Leçons de trigonométrie rectiligne ... [Avec "excercises."]
Bourlet, C. (Carlo), 1866-1913.

Page  [unnumbered] BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET Graduate Library University of Michigan Preservation Office Storage Number: ABV9366 UL FMT B RT a BL m T/C DT 09/12/88 R/DT 04/28/94 CC STAT mm E/L 1 035/1:: |a (RLIN)MIUG86-B60688 035/2:: a (CaOTULAS)160218803 040:: | a MiU I c MiU 100:1: | a Bourlet, C. I q (Carlo), I d 1866-1913. 245:00: 1 a Legons de trigonometrie rectiligne... I b [Avec "excercises."] 260:: I a Paris, I b A. Colin & cie, | c 1898. 300/1:: I a 3 p. L., [ix]-xii, 322 p., 2 L. I c 24 cm. 490/1:0: a Cours complet de mathematique elementaires 650/1: 0: | a Plane trigonometry. 998:: c RAS Is 9124 Scanned by Imagenes Digitales Nogales, AZ On behalf of Preservation Division The University of Michigan Libraries Date work Began: Camera Operator:

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Page  [unnumbered] Lecons de Tri onom elie rectiligne

Page  [unnumbered] Armand COLIN et Cie, Editeurs. COURS COMPLET DE MATHIMATIQUES ELEMENTAIRES publid sous la direction de 1MI. DARBOITJX Doyen do la Facultc dcs Sciences de Paris. Legons d'Arithmetique theorique et pratique, par M. JULES TANNERY, sous-directeur des dtudes scientifiques i l'Ecole normale suptrieure. ] vol. in-8~, broch e.................................................... 5 )) Legons de Cosmographie, par MM. TISSERAND, membre de l'nstitut, directeur de l'Observatoire de Paris, et H. ANDOYER, maitre de conferences a la Facultcl des sciences de l'Universite de Paris. 1 vol. in-8~, broch6.......... 6 Legons d'Algebre elementaire, par M. C. BOURLET, docteur es sciences, professeur de Mathdmatiques spdciales au lycee Saint-Louis, 1 vol. in-80, broch........................................................ 7 50 Legons de Geometrie elementaire (Gdomdtoie plane), par M1. IIADAMARD, maitre de conferences i la Facultd des sciences de l'Universitd de Paris, professeur suppleant au Coll6ge de France. 1 vol. in-8, broch....... 6 Legons de Trigonomatrie rectiligne, par M. C. BOURLET, docteur 6s sciences, professeur de Mathlmatiques au lycee Saint-Louis. 1 volume in-80, b ro ch d.............................................................. 6 Traite d'Algebre elementaire (classe de Premiibee-sciences), par M. DE C.AMPOU, ancien 6elve de l'Ecole normale superieure, professeur au college Rollin. 1 volume in-8~, broche........................ 5, Traite elementaire de Geometrie descriptive (Enseignement secondcaire modernee), par M. DESPORTES, censeur au lycde de Toulouse. 1 vol. gr. inl-8, broch............................ i.i....... 10 P81'oS. - 11loop. I. CA oNoozoT Ct 0', rotl Sea Pi[CN11k.; C).

Page  [unnumbered] Cours complet de Mathe'matiques 6l6mentaires Piiblie sotis Ia direction (le M. DARBOUX, doydil de la Facltih des Sciences de Paris. Lecons 10 rec li jii PAR C. Bourlet Docteur 6s scioncos, Professeiir (16 Msth6rnatiques sp6cialcs au lyc6e Saint-Louis. PARIS.A rmand 5, Cohin & cie, rue de Me'zi~res, 1898 Tous droits r6scrv6s. E diteurs 5

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Page  [unnumbered] AVERTISSEMENT Los trois premiers Livres do ces.Lecons do Trigbnomaltrie )r-ecliligne contionnent les mati?~res du programme do la classe do, Math~m atiques 616men Laires. L''Appendice renferme tous los compl~monls n~cessaires autx 6.16ves do la classe de Math~matiques sp~ciales. Ainsi, co volume pourra servir a un 616vo dans tout le cours do ses 6tudes. C. BOURLET.

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Page  IX TABLE DES MATIERES AVERTISSEMENT.......................................................... V TABLE DES MAT1ERES................................................... VI INTRODUCTION. - Segments, projections............................. 1 Definitions......................................................... 1 R esultante............................................. 2 Segm ents port6s par un axe......................................... 3 Projections................................................. 6 LIVRE PREMIER FORMULES FONDAMENTALES CHAPITRE PREMIER. - Arcs et angles................................... 13 Mesure d'un arc de cercle........................................ 13 Arcs diiges........................................................ 16 Addition.........................................21 Angles........................................................... 26 Exercices........................................... 28 CHAPITRE II. - D6finitions des lignes trigonom6triques.......... 29 Cosinus............................................................ 29 Sinus................................................ 32 Tangente...................................................... 34 Cotangente................................................... 36 Secante.................................... 38 C osecante.................................................. 39 Tableau des signes............................................. 41 Lignes trigonom6triques d'un angle................................ 41 Exercices......4............................. 41 CHAPITRE IlI.- Inversion des lignes trigonometriques.......... 44 Inversion du cosinus et de la scante................................ 45 Inversion du sinus et de la cosdcante................................ 46 Inversion de la tangente et de la cotangente.......................... 48 Exercices............................... 50

Page  X x TABLE DES MATIERES. CHAPITRE IV. - Relations entre les lignes d'arcs supplementaires, complementaires, etc............................... 50 E xerl cices...................................................... 57 CIIAPITRE V. - Relations algebriques entre les lignes d'un mnme arc........................................... 58 R elations fondam entales............................................ 58 Autres relations................................................ 63 A pplications........................................... 4 Calcul des lignes trigonomtriques des arcs................ 6 Exercices..................................................... 70 CHAPITRE VI. - Addition et soustraction des arcs............... 71 Som mlle de deux arcs........................................ 71 D iffdrence de deux arcs............................................. 5 Som m e de pinsieurs arcs.......................................... 76 Formules g ner ales................................................. 77 E x erc ices................................................... 80 CnAPITrE V1I. - Multiplication et division des arcs.............. 81 M ultiplication des arcs....................................... 81 D ivision des arcs................................................... 82 E,r ercices..................................................... 98 CHAPITRE VIII. - Transformation des sommes en produits...... 99 Transformation dun produit de sinus et de cosinus en une somme..... 99 Transformation d'une somme de sinus et de cosinus en un produit..... 100 Transformation (d'une somme de tangoentes........................... 105 E xericices...................................................... 106 LlVRE II TABLES. - EQUATIONS TRIGONOMtTRIQUES CHAPITRE PREMIER. - Valeurs approch6es des lignes trigonom etriq ues.................................................. 109 E x ercices................................................... 117 (IHAPITRE II. - Construction d'une table.......................... 118 Formules de Thomas Simpson...................................... 118 CHAPITRE 1II. - Disposition et usage des tables................... 122 Disposition des tables logarithm iues................................ 122 Usage des tables............................................ 125 Exercices................................................... 131

Page  XI TABLE DES MATIERES. xI CHAPITRE IV. - Rendre une formule calculable par logarithmes. 132 Tranformation d'une so m e........................................ 133 Expressions rationnelles................................... 137 Expressions irrationnelles.................................... 138 lidsolution trigonometrique d'une 6quation du second degrr.......... 140 E x ercices...................................................... 147 CHAPITRE V. - Equations trigonom6triques a une inconnue.... 149 G eneralites....................................................... 149 E x ercices...................................................... 159 CHAPITRE VI. - lequations trigonometriques simultanes...... 161 Generalits........................................................ 61 Cas oh les inconnues elles-memes figurent dans les dquations......... 165 E xercices...................................................... 168 LIVRE III RESOLUTION DES TRIANGLES CIAPITRE PREMIER. - Triangles rectangles.......................... 169 Resum.......................................................... 171 Resolution des triangles rectangles.................................. 171 Disposition pratique des calculs................................... 175 Cas non classiques................................................ 179 Exercices....................................................... 181 CHAPITRE II. - Formules pour les triangles quelconques........ 182 R esum......................................................... 186 Exercices...................................................... 194 CHAPITRE Ill. - Resolution des triangles quelconques...........195 Cas classiques..................................................... 195 Disposition pratique des calculs............................... 214 Cas non classiques......................................... 219 E xe cices.......................................... 228 CHAPITRE VI. - Applications diverses............................... 230 Quadrilatere convexe....................................... 230 M esures de hauteurs................................................ 236 Levers de plans.......................................... 238 Exercices.................................................... 244

Page  XII XHI TABLE DES MATIERES. APPENDICE CIIAPITRE PREMIER. - Representation trigonometrique des imagin a ire s........................................................ 247 Repr6sentation geom6trique d'une imaginaire........................ 247 Module................................................ 248 A rgum ent......................................................... 249 Forme trigonom6trique des imaginaires............................. 250 Som m e............................................................ 252 Produit et quotient................................................. 256 Exercices...................................................... 257 CHAPITRE II. -- Formule de Moivre. Addition, multiplication et division des arcs............................................ 58 Addition........................................................... 258 Multiplication..................................................... 260 D ivision, trisection................................................. 264 Cas general............................................... 274 Exercices.................................................. 286 CHAPITRE III. - Racine mieme d'une imaginaire. Equations b in8 m es...................................................... 287 Racine mi1me d'une imaginaire.......................... 287 Equations binom es................................................. 289 Racines prim itives.................................................. 293 Polygones rdguliers............................................... 301 Exercices............................................... 301 CHAPITRE IV. - Resolution trigonom6trique de l'equation du troisiem e degr.......................................... 305 Equation du second degr.......................................... 305 Equation du troisi6me degrd....................................... 306 Exercices..........................3......2....... 32 Paris. - Imp. E. CAPIOMONT ct Ci, rue des Poitevins, 0.

Page  1 INTRODUCTION SEGMENTS. - PROJECTIONS 1. Definiitioiis. - On appelle vecteur ou encore segmnent vine portion de droite sur laquelle un sens esL d~fini. Pour dkterminer le sens du segment on distingue les deux points qni le limitent. L'un de, ces points est appel6 origbie et lautre extrimitM. Le senis du segment est, alors, le seas dans lequtel se dc~p lace un moitle gui -parcouo't le seginertt en allani (le l'origine veis l'extYminW. On 6nonce tin vecteur en 6non~ant d'abord lorigine et, ensuite, l'extr~mit. De plus, pour 6viter toute, confusion, nous placerons, dans l'6criture, les deux lettues entre parentheses. Ainsi, le vecteur (AB) est celui ctni a pour origine A et pour extr~mitO B. H1 r~sulte, de la d6finition pr~c~dente, que ion pent distinguer dans un -vecteur trois choses: jo0 Sa ligne d'action, qui est la droite ind~finie qui le porte 21 Sa longueor, qui est la distance (g~onmhtrique) de lorigine h. 30 Son sens, qui est celaiB dans lequet se d~place un mobile allant de lorigine -vers B Deux -vecteurs sont dits A equipollenls soils out leurs lignes d'action parall~les onuA confondues, meme lonugnur FIG. 1 et me'me sens. On penit remarquer, de suite, que si deux- vecteurs (AB) et (AMB') sont 6quipollents, sans avoir mb'me ligne d'action, la figure ABB'A (fig. 1) est un parallidogramme puisque les ck6ts opposes sont 6gaux et parallides. 1LEQ0ON8 DE~ TBIcONOMETRIE1.

Page  2 LE(CONS DE TRIGONOMETRIE. Pour 6crire que deux vecteurs sont 6quipollents nous nous servirons du signe ordinaire de l'Fgalite. Ainsi, l'fgalite (AB) - (A'B') signifie: vecteur (AB) 6quipollent au vecteur (A'B'). 2. R6sultante. - Etant donn6s plusieurs vecteurs (AA'), (BB'), (CC'), (DD'), on appelle resullante ou encore sommte geometriqce de ces vecteurs le segment construit de la fagon suivante. D'un point arbitraire o de l'espace (fig. 2), pris pour origine, on trace un vecteur (oa) 6quipollent a (AA'); puis, avec a cornre nouvelle origine, on trace un vecleur (ab) equipollent a (BB'). On construit, C A A \ b. C' o -C,,D9 D FIG. 2. de mi..le, le vecteur (be) equipollent a (CC'); e enfin le vecteur (ed) equi iol:ent a (DD'). Le vecteur (od), ayant pour origine o, lorigine du premier vecteur, et pour extr6mit6 d, l'extr6mite du dernier vecteur (ou tout vecteur equipollent a (od), est ce qu'on appelle la restullante on encore la somme cgomletiqtte des vecteurs propos6s. II faut remarquer de suite que, le point o etant arbitraire, la definition pr6cedente ne definit la r6sultante qu'a l'origine pres. En d'autres termes, il y a une infinit6 de segments, tous equipollents entre eux, que nous nommons r6sultante des vecteurs proposes. Pour indiquer qu'un vecteur est la somme g6ometrique de plusieurs aulres, on emploie le signe habituel de laddition. Ainsi, on 6crira: (od)= (AX') + (BB') + (CC') + (DD').

Page  3 tNTRODUCTION. 3 IRemarque. -Dans le cas particuflier do, deux vectours on peut encore construire la r~suitante dc la fa~,on suivante:soient (AA'), (BB') les deux -Necteurs.; par un point arbitraire o do lespace, pris pour origine, on trace deux segments (oa), (ob) respectivement 6qui pollents aux deux -vectours donn6s.. La diagonale (oc') du paratlllogramme oacb construit sur (oa) et (obi) est la r~sultante cherchi~e, car on a (ac) -(ob) =(BB'), et ceci prouve quo (oc) s'obtient bien par la construction prkc~dente en portant bout a bout los v A B B' - 'I &~ a', 0 I FIG. I. segments (oa) et (ac) respectilveMent 6quipollents a (NX') et (BB'). On ioit, do plus, quo la r~snltante ties cleux -vecteurs noe depend pas do 1'ordre dans lequel on prend ces deux vecteurs potir construire la sommle, car, tians la figure 3, on a, par ddiinition, at Ia fois, (Cc) (Oct) +((Cc) (AA,) ~ BB) et (oc) (oli) + (bc) (BB') V (AA'). On conclurait do 1a ais6ment quo, dans une somme gP6zmutriqjue queconueon ou inorvrti 1ordre des termes sans modifier la Somme. U1 suffit pour cola do rnontrer qu'on pout intervertir deux vecteurs cons~cutifs (I). Nous no d~velopperons pas ici ce point, ni los proprikt6s g~n6 -rales des sommes g~omulriques qui nre nous seront pas utiles tians la suite, mais tqui sont d'ailleurs identiques a cellos des sommes alg~bricques. 3. Segments port~s par un axe. - Deinitions. - On appelle axe tine droite intd~fiie stir latjtelle un sens tie parcours a 6t6, (I) Les ddmonstrations prdcddentes ne s'appliquent plus lorsque los vecteurs quo lon compose out des lignes d'action parallles, car, alors. les quatro points o. a, 6, c soul en ligno ds'oite. L'dtude do ce cas particulier fail lobjet do l'lncodacxtions do mnos Leponis d'alg~6e le~menitaire, os1O I ~ 3, au~quelles Jo renvoic le lectern.

Page  4 4 4 ~~~~LECONS DE TRIGONOWETRIE. choisi, sens que Von nomme seas positif de Faxe; le sens contraire an sens positif est dit seas megatif. On a M~ini en alg~bre ce qu'on appellee la mesure alg~brique d'un segment porL6 par un axe nous rappellerons ici cetLe definition et les propri~t~s essentielles de ces segments ('). Vltant donn6 un segmient povi~ par oin axe, coest-a-dire un segment ayant co-t axe pour ligne daction, on appelle mnesare alg~brique de ce segment le nombre qui a pour -valeur absolue la long-ileur du segment et pour signe le signe (+) onu-) snivant que le sens du segment est le sens positif ou le sens n~gatif de laxe. Pour disigner la mesure alg6brique d'un segment, nous tracerous, au-dessus des deux lettres qui d6signent le segment, un trait horizontal. Ainsi, AB d~sigue la mesure alg~brique dn segment (NB). Remarque. - Ii r~sulte de cette, d6finition que les mesures algC — briques de deux. segments 6gaux et de sens contraires, porte~s par un meme axe, sont des nornbres 6gaux. et de signes contraires. Ainsi, AB3 et BA sout deux nonmhres 6gaux. et de signes contraires. On a, par suite, AB + BA - 0. 4. Th~or~me- - La miesure alg(Thrique de la r~salianie (le piasiealrv segments, porhs park un meane axe, est )gale 4'1 la somm~e des m)esvres alg~briqites cle ces segmtents. Pour d~montrer la proposition, nous pouvons tonjours supposer les segments plac6s bont a bout puisque, pour former leur r~su1Lante, on les place ainsi. I 10 Prenons d'abord le cas de deuLx segments 'AB) et (BC), dont la r~sultante est (AC) () Si les deux segmients sont cie melie sens, leurs miesures alg~briqnes, Nll et BC sont de me'me signe. La valeur absolue de la somme AB + BC est done 6gale a la somine NB -4- BC des valeurs absoines; et le signe de cette somme est le signe commun desp deux. termes. D'autre part, le point B Rtant entre A et C, on a AC N B + BC; ce qui prouve qae la valeur absolae de la mesure alg~lbrique de la r~sultante (NC) est 6gale a la valeur absolue de AB ~ BC. IDailleurs, (1) Los ni- 3, 4, 5 no sont que la reproduction tex tuello dos nI 7 ot 23 do mos Lecons cd'olybre 0ldrentaire. (2) Jo ne fais, dans cotto ddmonstration, intontionnollonment, aucuno figuro pour hien miontrer quo 10 ddniionstration ost gdndralo. Lo loctour fora bion, pour suivr~o plus aisdmont. lo raisonnomeut, do fairo lui-nmdmo la figure.

Page  5 INTRODUCTION. 5 comme cete r~sultante est de me'me sens que les deux segments, sa mesure alg6brique i( ~e signe que AB et BC, c'est-h-dire, que AD + BC. On a donc bien AC ~AB + BC, puisque les deux membres ont me'me valeur absolue et m6me signe. Si les deux segmnents sont de sens coNvtaires, puisque la re'suttante ne change pas quand on change 1'ordre des deux segments et cjue la somme de deux nombres est ind~pendante de 1'ordre de ces deux nombres, nons pouvons tonjours supposer que.(AD) est celui des deux segments qui a la pins grande longueur. Les mesures alg6 -briques des deux segments AB. et DC ktant de signes contraires, et puisque AD > BC, la -valeur absolue de la somme AD D C est AB - BC et son signe cehui de AD. D'autre part, le point C t~ombant entre A et B, on a AC =AD -BC, ce qui prouve que la valeur absolue de AC est aussi 6gale it AD - BC. D'ailleurs, la r~sultante ktant de meme sens que le segment (AD), AC est aussi de me'me signe que AD, on a donc, encore, AC - AB D C. Dans le cas particnlier ohi Les deux segments sont e6gaux et de sens contraires, leur r~sultante est nulle; mais alors Lenrs mesures alg6 -briques sont 6gales et de signes contraires, et ont aussi une somme nulle. 20 Le th6or~me, Rtant -vrai pour le cas de deux segmnents, s'6tend, facilement, au cas de plusieurs segments. Soint p 2' 3' S4 quatre segments, etsSSSleurs mesures alg~briques. Soil R, la ri~sultante de- -S, et S2 et r1l sa mesure alg~brique; R2 la r~sultante de R, et de S3, e t, sa mesure alg~brique; R la r6sultante de 112 et S4,1 et r, sa mesure alg~brique. IR est, la r~su~l ante des quatre segments~. Or, d'apr~s la premi~re partie de la demonstration, on a les 6galit~s rest donc le nombre obtenuL en faisant la somme de s~ et S2 e

Page  6 6 6 ~~~~LECOiNS. DE TLRIGOINOMETLVIE. ajoutant s3 au r~sultat r1, et en "ajoutant 54 au nouveau r~sultat?2. Donc, Par definition de la somme, on a 5J' + "S'2 + 8 3 + 4 ce qui d~montre le th~or~me. 5. Th~or~me (de Cliasles). - Soient A, B, C, D, E, plysienors points Situs sit) tin axe, on a, en re les mesatres alg~briques des segments suivant s, dierminhi~s Par ces poin ts, Ua relation (3) A B +BC +C D + DE +EA -O. Cette proposition eSL une COn~sequence immidiate de la prke6 -dente; ear le segment (AE) est la r~sultanto des segments (AB), (B C), (C D), (D E) e t 'o n a AB + BC + CD + DE - AE. Ajoutons aux. deux. membres de cette 6ga~IR6 EA et~, en remarquant que AE + EA - 0 on obtient 1'6galit6 (3). Remarque. - Ce th~or~me tre's important s'applique fr~quem.ment pour trois points. Soient 0, A., B trois points situ6s sur un axe, on a: OA +AB +BO -- 0 d'ott l'on peut tirer ADB BO - OA. Or, en remarquant que -BO - OB, ceci si6crit (4) AB -OB -OAI qui est une forme tr~s usit~e de la relation. 6. Projectionts. - DMinitions. - lRtant donn~s un axe xx' et un plan P, non parall~le ti cet axe, appeI6 plan directeur de la projection, on appelle projection d'v.2 pohit A de l'espace, sur l'axe xxT,

Page  7 IiNTRIODUCTION. faile p~aq-alblenenl au p~lan P, le point d'in tersection a, avec l'axe, dun plan pavallv~e au plan P passant par A (fig. 4). La droite Aa est ce qu'on appelle la projttante du point A. Dans le cas partiCLuuier oi4 le plan directeur P est perpendclticlaire a F'axe de projection x'x, la projection est ditc oriliogonale. Les. projetantes sont alors toutes perpendiculaires it laxe, comme Rtant situ~es dans des plans perpendiculaires a cot axe. On pent FIo,. 41'. donc dire quo la projection orihogonale d'un point sur un axe est le pied de la perpendiculaire abaissie de ce point sur l'axe. On, appelle projection d'tn vecteur sur), n axe le segment, porte par eel axe, qui a pour origine la projection de l'origine et pour extr~militd Ia projection do l'exthnwihl du vecteur. Ainsi, soit (AB) un vecteur, a la projection de A, et b Ta projection de B sur l'axe x'x (fig. 4); Ic segment (abi cst la projection dii segment (AB) et noues 6crirons (ab) — proj. (AB). REIN4AR QUE. - Dans le cas ofi tons les points que Ion. projette sont dans un mi'me plan avec ['axe de projection, la d6rinition prkc~den-te,

Page  8 8 8 ~~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. peut eltre mise sons une autre forme. Les projelantes Aa, Bb, Cc... des divers points A, B, C... (fig. 5) ne sornt ators autre chose que les droites d'intersectio'n des plans projetants avec le plan de la figure; ces droites souL donc parall~les entre elles, comme intersections de plans parall~les par un me'me plan. On peul done, dire que, dans ce cas, la projection a d'nn point A est l'intersection de l'axe xx avec -C b, b FIG. 5 la para~ll~e men~e par A aL une, direction fixe. Dans le cas des projecctions orthogonales, cette direction fixe est perpendictulaire a laxe. 7. Thdor~me. - Les pro-jections, sur unu) e~nze axe, de deux segments ~quipollents sont ~quzpollentes. Soient (AB), (A'B') deux vecteurs 6quipolleuls et (ab), (a'b') leurs projections sur l'axe xx' (fig. 6). Menons par A une parall~le a x' x qui coupe le plan projetant B en [3; de me'me, soit [3' le point oti la parall~e men~e par A' axx' coupe le plan projetant B'. Les figures Ar8ba et A'P'ba' sont 6,videmment des parall~1ogramnmes. Les segments (A[3) et (N'f3') sont, respectivement, 6quipollents aux segments (ab) et (a'b'). Pour prouver le th6or~me il suffit donc de prouver que (AI8) - (A'f3'). io Les deux segments sout paral1~les el out mb'me lougueur. Car les deux triangles AB[3, A'B'f' ayant leurs cot~s parall~es sont semblables. De plus, comme AB - A'B', its sont e'gaux. On a douc: AP3 - A'f3' 20 Les deux segments sont de meime sens. Car les deux angles BA[3 et B'A'f3' ont leurs c6tis, respectivement, paralR~es et souL

Page  9 INTRODUCTION. 9 6gaux (comme appartenant h des triangles 6gaux). Puisque (AB) et (MWB) sont de me'me sens, (A~3) et ('' le sont aussi; car, sans cela, les deux angles pr~c~dents seraieut suppl~mentaires. FiG. 6. 8. Thdor~me. -La mesure alg~briqve de la p)rojection, sar un axe, de la rHsultante de plusievvs segments est ~'gale & la sommne des mnesures algebriques des projections de ces segments sur cet axe. (C- 6ci e FIG. 7. Puisque, d'apri~s le th~ore'me pr~c~dent, deux segments 6quipolleuts out des projections 6quipollentes qui, par suite, ont melme mesure alg~brique, on peut toujours supposer, pour faire cette

Page  10 10 10 ~~~~LECONS, DE TRIGONOME'TIRIE. demonsiration, que les segments sont plac~s bout a bout, de fa~on at me Lre la r6sultanie en 6vidence. Soient donc (NB), (BC), (CD), (DE) plusieurs vecteurs doni la r~su1Lante est (AE) (fig. 7). a, b, c, d, e R3ant les projections des points A, B, C, D, E sur un axe x'x, on a, par d6fiinition (ab) proj. (AB), (bc) proj. (BC), (cd) proj. (CD), (de) proj. (D E), (ae) proj. (NE). Or, d'apri~s la proposition du no 4t, on a ae = ab + be+cd +de, ci le th~or~me esi d~montr6. Corollaire. - Lorsque plusievrs segments, plac~s bout (' bout, formnent un contour' polygonal fermi), la somm?)e des mnesures a~lgebriques des projections de ces segmients, sur un axe, est nulle. Car si A coincide avec E, a coincide avec e et on a ae -0. Ce corollaire se d6montrerait directemeni comme le th~ore'me qui le pr6ci~de, en appliquant le ilh~ort~me de Chasles (no 5j). Remarque. - On 6nonce souveni le corollaire pr6c~deni sous la forme suivanie, abr~g~e, mais incorrecte. La somme des projections des co'tls d'un contour polygonial Arvni4, sur un axe, est nulle. 9. Deinition. - On appelle segmient directeur ou vecteur unit4 d' n axe, un segment, pori6 par cei axe, qui a pour mesure alg~brique H '1. Un axe esi parfaiteineni d~fini par son segment direcieur, car la droite ind~rinie qui fornie laxe est Ta ligne d'action du segment ei le sens positif de l'axe est le sens du segment directeur. Th~or~me. - La mnesure alg~bricque de la projection d'un segmnent porte par un axe, sur un autre axe, est ~gale au produit de la mesure alg~brique de ce segmnent par la mesure alg~briqve de la projection da segment direc temr de l'axe qui le po rte..Soii un segment (AB) siiu6 sur un axe y'y ei (OD) le segment

Page  11 INTROW,"TION. 11 directeur de eeL axe. Projetons les deux segments (AB) et (OD) sur un axe x'Ix en (ab) et (od). Je dis que l'on a (fig. 8): ('1) AB ab 015 od 'J0 La relation ('1) est vraie, en valeur absolue, car les quaLre plans projetant 0, D, A et B 6tant parall~es, interceptent, d'apr~s un "Y F IG. R th~or~me connu de g~omkLrie, sup les deu~x droites y'y et xIx, des segments proporLionnels; on a donc AB ab OD Y d 2Qo La relation ('1) est vraie en signe. Les qu atre points o, a, 6, d sont, d'apr~s la mani~re Jne'me dont on les a oblenvis, rang~s sur x'x dans le me'me ordre qne les qnatre points 0, A, B, D sur gyI. Les deux, segments (ab) et (od) sont donc de. meme sens on non suivant que les segments (AB) et (OD) sont, eUXMemes, de Mmom seas on non. Ii en r~snlte qne les deux rapports - A et asontL de Me ne signe. (OD) Rtant le segment directeur de laxe y'y, on a, pa'r d~finition, ODV 1.+

Page  12 12 LECONS DE THIGONOMET1AIE. La relation (1) s'6crit donc On en tire ab&zB o d, ce quL'il fallait d~montrer. Remarque. - Dans la suiLe, nous n'aurons pins a nous occuper qne de segments port~s par des axes et, plus parLiculi~rement, de le'urs mesures alg~briques. Pour abr~ger le langage, nous conviendrons, dor6navant, de supprimer l'expression ((mesure alg~briqne )). Ainsi, au lieu cle dire la rnesure alg~hricque du segment (AB), noues dirons bri~vement le segmnent AB. Cela ne donnera lien a aucune confusion.

Page  13 LLYRE I FORMULES FONDAMENTALES CHAPITRE PREMIER ARCS ET ANGLES iO. llesuire d'un arc de cercie. - Mesurer un arc de cercie, coest le comparer a un autre arc du me'me cereto quo ion prend pour uniks. Le nomlbre qui mesure un arc cl~penl clonc de l'unit6 d'arc choisie (') On emploie, oci Lrigononm61rie, dotix u-nits d'arcs diff~renLes, co qui donne lieu a deux sysL~mos de mesures. 10 Dans, le premier syst~me, on prend pour uniL6 d'arc le degr6,, coest-a-dire la 360' partie du cercle auquel appartient iFarc qu'il s'agit do mesuror. Le clegv~ est, lui-mre'mo, partag6 en 60 minutes; et la mninute en 60 secondes. Pour d~signor, par exemple, un arc do 48 degr~s, 31 minutes, 23 secondes, on 6crit 480 31' 23". Ce mode do mesure est surtout employ0 dans, los applications pratiquos do la trigonom~trie. 20 Dans le second syst~me, lunit6 choisie est lar2c dont la longueur est ~gale ant rayon doi cereie. Ceci roviont a dire qu'on mesure l'arc comme uine longueur ordincaire, en prenant le rayon du corcle pour unitO do Ionguour. (I) Voir dans les Leonms (le Gd~om)ri~e doc M. Iladarnard. le n( 712.

Page  14 14 14 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. Ce second mode eSt SUrtout employs dans les questions th~oriques ('). REMARQUE.- Dans tout le Livre 1, nous n'ernploierons, pour mesurer les arcs,, que le second mode, de mesure. Pour 6viter toute confusion, nous d~signerons un arc par une lettre majuscule lorsqu'il sera mesur6 en degr6s, et par une petite lettre lorsqu'il sera mesur6 avec le rayon pris pour unit6. 11. Probl~me. - Connctassait la meswce duna arc de cercic dons utnr sys&4rne, calculer celte mesure clans I'caute systeme. Rappelons, d'abord, la proposition suivante, demontree en arithmktique (2):Le rapport des mesures de deux grandeuirs est independant de l'unitW choisie. Ceci pos6, consid~rons un arc dont la mesure est A, en degr~s, et at, eni prenant le rayon du crerle comme unit6. Dautre part, une dernicirconf~rence a pour imesure 180, en degtr6s, et -,t, en prenant comme uniV6 le rayon; 7c d~signant, comme de coutuime, le rapport de la circonf~rence d'un cerci-e a son diam~tre. Le rapport des mesures de A 1'arc consid6r6 et d'une demi-circonf~rence est donc T~~ en degr~s, a et -, dans le second sstLime. Ces rapports R~ant 6gaux, d iapr~s in proposition rappel~e plus haut, on a A _a Cette 6galit6 donne la solution du probilime propos6; car, en r~solvant par rapport at A, on a A connaissant a En r~solvant par rapport ai (, on a a connaissant A (3) a - 180 (1) Borda avait irnagind un syst~rme de mesure des arcs qui 6tait le suivant I'Unit d'arc dtait la +100O- partie do la circonfdrence, et se nornmait le grade. Dans ces conditions, le qziadrant (ou quiart de circonfdrence) avait pour mesure 1.00. On 6crivait, alors, la niesure d'un arc en grades et fractions ddcirnalos de grades. ce systdime avait le grand avautage do faire, rentrer la i-nesure des arcs dana notre systdme dqdimal at,.a osqet d ipie o calculs d'angles. Mvalgr6 sa grande comrni-odit6, ii n'a pas survdcu et on a conservd le degre commo unitd pratiqiie d'arc. (2) Voir dana los Lecons d'Arithmnetiqiie do M.L Tannery, le chapitre x, ~.

Page  15 ARCS ET ANGLES. 15 REMARQUE I. - Les formules prec6dentes supposent que A d6signe la mesure de l'arc en degr6s et fractions decimales de degres. Lorsqu'on aura calcule A par la formule (2), il faudra transformer les fractions decimales de degres en minutes et secondes. Pour cela, on multiplie les fractions decimales de degres par 60 et on a des minutes ct fractions d6cimales de minutes. Puis, on multiplie les fractions decimales de minutes par 60 et on les transforme en secondes et fractions dcimnales de secondes. Lorsque, pour calculer a par la formule (3), l'arc aura ete donn6 en degr6s, minutes et secondes, on pourra mettre cette formule sous une forme plus commode. Supposons que l'arc soit D0 M' S", on aura, 6videmment, M S A - D + + 3600 +60 3600' et la formule (3) s'6crit (4)(! i- s LDT + ~ 60 + 3600 1 REMAIQUE II. - Pour l application pratique des formules de transformation prec6dentes, il sera bon de connaitre les valeurs de = et -. Les voici, avec dix-sept d6cimales exactes,, 3/1 4159205358979323, = 0,31830988618379067. 71 Dans les calculs pratiques, il suffit, en g6n6ral, de prendre les valeurs approchees r - 3,1416 et - 0,3183. EXEMPLE T. -- Calculer la mesure, en dcles s,e l'arec de cercle dout la longueur est egale na rayon. Ici, on a a = I; la formule (2) donne done: A = 180 X - =_ 57,2958 (par exces).

Page  16 16 16 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. Oen transformant les fractions d6cinmales de degr~s en minutes et secondes, A iY 70 17'1 44",78. EXEMIPLE II. - Calculer la lon guettr de lare de 10", le rayon dzt cercie ~tallt pris pouir zini1'. On a, ici, A. = 10 (degre~s); ]a formule (3) donne clouc (t 7 7 -0,0000484813681, 180 X 360 avec, treize ebhiffres d~cimaux exacts. 42. Arcs dirig~s. - DMinitions. - On dit qu'un cercie est orie)Wt d~s qu'on a d~fini, Sur la circonf~rence de ce cercie, un sans de parcours appel6 sens posilif; le sans con traire au SanS positif SO nomme sens?Mgatif. Un cercie orientj est donc analogue a un axe. Pour pr~ciser le Sans positif, on pant s'y prendre de la fa~on suivantLe * soient OA at OB (fig. 9) daux rayons rectlangulaires dii cercie;le Sans positif ast parfaitamantL d~fini lorsq-ua ion dit qua c'ast le sans dans laqual se ddplaca un mobile qui va de, A an B en d~crivant un qutadrant (quart da circonf~rence). On prend, an g~n6ral, en trigonom6trie, comma SanS posiB tif, le Sans inverse dii mouvernent des aiguillas d'une MOnDIra; mais cc choix n'a naen d'obligatoira at souvent il ast utile de faire autramant. Ii arrive me'me, quelquerois, o A qu'il est utile de prendre, Sur un rnerne cercla, daux sans posi tifs diffirants pour deux categorias d'arcs dislinctas. 13. En g~omktrie, on appalle arc de cercle FIG 9.una des deux portions da ce carcle limit6e par deuix points de sa circonftirance. En trigonom~trie, on se sart d'une notion plus g~n~rale de lFarc, out intarviant, non seutlamant la longueur da l'arc, mais encore le sans dans laqual il ast parcouru. C'ast una notion analogue a cella des segments. Etant donn~s deux points A at B, sur un carcle orient2, nous app ellerons mnesure de larc dirigd AB, ou, simplamant, mesure de Varc AB, la mesure de Ian des chemnins ddcrils, sure /a circonference du cercie, par an mobile qaui, partant de A, esi alle~jusqa'ctn B; cc now )bra

Page  17 ARCS ET ANGLES. 17 Jtani precede clu signe (-H) ou dut signe ()sitivani que le mnobile s'esl d~placei dants le sonis positi/ ou daons le senis negatif. - Le point A, point de d~part dii mobile, est lorigirne de l'arc; le point B, point d'arriv~e du mobile, est l'exl)rnmite de l'arc. Pour 6noncer un arc AB, on 6nonce d'abord lorigine et., ensuite, l'extr~mi t6. On 6crit AB, en surmontant les deux lettres qui d~signent Fare dii signe (T pour fcriro la mesure do Farc d'origine A et d'extr~mit6 B. Ii fauL rem arquer, do suite, que, tandis qu'un segment, porte par un axe, n a qu'une mesure alg~brique, un arc, port6 par tin cercie orients, a une infinite de dkterminations. En effet, davis la d~finition pr~c~dente, le mobile qui se d~plaee de A en B, Sur le cercle, pent, d'abord, alloer soit dans le sens positif, soiL dans le sens n~gatif. De plus, le chemin d~crit pout ktro plus grand quo la cireonf~ronce totale du cercle, car lo mobile pout, avantL do s'arriLtor on B, y passer plusiours fois et ainsi faire une ou plusiours fois le tour complot du cercle. Ceci so pricisera, d'ailleurs, dans la dimonstiation du th~orime qui suit. La notation AB d~signe, alors, luno dos dditerminations do lare, dirig6 AB. 14. Thdor~me. -- Los diverses determini~ations d'un miemoi arc no difft rent en Ire clles qtte par des multipl)es en tier~s, positifs, i~aiso nuils, do la mnesure (le la cir~confrrence du, cercle. Soient, en effot (/ig. 10), doux points A et B de la circonf6rence d'un cercle orienVs. Cherchons a uivaltuor toutes los determinations do F'arc AB. M Supposons, d'abord, qu'un mobile, en partant do A, so d~place dans le sons positif (sons do la flche'. Lorsqu'il rencontrora,A pour la promiiwe fois, le point B, il aura dicrit un arc g6om6trique AMB dont la mesure est a -par suitLe, il aura d6cri t u n arc dirig6 dont la mesure est -J- a. Cost tine Fi.H premi~re determination do AB. Si, quand le mobile est parvenu une promii~ro fois en B, on imagine (luil pouirsuive sa route dans le sons positif, il reviendra une secondo fois an point B tipris avoir fait un tour complet sur le cercle. Ii aura done d~crit un chemin g~omntrique -total 6gal a a + 2r (en prenant le rayon pour units); et un arc AB 6gal. a + 2 7. Do meme, Si, LEgONS Dr, TRiGT0_IIooMTIE. 2

Page  18 18 18 ~~~~LEC~ONS DE TRIGONOM\E'TRIE. apres avoir passe une premi~re Lois en B, le mobile fait deux. fois le tour de la circonf~rence, il aura d~crit une troisi~me d6terrnination de I'arc AB 6gale a -1 a + An~. D'une manii~re generale, si, apr~s le premier passage en B, le mobile fail p) Lois le tour de. la circonf~rence, dans le sens positif,. il aura d~crit une determination de lFarc AB 6gale ai + a + 2p7t. IL r~sulte de La que toutes les determinations 6>' positives de l'arc AB sont de la forme (1)a 2pc p Rtant un entier, positif ou nul. Supposons, maintenant, que le mobile, en par tant de A, se d~place dans le sens n~gatif (contraire a la Ge~he, fig. '10). Lorsqu'il aLteindra, pour la premi~re fois, le point B, il aura dGcrit un certain arc g~omkrique ANB et cet arc a, manifestement, pour mesure 27- a, puisqu'il est 6gai a l'exc~s de la circonft~rence tout entii~re sur F'arc AMB. La determination de iFarc dirig6 AB, d~crite, est donc - (27r - a,) ou a -- 27r, puisque le mobile vNa dans le sens n~gatif. Apr~s avoir pass6 une premi~re Lois an point B, le mobile pourra encore y revenir un nombre infini de fois, en faisant une on plusieurs fois le tour de la circonf~rence dans le sens n~gatif. Si, par exemple, il a fait q tours, il aura d~crit, en tout, une determination de lFarc AB 6gale a a - 2,r- 2q~c ou a -2 (q ~ 1) 7. Toutes les determinations ne~gatives de F'arc AB sont donc de la forme q Rtant un nombre en tier positif on nul. Les deux expressions (I) el (2) peuvent se r~unir en une seutle et on voit, en r~sume', que, a d~signant la plus petite determination 6>~ positive de lFarc AB, toutes les autres sont de la forme (3) a +2 k-t, oii k d~signe un nombre en tier, positif, qz~gatif ou wil. Le th~or~me 6nonc6 d~coule, imm~diatement, de 14. Soient, en 6>' effet, oa et o.,' deux. determinations quelconques de lFarc AB; on aura oc a + 2k~c, OC a + '2k'r,x

Page  19 ARCS ET ANGLES. 19 k et k' Riant deux certains nombres entiers, positifs, n~gatifs on nuls. En retranchanit ces deux 6galit~s, membre, a membre, Hi vient cc-c' 2 ( k - k') 7c. k - k' 6tant uin nombre entier, positif, n~gatif on nul;cette 6galit6 prouve bien que aet a.' ne diff~rent que par uin multiple entier, positif, n~gatf on nul, de c2-x, Remarque I. - Ii risulte, de ceq 'p~tde que, Si CL est Fune, quelconque des d6term~inations de Fare AB, toutLes les autres sont donnies par l'6galit Il] AB - a.+ h-r ofi t hd~signe tin nombre entier, positif, n~gatif on nul () Cette formule suppose que r'on prend le rayon comme unite d'arc. Si ion prend le degr6 pour uniV6, la mesure de la circonfe~rence, est 360 et Pt faut remplacer, dans ce quii pr~c~de, 2-cc par 360. A d~signant, alors, lune quelconque des dukerminations de Farc AB, on a, pour tonics les autres, [2] AB -A + hi. 360. Remarque II. -Les formules [1] et [2] donnenL non seulernent la ( former de toute dukermination de, Fare AB, mais sont encore, telles que, r6ciproquement, elles fournissent quel que soil Ih, une de ces dk erminiations. On pent encore 6noncer ce r~sultaL sons la forrne sniv~ante:la condition necessaire el suffisanic pour quve cleux arcs ayant meme origine aient atissi ntelme extr~nitY est qu'its cti/fpent d'im multiple entlier, posil'if nega (if ou nutl de ta mesure de la circonfrrenice cdu cerc Ic. '15. Congruences. - Les diverses diterminations d'un me~mc a~rc ne diff~rent entre elles, comme nous venous de le voir, quo, par des multiples entiers de la mestire de la circonifuAence. Dans la suite, noues aurons, tr~.s souvent, a parler d'arcs de cette nature qui sont 6gaux a un multiple de la circonfirence pris. Pour abriger le langage ct. licriture, nous emploierons une notation simplifi~e. (I) Les forecules nurn6rot~es en car'scthre gras plae6s entre crochets sent des formnnies importantes qne le lecteur devra savoir par ceour.

Page  20 20 LECONS DE TIIGONOMETTRIE. Nous dirons que deux arcs sont congrts s'ils ne different que par un multiple entier, positif, n6gatif ou nul, de la mesure de la circonference (1). Pour ecrire que deux arcs sont congrus nous emploierons le signe -, analogue au signe =, mais avec une petite barre supplementaire. Ainsi, a et b etant deux arcs mesur6s avec le rayon, pris pour unite, la congruence a h, signifie que a - b + 2/IT, k etant un certain nombre entier, positif, negatif ou nul. Les congruences jouissent de proprietes semblables a cellos des egalit6s. Voici celles qui nous seront utiles. 1~ Deux arcs congrus di an troisimee sont congraus entre cux. Car si l'on a a -b, b- c, ceci veut dire que a b+ - 27r, b = c - 2//7'; on en conclut a - c 2 (k t k') 7 et, par suite, cta c, puisque k et k' sont deux nombres entiers, positifs ou negatifs. 20 On peut ajouter un mem;e nomlbre aux deux memnbres d'une congruence. Car la congruence a -b (1) D'une maniere gdndrale, on dit quo deux nombres a et b sont congrus, eladtivement ult module c, si la diffdrence a - b est un multiple entier, positif, n6gatif ou nul, de c et on derit: a -- b (mod c). (Voir dans les Lecons d'Aritiletiqute de M. Tannery, le n~ 500). Dans le cas actuel, deux arcs qui ne different que par un multiple entier, positif ou negatif, de 2s sont congrus, relativement au module 2'x; mais, cormme, dans le cours de cet ouvrage, nous n'aurons jamais a parler que de congruences relatives au module 2i, nous dirons simplement que deux arcs sont congrus, en sous-entendant que cette congt'uence est relative au module 2x. Ceci ne donnera lieu a aucune anbigui'td.

Page  21 ARCS ET ANGLES. 21 signifie que a = b +- 2k7, k etant un entier, positif, ou n6gatif. Ajoutons aux deux membres de cette derniere egalite un nombre quelconque c, il vient: a + c -- b + c + 2k7t, d'o t a 4- c -- b + c. 3~ On peut ajouter ou relrancher, membrnes memnbres, plusieurs congruences. Supposons, en effet, que l'on ait: a - 6, c d e _ ceci veut dire que a b + 2k7r, c -d + 2k'x, e f + 2k"/, k, k', k" etant trois entiers, positifs ou n6gatifs. En ajoutant, membres a mnembres, ces trois 6galites, il vient: a + c + e - b + d + f 2 + 2(k + k' + k")i. Ce qui prouve que a+ c + e -- b+d -- f. REMARQUE. - Dire qu'un arc est congru a 0, c'est, par definition, dire que cet arc est un multiple entier, positif ou negatif, de 2Tr. II resulte de cc qui precede que la congruence a -- b peut s'ecrire: a - b - 0. 16. Theoreme. - Deux arcs eqaux et de signes contraires, qui ont mneme origine, olnt leurs extremites symetriques par rapport au diamdtre qui passe par leur origine commune. Supposons, en effet, que deux mobiles partent ensemble d'un meme point A d'un cercle oriente et

Page  22 22 LEC.ONS DE TIRIGONOMEtRIE. se d~placent sur ce cercie de fa~,on a k1re constammenL sym6 -triques par rapport au diam~re AA' qui passe en A (fig. 'Ii'). Les chemins que d~criront ces deux mobiles seront 6videmment ogaux et de signes contraires, puisqu'ils se d~placent en sens contraires, inn dans le sens de la Uhche l'autre dans le sensf' M I — onc, iorsque luii aura dicrit un certain arc a et sera parvenu en M, ______ l~~~~autre aura d~crit F'arc (- a) et A' "0O A sera parvenu au point Ml', sym6 -trique de M par rapport a AA" I ~~~~puisque les deux mobiles sont tou1\' jours symktriques. FIG. I. Ib(~cip'roqaeente, olorsqae clevx arcs, qvi out memne origine, ant1 tears extr6imi tes syiMetriques, par, rapport a u, diailMl re f/ ma passe par, lear, origine coimnane, l'an (le ces deux ares est con gru ci lautre ehagiie de s igne. Soj cnt les (leux arcs AM et AM' tels que M et M' soient symuitriques par rapport au diam~tre AA' (fig. ii). Si un mobile, en partant de A, denicrit lFarc - AM, il parviendra, comme noUs venous de le voir, en M'. Les deux arcs - AM et AM' ayant meme origine et me'me extruimit6, sont done co ngrus, (no 14), A M' - AMNi. 17. Deinition. -- Deux arcs sont dits sap pl~h'nentaires iorsque la somnme de leurs mesures est 6gale a la mesure d'une demni-circonfer~ ce. Deux arcs sont dits coampl6)emeaires lorsque la somme -de leurs mesures est 6gale a la mesure d'un quadranit (quart de circonftirence). Ainsi, les arcs a et t-n a sont stippl~iientaires; 17I les arcs a et -- -a sont coinplemienitaires. The'oreme. - Deax arcs sapp)6imentair-es, gui out inelme oi'ighie, ant tears extr~mits sar, une pearel le aa dtiaitre ~qui passe' _par lear origine commtune. Faisons d~crire a un mobile, en partant du pointL A du cerele, un arc a, et soit M le point d'arriv~e.

Page  23 ARCS ET ANGLES. 23 Pour faire d6crire a un autre mobile l'arc 7 - a, nous commencerons par lui faire d6crire lare (- a); il arrivera ainsi, en partant du point A, au point M' sym6trique de M par rapport a AA' (fig. 11), d'apres le th6oreme qui precede. Puis, faisons lui decrire l'arc 7, c'est-a-dire une demi-circonference, il parviendra enfin au point M, diametralement oppos6 au point M'. Or, MM' elant un diamntre, l'angle M1MM' est un angle droit et, comme MM' est perpendiculaire sur AA', MM lui est parallele. Reciproquement, si deux arcs, qui ont melme origine, ont leurs extremites sur une parallele au diametre qui passe par leur origine commune, l'un de ces arcs est congru au supplement de l'autre. Soient les deux arcs AM et AMl tels que (fig. 11) la droite MM1 soit parallele au diametre AA'. Nous venous de voir que l'arc 7 - AM, qui a pour origine A, a pour extremite M1; il est done congru a l'arc AM1 (n~s 14 et l ): AM1 - - AM. 18. Theor6me. - Lorsque deux arcs, qui ont mlme origine, different d'ztne demi-circonference, leurs extremites sont diametralement opposees. Cette proposition est presque 6vidente, car M si, en partant de A sur le cercle, un mobile decrit un arc a et parvient en M, pour decrire l'arc a +- t (fig. 12), il devra, apres avoir atteint le point M, decrire encore l'arc, \ c'est-a-dire une demi-circonference, ce qui l'amenera au point M' diam6tralement oppos6e a M. a M. FIG. 12. Reciproquenment, si deux arcs, qui ont meme origine, ont leurs extremites diametralement opposees, 'un de ces arcs est congru da l'autre augmente d'une demi-circonference. Car l'arc AM +- r- ayant pour origine A est, d'apres ce qui pr6cede, termin6 en M'. Done AM' - AM + ~. On pent encore dire que ces deux arcs di/ffrent d'un multiple impair de demi-circonfeirences.

Page  24 24 24 ~~~LECONS DE THIGONOMIETIRIE. 49 R~sum6.- Les propositions qui font lobjet des trois num~ros prkc~dentS sont tr~s utiles et ii. est bon de leur accorder une mention toute sp~ciale. Nous les r~sumons dans les trois 6galit6 suivantes: rF3j AM' — AM, MA et Ml' sym~triques par rapport a AA'; A4] AM' __ - AM, MN et im' swr uine paralile et AA'; [5] AM' - A- AM, Al et Al' diametraternent opposes. 20. Addition. -Thdor~me. - Et 'ant donm~s plusieurs points A, B, C, D, E sur un cercte oriente', on a, entre les mesures des arcs dktermin~is par ces p~oints, la relation, [6] AB-[-BC + CD +DE~ EA -!O. Cet~te proposition r~sulte, presque imm~diatement, de la ramarque suivanta si un mobile, en par tant d'un point A sur un carcia, se d~place toujours dans le melme sans et ravient an point de d~part A, la somme des cheMins qu'il aura parcourus sara. A 6videmmant 6gale a un nombra entiar A de circonf~rencas et, par suite, sara B ~~.congrue a zero. Ceci pos6, considi~rons un mobile partant du point A et se di~pla~ant dans E ~~~~~le sens pasitif sur le carcle; il atteindra, FiG. 13. a un certain moment. le point B (fig. 13), et soit a 1Farc positif ainsi d~crit. a sera la plus petite determination positive de Farc AB, et on aura pour tout autre dktarmination AB a. La mobile ayant atteiniB, obligeons-la a poursuivre sa route dants le sans positif et soit b lFarc qu'il aura d~crit an arri vant an C. 6 sera la plus petite determination positive de lFarc BC at on aura BC- b. Et ainsi de suite; faisons toujours tourner le mobile dans le sans positif an passant par D, E at revanant an point A. 11 aura ainsi

Page  25 ARCS ET ANGLES. 25 d6crit les plus petites determinations positives c, d, e des arcs CD, DE, EA, et on aura: CD c 1) E __d E A e. Mais, d'apr~s notre remarque pr~liminaire, le mobile ayant tonjours march6 dans le sens positif et 6tant revenu an point A, la somme a +b +c +d +e des cliemins parcourns est congrue a z~ro. UD'atre part, en ajontant les congruences pr~c~dentes membres ift niembres, on a: AB +BC +CD-}-1DE +EA a +b +c +d+c et, par suite, AB +BC-4 —CD +DE +EAO-:-. Cas de deux points. - Appliquons le th~or~me pric~dent auL cas particulier de deux points A et B. On aura: 6>' 6>AB + BA -~0 cc qui donne [7] BA -AB. iNous exprimons ceci en disant que les dettx arcs AB e( BA sont congrus et de sigrnes con t)aires. Cas de trois points. - Dans le cas de trois points A, B, C, la relation [6] donne: AB +BC + CA -!- 0 qui pent s~crire AB -BC - CA, on encore, pnisque - BC est congru it CB, F8] L 6>" 6> r[8] ~~~~AB -!- CB -CA.

Page  26 26 26 ~~~~LECONS DE TRIGONONIETIIE..Corollaire. - On a, entre les mnesures des arcs d~termtinjs par, les points A, B, C, 1), E, la relation [91 ~~AE -_AB +BC +CD +DE. Ceci est une consequence irnmmdiate de la formule [6], car il suffit 6>~ d'ajouter aux deux membres AE et remarquer que AE ~ EA -- 0. REMARQUE. -- Le lecteur n'a sans doute pas W sans e'tre frapp6 de la grande analogie qui existe entre ce th6or~me et celui de Chasles (nlo 4). Dailleurs, d'une fagon g~n~rale, tout ce qui a W dit pour les mesures alg~briques de segments port~s par un axe s'applique, sans modifications, aux mesures d'arcs, 4' condition de rem~placer les ~galiUWs par des con.9grutences. 21. Angles. - DMinition. - De me'me que nons, avons substitu6 fL la notion dWarc g~onmhtrique la notion plus g6n~rale d'arc dirig6, nous 6largirons aussi la notion ghiom~trique de l'angle. Nous, dironls qu'un plan est or-ientW d~s qIu'OD a donn6 dans ce plan un sens positif pour les, rotations. Le sens contraire an priuident sera dit s( sens f ~~~~~~~~~~n6gatif )) B ~~~~~~~i tant', alors., donn~es, dans un plane orienU2, deux demidroites ox et oy (fig. 14), - issues d'un meme point o, 0 A ~~~~nous ap)peilerons mnesure de l'angle que /ait ox avec oy la mesure de Inun quelconque des FIG. 14 angIles dont il/Iant faire tourncr ox pour lamener a' coincideravec oy; cette mesutre 0tant pvecjd~e da signe (-j) on du signe (-) suivanit qzie ox a tourni dans lc sens positif on dans le senis nigatif. Le c6t6 ox est ce quf on appelle le co't6 origine; oy est le, cotW extr&mite. Pour d~signer la mesure d'nn tel angle on 6crit ox, og, en 6crivant le c~~origine le premier. On pent remarquer, imm~diatement, que, de meime qu'un arc, un angle a une infinit de dhiterminations; car, ontre que le rayon ox

Page  27 ARCS ET ANGLES. 27 peut tourner dans deux sens diffhrents, il peut encore faire plusieurs tours autour de o avant de s'arre"tar sur og. 22. L'dude des angles se rami~ne ht celle des arcs de la faqon suivante. On saiL, en g~omitrie, qn'un angle an centre a Mmom mesura que lFare (g~omnkrique) compris entre ses c6L~s pourvu qu'on prenne, comme uniL6 dangle, langle an centre qui comprend entre ses cot~s l'uniL6 d'arc('). Conside'rons, alors, 1'angle de ox avec oy (fig. 114) el ddcrivons, du sommet o de langla comme, centre, uin cercle que nons orienterons dans le Meme sens f que le plan. Ca cerele conpera les c6t~s ox at oy, respectivament, en A. et B et il esL manifeste qua. Fangle ox, oy aura me~me mesure qua l'arc dirig6 AB. En effat, Landis que ox tourne autour de 0, le point A se d~place sur le cercie at lorsque ox coincide avec oy, A coincide avec le point B; le chernin ddcrit par A mesure donc langle d~crit par ox. D'ailleurs, comme les sens positifs sont les medmes sur le cercie et dans le plan, les deux mesures, celle de lFarc et celle de langle, auront les me'mes signes. Il r~sulLe de lh que tout ce que nous avonis Jtalli ponr les mi-esuoes des arcs s'applique, sans modlificatlions, attx angles.' Nous nous conLenterons d~noncer les divers r~sultats. Th~or~me. - Les diverses d(terminhalionis d'un angle ne di/ffrrent entIre elles que par des malliples entiers, positifs, 2Mgalifs ou nuls, de 2,n ont de 360, svivant l'vnit~ de mesure choisie Ainsi, si oa est, unne des dketeminations de 1'angle de ox avec oy, mesur6 avec langle qni correspond h lFarc 6gal an rayon, pris pour uniV6, toutes les autres sont donn6es par la formule [10] ox, oy -c. + 2 k-. Si, an contraire, lunnt d'angle est le degr6, on a [H.] ~ox oy =A +k 360, A Rtant la mesure de langle a en- degrds. k ddsigne, dans ces deux formulas, un nombre antier, positif on ndgatif. En ernployant le langage at 1l6criture abr~g~s, on dira qua deux (I) Voir dens los Lecons (le G~omdtrie de Mf. Hadarnard, faisant partin, de la collection, le n' 70.

Page  28 28,LECONS DE TRIGONOMIETRIE. d6terminations de langle ox, oy sont co9grues; et on 6crira les egalites precedentes sous les formes: ox, oy - a, et ox, oy - A. 23. Theoreme. - ox, oy, oz, ol, elanl plusieurs demi-droiles issues d'un nimee point o, dans an plan orienft, on a, entre les angles qu'elles forment, Ia relation [12] ox, oy - oy, oz - oz, ot + ot, ox - 0. Dans le cas particulier de deux droites on a: ox, oy + oy, ox -- ), ce qui donne [13] oy, ox - - ox, oy. Les deux angles oy, ox et ox, oy sont con grus et de signes contra/res. Pour trois droites on a: ox, oy + oy, oz + o:, ox - 0, d'oi on conclut [14] ox oy - oz, oy - oz, ox; relation qui permet de calculer 1'angle de deux directions, connaissant les angles qu'elles font avec une troisi6me direction origine oz. Corollaire. - Etant donnees plusieuis demi-droites ox, oy, oz, ol, on a: [15] ox, ot -- ox + oz, o z + oz ot. EXERCICES 1. Evaluer en degres, minutes et secondes les arcs dont les longueurs sont: ~22 \,3+ '2 - 3 \, 3 ' 2 ' - \2- \' 2+2' le rayon du cercle etant pris pour unit6.

Page  29 DE~FINITIONS DES LIGNES TRIGONOM EtRIQUES. 2 29 2. Quelles sont les longucurs des arcs dle 100, 2:30 17', 2a 52' 43"/. 3. Comment sont plac6es, sur le cevcle, los extrdmitls, des arcs dont les loiigueurs souit 3. tous ces arcs ayant rn~me origitie? 4. Calculor los, compidments et supph~ments des angles 1 50293', 1930 61, 24 3 1 3'6". 5. I~tant donn6, sur un cercle, orients, un point fixe 0, un point Ml do cercie sera parfaiternent cd~flni si on so deante la mesure de Parc dirig6 0OM. Appelons ce nombro I'abscisse curviligne dn point M1. D~montrer quo, lare AB est congrni h lexe~s do labsc-isso do l'extrdmit B sur l'abscisse do lorigine, A. CLIAPITRE II DEFINITIONS DES LIGNESS TRIGONOMETRIQUES 24. Deinition. - Nous appellerons cercie I1rigonoinrn~ique un cercle orient6 dont le rayon est 6,gal 4. luniLA de longueur. Dans toute la suite de ce premier livre, nous considdrerons touj ourS les arcs c0lfle mesur~s avec un arc-unite 6gal an rayon. De telle fa~on quo le quadrant aura pour niesure 7;la demi-circonf~rence -7:; et la circonf~rence tout enti~re 2-.. It sera tr~s facile au lece~ir do transposer, plus tard, les formules en degr~ s lorsque le bosomn s'en fera sentir. 25. Cosinus. - Minition. - titant donn~s, sur un cerclc trigonomktrique 0, un ou. plusieurs arcs d'origine A, nous appellerons axe des cosinos 2elatif artt aircs (d'originle A laxe x'x (fig. i5) dont le segment directeur est OA, (c'est-at-dire dont la droite

Page  30 30 30 ~~~~~LECONS DE TRI1GONOMETIIIrffE. ind~finio ost OA et dont lo sons posiLif est do 0 vors A. -JVoir n0 ) Ont ajppelle cosinus dzani arc AM to segmnent OP(') proJection orthogonale du vectetir (OM), qui Joint te centre 0 dat cercie 4i lextreinite Ml de l'arc, sur l'axe desy cosinas relatif a' cet arc (lig. is5). On d~signe le cosinus d'un arc a par la notation:cos a; co qu'on lit:cosinus a. 11 faut remarquer, do suito, quo la definition pr~c~donto montro quo lo cosinuLs d'un arc no do~pond aucunomont do la position do SOn. B, FIG. 15. origino A Sur Jo corclo; car, modifier la position do lorigino sans changer la grandeur do lFarc, re-vient at faire tourner la figure i5 autour du point 0 dans son plan, cc qui no miodifle nulloement OP. Do plus, le cosinus no d~pend quo do la position relative do l'oxtr6 -mit6 M par rapport it lorigino A; donc deux arcs congrus ont to imae cosinus. Coci so traduit par l'6galitL6 [16] cos (a 4- 2k-iz) -cos a, ofi k est un nombro ontior arbitrairo, positif on n(~gatif. 6>26. Variation du cosinus. - Soit AM (fig. 'la) un arc d'un cercie trigonom~triquo et proposons-nous d'6tudier la -variation du cosinus do cot arc lorsque son oxtr~mit M d~crit lo cercie tout ontier, dans lo sons positif, en partant du point A. Soit B l'extr~mit6 d'un arc 6gal h ~ d'origine A. Los deu~x (1) Je rappelle, encore une fois, que loexpression (~le segment OP ))est tine mnanidro ahr&-. g6e de dire ((la mesure alg~brique O P do segment (OP).

Page  31 DEFINITIONS DES LIGNES TRIGONOMETRIQUES. 3 31 diam~tres AA' et BB' partagent le cercie en quatre quadrants que Fon num6rote dans l'ordre dans lequel. on les rencontre en partant du point A et en tournant dans le sens positif sur le cercie ('). Lorsque le point M d~crit le premier quadrant, de A vers B, sa projection P sur laxe des. cosinus xIx va de A en 0.- Le cosinus est posilifet dkcroit de OA -+ 1 a, zero. Quand le point M d~crit en~suite le second quadrant BA', le point, Pva de 0 en. A'. Le cosinus est nadgatifet continue a' de'cro lire de z~ro ON, =-. Le point M d~crivant le troisi~me quadrant A'B', le point P revient de A' en 0. Le cosinus est encore ruMyatif et crol't de - I h zero. Enfin, lorsque MI d~crit le quatri~me quadrant BWA, P va de 0 en A. Le cosinus est positif et cir-oli de z6ro a + I. C6ci peut, s'exprirner d'une autre mani~re. Soit x l'arc AM; pour que, le point A restant fixe, 1'extr~mit6 M d~crive le cercie tout entier daus le sens positif, il suffit de faire varier x de 0 a 27. 7: 37, Lorsque l'arc x atteint les valeurs - et - le point M est, respectivement, en B, A.' et B'. La variation pr~c~dente pent, alors, se r~sumer dans le tableau suivant qu'on lit de haut en ba-s et daus lequel les valeurs de x sont rang~es par ordre de grandeur croissante. X Cos x 2'Quad. d~croit positif.. 3e Quad. dcrolt mWgatif. 4e Quad. crolt posatif. 27: + 1 REMAiRQUE. - De, ce qui pr~cide, it est facile de d6duire la variation du cosinus lorsque l'arc x prend tontes les valeurs (1) comme onus ravons fait reniarq'ier plus haut (n'l 12), la connaissance do point B sufit pour ddfioiir in sens positif'sur le cercle; car co sons est celui dans 1eq'uel. se ddplace un mnobile qui va do A on B en dicrivant on qoadrant.

Page  32 32 32 ~~~~LE(,ONS DE ThIGONOME1"ITRIE. possibles de - ao cc -. En effet, lorsque x croilt de '27 a, 4-,r 1'extr~mit6 M de Farc faiL le tonr du cercle exactemeni de la. merne fa~on que lorsque x variait de 0 a 2cr. Ii en est de merne lorsque x vanie de 47 a, 6, de 67c a 8-n, etc.; et, aussi, de - 2-, a 0, de, -4 a -- 27, etc. 11 en i~stulte que dans les intervalles..,(- 47, - 2.-), (- 2-n, 0), (0, 27), (2-,t, 4w), (4-,r, 6,n), la variation est 'la me'me. La cosinus repasse donc, }jriodiquenieni, pour des valeurs de x distantes de 17 en 2 j, par les me'mes valeuirs. 27. Sinuts. - Definition. - 1, Lant donn~s, sur un cercie trigonomhitrique, nn on plusieurs arcs d'origine A, on appelle axe des sinus relat(if aux arcs d'origi'ne A I 'a-xe y'y (fig. 16) obLenu en faisalni tourner laxe des cosi15 nus de ces arcs d'Un angle droit dans le sens posilif. A' 9 ~~~~~~On adonc: 0 M -~~~~~OX0 + A ~~On pent remarquer de suite B' a>~~~X que si B est l'extr6mit6 du premier quadrantL d'origine A, le segment directeur- de 1Faxe Fic~. 16. y'y est 013. On appeile, alors, sinus duin arc AM le segmnent OQ projection orthogonale cdu vecteur 'OM), qui joint le centre 0 du cercie a' l'extr~nite' M de, l'arc, sur l'axe des sinus?'elatif a' cet arc (fig. '16). On d~signe le sinus d'un arc a par la notation sin a; cc quLi s'6nonce:sinus a. Come pour le cosinus, deuix arcs con grus out le mbnie sinus, on a cdonc [17] sin (a +2k7) -_sin a, k disignant un entier positif oun mgatif. 28. Variation du sinus. - Imaginons encore que, lorigiine A d'un (6~ arc AM restant fixe, son extr~mit6 M d~crive le cercie dans le sens positir. Marquons encore les quatre quadrants successifs en conser-vanL les mernes notations quana no 26.

Page  33 DEFITNITIONS DES LIGNES TRIGONOMETIrllIQUES. 33 Lorsque M decrit le premier quadrant AB, sa projection Q, sur laxe des sinus, se d6place de 0 en B. Le sinus est posiif et croit de z6ro a OB - + 1. M d6crivant le second quadrant BA', Q revient de B en 0. Le sinus est encore positif et decroil de + 1 a z6ro. Quand M d6crit le tioisieme quadrant A'B', le point Q va de O en B'. Le sinus est negatif et decroit de zero a OBW - 1. Enfn, lorsque M d6crit le dernier quadrant B'A, Q revient de B' en O. Le sinus est encore negatifet crolt de - a zero. En remarquant, comme nous l'avons deja fait, que, lorsque l'arc x croit de 0 a 2-n, son origine A restant fixe, l'extr6mite6 M dcrit tout le cercle dans le sens positif, cette variation se resume dans le tableau suivant sill x 1~ Qtad. u croit i positif. 2~ Quad. deci'oit positif. 0 3" Quadt. croit IC ngalif. 43 O uad. ~ decloit * negalif. 20 Le cosinus s'annule lorsq4e t'arc est un multiple impair, positif 2 2 est, alors, de la forme 2;u - - ou 2k7 +- par suite, c'est un multiple impair quelconquoe de LECONS DE TRIGONOMIETRIE. 3

Page  34 .34 LECOINS DE T1IGONOMIETrlIIC. 3~ Le sinus s'annule lorsque l'are estl un mulliple entier de Ct. Car le sinus s'annule lorsque M (fig. 16) est en A ou en A', c'est-a-dire lorsque l'arc est congru a 0 ou a;. 30. Tangente. - Definition. - Itant donn6 un point A sur un cercle trigonom6trique (fig.17), on mene au point A la tangente t'/ au cercle et, sur cette tangente, on choisit un sens positif parallele at celui de laxe y'y des sinus des arcs AJY tt d'origine A. L'axe ainsi d6fini est ce qu'on appelle laxe des tangentes relatif aux arcs d'origine A..T On appelle alors tangente d'un arc AM le segment AT (fig. 17), port5 pa' l'axe n^^ B / des tan gentes, ay ant pour origine I'ori-"/.4^ I -gin, A de l'arc et pour extireile le point / ' / \I cl^d'inlersection T dal dianmetre du point M avec Iaxe.:\A'[ -— s — A On d6signe la tangente d'un arc a par /la notation: tanga ou tga; ce qui s'6nonce: langenie a. Y^ y^l/x 6Deux arcs congrus ont me)ne tan lgenle; B \ mais ici il y a plus. Deux arcs qani di/ferent d'un multple qeuellconque de r ont 1menme tangente. Soit, en cffet, a \ l'arc AM. Tous les arcs termin6s en M i ou en M', diametralement oppos6 a M, 1' ont la meme tangente que l'arc a. Or, FIG. 17. les arcs termines en M different de a d'un multiple pair de 7 et tous les arcs termines en M' different de a (no 18) d'un multiple i1mpair de tr. Done, en r6unissant ces deux cas, tous les arcs termin6s soit en M soit en M' sont de la forme k-r + a. On a done: L18] tg(Ak7i + a) = tga. 31. Variation de la tangente. - L'origine A de lare AM (fig. 17) restant fixe, faisons d6crire a l'extr6mit6 M tout le cercle dans le sens positif. Lorsque le point M d6crit le premier quadrant AB, le point T, of le diametre de M coupe laxe des tangentes t', se d6place dans le sens positif sur cet axe et d6crit le demi-axe At tout entier.

Page  35 DEFINITIONS DES LIGNES TRIGON0OME"TRIQUES. 3 315 A mesure que M se rapproche de B, le, diamn~re MM' tend fi prendre la position BB' paratllle a i' et le point T s'61oigne ind~finiment danis le sons positif. Donc, lorscjue M d~crit le premier qtuadrant la tangente part de zero et croh't sans cesse et au dela de toute limite. Lorsque le poi ntLM (/7g. I'17) d~passe le point B et arrive dans une, position telle que MI, le point T se trouve en une position telle que T, sur le demi-axe n~gatif NC'. La tangente est n~gative par COns~quent, lorsque M a travers(6 le, point B, la tangen te a pass6 brusquement de + oo a - cc(1 Quand M d6crit le second quadrant, T rem~onte tout laxe n~g-atif At' pour revenir ana point A. La tangente est riegal'ive et croit de - C< a zero. Lorsque le point M d~crit le troisif~me et le quatri~me quadrant, c'est-a-dire in deini-circonf~rence A'BA, la tangente reprend les valeurs pr~c~dentes et clans le me'me ordre. En effet, lorsque M' d~crit le demi-cercie A'BA, le point diamktralement oppos6 M d6crit le demi-cercie ABA' et les arcs termin6s en M' et M (fig. 17) ont me'me tangente AT. On pent r6snmer cette variation, comme, les prk6cdentes, dans le tableau suivant x Cgx 0o o jer Quad. croi t oive /. 00 3' Qad. c roilt dai 3e Qttctd. CcO ' positive. '2 -0 4' Qutad. cmiot ndyative. 2 ) REiMARQUE. - Lorsqn'on. connalit la variation de la taugente, lorsque x croft de 0 a 7r, on connait, du manse coup, sa variation lorsqUe X crof't de - oc a + cc. Car, comme nous venous de le (I) Pour plus amples informations our cette locution, voir daus moo Lecons d'Alqebi~o, no 61, page 1613; no I115, pago 330; et les no, 122 a 1215, qui contiouneut de nonobreux oxemuples do variations.

Page  36 36 36 ~~~~LECONS DE TRIGONOME'THIEL vide;z h 27: elic vare c me de 0 a -,. Puis, de 4~a37:r, de 37, a4,etc..., ainsi- que dle - a 0, de - 27:r a -7:, etc, la -variation est aussi la me'me que lorsque x croit de 0 'a 7: puisque, dans chacun de ces intervalles, 1'extr~mit6 M de F'arc d~crit une des deux dernicirconf~rences ABA' on A'B'A. Lorsque x crolit, la tangente reprend les nehmes valeurs de -n en 7:c Landis pie le cosinus et le sinus ne les reprenaient que de 27: en 27:. 32. Cotangente. - Deinition. - SoiL A un point d'un cercel trigononi~trique et B le point tel que 7: AB =~ + Menons, an point B, la tangente z-'z ani cercie et prenons, SL c LCell tangente, un sens positir para~ll1e an sens positir do laxe des BP FIG. 18. cosinus des arcs d'origine A. L'axe z'z ainsi d~fini (fig. '18) est cc ctu'on appelle l'axe ces cotangoentos reoli f aux arcs d'origine A. Ceci pos6, onl ap~pello cotangente (Inni arc AM le segmenit BZ, jporltO par l'axe z'z des cotangentes, ayant p~our origine le point de con-itact 13 do cet axe avec le ce'?,cle et pour extrc~niij le point d'intersection Z du dliamotre qui passe on M avec cct axe. On d~signe, la cotangente d'un arc a par la notation:cotang a on cotg a; ce qui s'6nonce:cotan genie a. De me'me que pour la tangente, devx arcs qtti dlffrenit d'ums 'multiple quelcon quo do ont me'mo co tangenie. Car, si denx tels arcs ont m~eme origine A, leurs extr~mit6s sont on coincidantes on diam~tralement oppos~es. On a done [1 9] cotg (/;-r + a) - cotg a, k Rtant nin entier, positif ou n~gatif.

Page  37 DEFINITIONS DES LI(;NES TIIIGIONOME,~TRIQUES. 3 3 'I 33. Variation de la cotangente. -. La variation de la cotangente cest analogue a celle de la tangente. Lorsque l'extr~mit6 M de l'arc AM (fig. 18) est en A, le diam~tre M'M occ upe la position A'A parall~Ie a z'z et le 1)oin~t Z lest infiniment Ooign6. M d~crivant le premier quadrant AB, le point Z se rapproche de B pour y parvenir. La cotangente est positive et d~croit de + o a z~ro. Quand M d~crit le second quadrant BA', le point Z passe sur la partie n~gative B-z- de laxe eL s'61oigne ind~finiment dans le sens de B vers z-'. La cotangente est negalive et d~croi1' encore de zero a -0 Quand MI d~crit le demi-cercie A'B'A, la cotangente reprend les valeuirs pr~c~dentes, dans le me'me ordre. On a, alors, le, tableau de variation suivant x cotg x 'I~ Quad. dkroit positics. 0 Quad ~d~crolt nvgative. 00 4, Quad. delcroit Posative. -00 De me'me que la tangente, la, cotangente reprend de en -,r le memes valeurs quand x croi't de - c~o a + o 34. Remarques. - Les variations de, la tanigente et de la cotangente donnent lieu aux remarques suivantes 'P~ La lange'nte ei la cotangenie dunm meme arc soni ioujod~ de me~me signe. 20 Etles varient, lune et lautre, toujours dans le meme sens. La tangenle est lonjours cvoissan tc; la cotcangme'~ toiujonrS de"clrOisSan te. 30 Lorsque Lune est nulle, lautre lest in-finiment grande. La ian genie esi nt/cl ci ta colon gente in/inie torsque t'are est zoit

Page  38 38 38 ~~~LECOINS DE TOIGONOMETRIE. 2milliple quelcownque de 7,. Car ceci a lieu lorsque M eSt en A oti-A' et ce sont 1la les arcs pour lesquels le sinus s'annule (nO '29, 30). La cotangente est anile et la Ian genie ia/inie lorsqtee l'arc est un mudliple imtpair de i Car ceci a lieu lorsque M est en B ou B', c'esta-dire lorsque le cosinus est nul1 (no '29, 20). Les particnlarit~s pr~c~dentes trouveroni, plns loin, tine explication dans ce fait que la cotangente d'un arc est 6gale a linverse de la, tangente du mnlme arc. 35. S6,cante. - Definition. - On appelle s~cante d'un arc AM (fig. 1-9) le segmient OS, porte' par, laxe des cosinus relalif actac,ayant pouir origine le centre 0 du cercie et pour — extr~mit~ le point d(in tersection S dle la tan ge-nte cut cercie en M avec laxe. B B'~ FIG. t19. On d~signe la s~cante de Fare a par ]a notation:s~c a; ce qui'se h]it s~cante a. On voit imm~diatemenL que dettx arcs con grats oat inehnc secante; on a donc [20] sic ('2k7 + a) -s6c a, k 9tant un entier, positif on n~gatif. 36. Variation de la s~cante. - Lorsque l'extr~mit6 M de Fare AM d~crit le premier quadrant AB, le point S part de A et s'61oigne ind~finiment sur ox. La skcante OS est donc positive et crit de OA -+ I jusqu'9. + cc; car lorsque M est en B la tangente MS devient parall~le a. ox. Quand M p~n~tre dans le second quadrant (en M' fig. 19) le point S passe sur la partie negative ox' de laxe (en 5').

Page  39 DIEFINITIONS DES LIGNES TRIGONOlMETRIQUES. 39 S d6crit la portion x'A' de l'axe de x' vers A'. La s6cante est negative et croit encore de - oo a OA' =- 1. M d6crivant le troisieme quadrant et le quatrieme, S repasse, en sens inverse, par les positions pr6ecdentes. Donc, dans le troisinme quadrant la s6cante est negative et decroit de - 1 a - oo; dans le quatrieme quadrant elle est positive et decroit de - oo a [+ 1. R6sumons ceci dans un tableau: x sec z i1r Qtad. croitf positive. ) -+00 c 2e Quad. j croit iegative. 3e (uad. d ecroit ate. 4e Qlad. cl croil positive. 37. Remarques. - 1~ La secantle a loujours le memze signe que le cosint s. 20 La s(cante ne prend aucune valeur comprise entre - I ei -+. 3' La secante est ifinjiment grande lorsque l'arc est un multiplto impair de -. Car la secante est infiniment grande lorsque le cosinus 2 est nul. Nous montrerons, plus loin, que la s6cante est linverse du cosinus. Ces remarques seront alors 6videntes. 38. Cosecante. - Dfinition. - On appelle cosecante d'un (arc AM (fig. 20) le segment OV, porle par 'axe y'y? des sinus relatif d cel arc, ayant pourz origine le centre 0 cdu cercle et pour extremile le point V oit la tangente au cercle M coupe cet axe. On designe la cosecante d'un arc a par la notation: cos6c a; ce qui s'6nonce cosecante a. II resulte, de cette definition, que deux arcs con'tgrus ont mnme cosecante. On a done: [21] cosec (2 k - + a) = cosec a, k 6tant un entier, positif ou n6gatif.

Page  40 40 ILECONS DE TRIGONOME'lTIIE. 39. Variation de la cosecante. - Lorsque lare est nul, c'est-adire lorsque son extremite M coincide avec I'origine A, la tangente MV est parallele l'axe y'yi et la cos6cante est infiniment grande. Le point M decrivant le premier quadrant, Y / V dcrit la portion yB de laxe, dans le sens negatif. La cosecante est positive et decrot de + oo a OB = 1. Quand M decrit le second quadrant, B. V repasse, en sens inverse, par les positions prec6dentes. La cosecante est / %. eencore p:ositivee ct croit de + ' a -- o. Lorsque le point M passe dans le troiA'.- - - sieme quadrant (en M' fig. 20), le point V passe sur la portion negative oy' de l'axe (en V'). La cos(cante devient negative. IM:X / M dlecrivant le troisieme quadrant, -,B' V'va de?/ (h ]'infini) en B'. La cosev' cante est 1iegalive et crolt de - ao OB' - 1. Enfin, lorsque M d6crit le dernier,y' quadrant, V' reprend, en sens inyerse, FIG. 20. les positions precedentes. La cosecante est negative ct dcot dc e - I a - o. Ceci se resume dans le tableau suivant: x cosecx 0 +00 Ie1 Quad. de6croit positive. 9 t -1 2 4~ Quad. ddcroit n gativc. 27: - oo 40. Remarques. - 1~ La cosecantle a toujours le nmmeo signe que le sinus.

Page  41 DEFINITIONS DES LIGNES TRIGONOMETBIQUES. 41 20 D)e meme que la secante, la cosecante we prend ancutce valelot comprise n tre e - I el- + 1. 30 La cosecante esl ifinimeent grande lorsque I'arc est vzn multliple entier quelconqule de 7r. Car la cosecante est infiniment grande lorsque le sinus est nul. Ces rernarques deviendront 6videntes lorsque nous aurons montr6 que la cos6cante est l'inverse du sinus. 41. TabIlca des signes des lignes trigonometriques. - II est tout a fait n6cessaire de bien connaitre, suivant la position relative de l'extremite d'un arc par rapport a son origine, les signes des diverses lignes trigonom6triques. Nous resumons ces signes dans le tableau (iue voici 1r QztaCdraml t. - - 1 _ - ' I~ _I _ I_ 32 Quadralnt. --! -- -- - Se Quadrant. -_ - _ + _ 4~ Quadrant. -- - - - _ Outire les remarques que nous avons deja faites sur la correspondanec des signes du cosinus et de la secante, du sinus et de la cosecantt, de la tangente et de la cotangente, ce tableau nous montLe encore que le signe de la tan gente et de la col, gente se ddcltit des signes du cosints et d( sinis par Ia recle des signes d'algeibre. La tangente ct la cotangente sont positives ou negatives suivant que le cosinus et le sinus sont de meme signe ou non. 42. Lignes trigonomiltriques d'uni angle. - Definition. - Nous appellerons sinus, cosinus, tangente, cotangente, s6cantc et cos6cante d'un angle les lignes trigonometriques dte ninems nonms de l'arc qui le mesurc. Ainsi, soit ox,oni un angle. Tracons, de o comllme centre, avec

Page  42 4? LECONS L)E TRIGONOMETRIIE. lunite pour rayon, un cercie orienle qtfi coupe OX en A (fig. 21) ei om en M. L'arc AM a, comme nous 1'avons -vu (nlO 22), me'me mesure que Fangle OX, Om ei nous appellerons, par exemple, sinus de Fangle OX, OM le sinus de I arc AM. 43. Cosinus de 1'angle de deux axes. -Etant donn6s deux axes x'x et m'm (fig. 21) qui se coupent en a, nous appellerons angle do. ces cleux axes I'angle forms par los deux directions positives ox et FIG. 21. Omi. Soieni, alors, ON et OM les segments directeurs do ces deux axes. L'angle ox, omI est, pr~cishiment, mesur6 par I'arc AM. Or, x'x est 1'axe des cosinus de l'arc AM et, comma lc cosinus est, par dMInition, la projection orthogonale OP du vNecteur (OM) sur x'x, onl peut donner la definition stiivante dii cosinus de I'angle ox, omt le cosinus do Cangle ox, am est la mnesure alg~bviqute OP de la p~ro-.Ieciion orthogonale du segment direclemo' de laxe om sar l'axe ox. Projetons lo point A en RI sur ame. Le segment OR, portV par l'axe amI est, d'apr~s cc que nouLs venous do, dire, lo cosinuis do Jangle 6m, ox. Or, d'apr~s la symkhrie de la figure, on a, 6videmment, OAN- OR. II enl r~sulte, qu'01ant donm~s deux axes, Ie cosinus de leur angle est

Page  43 DEFINITIONS DES L1GNES TR1GONOMETRIQUES. 43 Ie ntenre, quel qaze soit celui des deux axes que 1 ol) pvend comlme origine de l'angle, [22] cos [ox, om) - cos (or, ox). Ceci nous permettra, dorenavant de parler du cosinuis de 'angle cle deux axes, sans preciser quel est celui des deux axes qlui setl d'origine a I'angle. 44. Theor6me fondamental. - La projection orlhogo)nale d'lun segment, portl par un axe, sur un auttre axe, est egale au prod)ait de ce segment par le cosinus de I'angle des deux axes. Soit, en effet, un segment AB porte par laxe y'y (fig. 22). Projetons, orthogonalement, ce segment en ah sur un axe x'x qui coupe a b FIG. 22.. le premier en O. Soit OD le segment directeur de laxe y'y et Ocd sa projection sur x'x. D'apres le th6oreme du n~ 9, on a: ab -- AB. Od. Or, comme nous venons de le voir, on a: Od - cos (x'x, y'y);

Page  44 44,LECONS DE TIIG (ONOMITIlBIE. il en r6sulle que nb =- AB. cos (x'x, y'y) 011 proj. (AB) - AB. cos (x'x, y'y). Ce thleoreme tres important nous sera d'une grande utilile dans la suite. EXERCICES 6. Denmontrer qu'on peut definir la tangnete d'un ar e de la facon suivante Soil AM cet arc. Au point M on rmene une tangente 'mmi au cercle trigonometrique ct, sur cette droite, on prend un sens positif contraire a celui que l'on a choisi sur Ic cercle. Soil T Ic point oh le rayon O- proloingCO coupe im'm. La tangente de l'arc AM est eI se/menlt AIT 1porlt pair 'axe m'?m. De meme, si on prend lo point S oI le rayon OB perpendiculaire a OA coupe m'nm, la cotangente de larc A.\1 est egale an sef/Rment MS. 7. Construire, g6ometlriqueinent, un arc plus pelit qu'uli quadrant, sachant que la cord(e qui le sous-tend est egale C son cosinus. (Le cercle a pour rayon 1.) 8. x variant de 0 ai 2C, etudier les variations de sin12X - 3sina 14- 2, tgx - 1 tgx + 1' 2cos - 3 cos x + 1. C.HAPITRE III INVERSION DES LIGNES TRIGONOMETRIQUES 45. Enonce du prolblene. - Le probleme de l'inversion d'une ligne trigonometrique est le suivant: connaissant une ligne trigonomeClrique d'u(n a(c, trotuver cet arc. La solution de cette question comprend deux parties: 1~ on cherche un, arc admettant la ligne donnee. Nous nous contenterons d'abord de donner ici une construction g6om6trique de cet arc; nous apprendrons, plus loin, dans le Second Livrre, comment on pourra calcuter un tel arc; 20 connaissant cc premier arc, on clherche toutes les autres solutions.

Page  45 INVERSION I)ES LI(NES TIGONOMET'BIQUIES. 45 46. Inversion du cosinus et de la secante. Soit a unt nombre donn6; proposons-nous de trouver un arc dont le cosinus est 6gal a a. Choisissons arbitrairement lorigine A de cet arc sur le cercle trigonom6trique et soit ox laxe des cosinus des arcs d'origine A. Portons sur ox, a partir de 0, un segment OP egal a a. D'apres la definition meme du cosinus, tout arc, dont le cosinus est OP et qui a pour origine A, est tel que son extr6mit6 se projette ortlogonalement en P sur ox. Si donc on eleve en P une perpendiculaire a ox (fig. 23) qui coupe le cercle en M et M', les arcs cherch6s sont tous ceux qui sont termines en MI et M', symetriques par rapport a ox. On voit, de suite, que, pour que la construction reussisse, il faut que P tombe entre A et A', c'est-a-dire que OP a soit compris z ---- -> ' \ O P0 V /A ''S \6' FI;. 23. entre - et - 1. On aurait pu prevoir cela; car on sait qu'un cosinus est toujours compris entre - 1 et + I (no 290. /10). On d6signe un arc dont le cosinus est egal a a par la notation arc cos a; ce qui s'6nonce arc cosinus a De memne, etant. donn6 un nombre b, proposons-nous de trouver les arcs dont la s6cante est egale a b. Portons, a cet effet, sur l'axe des cosinus ox un segment OS (fig. '23) gal a b. D'apres la definition de la secante, tout arc dont la s6cante est OS, et qui a pour origine A, est tel que la tangente au cercle en son extr6mite passe par S. Si donc on mene de S les tangentes SM et SM', tons les arcs cherches ont leurs extr6mites situees soit en M soit en M'. Ces deux points M et M', sont, comme pour le cas du cosinus, symntriques par rapport au diametre AA'. Pour que cette construction soit possible, il faut que le point S soit exterieur au cercle c'est-a-dire qu'il ne tombe pas entre A et A'. I1 faut, pour cela, que le nombre b donn6 ne soit pas compris entre - 1 et + 1. Ceci etait a prevoir puisql'une s6cante n'est jamais comprise entre - 1 et +- 1 (n 37, 2~).

Page  46 46 46 ~~~~LECONS DE TRIGONOMETBI[E. On d~signe -un arc dont la S6CanteO est 6gale a b par la notation arc s~c b; ce qui se lit arc secante b). En r~sum6, tons les arcs qui onLtiune origine donn~e A et qui ont, tin cosinus dlonne, on. une s~cante donn6e, ont leurs extr~mitis situ~es en l'un de deux certains points M et M' sym~1riqnes par rapport au1 dianMetre qui passe en A. Ceci pos6, soiL o, lFnn des arcs AM. Toas les arcs terminus en M sont congrus aL 7. Tons les arcs termin~s en M' (No '16, Xc'ip.) sont congrus a - 7.. 1I en r6sulte que tous les arcs termin~s soit en M soit. en M' souL de la forine 2 k~ ~ k tantL entier, positif, n6gatif oun un. (Dans tonte la suite de ce chapitre, la lettre k aura toujours la ineme signitication.) On peut donc 6noncer la proposition suivante Th~or~me. - Tous les arcs qui o)4t'me'me cosinms ou meane sdcante qoe l'arc o. sont compris clans la formale (23] 2k-ir i:- I,On peout (lonc 6crire qtie ion a arc cos (cos a) 2/;-;; ~4 cz; arc s~c (s~c a) 2k-; ~4 a.. (La notation arc cos (cos u.) d~signe, comme nons vNenous de le dire, tin arc dont le cosinis esl egal a' cos a.) 47. Inversion du sinus et de la eos~cante. - Soit A un point du cercie trigouomktriqne choisi comme origine des arcs, et y'y l'axe des sinus correspoudant qui conpe le cercie en B et B'. Dounons-nons tin nombre a, positif oti n~gatif, et cherchons tous les arcs dont, le sinus est 6gal a a. Portons, a cet effet, sur yfy un segment OQ (fig. 24) 6gal a a. Tont arc ayant son origine en A et admettant OQ ponr sinns est, par d6finition, tel qne son extr~mit6 se projette en Q snury'y. Si donc on 616ve en Q une perpendicnlaire a y'y qni coupe le cercie en M et M', tons les arcs cherch~s sout ceux qui sont termiu~s en M ou M', la droite MM' ktaut parall~le an diam~tre qui passe en A. La construction nest possible que si Q tombe entree B et B'. Ceci exige que le nombre douu6 a soit compris entre - I1 et + '1; ce qui

Page  47 INVERSION DES LIGNES TItGONOMETRIQUES. 47 n'a rien de surprenant puisqu'un sinus est toujours compris dans ces limites (no 290, 1~). On d6signe un arc dent le sinus est egal a a par la notation: arc sin a; ce qui s'6nonce arc sinus a. Supposons, de meme, qu'on se propose de trouver tous les arcs dont la cos6canle a une valeur donnee b. Nous porterons sur l'axe y'y/ un segment OV 6gal a b et du point V (fig. 24) nous menerons les tangentes VM et VM' au cercle. Tous les arcs admettant OV pour cos6cante sont termines soit en M, soit en M'; et la droite MM' est encore ici parallele au diarntre qui passe en A. Cette construction n'est possible que si V n'est pas entre B et B'. I1 faut done v que ]e nombre donne b ne soit pas compris entre - I et + 1; ce qui est, ', s naturel, puisqu'une cosecante n'est jamais comprise entre - 1 et + M --- -- (no 40, 2o). On d6signe un arc conl la cos6cante A AI est 6gale a h par la notation: arc cosec b; ce qui se lit: arc cosccranle b. En somme, tons les arcs qui ont une origine donnee A et qui ont soil un sinus donn6, soit une cosecante donn6e, ont leurs extr6mites situ6es en l'un de deux certains points M et M' sitzues sur j/' tsre parallele au diacltfre qui Ipasse en A. FIe;. 9 Si. Cela etant, soit a l'un des arcs AM. Tous les arcs termines en M sont congrus a a,. Tous les arcs termines en M' sont, comme nous l'avons vu (no 17, Recip.), congrus a T -,. On en conclut que tous les arcs termin6s en M ou en M' ont une des deux formes 2k7- + a Ott 2k/cc + 7 - u. - (2k + 1) 7 - a. On pent done enoncer le theoreme suivant: Th6oreme. - Tous les arcs qui ont mIemie sinls ott m)?e'e cosecaCle qule l'arc a sont comipris dans les formulles: [24] 2/c + c-, ((2k+l))7 -).

Page  48 18 LECONS DE T1UI(GONOMETrII'E. Ces deux formules peLvent eLre reitlies en une seule. llematquons, en effet, que sil est un nombre enlier, positif, n6gatif ou nul (- 1)2 est 6gal a + 1 lorsque 1) est pair ou nul, et 6gal a - 1 lorsque p) est impair (I;. La formule suivante comprend done les deux pr6c6dentes [24] bi 1) ( + - I )%. On )pent clone 6crire que lon a: arc sin (sin a, ) p1x + ( 1'),,.; arc cosec (cosec ) p + ( 1-)/.. 48. Inversion de la tangente et de la cotangente. - Soit A un point pris sur le cercle trigonometrique (ig. 25), i't etl z B B' t' Fic;. 25. les axes des tangentes et colangentes relatifs aux arcs d'origine A. Donnons-nous d'abord on nombre a et cherchons les arcs dont la tangente est 6gale a a. Pour cela, portons sur l'axe des tangentes t't un segment AT egal a a. Joignons T au centre 0 du cercle. Cette droite coupe le cercle en deux points M et Al', diameiralemcnt opposes. Tous les arcs qui admettent AT pour tangente, et qui ont (1) Voir dans nes Lqcons d'Algebre, le no 19, page 414.

Page  49 INVERSION DES LIGN ES TLRIGONONMETRIQUES. 4 49 leuir origine en A, sont termin6s soil en M, soil en M'. Celte construction est toujours possible, quel que soit a. On d~signe un arc dont la tangente est 6gale a a par la notation arc tg a on arc Lang aI; cc qu'on lit ai-c Ian genie a. Soit, de me'me, un nombre b. Prenons snr laxe des cotangentes z'z, a partir de son point de contact B avec le cercie, nn segment BZ 6gal a b. Joignons Z an centre 0 du cercie. Cette droite coupe le cercie en deux points diam6tralement opposes, M et W'. Tons les arcs qni adrnettent 13Z ponr Icotangente, et qui ont lenr origine en A, sont termin~s en M on en M'. Cette constrnction est toujiours possible. On d6signe tin arc dont la cotangente est 6gale a b par la notation: arc cotg b on arc cotang b; ce qni s'6nonce arc cotangente b. En r~sum6, tons les arcs qni ont une orig-ine donn~e A et qui ont soil une tangente donrn~e, soil une cotangente donn~e, ont lenrs extr~mit~s sitn~es en 'inn de deux certains points M et M' cliamntralemtent opposes. Soil alors or, iun des arcs AM, c'est-a-dire inun des arcs ayant pour tangente a on ponr cotangente b. Tons les arcs termin~s en M sont congrus a cz et tons les arcs termin~s en M'f sont congrus a 'n + O' (u- 18, BNcip).). It en r~sulte que tons les arcs termin~s- soil en M soil en M' difVtrent de s'., d'un multiple pair on impair de 7c, c'est-h-dire d'un multiple queiconique de -cet sont compris dans la formule kr+ ~ On pent donc 6noncer la proposition snivante The'or~me. - Tons les arcs qui ont me'we Ian genie ott gntene cotan genie clie i'arc a sont compris dans la formuile [25] k7 + ( On pent donc 6crire arc tg (tgx) k-, ~ + arc cotIg (cotLg) /-, + cz. (Rappelons que arc tg (tgof) signifie: arc dont la tangente est 6gale a tgo..) 49. Remarque. - It est clair qu'auL lieu de, rechercher les arcs LEgONS DE, TrIGONOMETATIE.4

Page  50 50 I,ECONS DE TII1GONOMllTRIE. admetlant une ligne trigonometrique donnee, on aurait pu chercher les angles. Les r6sultats auraient ete identiques aux pr6c6dents. I1 suffit, dans les raisonnements, de supposer que les arcs dont on parle, servent de mesures a des angles. EXERCICES 9. Construire les arcs dont le sinus est Lgal a -; ou dont le cosinus est 6gal 1 4 10. Resoudre les egalites sin (ax -- 6) -- sin (x + dcl), x + a x + tg- a- tg -- CHAP1TRE IV RELATIONS ENTRE LES LIGNES D'ARCS SUPPLEMENTAIRES, COMPLtMENTAIRES, ETC. 50. Nous venons de voir, dans le chapitre pr6ecdent, que, lorsque deux arcs ont meme cosinus, ils ont aussi meme secante; s'ils ont meme sinus, ils ont meme cosecante; enfin, s'ils ont meme tangente, ils ont aussi meme cotangente. Dans ce qui va suivre, nous aurons a 6crire des 6galites de lignes trigonometriques de certains arcs. II r6sulte de cette remarque qu'il suffira de s'occuper des cosinus, des sinus el des tangentes. Car 'egalite des cosints de deux arcs etnraine celle des sCcanes; legalite des sinus entralne celle des cosdcantes; 'egalite des tangentes entraine celle des cotangentes. 51. Theoreme. - Deux arcs eCgalx et de signes contraires ont mnme cosinus. Leurs sins s et langentes son, respectivement, de signes contraires. Car d'apr6s le tlheoreme du no 16, si on donne a ces deux arcs

Page  51 RELNTIONS ENTLRE LES LIGNES D'ARCS SUPPLEMENTAIRES, ETC. 51 meme origine A, leurs extr6mit~s MV et M' sont symktriques par rapport au diam~4re AN'. Ces deux points M ei M' ont done (fig. 26) Meme projection P sur 1Faxe xvx des cosinus et des pro- l jections Q et Q' sym~triques par rapport a 0 suir Faxe y'g des sinus. Enfin, OA RLant la B bissectrice de 1'angle MOM', TW les rayons OM et OM' con- 9 - pent laxe des tangentes W' en des points T' et 3>'sym6 -triques par rapport aA. On a A donc [2] Cos(-X) z Cos X, B' F2] sin (-x) -sin x, B Ii r~snlte de la que les FiG. 26. deux arcs onL meme secante et des cos~cantes et cotangentes de signes contraires. 52. Th~or~me. - Deux arcs suppl-yrlncntaires out me'me sinus. Leurs cosinus et leurs tangentes sont dle signes cont?'ailres. Aty D'apr~s le th~or~me du no 17, si on donne a ces deux arcs me'me origine A, B leurs extr~mit6s Mv et Mv' (fig. 27) soul sitn6es sur une --- —-- paralidle ani diamtatre AN'. Les deux points Mv et M' ont donc me'me projection Q surPA laxe des sinuLs y'?/ et des prolections P ei P' sym6 -triques par rapport a 0 surT laxe x'x des cosinus. Les intersections T et T' des rayons OM et OM' avec laxe t't des taugeutes sout FiG. 27. 6videmrnen t symf triques par rapport aL A puisqtte gig et x'x sont les bissectr'ices de Fangle M'OM.

Page  52 52 52 ~~~LECONS DE TIRIGO1NOMUHTI1E. IL en r6sulte que [2] Cos (~-X ) zCos X, [2' sin (7C - X) sinx 53. The'or~me. - Deux arcs qui di/ftrent d'une demi-circonferrence ont mneme tantgente. Leurs cosinvs et lears sinus sont, resp~ectivement, de signes con 1raires. Car d'apr~s le n0 18, ces deux arcs, s'ils ont melme origine A, ont leurs extr~mit~s M et M' diamitralement oppos~es. Us orit donc FiG. 28. e-videmment meme tangente AT. Les projections P et P', Q et Q' de M et M' sur laxe des cosinus et laxe des sinus sont sym~triques par rapport h 0 (fig. 28]. On en conciunique /C os (7, -4 x) - Cos x, [28] sin (7 + x) z- -sin x, Remarque. - La relation tg (7r +X) tX n est qu'un cas particulier de la relation pins g~n6rale [18] (no 30).

Page  53 RELATIONS ENTRE LES LIGNES DARCS SUPPLUMENTAIRES, ETC. 53 On aurait pu Rtablir les relations [28] en combinant les, deux tli~or~mes pr~ct~dents des nume'ros 52 et 53. Car, si on remarque que 7r + X - - (- X), on a, en appliquant, successivernent, les forrnules [27] et [26], COS (7 + X) -COS (- X) CO csX, sin (-,T + x) -sin (- x) -- sin x, tg (7 ~X) - - tg (- X) - tg X. 54. The'or~me.- Lorsque deux aies sont compleinenlaires, le cosimis, la cos~canle et l(a cotaflfj/nte de iVon sonl, respecliveineni, -galnx aLu si'nus, d la sdcaiite et d it lan Igente de lautlre. Pour ktabiir cette proposition, nous ferons, d'abord, la remarque que voici SoiL AM un arc stir un cercie orientO dans le seris positif f (fig. 29) et B 1'extr~mit0 d'un arc AB 6gal h +-. Si on prend, sur le cercie, 2 un nouveau Sens positif f', contraire au pr~c~dent, F are BM (seDs K>" positif /') est congru au compk~ment de 1'arc AM (sens positiff) DNsignons, en effet, par x I'arc AM (mesur6 dans le sens positif f) On a d'apr~s la formule [8] de Chasles (no 20), BM ~AM - AB; et, par suite BMI x -2 (sens positiff) Si ion prend pour sens positif /", le signe de cliaque arc change et, par suite, on a K> BM =- - x ~sens positiff) 2 Ce st,~ cause de cette propri6Lt- dii point B qu'on Ilappelle souvent l'originze des arcs complcementaires des acies d'o)-ighie A.

Page  54 54 54 ~~~~LECONS I)E TIRIGOINOMETRIIE. Ceci pos6, soil x un arc et portons ceL arc en AM sur le cercie, avec le sens positif f. Soil B l'origine des arcs compl~mentaires. Soient ex', y'y, t'tet z'~z- les axes des cosinus, des sinus, des tangenLes et des cotangentes des arcs d'origine A (sens positif f). Si, en second lieu, on prend B pour origine des arcs et le sens I P 0 If.T FiG. 29. positif f', y'y ayant pour segment directeur OB sera laxe, des cosinus. On aura BA = (sens positiff' et X'X, ayant pour segment directeur OA. sera le nouvel axe des sinus. z'z sera alors le nouvel axe des tangentes el I'tI celai des co Langentes. Proj etons le vecteur (OM) suir x'x. Ce tte prejeclion sera, en nmhnme teinps, le cosinus de lFarc AM zz x (sens positif f) et le sinus de I'arc BM -- - x (sens positiff) On a donc 2 sin -x) Cos X.

Page  55 BELATIONS ENTRE LES LIGNES D AICS SUPPLENiMENTAIRES, ETC. 55 En projetant de merne sur y'y, on aurait, a la fois en OQ, le sinus de larc AM -- x sens f) ct le cosinus de BM =-.x (sens i'). Ce qui donne 7 ' cos - X ) sin x. Si on prend le point d'intersection T (fig. 29) du rayon OM avec t't, on aura, la, fois, en AT, la tangente de lare AM = x ct la cotangente de larc BM - 2 x. On en conclut que cotg -2 x) Ig x; et ainsi de suite. On aura, en r6sume, lc tableau de relations suivantes: /7 \ cos - - x XI sin ( - x\ cos x, c tg (-x. - Cotg x, [29] cot - x) = L xI cosec ( —.r ) sec x. REMARQUE. - Le cosinus, la cotangente et la cos6cante tirent precis6ment leurs noms de la propriete qu'exprime le theo — reme precedent. Ainsi co-sinus est une abreviation de sinus du complement. Ccs noms sont d'aiil.eurs utiles pour retenir ces relations. 55. Remarque I. - Les relations precedentes combin6es entre elles peuvent servir a en 6tabir d'autres. Ainsi, si l'on remarque

Page  56 56 56 ~~~LECONS BE TRIGONOMETRIE. que - 4- x est le compl~ment de -x, les formules [29] et [26] donnent: Cos + sin (-n x) z-sin x, sin (i-i — - cos(-x) -cos x, 56. Remarque II. - I est. bon de s'exercer a 6crire aussi les relations pr6c6dentes en prenant le degr6 pour unit~ Wfarc. Ainsi onl aura, a la place des formules [27],, celles-ci cos ('180 - A) -cos A [27]bis sin (180 - A) - sin A, De me'me, les formules [29] sY~rivent cos (900 - A) -sin A, [29]bis sin (90 - A) cos A, L-g(90 -A) cotg A. 57. Probl~me. RNdtire un arc au prernier quadrant. R6dnire un arc au premie r quadrant, c'est tronver un. antre arc positif et plus petit qui'Ln quadrant, admettant, au sigue pros, les memes lignes trigonorn~triques que lFarc donn6. Ce probh~me, qni est tonjours possible, se pr~sentera, plus Lard, dans tontes les questions o4i il. s'agira de faire des calculs pratiques au moyen des tables qui ne contiennent. que ]es lignes des arcs et des angles de 00 a 900..Soit a, un arc mesur6 avec le rayon pris pour unite, on pent, d'abord, en ajoutant on retranchant nn nombre suffisant de fois 2-x de a, tronver un arc oc, compris entre U et 2-x, congru a a. L'arc oc a le's me'mes lignes trigonomktriques que a. Ceci pos6, il peut se pr~senter quatre cas ~10 aI est plus petit que -. Le probR~me est alors r~solu. 20 c est comrn is en Ire - et 7:. Alors, lFarc supphi~mentaire 7 i 2 r~pond a 'la question, en -vertu des formunles [27].

Page  57 RELATIONS ENTRE LES LIGNES D'ARCS SUPPLEMENTAIRES, ETC. 57 37 3~ o est compris entre 7 et 2. C'est, alors, l'arc a - d qui repond a la question; car cet arc est congru a C +- a et il suffit de se reporter aux formules [28]. 40 c est compris entre et 2-. On prend l'arc 27 - a qui, 6tant congru a (- ), r6sout la question en vertu des formules [26]. 17"T EXEMPLE I. - Reduire an premier quadrant I'arc —. On a: 177 57 07:; -- 47 + - - 3 5: etant compris entre 3 ct 2x, on considere l'arc 2.-;7=- qui repond ~ 3 3 h la question. On a, alors, 1 7; r cos - COS, 177. r: si - --- sin - 1 3 3 g 3 =- 3 en appliq ant les formules [26]. EXEMPLE II. - Rdduire an premier quadrant l'angle de - 500~. On a: - 000 =- 720~ - 200 220220. L'angle 220~ etant compris enire 180~ et 270 (ce qui correspond i 7 et ), on prend l'angle de 2 0~- 180~ =40 et on a: cos (- 500~) = - cos 40~, sin (- 500") = - sin 40~, (...- 500) = tg 400, en vertu des formules [28]. EXERCICES 11. Calculer les lignes trigonomktriques des arcs 317r 7: 'n: x + 57, +$ x - - x +" en fonction des lignes de l'arc x. 12. lEtant donue un arc a, trouver 1~ Tous les arcs dont les cosinus sont dgaux a - cos a; 20 Tous les arcs dont les sinus sont egaux a cosa; 3~ Tous les arcs dont la cotangente est dgale a - tga.

Page  58 58 LECONS DE TRIGONONMETlTIE. 13. Reduire au premier quadrant les angles 213~ 20', - (105 23' 12") et les arcs dont les longueurs sont (avec le rayon pris pour unit): 22 t 355 - 3, 3 ' 113 14. Resoudre les 6galitds: sin2x = cos2.J, sin (x -- a) = cos (x -+ b, tg (x- - 1)= cotg x. CHAPITRE V RELATIONS ALGEBRIQUES ENTRE LES LIGNES D'UN MEME ARC 58. Relations fondamentales. - Theoreme. - La sommae des carres dt sinus et du cosii.s cd'ln meiM, e arc est egale a I'unlil. Soit AM un arc quelconque, P et Q les projections de M sur laxe des cosinus x'x et des sinus y'y (fig. 30). La figure OPMQ est un rectangle et, par suite, on a, d'apres le thlorime de Pythagore ('), OP2 + oQ2 = OM2. Or, OP est la valear absolue du cosinus de l'arc AM que j'appelle x, donc son carre est 6gal au carre de cos x, que 'on 6crit cos x. De m6me OQ etant la valeur absolue du sinus, son carr6 est 6gal a celui de ce sinus. Enfin, OM, etant le rayon du cercle trigonometrique, est 6gal a 1. L'egalite pr6c6dente s'6crit done: [30] sin2 +- cos 2x. 59. Theor6me. - La angente d'uin arc est cgale au quotient ddu sinus de cel arc par son cosinus. Il s'agit de prouver que l'on a sin x [31] tgx S —ll cos X (1) Voir dans les Lecons de Geomitri'e de M. Hadamard, le theoreme du no 12i.

Page  59 RELATIONS ALGE"BRIQUES ENTRE LES LIGNES DUN MEI~ME ARC. 59 ci, pour cela, ii suffit de prouver quo les deux me~mbres ont i-n'm~e valeur absolue et melife signe. 10, Les deux membres ont me'me signe; car, comme, nous lavons remarqu6 (no 41), le signe de la, tangente se d~duit des signes du sinus et du cosinus par. la r~gle des signes. 20 Les deux membres oni me'me -valeur absolue. Soil, en effel, AM fare x (fig. 30); P et Q les projections de M sur les axes Vx' IFiG. 30. et y'y;, T Ie point ditlersection de OM avec laxe des langenics II.. Les deux triangles OPM ci OAT -souL semblabics ei on a AT _PM OA Op* Or, PM zzOQ et ONA- II on a done: AT -O ci ics deux. membres de celle,6galit6 sont pr~cis~ment les valeurs absolues des deux membres (lie 1'6gaiit6 131].

Page  60 . 60 60 ~~~~LECONS DE THIGONOMLTRIE. 60. Th6ore'me. - La cotangente d'im arc -est ~gale aa quotient du cosinits de cet arc par son sinus. Pour Rtablir la relation annoncee Cos.x [32] cotg x -- sin x' nous montrerons que les, deux niembres ont me'me valeur absolue etL me'me signe. l10 Les deux membres sont de melme signe, cela r~sulte dui tableau de signes du n0 41. '20 Ils ont in'm~e valeur absolue.' Gardons, en effet, les melmes notations que dans les deux nume'ros pr~c~dents et soit (fig. 30) Z le pointL o~i le diam~Lre OM coupe laxe Z'z' des cotangentes. B3Z esi alors la -valeur absolue de cotg x BZ.- Les deux triangles semblables OMQ et OBZ donnent: BZ MQ OB OQ Or MQ = OP eL OB - 1, on adonc: OP BZ I ce qui ~ablit que les deux membres de [32] sont 6gaux en valeur absolue. REMAIIQUE. - La relation [32] pourrait seo d~duire de la relation [31]1 en changeant, dans celle-ci, x en - -x. On a, en effet, 1 ~~~~~~~~~2 d'apr~s la relation [31], sin( x) tg(- x) o( ce qui, en tenant compte des formules [29], fournit, la relation [32] cherch~e. 61. Corollaire. - La cotangenle duzn arc est l'inverse de la langente (le cel carc. Car, en rapprochant las 6galit6s [31] et [32], on voit que les deux seconds membres sont inverses l'un, de LFautre; on a done [33] 1o, coL.~zzg x

Page  61 RELATIONS ALGPIBRLQUES ENTRE LES LIGNES D'UN ME;ME' ARC. 61 62. Thdor~me. - La s~cante d'mi arc est l'inverse du cosinus de cel arc. Je dis qne [34] s~c X. Cos X -zIl. 1P Ce tie relation est vraie en signe; car, en examinant le tablean du nO 4 1, on voit que le cosinus et la s~cante d'un arc sontL ton~jours de me'me signe. 20 La relation est vraie en valeur absolue. Soit AM Farc x (fig. 3 1). Menons en M in tangente au cercie qni coupe V axe.x'x des cosinus FiG. 3 1. en S; et soil P la projection de M sur cet axe. OS et OP sont, respectivement, les valeurs absolues de s~c x et cos x. Or, dans le triangle rectangle OMS on a (') puisque OM est le rayon du cercie. L'6galiL6 [34] est donc exacte et on a [34)11is Cos x (1) Voir dans los Lecons de Geometrie de MI. Iadamnard, lo thdoi bme du n 123.

Page  62 62 62 ~~~LECONS DE TRIGONOMI~ThLE 63. The'ore'me. - La eos~cante clan arc est l'hive'rse dii( sinus de eel arc. Ii faut proaver que [35] cos6c x. sin x =I. Io Cette relation est vraie en sig'ne; car, d'apr6s le tableau des signes dai n0 41, la cos6cante et le sinus ont toujours le mneme signe. 2o La relation est vraie en valeur absolue. SoiL en effet V le point oii la. tangente a l'extr6mit6 M de l'arc (f7g. 31) coupe laxe yj'y des sinus; et soit Q la projection de M sur cet axe. Les Yale urs absolues de sinx et cos6cx sont, respectivemenLn, OQ et OV. Or, dans le triangle rectangle OMY, on a OX OQ-_OM -'1 La relation [35] est donc exacte et on en tire [35]bis cosec sin x Rernarqiions encore, ici, que la formule [35] pent se d6duire de la formule [34] en changeant, dans cellecei, x en -- - x et tenant L ~~~~~~~~~~2 comnpte des relations [29]. 64. Remarque. - 'Les cinq tlh6or6mes qui pr6c6dent fournissent cinq relations alg6briques entre les lignes trigonorn6 riques d'un mI"me arc que nones reunissons ici dans cc tableau i sin 2X+ cos2Xz, sin x g Cos T cos X [T] cotg x z sin x' coseex Il est facile de d6montrer que le tableau [T] fournit toutes les relations alg6hriques qui peuvent exister entre les lignes trigonomRnriques d'un me'me arc; ou, en d'autres termes, que toute autre relation est une conse.qzence de celles-ci. Supposons, en effe~t, qu'il

Page  63 1AELATIONS ALGEBBIQIJES ENT-RE LES LIGNIES DUN MbIEE ARC. 63 puisse exister uine relation algdbrique (R), entre les six lignes, qui ne soit pas une cons~quence de celles dui taibleau [T]. De la preuinire des relations [T], tirons sinux::2 ~-cos2X et portons, cette -valeur dans les quatre autires; nous aurons, ainsi exprim6 sinx, tgx, cotgx, s6cxv et cos~ex en fonction de cosx. Portons ces valeurs dans la relation (R); cette relation ne contiendra plus que cos x et, si, comme nous le sLIpposonDs, elle n'est pas une cons~qnence du tableau [T], elle ne sera pas une ideaitieh On aurait donc, ainSi, une 6quation en cosx qui devrait etre v~rifi~e par le cosinus d'un arc quelconque elt par cons~qaent pour une' ifihiib de valeurs de linconnue; ce qU i est impossible. On pent, donc affirmer que toate nouvelle relation alg~brique entre les lignes trigonomktriqnes d'un rnC'me arc pourra. etre obtenue en combinant convenablemernt ]es relations fondamentales [Ti. La relation [33] en est un lpremier exemple. 65. Autres relations. - Des relations fondamentales [TI on pent tirer (leux autres relations qiui sont d'un usage fr~quent. JO O 0n a [36] 1 ~ tg X sX ~n Cos2X Eni effet, d'apres la form ale [31], on a I1rt.2 X 1 j sn2 X -Cos 2 x -sin 2 X Cos~ X Cos- X Le ntnm~ratear de cette derni~re fraction est, en vevtn de la relation [30], egal a I;et la relation propos~e est 6tablie. 20 On a, de me'me, [37] 'i ~ ogx 2I X cc X. sin- De la formnule [32] on tire, en effet, I Cot[g2 X~ +Cos2 X sin 2 X -J cos2 X sin2 X- sin 2 X En vertu de la relation [31], le num~ratevir de la clerni~re fraction est 6gal a 1.

Page  64 64 64 ~~~LECONS DE TIIIGONOMETR[E. RETUARQUE. - On peut passer de 'la formule [36] a la formule [37] en rempla~ant, dans la premiere, x par - x et tenant cornpte des relations entre les lignes de deux ares cornpl-6mentaires [29]. La relation [36] donne, en effet, '1 -+ tg2 (- x) I zs62 (- x) 2 7co C cotg x, etc. 66. Applications. - Les relations fondamentales [T3 permettent de r~soudre la question suivante Calctiler touics les lignes trigoinomriqttes d'%ut ac, coanaissaoi ltime d'elles. En effet, si, dans les relations [T], on consid~re une des lignes comme connue, et les autres comrne inconnues, on a l1i un systi~me de cinq equations 'a cinq inconnues qu'il surfitL de r~soudre. Nous traiterons deuLx exemples. 67. Probl~me. - Calculer touics les lignes 1Kigonom~1riques (Clan arc, connaissant son cosinus. La premniire des relations [T] donne sin x ~-4 \/I1- cos2 x. Portons cette valeur dans les autres et il. vient, /4 Cos, x tg x - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I Cos x Cos x Cot-~ 2'4-:- sic x -__ Cos x cos~c x - 2os X Dans toutes ces formules les doubles signes se correspondent. On trouve, comme on le voit, pour toutes les lignes trigononmhtriques, sauf Ia s~ca~nte, detux valeurs 6gales et de signes cont~raires. Ceci s'explique ais6ment. Ce qu on connait, en cifet, ce neost pas iarc xmais son cosifl us.

Page  65 BELATIONS ALGEBRIQUES ENTIE LES LIGNES D'UN IMEMIE ARC. 65 Or, comme nous l'avons vu (n0 46), il y a une infinite d'arcs admettant un cosinus donn6 et ces arcs sont compris dans la formule [23]: x — 2 7, ---, a etant lun d'eux. Ce que nous avons done trouv6 ce sont les lignes trigonometriques de tous ces arcs. Mais on a: sin (2 k - ~ a) -= - sin a, tg (2 k ~-L- ) =- tg a, cotg (2 k ~- a!) ~= cotg Ca, sec (2 k 7 4- a.) = sec o, cosec (2 k 7 +__.) = cosec a; ce qui montre que tous ces arcs out deux valeurs, + sin c et - sin a, pour leurs sinus. De meme pour les tangentes, cotangentes et cosecantes; mais ils out tous meme s6cante. On pourrait encore expliquer ce double signe de la fagon suivante: Nous savons que tous les arcs qui admettent un cosinus donn6, et out meme origine A, out leurs extr6mit6s en l'un de deux certains points M et M', symetriques par rapport a l'axe x'x des cosinus (voir fig. 26, page 51). I1 est, alors, ais6 de se rendre compte que toutes les lignes trigonornmtriques des arcs termines en M sont 6gales et de signes contraires a celles des arcs termin6s en M', sauf le cosinus (qui est donne) et la s6cante qui ont meme valeur (voir no 51). 68. Probleme. - Calculer les lignes trigonomttriqeus d'un arc conactissant sa tangente. La formule [36] donne, de suite, cos x = -,-. \/1 + tg2x sec x = \/- l -- tg'2x. En portant la valeur de cos x dans la formule [31], on tire: sin x = tg x v/- + tg2x et, par suite, cosec x = q+! + tg2x tg x LEgONS DE TRIGONOMIETRIE.

Page  66 66 66 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. EnDfin, la formutle [33] donne cotg, x -g Comme dans le probk~me pr~c~denL, on Irouve pour la majorit, des lignes deux valeurs. Ceci s'explique de la nehrne faQon. La donn6e est tg x et ce qu'on a calcu16 ce souL les autres lignes d'un. arc adnmettant cette, tangente. Or, comme nous Fa-vons appris (IO48) i y a une inVIni6 cl'arcs x admetlant une tangente clonn~e e L ces arcs sonL compris dans la formule [25] oCL 6iant inn d'eux. Tons ces arcs n'onL pas mdmne sinus, mrO me cosinus. Si k est pair, On a Cos (1;7, -F 0c) - Cos oc, s inD (kr -n + ) -s ifl CL, sec (/;7 -1 (L) sdc CL, cosdc (/; -c + O) Cos~eC/.; mais, si k est impair, on' a Cos (k7c +L co s 0L, sin (Ikt -j D.) - sinl oc, sdc (k -F- + GL) - s6 c ai, cosdc (/1 --- L - Cosc CL.e On -voit donc bien que les lignes prdcddentes de tous les arcs x on I de'ux Yaleurs 6gales et de signes contraires. On expliquerait encore ce double signe en se 'reportant ft ia figure 28 (page 5'2) et pn raisonnant comme auno 503. Car tons les arcs qui admetteut uine tangeute donnde AT out leurs extLrdmitds en l'un de deux certains points M et M', diamdtralemeut opposds. 69. Calcul des lignes trigonomei'tiques des arcs - NonLs ailons montrer que, dds qu'on sail inscrire dans uin cercie uin polygone rdgnilier de n cdtds, on sail aussi caicuier exactement les lignes trigonomdtriques des arcs-, p 6tant tin entier quelconque. Pour cela, it suffit de montrer que l'on sail calculer une de

Page  67 -RELATIONS ALGEBMIQUES ENTBE LES LIGNES D'UN MEM~INE ARC. 67 ces lignes, le sinus par exemple, et, alors, gr"ace aux forinules FT], on saura calculer toutes les autres. 70. Th6or~me. --- Le sinvs d'un aVc positif, plus petit qu'un- qvadrant, est egal 4' la moitie de la mesure de la corde qiti sous-tend l'arc double. (Cet 6none6 suppose quie le rayon dii cercie esL 6ga1 a l'unii de lonugeur.) Soit, en effet (fig. 32) un arc AM posi tif, plus petit qu'un quadrant, et abaissons de M los perpendiculaires MQ et NIP sur laxe des sinus y'y et sur laxe des cosinus / x. Le sinus de Fare AM 6Lant positif, a pour me-B sure la longueur OQ on la ]on- B guenr 6gale MP. Prolongeons MP jusqu'an second point de rencontre M' avec le cercie. AA P esL le milieu de MM' et 0 ' on a MM, sin (AM) — MP~ - cc, qui d~montre Ia proposition car MM' est la corde qni sons-tend Fare M'AM double FIG. 32. de lFarc AM. 71. Corollaire. -.Le sinus de l'arc- est 6gal d Ut mnoiti~ du cI(t4 du polygone rYgulier convexe de ni cot~s inscrit dan~s Ie cercie. Car le double de Far est- et c'est l'arc qui est la nie//e partie de la circonfC~rence. C'est done l'arc dont la corde est le e6V dii polygone r~gulier convexe de n ek6s, inscrit dans le cerele. Plus genivalement, le sinus de l'arec~ (p premier avec ni et plus petit qute -est igal a' la moiti6 dtt c~tjt dupolygonie rigulietr Ooile4 de n cot~s o btenu en div isan t la circo nftrene en nn parties e tjoignan t les pointIs de division de p en p.

Page  68 68 LECONS DE TRIGONOMETIIE. Car la niele partie de la circonf6rence a pour mesure -. Si on prend p de ces parties, on a un arc valant ~, ce qui est le double de P n 72. Applications. - 1~ Le cote du carr6 inscrit dans le cercle de rayon 1 a pour mesure \/2 (1). Ici n 4, on a done: X/2 sin - sin 45~ = - On en conclut v/x: 7t'I 1 - / cos V/1 -- sin2 - car, ici, il faut prendre le signe (+) puisque le cosinus d'un arc du premier quadrant est positif. En divisant, on a: tg -1; 2~ Le cot6 du triangle equilat&eral est \/3. Ici, n = 3, done: sin -= sin 600 --; 3 2' 30 Le c6te de l'hexagone r6gulier a pour nmesure 1. Done: sin - sin 30~ —. 6 2 7~ 7; On pent remarquer que, les angles - et etantcomplementaires, on a: 7C 7 1 cos — sin - -- 3 6 2' 7C _/3 cos5 -= sin - 6 - 3 2 (1) Voir l'inscription des polygones r6guliers dans les Lecons de Geonmetrie de M. Hadamard, livre premier, chap. vII.

Page  69 RELATIONS ALGEBRIQUES ENTRE LES LIGNES D'UN MEI1E ARC. 69 40 Le cote du dlecagone r6gulier convexe a pour mesure 2 On a done sin - sin 180 - - 10 4 Le c6ot du decagone r6gulier etoile ayant pour mesure 2 et ce d6cagone s'obtenant en joignant de 3 en 3, on a: p - 3, n =-10. Done: 3_- vS-+l sin 0 -- sin 54~ - \ ' - 10 4 5~ Le cote du pentagone r6gulier convexe a pour mesure V/10-2v5. On a done: 2 sill - sin 36~ - 2. 5 4 Le c6't du pentagone r6gulier etoile, obtenu en joignant de 2 en 2, etant - i/10 + 2/5, on a: 2 27 s i10 + 2 ~/~ sin - == sin 720 1 + 2. 4 Si on remarque que les angles ' et, d'une part, -1 eL d'autre 1 0 10 5 ' part, sont complementaires, on a, de suite, les cosinus de ces angles: cos -~ _ sin - =I \i0 + 2 5,.10.5 4 cos -- sin - \o1 - 2 VsS, 10 5 4 c. 3. /5 +' 1 cos -- sin - 5 l0 4 27r.r 5 I COS -- sin V - i '10 4

Page  70 70 LECONS DE TRIGONOMEITRIE. Reunissons tous ces r6sultats en un tableau Sinus Cosinus Tangente I I I-~, - 4 4 3 3J2 2 - 6 2 V23 v 63 600 300 Arcs _ mcesurds * I /-2V/ v/ 4- I I - / 360 Arcs en avecle \ 5 436 degrs. | 2it iy 4 P \/- I \/l0 - 2 | 5 4 2 4 -'_ - ^1 0 ^ ^- 180 40 I4 4 +.V0 2\5i 10 4 4 '\/10-2 2V5 I1 est bon de connaitre par coeur, sinon tous ces r6sultats, au moins les premiers. EXERCICES 15. Calculer les lignes trigononmtriques d'un arc, connaissant: 1~ son sinus; '~ sa secante. - Expliquer les r6sultats. 16. Calculer les lignes trigonomdtriques des arcs: t 7 7: 27t 47r 77t 8' 16 1 15 ' 15 15' 17. Ddmontrer que la valeur de 2(cos6 x + sin6 x) - 3(cos4 x + sin4 x) ne depend pas de x. 18. Verifier que, quel que soit x, positif, on a: arc sin x - arc tg

Page  71 ADDITION ET SOUSTRACTION DES ARCS. 7 71 et Rant positif et les determinations (lo arc sin. et arc tg'. 6ant comprises entre 0 et Vtrifier les identites Cotg21 X cos2 X - ctg2 X - COS2 x, tgx~tgy ztg tgy Cotg~ X+ Cotoy S6c2 cos6c2 X =S6C2 X + cos6C2 X, cos2X - sin2 =/ zCotg,2X cotg2 ysin2 XSiD' Y; CHAPIThE 'VI ADDITION ET SOUSTRACTION DES ARCS 73. Enonc&' diu problerne. -Le probli~me dit de 1Faddition et do la soustraction des at-cs est le suivant Connaissarit les lignos trigonom~triques de plusiears arcs, calcudle, en fonclioni (10 ces ligites, les ligiios trigonometriques d"tuno sornoto (i-tlgebr-ii(te do cos arcs. Comme la skcante, la cos~canto et la cotangente sont, respectivemeni, les inverses du cosinus, du sinus et do la tangente, ili suffira do traitor la question pour los trois dernie'res fignos. 74. Sommne de deux arcs. - Calcul de cos (a +b). - Soient a et b doux arcs. Portons, stir le cercie trigonom~triquo (fig. 33), tin arc AM 6ga1 a at. Puis, du point M commo origino, portons un nouvel arc MN 6gal a, b. D'apr~s la formulo [9], on a A N A M~+M Na +b. L'une des ddterminations do lFarc AN est donc a, b. Los arcs AM et AN, ayant pour origine A, 1'axe do leurs cosinus est l'axe ox qui'a pour segment directour OA. L'arc MN ayant pour origino M, soni axe dos cosinus ost 1laxe ox,

Page  72 -2 j 72 ~~~~LECONS DE TI{I1GONOME~T11E. qum a pour segment directe-ur GM et son axe des sinus est un axe. oy, tel cjue 7c OX1, 0Y, + 2 Abaissons du point N les perpendiculaires NP et NQ sur ox1 et oui,. Par detinition du1- eosinus et du sinus, on a OP zzCos b, OQ sin b. Ceci pose, le veeteur (ON) est la r~sufltante (nlo 2, Rem.) des -vecteurs (OP) et (OQ). On a done, en appliquant le Ihe'oreme des FiG. 33. projeetions (no 8) et en projetant ees trois veeteurs sur un axe queleonque (') proj. (ON) -proj. (6UP) + proj. (O-Q). Projetons sur Faxe xix. On a, par d~finitio n du eosinus, (2) proj. (ON) -cos (AN) e os (a + b). D'apr~s le th~or~me fondamental. du no 44, la projection du

Page  73 ADDITION ET SOUSTRACTION DES ARCS. 7 73 segment OP, poPL6 par laxe ox,, est 6gale a ce segment multiphe6 par le cosinus de Fangle ox, ox1. On a donc (3) proj. OP OP cos (ox, ox,) - cos b cos a, car langle ox, ox1 a me'm-e mesure que 1Fare AM -a. Lie segment OQ RtanL por[6 par laxe oy,, on a aussi proj. (OQ) OQ Cos (ox, oy1). Or, on a, d'apr~s la, formule [15], oxi~ -,1 ox, oxi -f ox]1, oy1 2 On en concint (4) proj. (OQ) -sin b cos (a ~ - sin b sin a. Les 6,gali~s [1), (2), (3) et (4) donnent, alors, la formule cherch~3e: [38] cos (a +b) -cos a cos b - sin a, sin b, qui donne cos (a + b) con-naissant cos a, sin a, cos b et sin b. 75. Calcul de sin (a + b). - Conservons les melmes notations qu'au num.6ro pr~c~dent et soil (fig. 33) yj'y l'axe des sinus relatif aux cares dorigine A. On a Ceci pos6, projetons le vecteur (ON), risultante des vecteurs (OP) ei (OQ), snr y'y. On aura, par d~finition dn sinus, (5) proj. (O-N) -sin AN -sin (a +b). Le segment OP Rtant porV6 par laxe ox,, on a, en vertn dai thior~me fondamental (no 144), en projetant sur oy, proj. (OP) -_OP cos (oy, ox,).

Page  74 71 LECONS DE TRIGONOMETLIlE. Or, on a, d'apr~s la formule [14], oM!o1 - ox, ox1 - ox,1 o2- et, par suite, (6') proj. (OP) cosb cos (a -) - cos b sin a() Enfin, OQ ktant por[6 par oy1, o n a en projetant sur oy, proj. (OQ) -OQ cos (oy, oy1l). Mfais, on a, (Y'/ Oi/1 o- ox, OX OX, OX5 + OX1, 0iyil On en concint que (7) proj.- (-OQ) — sin b cos a. proj. (O0N) -proj. (TP-) +I proj. (O-Q), Les formules (Ii), (6) et (7) donnent [39] sin (a 4- b) — sin ca cos b + sin b cos O, qui dlonne sin (a +b) en fonction de sin a, sin b, cos a et cos b. RE-MAIIQUE. La formule [39] aurait Pu se d~duire de la formule [38] de la fa~on suivante Appliquonis aux deux arcs -2 + a et b la formule [38] qui donne le cosinus de leur somme, on a (8) cos G + a + b) co( +a) cos b -sin(-+a) sinb. (I) Car on a puisque deux arcs 6gaux et de signes contraires ont mndre cosinus et, par suite, Cos (a ~ =Sill a.

Page  75 ADD)ITION ET SOUSTRACTION DES AIBCS. 7 75 Or, d'apr~s les formules dui no 55 on a cs-+a V b - - sin (a-] — b), Cos -+a) sin at, sin + a) - cos a. En remplagant dans 1'6galit6 (8) et changeant les signes des deux membres, on trouve la formule [39]. 76. Calcul de tg (a + b). - Pouir avoir Ig (a + b), 'I suffit de diviser, menmbre a membre, les foranuies [38] eL [39] et, ii vient: sin a cos b + sin b cos a tg ( ~ ~ cos a cos b - sin a sin b Divisons les deux termes de cette derni~re fraction par cos a. cos h) et nous obtenons: sin a sin b tg (a + 1)) cos1a cos b -sin a sin b cos a cos/) Ceci donne, enflin, la formnule cherch~e [40] tg (a b) tg a-j-Lg b k ~~- t g a'tt g b' qui donne tg (a + b) en fonction de tg a et tg b. 77. Difference de deux arcs. - Les formules [38], [39] et [40] sont absoinment g~n6rales et s'appliquent quels que soient les arcs a et b, car it n'a W fait aucuine restriction, sur la nature de ces arcs, dans les d6monstrations qui pr~c~dent. On peut donc les appliquer aux deux arcs a et - 6 et on a ainsi les lignes de la difft~rence a - b cos (a -6b) cos a cos(-b>- sin a sin (- b), sin (a - b) -sin a cos,( b) + sin (- b) cos a, tg (a -b) I ga + Lg( b) '1 — tg a tg( b)'

Page  76 76 76 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. Or, d'apr~s les formules [26], on a cos (- b) — cos b sin( 1)) sin b, lg[ b) tg b, et les formules pr~c~dentes deviennent: [38]bis cos (a - b) Cos a cos b + sin a sin b [39] his sin (a -b) — sin a cos b - sin b cos a, [40] bis tg(a - b tg a - tg b '1 + -tg atgbC REMARQUE. - Si, dans la forinule [88]bis on fait a - b, on retrouive, en observant que cosO0 - 'I, la formule [30], '1 - cos' a + sin' a 78. Somme de pusieurs arcs. - Des formules qui donnent la somme de deux arcs, il est facile de conclure celles qui fournissent les lignes trigonomktriques de la somme d'un nombre quelconque d'arcs en fonction des lignes de ces arcs. Prenons d'abord une somnie a + b c de trois arcs. Si On consid~re a +b + c comme la somme de a + b et de c, on.a, en appliquant les formules qui pr~c~denL cos (a + b + c) -cos (a + b) cos c - sin (a + b) sin c, sin (a 4 c)z sin (a +b) cos c-]-sin ccos (a +b), tg~~aH-b tg (a -j-b) + tg c c)-1 tg (a +b) tg c RemplagoDS, dans les seconds mernbres, cos (a + b), sin (a H- b), tg (a + b) par leurs valeurs Lir~es des formules [38], [39], [40] et ii vient, tloutes simplifications faites cos (a -4- b-] — c) -cos a cos b cos c - sin a sinb cos c - sin b cos ccos a- sin c cos acos b, sin (a + b +c) — sin a cos b cos c + sinb cos c cos a + sin c cos a cos b - sin a sin b sin c, tg (+ b ) tg a-j-tg b — tg c -tg atg btgc tg~a~b c) I -tg a Logb - tg b tg c- tg c tg a De me'me, pour calculer les lignes trigonom6triqnes de Farc a +4 b + c + d1, on' consid~re cet arc comme la somme de a + b +4 c

Page  77 ADDITION ET SOUSTRACTION DES ARCS. 77 et de d. On appliquera les formules de la somme de deux arcs; puis, dans les seconds membres, on remplacera les lignes de a C- b + c par les valeurs ci-dessus. Et ainsi de suite. On calculera, de proche en proche, les lignes d'une somme d'autant d'arcs que l'on voudra. 79. Formniles generales (). - Soient m arcs a, b, c,... 7;, 1. Posolns T, = t cg 4- tg b -- tgc -... - tg k + tg,, T2 - tga tgb + tgb tg c +- tgc g a +.... + tg /; t l, Tg d6signant la somme des produits deux t deux des tangentes des Dn arcs. D'une maniere generale, ddsignons par T) la somme des produits p p de ces n tangentes; ct, enfin, soit T, -- tg tgb Igc... tgk tgl le produit des m tangentes. Nous allons montrer que I'on a: [a] cos (a + b - c -... + + I) cos a cos b cos c... Cos k cos I \- T2 T - T6- T....], [P] sin (a+- b + c +... 4- h 4- ) = cos a cos b cos c... cos k cos I lT T3 +- ]' - T47..., [y] tgr (C+ b -t C.- + + - TI -T. Tq -- Tj'"l 1 T T, -t.... Dans le crochet de la formule [a] fi'urenl toutes celles des sommnes T1, T2, T3.... TT dont les indices sont pairs, prises dans ]'ordre des indices croissants -et, alternativemnent, avec les signes (-) et (+). Dans le crochet du second membre de la formule [3] figurent toutes celles de ces soimmes dont les indices sont impairs, dans lordre des indices croissants et, alternativement, avec les signes (+) et (-). La formule [y] est une consequence 6vidente des formules [a] et [p] que l'on obtient en les divisant membre a membre; il suffit done de debmontrer les formules [a] et [I]. 80. Lemme. - T' designant lt somme des produits p a p des (1m-4) tangentes tga, tgb, tgc,... tgk et TJ la somme des produits p c p des m tangentes tg a, tg b, tgc,... tg k, tg 1, on a les relations: (1) T,-T + tg 1, (2) T -T' +- tg l. T' (3) T n-t 1. T'n in - n- t' (1) On pourra passer ce numero dans une premiere lecture.

Page  78 78 78 ~~~~LECOINS DE TRIGOINOMLETRIlE. La relation (1) est 6vidente car, si a la somnie T' des (rn - 1) tangentes tgva7...tgkA on ajoute tgI1, on obtient, 6videmnient, la sonmne T, des mn tangentes tga,.. t-k, IgI. En second lieu, soit T P (p < mn) la somme des produits p a. p des in tangentes tga,... tgk, tgl1. Dans cette sommne, r~unissons ensemble tous les produits cqni ne contiennent pas tgl, ce sera 6vidermment la somile T' des produits p 'a p des (in - 4) taingentes autres que tgl. Tous les produits restants contienciront tg 1; mettons-y fgl1 en facteur. I.a sonime que multipliera tg 1 sera tine sornme de produ its de (p - I) tangentes autres que tgl et Ai est ais6 de so rendre compte que cette somme conmprendra, sans omission ni repetition, tous les produits de cette formne. Cette somme est douc T) ' et on a bien Enfln, 1'6galit (3) est manifeste; car Si on Multiplie le produit T' des Q-1) tangentes tga,... tgk par tgl, on obtienit le produit LTI des rn tangentes tg a, tg b...tgk, tgl. 81. Demonstration. - Ceci pos6, pour drniontrer que los formules [caj et [P] sont exactes, nous allons d'abord ve'ri~ier qu'elles sont exactes dans le cas de in = 2., Si, en effet, on nmet dans les formules [38] et [39] le produit cos a cos b en facteur, on trotuve /b\~~~~~b ~ ~ sm a+ sin b] co a- )cos a +)CosbI -- Cos gb] cosacosb(I sin (a + b) coacosb [ta 4-s tgbcs obT On pourrait encore verifier 1'exactitude do ces formules dans le cas do in 3. En mettant, dans les formules dii no 78, cos a cos b cos c en facteur, on trouverait, de m~me, cos (a-I —b +c) — cosa cos bcosc [ I-T, sin (a+b+c)=cosacosbcosc[T,-T3]. Pour prolixer CjUe los formules [ac] et [,S] so-nt g~n~rales, noues allons prouver que, Si elles sont vraies pour n -- I arcs, elles sont vraies pour in. Supposons, en effet, qu'oi ait,, en conservantL les notations du lem~me, pour (m - I) arcs a, b,... h (5) sin (a + b-I-+. +Ak)=cosa cos b.cos kLT/ -T/+ -T/ - T-I.

Page  79 ADDITION ET SOUSTRACTION DES ARCS. 79 Prenons un arc I de plus et consid6rons a + b --... +- A -- I comme la somme de a + b --... +- A et de 1. On aura, en appliquant les fornmules 38] el [39], cos (a + b +... -Ft + 1) = cos (a, + b +... + k) cos I sin (a +- b --... + ik) sill 1, sill ((a + b -t-... -t- k - l) = sin (a -t- b -... - c) COS I - cos ( + — b -... - ) sin 1. Remplacons, dans ces formules, cos (a + b- -... +- k) et sin (a - b +-... + h) par leurs valeurs (4) et (5) et mettons cos a cos b... cos k cosl en facteur, nous trouverons: cos (a+ b +... -- A + l) cos cos b... cos cos/ l [1- T T', T' -T...- (T — T3 + T' ---T/ +...) t, sin (a b +... + ) = cosa cos b... cos k cos L [- ' + T-, +.. (1 T' +- I"-''... + ( —) T i-g ]. Ceci s'ecrit cos (t + b +... -k -+ 1) = cos cos... os cos I [- (T -- tglT) I+ (T+ - tg lT) (TG - t lT) --.], sin (at + b - r-...+A- k+ I) = cos a cos...cosc tos [(T + tgl ) - (T tgT (T + t -I) Tg) — T...]. En vertu du lemme et des forlmules (1), (2) et (3), on a T +tg = T,, T' + t Ig/T] = r, T' -t tg = T, 3 tg 2 3' et les egalites qui prec6dent deviennent: cos(a + b -... +-+ )1) cos a cos b... cos cos I [1 - T2 + - -T, -T ' -- I, sin (f + b +...+ ) = cos a cos b... cos k cos I [T - T3 +- Ts - T7 +...], qui sont les formules [a] et [f] pour m arcs. La proposition enoncee 6tant vraie pour 2 et 3 arcs, sera vraie pour 4 arcs. Etant vraie pour m =4, elle est vraie pour m -5; et ainsi de suite, elle est g6nerale. REMARQUE. - Si, dans les formules [la] et [(l] on remplace les tangentes sin a sin b par leurs valeurs co, a' cs..., et qu'on effectue le produit, les denomineur s di raisset. cos b minateurs disparaissent.

Page  80 80 LECONS DE TRIGONOMETRIE. EXERCICES 19. Demontrer les egalites: cos (a + b) cos (r - b) = cos2 a - sin2 ) =- cos b - sin2 a, sin (a + b) sin (a - b) = sin2 a - sin2 b, cos(a + b) sin(a - b) = sina cos a - sin b cosb, sin a sin (b - c) + sin b sin (c - a) + sin c sin (a - b) = 0, t (a+b - sin2 a - sin b sin a cos a - sin b cos b' tga tg b tg b tg c tg c tg t tg b tga tgc tg tg a tg c sin (a - b) sin (b - c) sin (c- a) sin a sin b sin c cos a cos b cos c' cos (b -- c) cos (b 4 c + dc) + cos a cos (a + d) cos (c - a) cos (c + a + d) + cos b cos (b +- d) cos (a - b) cos (a + b + d) +- cos c cos (c + d) cos a cos (a + d) + cos b cos (b +- d) + c cos cos (c + d) - cos (, sin b sin c sin (b - c) [sitn b + sin2 c + sin2 (b - c)] + sin c sin a sin (c - a) [sin2 c +- sin2 a + sin2 (c - a)] + sin a sin b sin (a - b) [sin2 a + sin2 b + sin2 (a - b)] A- sin (b - c) sin (c - a) sin (a - b) [sin2 (b - c) - sin2 (c - a) + sin2 (a - b)] 0. 20. Prouver que 'on a: 1 1 1 7r arc tg - ar t- + arc tg arc tg - 2 5 8 4' 1 1 1 1,: arc tg q- +ar t4 g - arc tg - - arc tgg - 3 5 7 I 8 4 1 1 1 arc tg - arc tg - arc tg - 02.p- 1 Z) 2v + I Z 2pA Dans ces egalitfs on prend pour ddtermination de l'ar tangente, celle qui est comprise entre 0 et -. 21. A, B, C 6tant tels que A + B +- C — 90o, on a: tgAtg B +- tg B tg C + tc C tg A= 1. 22. A, B, C etant les angles d'un triangle, on a: tg A + tg B + to C = tg A tg B tg C, 2(1 - cos A cos B cos C) = sin' A + sin2 B + sin2 C, sin A cos B cos C + sin B cos C cos A + sin C cos A cos B = sin A sin B sin C, cos A sin B sin C + cos B sin C sin A - cos C sin A sin B = 1 + cos A cos B cos C, sin3 A sin (B - C) + sin3 B sin (C - A) +- sin3 C sin (A - B) = 0, sin3 A cos (B - C) - sin3 B cos (C - A) + sin3 C cos (A - B) = 3 sin A sin B sin C. 23. Ddmontrer que l'expression cos2 x - 2 cos x cos a cos (a + x) + cos2 (ra + x) ne ddpend pas de x.

Page  81 MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS. 81 CHAPITRE 7111 MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS 82. Enonce du probleme. - Le problrme general (ie la multiplication ou de la division des arcs est le suivant: Connaissant Ics lignes trigonom1etricqtes d'lun arc a. calculer, en a fonciio dCe ces li7gnes, les lignes trigonom(triqite ces des cs na ot -. 11 Nous nous contenterons 6videmment de traiter ces questions pour les trois lignes fondamentales, le cosinus, le sinus et la tangente. 83. Multiplication des arcs. - Duplication. - Pour avoir les formules qui donnent les lignes trigonometriques de Farc 2a, il suffit de faire dans les formules [38], [39] et [40] b -- a; car, alors, a +- b devient a - a = 2ta. On obtient ainsi: [41] cos 2a = cos' a- sin2 a, [42] sin 2a = 2 sin a cos a, [43] g a 2 ta On peut observer, qu'en tenant compte de la relation cosC a + sin2 a, cos 2a peut s'exprimer ratioinellementi soil en fonction de cos a seulement, soit en fonction de sin a. La formule [41] donne, en effet, cos2a - 2cos2 a - 1, ou cos2a - I - 2sin2 a. 84. Cas general. - II est facile, ayant calcule les lignes de l'arc 2a, de calculer, de proche en proche, celles des arcs 3a, 4a, etc. En effet, si l'on considere 3a comme la somme 2a - a, on aura: cos 3a - cos 2a cos a - sin 2a sin a, sin 3a = sin 2a cos a +- sin a cos 2a, tg3a, tg2a + tga I - tg a.tg 2a LESONS DE TRIGONOMIETRIIRE. 6

Page  82 82 82 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIlE. En rempla~anl, dans ces Cgalitds, cos 2a, sin '2a et tg 2a par leurs, valeurs [411, [42] et [43], it vient, toutes simplifications failes, ('I cos 3a -cos' a - 3 cos asin 2a, ('2) sin 3a 3 sin a osa - sin3 a, (3) tg3I 3tga - tg~a tg~a~ i-3 tg2 a on aurait pu, d'ailleurs,7 obtenir encore ces formules en faisant dans calles du n0I 78, qui donnent les lignes de lFare a -[ b + c, a - b _-c. En tenant compta des edgalitds Cos 2a - I1 - sin2I a sin2 a -- I - cos2 a, on pent ecrire aussi (4) ~~cos 3a 4 cos a - 3cos a, (~~~) ~sin 3a 3 sin a -4Asin' a. Connaissant les lignes trigonometriques de Fare 3a, on calculera, de medme, celles de lFare 4a en considdrant Zia comma la somma 3a + a et en remplagant dans le second membra cos 3a, sin 3a, tg 3a par laurs valeurs (I), (2), (3) Et ainsi de suite. Pour avoir des formulas g~n~rales donnant cos ma, sin ma, tgrnm, it suffiraiL, dans les fornmilas [~x], [~] at [y], du no 79, de faire las m arcs at, b, c A,1 gaux et e'aaux ai a (voir le chapitra ii de I'Appeadice). 85. Division des arcs. - l1ldmentairament, on na pant rdsoudre. la probl~me de la division d'un arc qua dans las cas oti la divisaur n est una pttissanca da 2. Ca sont, an effat, las seals cas qui conduisant a rdsoudra des 6quations dont la dagr6 na ddpasse pas la second. NouLs na tr~iiterons donc, ici, qua. ces cas-l;a, mais nous indiquerons capendant la marchea gdndrala a suivre () Supposons qu'on se donna une ligne trigonomdtrique, par a example cos a, at_ qu'on vauilla calcular las lignes de I arc -. Pour cala, on 6crira la formula qui donna cos na an fonction da cos a at a sin a. Dans catta formula on ramplacara a par - at on obtiandra una, n (1) Voir le chapitre ii do IlAppendice, pour les autres cas.

Page  83 MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS. 8 a a relation entre cos a, cos - et sin -~.En adjoignianL a cette relation it n 1'6galit6 Cos2 ~ + sin2 n n. on aura denx 6quations pour determiner les deux inconnnes a a ( Cos - et sin -. Si on se donnait tg a, en rempla~ant, dans la formule qni donne tguna en fonction de tg a, a par-a, on anrait, de snite, nne 6quation donnant tg-. ni Appliquons ces g~n~ralit6s an cas de n -2. 86. Probldme. - Connaissant cos a calculer les lignes 1rigonomeIriques de Pal'ar 2 On a, d'apr~s la formule [41], cos Qa -cos2 a - sin a (. Rempla~ons, dans cette 6galit6, a par et nous avons 2 a 2a Cos - _ sin2- cos a (1) ~~~2 2 qui, avec la relation (2) Cos- + sin' - =K 1 ~~~~~~~~a fournit un syst~me de deux equations a denx inconnnes Cos- et a~~~~~~~~~~~~~~~~~ sin a. En ajontant et retranchant, membre aL membre, les 6qnations, (1) et (2), on en tire d'abord les 6galit~s importantes [44] 2co2 oa 2 a [45] 2 sin2- I - Cos a. 2

Page  84 84 84 ~~~~LECONS DE TflIGONOMIETR1E. Ces relations donnent, enfin, (3)2 qui, divis~es membre, a membre, donnent (4) tgjzrn~a "I - Cos a 2 ~~+Cos(( Les formules (3) eL (4) r~solvent la question. Chacune de ces 6galit~s fournit deux valeurs pour chacune des t~rois lignes trigonom~triques. C'est 1a uLn r~sultat facile a expliquer et cette explication pent se donner sons deux formes diff~rentes. Ce qu'on se -donne, en effet, cc n'est p~as 1'arc a, mais- son cosintis. Le probl~me r~solu est donc le suivant, trouver les lignes trigonom6triques des moiti~s de toes les arcs qui admettent nn cosinus donn6. i0 On saiL que, si oc d~signe Fun des arcs dont le cosinus est 6ga1 a cos a, totus les arcs at, admettant ce cosinus, sont compris (no 46) dans la formule [23] a -- 2 k -t ~- v_ ofi k est un entier, positif, n~gatif ou nut. Les rnoiti(?s (le tons ces arcs sont donc donn6es par la formule: a Si k est p~air'-, on a sin ~sin" cos k7Cos tg (k - ~- ~ 2g

Page  85 MULTIPLICAiON ET. DIVISION DES ARCS.8. 85 Si k est impair, on a sin (k7 ~ F- sin tg ~ ~ -4 O t On en conclut que les sinus, cosinus et tangentes des ares consid~r~s ont, chacun, respectivement, deux valeurs Cgaies et do signes contraires ~-~ sin ~4 cos -, ~J tg- -. Cest ce que nons donnent les, formules (3) et (4). 20 On pent encore raisonner de la fa~on suivante. Faisons d'abord une remarque qni nous sera utile dans la suite. Soient A et M (fig. 34) deux points du cercie trigonomk rique. SoiL N le milieu de Farc g~om~trique AM, dGcrit par un mobile allant de Aen M dans le sens positif; N, le point diamikralemenL opposi6 aN. Les moiti6s des diverses determinations de l'arc AM sont les diverses determinations des ares AN et AN,. Soit, en effet, a le pins petit arc 6>~ positif AM, de la fa~on meme dont nous avons choisi le point N, lFarc -, qu~i a son origine en A, est Lermin6 en N. Tontes les d&Lerminations de Fare AM s'obtiennent en ajontant a a un Multiple entier (posilif on n~gatif) de circonf~rences. Les moiti~s de tontes ces determinations s'obtiennent donc en ajontant a - unnimultiple entier 2 (positif on n~gatif) de demi-eirconf6rences. Si ce multiple est pair, lFarc correspondant sera congrnuf - et sera termin6 en N. Si co mul2 tiple est impair, Fare sera congru 'aa + -xet sera termin6 enN (no 18). Ceci pos6, soiL x'x (fig. 314) laxe des cosinus des arcs d'origine A. Prenons, sur cet axe, le seg~ment OP 6ga1 a cos a. Tons les arcs a (I) Dons ceo six 6g-alitds leo signes suIp6rieurs et infdrieurs se correspondent.

Page  86 86 86 ~~~~LECONS DE TRiGONOM1ETLUE. sont terminis aux points M et M' situ~s sur la perpendiculaire en P a a xx'. Les arc s 2- sont donc, d'apr~s la remarque pr~c~dente, termin~s e n N. o u N, IN' o u N'J, N Rtant le milieu de l'arc g~om~trique AM el N'1 le milieu de lFarc AM'. Or, N et N' 6tant sym~triques par rapport a xx', la figure NN' NN' est un rectangle dont les c0~ soul parall~les aux axes x'x et y'y. 11 en r6sulte que les arcs termin~s aux It t, I FIG. 34. quatre sommets de ce rectangle n'ont que deux -valeuLrs (6gales et, de signes contraires) pour leurs cosinus OH et OH'; deux valeurs pour les sinus, OQ et OQ'; deux. valeurs pour les tLangentes AT et AT'. REMARQUE. - Si, en me'me temps qu'on se donne le cosinus, on se. donne aussi l'arc, 1'ambiguit6 du signe disparai't. Car d~s qu'on connai't F'arc, on sail (-voir le -tableau du no 41), quel est son signe suivant le quadrant ofti il se lermine. EXEMPLE. - Calculer ics lignes tvigowlmeriqueCs de l'arc -sachant #jue COS - =4 2

Page  87 MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS. 87 L'arc etrant termlin6 dans le premier quadrant, toutes ses lignes sont positives; il faudra done dans les formules (3) et (4) prendre le signe (-). En appliquant ces formules, on a: 7-,1 C2 87. Probleme. - CaClculer les l/ygnes t1igonozoetriques de l'arc - connaissant sin a. D'apres la formule [42], on a; sin 2a - 2 sin acos a. Remplacons, dans cette 6galit6, a par a et il vient aI a (1) 2 sin 2 cos -- sin a, qui, avec la relation (2) sinl2+COS2 - 1, a a fournit un systeine de cleux equations a deux inconnues sin - et cos -. ~~~~2 )2 (1) On a, en effet, /2+ / (2+ + /) (-2 2, 2 )2 puisque ( + \) (-\/) = - (), _

Page  88 8S LECONS DE TRIGONOMETIlE. Pour r6soudre ce systenme, ajoutons et retranclons successivenent l'egalit6 (1) de l'egalit6 (2), nous avons sinl -+- cOs2 - ~ 2 sin, cos - 1 - + sin a, 2 2 2 aI a a. sin2 - + cos" — 2 sin cos -- 1 -- sin a. 2 2 2 2 Ceci s'ecrit: l (^I a I a o sin i - cos - sin a. Designons par ~ une quantite egale + 1 ou a - 1, de meme par ~' une quantite 6gale aussi a + 1, les 6galites pr6ecdentcs donncnt: sin - - cos - s /1 +- sin a, '2. '2.a (t /sin - cos - / -sin a. 2 2 De ces deux relations on tire, alors, a I sin - = [sL \/'1 - sin a- /+ i/ -Sill a], f cos - [ \/1 sin a - ' V1 - sin 7]. 2 2 Comme on peut prendre pour s et E', a volonte, - 1 ou - 1, l'on a a voit que sin et cos - ont chacun qucatre valeurs. Ces quatre valeurs 2 '2 se correspondent, car des qu'on a choisi une combinaison de signes a a pour sin -, celle qu'il faut prendre pour cos - est parfaitement deter2' midee. On peut remarquer que les quatre valeurs du sinus sont les mimes que les quatre valeurs du cosinus, mais ce ne sont pas les valeurs egales qui se correspondent. Ainsi, si lon prend - +, ' =-1,

Page  89 MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS. 89 on a: sin [V/i +- sin a- V - sin a, a /1 as - 2 Cv/1 + sin C + '1 - sill CG1 cos ~- i /'I - sin a + V'I - sin a. 2 2 En divisan les formules (3), membre a membre, on a tg: (4 ) a t ~~ -s-I +sin a -- s' /i - sin a 2 V IS Iin1 a- sin - sin a II semble, an premier abord, qu'il y a aussi quatre valeurs pour tg -, mais il est facile de se convaincre qu'il n'y en a en realite que deux. Multiplions, en effet, les deux termes de la fraction (4) par ~ et remarquons que -c (- ) + i, nous aurons: a /I1 - sin a +- s V/1 - sin a 2 i/ + sin a - sI' \/ -sin a On voit bien, ainsi, qu'il n'y a que deux valeurs, car s' est 6gal a + 1 ou - 1. Ces deux valeurs sont 1l +- sin a + v' - sil a /1 - sin a -/ sin V/i - sin a - \/1 - sin a /I -1- sin a + VI - sill elles sont inverses l'une de l'autre. Les r6sultats pr6ecdents sont faciles a expliquer. Ce qu'on connait, en effet, ce n'est pas l'arc a, mais son sinus. Les formules (3) eL (4) fournissent done les lignes trigonom6triques des moities de tous les arcs dont le sinus est 6gal a sin a. Io Soit a un arc dont le sinus est 6gal a sin a. Tous les arcs a, qui adinettent ce sinus, sont donnes par les formules [24] Ct = 2/1z +., Ca = (2k + 1) x -- aI Leurs moities sont done donnees par: a /1t a. t I +' 2 2Q 2 2 2'

Page  90 90 90 ~~~LECONS DE TIRIGONOMETBIE. Si k est pair, on a C/. cos L~T Fa=)zCcos -, 5il ~ -> sin, si, CL\ ') 2/ 2 ) csk +-H - - sint g (kr -H -r- ->zcotg-. Si k est impair, cos k7 + <zz- COS 2'.2 2 '~~~~~C Ct 21 7 0 2 L \\' 4 221 zz OS2 C4 On youL bien, sur ces egali[6s, que ]es divers arcs - ont quatre 2 valeurs pour le sinus ou le cosinus qui sont 0C.L. HCos- ~ sin - - 2' 2 et se-ulement deux valeurs pour la tangente, inverses l'une de lFautr e, C/. tg - et coy2 - tg 20 Donnons encore une explication g~om~trique.. Portons sur i'axe y'y des sinus des arcs d'origine A (fig. 35) un segment OQ 6gal at sin a. Tons les arcs d'origine A, qui ont O-Q pour sinus, sont termin6-s en inn des deux points M on M' situ~s sur la perpendiculaire en Q it y'y. Soit N le milieu de l'arc g~ornitrique AM et N' le milieu de l'arc AMM' (fig. 35), tous les arcs termin6s en M on M' ont des moiti~s termin~es, d'apr~s tine remarq-Ke faite plus haut, en 1'un des quatre points N, N', N, on N,' (N.1 et N1' 6tant diam~tralement opposes a N et N').'La figure NN'N1N1' est un rectangle, mais dont les

Page  91 MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS. 9 91 cot~s ne sonL paral1l1es ni at x'x ni a y'?Iy; les projections des quatre sommets stir les deux axes sont'donc quatre points distincis. ii y a quatre valeurs pour le sinus et quatre valeurs pour le cosinuis. IL n'y a que deux valeurs pour la tangente, puisque les points sont, deux a deux, diam~tralement opposes. Ii est facile de v~rifier, sur la figure, l'identitW des quatre valeurs du cosinus a celles du sinuLs; car l'arc ge'om~trique AMM' 6tant le /I FIG. 35. suppl~ment dle lFarc g~omkrique AM, lFarc g~om~trique AN' est le compidmenL de larc AN. Ii en r~sulte que 1'on a arc AN - arc BNY d'o4i r~suite le, fait 6nonc6. REMARQUE. - Si, en meme temps que le sinus, on se donne Farc,, 1'inde'termnination des lignes de lFarc moiti6 disparait. 11'sera facile de reconnaitre quelle est la conmbinaison des signes s e t E' qu'il

Page  92 9 2 LECONS DJE TRIGONOMETRIE. faudra chioisir. Soit, en effet, a tare doronj, les formuLles (3) et (4) donnent les lignes des quatre arcs a a 7t a a 3 -Pour savoir, par exem~ple, quelle valeur ii rant prendre pour avoir sin aI'nous chercherons d'abord dans quel quadrant lParc a- se termine, 2~~~~~~~~~~~~~~~ a et ccci nous renseigne sur le signe de sin Connaissant le signe, ii ne nous reste pins a choisir qu'entre deux valeurs; car les formnules (3) donneut deUiX valeurs positives et deux valeurs n~gatives. Nuns chercherons, a eet efleL, cetni des trois arcs + -, - + ci0 at 37: a + dornt le sinus a le meme signe que sin' Lna oprrn 2 -2:2 e oioprrn la grandeur relative de son sinus a celle de sin_ anonus saurons ainsi a si sin - est la plus grande on la plus petite des deux quantites ai 2 choisir, en valeur absolue. Pour comparer les grandeurs relatives des sinus des deux arcs, it suffit de les ramener an premier quadrant (no 57);c'est, alors, le plus grand arc qui a le plus grand sinus. EXEMPLE. - Calcutler les ligiies trif/onom~1riquies (le / 'crc sachant que 8 41 2 b'areg~appartenant au premier quadrantson sinus est positif. L'arc ~ 1-~a aussi un snuOs positif et, Si on le r~duit an p-remier quadrant 28 7: 7C~~~~~~~~~7:7 on en conclut cjue sin- est la plus petite des valeuirs positives fourniies par 8 la relration (3).

Page  93 MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS. 93 11 faut clone prendre, puisque sin-l 0, t = -+1, ' = ---1 et on a: si; r. 1 /;2+\2 /2 -osill V2+Y2 - 2 t V2V 2 4+ - -- /2 tcos - - - + ' Reimarque. - Dans l'exemple du numero precedent, nous avons, de meme, calcul6 ]es lignes de l'arc, en partant du cosinus. Les expressions que nous avons trouvees doivent etre dgales a celles-ci. En egalant les deux valeurs trouvds pour le siinus et le cosinus, par exemple, on arrive, ainsi, tA l'tgalile + ~ \/ 2 =\2Y (1 ) 88. Probleme. - Calctuler ig connaisscant Ig a. La formule [43] donne: 2Ltga tg 2a - = i - tg a Dans cette 6galite, remplacons a par -- et il vient: 2tg2 tga —, 1 - tg'j (1) D'une maniere gdnerale, on a l'egalite \/~ ~ t =!a +/_. Si on pose: a = A et a2 - b B, et si b est un carre parfait C2, on retrouve la formule de transformation de l'expression tablie dans mes Lecs d'Algebre, nos 171-174. 6tahlie dans mens Lecons d'Atlglbre, nOS 171-174.

Page  94 94 LECONS DE TRIGONOMETIIIE, qui donne Lg -en fonction de t~g at. Chassons le dGnominateur et ordonnons a a (I) tg atg2 + 2 Lo -LgaaO. 2 '2 On a la une 6quation dn second degr6 en tg -- qui a touj ours deux racines dont l'nne esL linverse chang6 de signe de I'a-dre puisque le produit des racines est 6gat a, - 1. En r~solvant, on a done: tga — I~\,'I ~ tg2 2 ~~~tg a Li est ais6 d'expliquer ces r~sndtals. On se donne Lg a at on trouve les tangen Les des moiti6s de tons'les arcs admettant cetta tangente. Or, si a~ est 1'un de ces arcs, Ions les antres sont compris dains la formule [25] a — kt -, z +. Les moiti~s, de ces arcs -soul done donn-6es par la formule 2 2 2 Si kest pair, k-=2k' ona: tg k - + - g/.7+- t Si k est impair, k -2 k' + 1, on a Las arcs -out donc deux tangentes tg - at - cotg - dont 1'une est bien l'inversa chang6 de signie de I'autre, puisque cotg -j tg - On pourrait aussi donnar, comma plus haut, une interpr~tation g~omkLrique. Nous laissons an lactaur le soin de le faire.

Page  95 MULTIPLICATION ET DIiSION DES -ARCS. 9 95 REMAIIQUE. - 11 est clair que si, aver la L'angente, on se donne 1'arc, l'ambiguik6 disparailt. On saiL d'avance quet doit e'tre le signe de la tangente; on sail donc d'avance quelle racine il faut choisir. EXAEMPLE. -Calcider tg S, sahant que L'angle 7' Mant plus petit quuni quadrant, sa tangiente est posititve on devra douc prendre la racine positive de 1'6quation (I) qui, dans, le cas present, est t cy~2tc2 L —1- =0. ~8 '8 on a doiOc, Cest Ia valeur que nous avions d~jat trouv6e aurio 56. 89. Th~or~me. - Les ligrnes trigon~ometriques dvn~ arc pettvent s'exprimer rationnellement en fonclion. de la tan gente de l'arc moitid. La proposition est 6vidente pour la tangente, car on a (nO 88) 2 tg [461 tg az I _ tg2 7. On a, d'autre part (no 87 ('1)) sin - a a 2 a, sin a-=2sin -cos - -2 -cos2 -2 2 a 2 2 Or, puisque, d'apris les formules [31] et (36], a sin - Cos - 2a I 209 a' '1-+tg2 -

Page  96 96 LECONS lDE TRIGONOMETRIE. [471 sin a - 2tg,~~ a 2 Enfin, comme sin- a cos a - tg a. on a, en divisant, mem-bre at membre, les formuLles [46] et [47]. I-tg2 141 8] cos a.Les trois formules [46], [47] et [48] montrent bien que tg a, cos a ci sin a1 s'expriment rationnellene~it en fonction de tg -.I en est, 6videmment, de me'me pour leurs inverses cotg a, s~c a, cosec a. 90. Divisions par 4, 8, 16, etc. - Dn moment que nous savons r~soudre le probli~me de la division par 2, nouas pouvons, en r~p6 -tant cette division pluisieurs fois de suite, resoudre, la question dans las cas des divisions par 4, 8, etc.;en g~n~ral par '21P. En effet, supposons qu'on connaisse cos a. On a, comme, nous l'avons vu (no 86), a I + cos a V 2 si.a t1 -cosa 2 n~ V 2

Page  97 MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS. 97 Or, en changeant dans les formules a en, il vient cos ~ -4- cosa 2 cos 7 — ~ — * SH1 4 = - 2 /a sin -- -__ — ~ 2 / a I q+ cos Remplaqons, dans les seconds membres, cos par sa valeur ciCOS4 +\/~2 dessus et nous avons, en posant s - ~ 1, /1 E t + cos a cos V — I 2 2 — / d -+ Cos (( tg - =-~ 1 q- cos a Le probleme de la division par 4, lorsqu'on se donne cos a est donc r6solu. On traiterait de meme la question lorsqu'on se donne sin a ou tg a. En changeant, ensuite, dans les formules (1), a en 2 puis, en remplacant, dans les seconds membres, cos - par sa valeur, on aurait les lignes de l'arc -, connaissant cosa; et ainsi de suite. LEIONS DE TRIGONOMETRIE. 7

Page  98 98 LECONS DE TRIGONOMETRIE. On peut remarquer qu'on peut avoir, pour un meme cas, des formules diff6rentes d'aspect, suivant qu'on prend les formules du n0 86 ou du 1n 87 comme point de d6part, mais les diverses formes ainsi oblenues doivent etre equivalentes. On pourra, comme exercice, le v6rifier. EXERCICES 24. Verifier les 6galites suivantes: 2 sin a tg 2a - tg a -- cos a + cos a' sin 3a sin a tg2 2'a - tg2 a = co-22acos2 a ~0 Z ~COS2 2a COS2 a' sin 5a sin at = sin2 3a - sin2 2a, sin 7a sin 3a = sin2 5a - sin2 2a, tga 2a -tg2 a cos 2 - cos 4a tgo 3a t a -C- -- 3 t1 - t 2a tg2 a cos 2Ca + cos 4a' cos a - sin a tg 2a -- sec 2a- - cosa Sill a' 3 +- cos 4a tg2 - +cota2 C-1 - 1 - cos 4a sin 2a cos a a -- tg - 1 - cos 2t 1 +- cos a 2 2 sin a -- cotg + tg 5 2 a 2 (coa - tg ) (1-2 tga cota 2 Z) =_ -1, 1 + tg + sc ( + tg sec sin a - see - sin a s0 C, sin3a = 4 sina sin + a)sin (-ta), tg - 2 + +cotg (+ - = sec 2c, 4 (i-2) = \+ / it 2. /7 I./I - sin x (- 2= V - + sin x 25. A, B, C 6tant les angles d'un triangle, verifier les egalites suivantes: sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C, cos 2A + cos 2B + cos 2C + 4 cos A cos B cos C + 1 = 0, cos 4A + cos 4B + cos 4C + 1 = 4 cos 2A cos 2B cos 2C.

Page  99 TRANSFORMHATION DES SOMAMES EN PRODUITS. 9 99 26. DWmontrer juO 10171 a 4are tgp — a r P' t- -- 0 2394' 11 i 2 arectg-+ are to, -j les arcs (tant compris ontro 0 et -. 27. Sachatit quo sill 300 - calculoL' los lignes des angles do 15o et de'o 30'. 28. Los angles 0 et it v6rifiant l'~galiI6 (~+ e cos 0) (1 - e cos it) 1 lmontrer quo Von a aussi O 1 +e It tg-2 — to,2 -CHAPITRE VIII TRANSFORMATION DES SOMMES EN PRODUITS 91. Transformation d'un produit de sinus et de cosinus en line Somnme. - llcrivons los edgalit~s [38], [39], [38]bis ot [39]bis qui donnent los cosinus et les sinus des arcs a -j- b et a' -b [39] sin (a 4- b) sin a cos b +sin b cos a, [39]bis sin (a - b) sin a cos b -sin b cos a, [38] cos (a -1 6) cosa cos b - sin a sin b, [38]bis cos (a - 6) cos a cos b + sin a sin b. Ajoutons et retranchons les 6galiL~s [39] e t ['39]bis, il \vient (') sin (a + b) + sin (a - b) -- -2sin a cos b, (2) ~in (a + b) - sin (a - b) - 2 sinb cos a. Do melmo, ajoutons et reiranchons les 6galit~s [38] et [38pbis, I-OU avons: (3) cos (a + 6) + cos 'a - 6) 2 cosa cosh, (4) cos (a -b) - cos (a + -b) 2 sin a sin 6-.

Page  100 100 100 ~~~LECONS DE TRLIGONOAMITLIE. Des quatre relations (1), (2), (3) et (4) on tire, alors, les suivantLes qui transforment des produits en sommes sin a cos 6 [sin (a ~ 6) +sin (a - b]' sin 6 cos a [sin (ai + bl) - sin (a - 6))], [49] 1 cos a cos b [cos (a + 6) cos (a - b'j, sin a sin b6 csl )-cs' ) REMARQUE. - Ponr retenir ces formules, ii est bon de porter son attention sur ce fait que, dans la formale qni donne sin a sin b, c'est cos (a + b) qn'on retranche. 92. Transfornmation d'une somme de sinus et de cosinus en -tin produit. - Les formnles (1), (2), (3) et (4) dn num~ro pr~c~dent r~solvent imm~diatement la question. Nous les 6crirons sons une forme plus commode. Posons: a +b -p, a - b zq. On aura: a-p +q =p.-q 2 ' - 2 Portons ces valeurs dans les 6galit~s (1), (2), (3) et (4) du no 91 et nouis avons sinp + sin q _-2 sW Cosq p2 2' Usin p - sin q -2 sin pq Cos 2 j ~~~p +q p-q cos p +cos q -2 cos 2 Cos 2 p +Hq p -___ cos q — cosp - 2 sin 2 sin 2 Ii est bon, ici aussi, de porter SOn attention sur le fail qne, dans la derni~re formule, c'est Fare q qui est le premier. Remarque I. - Les formules [50] nre donnent le moyen de transformer en prodnits qne des sommes ou diffuirences de deux sinus

Page  101 TRANSFORMATION DES SOMMES EN PRODUITS. 101 ou de deux cosinus. Si l'on avail la somme ou la difference d'un sinus et d'un cosinus, on ram6nerait ce casa l'Lun des precedents en changeant l'un des arcs en son complement. Ainsi: sinp + cosq -- sinp ~ sin (- q); done sin + cos q -- 2 sin 5 cis ( 2 ) Remarque II. - Les egalites [44] et [45], sur lesquelles nous avons attire l'attention au n" 86, ne sont que des cas particuliers des deux dernieres formules [501. On a, en effet: 1 + cos a cos 0 + cos a, I - cos a cos 0 - cos a. En appliquant les formules [50] oii lon fait qC 0, 1) = a, on a done: [44] 1 + cos a '2 cos2 2' [451 1 - cos a = 2 sin. 93. Application I. - Transformer I'expression sinp - siln q sin p + sin q On a, en vertu des egalit6s [50j, sin q 2 sin p -q cos p + q os p -q 2 sn COS COS. sin p - sin q 2 2 2 sin p +- sinq - ) ci p - Q P + 2 sin - cos 2 sin c p -q

Page  102 102 LE(CONS DE TlIGONOMIETITE. Ceci s'ecrit: tg Psin p -- sin c/ 2 ~[51] sin p - sin q p - tg 2 qui est une formule d'un usage frequent. 94. Application II. - TIrasformer la somme sin A + sin B + sin C - sin (A - B -- C) en un prodcit. On a: B —+C o B - C\_ sin A - sin (A + B + C) - - 2sin cos (A + ) B Cp. B-C sin B - sin C = 2 sin 2 cos 2B 2 2 En ajoutant, on a done: sin A + sin B + sin C- sin (A + B - C) 2 Si CosL -cos A + B+ ). 2 2 s 2 Or, d'apres [50], cos K- 2 cos A4 — * - )/C 2 sin ---- sin 2 \ 1 C+A AB 2 on a donc, finalement, (1) sin A + sin B + sin C - sin (A +- B - C) B -- C. C-+A. A- B = 4 sin Sill sin - REMAiQUE. - En remplacant, dans la formule (1), A, B, C, respectivement, par 90~ - A, 90~ - B, 90~ - C, on a la nouvelle formule: (2) cos A + cos B - cos C + cos(A + B + C) B- C C -A A +B 4cos 2 cos 2- cos 2 2 2

Page  103 TRANSFORMATION DES SOMMES EN PRODUITS. 103 CAS PARTICULIER. - Dans le cas particulier oi les angles A, B, C sont les trois angles d'un triangle, on a: A + B + C -X80~, A+B+C= 0 A, + 900 -, 2 2' C+A B A -+- B 900 C 2 2' A B C (3) sin A + sin B - sin C 4 cos - cos! cos, A B C (4) cos A,- cos B - cos C - I 4 sin - sin - sin. 2 2 2 95. Application III ('). - Sommne des cosimzs ou des sinus d'arcs en progression (arithm6tiqee. Soil: S = cos a + cos (a --- r) + cos (a - 2) -L... -- cos [a + (n - ) 2'] la somme des cosinus de?m arcs en progression arithmetique (2), a etant le premier terme et r la raison. Consid6rons les produits des divers termes de cette somme par 2 sin - e transformons ces produits en differences. On aura, en appliquant les formules [49], 2 cos a sin = sin (a - sin ( - a2 2-Q 2/ -sin 2 c ) 2 cos (a + r) sin - in ( sin ( - - (a 1 -L ' 2 cos (a - r) sin sin (a — sin (a 3 2 cos [a + (n - 1) r sil - sin a (2a-1)] - sin a + (2 - 3). (1) Le lecteur pourra, dans une premiere lecture, passer ce paragraphe. (2) Voir, au sujet des progressions arithmetiques, les nos 129 et 130 de mes Lecons d'AlgAbre.

Page  104 104 104 ~~~LECONS DE ThlGONONMLTL1E. Ajoutons toutes ces 6galit~s, merubres 'ai membres. Dans le preml-ier nmembre, nous pouvons miettre 2 sin - en facteur. Dans le second menibre, 2 tous les termes se d6truisent deux hu deux sauf le dernier terme de la premi~re 6galit6 et le premier terme de la derni~re OgaliL6. Ii vient dono 2 S sin -=sin [a +1 (22n - I) -sin (aqRemplacons le second rmembre par urn produit 2 Ssiul=-2 sin icos a (it-1 - 2 2 L2i et Von a, enfin., sin 7Cos [a +(n- i)j 2 Posons, de mehne, On pent calculer SI de la me'ne facon cjue nous avons calcul. S en consid~rant le prodluit 2 5' sin - et faisait los m~niees transformations; 2 mais il est facile de d~duire directement la valeur de SI de Celle de S. Remplacons, en effet, dans 1lexpression de S, a par - + a. Si l'on se 1 2~~~~~~~~~~~~~ rappelle (no 35) que Cos +x =-sin x,,on voit que cette transformation change S en- SI. Effectuons-la sur les deux memnbres de l'MgAhi (I) et il vient nr7 r21 sin - sin - 2 2 d'oft sin - sin a~+(n -1)] (2) S/ 2= r sinl 2

Page  105 TRANSFORMATION DES SOMMES EN PIIODUITS. 105 96. Transformation d'une Sonmme de tangentes. -On a: sill p ~sinl q __sill])o COq -~- sin q cosp tgp ~tg q cosp Cos q cosp cos q Le num~rateur du dernier rneinbre est sin (p ~~ q) et on a, par suite, [52] tgp ~7tg q 5-l(p~q cosp cosq De meme, cotgp 4-cotg q eosp cos q sin q cos p ~_~ sin p cos q sin P sin q Sill] sin q Le nurn~rateur du dernier memnbre est sin (q ~-J p); on a donc sin (q ~p) [53] coIgp ~ - CotgqC - 5fl La formule [53] se d~duirait, d'ailleurs, facilement de la formule [52] en remnplaeant, dans ceLte derni~re, p et q, respectivement, par - pet - -q. REMARQUE. - Des d~eux formules [52] separees on conclut, en les divisant membre a membre, tgp -- lg q sin (p - q) tgp + tgq sin (p -1 q) Les formuiles [53] donnent, de me'me, cotgp -cotgcq sin (q -p) cotLg p-1cotg q sin (q + p), 97. Application. -- 7Transforinev les expressions '1~tga,~i - tg a '.1 + tg a' Remarquons que (iio 72) tg 1. On a donc 14~ tg a tg T~ ta;

Page  106 106,LECONS DE TRIGONOMEtlI1E. et, par suite, sin-t ) a 2 sin( -4- t)\ (1) '1 -~ tga c 7r~ ~ COs a cos -. cos a 4 On d6duit de la, ( i2 '~~ tga. sin (- - t (2) 1 Ltg4 - + tga V4 I t - 7~rs: 7 i a car, les arcs - at et - a ctntan complementaires, sin (7 + a) -cos - - a. 4I\ 4 Remarque. - Si A est un arc exprime en degres, on a \'2 sin (4o~ -~ A) (3) 1 -tg A -- cos - *cos A - tg A sin (4'5~ - A) (4) tg (44) A). 1) tg A sin (4j5 t- A)EXERCICES 29. Transformer en produits les expressions: sin a + sin 3a + sin 9a - sin5 a, tg (a + b + c) - [tg a + t + tgc], - 1+ cos2 + CO2 cu + cos2 + 2 cos) cos p. cosJ, 1 - cos2). - cos2 i - 2 + c os2 - 2cos). cosp. cosu, tg, (a - b) + tg (b - c) + tg (c - a). 30. Ddmontrer l'egalit: 4tcosa cosb = cos (a + b) + cos (a - b) + cos (- a + b) + cos (- a - ); plus generalement: 2 cos a cosb cosc... cosl = c(s (- a - b ~ c... ~ 1) n etant le nombre des arcs a, b, c,... 1.

Page  107 TRANSFORMATION DES SOMMES EN PRODUITS. 101 31. Demontrer que si l'on a: sin x -+- sin y- sin x sin?/, On a aussi: cos -2 - s 32. Prouver que l'on a, quel que soit x, sin x + sin (x + - + sin (x + 3- 0; 2 7x 4 nr cos x + Cos + + cos -- 0; plus gen6ralement, que l'on a:.2; /~ 27r' / 4l '2 (n - 1) 477\ sinx + - 4-sin +.. sin + ^ sn + - -- / i7\ / 47' / 2 (2-1) 7T cosx +cos +- ) + Cos + -) +... + cos + -A - n n etant un entier quelconqlue. 33. Calculer la somme dles carres des sinus d'arcs en progression arithnetique. Aleme question pour les cosinus. 34. Demontrer les propositions suivantes: Th6oreme. - Le produit des sinlns (de deux arcs posilifs, dont la somme est conslante et aut plus egale Ca x, augmente lo'rsquoe la valeur ahsolue de la diffe'rece de ces deux arcs diminae. Corollaire. - Le produit precedent est maximum lorsque les deux arcs sont er/aux, s'ils peuvent le devenir. Gen6ralisation. - Le produit des sinus (d'n nombre quelconque d'arcs positifs, dont la somme est au plus egale ad r, est i2fedrieuur ou au plus egal au produit, obtenu en remplacant chacunl de ces arcs par leur moyenne arit/hmetique. Ainsi, x', x'...1 etant n arcs positifs tels que %1 + X2..- +, < -7, on a: sin x. sin x... sin x < sin (X +..+. + ^ Corollaire. - Le rloduit des sinus cl'un nombre quelconque d'cacs posilifs, cont la solmme est constante et au plus egale Tr, est nmaximum lorsque tons les arcs sont egaux s'ils peuvent le devenir. - Les propositions precedentes s'appliquent encore aux cosinus polurovt que chacun des arcs posilifs clonnl s soit plus petit que -, leui somme elant plus pelite que o.

Page  108 108 LECONS DE TRIGONONMEITRIE. -- Elles s'appliquent, dgalement, aux tangentes pounZv que la sonmme des arcs positifs consideres soit plus petite que - (n se servira, pour faire les demonstrations prdecdentes, des Ogalit6s sin x sin y =- - o s (-)-c x +- y), cos x cos y - cos (x- ) + cos ( + ) 2 cos (x +- y) tg x. tg y 1- os ( + n. 3 _ cos (x - y) -- cos (x + y) et on raisonnera comme en algebre. [Voir, dans mes Legons d'Algqebre elementaire le chapitre v du livre 1V.] - Les rciproqules des propositions preceddentes sont vraies. Les dlemonstrations se font encore comme en algebre. [No 127, th. II, de mes Lecons d'A tlgbre.]

Page  109 LIYRE II TABLES. -EQUATIONS TRIGONO-METRIQUES CHAPITRE PREMIER VALEURS APPROCHtES DES LIGNES TRIGONOM&TRIQUES 98. Th6or~me. - x eOanit la miesure d'un arc positif, plus. pc/il qu'un quadrant et mesmr6 ctvec ic rayon du cer-cic pris pour uinite, o),? a la double incgalW: [54] sin x <X <tg X. Soit, en effet, AM (fig. 36) ceL arc x. Comme ii esL positif et plus petit que,sin x et tg xsont positit's et on a sin x - MP, tg x -— AT, les oion acurs MP et AT RLant, mesur~es avec le rayon OA pris pour unfi L6.. Ceci pose, Si ofl compare las aires des deux. triangles OMA, OAT at du secteur GAM, on a 6videmmenL aire tr. OMA < aire sect. OAM ~< aire Ir. OAT. llenplagons les aires par leurs expressions; il vient I '1 I OA x MP < - OA>< arc AM < - OA x AT. '2 '2 2

Page  110 110 LE(CO'NS D)E TR{IGONOMLFTLIE. Ceci donne, en divisanL les trois meinbres par OA-, MP < ('Wc AM < AT, t tI F IG. 36. C'est-4-dire sin x < x < tg X; ce qu'il fallait d~rnontrer. 99. Thdor~me. - Le rapport d'un arc (ieswe'r avec le rayon pr~is pour unWl) i son. sirius tenci vers lwuni lorsque cet arc tend vers zero. '10 Supposons d'abord cet are x posiLif. Puisque nous le faisonls tendre vers z(~ro, nouS pouvons [oujours supposer qu'it est PILuS petit que- et, alors, on a, d'apr~s le th~ort~me qui pr~c~de [-541, Cos x Divisons les trois membres par sin x, ce qui nre change rico, puisque sin x est positif, il vient < s11ll x Cos X

Page  111 VALEURS APPROCHUES DES LIGNES TRIGONOMEfTRIQUES. 11 III Lorsque x tend vers zdro, par vateurs positives, cos x tend, comme nous l'avons vII (voir le tableau de variation aut no 26), vers 1. Le rapport i. qui. est donc compris entre I ei une sin x quantit6 qui tend vers I tend 1ui-merme ver-s 1, lorsque x tend vers zero par valeurs positives. 2o Supposons, en second lieu, xnegatif. Posons alors, x - -X xfsera un nombre positif. On aura x xi xi sin x sin (-x') sin x Or, lorsque x tend -vers zc~ro par valeurs negatives, x' tend vers xi zero par valeurs positives; le rapport sin x, a done pour limite 'I, d'apr~s la premi~re partie de cette d~rnonstration. Le rapport si x' x qui est constamment 6gal a si, a done aussi pour liinite 1. On a done, dans tons les cas, /x\ linn -snx '1, pour x -O. 100. Thdore'me. - Le sinus d'un arc est sup~reYar' d l'exc~s de cet arc sur le quart da cube de cet arc. L'arc Otant tou.jours positi/', plus petit qu'un quadrant, et mesur~ avec le rayon pr-is pour Zmiu. On a, en effet, d'apr~s la fornmule de duplication [51], sinl - sin x 2 sin -cos -2 2 2 CosK2 22 x 2 Cos - 2 Ccci s'6rit (t) sin x -2 tg It (i sinl2 q

Page  112 112 112 ~~~LECONS DE TLRIGONOME~tRUE. Ccci pos6, Farc x Rtant positif et plus petit cjU'Un quadrant., on ta, d'apr~s le th6or6rne du no 98, (2) x x sin -< De cette derni~re in~galit[6, on conclut 24 Multipliant, membre h membre, les in~galiL~s (2) ct (3), cc quii est permis puisque tous les membres sont positifs, et tenant compte de (1), ii vient sin x > 2 - (i- oil si > X - Corollaire. - L'erreur que ion cominet en prenant com'me valew, approchie du sinus Waun arc posilif plus petit qit'un quadrant, Ia mnesure de cet arc (mnesurci avec le rayo prspu nitj) est pius petite cine le quart du cube de eel arc. Car, d'apr~s le th~ore'me pr~c6dent ci celuii du no 98, on a X3 x > sin x > x- On en conclut 0 < x- sin x < x est done une valeur approch~e de sin x par exc~s avec une erreur moindre qne x 1O1 ('). Remarque. - On peat aller pluis loin et inontrer que l'erreuir commise est plius petite que lc sixieme du cuibe de l'arc. (1) On pourra passer ce paragraphe dans une premidre lecture. Cette ddmonstration a Wt donnde par Banson, en 1866, dans le tome III du Messengers of Mlathenzatics.

Page  113 VALEURS APPROCHEES DES LIGNES TRIGONOMETRIQUES. 113 Je dis que: x etant u arc positif plus pelit que ~, on a x3 sin x >x - - 1;crivons la formule (5) du n~ 84 qui donne sin 3x en fonction de sill x: sin 3 = 3sin in x- 4 sil 3'x. Dans cetle egalite, remplacons x, successivement, par -, -, -, etc... 3 32 3:1' a. jusqu'a; nous aus les egalit6s suivantes:,. 3 sill x = 3 sin - 4 sin3 3 3 3' sin - 3 sin -- 4 sin3 -, 3 3" 32 sin — 3 sin -- 4 sini3 -, 33 33.......... sin J'- = 3 sin - - 4 sin3 - 39 -- 3'" 3P" Multiplions la seconde de ces 6galites par 3, la troisieme par 32, etc.; la derni6re par 3'~"- et ajoutons les egalites, ainsi multipliees, membrcs (i membres. I1 y aura des simplifications evidentes: les termes 3 sin -, 0 3s sin,... 3 sin figureront des deux cotes et disparaltront. On aura done:, - 3 sin' x - - sin:' [ 3~_ i4 sin 3 sin - - 4 [sin3 3 + 3 si in 3" L 3 3 33 3 Remplacons, dans le crochet, chacun des sinus par l'ar correspondant; nous augmentons ainsi le crochet et nous diminuons, par suite, ]e second membre. On a done sin sin4 r[3 + 4 3 +33 3 1; sin x > 03 si-{ -- - 311 33 3~ 35 32 + ce qui s'ecrit: x sill - (1) sixll> 3 -- 33 ++ s+ -1 LEON ETioo" 3 8 3D n LECONS DE TRIGBONOAITR1E. 8

Page  114 114 LECONS DE TRIGONOAMTRIE. Ceci pose, cette inegalite (I) a lieu quel que soil le nombre entier n; elle aura done encore lieu a la lirmite lorsque n croit ind6finiment. Or,, lorsque n croit indlefiniment, - tend vers zero; le rapport 3n) X sin - 3 x 3n a done pour limite 4, d'apres le theoreme du n~ 99. D'autre part, ]a qualtite entre crochets est une progression geometrique ddcroissante dont le premier terme est 1 et la raison = Lors(ue n croit indfiniment, 3 9 cette somme a, comme on sait (1), une limite qui est le quotient da premier terme par l'exc6s de l'unite sur la raison: 1 _ 9 / 8 9 L'inegalite (1) devient done, i la limite, sinll x> — 4 X on, enfiln, x3 sin x > x - - 6 102. Th6or6me. - x etlat u avrc positif plus petit yG'un quadrant (mesure avec le rayon pris por u nitl), on a: 2 16 On a, en effet, d'apres la formule de duplication (no 83), cos x = - 2 sin - 2 Remplagons, dans le second membre, sin l par la valeur plus (1) Voir dans mes Lecons d'Algebre, no 133, theoreme III.

Page  115 VTALEURS APPROCHEES DES LIGINES TRIGONOMfTRIQUES. 115 x grande -,on aura: 2' cos x > 'I - 2 - 4 x ~~~xi \ Rempla~ons, de merne, smn -par la valeur plus petlite ~ )et nous aurons cosx <1 x doft ~~ - 2~ 16 1.6 X 32' Si, dans le second membre de cette dcrni~re 6galit6, on supprime x6 Je terme rn - on la renforce et. on a, par suite, (2) xO x6 Les relations (1) et (2) ktablissent la proposition. Remarque. - Si on se sert de l'in~galit6 plus approch~e du no 101, On a *x x x) sin - 2 2 48 et, par suite, COS x < 1- ) 2 24, (48)2 Doue, a fortiori, (3) cc X<1 2 a)Xi 2 24~

Page  116 116 116 ~~~LECONS DE TRIGONOMIETRUE. Cette relation (3) est plus approche'e que la relation (2). On petit donec dlire que, pour til arec compris entre 0 et 7, on a1c C2 CO < X2 +x4 2 2~~~~24 Corollaire. - x Ptant un arc comnpris entre 0 el I ' evvevv qu'on x2~~~~~~~ commnet, en prencai 1'-I comme v~alettr approchf~e de cos x, est pimse '2 petite que Car le th~or~me prkc~denL donne O < Co - (I _f - En prenant la forniule (03), on aurait 103. Calcul approch6 de cos 10" et sin 10".- Nous allons appliquer les deuLx. corollaires pr~c~dents (nos 100 et '102) au calcul approch6 de cos 1011 et sin 10". Nous avons vu (no 11, Ex. II) que la longueur de I'arc de 10 secondes est, en prenant le rayon pour UDite, arc 10" - 0 0000484813681. On a clouc arc 10"/ <2 1 On en conclut, en appliquant le corollaire du no 100, que lerreur que lVon commet en prenant la valeur de arc 10" pour sine 10" est plus petite que (arc I 0")3 '1 ' <X 8 X101 <1013 On pent done affirmer qu'en prenant les treize premiers chiffres d~cimaux de arc 10" on aura une valeur approch~e, par excos, du sinus h une unite du dernier ordre d~cimal pre's.

Page  117 NVALEUJRS APPROCR1EES DES LIGNES TRIGONOMETRIQUES. On a donc, pour les treize premieres d~cimales de sin 10"', sin '10" 0,0000484813680, en prenant la valeur approch~e par d~faut. 1)e merme, d'apr~s le corollaire du no '102, la quantit6 I) '1 —(arc 101) 2 117 est line valeur approeh~e, par d~faut, de cos 10"' eL l'erreur commise est plus petite que I I 1 1I -~(arce0" < 16X Les 18 premieres d~cimales de cette quanit6 sont donc aussi celles de cos 10". En effectuant le calcul, on trouve Cos 10" 0,99999999882417784773, avec '18 d~cirnales exactes. EXERCICES 35. x Rtant un arc compris entre 0 a.t - prouver quo Von a 2 3 g X >.x, + 1 2 x < 3 tg x + 3 sin x. 36. Trouver les limites des expressions suivantes 5jCos X lorsque x tend* sin p ix sin mn x sin x -sin a tg x -to, a Cos 2 1- \/ 5 si n x vers 0, 1) 0, ))0, 1) a, It 4I

Page  118 118 118 ~~~LECONS DE TBIGONOATETI3IE. CHAPITRE II CONSTRUCTION D'UNE TABLE 104. Form-tles de Thomas Simpson. - Les formules de Thomas Simpson sont des formules qui permettent, connaissant cos 10". et sin 10", de calculer, de proche en proche, les cosinns et sinns des arcs de 110" en 10":10", 20", 30", etc.'Voici comment on les ktablit: IRcrivons les formules (1) ei (3) du no 91 sin (a +4 b) + sin (a - b) - 2 sin a cos b cos (a +4- b) + cos (a - b) -2 cos a cos b; el, dans ces formules, faisons b 10 IO/a - mn. 10O", mi dGsignant un entier positif. Elles deviennent (1) sin (in + 1) 10" ~ sin (ini - 1) 10" -2 sinvin 10"/. cos 10", (2) cos (mn + 1) 10" + cos (in - 1) 10" 2 cos in 10". cos 10". Rernarquons que la quantit6 2 cos 10" est tr~s voisine de 2. Posons alors, 2coslO0" =2 - k k sera nne qnantit6 tr~s petite. D'ailleurs, pnLiisqn'on prend comme valeur approch~e de cos '10" la qnantit6 on anra: 2 - k -2 - (arc 101`)2 c' est-hi-dire k -(arc 10")2 - 0,00000 00023 50443 053 (pa)r de'fatt). En rempla~aiit, dans (1) etL (2), 2 cos 10"Of par 2 - k, on a sin (in +4 1) 10" -i- sin (in - 1) '10" 2 sin in 10" k sin in 10", cos (in + 1' '10" +cos (in - 1) '10" -2 cos in 10" -k cos in 10".

Page  119 CONSTRUCTION DYUNE TABLE.19 119 TDe ces deux derni~res formules on d~duiit, enfin, les suivantes sin (m -J- 1)10" - sin mn 10" -sin m 10" - sin (m - 1) 10" -ksinmit'0", cos (mI -j- 1)10" co m 7110" Cos m '10" - Cos (,mI -1) 10" - kcos)rnl0", qui sont les formules dites (( de Thomas Simpson " Faisons, d'abord, dans ces formules, m '1I et nous avons: (sin 20" - sin 1 0" - s in '1 0" - k sin / 10", Cos 20" -cos 10" -cos 10" - '1 - k cos 10"/, qui donnent sin 20" et cos 20" connaissant cos 110" et sine 10" que nonLs aivons calcu1~s pins haul (nW 103). Faisant, ensuite, m - 2, nous obtenons sin 30" sin- 20" -(sin 20" - sin 10") - k sin 20", cos 30" - cos 20" -(cos 20" - cos IO") - kcos 20" qui donnent cos 30" et sin 30". Cette, formule, comme on yout, donne les di/fhrecnces cos 30" -cos 20)-" et sin 30" -- sin 20" connaissant les differences cos 20" - cos 10" etL sin 20" - sin 10" calcul~es pins haul. D'une facon g6n6rale, les formules de Simpson donnent les differences sin (m + 1)10" - sin mrniO" et cos (mn - 1)1I0" - cos mIO0" des lignes de deuix arcs conscutifs, connaissant les diffl~rences pr~c6dentes. Le calcul de chaquLe nouivelle diff~rence n'exige qu'une multiplication par le facteuir k. 105. Simplifications. — II1 est, d'abord, facile de se rendre compte qu'i1t sufflit de calculer les cosinus et les sinus des arcs de Qo a 450 pour avoir les cosinus et les sinus des arcs de 00 a 900. En effet, si A est un arc compris entre 450 et 900, son complement 900 - A est compris entre 00 et 4-50. Or, on a Cos A Sill(900 - A), sillA Cos (900, A). Donc,7 de's qu'on connai't les lignes de lFarc 900 - A., on connait celles de A. Ii est me'me facile de se rendre comp.te qu'il suffit de calculer, par les formules de Simpson, les, cosinus et sinus des arcs de, 00 a 300 el qu'on peut trouver, pour les arcs de 300 a 4500, une formule plus simple.

Page  120 120 P20 ~~~~LECONS DE T~iGONONMETIIIE. Les formules (1) eL (4) du no 91 donnent, en effet, sin'Ia 6 ) 2 sin a cos b - sin (a - b), cos (a +b) -cos (a b 1) - '2sin a sin b. Faisons, dans ces formules, (1m30 b - A, et remarquons quo ([10 72) sin300 2' olles devionnent sin (300 + A) -cos A - sin (300 - A), cos (300 + A) - Cos (300 -A-) - sillA. Ces relations ([onnent, pa). de simples soustlractions, les cosinus et sinus des arcs 300 + A, plus grands que 300, connaissant celles des arcs A et 300, - A plus petits que 300). 106. Verifications. - Dans l'emploi r6pRt6 des formules de Sim~pson, les erreurs commises dans les calculs s'accurn-alent 67idem~menL et, si on les appliquait sans interrup lion de 00 a 300, los derni~res valeurs calcu1~es seraient beaucoup moins approch~es. quo les premi~res. Ii est dlonc bon de v~ririer les calculs et de rectifier les erreurs en calculant, de temps en temps, quelques lignes directement. Pour cela, on calculo directemonL los cosinus eL sinus des arcs de 9o on90 Ceci esL facile; on a, en efet, I So 2' et, comme nous connaissons les lignes do lFarc do 180 (n0 72), il IIous sera facile do calculer cellos do l'arc moiti6. On a sin 180 V- \/ on on conclut, en 'verLu des formules (3) du no 87, sin 901 L\/5w+ 3 - \Cos 90 jVI5 + 3 +v' -1 \J5

Page  121 CONSTBRUCTION DUNE TABLE.12 Ii? 1 On a, d'ailleurs (nO 72), cos 180 et sin 180. Les formules d'addition donneront cos 270 et sin 270, etc. S511 y avait lieu, on pourrait., en divisanL encore par 2, une on plusieurs fois, calctiler directement les lignes d~ares pins rapproch~s. On pourrait remarqner, d'ailleurs, que, puisqu'on a les fignes Ligonom~triques des arcs de 450, 300 180, 90 les forinules d'addition permettent de calcuter, pa)r de simples extractions dc vacines carrees, celles de 150 450 - 300, 210- 300 9, 120 3Qo - i8~, 20 -300 -60, 60 /180 - 120, 270- 45o 180, 30 180 - 150. On a, par exemple, Cos 1t0 2_ 3 Sn10 - ~/2 3/s - I 2 2 107. Remarque. - Les proceds que flous venous d'exposer fonrnissent le moyen de calculer les cosinus et sinus des arcs de ()o a 900. Le prob1~me de la r6duction des arcs au premier quadrant, que nous avons trait6 auno~ 57 nones montre que ion connaift, d~s lors, les cosinus et les sinus de tons les arcs. Le calcul des tangentes se fait par la formule tgx=sin x cosx D'aitteurs, comime on ne se sert, dordinaira, qua de tables donnant Las logarithmes des lignes trigonom~triques et non ces lignes aliasmemes, on a, de suite, par une simple addition, les logarithmes des tangentes par la formula log tg x =log siu x +colog cos x( (1) Voir pour la thddrie et lusage des logarithmes, lo chapitra iii dIt livre V do mae Lepons d'Algs~re.

Page  122 122 1~~~2 IC1,(.ONS DE TRIGONOAMETlIE. CIIAPITRE III DISPOSITION ET USAGE DES TABLES 108. - 11 existe deux sortes de tables trigonomitriques. '10 Les tables qui donnent les vale urs elles-Winmes des lignes trigonom~triques de 0,0 a 900. Ces tables souL d'un usage peu fr~quent en mathematiques; elles servent surtout aux physiciens, plus particulil~remenL dans les calculs cristallographiques. Leur emploi ne demande aucune 6lude preliminaire. '20 Les tables logariLhmiques qui donnent les logarititmes des. lignes trigonom-6triques des angles de 00 a 900. Ce sont celles qui soul le plus usil~es en ma~th~matiques; leur em ploi, d'ailleurs, donne lieu a des calculs plus siruples. Nous ne uous occ'uperons, daiis la suite, que de cette dernii~re cat~gorie de tables. 109. Dispositioni des tables logairithmiques. 11I existe des tables donnant les logarithmes des lignes trigonom~triques avec uin plus ou moins grand nombre de d~cimales exactes (en g~n~ral 4, 5 on. 7); nous nous conlenterons de d~crire les tables a 7 d6cimales telles que celles de Callet, Dupuis et Scbr6n. Une telle table est a sivple euir~e el contient les logarithimes des cosinus, sinus, tangentes et cotangentes des angles de 00 a 900, de 10 secondtes en '10 secondes. Une remarque, que nous avons d~ja faite plus haut (no '101)), a perruis, imm~diatement, de diminuer de moithi la dimension d'une lelle table. En effet, deux angles comp]6mentaires'ont, respeclivement, pour sinus, cosinus, tangenle et cotangente les cosinus, sinus, cotangente ei Langente lFun de lautre. Si, par exemple, dans une colonne, sont ranges, de haut en bas, les logarithmes des siMus des angles de 210 40' a 2 to 0', de 1 0" en 1 0", en lisant cette M eme colonne de bas en haul, on aura les logarithmes des cosiniws des angles comphimentaires, &est-a-dire les logaritbmcs des cosinus des angles de 680 101 a 680 20', de '10" et 10". D'apres cela, il suffil de former la table pour les angles de 00 a 450, puis de la lire en sens inverse pour avoir. les logarillimes des lignes des angles de 45o a 900, a condition,7 bien entendu, d'interveriir les cosinus et sinus, les

Page  123 DISPOSITION E'T USAGE DES TABLES. 12 123 tangentes et cotangentes. Dans la recherche des logaritlhmes des lignes des angles de Qo at 450 on lit la table de hant en bas;- pour les angles de 450a 900 on la lit de bas en hant. Pour les rechierelies dans la table, non's distinguerons done deux cas. jo Lan gle est plns petit qne 450. - Soit, par exemple, a troUv~er dans la table log cos (210 42' 30"'). Pour cela, nous cherchons la page (an hant de laquelle est inscrit 21. Dans la premiere colonne de ganche nous cherchions le nombre. 42 cjui donne les minutes; puis, dans la seconde colonne de gauche, entre 42 et '43 de la premi~re colonne, nous nous arre'tons an nombre 30 qusi donne les secondes. Les logaritlimes des lignes de langle de 210 42' 30"1 se trouvent inscrits dans la ligne horizontale a laquelle, nous sommes ainsi conduits. Ainsi log cos (210 4`2' 30") se trouve a l'intersection. de cette ligne et de la colonne qui porte en kant linclication cos. on co-si'n.; on trouve log cos (210 42' 30") -I1, %680525 () 20 Lan gle est pins grand qve 4150 - Soit a tronver clans la table log cotLg (63o '15' 20"). On cherche, dans la table, les pages an bas desquelles sont inscrites 63"; puis, dans les premi~re.s colonnes a droite, en remaontant, le nornbre 1.5 des minutes. Entre 115 et '16, en remtontanit dans la seconde colonne de droite, on s Iarr't-e a 20, nombre des secondes. La ligne horizontale a laquelle on par-vient ainsi contient les logaritlime's des lignes de langle de 630 15' 20". Par exemple, le lo g cotg se trouve a l.intersection de cette ligne horizontale at de la colonne au, bas de laquelle est inscrit ca-tang. On tronve, dans le cas pr~sent, log cotg (630 15' 20"/) 1,70236'15. (I) Dans cortainies tables anciennes, cormne cello do Callet, los caractdristiquos ndg-atiNves soot auigmentdes do 10. Ainsi, dons la table do Callet, on trouvo 9,96805-25 au lieu do, 1,9680525. Coi noe pout donner lieu A aucune ambigu'td e ar on sait davance le signo do la caractdristique. En effet, los caractdristiquos dos lot/ sin ot log cos sent touitos )?dgotives puisque lo sinus ot lo cosinus sent plus petits quOj I. Pour los tan-entos, comme los tangontes do 00 A 4501 sent plus petitos quo I, los carastdristiques des log tg sent ndgatives; do 450 5L 900 los caractdristiques des log to, sent positives, puisqueo los taingontos soot plus grandes quo I.

Page  124 124 124 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRILE. 11O. - La table con-tient, outre les colonnes dont Rolls avons par16, trois petites colonnes intitul~es di/J. qui donnent, toutes caleu16es, les differences successives entre les parties d~cimales de deux logarithimes cons~cutifs, differences qui nous seront, utiles dans Ia suite. Ainsi, par exemple, on trouve, dans Ta -table, log sin (340 T'20" 'I1,7485589 et log sin (340 5'30") -1, 7485900. La diffirence entre les parties decimales de ces deux logaritirnies, 7485900 - 748KOW8- 311, se trouve inscrite, daris la colonne intitul6e di/f. sitiiue a droite de la colonne sin, en face de lintervatle qui s6pare les detix logarithmes. Pour les diff~rences relatives aux logaritlimes- des tangentes et cotangentes, il suffit, d'une setnle colonne commune, en vertu de la remarque suivante La diff~re)ce entre les logarthines des tangeules de deux angles est ~gale, en valemur absolve, a' la di/fe'rence entre les logain-ithmes de leurs co/an gentes. Soient, en effet A et B deux angles, on a: Cotg ATZ2g cotgB - tg A' ~ tg B Par suite, log cotg A -log tg A, log cot-g B -- log tg B. on a done: log cotg A — log cotg B - log tg A. - log tg B]. Les deuix differences sont done 6gales, en valeur absolue, mais de signes contraires. En vertu de cette proprike', il suffit, d'une settle colonne, intitub~e di/f. comm. et plac~e entre les colonnes des tangentes et des cotangentes, pour donner les diff~rences des log tg. et log cotg. des angles cons~cutirs. Enfin, certaines tables contiennent, en marge, des petites tables de parties proportiennelles dont 1'usage sera donn6 plus loin.

Page  125 DISPOSITION ET USAGE DES TABLES.12 125 M1. Usage des tables (1). - Les tables que nous venous de d~crire nous permettront de r~soudre les deux questions suivantes: 10 Elant donna un angle plus petit qve 900, trouver, le logarithme d'une ligne trigonom~lrique de cet angle; 20 Etant donna le logarithme Wlane certaine lIgne trigoiorn~trique d'un angle, compr)'-is entre 00 et 900, trouver- eel angle. Ces deux probl~mes pr~sentent quielques diff~rences suivant qu'it s'agit du sinus et de la tangento on du cosiuns et do la. cotangente. Nous traiterons s~par~ment les deux cas. 4.12. Prob1~me I. - Calculer te logarithmne du sinus ou dle la tangenle d'un angle donn~h Si langle donn6 contiont nu nombre de secoudes qui ost multiple de 10, le logarithme cherchM se trouve imm~diaternent dans la table, comnme nous l'avons expliqu6 plus haut, saus aucun calcul auxiliaire. Supposons, maintenant, ce qui sera lo cas g~n~ral, que le nombre des secoudes ne soiL pas un multiple de /10. Soit, par exemple, a trouver log sin (570 17! 44',8'i). Coumme le sinus crolit lorsque l'angle crolit de 00 a 900, ii en r~sulte qu~e log sin (570 17' 40"l) est une -valeur approeh~e p~ar defaut du logarithnm cherchM. On trouve, dans la table (en la lisant do bas eu haul, puisque l'angle est plus grand que 450), log sin (570 17' 40") -1, 9250326. Pour obtenir le logarithme demands, il faut augmenter la partie d~eimale de ce logarithme d'une certaine quantitA que nous allons calculer par la m~thode des parties proportionnolles. On adinel, ce qui est suf/isamment exact, que laceroissernent clit log sin. est prop~ortionnel ci l'accroissemenl de l'angle, lorsque eel accrotssement est tlr~s petit. Cela ktant, on lit, dans la colonno, di//. (de bas en haut), quo l'exc~s de log sin (5710 17' UO") sur log sin (0'7017'40") est, pour la partie d~cimale, 136. La partie d~cimalo du log sin augmentant (1) Nous conseillons vivement au lecteur do relire, avant co paragraphe, le chapitro in do livrelV des Lecons d'Al{1~bre, relatif aux logarithines.

Page  126 1 -26 126 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. de 136 lorsque langle augmente de 10,", elle croit, en vertu de l'hypoth~se de la proportionnalit6 faite plus haut, de 4, 81 x 13 4,811 >< 13,6 =65,4'16, lorsque langle croi't de 4",81. La partie d~cim ale de log sin (570 17' 44",1 81) est donc: 9250326 65 - 92i50391; car on n~glige les chitfres au delh dii septi~me. Cependant, sitle huitie'me chiffre ktait plus grand que 5, on forcerait le septie'me d'une unite-. Lorsque la table contient des tables de parties proportionneltes (pp).), on trouve, dans ces petites tables, les produits, tout effectui~s, de 113,6 par les nombres de /I ii 9. Voici, dans ce cas, comment on dispose le calcul povr. 5- 17' 410" 1, 9250326 A-136 pourt 4"1 54,4 ponl, 0",18 10,88 pour1... 0",01 0,136 La question se traiterait de la me'me fagon s'il s'agissait d'une tangente, parce que la tangente d'un angle vanie, comme le sinus, daDS le me'me sens que l'angle. EXEMPLE. - Calcider log tg (280 431 37"1, 64). potir 28,143' 30" 1,7388212 A 499 pou.......7"1 349,3 pour..0.....O, 6 29,94 P0ur........ O',,04 1,996 log tg (280 43' 37",~ 64) I,73885i93. 413. Frob1~me II. - Calculer le logarithme du cosinus ou de la cotangente d'uns angle donni. Nous ferons, imm~diatement, la remarque suivante:le cosinus et la cotangente d'un angle compris entre 00 et 900 -varient en sens

Page  127 D)ISPOSITION ET USAGE DES TABLES. Q 127 inverse de cet angle. Au plus grand angle correspond done le plus petit cosinus ou la plus petite cotangente. It en r~sufte que, si lou venLt avoir une valeur, approch~e p~ar d~fawt, dui logarithrne dii cosinus ou de la cotangente d'un angle, ii faudra prendr'e le logarithme dii cosinus ou de la co tangente de Ilangle, imm~diatement sup6-iett)- a langle dlonn6, qui se trouve clans la -table. Ainsi, soiL a calculer log cos (360 25' 52",73). Nous chercherons, dlans la table, log cos (360 26' OH) qui sera une valeur approch~e par clifaid dii logarithme cherch6. On trouve log cos (360 26' 0") 1,9O055522. Or, la diff~rence entree ce logarithme et celui qui correspond at langle p2Yc~dent est (voir dans la colonne duf1f.) i1-0. Nous, raisonnerons, alors, de la fa~on suivante, en admettant, comme toujours, la loi de proportionnalit6. Lorsque Fangle diminue de 10", la partie dc~cimale du log cos. attgmenle de i55. Pour obtenir 360 2-i' 52",73, it faut diminuer 360, 26' 0"1 de 7"1,27. Done, lorsqiie langle climinue cle, 7",27, la partie dGcimale du log cos attgmenile de 727 x 15 7,27 x IU,5 - ii2,68~5. On prend 113, en forqant le dernier chiffre d'une units, parce que celui qui suit la virgule est plus grand que 5, et on a, pour la partie d~cimale du logarithme cherch6, 90O0522 + 113 =9055635. Lorsque I'on a une petite table de parties proportionnelles (p. p.), on dispose les calculs ainsi Pour 360 26' 0" 1,905522 5 Pou r.. 7"1 10875 I3om......- 0,"2 3,1 pour..- 0O"0,7 1,O85i log cos (3Bo 2~5' 52", 73) 1-19OD5635i.

Page  128 128 128 ~~~LECONS DE TRIGONOMEtIIIE. On agirait de la me'me mani~re dans le cas de la co tangen Ie. 1"X EM-IP LE. - C(Jalcler logj cot" (7.31 "' 3211,93). pour 7 3- 5' 40"1 1,4827724 = 756 Pour....... 0"07 5,29 2 log cotg (73" 5'32"1,93) = 1,4828258. 114. Prob1~me inverse I. - Connaissant le logarithrne dui sinus ou de la Ian gente d'un angle, calculer eel angle. Proposons-no us, par exemple, de rechercher lFangle A, sachant que log tg A 0,289,3451. Nous rechercherons, pour cela, le plus grand angle, figurant dans la -table, dont Ie log tg est contenu dans le logarithime donn6.Comme ce logaritlime est positif, cet angle sera pins grand que 45", puisque sa tangente est plus grande que '1; it fant done lire la table de bas en haut. - Nous trouvons ainsi que eet angle est 620 48' 40", dont le logarithime de la tangente est:0,2893031. No~is avons la une valeur approch~e par d~faut de Fangle cherch6 A. Pour calcuier les secondes, dixi~mes et cenLi~mes de secondes, nous appliquerons encore la m~thode de proportionnalit6. La diff~rence entre la partie d~cimnale du logariLhrne donnui et celle de log tg (620 48' 40") est 420. Or, la diff~rencc entre log tg (6201 48' 40") et le logarithme suivant est (voir dans la colonne dliff, corn.) =5'1 8, diff~rence qui correspond it un aecroissement de l'angic de '10". Si s est done le nombre des secondes cherch~es, on aura s__ _ 420 Th - - 8 s 8,1 0.

Page  129 DISPOSITION E' USAGE DES TABLES. 129 On pourra se servir des tables de parties proportionnelles pour faire la division de 420 par 51,8. On cherchera, a cet effet, le plus grand multiple de 51,8 contenu dans 420. On retranchera ce multiple de 420 et on cherchera le plus grand multiple 5,18 contenu dans cette difference, et ainsi de suite. Voici comment on disposera l'operation: log tg A - 0,2893451. po]ur 0,2893031 620 48' 40" A 518 dciff. = 420 poor........ 414,4 8" dif.= 5,6 pour....... 5,1 O",10 A = 620 48' 48",10. On proc6derait de meme dans le cas du logarithme du sinus. EXEIPLE. - Calculer l'(ngle A, sachaZt que log sin A = 1,7536815. pour 1,7536790 34~ 33' 0" A= 305 diff. —. 25 pour.......... 24,4 O" 8 diff. = 0,6 pour.......... 0,6 0", 02 A 34" 33' 0",82. 115. Probleme inverse II. - Connaissant le logarilhme dcu cosinus ou de la colangente d'uc alngle plus petit que 90~, calctler cet angle. Comme ]e cosinus et la cotangente varient en sens inverse de l'angle, il faudra, pour avoir une valeur de langle approch6e par ddfaut, prendre, dans la table, un angle dont le log cos. ou le log cotg. soit superieur au logarithme donn6. Soit, par exemple, a calculer l'angle A tel que log cos A = 1,5152807. Le logarithme de la table immediatement superietu a celui-ci est: log cos (70~ 52' 40") - 1,5153232; 70~ 52' 40" est donc une valeur approchee par d(faut de A. Pour calculer les secondes et fractions de secondes, appliquons la LEcONS DE TRIGONOIOTRIE. 9

Page  130 130 LECONS DE TIlGONOMETRIE. regle de proportionalite. Ia diff6rence entre log cos (700 52' 40") et le logarithme donn6 est o8 -- 425. La diffirence entre ce logarithme et le logarithme suivant dans la table est (colonne diff.) A - 608. Le nombre s de secondes cherchl est done tel cue: s o 425 1 0 A 608' d'o ii 42,5 s --- 6,99. 60,8 En se servant de la table des parties proportionnelles, on dispose ainsi le calcul: log cos A = 1,5152807. pour..... 1,5153232 700 52' 40" A - 608 ciff. - -42'5 pour..... - 364,8 6" litf. -- 60,2 pour..... - 354,72 0,9 ciff. - 35,48 pour.... - 5,47 0",09 A - 70~ 52' 46",99. On proc6derait de meme dans le cas o-u on donnerait le logarithme de la cotangente, puisque la cotangente, comme le cosinus, varie en sens inverse de langle. EXEMPLE. -- Calculler Iangle A, sac/hlnt qute loy cotg A 0,4583712. pour 0,4583965 19~ 11' 20" A = 678 dif. = - 253 pour......... - 203,4 3/ diff.. - 49,6 pour....... - 47,46 0 ', cdiff.= - 2,14 polur..... -.2, 0",03 A = 10 11' 23",73.

Page  131 DISPOSITION ET USAGE DES TABLES. 3 116. Remarque I. - Un angle est dktermirn6 avec pins de pr6cision lorsqu'on connaitle logarithine de sa tangente que lorsqu'on connai't celui du sinus on du cosinus. En effet, la dilfhrence tabulaire entre les log tg. est 6gale i4 la somnme des diff~rences tabulaires correspondantes du log sin. et du log cos. Car, puisqu'on a: log tg x =- log sin x - log cos x, log tg (x + 10") -log sin (x +10") - log cos (x 10) si on pose log tg (x + '10") - log Ig x -, log sin (x - '10") log sin x - log cos (x + '10") -log cos x - on a - + ' La difference tabulaire pour les log tg. est done plus grande quo pour les log sin. et log cos. Or, plus la difference tabulaire sera grande, plus 1'angle sera dktermin,6 avec precision, puisqu. une tr~s faible variation de 1'angle se traduira par une assez grande variation du logarithme. Remarque H. - Les tables no donnent pas, en gin.6ral, les, logaritlimes des s~cantes et cosk~antes; mais, d~s qu'on connait los logarithmes des sinus et cosinus, on a., de suite, ceux des sdcantes et des coskiantes. En. effet, puisque 51C~z x, CoseC xz-. Cosxi sin x' on a log s~c x -colog cos x, log coselc x colog sin x. EXERCICES 37. Calculer, au rnoyen des tables: log cos (480 7'22", 35), log co tg (7150 10' 31"1, 29), log s~c (100 23' 22"1, 71)1 log cos~c (630 58' 6"1, 27), log si (7o 1'7' 44"1, 81). Calculer' Fangyle x daris les cas sLflvants log sin x -17,7563811, log Cos x 1,2345633, log to, x 0,5412134,log s 6c x-0,23-i5843, log cos~c x 0,5152.6G3.

Page  132 132 132 ~~~LECONS DE TIRIGONOMETRIE. CHAPITL{E IV RENDRE UNE FORMULE CALCULABLE PAR LOGARITHMES 117. Enonc3 du probliemne. - Une formule qui fournit une quantit6, inconnue en fonction de plusieurs autres connues, est dite calculable pa~r logarithines, si ofl peut trouver directementl le logarithme de la qua[ntit6 inconnue, connaissant les logarithmes des donn~es, sans revenir, pour ces donne'es, des logarithmes aux nombres. Pour qu'unre formule soil calculable par logarthines, il faut et il su4/it que les donnrtes ne soientt reli~es eii Ire elles que par des signes op~ratoires autres que le signe (-i) out le signie (-). On a, en effet, imm~diaLement, d'apr~s les proprikl6s connues des logarithmes () le logarithme d'un produit, d'uu quotient, d'une puissance, d'un radical, connaissaut les logaritlimes des quantit~s qui y figurent; tandis que cela n'a pas lieu pour une somme ou pour une diff6rence. Comme les tables trigonom~triques ne fournissent que les logarithmes des lignes trigonom~triques des angles et non les lignes elles-mobmes, il est iut6ressaut que les formuies soient toutes calculables par logarithmes, pour 6viter d'avoir h faire le calcul des valeurs elles-me'mes des lignes, connaissant ]eurs logarithm es. Pour nous rendre compte de l'importance de ce fait, prenons un exemple. Ptant donu~s deux angles A et B, supposons qu'on veuille calculer tangle x tel que (1 ) 2 sin x =sin A +sin B. Si on se servait de la formule ('I) il faudrait: 10 calculer log sin A et log sin B. 20 Connaissant ces deux logarithmes, ii faudrait, enl se servant de la table de logaritlimes ordinaire, calculer sin A et sin B. On aurait, alors, sin A + sin B. (1) Voir pour les propri~tds des logarithmes, le no 137 do mes Lemons d'Alg~bre +lemeiitaire.

Page  133 RENDRE UNE, FORMULE CALCULIABLE PAR LOGARITHMNES, 13 133 30 On calcuierait log [sin A + sin B], ce qui donnerait log sin x -log [sin A + sin B] + colog 2. 40, Enfin, on calculerait langle x connaissant log sin x. On aurait donc six calculs logarithmiqnes aL faire, ce qui, non seulement serait long, mais encore risquerait fort d'accumuler les erreurs. Au contraire, Si, a laide des formules [50], on 6crit la formule (1) sons la forme (2) sin x sin A-f-B ColA-B 2 2 on 6vitera tons los retours des logaritlimes aux. nombres ei on n'aura que Irois calculs a faire; a, savoir: 10 les calculs de log sin 2 et log Cos 2~, ce qui donnera, par additLion, log sin x. 20 Connaissant log sin x, on calculera x. Lorsqu'une formulo n'est pas calculable par logaritlimes, rerndre cette formitla calculable park logarithmes, c'est la remplacer par une autre formule qui soil calcutablo par logarithmes~ Ainsi, par exomple, on pent dire que la formulo (2) est la formule (1) rendlue calculable par logarithimes. Les formules de transformations de sommes en produits du chapitre viii (nos 91 a.97) r~solvent imm~diatemont la question darn certains cas pai-liculiars; mais los chosos no so passont pas toujou~rs aussi siruplement. Dans los cas g~n~raux, il faudra, pour rendre une expression calculable par logaritlimos, introduire un on. plusieurs angles auxiliaires dont los valeurs seront donn~es par des formules logarithmiques. 118. Transf'orination d'tune somme. - Transformation de A + B. - Soient A et B deux quantit~s positives dont on no connauIt que les logarithme.~, il s'agit do caiculer log (A + B), sans calculer A et B. A. cot effet, 6crivons, on mettant A en factour, A + B A [I +

Page  134 134 134 ~~~LECONS DE TRIGONOMIETRIE. et posons: 2 B (') tgc A L'angle painsi d6fini, sera facile a calculer, connaissant log A et log B, puisque log tg y [log B ~ colog A]. Ayant ealcul6?, on aura A + B -A ['1 + tg2 I et, comme (2) A +B A L'expression A -F B est ainsi rendue calculable par logarithmes et on a log (A +B) =log A +2 colog cosy. REMVARQUE. - II est facile de se rendre compte que l'emploi de I'angle auxiliaire cp donne bien vine simplification de calcul. En. effet, on n'aura, ainsi, que deux calculs logaritlimiques a. faire, celui de, o et celui de log cos?; tandis que directement il aurait fallu faire trois calculs logarithm iques: ceux de A et B, connaissant log A et log B, et celui do log (A + B), connaissant A + B. 119. Transformation de A - B. - Soient A et B deux quantit~s positives, A ktant plus grande que B, dont on ne connai't que les logarillimes, calculer log (A — B). 1~crivons, en mettant A en facteur, X - B — A [I - B 6tant plus petit que A, Xest plus petit que I et it existe un angle cy tel que lou ait: (i ~~~~~sinlo

Page  135 lIENDUE UNE FORMULE CALCULABLE PAR LOGARITHMES. 135 Cet angle c~se calculera, ais~menL, ne connaissant cjne log A et log B, car log sine r-[log B + colog A] Avant calcuI6 o~ on aura: A - B -- A [1 - sin 2 et, par snite, (2'2 A - B -Acos2Q A - B est ainsi devenu calculable par logaritlimes, car log (A - B) log A + 2 log costp. 1t20. Remarque. - On pourrait indiquer une m~thode de transformation qui s'appliquerait, h la fois, aux deux cas A + B et A - B. Ecrivons, en effet, A -~- B -A L1-i- ~ et posons (I) ~~~~B ce qui est toujours possible pu-isque la tangente peut prendre toutes les valeurs possibles. Ayant calcul6 c par cette formule, log tg cd, - log B + colog A, on aura: A~ —B -A [It4tg ] A Ftg 450 tg~ D'apre's la formule [52], on a tg4~~~tgc~ sin (4i50~? cos 450 oso ce qui donne A ~ B A sin (45o ~,) (2) cos A~ o formule calculable par logarithmes

Page  136 I IQ, 6 136 ~~~LECOINS DE TflIGONOMETIET.1 Cette transformiation, sauf dans des cas sp~ciaux oit iangle cp se pr~sente dans d'autres calculs, est moins avantageuse que les deux pr~c~dentes, car elle exige un plus grand nombre de calculs logari Iliriques. Cependant, si on a, (' lca fois, a calculer log (A + B) et log (A - B), elte sera pr~f~rable, car le miemne angle auxiliaire 0o servira dans les deux cas. 121. Cas g~n6ral..-I1 nous sera facile, maintenant, de transformer une somme quelconque. Soit a calculer log (Aizj B ~C ~ —D~4. connaissant, log A, log B, log C, log D, Pour cela, nous rendrons, d'abord, A * — B calculable par logarithmes, ce qui nous donnera log (A ~- B) au moyen d'un premier angle auxiliaire cy. Puis, (A ~- B) Rtant considr6r comme effectu6, on rendra calculable par logarithmes (A ~-I B) ~-4 C par l'introduction d'un second angle auxiliaire ~. II faudra un troisi~~me angle atixiliaire 0 pour rendre calculable par logaritlimes A ~- B ~C -F- D et ainsi de suite. Soil, par exernple, A + B -C. Nous posons, d'abord, 2 B * ('1) ~~~~~tg~oz A et nous avons A (2) A + B~ o2 on en conclut Cos2 o Posons, enfin, (3) sin2- A OS et nons aurons A + B ACcs~ Cos 2 CI

Page  137 RENDRE UNE FORMIULE CALCULABLE PAR LOGABITUIMES. I3 131 On calculera donc: 10 p par la formula (1); 20 + par la formula (3), connaissant cp; 30 Connaissant, enrin, y at +, nous aurons log (A + B - C) par la formula (4). 1l22. Expressions rationnelles. - Soit h rendre calculable par logaritlimes une expression de la forme A' ~4 B' ~4 C' ~ ll suffit, pour cela, de rendre, s~par~ment, calculables par logaritlimes le num~rataur et le d~nominateur; car le iogarithme de l'expression esL la diffhrence des logaritlimes des deux termes. a-b Application. - Ca/c 'I/e2r log a )corinaissait log a at log b). On transforme a - b et a + b et, ici, comme on a les deux quantit~s, a' la fois, on appliquera la m6Lhode du n0I '120. On pose et on a: - b~~~~~ asin (45( - et on a b - ~~~cos451 cos0d a asin (450 + c) On a done a — b sin (450 - -a H-b sin (45iQ + Si on remarque que parce que les angles,450 + p et 450o - p~sonat complArnentaires, ceeLea formule deviant a - b _ (2) a~~~+ b -tg (4i -) On aurait pu, d'ailleurs, lob tenir directement de la faqon suivante a -b a a +b +b a

Page  138 138 138 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. Or, comme gU ceci peut s'6crire: a -b _ I g450 - tg~ _ g(5 a + b -I' + tg 450tg~ en vertu de la formule [40] bis. 123. Expressions irrationnelles. - Pour rendre une expression de la forme E calculable par logarithmes, il suffit de savoir traiLer la question pour 1'expression E plac~e Sons le radical; car, d~s qu'on connai't log E, on a: log Ewz-log E. EXEMPLE. R endre calculable park logavithmes 0a ~L b2. On pose tg 2 X o~t tgop b et -on a aa2 + I = cos. Par suite, a Ya2 +4 b2 -7 cos. 124. Remarque. - On pout souvent profiter de la forme sp~ciale des donn~es pour simplifier les transformations. Ainsi, comme nous lavons Yu (liv. I, chap. viii), on pent rendre calculables par logaritlimes toutes les expressions sinp ~-4 sinq, cosp ~-+ cos q, sin p ~~ cosq, tgp ~I tgq, cotgj.) ~J cotg q, etc.7, sans se servir d'aucun angle auxiliaire. Voici encore un example de ce genre Application. - b, c, etant dcttx longtteurs connues et A an angle dlonrne', calcutler log \- b2 H c2 - 2 bc cos A.

Page  139 BENDRE UNE FORMULE CALCULABLE PAR LOGARITHMES. 13 139 En suivant la m~thode g~n~rale, il faudrait deux angles auxiliaires. Nous allons voir que, si on suppose b et c connues elles-me'mes, et non leurs logarithmes, ii suffira d'un seul angle auxiliaire. On a, en effet, cos A= cos2 — sin2 2 2' Icos2 -A + sin2A par suite, V~b2 + c2 - Qbc cos A v(b2 +c2) (Cos, A be -c(os - sin 1) - 2c2 2( ) sin2 Sons le radical il ne figure plus ainsi qu'une somme de decwv Lermes. Nous aurons donc Vb2 -H C&- '2bc cos A - b H-c) sin i>' (b+ ) cotg2_ Posons b -c N it vient, enfin, (2) /'b2+ c2 -2bc cos A (bCosini- - Si, contrairement h notre hypothe'se, on ne connaissait que logb et logc, if faudrait toujours deux angles auxiliaires. On poserait (3) g+ _b on auraiL: (14) tg y - tg (450j - +) Cotgo-A et, enfin, b sin (450 +{)sinA () /b2 + C2 -2bc cos A co4ocoI osC

Page  140 140 140 ~~~LEC~ONS DE TRIGONOAMITRIE. 125'. R6,solution trigonoin~trique d'une, 6quation du second degr& - Le problt~me que nous nous proposons do r~soudre estlIe suivant Etant donmie flhuation da second degY ('1) ~~ax' + bx +c -O, clont les cdeux rctcires existent, calculer ces deuxracines, connaissarnt les logarithmes des valeurs absolutes des coefficients. Premiere m~thode. - La formule connue ()de r6solution de -b ~j Vb A ac x ~~~~2a Ceci peut s'~rire en mettant V2 en 'facteur sous le radical eL faisant sortir b de ce radical. (Les Signes ~J de cette formule ne correspondent pas n~cessairemenL at ceux de la formule pr~c~denfe.) Pour rendre la formule (2) calculable par logarilhmes, nous diStinguerons deux cas 'jo Les deux raciines de lNquation soot de meime signe. On a done: ac> 0 Dans ce cas, les racines existant, la quantit6 plac~e sous le radical est positive, et on a 4ac~ Nous pouvons donc poser (3) sin' 0, - a eL 1'angle?. est calculable par -logaritlimes, lorsqu'on connailt les (1) Voir le no 87 de mes Lecons d'Alg~bre (nd'mentaire.

Page  141 RENDRE UNE FORMULE CALCULABLE PAR LOGARITHMES. 141 logarithmes des valeurs absolues de a, b, c. Les deux racines x' et x" sont done donnees par les formules: X - b L - C x' _ - bl+cos, 2 a 2a Or, d'apres les formules [44] et [45], on a I + cos - = 2 cos'2 2 1 - cos cp = 2 sin2 2' On a done, finalement, b 2 _ - "''COS ~(4) a 2 ~(4a) a,, _ b sin - i a 2' Ces formules sont calculables par logarithmes. En d6signant, comme d'ordinaire, par [a1 la valeur absolue de., on a: log 1x'l= log ibJ + colog lal + 2 log cos / log "I = log I1h + colog lal + 2 log sin. 20 Les deux racines de l'deqation sont de signes coniraires. - On a donc: ac < 0. 4 ac La quantite - - est positive et nous pouvons poser 4ac (5) tg~? - -b2 l'angle? est calculable par logarithmes.

Page  142 112 LECONS DE TRIGONOMETRIE. Les deux racines x' et x" sont, alors,. b_ + 1-i Lb cos -+- / 2'' 2 a cos - p 2a' cos? x" _ b [1- b i-cOs b1 b -- coso 2 a cos; i 2a' cos En vertu des formules rappelees plus haut, on a done: b cos2 - - a cos s b sin'2 Ces formules mettent bien en 6vidence que les deux racines x' et x" sont de signes contraires. Elles donnent: i log 1x'. -log jb + colog Ila + 2 log cos -- + colog cos 9, (6)bi 2 o log bx" l + colog jal + 2 log sin - + colog cos?. Le probleme est ainsi resolu dans tons les cas. On peut remarquer que dans le cas d'une racine double, Ib - 4 c (- 0, le probleme est tout resolu, car on a: 2a EXEMPLE (1). - Resoudre lIquation du second degr) x2 +-,x = + - =0, a et: e0tant deux nombres positifs tels que log. i= 1,6537a012, log F= 1,8759135. (1) Je suppose, 6vilemment, le lecteur familiarise avec les calculs logarithmiques ordinaires. - Voir, a ce sujet, le no 143 de nmes Lecons d'Algebre.

Page  143 RENDRE UNE FORMULE CALCULABLE PAR IOGARITHMES. On peut d'abord remarquer que les racines existent, car on a: 2 log a > log P + log 4 don c log ac > log 4 r 143 et sa- > 4. Elles sont, de plus, negatives, puisque leur produit 3 est positif et ]a sonlme - a negative. Nous sonllles done dans le premier cas, olt a=1l, b =, c:=p; et nous aurons t aappliquer les formules suivantes: log sin y- = [log 4 + log +- 2 colog a], cc qui donnera y. Ayant calcule y, on aura: log x| ' =log a + 2 log cos, log | " | loq a + 2 log sin -. Voici comment nous disposerons les calculs i~ Ctlcul de y. log 4 = 0,6020599 log, -=-,8759135 ' coloq a - 4,6925976 2 logsin p = 1,1705710 log sin?9 1,5852855 pour 1,5852716 diff. - 139 pour............. 101 diff. = 38 pour............ 35,35 ciff. = 2,65 pour............ 2,52 2 220 38' 0" 2"/ 0",7 220 38/ 2//,75, = 11 19/' 1,37. A = 505.

Page  144 141 LECONS DE TRIGONOMEITRIE. 20 Calcul de log cos - pour 1 ~ 19' 10" p our........... - 8f" p o.1.......... u- O, 6 ou. r.......... - 0",03 4,9914689 33,6 2,52 0,126 log cos0 = 1,9914725. 3~ Calcul de log sin; pour Hlo 19' 0/" 1,2927685 pour0............. 1" 105,2 por............. 0/",3 31,56 po......... 0,07 7,364.0 log sin 1,2927829. 4~ Calcul de x'. log a = 1,6537012 2 logcos2 1,9829450 log I =x 1,6366462 pour 6366383 43315 pour............ 79 0,79 I ' I - 43,31579. 50 Calcul de x l". log a = 1,6537012 2 log sin - 2,5855658 2 log I x"l 0,2392670 pour 2392494 17348 diff. - 176 pour............ 175 0,70 I x" | = 1,734870. A = 42. — = 102. A — 100. A = 250.

Page  145 RENDRE UNE FORMULE CALCUILB,E PAR LOGARITHMES. 145 En r6sunm, les deux racines 6tant negatives, oi a: ( x -= - 43,3 1579, x"=, -" 1,73487, en prenant le meime nomlbre de chiffres decimaux pour les deux racines. Comme v6ritication, oi pent s'assurer que log x ' I + log I " - = log P; on trouve: log I x' + log- x" I X = 1,8759132. Deuxieme m6thode. - La methode precedente est l'application directe des procedds ge6nraux que nous avons exposes. Elle donne lieu, quelquefois, a des calculs assez longs. En voici une autre qui, souvent, surtout dans le cas oa les deux racines sont de signes contraires, conduit a des calculs plus simples. x' et x" 6tant les deux racines de l'equation (l1), on a, comme on sait, b (7) X'+.x" Ct (8) XI / a Pour r6soudre ]'equation (1), il suffit done de trouver deux nombres x' et x" vdrifiant ces deux relations. Distinguons, a cet effet, deux cas: c '1~ -> 0, les deux racines sont dce mdme signe. - Posons a( (9) x' = — /tg, x" - s cotgp, b ~ etant egal a + 1 ou a -1, suivant que - est positif ou n6gatif. La relation (8) sera verifi6e quel que soit?; il suffit done de choisir l'angle auxiliaire c de fagon a satisfaire la relation (7). Nous devrons done avoir: /c (tgb q otg?)- -, y -(tgo + cotgp) -- - -, a j I ~~~a LEgONSS DE TnIGO-N,7II~,TRIE. 10

Page  146 146 LECONS DE TRIGONOMETRIE. ou v sa sin c cos c a On en tire: (10) sin 2 -s 2 -b-' formule qui est calculable par logarithmes. On calculera o par cette formule; p etant connu, les formules (9) donnent: logx' l lo cI + colog a + log tg cp, 1 1 log I x"| - log I c I +- colog a] + colog tg c. 2- 2 II faut remarquer que la formule (10) donnera toujours pour sin2o une valeur acceptable, car, puisque les racines existent par hypotlhese, on a 4 ac < b2, d'otl 4 ac -- <'1, ce qui exprime que le carre de la valeur de sin Q2 est plus petit que 1. C 20 - < 0, les detx racines sont de signes contraires. - Designons a par x' celle des deux racines qui est la plus petite en valeur absolue; elle sera d'un signe contraire a celui de -. Si done nous designons a par E un nombre egal +' 1 ou at - 1, suivanLt qlue - esL positif ou n6gatif, nous satisferons la relation (8) en posant: (11)C xtg 9, x = c cotgC (1) x'I — E - ~ tg y'~ x" EV tga

Page  147 HENDRE UNE FORMULE CALCULABLE PAR LOGARITHIMES. 117 Choisissons, ensuite, p de facon a verifier la relation (7) et nous devons avoir: - --- (tg - cotgy) -. aI a ou / C Cos2 -sin29 b V cOS c sin c a' On en tire:,'- ac (12) tg 2 2 i b formule calculable par logarithmes. On calculera? par cette formule qui est toujours acceptable; puis, J etant connu, les egalit6s (11) donnent: log l x' " - log l I - + I colog I I + log tg y, log I x"' - log c l -colog l a \ + colog tg,. EXERCICES 38. Rendie calculables par logarithmes les expressions: 1+ V'j - sin2 a + sin2 b - sin2 (a + 6), sil2 (a - b) + sin2 (b - c) + sin2 (c - c), \/C4 + /,4. 39. Calculer x, sachant que l'on a: x = -/sin2 a sin2 p - cos2 a cos2 li, a = 51~ 4 7' 23", 17, 3 = 970 15' 7", 36. (Saint-Cyr, 1880.) 40. Calculer l'angle x, sachant lue: sin x = sin a - sin (a +- r) - sin (a + 2 r), oil a - 18~ 25/ 3'7/, r = 70 17/ 26". (Saint-Cyr, 1887.)

Page  148 148 LECONS DE TIRIGONOMETIRIE. 41. Calculer les. valeurs de x comprises entre 00 et 180o qui satisfont 1'dquation b tcg 3 x::z: a +Y\(2 + b2 on a == 42587, 8, b - 36723 7. (Sinit-Cyr, 1886.) 42. Calculer la surface S doontie par la formule S - 2 7 RI (cos- sin 9), dlans laquelle II = 79', 5715, ~ 23' 27' 22," (S repr~sente la surface de la zone temp~r(-'e — t Vk6helle de la carte de France). (Saint-Cyr', 1878.) 43. Calculer les arcs xcomnpris entre 0' et 1.800 qui ve'rifient I'quation 5 cos,2 x - 3 cos x - I -- 0 (Saint-Cyr, 1873.) 44. RWsoudre trigonom6triquernent 1'6quation do second degr6 x2 +pr) + q = 0; sachant que 1' p 425 1, 377, q z3213, 41; 2' -- 35, 2373 q = 189, 4375; 30 log p 3, 4612375 log q =5, 7 15230-7. On appliquera los deiux m6thodes. 45. 1tvaluer le pius petit arc positif v~rifiant l'une des 6quations suivantes tg 2xz 7 tgx, 8 cotg2X -S6C2X - 1, 2 tgx = 7 sinx.

Page  149 EQUAT[ONS TRIGONONIPJBIQUES A UNE INCONNUE.19 119 CHAPITRE V EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES A UNE INCONNUE 126. G6,n6ralit~s. - On appelle ('quation tvigonomietrique une 6galit6 qui contient des lignes trigonom6triques de certains arcs ou angles et qni n'est v~riti6e que si ofl attribue a ces arcs ou angles des valeurs convenablemen t choisies appel6es solutions. En g6n~ral, une 6quation trigonomktrique a une inconnue admeL une hiin~irtd de solutions; mais ces solutions se composent d'un. nombre limit( de groupes de solutions toutes congrues entre elles. Une 6quation trigonomrikrique est donc risolue d~s qu'on a trouv.6 les solutions, en nombre fini, incongrues entre elles, telles que toutes les autres soient congrues a celles-ci. Pour risoudre une 6quation trigonom~trique, on peut employer la m6thode ginirale suivante On exprime toutes les lignes trigonom~triques inconnues au moyeu d'une seule. On a, alors, une 6quation ordinaire a une inconnue quo ion r~sout. Connaissant les valeurs de cette lig'ne trigonomktrique, prise. pour iuconnue, les tables permetteut de calculer les angles correspondants. Etant donnee une 6quatiou trigonomktrique conlenant les lign Ies trigonomktriques d'un angle inconnu x 10 On pent prendre pour inconnue lane de ces lignes. Par exemple, on prendra sin x pour inconnue. En general, cc proc~d6 introduira des- radicaux qulil faudra faire disparaitre. ])e plus, si i'inconnue est sin xr, il faudra, dans la discussion, ne prendre que les valeurs comprises entre - 'I et +. 21, On peut prendre ponr inconnue tgCe proc~de' aura lFavantage de ne jamais introduire de radicaux; car, comme noues lFavons vui (no 89), toutes ]es lignes trigonornitriques de langle x s'exprimeut r'-alionnellemnent en fonction de tg - A c6t6 de cette m6thode g~n~rale, qni, quelquefois, peut conduire, ades calculs tr~s difficiles et m'me inextricables, i e m~thodes spiciales gui dipendent de la forme de 1'6quation a

Page  150 150 LECONS DE TRIGONOMETRIE. resoudre et qu'on ne peut enfermer dans une regle ge6nrale. On en aura une idee suffisante dans les exemples qui vont suivre. 127. Probleme. - Resoudre l'equalion (1) a sin x - b cos x - c. PREMIERE MITHODE. - Prenons, d'abord, sin x pour inconnue. On a: cos x -= \I -- sin2 x, et l'equation (1) s'6crit: a sin x -+ b \/ - sin2 x - c. Isolons le radical et elevons au carr6. Comme il y a un double signe devant le radical, nous n'introduirons aucune solution etrangere en sin x. Nous obtenons: b2 (1 -sin2 x) - c - 2 ac sin x +- a2 sin2 x. Ceci donne une equation du second degre en sin x. (2) (a2 + h2) sin2x - 2 ac sin x + c2 - b2 = 0. Discussion. - Pour que l'equation ait des solutions, il faut qu'elle ait des racines et, de plus, qu'il y en ait au moins une qui soit comprise entre - 1 et + 1, puisque l'inconnue est un sinus. Pour que les racines existent il faut que l'on ait: Oc2 - (a2 + b2) (C2- 42) > 0 on b2 (a2 + b2_62- c)> 0. Comme b2 est positif, on peut diviser par b2 et la condition s'ecrit: (3) at2 + b2 c. Cette condition 6tant satisfaite, il est facile de v6rifier que les deux racines seront comprises entre - 1 et + -; car l'equation en sin x s'ecrit: b2 (l - sin2 x) (c - a sin x)2, ce qui prouve que, pour toute racine, sin x, de cette equation, 1- sin2x est positif et, par suite, sin2x plus petit que 1.

Page  151 EQUATIONS TRIGONO.NiE,,rIQUES A UN E INCONNUIE. 15 151, La seule condition a remplir est donc la condition (3) et, alors, les, deux racines de l'quation (2) en sin x son,t acceptables. Rcsolution. - Ceci pos6, la condition (;3).citant, remplie, noues aurons, en resolvan I l'quation (2), On commence par calcuter deux -angles ci et ~, Lels que ion alt sn ac -{- b v~a +i b2 _ c cd b2 _C [2+ b2 Ces angles c.et B seront faciles a calculer an moyen des tables. En effet, si la valeur de sina est positive, la table donnera, iinm6 -diatement, un angle u, cornpris entre 003 et 900, r~pondant a, la question. Si la valeur de sing. est n6gativ~e, on calenleora, par les tables, un. angle o(., compris entre 00 et' 90', ayant pour sinus ta valeur absolue de sin a et on aura inue solution en prenant a - 1 80~ +c ' On trouvera de me'me. Les angles 7.et f3 Rtant ainsi calcubis, tous les angles x cherch~is seront congrus soit a c/, soiL a '1800, - cc; soil a f~, soit a 1800 - f.On aura done les qnatre groupes de solutions de l'equalion (2) X = 360k +c x - 360 k +180 —, (6) /~x - 360 k +3 x — 3 6 0k- 1 8 0-; oii k est un en tier positif, ncigatif on nul. It ne faudrait cependant pas croire que toultes ces solutions satisfont l'quation. (1). S'il est vrai que nous navons pas introduitL de sol~ution itrang~re pou)r sin x, nous avons pu en introduire po0z0 langrle x. En eftfet, si on avait considirs lNquation (/I )is a sin x — b cos x = c I') Nous supposons, ici, les angles nmesuris en degris. C'est ce quo nouo feron's, d'ailleurs, dans toute ia suite do I'otvragyc.

Page  152 152 152 ~~~LECONS DE TRIGONONLETIRIE. on serait arri-v6, en la traitant comme l'6quation (1), a la nehme 6quation en sin x (2). Les solutions des 6quations ('1) et (1)b6is ont les mermes sinus, mais ii ne s'ensuit pas qu'elles sont les mernes. It faudra donc choisir, parmi les valeurs (6), cellos qui v~rifient l'6quation ('1). Ceci est, facile. En effet, les deux angles C4. et 18O0 - 0c., ayant me'me sinus, mais des cosinus de signes con traires, l'un de ces deux angles v6rifiera 1'6quation (1) et 1'autre 1'6quation (1) bs Soit y celi de ces deux angles qui satisfait t'6q~uation (1). Do merne, des deux angles [3 et '1800 - [3, ii y en a un seul, que j'appelle 0, qui v~rifie 1X6quation ('1). Le choix des angles y et ~ 6tant ainsi fait, on at, finalemnent, les deux grroupes de solutions suivants de 1lequation (I) (7~~~ ~ ~ x — 360 k + y, Pour faire le calcul effectif, il faudra encore rendre les valeurs do sin o' et sin [3 calculables par logarithm es. x DEUXIPNE METHODE. - Prenons, en second lien, tg - comrnme inconnue. On a, comme on sait (no 8 9), 2 tg~ -- g sin x 2 Cosx 2 I+ t g2 i- t g2 -En substituant, ces vale-urs dans 1'6quation (I), elle devient ~2a tg — + b (i - tg2 cx i-F g ou (8) (b +c) tgj' -2a tg x+ c — 0. Discussiont. Pour qu'il y ait (los solutions, it suffit cque cette 6quation en tg x ait des racines. Il sufflit donc quo lon ait ct2-_(C-b) (+ )> 0, et on retrouve la condition (3) pr~c~dente a2 + b2 > C2.

Page  153 EQUATIONS THIGONOMETRIQUES A UNE INCONNUE. 153 Ih'solution. Cette condition Rtant remplie, on a deux valeurs pour tg 'T, qui sonL x a -:~ \/a2+ b _~ - z7) 2 b c On commencera par calculer deux angles y' et ~'tels que l'on ait g' a. + \/a 2+ 6)2 c2 tg a - \/(a2 fr 62 - b +c Ces angles seront faciles a calculer an moyen des tablAes. Ainsi, si la valeur de tg y' est positive, la table donnera de suite un angle, c~ompris entre 00 et 900, r~pondanL a la question. Si la valeur de tLgy' est negative, la table donnera un angle y", compris entre 00 et 19Qo, tel que tg y" z tgy', et on pourra prendre Y 1800 " De me'me pour le calcul de ~'. Les angles y' et '6' ktant ainsi calcul~s, oni aura pour toutes les solutions x - /180 k -H y' x 2 - 180 lk + ' On trouve, par suite, deux-groupes de solutions (x =360 k + 2y' x 360 k + 2~ On retombe sur les deux groupes (7) trouv~s plus haut. Rernarque. - Cette seconde m~thode conduit, on le voit, a une discussion beaucoup plus simple que la pr~c~dente pour la double raison que, d'une part, la tangente pent prendre toutes les valeurs possibles et que. d'autre part, il n'y a pas en d'616vation au carr6, donc aucune introduction de solutionus 6trang~res.

Page  154 154 154 ~~~LECONS D)E TRIGONOME11TRIE. TRoisi1kME ME'TIODE. -— Au point de vue du calcul pratique, les dleux m~thodes pr~c6dentes COnduiraient a des calculs assez compliqu~s, car les formules de resolution exigeraient plusieurs angles auxiliaires, pour d're rendues calculables par logarithmes. Nous les avons expos6es surtout pour donner des exemples de 1'application de la mkthode g6D~rale indiqu~e au d~but. La m~thode suivante est beaucoup plus simple. Diyisons le premier membre de, IX6quation ('1) par a. Elle s'~rif si x + - cosx a a Posons (9) b~~~~~~~~tg( a ce qui est toujours permis puisque la tangente peut prendre loutes les -valeuirs possibles. L'6quation prend la forme sinux + cos~ x -c Cos p a S'inx Cos z sinQ CO5p cos C~os~ a ou, enfin, ('10) sinx +) - COS. Pour r~soudre, on calculera donc d'abord l'angle cp donn6 par la formule (9). La formule ('10) donnera alors x + o et, par suite, x. Discussion. -' Ii faut que la valour de sin (x + y) donn~e par 1'6quation (10) soit comprise entre - I et + 1. Pour cela, il suffit que son carr6 soit plus petit que 'I. On doit done avoir C2. 7 Cos-~<1 Or, comme on a ag2- +3~ ~H tg2<

Page  155 EQUATIONS TRIGONOMETIQUES A UNE INCONNUE. 155 on en conclut COS ct2 a2 La condition pr~c~dente devient donc a2 + b2< et on retrouve la condition (3) C2 a2 + b2 ldsoluttion. -- On calculera, d'abord, au moyen des tables, un angle atel que sin c. -C Cos CD. a Cet angle 7.connu, on aura soiL x — + 360k +o soit x- + y —360 k+ 180 -% On retrouve donc les deux groupes de solutions x 360k + o., x 3 6 0k + 1 80 - -, qui ont bien la forme (7). EXEMPLE. - Soit i r~soztdre 1'quation sin x G os, IV =-~ Nous l'krivons, en suivant la troisiuue methode, sin x+ tg 45Cos x 7,~ sin x Cos 450 - Sinl 4ii0 Cos 'c - cs 450.

Page  156 156 LECONS DE TRIGONOMETRIE. Commne cos 45~ -, le second membre est 6gal a - et l'equation s'ecrit: sill (4o +;) =2 -Or, on a sin 30 =2 On a done soit 4o5 + x -= 360 k~ + 30~, soit 45o + x = 360 ~ -t 180 - 30~. Ceci donne les deux groupes de solutions x = 360 k~ - 1~, x = 360 o + 105~. 128. Probleme. - Resoudre l'equation (1) a tg x + bcotgx = c. Prenons tgx comme inconnue. L'6quation s'ecrit, alors atg x + tg c, tg x ou (2) a tg2 x - c tg x + b - 0, qui est une equation du second degr6 en tg x. Discussion. - Pour que l'equation (1) ait des solutions, il faut et il suffit que l'6quation (2) admette des racines en tgx. I1 faut done avoir: (3) c2- 4ab > O. Ceci suffit, puisque la tangente peut prendre toutes les valeurs possibles. Resolution. - La condition (3) etant remplie on a, pour tg x, deux valeurs: c -~ /c2- 4 ab tg x - 2a

Page  157 EQUATIONS TRIGOi\OMETRIQUES A UNE INCONNUE.15 157 Calculons, au moyen des tables, deux angles o'. e L [ els que l'on ait C -i \.'c - 4 ab Qa (4) t[~cvc~a Tous les angles x cherch~s ayant mulme tangente que l'angle c'. ou que l'angle [3, on a deux groupes de solutions 1 I80k [3 Pour faire le calcul effectif, on rendra les, formules (4) calculables par logarithmes et, pour cela, it suffira d'appliquer ce que nous avons dit (no i2.5 pour 1'6quaLion g~nirale du second degr6. 129. -Les deux probl~mes pr~c~dents nous out fourni *des exemples d'application de la m6thode g6Dirale. Mais, d~jh pour le premier, nous avons donn6 une m~thode sp6ciale qui est plus simple. Le probl~me s uivant nous en donnera un nouiel exemple. Probl~me. - Esoatdre 1 equation. (1) sin px — sin qx, oit p et q sont deux nornbres cdonms. L'galit6 (1I) exprime que les deux angles px et qx out meme sinus. Ii en r~sulte que lun d'eux, px par exemple, est soil congru a lautre, cx, soit congru au suppl6ment de cet autre (no0 47). Tous les angle s x cherchis v6rifient done lune ou lautre des deux 6galit~s suivantes px -360 k + x, ou px -360k +180 - qx. Si p est diff~rent de q, on a deux groupes de solutions ~/ 360ki 360k +-1-180 Si p= q, la premi~re relation ne donne plus de solution, car iell

Page  158 158 158 ~~~LECONS DE THIGONOMETIhTIE. ne pent a-voir lieu que pour k -0 et ii n'y a plus quaun groupe de solutions 36)0k +180 ' 180 k +90 x 2p~~~~ REMARtQUE I. - On traiterait de la merne fa~on les 6quations Cos Px Cos qx, tg px tg qx. L'6qua Lion COS)Jx sin qx prendrait la forum (1) en 1'6crivant sin (90 -px) -sin qx; et, par suite, se risondrait par le me'me proc6dG. REMARQUE II. - Lorsqne p et q sont entiers, on pent appliquer la m~thode ginirale. On pent, en effet, exprimer sin. px et cos qx (no 84) an moyen de sin x et on a, alors, une 6qnation en sin x. Mais, cette manhire de proc~der serait souvent fort compliqu6e. Cependant, en la rapprochant de la m~thode pr~c~dente, on en tire des conclusions int6ressantes, car on a ainsi des 6quations, de degris Mlev~s, en sin x, dont on connai'L d'avance les solutions. Ainsi, consid~rons le syst~me (2) sin 5 x — sin 3 x. On a (no 84): sin 3 x — 3 sin x - 4 sin 3X. On trouve de me'me, en appliquant la mkLhode du no 84, sin. 5x -- sin x - '20 sin~x -1 '16 sino"x. L-1iquation devient alors sin x -- 20 sin~x + 16 sin~x -3 sin x - 4 sin~x. on' sin x ['to sintIx - 16 sin~x + 2] 0. Les sinus des angles cherch~s v~rifient donc soit 1'6quation (3) sin x - 0, soit (4) (4) 8 ~S'in~x - 8 sinlx + I - 0.

Page  159 EQUATIONS TRIGONOMIETRIQUES A UNE INCONNUE. 159 D'autre part, la m6thode que nous avons exposee nous apprend que toutes les solutions de l'6quation (2) sont donnees par les deux egalits: x -- '180k~, _360ko ~+ 1800o 45o.x 8 -— 4/.8 2 + Le premier groupe correspond a 'equation (3) et le second groupe a l'equation (4). On en conclut que les quatre racines de l'6quation (4) sont: I 0 3 5 7 sin4 sin- 4, 4~ sin45 sin 45 e ill 45~; 2 2 2 2 c'est-a-dire, en mesurant les angles avec les longueurs d'arcs, 7T 3.. 577 7rT sill sin, si l, s sin88 8 s 8 Ce serait un moyen detourne d'avoir les valeurs de ces quatre sinus. EXERCICES 46. Resoudre les equations: COS x + \/3 sin x - 1, cos 3x + sin 3.x - Ci2 sin.x - 2 cos x = sec x, tg (x + a) tg (x -a) 1 - 2 cos 2a tg (a + x) t (a - x)1 + 2 cos 2a' sin x = sin 7x, sin 7x - sin x = sin 3x, cos 3x = sin 5.x, C 2 tgox cos 3x - 1 + tg2' [01 4- sil] x - ] [y1i- sin x + 1]= tg2 a sin x, cos( x - = cos (x + -),

Page  160 160 LECONS DE TRIGONOMETRIE. 12 cos2 x - 5 sill x, cotg - tg- = silln + cos, +- -- b, sin x COS x sinx tgcx + 2 cosx = m, 2 sin4x + cos4x -, sin6 X -- cos6 = 4 sin 3x = ) m sin x. 47. Resoudre et discuter, suivant les diverses valeurs de m, les equations suivantes: tg2 x +- cos2 x -=?2, cos x = m tg x, m tg4 x - 2 (m - 1) tg2 x' +m - 2 - 0, (Saint-Cyr), m cos2 x + (2mI - m + 1) sin x - 3m- + 1 = 0, Sill x + cOS x + sin 2x = m, sin x sin 3x =- 12, COS 3x = — m cos3:. 48. 1Resoudre les equations: sin a + sil (a + x) + sin (a +- 2x) = 0, cos a + cos (a + x) + cos (a + 2x) 0; plus generalement, resoudre les equations: sinl ca - sin (a + x) + sin (( +- 2x) +... +- sin [a +- (n- 1) x] = 0, cos +cos (a +- ax+) + cos (a+ 2) --... + cos [a + (in - 1) x] = 0, ohi n est un nombre entier donne. 49. Resoudre, en se servant des tables trigonomltriques, les equations nureriques suivantes: 89524,67 cos x + 24508,75 sin x = 89785 (Saint-Cyr), 3 tg x -+5 cotg x = 14, sin ac sin2 x + sin x cos x +- cos a cos2 A - 0 oh ac = 192~ 12' 43",7.

Page  161 EQUATIONS TR1G0N0OMEtItQUES SIMULTANE"ES.16 16L CIHAPITIIE VI EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES SIMULTANEES 130. GC6n~ralite's. - lRtant donn~es des 6quationS simultan~es contenant des angles inCOnnuls, Si cOs 6quations ne contiennent que des lignes trigonom~triques de ces angles et non ces angles eux-Memes ou des lignes d'expressions compos~es avec ces angles, on pourra appliquer~, sans modifications, les proc~d6s indiqu~s au. 110 126. On exprimera toutes les lignes de chaque angles au moyen de lune d'elles et on aura ainsi un syst~me ordinaire d'6cquationS simultan~es. Ainsi, par exemple, si on a un syst~me de deux. 6qnations contenant les ligries trigonomktriques de deux angles inconnus x et Y, on pourra exprimer ces lignes en fonction de tg x et tg Y et on aura ainsi un syst~me ordinaire d'6quations oft les deux inconnues seront tg - et tg2 2 Certains syst~mes qui, an premier abord, ne paraissent pas rentrer dans ce type, s'y ram~nent par des transformations faciles. Ainsi, si, dans lune des 6quations, figure cos (x + y'), il suffira de d6velopper cette expression et de la remplacer par cos x cos y - sin x siny pour que les lignes des arcs x et y s6par~s apparaissent. 131. Probl~me. - BNsoudre ic sysleamc des deux Equations (1) (~ atg x +b tgy - c a' cotg x +b'coLg y =c'. Posons tg X =X, tgy -Y et le sysL~me (1) devient a aX-~ bY c (2)a b 'x Y Ljgo.NS DE Tawo.NOMATRIH. I I

Page  162 1,62 1.62 ~~~LECOINS DE TRLGOINOMETRIE. De la premiere on tire (3) IY C - aX /b et, en portant dans la seconde, on trouve, apre's avoir chass6 les d~nominateutrs et simplifi.6, (4) (ac' X2 -j (bb' - aa' - cc") X + a'c =0. Discutssion. - Pour que le syst~me (I) admeLte des solutions, it faut et ii suffit que l'6quation (4) nit des solutions. It faut donc avoir (bb' - c' cc') 4aa'cc > (t)a a' -1- b2 b/ c"c' - 2bb' cc' - 2cc' aa' - 2(a' bb' > 0. Si cette condition (U) est reinplie, l~quation (4) admet deux solutions X' et X" auxquelles correspondent deux valeurs Y' et YT/, pour IT, donn~es par l'6quation (3). On a, alors, toutes les solutions dii probl~me en associant les valeurs d'x et d'y qui v~rifient soit le sysL~me tg~c-XT tgyJ Y'; soit tg xzX", tgy Y. 132. Remarque. - La m~thode prkc~dente, quoiqu'applicable en p~rincipe aL tout syst~me qui ne contient que les lignes des angles inconnus se'par~s, conduit souvent a des calculs tr~s difficiles et quelquef,ois inextricabies. Ii faudra, alors, chercher une modifi-cation du systi~me qui le pr~sente souLs unie formne plus commode. Cette modification nest, en g6niral, qu'nn pur artifice et on ne pent gu~re indiquer de r~gle g~n~rale ii ce sujet. Voici un exemple de ce type. Probl~me. - 11csottdre ie systlimcn (cos x + cos y a, (1) ~~~~sin x + sin y b. Si on applique a, ce syst~me la m~thode indiqu~e plus haut, en

Page  163 E'QUATIONS TRIIGONOMETB IQUES SIAMULTANEES. 163 prenant, par exemple, tg -et tg -pour inconnues auxiliaires, on parvient 'a deux syst~mes fort compliqnis (lout la risolution dipend de celle d'une 6quat~ion du 4c degr6. Voici, alors, comment on peut diriger les calculs IRcrivons les deux 6quations (1) sons la fornme suivante 2 '2os (2) cs ' a 2 cos<- sinl). Divisons-les, membre h membre, et nones anrons (3) -Lg 2+/ Cette 6qnation donne - ' Connaissant I 'nne (les deux 2 2' 6equations (2) donnera x On aura, par exemple, '2 (4) ~~Cos __ _ _ C 2 '2cos 2 Y Discussion. - La valenr (3) de tgX est toujonrs acceptable. Ponr que celle de Cos X - y do nn~e par Ta formnle (4), le soiL, it 2' faut cjue io n alt 4cos2 2 Or, en vertn de l'6quation (3),Cos 2 On doit donc avoir, finalement, (~~~) ~~a2 + b 2 (5) 4. -< I.~

Page  164 164 164 ~~~LECONS DE TRIGONOTMJITRIE. RMsoluiio?7. - Cetie condition ManL remplie, soit c/. un angle Le] que 1) tg s. - a on devra avoir x 18k (6) 2 +180k.2 On en conclut Cos / 2 _ 2 ao x Soit [3 un angle tel. que a Cs 2 cos on aura (7) 360h + 180k ~ [p, 2 h et k 6tant des entiers positifs, n~gatifs on. nnls. Des formules (6.) et (7) on tire, enfin, les valeurs snivantes d'x et dly (x -3 6 0 (h + k) ~431- + y -- 3 60 h + 3 —~ ih et k 6tant deux entiers arbitraires, ces deux formules peuvent s'~rire, plus simplement, x - 360p ~4[ + cz, y 360 q [3-1 + t dans lesquelles les signes sup~rienLrs et inf~rieurs qui pr~ce'dent [ se correspondent et p et q de'signent des entiers positifs, n~gatifs ou nuls. REMARQUE. -Il1 arrive fr~quemr-nent qu'on ren contre des syst~mes, tels que le syst~me (1) pr~c~dent, sym~triques en x eL en y. Il y a, la plupart du temps, avantage, pour les r~soudre, a proc~der comme nous l'avons falit et a chercher ah calculer x + y et x - y.

Page  165 EQUATIONS TIIIGONOMETURIQUES SIMULTANEES.16 1 6 5 133. Cas oit les inconnues elles-mehmes fligurent danis les 'equations. - Lorsque ics, inconnues, figurent dans les 6quations, non seulement par leurs lignes trigonornktriques, mais encore elles-me'mes, on ne penit plus indiquer de procMd6 g~n~rai de resolution. Tout dUpend alors de l'ing~niosit du calculateur. Le cas, le plus fr~quent, celui du moins qui se rencontre le plus souvent dans les resolutions de triangles, est eelui oft il s'agit de calculer, detie angles connaissant leur somme on lem, di/fereence etiline relation ertire leurs lignes ltigoqnomeriques. Ce cas, se rain~ne imm&diatement au cas d'une 6quation a une seuale inconnue, du n '126. Supposons, par exemple, qu'on connaisse la somme x i.,? des deux angles ineonnus. -i- y ~a On cherchera, a calculer x - y on1 -_ ' Nous poserons '2 x - 1/- Z et nous aurons a z a — z, '2 ' 2 ~~~~2 En portant ces valeurs dans la relation trigonom~trique donn~e, on n'aura, plus qu'une 6quation a une ineonnue z. De memre, si on connaissait x - y, on calculerait x + Nous nous bornerons a traiter des exemples de ce type. 134. Prob1lrme. - Thesondre le syshhe'm X +y a1, ('I) ~~~~sin x nt siny p) Proposons-nous de calculer 2 La seconde 6qiiation s'6crit sin x- siny _m - p sin x -H sing + ]9

Page  166 166 166 ~~~LECONS DE TRIGONOTMETRIE. Or, en rendant le premier membre calculable par logarithmes, on a, d'apr~s la formule [51] (no0 93), -tg 2 ct cdell 6quation s'6crit, enfin, ____ 91 tg + tg 2 In +.p 2 L —e syst~.me (1) s'~rit, par suite, (2) 2 2 tg - ))tg 2* On connalt done x et x+I cc qui donne x et y. 2 Comme la tangente pent prendre toutes les -valeurs possibles, le,syst~me admet toujours des SOlUtionS. SoitCl un angle tel que t g tg rnm p 2 ~on aura: Et, par suite, toutes les solutions soul donnies par les formules 2 (clegv~s) a z -c-8 k oft k de'signe un entier positif, n~gatif ou nul.

Page  167 E~QUATIONS TRIGONOME'TRIQUES SUIMULTANEES.16 167 135. Probhkme. - BesoUdre. le, sy/stcmci cos xcosyzzb. Nous calculerons, id7, x + y. Or, on a, d'apr~s les formules [491, Cos x Cosy zz -- [Cos (x -1-Y) +Cos (x - y] La seconde 6cjuation ('1) s'~rit donc Cos (x+y) + cos (x- y) 26 et, en tenant compte do la prern-iire, (2) cos (x H- y) — 26- cos. Cello 6quation fournit donc x I Discussion.. - Pour quo le syst~rno admette des solutions, il faut quo la valeur (2) trouv~e pour cos (x + y) soit plus polite quo '1, en valour absolue, c'est-a-dirc quo, le carr6 do cotte valour soil plus petit quo I1. On doit donc avoir (3) (2b - cosa 2 < 1. Cette condition (3) 6tant romplie, 1'quation (2) fournit pour x + u des valeurs comprises dans une formulo do la formo x ~y z360 k ~ t(degois. On a donc x - 1 80k, 2 - a ~ -4- 180 k, dgr /2 oft k d~signe un entier positif, n~gatif on nul, et oft. los signos sup~rieurs et inf~rienrs qui pr~c~dent sc o correspondent dans los deux formules.

Page  168 168 LECONS DE TRIGONOIMETRIE. EXERCICES 50. Resoudre les systemes suivants: x + y = a, sin x - cos y = b; x + y =a, sinx siny = b; x y = a, sinx + sil y = sin x sin y, (uoir I'exercice 32); x + y = a, sin x sin y = m cos2 x. Resoudre les memes systemes oil on remplace l'6quation x + y =- a par x - y a. 51. Resoudre les systemes: sin x, + sin y = a, sinx sin y -b sin x s sin (x + y) a b c tg x tg y tg (x + y) a b c sin x = — cos y, tg2 x=?1 tg y; tg x + cotogy = a, cotg + tgry = b.

Page  169 LIYRE III RESOLUTION DES TRIANGLES CITAPITRE PREMIER TRIANGLES RECTANGLES 136. Notation. - Nous disignerons toujours, dans la suite, un triangle par les trois lettres A, B, C plac~es aux trois somme ts. Les trois angles, meszores en degres, seront d~sign~s par A, B, C et les. longueurs des trois co't~s par a, b. c, a Rtant le c6t6 oppos6 a Fangle A, b 6tant oppos6 a, B et c a C. Lorsciue le triangle sera rectangle, nonts placerons tonijours la letire A an son-met de l'angle ciroit, cle telle sorte que ion anra A - 900 et que les deux angles B et C seront compl~mentaires, B + C-= 90 0. Un triangle rectangle n'a donc que Cinq 6l6ments variables a, b, cl, B, C. II existe entre ces 6l1rnents, pris trois a trois, des relations que nous allons d'abord 6tablir. 437. Thdor~me. - Dans ain triangle rectangle, ant co1W de lVangle clr'it esi ~gal aat prodatit de ihy potinuse par le cosinas cle l'angle aigit adjacent ou par le sinas de l'angle aigit oppose. Soit le triang le rectangle ABC (fig. 37), rectangle en A. Prenons, sur CA et CB, des sens positifs de C vers A et de C Aers B. On aura, alors, CA -b9 CB -a.

Page  170 1'o0 LECONS DE TRIGONOMIITRIE. Or, CA est la projection orthogonale de CB sur l'axe CA, on a done, d'apres le th6oreme du numero 44, CA CB. cos (CA, CB) et, par suite, (1),b - a cosC. On prouverait, de meme, que (2) c a cos B. Les angles B et C etant complementaires, on a B^ /cosC sinB, cosB- sinC. ____________________ /Les relations (1) et (2) h A deviennent donc Fiu. 37. (3) b = a sin B, (4) c -- asinC. Des formules (1), (2), (3), (4), r6sulte l'exactitude de l'6nonce. 138. Theoreme. - Dans tout triacngle rectangle,,un c6t ce le angle drloit est egal au produit de lautre cote par la tangente de l'angle aigu oppose ou par la cotangente de I'angle aigu adjacent. On a, en effet, d'apres le th6or6me pr6ecdent: b -- asinB, c acosB. Ce qui donne, en divisant membre a membre, b 1 — tg B - c cotgB On en tire: b - ctgB, c c- bcotgB. En divisant de meme, membre a membre, les 6galites c = asin C, b = a cos C, on trouve b b = ccotgC, t c btgC.

Page  171 TRIANGLES 111"CTINGLES. III 139. R~sune-. - Des denx th~or~rnes prkc6dents, ii r~sulte qu'il. existe, entre les cinq 6l6ments a, 6, c, B, C d'un triangle rectangle (a Rtant l'hypot~nuse), les relations suivantes B + C - 900, [55] [56] b-sinBC c - ain [57] - c tg B, ani.xqnelles on pent ajonter la relation de Pythagore On a, ainsi, limit formules et il est facile de se rendre cornpte qu'on a tontes celles qni contiennent trois Wlments qnelconques, pris au hasard. En effet, une telle relation pent contenir d'abord les trois co't~s, C'est la relation de Pythagore. Puis, elle pent contenir deux des co't~s a, b on c et lun des angles B on C; it n'y a que six combinaisons possibles qui correspondent aux six formules [55], [56] -et [57]. Enfin, it ne pent exister une relation ne contenant qu'nn c6t6 et les, angles B et C et oft figure effectiveme'it le c6LW; car, s'il en 6tait ainsi, on pourrait calculer les c6t6s d'nn triangle rectangle connaissant uniquement les angles et deux triangles rectangles semblables seraient 6gaux. En d'anitres termes, si ion cherche une relation entre un cA6t et les denx angles B et C, le, cA6t ne devra pas figurer dans la relation qui, par suite, devra eltre 6quivalente 1'6galit6 B +~ C -90.0.140. Re6solution des triangles rectangles. - R~soudre nn triangle rectangle, c'est calculer les cinq 616m~ents de co triangle counnissant deux donn~es. Les cas les pins simples de r6solntiou soul cenx oft l'on donne denx des 616ments du triangle; et, ponr que le probl~me soit possible, ii faut, 6videmnment, qne, parmi ces donn~es, ii y ait au momns un coW. Les formules r~sum6es an n0 '139 fournissent,7 alors, dans tons les cas, la solution du probl~me. Ces 6galit~s sont, en effet, toutes celles qni peuvent exister entre trois 6M6ments dn triangle; donc, ktant donn6s deux 6l6Ments dont an

Page  172 172 172 ~~~~LEC(ONS DE TRIIGONOMELTRIE. moins un c('t6, it y a une de ces formuLles qui contient ces deux 616menLs et un troisi~me, inconnu. Ii pent se presenter quatre cas diffrents, suivant les 616mnents qui sont connus. En voici 1'6num-iration. On peut se donner 'lo LAhypoitnuse et un angle aigut..20 Un colA de l'angle droit et mu angle ctigut. 30 L'hypotinuse et un coi (de Ian gte droit. 40 Les deux c0~ de l'angle dro it. Nous allons traitor, successivement, ces quatre probl~mes. Nous drsignerons, comme toujours, par a, b, e, B, C, les cinq ele6ments dui triangle rectangle, a ktant i'hypot~nuse. 141. Premier cas. - Les dwmeues sont a et B. - Les inconnues sont donc b, c, et C. On a, de suite, C 900 - B; puis, 'Ios formules [55] ot, [56] donnent b a sin B, o a cos B. Le probl~me est, Loujours possible pourvu que B soit, aigu. CalenuIons encore la surface S dui triangle; on a bc a 2sin B cos B ' - 2 2 Toutes les formules sont, calculables par logarithimes. 142. Deuxi~me cas. - Los don necs sont b et B. -Los inconnues sont a, c et, langle C. On a, do suite, C - 900 - B; puis, los formules [56] et [57] donnent, a et c 6 a sin B' C= b cotg B. La surface est: be b2 cotLg B 2 2

Page  173 TRIANGLES RECTANGLES.17 173 REMARQUE. - Le cas oUi les donn~es seraient b et C serait identique a celui-ci; car d&s qu'on connait C, on a aussi B en prenant le complement. 1I43. Troisi~me cas. - Les dounnes swit a et b. -Les inconnues sont: le c6k6 c ei les angles B et C. On a, d'abord b s in B ----- a ce qni donne l'angle B. Connaissant B, on a: C -900 — B, c -b cotg B. La surface esi b 6 cotigB 2 REMARQUE. - Le calcul pr~c~deni sera surtout a-vantageux lorsqu.'on connai't non pas a ct b, mais leurs logarithimes; car, alors, il n'exige que le calcul d'un seul logarith me, celui de log cotgB.Lorsqu.'on donne a et b eiux-me'mes, it faut calculer trois logarithmes; ceux de a, b et coig B. Dans ce dernier cas il y a, alors, avantage a employer les formules suivantes qui n'exigent que le calcul de deux logaritbmes. D'apri~s la relation de Pythagore on a: C2- (t2 _ b2 D'autre part, on a: b cos C - et, par suite, 2 CoS2C - zzz + COS C a + 13 2 a 2 a

Page  174 174 174 ~~~LECONS DE TRIGONOMETIIIE. On en conclut C - - b 02 a +1 (2) t La formule (1) donne c, la forinule (2) donne C et, connaissant C, on a B -. 9060 -- C. Comme on le voit, ces formules n'exigent que les calculs de log (a - b) et log (at + b). Pour que le probl~me soit possible, il fant que a soil plus grand que b, ce qui Rtait 6vident, a pviori, puisque a est l'hypot~nuse. 144. Quatri~me ca~s. - Les dom?~es soal b et c. - Les iDConnu-Les sont, alors, 1'hypot6nuse a et les deux angles aigus B et C. Onl a, d'abord, t g B -; 1 connaissant B, on a C 900 - B, sin B' et bc Ces formules sont calculables par logarillhmes et le probl~me es t touijours possible. REMARQUE. - On aurait pu. vouloir calculer a an moyen des donn~es. It aurait, alors, fallu recourir a la relation cc2 - (b2 +C~2

Page  175 TRIANGLES RECTANGLES.17 175 (Jui donne, Mais ceLLo formulae nest pas calculable par logaritlimes. It est d'ailleurs a remarquer que si onl la rendait calculable par logarithmes, on retomnberait sur le calcul prkc~denL. 1%erivons, en ietfe, at sous la forme C2 Poson s on aura b VI' +cog K sinc~ En comnparant ces formules aux. prkocldentes, on ioiu que o n'cstl autre chose que B. 145. Disposition pratique des calculs. - PraLiquement, pour faire los calculs d'une rlsolution de triangle, on les dispose de la facon suivante. On partage la feuille sur laquelle on fait les calculs, en deux parties. Dans la colonne de gauche on inscrit les calculs auxiliaires, c'esL-h-dire les calculs des logarithmes de toutes les quantit6s qui figurent dans les seconds membres des formules. La colonne de droite est r~serv~e aux. calculs de4/initifs, c'esL-h-dire aux calculs des inconnues. Voici, pour chacuu des cas prlc~dents, un exemple nunmirique. 3J'ai, volontairement, pris, dans ces exemples, le melmo triangle. Les r~sultaLs se contro'lent ainsi les uns les autres. Ii sera bon de remarquer que les diff~rences, lorsqu'elles existent, ne portent que sur le dernier chiffre decimal qui diff~re d'une unite. Ces diff6rences proviennent de ce que les approximations ne sont pas touj ours dans le melme sens.

Page  176 i76 TLECONS DE TRIGONOMETIIIE. Premier cas. ( a = 3740,957, Donnees. --.. ( B = 330 18' 52",73.;C = 56~ 41' ",27, Inconnues... b - 2054,670, c - 3126,193. C =90 - B, b = a sin B, c = a cos B. Calculs auxiliaires. 10 Calcul de loga. Calculs d6finitifs. 1~ Calcul de b. log a = 3,5729827 log sin B = 1,739594 9por 37409 por'... 0,5 po2w... 0,07 5729761 58 8,1 A-=116. log a = 3,5729827. 20 Calcul de logsin B. log b = 3,3127421 pour 3127273 20546 diff. = 148 pour..... 148 0, 0 A =211. pour 33~ 18 50" 1,7397506 pour...... 2" 64,2 pour...... 0",7 22,47 pour..... 0",03 0,963 A-= 321. log sin B = 1,7397594. 3o Calcul de logcosB. b = 2054,670. 2~ Calcul de c. log a = 3,5729827 log cos B = 1,9220332 log c = 3,4950159 pour 4950029 3126] dil/. = 130 pow..... 125 0,9 diff. = 5 poIu'...... 4,2 0,03 powt 33~ 19' 0' 1,9220232 pour... - 71' 96,6 pour... - 0",2 2,76 potu... - 0",07 0,966 log cos B = 1,9220332. A = 138. A=139. c- 3126,193.

Page  177 TRIANGLES RECTANG,LES. 177 Deuxieme cas. t b = 2054,670), Donn~es..... Donnees. i B = 330 18' 52",73. C = 900 - B, ( = — - sin Calculs auxiliaires. 1~ Calcul cle loy b. C 560 411 77',7, Inconnues... 3740,957, c = 3126,194. - c-= cotg B. Calculs d6finitifs. 1~ Calcul de a. log b = 3,3127421 colog sin B = 0,2602406 log a = -3,5729827 L1' 5729761 3409 A -- 116. dciff. — 66 2'..... 58 0,5 di/f. 8 U2'..... 8 0,07 por,... 20546 pour.0...... 0,70 3127273 148 A -211. pol pO'' pot )0Ol:1)0l log b - 3,3127121. 20 Calcul de cologsinB., 330 18' 50" 1,7397506 A-321. r...... /2" 64,2 '...... 01,7 22,47.'...... 0,03 0,963 log sin B = 1,7397594, colog sin B = 0,2602406. 3~ Calcul de logcotgB.:' 33019/ 0"/, 0,1822405 A - 459. ' -.... -i/1 3'21,3 Tr.... -- 0O/,2 9,18 ir.... - 0",07 3,213 log cotg B = 0,1822739. po po po a - 3740,957. 20 Calcul de c. log b = 3,3127421 log cotg B- =0,1822739 pou p1oi pou?)oi log c = 3,4950160 pou9 4950029 diff. = 131 powur..... 125 diff. = 6 pou...... 5,6 31261 A - 139. 0,9 0,04 c - 3126,194. 12 LEmONS DE TRIGONONEfTRIE.

Page  178 178 LECONS DE TR1GONOMETRIE. Troisieme cas. ( a = 3740,95'7, Donnees. - - b 2054,670. i b = 2054,670. B = 33' 18' 52",74, Inconnues... C - 56~ 1' 7",26, c = 3126,193. tfC = a — b I B = 90c - C, c = \(a - b) (a + b). 2 a +, Calculs auxiliaires. a - b = 168,287, a + b = 5795,627. 1~ Calcul de log (a - b). pour 16862 2269091 A =257. pour....... 0,8 205,6 pourl....... 0,07 17,99 log (a - b) = 3,2269315. 2~ Calcul de log(a + b). pourI 57956 7630981 A = 75. pour...... 0,2 15 pour....... 0,07 5,3 Calculs definitifs. 1~ Calcul de C. lo3 (a - b) = 3,2269315 colog (a + b) = 4,2368996 2 log tg = 1,4638311 C log tg - = 1,7319155 pour 1,7318972 280 20' 30" diff. = 183 pour.... 151,2 3"/ dliff. 31,8 poulr.... 30,24 0',6 diff.= 1,56 A - 504. pour.... 1,51 0",03 log (a + b) = 3,7631004, colog (a + b) = 4,2368996. C - = 280 20' 33" 63 2 C = 560 41' 7",26. 2~ Calcul de c. log (a - b) = 3,2269315 log (a + 6) = 3,7631004 2 log c - 6,9900319 log c = 3,4950159 pour 4950029 31261 diff.. = 130 pour...... 125 0,9 diff..- = 5 A = 139. pour.... 4,2 0,03 c = 3126,193.

Page  179 TIlIANGLES RECTANGLES. 179 Quatrieme cas. i b - 2054,670, Donnees.. 3126193.. c -- 3126,193. B -- 33~ 18' 52",72, Inconnues... C - 560 41' 7",28, ca = 3740,957. b) b tg B =C -, C = 90 - B, --- C sin B Calculs auxiliaires. 1~ Calcul de logb. potu 20516 3127273 pow'....... 0,70 118 log b = 3,3127121. A -211. Calculs d6finitifs. 1~ Calcul de B. log b = 3,3127421 colo/ c - 4,5049840 2~ Calcul de colog c. por' 31261 4950029 A pour....... 0,9 125,1 por....... 0,0 5,6 log c = 3,4950160, colog c = 4,5049840. 30 Calcul de cologsinB. log g B = 1,8177261 pou,' 1,8177136 33~ 18' 50' i/ff.: - 125 pou)'.... 91,8 2'/ diff. = 33,2 poor..... 32,13 0'", diff. = 1,07 pour..... 0,91 0O, A = 459. 7 02 I1 = 33~ 18' 5'2,72. 20 Calcul de a. pour 33~ 18' 50 1,7397506 A = por,,..... 2" 64,2 po 'r,...... 0",7 22,47 pour...... 0'',0 0,642 log sin B = 1,7397593 colog sin B = 0,2602107. 321. log b = 3,3127421 colog sin B = 0,2602407 log a = 3,5729828 potur 5729761 37409 diff.= 67 pour..... 58 0,5 diff. -= 9 por01..... 8,1 0,07 a = 3740,957. A = 116. 146. Cas non classiques. - Les cas que nous venons d'examiner, cas dits ( classiques ), comprennent tous ceux oft les donnees sont deux des 6lements da triangle rectangle. Un tel triangle est,

Page  180 180 180 ~~~LECONS DE TIRIGONOMETRIE. cependant, parfaitem ent dktermin6, iorsqu'on se donne deux quantit~s, dont au moins une longueur, li~es intimement au triangle. Ainsi, par exemple, un triangle rectangle est d~termin6 d~s qu'on se donne la hauteur relati-ve a l'hypot~nuse et un angle aigu; o lorsqu'on donne les deux segments en lesquels la hauteur partage l'hypot~nuse. Si on a tine donn~e a-utre qu'un 616ment du triangle et un 6,16ment de ce triangle, on exprimera cette donn~e en fonction des 616ments du triangle. Cette 6galit, jointe a trois des formules du no 139, convenablement choisies, fournira quatre 6quations pour diterminer les gu~atre 6l6ments inconnus. Si les deux donn~es ne sont, ni l'une iii l'autre, un 6h16ment du triangle, on exprimera ces deux donn~es en fonction de ces 616ments. On obtiendra ainsi deux 6galit~s qui, jointes ~t trois des formules du no 139, convenablement choisies, fourniront cinq e6qua-tions pour determiner tes cinq 6,16ments. Vo-ici deux exemples de ce genre de questions. 147. Prob1~me. - R6,soudre un triangle rectangle, connaissant la haulteur) h, relative cti l'1hpotcnutse, et tangle aigt B3. Soit AlH (fig. 38) cette hauteur. lDans le triangle rectangle ABil on a: (1) ~~h -AB sin B -c sin B. Joignons at cette 6galit6 les fornmules (2) C 0 Oo B.. (3) b c tgB, (4) ~~~~c a cos B, et nous aur ons tin syst~me de, quatre 6quations pour determiner les quatre inconnues a, h, c, C. On en tire, sans difficult6, c-h sin B' \ / Cos B sin B cos B' formules qui r~solvent la question.

Page  181 TRIANG'LES RECTANGLES. 18 1,8f 148. Probli~me. - 'Resoudre an triangle rectangle, connaissant les deux se~gments rn et n en lesquels la hauteur relative d l'hypotednuse partage cette hypothnuse. Soit, AH (fig. 38) cette hauteur. On connait BH mCIII -. on a alors, de suite, (U a: m- a. En second lieu, dans les A> triangles rectangles ABUl et ACH on a: R 11 H '<'> C mI = All cotg B, = All tg B; FiG. 38. doen divisant ces deux 6galit~s, membre a membre, 2 tg2 B(2) tg B A ces deux 6galit~s (1) et (2) adjoignons les 6galit~s B C-]C=900, (3) b-a sin B c a c os B, ei nous axons un syst~me de cinq 6qnations pour calculer les cinq inconnues a, b, c, B, C. On'calcule d'abord a et B par les formules (1) et (2) et les formules (3) donnent,- ensuite, C, b et c. EXERCICES 52. Rdsoudre un triangle rectangle connaissant Ii L'angle B et l'exc6s d (10 l'hypotenuse sur la hauteur; 2o Un cA6t do l'angle droit et langle a que fait la mddiane relative At ce cWt avec 1'hypotdnuse; 30, Le pdrim6tre 2p et la hauteur h relative a l'hypotdnoso' 4o L'atgle B et la somrne, s =6 + c, dos deux c6tds do Fangle droit; 50 L'hypot~nuse a et la longueur 1 do la bissectrice do Pangle droit; 6o Los deux segments m et n en lesquels l'hypotdouse ost partag~o par le point do contact do cercle inscrit; 7o La surface S ot InLn des angles aig-us.

Page  182 182 LECONS DE TBIGONOMElTIIE. 53. Demontrer qu'entre les cinq el6ments d'un triangle rectangle on a les relations: 2bc cos ( -- C) = cos (2B - C)- (3a2 - 4,2), C2 B ~2 cos 2B -- a2 2bc tg 2B 54. Demontrer que la surface S d'un triangle rectangle est donnee par la formule S = 4 (b + c + a) (b + c - a). CHAPITRE 1I FORMULES POUR DES TRIANGLES QUELCONQUES 149. Theoreme. - Dans un tr iangle, les cotls sont proportionnels aux sinus des angles opposes. Soit ABC un triangle (fig. 39); tracons le cercle circonscrit a ce triangle de centre 0. Nous allons prouver que le rapport d'un cte quelconqtue au sinus de 'angle oppose est egal au diametre du cercle c,irconscrit. La proposition 6noncee en r6sultera bien 6videmment. Abaissons du centre 0 du cercle la perpendiculaire OH sur le c6te BC et joignons OB. Evaluons l'angle BOH. Cet angle a meme mesure que.'arc BK compris entre ses c6tes, c'est-a-dire que la moitie de l'ar BC. 11 peut se pr6senter deux cas. Si l'angle A du triangle est aigu, cet angle a meme mesure que la moiti6 de l'arc BC, et on a: BOH - A. Si A est obtus, le triangle a la forme BA'C (fig. 39) et I'angle A a

Page  183 FORMULES POURI DES TRIANGLES QUELCONQUES. 183 pour mesure in moiti6 de lFarc BAC et, dans ce cas, il est IC supplement de, langle -BOH, B30tI_ 18O0 - A. Dans le.s cleux cas, puisque deux angles 6gaux ou suppl~mentaires ont mime inus, onl a A sin, BO11l sin A. Ccci pos6, dans lc triangle rectangle b BOll on a R -' HIB -OB sin (BOB). Or BH est la mnoiti6- de BC, &'estK a-dire de a. Si donc on d~signo par R ~ FIG. 39. le rayon du cercie circonscrit, on a a sinA '21 On aurait, 6vidernrnent, de meime, sin B-'21 C 2R sin C On a donc bien a b c sin A -sin 13 sin C ItEMAlIQUE. - La d~hionstration pr~c~clente prouve, en outre, que la valeur commune des, rapports tels que a est '2R. Ccci 11011 sera utile pour le calcul du rayon du cercie circonscrit a un triangle.

Page  184 181 LECOiNS DE TRIGONOMI1TRIE. 150. Theoreme. - Dans an triangle, le carre d'un cote est egal 4 la somme des carres des deux autres cotes diminzuee du double produil de ces deux cotes par le cosinas de langle oppose. Soit ABC un triangle et BH (fig. 40) la hauteur issue du sommet B. Nous distinguons deux cas: 10 L'angle A est aigu. Dans ce cas, l'on sait, d'apres un theoreme connu de g6ometrie (1), que lon a (fig. 40, I). (-1) BC= AB2 + AC2 - 2 AC X AH. Or, BC = a, AB == c, AC = b; de plus, le point H tombant entre A et C, l'angle HAB est 1'angle A du triangle et on a: AH = AB cos (BAH) = c cos A. On en conclut a2 = b2 +- c - 2 bc cos A. B B A b H C I-H 'C A1 A C I II FIG. 40. 20 L'angle A est obtus. D'apres le th6oreme precite, on a, alors (fig. 40, II). (2) BC2 ATC2 + AB2 + 2AC X AH. Or, ici, le point H tombe sur le prolongement de AC du co6t de A. et l'angle BAH est le supplement de langle A. On a done: cos (BAH) - cos A et AH = AB cos (BAH) -c cos A. (1) Voir dans les Lecons de Geom)etie de A. Hadamard, lo no 126.

Page  185 FORMUILES POUB DES TIBIANGLES QUELCONQUES.18 185 Portant cetie valeur de All dans la relation (2) et rem'plagant BC, AC et AB par leurs valeurs, on en conclvit encore la relation (3) a2 i2 c 2bccos A, qui est donc vraie dans tous le~s cas. On d6MOntrerait., de merne, que (4) b2 -C2 + a2-2 cacos B, c2 za 2b2-2ab cos C. REMTARQUE. - On d~duit ais~ment la formule (4) de la formule (3) par ce qu'on appelle une permatalion c1)rculaive effectu~e suir les lettres a, b, c et A, B, C. Permuter cireulairernent a, b, C, c'est rernplacer a par b, b par c, c par a; c'est-a-dire que c'est remplacer chaque letire par la suivante, la premi6re, a, 6tant eonsid6r6e comme. celle qui suit la derni6re c. La formule (5) se d6duit, de melme, de la formule (4) par une permutation circulaire. It suffit done dle connaItre la formule (3) pour pouvoir 6crire, imm6diatement, les deux autres. 1I51. Thdor~me. - Darts un trianle ur ci,es gal la somnme des- produits obtenmus en multiplicunt chacun des deux autres cW1s par le cosinus de l'angle qu'il /orme avec cc premier c61c. A B FIG. 41. Soit (fig. 4 1) le triangle ABC. Prenons sur BA, AC et BC, e sn posiiLifs de B vers A, de A vers C. et de B vers C. On aura, alors, BA - cl AC -- bl BC = at Or, le segment (BC) 6 taut la r6sultante des segments (BA) et (ACG,

Page  186 186 186 L~~~~1EC-ONS DE TIUIGONOMETRIE. on a, en projetant les trois segments sur un ax,\e quelconque (no0 8), proj. BC=proj. BA + proj). AC. Projetons sur laxe BC, on aura p-roj. IBC rz BCa, proj. BA BA Cos (B3C, BA) c cos B. proj. AC AC cos (BC, AC) b cos C. On en conciut a bcos C c Cos B, ce que nous voulions ck~montrer. On prouverait, de Meme, que b - c cos A +acos C, c. a cosB + bcos A, relations qui se Gd~disent de la prkc~dente par des permutations circulaires effectu~es suir les lettres a, 6, C et A, B, C. Remarque. - Si, au lieu de projeter sup laxe BC, on projetait sur un axe perpendiculaire a BC, on aurait, comnme it est facile de s'en rendre compte, 0 -c sin B - b sin C, et on retrouveraiL, par une nouvelte voie, les relations du no 149. 152. Rksum3i. - IDes trois th~ori~mes qui pr~ci~dent, il r~sulte ciue lon a, entre les six 616ments, a, 6, c et A, B, C d'nn triangle quelconque, I-es trois groupes de form ales suiyants a __ 6 _C [58] Sin A -sin B -sin'C' \A +B +C - 18 0~; a2z b2 c2 - Q-bc cos A, [59] b'-C' a' -2ca cos B, - a2 + -) 2ab cos C; ~a b, cos C -H c cos B, [60] ~b-ccos A +acosC, C az acosB + bcos A.

Page  187 FOBMULES. POUR DES TRIANGLES QUELCONQUJES.18 187 Les groupes [58] et [59] sont forrn~s d.'6galit~s dont chactine contient quatre 6lrneints du triangle. II est facile de se; rendre compte qn'on pent en d~duire toriles les relations qui peuvent exister entre quatre 6l6ments quelconques d'un triangle. D'abord, entre quatre 6h6ments d'un triangle, dont au momns deux c6t~s, it lie pent exister deux relations distinctes. Car, sans cela, en r~solvant, ces deux relations par rapport, a denx co"t6s, on pourrait calcnler denx cot~s du triangle ne connaissant que deux autres Ml~ments; par suite, uin triangle serait, dktermine" par denx 616inents, ce qni nest, pas. Ceci pos6, ii pent d'abord -v avoir trois relations conten'ant chacune les trois co't~s et nn angte:ce sont les relations du gi~oupe [59]. Ii penit, ensuite, exister neuf relations contenant cha'cnne deux angles et deux cot~s -.ces neuf relations sont, toutes contenues, implicitement, dans le, groupe [58]. En remarquant, en effet, que sin A =:sin (B C G, sin B -sin [C +A), sin C -- sin (A + B), puisque A +B +C zz 1800, on d~duit, des relations [58], les 9 suivantes a sinB3- bsin A -0, b sin C- csin B -0, C sin A -a sin C -0, a sin (C + -A)] —bsinA - 0 b sin (A +B) - csin B- 0 c sin (B +C) - a sinuC- 0, a sin B- bsin (B +C) z0, b si C - csin(C +A) -— 0, c sin A- asin (A +B) =0. Enfin, it ne pent exister une relation contenant les trois angles et un c6t6, oft ce ct figure e/fcclivement; car, sans cela, on ponrrait calculerunnc6t6 d'nn triangle, en con naissant les troI s an gles; et denx triangles semblables seraient 6gaux..Donc, si lou cherche nne relation ne contenant qu'un seul cotW, ce co'ti ne pourra pas y figurer et on devra parvenir a nne 6galit6 equivalente a, A + B + C - 1I800. Nous avons donc toutes les formules at qnatre 616ments possibles.

Page  188 198 188 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. 153. Equivalence des trois groupes. - Ii est ais6 d'apereevoir, a priori, qu'il ne peut exister plus de trois relations distinctes entre les six 6l6ments d'un triangle. S'il en existait, effectivement, quatre, on pourrait, gra'ce a ces quatre relations, calculer quiatre 6l6ments du triangle, n'en connaissant que deutx et 111 triangle serait parfaitement ditermin6 par deux 616ments. Or, ceci est coniraire aux propri6t~s g~om~triques connues des triangles. Chacun des groupes [58], [59], [60] Rtant form6 de trois 6galit~s distinctes, il est done a pr~voir que ces trois groupes ne sont pas ind~pendants etL que, de lun d'eux, on pent d~daire les deux autres. C'est ce que nous ailons montrer. Pr~cisons. Nous allons prouver, non pas que les trois groupes sont absolument 6ctuivalents quels qute soient aI b, c A, B, C, mais qu'ils le sont lorsque a, h, c A, B, C sont les 6l6menLs possibles d'nn Lriangle:c'est-a-dire loisqgee a, b, c sont positi/'~ et lors gee A, B, C son [des angles posilifs et plos petits que 1800 () '10 Equivalence des grozipes [59] et [60]. - IRtant donn6 le gronpe [60], proposons-nous, par exemple, d'en diduire la premi~re formulk [59]. Cette formule est lFuniqu~e formule qui contient les 616ments a, b, c, A; on l'obtiendra donc cerlainemneni en 61ilimfinant cos B et cos C entre les formules [60]. Des deux derni~res 6quations [60] je tire Co 6 - c cos AI a Portons ces vNaleurs dans la premiere, il vient, en multipliant par a, a' 2 b (b6- e cos A) e (c -6 cos A), d'ot, en simplifiant, a2 - b2 + 2-2be cos A. Le groupe [59] est donc une consequence du groupe [60]. Th"Ciproquement, montrons que le groupe [060] pent se d~duire dii groupe [59]. Proposons-nous, par exemple, connaissant le groupe [59], d'obtenir la premi~re des formules F60]. Ht suffit, pour cela, d'ajouler, (1) II faut remarqu~ev que ceei exclut les vaelurs lirnites. Ainsi, a, b, c seront di/ftfents 'de z6h o et A, 13, C seront suppos~s dilffrents de 00 et (le 1800.

Page  189 FORMULES POUR DES TRIANGLES QUELCONQUES.18 1S9 membre a membre, les (leux derni~res relations [59]. II vient, en effet, en supprimant b2 + c2 aux deux memnbres, 0 — 2a2 - 2(-a cos B - '2ab cos C. Divisons les deux rnembres par 2a, quil est diflk~rent de zero par hypothe'se, et nous avons a -c cos B H- b cos C, qui esL bien la premi~re C-galitW [60]. 2oEqutivalenice des ~iPoUt~s [58] ei[60]. -Coinnaissant le groupe [58], il est facile dWen d~duire le groupe [60]. Cherchons, par exemple, at former la premiere 6quation [60]. Puisque A -1800 -(B +C), o n a sin A — sin (B H- C), C&esL-h dire sin A -sin B cos C -4 sin C cos B. sin A, DNsignons par k le rapport ~-, on aura, d'apr~s les prerni~res a formules [58], sin A, -- ka sin B - kbI sin C -1w. Portons ces vale-,urs danis la relation pr~c~dente il vient ka — kb cos C H- kc cos B. En divisant par k qui ne peut etre nul, on a bien a -b cos C +c cos B. RMciproquemi~en, du groupe [60] cherclhons a d~duire le groupe [58]. La relation a __b sin A sin B 6tant la scatle relation qui puisse exister entre a, b, A et Bon l'obtiendra, certaincrenct en 1i'minant c et cos Cen-tre les 6galit~s [60].

Page  190 190 LECONS DE TRIGONOMEMIE. Des deux premieres C-galif~s [60], on tire b cos B - a cos A Cos C a cos B - b cos A' (t2 - b2 a cos B - b cos A' Portons cette valeur de c dans la deuxii~me, ii vient, apr~s avoir chass6 le d~nomnina-Leur, W - ) (a cos B +bcos A)(a cos B- b cos A) on a': -/ h2 a2 cos2 B - /)2 cos2 A, a2 (I - cos2B) -)2 ('1- COS2k) et, enfin, a2 Sin2 B - b2 sin'2A. Comme, d'apr~s les restrictions faites plus hauL, a, b, sin A et sin B sont posititfs,. on conclut de UIa, sans ambiguft6, a sin B -b sin A ou a __b sin A -sin B* On prouverait de meine que 1) C sin B sillC' La proporLionualit6 des sinus aux c6t~s R4anL ainsi Rtablie, nous pourrons en tenir compte pour obtenir la deuxi.6me relation [58] A + B + C '18O0 Posons sin A sin Bsin C nous aurons a -h sinA, b - h sin B c-lisin C.

Page  191 FORMULES POUR DES TRIANGLES QUELCONQUES.11 191 Portons ces, valours de a, b, c dans les trois 6galit6s [60], ollos..devionnont, apr~s avoir divis6 par ih, sin A - sin.(B + C), sin B sin (C ~ A), sin C -- sin (A ~ BW.I A, B ot C Rtant, par hypoth~se, des angles compris en Ire 00 eL 1800, la premi(I~re do cos 6galit~s ne pout avoir lion que si onl a soit A zzzB +C, soit A +C 8 De me'me, la seconde relation exige que ion ait soit B zzzC+A, soil A-]-B +Cz 180". Et, onfin, la troisi~mo relation donne soit C = A + B, soit A +B +C — i180.0 Si done on n'avai-t pas A +B +C -180o, ii faudrait avoir, d la fois, A-B +C7 B — C Al C — A+ B ot codi ost impossiblo car on en d6duirait A -0, B — 0, C z 0. 30 k'quivalence des groupes [58] et [59]. - Los groupes [58] ot, [59] 6tanL 6quivalonts, l'un eflautro, au groupe [60], sont, n~cessairoment, Equivalents ontro eux. 454. Th~or~me. - a, b), c C'tant irois nomibres positifs et A, B, C trois angles positifs plus petits quo 1800 v~rifiant lutn des trois groupes [58], [591 ou [60]1, it exisle Un triangle dont los coU~s ont pourv mesures a, b, c et dont los angles sont A, B, C. Los trois groupos [58], [59] oL [60] Rtant 6quivalonts lorsquo a, b, c

Page  192 192 192 ~~~LECONS DE TRtIGONOMETRIE. sont positifs et A, B, C compris entre 00 et 1800, it suffit d'6tablir la proposition dans le cas o~i les six quantit6s v~rifient le groupe [59]. Je dis, d'abord, ctu'avec les trois longueurs a, b), C, on peat construire un triangle. Pour cela, ii suffit de prouver que l'une quelconque de ces longuours est plus petite que la somme des deux autres. Or, on a, par liypothi~se, /2 — )2 +C2 - QbccosA et, comme CosAN> - on en conclut que - (-1, K h 2j- C 2 2 ~bc a2 K (b ~ C)2. a et b ~ c Rtant positifs, ceci entraine a K b + c. On verrait de me'me que b <c +a, c K a + b, Je dis, mnaintenant, que les angles de ce triangle sont 6gaux h. A, B et C. Soil, en effet, A' I'angle oppos6 an c6t6 a. On aura, d'apr~s le th6or~me du n9 '150, a2 b2 + c2 - 2bc cos A'. Mais, par hypolth~se, on a aussi a2 — b2 + c2 - ~2beco(20 A; on en conclut que cos A' Cos A Los angles A' et A 6tant compris entre 0 et 1800 ceci ne pent avoir lieu que si A' A. On moo trerait, de la merne fa~on, que l'angle oppos6 au co't6 b est B et que celui qui est oppos6 at c est C. Remarque. -- Ce thor~me aura son importance dans la discussion. des probl~mes de resolution de triangles.. Car, pour exprimer

Page  193 FORMULES POUR DES TRIANGLES QUELCONQUES. 193 qu'un tel probl~me a une, solutiion, il suffira d'exprimer que les valeurs trouv~es pour a, b, c, sont positives et que celles de A, B, C sont comprises entre Qo, et 1800. It sera inutile de v6rifier, comme, on est force' de le faire en alg~bre, que chacun des coAtLs est plus petit que la somme des deux autres, puisque cela aura touj ours lieu. '155. Th~or~me. La surfae d'un triangle a pour iniesare le dcwti-produit de deux co61es par le Shmls cdc lang/c comtpris. Soit un triangle ABC, Bff (fig..40) la hauteur issue du sommet B. La surface S ctu triangle est donn~e' par la formule() s AC xBII Dans le -triangle rectangle BAH, on a All -= AB sin (BALI). Ii penit, alors, se presenter deux cas. Si langle A est aigu (fi1g. 40, 1), II tombe entre A et C et on a, BARI - A. Si l'angle A est obtus (fig. 40, It), it tombe sur le. prolongement de AC, an dela de A, et on a BAH -'I800 A. Dans les denx cas on a: sin (BAll) - sin A, et, par suite, AH = c sin A. Comme, d'aillenrs, AC - b on a, finalement, [611 86sn (1) YTojr dans los Lecons tie Gc~omflrie de M. H-adamard, le no 24-9. LEgOINS DE, TwRINOoME"TmIe. 13

Page  194 191 LECONS DE TRIGONOMETRIE. On a, de meme, ca sin B 2 ab sin C S 2 REMARQUE. - En 6galant ces trois valeurs de S, on retrouverait, d'une troisieme maniere, les 6galites du n~ 149. EXERCICES 55. Si dans un triangle on a: sin A --— B =- cos C, sin B le triangle est isoscele. 56. Si dans un triangle on a: sin B + sin C sin Acos B + cos C' le triangle est rectangle en A. 57. Si dans un triangle on a: tg A _sin2 A tg B sin2 B ' le triangle est isoscele ou rectangle. 58. Si dans un triangle l'angle A est egal a 120, on a: b ((2 -_ 62- c (aC2 - 2). 59. Dans un triangle quelconque on a: b sin C tg B - g B -b cos C' tg B a2 + b2 - c2 tg C a2 + c2 - b2 ' sin (A- B) _a2 - b2 sin(A + B) c2 cos A + cos B = 2 -+ sin'. c 2

Page  195 RE~SOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUE'S. 1. i 5 C[IAPITRE III RESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES 156. Cas classiques. - Des propri~his g6om6triques des triangles, il r6sulte qu'un -triangle quelconque est dkiernmin6 d~s qu'on se donne trois quantif As ind6pendantes (') li~es h ce triangle, dont au momns une longueur. Les cas edits (( classiques ))sont ceux. o~i les trois donn~es sont trois des 6l6ments du triangle, dont an momns un co't6. Nous d~signerons, comme, toujours, par a, b, c, les trois c6t~s du -triangle, et par A, 13, C, les angles. II est ais6 de se rendre, compte, a priori, qu'6tant donn~s trois des six 616ments, les formules, [58] et [591 permettent de calculer tons les autres. Comme, nous l'avons, en effet, remarqu6 (no /152), les groupes [58] et [59] fournissent, toutes les relations ut quatre 616ments possibles. t4 tant donn6s trois 616ments, on pourra toujours tirer de, ces deux groupes une formule contenant. ces trois 616ments et un quatri~me, 6l6ment inconnu (pourvu qu'il y ait au momns un c6166 dans les donn~es). Cette formule fera connai'tre 1'616ment inconnu en fonction des trois autres. 1Rnum~rons les divers cas qui peuvent se presenter. '10 On pent se donner un c31( et deax angles. Peu importe quels sont ces deux. angles, car d~s quont connait deux angles on connait, le troisi~me, en prenant, le supplement de la somme des deux autres. 20e On pent se donner deux co'tes et mi angle. Ce cas se subdivise en deux, suivant, que 1'angle est compris entre les deux ects ou oppos6 ao l'un d'eux. 30 On peat se donner les, Iri ct Ii y a done, en tout, qualve cas qua nous allons examiner successivemenLt. (1) Ii font remarqner que, dire qne les trois donndes sent inddpendantes, d'quivaut Is dire quo parmi ces trais donndas il y a an mains une longueur. Car trois angles lids aux anglcs dan triangle iie peuvent Istra inddpendants, puisque la samma des trois angles du triangle dait 6tre egale bs 1800.

Page  196 196 196 ~~~LECONS DE TRIGONOMETBIE. 157. Premier cas. - BNsoudre itn triangle connaissani un co61c et deux angles. Supposons qu'on connaisse le c6t6 a et les deux angles adjacents B et C. lcrivons l es formul es [58], a b C sin A -sin B —snC A +B +C -i80. On a, imm~diatement, A A - 1 800 (B-HGC). Connaissant les trois angles, on a les deux co'tis b et c: a sin B a-sin C sin A ' Z sin A par des formules calculables par logarithmes. La surface S est donmie par l'6galit6 (no 1U5i) be sin A 2 d'oti, en rempla~ant b et e par leuirs valeurs, a sin B sin C 2 sin A Pour que le probl~me soit possible, il faut et ii suffit que la somme B -[ C soit plns petite que 11800. 458. Deuxi~me cas. - BNsoudre tin triangle connaissant les dezix Cotds et langle compris. Soient b et c les deux cot~s connus, A l'angle compris. On a, de suite, pour diterminer les deux angles B et C, le syst~me suivant de deux 6quations a deux inconnues ~sin B b sin C C B -[ C -1800 - A, fourni par le groupe [58]. Nous sommes ainsi ramen6 a un probl~me conun (no 134).

Page  197 RESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES.19 197 La premiere 6galit s'6rit, en suivarnL la marche indiqu6e au no 134, sin B- sin C b - c sin B + sin C -b + c' on, d'apr~s une transformation connue (no 93), tBy+C b-+c tgB C b — Or, puisque B~C 90 A (1) ~ ~ ~~2 2 on en tire B -C _ b-C A (2) tg - cotg - 2 b+ c 2 Les 6galit~s (1) eL (2) donnent donc et oencncint 2 2' B et C. Connaissant les angles, 1'6galit6 a b sinkA sin B donnera le ect a b sin A (3) t~~~~t sin B On pent calculer a d'nne autre mani~re, sonvent plus avantageuse. Les 6galit~s a _ b C sin A -sin B -sin C donnent, en aj ontanuL les nnm~rateurs et les d~nomina~teur~s des deux derniers rapports, a _ b +c _b-f-c sinkA sin B-f-sin C B+C B-C' 2 sin 2 co 0s2

Page  198 198 LECONS DE TR1IGONOM1ETRIE. On en tire a (b6+ c) sin A B +C B - C 2 si ~~cos 2sn 2 2 Or on a: sin A -— 2 sillAc A. sin B + ~CCos -.2 en portant ces valeurs dans la relation qui pr6c~de et divisant hauL et bas par 2 Cos A I il vient (b ~ c) sineA (14) a ~ 2 B-C 2o Lorsqu'on connait b et c (et non leurs logaritLimes), il sera pr~f6 -B -C rable d'appliquer la formule (4). En effet, le calcul de ~ par la 2 formule (2) aura d~jh exig6 le calcul de log (b -V c) on n'aura done que dezix logarithmes nouveaux at calculer: ceux de sin A et 2 de cos 2 C;tandis que la formule (3) exigerait trois calculs de logarithmes. Pour la surface on a: s -b1c sin A 2 Discussion. - Comme la tangente peut prendre toutes les valeurs possibles, la valeur de tg 2 Cdonn~e par la formule (22) sera toujours acceptable. Supposons, ce qui est permis, b pius grand que c. La -valeur

Page  199 RE~SOLUT[ON DES TRIANGLES QUELCONQUES.19 B -C de Lg 2 sera positive et on trouvera, dans la table, un angle 7., compris entre 00 et 900, tel qu1e b + C cog2 Les angles B et C Rtant compris entre 00 et i800, l'angle B sera compris en Ire - 900 et + 900. Ii n'y a done qu'une valour a prendre pour 2 c'est, On a, d'ailleurs, B+C 900 - A. 2 2 On en conclut B - 900 - A — +i, C - 900 - A 2 Pour que ces valeurs de B et C soient accep tables, ii faut qu'elles soiont comprises entre 00 et 1800. Ceci a 6videmmont, lieu pour B, car A 6tant compris entro, 00 et 1800, B est la somme do deux angles A 900 -~ et o. tons doux compris ontro 00 ot 900. La valoeur do C ost cortainement plus petite quo '1800; it fanuI, encore, qu ello soit positive. On doit done avoir 900 - A 2 A Los angles 900 - -_ et a~ Rant compris ontro 00 ot 900, sont rangis 2 dans Jo meimo ordre do grandeur quo lours tangontos. L'in~galit6 prkcidonto sera done v~rifiio si on a A cotg - > tgc on A b-c A cotg - > + cotg -~

Page  200 200 200 ~~~LECONS DE TRIGONOMEtTRIE. ou, enfin, et ceci a bien lieu. Les valeurs de B et C sonL done touj ours acceptables et comme la valeur de a donn~e par la formule (3) 011 la formule (14) est positive, le probl~me, d'apr~s une rernarque faite plus haul (no '154), a toutjoars une solution et une seule. Ce r~sultat est 6vident giomitriquement, car on peut toujours construire un trianDgle dont on conna'It deux c6LL~s eL lFangle compris, quelles que soient les donnies. Remarque I. - La formule (2) n'est calculable par logarithmes que si on connaft ]es cot~s b et c eux-me'mes. Dans bien des questions, en particulier dans les calculs de triangulation (voir plus loin no 178), on ne CODnaft pas b) et c, mais settlement leLurs logarithmnes. Pour 6viter des calculs inutiles, il faut, alors, rendre cette formule calculable par logarithmes. Pour cela, on rendra l'expression b c calculable par la m~thode g~n~rale expos~e plus haul (no 122). On pose C 0 b et on a b-c tg (450 - par suite, B - C Daus co cas, il sera plus avantageux d'ernployer la formule (3), pour calculer a, puisqu'on con na~it deja log b. Remarque II. -Le procMd6 de calcul de a que nous a-vons expos6 plus haut suppose que l'on aiL calcul!6, au 'prealable, B et C, on, du moins, B C. On pourrait se proposer de calculer directement a 2 en fonction des donmis b, c, A. A cet effet, il faut prendre dans le groupe [59] Ia formule h quiatre termes qui contient a, b, c, A. C'est la suivante a2 -b2 + c2 - 2 be cos A,

Page  201 RESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES. ~ O W1 qui donne a - V/b + C2-2 bc cos A. Cette formule devra etre rendue calculable par logarithmes. Ce calcul a W fait, comme exercice, a-Li O 124 et nous avons vu que, Si ofl pose, tg ~~ - Coig -, on a _(b +c) sinA aCOS Or, si on compare la formule qui donne tg? a celle qui donne, 2 Con voit que l'on a On retombe donc, pour le calcul. de a, sur la formule (4). Ce nouveau calcul de a, dirig6- de la faqon la plus avanLageuse (de mani~re ai nemployer qu'un angle auxiliaire?), nons ram.6ne douc aux calculs pricidents. Remarque III. - La formule (4) pent servir comme formule de virification pour le premier cas. D'autre part, on pourrait encore calculer a par la formule snivante (b - c) cos (U) Bsin 2 qui s'ktablit, de la mime fa~on que la formule (4), en icrivant a b- c sin A -sin B - sin C Cette formule (5) pourrait servir, d'ailleurs, pour la verification de l'exactitude des risultats dans le second cas.

Page  202 20 -2 20~ ~~~LECONS DE TJAIGONOMETRIE. 159. Troisi~me cas (ca~s douteux). - BNsoudre un triangle conn aissant, deux cdi~s et l'angle oppose a' l'un. d'eux. Supposons que l'on connaisse les delux c6t~s, a, b et langle A oppos6 au c6t6 a. L'6,gali.t6 a b sin A sin B donne, imim~iatement, lanlgle B, snB b sin A Connaissant A et B, on a ('2) C - 180- -(A-VB). Les trois angles Rtant connus, c est donne' par la formule a sin C (3).c ~~~sin A et la surface est ab sinC '2 Discussion. - L'angle B 4tant, donn6, par son sinus, il faut que la valeur de ce sinus soit, acceptable. Comme elle est: positive, 11 suffit, pour cela, qu'elle soiL an plus 6gale a 1.- On doit donc avoir, d'abord, (4) b sin A <a. Cette condition ktant remplie, on trouvera, dans Ies tables, un angle S3, compris entre 00 et 900, tel que sn b sin A a B ktant assujetti a la condition d'e'tre compris entre 00 et 1800, on pourra prendre pour B soit: soit, soit ~~~~~B i'm 1800 - P3.

Page  203 RESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES.20 203 A ces deux valeurs de B correspondent, pour C, les deux valeurs (6) C z3A. Pour que l'une quelconque de ces deux valeurs de C soiL acceptable, il fauL qu'elle soiL, comprise entree 00 et 1800. Nous distinguerons, alors, deux cas. 10 A est aigu. - La valeur (5) est certairiement acceptable, car on lFobtient en retranchant de 1800 ]'angle A -4 [3 qui est plus petit que 1800. Pour que la Yaleur (6) conyienne, il faut et it suffiL qu'elle soiL positive, car elle est certainement plus petite que 900. Il faut donc que lon alt; I > A. Or, les angles [3 et A RLant, compris entre 00 eL 900, sont ranges dans le me'me ordre de grandeur que leurs sinus. L'in~galite' pr~c~dente sera donc v~rifi(,e si on a sin P3 > sin A ou b sin A >snA Comme sin A est positif, ccci entraine b >a. Donc, dans ce premier cas, si b < a, le probl~me n'a qu'tune solution obtenue en prenant la valeur (5) de C. Si b >a, le probl~me a de'ax solutions. 2( L'angle A. est obtus ou droit.!.-La valeur (6) de C ne convient, alors, certainement pas, puisqu'elle est n~gative ([3 est aigu).

Page  204 .204 ~~2O4 ~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. Le probl6me n'admet done de solution que si la valeur (5) est acceptable. Cette valeur 6tant plus petite que 1800, il suffit qu'elle soit positive. Ii faut done avoir 11800 - A > Les angles t800 - A et ~3 6 taut tous deux aigus, l'in6galit6 sera v6rifi6e si on a sin (1800 - A) > sin f oil snA>b sin A sin A 6tant positif, ceci entraine a > 6. Donc, dans ce cas, Si a <6b, le probl6me n'a pas de soluttion. Si a> b, le probl6me a uine seutle solution dans laquelle C a la valeur (5). RNsume'. - Cette discussion se r6sumne de la fa~on suivante b sin A > a pas de solution. <g.a > b unec solution bsinA -<A 90 a < b deit solutions b sin A -90 ( a > b une solution ~a <~ b pas de solution. Ce tableau de discussion peut 6tre pr6sent,6 d'une autre rnani6re qui est plus int6ressante. Remarquons, h cet effet, que la condition a > b entraine -certainement la condition a > b sin A, puisque sin A est plus petit que 11. De plus, dans le cas a > b, il y a toujours une solution et une seule.

Page  205 BE'SOLUJTION DES TRIANGLES QUELCONQUES.20 205 On a donc: a > b une solution. a 'A < 900 une solution A> 900 pas de solution. b sin A.>- a pas de solution a< b A A < 900 deux solutions sinl A< a A> 000 pas de solution. Remarque I. - Il serait facile de retrouver les r6sultats de la discussion pr~c~dente par une voie g6omktrique. Proposons-nous, en effet, de construirc le triangle avec les donn~es a, b, A. Reprenons, pas a pas, la constrUctiOn indiqu6e en g~orn6 -trie ('). Ayant trac6 un angle 6gal a A (fig. 42), on porte, sur l'un des c6t~s, une longucur AC 6gale a b. DU point C comme centre, avec a pour rayon, on d~crit uin cercle qui coupe le second cot6 AB' C A B"> H -'B' B" H A 'B (I) ~~~FiG. 42. (I an point B qui est le troisi6me sommet du triangle ABC cherch6, Soit CII la hauteur issue de C. 10 Si CH > a, la circonference ne coupe pas la droite. Le probl6me est impossible. Or, dans le trianglie rectangle ACH, on a: CHI -6 sin CAl.H Si langle A est aigu (fig. 42, I), on a CAH - A; si l'angle A est obtus (fig. 42, II), on a CAR - 1800 - A. (1) VToir leno 87 osrcin9, dseowde Gdotrndlie de M. Hadarnard,

Page  206 206 ~~O6 ~~~LECONS DE TRLGONOMETJAIE. Dans les deux cas sin CAH — sin A, et, par suite, CH -b sin A. La condition CII > a sY~rit donc b sin A > a. 2o Si CII < a, c'est-4t-dire si b sin A. < a, la circonf~rence coupe la droite AB' on deux points B'el B". Mais il reste ~t savoir si ces points sont sur la demi-droite NB' on de lautre co't6 du point A. Distinguons -deux cas. L'aigle A esi aigut (fig. 412, I). Dans ce cas, II est sur AD'. B' estL tonjours acceptable. II y a tonjours une solution. Pour que Ia. solution B" convienue, iT faut que loblique CB" soit plus' courte, que l'oblique CA. 11 faut done que a < b. L'anigle A est obtus (fig. 42, 1I). Le point H n'est pas sur AB'. La solution B" n'est jarnais acceptable. - Pour que Ta solution B' con~vienne, il faut que Toblique CB' soit plus grande que CA; iT faut douc que lou ait a > 0 Ces r~sultats sont en concordance absolue avec les pr~c6dents. Remarque II. - La discussion pr6c~dente nous a montr6 que le probltune admettail tottjeoits -tne solution et une settle lorsque c'est-h-dire lorsque langle donn6 A est oppos6 an plus grand des deux c~tis. On pent donc 6noncer Ta proposition suivante (') Deux triangles sont egaux lorsqtt'ils out cleux co'tes ~gaux, chacull di chacun, et tanigle oppose' en plus grand de ces dexcts Remarqne III. - La formule (3) que nous donnons plus hant pour le calcul de c suppose qu'on ait caleul6, an pr~alable, Tangle C. On1 pourrait chercher at calculer directemeien c en fonction des donn~es. (I) Cet 61nonc6 pourrait 6tre consid6r6 comme, un quatri~~oe cs d'~cjalit des triangles. Dans les traitds de g~omktrie 616mentaire classiques allemands, ce quatrionie cas est toujours 6noned A c6ld des trois autres.

Page  207 RE~SOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES. O 207 It faut, pour cela, prendLre ia formule a quatre termes qui contient c, a, b, A. Cette formule est a' 62 ~' c2 - 26c cos A. c est donc ainsi foui'ni par une 6quation du second degr~i (7) c2-Q2bccos A+ b2- a 20. Cette 6quation donne, pour c deux valeurs, pour-vu que l'on ait 62 cos2 A - 6 2 + a 2 > a2> 62sin 2A., a > 6 sin A. Cest la condition (4). Pour que ces valeurs soient. acceptables, ii faut, encore, qu'elles soient positives. 10 Si 6 < a, le produit des racines est n~gatif, ii y a toujours uine racine positive et une scttle. ~20 Si 6 > a, le produit des racines esL positif, la somme est 6gale at 26 cos A. Donc, si A est aigu, cos A est positif et les deux racines sont positives, donc admissibles. Si A est obtus, cos A est n~gatif et les deux racines sont negatives, donc inacceptables. 30 Si 6 - a, ii y a une racine nulle, inacceptable. L'autre racine est 6gale a '26 cos A et W'est admissible que si A est aigu. Nous retrouvons, ainsi, par une tiroisi~me voie, les r~sultats de la discussion pr~c~dente. Pour faire le calcul effectif de c par l'6quation (7), il faudra, rendre la formule de r~solution calculable par logarithimes. Nous suivrons pour cela, pas a pas, la m~thode g6n~rale (no 12-0). On a, en r6solvant c zzz 6 cos A ~~ \/2 _ 62 sin2 A ou cli 6 Lcos A ~sin A sin2A - 1 Posons sin y sn

Page  208 208 208 ~~~LECONS DE TIIIGONOMETRIE. et nous aurons e Cos Asiln~sin Acos c sinp cb sin (cp ~i A) sin ci Or, Si lolls comparons la valeur de sin ci cello do sin B donn~e par la formulo (1), nous voyons quo sin ci~ sin B. o~ 6ant cornpris ontro 00 et9fo on a R 6ant lFanglo quo nous avons d~fini dans la discussion. Los doux -valours do c sont donc bsin( +A-) Iisin( A) c b sin 3 ' b sinf Ce sont pr~cis~mont los valours quo l'on obtient on prenant pour C, succossivement, los valours (5) et (6) dans la formule (3). Les calculs auxquels on ost conduit par l'application do, la formulo (7) sont donc identliques a ceux quo nous avons indiqu~s plus haul. 11 faut donc touj ours passor par lo calcul pr~alablo do B (ou f) pour calculor, par logarithmos, lo c6t6 c. 160. Quatri~me cas. - Rdsoudre zui triangle connaissaflt les trois c t0s Los formulos [59] r~solvonL la quostion, car chacuno d'ollos fournit un anglo on fonction dos coL~s. Ainsi, on 'a a' ~b + c' - bc cos A. On on tiro cos A - a cosA ~~2bc Cotto formulo n'ost pas calculablo par logarithmos. Pour obtonir uno formulo calculablo par logarithmos, on chorcho los lignes

Page  209 IESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES. 209 trigonometriques de langle moitie - On a, comme on sait (n~ 86), 2 cos --- I1 + cos A- 1 - +2 - A b2 4- c2- a2 2 sin2 -2 1 - cos A -- 1- be c 2 ebc on en tire: ' 2 A (b- C)2 - a (b + c + a) (b + c - a) COS 2 4bc 4bc sin2 A a - ( - c)2 (C + b- c) (c - - c) 2 4be 4be Pour simplifier l'ecriture, designons par 2p le p6rimetre du triangle, 21p = a + 6 + c; on a alors, 2(p - a1) = + c - a, 2(p - ) c + a - b, 2 (p - c) a + b - c. On en conclut A _p (p - a) 2 c bc sin - (P - ) (P - c). 2 bc et, par suite, cos 2 be A / (p - b) (p - c) sin-b 2 bc En divisant ces deux 6galites, membre a membre, on obtient: 2 /(- b (p —C) -'V p(p - a) LESONS DE TR1IGONOIETRIE. 14

Page  210 210 210 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. On ealcuterait, de me'me, les lignes des angles 3etl;mais les formules que l'on obtiendrait se d~duisent facilemenL des prke6 -dentes en faisanLtline permutation circulaire sur les leLtres a, b, c et A, B, C. On emploie de pr~firence, pour calculer les angles, les formules qui donnenL les Langentes et ceci pour deux. raisons. D'abord parce qu'eles donnent lieu a des calculus moins longs:on n'aura en effet que quatre logarithimes a calculer ceux. de p, p - a, p - b, I P- tandis que les formuLles des sinus et cosinus exigent, outre ces quatre caleuls, ceux. des trois logarithmes de a, b, c. Ensuite, comme nous lavons Yu plus haut (nio 1i16), un angle est'dMermin6 avee plus de pr~cision par le logarithme de sa tangente que par le logarithme du cosinus on du sinus. Les form ules que nous emploierons pour la resolution seront done les suivantes A62]p - c) (p - a) tg9-~ La surface S est donn~e par 1'6galit6 be sinA _ A A Sm be sin - Cos - *2 2 2' b e a ) _ _ _ _ _ _ _ _ En simplifiant, on a done [63] 5 Vp (p) 1 - a) (p)- b) (p- - ) formule bien eonnue en g~om.6trie () (1) Voir dans les Lecons de G~o6dtri dle MI. Ilaclamard, le no 25 1.

Page  211 RE8SOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES.21 211 Discussion. - Pour que les valeurs fournies par les formules [62] et [63] existent, il faut et it suffit que le produiL p (p - a) (p - b) (p - c) soil positif, &'est-h-dir'e que le produiL (b ~ c - a) (c -+ a - b) (a -j b - c) soil posilif. Soil a le plus grand des trois col~s dounns (oul du momns le colW qui n'est pas inf~rieur aux deux autres); les facteurs c j- a -b ci a +b -c scront cerlainemeul positifs puisque a > b, a >, c. Pour que le produit pre'c~dent soit posilif, il faut donc e cl suffit que ion ait b + c- a>O c'est-tt-dire a <b +c. Pour quc lc prob[~me soit possible, il faul donc et ili suffil que le plus grand des trois c~ls d~onn6s soil inf~ricur a la somme des deux auLres. AB C Los angles -, cie - Rlant tous trois compris enlre 00 et 900', lcs 2'2 forn~Llcs '62] fournironl un~e scule valour pour chacun do ecs angles. Comme veri/ication, on dcvra avoir X + B + C 1800,

Page  212 21.2 LECOiNS DE TRIGOiNOMNET111E. (Calcui pratique. -Au point de vue du calcul pratique, on dispose los formules do la manii~re suivan to. Posons (p- a) (p - 61) (p-c p on aura: A, r B r C S pr. 11 sera inulile de calculer r-. On calculera uniquement son logardkrne et on aura log tg log v colog (p -a), log tgB log r ~ colog (p b ), log tgC log r +-co log (p - ) log S -log r + iog P. 161. Rayons des cercies inscrits. - La quanti[6 r, quo nous avons introduite pins hauL, clans le calcul pratique, a tine signification g6om.6Lrique simple: c'est le rayon du cercie hiscrit danis le trianlgle. Soit, en effet (fig. 43), 0 le centre du corcie inscrit dans le triangle ABC. Joignons ce centre aux- trois sommets. La surface S du triangle est, bien 6videmment, la somme des surfaces dos trois triangles OAB, OAC, OBC. Ces trois triangles ont tons me'me hauteur qui est cc hrb ar le rayon r du cercle inscrit. Leurs surfaces sont donec 2 i- 2 2 On a, par suite, - ar, -} hr A- + r a -i- b + P)-. 2 2 Or, comme nouLs l'avons vu, 5 - Vp (p -a) (p -6b) (p - c);

Page  213 LRESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES. 213 on a done: [64] ~S p- a) (p -b) (p - c 1p p On calculerait, de la me'me fagon, les rayons des cercles inscrits. Soit,' en effet, 0' le centre, du cercie ex-inscrit dans langle A; joignons 0' aux trois sommiets. On a 6videmment: S surf. O'AC + surf. O'AB - surf. O'BC. Or, les trois triangles O'AC, O'AB, O'BC ont melme hauteur qui est le rayon radu cercie ex-inscrit 0'; on a donc Su -]- ' -____ S -(p -a) aA On en tire:b _ S /p(-)(p-C) a p -a V p -a C On trouverait, de me'me, B S /p (p-C) (p -a) __ ~ /(p -a) (p -b) e %6ant les rayons des cercies ex-inscrits dans les angles B et C, FIG. 43. 162. Rayon du cercle circonscrit. -Les foimules pr6cidentes permettent de calculer aisiment le rayon R dii cercie circonscrit, en fonction des trois c6t~s. On a, en effel ( no 149), 2R - a a sin A A A 2 sin 2 COS T

Page  214 214 5214 ~~LECONS DE TBLGONOMETRIE. On en tire, en remplagant sin et c os Npar leurs valeurs, bep a) (P- b) (p - c) et, enfin, [65] R - ~abe abc ~65) R 4Vp (p — a) (p -b) (p -c) 4KS 163. Disposition pratique des ealculs. - Pratiquement, on dispose encore les calculs comme lions I'avons fait dans le cas des triangles rectangles. On faiL denx colonnes. L'une, dans laquelle on inscrit tons les calculs auxiliaires; l'antre, dans laqnelle on place les calcnls d~rinitifs. Voici quatre exemples de calcnl. J'ai, dans ces quatre cas, pris le me'me triangle. Ainsi, chaque cas sert de verirication i l'antre. On remarquera que c'est le troisiine. cas (cas doutenx) qni donne la solution la moins pr6cise. Cela tient & ce que, dans ce cas, I'angle B, dont le calcul sert ponr celni des autres, inconnnLes, est donn6 par son sinms; it est donc Moms bien dktermin6 que dans les antres cas ott it est donn6 par sa tangente (voir no 116). Ce troisi~me cas a, d'ailleurs, deux solution's que j'ai calcul~es toutes deux. On pourra., comme exercice, refaire, le calcul dn deuxie'me cas en employant, ponr determiner a, la formule (3) (page 1197) an lien de la formule (4) (page 1198), qne, j'ai appliqn6e. Enfin, dans chacun. des quatre cas, on pourra calculer la surface du triangle. En particulier, dans le qnatri~me cas, on ponrra chercher les rayons des cercles inscrits et ex-inscrils et celni du cercle circonscrit.

Page  215 RESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES. -215 Premier cas. ca = 4583,635, Donnees. B - 76~ 32' 47",26, C -- 430181 6",48. A= 180~- (B + C), Calculs auxiliaires. I~ Calcul de loga. or 45836 6612067 A- i ^....... 0,3 28,5 r....... 0,05 4,8 log a = 3,6612100. 20 Calcul de logsin B. / A 6009'6'",26, Inconnues... b - 5139,646, c - 3621,440. za sin B a sin C sin A ' sin A Calculs definitifs. 1~ Calcul de A. 189~ B + C -- 119~ 50'53',74 po0 poi po\ 4, 0. A=- 6(0 9' 6//, 6. 20 Calcul de b. log a = 3,6612100 log sin B = 1,9879159 colog sin A = 0,0618073 pour 760 3' 40" pour...... "' pour...... 0',2 po.i...... 0,06 1,9879123 35 1 0,3 A- I log sin B = 1,9879159. 3~ Calcul de log sin C. pour 43~ 18' 0" 1,8362091 A ==23. pour...... 6' 133,8 pou r...... 0",4 8,92 pour...... 0",08 1,78' log sin C -- 1,8362236. 4~ Calcul de cologsinA. pour 600 9/ 0" 1,9381851 A = 121. po2r......6" 72,6 pour....... 0",2 2,42 pot?1'...... 0",06 0,726 log sin A 1,9381927, colog sin A = 0,0618073. log b = 3,7109332 pour 7109293 51396 diff. - 39 pour..... 34 0, diff. 5 po01'..... 5 0,( A =-85. 1 06 b =- 5139,646. 30 Calcul de c. log a = 3,6612100 log sin C - 1,8362236 color sin A - 0,0618073 log c = 3,5592409 pour 5592361 36244 A ==120. di/f.= 48 polu..... 48 0,10 c - 3624,410.

Page  216 216 LECONS DE TRIGONOMETRIE. Deuxie] b = 5139,646, Donnees..... c - 3621,440,, A = 600 9/6",26. B+-C A B-C — 90o0 — tg - 2 2' 2 Calculs auxiliaires. b + c = 8764,086, 6 - c 1515,206. 1~ Calcul de log (b + c). pour 87640 9427024 A= 49. pour....... 0,8 39,2 pour....... 0,06 2,94 log (b + c) = 3,9427066, colog (b + c) = 4,0572934. 2~ Calcul de log (b + c). pour 15152 1804700 A =286. pour....... 0,06 17,16 log (b- c) = 3,1804717. A 30 Calcul de logcotg A pour 300 4'40// 0,2372002 A =485. po.6. ".... 61 291 pour...... 0",8 38,8 pour..... 0",07 3,395 A log cotg =- 0,2372335. A 40 Calcul de log sin2 pour 30~ 4/30" 1,6999532 A =363. pour....... 3 108,9 pou? r...... 0",1 3,63 pour...... 0",03 1,089 A log sin - = 1,6999646. 2 B- C 5~ Calcul de colog cos. 2 pour 16o-3'30" 1,9814552 A = 63. pour... - 9'/ 56,7 pour... - 0",6 3,78 pour... - 0",02 0,126 B- C log cos — = 1,9814613, 2olo 0,0185387. B —C colog cos --- - 0,0185387..2 me cas. B = 760 32'47",25, Inconnues... C C=43018' 6",49, Ca 4583,634. A -c A (b - c) silncotg - - T + c 2 B - C cos 2 Calculs definitifs. 1~ Calcul de B + C 2 900 A 30~ 4/33//,13 2 --- = 590 55/ 26"/,87. B-C 20 Calcul de 2' log (, - c)= 3,1804717 colog (6 + c) = 4,0572934 log cotg A -c = 0,2372335 log tg,474998 log tg - 1,4749986 pour 1,4749957 16~ 37 20" A 7( ciff. = 29 polu..... 23,0 0,3 di/7. - 6 poIr..... 6 0",08 B -C B- 16o 3720",38. 3~ Calcul de a. log (b + c) = 3,9427066 A - log sin - = 1,6999646 2 B-C colog cos -- = 0,0185387 92 38. log a - 3,6612099 potur 6612067 45836 (liff. = 32 potr..... 28,5 0,3 diff. = 3,5 pour..... 3,8 0,04 a - 4583,634. A = 95.

Page  217 RESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES. Troisieme cas. 217 Ia -= 4o83,635, Donnees.... b - 5139,646, A = 6009' 6",26. Inconnues j:B -76"032' 47",,0, Inconnaes C- 430 18/ 6f,54i (Premire solution) 3 c 3624,441. Inconnues B -1030271 23/, 80, Inconnues C 9 C 160 sl t3/40/o,94,1 (Deuxihre solution) 1 c - 1491,617. b sin A a sill C sill B =-, C 180 -(A + B), c = ---a sin A Calculs auxiliaires. 1~ Calcul de log a. pour 45836 6612067 A = 95. pou'....... 0,3 28,5 po rl....... 0,05 4,8 log a = 3,6612100, colog a = 4,3387900. 20 Calcul de log b. pour 51396 7109293 pour...... 0,4 34 pour...... 0,06,1 log b - 3,7109332. AZ= 85. 3~ Calcul de log sin A. pour' pour pour pour 600 9/ 0"...... 6"'...... f /, 6.......0/, 0 6 log sin A = colog sin A = 1,9381851 A=- 21. 72,6 2,42 0,726 1,9381927, 0,0618073. log sin C (I'r sol.). 1,8362091 A - 223. 133,8 11,15 0,892 Calculs definitifs. 1~ Calcul de B. log b = 3,7109332 colog a = 4,3387900 log sin k =,9381297 log sill B =- 1,9879159 pour 1,9879123 76032'40"/ A - 50. dilf/.. = 36 pourl..... 35 7t diff.. = 1 pou?...... 1 0",20 (1'0 sol.) B - 760 32/47/,20; (2~ sol.) B = 103027/12"/,80. 20 Calcul de C. 1800 (1re sol.) A + B - 136041/53//,46 (1 sol.) C = 43~ 18' 6',54; 1800 (2~ sol.). + B = 163036'19",06 (2 sol.) C= 16023/40//,94. 30 Calcul de c (1re sol.). log a = 3,6612100 lo/ sin C = 1,8362237 colog sin A - 0,0618073 loc c = 3,5592410 pour 5592361 36244 A= 120. diff.. = 49 pour..... 48 0,4 diff.. = 1 porl?...... 1 0,01 c = 3624,441. 4~ Calcul de c. (20 sol.). log a = 3,6612100 log sin C = 1,4506382 colog sin A 0,0618073 log c = 3,1736555 pour 1736524 14916 A=291. diff.. = 31 pour...... 29,1 0,1 dif.. = 1,9 por...... 2 0,07 c -- 1491,617. 40 Calcul de pour 43~18/ 0/" pour..... 6/' pour...... 0/1,5 pou1...... 0//,04 log sin C = 1,8362237. 5~ Calcul de log sin C (20 sol.). pour 160 23/40// 1,4506315 A 716. pour...... 0/1,9 64,44 pourz...... 0",04 2,864 log sill C = 1,4506382.

Page  218 218 LECONS DE TRIGONOMETRIE. Quatrieme cas. a = 4.583.635, Donn6es..... i b = 5139,646, c = 3624,440. (p - a) (p - b) (p -- c) p Calculs auxiliaires. 2p= 13347,721, p — 6673,860, p - a 2090,225, p - b 1534,214, p- c - 3049,420. 1~ Calcul de cologp. poIu 66738 8243732 A po....... 0,6 39 logp = 3,8243771, cologp = 4,1756229. 20 Calcul de log (p - a). pour 20902 3201878 A pourl...... 0,2 41,6 pour...... 0,05 10,4 log (p - a) 3,3201930, colog (p - a) = 4,6798070. 30 Calcul de log(p - b). pour 15342 1858820 A pour...... 0,1 28,3 pour...... 0,04 11,3 log (p - b) = 3,1858860, colog (p — b) 4,8141140. 40 Calcul de log (p- c). pour 30494 4842144 A pour....... 0,2 28.4 log (p - c) = 3,4842172, colog (p - c) = 4,5157828. 50 Calcul de log r. log (p - a) = 3,3201930 log (p - b) = 3,1858860 log (p - c) = 3,4842172 cologp 4,1756229 2 log r = 6,1659191 log o = 3,0829595. - = A A — 60~ ' 6'//,26, Inconnues... B 76032'47/,26, C = 43~ 18 6",46. Verification A + B + C = 179~ 359'59//,98. A r B ' C r tg - -- -, tg - - = 2 p-a 2 p ' pb 2 p-c Calculs d6finitifs. 1~ Calcul de A. log /- 3,0829959 colog (p - a) = 4,6798070 A log tg = 1,7627665 pore~ 1,7627513 30~ 4'30" A= 485. diff. = 152 6= 5. poul...... 145,5 3/ liI/f. -- 6,5 pour'..... 4,85 0/,1 1,65 pour.... 1,45 0",03 A =208. -= 300 433, 3 A 600 91 6/,26. 20 Calccl de B. log r = 3,0829595 colog (p - b) = 4,8141140 B log tg - = 1,8970735 =283. 2 pour 1,8970580 380 16/20// A= 433. liff. = 155 pour..... 129 3 ' diff. = 26 pour.... 25 O6 diff. = 1 pour..... 1 0"03 = 142. - 38016/ 23",63 2 B - 76032'47",26. 30 Calcul de C. log r = 3,0829595 colog (p - c) = 4,5157828 C log tg- = 1,5987423 pour' 1,5987225 21039/ 0/ A = 614. diff. = 198 pow'..... 184,2 3" 13,8 poIur'..... 12,28 0" 1,72 pou'...... 1,84 0"',03 -- 21039/ 3',23 C 43~18' 6",46. =

Page  219 RE~SOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES. ~ 1 0119 164. Cas non classiques. - Un triangle quelconque est determin6 lorsqu'on se donne trois quantit~s ind~pendantes (dont au Momns une ionguieur) li~es a ce triangle. On peut, par exemple, se donner le p~rim~tre et deux angles; les trois hauteurs, etc... Pour rYsoudre le triangle, avec cle telles donne'es, onl exprimera chacune des dornnies en /onction des 4ljments du triangle et, en aidjoignant a ces relations trois des relations [58] ou [59] convenaddement ehoisies, on aura un systame dYquations en noni'b-re suf/isant pour calculer, les i1lanents inconnus. Nous allons traiter qulelques exemples de ce genre. 165. Probl~me. - Resottdre un triangle connaissan t le pirimn~re 2p et les angles A, B, C. II est bien clair qn'it suffit de se donner deux angles et que, le Lroisit~me est d~termin6 par la relation A -B + C 1800 Nous avons, d'abord, (1) ~~~2p - a + b e. A cette 6gali( adjoignons le systi~me a _ b c ('2) ~~~sin A -sin B -sin C et nous avons 1ii trois 6quations pour d~terminer les trois inconnues a, bI C. Du syst~me (2) on tire sin A sin A +sin B+ sinC' Or, la som-me A -+ B + C RLant 6gale h 1800, on a, comme nous lavons vu (no 93 (3)), sin A +sin B +sin C 4 cos ACo B CoC 2 2 2' On a donc: a 2 2 i csA A CA B C 2 2 2s -Co 2 Co 2

Page  220 220 220 ~~~LECONS DE TRIGONOM1ftRIE. d'oti on tire 1p sin - '2 a B C Cos - Cos - '2 '2 On trouverait, de rnmeo ]9 sill - C A~ Cos - Cos - '2 '2 C 2p sin - '2 A B Cos - Cos - '2 '2 Ces formules, calculables par logaritlimes, r~solvent la question qui est toujours possible puisque les valeurs trouv6es pour a, b, c, sont positives. La surface S du triangle est donnie par la formule bc sin A bcsi A csA 2 2 2' 5 2 ABC' 166. Probl~me. - Rcsoudr~e un triangle connaissant un angle A, la oionguetsr P de la bissectrice de cet angle et la hauteur~ h issue dit sommet de cet angle. Soient ABC (fig. 44) le triangle, AD la bissectrice de l'angle A., All la hauteur. Dans les triangles ABD et ACI) on a sinB D '2 sin - CD ' sin C.

Page  221 B],SOLUTION DES- TRIANGLES QUELCONQUES. or, comme BD + CD-_ a, on en concint, enl ajoutant, () a sin B sin C sin - (sin B + sin C). D'autre part, on a dans le -triangle rectangle AIIC (2) b sin C -h. A D H 1 FIG. 441.. Adjoignons a~ ces denix 6galit~s le systi~me a b c (3) siA sinB -sin C' A~+B +C - i800; et nons avons un syst~me de cinq 6qnations h cinq ineonnues pour calculer B, C, a, b, C. Calculons d'abord B et C. On a, en divisani membre h membre (1) et (2) et tenant compte de (3), sin A sin B sin C r A C si -(sin B + sin C sin B sin C si 2 on 2 sin -cos -zzc2Qsin -Asin B+Cos1 2 2 h 2 22 Si on remarque que sin C CS 2 2

Page  222 222 LECOiNS DE TIRIGONOMETRIE. cette derni~re relation se simplifie encore et donne (4) ~~~~~B-C __h 2 Comme on a, d'ailleurs, (5) B +C 900 A 2 '2' on a ainsi deux 6quations pour calculer B Cet B + C. D~s qu on 2 2 connait ls angl~es, on a les c6Vles; car on a, d'apre's (2), bsinC C' sinB, puis, d'apri~s (3), b sin A h hsin A aI sin B sin B sin C Discussioll. - Pour que le probl~rne soit possible, il faut que la B -C valeur fournie pour Cos 2- par la formule (4) soit plus petite que 1. Ii faut donc avoir co qui Otai 6vident g~orn-iriquernenL. Cette condition remplie, it existera un angle cp, donn6 par, les tables, ete que Nous, pouvons toujours appeler B celni des deux angles inconnus qui est le plus grand; 2 Csera alors positif et plus petit qne 900; on devra donc prendre 2

Page  223 RESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES. 223 On auLra donc A C -900 —p La valeur de B est acceptable; car c'est la somme de deux angles 900 - A et T tons deux positifs et plus pe~tis que 900. Pour que la 2 valeur de C soiL acceptable, il faut que lon ait A Or, lesangles 00 - 9e - tn opi nr 0e 9,su 2 rang~s daus l'ordre inverse de leurs cosinus. 11 suffit donc que l'on ait: sin - <COS 0L 2 0 U~~~~~~~Ai sin < 2 f o1., enfin, (7) h1> P Sill Les conditions (6) et (7) souL les seutles at remplir; car lorsqu'elles souLtv~rifites, les angles sont compris entre 00 et 1l80" eL les va~leurs de a, b, c sont positives, ce, qui suffit comme nous le savons (no 154). Ein r6sum6, pour que le probl~me soit possible, il faut cjue 1'on altI et cela suffit. REMVARQUE. - La relation (4) B -C it Cos

Page  224 221 221 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIJE. est facile a 6tablir direclement par des consid~rations g~om~triques. II suffit, en effet, d'6valuer langle DAH (fig. 44) et de montrer que B-C cet angle est 6gal a '2 On a, alors, dans le triangle rectangle DAB Itj Cos (DAH) - ~co s 167. Probl~me.- Re~soudre un bimiagie conmaissant les Irois hattteutrs. Soient it, hit' h"' les trois hanteurs relatives, respectivement, aux c6ttis a, b, c. On a, de suite,, en 6galant les trois valeurs de la surface alt- bit' - cit' ou a b c A cause de la propoirtionnalit6 des sinus aux cotts. on en conclut sin A sin B sin C ('2)en posant Les relations (2) prouvent, alors, que A, B, C sont les angles d'un triangle dont les c6Vs sont o,, P3, Si donc lou pose '2 ~.+ + e t (co~~~~~~~~~(1 il suffira, d'appliquer les formules F62] du qnatri~rne cas classique et on aura (:3) tg W,, B tLg C

Page  225 R3ESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES.25 9- 2 5 Connaissant les angles, ii serait facile d'avoir le's c6t6s; ma'is onl peut obtenir aussi les cotes an inoyen des donn~es. OD a, en effet, a~ sin C 2 wo, en exprimant de deux mani~res diff —'rentes la surface du triangle auxiliaire. D'autre part, Ih b sin C; on en Lire v.sin C 2 to)? On a donc, pour determiner les cot~s, les formules simples (4 e1~2z 2coc,' 2 oc' IDiscnssioni. - Pour que le probl~me soit possible, il faut et ii suffit. qu'on. puisse avec, les trois do~n nes cc, ~3, y r~soudre le quatri~me cas classique, il faut done et il suftit que la plus grande, des quantit6s C/, f3, y soit plus petite que la somme des deux autres. Ccci revient it dire cju'il faut et qu'il suffit que 1'inverse de la plus petite hauteur soiL plus petit qne la somnme des inverses des deux autres bauteurs. II faut remnarquer que les formules (3) et (4j) ne sont calculables par logarithirnes que si on suppose qu'on a calcul6 directernent les, in-ve rses occ, 83, y des trois haute-urs et, par suite, wo. 168. Remarques g6n6rales. - La resoiution d'un triangle, cornme nous lavons e-.-pliqu6, (no 164), conduit toujours a resoudre un syst.6me dl'6quations at 3, 4,.5, on 6 inconnues, suivant le nombre des 616ments inconnus. On ne pent, 6videmment, pas clonner de rogle g~n~rale pour r~soudre de pareils systC~mes; mais onl peut clonner quelques conseils qui a-uront souvent leur utilit6. D'abord, it sera, en geiieraI, pr~frable de calculer les angles inconnus en premier. Les angles Rtant connus, les co't~s s'en d~duisent aisiment. Cette fa~on de proc6der conduira, g6n~ralementL, a des formules d'un maniement, plus commode et plus faciles a. discuter. Lorsque deux inconnues. entreront spmetriqstement dans les 6quations on aura a-vantage, cIorclinaire, a chercher leur somme et LE~yONS DoE TRbGONOAI~-,TRIE. 1

Page  226 226 ~~~LECONS DE TIIIGONOMETRIE. leur di/ffdence plutdtL qu'a chercher ces quanLils elles-melmes par des formules directes. Ainsi, si ]es deux angles -inconnus B et C. entrent symuitriquement, et que N, est connul, on connait B + C, on cherchera donc a trouver B - C. Si, sur les trois angles, deux d'entre eux, B et C, entrent sym6 -triquernent et que le troisi~me A joue un rdle spdcial, it y aura, en g6ndral, avantage aL calculer d'abord A. II ne restera plus qua~trouver B - C. Le lecleur se rendra compte aisdment quie, dans toutes les questions que nous a-vons trait6es jusqu'iei, ces prdceptes out dtd appliquds avec fruit. Illustrons encore ceci par des exemples 169. EXCEMPLE L. - I-tsUCIde un triangle connaissaint le eoltA a, laIng/c A ct la somme s des clen atutres ect~s. D'apr~s cc quc nous avons, dit, nous dcv ons, ici, caleuler, d'abotrd, 13 - C. Or, nous avons vui (no 158, formule (4)), qcjne (b C ) SillA a 13 -Cl Cos2 on a don, 7de suite, A s sin - B -C 2 Cos ~ 2 a cc qui, avec B +CA 2 2 donnc B et C. Dc nminie, et e entranit sym~triquernent, comme nonis connaissons b +c b6 -h- s notis calenlerons b -- e. La forumilie(i dui no 458 (Rem. III) nous donme, de. suite, B- C a sin 2 b-e= A Cos - qai foaurnit b - e lorscju'on a calc1cnl C 2

Page  227 RESOLUTION DES TRIANGLES QUELCONQUES.22 227 Le prob1mre est ainsi r~solu par des formules calculables par logari thin es. La discussion so fait sans difficult& 170. EXEMPLE L[. -Rftsoudre zun triangle connaissant un cotd a, la somme s des deux autrCs cot~s etlla hautemr h?relative au cMMt clonne a. D'apre's les conseils prkc~dents, on devra d'abord calculer les angles et, comme A jonle un role sp~cial, commencer par le calcul. de A. On a, d'apres les formules dn cquatrienme cas classicque (no 160), A a _ tp sont faciles i' calenler. On a, en efret, 2 p -- a -TL s et, en 6valuant dle denx manibres diffhrentes la surface du triangle, a h '7 p. Oni en tire (t -a+- s 2 (t h a -1 s On a done, de suit~e, A 7(s + a) (s -a) Di~s qn'oi a cal~cul.6 A on est rainen. an cas de 1lexenmple pr~c6dent et Ia r6SOIUtion se, termine par l'emploi des formules successives 005).~ ssin - -' a B-C a sin 2 On pent, d'ailleurs, remplacer la derni~re par celle-ci 2s+a)hs B-C qui eixige un calcul logarithmniqne de moins.

Page  228 228 LECONS DE TRIGONOMETRIE. II suffit, pour se rendre compte de l'utilite de nos remarques, d'essayer de traiter les exemples qui precedent, en dirigeant les calculs d'une autre mani6re. EXERCICES 60. Demontrer directement les formules du n" 15: A A (b - c) sin ( -c) os - 2 2 a B-C a B-C COs sin 2 2 B-C b-c A tcg -cotg2 - +c ' Pour cela, en supposant b plus grand que c, on prendra sur le cute A C et sur son prolongement deux longueurs A D, A E 6gales t c; D tombant entre A et C et. E sur le prolongement de AC au dela de A, on aura: CD = b-c, CE-=b - c. Dans les deux triangles B C Det B C E, on dvaluera les angles opposds aux cbtes BC = a, CD et C E et il suffira d'dcrire la proportionnalite entre les sinus et les angles oppos6s pour obtenir les relations cherch6es. 61. Ddsignons, comme d'habitude, par S la surface du triangle A B C, par R le rayon du cercle circoncrit et r, r,, rb, r%, les rayons du cercle inscrit et des cercles exinscrits; prouver les 6galites suivantes, oii 2p designe le pdrimctre: A B1 C p - 41i c- cos - cos -; 22 2 R 1 A / abc. 2 V sin A sin B sin C acos A + b cosB + ccos C 4R sin sinB sin C; B C C A A B p - - =a Ptg tg — t2- p -- b =- p g — t g- -, p - c = p tg tg-2; 2 2 n2 2 22 1 A B C abc cos - cos - cos - 2 2 2 S ----P — cos A + cos B + cos C- = 4 R p r= abc 1 1 1 1 - + - +-. —; 4 R eu e i + bs ' e - - i ' 62. Idsoudre un triangle isosckla, connaissant' 1~ la hauteur h relative 6t la base et le pdrimntre 2p; 1 2~ l'angle au sommet A et la surlace - K2; 3~ la base a et la surface - 12. 2

Page  229 RESOLUTION DES TllANGLES QUELCONQUES. 2 9 63. IRsoudre un trianglle quelconque, connaissant: 1~ a, A et la diffrence a - b = l; o2 a, A et la difftrence b - c d; 30 cI, A et la surface - K2; 40 a, le pdrimetre 2p et la surface 1 K2; 5~ A, et les deux sormmes a -- b — = m, a + c= I; Go A, la mediane, et la hauteur h relative au cote oppos; 7~ A, la hauteur h relative au c6te oppose it cet angle et la difference d es deux autres hauteurs; 8~ A, et les hauteurs h' IA" relatives aux c6ots qui comprennent cet angle; 9~ a, A, et la mediane m relative au c6ot a; 100 a, A, et la bissectrice 3 de langle A; 11o a, la hauteur h relative au c6td a el la bissectrice 3 de l'angle oppos6 A; 12~ a, A et une hauteur h' non relative au ctde a; 1:3 A, le rayon R du cercle circonscrit et le perimetre 2 p; 14~ A et sachant que levolume engendre par le triangle tournant autour de a est moyen gdometrique entre les deux volumes engendres par le triangle lorsqu'il tourne, successivement, autour des deux autres cotds; 15~ les rayons des trois cercles exinscrits; 160 a, A et le rayon r du cercle inscrit; 170 a, la surface K2, et le rayon 11 du cercle circonscrit; 18~ la somme 2 l de deux cotes; la hauteur h relative au troisieme c6te et le rayon R du rayon circonscrit; 190 a, A et le produit b c = m2'; 20o a, A et la somme,2 + c2 = 12; 210 B, C et la somme des inverses des trois hauteurs -; 220 l'angle A, les rayons R et r du cercle circonscrit et du cercle inscrit. 64. En reprdsentant par a, p, y les angles sous lesquels on voit du centre du cercle inscrit les c6ots du triangle, prouver que l'on a: 4 sin s sin sin y si sin B + sin C. (Sl it-Cyr.) 65. Si dans un triangle on a: b - a -?2 C, prouver que l'on a: / C C B-A 1 -+n cosB cos(A+q- )z=ncos —, colr cos IA + 2 =?Z COS 2 cotg 2 I- sin 13 66. ' etant le rayon du cercle inscrit dans un triangle et a p3 y les distances de son centre aux trois sommets, montrer que l'on a: a( y o(bc r a P 2p ctant Ie pFrimetre.

Page  230 230 230 ~~~LECONS DE TIRIG-ONOMETRIE. CIIAPITRE 1Y APPLICATIONS DIVERSES 171. Qtiadr.ilate-re convexe. - Soil; ABCD (fig. 45i) un quadriWaLre convexe quelconque. DNsignons par A, B, C, D les angles, mesur~s en degr~s, et par a, b, c, d les ion gucurs des e60s a -A.B, b =B C, c-Cl) d -D A. Les quatre angles sont, comme on saiL (',lids par la relation (1) ~A-IB+C- D —z360~ En g~n~ral, un quadrila[6re convexe est dktermin6, d~s qu'on so -donne cinq des huit 6l6menLs a, b, c, cd; A, B, C, D, dont an momns deux co't~s. Ainsi, un quadrilat~re B con-vexe est dktermin6 lorsquf on (U ~~~~connaittoscs cons6eutifs et les A ~~~~ 6 ~~ deux angles quWils comprennent; et ainsi de suite. C On ipourra, toujours, au moyen des formules de resolution des trian gles, calculer les 616uments inconnus. On tracera, pour cela, les Ddeux diagonales FiG.4-5. x -AC,y B]) qui de'composent le quadrilakre en triangles. En introduisant les diagonales x et y comme inconnues auLxiliaiires, on sera ramnen6 h r6soudre des triangles. Sup )posons, par exemple, qu'on connaisse les qualre c61les a, b, C, d el 1'angle A. (1) Voir dans les Lecons de Giomit,'ie de MJ. H-adamard, no 44 his.

Page  231 APPLICATIONS DIVEIISES. 53 231 On prend comme inQonnue auxiliaire la ditigonale y -B D. Jo0 On r~soudra le triangle A B D dont on connaitL deux c6Ls a et d et Jangle compris A, (deuxi~me cas classique). On calculera, ainsi y et les angles ABD et ADB. 20 Connaissant y, on sera ramnen6 a r~soudre Jo triangle BDC dont on connait, alors, les trois c616s b, c, y. On calculera, ainsi l'angle C et les deux angles DBC et CDB (quatri~rme cas). Les trois angles inconnus seront donc, alors, calcul~s, puisque Ion connait, C et que B ADD ~ DBC, DZZZADB~+BDC. On agirait de me'me dans d'autres cas, Lorsqu'au lieu de se donner des 6hinients du quadrilat~re on se donne certaines qutanlt~s li~es au quadrilati~re ou certaines condilions restrictives, ces donn~es fourniront des 6galIt6s sp6ciales qu'il faudra, joindre aux pric6dentes pour effectuer la resolution. En voici des exemples,J0 Si on astreint le quadrilat~re it 6tre circonscriptible a un cercle, on aura la condition a4-ccz-cb +d. 20 Si on astreint le quadrilatere a avoir des diagonales roe/an gulaires, on aura la condition C2 -i 2 b2-C -b -- cl 30 Si lo quaclrilat~re est inscriplible dans un cercle, la relation (1), entre, les angles, se d~c omnpose en deux et on a A +C -i18Oo, B +D -i8G0; ce qui exprime que les angles opposes sont supplirnentaires. Dans chacun de ces trois cas, le quadrilat~re sera parfaitemnent d&torminc6 diss qu'on se donne seulenient quatre 616ments, pourvu que ces quatre di6ments soient ind~iperidants. Ainsi, par exemple, un quadrilat~re inscriptible est dktermin6, lorsqu'on en connalit les quatre cot~s. Nous allons, comrne exercice, traiter ce probli~me (Jui cst d'ailteurs classique.

Page  232 232 LECONS DE TRIGONOMETRIE. 172. Probleme. - ie'soudre un qzladrilalCte convexe, inscriplible, doent on connait les qual re cobls. Les inconnues sont dolc, ici, les quatre angles qui sont deja lies par les deux relations (1) A + C = 180~, B + D- 180~. Pour calculer A, et par suite C, egalons les deux valeurs du carre de la diagonale y BD (fig. 4) considerees comme appartenant, successivement, aux deux triangles ABD et BCD. On a: ('1) 2' -= a2 c- + " - 2 ad cos A, (2) 2 b' 1- c - 2 c cos C. Les angles A et C etant supplnmentaires, on a cos C - cos A ct, par suite, en 6galant (1) et (2), a2 - dc - 2 a d cos A = b2 - c' + 2 b c cos A. On tire de la, a2 + l2 - b2 -- c cos A -a c 2 (a d -+- b c) Cette valour de cos A n'6tant pas calculable par logarithmes, nous calculerons, comme dans le quatrieme cas classique de resolution des triangles (n~ 160), les lignes de l'angle moitie. On a: 2 a d - 2 a+ c 2c a +2 d - "- c2 2 cos2 - 1 + cos A 2 d2 a c- ------ d 2 2 (a d + b c) 2s _1 cA _2 a c1 + 2 2 c (1te1- c + bI + C2 2 sin2 = 1 - cos A - -_ -— * 2 2 (ad -+ b c) Ceci s'ecrit A (a + -)2 - (b- c)2 (a + c +b - c)(a d - b + c) 2 cosS-_ 2 2 (acd+bc) 2(ad - b c) s i A (b + c) - (a -- c) _ (b + c + a - cl) (b + c - a + 2 -2 2(a cl + b c) 2 (adcl + b c) Posons, comme dans le cas du triangle, 2 p1 -- a + b + c + d.

Page  233 APPIICATIONS DIVERSES. 233 On aura: 2 (p - a) = b - c - d - a, 2(p- c)-a a+c+d-c, 2 ( - cl) = +- b + c - c. 2(p-c) —a+ bI+c-cl. On en conclut COS -- 6 c ~(3) a ad + be A sl (2 — a) (p - 2 (ad + be Ces formules ne sont pas encore calculables par logarithmes; en les divisant, on obtient, enfin, (4) tg A /(?-a) ((-c )) '2 (p-b) (p-c)' qui est calculable par logarithmes. Connaissant A, on a C: C 1= IO0 A. On trouverait, de meme, B (3) a)J (p (a) ~ tg ( - ) d 2 (-V -c) (p-d) qui, avec D - 100 - B, donne les angles B et D. La surface S du quadrilatere est facile a calculer. Celte surface est, en effet, la somme des surfaces des triangles ABD et BCD. Done: S =- b sinn C) d b sin A, s 2 puisque sin C - sin A.

Page  234 23A. 234 ~~~LECONS DE TRIGoN\omrETIIE. Or, sin A -2 siA A-os -2 ~ pc)2(2 2 V(ad + bc) ~ __ p - a) (p -b (p)- c) (p - d) par suite, (6) S ~(p - a) (p -b) (p -c) (p)- d). Les formules (41), (5), (6) auxquelles no011 parvenons souL tout a fait analogues 'a celles des triangles, qu'on retrouve, d'ailleurs, en faisant d -0. A B Di1scussion.. Pour que les -valeurs (4) et (5) de tg - et tg - existent ii faut que le produitL 1 (p - a) (p - b) (p - c) (p) - d) soit positif; c'est-h-dire que le produit (b +c +d -a) (a+c d- b) (a +b +d -c) (a * b +c -d() soit positif. Or, si a est le plus grand des quatre c616s, les trois derniers facteurs sont c6videmment positifs; il suffit donc que lYon ait b + c + d - a > 0 on Pour que le probl~rme soit possible it faut douc et it1 suffit que, le plus grand des quatre c't~s, soil plus petit que la sonime des trois autres. Calcul des cliagonaics. - Nis qu'on connai't langle A, la formule (1I) clonne la cliagonale y. Or, on a a2 + d 2 - b2 - c 2 cosX zz 2 (ad + be) on en conclut: - a2 +c2 - da2 + d2 - b2 - 2 y a +d - ad (ad+ bc) (2 (a d) bc (id-cc (b2 2 ad +be

Page  235 APPLICATIONS DIVELSES. 235 et, enfin, (ab + cd) (ac + bd) ad -+- be On a done: 7)_ /(ab + cd) (ac + bd (7[1~) ^-V — ad + be On trouverait, de meme, (8, u (/ab + cd) (at~ be+ c) ac +bd En multipliant les 6galites (7) et (8) membre a membre, on retrouve le th6or6me de Ptolemee (1) xy - ab + cd, dans uz quadrilatere convexe, inscriptible, le produit des dicagoales est egal c la somme des produits des c6ots opposes. D) meme, en divisant membre a membre ces deux 6galites, on a: x ad + bc y ac + bd' ce qui est une autre propriete connue (2): Dans in qvadrilalere convexe, inscriptible, le rapport des deux diagonales est egal au quotient des somi0nes des produits des cotes aboutissant respectivement d leurs extretnilts. Calcul di rayon du ceercle circonscrit. -- Soil R le rayon du cercle circonscrit au quadrilatere. Ce cercle etant circonscrit au trianglc ABD, on a (no 149): 2 R - Y -- Y sin A A A 2 2 (I) Voir dans les Lecons de Geometrie de M. Hadamard, le no 237. (2) Voir Hadamard, loc. cit., no 240.

Page  236 236 236 ~~~LECONS DE TRIGONOMETLUE. A A Remnpla~ons y, sin - et c os -par leurs -valeurs fournies par les 2 '2 formuies (3) et (7) eL it -vient, toutes simplifications faites, I \,/(ab -H cd) (acc+ bd) (a d+ b c) ce qui peut s'6crire R _ \(ab + cd) (ac + bd) (ad + be) A4S 473. lllesures de hauteurs. - Probl~me. - fesaverc- la lhaaev)r d'une tour donzt le 1pied est accessible. SoiL AB la hauteur d'une tour -verticale (fig. 46) dont le, pied A est accessible. Pour mesurer la hauteur NB, on se place en 0 a une B~~~~~ C CL ~~~~~0 FiG. 46. certaine distance de la tour. Du point 0 on vise d'abord un point C,. du bas de la tour, situLI stir uine horizontale passant par 0. On -vise, ensuite, le point B, du somrnet de la tour, -situ6 sur la verticale de C. On mesure, ainsi, laangle BOC --. On mesure, de meme, sur le terr~ain, la distance OC d on la distance egale ALO'. Dans le triangle rectangleBO on a, alors, BC — OC sin BOC d lsin cl; la hauteur de la tour s~obtient en ajoutant a BC, qie Von1

Page  237 APPLICATIONS DIVERSES.23 237 -viont de calculer, la hauteur AC rnesur~e directement, au pied do la tour. 174. Probl~me. - NJestover la haidem- ct'une montagne oit duine tomur clont le pied est inaccessible. SoiL A le point culmiinant de la montague et P le plan horizontal i-t partir duquel on compte les hauteurs. SoiL AllI la perpendiecilaire (fig. 47) abaiss~e de A sur le plan P. Il s'agit de mesuirer.All, H' 6tant inaccessible. A, cot offot, on so, placora en deux stations B et C, accessibles sur le terrain (peu importe quo la droite BC soit holiizontale on non). On mesurera, d'abord, la distance rectiligne BC - a. Pais, du point C, en visant, successivement, los points A et B, on mosurera 1auig10 C du triangle ABC. Do me'me, en visant, du point B, A - - -- - ---— B, FIG. 47. les points A et C, on mesurera langle B. Ces mesures faites, on connaltra dans le triangle ABC le cL6t a et los deukx angles adjacents B et C; on pourra done calculer le co't6 AB et on aura AB a sin C sin (B +C)' Ceci fait, on mesurera l' angle A.BO -. quo la droite AB fait avec lhorizontale AO situ~e dans le plan vertical HAD en visant, dn point B, le point A, puis mesurant langle de cette, direction avec l'horizontale. Dans le -triangle rectangle A.OB on connait lFhypotnuse et langle aigu 7.; on pout done calculer AO. a sin C sina AO~~A~sinsin(B +C).

Page  238 M 238 ~~~LECONS DE TRIGONOM1ETIIIE. Pour avoir la hanteur All, Hi suffira d'ajouter ft'AO la distance- ORI on la distance 6gale BB' - h, que ion mesurera en la station B. On a donc, finalement, AH - h _a sin C sin 7. Allh+ sin (B +C) 175. Levers de planis. - Lever le plan d'une portion de terrain plane, on. sensiblement plane, c'est construire sur une feuille de papier une figure semblable 4t la figure form~e par les points imiportants dui terrain. Lorsque le rapport de similitude de la figure trac~e sur le papier (ce qu'on appelle le plan) it la figure r~elle dii terrain est -,le plan est dit et techelle de - Pour lever nn plan, on snit, d'ordinaire, la marche g~n~rale suivante. On choisit, sur le -terrain, un certain nombre de points principaux et on imagine que ces points soient relies par des lignes, droites. On dicompose ainsi le terrain en nn certain nombre de -triangles. Le choix des points cloit eltve fait de telle fagon qute, clans chacin des trianigles, deux quelconques 'des somnmets soient visibles poar un observateur placc ant tr~oisiclme sommet; et que les trois sonmuets soient visibles de toutt point inriettvr att triangle. On commence, alors, par d6terminer totis les 616ments de tons ces triangles c 'est ce qn'on appelle faire la trian~gulation. Pour pouvoir effectuer cette triangulation, il faut savoir faire, sur ICe terrain, les mesures suivantes 10 Mesurer la distance rectiligne de deux points accessibles inn at lautre, c'est-~-dire teis quont puisse se rencire diveletnemet cie Fnn a, lautre. Cette mesure est dii ressort de larpentage et se fait, ordinairemen t, avec la chaine d'arpenteur. 20 Mesurer langle forM6 par deux droites AB et AC du terrain (les points B et C 6tant visibies du point A). Cette measure se fait, d'ordinaire, avec un appareil appel.6 le graplhomc~tre, en visant, successivement, dn point A, les deux points B et C. La description de ces appareils de mesnre et leur usage ne rentre pas dans notre cadre; nous renvoyons, sur co suijet, le lecteur anx trait~s sp~cia-ux d'arp-entage, de pianim6trie on de topogr aphie () (I) A (Iotnut de trailds spdciaux, on pourra consulter tin ouvrage encyclopddique; par xoxenpic, lo Dictionnaire des Alatlmiatiques appliqu~es de. 11. Sonnet (1-laclhotte et Ci)

Page  239 APPLICATIONS DIVELRSES. ~~ 239 11 nous suflira de retenir que ces deux. mesures sont, possibles; peu nous importera le procWd employ6 pour les effectuer. Si. tons les so-mmets des triangles fonO':nenltax Rtaient, deux h cleux. accessibles, it suffirait, de mesurer clirectemtent sUr le terrain tons les 6l6ments de ces triangles. En fail, les mesures directes des longuoeurs des cbtis des triangles ne sont, pas toujours possibles, soit, parce que deux sommets sont s6ipair(,s par un obstacle infranchissable, soit, parce que les operations seralent trop longues onu-.. to p difficiles. Nons sommes done, ainsi, conduits a traiter deux problbmes prmliminaires Tfrottver- la distance d'un paint accessible &i1 un, point inaccessible. Tronver la distance de cleax poin/s inaccessibles. Ces deux probl~mes notes condufirontL, alors, a la triangutlation. La triangulation effect-a~e, il nous restera a -tracer, sur la carte, les positions des divers points importants situ~s a l'inLrieur des triangles fondamentaux. Cette question sera r~solue dans le probl.6me dit (lo la car)te. Nous allons examiner ces diverses questions dans l'ordre ofi elles se sont pr~sent,6es. 176. Probl~me. - Tr —ouver la distance dun, point accessible et un, au/re poinit inaccessible. Soit A un point accecssible et B un point inaccessible (fig. 48), c'est-a-dire an. point ete qu'on ne puisse aller en ligne droite de Aen B sur le -terrain. Noes pouvonspar exemple, sup — poser A s6par6 de B par an cours d'eau. Pour rnesurer la distance NB, noes choisirons, sur le terrain acces 46 sible, un second point C et, FIG.. noes mesurerons direete mnent la distance AC. Puis, pai des visuies, nous mesurerons les deux angles A et, C du -triangle ABC; eons connaitrons ainsi, dn ce triangle, le c06V b et les denx. angles adjacents. H1 nous est, done facile do calculer le cf"Ltu AB et nous anrons b sin C AB_ sin (A + C)

Page  240 210 210 ~~~LECONS DE TRIGONOME'TIIIE. 477.. Probl~me. - I'ouver la distance de cleux points inaccssibles. Soient A ct 13 (fig. 49) deux points inaccessibles; par exemple, deux points s6par~s du terrain accessible a lobservateur par un cours d'ean. On choisira, alors, deux points C et D 'sur le terrain accessible et onl mesurera, d'abord, directement, la distance CD -a. Irnaginons qu'on ait joint les quatr-e points A, 13, C, D deux ~a deux. Par des visuies, faites en C et D, on mesurera les quatre, angles ACB --- A/b7zACD A ~~~~~~ADB~ J3, DC -y. Danslesdeux triangles ADC et B3DC on connaft, alors, le cL6L DC aet les angles C adjacents; on pourra. done calc'lelr les detux longueurs AC et BC. On aura: AC~a sin (y + ~ D FIG. 49. ~ ~B C~ si asin y sn(a ~ 1~ + y) A C et B C Rtant connus, on connalit dans le triangle A, B C deux co't6s et l'angle compris c/.; on pourra donc calculer le troisiimoe co't6 AB en appliquant les formules G ~~du deuxii~me cas claussie (no 1518). 178. Triangulation. - t1)tant donn6 uin terrain dont on vent lever le plan, E ~ ~ ~ F supposons quont ait choiSi, sur Cc E ~~~~~~terra-in, tin certain nombre de points principaux A, B, C, D, El F, G (fig. 110). C ~~~~Nous aurons ainsi d~cornpos6 la snrA D ~~~~face en un certain nombre de triangles ABC,:BCD, ACE, etc., dont il s'agit de deteriminer les l6n6ments. B Pour cela, on eboisit une base d'opJFIcG. 50. ration, c'est-a-clire qu'on prenci deux des points A, B, accessibles entre eux, s~par~s par une etendue aussi plane quo possible, et on mesure,

Page  241 APPLICATIONS DIVERSES. 4 anssi exactement que possible, la distance AB. Ce sera lit la scule inesure (le longueur qu'on eftectuera, dir-ectement, sur le terrain; aussi y apportera-t-on. le lplus grand soin. On se transportera, ensuite, successivement, aux points A, B, C, D, etc., et on mesurera tons les angles des divers triangles. Ces mesures seront possibles puisque, par hypotli~se (no 175), on a choisi les points A, B, C, D, etc., de telle fa~on que, de chaque sommet d'un triangle, 1les deux autres sommets soient visibles. La triangulation se fait, alors, sans difficnlti. Dans le premier triangle A BC on connait le co'6t A B (base de l'op~ration) et les angles, on pourra donc calcutler les deux cotis A C et B C. Connaissant B C, on connai'tra dans le triangle B CD un cetW et les angles; on pourra donc calculer les longneurs B D et CD. Connaissant CD, le triangle CDF sera dktermin6; et ainsi de suite. On calculera ainsi, de proche en proche, les 616ments de tons les trian gles. Au cours de l'op~ration il pourra y avoir des ver-ifications. Ainsi, on pourra calculer le triangle E C F, soil en passant par la suitLe NBC, AEC, soit en passant par la suite de triangles ABC, BCD, DCF. Les r~snltats devront, etre identiques dans les deux cas. Lorsqne le calcul est termin6., on fait une derni~re verification. Pour ce-la, on mesnre, directement, surie terrain, une des longneurs calcul~es, pins particuli~rement la dernie're, 0GF, par exemple. It devra y avoir concordance entre le calcul et la mesure. REAMARQUE. - Au premier abord, tons les calculs pr~c~dents peuvent paraitre inutiles pour faire le lev6 du plan. La connaissance des angles des div~ers triangles suffit, en effet, pour qu'on puisse con~struire, avec la ri~gle et le compas, tons el-s triangles; mais la construction quo Fon ferait ainsi manquerait de pr~cision. Pour construire des angles il faut, en efet, se servir du rap~porltem qni, quclqUe grand qu'il soit, donne toujours des erreurs notables sur les angles. Au contraire, on pent construire une 6chelle des longueurs sur le papier avec une tr~s grande precision; et, particuli~rement, si l'on emploie les 6clhelles dites obliqaces, on pent, avec une tr~s grande exactitude, reporter sur le papier des lonugnurs donn~es on d6crire des cercies de rayons donn6s. C'est pour cette raison que le calcul des longnenrs des cot~s s'impose. 179. Prob1~me de la carte. - LorsqUe la triangulation est faite et qu on a reproduit, sur le papier, it l~chelle adopt~e, des triangles semblables aux triangles fondamentaux, ii reste it placer, sur le plan, les autres points du terrain. L~osDE TRIGONOMELTRIE. 1

Page  242 2 4 -21 24~ ~~~LEC~ONS DE THIGONOMEITIRE. ISoit, alors, M (fig. 5'l) un point du terrain situc6 a lint~rieur du triangle A BC. D'apr~s la mani~re dont les sommets des triangles fondarnentaux ont 6t6 choisis (no 17im), les trois points A, B, C sont visibles dii point M et on pourra, par trois AviS~eS effectu~es anL point M, mesurer les denx angles AMB et AMC. Le probl~me qni se pose donc (et c'est lb, ce qn'on appelle le probl~me cde la carte) est le suivant Iliant donmms trois points A, B, C, repjA~s sur lca carte, (rouver (a position d'un lieu M, sin /a carte, saclhant qlue, cdu po'int M, on voit les deux portions de clroites A B et A C sovs des anigles yet 83. On a., de snite, une solution geometrique de la question. It sulffit, an effet (fig. s1), de d~crire sur AB un segment capable de Jangle at sur AC un segment capable de - - Fnangle P~; ces deux ares de cercie - se, coniperont, outre. au point A, an point M chercli6. Le probli~me - - - -- ~admat tonjours une solution a C, moms ctne les denx ares de cerele.ne soient confondus; dans ceceas, b Ia~~~l cercelecirconscrit antriangle ABC. FIG. ~. A lDans la pratique, ceci ne pent pas se pr~senter puisque le' point M qua ion cherche est situ6 a lint~rieur du triangle ABC. Cette solution graphique ast insurfisante. La construction d'un segment de cercie capable d'un angle donn6 exige, en effet (I), des constructions d'angles et, comme nons l'avons dit plus haut, ces traces manquent de precision. Le point M. sera donc bien mieux, dktermin6 si on calcula las trois longueurs MA., M B, M C; car il sera alors a lintersection des trois cereles d~crits de A, B, C comman centres et ayant ces longueurs pour rayons. Les 6l6nments du triangle ABC Rtant parraitementL connus, Onl connaIt Ian gle A at les c~ts A B -ec A C -- b. Pour pouvoir caleuler les trois longueurs M A, M B, 'MC, il suffira de connaitra les, deux angles MBA - x, MICX.car on connaitra, alors, dans chacun des triangles A B M at A C M, las trois angles at un cWb. (1) Voir dons les Leconis de G&omdrie de M-. nadamard, le no 90, construction II.

Page  243 APPLICATIONS DIVELISES.24 9,43 Nous sommes done rarnen6s,7 en derni~re analyse, aL calculer les deux angles x et y. En exprimant que la somme des angles des deux triangles A BM et AC M vaut 3600, on a la premiere relation D'antre purt, en exprimant, dans ces deux -triangles, la proportionnali16 des sinus des angles aux ect~s oppos~s, onl a sini x sin y A M c sin y sin ~_ A M b On en conclut, en divisaut mnembre a membre,,sin x b sin y (2) ~~~~sin y csinNous sommes ainsi ramen6s, pour calculer x et y, a resoudre un syst~me (1), (2) de forme connue (no 134). Des 6quations (I) et (2) on tire, comme nous Favons montr6 (3) +y 1 800 K+ +A) x-ui_ b sin -c sinfl x~ii 2 b sin,,,+ csinf 2 o u (4 1X-Y csin~-bsinytg (~-Vy+Ay 2 c sin +tb sin y 2 ~ Les formules (3) et (4) donneront douc 2 ~ et -2~ on en tirera x et y Pour que le probl~me soit possible, il faut que rP ~ + A < 3600.

Page  244 24-1, 244 ~~~LECONS DE TRIGONOMETB'rIE. REMAlRQUE. - Si 1'on a'vail c sin [3 izz b sin y sin S sin ny R ~~~~~b c la valeur trouvde pour tg 2! serail, en gdndral, indktermine'e. Le premier facteur c sin 3-b sin y c sin f+ b sin y serait, en effel, nul. Le second tg 2S +y A) serait inrinimenL grand. Car la condition (5) exprime que les rayons des cercies circonscrits aux triangles ABM et ACM souL 6gaux et, par suite, elie exprirne que le point M esL sur le cercle circonscrit au triangle A. B C. On aurail, alors, 3+ y +A '1800 [3 + y + A 90 la langente de lFangle 2 serait infiniment grande. Le point M serait bien, dans cc cas, ind~1erminid sur lo cercel circonscrit au triangle A BC. Comme nous l'avons ddja dil, celle exception ne pent pas se presenter dans la pratique. En fail, le problme a toujours une solution et une seule. EXERCICES 67. Rdsoudre uon qziadrilat~re inscriptible connaissant: 10 a, d, A, et sachant quo tangle B est droit; 2,0 a, 6, c et Ilangle B; 3W Les ang-les, le pdrimdtre 2p, et sachant quit est, en rn~me temps, circonscriptible; 4o Lo pdrirnkhre, to produit des diagonalos, et sachant quil est circonscrit h unl cercie do rayoni donn6 r 50 Trois e6t6-s ot t'anglo quo font los (loux diagonalos; 60 Los distancos du contro do. corclo circonscrit aux quatro co't6s 70Doux c6t~s oppos~s et los diagonalos.

Page  245 APPL1CNTONS DIVELISES.24 68. Rdsoudre uin lcapdZe connaissant 1o Un angle, lasurface, et sachant qu'ilest inscrit dans un cerele (le rayon donna R; 20 Les (liagonales et les angles; 30 Les dliagonales, la base ci la surface. 69. RWsonudre un qucuirilatere que iconci ne, con nai ssantI P1 Trois c6lds et les angles adjacents an quatri6rne 20 Les c~ts et la surface 30 Les angles et les diagonales. 70. Un observatenr voit, dn bant d'nne colline, denx bornecs kilonm6triques', con56 -cutives, d'une route horizontale sons des angles de depression d~e 50 ct 10". Quelle, est la hauteur do Ia colline? - On admettra que Ia route et lobservateur soul sutu6s daus un in6me plan 'vertical. 71. Uric tour verticalo est surrnont6e d'une flche. Un observateur plac6 h une distance d 'In pied do Ia tour, dons le plan horizontal (JUi passe par cc pied, a ia Ia tour sous uin angle a ci Ia fi6che sous lang-le P3. Quelle est Ia hauteur do Ia fi~che? 72. Uno toni' doe liateur a est surmontde, d'une fliche, do. lhauteur b. A queueo distance du pied de Ia tour, un observateur doit-il se placer, dons le plan horizontal qui passe par cc pied, pour qu'it vole la flche SOuIS le plus grand angle possible '~ 73. Apr6s avoir trouv6 40 pour la hauteur angulaire d'une tour, uLn observateur s'avance d'un kilomklre, vers -la tour; ii trouve alors 50, pour la nonurelic hanutout ang-ulaire. Quelle est Ia distance qu'il lui roste a parcourir- pour ar11riVer an pied do~ la tour 9 (Ecole foresti~?we.) 74. Etant donn6 un demi-cercle dcri~t Sur AB cormme diarnlre, ddterminer. l'anglo quo doit fairie avec AB uno corde issue do A pour quo, lorsqu'on fail tourner Ia figure autour du diam.6tre, le %volume engendr6 par Ic segment circulaire ddtach6 par Ia corde, soit dgal Li la rnoiti6 dui volume do la spb6rc engendrde par Ic demni-cerele. 75. IDdmontrer quo si a est l'angle des tangoentes comimunes a deux cercles on a (11 + 1)2sin c-_ 4 (R - 11') ~/F IiV, 11 et R' 6tant los rayons des deux cercles. 76. D6montrer quo, dans no paralldldpip6de circonscrit 'a une spli~re, ebacunle des trois arktcs est proportionnelle au sinus do langle des deux autres. (Concours gin6rol.) 77. On donno un cercle ci no carr6 circonscrit; trouver une relation catro 'les tang~enles des anogles sous lesquels los deux diagonales do carr-6 sent vues d'un point do la eirconf6rence. (Concotirs geindral.) 78. Etant 10006 no triangle ABC, on demando do rnener par lc sommiet C une, droite CD Idlle quo la somme des projections des cdts AC et BC suar cetto droite soil Lkgale a une longueur doonne. - Discuter. 79. Trouvor Ic rectangle maximum inscrit dans no secteur circulaire, do rayon R1 ct dangle donn6 oc. (SainltCyr.)

Page  246 246 LECONS DE TBIGONOMETRIE. 80. Un c6ne, dont l'angfle au sonmmet est 2a, est circonscrit h -une spb~re de raven R. Calculur le rapport du volume du~ c6ne compris entre la sphere et son somnmet an volume do la sph~re enti~re. 81. On consid~re un tktra~dre r~gulier: P0 Calculer langle di~dre formd par deux faces; 20 Calculer langle form6 par une drkte avec le plan de l'une des deux faces qui ne la contient pas. 82. Calculer la tangente de langle que fornmentl]es diagonales d'un. paralld16pip~de rectangle dent la hauteur est h et la base un carr6 do c6t6 a. 83. Calculer le sinus do langle form6 par los diagronales d'un cube..

Page  247 APPENDICE CIHAPITRE PREMIER REPRtSENTATION TRIGONOMETR1QUE DES IMAGINAIRES 180. Re~r~eseiktat~oa. -eoinetriqlue d'tie himi~g-itiaire().Soit a -I- bi une qnantitit complexe, dans laquelle i d~signe 1loni[6 complexe telle que Traqoins, dans no plan (fig. 52), deux axes rectangulaires 'ox et y'oy, les deux directions positives de ces axes ktant ox et oy. Le sens positif des rotations, clans le plan, sera le sens f dans leqiuel il fant faire tourner la denmi-droite ox pour l'amener it coincider avec la dernii-droite oy en dbcerivant un angle droit. Mlarquonis, dans ce plane, le point M dont les coordonn~es (2) sont a et b, c'est-it-dire le point Al tel qne les projections orihogonales OP et OQ dii vecteiti (O4) 5111 Ics axes soient 6-gales it a et b OP a, OQ =b. Le point M est dit le point reprdscntatif de linaginaire a b-li et, rbciproquiement, la qnan~it6 a A- bi est dite Faffixe du point Al. A tonte quantit6 comoplexe correspondl, ainsi, un point do plan et, r~ciproqtiement, it tout point do plan correspond1 one quantit6 complexe. Cette reprc~sentation donne lieu aux remnarques pr~liininiaires suivantes 11 Une quaitit4 rdelle est repiesentde par tai point dle l'axe ox. Car, lorsciue b est inul, le point Ml est sir ox. Cest pour cela qtue ox est' appele' s~ouveut laxe des qvaantits reelles. '2o line quantit4 imaginaire pure, de la foioie bi, est reprYsent~e par ani point de oy. Car, lorsquie a est nul, M -est sur oy. Pour cette raison, oy est souvent iornini laxe imaginaire. (I) Jo supposerai, dans tout cet Appendico, le lecteur familiaris6 avoc la notion des hiao~inaires. On pourra consulter, A ce sujot, I'Appondice do mes Lecons d'Aigedbre eidinentaire. (2) Voir, pour la ddfinition des coordonndes, ot los 6idineuts de 0donid trio analytiqne ndcessaircs, lcs nos 66 A 66 do me's Lecons d'Alydbre.

Page  248 248 ILECONS DE THIGONOMETRIE. 30 Deux quantitds egales et de signes contraires sont represe tees par deux points symetriques pla rapport C o. Car deux points M et M1 (fig. 52) symetriquespar rapport a o out des coordonnees respectivemcnl egales et de signes contraires. 4~ Deux quantites imaginalres conjuguecs sont representdcs par deux points symleriques par rapport d ox. Car deux points symetriques par rapport a ox, M et M', ont mnnme abscisse a et des ordonnees b et - b 6gales et Q9 - - - - -/-c- - -, b) y' 0" IP FIG. 52. do signes contraires. Leurs affixes a + bi et a- bi sont done bien conjuguees. 181. Module. - Rappelons la definition du module d'une imaginaire: lae module de l'imaginaire a + bi est \/a2 + b2, le radical ayant sa signification arithmetique. Le module est une quantite essentiellement reelle et positive. Theoreme. - Dams la representation geometrique, le module d'ine imaginaire est la distance de son point representatif c l'origine des coordonnCes. Soit, en effet, M (fig. 52) le point dont a - bi est l'affixe. On a 6videmment: O[ = vO/P2 + oQ2; done OM = /a2 b2= a + bi. (Rappelons que la notation I a + bi I repr6sente le module de a -- bi)....

Page  249 APPENDICE. 219 182. Argunneilt. - T.a repr6sentation geomettrique des quanliles complexes nous permet d'introduire une notion nouvelle, celle de Vargtiment. Soit M le point (fig. 52) dont a + bi est l'affixe. On appelle argument de la quantitd a + bi l'un des angles dont il ftlat faire tourner la direction positive ox pour l'amener coincider avec la direction dz vectceur (OM). En d'aulres termes, i'argument est l'une des determinations de l'angle ox,OM. - II resulte, immediatemenl, (e cette definition que l'argument n'est d6fini qu'a un muiltiple de 2r7 pres (en prenant comme unit6 d'angle celui qui correspond ( lFarc egal an rayon). Si done a est ]'un des arguments d'une quantite complexe, tous les autres sont congrus a a et sont donnes par la formule a +- 2k/T, of k est un nombre entier posilif ou n6gatif. La definition precedente donne lieu aux remarques suivanles: 1~ L'argument d'une quantitc reelle et positive est congr2u a zero. Car l'u de ces arguments est l'angle de ox avec lui-meme. 2~ L'argument d'une.quantitd reelle et negative est congrn d;. Car une quantite reelle et n6gative est representee par un point de ox' et on a ox,ox', 7. 3~ L'argument d'une quantitd de la forme bi est cong ru -d oun - suivant que b est positif ou ndgatif. Car, si b est positif, bi est l'affixe d'un point de oy, et ox,oy =- + Si b est negatif, bi est l'affixe d'un point de oy', et oxoy' - 4~ Les arguments de deux quantitea s egales et cde signes contraires different d'un multiple impair de 7. Car deux quantites 6eales et de signes contraires soln les affixes de deux points M et M, symetriques par rapport i o (fig. 52), et on a evidemment (no 23): ox,oM1 - ox,oM - oM,oM1 - 7;. 5~ Les arguments de deux quantitds conjugues sont congrus et de signes contraires. Car deux quantites conjuguees sont representees par deux points Ai et i' synmtriques par rapport a ox; on a done ox,oM - - ox,)MW.

Page  250 250 LECONS DE TR1GONOMETBIE. 183. Formne trig-oiionietriqne des itinag'iaires. Th6or6me. - Tl'ote quanzit complexe peut ctre mise sous la forme (1) p (cos a -- i sin a), p tlant son module ct a son argument. ReIciproquemcnt, lorsqu'nne quanltite complexe Ca la forme (I), p dlant une lquantite positive, son module est egal d p et son argument est congru ac a. Soil a -+ bi une quantite complexe qui est (fig. 52) 1'affixe du point M. p 6tant son module ct a son argument, on a: p = oM, a - ox,oM. Projetons le vecteur (oM), orthogonalement, sur ox et oy, nous aurons: a= p cos a, b= p sin c, et, par suite, (2) ca + bi = p (cos a + i sin a). Reciproquemcnt, supposons que nous ayons l'egalitd (2), dans laquelle p cst un nombre positif, on en conclut: (3) ~( p cos a a, ( p sin a = b; d'oti, en faisant la somme des carres des deux membres, (4) p2 = u2 2- b. Conmme p est une quantite positive, ceci exige que l'on ail: p = va2 + b2 le radical ayant son sells arithmetique. Ceci pos6, soit A le point repr6sentatif de a -+ bi, il resulte de ce que nous venons de dire que oMI p. On a, en projetant (oM) sur les axes, a = p cos (ox,oM), b- p sin (ox,oM). Du rapprochement des egalites (3) et (5), on conclut cos a = cos (ox,oM), sin a= sin (ox,oM).

Page  251 APPENDICE. 251 Les deux angles a et ox,o.M ayant, h Ia fois, mnmem sinus et me1me cosinus, sont congrus: a -- ox, oM\; a est done bien largument de a - bi. - Lorsqu'une quantitL complexe a 6et mise sous la forme (I), on dit qu'elle est mise sons la forme trigonometrique. De la proposition p6recdent e il resulle qu'il n'y a qu'une seule maniere do mettre une quanlite imaginaire sous forme trigonometfrique. 184. Probleme. - Mettre tte qcuantid imnagitaire sois forme trigonomntrique. - Calculer son module et son argument. Soit a + bi la quantile donnde; p et a son module el son argument. On devra avoir: p cos a = a, p sin a - b. On en tire, cornme plus haut, (1) p -= \/a+ - b2; puis, on a, pour calculer a, les deux egalites 2 a b (2) cos a = -, sin a = -. Vac2 + b \'ta +- b2 Ces egalites sont compatibles; elles d6terminent a a un multiple de 2, pres, car, comme nous l'avons vu, il n'y a qu'un seul angle a, compris entre 0 ec 2=, et verifiant ces 6galit6s. I1 faul remarquer qu'une seule des deux egalites (2) ne suffirait pas pour d6terminer a, car ii y a deux s6ries d'arcs, incongrus, veriilant l'une des deux 6galiets. Pratiquement, pour calculer a, on calculera, par ]es tables, les deux angles a' et a" compris enltre 0 et 2; verifiaut ]'une des deux egalites(2); on choisira, ensuite, celui de ces deux angles qui verifiera l'autre egalite (il y en aura un et un seul). REMARQUE. - Des egalites (2) on conclut: (3) ta - b a aais, reciproquement, tous les angles a verifant celle egalite ne sonl pas des arguments de a + bi. EXEMPLES. - 1~ ettre soUS forme trigonometrique ine quantitd reelle a. II y a deux cas: Si a > 0, on a: a = a (cos 0 + i sin 0);

Page  252 252 LECONS DE TRIGONOMETBIE. Si a 0, on a a = I a (cos 7: + i sin:). 2~ cttrc sous formee trit/onomedtriquee la quantitc i. L'argument est ici, le module 1, done i - cos - i sin. 3~ Meltre sous forme trigonometrique la quantit i1 -+- i. Le module est ici \/2, l'argument est done l'angle a donne par \. 1 cos a - sin - ~i2 I/2 L'une des detcrminations de a cst donc et on a: I + i = /2 (cos, -7- i sin)4. 185. Sornine. - Nous avons defini (n~ 2) ce qu'on entend par resultante ou somme qgometrique de deux segments. On peut definir, de ]a meme facon, la difference geometrique. ftant donnes deux segments (OM) et (OM) (fig. 5.3), on mene, par le point M, un segment (MD) 6quipollent au segment (M'O) 6gal et de sens contraire au segment (OM'). Le segment (OD) est ce qu'on appelle la diffdrence geometrique des segments (OM) et (OM) et on ecrit l'egalit6 geometrique: (OD) = (OM) - (OM'). Cette appellation est d'ailleurs justifite par ce fait que (OM) est la somme g-ometriqule de (OD) et de (OM'), car la figure ODMM' est, manifestement, un paralle6ogramme. On peut encore construire la difftrence geometrique (OD) de la facon suivante: on mene le segment (OM0') equipollent au segment (M/O) et on prend la diagonale (OD) du parallelogramme construit sur (OM) et (OM',). Cela revient, en effet, a prendre la resultante des deux segments (OM) et (M'O) (voir n1 2). Remarquons, enfin, que le segment (M'M) est aussi la difference geometrique de (OM) et (OM'), car (M'M) est equipollent a (OD). On a ainsi une egalite analogue a l'egalite [4] du n,'5: (I/M)= - (OM) - (OM')..

Page  253 APPENDICE. 253 Th6or6me. - M et M' etant les points repdesentatifs de deux imaginaires, 1~ Le point representatif S de leur sommne s'obtient en faisant la sonllme goomctriqule (OS) dcs deux segments (OM) et (OM'); 2~ Le point represenltatif D de leur difference s'obtient en faisant la lifference gcomelnriqune (OD) des deux segments (O1M) et (OM'). Soient, en etfet, a + bi et a' +- b'i deux quantites complexes, M et AM (fig. 53) les points repr6senlatifs. Soient (OS) la somme geonmltrique des deux segments (OM) et (OM'), A et B les coordonnees de S. -,'M ba 6 6),' l, 'c + a + b) proj, (OS),o() p 0 ///,... / proj (GS) = a. (GM) + proj. (GM'). - ~,,et a' + W"b. FIG. 5.3. Si on p-rojette Sur LnU axe quelconque, on a: proj. (os)= proj. (OMu) + proj. (OM'). Projetfons, orthogonalementf, stir ox et oy, et nous aurons: A =- a - a', B = b + b'; d'otl A + iB =- a- a' + i (b + 1l'). Ceci prouve bien que S est le pointf representatif de la somme de a q ib et a' + ib'. Prenons le point Mq symletrique de M' par rapporL a O, et soit (OD) la somme geomeftrique de (OM) et (OMq). (OD) est aussi la difference geome

Page  254 254 LECONS DE TRIGONOMETIIIE. trique (OM) - (OM'). Or, MI1 est, comme nous savons (n~ 180), le point reprdsentatif de - (a' - ib'). D est done, d'apres ce qui pr6ecde, le point representatif de la somme de a + ib et de - (a' 4- ib'), c'cst-a-dire de a + ib - (a + ib'). REIARQUE. - I1 resulte de ce th6oreme que, pour faire la somme ou la difference de deux quanli tes complexes, on est ramene a faire la somme on la ditffrence geometrique de deux segments. On pent encore remarquer que, le vecteur (M'lM) etant equipollent an vecteur (OD), la distance M'M est le module de la difference des deux imaginaires, et l'angle sM'1, M'MI son argument, AI'x. etant parallele i ox et de meme sens. Corollaire. - M1, AI,... NM, dtant les points reprdsentatifs de p imagyiaitres, le point representatif S de letr somme s'obtient en faisant la somme gdometriqije (OS) des vecteurs (OMI,), (OM_),... (OM,). II suffit, pour elablir celte proposition, d'appliquer p - I fois de suite le th6oreme precedent. 186. Th6oreme. - Le module de la somme ot de la diffdrence de deux quantites complexes est compris entre la somme ct Ila diffcrence des modules de ces deux qulantites. Ce th6oreme a dcja ete6 etabli en algCbre (1). 11 decoule presque immediatement des considerations geomntriques qui precedent. Soient, en effel, deux imaginaires qui sont les affixes de leux points M et M' (fig. 53). La solmmie des deux imaginaires est l'affixe du point S tel que (OS) = (OM) + (OM'). OS est done le module de la somme et, d'ailleurs, conmme nous l'avons remarque, MM' est le module de la diff6rence des deux quantit6s. Dans les deux triangles OSM et OMM', on a: OM - OMS < OS < O + MS, c'est-a-dire: OM -- OM' < OS < OMI +- OM'; et OM - OM' < MINM' < OM + OM'. Ceci demontre la proposition enoneee, puisque les longueurs OM et O0' sont les modules des'affixes de NI et M'. REMARQUE. - La demonstration pr6ecdente tombe en ddfaut lorsque les trois points M, M' et O sont en ligne droite. (1) Voir, dans mes Lecons d'Algebre, no 161, Th. I.

Page  255 APPENDICE. 255 Dans ce cas, deux dispositions de figure peuvent se presenter: 1~ (fig. 54, I) les deux points M et M' sont d'un m6me cote du point O; les deux segments (OMI) et (OM') sont de meme sens et on a: OS -- OM - OM', MM' = OM - OM'. Le module de la somme est egal a la somme des modules; et le module de la difference est dgal a la difference des modules. Les deux quantites complexes ont, dans ce cas, mmemn argument. Leur quotient est reel et positif. Car si on appelle -p et p' les modules et a largument commun, les deux affixes de M et 1M'sont p (cos a - i sin a) et p' (cos a - i sin a), leur quotient P- est bien reel et positif. -~"y 3y / / ' 0 - ' ' 0, de ina diff~Ience est ) al h la somme des modles., mltile impai de ii. Les arguments des deux quantites complexes different, dans ce cas, d'rn eltultiple impair de r:. Leur quotient est r6el et negatif. Car, si p et a sot le module et l'argument de laffixe de Mi, p' etant le module de l'affixe de M', 7 + a est une

Page  256 256 LECONS DE TRIGONOMETIIE. des determinaLions de son argument. Les deux quantites complexes sont donc: ( (cos a + i sin a) et ' (cos (7= - a) + i sin (: -- a))=- pl(cos a + i sin a). Le quotient - est bien reel et negatif. Nous retrouvons, ainsi, par une voie geometrique, toutes les particularites signalees en algebre. 187. Plrodlit et lquotient. - Th6oreme. - Le module du procdit de plusieurs quantilts complexes est egal au produit de leurs modules et l'argument de ce produit est congru d la somme des arguments des facteurs. 1~ Cas de deux facteurs. - Soient p(cos a + i sil ) et F'(cos a' + i sin ') deux quantites complexes, mises sous forme trigonometrique. Le produit de ces deux quantit6s est, en appliquant la regle de formation du produit de deux imaginaires (1), p(cos a +- i sin a) x Fp(cos a' -+ i sinl a'-,FF [cos a cos aC -- sin a sin ac +- i(sin a cos a' +- sin a' cos a)]. Or, d'apres les formules d'addition [38] et [39], on a cos a cos ac - sin a sin aI = cos (a - a'), sin a cos a' 4- sin a' cos a = sin (a 4- a'). On en conclut:? (cos a +- i sin a) X pF (cos (a - a i sinn c') - or [cos (ca - cc') +isin ( -- a')]. Le produit est ainsi mis sous forme trigonometrique, et, de la reciproqle du theoreme du n~ 183, il r1sulle que son module est pp', c'est-h-dire le produtit des modules, et que son argument est congru h la sonmme a + a' des arguments des facteurs. 2~ Cas gdeneal. - Le theoreme s'etend, comnie en algebre (2), au cas de plusieurs facteurs. Soient a,, P,, o quatre quantites complexes. On a, en consideraint le produit capy comme le produit de deux facteurs apy et 8, ( ( |I ahy | = | a | 1 6 1, () arg (axsy.) ar (a[y) + arg (8). (1) Voir, dans mes Lecons d'Algjbre, le n0 158. (2) Voir, dans mes Lecons d'Algebre, le Th. II du no 161.

Page  257 APPENDICE. 257 Puis, de mieme, en considerant ac3y comine le produiit de ap par y, ( ( a!T i = I! ' I ', arg (a3:y) ar-g (a3) + arg (y). Et, enfin, ( I a, i * I, (3) ( arg (ap) ar a) arg (). Des trois couples d'6galiles (1), (2) et (3), on conclut: I,r- = I I I * I I S et arg (ay) -o- arg (a) -+ arg () ( + a (y) a (8); ce qui etablit la proposition dans toute sa -eneralitL. Corollaire. - Le module de la puissance mi'll" d'vne qucntite ilmainaire est dqal d la puissance mi"nC de son module. L'argument de cette puissance est congru d m fois l'argumeznt de la quantite imaginaire. II suffit, en effet, d'appliquer le th6oreme prec6dent h un produit de m facteurs tons 6gaux entre enx. Th6or6me. - Le module du quotient de deux quantites imaginaires est egal au quotient de leurs modules et l'argument est congru (t la dcifference des argunments des deux termes. Soit, en effet, y le quotient des deux quantites imaginaires a et P, comme a-= 1'y, on conclut, d'apres ce qui precede, ia = 1 P i |' Y et arg(a) - arg(f) + arg(y) et, par suite, yI Y I - e 1 et arg(y) - arg(a) -arg(). EXERCICES 84. Mettre sous forme trigononmtrique les quantites imaginaires suivantes: G\ +1 I i G.3 i 1-i 2 2 2 2' 1 i 85. On consid6re les deux imaginaires a + bi et x + yi. La premi6re est fixe et la seconde varie de facon que I x + yi - a - bi = p LESONS DE TRIGONOMIETRIE. 17

Page  258 258 258 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIlE. p 6tant uLn nombre positit donnfl. Quiet est le lieu d~erit par le point clont x -[ gi est laffixe? 86. Soient Al et All deux points dont les affixes sont x + yi et x' ~ y'i. k fitant 'Ln nornbre fixe donn6, on suppose que Al1 et Ml' soient tels quie (x + yi) (x' ~ y'i) =- k. Lorsque Al d6crit une droite, quel est le lieu de Al"? Lorsque Ml d~crit un cercle quel est le lieu do M'l? Plus g~ nfralement quelle est la transformation d~finie pal' cette relation? MWines questions en. supposant que, d'une facon plus gcn~rale, los affixes do(le oe Al' soient lifies par Ia, relation a (x +I yi) (x' ~ y'i) ~ b (x -V yi) + c (x ' y'i) -V d =0, a,) 6, c, d 6tant quatre nombres fixes. 87. Soient Al et Ml' les poinlts repr~sentatifs de deux imaginaires; P le point repr6sentatif du produit de ces deny. imaginaires. Prouver que Ii ox~oM A- oxIoMF _ ox oP; 20 Si I est uin point pris sur ox tel quo 01 =+ 1, los deux triangles 01T1 et WHIP sent senmhlables. ftnoncer et d6montrer los propositions analogues pour le quotient. 88. Soient al, 012, 013, a.,,, n quantit6s complexes fixes ot z x + gi une quatit0 variable. E tudier Ia -variation do largument du produit Iorsque le point repr~sentatif do z d~crit uine ceurbe. fermiie. On distinguera plusiours cas suivant quo la courbe ferm~e (quont supposera avoir une forme simple comime cello d'un cercle ou duLne ellipse) entoure un ou plusiours des points dent los affixes sent a,, 03,..., CHAPITRE I I FORMULE DE MOIVRE. ADDITION, MULTIPLICATION ET DIVISION DES ARCS i88. Additiotn. - La reprdsentation trigononmdtrique des imaginai-res et, en particulier, le thdor6rne du no 187, vent nous permettre d'dtablir par une nouvelle voie, tre's rapide, los formules geinerales d'addition ddmontrdes dans los nos 79 5. 81. Consicd~rons m quantit6s imaginaires soient PI, ~ 2, *.* Pm leurs modules, ocr, a~... aM, leurs: arguments. D'apr~s la proposition dn no 18i, le module do leur produit est FP02..p, et l1argument do ce produit est

Page  259 APPENDICE. 259 congru a - + +... + -; on en conclut 1'egalite fondamentale que voici [661 p (cos oq - i sin a) X p(cos a i sin ) X.. X p, (cos +- i sin 7,) -- p. p,[cos( q- + - -- 0%) +i sin(o q + '.. + q-)x = Pi1 * * * P,~ [COS (al + a2 +... -t Oj) + i sin (0+ T a3 t.*. + a,,] En particulier, on a, en supprimant, dans cette 6galite, les facteurs Pl P21, p ' P,,l [671 (cos a, - i sin,cc) (cos a2 -+ i sin a.)... (cos al -- i sin a,) COS (ai - a. +.. +. al. 4i sin (+ + a ). Ddveloppons le premier membre de cette derniere 6galite, et egalons, dans les deux membres, les parties reelles et les parlies imaginaires. Pour faire commod6ement ce ddveloppement, metlons le produit cos a, cos a... cos en facteur, et d6signons par P le premier membre de 1'egalite [67]. Nous aurons: P -= cos a, cos a.,... Cos a (1 +- i tg a0) (1 -' i tg a.,)... (1 + i tg ).* I1 nous resle a effecluer le produit Q: OQ =-(i4 + i t.t ) (t - i tra)... (i i tg. Or, d'apres la r6gle de multiplication des sommes, ce produit est egal a la somme des produits partiels obtenus en prenant, dans chacuu des facteurs, un terme et un seul. Ces produils parliels sont de diverses natures: 1~ Nous obtenons un premier produit partiel en prenant 1 dans chaque facteur; ce qui donne 1. 2~ Nous obtenons une seconde categorie de produils partiels en prenant 1 dans ( - 1) faccteurs et le second: terme dans le facteur restant. Ces produits serolt: itgal, itJ a,.. it et leur somme est iT1, en posant T, = tg,- I +...+ tg. ta, 3~ Consid6rons, en troisi6me lieu, les produits partiels obtenus en preiiant 1 dans (n - 2) facteurs et- les seconds termes dans les facteurs restants. Ces produits seront: ia tg a tg:, i tg a1 tg a,.... 2 t a tg, t r a,..., et leur somme est i2T2 en d6signant par T' la somme des produits deux i deux des m tangentes tga1, tga2,... tgoa: 1 = t-gai tga + tta + tg a3 tg,4-... + tga1 tga 1 a...

Page  260 260 LECONS DE TRIGONOMET'rIE. 4~ Plus generalement, considerons les produils parliels obtcnus en prenant 1 dans nm - facteuts et les seconds termes dans les p facteurs restants; et cela de toutes les manieres possibles. Nous obliendrons des produits partiels dont la somme sera i2' T,, en designant par T1 la somme des produits p a p des m tangentes T = Ir a tg a.... tg a +.... 5~ Enfin, le produit de tous les seconds termes des facteurs de Q sera il tg ca tg2.... tg - a,, - T. Nous aurons done, finalement, Q = 1 + i T, 4- i2a T2 -- i T3+4 'i, +....+ il T,,. En tenant compte des egalites j2 =- j, i: 3- i, i" = 1, i - i,.... le produit Q prend la forme Q i 1 4 - i ' T- iT3 + T, + T; --..... Separons les parties reelles et ]es parlies imaginaires, multiplions par cosa c os aO... cos al, et nous avons l'expression suivante du developpement de P: P =cos a. cos C... cos a,, [I - +1' T -.... - i COS a.l COS a.... COS a, [T- T3 + T -... En vertu de l'egalite [67], on a P = cos (a.- l 4-~... 4 -+ ac) + i sin (a, + a%... 4- a, ); si done on 6gale, dans ces deux expressions de P, les parties r6elles et les parties imaginaires, on parvient aux formules gen6rales d'addition donnees au n~ 79: [a] COS (1aj +... + - Ca) Co.. CO a,, [1 - '2 -+ T. -....1, [P] sill(a.l + Ca2 +.. +- a%,) = cos Ca cos OC... cos a, [Tl, - T3 + T —.. ]. On en d6duit, par division, [18 tg (a, + a, - + - - M - 4 ) = Ds- T. -*.. [y] -... IJ I- T2, +T,...... 189. Multiplieation. - Formule de Moivre. - Dans l'egalite [66], qui donne le produit de m imaginaires, supposons que ces m imaginaires deviennent 6gales et faisons Pi1 P2 =? P' Ci = 2 - ' = a =.

Page  261 APPENDICE. 261 La relation devient: [68] [p (cos a + i sin a)]"' = 2p (cos ma + i sin ma), egalile qui d6coule, d'ailleurs, directemeiit du corollaire du no 187. Si, dans l'egalite [68], on divise les deux membres par p", ou si 1'on fait p =1, on obtient la formule connue sots le norn de formule de Moivre: [69] (cos a + i sin a)" = cos ma +- i sin m.a, dans laquelle m designe un entier positif. RENIARQUE. - 11 est facile de montrer que la formule de Moivre s'applique encore au cas d'un exposant entier, mais negatif. Soit, en effet, m un entier n6gatif; posons m= - m', m' sera un enlier positif et, d'apr6s la formule [69], on a: (cos a +- i sill a = cos m'a -+ i sin?im's., d'oi: 1 I (cos a + i sin a)m_ -- (cos aC + i sin a) (cos a + i sin a)" cos m'ac + i sin in ca Multipliols les deux termes du dernier rapport par la quantitl cos 2mca - i sinm'a., conjuguee du dcnominateur, et remarquons que le denominateur devient: cos2 7n'C + sin' m'a = 1. Nous aurons: (cos a -a- i sin a)" c= s?m/a - i sin m '.. En observant que cosa = cos (- m'c) -= cos ma, sin ma = sin (- im') = - sin m'a., celte derniere egalite s'ecrit, enfi), (cos a + i sin a)"' = cos m. +- i sin ma, ce qui etablit l'exactitlde de la formule [69] dans le cas d'un exposant enlier negalif. 190. - Formule generale de multiplication des arcs. -De mnene que nous avons d6duit de l'6galite [67] les formules gen6rales d'addition des arcs, nous obtiendrons, en developpant les deux membres de la formule de Moivre, les formules de multiplication

Page  262 9212 I LECONS DE TRIGONOMETRIE. Rappelons, h cet effet, la formule connue sous 1e nom de binome de Neiuton(J), qui donne le developpement de (a + b))" suivant les puissances de a ou b. Soient m et 2p deux entiers quelconques, p etant au plus egal a m, on designe par C2) ]a quantite suivante: ' mn (mn - ) (7n - 2)..... (m - p- 1) 21 1 *2-3.......... p qui est le quotient du produit do p nombres entiers decroissants a partir de m par le produit des p premiers nombres entiers(2). On a, alors, l'egalite que voici: 1 + 7 \ m -'- Ib - - C 2 am-2 2 3- Cn C3 b-3 b ' - (a + b)i = a ct - a Cm a C.....+ C -T bC Si on remplace ]es coefficients C, C2,... par leurs valeurs, on a encore: (a - b) = +1 -2 + rn(m- )a 2s nm(ml)(m-2) i-3 b ~(,l-F b)"~ —= a")+ - a1.2 1.2.3 +..... abi 1 + b+ " et il est facile de v6rifier que les coefficients des lermes a egale distance des extremes, ant ct b", sont egaux. Ceci pos6, appliquons cette formule au d6veloppement du premier membre de la formule de Moivre [69], en posant: a - cos a, b = i sin a, et nous aurons: (cosa A- i sin a)"L cos Al a + C Cos1- a sill a +- iC Cos -.a sin..3 3 -3. 3.ls < i-4. I. + i'C' cos2't oc sin a oC- C^ cos a sin a +.... Remplacons i2, i3, i4,... par leurs valeurs - 1, - i, 1,..., s6parons les parties r6elles et imaginaires et il vient: (cos c +- i sin a)"1 = cos ' — C,2 cos.2 sin2 - C cos a sin,-.. +( [C, cos' aSina-C3 O sin - C+ os in (1) La formule du bin6me de Newton 6tant expos6e dans tous les Cours de Mathematiques spdciales, nous croyons inutile de l'etablir ici. D'ailleurs, nous l'avons proposde plusieurs fois sous forine d'cxercice dans les Lecons d'Algebie eledentaire. - Voir, c ce sujet, les exercices 25 et 166 de ces LeQons. (2) C est le nombre des combinaisons de in objets p A p.

Page  263 APPENDICE. 263 Or, d'apres la formule de Moivre, on a aussi (cos a -t- i sill a)"1 = Cos n m + i sin mra, on en conclut, en comparant ces deux egalites, celles-ci: [70] cos mg - cos5' - C cosa = CO sin a + C cosL "a sina -... I in - 1 m-. * 3 1-3 3 1-. [71] sni maC = cos"'.sin a-G cos a sn a —Ca cos ~ sin a-... qui sont les formules generales de multiplication des arcs. En les divisant, membre a menmbre, on a tgmn: C1 Cos?2^ sin a - CM cos9 a sin a C11 Cos ~~a sin a -... tgm~ m 2 n-i 4 m. - tgma= coS C2 Cos co1-a sinl2 C4 C ios- sia S -.. Dans cette derniere fornimule, divisons les deux termes par cos "., il vient, enfin, [72l] t - I a- g C tga + C tgOa- [72]tg ma i --- = "a --- a IEcrivons encore les egalites precedentes en remplacant les coefficients C? par leurs valeurs: m n(m- 1) n in-2 2 [70bis] COs ma cos ac 1- cos a sin a, m (m -1 ) (m-2) (m- 3) -COS1L4 4in 41*2*3*4 - cos a sin - mn mi(mn — 1 ) (?n-2) (mn- 1) (m-2) (m-3) ( 2-4) 3 191. Exemples. - Appliquons ces formules a quelques cas simples: 1~ Prenons m = 3, nous aurons: cos 3a = cos as - 3 cos a sin a, sin 3a c 3 cos2a sin ac - si Enn -2, '1 -3 t ' formules que nous avions djux tronuves au nl 84. En remplacant sin c

Page  264 264 LECONS DE TBIGONOMETRIE. par 1 -cos a et cos 2 par 1 sin2a, les deux premieres s'ecrivent: ( cos3a =4 cos 3a-3 cos a, 7 i 3 = 3 sin3 3 i a 4 sin 3. 2~ Prenons m=- 4: cos 4a CS cos. - 6 cs 2a sin 2a 4 Sill 4a, sin 4a = 4 cos 3a sin a - 4 cos sin a tg4_ — 4tga- 4g 1 a -6 t g2a + -t 1-a On peut encore remarquer ici que cos 4a pent s'expriner rationnellement en fonction de cos a seulement: cos 4a = 8 Cos4 - 8 cos2a -- 1. C'est d'ailleurs la nil fait gen6ral. La formule [70] ne contient que des puissances paires de sin a; on peut done, en y remplacant sin2 a par I - cos a, exprimer rationnellemenl cos ma en fonction de cos a, seulement. Lorsque m est impair, la formule [71] ne contient que des puissances paires de cosa; on pent donc, dans ce cas, exprimer rationnellement sin ma uniqerment en fonction de sin a, comme cela a eu lieu pour sin 3a. 192. Division. - Le probleme de la division des arcs est lesuivant: Connaissant les lignes de I'arc a, calcller ccllcs de l'ar on des arcs -. Nous avons donne, au n~ 85, la marche ge6nrale a suivre pour resoudre ce probleme; puis, dans les numeros suivants (86 a 90), Inous avons traite les cas elementaires oi le diviseur nm tait de la forme 22. Mainlenant que nous poss6dons les formules g6n6rales de multiplication des arcs, il noUs sera aisd d'aborder le cas g6neral. Nons 6tudierons d'abord le cas simple de la division par trois. 193. Triseetion. - Probleme I. - Connaissant co0 a, calculer les lignes trif/onometriqnts d e 'arc. 3 ];crivons la premiere formule [73] du n~ 191: cos 3 = 4 cos3 a - 3 cos a, (I. et, dans celle formule, faisons a - 3; il vient: (1) 4 cos,3 3 cos -- cos a = 0. Nous avons ainsi, pour ddterminer cos -, une equation du troisi6me 0

Page  265 APPENDICE. 265,degr6. Cette e'quation a ses trois racines r6elles et comprises entre - I et + I Substituons, en elfet, dans le premier nmembre, successivement, hc Cos les, normbres -1 I nous trouvons ]es r~sulltats suivants 2' 2'2 pour- I - I-c CSa <0, POU1, I-Cos a~ 0, Pour - I-cos a -( 0, L'alternancc des signes cle ces, quatre r~sultats do substitution nous ci ~~~~~~~~~~~~~~~~t prouive (1) qusil 3y a tine raciniie, en cos ~- comprise entre - I et - - n autre entre — et - et, tine troisi~,me entre -et 1. 11 y a donc trois 2 2 2 a vale~urs acceptables pour co s 3~~~~~~~~~( L'6quation (I) nayant pas de terme en cos32 l a somme al-6brique do 3. ces trois valeurs est nunle. a s ai Connaissant cos ~,on ali a a forniule a./ ~~~a sin - 1 -Cos 2 11 y a six valeurs, deux it deux 3(ae td inscnriepu i clone, aussi, six valeurs pour tg-a Ces r6sultats sont faciles htex.pliquer. Ce qlue nous connaissons. ce nest pas a, c'est cos a. Le'qcuation (I) nouis donne doric les cosinus des tiers de tons Jes arcs ayant i~ne'le cosinus, que a. Or, ces ares sont compris dans la form ule [23] 2 k7- ~- a. Les tiers sout done donn6s par: 2k/a a 3 3 (1) Cette, proposition risulto dc ce fait qunune, fenction continue no pout passer dune valeur n6gativo A5une valeur positive sans passer par la valeur intermn~diaire zdro. Un polyn~me entier ne penmt donc changer do signe sans s'annuler. (Voir dane mes Lecous5 dIAlgebre lo no 115, p. 332.)

Page  266 266 ~~LECONS D)E T1RIGONOMJMIRE. Nous allons montrer quo tous ces arcs on'ot quo trois cosinus difV~rients. En effet, si/c est multiple de 3, h A 3 h on a: 2 Ah37 + 'I, coss(=Th~ - = cos (2/ + I =Cos Sni, si es t u n multiple tie 3 molus I, k = 3h - I, ccs deux derni~res vale urs sont 6-ales aux deux pr~c6dentes. Ii n'y a donc bien, eui tout, ciue trois valeurs pour les cosinus Cos -, Cos + C)os En reinarquant quo it est facile do vY~rifier que la somme des trois valeurs est nulle, car on a ~ faire la Somme do trois cosinus d'arcs on progression arithmtitique (voir no 92). Los sinus out six valeurs, deux ht deux 6gales et de siguoes contraires, ~sin 3, ~Sill(3~ )3 -sin( 3 j) On pout encore v~ritior ces r~sultats par une voie- g~ome'trique. Pour cola, faisons une remarque pr~lirninaire. Consid~rons (fig. 5ii), sur uu cercie orient6, tous los arcs AM d'origine A et d'extr6mit6 M. Prenons le tiers do Fare g~ome'trique AM et soit AN cot arc. Los tiers do tous los -arcs AM sont termnin6s, on lun des trois points N, N1 ou N2 qui sont los sommots d'un triangle 6quilat~ral inscrit dans le cercie dont un. des

Page  267 APPENDICE. 267 sommets est N. Le tiers dui pius petit arc positif AM est, en effet, terminin en N. Tous, les autres arcs AM se d~dui-M sant dii pius petit arc positif en luii ajoutant on retranchant un. nonmbre entier de circonf~rences, les, tiers de ces NN arcs s'obtiennent en ajoutant ou. retranchant 'a F'arc AN un inonibre entier de A tiers de circonfdrence. En ajoutant tin premier tiers, on obtient lle point N,1 puis, en a joutant un second tiers, on parvient en N,; enfin, en ajoutant tin troisikyie tiers, on revient en N. On repasse ensuite successivement par N,, N2 N2 et N. F IG. 5 6. Ceci pos6, soit, sur le cercle trigonometriqie, A une origine choisie arbitrairement pour les arcs; ox et oyles FIG. 56. axes des cosinus et des sinus relatifs, i cette origine (fig. 56).Prenons, sir ox, OP= cos a,

Page  268 -2 68 '268 ~~LECONS DE TLRIGONOMETIRIE. 4t, en P, 6levons une perpendiculaire ht ox qui coupe le cercie en M et Al. Touis les arcs d'ori-ine A, admettant pour cosinus OP, sont terminds en M on en MiI'. Soit N l'extrdrnit6 dn tier's du plus petit arc positir AM; d'apr~s cc que nous venous de dire, les tiers des arcs tePrnin~s en M auront leurs exlr~mit~s en I'un. des trois sommets du triangle 6quilatdral NNN,. lPrenons le synmhtrique N' du point N par rapport 4 ox; il est clair que FLun des arcs termin~s en MI aura pour tiers uin arc termin6 en N'. Les tiers de tonis les arcs terrnin~s en MI seront done termnin4s en l'un des sommets du triangle e'quilat~ral N'N'1N',. Les deU X triangles 6quilate'raux NN 1N, et N'N'N1N'9, ayant un premier couple de sommets, N et N', symdtriques par rapport tt ox, sont 6vicleinment synitriques par rapport it ox. 11 en r~sulte que ]es six sommets de ces deux triangles se projettent, deux par deux, aux rndres points sur ox et en des points sym~triepies par?rapport a0sur oy. II ny' a donc qUe trois valeurs OQ, 0Q1, OQ.9 pour les cosinus if v a six valeurs 6gales et do si-iies contraires, deux t (leux, pour los sinus. On pourrait encore vdrifier que Ia somme des trois cosinu]s est nulle JQ -H ()1 + 0Q2 0.O En e fletL, comme il est ais6 de le d~rmontrer, levcer O)et gle directement oppos6 a la rdsultante des deux vecteurs (ON,) et (ON2). On a donc, en proje~ant sur un axe quelconcjne, proj. (ON ~ proj. (ON,) ~ proj. (ON2) - 0. 11 suffit de projeter sur ox pour obtenir la relation pr~c~dente. En projetant supr oy, on en concluerait qUe la somme des sinus des arcs AN, AN,1 et AN2 est 6galernent unIe. 194. Prob1~me Il. - Connaissant sin a, calcutler les licines triqonomdtriqztes des arcs a a Dans la deuxi~rme formule (73] (no 191), faisons, 1 nons obtenons IFequation (2) 4 sine -- 3 sill 4- sin a = 0, 3 3 qui donne sin I, connaissant sin a. Cette 6quation a exacternent la medme 3 forme que 1'6quation (1) it laquelle uouLs a conduit le probk~me pr~ce'dent. Les conclusions sont donc tou.tes se-nibhbles. On trouve Lrois valeurs pour sin - dont la somme est nulle; et six valeurs, exi ex~ae td signes contraires, pour Cosa

Page  269 APPENDICE. 269 Ces r6sultats s'expliquent comme precdcemment. En particulier, dans l'interprltation geometrique, on trouve encore que tous les tiers des arcs ayant memne sinus sont termines en six points qui sont les sommets de deux triangles equilat6raux symitriques par rapport a oy. Ceci tielt, au 2 a at fond, a ce que les deux arcs -- et - sont supplementaires et, 3 3 3 par suite, que l'un des sornmets de 'un des triangles est sym6trique d'un sommet de lautre. Nous laissons au lecleur le soin de faire ces discussions. 195. Probleme III. - Calculer les lignes trigonometriqzces des arcs 3' connaissant trl a. lEcrivons la formule qui donne tg 3a en fonclion de tg a (n~ 191): 3 t gc - tga tg 3a - ' 1- 3 tg2 a a et, dans cette egalit6, faisons a = 3. Nous oblenons, apres avoir chasse les denominateurs, l'Uquation a ca ( (3) tg3 - 3 cgatga - 3 tg tg a- 0, r 3 3 n 3 3 a qui donne tg - en fonction de tg a. 3 a Cette equation a trois racines reelles. Substituons, en effet, a tg, dans 1 1 le premier membre, -oo, —, - et 4- o: on0 salt que, si ion V3 V3 substitue, dans le premier membre d'un polynnme entier, un nombre tr6s grand en valeur absolue, le polynome prend le signe de son terme de degre ]e plus eleve (1). On a done: pour -oo le signe - pour3 ' —: -4 --- _, qui a le signe - \/3 3v3 /3 pour + co l e signe +- L'alternance des signes de ces substitutions nous prouve que l'6quation (I) Voir dans mes Lecons d'Algebre le no 113, Application II.

Page  270 270 LECONS DE TRIGONOMETRIE. a trois racines reelles: une premiere plus petite que —; une seconde I I3 comprise entre -- et; e troisieme plus grande que - \!3 3 \3 II y a done toujours tro s valeurs pour t~. Connaissant ces valeurs, on aura, facilement, cos et sin l par les formules: a a 1. a "3 cos - +- si- t ----+ 3 a 3 \/i1 + tg'-;V1 + t, - It y a done six valeurs, deux a deux egales et de signes conlraires, pour le cosinus; et de memne pour le sinus. Ces resultats etaieit faciles a prevoir. Tousles arcs admettant ineme tangente que lare a sont, en effet, compris dans la formule [25] Ai 4- -a, oti k est un entier, positif ou negatif. Les tiers de ces arcs sont done coumpris dans la formule A-II 3 3 Si k est un multiple de 3, A -- 3h, on a t + - - g (h - =3 t 3 Si k est un multiple de 3 plus 1, k= 3h -- 1, oli a 3t ( 3 3) - ( 3 + 3)- ) + 3) Enfin, si k est un multiple de 3 plus 2, A = 31 + 2, on a I g( + )= -tg (i/e + 3=) = tg ( -- ) - I1 n'y a done bien que trois valeurs pour les tangeintes de tous ces arcs, qui: solt: 3, t (3+ ) t;, 3 33 + 3a

Page  271 APPENDICE. 2-11 APPENDICE. 271~~~~~~~~~~~~~~ On verrait, sans difticulty, quc chacun des trois cas precedlents donnedeux valeurs e'gales et de signes contraires pour les cosinus et pour le s sinus. GUomftricjuenmuiet, voici Coullucut [es r~sultats s'interpre'tent. Soit A. Lin point pris, sur le cercie trigonomk~rique, pour origine des arcs; tPt Faxe des tang~entes relatif aux arcs d'origine A. Preiions, sar Pti (fl ), Aki = t g) a et joignons T au cen-tre 0 d-a cercie. Cette droite coupe le cercie en deux Fin. 57. points, diani~tralement oppos~s, M et M'. Tous les arcs cjui adniettent AT pour tangente souL termin~s en M ou All. Soit N l'extr6mite' du tiers du K>-" plus petit arc positif AM;- les tiers de tons les arcs termiines en M ont pour extrimit~s les sommets d'un triangle 6quilat~ra1 NNJN.. Ceci pos6, rernarquons que, si a est Jun des arcs terrnitis en M, a +I 3n aura son a a extr~rniit6 en MI et les tiers de ces deux arcs,- qui sont et a + n, auront 33

Page  272 LECONS DE TRIGONOAMETrRIE. leurs extr~mitis dianm~tralemieut oppose'cs. Le point N' dian.6tralement oppos6 h N est douc l'extr~nite' du tiers de lFun des arcs AM'. 11 en r~sulte cjue les tiers Ici tons les arcs AM'1 sont. termiin~s aux sommets d'un triangle N'N'1,N', syni~trique du triangle NNN, par rapport aLn centre 0. Les tiers cle totUS les arcs qui admnettent AT pour taug~ente sont donc termiti~s aux somimel~s d'un hexagone r~gulier N N2' N1 N' N2 N'.1 inscrit daus le cercie. Ces six points ktant deux a deux dianitralemeiit opposes, ii y a trois valeurs poar ]es tangentes; et, respectiveinent, six valeurs, deux h deux 6gales et de signes contraires, pour les cosinus et les sinus. 196. Remarque. - Dans les trois probl6mes prk6cdenls, noues noues sot-tmes propos6 de rechercher les lignes de tozs les arcs qni sont les tiers de ceux. qui admieteteut une ligue donn~ e. Si on sp~cifiait celui des arcs dont on vent calculer le tiers, il faudrait, parmi les diverses, solutions, faire -un choix. Ce choix sera tou'jours facile a faire, car on pourra toujours pr6voir aisement quel. est Ulatervalle daus leqUCI se trouve la racine ch erche'e. E'n effet, dlans le cas des deux premtiers problmes, les racines sont s~par~ies par les nonmbres et -.Or (No 7-2), - Cos - Sill2 37 6' II niy aura donc qn'h comiparer lare dont on cherche les lignes a - et - h - et -. 3 ou 6 6 Dans le cas oft on donne la tangente, les racines de l',quation (3) sont I separ~es par ~L Or) tI g il sufdra done, dans ce cas, de comparer Farc a -et 6 6 Voici des exemiples de ce genre, EXEMPLE I. - Sachanit que cos - ecalciler Cos - 4 2 1 2 Posons COS =x; d'apr~s le probI~me I du no 193, x sera racine de 1'6quation 2'

Page  273 APPENDICE. 273 Cette equation a pour solutions r. 1^, \ 7 r. /27.\ COS -) COS os cos 3 — Or, comme on a: O < <, il en r6sulte que > cos~ >2 - II faudra donc prcndre celle des trois racines qui est comprise entre I et. Ces trois racines sont faciles a calculer. En effet, on a:,2r;. r\ 37: A/2 3 2' c 3 2 4= 2 I.'quation doit done admettre une premiere racine 6gale a - 2 Elle s'ecrit, alors: (+;-2) ( - ) =- 0. Les deux autres racines sont done donnees par l'equation da second degre:~ 4x2 - 2 V2- 1 = 0, et, pour avoir cos, il faudra piendre la racine positive. On a done, finalement, V+Y6 12 4, EXEMPLE II. - C(lculer tg t, sachant que 24L' tg = \/2- 1. Posons tg -= x, et appliquons ici l'equation (3) da ni 195, nous aurons l'6quation: x3 - 3 (Vt -- 1) x2 - 3 + / 2 - \ 1 = 0. LECoNs DE TRIGONOMLIATRIE. 18

Page  274 ~27~~4 LECONS DE TRIGONOMETRIE. Cette equation admet pour racincs:.7: 2r 7, \,3 r rr. tc t) = tgg, tg g)= 't2 " 2 3 ' t g 24 Comme o<4< 0 < < 6'' on a: 7'. ~ \/3 n< ) 4 < 73 I1 faut done prendre la solution positive plus petile que-. Or, 'une des \V3 solutions de l'equation est connue, c'est tg \/-I. L'equation s'ecrit, alors, ( -- /- i) ta 2 (-9 V) 2 + 2 - 3] 0. tg - est done la racine positive de l'equation: 24:,; + 2 (2- k/2) x + 2\ 2 - 3 = 0. On en conclut t = \2- 2 + V\9 6 /2. On a d'ailleurs, d'apres une transformation connue, V/ -6>6 2 =/6 - '3, et, finalement, tg 24 V+ V6 - V3 -- 2 197. Cas gfeelral. - Probleme I. - Calculcr les liones trigonomctriqztes des a)cs -, connalissant cos a. m Dans la formule [70] du n~ 190 qui donne cos)ma, connaissant cosa et sin a, faisons = -- et nous obtenons 'equation: (t 2 m-2 a. 2 Cl (t F )4 m-1- a a (1) cos -- Cos - sil + C Cos -si —..... COS a, Pt n m m m m m '

Page  275 APPENDICE. 275 qui, jointe a la relation (t a cos2 - sil -- 1, 12 112 m a permet de calculer cos - et sin -. Posolns a (t COS - - X nous aurons sin.2 -a - x et, en portant ces valeurs dans l'egalite (1), nous oblenons finalement, ( _2) x ' -C,2 (-; )-, - ) cos ' O. (2) x m E(l -~) +I cl ' (t- )._...-cosa=0, qui est une equation de degrd m en x. Cette 6quation a m racines reelles comprises entre - 1 et +-. Pour le verifier, subslituons, dans le premier membre, ia x, successivement les (m - 1) nombres: 7 27 (m -1) x 4, cos -, os -...., cos 1. 1n in 12 II est facile de voir que deux nombres consecutifs de cette suite donnent des resultats de substitution de signes contraires. Si on remarque, en effet, qu'en vertu de la forrumle [70], on a: mP^ p 2 Ca - 2~ pc 2 PC 4 n m-~ px p,.pr: COS- C CO Sios si2i Cos -sin(*,In i2 m 122 122 m In = cospT; = (-1)2, on en conclut clue le resultat de substitution de cosp- a x dans le m premier membre de (2) est: (- 1)' - cos a et, par suite, a le signe de (- 1'. En faisant, successivement, p 0, p = 1, p = 2,... p = - 1, p= m, on a les m 4 1 r6sultats de substitution des 1m + I nombres prdecdeuls qui, par suite, sont, altelrnativement, des signes (+) et (-). II en resulte que, danls cllacun des intervalles 1, cos, coscos, Cos Cos M\ in \ / in m il y a une racine de l'Nquation (2). I1 y a done bien n racines acceptables

Page  276 276 LECONS DE TRIGONOMETRIE. pour x; done ri valeurs pour cos -. A ces m valeurs, correspondent 2mn valeurs pour le sinus, egales et de signes conltraires, donnees par Fl'galit6 Si - C - -cos2 -. par suite, 2m valeurs pour la tangente. Pour expliquer ces r6sultats, faisons d'abord la remarque g6enrale suivante, qui nous sera utile dans les deux probllemes que nous traiterons ia la suite de celui-ci. N3 Considerons, sur un cercle bN,~,^^: oriente (fig. 58), tous les arcs // N1 AMN d'origine A et d'extremitd MN/X~~~,\ M1. Marquons l'extremitl N de la mini'" parlie du plus petit arc positif AM. Les extremites / IA I f A de tous les arcs - AM sont les so es u polygoe rgu ~~~~~~\ / ~somlmels d'un polygollone regulier convexe NN,NN3... de m \ /m-2 coles, inscrit dans le cercle, et dont le premier sommet esl N. Soit, en effet, a le plus petit \//;' are positif AM. Les diverses d - FIG. 58. terminations de lare AM sont a, a - 27, a 47:, 'a -- 67r, etc., et les mi'e"es parties de ces arcs sont (t a 27: (a 47: a 6: -, - ----- -, -- ec. i1n in? mi in M ilt in 2n a. a 27 L'arc -est termnin6 en N. I extremilt de f'are-+- s'obtient en prein in In nant un arc NN, egal a 2 c'est-a-dire a la inm*" partie de la circonference. Pour avoir l'extrmitile N. de 1'ar -- il fauau aimeltter l'arc 27 pricedent d'un arc N1N.2 egal encore a; et ainsi de suite. Au bout de m operatioels, oln revient au point N et le polygone NNN2... est evidenmient un polygone regulier convexe de im c6ls, puisque les arcs sous-tendus sont dgaux, chacun, t la laiznml partie de la cilconfe'rence. Ceci pose, soil, sur un cercle trigonometlrique 0, un point A pris pour

Page  277 APPENDICE. -, 7 origine des arcs (fig. 59); ox, oy les axes des cosinus et des sir'ius relatifs a ces aircs. Preno us, Sur ox, OP =Cos a, et 6lcvons, en P, une perpendiculaire Cia ox qui coupe le cercie en M et M'. Soit N 1'exturnmit6 de la mi~,lc partie du plus petit arc positir AM; le point N' FIG. 59. symn~trique de N par rapport 'a ox, sera. evidemmrent 1'extr(",mlit6 de la miem)e partie de F'arc n6gatirC AM' de plus petite valeur absolie. Les extre'mite's des mimsparties' de tous les arcs termin~s en M et MI seront donc, les sommrets de deux polygonies r~guliers convexes de m cot~s NN1N2. N'N'1N'9)..., inscrits danis le cercle. Les deux sommets N et N' Mtant synmhriclues par rapport At ox, tous les sommets de ces deux polygones sonL, deuex 'a deux, symktriques' par rapport h ox; its ou~t donc, deU.a deuix, snemes projections sur ox et des projections sym~triques par rapport a o sur oy. 11 n'y a donc ptie m valeurs pour les cosinuis des arcs terrinius en N, N1, N9,. N', N'1, N'9,..et 2n -valeurs, deux hi deux egales et de signes contraires, pour les sinus.

Page  278 278 LE(CONS DE TRIGONOMEITRIE. On aurait encore pu interpreler les r6sultats de la facon suivante. Les minimes parties de tous les arcs ayant meme cosinus que lare a sont compris dans la Iormule 92k7 a - 4 — ofi k est un entier, positif ou negatif. Si k est un multiple de 'm, A = hm, on a: /2i7; c\ aN 7 a\ a cos ( ~ -. cos /t COS - sil - 2r +- -- silln \ m 2)/ \ ) 1)m 'Si A est un multiple de m plus 1, k-= m + h 1, on a 72A-; a / 2, 2 a\ 2r. a\ cos \ — - = cos 21, 4- + - = cos ( - - \ m m/ \ m m nm m ' /2ka ( 2. a\. 2r. a sin -(2 - sin 2h sin 4- + = sin i\ n \ ( m \~ ni I / Si k est un multiple de n plus 2, k = Ahm + 2, on a cos - ~-) =cos (2, + --- =cos ( \? m??X 1? m m/ i i2ki-6. - 4 \ /4~.a\ sin (L-k s+ -- = sin --- = sin t- - i\ m in \ imn mM / Et ainsi de suite; finalement, lorsque k est un multiple de m plus Im — 1), k = h+m -in-, on a: 2k r. a\ C/o 2, - 1)\7 ~ /2(n - )7 ao Cos ( - - ) = C = + ~ - =- - c- \ n m1 \ m m' m l72./27s: a\,. /-,2(?-l )7 \. /2fm — ):, \ 2_k_-r, a 2)(?n - 1)n (I 2(m — -n )= a sin s 2 2h m- + - -I = sin (( - )7 ) Pt I? M, in in 7?/ 11 semble, ainsi, qu'il y ait 2m — I valeurs pour le cosinus, mais il est facile de voir qu'il n'y en a que m differentes. En effet, p etant un entier positif plus petit que m, la somme des deux arcs: 2p1, ( et 2(mn-p) 7 a in i n m mi est egale a 2x. Ces deux arcs ont done mneme cosinus et des sinus egaux et de signes contraires. 11 y a donc m valeurs pour les cosinus qui sont: a /27s a N /47s a /2(in. 1, ~ COS -, COS -- - COS _ — +-... COS --- + - ); m' \m mJ \ m m, m m/

Page  279 APPENDICE. 2,.9 et 2m valeurs pour les sinus, It (2-2i a\ -4- (in -s 4 a.. /2r l a\,. / 47; -- -\. 2(m — 1)r. a\ ~ sin-, s sml - +3 Si- -4-), ~ sm. ~ 4 —...... + sln - ' --, m rn I nn \im ) l \in In/ deux a deux egales et de signes contraires. 198. Probleme II. - Calculer les lignes trigonomitriques des arcs -, ni connaissant sin a. a Dans la formule [711 du n~ 190, faisons O= - et nous obtenons l'6quation: (3) 1 Ca.a-3 a C3.,. 3a a o s - a a (3) C1 cos - si -- G cos -si 3- C cos2 - sin0 —? n / z m m m in m mi...-sin a = 0, qui, avec la relation a a COS 2 +Sill - permet de calculer cos- et sin-, connaissant sina. m in 11 y a, alors, deux cas a distinguer suivant la parite du nombre in, 1~ m est impair. - Soit m = 2m' -- 1 Dans ce cas, l'Nquation (3) ne contient que des puissances paires de a cos - et peut s'6crire: in C1 21)1' a at 3 2( '-i) a.;3 a +I (- 1)f Cm sin - - si a = 0. Posons, alors,. a sin — = in nous aurons cos — = I - t, et quaion (3) s, en, n ulipit l deu me res par et requation (3) s'6crit, enfin, en multipliant les deux membres par (- 1)"1 et intervertissant 1'ordre des termes, (I) — C -2( ) +. ( C x (I - () ) sin l a = 0.

Page  280 280 LECONS DE TRIGONOMETRIE. C'est une equation de degre nz en x ayant exactement la meme forme que 1'equation (2) obtenue dans le probleme precedent (1~ 197); elle a done m racines s6par6es par les nombres 7: 2r= (m- )r7: +-, coS -, cos. cos, — 1. II y a, par suite, m valeurs pour les sinus; et 2m valeurs deux a deux dgales et de signes contraires pour les cosinus donnees par la formule: Cosa -- COS- = ~Vi-a.2. 2~ m est pair. - Soit m 2Wn'. L'6quation (3) ne conlicnt alors que des puissances impaires, aussi bicn a (t de cos- que de sin-. Le premier menbre de cette equation n'est done a a entier ni en cos -- ni en sin-, et il faut necessairement faire une n m elevation au carr6 pour obtenir une equation enli6re. Cette equation s'6crit: (l I 2m'- 2 Cl. 3 2 '-2'4. a. t cos-C Cos -sin- -C cos -sin3 — -.. -14( -1) C l Cm - sina. Posons: a sin -=x, m par suite, Cos - = ~ 1 -a, et nous aurons (i4i ) 2)~ 1V){, " (I 1, — )f - C3 )l - 2..... +- I- T i"' Cx-l" -1 L~ = sin a. Elevons au carre les deux menbres, ce qui n'introduira pas de solutions 6trangeres, a cause du double signe, et nous obtenons, finalement, l'equation: C( - ) 2( 3 (I j21'- _ C (1 - 3 +..... +(-1) C- -1x -1] - sin2 a O, IlI

Page  281 APPENDICE. 281 qui est de degyr6 2m. en x. Eile a 2oi racines r~elies qui sout faciles h soparer. En effet, substituions Ai x, dasl2reirmmbe n0 p 6(ant un entier quelconique. Le r~sultat de substitution est, comm'e it est facile de le v~rifier, sin- - -Sill2 (I Lorsque p est pair, le r~sultat de substitution est 6gal hi - sin2 a, donc n~gatif. 'Lorsque p est impair, ce r~sultat est 6gai a I - Sjfl2 a cos2 a douc positif. Si done on substitue les (2'in — 4) nomibres d6croissants, __ __7 (2m - ]) 1,Cos, Cos, Cos9 Cos 2 les r~sultats de substitution seront, alternativement, n6gatifs et positifs, et it en r~sulte, qu'entre cleux nombres cons~cutifs de cette suite, ily a toujours, une racine de 1'6quation (ii). Comme x ne figure qu.'A des puissances paires, ii y a done toujours 2-m valeurs, deux hi deux 6gales5 et (le signes contraires, pour sin - Ii1 y a aussi a 2m valeurs pour cos -, car ai chacine valour de x ne correspond qn'une a valeur pour cos _ En effet, on a nmais le signe qu'il faut choisir devant le radical est dktermine' par le fait quo 1'e'quation (Pbis) doit e'tre v6rifi~e. Onl prendra done ce signe tel que le premier memlbre de cette 6quation soit du Sigpe de sinia. Onl pent remarquer quo Iorsqu'on change x en -x, le premier inombre do 1l6qualion (Pibi) change de signe. A. deux valeurs e'gales et de signes. contraires do x, correspondent done deux valeurs 6ga les et do signes a a contraires de Cos-, Par suite, la riner valeur pour tg- It n'y a done ilt~~~~~~~~~~~i que rn -valeurs pour les langentes. -Expliquons tons ces r~sultats. Soit A, uno origine, ehoisie arbilrairement pour los arcs. stir le cercle ti'igonlomktrique; oxc et oy, les ax-es des cosinus et des sinus des arcs d'origine A. Prenons (fig. 60 et 61), Sur og, un segment OQ egal h sin a et menons en Q la perpendiculaire 'a oy qui coupe le cerele on, M et M'. Tons los arcs dout le sinus est OQ sont termin~s, en NI et M'. Soit N 1'extre'mit do

Page  282 82 282 ~~~LECONS DE TRIGONOMETLRIE. la mi11 par~tie du plus petit arc positif AMNI Les M~mspriscetu c arcs termine's en M aurout pour extr~mnit6s les sommets d'un poly-one r6 Lilier de rn ciits, inscrit dans le cercie, NNN,.... Cela ktant, distiuguons deux cas 10 m est impair. -Dans ce cas, a Rtant le plus petit arc positif AM, I'arc mi,- - a est termin6 en Ml'. Les mime parties de ces deux arcs sont FiGi. 60. a a -et — et., par suite, sont tormin~es en des points N et N' (fwg. 60) sym&triques par rapport -h og. Tous les arcs termnine's eni MI ont donc pour mfi~nes parties des arcs terrnitis aux sommets d'un poly-one regulier demr c6t~s, NINAN.. symktrique du. polygone NN N2. par rapport h oy. Les 2m sommets des deux polygones. se projettent douc, deux par deux, aux memes points sur oy et out des projections deux it deux symn~triques par rapport it o sur ox. IL y a m valeurs pour les sinus et 2m valeurs, deux at deux e'gaies et de siguies contraires, pour les cosinus. 20 m cst pair. - Alors (fig. 61), il n'y a, dans le cas le plus g'n~i~aI,

Page  283 APPENDICE. 283 aucune relation de symetrie entre les deux polygones NN1N,... NN'N'... par rapport aux axes ox et oy. Les 2m sommets des deux polygones se projettent done en 2m points distincls sur ox et oy et il y a 2m valeurs pour les cosinus ainsi qie pour les sinus. Ces 2m valeurs sont, deux 'i deux, egales et de signes contraires car, n etant pair, les sonimets d'un mndme polygone NN1N2... sont deux a deux diametralement opposes. II en r6sulte qu'il n'y a bien que m valeurs pour les tangentes. FiG. 61. On peut cependant verifier, sur la figure, un fail int6ressant, c'est que les 2m valeurs des sinus sont les memes que les 2m valeurs des cosinus. En m effet, si est impair et si a est un arc terniine en M, l'arc - - - a est tera x a min6 en M'. Les mi'"'les parties, - et - -, sont done des arcs complemenIn 2 m L taires. L.es sommets du polygone N'N1N'... sont done, respectivement, les extremites des arcs complementaires de ceux qui ont pour extr6mites les sommets NN1N2.... du premier polygone. Si - est pair, a etant un arc AM, I'arc -x - a est aussi teralin6 en M. 2 -

Page  284 284 LE(ONS DE TRIGONOMETIIE. Les mi'1lcs parties, - et - +-, sont termin6es en deux sommels du mnme i m 2 n' polygone NN, N... Les arcs termines aux sommets d'un rnmee polygone ont done pour les sinus et les cosinus la meme serie de valeurs. Ce resultat serait d'ailleurs facile a verifier sur l'6quation (5) qui ne change pas quand on y remplace x par V'l -a2. On pourrait encore ici interpr6ter les resultats d'une autre mani6re. Nous laissons au lecteur le soin de le faire, en suivant une marche identique a celle que nous avons suivie dans le probleme precedent. 199. Probleme III. - Calculer les lignes trigonomdtriques dcs larcs - connaissant tg a. Dans la formule [72] du n~ 190, remplacons a par -, puis, chassons les d6nominateurs. Nous obliendrons ainsi l'6quation (6) C', t C3 C a 1c (6) 'nl;-lg +c't m '" 0g -t+C L. - m = tty ct[1 -~32 C4- + C!,qui donne tg - en fonction de tg a. i m et ordonnons quation suivant es puissances croissantes de, elle et ordonnons l'equation suivant les puissances croissantes de x, elle s'ecrit (7) tg -a - C '3x C tga.x -I- C3 x C - 0. C'est une equation de degre mr dont le dernier ternle est: ~ tg Ca.x, si m esL pair et ~ x', si m est impair. Elle a m racines que lon pourrait separer, comme nous l'avons fait dans Ie cas de la trisection, en substituant dans le premier membre de l'equation (7) les (m -4 1) nombres -0o, t (-+ T, tg( + ),... L. -, - - + ' 2 m)~ c)2 in n 2 \2, In el v6rifiant que les resultats sont, alternativement, de signes contraires.

Page  285 APPENDICE. 2.85 L'interpretation suivante met, d'ailleurs, bien en evidence l'existence de ces rr valeurs. Soil t't l'axe des tangenites (fig. 62) relatif aux arcs d'origiue A. Prenons, sur tt, un segment AT 6gal a tg a. Ie diametre du cercle tirigonomn trique qui passe par T a pour extremites MA et M', qui sont les extr6mites de tous les arcs d'origine A ayant AT pour tangente. Les zmi"'.es parlies de tous les arcs termin6s en M et en M' out pour extremiles les sommels de deux FIG. 62. polygones NN N N..., N'N;Ni..., rgeuliers, de m c6tes, inscrits dans Je cercle. 1~ Si m est pair (fig. 62), clacun des deux polygones ayant un nombre pair de cotes, ses sommets sont deux a deux diametralement opposes. Les arcs tcrmines aux m sormmets d'un mmee polygone n'ont done que - tangentes; il y a done m valeurs pour les tangentes. 2~ Si m est impair (fig. 63), et si a est un arc termin6 en M, m=r + a est un arc termin6 eu M'A. Les mi'"l'S parties et r - + sont done des arcs termin6s en des points N et N' diametralement opposes. I1 en resulte que

Page  286 286 LEGONS DE TRIGONOMETLIE. les sommets des deux polygones NN N9..., N'N'1N'... sont, deux a deux, diametralement opposds, il n'y a done encore que m tangentes. At N2,* T tFIG. 63. Pour les sinus et les cosinus il y a, dans les deux cas, 2m valeurs, deux t deux dgales ct de signes contraires. EXER CICES 89. D6velopper les formules qui donnent cos (af + b+ c + d), sin (a + b + c + 1d) en fonction des cosinus et sinus des arcs a, b, c, d. 90. Quelle relation existe-t-il entre les tangentes de om arcs donlt la somme est nulle? Reciproquement, cette relation, entre les tangentes, 6tant verifiee, quelle relation existe-t-il entre les arcs? Mlme question lorsque la somme des arcs est 2.

Page  287 APPENDICE. 287 91. Drevelopper cos 5ax._ sin 5a, tg 5a, cos 6:, sin ca, tg 6a, en appliqluant les formules du n~ 190. 92. Sachant que 7r 1 sin - calculer les lignes de l'arc -. (Voir no 196). De memo, sachant que T 7r + 1 cos - = -- 5 4 calculer les ligncs de 1'arc -. 15 93. Appliquer les problemes gendraux des n~o 197 l 193 au cas de m -= ). Commne exemple numerique, calculer les lignes de l'arc ~, sachant que C 1 COS - = - 3 - Comparer les resullats a ceux du second exercice 92. 94. D6montrer, par une voie geomdtrique, que la somile des racines de l'equation qui donne cos -, connaissant cos a, est nulle. (On prouvera, pour cela, que la somme gdometrique des vecteurs obtenus en joignant le centre d'un polygonie rlgulier a tous ses sommets est nulle). CHAPITRE III RACINE mi,2ie D'UNE IMAGINAIRE. - EQUATIONS BINOMES 200. Iacilne mimme d'utune iinagilaire. - Trouver une racine zi'lmc 'une quantile imaginoaire, c'est trouver une autre quantite imaginaire dont la puissance mni". soit egale a ]a premiere. La formlule de Moivre [68] (no 18') nous donne, immediatement, la solution trigonom6trique de cetle question. Supposons, en effet, qu'on ait nis la quanlite imaginaire donnde sous forme trigonom6trique, r (cos a-a i sin a), et soit p (cos C + i sin co) une racine mio'""'. On devra avoir l'egalite [p (cos io -.- i sin c)]" r = r (cos a + i sin a)

Page  288 288 ILECONS DE TRIGONOMETRIE. qui, en vertu de la foininle [68], s'tcrit: p11 (cos )-o,) - i siln ml,) = r (cos a + i sin.) Colmme il n'y a qu'une seule maniere (l mettre une quantile illaginaire sous forme trigonometrique, celle egalite ne peut avoir lieu que si les modules des deux nemnbres sont 6gaux et les arguments congrus. On doit done avoir: 1 == 1', o) -- = a +1- 2=7, k etant un cienier posilif, ntgalif ou nul. On en tire pour p une seule valeur: fli et pour Co une infinit de valeurs: a 2k7_1 n ' m1 Toutes les raciies mn"'Ilc dle la quantitd complexe proposee sont doec comprises dans la formule: [74] "r cos (- + j + isin (- + )i n 2 ^ / v^ '/ I/J II est, d'abord, aise de se rendre compte que, lorsqu'on donne a k toutes ses valeurs entiires positives, n6gatives ou nulles, possibles, celte formule fournit m racines differentes, et in seulement. Remarquons, a cet effet, que si on donne ha deux valeurs qui different entre elles d'un multiple de m, les deux valeurs correspondanles [74] sont e.gales, car si h varie d'un multiple de, -varie d'un multiple de 2r, et, fargument de l'imaginaire [74] variant d'un nultiple de 2a, celte quanli6 conserve la, meme valeur. Donnons, alois, iK, m valeurs entieresconsecutives, = 0,, 2, 3,..., (n-1 ), par exemple. Nous obliendroiis mn racines qui seront certainement dislinctes, car les arguments de de-ux de ces racines ne sont pas congrus. Si ]'on donne, ensuite, ia k, une valeur enti6re quelconque, on relrouvera certainement I'une de ces mi racines, car tout nonbre entier, positif ou negalif, ne differe de Fun des nombres 0, 1, 2,..., (m - 1) que d'un multiple de im. En r6sulme, la q2antite iumaginai're r (cos a + i sin a)

Page  289 APPENDICE. 289 a m racines mi"'tcs ct m settlement qui sont:? COS — Js - i silll m 1? cos (4- / -+ -- i sin -( - ) —. 12L -\ -mj /2 n n m Ii r C cos ( -- - '-i sin EXEIPLES. - 1~ Toute quantite reelle a a m racines mzi'"le. - Si a est positif, on peut ecrire (n~ 184): a = a (cos 0 -- i sin 0); et les racines miz"cs sont: _r 2/-.. 2kn. a" cos -- + a sinL?? 1?t Si a est n6gatif, on peut crire: a = [al (cos 7 q — i sin x); el les racines 1mi'mcs"' sont: Ial [cos(2k -) + _ sinl 2' La quantite i s'ecrit: 77: i - cos q- + i sin. Les racines m1li'"1s sont done: (4./ 4- 1)~. (4k.+ k ) COS 4 gi S2/l 2m 201. E]quations bioniiies. - lhesoudre une equation binome (1) 1 -=0, ( ) - a - o oLI est n nombre r6el ou imaginaire c'est trouver tons les nombres complexes x dont les puissances mie"eS sont egales a a. C'est done chercher toutes les racines mi"le"s de a. La resolution de l'equation binome (1) et le LECONS DE TmIGOONoIInrIE. 19

Page  290 290 290 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. calcul. des racines in ~. sde a sont done deux probl~mes identiques. On. en conclut que toute 6quation bin~me, a rn racines distinetes, puisque tout nombre a a m racines rMicnes. Nous avons d~jh montr6 en alg~bre (1) que, d's qu.'on connait uine racine de 1'6quation (I), on obtient toutes les auitres en nmltipliant cette racine par toutes celles de 1'quation binolne, (2) m -0 En eflfet, soit b une racine de 1'quation (1), =ba et x' une autre racine quelconque, de la mebme equation. Posons C, XI -be. Comme on a, par hypoth~se, bi — a, I = a on en conclut c est done bien racine de 1'6quaLion (2). Re'ciproquernent, soil c une racine de 1'6quation. (2), le produit be sera tine, racine de (1) car, puisque C - 1 b =- a on a: (bc)'9= b22e"2=a. L'6'tude de 1'quation (1) se ramn~he done ai celte de 1'6quation (2). Les racines des elquations binolmes de la forme (2) joiiissent de proprike's remarqUables que nous allons 6tablir, en nous servant de la forrue trigonorn6trique que nous leur avons dornn~e. Dornavntnous d6signerons par x 'la racine de e'6quation x -I=0,dont l'expression est Xk=O 2h7n sin 2k1rn k o1 M (1) Voir, dansmnes Lepons d'Alghibre, le n0 102.

Page  291 APPENDILCE. 291 On obtiendra, comme nous l'avons explique plus haut, les rm racines de l'6quation, c'est-a-dire les m racines, mi"mes de l'unite en donnant, a k, m valeurs entieres consecutives, par exemple les valeurs 0, 1, 2,... (m- 1). Les m racines seronl, alors, designees par la notation ot, a?.' '2... x 1-1 202. Theoreme. - Les racines imaginaires de l'equation bindme,2 1 = 0 sont, deux c deux, conjitguees, En effet, considerons ]es deux racines x^ et x,_l On a: 2px,. 2pr: xI = cos - i- i sin, CO 2p^~ Co s 22P 2p -I 2pr. 27-,= cos [2sT - ] +-i sin - c si - On en conclut que xmp_ est conjugue de xl. Ainsi, Xz et Za, 1, x2 et x_2, etc., sont conjugues. T1 faut remarquer que, dans tons les cas, on a:Co = 1 Si m est impair, c'est la seule racine reelle et toutes les autres sont imaginaires, conjuguees deux a deux. Si m est pair, il y a une autre racine reelle qui est qu'on peut considerer comme conjuguee d'elle-meme. 11 y a done, dans ce cas, deux racines reelles, - 1 et — 1, et m — 2 racines imaginaires, conjuguees deux a deux. EXEMPLES. - 1~ L'6quation 6 - -1 = 0 a trois racines: 2. 2r: 1 /3 Xo = 1 =cos- + sin - + i s, 33 T 2 2' 47:. 4 3 1.3. = cos — — isin- - 3 3 2 2 2~ L'6quation -1 — 0

Page  292 292 LECONS DE TRIGONOMET0IIE. a quatre racines, X0 =, 4 = - - I x1 — cos -+isin i, x3 = COS - - i sin -i. 203. Th6oreme. - Le prodtlit de pilsieurs racincs de l'qualtion 2-1_ 0 cst azssi racine de cette equation. Soient, en effet, x,,.., avec nos notations habituelles, p racines de l'equation dont les arguments sont 2k 2t 27'. 2k p' 3 ' m ' '" ' m1 D'apres le [heoreme du n~ 187, le module du produit est I et l'argument est congru i la somme 2(^ +^9+,..+ t1)) des arguments. Ce procluit est done egal a la racine x klq+ k' 2+... + lkp Corollaire. - Toute puissance entiere ct positive d'une racire de I'equation X — 1 =0 est aussi racine de cetle equalion. Car, d'apres ce qui precede, on a k(X) Xk/ 204. Theor6me. - Le quotient de deux racines de I'eqtuation Xm2 -1 0 est atossi racine de cette equation. Car les deux racines xk et xh ayant pour module I et pour arguments '21k 2h7 xk 2-, —, leur quotient k a pour module I et pour argument 2(1; — h)7:2(-h). On a done: ~~m ~ ~ ~ i -: -k _h 0h

Page  293 APPENDICE. 293 En particllier, Iinverse d'une racine ds I'equation est aussi une racine; car on a I0 0 — k' Xk X Corollaire.- Toute puissance entiere negative de l'equation X -1 = 0 cst aussi racine de cette equation. Car, d'apres ce quc nous venons de voir, on a: (')m =~ (+) (X)-/= 1X-km Remarque. - Le lecteur a, sans doute, ete frappe par ce fait que les operations effectuees sur les racines x, de l'equation binome x'1 -1=0 jouissent des memes proprietes que les operations effectuees str les puissances d'un menme nombre, l'indice X jouant le role d'un exposant. Celte analogie trouvera son explication dans le fait, que nous allons 6tablir, que les diverses racines de cette equation sont les puissances d'un meme nombre. 205. Racines prihnitives,. - Definition. - On appelle racino primitive d'une equation binonme x -1=0 toute racine de celte equation qui n'est pas racine d'une equation binome de men e forme et de degre moindre. L'existence des racines primitives sera etablie par les propositions qui vout suivre. Th6oreme. - Toute racine d'une equation binozme (1) X, - 1 = 0 cst aussi racine de toute qutation d me me forme dcans laquelle l'eposant de x est un multiple de m. Cette proposition est presque 6vidente, car si a est iune racine de l'equation (1), on a: a =.1. done ((a )C = _ W1)=- 1.

Page  294 294 LECONS DE TR[GONOME~TRIE. c est done au.ssi racine de 1'6quation X1 1 = 05, quel que soit 1'entier p). 206. Th6ordme. - Les racines commues & deti dqziations binolmes (1) ~xm -1=0, (2) XI'- I 0 sont toutes les racines de l'djuation (3) X- I - 0, d dtant le plus grand commnun diviseur des deux nombres rn et p. Soient, en effet, x k et X'h deux racines des equations (1) et (2) dont les arguments sonuLk~ et 2hr. Pour que ces deux racines soient 6gales, it fau't et il suffit, commne elles ont nieme module, que leurs arguments soient congrus. On doit done avoir 2k1r 2h7: qe~tant tin certain entier, positif ou n~gatif. On en conclut k h -- - - q. in p Soit d le plus grand commiun. diviseur de mn et p, et mn' et p' les quotients de ces deux nombres par d. L'galitd pr6ce'dente s'6crit Alip I hm' = qmn'p'd. m'W divise le second memnbre de cette 6galitd, il divise donc lip' - hIn', ce quf exige, puisqu'it divise hm', qu.'il divise hip'. Or, in' Rtant premier avec, p', ne peut diviser klp sans diviser ki, onl a done ki=m' - Rtant un entier; et, par suite, m - din' d 11 en re'sulte que et, par suite, que Xk, est racin e de l'quation (3).

Page  295 APPENDICE. 29.5 Toute racine commune aux 6quations (1) et (2) est done bien racine de l'6quation (:3). Dailleurs, r~ciproquement, toute racine de 1'6quation (3) est bien une racine coimmune des 6quations (1) et (2) puisque mn et p sont des multiples de d (n- 205). Corollaire I. - Si mn et p sont deux nombres premviers entre eux, les cleux equations -L=zO, -I = 0 nWont pas d'autre racine commune que la racine 1. Car, dans ce cas,2 d = I1. Corollaire II. - Toute racine de l'equation x -1 = 0, qui n'est pas primitive, est racine d'une equation de Wine formie dans laquelle l'exposant dle x est un diviseur de m. Car a n'6tant pas racine primitive de xm"- 1 - 0, est racine d'une certaine 6quation xi - I = 0, p Rtant infe'rieur 'a in. Elle est done aussi racine de l'6quation x -1I= 0 d Rtant le plus grand commun cliviseur de mn et p. 207. Th~ordme. - On obtient toutes les raeines primnitives de t'~cuation bind/ne (1) xm -1-0 en donnant & k, dans la formule gelndrale (2) ~ ~~~xk= COS 2 k -, + Sin 2k/. des valeurs entieres, positives, prenmkres avee m et plus petites que ni. Cherchons, en. effet, 1'6qua~ion bino'me (3) x - = 0 de degr6 moindre que ve'rifie une racine x0 Or, pour quo l'on ail il faut et il suffit que l'argument - de (x,) soit congru it zero, c'est-at — dire que kpsoit entier.

Page  296 236 LECONS DE TRIGONOMETRIE. Soit 8 le plus grand commun diviseur de; el mn, et 1;' et m' les quotients de ces deux nombres par 8, on a: kp = kp _ cntier. Pour que m' divise k'p il faut et il suffit, puisque k' et m' sont premiers entre eux, que p soit un multiple de m'. La plus petite valeur de p est done m'. Nous arrivons done au resultat int6ressant que voici L'd(quation binome (3) de plus faible dcgre que vdrifie la racine x,, de Vl'eqation (1) est celle dont le Iccgrd est, etant I e plus grand commun diviseur entre m et k. Pour que xk soit racine primitive, il faut que l'equation (1) soit precisement l'equation binome de degre moindre veriiiee par celte racine. II faut done et il suffit, pour cela, que l'on ait 8 1, c'est-.-dire que k soit premier avee n. D'ailleurs, comme on obtient toutes les racines de l'dquation (1) en donnant, a k, les valeurs 0, 1, 2,... (m - 1), on aura toutes les racines primitives en prenant, pour A, ceux de ces nombres (ui sent premiers avec m. On peut remarquer que les raciues primitives sont deux a deux conjuguees, car si k est premier avec in, il en est de me'me de m - k. Done si xl est une racine primitive, il en est de m6me de la racine conjuguee xl-k (no 202). Le nombre des racines primitives est done toujours pair. Corollaire. - L'dqtation binomne x - 1 = 0 adlmet aldtant de racines primitives qu'il y a de nombres cntiers positifs iferielurs d m et premiers avec lzi. 208. Theor6me. - On oblient tottes les racines de I'dquation binome (1) ur -i- o, en dlevant une racine primitive quelconque a m puissances entidres conscculives. Soit, en effet, a une racine primitive de l'dquation (1) et considerons les mn puissances successives: a~, aqfl, aq+2 o..+. — 1I D'apres le corollaire du n~ 203, tons ces nombres sont des racines de l'dquation (1); pour prouver que ce sonl toutes les racines, il suffit de prouver que ces m nombres sont difTerents. Soient, alors, aoQ+', aq+, k etant

Page  297 APPENDICE. 297 suiperieur a h, deux des nombnres de cette suite, je dis qu'ils sont diffrents. Car, s'ils dtaient 6gaux, on aurait: aq+k _ (qh = C+h [a k — _ ] = O. Comme caq+l est different de zero, ceci exigerait que F'on ait: k- It a I, = -0. Or, 1i el h 6Lant atl plus egaux a im - 1, il en esl, de meme de A -- h et celte 6galit6 exprimerait que a est racine d'une equation bin6me de degr6 inf6rieur a m; ce qui n'est pas, puisque, par hypothese, a est une racine primitive. En particulier, ies nombres a~ =- 1, ac 2...a sont les m racines de l'dquation (1). REMARQUE 1. - Les puissances successives d'une racine quelconque a de l'equation (1) forment une suite periodique; le nombre des termes de la periode est le degre de I'Nquation binome de degre moindre que verifie la racine a. En efiet, si (2)j x' -- = es.t l'iquation de degr6 moindre que v6rine le nombre c, cc nombre esl une racine primitive de cette equation. Dans la suite ind6finie pi-c cI p Op —I 2p 2p-j-I a0~ l 1, a, a~... al'-, a', a1 2a.,... ]es 2) premiers nombres sont ditferents; ce sont, comme nous venous de le voir, les p racines de l'equation (2). A partir de a2', les lermes se reproduisent dans le meme ordre; car p. p2 4 P p- + 2 p 2 2 a =- 1, O' a == a — * - a =*P, '-aa --- a.... Plus generalement, eltant un entier, posilif ou n6gatif,.-p~ / p\k~,k ap + - I 1XI kp + it kp h ht ac11 = c ac) 1 a ' +4 a a = a,.... acfck.lc c acc c = c a -c. REMARQUE 1I. - La racine 2Ak7;,.. 2/C7;, = cos- + i sin - m m est certainement une racine primitive de l'Nquation (1) il riesulle de ll que les m racines de cette equation sont 2 I -- 1 ],Z W, X1,... X.

Page  298 298 ~~~LECO0NS -DE TRIGONOMETRIE. Ceci, d'ailleurs, resulterait encore de ce fiaiL ciue (no 203) EXEMPLES. -- 10 L'~quation bin6rne X3- I =~0 a deux racines primitives 27: 27 _ X2=o - 2-.Sil Cos3 3 2 2 De'sig-nons 1'une d'elles par j, lautre sera egale ii jI. Les trois racines sont done: J2H, J, P2. 20 L'e'quation X-1- = 0 a deux racines primitives x1 = COS + i sill~=i 37. 3 -r; X3 CS2 2 Les quatre racines de 1',quation sont donc les quatre premnieres puis-sances de i on de - i.,o,_ -2, - -j 209. Th~oreme. - p et q Nlant deux no~b9res entiers, premiers entre etux, on obtient toutes les raeinles de lNquation (I) XI', 1 =0,,en nmultipliant, respectivement, toules les racines cle l'iquation (2) X I 0 patr celles (le 1 quation (3) x -t =0. De plus, on obtient toules les racines primitives de l'quation (t) en?fultipliant entire elles les racines primitives des &quations (2) et (3).

Page  299 APPENDICE. Soient, en effet, Xk Cosn + 1 p p deux racines des 6quations (2) et (3). Leur produit a pour argument 2k7-, 2/n _2(kq +hp>7 P C] pq ce qui prouve quil. est racine de 1'quation (1). R66proquernent, soit pcs i s pq une racine de e'~quation (1). On pourra toujours trouver deux nonbibes entiers k et It tels que Fon ait 2k/- 2/Itrn 2)r7 (4) ~~~~kci+ hp=r car, d'aprl~s un thdore'me d'aritimktique (1) connu, on sait que, p et q eltant pre~miers entre enx, on pent toujours trouiver deuix nombres k et ht v~rifiant e'~galit6 (4), r 6tant donn.6. h et/ it ant trouv6s, on a done La premi~re partie-de la proposition est done 6tablie. Supposons, maintenant, hK premie'r ave, p- eL h premier avec.q,.kq -- hp sera premier avec pq. SiT existait, en eff~et, un diviseur preminer d, cormn n'a k/i K hFlp et pq, ce diviseur devrait-diviser p on. q. Par exemp~le-, supposons qu.'il divise p; il divisera alors hp et, divisant aussi kq ~ hp, il devrait diviser kq. Divisant h-q, il diviserait soit k, soit q, co qni n'est pas possible puisque K et q sont, tons deux, premiers avec p. R6ciproquement, si r est premnier avec pq, ]es dctux nonmbres k et /It qi verifient I'6quation (4) sont aussi premiers Inn avec p, lautre avec q. Car Si, par exemple, k avaiL un diviseur comnmun aveep, cc diviseur divi~erait Akq et hp, done r, et r aurait uni diviseur commun avec p (on. pq), ce qui n'est pas. It r~su1le de 1h que le produit de deux racines x, xi' primitives des 6quations (2) et (3) est une macine primitive de (1) et que, re'eipro (1) Voir, dans les Lecons d'Arithmetique de M. Tannery, les nlo, 509-51ll.

Page  300 300 LECONS DE TRIGONOMIETRIE. quement, toute racine primitive X,. de (1) est le produit de deux racines primeitives de (2) et (3). Corollaire I. - p1, P2, pk edtant k nombres entiers premiers deux C dezx ct m lelr produit, on obtient itotes les racines de l equation x - = -0, en faisant tons les prodlits obtenls, en prenant, de toutes les facons possibles, k racine es des equations x)1 — 1=0, x1'2 -1=0,.... x - 1=0. En particIllier, on oblient les racines primitives en) faisant les prodnits des racines primitives. Corollaire II. - Pour rsoudre l'eqzation binome 11 I = 0 il suffit de rdsoudre les equalions de mime fornre obtenues en remplacant lexposant m siccessivement par ses facteurs premiers affectes de leurs exposants respectifs. Ainsi, par exemple, pour resoudre ]'equation x60 - = 0, il suffit de resoudre les trois equations x-. I = 0, nx- 1 =0, xa -I1 = 0; et de faire les produits des racines de toutes les manieres possibles. REMARQUE. - Le theoreme precedent se rattache k une int6ressante proposilion d'arithmetique. Designons par p (m) '() le nombre des nombres premiers avec m et au plus 6gaux a m. 11 risulle, de cc qui precede, quo le nombre des racines primitives de l'equation -1 =0 est (wn). p tfant premier avec q, le nombre des racines primitives de l'equation Xrq - 1=0 (1) Voir, dans les Lecons d'Arithmetique de M. Tannery, les nOS 5o27-529.

Page  301 APPENDICE. 301. est, d'une part, y (pq); d'autre part, ce, nombre est aussi?p (p)) X y q) puisque les nonmbres des racines primitives des 6quations x - -0 x- =0 sont y,(p) et? (Q). On a done: jp q) = (p) yq). Cette proposition suffit pour trouver 1'expression (le p(in) Iorsque vi est d6eompos6 en facteurs premiers. EXEMPLE. - L'6quation 1 -z0 a trois raeines I, j, j2, dont deux j et j2 sont primitives. L'6quationi -4 I 0 a quatre raeines I, i, - I, -i, dont cleux i, -i, sont primitives. L'6quation a12 4 0 a done douze racines lI, i I - I j~, Jj2, j2, j2 dont quatre sont priml-itives Ces qjuatre rachies pritnitives sont clone deo Ia forme * \,"j 3 i 2.2 210. Poly-orkesi re~g-uliers. -It: existe, entre Ic, probb~me de linseription des polygones r~guliers et celiii dle'la r~solution des 6quations bin6mnes de la forme (I) X -z 0, tine rekition intime. Supposons, en eflfet, que, dans le eerele trigonon~trique de rayon I, on ait inserit un polygone r~gulier de in eo'ts obtenu en divisantL la eireonf~reace en' r partie~s e'gales et joign'att les points rde division (le p en p

Page  302 802 302 ~~~LECONS DE TIRIGONOMETBIE. premier avec m6tpu ei u ) otA fu 4), un c6t6 de ce polygone. L'arc AM a pour mesure -~1. Abaissons de M la perpendiculaire MP sur le rayon OA. Le segment OP sera le cosinus de I'arc AM. On a done DWs qu'on connalt AM on conuait OP et, r~ciproquement, la connaissance o P A de OP suffit, d la d~termination de AM. - Or, Cos -IL es t la partie r~e'ele de la racine FiG. 64= + inp de ]'~quation (1). On voit douc que, dis qu'on sait r6soudre ettie 6qjuatioD, 1'on sail aussi inscrtire les polygones r~guliers de m co't6s. Pour que AM soit bieni le co't6 d'un polygone regulier de mn cets (et non de moins), il faut ('~ que p soit preirner avec mn. II suffit d'ailleuirs, pour avoir tous les polygoues r~guliers de mi cot~s, de prendre, pour p, tous les, nonibres premiers ave, mn plus petits que j;car, en joignant de p en p et. de - m~p en mn- p, on obtient le me'me poly7gone. Ce faiL r~sulte d'ailleurs de ce que les deux racines xet x sonL conjugu~es et, par suite, ont meme partie r~elle. Ii s'ensuit. qu.'h t out couple de racines primnitives conjugu~es de l'6quiafion (4), correspond un polygone r~gulier de in c6L~s et r~ciproquetnent. ii y a autard (le poloes rygudiers dle im co'Us quil y a de couples. de racines primitives conjugiaes de l'fruatiorn (11). II y en a done (in). Le calcul alg~briqite des racines primitives de 1'ecquation (1) et l'inseription des polyoes reguliers de m. co'tds sont deux prolnes du mw'me ordre de diffleultd. La resolutiorn de Inun entraine celle de l'autre. De's qu'on a r~solu L'quation (1), le calcul de la logno Leur du c6Le' AM se fait sans, difficult6, car on a AM Al b( 1- co S Li) (1) Voir, dans les Lecons de Geometrie de M. liadamard, le chapitre viii, no!, 160-17G.

Page  303 APPENDICE. 303 On peut, alors, former une equation ayant pour racines les, diverses, valeurs de AM. Remarquons, 'a cef. effet, que l'on a XI — C 2pr, +, i 2r et 1 o 2p. isn 2p7 -x -in On en conclut: w -= 2 cosSi done on pose dans 1'6quation (1), d~barrass~e au prealable de la racine 1 et de la racine - 1 (si elle 1'admet), on aura iune 6cjuation en y qui a pour raciues les, diverses valeurs de 2 cos 2P. Nous poserons, dans cette nouvelle 6quation en y, z C est-a'-dire y -2 - et nous aurons, finalement, une equation en z qui admettra pour racines les diverses valeurs de AM. Si on ne voulait avoir que les co't~s des poly-oe r-guliers ayant effectiverncnt rn co'tds, il faudrait faire les transformations qui pr~ce'dent sur e'dquation obtenue en ddbarrassant 1'6quation (1) de toutes les racines non prinitivyes. On pourrait encore rattacher ce calcul, an moyen d'une remarque faite. plus haut, hila rdsolntion d'une equation binolme, d'une facon plus directe. Nous avons montre', en effet, au n" '71, que le o~te' AM du polygone r~gutier inscrit de m coltes, obtenu en joiguant de p en p, est le double du sinus du demi-are sous-tend~u. On a donc 7p, AM=-2 sin- =2sinM 2,m

Page  304 304 LECONS DE TRIGONOMIETRIE. Or, sin est le coefficient de i dans la racine x' -= COS 4 sin y' 2m 2 in de ]'equalion (2) 21 -1 =0. Si done on prend les doubles des parties imaginaires des racines x', de l'equation (2) (p premier avec m et plus petit que o), on aura les cotds de tous les polygones rdguliers de m cotds. Les parties rdelles donncnt les apothemes correspondants. Ainsi, cos 2- est l'apotheme du polygone regulier dont le c6te est AM. Nous avons montre, au n~71, comment la connaissance des longueursdes cotes des polygones reguliers permettait de calculer les lignes des arcs p. m Ce qui prdcede nous montre comment, r6ciproquement, la connaissance de ces lignes ou, ce qui revient au meme, la r6solution de l'equation (2) perinet de calculer ces c6tes. EXERCICES 95. Demontrer que les points representatifs des m racines?miimces d'une quantit6 imaginaire sont les somrnets c'un polygone rdgulier de m c6t6s. 96. a1,.2.... al, 6tant p quantites complexes fixes et z une quantite imaginaire variable, etudier la variation de l'argument de l'expression V /(-Cl)(z - a,... (z -a,), lorsque le point dont z est l'affixe ddcrit une courbe fermee dans le plan. [CompCarer t' l'exercice 88]. 1p 97. Si on ddsigne par z l'une quelconque des racines qi,2mcs de z2, la formule de Moivre est-elle applicable pour, -= p? q MAontrer que cette formule n'est plus exacte qu'ta Ln multiplicateur pres. 98. liesoudre, trigonomitriquement, les 6quations binbmnes x5I-1 0o x -5 1, a;80_ 1-0.

Page  305 APPENDICE.,3 0 5 99. On consid~re 1'qunation pui donne cos -, connaissant cosx 1t= A lettre en kvidence la relation qnfi existe entre la r~solution de cette 6quation et linscription des polygones r~guliers. 100. Comment trouve-t-on les racines communes fi plusieurs 6quations bin~mes (le la forme x1-I =0O? 101. a Rtant un nombre premier absolul, et a Lin exposant entier, d~montrer que toutes les racines non primitives -de 1k6quation Xa 01= sont les racines de 1'6quation -0. CLIAPITRE IV RtSOLUTION TRIGONOME'TRIQUE. DE L'EQUATION DU TROISIEME DEGRE 211. Etjitiatlon dii seeond degre'. - Nous avons, au n0 125, expose' deux m~thodes pour la r6solutioii trigonom~trique des 6quations du second degv6 lorsque les racines sont rdelles. Nous allons, pour complkter la question, montrer nmaintenant, comment on peut calculer trigonom6 -triquement les racines d'une telle 6quation lorsqiie ces racines sonL in~aaifaires. Soit (1) aa~~~-I2~+bx + c= 0 une 6quation de second degr6, hi coefficients a, b, c re'els, mais clout ]es racines sont irnaginaires; c'est-fl-dire telle que (2) b - 4ac <0. Ces deux racines souL; corume on sait, imaginaires conjugudes et on peut los meLtre. so-usla formne () X' = pcsli- i sin?], (" ' p,[cos~ i SillJ L~~yO~s DE TaI~~o~o~n~~Taw. 20 LEONS DE TRicoNoi1ftRIE. 20

Page  306 306 300 ~ ~.LECO NS DE TRIGONOMETRIE. On peut. touj ours suppo ser que cc' est la racine telle. que le coefficient. de i soft positif et, par conse~quent, on peut touj ours admettre que y est.un angle conipris entre 00 et 1800. Ceci pose', on a les relations C, a qui donnent, en rei-yplacanL cc' et xc' par leurs valeuirs (3), On en tire, rF 6tant essentiellemient positif ~Va s Rtant 6gal 'a J1 on - I suivant que a est positi oU nkgatif. Les formules (4), calculables par logatrithm es, r~solvetit la question. Elles, sont toujours acceptables. Car, d'une part, la condition (2) exige que. -et ac soient positifs; d'autre part, cette nelme condition sceit a~ ~~~~ cc qui exprime que le carre' de la valeur de cos y est plus petit que 1. Elles donnent pour p, et y une seule valeur; car, d'apr~s ce que nous, avons dit, on devra. prendre pour y la valeur comprise entre 0' et 1800, et il nWY en a qu'uine. Connaissant p et y, on aura les parties r~elles p cos y et les parties irnaginaires p sin y de cc' et xc" par des calculs logarithmniques. 212. Equation dvi troisieine deg~re. - Une 6quation du troisi~ne~ degr6 est, par d~finitioni, une 6quation qui, toutes reductions faites, pent se ram-ener ax la forrme (1) ~~~ax' b3+tccxj-cc d -0. Cette 6quation est susceptible d'une simplification importante que MoU$ allons d'abord effectuer. Posons, 'a cet effet, XI= y + h;

Page  307 APPENDICE. 307 'y sera racine de 1'6quzation a (y + h)3 +4 b (y -+ lh)2 + C (y + hi) + d = 0 ay3 ~ [3ath + b]y2 4- [3ath2 + 2bh -{ c] y + ah3 A bh2 -F cht-fd =0. Choisissons le nombre ih de facon dt annutler le coefficient de y2. Prenons, par suite, h et l'quation en y prendra, apr~s avoir divis6 les deux inembres par a, la forme (2) Y 3~ Y-l —=O'. La r6solution de 1'6quation (1) est ainsi ramnen~e 'a celle de Il6quation (2) qui n'a pas de term~e du sedon1d degre'. A cliaque racine y de 1'6quation (2) correspond une racine de 1'6quation ('I) donn~e par la formule b x = y 213. RMsolution alg6brique. -Pour exposer les mn'thodes trigonome'triques, de resolution de 1'6quation du troisi~me degr6, ili nous faut reprendre rapidernent la m~thode classique de resolntion alg~brique. Soit 1'6quation, ramen6e 'a la formne sirnplifli'e, p et q uiant re'els. Posons (2) x y z. On aura, entre y et z,. la relation (3) y3 +Z z~-4 q + Qy + z) (3yz +p) O. Comme Finconnue x a Wiu rernplacuie par deuix inceonnues y et z, oni pourra les astreindre dt vuirifier une relation suppluirentaire. Choisissoins y et z de facon. que, dans luiquation (3), le coefficient de (y A- z) soit nnl. La ruisolution de lI6quation (1) est ainsi ram~enuie h la, recherche des solutions y et z des deux uiquations siniultanuies A, tout systeuiaeede'soliitions ~jet z dui sy{st~me (4) correspond une solution x de luiquation (1) dounnee -par la fornmule (2).

Page  308 308 I 308 ~~~LEC~ONS DE TRIGONOMf~tRIE. Pour r~soudre le systl.me (4), 6erivons-le sous' la forme un pen plus g6n6rale (4) bis = - I 3, 3 POSOns (N y3=, zet nous aurons 'Y et Z sont clone les racines de 1'6quation du second degr6 (6) X2+qX-(~ == C'est ce qu'on appelle la rcsolvante de e'~quation (1). Y et Ze'tant les deux racines de cette 6quation,, on aura y et z en r~solvant ]es 6quations binolmes (5). Enfit vaudra mieux ne pas r~soudre ces deux 6quations bin'ne -et proe~der de Ia facoii suivante. Rernarquons, en effet, que le sslm (4) bis est un pen, plus general que le sysltrme (4i) puisqu'il a' 6L obtenu en 6levant la premiere 6quation, au cube. Pour ne pas avoir de solutions 6lrang~res voici done comment ii fandra proe6der: Soil Y iine racine de l'quation (6). On r~sout l'equnation yl3 =Y. A ehaque raeine y de ceLte 6qualion on fail correspdindre la valeur de, z don~n~e par la premie're 6quation (4) et on a une raeine xde l'6qualion (I) 3i1 Dis.CUSSION. - Au premier abord, ii sermble que la' resolulion pr~ce'dente fournisse six valeurs pour x, ear 1'e'quation (6) a deux racines qui donnent

Page  309 APPENDICE.:.309 chacune trois valouirs pour x. It est facile do voir quo chacune des racines de la r~solvanto fournit los me'mes racines pour x. Soient en effet, A et B les doux racines de I'equation (6). On a: 3 A B = P Soit a une des racines cubiques de A, 1'6galite' prkdcidote prouve que et, par suite, quo - P est l'une des racines cubiques do B. 3 a La solution y = a, provonant do la racine A, donne, pour x, la valour x-a- 3a La solution y - P provenant do la racine B, donne ___ ___ __ ___ ___ __ - -.- -4- a 3a 3(P) a (lone, la mWrne solution. II suffit done do prendre pour Y rune dos racinos, A par exemple, do l'~quation (6). Ceci pos6, a 6tant l'une des racinos cubiques do A. Los trois racinos do 1'6quation sont a, aj, aj; j otj2 delsignatit, cornme touj ours, los deux racines eubiques irnaginaires conjuigu~os do l'uniV6. Los trois racines do le'quation. (1) souL done a-F-b, aj~ bj 2, /2 ~ bj en posant, pour abr~ger, 3at Pour roconnaitre la nature do ces racinos, distinguons trois eas 10 Les racines do la vesolvante soul rdelles et distinctes, En d'autres termes, on a:I (q2)(p)

Page  310 310 L~~~1ECONS DE TRIGONOMETRIE. Nous poduvons, alors, pr'endre, pour a, la racine c ubiquie r~elle de A et b sera. 6-alement 'r~eI. La racine a + b est rdelle. Los deux 'aut-res aj + bj2, aj + bj2 sont irnaginaires conjuigudes. 20 Les raCirnCs de la resolvante sont irnaginaires. On a donc, a 6lant l'une quelconque des racines cubiques irnaginaires do, A, it est aise' de voir que b sera l'iragi naire conjugu.6e de a. Car le produit ab est reel et, de pl us, les cubes a3 et. b sont ima ginaires conjugues puisque a3 =A, b3= B. a et b 6'tant conj cugues, aje et bj2 le sont 6galement, ainsi que aj2" et 11j. Les trois racines sont, alors, relles, puisque chacune dl'elles est la som'me de -deux quantit~s imaginaires conjuigu~es. 30 La rdsolv'ante a une racine doable. C'est-h-dire que l'on a ()2 3 -. On a, alors, a b 1 et 1'6quiation (1) a une racine simple r~elle a +6-b et une racine double rdelle aj + bj 2 aj I + b 2 *FO'RMULE DE CARDAN. - De ce qii prkc6de,.on. pouit tirer tine formule a] g~brique repr~sentant los racines do l'quation (I). L'une des racines do la r~solvante'est, en effet,,on a, par suite: ~~/q~~y/(q~~ 2 (3 ~

Page  311 APPENDICE.. 311 La formule de resolution est done la suivante cub ique. En remarquant cluez est l'une des racines cubiques de Ia seconde racine de la resolvante, on peut ecrirc ceci: (7) =- - -3 +(p Celte formuloe est connue sous le nom de foraule (C0e Cordan. Les determinalions des deux racines cubiques doivent etre choisies de facon que leur produit soit.eel. Au point de vue algebrique, la formule (7) ne peut servir que lorsqli'une seule dnes racines est reelle. Dans le cas oi les trois racines de l'equation () sont reelles, elle devient illusoire. En effet, la discussion precedente nous a montre que: 1~ Si les racines de la resolvante sonLt reelles, une seule des trois racines est reelle. Dans ce cas, la formule (7) est applicable, car on est rarmene a exlraire cleux racines cubiques de quantites reelles. 2e $i les deux racines de la resolvante sont inmainaires, la formule (7) conduit a l'extraction des racines cubiqlues'de deux quantites inmaginaires. An point d e vule lgebiriquze, on est alors conduit a une impasse. Pour extraire, en etfet, la racine cubique d'une quantite imaginaire, par une voie purement algebriquc, on est amene a resoudre une equation du troisieme degre.dont les trois racines sont reelles. On revient precisement aU problielme qu'il s'agit de resoudre et la question n'a pas avance d'un pas. Dans ce cas, la trigononietrie nous permettra cde sortir de cette impasse, puisque, coImme nous lavons vIl, on peut toujours, trignononmetriquemennt, extraire une racine cubique d'une quantite imaginaire. (I) d3 px + q = 0 est, comme nous eos ve de voir, ramenee aux calculs suivants: onresout la resolvante (6) X+pX-t-=O. \0/

Page  312 312: LECONS I)E TRIGONOMITRIE. Soient Y et Z les racines de cette equation, on calcule les racines y et z des 6quations (5) y3 =, z3 = Z, et on associe deux racines y et z dont le produit est reel. On a, ainsi, une racine s -= y + z. Appliquons, alors, a l'equation (6), les methodes que nous avons expos6es aux n~s 125 et 211. II se presentera trois cas: PREMIER CAS. p est positif. - Ies racines de l'equation (6) sont reelles et de signes contraires. Suivons, pas a pas, la seconde methode du n~ 125. Posons: (8) Y = s \/( tg c, Z= - \( cotg p, s etant egal 'a + I ou- - 1, suivant que q est positif ou negatif. On devra avoir: Y + Z = -, ce qui donne, pour determiner r, (9) tg 2 = -\/() formule calculable par logarithmcs. Cette valeur de tg 2^ etant positive, fournira, pour?, un angle compris entre 00 et 45~. Pour calculer y et z, posons: (10) tg3 + = tg?, et nous aurons: y3 ~ (-/P tg,)+, Z3 - ~ cot+) Les trois racines de l'equation (1) seront done =x I \/t (tg + -- cotg +), x = s ~y (j tg — j cotg +), x; - S (j2 tg + -j cotg ).

Page  313 APPENDICE. 313, Comme I ',3 I V3 oui a, pour ces trois racines, les expressions suivantes / Xi —2E cotg-2~, (11) ~ X3 S ~~cofg~~ i1 Ces forMLules sont calculables par logarithimes, car les parties r6elles et. irnaginaires de X2 et X3 le sont. En r~sum6, pour r~soudre l'quation (1), on calcule d'abord I'angle y,. conmpris entre 00 et 450o, donii6 par la formule (9); puis, 1'angle ~i, compris entre 00 et 450, donn6 par la formnule (10); les racines x1, X2, X3 seront. fourniies par les 6galite's (11). 215. DEUXIkMuE CAS. - Les racines de la r~solvante sont rdelles, ()2 mais p est n6gatif. Bans ce cas, 1'6quation (I) n'a qu'une racine r~elle. Posons, en suivant toujours la s-econdle m~thode dii no 12i5, pour la resolution de Ieiquation (6), S etant e'gal h -I- 1 ou - 1, suivant que q est positif on. ne'gatif. On a, alors, pour d~terminer co, l'~galite (12) sill 2? =P ~1v 3, Cette formunie est calculable par Jogaritlimes et la valeur qu.'elle fournit, pour sin 2?, est acceptable, car, puisque ~.I ()>' 0, on a: (2)2(p)3

Page  314 314 LECONS DE TRIGONOIMTIlE. ce qui exprime que la valeur de sin2 2y est plus petite que 1. D'ailleurs, cette valeur de sin 2p etaut positive, on aura, par les tables, un angle y compris entre 0~ et 4~. Pour calculer y et z, posons, encore, (13) t3 = tga, et nous aurons y3 =_ _ 0? S(\ — tg, 3 - -- ( cotg. Les trois racines de l'equation (1) seront done: - - ~ /- (tg 4 cotgR ), -- - - -- (j- g + j-i cotg, 3 = 3 (j- tg + - j cotg ). Remplacantj etj2 par leuis valeurs et simplifiant, on a:.-. s / ~ p 'X2 a Ls ~i V 3 2otg 2~ I tXl = sin 2 \/ 3 (4) X., --... 3 _sin: +1 i v/3 cotg 2], On est done amene a faire un calcul analogue au precedent, + et etatnt deux angles compris entre 0~ et 45~. 216. TROISIEIE CAS. - Les racines de la resolvante sont imaginaires, c'est-a-dire que l'on a: (2)c + (3 < o. Cette condition exige, necessairement, que p soit negatif. C'est le cas oii les trois racines de l'equation (1) sont r6elles. Pour calculer les racines Y et Z de l'quaation (6), appliquons la methode exposee au n~211. Posons: Y = p [cos p + i sin ~], Z = po [cos ~ - i sin p].

Page  315 APPENDICE. 315 Nous aurons: -2 -- ()~ 2p cos o =- -- q, 3 i et, par suite, (1) - --, 4( cos o -- - 2 (-) p et y etant ainsi calcnuls, par ces formules calculables par logarithmes, on aura: y p = p (cos? - i sill ),:: = p (cos -i sin p). On est ainsi amen6 a extraire les racines cubiques de deux imaginaires mises sous forme trigonometrique. On a done, pour y et z, trois valeurs (n~ 200) et il faut associer les valeurs conjuguees: YI - L c os+C3 +- i sin, i =' /pcos - - sin, 3 3 3 3 y — P [cos ( 120~) _i sin ( 120~),,= V/ [cos fq- 120~) - i sin 9- 1 420~)1, Y3- p [Cos ( + 2i0) i sin ( + 240~)], [co (+ 24)-i sin ( L~~~~ \013 / \0 /J Finalement, les trois racines r6elles sont donnees par les formules suivantes, en remplacant p par sa valeur tiree de (15): (16) I. i xj -= 2.CPIO 3,- 3os 2 = ' —2 j cos j 2= 92V-P COS + 1200), ) c o S X3 I < En resume, on calculera y par la seconde foinule (l1), qui fournira un angle 9 compris entre 00 et 180~. y ayant ete calcule, les formules (16) donneront les trois racines par des calculslogarithminiques.

Page  316 316 316 ~~~LECONS DE TRIGONOMETRIE. ii est bon de ren-arquier que la formule (is) donne bien, pour Cos co, une valeur acceptable. Car, puisque (q2 (P3< on a ce qui exprirne, prkcis~nment, que la valeur de COS 2? est plus petite que 1. 217. - Les me'thodes de resolution prlce'dentes auraient pu e~tre pr~sente'es d'une Naeon direct e, sans les rattacher, comme nous 1'avons. fail, a la resolution alg~brique. Cette nouvelle mnani~re est 6videmment momns naturelle que la pvkc.dente. Comme exemple, nous l'exposerons. pour le troisi~me cas, celui oh~ toutes los racines de I'6quation (1) sont r~elles. Consid~rons 1'6quation dui troisi~,me degr6 'a laquelle on est conduit lorsqu'on veut r~soudre le probhmne de la trisection, connaissant Ie cosinus, de lFarc (no 193). D'apr~s ce que nous avons vii, si on pose Cos =y yest raciie de 1'6quation dui troisi~rme degr6 43 — 3i - cos 0 Lees trois racines de cette 6quationt sont elles soul donc conn tes d~s qu'on connait yp. Posons, dans cette 6quation,.x k ktant un nonmbre arhitraire. Elle devient, en nmultipliant les deux membres par k3 et divisant par 4, 3 1 (1) ~ ~ 3 -kX - O 4 4

Page  317 APPENDICE. 317 Nous obtenons done, ainsi, une 6quation du troisieme degre dont nous connaissons les trois racines qui sont: k cos, s cos + 24 Ceci pos6, soit (2) + px + q = o une equation du troisimne degre, ramenee a la forme simplifiee et ayant, par hypolh6se, trois racines r6elles, c'est-a-dire telle que: (3) (3)02) <. Si 1'on peut determiner un nombre k et un angle y tels que les equations (i) et (2) soient identiques, puisqu'on connalt les racines de l'equation (1), on aura, par la meme, celles de l'equalion (2). Or, cetle identification est possible. Posons, en effet, 3 1 (4) 3^ =4 -p, _ 3 cos =- q. La premiere 6galite (4) donne, pour k, des valeurs reelles, car la condition (3) ne peut avoir lieu que si p est negatif. On en tire: kh ~2 Prenons, par exemple, le signe (4-) (5) k = 2 -P La valeur de k dtant ainsi d6terminee, la seconde 6qualion (4) donne: 2) -pcos- - ou (6) cos = —()

Page  318 318 318 ~~~LECONS DE TRIGONOM~TRIlE. Cette 'ga'lit6 fournit bien pour cos y une valeur acceptable, car la condition (3), qui est v~rifi~e par hiypothese, s'~rit (\2 cc qui exprime que la valeur de COS 2 y esi plus petite que 1. 'En r6surn6, pour re'soudre l'quation (2) on. calculera langle y, compris entre 0(I et 180~1 v~t-fiant 1'6galit6 (6W. Cet angle RLant calcu]6, les trois racines de I'6quation (21) seront 3 3s~ ~.3 - 2V-COS( +240-) L'6quation (6) qui d~terminie y est identiqac a la seconde equation (1-0) du num~hro pr~c~dent, et les formules (7) sont identiques aux form ules (16) de cc num~ro. On est donc rarnen6 it faire exacternent les melmcs calcnls qu'au n0 2.16. REMARQUE. -Nous avons pris pour k la valenr positive. It est facile de v~rifier qu'en prenant pour k la d~termnination. n~gativye, on aurait retronyd les nicmes racines. Ceci revient, en effet, a changer A- eni -kb, cos? en -COSy, par suite, y en yKJ 800. Les 3 racines out, alors, pour expression -2V-?~cs(~+ 600)= Vc(+20) -2V COSQ?+ 180)=2V - PCOS, -2V cos(~ 300) - 2 cos + 120~) On retrouve done Ibien les trois mernies racin-es; cc qui dcvait avoir lieu, puisque 1'6quation (2) n'a que trois racines. II y aura avantage it prendre pour h cettc -valeur nelgative lorsque q est positir, afin d'avoir, pour cos, une valeur positive. 11 serait tout aussi aise' de v~rifter que les valeurs des racines ne chang~ent pas si, au lieu de prendre pour l'angle y la determination comprise cutre 00, et 18011, on prend une autre deterriniation v~rifiant la relation (6).

Page  319 APPENDICE. 319 218. EXEMPLE NUMERIQUE. - Resoudre 1'quation x33- 21,648x + 7,344 = 0. On a, ici, P3 =-7,216 j= 3,672, 3 2 et, comme il est facile de le v6rifier, 3 2_ Les trois racines sont reelles. Nous appliquerons done la rmthode des nWO 216 et 217. q etant positif, prenons le signe - devant k; q 7= —2\-P. cos 0 -- Done: k = — 2 7,216, cosO 3'67 Y(7,216)3 x 1 = cos, 9 = Cos + 120~), x = o cos( 2400). 1~ Calcul de,. 3 log cos = log 3,672 + colog7,216. log 3,672 = 0,5649027 - colog 7,216 = 2,7125553 lo 21,27 80 log cos y -, 1,27"74580

Page  320 :320 LECONS DE TRIGONOMETRIE. pour..... 1,2775549 79~ 4' 4" A = 1092. liff. = - 969 pozur..... - 873,6 8" diff. = - 95,4 pour.... - 87,36 0",8 di/f. = 8,04 pour..... 7,63 0",07 = 79~ 4' 48",87 26 21' 36",29, -3- - 120~ = 1460 21' 36",29 = 180~ - [33~ 38' 23",71j, 3 240 266 1 3 9 80 86 36 - -MO 240= = 2660 21' 36",29 = 180~ q- 860 2t1 36'",29. 3' 2~ Calcul de log I k i. log 2 = 0,3010300 1 log 7,216 = 0,4291482 log I k I - 0,7301782. 3~ Calcul de xl On a: x= k cos (260 21' 36",29). pour_260 21' 40" 1,9523145 pou..... - 3" 31,2 pour..... - 0",7 7,28 pour..... - 0",01 0,104 log cos (26~ 21' 36",29) = 1,9523184 log k | = 0,7301782 log I 1 = 0,6824966 pour... 6824880 48138 diff. = 86 pour... 81,9 0,9 liff. = 4,1 pour... 3,64 0,04 I x = 4,813894, x - 4,813894. A- 104. A= 91.

Page  321 APPENDICE. 5321 On a log 4~ Calcul de x2 x2- k I k cos (33 38' 23",71 ). poui' 33~ 38' 30"/ 1,9203939 pour..... 6- "6 84 poutr..... 0- "2 2,8 poz..... - 0"09 1,26 cos (33 38' 23",71) = 1, 9204027 log k I = 0,7301782 log x = 0,6505809 powl..... 6505795 41728 diff. = 14 pour...... 9,7 0,1 diff = 4,3 potu... 3,9 0,04 x - 4,472814. A = 140. A = 97. 5~ Calcul de x3 On a: x = [ i cos (86o 21' 36",29). pour 86~ 21' 40/ 2,8025542 pour...... - 3"/ 993,6 pour.... 0'",7 231,84 pou.... - 0",01 3,312 log cos (860 21' 36",29) 2,8026771 log I k = — 0,7301782 log x3 = 1,5328553 pour.... 5328435 34107 diff. = 118 pour..... 115 0,9 X = 0,341079. A = 3312. A = 128. Verification. - Comrnre on a: XI X2r3 1 = -q, on doit avoir: log! sI - log x2 + log xr3 = log q. LEgONS DE TRIIGONOINETRIE. 21

Page  322 32-2 LECONS DE TIIIGGNOMETRIE. Or, log q = 0,8659327, et on trouve log i.r A- log x2 +- log x3 = 0,8659328. En rdsume, 1'dquation a trois racines, une negative et deux positives, qui sont: x1 -- 4,813894, 2 = 4,472814, x3 = 0,341079. Comine seconde verification, on doit avoir X + 2 + x- = 0, et on trouve: x1 + x -F- x, = -, 0,000001. EXERCICES 102. R]soLdre, trigonometriquement, les dquations du second degr6 suivantes xa -x 1 -- 0, 3x2 + 2,205x + 4,713 = 0. 103. Resoudre, trigonometriquement, les equations du troisieme degr6 suivantes: 5x'3 25x + 6=-0, xa + 4,7152x - 3,8156 = 0, 2X3 -+ 3,5062 - 2,713x + 1,075 = 0, x3 - 3,7021x + 16,7153 = 0, 4512x3 - 20315x + 2713 = 0. 104. R6soudre l'equation du troisi6me degre x3 -- 4x - =0, sachant que 1~ log a = 1,7153702, log P =2,8137061; 20 log a 2,3020312, log P =0,7152053; 3~ log a - 1,4738171, log = 2,0156789. 105. Exposer, directement, les methodes de rdsolution de l'dquation x3 - px + q =- 0, dans les deux cas oil il n'y a qu'une racine reelle. On posera, pour cela, x = ) [tg cp - cotg p] et on d6terminera ), ct y de fagon a obtenir des formules calculables par logaritlhmes. FIIN

Page  323 ERRATA Pages: Lignes: 121, 16, 121, 17, 193, 13, 193, 5, par en bas 216, 13, colonne d droite, s Au lieu de: Cos 15~ Sin 15o AI-I = AH - e log cotg A ~2 Lire: cos 15o sin 150 BItBIIA log cotg 2 -pour... - 6" pouw... - 0"',8 poo1'... - 0",07 A B to' et tg - 02 n2 1 a des arcs, 0 216, 20 23, colonne poutr..... 6/" de gauche, pou7'..... 0/, pour1...... 0,)7 A B 224, 1, par en has, g tg t 1 224, l0,par enbas, li 269, 9, 289, 11, des arcs a, 3 1 1 ra 2k,.-. 2k7:,, 2k7. 2h1kr a, cos -- + sin * cos - + i sn _L tM in _ Mi s in 309, 1, par en bas, ( ) +- (-) > 0. ( )'- >3. LECONS DE TRIGONOMETRIE.

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Page  [unnumbered] IMPRIIERIE E. CAPIOMONT ET C1e PAIIS 6 RUE DES POITEVINS 6 (Ancien Hotel do Thou)

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