des forces F1, F2, F3, F4a. On a cloisi arbitrairement le point A. En donnant a ce point une autre position A', on obtiendrait par les memes considerations un deuxinme polygone funiculaire correspondant L', Ml,, MA, Ml, Ml, N'2, dont les cotes extremes se couperaient egalement sur la resultante. On a de plus le theoreme suivant: Les points d'intersection des cotes correspondants /M/Mi+~, et \l' Ali_ du premier polygone funiculaire et dic second sont sur une droite A parallele a AA'.

Page  176 i-6 ~~DEUXIEME PARTIE. - STATIQUE. En effet, prenons le premier polygone funiculaire suppos6 coups en Lin point B d'un co'te, M13M4, par exemple; la partie L5 MlM2 M3B de ee polygone est en 6quilibre sons Faction des forces Fl, F2, F3 et des tensions T1,5 T3,4 des co't~s extr~mes Ml L5 et M3 B:les deux tensionis T1,5 T3,4 ont (lone une r~sultaate sgale et oppos~e At celle des forces Fl, F2, F3. Si ion applique le mitnme raisonnement At la portion L'5 Ml M' Ml' B' du deuxi~mc polygone suppos6 coupit au point B' du cWt M' M', on voit que les tensions des cittis extr~mes M' L' et M' B, que nous appelleroas T'2,5 et TI, ont une resultaate igale et oppos~e At celle des forces Fl, F2, F3. De sorte que les tensions T1,5 et T3,4 oat une r~sultante identique it celle des tensions TI, et T' 1,,, On pent encore dire, en changeant les deux derni~rcs tensions de serns, qne l'ensemble des quatre vecteurs T1,5, T3,4 et TI,1, TI, est Equivalent At z~ro. La r~sultante des deux tensions T3,,5 et TI,3 qu passe par le point d'iatersection des c6t6S M3AM4 et MNY M', est dlonc 6-ale et directement oppos~e At la r~sultante A des deux tensions T2,5 et TI,1 qui passe par le point de concours des c6t~s L5 Ml et LM' A. Le point de concours des Ct6tiS M3M4 et M' M' se trouve done enfin sur Ia dr'oite fixe A; il en est de tn~me du point de concours de deux c6t~s correspondants quelconques des denx polygones. Cette droite fixe A est paral1~le At AN', car la tension T2,5 est 6gale et parallle At AA5 et est dirig~e dans le sens AN5, la tension TI,5, est 6 gale et para~lle At A5A' et dirig~e dans le seas A5N'; la r~sultante A de ces deux tensions est done etgale et para~lhe At la r6sultante de ANA5 et A5 A', c'est-it-dire At AN'. 2-0 Construction d'un polygone faniculaire ferrne correspondctnt &t un systeine de forces en ~quilibre dans un plan. - Soient, dans un plan, un syst~me de forces F2, F2,..,F5 en itqnilibre (fig. 92_), c'estai-dire telles que leur ritsultante g~a~rale et lenr moment retsultaat soicat nuls. Coastruisons le polygone des forces Al A2... A5; cc scra un polygoac fermit dont les ecis i, 2, 3, 4,5 soat respectivement parallitles aux forces Fl, F2,..,F5; puis prenons dans le plan un point arbitraire N; At cc point, on fait cor-respondre un polygoac funiculaire ferm.6 de la facon snivante Joignons cc point aux dilfftrents somsmets du polygone des forces, et soit (r, s) Ia droite joignant Ic point N an point d'intersection des ci'ttis ret s; on obtient ainsi cinq droites (i, 2), (-2, 3)...,(5, i). Construisons ensuite un polygone ferm.6 MI M2 M3 M51 M5 ayant ses sommets respectifs sur les droites Fl, F2,..,F5, regardites comme inditfinies, et ses cittis MX5 All, AlM1M2, M2M1'3,..,M4 M5, paralliles aux droites (5, i), (i, 2), (2,,3),... 4 5). Daprits Ic cas traitit pritcidemmient, on pent prendre arbitrairement Ia position du eit6 M5M, onuL5M1; les ciis suivants M1M2, M2 M3.,..,TAM4N5 sont alors ditterminits, et le point dIintersection Ms des eit~s L-M1 et M4 N5 est sur la ritsnltante des forces F1, F2, F., F, c'est-it-dire sur F5 qui est itgale et directement opposite i cette ritsultante:le polygone construit est done bien fermi.6 Le polygone AllyM2,.,M- ainsi construit s'appelle le polyg-one funiculaire, ritpondant au point N. Si Ion suppose les points Ml, M2,...,

Page  177 CIIAPITR1E VI. - SYSTEMIES DEFORAIABLES. 177 remnplaces par des points materiels et les cotds M1 IM2, \M25.I3,...,.\M1 par des cordons inextensibles, en transportant les forces aux points MI, Mm,...., M5, on a un polygone funiculaire ferrnm en equilibre dans lequel la tension du cote M,.Ms est egale et parallle a la droite (r, s). II peut se faire que certains c6tes subissent des compressions; il faut alors les remplacer par des barres rigides: c'est ce qui arrive dans la figure pour AM1iM et MM I.t Si l'on prend un deuxinme point A', il lui correspond de la mnme facon un deuxieme polygone funiculaire AM1 M, I M...; les cotes correspondants des deux polygones se coupent sur une droite A parallele a AA', conime nous l'avons demontre. Si les forces F1,..., F5, au lieu d'etre en equilibre, se rdduisaient a un couple, on en serait averti dans la construction, parce que T,5M et M.N;, ne se couperaient pas sur F;, car alors la r6sultante R de F1, F2, F3, F,, serait dirigde suivant une d(roite parallele a F5, mais diffdrente de F3. 3~ Cas particulie7; exemple de figcures recipr7oques. - Supposons que les forces F1, F2, 'F, F,, F;, qui se font dquilibre, concourent en uil mim e point 0, le polygone funiculaire (O) M11MA, I M MM, construit comnie nous venons de le dire, et le polygone de Vaiignon (A) AIA2A3AAA;; sont alors reciproques. Voici ce qu'il faut entendre par la. Dans ce polygone funiculaire, MAl... M1, les tensions T,,1, T3,..., Ti, des cotes MAM1, Fig. 93. A5 /' A, 3 1 / - '" ' \ \ 2 F,F 1M3M2,..., MiMI sont respectivement dgales et paralleles aux diagonales AA1, AA2,..., AAo du polygone de Varignon. Suivant chacune de ces diagonales, appliquons aux sommets Al, A2,..., A5 du polygone de Varignon des forces P, P2,..., P5, egales et paralleles aux cotes correspondants M21MI, M3M2,...,MiM5 du polygone funiculaire, et remplacons les I. 12

Page  178 DEIJXILME PARTIE. - STATIQUE. co't6s Al A2, A2 A3,., A5 Al par des cordons. Le nouveau polygone funiculaire A1 A2... A5, ainsi construit, est en 6quiiibre et les tensions des COt's 1, 2, 3... de ee polygone sont sgales et paraii~ies aux diagonales OMI, GMA2, GM3,... du polygone funieulaire primitif, qui est ainsi Ie polygone de Varignon dui nouveau polygone funieulaire. En re'surn, ehaeun des deux polygones funieulaires (A) et (0) est aloes le polygone de Vaiignon de lautre. -140. Anneaux glissant sur un cordon. - SUPPOSOns qu'un cordon flexible et inextensible soit fix6 par ses deuIX extr6nuit~s A et B et que des anneaux infinimnent petits puissent glisser sans frottement, le-lonlg de ee flu; ees anneaux sont sounmis ~ des forces connues: on demrande la position d'6quilibibe du syst~nme. S'il n'y a qu'un anneau C, ii faut que la force F soit bissectrice de J'angle Fig. 94.1 A\ C ACB; car ie point C peut ktre consid~er comnme mobile sans frottement sue une ellipse ayant A et B pour foyers; ii faut done qUe la force soiL nornmale Ai cette ellipse et dirig~e vers 1'ext~rieur, c'esL-~-dir~e de facon Ai tendre Ic fit, La pression de lanneau. sue le flu est aloes e'gale ~ F. L'616 -ment dui flu sitn6 en C est soiiicit6 par les deux tensions T, T' et la pression F; celie-ci 6tant bissectrice de Fangle de T et T' et de-vant leur faire e'quilibre. ces deux tensions sont 6gales et ion a F 2T co s On traitera maintenant sans difficnult ie cas ofi ion a plusieurs anneaux:s'il y a 6quilibre, chaque force est dirige'e suivant in bissectrice des deux cordons qui aboutissent Ai Fanneau. correspondant, ia tension T d L fit est partout ia ni~me, et si F,, F2,... sont les di-verses forces, ~XW22,... ics angles successifs des divers brins de flu, on aura (POINSOT) T F, F2..etc. 2c05 - 2 Cos 22 Le syst~nie, i'tant en e'quuilii)1e, y restera e'videmnment si ion fixe les an

Page  179 I I CHAPITRE VI. - SYST~-I'~ES DEFORM'IABLES. 179 ncaux an fil dans les positions qu'ils occupent; on pelt done appliquer ~ cette figure d'6quilibre tout cc qui a 6te dit, sur le polygone funiculai~re. Actuellement, touics les tensions 6tant e'gales, le polygone de Varignon (fig. 87) a tolls ses sommets Al, A2, A3,..,sauf le premier A, sur une sph~re dont le centre se trouye au sommet A. Si le polygone est plan, les sonmmets Al, A2,... sont sur un cercie de centre A. '141. Travures r6ticulaires. - Des considerations analogues ~ celles quie Doi-s avons employees pour les poly gones funiculaires eondiiiseniL aux condi Lions d'edquilibre des trayvtres r'tiC Ulaires, e'esL-h-dire des s~ystemes, de barres rectilignes, dont on ne'glige la masse, reunies At leurs extre'mite's par des articulations. Le sysLe'me t~otal est suppose' sotumis "a des forces exte'rieures applique'es atx articulations on nouds. Chaque barre telle que AB devant e'tre isoiedment en ebquilibre sous I'action des forces agissant sur ses, deux extLremite's, ces forces, qui souL les actions des neeuds A et B sur in barre, se re'duisenL "a deux pressions oti tractions elgales et directement oppose'es. Chaque nmud sera en edquilibre Sons I'acLion des forces qui luii sont directenment appliqtiees eL des actions, stir ce point, des barres, qui y abontissent, actions dirige'es respecLivement suivant ces barres en vertu du Iprincipe de el'galite' de F'action et de la reaction; car les actions des barres snr les noeuds sont egales et oppose'es 'a celles des noeuds stir [es barres. Exempl-)e. - Un syst~me de six tigeS non pesantes, form ant, un tftra~dre i-6gulier articulM SABC, est suspendu par trois cordons verticaux AA', BB', Fig. 95. A"I( 113 IC T ~ ~~~ A A' P B~~~~~ P CC' dans une position telle que la base ABC soit horizontale: au sommet S, est suspendu un poids P; trouver les tensions ci Ies pressio ns des barres.

Page  180 i8o i~~o ~ DEXIJX[ME PARTLE. - STATIQUJE. et des cordons. Appelons 0 la valeur comm-une des tcnsions dcs barres SA, SB, SC:on a, en projetant su~r la -verticale et 6crivant que la somme des projections des quatre forces P ct 0 appliqu~es au nceud S est nulle, P 6 car lc cosinus de langle d'une ar~te SN, avec la vrerticale est -t?. Les c6te's 3 dle la base subiront des compressions:appelons p la valeur communc de ces comnpressions et T la valeur commune des trois tensions des cor(ions AX'., BB', CC'. Le point A est cn 6quilibre sous Faction de la force IL, de la tension T et des dcux forces p. En projetant sur la verticale A-,on a 3 3 cc quii cst 6vident, car, les trois forces T et la force P (Ioivent se faire 6quilibre. 1Pnis, projetant les quatre forces appliqtuees en A sur la hauteur, AD (lIu triangle ABC, on a 7~~~~~~~~~~ 3 car cos DAB 7 —3 et cos SAD 2 ~~~~~3 II. - EQUILIBRE DES FILS. '142. equations d'6quilibre. - Cherchoins les conditions d'edquilibre d'un fil, flexible et inexiensible, soiliejied par des forces continties. On pourrait conside'rer ce proble~me comme le cas l1itnie des polygones funiculaires, mais nous l'aborderons direct e mie n t. Dc'si gnons par s la longuetir di fill, compiede "a partir d'Une onigine A, positivement dans un sens determine' AB (fig. 96). Nous admetirons que les forces exueirieures apphiquees 'a un element d'arc ds petuvent etre remplace'es par une force uniqtue de l'ordre de ds, Fds, appliqtue' en un"point de ccL 6dh6ment; les projections die cette force seronL Xds, YdIs, Zcls) en de'signanL par X, Y, Z les projections de F, que 1'on appelle folrc Iap/)orte'e &I l'uni5e de lonoucietr.

Page  181 C IIAPIr TE V I. - SI Y STl'A E S ) EF0 R A B L E S. 1 8 Si l'on considcer e e portion \AM du fit et si lon supprime la portion MlB, il faudra, pour mainlenir ldequilibree de ASM, appliquer en M une force T, uniqeO puis que le fil est suppose parfaiFi. 96.; / tr lement flexil)le; la force T est dlie la tel/sioon du fil. Designons par x., 3, Y les cosinus directeurs de cette tension; ses projections son t Ty, VT/. TSi, apr's avoir cooupe le fl en AM, on avail supprimi e a portion MAA, on aurait dt, pour maintenir i'dquiilibr e de MB, appliquer el Mil une force - (T), en vertu du principe de i'egalitd de I'action el de la reaction. Les projections ce cette nouvelle tension sont _ —T -T, -T'. (oupons le fil en deux points infiniment voisins M, 1', et ne conservons que ]'dlemenLt MA1,. Cet element est en ecquilibre soun; I'influence de la force Fd.s, qui agit sur lui, et des deux tensions -T, T, lqui remplacent les actions des portions supprimees d( fil; si 'on desig'ne par of. t,, les cosinus directeurs de T,, ses projections sont 1il (, - 1 I ) -, T 1 I' 1;Iicrivons que Ia sommne des projections des trois forces est nullle, nous avons, en remarquaLnt que '. T o __ _ _- e(Ta}, Ty -T d (T?) T -T = (), ' d(T )-r-X s = o, d() - -(T I- Y ds = o, d (T,) — Z cls- o.

Page  182 l8,2 DEUXIEMIE PARTIE. - STATIQUE. Les moments des trois forces -7 T. T, F' par rapport a I'axe des x: sont respectivement — (y TY-_-T73), yiTTi —_-Tji, (yZ-Z-Y)ds, o0l nous avons representi par xj'-, xy z, les coordonniles des extremites de ]'arc dss; la somme des moments de -T etr T cst done c(yTy - T3); et le thelore'me des moments donne cl(yTT - T) - (yZ -.Y) cds = o, d (sTj - -2 T:) 4-(wY — X) ds o. La premiere des equations (2) pent s''crire en developpant TY dy -4- d (TY)- T3 dz- d (TI) T (j2Z- Z Y) s = o. En vertu des ecquaions (1), les teirmes en y et z disparaissennt il reste alors y-: - J-, - y-_ c la ceuxieme des equations (2) monLrerait qne l'on a dcx d y d ce cui signifie que la tension esL tangenle a la courbe. On anrait d'ailleurs pu admettre cc resnilat en considerant le fil comme la limrite d'un polygone funiculaire. La valeur commune des trois rapports est manifestement ds; mais les tensions doivent etre dirigees de faton a tendre le cordon: la tension appelee T est donc dirigdee dans le selns des arcs croissants et le signe + convieni seul; on a done cdix, dcc dz c' s 7 ~ ' ds zls En portant dans les equations (i), ii vient d(TI-)s Xds=o, (3) d ( ) s o, d(Tl Cys CS et les equatons (2) sont des consequences de cellesc. ct les 6quations (2) sonlt des constcncuences de celles-ci.

Page  183 CIHAPITRE V1. - SYSTEIIES DIEFORM1ABLES. I83 I 13. Th6oremes g6neraux. - Les formules (i) el (a) donnent cominme consequence immediate ces deux theoremnes Si lc force F estperpenclicuclcaire c& n acxe, Ox par exemple, Ic projectiionl dc(' Ic teznsion sr' cet axe est constlante. En efet, X = o enlralne Ta. const. Si lat force 'F Ces constac72mmentl dac1cs titi i/iC/ime j)la Cit CC ul/? ctxe, Ox pctr exemlple, le momenlt cle lac ten.sion pcaI' r/aCp/po.rt c cet caxe est consltnt. En effel, yZ' - - o lntraine yTY-T T 3 -- const. Ces deux tlieorLmues sont des cas particulihers du suivant Si lIt force F tout le long de lct coat'be cappartlient &c Inz complexe lineaircie, le mtomenct cde lC tension pclar rapport cIa complexe est consstat. En effet, la force appartenant a un conmplexe lineaire, on a une clquation de la fortme pX X- q Y - r Z - (y- (yZ Y b ( - -xZ) c(- c(xY —yX)= o, p, /, q a,, b, c designant des constantes. Rlemplacant, dans ceLte dTY equation, les termes tels Cque X par - o. o et ermes e els d ri que yZ- zY par c T (- - z)..) '. on oltient une Cqcuation qui s'intLgre et donne pTy T q-, T 4- - T-4 + aT (yi - 3) q- b T (z. x- ) c T (x — Y) -= const., equation qui exprime que le moment relatif de la tension (n~ 24 bis) et du systeme de vecteurs dont les coordonnees son p, q, r, ct, b, c est constant (PE-NNACHIETTI, lIendiconti del Circolo,intth. cdi Palermlo, t. V ). '14. Integrales g6n6rales. - Le cas le plus gendral est cclui oLI la force F, rapportee a l'unite de longneur, de)pendtait de la position el de lorientation de l'el:ment cls dans l'espace, ainsi que de sa position sur le fil; alors X, Y, Z seraient des fonctions de xy, z, s, - ',s' - i Dans ces conditions, les trois equations d'equilibre (3) WiS c/S cis

Page  184 4.; (S. D EU XI EME PARTI. S5TATIQLE. e cltes pIits hautl joinltcs 5 s ). -!- ( ' ) / - I \ -- T constituent un svsteme de quatre equations dcifidrcntielles, cqii d(telrminnt lle, 9:, T en fonction cde s. Ces equations sonL dc premlier' ordcre pat' rapport ( T, maais cldu deuxielme par rapporlt (I.r, 9',:; il y aura d onc, dans les il'grlales gen'rales, six conslantes qui scront, par exemple, pour tne valeur initiale s =S, les valeurs arbitrairement clhois;ies des six quantites xcY., r, —, -1- n l onu ve rt a a i,i dn ui c fitcon g' ncac ' (/s ".,r - Kl ( S ^( - c^,..., C' ' ), z ==n (s, s l, C~,..., Co), T — / (.s C, C,,.., CG) 1-,. D&termination des constanles, conditions aux limiteso -- I1 faudra d ctermier Iles six constantes allbitraires par les conditions iax limites. Le problleme le plus simple est celui dc'n fil de lonCetir dolnnle, 1, attac:ie par ses deux extremites Mo a.,,,, ~,, s ii (c,,.,, Z). En plrnant pourt orig'ine des ares Ie point M0 ct crlirant que, pour s = o, s -I / les valeurs de.r y', se rcduisent aux coordonnnes des deaux points aI0 ct AM,, on obtient six ecquations determinant les six consanltes. 11 faudrt a discuter ce systeime cq1:i pourra admnettre une, deux, et nmilele une infinitc de solutions. On peut supposer encore e cle lc il attachle i ]'une de ses extr'mituis, o(i., )., l,), cest lermiine I 1'autr e extrlmitl par un anncau:inniment petit poue7ant 'lisser ans frottement sur une courbe invariable C ayant pouri equ ations ( Cx) j (x.:,-,:) - o, C C ) I (X?, ' - o. On aura d'abord trois equations en crivant que, pour s = o, x' v), z preennent les valeurs xo, )0, zo corresponcant au point M0; il faudra ecrire, en r e qe outrer cue I leo s -- aeIs valeUrs, y, \Z de x, 9y, z satisfont aux qcuations (C) dce la courbee et que la direc

Page  [unnumbered] "C'~~~~~~~; h- \,/ S k ~- -- 7' — IAY 625 - -.. O^ ^"^6P" _ 4k J

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Page  185 CIIAPITRE VI. -- SYSTIEMES DEFORMABLES. L 8 tion de la tension, cest-a-dire de la tangente au point IM. est normale a cette courbe, puisquce lanneau pent glisser sans frolterment; nous obtiendrons encore ainsi six equations pour dterlminer les constcantes. De me-ne, si urne evxtremitie A, d il i etaiLt lmobile sans frottemei t sur une surface donnee, il faudrait cxprimer que, pour s - / les valeurs x,, y' z 7 vdrifient l'edquation de la surface et quCe; tangente en AlM esl normalce a la surface. 146. Gas ou la force ne depend pas de I'ar - II larrive r{(quemmrent que X, ~, Z ne contiennent pas explicitement s; en remplacant alors parioui, dans (3, cis par / 2' cy T - cly'1:-', onl pourra prendre x pour variable independanl e, et I'on aura trois cqlu; alions pour determiner y e, n, Ten fonction de x; les inlterales nc comprennent alors que cinq constantes q ui seront par exemple, les c/ I, d zvaleurs lque prennenty,: T, - a,' pour la valeur iniliale x - x,. Soient?- (, ( C,...., (i). --- 2A x, Ci, (,....,, ), T- =/'((, C(l, C,..., C;) les initegrales g'oneralcs; si l'on veut exprimer qule le fil a urn lonogeurl donnee el est attaclie par ses delx cexllitres at \ j)oints (rol0 Yo, Zo) (xl, ': ) I1) on exprime que, pour x - X0. y et L* prennent les valeurs I e 0, et pour x- x les valeurs y',^\; en ecrivant enfin que la longueur du fil est egale 'a / on a les cinI equations necessaires pour determiner les constantes. '147. Remarque sur la tensiono - La solution lrouvcee ne sera acceptable que si T est positif en tons les points de la courbe, cat si T etait negatif pour un element, cet element serail soumis i une pression et non a une tension. On pourra interpreter les solulions dans lesquelles T est negatif en supposant le fil remplac( par un chapelet de spheres solides infiniment petites: chaque sphere subira alors des pressionls de la precedente et de la suivante et l'cquilibre subsistera (POITNsoT). 148. Equations intrinseques de 1'6quilibre d'un fil. - On appel I ainsi les conditions d'equilibre independantes des axes coordonneds

Page  186 186 PEUXIEIME PARTIE. - STATIQUE. TNous avons dejaa d6signe par a, i, T Ics cosinus direcleurs de la tangenle M t, dans le sens des arcs croissants; designons par ', p ' y les cosinus directeLrs de la normale principale MA z dirigee vers la concavite, et par Ile rayon de courbure. On connait les formules de Frenet ct SerreL c/s p s i ls? la premiere (quation d'cltilibare d (Tr.) + X o dT T' (1.- - -- X o: cis c on obtienL ainsi iles trois quattions clT T dcs,o (4) Y -3- - 37~-~'-, z d T T, k's Ces equations cxpriment que F esL la resultante de clux segmenlts qui sont portls respectivemeni sur la tangcnte et la Fig. 97. M T 0 1 normale principale, et dont les valeurs algcIb riclles estimees suicdT T vant t eit eAt sont - - et La force F est done dans le ds p plan osculateur ti la courbe, dirigee du c6te de la convexite et dans le sens des tensions decroissantes. Ses projections sur la normale

Page  187 CIIAPITRE VI. - SYSTEMES DEFORMABLES. I87 principale, Ia tangente et la binormale sont cldonnees par les formules T ciT ()) = ) F -, Ft= I,-= o, qui sont les eqcta/.tions in/t'iiseques d'( quilibi'e. Si la force est constamment normale an fil, la tension esl conslante, car on a alors Ft- o; la dcerivee de la tension est done nulle. 149. Formule donnant la tension quand il existe une fonction de forces. - Mfultiplions respectivement les equations d'edquilibre (4) par =c, 3,' et ajoutons, en remplaeant.a, 1 3, par d c dy dz. 7,s' -' c/-s il vien t c/s ds ds dT = — ( X d.c x Y dy - Z d ), formule qui n'est autre que la seconde des equations intrinscques (5). Cette derniere equation est tres importante; elle perniet de (leterminer direetement la tension lorsque X, Y, Z, ne dcependant que de x:, y,, dcerivent d'une fo/ction de forces U (x, y, z). On a alors, en desig'nant par h une constante, dT = -- U, T — (U + — h), formule qui donne la tension sous forme finie sans que lon connaisse la figure d'/equilibre. On portera cette valeur de la tension dans les Cequations dc'equilibre qui se r(duiront alors 'a deux. Lorsque U reprend Ia nme(ne valeur, la tension redevient la neIme; si done U est une fonction uniforme de x, y, z, la tension est la mneme en tons les points du fil qui sont sur une nmeme surface cde niveau. AIais si U n'est pas une fonction uniforme, si l'on a, par exemple, U - arc tang Y, les surfaces de niveau sont les plans y - x tang C, et lorsque le fit traverse un de ces plans, 5 plusieurs reprises, la tension peut prendre l'une des valeurs C - Ak-'. On pourrait repe'ter ici, au sujet de cette expression de T, tout ce qui a eti dit dans le Chapitre 7IV au sujet du travail total. '10. Forces paralleles. - Le cas le plus simple est celni oh les forces exterieures sont paralleles a une mneme direction; la

Page  188 I88 DEUXIEME PARTIE. - STATIQIE. figure dl iire ceqli est alors une cour:be plane, dont le plan esi plarallele a la direction de ces forces, el ]a projecLion de la tension sur une perpendiculaire c celte direction esl constante. Ces deuxl proprietes peuvent dtre considerees conime result ant des propr:iets( seiblables 4tablies pour les pol!vgones funniculaires; nous alloi.n les dclmontrer clirectemeni. Supposons lax O e Oj' parailee l Ia direction commune (ies forces; X. et Z seront conslammuen[ nulles; la [remiiere el la dei — niere des equations d'equilibre (3) donnenl, en intellerani? T ( )r = \\ds d.c/ eliminons T entre ces deux eqtlations, i'l resle A cz - T, d/ -- o, \ 3. -- C. C'est l' quation d'un plan parallele i O; la pr;cieiire partie (di notre proposition est done dedmontrdee. Prenons alors ce plan polo plan des j'. Nous aurons les deux qualtions d'ecquilibre puis dcesignant par ')' la Cldersve ' C on a la rela tion (6) dr/ ' — Y ' --- () qui es[t 1.('quation dilWerentielle de la tic ure d'dquiliibe. 1Dans le cas le pilus gendra de l'(quilibre des fils, la force peul A p * I * *, dx dy eOre Fonction des six quant.1itcs.' ',, -; ici, puiscq1e; courbe est plane, on a C o et (->- + -- = done' Y )pci.itre fonction dce x, y' s, 1. Dans le cas oli Y ne d(pend cque d'uic: seule des iquantites x:, Y, s: ' le probleme se ramnmene t des (quadratu res. SoiL, par exemple, Y ='(,xz); en remplacant ds par sa valetiu ' t '2 c)dx, on voit que les variables r. et x se secparent t et 1'ona en integrant, A L (y ' — / -[-.) - /()c /x = c;

Page  189 CIIAPITRE VI. - SYST EMES DIFOIRMABLES. I 8 () celle equat donne y1n foion on de x ct, par consdqcuent L, sC t'on)ve par une nouvelle quadrature. SoiL encore - f(/' ), on prend cls ' ---' — dyS, et dans i'cquation (6) les variables sont inmediatement separees. Dans ce cas, il existe line fonction de forces el 'on )peut calculer la tension dcirectcient, comme nous 1'avons v,. L['intglraLion (de I'equation (6) est eLnfi inmmeldiaLe si Y esl oinclion de s o0 de )' Iqtlioatlio ilntrisseqlute. -- Soient. I'anglec dcl la lang;eale a la tiliil' ''dquiliibre a-vec l'axe des x et le rayon (id courb)iue au point de contact. T Iin clcrivant qWiC la composantc nolrmal C dcl a force cst c5lale a -- Cen \alcur,nd)soli1ic. o(" S c s -. c<:, oirnrc a l proje ction T cos (c lae tl ension sui' (0,) L t uli C constaltc _\A, on a1, o0r 1 l'-uatlion diffirentielle dc la courlbe? cos ' 7 — ^ ', (jiq.Altion,ii|i csL idcntique a (6). Si, par xcnplc, on:) avail COS 27 -I'ciiioati)on )prcdcnte donneralt 1ipo0u' un' lne t le constante eL a fig urc de!'quilibre serait lin arc de cerclc. lil. Chainette. - -ppliquons ccs calculs la rtecherch lete de a figur dl'(iquilibre d'une chalnette lhoogene cl pcsantC. (Galille avait cIri qclJ eetle figure ld'dquilibre dtait une parabole: l'erreur de Galilee fut corrig'~ee par Ilu —ens. Soit p Ie poids de l'unit6 de longueur de la clainctte; sur un eledment c/. agit une force, p ds, verticale; la figure dl'quilibre cst done plane ct siieuoe dans le plan vertical passant par les deux points de suspension. Prc-.ions alors cc plan pour plan des xy et pour axe des y une verticale diri"Cic vcrs le hault, nous avons Y cls -- p ds o) I Y -- p;

Page  190 Iro DEUXIEAME PARTIE. - STA TIQUE. les dquations d'equilibre sont (0) T A, (Is (12) A cI'- p ds = o On peut toujours supposer A positif; T est, en effet, essentiellement positive: done, si 'on prend sur la courbe un sens de circulation tel quLc r (1x et s croissent simultanement, - sera positif; la conslante A sera, par suite, dgalement positive. Nous poLurrons la designer par pa, a etant unc quantit6 positive. Remplacons ds par sa valeur ds= - /I - y' d.r, I'equation devicnt ly' dr 7/ 7 +-:,~ - a; d'o;, en intdgrant, C-1 e (3) y'+ /l+y' e; on en conclut _' --,'o (.i0) y' /1 — v2y'= —e; en ajoutant ces deuLx quations, on a y', et, intdgrant de nouveau, on trouve pour 1'equation de la courbe Y -- 2'o =1,i- ao Transportons l'origine au point 01 (x0, 0) (Jig. 98); la nouvelle equation de la courbe sera Y '1 -e" -+- ej a) C'est une courbe symetrique par rapport a l'axe 1Oyj; l'axe Oi. x s'appelle la base de la chainette. En retranchant les qcuations (3) et (ji), il vient l2 = - e e la formule (i) donne alors la tension T=A =- A /T -- y! A y l py. c& ~ ~ ~~ - = _ Pyl.

Page  191 CHAPITRE V 1. -- SYSTEIMES DE FORMABLELS. 1 91 La tension en un point 1 est done 6gale an poids d'une portion du fil ayant pour longueur l'ordonnee IMQ de ce point au-dessus de la base. Si done en iM on place une poulie infininment petite, et si on laisse pendre la portion du fil primitivement situLe au-dessus du point M en le coupant au point Q, l'equilibre ne sera pas rompu. 15-2. Determination des constantes. - I~ Les ext/,mites solnt attachees. L'equation de la chainette contient trois constantes 0, yo, a, qu'on determine par les conditions aux limites. D'aprls les conventions faites prtcedeminent, la constante a doit etre positive. Prenons pour origine le point d'attache situe le plus bas et dirigeons l'axe des x de facon que Ic deuxi@me point d'attache soit dans l'angle des coordonnes positives. Soient a, [ les coordonnees de ce point et I la longueur du fil (voir fig. (8). IFig. 98. P y\ p. ) 7 / o. Exprimons que la courbe passe par les cleux points O(o, o) et P(., p) (I) ct ( _ o,,) (i) 2~= _ ''+ ) a ~ (2) ^ y'^ ( C^-.-_ + ) Pour avoir la troisieme dquation, nous ecrirons que le fil a une longueur 1. On a!,' —.o, - 3u cls = /1 y - clx - - ( +-e e " ) clr; en intdgrant entre les limites o et a, on a la longueur du fil / _-.- ' 0 -'To 'p\0 (3) I= C -- e( - e en retranchant (i) et (2), nous eliminerons yo et nous aurons / a _ a e — r _r ~ -( (4) =-{e " +e a -e e'.

Page  192 I (p)' DEUXIIIEME PAR TIE. - ST TiQUE. Les eSquations (3) ct (4) vont determiner a ct x0. On en deduit aisein en / f — -" (e(l= c 'e -e( -- i /-3- aC (e w -- e = " a ( ' e e; l)our:itllinncr.O, il nous suffit de nultiplier membre a membre, cc qui (on lln 2 Q 2 e Ia pi)arcnth ese esLe cart6 dc es"-e I"; on a done II semblerait qu'il v a deux signes I considllrer; rnais, d'al)prs le choi\ (lCs axes, ) cel a o sent jiositifs, par consctqucei at c~ — csl positlif.,C solc ( qIJc I si'nle -- (onylient scul. O'osons -- =: j 'inconnuIe 1 csS! )po)siti e CL '6equation eln t devilent 2 _ _ -- C l ous avons a cereher les sonlutions positives de cette 6qnation. En remnloli av-oiis cl clieFCIlICF les Solutions positives (le cctLc 6ctuation. 1E1n leltlI)lacant le second membre par son dlveloppelment en serie, on a //2- 'J 1). i 2/t 2 ' 'I i '. '-. I.. - +.... aJ 1. *2. 3 I. '.. '3.. 54. 5 (?,/f -i- I )! Le seconld emiembre croit constaminent dle a l'infini lorsque t croit de o a I'infini; par suite, pour qu'il y ait une racine positive, il faut ct il suffit qlue le premier membre soit plus grand que r, auquel cas l'dquation aura unie racine positive et une scule. La seule condition de possibilitc du pro-.blen e est done que 2/2) ( > 2 e'est-i-dire que la longueur du fil soit superieure a la distance des points d'attache. Lorsque cette condition est remplie, on determine la valeur de u, ct, enl remontant le cours des calculs, on voit que les trois constantes a, x0, yo ont un systeme unique de valeurs; il y a done, dans ce cas, une position dl'quilibre et une seule. Soit t' la racine positive de 1'dquation en u; cette equation admet egalement la racine negative - u'. Poinsot interprete ainsi cette solution: la

Page  193 CII TPITRE VI. - SYSTLIMES DE FORAIMABLES S. 193 chainette renvcrsee que dlonne t -- 'c est la figure cd'(quilibre d'une sorte de voTite formee par iune suite de billes sphdriques solides egales et parfaitement polics, de diamitre infiniment petit. 2~ Les extiei'mites g'lissenzt SU' cleux d7coites. - Supposons que la clhainctte hiomogene pesante ait une longueur donne I et que ses extreniitds A ct 3 soient assujetties c glisser sans frottement sur deux droites donn6es, PQ et PR, situees dans un plan vertical. 11 fatt determiner les Fig. 99. \ \ 31 A C' ' \ constalntes ro, to, a, de facon qcue la chainette coiue nzo/i'/Incle~ment /es detux d/'oiles et ait entre ces deux droites une longiueur donnee I - are A1B. Proposant la solution analytique comme exercice, nous donnerons une sotltion g6omnlstrique du problemne en nous appuyantl sur ce que deux cliainettes a ant leurs bases parallcles sont homlothetiques, et q uc, rdciroqucnmenlt, la figure homotlietiqu e tonte ht a c nette ayant sa base Iorizontalc est une autre clbainette placee de la nmeme mnaniire. Imaginons une chainette auxiliaire C' " base horizontale, et nenons-lui des normlales A'P' et 13'P' paralleles aux droites donndes QP et RP, cc qui est toujours possible d'une seule maniacrc, car, x variant de - c- a - c. Ie coefficient angulaire e la tangente a une chainette passe une fois et une seule fois par toute valeur donnl e: f'are A'3' aura une certaine ]ongueur 1'. En transportant l'angle A'P' ' avec l'arc A'B' sur l'angle P en A"PI3" on aura un arc ce echainette A"B13, de longueur 1', a base horizontale, normal aux deux droites donn6es. I'arc chlerch AB) est alors hoothetiquc e de "" par rapport au point P, car les tanggentes aux deux ares en A et Ak" sont paralleles ainsi qu'en 13 et 13"; le rapport c'homotlheie est =. 11 suffira done de faire correspondree ( chaque point Ml' deC PAT 1 I'arc A"B" un point lI tel qurie — 1 = - et le point IA decrira lare chertole est i e; oi' che. La soliution est donc unique; on voit de iplus qu'en disposant plusieurs chainettes de longucurs difcfrentes en cquilibre sur les deux droites dans les mnemes conditions que la tproposee, elles sont toutes hlomothdtiiques par rapport au point P. 133. Forces centrales - La figure d'cquilibre est une courbe ilane donat le plan passe par le point de concours des forces; et le mnoment de la tension par rapport a ce point est constant, I. 13

Page  194 I 9- 9.) E X I l E P ARTI. -- ST A T I QUE Ces propositions pourraieni etre considerdes comlne rdsu!tanl des p:ropositions analogues ctablies pour les polygoncs funicu — laires; nous allons les dlmolntrer directemenLt Nous avons vu (no~ i43) qcle, s/ le momente de tl f/oice F parlc lappor-t (a lli a(xe est co;nstamment?.t n, e1 e moment cde lat tel.sion pal' rcapportL a cet caxe est ceostatlt. Puisque les forces exierietures sont concourantes, nous po!lvons prendr le e poit dle conconrs pour origine le theoreme ci — dlessus s'applique aux trois axes et donne T( ( - _ _ = A, 1( dK cy ') T z ( — --— B, d ( s )s c ( dy d'x\ _ I ds ds I multiplions ces e uations respectivemen t par x, 1y z, et ajouLtoLn les membre 'i meinbre, il vient!\x 1- By 1- Cz - o. La courh)e d'ecqilibre est done p)lane et son plan passe par l'origine. Si i'on prend alors ce plan pour plan des xy-, et si lon dcsig-,e par F la force par unile de longueur, considleree comnie positive si elle est repulsive, et comnme negatlive si elle est attractLive, ls projections de cette force seront X = F -, Y ==F. 7' / Les equations d'Cecilibre se transforment con-ime il suit (fig'. Ioo). L'equation des moments par rapport a 0z donne, avon s-nous vii T (ci C- x =C, et Pon a d'autre part dT -- X dx - Y dly = o; en introduisanL les coordonnees polaires r7 et 0, ces deux edua

Page  195 CI5APITRE VI. - SYSTEMES t) IEFOlA0UI TBLES. t95 lions deviennenL T 2 C C, cT — F d i —= o. ds Le cas le plus fIrequent dans la praticue csl celui otl F est Line fonctio-n (1) de 7'. -1 y a alors line iniLgrtale premise facile ' Fig. 0oo. n/, tIrouver' en ef'eLt, il existe une fonction des forces, et T s'oblient par Iune q LIadrature T z ---? i (rc/i-h-t= t (r); 1' yanLt la Lension: on ltroove aisemcnL 1'equation cliferentielle cde la courbe dcecquilibre, en remplacanti T par sa valeur ldans la preiniere des equalions, qui devient alors TI(l')i"d -= C cls, e(nliation qui s'inuiegre par des qlctidraliures en effel, c/s2 dcr/ 1- c/O'02 n subs[tiualnt dans l'dquation predecten e elecvee au carr e, eL resolrant par rapport il c/0, on a pour l'equation de la courbe O _- Oo =- C Oi 2, 7I'- 1v (l()]2 -- CSi I'on suppose, par cxemple, F -/ (constantc), on a T =_r(r) = —/ k- h' I'(q[lation dce la courbe depend d'une inrtdgrale eliptique; mais, si

Page  196 196 DEUXIEME PAIRTIE. - STATIQUE. l'on astreinl T ai avoir la valeur T - — A' (c < o), la courbe clherchee est uine hyperbole equilatere de centre 0. Equation intrinseque. - Soit V langle de la tangente au fil avec le rayon vecteur OM1 prolong6: la distance de la tangente au pole O est ' sin V (fig. Ioo), done, en ecrivant que le momnent de la tension est conslant, on a Trsin V = C. Puis, ecrivant que la projection de la force F sur la normale est —, on a T F sinV = — L'elimination de T entre ces deux relations fournit 1'equation F p r sin llV - C, qui est 1'equation dif[frentielle de la courbe. 15I. Exemple d'un cas dans lequel il existe une infinite de positions d'6quilibre. - U/ fil est cattctch eCn cdeux points cde c'ace Ox el chc-que elezmenzt u Jil est repousse pat I'ctxe p0roportiozznellemenet az se lot/gueur et a sa distance & I/'axe. Ce probleame se prCsente quand on chercle la figure d'cquilibre relatif d'un fil non pesant tournant avec une vitesse angulaire constante autour d'un axe fixe Ox. Toutes les forces agissant sur le fil rcncontrant l'axe Ox, le moment de la tension par rapport ci cet axe est constant tout le long du fil: mais comme le fil est attaclh en deux points de l'axc, le moment de la tension ax csxtramit/s es 1t lnu; ce momen st est done constammnt nul et i'on a T/ dI cdy\ Y s Z/ d' o eL e/y c/s in etant une constante. La figure d'equilibr-e est done dans un plan passanlt par l'axe Ox. Prenons ce plan pour plan des ry: la force agissant sur i'(Ilment ds est perpendiculaire a Ox, repulsive ct proportionnelle ai 'ord1onnec y Y cs -- y ' ds. cLes 'cluations d'equilibre sont done c T ds -) o T K. CIS ds = o

Page  197 CII-tPITRE VI. - SYSTIMIES DEFORMABLES. [97 dac la premiere donne T -- A, oiu 'on peut toujours supposer A positif en d/S comptant les arcs s cans un sens tel que x croisse avec s; en portant cette valeur de T dans la deuxicme equation et posant dy CI, /p/ 2 0 / I__ _ _ _y_ z-l =: r -(/-, -= ds -- d. / i -t-yif ( =y --- on a l'equation y Cly' y. cdy et en intetgran ys2 b 2 2 a a' 62 designant une constante necessairement positive puisque le premier membre est positif. Isolant le radical, elevant au carrie t reiettant pou' r' sa valeur -Y on a dx /. ~ _ 2_ - __ 2' -2 ( 2 - "'1 "1 - -- o Comme le fil est attache i l'axe.x, l'equation doit donner une valeum reelle pour y' quand y - o, done b2 > a2. En d6signant par o (y) le polynioue bicarr6 place sous le radical, on a (y ) -- (., - c- y. ) (bO - ct y); y partant de z6ro ne peut varier qu'entre - /6b2-( et 4 V b' — a(2. Construisons la courbe. Supposons quo le fil soit attache en 0 (Jig'. tot) Fig. IoI. N A ";1? 1,-. 7/i n \_jP2 B.0i T Bu a, (0 '~ 2 k2 A et qu'il soit situe dans l'angle y Ox: alors x croit d'abord avec y, d/ st positif, et lon a (C) x -= i?(,; ^o 01?(O

Page  198 ~198 DDEUXIIEM E PARTIE. - STATIQUE. y croissant, x croit, jusqu''l cc quc y - y — (-a2, x atteint alors la valelur tJo ~?(y) on a ainsi la lbranche OX; la tangente en Ai est oiorizontale. A partir (le cette valeur,l y d6croit ct pour quc x continue X croitle, il faut )rencle le signe -- devant \/ (y): on a ainsi une nouvelle branche AiA1 10 symctnrique de la preInie re 0MAi - par r'apport t l'ordonnee:131 car a des variiations als lde y correspondent des variations dgales de x. Pour y = o on olbticnt Ie point 01 d'abscissC 2' puis y ldevenant negatif 1}eut decroltre jusqu'i la valeur - /'b- z. l: abscisse croit toujours jusqu'ta la aaluLr 3$, ce qui donne le point A., oi ]a tangenie est horizontale. Ensuite iy augmente de nouveau (de - 2- ae2 a + b2 — a2; il faul )rencire, t l)artir de A:, Ie signe -- devant le radical, et Pon obticn l'are A202A3 coupanlt iaxe au point 0 d'abscisse 4/, etc. Les boucles successives ainsi obtenues sont toutes egales a la prcmierc. La courbe cst don(e analogu e c situsoile. Les cquations s'integrent aisemnent par les fonctions elliptiques. Faisonsi (cans l'quation (C) de la courbe (1) y -- [ V' —22 6/, _"_ _ <la2 -_ 1 ~ ~_ t, b2_1 -|- /L -t = 6 2t; elle prend la formne suivante (l'oi t -- sn y b --- x'j ~t = n —, y = b s - a' sn bt 2s La cifflerentielle ds de lare de courbe est dsc' == A / r \ ( — b2 y) cly en faisant dans cette formule la substitution (i) ci-dessus, on trouve pour labscisse i du point A1 et la longueur )X de la decmi-boucle OA, les delux expressions cit _ak' _ __ c ' a k' ()L j a ~( — k/ 2k 1t2)dt \a lek' o 2 i Jo s2 —t-)te ~ Ia-a t-)7 car Ie point Ail s'obtient en faisant t= I.

Page  199 CHiAPITRE Vi. - SYSTE3IES DDEFOKA.\BLES. 199 Quand i ecl sonLt cdonZcs, ) 6tant superieur a ~, car lare OAl est superiour a sa projection OBI, les constantes a et /c ont un scul systeme de valeurs, sous la condition '2 < i. En effet, n calculant )t - et X -T, on Lrou ve tinOlY e Jo i' * (n -, -+ /j / —I - (1-2t dt' P)our k/2-o. I rapport du second nmelubre est nul; k augmentant, Ie iluntrateur augmente evidemmenn- et ct le denominatcur diminue: one le rapport augmente et pour k2 = I le rapport es i, Ce rapport passe done une fois et unc scule fois par la valeur donnte d -~ La constante k2 a lon e une valeur et une seule; l'expression (2) de ~ donne alors pour a unc s ( 11 C val cur L- K kY Dterminiation cldes constantes. -- Le fil ayant une longueur donnee i et etant attacle au point 0 et au point O' de l'axe Ox d'abscisse a, il y a une infinite de cas possibles. " Le fil n'a qu'une onde entre 0 et O' (Jig. o02). Alors est la nmoitin Iig. 0o2. 0 0'\. le a, )C la mioitid de 1. Les quantits a et X etant connues, la constante t/ a une seule valeur donnce par l'equation (3); puis a 2.' 2:. Le fil a deux ondes entre 0 et O'. Alors -=;, 7 -; /c2 a la onleme valeur clue dans le cas precedent, car, — est le nime -l -a t/o. ensuite ta - I s etc.... 4J En genaral, si le fil a in ondes entre O et 0'; — a - is t" a Louas la n jours la lmeme valeur, mlais a -... ' 11 y a done une infinite de positions d'tquilibre qui sont toutes homothe

Page  200 *, 00 DELUXIEMIE PAIRTIE. - STATIQUE. tiques de la premiere par rapport. O, les rapports d'homothieic etant; - 3 /5 155. tquilibre d'un fil sur une surface - Soil f(x,y, z) -- o I'equation de la surface, rapportee i Irois axes rectangulaires. Le fil etant soumis a des forces exterieures continues, nous designerons par F (X, Y, Z) la force rapportee t l'unitd de longueur au point considere. Le fil pouvant glisser sans frottel ent, la reaction de la surface est normale; soil N celte reaction rapportee i l'unitl de longueur. Ses projections son L Of,Of 0/ (X O 7' le fil peut etre considere coinme en equilibre sous l'action des forces Fdcs et N.cs, qui ont une resultante (bcis. En applicqani les formules geneirales de l'equilibre des fils, on a les trois equactions cl T -i X (ds c- A - s = o, ( ds Ox) l(T$)- c I T, ls cs - ~ -o, d (T d- J. ds+)i-ilS — o quCi, jointes a W — -1 (~T f X, z' 0(~,y, )=o, d de s x, ds s en fin de s, t con determinent x - y,, T, X en fonction de s. A\ etant connui, on connalt la re'action normale qui est dirigie, par rapport a la sur — facef' — o, du cotei o'l f devient positif ou negatif, selon que ), est positif ou negatif. Comme pour le cas d'un fil ]ibre, si X, Y, Z ne contiennent pas explicitement s, on peut reduire a quatre Ic nombre des inconnues en remplacant partout ds par _clx2 - y-2 cIz, et lon calcule, par exemple, z, y, T et ) en fonction de x.

Page  201 CIlAPITRE VI. - SYSTEMES DEFORIMABLES. 201 Pour ddeerlminer la tension, rappelons qute nous avons trouve clans le cas g'(eneral ( 2) d T - (cx- Y cly - Z c ). Ici cette formule devient dToz- [(X!-[, O cl- -) - ( j )j y) cy " -+ (z ') ) c z O \ c~x I \ ^y I \ J le fil etant entierement silue sur la surface, Ie coefficient de A est nul: il reste alors la mme formule (2) que dans le cas d'un til libre; s'il y a une fonction des forces U (x,:, z), on a cdT — U, T - (U - h). Par exemple, si l'on place un fil liomogene pesant sur une surface, en prenant un axe Oz vertical dirige v-ers le haut, la force F est parallele it cet axe, dirig6e en sens contraire et egale en v-aleur absolue au poids p de l'unite de longueur du fil: on a alors dT p dzc, T -p (z -h). Considerons le plan fixe z- _ — A la formule ci-dessus montre que la tension en un point AM est egale au poids d'une portion du fil egale i la disFig. io3. AA lance AIQ du point Al a ce plan. Si done on supprime la partic MB du fil ct qu'on cn laisse pendre une portion egale a MQ, en placant une petite oulie en A1L, l'6quilibre ne sera pas rompu. 156. Exemples. I~ Lignzes geoodlsiques. - Le cas le plus simple est celui d'un fil tendu sur une surface sans 6tre sollicit6 par des forces autres que la reaction normale N' l'equation preceldente se reduit alors ai dT = o, et la tension du fil est constante. Le fil va se disposer suivant une ligne geodesique de la surface; le plan osculateur en un point devant, en effet, contenir la force N, sera normal a la surface, ce qui caracterise les lignes geodesiques. Appliquons ceci a la sphere: les reactions passant par le centre, le fil

Page  202 9 02 DEUXIISI-E PAIRTIE. - STA.TIQUE. est solliciLt par des forces centrales: sa figure d'dquilibre sera done dans; un plan passant par le centre; ce scra par suite un arc de grand ccrcle. On sait que la ligne la plus courte joignant deux points sur lle surface est l'une des lignes geodsiqeues passant par ces deux points; mais il est incxact d le die que chacune ie ces lignes est minima par rapport aux lignes infinim-enL voisines. Par exemple, larc de grand cercle plus grand que I80~, qui joint deux points sur unie sphelre, est une ligne geoddsique; et cependant il est possible de trouver entrie les deux points un cheicmin infinziunze voisitz eit plus court. S ur un cylindre fermil au contraire, les lignes geodclsiques clui sont tdes h:lices sonl toutes minima. I y a une fininite de ces lignes joignant deux points du c3lindre: on les obtient en tendant un fill sur la surface entre les deux points, aprls lavoir enroulil une fois, deux fois,..., t fois autour du cylindlre. a~ Chc/aiiette sp/he/iqte. - La figure d'Iquilibre d'un fil homogeone pesant sur' la sphlire a ete etudie par Boblillier (Gergonne, 1829), par ininng ( Cri ele, t. XII), puis ( bid., t. XXXIII) par Gudcernmann qui donna lcs expressions des integrales a laide des fonctions elliptiqucs; la solution fut complctee par Clebsci (Cirelle, t. LVII, ~ 6) par B3iermann (Disseritztioni inuzcgu c/ciule, Berlin, I865) et par Schlegel (PI'og'racI./z r/s leoS gliceie T /i/erihenzs Gymnczsiullm Bierlin, l 884). En prenant le centre de la sphlre pour origine, pour axe des i- la verticale vers le haut ct appelant p le poids dc l'unitd de longueur du fil, on a d'abord pour la tension T la valeur p(z - h) (n" 1i5). Conmme la resultante des forces (poids et reaction normale) qui agissent sur dls esl constammene dcans un mniee plan avec 0z, le moment de la tension, par rapport, cet axe, est constant. On a done, en prenanit des coordonntes polaires et 0 dlans le plan x Oy, T r/ dO - C cls, C etant une constante arbitraire. Remplacons, dans cette 6quation, T par sa valeur et C par A)p, nous avons (2 - /.)cldO =- \ ds, qui est fl'quation diferentiielle de la figure d'equilibre. Pour intlgrer cel;t equation, elevons les deux menmbres au carrl et remarquons que cds = c17r -- 1 2 dIO -- CJ72 = __ - i 2. do, a cause de la relation 7** '= \/a -- Z, oil a dtlsigne le rayon de la sphere. Xous avons, en resolvant par rapport ______ A a CIzO (Ct2 - -) (At _- z)2 (t2 _ Z2) -2 A

Page  203 CHiAPiTRE Ni. - SYSTiMIOOS DE FOROIABLES. 201 20ro cc qui donne 0 en z par une quadraturte. La variabl e z pe:Lt prelndi( que des valeurs ren(danL positif le polynome o (z -) =( ( -- - ) ). A': done, en appelant z0 le z ('un point du fil, par cxemple d'un des points c'altache, on a (z) > o d'ailleurs;(a) et ( — c) sont < o; le polynomc ) (.a) a done une raci ene o ent re z ect ll, unT aurie entie zo ct - a: la variable z ne pourra varielr qu.i'entre les limites a ct 3. La cou,.be sur la sphlt'e. sera comprise entr'e dcuxp paralllels x ct a qu'elic touclecra suceessivemient. On peut exprimcr les coordonnces tr, y, 4 d'un point de Ia courbe en fonctions uniformes dl paLt'amnetle Cldefini )par l'Cquation C( c/l cia = -- V(/ -z)"-a) ( a 2 -:)- A(Voycz Butlle/ti/ ce lac Societed mazctinaltiqzce, 18q5.) '157, Equations intrinseques de 116quilibre dluan fLl sur urone surfaceo --- oient A_' la coulrbe (td'iquilibre, At la talngenle en A dans le sens des Fig. to./ 0\ // C/ arcs positifs, \A7 n la normale a la surface en A compiteC posiltlenClt dans le sens qui va du point au centre de courbure 0 de la seciioo nor'male menee par At, et R le rayon de courbure AO de cette section. Si C est Ie centre de courbure du fil au Inme point A et AC = o le irayon de courbure du fil, on a, d'apres Ie thloremee de Meusnier, p -- IB cos O, 0 (lsignani l'angle CAO. Appelons enfin Ap la projection de la direction AC sur le plan tangent ' la surface eon A. L'1eement cls du fil est sollicite para la force dotnnee F ds et par la reaction normale N dcs compt le positivemnent dans le sens AO. La resultante (N) - (F) dcs deux forces N et F est, d'apres les equations intrinseques de 1'6quilibre d'un fil libre, dgale 3 la lresuldT T tante des forces - et - - dirigdes respectivmen-it suivant At et AC. Done la somme des lprojections de F et N sur uni axe 3eale la somme dT T des projections de -- et - -- sur le mimme axe. Projetons successivet/s?

Page  204 o -,O D E UXI EMI E PA RT I E. - S T ATIQU E. inent, sur At, Ap, Anz, en appelant F1, F1/, F/, les pvojections de F1 sur ces trois axes. Nous avons clT T. T -CS - 5 sin 0 -- F,, - cos0 = F, -;- iNT. I,a derniere de ces equaLions lonne Ia reacion N T N ~-....F,1 Los deux premi6res sont les equations intrinscques de 1'c(quilibre lu fil o surl la surface: dans ces cs quationl... est le r'tyono dl e co Colbue g'eoo( — sil.0 sigque ctu ill. Par exeml)le, pour la chainette sphleriquc (n~ 156), F, dcsig-ne la projcCtion du poids p sur le ravon tde la sphere: F,, est (lone egoal a p; conmme R est g-al au rayon ca de la sphere et T ai p ( — h), la reaction normale pour la chainette sph6tlique est -- (a Z- h). Si 1'on suppose le fil place entre dleux surfaces sphrliques infininimcnt vosines, i i pressera sur la sphere interieure aux points ol cette valeur de N est positive ct sur la splhere exteiecure aux points oi elle est noegative les points oil N - o dlonnent en projection lorizontale des points d'iniflexion. Revenons au cas genelal: Supposons le fil eln ecquilibre et (deformons la surfac e fe fcon que les lon ueurs dles ligncs tracees sur elle ne cc/higenlt pas. La courbure gocdlsiquc de ces ligncs reste alors inzar7icable. EIn m6nae temps, maintenons a la tension du fil les memeos valeurs et modifions F de facon ique F1 et F, ne changent pas: les cleux equations intrlinsetques d'6quilibre continueeont it tre satisfaites et Ie Jil 'estfel en equili/bre. 1a r6action normale N sera seule changCc. D'apres cela, on peut ramrenct la recherlche de la figure c'equilibrl d'un fil sur une sturface clveloppable au cas oil la surface est anl~ plant. Par exemple, la figure d'cquilibre dl'une chainette homogene pesante sur un cylindre vertical est une courbe qui par le developpemcnt (liu cylindre sur un plan vertical clonne unt c ainette. La figure d'etquilibre d'une chainette honiogne t)esalitc sur uen c6ne de revolution d'axe vcrtical est une courbe qui, par le dtiveloplpement du cone, se transforlme en la figur e d'dquilibre d'un fil clontl claqcue delemet est ati(,': ou repoulsse' par un point five (sormmet du cone) avec une intensite constante, coutbe dent nous avons obtenu i'cquation diff6rentielle (no 15)3).

Page  205 ClI APITRE II V. -- SYST IEME S I) lFOiR MAB LES. 2()5 I I. - I-EUD- UNE li ui'TGRALE DEFiEI 1i8. Probime do Goomtcrie. - a recherclle de la figure d'equilil)be d'cl fili ans e cas ote C l exisle ne fonction des forces penlt etre ratlachee d'une facon Mneressante a la recherche dlt mltLXtiCullx otl C1 //tit/:imitlil d'(-/le cer ctile ilt(?y'tle cl(tnie. qui s'offire aussi dans la dct erminalion des courbes brachistochrones d dans la dm 1ons3ra on du principe de la moindre action ct dans le problenme general de la refraction. Soil (x, y, ) liue foncLion continue des coordonnees cartesiennes d'uin point defitie dans iune region de l'espace dans laquelle seront siLuees toales les courbes donL nous nous occuperons. Nous reso-drons c'abord le probleme de GCometrie suivant. P)cu'mi totes es les courbes jo/is a,/it cletix poinlts fixes A et 13, (fiI.o 1o5), t/'01o01 celles qjtl i'ledleJ/ li/zit(:'aLle (B) I_ - x xC.,. z) ds (A ) i g. I o). A B C 11xliUtt/ of i/?i/it/tI. ans ceLLc inlegale dis designe t1ll ]),HillsJo, cs siojne~ n ia (ldment de lonogulc r de la courbe, el Iintlerale est supposde teenlLdue ia Lolle la courbe dc A en B). On coOioit facilemein que, pour cerlaines COtIrb)e C, lexpression It soi ll n imaitxin/i/itl ou in mini/./Zmuin; par exemple, si la fonctioni p(xy, z) est positie(' pot1r toutes les valeurs de x y: lioletgrale ' I est positive et n, peut pas devcnir nulle; il a done dvidentmenti u n minimnum. En, particuiter, si s(xD, z) I i 'te'otale I a pour valeur la lonLgueur de la contrbe joignant lies points A et B; la courbe C qtli realise le miinimlrul es alors la cdroite AB. Soitl d'une maaierc gdnSralies C la courbe quii realise le mlaiMllUllM o0U e illnilnimm doe 1inleg:ale: exprimonls les coordonnc'es

Page  206 ).o6 D E UXt3 I 1Al ' t IE. - T TATIQUE. x.:p c itn, po int _,, te celce coarbe en fonction d'un paraml -elre ( quli \val e'ia de, 5 b luntd e pomitLt Aiu decrira l'arc AMB; (esignons pa:' /, eies dveieeis de.x,, par vappot l c )0pos ons =- ' s no/ us avon s cs s I{ (/q el l inltgrale I Ie lonl de (C a pour valeur I --?(,,,)Rdq IPour ex(pr inmer quj eI esl tn minitmumii il f aull exprimnler qune la v\aleur 1t de lia neme in tgrale, prise le long' dc ne courb e quelconqulte (, i1n/l/zlil/,tet vostn e de C elt aan de A en 13, est suetel c a i. Soient, Ti, r ois fonctions arbitraires de q, s'annulant aux limites c et el avanti ])ourd l'ivees fS /,; posons (ii) X1= X -,, i=y-^,.Y = i -- S dcsillnantl une counsante iniinillrent plelite o Lorsque q var'i de ea 't b, le poin iL, de coordonnees x.,y,, c dicrit Llne courbe C, infiniment voisine de C et allant det A en 13. On a le long- de C, I i ( xi, i^1 }e) ''' -) y71 i-+'2- is dc. Pour evaluer la l diffcrence 11i- 1, c'est-ai-dire la variation 1l q( ue su)it l' inlte-rale t1antd on pcass e e la coulrbe C i la coturbe (C, die,.eloppols U8 snivanL les )uissancel croissantes de, en nons alreta L aux tlermes du second ordre en 0. On a C, (,yi, i) -= (X,-, + a - a z)? _ _ CS ir ^ _ (f~'? -:- / + [: ), o 1 t'on ecriL a au lieu (le c( (x, ^). Ilntiplions menmlbre a MnembIre, nous avons 0./ o 6) R. C)oi ( o RD (X R '' -; -/ C, \ - 2 -1 a (x O ) Oi xr 9 ()V, (3 ciR c>J(0' t3"

Page  207 C(II'A PTRIE VrI. - SYSTIES I)EF )EORMABLEA S. 207 Mfiltiplions les deulx membres par cdq c ilntcgroIs ci a a, n re m arqug ant que,c) x' clx I)R dc' C) d.C B dq 7 ---: Ox' 7 s z clq - - ds Jx - ds " ds: i s nouS avons ) 1'-l I c ^ 0 c ' ilt a __ ' _' ( Faisons disparaircs /', r/, '' par l'inl'gra lion par paries: nous a \C O 11.S f dc. dx K b / drIT - q = I - | ( s )el deux formules analouies pour ]es terines en -r' et /. Done en fi n ( ) <i - 1 | = _ E y7 r _!- j + J 4- 2 K- as ds c/s 1 (/ e0n posant J [7i dsd( JJCS - - K d -— I d C Jj| 'I cl; -cl ( s / | La partie inlegree est nulle, car r, 7i ~ sont nils a1u- limiLes ct et b. Pour que l'intlerale I le long dle a courbe C soiL uin:naxin mum ou un miinimum, il faut qu e le signe de tI - 1 reste constant pour toutes les valeurs infininen petites posilives ou negatives de a: il faut done qcue le coefficienlt J dce soitL izl, car aulrement, pour des valeurs suffisamment petites de, la diff(rlence I, - I aurait le signe de sJ. Pour qu'il v air maximum ou miimRmn iI faut done ue l'integrale appelee J soit nulle et cela quelles que soient les fonclions T,, q jui ont ete choisies arbitrairement. Or celte condition exige qclue dans l'integrale J, les coefficients de i,', T soient iclentiqg/emlent nuls; car, 'ils ne l'etaient pas, en ehoisissant pour',, r des fonctions ayant pour chaqte valeur de q les mesmes signes que leLrs coefficients respectifs, on rendrait posittifs s les eleLments de l'intigrali t 3 qui serail bvicdemment

Page  208 208 DEUXIEIME PAR TIE. -- STATIQUE. differente de zero. La coLurbe cherchee C qui realise Ie maxirnum ou le minimun dloit done verifier les equations clx \ D d K l-> -- 's. - o, d 0 ' -s d s 0, cI f/j) - d ds - o, qui se reduisent a cleux, cornme on le vriiie imminediateent en dx les ajoutant apres les avoir multiplides. respectivement par —?-Cy -- - s et en ayant e'ard aux relations bien connues CdIX' 2 C' dw J)z '\9 C1 zv (L; c/s cds dsds) -IX d5, 1. - l cl d - -O; cis d /d cids dx dx (1 ( d dC dJ on oltient ainsi l'identite evidente do - - ( - dx -- d li -' - )- d o. I cox Dy " oz Les equations (3), dans lesquelles on renplace ds ptar /cdx') -- d),iy2 + c1- donnent deux qluations differentielles du second ordre dont les integrales deinisselnt y et z en fonction de x et de quatre constantes arbitraires y _- + (X C1,, c:, C3, c!,), z = X ( Ci, c, c:,, ',,.). On determinie ies constantes en ecrivant que la courbc passe par les deux points donnes A eL B, ce qui donne quatre dqcuations entre les qu:atre constantes. Ona ainsi les courbes cherchees joionant les deux points. Elles ne donnent pas toutes un maximtunn ou un min1imunl pour l'intDerale, mais c'est parmi les courbes ainsi Lrouvees que sont celles qui rl'aliscnt le mniaximunm on le minimum. Conmme les equations general.es des courbes C renferment quatre constantes, une de ces courbes est determiniee par quatre conditions, par exemple, sauf des cas exceptionnels, par les conditions de passer par un point donne et d'admettre en ce point une tangente donnee. On verifie sans peine cue, si s est constant, 1I

Page  209 CIIAPITRE VI. - SYSTEMES DEFORMABLES. 209 les courbes C obtenues par l'integration des equations (3) sont des droites y = d, 4- C21, _- = C3X -- C,, comme nous 1'avons vu a proiori. On voit d'apres les equations(3) que les courbes cherchees C sont les figures d'equiiibre d'un fil sollicite par une force F derivant de Ict fonction des forces - cp(x, y,z), la tension cdi fil etanlt assijettie Cct avoi7 lat valeur?(x,y, Z). Reciproquement, soit un fil en equilibre, les equations d'equilibre etant d (T x) + - ds = o,..., avec T - (U i- h); si, sur le fil, on prend deux points fixes A et B, la figure d'dquilibre rend, en gednral, maximum ou minimum l'integrale Ii?ds, oL - - (U - i); dans tous les cas, elle annule la variation de cette integrale. (Mi1BIUS, Statique, ae Partie, Chap. VII). 159. Formule de Tait et Thomson. - Le calcul que nous venons tde faire, etant interprlet d'une facon un peu difTfrente, conduit a un important th6orcme dil ah MMI. Tait et Thompsson. Soit C un ar d'une des courbes verifiant les equations (3) ayant pour cxtr6mites les points A et B, ct Ci une autre courbe infiniment voisine de la premiere ayant pour extreFig. io6. /T2 A C M~f B miitLs les points Al, B1 infiniment voisins de A et B (fig. 1o6). On pourra, conmme plus haut, passer de la courbe C i C1 cn posant 'X I +,, Jl -- 1 y + ',. --, avec cetle diff6rence quc ~i, -, s, e s'azznule/t )plus aux limites a et b, mais prennent pour q = ca des xaleiurs (~t)i, (-'I)I, ()oi gales aux projections du segment AAi sur les axes, et pour q b des valeurs (3-), (i-')2, (~S)> dgalcs aux projections du segment BB1. La difference I —I 1, n~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

Page  210 't,0 DEUXIIEME PARTIE. - STATIQUE. des valeurs de ]'intdgralej9 cds Ie long des deux courbes Ci et C est encore donnee par la formule (2) dans laquelle la partie integree formant le premier terme n'est plus nulle, tandis que l'intdgrale J qui figure dans le second terme est nulle, la courbe C verifiant par hypothese les equations (3), de sorte que tous les le lments de J sont nuls. On a done, en ndgligeant les infiniment petits du second ordre, K dans la formule (2), h - I == 0 I == ~ C 4- 4 C = ( ds Cs ds j Les valeurs de s~, ^r, Es aux deux limites a et b viennent d'(tre indiquees; appelons c(A) et ((B) les valeurs de la fonction c aux deux dx dy dz points A et B; remarquons enfin que - -ss 6tant les cosinus direetcurs ac, 3, y de la tangente MT a la courbe C menee dans le sens des arcs croissants, c'est-a-dire de A vers B, les valeurs de ces quantit6s aux deux limites sont les cosinus cirecteurs al, 3, i et 22, 2, ' 2 des deux tangentes AT1 et BT2 aux deux extremites. On a done, pour oI, l'expression 3 1= [('E)22+- (8')2p2+-(r)sy2]s?(B) -( V ) oi + (S') i Et + (Sc)tyti](A) dont l'interpretation geomntrique est simple. La quantitc (~ Z) 2 9 ( -_)2 2 -' ( )2 ) 22 repr6sente la projection du segment BB1 sur la tangente BT2, clle est done dgale ai BB3 cos T2BB1; la deuximne des quantites qui figure dans 1I est de meme AAi cos Ti AAt; done enfin 81 =BBj (B) cos TBB1 —AAi p(A) cos TiAAt, ou, sous une forme plus symdtriquc, (4) 3I - =-AAi?(A) cosBAAl- BBl D?(B) cosABB1, car l'angle ABBi est supplementaire de T2BBl et BAAi egal a T1AA1. Cette formule est entierement analogue i la formule elementaire bien connue qui donne la variation de longueur d'un segment de droite et que 'on obtiendrait en supposant? =- (voyez lc Traitd de Calcul diffrelenztiel de M. Bertrand, p. 22). Les consequences de la formule (4) sont identiques a celles que 'on tire de la formule analogue relative aux droites, pour la thdorie des devcloppees et celles des courbes et surfaces paralleles. Nous indiquerons les

Page  211 CLIAPITRE VI. - SYSTEIES DEFORMIABLES.21 21 i suivanltes, qui donnent des rflsultats int 'ressants dans la th dorie des CO Urbes brachistoci7irones, le pr-incp e cde ict Minoidr cctions et le problernie de Ua r~frtaCtion. Nous supposons dans ce qui suit que cp ne s'annule pas dans la portion de lespace conside'ree. Applications. - EtLant donn~es denx surfaces S et X, quelle Cour7be fautt-il tr-acer de i'une des surfaces a P'au tre pour que 1'int6grale I prise le long cle cette courbe SOit m1inimfum~ Out maximum. Soient A et B (fig.- 1o7) les deux points incofllius oht Ia courbe chercelifl rencontre les deux surfaces. Cette courbe sera en particulier, parmi toutes celles qui Joignent les deux points A et B, celle qui rend I maximum on minimum c'est done une courbe C d~finie par les 6qcuations (3). Pour determiner les points A et B, reimarqnons cque, quand on passe de la courbe ACB, qni rend I maximum ou mininmrn entre les deux surfaces, h une courbe quetconque infiniment voisine, et en particulier A une antre courbe C infiniment voisine,(I1 doit dtre nul. Calculons cette variation quand on passe de Ia courbe ACB -4 une autre courbe C infiniment voisine AEB1, partant du. mfme point A, pour aboutir it un autre point BI de E. On a alors, d'aprits la formule ci-dessus, 31 -BBQ(-B) cos ABB1. Comme 31I est nul, lc cosinus doit 1ittre; langle A BB1 est done droit pour toutes les positions de B1 sur Y,, et la courbe C cherche'e coupe E normialeMent; clle coupera de mitme S norm-7alement. En particulier, si I, on retrouNve cc thitordme 61limentaire que la plus courte distance dle S h~s'obtient en menant une normale commune any deux surfaces. On -Noit que la courbe cherchite C esL la figure ditquilibre d'un fil dont les extrclnite's glissent sans frottement sur les deux surfaces, la tension ittant? et la fonction des forces - Qa. 11 est itvident qu~e le mitme thiiordme subsiste si lune des surfaces est remplacite par une courbe fixe donnite on. par un point. 20 TnhioniibE DE TAIT ET THOM1SON. - Si l'on cons idi7re ics courlbes C cd~finics par~ les e~quations ( 3) nor7males et une surface donnde S et si, sur chacutne dec ces Cour7bes, on pr-end, et partir cdu point A Oa iell ren7COn-tre la surface 5, un ar~c AB tel que l'inte'gr7ale pr'ise Sur cette Cour7be, ait une valeur7 cons tan7te, la mine'e pou;- touteS les cour7bes, le lieu des points B est une sur1fece Y_, nor~male &~ toutes ics cour-bes. En effet (fig. To7), si oion passe de la courbe C As la cournbe infiniment -xoisine C1, la variation 31I de Fintisgralc donnise par la formule (4) est

Page  212 >) I 2 DEUXIEME PARTIE. - STATIQUE. nulle par hypothese. Comme cos BAA1 est nul, la courbe C etant normlla! a S, cosABBI est nul aussi, et la courbe C est normale a S. Ce theoreme, qui comprend commne cas particulier (? = i) la theoriw Fig. 107. a/B des surfaces paralleles, s'applique 6videmment au cas limite ou la surface S se reduit a une sphere de rayon infiniment petit, c'cst —cl-dire oil Ics courbes C passent par un point fixe. Exemples. - I~ Prenons pour c?(x,y, Z) l'expression pz et ne considdrons que des courbes tracees dans la partie de l'espace situCe au-dessus du plan des xy. Les courbes C sont les figures d'equilibre d'un fil lont chaque dlement ds est sollicite patr une force verticale dont la projection sur Oz est -p ds, la tension T erant pz. Ce sont done des clainettes situees dans des plans verticaux et ayant leurs bases dans le plan horizolntal xOy; nous avons vu en effet que, zo ftant l'ordonnee de la base d'unce clainette en equilibre, la tension T cstp(z - 0); z0 doit done etre nui. Ce rdsultat s'interprete geometriquement d'une facon interessantc. Soient, dans un plan vertical zOx, deux points fixes A ct B situes anFig. ioS. T4 M/ TO 0 C dessus de Ox et une courbe AMB joignant ces deux points. L'aire engendree par la rlvolution de cette courbe autour de Ox est (B) ',., dfs. (A) La courbe AMB, qui engendrle m'alie inZimm, est clone la chainette qui joint les deux points A, B et qui a pour base Ox. En cherchant ci determiner la chainette remplissant ces conditions, on trouve qu'elle n'cxistc pas toujours: par exemple, si les deux points A et B ont melnme ordonnec. elle n'existe que si Ic dcmi-angle au sommet C du triangle isosccle ACIG.

Page  213 CIIAtITRE VI. - SYSTLMES DEFOnMABLES. 21 2 i 3 aN ant sa base en AB et son sommet en C sur laxe, est moindre qjue 330 3a-', car e'est. li J'angle quo (fig. io8) fait avee laxe de sym6trie CD d'une cialanette la tangente CT A la eourbe issue du pied de laxe dle sym~trie sur la base. Nous ne donnerons pas ici les, conditions pour que la chalnette ex.iste quand les deux points A et B sont quelconcques c es condilions ont etc' d6termin~es pour la premi~re fois par Gold schmidt. (Dete7 -mncnatio sitpe7, fticei mininmce, etc. G~ttingen, 183 i). Lorsque la chainette ntexiste pas, la courbe AMI3 qui, en tournanit autour (dc Ox engendre loire minimum, est. composhi, des deux ordonn~es AA', 131' des points donn~s et de la portion d'axe Ox comprise entre A' et -13'. 1%'l effet, les dquations diff6rentielles de lo courbe sont d ~z j0) dp- -/z pds=o (.quations qui se re'duisent A une. La premhire donne pa Ik. Si k est JilTrent de z~uro, on a une ehainette cetter solution est clone i rejeter si la ebainette nexiste pas. Ii faut alors supposer ik nitl, et ion trouve d~x ])0 - 0, 6quation qui montre que z est. nul ou ciue x est constant. La portion. de courbe non confondue avee Ox est done fornihe de droites perpendienlaires A Ox. 2, Soit o e'gal A les points et les courbes eon side'r6s e'tan[ encore situds au-dessus du plan xOy. Les courbes C sont tou-jours plae6es doans des plans verticaux, et, clans un cle ces plans zOx, clles out pour equations diff6ren tidies I JV i./ d-" f --— o0,CI (1CS8/ ds 2 so (equations qui se re'duisent A une. La premicro donne I d/x Iden reniplacant ds par so ivaleur V'dX2~j do9 et separant Ies variables. L'int~gration est inmn~diate, et Jon trouve, en appelant a une nouvrelle con starnte, (x -a)2~ -2- g2 =0 c6quation d'un cerele ayont son centre suir Ox. Done, dons lespace, les courbes C soist des cereles or~tlogonaux ait plan des xy. Par deux points A et B posse 6videmment un de ces cereles et un seul. La Geonmhtrie que Jon obtient en faisant jouer as ces cercles C le misme

Page  214 *214 DEUXIE ME PARTIE. - STATIQUE. role qu'aux droites dans la Geometrie ordinairc, en conservant la notion 61lmentaire d'angle et en appelant longueur d'un arc de courbe Ia valeur de l'integrale - etendue a cet arc, est la G6omdtrie non-euclidienne de Lowatchevski. 161. Meme probleme sur une surface. - La recherche de la figure d'equilibre d'un fil sur une surface, dans le cas ol il existe une fonction des forces, se rattache de meime a la recherche du maximum ou du minimum d'une integrale definie. Cherchons qutelle est, par77ni toutes les courbes tracees sur7 une surface fixe S et joignant deux points fixes A et B de cette surface, celle quti rendcl in72imi7m ou maxinz7um 'ilntegrale (B) I — = c?(x,y, z) ds. (A) Soit C la courbe cherchde, C1 une courbe infiniment voisine trccee suti' la surface entre les cleux momoes points A et B. En appelanL x, y, z les coordonnees d'un point I de la courbe C, les coordonndes du point I.1 de C1 infiniment voisin de IM seront I = x -+ ox, -- - = -y - 83, en modifiant un peu les notations du n~1 A8 et dcsignant, pour abreger, par ox, 8y;, Oz les quantites appelees precedemment sz, srT, ~s. D'apres le calcul du n~ 18, la variation 3I que subit l'int6grale I, quand on passe de la courbe C a la courbe Ci, ayant les memes extremits, est, en negligeant les termes en e2 8 o -- I. X ds - d? c)1 y oy x ds C- IS -o ds j) Dans le cas actuel, cette variation I doit Otre nulle quand on passe de la courbe C, non plus a une courbe voisine quclconque, mais a une courbe infiniment voisine situee sui la surface. Les variations Oc, oy, oz ne sont plus arbitraires toutes les trois; en designant par f(xy, ) = o l'equation de la surface S, on aura la condition (2) Of O jI'., /' f, (2) O + -oy- - = o, O x "y TZ

Page  215 CIIAPITRE VI. - SYST)EMES DEFORMiABLES. 291 I qui exprime que la variation de f(x,y, z) est nulle quand on passe de C a C1, et qui montre que l'une des trois variations ox, par exemple, cst fonction des deux autres oy et oz, qui restent arbitraires. D'apres cette condition, on a, en designant par ) une fonction quelconque, \ ifs - - 8 f- cis s -- o. (A) (T x ' y Retranchons cette intdgrale nulle de celle qui donne oI, nous aurons ol 8 (i - ds ( -. 6x - / S ou le terme en 8z est analogue aux deux premiers. Cette variation I8 de-ra etre nulle quels que soient ), 8y et 8z. Nous pourrons disposer de X de facon i annuler le coefficient de x: la quantit6 sous le signe d'integration ne conticncra plus que les termes en 8y et oz, et comnure oI doit dtre nul quels que soient 8oy et 8, les coefficients de ces dceux variations devront etre nuls aussi. Done, pour une determination convenable de ), on aura les trois equations suivantes, quc nous ccrivons en cliangcant 1e'; signes, d cYi CIS 0 d( / cs -+ )ds= o, 11 / I <? - ^A - + (s -, -3 ) ds = o, de ( O^ -)T -- a- -- ) -/) ds = o; (z 4-CIS / \ ()z O CZ ces 6quations, jointes a l'cquation de la surface, dcterminent les courbes C cherchees. Or, ce sent pr7cise'zemzt les equlations cl'equilibre c'utln fil plIC(,sut7 la suerfcace S, la fo7nction des es forces -et t et la tension s. 0O retrouve done un resultat identique a celui qui a ctc obtenu pour le cas des courbes dans 'espace. Exe ple. - Si o = I, 'integrale I donne la longueur de la courbe A):. si done on cherche les courbes de longueur minimum tracees sur la surface de A en B, on trouve les figures d'equilibre d'un fil qui est tenclu sur la surface et qui n'est sollicite par aucune force directement appliquee (N~ 156). 162. Refraction. - Nous allons montrer rapidement comment cette melme intdgrale ( y, y,) ds se rencontre egalement dans le problme

Page  216 .l6 DEUXIEIME PARTIE. - STATIQUE. gneral cle la refraction. Ce fait a 6tc d6ej rcmarqu6, du moins dans des cas simples, par Maupertuis, Jean Bernoulli, Euler; Laplace a nmme rattachc' i ce point de rue la thelorie de la double r6fraction (Mlmnoires de 1lnstillt, 1809). Quand un rayon lumineux passe du vide dans un milieu homogene limitd par une surface quelconque S, il suit les deux lois suivantes r~ Le rayon incident iP, le rayon refract6 PAi et la normale PN a la surface S sont clans un m6nme plan; 2~ On a (fig'. o19) sin i _ = I, sin I' i dtant l'angle APN, r l'angle i,'\PNi, et n une constante appelke inzdice Fig. o09. (M).\ ) dle refractionz dcl mIilieu p7ar raCpport Cau vide o0t idclice absollt de I'7frctCion0. Soient deux milieux homogenes (aI) et (MI1) scpares par une surface S, I ce /it les indices de r6fraction absolus des deux milieux; si un rayon lurnineux passe du premier milieu dans le deuxieme, la premidre loi est la minme, et l'on a sin i iz, silln r I Ces lois dtant rappelees, posons le probleme suivant Soient A et Al deux points fixes de part et d'autre de S et P un point;quelconque de cette surface. Quelle doit dtre la position du point P p-our que la somme, p Ar AP 1 A1 P soil miZimti7m? Nous allons montrer que le minimum a lieu quand les deux droites AP et PA1 v6rifient les lois de la refraction de la lumiere du milieu (M) dans le milieu (Mi). En effet, si 'on appclle a, b, c et al, bl, c1 les coordonnees des points A et Al, et x, y, z les coordonnees d'un

Page  217 C1IAPITRE VI. - SYSTIE ES DEFORMAABLES. t7 point P de la surface S, les distances AP et AlP ont pour valeurs respectives \ - ( - - )- (2; 02 c et X _ _ - )2; - ( ci1). La somme g est alors unc fonction des deux variables independantes x ety, car z est unc fonction de x et y ddfinie par l'equation de la surface S, f(x,, z) = o. Pour obtenir les valeurs de x et y rendant a minimum, ii faut egaler a zero les (lerivees partiellcs dc a par rapport i x et y, ce qui donne les deux equations PA ' / 1 = A~ (X -0)-v (a - c>X- (y - fi) -<(. - c1) O0z,0 71 --- - /- 0 PA PA1 qul, jointes a l'equation de la surface, dcterminent les coordonnCes cdu point P. Ce point 6tant ainsi determine, faisons nl changcmenlt d'axes coordonns: prenons le point P pour origine (Jig. 1io), pour axe des z la normale du cOte du point A, pour plan des zx le plan contenant le point A de telle facon que l'ordonnee b de A devienne nulle, a et c etant positifs. Oz Oz Les quantites x, y, z, -, relatives au point P sont alors nulles ct les Ox Oy equations ci-dessus deviennent 7Ca 12 1 (I = ~, 6 --- o PA PA ', La seconde de ces equations montre que Ic point Al est aussi dans le plan zPx, ce qui est la premiere loi de la refraction: la premiere indique que ai est negatif et donne, si l'on appelle i et r les angles de AP et PA1 avec la normale Pz, 7 sin i - zi sin ' -- o, car ---et- - sont egausx sin i t sin r; ce qui est la seconde loi de la refraction. Ainsi le mintium cherche est fourni par le trajet d'un rayon allant de A en A1. Imaginons maintenant plusieurs surfaces S, S,... Sp separant des milieux homogenes. Soit, au-dessus de Si, un milieu d'indice absolu n, entre Si et S un milieu d'indice 1i1, entre S2 et 53 un milieu d'indice 1s2,..., cnfin, au-dessous de S,, un milieu d'indice 71,. Prenons un point A dans le premier milieu, un point B dans le dernier et considerons un polygone A, P,, Pa, P3,..., Pp, B ayant un sommet sur chaque surface,

Page  218 '2J8 DEUXIEIME PARTIE. - STATIQUE. allant du point A au point 13. Si lon cherche (Jig. io) quel doit 6tre cc polygone pour que la somme r = n AP1 4- nz P P- 12 P P2 P3 * * - -.i 1) Pl B soit niminimtum, on trouve, d'apres ce qui precede, que ce polygone doit Fig. iio. / S ') Jt3 \B etre le tr7jet c'l7u racyon7 lutnineuxt' allanct ce A el B el suzianict les lois de la rcjfracttioln. Snpposons enfin que le nohmbre des surfaces augmente indefinimcnt, de fagon que les cotes du polygone tendent vers zero, ainsi que ]es differences z -- 711, I1 - 72,..; l'ensemble des milieux considercs dcvicnt un rmiiliezt con0tinu dans lequel lindice de refraction absolu in cst une fonction continue Q (x, y, z) des coordonnees. Le polygone suivi par le rayon lumoineux devient une courbe, la somme 5 dcvlient l'integrale (B) I n c/ ds. g ~-.I.=A) 71 CIS. (A) Le trajet du rayon lumineux de A en B est done la courbe rendant 'int6grale I 72ini2M/um., courbe dont nous avons indiquc les equations difl6 -rentielles. On pourra consulter fi ce sujet un article de MI. 0. Bonnet (NTozvelles Alzlzcles de Icat/hemnatiqcues, I887). Ces memes courbes ont ete etudi6cs par M. Vicaire (Co07mptes rendchus, rapport de MI. Jordan, t. CVIII, p. 330); leurs propri6tes essentielles ont dceja 6t donnecs par Euler, dans sa theorie cles brachistorclones. EXERCICES. 1. Un fil tendu non pesant passe cans des anneaux fixes 6quidisLants A,,.... A,,. Prouver que, si l'6quilibre existe, la tension est constante et la pression sur chaque anneau Ak inversement proportionnelle au rayon du cercle Ak A, Ak, A,-,passant par cet anneau et les deux qui le comprennent. En conclure comme cas limite, pour un fil non pesant tendu sur une courbe fixe sur laquelle il peut glisser sans frottement, la loi de la pression du fil sur, la courbe (PoINsoT, Statique).

Page  219 CIAIt'TIRE VI. - SYSTEMES DEFOR.MABLES.29?, I 9 2. Un- fil non pesant de longueur donnde est attaclid par ses extrdmitds 4 deux. points fixes A et:sor cc fil glissent sans frottement deux anneaux Al, et Al, sur lesquels agissent respectivement ties forces F, et F, dionnees en grandeur, direction et sens. Trou'ver la position d'& uilibre do systhime. ( On s'appuic sur la remarque faite 4 la fin do no 140.) 3. Un polygone fuiniculaire 6tant en 6quilibre, 00 prend les moments yj des forces et ceux r.des tensions par rapport 4~ on point. Prouver qu'avec ces veeteurs on pent construire no polygone analogue 4 celui de V'arignon, en remplacant les veeteurs F~ et T ~ pa t~ et'i 4. Si on polygone funiculaire est en cdquilibre, prouver qu'en construisant les vecteurs conjuguds des forces et des tensions, et les droites conjugudes des efltds par rapport 4' one splidre ( imag-inaire), corome on l'a indiqod dans l'exercice 3, 4 la fin do Clhapitre I, on obtient. un nouiveau polygone en 6quilibre. Les efltds de iun de ces polygones soot, les droites conjuguees des cfltds de lautre; les sommets de ion, les points conjuogues des plans formds par deux cfltds coniscutifs dle Fautre. 5. Travures i'ef leuaire. - Tlsdorime die Raninci (voyez Phiflos. ii/actazinie, vol. XXVII1, P. 92; 186)[ CLERK MAAXW\IELL, ibid., P. 205o). - Des forces appliqodes alux articulations duan systdme polyidral de barres soul en 6quilibre qluand cules sont perpendiculaires et proportionnelles aux faces d'un polyrclr dont les ardtes soot dans des plans mend11s, par on point fixe 0, normalement any b-arres du systdm e. Soluttioni. - En supposant lc systdmei polyddral de barres en 6quilibre, on construira le polyTdre obtenu en prcnant, les vecteurs con) u guds des forces et dies tensions par rapport 4' one splidre imaginaire dle cent-re 0, confornmdment 4C' Ia mdthffode indiqude antdricuremntii ( exercic 3, 4 Ia fin do Clhapitre '). J/Voyez Lin article de Al. GUIDO IHAUCK, Journal de Crclic, t. C, p. 365.) 6. Un quadlrilatdre articuld, formd de quatre tiges die 1longucurs invariables a,1 b, c, i, est sollicit6 par quatre forces appiic~lces aux quatre sommets. Quo doivent 6tre ces forces pouar qu'il y ait 6quili bre? (Ce problidme est, rdsoiu par MflnrIus, Sfafiqiie.) 7. Sysfdie articutle' c/c Fuss. - On considire no poly7gone plan, formi dle barres roatirielles rigides articuldes 4 leurs extrirnitis:dans le plan do polygone, on. applique au milieu tie chaciuc barre, perpendiculairement 4 Ia barre, oine force proportionnelle a sa longucor. Dimontrer que la figure d'dcquilibre est on polygone inscriptible. 8. Daus on fil honmogine pesant en 6quilibre, lc rayon, de courbure vanec proportionnellement au earr6 tde Ia tension (AMBlIUS). 9. Sopposons plusicurs fils homogines idcintiqlues, d'aborcl tendus en li1gne ciroite depuis on point P jtisqu'~ dies points N, N,, NT,,.., N,, situbs sor tine mime verticale, pois diplacons on. penL Ic point P sur one liorizontale, de faqon 4t le rapprocher de la verticale en Famecnant enl All. Alors les fils supposis pesants se disposent, soivant des chainettes; dimootrer Io Que toutes ces chainettes out mime paramitre a; 20 Que leors sommets soot sur one chainette de mnime paramitre a tournant sa concavit6 -cirs le bas et ayant son sommet en 1WI (MBnIUS).

Page  220 220 DEUXIEME PARTIE. - STATIQUE. 10. Positions d'equilibre d'un fil homogdne pesant assujetti aux conditions aux limites indiquees par l'un des enonces suivants, dans lesquels la longueur du fil est supposee donnee. I~ L'une des extremites est attachee en un point fixe A; 1'autre passe sur unc poulie infiniment petite B, situee a la meme hauteur que A, puis pend librement. ~o Le fil passe sur deux poulies infiniment petites, placees 0a la m me hauteur, ct les deux extrdmitLs pendent librement, (Rep.. Les deux parties pendantes ont mnme longueur et se terminent sur la base de la chainette; il y a deux positions d'equilibre, une stable, l'autre instable). 3~ Les extremites du fil glissent sans frottemcnt sur deux circonfCrences egales, tangentes extlrieurement et ayant leurs centres a la emme hauteur. 4o Le fil est fermi et passe sur deux poulies infiniment petites A ct B. [Rep.. Deux chainettes ASB, AS'B de mmne base; si, par la poulie la plus basse A, on mene une horizontale AU'U coupant les deux courbes en U' et U, les longueurs des deux chainettes ASB et AS'13 sont inversement proportionnelles aux arcs UB ct U'B (MlOBIuv)]. 5~ Les deux extremites sont attachdes en deux points fixes placls a la meme hauteur; le long du fil peut glisser sans frottement un anneau infiniment petit Al auquel est suspendu un poids P. (Rejp.. L'anneau va se placer au milieu du fil: les deux parties MA et IMB sont deux chainettes de meme base; en 4: il y a un point anguleux; les tensions des arcs MAH et MB font equilibre au poids P.) 11. Trouver la figure d'equilibre que prend, sous laction du vent, une voile rectangulaire ABCD fixee par deux bords opposcs a deux vergues verticales AB et CD. (On nfglige laction de la pesanteur; on suppose que le vent souffle horizontalement et que la pression du vent sir un aelement de voile lui est normalc, proportionnelle a sa surface et au carre de la composante normale de la vitesse du vent. On peut regarder conmme evident que la voile prend la forme d'uon cylindre a generatrices verticales et que la nature de la section droite est independante de la hauteur. II1 suffit done d'exprimer qu'une bande comprise entre deux plans de section droite infiniment voisins est en equilibre. Cette bande est assimilable i un fil flexible et inextensible: en appliquant les equations intrinsdques, on trouve qu'elle prend la forme d'une chainette et que la tension est constante. ) 12. Figure d'dquilibre c'un fil dont chaque 6lement est sollicit6 par une force verticale proportionnelle a la projection horizontale de l'clcment. (Parabole. - Cas limite du polygone funiculaire des ponts suspendus.) Determiner les constantes, sachant que e fil a une longueur donnee et est attache en deux points donnes. 13. Figure dc'quilibre d'un fil pesant dans leque] la dcnsite varie proportionnellement a lare s compte a partir du point le plus bas. 14. Wmeme question, en supposant la densite egale - (ccrcle). COS2 cos, - a 15. Calculer la loi que doit suivre la densite d'un fil pesant en fonction de s, pour qu'il se dispose sous laction de la pesanteur suivant une courbe donnee (parabole d'axe vertical, circonf6rence, etc.). On aura la solution de cette question en partant de l'equation intrinseque du n~ 150.

Page  221 CITAPITRE VI. - SYSTEIIES DEFORMIIABLES. 221 16. Chailzette d'eg'ale resistance. - On appelle ainsi une chaine d'epaisseur variable telle que, dans la figure d'6quilibre, l'6paisseur soit en chaque point proportionnelle a la tension en ce point: dans ce cas, il n'y a pas plus de chance de rupture en un point qu'en un autre (CORIOLIS). On demande l'6quation de cette courbe et la loi dc l'epaisseur. Reponse. - Soil a la section droite de la chaine, variable avec s, p Ie poids de l'unitd de volume, le poids de I'element ds est p atds. La courbe a pour equation, en prcnant comme origine le point le plus bas, x eat cos -- I, ct la loi de l'6paisseur a est a- a Cos - 17. Figure d'nqure d'e d'un fil dont chaque 6e6leent ds est sollicit6 par une force Fds norrnale a un axe fixe qu'elle rencontre, F etant fonction de la distance rc de l'6lement a l'axe. Reponse. - Prenant l'axe pour axe Oz et appelant r et 0 les coordonn6es polaires dans le plan xOy, on a les trois equations cls cs T- =-/F dr, T l -C, Tr2 c = K. Quelle que soil la loi de la force, on a une cquation differentielle de la forlne K - dz - - 1P'-, qui montre que les tangentes a la courbe appartiennent a un complexe lineaire. 18. Cas particulier du probleme prlcddent, otl F =- Jr (p- constante), les conditions aux limites etant quelconques. Ce probllme est traite par Clebsch par une methode speciale, qui sera expos6e en rMecanliquce analytique ( Journal de Crelle, t. LVII, p. 93). Nous avons donne dans le texte ( no 1.54') le cas ot les deux extremites du fil sont attachees en des points de l'axe. 19. Trouver la figure d'equilibre d'un fil dans un plan, sachant que chaque cdlment est soliicite par une force proportionnelle a cet element et faisant avec lui un angle constant. [On emploie les equations intrinsques: la courbe est une spirale logarithrnique. (0. BONNET.)] 20. Trouver la loi de la force verticale sous l'action de laquelle un fil se dispose suivant une courbe plane donn6e. (Le probleme n'cst pas entierement determinc, si l'on n'ajoute rien a l'enonce relativement a la nature de la force. Pour que le probllme soit determine, il faut donner la variable en fonction de laquelle la force doit etre exprimee. Le lil etant dans le plan zOy et la force XYds parallele ci Oy, Y pent etre exprim'e cn fonction de l'une des quantiles suivantes x, y,, ay, a, tant langle de la tangente avec Ox, ou de plusieurs de ces quantites a la fois. Par exemple, si la

Page  222 1212) 2 222 ~~DEIJXIE.AE PARTIE. - STATIQUE. courbe dounde est le cercle a2~ a o, 1'6quation intrins~que (rio 150) donne a co s-ca x puis, comme tang a - et s a o, y (2) Aa Aa (1) ~~~~~~A S a1 Cos' - (C Voillci donc autant de lois dc forces cliff6rentes conduisant ao cercie dounn.) Rdciproquernent, trouver la figure dlequilibre doun fl sollicit6 par une force vcrticale ulont la loi est exprimde par June des formules prdc~dcentes (r), (2 ), (3), () On trouvera des courlbes enti~rement ditffrentes snivant celle des lois chioisies toutes, par la particularisation des constantes, devront (101ner le cercle x2 --- yi a' =o. 21. Trouver la loi d'une force centrale sons laction de laquelle on fil se dlispose suivant une coorbe plane donnde. [On petit r~phter ici les m6mes remarques qne sur 1lexcerice (20). En appelant 7r et 0 les coordoonnes polaires, le centre des forces 6tant S' Forigine, on trouve F - I (ds) ofi F est regardId commec positif on ndgatif, suivant que la force est repulsive oil attractive.) Exenmple cercle 7o- 2 a cos 0, cis -2 adO, F aC '2?. Figure d' Squilibre don fil dont chaque 6ldment est attir6 00 repooss6 par rio centre fixe en raison inverse do carr6 de la distance. ( On tionve one 6qnation de la forme -' a - b cosmno onl I- a -i — b cos hyp. m0, on comine cas intermddiaire - a-v 0) 7' 2-3. Si one m~me courbe est la position d'6qoilibre d'un fi1 sons Faction d'une force F2,I la tension 6tant T,., puis sons Faction c'Lone force F2, I a tension Otant T,, elle est aussi la figure d'edquilibre do fil sons Faction d'une force (F) (Ic F) + k, Fj, la tension 6tant (T) k, T,) + C (cTj; Jr et A', dsignant des constantes et ces 6qnations 6tant prises dans un sens g~orndtriquc BlON Nar). On emploie les 6quations intrinse'ques. 24. Un fil libre sons Faction d'une force donude F se dispose snivant une courbe C on r~alise cette courbe rnatdriellement, puis, soumettant le (il S la

Page  223 CIIX~PITRE' VI. - SYSTE1IES DEF OIMABLES.23 2 9- 3 ni~me force F, on le tend stir la courbe C; d6montrer tqne dans cette seconde exp~ricene la r6action normiale de la courbe C snr 1i616ment cis est clans le plan osculateur et a pour valeur It, constante, p rayon de conrburc. 25. Soit P1 tin point quelconcque Won fil en Scquilibre. D6montrer cjue le momcnt r6sultant, par rapport S' Pdl, de totites les forces ext~rieures agissant stir le fil cleptiis tine cxtr6mit6 iPl, jtiscqt'at point IM est 711l ( P1oBIUS). (Ce r6sultat se d6duit dut principe die solidification appliqufl S' Fare M0Ml. -On trouvera sons tine autre forme des r~stiltats indiqu~s clans le texte, en appliqutant cette condition a la portion clone claianette en 6quilibre comprise entre lc somnmet Ill, et un point Ad, et iotrocltisant la tension T0, en ill, commei inconnue atixiliaire.) 26. Dans une chainette pesante, de densitti variable, en 6qclilibre snr une splitre, Ibhyperboloicle ayant pour gtintratrices d'un mdmec systdme les tensions en deux points A!% et B et la verticale du centre de gravitti de Fare AB passe par le centre de la sphdre. (On le dtimnontre en stipposant Fare AB solidifit, et remarquant quce les forces applicjites S cet arc, tensions en A et B, poicis et rtiaction de la spbtre doivent se faire iquIilibre.) 27. Fig-ure d'tiquilibre d'un fi1 flexible et inextensible non pesant, traversti par un courant et sotimis S linfluence do p~le d'un aimant 0. [Ligne gtiodtsique d'un c~ne de rtivolution de sommet 0 (DARBOUX).] Bappelons que Faction do p~le 0 sur 1'l16ment dls, sitnui S one distance 7r de 0, est normale an plan Ocls et a pour intensitc - sina r, ~s. 28. On considtre stir one surface fixe S les courbes C qui, parini toutes les courbes tracees sin', cette suirjace entre denx. points, renclent minimum linttig-rale I yds, courbes cqoi ont titt dttermintines dans le no W61 Dtimontrer que, qoand on passe dune de ces courbes AD S' one coorbe infiniment voisine AB, sur la surface, la variation de Finttigrale est encore doonnie par la formule de Tait et 'Thomson. En dtiduire les m~ines constiquences que pour les courbes C clans lecspa-,ce (no 159 ). 29. On considtre dans no plan zOx des ebainettes ayant Ox pour base et coupant normalement Une courbe fixe C: partir do point A, no cbacqoc ebalnette coupe cette courbe, on prend sur cette clbainette tin arc ADB tel que, en touinant atutour de Ox, cet arc engendre une aire d~tctrmintie S. Dtimontrer que Ic lieu des points B est tine courbe C' normale h toutes les cbainettes. (Application dit tbiortime de Tait et Tbomson.) 30. E'tant donotis dceux points fixes A et B et des surfaces fixes S,, S,, Sly (voycz fig io, no 162), on imagine des poiots mobiles P,, P,...,P, glissant, sans frottemient stir ces surfaces. Le premier point P, est attirti par le point A avec one intensitti constante 7z et par le point P, avec tine intensitti constante 7n,, Ic deuximcim point P, est attirti par P, avec one inteositti constante na, et par P, avec tine inteositti constante 71,,.... et ainsi de suite. Dnimontrer qute la position d'cluilibrc do systnime est le trajet d'uo rayon Itumineux allant de A en B, snivant les lois de Ia rtifraction, tel qu'il a tilt indiquti dans le texte. 31. Le trajet APP,.. P, B doun rayon lomineux. de A en B, suivant les lois de la rtifraction (no 162), est Ia figure d'6quilibre doun polygone funictilaire clont

Page  224 224 P~~EUXIEME PARTIE. - STATIQUE. les sommets A et B seraient fixes, les sommets P,, P"..., P mobiles sans frottement stir les surfaces S,,S,,..., S~,et dans lequel la tension do e~t6 Pkk.serait 7ik (Autre forme de l'6nonc6 pre cddent.) 32. Si le long d'une conrbe C (no 158) joignant deux points A et B, la fonetion y(x,y,,z) cdevienit positive et 1e'gat ive, l'int6grale y (x, y, z ls, prise le long de cette courbe, ne penit Stre ni maximnmuy, ni minimum (WVEIERSTRASS. Voyez nne Note de M. Kobb, Awiales de la Faculted des Sciences do Toulouse; i8gi). 33. Soient A et B deux points plae6s Inn atn-dessus, lautre au-dessoos clu plan xOy; si lon eherche parmi les enurbes joignant ces deux points celle qui rend mnaximum et minimum l'int~grale nfl ii est un entier positif pair, on trouve que cette courbe est forms(e des perpelldiculaires AX' et BB', abaiss6es des points A et B sur le plan xOy- et tde Ia droite A B'. 34. Consid~rons tine fonction y (x,y,z-), linie et continue dans Ia r6gionl de 1lespace sitti~e d'un e~t6 d'une surface S sur laqtielle cette fonction prend la yeleur constante lk; soit y, (x,y,-,z) une deuxi~nme fonction finie et continue de l'autre eMS de cette stirface S et prenant stir S une valeur constante k, solentL enfin A,\ un. point (lace clans la premi~re rdgion, B un point de la detixi~tie. Chcerhcr par quelle coiirbe il faut joindre les deux points, pour qtie, en appcelant I' Ic point nft elle coupe la surface 5, on obtienne potir l'intdgrale (A ) - ( ) on maximunz oti un MuiiMuIM. (Les arcs AP et BP soot respectivemaent d~es courbes rendant la premidre et lit deujxi~me intigrale maximum on minimuni; les tangentes t et ti h ces courbes aime point P sont dans tin m~me plan avec la normale S' S en P) et font avec cette noritale des angles i et i,, tels qtie s~n 1 - * sin i I: 35. Si Fare kP se d6place normnalem-ent 5' onec stirface ~ qu'il rencontre cii et si ion prend sur les courbes A P et P13 (le l~exercie precedent des long-ucurs telles qtme lint/grale I ait unie valeur constante, le lieu dti poML~ B cst mine deuxi~ine surface _,normiale aux. arcs P1-3. ( Cette propriktd se fi~montre it laide de Ia relation de Tait et Thomson, no 159. atppliqti6e successivement ii Ia variation do ciacutiie des deuox int~gr ales (Jol cornposent 1. )

Page  225 C IHA IT E VII. - PtI R 1NCIPE DE S VITESSE S Vi rTUELLEs. 223 CHAPITRE VII. PRINCIPE DES VITESSES YIRTUELLES. 163. Iistorique. - Le principe des vitesses virtuelles a e'e employe par Galilee dans la theorie de quelques machines simples, puis par Wallis dans sa lkecanique; Descartes s'est servi d'une regle, cqui revient a celle de Galilee, pour reduire Loute la Statique a un principe unique. Mais (citons textuellement Lagrange), <( Jean Bernoulli est le premier qui air apercu la grande generalitL du principe des vitesses virtuelles et son utilite pour resoudre les problemes de Statique. C'est ce que 'on voit dans une de ses lettres a Varignon, datee de I717, que ce dernier a placee i la thte de la Section neuvieme de sa nouvelle Mecanique, Section employee tout entiere a montrer par differentes applications la verite ct l'usage du principe dont il s'agit. Ce menme principe a donne lieu ensuite a celui que AIaupertuis a propose dans les Miliemoires cle 1' cadcmzie ces Sciences de Paris pour Fan — nee 1740, sous le nom de Loi dat repos, et qu'Euler a developpe davantage et rendu plus general dans les ie'nzoires de l'Accadmnie de 7Berlin pour l'annee i71i. Enfin c'est encore le m me principe qui sert de base a celui que Courtivron a donne dans les llzemoires de l'Acacdemie des Sciences de Paris pour 1748 et i749-. Et, en general, je crois pouvoir avancer cue tous les principes generaux que l'on pourrait peut-etre encore decouvrir dans la Science de l'equilibre, ne seront que le meme principe des vitesses virtuelles, envisage differemment, et dont ils ne ditfereront que dans l'expressiono Mais ce principe est non seulement en lui-meme tres simple et tres general: ii a, de plus, lavantage precieux et unique de pouvoir se traduire en une formule generale qui renferme tons les proble:mes que I, I5

Page  226 226 DE'-UXIIEE PARTIE. -- STATIQUE. lon peut proposer sur l'cquilibre des corps ) (LAGRANxIGE~, 'cCantique canclytiquoe, premiere Partie ~ '17)o Depuis Lagrange, on a propose plusieurs demonstrations du principe des vitesses rtelles une des plus connues est celle d'Ampeire que l'on trouxeera exposee, par exemlple, dans la ilcanique de Despeyrous; recemment M.o C. Neumann a proposie une autre demonstration (Berichte cler Siichsischenl Gesellschrctfi dcer VWissenschciften, mars 1886). Nous exposerons une demonstralion classique qui repose sur l'analyse des diverses sortes de liaisons simples. L. - ANONCE ET D' EO ST2bATiN DU PRIICIPEo -164. Deplacement et travail virtuels. - Soit M n point nlateriel auquel est appliqaee entre autres une force F: imaginons que l'on imprime a ce point un deplacement infiniment peit arbitraire MM': on appelle ce deplacement c dplacemenlt virtuel imprime au point pour le distinguer du eplacceinent reel que prend le point sous 'action des forces qui agissent sur lui. Le Lravail elemenLaire de la force F (I) F. MIM'. cosF AMII' est appele tracail virtuel de F correspondant au deplacement MML'. On peut alors appliquer ce travail virtuel tout ce qui a CLe dit dt travail elementaire (Chap. IV). Bornons-nous a rappeler les deux propositions suivantes Pour un inemei deplacement virtuel MAl', le travail virtuel de la resultante de plusieurs forces appliquees au point Mi est egal a la somme des travaux des composan tes. Si le deiplacement virtue] MAT' est la somme geometrique de plusieurs deplacements, le travail d'une mneme force correspondant au deplacement IMM% est igal a la somme des travaux de cette force correspondant aux cdeplacements conposants. Si l'on designe par ot l'espace de temps infiniment court pendant lequel s'effectue le edeplacement virtuel MMA', le vecteur A egal t ' —7 dirige dans le sens LMMAll est appele vitesse virztulel t ites

Page  227 CIIAPITRIE VII. - PRINCIPE DES V1TESSES VIRTUELLES. 227 impnrimcee an point IM; et le travail virtuel peue s'6cril e, en remplacant 'MM"' par V r't (2 p) FVcos(F, ) )', car I'angle de F avec V est le mueme que L angle de F avec I Analyticquement, si lon suppose les axes rectangulaires et si lon designe par X, Y, Z les projections de la force F, par (x, or, oz les projections dui d6placement MM', le travail virtuel est X ^x - Y Oy - Z ~_. NTos prendrons, habituellement, le travail virtell sois la forme (): primitivemeint on le prenait plutot sous la forme (2). Lorsque Ion emploie cette forme (2) et que ]on imprime des deplacements virtuels a differents points, il est convenu que, pour tous ces points, ot a la meme valeur. 165o. tnonce du principe. - Cela pose, iimaginons un systelne de points assujettis a des liaisons sians froottement. Divisons les forces appliquees aux differents points en deux classes: les forces de liaison qui proviennent des liaisons imposees au s-steme, et les forces clirectelzent cappliquees ou forces doninees que l'on fait agir sur le systenme; le principe des vitesses virtuelles s'enonce alors de la facon suivan te La conditiozn necessaire et ssffisante c/e l'equilibre cd'un syste.me est que, pour ot to dilt cleplaceMezn t virtuel de ce ce systelney co7nmpatible avec les liaisons, lIa soncmme des tracvczaux virtueels des forces directe7ment ctppliqulees soit nille. Nous allons d'abord v rifier ce principe dans un certain nomibre de cas simples. 166. Point libre. - Soient un point materiel entierementlibre et X, Y Z la rdsultante des forces direclement applic[uees I ce point. Tout deplacement est ici possible, puisqu'il n'y a pas de liaisons; le travail viriuel correspondant 'a lun des deplacements est ( O-X Ax '- nY-t- Z, -z. Si le point est en equilibre, X, Y,, sont nuls; il en rdsulte que l'on a bien - o quel que soil le dcplacement ox, yier: a.'eci

Page  228 -228 DE LXEIEJE PAR TIE - STATIQUE. procquementL, si G esl nul, cquelS que soenit OS, 0, S,. ii fiuL qcte YIon ast X = o, Y - o, Z =- o, et le point est en Cequilibre. 167. Point sur une surface.- Soi main tenant un point pouvant se deplacer sans frottement sur une surface fixe f(x, y, z) o sous l'action de la force F. 11 y a ici une liaison expr:mle par l'equation prececdente et les seuls deplacements compatibles avec cette liaison sont ceux qui s'effectucnt sur la surface. Si Ic point est en equilibre, c'est que la force est normale a la surface et par consequent a tous ces deplacements virtuels; le travail virtuel est constamment nul. Inversement, si le travail c est nul pour un deplacement quelconque IAIM' situe sur la surface, on a, d'apres 1'egalited C = F. AM' cos(F, MM'), soit F o, soit cos(F, 1A1Mt') - o. Done, ou bien la force est nulle, et ii y a equilibre, ou bien la force est normale a la surface et il y a encore equilibre. Nous allons, a litre d'exercice, relrouver les equations d'equi libre d'un point sur une surface en partant du principe des vitesses virtuelleso Nous devons avoir G = x x + Y y -+- Z Oz - o, sous la seule condition que 6x soit lie aux accroissements arbitraires 8y, &zs par la relation of O Of. _f -d ox + - o/ 0= o qui exprime que le deplacement MM' est effectue sur la surface. MAultiplions cette derniere equation par ), t ajoutons a la premiere. 'Nous aurons (x ~ ), x -+- i ( L ) y — + z j /) -,

Page  229 C I A PIT1 E I i -- PR ICIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 2 29 quels quo soIen - ', ~ et, ro Sulpposons )X determinl de facon a annuler le premler coefficienL; oy, 5 etiant arbitraires, leurs coefficiens devrnt idee cntiquc mentL nuls; nous aurons done simultanen ent X - 0- -o, Y-k -o, a/' Z - - 0=o. Ce sont bien les ecquations trouvees anterieurement (n~ 95). La force produile par la liaison est la reaction normale N de la surface: les Cequalions d'equilibre que notus venons d'ecrire monlrent que e point miat6riel A,5, suppose enlierement libre: serait en 6quilllibre sous l'action simultanee de la force donnee e dl'une Of f f force ayant pour projections ), x, /), -; f il en resulte que cecte derniere n'esL autre que la reaction normlaleo CeLte reaction s'appe.ile Cfoce de liaisoz: clle provient de la liaison imposee au point. Si la surface dtait donnee par des equations de la forme X = C(Yi, ), y = (i(g, q2) = (qI, q2), pour toutes les aariations Ig et oq2c de q, et q2, le deplacement Sx, by:, S donnl par ces equations se ferait sur la surface; le travail virtuel X Sx + Y Gy - Z 3Z prendrait, pour un tel deplacement, la forme Ql ci -+- QaSO, et les conditions d'equilibre seraienL celles precdcemment trouvees Q1= o, Q2= 0. Remarquons que, dans tous les cas, que le point soit en equilibre on non12 pour tout deplacement virtuel compatible avec la liaison, le travail de la force de liaison, c'est-a-dire de la reaction normale, est /nulo

Page  230 3o D0E U X IE AE PA RTIE - STATIO QE. 1g68~ Pit St.J n.T o. o em - ors quc IC poinit nmaLr.i csl 55nssujei E rcst, r sur ui n cou e ' fic j ',,z) = o, fi(XJy )= o; le seul deplacemnent compatible avec ceteL liaison csL celuii qui se fait sur -la courbeo On voit immcdiatemaleni que s' i y a equilibre Ie traaval v irluel de la force donnee cst nul, puisquelle esL normale a la courbce e'- r6ciproqueme ntl si le t ravail est nul pour cc deplacemenL, la force es oE u o nle no-rnale et dans les deux cas il v a 6quilibreo Nous allons dedueir dde les equations decquiilbre tIelles quielles ont ele lablies aLrieicurement (n~ 9l). Nous devons avoir CX = AX o-4 — i y z o- o pour tous les deplacements compatibles avec les liaisons5 c'estia-dire pour toules les valeurs 5cx, y, o-. verifiant les deux equaLions -. y O 0 x -y z, qui espriment que le deplacemoenL a lieu sur la courbe. Une seule des quacntil s ox5 >Sy 3, la derniereo par exemple, reste dlone ari j <iraire..lunl]tl.plions alors les deux lernieres equalions par i) eL,i: etl ajoutons-les I la premiere nous aurons (,f )- ( j, /z ' -( ' ) I )' o ~, I (quels que so:ient, ),, eL.0 Si l'on dcldermine ) et ) L de faCon cue les d. eu. premiers coefficients soient neils, le troisi'me devra l]'etre aucsi pour qu ce ccL expression sotil nule quel que soil o. NTous aiTroncls done sinutianSmentiu x - OX O - 1 -- -f z _ Of _I 1 O

Page  231 CHAPIThE VIIo - PRINCIPE DES YAITESSES VIRTUELLES. 23I 6quations qui expriment cu' il y a dquilibre enLre la force directement appliquce elt une force ayant pour projections 0/) of - }yl X: of - g 'f, 0/ -, Af ' ' x1 i O J y' ) w'z+ o c est la relaction normale ou force de liaison. Si les equations de la courbe se presentaient sous la forme x = y(q)9 y/ =- q) z ='m( q) le travail virtuel serait - - (X '+ 4- Y '/ +- Z ),o elt a condition d'equilibre XA' — Y '- Z =: o= Dans le cas actuel, comnie dans le precedent, que le point soil en equilibre ou non, pour tout deplacement compatible avec les liaisons, le travail de la reaction normale oia force de liaison est '160. Corps solitde ea:te bnrt libo.. - Soi lun solide libre solli cite par des forces donnees F1, F: O., F. Ce solide est forme d'un grand nombre de points materiels assujettis a rester a des distances invariables les uns des autres: ce sont la les liaisons imposees au systenmeo Dans ce nouveau cas, les seuls deplacements possibles, compatibles avec les liaisons, sont ceux pour lesquels la forme du solide reste invariable. Soient, pour un de ces deplacemlents, a, b, c les projections de la vitesse de translation etp, q, ri celles de la rotalion instantae; ces six quantites pevtent gtre choisies a:rbitrairement, car on pelut imprimer au corps solide tel deplacement que!on veuto La Hitesse d'un point xa y,, a po ur proj ect ions V;, - a -7 Cz - ry, V. = b -,- rx -pz, Vz = C -- Y- cqx, de sorte que le travail 'virtuel C - = Xxs ox,; -' Y -v Z z-, +

Page  232 232 DEUXIEME PARTIE. - STATIQUOE de 1a force F aippllqu ee au poi it X., 3I z-v C5st C,, i, (a +,,- >7,) ~Y~ ( -7 i~,; — ) ( H-:- Z, (c + ^y --,,) ot; nous pouvons ecrire cette expression C,= at [c X.+ b Y,, - c Z,, - p (y, Z, - z,,,),- (z, X, -- x, Z,,) - (X Y,- -y Xv)]; Ia somme des travaux virtuels de toutes les forces directement applicquees est done S = SE g — Gt [aX - b-EY- -cEZ-E p(yZ —Y) + q (%X -X z) + 7.z (XY-y X)]. Si le corps est en equilibre, les coefficients des six arbitraires sont nuls et!on a bien pour tout ldeplacement compatible avec les liaisons; et rdciproquement, si S est nul, quels que soienL ces arbitraires, il faut que leurs coefficients soient egaux a o, c'est-a-dire que les conditions ddequilibre soient satisfaites. Que le corps soit en equilibre ou non, la somme des travaux des forces de liaisons, qui sont ici les actions m-utuelles des points du systeme, est nulle pour tout deplacement compatible avec les liaisons. En effet, soient M1 et M2 deux points du corps placds a une distance r l'nn de l'autre. Le point Ml exercera sur oM une certaine action F, dirigee suivant M1 M2 et MA exercera sur tir une action eogale et opposee F,, d'apres le principe de l'egalite de l'action et de la rdaction (n~ 92, fitg. 65); ces deux forces sont les forces de liaisons provenant de 'action mutuelle des deux points MI et Al2 qui sont lies de facon a rester a une distance invcariable l'Vn de 7',au7tre. Pour se reprdsenter cette liaison, on peut imaginer les deux points lies lun a ]Fautre par une tige rigide et sans masse. Convenons, cominme precedemment, d'appeler vacleurc algebrique F de Faction mutuelle des deux points la valeur absolue de cette action prceddee du signe +- ou du signe - suivant que les points se repoussent ou s'attirent. Pour des deplacements virtuels quelconques imprimets aux deux points, la somme des travaux des deux forces est (no 92) FS.

Page  233 C; IAPTRE VII. - PR INCIPE DES VITESSES VI RTUELLES. 233 5i los dlplacements vitrlucis nimprijes aux deux points sont comnpatibles avce la liaison imposee aux deux points de rester ci une dtsstancce inmv;ciacble: rl reste cons:anl, Sr' es null elaa somme des rav.'aux des forces de liaisons est nulle. Le mumne fail ayanti lieu pour toules ]es actions mutuelles des points du corps solide associes deux a deux, la proposition enonce se trouve etablie 170. Lemnraeo - Nous allons e'riger cette remarque, que nous venons de faire clans les trois exemples examines, en regle generale et etablir le lemme suivant: Qu1' i sys tezme pde points me1te'iels soit en e'quilibre ou non, pour tout deplacemien virtulel conmpctible acvec les lictisons, ICa sonzmme des rt'cravalx virtueIs ese Jfobces d7ies ' cs Ce lcaisons est nulle, en slz posacnt essentizelementz q61'iI n'y a pcas de friottement. l?g ZZt o I1 sufflt evidemmentl d'dtablir cc letmme pour chacune des liaisons du systeme et, pour cela, nous passerons en revue les diverses sortes de liaisons. Nous les diviserons en deux categories I~ Liaisons des corps du systemle avec des corps fixes; ~2 Liaisons des corps du systtme entre eux. Premiee categorie. - (a) Le cas le plus simple est celui ofi un corps solide a un point fixe; le seul deplacement possible est une rotation autour de cc point; le travail de la force de liaison ou reaction du point fixe est nul, puisque son point d'application ne se deplace pas dans ce mouvemnent. Le Imee fait a lieu si le corps a deux points fixes, c'est-a-dire tourne autour d'un axe fixe. (b) Supposons qcu'une surface 5, liee a un corps solide da systetme, soit assujettie i glisser sans frottement str une surface fixe S'. La force de liaison est la reaction normale KiN de cette surface S' sur S (fig. 1I1); son. point d'application est le point MA de S en contact avec 5'. Comme le deplacement de ce point doit etre dans le plan tangent commun a S et S', le travail de la reaction normale est nul. L'une des deux surfaces S et S' peut etre reduite a une ligne ou a un point. (c) Supposons enfin qu'une surface S, liee ia un corps solide du systemne soit assujettie a rouler et a pivoter sans glissement sur

Page  234 >)'234. DE JUXI E31i E P AR TI E.T T TATIQUE tlne surfaic;ixe 5' (no0 ). La rea chon AP cle S/ sur (f g- i3) cist encorC a: pliquoee aL poinat c Ce S cui so trouve:en contact, mai.S cettC rdactio:n n'esL pIlus norm alel car la liaison eablie ent re S el S 'oppose aui glissemento Imprimons a'u systeme un deplacemeent compa'tible avec liaison considcerer e cesLt —dire faisons router et pivTo'r 5 sur S' et soit V,. la vilesse virtuele du poirt I: I e travail virtte! de P est P'/. cos (P,VT,) 0t; ce Lravail est ulz, car dans le n.ouvement de roulemenL et pivotenieni la vitesse 7V, dcu pcoint ML au contac[ es - z/ll/e L'exemple le plus simple de ce genre de liaisons est e suivant Dans un plan fixec une roue S est assujettie a rouler sans glisser sur une courlbe fixe Sz (fi'o. i ). On peut realiser cette liaison en Fig. II1. 'SIP armant ia circonference de la roue et la courbe de dents infinimenL petites qui engrenent les unes avec les autres, on encore en attachanrt in fil inextensildle sans masse en un point A d la circonference de la rone, e tendianL sur la roue jusqu'au point de coniact.I, puts snur la courbe 5' jusqu'en un poini fixee B o0f on lattacheo Den c1'?, e cat-egorie. - (ct) SoienL d'abord deux corps solides, inobiles ousL dleux artliculls en un point 0. Les forces de liason: sont les reactions egales et opoosees P, des d co rps; leurs points d'application ristan coonondus dans tous les dcplpaeaimnts adcmissblces, la siomme des travaux virituels de ces deux forces resite ue, II. en esL de mnme si les corps doivent avo]r pris dc deu o iP: s oe m -uns; s, ar eoc-l, i is soi par ex e 1s articull's par une charmniee. (b) Considerons maintenain deux surfaces du systeilme, mobiles toutes deux, asstjetties a glisser sans frotterennt lune sur 'autre (fig o 1 2 les forces de liaisons cquia sont les reactions N, ' de ces surfaces sont egales, opposees et normales au plan tangent conmimun au point de contact. Soient V1 et V les vitesses virtuellles des

Page  235 CiIAPITRE VII. - PRIlCCIPE DES VITEESSES VIRTUELLES. 235 points M eit l/ de So el ' q i soint actuctlemnlen au contactL Ces vitesscs ne sont pas les anees, car on pe1et par eoncnpplc, obteni:r in i dcplaceirmnt compnafib0l avec les liaisons en laissant 5 fixe ct Fig. ii2. Ifaiioana T" I s pj faisanL glisser S' sur S En dsignantL par V/ i/ les pojecLions respectives des vitesses virtuelles V et VN sur N eL Nr' nous aurons pour expression du traval virtuel total = o-t (NV.-T-, Vt,) NSt(. V;,/) Le mouvemen-t relatif de S par rapport a S' elant un glissement, la aviesse relative V,. du point AI par rapport a S' est dans le plan tangent cormmun, et lon a, pour ]a vitesse absolue de MI, ('V) = (V,) + (V,,), Ve cdsignant la vitesse cldentraineimen de o teoe vtesse Ve est par dtfinition la vitesse du point du systinme de comparaison S' qui co'0ncide av ec M", c'est-ul-dire la vitesse V1 dcu point?i'. On a done (T) ( ) (v,) et: en projetant sur la direction N'N, V,, -= V1 puisCqiue V,., tant dans le plan Ltangent, a line projection0 nuilco Mais V es e; ga a -- V,,^ car ces deu; quandi-e;s desiglnen t les projecLions d'uCn vectu',Vl s' r doC eu direions l eceeioni diroclcccno; opposcs;, on a done et le travail.' est nulo (c) Supposons enfin qu'un corps solide du systeWme sotil termine par une surface S assujettie ac rouler eot pivoter, sans glissement, sur une surface S' faisant partie egalemeni d'un corps du systLemCo rane sua~~~sace 9

Page  236 23 E TU IE P ARTIE. - ST TIQUA. Q L'ac tion muuelle des deux surfaces S ec S' en leur point de contactL, -nest plus nornale au pl an taent cemniun puisqc'ueIle s5oppose au glissementen t SolenLt P Faction de S' sur appliqucje aL point ic' de S qui se trouve en contact, L 'Pf la reaction de S sur S appliique au point de S' qui se trouve au contact; ces deux forces sont egales et opposeeso Imprimons au systtme un dclplacemenet comatible avec les liaisons, c'est-a-dire un deplacement dans lequel S e S' se deplacent, S roulant sur S'. Soient, cornme precedemmlent, V et V' les vitesses virtelles des points TT et I7, Vp el V,, leurs projections respectives sur MP et MATlp La soImme des travaux virtuels des deux forces de liaison P et P' est &'= Pt(PV~-t- P' T, ) = Pt (P -- VI). Le mouvem ent relatif de S par rapport a S' Cean un roulement et un pivoteentie la vitesse relative V,. du point M par rapport a Fig. 113. ', n S' est nulle; la vitesse dc'enlrainement du point ii est, comme precedemnment, la vitesse V' du point W' et la formule generale (V)= (Ve) + (V7,) donne (V) = (V'). Les dewu viLessess V eL V/' etant egales, leurs projections Vp ec VP, sur deux directions opposees sont egales et de signes contraires et le travail g' est bien nulo 171o 0ombinaisons des liaisons prec6dentes. - Les liaisons realisees dans les machines sont des combinaisons des preceidenles. Ainsi ii est aise de faire rentrer dans les liaisons examinees ci-dessus les liaisons realisees a l'aide de fils ou de chaines. Imaginons, par exemple, que deux points A et Mi du systeme sont lids u'n a 1'autre par une chaine C inextensible, tendue dans une parlie de sa longueur sur une surface S sur laquelle elle peut

Page  237 C iI. I' I IR V a - P C I E D E VI T E S V TU LL 2 ' a37 glisser sans frot v>i Vcn. celte surface S utant d'ailleiurs fi e ou anobile. Cette liai.so- cst ulne combsinaison des paccedenls; les chainons sont des corps soldes; chacun d'eux est articulec au suivant er un point on slivant un axe; ceux qui sont en contact avec la surface glissent sas frottement sur une surface S, L'un des deux points, AINI par exemple, pourrait, de plus, etre lie invariablement a la surface S: ce serait encore une liaison precedemmnent exaIninee. Ce genre de liaisons comprend en particulier les liaisons effectudees a laide de poulies. 172. Conception generale des liaisons sans frottement. - Nous venous de voir que, pour les liaisons les plus simples et leurs combinaisons, la somme des travaux virtuels des forces de liaison est nulle, pour tout ldeplacement virtuel compatible avec les liaisons, du moment qu'il n'y a pas de frottement. Pour des liaisons d'une nature plus compliquee, par exemple des liaisons q(li sont exprimnes par des equations, on prend la propriete precedente comme la definition meine de l'absence de frottement; les liaisons sonu sans frottement si, pour tout deplacement compatible avec les liaisons, la somme des travaux des forces de liaison est nulle. 173. D6monstration du principe. - Soit un systeme de points materiels AM,,,, oo,, M,,, assujettis 'a des liaisons donnees et sollicites par des forces directement appliquees. Appelons x, Y:, Yv les coordonnees d'un de ces points M1,; X,, Y,, Zv les projections de la resultante F, des forces directement appliquees a ce point. Nous voulons demontrer la proposition suivante: Polur qcue le systeme soit en equilibre dacs tue cerIctine position, il faut et il s t qce, st i l'oe n impime can7 systerme tiz deplacement virtuel quelconque compatible avec les liaisons, Ic somme cles travcaux vir'tels des forces directemeznt cappliquees soit nillc. La condition est necessaire. En effet, si l'equilibre a lieu, chaque point M, est en equilibre sous l'action de toutes les forces qui lui sont appliquees, tant donnees que de liaison; d'une facon plus precise, on peut regarder ce point comme libre, a condition de lui appliquer certaines forces F,,, F,,.. provenant des liaisons; le point est alors en equilibre sous l'action des forces donnees de resultante F, et des forces de liaison F', F',... Pour un deplace

Page  238 ) 38 E U XEI5"E A R TI L. - S TA TI Q U ment virtuel arbitraire imprime ia ce point: la sonmme des travarax de toutes ces forces est nul. Le nime fait ayant lieu pour chaque point du systeme, si lIon imptrime aux points du systeme des deplacements arbitraires compatibles ou non avec les liaisons, la somme des travaux de toutes les forces tant donnees que de liaison est nulle C de'signant la somme des travaLix des forces donnees, / la somme des travaux des forces de liaison. lais, si les deplacements sont compatibles avec les liaisons, d'apres le lemme prec6dent, G' est nzele, et done aussi - 0. La condition est suffisante. Si, pour tous les deplacements compatibles avec les liaisons, la somme C des travaux des forces donnees est nulle, le sNsteme est en equilibre. Pour le demontrer, nous allons faire voir clue, si le systeme n'est pas en equilibre, il y a au moins un deplacement compatible avec les liaisons pour lequel I n'est pas nulle. En effet, si le systime n'est pas en equilibre, et si on l'abandonne i lui-mmee, il entre en mouvement: le ceplacement que prennent alors les points est compatible avec les liaisons et chaque point My regarde commne libre se deplace dans le sens de la resultante de toutes les forces agissant sur lui F,, F2,, F',. o, -tant donnees que de liaisons. Dans ce dieplacement r6el toutes les vitesses initiales sont nilles; mais nous pouvons imprimer au systeme un ddeplacement virtuel dans lequel chaq.ue point se diplace suivant la nmme direction et le menme sens que dans le deplacement reel, les vitesses virtuelles des points M,, n'etant pas touts nulles. Alors la somme des travaux des forces F,, F, F}, F.., etant egale au travail de leLr resultante, est positive, puiscqu e e deplacement a la direction et le sens de cette resultante; la imnme chose ayant lieu pour chaque point, la som:me -+ -' des travaux des forces donnees et des forces de liaison est positive pour le deplacement considere et non nulle. Atais ce deplacement etant compatible avec les liaisons, ~' est nulle et loon a c, > o. I1 en resulte que, si pour tous les deplacements possibles, comnpatibles avec les liaisons, 6 est intlcle, 'equilibre a lieu.

Page  239 CHAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITESSES VIRTU E LLES. A39 174. ou!amarqco s r tr avail d'une forceo - L'anal] s e qlue nous avons faite des diverses sortes de liaisons possibiles met en evidence un point SUr lecquel ji n'est pas inutile d'insister. C'est que, pour evaluer le travail Ielelmentaire d.une force, soil virtuel, soit reel, il ne fatl pas confondre le point materiel auquel la force est appiiquce avec le point geometricque d'application de la force. D)ans l'expression du travail elementaire F. LMM'.cos FN NAI, FVcos (F,V) o'i, AMM et V designent le deplacement infiniment petit et la vitesse du poino t Cmatetriel ctuquel est ctappliqueCe la force et non le deplacement et la vitesse du point g6ometrique d'application de la force. Par exemlple, si une roue R (fig. 1 4) roule sur Hine courbe Fig. I I4. P ^-1 fixe C la reaction P de la courbe est appliquee au point materiel de la roue AM qui se trouve au contact; apres un intervalle de temps 8t, la roue a pris une position infiniment voisine, un nouveau point AM de la roue est au contact et la reaction P, est appliquee en iKl; quant au point mate'riel M, primitivemnent au contact, il est venu en Mi'. C'est le deplacement MM' et la vitesse - du point materiel Mi (vitesse nulle a cause du roulement) qui Iigurent dans Ie travail de P, et non pas le deplacement M1MA et la vitesse — l du point geomntrique d'application. 17 5. iur les liaisons effectuees a 'aide de corps sans masse. -- 11 arrive quelquefois qcue, dcans un systeme cn imouvement ou en equilibre, il se trouve des corps dont on ne'glige la masse par rapport aux autres corps du systeme et qcu'on regarde conmme ayant une masse nulle. On tradcit celte hypothese en exprimant que les

Page  240 240 DOEULSIIEIU PLARTIE. - STATIQUEo forces appliqunes i un corps sans masse se font equiliibro En efcrtl les equattLions du mou vement d'un point sont cd x dIy -d2 - 771 -- == A, m 2- = — 1, i- = Z, dt12 ' c 121 d2 = X, Y, Z ddsignant les projections de la resultante des forces appliquees au point. Le point m dtant suppose appartenir: un systeme en mouvement, son acceleration est finie, de sorte que, si mn est une masse tres petite, X, Y, Z sont elles-mnmes des quanties tres petites. Si 'on suppose 72 - o, X, Y, Z doivent etLe mnlzles et les forces appliquees au point se font equilibre. Si I'on imagine maintenant un systeme sans masse, chaque point du systime a une masse nulle et toutes les forces appliquees ia ce point se font equilibre: l'ensemble de toutes les forces appliquees a ce systeime est done en equilibre. Par exemple, si deux points materiels AI et AM' sont lies P'un a l'autre par une tige rigidce et sails mzasse, les actions de la tige sur les deux points sont deux forces F et F' egales et directement opposees. En effet, I'action de la tige sur le point MI etantF, celle de MA stir la tige est - F; de mgme, celle de M'S sur la tige est - F'. Les forces appliquees a la tige sont done - F et -F et, comnme elles doivent se faire equilibre, elles sont egales et directement opposees. On retombe ainsi sur une liaison qui a ete examinee precedemment (n~ 169). Soient encore deux points materiels MI et ll' lies par un fil izextensible et sans masse passant sur une surface S fixe on mobile sur laquelle il peut glisser sans frottement. Soient T et rT les actions exercees par le fil sur les deux points AM et MAI' et, par suite, - T et - T' les actions exercees sur le fil par les points. Le fil est sollicite a ses deux extremitds par les forces -- T et - T' et, dans la partie qui touche la surface S, par des forces nor — males provenant de la reaction de la surface. Conmme il doit etre en equilibre, sa tension est la mene partout et il est dispose suirant une ligne geodesique de la surface (n~ 156); en particulier T -= T. Ce genre de liaisons rentre dans les liaisons examinees precedenmment (n~ 171); il conduit a quelques consequences geomntriques que nous indiquerons, commre exercices, a fin du Chapitre (Exercices o et 2)o

Page  241 CIIAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITI SSt'S VIRTUELLES. 241 II. - PREMIERS EXEMPLES. SYSTEMES A LIAISONS COMPLETES. MACHINES $IMPLES 76. Syste!mes a liaisons comp1lteSo. - On dit qc 'un systeme de points matieriels est 'a liaisons completes quand sa position ne depend qlue d'un parametre. Dans un tel systeime, chaque point decrit une courbe fixe determniee, et la position d'un point sur sa trajectoire suffit pour determiner la position de tous les autres points. Par exemiple, un corps solide, assujettii tourner autour d'un axe fixe, esf un sysleie at liaisons colmpltes: la position du corps ne d6pend que de l'angie dont Ie corps tourne a partir d'ilne position initiale; chaque point du corl)s decrit ln cercle dont le plan est perpcdiciulaire Ia lax e cl dont le centre es sur' l'axe; a position l'uim die ces iointls suf;i pour cdeteITrner Cel de t[os leesautres. Une vis mobile dans u-an ecrou eix, Lne chat[ne assuojettie a gelisser le long d'une coutrle fixe, sot] dcs systlmes liaisons completes. Ces sxstiemes seit es plus simples de tous, car on peut leur imprimer un scu d edpiacement virtuel compaLible avec les liaisons, i savoir le cldplacement obl)enu en faisant varier infnimrenl peu le paramlitrc unique dont depend la position du systeime. 11 y aura done une seule condition cd'lquilibre. 177. lfaaclines simples. - Les machines il snis on d syse'ilnes t liaisons completes sur lesqCueis agisseint deux forces 'une P est appelee la plissaczce, IauiLe L I la irc'sistcace. Ponu trouvcr la condiction d'ccquilibre, on i1)pritm; e i la inachinne le deplacemen t l virLuel utniqltle comnpalible avece ]es liaisons. Soie;nt (,dats c0 de)placeimentL, pil la rojection sur P du d placeinent A.A (d point i' application A dc la puissance, e' 3t la projections sutr 1 du dceplacemenit B3' dclu pointl d'aplica.tion L1 de la resistance C'i. 1 i 5)..La condition d'cuilibr e C st P P — + BI GO — =.. En it-roduisaat les itesses svirlueles La ] ieu des delplacements. on a la condition P TJ Up + LV-,, C-i tn.i 1. i

Page  242 DEUXIEME PARTIE. - STATIQUE. oLi Up designe la projection sur P de la vitesse virtuelle U du point i, et '\n la projection sur R de la vitesse virtuelle V du point B. Dans Fl'quilibre, la puissance et la resistance sont done:ig. 11 5. P B' '-/ /. j aR V-R R A entre elles dans le rapport inverse des vitesses virtuelles de leurs points d'application estimdes suivant leurs directions. G'est ce que Galilde enoncait sous la forme suivante: (( ce que Ion gagne en force, on le perd en vitesse. )) I~ Presse & coin. - Lc coin est un prisme triangulaire isoscele place entre deux madriers, 'un fixe, l'autre assujetti a se deplaccr horizontalcmrent. La puissance est une pression xerscee verticalemcenL sur la base du coin supposee horizontale. La resistance est la force horizontale R qui s'oppose au deplacement du madrier mobile. Imaginons un dGplacement vituel amenant le coin ABC en AB'T' (Jfig. i16) de facon qu'il descende de B3I= 3IP; Fiig. II6.; t1 ^in " C / le deplacemlnet r81 csl: 6gal 5 IB' pr[is negativement, c'est-S-dire l'alnglc C etlant 2 a, 1 -— j =- 1,1II tang a -.- 2 iP talng ' la condition d'eqnilib),i est done IP - RP 2a tang2 a I' -- o ou t) - RaF tang; l'emploi cdu coin scra d]'autant plus avantageux que l'angle sera plus petil.

Page  243 CHAPITRE V11. -- PI'INCIPE D ES VITESSES VIRTUELLES. '43 2~,is de p7ressioni. - Nous supposerons que la puissance est unc force P perpendiculaire a I'axe c (Ji_'. 17) de la x-is et appliquee en A Fig. 11 7. ii _ ai une distance a de cet axe, normnalement atu plan A\zj, la rdsistance 1; excrcant son action suivant cet axe imnme. Pour uine rotation infilnilnlt petite 80, seul dcplacement compatible avc les liaisons, la projectiol sur P du petit are d'hdlice que decrit lc point A est un arc dce cercle de rayon c et ldouverture 80 a!' -- ct 0. Cuant a OIR, il a pour valcu 1 --, 0, en dCsignant par h le pas de la vis; cat le glissement de la vis le long lde son axe est proportionnel a sa rotation, ct lc pas h est la valeur du glissement pour un tour entier dc la vis. Ia condition d'equilibre est done Pc a0 --- R - 0 - o, P - L et il y aura avantage a augmenter la distance a et a diminuer le Ipas dc la vis. 3~ Bascule ou balancee d QOuizitenz. - La bascule se compose, d'ul flcau ABC (fig. 1I') mobile autour du point 0, et qui supporte, a l'aide c ' 1 0 A '- tt de tiges articuldes BB', CC', deus plateaux lorizontaux s'appuyant lI'n en I sur un couteau fixe, 1'autre en F sur un couteau FF' invariablemelnt lid au plateau IC'. On place le corps a peser sur le plateau superieur, et

Page  244 A4i DELUXIEME PARTIE. - STATIQUE. on lui fait dquilibrc par un poids P place en X, le fleau ABC etant horizontal. Pour lne rotation 30O do fl(au autour' de son axe, on a evidemmenit oP- = A r. Quant i otR, il dcpcndra de la position lu fardeau sur le tablier FB', a moins que cc tablier ne se deplace parallleleent it lui-mcme, c'cst-a-dire que les points F et B' s'16encnt d'une imemc quantitt. Pour exprimer cette condition, nous observerons que B' s'cl16v autant que B, c'est-i-dirc de 01B 0' le point C s'1ecvant d'aillcurs dcl OC o0 il en sera de m6me de C', et Il point F' q(ui cntrainec 1F s'Celvtca (le -_ C O0; la condtion clierIC' ctde cst (lone -- -- IF, IF' O ()B = O0 -.....; IC' IC' OC tlle cex)l'ime quce les dr'oitLs 01 ct:13 ' sc coupent sur CC'. Dans cclte hiy)potliesc, on aura 8 R1: OB~ 8 0; la bascule scra en ('qiilibre, si 1'oii sisflail at la condition OB P'. OA. 0 -!. OB -. ) -- 0..:t tout se passe cornlme si le corps ti peser (ltait (lirtermenelt suspendu ai loinl t B. 4~ 3zBalance 1de Robelvctl.- Un pa lrall log'ramnme articule ABCD (Jfig. I 9) est susceptible (ce tourn)ter ailtour des milicux 00' de deux cotes opposs' rig. i [). i' i I i ces detx I-oilrs rtant siLtics str' la rni imn vci'ticale, Ies cotes AD, B3C rsterontl 6idtmmlen verlicaux. Si l'on( fi\ c dCux plateaux, leurs dcl)lacemncnts virtucls seront eg aux CL de signcs c)ntraircs, (C sote que,,pour fque dcux poids, P et Rp, places dans ces platcaux se fassent equilibre, il faut -u'ils soient cg'aux. Comnme pour la bascule, la condition cd'quilibre nc dei(penld pas de la positio des corps dans les plateaux; de plus, l'6quilibre at liel dcans tout es les positions: il cst indliftrcnt.

Page  245 CIIAPITRE VII. -- PIRINCIPE DES VITESSES VIITU ELLES. ')45, Dans ce qui prlcede, nous n'avons pas eu C tenir compte dlu poids des tiges; car, les poids des tiges verticales AD et BC etant ctgaux, la sommec de leurs travaux virtuels est nullc, ct les poids des tiges A3 et CD 6tantl appliqu6s en des points fixes O ct O', la somme de leurs travaux cst egalement nulle. En realite, les tiges AB ct CD sont remplacces par des corps solides de poidsp et p', dont les centres (le gravitC sont en g et g' quan(d les lignes AB et CD sont hiorizontales. Supposons l'6quilibre etabli dans cette position; pouL un deplacement virtuel du systeme, les points g et g' se deplacent normalement aux poids p et p', en d6ecivant des arcs lde cercle de centres respectifs O t O'. Done la somlme des travaux virtuels de ces poids est encore nulle, ct lon a toujours P = Ri pour la condition d'equilibre; seulement i'equlilibre n'est plus indiTerenoe, carl, clans une aulre position, les travaux dles poids p Ct p' intervien draielt. 5~ Genzo. - Une tige AO (Jfig. 10.o) est artieulec par ses deux cxtl'eFli'. 1 20. i,? r= - i i,, -. 0 // ii initds en A0 av-e un axe fixe, en 0 avec line lige 0C), de longoueur b, (lont l'extremitL B glisse sans frottement sur la verticalc du point A. Sui la poignee F, invariablement li6e i AO, scxercce la puissance FPl, que no us pouvons supposer transportee au point E de sa direction, pied de la perpendiculaire abaissee de A sur P; la resistance est la force verticale BR qui s'oppose au mouvement de B. Le seul deplacemlent compatible avec les liaisons est celui qu'on obtient en faisant tourner la tige AO dc'un angle oa; dans ce deplacement, le travail de P csl p oP _ -P. PAE x. Ouant au travail de la r6sistancc, c'est — R x, en dlesignant par x I.l distance AB. Nous avons d'ailleurs, clans le triangle A0)B, b 2-= X- - (l 2 at xI CO s a et, en diff6rentiant, o =x xj - a cosx ox A- ax sin a o, ('oi ax sin x - a cos a

Page  246 *'>46 DDEUXIEIME P. RTIE. - STATIQUE. la condition l'equilibre est alors R N s i n P E;r; - - COSa Menant OD et AC perpendiculairenient a A3B et appelant C Ie point de rencontre de la dernicre perpendiculaire avec BO prolonge, on a x AC OD = t sin a, BD = x - ct cosr, BD) OD La condition d'6quilibre prend alors la forme simple P x. 01) I C A B 1D A1\ ~l 6~ Mioujies et pala-lzs. - Une moutle se compose de deux systemes de poulies, assembles chacun dans une menme chape et montes sur le memc axe ou sur des axes particuliers; le premier systcme est fixe, le second mobile (/ig. T21). Supposons chaque systeme compos6 de trois poulies: le Fig.:,,. A', iA Y premier des poulies A, A', A"; le deusieme (des poulies Ai A)", A'. Eli un point fixe B de la chape du premier systeme on fixe une corde qui passe successivement en AA1, A'A,.... La puissance P est une traction exercee sur l'extremite libre de la corde; la resistance R, un poids suspendu au-dessous du systeme mobile. Les six parties de la corde comprises entre les deux systemes de poulies peuvent etre regardees comme paralleles: la longueur totale de la corde ctant constante, si I'on exerce en P une traction qui allonge la partie libre de la corde de IP, chacune des six parties de la corde comprises entre les deux systemes de poulies se raccourcit de -- OP; cette expression changee de signe est la valeur de 8R, et l'on a, pour l'dquilibre, P =.

Page  247 CIIAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 2417 70 Chatane inc. exnisible glissanlt sans frotternent sw-irtine courbe fixe. - Soient A et B les extre'mite's de Ta chaine, dont 1'e'paisscur est suppos~e infiniment petite, F la force directement appliqu6e b un 616ment (Is plac6 en C, Ft la projection de F sur la tangente A1 Ta courbe en C dlans le sens A B. Imprinmons ant svst~me le senT d~placenment virtuel qui soit compatible avec les liaisons, displaccment dlans Tequel Ta chailne tout entidre et, par suite, chaque 616ment loissent le long de Ta courbe d'une mem~ne cjnantit6 CC' 6gale it 7 (fig-. 122,) Ic travail virtuel (le la force F (st Ft 0' en e'crivant cue la somme de ces tiavaux est nalle et rernarjuant qne '7 pent C~tre nmis en facteur dlans Ta somime, on tronuve, pour Ta condition de l'itquilibre, Ft = o. Cette condition est suffisante At condition d'adhnettrc que Ta chaine est [endlue en tons ses points et non press~e. Par exemple, si aucune force n est directement appliqu~e i't Ta chialne, sauf d~eux forces P et R appliqn6es aux deux extritmit6s, Ta condition d'6quilibre est P t -+i- R t o. 80 L~qailibr-e d'ws zflu ide incompressible dclas tin1 tuya trl's 0trOit. - Galil~e s'est d6jit servi du principe des -vitesses virtuelles pour ditmontrer Tes principaux thitornimes cilHydlrostatique;Descartes et Pascal ont e1galement employ6 cc Tprincipe pour e'tudier l'itquilibre des fluides. Pout' qu'on~ puisse appliquer le principe des vitesses virtuelle's At un fluide, sans tenir compte des traxaux des forces inte'ricures, iT faut que les tra-vaux des forces intitrieures du fluide on forces de liaisons soient nuls pour tout d~placement -virtuel compatible a-vec les liaisons, c'est-it-d ire que les mol~cnlcs voisines restent. A une distance constante (fluide incompressible) et qu'iT ny, ait pas de frottements intitricurs (fluiclitit parfaite). Nons empruntons l'exemple suivant A Lagrange (S5tatique, 70 Section). Consid~rons un fluidle incompressible enferm.6 clans un tuyau infiniment ktroit dont Ta forme est donnite et dlont Ta section droite o vanec suivant une loi donn~e. Pour plus de pr6cision, on pent se repr~senter le tube comme engendre' par un 6litment plan to d'aire infiniitnent petite se de'placant en restant normal At une courbe donnite S (fig. i2,3). Soient A et B Tes extritmitits de la colonne fluide supposites maintenues par deux pistons

Page  248 .,4I8 D E U XI EMi P A R T I E. - S T A TIQ UE. infiniment petits, dmi un 6elment de la colonne fluide plac6 en un point C oui la section droite est c.; designons par F la force appliquee ai I'elment dimz et par Ft sa projection sur la tangente i la courbe S dans le sens AB, c'est-a-dire sur la normale a to. Imprimons a la colonne fluide le scul dcFig. r23. placement virtucl qui soil caompatible accc les liaisons, ddplacemnnt qui consiste a faire glisser la colonne tout entiere c'une quantite infinimeni. petite. Dans ce glissement, I delment dnm place en C parcourt sur la courl)e S un arc cs: de sortc que,o s est la quiantite d fluicle qui passe par 1a section to du canal. A cause dc l'incompressibilite dul fluide, il faut quc cette quantit6 soit la manmc partout; on peut done poser wo 8s --, a etan 1e nmme tout le longc du tube. Le travail de F cst alors Fi 8s ou- Fz, et O) la soamme des travaux virtucls dcc forces IF directement appliquces esl a - La condition ndcessaire ct saffisante de l'c'quilibr est (done en supposant que la colonne soit comprimlc, en tous ses points. Par exemple, si les seules forces appliqucecs i la colonne fluide sont deux pressions Po et Pi appliquces normalemicnt surt les deux pistons A ct B dct sections woo e to1, la condition d'6quilibre est - - -- = o. )0 (t1 Renzarque. - On arrive ai cett me ni equation pour l'equilibre d'un fluide dans les conditions suivantcs. [maginons un vase de forre quelconque enti6rement clos dont partent deux tubes cylindriques A et B de sections Co et cto. Supposons le vase rempli d'un liquide sur lequel n'agit aucune force directement appliquee et les deux tubes boucheds par deux pistons A et B sur lesquels on exerce des pressions nornales Po et Pi. Si 1'on enfonce le piston A d'une quantite infininment petite So, le volume interieur diminue de te o0: il faut done que le piston B s'eleve d'une quantite s~ telle que So o -- s1 i. La somme des travaux virtuels de P' et P, etant evidemment Po0so- Pi i, on a, pour l'equilibre, Poo - PiI = O, Potol P1ito -- o relation sur laquelle est fondee la presse hydraulique.

Page  249 CIIAPITHE VII. - PRIINCIPE DES VITESSES VIRTUrELLES.?49 II - CONDITIOMNS G PENERALES D'S QUILIBRE DEDUITES DU PPRtNCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 178. Equation g6nerale de la Statiqueo - Nous suivrons la methode qui a ct6 indicluee par Lagrange. Soil donne un s)steimeforme de n points.l(,'1, ( 'l-, z1); ( x *:),... ' ( ' l,,, soumis a des liaisons cqui s'exprirnenr par des relations eintre Icut's coordonnees { j ( iY v? _ ^ J, - * * *,;.T2y2- ^- -,/ It Ca.J,, I ()0 |/2(,Ti I),............,.. e o 6 ~ ~ X il. 7 l l ) (?, -',; * * *'...** r /2'v) ^ / r /? ) -- () Le nonmbre A de ces equations est necessairement infecrieurll celui 3 n des coordonnees sans quoi le s-stecme serait entierement determind par ces liaisons; nous posero:ns d(one h = — 3 1 — k; dans le cas oi 1'on aurait, = i, le systeme serait li aisons conmpletes, car sa position ne dependrait que d'nn paraminre d( I'une des coordonne'es convenablement choisie, par exemple. En general, la position du systeme dependra de k parametres: on dit qu'il y a k degres de liberte. Designons par F, (X,, Yv, Z,) la resultante des forces donnees qui agissent sur Mi,, le principe des vitesses virtuelles nous donnera l'equation V = U ( 2 ) Z (X X, I Y, YV + Z,,, ) -- 0, V=I qui devra etre Terifiee pour tout deplacement 3,X, O v,, J compatible avec les liaisons. On pent dire que c'est l1 l'6quation g(nerale de la Statique. 179. MIultiplicateurs de Lagrange, - Entre les deplacements des points M existent h relations qui s'obtiennent par la differen

Page  250 *.')O DEUXIllIE PARTIE. - STATIQUE. tiation des equations (i), savoir iO/ O/ /, Z/h /. i - -- dy-r-y- l i di -- Oi-... - -- Od n = 0, /,I c)i h & O 3,, Ox', 1 U 1.3 l U.', (3i) sont tern des par es dqua ions (3), les variations - dait ntes. Pourl trouer l cnditions d' libre nos eploierons c ios (3 resnte t s 3/zv vaar ons des coordonnees montLent que k de ces vTariations peuvent etre clloisies arlbitrairement; nous appellerons -es iuation () dvterictinons rbilries, et les autires, cui sont determinees alear les equations (3), les v variations depnclaln tes. lPour trouNver les conditions d'equilibre, nous emploierons la lethode des indelerm-inees de Lagrange: mulLtiplions les h equalions (3) respectivement par cdes coefficients A,, ),.-.., *h I e ajoutons-les a e'cquation (2); determinons ensuite ces multiplicateurs de facon a annuler les coefficients des i \variations d'ependantes; il faudra alors qce les coefficients des k variations arbitraires soient nnls aussi; en definitive, il faudra pouvoir determiner les ), de facon a annuler tous les coefficients, et 'on aura les 3?, (qulations simultanees X.,- ), ' y 2 d - ) O' " "' '+' 3'/" ' - o o O xO Of,, Ao -H v..H Z,, 0 i - -O. -,+..-+- =,/ o,,3 O., d^ ces equations jointles aux h eqtuations de liaison (i) donneront un total de 3/ A eh Ctations qui dettermineront les 3 n coordonnees et les h inconnues aLxiliaires )\. Telles sont les equations genetrales de la Statique. Les ), une fois connus determlineront les Jorces dle liaison; on voit, en effet, clue les equations de l'eqitlibre ne changeraient pas si l'on supprimait la liaison f = o, et si 'on ajoutait aux forces donnees agissant sur le point AI,, une force ayant pour projections

Page  251 CIIAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 2)I " 0-' \, b)-j7i,,,-; cette force est done l'effet de la liaison sur Ie point AI,: c'est ce qce nous avons appele la force de liaison. Nous avons inmmediate ment sa grandeur; sa direction —? —, o est normale a la surface obtenue en supposant clue, dans l'dquation f = o, on donne a toutes les coordonnees, sauf x, y,, z,7 les valeurs numeriques qui correspondent a la plosition dcequilibre, x,, y,, zv etant les coordonnees courantes. Exemple. - Appliquons les considcerations qui prec6dent a l'equilibre ('un polygone funiculaire de 7n cotes dont les extr6niitc s sont attachees en deux points donnes: les 6quations de liaison sont ici au nombre de /1, savoir V(X,'- Xv+i ) (vY, — yv,+)2 (Zv-,- l )2- - 1 = 0 (v o, 1, 2,..., * - ), les coordonnees xo, yo, zo, x., ry,z,Y, z-z ( otalt donnecs. Les dquations geinerales d'equilibrc seront x,-.- ), )-.,r. -. i X,,-i Y,v — ' - -./ - = O -> ' j',v - -i ) U,,v- 1 -Z +- v i 1 - )"2 --- ~) ' V-_. ' Iv ce sont bien celles qu'on dcrirait par les mtllhodes elemenltalrcs en exprimant que la force F, fait equilibre aux tensions cdes deux fils qui aboutissent au point M,. Les coefficients des ), dans ces 6quations etant les cosinus directeurs des c6t6s du polygone funiculaire, ces ), sont les valeurs absolues des tensions, celles-ci etant d'ailleurs dirigecs suivant ces cotes; on voit bien qu'elles sont normales aux surfaces \X>,) - X/) ~I4 ( 2 J >)- t' -- (-3v~l)2 -- 1l, ou 1 -i, on x>,, y,,, sont seules variables, luisque ce sont; 1a deux sphercs ayant pour centres IY,+l et MV-l. 180. Reduction des equations d'6quilibre au nombre minimum. - La nmethode que nous venons d'exposer est impraticable lorsque le nombre des points du systeme et le nombre des liaisons sont tres considerables: on pett chercher a ramener le probleme

Page  252 :9.5' DEUXIENIE PARTIE. -- STATIQUE. a la resolution clu plus petit nombre possible d'eqcualions; c'est a cuoi 1'on arrive de la facon suivante. Nous avons vu que la conf:iguration du sysle6s c depend en g(neral de k parametres; nous prendrons pour ceux-ci dces fonaLions des coordonnees convenablement choisics qi fJ /+l (l,.. *j (XI) ees egallites, jointes aux A - 3 / A' equlations de liaison, permettront de determiner les 3 n coordonnees en fonclion des IparlamnCtres c/:r, --?v(T, q9^... *, ),, v- +~( i1, * * * * 7/, ). En donnant a ux A paralliercs des accroissements quelconqucls, on obtiendra toujours Ln deplaccment compatible avec les liaisons, car, d'apres la facon dont on a foirme les fonctions o,, 7S les ccquaions de liaison sont satisfaites cqels que soienl 1,.... ql,. On aura ainsi Ovq ) ).0o,, )., ox 2 - 0 i - -- 0 l4- / *.. rjq/ &q i 9-~2 Oq' C. 4 ___ _^. _ ^ 0 - _ _. 7//c jZI = -- < I - -q, — - * * + - -- ot q; en portant ces valeurs tdans l'eiuation,'enerale ce la Slaliqcii V (X, o'O, -4-. Y+ ~,y.',, z,,,,, ) - () elle prendra la forme Qi q 1t - + Q, -.. + - Qx.,C/. -= o avec V i= 'Qj. - i)q Oq q_ Oqj V=l Leqcuation preecdente, devant etre satisfaite quels quc soient

Page  253 CIIAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 953 oq/, q2,... oq/, exige que ]'on ait siniultandment Q1 o, Q.-o,..., Q,= o; ces k equaltions dcetermineront les valeurs des parameitres q qui correspondent L' la position d'ecquilibre. Ces rdsultats ont une forme interessante quand l'expression du travail virtuel Qi Q1~- 9 -..- Q/. q/,, L (,, Q,..., Qi sont exprims ei fonction des q, est Ia difftrcnticlle lotale exacte d'une fonacioll U de q, q,:..., q/, c'esta-dire si l'on a C) CE)u - u AlJ Q U O2 Uq OUj ies eqlations d'ecquilibre sont alors celles qui'on ecrirait si l'on) voulail chercher les maximna e les minima de la fonction - U nous dleon trerons en IDynamique que, si, pour un systeme determine de valeurs des q, cetle fonclion Ul est rellement maximum, la positionl d'eqlilibre correspondanlte est une position d'quilibre stablle ( Lejeune-DirSicllet). Ie cas o0t il Y a tine fonction de forces, c'cst-Li-dire ce!ui oui (st la diffllrentielle o tale exacte d'lune fo lction die xy,:.}'.,, o o, X Y,,, I '2 renltre dans eelii qclue nous venons d'ltulier, car, si l'on remplace les coordonne's et leurs differentielles par leiurL valenrs en fonecion des q et des o(q, lexpression COnsi(lcr'ie reste une 1diffrentielle totale exacte. Mtais la rdciproque 'est pas vrai e i p et se faire (qu Q, 0i -/- KQ ) q' —.. - Qa- - /,soit un;e difrc l exacte. sans qu'il v ait une fonction des 1() i'Ces. '8o. A.pplica'tionro Sysrtmae pesaito - )Quand Ie sys5teime dont on clherche les positions d'eduilibre est soilliciit uniqduement par ila pesanteur-, corn; e force directement ap1)liqIce il existe fvitdelrnent une fonction des forces directement appliqules. En effel, ln sulpposant uin axe 0z vertical, dir igo vers le bas, le poids cd' n

Page  254 ')j - DEUXIE ME PA\ ITIE. - STATIQUE. point mi du systeLme est mnig et le travail virluel de ce poids mi, Ig zi; la somme des Lravaux virtuels des poids est done en appelantL l'ordonnee clu centre de grav ilet. Les positions d'Cquilibre sont alors celles qui annulent o'; ce sont celles qu'on Lrouverait en cherecant les maxima et les minima de C consid(dre cornmme fon onti des A/ parametres geomelttiqcuement indedpendarts q/, q_,,.., c/,, q(ui definissent Ia position du systeillc. Exemnples. - io Clicrclions lcs positions d'cquilibre d'une barre oomno-,gne pesante ABI (Jig. 124) (lont les xtr'Cmit's g'lissent sans frottcmcnt Fig. 14''. A' G' B' P' F' a I' sur une conique donit 'axe focal esl vertical (systLme avec un dcgir tic liberte). On a d'abord comme positions ld'quilibre dvidentes les positions horizontales, si elles sont possibles. Pour trouver d'autrcs positions ld'dquilibre, considdrons une directrice DD', et soient AA' ct B13' lcs distances des points A et B i cette directrice. La distance a la drioite DD' du centre dc gravit6 G, sitti anu milieu de A.B, est Or, en appelant c I'cxccnltricit et F le fo-cr colrresp)ond(ant a DD', on 1 r voit que AA' et 1313' sont Ctgau\ 'eCsj)ctivement i - Al\ ct - 1F, d'oi0 1 'o C C con clut GG' = - ae La distance GG' cst done maximuml ou miniinmuml en nmlmce tcilj)s que ATF -- BF, et cette dcrnierc somme est evidlemment minimum quand la droile A.B passe par le foyer F. Done, si la droite peut passer par un foyer, chacune de ces ]positions est une position d'equilibre. IJans le cas de la fig'ure,

Page  255 CIIAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. '.35 lorsque la droite passe par F, elle est en equilibre instable, car dans cette position le centre de gravitd est plus laut cue dans les positions voisines elle est en dquilibre stable quand elle passe par Iautre foyer Fi, comine on le voit en prenant lautre directrice D D'. 20 Une chainette pesante, bomogene ou non, dont les extrdeitds sont fixes ou assujetties S glisser sans frottement sur des courbes ou des surfaces fixes donnees, prencd une position d'equilibre qui est, parmi toutes les positions que peut prendre la chainette, celle qui rend la iauteur (lu centre de gravitd maximum on minimum. Par exemple, de toutes les courbes homogenes de longueur donnee I passant par deux points fixes, celle dont le centre de gravite est le plus bas est la chainette preccdelmment determindc (n~ 152). On en conclut que si, dans uni plan, on prend in axe fixe Ox et deux points fixes A, B, de toutes les courbes de longueur I situees dans le plan c t parnt les deux points, celle qui, ie tournant autour de Ox, engcndre laire minimum est une clainette; on le verifie d'apres le theoreme de Guldin, car l'aire engendree tant 1. 2a7GG' atteint son minimum en 6nme temps que GG'. On peut laisser de c6t6 1a condition relative a la longueur ct retrouver ainsi, du moins en partie, un resultat de6jc obtenu. Parmi toutes les courbes situees clans le plan et passant par AB, celle qui engendre 'aire minimum est une ccrtaine chainette; en cffet, soit C cette courbe, elle est, en particulicr, parmni toutes les courbes de meme longueur qu'elle, celle qui engendre l'aire minimum; c'est done bicn une cialnette ayant sa base parallele i Ox. 11 restcra a choisir pairmi toutes ces chainettes en nombre infini celle qui donne 'aire minimum; c'est, comme nous l'avons v-u (no 159, exemple 1), celle qui a Ox pour base. 182. Principe de Torricelli. - Nous venons de voir, comme une consequence du principe des vitesses virtuelles, que, pour obtenir les positions d'equilibre d'un systeme pesant, il suffit d'egaler a z6ro la -ariation de la hauteur du centre de gravitd. Lagrange a fait la remarque importante que si, avec Torricelli, on admet commne un principe evident cette condition d'equilibre d'un systeme pesant, le principe des vitesses virtuelles en resulte dans toute sa gencralite ( ilecaliquce anclyticjue, Section I et Section III, ~ V). Soit, en effet, un systeme de points M11, M2,..., I, assujettis 5 des liaisons donndes et sollicites par des forces donnees F, F1,..., F,, (fig. I25). Consiidrons une position determinee du systdme dans laquelle les points occupent des positions Ml1, /lZ,..., 7nn,, les forces ayant les valeurs/ fi 2,..., f,. Sur la direction de f,, imaginons un point fixe O. a une distance 72O, 0, = 7',. Si 'on dcplace infiniment peu le systeme S partir de la position determinee considcree, 7n, viendra en 71z, et ]e travail iirtuel de f, sera -f.,^ c a, car onl a evidemment (n0 89, exem)ple 3) 10", -- -2 ~7M cos (/f. 712/ ').

Page  256 9-, 6 DEUXIEME PAR;TIE. - STATIQUE. ]La somme des travaux virtuels des forces f est done 11 s'agit de prouvre que la condition necessaire et suffisante pour que la position particulie c consid(eree soit une position d'cquilibre est G = o. Fig. I2. 0 ()l II 1 '., 2 'our cela, remarquons que nous 1)ouroils renlplacer laction de la force fc par la tension d'un fil inextcnsible, attachel en m,, passant sui ince poulic infinillenlt petite v0 ct supplortant un poids tenseur p1 6gal a jJ,. Si nous faisons cetle op(lration pour chaque force j;, nous remplaCons le slys[tee propos6 par un systemne pesaint, Ie svsteime primitif ne scrvant plus qu'a eta0lir des liaisons entre les poids p7v. Le systemue pesant sera en cquilibre ou non d1ans la position consi(cdre, si le systCme primitii' est en cquilibre ou non dans cette mnme position. Or, pour que le systeme pesant soit en equililbe, il faut ct il suffit que la variation 1c de l'ordonni e cu centre (le graxitld dcs poids p/ soit nulle; cctte variation cst dounde par PO, = -0I pnO -)/ I'axc des z ctant vertical veCs Ic bas, ' dcisignant le p)oids total (t li, 2,....,, es coordonii( es (des ce jtre s (le g 'r ite des p oidsp l, p 2. P., p /. II cst cvident que 8 et Cgal a - 6 /,, car le fil miOvpl> a une longueur constantte; on a done i' 8~ - (-: pvt r,,.... -~Pi )' > - /iv ',a lpuisque p~ est c6gal a / o. tPou qOc lc systlnee pirimlitif soii en (quililbre, i laut ct ii suffit quc 'n o, c'est-a-dire que qe ( =o pour tous les deplaccmIents comnpatibles avec Ies liaisons, cc qcii est le prinecipe des vitesscs virtuelles clas d sa g(.ralite. R]?erclqcje. - Si l'on placaiL le s steme materiel avec les fils et les poidps i,p,..., p,, dans une position qucelcon.que I1, 91,...A, M, autrc lue la position particulieCe considr1el'(, lcs forces donnies sereaient F1,:2,..., F/, et les tensions des coirdons Ii 01, iO2,... seraient des forces pi,], p, i, p entierement diffrlentes en grandeLu, idirection c: sens de F1, F,,... F, Ce n est que dans la position particuliere consile6ree i1 l,..,..., /l qule les forces donndes fc deviennent cgales aux tensions, de sorte que, si cette position est uni position d'equilibre du

Page  257 CHAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 2.37 systeme sous laction des forces donnecs, elle 'est aussi sous laction des tensions. Mais comme, de6ja dans la position infiniment voisine de ml, /n2,..., m,,, les forces F, sont differentes des tensions, il peut arriver quc cette position particuliere soit une position d'equilibre stable du systeme sous Faction des forces donnees F, instable sous laction des poids p,. On trouvera dans les Excrciccs (n~ 6) quclques propriteds d'une position d'equilibre d'un systnle analogues a celle que nous venons d'exposer en detail, notamment une propriete due a GAUSS et a IN1oBIts sur le minimumn de la somme des carres des distances. 183. Application du principe des vitesses virtuelles a 1'equilibre des fils. - Soit ds un delment du fil, X ds, Y els, Z ds les projections de la resultante des forces exterieures appliquees a cet element: pour un (eplacement virtuel OX, Oy, 3.z imprinle l' lemenent, le travail de cctte force est (X G -1- Y G? - Z ) Cs; x, By, zy devront etre considrlees comrnre des fonctions de l'are s, car chaque element du fil subit un deplacement variant avec la position d( I'element sur le fil. Pour l'Fquilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels 1 <(N - Y (X. <-Y~ —Zr) cs soit nulle pour tous les dIplacements compatibles avec les liaisons. Supposons, pour fixer les idees, le fil attache aux deux bouts; alors Gx, 8y, 0 -s'annulent aux deux limites de I'integrale; de plus, le fil 6tant inextensible, on a /~(I ~~ d.' /.,.\2 (d 2 (/ / 2 cl -(S) ~/ s s) /(7 0, t1'ou, en ecrivant que la variation du premier mem-bre st nulle ct remardx qluant que la variation d'une derivle telle que -u cst -g'ale i la derivde de d oG dUs dcx d (xr C/ d c/ ) dz dc- cG cls cs U ds cls cls cls Cette condition montre qu'on peut prendre pour' Cx el oy des fonclions arbitraires de s s'annulant aux limites o et l; oz est alors dternmine par la relation (2) jointe i la condition que 3z s'annule aux limites. D'aprls cette relation (2), on a, en designant par X une fonction pour le moment quelconquc de lare s. ( -- Y + z ) ds - (-l- sd ox -- d ' -t- d I-. '7~~~~~~CS I I, 7

Page  258 g.28 DEUXIEIE PARTIE. - STATIQUE. l5n integrant les derniers termcs par parties, on a des formules comnincelle-ci lr dx I dx, / (< CIA dx /j dss d oX = \ A - \- \ j d j c-) il'oi, comnne la partie intdgree est nulle aus linites, ' X ds - d (s -- d -- Z ds - d X ). Pour qu'il v ail dquilibrc, il faut et ii suffit quc cette expression i soil. nulle, quelles que soient les fonctions oxa, 8y et ) de s. Disposons de ) de facon a annuler le coefficient de O: l'expression restante devra etre nulle quelles que soient ]es fonctions Ox, 8y dans lintervalle o, 1; pour' cela il faut evidemment quc les coefficients (de ox et 3y soient nuls aussi. (Ce raisonnement est analogue i celui qui a (ct4 fait n~167). On a done les conditions d'cquilibre X dIs -(l, -= o, Y ds-d (> )di - o, z ds - d (\ cl c o, CdIs.r 'd d:As / \ds s ui sont identiques a celles qu'on a ('tablics directement, sauf le changeinelt de T en -. Ccs particuliers.- Supposons que X, Y, Z soient les deiriveespartielles par rapport a x, y, d'une fonction de x, ', e; t s, U(x, y, z, s), c)U O)U r dU.X - '- ---,Z - Ocx Oy ' c ( ) n a alo rs (r = (X 3.2X - Y y - Z ) s = (X, ) ds; ~-') r 0 la position d'equilibrc s'obtient done en chercllant les fonctions x, y' le s rendant maximlum ou minimum l'integrale {' U( X:y, s) Cds, sous la condition (i). Par exemple, pour un lil hIetrogene pesant, Ic poids de I'element ds est de la forme gS(s) ds; alors, l'axe des z etant vertical vers le haut, on a U = --;'( S),

Page  259 CIJAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 25)) et la position d'equilibre rend maximum ou minimum l'int6grale — g / z?(s)ds, c'est-a-dire la hauteur du centre de gravite. On a, en gdenral, pour determiner la tension, 1'6quation d -T- Xd dx - Y dy - Z dz = o, qui devient, dans 1'hypothese actuellc, O)U O U d, rT- - d - -x — y,- o dx dy Od 0z or, quand s croit de ds. on a l ()U O U U drU -- dx clx +,/ d y, cz + 77s ds, (10 il dl'oia dT -+- dU -. Uc s = o. ds Lorsque U est illdcpedctant de s, on trouve done T U -h, comme nous 'avons vu precedemment n~ 149. Dans ce cas particulier, U ind6pendant de s, la th6orie que nous venons de devclopper permet de retrouver les resultats obtenus directement dans le ~ II du Chapitre VT::es resultats se trouvent ainsi rattach6s au principe des vitesses virtucllcs. IV. - THEOREMES GENERAUX DEDUITS DU PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 184. Les liaisons permettent une translation d'ensemble du systeme paralel8e a un axe. - Supposons que les liaisons permetlent line translation d'ensemble de tout le systlerme parallelenenl a un axe que nous prendrons pour axe Ox. Dans l'dquation g'nerale de la Staiqcue appliqu'ee au syst;:'ie ( X, 8 r, X,- - -- Z,, -- - G ) )o,

Page  260 G6o DEUXII]EE PART1E. - STATIQUE. on pourra, en considerant ce ldeplacemen t particulier, sulpposcr 08- == 0, 0.3,, = 0, o, 1-= 8x.X..- GXI,; ce qui donne, en mettant en facteur cette valetIr commune des OXv VX- o. Pour l'quilibre dclI s)'sleile, il faut done alors que la somme des projections, sur laxe considclre Ox, des forces directement, appliquees soit nulle. 185. Les liaisons permettent une rotation d'ensemble du systeme autour d'un axe. - Supp)osoo s e les liaisons permettenl urne rotation d'ensemble dc loult lc systeme autour d'un axe qlle nous prendrons pour axe 0-. On a, en appelant r, et 0, les coordonnees polaires de la projection dc point x,,,, y,,.z, sur Ie plani ' Oy, xj=,- I coso 0, Yv),= r, sin 0,; pour inprimerau svstlemce Ic dceplacement considcer, il faut laisser r c.t ze constants et faire varier tons les angles polaires 0, d'line mllme quantite (0; on a ainsi, pour ~x,,;y,,, f_,, les valcuIrs O8x~,:- - \v sin O, G0 -- -' - ',0, 8', —. -X SO, 0zv - o. La somme des travaux virlu'ls des forces directement appli(uiLes est, pour cc depllacemenl iplarticulier, z ( X>, +,, + r, - ^ r );o Y. - ( y,,X,,): elle est done ae gale au Irodlit de 0 par la somme N des momenls des fores s directement appliqucees par rappo't 'i l'axe considdre. Pour l'dequilibre, ii faiit que cette somme iN soil nulle. On voit que la notion dii nmomnent par r:apport i unl axe s'introduit ainsi de la maniere la pilus naltrellie. 186. Les liaisons permnettent un deplacement helicoYdal de tout le systeme. - Prenons pour Lae O: ( 1'axe Idu mouvement hc li

Page  261 CIIAPITRE VII. - I'RINCIPEI D)ES VITESSES VIRTUELLES. '.6 coidal: soient o l'Fangle infmniment petit dont le svsltme tourne autour de Oz et 8z la quantite dont il glisse ]e long de Oz; posons;z f/0, f sera cc que nous avons appele ]a Jl/che du mouveinent helicoidal ou du miouvement de torsion. Le deplacement infiniment petit de clhaqle point d(a systLeme etant la somme geotnetrique de dplacement di h la rotation ct du drplacement du an glissement, la somme des Lravaux virtucls des forces directement appliquees est la somme des tra-aux qni seraient dus aux deux deiplacements envisages separdmcnte; on a done, pour cette soltme,: z,+ (XO (Y,-,Z,) O(N+/jZ), N designant la somme des moments par rapport i l'axe Oz et Z la somme des projections sur O. Pour l'Iquilibre, il faut done N- -/Z = o. Remarquee. - On retrouve, dans l'exprcssion de C, le moment relatif de deux systemes de vecteurs, 'un forme par les forces directement appliqu6es, l'autre avant pour axe central l'axe Oz du mouvement helicoidal, pour resultante gienerale O0 et pour mioment minimum oz = J= 9 (no 21 bhis). 187. Application aux conditions dL'6quilibre d'un solide. - Dans le Tableau qui suit, nous appelons X, Z, L, L, N les projections sur les axes de la resultante generate et du moment resultant des forces directement appliquees a un corps solide par rapport 'a I'origine 0. Nous indiquons de plus le nombre des degre's de liberte d'un corps solide assujetti aux diverses liaisons considerees. Pour un corps solide libre, ce nombre est six; car la position d'un solide libre depend des trois coordonnees x0, y 0, 0 d'un point 0 fixe dans le corps et des trois angles indcpendants (les angles d'Euler, par exemple) qui dlterminent i'oricntation d'un triedre trirectangle Oxyz lie au corps par rapport ai un triedre fixe 0 x yz sz.

Page  262 *t)9 D EsEU I ME PA.RTIE. - ST ATIQU E. NATURE des liaisons. Aucune........ Un point fixe 0. Un axe fixe Os. Le corps tourne autour de Oz et glissele long de cet axe.... II repose sur le plan xOy: i~ par un point 0............ 2~ par plusieurs points sur Ox. 3~ par des points non en ligne droite........ DEGRES de libert'. 6 3 DISPLACEMENTS POSSIBLES I CONDITIONS D'EQUILIBRE en nomibre 6gal aux (legrcs de libert6. parallles a autour (de Ox. Oy, Oz Ox, Oy, O X — Y Z — =L -= N - o Ox, Oy, Oz L = MI = N = o 1 - 0 - N o Oz Oz Z — N -- ( Ox, Oy Ox, Oy, Oz. X Y = L -= M --- N - o 4 3 Ox, Oy Ox, Oz X - - Y = L -- N o Ox, Oy Oz X =-Y= N - ( V. - APPLICATIONS GEOMIETRIQUES. 188. Surfaces en coordonnees normales. - Soient 7i surfaces fixes S1, 2,..., S, et M un point dont les distances, estimnes normalcmernt aux surfaces fixes, sont r1, 72,..., r7'. Une equation de la fornme (I) j'(,'i, '2,...,,'7,)= C0 represente une surface S, lieu du point MA, dont nous nous proposons de construire la normale. Pour cela, imprimons au point un cidplacement arbitraire MMI' sur Ia surface S, et soient 8/i, Sr2,..Sr,, les variations dcs distances 7'1, 72,..., r,: conmme la relation (I) continue 'a Otre satisfaite, on a (2) f./,. T /. (2) -- + + 01-...4 —. 0, 0, ' 0/-,, + 07' o - oI'.-) 52 "~ "'

Page  263 CIIAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. '>.6'-) iquation qui s'interprcte de la facon suivante. Portons, a partir de M1 sur la normale MP1 ou r7 a la premiere surface Si, un segment IMFI dont la valeur algebrique estimee positivement dans le sens MP1 soit portons dle mnme, a partir de I sur MP2, un segment MFa2 dgal — i,..., sur Ml',, 4i/ un segmient iIF, edgal a - L'(quation (?) exprime que, pour un ddplacement IMM' effectu6 sur la surface S, la somme des travaux des forces ki, F,..., F,, est nulle. En effet, l'une quelconque des distances MPI a pour expression, en coordonnees rectangulaires, 7'i = ( ~-i)2 -- ( - bi)2 -- (Z - C.),:, ', z ddsignant les coordonnues du point Mi, ai, hi, ci celles du point l'i, pied de la normale. Pour un rdeplacement virtuel dcu point AM, nous aurons 8i (x - ai) ) (x- y - ct. ) 1) ) (j - bi) - (z - ci) 8 ( - c) que nous pouvons ecrire -- ai -, y-hi -c x -, Z: ai - ).. -ci 0/ -i o- -vc -- 0 ------- C.i -- -i o -.- 'Ci. 17i 7i 7 /i ri 'i / i Mais le point Pi se dclplacant normlalement a la direction MPi, noius Iaurons,x7,-a, y- bi -- C * oa/ -I- -- bi - - -i - I = 0, 1'i 1'i 'i et l'expression de i'i se rdduira ai m.- ai b Y -)i.-C 07/i =- x - ------- -y + --- 0. 7'i 7'i i'i Or les projections de la force Fi sur letros axes ctant O/ r- 'x or-i 7'i b,, i -,y Of ci - m-f 1i1-7- 0y,1 _ i Ile travail elementaire de cette force correspotnOr'i 7'i -ri 7i dant a un d6placement rx, By', o_ dul point M a pour expression O)f (aI -x bi -y ci -z 07i 7i 7'i i'i c'est-a-dire -- o. La somme des travaux virtuels des forces Fi, F2,.., F,, est done ep i - 4- -i Or/. af 0ri d7r.) d0 i) expression qui est bien nulle d'apres (2).

Page  264 2G, DEUXIEME l PAIRT1 E. - STATIQUE. L'6quation (2) signifie lone que la somme des travaux de F1, F,.., 1F, est nulle pour un deplacement effectu6 sur la surface S: cc qui prouve que leur resutltctate est 71normale a S. On a ainsi une construction simple de la normale. On voit aussi que le plan tangent 'L S au point M reste Ie mem-e quand, sans changer l'6quation f(ri, I'',.., l'r) = o, on substituc aux surfaces Si, S,..., SW, d'autres surfaces S', S',.., S, tangentes ai\ premieres en P1, P,.., PP/. La proposition que nous venons d'etablir donne immdediatement la tangente aux coniques, aux ovales de Descartes, aux ovales de Cassini, etc. '189. Centre instantan6 de rotation. - Soil, dans un plan, une figure de forme invariable dont deux points A- et A2 sont assujettis a glisser su l ties courbes donnees Ci et C,; un troisieme point MI de cette figure et sollicite par une force P situde dans le plan; clerclons les conditions (l'quilibre ( fig. 26). Fig. 126. /\I I l)'abord, si 1'on applique le principe des vitesses virctuelies, ia sculet force directement appliqu6e etant P, pour qu'il y ait equilibre, il faut et il suffit que pour un deplacement compatible avec les liaisons, c'est-a-direl obtenu en faisant glisser Ai et A2 sur GC et C,, le t7raail de P soit nul, ou encore que P soit normale a la courbe decrite par le point Mi. D'autre part, la figure invariable MAiA2 peut etre regoardee comme libre sous l'action de la force P et des reactions normales N1 et Ns des deux courbes C1 et C2. Puisqu'elle doit etre en 6quilibre, ces trois forces sont concourantes et P pas paar le point d'intersection des reactions normales N1 eti N,. En rapprochant ce r6sultat du pr6ecedent, on voit que la normale a la courbe lieu du point MI passe par le point de rencontre des normales aux courbes decrites par Al et A,, ce qui est la propriet6 fondamentale dul centre instantand de rotation. 190. Theoreme de Sch6nemann et Mannheim. - On peut, d'une n aniere analogue, etablir un th6ormle qui est la gneralisation du precedent pour un deplacement dans Fespace. C'est cc que nous allons montrer, d'apres MI. Collignon (Traitd de dilecanique, t. II, 3" 6dition, p. 216). Soit un corps solide C dont quatre points Al, A2, A3, A2. sont assujettis a glisser sans frottenent sur quatre surfaces fixes Si, S2, S3, St,. Ce corps

Page  265 CtIAPITRE VII. - PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. ',)5 poss6de encore deux degr6s de libert6, c'est-a-dire que sa position dpen(d encore de deux parametres variables: en effet, la position d'un corps solide entidrement libre d6pend de six parametres; en 6crivant que quatre points du corps sonu assujettis a rester sur quatre surfaces fixes donn6es, on etablit quatre relations entre ces six parametres: deux d'entre ces parametrs es restent one indapendants. Prenons un cinquieme point M fixe dans le corps: ce point decrit aussi, quand le corps se deplace, une surface S; nous nous proposons de construire la normale c cette surface, connaissant les normales N1, N2, N3, N4 aux surfaces Si, S2, S3, S4. Pour cela, faisons agir une force F sur le point M t cherchons les conditions dl'cquilibre (du corps. Tout d'abord, en vertu du princi)e des vitesses virtuelles, il faut ct il suffit que, pour tout deplacemient compatible avec les liaisons, c'est-a-dcire obtenu en faisant glisser les quatre points A^ sur les quatre surfaces S, le travail de F soit nul; ce qui revient a dire que F doit etre normal a la surface S lieu du point I. D'autre part, le corps peut etre consiclder comme libre sous laction de F et des quatre rdactions normales N1, N2, N3, N4 des surfaces fixes; il doit done etre en dquilibre sous l'action des cinq forces F, N1, N3, N3, N4, ce qui exige, comme nous lavons vu (n~ '11-, 3), que ces forces rencontrent deux memes droites A et A' rdelles ou imag-inaires. En rapprochant cette condition (le la precedente, on voit que la normale a la surface S et les normales aux quatre surfaces S1, S2, S3, S, doivent rencontrer deux memes droites A et '. D'oI la construction de la normale a S en iA: on construira les deux transversales A et A' s'appuyant sur les quatre normales N1, N3, N3, N4,; la normale cherchle sera la droite passant par M et s'appuyant sur A et A'. Nous n'insisterons pas sur les cas particuliers qui peuvent se presenter ct nous renverrons le lecteur, pour I'etude de cette question de Geometric, aux Lecons sar la theorie gCleIrale des sucfaces, par M. Darboux (t. I, Chap. VII). EXERCICES. 1. rVrifier que, si deux points AI(x,j, z) et M['(x',y', ') d'un systtme sont relids par un fil inextensible et sans masse passant sur nlle courbe C, la somme des travaux des forces de liaisons (tensions du fil aux points AI et MI') est nulle pour un ddplacernent compatible avec les liaisons. (Reponse. - Appelant A (a, b, c) le point on le fil s'appuie sur la courbe, ct; T la valeur de la tension, qui est la meme tout le long du fil, on a, aprds r6duction, pour la somme des travaux des tensions agissant sur les points M ct AI', 1 |I(a- + c0( ) a ( T, ) +C-,- (A I + A CX') -, c'est-a-dire zdro, car l'dlement ds du fil sans masse qui se trouve en A 6tant en equilibre sous 'action des deux tensions aux extrdmitds de cet 6elment et

Page  266 >66G DEUXIEIME PARTIE. - STATIQUE. de la reaction normale dc la coLrbe, cette reaction cst bissectrice de langle MAi'.) 2. Vdrifier le mnme fait si les deux points MA et Al' sont rclies par tin fil sans masse glissant sans frottement sur une surface fixe S. I[ e fil se dispose suivant une partie rectiligne IMN, puis sur la surface S suivant une ligne gdodsique \AX' Ct enfin suivant une partie rectiligne A'MA'; la tension du fil a tout le long du fil une rnmen valeur T: ces propridets tiennent t ce que, le fil etant sans masse, les forces qui lui sont appliquces se font Cquilibre. Appelant (a, b, c) et (a', b', c') les coordonnees des points - et A', on a I V q- arc A A' -- \V'MJ' = const. Si l'on imprime au systeme un deplacement virtuel compatible avec les liaisons, on amene 1are A V' en A e, e,, et, en essayant de vdrifier que la somme des travaux des tensions en AM et M' est nulle, on arrive,' la relation gdometrique 6 arc AV +' - AkX cos, \ \' -- V ' \' cos 't k' \ - o, exprimant une propriete des lignes gdodsiques d'une surface. ( Excrcicc ' la fin tlu Chapitre precedent, dans le cas - i I.) 3. Un disque, limitre par une courbe C, se meut dans un plan: un fil sans masse attachd en un point AM du contour C du disque est enroule sur le disque, puis tendu jusqu'en un point M' du systime ol il est attache. Vdrifier que, pour un d6placement compatible avec cette liaison, la somme des travaux des forces de liaison est nulle. (11 suffit de remarquer que la liaison rentre dans une des liaisons examinees dans le texte, car le point MI' est assujetti a glisser sans frottement sur une des developpantes de la courbe C; on pett aussi rep6ter le raisonnement de la page 236.) 4. 'quilibre du cric simple: machine formde d'un pignon de rayon a, que l'on fait tourner sur son axe au moyen d'une manivelle de longueur b; ce pignon engrene avec une barre rigide denLte, de maniere qu'en tournant sur son axe il oblige la barre a se mouvoir dans le sens de sa longueur; la puissance P est appliquee perpendiculairement a l'extremitd du rayon de la manivelle; la resistance s'oppose au mouvement de la barre. (Condition d'dquilibre Pb - hla = o.) 5. Treuil differentiel. - Cette machine est formee de deux cylindres de mime axe invariablement lids entre eux, mais de rayons differents r et r'; la corde, qui porte une poulie, s'enroule en sens contraire sur les deux cylindres. La puissance P est appliquee perpendiculairement h une manivelle de rayon a, la resistance R est un poids suspendu a la poulie. [ Condition d'6quilibre 2aP = (r- r') R.] 6. Principe du imilnimum de la som7ne des carlres des distances (A OBIUS et GAuss, Jourzal de Crelle, t. IV). - Soit un systeme de points Al,, MI,..., M,, sollicit6 par des forces P,, P.,.., P,,. Le systeme dtant en equilibre dans les posi — tions mi,,.,,..., In,, ou les forces sontp,,po,...., p,,, prenons, a partir du point m,,

Page  267 CIIAPITRE VII. -- PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES. 9{67 sur la direction de la force p,, une longueur nL 0, 6gale a,' it pair tie di m sui la direction de p, une longueur nl, 02 egale 't L, ~* *, IA ddsignant une constante dlifferente de zero. Considcrant ensuite une position quelconque IM, M,,..., l,, du svsteme, faisons agir sur les points AI,, AI2,..., M, des forces P', P,., P,, dirigees respectivement suivant les droites Mi O,, M 0,,..., AI,, O,, ct 6gales at/ I, A O,,/c M1,0,, /cMI,O,,. Sous laction de ees nouvelles forces, le systcme est encore en dquilibre clans la m6nme position n11,, in,,..., M,,, car dans cette position speciale les forces P',, P',..., P', coi'ncident avec P,, P,,..., p,,. Comrne le nouveau syst6me de forces P', P,..., P,' derive de la fonction des forces T -=. / - k (M 6 4 ~2 +... 4- I ~ l A,,? on voit que la position d'6quilibre consideree rend cette fonction maximumr oi mininmum en g6enral, et que, clans tous les cas, la variation de la fonction T s'annule pour cette position d'equilibre. En appliquant cc theor6me au cas le plus simple, on voit que, si un point in' est en 6quilibre sous Faction de trois forces tmn 0, i, i0,,, 0, cette position d'6 -quilibre est la position du point M pour laquelle la somme LM^ O,+oAl-j + ~ oK, est minimum, cc qui est une proprietet bien connue du centre de gravit6 du triangle 0,0,0,. 7. Eni geercal, considerons un, systeme de points matdriels MI,(a,, zJ), M,2 (2,7 y,2 Z2,) * * * 1 I,(XiL, yL, z,) assujettis aC des liaisons donnees independantes du temps et sollicitds par des forces directement appliquees, le point Al,, par des forces que nous supposons, pour simplifier, reduites a une force P,(X,, Y,, Z,), le point MI par une force P (X,, Y,, Z,.... Soit, pour ce systeme, une position d'equilibre determin6e dans laquelle les points IA,,... M, occupent des positions determinees nl, n,,..., nm,, de coordonnees (a,, b,, c,), (a.c, b,,, )..., (a,,, b,, c,,), les forces correspondantes 6tant des forces determinees p,, p,..., p, tie projections respectives (A,, B,, C,), (A,, B,, C),..., ( -,,, -13,, C,,). Formons une fonction U de x,, y,, z,; x,, y,,...; x,, y,,, z,, dont lcs dec)U t U O)U rivees partielles —,-, 0- prennent les valeurs A., B,, C; (i=, 2,..., n) quand le systnme est clans la position d'dquilibre considdere, c'est-a-dire quand les coordonn6es x, y, z; x, y, z,;...; x,,, y,,, z,, prennent les valeurs a,, b,, c,; a,, b,, C2;...; a,, b,,, c,. Le meme systeme, sollicite par des forces P', P,... P' d6rivant de la fonction des forces U, sera encore en 6quilibre dans la mermc position Mi,, 721,,..., n,, car, dans cette position, les forces P, P',..., P' coincident avec p, p,..., p,. Done la fonction U est en genrral maximum ou minimum pour cette position d'equilibre et, dans tous les cas, sa variation s'annule pour cette position. 8. Un double cone pesant forme par la reunion de deux c6nes egaux accoles par la base est pos6 sur deux droites qui se rencontrent et sont egalement inclinees sur l'horizon, de facon que le centre de gravit6 du c6ne se trouve dans le plan

Page  268 9.G8 DEUXIiEME PARTIE. - STATIQUE. vertical de la bissectrice de l'angle des deux droites. Condition d'equilibre (systeme pesant, 6- = o). Geometriquement, il faut et il suffit que le plan passant par Ie centre de gravite et les deux points de contact du cone avec les droites soit vertical, ou encore que 'intersection des plans tangents aux deux cones, aux points de contact, soit liorizontale. -Analytiquement, 2n ddsignant le demi-angle au sommet des cones, c l'inclinaison du plan des deux droites sur lhorizon ct P la moiti de 'angle des plans verticaux menes par ces deux droites, on a la condition tanga = tang m tang [. (H. FLEURY, Annales de Almatle'nmatiques, i854. ) 9. Comme application de ce fait, que lon obtient l equilibre d'un systeme pesant, en ecrivant que la variation de la hauteur G du centre de gravite est nulle, demontrer que la surface libre d'un liquide pesant en equilibre doit Ltre horizontale. (Supposant 1 la surface libre une forme quclconcue, on rmontre par le calcul des variations, que, pour que 8o soit nul pour toutes les deformations de cette surface qui n'alterent pas le volume, il faut que la surface soit un plan horizontal.) 10. Si les trois points oi n, mn, 7:, sont lids de telle facon que l'airc (1u triangle mn7zm,2nm soit constante et si trois forces P., P,, P3 agissent sur ces points, il faut et il suffit pour l'equilibre que ces forces soient perpendiculaires et proportionnelles aux c6tes opposds du triangle. Si quatre points sont lids de telle facon clue le volume du tdtraddre dont ils sont les sommets reste constant, et si quatre forces agissent sur ces points, il faut et il suffit pour l'equilibre qu'elles soient perpendiculaires ct proportionnelles aux faces opposees du tdtraedre. (C. NEUMANN). 11. Dans un plan vertical, une barre homogdne pcsante 0A est mobile autour d'une extremitd O qui est fixe: un fil est attache en A, passe sur une poulie infiniment petite B situee sur la verticalc de O et porte a son extrdmite un contrepoids Q glissant sans frotternent sur une courbe C dans le mdme plan vertical. Que doit etre cette courbe pour que le systcme soit en equilibre indiffdrent? (Pont-levis de Bdlidor.) [I1 faut que le centre de gravitd du sysltme se dcplace horizontalcment: prcnantB pour origine, on Lrouve une equation en coordonnees polaires de la fornie /2 — r(a + b cos0-) -c = o. Ovale de Descartes, cans un cas particulier, c - o, limacon de Pascal.] 12. WMme question en supposant que la courbe C passe par B et que le fil, au lieu dcl'tre tenlu en ligne droite, soit tendu sur la courbe (CycloTde). 13. Position d 'quilibre d'une barre homogdne pesante de longueur 2a situdc dans un plan vertical, s'appuyant d'une part sur un point fixe 0 le long duquel elle peut glisser et, d'autre part, par une extrdmitde contre un mur vertical. (6 = o. Le point 0 etant a une distance b du mur, on trouve pour l'equilibrc 3 0-X= \/ab', quantitl qui doit 6tre infdrieure CI a.) 14. Une tige lhomogne pesante AB de longueur 2a repose, d'une part, sur Ic bord d'une demi-circonference de diamntre a21 horizontal et, d'autre part, sur Ic fond de la demi-circonference par une extrdmitd. Eiquilibre (L'inclinaison i de la

Page  269 CIHAPITRE VII. - P'INCIPE DES VITESSES VIRTULELLES. '2(!) barre est donnde par 1 Cos2 i- a cost - 2 - o; pour la possibilit6 il fauL a ~z. RG > -. 15. Dans un plan vertical on trace deux courbes fixes C et C': deux points matdriels pesants de masses mi et m' glissent sans frottement sur ces courbes et sent rattachs l'un a l'autre par un fil inextensible et sans masse passant sur une poulie infiniment petite 0. L'une de ces courbes etant donnee, que doit etre l'autre pour que l'equilibre soit indifferent? (Prenant un axe polaire horizontal, il faut et il suffit qtue 1 O/m sin 0 -- 721' 0i' sin0' -= const.) 16. On considere deux tiges pesantes homogenes 6gales AB et AC articulees en - ct on les place tangentiellement a un cercle dans un plan vertical, de telle facon que le point A se trouve sur la verticale du centre. Positions d'equilibre. (21 6tant la longueur des barres, a leur inclinaison sur l'horizon, R le rayon dlt cercle, on a tang: -- tang l - o - o; une position; est-elle stable?) 17. Un triangle isoscele homogene pesant, dont les cotes egaux out une longueur a et la hauteur la valeur h, est place dans une splire de facon que ses trois sommets reposent sur la surface sphlrique. Positions d*6quilibre. (Wrighley.) 18. Un triangle equilateral homogene pesant ABC se trouve dans un plan vertical: un de ses sommets A est assujetti a glisser sans frottement sur une droite verticale Ox, et le milieu I du c6te AB est attache a un point fixe O de cette droite par un fil inextensible et sans masse. Positions d'equilibre. Stabilite. LEn appelant a l'angle de OM avec O x, on est rameene a chercher Ic maximumn ouI le minimumt d sin (.i- -+))19. Un disque elliptique homogine pesant, situ6 dans un plan vertical, est tangent a un axe horizontal str lequel il peut glisser sans frotteinent: sur le contour du disque est enroull un fil portant a son extremit6 un poids donnr. Positions ld'quilibre du systeme. ( On peut ramener le probleme a celui-ci: mener i une ellipse une tangente et une normale parallles telles que le rapport de Icurs distances au centre soil donnd.) 20. Une plaque homogene pesante, situee dans un plan vertical ABCDE, a la forme suivante: AB est une droite horizontale de longueur c - x, BC une verticale de longueur b, CD une horizontale de longueur c, DE un arc d'une courbe indcfinie inconnue F partant du point D et s'elevant au-dessus de CD, du cote du point A, enfin EA est une droite verticale. La plaque peut tourner librement autour du point B suppos6 fixe: elle est soumise a son poids ct a une force liorizontale donnee F appliqude en E. Quelle doit itre la forme de la courbe r pour que l'6quilibre ait lieu, quelle que soit la position de lordonnec limite EA, c'eslt —clire quelle clue soit la valeur de x, b et c ctant regardds comme constants? ( FUIIRANN. ) En prenant des axes coordonn6s d'origine D, 'un horizontal, l'autre vertical, on trouve 2y i- -- bie " pouIr cquation de la courbe.

Page  270 >.)-o DEUXIEMIE PARTIE. - STATIQUE. 21. On donne une droite verticale OB, dirigee vers le haut, et deux tiges non pesantes BD ct OC articuldes en un point C situe entre B et I); la tige OC tourne autour du point 0 et l'extrdmit6 B de BD glisse sans frottement sur la droite ixe 013. Au point D est suspendu un poids; trouver les positions d'dquilibre. Dans quel cas l'dquilibre est-il indiffdrent? 22. Six tiges egales homogenes pesantes, de poids p, sont articuldes a leurs extrdmitds, de facon a former un hexagone situc dans un plan vertical ayant son c(ted supdrieur AB horizonztal et fixe, et les autres cotes symdtriquement placds par rapport I la verticale du milieu de AB. Quelle force verticale F faut-il appliquer au milieu du cote horizontal, oppose a \B, pour maintenir le systdme en 6quilibre? (F = 3p.) 23. Coips solide avcec cinq dcegreis de liberte. - La position d'un corps solide liblre dans lespace depend de six parametres (no 187). Si l'on etablit une relation entre ces six paramdtres, le corps n'a plus que cinq degres de liberLt et sa position dcpend de cinq parametres q,, q,,..., q. Le corps dtant alors plac dlans une position determinee, ddmontrer que tous les ddplacements virtuels compatibles avec la liaison imposde au corps sont assujettis a remplir la condition gdometrique suivante: il existe une droite fixe D telle que la projection sur cette droite de la vitesse de translation imprimee a un point didterminae du corps soit clans un ral)port constant avec la projection sur le mmene axe de la rotation instantanetc imnprimee au corps. (On remarque que les coordonndes x,, y0, Zo d'un point dtlermind O du corps et les neuf cosinus des angles que font les aretes Ox, Oy, OG d'un triddre trirectangle lid au corps avec des axes fixes 0,Ox, y,, z, (no!4)) sont des fonctions des cinq parametres q,. Supposant qu'on fasse subir a ces paramdtres des variations arbitraires oq,, aq,..., 6q, pendant le temps 6t, les projections V', VN, V~ de la vitesse virtuelle du point O sur les axes Ox,y, z ct les composantes p, q, 7' de la rotation instantance -irtuelle suivant les mrmles axes, sont des fonctions lindaires ct homogd(ncs de -, - * -, L' elimizn t ot ot nation de ces cinq quantitcs arbitraires fournira entre les six quantitds Y\j., V\^, V\. p, q, /' une relation lindaire et homogene,I coefficients fonctions de q,,,,..., pq. L'interprdtation de cette relation donne le thdordme 6nonce. On trouve dans le Tr/eatise of cnatural Phiilosophy, de TAIT et TIOMISONs, n0 201, la description d'un mdcanisme permettant de rdaliser ce genre de detplacements.)

Page  271 CIIAPITRE VIII. - NOTIONS SUR LE FROTTEMENT. ),- t CHAPITRE VIII. NOTIONS SUR LE FROTTEMENT. i91. Frottement de glissement. - J usqu'l present, nous avons considere les corps solides comme parfaitement rigides et parfaitement polis, et nous avons admis que, si deux corps en repos olf en mouvement sont en contact par un point et peuvent glissel' l'un sur ]'autre, leur action mutuelle esl normale au plan tangent commun en cc point. Cette liypothese est conlraire a I'experience: les solides naturels ne sont ni parfaitement rigides ni parfaitement polis. Quand deux solides naturels sont en contact, le contact n'a jamais liel en un point unique; les deux corps subissent des deformations, generalement tres petites, qui les mettent en contact suivant u, petite portion de surface: ces deformations, permanentes si les corps sont en equilibre, sont variables quand les corps glisseiit Fun sur l'atre; il se prodnit alors des vibrations moleculaires el il se developpe egalement de la clialeur ou de I'electricite, dont I; production absorbe une partic da travail des forces motrices. On a trotuve ql'on peut introduire ces pllenomenes trs co1mpliques dans le calcul, en supposant qu'a la reaction normale des deux corps en contact se joigne une reaction tangentielle appelec frotteement. Les premieres experiences sur le frottement, faites en i781 par Coulomb, furent reprises et confirmues par le geneiral Morin. 11 itmporte dc distingler deux cas dans le frottement dc glisseme-nt: i" le frottemnent a l'tat de repos et, en particulicr, le frottement au depart; _,0 le frottementl i' ltat de nmouvemenl. 192. Loi du frottement de glissement a lPetat de repos, - Supposons an bloc pesant place sur une table horizontale: le systllc est en 6quilibre et, par suite, les actions de la table sur le lboc

Page  272 DEUXlIEIE PARTIE. - STATIQUE. ont actuellement une resultante N normale ii la table, dgale et opposee au poids P du corps (fig. I2 7). Appliquons maintenant au corps, dans un plan vertical cd centre de gravite, aussi pres que _ N possible de la table, une force horizontale Q dont nous 'erons croitre graduellement l'intensite a partir de zero. Quand cette force Q est tres petite, le corps ne glisse pas: il reste en equilibre. 11 faut done que la reaction R de la table sur le corps soit egale et opposee ' la resultante du poids P et de la force Q cette reaction peut se decomposer en deux, l'une normale N, egale et directement opposee a I, l'autre tangentielle F, egale ec opposee a Q: cette composante tangentielle est la force de frotlement. L'angle 3 de R avec la nori-male N est j' ( Si l'on fait croitre graduLellement Q, il arrive un moment o6, cette force avant acquis une intensit (1), ie corps se met er rnouvemrenl. La valeur correspondante de 1F, I -1= (, s'appelle Ic f/'ottlemeZt aur depcart; la vale-r correspondante? de 1'angle ip, Lang, ' - 0, s'appelle ctngle de f/-ottemen t. Coulomb a mesure {() et c a l'aide d'une disposition experimentale (chariot tire par des poids croissants) permettantl de realiser les conditions pr6cedentes; il a trouve les trois lois suivantes: o1 Le frottement au dcpart est independant dce l'dtendue des surfaces en contact;,o II depend de leur nature; 3" II est proportionnel a la colmposalte normale de la reaction

Page  273 CtliAPiTRE VII. -T NOTIONS SUB LE FROTTEIHENT. '73 ou., ce qoui revievl aIu miLme, i la composante normale de la pression. Le rappotr ccst/ani j 'dul frOllteenL au ddepar'L a vec la lraction normale IP' ou la pression normiale P s'appelle coefficient tde J)'otlemewz N J.'a']igede d fottem-esenLt es alors donnse par tanog Q - f'!fanle?B, iant; (-tue 'eiquili ire suilebssle, est mioindre que p. Pa:' e-es-,mple, sie corp;i el la ica)le sont en mietal sec, on a / (0,19, '? - [o~4G'. Remariqje. --- Nos avons dit plus haul qu'ill faut appliquer la force Q aussi pres que possible du plan. Voici la raison de certe restriction: si la force Q ieail placde trop haul, avant qu'elle a leigne la valeur li[mite (1 produisant le glisseneni, la resultcan[i de aQ eL P pourrait toLo er en delhors de la base du corps; elle ne serait plus dcetruite et le corps basculerait. 1i93. Eq-ilibre des solides natLurels avee frotternenr. - I~ Un/ /1 oit cde conitact --- Considerons on corps S reposani sur un autre S' q-u'l Louche par une portion de surface tres petiie que nous sulpF'. I). / 7 poserons reduiLe ia un point A. La reaction RP de S' sur S se compose (/jg. 128) d'une reaction normale N el d'une reaction tangentielle F, dont la direction est inconnue et dont le I-mximumn est /' l'angle 3 de R avec IN est done moindre que F'angle de frottemenit. 3, e [

Page  274 7-tD E- U X I l E PA T I:. - S T 'T t Q U E. Pour que le corps S soil en (cilibre, il faun qu'il y ail (cqluiiilre entre ies forces direclement appliquees au corps S ct la reac;ion B1, ou encore que les forces appliqlejes an corps aient une rsulltante unique egale et directement, opposee 'a c'est- -dire: I passant. par le point A; 2o faisant, avec la normnale AN, un angle moindre que l'angle de frottement. Ces conditions necessaires sont suffisantes, car, Si elles soat remplies, on pent supposer la resultante des forces directement appliquees transportee au point A, e la decomposer en deux forces, lFune normale P et l'autre tangentielle Q sous Faction desquelles le glissement ne se produira pas, car, i'angle de la resultanie avec la normale elant moindre que o, on a (fig'. l 7) 0 <A Q.: P/; ct la composante langentielle est plus pelite que e frotlemeni a dl part. Si I'on consid'er e lcne de revoltlion C d'axe AN engendre par -ine droite AD faisant avec AN 'ang'le?, il faul et il suffit pour le'qui ilibre que les forces admnettent Iune r6su.ltante passant par A et situee dans le cone C. On pent conclure aussi du raisonnement precedeCt que tontlic force appliqucee an corps S qui passe par le point A et donet i direction fait avec ]a normale un angle moindre que c est-a-dire est dans l'in terienr du cone C, est d6trluie par la reaction de S' car on peut decomposer celle force conmme on vient de I'expliqiuter. o2~ Pl/tsieturs pointlSs de contact. -- lmaginons un solide 5 veposant sur plusie'urs solides S,, S2,.., Sp par des points Ai, A2., A, les coefficients de froitement sur ~ S$,., s/, tlanlt f,,f,.., f '/)p et les angles de frottement?,? 2,,. I,; solide S etant sollicite par des forces donnees F1, F2..., F/,, chierchons les conditions d'ecquilibre. La reaction de S, sur S est tlne force B, appliquee a-u point A et faisant avec la normale Ni, an angle moinodre que l'angle de frottement v,, c'est-a-dire situeie dans le cone C, de sommne A,, d'axe N, et d'angle?,. Potur qu'il y ail equilibre, il faut etil suffit -Le le systLme des forces donnees F1, F,,.., F, soit tenu en equilibre par un sysleme de reactions

Page  275 CII PITR E VIII. - NOTIONS S UI LE FROTTEMEI iNT. 275 IR.4, R,..B P2, satisfaisant aux conditions precedentees, c'esta-dcir e jque 1e systcme des forces clon:nes soil dcquivalent a uln systil me de forces -R, — g7.o., - p passant respectivement par les points A1,,... Ap eL situses dans les cones Cj, C.. CpG. Ces dernieres forces seront touces (lctruites par ies reactions des surfaces Si, S,,... S,. 3 lt tfinite de points de coilact. -- Si le corps S touche certains des corps fixes suivant des aires d'(c Lndue finie, il fauf eLt il stffit que le systerlee des forces F,, F=,.., F/1I SOil equivalent a un sysbtem de forces en nomnbre quelconque renconlranL les aires de contact et faisan t, avec les normales aux poinis de rencontre, des angles moindces que les angles de frottemlene correspondanis. 19-. Zxemples.- o1~ E'chelle.- Soil unc chcllle A13 appuyec sur un sol horizontal et contre un i ur vertical; supposons la li'ne mnediane de I'echcilc siltee cdans n plan pla etpendiculaire au sol et au mlur (fig. 29), p lan que nous prenons pour plan dle la figure. Fig. 129. 0 i!IT- / die l o A Appelons G Ic centre de grasvit6 de l'echellc et d'une personne placte sur l'echelle dans une position variable et cherchons les conditions cl'qui — libre, en supposant que les coeificients de frottement en A ct B sont egaux a une meme quantite f et, par suite, les angles de frottement 6gaux a un mlmee angle o. Tout d'abord, si 'eclhelle fait avec le m!tur un anglle ) moindre que 'angle de frottement c, I'equilibre subsiste, quelle que s;oit la position de G. En eIfet, on peut toujours, apres avoir transporte Ie poids total jP applique en G en un point de sa direction, Ie decomposer en deux forces, l'une dirig6e suivant DB normaliemenit au m tr l'autre suivant D faisant, avec la normale AN au sol, un angle DAN moindre que P et, par suite, moindre que 'anglle de frottement; ces deux conmposantes sont d6truites. Supposons maintenant que l'angle de 1'echelle avec le nmur soit suparieur a l'angle de frottement c. Cormme le poids et les deux r6acldons du mtur et

Page  276 ,z76 DEUXIEME PARTIE. -- STATIQUE. du sol doivent se faire dquilibrc, ces trois forces sont concourantes ct sc trouvent situees dans le plan de la figure. Menons en A ct B les normales AN et BN au mur eL au sol, puis deux droites AKM eit ALQ faisant avec iAN I'angle c, et deux droites BQ et BL faisant avec BiN I'angle?. Ces quaLre droites, qui sont les traces sur le plan de la figure des cones consicldres dans le cas general, forment un quadrilatere MQLK. Les reactions cu mur el du sol faisant avec les normales des angles moindres que?, leur point d'intersection est dans I'intdricur du quadrilatdre MQLK; le poids '. c'est-a-dire la verticale de G, cldevant passer par cc point d'intersccion, cette verticale doit ltracerseC I'acie dc clcuadlila.iiere pour que l'equiibrc puisse exister. Cette condition est alors suffisance, car si la verticale (I G traverse cette aire, en prenanI un point D sur cette verticale dans 'inltrieur du quadrilatere on peut supposer le poids P transporte en D) et e d6composer en deux forces dirigecs suivant DA et DB qui seront deiruilcs par les reactions du imur et du sol. Prenons OA et OB pour axes Ox et Oy, en appelant a et b les distances OA ct OB. Le point M le plus pres du mur etant l'intersection des deux droites B...................... y - b = xJ', A...................... y, a poulr abscisse a --- bf I r t' quantite positive; car - est suppose superieur l j; l'angle 3 etanL sup — rieur ci c. Pour qu'il y ait 6quilibre, il faut et 11 suffit que l'abiscisse c d centre de gravite G soit supdrieure a x. Soient wi la masse de 'dechelle ei nz, la masse de la personne placde sur l'echelle a une distance xi dtn muar. on a. en ecrivant que o est superieur a x, cc Itz -- aJ ce qui peut donner une limite superieure pour x1. Pour que la stabilit( soit assuree, quelle que soit la position de la personne, il faut et il suffit qu'on ait a in - CA a- bf i H- my 1 -> - I ' formule determinant la valeur liinite dc l'angle 3, lont la tangente est 6 'H- Corde enzroulee stur la section clroite cd'an cylilzdce. -- Supposons une corde enroul6e sur la section droite d'un cylindre convexe sur lequel

Page  277 CIAPITRE VIII. - NOTIONS SUR LE FROTTEMENT.?.7 eAll glisse avec frottemcnt, le coefficient de frottement etant f. Le contact a lieu suivant lare KAB (jig. i3o); la corde est tirce tI ses deux extLemitds M0 et 11 1 par des tensions To et Tl, Ti, T o; cherechons la condition d'dcquilibre. en supposant qcue la corde soit sur le point lde glisser dans Ic Fi i. 3o. B -0 7'^:. / / I\ To ) sens AB;3 nous trouerlons ainsi la linite supcricure que ne doit pas dcepasser T1 pour que 1'equilibre subsiste. Soient s l'arc AMJ;; ds un 6clment place en iI; t' cls la valeur absolue de la rdaction normnale du cylindre qui est dirigee vers 'exterieur; fN ds la valeur absolue de la rdaction tangentielle qui est dirig6e dans le sens M>A. On a, d'apres les equations intrinseques de l'equilibre d'un fil, cIT T c _J/rN~ _~ (o,) T = N o ds ' o car la valeur de la reaction, estimee suivant la normale lrincipale, est -N ds, et suivant la tangente AiI t. dans le sens des arcs croissants, -fN cs. iL'limination de NT donne dT f' ds a, dcsign;nt l'angle de la tangente l t avec la tangente cfixe ToMl0, car p a c/s pour valeur -yo Done, cn intdgrant depuis le point Mo jusqu'en A1, et appelant 0 l'angle des deux tangentes extremes ou son 6gal l'angle AOB des normales extrmoes, Log T, — LogTo=0, T To ef0. Telle est la condition d'dquililbre. Si la corde est enroule plusieurs fois sur le cylindre, 0 peut 6tre superieur 27. Cette formule montre qu'avec une tension petite To on peut faire 6quilibre a une tension consid — cable T,, en supposant 0 suffisammnent grand. (PoIssoN, Teaite' e dJecaniqite, ~ 303.)

Page  278 ^'>7), DEIUXIEMIE PARTIE. - STATIQUE. '190. F:rotteme-nt de gnissemert iendanI.nt e mouvement. - Das5 le cas du mouvementL ]e frottement est parfaiement delerncmine. Supposons qti'un solide en mouvenllt ertnine par tune a surface S soi en contact avec un solide S' par un point A; s'il y a fro tteen t, la reaction de S' sur S se ddcompose en ldeux forces: I'une normale N, qui se norlime cieactioz nori-mzcale, et lauiire tangentielle F, qui est la force de frottement snje assuujcie aux Lroi s sluivantles I~ La force de frottement est cdirigee en sens contraire de la -vitesse relative cldu poinL materiel A par rapport a S'. 2~ Elle est independanLe de la grandelur de cette vitesse. 3~ Elle es[ proportionnelle a la reaction normale: F J-fN. Ce coefficient f est le coefficient de frottement de S sur S'; il est un peu plus petit que le coefficient du frottement au depart. D'apres des experiences de Hirn, ces lois sont applicables surtout dans le cas des frottelments ilmnedicats (ceux ou les surfaces frottantes sont secles). Elles doivent eIre mnodifiees si les surfaces sont selparees par une matiere onctlueulse; Ie rapport - depend alors de la vitesse et de N. (Voir Compites i'endlus, t. XCIX, p. 953.) 196. Frottement de roulement an depart et pendant Ie mouvement. - Lorsqu'un cylindre pent rouler et glisser sur un plan, on tient compte, dans le calcul, de la deforimation des solides et des vibrations des molecules de la facon suivante. Negligeons l'etendue de la deformation et exprimons-nous comme si Ie cylindre etait en contact avec le plan suivant uine genucratrice A. Supposons, en outre c qu'on fasse agir sur le cylindre des forces situees dans le plan de la section droite prise pour plan de la figure. Faisons la reduction de ces forces au point A: nous obtiendrons une resultante unique AR appliquee au point du cylindre qui est en A, et un couple resultant G dont l'axe AG est perpendiculaire au plan de la figure. Decomnposons AR (fig. 13i) en deux forces: 1'une AP, normale au p plan; 'au.re AQ, parallle au plan. La force Q tend la faire glisser le cjlindre; le couple G tend a Ie faire tourner autour de la generaLrice de contact, c'est-a-dire 5a le faire rouler sur le plan; car, dans le roulemnent, cette generatrice est axe instantane de rotation.

Page  279 CIAPr IrT E VIII. --- NOTIONS S U LE FROTTEMENT. 97( Imaginons c'abord le couple G nul; alors ii. pourra se prouire unicqement un glissemenL; pour que ce glissement n ait pas lieu, i1 faut et il suffit que () Q! )-f J etLant le coefficieant du frotteinen de glissement. Supposos; cec.e condliton remplie, puis aijoutons un couple AG doni l'axe "ig., 131. R1 P es; normal au plan de la figureo S'il. nny avail aucune resist~ance au rouleiment, ce couple si petit qu'il solt ferail rouler le corps: 1'experience montre qu'il n'en esl pas ainsi eL que le roulemneni ne se procdui pas cant que le moment G du couple est inferieur a uine cerlaine limite (2) G ---Po, cda:ns laquelle P designe, cormne plAs haul, ia comiposante normale de la force _R et / un cei't(aC coeficient li/zeCaie qui se norrMne coefcicient duc fiottctmenlt cde,oulemerznt. D'apres Coulomb et Morin, ce coefficient o esl independanl de la force R et de la section droite du cylindre roulant, du mtoins dans de certaines ilmites. Ce coefficient O etant connu, on voit qce les condiiions d'eq'ui — libre da cylindre sur le plan sont donneces par les deux equations (i) et (2)> exprimant I'une qu'il. n'y a pas glisseineni, l'atre qu'il n'y a pas roulecent: le plan developpe alors une reaction composee d'une force uniqule R egale eC opposee i R et d'un couple G' egal et oppose a G. Cela s'explique par ce que le contact se faisant en realite sur une teendue finie autour du point A. en reduisant les reactions du plan en A, on aura une force et un couple.

Page  280 *o I)EUXIE] E PA{ITIE. -- STATIQU'E. O;.i peuiL encore nr, senter ce recsltal c)omm i s uit 1: l )( e:-primer qu'ill y a equilibre, il ftutl cexprtilmel' qute les forcs, 0 di — rectemeInt appliquces atl cy linc-d (supposees situees danis fin plande section droite), sont tnues e en cquilibre par une force normale N (e'gale et opposee a P), ue Force lanoqgentielle F (.('ale el opposee a Q), applilqules en A, eL un couple de moment l el d'axe parallte aaal gdeneralrices, avec ies conlditions d'ini'galitc F<N/, -'< N. 11 peti se faire clue l'une des condiLionso () ou (s) soi rcem plie et pas 'aultre: alors, au premtier instani, eI cyl.indre oule sans g'lit.sser 0ou lisse sans rouler. Si aucune des deux condi ions n est remplic: il y a, i. lia fbss 'oa[lemnlt et o';issemen- en c:L.ens que le deplacetneni etletleentalie du cylindle ees le dcp]lacemenL res:;ltant d'un gi.ssemeni el d'une rolation altoue dcle la go'aenratrice de ciOBt LeC L. Une fois Ie cylindre el molivemen.e:t, on adcimet qe, s'il y a ro ui ement, la reaction du p)an s'opposanl au roulemnlt atelint constamoment son maximnum, de sorle que, pdendant le roulemeneLnt Ie cou-pie:reprc;sentLant le froitemenet de roulemeni e est eoga conslami — inent h a sN, N dessionant la conlposanLe noirmale de la reaction du plan, de re-ime ce, s7'i! AT a '(ilssment, la composai te 'tianentlellc Il. F de la rcaction esl; constammenit gale ' N/' (n~ 19i5)0 'il. y a, a l ois, roulement et glissemrlil il,l i i ntr; oduire si llt anmen les deux froitemenis. Dans ce cas, on negl'ige hab:iltuel'lemic:it Ie fro tem ent de roulemenL. I97o Frottemen&t de pivotemennt -- Nous avons vu ( i0 5) que, si deux solides sont en contact par utn point, Ie ddepaceenit e — latif de I'u1n par rapport 1'a tre est le dcplacemient rcsulltani d(un -ol1ssemne/t et d'nne rotation aal'our d'un axe passant par le ooini de contact: cette rotation se lecompose en delux au.;res, lu'ne atitouLr ld'un axe sittlu dans le plan tantgnt conmm:un ce qu:i con-l stitte utn Iroulement, l'autre anuour d'un axe normal aun pl:an taigent, ee cquL constitue un pivotemet, e n. n voil done que ies resistances a un deplacement relati cquelconquO sont un frottcmenL de gl issement, un frotltement de rouleeniet e un frotteemnt de pivotlement. La theorie du frottement de pivoteLme:n a etc cxxposee

Page  281 (' APIT 'E AVIII. - NOTION S SUR LE FR1OTTE 1NT..81 p1_''?. Le(aul' dans sa Thelse de DocLorai ( 87)) ' nous nous.ornero;di uer le result a principal qu'il a obtenu. Suppo(so1ns i1n solid e 1nmoble 5 en contact alavec un solide fixe 51 par ua point gcomieriqcue A; faisons agir sur le solide S des forces adi- ettant une retsultante unique P passanI par A et norm.alae aiJ plan langent commun en A. l'equilibre s'etablit alors, ies deux corps se deforment etL au lieu de se Loucher par un simple poinLt se touchent suivant une aire que lon peut regarder cormne limitee par une petite ellipse de centre A dont nous appellerons E le perinmele. S'il n'y avait pas de frottement dle pivotement, on eltruiraait 'eqCuiiibre en faisant agir sur le sol ie si obile nie couple q-tuenco nque 3 dont I'axe serait dirigi, snivani la normale commaune aux deux surfaces en _A; mnais, a cause de la resistance an pivotement, le mouvement ne se produit qute si le moment g du couple est superieur a une limite P), oil ) dcesi'ne un coefficient lineaire qui est le coefficient du frottement de pi;votemene.tL an (epart. Le coefflcient e est donnd par la formule /' dtsi —nant le coefficient du. frottement de gclisse ent de S sur S'..Si maintecant le pivotemnient se prod-uit la resistance au pivoLtemenl est a chiaque instant repiresentee par un couple de mnoment Ph, avant la valenur ci-dessus qui est variable, car!'ellipse E se deformle dtune maniere continue pendant le mouvemiet s'uivant ime.oi qoudl ser'ait trop long- d'indiquer ici. EX3ERCICES. 1. Un crps pesant etant pos6 sur un plan inclin clont on fait varier l'inclinaison, prouver que lec glissement se produit quand l'inclinaison du plan dcvient egale ou clip6rieure I'angle de frottemlent. 2. El(qulibrce de ia presse a coin quand on tient compte du frottement des dcux ifces du coin sur les maldriers (n~ 177, jig. iI6). En appelant f le coefficient de frottementi des deux faces sur les deux macdriers, on trouve que, clans le cas lirnite oil Ic coin commence a glisser, on a sin a -- f cosa P 2 — - ~ C cos - f sin a 3. Positions d'equilibre de une barre homogOne pesante A.B dont les exitrnmites glissent avec frottement sur deux plans, 1'un horizontal, l'autre vertical. (I1 faut

Page  282 9~ 8 '-~'DEUXIEME PAIRTIE. - STATIQUE. quci la verticaic du cenare de gra-vitd jasse dans la partie. comimune aux deux cones de r6yolntion de sommects A et B) ayant pour axes les normales aux deny plans, et pour demi-angles au sommeL les angles de frottement). 4. Dans le probleme prdc'cdent, on suppose le point B par lequel ln barre s~appule stir le plan vertical assujetti 4' se deplacer stur tine verticale dm plan d~ternmincr: i les points limites entre lesquels 13 doit se dleplacer suir cette verticale; 20 la courbe 4 l'int6rieur die laquelle dolt se trouver le point A pour quec II'quillbre ait Ilient. o. Uni cylincire de rdvolution homog~ne pesant est pose" stir un plan inclin6 dc facon que ses g6n~ratrices sojent horizontales. On connait le coefficient 8o dn frottement de roulemen-t quelie valeur minininum faut-il donner 4 linclinaison dlu plan pour que Ic roulemnent se produise? (On adinet dans cet exercice que Ile routlement se procluit pour uine inclinaison moindre que le glissement.)

Page  283 CIIAPITRE IX. - GENiERAl,ALITES. MIOU VEMENT BECTILIGNE. 983 TROISTIME PARTIE. CHAPIUTRE iX. GENERALITElS. MOU 1 tEiMENT RECTILI GNE MOUVEMENT DES PROJECTILESo L - TZIEOREMES GENTERAUDXo '198. Eqnuadtions du mouvement. I2ntgrales. -- Nous avons vu dans le Chapitre III que, si un mobile AM est en mouvemient sous l'action de certaines forces, dont la rlsultante est F, I'acceleration.1 du mobile et la force F ont nmeme direction ect mem sens, et que leurs grandeurs sont liees par la relation F m J, in designant la masse du mobile. C'est en itaduisant algebricquenment ce fait que nous avons obtenu les equatiions differentielles du mniouvement. Soient x, y, z les coordonnees d u mobile par rapport a trois axes quelconques; X, Y, Z les composantes de F suivant ces Lrois axes, les projections de F sont egales a celles de J mltipliees par in, on a ainsi les trois equations du mrouvement d2 X dc -y 2 d (i) In - - ~, - Y — Z. 'dt c2 t c t2 Les forces qui agissent suir le mobile sont, dans le cas le plus

Page  284 183 1 TRIOIS[13IE PA RTI E. -- DYNAMIQUE I)U POINT.?'6neral, des fonctions de sa position, de sa vitcsse el du temps les pro jections X, Z d e la r;asultan~e sont cone des fonclions Ldx (d (I Ion:(rscs. de,x;r /, 4 c -y. -, 7, -j- 7 et. -Ies:' eq(lations (i) formen.t:aors nl siysltne e e rois equaiions cdiffrentielles simultanees dl second ordre, lidinissant.r1 y, z en fon cion de t. ILes intdle;ratcs Kn.(lra.l.es de ces equ ations contiendront six constantes arbilraircs 'il.es sero'> de la forme [. —? (f, C1, C 2 3, C C3,? C, G), _ -, (t. C, ': Cj, C6). C, C ); __! - C'(,, C C,,)' -o'(I 6-, C ) 1 C-i i (t, C, C;). ' 's _ desg'lnat l.des div i e e-s de ', pi r par rapport a t Dans chaque pro1l)lme icarljticulier,'.es constantes arbitraires doivent eire dceterminue'es _'ai de des conditions initiales. On sc Ldonne ia position dCl mo0oile at Ilinstarn ti-I t,) eL sa vitesse il faut aiors de termilner C1, C.,.. C de telle facon quec pour t -- t o x );, 5 plrenen11 des valcrs donnees d'avance x0, yo, z( ei d.I dv d / /, -i -, dles cvaleulr donnrees do/ /YQ x. Pour que cettle deter-:mninaLion soil possible, quelles que soient les valeurs initiales dondx dy dz nI. es cpour x1 0 ', " 1 -: - -c- il faut que 1'on puisse resoudre, au inoins [li.eorciqun.eme i, le sysl emn. des six c quations (2) et (3) par rappori)t a Ci,, C, c'esl-c-dire que ceS equations (2) ct (3), dans lesqu ees q i ee;,. C, so nt regardees comme des inconnues, ne soient ni incompa tibles, ni ildetcrminees. O n n Lirera a)ors, poui ces six constan es des vcaleurs de la forme ( )- / /) CI ( ct7 9x1 dy d- t ~(4( (-I-(LI ) (k - 2, 9,,,.. 6), ',,,,~~~~ltd dl:ui nJoneron[t innnidia ement Ile. valeurs numeriques des con

Page  285 C IIAPITRE IX. - GE N ER A L I T E S. O U V E A E N T E ( I L I G( N E. 9 8 stantes cquanc on donnera les valears initialoes dce J x,', cx C-y d7 cit cii ct On admel quoi: t cdes condictiozs init Li / dionn(es coi espon/ tun seul mouea,,zemet. Cie fail, que nous e, si ricrons sur touls e( exemples qui seront Lraites, resulte cu theorieeLe de Cauch)y, tan que X, Y, Z sont des fonclons regiuliires de x? y,, ci', 2cI)' c-I' si les six conslanles arbiiraires sonut x0? y0, y xo: 5,, ', on peoi resoudre les iiegrales ipar rapporit a ces coastantes. (Gjoc:nsuA Lecons suP, les equtatiois c cuX dceivtees p'ct;iel/les) Par conse — (iLuenO si l'on trouve par des considerationsq lc s qunlo n Ls cerLainl nmoivement possible, c'est- sa-dire s salistais aux quations cid tmouvement et aux conditions initiales, ce nmouvement est cehl que prendra reellemenni e mobile. '199. integrates premi ee'so - On appelle tate'ga/le p l'ie' des Cquactlios (ldu moutvement ine equa-lion cnlre.? y z,. d(x cy dz d- '~ c 7 1 e [- 1t te co/.istia.te ct;bit'i'e qu i se IroLuve saii sfa: i di'dt di 1 en vertu des cquations dcl mouvemou entni q scles qcue soienL les conditions initiales, cix dy cdz i X((,::. -, C) 0. On pelut oujours imllaginer cette equaoaon vrsolue par rappor:t a( et l'ocrire y cidx dy cdz 0oiCi commelnt on v \rifieia illlmn diatement qcu'ne relaioLn dccette forme est une integrale premiere: en dififrentiant par rapcidx dcy dz port a 1 on aura, en appelant x', y', z' les derivees -lt cl 7 2. 7 cf c Of dx O 6f d y Of CI X d _ O(t ' x dct o y cit dI clt ' ox' dt ()y' cdt2 z' dt ou, en remplacant les derivees secondes de x,? y,. par l.ers vaIeurs Lirees des equations du mouvementl cf ' Of dx /cL d/ / ( (Of ' _- o ot Ox dt O'y dct O z d.t,in \dx' - y' 0 ' z

Page  286 86 TROISII ME PARTIE. -- DYNAMIQUE DU POINT. Cette dern;ire relation ne contient plus que les quanltitls 1, x, dx dy cdz y1? z, 1 2 i ' -I' eLt comrnme elie doit avoir lieu quelles que soienl les conditions initLiales, c'est-a —dire quelles clue soienL les v'alLers attribunees tLoutes ces cqantites, elle devra eire identiquement verifiee. Plusieurs integ'rales premieres -f dx d(l dzt clx cli ol.. sib~lo, elle conclnii..i..une..la.ion. en-tre los cons.al..es (, (.".. six; car, ' (I mLSntprie] acu si on pourra tojoiis ('lirninoi. los - ',,,clidx d' d d' ne Y, dt C/ I-g Par oxeniplo [Os "i et (I), v,,ob-ns en r?-ol' 22nt 1 sonr dis ticnees quard on ne peut a as dliminer enite elles tout-es les quantieds x?,, z^ - i': si cete alimrunation diail posible elle coand uiairs fo uine relation entre les conslantes cl, isC,... C') relation qui evidemmne nt ne p-ourrait pas contenir la variable.indpendantc t qui est arlbitraire. I1 rdsulte de l clue le nomra ides rnegrales premi(eres disLinctes qu'on peut Lrouver eLions eal six; car, Lapano superieur a six, on pourra toujornrot liinier les c, dc d'y dz sixquantiles x, y? z, es ' Par exemp le ltis six eLqutions (n), obteues en resolvani le; inledgrales 'e s e ralutindes (qultons d mouvemenon par rapport aj-x consianres arbigrairn e forn ent six inLverales premcierfes distincels. Rciproquemeni l' si 'on posse'de six integrales pre mieres distinctes telles que (5), 'entier v ctant egal 'a 6, ces equations resoiues par rapport a x, y.:, -t? d' / fourniront les integrales generales des equations du dimouvement. 200. Equations in-trinseques (Euler). --- Prenons sur la trajeci oire u origine O des arcs, Ic mouvement sera ddefini sur cell( courbe si L'arc OM -i -s est connu en fonction de to Menons Il tangente MIT (f/i,. I3a) du cole des arcs posilifs. Nous conviendrons de compter la vitesse positivement si le mouvement se fait

Page  287 CIIAPITRE IX. -- GENERALITIES. SOUVEMIENT IRECTILIGNTEo o,87 dans le sens MIT, et negativement dans le cas contraire; la vitesse sera en 'randeur et. sione C)b~~~~~ ~ 0.~), cds dt Soil tJ l'accelration d mnobile; on sailt qe les projections de Fig. 132. T / cetle acceleration sLr la tangente el la normate principale soni. respectivemenien (no 38 dv d's ~, d- t dt'2' J~ - 10 et que sa projection sur la binormale est nulle. Commnie le segment representatif de la force est egal an segment representalif de l'acceleration maltiplie par ]a masse, on a, en appelant };>, F,, Fb les projections de 1F sur la tangente, la normnale principale et la binormale dv (/2? V m2 0, t == - n -~ - m -T,7 F,, --, Fi, =F o. c/t M ti e oes trois cquations torment un systeme equcivalent aux trois equations du mouvement. Conmne F, est toujours posilit et F nuiu, on voit clue la force est toujours situee dans le plan. osculateur de la trajectoire du cote de la concavite. Si la force est consLamment normale a la trajectoire, Fi -- o, la vitesse est constante et la force varie en raison inverse du rayon de courbure. Si la force est constamment tangente la trajectoire, on a F?,/ — = = O

Page  288 -288 TROIS IEME PARTIE. -- DYNAMIQUE DU POINT. et, cornme v n'est pas nul,? rese infini, c'est-a-dlre (qu la IrajecLoire est rectiligne. On petL faire d'interessants rapprochements: dcej signalcs pa:: Mac-Laurrin, entre ces equalions et celles de 'dequilibre des ilfs. M1Obius en a indique tn grand nonmbre dans sa Staciqiue aiis; que Ossian Bonnet dcns lc Tome IX dcu Joul'n c e ic 1a /d L Cth.a' - titqes,9 t a1 1 Paul Serrel dans sa T7Ahorlie nouvelle ds G.izes * cldouble courwbure (O i ialelt-Bachelier. 86o0). ( 1Voi- les Exerc'ice: NLous allons eabi.r maintenlanC des tliheo'r'mes quii,!anos bcasacoup de cas, permettent de Lrouver des integrales premieures. 201g. Qnati;ite de non-ouvemen'o -- O3n appelle qumt.nti, doe 'o'ivem-en t cd'l poti/t Al un vecteU1l MQcj qui a rmeme cdrecelon i:i ledme sens cque la vitesse et dont la longuecr est dgale au pr)odu:l de la vitesse par la masse: n7V (fi/'. ]34). Lcs proijeelio-ns ice 1; 'i. I. // R 1y/G dc i) cI dt vitesse sue' les trois axes etant L ' -d' d- ' cells de la eoan.itd <,e h io lemenlt son t di- CO' dz (IvI~ c/ idt cit cii les moments de Ia quantite de mouvemeint par rapport u'x Lrois. axes sonL de ominrne ( 0') mn ( V -j- -~ (-7 ', z - - --. ' m: ~ti- — ' " 0v G) lit Y - dt — /it ), I \X J- dj j (de sorte quc le me oment de la quantite de mouvermenL par r:aepp.or! al point 0 est un v-ecteur OG' (jig. 133), ayant pour p'o-jecolioi les trois quantites ci-dessus.

Page  289 CHAPITRE IX. -GENERALITES. MIOUVEIENT RECTILIGNE. 989 202. Th6oreme de la projection de la quantfit de mouvement.La premiere des equations du mouvement peut s'ecrire cl / dx._dt mt} -X; conmme I'axe des x est arbitraire, cette equation exprime que: La cdrivee pa]r rapport au temJs de la projection de la quantite 'l de motucement sutr zn caxe est egacle Cb la somme des projectiol?.s sCr le me7me axe des forces acppliqueces au mobile. En particulier, si la somme des projections des forces sur un axe est constammnent nulle, ce theoremne fournit une integrale premiere. En effet, en prenant cet axe pour axe Ox, on a -7- m -- =-, m -7- - A, d dt dt la valeur de la constante A etant la projection sLr Ox de la quaniite de mouvemnent initiale. En integrant de nouveau, on a 2tx - A t -- A'; la projection du mouvement sur Ox est done alors lun mouvement un1iforme. Exemple. Forces paralreles. - Spposons la force F parallele a une direction fixe. La trajectoire est alors dants un pln parallele a cette direction. En effet, prenant pour axe Oz une parallele a la direction de la resultante F, on a constammnent X — = o. Y -- o. Donc dcx dy — A, /n -B. A y -- B dx o, Ay — Bx - C, equation d'un plan parallele 'a 'axe Oz. Ce plan, dans lequel se fait le mouvement, est determine par les conditions initiales: c'est le plan mene par la vitesse initiale parallelement a la direction constante de la force. 203. Th6ore-me du moment de la quantite de mouvement. Principe des aires. - On pett aussi, des equations dL mouvement, I. 19

Page  290 -o CDTc* 0 0 -C 0 C rm C~ C(P., Y 0 -CD*., C-; r 0g 0 C D 0 '-H, 0 i ' f 0D 0 C CD. g ^ ~, r v tr; ' C = ^ c..s r, D I a CD> a r 01 S 0 0 02o 'I t; a | (Oi n ~ CS '2n J 0 _ 0 0 0D C D I e -0~s 0^^ * 01 0.00"^ '" c^ ^- 0.. 0 ^.s 0 *0 F-F CD 0 0 0 CD 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 -z 0 -' F- 0 0 0F0 CD 0 _ f CD 0O' I: Tv J I t 0z FCDY _.p r0 r-?-, cC 0 II i. j j 11 0 3^ cri g o c or I 2" 0 0 | l!,, ' 0 0 0 _ CDL 1~~~~ I C.R 0- 0-,0 -S'3 CD.O 5 C' S' 0 O ~i;, 0 o 0 L CD n,L) Ig iL 001 t 30 0Q 0 (D "S 0 C. 0 U); CD (: i. s 5 '-^

Page  291 C(HAPITRE 1IX -- GEN',ERALITES. M OUVEMIENT RECTFILIGNE. 99I la position initiale de cetLe projection; considdrons le secteur limiet par la projection de la trajectoire et les deux rayons 0P0, OP; en appelant 5 la surface de ce secte-url comptee positivement dans le sen.s positif des rotations au'our de O0,s, on a dS (x dy -— y dx): i'cequation prececdente dlevient done cd 2 7 - C, d'o, en;ntegrant7 S - =C(t- t0), aulreinenL dit: V 'ac e S est p/olf ortioizn elle au temps employe & la dcecrire. On dit alors que le tlheoreme des aires s'applique a la projection du mouvement sur Ic plan xOy,. La constante des aires, C, qui entre dans laforiule precedenle, est le rapport du double de faire balayee par le vecteur OP au temps employe i la decrire; elle sera dCeermirnee par les conditions initiales du mouvement: ce sera la valeur que prend dt dt -a cits au paru[ du mouvemen[~esr-'.dr c ]. moment de la vilesse initiale par rapport hl Oz. Inversement, si le theoremre des aires s'applicue a la projection du mouvemenl sutr un plan xOy autour du point 0, la force est - A C \ i?^y dxd dans un meme plan avec Oz, car l'6quation x - y I — C donne par differentiation d/y2 d2 X x -- t -- o, d'ou aY —yX -= o. dt2 dt2 Exemple. Forces cenrzzcales. -- Supposons qce la resullante F des forces appliquees au point soit centrale, c'est-a-dir e qusa direction passe constamment par un point fixe 0. Si 'on prend ce point pour origine, le moment de F par rapport a chacun des trois axes coordonnes est nul et le theboremne des aires s'applique a la projection du mouvement sur chacun des trois plans coordonnes. La trajectoire est dans un plan passant par le centre des

Page  292 29-' TROISIEME PARTIE. DYNAXIIQUE DU POINT. forces. On a, en effet, les troi edquations dy cdx X ~ -— y 7- t- C, cdz dy clx cdz dt (-tlz z -- X W-. S at wdt -B. Muiltipliant par z x, y et ajoulant, on trouve Ax - By -- Cz -= o, equation d'un plan passant par le point 0. Ce plan est determine par la vitesse iniliale et le point 0. 204. Interpretation g6om6trique des deux th6oremes prec6dents. Menons par l'origine O un vecteur OR egal et parallele a la resultante des forces appliquees au point et un vecteur OR' egal et parallele a la quantiti de mouvement du point. Le point R' a pour coordonnees dcx cdy idz c-i- l-Itt' c i cdt Les equations du miouvement exprimant le th6oreme de la projection dlc la quantit6 de mouvement sur chaque axe s'ecrivent cdy l d- Z, xc -- ~ clt, ly - Z dt 1 cdt dt equations qui signifient que la vitesse V' du point geometrique R' est i chaque instant egale et parallele a R (voir fig. I33). Soient, de mime, OG le moment de la resultante des forces appliqu6es au point MI par rapport au point 0 et OG' le moment de la quantitL de mouvemrent par rapport au meme point. Les coordonnees A, [, v du point G' sont k =.zy/ clz dy\ ( ) (clt dt / (G' / d( x dzx v= m xr - o- d \ v-m t x dt - dt ) ct les projections de OG G) L =- yZ -- zY, — zX -N= zx - x- - yX.

Page  293 CIAPITRE IX. - GENERALITES. MOUVEMENT RECTILIGNE. 293 Nols venol1s d'etablir I'equation Nl - N on trouverait de nmmrie dt = L, dt = I, di dt equations qui expriment que le point G' poss6de, a chaque instant, une vitesse V" egale et parallele a OG; ce qui confirme lanalogic entre les deux theoremnes precedents. Par exemple, si la resultante des forces agissant sur le mobile passe par le point fixe 0 les quanities X,., v sont constantes, le segment OG' est fixe pendant toute la duree du mouvement. Nous avons vu que la trajectoire est alors plane; clle est dans un plan. perpendiculaire ai ce segment OG'. 205. Cas of la force appartient a un complexe lineaire. - On obtient encore une intdgrale premiere dans le cas suivant, qui comprend conmme cas parliculiers ceux que nous venons de traiter: Si la rdsultante F des forces agissant sur le mobile appartient a& un complexe lindaire, le moment de la quantite de m/ouvemzentpar rctpport t cc come/lexe est comnstant. En effet, la force F appartenant a un complexe, les six coordonnees X, Y, Z,, M, N du vccteur F vdrifient une relation de la forme pX — -- Y- r -- a(yZ - zY- b(zX - xZ)- c(Y —yX - o, p, q, 7r, a, b, c dcesignant des constantes. Remplacant X par -- (i -,) /9,Z q i Ca dz r a/ yZ -zY parc - t (, yc - z-..., etc., on a une equation dont tous les termes sont des derivees exactes et qui ldonne pal I'intdgratioin r d x dy cz dz dy pdt CLt + clt - Ydt d dt /c d cdz \ /dy dxc \ - b z z - ~ - -I) -a c x - - const. dt ct \ t d ct itj Cette intdgrale premiere exprime que le moment relatif dc vecteur MQ (quantite de mouvement) et d'un systeme de vecteurs dont les coordonnees seraient a, b, c, p, r, est constant. C'est cc qu'on exprime cn disant que le moment de la quantitd de mouvement par rapport au complexe considdre est constant (n~ 24 bis). 206. Theorem.e des forces vives. -- Reprenons ]es dquations du mouvement dx = d2y d2 - dt2 ' d12 d2 I

Page  294 994 TROISIEME PARTIE. --- DIYNAMIQUE DU POINT. eL ajoulons-les memmbre a lmembre apres avoir mult;plie la preuliere par di, la deuxieme par y, la tiroisieme par cdz; il vient (/ d2x ci Cy dC2Z m ci (- t9 dXd'2 -y c- - dzd ) - X cx — Y cy Z dzC; Cdi di2 cd i2 / en remarquant que le carre de la vitesse est d dtl dzI on peut ecrire cette equation 2 (I) dc m^ -- X dx --- Y cry -1- Z dsz On appelle forbce vive Ie p~rodui. de la macissee par I cacI'rr de Ica vitesse mv2 l 'equaiaioln ci-dessus s'(c once alors de la facon suivante La cfiff reien'el le de la cdemi-fobrce vie, pencdant l' intere tlle de temps dt, est er'gle cu iir-mcail ch'lmeineticirie de Ie e resultcirte ces fo rces cia'sscint str le imobile pelcitn.t- le mnememe inter'clle.. Le second membre de '6equation X cdx -r y - Z Cdz esl, en effet le travail elementair de ]e a force X., Y, Z correspondani au deplacemeni rIeel dx, dy, clz que subit le mobile pe-ndani ]e [empis dC; on peut, co-rne no s 1'av\ons v (n~ 82), remplacer le Iravail de la resullante X, Y, Z des forces appliqulees au point par la somme des Lravaux des composantes. Liequation (i) resulte aussi immediatemeni de la premiere des equations intrinsecques du mouvement dv mch-:= Fl. ds Multipliant par ds et remplacant d par cv on a dci - - 2 - tF cis, equation donltle deuxi;eme melmbre estlc l ravail 6elementaire de F correspondant au deplacement dsc

Page  295 CII PI TRE IX. -- GENERALITIES. MOUVE AENT R ECTILIGNE. 99') Si lon;integre I' equation (i) depuis l'instant 1, jusCqu'I t, on a, en appela:nt e(o ]a vitesse?t ]'instant to, ~(*;-Z - - -- -fl / X dx -' dy - Z c:; 0 d'o0i cc the oreinle fnC vCalc'ition dce lct dcei-for'ce vie dcl poinl, pendccant uI. il-er evanclle e tezmps quelconquee, est cgacle cal trvctil totcl des forces appJliqueecs ca point pencltant Ie meme inte/vcalle. Au point de vue de l'evaluation du travail total, il faut distinguer trois cas coinme nous l'avons montre dans Ie Chapitre IV: ~ Dans le cas le plus general oii X,, Z dependent decx y, z; dx dy idz -Wclt? -d-i t,ill faut, pour evaluer le travail lotal, connaltre les expressions de x, y, en foncaon de t, est-'-dire le mouvemten t; ) _aD1ans le cs oU X, X, Z dependent de x, y, sulemenent, i. suffit, pour devaler le travail total, de connaitre la trajectoire dcu mobile entre la position M0i qu'il occupe a l'instant It et la position / qu!'ili occupe a i'instant t' 3" Enfin, si la resuitante X, Y, Z ne dcepend cque de la position dti mobile el derivcc d'i/ne fonction de forces U(x, y, z) X dx --- Y d-y -- Z dz -o- CdU (x, y z'), on peut evaluer Ie travail total en connaissant uniqucment l-es deiix positions MT0 et Al. Dans ce cas, le theori'nme des fbces cvices fobi/zit nitl z Ie idgrctle precmiere on a, en effet, e inegrant lc dceuxiieme merbre de el'eqation (2), j) 2 l 2 ( - ~- --- U (X, Y, z) - U (xo, yo,.'o) OU 02 mn = - - [U(x, y, z) -- h i, IA designant la constante arbitraire "~ )- (xo,yo, 0); cette constante se nonime constantte des forces vives. D'apres cette equation, la vitesse du mobile redevient la mime chaque fois que i (x,,, y z) reprend la meimie valeur. Si JU(x, y, z) est une fonction

Page  296 :96 TROISIIEME PARTIE. -- DYNAMIQUE DU POINT. uniforme de x, y, z, on peut dire que la vitesse du mobile redevientla meme, quand le mobile revient sur la menme surface de niveau U(x, y, z) const. Quand la fonction U est a determinalions multiples, comme, par exemple, U( x, y, z) arc tang —, la vitesse ne redevient pas necessairement Ia meme quand le poinl revient sur la meme surface de niveau, car, sur une surface de niveau determinee, U(xy, z,) et, par suite, le travail total, prennent des valeurs diffdren[es suivaant le chemin suivi (voi no 87). Exeemples. - ~ Considerons uI) point pesanL entierement libre, nmobile (lans le vide. Si nous prenons un axe Oz vertical et dirige -vers le hiaul, l seule force appliquee au point est lc poids dont les projections sont X.- o, Y o- o, Z --. - mg; ce theoreme des forces rives donne done c - -,ng dz, dquation dont le second membre est une diff6rentielle totale exacte, ce qui montre, comme nous l'avons deja plusieurs fois remarque, que le poids derive d'une fonction de forces. En integrant, on a 2 _ -~ g-( z -- z O) ou vL -- (- gz - h). (ette equation montre que la vitesse reprend la meme valeur nlul-muriqJle chaque fois que le mobile repasse la meme hauteur, c'cst-a-dire rxcieni sur la mime surface de niveau; car ces surfaces sont actuellement des plans horizontaux. Plus gienralement, si Ie moblile 6tait sollicitd par une force verticale fonction de z, X - o, Y -- o, Z - ( ), on aurait Im~[ O itV2 lp V r.d ----.. o(z) (z. -...._.~ j (zl dz; 2 ~ ' 2 2 ZO les surfaces de niveau seraient encore des plans horizontaux. Dans tcLus ces nouvements, la trajectoire serait plane (n~ 202, ex.). 2~ Consid6rons un point \l attir6 par un centre fixe 0 en raison inverse dil carrd de la distance. La force attractive aura une expression de la f(or -e --, ai etant une constante et r la distance OIM. I.a valeur algd1 -

Page  297 CHI PITRE IX. - GENER.NLITES. MOUVEMIENT RECTILIGNE. '9.97 briqie de cette force estimne dans Ie sens (le OM est - et, d'apres cc [uc nous avons vu dans le n~ 89 le travail 6lementaire de cette force esi m' dl-. Le tlihoreme (les forces vi\-es donne done?n2 /it U. 2 — v- /i 2 -, oi d -H h). V 2 ( h i. Les surfaces de niveau sont les spheres L = const.; la vitesse ieprend la meme valeur numllrique a la meme distance du centre attractif 0. Plus gednralenent, si le point M est sollicitL par une force centrale fonction de v', dont la valeur algibrique estinmee dans le sens OMI est p(7'), on a ci p=(v) d, -** - -- i, '(') 01. 192 ' 2 /2 72 / ' Les surfaces de nivxeau sont encore des spheres de centre 0. Dans tous ces mouvements, la trajectoire serait plane (n~ 203, ex.). 3~ Considclrons un point pesant AI attire par un centre fixe A, en raison inverse du carre de la distance et repousse par un centre fixe A' proportionnellement a la distance (ig. 135). Nous pren(lrons encore un axe Oz Fig. 135. x F' / A9 YA 0/ vertical vers le haut, de sorte que le travail eldmentaire du poids sera -- ng dz; si nous appelons v/ la distance AM, la valetr algebrique de la force attractive F estimde positivement cans le sens AM est -- et son travail elementaire - — cldr; enfin, si nous appelons /' la distance MA', la valeur algebrique de la force repulsive F' proportionnelle a la distance est m U.'r' et son travail elementaire m l' dlr'. D'apres le thdordmc

Page  298 9).9' TROISITEME PARTIE. -- DYNASMIQUE DU POINT. dIes forces vi'ves, la difflrentielle d — et egale au travail elenlenlaire (le la resultante des forces appliquees au point IM, c'est-a-dire l la somme cles travTaux dcs composantes, et lon a 2 Cd2 -- - n, dz -- -/ d/' -' — m L73, ' dr'. Le secondi membre ic cette expression esx ne diffirentielle exacte et il existe une fonction des forces; c'est ce dont on elait certain a l'avance, dt'apres les tdort6mes etablisdclans le Chapitre IV. On a (lone en Mntgranl,.. apres avoirt divi-se par it, / M - J — 2 ( — g )-' - - A. La fonction des forces esL encore ici une fonelion uniforme el la vii.esse rde(ienit la mn-r.e chlaque fois que le mobile repasse sur la meime surface de nivcau ~ -', t _ _.. _ CO01St. I7' 2 Ces snurfaaces nt du sixieme ordre; ellcs se rcduisent au second si P. es iiul, c'est-a-dcire si l'on supprime lc centre attractif A. 27. Rsemarque sur iP ntgrale des forces vives. -- Linteg'ra-le des forces vives Iv — 1 2 U (x, y, yz)-i- h] inonlre que le lmobile ne peuL pas sortir de la reggion de l'espace dans laquelle (x y,) — I est positif, car le premierer membre csL essentiellemeni positifo Quand cette rdgion ne comprend pas tout l'espace, elle est en general limitie par la surface dc nimveau ayant pour;quation U (x, y, z) +- h -- o, surface dont la nature depenc de la constanle des forces vives, c'est-a-dire de la position initiale et de la grandeur, mais non de la direction de la vilesse. On cherchera, a litr;e d'exercice, ce qoue sone ces surfaces pour les exempies traites ci-dcessus. Cette remarque evidenIte donet on trouvera qmuelques applications dans un iMemoire de IM. Bohlin (Atac mnthemctica, t. X) donne immndiaLtement le Ihcioreme de Lejeune-Dirichlet sur la stabilite de l'equilibre.

Page  299 CH- IAPIT RE IX. LIT- GE NIRAL S. M O U VEX,iEN T ESCTILI GNE. E.9 9 208. Stabfilit d ee 6qi re cun p0oin.t 'mat6erie libreo Theor6rme de Lejeune-Diriclileto. --- Soit un point libre Ml (x;, z ) sollicitL par des forces dont la rc'sullanLe (X,, Y, Z) derive d'une fonction de forces U (x, y, ) X - 3 --- Y. ): c)y d c) Les positions d'culibre du poinl s'obtienneltc en egalanit i z(lero X-,, Zc, c'est-a-dire en cherchant les tmaxinma et minima de U. Si tdans I ue position cloin7ee 0 cli poioit 1( f1ol/ctioe n FU est /reellement mactximtzm, /'equilibre coir-es)owic-/an1z est stable. Prenons cette position 0 pour origine eL supposons que la fonction U s'annule au point 0, ce qui es tLouj ours permais car la fonction U n'etant dtcernminee qu'at une constante additive pres, on peut disposer de cette constante de facon que U s'annumle en un point donne. Pour preciser la noLion du maximum, delcrivons du point 0 conmme centre une sphere dont le rayon c esl; ilufrieur i' une certaine liminte assez eltite pour que, Cans 1a sph.Cre et sur la spherc la fonction U (x, y, z) soil lnegactive et non nalle, 1lorigin e seule oil.a fonction devient nille etant exceptee. Le rayon P etant choisi aussi pelit lu'on le veunt noIs allolns montrer qu'il existe deux. nombres positifs e eL. possedanti la pro — priete suivante: en placant le point mobile dans une position initiale distante de 0 de imoins de e et lui imprimant une vitesse iniliale moindre que U, on obtieni un mououvement dans leqcuel le iobile reste ' l'irte'iieuar de la sspher e l se lede Cyon po in effet, ]a fonclion U est, sur la surface de _a sphere?, negative et differentc de zero; on peuL done assigner un nomibre possiif p assez petit pour que, sur la surface de la sphere o, on ait constamunent -U p, U -- p -. o. _Ionnons alors au point AM une position initiale 'Mo(xo o, y o) a Iinterieur de la sphere; et:imprimons-lti une -vitesse initiale v(. Dans le mouvement qui prend naissance, on a, d'apr-es le theoreme des forces vives 1172 (M U 2!A

Page  300 3o) TROISIEME PARTIE. - DYNAAIIQUE DU POINT. U cdesignant la valeur de U au point Mo, valeur negative. Deterrminons la position et la vitesse initiale par la condition (a) -- ~-0 - p; 2 pour celaI il suffit, par exemple, de prendre 2 2 2 La premiere inegalite donne pour vo une limiLe superieure it egale a/; puis, la fonction U etant continue et s'annulant a l'oriine, il existe un nombre positif' assez petit pour que, la distance OM0 etant moindre que s, - Uo soil moindre que P-. Alors, en donnant au mobile une position initiale distante de de moins de s et une vitesse initiale moindre que / '/, on satisfait a l'inegalite (2) et par suite, d'apres le theoreme des forces vives (i), a I'inegalite - - U - p, 2 qui montre que le mobile ne peut pas sortir de la sphere o; en effet, si le mobile arrivait sur la surface de la sphere, U -hp deviendrait negatif et la demi-force vive, qui est une quantite essentiellement positive, deviendrait moindre qu'une quantite negative; ce qui est absurde. Le theori'zme est done demnontre. Par exemple, si le point est attire par O proportionnellement a la distance, 0 est une position d'6quilibre stable (n~ 94). On peut, dans le mouvement obtenu, assigner une lirmite superieuore a la vitesse, car U etant negatif, d'apres la formuile (3), - est inferieorr a p et ~v 'a c / v / 2 i n Remcarque. - Lorsqu'un mobile sollicite par une force nze derivcnt pas c' une fonctiozn de forces est en equilibre dans une certaine position, on reconnait si l'equilibre est stable ou non en etudiant le mouvement que prend le point quand on l'ecarte infiniment peu de sa position d'equilibre et qu'on lui donne une vitesse infinimnent petite.

Page  301 CHAPITRE IX. -- GENERALITES. MIOUVEMENT RECTILIGNE. 3oI iI. -- DEOUVEIEENT RECTILIG E. 209. Gas gn6eral o a la trajectoire est plane. - Lorsqur'un mobile est sollicite par -une force constamment parallele ai un plan fixe II et que sa vitesse initiale v0 est parallele a ce plan, la trajectoire est situee dans le plan mene par:0 parallelcmtent I HI. On pent regarder ce theor.me commr edvident, par raison de symetrie, parce qu'i n'y a aucune raison pour que Ie mobile quitte ce plan d'un cote out de l'autre. On peut aussi le deduire des equations du mouvement: supposons la force parallele an plan des xy, et le mobile place en A Mo(x0,,0, z0) et lance parallelement au plan des xy. On aura alors Z o et la troisieme equation du miouvement donnera di z dz id2t- --- 0 dt 0 Zo ddsignant la projection de la vitesse initiale sur 0. Mais, par hypothese, cette projection est nulle; done dz _ O,:'- o,() ce qI'il fallait demontrer. 210. Gas general o le mouvement est rectiligne. - i la force qui agit sur un mobile est constamment parallele a un axe et si la vitesse initiale est parallele a cet axe, le mobile decrit la droite co parallele a la meme direction. Ce theoreme rdsulte du prdcedent, puisque la trajectoire doil se trouver dans tout plan mene par 0o parallelement ai l'axe. On peut le demontrer comme le precedent en supposant la force parallele a Ox; on aura d2z d2y dts dti d'o t' dz dy, dt Z -I- o, -- ' - o, en appelant z, eto les projections de la vitesse initiale sur 0O

Page  302 30o9 TROISIETIIE PARTIE. -- DYNAMIQUE DU POINT. eL O)'y pnrojections qui sont nulles par hypothese; done, en interan t de:nottveau,.. zo, -- Yo. 21 I. qnuations du 1move ment6 rect'ilgne.Cas simples d'integrabilit6. - Placons-nous dans ce cas parliculier ou Ie mo1 vemennL est rectiliigne et prenons pour axe Ox la droite e q decri Ie Imobile; l'equation unique du mouvement s'ccrira 6[2 vx (.) 1 - - Le cas le plus general esl celuIi oL' X est i la fois foncion del x, de; et de i; on. aura dans cc cas d~x i dx dtI - 'c t ) ' cair la valeuir algeiri que de v est c- ' est uine cquation difftrenlielle du second ordre, qui permettra de calculer x en fonction de. L,'nti rale generale contieucidra deux constantes arbitraires x - f(t, C). On cldeerminera les constantes par les conditions initiales Xo -- f( to, C, C') Vo =./ ( to., C' C'). I1 peut arriver que 1'expression analytique de la force change sliivant la position du imobile ou le scns de la vitesse. Un exemple de ce fait se rencontre cans l'exercice 3~) du n) 212. L'integration de l'equation difirentielle (i) se ramene a des quadcratures si X conijent seilement l'une des qluantites x, v, t. 1~ La fobrce deplend uniquement de la position. -- Soit d'abord d2 x "*Tt - )(X.), 61dt2 I ' dx multiplions les deux membres par a ii vient d cii-Ot d2x x dx 2 it - t i - = (iX) it 't

Page  303 CH-lAPITsE IX. -- GIENERALIT 'S. MOUVEMENT RE CTrTL I GNE. 303 onr peu integrer, e l'on a im -l -2 c 2 Q (x)dx -!-h, qluation qui n'est anutre que l'equation des forces vives appliquee ar cas particulier actuel; pour determiner la constante, faisons x -- x0, nous obienons pour h la valeour myeo La quadrature cidessus etant effectuie n tue ne qaon rove ne catin de la forme / cx2 dx i Ix di il lny a aucnne ambiguTtl sur le signe a prendre, car pour x: x, on doit avoir ( ) — = v; on doit done parlir avec le signe de e, devant le radical; si v0 eltait nul, le mouvemenL se ferait dans le sens de la force, ce qui dlterminerail encore le signie du radical. On e:crira alors dx r ' cd dt -- =-, t - to.. — 7 -0= $~(X) J vo =/ r-) cettte equationa rcsolue par rapport a x, donnerail la loi des espaces elle exprime direclement le temps necessaire pour parcourir un espace donne. Nous la discuterons plus loin (n~o 29, exemple 50) apres avoir etudie quelques cas particuliers simples. 2~ La force dlepezncl zuniquemlent ce lect vitesse. --- Supposons mnaintenant X fonction de e, on ecrira c/o n do dv Td dvcl m lt - - (v), dt -( ) ~dt T~ h?(v) en:nt.egrant r v mZ Cdv t _ --- -?( -I to, et, commne cx = - v dct on aura - v dov v mv dv dx - ----, x ). ---7 -,*'.?(v) ' () x et t sont alors exprines en fonction de la variable auxiliaire v. La derniere equation m v dv y (v) dx resulte aussi da theorerme

Page  304 304 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. des forces vives, car (c) dx est le travail el dmen taire de la force el d7nv2 DI~ dC =-= 3~ La Jorce depend uniqCluement du temps. - Si enfin X est fonction de t seulement, on a d x Ci 2 (t) Irnlegrons une premiere fois, il vient R - () dt -- 7mon; 10 enfin line nouvelle integration donne m X - i dt i?(t) dt - mn vo(t - to) -+- 0. 212. Applications a des mouvements produits,par une force d6pendant de la seule position. V' MIotvemenlet vertical d'un corps pescnlt dcans le vide. Nous prendrons pour axe la verticale passant par la position initiale du mobile et dirigee vers le haut. Designons par vo la valeur algdbrique de la vitesse initiale, supposde verticale. La force qui agit sur le mobile est, i chaque instant, - mg; 1'dquation du mouvement est done ( I),nz d.,-12 X - -. C1,t dtl 2 Une premiere intdgration donne rdx (.d ) - -- 't - - o, ent. omEpnt le temp pa de grnstant un le emobile ois, on aen nent. En intdgrant one deoxidme fois, on a g2 ( 3) x -= - -- -V t, en comptant les distances a partir de la position initiale du mobile. Si (o est positif, la vitesse, d'abord positive, va constamment en diminuant et s'annule au bout du temps ~; a partir de cet instant, la xitesse qui est a

Page  305 CIIAPITRE IX. - GENERALITES. MOUVEMENT RECTILIGNE. 30o n6gaative croit indcfiniment en valeur absolue. En 6liminant t entre les equations (2) et (3), on trouve On arriverait a cette relation en appliquant le th6or6me des forces vives, dx c'est-a-dire en multipliant les deux membres de (I) par 9. - et intdgrant. On a done V == -+ / 2 gx. Dans l'h-ypolhese oi nous nous placons. Vs0 > o, le corps est d'abord lancd vers le haut et au ddbut du mouvement la vitesse est positive; on devra V2 cone prendrc le signe -T devant le radical. Lorsque x croit jusqu'a "~ v diminue jusqu'a o; a partir de ce moment, le corps retombe ct I'on prendra le signe -. L'expression que nous venons de trouver pour la vitesse montre que, lorsque le mobile passe par une position detcrminlee, sa vitesse est la meme en valeur absolue, qu'il monte ou qu'il descencde il repasse alors par une mnme surface de nivcau. 2~ Mloucltement d'tn point materiel attire ou repousse par Uzn centre fixe 0 proportio7lnellement a la distance. Prenons pour origine le point 0 (fig. I36) et pour axe la droite OMo, Fig,. i36. ZD 0 r:. A.., A.. b 0 "-. Mo — ' B A '~ qui sera la trajectoire; choisissons pour sens positif le sens OiAM, Mo ddsignant la position initiale, et designons par c0 la vitesse initiale. Prenons d'abord le cas de l'attraction: la force, a un instant quelconque, sera - i[x, p. etant positif, et 'on aura pour equation du mouvement, en posant - 2 -d _ - -- k^ X. Cette 6quation convient, que le point mobile soit i droite ou a gauche du centre attirant 0. Le deuxieme membre ne dependant que de x, nous indx tLgrerons en multipliant par 2 -- cc qui revient A appliquer le th6ozn cit I. 20

Page  306 3-)O(b 't'I OISIEiME PAl'TIE. - D)'YNA IIQUE DU POINT. remc des forces ivs ie nous avons aninsi (cix) -c — 2'X2- I h. POUI' x - X 0on a p = P0o, done 12 _ v e2 1 g 2; est une quantit' essentiellcmnentpositive el superieurc, ksx: nous pourr'ons done poser h egal 5 un carr6e 2 a', avec a > x0. L'equation du mouvcment devient alors d Ci:t ) - /k ( a -- t' )2 c-t -- ( / k1(a' -— X2), $ ~ I, el le temips sera ldonne par une quadrature c61leeentaire J^ i~cL 2 -- X~c-x u 0pposons lc mobile lance avec une itesse initiale, c0, positive. il faudra prendre au debut le signe d- de-ant lo radical; lorsque x augnente, la vitessee diminue et s'annulerait pour x — a: nous allons etablir que nous pouonIs effectivement faire x - a, c'est-a-dire que le temps qu'il faut au mobile pour decrire l'espace a —.xO est fini. Tout d'abord, le mobile i)ourra s'approcher autant qu'on le voudira du point A, c'est-a-dire qu'il arrivera nccessairement en tout point B de I'intervalle MoA, car Flabscisse de B dtant b, la vitesse du mobile est constannmment supdrieure a k \/a. - -2 lorsciu'il se troune entre 1Mo et B' done au bout du temps -- b, il aura decrit une longueur plus grande que b-xo et aura d6passe le point B. En outre le mobile arrive au point A lui-meme, car l'intCgrale (i), qui donne le temps employe a arriver au point d'abseisse x, reste finie lorsquex tend vers a. Le mobile s'eloignera done du point 0 pendlant le temps I a cx I Jf - Au bout de ce temps, la vitesse s'annulera et, la force 6tant attractive, Ic mobile se rapprochera du point 0; il faudra changer le signe de v et rendc re dx - it kc.x; le se roapprochera constamment du point O avec une vitesse qui

Page  307 cllAPIT RE IX. - GENlERALITES. MIOU VElI1MENT RECTILIGNE. 3(7 croitra jusqu'a ka et v arrivera au bout du tem.ps I dx _ A J /Ct2 - 2 9/C ie mobile dcpassera alors lc point et cette nouvelle phase du mouvement sera inverse de celle qui 'a amenc de A en 0; il s'dloignera done jusqu'en A', symetrique de A, oil il s'arretera pour rcvenir vers 0, et ainsi de suite. Le mobile sera done aniim d'un mou-vement d'oscillation, la durde d'une oscillation simple dtant yEn supposant la vitesse initiale nulle, on trouvcra a = Xo, et le mobile etant plac6 en nn point quelconque xo de la droite sans vitesse initiale arrivera en O au bout du temps 7 indcpendant de x0; on dit alors que le mouvenent est tautochzonze. Pour avoir dans ce mouvement la relation qui existe entre x et t. on pourrait effectuer la quadrature que nous avons considdrde plus haut ct qui donne un are sinus; on y arrivera plus simplement en remarquant que l'neuation du mouxvement (12 X cst lindaire et du second ordre ai coefficients constants~ son integrale gTnerale est done x - A cos kt -1- B sin Ci, -'oui, en diffrentiant, V =- A /: sin it', t- 1-~ / cos /tC. Pour t o, on aura o -- A, O =- B/C, done X =.XT( Cos/Cl -- - i sn/Ct. Si 0 - o, l'expression ci-dessus se reduit a x = x0 coskt; pour que x soit nul, il faut que kt soit dgal a - done le temps que met le mobile a arriver I l'origine est bien -, valeur inddpendante de la position initiale.

Page  308 308 TROISIEIME PARTIE. -- DYNAMIQUE DU POINT. Traitons maintenant le cas oui la force est rdepalsive; l'equation du mouvement est /lx X. cldt Multiplions les deux membres par 2a - et integrons, il vient (theoreme des forces vives) (xy (x\ 2 - - k 2 2- h avec h - v,- kcx donc dx_ -,V/)-,x — h. d/t Supposons d'abord v0 > o; le mobile s'eloigne constamment du centre attractif et sa vitesse croit indefiniment avec x. Supposons maintenant vO < o; au debut, la vitesse sera negative: il faudra done prendre le signe - devant le radical. Supposons h > o; a mesure que le point s'approche de 0, sa vitesse dininue jusqu'di Vh; le mobile depassera le point O avec cette vitesse et s'eloignera avec une vitesse indcfiniment croissante. Si h est negatif on peut poser h 6gal a- ca2 et l'on a dx ou a est necessairement moindre que xo, car pour x = xo la vitesse vo est reelle; le mobile s'approchera cone du point A d'abscisse a et l'on d6 -montre facilement qu'il atteindra tout point B situe entre la position Fig. 137. o0.A Mo initiale Mo et A; d'ailleurs il arrivera en ce dernier point en un temps fini, car le temps qu'il lui faut pour parcourir l'espace x0- x I - I k Xo vx2 —dc2 tend vers une lirnite T lorsque x tend vers a. Au bout de ce temps T, la vitesse changera de signe et le point s'eloignera indlfiniment de a a\ec une vitesse toujours croissante. I1 est interessant d'dtudier le cas intermediaire h -- o. Dans cette hylothese, on a dx d=- /X - -^. dt

Page  309 CHAPITRE IX. - GENERALITES. MOUVEMENT RECTILIGNE. 3o() La vitesse diminue constamment a mesure que le point se rapproclle de l'origine; on demontre, comme precediemment, que le mobile s'approchera indefiniment du point 0, mais il ne pou7Crra Vatteindre dans uil temnps jini, car le temps qu'il lui faut pour arriver c une distance x de l'origine est T x-c I lo Xgo k x k- x et cette expression croit inddfiniment lorsque x tend vers o. Le point ( se distingue par cette particularite que c'est une position d'equilibre instable; le mobile place en 0 sans vitesse initiale resterait au repos; mais si on 'en ecartait un peu, la repulsion l'ecarterait davantage; le plus souvent, lorsqu'un mobile s'approche d'une position d'cquilibre instable avec une vitesse qui tend vers zero, il s'approcle indefiniment de cette position sans jamais l'atteindre. Si dans le probleme que nous venons de traiter on. voulait avoir la relation entre t et x, il faudrait effectuer une quadrature; mais l'equation du mouvement etant dc x d2t2 elle a pour integrale generale x -- Aekt - Be-/t, d'oi o = A ket --- Bke-kt' pour t- =o, on a o —A+B, LA-B A —1x0~ 0) B=^f^-;j). xO = —v_ A --- -, k A -, B. A 2 9\ k- ~ ) Si l'on supposait les conditions initiales telles que A = o, c'est-a-dire v0 --- kx et, par consequent, it = o, le mouvement serait donne par x = x e-kt et t croissant indcfiniment x tendrait vers o; ce qui est bien le resultat trouve plus haut. 3~ lfoutvement d'zun point attir par tin cent7re fixe en raison inv'erse dt carrd cle e la distance. Lorsque x est positif, la force est X- t si x dtait ncgatif, il faudrait prendre 372"

Page  310 310 TROISITIME PAIRTIE. --.DYl3N2 IQUE DU POINT. Notus traitcrons le premier cas; alors l'dquation du mou-vemenc sera, si l'on poOse i. = /t.',-___ __o CL2 X / CZ t 2 X' d2 - ~2 Multiplions par i2 P- et integrons (thWorime des forces vives) c Ct t x 2 2k2 o t h-= v- Supposons que le mobile parte d(e Mio avec unc vitesse 70 xo %O negative, c'est-a-dire dirigee vers le point 0 ou avece unc vitesse nullc; il faudra, au debut, prendire dxt x et le mobile s'approciera de 0 avec une vicesse croissant indefinirnent, circonstance qui ne peut evidemment pas se rca!iser plysiquement il y aura choc avant que la distance des deux corps s'annule. Si le mobile eiait lance clans le sens polsiif, il faudrait prendre d'abord dt: _+- V-~,-+ h. clt /:2 Si h est > o, i mesure que x croit, v dcroilt consltalmment, mnais reste toujours superieur a \/h; le mobile s'eloignera done indlefinimenlt; c commnre sa vitLesse tend vers l/h. on peLt, apres un certain temlps, collsiderer le mlouvemen rectlilignc con-mmre uniformc. Si I est nul, le mobile arrive necessairemenl en toutl point de la droite, si eloigne soit-il, cal, entre f10 et un point quelconque P d'abscisse p, / 2 sa vitesse est superieuLre aC —; ii s'ensuit qu'il s'61oigne indefiniment avec une vitesse qui tend vers zero. Si h est ndgatif, on posera h — h et It'quation du mouvemcnt sera clx /~ ~ p/t - clt ~v/ x d'ailleurs ca > Xo (voir Jig. 36), car le radical doit etre rdel pour -- X; la vitesse, d'abord dirigece vetls la droi c, va cone l'abord en clilinualllt rnesure que x croit. On verrail, comme prlcedclCniment, que le mnobile s'approChe autant que l'on aveut du point A d'abscisse a et y arrive en un temps fini; au boutt de ce temlps, le mouvement change de sens, car la

Page  311 C APITRE IX. - G ENERA LIT'I'S. M OUVESEiNT RECTILIIN E. 31 I force est attraeLive eL elle ramnene le mobile vers ic point 0, cornme dans; le premier cas vO 'o. On pourrait discuLer auLremenL le problemc en effectuant la quadrature qui donne I en fonction dexr; on a en effet V x Si lon pose alors -- -i- h- it on est iamene'a l'intleration d'une fr,.ac'tion ra ionnelle. 4~ ob-ile air/ e pac7r C zun cenitre jix.e piojap)ort tlonelzle1ctl I iz.: tili'c lpuissaincCe (le l(, distCtzce X =! -.x' On LroLvera que, si le mobile est aban(donne sans vitesse initiale ' une distance cl de l'origine, il y arrive au bout du tcin)s * — /- - 1 X -i-I 22, expression dans laquelle liinLegrale definie esl I'integ:raie eull(rienne B (-i --.) Par consequent, la scule valeou pr pour laelle est l?, ~- i ~ 'indlependant de x0 est z - I (cxemple ~2). 5~ Discussioz dlt cecs gescrcal. L'9quation du mouNvelment etant 7?, - -( ), une premiere integralion donne (t.6oremc ces forces vi-es')d li -2 (x) dx - h =- J( d — dx,- -- Pour fixer les idles, supposons f(x;) une fraeLion rationnellCe le signe dl radical au debut du mouvement sera dconne par le sens dcans lequcl le mobile commence a se deplacer. Ilmaginons, par exemple, qu'il faille prendre Ic signe -r; le mobile s'eloignera vers la droite. Les seules singularites sont les zeros et les i-nfinis def; supposons qu'en faisanL croitre x on arrive d'abord 5 un infii cle:' dans ce cas, le mobile ira tomber sur le point A correspondant a eet

Page  312 31'2 TTROISIEIME PARTIE. --- DYNAM[IQUE DU POINT. infini avec une vitesse croissant indiefiniment, et le probleme sera termine. Supposons maintenant que la premiere singularite soit un zero simple, on ecrira f(x-( -- x) -( (x), qi ne s'annulant pas de xo a a, et l'on aura /- dIx / l - = /Ca --- x V/ (x ), dx WI(x) etant positif de xo i a, pour que -- soit r6el; Ie mobile arrive aussi prls quoe 'on veut (ld point A d'abscisse a, car sur un segment M()13 (fi'-. I38) la vitesse ne s'annule pas: elle resLe done sup6rieure i Fig. 138. C M, B A une certaine linite v etC le mobile arrive necessairement en B; il arrive d'ailleurs en A en un termps fini, car le temps r"x _ dx \ Va x VI (x) qu'il lui faut pour parcourir l'espace de x0 a x reste fini quand x tend vers a; il arrive en ce point avec une vitesse nulle et le sens du mouvement est ensuite determine par le sens de la force; le mobile revient nd — clx cessairement sur ses pas, car, si x depassait a, -- deviendrait imaginaire. Si la singularit6 x = c est tci-nce cdol ble ou multiple, le I mobile s'approlhe indlfiniment du point A, mais n'y arrive pas en un temps fini, car on a, en supposant la racine double, j(x) (= - x2 I(x), par suite V/R - (a - ) (x ), IF((x) 6tant encore positif clans l'intervalle xoc; et le temps qu'il faut au mobile pour parcourir l'intervalle xox /S- - dxC/x JV (- _) F(x) croit ind6finiment lorsque x tend vers a. On peut remarquer que si x -- a

Page  313 C(ll;APITRE IX. - GENERALIrTES. M OUVEIMEN'T REIICTILIGNEI. 3I3 est une racine double, la position correspondante est une position d'dquilibre instable; en effet, on a J'( x)- a -( x)2 Vr (x); d'ailleurs f(x) -'? (x) dsx ' - i/ par suite, en derivant les deux membres par rapport 'a x, on a pourla force X X = 0(~ = -(a - X) T( x) - x(a-) ()? et cette expression s'annule bien pour x= a. La force s'annulant pour x = a, la position A correspondante est une position cl'equilibre. Elle est instable, car, si lon ecartait infiniment peu le mobile de cette position, en doonant a x une valeur infiniment voisine de a plus petite que cc, l'expression ci-dessus, dans laquelle7F (x) est positif au voisinage de x -a. montre que X deviendrait negatif; le point tendrait done a s'approceer de l'otigine et a s'ecarter encore davantage de la position d'equilibre. Un cas particulier qui se pr6sente frequemmnent est le suivant: le mobile partant de la position initiale x0 avec une v-itesse c0, lcs premieres x aleul'.s remarquables que l'on rencontre en faisant croitre et decroitre x, a partir de x0, sont deux zeros simples de f(x), a et c, a > xo 0 c. On peoUt Lalors ecrire f(x) = (ct - x) (x - C) I17(x), I((x) restant positif entre a et c. On a, dans ce cas, J ~/a x)(x -c) V/(x) ofi le signe doit etre choisi alternativement positif et negatif, car, d'apres ce qui precede, le mobile oscille entre les ceux points A et C d'abscisses a et c (voirfig. i38). La curde de l'oscillation (aller et retouol) est - " cdx 1 -2V 7t( _ __ ____ J /(a - x) (x -c) 11(x) Si cone l'on concoit x comme fonction de t (inversion de l'integrale), x est une fonction periodique de t avec la pdriode T. D'apres le theoreme de Fourier. on peut dGvelopper x en une serie trigonometrique de la form e zgt. ' t 747t. -Jt X = aO- ai cos 1- - aa cos - o- T2a sin T- - T..., T Tr

Page  314 31 4 TIROi SI S IE PAiRTIr. -- DYNAMIQUE' DU POINT. coniver'cnte, quel quC soit t. La d terminat ion des coefficients a, ct, b,- p(l.scnt e e 'ran(lcs difficulits, saull dcans eI cas oit tr (x) est un poiynoim en e dc dlege e6gal ou nnferieur a i, cas dans lcquel x es i une fonclion circulairc ou eiipciqcue dle i. Pour le calcul des coefficients dans lc cas gIneral, nous renverrons ai n tM( moire dc L'e. 'cierstrass: Ueber einze Ctztia/ls.' reell per-'Iodischelier ncZcioOze ( fo7iatisbericht der Akccc(Jeice de/' [Fi sselisc/cJia'ten -t B3lerl'i, 13866). 213. itonuvenuents prorduits par un aee orcse lependanti de la seule vitesseo -- lfoutiSvelCellt et:e/iccl (7Cs p/'rojeclies cdaiCs,1/ miielt resiss'nt, t. -- N ous avoens jLsqci' p pre'sent traitc des exeplies idans lescqtels Ia force nec depend quc de ]a position du point. Voici un genre de cqestions dans iesquelles on a ta conside'rer un point nmatriel solicite par une force dependant de la -vitesse. inaginons un corps pesant mobile dans uLn nilieu resistant comme l'air. Le milienu exerce stor chaqul e element de surface cl corps utne certaine action, et toutes ces actions se cornposent en une force et un couiple appliques au corps. Dans le cas particlier o Ie projecle esst de revolation et est anime ta n nmouvemlent de transatio:n a — rallele 'a l'axe de revolutionI il est evident, par raison de s lm\ret;ie, que le couple est nul et que la resultante des actions du milieu sillu les (eiliments scperficiels- du corp:i est une force dirigece suivant ]'axe et en sens contraire du m1ouvement. Cette derniere circonsLtaccc se presente, par exeimple, lorsquon laisse tomber dans 'air immuobile uine spiaere ou un projectile cvinldr o-coniqu e d'axe vertical. Piacons-nous dans ce cas particulier; d'apres le th:eor mel dul mouvemiient duL cenitre e granite qu(ce:nots i6tlablirons plus tarl], le mouvement, du centre de gravite est le e nieme e si toule la masse du corps y etail condensee, et si touites les forces ex.erietures appliquees au corps 6:aieint transiportees paralleleient al ellesmemnes en ce oit. Le ccie de oravitt se et one cominne un point pesanLt solliclJi. par -ine force vcericale l{ dirio'ie en sens contraire de la vitesse. On est ainsi conduit iC etudier le lmoutvemenL d'un point materiel sollicite par son poids et gene dans son mouvement par une resistanceR. L'experience a montire que, pour des vitesses tres faibles, la resistance est sensiblement proportionnelle a la vitesse s; si la vitesse est notable, mals encore inferieure 'a avoo" par seconde, la resistance rie commne v2; a dela, ii faut introdclice un terme en c3 ou v'1. Nous nous placerons dans l'h)vpothiIs

Page  315 CIIAPITRE IX. - GENERALITNST. 1'OUVElENT RECTILiGNE. 31) g'eneraleac que la resistance esi dlonne en foncLion de la vilesse par la formule R - inkcv, / ec n etan des consLantcs positives. ~ _ifoluventmet descendcant. -- Le mouvenmenit dllan descenldant Fig. 139. J M "a par ihypotehse, prenons pour origine la position iniliale du mohbile et un axe v7erlical dirige vers le bas. L'e1quation du mouveinen1 sera d~ c- g — R ' —g- /:z -- mk v't O t'l dv posons - --- a'' no us avons etL nous obt~enons 1'lquallo / ) el nous oblenons l'equation (I) d- ( cit on en deduit par une quadrature, le temps en fonction de la vitesse, (2) ' c / k't t' -- 9 0 / dx on a d'ailleurs, en remplacant dans (i) dt par -? /d CX- = nil/ __oi. -

Page  316 316 TROISIEIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. l'espace sera aussi determine en fonction de la vitesse par une quacrature (3) kc x: La formule (i) montre que -/ a le meme signe que a'"- (". Supposons que la vitesse initiale, qui est positive, soil infUrieure a a, - commence par etre positif et c croit avec le temps depuis sa valeur initiale c0; la vitesse croltra rant que a."Z- (n sera positif. Nous allons mnontrer que c ne peut devenir egal a a. en un temps fini, En effet, dans I'equation (2), l'element differentiel -- -_ devient infini pourv = a. etcela de facon que -- (- (.) tende vers Line limite ~ ---l:par consequenLt l'integrale devient infinie pour v --- a. l'equation (3) montre de meme que x devient infini pour cette valeur; de la resulte que la vitesse crolt conl sLamment, mais tend vers la limie finie a ) ~ Si la vitesse initiale Po etait plus grande que a, au debut dt serait negatif, la vilesse irait en decroissant et se rapprocherait de o; on verrait, commre pr6ecdemmenLe que t et x croissenL indefiniment lorsque v tend vers a.. En resumei, quelle que soil la vitesse initiale, la vitesse tend vers la mneme limiLe.a, et, au bout d'un temps suffisamment long, le mouvement est sensiblement uniforme et de vitesse a. De ]a resulte que, si la vitesse initiale est precisement a, le mouvement sera rigoureusement uniforme; d'ailleurs l'equation differentielle du mouvemlent t — k-( a - c'1) admet bien la solution v = a. dt Supposons qu'on laisse tomber dans 'air deux spheres homogenes egales de masses differenLes; a vilesse egale, la resistance de l'air sera la nmeme; nous aurons done nZ 1i. =L m'k 'vr c'est-a-dire Imk = m' k'

Page  317 CHAP1TRE IX. - GENERALITES. MOUVEMENT RECTILIGNE. 317 les coefficients /, k' sont en raison inverse des masses. D'ailleurs on a pose k ' k' on en ddduit a/ ~ k m'n7t ce qui mnontre qu'a la plus grande masse correspond la plus grande vilesse limite, resultat d'accord avec ce fait d'experience que les corps les plus lourds tombent le plus vite. Lorsque n s e entier, les quadratures que nous avons a effectuer portent sur des fractions rationnelles; si n etait rationnel n - P, on poserait =- uI eLt Ion serait encore ramene i des difq ferentielles rationnelles. Faisons, par exemple, n = i; l'equation (2) s'integre immediatement et donne a — o kt= - logOba - v par suite, nous avons l'intDgrale premiere cc - v = (a -- cv) e-I/t; nous retrouvons bien ici les rdsultats generaux: a - a toujours le signe de ac- o; et, lorsque t croit indefiniment, l'exponentielle tend vers zdro, et v tend vers a. Cette derniere 6quation s'integre facilement, en y remplacant dx v par —; on trouve dt' O t - x = - ( Vo) e-o/ct — C. k Comme pour t = o, on a x = o, il vient C -- Vo C= - 7 par suite, I e —1t a t -x (a-o ) On a ainsi x en fonction du temps g. / Ie- e-\ I - e- t X =, t — k ) — 'o 0 en remplacant a par sa valeur -

Page  318 318 TROISIEME PARTIE - DYNA iM IQUE DU POINT. Nous allons verifier que, si 'on fait tendre k vers z6ro, l'equation qui definit x se reduit a l'equation x - vo t i- gt' qcui donne la chute libre dans le vide. En effet, si dans la formule precddente nous remplacons e-kt par son ddveloppement en sdrie, nous avons 1.2 \I.2.3 t2 X _ j - [ tiQ( - k si nous faisons alors k -- o, il reste bien X- = v t - ~ gt. 2~ lf/ouveieent ascencl/ant. - iNons prendrons maintenant l'axe Ox dirige vers le haut (fig,. ijo). Nous aurons encore iig. r4o. 1; i — = kvz/v' et l'equation du mouovement sera cls x 7m r —o-T= -.- lz1' -.cv c' est-t-cdire dv d=-(g' q- k~,,), clt (g d'oi I'on deduit, commrne precedemment, - ' r dv -v dv t-=-~ ~g +k ~ — 7 ~o-kv~ g qi- kv'*' g -A — Dans ce cas, - est toujours negatif la vitesse va done constamment en decroissant; elle s'annulera aa bout du temps fini odo gJ ~ ce

Page  319 CIIAPITRE INX - GlENERA IRTIES. UIOU'VEil1EN T ECT'ILIGiE. 319 et la plus grande hauteur a laquelle le mobile peunt montor est si k e'tait nul, ou aurai les formules dui mouriement dans le vide T, dv Hn f z 1. — - ~ -- 7 I-, -i i _- < Lorsque k n'est pas nul, il est positif; iar suiteo, les elebments de H sont Lou outrs plus petit s ce les elments co'respondC ts (e H1; done 1- est inferieur a -:,, et le nmobile rmionte imoins haut dans Fair que dans le vide; on voit dce m e que T eslt inmrieur a TI, et Ile mobile mel moins dce temps pour a'rriNver: sa Ihaa leuir e amaima que si le lmouvermentL avail lieu danAs le vide. Au bou-t du temps T, le mnobile s'arrete, puis il redescend en suivant les lois dejah vres da moulvement descenclant sans 7itesse initiale. Lorsqu e oe mobile repassera par sa positi-.on initiale il aura ine vitesse noindre qe cue (; en effet,: ii est mnontc mo-ins haut que -s'it avaiLt ae' lae danc s le vide avec la iime itsse t initialc; et, de plus, il est retombe rmoins vit e u si sa chute avail eu lieu a l'abri de I'air; pour ces deux raisons, la ritesse au retour sera moincdrc qCe celle cqui correspondrait au mnou.vemlent clans le vide, c'est-ta-dire que:o Nou.s pourrons integrer facilenaent dans le cas de -i i I; nous aurons let. - t lo ko ' -- k — -- k10 passant des logarithmes aux nombres (C) g -- --- ( g- /co) -ct; le mobile arrivera a la hauteur maximna au bout du temps T- log (I.o) dTv Dans l'iquation (c), remplacons v par - et intLgrons, nous aurons - e —; kt kv ix-(y + o) h ---;

Page  320 320 TROISIEAIE PARTIE. -- DYNAIIQUE DU POINT. en faisant tendre k vers zdro, on retrouve la formule du mouvemlent dans le vide x =o Vt -- ft2. Supposons maintenant n= a; nous aurons!^=_j,% =_ — //c aac tangy,/.-C; /aO d'ou, en posant 3 =C / -, /- tang( 3- tv, k ). On ddterminera la constante ' par la condition initiale vo ~ - tang. Le temps T que met le projectile a arriver au point le plus haut v = o cst P dx T = t/ -~ Partant de ]'expression de la vitesse dans laquelle v — ~, on a, I)ar une quadrature,, os(P - t /)~ v -- log " k ^ -cos j'-!To cuemnent r'ectilivge cd'tru point matleriel pesaclt mobile ctvec Jro/teinent s,' unt plan incliine dcans tn milniiea resistant. - Le point (tant lance du point 0 (fig'. I4), suivant une ligne de plus grande pente Fig. i4I. N M du plan Ox, decrira cette ligne dont nous appellerons i l'inclinaison sur l'horizon. Les forces appliquees au point mobile mn sont le poids mng', la resistance du milieu R =,necv1 dlirigee en sens contraire de la vitesse, la rdaction normale N du plan et, enfin, la force F de frottement dirigee egalement en sens contraire de la vitesse. D'apres les lois experimentales du frottement (n~ 195), cette force est independante de la vitesse du point;

Page  321 CIJAPLTRE IX. - GEN'~RALITES. MOUVEMENT RECTILIGNE. 321 elie est proportionnelle b la r~action normale N:F = fN, f etant cc que Ion appelle le coejj/icient de firotteentet. Traitons en detail le mouvenient descendant. Nous prendrons alors Faxe Ox diricg6 vers le bas, comme dans la figure, et on axe Oy perpendieulaire. En 6erivant les deux 6quations du nmouvement, on a __ Xcd2y dt nsint -R — lF, int-igo coninme y est eunstammnent nul, on a N =mg-e o si, F fJN - fmg-e os i; r'emplacant. aussi R par sa -valeur mtkve, on a e'~quation c/2 (gsin i- fge os i) - kvil. Trois eas sont At disting-uer, s uivant cque le prem-ier terme est positif, nitoatif ounual. Premzier cas, tangi>f. -Le premier terme (g sini-fg-cosi) est alors one constante positive; en l'appelant gon a c12x g-=~, — ikell, 6qcuation identique At Celle do mou-vemeneo descendant ktudji6 dans le eas d'une chute vertieale dans un milieu ritsistant, sauf le ebangement deg en g-'. La vitesse tend done vers une limite Dexitxi~ne cas, tang i <f. - Le premier terme est alors nitgatif; en Yappelant gon a dt2 itquation identique A Celile du. nouvement atscendanit kutdiit dans Ie cas (du mou-vement \vertical dans no milieu ritsistant, sauf le ehangemnent de g en gl. La vitesse dirninue et s'annule au bout d'un ternps fibi T:le mobile arri-ve done, an bout de ce temps, dans one position A, oft la re'sistance de l'air et le frottenment de glissernent s'aunulent, ear la -vitesse devient nulle. Le point restera inditfinimient dans cette position; ear, s'il tendait At se remettre en mouvement, les forees de ritsistanee et de frottemient de glissement appara-itraient irmmitdiatement pour ritdoire de nou.veau sa vitesse At zitro. Dans cette position A, il y a donc itquilibre entre le poids et une ritaction oblique do plan, due au frottement an repos examinit dans le Chapitre VIII. I. 2 1

Page  322 322 TROISIEME PARTlE. - DYNAMIQUE DU POINT. Troisieme cas, tangi= f. - L'equation est alors dt2 - dI dr —W clt-, La vitesse va donc en diminuant, car sa derivee est n6gative. Peut-elle s'annuler? On a, en integrant, kt =-_( l-_ 0-) Il - I si nz est different de I, et kt - lo gsi t- =. Done, si n est superieur ou egal i i, t augmente indcfiniment quand v tend vers ztro: le mouvement continue ind6finiment avec une vitesse tendant vers zero. Si z est moindre que i, t tend vets une limite T quand v tend vers z6ro k T _ — 0 -I - it An bout de ce temps, la vitesse s'annule et le mobile s'arrte; car, la vitesse 6eant nulle, la resistance s'annule aussi conmme dans le cas prec6 -dent. L'espace parcouru x est fini on infini, suivant que n est inf6rieur ou non a 2. 214. M-ouvement rectiligne tautochroneo - On di qu'un mouvement rectiligne est tauttochxonze quand le mobile, abandonne a lui-nmeme sans vitesse sous F'action de forces donnees, emploie le mneme temps pour atteindre un point dletermiine quel que soit le point de ddpart. I~ Lta resultante des forces depelnd Zunziquelmet de lct position dit mobile (mdethode de Puiseux). - Prenons le point d'aririee ou point de tcautochiroisme pour origine 0; soient X la rdsultante des forces appliqudes au point, x0 lFabscisse de la position initiale supposee positive. Le theorame des forces vives donne mer 2 X~i * -- Xdx; X es par hyntgate X esL par hypothese une fonction de x evidemment negative pouI les valeurs positives de x, car, le mobile devant se mouvoir vers l'origine 0, quelle que soit la position initiale, la force doit etre

Page  323 CIIAPITRE IX. - GENERALITES. MIOUVEMIENT RECTILIGNE. 3'3 toujours dirigee vers 0. Posons, pour abreger, Xdx —o(x): 0 o? (x) etant une fonction positive croissant avec x et s'annulant pour x - o; l'equation devient, -l 2[(,~o)?(x)], ct le temps T que met Ie mobile a arriver au point 0 est donne par la formule T _-/t [' d,7: 2 'o Vy;Xo) Qb(X) Posons t (x)-=, ('o) ~, X) Z -- (), b designant la fonction inverse de c; il vient T- VnZ X r1:- '(3 — ) / Pour que le mouvement soit tautochrone, il faut et il suffit quc T soit independant de xO, c'est-a-dcire de zo, Nous exprimerons ce fait en ecrivant que la derivee de T, par rapport au parametre 0,s est znlle. Pour eviter des termes infinis dans l'expression dc cette derivee, rendons les limites inddpendantes de z. en posani z -—, z u; alors T _ y'V(zou)o) -,'(zuc ), t 1 — 0t i CI u v/;Z - Zo It oul en remettant la variable z z0it, d - d-t. -x.- ( clizo 2 ZOVZ50 -Z

Page  324 324 TROISIEIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. Cette expression doit etre nulle quel que soit z0, ce qui exige que la fonction soumise a l'integration soiL identiquement nulle; car, si elle ne l'etait pas, on pourrait prendre z0 assez petit pour que, entre les limites o et z0, cette fonction garde un signe constant et, par suite, que l'integrale ne soit pas nulle. La fonction d doit done verifier l'quation differentielle z '(zz)- - (z) - o qui donne lu(z) I( - -+- = '(z) o, Y() C, - C. Comnme (z) s'annule avec z, car les variables z et x s'annulent en meie temps, on a C' - o, '(J) = 2 C/z. L'equalion x - ' (z) donne enfin X =2CV Z, Z > CW2 cc qui montre que la fonction?(x) est C et que la force X est donnee par C La seule loi de force fonction de x produisant un mouvement rectiligne tautochrone est done une attraction proportionnelle a la distance; ce mouvement a ete eLtdid precedemment (n~ 212). 2~ La rdestlltante des forces depelnd de la position et de la vitesse dia mobile. L'6quation du mouvement est alors de la forme (12 X27 CIX dCl / d. \ cdt ' clt ) et l'on pourrait se proposer de d6terminer la loi de la force de telle facon qu'il y ait tautochronisme. Ce probleme ne parait pas avoir dte resolu; nous en indiquons une solution avec une fonction arbitraire de deux variables dans les exercices 5 et 5 bis places i la fin du Chapitre. Actuellement nous nous bornerons a traiter deux cas particuliers importants, que nous rattacherons ensuite a une formule de Lagrange. cdx Appelons v la vitesse 7-$ et supposons qu'on prenne pour origine le

Page  325 CIIAPITRE IX. - GENTERAL1TES. AIOUVEMENT RECTILIGNE. 3'5 point que le mobile atteint toujours dans le mnme temps (point de tautochronis7me). En appliquant le theoreme des forces vives, nous mettrons l'equation du nouvement sous la forme ( I) ci11, (*X, v)dx, 6quation differentielle entre x et v. Nous examincrons les deux cas suivants: l'eqzuation est hionog'ene en v t x; I'equacttion est linzeaire en p2. a. L'quattion est homnog7ze ez v et x.- Si l'equation prececdente (i) est de la forme cdv / \ il y a tautochronisme, a condition que le temps employe par le mobile i atteindre l'origine soit reel et fini. En effet, posant v -= ux, on a cIx cmId x t(u) - it et en integrant entre les limites x0 et x pour x, oet u pour it, car co cstl suppose nul, on a logc - - c C vo Jx t(U) - On tire de la Zu, c'est-a-dire - en fonction du seul rapport -, x Xo c 1 x ' CIX ul = = -? ) n et comme v- = on a, en resolvant par rapport a di et integrant de xso a o T= r0 O; T — (} x \ o XO pour le temps que met le mobile a atteindre l'origine. Si ce temps est fini, il est indcpendant de x0, car, en faisant x = x0o, on a aleur qi ne contien plus valeur qui ne contient plus xo,

Page  326 326 TROISlEAIE PARTIE. -- DYNAMIQUE DU POINT. Par exemple, si on prendl () = -k k designant une constantc, on a pour l'equation du mouvement dvo x d~ x _ - /"2. - - k2x; d~x ~ ' dt2 c dC/ = /2 61, on retrouve ainsi l'attraction proportionnelle i la distance precddemmlen ettudi e. b. L''eqtuatio est lineaire en p2. -- Si l'dquation du mouvement (i) cl lindaire en v2, on peut 1'ocrire (702 dx( 2 p ct q etant des fonctions de x. Cherchons quelle relation il doit exister entre ces fonctions pour qu'il y ait tautochronisme, le point de tautochronisme etalnt l'origine. Si nous posons, pour abr6ger, - 1 ix (2 e 'o =- P(x ), -- / (x) Cx = Q (), o l'integrale de l'dquation lineaire, qui s'annule pour x x- o, cst VP()) -- Q(To) - Q(.X). 1In rcmiplacant p)2 p ar ) tL rsolvant par rapporta c dt, puis intdgrani (1de.2o i o, on trouve 0 o O) - ~/P () d x T - '_'__ les radicaux etant pris positivemcnt, car, comme le mobile s'approche dx ~de l'origine, il faut prendre pour l- la valeur negative et intcorer d(e x cit a o. Cette valeur T doit etre ind6pendante de x0. Faisons (3) Q(x) = -, Q (xo) zo, /x)dcx = '(.Z)dz, I'integrale devient O — ( z i o --- et elle doit etre inddpendante de z0. Pour cela, il faut et il suffit, d'apres le calcul fait pour le cas ou la force ddpend uniquement de x, que,V,( -,)

Page  327 Ct-IAPITRE, IX.- - GENERALITES. MOUVEMGENT RECTILIGNE. 327 condition qui de-vient, d'-apr~s les notations (3), (4) VP(x)Q(x) CQ'(x). Comme Q (x) s'annule avec x, cette relation inontre que Q'(x) on son 6gal q P (x) s'annule avec x, et comnme P (o) est 6gal A i, q s'annule a~vec x, cc qui peut Stre regards comme 6vident, car Ic point de tautochronisme 6tant une position d'Scquilibre, la force doit y 6tre nulle pour V = -0 Remplacant P et Q palr le-urs valeurs (2)), on aura la condition cherehde. ontre p et q cormpliqu~e de signes de quadratures. Oin peut obtenir ecett ielation entre les coefficients p et y sons unle, forme plus simple, ell reniarquan t que les relations (,2) clonnent par diff~rentiatio Ii La relation (4,resollue par rapport S,puis diffdrentie'e, clonne Q' C2(2-Qf Q1 Q12Pt) d'oh enfin, en divisant par Q', puis remplacant P', Q', Q" par leuirs -vaceurs (5), pq~ - 2 dq Done, pour qu'il vait tautoehronism-e, il faut et il suffit quc q s'ann-ule an point de lautochronisnme et qiuc (p - 2, soit une coustante positi-ve. Posant q =f(x), on a imnmhdiatenment p et lon trouve, pour 16 -quation du mouvernent, in forme dc 2 Ff'(X) Ii -~~~ I 2 -— V f X) a-vec une fonction arbitraire. c. Folrmnle de Lagr,7ang-e. -Lagrange a donne' ('Jc'Moires de Berlin, igOS- et 1770O) une loi g~u~rale de force pour laquelle le tautochronisme a lieu n6ccssaircment et qui comiprend, conmme cas particulier, les lois pre'cSdentes; miais, comnme la remiarqu6 AIf. Bertrand, la formnule de Lagrange no donne pas toutes les lois sic force pour lesquelles le ruouvem-ent est tatutochrone. Al. B~ertrancd rattache la formule de Lagrange au ens que nous avons traitS' ci-dessus (ca) d'une 6quatio n homog~ne en v et x, A laide de la remarque suivante. Supposons qu'on nit trouve' une loi de force f x, CI) pour laquelle le

Page  328 328 TROISIEME PARTIE. DYNAMLIQUE DUT POINT. mouvement de'fini par e'bquaation in cit2 xi dt SoiL tautoebrone, le point cle tautoebronisme quc le mobile atteint toujouirs clans le nmhme temp s 6tant x =o. Considbrons un second mobile dont labseisse x' est li~e 3 x par une lot quelconcque x = (x'),?(x') clbsignant -une fonction dbterminbe, x' variant de x' A ct quand x varie de xo a o. Le moavement du second mobile est, d~fini par une cbquation de la formne dc16duite de la premibre par le chanrgement cle fonction x y(x'). Le inouicement de cc second Mobile est Jgalemnent tcautoclhrone, le point dle tanitoebronisme 6tant le point clabseisse x'== ct correspondant -,3 o. En cdx effet, la vitesse du premier mobile b'tant v =~- et, la -Nitesse dui second c dx, on a, en cliffbrentiant la formale, x (z ) Le temps qac met le premier mobile A aller sans vitesse initiale dle point xo au point 0 est 0 clx intebgrale qai, par hypotbbse, est inclbpendante cle xO. Si ion 3y fait x ~(x'), les limites poar x' sent x' et a et ion a xT') cdx' adcx' oh la clernidre inte'grale clonne le temps qae met le cleaxibme mobile3 aller sans v\itesse initiale du point d'abseisse x' an point clabseisse a. Ce temps T est ind~pendant de x', et, commne noas lavons dit, le secondl mnoavement est tantoebrone. Ains'i, de toute loi de force donnant an moavement tautoebrone, onl peat en dbdaire ane autre plus gbnb'rale par an changement de fonction x = T(x'). Applicjaons cette transformation an cas de 1'6quation homogdne en x et 9 do (; dx

Page  329 CIAPITRE IX. - GENEIRALITES. aMOUVEMIENT RECTILIGNE. 329 idx ou bien, en remplacant v par -d dc-x cldx 'i cl \ c dt dt \ x ctI - La substitution x = (x') donne C 2 x', dx' 2 C ( dx \ l cit2 clidt dxt o ^) ou, en posant " I —fl(x') = f(X(') c2x' / dc'2 f' dx' r,/ dx'\ I dX dt2 t P'f dt LJ Ct) f dt I cdx' Dans le dernier terme, le coefficient de est une fonction quelconque de - ~ Si nous supprimons I'accent de x', nous avons finalement 1'6 -quation d'un mouvement tautochrone sous la forme generale d2t (dx 2 f'(X) C dx dI l dlS t Idt I J(x) ' dt J7(x) clt J avec deux fonctions arbitrairesf et F d'une variable; c'est la la formule de Lagrange. Si lon fait en particulier F I clx\ I dx. f( x) \ Jk x)dtj2C2(x) dt C() dt 2 dx dt et si l'on prend commne inconnue la vitesse v =- s- on a l'equation dc2= 2 L2 (f'(x) 3< j dx A L f'(x) C2'f(X) identique h celle que nous avons obtenue directement page 397. Remnarque. - Cette derni6re equation restant lin6aire en C2 quand on fait un changement de fonction x =?(x') doit conserver la nmme forme apres ce changement. En effet, en partant de i'equation lineaire dx P-v q

Page  330 330 TROISIMaE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. on aurait, en faisant x = y(x'), v = '(x')', la nouvelle equation dx' — Pi V'2-+- q1 egalement lineaire en V'2, pi et qi ayant les valeurs 2 (i" q Pi= -,-7 q = o Les deux mouvements 6tant tautochrones en m6me temps, il faut cque 1 condition dq pR - 2 C-, = const., cqui exprime que le premier mouvement est tautochrone, entraine la condition analogue pour le deuxieme dclq pl q\l- v, -- const.; (e q u'on vTrifie ais6ment, car on a, quel que soit, dqc dq P1 q - 2 d - =p-2 -- dx' clx le sorte que cette expression est un invariant absolu de l'equation difirentielle pour tous les changements de fonctions. Signalons, en terminant, un article de M. Brioschi contenant une for — mule plus g6enrale que celle de Lagrange (Annnali...dca Tortoliniz Rome, r853, et /ecctniquzce de Jullienz, t. I) ct un article de M. Haton de la Goupilliere (JouzcWzal de Liouville, t. XIII, 2e s6rie). (Voir Exercices 5 et 5 bis.) 2Ij5. Etant donnee la loi d'-un rnouvement rectiligne, trouver la force. - Ce probleme est determrind ou non suivant qu'on donne la loi gendrale l'un mouvement rectiligne ave deux constantes arbitraires, ou seulemene t un mouvement particulier. Supposons qu'on donne (1) x = (t, X0, o0), x0 dtant la position initiale du mobile pour t = o t vo sa vitesse initlale. On se propose dLe trouver la loi de la force capable d'imprimer au mobile, place dans la position arbitraire x0 et lance avec la vitesse arbitraire 0o, le mouvement donn6. Ce probleme est d6termine. On a dx (2) dt, Xo, - ( t, x o ), dtx X = m 7~- = m?"(t, x0, V).

Page  331 CIIAPITRE IX. - GENERALITES. IMOUVEMENT RECTILIGNE. 331 Resolvant les equations (i) et (2) par rapport a w0 et v,) et portant dans l'expression de X, on aura la loi cherchee x- (,, t ). Exemple. - Si le mouvement donne est dlfini par la formule _-_- — v (Xo-+O t)2, X0 o11 trouve X 711 'u1 X 3 Si, au contraire, on donne seulement un mouvement particulicr sans constantes arbitraires, ou avec une seule constante arbitraire, le probleme n'est pas determine. Supposons, pal exemple, qu'il n'y ait pas de constante du tout ea que l'on se donne (3) x = (t), on aura V = '(t), X = m"( t). On pourra, a l'aide de ces 6quations, exprimer X en x, c et t d'une infinit6 de manieres; on aura done une infinite de lois de forces capables (de produire le mouvement particulier donne. La question pourrait etre precisc'e si l'on imposait d'aAance certaines conditions h X: ainsi en imposant a X la condition de ddpendre uniquement de la position x, on aurait un probleme precis, car il faudrait tirer t (e l'6quation du mouvement (3) et le porter dans l'expression de X. Dc mcme on aurait un probleme pr6cis en imposant h X la condition de d6 -pendre de v ou t seul. Exemple. - Soit x - sint; pour t -- o, on a x — o, 0o - I. Cette equation donne v - cos t, X -- m sin t. On aurait done commae lois de forces X les suivantes (a) - m2 sin t, (y) - nZ /i - 2, ) ( )y - - (X sin t),.. oh l'on peut varier les combinaisons a l'infini. Si lon cherche le mouvement le plus g6enral produit par une de ces forces, on trouve des mouvements tr6s diff6rents qui, tous, pour les conditions initiales particuli6res x0= o,

Page  332 3'32 TROISIEIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. V0 = i, donnent le mouvement propos6 x = sin t. On trouve, par exemple, pour les quatre premieres lois de forces, les mouvements suivants (a) x -- sint +- Ct C', () x -- sin(t C)+ - C', (Sy~) x =x C cos t -+ C' sin t. t t (3) x = C cos -- C' sin- -- sin t qui, tous, pour des determinations convenables des constantes C et C', sc reduisent a x = sin t. III. - MOUVEMENT CURVILIGNE. POINT PESANT DANS LE VIDE ET DANS UN MILIEU RESISTANT. 216. Force de direction constante. - Supposons que la force qui agit sur le mobile soit constamment parallele i uine direction fixe ' la trajectoire sera dans le plan contenant la vitesse initiale et la direction de la force. Ce resultat, qui peut etre considdrd commne evident par raison de symTetrie, a dte etabli plus haut; nous prendrons le plan de la trajectoire pour plan des xy et l'axe Oy parallele a la force, Les equations du mouvemnent seront alors d2x d2y Im -- =o, m j- -M Y; tdt - dt2 - la premiere de ces equations donne dx - == a, x = at - b: ct la projection du mobile sur l'axe Ox est animee d'un mouvement uniforme. On diterminera des constantes a et b en dcrivant que pour t to on a x = x0 et( cl ( ) x~'. Dans le cas le plus general, on aura pour la seconde equation d2y / dx cdy 71} - = c, y,, /,. dt2 Y dt' ct ) En remplacant x par at + b, cette equation prend la forme d2 y _ ( dy m -d7 = - c- i t dt~~~~ clt~1

Page  333 CHAPITRE IX.- - GE~NE"RALITES. MOUVEMENT CUJRVILIGNE. 333' o eCA tine equaLion do mdn'me forme que cello qu'on Lrotive dans le cas d'un. mouvemient recliligne; Si ion sail lFintdgrer, le proble'me esL compklerneenL re'solu.. 217. equations intrinse'ques. - Les equations intrins~ques du mouvNemeat -vont ici se simplifier. Prenons des axes rectangulaires; soil a langle Fig. 12. C 0 (lc la -vitesse a-vec Ox (fig. 142-); projetons in force sur ia normaie, anus aurons Y Cos a ---- En projetant sur la tang'ente, nous aurions une dcuxi~me 6cquation, mais ii est pius simple clobserver tine ion a trouvNIT plus haut quo la projection. -I tic la vitesse est une constante ct, cc qu~i donne ci t v cos ao- a; climinons la vitesse entre ces deux 6quations, nous aurons pour 6quatioil intrins~cque die ia trajectoire Yp- cos3E - coast. Si, par exempie, on suppose Y =coast., oni a pour 6quation de la courbe po cos3 a=k c'est ie'tquation intrin~sque d'une paraboic, comirne ii r~sufte tin probidie suiv ant. 2,18. Mouvement d'un point pesant dans le vide, Nous prendronls ipour origine la position initiale tin mobile, pour axe des y une verticaic dirigt~e vers ie haut, et pour axe ties xune horizontaic dans le plan de la trajectoire; ics 6quations du mouvement seront c12 X ci/2 y c/11 O- 0, " I t - 1 ig;

Page  334 334 TROISIEME PARTIE - DYNAMIQUE DU POINT. la premiere donne d(- =' o cos a, dt (2) x -- Vo t cosa; la deuxieme equation s'integre aussi immediatement et donne (f)-.)y t c Vo si l (2t), Y - _ -- -(l't Vo Sll L. 2 Les 6quations (i), (i') donnent la vitesse (3) ve, = Vo cos a- ' (Vo sinC -- 't)2 -= VI - 2gy; la valeur numcrique de la vitesse a chaque instant est la m6mee quc si I mobile tombait sans vitesse initiale d'un point dont 'ordonnee serait —. Cette formule donnant la vitesse r6sulte ilmmediatclennt du theoreme des forces vives. Entre les equations (2), (2'), dliminons lc temps, nous obtenons 1'CquaLion de la trajectoire y = — c, c, tx anga. 2 COS2V e C'est une parabole d'axc vertical qui tourne sa concavilc A-cs Ilc las, car1 le coefficient de X2 est negatif. Fig. [3. l '-;/ / i' \ — -.,-? ' _ _,_- _.......di. r,_ __ I Si eitait negatif, c- serait, d'apres (i'), toujours negatif: done y iraiL constamment en decroissant et le mobile ne passerait pas par le sommet de la parabole. Supposons maintenant a > o, It commence par ctre positif et le mobile cli monte; il monte jusqu'it ce que Y s'annule; cc qui se produira au boul cidt

Page  335 CIAPITRE IX. - GENERALITES. MOUVEMENT CURVILIGNE. 335 d'un temps t' donna par l'equation v 0 sin a - gt' - o sina = o, t' -- le mobile etant arrive a sa hauteur maximum, sa vitesse est minimum en vertu de la relation (3). Les coordonnees du point le plus haut S, sommet de la parabole, seront 2 sin 2 c x = V0 t COS = -- - g R't'2. v ' =- 0 t' sin a = - sin2 a.. 2 "g. Apres cet instant t', - devient negatif et le mobile redescend. Lorsqu'il cit repasse a la meme hauteur, la valeur numerique de la vitesse redevient la mndme. En particulier, il repasse au point A au niveau de O avec la vitesse V0. La portee horizontale OA est double de labscisse x' du sommet OA= 2"- vsinl g' Pour que OA soit le plus grand possible avec une vitesse initiale connee, il faudra que sin2za soit maximum, c'est-a-dire que a soit egal a 4. Supposons que l'on veuille atteindre un point B de Ox cd'une abscisse moindre que - l'inclinaison du tir sera donn6e par sin2a = 6 OB. vo On voit qu'il y a deux solutions egalement distantes de -, On alteindra done le point B3 par deux paraboles; on verrait aiselent que c'est par la parabole inf6rieure qu'on y arrive dans le temps le plus court. On peut determiner geonmetriquement la position le la parabole corresI)ondant a un angle donn6e a; pour cela, nous allons d'abord Ctablir que toutes les paraboles, obtenues en faisant varier a, ont pour directrice la droite D, a ' En effei, le parameiLr de la parabole decrite par le mobile est. 2 C cos2 2..ii..; I'ortdonnee du sominet elant y'= --- i equation de la diretrice sera 2 g 2 2 2 2 0g

Page  336 3 36 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIIQUE DU POINT. c'est donc bien la droite D, situe'e A la bauteur A laquelle monterait le mnobile s'il 6tait lanc6 verticalement avec la -Nitesse co. Ccci pos6, supposons donin6e la tang-ente A l'origine le foyer de-vra se Lrouver sur la droite OF telle cqne 0 co soit bissectrice de langle FOD; iA devra de plus se trou-ver sur le cercie d6crit de 0 comlme cenltre a-vec GD pour rayon: il est done 6 leur intersection. Cette construction nous mlonltre en passant cjue le lien des foyers de ces paraboles est le cerele de Centre 0 et de rayon GD. Proposons-nous de ehercher sous quel angle il faudrait lancer le projectile pcur atteinclre unnpoint clonni6 M1 (xi,y1) du plait. En posan~t tang-C cc it, 1'6quation de la trajectoire de-vient RgX2,,- (I a2) IX 2% en exprimant lu'elle passe par (x1, y~), on a pour c'L~erininer it 1'6quation dnl second degr6 2x) (i 0 2 La condition de r6alit6 des racines est 2g2 Pour l'interpr6ter g6oniftriquernent, consid6rons la parabole ayant pour ecluationn (3) % -~~~~~y - 2 X 2-0. g 2%2 Cette parabole a pour paraietre et pour soninet le point x =0, y= -10, c 'est-A-dire lc point D; dile a done pour foyer l'origine. La condition de r6alit6 (2?) exprinme cjne le point M1l doit 6tre dans on sait cette parabole (parabole dce sdrt7etd). Si lc point Ml est dans la parabole de sdrete6, 1'6quation en it a deux racines r6elles distinctes, et il y adeux facons d'atteindre le point MI en lancant le projectile sons denx angles (litferents (fig. 143). Si M1I est sur la parabole de sdret6, 1'6qluationl en at a one racine double et il n'y a plus qu'une faeon cl'atteinclre le point Al1. Dans le cas o6 1'6qluation en it a deux racines (listinictes, il y a denx traj cctoires passaint par MAI, correspondant any deux valeurs ccl et a' de l'angi-e cc; les temps mis 6 arriver an point NM1 par les deux trajectoires soot respeectivement X t' XI OCOS cocc cO Cosa i1

Page  337 CHIIAPITRE IX. - GEINERALITlESS. IMOUVEMENT CCURVILIGNE. 337 Ie plus court de ces dcux temps est celui qui correspond au plus petit des an gles ai, c'1. La parabole de sur7ete est l'envzelooppe des tcraectoires obtezues e7 faisc7t vcar7ie7r, c'est-&-cdir7e Z. En effet, pour trouver l'enveloppe des courbes representbes par l'&quation (I), dans laquelle u est un paranmtre variable, il suffit dlexpriner quc cette cquation, consideree comme une Equation en i, admet une racine double. Or c'est ce que nous avons fait pour trouver la parabole de suretd. Les mremcs resultats s'obliennent facilement par une m ilhode gcomeriluce. II faut construire une parabole passant par deux points ct ayant utne directrice donnee. Le foyer sera, conmmre nous l'avons vu, sur le cercle I( e centre et de rayon OD. 11 sera de meme sur un cercle a-ant pour centre le point M1, par oi doit passer la parabole, et pour rayon la perpendiculaire 5Mi1P abaissee du point Mll sur la directrice D. Ces deux cerFig. i.,// c(es pourront se couper en deux points F, F'; il peut lone y avoir deux paraboles. Pour que ces cercles se coupent, il faut que la distance M01 des centres soit plus petite que la somme et plus grande que la difference des rayons; la dernicre de ces conditions est 6videnmment remplie, car onl a OGi1 > OQ et OQ est la difference des rayons. 11 suffit done d'ecrire que OGI < OD -MiP. Menons la droite A a une distance OD d e 'axe des w et prolongeons AMl' jusqu'au point de rencontre H avec cette droite, la condition a remplir devicent mliO <Mlinl. Or le lieu des points pour lesquels on a MI1O = M, II est la parabole ayant pour fo-er lorigine et pour directrice: c'est la plalabole de sfirete. Si le |)oint AI1 est a l'intrieur de cette parabole, on pourra 'atteindre de deux facons: s'il est sur cette parabole, il n'y a qu'une trajectoire qui y passe; d'ailleurs, pour un tel point MA, le foyer de la trajectoire et le foyer de la parabole de sirete sont en ligne droite avece MI. La construction 6elmen1. 22

Page  338 338 TROISIEME PARTIE. - DYNAMI\QUE DU POINT. taire qui determine la tangente en Mll montre immediatement quo cette tangente est la mmee pour les deux paraboles; de la resulte que la parabole de sfirete est lenveloppe des trajectoires. 219. Determination de la force parallele quand on connait la trajectoire. -- Nous avons traite le probleme qui consiste, 6tant donn6e une force parallle a un axe Oy; a trouver le mouvement qu'elle imprime I un point mat6riel. On peut se proposer le probleme inverse: connaissant un mouvement plan, tel que la projection du mobile sur l'axe des x soit animee d'un mouvement uniforme, trouver une loi de forces paralleles a Oy qui puisse produire ce mouvement. Donnons-nous la trajectoire y =f(x), quo nous supposons parcourue par le mobile sous laction d'une force parallele a Oy. Nous avons, pal bypothese, x = at -- b, et l'equation de la trajectoire definit y cn fonction de t, en y remplacant x par sa valeur. On a alors Cit= CfX (-) = ct. (x); la loi de la force sera done d2y Y -= "z ItY = a' (:x). On pourra transformer cette expression de la force en tenant compte (le l'equation de la trajectoire; on pourra, par exemple, tirer de cettc equation x en fonction dey et exprimer la force a l'aide de cette seulc variable; mais on pourrait encore reinplacer x particllement en fonction de y. on de t, on de Y-, et d'une facon generale on aurait la loi de force Cit ~ d "ci, ) [y-(xj, Y=-ma2f"() q:,y, - -YX t [y- f ()], qui se rcluit bien a ma2 f"(x) sur la trajectoire proposee. Si, partani d'une quelconque de ces distributions de forces, on cherche la trajectoire d'un mobile qui y est soumis, en particularisant convenablement les conditions initiales du mouvement, on devra necessairement trouvcr la traj ectoire donnde y =f(x). Prenons, par exemple, le cas du cercle y = V/g;- en appliquant ce qui vient d'etre dit, on trouve les lois Y= y-, Y - - 3 Y3 3 ( R2 —,2)2

Page  339 CIIAPITRE IX. - GENERALITES. \IOUVEMENT CURVILIGNE. 339 Pour ces deux lois, on trouve deux systemes de coniques absolumcnt differents, mais chacun d'eux contient le cercle y = VR2 -- 2. 220. Mouvement curviligne d'un corps pesant dans un milieu resistant. - Lorsqu'un projectile est en mouvement, son centre de gravite se meut comme si la masse du corps y 'tait concentree et toutes les forces exterieures appliquees au projectile transportees parallelement a elles-memes en ce point. Dans le cas qui nous occupe, le centre de gravite est sollicite par deux forces: le poids du projectile et la resistance du milieu R, qui est la rdsultante des pressions superficielles transportees parallelement a elles-memes au centre de gravite. Les pressions en elles-memes n'ont pas de resultante elles peuvent, en general, se reduire a une rdesltante R appliquee au centre de gravite et a un couple. Si la fornme du projectile est quelconque, on ne sait rien sur la direction de cette resistance, qui peut faire sortir le centre de gravite du plan vertical dans lequel 1i est lance F'instant t = o. Mais, lorsque le projectile est spherique et ne tourne pas, la resistance est dans le plan vertical contenant la vitesse du point G et, par raison de symetrie, la trajectoire est plane. Nous admettrons de plus, pour simplifier autant que possible, que cette resistance est une force Pc dirigde en sens contraire de la vitesse du centre dec gravite: ce sera une fonction de cette vitesse v assujettie a croitre avec v. Si l'on admet que la resistance est dans le plan vertical passant par la vitesse du centre de gravite, on pet dcemontrer analytiquement que la trajectoire est plane. En effet, rapportons le mouvement a trois axes rectangulaires Ox,, Oy,, laxe Oz etant une verticale dirigde vers le haut. En appelant RI:, R, II les projections de la resistance, les dquations du mouvement du centre de gravite seront dC12 c dy d2 Z dmcx Rx, n (fly - Ry -- nz- n g. Z -- = R, 71 l = R^, 1 = Rz - 72m Des deux premieres, on deduit cl x cldy dt2 dte R x R,

Page  340 340 TROISIEMIE PARTIE. — DYNAIIQUE DU POINT. Or, le plan projetanl horizontalement ]a resistance, coincidant avec le plan projetant la vitesse, IR et RY. sont proportionnels a ~ eL c- La relation precedienLe devienl, par Suite, WtI dy ilA ' (/ 1' d-i - /f. O ll enl inlelanll lo1 -= lo -; dt Z_ C0 t Ipassant aux nomblres et intogrant de nouveau, ill vie t ' - CG -x- C: la courbe est plane et son plan est vertical; cc plan est d'ailleurs celui qui projette horizontalemnent la vitesse initiale. Prenons cc plan pour plan des xy, la position initiale du mobile pour origine, Oy vertical dirige vers le hautt, ct Ox sitLu, par rapport t Ovy, du mmtne cOdt que la vitesse initiale. N-ous partirons des equations intrinsirleqes ldu moLvemen t. Designons par s l'arc de trajectoire OGI, par. l'angle de la vitesse ' avec Ox, etpar, le rayon de courlbure MIC (/fig. 45). Les forces ig. '5. v i -x,~, J/:': y \ \ = t qui alassent esur le point sent la rdsstance e eLr l e poids sg; Clui agirssent sre es ouointu stut la rsisae d est le poids raleur resiiltante est toojjoors situee clu cote des y negatifs par rapport a la tangente R. Or la direction de la force entraine le sens cle la concavitl; il en rdsulte c[ue la trajectoire tournera sa concavite du coteI des y negatifs. L'angle. va done constamment en diminuant; il part d'une valeur connue ao, il s'annule au point le

Page  341 CIIAPITRE IX. - GENERALITES. MOUVEMENT CURVILIGNE. 34I plus haut de la trajecLoire et diminue ensuite, et nous verrons plus loin que sa limite esl — L. Projetons les forces sur la tangente, nous aurons (n~ 200) /2 - - Ft - 1mg' sin a- tR. Dans cette equation, R esL une fonction de la vietsse, que nous ecrirons \\ -- m., '? ( e)' par suite (i ) CC — _'[si_+ 7(,)]. Projetons mainlenant sur la normale O2 J7?Z - = 72g o s; lais on a ds ds dt dt C CL clt dx Cd/C on doit prendre le signe - puisque a. d6croit lorsque s cro't, et que o est la valeur absolue du rayon de courbure. Portant cette valeur dans l'equation precedente, elle devient (2-) C -= g' cos;. Les equations (i) et (2) permettenL de trouver t etc en fonction de x; eliminons dt en les divisant membre a membre; nous o)tiendrons l'equation ~(~3 ) = tanz C+ ' —; v CIOa,COSy. cette L quation, du premier ordre, donnera C en fonction de C V= NI(CL), l'equation (2) donncra alors t = C -(-)dCOS. (! a0 ~S

Page  342 I TROISIEMIE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. On peut exprimer aussi x et y en fonction de a. par de nouvelles quadratures; on a, en effet, dx - cosd cdt, x =- [i (a)]12 dc, dy = v sinz clt, y = - [dI(,)]2 tang cc d; lors done que l'on a trouve VI(c/.), on acheve le probleme au nooyen de simples quadratures. L'expression qui donne dt dt I dc ' g cos montre que, tant cque. est superieur a - est negatif, et Ic temps va bien en croissant quand a diminue; il en est de meme pour x, car dx v cos g dt. Quant ay, il commence par croitre jusqlu' a. = opu, puts, changeantde signe, il decrolt et le mobile redescend. On obtient les valeurs de x, y, t qui correspondent au point le plus haut en faisant a. = o dans les integrales preceden-tes. Une fois connue la fonction IF, on aura aisement 1'equation intrinseque de la courbe; nous avons en effet trouve V2 - = g' Cos, done g' cosa Pg cos. Nous traiterons completemenL le cas (LEGENDRE) OU la rdsistance est. supposee donnee par C (v) = c -- bv'", ca, b, n etant tous trois positifs. Nous supposerons a infedrieur &a l'nite, sans quoi, en abandonnant le corps sans vitesse initiale, la resistance mga serait plus grande que le poids et le projectile ne tomberait pas. L'cquation (3) deviendra dans ce cas dv at -4- bv71 -c= tangg -+-;- 0 v da n COS 5

Page  343 CIAPITRE IX. - GENEIRALITES. AMOUVEMENT CURVILIGNE. 343 divisons les cleux membres pal et prenons pournovelle inconnue i vient 1 I 71 CT, 1 1 io; - 4- _ tang - - -+ - O; cda vt1 \ COS Cos pour integrer cette equation lineaire, posons =Pq, elle devient dq clp /I a \ nb P l-c - c d — npq tangx - + -C = o; Pdc Tda P\ cos a/ eos -, (lisposons de q de facon t annuler le coefficient de p, nous avons l'equation clq na cld -- - 7 tang dcl- 7__ q COs a qui admet l'integrale particuliere logq = log cos -- act log tang- ) r /a 4 M -9 q = cos' a tang; ii adoptant cette valeur de q, il nous reste, pour ddterminer p, l'equatioin c/p 7nb cl q cos d'oi, en integrant de ao Aa et appelant qo la valeur de q pour x = 'o et vt la vitesse initiale, p = - C — C-nb \ dx- qvI C q cos oi la constante C a pour valeur -,, comme on le -oit en supposanla o =. La fonction q etant remplacee par sa valeur trouvee plus haut, on aura o en fonction de ca; on obtiendra ensuite x, y, t par les formules dlej trouv-es T r /O ~ i r, tx' -- -y =- -- t angc d/. gS'^ cosa S Nous allons etablir que, lorsque a decroit jusqu' - -, le temps croit 2

Page  344 3j4 TROISIIME PARTIE. - DYNAIIQUE DU POINT. indefiniment, y devient infini mais ncgatif, tandis que v et x ont tous deux une limite: la courbe a une asymptote verticale a distance finie, et le mouvement tend a devenir rectiligne et uniforme. En effet, l'expression qui donne - peut s'6crire, en multipliant par q, i L r dxc - = - - obq ~ Vl qO o JV/1 q cosca Quand a tend vers - - q tend vers zero, car a est moindre que i: d'autre part, l'integrale du second. Inembre devient infinie. Comme le terme -/ tend vers zero, il suffit de chercher la limite du second terme du qo~o second memnbre, terme qu'on peut 6crire sous forme d'un rapport, -nb f/ __d_-,q cos c (" q prenant la forme -. Le rapport des derivees par rapport ai c est ntb qcdx cos cdq' ou encore, en remplacant -1 par sa valeur calculee plus haut, b - sin a - a faisant enfin ca - -, on trouve que - tend vers la limite --- ) ct ( 2 1v I — a vers la linaite / i -- C ) L'integrale qui donne x D 2 o restera finie lorsque c tendra vers - -; en effet, v a une limite finie vi ct, I'element de l'integrale restant fini, il en est de meme de x qui tend vers "'-B./ V2 Ci

Page  345 CHAPITRE IX. - GENIERALITES. MOUVEMENT CURVILIGNE. 3.') d'ailleurs t devient infini pour = - -; on a, en effet, t — -?-, Cos P et l'6lement differentiel devient infini pour c= — -, mais de facon quo - - - tende vers la limite finie vl, cette illtegrale se comporte done.. T: d i i.. T, au voisinage cle = -- commCe -- aun voisnage e -, c'est- -dire q-u'elle devient infinie. Pour la mmene raison, l'expression de y y --- | 2 tang a ey C,.0 croit indefiniment lorsque ie tend vers - - Les propositions dnoncCes plus haut sont done ctablies. Recmarque. - Si Pon v-oulait, clans un cas particulier dcternmin6, effectuer les quadratures, ou du moins calculer approximativement les valeurs de V, x, y, t dans le voisinage de a- -, le plus simple serait de poser t -- tang' - - -,- 9 ll ---- 2 \ 2 4 / ~. COSt 2 Ia variable i, d'aborcd positive, est 6gale a i lpour z= o et tend vers ziel'r quand c tend vers --- La valeur de q devient (1 I T Z —l'2) (,I 12 )'7 'exposant n' etant positif, car a est inf6rieur it. Portant cans l'expresI ~sio~n cde -, on trouve 1 2" "'[IC b- "l 7, expression dans laquelle on pourrait effectuer la quadrature si n etait entier. Cette expression se prete facilement au dcveloppement en serie.

Page  346 346 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIIQUE DU POINT. 221. Mouvement d'un point pesant sur un plan incline avec frotte= ment et resistance de milieu - L'inclinaison du plan sur I'horizon etant i, prenons pour origine la position initiale du mobile, pour axe Oy la ligne de plus grande pente dirigee vers le haut, pour axe Ox une horizontale du plan et pour axe Oz une normale au plan. Les forces qui agissent sur le mobile sont le poids. mg, la resistance de milieu R dirigee en sens contraire de la vitesse, la reaction normale N du plan, et enfin la force de frottement N dirigee en sens contraire de la vitesse, f d6signant le coefficient de frottement. c[2 z Comme c- est 6videmment nul, on a, en projetant sur O z o = N- mng cos i; la force de frottenent fN est done constante et egale frg' cos i. La reaction normale N etant egale et opposce i la composante normlale du poids, on peut supprimer ces deux forces qui se font equilibre et il reste a chercher dans le plan le mouvement d'un point m sollicite par les forces suivantes: 1~ la projection du poids m7g' sur le plan qui a pour valeur mg sini et qui est dirig6e en sens contraire de Oy; ~ la r6sistance de milieu R et la force de frottement fomg cos i qui sont dirigees toutes deux en sens contraire de la vitesse et qui se composent en une seule force Rla -= fm' cos i -- R. Si 'on d6signe g sin i par gi, on a a chercher le mouvement d'un point sollicitL par une force mg1 parallele a Oy et une resistance R1. On a done les mimes qcuations que dans le probleme prec6dent, sauf le changement de g en g1 et de R en RI. Par exemple, si la loi de la resistance R est la mnmee que dans le cas precedent mg (a -+- b '), avec n ~o. On a Rl = — mg (fcot i- sini + ) 7g ( Cl +- b1 vl), ac ct bi d6signant deux nouvelles constantes. 11 suffira done, dans Ic cas qui a 6et traite en d6tail, deremplacer g, a et b par gl, ai et bi. Pr6c6 -demment a etait inferieur h i, mais actuellement ac peut etre inferieur, 6gal ou superieur a I, suivant les valeurs de i et f. Nous nous bornons i indiquer les resultats que nous proposons de dcmontrer a titre d'exercice. Si ai < i, on trouve, conmme ci-dessus, que la trajectoire a une asymptote parallele a Oy et que la vitesse a une linite. Si al >, on trouve, par une discussion analogue a celle que nous avons faite plus haut, que la vitesse s'annule ac bout cl'un temps fini: la force de frottement de glissement et de resistance de milieu s'annulent alors et le point reste indcfiniment immobile, en iequilibre sur le plan incline avec frottement statique.

Page  347 CIiIAPITRE IX. - GENERALITES. 310UVEMENT CURVILIGNE. "i7 Si a1j i, la vitesse s'annule an bout d'un tenmps fini on. infini, sui-vant quc /i est infdrieur ou. non fli x tend vers une lirnite; y reste fini on. devient infini, suivant qUe 7a est infe'rieur on. non fi 2. Ces difffrentes circonstances se reconnaissent sur les formules din numd'ro pre6cldent, soit (lireetement, -oit en introduisant fA la place de a la variable auxiliaire it cue nous aNvons indiqufe. EXERCICES. 1. Mlouvement rectiligne d'un point attir6 par un centre fixe en raison inverse (In cube de Ia distance, X -- rnu x3 On tronLve 32. Mlonvement rectiligne d'un point entree deux centres attractifs (la Terre et la Lune, par exenmple) suppos~s fixes et attirant Ic point en raison inverse flu (arr6 de la distance. Re~190ose. - En appelant ca la distance des deux centres fixes et prenant Fun (['eux pour ori-ine, on a X (a -x)2 Actuellemcent, il y a entre les cleux centres une position fi/quilibre instable IE. Le mobile n/6taut pas dans cette position, si on le lance vers cettc position avec uine vitesse suffisante pour la lui faire ddpasser, il ira tomber sur le deuxi/me centre attractif; si la vitesse du mobile s'annule avant qu'il atteigne le point E, 'ii rcton-ibe sur le premier centre attractif. Enfin, si 1lexpression aig/6brique de in vitesse s'annule an point E, le mobile se rapprocbe ind/finiment dc E avec tine vitesse tendant vers zfro, mais n'y arrive jamais. 3. Soit x=f (t, x0, cv) l1quation dn monvement produit par une force X = o(x), fl/pendant 'uniquement de la position dlu mobile, l'abscisse et Ia vitesse initiale (taut x0 et v,. D/montrer qn'un deuxi/nie point mat/ridl de rn/me masse dont l'abscisse est r fisignant une constante, se ment sons l'actiony,~ Ia force X, zf (~X, labscisse ct la vitesse initiale /tant x0 et c,. En particulier, si a ~/I, le point dont le mouvement est clonn/ par Ia formule X, = f (t X0, V se t-eut sons laction de la force X, — X ( Comnpfes rendlus, 03o cb~cembre i 878). Xpplicqner 4 X g, X oz-pX, X Ur~x2 4 Si Ia loi dinn mouvement tantochrone rentre dans la formule doe Lagrange,

Page  348 3)48 TROISIEIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. montrer qu'en ajoutant 5 la force une resistance proportionnelle Ct la vitesse, on a encore un mouvement tautochrone (ROUTI). 5. Trouver l'expression de la vitesse v dans un mouvement rectiligne en fonction de x et x0 de telle facon que le mouvement correspondant soit tautochronc. Reponse. - Le point de tautochronisme dtant l'origine, supposons l'cxpression de v dcrite sous la forme I I X ) 0oh designe le rapport - ~ Cette expression v est supposee s'annuler pour x = x, xo c'est-a-dire pour = r. Le temps T employe par le mobile a atteindre l'origine est T —,-o f0 o0?p (X. )dx - -- 1. r '? ( S0o, ) en remplacant x par x,. L'intdgrale T etant indcpendante de x,, sa derivee 3T f(_X_ d[x~(.)]d doit etre nulle. Appelons 0 (xo, ) l'integrale inddfinie. J Xn (do -) d de telle facon cque ( I )( ).X ( x,,? ) (|X= =,, Ox, ~ la fonction 0 s'annule avec et la condition de tautochronisme est que 0 s'annule aussi pour i --. 1Rciproquement, si 0 est une fonction arbitraire de x0 et ' s'a n - S)T nulant pour = o et = T, l'intlgrale T est nulle. Integrant l'equation (i) par rapport A xo, l etant rcgardS comme une variable inddpendante de x0, on a X0(Xo, ') x - A(() designant une fonction arbitraire et c une constante arbitraire. On a dolne pour v l'expression X, f -- dx + -doh 0 est une fonction arbitraire de x0 et assujettie seulement a s'annuler pour } = o et i = I. Apres la quadrature il faut remplacer } par -. La vitesse v de-, 0 vant s'annuler pour = i et rester finie, il faut de plus que le denominateur devienne infini pour ~ = I et reste diffdrent de zero quand, varie de I a o.

Page  349 CIIAPITRE IX. - GENIERALITES. MOUVEMENT CURVILIGNE. 349 Ulne fois v trouvd en fonction de x et x0, pour avoir la loi de la force, il suffit d'eliminer x entre v et - - ce qui ne peut se faire qu'apr6s un choix d6termine do de la fonction 0 (i.0, c). On obLient ainsi - =( fx, () ct la loi de la force est dx Par exemple, si 0 est identiquement nul, on retrouve le cas oti l'equation diffelrentielle du mouvement est homogene en x et v.. e. Brtrand a remarque depuis longtemps que la formule gcnerale du mouveiment rectiligne tautoclrone (loit contenir une fonction arbitraire de deux variables. 5 bis. Mouzvements taulochrones (methode de M. Guichard). - Considdrons des r-ouvements tautoclrones quelconques, le mobile part du point x o pour arri\ver t l'origine clans un temps qu'on peut supposer 6gal at i. La vitesse vc du mobile, CI l'origine, varie avec x0. Prenons le mouvement inverse le mobile parlira de l'origine i l'instant t o, avec une vitesse varialle c0, il atteindra le point x0 variable avec va au bout du temps = i. Pour ce iouvement, on aura ( ) v =(I - t)f (t, V). f se r6duit t v, pour t - o; de plus, f est positif, quel que soil v( pour t coImpris entre oet, i. On aura ensuite, en appelant y 'accelcration, t ( - |)/' ) ( f I -t) -/(,) t, o lDes formules (I) et (2) tiros t t t v%, puis portons dans la troisieme, on aura II (w, v). En prenant enfin F -- mzIl (ia, V), on aura un mouvement tautoclirone. 0, Trouver les lois de forces produisant les mouvements rectilignes suivants x = X, cost -- 0 sil t, x =- x0 cos t -;- V sin t - g'2, x2 _- ( x, t )2. X o 7. Un mobile anime d'un mouv-ement rectiligne est sollicilt uniquement par une resistance de milieu R = nz??( ), fonction continue de la vitesse v, essentiellement positive et croissant avec la vitesse. Demontrer: I~ que si (o) est diff6rent de z6ro, le mobile s'arrete au bout d'un certain temps, aprds avoir parcouru un espace fini; 2~ que, si (o) est nul, de telle facon que le produil v 1 —7 (v) tende vers une limite diffdrente de zero lorsque v tend vers zero, le mo)ile s'arrete quand ni est inferieur h i, et continue a marcher ind6fininmnt, avec une vitesse tendant vers z6ro, quand it est egal ou sup6rieur P i; dans ce second cas, lespace parcouru par le mobile est fini quand 7n est inf6rieur i 2; il est inlini quand nl est egal ou supdrieur a 2.

Page  350 350 TROISIIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. 8. MIouvement d'un point attird par un plan proportionnellement a la distance 9. MIouvement d'un point sollicite par une force parallele l'axe Oz, avant pour expression 10 ' (:x-A - B - C - I))' 20 — Z (A x2 -+ 2 B 1y -1- Cy2 -- D x -- 2Ey F )2 J., A, 1, C, D, E, F ddsignant des constantes. Reipoise. - La trajectoire est unc conique, quelles que soient les conditions initiales. 10. Mouvement d'un point pesant dans un milieu resistant, la loi de la rdsistancc R etant donnee par R -- 71g ( - -( B log ), A et 13 constantes. (Loi ne pouvant etre adoptce que pour > i, car autremcntI la resistance croitrait quand v diminuerait.) Cette loi peut s'obtenir comme cas limiite dc celle qui a Cte adopt6e dans 1 tcxte. R = g( a +- bv'). B iB II suffit de poser a -A - - b - - t de faire tendre n vers zero. 71 1t 1i. Achever les calculs du texte (220) en supposant n =I et a — l. On petit effectuer toutes les integrations. 12. Un point pesant se meut dans un milieu resistant: demontrer que, RI dcsignant la resistance, on a, entre l'ordonnee y et labscisse x d'un point de la trajectoire, la relation d3y 2 g R dx3 VI COS93 v designant la vitesse et a langle de la tangente avec l'horizontale Ox. En particulier, si la rdsistance est proportionnellc a vl, l'quation diff6rcntielle de la trajectoire est 3 CZdy- = — L r ( dy\1 2 dx3~ -cost L c l dx (DE SPARRE, Comptes rendlus, 23 ct 3o mai 1892 et MemoriaCl de l'Artillerie ce la Marine, I89 ). 13. Un point se meut dans un plan xOy, sous l'action d'une force dont les composantes X et Y sont dU dU X =,y' Y=- ' OY dx U etant une fonction de x et y. Demontrer que les 6quations du mouvement admettent lint6grale premiere d.vx dy m - - Ut h. dt dt

Page  351 CIAPITRE IX. - GENERALITES. MOUVEMENT CURVILIGNE. 35[ 14. Un point se meut dans un plan x 0y, sous laction d'une force dont les composantes X ct Y sont des fonctions de x ct y vdrifiant lcs deux conditions oX OY ox OYY dy Ox dx dy Demontrer que l'integration des 6quations du niouvement peut ctre cffectuee l'aide de quadratures. Rep7'ose. - Dans ce cas, la quantit6 X -Yi est une fonction de la variable complexe z -- x — yi, X - Yi= y(z). Les deux 6quations du inouvement peuvent alois se condenser en une C1 z ct ]inttgration est ramen6e tc deux quadratures successives: la premiere, 71 (-t --- 71 t)?(z) d, (d\ (dz\- r^,,, puis la seconde, donnant t en a. (LEcoRNU, Con7ptes 7rendus, t. CI, p. I 2a.1; JournalC de I'Ecole Polyteclhzique, LV Calhier.) 15. Plus g6n6ralcnent, si l'on a OcX -Y Ox OY yt ~- x' dOx ~ )y a et b d6signant des constantes, 'integration des 6quations du mouvement so ramene a des quadratures. 1Rponse. - On ram6ne co cas au pr6ecdent par les substitutions X - bX', Y = /- ca Y', x - /x', y -- C/-Cy'. 16. Un point se meut dans lespace, sous l'action d'une force dont les comp)santes X, Y, Z sont des fonctions de x, y,, v6rifiant les relations oX cY Z_ AoX Y OZ OX )Y OZc, dcx ay Oz Ix O x ox) oz C)X Ov Demontrer que l'intLgration des clquations du mouvement se ramene ci des quadratures. Reponse. - En appelant a et a2 les racines cubiques imaginaires de l'unit6 et posant x -- y -[- x - P x - y - a2 -= q -r c2y — + Z = r, X -i- Y +Z P, X — - a = X -- cY + -aZ =z R, on trouve que P est fonction de p seul, Q de q, R de r. Les 6quations du mouvement sont alors 6quivalentes aux trois suivantes dcl2p d'q d2 r m t72 - P, Z 2 Q, Im c R CI v I CIP -

Page  352 '3) TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. lont chacune s'int:gre par deux quadratures. Exemple: X = x2 + 2ygZ=, Y - z -;- i x!? X Z -.2 -q- 2 — X. (CoMzptes reiinds, 19 mars 8;77.) 17. Etant donne un point inateriel soumis a une force qui ne cldpend quc de sa position, les intdgrales des dquations ditTerenticlles clu mouvement restent reelles si l'on remplace t par t /-, et les projections x'o, ", z dle la vitesse initiale l)arl -y x /- i, -- t/- i. Les expressions noouelles ainsi obtenues sont les dquations du nouveau mouvement clue prendrait le mime point matdriel si, place dans les mernes conditions initiales, il etait sollicite par une force egale el contraire a celle qui produisait le premier mouvcmenct. (Colptes rentrds, 30 ddeenmbre 1878.) 18. Un point pesant se nleut cans un milieu resistant, la trsistance 11 ctani, comme on 1'a suppos dlans eI texte, une force dirigeie en sens contraire de la vitesse ) et fonction de v, I = 'g (((v). Supposons, de plus, la fonction y(v) continue, positive et croissante avec v. Demontrce les propositions gene6ralcs suivantes: io Si 9(o) >i, le mobile cdecrit en un temps fini un arc de trajectoire fini qui se termine en un point ol la tangente est verticale et obl le mobile arrive avec un-ie vitesse nulle. Le mobile reste alors immobile; car, s'il tend t se remcttre en mouvement, la r6sistance qui se produlit est supericure au poids. [Ce cas pent se prlsenter, par exemple, pour le mouvement d'un point pesant avcc frottcmenL sur un plan incline (221)]. '~o Si?(o) < (cas des projectiles d'artilleric), Ic mobile decrit une courbe avec une branclic infinie possedant une asymptote verticale, ct la vitesse tend cers une limite ) cfgale aI la racine dec l'fquation i — c ( v) o, equation qui dllmet eviciclmment une seule racine, d'apres les liypotlliscs failes sur s (V). 3~ Si '(o) =I, v tend vers o, x tend vers une linlite finie; mais, pour t et t, difefrents cas particuliers peuvent se prdscnter, suivant la facon dont y(v) tend cves quand v tend vers zdro. Si v-" [I — (v)] reste fii, rdsultats dc 1'ex. 7. clicactionz sulr la nze'thode a stivre. - L'equation (3), page 3-i1, donne cos c. C' cos a = — cos.c e' "o, equation qui montre que vcosx tend vers zdro quand x tend vers --;en la r:6solvant par rapport a v, on a une expression qui, pour c - -- - prcnd la forme - D'aprds s res rgles ordinairs, on coclon en n appelant vI la limiite o de v, la condition II - v(c)] O, qui montre que (: est nul ou racine de --?(v). On achlve ensuilc la discussion t l'aide des formules de la page 34'a. (MoRIN.) 19. Analogies entre l'e'quilibre d'unfil et le imouovement cd'uz point. - Ccs analogies se rdevlent immdciatement par la comparaison des equations intrin

Page  353 CIIRAPITRE IX. - GENERALITEIS. IOUTVEMENT CURVILIGNE. 3 3 seques de l'equilibre (d'n l1 ( n~ 148) et du mouvemcnt d'un point. On a ainsi les theorcmes suivants: (a) Si un fil est en dquilibre sous Faction d'une force F ds, la tension etant ', un point matdriel de masse mn, decrivant la courbe funiculaire avec une vitesse ^ egalc a cT eTn chaque point (I: constante), est sollicitd par une force (P oppos(.e a F d'intensite mI/cFT ou /l l; e. On pent passer inversement du mouverllnt du C point a l'quilibre du il: il suffit de supposer T - t cet la force F opposde il (1 k d'intensilt (b) Un point matdriel sollicit6 par une force verticale dirigde vers le hault (t proportionnelle 3 sa vitesse decrit une chainette. (c) LUn il dont chaque delment ds est sollicite par une force verticale Fds, ink ds versement proportionnelle a sa tension F cls -- se dispose suivant une parabole. (On peut aussi dire que cette force F cs varie proportionnellcment 3 la proxx jcction liorizontale (d.I de l'ldtment cds, car rT -'- C. (d) Si 'on transforme de cctte facon les equations qui pour un point materiel cxpriment le principe des aircs ( no 203) et le principe des forces vives (no 206), on trouve, pourl les fils, les thdordmcs exprines par les deux 6quations 1T ( c Ci -y dx C, (ids - ds / d T -s X dx Y dcy -- - Z -- o, dont la premi6re a lieu quand la force a, tout le long du fil, son moment nul par rapport l Oz (n~ 1413). (e) Des thlorilne s analogues s'appliquent a F'quilibrc d'un fil sur une surface compar6 au mouvemcnt d'un point sur une surface. ( Voyez MOBIus, Statique, deuxieme Partie, Chap. VII, ct PAUL SERRET, Theorie des lignes d double courbure, Mallet-Bachelier, I860.) 20. Si plusicurs masses mi, m', 1m",... respectivemcnt soumises t l'action des forces 1, F', F",..., fonctions des seules coordonnees ct partant toutes d'un point A avec des vitesses vc,, v', v',..., de grandeurs difftrcntes, mais de meone direction, decrivent la menle courbe ACB; la masse quelconque M, soumise 3 l'action de la resultante des forces ac, a'F', a "F",..., oit a, c', ac",...ddsignent des constantes positives ou negatives et partant du point A avec la vitesse V,, ayant la rnme direction que v,, vo,..., ddcrira encore la m6me courbe, pouirv que la force vive initiale de la masse AI soit ddtermince par la formule MV -V a mv=t)) -X a' ad' vo- " X "m" cv --... (BONNET, Note au Tome II de la JIecanique analytique de Lagrange). Cc thdoreme se demontre a l'aide des equations intrinseques du mouvement. I. 93

Page  354 35jt TROISIEIME PLARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. CHAPITRE X. FORCES CENTRALES. IOUVEMENT ELLIPTIQUE DES PLANETES. I. - FORCES CENTRALES. 222. Equations du mouvement. - Une force est dile centli cle quand sa direction passe constamment par un point fixe: ce point est le cenetre des forces. Prenons pour origine le centre des forces et convenons de designer par F la valeur absolue de la force precedee du signe + ou du signe -, selon qu'elle est repulsi.e on attracctive. Nous avons vu precedemment (n~ 203) que la trajecloire est une courbe plane dont le plan passe par le centre des forces. Ce plan est determine par la position et la vilesse initiales du mobile. Si la vitesse initiale etait dirigee suivant le rayon vecteur, ce plan serait indetermine, mais alors le mouvement serait rectiligne et aurait lieu sur le rayon vecteur. Prenons le plan de la trajectoire pour plan des xy. Les projections de la force seront avec la convention faite sur le signe de Fx, Fy F, eet? Nous pourrions employer les equations generales dic mouvement plan; iL est plus simple de partir des equations fournies par le principe des aires et le theorneme des forces vives. L'integrale des aires dly dxc s'ecrit en employant les coordonnees polaires.; dO c-C. Nous avons vu que C est le moment de la vitesse initiale par

Page  355 CIIAPITRE X. - FORCES CENTRALES. 355 rapport a O. Soient o 0 la viLesse initiale et po sa distance a l'origine, la constante C a pour valeur absolue po 0; il fant prendre les signes +- ou -, suivant que le mouvement se fail d'abord Fig. I46. I _o / F \ /%F 0 t (1ans le sens positif ou dans le sens negalif des rotations autour de O,; soient /', 00 les coordonnees de JA0, et -ri l'angle de la vilesse initiale AIo(o avec le prolongement dle OMA0, on a Pt -= 'o sin Tll!, par suite, C - / 'o o sin ', en valeur absolue. Si l'on convient de compter positivement l'angle -o0 a partir du prolongement Mo O' du rayon vecteur dans le sens positif des rotations, cette egalite est aussi vraie en signes, puisque, 0'o et (co etant supposes positifs, le signe de C est precisemient celui de sinro0. Cette constante C ne peut etre nulle qu'avec I'O, co ou sin -o; le mouvement se fait alors sur le rayon vecteur. Appliquons maintenant le theoreme des forces vives, nous obtenons A)' -- F dr. Les equations (I) et (2) definissent entierement le mouvement, elles serviront a trouver r et 0 en fonction du temps. La vitesse a pour expression drc -- r2 d02 dr' a I'aide de l'equation (i) nous pouvons eliminer dans cette ex

Page  356 356 TROISILIEM P\.lTIE. - I) Y\NAM4IQLUE DU POINT. pression dO o cdt, cela;nous d(1onnt successi vmclelt (3) ) - ( /) () V C1 I. (dr a (< ( t ) "9 = c ' + t j. cC, 2l l)l a t - dO ) \7/o- ) Le cas le plus simple est celui0 ot la force delendl uniquemienlt de la distance ': on est alors ramnene a des quadratures, car, Fl<// (laant une differentielle totale exacte, i'6eqnaion (2) donnera (,' (I,1 fonclion de /i; en portant cette valeur de (" dans les eqtalions (:rl el (/), on trouvera t et 6 par des quadraLures. I'evenons au cas gmen6ral. Noous pouvons obl)enir encore (de'l '(:ql(ations importantes, en remiplacanIl c2 par la valeur (;)) ou (1) dlans l'equation des forces vives. iEn nots servant d'abord dle () ct ecrivant i' quation des forces vives - —.- _ - nos avon (It 2 dLSc /t -2, 3 ou atl(I c'csl-a-clire en effectuant la diff6rentia Lion el divi sant par, fcl- C'\ ( CU2 ) - 1 (que nous conserverons sous la forlme ( ) /21 - -- - -(2 c// ' r Cette equation definit le mouvement relatif du mobile sr' i( rayon vecteur; elle montre que ce mou'eiet est et le mm6ne qt/e si /Ic '69y/o0 vecteur ettait fixe, et si /l fo-rce qui agit sut. le poiD/ C2 (tc/it atugmze/te de dm n Cetle meme relation donnera /' en fonction de t lorsque F sera tune fonction de la distance setile, o, i)lnts generalement de r et t. Servons-nous maintenant de ]'expression (4) de (,2 potIr 1; porter dans l'equation des forces vives; nous obtienldrons, en 'cri

Page  357 CIIAPITRE X. - FORCES CENTRALES. 357 varl el'quation des forces vives - - f — F 2 ilt It (( ) CI = 2 j -c; d - en eltfectuant la diff6rentiationl et remplacanL -l- par sa valeut' I dl dr -- -_ -,. nous pouvons dli\iser par - l0 et il reste alors la formunl( s;ivaiite, due lt Binet, Ni, aI ---,1, 1 C iLi ' c /f (ctloe cquation peut servir a trouver z' en fonction de 0, c est-aC-dire ledquation de la trajecloire, si F ne depend que de /r, ou plus getiralement de r/ e f. Les signes des deux membres de l'equation (6) montrent que la force est loujours dirigee vers la concavile / \ la l trajectoire; on sail, ee, ue — +- - est negalif o ipositif selon que cette trajectoire tourne Lou non sa convexite vers Ie pole; si la force est nulle dans une certaine position du mobile, il y a un point d'inflexion sur la trajectoire. 223. La force est fonction de la seule distance. - Etucl.ions pis compliteiment le cas important off l'on a: -=? (/1)' I't(-uation (9) s'integrc immeidiatemnent et donne 7- - = ( / ) d, -+ h; pour avoir la relation entre i et t, nous remplacerons v2 par sa -aleur (3) et nous aurons uine equation de la forme ( dr 2 dv yr i ~__) d~~~~~~vY('

Page  358 3.58 TROISIEME PAIITIE. - DYNAMIQUE I)U POINT. / sera done donne par une simple quadrature. L'qequation de la Lrajectoire s'oltient alors aisenent; en effet lequcation (i) nous donne C C d', dl( = 4 d t = -_ 7. - -,) dO -2 CZ 1.2 et 0 est fourni par une quadratlre. I1 faut maintenant detlerminer le signe que 'on doit prendrel devant le radical; il sera dletermine par ]es conditions initiales. On salt que la projection de ]a vitesse sur ]e rayon vecteur est dl-; la connaissance de la vitesse initial e enralnera celle du signe de (~ ); au dcebut, on metlra devant le radical le signe de cette quantiat, et on e gardcera jusqu'au moment ol +(r) s'annnlera, puis on dceterminera le signe qu'il faut prendre ensuite. II n'y a de difficulte qcue lorsque '.(/ o) est nul, c'est-a-dire quand la itlesse intiale est perpendiculaire a rayon vecteulr. Considerons alors 'Iequation du mouvement sur le rayon vectenrj la vitesse initiale ( d de cce monvement est niillee, cecc mouvement se fait comme l~ C 2 si, le rayon vecteur etant fixe, la force etail F - 7-; si done cette force apparente est positive au commencement, r v a d'abocrdl en croissant, et lon prendra le signe +; si elle est negative, r va d'abord en diminuant, et l'on prendra le signe -. Supposons cnlfi qucc Fo- -- -C2 o; dan-s ce cas, pour un observateur entraine avec le rayon vecteur, le point restera imnmobile, puisque le point se neut sur le rayon vecteur, comme si ce rayon etait fixe et si Ic point etait abandonne sans vitesse initiale dans une position oi la force apparente est nulle. La trajectoire sera une circonference de rayon r0o; et, en vTeru du tlieoreme des aires, le nmouvemen sera uniforme. Voyons dans quelles conditions initiales precises il faut placer le mobile pour rdaliser ce mouvement circulaire. II1 faut clue la vitesse initiale soit perpendiculaire au rayon vecteur initial /1-, o 2 oe YiO = + 'o- C (2 =T o0 co el q1%e io-3 C o cl 'ol eqn reinl2 0~ placant C par sa valeur - 7( '0 A 0-~- F 0 = I)/ -

Page  359 CHIAPITRE X. - FORCES CENTRALES. 359 valeur qui n'est reelle que si Fo est negatif, c'est-a-dire si la force cst attractive, Exemple. - Lcs deux applications les plus illmortantcs de la thdorie iprecedente sont relatives aux cas d'une force proportionnelle a la distance et d'une force inversement proportionnelle au carr6 de la distance. Le second cas sera traite en detail dans la theorie de mdouvemcnt des plantc s; occupons-nous du premier et considerons d'abord unl mobile attir'e pal un point O (fi5. i47) proportionnellement a la distance F = - /?z/2 /', 2 = - 1;, 2 h. Fig. I47. 0 M I Les mletiodes generales indiquees ci-dessus donncront l'dquationi de la irajectoire et le temps. Mais il est plus simple de partir des equations diI mouvement qui sont, meme par rapport a des axes obliques, d _2 x -. d.-y,,2y clt 2 7 -t2 -dt — equations lindaires i coefficients constants dont les intlegrales 'dne6rales SoB IB x = x, cos/t - - sin/t, y -- Y cos/ft - V sinlit, xo et y' desig'nant les projections de la vitesse du mobile l'instant t= o sur les axes (n~ 212). Si, en particulier, on prend pour axe Ox le rayon \ecteur initial et pour axe Oy une paralle i la vitesse initiale, on a; x'o = '0, ' o - 'o, 'o = = o = 0, CO x = ro cos kt, y -/- sin lit, (l'o, pour l'equation de la trajectoire, X'2 2/ -l^2, r2-s 9 - eqluationz dclne ellipse racpportee & deux dliamletes conjllg'ues de

Page  360 '(o0 TROISIEME PART IE. - DYNAMIIQU(E DU POINT. Onig'iteus ca t /0', b'- 0 La durde d'une red\olution sur l'ellilse estl / Comme Un instant quelconque peuL ere clhoisi corniie instant initial, on;'oit que la vitesse dlu mobile dans une position quclconquLe est egale a kb', )' d6signant la long'ueur du demi-diametre partallele i la vitesse, c'est-.-(lire conjugue6 du rayon vectcur. Si le mobile est reepousse par 0 proportionnellemcent t la distance F- = mk7r /, on trouve des equations qui se dcduisent des preccdenes i'ar Ic changement dc ik en kc /- i; on a clone, cn choisissant les axes comine ('i-dessus, e/lt + e-kt t -c-A t, - -j — -; la itrajectoire est alors une hlyperbole 2 /2y2 ananl pour centre Ic point 0: la -vitesse ci uin point es encore,g'ale an i)rodit de k par' a l ong'ueur du deni-diamltre parallele t la vitesse. 224. La force est de la forme r-2(0O). - Jacobi a montre qne, I'on peut ramener a des quadratures le cas oit la force cenlrale a une expression de la forme F,- (O), c'est-t-dire, en coordonnees cartesiennes x ely, une expression qui est hoiogene et de (leg're - en x ety. Dans cc as, la formule,, C2 s l2 1r I/ 0 2 donne, pour cldfinir la trajectoire, l'equation d,? () equation lindaire a coefficients constants avec second membre (lont 1'integrale generale est de la forme - = A cosO -- B4 sin 0 -- (0 ), A ct 3B dcesignant des constantes arbitraires et (9) uLne integrale particuliere de I'equalion que l'on peut toujours trouver par des quadratures.

Page  361 CItAPITRE X. - FORCES CENTRALES. Soil, commne cxemple, F -— Il t' 2(cos O()) 2, IJ. etantl ue constante recille positive ou negative. (n aura integrer le'quation d2 - C2 (1,ilt l'intdgrale giendale esi - = A cosO- 1 sinO ) Vcos'0 ( ou 1 coordonn6es cartesiennes ( -- 1X - I3j) --.- (T ('(juation d'une coniqucetan genl aux (dux droites (//f,(. I'8) Ol) ct O() F ig. I S. / 2 ayanti pour dquations x'-y2 2= o, anx points on ellcs sont renlconltres par la ldroite o = i- A - B3y qui valic avcc les conditionl initiales. Ija osition initiale du mobile se trouve necessaireienct dans l'angle P'OQ on dans son oppose au sommet, catr l'expression de F serait imaginaire a I'exterieur de ces angles. Supposons, pour fixer Ics ides, quc la courbe soit une ellipse. Si j. est positif, la trajectoire, devant tourner sa concavite vers 0, se compose d'une partie de l'arc Q(MP:: quand lc mobile arrive en Fun des points P ou Q, la force devient infinic ct le problem i'a plus de sens. Si,-. est ndgatif, Ic moobile decriLt ulne portion dle l'ar QT P. ()On dtermine le temps a I'aide de l'dquation des aires l '2 dO clt... lans laquelle on remplace /" par sa valeur en fonction (le (: on est ainsi

Page  362 362 TROISI EME PARTIE. - DYNSAIIQUE DU POINT. conduit ia une quadrature qui cst elliptique, sauf pour des dcterminations conzenables de A et B. Remargque. - On ramline, de mrme, 5i des quadratures Ie probnlecn plus general oil l'expression de la force scrait de la forme F-2 = r-2?(0) -- Ar-3, k designant une conslante. On cst encore conduit i integrcr uinc equatioo Iin{(aire en - a coefficients constants avec second memlbre. 1' 225. Probleme inverse. Determination de la force centrale quand la trajectoire est donnee. - Proposons-nous le problemc suivant tin mobile dcc/it t1une traljectoire plca/1e sui(actnt let loi des (tl/ies catttlou/' d'Ct point fixe, t/oucee lat force qui pr'oduit (eI inouceinent. Tout d'abord la force est centrale; en effet, prenons le point fixe pour origine, la loi des aires donne l'equation X}-r' = ---, ou, en diffdrentian t, ' -d -y-dyt9 = " equation clui montre que l'acceleraiion et, par suite, la force passent cons[amrnent par lorigine. Soit alors F la valeur algebriquc de la force; on a, en vertu de l'Iquation (6), 7- C92 ( I ) 1 F ( - d(2) 7'2 1' cl), par hypothese on connait l'equalion de la trajectoire f(r, 0) qui (ldfinit - comme fonction de 0( = ); on aura done F 71 C F=, [( "o). Si I'on ne s'impose a l'avance aucune forme pour l'expression:

Page  363 CIIAPITIIE X. - FORCES CENTRALES. 3(;' (e F, Ic probleme presente line indeerminaLion, car, r el 06 ean I lies par ine equation donnee, on p)ourra transformer d'une infinile de facons cetle expression de F'. On petl, et c'est ccque ql'o cherche en gdenral, exprimer F en foncLion de 7r sealement, ce qui se fait en dliminant 0 entre i'dqualion precedente et celle de la trajectoire. Exemples. - Prenons le cas d'une conique parcourue suivant la loi des aires relativement a son fo-yer et tournant sa concavitd vers ce point; in le irenant pour Ipole. on a pour l'6quation de la conique._ P -+- e cosO) / i'.ant Ile p)r(t'C(m/ele et. e I'excentrZicile. On eCn d(duit -,- _ 1, - /' I(O.2 P 2 / &1() > ]7-) 1) 7)s la force est done urne attraction qui varie en raison inverse du carre dc I;I distance. Si I'on trait le Ie mee n prob-lme pPour une branche d'hypcrbole tournani sa convexit(e ers le foyer et dont 1'lquation est i e cos0 - / /2 '_ _ _ el la force suit la mdeme loi, mais est repulsive. La p l)part des courbes usuelles peuvent rentrert d(ans l'Iquation r e'= a cos/' ) + t) oi ct, b, / sont des constantes; si lon suppose ces courbes parcourucs suiv\ant la loi des aires par rapport a l'origine, on trouve pour loi de force len f)ontion de 7' I r/ C L 1() -~ — +3 -, b3 i. - __~~/,[/c 2 ---b' 53 (1 _/c-', (Cas particuliers k = I —, coniqucs ayant le pole pour foyer, k =-, coniques ayant Ic pole pour centre, / = — lil/2c(co0 de Pascal, /c = 2, ) = (,, le7mlziscate,....)

Page  364 ) (i TBOISIfEME PARTIE. - DYNT AMIQUE D U POINT. II, - MOUVEMENT DES PLANETES. 226 Cons6quences des lois de Kepler. - Dans tout cc qui vT; silivre, nous ne parlerons qute du mouvement du centre de gra\ile des planetes. D'apres un IIh(orleme que nous diemontrerons l)ls tard, le umouvement de ce cenlre de gravile est le meme qce si loute la masse de la plantle teait condensee en cc point el. Ioutes les forces, appliquces i la plantcle, transportles parallelement a elles-memes en cc memoe point. Les lois da mouvement des pes lanls ont ete deduites par Ke-pler des observations de Tychlo 1Bralh. Ces lois sont les suivanles 1~ Les platnetes dclci'ice aultou' cdt Soleil des cout/'bes /pl1(nes s1i'tivLctn let loi cles cti/es; '~ Ces co01trbes so/tl dles ellipses ctyJ'CZn le Soleil polr j/oye/;:; Les ct1r' cls rps es cecs les evoltions seiceles sont pro/,oltionniels ccuxc cubes des gl'cclds caxes des orbites. De ces lois Newton a dedutit la loi de la force qui p)roduit It 1110 uvemen t. Puisque la trajectoire est plane ct qlue la loi des aires a lieu par apportl au centre du. Soleil, la force est centrale et passe par cc loint. Puisque la trajecloire esl Iu1ne ellipse ayant le Soleil pour ioycr, la force qui agit sur la planele est inversement proportionne le au carre de sa distance au Soleil; nous avons trouve 10 pour l'ex'ression (le cette force (premier exemple du niumieiro precccdenIli) /p,.C2 ()o C cst la constanle des aires el p le paranmetlr de la conique. On) Ca )peu 1'1 crire en posant -. 1,La derniere loi de Kepler monIre que [. est independant de la planete consideree La constante des aires C est, en eftet, egale an d1ouble du rapport de laire decrite par le rayon vececur au teLmps cinp)loy6 e la dlecrire; si T cst la durede de la revolution, le rayon

Page  365 CHA PITRE X. -- 1OUVEMAENT DE S PLA.NEITES. ); veclcur dcciit l'aire 7cab dans tin telmps T'; (,onl270b (omme p eCst eC(gal.. on a, pour.'expression de i, 1'aplrs la loi donL nous parions,,' eks1 le re'ile pour toulcs It( planetes; par suile, la force sera pour nine pti nitc quielcoinqul /,1 I'ni resumile clicquie planete est solIiiciie c r I cetre due Soleil [par nne force proportionnelle it sa masse cL invcrselcntl p)10ropo)'tiorinelle an carre de sa distance au Soleil. 297. Probleme direct. - Apres avoir Lrounv ce r(slltat, Nex\lon s'est propos6 la question suivante T7oluceI' le o0ettcetmelCt cVi't poi/t lf te/iel (ttire ])(' l/ ce/tl'e fixe e/ /rasou inverse du ca'' c de t dC/istt/ce. La force cenlrale elant /)1,j. I'eluation des forces vives donne 1- cl -. _= -.; - A.,2 h' IJ On a d'ailleurs, d'apres ia thelorie des forces centra'cs (forn-mule i, 1). 356), [leinplacons i.2 par sa valeur, nous aurons d\ 1 I '' '. CIOe 1 1,: C- 1

Page  366 T0(i; TROISIEIME P.RTIlE. -- DYNAAM1IQUJE DU POINT. c'est L'Cquation diffelrntielle de la trajectoire; on peul l 'crire /,i - Posons r i- J' - i\/!J 2 r _ J/ i2 h1 I'equalion en o est (d) - =-?2 - _ d (l'o0 i en integrant, 0 -- 2 =1 _ arc cos,, J = cos(0 - 2). L,'quation de la Lrajectoire prend done la forme.r \i,/ijS2..... co/(O 2, )on. I'on peut toujours supposer le radical pris posilivelment, call, ell ajoutant z: a la constante arbitraire z, on rame'nera le radical a etrre positif dans le cas oiI il serait negatif. On reconnait lc lI'quatioll ('une conique ayan[ le pole pour foyer; on sail, en effe, quo l'equation gienerale des coniques, ayan le pcle pour foyer, est 1 T,. T -- COS(c ) 0 - 7.), /' /) p (oi- pest le parametre et e l'excentricite. En identifiant ces deux -quations, on a d'abord C' resltat deja obtenn, puis /,J. h e - p C -C et, en tenant compte de la valeur de p, e = t/ -H ---- Cette expression nous donne le genre de la conique qui, comme

Page  367 CIIAPITRE X. - MOUVEMENT DES PLANETES. 3fi 7 nous allons le voir, depend uniquement du signe de dla constante ies forces vives h. Si h est negatif, la trajectoire est une ellipse, car e -; c'est une parabole ou une branche d'hyperbole si h est nul ou positif. La valeur de la constante des forces vives, h, est.) 9 _. 1'0 elle ne depend que de la valeuri nuIln ique de la vitesse et non/ (de sa diiection; si done des conditions initiales determinees ont donne pour trajectoire une ellipse, on aura encore une ellipse en lancant le mobile du memne point avec la menme vitesse initiale dans toLte antre direction. Le calcul que nous venons de faire contient implicitement le cas de la repulsion; pour traiter ce cas, il sLffit de supposer y ndgatif dans toutes nos formules. Dans ces conditions, la constante h est necessairement > o et 'on a toujours une branclhe (l'hyperbole; cette branche d'hyperbole tourne sa convexite vers I'origine, car la force est situee dans la concavite de la trajectoire. Placons-nous dans le cas de l'ellipse, en supposant /h < o et exprimons les elements de la trajectoire au moyen des valeuirs initiales des variables. Nots avons trouve, en introdusan les aes e 'ellse P ~~2,, Lhe2 - i) e2 I et, en introduisant les axes de lellipse a Cette derniere relation donnera le grand axe de l'ellipse qui ne depend que de la constante des forces vives; le petit axe sera donne ensuite par b2 C2 a t1 -Ayant ainsi calcule le demi grand axe a, on construit facilenent l'ellipse, connaissant la position initiale Mo et la vitesse ini

Page  368 368 TROISIIAlIE PARTIE. --- DY-N-AMIQUE DU POINT. tiale ',,. On prend le synmetrique IP ldu foyer par rapport it i ilangente V\o, on joint PM) elt 'on porte sur cette droite PMA une, longueur PM0AO' - a; le poinlt ' est le deuxieme foyer dce l'el lipse. 228. Cometes. - Kepler n'avait pas tuldi6 le mouvement (de.s cometes clu'il considerait comrne des mneteores passagers. Newton, ayant remarqtue qu'un point materiel, attire par le Soleil en raison inverse da carre de la distance, pouvait diecrire non seulemenL ane ellipse, mnais une parabole ou une branche d'hyperbole ayanl ie Soleil porr foyer, fut amiene a penser quce les comelies decri venl conmme les planetes, des ellipses dont le Soleil occupe un foyer. Seulement, tandis quceles planetes clerivent des ellipses de petite excenricite sitouces ta peu pres dans un mictne plan, il supposa que les cometes decrivaient des ellipses tres allongees et siluLees dans des plans quelconqucs. Elles nous apparaissent rarement parce (ue notus ne les voyons cqte dans la partie de leur orbite Ia p ls voisine du Soleil. Conmme le grand axe de forbite d'une conmee esl tre s grand, cette partie de l'orlbie voisine du Soleil est a pec prL:s la umelne cque si le grand axe etait infini, c'est-Li-dire si l'ellipse dtait remplacee par une parabole de menme foyer et de 1mel1lC somrmet. Newton fut ainsi conduit a penser que, dans le voisina'ge du Soleil, une comete devait dccrire, suivant la laoi des aires, un arc de parabole ayanL le Soleil pour foyer: il eut l'occasion dc verifier ses preivisions sur uine conmte qui parut en i68o. Iallev, contemporain de Newton, fit la mne'me ve'rification sur vingt-qcuaTlre cometes: toutes les observations postericures ont confirme ics vues de Newton. Imaginons une comete de masse n dccrivart, suivant la loi des aires, un arc de paralole ayant pour foyer Ie centre du Soleil: cette comete sera sollicitee par une force V dirigeie vers le Soleil, ayant pour expression, d'apres ce que nous avons vu p)rec dellment, 1mC2 C p 7 p etant le parainetre de l'arc de parabole. Pouor une deuximoe comite de masse i', on trouvera de n-emec comme loi de la force. F p - ' 2 I ~ ~ '~ F

Page  369 CIIAPITIE X. - MIOL-VEMEINT DES PLANETES. 369 C2 C'2 L'observation monLre que les rapports - et - sont egaux entre P P (iux et ont pour valeur commune la quantite -T- relative urtine plaCLnte quelconque. L'expression de la force centrale qlui sollicite line cometle est dlone, comnme pour les planeles, F =- 12 - 1'Ic coefficient 1,. ayant la mnme valeur pour toutes les comnetes (t toutes les planetes. 229. Satellites. - Les observations demontrent que les satellites, dans letrs mouvements autour des planites, suivent, ai tres peu pres, les lois de Kipler; on en conclut que chaque planele attirc ses satellites proportionnellement a leurs mLasses, et en raisoll inverse d(u carre de leurs distances au centre de la planite. L'attraction des planites s'exerce aussi sur les corps places 'a leur surface; elle contribue a produire, commne nons l'avons vu dans Ic (hapitrc I1, la pesanteur. Ainsi, c'est principalement l'attraction de la Terre sur les corps places ia sa surface qui les fait tomber verlicalenent quand on les abandonne sans vitesse, ou leur fail (decrire, quand on les lance obliquement, un are de parabole qui 'est aulre chose qu'une partie d'ellipse tres allong'ee avant un foyer au centre de la Terre, comrme il resulte de ce que l'attraction le la Terre stir Lun point exterieur est sensiblement Ila meme qule si loute la masse de ia Terre etait concentree en son centre. La force qui rteient la Lune cdans son orbie est done de reii' me nature que la pesanteur: c'est ce que Neiwon a verifie de la maiere suivante. Soient ra Ic demi grand axe de l'orbite lunaire, T. la duree de la revolution sidterale et m2,l ]a masse de la Lune. L'attraction de la Terre stir la Lune a pour expression 17 __ 1 /71. F r - - f- -i I'excentricite de l'orbite lunaire etant treis petile, regardons cette orbite conime un cercle dont le centre coincide avec celii dle la T'erre, alors / - ca et 1 - -t1 TL2 I, 2 4

Page  370 370 TROISlNIEM PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. D'autre part, un point pesant de masse m1, place a la surface dc la Terre, c'est-a-dire a une distance du centre egale au rayon? de la Terre, est sollicite par une force attractive qui dlffere pen du poids, connme nous le verrons plus loin, et que nous confondons ici avec le poids F' = - mig~. Ces forces devant etre en raison inverse des carres des distances (i et p, on doit avoir, puisque ac 6o0,: 602 F' iF =2 d'oui -= - 62 c6. En m'tres, on a 2p o 400oooo00o0 et en secondes T 27 711 43ml - 39343.6o. Substituant et effectuant les calculs, on trouve o' a"',, valetlr fort peu diff6rente de l'acceleration moyenne due a la pesanteulr, la surface de la Terre g -9n, 8. La petite difference tient aux approximations que nons avons faites el disparaltrait complltement si l'on faisait le calcul plus rigoureusement. 230. Attraction universelle. - Ainsi le Soleil attire les planctes et les cometes, les planetes attirent leurs satellites et cette attraclion est de la nature de la pesanteur qui agit, conime on sait, sur toutes les particules de matiere. La Terre, par exemple, attr:e Ies points i sa surface comme elle attire la Lune et l'intensite de cettc attraction sur un point de masse m' est --; cette attraction doit s'exercer a une distance quelconque; elle s'dtend done jusqul'at Soleil et en appelant In' la masse du Soleil, ]'attraction de la Terre sur le Soleil sera donnee par la for mule ci-dessus. D'autrc part, le Soleil attire la Terre supposee de masse in avec une intensite I-; ces deux attractions sont etales en vertu du pircipe de l'egalite de laction et de la reaction; on a done 77, = n',U, J -l, I Ji,

Page  371 CHAPITRE X. - 3IOUVEMENT DES PLANEITES. 71 et l'attraction mutuelle du Soleil et de la Terre esl donne par 1a formule 1-2 Newton gdeneralisant ce resultat enonce ainsi la loi de lFattraction ou g'raitation lunliverselle. Deux points imater'iels quelconques, de masses m et im', places C une distance r l'iu de l'autre, s' attirent avec un1e intensite ~ 2 Le coefficient constantf est. fattraction de l'unitd de nasse sur l'unite de masse a ].'unite lde distance. En prenant comme unites fondamentales le metre, le gramme force et la seconde de temps moyen, on a, d'apres les experiences de Cavendish (Philosophical Trainsactions, 1 g98) et les expericnces recentes de MM. Cornu et Baille (Conmptes lendclts, t. LXXV1 et LXXXVI). f — o,ol676 o 2. Ce chiffre n'est pas definitif: MM. Cornu e l Baille termineni actucllement 1'etude de qlclques erreurs systdmatiques qui permettra c'arriver a un redsultat d'une approximation bien definie. 231. Etoiles doubles.- La loi d'attraction ddcouvertc par Newton s'etend au dcla dcs limites du systLme solairc: il est, cn cffet, tres probable qu' cctte loi prdside aux mouvcments des etoiles doubles. Voici ce que 'observation apprcnd sulr ces mouvements. Remarquons tout d'abord que l'observation nous fait connaitre non l'orbite reclle de ]'dtoilc satellite autour d(e 'etoile principale, mais la projection de ccttc orbitc sur le plan tangent i la sphbre c6leste, c'est-a-dire sur le plan mene par l'etoile principale E perpendiculaire au rayon TE joignant la terre T B cette etoile: cettc projection est lorbite apparente de l'ctoile satellite. L'observation montre que: I~ L'orbite apparente est parcourue suivant la loi des aircs autour dc l'etoile principale E; ~O Cctte orbite est une ellipse dans laquellc l'etoile principale E occup)c une position quclconque distincte du foyer. Le fait que la loi des aires a lieu pour la projection du mnouvement sur Ie plan mend par l'dtoile E perpendiculairement au rayon TE joignant la Terre i l'etoile nous apprend (203) que la force qui agit sur l'dtoile satellite rencontre constamment la droite TE; comme cette circonstance se presente pour toutes les etoiles doubles et que la Terre occupe dans 'espace une position qui n'a aucune relation avec les 6toiles doubles, il est naturel d'admettre que la force qui agit sur l'etoile satellite rencontre constamment l'etoile principale E. La force itant centrale, lorbite est plane et,

Page  372 37 TROISIEIIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. comn-e sa projection est une ellipse, elle est elle-mmem unc ellipse. Oin peut alors chercher 5 se rendre compte de la nature de la force qui pro(duit cc mouvement. Puisque chaque 6toile satellite est sollicitee vers I'eLoile principale par une force qui lui fait decrire une ellipse, on est condtluit i penser que la loi de cette force est tellc qu'elle ferait dcrire unce(,oniique a un point mat6riel, quelles que soient les conditions initiales o'l il est place. Pour trouver cette loi de force, il faut resoudre le probmlel s,;iv ant: 232. Probleme de M. Bertrand. Trouveri les lois de Jfobces cenliles dlpelndacnt de lc selle position dt mo1bile et faisant decJrire (an meobile ltne coniqLte, qzuelles que soient les conditions ilitiales. Ce probleme a 6te pos6 par M. Bertrand clans Ie Tome LXXXIV d{es Comptes ienzdcls et rldsolu simultan6ment par LMMI. Darboux ct IIal)lleii. 1I. Darboux a de6eloppe sa solution dans une Note placde fi la fin (le la.l6ecanzique de Despeyrous. Nous exposerons celle d'Halphen avee cquclqucs 1iiodifications destinees a simplifier les calculs. Cette m ithode d'Ilall)wiei repose sur la formation de l'Iquation diff6rentielle des coniques. Lt'equation generale des coniques risolue par rapport a y esi: y x 3? /aX c 2 b x + c,;vec cinq coefficients arbitraires a,, b, e, n,. En diffrentiant deux fois ot. apppelant y', y'",.. les derivees de y par rapport a x, onl t'rove y -( (tc-b2)(ax -- -2 bx -+ c) 2; ]a quantit6 y" 3 est done un trinolme du second dteg-r en x et, par suitc, sa derivec troisieme est nulle. On a ainsi l'equattion difJ'lerntielle des onaziques telle qu'elle a tl6 donn6e par Htalphen ( o, tIqCitation qui est bien du cinquitme ordre. Cela pos6, considlrons un mobile de masse I, sollicite parl une force centrale Fi d6pendant seulement des coordonnees (xl, y) de son point l'application par rapport a deux axes rectangulaires Olxl, 01y1 ayall. pour origine le centre 01 par lequel passe la force. Les equations du mIoiilemient sont, en appelant le telmps t/, dcx 1w dy1 _Fl ' ti 51 77'^ XI f Fi1, L'integrale des aires donne XC L Y - dl a, dt — ' dtc-

Page  373 CIIAPITRE X. - MIOU VEMIENT DES PLANEITES. 373 Faisons nmaintenant la transformation homographique (9.).:= -, y -,Yi yi ('I posons dcltl dt -ydxl dyl (dI ~cY i t1 C dit ly ' ~dt dt ~ d 1y (3 '~) cdt2 d dt2 Cl - 1 Y Ccs dquations montrent que le point (x, y) se mcut, dans le temps, comme un mobile sollicite par une force (,) Li- F Y= — F. constammnent parallele a l'axe Oy. Cette force Y est d'ailleurs fonction de.T ct yi, ct, par suite, d'apres (2), de x ety. Si le point (xl,yi) decrit une conique, le point (xy, y) en decrit une autre, transformee liomograplhique (le la premiere, et inversement. Nous sommes done ramene a chercler toutes les lois de forces paralilesl Y faisant lecrire a leur point d'application (Xa, y) une conique, quelles que soient les conditions initiates. Or ce probleme se resout comme il suit. Les 6quations du mou-ement etant 1d2 x d2y _ cdt2 clt2 dx on a c- - et l'equation diffdrentielle de la trajectoire est (5 ) IdY _ y) CIX 2 Z2 Y etant une fonction de x et y. Designons pal y', y", y'",... les derivecs de y par rapport a x, 'expression (5) de y" dclvra verifier l'equation diff6rentielle des coniques (y" - == o, quelles quc soient les conditions initiales. Soit, en designant par [1 une constante, (6) 2 _3:3 y -3 = s?CD(X,J'), Y, -1[(X,y)]-;

Page  374 fi74: TROISIEMIE PARTIE. - DYNAMIQLE DU POINT.,-n de'vra avoir [?(x,y)]"'- o. Developpant les calculs, on a Oda oc> [?(Y)], = -d + ', 02 0, 2? 02, i9,, 0T O' x Ox )y y Ox ) Conmme, d'apris (5) 'y, = y - -., 3) ) -' cY y 3) - O)x d2 ')3 Oy __2 a i 4 y /) O dy J 2 2 N < 2 dy-/ J C ~ 2 2a -t t~ ~z_ Cette condition, cle'ant etre rempllie quelles que soient les concditions initiales, dcvra etre verifiee identiqueement quels quc soien-t x, y, y' ct a, poisque, au coinencelnent du mouvenent, ces quatre quantitcs soL arlsitraires. On a done O.? 03? 03 03 O o ~,e)2 ca Oy O) C)2a c (, ) 20 = - = o ' -2 f - 2 =~ 2 (, xy d2x dy ' 2 a2 y j'2 Les conditions () montrent que mp cet un pollnome du second degre ern x et y c(x, y)-Ax 2Bxy )- y2 - D x -CY2 'D 2 Ey -- F. iCe polynome devante vrifier les conditions (8), deun cas sont a distinguer suivant que C est different de zero ou non. is Cqeo. Alors -,= GC la secondce des idcntitcs (8) donne = (B C e~'~ - o, ~'~ 0r = o, 0 /- o, o - o expression qui satisfait aussi a la premiere des identites (8), comnme on le verifie inmmdiatement.

Page  375 CIIAPlTRE X. - MOUVEMENT DES PLANE TES. 375 do.'~ C = o. Alors, la seconde des identitds (8) donne - o,? ne ddpecnd (done pas de y; on a 1 -C 1 0 —o, A x 2 D x -4- F ct la premi6re des identitds (8) est dvidemment satisfaite. Il y a done deux lois de forces paralleles rdpondant, la questionl: c: sont, d'apres (6), les lois exprimecs par les fornmules (13.+ - Cy + E)3 '3 C7 C 2 (A x — 2 D -- IF)2 11 y a done dgalement deux lois de forces centrales repondan.t a la question. D'apres les formules (de transformation (2) et (4), x= I'.' F-. Y '' elles sont donndes par les formules Fl -- i'i C 2 F.,: -- ----- -1 - (ia -x 2eD xlyi Fy ) Cc sont la les deux lois de force ddcouvertes par AMM. Darboux et Halplhen. Si l'on passe aux coordonnees polaires xi = /'cos0, yi= -r sin0, on 3 trouve les deuxloisde forces suivantes, oi i'on ecrit Lt' a la place de C2, (tJB 11 1 -- ( % B Cos 0+ - E z't sin 0+ C)' -.2 I /L(Acos 0 ~+ 2 D sill cos 0 F sin2 0)2 Si l'on admet que l'action exercee par une dtoile sur un point materiel ne ddpend que de la distance 71 du point a l'etoile et non de lorientation 0 du rayon vecteur, les deux forces ne doivent pas ddpendre de 0, ce qui exige pour la premiere B = E = o, et pour la deuxi6me D = o A = F. C'est d'ailleurs dans ces cas seulement qu'il existe une fonction des forces pour une ou l'autre des cleux lois. On trouve alors les deux lois - M rA C3ar: A~ -~

Page  376 >3 6) TROISIlEMIE PARTIE. - DYNAAlQLUE DU POINT. La premirec, dans laquelle la force est proportionnelle i la distance. fait decrire a son point d'application une coniquc ayant pour centre le centre des forces, ce qui n'a pas lieu pour les dtoiles doubles; car, si 'orbite rdelle de l'dtoile satellite avait pour centre l'btoile principale, il en serait de meme de l'orbite apparente. II ne reste done que la deuxiemc loi, dans laquelle la force varic en r7tisont inverse dut ccarr7 ie e la distanlce: c'est la loi de New-ton. D'aprcs cetle loi, l'dtoile satellite ddecri autour de l'6toile principale une ellipse dont l'dtoile principale occupe un foyer. Pour trouver l'orbite reelle de l'Ctoile satellite, on se trouvera ramen6 au probleme de Gdometrie suivant. Connacissant lac projection cl'une ellipse sur7' zn plan et sachant7 quej I'unc des foyers de l'ellipsese e tiouce enz un point cdonne E cldt pl/n, deter7inerl cetle ellipse clai's l'espace. On trou-e deux solutions symetriques par rapport an plan de Irojection. 233. Indications sommaires sur quelques problemeso- Dans un oridrc l'idecs analogues, MI. Bertrand a rdsolu le proble me suivant Sachcnlzt qute la force qui procluit le inolcemenlt cl'zne plcanzele ctutour c/u Soleil cdepend seulemnent cle lc clistance etest telle qut'ell fasse clcrir/e r son point d'cappliccatio/n un7e courbe fermlee, queelles qu e soient les conditions initiales, pourvut quee lca vitesse reste i/ilr'iezure dr otne ce7rtaine li/zite, trlouver la loi cle cette force. AM. Bertrand demontre (Com7nptes rendcls, t. LXXVII) que les setles lois de force repondant a la question sonl J. dlont la premiere doit tlre ecaarte pour les raisons que nous venons d'indiquer. Dans Ie Tome LXXXIV des Co/nptes renczdus, MI. Bertrand rdsourl 1 probleme suivant Sccrharnt cque la force qui cagit suIr uIn mobiile cdepernd seulenment cle sa position et lui fcit cldecrire une sectionr coniqcte craynt pour foye/ unt. point S fixe, qcuelles que soient les conditions initiales, tr'ouverl /I loi de cette force. 1 montrte quc la force doit passer constammcnt par S ct varier en raison inverse du carrd de la distance. Si cone on admet la premidre loi de Kepler conoime une loi generale, et si, de plus, on admet que la force qui agit sur une plancte ne dlpencl que de sa position, ces seules hypothblses cntrainent la loi de Newvton.

Page  377 C(-11A.PITRE X. - MIOUVEAENT DES PLANIETES. 3, ('est a la suite de cc travail que AI. Bertrand a proposd la question Suivante SctchIcant q'lcrzne force qcui delpend seutlement de lc positionz ldt mzobile Iti facit toCjOlCurs decrire une cozique, qucelles que soient les conditiolns inziticles, tirouceir lai loi de cette force. Cc problmec a ete ramene par IIMII. Ilalphen et Darboux (Conmples zcnduls, t. LXXXIV) au problmne particulier dont nous avons expose la solution plus haut (n~ 293). AI. Htalpfhen a deamontra analytiquemcnt que lorsqu'une force dpendlant seulemcnt de la position du mobile lui fait, en toutes circonstances, dccrire une trajectoire plane, cette force est centrale 0, parallle ai une direction fixe. M1. Darboux a donne de cette mnme proposition la demonstration siiaantc (Note insrdec dans la MIecancliquc de Despeyrous): Placons le mobile en lM0 et lancons-le avec une vitesse initiale Vo obliquLement sur la force; le plan de la trajectoire sera FMIoV. Nous allons (demontrer que la force qui agirait sur le mobile en un point quelconque (le ce plan y cst contenue. Puisque la force doit etre situce dans le plan osculateur, la propriete dnoncee est vraie pour tous les points de la trajectoire MoC; et si nous faisons varier la vitesse initiale en grandeur et direction dans le plan VoNMo0F, elle sera encore vraie pour tous les points (le laire que ddcriront ces trajectoires. Cette aire embrassera tout le plan, Iu bien sera limitde par une courbe S (fig. 149). Placant alors le mobile Fig'. 149., V / B O N en un point M ll de E, t le laneant en dehors de laire precedente, mais danls le mieme plan, nous pourrons, par un raisonnement analogue au prec(ldent, etencdre la propriete enoncee a une nouvelle aire. En continuant ainsi, nous arriverons ai atteindre tous les points du plan. De la rdsulte que les forces qui agissent sur deux points quelconques A, B sont toujours cdans un minme plan. Supposons d'abord ces deux forces concourantes. La force qui agit sur un troisieme point variable N hors du plan, devant etre (lans un mame plan avec chacune des deux premniAres, passera necessaire

Page  378 3-,s TPTROISI'IEME PAITIE. - DYNAMIQUE DU PIOINT', ment par leur point d'interscction 0; alors, pour un point P du plan AOB. la force doit dtre dans cc plan et dans le plan PON: elle doit done encore passer par le point 0, et les forces sont bien centrales. Si les forces agissant en A, B dtaient paralleles, on ddmontrerait de imene que toutes les forces doivent 6tre paralleles a leur direction commune. Done les forces satisfaisant aux conditions du probleme posd par MI. Bertrand doivenl etre centrales ou parall1les i une direction fixe. Ce sont celles qLue nous avons donnees plus haut. Enfin Al. Kcenigs (Bulletii de lc Societe mlatlhedcmatiqute, t. XVII) a cherche quelle doit etre ia loi d'une force centrale fonction de la distance pour que son point d'application dccrive une courbe algdbrique, quelles que: sOient les conditions initiales. /1 retrouve les lois -. r ct - - II:, - NOTIONS ELENENTAXRES DE ME'CANIQUE CELESTE. 234. Probleme des in corps. - Nous venons de voir de quelle facon Newton a ete conduit a la loi de la gravitation universellc. 11 s'aglt maintenant, en partant de cette loi d'explicquer les moivements des corps celestes, et plus particulierement des corps,jtui constituent le systeme solaire: Soleil, planeles et satellites, cometes. Dans cette etude, on peut negliger compltcement les actions des etoiles sur les diffdrents corps du sysleme solaire, a cause de la distance immense des etoiles par rapport aux dimensions du svsteme solaire, et se borner aux seules actions mutuelles des diffdrenis corps de ce systeme. 1es deux probll]mces principaux de la 'Mecanique celeste sont: 0i trouver les mouvements des centres de gravite des corps celestes; 2~ trouver les mouvements des corps celestes autour do leurs centres de gravite. Nous nous bornerons ici a donner quelqtues indications sur Ie p)reimier probleme. Considerons un grouLpe forme d'une planete P IFig. r5o. M1 F F' C op et de ses satellites, ',.... Le mouvement du centre de gravite G de ce groupe est ]e mamne que si toutes les masses du groupe y etaient reunies et toutes les forces exitrieures agissant

Page  379 CHIAPITIIE X. - M1OUVEMIENT DES PLANEITES. 379 sur le groupe transportees parallelement a elles-milmes en G. Soit M tout autre point du systieme solaire; comme sa distance aux dliflerents points du groupe P,, o',. est treis grande par rapport aux dimensions du groupe, la resultante F des attractions de P, S,, oo.. stur M est sensiblement la meme que si le grotpe etait,lemplace par un point maLtriel de memeD masse place en G: c'est ce que nous verrons dans la theorie de l'attraction. inversement, les attractions exercees par le point AM sir les differents points du groupe P, E, E, o o sont des forces egales et directement opposees aux precedentes; si on les transporte parallelement a ellesnremes an point G, elles admettent une rdsultante F' egale et directement opposee it F. Done Faction du groupe P, E, oo sur un point MI et le mouvement du centre de gravite G duti groupe sont sensiblement les memes cque si toute sa masse etait reunie au centre de gravite. On peut donc d'abord considlerer le systeie solaire comme former d('u nombre limite de points materiels s'attirant suivant la loi de Newton, et places, le premier, au cenlre de gravite du Soleil; le deuxiieme, au centre de graviitl de e lercure; le troisieime, a celui de Venus; le quatrie'me, an centre de gravite de la Terre et de la lune; le cinquieme, a celui de Mars et de ses deux satellites,.... En supposant le nombre de ces groupes egal a /z, on obtiendra, an ecrivant les equations du mouvementl des n centres de gravite, un systieme de 3 nz cquations differentielles de second ordre, trois pour chaque centre de gravie. Ces equations, dont l'integration constitue le problme e des n corps, admettent sept integrales premieres connues, que nous indiquerons comme applications des theoremes geneiraux sur le mouvement des systiemes. II est impossible, avec les moyens actuellement employes en Analyse, d'eflectier l'intigration de ces equations. On a pu, neanmoins, en Melcaniqte celeste, calculer a l'aide de ces equations, d'une maniere suffisamment approchee, le mouvement des centres de gravite des corps celestes, grace a cette circonstance, que les masses de tous les corps du systeme solaire sont ireis petits par rapport a celle du Soleil. Ainsi, la masse de Jupiter, la plus grande de tout le systeme, n'atteint pas la millieme partie de la masse du Soleil. En reduisant le nombre des corps a trois, on obtient le cel6bre prob1lenme des trois corps.

Page  380 :3S() TROISIEME PARTIE. - DYNAIIQUE DU POINT. 235. Probleme des deux corps. - Considerons le Solcitl t uine planete determinee supposes reduits a leurs centres de gravite. ILes masses des autres corps du systeme solaire etant tr's petites par rapport a celles du Soleil, supposons-les nutlles dans une premiere approximation; en d'autres termes, supposons clue le systeme solaire se compose du Soleil i cl'une seule planete. Nous scrons ainsi conduits a un probleme simple, le probleme des dcex corps, dont on pet trouver toutes les inMtgrales. Ces integrales line fois calculees, on cherche, en AMecanique celeste, commient il faut les modifier pour tenir compte des actions des autres corp)s ('in systeme solaire. Soicnt l ct in les masses du Soleil S et de la planete P; a., i,'.r, y -. leurs coordonnees. La force d'attraction des deux points Fig. i5i. ayant po0 ur xalcur absolue M les projections de la force agis1 -sant sutr sonl '-: 1, ) —;., — 7., 2,' 12 1 7' 7 les projections de celle qcti agit sur P sont ces meines expressions changc'es de signes. Les equations du mnouvement seront alors M' da Mf mi, -- C( )t = z 7-1 -dt~ ~ 7'

Page  381 CIHAPITRE X - MOUVEMENT DES PLANIETES.;) s e t d2 x f Mn 7-x /I (12 /2 U, / deiennent S1on chisigne par r [CScoorionri /e d d cz f I m T - z On peue t aisemenl intgrerL ce snsteme, quii donuiera,: y., en fonction de t, en y joignant la relation,'- - (x - - Y )i-+ (- -(22. Ajoulons membre a membre les equations e e de mme ranI des systemes (S) et (P), nous obtiendrons trois eqiuations telles qicle (1 - 9- i 2- - o.. qi clcviennent[ si l'on desige psar na, (5 les (oordonnees d(i centre de g'ravite du s: stieme, c= Ma -- in a; Al= ~^r^ 7 X * \(/2 2 (F 12 /0, d r, d0, o Ces trois equations montrent que le centre de gravite dcl systeime est anime' d'un mouvement rectiligne et uniforine, ce c-it niest qu'un cas particulier du theoreme general sur le mouvement (tli centre de gravite. Cherchons maintenant le mouvement relatif du point I1 pLar,'apport a S; pour cela, transportons les axes en S,,,? et Soiclnl xi, )?,, -I les coordonnees nouvelles de P X.1X- -J, yI =Y ) -= - -- ( Si I'on retranche les equations (S) des equations (P) menmbre.i mnembre, apres les av\oir Idivisees respectivement parM el m, iI vient clXI __ f(AlT /n2) Xtl clt' r- 7' d-y_ f I T. )(Al dr _ /(M t- - t.) z2 dt'~ 1'2 r '

Page  382 38'. TROISIEME PAlTIE. - I)YNAMIQUE DU POINT. Ce sont la es equations du mouvement relatif; leur forme montre que le point x, yi, z, se menCt par rapport an point 5, conmme si cc dernier point etant fixe avait pour masse M + im au lieu de M et continuait t attirer P suivant la loi de Newton. En effet, ]es equations ci-dessus sont les equations du mouvement d'un point de masse Iz attire vers une origine fixe par une force f( AI -- mz) m i 7, -2-71), expression de ia forme - U y. O _ f(M - m). Dle ]a resulte que la premiere loi de Kepler s'applique a ce mouvement: la trajectoire relative est une conique ayant S pour foyer, parcourue suivant la loi des aires. Comme il s'agit d'une planete. cette conique est une ellipse, et, si 'on calcule les elements de cette ellipse, on trouvera, comme nous l'avons vu, qu'en designant par a le demi grand axe et par T la duree de la revolution, ces deux elements sont lies par la relation IJ. =f(M - //z)= -- etnousremarquerons que le rapport — n'est pas independant de /n. Le coefficientf etant connu (n0 230), cette relation donne unc valeur approchee de MN + t m. Pour une autre planette, on aurait, au meme degrec d'approximation, f(Al - I -.t)_ T2 d'oiu l'on dtduit lJ ~ 't~ 111,~I comme les rapports M et sont de Fordre des milliemes, on voit que le second metmbre est tres voisin de l'unite; par consequent, la derniere loi de Kepler n'est qu'une loi approcllee. 236. Masse d'une planbte accompagnee d'un satelliteo - ILa formule a laquelle nous sommes arrives f(I M- n)- -_ i c T2

Page  383 CIIAPITRE X. -- MOUVEMENT DES PLANESTES. 38T3 permet, comme la montre Newton, de calculer ]a masse cl'rle planete possedcant un satellite. SoienL mn, m les masses de la planete L) ct (le son satellite 2 (fig'. ISa2); les actions D, ' du Soleil et des autrcs planeles sur Fig. 152. '. la planete consideree et sur son satellite sont sensibleente paralliles et proportionnelles aux masses, puisque la distance Vr de la planete a son satellite est tres faible vis-a-vis des distances de cette planete aux autres corps dul systWmc solaire. Si nous d(lsi-nons alors par (X, Y, Z) les projections de Ifattraction de ces autres corps sue l'unite de masse de la planete, les equations (lu mnouvemenit de la planite et de son satellite setont d2 x /m in,' x - x cl l - /-: m X -, -,, — c 1 1. _ /'.(I:' ci } --- f dI 19'1 f 1 ' (P) z ) " ' -~ =' Y -4- -- -/' 7- + |i d,z r /'/)7 '..' -- z. md -- = z' Z- ' — - 1 2i/11 r2 '1 et 2t V Y - f 1171nZ j _ y I d2z' afm' -z \ i~nZ dt9 — = M' Z '1 7 Transportons les axes parallelement a eux-memes en P elt soienlt x'1,,y, les coordonnees nouvelles de v X- = x- x, I I - I - - I

Page  384 3 s t TROISI EI E PARTIE. - DYNAMIQ UE DU OI NT. Apres avoir supprimea les facteurs in. et i', on cleduira pai sotustracLion des equations (P) et (v) les trois equlations du mouvement relatif d[ " 2i / 17 1 12 dY '\ f( 11 1 ' ^1) 1 -^ -" -= ~ ~~) ' ] /*"' ' a~;']. /(,, { + -,' ):'5 t d; /)1,, oi les actions ( et ' ont disparii. (n reconnait sur les equations (, ) quce e satellite de crit line ellipse autour de la planete, coinime si celle-ci etait Fixe ct L'attiait avec 1a force f(- 7 + /2 -' Si l'on designe alors palr (,' I, demi grand axe de l'orbite dl satellite et la ducrede se a rdvolution. onl aura J'(,1 + /" ')- -- c- I '. T12 conlllle, d'autre part, on a pour la planete elle-mieme J'(-\i- )- =,7T en dlivisant imembre 'a membre, on obtiendra /Al /I ' r2 C['2 M m~, T2 r. T"A I Si la masse du satellite est tres petite pail rapport i( c(elle dic 1; it m' planlete, le rapport s — era sensiblement eg'l t l' itnitLe et l'on ' I3 in aura approximativement mi1 a'3 C 3 Al T2 T2' ce q(i permet de calculer le rapport de la masse i/ de la plancte a celle du soleil.

Page  385 CHAPITRE X. - MOUVEMENT DES PLANETES. 385 Nous avons suppose, pour etablir cette derniere formule, que la masse mi' etait tres faible par rapport a m; il n'en est pas ainsi lorsque l'on veut appliquer ce calcul au systeme forme par la Terre et la Lune. Dans ce cas, on a recours ia un autre procede: La formule (i:) f/(M + ) < T a3 subsiste toujours. D'autre part, si a la surface de la Terre on prend un point materiel de masse I, on peut determiner, comme nous Ie verrons plus loin, l'attraction A de la Terre sur ce point; on sail qu'en supposant la Terre spherique et formee de couches concentriques homogenes, cette force est egale a l'attraction d'un point materiel de masse in place au centre de la Terre. En d'autres termes, l'attraction A sera 2) Ah== -^en designant par? le rayon de la Terre. L'elimination de f entle les equations (i) et (2) donne le rapport cherchl M 1 47t32 - = — A ~ 1. Le coefficient/ f ant connu, la formule (2) donne la masse i, de ]a Terre. 2370 D6termrination du temnps dans le mouvement elliptiqueo Revenons maintenant au probleSme des deux corps et rappelonsnous que la planete P de masse mt se meut par rapport a deaxes de directions fixes menes par le centre S du Soleil, comme si le Soleil etait fixe et avait une masse dgale a sa masse veritable 'I, augmrentde de n. La planete se meut done aut our du Soleil commrn an point de masse in sollicite par une force centrale F -- f ( M -) M, _.7 IJf mZ F / (I -7n7 -n -,~2: [;-. =/(2(I + i)]. L'orbite est une ellipse de foyer S dont nous prenons le plan pour plan des xy. En appelant p le paramnetre de cetle elli[:se, a son demi grand axe, e son excentricitLe on a, cormme rous I, 25

Page  386 386 TROISIlIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. 'avons monire (227), les expressions suivanles pour la constanie des aires C et la constante des forces vives h C2 = jpO = J ia (i - e2), h - - ' Le sommet A (fig. i53) le plus rapproche du Soleil esL Il )perihelie, le sommet A' l'aphedlie. Designons par o l'angle que Fig. I53. ai le e rayon vecteur du periileie avec laxe Sx, et par w l'angle ASP qace fail le rayon vecteur r - SP de la planele avec SA; col; angle est l 'nonzclie vrtie. L'angle polaire SP -- esi lie a l'anomalie Trae par la formule evclidenle 0 f= w t, o c to est ri.e consi ante. Calculons mainltenan-t le lemps que met le mob:ile ' arrivcr en un point de la trajecloire. On a trouve i ',. f' /' <t (t, d'autre part, l'expression de la vicsse dans laqueile on a eli-:nind dO - t'aide dui thorme ade s aires dires Cdt est /'d C V2 2= o J On aura done ' dk?2 C / -2 _ J, J,' ( it J T - - icisolvons parc rapport 'a l ) et remplaecons 2 p)ar sa valeour u a(i - e 2) il vient,/ dr 2 i (I-e 2) * J- 1 cjl'on peut ecrire ( d) [ _( 7-)t (-t e]

Page  387 CIAP1ITRE X. - AMOUVElENT DES PLANETES. 387 el, par suite, / ' dt! -L- (i - 7)2 Appelons l' instant du passage au perihelie; alors r va d'abord en croissantl a partir de l'insLant: c- est positif', c l'on doit prendre le signe c- dans fl'egalite ci-dessus. On conservera cc signe lorsqucc / croitra depuis sa valeur mninimum r l a - c a (i - e) jusqlu'a sa valeir mWaximlum l 7'1 (i + e). Posons a - r7 a e cos t, ce qui est possible, puisque a -r reste plus petit clue ce, t variera ce o a 2. pour toute la duree dc'une revolultion. On aura alors \ iL dz — a ( - e cos it) dit, ecuation qui sintLegre immediatement el donne, puisqcue t — s annule avcc l, T /L1 -/ '- (t - -) -= t - e sil t; / est ainsi exprim6 en fonction de it, l e(tant donne en fonction (le r par la relation (r);r -= aC( - c cos it). Si l'on veut calculer la position du mobile au bout dlu temps t, la premiere de ces equations donnera zt eC la deuxicnie permettra (e calculer ir L'angle at que nous avons introduit est appele anomalie excen1iirll'e. On ecrit en general, le premier Imemlbre de l'equation entre t et it sous la forme t(t — ), en posant ac a n (t- ) est ce qu'on appelle I'lanomcalie moyenne. Conmme on a [rouve pour valeur de a 2 rCa3

Page  388 388 TROISIEIE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. ii vient n = - T etant la duree de la revolution, ct l'equation en ut prend la forme (2) n7 (t- i) -= -esine, 2A7 qui montre bien que l'on doit avoir 1 L- T- puisque le deCuxielln memnbre augmente de 2c- en rneme temnps cqe t, c'est-t-dcire ( chaque revolution; le coefficient i= -y s'appelle le,moyen moutcemenzt. L'equation cque nous venons d'obtenir porte Ie noni d' equation de Kepler. Nous avons exprimn r en fonction de ue: il nous reste a exprimer l'anomalie vraie (' en fonction de tu. Pour cela on part de Ie'quation de fellipse en coordonnees polaires I ( - cos).1 - -e~) I -{-[ C 05 (V oUl le numerateur est le parameltre p. En egalant cete valeur dce / a la valeur trouvee ci-dessus a(i - e cos a), on a l'equation 1- e I — e cos = - i -1 e COs (v d'oii lVon tire 2, -CC., i ct- en extrayant les racines carrdes, I f (5 ' = ( 0 t -- = I.- 2 I - C Cosi t I(3);:i COF iW = 2: -- -- ( - -- %2 12 2 2 el, en extLrra Ian L les racines carrees: ( 3 ) t// sinl - = — t a(i - e ) sin- 5 //' cos - == \1 a i - e ) cos -n formatles calcLlables par logariLhl-mes, donnant l et wv en fonction de t: on en ddcluit par division la relation ( ) ta — -- / -' - tan, - (qvl~~~i) -V 3ai - e 2 qui, lr aI —~~~e -ex r"2 tti lie l'anomalie vraie i l'anonma!lie eentriquc.

Page  389 CIIAPTRE X. - MOUVEMENT DES PLANETES. 389 238. Methode geometrique. - Pour determiner la position (dulne planete sur son orbite, au temps t, on peut employer une inethode geomnetrique qui donne la signification des variables pricedemment employdes. On sail qu'une ellipse pent etre considcrec comme la projection de son cercle homographique lorsqu'on a fait tourner cc cercle autour de AAX dun angle dont le cosinus Fig. i5. iD',/ ' D?....'_' A' O F H A ID est - Soit alors AM un point de l'ellipse et MA' le point correspondlant du cercle homographique. On aura aireMFA = - aire 'FA; a I'angle MiFAa = (c a ete precedemment appcle acnzonizlie v'aie; I'angle W'OA est l'caomcwlie cxceitrique ii. En effet, le secteur 1'FA a pour aire A'TA \-1 'OA M'OF- c - act- e sin u, c cst-ia-dire a2 done AMFA - ( t -e sin it); 'aire de ce secteur est proportionnelle au temps employe t la adecrire: si done on designe par (t -- ) ce temps et par T la duree de la revolution, on devra avoir aire IMFA T ab t - T

Page  390 390 TROISIEIME PARTIE. - DYNASlIQUE DU POINT. et, en remplacant MIFA par sa vale ur, -, ( - e sin ) / t - " 0 T (t - i)= i - e sin ii; en posant 1z =, nous arrivons a l'lquation de Kiepler it -e sin = (t - ). Pour avoir la signification geometrique de l'anomalie moyenne n(t - r), imaginons un mobile partant de A en nimee temps que la planele, et decrivant le cercle homographique d' n mouvemeni uniforme, de facon a arriver au point A' en memne temps que la planete. A l'instant t, ce mobile sera en 1Mi; l'angle = 'FOA sera l'anomalie excentriqce; on a, en effet, r= - (t-T)- z(1-T). Q uant a l'expression dle en fonction de u, elle resulle tie Ce que le rapport des distances d'un point d'une ellipse an foyer F et a la directrice correspondante DD' est deal i e. On a done r = e MK = e (OD-i- O1) = e - Ccosz) = c (i- e cos u). car la distance OD de la directrice au centre est -_ 239. Developpements analytiqueso - Pour calculer la position de 1I planete i l'instant t, il faut d'abord calculer l'anomalie cscentrique it l'aide de l'6quation de K6pler (i) it -i-e sin it [= z(t- )]; on a ensuite les autres coordonn6es qui ont toutes ete expriimees en fonctior de zi. Quel que soit lare [, l'6quation (i) de IKpler admet une racine que nous d6signerons par it. En effet, C est compris entre deux multiples entiers de 27: '2 -, <: < 2 ( -4-l ) 7.

Page  391 CIIAPITRE X. - iIOU E.VE )[E N-T DES PLANE TES. 391 Dans?(( (t)= it - e sin it - t je fais it = 2 JiT, je trouve Cp ( 2;JLT ) = 2;J.7: - 7- < 0, tandis que II y a done toujours une racine r6elle entre 2 ( p. -i-1)7: et 2j.i. De plus, cette racine est unique, car la derive '( t) = i- e cos it est toujours positive, puisque e est compris entre o et i. 1~ 4pproximZations sutccessives. - Voici comment on peut calculer par approximations successives cette racine reelle unique. Soit ito un are rdel quelconque et posons i t= e sin it0 -- 1, uit -= e sin ut -- t ti+i e sin iti -T-?. Nous devons i l'obligeance de Ail. Kcenigs la communication de la mntlode suivante qui permet de dcmontrer que les quantits it1, it,,,..., rit, lendent effectivemente ers la racine cherchee it et d'evaluer la limite de flerreur conmmrise en prenant it,, au lieu de it. Ceett metlode est l'application A l'dquation de K6pler des resultats g'n6draux contenus dans les Mdmoires de M. Kcenigs surles qnuations fonctionnelles (Annctles tde I'Ecole Vor zmacle, 1884 ct i885). En appelant it la racine rdelle unique de l'6quation, on a tlilj - It e sin it~- + - it it - it Uii- i nmais, puisque -- it = - e sin t, on peut 6crire encore sin -- zt4-i - aU si1 it;- Siln it iti i 2 e c c o o _ _ _ _ _ _ _ _ ii-t- it it it 2 i- it 2 s i - i sin — ~ itt - it 2 Les modules de cos et - tant moindres que, on a 2 Ui - It itt-i - i mod ---- e. lit- it De 15 on peut conclure par multiplication mod <tt — et ". Ito - It

Page  392 39J2 TROISIEIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. Or, e etant comnpris entre o et i, e"7 tend vers zero quand n crolt indcfiniment; en consequence, la limite de t,, est la racine cherchee a. La suite des quantites U0, i,..., u,, a done i pour limite; mais on voit de plus, d'apres l'inegalitd prdcddente, que ces quantites vont en se raCpprochant sans cesse ce leur limite c. Ce fait est remarquable puisque uo est ehoisi arbitrairement. Si par un procclde qdelconque on a pu trouver une valeur approchle de u, on pourra prendre pour u0 cette valeur approcle; U1, u2,... s'approcheront encore plus de u. Supposons, comme on le fait souvent, que lon prenne pour Uo la valeur 5 elle-merne; nous avons trouve mn od 7 < e'. tO - It Or de t - e s i ll = t on tire mod (1 -- u) < c; mnod( IZt,- u) < e"-'-1. On a ainsi une linite de l'erreur commnise. Par exemple, pour la Terre. e = - a peu pres; il suffira de trois operations (/ = 3) pour obtenir a avec sept decimales exactes. 2~ Serie de Lagr-ange. - On peut obtenir des developpements de it, sinll, cosu, u - -,,... en series procedant suivant cls puissances croissantes de e, par la serie de Lagrange. Considerons une equation de la forme = t - ef( ), qui determine u en fonction des variables C et e, et appelons t celle de racines de cette equation qui tend vers. quand e tend vers zero. Lagrange se propose de ddvelopper une fonction donnee F(a) de cette racine, en serie ordonnee suivant les puissances positives croissantes de e il donne pour cela la formule e e- d[.f2(r)F'() ] F(iut)=F( 't e(o r) - () ' / -... em d....l[.f"~(~)F' )].2... /idm ct d-I Nous renverrons pour la demonstration de cette formule au Cours d'Analyse professd par M\I. Hermite a la Facultd des Sciences de Paris, ct a un lMmoire de M. Rouchd (Journal de l'Ecole Polytec/hnique. XXXIXe Cahier). Dans J'quation de Kepler on a f()- sinT,

Page  393 CHAPITRE X. - MOUVEMIENT DES PLA.NETES. 393 t l'on pourra prendre successivement, pour F (l), l'anomalie excentrique elle-m6me ut, ou le rayon vecteur a( - e cos t),... ou toute autre fonction de ut dlveloppable suivant les puissances de e. On a, par exemple, e2 e3 u + e sinr - -- - sin 2- 3 -. (32 Sin - 3sinE)+.. '?2 2.2 2 Laplace a trouve le premier que ces d6veloppements sont convergents tant que e reste inferieur a la limite o,662743... et Cauchy a confirmae ce resultat par une ni6thode plus directe. 3~ Fonctio7ns de Bessel. - Les d6veloppements pr6c6dents sont convergents pour les planetes, mais cessent de I'etre pour certaines cometes p6riodiques dccrivant autour du Soleil des ellipses allongdes. On peut alors employer, pour cos it, sin tu,..., cosju, sinj,, o., o j est un entier positif, un niode de d6veloppement qui est valable pour toutes les valeurs de l'excentricite comprises entre o et I et dans lequel figurent les fonctions de Bessel. Pour donner une idee de ces d6veloppements, remarquons l'abord que l'equation de Kepler it --- e sin it = dlfinit it comme une fonction imlpaire de, car l'equation ne cesse pas d'etre verifiee si 'on change simultan6ment et t de signes; de plus, si i'anomalie moyenne o augmente de 27, il en est de meme de l'anomalie excentrique u. D'apres cela cosj'u et sinjiu, ou j d6signe un entier positif, sont des fonctions de Y ne clangeant pas de valeur quand ' augmente de *27, la premiere paire, la seconde impaire. On sait que toute fonction reclle finie et continue d'une variable, ne clhangeant pas quand croit de 27, est d6veloppable par la formule de Fourier en une s6rie procedant suivant les sinus et cosinus des multiples de o: dans le cas ol la fonction (de que l'on dcveloppe est paire, le d6veloppement ne contient que des cosinuzs avec un terme constant, dans le cas ou cette fonction est izmpaziie, le developpement ne contient que des sinues sans terme constant. On aura done, pour cosjui et sinju, des developpements de la forme suivante, ou nous employons les notations de MI Tisserand dans le Tome I (e sa Mectanique celeste (Chapitre XII), cos j't= - - p + cos 4-.. p ) o i... 005]U I 2 -1 2 P p- ). i)os1 H-. sinju ( i)' sin Z q (J sin 2 -... +- qCi sin i.. les coefficients etant donnes par les formules connues 7p 7S - cosjucos i q - sin/ ui sin id6, 2 '20

Page  394 394 TROISIIE1E PARTIE. - DYNAISIQUE DU POINT. dont la premiere, par exemple, s'obtient imm6dialement en mIultipliant les deux membres du premier developpement par cos i cl d, integrant de o i z7 et remarquant quo tous les termcs du second membre ont des intcgrales nulles, sauf le ternie en pj). Nous allons exposer le calcul des coefficients p(i): le calcul des qi) se fait d'une manidre analogue. On a d'abord, en faisant i = o,: i)I)= / cos judC, e0 ou, en remplacant 5 par ut -- e sin it et remarquant que, si ut varic de o a z, il en est de meme de e, t e p(2) =-: co./u (i- e cos0 ) c/u. Cette integrale est nulle quandj est > i: pour j- i, elle est - -. Done pO - e, Io) -, J > i. Puis on a, en integrant par parties (i > o), - p7/) - Cos ju cos idt-I cosi sin i -.- sinjt sin id ctu. 2La0 - o l La partie integrde est nulle; l'autre partie devient, en remplacant lc produit des ceux sinus par une ciffdrence de cosinus et mettant pour t sa valeur t - e sin z, pli- e [-lcos [t (i-j) - ie sin it] e/ — 7- - cos [ut (i' j) - ie sin /] dlu. 17, z C'est ici qu'interviennent les fonctions de Bessel cue l'on peut d6fini coomme il suit, Soit k un entier et x un parametre, l'expression J, (x) f cos (k -- x sin c) dc/ dlfinit une fonetion de Bessel. I1 existe done une infinitc de fonctions de Bessel correspondant a toutes les -aleurs positives, negatives ou nulles de l'cntier k. I1 est aise de voir que l'on peut toujours supposer k positif c i effet, changeant? en 7: - ', on a cl/u -cl/', et l'integrale ci-cessus donne J/j (x) = ---- cos (- A'- x sin<') d/' - ( — i)1 J _- (X), 76 JQ

Page  395 C IA PI T R E Xo - I 0l I V1 E N T DIES P LA\ T E S. 395 19 -' fornlule qui permet de passer d'un indice nigatif i un indice positif. La fonction J/, (x) est une fonction transcendante entiere de x contenant x/' cn facteur: en dtveloppant cette fonction suivant les puissances de x, oni tlouveY 2 / \ - \2 /X 2 X'^ J/,(x) k.:..} A I.2.3 (/s c- not,)( ) (on a, p) -. la. )'apres ces notations, on a, pour le coefficientp la valour Pi 17 - ' [J_(i )-J ij ( ) ]; onl trouve de mnme l) = [J- (ie) 4- J+ (c )] Iln portant ces valeurs dans les expressions de cos ji et sinj/u, on obtiendra les dehveloppemlents cherches coinvergents ponr toutes les valeurs (le entre o et i. On a, par exemple, e = os ~Cos it J i ~ cost-. COs5 a== - - - > LJ[-i (ie) - Ju+i (ie)] c- i — 2 l Si, dans ce dciveloppcment, on cherchait les coefficients de e, e9,.. oi retrouverait ceux que donne la formule de Lagrange crite plus hauk: e6anmoins, les deux dvc-eloppements sont bien distincts, celui de Lagrange procecde suiant les puissances lde e ct ne converge que sie est plus petit qu'une certaine liite; celui que nous venons d'obtenir procede suivaln los cosinus des multiples de t et converge pour toutes les valeurs de e Cetre o et I. Nous renverrons, pour une 6tude plus detaille dles fonctions de Bessel, au Traitd de lde Mcanique cleste de tM. Tisserand, auquel nous avons fail le nomlbreux cmprunts, el a l'Ouvrage de Todhunter: On La)place's, Latmn's and Bessel's Functionzs. Avant Bessel, ces fonctions ont te6 relncontr6es par Fourier. 240. Elements du mouvement elliptique. -- Le mouvement elliplique d'une planete est dcfini dans l'espace par six constantes. Mienons par le centre S du SoleiL trois axes Sx, S, S cz de directions fixes; il esL dans l'usage actuel d'adopter pour plan des xy

Page  396 3g6 TROISIIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. Ie plan de l'ecliptique au ir janvier i85o, pour parties positives de Sx el Sy les droites aboutissant l'aFequinoxe du printem)ps et au solstice d'ete a cette epoque et pour partie positive de SZ celle qui est dirigee vers le pole boreal de l'ecliptique. (Ces axes sont orientes autrement que ceux que nous employons habituellcient). Le plan de l'orbite de la planete coupe le plan des xy suiFig. i55. 'N' __1 vant une ligne NN' qu'on appelle ligne des 1aIteids; Fun des points d'interseclion N de l'orbi te avec le plan de l'ecliptique est le nclud ascendant, c'est le point que traverse la planete quand sa coordonnee z de negative devient positive; l'autre nccud N' est le nceud descendant. Pour definir le plan de l'orbite, on se donne l'angle 0 =x SN compte positivement dc Sx vers Sy, angle que lon appelle lonzgittudle cl nocitcld cscendanct, et linclinaison t du plan de l'orbite sur le plan de l'ecliptique, cet angle? edant niesure par l'angle cque font entre elles les perpendiculaires menees au point N a SN, 'une dans le plan de l'ecliptique dans le sens du mouvement de la Terre, c'est-a-dire de Ox vers Oy, l'autre dans le plan de l'orbite dans le sens du mouvement de la planete (ou de la comute). Une fois le plan de l'orbite determine, il faut fixer la position et la grandeur de l'ellipse. Soit A le perihelie; on appelle 7' la somme des angles xSN et NSA, ce dernier angle etant com:pt a partir de SN dans le sens du mouvemenL; - se nomnue Ic longittdce du pel'ihelie. L'angle NSA est egal 'a - 0. Cet angle tixe la position de lellipse; on ddtermine sa grandeur en se donnant son demi grand axe ct et son excentricitd e. Enfin, pour inldiquer lafacon dontla planete parcourt son orbite, on donne la duree de la revolution T ou le moyen mouvement n -T et l'instant du passage au perihelie. Remarquons que a et T ne sont pas des

Page  397 CIIAPITRE X. - MOUVEMlENT DES PLAN-ETES. 39; quantites distinctes, car elles sont liees par la relation etablieplus haut (p. 382) T2 oil i5 designe la masse du Soleil et m celle de la planete. En resume, pour dclfinir le mouvement d'une planite ou cl'une comele periodique, ii faut connaitre six conzstnltes 9, c, Ca, e, z, qu'oII appelle les six eClements cll mout0vemenit elliptigue. A Ia place de on introduit souvent un autre element s donne par el cque 'on appelle long ititdc moe e mo iei 'poqne lep te Co. Les coo — donnees reclangulaires. y, z, de la plantle s'expriment alors, par des formules qu'il est inntile d'ecrire ici, en fonction du temps el les six eltmenis clliptiques x -f —/1(,. ~ 7, ', ^ ~ c,-:), ( \ ).... j( /, 0, ~ -, TO-, a, -:). '- j2(/, O I 3(, T T a, c,. 241. Me6thode de la varialion des constan-tes. - Si le systemle solaire dlait formne du Soleil eL d'une seule planetie, les six elements dcl mouvement elliptique conserveraient inclfinimenL les memnes valeurs; mais, colmle nous l'avons vu, le mouvemnenL elliptique ne donne qu' ne premicre approoximation dtI mouvement de la planete. L'action des aulres planetes sur la planete consideree aura pour effet dr e rouler ce mouvemen ellipliqce: por' representel' cc mouvement troublel, qcni esi le mouvemenn reel de la planiLe el qtl i diffcre pen dui mou-vement ellipLiclue, on conserve les formules (A) dl moutvement elliptique en' y regardantl les six el6-ments,, ^S CI, a, e, ~ non plus coimme cles consctlntes, malcts commzte cles fonctions de t. Par la suite des temps, sous L'action des autres planelces, ces eldmenis subiront des variations S0, 3, TSr, Oc, e ioes qu'on appellejp7erti batio1ns c/es elemezlts, d'oui risulteront des peturbations correspondantes pour les coordonncIes x, y,:. La partie de la iAecanique celeste qui a pour biut le calcnl de ces variations se noimlne Theorie cles pe terlbatioins.

Page  398 T 0 S OISIE M PA T I E. - D Y N I Q U E DU POINT. 4,2. ilotnvement parabolique des cometes. - Imaginons une coml-te ddecrivanlt une parabole ayant pour foyer le centre (l Soleil, ce qui est le cas du plus grand notmbre des comnees. On a alors en appelant v l'angle que fait le rayon vecteur SIM ' avec le rayon vecteur SA du perih6lie I -+ (Ps (W,I CO --- 2 I' - i b. I5 (j. \> /c,'integ'rale des aires donne (0)w = C( t '( d+ = \jj -nl)p dit, zn dlsigenanl la masse de la colriee et AI celle du( Soleil. II irlllc, (cnee l diu pro)blmne des d eux corps que noLs avaons resoll, (qu I;I comee sc mceuL aulour du Soleil conmmne si le Soleil cfait:'ixe e(t It1 orce attracLivde du Soleil suri la comete (gale a,/(?I -i- 1n2. in, i'2 2,2 - __ I-__.__, IiLa conslanLe des aires cs alors C =_ -/./',- = /'(i i-/i)o. On i daoleI 'd. ' //(,i _. ) (/c(v / (0).i I v 3 / ( - -~ in) a ~, '( ( i 1 OS R' ---- (I ol, cn inleorant eL appelanit l Iinstant dul passage au p.ril[i;li(e, - /'(M, - v.) I t,V - an --- tang.-. 2 a Telle est l'iqluatioln du troisienie degre en Ltang -qucil fauL rlsou(drc.' p)otL air a la position dce la comeL'e a\ 'cploctue t: ceLL equtlion

Page  399 CIA1APITfi E X. -- I1OUV EI2ENT DES PLA NETES. 399 i'a qu'tne racine reelle; on l'ecrit comnme il suit, en posantp - 2 q et remarquant clue V/M A l- pent etre remplace par V/M car in est [out a fait negligeable devant la masse du Soleil,, y -- - - tan 0:3 On a construit des Tables nulmeriqcues donnant la racine de cette equation pour utne suite de valeurs attribuees au premier membre, la masse AI du Soleil teant prise pour unite. 243. 8t6ments paraboliques. -- Pour definir lorbitc parabo — lique d'une cornete on donne cinq Mcle lents independants 0, s, - et g, dont les quaire premniers ontl la mame signification que pour les planites, tandis que 7 = deisigne la clistance p&i'i/ h-lie (voir J/eccizique cetleste de AI. Tisserand).,<tsRI QES. 1. Pour Ic mouvcrnent d'un point altire vers un centre fixe 0 par une force I =- -- u/r prop)rlionnellelc ' la distance, on a dtmontr5 que la trajectoire cst une ellipse de centre 0 la t cue la itse du!lobile dans une position quelconquc M cst proportionnelle au demini-diamatrc b' conjugu6e de O0,[ v -=- ''. DdLmontrcr que, si l'on veut, l'aidc de cc rIsultat, verificr les theoor mes des aircs et dcs forces vives, on retrouve les thiorumes d'Apollonius. Repoinse. - Soit 0.1 = r - a'; le tlhorrlmc dcs aires donnepv =- C' or ce produit p est 6gal a kI fois l'aire du parallelogramme construit sur c' ct b'; l'equation des forces vives v' -t- /i:'- = - dconne I2 (ca'. -- 6'2) = h. 2. Trouver le mouvemcint d'uu point sollic6e par unic force ce trale ayant icxpression suivante,i a et b dcsignent des constantls. Repo/nse. -- Pour tr'ouver 1ia bttajcto'rie on d)it intel erc id'quation X / / - I ) 0, I'I 2 ( C2 ) ' -2 liinaire a coefficients constants en —. La forme de l'intiigrale gcncrale change suiiivtan Ic sine dce i - ' quand cette quantite cst nulle, - est un trinocme (dl

Page  400 400 TROISIIEME PA RTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. second degre en 0. Quand elle est positive et admet une racine commensurablc, la trajectoire est une courbe algebrique. 3. Soit F ( a -t+ b cos 90) F-' Reponse. --- On est conduit a integrer l'dquation d2 I I ct 4- b cos 0O -- o - a- (C constante des aires), dont l'int6grale est C1 b = cos -O- B sin0 - -+- -- os 20. C2 3 C2 La trajectoire est une courbe algebrique du quatrieme degre, quelles que soielt les constantes A, B, C, ti moins que b = o; elle est alors une coniquc, car la loi d'attraction devient la loi de NewAton. L'intdgrale dus aires donne ensuite t par une quadrature. 4. Soit /'2 ( t cos 0 - sin0 cos2O i - c sin 0 ) r2 (a cos 2 - sin ) '2 Ca, b, c dcsignant des constantes et a, ^, y ayant les valeurs ac --- [ b, =. -- * (Cette loi de force centrale est l'une de celles trouv6es par MM. Dar2 boux et HIalphen.) Rep)onse. - En posant [ (0) a= cos 20 -+- sin 2 0 -i-, on devra intdgrcr l'equation ri 3 u _2 0 I [)-] - Lorsque at2 2 - 2 ou bo t-ac est difTerent dc zero, cette 6quatio n adimet, comme on le vdrifie sans peine, une intlcrale particulircre de la forme - - ( 0, () (, - La trajectoire a cone pour equation - =- Acos 0 — B sin0 4- ) / (0) avec les constantes arbitraires A, B C ou A, B, ). C'est une conique langenle mux deux droites fixes ayant polur Cquation (0 ) o o a (x2 - y2) +- 2 X (x + y2 ) - (.

Page  401 CHAPITRE X. - FORCES CENTRALES. 4o0 Lorsque a2 2 - y2 = o, b2 ac= o, 4 (0) est le carr6 d'une fonction z (0) de la forme k cos0 + I sin, 2(0) = '(0). L'dquation admet une solution particuliere de la forme -, et la trajectoire devient = Acos +- B sin0 + -, conique tangente l'origine a la droite fixe (0) = o, ou kx ly = o. 5. Demontrer que, si l'on sait trouver la trajectoire d'un mobile sous Faction d'une force centrale F = m ( -,( ), on sait 6galement la trouver sous Faction de la force F,-=m m — acosO - b sin, (i- arcos0 - brsin0)-2 a, b d6signant des constantes. Repponse. - On suppose qu'on sache integrer l'dquation diffdrentielle d21 C2 ( —~ -0 - = -_ Cp (_ ) et il faut montrer qu'on sait intdgrer aussi \ cl 7/2 (Is- a0 cos- r sin 0) r Or la seconde equation se ramene a la premiere par la substitution - = — a cos -+- b sin 0. r p 6. Sachant que la force F = m ir fait decrire a son point d'application une conique ayant pour centre lorigine, trouver la trajectoire d'un mobile sollicitd par la force F < - m J -.- a cos 0 - b sin 0 r 1 (deuxi6me des lois de force trouvees par MM. Darboux et Halphen). Reponse. - Cette question est une application du probleme 5. On trouve comme equation g6enrale de la trajectoire du mobile sous Faction de la force F, - a cos 0 + b sin0 — + Va cos20 +- 2 cos in sint,sin0, a, p, Y etant trois constantes arbitraires. Cette trajectoire est une conique telle que la polaire de lorigine par rapport a cette conique est une droite fixe ax + by - = o. I. 26

Page  402 402 TROISIELMIE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. 7. Hodograiphe. - Dans le mouvement d'une plan6te autour dc Soleil, on mene par le centre du Soleil des segments dgaux et paralldles aux vitesses de la planete dans ses dciffrentes positions. Lieu gdometrique des extremilts de ces segments; ce lieu s'appelle l'hodog'rcq)he. Reponse. - Ce lieu est un cercle dont le centre est sur l'ordonnce du foyer ct qui contient le foyer dans son intdrieur. On peut le ddmontrer en s'appuyant sutL la relation pv = C, sur ce que le lieu des projections d'un foyer d'une ellipse sur les tangentes est un cercle et sur ce que la figure inverse d'un cercle est un cerele. 8. Pour obtenir l'hodographe d'un mobile quelconque decrivant une courbc plane, suivant la loi des aires, autour d'un point 0, il suffit de faire tourner d'un angle droit autour du point O la transfornee par rayons vecteurs reciproqu(s (courbe inverse) de la podaire du point O par rapport a la trajectoire. 9. Un point decrit, suivant la loi des aires, une circonfdrence passant par lc centre des aires 0; trouver la loi de la force: o en fonction de la distance r; 2~ soUS la forme ( ) 172 t1 i,. 1M '1, Reponse. - i -- -, 2 - r 5 7, 2 cos3 10. Mouvement d'un point sollicilt par la force centrale F = ',. o. Reponse. Le theoreme des forces vives donne V2= - - ]h. Diffdrents cas sont Ca distinguer, suivant que h I= -. - est positif, negatif ou nul. Supposons h <,o. On trouve pour equation dilffrenlielle de la trajectoire C c _ Cd ch dO, t/h i -- C" r2+ +I7 v/l (r" — a") (7r2+ b -) en mettant en evidence les racines du trinome en c21 qui sont l'une positive et l'autre negative. a/- h(a'2 2-) Faisant 7' = a cos S et ( — -- =b g, on trouve la forme normale C 2 gdO, c1 a4 gcl = -- /f-/c — in - I /,2 Sin 2 a2 4 On a done? = amg(0 - 00), d'ou, pour la trajectoire, r= acng'( -0,). Le temps est donne par Cdt = r dO, Ct=a2 a cn2 g ( 0-O ) dJ, integrale de seconde esp6ce qui s'exprime l'aide des fonctions 0 et H de Jacobi.

Page  403 CIAPITI RE X. - 1ORCES CENTRIALES. 403 Si l'on suppose b cc, It c o, /b'=- c -C, IC' o, comme il rcsulte des relations entre les coefficients ct les racines on retrouve lc cercle 7r - a cos ( - 0,). 11. Fonctioins de Bessel. - Ddmontrcr que l'on a les relations suivantcs (,) A/'J, (x) --- [j,(x) -- J_,(, ):, dJ ( ) I (3 3 x. ) ( Tl_^,_ ). ^ (-'J';.(4) XI - l(, (c iU x1 x~c dx ( x)dc (c — -- I -- -, ) J1.(cX) =-O. Ces relations se v-rifient sans pelne si l'on y remplace les fonctions J par leurs expressions sous forine d'integrales finies. Prcnons, par exemple, la prenmire; on est amende dernontrer la relation /C cos ( / - in ) -- cos [(A/- I ) -- x sin] -co s [( -) 9 - x sin ] d cl = o on cn remplacant la somme des dlux cosinuLs par iu produit de cosinus / cos (/k - sin ) ( /cd -X cXos d ) = o, ce qui est deident, puisque l'integrale indcdinie e e 'expression placee sous Ic signe j cst la fonction sin ('y - xsiny?), qui s'annule aux limites. 12. Developper la fonction Jk (x) en sdrie entidre ordonnee par rapport aux puissances positives croissantes de x. Re'pouse. - On peut se servir de l'expression de Jk(x) sous forme d'integralc: les coefficients du developpement contiendront des intdgrales de la forme cos 'I sin"' cd', sin kA' sin" l cd?, aisdes a calculer en exprimant sin'"? en fonction lindaire des cosinus et des sinus des multiples de y. On peut egalement employer 1'cquation differentielle (3) en y substituant pour J (cx) une serie de la forme x x.2 X?" J. = xc (a '4- t -- - (a, - -- ~ ~. -[... S _ x (t 1 I. 2 I. 2.. et calculant les coefficients par voie recurrente. 13. Tlheorme cl'Euler. - Le temps C que met une comete a passer sur une orbite parabolique du point P au point P' est donne par la formule 6\// (M1 i- 7) C = (r' + /'+ 2 ); '~- r + r' —,),

Page  404 40oi T OISI E M E PARTIE. --- D YNA IQU E D U P OINT. r et 7r' designant les rayons vecteurs des deux positions P el P' ct la corde P, P. (Nous demontrons ce th6oreme en MAcanique analytiquc dans le Tomei II. Voyez TISSERAND, iMecantique celeste, p. ii'1.) 14. Un point attire par un centre fixe, suivant la loi de Newton, decrit une orbite hyperboliquc: calculer sa position 5 chaque inslant. On emploie la mnmen cthode que pour 'ellipse no 237; il s'introduit des logarithmes et des exponentielles a la place des lignes trigonometriques et des foncLions inverses. 15. MIthode des approximations successives pour la irsolution de l'6quation de K(pler. Soit iu la racine de l'Fquation. Dedontrer les propositions suivanlts: i~ On prend sur le cercle trigonomdntrique, i partir de l'origine A des arcs, leux arcs AM = AM1', egaux et de signes contraircs, egaux en valcur absolue a - e. Si Fare ~ a son extremite sur lare MAVAI', cos i est posilif, sinon cos csl negatif. 20 Si cos u est positif, cc qu'indique la disposition de t, toutes les valcurs (l la suite Iu,,,..., zC,,... iront, a pcartir cl'uI certasin moment, en s'approchant de iu toutes par exces ou toutes par ddfaut. 30 Si cosi est, au contraire, ndgatif, les valeurs approchces de it seront, 3 partir d'un certain moment, altelrnativenment approch6es par exccs et par defaut, i l'instar des fractions continues. (KmENIGS.) 16. Un centre attractif d'abscisse 8 se meut sur Ox d'un mouvement oscillatoire -= a cosSit. Ce point attire un point matCriel libre M proportionneelllmelnt a la distance: trouver le mouvenment du point MI. (La projection de la trajectoire sur le plan des ys esl une ellipse de centre O.) 17. La force centrale produisan Ile nlouvenment d'un point est proportionnille a -, v designant la vitesse du mobile, /' sa distance au centre des forces. le rayon de courbure de la trajectoire. (RESAL, Comlptes rendclts, t. XC, p. 769.) 18. Mouvement d'un point sollicite par une force centrale d'intensite constante. Discuter la trajectoire (0 est donne en fonction de r par une int6grale elliptique. On verra plus loin, a propos des equations intrinsedques du mouve-nent d'un point sur une surface, que l'on pett ramener au probleme precddent l'etude du mouvemnent d'un point -esant sur un c6ne de rdvolution d'axe vertical). 19. Trouver le mouvement d'un point materiel sollicitd par une force cenlrale - i K 2' (o -4- b ') 3 /a: b3 a est la distance initiale du point au point attirant. La vitesse initiale est perpendiculaire au rayon vecteur initial et a pour valeur -~ (La trajectoire est la transformee par rayons vecteurs reciproques d'une ellipse par rapport a son centre.)

Page  405 CIIAPITRE X. - PORCES CENTRALES. 4o) 20. Trouver Ie mnouvcment d'un point sollicitd par la force centrale /.,O S' (j (Trajectoire conique; cas particulier des lois trouvres par TIalphen et I)arbo I ux.) '21. Forces centrales avec resistance de milieu. - Un point de masse 1 sc rmetu sous laction d'une force centrale F et d'une resistance 1I tangente a la tracectoire. lDdontrer que la trajectoire est plane. Puis, prenant le plan de la trajectoire pour plan des xy, et designant par S la quantit6 x -y c palp 1a dLn dt par/L distance de la tangente au centre des forces 0, et par I lc rayon de courbure, r $2 S dS deinontrer les formules F - - 5, R: - p p p2 ds (On peut partir de l'identit6 — c - l - qu on differetie, en se rap't X ely - y3 dx( ' ls c(it ps l)clant que Cx d= -y dsx p ds.C = d _ ci7z — x dxd-' -s -- ) En parliculier, si 1R = /:., on a l'intdgrale S = \e-' qui remiplace l'iintgrale des aires,.s l dsignant lare dec courbe parcouru. (Sritcc:, Comptes ren2dus, l. LXXXAIII.) 2'2. Si, dans l'exercice precedent, on suppose 1R- I ', resistance proportionnellc 4 la -vitesse. on a l'integrale S - Ce;. (ELLIOT.) 23. Mouvement d'un point de masse I sollicitd par une force centrale dgale a - - 1 -:.' Cettc loi dc force esl, avec une approximation suffisante pour l'AsIronomie, l'cxpression aIprocliee de l'attraction d'un sphdroide sur un point (loign3.) (GYLrnds, Comnptes renclus, t. XCI, p. 957.) 21. M[ouvement d'un point matdriel attird par un centre fixe proportionnellement i la distance et soumis 4 uine rsistance de milieu proportionnelle a la vitessc. (Trajectoire plane: x et y sont donnes en fonction de t par des equations dif fdrentielles lincdaires a coefficients constants. Discussion.)

Page  406 .o ( TRO SI EIE PiL.V IE. - DYNAMIQUI E D U POINT. CHAPITRE XL] 0VUYEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE FIXE OU MOBILEo T. - MOUVEMiENT SUR UNiE COURBE FIXEo 24-4. Equation du mouveraento - Sooenl C la courbe Slr laqlelle le point est assujetii a se mlouvoir, eL MF la reclsltanie des forces exterieures qui agissent sL'r Ie mobile. Celui-ci excrce sur la coarbe une certaine pression, CL la courbe agiL sur- e mobile par une reacLion Lgale et opposce qui est normale. a l a courbe fixe, si I'on sirppose q(ill' n'y a pas de frottcment. Le point peCi, par suite, etre consicdere commle lire dans le'spacC, i la condi;ion qn'on I i applicqe Ila force F el, la rdeciion normale MN (//Jiy. I 7)' \ =\ F i/ IPuisque la position du mobile sur la courbe ddpend d'ln setcl paramietre, i stiffit d'une setile eciqiaion ne con tenant pas la rdaction pouir dfinir le mouveement. Cette equation est dozzleepac le theoreilie des Jorces vi es sous la forme d - = X dx -+ ' dy -;- Z dz, equation ocl n'entre pas le travail de N, puisque la reaction restant normale au deplacement ne produit aucun travail.

Page  407 CIIAPITRE XI. - J1OUVEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE. 407 Pour achever le calcul, on exprimera les coordonnees d'un point de la courbe en fonction d'un parametre q r -?(q), y= (q), z = (q); Otl aura alors (j)2 ~ \ 2 \\dq 2 () ( '- (77) +(I ) +(C/) =(9 * cl t~) n (?.) Xl-ydy y- wZd YC -<- ZY = (X'+Y-i Z ')dq = Qdq Q designant la quantite Xf- -t- YB',t --- Z-'. Dans le cas le plus general qui puisse sC presenter, la force depend 'a la fois de la position cdu mobile, de sa vilesse et du temps. Les composantes X, Y, Z el, par consequent, Q seront alors les fonctions de q, -l et, elt Icjqation (i), ecrite sous la forme 1 ~?,-+2 +, _( \d)I - Qdq, sera ine equation diffrentielle du second ordre, donnant q en tonction de t. Dans le cas particulier oiI la force ne depend que de la position tdu mobile, Q est uine fonction de q seulement ct l'integration de I'equation se ramene a des quadratures. L'ecquation des forces vives donne en effet 11(2 -, 72 m2 722 V 2 O)n tire de cette equation, apres avoir remplace v2 par sa valeur (i), (dl)2 en fonction de q d tt - __ _ (dt)z f~ - - f ( j t), -to = - -yq Le probleme est ainsi resolu par deux cquadratures successives. L'expression de d-t comporte un double signe; au debut du mouvement on sait quel signe il faut prendre, car le sens de la vitesse initiale donne le signe de la valeur initiale de c — on concit

Page  408 408 TROISIEIME PARTIE. - DYNAMIQI E DU POINT. clq servera ce signe lant que d- ne s'annulera pas; si, au boun d'ul temps fini, f(q) s'annule, la vitesse s'annule; le sens de la composante tangentielle de la force dleermine alors le sens du mouvement et, par suite, le signe de dqt dt Lorsqu'il existe une fonction des forces U(x,y,, ), la premi(re integTration est immediate; on a -I U(x,y,z)4-9-h =1, t (;t Y0. A ayant pour valeur — U(xo,yo zo). On ache le clcul comme ci-dessus, en remplacant x, y, z par leurs expressions en fonclion de q. 245. Stabilite de 1'6quilibre. - Supposons que la force X, Y, Z ne depende que de la position du.mobile, la quantite Q est alors une fonction de q seulement, et pour trouver les positions d'ecquilibre il faut trouver les valeurs q annulant Q (n~ 96). Ce probleme conduit aux mernmes calculs que la recherche des maxima et minima de la fonction U(q)= fQlq, qui n'est definie qu'a une constante additive pries. Nous voulons demontrer, d'apres Lejeune-Dirichlet, quce si, pour une valeur q - a, cette fonction U est reellement maximum, la position d'equilibre correspondante est sctble. Pour simplifier, nous pouvons supposer a = o, car cela revient a prendre, comme nouveau parametre q - a au lieu de q. Nous pouvons aussi supposer que la fonction U(q) s'annule dans la position d'equilibre consideree, q- o; car cela revient 'a determiner convenablement la constante arbitraire qu'on peut ajouter a U (q), c'est-a-dire a prendre U(q) - Qdq. La fonction U(q) est alors nulle et maximum pour q = o: cela veut dire que, s etant un nombre positif quelconque inferieur i

Page  409 CIIAPITRE XI. - IOUVEMENT D' UN POINT SUR UNE COURBE. 40() tine certaine limite fixe, la fonction TU(q) est negative, pour toutes les valeurs de 7, autres que o, verifiant la seule condition (i) - _ q _ Ce nombre G etant choisi arbitrairement aussi petit qu'on Ic velt, ddplacons le mobile de la position d'efquilibre pour l'amener dans one position initiale correspondant ta une valeur q0 du parametre comprise entre -s et +, et imprimons-lui une vitesse initiale t'o. Nons allons montrer qu'on petli assigner des nombres positifs i et 3 tels que, sous les seules conditions '0o < -- 1 < < 0i le mobile, dans Fe mouvement qai se produlit, ne sorte pas des positions linmites correspondant aux valeurs ~ a du parametre q, etmeme n'atteigne plas ces limiles. En effet, U(z) et U(- s) etant des quantites negatives el non nulles, on pett determiner un nombre positif p qui soit plus petit la a fois cue - U(S) et - U(- ), de sorte que la somme U (q) -+- p, positive pour q _ o, devienne negative pour q -_ r- zL. D'apres le theoreme des forces rvives, on a, dans ]e molvenment qli se prod it, "v' - u (q.... 7)7-'' U( ) 4- -L u(q,). Determinons c'0 et qo par les conditions _ —). C, -U(qo)< - ' 2.2 la premiere donn e pour c0 pene limitc superier ae. gale ' /la deuxiieme, a cause de la continuitd de la fonction U(q) qui s'annule pour q = o, exige lque qo soil en valeur absolue infdrieur a un certain nombre positif 3. Alors, si ces conditions sont remplies, on a < u (g) T p et il est evident clue q ne peut pas atteindre les limites ~ s car, si q atteignait une de ces linmites, la demi-force vive —, qui est 2[

Page  410 /I') TROISIEIME PAl'RTIiE. - DY-NAMIQUE DU POINT. essentiellement positive, devrait etre plus petite que Ie second niembre, qui devient neg'atif pour q - =-7-; ce qui esl absurde. L'equilibre est done bien stable. FReimcqgue. - Lorsque la force depend de la vitesse, Q dependc de q et c-7; pour obtenir les positions d'cljquilibre, il fau-dra cherdt cher les valeurs de q qui annulent Q, sous la condition -I- o Une de ces positions etant trouvee, pour reconnaitre si elle est stable ou instable, il faut etLudier le mouvement du point en le supposant infiniment peu ecart6 de cette position et animet d'une vitesse initiale infiniment petiteo On trouvera dans la theorie dci mouvemene d u pendulle simple, soumis 'a une resistance de milieu proportionnelle a v, un exemple de la marche ac suivre. Nous developperons plus tard, l'une maniere systematicque, l'etude des petits mouvements autour cd'une position cld'eqilibre stable. 246. Pfouvement d'un point esant sur une courbe fixeo - Prenons trois axes rectamn'ulaires laxe des z etant une verticale (iriiee vers le haut. Les projections dle la force eitant (tig. i58) X -o Y-o, -=- 7mg, [ '_ / p /)A / J,/, / I A F i le travail elementaire du poids cst - mIclz, et l'ecquation des forces vives dconne immdciatement fo fortmule c L'on pent secrire A(2 =24?, (C-.i),

Page  411 CIIAPITREI XI. - -I OUVEIMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE. i 11 ('en osan t h, (onsiderons Ic plan 11 dont l'cquation est z. a, la distance M lP du mobile a cc plan est ca z, de sorte que sa vitesse est llonnee par ()2 =_. IM. La valeur niumlricquce de la vitesse est done la meme que si 1e point etait tombe verticalement de P en i} sans vitesse initiale. Supposons que la courbe consideree soil fermere; deux cas peuvent se presenter, suivant qlle le plan HI coupe on ne coupe pas cette courbe. Quelle que soil la position initiale Mo du mobile, )on peut tonjours le lancer avec une vitesse v0 suffisamment 'grande pour clue le plan 1 soil aussi haut qu'on le voudra, puisque l'on a (t- -4- Z -o. Supposons done ('o assez grand pour que I soil an(lessus de la courbe, la vitesse ne s'annulera jamais, et le mobile tournera indcfiiiniemnt str sa trajectoire. Le mnouvemenL sera periotdi-ne, la vitesse maxima se produlisant aL point le plus bas, et la \viesse mlinima au point le plus fhauL. Adlmettons maintenant ue le plan H coupe la courbe. Soient A.-\ A' deux intersections consecuttives; supposons le mobile lance lu point le plus bas Mi10 de arc AA' vers I'extremilt A. On voit aisment que le mobile arrivera aussi pres du point A que l'on voudra; en effct, la vitesse entre M0 et B restera constamment superieure a /'.BB 13i, BB1, etant la distanc e Be auL plan I, et le nolbile arrivera necessairement en B au bout d'un temps fini. Si la tangente en A n'est pas horizontale, le mobile atteindra ce point; on a, en effet, (1 9 -,9,' (O ft ) (t (15 ) " (~~ii~~~~~~~'o/l~IS cl.s;/2 (' Lt t = /c -- ' Comptons les arcs a partir de M0, et le temps a partir de l'instan initial; puisque s croit avec t, on devra prendre le signe + dans

Page  412 TROISIEIME PARTIE. - DYNAM.IQUE DU POINT. i'ecqation ci-dessnus e l'on aura (is (iS cI S b/).;l- - -- / a Si la tangente en A n'est pas horizonlale, c reste fini pour z -- o, c l'element 'int ale dein ral devient infini de l'ordre.; done celte inLegrale reste finie lorsque z lend vers a. Le temps T que met le mobile a arriver en A est alors donne par,_.j _ 0 ds Apres avoir atteint le point A, le mobile redescendra vers M0, y arrivera avec la vitesse v0 et repartira sir l'arc M0iA, oRt le mouvement sera analogue et durera un temps T, si la tangente en A: n'est pas horizontale. Le mouvement est done une oscillation del A en A', chaque oscillation simple ayant pour duree T - To1 Nous pouNons po onner deux limites entre lesquelles T devra etre compris; ces deux limites seront d'autant plus voisines que dz l'arc AMA sera plus petit. Si l'on pose c- -=, on sait que l'on a c" z d -/ l cl2 s cls _ ' cds ds? edtant le ravon de courbure et ', le cosinus de l'angle jqe fait ce rayon de courbure avec l'axe des z, cosinus qni est positif, car l'angle est aigu. Soient k/ K les limites de - pour 'are considere, on aura entre AM et A K> d'2Z k K' 'l d'-s2 on en conclut, en integrant, que - Ks< o car cette fonction qui s'annule pour s o est constamment dccroissante, d'apres l'indgalite qui precede. La fonction primitive sz s era par suite toujours decroissante; ecrivons qu'elle est

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Page  413 CHPPITRE XI. - MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE. 413 constamment superieure a sa valeur finale, nous aurons - -S 2 > a - - 12 '2. 2 I /2, 1 __ >- / a - z V K V12 -s ou I est la longueur de l'arc M0A. El remplacant- par le V/a-z deuxieme membre dans l'expression de T, on aura (~ g. T / 1 ~//iT( _/ — Ts; T >..g d2.2> En partant de l'inegalite - -- - k >o, on trouverait de la meme facon T < / - Si l'on diminue la vitesse initiale de facon; abaisser le plan 1I jusqu'au voisinage de MI, les deux quantites K et k] tendent simultanement vers la mrnee limite, a savoir la valeur de - au P point le plus bas, valeur que nous caracterisons par l'indice o. Par consequent, lorsque l'oscillation aura une amplitude infinimCent petite, la duree d'une demi-oscillation simple sera - et l'oscillation simple aura pour duree 7: t/-0 si, pour la portion IM0 A' de la trajectoire, la quantite - a meme limite que pour 0 la portion M0oA. En particulier, si la trajectoire est un cercle de rayon R dans un plan vertical, on retrouve l'expression connue de la duree d'une oscillation infiniment petite R V/ Revenons maintenant aux oscillations d'amplitude finie, et considerons le cas ou la tangente en A est horizontale. Rappelons la formule qui donne le temps cls 'gt=J _z dz. \/a- z

Page  414 44 4 TROISIE AE PARTlE. - DNAM I Q LE DU POIN T. Lorsque z tend vers a, s tend vers la longueur I de l'arc MoA, ALlds crolt indefinimetii, - egalement. Prenant s pour variable independante, on aura <I t( Soit ) l'ordre de l'infiniment petit a - z par rapport 5a s - I dans le voisinage de s- 1, l'element de l'inmegtiale sera infini d'ordre par rapport ~; si - est > i, l'integrale qui donne t croitra indefiniment; si, au contraire, on a < i, I'integrale restera finic. Le premier cas se presente pour un point ordinaire, ou l'on a ) 2,=, comme on le voit en developpant, par la formule de Taylor, z considere comme unefonction des danslevoisinage des /let remarquant dz que dS- est suppose nul pour s -. Le second cas peut se presenter 3 pour un point de rebroussement, oi en general ) =-. Si done A est un point ordinaire a tangente horizontale, le mobile s'approchera indefiniment de ce point sans jamais l'atteindre. Si A est un point de rebroussement, le mobile peut y arriver sans vitesse et s'arreter dans cette position d'equilibre. On en trouvera un exemple dans l'exercice (5). 247. R6action normale. Equations intrinseques. - Si 'on applique les equations intrinseques du mouvement (n) 200), on trouve d'une part l'equaLion du mouvement, d'autre part deux equations permettant de calculer la reaction normale. Fig. I59. Mee MT ds le ss ds as c s. Menons en M la tangent MT dans e srens des arcs croissants. Soit MC = p le rayon de courbure principal (fig. i 59); menons

Page  415 CHAPITRE Xi. - MOlJVEMENT D'UN' POINT SUIR tNE COURBE. 415 la binorm-ale MB. Les equations intrinseques du. mouvement seront actuellement 0) F 7, (2 F/I 1~ N11 iL, (3) FB3-F-NB3 0; car les seules forces agissant sur M sonL F et la rdaction normale N. La premiere de ces equations, qu-i n'est autre quie le'quiation des forces vives sous une autre forme, donne le mnonvement stir la courbe, car cite est indedpendante de la rdachion; les deux autres donneront ensuiLe la reaction -normale par ses conmposantes N11, NB. Le calcul se simplifie iorsqu'lI y a une fonction de forces U. Dans ce cas, I'equation des forces vives est 2, et, en portant cette valeur de y2 dans e'dqtiation (2-), onl pourra entie'remeDt determiner la reac [ion sans conna'itre le mouvement. L'equation (i) Oderite sous la forme F dv/I ds cdv Ic/m dsct c/s 2 c/s est bien. identique 'a celle des forces vives. Elie montre que le mouvement ne change pas, si IPon dedforme la courbe sans changer sa longueur et si P'on modifie la force F sans changer sa. composante tangentielie F,, Cette operation modifiera unicquement la raction normiale. En particulier, onpn d et fao, sans changer le mouveinent, transformer la courbe en tine droite, et ramener le proble'me "a une question de mouvemeni rectihigne. Applicatio71. - Comime application de cc qui pr6c~de, nous damontrerons le the'or~ine suivant Supposons qu'nn mobile partant de AM0 d6crive librement. uLne trajectoire Clorsqu'on ic lance avec des vitesses successi-ves vr, v'~,..Sons lFaction de foirces qni respectivement sont F', F",.,pour chacun des mouvemelts. Admetions maintenant qn'on lance cc mobile sur une courbe fixe qui re'alise mati~ierllement C ct qu.on le souinettc an syst~me de forces CL F', c"F",..., agrissant, en me'me temps, aL' &' all 6tant des constantes; dans ce dernier ccts, la 7Uaction norinale c/e la Cour7be est cdirigcie

Page  416 4t6 TROISLIiALE PARTIE. - DYNAMIQUE DUJ POINT, suivant la norma/epr~incipale et va7-e en r-aison inver-se du r-ayon de COU7rb are. Soient C', C", C"',..les vitesses que poss~de suceessivemcnt IC mobile au point M dans la premiere s~rie d'expdrienees. Les 6quations intrins~ques d'un quelconque de ces mnouvenments, dui premier par exempie, seront I dv' c/dv'V2 cidt - ds U"? o Dans ln derni~re experience le point n'est pas libre, ii faut done introduire la reaction normale de la courbe fixe et les 6quations dui mouvement sont niors in N, - 'F, ~ Fl ~ F"'Fl-i-. 0 N i.F,4-aF ' F En tenant compte des 6quations (ion a d'abord NL - o, puis V - - -A —I- SC C - -- c/s CIS c/ een int6grant, C2- C -A — 7'V' -1 — '2 C"2~ la constante C ayant pour -valeur 2 CL'C2 - / ( il - on a enfin inV2 N ncv '2 71Vif C2 N 0 0c 100 Cette 6galiti6, jointe A~ NB o, dhmontre le the'or~me que nous avions en v ue. On pourra disposer de la vitesse iniitiale de facon A1 annuler la con stante C. Dans ce ens, la reaction sera constamment nulle et le point d~erirn librement in courbe donn~e. Ce dernier re'sultat est d&I A 0. Bonnet. Par exemple, un point mat/~riel peut d~erire librement une ellipse sous l'influence d'une des einq forces suivantes:une attraction en raison inverse dii cnrr6 de la distnnce de in part de chacun des foyers, une attracLion proportionnelle A~ in distnnce au centre, et enfin des attractions des axes en raison inverse du cube de ln distance. Si done on force le point as d~crire l'eliipse sous 1Faction de ces cinq forces simnitane'es, en le placant

Page  417 CHAPITRE Xl. - MOUVEMENT D )UN POINT SIUR UNE COIURBE. 417 d~ans des conditions initiales quelconques, la prcssion sur 1lellipse 'vane en raison inverse du rayon de courbure. 9248. Pendule, simple. - Un pendule simple est constitu6 par un point mat~riel pesant mobile sans frottement sur une circonfe'rence situe'e dans an plan vertical (fig. i6o). Fig. i6o. Prenons les axes indique's sur la figure et supposons le mobile laned dii point le plus bas M0(z =-1) avec une vitesse initiale vo; le th~or~me des forces vrives donne g2Z2(a z) avec 2 io Supposons d'abord que la droite III(z =a) coupe le cercie en A, A', c'est-A-dire que l'on ait a K 1, on V'o < 2 Vlg. Comme nous lavons vu, Ie mouvernent consistera en oscillations isoebrones entre A et A'. Pour e'tudier le miouvement, nous prendrons pour variable langle MOOM 0. Oni aura z -lCos 0, a Ilcosoc, en appelant a l'angle d'~art maximum MO OA. Av~ec cette variable 0, l'expression de la v~itesse est cls I dO et l'6quation des forces vives devient 1do 2= 2g1(CosO0- Cos%), (ln'on peat 6crire ~~~j 2 zz~~~~~~~~~~~~~~g~~~~sin2 - sin2~) ()9- 9 1. 27

Page  418 418 TROISITEME PARTIE. -- DYNAMIQUE DU POINT. d'oit ct c. 0 2 sin2 - sin2 - V 92 2 Nous prendrons le signe - en supposant que Ic mobile monte. En comptant le temps a partir du moment oI le mobile part de IM0, on aura /~- / din 2 - sin2 ct en posant.60.ca sin -= sin -, 2 2 clit os (I - ) (I-i =2 (tsn = sin2 - On est ainsi ramene i une integrale elliptique et l'equation ci-dessus peut s'6erire == sn (t, uniforme du temnps. Pour avoir le temps T que met le mobile i aller de Mo en A, il faut faire varier 0 de o te, c'est- -dire u de o a I; done, en posant cornme l'ordinaire di n aura pour T alur / et la dure de losilltion simple se on aura pour T la valcur K e/- ct la duree de l'oscillation simple sera 2KV/-. Si l'on ajoute cette quantite a t, le mobile doit prendre la position MI' symeitrique de M et sin doit changer de signe, ce qui fournit une verification de la formule connue sn(x -+ 2 K) - snx.

Page  419 CHAPITlRE XI. - MOUVEM\ENT D'UN POINT SUR UNE COURBE. 4193 11 est utile d'avoir le developpement de T suivant les puissances de sin -, c'est-a-dire celui de K suivant les puissances croissantes de k. Pour obtenir ce developpement, nous ecrirons, d'apres la formule du binome, -- I -I- -/, 9tu2 I = r. 3 3.5.... '. 'z - q4- - a- t "'" -q-... — U...2 2.4 2.4.6....,) et, en nous appuyant sur la formule facile A 6tablir 1Il u2^ a du I.3.5... 9n-f J v: '-z 7 '.4.6... 21, nous aurons K = [ (k1 4- (I'3)2.k ];\2/ 2.4/ par consequent, T = -/I | (-)sin2-f( sin- - +-... ~ 9.? 9./ \2.4/ v. Pour les oscillations infiniment petites (a = o), on trouve ainsi la formule T=2 Vg ~T ---=5~ ~~a Pour les oscillations de faible amplitude, on pourra remplacer sin- par 2 - ct ne conserver que les deux premiers termes du d6veloppement 9 ~ ~ ~9\. 6 2~ I1 nous faut maintenant consid6rer le cas oil la droite II ne rencontre pas le cercle, c'est-a-dire oh l'on a a > 1. L'dquation des forces vives V2 = 9g (a - z) peut s'6crire ( 2 I = 2 a g(a 4- IcosO)= )-g ( a- - I- slin 2 -) ou 1,2 (d) - 2g(a + 1) ( - *2 sin2 ) en posant k2 -= I; k2 est plus petit que I puisque a est plus grand

Page  420 420-. TROISIfEMAE PARTLE. -DYN,-AM.IQ-UE DU POINT. que 1. En re'solvant pai rapport d ct et posant )X ~~Qga i on aura o (1 V/ k2 sin.2f j I -k2 Sin2-2 0~~~~~~~~~~ Prenons enfin it =sin - cornme nouvelle variable, il viendra. it =sn (,t), c'est- A-dire sinll so n ) On en d~duit 0 Cos - I" - Sn2 (), t) en C (X t). 2 Le temps T qiue met le mobile 'h' arriver an point le plus haut s'obtient en faisant varier 0 cle o ti c'est-A'-dire it de o A i; on a done ).T Kk2k 30 11 reste enfin A' traiter le cas intermediaire oti la droite 11 serait tangente A la circonf6rence donn~e:a =. On pent alors effectuer les int6 -grations h laide de fonctions exponentielles, car le module k2 des fonctions elliptiques pr~e6dentes de-vient 6gal t' i. Revenons, en effet, h' 1'6quatioln des forces vives V2 ~g(a - z.), nous l'6cirirons Cl 02~~~~~ ci - Cos - et, en int6grant, t lo- ag La constante d'int~gration est nulle puisque t doit s'annuler avec 0. Lorsque t croit ind6finiment, 0 tend en croissant vers la limite 7r; le mobile s'approche ind~finiment du point be plus haut sans jamnais l'atteindr~e. Ce point est une position d'6quilibrc inistablc.

Page  421 CILAPIT11E XI. - MIOLTYEMENT D )UN POINT SUJR IJNE COURBE. 421) Calcial cle lat 7raction. - La r&~action en chaque point est dirig~e suivant le rayon du cercie; on la compte positivement vers le centre et n6 -gativement dans le sens contraire. Soit alors N sa valeur alg~brique, la seconde des 6quations intrinse'ques du mouvement devient car N coifncide avec sa projection sur la normale principale; on a en outre ( ig i6o) - in7 g os, in -1 2g<a - z), Ct le rayon de courbure p est la longucur 1 do pendule par. conse'quent on a 2 M(, (a-z)- 721- / 2 (2a3z) 1La reaction dGcroit donc quand lc point s'616ve sur lc cercie, et sonl maximum, essentiellement positif, a lieu pour le point le plus bas. Cette i6ac — tion s'annule et change dc signe aux points ohi in circonf~rence est coup~e 2 a jpar Ia droite 'z =D'apr~s cc qui pr~cede, si i'on suppose lc mobile lancs dans un tube circulaire, le point pressera sur la paroi ext~rieure do tube quand In r~action N sera positive, et sur' ia paroi int~rieure quand N sera n~gative. Le Iplus souvent, le point mobile est reli6 an point fixe par un fitl flexible; tant que la r~action est positive, le fil. reste tendu; mais lorscjue apr~s s'6tre annul/~e elle devient n6gative, lc point tend A se rapprocher dii centre, et le fil ne pent le maintenir sur la circonf~rence. Si ion n~glige la masse du fIl, le mobile quittera in circonf~rence an point oii N =o et se de'placera librement sous laction de son poids; ii d~crira donc une parabole qui se raccordera avec le cercle. Au point de contact de ces deux courbes, le rayon de courbure sera le me'me; en effet, la vitesse du mobile, ainsi que les forces qui agissent sur iui, vNarient d'une facon continue an moment oil le mobile quitte le cercle; 1'6qUation intrins~que qui donne nV2montre alors que le rayon de courbure vanie aussi d'une faco n continue, et les deux courbes sonL bien osculatrices, an point de, contact. La parabole, ayant son axe vertical, est enti~rcment d~termin~e par in condition d'e'tre osculatrice an cercie, au point consid6r6. Cherchons maintenant /i quelles conditions doivent 6tre assujetties les, donn~es pour que le mobile quitte on ne quitte pas in circonf~rence, Consid~rons les droites 6, (z pt et ll(.z =a) (i.i6o). Si a est n6 -

Page  422 422~ TROISIEMAE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. gatif, la reaction ne s'annulerajamnais, car, la droite A e'tant situe'e aul-dessus de la droite II, le mobile qui oscille entre A et A' ne pourra jamais latteindre, 2 a ci la r~action restera toujours positive. Dc MmeM Si est superieur i, la droite A sera exte'rieure au cercie, et la reaction ne s'annulera pas; le mobile de'crira pe'riodiquement la cireonf~rencc d'un mouvement continu. La reaction ne s'annulera done que si ion a 0 <C(t < c 1est-i&-dire en remplacant a par sa valeur, si ion a 02gt < tO < v'41I vo de'signant, comme plus haut, la vitesse an point le plus bas. 249. Mouvement du pendule simple dans un milieu r6sistant. - Si I'on veut tenir compte de la resistance du milieu ofi se fait le mouvement, il suffit dlajouter aux forces N et - Mng qui agissent sur le mobile, une troisidme force R-dirigde suivant la tangente, en sens inverse du mouvemnent et croissant avec la vitesse. L'6quation des forces v-iv7es on la premidre des 6quations intrinsedques du mouvement C12 S Mt Ft donnera. alors (12 0 6quation dans laquelle les projections sont faites sur la tan gente dirigde (lans lc sens des arcs positifs. io Nous traiterons le cas ces oscillations trds petites dans un milieu ohi la rdsistance est proportionnelle A la vitesse. Dans ces bypothdscs, on aura et l'quation du mouvement deviendra, en remplacant sinO par 0, d2 0 dO dt2 ctt - Cette equation convient aussi bien an mouvement descendant qual inouvement ascendant, car le signe de R change avec le seas du monvemnent. L'edquation du mouvement est une 6quation line'aire A coefficients constants; pour l'intedgrer,) posons 0 ciet,

Page  423 CIJAPITRE XI. - MOUTVEMENT D IUN POINT SURt UNE COURBE. ~j2)3 nous aurons, pour determiner 7-, 1Y6quation 7-2 ~ k r +Si l'on suppose la rcesistance tr~s faible, ces deux racines seront imaginaires, et nous pourrons poser 7- k-4- -Y. avec / ~ de sorte que l'int6grale ge'nerale de e'~quaLion du mouvement sera 0 e-let (.cos ~xt -B sin 1t t). La vitesse angulaire sera donn~e par c-At (Bu t-Aik) cos I-Lt - (A At —B k) sin,,,t tJ. cit Supposons le mobile abandonn6 sans vitesse initiale du point Mo); soit 00 Fllagle d'e'cart initial. En faisant t =:o dans les formules pr~c~dentes, on voit que A =00, B= ~ Avec ces valeurs des constantes, la valeur dL- la vitesse sera dO __ o0(k2 -e snit dt - sn-t Le mobile partant de MO d~ecrit un are de cercie MO All et arrive jusqu'en un Fi- i6i. 0 1NN2 point Ml (fig. i~i) ofi lavitesse s'annule; la dur~et, decette demi-oscillation dIO, est ln premiere valeur de t annulant i'cest-ii-dire t1 t Le mobile

Page  424 44 TIROISIEME PARTIE. - DYNA-MIQIJE DUJ POINT. rcviendra ensuite sur ses pas jusqu.au. point M12, ohi il arrivera ~i e'~poquc 2 et anide sut;les oscillations sont isoehrones comme dans l ILe ini sit;l vNIide, mais in duri'e des oscillations est un peu. augment~c, car on a 7:c pt< 4 et, par consequent, - > 7: I ~~~~~~~~~~UPour e'tudier les variations de lamplitude, reportons- nous A l'expression de 8 0 eklt (Oo cos ~t t -!kio sinp.tt Si ion y fait t1 -,On trounve -2 k7: donc 01 est < 0o. An temps t2-. on aura 02 - 00 e et ainsi de suite. Les amplitudes varient done en progression g~om~trique de raison 20 L'6quation du mouvement s'inte'gre encore ais~ment, m'm e pour des oscillations d'amplitude finie, dans le cas d'une resistance proportionnelle au carr6 de la vitesse. Pour lc mouvement ascendant, on a dt2 - siO- t2 — ]'equation du mouvement descendant s'obtiendrait en changeant k2 enl - k2. Prenons pour nouivelle variable 0'- nous aurons cit dO' do' dol0 o do' __ d(0'2) cdt odt dO 2dO et l'6quation du mouvement deviendra id(0'2) — k 1 L'6qtiation prive'e dii second membre a pour integrale ge'ne'rale 0'2 -=A e-2k'O. Nous chercherons une int~grale partieuli~re de 1'6quation compl~te de la forme 0'2 r- X cosO H -.L sinO0; on -Noit facilement que, pour satisfaire A 1'6quation propos~e', il suffit de, faire, 2g 4~~~~~~~~~Ltk2g 1(4 k~~~~ 1(4 k' -i)'

Page  425 CHAPITRE XI. - AlOUVEIMENT D'UN POINT SUR~ U-NE COIJIBE. 425 et l'int6grale ge'nerale sera O'2 - -el' cosV - 4k2g sinO = A I A/k4 0~Ls) 104+ i i On aura t en fonction de 0 par une quadrature qu'on pourra effectuer en termnes finis dans le eas d'amplitudes tr~s petites. 2-3O. Pendule cycloidal. - Nous e'tudieroas sous ce nom un -point mat6riel pesant assujetti ~i se de'placer sans frottement sur Line cyclo~de ~ base horizontale situ~e dans un plan -vertical et tournant sa concavit6 vers le haut. Prenons pour origine le point le plus Las de la courbe et pour axe des z la verti cale dirige'e -vers le haut:soit R le rayon du cerele ge'n~rateur. Rappelons tout d'abord quelques propri~t~s e'16mentaires de la cyclo~de. Consid~rons une position du cercle g~n~rateur et le point d~crivant M; la normale A la courbe est, MB (fig. i62-), le centre. de courbure est en E Fig. 162. 0' E A B _ _ _ _ _ A P C 0 sym6trique de Al par rapport A B, et le lieu du centre de courbure E est une cycloidc e'galc A la cycloide donn~e, ayant ses sommets en AA,; enfin la tangente MC est moiti6 de lFarc OM qui sera dGsign6 par s. Dans le triang-le rectangle BMC, on a MC2 = BC. CP c' est-A-dire S2 ~~~dz s La projection du poids sur la tang-ente ftant egale a - mg j- sera - fing S L'6quation des forces vives ou l'~quation intrins~que donne donc d2s g 4 R

Page  426 426 TROIS1EIE PA'RTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. Nous retrouvons la meme equation que dans le mouvemcnt rectiligne d'un point materiel attire par un centre fixe proportionnellement i la distance. Nous aurons pour integrale generale s = A cost t B sin t qui se reduira a s - so cos t4 lorsque le mobile sera abandonne sans vitesse initiale a une distance So dc l'origine. Dans ces conditions, le temps que met Ie mobile pour arriver au point le plus bas est T = c V/; la duree de l'oscillation est done indcpendante de la position initiale du mobile, c'est-a-dire de lamplitude: le mouvement est dit tauztochronte. Huygens a realise materiellement le pendule cycloidal de la facon suivante: au point de rebroussement O'dela developpee il attache un fil dont la longueur 4R est egale a l'ar e de veloppee O'A. D'apres les proprietes rappelees plus haut, si i'on assujettit le fil h s'enrouler successivement sur les deux arcs O'A, O'A', l'extremit6 M de ce fil d6crit la cycloide considcere. Reaction 0ormnale. - L'une des equations intrinseques du mouvement donne F, -+- N. Or v' = 2g (a - z), p = 2 11, F,, = - m1g cos = _ — /Rgz ----- en appelant x l'angle de la normale avec la verticale et remarquant que 9R-z est la projection de MB sur la verticale. On a done m2z a (- z n) (2 R - z) N- +. niB il MB Dans le cas particulier ou le mobile serait abandonne sans vitesse au point de rebroussement, on aurait a = R, le premier rapport deviendrait egal au deuxieme et la reaction serait N m(l(2R — Z) N = 2 =- 2 /11. N =2 --- MB -— Li,,. La reaction est alors egale et opposee au double de la composante normale du poids (EULER).

Page  427 CHAPITRE XI. - 3IOLTVEAIENT D'UN POINT SUR IJNE COURBE. 42-7 2~iI. Mouvement d'un point pesant sur une courbe situ6e dans un plan vertical avec resistance de milieu et frottement. - Supposons, pour fixer les ide'es, que la courbe lourne sa concavite6 vers le haul et que le mobile se meueve en Sens contraire du Sens 0'S, choisi Sur la courbe cornme sens posilif ctes arcs s (fig. i63). Fig. A63). S N — ~~ 021 Appelons z. l'angle que, fail avec, une horizontale la Langente MT, menee dans le Sens des arcs posilifs. Les forces agissant Sur le mobile sonL le poids mng, la reac lion normale N', la force de froLLemenL f N (no '195i), et la resisiance de milieu R -rn c (c), ces deux dernieres forces e'lant dirige'es en sens contraire de la vilesse, c 'esL-A-dire suivanL la tangenle MIT. Les e'qualioDS iDLrinse'ques donnent cit2 - ng0 sinic -i-f N -1 — lncp( ), BI2 Eliminanl N entre ces deux equalions et renmplacanl - par CA' I CV -on - 7/? on a F'u~o dt '2 d 1I) Sj ds -(Si flI(cos~x)T- ~5() be long, de la courbe o et p- sonL des fonclions connues de s. On a done la' une iqualion diff~renlielle du premier o rdre donnainL v en foncLion de s. line fois ceLte foncLion lrouve'e, on a t en s par une quadraLure. Si la resistance esL nulle ou proporlionnelle au carre' de la vitesse p(v) - kC2, e'~qualion esl line'aire en 92 el l'on peuL achever les calculs. Le point de la courbe pour 1equel sina -fcosa est nul esl la

Page  428 428 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. position d'equilibre limite du mobile, en tenant compte du frottement, si l'on appelle aussi f le coefficient du frottement au depart (n~ 192). 252. Courbes tautochrones.- Nous avons trouve plus haut que le mouvement d'un point pesant sur la cycloide est tautochrone. D'une maniere generale, considerons un mobile assujetti a se mouvoir sur tne courbe materielle donnee sous l'action de forces egalement donnees. On dit que la courbe est tautochrone s'il existe sur la courbe tn point 0' tel que le mobile, etant abandonne a lui-meme sans vitesse, revienne toujours en 0' dans le mneme temps, quelle que soit la position initiale. 1Le point 0' s'appelle point de tautochlronisme. 1 faut tout d'abord distinguer deux cas, suivant que le mobile est sollicite par des forces dependant seulement de sa position ou par des forces dependant aussi de la vitesse. PREMIEaR Cxs. Les forces dependelnt unziquelnent de la position. - Le probleme se pose alors comme il suit: Soit F(X, Y, Z) une loi de force donnee, X, Y, Z etant fonclion de x, z seuls. Sur quelle courbe faut-il assujettir le mo)ile a glisser sans frottement pour que le mouvement soit tautochrone? Supposons une de ces courbes tautoclrones trouvees et comptons l'arc s a partir du point de tautochronisme O'. L'uquation du mouvement est dis dx cdyv dz dn - Ft =- X -4- -Y - + dz dlt'2. ds dC-s ds Le long de la courbe x, y, z sont des fonctions de s; X, Y, Z sont done aussi des fonctions determinees de s, et dans cette equation le deuxieme membre Ft est une fonction de s. Cette equation est alors identique a l'equation d'un mouvernent rectiligne qui s'effectue sur un axe O's sous l'action d'une force Ft, fonction de la seule position du mobile; et l'on veut que ce mouvement soit tautochrone. Or nous avons vu, d'apres la methode de Puiseux, n~ 214, que la condition necessaire et suffisante du tautochronisme est que la force Ft soit de la forme - k/s-, k-2

Page  429 CHAPLTRE XI. - MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE: COURBE. 42() etant une constante positive. Donc, pour que la courbe supposee soit tautochrone, il faut et il suffit que l'on ait ~) ~ X c - y -- Z - - k2s. I cis cls ds Toutes les courbes verifiant cette condition unique seront tautochrones. Le point de tautochronisme s o est evidemment une position d'equilibre stable du mobile glissant sur la courbe. Pour achever de determiner le probleme, on peut se donner arbitrairement une deuxieme condition; voici, par exemple, deux manieres differentes de choisir cette condition supplementaire: 10 On peut assujettir la courbe a se trouver sur une surface donnee (2) /f(x,y, Z) =o. Cette equation et l'equation (), jointes h l'equation evidente lclx' 2 /vI 2S /dz\ 2 (3) ds ) - WS -Tds ) CIS determinent x,, z en fonction de s. L'integration de ces equations introduit deux conslantes arbitraires, outre /i2, qui a deja ete choisi arbitrairement. Si la force derive d'une fonction de forces, l'equation (i) s'integre immediatement, car on a alors Xcd-x - Y dy - Zd = d U(x, y, z) = - 2s, U(xy, Z)= —..- C. 20 Au lieu d'assujettir la courbe a se trouver stir une surface donnee, on peut l'assujettir a etre egalement tautochrone, avec le mmne point de tautochronisme, pour une deuxieme loi de force X,, Y,, Zi ne dependant que de la position du mobile. Pour cela, il faut et il suffit que l'on ait, avec l'dquation (i), la nouvelle equation (I') X1-+dx dy dz X - ds — cs - Les deux equations (t) et (I'), jointes a (3), determinent x, y, z en fonction de s. La courbe obtenue est tautochrone pour la force )X +,jUX1,.., ) et F. etant des constantes positives.

Page  430 43o TROISIEME PAITIE. - DYNAMIQUE DU POINT. Lorsque la deuxieme loi de force derive, comme la premiere, d'une fonction de forces U1, on a aussi k2 s2 U (x,, z) - - -1 C1: la courbe cherchiee se trouve alors sur la surface k1 [U(xy, Z)-C] = t[[Ul(x, y, Z) — C,]. DEUXlEME CAS. Les fforces dcpelzdent de la vitesse. - Supposons que la force (X, Y, Z) depende ou non de la vitesse et qu'il y ait, de plus, une resistance de milieu, fonction de ]a vitesse R =?(), oCil iv gale clt* L'equation du mouvement sur la courbe cherchee est d2 s clx dy dz/ fds\ /1n -- == - Y 1- Z -y -Z -: dc2 cls ds Cs clt x, y, z etant des fonctions de s, le second membre, dont la pre-.,,,dcx cldv cdz miere partie depend de x, i ', z,,d t 1?i pent etre exprime cds en fonction de s et,i L'equation est alors identique a celle du niouvement rectiligne d'un nobile sur un axe O's sous l'action d'une force dependant de la position et de la vitesse. On ne connait pas la condition necessaire et suffisante pour qu'il y ait tautocbronisme; on sail seulement qu'il y a tautochronisme quand la force suit certaines lois determinees, par exemple celle de Lagrange (no 214). On obtiendra done des courbes tautoclrones en egalant, si cela est possible, l'expression dcX y d dz (ds X- Y - Z - - + cdcs ds ds \dtc a l'une de ces lois de forces, par exemple a celle de Lagrange, cds 2 f'(s) ds ` ( * ds ) dt)(s) P t s) dt/ Si cette identification est possible par un choix convenable des fonctions f et, les courbes correspondantes sont tautochrones. Supposons que l'on ait trouve une courbe sur laquelle l'equation

Page  431 C IAPITRE XI. - M OUVEMENT D'UN POINT S IR UNE COURBE. 431 du mouvement est un cas particulier de l'equLation de Lagrange: il est important de renarquer que le mouvement sur cette courbe restera tautochrone si l'on ajoute aux forces une resistance de milieu proportionnelle a la vitesse. En effet, l'equation du nouveau nouvement differera de la precedente par la presence d'un ds terme supplementaire en k t; elle se deduit done de la precedente en remplacant dans la formule de Lagrange la fonction S par - + k. Par exemple, la cycloide, etant tautochrone pour la pesanteur, le restera si l'on ajoute une resistance proportionnelle a la vitesse (NEWTON). Pour traiter un cas precis, supposons la force X, Y, Z fonction de la seule position du mobile, et la resistance (v) proportionnelle au carre de la vitesse, l'equation du mouvement est, en supposant m71 - I cd2s d-x cd' dz c /ds)2 -- X -4-X- Z-,dt ds cs cs dti equation qui, en remplacant () par v, est de la forme d2 Otl p 2/k2, q- (= X Y- Y Z q u eran f ds d cs ds q etant une certaine foncLion de s. Pour qu'il y aiL tautochronisme, le point s = o etant le point de tautochronisme, il faul et il suffit (no 214, deuxieme exemple) que l'on ait (s teant ici la variable) q — 2d -= 4 h2, olI h designe une constante et oh q s'annule au point de tautochronisme. Remplacant p par la valeur 2k2, on a 9h2 q = r 2 - e'cs], la constante introduite par l'integration 6tant determinee par la condition que q s'annule avec s.

Page  432 43 —) TROISIEMAE PALTITE. - DYNAMIQIJE DU POINT. La condition de tautochronisme est, done (EULER ci Jean BERNOLLLI ). (~~) ci~~s ds ds k[' l a laquelle on poturra, comme dans le premier cas, adjoindre soil l'equalion d'une surfacee, soit la condition pour que la medme courbe soil tauLoehrone pour une deuxie'me loi de foree. S'il existe une fonetion de force U, on peut intedgrer ci lon a U zy,)=U9Ls Ie s1C. Comme v'rificalion, lorsqle, k2 -tend vers zero, la resistance disparait et l'on retrou.Ne les courbes tanutochrones pour uine loi de force dependant uniquement de la position effectivement, dans cette hypothese, le second membre de la condition (5) Lend vers -1 hS. No-Ls ne traiterons pas ici en delail le cas oui ii y aurait uifrottenent, venant s'ajoulcr 'a une resislance de milieu.; noues renverrons Ic lecteur 'a une Note de AL. Darboux (Ilkecaniqite de Despe~yl'ous t. 1, Note X111) et 'a un Mdemoire de M. Haton de la Goupili~re(Jo ulnal cde Liouv'ile, L. X11 se srie). Nous nous b ornerons 'a cdlerminer plus loin la tautoebrone plane pour la p~esanteur,,quand il, y a frotternent. 20-3. Applications. - C~ Pesan/cur~ sans re~sitance dle milieu nifjrotlemnent. - On peut tout d'abord raniener la reeherebe des courbes tautochrones gauclhes, sous laction de la pesanteur, a celle des courbes planes. En effet, imaginons une tautoebirone gauche C et consid~rons le cylindre projetant Cette courbe horizontalement; si i'on d~veloppe cc cylindre sur uin plan vertical, en maintenant ses g6n6ratrices verticales, la eourbe C dev~ient une courbe plane C' de m~ine longucur, el la composante tanDgentielle Ft du poids du mobile n'est pas niodifi~e. Par cons~quent, le nmou-vement n'est pas chang6 el la nou'velle courbe est tautoebrone. L'op~ration inverse permet de repasser de la courbe plane C' A la courbe gauche C. Nous allons 6lablir que la seule courbe tautoclirone pour la pesanldur, silu~e dans un plan vertical, est. la cyclo'ide. Prenons pour origine le point de tautoebronisme sur la courbe taulochrone, l'axe des z 6tant -vertical et dirigS -vers le haut. La force donu~e 6tant la pesanteur, on a actuellernen X o, Y =o, Z -Mg, et lacompoane anenieleF1deIafoceet ng ~i. ete omosntddi posante an-entiele Ft dela forceest - Mg C etismosnedi

Page  433 CLIAPITRE, XI.- MOIJVEMENT D'UN POINT S[JR _UNE COUR BE. 433 6tre de in forme -k2S. On a done, en d~signant par h2 Ulne constante positivc, ClZ h2S h2 S2 sanls ajouter de constante, car z s'annule avec, s. Cette 6quation est caraet~ristique d'une cvelo'fde ayant sa base horizontale et son sommet i lorigine. 20 Pesantettr avec resistance de mtilieut proportionne lie a V2.Laxe Oz 6tant toujours vertical et dirig6 vers le haut, l'~quation du mouvement d'un point pesant sur une courbe avec une resistance de milieu, fonction de v', est de la forme i2 S dz v ayant in valeur.Cette 6quation reste encore in medme si ['on de'vecit loppe sur un plan vertical le cylindre projetant horizontalement ln courbe. On est donc encore ramen6, pour avoir toutes les courbes tautoclirones (lans les conditions indique'es, h ehereher celles qui sont situ~es dans un plan vertical zOx. Nous examinerons lecaes oii yt) k2 V2; e'~quation est alors dz ~ ~ ~ c~s d d) oi s- est. une certaine fonction de s. DUapr~s l'exemple general que nous avons traitd pour le cas d'une resistanee proportionnelle au cnrre' de in vitesse, in condition n~e'essaire et suffisante de tautochronisme est ( formule 5, page 432) oien inte'grant et remarquant que z s'annule avec s, on d~duirnit z en fonction de s. Mais ii est plus simple d'exprimer les coordonn~es x et z d'un point de in courbe en fonction de langle a que fait in tangente avec 0 x. On a dz ~~dx Pl'iquation pre'c~dente donne done I - ek"s gk2 sin a, d gecos ida On a done d- Cgos asin ada dx CO2 d h2~ h.-,sin Ii~ — gk 2 siri c 1. 28

Page  434 434 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIIQUE DU POINT. d'oii z et x en. fonction de a par des quadratures 616mentaires. En faisant. k2= o, on retrouvera. la cycloide. 30 Tautoc/irne pour la pesanteur clans un plan vertical, en tenant coMnpte du frotternent (cyclo~de). - L'6'quation du mouvernent d'un point pesant sur une courbe situn'e dans un plan vertical avec frottement a &ti ktablie dans le n' 25i1. Cette 6quatioln est, en laissant de cWt la r6isistance du milieu, (192 2 fV2 0 - 2g(sin. - feCos ) -+a di~signaint linelinaison de la tangente sur l'horizon et p le rayon de courbure ~~.Cette equation, dans laquelle a et p sont des fonetions de s da le long de la courbe inconnue, est de la forrne dc2 q ds =2f qs1na fcoso La eondition de tautoebronisme est (p. 327) pqj - d!q- 4/12, o~ti h est constant et oii q s'annule au point de tautoclironisme 01, point qui a 6ti' caracti~rise' dans le n" 20'1 par ce fait que le coefficient angulaire de la tangente y est 6gal Atf Remplaeant p et q par leurs valeurs, on a, en se rappelant que p =ci cis (If2gO X s -6 (I1~1-f2) sin i, en comptant Fare it partir du point le plus bas. Cette 6quation est camecturistique d'une cycloide:on peut le vitrifier directement et ion pent encore remarquer que la forme de le'iquation reste in mitme quand on fait f = o, et alors, d'aprits la premiitre application, on a une cycloide. L'6quation ci-dessus ne contenant J qu'au carre,, 'le tautoebronisme a lieu quand le mouvement se fait dans les deux sens (NECKEn, Me'nzoir-es des Savants 0tranger-S, 1763). Le point de tautoebronisme n'est pas le mc'me suivant que le mobile marclhe dans un sens on dans lautre. Quand le mobile glisse sur la moiti5" de ia courbe situe'e At droite du point le plus bas, le point de tautocliro

Page  435 CIIAIP1TRE XI. - MOtTVEMENT D'N POIN'T SUR U.NE COURBE. 3 nisme est le point 01 tel que tanga =f; sur l'autrc moiti6 dc la courbc, c'est le point 02 situ6 ~t la meaine hauteur que 01. Le mobile e'tant placd sans -vitesse en un point de l'arc situe' au-dessous des points 01 et 02, y reste en 6cjuilibre avec frottement au repos. 40 Forwces centrales. - Si un point est sollicit6 par une force centrale fonction de la distance et par une resistance de milieu,. on pent encore rarnener la recherche des courbes tautoclirones gauches A celle des courbes tautoclirones planes situd'es dans, un plan passant par le centre des forces 0. En effet, prenons une courbe C et tracons le co'ne de sommet 0 et (lC directrice C, puis ddveloppons ce co'ne sur un de ses plans tangents: la courbe C se transformera en une courbe plane C', et l'edquation du mouveme~nt snr la courbe C' sera identicjue, ~ i'6quation. du mouvement sur C, car le de'veloppement ne modulie ni la IOnDgueur des arcs de courbe, ni la distance des points an centre des forces, ni l'inclinaison de in force centrale sur la conrbe: a-vant et apr~s le ddveloppenment, s et Ft sont done les ni~mes. Pour que la courbe C soit tautochrone, il faut et il suffit que la courbe plane C', dont le plan passe par 0, le soit. Supposons qu'il n'y ait pas de resistance pour traiter le cas le plus simple. Prenons dans le plan un syst~rne de coordounnes polaires r et 0, ayant pour 6rigine le centre 0, et soit U (r) f F dr la fonction des forces (F 6tant fonction donnde de r-), la condition de tautoehronisme est k s2S U (r)=z -ye 2 comme l'arc est compt6 A partir du point de tautochronisme, on a, en appelant a lc rayon vecteur de ce point, c =U(a). On est ainsi ramene' A chercher une courbe plane dont Ilare s est une fonction connue der ks= V2 c- 2)U (r-). Diffrentiant, remplacant ds par sa valeur Vdr2_4 i~2d02, puis re'solvant par rapport h dO2, on est ramen6 A une quadrature. Par exemple, si la force est une attraction proportionnelle Ai ln distance, on a F pa'7, U (7r) ks =V,,_t( r2 - a2. Ces courbes sont on. des 6picycloides on. des spirales qui ont e'te e'tudid'es par Puiseux (JoIUrnal de Liouville, t. IX. Voy. Exercice, II). Parmi ces courbes se trouve 6videmment une droite correspondnnt an ens -oh k = U le point de tautochronisme 6tnnt le pied de in perpendiculaire nbnissde de 0 sur in droite. On retrouve ces mdmes courbes quand on tient comnpte du frottement,

Page  436 436i TROISIEMIE PARTIE. - DYNA1AIIQUE 1111 POINT. (DARBOUX, Note ii la M41canique de DespeyrO US); M. ilaton de la Goupilli~re a montr6, dans un 616gant article inse'r6 au Tome XIII (2-e s6rie) du Journal de Liouville, que ces me-mes coUrbes, trouv~es par Puiseux, sont les seules pour lescquelles la loi de la force tan gentielle rentre dans la formnule de Lagrangre. 50 Deux lois de forces. - Nous avons -vu. qu'une courbe tautochrone est d~termin~e A~ des constantes pre's quand on exige que le tanutochronismne ait lieu s~par~ment pour cleux lois diff6rentes de forces, le point de tautochronisme 6tant le nime pour les deux lois. Cherchons, par exemple, une courbe qui soit A~ la fois tautoebrone 10 pour la pesanteur, 2-0 pour une attraction Wlintensit6 constante f issue d'un axe vertical Oz. Prenons cet ax e pour axe Oz en le supposant dirig6 vers, le haut nous, pourrons, toujours choisir l'origine et lax-e Ox de telle facon que le point de tautoebronisme soit sur l'axe Ox, Ai une distance a de lorigine. Comme actuellernent la premi~re loi de forces d~rive de la fonction de. forces - gZ et la deunxi~me de la fonction de forces -fi', en appelant r la distance du mobile -' l'axe Ox, on a les, deux conditions de tautoebro-nisine k~2s2 /1fr Scar, pour s =o, zdoit e'tre nul et r 6gal A a. Ces 6quations s'6crivent plus simplement, (i) z ~~-, r-a=z -, 2-b 2C b et c d~signant des constantes positives. L'6limination de S2 montre que la courbe doit 6tre situe'e sur Ia surface b qui est un e~ne de r~volution autour de Oz. Pour achever de la d~tcrminer, prenons un syst~me de coordoannes semi-polaires r, 0 et z. L'eSl6ment dS2 est donne par (3) lS2 = dr2 —4 i'2c102+ dZ2. Exprimons s et z en fonction de r A Faide des formules pr'ce'dentes; I'Cquation (2-) et la deuxi~me des 6quations (i) donnent x I- (r - a), 5= V c (Ir - a); 0'

Page  437 CHAPITRE XI. - MOUVEMENT 1D UN POINT SUR IJNE COURBE. 437 en substituant dans (3) et r~duisant, on a pour e'~quation de la projection horizontale oui a de'signe une constante positive plus grande que a. Conime la courbe part du point de tautochronisrne r = a, 0 = o, on a pris comme limite inft~rieure r- a. La courbe en projection horizontale est comprise entre les deux cercieS r- a et r- =; elle est tangente an premier et niormale au second, sur lequel elle pre'sente des rebroussements. L'int~gration se ram~ne A 1'int~grale d'une fonction rationnelle par la substitution 6vidente 7 - a 25i4. Courbe brachistoclirone pour la pesanteur. - Cherchons d'abord la courbe brachistocbrone pour la pesanteur. - Etant c17loens detux points A et B donit le plus eleve est le point A, elterchons par gaelic COUr-be C ilfautitoindre ces cleux points pour qu'un point materielpesant, abandonn6 a' luim ne sans vitesse initiale en A et glissant le long de la COur7be, arrive en B dans le MOINDUE TEMPS possible. Cete courbe est, la courbe brachistochrone (fig. i64) pour la pesanteur, on courbe de plus rapide descente. Fig. i64. C Prenons potur origine le poini A, pour axe des Z, la verLicale Az vers le bas, pour plan des xII- le plan -vertical contenant les deux pointis A et B. Si. un point pesant de masse mn glisse sans frottement sur la courbe C, la -vitesse iniliale en A e'ianL nulle, la vi tesse

Page  438 438 TROIS1AIME PARTIE. -- DYNAMIQUE DU POINT. v dans la position mn sera donnee par le principe des forces vives sous la forme (-2 -= S. cds En remplacant v par c-t i ds designant un element d'arc, on a /dsy 2 f '0ds en appelant t le temps que met le mobile a arriver au point B. Pour rendre ce temps minimum, il fatt determiner la courbe C de facon a rendre minimum l'integrale definie ci-dessus, qui est de la forme (x, y, z) ds, Oil (A Nous avons trouve precedemment (Chap. VI, ~ III) que la courbe rendant minimum une inlegrale de cette forme est la figure d'equilibre d'un fil sous l'action d'une force derivant de la fonction de forces -- (x,y, ), la tension ieant cp (x,y, s). Les trois equations differentielles que nous avons donnees pour cette courbe se reduisent a deux, comme nous l'avons vu. Dans le probleme que nous etudions, C(x,yz) -U/, la force do do quL agiraitsur le fil serait verticale, puisque l'on a = o, - o, la figure d'equilibre est dans le plan vertical passant par les deux points donnes. Si l'on prend alors ce plan pour plan des xz, il suffira d'une equation pour definir la courbe. Nous prendrons la premiere des equations generales d ( c) - ds o, qui se reduit a i dlx\ dx (/z ds )z ds par suite cl,2 = C2 cls2 C z(clx2 -- dz2). Les variables se separent et l'on a, en posant 2 a R, dx = dz / —R2 R - z

Page  439 CHAPITLRE XI. - )TIOUNVE1)iEN-T D'UN POINT SUR UNE COTJRBE. 439 equation diff~rentielle d'une cycloide dont la base est l'axe Ox. On retrouverait facilenient les equations de la courbe sons, la forme habituelle en faisant z=R( i - cosO), CIX= Rsi2 ' A =xo-1- R(O -sinO). La cycloide devant passer par le point A, x0, o, ei le point A. est le point de rebroussernent de la courbe (fig. i164). Pour ach~ever de determiner la eyecloYde C passant par les deiix points A et B3, on construit une quelconque C' des cycloides ayant A pour rebroussement et pour base Ax, on joint AB qui. coupe C' en B', pu~is on transforrue la cycloide C' par homothe'tie en prenant pour centre d'homnothe'ie le point A et pour rapport d'homothe'tie lc rapport de AB' 'a AB. Dans cc qui pr'ce'de, nous avons, pour simplifier, suppose' nulle la vitesse initiale avec laquelle le mobile part de A. Si l'on voulait trouver la courbe de plus rapide descente de A en B, en supposant cine le mobile est lance' en A le long de cetLe courbe avec une vitesse donne'e c., il suffirait de remplacer l'inte'grale par La courbe serait encore une cycloide avant sa base horizontale, mais cette base serait situ~~~~~~~~~~~~e ~~ la hauteur -~~~~~ 2g Ossian Bonnet a ve'rifie' que la cycloYde donne effectivement le temps de descente minimum. 255. Brachistoclirones en g~n6ral. - Supposons un mobile sollicite, par une force F de'rivant d'une fonction de forces U (x, y, z). Cherchons la courbe C par laquelle il faut joindre deux points A et B pour que le mobile, e'tant assujetti "a glisser sans frotement le long de cette courbe ci lance' de A avec une vitesse dIonne'e vo, arrive en B dans le moindre temps pos

Page  440 440 TROISIEME PART'IE. - DYNNML1QUE DU POINT. sbe(fig-. i63). Cette courbe C est brachistoclirone pour la lo' de force donne'e. Le the'ore'me des forces vives donne, en appelant, x0, yo, zo, les coordonne'es de A, 0 ~U(X,y, Z) - U(X0,yo, zo) ou, en posarut h - ___ - U(xo'yo, zo), ' - dit - Ux- I~2 (B) t- s U (x, y, z) — (A) ) U(X,y,Z)-2 h, Telle est l'inLe'grale qu'il s'agit de rendre minimum; elle rentre dans le type general etudie' dans le Chapitre VI, ~ III, en faisarit /2 U (x,y, Z) -F / D'Iapre's ce que nous avons vu dans le Chapitre VI sur les courbes rendant, minimum l'int~grale J' ~(x, y, z-) ds, la courbe cherche'e sera la figure d'e'quilibre d'un fil flexible soumis 'a 1FacLion de la force F4 qui a pour projections - V2(U hI) Y~ V2( U -Fh) '~( — h la tension du flu e'Lant I___ V'2U -v[h) Les eqilations que l'on obtent ainsi ont, 6tLe donne'es par Roger (Journal de Lioucille, 1 848). On sait que l'on pent, ramener' le proble'me "a des quadratures lorsque cette force fictive F,' et, par cons~quent, la force F r6 -sultent, de FL'atraction d'un point, d'une droite ou d'un plan fixe en fonction de la distance. T]IO1~1~1E D'EIJLER. - Dans le inoiweient brachistochrone, la 7-jaclion normale est diirig~e suivant la normale principale, e'gale et opposee au double de la composante nornmale de la force. En effet, regardons la courbe comme la figure d'6quilibre dun fil. Les

Page  441 CIIAPITRE XI. - MOUVEM~ENT D'UN POINT SUR UNE COURIJE. 44i cormposantes de la force fictive F1 agissant sur lc fil qui est suppos6 remplacer la courbe sont 3~ dU Y, (U -i- h,)] 2 in tension du flu ~~~~~tant v'U -~h) D'autre part, ia force F qui agit r~ellement sur le mobile a pour projections les 6quations intrins~ques de 1'6quilibre du fil donnent (Fl)B =0, (FI),, T 0 Les projections de F,1 sur les trois axes 6tant 6gales aux projections de F multiplie'es par [2-)(U ~-~ I)]2, il en est de rneme des projections sur la binormale et la normale. On a done 3 T I d'o ft on, d'apr~s 1'6quation des forces v\ives, 10 Prenons maintenant les equations intrins~ques du mouvement, nous a urons FnB~NB =o, Ft, -~Nilzmon, en tenant compte des equations (i) et (2), NB =o, Ni, = - 2_F,, Ces deux e'galit~s d~montrent la proposition 6nonc~e, que nous avons

Page  442 42 TROISIEM AE PARTIE. - DYNAMIQtJE DU POINT. ve~rific'e pour la cycloide (no 250O). On pent, consulter an sujet de ce th~or~me une Note de IM. Andoyer (Comptes r-endats, t. C). M. Baton de la Goupilli~re a eomplft6 e'~tude des braehistoehrones en traitant le cas d'un syst~me de forces d~pendant de la vitesse avec frottemenL, et en r~solvant le ptrobl~me inverse des brachistoehrones (Me'inoires de l'Acacleinie, t. XXVII et XXVIII). 25~6. Application des th6or~mes de Tait et Thomson aux brachistochrones. - Nous avons indique' dans le Chapitre VI plusienrs propri6t6s inte'ressantes des eourbes rendant minimum une int6grale de la fornme (i) ~~~~~I 0 f (Xyz) ds. Ces proprie't6s, appliqn6es eni particulier anx cou rbes braehistoehrones, s enoncent sous une forrne simple. On obtient, les courbes brachistoetirones relatives une loi de forces de'rivant d'une fonetion de forces U (xy, z), en cherchant les courbes rendlant minimum l'inu6grale h ayant une valeur dktermine'e. Cette valeur 6'tant ehoisie, clans tous les monvements que ion considdre les coordonn~es de la position initiale et la grandeur de la vitesse initiale sont 1ies. par la relation - U (x0, yo, zo ht. L'int6grale (f) dev~iendra done identicjue At (2) si ion prend Q (X,y, Z)T V'L(x "x z) -+-h et la -Nalenr de l'intitgrale I prise le long d'une courbe est pre'eisetment itcale an temps t que met un mobile de masse i ' parconrir cette courbe sons Faction de la force considitrite dlans les conditions initiales que nous venous d'indiquer. Les courbes brachistochrones sont, alors les courbes appelites pritce'demnient (n' I58) les coitrbes C, qui ditpendent de qnatre constantes arbitraires. Par exemple, si lon fait U - gz, h =o, les brachistochrones sont des cycloides situe'es dans des plans verticaux an-dessous du plan des xy et ayant leurs rebroussements dans lc plan des xy. Revenant an cas gitniral, nous verrons que la formule fondamentale de Tait et Thomson s 'inonce ainsi Soient ACB et A1C1B1 deux COurbes b5rcthistoch7'ones infninirent

Page  443 CH-APITEE XI. - MOUVEMENT D UN POINT SUR TINE COURBE. L443 voisines pa7rCOurats par an inobdie dc Mcsse i, la p7reMINre pezdan1t ic tempijs t, in deuxbeiine pendantt le teiMPS t -v- O', onl a (no 139) — ______ cos BAA1 - e) osABB1, VU-4- h.) V')(UB -I- It) UA et UB clisignan~t les valeur7s cde U aux extiaCniitis A et B. Voici quclie formie preninent alors lcs propositions 6none6es dlans, lc n-0 1309 comme application de la formule de Tait et Thomson 1o IEtant donn~cs deux surfaces fixes S et El la courbe qu'il faut tracer de lone des surfaces it lautre pour cjue le mobile assujetti it glisser sur cette courbe, clans les conditions initiales indiqu~es, mette le temps MiniMIMI it la parcourir, est une brachistochirone nornmale it la fois aux deux surfaces. Le thitoritme subsiste si June on lautre des surfaces, ou toutes les deux, sont remplacites ipar des courbes on des points. Par exeniple, ittant donnits un poinit A et un plan P, la courbe qu'il faut tracer dc A jusqu'au plan pour qu'un mi-obile pesant, abanclonnit sur cette courbe sans vitesse au point A, miette lc moindre temps possible i't arriver anL plan, est une cycloide situite dans un plan vertical, ayant une base horizontale, admettant un rebroussement en A et coupant norm alement lc plan P. 2~ Si Ion considitre les brachistochrones normales it une surface S et si on lance sur tontes ces brachistochrones, an mitmc instant initial t = o, des mnobilcs iclentiques an mobilc donnt clans lcs conditions initiales inclicquies, it un instant cjuelconque t, tons ces mobiles se trouveront sur une snrface 5' itgalement normale aux. brachistoebrones. (Ce thitoritme a ditji i'tti indiqu6. par Enler.) Par exemnple, si lon considre toutes les cycloides issues d'un po int A. et adlinettant cc point pour rebroussement, avec one tangente -verticale Az, et si lon abandonne At linstant t - o, sans vitesse, des points pesants sur toutes ces cycloides, At on instant quelconque t ces mobiles seront sur tine surface 5' normale At toutes les cycloides. Dans cet exemple, la surface S est ritduite i't un point A:la surface 5' est itvidenmment de ritvolution antour de AZ. Nous proposerons comme exercice la vitriication de cette proposition sur la cycloYde. 30" Enfin la formule de Tait et Thomson permnettrait ditnoncer itgaleruent pour les brachistoebrones des thitoritmes analogues aux propriittis des ditveloppites, en remplacant dans les itnoneits classiques les longucurs des arcs de courbes par les temps que le mobile mettrait it les parcourir sil 'tait assojetti it glisser sur ces arcs sans frottement. Nous n insiste-. rons pas sur ce point que Eons proposons comme exercice. 257. Brachistoclirones sur une surface donn6e. - I s'agIt alors de Lrouver stur une surface donne'e f(x,y, Z:) o, parmi

Page  444 444 TROISIEMIE PARTIE. - DYNAMIQUJE DUJ POINT. toutes les courbes joignant, deux points A et B, celles qui rendent cis 1'intlgrale f U minimum. Ce proble'me est identique a~ celui clui a e't6 traite' no 161, sauf 'le changement de?(x,y, ~ en -. Ise rame~ne "a la recherche de le'quilibre d'un fii 2U -i-Ic sur la surface donne'e. II. - MOUVEMENT D'UN POINT MATERIEL SUR UNE COURBE VARIABLE. 2538. Equations du mouvement. - Nous supposerons un mobile assuLjetti 'a glisser sans frotternent sur une courbe C dont la forme et la position varient avec le ternps; rapporte'es 'a des axes fixes, les equations de cette courbe seront La reaction normale N de la courbe aura pour projections (N) Xf~1, j~ ~ f-_~i dX dX ~ Dy dy' ~dz coz et l'on pourra conside'rer le mobile comime libre, mais soumis 'a lFaction des forces donne'es de resultante F et de la reaction N; les equations du mouvement seront alors d2y X JD/ (I) cit~~~2 Dy Dy mdt) f Ces trois equations, jointes aux equations de la courbe, determineront x,,z c'est-a'-dire le mouvement dii point et,), c'est-at-dire la reaction en fonction du -temps. Il est bon de remarquer que la reaction ne disparait pas dans 1e'quation des forces vives. On pent s'en assurer analytiquement en multipliant les equations (i) par dx, dy, dz et ajoutaint; dans cette combinaison les coefficients de ), et de ),, ne sont pas nuls. En effet, quand t

Page  445 CHAPITRE XI. - MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE. 4i5 croit de dt: x, y, z croissent de dx, dy, dz et, la fonction f(x,y, z, t) restant nulle, on a df J. d 4f Of off -f dxc -- /dr -+- dz + — dt- o; ox dy " Oz t = le coefficient de ) se reduit donc a d- - dt; de meme celui de )i a ft. a — i dt. Ce meme fait resulte geometriquement de ce que, le deplacement reel du mobile ne se faisant pas tangentiellement ia la courbe materielle, le travail de la reaction n'est pas nul. Pour eliminer la reaction, on operera comme il suit. 259. Equation de Lagrange. - Soit q le parametre qui definit la position d'un point sur la courbe C; a l'instant I les coordonnees d'un point de cette courbe et, en particulier, celles du mobile seront x (q, t), y -= (q, t), z = m(q, t); le mouvement du mobile sera connu lorsque l'on aura defini la variation de q en fonction de t. Multiplions les equations du mouvement (i) respectivement par i' I' et ajoutons-les; les coefficients de), et de ), s'annulent, car ils reprdsentent a un facteur pres les cosinus des angles que fait la tangente a la courbe C avec les normales a chacune des surfaces f o, f, = o; il restera alors,(2) "( Idxr do d2y dt d2z dM d(2) cit2 tq lt- dq dt Oq - Q' en posant Q = X Y C'est l]a l'equation du mouvement definissant en fonction de t la valeur du parametre q qui sert a fixer la position du point sur la courbe. Pour ecrire cette equation d'une maniere commode, nous emploierons une transformation importante qui est due a

Page  446 44G TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. Lagrange et que nous retrouverons dans le probleme le plus general de la Dynamique. Appelons q' la derivee du parametre q par rapport au temps, et x', y', z les projections de la vitesse du mobile sur les axes. D'apres la formule x =?(q, t), l'abscisse x du mobile depend du temps directement et par l'intermediaire de q, qui est une fonction de t; on a done (3) x'= q - Oq at Considerant x' comme une fonction des trois lettres q, q', t, on a manifestement Ox ' 00 Ox' ), 2 ',3 oq' Oq Oq Oq' + Oq Ot Cette derniere formule montre que o.x'_ d /dl.\ O)q c dt 0q)' car, - dependant de t directement et par l'intermediaire de q, on a d /()\ y ')2 ( (2 clt /) 0q2 0ot On etablira pour x ety des formules analogues: Oc>' o);3': d / (7\ Cela pose, l'equation (2) peut evidemment s'ecrire dt \m I x d' z Om + z d- car 1. est egal a cl.... En remplacant dans cette derniere,. C0 c) 3,. o,:' Or' (oz' e quat ion -?,, par leurs valeurs ci-dessus s - d - dq t q qq' dqq' <q

Page  447 CHAPITRE XI. - M~O1JVEMENT D'UNT POINT SUR U-NE COURBE. 447 d 7dyp d7&dL d 7Om~ ox" dy' dz' et -1,-I-i, — (I par leurs valeurs, — o n a cit \dq/ dt dq/ dt \cq/q q ~ 1' equati on on enfin, en de'signant par T la detni-force vive du mobile I 2 d d)T dTQ 'est Llat le'quation dui mouvement d'apre's Lagrange. La quailtite' T, apre's qu'on y a remplace' x', y', z' par leurs valeurs an.alogues 'a (3), devient une fonction de q, q' et t, du second degred par rapport 'a q'. Une fois cette fonction T ainsi calcule'e, on decrt imme'diatement ie'quation (4). Nous avons dentr pius haut la valeur de Q. On peut determiner cette quantited Q 'a l'aide de la remarque suivante, Jmaginons qu'on imprime an point mobile le de'placement virtuel que l'on obtiendrait en laissanL la courbe C immobile dans la position qu'elle occupe 'a linstant, t et de'placant le point sur cette courbe; oui analytiquement, imaginons qu'Ion imprime au point le de'placement obtenu en laissant t constant et faisant cro"itre q de ~q; on a alors 8x oql OY )q z -- 5Q q. Pour ce de'placement virtuel, le travail de la force donne'e X, Y, Z est X ~x-+-Y y 8 ~Z ~z X (x>+-Y ~1Z %m6 Qo'q. La quantiteA Q est done le coefficient de ~q dans lexpression de ce travail virtuel. S'il existe une fonction de forces U (x, y, z), ou me'me si, plus geDeralement, X, Y, Z sont les dedrive'es partielles par rapport 'a x, y, z d'une fonction U(x, y, z, t) contenant le Lemps, on a aussi Qu

Page  448 448 TROISIEIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. cette derniere derivee etant calculee apres qu'on a remplace, dans U(x,y, z, t), les coordonnees par leurs expressions (i) en fonctions de t et q. En effet, on a evidemment, U dependant de q, par l'intermediaire de xy, z, OU OU 0? OU 0~ OU O~ =_ X 0~ z Om du du ac u d) du 0 1) u dM a aq dx dq c)y dq dz dq dq dq oq 260. Probleme. - Un point materiel glisse sans frottemnent sur une circonference situee dans un plan horizontal xOy et tournant avec une vitesse angulaire constante o autour cd'un de ses points 0 qui est fixe. Etudier le mouvement dcu point en supposant qu'il n'est sollicite par aucune force directement appliquee. Soit A le point de la circonference diametralement oppose au point fixe: I'angle xOA varie proportionnellement au temps. En comptant le temps t a partir de linstant oi cet angle est nul, on a done (fig. I65) xOA -o t. Fig. i65. y A, Soit C le centre de la circonference, MA le mobile; nous determinerons la position du mobile sur la circonference par langle ACM = 0, qui va jouer le role du param6tre q. En projetant le contour OCM sur les axes, on a z=o et x = R coso t -+ R cos(0 + tot), y = R sin o t -- R sin (0 +- wt). Done, en appelant x',y', 0' les derivees de x,y, 0 par rapport a t, x' = — Rw sin wt — R(0' - to) sin (0 +- wt), y' = R O cos t + R(O' -- o) cos(0 -+ tot), T= R [t2-i- (0 --- t)2- + 2(0('-+ t) cOSO]. 21 dT -= I R2(0'+ to-) 4-to cos 0 ), o0' dT '-0- = — mR2t(0'-i- to) sinO. dO

Page  449 CHAPITRE XI. - MOLJYEMENT D'IJN POINT SUJR LJNE COURIBE. 449 Comme il n'y a pas de forces donn~es, on a Q = o. L'6qtuatioii dui mouvenment (4) devient donc, toutes reductions faites, d2 0 2sn0 dt2= En conmparant cette dquation A celle du mouvement d'un pendule simple d2 0 g. -sino, on voit que le mouvement relatif dui point M, p~our un observateur qui serait entraine' avec le cerele, sera le mnouvement d'un pendule simple dans lequel le point A jouerait le r6le du point le plus bas. La durd'e d'une double oscillation infiniment petite ktant 2Tct/' scra ici I;elle est done pre'cise'ment edgale A la dure'e d'uine revolution du cercle. La dur~e des oscillations finies sera plus grande. Poui calculer la r6action normale N, partons des 6quations du mouvement qui sont d2 X d2y dt N cos(0~ —wt), in7 Ndsin - p)uisque le mobile est soumnis A la seule force N. On en tire N -nzd X co(0 -i-cot)+ 1~sin(0~ qu'on lpeut 6crire d dx dy N - m-/?,- I -cos(0 ~owt)-1 — Ysin(0-~-wt dt cit dt -4p 7m(O'~+ to) L — ~-sin(0 -+p w t) ~4 d~y cos(0-vot)1 dxdt En. remplacant dans cette formule dx et - par leurs valeurs, on a N m nR [ W2 CoOS ~ - (0'-v- o)2] Cette expression depend de 0': la r~action normale nest donc pas la ni~ne lorsque le mobile repasse au me'me point dii cercie en marcbant dains un, Sens ou dans lautre, car le signe de 0' n'est pas le m~rne dans les deux cas. Si le mobile 6tait repouss6 par 0 proportionnellement Ai la distance 1. 29

Page  450 45o TROISI~rME PARTIE. - DYNA1MIQ1JE DUJ POINT. OM = 7, la force r~pulsive e'tant fmr, cett'e force d~riverait de la fonction de forces U =fmnr 21 qu exprimd'e en fonction de 0 deiient 12 U =2fmR2 cos2 - alors on aurait Q~ -= du fm R2sin 0, et e'~quation du mouvement garderait la forme de le'quation do mouvement d'un pendule simple dans laquelle -~serait e'gal At (W2-~-f). 261. Cas oift la courbe est fixe. -- I va de soi que cette me'thode, e'ant generale, s'appliquera au mouvement d'nn point stir une courbe fixe. Ii arrive alors qu'on pent choisir le parame~tre q de telle facon que les expressions de x, y, zen fonction de q n contiennent pas expliciLement t 2 2 T est alors homoge'ne et dii second degre' en.q 1'e'quation de Lagrange doit etre ideniique "a celle que donne e'dqnation des forces vives, pnisqne, la courbe e'ianL fixe, on obtient e'dqnation uniqne du mouvement en appliquant le thedore~me des forces vives. Ii est. facile de le verifier. En effet, en mnltipliani le'qnation de Lagrange par q', on a d cldT) d Qq 'o LI df dT clq' dT,dT QI wt ~dt dq -q ora~ canse dlhomoogeneite, deT, le produit q' d est gl r,et, de plns, on a, T dependant de t par 1'interme'diaire de q a q

Page  451 CHAPITHE XI. - MOtVEMENT D'UN POINT SUR IJNE COUIRBE. 45l s eulenent, dT _ T, T dq' L'equation s'e'criL done (l(2T) dT_ oil diT =Qdlq, ce qui est bien 1e'qiuation des forces 'vives. EXERCICES. 1. Un point materiel assujetti A se mouvoir sur un cercle est attir6 on repouss6 par Un point de ce cercie. Trouver quelle doit &tre la loi de la force pour qu c ICa r6action soit constante. 2. Deux points mat~riels de m~rne masse A et B, assujettis A glisser sans frottement l'un sur laxe Ox, lautre sur laxe Oy, s'attirent suivant one loi quelconque exprim~e par tine fonction f (r) de leur distance mutuelle. Us partent sans vitesse initiale. Ddirontrer qu'ils atteignent en m~me temps l'origine 0. (Licence, Bordeaux.) 3. Ddterminer une courbe telle quoun point pesant, assujetti A se mouvoir sans frottement sur cette courbe, y puisse prendre une vitesse dont la composante verticale ait une valeur constante donn~e. (Licence, Paris.) 4. Un point mat~riel m, attaclid S lextr~mit4 d'un fil sans masse enroul4 sur tine courbe plane C, est repouss6 par le centre de courbure de C correspondant an point oii se d~tache le fil, avec une intensit6 fonction de la distance du mobile an centre de, courbure. io Former les 6quations g~n6rales qui donnent la loi du mouvement et la tension do fil; 20 Dans lhypoth~se d'une r6pulsion proportionnelle S la simple distance, et le point 7in 6tant plac6 A lorigine sur la courbe C sans vitesse initiale, remarquer la forme remarquable de la loi do mouvement et de lexpression de la tension; 30 Enfin, en supposant la r~pulsion inversement proportionnelle an carr6 de la distance, d~terminer one courbe pour laquelle les lois pr~c6dentes ( 20) subsistent. ( Licence, Poitiers. ) 5. On consid~re dans on plan vertical la courbe envelopp~e par one droite de longueur constante dont les extrdmit~s glissent sur deux axes, Fun horizontal Ox, Fautre vertical Oz. E~tudier le moovement d'un point pesant mobile sans frottement sur cette courbe. En particulier, calculer Ic temps que m-ettrait, le mobile 4 atteindre le point de rebroussement situ6 sur Ox, s'il 6tait lancs do point le plus bas avec one vitesse telle que la constanite des forces vives soit nulle ( V2 ==2 gZ).

Page  452 4 22- TROISIE1AIE PARTIE. - DYNAM.IQLJE DUJ POINT. 6. Ddtermniner une courbe plane dans un plan vertical, de telle sorte que, si un point materiel est assujetti is se mouvoir sur la courbe, la r6action de la courbe puisse 6tre dans un rapport constant k avec, la composante normale du poids. (k -_i, droite; k =2, cycloide,... ) 7. Un mobile pesant est abandonn6 sans vitesse soir la partie ext~rieure daune parabole situ~e dans un plan vertical et ayant son axe horizontal. Dftermniner lc point oft le mobile quitte la parabole (point d'6chappement). En appelant h la hauteur de Ia position in itiale au-dessus de Faxe, l'ordonnDe y-cAu point cherch6 est Ia racine positive de 1'6quation y3 -+ 3p'y-2 p2ph o (p param~tre). S. Si deux pendules partent As des instants diffisrents sar le misme cercle C daune misme position initiale avec la misme vitesse, la droite qui les joint enveloppe un cercie C'. Supposons le MOaVeMent risvolutif, appelons T la durise de Ia risvolution de chacun des pendules, 7 Fintervalle de temps qui a sispar6 les instants no les deux penduies se sont mis en mouvement:si -, est commensurable avec T, les droites joignant les positions des deax penduales aux instants t, t +~ rC, t +! 2 T2 t +4 3 'r,... forment ua polygone inscrit As C et circonscrit As C'. ( Cet exercice n'est qa'ane application de la misthode de Jacobi pour 6tablir le thisorisme de Poncelet; voyez HALPIHEN, Traite' des fonctions elliptiqucs.) 9. On considire des droites fixes passant par un point A et, is un certain instant t., on abando nne an point A, sans vitesse initiale, sar toutes ces droites, des mobiles identiques attiriss par un point fixe 0 proportionnellement As Ia distance: dismontrer qae ces nmobiles arriVent en minme temps aux points obtenus en projetant le point 0 sar les droites qa'ils parcourent. 10. Un point matisriel est assujetti As rester sur ane courbe disfinic par tine isquation de la forme zreprissentant 1'ordonn~e, s 1'arc comptis A partir d'un point de la coarbe,? ane fonction qaciconque. On demande distadier le moavenment de cc point, en supposant io Qaill est soamis As laction d'une force parallise As lordonnise z et reprissentise en grandeur par l'expression Z ~.'( ) 2 A- dissignant ane constante donnise; v'o Qa'il iproave, en outre, ane ressistance proportionnelle isla vitesse. Application aa cas oft ai dissignant une longuear donnise. On istadiera en particalier le cas ois le mobile est posis sur la coarbe sans vitesse initiale, et ion disterminera le temps qa'iI met pour atteindre Forigine des arcs correspondant As z - a. (Licence.) Gas OfI U1- 2.

Page  453 CHAPITRE XI. - MIOUVEMENT D'UN POINT SUJR LINE COIURBE. 4t53 11. Trouver la tautochrone plane pour un mobile attir6 par un point fixe du plan proportionnellemenit S la distance r- (no 253). [Ils'agit de trouver une courbe pour laquelle rdr= ksds. Consid~rant Ia courbe comme lenveloppe d'une droite mobile x Cos a - ysin O =V (0 on trouve, pour determiner la fonction y (ox), 1i6quation lin~aire S coefficients constants. Cette 6quation s'intigre avec des lignes trigonomitriques on des exponentielles; dans le premier cas, on a oune 6picycloYde (PUISEUX).] 12. Probliine d'Abel. - Diterminer une courbe situic dans u11 plan vertical possidant la proprift6 suivante. Ii existe sur cette courbe un point fixe 0, tel qu'un mobile pesant abandonn.6 sans vitesse initiale le long cde la courbe, clans une position initiale situde A one hauteur h au-dessus do 0, arrive an point 0 dans on temps T qui soit one fonction de h donnie A Favance T =y() [Soit s t-~( z) la relation entrc I'arc OM1 do courbe compt6 A partir de 0 et l'ordonnie dle AlI, on a V2g Y(h) J= I_4(z d V1i -z Soit u one variable rielle plus grande quo h. Abel multiplie les deux membres par dh et intigre par rapport h h de o S cu y77gf(h) dh f dh f (Z)dz it - h ~~~~u h VT/ --- Intervertissant l'ordre des intigrations dans le deuxi~me membre, on trouve pour l'int6grale do deuxidme membre E4u.La fonction cherchie ~ est alors exprimie par une intigrale difinie ofi figure Ia fonction donnie Y. Par exemple, si y (h) =const., on retroove ainsi la cycloide. 13. Diterminer la courbe taotochrone poor on point pesant dans on plan -vertical, en tenant c ompte do frottement et d'une risistance de milieu proportionnelle S cW. (On est conduit A one 6quation lindaire en V2, qo'on traite comme dans 1lexemple 3o, no 253. ) 14. Problcme d'Eule7r et de Saladini. - Quelle courbe faut-il tracer dans on plan vertical, A partir d'un point 0, pour qu'un mobile pesant abandonn6 sur cette courbe en 0, sans vitesse, arrive en on point quelconque M de cette coorbe dans le mime temps que s'il avait Wt assujetti A glisser sur la corde OM. (On trouve one lemniscate, EULER, t. II de sa Me~canique, i736; Saladini, Mimoire de l'stituto nazionale italiano, i8o4; voyez one Note de M. Fouret, Bulletin de la Sociedte mathe~matique, t. XX, p. 39.) 15. Problime de Bonnet. - Dimontrer que la lemniscate troovie dans l'exercice pricident posside encore la meme propriWt qoand on remplace la pesanteor

Page  454 454 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQIJE DUJ POINT. par une attraction issue (10 point 0 proportionnelle ft la distance (Journial de M~athe~matiqttes pi7ies et appliquedes, t. IX, p. i i6). 16. Problmne de i1l. Fouret. - io Un point materiel sournis dans on plan f one force ddrivant d'une fonction de forces dftterminfe part d'une origine 0 avec une vitesse donn6e. Trouver un systftme de courbes (C) passant par 0 et homothdtiques, telles quoun mobile assujetti At se mouvoir sur une quelconque dc ces courbes, ddcrive, At partir do point 0, un arc quelconque dans le mftme temps quoil mettrait At dftcrire la corde correspondante? 20 Etant donn6, dans un plan, on syst~me de coorbes (C) passant par un point 0 et, homothfttiques par rapport At ce point, trouver one force d~rivant d'une fonction de forces, sons Faction de laquelle oin mobile ayant one vitesse i nitiale donn~e parcourt, ftpartir do point 0, on arc qoelconque d'une quelconque des coni'bes C, dans le mdme temps qo'il lui faudrait pour parcourir la cordc correspondante. Le premier de ces probimes n'a. de solution quoautant que la vitesse initiale est nulle et que la fonction des forces a, en coordonodes polaires, la forme 1 [~ $y '(0); 1'ftquation de la coorbe cherebde C est alors Ic ddsignant one constante arbitraire. Le second problfme n'est 6galernient possible que si la vitesse initiale est nolle. L —'6qoation de la courbe ktant r - kur3(0), la fonction. de forces s'obtient en faisant dans lexpression ci-dessos, oft ~ est one fonction arbitraire, y (0)= 0ef Z iiA (FoURET, Comptes renidus, t. CII1, p. iii4 et TT174, et JOUrnal de 1't~cole Poilvtechnique, 56- Cahier). 17. Courbes et sur:faces synchrones. - Soient dans on plan one infinitt (le courbes C dont 1'ftquation dftpend doun paramfttre et qni passent par on point 0; on lance s'ur toutes ces courbes, ft partir de 0, ao mbme instant t — o des points m-at~riels identiques, avec one vitesse donnie vC,, la mtm e poor tons, et on Ies soomet At des forces dftrivant d'une fonction de forces dononte; tronver la courbe (S) lieu gftomfttrique des positions de tons ces points ao mbme instant t. Ces coorbes ( S) forment one famille de courbes d6pendant do paramfttre t; on les appelle courbes synchr'ones des premiftres. Si [es courbes (C) passant par on mftme point 0 soot sitoftes dans lespace et dt~pendent de deux paramfttres, en lancant sur ces courbes, ft linstant t — o avec one vitesse v,, des points matftriels soumis ft des forces d~rivant d'on potentiel donoft, le leie gftomdtriqoe de ces points At linstant t est one surface (8S) appelde surface sy7nchrone. 18. Exeinpies de courbes synlchrones. - La vitesse v. est. snpposde nulle. La force est la pesanteor; les lignes C sont des droites passant par l'origine dans on plan vertical (les lignes S soot des cercles). [EULER.] La force est la pesanteur et les courbes C soot des cyclotdes de base horizon

Page  455 CHAPITRE XI. - MOUVEAMENT D IUN POINT SUJR IJNE COIJRBE. 455 talc ayant leur rebroussement en 0 et situe'es dans un plan vertical. [Les courbes synchrones S sont orthogonales aux cycloYdes; cola tient (no 256) A cc quo les, cyclofclcs C sont les brachistochroncs pour la loi dc force considdrdc. ] (EULER.-) La force est une attraction proportionnelle S la distance issue de lorigine 0 et les courbes C soot les cercics w2 _~_y-2 - 2 ay = o, od a est un paramdtrc variable (les courbes synchroncs S soot des droites passant par Forigine), (LEGouX, Annales de in Faculte' de Toulouse, t. VI). 19. Etant donne'es dans an plan deax families de lignes (A) et (C), qui toates passent par an point 0, peat-on1 troaver une force F, ddrivant d'an potentiel U et telle que, soas son action, an mobile partant da point 0 avec ane vitesse cle'termineie et saivant l'ane quelconque des lignes (C ) arrive en un point qaelconqae M~' de cette ligne clans le mdrne teorps que s'il acait saivi celle des lignes (A) qui passe en M? On pent d6signcr les lignes (A) sons lc nom de tralectoires et les lignes (C) sous cclui de lignes synodales; il est d'ailleurs 6vidcnt quc leurs rblcs peuvent Wie intervertis. Le probidme peut touj ours dtrc rdsolu d'une inlinitd de inanidres. Le probldme de M. Fonret se rapporte au cas od les trajectoires sont rectilignes et les lignes synodales homothdtiqucs par rapport au point 0 (DE SAINT-GERMAIN, Balletin des Sciences mathe'matiques, i889). 20. Ddmontrcr la relation snivante qui existe entre ]es trajectoires, les lignes synclirones et les synodales soicut MA, MB1, MC les tangentes respectives, men~es dans lc sens du moovement, A celles de ces lignes qui se coupent en M. On a 2 AMB — AMC et ~CMB r,-4- CMA (FOURET, Comptes rendas, t. CIII, et DE SAINT-GERMAIN, Balletin des Sciences mnathe'matiqaes, 1889). 21. I)6montrer quc, si les lignes synclirones sont orthogonales aux trajectoires, celles-ci se confondent avec, les lignes synodales et deviennent des brachistochrones pour les forces considdrdcs (ibid.). 22. Mfouvement d'un point matdriel pesant sur une droite invariablement lide A un axe fixe vertical autour duquel elie tourne avec une vitesse angulair constante. 23. Mouvement d'un point pesant sur un cercic vertical invariablement lid A no axe fixe vertical autour duquel il tourne avec one vitesse angulaire constante. Oni suppose quc la projection de Faxe sur le plan du cerele passe par le centre de celui-ci. 24. Le probime des tautochrones dans le cas oh il existe one fonction de forces se ramdne A l'intdgration doune dquation aux ddrive'es partielles do premier ordrc et do second degr6 (KOYNIGS, Comptes rendas, " e mai i893).

Page  456 456 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQIJE DU POINT. CHAPITRE X1I. MOUYEMENT DFUN POINT SUIR UNE SURFACE FIXE OU MOBILE. I. - GENERALITES. 262. Equations du mouvement. - SoiL une surface S quIi peu. changer de posilion el menme de forrnfe avec le temps, eL Soil I'equation de ceLLe surface en coordonne'es rectangulaires. Dans le cas particulier o-a' la surface esi fixe, ceLLe eq~uation ne conhient pas le lemps t. Un point materiel M de coordonne'es x, 'y,1 esL assuLjeLti 'a glisser sans frotLemenL Sur celte surface et esl soumis,,' 1Faction de forces donnmies donL la resultante F a pour -projections xiY, Z. Jl s'a gil de trouver le mouvement du point. La surface exercera Sur le point une r'ac lion normale N ayant pour proj ccLions des quantiLe's de la forme (N) c(1f y 8 O Le point pouirra alors etre regarde' comme libre souis F'action des deux forces F el N, cL les equations du mouvement seront (2) x dx -— Y __d d2Zz I) dn t 2 diy=M _ _ _ _ Z 'i J t Ox d~~ct2 d,t2= O Ces equations, jointes 'a 1e'quation (i) de Ia surface, formenL un syste'me de quatre equations de'finissanl x, y, Z., et ), en fonction de t. Pour obtenir les equalions donnant x, y, zen fonction de t, it faudra e'liminer X, entre ces equations (2,ce qui donne de-ux

Page  [unnumbered] Q1- 4/Q a- $rd..-< 4 j, kC " f r 4i, n I4 , t '. --, 41-3t, - Iz7, I (\ 1' qJ 'I /z" X <\' l\i 2k l, i;"x, ' y '.'. ~t ' a it M.. t - ~ Air <; o *o (2}YL ( j t _ ' r 1%S l 4. i e.S~s, - ^. >...r *s -^: ^.,'' *c ~-tvS " i

Page  [unnumbered] nv~4 ~;Lre~A(t ~ Cc3~b)-IYL/ p3ag rS Y~~~~l~~~~V4~~~~2 ~~~~~2~=;~ A9u~ r;S~a~~-L~V44!4 ~! / r( f-V -~~~U I i I~~~1. 'f I f-J, / X - I Tip u^^5 ^ryTrl Qn 3 y^ ^J) i~y^^^^^^rv^./~ '^^'^^~/l?/Z/

Page  457 CHAP. XII. - MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE. 457 6quations. Une fois le inouvement connu, la valeur de ), et, par suite, la grandeur de la reaction normale sera fournie par une quelconque des equations (2,) ou. par une combinaison dece equations. 263. etquations de Lagrange. - La me'thode de Lagrange que noues allons exposer est identique 'a celle qui a e'Le employee pour le mouvenment d'un point sur une courbe (no 259). On peut toujours exprimer les coordonne'es d'un point de la surface S et, en particulier, celles dui mobile M en fonction de deux parame'tres q, ei q2 Ces expressions seront idlles qu'en dinminant entre elles q, ci q2, on retrouve le'quation (i) de la surface. Elles con tiennent explicitemeni le -temps t qui figure dans ]'equation (i); daus le cas parliculier oiii la surface S seraii fixe, l equatiou (i) ne contenant 'pas t, on pourrait s'arranger de facon que les expressions (3) de x, y, z ne conhienneni pas explicitemenit 1. Pour connaitre le mouvement dii mobile, il suffiL de connah~re en fonction de t les parame'tres qi I q2 qui servent 'a determiner la position du mobile. II faut, pour trouver qj et q2, deuLx eaquaLions que l'on obtienL commne il suit ajou.tons les equaiions (2~) ap y o~ apres les avoir muliiplie~es respectivemeni par --- 0q 7,~_~ nous avons (') ( ~~d2 X ay d2 y a~ Cd2 Z aM _dt2 07 dtq 07 dt2 Oq q,/ o1u QIZX0 L-IY-L ~ Z07j?~disparait dans cette combinaison en vertu. de la relation Of a~ Of Oh f OrM 7V ~1 d q, o q qui exprime que la normale "a la surface esi normale 'a la courbe que delcrirait le point (3), si, laissant q2 ei t constants, on faisait

Page  458 458 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. seulement varier ql, courbe situee sur la surface S. En multipliant les equations du mouvement (2) par 5- d — 'q' et les 1 d q2 q27 Dq2 ajoutant, on obtient de meme une seconde equation Q/x x d~y dz dy ' d m,\ (4f) n [4 q d3 Q2z dt( ) z ( dt9 dq2 dt2 dq2- = Q 2' Q 2 = X - - Y -+- Z. dq2 dq2 dq2 Ce sont ces deux dquations (4) et (4') qui definissent q, et q, en fonction de t. On peut les ecrire sous une forme beaucoup plus simple. Appelons q et q' les derivees de q, et q2 par rapport dx au temps, et x', y', ' les projections de la vitesse du mobile 7 ' -td d- L'dquation (4) peut s'ecrire d t. t j dl \7t ( l? '- ql t5 qi, [ 1 d ( d, d t \ d u ) car on a evidemment, \, d / \ d. 7 M X -I- -,nxi- 7 - m d 7?. dt\ WIxql dt\ t0q/l, dt2 q i_ Or, d'apres la formule (3), x depend de t directement et par l'intermediaire de q, et q2, qui sont fonctions de t; done o, do, 0? (6 ) q = -d- a q +- q, + d De meame a- depend de t directement et par l'intermediaire de q, et q2, donc d O / d2 3 022 dt dJ ql d IlJ ldq2 dqldt Dans l'expression (6), considerons x' comme une fonction des lettres q,, q2, q1, q', t. Nous aurons immediatement ox' d? dx' d2 D2's, 2 d dql 2q, = qq +qldq dqidt

Page  459 CHAP. XII. - MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE. 459 c'est-a-dire _x' _ Ox' d / (d \ dq'l - q dq -l d-t \0q Un calcul analogue donnerait ay' _ dy' _ r q d od' ms az' d /O dq aq' q dq dt 0dql) Remplacant dans l'equation du mouvement (5) les quantiles 0d dtb d7 a d /? d cd (/ d Oc \ dqi ciql dql ldt )qI/ dct \dql dt q par leurs valeurs tirees des formules ci-dessus, on a l'dquation d [ (, x' y, dy' az', z' dt- 7X aq'Y — z -In - ( xx-y < z -- \Q dt Y d q q dq J (q) I = \ i J iQ ou, en posant T - (x'2+-y'2- z2), d / dT\ )T ~~(7/) 0dt dq dql on trouverait de meme, en transformant l'equation (4'), (7') Q2 dt ( q' ) 2 =Q2' Ces equations (7) et (7') sont les equations du mouvement d'apres Lagrange. Pour les ecrire, il suffit de former la quantite T egale a la demi-force vive du point: dans cette quantite T, on remplace x', y', z' par leurs valeurs q I o, a? ay-, agI, dq,+- dqo+, - n dq~+d q'~+ T/, an _, anT, d adql dq2 +at de facon a exprimer T en q1, q2, q', q' et t; puis on ecrit les equations du mouvement (7) et (7'). Dans ces equations, les seconds membres Q, et Q2 ont ete calcules plus haut. On peut les caracteriser de la facon suivante:

Page  460 46 o TRSiMEPARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. imprimons an point MI un de'placement virtuel qui s'effectuesu la surface S, c'Iest-at-dire qni est, obtenu en laissant t constant et faisant varier qj et q2 de ~q4 et;q,. Nous aurorns pour les projections de ce de'placenient virtue1 sur les trois axes Oqx oqj~~- o q2, IT oql-+- - q2, d'oL', pour l' expression du travail virtuel correspondant de F, Xo'x -~- Y'y -1 — Z ~z - Q, Oq1~-~ Q2 6q2, d'apre's les expressions de Q, et Q,. Ainsi, pour avoir les seconds vnembres Q, et Q2, il suffit de prendre les coefficients de;q, et ~q2 da ns l'expression du travail virtue1 de F, pour un de'placement arbitraire effectue sur la surface S, dans la position qu'elle occupe a~ linstant t. Pour obtenir en particulier ~ nimprimera au. poi-n tinf de'placement virtuel obtenu en laissant t et q2 constants et faisant varier seutlement q, de OSq,; le travail virtue1 correspondant de la force F sera Q, ~q, De meme, pour avoir Q2, on conside'rera un de'placement virtuel obteun en laissanlt t et qj constants; le travail de F sera Q2 '. S'il existe une fonction de forces U(x,y, z), on., plus g'ne'ralement, Si X, Y, Z sont les de'rive'es partielles d'une fonction U(xly-, zt contenant le temps, on a du. du Q 4;-dq Q2= dq2 En eilct, U (x, y, z., t) depend de et q2 par l'interm~diaire de x, y,; on adonc du auado du ay au am Oqj coq, dql de mn ~me pour Q2.

Page  461 CHAP. XII. - MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE. 46i 964. Applications. - I~ Mouvement d'un point dans un plan fixe en coordonnees polaires. - Cherchons le mouvement d'un point dans le plan xOy en prenant comme parametres qi et q2 les deux coordonnees polaires r et 0. Les formules donnant x, y, z en fonction des deux paramntres sont actuellement x = r cos0, y = 7 sin0, z = o. Supposons le point sollicite par une force F, situee dans le plan, ayant pour projections (X, Y, o). La fonction T sera 7 ('1 2 (M) T = m - (r'2 -i- r2 02) % 2 ct les dquations du mouvement 1d / T OT d (dT \ OT 5dt\07o' = -Q t 6; dt(Q) d (o Q' Comme q = 7', q2 = 0, on a dx c) Qi = x — + Y -Xcos06 —Ysin0, dql dq1 Q=X -- _= -Xrsin -T Yr cos0. Q2 dq2 dq2 Nous pouvons aussi trouver directement Qi et Q2. Designons par P et R les composantes de la force suivant la perpendiculaire au rayon vccteur dans le sens des 0 croissants et suivant le rayon vecteur dans le sens des /r croissants. Pour un deplacement 8r sur le rayon vecteur (qa = const.) le travail de F, dgal a la somme des travaux de P et R, se rdduit a RSr, puisque le travail de P est nul (fig. 166). On a done Q= R. Fig, 166. F O,rr 0 De memne pour un deplacement virtuel obtenu en supposant q1, c'est'-dire 7', constant et faisant varier 0, deplacement qui s'effectue sur la cir

Page  462 462 TBOISIEMIE PAIRTIE. - DYNAMIIQIJE DU POINT. conference de rayon OM, le d~plaeement i-irtuel est r~O et le travail de F se r6duit au travail de P, qui est Pr~0; on a done Q2 - Pr. Les 6quations du mouvement sont done, d'apr~s la valeur de T, d (1117't) -- nrO'2-= R, CZ (7nr2 6) = Pr. Lorsque la force est eentrale, P est toujours nul, et I'on a d~ ( 717r2 0') -0,,'20' C (loi des aires). 20" Trouver le 7nouveement d'un point pesant mlobile sans frotteMent S~tr U7n plan qui toarne d'Un 7moateement uniformne aatoUr clan axe horizontal situ6 dans le plan. Nous eompterons le temps ii partir du moment ohi le plan mobile eoin(ide avee xOy suppose' horizontal, en prenant pour axe des x laxe de rotation. Si 0 est 1Fangle du plan mobile avee le plan des xy, on aura 0-Z; to to6tant la v~itesse angulaire de rotation (fig. 167); 1'6quation du plan mnobile ROx est alors y sinwtt - z eos tot =. Fig. i67. En appliquant in ouvemnent les formules g6n6rales (262), on aura pour 6quations du cit2 ' In, -+ — ). sintot,~ c12 ZI clt w - - ing, - /, eos to t, la r~ae~ion normiale ayant pr~e'isrnent pour valeur ),. Pour fixer la position du point Al dans le plan mobile, nous prendrons ses eoordonn6es x

Page  463 CHAP. XII. - MIOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE. 463 et r par rapport aux axes Ox, OR, x jouant le r6le de q et r de q2. Les formules de transformation seront alors x = x, y = r cos cot, z -= r sin w t la fonction T qui entre dans notre formule sera T -= _ M ( '2 2 - +r'2 2 '2 ). I1 y a une fonction de forces U = - mgz - nmgr sin w t. On a done dT OT -x,-RX, = 0 )T )T - = mr', O- = /2 ', dU aU O)x - o et les equations du mouvement sont dx' cl' x cdt = ou lt = d2 7'.2 2 'o - g sin o t. ct2 La premiere de ces equations montre que la projection Q sur laxe des x se deplace d'un mouvement uniforme. La seconde, dtant lineaire a coefficients constants, peut s'integrer et a pour intdgrale generale r = AetOt- Be-tt+ 2 sino t. Pour avoir l'equation de la projection de la trajectoire sur le plan desyz, il nous suffit dans cette relation de remplacer wt par 0, ce qui nous donne r= Ae0 +Be- -+ - sinO. 2CO2 Un cas particulier interessant est celui ou les conditions initiales sont telles que A et B soient nuls; il suffit pour cela que le mobile soit lancd de l'axe de rotation de facon que sa projection sur la droite R ait une vitesse initiale egale a t La projection de la trajectoire sur le plan des yz a

Page  464 464 TROISI~ME PARTIE. -DYNAMIQIJE DUJ POINT. alors pour 6quation r=~ ~sinO 2W2 c'est un cercie tanlgent en 0 At Faxe Oy. La trajeetoire est une hitiiee. Pour ealeuler la ritaction normale, reportons-nous it lune des itquations du mouivement d2y snwt dt2 nous avons, en remplacant y par r, Cos It on, Si Ion se rappelle F1'iquation qui ditfinit r-, d,2 -d7i nia eoso t - 21flW - Cette formule, dans laquelle on remplace ir par sa valeur en t, donne en fonction de t l'expression de la ritaction normale, qui, dans le eas aetuel, est priteisitment itgale A ),. II. - GAS OU LA SURFACE EST FIXE. ~265. Emploi du th~or~me des forces vives.- La me'thode generale que nous venons d'exposer s'applique toujours. Lorsque la surfaee est, fixe, Ii se pre'sente des simplification quim porte d'indiquer. L'edquation de la surface est, alors f(xly, z-) =o; le ddplacement, reel que subiL le point, e'ant normal 'a -la reaction normale N, si l'on applique le thedore'me des forces vives, Ie travail de ceLeLI reaction esL nul et l'on a le'quation d ----V2X dx -v-Ydy -+vZdz, indedpendante de la rdaction. CetiLe equation peut alors remplacer 1'une des deux equations de Lagrange. Nous ve'riflerons tout 'a l'heure qu'elle est bien une consequence des equations de- Lagrange.

Page  465 CHAP. XII. - MIOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE. 465 Si la surface kLait mobile, la reaction normale ne serait pas d'imine'e par I'application dii the'ore'me des forces vives, car le de'placemnent reel dx, dy, dz dui mobile ne serait pas normial 'a la reaction normale; en effet, la surface h l'instant t est en S et le point en M sur S; 'a Fin stant t -+ — dt, cule est en 5' et le point en M' Sur S'; le de'placement MM' n'est donc pas normal "a la reaction N. Revenons an cas oi'i la surface est fixe 1'ezquation des forces vives donne immn'diaternent une inLe'grale premie~re s'il y a une fonction de forces U (x, y, z) m2 IlpentL encore se faire que Xcix ~i Ydy ~4 Zd~z, n'e'tant pas iine diff~rentielle totate exacte, le devienne en vertu de la relation f (x7y YZ) o; Si, par exemple, un point de la surface est de'fini par les deux. parametres q, et q2, on aura x - q ~qi, q2), y - qi~q,q2), z -(ql, c2) etla quantite Xd~x +-f Ydy+j Zdz prendra laforme Q, dq, +4 Q2 d~q2 quand on aura remplace' X, -Y, Z, x, y, z- par leurs valeurs en fonction de q, et q2, Si alors I'expression Q, dq, +~ Q2dlq2 est la diffe'rentielle Lotale exacte d'une fonction U (q,, q2), on aura inmLe'grale des forces vives inc = U (q 1, q2)- hi, on encore T =U ~+ h car T est preicise'ment la demi-force vive. On remplacera l'une des equations de Lagrange, la plus complique'e des deux, par cette dernie're equa Lion et l'on aura ainsi les deux equations de'finissantL qj et q2 en fonction de t. EXEMPLE. - M1ouvement d'un point, mobile sur tin hjlico~cle gauche 4tpan ireteu, atijotrepottss~ par l'axe proportionnellemnent 4 la distance (fig. i68). 1, 3o

Page  466 466 TBOISIEME PARTIE. - DYNAMIIQUE DU POINT. Soient 7- et 0 les coordonnees polaires d'un point M de l'helicoide, situ6 sur la g6enratrice CD; on a pour coordonnees cart6siennes de ce point x rcosO, 01 y sin0, z = 0. Fig. i68. Ia force qui agit sur le point est F = m.znr, dirigee suivant CD. On sait que dans ce cas il y a une fonction de forces,72 U = m U - En definissant un point de la surface par les paramntres 7 et 0, qui Ieremplacent qi et q2, nous aurons T -= - ( 7, - r2 +'2 ' / 0'2 ) = [, 7' + (,72 -/c2) 0r2]. es quatons du mouement seont par suite, d'aprs Lagrane, Les equations du mouvenment seront par suite, d'apr~s Lagrange, ct - ro'2 ll cit [(k -+- 72)0'] = o; clt la dcuxieme de ces equations montre que (,- + -/c)0' = C. Au lieu de nous servir de la premiere, nous emploierons l'integrale des fo rces vives 7,2 -+ (,.2 - /k) 0'2 - Ur 7 = /h En elinminant 0' entre ces deux 6quations, on aura 1'equation lut mouvemscnt sur le rayon vecteur Ci 2 1' 2 -i -Ii i- - ( - r2) (rs - ~ 2 ) ~ C2

Page  467 CHAP. XII. -- ITIOUVEMEN'T D UN POINT SUR UNE SURFACE. 467 On exprime done t en fonetion de r par une quadrature. On trouvera de me'me que 0 s'exprime par une autre quadrature en fonetion de 7'; it suffit pour cela de remplacer, dans la derni~re 6quation, dt par sa, valeur' 1- (2 ~-k2) do. Pour discuter la forme de la courbe, il faut, distinguer deux cas, selon que, p. est, positif ou ne'gatif (r~pulsion ou attraction):si p. est positif, on voit, que la courbe peut, avoir des branches infinies. puisque. lorsque ir /dr 2 cr'oit ind~finiment, ne eesse pas cl'~tre positif. Au contraire, Si p.x est ne'gatif, r ne pourra pas croitre au deIA de certainies limnites. Dans le cas particulier de p. =ole point se de'place sur la surface sans force directement appliqu~e; t s'exprime alors, en fonction de r- par une quadrature elliptique. Dans, ce cas particulier le point d~crit, conmne nous le venouns plus loin (n" 270), une ligne g~ode'sique de l'hflicoide. 266. Equation des forces vives de'duite des 6quations de Lagrange. - La surface diant fixe, les expressions de x, y, z cei fonction de qj ci q2 peuvent edire choisies de facon "a ne pas CODLenir explicitemeni t. La fonction T esi. alors homogedne eL dti second degre' en q' et cie le thedoreine des fonctions homogenes donne I'iden.iiid q', _T q OT T Cela pose' prenons ics deux. equaiions de Lagrange jl (dT dT dt\0gT/0q2 et aj ou Lo ns -Ie s anpre's av oir rntLiILhi pli e' la p r emi ere p ar q9 Ila d e uxidre' par q,. Nous aurons une dequation qui petit s'ecrire d /,T,dT /OT dq'1 071 dq2 6T, dT / -- ~ ~ Oq~~ cit Oq~~~ ~ )Y~~-q2 =Qq Q2q La premiere parenthe~se edgale 2 T; la deuxid~me est d'gale 'a car T depend de t par l'iniermeddjaire de q'1,7 qIq1 q2. L'dua

Page  468 468 TR1OIS[E1AIE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. tion ci-dessus s'e'crit donc cl(2,T) dT,q 4Q2q OLT, en multipliant par dt, dT = Qldql -v, Q2dq2, ce qui est ['equation des forces vives, car Q, dq, +~ Q2 dq2 est le travail 'I 'mentaire de la force (X, Y, Z). Si Q, dq, +~ Q2dq2 est tine difik~rentielle totale exacte d'une fonction U(q1, q2), on a lI ntL grale des force ie T =U -i-h, qui remplacera l'une des ecquations de Lagrange. 267. Stabilit6 de 1'e6quilibre dans le cas ofi la fonction U existe. - D'apre~s cc que nous avons vu. en Statique, pour obienir [es valeurs de q, et q2 fournissant les positions d'e'quilibre du mobitle, ii suffit d'e'crire les deux equations Q, o, Q2 O. Dans le cas particulier out Q, dq, +i Q2dq, est la diffhrentLielle d'une fonction U (q,, q2), les e'quations d'e'quilibre sont identiques "a celles cjufll faudrait e'crire pour chercher le maximum ou. le minimum de U (q1,Iq2). Nou-s voulons de'montrer, d'apre's Lejeune-Dirichiet, que, si pour un certain systeme de valeurs q I a,, q2 -a2lafnto U est maximum, I'equilibre correspondant est stable. La de'monstration est identique "a celle qui a e'te donn~~e (no 208) pour un point libre. Indi~quons-la en peu. de mots. On peut toujours supposer que le maximum ait lieu pour q1 - q - 0, car cela revient 'a prendre pour nouveaux parameitres qj - a4 et q2 -a, et que cc maximum U (o, o) soit nul, car cela revient 'a retrancher de U (q,, q2) une certaine constante, cc qui est permis, car cette fonction n'est dedinie qu-'a une constante pres. D'apre~s la de'finition du maximum, la fonction U est alors negative et diff~rentLe de zero dans le voisinage de la position d'e'quilibre conside'ree P. Tracons sur la surface une petite courbe ferme'e C entourant P; srce-tte courbe U est negative et non nulle iiA existe done un nombre positif p tel que sur cette courbe U -h —p soit inegati'Ve.

Page  469 CHAP. XII. - MOUVEIMENT D'UN POINT SUJR IJNE SURFACE. 469 De'placons alors le mobile de la position d'eqiiilibre P dans Une position voisine MO situe'e A. 1'inte'rieur de C oii" U prend la valeiir UO et imprimons-lui une vitesse co, on aura 2 ~~2 UO choisissons la position initiale eL la vitesse initiate de facon 'a remplir les deux conditions ce qui, a cause de la continui~ eigeuiuement que co et la distance PM/0 soient infe'rieures h certaines limites. Dans ces conditions le mobile ne sortira pas de la courbe C et me'me n'atteindra pas cette courbe, car e'~quation des forces vives donne nV2 et U -~-p devient ne'gatif sur la coiirbe limite C. 268. Reaction normale.- - Une fois le mouvement, connun pour avoir la reaction il suffira de tirer )X d'une quelconque des 6quations (2) du mouvement (no 262). Suipposons que le mobile soitL seulement pose' sur la surface, c'est-at —dire qu'il puisse la quitter d'un certain cote'. Pour que le point reste sur la surface, il faut que la reaction N soit dirige'e dii co'te oui le point pent s'edoigner. D'un cote' de la surface f (x, y, z) est positif, de l'autre c'6Ii est n'gatif; pour que la r'action soit constamment, dirig~ee vers la reigion des fpositifs, il faut que /' soit positif, comme nous l'avons vu en Statique a propos de Feiquilibre d'UD poinit sur une surface. Si ), s'annule 'a un certain moment et chainge de signe, le point quitte la surface et i'on est ramiene6 au cas d'un point libre. 269. Equations intrinse'ques et rdaction normale. - Sur la trajectoire, nous inarquerons une orig~ine des arcsA (fig. i6g). SoitMune position quelconque duimobile, menons en ce point la tangente MT dans le sens des arcs croissants; soient C le centre de cour

Page  470 470 TROISIEMIE PARTIE. - DYNAAIIQIJE DU POINT. bure de ia section normale tangelnte "a MT, R son rayon de courLure MC, noues prendrons pour senls positif sur la normale Ie slsMC. Soient de me'me MC' la normale principale de ianra Fi g. i169. F A - jectoire et o MC' son rayon de courbure; de'signons par 0 l'angle du plan osculateur TMC' 'a in trajecloire avec. la normale "a ia sur-face, nous aurons d'apre's le the'ore~me de Meusnier p =RcosO. En projetant la direction MC' sur le plan tangent, nous obtenions -une demi-droite MP sur laquelle nous conside'rons le sens de ia projection du segment MC' comme sens positif. Soient alors Ft,, F,,,I Fp les projections de la force F sur les droitLes MT, MC, MP, et, N in valeur algeibrique de la reaction normale; on sait que Ia resultante des forces F et N se decompose en deux, Iune min C2 sulivant MT, 1' a-ure rn dirig~e' suLivant MC'; ce syste'me de deux forces est par suite equivalent ati systeime forme' par F et N. On aura donc, en 'egalant les sommes des projections des forces de chacun de ces syste~mes sur les axes MT, MP) MC', dc 1flQ?,2 mci - =Ft sin'O =:F -CosO0 — F,,-~-N. Ces equations peuvent prendre une forme pius simple designons par pg le rayon de courbure ge'ode'sique etens compte de la relation troune'e plus haut O' R l es equations Cos 0

Page  471 CHAP. XII. - MOIJVEAIENT D'UN POINT SUR IUNE SURFACE. 471 prece'dentes deviendroni in Ft P FJ) F11 i- N. S'il a une fonction des forces, on a nj2 U h~ iet la derniere formule permet de calculer la reachion normale sans chercher le inouvement, ) conditi on que l'on connaisse R De ces equations on pent tirer une consequence inte'ressante dedormons la surface de facon que les longeuetrs des lignes trace'es stir cette surface ne changent pas; dans cette transformation les rayons de courbure ge'ode'sique ne varient pas; si done on modifie la force F de facon que sa projection stir le plan tangent reste la mieme, les deux premieres des equations ci-dessus qui de'finissenL le mouvement ii' auront pas change6, et le motivement sera lemme que dans le premier cas. La reaction norinale seule changera. On yout ainsi qtue la trajectoire d'un point pesant, assujetti "a s mnouvoir sur un cylindre vertical, s'obtient en enroulant sur ce cylindre une parabole d 'axe -vertical. De me'me la trajectoire diun point pesant sur tin C one de revoluition d'axe vertical provient de l'enroulement sur ce cone de la trajectoire plane d'un mobile soumis 'a une force centrale constante. 270. Lignes ge'od~siques. - Le cas le plus simple est celuil oile mobile lance6 sur la surface fixe n'est sollicit6 par auicune force. L'eiquation des forces vives devient alors d2 - o; elle montre que la vitesse est constante. La trajectoire du. mobile est tine ligne ge'ode'sique de la surface, puiscjue son plan osculateur doit contenir la seule force qui agisse suir le mobile:la reaction normale; cela. re'sulte d'ailleurs de la deuxie'me des equations intrinse'ques qui devient~L~ __ o do' l'on d'duui -, puisque c est constant, et cette condition- o caracte'rise les lignes geode'siques. La dernie~re eiquation intrinseque permettra de calculer la reaction normale:N _ On pent remarquer que dans le cas actuel on a 0 ==o, done R - et la re'acLion normale

Page  472 472 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. a pour valeur —; elle varie en raison inverse du rayon de courbure de la trajectoire. Les dquations generales du mouvement se reduisent alors a d2x O f dly Of d2oz Of M _- =_ A -, 721 - m 1dit2 O)x clt2 o y dt2 - )z a l'aide de l'dquation cls -= ( dt on eliminera le temps; il suffira pour cela de remplacer dans les formules prdecdentes dt2 par-2-. Remarqtee. - Si la surface admet des gendratrices rectilignes, on devra les trouver comme trajectoires particulieres, car, si un mobile est lance suivant l'une de ces generatrices, il la decrira de lui-meme en vertu du principe de l'inertie, et la reaction de la surface sera nulle. EXEMPLE. - Lignes geodesiques de l'ellipsode. - Appliquons cc qui prec6de h l'ellipsoide x'- y2 z2 (1) x4-t2 - - =-0; a2 b2 c2 les equations du mouvement peuvent s'ecrire d2 x x d2y y d z z dt2 L [ dct2 =7 ( ct2 = 2 On a, comme toujours, l'integrale premiere v = %v. Pour en trouver une seconde, nous emploierons une methode due a M. Darboux. Differentions deux fois de suite l'equation (i), nous obtenons x cldx y ci2y z d2Z dx 2 ci y2 T d i2 a-'2 dt2 b dt2 ct dt ' ac \dt tb2 \ dt T \dt et, en vertu des equations (a), X2 Y2 Z2 I ((3) ba ) —i a; (dit ) 1-) d _ d 9 ldx Idy multiplions maintenant les equations (2) respectivement par -2 -dt -b2 -d dz - dt et ajoutons, nous obtenons 'id cydy dzdz dt c~x Y c~y n c~n i a' clt Clt2 b~ dt dt, iSx dcx y dy z dz I dx d2 X cly d2y i dz d2 n a' dt b t Cdt \ a dt dt2 b dt dt c9 dt dt2

Page  473 CHAP. XII. - MOIJVEMENT D'UN POINT SUIR UNE SURFACE. 473 Si nous divisons membre hi membre les equations (3) Ct (4), nous aurons x dx y dy z diz idx d2X i dyd2y idclzd22Z a~dt~b~dt~c~dt ci~Jt dt 2 b2+ dt dt~Cd x2 y2 z2222 4- b-4 c —i chacun des nume'rateurs est, A une Constante pr~s, la de'rive'e du d~nominateur; on pourra douC inte'grer Cette equation et Fon aura ( C4 ~7 2i (I) d) on 61iminera le tempsA~ aide de 1'e'quation des forces vives d- v, CC qui donne telle est e'~quation diffhrentielle des lignes ge'ode'siques de lellipsolde. Une interpretation g~ome'trique simple de cette 6quation nous donnera un th~or~me dAi h J oachimstal:si p est la distance du Centre de 1'ellipsolde au plan tangent en un point M d'une ligne ge'od~sique, 8 la Iongueur du demi-diam~tre paraib~le h la tangente men~e en M Ai cette ligne, le produit p83 est constant tout le long de cette ligne ge'od~sique. Les cosinus directeurs de la Langente en M ktant, en effet, di-x a-, dzl eoordonni~es de 1'extr~mite' du demi-diam~tre paralh~le seront ~dx ~ dY dz. 0ds' ds~ ds ' en eCrivant que Ce point appartient A 1'ellipsolde, on aura le plan tangent en M ayant pour equation Xx Yy Zz _ a- b2 c2~I =0 sa distance ~ lorigine sera donne'e par I X2 y2 Z2 p2 a' ~ b' et, en vertu. de 1'6quation (5), on aura bien p~= constante.

Page  474 474 TROISIENIE PARTIE. - DYNAAMIQUE DU POINT. Ce the'or~rne s'applique aussi aux lignes de courbure de lellipsoide; nouS 'verrons, en effet, plus tard, que ces lignes correspondent aux solutions singuli~res de 1'6quation (5). (DARBOUX, Micanique de Despey/voits, t. I.) Pour achever l'inte'gration, on exprime les coordonne'es x, y, z d'un point (de lellipsoide au moyen de ses coordonn~es ellhptiques qj, q2 les variables qi et q2 se se'parent et l'inte'gration est ramene'e A des quadratures. Nous reviendrons sur ce point comme application des me'thodes d'inte'gration de Jacobi (t. 11). 271. Emploi des 6quations de Lagrange. - Ordinairement, il est preferable d'ope'rer comme ii suit,) eneployant, les dquations de Lagrange. Soient xv = (qj, q2) y = ~(q', q2), z -- (ql, q2) les expressions des coordonne'es d'Lin point, de la surface en foncLion de deuLx parameicres; on a pour le carre' de l'dledment, lineaire d'une courbe quelconque trace'e sur la surface ds2= dX2-+- d-y2-+- dZ2 =ajjdq2 +~ 2-a12dqjdq2-t- a22 dq2. Si, pour simplifier, nous supposons la masse dtu mobile d'gale It, nous aurons T - ~ '(al11 q'-d-~ 2ai2 qjq' ~a22 q; 2)dt2 2 i 2 2 et, les deux equations du mouivement, seront d ( T) dTd T T L'une de ces equations, la plus complique'e des deuix, sr remplace'e ensuite par Il'intdgrale des forces vives T = h -(all qf 2 -V- 2 al12 q'1 q~; ~ - a2 qfi2) = h. On a ainsi deux equations, l'une du second ordre, l'autre dui p remier, d'finissant q, et, q, en fonction de t. EXEMPLE. - Une surface est telle qu'en choisissant convenablelneni. les coo,'clonni'es curcvilig-nes qul dk/inissent ses di/ffirents points, on

Page  475 CHAP. XIL. - M~OUVEMIENT D'UN POINT SUR IJNE SURFACE. 4`75 peat rarnener ie'li'ment line'aire ds &t etre donn6 par la formnule CIS 2 =i a(clai~-+ d cA2). On demande ie'qunation en terinesfinis des lignes giode'siques. Quelle -est la representation de ces lignes iorsqu'on fait la carte de la surface en faisant cor-respondre, au point de Coor7donndes a et v, le point ci'un plan ciont ics coordonne'es rectangulaires ont les rn-entes valelars. (Licence, Paris, 1887.) En appelant at' et v' les dCiee t -, eataed dt d7 t spposant amsed point mobile 6gale ~ 1unit6, on a T= - It( at'2 _~ 1)2) -et les 6quations de Lag-range donnent irnme'diatement, puisqu'il n'y a pas de forces directement appliqu~es, 0I) d (aa i') - '2=o - 1 d(acv') =-0. Nous connaissons d'abord une int~grale premiere de ces 6quations, Fint~grale des forces vives T = Ih, ou at jci2 610 (2)~ ~ ~~~~~! 2 'ct d-t2 la seconde des C'quations (i) donne une autre int~grale premiere (3) C. C 2 Eliminons dit entre ces deux 6quations et posons k 2 a, nous obtenons pour e'~quation diff~rentielle des lignes g~ode'siques cia dv = v __-, Vua-a {I'oul, en inte'grant et di~signant par b une autre constante arbitraire, (c -b)2 =4a(a -a). C'est hI e'~quation en termes finis des lignes g~ode'siques demande'es. Si Ion regarde at et v comme les eoordonn~es rectangulaires d'un point d'un plan, ces courbes sont des paraboles quelconques ayant pour directrice Faxe des v. La surface dont nous venons de dieterminer les lignes g~od6 -

Page  476 ]4;6TRO ISIEMTE PARTIE. - DYN'AMIQUE DU POINT. siques est applicable sur u~ne surface de revolution. ( Voyez DARBOUX, ThjOorie gdn~rale des SUr-faCeS, troisi~me Partie, Chap. IL.) 272. Oscillations infiniment petites d'un point pesant autour du point le plus bas d'une surface. - Conside'rons sur une surface un point 0 oii lc lplan. tangent est horizontal, la surface e'tant situe'e au-dessus du plan tangent, dans le voisinage du point 0. Cette position 0 est une position d'6quilibre stable pour, un point pesant miobile sans frottement sur la surface. Nous allons 6tudier les oscillations infiniment petites autour de cette Jposition d'6quilibre. Prenons le point 0 pour origine, -un axe Oz -vertical vers lc haut et deux axes Ox et Oy tangents aux lignes de courbure qui passent par 0. Si lon suppose le z de la surface d~velopp6 en s~rie par la formule de Maclaurin pour, de petites -valeurs de x et y, on a pour, l'6quation de la surface X2 y2 les termes composant o(x,y) 6tant du troisi&~me ordre au moins en x et i', p et q d~signant les deux. rayons de courbure principaux de la surface en 0. Le point mat~riel e'tant pesant, il y a une fonction de force U - ' que nous 6crivons en supposant ni m_. La fonction T de Lagrange est 06~~~~~~~~o0 p q dx dy Dans les petites oscillations autour de la position d'6quilibre consid~r~e, x et y restent tr~s petits: les composantes x' et y' de Ia xvitesse restent aussi tr~s p~etites, car la -vitesse elle-mdme reste tr~s petite,, comme nous Favons vu (a0 267). Nous consid~rerons ces quantit~s,x, x', y' comnie du mheme ordre. Dans l'expression de T, il y a alors deux termes du second ordre et an troisi~me terme Z'2 dn quatri~me. Nous le n~gligerons vis-~ —vis des deux premiers et nous aurons T =! (x2-i-y2). Si dans U on remplace z par sa valeur, le d~veloppement de U cornmnence de me'me par deux termes du second ordre que nous conserverons seuls en ne'gligeant les suivants, ce qui donne

Page  477 CHAP. XII. - M~IOUYEMENT DIUNT POINT SUR IJNE SURFACE. 4;; - Les 6quations de Lagrange appliqu~es aux variables x eLy, regardees comme jouant le r6le des param~tres q, et q2, d dT)OT au deviennent, puisque T ne contient ni x ni y, d2 X g d2Y g c/t2 p 71. 6quations qui s'int~grent imm~diatemient et donnent A, B, a, ~3 etant des constantes arbitraires qu'on de'Lerminera par les conditions initiales. On a ainsi les oscillations infinliment petites. La coordonn~e x redevient la m~me au bout du temps 2n et y au bout d it ternps 927A," Si ces deux p~riodes sont coinmensurables entre cules, la trajectoire en projection borizontale est une eourbe alg~brique obtenue en 6liminant t entre les 6quations (i). La trajectoire est transcendante Si les deux p~riodes sont incommensurables; dans cc cas, lc mouvement pr,6 -sente une particularity curieuse. Consid~rons dans le plan des x, y le rectangle forms par les droites x = ~4 A, y = ~1 B. La courbe d~finie par les 6quations (i) touche une infinite' de fois les co't~s du rectangle: ainsi, elle touche le cA6t x A (fig. 17o) pour toutes les valeurs de t de la fo rm e tV'~n-a =k7: (k entier). Fig. i70. ly +1 0E De plus, la trajectoire finit par recouvrir en quelque sorte toute laire du rectangle.CGest cc que nous d~montrerons en prouvant que, 6tant choisi arbitrairement un point P de coordonne'es ~, i~ dans le rectangle, il existe une infinite' de valeurs de t pour lesquelle-s le mobile passe ai une distance

Page  478 4-8 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DUI POINT. de P mioindre que toute quantite' donn~e. Soient, en effet, )X et u des arcs de'finis par les formules =A cosQX ~~ ae), B cos(~I ~j ) si ion donne Ai t une -valeur de ia formie (X 2 k7,) (k entier), l'abscisse x dn mobile est sgale A son ordonn~e y a pour valenur k' d~signant un entier arbitraire. Par hypotbhese, est un nombre incommenisurable:on pent done determiner les entiers k et ki de telle facon que V/ 9 — 2k -r'7 diffre aussi peu qu'on le -vent d'une quantit6 donne'e et, en partienlier, de p.. Pour les -valeurs correspondantes de t, y diff~rera d'aussi pen qu'on lc -voudra de B cos(~t -i- P), c'est-~-dire de -t,,, et" comme, pour ces memes valeurs, x est 6gal At ~, le mobile passera aussi pr~s qu'on le voudra du point P. III. - MOUVEMENT SUR UNE SURFACE DE REVOLUTION. ~273. Lignes g~od~siques des surfaces de revolution. - Nous nous somnies propose, en general, de former deux equations indedpendantLes de in reaction normale, et nous avons obtenu, par exempie, 1e'qcuation des forces vives et une des equations de Lagrange. Dans le cas di rnouvement d'un point stir une surface de revotution, on aura toujours deIX dequations indedpendantes de ia reaction en appliquant le thedor~ime des forces vives et le thedorene dii moment de in quantitd de motivement par rapport 'a 1'axe de revoiution, car, inl rdaction normale e'tant dans un me'me plan avec 1'axe de revolution, son moment est nul. Appliquoins en particulier cette remnarque ai la determination des lignes gd'ode'siques des surfaces de revolution. Prenons i'axe de revolition comme axe des z; i'edquation de la

Page  479 CHAP. XII. - MOUVEMENT D UN POINT SUR UNE SURFACE. 479' meridienne dans le plan des xz etant z — (x), 17equation de la surface sera evidemment z -= (r7), r designant la distance d'un point a l'axe, r- VX2 -+-y2. Appelons r et 0 les coordonnees polaires de la projection P du mobile sur le plan xOy, nous aurons les expressions suivantes x = r cosO, y = r sin, z= c(r) des coordonnees d'un point de la surface en fonction de deux parametres r et 0. L'expression du carre de l'6edment lineaire est ds2 = dx2 dy + dz2 = (i + C'2) dr2 + 2 d02, ou l'on a ecrit?' au lieu de CD(r). Puisque nous cherchons les lignes geodesiques, nous etudions le mouvement d'un mobile qui glisse sur la surface et qui n'est sollicite par aucune force donnee. Ce mobile n'est done soumis qun' la seule reaction. Le theoreme des forces vives donne ds2 = O; dt2 puis le theoreme du moment de la quantite de mouvement montre que le theoreme des aires (n~ 203) s'applique a la projection du mouvement sur le plan des xy, c'est-a-dire 7-2 d = Cdt; Ces deux equations fournissent done deux integrales premieres. Nous allons montrer que l'integration se ramene a des quadratures. En effet, l'integrale des forces vives, dans laquelle on remplace ds2 par sa valeur, devient /d72(I -+ p'2) + rd02 = Ve dt2. Pour avoir la projection de la trajectoire sur le plan des xy' nous eliminerons le temps au moyen de l'equation des aires.2dO = Cdt; nous aurons ainsi dr (i + o '2) r do2 = r7 dO;2 C2

Page  480 48o TROISI~LME PARTIE. - DYNAAIIQIJE DU POINT. do en posant, ' e:1t r'solvanL par rapport, 'a dr' I ~(p '2 A r 7-2 On determinera le signe qu'il faut, prendre par la consideration du sens de la vitesse initiale. L'edquation sous forme finie des lignes ge'ode'siques sera done Cette equation con tient deux constantes k et ~3 qu'on peut. d&'terminer, par exemple, par la condition que la ligne ge'ode'sique passe par deux points donne's. Sur ces deux constantes, la premiere entraine la forme de la courbe; la variation de la seconde correspond 'a une rotation de la ligne ge'ode'sique autour de I'axe de la surface. En appelant, dT un element d'arc de la me'ridienne, on a cdc2 =clr2-i dZ2 -(I ~+ Q'2) di-2, et l'on pent, ecrire 1'~quation diff~rentielle des lignes ge'odesiqcLues d/O0 k d,7 7' k2 Remar-que. - Dans le cas actuel, on aurait, T ~[(I ~~ Q12) I-'2 ~+ 1-20of2, ouC~est une fonction de r-. L'une des equations de Lagrange est, d O)T dT 0 comme T ne contient pas 0, To est nul; et celte equation donne, apres une integration, aoT '_7C 12'-C on retroti-ve ainsi 1'e'quation des aires.

Page  481 CHAP. X11. - MOIUVEMENT D'UN POINT SUJR UJNE SURFACE. 48i 274. Formule de Clairaut. -Si 1'on appelle i l'angle sous lequel une ligne gedode'sique de la surface de revolution coupe le me'ridien passant par un point M de cetLe ligne et r la distance du point M 'a laxe, on a pour tous les points de la ligne la relation (i) r~~~~~~~~~~-sin i --- k~ qui caractd'rise les lignes geode'siclues. En effet, si l'on conside're le mobile qui dedcrit la ligne geode& sique dans les conditions price'dentes, le moment de la quant-itd de monvemnent ou, ce qui revient an meme, le moment de la vitesse du mobile par rapport 'a l'axe est constant; la valeur constante de ce moment est predciseiment edgale 'a la constante C des aires snr le plan perpendicuilaire ih laxe, car le moment de la dt dn mobile M en deux composantes, L'nne, e, sin i, tangente au paraillel dn point M, L'autre, v' cos i, tangente an me'ridien. Le moment de la vitesse par rapport 'a laxe de revolution est d'gal "a la somme des moments de ces denx composantes, c'est-a"-dire au moment de la premiere7,vr~ sini, car le moment de la deuxie~me est nul. On a done rV Sinl i =C mais, comme v' - vo on en conclut l'edquation (I), la constante k ayant la valeur - et e'tant, par suite, identique 'a celle qui figure dans l'dcuation des lignes gedode'siques (no 273). 275. Exercices. Lignes g6od6siques de la surface engendr~e par la r6volution d'une hyperbole 6quilat~re autour d'une de ses asymptotes. - L'equation de la surface sera a2 I.~ ~ ~ ~~a Dans les formules ci-dessus, il faudra done remplacer?(r-) par - et Ion r aura pour equation des projections des lignes ge'od~siques I. 31~~~~~~~~~~~~~a, 1. 3 i

Page  482 482 TROISLEME PARTIE. - DYNAM~IQUE DUJ POINT. Pour que 0 soit r~el, ii faut que 7r soit sup~rieur A k; la courbe est donc exte'rieure au cercie de rayon k. On pent d'ailleurs faire r — k, car pour I cette valcur 1'616ment de l'int~grale devenant infini, comme Vr::- 1'int~grale reste finie. En faisant tourner les axes d'un angle convenable autour de O z (fig. 171) on pourra faire en sorte que 0 soit nut pour r - k et ion aura r2k Fig. r' 0 A.xe';~partant de la valeur k pourra croltre au del1t de toute limite, sans que 0 cesse d'e'tre r~el; 0 augmentant constamment avec 7r aura d'ailleurs une limite, car, lorsque r croit ind~finiiment, 1'616ment de l'int~grale tend Nrers I zA~ro comme -; cette limite d.. sera r2 J kdr \/I~ 4 7, k Pour voir s'il existe une asymptote parall~le A cette direction ~,ii suffit, comme on sait, de chercher si la sous-tangente polaire 7r2 aruelmt pour r- infini; cette limite, quand elie existe, est la distance de lasymptote au po'le. Or on a ici d7- k2 expression qui a pour limite k. La courbe a done une asymptote D tan

Page  483 CHAP. XII. - MOUVEMENT D )UN POINT SUR UNE SURFACE. 483 gente au cerCle de rayon k. On peut de'montrer que 1'angle tb est supe'rieur a a; cteffet, posons -- it,nosars 2 ~~~~~~~~~~~7' / a4 -/I-_- U4 pour k oo -~; quand k diminue, Cet angle augmente, et, Si ion suppose que k devienne tr~s petit, 1'616ment de l'intedgrale de-viendra de plus en plus grand et ~ croltra ind~finiment. ~ a done une valeur queilconque entre - et oo. En prenant le signe -devant le radical, on aurait eu la seconde branche de la courbe syni-6trique de la premi~re par rapport a laxe des x. On discutera de me'me les lignes, ge'od~siques des surfaces de r~volution du second ordre, dont on trouvera une dtude d~taille'e dans le Tr-ait des fonctions elliptiques d'Halphen, t. II, Chap. VI. Pour des surfaces de revolution quelconques, on verra que, Si ia m~ridienne a des branches infinies, il y a des lignes gdod~siques a~ branches infinies. S'il y a Sur ia surface un paralble minimum, ce paraib~Ie forme une ligne gi~ode'sique et ii existe, en g~ne'ral, des g~od~siques qui lui sont asymptotes. Pour une 6tude approfondie de ces courbes, nous ren-verrons aux Lecons suin la the'ozrie des surfaces de M. Darboux ( Ill Partie). 276. Mouvement d'un point pesant sur une surface de r~volution A axe vertical Oz. - L'inte'gration des equations de ce mouvernent se ramerne 'a des quadratures. Le thedore~me des forces vives donne d'abord dM2 en prenant l'axe des zdirige' vers le bas. Le the'ore'me des aires s'applique et donne r2 dO= Cdt. Si I'equation de la surface est, z - (r), on aura 2 dr-2 (Ir2d02 p2 t2di En dlirmnant alors le temps et ia NriAesse entre ces Lrois edquations, il viendra I i ~~~~~~C2

Page  484 418 4 TROISLEMIE PARTIE. - DYNAAMIQUE DU POINT. les variables se se'parent imnie'diatemenL et l'on a 0 en fonction de r- par une quadrature On inte'grera de me'me par des quadratures toutes les fois cjue le mobile sera sollicit6' par des forces de'rivanL d'une fonction de forces qui slexprimnera en fonction de r- seulement. En supposant la surface alge'brique, M. Kobb a determine' les cas dans lesquels le probleme se ramene aux fonctions elliptiques, (Aceta rnathematica, t. X). On trouvera une etude analytique inte'ressante dii mouvemen't d'un point pesant sur une surface de revolution dans un Memoire de M. Otto Staude, Acta mathernatica', t. XI. Remar-que. - *Un point pesant assujetti "a se mouvoir surun surface de revoliition ne pent de'crire Lin paralklel de la surface clue si le sommet dui cone des normales le long de cc paralelie se trouve an- dessus de ce paralkiel. L equation de la surface est, en effet, z = T~r) oU X n ~ 2 En revenant alors aux equations generales du mouvement sur itne surface, on aura,~d2r X _ d2y d2z Zrgv~ dt2 r. dt2 r d t9 Pour que la trajectoire soit le paralklel z - zo, il faut qtie ces equations soient satisfaites par ]es conditions z — zo, x -r0 cos, y -r0 Sin 0; d'autre part, le the'ore~me des aires donnera 1dO C -roe0 vo de'signant la vitesse initiale ne'cessairement. tatigente au paralkle, d'oiui 0 On devra, par suite, avoir 0 0 Ces deux dernie~res equations se re'duisent "a V2 y'(ro) '0

Page  485 CHA.P. XII. - MUOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE. 485 Donc C i'(7r) doi are nedgatif. Si cette condition est remplie, ie sommet du cone des normales se troLuve au-dessus dui paralhlel en lancant le mobile stir ce paralilel avec in viiesse V 7-0 gr'(7r0), on luii fera. de'crire le paraille.e Ce re'sultat se ve'rifie aisedmeni par la Gedomdetrie: il suffit d'exprimer que ia resultante dui poids et de ia reaciion normale est dirgdever lecenrediiparH~i etdgae F0 277. Pendule sph6rique. - Le pendule sph~rique est constitu6 par un point pesant mobile sans frottement sur -une sph~re fixe. Prenons pour origine le centre de in sph~re et pour axe des z une verticale dirige'e vers le bas. En coordonne'es semipolaires, 1'~quation de la sphere sera rI Z2 -12 en d~signant par I in longueur du pendule. Le mobile est soumis Ao Faction de deux. forces, son poids et la r6action normale de la sph~re; le the'or~me des forces vives donne done V2 =2bz -v- h, p~uisque le travail de la r~action est nul. De plus, les deix. forces htant dans un. me'me plan avec Faxe des z, on peut appliquer le principe des aires At in projection du mouvement sur le plan x Oy r2 dO- C dt. Ces trois equations d~terminent z, r et 0 en fonction de t. Cherchons d'abord Ao determiner z:il faudra pour cela 6liminer r et 0. L'6quation des forces vives pent s '6crire drl -v- r~~~d02-~- dz h De e'~quation de la sph6re r7- ~12 -Z2,on d6duit -z dz dr~ =_ V'12 -.Z d'autre part, I'equation des aires donne d C Cdt C Cdt — A~ ~ 2

Page  486 4186 TROISIEME PARTIE. - DYNAIMIQUE DUI POINT. en portant dans t'~quation dcs forces vives, nous aurons d12 z_)(2 2 ~dt/ en posant Cp (Z) (2 gZ h) (l-Z2)-C2, on en tire Le temps est ainsi donne' en fonction de z par une quadrature elliptique. Le signe Ai prendre se d~termine par les conditions initiates; il n'y a d'ambi guft6 que si (-:oneraalors si z doit croitre on d~croitre, en partant de cette valeur, pour qie c9(z) reste positif. La formute dO Cd montre que la projection du mobile sur xOy tourne toujours dans le me'me sens autour de t'axe des z, at momns que I'on n'ait C =o, auquel cas, tangle 0 restant constant, on aurait un pen(ulue simple. Si, dans, cette metme formule, on remptace r2 et dt par teurs, valeurs en z, on a -F4- ClIdz (l2 - Z2) V OA(Z) t et 0 sont ainsi ditfinis en fonction de z; on aura ensuite /- par 1'~quation (le la splidre. Pour que tes intdgrales soient rdettles, it faut que O(z) soit positif. Ce polynodme a ses trois racines rdeltes. It suffit, pour te voir, de substituer At z la suite - cc, 1, zo, -i- 1, qui donne At cp(z) tes vateurs suecessives -- c,-C2, CP(Z0), - C2 et de remarquer que, zo ktant in valeur initiate de z, c ( zo) est positif, car la iateur initiate de - est ritetle; it y a done deux racines, riettles a~, P3 dans tes intervalles, F — 1, zo et zo, - 1, et uine racine y entre - I et - cc. La somme des produits 2- A 2 de ces racines, a pour valeur - 12; on a done comme c et Psont compris entre - 1 et -v 1, 12 ~ ij est positif; y ittant ndgatif, a~-~ — P3 est positif; le paraltlte 6quidistant des paratltes z =a z =f3 est done toujours situe' au-dessous du centre et la racine a est tonjours positive. Supposons, pour fixer les iddes, que z aille d'abord en die'roissant i partir de z =zo, it faudra prendre le signe - devant te radical: z ira en ddcroissant jusqu'it P, et lorsque le mobile atteindra le paratlte BB'(z ) dz en B1, la trajectoire aura une tangente horizontate puisque Wt est nut en

Page  487 CHAP. XII. - MOUVEMENT D'UN POINT SUP, UNE SURFACE. 487 dO cc point sans que;it le soit. A. partir de ce moment, le mobile continuera A tourner autour de laxe des z dans le me'me sens, mais il devra redescendre (fig. 17,2); il redescendra. ainSi jusqu'au paraillde z = o, end6 Fig. 172. 0 B2 est ~ ~ ~ ~ ~ 2 i nI ct ce teinps est le nmdne que celtii que met le mobile Ai parcourir les arcs 131 Al, B2 A2, etc. Si le mobile 6tait primitivement laned sur l'un des paralldles extremes, on aurait an ddbut =o; c'est le cas d'ambignutd qne nous avons re'serve' dt plus haut:si le mobile est lanc6 sur z 3,z devra croitre et ion prendra. le signe -+ — devant le radical; on prendra. le signe -,au contraire, si le mobile part du paralldle z =ca. Les plans mdridiens des points de contact de la trajectoire avec les parallles extremes sont des plans de syme'trie pour cette trajectoire. En effet, considdrons deux points M, M' d'nn medme paralldle sur les branches A1Bj1,A1B2; si 0,0O', 01 sont les valeurs de 8 correspondant, aux points mlM Aon aura 010Cd et J1- 1 12-Z2) OZ ~ 0 - 0; les deux points M, M' sont done bien symdtriques par rapport an mdridien de A1. Les temps que met le mobile pour parconrir les arcs MAI, Al1M'

Page  488 4188 TR1OISIE1~IE PARTIE. - DYNAAIIQIUE DUJ POINT. sont, en outre, egaux comme ayant tous deux pour valeLir I dz Construisons maintenant la projection de la trajectoire sur le plan des xy: nous distinguerons les deux cas oi'i les paraillies extrdmes sont ou non dans le medme hdmisphdre. Premier cas. - Les paralilels extrdmes sont dans l'hdmisphdre infe'rieur. Le cercle le plus has z = se projette A~ linte'rieur du cercie z = P la courbe, oscillant entre ces deux cercles, affecte la forme ci-contre (fig. 173); nous verrons, d'ailleurs, qu'ele ne peut pas presenter de point Fig. i73. d'inflexion. Pour un observateur plac6 sur laxe des z, le mobile semble ddcrire une ovale qui se ddplacerait dans le sens du mouvrement; nous allons voir, en effet, que l'angle B1 OA, est plus grand qu'un angle droit. Deuxidme cas. - Supposons m aintenant que les deux cercles extrdmes soient de part et' d'autre de l'6quateur. En projection, le cercie z.a Fig. i74. est encore intdrieur au cercle 3, puisque Ion a a -1 — P > o. D'autre part. la projection de la trajectoire doit 6tre tangente At le'quateur en E, et

Page  489 CHAP. X11. - MO1JVEMENT D UN POINT SUR UNE SURFACE. 489 pr~sente la forme que nous indliquons (fig. 174); elle pourrait d'ailleurs avoir des infleXions. On 'doit h 'Puniseux (Journal de Liouville, 1842) Ia demonstration de la propri~t6 que nous avons e'nonc~e plus haut l'Fangle IFW B1 OA, est toujours sup6rieur ih un angle droit. Cet angle a, en effet, pour valeur U ClIdz Nous avons d~sign6 par a ~~ les racines de y(z) nous aurons done l'identite' en egalant les termes en z, nous avons d~jh obtenu ~ ~ ~ )( f3) 2~ n1i faisons z 1- Idcans cette identit6, il viendra en posant A= (Il- ~(l -~ B= (lc)l 3, nous aurons C A.BVA. B et, par suite, IABdz 4 2 - 2 g-Z (a 1 -- l~rf pour avoir des limites de cette int~grale, nous de'terminerons des limites entre lesquelles reste compris le dernier facteur z (a ~~ P3) -~- 12 ~+ cK3. Supposons qu'on ait trouve' deux quantite's positives constantes P et Q telles que, pour les valeurs de z comprises entre cc et f3, on ait, P~>Z (a 12) A a2 p ~~>Q; alors 1'inte'grale TF sera comprise entre les deux valeurs qu'elle prendrait

Page  490 49O TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. si 1'on y remplacait successivement z (cc~I 3 12 *j nf3 par P et parQ AB Ildz ABcl Iz L'int~grale d~finie qni figure dans cette formule, ne contenant que la racine carr~e d'un trin~me, peat se calculer facilement; on trouve qu.'elle a pour valeur F H;lin~galit6 pr~c~dente devient alors IT(A -B)<M< rc(A -+-B). <-P < V Uri premtier choix des limiites P et Q, qui donne irmmediatement le the'ordme de Puiseux, est le suiv ant: le, facteur z~ -+ P) -j- 12 ~ap vanie danS le me~me sens que 1Z, car le coefficient a H[ est positif coinme z est compris entre -+- I et - 1, ce facteur est compris entre Il(o -1- [3) -~-1 et - l(c~ -v- 3) -~- 12 ~ n[3, c'est-~-dire entre A2 et B2. On peut done prendre P =A2, Q B2, et l'on voit que MI est compris entre les deux limite s +i e 1(~ ),qui sont toutes les deux sup~rieures a -. Lorsque la vitesse initiale est tr~s grande, ces deux limites sont tr~s voisines de ITr: en effet, lorsque vo augmente an dehA de toute limite, h et C2 augmentent ind~finiment et e'~quation Tp(z) =o, apr~s qu'on a divis6 tons ses termes par h, prend la forme ofi p2 de'signe une constante. Dans ces conditions, iine des racines y du polyno'me cy(z) devient infinie et les deux autres, oc et 3, tendent vers les racines du trinu'me ci-dessus, qui sont 6gales et de signes contraires. On a donci, dans cc cas limite, [3- - a, A B, et les deux limites que nous venous de trou-ver pour Mr sont 6gales 7rI. On voit ainsi que, quand vo augmente ind~finimnent, 4! tend -Ners 7; la trajectoire tend alors ~t deveair un grand cercie. Ialaphen a d~montr6 (Ti-aitj des fonctions elli~ptiques, t. II, p. 1-28) que Fangle Tr ne peat pas d~passer la limite IT. Revenons pour an instant an cas g~n~ra1: nous pouvons trou-ver des limites pins rapproch~es que les pr~c~dentes pour la valeur de Tr. En effet, lefacteur z, -i- [3) '+ 12 Pi [ variant dans le me'me sens que z est cornpris, dans l'inte'grale qui donne Tr, entre les valeurs extrernes quail prend pour z = et z = 3. On pourra done prendre P - 2~ [3a P-d-l2, Q 3 2 t -9n[ 12 et Ion trouv\era IT (A-~B) <M<T (A~B) U2VC2 4~2 2[2~2 312

Page  491 CHAP. XII. - AIOIVEAIENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE. 491 Quand P3 tend vers ca, ces deux limites de-Viennent e'gales: on a done lin T (pour z ic). 2 a 1 Cette formule donne in valeur de T quand in trajectoire est comprise entre deux paraib~les infiniment rapproche's. Si, de plus, ces deux paralhlele infiniment rapproch6s se trouvent tr~s pr~s du point le plus bas de in sph~re, a est tr~s voisin de I et TF voisin de -.Dans ce dernier ens ln trajectoire est voisine d'une petite ellipse: e'est ee que nous trouverons plus loin en 6tudiant les oscillations infiniment petites. 'Calcul de lca r~action normale. - Comptons in reaction normale iN positivement -vers le Centre de in sphere, in formule ge'n6ral e 6tablie pre'c~demment (no 269), donne imm~diatement N. En effet, R est 6gal au rayon I de in sphere, 2 2gz -+~- h, et F,,proj eetion du poids mg sur le rayon est - in;on a d on e N j 9(2gz -~-h) f(3 gz -+-h). Cette r~nction est in m~me fonction lin~aire de z que dans le ens du pendule simple. Si le mobile est attach6 par un fil flexible, sans mnsseynau centre de ln sph~re, ii quittern ln sphdre au moment ohi ln r~action N 5 annulera pour devenir n~gative, et tombera ensuite en d~crivant une parabole oscuintrice A lai trajectoire, ante'rieure sur ln spbere. Si le mobile ne pent pas quitter in sphhire, par exemple s'il est plac& entre deux feuillets sph~riques infiniment rapproce'~s, ii pressern sur le feuiliet exte'rieur quand N sera positif et sur le fenillet int~rieur quand TN sera n~gatif. Dans ce ens, in projection borizontale de sa trajectoire pr&sentern un point d'inflexion nux points oit N s'annule. En effet, in seule. force qui agisse, en un de ces points 6tnnt in pesanteur, le plnn osculateni' fi in trajectoire, qui doit in contenir, est vertical et in projection horizontale du point considir6 est un point d'inflexion. Ce ens ne peut pas se pre' senter si a. et P3 sont positifs, car, z restant alors positif, in reaction me2 mgzest essentiellement positive. Indgration par- les fonctions elliptiqes. - On pent transformer les formules que nous avons 6tablies, de facon que les -variables soient exprimees en fonctions uniformes de t; c'est ce que nous allons faire maintenant. Nous avons trouve' cit I _ _ _ _

Page  492 49,2 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DUI POINT. cornptons le temps ~t partir du moment oii le mobile passe an 1)oint le plus bas Al, nons devrons prendre le signe - devant le radical et nous anron s rz ~~~1 dza a -a - )(a - UI z comme z varne entre les valeur~s limites a et 3, u~ oseillera entre o et. i. VDe cette derni~re 6galite', nous tirons suecessivement — a -Qa~- f3)a2, dza — - 2-( a- a )du; en substitnant dans la valeur de t, il viendra 2 dui oii nous avons pos6 k2 - quantit6 essentiellement positive et moindre que i, puisque a est la plus grande des trois raciines a,> ~> y. En 6crivanit enfin nous auirons du I (I. U2) 2 Ul2) c' est-A —dire it- sn Xt d'o i Z a - ( O- S) nkt: a est ainsi une fonction doublement p~riodique de t; l'une dies pdriodes est r~elle et e'gale i da V(I- U2) (i -k2 U2)

Page  493 CHAP. XII. - MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE SURFACE. 493 On remarquera que v'oc-, v's I 3 Vz z- y sont des fonctions uni — formes du temps; on a, en effet, v u-z Va- P3snXt, vz- Y =v'u- - k t2~ V'- y n) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Pour exprimer x et y en fonction du temps, rappelons que ion a obtenul C dt 12-Z2 en remplacant alors z par ia valeur obtenue pr~c6demment, Tdeviendra une fonction rationnelle de snu),t; en la di~comnposant en di1inents simples par la nm~thodle de M. Hermite, on pourra effectuer l'inti~gration comnme l'indique la thi~orie des fonctions elliptiques. La fonction 0 ainsi obtenue n.'est pas uniformre, mais on peut ktabiir que x et y, qui s'en d~duisent, sont des fonctions uniformes de t; on a, en effet, -x ~- jy re0i v' eif~ on d6montre que 1'exponentielie n'admet pour points critiques que [es -valeurs de t correspondant aux valeurs z -- -i- 1, Ct que le produit n admet plus ces points critiques:C'est alors uine fonetion uniforme de 1; ii en re'sulte que in partie r~e11e x et la partie imaginaire y sont toutes deuLx fonctions uniformes de t. Cette m~thode est due At M. Tissot (Jour — nal de Liouv'ille, 2852). MX. Hermite a donne' un~e dernonstrntion directe de cette m~ine propriett& (Jour-nal de Crelle, t. 85). La recherche de ces fonctions x, y se rattache d'ailleurs At i'intetgratioD d'une itquntion diffitrentielie du second ordre, qui est un ens particulier de I'equation de Lame', 6tudi6ie par M. ilermite (Sitr queiques applications des fonctions elliptiques). Nous avons, en effet, trouve' pritcidemnient qu'en de'signant in ritaction de ln surface par N on a-vait d2 X Nx Mn Mn~ -avec N -(3gz!,h), par suite __X 3gz — h dt2 - 12

Page  494 494 TIROISIEME PARTIE. - DYNAMIQIJE DLU POINT. dans cette formule, remplacons z par la valeur que nous avons trouv~e plus haut, nous obtenons dt2 12 e est line 6quation Jin~aire qui admet x pour int~grale particuli~re; iell admet 6galement y pour int~grale, puisque e'~quation en y d2Y __, N esL de m~me forme que I'equation en x. Si l'on pose alors )X t t', 1'6quation pr~e'dente prend la forme d2 X -zx(6k2snl2t'? h'), h' c1~sign ant une eonstante; e'est 1'6quation de Lam6 dt2 X-_ x[n(n — l i) k2sn2 t' h'. on Pon fait n 2. 9 Thjorrnze de M. Greenhill. - On doit ~t M. Greenhill F'inte'ressante remarque suivante Quand le pendule sph~rique est lance horizontalemuent an niveau du Centre, il existe une combinaison lin~aire des integrales donn ant 0 et t qui est une int~grale pseudo-elliptique, c'est-ht-dire qui pent s'exprimer h laide des fonctions 6l1rmentaires. En effet, les valeurs initiales de z et y 6tant suppos~es nulles hi linstant t = 0, on a, en appelant vo la vitesse initiale suppos~e horizontale, C -: 1c0 h = V t ~ ~ r z l d z~~1 v. _ _ _ J0/'4g(12 - Z29- 2 Z] t6quations qui donnent, comme on le v~rifie sans peine, 0~t = are sin VoV' 21 ~~~2g(12 -Z2) on, en appelant Q~ langle du pendule avee la verticale, z~ C os snosin - ( ft) COST I 1) I v2gl

Page  495 CHAP. XII.- MOUVEM~ENT D'UN POINT SUR IJNE SURFACE. 495 Cette relation, jointe At Celle qui donne z on Ilcos c en fonction elliptique de t, permet d'exprimer x, y, z en fonctions uniformes de t. Oscillations in/iniment petites. - En introduisant la reaction normale N, on a pour les equations du mouvement du pendule, d2 X Nx d2y _ Ny __ Nz (i) M nt2 M' ' dtj - ~ it2 - ngI Si les oscillations sont suffisamment petites, x et y resteront tr~s petits; nous les conside'rerons comme infiniment petits do premier ordre, et nous ne~gligerons les termes du second ordre. A cet ordre d'approximation, on aura z - 1, puisque la formule de Taylor donne z~V2~(x2~y2)~l(Ix2~Y~ et le deuxi~me terme du de'veloppemnent est du second ordre. Faire l'approximation dont nous parlons revient ainsi it admettre que le mobile ne quitte pas le plan tangent. La dernii~re des 6quations ([) se simplifie.et donne en portant cette valeur dans les deux premi~res, nous obtenons d2 x _ d2ly q dt2 -1 cxi dtz 1 ee sont les 6quations du mouvement d'un point solliciti6 par one force centrale proportionnelle At la distance; la trajectoire sera une ellipse ayant son Centre sur laxe des z. Nous voyons effectivement que ces 6quations lini~aires oat pour integrales g~nitrales x A — 7NCost -+- B sin t y- A' cost - -+-B'sin t Nous supposerons que lon ait pour t =o, dx dy o ce qui revient it faire passer le plan z Ox par on des sommets de la petite ellipse. Ii en r~sultera les valeurs suivantes des constantes A =x0, A 0zo B — o, B

Page  496 496 TROLSIEME PARTIE. - DYNATMIQUE DUJ POINT. L'6iimination de t donne immddiatement l'6quation d'une ellipse; la dur~e de la rdvolution est On peut pousser plus loin l'approximation en conservant les termes du second ordre:il suffit pour cela de remplacer dans les seconds membres des dquations (i) N par sa valeur obtenue par la premi~re approximation ce calcul a dtd fait par M. Tisserand (Bulletin des Sciences mcnahmatiques, anne'e i88i). D'autres m6thodes d'approximation ont 6te donne'es par M. Resal (I1jicanique geineraie, L. I, p. i~o), et par M. de Sparre (Annales de la Socijte' scientifique de Bruxelles, i892). EXERCICES. I. Un point MV, de masse 6gale fi lunit6. est assujetti Ai se mouvoir sur la surface repr~sent~e, en coordonn~es rectangulaires, par l'6quation il est attir6 par chaque 6l6ment de laxe des zavec une force 6gale au quotient de la longucur de 1'616ment parla quatri~rne puissance de sa distance au point M. Discuter le mouvement que peut prendre le point mobile:projection de sa trajectoire sur le plan des xy. Etudier le cas o-6, Al linstant initial, le point II se trouve sur laxe d~es x avec une vitesse 6gale Al et faisant un angle de /150 avec Ic plan des xy. (Licence, Caen.) 2. Un point non pesant se meut sur une sph~re fixe x!~~y~2~-+. z2- R2 — o sous Faction d'une force dirig6e normalement vers le plan des xy 6gale Afm k-s-, k2 d6 -signant une constante. Tronver le mouvernent et la rftaction normale. (La trajectoire est une conique sphftrique.) 3. Consid~rons un point matftriel M, de masse 6gale At lunitft, sollicitft par unc force F dont les projections sur trois axes rectangulaires sont les dftrivftes partielles d'une fonction de forces U(x,y,Z); I'quation. U = const. repr6sente une surface de niveau dont lintersection avec une surface quelconque S peut fttre appelfte ligne de niveau sur S. Dftterminer cette derniftre surface, de inaniftre que le point M, obligft de rester sur elle, et

Page  497 CHAP. XII. - MOUVEAMENT D'UNT POINT SURt UINE SURFACE. 497 abandonn6 sans vitesse initiale ii Faction de F, d~crive toujours une trajectoire C orthogonale A toutes les ligncs de niveau; si, par exerople, M n'6tait sollicit6 que par la pesauteur, il devrait tomber sur la surface cherch~e suivant one ligne de plus grande pente. D6montrer que Ie sinus de l'angle sous lequel une surface de niveau coupe S varie aux divers points de la ligne H d'intersection en raison inverse de F A.. DE SAINT-GERMAIN, Journal de Math., octobre 1876). 4. Un point libre sollicit6 seulement par une resistance de milieu d6crit une droite. Ddmontrer qu'un point mobile sur une surface et sollicit6 seulement par, une resistaoce de milieu et un frottement d6crit une ligne g6od~sique. 5. Un point mat6riel pesant assujetti A rester sur la surface d'une sphere de rayon a est attir6 proportionnellement h la distance par on point fixe B, situ6 suir la verticale Oz du centre de la sphere, S une distance OB = b du centre. Oun donne la valeur u. de lattraction S lunit6 de distance, l'intensit6 g de la l)esanteur, la vitesse initiale k do point mobile, laquelle est suppos~e horizontale, et enfin la distance initiale h de ce point an plan horizontal Oxy, qui passe l)ar le centre de la sphere. On demande: o de trouver les limites entre lesquelles variera pendant le mouvement lFordonn6e z do point mobile; 2o de determiner cornpl6temcnt ce mouvement dans le cas particulier ofi l'attraction do point fixe B sur le centre de la splidre est 6gale et contraire A lapesanteur. 6. Mouveinent d'un point mobile sur one sphdre et attir6 par on plan diani6 -tral proportionnellement S la distance. [On est ramen6 S l'int6gration d'une 6quation de Lam6 (L~Iooo, Coinptes recadus, t. CV1JIL)I 7. Ligncs ge~odesiques de l'cllipsoidc. - Comme consdquence de Ia relation p6 — const., ddmontrde dans le texte ( n2 270), on ddmontrera les propositions sulivantes Soient 0 et 0' deux ombilics de lFellipsotde non diamdtralement opposds, MO et MO' les deux lignes gdoddsiques joignant on point M aux deux ombilics; ces deux lignes soot 6galement inclindes sur chacune des lignes de courbure 1)assant par M. Si le point M ddcrit one ligne de courbure, la somme 00 Ia diffdrence des ar-cs de courbes gdoddsiques MO 4~ MO1' est consta~ite. (Voyez Journal de Liouville, i846.) 8. Lignes gdoddsiqucs do tore (RESAL, Coniptes rendus, t. XC, p. 937). 9. Lignes g6oddsiques de Ia surface engendrde par one chainette tournant autour de sa base. (0 est donod en r par one intdgrale elliptique de preinidre espdce, quii se met immddliatement sons Ia forme normale.) 9 bis. Lignes gdoddsiques de ibyperboloide S one nappe engendr6 par IhIyperbole ~- - - u. En appelant e l'excentricit6 de l'hyperbole, on troove pour all b2 6qUation de la projection des lignes gdoddsiques dr / e2 /2-a d0- '2)r2 -4-) 1. 32

Page  498 498 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DUI POINT. S s'exprime donc par une intitgrale ritductible aux int~grales elliptiques. La courbe a une forme analogue it celle du no 275. Pour k =a, elle est asymptote aI an cercie de gorge r - a; pour k =' eIa courbe se ritduit As une gesn~ratrice. 10. Courbure des lignes ge'ode'sques des sutifaces de 7recolution. - Soient R et R' les rayons de courbure principaux en un point d'une surface de ritvolntion, r Ic rayon du parallisle correspondant, i linclinaison de la ligne gitodetsiquc considisrie sur la misridienne, p son rayon de courbure; dismontrer la formule k dissignant, comme dans le texte, la valeur constante du produit r sin i le longZ de la ligne gisodissique considisrie ( RESAL, Nouvelles A7nnales, fisyrier 1887). 11. On lance sur nne surface un point pesant; d6montrer qu'on pent prendre Ia vitesse initiale assez grande pour que, sur nne certaine longueur is partir (le la position initiale, la trajectoire diffire aussi pen qu'on le vent d'une lignc g~oditsique. 12. Lignes gisodissiques de Ia surface de ritvolntion On pent poser a it it I' COS a, Z = a sin — cos -. Ces fignes gisodissiques prissentent Ia forme d'un 8 gauche; diles sont tontes ferm~cs et ont toutes la misme loogneur (TANNERY, Bulletin des Scienlces mathe~matiques, P. 190; 1892). 13. On a deux points pesants qui s'attirent proportionnellement As la distance le premier est assujetti As se monvoir sur une droite verticale, le second snr nn plan faisant avec l'horizonunn angle a. T rouver le mouvement de ce systisme de deux points. Appliqner les formules au cas o4l ml'- m. La position initiale est celle d'itquilibre, les projections de la vitesse initiale dn second point sur Fhorizontale et la ligne de plus grande pente du plan sont 6gales chacune is Ia vitesse initiale du premier point. On a de plus sin 0 _ Appliquer aussi les formnles an cas oiis le plan est horizontal a = o. 14. Mouvement d'un point sur- in sphere sous l'act ion d'une force constant-ment situe'e dans le plan du mdridien du mobile. - Le rayon de la sphire dtant supposis ital is lunitit et Ia position du mobile 6tant disfinie par la longitude 0 et le complisment y de la latitnde, on considisre un mobile sollicitis par une force constamment sitnise dans le plan misridien elt Ion appelle F la projection de cette force sur le plan tangent it la sphire, F istant regardlie comme positive ou nesgative, snivant que cette composante est dirigise dans le sens des yp crois-sants on en sens contraire. Ddmontrer les formules suivantes, analogues As celles

Page  499 CHAP. XII. - MOIJVEMENT D'UiN POINT SUR IJNE SURFACE;. 4 9 9 dc la th6orie des forces centrales et, efl particulier, S' la formnule de Binet sin2ydO = Cdtl dmo F do 20 (Paul SERRET, Thdor'ie g~oMdtrique et ineicanique, etc., p. i93.) Exeinpie. - Si F a pour valeur M "-, la trajectoire est une conique sphi6rique sin2? ayant pour foyer le p6le. (Analogie avec le mouvement des plandtes.) 15. E tablir des formules du m~me genre pour le mouvement d'un point sur une surface de r6volution sons Faction d'une force constamment situ~e dans le m6ridien du mobile. 16. Transformation de mnoueementS. - Soit dans un plan fixe un point mat~riel de masse i sollicit6 par une force F dont les projections X et Y sont des fonctions des seules coordonn~es x et y du point. Les 6quations du monvement sont d2X '' dt1 Y Faisons la transformation homographique _ax -+by -~- c a'x b'y -i-c' XI a x-+-b"y -i- c' Y, a'" ~b'y -c"' en remplacant la variable ind~pendantc t par une variable t, li~e S t par la relation kct-(a"x ~i Vy-I lt ) D~montrer que le point (x,,y,) se meut dans le temps t, comme un p~oint de masse isollicit6 par une force F, dont- les projections XI et Y, d~pendent seulement dle x, et y,. La trajectoire du point (x,, y,) est la transform~e homographique de celle du point (xwy), la direction de F, est la transforiunhe homnographique de celle de F. La force F 6tant centrale, F, est on centrale on para~lle A une direction fixe (Comptes rendus, t. CVIII, P. 224). 17. Inversement, si Lon cherche la transformation la plus gdn~rale de la forme telle que la nouvelle force F1 ddpende seulement des coordonodes x,, y,, et cela quelle que soit la loi de F en fonction de x et y, on trouve seulement la transformation homographique ci-dessus (Ame7rican JcIUrnal, t. XII1). 18. Transformation cl'n mouvement sphe'rique en un m-ouveement plan.E~tant donn6s une sph~re (S) de rayon etc un plan tangent (P) A cette spli~re, nous ferons correspondre, A un point M, de la sph6re, la projection M (le ce point sur le plan ( P) faite par le rayon allant dn centre an point M,: c'est La projection bien connue que Ion appelle centrale dans la th6orie des Cartes g6ographiques; elle fait correspondre A tontes les droites du plan (P) des grands cercles de la sphdre (S) et rdciproquement. Au point de vue analytique, si ion

Page  500 I 2)0 TROISIEME1 PAJATIE. - DYNAMIQUE DUJ POINT. lprend le point de contact du plan ( P) et de' la sphiae ( S) comme pflle d'un syst6me de coordonn6es polaires dans Ie plan et sur Ia sph6re, on aura, en appelant p Ct w les coordonndes polaires du point Al dans le plan, cp Ct 6 les coordonn~es polaires du point Al, sur Ia sph~re (? colatitude et 6 longitude), les formules (lC transformation (a) p -_tang~p 0~. Les 6quations du mnouvement plan seront, d'apr~s Lagrange, ft et ~ 6tant des fonetions de p et w. De m~me, Si Ion consid~re sur Ia splhdre uni point ayant pour masse i et se d~placant pendant le temps t,, les 6quations du mouvement seront (C) dt-5b~ dtjj dt -0, q-, et 0 etant des fonctions de pet 0. D6 montrer que, si Io n fait sur les 6quations (b) du mouvement plan la transformation d6finie par les formules (a) (dc Ia projection centrale et si Ion 6tablit entre les temps I et t, Ia relation cit =cos2 C: 11, les 6quations (b) prennent la forme (c) oft Done A tout mouvernent sur le plan correspond un mouvement sur Ia sphere et r6ciproquement:la trajectoire de Fun des points est la transform~c de Ia trajectoire de Fautre par projection centrale (Americani Journal, t. XLII). Appliquei' cette transformation A 1lexemples 14. 19. D~montrer plus g6n~ralement que Fon peut transformer de la m~me facon le mouvement d'un point sur une surface 0 courbure constante en un mouivement I)Ian (DAUTHEVILLE, Annales de l'Ecole Nornmaie supe),ieure, 1890). 20. Un point qui n'est sollicit6 par aucuine force donn6e se meut sur un plan qui tourne avec une vitesse angulaire constante w autour d'un axe fixe auquel il est invariablement 1i6. Trouver le mouvement et, calculer Ia r~action. ( DE SAINT-GERMAIN.) 21. Rectifier Ia courbe d~crite par le pendule splh~rique en projection horizontale et en projection stdr6ographique dans le cas de Ml. Greenhill (p. 494). (G REENHILL.) 2-2. ttablir les ~quations -du mouvement d'un point sur une surface avec frottement ( Comptes renidus, iS f~vrier 1892). Voir aussi M\AYERI, Sachsische GeselIschaft, 5 juin i893. 23. Mouvement avec frottement d'un lpoint pesant sur un cylindre de r~voIntion A axe vertical (DE SAINT-GERMAIN, Bulletin des Scientces mat hinatiques, aofit x892).

Page  501 CIIAPITRE XIII1. - EQUATIONS BE LAGRANGE. 5 5ot CHAPITRE XIII. VQUATJONS DE LNGRAME POUR UN POINT LIBRE. 278. etquations de Lagrange. - Nous avons donne' dans les Chapitres precedenits, pour le mouvement d'un point sur une surface on une courbe, fixe ou. mobile, les equations indique'es par Lagrange. La me"me me'thode permet d'ecrire ]es equations dii miouvernent d'un point libre dans un syste~me quelconque de coordonne'es; cetLe me'thode est de la plus haute importance, car elie s'applique ati mouvement d'un systeine materiel quelconque. Supposons qtue les coordonne'es cart~siennes x, y, du. mobile par rapport 'a trois axes rectangulaires soient exprimnees en foncLion des nouvelles coordonne'es qi, Iq2j q3 par les formnules ii s'agit d.'ecrire les equations du mouvement dans le nouveau systeme de coordonnmies, c'est-ai-dire d'C'crire les equations diff6 -rentielles qui deifinissent qj, q2, q3 en fonction du temnps. On pourrait, 'a la ve'rit6, prendre ]es equations me'mes du mouvement de'finissanL x, yj'_, en fonction de t et y faire le changement de fonctions defini par les forinules ci-dessus; mais cc serait lahi loing calcul que la me'thode de Lagrange a pre'cise'ment pour but d'eviter. Cette me'thode s'applique em~e au cas ou. les coordonnees carte'siennes seraient des fonctions donnmies, non seulement de t~rois nouvelles coordonne'es q~, q2, q3, mais aussi du temps: cela revient, au point de vue geometrique, 'a dire qu.'elle s'applique in eme Si le nouveau systeme de coordonne'es est mobile et anime' d'un mouvement connu. Nous supposcrons donc, pour traiLer ic cas le plus general, quc, x,y, zsoient des fonctions doumeies de q,, q2, q3 ci det Io- qjq~ q22 (J3, t), y V= (qj, q2, q3, t), - = m(qj, q2, q3, t).

Page  502 5o'2 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIIQUE DU POINT. Pour trouver les equations du mouvement dans le nouveau systeme de coordonnees, c'est-a-dire les equations differentielles definissant qi, q2, q3 en fonction du temps, ecrivons les equations du mouvement en coordonnees cartesiennes d2x, dy d2z nz =Sd = Y, m 2 = Z. dt2 X, dt2 - cdt 2 do dV Multiplions respectivement ces trois equations par q -,-q' et ajoutons-les membre a membre, nous aurons oql / dcx do d2 y d Z di2 )m \ (I) \m cidt9 qql + dtc2 jaq ~ / ) en posant Q, = x d - aY -O -Z X, Y, Z etant donnes en fonction de x, y, z et de leurs derivees par rapport a t, il sera facile de calculer Q. en fonction de q,, q,, q3 et de leurs derivees par rapport ia t; puis, pour calculer le premier membre, remarquons que l'equation precedente peut s'ecrtire d r / dx do dcy & d (Zj \1 M1 c dttL dt - dt qi dt Oq, d xrd2 d ( v \ dy_ d 00 c d / 1 a -- Lm _ dt dtqJ dt cdt \0q dt dct \/- ql - ~-Q Pour simplifier l'ecriture, nous poserons avec Lagrange dcx dy dz dt = x, dt -' dt = zt dq I dq 2 dq3 ~dT ~t dt L'equation x -= (qj, q_, q3, t) donne alors, si l'on prend les derivees des deux membres par rapport a t, 3 x, +, +, (O (3) x'= _ q3 2 ' / )q^11 6^ 1 ()q (~

Page  503 CHAPITRE XIII. - EQUATIONS DE LAGRANGE. 503 et l'on pourra ecrire evidemment do ax' Oq1 - q' en considerant x' comme une fonction des sept variables q,, q2, q3, t, q', q', q'3. On aurait de meme od y' ou oz' dq4 q\' dq dq' et la premiere parenthese de I'equation (2) deviendra dt [ ( dq; dqf dq'J] d- ' pent - aon Nous remarquerons ensuite que (d- peut ecrire -: on a en effet d1 / \ 2O?, dc?, d20 dt dq-i dq2 q, l q2 dqld q3 3~ q, t' car C? est fonction de t directement et par l'intermediaire de q,, adq q2, q3. Mais, en differentiant 1'equation (3) par rapport ai q, on a O)x' 02p? f 2 p, 02?, 2 c Oql dq1 q dqldqz2 q3 oq1odt et l'on a b en d /O dp Ox' dtq j ~ I i Comme on a egalement les relations d (d) _y' d d(M _ dz' dt\j )q- / q, dt\ql/ dq~ on peut ecrire l'equation (2) -md ( x', o y'' dz) l [, 7 -- ( x-, o _ (2f) |xF dt d|q!-/?Z (X' - Y' d - + zdq )=Q. a~+ " at- 7+"~ =q; dgl dql dqia~'

Page  504 5o4 TROISIIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. Posons maintenant T = ( +y-2+ z 9); 2 T designe donc la demi-force vive du mobile. En y remplacant x', y', z par leurs valeurs (3), T devient une fonction des variables q,, q2, q3, t, q,, q', q'3 Avec cette notation, on voit immediatement que I'equation (2') peut s'ecrire d OT \ aT -- dt q) Oq~... Un calcul tout semblable donnerait d /cT dTO., dt- q') a = Q32 d(dT) dT L'expression T contient les variables q,, q2, q3 et leurs derivees premieres; il en resulte que les equations de Lagrange que nous venons d'obtenir sont du second ordre; leurs integrales generales contiendront done six constantes arbitraires qu'on determinera par les conditions initiales. On a immediatement l'expression T quand on connait l'expression de ds2 dans le systeme des coordonnees q,, q2, q:, car ds2, dt2 Calcul des seconds membres. - On pourrait remplacer dans Q, Q2, Q3a X, Y, Z par leurs valeurs, mais on peut souvent sinlplifier ce calcul. Supposons d'abord qu'il y ait une fonction de forces U; dans ce cas, on aura aU oU aU X =d = a = ax y )z par suite aU do aU d OU adM Q' =Ox c)q, + - 3y q,+ -'z (ql Si l'on suppose alors que dans U on remplace x, y, z par leurs valeurs en fonction de q4, q,, q3, l'equation precedente s'ecrit Uq Q O _ a

Page  505 CLIAPITRE XIII. - EQUATIONS DE LAGRANGE. 5o5.On aurait de M menl 2 au a3= u Q2~~-' Q=~~T-3 Ces formules conviennent rnieme aui cas ohI X, Y, Z seraient les de'rive'es partielles par rapport 'a x, y, z d'une fonctioll IJ(x, y, zl, t) con tenant explicitement le temps, quoique l'on. ne puisse pins dire alors que les forces de'rivent d'une fonction de forces. Dans le cas le plus general, on pent encore simplifier lc calc~id de Q,, Q2i Q,. Dans les ecquati ons dii changement de coordonne'es x - qj q2, q3, t), donnons 'a t une valeujr de'termine'e et supposons que qj, q2j q:3 prennent les accroissernents virtuels arlbitraires O', aq2, 60q3, les accroissernents de x, y, z seront dql Ooq. dq3 oq q.2 q3 le travail e'lementaire des forces pour le d~placement virtuel correspondant est c' estdai-dire, en vertu des equations precedentes, Si. donc on suppose que le de'placement virtuel s'effectne sur Ia courbe q2 -const., q3 -const., le travail e'lementaire est Q,6q ce qui donne Q,. On obtient de In me Q2 et Q,. On vout que l'analogie est comple'te avec Ies equations Lrouvees pour le nmouvement sur une courbe ct sur une surface. La seute diffe'rence est dans lc nombre des parame'tres q,, q2, q3, qni esL I pour unpoint sur une courbe, 2~ sur une surface, 3 pour tin point libre.

Page  506 5o6 TROISIEIE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. 279. Integrale des forces vives. - Dans le cas ou. il existe une fonction des forces U(x,y, z), le theoreme des forces vives donne l'integrale premiere T = U + h, car T designe la demi-force vive, — Cette integrale, etant une consequence des equations du mouvement, est une consequence des trois equations de Lagrange et peut remplacer l'une d'elles. En. nous placant dans le cas simple oul les expressions de x, y, z en fonction de q, q2, q3 ne contiennent pas t, nous allons verifier que l'integrale des forces vives est bien une consequence des equations de Lagrange. Dans cc cas, on a pour x', y', z' des expressions de la forme Xxl = _L. I1 t! D I q dqO, dqs et T est une fonction homogene du second degre de q'l, q2, q3: on a done, d'apres le theoreme des fonctions homogenes, )T I, T,dT (q,) - q2c -- q3 -- 2T. Cela pose, prenons les equations de Lagrange oui Q,, Q2, Q:i dU dU au sont remplaces par -q, -—, —, et ajoutons-les, apres les avoir ' q'._, dq's inultipliees par q', q2, q3 nous aurons d, dT d T \, d, d cT, T ( dt Aq1 - t a + q t Tq3 / q d dq2 dq! = q'q q'1 2g q'3q 3 qj 2 3&~ q3 Le deuxieme membre de cette equation est evidemment -t, car U ne depend de t que par l'intermediaire de qj, q2, q3; quant au premier membre, on peut l'ecrire Td, T, TT, T \ q Tq 7 - aqm2 q 3 q2 +q ( a aT T a T rT T, aT ) /,? q, q/3 edtant les derivees secondes de qc/ q2, q3 par rapport a t.

Page  507 CIIAPITRE XIII. - EQUATIONS DE LAGRANGE. 507 D'apre's le'quaLion (i), fournie par le Lh'eoreme des fonCtionS hornogerDes, la premie're parenLhese est 92T; quail 'a la seconde, dIT elle est l'expression de'veloppe'e de W-, puisque T depend de / par 1'interme'diaire de q1, q2,) q3, ql, q2, q. L'e'quation (2-) se r'duiL donec d- dit dt c'es i-a-dire dT =dU, T U Ih: c'est l'inte'grale des forces vives. Dans les applications, on remplacera l'une des equations de Lagrange, la moins simple des Lrois, par celte iniegrate premniere. 280. Applications. - lo P-obU~nze. Trouver le MOUvNeMent d'un point mat~riel attir6 on repousse par un axe fixe suivant une foncuion donn~e de la distance 7r (fig. 1-75). Nous avons d~jA Yu (no 89) que, dans cc cas,i y a une fonction de forces f4)dr que nous d~signerons par 7m,f(r-). Fig. i75. M' n Nous d~finirons la position du mobile par ses coordonn6es sernii-polaires /r, 0, z. On aura alors T I -in ds2 i11 Z$2) 2 2 dt2 2 Les equations de Lagrange seront, par cons~quent, apr~s suppression du facteur in, dr'- rO'l f'(7r), d-t d (/-2 0) =-0

Page  508 5o8 TRO[SIIEAE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. Les deux dernieres donnent par intdgration (i ) r72 0'- C, (2) '- a. Remplacons maintenant la premiere 6quation de Lagrange par I'integrale des forces vives, nous aurons (3) (-'2 -- 720' 2-+ '- = J'( ) -- /h. Si nous y remplacons z' et 0' par leurs valeurs tirees de (i) et (2), nons obtenons - (' + - + c2 )- f/( /)+ h, equation de la formn ' - o(.), qui donne le temps par une simple quadrature. On aurait pu ecrire a priori les equations (I), (2), (3) sans passer par les equations dc Lagrange. En effet, puisque la force rencontre toujours O, le principe des aires s'applique a la projection du mouvement sur le plan des xy, ce qui donne l'equation (i). La composante de la force suivant d2z I'axe Oz etant nulle, on a - =o, z' =a: c'est 1'equation (2). Enfin l'equation (3) n'est autre que l'equation des forces vives. Entre les equations (i) et (2) eliminons lc tenps, nous aurons l'equation differentielle r'2 cl0 — C dC, a a laquelle satisfont les trajectoires, quelle que soit la loi de la force. Si l'on dcrit cette equation en coordonndes cartdsiennes, on a x cly - yclx - k clz, equation ddjA trouvde dans le Chapitre I (p. 4o, ex. 6) pour I'equatioun diff&rentielle des courbes dont les tangentcs sont des droites de moment nul. 20 Coordonnees polaires dans I'espace. - Soient p, 0, w les coordolin ies du point M (fig. I76); posons p =q, 0 = 2, = = q3, on aura T =- - (? - + 2 0'2 4- 2 sin.2 '2). 2 =w =- 2

Page  509 ClIAPITRE XIII. -- EQUATIONS DE LAGRANGE. 50o Les 6quations de Lagrange sont done -- (/,,, p)- -,,, (0'2- + '2 Sill-O)= Q, t (im 2 0') - / 2?o'2 sin 0 cos = Q, Fig. I76. ~. i oi / Pour calculer Ql, Q2, Q3, nous emploierons la metlodc indiquec pr('cdlemment. Designons par R, Q, P les composantesc de la force suivant le rayon vecteur dans le sens (le o croissant, la perpendiculaire au plan ZOM dans le sens de t croissant ct la perpendiculaire aU plan de ces dleUx droites dans le sens de 0 croissant. Pour un dceplacement virtuel suzr le rayon vecteur (q2 - const., q3 = collst.), le travail d61mentaire est RM/, par cons6quent.0' Q1 =!. Pour calculer Qmi 0, quQ, and elon laisse etod indiquts, le praail ceementt. Designos a R Q composantes de la foce suitvan Ie rayon vecteur dans le sens de s croissant, la jierpendiculaire an plan Q2 = P?. GOM dans le sens de to croissant ct la peipendiculaire a l plan de cci u droites dans e sens de o croissant. Pour un dlplace men fait uir tunel r de ceayon teteur ( ra ons sin, le travail 6mentail e e est Qsin, et ' on aquent Q3 --- Q? sin O. Siour un deF rencontr paxe, quaen on laisse p ct l cionstane, Ie tioaval elermentaire est Pp o0. Nous avons ipar suite En laissant enfin p Ct 0 constants, le deplacement se fait suli un ccrcle de centre 0' Ct de rayon p sin O, le travail elementaire est (lone Qpsin0O w, et I'on a Q3 = Qp sinG. Si la force F rencontre laxe des z, Q est nul ct Ia troisieine equation (Ic lIagrange donne 1m o2 sin2 0 ' = const. ce qui exprime que la projection du mobile sur le plan des xy sc mcut suivant la loi des aires.

Page  510 '5io TROISIEME PARTIE. - DYNAM~IQUE DU POINT. 30 C007,donn~es elliptiqutes dans 1'es'pace. - Dans le syst~nme des coordonn~es elliptiques, un point M de lespace est de'fini par les paranktres des trois surfaces du.second ordre homofocales Al une surface donnee, se coupant en cc point. Soit a b c__ __ - () 1'6quation des surfaces du second ordre homofocaics Ai la surface Si nous supposons, pour fixer les ides, a > b > c, 1'6quation (i) repr6 -sentera un ellipsoide re'el pour X, < c, uin hyperboloide Al une nappe pour b X ) > c, un hyperboloYde A deux nappes pour a > X > b, enfin Lin ellipsoYde imaginaire pour ), > at. Par chaque point de lespace il passe trois de ces surfaces hornofocales; en effet, en regaridant x, y, z comme donn~es, l'quation. (r) du troisi~me degr6 en X, admet trois racines r~elles, tine plus petite que c, lautre comprise entre b et c et la troisi~me entre a et b c'est cc qu'on vN,,rifie en sulbstituant dans le premier memibre lcs cjuantit6s suivantes Al la place de ), et en rcmarquant que les signes du premier m-embre sont donn~s par le Tableau suivant, sr6el positif et Wrs petit Valeurs de ).......- cc - T c -+- s b -s b-s a - a — s Signes correspondants du premier membre de (i). - -- -- - - Position des racines.... q3q2q Appelons qj, q2, q3 ces trois racines rang~es par ordlrc de grandeurs d~croissantes; la prermi~re cp donne Lno hyperboloide ~t deux nappes, Ia deuxi~me q2 on hyperboloYde Al une nappe, la Lroisi~me q3 un ellipsoide. Ces trois surfaces se coupent deux. f deux orthogonalement, comme il est bien. connu. Par exemnple, Ies deux. surfaces X- y2 ___ a;-~ ~ ~ - a-d b — c12 c-q2 se coupent orthogonalemeot, car la condition 0L~ X y dX cz cdz

Page  511 CHAPITRE XIII. - EQUATIONS DE LAGRANGE. 5 I est identicjue. ~ Fl'quation fl -J2 =__ q,- q2 comme on le ve'rifie imme'diatemnent. On appelle coordonne'es elliptiques d'un point M (x,y, z) les trois quantit~s qj, q2, q3. Pour exprimner les coordonne'es cart~siennes x, y, z en fonetion de qj, qq, q3, rernarquons que, gi, q2, q3 6tant ics trois racines de 1'6quation (i),en ),on a identiquement x2 z2 2 Multipliant les deux membres de cette identit6 par a - )X, puis faisant a, nous avons 92 (a - qj)(a -q2) (a -q3) X(b -a) (c — a),on trouve de rn~me y2 (b - q)(b - q2)(b -q3) (c -b) (a- b) 9 - (c - q)(c - q)(c -q3) (a -c)(b - c) Calculons maintenant l'expression de ds'I dans cc syst~me de coordon-,nees; on a, en prenaat les d~riv~es Iogarithmniques des deux membres des formnules ci-dessus dx _ dq1 I dq2 __q 9~ ~ — T - A-~ - x q - a q2 -a q3 -ca dy, c_ dql ~4 dq2 ~ dq3 y q - b q2 -b q3- b dIz_ dq1 dq2 dq3 z q, - q2- C q3 -e DUo~ l'on tire pour 4ds:-i une expression de la forme ne contenant pas de termes en dqjdq2,.., ear les surfaces se coupentL.orthogonalement; il est d'ailleurs ais6 de verifier la relation _______________y2 ______________ (a - q)(a - q) (b -bqj)(b -q2) -(c - qi)(c -q2)

Page  512 i12 T1ROISIE1AIE PARTIE. - DYNAMIIQUE DU POINT. qtui exprirne que le coefficient de dql dq2 est nul. Les quantit~s All, M2, M3 nut les valeurs suivantes 1 (q, -af2 (q - b)'2 (q1 - c> or, si ion prend les d~riv~es des deux membres de i'identit6 (2) parl rapp)ort i~ )I, et Si ion fait ensuite )~ - j en retmarquant que par leffet de cette substitution tons les termes du second nmembre qui contiennent -, en facteur s'annulent et qu'il est inutile de les calculer, on trouve (qi - q2)(ql q3) oh JQ d~signe le produit (a - ))(b - )) (c - )); on a de -n~rme (q2 -q3) (q2 — qi) M (q3 - qj)(q3 - q, M2 ~J'(q2) 3f (q3) Remnarquons que si ion consid~re en particulier Fare (lc la courbe C1 (Jfig.- 77), intersection des deux surfaces q2 conSt. et q3 const., la Fig. 177. c3 '3 c2 2 F2 (Iiiierentielle ds, (le cet arc s'obtient en faisant dq2 =dq3 =0, De, m~ume, en appelant dS2 et ds3 les arcs des deux coarbes C2' 7et C3, suivant lesquelles se coupent les surfaces q, - conist., g3 = const., et q, —const., q2 const., on a dS2 = M2 dq2, ds3 - 'M 3d-q 3. Un arc quelconque ds peut ftre alors envisag6 comine in diagonale dlL paralle'lepipede rectangle ds1, dS2, cds3.

Page  513 CHAPITRE XII[. - EQUATIONXS DE LAGRANGE. 5i 5 i 3 La quantit6 T a p)our expression T =~ - T- ( TIIq1q 2 q 2 13 q3) 2 cit et les 6quations de Lagrange sont alors ais~es Al 6crire. Nous ne les 6crirons pa ici R o-Ls Rolls bornerons Al donncr la signification des seconds. membres Q1, Q2, Q3 de ces 6quations. DWcornposons la force F en trois composantes F1, F2, F3, respectivement tangentes aux courbes C1, C2, C3, en comptant ces composantes positkement dans le Sens dans lequel se de'place le point M Sur chacune de ces courbes, quand on fait croitre, une seule des coordonn~es elliptiques, les deux autres restant constantes. Imprirnons an point A\1Lun d~placement virtuel O's1 dans lequel q2 et q3 restent constants, q, croissant de 8q,; le travail -vir-tuel de F est Qi aql d'une part;, d'autre part, il est, puisque [es travaux de F2 et de F2 sont nuls dans le d~placement considers, oti a donc F1 V'M., Q) F2 Vill, Q3i - 3VM 2 2 40 Coor-donndes elliptqiqtcs dans le plan des xy. - On peut d~duire ces coordonne'es des formules predc~dentes. Pour obteni' Lin point M dii plan x Oy, il su ffit de faire dans ces form ules z- = o et q3 =c. Ce point Al est alors d~fini par les deux coordonn~es elliptiques q, et q2, racines de I'6quation du second degr6 en a - - - i - repr~sentant des coniques homofocales. Par chaque point M du plan, ii passe deux de ces coniques, uine hyperbole correspondant Al la valcar qi dui paramiftre )X et uine ellipse correspondant At la valeur q2. L'identite' ('2) de'vient dans cc cas 272 (X9-qj) ~q2) b — _ _ b _On obtient ainsi, soit directemeni, SOIL comme cas limites des formules pr~c6dentes, pour les formnules de transformation de coordonn~es, x2 (a - qt)(a — q2) =( b qj)(b - q2) (1 -b - b-a. I. ~~~~~~~~~~~~33

Page  514 314 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DIJ POINT. et pour le carr6 ds2 dun 6l6met d'arc dans le plan xOy ds' (NI dq~ -FI N2dq2) _________ q - q2 N (q - a)(q - b)' (q2 -a) (q,2-b)' Enfin, si l'on decompose la forec F agissant sur un point M du plan Fig. 128. F xOy e-n deux composantes F1 et F2 dirigees tangentiellernen 11.Iyperhole- et a lellipse passant par M (fig. 178), on a Q ~~~Q2 2 281. Application des 6quations de Lagrange A la th,6orie du mouvement relatif. - Pour traiter un exemple dans lequel le nouveau systdme (IC coordonn~es depend du temps, irnaginons un point Al sollicite par iune force donn~e F, et eherchons son mouvenent relatif par rapport A trois axes coordonn~es, Ox, Oy, 0Oz animn~s d'un mouvemnent connu. Appelons XI, y, z les coordonn~es de M par rapport aux. axes mobiles, coordonn~cs, qui joneront le r6le de qj, q2, q3; les coordonn~es absolues du point Nl, XI, yl, z1, seront Ii~es ~ ces nouvelles coordonnies par les fornmules o~i x0, yo, zo1 et les neuf cosinus sont des fonetions donn~es du temps. Lesforrnnles exprimant les coordonn~es carte'siennes absolues en fonetion des, nouvelles coordonn~es, x, y, z contiennent done explicitement le temps t~. Galeulons la fonction T; pour cela, il suffit de connaitre les projections V., VX, V. de la vitesse absolue du point M, vitesse qui est la r~sultante de la vitesse relative V,. et de la vitesse d'entrainement Ve,

Page  515 CIHAPITRE XIII. - EQUATIONS DE LAGRANGE. 515 Les projections de V,. sur les axes mobiles sont dx- dy_ dtz (lentrainement Ve est celle qu. aurait le point MI s'il 6tait invariablement li6 au syst~me des axes mobiles, Sstsdme qui constitue un corps solide en mnou.vement; la Yitesse V, est donc (no 49) la somme gi~om~trique d'une vitesse d'entralnement 6gale et parall~e Ai la -vitesse VO de lorigine mobile et d'une v~itesse due Ai une rotation instantane'e to autour d'un axe passant par 0:en appelant Vo, Vo., V9 les projeetions de VID sur les axes mobiles, et p, q, r- les eomposantes de Ia rotation instantan~e suivant ces axes, on aurna pour les projections de la 'vitesse dlentrainement sur x,,y, Z On a done p~oir les projections sur x, y, z de la vitesse absolu-, V dnL point M d dt et pour la demi-force vive du point 1' - [(x'~-~ VO qz. - ry)~ ('~ X. - p-2Vrx-y ) o it Ion 6cent A,' z la place de ji ~~ Tt. Cela pos6, Ies iequain ct dt ctain dle Lagrange sont de Ia fortne et deux. autres 6quations analogues relatives ak y et z. La quantit6 X qni jone le ride de QI s'obtient comme il suit:imprimons an point le d~placetment virtuel MM'F, obtenu en donnant A t une valeur num~Irique, c'estA-dire en supposant le triudre Oxyz fixe dans la position actuelle, laissan~t constants 72 et 73, c'est-h-dire y et z, et falsant -varier 71 on. x de 8x; cc deplacelnent MIM' est parallle A Ox et le travail virtuel de F correspon.(lant A cc duplacem-fent est Fxo, Fx 6tant la projection de F sur Ox; d'autre part, cc meme tI'ayail virtuel est, d'aprus Ia th6orie generale, Ql 67i on. ici X~x; done Le deuxiume membre de l6q uation (i) est la projection de F sur Ox On a de meume les significations des deuxi6mes membres Y et Z des deux, antres equations de Lagrange. Les trois 6quations de Lagrange (i) sont des 6quations de second ordre' didinissant les coordonnues x, y, z en fonction de t; cc sont Ies 6'quation~ diffurentielles du mouvemen~t relatif. En Ics duveloppant, on retrouve ce-S i6quations telles qu'eles resultent du tb6orumc de Coriolis.

Page  516 3i6 TROISIEME PARTIE. - DYNAMIQUE DIJ POINT. Ean effet, 1'6quation (i) donne, d'apr~s la v~aleur de T, d -m (X' —0iq~z- -ry)] In n[(y'-~-Y~. 4r-X -PZ Z- (z-t- Yq -4py - qx)q] N. Le premier terme du premier membre est d (m7.X') o u mn d2- partageons les termes suivants en deux gr oupes, le premier qui conticiit V(s dx dly dz temsen x', yr, z' ou j- hI-, - I t qui a pour expression le deuxi~me qui contienit les termes restants et que nous appelleronis Vi. L'6quation s'6crit alors d2 X dz. dy) dt2 2/flt on a de mime Id2y 7-in1 dx clZ\ y dt2 dt ' Clt 12z / d V dx, in - Ht i L- q - Z --- Z. dt2 2/fl dt C1 11 reste A trouver une sigfnification du vecteur ayant pour projections su-r les axes mobiles X", YU", Z'. Pour cela, supposons que la force F de-vienne en partidulier une force Fe de projcctions Xe, Ye, Ze telle que le point M soit immobile par rapport aux axes mobiles dans la position quill occupe actuellement; alors son accteldration et sa -vitesse relati-ves deviennecut nulles: son acc~lVration absolue dce'ient l'accdd~ration d'entraine1 -ment J, et la force Fe qui produit le mouvement est 6gale ~I 7lJ,. D'aUtIT part, les 6quations ci-dessus donnant X z'=X, Y' = Ye, Z'= Z,, le vecteur de projections X", Y", Z' est 6gal ~i mJe. Les equations ainsi tronvdes sont bien celles que lon de'duirait du the'or~me de Coriolis, car la force F qui produit le mouvement dans le cas g6 -ndral est e'gale A l'acc~ldration absolue Ja, multipli~e par la masse, mJa'; de sorte que les trois 6quations ci-dessus divis~es par in expriment la relationt ghom~trique (Jr) 4- (J') H- (Je) - (Ja),

Page  517 CHAPITRE XIII. - EQUATIONS -DE LAGRANGE. 57 -)17 ofii J d~signe un. vecteur ayant pour projections cc qui est le the'or~me de Coriolis (n" 57). EXERCICES. 1. Soit z 0z' u n axe vertical homog6ne et prolong6 ind~finiment da ns les deux sens. Tous les 6l6ments de cet axe attiren.t un point mat6riel M proportionnelleinent A leurs, masses et en raison inverse de la quatri~me puissance des distances. Ltc point M est, en outre, sourmis a son poids. Etudier son mouvement en supposant que la projection de la vitesse initiale de Al sur lc plan MOz soit verticale. On d~terininera la trajectoire en la considarant comme intersection d'un cylindre parallele A Oz et d'une surface de revolution ayant Oz pour axe. Cas particulier o6i la vitesse initiale est horizontale (Licence, Montpellier)..2. Dans les 6quations d'6quilibre d'un fil Ilibre, sous F'action d'une force d6rivant (lune fonction de forces U (x, y, z), on fait lc changement de variable ls1 Ces 6quations deviennent les 6quations du mouvement d'un point rnatdriel de masse isous Faction d'une force cd~rivant de la fonction de forces I ( U +i h) )2 Eu appliquant la remarque pr~cddente, &tendre Ics 6quations de Lagrange A l'6quilibre d'un fil so~lhcit~ par une force d~rivant d'une fonction de forces. ( Comptes r-endus, t. XCVL, p. 688.)

Page  518 518 TROISINIME PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. CHAPITRE XIV. PRINCIPE DE D'ALEMBERT. PRINCIPE D'HAMILTON. PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION. 282. Principe de d'Alembert. - Le principe de d'Alenbert permet de ramener la mise en equations d'un probleme de Dy;amique a celle d'un probleme de Statique. Ce principe, que nous allons exposer ici pour un point materiel libre ou mobile sur une surface ou une courbe, s'applique an probleme le plus general de la Dynamique. II nous permettra de resumer la theorie du mouvement d'un point. Soit un point materiel de masse mn, sollicite par des forces Fi,F2...,F,,. Les equations du mouvement de ce point peuvent s'ecrire d2 X dXy d2z ([ [/ -4 01 - n? -d Y- Z Yv - o, X,, Y., Zv designant les projections de la force Fv sur les axes. Considerons, a c6te des vecteurs qui representent les forces F4, F2,.., F, appliquees au point M, un vecteur MI ayant pour prod2 X d2y d2z jections - t- -in 7- dm i- -n m t2: ce vecteur, egal et oppose au produit de l'acceleration par la masse s'appelle force d'inertie, quoique ce ne soit nullement une force appliquee au point. Les equations signifient alors que la somme geometrique des vecteurs MI, F, F,,..., F, est nulle, ou encore, qu'a chaque instant il y a equilibre entre la force d'inertie et les forces reellement appliquees au point. Si donc on imprime au point a l'instantt un deplacement virtuel quelconque, ayant pour projections 8x, By, os, on aura

Page  519 CHAP1TRE XIV. - PRINCIPE DE D'ALEMBERT, ETC. 51() I'equation (2) c(i_ t 2 + X, ox + (- 7 + dt2 '-Z,) o, qui signifie que, pour un deplacement virtuel arbitraire imprime au point a l'instant t, la somme des travaux virtuels de la force d'inertie et des forces reellement appliquees au point est nulle. Cet enonce, qui n'est qu'une consequence immediate des equations (i), va nous conduire aux equations du mouvement d'un point libre ou mobile sur une courbe ou une surface par les methodes de la Stalique (nos 166, 167 et 168). 283. Point mat6riel libre. - Le point materiel etant sollicit6 par des forces toutes donnees, appelons X, Y, Z les projections de leur resultante; l'quation (2) peut alors s'6crire (3) nx~ ~ d1 y ~ )lz x 3 Y ~,(3) to-t- dt- o) =o 2 Xo+v-.Zo; elle doit avoir lieu quel que soit le deplacement virtuel xx,;y, Oz imprime au point a l'instant t. Si l'on veut en deduire les equations du mouvement dans un systeme quelconque de coordonnees q7, q2, q3, pouvant dependre du temps, liees aux coordonnees rectangulaires par des equations donnees x = '(q2,q3-yt), 'y = v(q\,qq tq3, tQ, ( 4q, q2q3t), on remarque que, pour obtenir le deplacement le plus general qu'on puisse imprimer au point a l'instant t, il suffit de faire varier les nouvelles coordonnees q, q2, q3 de quantites infiniment petites arbitraires Sqi, q2i, oq3; on a ainsi 0?. do 0o ox — q -o - q -2 I q3, q1 d2 aq3 et deux expressions analogues pour Sy et oz. L'equation (3) prend alors la forme (4) P1 l + P2 C2 -+ P3;q3 = Q1ll ~ Q2 39 -+ Q3;q3

Page  520 5-20 TROISIEME PARTIE. D~IYNAMIIQurE DU POINT oiU (dow X 0p d2' J)~ __ ZOqk p,=I - X Y -- - OW 2qkA dt qk c dqf, k e'tant un des indices i,~ 2 011 3. Comm-e 6q1,I oq2, Oq3 sont arbitraires, celte equation (A4) se decompose en trois P,1 =Q', 1)2 Q, 2 P3 Q3, qui sont precisement celles dont nous avons de'duit les 6quations de Lagrang~e dans le no 278. 284. Point glissant sans frottement sur une surface fixe ou mobile. - Soilt (5) J~~~x~~y, 1) 0~~ lI cjuation de la surface. Le point AM mobile sur ceLte surface est, solticite' d'une part par les forces directemnent applique'es ayTant pour resultante X, Y, Z et, d'autre part, par la reaction normale N ou force de liaison. D'apre~s la relation generale (2-), pour un de'placementL virtuel quelconque 'a l'instant t, la soinme des Lravaux virtuels de la force d'inertie, de la r~sultante des forces directement appliqueies el de la force de liaison N est nulle. Mais, pourlimmner la force de liaison, imprirnons au point i1listn -tn de'placement virtuel compatible avec la liaison qui a lieu 'a cet instant, c'est-a-dire un de'placement effectue' stir la surface donne~e par l'e6quation (05), dans laquelle t a la valeur numerique qui correspond 'a linstant considers". Alors le travail virtuel de la force de liaison est nul et, pour ces de'placements particuliers, e'~quiation (2-) penit s'e'crire encore sous la forme(3), oh ne figure dans le second membre que la resultante des forces directement applique ou forces connues. Seulem-ent,dnseca actuel, ~X, ~y, ~z ne sont plus arbitraires, ils sont lie's par la condition il &x ~ y -V _, = 0, qui exprime que le de'placement virtue] est compatible avec la liaison qui a lieu 'a linstant t.

Page  521 CIIAPITBE XIV. - PRINCIPE DE D'ALEM:ABERT, ETC. 51 Ejxprimons les coordonne'es d'un point, de la surface (5) en fonction de deux parame'tres NouIS obtiendrons le de'placemnent, le pluis ge'neral compatible a\vec la liaison 'a linstant t, c'est-a'-dire effectue' sur la surface 'a cet instant, en faisant varier q, et q2 de quantite's infiniment p~etites quelconques ~q, et, ~q, Ce qui donne doDo __', a11 omy~ 0tM Cq 2 oql 0q2 dqj q) IPortant, dans l'e'quation (3), on a une relation de la form e PI "q 1. ~P2 ~q2 = Q, ~qj 4Q2 ~q2, ohIli P1P21 QI, Q2 ont des expressions de M eme forune que pr'ce'demment. Ceate relation, dans laquelle O'q, et, ~q2 sont, arbitraires, so decompose en deux Pi = Q1, P2 =Q02, qui sont precisement les equiations doui noas avons de'duit les equations de Lagrange, no 263. On pent e'tendre ces considerations an cas oil Ie point glisserait, sur la surface avec frotternent, comme nous l'avons montr6" (Comptes rendus, 15 fe'vrier i892-). On pourra consulter "a cc sujet une Note de M. de Saint-Germain (Bulletin des Sciences Inathematiques, aoui~\ 892) et, une Note de M. Mayer (Kdnigl. S~dchs. Geseilschaft der L'Vissenschaften zu Leipzig, Sjuin i9) 285. Point glissant sans frottement sur une courbe fixe on mobile. - Le point ponvant are consider6' corume libre sons l'action des forces directement appiique'es de resultante X, Y, Z et do la reaction normale, on ponrra encore appliquer 1'e'quLation (3) en y tenant compte de la reaction normale. Mais, pour IMme cete reaction, il SUffit de supposer qne le de'placement Virtuel ~x, ~y, ~z est compatible avec, les liaisons qui ont lieu an temps t, c'est-aS-dire se fait sur la courbe dans la position qn'ei~le occupe a cet instant. Pour un deplacement de cette nature, le

Page  522 22 TROISlEIMEI PARTIE. -- 1YNAMIQUE DU POINT. travail virtuel de la re'action norinale est intil; on a done alors I'equation (3) dans laquelle ne figure plus clue la resultante xi Y, l des forces directement appliquedes. Supposons qu'on ait exprimnd ]es coordonne'es d'un point de la courbe en fonetion dun parame'tre le de'placement le plus ge'neral sur la courbe dcans la position qu.'elle occupe 'a lFinstant t s'obtient en faisant varier q de 6'q. On a alors ox 6j~q, oy~ oq, 6 - d7 q et le'quation (3) dlevient, apre's suppression dii faete-ur 6'q, (d2 X Dc d2 y d cl2 d _ 7 rh 2 cq d1 dq dtqc1 dq cq d equation dont nous avons dd'duit 1e'quation de Lag-range (no 259). 286. Remarque sur la force d'inertie. -Soit un point mate'riel soumis A Faction des forces F1, F2,..., F,, et plae6 clans cer~taines, conditions initiales:il prend un certain mnouvement. Dans, une deuxi~i-e exp6 -r~iencee suprmons les forces F1, F2., F,,, prenons le p)oint materiel clans la main et imprimons-lui avec la main le mime mouvement. L'aetion de la main sur le point est alors ~ chaque instant t 6gale Ar la r~sultante Ri des forees F1, F2,..., F,, qui agissaient dans la premi~re, exp~rience, ofi a 7rn1J, J de'sig0nant l'acc~Ikrafion; done, dl'aprfis le principe de, 1'6galite' de laction et de la r'action, la pression du point sur la main est fr chaque instant 6gale et oppos6e Ar R on Ai nJ:cette pression est done 6gale Ai la for7ce d'inertie, mais il faut bien remarcjuer p~ie cette pression est uric force agissant sur la main et non sur' le point. 287. Principe d'Hamilton. - No-Ls -venons de -voir qlue dans les trois cas precedents, point libre, point sur iine surfaee, point stir uine co-urbe, on a, en appelant X, Y, Z la resultante -des forces directement applique'es et 6'X, ~y, &z un de'placernent vietuel quelconque compatible aeee les liaisons qul o/nt lieu air -tenp s t, (6) __ — (x — — yni24~Z' ~_z~o Ce re'suftnt peut s'exprirner anissi de la facon suivante:don

Page  523 CHAPITRE XIV. - PRINCIPE DE D'ALEMBERT, ETC. J)23 nons-nous les positions M0 et MI du mobile a deux instants t, ct t,; dans le mouvement naturel du mobile de Mo en MI,, sous I'action des forces et des liaisons donnees, les coordonnees x,y, sont des fonctions du temps qui satisfont aux equations de liaison et qui prennent des valeurs donnees d'avance aux instants t, ct t,: soient x -+- x, y + oy, - + S- des fonctions quelconques de t, infiniment voisines de x, y, z, satisfaisant aux equations de liaison et prenant aux instants to et tl les memes valeurs que x, y, z, de sorte que ox, oy, 8z sont compatibles avec les liaisons et s'annulent pour t = to et t = t; soit enfin T =.7m(X'2~ yi+-L Z2) T: ^ -T- y -2 z2) la demi-force vive dans le mouvement naturel du mobile et (rT la variation de T quand x, y, z subissent les variations supposees 8x, oy, 8z compatibles avec les liaisons qui ont lieu au temps t. Dans ces conditions, le principe d'Hamilton consiste en ce (qu l'integrale rt (7) o85 =o [Xx -Yoy -Zz- + T]dt est egale a ze-ro. Pour le demontrer, remarquons que oT 7= m( x'Sx'- y' y' + z' z'). La partie de S3 qui contient mnoxx' peut s'ecrire m x' O dt = I, l- 3 o dt -= -i d dx, JJ t dt J^ t dx Yd x car 6 dt est egal ia -dt En integrant par parties, on peut ecrire cette derniere integrale I C x - m -1- dxdt |dt Jt dt2 ou la partie integree est nulle, car ox s'annule aux limites. Transformant de meme les termes en cy' et a', on a d2 r Nx d2z,\ -], -- 87 x — ~ m t2 - -Z 8z dt J'- [(- d -+- x ) ox ~- n -2- ) l, ~ i7i dY Y) y, dt2- ^Y

Page  524 )'.4 TROISIEAIE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. expression qui est bien nulle, comme il resulte de l'equation (6) et de ce que ox, oy, 8z sont compatibles avec les liaisons qui ont lieu au temps t. 288. Equations de Lagrange. - Le principe d'Hamilton fournit un moyen simple d'etablir les equations de Lagrange. Prenons, par exemple, le cas d'tun point libre et soient x =? -- (ql, q, q3, t),... les expressions de x, y, z dans un systeme quelconque de coordonnees q,, q2, q3. Dans le mouvement naturel du mobile sous l'action des forces qui agissent sur lui, x, y, z sont des fonctions de t qui prennent des valeurs determinees aux instants to et t,; il en est de meme pour q4, q2, q3. Pour faire subir a ces fonctions x, y, z des variations arbitraires ox, 8y, 8s nulles aux instants to e t1, il suffit de faire subir a q, q2, q3 des variations arbitraires (q7, q2I, q3 nulles aux memes instants. Alors ox = 6 q + -- 'q o- 6.q3,... dl ( -2 07 La quantite X3x -+ Y y - Z S, placee sous l'integrale d'Hamilton 83, prendra la forme Qiq-l+- Q2 q2-+ Q3 q3, Q,1 Q,2 Q3 designant les memes quantites que precedemment. De plus, la fonction T = i m(x'2 —y'2 -- Z) devient, si l'on y remplace x, y, z par leurs valeurs en qj, q2, q3 et t, une fonction des lettres q1, q2, q3, q!, qa, q, t, car on a, par exemple, y =: j L- - lq- qT 2 +t' -.d I dq^2 dq3 dt D'apres le principe d'Hamilton, si q, q2, q3 sont les fonctions de t correspondant au mouvcment naturel que prend le mobile

Page  525 CIIAPITRE XIV. - PRINCIPE DE D'ALEMBERT, ETC. 5.. sons laction des forces donnces, 1'expression tl 0-,3. (Q1 q — Q2oq2+ Q3Oq3+ oT)dt est ntulle, quels que soient 8q,, gq2, ~:3. Or, T dependant maintenant de q,, q2, q3, q', q', qS et t, on a aT T, )T, T T, )T,T 8 lT 6 q9, q- q.2 8q q3 q- q: 1q, jq' - 2 3 q.: Portons cette valeur de 5T dans 6^, puis fixons notre attention sur les termes en oq', "'q, q '3. Nous transformerons ces termes par l'integration par partie, en ecrivant, par exemple, oq dcit dq -- \ d, qdt, T _, Il d dT oi i 1 *o ciq1 _ d o Sq1,~to,, l '/to,qtl (i |a i dqi t t *t * J? t, ou P'on remarque que 6 -- odq' t- dql -t La partie integ'ree est nulle, car 8qg s'annule aux limites. Faisant la meme transformation pour les termes en 3q' et 6q3, on a finalement (8) 8 Q'^.C 1 -4 | q d t -* ou l'on n'a ecrit que le terme en Tq1, les deux termes en q2,, q:(/ s'obtenant par la permutalion des indices. Cette expression gs devant etre nulle, quelles que soient les variations oq1, q.a, 'q:, il faut ecrire que les coefficients de ces variations sont tons nuils sous le signe f, ce qui donne les equations du mouvement T d/t \q Q q -t (K-9 o (Z I, 2, 3), sous la forme indiquee par Lagrange. Si nous prenons de meme le cas d'un point mobile sans frottement sur une surface dont l'equation peut contenir le temps, nous pourrons encore appliquer le principe d'Hamilton, exprime par l'equation obtenue en egalant -53 a zero, a condition de prendre pour 3x, 3y, 8z des variations quelconques compatibles avec l'equation de la surface, c'est-a-dire avec la liaison imposee au

Page  526 5'26 TROISIIEAE PARTIE. - DYNAMIQUE DU POINT. ipoint. Or nous obtiendrons ces variations en exprimant les coordonnees d'un point de la surface en fonction de deux parain1tres q,, q. et faisant varier arbitrairement q1 et q2, ce qui donne X q = P(l q, t), q,2 6 = o a ~i aq.2,.., qo2 dq2 Xx -+- Y'y -+- Z0' -= Ql qi -+- Q2gq2. Actuellement, T devient fonction de q,, q2, q, q, t et OT dT, T aT OT I -- - 2 Th 8q' ~ q j-j 9J. 1 q - 2 q l 02q i + q. Transformant alors l'integrale d'Hamilton (7) comme dans Ie (as precedent, on la mettra sous une forme identique a (8), avec cette seule difference que sous le signe f i n'y a plus que deux termes, l'un en 8qi et I'autre en oq2. L'expression 85 devant etre tiulle quels que soient gq4 et oq.. les coefficients de ces detx variations doivent etre nuls et 'on retrouve alors les deux equations de Lagrange. Infin, si le point est assujetti a se mouvoir sur une courbe fixe ou mobile, il faut, dans l'expression (7) de o5, mettre pour o.rx, y, 8z des variations compatibles avec les equations de la courbe a l'instant t. Exprimant les coordonnees d'un point de cctte courbe en fonction d'un parametre q, on a x =?(q,t), x-= q,. X8+ Y y4- Z -Q3q, d oT dcT oT = — 6 ~-,oq'. ()q 1 ()q Par l'integration par parties, on arrivera alors a la formule r) \ T d /'()T 5 — [ Q q+ - -dt ( -,/ ]q dt, et comme &3 doit etre nul quel que soit Sq, on doit egaler a zero ]e coefficient de oq sous le signej, ce qui donne l'equation du nouvement sous la forme indiquee par Lagrange.

Page  527 CIIAPITRE XIV. - PRINCIPE DE D'ALEMBERT, ETC. t)27 289. Cas particulier ofi X, Y, Z sont les d6riv6es partielles d'une fonction U (x, y, z, t).- - Supposons Clue l'o r aitL pour la re'su ItantLe des forces li~reCtement applique'es a u a u' au la fonction U pouvant contenir explicitemnent Ie -temps t. Cette circonstance se presente en particulier quand la force X, Y, Z derive d'une fonclion de forces; mnais alors U ne contient pas t. Le pruncipe d'llatmilton pent, quani-i cetle fonclion U (x, y, z, t) existe, s'enoncer sons u-ne formne plus e'legante. Donnons-no-us les positions M,, c M1 du. mobile aux instants (-0 eL t1 et cherchons, parmi. bites les manie'res possibies d'amener~ le miobile de MO en M1 en le faisant partir de MO 'a linstant, to, arriver en M1 'a l'instant tj ci en respectant les liaisons imposees au point, celle qui rend Fiinte'grale maximnum ou miinimunm T le'siogna ni toujours la demii-force NVve -lfl) X2 -+y2 -i- - 2). Nous trouverons que le maximum on le minimum est r~alise' en general par le mouvem-nent nature1 du. mobile sons l'action de la force (X, Y, Z) ci des liaisons, les constantes d'inteigration etant telles que, pour t0-t, Ml soil en M,, ci, pour It t1, ii1 solu en Mi. Eu effet, pour de'Leri-iner les fonctions x, y, de t rendant I'inte'grale (9) maximnum on minimum, out en satisfaisant aux ~quaion de iaionIi faut '-galer 'a z'ro Ia variation UJ que subit cette intLegrale quand x, y, Zsubissent des variations arbiiraires ax, ~y, ~z compatibles avec les liaisons. On a ainsi Ia condition '0 qui est pre~cise'mcut la condition donne'e par lc principe d'Hamilton ), pisquc 7 0 ~ sont egales 'a X~ Y Z. Ainsi on trouve le mouvement nature1 en cherchant 'a rendre

Page  528 5'28 TROISIEME PARTIEI. - DYNAMIQUE DU POINT. maximum ou minimum l'integrale (9). Cela ne veut pas dire (que le mouvement naturel rende necessairement cette integrale maximum ou minimum. M. Darboux a montre que, si U ne contient pas explicitement t, l'integrale 5 est minimum pourle mouvementnaturel, a condition que l'intervalle de temps t, - to soit suffisamment petit (Lecons sutr la Theorie gernerale des surfaces, deuxieme Partie, n~ 546, p. 45I). Mais la demonstration de cette propriete, sur laquelle nous aurons a revenir, exige la connaissance de quelques theoremes de Mecanique analytique que nous n'avons pas encore ctablis. Ainsi, pour prendre un exemple des plus simples, considerons un pendule de longueur I ecarte de la verticale d'un angle initial 00, puis abandonne a lui-meme sans vitesse a l'instant to sous l'action de la pesanteur: ce pendule oscille et a l'instant t l'angle d'ecart avec la verticale a une valeur 0; au bout d'une oscillation simple de duree t - t,, ce mmem angle a la valeur - o0. Le principe d'Hamilton nous apprend alors que de toutes les fonctions t,, de t qui prennent les valeurs 00 e - 90 aux instants to et,, celle qui rend l'integrale ci cs 0'2)cit minimum est celle qui correspond au mouvement naturel du pendule. En effet, la masse du point etant I, on a ici 2" ' 2 U= glcos0, T=290. Principe de la moindre action. Cc principe, moins general que celui d'Hamilton, s'applique au mouvement d'un point sollicite par une force derivant d'une fonction de forces, le point etant libre ou assujetti a glisser sur une surface fixe il permet de resumer les equations du mouvement en ecrivani que la variation d'une certaine inteegrale est nulle. Le princil)c de la moindre action a ete indique par Maupertuis; on en trouve un exemple dans le Memoire d'Euler, De motu projectorumn; Laplace, Lagrange, Poisson l'ont expose sous une forme sujette 5 des objections; c'est Jacobi qui, le premier, l'a enonce d'une facon precise. On trouvera dans les Sitzungsberichle de l'Ac;(

Page  529 CHAPITRE XIN. - PRINCIPE DE D'ALEM1BERT, ETC. 529 de'mie de Berlin (i887) uII important, article de M. de Helmholtz sur l'histoire dii principe de la moindre action1. Point libr-e. - Un point libre 6tant, sollicite6 par des forces dont la resultante derive d'une fonction de forces U (x, y, Z.), i'mnte'grale des forces vives donne (i nc2 2[U(x,y, z) -A], MV 2 [ U(xo, yo, zo~-Vhi Dans le principe de la moindre action, on ne compare entre eux que des mouvements pour lesquels la constante h a la me'mc valeur. Ainsi, dans tout ce qui suit, h est une constante de~ter - mincee: on pourra done choisir arbitrairement la position initiale X0 Yo, Zo dti mobile, la vitesse initiate sera determin~e' en grandeur (non en direction) par la seconde des relaiions (t). 11 va de soijue les positions du mobile et les courbes que nous allons conside'rer sont toutes situees dans la regio n de l'espace oI~ U (x,y, Zl) -j- h est, posit if. Soient deux points fixes A et B, MM. Tait et Thomson ap~pelleult action le long d'iine courbe C joignant ces deux points 1'inte'grale oiLi nouLs ecrivons U pour U(x,y, z). Cett inL6-grale est, suppos&'1(1 Jprise le long de la courbe C dont 1ele'dment d'arc est appele' ds. L~e princi~pe peut, alors s'e6noncer comme il suit Les cour-bes joignant les deux points fixes A et B et possct dant cette I~propiete que la var-iation cle l'action est nitle, quand on passe de l'une de ces courbes a' touate courbe infiniMnent voisine de inemes extr-elnites. sont les tralectoir-es que decr-it naturelilement le mobile quand on le lance de l'un des points tixes dans tine direction telle qu'il atteigne l'autre. On peut, encore dire que l'on dolt choisir- entr-e les trajectoir-es allant de A en B quanid on cher-che, parml-i touttes les courbes joignant ces deux points, les cour~bes le long desquelles~ l'action est MINIMUMII. Car, pour trouver ces courbes, il faut, conmrinencer par egaler 'a zeiro la variation (le lFaction-. 1. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3 4

Page  530 530 TROISIEME PARTIE - DYNAMIQUE DU POINT.r Pour 6tLablir cette proposition, rem'arquons que l'in.tegrale i1, est de laformef ~D(x,y, z)ds, oii Pour obtenir les equations diff~rentielles des courbes pouvant rendre L minimum, iA suffit done d'appliquer les equations (3) du no 158, en y remplacant p par la valeur actuelle (3). Nous obtenons ainsi pour les courbes cherche'es les equations diff6hrentielles F ~~dx] du ds avec deux. equations analogues. Prenons une variable auxiliaice dedinie par la relation (5) dt t/ d V2U-+- h), les 6quations difflirentielles (4) des courbes pouvant rendre 1. minimum deviennent d2 X d1 d2y du1 d? z du rdt2~x ~ dt2 ay' " dt2cdz Ce sont les equations du mouvement du point libre l 'eOquation (5) est en outre 1'e'quation des forces vives dans lacquelle Ta constante des forces vives a la valeur particulie're h. Le the'ore'me est done d~montre'. Ainsi, c'est parmi les trajectoires allant de A en B cqu'it faut chercher les courbes qui donnent pour lFaction ~A -un minimum relatif, cIest-a'-dire uine valeur plus petite que le long de toute, courbe infiniment voisine. La question de savoir si une trajectoire determin~e' joignant les deux. points A et B donne effectivem-ent un minimum relatif pour -,% n'a pas d'irnportance au point de vue dii principe lui-melme; cite est analogue 'a la question de savoir, Si, Sur une surface donne'e, une ligne geode'sique, joignant, deix points fixes de la surface, fournit effectivement un minIMUM relatif pour la distance des deux points siir la surface (voir DARBOUX, The'oiie des-surfaces, Mle Partie, Chap. V). Comme le

Page  531 CHAPITIRE XIV. - PRINCIPE DE D'ALEMBERT, ETC. 5 3 coef~ficient de ds dans Lt est positif, l'action est toujours positive ciii existe certainemeut des courbes allant de A, en B le lono0 desquelles a lieui un minimum relatif pour ~;ces courbes sou'l constitue'es par des trajectoires iiexiste me'me entre A et B une courbe donnant un minimum absolu.; ceLte dernie're courbe I tant necessairemnent forme'e d'arcs donnant chacuin se'parenient un minimum relatif, est composee d'arcs de trajectoires. Ii n'y a pas de courbe donnant pour ~,L un maximum. relatif, car, une courbe quelconque C ktant trace'e de A en B, on penLit loujours trouver une courbe C' infiniment voisine, le long de laquelle lFaction est plus grande que le long de C; ii suffiit de prendre pour C' tine sorte de sinusoide "a oscillations infiniment petites dans le voisinage de C. Point Sur tine sui'face.- - Soit de melme, suir une surface fixe,unpoint sollicited par une force de'rivanL de la fonction U(x,y-,z). On aura encore l'intedgrale des forces vives (I) et l'on comparera entre eux les mouvements qui se font stir la, surface, h ayant une valeur determin~e. On a alors le the'ore'me suivantL: Les courbes trae~es stir la surface entre deux points fixes A et B, et posse'dant cette propriete que la variation de l'action est nulle quand on passe de l'une de ces courbes et toute courbe injinirnent voi s~ine tracee suir la surface entre les 11,emes points, sont les tralectoires du no bile joig'nant ces deux points. On a done "a choisir parini ces trajectoires quand on cherche les courbes allant de A en B sur la surface, le long desquelles 1'action esA minimum. Pourl ~inntrer 'Ii suffi L d'appliquer an. cas de c~ ( ~-h les equations que no-us avons donne'es (p. 21I5) pour les courbes situe'es sur uine surface et rendantJ ds minimum. C-,es equations se transformen t irmmediatement,, comine plus haut, en celles du mouvement du point sur la surface, la constante des forces vives etant h. Par exemple, si le point n'est sollicitd par aucune force (U -o), les trajectoires sont les courbes que l'on trouve en cherchant h'

Page  532 532 TROISILM~E PARTIE. -DYNAM~IQUE DUJ POINT. (B) rendre minimum FL't~ralef ~ 2Ihds, c'est4a-dire en cherchant les lignes les plus courles de A en B stir la surface. On trouve donc les lignes ge'ode'siques (no 270). Pius ge'ni'ralement, lc proble'me de la recherche des trajectoires d'npint sur lasraeSla fon~ction des forces ktan U, est identique au proble'me de la recherche des lignes ge'ode'siques d'une autre surface 5'. En effet,7 imaginons unle surface auxiliairc S' dont e'~le'ment line'aire ds' soiL doDnn par c/St2 =2 (U -~- h) dS2, ds e'Lant Fele'mhent line'aire de S la recherche des trajectoires sur S est ramene'e 'a la recherche des cotirbes rendantJ'd minimum, c est-A-dire 'a la recherche des li'gnes geiode'siqUes d e S'. Si nous revenons pour un instant au cas d'yun point libre solliCtt pare ue force d'tb'ivant d'une fonction de forces,nosoos cILue, en vertu dii Principe de la motindre action, le proble'me de Ia dhtermination des Lra'ectoires du point est une extension aL cas de trois variables du proble'me des lignes geode'siques. Nous n'entrerons pas clans plus de details sur ceLte Lhe'orie qui1 r'ehv\7e de la GWome'trie plus que de la Mecaicje, et nous renverrons le lecteur au~x Leconls sui' (a Thie'ol-le des surfaes de M. Darboux, J[e VoIlume, Chapitres VI et VIII. Nous reviendrons d'ailleurs sur cc principe en M~can~qu1C analytique. EXERCICES. 1. Fornmule de Tait et Thomson. - Si ion prend (leux trajeeioires infiniment voisines AB et AB,, la variation de Yaction quand oo passe de la premi~re l~ a seconde est V2 ( UA-h) ACos Al.AB - V'2 (U.B -I- hi. BB,31cos BBA, UA et UB d6signant les valeurs, de U en A ct B [c,-tLe formnule est celle qui a a6 t6iablie no 159, sauf le cliangernent de en ~2 (U ~+ h) 3 2. Th~orrnze de Tait et Thomson (no 159, 2t). - Si des diff6rents Foints II, d'une surface S on lance des mobiles idenLiqueS normalemenL Ai ceiie surface, la fonction de forces di,,ani U poor chacun d'eux et la constanic des forces vives h, et si sur chaque trajectoire on prend no arc M, Ml,, tel que Faction de NJM en M11 le long de cette trajectoire ait une valeur ddtermin6e, la m6me sor toutes

Page  533 CIIAPITRE XIV. - PRINCIPE DE D'ALEMBERT, ETC. 53 533 les trajectoires, le lieu des points M, est u ne surface 5, nor-male aux trajectoires. On obtient un cas particulier important du thdor~me en supposant la surface S r6duite 4 une sph~re de rayon nul: les mobiles partent alors tous d'un point d6termin6 MO avec one vitesse de grandeur d~termin6e, mais dans des directions variables. Ii est 6vident que, s'il s'agit d'un mouvement plan ou d'un mouvement Sur oine surface, on aura le m~me 6nonc6 en remplacant les surfaces S et S, par des courbes. Si U o, ces th6or~mes donnent les tb~or~mes classiques relatifs aux surfaces parall~les 00 aux courbes parallles Sur one surfaee. 3. Propri~eW analogue & celle des de~eloppe'es.- Si lon consid~re des trajectoires NB normales en A 4 une cout-be fixe et tangentes en B 4. one autre courbe D, on a, en appelant 'B' etkA'B" deux positions de la trajectoire, le th~or~nme suivant: Faction Ie long de larc AW B" ale Faction le long de l'arc A'B plus laction le long de larc B'B" de la courbe enveloppe D. Le myirne tli~or~me a lieu dans le mouvement d un, point suir one surface pour les trajectoircs normnales 4 one courbe fixe. Si U - o, ces th~or6ines donnent les th6or~mes classiques relatifs aux developp~es. 4. Appliquer Ie principe de la moindre action anL mouvement d'un point pesant dans le vide dans on plan vertical (n' 218, fig. 143 ). L'action est alors f (V717Z 2 gyds Soient dans Ie plan deux points dont lun est lorigine 0, Fautre un point lv.I La courbe qui donne l'action minimum (le 0 en Ml, est lune des trajectoires quc suit le mobile pesant lanc6 de 0 avec Ia vitesse v,= V'2 I de telle facon quill atteigne M,. Si Al est dans la parabole de sftret6, enveloppe des trajectoires issues de 0, il existe deux trajectoires de 0 en Ml. D~montrer que le minimum relatif a lien Ie long de celle des paraboles par laquelle le mobile arrive en Ml, avant d'avoir touch6 Ia parabole de sfiret6 (sur la fig. i4/3, c'est la parabole inf~rieurc) (rogle donn~e par Jacobi). Si M, est suffisamment pr~s de 0, Fare OMI, de Ia parabole inf~rieure donne m~me le minimum absolu de Faction, mais il ne Ic donne plus quand M11 est voisin de la parabole de su'ret6. Aussi, quand M1, est Sol, la parabole de siiret, en A par exeinple, Ia trajectoire ON donne encore le minimum relatif de lFaction, mais non le minimum absoluo c'est cc qu'on d6montrera en s'appuyaint sur les r~sultats de 'exercice prdc6dent appliques A la parabole de sfiret6 regard6e comme Ia d~velopp6e g~n~ralis6e do point. 0 (Ice ra3isonnement est identique A celui que donne Al. Darboux, Lecons sulr la lhe'orie des surfaces, 111e Partie, Chap. V). 5. Si, dans l'exercice pi~c~dent, le point M, est hors de Ia parabole de s~iretl, il n'existe plus de trajectoire de 0 en Alv et cependant il doit exister one coorbe rendant Faction de 0 en Mll minimom. D~montrer que cette courbe est form6c des deux perpendiculaires abaiss~es de 0 et M, Sur la droite 2 h - 2 gy — c et de la portion de cette droite comprise entre ces deux perpendiculaires (r~sultat analogue 4 celui de la page 213). 6. L'6tude des trajectoires dun point pesant dans le plan vertical x~jy est

Page  534 534" TROISIEMIE PARTIE. - DYNAMIQUE DUi POINT. identique A l'6tude des lignes g~od~siques d'une surface S'dont l'6l6ment 1in~aire serait donn6 par ds'2(2 h -2 gy) ( dx2~~-dy2). DNmontrer quc cette surface est applicable sur une surface de r6voluticn et former 1I6quation de la m6ridienne. Si ion fait 2 h-2gy =U, 28'X = v, on retrouve l'exercice de la page 475. 7. Appliquer le principe de la moindre action au mouvement d'une plan~te, et r~soudre pour ce mouvement les questions analogues aux pr6c6dentes ( 4, 5 et 6) (VOir' J acorn, Vor-lesangen iiber Dynamik, seebste Vorlesung). 8. Soient cp (x,y,z) une fonction positive de x, y, z et A, B deux points fixes; Ics courbes C joignant ces points le long desquelles l'int6grale f T (x,y, z) ds est minimum sont: 12 les figures d'6quilibre d'un fil pour lequel la tension est CP et la fonction de forces - y; 20 Ies courbes brachistoclirones d'un mobile de masse pour une fonction de forces 2( ) la vitesse initiale an point x,,o z) 6tant V2;3o les trajectoires d'un mobile libre de masse ipour une fonctioni Yp (x0, yo, Z0 de forces p:2 (X, y, Z) ln vitesse initiale htant V/2 cp (X0, y0,, Z). ( Voir' ANDOYER, Comptes rendus, t. C, P. 1577; VICAIRE, ibid., t. CVI, p. 458.) 9. Les m~mes th6or~mes ont lieu pour les courbes trac6es sur une surface fixe, et rendant f y ds minimum. 10. La courbe qui, parcourue par un mobile sons Faction d'une fonction de forces clounne, rend minimum lFint~grale f veds, (V = V2 (U -4-h) ), a en chaque point son rayon de courbure dirigS suivant la nm6me droite que celui de la trajectoire (inc le mobile d~crirait s'il devenait libre h partir de cc point et 6gal A cc dernier rayon divis6 par 1lexposant n; il doit 6tre portS en sens contraire si n est n6gatif.Le cas le plus int6ressant est celui oft n =- i: la courbe est alors une brachistoebrone; on retrouve ainsi la liaison entre les trajectoires et les brachistochrones mise en 6vidence dans 1'exercice (8) (VICAIRE, Savants edtrangce's, et Rapport de M. JORDAN, Comptes rendus, t. CVIII, p. 33o). 11. D~duire les 6quations de Lagrange du principe de la moindre action. Prenons par exemple un point libre rapport6 S un syst~me de coordounnes qj q2, q3:U sera fonction de ces coordonndes et ion aura ds" =a,dq" 4...+ —2 a,,2dq, dq2 —.. II faudra alors ddterminer q,, q2, q, en fonction d'une variable auxiliairc q, dc 12 _______ telle facon que VI ( U h) dq soit minimum. Faisant dans les 6quations obtenucs le changement de variable 5 de la page 53o, on a les 6quations dc Lagrange. D'apr~s 1'exercice (7), on arrive ainsi A appliquer les 6quations de Lagrange a la figure d'6quilibre d'un flu ( Comptes rendus, t. XCVI, p. 688).

Page  535 ADDITION. - PROPRIITE DES FORCES CONSTANTES. 535 ADDITION. NOTE SUR LA PROPRIETE CARACTE'RISTIQUE DES FORCES CONSTANTES. On peut remplacer la mhthode de Bonnet, employhe dans, le no 67, par la suivante, qui est peut-htre un peu. plus simple au point de vue de 1'cxp)osition, et que j'ai donnhe dans mon cours en i892. Soit un point materiel en mouvement sous Faction d'une force. Si, h linstant I oii le mobile est en M (fig. 34, p. 52), la force cessait d'agir, Ie mobile continuerait A se mouvoir suivant la tangente en M avec une -vitesse constante V 6gale A celle qu'il posshde en M, et A linstant t -i — At 11se trouverait au point M' tel que.MM'== VAt. En rhalit6, la force continuant h agir, le mobile se trouve A 1'instant t-4 — At en Mi. L'effet de la force pendant l'instant At a done 6t6 d'imprimer au point la dhviation MD (no 39) 6gale et parallhle A MM,, dhviation dont la projection sur un axe, Ox par exemple, est dx Dxr =Ax- W- At. Une force constante, h'tant toujours, la mehme dans ses effets, est done une force qui, pendant un intervalle de temps dhtermine' At suivant un instant quelconque t, imprime constamment au mobile la mhme dhviation en grandeur, direction et sens. Dans le mouvement produit par une force constante, les projections de la dhviation D sur les axes doivent done, pour une valeur dhterminhe de At, htre les mhmes, quel que soit t. Ces projections sont done indhpendantes de t et dhpendent uniquement de At. Pour trouver les expressions correspondantes de x, y, z en fonction de t, supposons par exemple x =?(t) et dhsignons par h la quantite' At, Ia projection Dx de la dhviation sur Ox s herira D., (t ~+ h) - c~t) - h?() pour que cette expression soit indhpendante de t, il faut et il. suffit que sa dhrivhe par rapport 6 t soit nulle, ce qui donne 0'(t-i- ) -y'(t - T"(t =o. D'ien diffhrentiant par rapport A h, Q"(t-+- h) = C"(t). d2x Cette dernihre relation expirime que cp"(t) ou dt2, esosat. AiD~i une

Page  536 536 TROISIEIME PARTIE. - DYNAMIQIJE DU POINT. force constante produit un mouvement dans lequel dsonti ~ d12'" dt2 ' dt2 sn cmnstants, c'est-~-dire u~n mouvement dont I'acc~le'ration est constante en grandeur, direction et sens. Rkciproquement, si l'acc~l~ration J duLn mou'vement est constante en grandeur, direction et sens, les projections Dx, Dy, D, de in d~viation sont ind~pendantes de t, et la force doit 6tirc regard~e commne constante. Dans cc cas, comme nous l'avons rernarqu6 n" 39, I'acce'16ration J et la d~viation qui se produit pendant un interv\alic de temps quelconcque At sont li~es par la relation 1? 2D D ~JAt2 J- - 2 ' ~~~At2 qui a lieu en grandeur, direction et sens. D'apr~s cc qu'on a \vu sur la mesure des forces constantes, la force constante produisant un mouvement d'acc~l~ration constante est F im?,J = n Cette expression sert At d~finir ensuite la valeur approch6e duine force variable pendant lintervalle de temps At (p. 90, Remnarque) et, par suite, la valeur d'une force variable A~ linstant t. FIN DU TOME PREMIEn. ERRATA. Pages 348 et '349, an suLjet des Exercices 5 et 5 bis, consulter le 1M'Imoirc de M. Bert-rand Sur' les mouvements tautochrones (Journal de Liouville, i84-).

Page  537 TABLE DES MATIIERES. 537 TABLE DES MATIERES. Pages. PREFAC E............................................................... IN TR ODU CT ION........................................................... L PREMIERE PARTIE. NOTIONS PRELIMINAIRES. CHAPITRE I. Th6orie des vecteurs. I. - DIFINITIONS. 1. G en eralit s......................................................... 3 2. Grandeurs g6ometriques ou vecteurs................................. 4 3. Sens positif de la rotation autour d'un axe.......................... 4 4. M oment par rapport a un point..................................... 5 5. M om ent par rapport a un axe....................................... 6. Moment relatif de deux vecteurs P, et P,............................ 7. Expressions analytiques des moments................................ II. - SYSTEIES DE VECTEURS. 8. Vecteurs concourants. Somme g6ometrique ou r6sultante............. 9. Systemes de vecteurs quelconques. Resultante generale et moment resultant...................................................... 10. Variation de la resultante generale etdu moment resultant; invariants; axe central........................................................ 3 11. Somme des moments par rapport it un axe quelconque. Droites de m om ent nul............................................... I5 12. Equations reduites. Complexe de Chasles........................... 16 III. - SYSTEMIES EQUIVALENTS. OPERATIONS ELEMENTAIRES. REDUCTION D'UN SYSTIEME DE VECTEURS. 13. Definition de l'dquivalence.......................................... 17 14. Syst6me de vecteurs 6quivalent a zero............................... 1 15. Operations del m entaires............................................ 19 16. Reduction a deux vecteurs..............................e........... 20

Page  538 338 TABLE DES MATIERES. Pagas. 17. Signification g6om6trique de linvariant LX -+- MY + NZ.............. 23 18. Reduction effective de deux systemes equivalents l'un a l'autre....... 24 19. Couples.............................................................. 24 20. Com position des couples........................................... 25 21. Reduction a un vecteur et a un couple............................. 26 22. Torseur......................................................... 27 23. Cas particuliers de la r6duction pr6ecdente.......................... 28 24. Resum......................................................... 29 24 bis. Moment relatif de deux systemes de vecteurs..................... 29 IV. - DIGRESSION SUR LA THEORIE ELEMENTAIRE DES COUPLES. 25. Couples equivalents................................................. 3o 26. Composition directe des couples................................ 3 27. Reduction directe des vecteurs a un vecteur et un couple. Methode de P o in so t........................................................... 3 V. - VECTEURS PARALLELES. 28. Application des theoremes generaux............................ 34 29. Centre des vecteurs paralleles................................... 35 30. Moments des vecteurs paralleles par rapport a un plan............... 37 Exercices sur le Chapitre I....................................... 39 CHAPITRE II. Cinematique. 31. G6enralit6s............................................. 43 I. - CINEMATIQUE DU POINT. 32. D efin itions.......................................................... 44 33. M ouvem ent d'un point.............................................. 44 34. Mouvenent rectiligne uniforme; vitesse............................... 45 35. Mouvement rectiligne varie; vitesse................................. 46 36. Vitesse dansle mouvement curviligne.............................. 46 37. A cc6el ration........................................................ 48 38. Acc6elrations tangentielle et normale (Huygens).................... 49 39. D 6viation...............................................5......... 5i II. - TRANSLATION ET ROTATION D'UN SYSTEIE INVARIABLE. 40. Mouvement de translation.......................................... 53 41. Rotation autour d'un axe fixe, Vitesse angulaire. Representation g6om etrique......................................................... 54 42. Expressions analytiques des projections de la vitesse d'un point du corps....................................... 55 III. - VITESSE DANS LE MOUVEMENT RELATIF. COMPOSITION DES TRANSLATIONS ET DES ROTATIONS. VITESSES DES POINTS D'UN SOLIDE LIBRE. 43. Mouvement relatif; vitesse.......................................... 56 44. Com position des translations....................................... 57

Page  539 TABLE DES AIATIEERES. 539 Pages. 45. Systeme de deux rotations.......................................... 58 46. Rotations en nombre quclconque.................................... 59 47. C as particuliers..................................................... 6 48. Cons6quences g6om etriques.......................................... 61 49. Distribution des vitesses dans un corps solide mobile................ 6, 50. Axe instantane de rotation et de glissement........................ 65 51. Grandeur de la vitesse d'un point du corps........................... 66 52. M ouvem ent continu................................................. 66 53. Le corps solide a un point fixe..................................... 67 5i. Le corps se d6place parallelement a un plan fixe..................... 68 55. Roulement et pivotement d'une surface mobile sur une surface fixe... 68 IV. - ACCELERATIONS. THEOREME DE CORIOLIS. 56. Distribution des acc6elrations dans un solide en mouvement.......... 69 57. Acc6elration dans le mouvement relatif. Th6oreme de Coriolis........ o7 58. Mouvement de translation des axes mobiles. Composition des mouvem en ts............................................................ 7 Exercices sur le Chapitre II..................................... 75 CHAP1TRE III. Principes de la Mecanique: Forces, Masses. I. - PRINCIPES. 59. G enerali t s.................................................. 78 60. Point m atriel...................................................... 78 61. Principe de l'inertie............................................... 78 (2. Forces.................................................. 79 63. Principe des mouvements relatifs et de l'independance des effets des forces............................................................ 79 6i. Cons6quences du dcuxiSme principe. Composition des acc6elrations... 8o (i5. Notion gen6rale de la resultante..................................... 8 (j6. Principe de l'egalit de I'action ct de la r6action..................... 8?. II. - DEFINITION ET MESURE DES FORCES. (O7. Force constante..................................................... 8' 68. Rssultante de plusicurs forces constantes. Mesure des forces constantes. 85 69. M asse.......................................................... 87 70. Repr6sentation des forces constantes par des vecteurs................ 87 71. Composition et decomposition des forces constantes................. 88 72. Forces variables.................................................... 88 73. Composition des forces variables. Resultante......................... 74. Equations du mouvement........................................... 9 75. E q u ilib re....................................................... 76. Statique; Dynam ique................................................

Page  540 54o TABLE DES AIATIERES. III. - UNITES DE FORCES; HOMOGENEITE. Pages. 77. Pesanteur; poids.................................................... 92 78. K ilogram m e-force................................................... 93 79. Unites absolues. Dyne.....................................9.......... 4 80. H om og'en it6....................................................... 95 Exercices sur le Chapitre III..................................... 96 CHAPITRE IV. Travail; fonction de forces. 81. G-n6ralites..................................................... 1. - POINT MATIERIEL. 82. Travail 6el m entaire................................................. 97 83. Expression analytique du travail dlementaire........................ 98 84. Travail total. Unitd de travail....................................... 99 85. La force depend du temps ou de la vitesse.......................... Ioo 86. La force ne depend que de la position du mobile..................... Ioo 87. Cas particulier dans lequel C ddpend seulement des positions initiales et finales. Fonction des forces. Potentiel........................... [oI 88. Surfaces de niveau................................................. io5 89. E xem ples......................................................... 107 90. Remarque sur les surfaces de niveau.................................. 09 II. - SYSTiME DE POINTS. 91. Travail des forces appliquees a un systeme de points. Fonction des forces. P otentiel................................................... I o 92. E xem ples......................................................... 112 Exercices sur le Chapitre IV.................................... Ir DEUXIEME PARTIE. STATIQUE. CIAPITRE V. Equilibre d'un point; 6quilibre d'un corps solide. I. - POINT MATERIEL. 93. Point libre......................................................... T15 94. Exemple. Attractions proportionnelles aux distances.................. l6 95. Point mobile sans frottement sur une surface fixe.................... 117 96. Point mobile sans frottemeDt sur une courbc fixe.................... 20

Page  541 TABLE DES MATIERES. 541 II. - ENSEMBLE DE POINTS MATERIELS. Pages. 97. Principes generaux relatifs aux ensembles de points materiels........ 122 98. lquivalence des systemes de forces appliquees h un ensemble......... I23 III. - REDUCTION DES FORCES APPLIQUEES A UN CORPS SOLIDE. EQUILIBRE. 99. Corps solide...................................................... 123 100. Recduction des forces apploquees a un corps solide. Systmnes equivalents. Equilibre................................. 125 101. Reduction a deux forces............................................ 126 102. Reduction a une force et a un couple............................... 126 103. Equations d'6quilibre............................................. 26 104. Cas particuliers de la recluction..................................... 126 105. Autre forme des conditions d'equilibre.............................. 12 IV. - APPLICATIONS. FORCES DANS UN PLAN. FORCES PARALLELES; CENTRES DE GRAVITE. 106. Forces dans un plan................................................ 128 107. Exemples.....................2.......... 128 108. Centre d'un syst6me de forces situees dans un plan et admettant une resultante...................................................... 3o 109. Cas du couple; directions principales................................ 131 110. Forces paralleles.................................................. 13 11. Centres de gravite................................................. I33 112. Expression des coordonnees du centre de grait....................... 34 V. - SUITE DES APPLICATIONS. FORCES QUELCONQUES DANS L'ESPACE. 113. Exem ples d'equilibre................................................ 36 114. Conditions pour qu'on puisse diriger suivant trois, quatre, cinq, six droites des forces en 6quilibre.................................... i36 io T rois droites................................................. 37 2~ Quatre droites............................................. I37 3~ Cinq droites.................................................. 138 40 Six droites................................................... 139 115. Plan central dans un corps solide sollicite par des forces dont la resul — tante generale n'est pas nulle..................................... 4o 116. Plans principaux; positions reduites du corps et des axes............ i4i 117. Theor6me de M inding.............................................. 142 118. Axes d'equilibre........................................ 14_4 119. Equilibre astatique................................................. 145 VI. - CORPS SOLIDES ASSUJETTIS A DES LIAISONS. 120. MA thode......................................................... i45 121. Corps ayant un point fixe.......................................... i45 122. Corps ayant un axe fixe........................................... i47 123. Corps tournant autour d'un axe et glissant le long de l'axe.......... I8

Page  542 54-1) TABLE DES MAITI RES. Psges. 124. Corps s'appuyant sur un point fixe................................... 48 i~ Un seul point d'appui.................... i48s 2~ Plusieurs points d'appui en ligne droite....................... 3~ C as general.................................................. i5 4~ Application................................................... i5 125. Plusieurs corps solides.............................................. 533 VII. - QUELQUES FORMULES POUR LE CALCUL DES CENTRES DE GRAVITE. 126. Lignes............................................................... i5 127. Theoreme de Guldin.................. 5 128. Surfaces............................................................ 55 129. A ires planes........................................................ I55 130. Th6orem e de G uldin................................................. 56 131. Volumes.....................57.............. 5 Exercices sur le Chapitre V..................................... 7 CHAPITRE VI. Systemes deformables. 132. Principe de solidification............................................ 65 I. - POLYGONE FUNICULAIIRE. 133. D6finition.................................................. 65 134.. Tension............................................... i66 135. Equilibre du polygone funiculaire. Polygone de Varignon........... 167 136. Conditions aux lim ites............................................. I68 I~ Les extremites sont libres...................................... 69.~ Les extrdmiLes Ml et M, sont attachdes en des points fixes....... I6) 3~ Le polygone funiculaire est fern................................... 70 137. Forces concourantes............................................... 1 1 138. Forces paralleles........................................... Ponts suspendus.................................................. T73 139. Applications graphiques de la th6orie des polygones funiculaires...... \7/ I~ Ddtermination graphique de la rdsultante de plusieurs forces situees dans un plan.......................7....4....... 2~ Construction d'un polygone funiculaire fcrmd correspondant a un systeme de forces en dquilibre dans un plan.................. r6 3~ Cas particulier; exemple de figures rdciproques.................. '77 140. Anneaux glissant sur un cordon................................ 178 141. Travures reticulaires................................................ I79 E xem ple..................................................... 79 II. - EQUILIBRE DES FILS. 142. Equations d'dquilibre............................................... 8 143. Thdoremes gen6raux................................... 83 144. Intdgrales g6en rales................................................. 18;i 145. Determination des constantes, conditions aux linites................ I84