Cours de mécanique rationelle et expérimentale, spécialement écrit pour les physiciens et les ingénieurs conforme au programme du certificat de mécanique rationelle, par H. Bouasse.
Bouasse, H. (Henri), 1866-1953.

Page  [unnumbered] Start of sub OutputBib BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET Graduate Library University of Michigan Preservation Office Storage Number: ABR2526 UL FMT B RT a BL m T/C DT 09/12/88 R/DT 09/12/88 CC STAT mm E/L 1 010:: a 11028409 035/1:: a (RLIN)MIUG86-B51248 035/2:: | a (CaOTULAS)160123854 040:: a CSt I c CSt Id MiU 050/1:: a QA805 b.B72 100:1: | a Bouasse, H. I q (Henri), I d 1866-1953. 245:00: 1 a Cours de mecanique rationelle et experimentale, I b specialement ecrit pour les physiciens et les ingenieurs conforme au programme du certificat de mecanique rationelle, I c par H. Bouasse. 260:: | a Paris, I b C. Delagrave I c [1910] 300/1:: | a 2 p. L., 692 p. b diagrs. I c 25 cm. 650/1: 0: a Mechanics 998:: c WFA s 9124 Scanned by Imagenes Digitales Nogales, AZ On behalf of Preservation Division The University of Michigan Libraries Date work Began: Camera Operator:

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Page  689 TABLE DES MATIERES 689 ~ 500. Double pendule de torsion.................... 537 ~ 501. Transfert de l'energie..................... 538 ~ 502. Pendules aimantes................... - 539 ~ 503. Autres manieres de lier les pendules.. 540 ~ 504. Accouplement de deux circuits reagissant l'un sur l'autre par induction........................... 542 Systenmes a trois degres de liberte. ~ 505. Pendule triple......................... 54l3 506. Discussion.......................... 543 ~ 507. Cas g6en ral........................ 545 ~ 508. Pendules sympathiques...................... 546 ~ 509. Diapason, pincette; cordes vibrantes............... 547 Dissipation de l'energie.. 510. Fonction dissipatrice....................... 548 ~ 511. Conservation et dissipation d'nergie............ 549. 512. Cas particulier des petites oscillations............ 550 5 513. Cas de deux variables.2...................... 552 ~ 514. Manipulation.......................... 553 Forces gyroscopiques. ~ 515. Forces gyroscopiques...................... t555 ~ 516. Cas de deux variables...................... 555 ~ 517. Vibrations des electrons (Lorentz)............... 15. 556 CHAPITRE IX Mouvement d'un corps autour d'un point fixe. ~ 518. Considdrations generales..................... 558 g 519. Reperage de la position d'un corps et representation de son mouvement.................... 58 ~ 520. Expression de la vitesse d'un point et de la force vive totale en fonction de p, q, r................... 560 ~ 521. Expression des moments des quantites de mouvements (moment of momentum des Anglais, moment angulaire)........... 562 ~ 1522. Equations d'Euler.3....................... 63 ~ 523. Interpretation des 6quations d'Euler............... 563 Couples L, M, N, nuls. ~ 524. Cas ou les forces exterieures sont nulles.............. 564 ~ 525. Polodie............................ 1. 565 ~ 526. Herpolodie...................... 567 ~ 527. Stabilite............................ 568 ~ 528. Corps de revolution........................ 568 Cours de Physique. - H. BoUAssE. 44

Page  690 690 TABLE DES MATIERtES Couples L, M, N, non nuls. ~ 529. Corps de revolution autour de l'axe Oz................ 569 ~ 530. Emploi des equations de Lagrange................ 570 ~ 531. Mouvement stationnaire sans nutation............... 571 ~ 532. Discussion de la formule..................... 572 ~ 533. Gyroscope........................... 573 ~ 534. Changement de sens de la precession............... 574 ~ 535. Remarque sur les phenomenes du gyroscope......... 575 ~ 536. Stabilisation d'une oscillation............... 576 ~ 537. Mouvement avec nutation.................... 76 ~ 538. Calcul approche................... 578 ~ 539. Manipulation.................... 580 ~ 540. Couple appliqu6 au gyroscope; manipulations......... 580 ~ 541. Tourniquet................... 581 ~ 542. Culbuteur............................ 583 ~ f543. Pendule conique spiraloode................... 584 ~ 544. Petites oscillations simultanees de precession et de nutation; forces gyroscopiques.................. 585 ~ 545. Phenom6nes gyrostatiques dans les navires............ 587 ~ 546. Effets gyroscopiques sur les wagons............... 588 ~ 547. D6rive des projectiles lances par des armes ray6es......... 589 ~ 548. Effets gyroscopiques sur laxe des turbines Laval......... 590 ~ 549. Precession des equinoxes; description du phenomene....... 591 ~ 550. Cause de la precession des 6quinoxes................ 592 CHAPITRE X Problemes divers sur le mouvement des solides. Sphere sur un plan incline ou horizontal. ~ 55t1. Chute d'une sphere abandonnee sans vitesse le long d'un plan incline............................ 594 552. Equations du mouvement pour le plan incline.......... 596 ~ 553. Cons6quences generales des 6quations precedentes........ 597 ~ 554. Mouvement rectiligne dans le plan horizontal........... 598 ~ 555. Cas general dans le plan horizontal................ 600 ~ 556. Effet du coup de queue..................... 601 ~ 557. Coup de queue horizontal.................... 603 Choc des corps; application au billard. ~ 558. Theorie du choc de deux corps quand on n6glige le frottement pendant le choc.......................... 604 ~ 559. Corps denues d'elasticite..................... 605 ~ 560. Corps plus ou moins elastiques.................. 606 ~ 561. Resultats g6neraux....................... 606 ~ 562. Les centres d'inertie se meuvent avant le choc sur la normale au point de contact........................ 607 ~ 563. Perte de force vive dans le choc................. 608 ~ 564. Carambolages de deux spheres.................. 609 ~ 565. Reflexion sur un mur...................... 609 ~ 566. Reflexion sur la bande en tenant compte du frottement....... 610 ~ 567. Valeurs num6riques de toutes les quantitds introduites....... 611

Page  691 TABLE DES MATIERES 691 Toupie. ~ 568. Equations du mouvement.................... 613 ~ 569. Cas ou la nutation est nulle................... 614 Cerceau. ~ 570. Conditions geometriques de roulement............... 613 ~ 571. Equations g6enrales du mouvement................ 616 ~ 572. Equilibre du cerceau...................... 617 ~ 573. Petites oscillations autour de la position d'dquilibre........ 618 ~ 574. Direction du cerceau a l'aide du baton.............. 619 Bicyclette. ~ 575. Conditions gdom6triques du mouvement (Bourlet). 620 ~ 576. Equation des trajectoires.................... 621 ~ 577. Equation du mouvement (Boussinesq).............. 622 ~ 578. Transformation de l'6quation.................. 623 ~ 579. Discussion............................. 624. CHAPITRE XI Mouvement relatif. Syst6me plan6taire. ~ 580. Lois de Kdpler et hypothese de Newton............... 626 ~ 581. Mobilitd du Soleil....................... 627 ~ 582. Equations g6enrales; fonction perturbatrice......... 628 ~ 583. Comparaison des masses du Soleil et des planetes. 629 ~ 584. Etoiles doubles. Mouvements propres des etoiles........ 630 ~ 585. Constante de la gravitation.................... 631 ~ 586. Exp6riences de laboratoire................. 632 ~ 587. Mouvement general du systeme plantaire......... 633 Mouvements a la surface de la Terre. ~ 588. Equations g endrales.............. 634 ~ 589. Derivation dans un plan horizontal............ 635 ~ 590. Trajectoire d'un point sur le plan horizontal. 6.. 36 ~ 591. Corps tombant en chute libre.......... 637 ~ 592. Pendule de Foucault............ 638 ~ 593. Exppriences.............. 639 ~ 594. Remarques sur l'expdrience de Foucault........ 640 ~ 595. Pendule conique...................... 640 ~ 596. Couple resultant des accelerations complementaires pour un corps qui tourne autour de son axe de revolution...... 641 ~ 597. Barogyroscope....................... 643 ~ 598. Gyroscope de Foucault................... 643 ~ 599. Bille dans un tube parfaitement poli............... 644

Page  692 692 TABLE DES MA TI1RES CHAPITRE XII Manipulations. ~ 600. Esprit dans lequel doivent eAre faites les manipulations....... 646 ~ 601. Mesure du temps. Horloges................ 647 ~ 602. Compte-secondes, metronome.........6.... 647 ~ 603. Enregistrement des temps................ 648 ~ 604. Mesure des longueurs................... 649 ~ 605. Mesure des masses....................... 650 ~ 606. Mesure des angles...................... 650 ~ 607. M canismes....................... 65 ~ 608. Poulies.............................. 652 ~ 609. Moteurs, r6gulateurs, renvois................... 654 ~ 610. Manipulations avec des pendules.................. 655 ~ 611. Manipulations avec une carabine................. 66 ~ 612. Declenchements separes par des temps connus.......... 656 ~ 613. Metronome photographique (Bouasse et Sarda)........... 657 ~ 614. Phenomenes divers a 6tudier par cette metholde........... 659 ~ 615. Stroboscopie.......................... 63 Tables des integrales elliptiques completes................ 667 Table des polynomes de Legendre................... 669 Paris. - Impr. Charles Delagrave. - 3-10.

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Page  [unnumbered] COURS D MECANIQUE RATIONNELLE ET EXPERIMENTALE

Page  [unnumbered] LIBRAIRIE CH. DELAGRAVE, 15, RUE SOUFFLOT, PARIS DU 1MEME AU'TEURS: COIURS DE PHYSIQUE CONFORME AUX PROGRAMMES DES CERTIFICATS ET DE L'AGREGATION DE PHYSIQUE ler Fascicule. - Mecanique physique. Un vol. in-80, br.... 6 fr. 50 2 - -Thermodynamique. Th6orie des ions. Un vol. in-8, br. 7 fr. ):3e - - lectricite et Magnetisme. Un vol. in-8o, br... 12 fr. 4 -. - Optique. Etude des instruments. Un vol. in-80, br. 13 fr. 5~ - - Electroptique. Un vol. in-80, br. 14. fr. ) 6 - - Etude des symetries. Un vol. in-80, br.....14 fr. ) Inspir6 par des principes pedagogiques vraiment nouveaux et par une conception originale de l'enseignemcnt des Sciences physiques, ce cours, - le premier de ce genre, -- s'adresse non seulement aux professeurs et dtudiants, mais encore a tous ceux qui veulent approfondir la physique. Mecanique et physique (manuel du Baccalaurdat). Expos6 systnmatique, simple et bien ordonne, des faits essentiels, in-18, br.... 6 fr, Toile.,... 7 fr. AVEC LA COLLABORATION DE L. BRIZARD Professeur au Lycee Janson de Sailly. Manuel d'electricit6 th6orique et pratique, in-18, br..... 3 fr. 25 Toile.... 4 fr.

Page  [unnumbered] :-. COURS DE NCIfIF RATIONNELLE ET EXPERIMENTALE SPICIALEMENT ECIlIT POUR LES PHYSICIENS ET LES INGENIEURS CONFORME AU PROGRAMME DU CERTIFICAT DE MECANIQUE RATIONNELLE PAR H. BOUASSE PROFESSEUR A LA FACULTE DES SCIENCES DE TOULOUSE PARIS LIB RAIRIE CH. DELAGRAVE 15, RUE SOUFFLOT

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Page  1 A VANT-PROPOS Les postulats de la Mecanique rationnelle tiennent en quelques lignes. Conmme il ne s'agit pas plus de les demontrer que n'importe quel autre principe, un Cours de Mecanique rationnelle est une collection dexemples qui leur servent d'illustration. Les Cours ne different donc que par le choix des exemples et l'esprit dans lequel on les traite, ce qui suffit a les rendre tres dissemblables. La caracteristique du present ouvrage est d'etre ecrit par un physicien pour rendre service aux physiciens et aux ingenieurs que les aide-memoires ne satisfont pas. C'est un livre, du reste assez elementaire, d'enseignement superieur1. II est experimental sans etre technique; c'est dire qu'il s'arrete la o'i commence la discussion economique des 7nethodes et des appareils. Comme l'auteur prend a peu pres exactement le contre-pied des methodes de l'enseignement officiel francais, il doit au lecteur de lui dire pourquoi: c'est la plus necessaire des precautions oratoires. Les traites fran9ais de Mecanique rationnelle destines a l'enseignement peuvent etre divises en deux groupes: les uns sont dus a des mathtmaticiens, les autres a des ingenieurs. Le mathlmaticien de me'tier ne s'occupe guere de l'application, et les cas particuliers luzi repugnent. Malgre ses efforts, un probleme de mecanique devient vite entre ses mains un sujet de speculations mathematiques. J'admire que les candidats a I'Agregation de Mathematiques resolvent les merveilleux rebus offerts a leur sagacite. Generalement un gyroscope se promene sur un hyperbolo'de, qui glisse sur un tore, lequel est astreint a rouler et a pirouetter sur un helicoide,...; I'elnonce remplit une page de papier ministre. Ces jeunes gens resolvent le probleme en sept heures, commre qui plaisante. Je n'ignore cependant pas qu'en les placant devant une machine d'Attvood, on les embarrasserait fort. II est assurement necessaire de cultiver la MI canique dans ses i Comme ddveloppement, il correspond i dezzx leqons et unie conference par semaine pendant un an, precisement ai la scolarite' imposee pour un certificat. II va de soi qzie loutes les questions traitees ie sont pas d'egale importance immediate; mais le lecteur peut etre certain qzz'il les rencontrera TOUTES s'il poursuit ses etudes physiques, ou s'il vezzt 6tre autre chose cqz'nl ing6niezzr de second ordre. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 1

Page  2 2 AVANT-PROPOS parties les plus abstraites; je serais desole qu'elles ne fussent pas enseigne'es quelque part. Je n'ai pas l'outrecuidance de soutenir qu'il est moins indispensable aux futurs professeurs de Mecanique des Lycees de connaitre les e'quations d'Hamilton que la machine d'Atwood. Puisque l'opinion contraire est celle de nos ge'ometres, je m'incline. Mais je soutiens qu'une telle education mecanique est absurde pour les physiciens et les inge'nieurs. Je suis ici dans mon me'tier et n'y crains pas la contradiction. Si les inge'nieurs consentaient a rester eux-memes et a ne parler dans leurs livres que des choses qui leur ont servi, ne fut-ce qu'une fois et par hasard, ils ecriraient des ouvrages excellents dont la brievete ne serait pas le moindre merite. Mais l'esprit fausse des l'origine par l'education recue, ayant vu leurs professeurs admires pour embrouiller les questions les plus simples et cacher l'evidence sous un fatras de theoremes, ils s'imaginent que c'est la le but supreme. Pour imiter leurs modeles, ils font ce qu'ils peuvent. Restes excellents eleves de Speciales, ils enfilent donc une serie de propositions conduisant a des courbes ( genre taupin ), qu'ils discutent a l'aide de tableaux bien ordonnes; ils accumulent les exercices (( genre examen de l'Ecole Polytechnique.. Bref, ils grossissent jusqu'a cinq cents pages des ouvrages qui, excellents, tiendraient en cinquante. Du reste, peu liseurs de memoires et ignorants de l'histoire, ils retrouvent candidement I'Amerique et assurent leur decouverte par des theoremes d'enfants pre'coces. Je le repete, les Anglais sont 1 l pour le prouver, si les ingesnieurs restaient eux-memes, la lverite ils n'e'criraient pas des ouvrages theoriques; mais ils seraient parfaits dans un genre, non pas inferieur, mais different. Ces livres de science soi-disant appliquee, mais avec des pretentions a la science pure, sont un des fleaux de l'enseignement. II en parait sur les chronomntres, sur la balistique interieure, sur la balistique exterieure, sur l'hydraulique, sur l'elasticite, sur tout,... tous parfaitement illisibles, tous remplis de 95 0/0 de choses inutiles, inapplicables, erronees dans leur precision apparente. La consequence la plus nette est de nous rendre completement tributaires des livres etrangers et particulierement des Anglais, chez qui nous retrouvons le bon sens qui nous a quittes. Dans ce tournoi singulier d'ou sortent tant d'ouvrages a mourir d'ennui et de degout, les professeurs jouent un role exactement inverse, mais egalement nefaste. Depuis quelques anne'es il est de bon ton parmi nous d'aimer l'industrie comme on aimait la vie champetre du temps de Rousseau; et l'on voit des th6oriciens du genre le plus abstrait endosser (au figure) le bourgeron du contremaitre et s'efforcer de mettre leur science a la portee du nombre. Cela prend une tour

Page  3 A VAN T-PROPOS 3 nure (( foyer du peuple ) irresistiblement comique. Leurs pataques sans mesure feraient sourire les ouvriers, si par malheur les ouvriers pouvaient les lire. Une de leurs marottes consiste a demontrer les propositions les plus dif/iciles d'une maniere elemnentaire, c'est-a-dire en se privant de toutes les ressources des mathe'matiques. Ils rappellent ces nourrices qui betifient pour se faire comprendre. Ils parlent petit negre, oubliant qu'il est plus facile d'apprendre les mathematiques que d'apprendre a s'en passer. En ecrivant ce volume, j'ai sacrifie tout ce qui n'etait pas d'interet fondamental. Quand le jeu ne valait pas la chandelle, j'ai sacrifie jusqu'a la rigueur des demonstrations. Je veux etre lisible; comme dit l'autre, il est mauvais d'etre parfaitement ennuyeux. Souvent, en quelques pages, je resume des traites speciaux toujours enormes. Je veux que le lecteur, rencontrant par hasard ces monuments typographiques, ait l'impression qu'ils sont vides. Qui n'a pas fait cette remarque devant les traites de Statique graphique, oz la pauvrete du fonds ct l'ampleur de la forme deviennent une maniere de genie! Ils me rappellent les traites de Geometrie descriptive oi' trois theormnes, la queue leu leu et indefiniment repetes, constituent autant de volumes. Au surplus, je voudrais bien savoir a quoi riment toutes ces discussions algebriques sur les courbes a longue inflexion, les joints, les profils des engrenages, les trains... Avec raison les constructeurs s'en soucient cornm7e de leur premiere culotte, et 'interet nmathematique en est rigoureusement nul. Ce sont problemes de taupins dont Wlatt serait demeure stupide. D'aucuns compliquent par l'introduction du frottement dans les mecanismes: c'est a pleurer. On oublie trop que la vie est breve et les cerveaux de faible capacite. Vouloir les trop remplir, c'est preparer a l'ignorance sa meilleure excuse. La Mecanique est une science experimentale qu'on doit apprendre au laboratoire en faisant des experiences. II existe des manipulations de Mecanlique comme de Physique, pour la simple raison que la i/efcanique est le chapitre premier de la Physique: elle ne differe de celle-ci ni par ses methodes, ni par ses resultats. Je n'apprendrai rien a personne en disant que nulle part en France la Mecanique n'est enseignee comme une science experinentale. Que 'etudiant ne s'imagine pas trouver a Toulouse, plus qu'a la Sorbonne, les appareils que je decris. Ils existent dans mon laborai On sait comiment la Sorbonne comprend l'enseigrnement experimental. II y a quelques anndes, parconrant avec le jury d'Agrygation le laboratoire d'enseignement de la Sorbonne, je restai beant devant un ecriteau qui surmontait les miroirs de Fresnel: ( Defense aux etudiants de deregler l'appareil,. Je n'oserais publier zlne telle enormitd si je n'avais conmme temoin le jury d'Agregation des sciences physiques tout entier,

Page  4 AVANT- PROPOS toire: la Faculte a laquelle j'appartiens n'a su trouver ni le local ni 'argent necessaires a les installer pour l'enseignement. Une des formes du gachis oil la France est enlisee, est l'incapacite de faire le metier pourquoi on est paye, et la pretention d'en remontrer au voisin sur le metier qu'on ignore. Aujourd'hui les Universites enseignent l'agronomie en faisant pousser un haricot dans un tube a essai, transformnent en ingenieurs electriciens des gens qui ne savent pas les quatre rcegles, fabriquent du papier que les epiciers refuseront pour envelopper leur savon, construisent des aeroplanes,... bref, cumulent tous les ridicules et font toutes les sottises, sous l'ceil ahuri d'une administration incompetente. Mais quand un de nous veut faire son metier, on essaye par tous les moyens de lui rendre la vie insupportable; il n'est tracasseries qu'on n'invente. Si l'on n'y prend garde, d'ici vingt ans il n'existera plus d'enseignement superieur francais. L'etranger se moque ouvertement de nous; certaines recompenses que les Academies echangent a charge de revanche, et dont tout le monde connait la valeur scientifique, ne peuvent voiler le m71pris souriant dont on nous accable, et dont e'moignent tous ceux qui, assistant a des congres, ne sont pas aveugle's par l'admiration d'eux-memes. Nous avons perdu jusqu'au sens de T'enseignement superieur. L'enseignement superieur en Medcanique ne consiste pas a epiloguer sur les principes: ils n'ont d'autre valeur logique que de ( coller. avec l'experience. II ne consiste pas davantage a donner de ces principes de soi-disant demonstrations qui sont des sophismes; pas davantage a se prendre la tete dans les mfains et a se demander avec angoisse s'il pourrait bien arriver qu'ils ne fussent pas vrais. Toute cette pseudo-philosophie est d'une niaiserie indicible, assomme les etudiants, leur fausse l'esprit et les detourne de questions vraiment importantes. Que les mathematiciens s'amusent a creer de toutes pieces une Jlecanique sur d'autres principes, je n'y vois pas d'inconvenient! Mais qu'ils ne se croient pas pour cela utiles ou philosophes! C'est une ( forrme de plus, voila tout! Et de ces formes nous en poss6dons des centaines! L'enseignement superieur en iliecanique ne consiste pas a s'atteler aux equations de Lagrange et a les trainer, en suant, tout le long d'un volume; pas davantage a raisonner toujours a partir du principe des vitesses virtuelles, comme un philosophe qui se croirait deshonore de ne pas conclure toujours en baralipton. L'enseignement superieur en Mecanique ne consiste pas dans une rigueur formelle se ramenant a quelques ritournelles qu'il serait avantageux de numeroter, comzne les cantates du roi Bobeche. Aussi bien c'est, pour abreger les Cours, I'expedient que proposait naguere

Page  5 AVANT-PROPOS 5 un illustre mathematicien, sous une forme grave qui cache a peine l'ironie (du fond. L'enseignement superieur en Mecanique consiste a regarder autour de soi et a expliquer a ses eleves ce qu'on a vu et ce qu'il faut voir. Pas une science physiquze n'est aussi proche de nous, n'a des applications plus vulgaires et tombant plus naturellemnent sous notre observation journaliere. Nous ne somn7es pas tous forces d'illuminer des tubes de Rontgen, de planter des legumes et de soigner des bestiaux. Mais tous les jours nous experimentons les consequences d'un frottement plus ou moins grand, ne serait-ce qu'assis a notre table de travail, pour eviter que notre fauteuil ne s'echappe de dessous notre seant, ne serail-ce que pour faire tenir en place les tableaux quzi ornent nos murs, pour huiler la pendule ou la serrure, pour regler le pese-lettres. L'enseignement superieur en Mecanique consiste precisement a rassem7bler et a deduire d'un petit no7mbre de principes tous ces faits d'experience vulgaire auxquels nous ne pouvons echapper. Les plus vulgaires co7nme la toupie, le billard et la bicyclette, ne sont ini les plus faciles ni les 7oins interessants. Voila ce que doivent etre les Cours de Mecanique rationnelle et raisonnable. Par une supreme ironie, ils sont ordinairement confles a des gens de haute valeur, cela va sans dire, mais qui n'ont aucun sens experimental et pour lesquels le monde exterieur n'existe pas! 1 Je remercie sincerement 1MM. Tlnrriire et E. Bertrand d'avoir Lien vozllz rtelire les dprenves. Les dtudiants qui zitiliseront cet ozurage leur seront reconnaissants de nm'avoir facilite la correction du texte.

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Page  7 INTRODUCTION GEOMETRIQUE CHAPITRE I GEOME.TRIE DES MASSES1 Nous reunissons sous ce titre la theorie des centres d'inertie ou de gravit6, et la th6orie des moments d'inertie. Elles sont purement geometriques et gagnent a etre etudiees ind6pendamment de toute consideration statique ou dynamique. Centres d'inertie (ou de gravite). 1. Definition du centre d'inertie (ou de gravite). - Soit deux points A et C de coordonn6es xj, y,, z, et X2, 2, z2. Ils sont caracterises par les quantites mi et mn, positives que j'appellerai leurs masses, sans avoir a - preciser autrement la nature C de la masse. Par definition, le centre:I: d'inertie ou de gravite de ces masses2 est un point B " situe sur AC et tel qu'on / ait: ' AB. m,-BC-.m. (1) /Y A' Par definition encore, il est caracterise par une masse Fig. 1. m. — + m. 1 Si le lecteur ne sait pas un mot de Mecanique, nous lui conseillons de parcourir tout d'abord notre Cours de Physique pour la classe de Mathematiques A (Bouasse et Brizard, Delagrave). 2 Le terme usuel de centre de gravite implique lidee d'attraction newtonienne. En g6enral un corps ne possede pas de centre de gravite; l'existence d'un centre de gravite implique que les attractions sur tous les points du corps soient paralleles, ou encore que le corps soit tres petit. Le terme centre d'inertie ou centre de masses est infiniment prdferable.

Page  8 8 INTRODUCTION GEOOMlETRIQUE Pour un nombre quelconque de points de masses min, m2,..., le centre d'inertie est le point qu'on obtient en determinant de proche en proche les centres d'inertie: d'abord de deux points m, et m2; puis du centre obtenu et du point m3; puis du nouveau centre obtenu et du point m,; et ainsi de suite. I1 s'agit de montrer qu'on arrive en definitive au meme centre, quel que soit l'ordre dans lequel on utilise les masses; la proposition resulte immediatement des formules donnant les coordonn6es du centre pour un ordre arbitrairement choisi.?2n Tn2 11, + Tn. On a:- 7. BnaC -AB AC Les segments AB, BC, AC, sont proportionnels a leurs projections A"B", B"C"> A."C" sur un axe quelconque. D'oui les relations mz m/72 7Tt1 -M - 12a X22 -- - X- X X2 Xi X 2 (2) mi + — m, On trouve de meme deux formules symetriques en y et z. Cherchons le centre d'inertie du centre B ci-dessus d6termine et d'une troisieme masse in, de coordonnees X3, y8, z3. 11 suffit d'appliquer la formule (2): (m-, + M,|- + m,Xx M IX,, m - m^+ n-1X TlZnX" X (min, in) +inL, m, lm, m, La generalisation est imm6diate. Pour un nombre quelconque de masses, les coordonn6es du centre d'inertie sont: mnx Lmy,_ mz.s — (3) 2n7 m Z m La forme de ces expressions prouve que l'ordre dans lequel les masses sont utilisees n'influe pas sur le r6sultat final. 2. Generalisation pour un corps continu: definition de la densite. - Soit un volume v quelconque. Decoupons-le en petits volumes dv de formes quelconques et donnons-nous une fonction continue p des coordonnees telle que le produit pdv represente la masse de l'e6lment dv. Par definition, o est la densite de volume, ou la densite au sels ordinaire du mot. La masse totale a pour expression: M f ff dv; l'integrale est etendue au volume entier. G6neralisons les formules (3) selon les regles ordinaires du Calcul

Page  9 GEOMETR1E DES MASSES infinitesimal. Les coordonn6es du centre d'inertie du volume v sont:.fjff dvj jjy'p ' t JJ/pdv '~ fff?^ '(-I,f z dv i 'ffj'' (4) {{fI I i La recherche des centres d'inertie est done ramenee a un probleme de mathematiques pures. Naturellement un volume de forme donnee n'a un centre d'inertie de position connue a priori que si la densite est uniforme. C'est le seul cas que nous envisagerons. Les formules se simplifient: v~ fJ x dv, vr, =Qfy dv, V- i fffdv. (5) 3. Gas des surfaces et des lignes. - Le volume considere peut etre compris entre deux surfaces S tres rapprochees. Decoupons lune de ces surfaces en elements dS. Nous pouvons definir la densite superficielle c comme le facteur par lequel il faut multiplier l'element dS pour avoir la masse qui correspond a cet elnment, c'est-a-dire la masse comprise dans le volume delimite par les normales a la surface S passant par le contour de l'element dS. Le cylindre ainsi obtenu decoupe dans le volume v un element de masse adS. Les coordonnees du centre d'inertie ont pour expressions - ffxIS JfdS ',' I f7ry dS 'J JdS Jf'z dS (4') Pour determiner a priori les coordonnees du centre d'inertie d'une surface donnee, il faut supposer r constant. Les formules se simplifient: = fx dS, Sr, ffy dS, S'-Sff dS. (5') Enfin le volume peut etre r6duit a un filet, a un tube, comme limite a une courbe. La densite lineaire o est telle que cds represente l'element de masse de l'element ds de courbe. Les coordonn6es du centre d'inertie sont: fcx ds J- 8ds c_ y ds = 3 ds fsz ds Jf ds (4'") Si la densite est constante, il vient: s_ — Jx ds, s'r = fyJ ds, s= fz ds. (5") Determinons les centres d'inertie de quelques volumes, surfaces et courbes.

Page  10 10 INTRODUCTION GEOM TRIQUE 4. Remarques sur la sym6trie. - Le centre de symnetrie C d'une figure est un point tel qu'a tout point A correspond un autre point A' identique (de m6me masse) situe de l'autre cote du centre, sur la droite AC et I une distance CA'- AC. Le centre d'inertie d'une figure coincide avec son centre de symetrie, si elle en admet un. Une figure admet un plan de sy metrie P quand, abaissant d'un point A de cette figure une perpendiculaire sur P et prolongeant d'une Iongueur PAW AP, on retrouve un point A' de la figure identique au point A. Le centre d'inertie d'une figure est done sur tout plan de symetrie appartenant a la figure. Si le nombre des plans est sup6rieur a l'unite, le centre d'inertie est sur la droite d'intersection des plans (qui est un axe de sym6trie), ou en leur point d'intersection quand ils se coupent en un point. Un axe de symetrie ou de repetition L d'ordre p est une droite telle que la figure qui ladmet, possede des points identiques entre eux sommets d'un polygone regulier de p c6tes, normal a l'axe et dont le centre est sur l'axe. Le centre d'inertie de la figure est done sur tout axe de repetition lui appartenant et par suite a leur intersection s'ils sont plusieurs. On deduit de la que tous les axes de repetition d'une figure finie passent par un meme point. Si la figure est de revolution, le centre d'inertie est sur l'axe de revolution qui est un axe de repetition d'ordre infini. 5. Centre d'inertie d'un triangle, d'un trapeze,.. Soit une courbe rapportee a des axes obliques et pour laquelle Ox est un dianmtre des cordes paralleles A B a Oy (fig. 2). Cherchons le centre d'inertie d'une aire limitee par deux ordonn6es d'abscisses x0 et x\ et par la courbe. qO ~/_ _ // / ^~x I1 est certainenent sur le // va / diametre Ox. Le centre d'inertie d'un element AA' est en a; l'aire de; B'^ /4~ ~ cet element est proportionnelle # B ~~ a ydx. L'abscisse du centre Fig. 2. d'inertie est done xy dx Jy dx les integrales sont prises entre les limites x0 et x1. En particulier, si la courbe a pour equation: y -- Ax"",

Page  11 GEOMIETRIE DES MASSES 11 Im+1 Xm nt+2 m + 4-2 on a: - 2 xl1 -x0' APPLICATION AU TRIANGLE OU AU TRAPIZE. Ox joint le milieu des bases du trapeze; c'est la mediane du triangle. On a pour le trapeze: 1 0 2 /X: inI ^ 32xI-x Dans le cas du triangle: xo — 0, - 2* x: 3. Le centre d'inerlie est sur la mediane aux deux tiers en partant du som met. Gorollaire: les m6dianes se coupent en un meme point. 6. Centre d'inertie d'une pyramide, d'un c6ne a base plane,.. - Supposons que le volume, rapporte a des coordonnees obliques, soit decoupable par des plans paralleles au plan yOz en elements de volume avant leurs centres d'inertie sur l'axe Ox. Le volume d'un element compris entre les plans d'abscisses x et x+ dx est de la forme Kdcx, oui K est une fonction de x. Le centre d'inertie du volume compris entre les plans d'abscisses x0 et x1 paralleles a yOz, a pour abscisse: fKx dx K I(dx les integrales ont x0 et x, comme limites. En particulier, soit K —Ax", ou A est une constante. On a: m-+2 xm+2- mx2 1- x'0 APPLICATION A UNE PYRAMIDE TRONQUEE A BASES PARALLELES. Les aires des polygones semblables d6termin6s par des plans paralleles aux deux bases, varient comnme le carre de la distance au sommet. On a: 2 4 — 4 2n 3,3' *==1.-, XI --- 5o Si la pyramide est complete: _Xo- ~ - 31: 4. Le ceitre d'inertie est sur la droite qui joint le sommet au centre d'inertie de la base, aux 3: 4 de la longueur de cette ligne a partir du sommet. Ce r6sultat ne suppose rien sur le nombre des cotes du polygone de base: il est done applicable a un cone a base plane.

Page  12 12 INTRODUCTION G1OMLETRIQUE 7. Volume de revolution termine par des plans normaux a l'axe. - Prenons l'axe de revolution pour axe Ox; nous retombons sur le problnme du paragraphe precedent. Soit par exemple l'equation de la courbe generatrice; les aires des cercles determines par des plans normaux sont proportionnelles a: 2 __ A2X.2m L'abscisse du centre d'inertie est done: 2- 2n (+ I X x+ 2 x2w + 2 2m- 2 xIm+l 2 4 x2 Calculons (fig. 3, h gauche) le centre d'inertie du solide en entony B B A - c "c C, x Fig. 3. noir engendre par un arc de parabole OAB tournant autour de la tangente au sommet Ox: y-Ax2, m- 2, =. Calculons (fig. 3, a droite) le centre d'inertie du paraboloide engendre par l'arc OAB tournant autour de son axe Ox: - 2 y A\/x, 2m-=, x1. 8. Centres d'inertie d'un arc de cercle, d'un secteur circulaire et d'un segment (fig. 4). ARC DE CERCLE. Soit ABC l'arc de longueur I dans la circonference de rayon R. Son centre d'inertie est sur la droite OB qui joint le centre de la circonference au milieu de l'arc. L'abscisse ' est donnee par la relation (~ 3): 1 t xds R cos - des 2R2 sin a. J' —~d n.~e

Page  13 GEOMIETRIE DES MASSES 13 Les limites de l'integrale sont - 1 2; l'arc s est compte a partir du point B. cB sin a On a: 211 sin a. AC c, C R - R La distance du centre d'inertie au centre de la circonference est une quatrieme proportionnelle a l'arc, a la corde et au rayon. Pour une demi-circonference, on a: c =2R, 1 R-, ca =: 2, O 2R: 7. SECTEUR CIRCULAIRE. A A Par des rayons decomposons le sec- A' teur AOC en triangles infiniment petits dont les centres d'inertie sont sur la.0,B 0 B circonference A'B'C' de ravon 2R1: 3 (~) \/ C./ Nous sommes ramenes a d6terminer c c le centre d'inertie de 1'arc A'B'C'. Fig. corde AC OB1 arc AC 2 On a: corde A'C' OB' arc A'' 3'., 2 cRl 2 -3 I; " - 3 SEGMENT ABCD. Le centre d'inertie du triangle OAC est aux deux tiers de OD; son aire vaut (OD. AC): 2. Le produit de l'aire par labscisse du centre d'inertie est: 2 OL.AC c( c2) 3 2 3 R~ ' Le centre d'inertie du secteur OABC a pour abscisse 2cR 31; son aire est Rl: 2. Le produit de l'aire par Fabscisse est: 2cR RI cR_ 31 2 3 Pour obtenir le centre d'inertie du segment ABC, il faut ecrire qu'en composant (~ 1) les centres de ce segment et du triangle, on retrouve le centre du secteur: cR2 _ R c C2^1i^ C2 3 2 3 2 c3 i113 t-6RI - 3C /4R2 -c2 - 6. - 3 sin 2 -Pour = 0, on retrouve bien '"1R, ce qui est evident a priori.

Page  14 14 INTRODUCTION GEOMJt'TRIQUE 9. Centre d'inertie d'une zone spherique et d'un secteur spherique. ZONE SPH1RIQUE (fig. 5). On appelle zone la surface d6crite par un arc AB tournant autour d'un diametre Ox.?lty L/~L'aire d'un element de zone determine par AtE les angles a et a +da, est: BVX3~~ 27 ED. Rdo -- 2R2 sin a da. L'aire decrite par l'arc AB est S - 2,RR2 (cos a - cos ao) = 27iR(x,- x). ( G)- yit- l XL'abscisse du centre de gravite est definie A par la relation: / '\ S-= 2,R2A fsin a. x dr 27R3 j sinacos ada, 0k <t SL,_ = - (cos cos2 a") = R X-I), -- 2, H(x -x0) 2 SECTEUR SPHUIRIQUE (fig. 5). C On appelle secteur spherique le volume Fig. 5. engendre par la revolution du secteur circulaire AOB autour de OB. On peut le decomposer en petites pyramides dont les centres sont sur la zone A'B'C' de rayon 3R: 4. I1 reste donc h determiner le centre d'inertie de cette zone. D'apres ce qui precede, il est h egale distance de B' et de D. On a: 3 OD =-y R cos a, (, — 3R 4 I 3 -3R 2 UOG =8 R(l + cos2 a) 4 10. Theoremes de Guldin. 1~ Soit AB une courbe de longueur AB=s (fig. 6). Son centre d'inertie G a pour ordonnee:.~~- B1 d r, /s s y ds. y A/ _ Fig. 6. Fig. 6. L'aire de la surface engendree par la courbe tournant autour de Ox est: S 2r. y ds. D'oit la relation: S - 2^r,. s. L'aire de la surface engendree par une courbe plane tournant

Page  15 GEOMLETRIE DES MASSES 15 autour d'une droite de son plan qu'elle ne rencontre pas, a pour mesure leproduit de la longueur de la courbe par la circonference decrite par le centre d'inertie. Y Le theoreme s'applique a un angle de c rotation quelconque, car laire engendree et B le chemin parcouru par le centre d'inertie G sont tous deux proportionnels a cet angle. A 20 Soit une surface plane ABCD d'aire S, limitee par deux ordonnees EB, FC, et x tournant autour de Ox (fig. 7). L'ordonnee 0 E F du centre d'inertie de cette aire est Fig. 7. i S/y - Yo) /_+2 dx WI ___0 Le volume V engendre par l'aire ABCD tournant autour de Ox est: V=/(^ ^ _ y ()dx. D'out la relation: V- 2x7. S. Le volume engendre par une aire plane tournant a.utour d'une droite de son plan qu'elle ne rencontre pas, a pour mesure le produit de i'aire par la circonference que decrit le centre d'inertie. Le theoreme s'applique a un angle de rotation quelconque, car le volume engendre et le chemin parcouru par le centre d'inertie sont tous deux proportionnels a cet angle. Moments d'inertie. 11. Definition du moment d'inertie par rapport a une droite. - On appelle moment d'inertie par rapport a une droite la quantit: I - nr2; r d6signe la distance de la masse m a la droite par rapport a laquelle le moment est calcule; la sommation s'etend a toutes les masses de la figure consideree. S'il s'agit, non plus de masses distinctes, mais d'une masse continue, la somme est remplac6e par une integrale. Soit p la densite de volume; on a: I-Sfffr2p dv. Les moments d'inertie par rapport aux axes ont pour expressions: A = 2: M(y? + z 2) 3- m(zS + z2), e C _=m(X2 + y).

Page  16 r16 INTRODUCTION GEOMlIETRIQUE Nous verrons que dans les calculs s'introduisent, outre les quantites pr6cedentes qui se ramenent aux quantites: t1 = m.xz, 3' = my-, '= mz les quantites: () = =myz, i - nmzx, =- mxy, qu'on designe sous les noms de produits d'inertie. La theorie des centres d'inertie nous conduit a etudier les quantit6s: Imx, Zmy, Imz. Toutes les fonctions du premier et du second degre des coordonnees apparaissent done dans nos calculs. 12. Moments pour toutes les droites passant par un point. - Generalement pour toutes les droites qui passent par un point O quelconque du corps etudie, les moz ments d'inertie ne sont pas les memes. M Montrons que tous ces moments sont dtermines par la connaissance de six N ~/ ^y quantites. Prenons le point 0 pour origine des coordonnees. Menons une droite OA dont les cosinus directeurs sont o a2 x, (, y. Determinons le moment d'inertie pour cette droite (fig. 8). ~/~/ ~D'un point M quelconque de coordonnees x, y, z, abaissons sur OA une Fig. 8. perpendiculaire. Posons MN - r. On a: I =,lr2 - m(OM2- O-N2 I Z=m[(x2 +.2+.2)- (X + y + z)2].,c~lz=.m(-y2 z2), 9 13m(z2 +x), ~ zm(x4/ Y2); ( -= -myz, c = nzx, 3== mxy. I1 vient immediatement: I- =5 2+ 3jS+2+c 2C Y- 2yci-2%c 2. Quand les six quantites c,...,, relatives au point O sont donnees, les moments sont determinables pour toutes les droites qui passent par ce point. 13. Ellipsoide d'inertie; axes principaux. - Posons IE2_ 1. Portons sur la droite OA une longueur proportionnelle a s, c'est-a

Page  17 GEOMETRIE DES MASSES 17 dire a I:,/I, inverse de la racine carre du moment d'inertie correspondant a OA. Soient X, Y, Z, les coordonnees de l'extremit6 de ce vecteur; on a: cAX2 + Y2+ Z - 2(OYZ - 2RZX - 2XY- 1. (1) La surface repr6sentee par cette equation est une quadrique admettant le point 0 comme centre. Le moment d'inertie etant toujours reel, fini et non nul, la surface est necessairement un ellipsoide: l'ellipsoide d'inertie. Les moments d'inertie sont done representes par les inverses des carres des rayons vecteurs de cet ellipsoide. Rapportons l'ellipsoide (1) a ses axes; son 6quation prend la forme: AX2 BY2+ CZ2. Les axes de l'ellipsoide d'inertie relatifs au point 0 s'appellent axes principaux d'inertie au point 0. Is sont tels qu'on ait: Emyz == mzx =m mxy = 0. Les quantit6s A, B, C, sont les moments d'inertie principaux au point 0. Si l'ellipsoide est de revolution, deux des quantites A, B, C, sont egales; il existe une infinite de droites passant par 0 et situees dans un plan (equateur de l'ellipsoide) pour lesquelles les moments d'inertie sont egaux. Si les quantites A, B, C, sont egales, les moments d'inertie sont 6gaux pour toutes les droites qui passent par le point 0: l'ellipsoide est une sphere. 14. Comparaison des moments d'inertie pour deux droites paralleles dont l'une passe par le centre d'inertie. -Le moment d'inertie I d'un corps par rapport a un axe AB est ^ egal au moment d'inertie I' par A rapport hi un axe A'B' parallele et passant par le centre d'inertie G G, plus le produit de la masse totale du corps par le carre de la 0 A 0' distance h des droites AB et A'B' (fig. 9). Prenons laxe AB pour axe Oz et tracons l'axe Ox dans le plan passant par les deux droites. B B L'abscisse h du centre de gravite satisfait a la relation (~ 1): Fig. 9. hlm -= imx. Cours de Pbysique. - H. BOUASSE. 2

Page  18 18 INTRODUCTION GEOMlTRIQUE On a par definition: I = m(X2+ y2), I' = m[(x - h)2 + y2] - I 2h/zmx + h2Zm. D'ou: I- I'+ h2m. Pour connaltre les moments d'inertie par rapport h un axe quelconque, il suffit done de connaltre les moments d'inertie par rapport a toutes les droites passant par le centre d'inertie, et par consequent de connaitre l'ellipsoide d'inertie relatif h ce centre. COROLLAIRES. 1~ Tous les moments d'inertie relatifs a un corps sont connus quand on se donne la masse du corps et six quantites, a savoir: les moments principaux pour le centre d'inertie et la direction des axes principaux relatifs a ce point. 20 Le moment d'inertie relatif a une droite est toujours plus grand que le moment d'inertie relatif a une droite parallele passant par le centre d'inertie. 15. Condition pour que les axes principaux d'un point soient paralleles aux axes principaux du centre d'inertie. - Prenons le centre d'inertie pour -tr^,origine des coordonnees et les axes principaux pour axes de coordonnees. On a par consequent:, A m x m- - =my = mz =0, myz = Imz x=- my = 0. 0~/ ~~ ~-Par le point A de coordonnees X0/ x o, Zo, menons des axes Ax', Ay', Az', paralleles aux precedents (fig. 10). Fig. o1. Determinons les quantites Q, 8, (, relatives a ces nouveaux axes. (C = my'z' = m(y - y') (z - z0) = y0z 0m, & =L zmz'x' =- m(z - Z,) (x-x0) =z0x^0 n2, = mx'y'-= i(x-Xo)) (y -yo) =xoyo m. Pour que les axes Ax', Ay', Az', soient principaux pour le point A, il faut qu'on ait: YoZo - ZoXo - Xoy - 0; le point A doit etre sur l'un des axes principaux relatifs au centre d'inertie.

Page  19 GQOMSTR1E DES MASSES 19 D'une maniere generale, une droite n'est axe principal que pour un de ses points. I1 y a exception pour les axes principaux du centre d'inertie; nous venons de montrer qu'ils sont principaux pour tous leurs points. De plus, les deux autres axes principaux sont paralleles aux deux antres axes principaux relatifs au centre d'inertie. 16. Points pour lesquels l'ellipsoide d'inertie est uOe sphere. - Si ces points M existent, ils doivent etre sur les axes principaux du centre d'inertie 0. En effet, quand l'ellipsoide est une sphbre, tout systeme trirectangle est un systbme d'axes principaux; les axes principaux du point M sont done paralleles aux axes principaux du centre d'inertie: done M est sur l'un de ces derniers axes. Supposons M sur l'axe des z. Soit A' le moment d'inertie par rapport aux deux droites paralleles a Ox et a Oy menees par M; soient A et B les moments par rapport a Ox et Oy. On a; A B'C' A'lA+M2m - B+ 2OMI2m; A-=B. Done l'ellipsoide d'inertie relatif au centre d'inertie est de revolution et admet OM comme axe de revolution. Les moments C et C' par rapport a Oz sont evidemment les mgmes pour les points O et M. Comme on a: A.'> A, on doit avoir: C>A. Or A et C sont les inverses des carres des axes. L'axe suivant Oz de l'ellipsoide central est done plus petit que l'axe suivant Ox ou Oy; I'ellipsoide central est done de revolution et aplati. I1 existe alors deux points M, situes de part et d'autre du centre d'inertie sur l'axe de revolution, a une distance h donnee par les relations: C A+h2 m, h2 =(C -A): m. Si C-A, c'est-a-dire si l'ellipsoide central est une sphere, il n'existe aucun autre point satisfaisant a ces conditions. 17. Remarques sur la symetrie.- Quand un corps possede un plan de symetrie, deux des axes principaux relatifs a tous les points de ce plan sont dans ce plan; le troisieme lui est normal. Car le plan doit 6tre de symetrie pour les ellipsoides d'inertie relatifs a tous ses points. Quand un corps possede deux plans de symetrie et n'en possede qie deux, ils sont necessairement rectangulaires. L'intersection de ces plans est axe principal pour tous les points de cette droite; les deux autres axes principaux de ces m6mes points sont dans ces plans. Quand un corps possede plus de deux plans de symetrie passant par la meme droite, l'ellipsoide d'inertie est de revolution pour tous les points de cette droite qui est axe de revolution pour l'inertie. Car

Page  20 20 INTRODUCTION GEOMhITRIQUE un ellipsoide ne peut sans etre de r6volution admettre plus de deux plans de symetrie passant par la meme droite. Quand un corps possede un axe de repetition, si cet axe est binaire, il est principal pour tous ses points; si son ordre est superieur a deux, l'ellipsoide est de revolution autour de l'axe de repetition. Quand un corps possede plusieurs axes d'ordres superieurs a deux, l'ellipsoide d'inertie relatif au centre d'inertie (point d'intersection des axes) est une sphere. 18. Calcul des moments d'inertie; rayons de giration. - Le paragraphe 14 nous permet de ne calculer les moments que pour le centre d'inertie. Nous supposerons la matiere homogene (p constant); on definit alors le rayon de giration 31 par la condition: I n r VCo2. (1) C'est la longueur par le carre de laquelle il faut multiplier la masse totale pour obtenir le moment d'inertie. Le moment est le meme que si la masse etait localisee sur un cerceau infiniment mince de rayon 9A. I. CYLINDRE DE RAYON R ET DE HAUTEUR I; /Rn E\ r /1 AXE PARALLELE AUX GENERATRICES ET PASSANT PAR LE CENTRE DE LA BASE (fig. 11). Decomposons le cylindre en tubes elementaires concentriques de rayon r et d'epaisseur dr. L'aire de la section droite est 2wr dr; la masse du tube est 2Tr dr. pl; son moFig. 11. ment d'inertie par rapport a l'axe est done 2wr3dr.pl. Ona: R 2 ('pl) 2 1I 27 2rr3 dr. pl 2 RI-,R4p I R2p) 0 31'<2=11: 2. Le calcul correspond au cas de disques pour un axe perpendiculaire h leur plan et passant par leur centre. On remarque que la hauteur 1 n'entre pas dans 31. C'est evident a priori; il revient au meme d'avoir un cylindre I fois plus long ou I fois plus dense. 1II. ANNEAU CYLINDRIQUE DE RAYONS R0 ET R1 ET DE HAUTEUR 1. C'est le meme probleme (fig. 11 a droite), mais l'integration doit etre faite entre Ro et R,. I 2 (Rn-R)pl - [(Rt-R Bp)] 1 2- ~ 2 2 JD R

Page  21 GJIOMLTRIE DES MASSES 21 Si Ro devient egal a R1, c=- R,, ce qui est evident a priori. III. CERCLE DE RAYON R ET D'iPAISSEUR dl; MOMENT PAR RAPPORT A L UN DE SES DIAMETRES (fig. 12). Le r6sultat est evidemment le m6me quel que Tz soit le diam6tre considere. Soit dS un 6lement; prenons deux axes Ox et Oz passant par le centre du cercle. \ Le moment par rapport a Oz est: /px2dl.dS; Ox est: fz2dldS Fig. 1 Jgr Fig. 12. L'un ou l'autre de ces moments est donc egal: odl __ pdl = 2 X dS + ZdS) r2dS, ou r designe la distance de l'element l'axe. Pour integrer, d6composons le cercle en couronnes de rayon r et d'epaisseur dr: I ~1=1^ 2-r3 dr -- 7T RI R*(=dl. xR ) - I pdl 11R2 11 2 z 4 4 2 - R2 4. IV. CYLINDRE DE RAYON R ET DE LONGUEUR AUX GENERATRICES ET PASSANT PAR LE CENTRE D INERTIE (fig. 13). Decomposons en plaques minces, normales aux generatrices, d'epaisseur dx et situees a la distance x de la section droite mediane. Appliquons le theoreme du ~ 14 et le resultat III. Le moment d'inertie d'une des plaques est: I; AXE PERPENDICULAIRE x 0 Fig. 13. dx. +- dx. pR. x2. Integrons entre 0 et 1: 2; doublons le resultat: I=R, lP 4+ 2' -t-2 + 1 V. TUBE CYLINDRIQUE DE RAYONS Ro ET Ri (fig. 13). M6me calcul: I+= _R21p 1- + 2 ]J - 12P t +- 12 ].

Page  22 22 INTRODUCTION GEOMETRIQUE La masse totale est,(R - Ro2)p. La mettant en facteur, il vient: R2 +R 12 VI. AIGUILLE MINCE. I1 faut faire dans la formule precedente (IV): R -- j C2 - 12 Ce resultat est deja tres approche pour un barreau relativement epais. Soit: R= 0,5, -- 10. Le rapport du second terme au premier est: 412: 12R2 400: 3 —133. VII. PRISME DROIT A BASE RECTANGLE; AXE NORMAL A L'UNE DES FACES ET PASSANT PAR LE CENTRE D'INERTIE (fig. 14). Le calcul se fait exactement comme pour les cas III et IV. Soit 1 et h les cotes de la face perpendiculaire a l'axe: h2 + 12 12 Fig. 14. Fig. 15. VIII. SPHERE DE RAYON R; MOMENT PAR RAPPORT A UN DIAMETRE (fig. l5)~ Decomposons la sphere par des plans perpendiculaires a l'axe Oz, en disques d'epaisseur dz et situes a une distance z du centre. Leurs rayons r satisfont a la condition: r2 + z2 - 2. Le moment d'inertie de chaque disque est (I): ~r* 2 - dz. I1 faut calculer l'integrale: r R +R 2 S r47 - dz= _ (12 z2)'d 2 2 l 9 E — *s js -1R -R Tous calculs faits, on trouve: 2R2 jj2 5)

Page  23 CHAPITRE II GE O METRIE DES VECTEURS Nous employons dans ce Chapitre les mots force et couple sans y attacher aucun autre sens que celui qui sera defini. Le lecteur doit s'abstraire de toute consideration statique ou dynamique et considerer les problemes traites comme purement geometriques. Nous pourrions tout aussi bien remplacer le mot force par le mot rotation instantanee, le mot couple par le mot translation instantanee; nous pourrions employer telles autres denominations: rien ne serait change aux theoremes qui sont absolument generaux. 19. Definition et composition des forces. - Nous appelons force une grandeur dirigee, un vecteur, defini par un fragment de droite AB, ayant une longueur AB representative de sa mesure et une direction CD (fig. 16). Le point d'application est l'extremite A du vecteur: c'est un point QUEL- A CONQUE de la droite CD qui est la directrice de la force. Le vecteur force est corn- pletement defini par sa directrice, son sens et sa / longueur. Fig. 16. Tons les theoremes qui suivent supposent explicitement que le point d'application actuel est arbitraire le long de la directrice, alors meme qu'il serait exceptionnellement bien determine par la nature physique du problnme. Considerons par exemple une force au sens propre du mot. Pour la pesanteur, le magn6tisme et l'electricite, les forces sont appliquees a des 6elments de volume parfaitement d6termines. 11 resulte de la cette circonstance que si l'on tourne le corps, les directrices des forces appliquees a un point passent toujours par ce point. Mais pour

Page  24 24 INTRODUCTION GEOM1TRIQUE une position determinee du corps, peu importe le point d'application choisi sur la directrice actuelle. En Mecanique abstraite, il est done absurde de definir, comme on le fait trop souvent, une force par sa grandeur, sa direction et son point d'application. Par definition, la somme de deux forces OA et OB, plac6es sur deux directrices qui se coupent en 0, est un vecteur admettant comme directrice la diagonale du parallelogramme construit sur OA et OB. Sa longueur est OC, son point d'application est un point quelconque de la directrice OC. La somme, ou plus pr6cisement la somme geometrique de deux forces, est ce qu'on appelle leur resultante. De la definition de la somme se deduit immediatement la definition de la diff6rence. La difference de deux forces OC et OB est la force OA, qui appliquee au meme point O (nous savons ce que cela signifie) et ajoutee a OB redonne OC. C'est done le vecteur BC transporte parallelement a lui-meme, de maniere que sa directrice passe par le point 0. La multiplication d'un vecteur et sa division par un nombre consistent a changer sa longueur dans un rapport donne, sans modifier ni sa directrice, ni son sens. Nous n'avons pas a definir le produit ou le quotient de deux vecteurs; la mise en ceuvre de ces definitions constitue la Theorie des Quaternions. Nous adnettons la regle du parallelogramme. Elle ne peut se demontrer que grace a des postulats; nous pr6ferons la prendre pour principe et epargner au lecteur des demonstrations sans aucun interet, puisqu'en d6finitive il faut toujours en arriver a admettre gratuitement quelque proposition. La regle du parallelogramme nous servira de base pour la Theorie des vecteurs. II resulte immediatement de ce qui precede que deux forces egales, de sens contraires et admettant meme directrice, ont une somme nulle. Nous admettrons, comme hypothese supplementaire, que nous avons le droit d'introduire autant que nous voudrons de groupes de deux forces 6gales, de sens contraires et admettant meme directrice. En pure logique, c'est introduire autant de fois rien qu'il y a de groupes; en fait, c'est, comme nous le verrons, une hypothese dont la legitimite n'est pas evidente. 20. Polygone des forces. - Des forces dont les directrices passent par le meme point, sont dites concourantes (fig. 17). Soit a additionner des forces concourantes 1, 2, 3,..., non situees dans le meme plan, dont nous transporterons les points d'application au point de concours. Appliquons la regle du parallelogramme successivement aux forces 1, 2, 3,...

Page  25 GEOIMETRIE DES VECTEURS 25 La somme de 1 et de 2 est le vecteur OB (non trace); la somme de OB et de 3 est le vecteur OC; et ainsi de suite. D'oUi la regle suivante: a partir du point de concours, menons successivement le vecteur 1, puis un vecteur 2' egal et parallele a 2, puis un vecteur 3' egal et parallele a 3,... et ainsi de suite. Nous obtenons ainsi un polygone gauche OABCDE A 2 B appele polygone des forces. La resultante / des forces est le vec- teur OE. R Une question se pose: '\ obtenons-nous la meme resultante OE quel que D soit lordre d'utilisation des vecteurs? L'affirmative resulte Fig. 17. de ce lemme evident que la somme des projections sur une droite quelconque de plusieurs droites dirigees est independante de 1'ordre dans lequel les droites sont utilis6es. Autrement dit, la somme de plusieurs segments ayant meme directrice est permutative. Ceci pose, soit une droite D quelconque perpendiculaire a la resultante OE, fournie par l'emploi des vecteurs dans un certain ordre arbitrairement choisi. Considerons deux promeneurs: P se deplaqant sur le polygone OA... E, P' projection de P sur D. Lorsque P sera parvenu en E, P' parti de 0 se sera deplac6 sur D d'une maniere que nous n'avons pas a specifier; mais en d6finitive il sera revenu en 0. Autrement dit la somme algebrique des projections des forces sur la droite D est nulle. D'apres le lemnme, cette conclusion reste vraie pour un ordre quelconque dans l'emploi des vecteurs. Done, quel que soit l'ordre utilise, la projection du vecteur resultant sur un plan normal / 7 a OE est toujours nulle; done le vecteur / resultant possede la direction OE ind6- pendamment de l'ordre choisi. Le lemme prouve immediatement que sa longueur n'en d6pend pas davantage. o _ Inversement on peut remnplacer un vecteur OE par les vecteurs OA, AB, \, BC,..., DE, quelconques, dont les directrices sont transportees de maniere a passer par le point 0. Y\ En particulier, soit Ox, Oy, Oz, trois Fig. 18.

Page  26 26 INTRODUCTION GEOMAITRIQUE axes de coordonnees generalement obliques (fig. 18). Tout vecteur OC: peut 6tre remplace par trois vecteurs OA, OB', OC', paralliles aux axes. Pour les obtenir, on mene CB parallele a Oz, BA parallele l Oy. Si l'on veut, OC est la diagonale du parallelepipede construit sur Ox, Oy, Oz. 21. Calcul de la resultante. - Remplaqons chacune des forces F par ses composantes X, Y, Z, suivant trois axes rectangulaires. Soit a, (, y, les cosinus directeurs de F. On a: X =-Fa, Y - F1, Z - F. F2 — X2 + y2 +Z2. Operant de meme pour toutes les forces, on trouve pour les composantes de la r6sultante suivant les axes = Xx, ) = Y, c = Z. I1 est evident a priori que la projection de la resultante sur une droite est egale a la somme des projections des composantes sur cette droite. La resultante a pour grandeur: l - X2 + 32 + 2 Elle fait avec les axes des angles dont les cosinus directeurs: sont definis sans ambiguite; dans ces expressions f doit etre prise positivement. 22. Composition de plusieurs forces paralleles, de mmem sens, situees dans le meme plan. - Soient deux forces paralleles AB, CD, de m6me K sens, dont nous plaqons arbitrairement les points ~ ^ \ ~d'application en A et C (fig. 19). Utilisant un corollaire de o~ / _, < c. l'hypothese fondamentale,, C ^ \F Jaj outons un groupe de forces ~B ~L \ ^^-= egales, opposees et de mme directrice, AE et CF. TransporLons les resulD <_. _tantes AG et CH, au point H de concours K; recompoFig, 19. sons-les. Nous obtenons ainsi une resultante KL. evidemment paralllel aux forces donnees et egale a leur somnme.

Page  27 GEIOMlITRIE DES VECTEURS 27 Determinons la position de sa directrice, par la position du point M ou elle coupe AC. On a AM MK MC MK GB AB' )H CD ' DH GB; A. AB= — C. CD. Le point M divise AC en deux segments qzi sont en raison inverse des forces correspondantes. Les points A et C sont arbitraires, mais le resultat est absolument independant de leurs positions; en effet, toute secante determine avec les mgmes droites AB, KM, CD, deux segments qui satisfont a la regle precedente. La regle se generalise immediatement pour un nombre quelconque de forces paralleles, de meme sens, situees dans un meme plan. La resultante est 6gale i la somme des composantes; la position de sa directrice se calcule de la maniere suivante. Prenons une origine 0 et tragons une droite quelconque Ox. Soit F1, Fa,... les forces, x1, x2,... les distances au point O des traces de leurs directrices sur la droite Ox. Calculons la distance x de la trace de la resultante des forces 1 et 2: F, (x -'x) =F2(X2 - ), x(F, + F,)=- Flx + F2X2. Calculons la distance x' au point O de la trace de la resultante de la force 3 et de la resultante partielle dejh obtenue. I1 suffit d'appliquer la formule precedente: x [(F1 + F2) + F3] z(F + F,) + x3F3 =F1x + F2x2 + F323 La generalisation est immediate. La distance ~ de la trace sur Ox de la resultante generale est oeF La forme de ce resultat prouve que l'ordre dans lequel on compose les vecteurs est indiff6rent. 23. Remarque sur les points d'application. - Supposons que les points d'application des forces F, et F2 soient par exception bien determines et se trouvent en A et en C. Cela signifie que pendant les deplacements du systbme forme par les points A et C supposes invariablement lies, les forces paralleles F, et Fs continuent a passer par les points A et C. La resultante peut etre consideree comme ayant elle-m6me un point d'application parfaitement determine, qui est le point M de la droite AC. En effet, quelle que soit la direction des directrices AB et CD, les forces conservant le mame rapport, la directrice de la r6sultante passe toujours par le point M.

Page  28 28 INTRODUCTION GAOMETRIQUE Le resultat se generalise pour un nombre quelconque de forces paralleles, de meme sens, situees dans un meme plan. Le point d'application de la resultante se calcule comme le centre d'inertie des points d'application des composantes en lesquels on dispose des masses numeriquement egales aux forces. 24. Composition de plusieurs forces paralleles situees dans le meme plano - Considerons deux forces paralleles, de sens contraires, AB, CD (fig. 20). o Pour avoir leur resultante, '~/^~! / ~ choisissons leurs points d'apC/\ / B plication A et C. Ajoutons le c/ /, G groupe AE, CF; transportons A/ //// les resultantes AG, CH, au E/ // / point de concours K; recomI!/ ^ / / / posons. | / DVf / > Nous obtenons une resul//ante KL evidemment parall/le aux forces donnees et egjale a leur difference. Des considerations immediates de similitude donnent la position du point M, trace ~J~~//^~ / ~sur AC de la directrice de la resultante Fig. 20. MvA.AB M C. D. (1) La directrice cherchee est exterieure aux deux directrices AB, CD; elle est du cot6 de la plus grande des forces. Prenons une origine 0 quelconque. Calculons l'x du point M. La condition (1) devient: (X, - x) F,1 (X2 - x) F; x(F2 - Fi) - F1x, + Fx. Pour ramener ce resultat a la forme pr6ecdemment obtenue, il suffit d'une convention de signes. Posons que les forces sont comptees positivement vers le bas: F doit etre remplacee par -F1. La formule devient identique a celle du ~ 22 Fxx, + F2X2 Un nombre quelconque de forces paralleles peut 6tre divis6 en deux groupes; l'un contient les forces positives, l'autre les forces negatives. D'oui deux resultantes. En composant les deux resultantes, on aura la resultante generale. Comme dans les diverses operations, on emploie la meme formule pour calculer la position de la direc

Page  29 GEOMEITRIE DES VECTEURS 29 trice de la resultante, il est possible de trouver le resultat d'un seul coup. 11 suffit d'appliquer la formule: 22Fx F ' en convenant de donner le signe + aux forces qui sont dirigees dans un sens, le signe- aux forces qui sont dirigees en sens inverse. 25. Cas g6neral. - Supposons enfin que les forces paralleles, de l'un ou l'autre sens, ne soient plus dans un mgme plan. Considerons un plan parallele aux forces et projetons dessus toutes les forces. La resultante de deux forces se projette evidemment suivant la resultante de leurs projections. D'ou la m6thode generale de calcul suivante. Coupons par un plan quelconque le systeme des forces paralleles. Soit x., y; s2, y2;... les coordonnees des traces des directrices par rapport a deux axes quelconques situes dans ce plan. Les coordonnees 5, r, de la trace de la directrice de la resultante sont: IFx r Fy ZF I F Les forces sont prises avec les signes + ou - suivant leurs sens. Ces formules determinent sans amhiguite la position de la directrice de la r6sultante. C'est tout ce dont nous avons generalement besoin. Si palr exception les points d'application des composantes sont bien determines, le point d'application de la resultante l'est aussi. Reprenant le raisonnement du ~ 23, nous trouvons immediatement les formules donnant ses coordonnees. Soit x1, yl, z1, les coordonnees du point d'application de la force F., x2, Y2, Z2, les coordonnees du point d'application de la force F2,..., et ainsi de suite. Les coordonnees du point d'application de la resultante sont 2 Fx _2Fy EFz ~ F 'F 2F Le point d'application cherch6 se calcule comme le centre d'inertie de masses F,, F2,..., disposees aux points d'application des forces F,, F2,... Nous generalisons en un sens la notion de centre d'inertie, puisque nous consid6rons des masses positives et des masses negatives. Aussi bien nous pouvons calculer separement le point d'application de la resultante des forces d'un sens, et le point d'application de

Page  30 30 INTRODUCTION GEIOMVETRIQUE la resultante des forces de l'autre sens. Nous avons deux centres de forces. On rencontre de tels calculs dans la determination des poles des aimants permanents. 26. Definition du couple. - On voit immediatement dans la figure 20 que le point K de concours est a l'infini quand les forces a composer sont egales et de sens contraires. Les formules donnent le meme resultat, dans le cas general, lorsque F-=0. Nous arrivons done a cette conclusion que si la resultante de forces paralleles est nulle, sa directrice est tout entiere a l'infini. Le syst6me de deux forces paralleles, egales, de sens contraires, situ6es sur des droites distinctes, ne peut done en aucune maniere etre assimile a une force. Nous le consid6rons comme une quantite de nature speciale que nous d6signons sous le nom de couple. Nous allons etudier les lois qui regissent les couples; nous montrerons qu'on les peut representer par des vecteurs. 27. Translation, rotation et transformation des couples. - 1~ Un couple peut etre translatC oi I'on veut dans son plan ou dans tout plan parallele (fig. 21). Soit Fo, Fo, un couple dans le plan Po. \ I F Dans un plan parallele quelconque P1, C c1 menons le segment CD egal et paralllee i/\,F P AB. Appliquons aux extremites de CD Fo 0_ IF_ quatre forces, deux a deux egales et de j^^^ ^_QI signes contraires, et egales aux forces F I, F'0. Nous creons ainsi (et c'est legitime 1\ Fo' E ^\ d'apres la fin du ~ 19) deux couples egaux et de sens contraires qui se detruisent, 0 u~P1 puisque les forces se d6truisent. Fig. 21. Menons AD et CB; ces lignes se coupent au point O qui les divise en parties egales. Composons Fo et F,; nous obtenons OE. Composons F0 et F; nous obtenons 0I egale et opposee a OE, et qui par consequent d6truit OE. I1 ne reste que le couple F1, F'; ce qui demontre la proposition. 20 Un couple peut etre tourne comme on veut dans son plan. Par le milieu 0 de la droite GC perpendiculaire aux forces, menons une droite EOD et prenons EO =OD =:C (fig. 22). Appliquons aux extremites de ED quatre forces, deux a deux opposees, egales entre elles et aux forces Fo, Fo. Composons Fo et F2; la resultante est dirigee suivant AO. Composons Fo et F', la resultante est dirigee suivant BO. Les quatre forces Fo, Fo, F2, F', disparaissent. I1 reste le couple F1, F'; ce qui demontre la proposition.

Page  31 GEOMJETRIE DES VECTEURS 31 3~ Un couple peut etre remplace par un couple d'e6/al moment. On appelle moment d'un couple le produit de la mesure d'une des forces par la mesure de la distance des deux forces, que nous appellerons bras de levier. ~~~~F,] n~~F Fo D C A__ B. I 0, F2 \F I F, Fig. 22. Fi g. 23. Soit Fo, Fo, les forces d'un couple. Soit 0 le milieu de leur distance AB (fig. 23). Appliquons en C et D, a egale distance de 0, quatre forces deux a deux oppos6es, egales entre elles. Leur grandeur F est determinee par la condition: OD.F- OB.Fo, ou encore: CD.F AB.Fo. Composons F0 et F2; la resultante, egale a F2-F0, passe par le point 0 (~ 24). Composons Fo et F; meme conclusion. Done ces forces se detruisent. II reste le couple F1, F', dont le moment est egal au moment du couple primitif; ce qui d6montre la proposition. 28. Representation des couples. - Un couple est done completement caracterise par la direction de son plan, la grandeur de son moment et son sens. I1 est done naturel de le representer d'une maniere qui, laissant de c6te les conditions accessoires, mettra seulement en evidence les conditions essentielles. On convient de representer un couple par un vecteur appele axe du couple, normal au plan du couple et dont la longueur represente conventionnellement le moment du couple. Ce vecteur n'est pas defini en position; il n'est defini qu'en direction. Dej, dans le cas de la force, le point d'application du vecteur n'est assujetti qu'a etre sur une droite. Dans le cas du couple, il n'est assujetti a aucune condition. Ce mode de figuration resume les propositions precedentes.

Page  32 32 INTRODUCTION GEOME TRIQUE I1 s'agit de definir le sens du vecteur par rapport au sens du couple. Nous devons insister sur les conventions qui relient une translation et une rotation. La regle que nous allons appliquer est celle du tire-bouchon. Quand un tire-bouchon ordinaire s'enfonce, on tourne a droite ou dextrorsum. Le tire-bouchon relie donc une translation vers le fond de la bouteille et une rotation, par une convention qu'on appelle convention a droite. AZ)~ ZA~ ~ Si la vis du tire-bouchon etait en sens inverse, le tire-bouchon s'enfoncant tournerait a gauche ou sinistrorsum. La convention serait o0~ x 0 ___ a gauche. Y Appliquons aux axes de coordonnees (fig. 24). y Axes a gauche / Axes a droite On convient d'appeler positifs, Fig. 24. des d6placements vers les x,, z, croissants; positives, des rotations amenant Ox sur Oy, Oy sur Oz, Oz sur Ox. Ceci pos6, la figure montre un systeme d'axes a droite et un systeme d'axes a gauche. Pour celui de droite qui est a droite, le tirebouchon, avancant sur Oz, tourne a droite de Ox vers Oy; c'est 'inverse pour le systeme de gauche. On applique la meme regle pour placer le vecteur repre-—,7 11/0?7 d~ ~sentatif du couple (fig. 25). 6bvendzh zvente h droie Co roCo e dans ce volume Fig. 25. nous employons a la maniere francaise des axes a gauche, nous utilisons pour les couples une convention a gauche. 29. Composition des couples. - Pour que la representation des couples par des vecteurs soit admissible, il faut que la regle de composition des vecteurs s'applique aux couples. Nous allons demontrer qu'il en est bien ainsi. Si les couples sont dans le m6me plan, ou dans des plans paralleles, ils sont representes par des vecteurs de meme direction, que V'on peut supposer sur la meme droite. De plus, on peut imposer aux couples le meme bras de levier. Dire que la regle de composition des vecteurs s'applique, revient done a dire que la somme de deux forces ayant meme directrice est egale a la somme ou a la difference des longueurs representatives, suivant qu'elles sont de meme sens ou de sens contraires. Supposons que les vecteurs representatifs des couples n'aient pas

Page  33 GEOMJTTRIE DES VECTEURS 33 meme direction, ou, si l'on veut, que les couples ai composer ne soient ni dans le meme plan, ni dans des plans paralleles. On peut toujours leur donner pour bras de levier le meme segment de l'intersection de leurs plans: cela resulte immediatement des theoremes precedents. Nous sommes done ramenes a la figure 26. It devient evident que la r6sultante + des vecteurs representatifs k0 et +, represente F bien le couple qui resulte de la composition des forces constituant \ les couples primitifs. Les triangles de construction ont en effet leur cotes proportionnels et respecti- vement deux a deux a angles droits. Le theoreme demontre pour deux couples est 6videmment vrai pour un nombre quelconque. CONCLUSION Nous distinguons done deux sortes de vecteurs. Les uns (forces, rotations,...) ont une directrice, un sens et une grandeur d6termines. Ils sont d'ailleurs appliques a un point quelconque de leur directrice. Les autres (couples, translations,...) n'ont pas de directrice determinee; ils sont completement d6finis par leur direction, leur sens et leur grandeur; leur point d'application est arbitraire. La regle du parallelogramme s'applique aux uns et aux autres. Reduction generale d'un systeme de forces. 30. Reduction a une force et a un couple.- Un systeme quelconque de forces peut toujours se ramener a une force passant par un point arbitrairement choisi et a un couple. La force a meme grandeur, meme direction et meme sens quel que soit le point choisi; l'axe du couple est generalement inclin6 sur la force. / Soit F1 l'une des forces du systeme, 0 le point choisi (fig. 27). Menons par O deux forces opposees, egales a F1. La Fig. 27. force F, est rernplac6e par une force F~ parallele passant par le point 0, et par un couple. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 3

Page  34 34 INTRODUCTION GEOOMIETRIQUE Operons de meme sur toutes les forces, F1, F.,... Nous les remplacerons: 1~ par des forces egales et paralleles passant par 0, et dont la resultante R est une force passant par 0 mais independante de la position de ce point; 2~ par des couples que nous composerons en un couple unique. C. Q. F. D. 31. Reduction a une force et a un couple dont l'axe est parallele a la force, - LEIMME. Le systeme d'une force R et d'un couple C (fig. 28) dont laxe est normal a la force et dont la grandeur est M, equivaut a une force R' parallele, egale a la premiere, situee dans le plan du couple a une distance h qui satisfait a la relation: R' KR M-hR. o0-n 0o c En effet, dans le plan parallele au plan du couple et passant par R, considerons le point O' a la distance h de 0. Menons les forces R' et R" paralleles a R. Le couple (RR") de moment M - hR, et de sens inverse au couple C donne, Fig. 28. dtruit celui-ci. Il ne reste que la force R' qui satisfait a l'6nonce. Ceci pose, considerons le systeme de forces quelconques reduit a une force R et a un couple d'axe C (fig. 29). D6composons C en deux, C' parallele a R et C" normal a R. Le systeme (R, R C") equivaut a une force R', egale a R, convenablement placee dans le plan normal a C". D'ailleurs l'axe d'un couple a un point d'application arbitraire. C' Donc le systeme (R, C) est remplacable par le systeme (R', C') qui satisfait a l'enonc6. 'C"1 - La droite qui est la directrice de la force quand Fig. 29. l'axe du couple est parallele a la force, s'appelle axe central. Reciproquement, la reduction ne peut se faire que d'une maniere il n'existe qu'un seul axe central, qu'une seule droite sur laquelle puisse se trouver la force resultante quand le plan du couple lui est normal. Considerons en effet tout autre droite que celle qui vient d'etre determinee. Pour transporter dessus la resultante, il faut ajouter un couple dont l'axe soit normal a cette resultante et proportionnel au deplacement. Cet axe compose avec l'axe parallele a R donne necessairement un couple d'axe plus grand. Appelons Co le moment du couple pour l'axe central, C, le moment

Page  35 GEOllOMITRIE DES VECTE URS 35 du couple dont l'axe est normal a la resultante R, " l'inclinaison du couple resultant C sur la r6sultante R. On a (fig. 30): O-Vc: + co - C,, c C. c = /CO +-l C, C=R/, tt == -, - Ccos = Co. La figure 30 montre clairement la disposition des vecteurs. Le phenomene est de revolution autour de l'axe central. Pour des Axe c.entra,4xr CeY7i-/ \// \^ \^^/ 1.^ / K-cr Fig. 30. points pris a egale distance r de cet axe, les axes des couples resultants C ont meme longueur et sont egalement inclines sur l'axe central. Ils sont tangents a la surface du cylindre de rayon r. Le phenomene est cylindrique, puisque nous pouvons deplacer la r6sultante le long de ses directrices qui sont paralleles entre elles, et prendre arbitrairement le point d'application de l'axe des couples. Le couple est minimum pour l'axe central. On obtient ce minimum C0 en projetant l'axe d'un couple quelconque C sur la directrice de la resultante correspondante, ou sur toute droite parallele. 32. Reduction symetrique d'un systeme de forces a deux forces - Dorenavant nous donnerons un systeme de forces par son axe central, sa resultante R et son couple minimum C0 (fig. 31). Menons une droite Ox perpendiculaire a l'axe central. Prenons OA = OA'; appliquons en A et A' deux forces respectivement egales a R: 2. Enfin explicitons le couple C0 en deux forces egales et opposees AC et A'C, appliquees en A et A' normalement a Ox. ()n a Co AA'. AC. Composons AC et AB, AC' et A'B'. Nous rempla9ons le systeme primitif par deux forces AD et A'D', egales, egalement inclinees sur xOy; elles sont tangentes au cylindre circulaire d'axe OR et passant par A et A'.

Page  36 36 INTRODUCTION GEOMETRIQUE Le ph6nomnne est cylindrique et de revolution autour de OR; on obtient le meme resultat pour toute droite parallele au plan xOy et rencontrant OR. On a AC Co: 2x, AB R: 2. tga -- AD= R 2\/R+| | Axe centra/ R / 2 B' B c' / A' A r y/ Fig. 31. Pour x — 0:, a 0, '=z cC. b}_ se redresse a mesure que x croit. Pour x oc, a-:2, P — R:2. 33. Reduction d'un systeme de forces a deux forces; on donne la directrice de l'une d'elles. - Soit OA la directrice imposee. Reduisons z / le systeme de forces ~/k^Rt l ~i l a a rsultante II -_, / \........ ~ / passant par 0 et au A -.......................: couple C correspon\ —. -—;dant (fig. 32). Mellons le plan P perpendiculaire a C \// ~",/ et passant par 0. Le / B,/ ' p plan passant par R y/ / et la directrice impoFig. 32. see OA coupe le plan P suivant OB. Explicitons enfin le couple C en deux forces OB et D1 e6gales et oppos6es satisfaisant aux conditions suivantes: 1~ elles reproduisent le moment C; 2~ OB composee avec R donne une force dirigee suivant OA. La seconde condition impose a OB1 une certaine longueur; la pre

Page  37 GEOMIETRIE DES VECTEURS 37 miere place la force DE (egale a certaine distance OD de O. Le systeme des forces OA et DE, plan, est equivalent au systeme des forces donnees: la reduction cherch6e est ainsi obtenue. THEOREMnE. Le volume du tetraedre construit sur OA et DE est constant. Le volume d'un t6traedre est egal au produit du tiers de la base ODE par la hauteur. D'apres la definition du moment d'un couple, on a: ODE -2 C. OB) et de sens oppose a une qui ne sent pas dans le meme La hauteur du tetraedre est la Fig. 33 projection de OA sur C (ou Oz), ou encore la projection de R sur C puisque la droite PA est parallele a xOy. Le volume V cherch6 est done '1 1 V- - RCcos,- - RC0, d'apres le ~ 31. Le volume du tetraedre construit sur les deux forces est constant. Moments. 34. Moments d'une force par rapport a un point, par rapport a une droite. - On appelle moment d'une force AB, par rapport a un point 0 (fig. 33, a gauche), le produit de la force par la distance du point a la directrice de la force. C'est par consequent le double de laire OAB du triangle construit avec le point 0 et les extremites du vecteur comme sommets. Naturellement la position du vecteur sur sa directrice n'intervient pas. Le moment de la force par rapport au point 0 n'est pas autre chose que le moment du couple obtenu (~ 30) dans la reduction d'une force a une force et un couple, quand on choisit le point 0 pour centre de reduction. On appelle moment d'une force AB par rapport a un axe 00' (fig. 33, a droite), le produit de la force projet6e sur un plan normal a l'axe 00' par la distance OC de l'axe a la directrice de la force. Les notions ici introduites ne different pas de celles dont on parle aux paragraphes precedents; sous d'autres mots, ce sont exactement

Page  38 38 3INTRODUCTION GtEOIE'TRIQUE les memes. On le verra immediatement par l'enonce des propositions que nous allons demontrer. Le moment par rapport t un point se represente par un vecteur normal au plan du triangle OAB et dont la longueur mesure le double de laire de ce triangle. Faisons passer un axe quelconque par le point 0; le moment de la force par rapport a cet axe est la projection sur cet axe du moment par rapport au point. Reciproquement le moment par rapport au point est la somme geometrique des moments par rapport a trois axes quelconques passant par ce point. Nous retrouverons done tous les th6oremes demontr6s pour les couples. Procedons a leur demonstration analytique. 35. Expression analytique D " des moments par rapport a l'origine et aux axes de coordonnees. - 1~ Soit M (.x, y1, z) le point d'application de la force F dont les composantes (~ 21) sont X, Y, Z. Soit a,, *;, les cosinus directeurs de la directrice D. On a (/x 7. 34). X/ — F, YXF, Y F Z=Fy.,/ D ODe l'origine des coordonnees abaissons OP perpendiculaire Fig. 34. sur I). On a OP2 ( )M - MP - OM2 - OM'- cos'2. op= (x + + 2) - () X + ( + Yz)2. Des reductions simples donnent oP-2 (,y - )29 + ( - )')- + (Xtr -2 y/) Le carre du moment de la force par rapport h 0 est done, -Y -OP2.F 2-(Z - Y)2 + (X- Z) +(xY - X). 2~ Evaluons le moment par rapport at l'axe Oz. Projetons D sur le plan xOy. Abaissons OQ sur D'; le moment cherche est le produit de OQ par la projection /X2 — + - de la force sur xOy. Nous sommes done ramenes exactement au meme probleme que

Page  39 GEI'OMlTRIE DES VECTEURS 39 ci-dessus. I1 suffit de poser: z 0, Z -0, dans la solution I1 reste pour expression du moment par rapport a l'axe Oz N-xY - yX. Choisissant les signes de maniere que la rotation se fasse de Ox vers Oy, de Oy vers Oz, de Oz vers Ox (~ 28), nous trouvons pour les moments par rapport aux trois axes L = Z- zY, M -zX- xZ, NxY=,Y-/X; 312 = L + M2 + N2. Ces relations demontrent les theoremes annonces. REMARQUE. On verifiera immediatement les relations L+ My +Nz -0, LX +MY + NZ-0; le vecteur L, M, N, est normal aux deux vecteurs OM ar, de composantes x, y, z, et F de composantes X, Y, Z. Nous venons done de resoudre le probleme suivant qui se retrouve a chaque page du Cours de Physique: Chercher un vecteur L, M, N, normal ci deux vecteurs donnes x, y, z, et X, Y, Z, et egal a leur produit multiplie par le sinus de l'angle e qu'ils font entre eux: rF sin, c'est-a-dire egal l'aire du parallelogramme construit sur ces deux vecteurs. 36. R6duction analytique d'un systeme de forces 'a rne force et un couple. - Reprenons l'operation du ~ 30. Un systeme quelconque de forces dont les composantes suivant trois axes rectangulaires sont generalement represent6es par X, Y, Z. et dont les points d'application ont x, y, z pour coordonn6es, se ramene a une force passant par l'origine des coordonnees et dont les composantes sont c-V =, = — Y,:^ z, et a un couple dont les moments sont L -:(yZ - Y), M - E=(ZX X — ), N - (xY - X). Si on choisit comme centre de reduction un point de coordonnee

Page  40 40 INTRODUCTION GEOME TRIQ UE a, b, c, la resultante conserve la meme expression. Les couples composants deviennent L' = L - - (]Z - cY) = L- (b -- c —), M' =M- (cX-aZ) M -(cX-a^), N' = N - Y-(a - (-X)-. N - 1o Pour que le systeme se reduise a une force unique, il faut que le couple ait son axe normal a la resultante; d'oui la condition L'X + M'- + N' LoX, + M + N - O. Il est 6vident (~ 31) que si la condition est satisfaite pour un centre de reduction, elle est satisfaite pour tous les points de l'espace. 20 Pour que le syst6me se reduise a une force unique passant par le point de coordonnees a, b, c, on doit avoir L' -M' —N'- 0; la relation du 1~ se trouve naturellement satisfaite. 30 Pour que l'axe central passe par le point a, b, c, il faut ecrire qu'en ce point l'axe du couple est sur la directrice de la resultante L' iM' N' Zk. D'ou deux conditions lineaires entre a, b, c, definissant une droite. 4~ Consid6rons le produit LX +M M' + N- = L'NX + M'y +- N'; c'est un invariant; il conserve la meme valeur quel que soit le centre de reduction choisi. Or pour un point de l'axe central on a: L'X + M' +- N' =- k (o2 + - + — ^~); done cette relation est toujours satisfaite. Done k est un invariant. Effectivement nous savons que la projection de l'axe du couple sur la resultante est la meme quel que soit le centre de reduction; k mesure le rapport de cette projection au carre de la resultante invariable. Travail des vecteurs. 37. Definition. - Le travail du vecteur F, dont le point d'application se deplace de l'el6ment d'arc ds, est Fds cos 0; 0 est l'angle de la force et de l'are pris dans le sens du mouvement.

Page  41 GEOMETRIE DES VECTEURS 41 Dans cette definition, le point d'application n'intervient pas par sa position absolue, mais par la variation de cette position. Sa position initiale est encore arbitraire sur la directrice de la force. Le theoreme fondamental de la theorie du travail des vecteurs est connu sous le nom de Varignon: le travail de la resultante est egal a la somme des travaux des composantes, dont la demonstration se ramene immediatement a celle du th6oreme: la projection sur une droite quelconque de la resultante est egale a la somme des projections des composantes (~ 21). Soit d'une maniere generale X, Y, Z, les projections des forces sur trois axes rectangulaires, x, y, z, les coordonn6es du point d'application; le travail de la resultante des forces, egal h la somme des travaux des composantes, a pour expression dE = - (Xdx + Ydy + Zdz). 38. Travail des vecteurs dans la rotation autour d'un axe. - Appliquons la formule precedente au cas d'une rotation autour de l'axe des z. Nous poserons generalement: x- rcos 0, y - r sin, dr -dz O. Quand 0 croit, le deplacement se fait de Ox vers Oy; la rotation est positive. On a: dx -r sin0 dO -- y dA, dy = rcos dO - xdO. d( S Xdx + Ydy - (xY - yX) dO NdO. Le travail elementaire dc dans la rotation dO autour d'un axe est gal au- produit NdO de la rotation par le moment des forces par rapport c cet axe. C'est precis6ment de cette proposition que les moments tirent leur importance fondamentale. 39. Vecteurs definis dans un champ par un potentiel.Soit une fonction des coordonnees V(x, y, ), connue, ainsi que ses derivees, dans un espace donne. Posons que le travail d'un vecteur dont le point d'application (que nous supposerons Lien determine) passe sur une courbe quelconque d'un point A a un point B, est defini par la relation CAB -= VA -VB; VA et VB sont les valeurs de la fonction V aux points A et B. Nous disons que le vecteur admet le potentiel V dans l'espace donne, qui est son champ. De cette definition deduisons l'expression du vecteur en fonction du potentiel en un point quelconque de son champ.

Page  42 42 4INTRODUCTION GEOMETRIQ UE Soit deux points voisins A et B d'une courbe quelconque, dont les points sont reperes par la longueur s de l'arc compte a partir d'une origine 0. Le potentiel en A est V; il est V+- + d s en B. Soit F la projection du vecteur au point A sur la tangente a la courbe. Le travail du vecteur quand son point d'application va de A a B, a pour expressions: bV d = Fds — VA B - ds; d'ou:' F — F Os La projection de la force au point A sur une direction quelconque est egale au taux d'accroissement chaznke de signe du potentiel quand on se deplace dans cette direction a partir diu point A. Si les points A et B sont a une distance finie, le travail quand on va du point A au point B suivant la courbe s, est CAB= — b =- -VB; conformement a la d6finition, il est independant du chemin parcouru. COROLLAIRE. Les composantes de la force suivant trois axes rectangulaires sont bA z - b x - i-x' Y-~6,, Z — -a6: 40. Surfaces equipotentielles; lignes et tubes de force. - La fonction V (x, y, z), etant continue dans un certain espace, reste constante le long de surfaces dites equipotentielles. Certaines de ces surfaces peuvent s6vanouir en une ligne ou en un point. Quand le point d'application du vecteur se deplace sur une surface equipotentielle, son travail est identiquement nul. Le vecteur est donc normal a la surface equipotentielle qui passe par son point d'application. Considerons d'une part le faisceau des surfaces equipotentielles, d'autre part le faisceau des courbes orthogonales a ces surfaces. Ces courbes s'appellent lignes de force; elles out la propriete fondamentale d'etre tangentes aux vecteurs en leurs points d'application. Par tous les points d'une ligne fermee, menons les lignes de force, c'est-a-dire les courbes orthogonales aux surfaces equipotentielles. Nous obtenons une sorte de cylindre generalise, qu'on appelle tube de force.

Page  43 I GCULMET'HIE LDES VECTEURS 43 41. Exemple. - Supposons le potentiel defini par la relation: V Vo (log r - log r2), r,: 7r exp (V: V)); r' et 7'9 sont les distances a deux droites normales au tableau dont les points A et B sont les traces sur le tableau (fig. 35). Nous poserons AB= 2a; nous prendrons la droite AB comme axe des x et la droite normale au milieu de AB comme axe des y. Les surfaces equipotentielles sont des cylindres circulaires dont les traces sur le tableau ont pour equation 9+ y- 2-p+ 2=0, (1) ou p est un parametre variable. On a en effet FL _ / +(x a),^ /P+a y V 2+ ( x-a)2 p — a Ces circonf6rences admettent l'axe des y pour axe radical. Leur centre a pour abscisse p; leur rayon est =/pa-i. Elles admettent comme limites d'une part les points A et B Y (rapport des distances nul ou infini), d'autre part l'axe des y (rap-. - - port egal a l'unite). Le potentiel sur l'axe des y estprecisementO. i 0 On a g6n6ralemene t ' sur une surface 6quipotentielle 2 piU- a Les lignes de force sont des circonferences Fig. 35. situees dans les sections droites des cylindres et passant par les droites A et B. Leur equation est: x -4- Y/ - 2qy — 2 0. (2) Les circonferences (1) et (2) sont orthogonales; en effet le carre de la distance des centres p2+q-2, est egal it la somme des carres des rayons p2 —a, q0- a. Les tubes de forces peuvent etre limites par deux cylindres de parametres (q et Yq, et par deux plans paralleles au tableau de cotes z, et z,. On n'oubliera pas que le phenomene est cylindrique. Le potentiel est positif et infini au point B, negatif et infini au point A. Les lignes de force vont vers les potentiels decroissants et par consequent de B a A. On dit que les tubes 6manent du point B et aboutissent au point A.

Page  44 44 INTRODUCTION GEIOMETRIQUE 42. Autre exemple. - LEAMME. Considerons les deux faisceaux de courbes: I r7 a sin"0, II 7,n_ ]0 COSO. Je dis qu'ils sont orthogonaux (fig. 36). Soit deux de ces courbes se coupant 3Y I au point A. Appelons. l'angle que fait la tangente aux courbes avec la circonference de centre O passant par le point P-^ A. On a evidemment, en grandeur et signe: dr d log r It V- rcIdo dO ' Les courbes sont parcourues dans le 0 sens des 0 croissants;,J est compte posiFig. 36. tivement vers l'ext6rieur de la circonference i partir de celle-ci. Ceci pose on a I log r- log a - n log sin 0; tg )p.: n cotg 0. II n log r- n logb -- logcos; - tg,-n tg0. D'oui enfin: tg J tg. - 1. C. Q. F. D. Remarquons que les courbes r" -a sin O, cr ancos, sont la meme courbe qui a tourne d'un angle droit. Ce lemme demontr6, 6tudions de plus pres un cas fondamental en Magnetisme. Prenons pour potentiel la fonction cos 0 -- ~0 ' Les surfaces equipotentielles sont de revolution autour de Ox; elles admettent comme meridiennes les courbes II 7r - b2 os0. D'apres le lemme, les lignes de force sont planes, contenues dans les meridiens et ont pour equation I r- asin"0. La figure 37 represente en pointille les meridiennes des surfaces 6quipotentielles, en traits pleins les lignes de force. Calculons la force en un point M. Pour cela calculons ses com

Page  45 GEOMETRIE DES VECTEURS 45 posantes, R suivant le rayon, T suivant la tangente a la circonf6rence de centre O passant par le point M. On a: bV cos R — r -2Vo r-; O r2Y0 r3 bV 1 abV sin l ~ ~T -- ( r 7 b- r- 3 -. En particulier, sur l'axe des x (0=0, 0= ) la composante tangentielle est nulle; la composante radiale est pour toutes les valeurs de x dirigee vers les x croissants. La force est en raison inverse du cube de la distance. Fig. 37. Pour tous les points de l'axe des y, la composante radiale est nulle: la force est normale a l'axe des y. Pour toutes les valeurs de y, elle est dirigee vers les x decroissants. La resultante H a pour expression: V0 H -— 1 i4 cos 0 + sin2 0. Elle fait avec le rayon vecteur un angle ac qui satisfait a la relation: tg O-=- tg0. Le potentiel a une infinite de valeurs a l'origine 0. Tout pros de l'origine, il est infini pour les plus petites surfaces vers les x positifs.

Page  46 416 INTRODUCTION GE'OMIETRIQUE II decroit h mesure que la surface grandit; devient nul quand elle se r6duit au plan perpendiculaire au tableau et passant par Oy. A gauche de ce plan le potentiel diminue a mesure que les surfaces decroissent. 11 devient — oc pour les surfaces evanouissantes, voisines de l'origine du cote des x negatifs. 43. Potentiel ayant une infinite de valeurs au meme point. - Prenons pour surfaces P.0 A r yj k I. S, Fig. 38. 6quipotentielles des demi-plans s'arretant a une droite indefinie dont la trace sur un plan normal est represent6e en 0 dans la figure 38. Prenons pour expression du potentiel: V - VOa; 2 est l'angle du demi-plan considere avec un demi-plan P pris pour origine des; azimuts. A chaque demi-plan correspond une infinite d'angles 2, differant entre eux d'un multiple entier de 2,:; nous devons poser: V V,, o+ 2kV,,o, ou a. est le plus petit angle positif avec P. Le potentiel n'est d6fini qu'a une constante pres. Mais si la valeur absolue du potentiel qui convient at un plan S1 est inconnue, une fois cette valeur choisie et une trajectoire donnee, la valeur du potentiel d'un demi-plan S, quelconque est parfaitement determinee. Soit en effet 2x et.2 les plus petits angles que S, et S, font avec P dans le sens positif. Posons pour S: V,= Vx, + 2k/1V,. Quand nous allons de S, a S2 sur la trajectoire EF, ou encore EFGK, ou sur toute autre trajectoire n'entourant pas le point 0, le potentiel de S, est: V - V02 -+ 2/1 V0. Au contraire, si nous allons de S, a S2 sur la trajectoire ABCD, faisant un tour autour de O dans le sens positif, le potentiel de S. est: V = Voa,- + 2k-V, + 27-Vo, V+, + 2-,Vo. En general, si la trajectoire fait n tours autour de D, n pouvant etre positif ou negatif et repr6sentant la somme algebrique des tours positifs et n6gatifs, on a: V- VV, - 2nV0o. En particulier, si l'on part du plan S, pour y revenir, la variation de potentiel est.: 2-nVo. Ceci pose, etudions les forces.

Page  47 GE1OMIETRIE DES VECTEURS 4 7 IHes lignes de force, normales aux surfaces equipotentielles, sont des circonferences situ6es dans des plans paralleles au tableau et ayant leurs centres sur la droite 0. A une distance r de cette droite, la force a pour expression 6V 1 V V_ ( F- 6(r7) r 6 r' Elle est en raison inverse de la distance h la droite 0, naturellement dirigee tangentiellement aux lignes de force, vers les c. decroissants si V0 est positif. Quand on va d'un point du champ a un autre point, le travail est ind6pendant des trajectoires planes ou gauches suivies (c'est en cela qu'il existe un potentiel), a la condition qu'elles fassent en definitive le nmeme nombre de tours autour de la droite 0 dans le mene sens (cette restriction est la cons6quence de la non-uniformite de ce potentiel). Flux des vecteurs. 44. Flux d'un vecteur a travers une surface. - Soit S une surface, dS un de ses elements. Soit F un vecteur d6fini en tous les points de la surface, et plus g6enralement dans une portion d'espace qui contient la surface consid6ree; il fait l'angle a. avec la normale ON (fig. 39). On appelle fluxd du vecteur a travers tzne portion de la surface, l'integrale /'F cos,7C dS F etendue a cette portion. Elle n'est d6fi- "S nie en signe que si l'on choisit un sens \ sur la normale, c'est-a-dire si on peut distinguer lune de l'autre les deux Laces de la surface. On peut donner au flux une autre forme. Soit X, Y, Z, les composantesig. 39. de F en un point x, y, z, de la surface; soit 1, m, n, les cosinus directeurs de la normale. On a,/"YF cos adS / l(lX+ n-Y + nZ)dS. En choisissant pour decouper les aires dS des plans paralleles aux plans coordonnes, on a encore: f F cos a dS =ff(Xdy dz + Ydz dx + Zdx dy). I1 faut pour appliquer cette formule tenir compte des conventions

Page  48 48 INTRODUCTION GEOMETtRIQUE de signe. Considerons une droite parallele a l'axe des x et definie par des valeurs donnees de y et de z. Si la surface est fermee, un point se deplacant sur cette droite de x —oc a x= +oc, penetre dans l'espace limite par la surface au point d'abscisse xj, en sort pour x2, y rentre pour ~3,... Le nombre des points d'entree et de sortie est evidemment pair. Soit X1, X2,... les valeurs correspondantes de X: nous devons ecrire, en convenant de prendre la normale positivement vers l'exterieur de la surface ffXdy dz f(X - X,) dy dz + (X, - X3) dydz +... Si la surface est ouverte, nous devons compter positivement X quand la traversee se fait dans un sens suppose defini a l'avance, negativement quand elle se fait en sens contraire. 45. Flux conservatif et non conservatif. - La portion de surface a travers laquelle on considere le flux est necessairement limitee par une courbe ferm6e C. Supposons le vecteur defini dans tout l'espace et faisons passer par la courbe C une infinite de surfaces. Calculons le flux du vecteur pour les portions de toutes ces surfaces qui sont limitees par la courbe C. Si le resultat est le meme, on dit que le flux est conservatif ou qu'il se conserve. Nous pouvons enoncer ce qui precede en d'autres termes. Attachons a la courbe C supposee rigide une surface parfaitement deformable. Le flux est conservatif s'il est le meme, quelle que soit la forme que nous donnions a cette surface, l'integration etant toujours faite jusqu'au contour C. Cette maniere d'op6rer a l'avantage que, la deformation de la surface 6tant continue, on peut toujours reconnaitre les deux faces l'une de l'autre: par consequent il n'y a pas d'ambiguite sur le signe a donner au flux du vecteur. $s<^ THEOREaME. - Si le flux est conservatif, le flux a travers zune surface fermzee quelconque............ est nul. II est entendu que les normales sont prises toutes soit vers l'exterieur, soit vers l'ie'rieur de la surface fermee. c\ e^ Traqons sur la surface fermee S un contour ferm6 C, qui la s6pare en deux parties S, et S, (fig. 40). Puisque le flux est conservatif, il est le meme pour les deux surfaces en grandeur et en signe, a condition de prendre les normales Fig. 40. dans le meme sens (comme l'indiquent les flMches), de maniere que par une deformation continue les faces correspondantes des surfaces S, et S9 se superposent.. On a: $1 —= 2.

Page  49 GEOIMETRIE DES VECTEURS 49 Calculons maintenant le flux a travers la surface fermee S, les normales etant prises toutes vers l'exterieur ou toutes vers l'interieur. I1 est clair qu'il faudra changer le signe de lun des deux flux precedemment calcules. Done la somme: ~ ~ ~-t2, est nulle. 46. Flux a travers un parallelipipede infiniment petit: divergence d'un vecteur. - Considerons le petit volume dxdydz determin6 par des plans paralleles aux plans des coordonnees (fig. 41). z Soit X, Y, Z, les composantes du f c vecteur en son centre de figure G. e d Evaluons le flux a travers la surface abed normale a l'axe des x. / Puisque les quantit6s X, Y, Z, sont continues au voisinage du point G, leurs variations s'expriment line- / airement en fonction des variations des coordonnees. La valeur moyenne?/ de la composante X pour la face Fig. 41. abed est done sa valeur au centre de figure de cette face. Le flux a travers abed est par suite: X+ bX dx? d; X — t cx ) dydz2 il sort du parallelipipede et doit %tre pris positivement. Le flux qui entre a travers efgh est: (/ x bX dx) X- ox 2 d ds, il doit etre compte negativement. La resultante des deux flux est bX ~-~ dxdy dz. Les vecteurs Y et Z ne donnent aucun flux a travers abed. Operons de meme pour les autres faces du parallelipipede: il vient en definitive pour le flux total qui sort ~"X,Y,6Z\,,, i. _ (X + by + 'Z )dxdydz = (DivF) dv. La quantite entre parenthbses est d'une importance fondamentale; elle s'appelle la divergence du vecteur X, Y, Z. 47. Le flux d'un vecteur a travers une surface fermee est egal a l'integrale de la divergence du vecteur etendue au volume limit6 par la surface. - La proposition est evidente puisqu'elle consiste a dire que ce qui sort de la surface fermee Cours de Physique. - H. BOUASSE.,i

Page  50 50 INTRODUCTION GEIOMETRIQUE entiere est la somme algeh]rique de ce qui sort de tous les paralltlipipddes elementaires. Demontrons-la cependant d'une maniere directe pour habituer le lecteur a cet ordre de considerations. Nous avons montre plus haut que l'on a i dy dz [d (x, - X,) + (X,-,) +...]dydz Si X est une quantite continue et n'a pas de valeurs infinies entre x, et x2, x, et x.,,... (ce que nous supposerons toujours dans l'application du th6oreme), on peut poser: XX bx 6x-z dXj. X -X3- -(X dxr. J 3 On a done: fX dy dz = ---J dx dy dz. Operant de mme sur les integrales fYdz dx, J Z dx dy on trouve, en posant dxdydz dv: Fi ~ cos? ~.S =SSS/bX bdSF cos. dS = -fff ( +- + - + dx dy dz - j- Div F dv. Les normales a la surface sont prises positivement vers l'ext6 -rieur. COROLLAIRE. CONDITION POUR QUE LE FLUX SOIT CONSERVATIF. Pour que le flux d'un vecteur F soit conservatif dans un espace donn6, il faut qu'on ait identiquement dans tout cet espace Div F — 0. 48. Expression de la donnees cylindriques et divergence d'un vecteur en cooren coordonnees spheriques. - COORDONNIES CYLINDRIQUES (fig. 42). Nous prenons pour coordonnees la distance z a un plan, la distance c a une droite Oz normale a ce plan, l'angle o que fait le plan passant par Oz et le point considere, avec un plan de reference zOx. Nous decomposerons la force en trois composantes trirectangles: Z suivant Oz, P normale a Oz et passant par cette droite, () normale aux deux precedentes. Elles correspondent aux trois variables:, 9, 0. Fig. 42.

Page  51 GEOMETRIE DES VECTEURS 51 Le volume le6mentaire correspond a une variation infiniment petite des variables. Son expression est dv = pdp d( dz. La divergence est le quotient par le volume de l'exces du flux qui sort de l'element, sur le flux qui entre. Cet exces a pour expression b bZ b6 dz7do d b ( IP)+ dv+ bo do dzd. La divergence est done v bP bZ I1 bA) DivF -+-+-+ 6 -. DiF- P + -tP + -z ' COORDONNEES SPHERIQUES (fig. 43). Nous prenons pour coordonn6es la distance r a un point 0, la longitude o et z la colatitude b. On a p=rsill, r 2 2+ - y2 + \2 Nous decomposons la force en trois R composantes trirectangles: R suivant le rayon, 4 normalement au meridien, T dans le meridien et normale- x ment au rayon. 0 Le volume elementaire a pour expression: dv = rddrd? sin d db. / Evaluons les aires des faces de l'el1ment Fig.- 3. de volume normalement a R, ird. r sin + d? r2 sin,1 d, d; normalement a qt, dr. r sin, do; normalement a ), r d dr. L'exces du flux qui sort est par suite 6 6bl dr sin d clZo - ()(r2R) _ — rdrddl do (sin,. T) + rrdrddo b-6 La divergence a done pour expression 1 b I b 1 64 r" br ('2R) + Vs'm G (sin +,. q.)+ r sin + b' 49. Expression du flux et de la divergence dans le cas d'un potentiel. - Menons les normales a la surface a travers laquelle nous voulons determiner le flux. Reperons respectivement les points de chacune de ces normales a l'aide d'une variable n mesurant la distance a une origine prise sur cette normale, distance naturellement comptee sur la normale.

Page  52 52 INTRODUCTION G'OMIETRIQUE Nous avons (~ 39) F cos. =, n F cosa dS -J- S. _&n-, I On dS. DIVERGENCE EN COORDONNEES CARTESIENNES. On a: OX by_ Y,Z /6- 62V W _V DivF= + + ) =-y2 + 2 -AV Nous poserons indiff6remment pour abreger __V 6WV 62V AV- VV_ a V + 2 + 6a' 6x2 X y2 6s La condition: VV-0, exprime en coordonn6es cartesiennes que le flux est conservatif. Le symbole V se lit Delta; on donne a la condition VV =0, le nom d'equation de Laplace. DIVERGENCE EN COORDONNIEES CYLINDRIQUES. On a: aV aV V V 1 bV P -- ~ -- — ()- o D'ou l'expression de la divergence: 1 6V V6W 6V I b2v DivF-P -I + ap2 + -+,-) a. DIVERGENCE EN COORDONNEES SPHIRIQUES. On a b6V i bV I 6V 7 '6r ' r 6, - rsin, 60 D'oil l'expression de la divergence 6K V 6i. / a6 V\ 62V -Div F r= r 2 + - sin, (sin + r' y or2 r Or/ Isi-n rrsins-r 6b2 Cette derniere expression est compliquee, mais elle se simplifie beaucoup dans les applications. 50. Applications simples des resultats precedents. - SURFACES GQUIPOTENTIELLES CYLINDRIQUES COAXIALES. On suppose que les surfaces equipotentielles sont des cylindres circulaires admettant Oz pour axe de revolution. On demande l'expression du potentiel V en fonction de la seule variable restante p; on suppose le flux conservatif. On a done V 1 V c/V dV VV - d- c +~ dc -,o p - c Constante- V. V - Vo log +V,.

Page  53 GELOMETRIE DES VECTEURS 53 Cette forme de potentiel (potentiel logarithmique) est precisement celle deja utilisee au ~ 43. La force est en raison inverse de la distance a Fl'axe Oz. SURFACES EQUIPOTENT1ELLES SPHERIQUES CONCENTRIQUES. On suppose que les surfaces equipotentielles sont des spheres concentriques. On demande l'expression du potentiel V en fonction de la seule variable restante r; on suppose le flux conservatif. I d cV dY 7V -- r - 0l 7`2 A. r2 dr d dr V= A + B. Le potentiel est en raison inverse de la distance au centre des spheres; la force est centrale et en raison inverse du carre de cette distance. C'est le cas d'une masse punctiforme pesante, electrique ou magnetique, agissant en raison inverse du carre de la distance. 51. Expression de la dilatation dans un milieu. - Voici des formules tres importantes, consequences des paragraphes prec6 -dents. Definissons le mouvement en tous les points d'un milieu par un vecteur dont les composantes sont u, v, w, parallelement a trois axes formant un triedre trirectangle (peu importe que les coordonnees soient cartesiennes, cylindriques ou spheriques). Le vecteur repr6 -sentera soit le deplacement tr6s petit de chacun des points, soit la vitesse dans le deplacement fini. Nous voulons exprimer l'augmentation ou la diminution relatives de volume d'un 6elment infiniment petit pris n'importe ou dans le milieu. Cela revient evidemment a exprimer le flux du vecteur deplacement a travers la surface qui limite cet elenent. Si le vecteur u, v, w, repr6sente la vitesse du d6placerent au moment considere, le flux de ce vecteur mesure la vitesse de dilatation relative au point considere et au moment considere. La proposition est evidente. I1 suffit de remarquer que la variation de D volume, quand la surface limite de / l'espace (fini ou infiniment petit) passe 2 - de la position 1 a la position 2 infiniment voisine (fig. 44), est la somme algebrique de tous les 6elments de v volume compris entre les deux surfaces. Ces elements sont comptes positive- Fig. 44. ment quand le deplacement se fait vers l'exterieur de I (suivant OD), negativement quand il a lieu vers

Page  54 INTRODUCTION GEOMItTRIQUE l'int6rieur de I (suivant O'D'). La variation du volume est done ffdn dS - OD cos. dS; elle est pr6cisement egale au flux du vecteur d6placement. Ceci pose, voici les dilatations relatives ( dans les trois systemes de coordonnees. L'ambiguite est impossible pour determiner a quelle variable se rapportent les composantes u, v, w. COORDONNEES CARTESIENNES. _ 6u v 6w COORDONNEES CYLINDRIQUES. u 6u 6w 1 by t + "z0 + ~, + 7 oo COORDONNEES SPHERIQUES. 4 5 6 Ov y ( -- (r2u) (, (sin,. w) +. - _. r2 77 7' sin 6a r siln 6 6o Fonctions lirrmoniques. 52. Definition des fonctions harmoniques. - Nous venons de voir que le flux d'un vecteur qui depend d'un potentiel V, est conservatif ou non suivant que l'equation de Laplace: VV 0, (1) est satisfaite ou non. On appelle fonction harmonique dans un espace donne une fonction qui, dans cet espace, est continue ainsi que ses deriv6es premieres et secondes, et satisfait h I'6quation de Laplace. On demontre immediatement une propriete de ces fonctions qui intervient a chaque instant en Electrostatique. Soit V une fonction harmonique dans un espace limite par la surface S; elle n'atteint son naximum et son minimum que sur S. En effet, supposons qu'elle ait un maximum ou un minimum en un point P de l'espace limite par S. TraGons une petite surface c autour du point P. En tous les points de cette surface, le vecteur auquel V sert de potentiel est dirige soit vers l'exterieur de la surface r s'il s'agit d'un maximum, soit vers l'int6rieur de cette surface s'il s'agit d'un minimum. Donc le flux de ce vecteur ne peut etre nul, l'equation (1) ne peut etre satisfaite. On tire imm6diatement comme corollaire une proposition qui se rattache au probleme suivant: Soit utn volume limite par une surface S; trouver une fonction

Page  55 GtC'OMiTRlE DES VECTEURS 55 V(x, y,,) continue ainsi que ses derivees premieres et secondes dans tout I'espace limite par S, qui satisfasse a l'equation de Laplace dans cet espace, et ait des valeurs donnees a l'avance sur la surface; S. II existe toujours iune solution; c'est en cela que consiste le principe de Dirichlet que nous ne d6montrerons pas. Nous nous contenterons de prouver que s'il existe tine solution, elle est unique. Supposons en effet qu'il en existe deux: V et V'. Par hypothese, ces deux fonctions sont identiques sur la surface S; leur diff6rence y doit 6tre identiquement nulle. Or cette difference satisfait a l'6quation de Laplace dans tout le volume; done elle y est identiquement nulle, puisque son maximum et son minimum sont nuls. 53. Fonctions de Bessel. - Nous signalerons ici, quitte a revenir plus loin sur leur etude, les fonctions de Bessel. Ecrivons l'6quation de Laplace en coordonn6es cylindriques 1I + a\ V + 2V 1 4 V? op )9 + b2 F p o (I') Considerons des fonctions V qui satisfont a cette equation et peuvent se mettre sous la forme du produit de trois fonctions: de de Z 0 de, de, 3 de o; V=0203. Substituant dans l'equation (1'), il vient evidemment: I1 L ~,I d,01 1. d'0 2 ' 1 d. d _. (2 ~(9, |, dto + d - | + izd- + o. ( d- -o- l ) Pour que cette relation soit identiquemnent satisfaite, nous devons poser: -d. c 20. do dz6., ^do -_ nz3, oil k2 et m2 sont des constantes. Nous choisissons des signes determines pour les constantes; il importe peu lesquels, puisqu'il est loisible de considerer nz et k comme imaginaires. L'equation (2) devient: cd 20 I p dpO + k(l p- )01 - ci o d p P L'integrale est de la forme e~'l cos(7nzo + n) 1.(kp). Nous reviendrons plus loin sur les fonctions 0, qui ont une importance capitale en Mecanique et en Physique. 54. Harmoniques spheriques. - Parmi les harmoniques, on distingue les harmoniques spheriques qui sont des fonctions homogenes de x, y, z. Leur degre n peut etre positif, negatif, entier ou fractionnaire.

Page  56 56 INTRODUCTION GEOMETRIQUE Rappelons qu'une fonction V homogene de degre n est d6finie par la relation: V(tx, ty, tz) -= V(x, (, z), ou par la relation equivalente A (x, Y, Z) xf f ( Euler a demontr6 qu'on a (V W V 6V x6 — 4 -- - - =n V '6x 1J 4y 6 a. Les harmoniques spheriques sont done definis par les deux equations aux d6rivees partielles simultanees WV 69WT 62 - 6V __ 6V X-2'- + Y -2 + Z 01 (4) 6 y6 +_o+ a nV. (2) Nous en donnerons d'abord quelques exemples; rappelons des formules d'usage constant. Nous poserons 7'9 = X2- y -2, rd- =xdx ydy zdz. _r' x )r 'y br' z On a: 6r * 11 Cy r oz 7 s Ona' — 6-9r' 6 -y _ r' ' —T -- 7, r r~ _ xr b' r r2 y- br r" -6 r2 - baA - r3 ' bye 13 '7 (32- 7,o HARMONIQUES DE GRE 0. 1~ V- arc tg (y: x). 6V y bV x On. a ~ -x ~-~ x — Y-' by x+ — y' V bW2V 2xy b XaA y 2 - (. X- +?- )2 ' Noub avons deja utilis6 ce potentiel au ~ 43. En effet, soit Q un point de coordonnees x, et?/, (fig. 38); on a: tg 1 - yi: x1, 1 -arc tg (y: x1). 2~ Soit V0 un harnionique sph6rique de degre 0. II satisfait a la bV_ V V,, condition: x-A +-b - + =- { 0. (2') Je dis que les fonctions: vo bV o b0V rx....? 7 sont des harmoniques spheriques de degr6 0. I1 suffit pour s'en convaincre de faire le calcul.

Page  57 GEOME5TRIE DES VECTEURS 57 Voici par exemple les derivees secondes de la fonction bVo bx b2V r2- x2 AV0 2x b2Vo!o_ (d2V r2 - Vo 22/ b2 o W Vo by'- ~j a~:+ - + ' 7< - 6 2 173 (a 1- r 6bwr r 2 b2 7r2-z bVo 2 bVYo6 b3v0 z3 r37 6Ox ~ r 7 6z- bxbzo2 II est facile de voir que la somme est nulle. D'abord les trois derniers termes valent: 7 — (Vo) =. Les trois seconds termes valent 2 6 F YTOc bvO bVo, 2 bYV 2 bWo 7 r ' ()6w L (o / 77-TJj -t r x. Enfin les trois premiers valent pr6cisement cette quantite changee de signe. 30 Nous voici assur6s que les fonctions: rx ry s +?/2 X2 sont des harnoniques spheriques, a cause du l~. Nous verifions sans difficulte qu'il en est de m6me des fonctions zx _zy w2 + wJ 2 y0 + et par consequent des fonctions: x y qui sonlt respectivement les differences des prZcdentes On a par exemple: rx zx X X2 — y2 x2+y r- + HARMONIQUES DE DEGRE 1 - 1 1 1 y X y - arc tg- w2 7r 7' x x -y2 x' - HARMONIQUES DE DEGRE - 2 et -+1I x y; ~r3 73?/ 3 71 arc tg-, z arc tg... r- ar t~

Page  58 58 INTRODUCTION GEOME11TRIQ UE 55. Theoreme sur la formation des harmoniques spheriques. - Supposons avoir trouv6 un harmonique spherique V. de degre n; si nous le divisons par r"', 1+ nous avons un harmonique de degre — (n +1). C'est en vertu de ce theoreme que nous avons classe dans le meme groupe les harmoniques de degres -+ et - 2. La demonstration est immediate. Le calcul direct prouve la relation: V (r^T,) = m (2n + -,t- l)r m-2V,. Si on veut que la nouvelle fonction satisfasse a l'equation de Laplace, c'est-a-dire que: iA (VV) 0, il faut ecrire: 2, +m + -=0, m - (2 +l ). 56. Harmoniques spheriques de surface. - Les harmoniques spheriques gne6raux sont encore dits harmoniques solides. Si on divise par r'" un harmonique solide de degre n, on obtient un harmonique de surface. Puisque les harmoniques sont des fonctions homog6nes de x, y,, l'harmonique de surface s'exprime en fonction des cosinus des angles que fait le rayon vecteur du point considerd avec les axes de coordonnees. Prenons les coordonnees spheriques r?,,; posons cos(u i. L'harmonique de surface est une fonction de cosj, (ou de t) et de cos o. Soit Y, un harmonique de surface. Par d6finition, la fonction: V., - rlYl, (3) est un harmonique solide. Cherchons a quelle equation Y1, doit satisfaire. Reportons-nous au ~ 49; on y trouve la divergence d'un vecteur exprim6e en coordonnees sph6riques. L'6quation de Laplace est (en supprimant les indices n) U(. \( i V. V 1 62V ar\r /r sin 1 s insinll - ~ (4) On tire imm6diatement de (3) 2(7' -)=i/ (it + l )rY. L'equation (4) s'ecrit 1 6o ^ i (sn __ I i2Y\ I(7z-f- 1)Y-4 - si,0\ sin,-q- s * - -OI (2) s~ 1 / si/n 1sin 6 0o$ Prenons cos ~ pour variable a la place de -. On a 6. 6 ~-,) -- sin - l -,-. ^1> ~ ~~~~~ * ([J

Page  59 G90OMAETRIE DES VECTEURS 59 L'equation differentielle a laquelle satisfont les harmoniques de surface, prend la forme classique _ _ ___ i /~.\ '1 b2Y,(n,+- 1)Y+ - -,2) + -- 2 0. (6) 57. Harmoniques spheriques de zone. - Parmi les harmoniques spheriques de surface, il en est de particulierement importants qu'on designe sous le nom d'harmoniques de zone. Is sont de revolution autour d'un axe que nous prendrons pour axe des z. Ils ne d6pendent pas de la variable o. On les represente par la lettre P. L'equation se reduit a la forme suivante connue sous le nom de Legendre: dTP dP (1 -,2) -- 2 - 2J + n(n -+- l)P=0. (7) La recherche des harmoniques de zone revient a la recherche des solutions de cette equation dans laquelle entre le parametre arbitraire n. 58. Polyn6mes de Legendre. - Soit a calculer l'inverse de la distance d'un point defini par les coordonnees spheriques r, 4, avec nn point place sur l'axe des z t la distance r' de lorigine. On peut mettre la distance sous les formes equivalentes r+ _2r,-/'_7 ',+ r- =,7- t7 —, +~ r~ On se trouve ainsi amnene a d6velopper en s6rie la quantite: (1- 2,h+ h2)- 2 h qui doit etre < 1, repr6sente r: r', ou r' r, suivant qu'on a r'r. Le d6veloppement suivant la regle du binome se trouve naturellerment ordonne suivant les puissances de h(2. - h). Si on l'ordonne suivant les puissances de h, il prend la forme: (1 - 2.h -+ h2)- Po + hP, P..., Oil P0, PI, P2,..., sont des fonctions de,. qu'on appelle polynomes de Legendre. Ils sont donnes par la formule generale: ( n! ( 21n / (A\,2 _ ^I.. Voici les sept premiers, dont on trouve a la fin de ce volume des tables emprunt6es a un m6moire de Perry (Phil. Mag. 32, 4891). OP-1, ' '? I-., 2 P -P3 2 35774-30J +3 - 63u, —70 +-15 4 — 8 ' P8 — ' ' P 23,1j-3'1l5j.+105a-5 P 42 9.-693,-5+ 31513 -353. ~- t,16 7-16

Page  60 60 INTRODUCTION GEOME TRIQUE 59. Proprietes des polynomes de Legendre. - Les polynomes de Legendre se d6duisent les uns des autres par la formule P,,, =(2z - I) iP_, - (n - 4)P,?-_, qui permettrait au lecteur, le cas echeant, de calculer Ps, Pg,... On verifiera que les polynomes de Legendre satisfont a l'equation de Legendre, equation (7) du ~ 57. Ils n'en sont du reste que des solutions particuli6res. I1 resulte de la que les fonctions sont des harmoniques solides, c'est-a-dire satisfont a l'equation de Laplace; elles peuvent servir de potentiel a un vecteur dont le flux est conservatif. La fonction (r2-2rr'I'.-+-r'2)-2 peut done etre mise sous l'une des formes ( ^. n y^ rIl /i]1?t + i P.t (i 7 1 P?( J') 0 7r' suivant que l'on a r < r', ou r' < r. Nous citerons comme propriete interessante des polyn6mes de Legendre le resultat: 'r, - lorsque p a l'une des valeurs 0, 1,..., n 1. Pour demontrer ce theoreme qui a des applications dans la Theorie des quadratures, il suffit d'int6grer p fois par parties l'expression equivalente ~ dI (;z ) )

Page  61 CHAPITRE III GEOMETRIE DU MOUVEMENT Cinematique du point. 60. Etude de la trajectoire d'un point autour d'une de ses positions. - Avant d'introduire la notion de temps, nous devons rappeler sans ddmonstrations dtaillees les propositions que la geonmtrie nous enseigne sur la definition d'une courbe au voisinage d'un de ses points. TANGENTE (fig. 45). A sB Considerons d'abord deux points voisins A et B, joignons-les. Supposons que B se rap- proche indefiniment de A: la limite de la direction AB est ce qu'on appelle la tangente a la courbe au point A. Rep6rons les points de la courbe par la C distance s a une origine quelconque 0, dis- Fig. 15. tance comptee sur la courbe elle-meme; soit x, y/, z, les coordonnees du point A. Les cosinus directeurs de la dx dy dz tangente sont: ds' ds ' ds RAYON DE COURBURE. Considerons les tangentes en deux points tres voisins A, B. Elles n'ont pas tout a fait la meme direction: appelons (( leur angle. On peut admettre que le point B se rapprochant ind6finiment du point A, ces tangentes qui ne sont pas dans un nmeme plan quand la distance AB -As est finie, forment a la limite un plan: c'est le plan osculateur. Generalement le rapport co( As, tend vers une limite finie: c'est la courbure au point A; le rapport inverse As c), est le rayon de courbure.

Page  62 62 IN TRODUCTION GEOMT TRIQUE Calculons ces quantit6s. On a dx ( dx + d-x dy ( dy d2y )\ CO s O d- ds d ds +s 2\ ds - dsd 2 dzl d + d2z ds d -s 7d1 ds2 S} 1 ds dx d2 + d2 /2o d,/ l -: 2 Mais on a: /'dx -- ii ddx di\Y d'2z dz 12 ' + d ds) + ( I- dy + d s)+d ( + + ds I ) ^+sds ^ (ds2d) +(ddss d) +(dds ds ] dr /r/^y, d d"l2 ds- ds d + + ds ods c la cue au+ pi A ds2 ) + de o Appelons p le rayon de courbure; il vient: Sds- - = ( tXds -) q+ + (Z ) + On peut dire que le point qui est place sur la normale a la courbet dans le plan osculateur et c une distance p, est le centre du cercle osculateur a la courbe au point A. On a ds=pco; l'arc de courbe AB est egal au rayo n e du cercle osculateur CA multiplie par angle des rayons CA et CB limitant l'arc considere. PLAN OSCULATEUR. Soit: (X - )+ (Y y)+ (Z - )=0, son equation. Les cosinus directeurs de sa normale sont proportionnels a X, [J~, v; posons que X,,J., ), representent ces cosinus euxmemes. Ecrivons que le plan osculateur contient les deux tangentes voisines; il revient au meme d'ecrire que sa normale est normale aux deux tangentes voisines dont les cosinus directeurs sont: dx dy dz - dx dx dy dz d+ dz ds' ds ' ds' as ds ' ds ds ' ds ds D'oui les relations: dx dy dz dL + —5 rd -, d s - 0. (3)

Page  63 GEOMETRIE DU MOUVEMENT 63 NORMALE PRINCIPALE. C'est la normale a la courbe qui est dans le plan osculateur. Soit., I3, y, ses cosinus directeurs. IEcrivons qu'elle est normale a la tangente et a la normale au plan osculateur:?.X + jJ + y> -0, (4). dx Idy? dz -sd + ds (5) On verifie que: _ dcx d2ds/ dIz v. — ~ ds~ ~ S- ds, -- d' P ds'' sont les cosinus cherches. En effet, l'equation (4) devient identique a (3) a laquelle i,, v,, doivent satisfaire. Pour v6rifier (5), il suffit de remarquer que (-ds) + ( =ds; 1 d'ou en differentiant d2x dx d'/ dy/ d2z dz ds' ds s ds ds d s - dsc - On trouve inmmediatement les coordonn6es d, c, ', du centre de courbure: d',X d~! d2., =+x +pc- ds2 f2- ds. TORSION ET RAYON DE SECONDE GOURBURE. Revenons sur les cosinus ), J, v, de la normale au plan osculateur. Posons: (cl d(y z d- dz dY dz dx clx d D V c/s -dcS; ds cl s + - Vs ds ds d 2s -~ dcs cds' ds ds~' ( dx d~y dy dx2^ On trouve inmmdiatement a partir de (2) et de (3) 1 -j ^ CV d2Z dz d2/ \ '-D- \ls lds~ ds ds 7 ' I (dy dzx dz dcz/ 7' D ds dss'- ds ds dx dy dy d 2x V D ( T d s dsc ds ds2) Pour definir la seconde courbure, nous procederons comme pour la premi6re. Nous considererons les plans osculateurs en deux points voisins distants de As. Ils font un angle o; la seconde cour7bure est

Page  64 6-6I INTR1ODUCTION GELOMII'TRIQUE la limite du quotient?: As; o s'appelle l'angle de torsion. Nous pouvons appeler second rayon de courbure la limite inverse As: O - r. Un calcul analogue a celui qui donne la premiere courbure, fourIA c/v) d \2 nit l'expression: - + ( d) ( ds ) 1 r CI\ els i- ds W/ ' 61. Vitesse et acceleration d'un point. - La vitesse du mobile au point A est un vecteur AB dirige suivant la tangente a la trajectoire et dont la grandeur mesure la limite du quotient de l'espace parcouru par le temps employe a le parcourir (fig. 46) ds v dt C'est un vecteur; nous ne nous attarderons pas a montrer que les regles de composition des vecteurs B s'appliquent aux deplacements tres =A E petits, et par suite aux vitesses. 0j ^\^^c Soit OAC la trajectoire. Au point A, la vitesse est representee par le ID vecteur AB; au point C, elle est reFig. 46. presentee par le vecteur CD. La variation de la vitesse est le vecteur ED qu'il faut ajouter geom6triquement au vecteur AB (ou C-E egal et parallele) pour obtenir le vecteur CI. Quand le point C tend vers le point A, la direction du vecteur ED tend vers une certaine limite; le quotient ED: At tend vers une certaine valeur; (At est le temps employe par le mobile pour passer de A en C). L'acceleration est un vecteur qui a pour direction la direction limite de ED, et pour grandeur la valeur limite du rapport ED: At. En definitive, l'acceleration est, au quotient At pres, une variation de vitesse; puisque les vitesses se composent comme des vecteurs, il en est de mmee des accelerations. II r6sulte en particulier de cette remarque que l'acceleration est la resultante des accelerations definies au mmoyen des composantes de la vitesse. Les composantes de la vitesse projetees sur trois axes sont: dx dy dz dt ' dt' dt Les accelerations de ces composantes sont: d23x dl2 d 2z dt2' dt2 ' dt2' L'acceleration est donc le vecteur qui admet ces trois vecteurs pour composantes.

Page  65 GEOMETR1E DU MOUVEMENT 62. Hodographe. - Par une origine arbitrairement choisie, menons des vecteurs egaux et paralleles aux vitesses d'un point sur sa trajectoire. L'extremite de ces vecteurs decrit une courbe qui est l'hodographe et dont nous representerons les coordonnees par X, Y, Z. On a par definition dX dy dyY x Y Z - - dt dt ' dt Nous realisons ainsi une correspondance point par point du mobile A sur la trajectoire et du mobile H sur l'hodographe. La vitesse du point A est numeriquement egale au rayon vecteur du point H; l'acceleration du point A est numeriquement egale h la vitesse du point H. On trouvera quelques exemples d'hodographes au ~ 329. 63. Acceleration tangentielle, acceleration normale. - La methode du ~ 61, parfaitement correcte du reste, pour calculer l'acceleration a le tort de ne pas faire intervenir explicitement les proprietes de la courbe au voisinage du point considere. Reprenons done l'Ftude directe du probleme. Tout d'abord nous pouvons remplacer au voisinage d'un point la courbe generalement gauche par une courbe plane ayant meme plan osculateur et meme rayon de courbure. Ce n'est pas entierement 6vident, mais on comprendra mieux pourquoi la substitution est legitime quand nous aurons d6duit de l'hypothese ses consequences..En second lieu nous pouvons remplacer la courbe plane par son cercle osculateur; cela tient a ce que seules les derivees secondes interviennent dans le calcul. Nous pouvons alors resoudre le probleme par echelons. 1~ Supposons un mobile se deplaqant d'un mouvement uniforme sur un cercle. Une proposition telmentaire nous apprend que l'acceleration est centripete et a pour expression (Cours de Physique a l'usage de la classe de Math6matiques): v2: p, oui v est la vitesse lineaire, p le rayon de courbure. 2~ Retablissons le mouvement varie; rien n'est change dans le resultat precedent, parce que c'est la vitesse elle-meme qui y intervient: ses variations infiniment petites n'ont done aucune importance. Mais nous devons alors tenir compte d'une acceleration tand"s gentielle dt2 En definitive l'acceleration est la resultante de deux vecteurs: 1~ l'un dans le plan osculateur, suivant la normale principale, vers le centre de courbure (centripete) et de grandeur v2; 2~ l'autre suivant la tangente, dans le sens du mouvement si la vitesse croit, en sens inverse si elle decroit, et de grandeur d2s: dtr. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 5

Page  66 INTRODUCTION (rEOM-I'TRIQUE 64. Expression analytique des composantes des accelerations normale et tangentielle. - Les composantes suivant trois axes rectangulaires de l'acceleration tangentielle sont dcs dx d(s dy dcl's cd clt-~ ds c ds t2 d ds' Les composantes suivant les menes axes de l'acceleration norniale sont (~ 60) v2 v2 dx / ds 2 d2 il - p ~is- -t(a) ds2' p p;'cis2 \ct (52l vo v2 d22y /(ls\' d-' P,p p t ds$ di t ClS" v 2 v2 d /c ds \2 d2z ~ - - p ds' -\ dt J (Is" On verifiera aisement la relation dlx dcs dx (c ds2 d2x dt2 -= dtl ds dt-2 ds2 et deux analogues en y et en z. I1 suffit de differentier l'identite: idx dx ds cdt ds dt et les identites analogues en y et en z. Le vecteur acceleration totale est dans le plan osculateur. Si la courbe est plane, il reste toujours dans le meme plan. Si elle est gauche, l'acceleration totale change continuellement de plan, mlais son expression n'est pas modifiee. 65. Autres expressions de l'acceleration. ACCiLERATrION TOTALE. Prenons comme plan xOy le plan osculateur h la trajectoire au point 0 et comme C\ axe des x la tangente a cette trajectoire (fig. 47). Le mouvement du mobile au voisinage du point O est represente par les equa\ tions: _-^7\ x N t-x dyt, / ct -d Fig.4'7. xdt =- + 2bt -+..., -l 2ct +...; dt2= 2b, -(l= 2c; J dt- + dt 2- 2 Ceci pose, menons OV-aA^t; a est la vitesse au point 0. Joignons VM; je dis qu'on a: j Yt_- 2VM;~

Page  67 (GEOME TRIED U MOUVEMENT 67 j est l'acceleration totale. Calculons en effet la distance des points V et M dont nous connaissons les coordonnees: coordonnees de V aAt, 0; coordonnees de M: aAt+- bAt, cAt. VM VbK ~+c2at- Atl-2Vb2+c2. Ce qui demontre la proposition. Pour avoir l'ace'leration totale, il faut mener au point O un vecteur egal et parallele au produit vAt de la vitesse en ce point par le temps At; joindre l'extremite du vecteur la position du mobile au temps At le vecteur obtenu est: At J 2 L'acceleration totale est la limite de j quand At tend vers 0. AccJL LEIRATIONS NORMALEI'::T TANGENTIELLE. La meme methode nous permet de repr6senter l'acceleration norniale et l'acceleration tangentielle. Soit C le centre de courbure au point 0; le rayon de courbure en ce point se calcule comme suit, en remarquant que dy dx 0, au point O: C X c= tn l/ ==Ct2; y — a x; 1 - 1y 2c Joignons CM et prolongeons en N. Je dis que NM represente f'acceleration normale au facteur Atst 2 pres. En effet, dans le cercle osculateur on a (2p+MN) MN=ON,' NM- -- 2c 2. L'acc6elration tangentielle s'exprime de meme en fonction de VN. En effet, a la limite on aura (),M\1 ONV=\/(a At+ t2) + c' ==V/a2y~i4_ 9- + - + 2_ _ _tA t OV- IaAt, VN=ON-OV= At 2b- 2 Naturellement a la limite, MN devient normale a Ox; le triangle VMIN est rectangle en N. On a: MV2 MN2 + VN2 ce qui est conforme aux formules precedentes.

Page  68 68 INTRODUCTION GEOMEITRIQUE 66. Moments du vecteur vitesse: vitesse areolaire. - La vitesse et l'acc6leration etant des vecteurs, il est naturel de chercher ce que representent les moments de ces vecteurs par rapport a un point et a une droite. Nous prendrons le point pour origine des coordonnees et nous etudierons les moments par rapport a des droites passant par ce point. Trois d'entre elles formant un triedre trirectangle nous serviront d'axes z de coordonnees. D Considerons un point par/ -\^p ~ courant la trajectoire ABCD B/> (fig. 48); le rayon vecteur men6 du point 0 au mobile // _A ddecrit une portion de surface conique et balaye la surface o,- i ~ -^0,^ ----r -, laterale de cette portion de cone. D'apres la definition meme \ \ du moment d'un vecteur par /Y\ /y rapport a un point (~ 34), le,y957~ ' \^~ ~moment du vecteur infiniment Fia i4~ ~petit BC par rapport i O est ig'. 4A 'le double de laire du triangle infinimnent petit OBC. Soit At le temps necessaire pour aller de B en C. La limite du quotient BC: At, est la vitesse au point B. Done la limite du quotient par At du moment de BC par rapport au point 0, est le double de ce qu'on peut appeler la vitesse areolaire. C'est le double de la limite du quotient de l'aire balayee par le vecteur allant du point O au mobile, par le temps employ6e effectuer ce parcours. Le moment de la vitesse en B par rapport au point O a pour vecteur representatif une droite normale a l'aire balayee OBC (plus exactement au plan qui tangente le cone suivant la generatrice OB). La longueur du vecteur representatif mesure le double de la vitesse areolaire. Le moment d'un vecteur par rapport a une droite est (~ 34) la projection sur cette droite du moment du vecteur par rapport a un point quelconqLue de la droite. Cette proposition est evidente lorsqu'il s'agit du moment du vecteur vitesse. En effet projeter le moment par rapport au point O sur la droite Oz, ou projeter la surface OBC sur le plan perpendiculaire a O, est (au facteur 2: At pres) exactement la meme chose. I1 est clair que l'aire de la projection O,3 ne depend pas du choix du point O sur la droite Oz. Le moment de la vitesse par rapport a la droite Oz represente donc le double de la vitesse areolaire projetee sur un plan perpendiculaire

Page  69 GtOMtITRIE DU MOUVEMENT 69 i 0z, c'est-a-dire le double de la limite du quotient de la projection de laire balayee par le rayon vecteur joignant le mobile en un point quelconque de z0, par le temps employe au balayage. Nous pouvons done ecrire, en appelant S. la projection sur xOy de laire balaye: _0_ dS 1 / dy dx\ lim O dS t ( d 11 At dt_ 2 ( dt j dt Nous aurons done le systeme de formules 2 dS dz _d.. 2 (It - t (-t -" t 2 t it x (it (1) (IS, dit dx 2 -!- x cit - dt yt dt La vitesse areolaire a pour expression cdS /(cS, 2 dS, cS dt ~V lt )" +( dt ) t Sans recourir h la th6orie des moments, on demontre immediatement les formules precedentes. On a 0 = o,,', + -yp/,- 0-,', 20os= (. c+l) (y -dy) -cdx (2y +- l) -xy =xdy -ydx, en se limitant aux infiniment petits du premier ordre. Cette formule demontre le theoreme. 67. Moments du vecteur acceleration: acceleration areolaire. - Derivons par rapport au temps les formules (1) du paragraphe precedent; il vient: (tlS., _ d(z _ dCj 2 ~yS -cdt - dty d S, d~x d(t2 2 t2 z t (t' tx (2) dl 'S, c y (M1". 2 dt~ -x dt~ -y ~id' Le double de l'acceleration areolaire est eigal au moment du vecteur accCelration, qu'il s'agisse du moment par rapport t un point ou du moment par rapport a une droite. La definition de l'acceleration areolaire est immediate. Par le point 0 menons deux vecteurs V1 et V2, normaux aux plans qui tangentent suivant OB et OC le c6ne balaye, et mesurent les vitesses areolaires. Le vecteur qu'il faut additionner geometriquement au vec

Page  70 70 INTRODUCTION GLOM~ETRIQUE teur V1 pour avoir V2 est la variation geonietrique de la vitesse areolaire. La limite du quotient de ce vecteur par le temps At employe pour aller de B a C, donne la grandeur de l'acceleration areolaire. La direction limite du vecteur est la direction de cette acceleration. 68. Expression de la vitesse et de l'acceleration areolaires dans le cas de la rotation autour d'un axe fixe. - Supposons la rotation effectuee autour de l'axe z des y (fig. 49). Soit 0 l'angle qui d6finit l'azimut d'une droite de reference, angle compt6 a partir de Oz vers Ox.. Les coordonnees d'un point..5X sont x r sil l0,?:- r cos. II decrit une circonference nor\/ ~/ male a l'axe Oy; le vecteur OP decrit un cone circulaire. La coorFi. /9 donnee y et la distance r CP, etant constantes, of a dxr dO dl clz. (1H - -- r cos 0 -, t - 0 t -0 - sin 0 /0_ 6 -di'x. /(r7),2 d2,0 / (dO,\0 l) -r sin + 7rosi 0 (t lt/ dci2 /6\ t ~ ^e / fd "" W d 7i0 (l1d ( d- - -dt --- -- r cos 0 - i- r sin// 7 ' -: X (, dl dS, dcO (IS.. dO 2d S=-, 2 ', -- - r1- ~ 2 --- - -: o 2 dt -. 2- ( (it 2 (It (t 2 dS^, (_, cl- 12 2ct' l-Itr ' 2 d S.I /d ' ci"1 dVO t2 — H =4f22 -Sui it) 2 -XI! / (F I:!- —?/J it2 69. Theoremes des aires.- Voici quelques corollaires du 67. 1t Supposons que le mobile M decrive une trajectoire plane et de maniere que la vitesse areolaire par rapport a un point 0 soit constante. I1 est d'abord evident que l'acceleration totale est dirigee dans le plan de la trajectoire. Par hypothese, l'acceleration ar6olaire est nulle; done le moment de l'aceeleration totale par rapport au point O est nul. Done l'acceleration passe par le point 0.

Page  71 GEOM3ETRI'Tl DU MOUVEMENT 71 Ainsi quand les aires balayees par le vecteur OM varient proportionnellernent au temps et quand la trajectoire est plane, l'acceleration totale du point M passe toujours par le point 0. 2~ Lorsque l'acc6leration totale du mouvement d'un point M rencontre toujours une droite D fixe, son moment par rapport a la droite est identiquement nul. Prenons un point 0 quelconque sur la droite D; projetons sur un plan P, perpendiculaire a D, l'aire balayee par le vecteur OM. La vitesse ar6olaire projetee est constante. Autrement dit, l'aire balayee par le vecteur O'M projection sur le plan P du vecteur OM, varie proportionnellement au temps. 30 Lorsque l'accel6ration totale du mouvement d'un point M passe toujours par un point fixe ), le point M decrit un plan. I1 va sans dire que les aires balay6es par le vecteur OM varient proportionnellement au temps. En effet le point M decrit un plan parce que les plans osculateurs qui, si l'on veut, sont respectivement determines par l'are de trajectoire et l'acceleration en un point de cet arc, sont confondus. Considerons en effet un arc de trajectoire et les accelerations aux deux bouts. Gen6ralement les trois droites ne sont pas dans un meme plan, d'oui la torsion de la courbe. Ici, au contraire, ils le sont par hypothese, d'oiu sa planeite. 70. Travail des accelerations. - L'acceleration etant un vecteur, on peut lui appliquer la definition du travail (~ 37). I1 est d'abord evident que l'acceleration normale ne travaille pas, puisque par definition elle est toujours normale a la trajectoire de son point d'application. L'acceleration tangentielle etant dirigee suivant le mouvement, son travail a pour expression = / C` d2 1 (ds/ s (ds t 2 / ds 2 [(d2)2_ V2) Le travail de l'acceleration totale est done mesure par la 7moitie de la variation du carre de la vitesse. On deduirait aussi bien ce theoreme de l'expression generale de l'acceleration totale / ' I X12X d2 d2 lz \ 1 c+ dx + d-y dt Z)= (v v2). — [ +,

Page  72 INTRODUCTION G(EOMETRIQ UE Composition des translations et des rotations finies et infininient petites. On passe generalement sous silence le cas des translations et des rotations finies. Cette omission cree des idees d'autant plus fausses que, pour la rapidit6 du langage, les mecaniciens parlent de translations et de rotations sans specifier chaque fois qu'il s'agit de translations et de rotations infininent petites on, ce qui revient au meme, le vitesses de translation et de rotation. Pour eviter toute difficulte, nous ne considererons les th6oremes sur les vitesses de translation et de rotation que comme les limites des theoremes sur les translations et les rotations finies. 71. Composition des translations. - La translation est un deplacement dans lequel tous les points de la figure decrivent au meme instant des elements de droites 6gaux, paralleles et de meme sens. La translation peut etre representee par un vecteur parallele et egal (ou proportionnel) au deplacement d'un point quelconque de la figure. Le vecteur representatif est d6termin6 en grandeur et en direction; il n'est pas determine en position: son point d'application est absolument arbitraire. Ce vecteur est done de la nature de ceux qui representent les couples (~ 29). Les translations memne finies se composent suivant la regle des vecteurs. L'op6ration est pernutative, ce qui signifie qu'en effectuant les translations dans un ordre quelconque, on obtient finalement le meme resultat. 72. Rotation. - La rotation est un deplacement dans lequel tous les points de la figure tournent au meme instant, du m6me angle et dans le meme sens autour d'une droite, determinee en position, et qu'on appelle axe de rotation. Le deplacement total effectue, tout point de la figure est sur un cercle qui passe par la position initiale, dont le plan est normal a l'axe de rotation et dont le centre est sur l'axe; le point est a une distance angulaire de sa position initiale qui mesure la grandeur de la rotation. La rotation finie ne peut pas etre representee par un vecteur. Comme nous allons le voir, la composition de deux rotations finies n'est pas une operation permutative; on obtient des resultats differents suivant l'ordre dans lequel on fait les rotations. Il en est de meme de la composition d'une rotation et d'une translation. C'est par l'etude de ce dernier cas tres simple que nous allons commencer.

Page  73 GEOMETRIE DU MO UVEMENT 73 73. Composition d'une translation et d'une rotation finies. -- D6composons la translation T en deux translations, l'une Tp paralle e a l'axe de rotation, l'autre T perpendiculaire a cet axe. L'operation TpR se compose de deux parties qui ne sont pas de meme espece et ne peuvent se composer; l'ensemble constitue un mouvement helicoidal. L'operation TpR est permutative: on obtient le meme resultat quand on commence par tourner, puis qu'on deplace ensuite le long de l'axe de rotation, ou quand on commence par deplacer pour tourner ensuite. Considerons done l'operation complexe TR; nous allons voir qu'elle e6cuivaut a une rotation de merne grandeur et de nmeme sens autour d'un axe parallele a R. Mais le nouvel axe est different suivant que l'operation est TR ou RT: 'operation n'est pas permutative. Prenons comme plan du tableau un plan P normal a l'axe R, et par consequent parallele a la translation T. Soit R la trace et 2a l'angle RnT R T C de rotation clans le sens / de la flache (fig. 50). \ \ / \ / Les operations TR ou RT laissent une figure du plan P dans ce plan; d'ailleurs la figure n'est T T pas modifiee. Si donc R' B B1 R nous trouvons un point OperatonTR OperationRT de la figure que l'ope-. ration TR ou RT ne deplace pas, nous conclurons qu'elle est equivalente a une rotation unique autour d'un axe normal a P et passant par ce point. Les phenomenes sont en effet identiques pour tous les plans paralleles a P. 1~ Consid6rons un triangle isoscele d'angle R=-2a, et dont le cote oppos6 est egal et parallele a la translation T. Je dis que le point R' n'est pas d6plac6 par l'operation TR et qu'on a T. R (2) ' (2x). En effet la translation T amene R' en B, la rotation ramene B en R'. Done l'operation TR vaut une rotation autour d'un axe R' parallele a R. Cette rotation est precisement 2a. Operons en effet sur le point R. La translation l'amene en C, la rotation l'amene en D. Evaluons l'angle Rl'D. En supposant men6e la hauteur du triangle RR'B, on voit immediatement que: DRB -::~ 2 - 3a, R'RD --: 2 -- RBR'.

Page  74 74 INTRlODUCTION (I;EOMETRIQUE D'ailleurs par construction RD- T; done les triangles R'RD et RR'B sont egaux; done Fangle RR'DI est bien egal a 2a. 2" Construisons le ieme triangle isoscele que precedemment. Je dis que R" n'est pas d6place par l'op6ration RT et qu'on a R (2 1 ). T - R (2 -). La rotation amene R" en B, la translation rambne B en R"' Done R" est invariable. Operons sur le point R; la rotation ne le d6place pas, la translation l'amene en C. Done la rotation autour de R" est bien 22. 74. Composition d'une translation et d'une rotation infiniment petites: composition d'une vitesse angulaire et d'une vitesse translatrice finies. - La rotation 2a et la translation T etant infiniment petites et de meme ordre, les points R' et R" sont confondus. Ils se trouvent a une distance r du point R egale a la limite du rapport: r'-T: 2z. L'operation devient permutative. D'oi le th6oreme. Quand on compose la vitesse angulaire finie c et la vitesse translatrice finie V normale a F'axe de rotation, on ine modifie pas la vitesse angulaire; mais on deplace l'axe de rotation, parallelement a lui-mnme et normalement c la vitesse V, d'lne quantite 7 —; (. En definitive, le resultat de la composition d'une vitesse angulaire finie et d'une vitesse translatrice finie de direction quelconque est un deplacement fini de l'axe de rotation sans changement de la vitesse angulaire et une vitesse translatrice dirigee parallelement a l'axe de rotation. Le d6placement infiniment petit est helicoidal. 75. Composition de deux rotations finies concourantes ou paralleles. - Le point de concours O des axes n'est deplace ni par l'une ni par l'autre des rotations; c'est un point invariable par lequel passera n6cessairement l'axe de la rotation qui equivaut aux deux rotations donn6es. En effet nous montrerons plus loin (~ 81) qu'on pent amener un solide d'une position quelconque a une autre position quelconque par une rotation suivie d'une translation, ou inversement. Ici la translation est certainement nulle, puisqu'un point est invariable. Nous sommes done assures que le systeme des deux rotations equivaut a une rotation unique. Du point O comme centre, tragons une sphere, et soient A et B les traces des axes de rotation sur la sphere (ce que nous appellerons les poles de rotation) (fig. 51).

Page  75 GE;OMEITRIE DU 110MOUVEMENT 7 75 Considerons l'operation complexe A(2 Y) B(2?,) Nous supposons d'abord une rotation finie de l'angle 2y. autour de A, puis une rotation finie de l'angle 2. autour de B, effectuees dans le sens des fltches. Les operations sont representees A sur la sphere. Le probleme consiste a trouver un point C qui ne soit pas d6place par l'opera- r tion AB. Avec le centre de la sphere, il d6terminera l'axe Ade la rotation finie r6sultante. Pour trouver C, traQons le grand cercle AB, le grand i cercle AC faisant avec AB en l sens inverse de la rotation A l'angle a, le grand cercle BC faisant avec BA dans le sens (le la rotation B l'angle f3. Je dis que l'operation AB ne deplace pas le point C. En effet, la rotation A amene C en C, sym6trique de C par rapport au grand cercle AB; la rotation 1B ramene C, en C. Calculons l'angle 2y de la rotation resultante effective autour de OC. L'operation AB anmene A en A' tel que AB=A'B, ABA' -2,. Le triangle spherique ABC donne immediatement: cos - cos? = cos X cos - sin 2 sin, cos T'; (4) Ti' est l'angle des axes A et B. On verifiera immediatement que pour l'op6ration BA, le pole de laxe resultant est en C, symetrique de C; la rotation 2y a evidemment la mieme valeur, puisque (1) est symetrique en a et t. L'operation AB n'est pas permutative; car si l'angle de rotation 2y reste le meme, la position de l'axe depend de l'ordre des operations. AXES PARALLtLES. La figure 51 devient plane. I1 suffit de poser - 0, dans la formule (1). On trouve L'axe de la rotation r6sultant est parallele aux axes des rotations composantes; la rotation resultante est la somme algebrique des rotations composantes. L'op6ration n'est pas permutative.

Page  76 76 INTRODUCTION GEOMIETRIQ UE On a ge6nralement dans le triangle spherique ABC sin BC sin 2 sin AC sin Cette equation devient dans le triangle plan: BC sin 2 AC -sin ' 76. Composition de deux rotations infiniment petites concourantes ou paralleles; composition de deux vitesses de rotation finies autour d'axes concourants ou paralleles. - Les rotations 2a et 2, deviennent infiniment petites; cone les points C et C1 sont confondus sur le grand cercle AB: l'operation devient permutative. Dans le triangle spherique ACB, on a sin BC siln 2a sin AC sin ~ 2,3 La formule (1) donne (-^ ( ) -)( -- ) — cos F. Multipliant par 8 et negligeant les termes superieurs aux carres des rotations, il reste: (2,) = (2)2 + (22)2 + 2 (22) (2,) cos P1. D)'oi la regle du parallelogramme et la representation des rotations infiniment petites ou des vitesses de rotation finies par des vecteurs (fig. 52). c Menons suivant OA et OB, axes de rotation, et a partir du point 0, deux vecteurs to et (o, proportionnels aux vitesses angulaires; composons ces vecteurs en un vecteur (, suivant la regle du / B parallelogramme. Nous pouvons remplacer les / / -/ deux vitesses co1 et co autour de OA et de OB \ / /p par une vitesse c0 autour de OC, vitesse ayant pour mesure la diagonale du parallelogramme. AXES PARALLELES. 0 Les angles de la figure 51 mesures par les arcs Fig. 52. BC et AC deviennent infiniment petits; on a done: AC. 2 =- BC.2 3, 2,- 2 —+ 23. Ces equations expriment les regles de la composition des vecteurs paralleles de meme sens ou de sens contraires suivant que les rotations sont de meme sens on de sens contraires.

Page  77 GEOJIETRIE DU MOUVEMENT 77 77. Rotations finies, autour d'axes paralleles, egales et de sens contraires. - Appliquant le resultat du ~ 75, on trouve -- 0. la rotation r6sultante est nulle. Mais on trouve aussi BC: AC — 1, ce qui implique que l'axe soit a l'infini. Done la resultante de deux rotations finies autour d'axes paralleles, egales et de sens contraires est une translation. L'operation n'est pas permutative. Montrons que la translation a pour valeur 2A sin Y; (1) A mesure la distance f' —"s -. --- des axes, 2 la rotation E 2-B Az. (fig. 3). T - 10 Appliquons 1'ope- - ration AB au point A; D C Op:-a:V:AB Operafzz BA l'operation A ne deplace OpeIation BA pas le point A, l'opera- Fig. 53. tion B l'amene en D. La translation est T =AD, qui satisfait bien a l'equation (1). Menons AC perpendiculaire 'a AD. Nous avons 2 -- 2, CAB= -- C'est ce qu'on pent deduire de la figure 51 en supposant qu'elle est plane et que C s'en va a l'infini. La translation est evidemment normale a la direction vers laquelle fuit le centre de la rotation 6quivalente. 2~ Appliquons l'op6ration BA au point B; le point B vient en D. La translation equivalente aux deux rotations est T —BD; elle est bien normale a la direction AC dans laquelle C va l'infini quand on applique la m6thode generale. L'operation AB n'est pas permutative. Les translations obtenues sont symetriquement inclinees sur la normale a la droite qui joint les axes de rotation. 78. Couple de rotations infiniment petites; couple de vitesses angulaires finies. - Si la rotation 2a est infiniment petite, la translation T est normale b la droite AB. L'operation AB devient permutative. La valeur de la translation est: 2 sin.- A. (2.), produit de la rotation par le bras du levier. C'est le moment du couple de rotation.

Page  78 INTRODUCTION G(EOMEiTRIQUE 79. Conclusion generale. - De tout ce qui precede nous pouvons conclure la proposition fondamentale suivante. Une rotation infiniment petite, ou une vitesse angulaire finie, est un vecteur de la nature d'une force. Sa directrice est determinee; c'est l'axe de rotation. Sa grandeur et son sens sont determines; le point d'application ne lest pas. Les rotations infiniment petites ou les vitesses angulaires finies se composent suivant la rbgle du parallelogralmme, et quand elles sont paralleles, suivant la regle qui est la limite de celle du parallelogram me. Deux rotations infiniment petites 6gales, opposees, ayant meme directrice, s'annulent. Inversement on peut appliquer des rotations formant de tels groupes. Une translation est un vecteur de la nature du couple. Sa grandeur, sa direction et son sens sont seuls determines. Une translation infiniment petite (ou une vitesse translatrice finie) est un couple de deux rotations infiniment petites (ou de deux vitesses angulaires finies), paralleles, egales et de sens contraires. I1 nous reste h revenir sur la proposition demontree au ~ 74. 80. Tout deplacement infiniment petit, ou tout systeme de vitesses angulaires et de vitesses translatrices, peut 6tre remplace par un mouvement helicoidal infiniment petit. D'apres le ~ 74 il est possible de transporter l'axe d'une rotation paralllelment a lui-minee, de maniere qu'il passe en un point quelconque; il suffit de lui adjoindre une translation convenable. Cela revient a dire qu'on peut transporter une force parallelement a ellemmee pourvu qu'on lui adjoigne un couple. Nous pouvons transforner le systeme donne en un systeme de rotations dont les axes passent par un point quelconque et en un systeme de translations. Composons les vecteurs de m6me espece. Nous ramenons un systeme quelconque a une rotation R et a une translation. II est convenu que nous sous-entendons partout les mots infiniment petites. Decomposons la translation en une translation Tp parallele l'axe de la rotation et en une translation normale T. Nous pouvons trouver une rotation equivalente a l'operation permutative (puisqu'il s'agit veritablement de vitesses) TR; cela revient a un d6placement de l'axe de rotation. Don e e syste;ne quelconque de deplacements peut etre ramene a unz mouvement helico'idal, c'est-A-dire a un deplacemen7t paralleleement a u l axe, et a une rotation autour de cet a.xe.

Page  79 (;iLOMIERIlUE DU C iO1UVEMENT 79 Cilenlatique dii solide invariable. 81. On peut transporter une figure d'une position a une antre position quelconque par une translation finie suivie d'une rotation finie, ou par l'operation inverse, et cela d'une infinite de manieres. - Prenons comme centres de spheres de meme rayon deux points homologues 0, O' (c'est- a-dire deux points appartenant respectivement aux deux figures, et qui doivent coincider a la fin de l'operation: ils sont evidemment disposes de merme par rapport aux deux figures). Les spheres coupent les figures suivant deux figures homologues. I~ La translation T amene O' sur 0: les spheres coincident. Il s'agit done d'amener en coincidence des figures superposables decrites sur la meme sphere. Je dis que c'est possible par une rotation autour d'un axe OC qui doit 6videmment passer par le centre de la sphere. Representons (fig. 54) la surface splhrique. IRduisons les figures sph6riques hoinologues chacune a deux points A et B, A' et B'. J oignons AA' et BB' par des arcs de grands cercles. Menons par les milieux de AA' et de A BB' des grands cercles normaux ciC et XC. Ils se coupent en C. L'axe cherche passe par C. En effet, les triangles ABC et A'B'C sont superposables B apres une rotation de l'angle ACA' - BCB'. 20 Nous obtehons le mneme resultat en corn- F 5 mencant par la rotation ci-dessus determinee (le point 0' restant fixe) et finissant par la translation (qui amene 0' en 0). RlEMAItQUE I. La translation depend du choix des points homologues 0 et 0'; la rotation reste la nim'me a quelque groupe de deux points qu'on s'adresse. IR:fEARQUE II. On demontre aisement, en partant de la proposition du ~ 73, qu'on peut amener une figure d'une position t une autre au rnoyen d'un mouvement helicoidal fini. c II suffit de decomposer la translation T en\ deux: l'une Tp parallele a 1'axe de rotation, A \ - Y'autre T, normale t cet axe. On remplace les deux operations T,,R ou RT, par une setle rotation, ce qui revient a deplacer laxe i. de rotation. REMARQUE III. I1 resulte de la que deux figures identiques mais

Page  80 80 INTRODUCTION GEOMETRIQUE non superposees ont toujours une ligne droite homologue commune c'est l'axe de la vis qui les amennerait en coincidence. REMARQUE IV. On peut amiener une figure plane d'une position a une autre position quelconque par une rotation autour d'un axe normal au plan. La figure 54 devient alors plane. Le point C (fig. 55) appartient aux deux figures. 82. On peut transporter une figure d'une position a une autre position quelconque par deux rotations successives.Prenons un plan P quelconque de la premiere figure et le plan P' homologue de la seconde. Soit A la droite d'intersection des plans P et P'. Une rotation autour de A fait coincider P et P'. Une seconde rotation autour d'un axe perpendiculaire aux deux plans actuellement superposes amene les figures en coincidence. Dans le rabattement de P sur P', il faut choisir celle des deux rotations supplementaires qui permet la reussite de la seconde operation. Si les figures sont infiniment voisines, les deux axes de rotation sont l'un dans le plan P ou dans le plan P', l'autre normal a ces plans. D'oui la proposition: le d6placement elementaire d'une figure s'obtient par deux rotations autour d'axes rectangulaires. 83. Mouvement continu d'une figure plane dans son plan. - Considerons une figure se d6plaqant d'un mouvement continu dans son plan. Pour passer de la position F1 a la position tres voisine F,, nous devons utiliser une rotation infiniment petite autour d'un point C1; C1 s'appelle le centre instantane de rotation relatif a la position F1. Pour passer ensuite de F2 a F,, de F, a F,,,... nous devons utiliser une s6rie de rotations infiniment petites autour d'une s6rie de points C2, C3,... qui forment une courbe continue: c'est le lieu des centres instantanes de rotation. Il resulte de la des corollaires evidents. 1~ Les normales menees au meme instant sur les trajectoires de tous les points de la figure, passent par un mmem point qui est le centre instantane pour la position consideree. 20 Les arcs elementaires decrits en meme temps par tous les points de la figure, sont proportionnels a leurs distances au centre instantane. 3~ Pour connaitre le centre instantane, il suffit de connaitre les tangentes aux trajectoires de deux points quelconques. Pour connaitre le lieu du centre instantane, il suffit de connaitre les trajectoires de deux points quelconques. 4~ Connaissant le centre instantane, pour connaitre la vitesse angulaire,) autour de ce centre, il suffit de connaitre au mnme instant la vitesse lineaire V d'un point quelconque et sa distance au centre.

Page  81 GJI;OMITRIE DU MOUVEMEN7 81 On a: r(o - V. La vitesse V' a cet instant d'un autre point situe a la distance r', satisfait a la relation: V V' 84 Le mouvement continu quelconque d'une figure plane dans son plan peut etre obtenu par le roulement d'une courbe liee a la figure sur une courbe liee au plan. - Soit ABC... (fig. 56) la courbe lieu des centres instantanes supposee liee a la figure mobile; remplacons-la par un polygone pour faciliter notre raisonnement et remplaqons le mouvement continu par un mouvement discon- D tinu. A l'instant ou commence le mouvement, A est B centre instantane. La rotation instantanee amene A B sur b. Quand B coincide avec b, B devient c centre instantane: le petit mouvement suivant laisse B fixe, mais amene C sur c... Et ainsi de suite. e Le mouvement discontinu est obtenu par le roulement du polygone ABC... lie a la figure, sur Fig. 56. le polygone Abc... lie au plan. Revenons au mouvement continu. La courbe ABC... lieu des centres instantanes, dans la figure mobile, c'est-a-dire lieu des points de la figure qui deviennent successivement centres instantanes, roule sur une autre courbe liee au plan et qui est seulement assujettie a avoir meme longueur que la premiere, le roulement se faisant sans glissement. Le centre instantane actuel est le point de tangence actuel des deux courbes. Appelons v la vitesse du point de tan- o' gence A sur la courbe fixe Abc... Appelons o la vitesse de rotation autour de A / servant de centre instantane; enfin soit R'' \ et R les rayons de courbure de la courbe A mobile et de la courbe fixe au point A (fig. 57). Posons: Ab = ds. R Quand le point B sera venu en b, c'est- a-dire apres un temps dt = ds: v, la droite O'B sera venue dans le prolongement 0 de Ob; elle aura tourne de l'angle Fig. 57. = a+s ds(. + R' ) Cours de Physique. - H. BOUASSE. 6

Page  82 82 INTRODUCTION GEOMIETRIQUE D'oL la relation { 1i \ (t)=VR+Rr Si les rayons de courbure etaient de menme sens, il faudrait 6crire la difference des courbures au lieu de la somme. Le mouvement de roulement d'une courbe mobile sur une courbe fixe s'appelle mouvement epicycloidal. L'6picycloide est la courbe tracee par un point de la figure mobile. La cyclo'ide est l'epicycloide dans le cas oui la courbe fixe est une droite, la courbe mobile un cercle. 85. Gycloide; cycloides raccourcies et allongees (trochoides). - La cycloide est la courbe engendree par un point inva0 T Fig. 58., riablement lie a un cercle qui roule sur une droite. On conserve generalement le nom de cycloide a la courbe decrite par un point du cercle. Si le point est dans le cercle a une distance d -CP (fig. 58) du centre inferieure au rayon R (d < R) la cycloide est dite raccourcie; elle est allongee si le point est hors du cercle (d >R). La figure 58 montre les trois especes de courbes: la cycloide possede un point de rebroussement; la cycloide allongee a un point double et pas d'infiexion, la cycloide raccourcie a un point d'inflexion. Determinons les equations de ces courbes. Soit: — t R, les coordonn6es du centre C du cercle. I1 est cense se mouvoir uniformement paralllement a Ox. Quand il arrive en S, le cercle a roule d'un angle 0 tel que le point U coincide avec T. On a are OU OT, 0 R Rot, 0- (ot.

Page  83 GEOM1ETRIE DU MOUVEMENT 83 Le point lie invariablement au cercle est venu en Q: l'angle QST est egal a 0, puisque la figure QST est la figure P.CU deplacee. Les coordonnees de Q sont donc: x =R0-dsin, y-=R-dcos 0. (I1 est clair que d ne represente pas une differentielle.) La cycloide proprement dite a pour equation: x =R(O- sin 0), y =R( 1-cos 0). 11 resulte de la theorie g6nerale (~ 84) que TQ est la normale a la courbe au point Q. On deduit ais6ment ce resultat des equations de la courbe. 86. Proprietes particulieres de la cycloide. - Evaluons le rayon de courbure de la cycloide. Posons ot=O, pour simplifier l'ecriture. On a: dx d dO -R(1-cos0) =y, d = dy _\/2Ry -y~ _/ 2R_ dx y V, p = 2 \2Ry., o MaX~~~ Rsin = 2Ry- y-, d2y d 2 R dx/2 - 2 y ' Or on a (tig. SU): TQ2 = 2sin2.0+ y2 =R2- (R- y)2 + y2 2Ry. Done le rayon de courbure ai tance TQ du point qui decrit la cycloide au point de tangence du cercle generateur. I1 resulte immediatement de la que la developpee d'une cyloide est une cycloide egale. Le point V appartient a la cycloide OV engendree par un point du cercle dont le centre decrit C'S' et qui roule sur la droite O'T'. Le point V est en O au debut de l'operation. En effet, on a arc QT - OT —arc Q'T' O'T'. Le point Q' decrit une cycloide identique a OQ; il en est naturellement de meme du point V, au parallelement a Ox. point Q vaut deux fois la dis / s. C Q \^1~~ r^~~~ T ~ 0 C' f - 0O Fig. 59. transport pres de la longueur rR

Page  84 84 INTRODUCTION GEOMETR1QUE On deduit de ce resultat la longueur d'un arc de cycloide. La normale a la cycloide OQ enveloppe la cycloide OV. Done arc OV -VQ -2 TV. En particulier, la cycloide entiere est quatre fois le diametre du cercle generateur. 87. Paradoxe sur le cycliste. - On s'etonne parfois que le cycliste se crotte, phenomene cependant facile a constater. Pour le moment, nous nous contenterons de poser le probleme, en anticipant mrme sur les th6oremes de la Dynamique. Nous reviendrons la-dessus au ~ 326. La boue s'attache a la roue en son point de contact avec le sol soit par cohesion, soit par capillarite lorsqu'elle est tres liquide. Pour qu'elle se maintienne sur la roue, il faut que ces forces equilibrent les deux forces a laquelle la masse est sounise: pesanteur et surtout acceleration centrifuge. Si nous admettons que le mouvement de translation du cycliste est uniforme, l'acceleration necessaire pour maintenir une masse sur la cycloide est la meme que si la roue tournait autour de son axe suppose immobile. L'acceleration est centripete et 6gale a mRco, ofu ( est la vitesse de rotation. Pour maintenir la masse sur la cycloide, il faut exercer une force centripete produisant cette acceleration, sinon tout se passe comme si la masse etait soumise a une acceleration centrifuge egale et opposee a la pr6cedente. Consequence: la masse a la meme tendance a se detacher, quelle que soit sa position actuelle, au moins si l'on neglige Faction de la pesanteur. Cherchons l'ordre de grandeur de la force centrifuge. Soit v la vitesse lineaire du cycliste; son expression est Ro,2- v: R, Prenons v 7 metres a la seconde (ce qui fait 25 kilometres a l'heure); soit R 0,35. On a: v R -140, soit 14 fois environ l'acceleration de la pesanteur. Une fois la masselotte de boue detach6e de la roue, elle decrit un trajectoire approximativement parabolique (~ 325) qui depend de la grandeur et de la direction de la vitesse au moment ou elle se detache. Le probleme consiste a montrer que certaines de ces paraboles doivent necessairement rencontrer le cycliste. Nous reviendrons sur cette discussion au ~ 326; remarquons seulement que le point le plus bas de la roue a une vitesse nulle, mais que le point le plus haut a une vitesse horizontale double de celle du cycliste. 88. Epicycloides. - Un cercle de rayon R roule sur un cercle de rayon r. On demande l'6quation de la trajectoire d'un point P situe a une distance d du centre du cercle mobile (fig. 60).

Page  85 GEOMETRIE DU MOUVEMENT Nous pouvons prendre pour variable l'un des deux angles a ou 0; ils sont relies par l'equation qui exprime le roulement' sans glissement: r:_.RO. Les coordonnees du point C' sont x:' — (r + R) sin a, ' = (r - R) cos a. y Fig. 60. Les coordonnees du point P' sont x x'- d sin [- ( + 0)] x'- d sin (O+ a), y - y' + d cos: - (0 + a)] - y'- d cos (0 + ). x =(r - R) sin a -d sin -rO-, y =(r+ R) cos a -dcos i -- a Pour retrouver les formules des cycloides, explicitons l'angle 0. Ho _ _ _'+R x (r+-R)sin --- sin r-R, R6O r+R y (r+ R) cos - d cos --- 0. Faisons r oc. Nous pouvons remplacer dans les premiers termes du second membre le sinus par l'arc et le cosinus par l'unite; dans les seconds termes du second membre, le coefficient de 0 devient l'unite. I1 reste: R0 x-(r-R) r d sin 0 R - d sin 0. y -r - d R cos; ce sont les equations du ~ 85.

Page  86 86 INTRODUCTION GEOMEI TRIQUE L'epicycloide est raccourcie quand d R<; la figure 60 represente une portion d'epicycloide raccourcie. Elle est allongee et presente une boucle quand d> R. L'epicycloide est interieure quand le cercle de rayon R roule a l'int6rieur du cercle de rayon r. On verifiera immediatement que son equation est: x (r - R) sin - ( sin..2, 'y=(r - R) cos dcos —. Si le cercle qui roule admet pour diametre le rayon du cercle immobile (r= 2R), un point de la circonference du cercle mobile decrit un diametre du cercle immobile. On a: d -=R r 0,, /= 2R cos. 89. Enveloppe d'une courbe liee a l'une des courbes roulanteso -Soit C' une courbe mobile roulant sur la courbe C et entrainant avec elle la courbe V' (fig. 61). Dans ses positions sucN -F ycessives, cette courbe enveloppe 'r^^ ---^ na~une courbe F fixe dans le plan. I existe une reciprocite evidente entre les courbes F et P': \,/ si C roule sur C' immobile, r se deplace et enveloppe la courbe '. < ^ T \^ ^ Du point de tangence T abaisc \e sons la normale sur la courbe I'; je dis que N appartient aussi a Fig. 61. F; c'est le point de tangence de 1' et de son enveloppe. Effectivement le point T est le centre instantane de rotation de la figure mobile; donc le point N venant dans sa position voisine N' se deplace d'abord normalement a NT et par consequent suivant la tangente a r'. Le point N' est done sur la courbe F actuelle, tout en appartenant a la courbe I' voisine: c'est un point de l'enveloppe; il est infiniment peu eloign6 de N. C. Q. F.D. -N Utilisons ce th6oreme a prouver que l'enveloppe du rayon O'M d'un cercle 0/ I T de centre 0' et de diametre 2R qui 0o roule sur un second cercle de centre 0, est l'epicycloide decrite par un point N d'un troisieme cercle 0" de diametre R roulant sur le meme cercle O (fig. 62). Fig. 62. Sur O'T cornme diametre, decrivons

Page  87 GIEOMIETRIE DU MOUVEMENT 87 la circonference de centre 0". D'apres le theoreme precedent, le point N appartient a l'enveloppe cherchee. Les arcs NT et MT sont egaux. Is mesurent en effet des angles NO"T et NO'T qui sont dans le rapport 2, et qui sont angles au centre dans des circonferences dont les rayons sont dans le rapport 1 2. Done tout se passe comme si les deux circonferences de centres O et O" roulaient simultanement sur la circonf6rence de centre 0. Le point N decrit une epicycloide qui est enveloppee par le rayon O'M. 90. Theoreme de Savary - Un theoreme relic les rayons de courbure p et p' des courbes entrainees F et F' aux rayons de courbure R et R' des courbes C et C'. 11 est certain a o' priori que p et p' d'une part, R et R' de Flautre doivent entrer symetri- \ quement dans la formule cherchee. Q Soit 0 et O' les centres' \ de courbure des courbes / // C et C' correspondant au, point T (fig. 63). / t ' Faisons rouler C' sur C; 1' est entrainee et / enveloppe F qui est fixe. Dans le roulement, le ' / point t' vient coincider, \ avec t; les normales Ot / \ et O't' aux courbes C et -- C' se mettant- dans le pro- longement l'une de l'autre. - \ Le point n' de 1' se super --- pose au point n de 1. - Faisons rouler C sur C; F est entrainee et enveloppe r' qui est fixe. Le point n de F se superpose au point r' de 1'. Nous poserons Tt -Tt'- ds. Soit Q et 2Q' les centres de courbure de F et r' pour le point N; ils sont sur une droite qui passe par les points T et N, puisque TN est la normale commune aux deux courbes. On remarquera que le mouvement de F' sur F n'est pas un pur roulement. Il y a en meme temps glissement.

Page  88 88 INTRODUCTION GEOMETRIQUE Faisons rouler C' sur C; F est fixe, n devient le nouveau point de contact des courbes F et I', t devient le nouveau point de contact des courbes C et C'. La droite 7t est normale a F; elle passe par le centre de courbure Q de F. Faisons rouler C sur C'; I' reste fixe, n' devient le nouveau point de contact des courbes F et f', t' devient le nouveau point de contact des courbes C et C'. La droite n't' est normale a 1F; elle passe par le centre de courbure Q' de F'. Appelons 0, 0', Q 1', les angles marques de sommets 0, 0', Q, ~2'. On a 0+0-' —Q Q'=d(R + '-). Cela resulte inimediatement du ~ 84. En effet, quand les points t et t' se confondent, les droites Ot, O't', et Q t, Q't', sont respectivement dans le prolongement l'une de l'autre. Le theoreme est maintenant presque demnontr6. Appelons a l'angle de la droite NT avec la ligne 00'; posons TN =-p. Le triangle QTt donne Q. T — Tt. cos, Le triangle Q'Tt' donne: Q'. (-'T -Tt'. cos a, ds cos a, ds cos:a P,_p Comparant ces formules aux precedentes, il vient: 1 1 I 1 p-P T+ p cos -R+r (1) COROLLAIRE. Les droites OQ et O'2' se rencontrent sur la pelependiculaire,a ~TQ~' passant par le point T. Prolongeons OQ et 0'Q' et determinons la distance au point T des traces de ces droites sur la perpendiculaire ST. On trouve au signe pres les longueurs: (p -p) R sin R cos -- ( -p) ' (,' +p) R' sin c (P' -p )- ' cos ac qui sont 6gales en vertu de (1). Ces propositions sont tres frequemment employees dans la Theorie des engrenages. 91. Mouvement d'un solide dont un point est fixe. - I1 revient au meme d'etudier le d6placement d'une figure spherique sur une sphere invariable. D'apres le ~ 81 nous savons qu'on peut passer d'une position a une autre position quelconque au moyen d'une rotation.

Page  89 GEOIME TRIE DU 11MO UVEMENT 89 Si le solide se deplace d'une maniere continue, pour passer aux positions infiniment voisines successives F1, F2,..., nous devons utiliser une s6rie de rotations infiniment petites autour d'une serie d'axes C2, C2, C3,... passant tous par le centre de la sphere et qui sont les axes instantanes de rotation. Les traces des axes sur la sphere sont les poles instantanes. Reprenant les raisonnements du ~ 84, nous trouvons qu'un mouvement continu quelconque peut etre obtenu au moyen du roulement sur un cone fixe d'un cone lie au solide et dont les generatrices servent successivement d'axes instantanes. On peut encore dire que le mouvement est obtenu par le roulement sur une courbe fixe d'une courbe spherique liee au solide et lieu des poles instantan6s de rotation. Tout mouvement continu d'un solide dont un des points est fixe, est un mouvement epicycloidal spherique. 92. Vitesse d'un point d'un solide dont un point est fixe, en fonction des vitesses de rotations instantanees. - Soit Ox, Oy, Oz, trois axes de coordonn6es rectangulaires; appelons p, q, r, les composantes de la vitesse de rotation suivant les axes. Le vecteur qui represente la rotation instantanee s'obtient en composant les vecteurs p, q, r (~ 79). La vitesse instantan6e de rotation est done (co p2= -q2+ 2 Elle s'effectue autour d'un axe dont les cosinus directeurs sont p:, q: co, r:o). Determinons en fonction des rotations la grandeur des composantes de la vitesse dx dy dz dt ' dt ' dt Une petite rotation pdt autour de Ox dans le sens positif (de Oy a Oz), produit les varia- A tions (fig. 64): dy - zpdt, dz = ypdt. y - Op6rant de meme avec les autres axes, on trouve immediatement Fig. 64. dx vX- dt =qz-ry, - dy ---- rx -p, (1) dz vz= dt -PY Q-.

Page  90 Q(0 INTRODUCTION GIEOMETRIQUE On a naturellement la relation dx dy d1_ P dt + ct c+ di -O qui exprime que l'element de trajectoire est normal a l'axe instantane de rotation. Calculons la vitesse v du point: p + Q (d Y dy ( d ' 4- r', -d 7 On reconnait dans cette expression le produit de la vitesse angulaire instantanee (,) par la distance du point a l1axe instantane. 93. Acceleration d'un point d'un solide dont un point est fixe. - Ecrivons l'expression de la vitesse au bou-t du temps dt. Les vitesses instantanees autour des trois axes sont devenues ci t 'l ci citJ r clit D'ailleurs les coordonnees des points ont chang; elles sont devenues, en vertu des equations (1) du paragraphe precedent: x + (f -- 7./) clt, - + (7r -pz) dt, z + (P qxj-q)d t. Les nouvelles composantes de la vitesse sont done (q + d t)[z +(py - x) dt -(r+ ( dt) l +(rx - z)dt et deux expressions analogues. D'oi la valeur de l'acceleration j, dont nous designerons les composanltes par Jex, je,,, e: ( dq dr Je- ( ry) - pr (rx -qx, je,, —: t- d- dq\ — d,'J )-p(p. -X), jte.= -y dt x jdt )+p(rx pz)- I(qz — ry). 94. Roulement, pivotement et glissement d'un solide sur une surface. - Soit un corps S que nous prendrons comme mobile, toujours tangent a une surface Si que nous supposerons fixe. Classons les divers mouvements qu'il pent prendre par rapport a la surface (fig. 65). Traqons sur S le lieu ABC... des points de contact successifs, et

Page  91 G(EOME TRIE D U MO UVEMEN T 91 sur St les points correspondants A, B1, Ci,... ouf les contacts auront lieu. ROULEMENT ET PIVOTEMENT. II y a roulement quand les courbes e et 5, roulent l'une sur l'autre sans glisser: A chaque instant les arcs parcourus par le point de contact sur chacU nedes courhes sont egaux. Le point A est $S immobile au moment out il sert de contact; par lui passe F'axe instantane de rotation. Si l'axe instantane est nor- mal aux surfaces S et Si, on dit qu'il y a pivotement. / S'il est dans le plan tan- / gent, il y a roulement simple./ Dans le cas general, l'axe/ a une direction quelconque R. Le roulement se compose donc d'un pivotement N et d'un Fig. 6t. roulement simple T. S'il y a roulement et si le contact a lieu sur plusieurs points, le roulement est necessairement simple; les points sont toujours en ligne droite puisqu'ils contiennent Faxe instantane. Les deux surfaces S et Si sont n6cessairement reglees. Par exemple: un cylindre roulant sur un plan ou sur un cylindre parallele, un cone roulant sur un plan ou sur un cone de meme sommet. Considerons dans le cas general les surfaces engendr6es par les positions successives de l'axe instantane de rotation. Suivant que nous les considerons comme liees au corps mobile ou comme liees a la surface S immobile, elles passent par les courbes G ou cr. Ce sont deux surfaces reglees qui roulent l'une sur l'autre pendant le mnouvement. GLISSEMENT. 11 y a glissement lorsque le point A n'a pas une vitesse nulle au moment ofu il sert de point de contact. Sa vitesse est necessairement dirigee dans le plan tangent. Voici deux cas particuliers importants que nous expliquerons sur des surfaces simples. Soil un cylindre qui roule avec glissement sur un cylindre parallele. Supposons d'abord que deux sections droites des deux cylindres (sections de forme quelconque, bien entendu) restent toujours dans le m6me plan. Le roulement peut se compliquer de glissement c'est ce qui a lieu par exemple dans le cas d'un arbre par rapport a ses coussinets.

Page  92 92 INTRODUCTION GEOMETRIQUE Mais simultanement donnons a l'arbre un mouvement longitudinal; il en r6sultera une seconde espece de glissement, a chaque instant dirige suivant la droite de contact. On peut generaliser pour deux surfaces reglees quelconques. Dans le premier cas, le d6placement d'un point quelconque de la droite de contact est normal a cette droite; dans le second, il lui est parallele. Mouvement relatif. 95. Axes mobiles animes d'un mouvement de translation. -— Rapportons le point a trois axes mobiles Ox, Oy, Oz, animes par rapport a trois axes fixes O'x', O'y', O'z', d'un mouvement de translation d6fini par les variations des coordonnees 7, r;,, de l'origine 0 des axes mobiles. Nous avons a chaque instant yd' y + d, -+ dx' dx + d dt - ct dt ' et deux equations analogues en y et z; d2x' C12X d~2 dt~ dt" ~ dt 7 et deux 6quations analogues en y et z. La vitesse absolue v, (vitesse par rapport aux axes fixes) est done la resultante de la vitesse relative v,. (vitesse par rapport aux axes mobiles) et de la vitesse d'entrainement v, (vitesse des axes mobiles). L'acceleration absolue j, est la resultante de l'acceleration relative j. et de l'acceleration d'entrainement je. Tandis que la premibre proposition est toujours vraie, la seconde n'est vraie que dans le cas ici pose ou l'entrainement est une translation (~ 96). Rappelons, parce qu'on l'oublie trop souvent, qu'un mouvement de translation peut etre de revolution autour d'un corps. Pour qu'il n'y ait pas rotation, il faut et il suffit qu'une face ou une section determin6e du corps mobile reste constamment parallele a ellememe. Par exemple, ce n'est pas parce que la Lune tourne autour de la Terre qu'elle est anim6e d'un mouvement de rotation, c'est parce qu'elle nous presente toujours la meme face. 96. Cas general: theoreme de Clairault et de Coriolis. - Soit un point P rapporte a des axes mobiles. Par rapport a ces axes consideres comme fixes, il decrit une trajectoire AR dite relative. Cette trajectoire est entratnee par les axes dans leur mouvement.

Page  93 GEOMETRIE DU MOUVEMENT 93 Au bout du temps At, le point A de la trajectoire ou se trouve le mobile P au temps 0, est venu en E suivant la courbe AE, qui definit le mouvement d'entrainement. La trajectoire consideree dans son entier subit une translation (qui l'amne en ER') et une rotation autour d'un axe EO (qui l'amene en ER"). Pendant ce temps, le mobile est alle de A en R sur sa trajectoire relative, et par consequent de A en R" sur sa trajectoire absolue. VITESSES. Menons en A la tangente a la trajectoire AE du point A lie aux axes mobiles. Prenons sur elle une longueur As qui mesure la vitesse d'entrainemzent: As - vet. Menons en A la tangente a la trajectoire relative AR decrite par le mobile par rapport aux axes mobiles consider6s comme fixes. Prenons sur elle une longueur Ap qui mesure la vitesse relative: Ap - v,. At. Composons ces vecteurs; nous obtenons la vitesse absolue, tangente at la trajectoire absolue A- vaL t. Fig. 66. Les trajectoires sont en traits simples, les vitesses, en doubles traits, les accelerations, en traits interrompus. Vitesse d'entrainement, As, vitesse relative, Ap, vitesse absolue, Aa. Acceleration d'entrainement, EE, acc6elration relative, pR, acceleration absolue, aR", acceleration complementaire, IR'R". Trajectoire relative, AR, Lra e.or reatv trnpo e R, rACC_1 LFTRATTIONS trajectoire relative transportee, ER', ACCLEAT ONtrajectoire relative transportee et orientee, ER", Appliquons la proposition trajectoire absolue, AR". du ~ 65. Le vecteur sE mesure au facteur t2: 2 pres, l'acceleration d'entrainement je. Le vecteur pR mesure au meme facteur pres l'acceleration relative j,. Le vecteur aR" mesure l'acceleration absolue j,.

Page  94 9-1 INTRODUCTION GPEOMET7RIQUEI Pour achever le probleme, il ne reste qu'at determiner la relation entre ces vecteurs. ACCiELERATION COMPLIEMENTAIRE. Les figures ApR et Ep'R' sont identiques. Representons symboliquement l'addition geometrique par le signe +; on a: Oi' = + p' + R-, j = j' + j, + RU'R Le vecteur R'R" est, au facteur At2 2 pres, ce qu'on appelle l'acceleration complementaire J. Son expression se trouve immediatement. Tracons l'axe instantane; il passe necessairement par le point E. Appelons co la vitesse instantan6e autour de cet axe. On a: R'R" = ot. OR" = t. ER". sin? o = wot. v,.At. sin. 2 R'R" 2J R - - 2(ov, sin o;? repr6sente l'angle de la trajectoire relative, ou, ce qui revient au meme, de la vitesse relative avec l'axe instantane. Ainsi l'acceleration complimentaire est un vecteur a la fois perpendiculaire a la rotation autour de I'axe instantane et a la vitesse relative, egal a deux fois l'aire du parallelogramme construit sur ces deux vecteurs, et dirige dans le sens oil la rotation instantantee tend a faire tourner la pointe R' d'une aiguille dirigee suivant la vitesse relative ER'. ENONCE PLUS GENfIRAL. On obtient l'acc6leration complementaire en decomposant la rotation c et la vitesse relative en autant de composantes que l'on veut, en determinant les accelerations complementaires dues a toutes les composantes prises deux i deux et en composant les accelerations partielles obtenues. En effet, les formules du paragraphe precedent, qui donnent les accelerations complementaires, sont celles des moments. Le th6oreme revient done a cette proposition demontree que le moment de la resultante est egal ct la r6sultante des moments des composantes. I1 va de soi que l'expres'sion d'un moment etant symetrique (au signe pres) par rapport aux deux vecteurs qui y entrent, le theornme s'applique aussi bien a l'un qu'a l'autre. 97. Expression de l'acceleration complementaire. - Nous avons a chercher l'expression d'un vecteur normal a deux vecteurs et egal a deux fois l'aire du parallelogramme construit sur eux. Le probleme est completement resolu a la fin du ~ 35. dx dy dz Les vecteurs ont pour composantes p, q, r, et, y i dt dt 'dt C/ dt

Page  95 GEO3METRIE DU MOUVEMENT 95 dz Iy\ D'ou: JX 2( clt r dct' Jy2( i -pd,?F/ c c- dx \ J3-, ( ^ dt-Pu dl)' J:-2 P e --- q (it-' Verifions que ces 6quations representent J en signe. Supposons la vitesse relative dirigee suivant Ox et la rotation reduite ' la composante q (fig. 67). I1 reste I: dx J ---2q dt Or q positif amine Oz sur Ox; le vecteur dx dt, positif, est dispose suivant OR'. Or, d'apres la regle enoncee au ~ 96, Jz est dirige suivant R'R": il est bien negatif conformemnent a la formule. L'acceleration relative a pour composantes: Jz A R ' 0 I,; 1, Fig. 67. dcx. dly d. cd J,'- dt2. J i j tr, cl2 J — ' dt2 ' enfin les composantes de l'acceleration d'entrainement sont donnees au ~ 93. 98. D6monstration analytique. - La demonstration est trbs simple et satisfait mieux certains esprits (fig. 68). Prenons des axes fixes Ox'y'z et des axes mobiles Oxyz; cela revient a choisir pour l'axe Oz l'axe instantane de rotation. Nous en avons le droit, car le theoreme que nous voulons demontrer est evidemment independant des axes de coordonnees; son expression analytique seule en depend. On a: 0 X/ / I-4 / ~/''- g I/~ Fig. 68. x - x cos o -y sin 3, y' - x sinll ( + y cos?.

Page  96 96 INTRODUCTION (GEOM1ETRIQUE Derivons deux fois; il vient dt~ dd d~x' dx cl/ i P d o. dsn dt - Itd cos d?-t dt sin +coso) dt ' dy' dx. dy ( ot - - dt sin O C( lt (xsi - yoso-y dx tIc tl /. \!dx. dt' d - - dt cos? -- l -2 -dt sin +q- cos Y) -it dt2 d t dt d Jx' c/.x d.z/. c/?/,. d. ' G? d2y' / d2x d2/ \ dx dy i ) d-d, — Cdos sin? - ot sin?+ -2-2dt cos?Telles sont les composantes de l'acceleration absolue. C'est un vecteur qui, d'apres les formules precedentes, est la resultante de trois vecteurs. 1o Le premier est l'accl16ration relative, c'est-a-dire l'acc6l6ration par rapport aux axes mobiles consid6res comme fixes. Ses compodx d2y santes sur les axes mobiles sont dth > dt2 -, R — dV1) ~R d t2 2~ Le second est l'accdl6ration d'entrainemnent, c'est-a-dire l'acc6 -1lration d'un point lie aux axes mobiles. I1 se decompose lui-m)me en deux vecteurs l'un est 1'acceleration centripte de grandeur R(' u); l'autre est l'accprsletion lanentielle paralleee le la trajectoire et de grandeur R. 30 Le troisieme est l'acceleration compel mentaire. Les composantes sur les axes fixes sont: 2 edt sindati dentra edt ' ( d x2 Sur les axes mobiles, elles sont don e: edy +2 dt derae dt ddt' I2 dt dt '

Page  97 GElOMi'ETRI' DU MOUVEMENT 97 comme on le verifiera aisement en projetant sur les axes Ox', Oy', un vecteur ayant ces composantes suivant les axes Ox, Oy. Ce vecteur, qui est dans le plan Oxy, est donc normal a l'axe instantane de rotation dirige suivant Oz. I1 est normal a la vitesse relative (puisqu'il est normal a la composante de cette vitesse qui est dans le plan normal a l'axe instantane). Enfin il est bien dirige dans le sens oui la rotation instantanee tend a faire tourner la pointe d'une aiguille orientee suivant la vitesse relative. Le probleme est completement r6solu malgre le choix particulier des axes, puisque nous sommes parvenus a un enonce oil les axes n'interviennent plus. 99. Acceleration en coordonnees polaires: trajectoire plane. - La plus simple des applications des formules precedentes est l'interpretation des formules donnant l'acc6elration en coordonnees polaires. Nous ferons le calcul complet pour la trajectoire plane; le theoreme de Clairault nous donnera sans calcul les formules pour la trajectoire gauche. Du reste, les calculs sont a peu pres identiques it ceux du paragraphe precedent. Posons: x r cos o, y _ r sin o. (1) dx tl. do It == cos - -7 - / sill o sli dit c (I it (I dt' cl- -=sinm -- +7cos? O; (12 /. (1 i do. 2 id~ s in d d s o. d Jo\ It cos - -2 sn -dt- -r sl/s n -r cosi? l (3) Y/.s d2r dvr do,o. (do \2 (dt d sin ' -t-, - r 2 cos (t t,- c -I r sin o d Mais nous pouvons aussi bien considerer le rayon vecteur comnme une trajectoire relative; le point est en effet toujours dessus. La vitesse d'entrainement est alors normale au rayon vecteur et 6gale i do dr r-71-, la vitesse relative est dirig6e suivant ce rayon et vaut dl C'est precisement ce que signifient les 6quations (2). Passons aux accelerations. L'acceleration relative est celle qui apparaitrait seule t l'observateur lie lui-meme aux axes mobiles: elle est done dirigee suivant le rayon vecteur et a pour expression d2r dt~ L'acceleration d'entralnement est celle d'un point qui serait invariablement fixe aux axes mobiles. Elle a deux composantes, Cours de Physique. ~ H. BouAssE.

Page  98 98 INTRODUCTION GOMJlTTRIQ UE L'une est l'acceleration tangentielle (parallele a la trajectoire et par cons6quent norinale au rayon vecteur) d2o r dt L'autre est l'acceleration centripete, qui resulte du mouvement circulaire; elle est dirigee suivant le rayon vecteur, vers l'origine des coordonnees; elle a pour grandeur nfin 'acceletion cnpleentaie est dirige normaleent Enfin l'acc~;ldration comple'mentaire est dirig'e normalement 'a l'axe instantane de rotation et normalement h la vitesse relative. Elle est done dans le plan de la trajectoire et normale au rayon vecteur, puisque laxe instantan6 est ici invariable et coincide avec l'axe des z. Elle a pour expression: 2 d? (Itr drt dt 100. Acceleration en coordonnees polaires: trajectoire gauche. - Prenons les coordonnees 7r, 0, 0, telles qu'on ait (fig. 69): x- r cos o sin 0, y =- r sisin 0, z = r cos 0. (1) CZ Nous pouvons ecrire immediatement les accelerations qui sont au nombre de huit. Cependant le lecteur verra par cet exemple qu'il n'est - genralement pas facile d'appliquer le theorime de Clairault, et que deux d6rivations des equations (1) sont un procede sinon plus rapide, du moins plus suir. Nous avons a considerer deux mouvements relatifs superposes, le ir OM dans son plan AMB, le mouve Fig. 69. n d mouvement du rayon vectei ~ I -1 'I I I ment du plan dans 1 espace. I. MOUVEMENT DU RAYON VECTEUR DANS SON PLAN (~ 99). ~1 Acceleration relative dirigee suivant OM -ddt1 ~ 20 Acc6leration d'entrainement tangentielle dirigde tangente a MB ~ r - ~~0 (112~dt. suivant la

Page  99 GEOMETRIE DU MU MOUVEMENT 99 3~ Acceleration d'entrainement centripete dirigee suivant MO o4 Acceleration complementaire d'irigee suivant la tangente a MB: dO (dr 2dt dlt II. MOUVEIMENT DU PLAN DANS L ESPACE AUTOUR DE Oz. 5~ Acceleration d'entrainement tangentielle dirigee suivant MC lt2 6~ Acc6ration d'entranelent en; te ge suivant MN 6 c a d'entrainement centripete dirigee su sin0(-?i ) 7~ Acceleration complementaire dirigee suivant la tangente MIC, due a1 la composante dr: It de la vitesse relative dc dr 2 sil0clt t 2sln- cit 8~ Accle1ration complementaire dirigee suivant la tangente a MC, due a la composante dOc:dt de la vitesse relative do (dl 2 cos 0t r(t I1 serait facile de commettre des erreurs. Par exemple, des deux composantes de la vitesse relative dr dO ldt ' ' 7 lt l'une seulement intervient quand il s'agit de la rotation dO autour de OP normale au plan; les deux interviennent quand il s'agit de la rotation do autour de Oz. On voit pourquoi; mais l'erreur est facile d'ajouter une acceleration compl6mentaire de trop.

Page  100 CHAPITRE IV MECANISMIES On appelle mecanismes les organes de transformation du mouvement. L'etude detaillee des mecanismes nous entralnerait hors du cadre de cet ouvrage. Du reste, un grand nombre d'entre eux sont etudies comme applications des principes de la Statique et de la Dynamique: ce serait faire double emploi que de les decrire ici. Nous passerons seulement en revue ceux dont il n'est pas parle ailleurs et que le lecteur rencontrera journellement dans lindustrie et dans les appareils de Physique. Galets. 101. Definition; machine d'Atwood. - On appelle galet une roue de petites dimensions qui sert generalement a remplacer un frottement de glissement par un frottement de roulement (~ 94). L'exemple classique est celui de la machine d'Atwood, que nous 6tudierons avec quelque detail (fig. 70). A L'arbre A de la roue (non representee) sur la jante de laquelle passe la cordeo /\ R l lette supportant les poids, s'appuie sur o\ ~ \ j ) les jantes de quatre galets d'axe 0. Pour comprendre l'avantage de cette disposition, on saura que le frottement Fig. 70. est proportionnel au poids de la piece qui frotte et que son travail est proportionnel au d6placement relatif des pieces frottantes. Nous reviendrons d'ailleurs plus longuement sur l'etude du frottement au Clapitre III de la seconde partie de ce volume. Ceci pose, soit P le poids de la roue A, p le poids de chaque galet; soit r le rayon de l'arbre A, r' le rayon des arbres 0, IR le rayon des galets.

Page  101 MEICANISMES 101 Quand les galets sont supprimes, pour un tour de A, le travail du frottement est proportionnel ai 27rP. Avec les galets, la rotation d'un tour pour l'arbre A correspond a un deplacement lin6aire: 2Trr': R, de la surface des arbres 0. D'oiu un travail de frottement total proportionnel a: 2ir.fr(P+ 4p). Comme p est beaucoup plus petit que P, le facteur P -- 4p n'est pas tres superieur a P. Toutefois, de ce chef, il y aurait d6savantage a employer des galets. L'avantage provient du facteur r': R, qui est beaucoup plus petit que l'unite. Le frottement de roulement ajout6 est g6enralement negligeable. En definitive, la disposition est d'autant plus avantageuse que les galets sont plus grands et leurs arbres de moindre diametre. 102. Galets d'interposition. - Le type des galets d'interposition est le roulement a billes de plus en plus employ6 dans l'industrie. Une piece P doit tourner sur S avec le moindre frottement. Des billes d'acier sont placees dans une gouttiere creusee moiti6 dans P, moitie dans S. Le frottement de glissement est remplac6 par le frottement de roulement. I1 ne faut cependant pas croire qu'on puisse 6viter tout glissement. Les billes se touchent certainement plus ou moins; la partie inferieure de la figure 71 montre qu'il y a glissement en tous leurs points de contact. I1 resulte de la qu'elles ne doivent pas etre trop Fig. 71. Fig. 72. serr6es, ou, si lon veut, que placees au contact elles ne doivent pas remplir completement la goutti6re. On emploie beaucoup dans lindustrie des 'coussinets a billes (fig. 72). L'arbre A ne repose plus directement sur le coussinet. I1 s'appuie sur une couronne de billes, maintenues par une gouttiere de section

Page  102 102 INTRODUCTION GEOMIL TRIQUE demi-circulaire creusee dans les deux parties B et C du coussinet. Celles-ci sont fixees l'une a l'autre par des boulons. Les billes serrees entre l'arbre A et le fond de la gouttiere creusee dans le coussinet, forment l'equivalent d'un train epicycloi'dal (~ 120). Nous etudierons plus loin leur mouvement. On utilise des galets d'interposition chaque fois qu'on veut obtenir une grande mobilite. Les plaques tournantes des chemins de fer sont montees sur des galets tronconiques aigus dont les sommets sont sur l'axe de la plaque: ils sont fous (~ 121) sur les axes AA (fig. 73). Les rails 5J Jcirculaires R qui reposent:rp-L -p — s la plaque, forment des cones tres obtus. La figure repreFig. 73. sente une coupe schematique de l'appareil. La conicite des galets permet un roulement sans glissement pour toutes les sections droites; s'ils etaient cylindriques, le glissement se produirait necessairement sauf pour une section droite. On retrouve la meme disposition dans les ponts tournnants. 103. Obtention de vitesses angulaires variables. - Le disque D d'axe vertical OB est anime d'une vitesse angulaire constante Q. I1 entraine le galet M de rayon r et dont l'axe MN de direction invariable est dirige parallelement au rayon OA (fig. 74). Posons OA=d; appelons o la ( D e i vitesse angulaire du galet. On a: or - Qd. La vitesse o est, toutes choses egales d'ailleurs, proportionnelle an B rayon d de la circonf6rence de conFig. 74. tact du galet M et du disque D. I1 suffit de faire varier d en fonction du temps suivant une certaine loi pour modifier & suivant la meme loi. On realise par exemple des vitesses angulaires variant sinusoidalement en liant le galet a un excentrique qui lui impose tres approximativement suivant A'OA des distances d de la forme generale d = -d- d, sin ot. d varie entre les limites di +t d. et di - di.

Page  103 MECANISMES 103 Si le galet reste d'un meme cote du centre 0, la vitesse angulaire de l'arbre MN est toujours de meme sens; elle change de sens quand le point de contact A passe sur le centre 0. Elle est successivement de sens opposes quand il se deplace de A' en A. Courbes roulantes. 104. Condition generale du roulement sans glissement. - Soit deux courbes tournant autour des centres 0 et O'. On demande a quelles conditions elles rouleront lune sur l'autre sans glissement; nous dirons alors qu'elles sont conjuPguees. Nous admettrons, quitte a le prou- C ver plus loin (~ 107), qu'a chaque instant leur point de contact A est sur la ligne des centres 00' (fig. 75). On a done une premiere condition: 0 r A / 0 r + r'=- 00' 2a, dr + dr'= O. (1) La condition de roulement doit Fig. 75. 6tre realisee apres une rotation quelconque et par consequent apres une rotation infiniment petite. Ecrivons donc que les arcs AB et AB' sont 6gaux, la condition (1) restant satisfaite. Les differentielles des arcs sont: ds = \/drC + rdO, ds'= \/lr' r-l()''. Les conditions: ds d- s', dr =- dr', donnent: rdO (0 rI'd. (2) Soit donnee l'une des courbes r - f(O); on aura pour determiner l'autre les relations r'-.=2a -r =2a -f(), ___f(O),-. cl/)'- /- "- - dO. d 2a- -f(0 d) L'integration effectuee, O' et r' sont exprimees en fonction de la variable auxiliaire 0; l'l6imination de 0 fournit l'equation cherchee: 7' =F(O'). REMARQUE. Si les courbes: r f(0), r' F(O'), sont roulantes, il en sera de mrme des courbes: r f(nO), r' = F(no'),

Page  104 0-1 INTRODUCTION GE'OME TR IQUE ou n est un nombre quelconque. Cela revient t rapprocler (ou a eloigner) les uns des autres les rayons vecteurs des deux courbes, en reduisant (ou en augmentant) leurs angles dans le meme rapport. 105. L'une des courbes est une ellipse tournant autour d'un foyer. +- Des considerations geometriques immediates montrent que............. —... deux ellipses egales tournant '.. autour d'un de leurs foyers, sont des courbes roulantes conju-... -.. '.'. guees, pourvu que la distance 00' des centres vaille deux fois le grand axe (fig. 76). Voici le calcul comme application des formules precedentes..... ~ L'6quation d'une des ellipses est ]F"""ig'" - -. - ""a (..i - e ) ~Fig~- ^. 16-. 1 — e cos ' a est le demi grand axe, c est l'excentricite \/a —i ': a c a. Appliquant les formules du paragraphe precedent, on trouve: ( _1 - c)d (1 + c) cos 0 + 2c ' 1 + e' + 2ecos O ' s 2e cos 0 +1 + e+ ' 1 + e- + 2e cos 1 + e cos 0 Eliminant 0 entre les deux dernieres equations, il reste - 4- e cos 0' c'est l'6quation de l'ellipse r, 0, qui a tourn6 de Les vitesses angulaires sont a chaque instant trIs diflTrentes pour les deux courbes. L'equation: rdO = r'dO', peut s'ecrire: r7o - r'o'. Le rapport des vitesses angulaires passe de: 1-e I -e -Ie^ ae D)'apres la remarque du ~ 104, les courbes d'equation ( -a e") -1 e cos n ' sont encore des courbes roulantes conjuguees. Pour qu'elles se ferment, on prendra n entier.

Page  105 ME CA NIS MES -105 106. L'une des courbes est une spirale logarithmique. - Posons r - be'~ l'une des courbes est une spirale logarithmique (fig. 77). Cherchons la courbe roulante conjuguee. On a: / ek dO - 2a beli O, be - k' 2a - bhe'; r'- 2a- be, r0 ' h b. La courbe conjuguee est la meme spirale logarithmique. On sait que la tangente cette courbe fait un angle constant avec le rayon vecteur qui passe par le point de contact; ce qui ex-: r"- \<.- - plique la tangence des courbes............ 0 ) Fig. 77. Fig. 78. roulantes. En A et A', langle de la tangente avec 00' est le meme. On n'utilise evidemment que des portions finies de l'une et par cons6quent de l'autre spirales. On groupe les arcs utilis6s de maniere que leurs extremites soient les sommets de polygones reguliers (fig. 78). Games; profil des dents d'engrenage. 107. Came. - Deux figures planes A et A' (fig. 79), tournant dans leur plan autour des points 0 et O', constituent une came. On demande l'expression du rapport des vitesses angulaires o, et o', et celle du glissement. Soit M le point de contact actuel de A et de A', et PMP' la tangente commune. Menons MC perpendiculaire a PP'; elle coupe en C la ligne des centres 00'. Le calcul suivant repose sur ce fait (que nous admettrons): apres une petite rotation, la tangente commune conserve sensiblement la m6mee direction: elle vient en pp'. I1 resulte de lac que, le point M de contact actuel, considere comme appartenant a la figure A, se deplaqant suivant l'arc MN de centre 0,

Page  106 106 IN'TRODUCTION GIOMETRIQUE le mnme point M, considere comme appartenant a la figure A', decrit l'are MN' de centre 0'. (Contrairement a ce que semble indiquer la figure, MN n'est pas dans le prolongement de O'M, ni MN' dans le prolongement de OM; generalement l'angle OMO' n'est pas droit.) 0"" C2.., A A.... """***- A - -- / '"'"~~~~~.....'''.. ''..................................-.... "" Fig. 79. Menons les perpendiculaires OP, O'' la tangente commune; prolongeons CM jusqu'en D. Dans les triangles semblables DMN et PMO, on a: NDI MN MDL OP - M0 'M ' dans les triangles semblables DMN' et P'MO', on a: N/) MN' MD O'P' MO' MP' D'ailleurs on a: MN OM. colt, MN' O'M..'ct. D'oui o. MP '. MP'; et enfin o. OC - o'O'C. (1) La perpelndicullaire commune MC divise la lignc des centres en deux: segments tels que le produit de la vitesse angulaire par Ie segmentl correspozndant est constant. On a: ND OP. odt, N'D OP'. c'dt; OC CO' (MC - OP): (O'P'- MC) =: o. NN' ND + DN'- OP. odt + O'P'.,'lt = (c + o') MC. dt, NN' It (co4 co') MC. La vitesse de glissement est eyale 2 la somme des vitesses ang'u

Page  107 MI ECANIS ME S 107 laircs multiplie par la longuueur de la normale commune comprise entre le point de contact et la ligne des centres. Nous retrouvons le resultat du ~ 104. Pour que le glissement soit nul, c'est-a-dire pour que le roulement existe seul, on doit avoir MC 0=; le point de contact doit 6tre sur la ligne des centres. 108. Came des pilons. - L'exemple suivant est une excellente introduction a la th6orie des engrenages. Proposons-nous de soulever verticalement une piice guid6e A' (pilon) au moyen d'une came tournant autour de l'axe 0. La tige A' peut etre censee tourner autour d'un axe 0' situe a l'infini dans la direction hori- R sontale 00' (fig. 80). —................ Pour determiner le pro-.....l.... hleme, posons que la. translation verticale sera proportionnelle a la rota- tion de la came A. Il faut 0 -l o' done que la normale MC C...... au point de contact des courbes glissantes passe par un point fixe C de la A ligne des centres 00'. Nous pouvons prendre comme solution une deve- Fig. 80. loppante RMS du cercle de rayon OC, et une horizontale R'MS' liee au pilon. Quand le cercle tourne de l'arc CH, le pilon s'eleve de CM pr6cisement egal a CR. 109. Engrenages; profil en developpante de cercle. - Soit deux cercles de centres O et O' et de rayons quelconques (fig. 81). Menons les developpantes de ces cercles (RM"S, R'M"S', par exemple) de maniere qu'elles soient tangentes. D'apres la definition de la d6veloppante, il suffit d'enrouler un fil autour des cercles et de tracer la courbe decrite par un des points du fil pendant le deroulement: du reste tous les points decrivent la m6me courbe. Les developpantes sont tangentes en un point M" qui est sur la tangente commune aux deux cercles TT', puisque cette droite est par construction la normale commune aux deux courbes. Faisons tourner les cercles de maniere que les developpantes restent

Page  108 108 IN TRIOD UC TION GEOME TRIQ UE tangentes entre elles. Le point M" decrit la ligne TT'; la normale commune passe par le point invariable M'. Ainssi nous realisons n entrnemntneent qui jouit de la plroprietl fondamentale que le rapport des vitesses angulaires es ds deuxl cercles est invariable. Inversement, soient donnes les axes 0, 0', et le rapport c ('; determinons le point M' par la condition (~ 107) (). M'O o'. M'O/. Menons une droite arbitraire TT'; tracons les deux cercles tangents de centres 0 et O'. Menons les d6veloppantes de ces cercles. Ils: I-F ~"~0' Fig. 81. peuvent s'entrainer par le inoyen de ces developpantes glissant F'une sur l'autre, et le rapport des vitesses angulaires est le rapport donne. I1 y a g6neralement glissement, puisque le point de contact est g6n6ralement hors de la ligne des centres. Pour diminuer le glissement, il est done avantageux de n'utiliser chaque paire de d6veloppantes qu'au voisinage de la position pour laquelle le contact est sur la ligne des centres. Les dents doivent necessairement agir de part et d'autre de cette ligne, mais seulement dans un petit intervalle. 110. Realisation pratique de l'engrenage en developpante de cercle (fig. 82). - Pour obtenir un entrainement bien regulier et sans trop de frottement, on est conduit a multiplier le nombre des courbes qui s'entralnent; on obtient les dents de la roue d'engrenage. Comme les roues doivent se conduire dans les deux sens, les dents ont la meme forme des deux c6tes. Pour ne pas affaiblir outre mesure

Page  109 MEICANISMIES 109 leurs extremit6s, pour que l'6paisseur ne diminue pas trop vite, on prend la tangente commune aux cercles d6veloppes presque normale a la ligne des centres 00'; ce qui revient a' utiliser les developpantes de cercles dont les circonf6rences condzCtICc sont tres rapprochlees l'une de lFautre. Les dents sont separees par un intervalle qu'on appelle le creux; C\ o il existe naturellement une relation entre le creux et l'epaisseur de la Fip,. 82. dent, puisque les dents doivent s'engager les unes dans les autres. On s'arrange pour que plusieurs dents soient simultan6ment en prise. 114. Cremaillere. - 1 y a crlemaillere lorsqu'un des axes de rotation passe a l'inlini, par consequent lorsqu'un des mouvements circulaires devient une translation. La came a pilons constitue done un element de cremaillere. Appliquons la th6orie precedente ct la cr6maillere; nous retrouverons une solution qui admet celle du ~ 108 comme cas particulier. lIeprenons la figure 81; supposons que le point 0' s'eloigne ind6finiment, la tangente TMT' restant invariable. La dteveloppante R'M"S' deviendra de plus en plus rectiligne; elle sera remplacable par un morceau de droite dans toute la partie accessible du plan. Cette droite est normale a ''TMT'. La direction de translation autour de l'axe O' infiniment eloigne est normale ai 00'; les d6veloppantes de O' sont des droites normales a TT' et par consequent obliques a la translation (fig. 83). Au ~ 108 nous supposons conmme cas particulier que TT' est normale a // la translation. Le lecteur fera abstraction de la partie de la figure en pointill6: elle nous servira au ~ 218, quand lnous ig. 3. parlerons des vis tangentes donl la th6orie est identique a celle de la cr6maillere. 112. Engrenages en epicycloides. - Les engrenages, nous venons de le voir, ont pour but de transmettre la vitesse angulaire o d'un axe 0 a un autre axe O', d(e manazire qu e le rapport o 'o soit constant.

Page  110 110 INTRODUCTION GEOM 9TRIQ UE On r6aliserait evidemment cette condition en faisant rouler l'un sur l'autre deux cercles de centres 0 et O' et de rayons R et R' tels qu'on ait: Ro - R'%)'. L'inconv6nient de ce procede est le manque d'adherence entre les roues. I1 est cependant employe lorsque 'effort a transmettre est petit, ou lorsqu'on desire entre les arbres O et O' un accouplement souple. Les roues, pouvant glisser l'une sur l'autre, realisent cette condition. Pour augmenter l'adherence on recouvre les jantes de bandes de cuir. D'ailleurs l'adherence peut n'6tre pas negligeable; c'est par adherence que la locomotive entraine son train. Le roulement sans glissement des circonferences que nous venons de definir et qu'on appelle circonferences primitives, fournit autant de courbes conjugzjues qu'on voudra (~ 89), maintenant un accouplement rigide des arbres avec un rapport des vitesses angulaires o (w', determine a 'avance. Deux methodes donnent le resultat. MtITHODE DES ENVELOPPES. Maintenons fixe la circonference primitive C et faisons rouler l'autre C' sur le pourtour de la premiere. Tracons une courbe quelconque P' sur le plan de C', et determinons son enveloppe F pendant le roulement de C' sur C. L'enveloppe F est le profil conjugue de '. En effet, si nous retablissons la fixite du point O', les deux courbes I' et r' restent constamment tangentes pendant les rotations autour de O et de O'; d'ailleurs le rapporto o' aura la valeur voulue, puisque tout se passe comme si les circonferences primitives roulaient l'une sur l'autre. ~0' Le trace de la courbe enveloppe F se fait par I' points. N C' Consid6rons en effet la figure 84. Le point T est le centre instantane de rotation (, 84). T 1 \ Abaissons la perpendiculaire TN sur la courbe P. Le point N se deplace d'abord normalement a NT et par consequent suivant la tangente a F'. ~. I1 reste done sur la courbe r' actuelle, tout en Fig. 84. appartenant a la courbe r' voisine: c'est done un point de l'enveloppe (~ 89). MtTHODE DES ROULETTES. On utilise une courbe auxiliaire y qu'on fait rouler successivement sur les circonferences primitives C et C' (fig. 85). Un des points P du plan lie a la courbe ^, decrit pendant son roulement sur C la courbe F sur le plan C, pendant son roulement sur C' la courbe F' sur le plan C'. Je dis cue les courbes F et P' sont conjuguees, c'est-adire restent constamment tangentes pendant le roulement sans glissement des circonferences primitives.

Page  111 M1;i'CA NISM ES 111 En effet, faisons rouler simultanement; sur C', et C' sur C maintenu fixe, de maniere que les trois courbes restent constamment tangentes au rneme point. Le point P decrit: la courbe I dans son mouve- / ment absolu; la courbe P' dans son 0 mouvement relatif par rapport a C'. Lesr j courbes F et F', d6crites simultanement par le meme point, sont tangentes. Elles admettent en effet pour normale la droite qui joint le point P aux centres instan-tans de rotation; ces centres sont le mime point pour les deux courbes, puisqu'ils coincident avec le point de tangence des trois courbes. 0. I1 n'entre pas dans le cadre de cet Fig. 85. ouvrage de discuter les meilleurs proills; nous donnerons deux exemples pour illustrer la theorie generale. 113. Engrenages a lanterne. - Dans cet engrenage on choisit pour courbe ' un point ou plus exactement un cercle de petit rayon. La courbe conjugu6e F est par consequent une epicycloide, c'est-adire le lieu d'un point du cercle C' roulant sans glissement sur le cercle C. L'une des roues est done formee de tiges cylindriques dont les axes sont disposes symetriquement sur un cercle et qui sont maintenues par deux disques normaux a l'axe; d'ou le nom de lante7rne donne a l'appareil. Les dents de l'autre roue sont limitCes par des arcs d'6picycloides. 114. Engrenages a flancs. - On choisit pour courbe F' un rayon du cercle C'. Nous avons demontre (~ 89) que dans le roulement de C' sur C, le rayon enveloppe une epicycloide F decrite par un point d'une circonference y de rayon R' 2, roulant sans glissement sur le cerele C. I1 revient au menme d'appliquer la methode des roulettes. La courbe y est alors une circonference de rayon R': 2. Roulant sur C', un point de y decrit un dianmtre F' (~ 88). Roulant sur C, il decrit l'6picycloide conjuguee I. Mais cette epicycloide presente un rebroussement sur la ligne des centres 00' (fig. 86); d'oi une impossibilite mecanique. Pour tourner la difficulte, on utilise une seconde courbe auxiliaire y, roulant dans C qui roule elle-m6me sur C'. La courbe FI est maintenant un diametre du cercle 0, elle enveloppe une epicycloide F'. Chaque profil se compose done d'une partie rectiligne qu'on appelle flalc, prolongee par une epicycloide qu'on appelle face; le flanc d'une

Page  112 112 INTRODUCTION GIEOMiIETRIQUE roue conduit la face de l'autre, et reciproquement. Le passage se fait sur les circonferences primitives (fig. 87). Le trace des dents de lune des roues depend de la circonf6rence Y, C Fig. 86. Fig. 87. primitive de F'autre roue; on ne peut pas faire conduire i une roue des roues de diamltres differents. Pour la meme raison, si les axes s'eloignent ou se rapprochent, le trace devient incorrect. Nous n'entrerons pas dans la discussion du nombre de dents qui doivent etre simultan6ment en prise, du jeu a laisser, etc..., toutes questions de pure technique. Trains d'enqrenage, trains dpicycloidaux. 115. Position du probleme. - Le probleme a r6soudre est tres dilffrent de celui traite dans les paragraphes precedents. II ne s'agit plus des meilleurs proc6d6s pour entrainer une roue par une autre, avec la condition que le rapport des vitesses angulaires soit constant; il s'agit de trouver la meilleure disposition des roues, pour obtenir un rapport ( ) o&' quelconque donne. Supposons que le rapport soit 145: 33; on ne peut tailler comniodement des roues d'engrenage ayant 145 dents. I1 faut combiner plusieurs roues, realiser ce qu'on appelle un train, de maniere a obtenir un rapport o,)0' sinon eqal, du moins tres approche du rapport donne. Nous ne considererons plus que les circonferences primitives; peu importe le profil des dents. On appelle module n d'une roue le nombre de dents. Celles-ci partagent la circonference primitive en n parties respectivement 6gales a 2rr n, et qu'on appelle le pas. Quand deux roues de rayons r et r'/ engrenent 1'une sur lautre, leurs circonf6rences

Page  113 MIIECANISMES 113 primitives roulant l'une sur l'autre, leurs pas sont egaux. Entre les nombres de dents n et n', les rayons r et r' et les vitesses angulaires (, et o', on a done: 2.ir 2,r' -- r-, rto — rt HG-) -l fl to Ii est plus avantageux d'utiliser la troisieme 6quation que la seconde, parce que le nombre de dents se compte ais6ment, tandis qu'il est difficile de determiner directement les rayons des circonferences primitives. 116. Trains d'engrenages. - Le train elementaire se compose d'une roue et d'un pignon; on reserve le nom de pignon a la plus petite des deux roues (fig. 88). A 1 Soient deux arbres I n extremes A' et A dont N' I les vitesses angulaires j \ sont a' et a; ils sont P separes par p axes de 1 p A vitesses to,...,' co,. Appe- - I ions N' et N les modules N des roues d'axes A' et Fig. 88. A; appelons n' et ni les modules du train elenentaire d'axe i. I1 est inutile de specifier dans les formules le sens de rotation; on voit imm6diatement que deux roues qui engrenent exterieurement, tournent en sens contraires; il suffit d'ailleurs d'intercaler une roue entre deux roues qui engrenent, pour changer le sens de rotation de toutes les roues qui suivent. On a: La = to,(),e, tsi u2a)i., m'm,3)3,.....me,l(p 2 -ie Nx. Multiplions toutes ces equations membre a membre; les vitesses intermediaires disparaissent; il reste: (N'Z2... II,)aO" - (ln,... npN)x, ' NnIn/2 n, a- N'lit nL,' Gette formule montre que le rapport des vitesses angulaires extremes s'exprime necessairement sous forme de fraction. Tout nombre peut etre mis sous cette forme avec telle approximation qu'on veut. Mais les conditions mat6rielles de construction exigent que le nombre des dents ne soit ni trop grand ni trop petit. D'ou le probleme: deterriner au mieux le nombre des trains elementaires et le nonmbre des dents de leurs roues. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 8

Page  114 1 i INTRODUCTION GLEOMI TRIQUE Nous n'indiquerons que la methode d'Huyghens, basee sur les fractions continues; nous l'expliquerons sur un exemple classique. 117. Rouage lunaire. - Proposons-nous de relier deux arbres dont l'un fasse un tour en 12 heures, l'autre en une lunaison, c'esta-dire en 29 jours, 12 heures, 44 minutes, 2 secondes. On trouve immediatement que le rapport des vitesses est exprimer en jours par la fraction: 29,5306: 0,5= 147 653: 2500. Reduisant en facteurs premiers, il vient: 11.31. 433 2.2.5.5.5.5' Comme on ne peut utiliser une roue de 433 dents, il faut chercher une fraction approchee. leduisons en fractions continues: 147653 153 I 1 -2500 - - 59 2500 25 00 l9 ( 52 [-is) (16 ^:59+ - 46 +4 + 16-2+.. Utilisant un nombre croissant de termes, on trouve une serie de fractions (reduites successives) qui sont de plus en plus approchees du r6sultat exact. Ce sont: 59 945 949 2894 t '16 ' 33 5 49 On peut aussi utiliser les redui/es intercalaires. Soit a 'h et c d deux r6duites successives; les r6duites intercalaires ont pour expressions: (qta+ ): (qb - +(I'd), oii q et q' sont des nombres entiers. On cherche, parmi toutes ces fractions, celles qui se decomposent en facteurs qui ne soient pas trop grands. On a par exemple: 945 3.3.3.5.7 30) 35 18 t16 2.2.2.2 8 ' ' 5 II suffit de poser: N' 30; 8, n=;,8, 2 ' —,8; N=5. Les nombres de dents sont admissibles. L'erreur est a peine d'une minute par lunaison.

Page  115 jME]CA NISMIES 115 118. Train epicycloidal plan. - On appelle train epicycloidal le systeme forme par deux roues de rayons R et r, engrenant l'une sur lautre. L'axe de la roue satellite r est monte sur un levier concentrique a la roue R. La roue R peut du reste engrener avec la roue satellite exterieurement (roue R, de la figure 89) ou interieurement (roue R2 de la figure 89). / Appelons o (, o), O), k, les vitesses angu- // laires absolues des roues et du levier, vitesses comptees positivement toutes dans / le meme sens a partir d'une direction fixe. Etablissons les relations entre ces quantites. Pour les trouver aisement, donnons a tout le systeme une vitesse angulaire - 6gale et oppos6e a celle du levier qui par R1 consequent devient immobile. 8. Les vitesses angulaires des roues R, et R2 deviennent: c01o-, ), ( —. La vitesse angulaire du satellite est de meme () -. Ecrivons maintenant que les vitesses angulaires sont en raison inverse des rayons des circonf6rences primitives, en tenant compte des signes. I1 vient les deux equations:,((,-) >) — -- R 7), qui r solvent le probleme pos6. On peut se donner arbitrairement deux des quatre quantit6s (o,,, (0), o). Voici quelques exemples. 119. Engrenage de Lahire.- Supprimons la roue 1, rendons immobile la roue 2. I1 reste: Conrmme r est plus petit que Rt, necessairement o et ), sont de 1T signes contraires. En particulier, faisons r _ R' 2; T il vient: (w ) - ). Quand le levier fait un tour, la roue fait elle aussi un tour dans son rnouvement absolu. \/ \ Expliquons ce paradoxe. A Nous savons qu'un point de la circonf6rence r decrit un diametre de la circonference R (~ 88). Apres une rotation de 4: par exemple, le point de tangence du satellite est venu en T'. Le point A qui sert.

Page  116 I I 116 INTRODUCTION GEOME TRIQUE a determiner la rotation du satellite, est venu en A'. Par rapport au levier OT, il a tourne de: 2; mais il n'a tourne que de: 4 par rapport a la droite horizontale de direction invariable qui repere les rotations absolues. Quand le point de tangence est en T", A est venul en O. Nous trouvons done une rotation relative au levier egale a 7:, mais une rotation moitie moindre par rapport a l'horizontale. Et ainsi de suite. 120. Coussinet a billes. - On se reportera au ~ 102. Le cercle exterieur est anime d'une vitesse nulle, le cercle interieur est aninme d'une vitesse o); on demande les expressions de co et de ): r((.o -) -1() -- -) R2cA, R- RP R, R -r A - )1 Pi t 1^ ' '')- - ', + R -. Les billes se deplacent dans le sens meme de la rotation de l'arbre, puisque k) et co sont du meme signe. D'ailleurs k est plus petit que co; dans la pratique ou R, et R. sont peu differents, A est environ la moitie de (). Les billes tournent sur elles-memes en sens inverse de l'arbre; leur vitesse angulaire est d'autant plus grande que leur diarnetre est plus petit vis-a-vis de R,. 121. Double train epicycloidal plan. - Les roues R1 et R' sont montees folles1 sur l'axe A qui porte le levier (fig. 91). L'axe du systeme satellite forme des A deux roues r et r' solidaires, 1]~~ ~~1 }tourne fou dans le levier avec WIlR1 ", l une vitesse.). I1@ r lOn denmande la relation qui ____[ _ < j existe entre (), (oI, (o2 et 7). On a 6videmnment la condiUR, - 1 = r < tion: R,+ r R-P+r'. (1) - I _______ %: I 11 suffit d'appliquer deux fois MnS~~ X la formule du ~ 118 pour les Fig. 91. roues engrenant exterieurement: - r( -- )) = R1((-, - "(() - ),(() —) R'(~'- - ). Eliminons o entre ces relations, il vient:, i R',\ R, R,,.( 7- '$) —( 7. - t)w * (2) 11 71 7' 1 On dit qu'une roue est montee folle sur un arbrc quand elle peut tourner librlement sur cet arbre. Cette liberte est naturellement genee par l'in6vitable frottement. Une roue qui n'est pas folle. est calve. Toute variation d'azimut dans le calagc constitue le ddcalage.

Page  117 lIE CANISMlES 117 Une des deux roues mont6es folles sur l'arbre A pourrait engrener intrieurement. Appelons-la Rl et appliquons la formule correspondante du ~ 118. - r( - 7) = RI((OI - X), r '((o - \) = R-(- x),. RI R,\ RI, R2 A Z +.r ) == <)1 7, 1 Uu2 r'. + - ~- +1 On a maintenant comme condition geometrique: R, + r- R,- r'. (2') (1') 122. Train epicycloidal spherique; diff6rentiel d'automobile. - Les deux roues Rl et R, ont leurs axes paralleles (fig. 92); elles tournent avec des vitesses wo et 0)2 Le bati B tournant autour du meme axe avec une vitesse i entraine un axe aa sur lequel est monte fou le systeme de deux roues d'angles solidaires r, et r2. Elles tournent avec une vitesse angulaire (). On demande la relation qui existe entre (,), ~02 et ',. Pour etablir la formule, nous donnerons a tout le systeme une vitesse - qui rend le bati B immobile. Les vitesses co et (0)2 deviennent o0,- ) et (02-A. B -1)1......l.j.. A ' -- -.......... V/ R2 I I I JB I Fig. 92... La vitesse (o ne change pas. Ecrivons les relations, en que les roues Ri et R2 sont entrainees en sens inverses R(, R,\ R R2 I r - + (- ) 12 -+r (O 2 -. 1ri r2 +() r2 remarquant (2') En particulier supposons R, -- R, r =r,; nous obtenons le differentiel d'automobile (fig. 93). La formule (2') devient: I ()I -- () 1 A -- 2. (3) Voici pour quelles raisons on utilise cet appareil. Dans les tournants les roues doivent accomplir des chemins inegaux. Si elles sont calees sur le meme axe, il y a glissement de l'une ou l'autre jante, et par consequent usure de l'enveloppe. On supprime l'inconvenient pour les roues d'avant en les montant folles sur leurs axes; l'artifice n'est pas applicable aux roues d'arriere motrices, puis

Page  118 118 INTRODUCTION (;EOME TRIQUE qu'elles doivent etre entrainees par le moteur, necessairement par l'intermediaire de l'essieu sur lequel elles sont calees. Le differentiel a pour effet de les rendre partiellement ind6pendantes; il suffit que la condition (3) =!IZ ll soit satisfaite. En ligne droite (en aligneenent ), on a ~B (r B (I0 ')2, I, -- (' 1; Le moteur entraine le baiti B, lui impose la vitesse angulaire; il impose par suite la neme vitesse angulaire aux deux moities de l'esX {.....i sieu. Les formules donnent imm6 -diatenent o - 0; la roue satellite r Fig. 93. ne tourne pas sur son arbre. Tout se passe done comme si l'essieu etait unique, comme si le moteur entrainait un syst6me rigide. En ligne courbe, les phenomenes sont diffTrents. La roue exrerieure prend de l'avance par rapport a la roue interieure; il n'y a pas de glissement de l'enveloppe sur le sol. C'est possible puisque la seule condition a r6aliser est 2>, = (O -+t9. On peut m6me arreter une des roues; l'autre est anim6e d'une vitesse double de celle qui est communiquee au batti. Excentriques. 123. Excentriques a rainures, a ondes, a cadres. - On appelle excentriques les appareils qui transforment un mouvement circulaire uniforme en un mouvement rectiligne alternatif suivant une loi donn6e. La came est un excentrique (~~ 107 et 108). Les excentriques les plus simples sont a rainures ou a ondes. Dans 1'excentrique a riainure, la tige guidee AB porte un boiuton qui s'engage dans une rainure creunA H B s6e dans un plateau. Celui-ci est mont6 normalement au bout de l'axe H /i ll qanime6 du nouvement uniforme de rotation (fig. 94). Par un choix convenable de la rainure, on r6alise la Fig-. 91. loi alternative donn6e. Si la rainure est un cercle excentr6, le mouvement de la tige est sinusoidal.

Page  119 MIE' CA NIS IiES,19 Si la rainure est une spirale d'Archimede d'equation: p = p + aO, le mouvement est uniforme. Cette courbe n'6tant pas ferm6e, il faudra fermer le cycle des operations au moyen d'une autre courbe, par exemple au moyen d'une autre spirale. En particulier, on peut obtenir un mouvement alternatif uniforme dans les deu Z sens au moyen d'une double spirale qui constitue la courbe en ceur (fig. 95). En prenantAA'pour droite de r6f6rence, X:A\ \ les deux spirales ont pour 6quations: P ' P0 -- aft. p = — aO \ \ '. Cherchons la longueur d'un diametre B'D. I1 faut poser: 0 —, po'-2Sp,+aj9; la longueur du dianmetre est constante. Quand on utilise l'appareil comme excentrique a cadre (voir plus loin), on fixe sur la tige deux boutons a cette distance invariable. Dans V'excentrique a ondes, la tige guidee s'appuie sur un C cylindre (fig. 96) dont la section /E _ droite a un profil convenable. / i_ La tige est poussee contre la F. surface du cylindre par un pro- K /. cede quelconque, par exemple / au moyen d'un ressort. La rainure et le profil u c cylindre ne peuvent avoir une Fig. 96. forme quelconque. Nous verrpns en parlant du frottement les conditions a remplir pour qu'il n'y ait pas arc-boutement. Par exemple, l'appareil repr6sente figure 96 fonctionne dans le sens de la fleclie; il ne fonctionne pas en sens inverse. Dans le premier cas, la tige retombe brusquement suivant le rayon DE; dans le second, elle bute contre ce rayon et le systeme s'arrete. Pour att6nuer les frottements, la tige de la figure 96 porte souvent une roulette.

Page  120 I - - 1- - 11' -., - - — h, 120 'INTRODUCTIO'N G(O1MELT'R'IQUIE On appelle ondes les saillies telles que IJL, LBC. La saillie CDE est une came. I1 y a repos pour la tige quand le profil est un arc de circonference. Pour 6viter l'emploi d'un ressort, ramenant la tige contre l'excentrique, on peut lier a la tige un cadre perpendiculaire au plan de l'excentrique. Cette disposition est identique au fond a l'emploi de deux boutons dans l'excentrique a rainure (voir plus haut). Bien entendu il faut que les diametres aient une longueur constante; par exemple, on peut utiliser la courbe en coeur. 124. Cylindre a rainure, renvoi sinusoidal. - Parfois la rainure est creus6e dans un cylindre dont l'axe est parallele a la tige guide: on a le cylindre a rainure. Nous admettrons qu'il tourne d'un mouvement uniforme. Si la tige guidee doit etre animee d'un mouve} El ment uniforme, la rainure se compose evidemment d'une portion d'h6lice et _ (. w -= \ d'une courbe quelconque qui fermera le circuit. Si le mouvement de la tige guid6e doit etre alternatif et sinusoidal, la rai-- - II nure est une ellipse (fig.97). Parfois la rainure est Fig. 97. Fig. 98. creusee dans la piece guidee. La figure 98 represente le renvoi sinusoidal. Quand le plateau porte-bouton tourne d'un mouvement uniforme, la tige subit une oscillation pendulaire. 125. Excentriques a cadre parallele. - Les excentriques sont dits a cadre parallele, lorsqu'ils se meuvent dans un cadre dont le plan est parallele a leur propre plan et aux cotes duquel ils restent tangents. Par exemple, on obtient un mouvement pendulaire de la tige guidee, ou du cadre qui en est solidaire, par la disposition repr6sentee figure 99. Dans l'excentrique triangulaire (fig. 100), le cercle est remplace par un triangle curviligne 6quilateral, tournant autour d'un de ses sommets. Les cotes sont des arcs de circonf6rence ayant pour centres les sommets oppos6s. La hauteur du cadre est egale aux rayons des circonf6rences. On realise ainsi, comme il est facile de le montrer, un mouvement alternatif avec des repos.

Page  121 MIECANISMES 121 On verifiera ais6ment que deux cas se pr6sentent pendant une periode. 10 Le cote oppose a l'axe est tangent au cadre; le deplacement du cadre est nul. 2~ Un cote adjacent h l'axe est tangent au cadre; siinultanmeent l'autre cote du cadre s'appuie sur le sommet oppose. 0 N B N Fig. 99. Fig. 100. Supposons que l'excentrique tourne dans le sens de la fleche. Voici les diverses situations dans une demi-periode. AB est tangent au cote 1; repos, l'effort transmis est nul; Le sommet A decrit I: OB est tangent a 2 et le pousse; Les sommets A et B touchent respectivement les c6tes 1 et 2, ce qui n'a lieu qu'un instant; OA est tangent a 1: le sommet B decrit 2 et le pousse; AB est tangent au cote 2; repos, l'effort transmis est nul. Et ainsi de suite. On calcule sans difficulte la loi complete du mouvement. D'une maniere generale, la theorie des excentriques a cadre parallele se confond avec la theorie des podaires. Ce qui intervient en effet est la distance du point 0, trace de l'axe de rotation sur un plan normal, aux tangentes menees au profil de l'excentrique trac6 dans ce plan. Bielles, parallelocgrammes, joints. C'est ici que nous devrions parler du systeme hielle-manivelle; mais il nous servira d'exemple en Statique; le lecteur se reportera done aux ~~ 157 et sq. 126. Courbe a longue inflexion, parallelogramme de Watt. - I1 s'agit de transformer un mouvement rectiligne alternatif en un mouvement circulaire alternatif.

Page  122 1 22 2IN TRODUCTION GlEOMII TRIQ UE On appelle courbe a longue inflexion la trajectoire d'un point d'une droite dont les extremites s'appuient sur deux cercles. Nous supposerons les cercles egaux, de centres 0 et O' de rayons OA et O'A', et choisirons le point n — a _,x milieu M de la droite o AA' (fig. 101Y. ' 'tLa courhe d6crite A /,est une sorte de huit. b / \-.:'' Les points d'inflexion //.'< '.- / Dcorrespondent au pa-,'."/ ''~ F~,*~ /rallelisme des rayons: //~,,,,.." /1 1a et O'a, Ob ete Obet '. O n trace ais6ment la courbe, en construisant un systeme articule au moyen de bouts 0 /. f//^^^' de carton, de punaises pour fixer les centres 0 et ', de punaises renversees pour creer les articulations A et T < A'. On se rend aisement compte de la raison d'etre des points d'in'T flexion. Lorsque les Fig. 10. rayons sont paralleles, (horizontaux, en Oa et O'a' par exemple), les points a et a' decrivent des elements de droites verticales. Tous les points de la transversale aa' de longueur constante decrivent done des elements de droites 6galement verticales. La longue inflexion provient de ce que les courbes decrites par a et a' ont leurs courbures inversement disposees; le point a allant it la droite de la verticale correspondant au parallelisme, le point a' va a sa gauche; le point milieu de la transversale suit assez exactement cette verticale. Naturellement, pour les points de la transversale qui sont plus rapproch6s des articulations, l'inflexion est rloins longue, la courbe n'est plus symetrique. On peut generaliser en supposant inegaux les rayons des cercles ( et O'. Du reste, toute la discussion qui derive de l'hypothese generale n'a aucun interet, sauf pour les eleves de Speciales. PARALLELOGRAMME DE NATT. Pour guider un point (d'une tige de piston par exemple) qui doit se deplacer tres sensiblement en li/gne droite d'unl mouvement alternatif, et imposer a un arbre un mouvement circulaire alternatif, on

Page  123 MI' CA NIS IES 123 peut articuler la tige au point M (fig.. 101). La courbe decrite est tr&s sensiblement la tangente de longue inflexion. II va de soi que les rayons OA et O'A' doivent osciller autour des positions Oa et O'a'; l'amplitude angulaire de ces oscillations depend de la tolerance admise pour la rectilineite de la trajectoire du point M. Watt prefere une autre solution. Prolongeons CA de AN-OA; construisons le parallelogramme articule ANTA'. I1 est evident que la droite OT passe constamment par le point M et qu'on a OT' 2. Oa. Le point T decrit une courbe homothetique de la courbe d6crite par le point M; sa trajectoire a done une longue inflexion, qui est deux fois plus longue que celle dut point M, a egalite de tolerance. C'est au point T que Watt articule l'extremite de la tige de piston TT' ai conduire. 127. Losange de Peaucellier (fig. 102). - Deux tiges egales OA et OC tournent autour du point O; OA est solidaire de l'arbre auquel il s'agit d'imposer un mouvement circulaire alternatif; OC est monte sur cet arbre par - l'intermediaire d'un collier fou. En ABCD est articule un losange; enfin le point D est maintenu par une tige FD sur une circonf6rence de centre — _ — --- F et passant par 0. Je dis que le point B decrit " une droite BK normale a Fig. 102. FO. Les triangles ODG, OKB, sont semblables; on a done OD. OBO. OGOK. B et D sont sur un cercle de centre A. La puissance du point 0 par rapport a un cercle de rayon AD est: OD. OB OA - AD2 = Constante. Done le produit OG. OK est constant; comme G est fixe, il en est de meime de K. La pelpendiculaire abaissee du point B sur la droite OF est invariable. C. Q. F. D. '128. Coulisse de Stephenson - Le disque O tourne autour de l'axe 0; la coulisse O'A' tourne autour de l'axe ' (fig. 103). Le disque et la coulisse sont relies par une tige AA' articulee en A et A'

Page  124 124 INTODUCTION GEOME TRIQ UE qui impose un mouvement alternatif a la coulisse, quand le disque tourne d'un mouvement continu. La piece B'C est guidee de maniere a accomplir un mouvement rectiligne alternatif; elle est articulee en B' avec une piece BB' qui porte en B un bouton auquel on peut imposer une position arbitraire dans la rainure. I1 est clair que suivant la position imposee a B par rapport a 0', Fig. 103. on obtiendra sensiblement pour B'C des mouvements alternatifs de la forme: k sin ot; le coefficient k est proportionnel a O'B; il est positif ou negatif suivant que B est d'un cote de O' ou de lautre. L'origine des temps correspond an passage de A par la verticale de 0, pour preciser, au passage inf6rieur. Si l'on compte positivement les deplacements de B'C vers la gauche, k est positif quand B est au-dessous de 0'. Pour que le milieu de l'oscillation de B'C soit invariable, la coulisse est un arc de circonference ayant B' comme centre dans la position moyenne representee. Cet appareil porte le nom de coulisse de Stephenson renversee; il permet de comprendre immediatement le fonctionnement de la coulisse ordinaire de Stephenson (fig. 104). I1 s'agit toujours d'obtenir un mouvement alternatif de la forme k sin c)t ayant un d6calage constant par rapport a un axe, mais d'une amplitude variable positive ou negative. Le changement de signe correspond, si l'on veut, a un decalage de 7. La coulisse A'A? est reliee au disque O par deux tiges AA', A1A'i. Pour simplifier, la figure repr6sente des excentriques a bouton; mais l'appareil ne fonctionnerait pas. En realit6 on utilise deux excentriques a collier (~ 159) cales sur l'arbre O avec un decalage de x. Le point A' est articule sur la tige A'D; le point D, fixe dans chaque experience, peut etre deplac6 au moyen d'un appareil schematiquement represente par le levier D'O"D. Dans ses deplacements, il entraine toute la coulisse.

Page  125 AIL'CANISJI'ES 125 Enfin l'appareil, auquel on veut communiquer le mouvement alternatif, est BB'O'; il tourne autour du point fixe 0'. I1 est articule en B' sur la tige B'C, guidee de maniere a accomplir des oscillations rectilignes (gen6ralement c'est la tige du tiroir). I1 est clair que les points A' et A' oscillent sur leurs trajectoires;(represent6es en pointill6, circulaire pour A', assez compliquee mais Fig. 104. vaguement circulaire pour A') avec zn d&ealage voisin de 7, quelle cque soit la position du point fixe D. Suivant le position du point B par rapport a la coulisse, il accomplira done des oscillations satisfaisant a la condition imposee. On determine les longueurs des tiges AA', AA', et le profil de la.coulisse de maniere qu'au milieu de ses oscillations, le point B occupe une position sensiblement invariable. Le calcul n'a aucun int6ret. C'est par tatonnements et graphiquement qu'on determine les profils. 129. Pantographe. - C'est un appareil destine a copier les figures en les reduisant ou les agrandissant dans un rapport donne. Quatre tiges sont articulees de maniere a former un parallelogramme, ABtC (fig. 105). Supposons fixe le point 0 de la droite AB. Consid6rons le point t sommet du parallelogramme, et le point T qui est a la fois sur le cote AC du parallelogramme et sur la droite Ot. Quand t decrit une courbe c, T decrit la courbe homothetique C: on a en effet OT: Ot -OA: OB= Constante. 0 A I -c Bt t / C / f - - - - Fig. 105.

Page  126 126 IV TTRODUCTION (G OE TIQ UE Si done on suit avec la pointe mousse t la courbe c, le crayon T decrira la courbe C qui est la courbe c agrandie dans un rapport quelconque; et inversement. 130. Joints. - Nous ne discuterons pas la th6orie des joints; nous. indiquerons seulement leur construction. JOINT D'OLDHAM (fig. 106). I1 sert a transmettre un nouvement de rotation d'un axe a un axe paralllel qui n'est pas rigCoureusenmelt dans le prolongeenent du premlier. Les arbres portent chacun invariablement liee une fourchete F percee de deux trous dans lesquels glissent les bras d'un croisillon C. La figure 106 a gauche represente un des arbres, sa fourchette et le Fig-. 106. croisillon. La figure 106 ic droite represente l'ensemble de l'appareil. La transmission du mouvement se fait uniform6ment, puisque le croisillon est dans un plan invariable et que ses bras sont toujours normaux l'un sur l'autre. JOINT UNIVERKSEL, 11OLLANDA1S OU DE CARDAN. I1 sert a transmettre un mouvement de rotation d'un arbre aL un arbre conlcouran't; l'angle des deux arbres peut varier d'un instant a 1'autre. Les arbres portent encore des fourchettes entre lesquelles pivotent sans glisser les bras du croisillon. Le point de concours des arbres est le centre du croisillon (fig. '107). La transmission n'est plus uniforme et l'appareil ne fonctionne bien que si l'angle des arbres n'est pas trop grand. Dans ce cas, on utilise un arbre supple6ientaire reli6 a chacun des arbres Fig. 107. donnes par un joint a la Cardan; on obtient ainsi le double joint de Hoo1e. La suspension a la Cardan est un joint universel. REMARQUE. Multiplions les joints qui relient les deux arbres; a la

Page  127 J1 L,'CA NISJIIL, 127 limite nous arrivons a les lier par une tige flexible, offrant une resistance a la torsion. C'est par un tel procede que les nieules et les fraises dont se servent les dentistes pour user les dents sur place, sont reliees au moteur electrique qui leur imprime le mouvement de rotation. Pour la commodite, la tige flexible est situee a l'interieur d'un cylindre creux, egalement flexible rnais immobile, que le dentiste tient a la main. 131. Train Renard. - Lorsqu'une locomotive routiere est attelee a un train de plusieurs voitures, la grande difficult6 est d'imposer aux voitures la trajectoire exacte de la locomotive. Cherchons a quelle condition les voitures s'inscrivent automatiquement dans la meme circonference, en les supposant identiques, a quatre roues avec avant-train mobile a cheville ouvriire (c'est-a-dire en supposant l'essieu des roues d'avant solidaire d'un timon, comme B il en est gen6ralement des voitures a quatre roues). b Pour qu'une voiture tourne autour b du point 0 (fig. 108), il faut que \c ses essieux convergent en ce point. a/ ' \ Ecrivons que les divers essieux /,' convergent au meme point. Appe- 0 lons a la longueur du timon, b Fig. '108. I'empatement, c'esta —dire la distance de la cheville a l'essieu'arriere, c la queue. On a o,_oa-2' + -c2 a2 oC2 a2 +. b2 -OD La condition OA OD, donne: c= a-b 6. Mais pour que l'inscription soit correcte, il ne faut pas que la locomotive tire sur le train, car elle tend alors a le rectifier. On rend toutes les voitures en quelque sorte automobiles au moyen d'un arbre ABCD..., brise a la cardan en A, B, C, D,... auquel la locomotive impose un mouvement de rotation et qui a son tour engrene par roue d'angle sur l'essieu arriere des voitures. Toutes les voitures se remorquent elles-memes. L'arbre ne doit transmettre aucun effort longitudinal, ce qui arrive si les roues motrices de toutes les voitures sont egales. Dans le cas contraire, l'arbre peut etre tendu ou presse, mais alors il y a glissement d'un certain nombre de roues sur le sol. Si par exemple les roues motrices des voitures arriere du train sont plus grandes que les roues motrices des voitures avant, et si les roues d'angle ont meme raison, l'arriere du train pousse l'avant. Comme les roues sont solidaires, quelques-unes doivent patiner. L'arbre est tendu et l'avant du train tire l'arriere, si les roues motrices des voitures avant sont plus grandes que celles des voitures arriere.

Page  128 128 INT ODUCTION GELOM-L-TRIQUE Embrayages, declics et encliquetages. 132. Embrayages fixes, rigides et elastiques. - Les embrayages sont des appareils destin6s a faire participer une piece d'une machine au mouvement des autres pieces. Le desembrayage supprime la solidarite creee par l'embrayage; les deux operations sont inverses. Dans le cas le plus ordinaire, il s'agit de rendre solidaires deux axes qui sont dans le prolongement l'un de l'autre. Si la liaison doit etre permanente, on utilise un manchonz fixe d'accouplement dans lequel penetrent et sont invariablement fixes les deux axes. Pour maintenir a la liaison une certaine souplesse, on peut employer un accouplement elastique (fig. 109). Les axes 0 et O' portent des tiges normales T et T' dont les extr6mites sont reliees par un ressort TT'. Comme il est avantageux de multiplier ces tiges et de rendre l'accouplement symetrique, on emploie generaFig. 109. Fig. 110. lement deux plateaux normaux aux axes; n points equidistants d'une circonf6rence tracee sur 1'un sont relies par des ressorts a n points equidistants d'une circonf6rence egale tracee sur l'autre. On emploie souvent le dispositif tres simple suivant (fig. 110). Les deux plateaux paralleles et coaxiaux portent des goujons normaux a leur surface, respectivement equidistants, sur deux circonf6rences concentriques et de rayons differents, de maniire qu'ils ne puissent buter les uns sur les autres. Une courroie de cuir passe sur tous les goujons et cree l'accouplement 61astique. 133. Embrayages par manchons mobiles. - Le manchon mobile glisse sur un des arbres sur lequel il est monte a prisonnier: une languette aa parallele a l'arbre permet des mouvements paralleles a celui-ci, tout en rendant le manchon solidaire de l'arbre pour

Page  129 MElCANISMES 129 les rotations. Les deplacements du manchon se font a l'aide d'un levier qui tourne autour du point 0 (fig. 111). Il porte un nez N entrant )0 Fig. 111. dans une gouttiere creusee le long d'une section droite du manchon. L'entrainement par friction (fig. 112) est obtenu au moyen d'un manchon conique mobile le long d'un des arbres, entrant dans un cone fixe 1' extr6mite de l'autre arbre. Il est avantageux que les cones soient tres aigus. A la limite opposee, l'entrainement peut avoir lieu par friction d'un disque / \\ plan porte par le manchon mobile sur un disque plan fixe normalement au second axe. L'entrainement par L griffes (fig. 113) suppose que le manchon mobile porte des parties saillantes qui se logent dans les creux d'une piece solidaire Fig. 112. Fig. 113. du second arbre. Gen6ralement les griffes sont obliques, telles que les represente la figure 113. On verifiera immediatement que l'embrayage n'est assure que dans un sens. 134. Embrayages d'axes paralleles ou concourants. - Lorsque les axes sont paralleles, le manchon a prisonnier porte une Cours de Physique. - H. BOUASSE. 9

Page  130 130 INTRODUCTION GLOMlIETRIQ UE roue d'engrenage qui entre en prise avec une roue montee sur l'arbre parallele. A ces embrayages se rattachent les changyements de vitesse d'automobile (fig. 114). Une serie de roues de rayon R1, 1B9, R,,.... sont montees sur le Fig. '11i. meme manchon; sur l'autre arbre sont calees des roues de rayons RB, RI,,... tels qu'on ait: R + R' R. tRn.I... d, d est la distance des deux arbres. En amenant en prise l'un ou l'autre des systemes de deux roues correspondantes, on obtient des rapports de vitesses differents. On verifiera immediatement que pour eviter l'embrayage simultane de deux ou plusieurs systeames, il est necessaire dc'espacer convenablemnent les roues et d'une mani6re diff6rente sur les deux arbres....., __ Quand les arbres sont rectangulaires, I'embrayage se fait par une roue d'angle. Avec un manchon portant Fig. 115. deux roues d'anogles, on obtient un chan gement de marche, un renversement de la vitesse, suivant qu'on embrave d'un cote ou de l'autre (fig. 115). 135. Encliquetage & rochet. - On appelle cncliquetages des appareils destin6s a transformer un nouvement alternatif (gen6ralement circulaire) en un mouvement discontinu nmais de sens invariable, gdeneralement circulaire, mais quelquefois rectiligne.

Page  131 MEil CANIS.VMES 131 L'encliquetage a rochet (le plus employe) se compose d'une roue a rochet dont la figure 116 represente le type. Un cliquet A, pouss6 par un ressort R, ne permet que la rotation dans le sens de la fliche. Un levier OB tourne fou autour de l'axe 0. I1 porte un rochet CD, mobile autour de l'axe C et pousse par le ressort R'. Le fonctionnement de l'appareil se comprend immediatement. Toute rotation du levier dans le sens de la fltche entraine la roue. R 7 C00- / BC /R~ /1 R /C~C Fig. 116. Pendant la rotation inverse, le cliquet A empeche la roue de retrograder, et le rochet glisse sur les dents. On transforme donc le mouvement circulaire alternatif du levier, en un mouvement circulaire discontinu de la roue. L'encliquetage a rochet est souvent employe dans les appareils destines a monter des fardeaux. REMIONTAGE DES CLHRONOIMETRES ET DES HORLOGES. Voici une interessante application des roues a ro- chet: il s'agit de remonter un chronometre ou une horloge sans qu'ils s'arreLent, et meme sans qu'il y ait perturbation dans le mouvement. / Soit R le cylindre qui supporte le poids moteur P (fig. 117). I1 est solidaire de la roue a rochet R1. Le nez B sur lequel appuie le res- Fig. 117.

Page  132 132 INTRODUCTION GlOMIfETRIQUE sort C rend R, solidaire de R, quand R, tend a tourner dans le sens M. Enfin R2 est lie par le ressort DE au rouage R3 faisant partie du mouvement de l'horloge ou du chrononmtre. Dans ce dernier cas, le poids moteur est remplac6 par un ressort. Le poids agit donc sur le rouage R3 grace au rochet B et au ressort DE qui est plus ou moins allonge. Supposons qu'on veuille remonter le poids, ce qui necessite une rotation de R dans le sens F. Le nez B cesse de fonctionner; mais le nez A entre en jeu. Il empeche R2 de reculer. Tant que le ressort DE reste suffisamment tendu, l'appareil continue a fonctionner. Le remontage etant toujours tres bref (n'intervient que la duree d'un demi-tour de la clef, puisqu'a chaque demi-tour on lache la clef et au besoin la roue R1 avance d'une dent), l'horloge ne subit aucun derangement. 136. Declenchements et declics. - Ce sont des appareils destines a produire une certaine op6ration, g6n6ralement brusque, par le jeu de pieces analogues au cliquet d'arret des rI C encliquetages. Supposons supprim6 le levier et le rochet de la figure '116; admettons que la roue tend h tourner en sens inverse de la fleche. Elle en est,_ 4 empechee par le cliquet A. Mais tirons exterieu* 0j rement le cliquet; il y a declenchement: la roue L. oh obeit au couple qui tend a la faire tourner. Generalement les declics fonctionnent automatiquement. Par exemple, pour enfoncer les pilotis, on les bat avec une masse de fonte qui est le mouton. Le mouton, souleve par une corde passant sur une poulie, doit etre lache quand il arrive en haut de sa course. Pour obtenir automatiquement Fig. 118. le declenchement, on supporte le mouton par l'intermediaire de ciseaux, appel6s sonnette, dont les branches superieures sont maintenues ecartees par des ressorts non representes. Elles s'engagent dans un vide pratique dans la partie superieure du bati et qui va se resserrant. Elles sont par consequent rapprochees; les branches inferieures sont ecartees: elles abandonnent le mouton.

Page  133 STATIQUE CHAPITRE I PRINCIPES GENERAUX 437. Position de la question. - On ne fait pas quelque chose avec rien. I1 faut donc a la base d'une science, ou d'un chapitre d'une science, un principe dont on s'efforce de tirer la science ou le chapitre. Nous n'avons pas a demontrer le principe parce que ce serait contradictoire. Nous n'entrerons done dans aucune discussion sur la question de savoir si la Statique precede logiquement la Dynamique ou en est le complement. Elle peut avoir un interet pour le philosophe; elle n'en a aucun pour nous. Nous sommes toujours libres de traiter a part telle ou telle partie d'une science, pourvu que nous enoncions clairement le postulat duquel nous partons et qu'ensuite nous raisonnions juste. C'est a l'experience de decider si les consequences du postulat sont conformes aux faits, si les fails se logent dans la forme. Suivant leurs gouts, les mecaniciens construisent la Statique sur l'un ou l'autre des postulats suivants: la regle du parallelogramme, le principe du travail'. Naturellement la plupart pretendent que leur methode favorite est la meilleure. Le debat est aussi fastidieux que vain. Les deux principes se valent en logique pure; il est loisible d'operer de l'une ou l'autre maniere. Mais comme il est utile d'etre initie aux deux methodes de raisonnement, nous les exposerons successivement. Nous concilions ainsi les opinions, tout en affirmant la relativite des hypotheses et leur valeur purement pragmatique. Nous terminerons ce Chapitre premier par quelques exemples simples. I On peut encore d6duire la Statique du Principe du Levier; mais il se ramene imm6diatement au Principe du parallelogramme.

Page  134 134 STATIQUE Principe du parallelogramme. 138. Principe du parallelogramme. Liaisons. - Sous ce nom nous entendons le postulat general suivant: Les forces peuvent se traiter comme des vecteurs; tout ce que nous avons admis des vecteurs leur est immediatement applicable. En particulier, le point d'application d'une force est dans tous les cas un point quelconque de sa directrice actuelle. La resultante de deux forces, qui ont m6me directrice, est leur somme algebrique. On peut sans changer l'etat d'6quilibre ajouter un nombre quelconque de groupes de deux forces de meme directrice, egales et de sens contraires. Les forces concourantes se composent suivant la regle du parallelogramme. La composition des forces paralleles se deduit de la composition des forces concourantes, grace aux postulats precedents. Toutes ces propositions ne suffisent pas pour construire la Statique. Une hypothese est encore necessaire pour savoir ce que nous ferons des liaisons; commenGons par les definir. Nous appelons liaison tout ce qui limite les d6placements possibles des corps. Ainsi le fil inextensible qui soutient un pendule est une liaison, parce qu'il empeche le pendule de s'ecarter du point d'attache O du fil de plus de sa longueur 1. Si nous remplagons le fil par une barre rigide, montee a la Cardan, chaque point du pendule doit rester sur une sphere de rayon I dont le centre est en 0. Si enfin nous supposons que la barre, qui etait mobile en tous sens autour du point O, est maintenant fixee par un couteau ou une lame de ressort (comme dans les horloges), et par consequent tourne autour d'un axe AB, le nombre des liaisons se trouve encore augment: chaque point du pendule ne peut plus se mouvoir que sur une circonference situee dans un plan normal a AB. Les d6placements sont dits compatibles avec les liaisons, lorsqu'ils sont possibles sans supprimer ces liaisons. Nous admnettrons que les liaisons creent, elles aussi, des forces de la nature des vecteurs. C'est tout ce que nous pouvons dire en g6enral sur le sujet: dans chaque cas, nous serons conduits a des hypotheses particulieres, mais qui devront toujours cadrer avec notre postulat g6neral. 4 39. Tension d'un fil, tension superficielle, pressions sur une surface. - Comme nous allons le voir a l'instant, la Statique consiste en realite a etudier le role des liaisons. I1 importe donc de fixer les idees du lecteur par quelques exemples fondamentaux. La plupart des liaisons se ramenent dans la pratique a trois types.

Page  135 PRINCIPES GENERA UX 135 1~ TENSION D'UN FIL. Soit AMB le fil (fig. 119). Coupons en M et supprimons la portion MB du fil. Nous detruirons une liaison au point M; par hypothese nous pouvons la remplacer par une force jouissant des pro- M _ prietes d'un vecteur. Nous adlnettrons que cette force est dirig6e suivant la tangente du B fil au point M. Prise de grandeur convenable, elle maintiendra la portion AM dans Fl'tat Fig. 119. initial. Ses dimensions sont celles d'une force (MLT-2, comme nous le verrons plus tard). 20 TENSION D'UNE SURFACE OU TENSION SUPERFICIELLE. Coupons la surface suivant la courbe AMB (fig. 120) et supprimons la partie 2. Nous supprimons une liaison tout le long de lincision AMB; par hypothese, nous pouvons la remplacer et maintenir les B choses en l'etat par des forces appliquees le A long de AMB. / z Nous admettrons qu'elles sont dans le plan Fig. 120. tangent a la surface. Au point M, sur l'61e- F ment ds de l'incision, s'applique une force Ads dont nous savons seulement qu'elle est dans le plan tangent h la surface au point M. L'angle 0 du vecteur Ads avec l'element ds n'est pas determin6 a priori: il y a done une indeterminee. La tension superficielle A a les dimensions (MT-2) d'une force divisee par une longueur. Le long de lincision A et 0 varient generalement. Par le meme point M, menons des incisions de directions differentes. D'une maniere generale, A variera en grandeur et en position relativement a Fincision quand on passera d'une incision a l'autre. Pour un store baisse par exemple, les tensions sur les coupures verticales sont nulles; les tensions sur les coupures horizontales sont normales l'incision et croissent a mesure qu'on prend un point plus elev: la quantite de matiere a supporter augmente. Les tensions sur les coupures inclinees sont encore verticales, c'est-a-dire inclinees sur la coupure. Comme cas particulier, on peut imaginer une surface dont la tension soit toujours normale c la coupure, la meme pour toutes les incisions passant en un point, enfin la meme pour tons les points. Les phenomenes sont alors completement determines par une seule quantit6 qui est la tension superficielle. II en est ainsi pour la surface qui sert a expliquer les phenomenes capillaires. 3~ TENSIONS ET PRESSIONS A L INTERIEUR D'UN SOLIDE. - Faisons passer

Page  136 136 S TA TIQ UE une section S a travers le solide (fig. 121). Supprimons toute la partie 2 du solide qui se trouve d'un cote de la surface S. Nous supprimons une liaison tout le long de cette surface; par hypothese, nous pouvons la remplacer et maintenir les choses en l'etat au moyen de forces appliquees le long de la sur1 /X \ face S. P/ p, La force sur l'element dS est de la forme PdS. s / Nous ne savons rien de sa direction; il y a deux M I / indeterminees. La pression ou tension P a les dimensions (ML-'T-2) d'une force divisee par une Fig. 121. surface. Le long de la surface S, P varie generalement en grandeur et direction. Par le meme point M, menons des sections dans des directions differentes. D'une maniere generale, P variera en grandeur et position relativement h la section. On demontre (voir Mecanique physique) que P est connu en grandeur et position pour toutes les sections quand on se donne en chaque point six quantites. Comme cas particulier, on peut imaginer un milieu oui la pression soit toujours normale a l'incision, et meme ait en chaque point toujours la meme valeur quelle que soit la direction de la surface qui sert a la definir. C'est ce qui arrive pour les fluides parfaits; sur cette hypothese est construite l'Hydrostatique. 140. Definition et conditions generales de l'equilibre. Les forces, et c'est la si l'on veut leur definition, tendent i mettre les corps en mouvement. Il y a equilibre lorsque ces tendances se neutralisent; la Statique est precisement chargee d'etudier les conditions de cette neutralisation. Quand il s'agit de l'etre de raison point materiel suppose libre dans l'espace, les conditions sont 6videntes. Il faut et il suffit pour l'Fquilibre que la resultante des forces, qui sont alors necessairement concourantes, s'annule. En coordonnees cartesiennes, les conditions d'equilibre s'expriment par les equations: Zx o, - Y=O, Zz o. Pratiquement ce cas n'a guere d'interft, pour des raisons evidentes. Nous avons toujours affaire a des corps finis. On peut, il est vrai, les remplacer dans les raisonnements par un ensemble d'elements tres petits; mais ces elements ne sont plus libres, ils sont lies. D'oiu la conclusion deja enoncee que la Statique est la science des liaisons. L'equilibre n'a lieu qu'en vertu des liaisons, et la neutralisation des forces merite d'6tre definie de tres pres.

Page  137 PRINCIPES GIENEIRA UX II est clair qu'un homme tire en sens contraires par ses deux mains est une liaison, jusqu'au moment ou on l'ecartele. Avant de parvenir a ce cas limite, il est non moins clair que la liaison ne saurait passer pour rigide; les articulations se distendent, les os s'ecartent; les os eux-memes ne sont pas de dimensions absolument invariables. Si donc nous admettons que deux forces egales et opposees suivant la meme directrice s'equilibrent, cela veut dire seulement qu'elles se neutralisent par rapport a la production du mouvement, et sous la condition expresse que la directrice dans son etat actuel soit rigide entre les points d'application des forces. En fait, des forces ne se neutralisent jamais d'une mani6re absolue et par rapport a toutes leurs proprietes, a moins d'etre appliquees au meme point geom6trique, ce qui pratiquement ne signifie rien. La Statique n'existe done que parce qu'il existe des liaisons; comme les liaisons ont les proprietes les plus diverses, on ne connait pas de regle generale pour la Statique: il n'existe que des cas particuliers. Nous admettons toutefois que les liaisons se traitent comme des vecteurs: c'est en cela seulement que consiste l'hypothese generale. Quant a la determination des vecteurs, elle ne vient qu'apres la specification du cas traite et en vertu d'hypotheses particulieres qui peuvent etre quasi evidentes, mais qui n'en sont pas moins des principes distincts. Le paragraphe 139 donne trois exemples fondamentaux de cette sorte d'etudes. 141. Point assujetti a rester sur une courbe. - Nous admettrons qu'un point analytiquement assujetti a rester sur une courbe, peut exercer, normalement a cette courbe, une force quelconque equilibree par la reaction normale de la courbe: ce sera, si Fon veut, notre definition du probleme. Admettre, ici et dans tout ce Chapitre, signifie non pas que nous negligeons par convenance personnelle de donner la demonstration, mais que toute demonstration est impossible. Demontrer c'est ramener a l'evidence. Or il n'est pas evident que la reaction d'une courbe soit normale. Dans tous les cas oti nous pouvons faire 1'exp6rience, le frottement intervient. Le postulat ne peut donc Wtre demontre a priori, puisque nous savons qu'il ne s'applique jamais exactement. Au fond, le postulat revient a donner la definition de la courbe rigide et sans frottement. Or on ne demontre pas une definition. Du principe nous deduisons immediatement les conditions d'equilibre. La resultante de toutes les forces appliquees au point doit etre normale a la courbe. Supposons la courbe donnee en fonction d'une variable auxiliaire;

Page  138 138 S TA TIQ UE pour plus de simplicit6, supposons-la donn6e en fonction de l'arc s compt6 sur la courbe a partir d'un point quelconque x= (s), y- (s), z = (s). La condition d'equilibre est: d~x d d - X -d- - l- ~y y (r ( s I ds - z s 0; () X, Y, Z, sont les composantes suivant les axes de la resultante des forces appliquees au point. La force n'est done d6terminee ni en grandeur, ni en direction; elle est seulement assujettie a se trouver dans le plan normal a la courbe (a etre normale it sa tangente). La reaction R lui est egale et opposee; elle est completement determinee quand on se donne X, Y, Z, et que l'equilibre existe (equation (1) satisfaite). Nous supposons que la re'sistance de la courbe n'a pas de limite. Dans le cas contraire, il faudrait exprimer que la courbe ne casse pas. Cette condition dans le cas le plus simple correspond a l'inegalite \/X2 + Y2 -HZ2 < Ro0, oit Ro est un parametre donne. REMARQUE. - La r6action R est normale a la courbe; donuc, dans tout petit deplacement compatible avec les liaisons, la force de liaison me travaille pas. Nous verrons que cette remarque est generale. 142. Point assujetti a rester sur une surface. - Nous admettrons, ce sera la d6finition d'une surface rigide parfaitement polie, qu'un point analytiquement assujetti a rester sur une surface peut exercer normalement a cette surface une force quelconque. Soit: f(x,, z)-, l'iquation de la surface; soit X, Y, Z, les composantes suivant les axes de la r6sultante des forces appliqu6es au point. Les conditions d'equilibre sont ' ox y / ' (1) Autrement dit, les composantes peuvent etre mises sous la forme X - R x YRR -, Z R. La force est completement d6terminee en direction, elle ne lest pas en grandeur. Ici encore nous pouvons fixer une linite pour la resistance de la surface: v\x +Y +Z2 <Ro.

Page  139 PRINCIPES GENERRA UX 139' REMIARQUE I. La liaison peut etre bilaterale ou unilaterale. Dire qu'elle est bilatdrale signifie que la surface reagit, quand le point presse suivant la normale dans un sens ou dans l'autre; dire qu'elle est unilaterale signifie que la surface ne reagit que si le point presse dans une seule des directions de la normale a partir de la surface. Par exemple, un point pesant attache a un fil flexible et inextensible est assujetti a rester sur une sphere. Mais pour que la sphere reagisse, il faut que la pression s'exerce vers l'exterieur. Si la pression est centripete, le fil se tord; la surface ne reagit pas. Exemple plus simple: corps pose sur une table horizontale. Pour l'equilibre, il faut que la force soit verticale et dirig6e vers le bas, a supposer nuls les frottements (~ 204). Dans le cas d'une liaison unilaterale, il faut adjoindre a la condition (1) la condition que la force X, Y, Z, est dirigee vers I'une des directions de la normale a partir de la surface. REM3ARQUE II. La reaction R etant normale a la surface, son travail est nul pour tout deplacement situe dans la surface, et par consequent compatible avec la liaison imposee. 143. Principe de la solidification. - On fait a chaque instant usage d'un principe tres general dont voici l'Fnonc: Si des forces se font actuellement equilibre sur un systdme quelconque de forme variable, l'equilibre ne cessera pas en supposant que le systenme ou une partie du systeme soit rendu tout a coup invariable, c'est-a-dire vienne a se solidifier. Autrement dit, l'6quilibre etant obtenu au moyen d'un systeme de liaisons, il 'est encore quand on ajoute des liaisons supplementaires. Inversement si pour certaines liaisons nous arrivons a certaines conditions d'equilibre, ces conditions subsistent a fortiori si nous supprimons une partie des liaisons. Elles peuvent rester suffisantes apres la suppression; mais elles sont assur6ment necessaires. Par exemple, les conditions d'equilibre des corps solides sont necessaires dans l'6quilibre de tous les systemes possibles; elles ne sont pas necessairement suffisantes. On comprend l'importance de la proposition. Soit a determiner les conditions d'equilibre pour certaines liaisons: introduisons des liaisons compatibles avec les precedentes. Nous obtenons generalement une infinite de systemes, et pour chacun d'eux certaines conditions d'equilibre. Les conditions d'equilibre pour le premier systeme doivent contenir toutes les conditions relatives a tous les autres. Par exemple, les conditions d'equilibre pour un point assujetti a rester au point M d'une surface, doivent contenir toutes les conditions

Page  140 1410 S TA TIQ UE relatives i un point assujetti a rester au point M sur toutes les courbes tracees sur la surface et passant au point M. Ce resultat est conforme aux hypotheses et resultats des deux paragraphes precedents. La normale a une surface est l'intersection des plans normaux a toutes les courbes tracees sur la surface et passant par le point M. 144. Equilibre de deux points assujettis a rester a une distance invariable. - Nous traiterons ce probleme avec quelque detail, parce que nous en deduirons comme corollaire le probleme de l'dquilibre d'un systeme quelconque de points assujettis a des conditions de positions relatives. La condition imposee est: (x - x2)2 - (y1 - y2) - + (i - z2)2- Constante, que nous ecrirons?(X1, yI Zi, X., y2 z ~) —0. Appelons Xi, Yi, Z1; X2, Y2, Z2, les composantes suivant les axes de la resultante des forces appliquees respectivement a chacun des points. Utilisons le principe de la solidification. Fixons le point 2; le point I est assujetti c se trouver sur une surface qui, dans le cas particulier, est une sphbre ayant le point 2 pour centre. La reaction de cette surface est une force dirigee suivant sa normale et dont nous pouvons representer les composantes par (~ 142): H 0 B0 R, R xI ' Ly1 ' R' Procedant de mgme pour le point 2, nous pouvons representer les composantes de la reaction de la sphere, sur laquelle ce point est assujetti a rester et dont le centre est en 1, par: 9R 6 R 6o RB Mais la veritable liaison entre les deux points est representee par une tige rigide qui les joint; done les forces qui sont appliquees respectivement aux deux points en vertu des liaisons sont 6gales et de signes contraires. D'ailleurs on a bo 6X2 ) - — =_ 2 X — X^2) 6? a - 2 (, 1 -.2) D'o la condition R --. Doiacodton: -R 2(Z1l2 Z2)R D'ou la condition: R = =B R.

Page  141 PRINCIPES GANEIRA UX' 141 En definitive, ecrire que deux points sont assujettis a rester a une distance invariable l'un de l'autre, revient a ecrire que les forces ont pour composantes sur le pointt: X, + 2R(x, - x,) X, + R > ' Z1+2R(y1- 2) =Z1+R b; bo 6zo sur le point 2 X, 2R - (x2r x) - X-, R, Y, +2R(y2- y1)-= Y, +R, Z, + 2R( z)= Z2+R 11 Pour l'equilibre, ces six quantites sont nulles. REMARQUE. - Pour tous les deplacements compatibles avec les liaisons, les forces de liaison ne travaillent pas. La condition que leur travail est nul s'exprime en effet par l'equation (~ 37) R( Jz+R d (R dyl + 2 +.(R >) R d+ =R( d + dy +.+ dx + )=R do= O. 14t. Equilibre de deux points dont les coordonnees sont liees par une relation quelconque. - Supposons que la relation p -0, n'exprime plus la constance de la distance des points. Le principe de la solidification nous conduit encore a appliquer les forces (~ 142): RI a, RI - () I- 6-, au point 1, R 2, R 6,. (, au point 2. Je dis qu'on a encore Ri =R2. La demonstration consiste 'h etablir des liaisons supplementaires qui forcent les points a decrire des courbes pour lesquelles nous puissions aisement prouver que cette condition d'equilibre est necessaire. La reciproque du principe de la solidification nous permet de conclure que cette condition est encore necessaire quand nous supprimons les liaisons supplementaires. Consid6rons les positions actuelles Pi et P2 des points 1 et 2. Du point 0 milieu de PiP2 comme centre, tragons une sphere passant par Pi et P2.

Page  142 142 S TA T1IQUUE Supposons que le mobile 1 decrive sur cette sphere une courbe passant par P1. A chaque position du mobile I correspond une surface pour le mobile 2. Imposons ( ce mobile d'etre sur la droite qui passe par I et par 0; cette condition satisfaite, a chaque courbe decrite par le mobile I et tracee sur la sphere correspond une courbe pour le mobile 2, courbe qui, en dehors du point P,, n'est generalement pas sur la spherle. Mais il est possible de choisir la courbe I de naniere que la courbe 2 soit aussi sur la sphere. La chose se voit immediatement sur les 6quations. Soit l, ',, les coordonn6es du point 0; on a o- = 0, (.1 - x,) - ( - y) -- (Z1 - z) = Constante, X1 +, - 2-, yl/+y22- 2, 2+S=2; done cinq conditions entre six quantites; il existe encore une arbitraire. Cherchons la condition d'equilibre au voisinage des positions Pi et P2 pour le syst6me forme par les mobiles 1 et 2 assujettis a rester sur une droite rigide passant par un point fixe, 'a egale distance du point fixe, et a satisfaire la condition o=0. Il est clair que les forces X1, Y1, ZI,; X,, Y~, Z2, appliquees aux mobiles 1 et 2, formant les extremites du levier a bras egaux auquel nous avons reduit le syst6me, doivent avoir sur les trajectoires des projections paralleles et egales. Comme les deplacements sont a chaque instant paralleles et de sens contraires, les projections sur les deplacements doivent etre egales et de signes contraires. D'oui la condition Xdx1+ Ycl/j +Z1 di -, X (l.rd + Y, dy2+Z,. (1) Or, pour l'equilibre, nous avons generalement: bc Xs -RI- R- 0, et deux 6quations analogues en Yi et z,; X,: + IB-' 0, et deux e6quations analogues en y, et Z=. La condition (1) devient I dx1 dI+ ( y I +) d 1\6 dx(-'-X,+ (/ dd2) O (2) Mais, de la condition o-0, on tire: dx,,, (l X.,d, 0 ) Ox +- +( +* * rfs- * (3)

Page  143 PRINCIPES GI NL'RA I UX 1 1 3 Comparant (2) et (3), il reste Rl1_- 2-R. En definitive, quelle que soit la relation o - O, les liaisons valent: ulne force b-, It ', R ', appliqude au mobile i, une force R, R (R — 2 appliquce au mobile 2. Les directions de ces forces sont completement determinees; la quantite R est arbitraire. REMARQUE. - Les liaisons ne travaillent pas. On a effet (~ 144) Rdc = 0. 146. Equilibre d'un systeme de points assujettis a des conditions de positions relatives. - Soit n points dont les coordonnees: x, yi, z, sont assujetties a satisfaire les p relations 91(;, Yi l, Z * *; "n i/% n > Y, -n) 0, ('1)..................... (1) 9p(Xi I I, 2 41; * *. ). (). On demande les conditions d'6quilibre sous l'action des forces de composantes Xi, Y, Z, respectivement appliquees aux points d'indice i. Considerons d'abord la premiere relation. Fixons tous les points sauf le point 1. Nous pouvons remplacer les liaisons par une force appliqu6e en 1 et de composantes n R R,1 be I 1 6x'? ' 1y 1,7 Rendons libre le point 2 et appliquons le th6or6me precedent. Sur ce point agit, en vertu des liaisons, une force de composantes )b, ox"<v -- 6' R 6z, Et ainsi de suite. Meme raisonnement pour o, 03,... En definitive, les conditions d'equilibre sont 3n equations contenant p arbitraires R,, R,,... R,. Voici les trois qui se rapportent au point d'indice i: b 6 +R61+, i - + R,... 0+ 6R - i, + a+, 2o. + * ** _o, Z, or, 0. 6 —0. z~i 4- n~-7 n,~, i 4-...~-~ R,, '

Page  144 144 S TA TIQ UE Pour resoudre completement le problbme, il faut eliminer les parametres R entre les 3n equations; il reste 3n-p conditions a satisfaire. REMARQUE.- Les reactions dues aux liaisons ne travaillent pas. On verifiera comme aux ~~ 144 et 145, que pour tous les deplacements compatibles avec les liaisons, cette condition s'exprime par les equations Rldy-, R2do, 0,... BRdp -0, toutes identiquement satisfaites. 147. Equilibre d'un corps rigide libre dans 'espace. - Nous savons que, d'une maniere generale, un systeme de forces peut se reduire a une force et un couple. Cette force a la meme valeur quelle que soit la directrice qu'on lui choisit. Ses composantes sur les axes sont: x= X, y=- _Y, s= Z, oi X, Y, Z, representent generalement les forces appliquees aux divers points du systeme rigide. Si on prend l'origine pour centre de reduction, le moment du couple a pour composantes (~ 36): L= 1(/Z —Y), M (zX -xZ), N = (Y — X); x, y,;, representent les coordonnees du point oi la force X, Y, Z, est appliquee. Pour que le corps soit en equilibre, il faut que la resultante soit nulle ainsi que le moment du couple. Quand ces deux conditions sont satisfaites pour un centre de reduction, elles le sont pour tous les points de l'espace (~ 36). Les conditions d'6quilibre d'un corps libre sont en definitive ~X y- XY Vz 0, L -M -N- 0. 148. Equilibre d'un corps rigide dont un point est fixe (suspension a la Cardan). - La reaction du point equivaut a une force appliquee au point et de composantes Xi, Yi, Z1. Il faut ecrire que le corps considere comme libre est en equilibre sous l'action des forces appliquees, y compris la force qui resulte de la reaction du point. D'oii les conditions: x,+z =o, Y+Y, z+, z + z o; (1) L-M-N-0. (2)

Page  145 PRINCIPES GIENR'A UX 145 On suppose que le point fixe est pris comme origine des coordonn6es. Pour l'equilibre il suffit done que les sommes des moments de toutes les forces par rapport a trois axes rectangulaires menes par le point fixe soient nulles. Les equations (1) fournissent les composantes de la reaction du point fixe. Elle ne travaille pas puisque son point application est invariable. 449. Equilibre d'un corps rigide assujetti a tourner autour d'un axe ou qui a deux points fixes. - Soit 0 et 0' les points; mettons 0 a l'origine des coordonnees et O' sur l'axe des z h une distance h de 0. Soit X1, Y1, Zj; X,, Y2, Z2, les composantes des forces qui representent la reaction des points. On peut considerer le corps comme libre a la condition de joindre ces reactions aux forces appliquees. Les equations d'6quilibre deviennent: Xi+X2+ X-= 0, Y,++Y,+ Y= 0, Z1+Z2,+ Z-0; (1) L-hY2-0, M+I hX.,= 0, N =0. (2) La seule condition b satisfaire qui ne contienne que les forces appliqu6es est N -0. Elle exprime que le moment de ces forces par rapport a I'axe impose est nul. Les deux autres equations (2) fournissent les reactions X2 et Y2, ou plus exactement les produits hX2 et hY2. Si on se donne h, ou s'il est connu d'ailleurs, les deux premieres equations (1) fournissent X1 et Y1. Enfin la derniere equation (1 ) fournit la somme Z +- Z2. Les reactions ne sont donc connues qu'h une ou deux indeterminees pres, suivant les cas. Quand il existe un axe, il y a veritablement deux indeterminations ce qui est evident a priori puisqu'on peut mettre les points 0 et O' ou l'on veut sur l'axe. I1 est clair que les reactions des points 0 et 0', qui sont fixes, ne travaillent pas. 130. Equilibre d'un corps rigide qui s'appuie sur un plan en un, deux ou plusieurs points. UN POINT DE CONTACT. I1 est clair que la r6sultante des forces doit passer par le point de contact et doit etre normale au plan (~ 142). DEUX POINTS DE CONTACT. Prenons le plan comme plan xOy, le premier point de contact pour origine des coordonnees et le second point sur l'axe Ox. Soit Z, et Z. leurs reactions (fig. 122). Les equations d'equilibre sont: IX = Y — 0, N0 Z1 + Z+ Z -0. (2) L =0, Me P.-xZ, 0, N- 0. (2) Cours de Physique. - H. BOUASSE. 10

Page  146 146 S TA TIQ UE On tire: Z2 — M Z1 - - Xo wo La resultante des forces doit etre verticale et se trouver dans le plan vertical des points d'appui. Le point x ou elle rencontre l'axe Ox est donne par la relation: X (Zi + Z2) = xoZ0, X -- Yz PLUSIEURS POINTS DE CONTACT. Appelons x2, 2, x3, y3,.. les coordonnees des points de contact; appelons Zi, Z2, Z3,... les reactions necessairement normales au plan. On a en particulier x- -y-=O. Les conditions d'equilibre sont: IX= Y -- 0, + Z2+ Z3+... + Z-0. (0 ) L +-t yZ-0, M - xiz=- 0, N 0. Cherchons le point x, y, par ou passe la resultante. I1 est donne par les equations: Z:ylZ- L.xlZ1 M z, 1z' Y221z Comme les quantites ZI, sont toutes positives, ces formules sont celles meme qui d6terminent un centre d'inertie; par suite, il faut que le point x, y, soit a l'interieur du polygone le plus grand construit sur les points d'appui. C'est pour la mIme raison que le centre de gravit6 de plusieurs masses qui sont sur z le meme plan est a l'interieur du polygone dont les sommets sont les masses les plus exterieures. Les reactions ne sont pas determines lorsqu'il y a plus de trois points d'appui, ou m6me lorsque les trois points d'appui sont en ligne droite. Cela n'a rien d'extraordinaire: le problme que nous traitons, d'un corps Fig. 122. rigide s'appuyant sur un plan parfaitement rigide, est absolument irreel. Dans la pratique, les pieds d'une table ou fl6chissent, ou s'enfoncent plus ou moins dans le plan qui les supporte. Ce qui leve l'indetermination. Mais ce n'est pas le lieu de discuter ce probleme difficile d'Elasticite.

Page  147 PRINCIPES GEVNERAUX 147 Principe du travail. 151. Deplacements independants. Enonce du principe. - Considerons un point libre de se deplacer sur un plan: choisissons deux axes de coordonnees. Tout petit deplacement peut 6tre considere comme la resultante de deux petits deplacements paralleles aux axes: on dit qu'il y a deux degres de liberte et deux deplacements independants. En effet, on peut se donner arbitrairement les deux composantes: le deplacement resultant est possible. Considerons une usine tout entiere, si compliquee qu'elle soit. Mettons en mouvement un arbre quelconque: tous les autres arbres, toutes les poulies, toutes les machines... vont se mettre en mouvement, puisque tout est solidaire1. Nous n'avons plus qu'un seul degre' de liberte et qu'un seul deplacement independant. De meme pour une montre (exception faite pour le balancier), dont tous les rouages sont lies. Reprenons l'exemple du pendule. Supposons un fil souple et inextensible. Le point materiel qui forme le pendule peut d'abord se deplacer sur la sphere de rayon 1: il a sur cette sphere deux degres de liberte et deux mouvements independants. Mais a l'int6rieur de cette sphere, il peut occuper une position quelconque: il y a trois degres de liberte. En effet, prenons trois droites formant un triedre trirectangle. Tout deplacement peut se decomposer en trois deplacements paralleles aux aretes du triedre (axes de coordonnees); et reciproquement, si l'on donne arbitrairement trois deplacements quelconques paralllels a ces axes, le deplacement resultant est possible, compatible avec les liaisons, pourvu que l'on ne sorte pas de la sphere. Soit enfin un corps libre dans 1'espace: le nombre des deplacements independants est de six. Je prends arbitrairement comme ci-dessus trois axes de coordonn6es. Je peux donner au corps, soit de petites translations paralleles a chacun des axes, soit de petites rotations autour de ces axes. Or chacun de ces mouvements ne gene en rien les autres: il existe bien six mouvements differents independants; le mouvement resultant est possible. Supposons que j'impose au corps un axe de rotation, le long duquel il peut glisser: il existe deux mouvements independants, le mouvement de rotation et le mouvement de glissement. Enfin, si le corps ne peut pas glisser sur son axe, il n'a plus qu'un degre de libert6, qu'un deplacement independant, le mouvement de rotation. On suppose, bien entendu, les courroies inextensibles et les engrenages sans temps perdu.

Page  148 148 STA TIQUE Ceci pose, nous admettrons le principe general suivant: Un deplacement compatible avec les liaisons ne peut se faire sous l'action d'un systeme de forces, que s'il en resulle un travail positif de ces forces. Si done le deplacement correspond a un travail nul, il ne se fera pas; le systeme sera en equilibre pour ce deplacement. Si cette condition est realisee pour tous les deplacements independants, elle l'est pour tous les deplacements possibles, le corps reste au repos: on dit qu'il y a equilibre. Des forces sont equivalentes, par rappolrt aux deplacements d'un systeme de corps, lorsqu'elles fournissent le meme travail pour tous les deplacements compatibles avec les liaisons: elles peuvent d'ailleurs ne pas etre equivalentes pour d'autres deplacements. 152. Expression algebrique du principe du travail. - Soient a, b, c,... les variables toutes independantes qui determinent les mouvements possibles du systeme. Le travail dC pour un deplacement quelconque infiniment petit peut etre mis sous la forme d =- Ada + Bdb Cdc+... A, B, C,... sont des fonctions de a, b, c,... Les quantites A, B, C... s'appellent forces suivant les variables a, b, c. Si la variable a a les dimensions d'une longueur, A est effectivement une force. Si elle a les dimensions d'une surface, A est le quotient d'une force par une longueur; c'est une tension superficielle (~ 139). Si elle a les dimensions d'un volume, A est le quotient d'une force par une surface; c'est une pression ou une tension. Enfin si elle a des dimensions de degre zero, si c'est un nombre, un angle par exemple, A a les dimensions d'une force multipliee par une longueur: c'est le moment d'un couple (~ 27). Puisque par hypothese les variables a, b, c,... sont toutes independantes, les conditions d'equilibre sont exprimees par les relations: A-O, B 0, C ---0,... La condition d'equilibre relative h l'une des variables, a par exemple, est A=-0. Si cette relation est satisfaite pour un systeme de valeurs des variables a, b, c,..., nous sommes assures qu'a partir de cette position le mecanisme ne tend pas a se deformer de maniere h entrainer une variation de a. La force suivant une variable a doit etre nulle pour l'equilibre, si la variation da peut 6tre arbitrairement positive ou negative, si le deplacement possible est bilateral (~ 142). Si le deplacement possible est unilateral, il faut seulement pour l'6quilibre que le travail corres

Page  149 PRINCIPES GENtRA UX 149 pondant a ce deplacement soit negatif, ce qui revient h dire qu'il doit s'effectuer contre la force correspondante. L'equilibre exige seulement la condition: Ada <O. 153. Mani6re de traiter les liaisons. - Nous avons deja dit que la Statique est la science des liaisons. L'avantage capital du principe du travail est de permettre de ne pas expliciter les forces de liaisons, en vertu du postulat qu'elles ne travaillent pas. Ce postulat n'a evidemment rien de necessaire. En fait les liaisons travaillent, car il y a toujours des frottements. Dans ce cas, le principe du travail n'est ni plus ni moins commode que le principe du parallelogramme: ils se traduisent tous deux par des in6galites. Mais, alors meme qu'il ne serait pas legitime dans la pratique de nedgliger les frottements et par consequent le travail des liaisons, on desire souvent resoudre un probleme simplifie qui indique l'allure du phenomene. Le principe du travail fournit elegamment la solution. Nous avons fait remarquer dans tous les cas precedemment traites que les liaisons ne travaillent pas: cela va de soi, puisque nous avons neglige les frottements. Forcer un point a d6crire telle courbe ou telle surface qu'on voudra, imposer a une serie de points des trajectoires liees les unes aux autres,... n'implique aucune depense d'6nergie pourvu qu'on emploie des guides rigides et parfaitement glissants. Quand un train change de direction, il presse contre les rails, peut les briser ou les deformer s'ils ne sont pas assez resistants; mais sa vitesse n'est pas diminuee pour cela, tant que les frottements n'interviennent pas. On concoit donc aisement la raison d'etre du principe. Seules les forces appliquees travaillent. Si l'on veut que le systeme sorte du repos, il faut que le travail qui correspond au petit d6placement choisi ne soit pas nul. Inversement, si pour tous les deplacements compatibles avec les liaisons le travail est nul, il n'y a pas de raison pour que le systeme sorte du repos. 154. Systeme de points assujettis a des conditions de positions relatives. - Reprenons un des problemes precedemment traites (~ 146). Les n points sont assujettis aux conditions O =0,, - -=0,.....,, (1) Ecrivons qu'a partir de la position actuelle, le travail des forces est nul pour tout petit d6placement compatible avec les liaisons (XidxCi + Yidyi + Zidzi) - 0. (2)

Page  150 150 S TA TIQ UE Les variations dxi dyi,... au nombre de 3n' ne sont pas toutes independantes. Elles doivent satisfaire aux p relations <l dxl y + l.. + j dz,, =O.............. (3) ' dx1+.................+ -. Nous pouvons choisir 3n -p variations comme variables independantes, exprimer les p restantes en fonction des premieres, substituer leurs valeurs dans l'6quation (2) et egaler a zero les coefficients des 3n -p variations qui sont ind6pendantes. C'est la methode generale de calcul. On peut proceder d'une maniere plus symetrique. Multiplions la premiere equation (3) par l'ind6terminee Ri, la seconde par l'indeterminee R2,... et ainsi de suite. Ajoutons membre a membre les p + 1 equations (2) et (3). Nous pouvons choisir les indeterminees de maniere que les coefficients de p variations soient nuls, et nous devons egaler a z6ro les coefficients des 3n —p variations restantes considerees comme variables independantes. D'oii les 3n equations de la forme: X+R + -... +R -. (4) Xj+R, a +R2 bxi R2x +1 i = x Ce sont precisement celles que fournit la methode directe. On saisit clairement la difference des deux methodes equivalentes dans leurs resultats. Quand on n'a pas besoin de connaitre les reactions, il est g6neralement inutile de passer par l'intermediaire beaucoup plus long des 6quations (4). Dans les cas particuliers, l'elimination directe de p variations s'effectue plus aisement, grace a des simplifications qui ne manquent jamais. Les forces de liaisons n'apparaissent done dans les calculs a aucun instant. Les deux exemples suivants montreront comment on applique le principe du travail. Definissons d'abord le centre de gravite. 155. Poids des corps, centre de gravite. - La force que nous rencontrerons le plus ordinairement est le poids. Nous verrons au Chapitre IV qu'elle est due a lattraction de la Terre plus ou moins modifiee par la force centrifuge. Le poids d'un element est une des forces dont le point d'application est bien determin6, autrement dit, dont la direction passe toujours par l'element (~ 19). D'une maniere stricte, les poids des divers elements d'un corps ne sont pas des forces paralleles. Toutefois, si le corps est de dimensions restreintes, nous pouvons considerer ce parallelisme comme rigou

Page  151 PRINCIPES GENERAUX 151 reux. Admettons par exemple que les directrices des poids passent par le centre de la Terre supposee spherique: on salt que deux rayons terrestres dont l'angle est d'un degre coupent la surface en deux points distants de 111 kilometres. Le poids d'un el6ment varie avec la distance au centre de la Terre; d'ou resulte en toute rigueur qu'en tournant un corps, on modifie le rapport des poids des divers 6elments: certains points se rapprochent du centre de la Terre, certains autres s'en eloignent. Mais le rayon terrestre etant tres grand par rapport aux dimensions des corps sur lesquels nous operons, les rapports des poids des divers elements sont pratiquement independants de l'orientation du corps. En definitive nous avons affaire i des forces paralleles et dans des rapports invariables. La theorie du ~ 25 s'applique done: nous ponvons remplacer les forces par une force unique passant par un point parfaitement determine et que nous appellerons centre de gravite. 156. Suspension bifilaire. - Une suspension bifilaire se compose de deux fils fins AB, egaux et parallels (fig. 123). Is sont attaches en deux points fixes A, A, situes dans le meme plan horizontal. Ils supportent une piece BB de A o A poids P, a laquelle on applique un couple horizontal P. On demande l'angle de rotation de la partie inferieure du systeme autour de l'axe vertical 00,, qui passe par le milieu des droites AA et BB. Soit I la longueur des fils, 2a leur distance AA, a l'angle de torsion, 0 l'angle que fait l'un des fils avec sa position verticale initiale. Le travail que l'on effectue contre la pesanteur quand on passe de la position initiale a la position actuelle d6finie par l'angle 0, est egal au produit du poids P par la hauteur W00' /C dont il a ete soulev6; son expression est / PI(1 - cos 0). Quand 0 augmente de dO, le travail augmente Fig. 123. de PI sin0 d0. Soit P le moment du couple horizontal actuellement applique au corps BB: c'est une fonction de l'angle a qu'il faut determiner. Le travail effectue par ce couple pendant la rotation da est Fdic (~ 38). L'expression generale du travail est: dc - rdo - P1 sin 0 de. Mais il n'y a qu'une seule variable independante: il faut donc exprimer 0 en fonction de a. Comparons l'expression de DC dans les triangles O'DC et ADC.

Page  152 152 S TA TIQ UE On trouve aisement la relation: 2asin- =l sin; eliminons 0 entre les deux equations. Ecrivons enfin, pour appliquer le principe general, que le travail est nul pour une variation do, ce qui revient ta crire que le coefficient de da est nul; il vient Pa2 sin a m ~n sin2 Dans toutes les applications de cet appareil, 4a2: 12 est generalement tres petit, de l'ordre de 1/1000 par exemple. L'angle a est lui-meme petit. On peut done poser tres approximativement Pa2 sin a rF jusqu'a des angles considerables. A _O _.A Enfin si a est lui-meme tres Pa2 -petit, on a: —. Le couple applique au corps BB est mesure par la rotation a, qu'on determine generalement par la methode de Poggendorff (~407). / WE\ \ \C GENNERALISATION. / \ \ A On peut ne plus supposer -B - O -\ / B egales les distances AA et BB, ^D ~ tout en conservant l'egalite des Fig. 124. fils de suspension AB. Posons done (fig. 124): AA 2a, BB= 2b, AB - 1. Cherchons l'elevation de BB en fonction de l'angle de torsion a. Le fil AB vient en AD. La distance 00' AE z, est donnee par la relation: z2 12 -ED) 12 -- a'-b + 2ab cosa. 2 - ( - a)2 - 4ab sin 2 zdz- ab sin 7da. Le principe du travail donne la condition rd, + Pdz= 0. dz Pab sin a da I Vt (b-a)2 4ab sin V ^ ~ V' sm ~2

Page  153 PRINCIPES GENERA UX 153 1S7. Systeme bielle manivelle. - Le systeme bielle manivelle est destine a transformer un mouvement circulaire en un mouvement rectiligne alternatif; plus ordinairement, a entretenir un mouvement circulaire au moyen d'une force appliquee sur une tige animee d'un mouvement rectiligne alternatif (fig. 125). La tige OA (manivelle) tourne autour de l'axe 0; elle s'articule ^ - ^ "iT^B """"a B T Fig. 125. en A a la tige AB (bielle), qui s'articule elle-meme a la tige BC. Des guides imposent a celle-ci un mouvement rectiligne. Relions la distance OB x, a l'angle a. On a: x = R cos cos, R sin a = 1 sin 3; x — R cos.+ O /l 1 -- sin cc. (1) Si le rapport R I est suffisamment petit, on a simplement = + R cos a; (O') un mouvement uniforme de rotation est transforme en un mouvement alternatif pendulaire. Ecrivons qu'une force F appliquee en B suivant Ox, equilibre un couple r applique a l'axe 0; le couple est positif quand il est dirige dans le sens des a croissants. Le principe du travail donne la condition: Fdx + rFd O. (2) Diffdrentions (1); substituons a dx sa valeur dans (2), il vient FRsina l+ Rcos2 \1- sin2-a r. (3) Si le rapport R 1 est assez petit, on a simplement FR sin a —. (3') Une force constante F produit un couple F essentiellement variable; il est nul pour les points morts: a —0, a=-=. Le travail de la force F constante pour une rotation da est FR sin a da.

Page  154 154 S TA TIQ UE Quand on passe d'un angle a0 a un angle oa, il est FR(cos ao -cos a1). En particulier dans le demi-tour, de a- 0 a a:v, le travail est 2FR; ce qui est evident a priori. Le travail moyen par unite d'angle est: 2FR: =0,64. FR. Dans le cas oi R: 1 est petit sans etre tres petit, on peut remplacer la formule (3) par l'expression simplifi6e FR sin (l +- cos a)=. (3") La formule (1) devient avec la meme approximation R2 x =- + cos a — - sin- a (1") On peut expliciter dans ces formules les premiers termes du developpement de Fourrier FR2 Fr FR sin a + 21 sin 2a, (3'") R' R x 41 _ R +Rcosa+ 1 cos2a. (1') Puisque le phenomene est periodique, il etait sur a priori que nous obtiendrions des expressions de cette forme, mettant en evidence un fondamental et les harmoniques. Le developpement est ici limite aux deux premiers termes. 158. Manivelles multiples. - Pour que nos raisonnements trouvent des applications, nous admettrons que la force F, supposee constante pour simplifier, change de signe au passage par les points morts. Nous admettrons de plus la formule reduite (3'). Pour diminuer l'irregularite du couple F, on est conduit h caler plusieurs manivelles sur le meme arbre. Le couple resultant s'obtient en additionnant plusieurs sinusoides, identiques, convenablement d6calees et dont les parties negatives sont changees de signes pour satisfaire a la condition ci-dessus enoncee. Nous voyons immediatement que la courbe resultante se compose de fragments de sinusoides de meme periode que les sinusoides composantes. Mais chaque fois qu'une de celles-ci passe par 0 et par consequent doit etre retournee, la sinusoide resultante subit un d6calage brusque; d'ou resultent des points anguleux sur la courbe resultante. Si les manivelles sont au nombre de deux et decalees de 7, la courbe resultante est identique aux courbes composantes a l'amplitude pres; on ne gagne evidemment rien en regularite. Si les manivelles sont decalees de. 2 (manivelle coudee), la

Page  155 PRINCIPES GENEIRA UX 155 figure 126 represente le resultat; lle ne donne qu'une demi-periode du sinus, c'est-a-dire une periode du phenomene d'apres l'hypoth6se Coerre esuanze 1! res I Ico7 xnte I,;. Fig. 126. du debut de ce paragraphe. Le rapport des maximums aux minimums est 1,40; la periode du ph6nomene resultant est moitie moindre que pour une seule manivelle. On a prolong6 en pointille les periodes de la courbe resultante qui sont des fragments de sinusoide. La figure 127 donne le resultat pour trois manivelles symetrique-. -I _.................. i.- -I- -~-~-~-~ —~ — t- -.-.-.- - - 1-,ourbe I "'l '. I,"I, I ', l e."p I ". I,,' I ".. \. I I.' I ". I, ' I ',, I, " '. I Ii~. 1I7. ment disposees autour de l'arbre. Le rapport des maximums aux minimums est 1,16; la periode du phenomene resultant est trois fois plus petite que pour une seule mianivelle. 159. Realisation du systeme bielle manivelle. - Pour tourner, la manivelle doit etre placee soit sur un bout d'axe, soit sur un axe coude. Si elle est multiple, on est bien force d'employer le second procede. Cette n6cessite mecanique limite le nombre des mani-, " velles. En effet il devient extreme- ment difficile de mettre les bouts - I ", d'axes AB, CD,... (fig. 128) dans ~ — 3 7 Dle prolongement exact les uns des autres. Si on multiplie le nombre des coussinets, on augmente neces- Fig. 128. sairement les frottements, a cause des deformations des pieces; on risque meme des ruptures. des deformations des pib~ces;~ on risque mi~me des ruptures.

Page  156 STATIQUE Pour eviter les axes coudes, on utilise les excentriques circulaires a collier, chaque fois que les efforts a transmettre ne sont pas trop grands (fig. 129). Mais le frottement du disque excentre contre le collier est grand et absorbe relativement beaucoup d'energie. L'excentrique a collier derive de la manivelle par l'agrandissement Fig. 129. du bouton b de la figure 128. Maintenant que nous avons explique sur quelques exemples la nature des deux principes, nous les emploierons indifferemment. Is sont parfaitement equivalents; ce serait une g6ne inutile que de nous astreindre a n'utiliser que l'un d'eux. Balances. 160. Balance a fleau. - D'une maniere generale la balance est un corps pesant de forme quelconque (que nous appellerons fleau pour abreger) tournant autour d'un -___0B1, w ~ BZ axe O (fig. 130). En i,< \ ^ -^ -- - -~ -__i deux points du corps I \ ^</'GL^ 2 a1 1I/ sont appliqu6es des /, ~ zy ';\~ I.."Az forces P, et P2 de di-........G rectionsinvariables. AI....., Pour ne pas nous cearter des condica14' tions de realisation, nous supposerons Fig. 130. l'axe horizontal et les forces P, et P, verticales. Le corps est en definitive soumis a trois forces verticales: l'une 1H est son poids applique au centre de gravite G; les deux autres P1 et P2 paralleles a la premiere sont appliquees aux points A, et A,. Nous appellerons bras de la balance les longueurs =- OA, 12-OA2. Nous poserons X-=OG; c'est la distance du centre de gravite du fleau a l'axe de rotation. Quand les forces P2 et P2 sont nulles (equilibre initial), le centre de gravit6 G se met sur la verticale de l'axe de rotation. Les bras font alors des angles ai et a2 avec la verticale. Appliquons les forces P1 et P2; cherchons la nouvelle position d'equilibre, definie par la rotation 0. I1 suffit d'ecrire que la somme

Page  157 PRINCIPES GENtRAUX 157 des moments des couples qui tendent a faire tourner dans un sens, est egale a la somme des moments des couples qui tendent a faire tourner en sens oppose (~ 149). On trouve immediatement Pl, sin (a, - O) II, sin +- P212 sin (..2 + 0). PI, sin a - P2, sin x(1 tg~ 0 - ilk, +- Pel cos c, + P' cos. '(1) BALANCE PARFAITE. On cherche 't realiser les conditions suivantes qui definissent la balance parfaite: l1-1l - 12 _= 1 a J 2. Les trois points A1, 0, A2, sont sur la meme droite. La formule devient tgO- (Pi-P) 1 (2) On appelle sensibilite a le quotient tg0: (PI-P2), ou trbs approximativement 0: (PI — P2) =:1: Tnl. (3) La sensibilite de la balance parfaite est proportionnelle a la longueur des bras, en raison inverse du poids I du fl6au et de la distance ) du centre de gravite a l'axe de rotation. Elle est independante des charges P1 et P2. BALANCE IMPARFAITE. Les angles oc et ac sont toujours voisins de.: 2; appelons s, et Es leurs complements. On peut ecrire: tg 0 pl -- P 2ls - + - P11st- - P2.2 (4) Du reste, 11 differe generalement peu de 12. La sensibilite a pour expression I=1: [nIX + (Pi^ + P2e2)]. (5) Elle depend des charges et aussi des signes de s1 et S2. Comme nous le verrons plus loin, il y a des chances pour que a, et a2 soient inferieurs a 7x: 2, c'est-a-dire que s1 et s2 soient positifs: la sensibilite diminue alors quand les charges P1 et P, augmentent. 161. Realisation de la balance. - Etudions les moyens de' realiser les conditions precedentes. Nous venons de voir que la sensibilite ne conserve une valeur constante qu'a la condition de maintenir en ligne droite les points Ai, O, A1; nous savons de plus qu'elle augmente quand on diminue le poids du fleau et quand on augmente sa longueur. Ce sont la des conditions eminemment contradictoires; car si nous

Page  158 STA TIQUE diminuons le poids du fleau en augmentant sa longueur, nous l'affaiblissons de maniere a rendre possibles les flexions sous l'action des charges P2 et P2 AOA2 cesse d'etre une droite, la sensibilite diminue. I1 y a plus: comme les deux bras ne sont pas parfaitement identiques, les angles oc et a2 deviennent inegaux. A supposer que la balance soit parfaite pour des charges P1 et P2 tres petites, elle cesse d'etre jusle pour des charges grandes; on entend par la que l'index EF (fig. 131) reprend sa position initiale pour des charges P1 et P2 qui different l'une de l'autre. Aussi depuis longtemps ne cherche-t-on plus la sensibilite dans Fallongement indefini des bras. On d6montre en Elasticit6 que les fleches de flexion d'une poutre droite, lI, et -1;2 sont proportionI J K [ —r I,,,. ',,,,,.....'1 Fig. 131. nelles aux cubes des longueurs I1 et 12 (voir Mecanique physique); elles mesurent les distances verticales AiB,, A2B2 (fig. 130), et interviennent directement dans la formule (5). En augmentant beaucoup les bras, on rend les erreurs dues aux flexions quasiment inevitables. On pr6fere diminuer considerablement le poids du fleau en le traitant comme une veritable poutre complexe (~ 199); le raidissement et la legeret6 proviennent de la forme rneme du profil ajoure et de la nature du mrtal employ6 pour le construire (bronze d'aluminium). Les points A1, 0, A2, sont les aretes horizontales et paralleles entre elles de trois couteaux: les extr6mes sont fixes au fleau, le moyen repose sur une colonne liee au socle de la balance. Les charges P1 et P2 sont les poids des plateaux et de leurs accessoires. Les plateaux reposent sur, les couteaux extremes au moyen d'une piece intermediaire creusee en diedre B (figure 131, h droite); elle porte un crochet dans lequel penetre l'anneau P solidaire du plateau. On obtient ainsi la mobilite complete des plateaux en azimut; leurs poids s'exercent librement dans la verticale sur les aretes des couteaux correspondants (voir la remarque du ~ 164). Le reglage de la sensibilite est obtenu par le mouvement d'une masselotte MI, se deplacant a vis sur la longue aiguille indicatrice de

Page  159 PRINCIPES GINVERA UX 159 l'azimut du fleau et avec laquelle on regle la position du centre de gravite du fleau. On reconnait que la sensibilite augmente quand la periode des oscillations devient de plus en plus grande: nous reviendrons lh-dessus plus tard (~ 377). Le reglage en azimut pour la position d'equilibre initiale est obtenu au moyen de la vis V. On ramene par exemple l'extremite de l'aiguille au zero d'une petite graduation portee par le socle de la balance. 162. Pesees.- La pesee consiste a comparer le poids d'un corps. des poids marques. La methode de la double pesee implique seulement la sensibilite de la balance sans necessiter sa justesse. On place le corps sur un des plateaux; par une tare on amine le fleau dans un certain azimut d'ailleurs quelconque; on remplace le corps par des poids marques jusqu'au retour dans l'azimut choisi. Le poids du corps et les poids marques sont egaux comme produisant les memes effets dans les memes conditions. L'inconv6nient de la methode est d'exiger deux pesees. Si la balance est juste, on peut 6viter l'une d'elles en determinant une fois pour toutes la position d'equilibre initiale, puis en pla9ant le corps sur un des plateaux, des poids marques sur l'autre, de maniere a retrouver cette position d'equilibre. L'artifice du cavalier permet de ne pas ouvrir la cage vitree de la balance pour ajouter de petits poids (fig. 131). La partie superieure du fleau est constituee par un prisme horizontal gradu6 CD dont les traits de graduation sont marques par des coches tracees sur la surface superieure. Une tige horizontale parallele a CD, et qu'on manoeuvre de l'exterieur, permet de placer oui l'on veut, sur le prisme CD, un cavalier d'aluminium represent6 grossi en Q: les coches d6terminent exactement sa situation. Son poids est generalement calcule de maniere que, place en K a l'extremite de CD, il vaille un decigramme place dans le plateau correspondant, ce qui ne veut evidemment pas dire qu'il pise un decigramme. Supposons IK divise par des coches en dix parties egales; place sur la ni2lec coche, le cavalier vaut n centigrammes. Un cavalier dix fois plus leger permet de peser les milligrammes. 163. Peson. - Le poids P a peser est applique au point A du fleau, a une distance I de l'axe de rotation O (fig. 130). Peu importe la forme du fleau. On determine P par la mesure de la rotation 0. La graduation angulaire est etablie directement en poids, au lieu de l'etre en degres. L'inconvenient de l'appareil est la non-equidistance des traits qui correspondent a des charges variant en progression arithmetique.

Page  160 160 S TA TIQUE Supposons par exemple que la droite OA soit d'abord horizontale. La position d'equilibre est d6finie par la rotation 0 telle que (~ 160): tg 0 P. En diflfrentiant l'equation (1), on a: dA 1 dOP - 1 cos 0. dP - Ilk (1) La sensibilite varie comme le 0 cosinus carre de la deviation. Il est possible de r6aliser un peson tel que les d6viations 0 soient proportionnelles aux poids P (fig. 132). Le corps P a peser est suspendu par un ruban d'acier qui s'enroule sur le cylindre circulaire BAA'; le couple P1 qu'il produit est independant de 0. Le poids p compensateur est suspendu par un ruban d'acier I'KL qui s'enroule sur la developpante du cercle II' de rayon 01O-R, egalement mobile autour du point O. Enfin le centre de gravite G coincide avec l'axe de rotation O: X-0. Pour l'6quilibre on a: Pl=p.IK-pR. 0, puisqu'en vertu de la definition de la developpante, IK arc II'. Fig. 132. Z) 164. Balance de Roberval ou a plateaux superieurs. - Les plateaux sont supportes par des tiges auxquelles on assure une direction invariable au moyen d'un pat<*..,. ~ I —yt _ rallelogramme articule (fig. 133). c, --- —--- E Le parallelogramme CDEF tourne autour de deux axes fixes A et B, places au milieu D, --- ---- F de deux de ses cotes. A chaque instant les deplacements des OF_ I tiges CD et EF, des plateaux P, Fig. 133. et P2, et des corps qui sont poses respectivement dessus n'importe comment, sont paralleles, egaux et de sens contraires. En effet, les tiges CD et EF restent paralleles a la ligne des axes AB: elles subissent donc a chaque instant des mouvements de translation egaux (~ 71 et 95): l'une monte quand l'autre descend.

Page  161 PRINCIPES GENIERAUX 161 Le principe du travail nous apprend que des poids egaux places n'importe comment sur les plateaux, ou plus gen6ralement lies d'une maniere rigide mais quelconque aux tiges, se font equilibre. La pesee consiste a determiner la position d'equilibre du systeme mobile seul, a placer les corps a peser sur l'un des plateaux, des poids marques sur l'autre, jusqu'a ramener le systeme dans sa position initiale. Cherchons a quelle condition la balance possede une position d'equilibre stable. Admettons pour simplifier que dans la position d'equilibre a vide, les centres de gravite des fleaux sont tous deux sur la verticale AB. Soit II1, II2, les poids des fleaux; i,, ),, les distances des axes aux centres de gravit6 correspondants, comptees positivement vers le bas. Quand la balance s'incline de 0, le couple qui tend a la ramener a la position primitive est: (1i,1i + n2)2) sin 0, en grandeur et en signe. Pour que I'equilibre soit stable, il faut que ce couple soit positif. I1 faut done: ou que les deux centres de gravite soient au-dessous des axes correspondants (X- et;2 positifs); ou, si l'un est au-dessus de son axe, que l'autre soit suffisamment au-dessous du sien pour que le couple reste positif. C'est generalement le fleau superieur qui par sa forme assure la stabilite. REMARQUE IMPORTANTE. I1 est important de remarquer que la nature de l'equilibre de la balance et sa sensibilite dependent uniquement de la position des centres de gravite des fleaux; elles sont ind6pendantes de la position des centres de gravite des systemes formes par chaque tige, le plateau correspondant et les poids supportes. On pourrait, par exemple, placer les plateaux au-dessous des fleaux sans rien changer a la sensibilite et aux conditions d'equilibre. La raison de ce paradoxe tient a ce que les liaisons imposent des translations aux tiges et aux corps qui leur sont invariablement lies. La m6me remarque s'applique, et pour la meme raison, a la balance ordinaire. Les conditions d'equilibre seraient completement modifiees (~ 239) si les plateaux ne subissaient pas de simples translations, si par exemple ils 6taient lies d'une maniere rigide au fleau. 165. Bascule de Quintenz. - Soit le systeme OAA'O'D, tournant autour des points fixes O et O' et articule en A et A' (fig. 134). Par hypothese, il est en equilibre dans la position representee pour laquelle les droites OA et O'A' sont horizontales, et la droite AA' verticale. On demande oui attacher la piece P de maniere qu'elle subisse une translation elementaire pour un petit mouvement du systeme a partir de la position representee. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 11

Page  162 162 S TA TIQ UE I1 faut l'attacher en deux points B et B' tels qu'on ait OB: OA O'B': ('A'= L (1) Les points A et A' decrivent en effet des elements egaux de la mme droite verticale: si la condition (1) est satisfaite, les points B et B' d6crivent la meme fraction m de ces 6elments egaux. Le rapport m est arbitraire. A B' B 0 D o B I P A Fig. 134. Ceci pose, pour equilibrer le poids P au moyen d'un poids p attach6 en D, je dis qu'il faut qu'on ait: p. O'D P. 'B'. (2) En effet, pendant le deplacement, le point D decrit un fragment de verticale qui est au deplacement vertical du point B', et par consequent de la piece P tout entiere, dans le rapport O'D: O'B'. L'equation (2) exprime done que la somme des travaux qui correspondent au deplacement elementaire est nulle. II y a equilibre. On fait generalement O'D) 0. O'B': la bascule est au dixieme. Au lieu de suspendre la piece P en B, on peut la faire reposer au meme point. Dans la pratique, on double le levier OA par un autre identique place sur le meme plan horizontal (figure 434, a droite, en perspective), de maniere que la position de P soit d6terminee par trois points.

Page  163 CHAPITRE II APPLICATIONS DE LA STATIQUE Polyglones et courbes funiculaires. 166. Polygone funiculaire. - Au ~ 139 nous avons defini la tension du il; c'est la force dirigee dans la direction mnme du fil qu'il faudrait appliquer en un de ses points pour maintenir les choses en Fl'tat, si on le coupait en ce point. Cherchons les conditions d'6quilibre d'un fil parfaitenient flexible (sans raideur) et inextensible, sous l'action d'un nombre fini de forces appliquees en quelquesuns de ses points. Nous negligerons le poids du fil; les forces seront cens6ment appliquees en des points distincts que nous appellerons nceuds. 11 resulte de la une premiere condition gen6rale d'6quilibre: la tension entre deux nceuds est independante du point considree; entre deux noeuds le fil est partout tire dans les deux sens par la mdme force. Soit done un fil ABCDEF, soumis a des forces 1', 1, 2, 3, 4, 2'. It est d'abord evident que les forces extremes 1' et 2' sont dans les directions memes des fils extr6mes AB et EF; car dans l'hypothese contraire rien ne les empecherait de faire tourner le fil. Elles mesurent done les tensions des fils extrmnes. Si les fils etaient attaches en A et en F, ce seraient les reactions des points d'attache qui joueraient le role des forces 1' et 2' et qui mesureraient les tensions des fils extremes. Solidifions le systeme; l'equilibre doit subsister (~ 143). D'ou les propositions suivantes: 1~ Les forces 1', 1, 2, 3,..., 2', transportees an meme point parallelement a elles-memes, ont une resultante nulle. Autrement dit le polygone des forces se ferme (~ 147). 2~ Une quelconque d'entre les forces est egale et opposee a la r6sultante de toutes les autres. Par exemple 1', c'est-a-dire la tension du fil AB appliquee a V'extremite A, equilibre les forces 1, 2, 3, 4,..., 2'.

Page  164 164 S TA TIQ UE 3~ Mais le raisonnement vaut pour chacun des systemes partiels obtenus en coupant l'un des fils (BC par exemple en,). On le maintient en etat par des forces 6gales et opposees, appliquees en P, dirigees suivant le fil, et mesurant la tension du fil. D'oui la propoX^ AD X Fig. 135. sition: la tension de chaque fil est edgale et opposee a la iresltante de toutes les forces qui agissent d'un meme cote de cc fil. 4~ En particulier, la proposition est applicable au systeme forme par deux fils, par exemple BC et CD soumis a la force 2 et a des forces T et T: (egales a leurs tensions) appliquees: T en,3 dans le sens CB, T' en y dans le sens CD. Les forces T, T', 2, sont done dans le meme plan et se font 6quilibre. Telles sont les conditions qui determinent la forme du polygone funiculaire. I1 est plan ou gauche suiQ P vant que les forces appliquees sont, ou non, dans un meme plan. /. a A moins d'indications contraires, ~/ >~r z 7nous le supposerons plan. 167. Polygone de Varignon. - 8- '~ =A partir d'un point 0 quelconque, 0N^P/ menons des droites ca,,..., E, parallles aux c6tes du polygone funiculaire 1^K | suppose plan (fig. 136). Ce sont les 0 — - / - rayons polaires; leurs longueurs mesurent a une echelle arbitraire les tensions des cte6s correspondants. M- ~ Joignons les extremites des rayons Fig. 36. polaires; nous d6crivons le polygone de Varignon. Je dis qu'il determine les directions et les intensites des forces 1, 2,..., appliquees aux nocuds du polygone.

Page  165 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 165 Par construction, les forces 1' et 2' son-t mesurees par les cates extremes a et E du polygone de Varignon. Considerons le triangle OMN. Les forces MO, ON, NM, prises dans le sens des fleches tracees dans le triangle ou sur ses cotes, se font 6quilibre (~ 20). Or MO et ON mesurent les tensions sur les cotes a et 3. Donc NM mesure en grandeur et direction la force 1 appliquee au nceud B (~ 166, 4~). Le raisonnement vaut pour un triangle quelconque. Naturellenent suivant ON sont appliquees deux forces egales et de signes contraires, puisque la tension sur un fil est aussi bien dans un sens que dans le sens oppose (~ 139). II va de soi que le polygone 1', 1, 2,..., 2' est ferinm (1~, ~ 166). On peut ne considerer qu'une portion du polygone de Varignon; cela revient a ne prendre qu'une portion du polygone funiculaire, ainsi que le permet le 3~ du paragraphe precedent. Nous verrons plus loin que les proced6s de la Statique graphique reposent sur l'emploi simultane d'un polygone de Varignon et du polygone funiculaire correspondant. 168. Balance a cordons. - Un fil est attache a deux points fixes A et B. Deux charges egales agissent aux points C et D; nous supposerons, pour simplifier, qu'ils divisent sym6trique- A B ment la longueur du fil (fig. 137, a gauche). On modifie l'une des / charges; la figure d'equi- libre varie. On con9oit qu'une C balance puisse etre cons- truite sur ce principe. Pour trouver le rapport des charges dans les deux Fig. 137. etats d'equilibre, menons respectivement par des points 0 et 0' des droites paralleles aux c6tes des deux polygones funiculaires. Elles coupent une verticale quelconque en deux segments qui sont entre eux comme les forces verticales appliquees (fig. 137, a droite). 169. Polygone des ponts suspendus. - Le tablier du pont suspendu, que nous allQns etudier, est suppose homogene, c'est-i-dire qu'il pese tout du long le m6me poids par metre courant. II est attache au cable par des tiges verticales et equidistantes; a designera leur equidistance (fig. 138). On demande le polygone funiculaire.

Page  166 166 STA TIQ UE Nous pourrons construire le polygone de Varignon a la condition de connaitre: 1~ la direction d'un des cotes du polygone funiculaire, AB par exemple; nous le prendrons horizontal, il formera le milieu du pont; 20 la tension a de ce cote. En effet, nous tracerons OM horizontal et de longueur OM mesurant a a une echelle M a conventionnelle; nous n1 g^ ~ porteronsbout h bout, F // verticalement et a la N/ 2^/8// meme echelle, les NT3I^// forces 1, 2, 3, 4,..., ^ I N/a/ eg alespar hypotheses, a T D 4~ - puisqu'elles sontequi-.A- B TC -C-L — vdistantes et que le 3...tablier est homogene. Nous designeronsleur Fig. 138. valeur par P. Les directions des cotes F, Y,.., sont immediatement d6terminees en joignant O aux points de jonction des forces. Reste done a calculer a pour que le probleme soit resolu. Le cable s'attache en F a un point fixe. La reaction de ce point doit 6quilibrer les forces verticales, 1, 2, 3,..., au nombre de n, et la tension a. Solidifions le systeme ABC...E: il ne doit pas tendre ai tourner autour du point fixe F. Ecrivons donc que la somme des moments des forces 1, 2, 3,.,., et de la tension a est nulle. La nit"e force B est i la distance na de F; son moment est Pna. La premiere est a la distance a; son moment est Pa. Enfin soit h la fleche du pont (distance de l'horizontale AB au point d'attache); le moment de la tension a est hoc. D'oii la condition: Pna = Pa n -- hc, Zjl Zjnb' 'n ~r Pa n(n+1 4) a- I ---2 (I) On choisit une fleche h; l'equation (1) donne a; on construit le polygone de Varignon. Le polygone funiculaire est par suite connu. REMARQUE. - Plus la valeur h choisie est grande, plus a est petit; par consequent plus la distance OM est petite. Le polygone de Varignon donne des cotes successifs plus inclines; le point F est davantage au-dessus de AB; le cable est plus courbe conformement a I'hypothese. On montrerait aisement que les sommets sont sur la parabole: 2aa x.P __a~7 X'

Page  167 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 167 170. Cas ou le fil passe dans des anneaux ou sur des poulies. - Si le fil passe dans un anneau ou sur une poulie et qu'on neglige les frottements, les tensions sont les memes de part et d'autre de l'anneau ou de la poulie. Si une force est appliquee a l'anneau ou a la monture de la poulie, l'equilibre exige qu'elle soit dirigee suivant la bissectrice des cordons correspondants. E Soit un fil attach6 en A et E A\ et passant dans des anneaux aux points B, C, D,..., oui sont B appliquees des forces b, c, d,... d (fig. 139). La tension T est constante d'un bout a l'autre du fil. On a pour l'equilibre: Fig 139. B C b - 2T cos- c 2T cos2 C '; les forces sont entre elles comme les cosinus des moities des angles B, C, D,... 171. Fils surabondants. - Supposons qu'a un nceud aboutissent n cordons (qui ne sont pas necessairement dans un plan) et des forces en nombre quelconque que nous pouvons composer en une force F. Les conditions d'equilibre du nceud A sont au nombre de trois; il faut 6crire que les projections des n tensions et de la force F sur trois axes quelconques sont nulles. Alors meme que les directions des cordons sont determinees, le probleme reste indetermine dans le cas ou0 n est superieur a trois. I1 est de meme indetermin6 dans le cas d'un phenomene plan, si n est sup6rieur a 2. En fait, l'indetermination n'existe pas, parce que les cordons ne sont pas inextensibles; mais il est alors necessaire de connaitre leurs proprietes elastiques: l'exemple suivant montre comment elles interviennent [(fig. 140); ~ 150]. Supposons quatre fils qui non tendus ont meme longueur L; ils supportent la piece P G (fig. 140). Les fils ' d'une part, 2 de lautre ont memes proprietes elastiques. Par raison Fig. 140. de symetrie, ils sont egalement allong6s sous l'action de la charge P. Definissons leurs proprietes elastiques par les equations: AL AL P — L ' P2-E L;

Page  168 168 S TA TIQ UE E1 et E2 sont des coefficients caracteristiques des fils; AL L est l'allongement relatif, le m6me pour tous; Pe et P2 sont respectivement les charges qu'ils supportent. Nous devons avoir: P =2(P1 + P2) 2(E + E2) (AL: L), equation qui definit l'allongement relatif et par suite la distribution des charges. Ce qui precede s'applique sans y rien changer aux barres qui constituent les frames (~~ 194 et 197). 172. Courbe funiculaire. - Dans les paragraphes precedents, nous supposons que les forces sont appliquees en un nombre fini de points qui sont les noeuds ou les sommets du polygone funiculaire. Nous supposons maintenant que les forces sont continues: le polygone devient une courbe funiculaire. Ce que nous avons demontr6 pour un cote du polygone s'applique immeA B diatement a un element de la courbe (fig. M\y 141). T' M; N T'-S - Pour qu'un element MN du fil soit en Fig. 141. equilibre, il faut donc que le systeme des tensions (T en M, T' en N), et des forces exterieures appliquees sur 1'element, se fassent equilibre. Representons par Xds, Yds, Zds, les composantes, parallelement a trois axes, de la force exterieure Fds appliquee a l'element MN - ds; elles s'annulent evidemment si l'element devient nul, d'oh la forme choisie. La tension T et sa direction sont fonction de la position du point M considere, et par consequent de la distance s=AM, du point M au point A origine, distance comptee sur la courbe et qui fixe la position de ce point. Les composantes de la tension T en M sont, par un choix convenable de signes: Tds ' ~T l' ds ds dx dj d z) Comme les quotients Ids, dCs' ds (cosinus directeurs de la tangente au fil) sont eux-memes des fonctions de s et de s seulement, on peut representer la tension en N, c'est-a-dire apres l'accroissement ds de la variable, par: dx d dx T - s ds T s / s dz d ( 'dz) T -s s T - ds \ s

Page  169 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 169 Ecrivons les equations d'equilibre. On a evidemment: d ) dx+ O ds T ds ) + 7 X T +y 0, (1) c~ds\ ds)+z=o. d (dz ) Montrons que l'6quilibre existe pour toute portion finie du fil. Integrons les equations (1) pour un arc fini de courbe, determine par les valeurs s0 et s, de la variable s. II vient: _S S IS et deux equations analogues en y et en z. L'equation (2) exprime que la somme des projections sur l'axe des x des tensions aux points extremes de lare considere, plus la somme des projections sur le meme axe de toutes les forces appliquees aux divers elements de l'arc s -s0, est nulle; ou, ce qui revient au meme, que, pour un arc quelconque, il y a equilibre entre les tensions aux points extremes et les forces appliquees aux divers points de l'arc. Cette proposition est l'equivalent des propositions 1~ et 3~ du ~ 166. Des transformations tres simples permettent de tirer des equations ge6ierales (1) les equations suivantes qui expriment la nullite des couples elementaires: sT y -z ds _ - — Z - ds ds T d( -d- yx ds-] — +X ---Z=O, (3) ds d dd-S ')+ - Procedant comme plus haut, int6grant pour un arc fini, on montrera que les couples se font equilibre. 173. Autre forme de ces resultats. - En un point M, considerons le plan osculateur a la courbe funiculaire. Il est defini par les tangentes en deux points tres voisins de la courbe. Done il contient les tensions T et T', ainsi que la force Fds qui doit leur faire equilibre. En d'autres termes, le plan osculateur du fil en un point contient la force exterieure (~ 166, 3~). Etablissons les equations d'equilibre dans le plan osculateur.

Page  170 170 S TA TIQ UE TENSION TANGENTIELLE. Les tangentes en deux points de la courbe, distants de ds, font un angle ds dont le cosinus est l'unite et le sinus l'angle lui-mme. Si nous projetons les tensions -T et T + dT sur la direction de l'une d'entre elles, la resultante est dT. On arrive au meme resultat par l'analyse. dx ddy dz Multiplions les equations (1) respectivement par ds, cs - et additionnons-les. Comme on a: _(dx ) (2 dt ) (y d )2 It ds~) \^ [\^) ' et par suite: dx d(dx, cI 7dy ) dIc/ dz ds cs J+ ds ) ds ds ds il vient imnmediatement dT + (X dx + Y dy - Z cdz) - 0; dT fait equilibre a la projection de la force exterieure sur la tangente a la courbe; ce qui revient au meme, la conmposante tangentielle de la tension est representee par dT. Si la force exterieure est normale au fil en tous ses points, Xdx +-Ydy +Z dz, qui represente l'el6ment de travail de la force par unite de longueur quand son point d'application se deplace sur le fil, est identiquement nul. On a done dT —0; la tension est constante le long du fil. CO3IPOSANTE NORMALE. Projetons les tensions -T et T + dT sur la normale principale menee a la courbe en un point situe, par exemple, a 6gale distance de M et de N. La somme des projections est; T ds T -dT ds T ds - - + 2 en n6gligeant les infiniment petits devant les quantit6s finies. On arrive au meme r6sultat par l'analyse. Nous avons demontr6 au ~ 60 que les cosinus directeurs a, y, de la normale principale ont pour expressions d2x d2/ dcz =P W — fP- d82 -' - ds2 ~ ' Multiplions respectivement les equations (1) par a,,, y, et additionnons; il vient: rd d x ( dx\ dh+ d + d yd2 d2z d dz P ds ds Tds - s- ds d ds T ds( ds T ds _ - 4X - +Y +Z = o.

Page  171 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 171 Developpons le premier membre, simplifions au moyen de l'identite du paragraphe precedent; il reste: r/ Y /d^ C12y. / d, 2 P d: )2+ )+( d2) T + Xy + Ye~ + Z- = o0. P[V dS2 +-I-\ ds"l La parenthese vaut 1: pS (~ 60): T -+(X +Y~t+Zy-/) =0. En definitive, la resultante des tensions sur un element ds a pour composantes: tangentielle dT, normale Tds: p. Elle fait equilibre a la force exterieure Fds situee necessairement dans le plan osculateur. En particulier, si la force F est constante et toujours normale a la courbe, on a: dT =0, F=T:?; le rayon de courbure est constant; la courbe funiculaire est un arc de circonf6rence, si elle est plane. 174. Cas oiu il existe un potentiel. - Admettons que les forces derivent d'un potentiel (~ 39). On a: X — V Y 6V Z — 6V - Y ' Z6y 6 L'6quation: dT + (X dx + Y dy + Z dz) = 0, devient: dT-d V, T V V0. (1) Demontrons que la forme adoptee par le fil entre deux points A et B est, parmi toutes les courbes voisines joignant ces points, celle pour laquelle la quantite: 'T ds, (2) est minimum, c'est-a-dire au voisinage de laquelle la variation de cette quantite est nulle. Cette integrale represente le travail d'une force dont le point d'application decrit la courbe, qui est toujours dirigee suivant la tangente a la courbe et dont la grandeur est definie en tous les points de l'espace par l'equation (1). Soit AadfB la forme du fil (fig. 142); considerons la courbe voisine AbceB; 6valuons la difference des int6grales (2) qui correspondent a ces courbes. Nous avons trace quelques surfaces equipotentielles. Puisque la quantite T, que nous depouillons de son role de tension pour lui donner celui de vecteur, ne depend que du potentiel, elle

Page  172 172 S TA TIQ UE a sensiblement la meme valeur V-+-VO dans tout l'espace occup6 par le quadrilatere abcd. D'ailleurs elle a sensiblement la meme direction pour les elements A de courbe ad et bc. Considerons done T comme un vecteur constant en grandeur et direction dans tout ~~-~~ c- -— ' ' V+a dV l'espace abed. Sa direction y = * ^ est celle meme des elements ''sle' ~ ad ou bc. Nous voulons evaluer la \ <B difference Gb(T) — (T). Fig. 142. Nous nous appuierons sur cette proposition evidente que le travail total d'un vecteur constant en grandeur et en direction est nul pour un parcours ferie quelconque. D'oui la relation C* (T)+ (T) + a (T)+ (T)= O. Comme on a generalement g,( - 3, il vient:; (T)- % (T)-; (T)- (T). Repetons le m6me raisonnement pour tous les quadrilateres que nous pouvons former au moyen des 6elments des deux courbes, en joignant respectivement leurs traces sur les m6mes surfaces equipotentielles. Nous mettrons en evidence des diff6rences de la forme: a (T - dT)-, (T), (T) -G (T + dT) Evaluons le travail correspondant a ce dernier groupe, par exemple, en nous rappelant que T est ici un vecteur dont la direction est celle de l'element ad, T-+dT un autre vecteur dont la direction est celle de l'element df. Les grandeurs correspondantes de ces vecteurs sont donnees par la relation (1). Appelons 8z, % y, Sz, les variations des coordonnees quand on passe du point d au point c. Appelons dx, dy, dz, les variations des coordonnees quand on passe du point milieu de ad au point milieu de df, et ds l'arc correspondant. La quantite a evaluer est done T 8 — +x T c- ~ 8 + - T - -T -s - + T ds 8 x — dy d (d\ V dz d dz. LT d?/ + d ~d j~~s T ds + ds (T ds ) r T ) ds + T x ( T- ds y — [T(T ) ds 8 H ds ( ds ds ds ds ds j

Page  173 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 173 Nous pouvons l'ecrire: ds[V bj bV ], d x + a6T 8y + -4aV b z en vertu des 6quations generales (1) du ~ 172, et des equations qui relient les composantes de la force au potentiel. Cette quantite est nulle, puisque le deplacement xz, 8y, Sz, a lieu sur une surface equipotentielle. Le theoreme est done demontre. APPLICATION. Supposons le fil homogene et les forces reduites a son poids. Prenons l'axe des y vertical et dirige vers le haut. Nous avons X- 0, Y- -p Z- 0. La quantite p represente le poids par unite de longueur. D'ou: V= py, T py + V0. L'integrale: fTds =pj yds + VoJds, est minimum pour la courbe que le fil adoptera. L'ordonn6e y, du centre de gravite est: y/o =PJy ds pfds '(p P)fy ds; P est le poids total invariable. Nous d6montrons done que le fil homogene de longueur donnee, joignant deux points fixes, se dispose de maniere que son centre de gravite soit le plus bas possible; proposition que nous retrouverons sous une forme plus generale au ~ 237. Nous etudierons au ~ 178 la courbe en question: c'est une chainette. 175. Fil applique sur une surface polie. Lignes geodesiques. - Nous pouvons admettre comme un axiome qu'un fil tendu sur une surface parfaitement polie trace entre deux points A et B le chemin minimum (ou l'un des chemins minimums). Les lignes ainsi obtenues s'appellent lignes geodesiques, nous verrons tout a l'heure pourquoi. La surface parfaitement polie (~ 142) ne produisant que des reactions normales, nous savons que la tension du fil est constante entre les points A et B. D'apres le paragraphe precedent, ces deux propositions sont connexes. La tension etant constante, fTds = Tfds, est minimum. I1 en est done ainsi de la longueur fds de la courbe. La reaction normale devant etre dans le plan osculateur de la courbe (~ 173), il resulte que les plans osculateurs de la courbe obtenue sont tous normaux a la surface. Ces deux propri6tes longueur minima, plans osculateurs normaux a la surface, sont la consequence l'une de l'autre, comme on le d6montre ais6ment (fig. 143).

Page  174 174 STA TIQUE Menons sur la surface, par les points infiniment voisins A et B, une courbe quelconque. Prenons son plan osculateur pour plan du tableau. Soit O son centre de courbure, p son rayon de B courbure. Nous avons: corde AB = c = 2p sin 2- (2- - ) ~S\ | ~ arc AB ds - p-. \ c dlsI- ds —c (t- + 24p) 0 La longueur c est ind6pendante de la courbe Fig. 143. choisie sur la surface. Pour que ds soit minimum, il faut que p soit maximum, ce qui arrive lorsque le plan de la courbe est normal a la surface (theormne de Meusnier). Voici comment on peut tracer une ligne g6od6sique par jalonnement (fig. 144). d' Partons d'un point A de la sur~ \ /^ /e face suivant une direction arbitraire AB. C\ DI` C, PPlantons en B un jalon Bb norA\ \ 1 / / \ lmal a la surface. Cherchons un point C voisin de B et tel que le Fig. 144. jalon Cc normal a la surface soit le mieux possible efface par le jalon Bb, pour l'observateur place en A. Cherchons un point D voisin de C et tel que le jalon Dd normal a la surface soit le mieux possible effac6 par le jalon Cc, pour l'observateur place en B. Et ainsi de suite. Par definition, les plans osculateurs successifs de la courbe ainsi obtenue, element par element, contiennent deux elements successifs AB et BC, BC et CD,... D'apres la maniere de tracer la courbe, ils contiennent aussi la normale a la surface aux points intermediaires B, C,... Cette construction est celle meme qu'on emploie en G6odesie pour obtenir les courbes geod6siques. On admet que le fil a plomb est normal a la surface dont on trace les lignes. Nous reviendrons plus tard la-dessus (Chapitre V). 176. Exemples de lignes geodesiques; comparaison avec les lignes de courbure. - Etudions les lignes geodesiques de quelques surfaces simples et profitons de cette etude pour les distinguer des lignes de courbure dont le role est si important dans toutes les branches de la Physique. Les lignes geodesiques de la sphere sont des arcs de grand cercle. Au contraire, toute courbe tracee sur la sphere est une ligne de cour

Page  175 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 1 75 bure, c'est-a-dire une ligne qui en tous ses points est tangente a l'une des sections principales de la surface. Les lignes geodesiques du cylindre circulaire de revolution sont des h6lices. Nous trouvons ici un exemple d'une infinite de chemins minimums allant d'un point a un autre sur la surface. Voici ce qu'on veut dire par la. Si l'on pose que, pour aller de A a B sur le cylindre, on fera n tours plus une fraction de tour autour du cylindre, il n'existe qu'un chemin minimum, qui est une certaine helice. Mais le nombre n est arbitraire; il peut varier de 0 a oc. Les lignes de courbure du cylindre sont les generatrices et les sections droites. Les lignes geodesiques du plan sont des droites. Toute autre courbe tracee sur le plan, admet celui-ci pour plan osculateur en tous ses points. Au contraire, le plan osculateur de la droite est indetermine: on peut, par exemple, le consid6rer comme normal au plan sur lequel elle est trac6e. Lorsqu'on peut appliquer sans dechirures ni duplicatures deux surfaces l'une sur l'autre, il est evident que, les chemins ne changeant pas de longueurs, les propri6tes de minimum se conservent. Done les lignes geodesiques se superposent. En particulier, les lignes geodesiques d'une surface developpable (surface applicable sur un plan) se transforment en des droites quand on l'applique effectivement sur un plan. Nous reviendrons plus tard sur les lignes g6odesiques d'un ellipsoide de revolution. 177. Courbe des ponts suspendus. - Quand les forces Fds appliquees aux divers elements du fil sont paralleles, il est evident que la courbe funiculaire est necessairement plane. Prenons son plan pour plan xOy, menons Oy verticalement. Admettons que les forces appliquees sur un 6elment sont proportionnelles a la projection horizontale de cet element: c'est precisement l'hypothese du tablier homogene (~ 169). I1 faut poser: Ycls - I dx, ou II est une constante; le signe - provient de ce que Oy est compte positivement vers le haut. Les 6quations (1) du ~ 172 s'ecrivent: d dx\ __ dx (ds T T -- 0, T d Constante - To, ds T ds d- T ds x+-. 'ds dds ds ds

Page  176 176 S TA TIQ UEI Eliminons T entre les deux integrales: dy ITx Hx2 cIX - To +D, 2T0 +Dx +E. Prenons comme origine des coordonnees le point le plus bas, pour lequel la tangente est horizontale; l'equation se r6duit a: nix2 Y - 2To C'est l'equation d'une parabole a axe vertical. On la comparera a la parabole obtenue au ~ 169. Les 6quations sont identiques, car les symboles a et To ont memes significations dans les deux cas; P: a et II mesurent les charges par unit6 de longueur du plan horizontal. Nous pourrions ecrire immediatement l'equation: dy IHx dx To par la consideration du polygone de Varignon (fig. 138), suppose d'un tres grand nombre de cotes. L'inclinaison d'un element quelconque, y par exemple, est mesuree par l'angle MON. Or on a: Tdy MN lIx tgMON - dxO - 178. Fil pesant et homogene. Chainette. - Supposons que les forces exterieures se reduisent a la pesanteur et que le fil soit homogene. Il se place dans le plan verYi ly,tical passant par ses points d'attache. c /QD Prenons ce plan pour plan des xy, menons l'axe Oy verticalement et comptons les y positivenent vers le haut. Les equations d'equilibre deviennent ~ F, 7\ G (fig. 14): dx ' 1 *f / T = - Constante= To, A d( F-hig. - 0c(1dsT ds j-P Fig. 145. ou p d6signe le poids du fil par unite de longueur. L'equation diff6rentielle de la courbe s'obtient en eliminant T entre ces deux equations. On trouve: d (dy p ds \dx -To To est la tension de l'6elment horizontal A, puisque c'est la valeur que prend T quand on fait dx-ds. Posons To =ph, c'est-a

Page  177 APPLICATIONS DE LA STA TIQUE1 177 dire exprimons To par le poids d'une certaine longueur h du fil: h est le paramntre de la courbe funiculaire. On v6rifiera aisement que l'6quation diff6rentielle est satisfaite en posant: 1 Xx x y =- ( +e -) h coshyp h = h Ch, 2 -e h h sinhyp- h /Sh x dy 1 -\ x x dx -- e- sinhyp -- Sh- -. I1 existe des tables des sinus et cosinus hyperboliques. On a evidemment: Chiz_ Sh2 x 1, d Chx dShx C C(^h2x-Sh i x- Sh x, d Ch x. On prend pour axe des y la verticale qui passe par le point A le plus bas de la courbe (x- 0, dy d dx- 0) et on place l'axe des x a une distance OA -h (parametre) de la tangente horizontale. Le point de contact A de celle-ci a done pour coordonnees: x-=0, y =h. La courbe ainsi definie est la chainette. TENSION LE LONG DE LA CHA1NETTE. __ - T On a: T-To - x T, / py. La tension en un point de la chainette est done egale au poids d'une longueur de fil egale a l'ordonnee. Autrement dit, elle est 6gale au poids d'une longueur de fil egale a la distance verticale du point considere et du point le plus bas de la courbe, augmentee du parametre. La tension est evidemment minima au point A: elle vaut alors To, -ph. 179. Fils telegraphiques ou lignes electriques de faible portee. - Supposons, ce qui arrive ordinairement, que les points d'attache E et F sont sur la meme horizontale d'ordonn6e y,. Posons: EF - 2 EG;- 2x, = a; c'est la portee. Appelons fleche la diff6rence f-y- h. Si la portee est assez petite par rapport au parametre h, on peut developper les exponentielles en serie et se borner aux premiers termes _x x px 2 a2. y- h ~-2h f -y- h- 2h - 2To - 8T' (1) Cours de Phypsique. - H. BoUASSE. 12

Page  178 178 S TA TIQ UE Nous retrouvons naturellement la parabole du ~ 177. Si le fil est presque horizontal, on peut en effet poser p= I. On tire des equations (1) les lois suivantes d'une application journaliere: o1 pour une meme forme de courbe (meme portee et meme fleche), la tension To au point le plus bas est proportionnelle au poids par unite de longueur; pour un metal donne, elle est proportionnelle a la section ou au carre du diametre; 2~ pour une m6me tension, la fleche est proportionnelle au carre a2 de la portee; 3~ pour une meme portee, la fleche est en raison inverse de la tension. Par exemple, on emploie pour les lignes telegraphiques ordinaires du fil de fer de 4 millimetres de diametre, avec une portee de 80 metres et une fleche de 45 centimntres. En admettant 7,82 pour poids specifique du fer, le poids du m6tre est p 100 grammes. Nous tirons de ces donnees la valeur de h - 1 780 metres et la tension To au point le plus bas: To 175 kilogrammes. Comme le fil a environ 12mm2,6 de section, cela ne fait que 14 kilogrammes par millimetre carre, charge egale au tiers environ de ce que le fil peut supporter sans rompre. Nous savons que la tension n'est pas la m6me en tous les points; elle est To et minima au point A, elle est generalement T-py. En particulier, aux points d'attache, elle est: T, p( h+ )` -- To+pf=ph +pf; pf est g6neralement negligeable devant To, puisque f est n6gligeable devant h. Ainsi dans l'exemple precedent ou To vaut 175 kilogrammes, pf- 48 grammes. On pent considerer la tension comme constante. Ce que nous venons de dire s'applique aux lignes electriques pour transport d'energie; il faut changer seulement le poids specifique du metal (8,9 pour le cuivre) et la tension admissible sans danger par millimetre carr6. On peut encore appliquer ces formules aux cables teledynamiques pour transmissions directes de puissance. La longueur du fil varie avec la temperature; il est facile de voir que les moindres variations de longueur influent considerablement sur la fleche. Developpant la formule donnant s, on trouve en effet pour la longueur 1: X3 2 f2 S7a 1fl2 8f2 1=2x-+ -3h-2 - - 3xl' 3 \a- 3a Dans cette formule, 1-a est la diff6rence entre la longueur du fil et la portee. Calculons la longueur pour un rapport f:a= 1:300

Page  179 APPLICA TIONS DE LA STA TIQ UE 1 79 de la fleche h la portee, et une portee de a 100 metres. C'est a peu pres les conditions normales des fils telegraphiques. On trouve 100 8 I — a- 90000 3- 0,003. La diffrence entre la longueur et la portee n'est que de 3 millimetres. Comrne premiere approximation, la longueur est constante. Done si l'on pose des fils en ete, il faut les tendre moins que si on les pose en hiver; autrement ils risquent de se rompre quand survient le froid. 180. Lignes de longue portee. Cas general. - Le cas gen6ral se presente quand une ligne telegraphique doit traverser une vallee. Les extremites C et E ne sont plus sur le meme plan horizontal; on est libre de prendre une fleche assez grande, de maniere a diminuer la tension. Posons Eyz a, Cy=, b EAFC I; a et b sont les donnees topographiques du probleme, 1 est la longueur du fil qu'on veut utiliser. Appelons x', y', x", y" les coordonnees des points C et E. Nous avons immediatement en fonction de x',et de x" les quantites l=s'-s", et b y'-y". D'out I-b et l+b; d'ou enfin aisement la condition: a _a yi -iZi h e 2 equation qui permet de calculer h. On tire ensuite facilement les autres inconnues, en remarquant que x'-x"=- a et en utilisant une des equations donnant 1-b ou l+b. La tension maxima, qui, d'aprcs l'equation generale T=py, correspond au point C le plus haut, pour une longueur donnee, passe par un minimum quand I croit, a partir de la valeur minimum a vol d'oiseau CE theoriquement admissible, jusqu'a une valeur tres grande. Quand I CE, la tension est 6videmment infinie, puisque cela suppose le cable rectifie. Quand 1 croit a partir de cette valeur, la tension en C decroit tout d'abord. Mais si la longueur du cable devient tres grande, la tension est alors sensiblement proportionnelle a cette longueur, et redevient par consequent tres grande. I1 existe done une certaine longueur pour laquelle la tension au point le plus haut est minimum. La tension au point le plus bas (ou ce qui revient au meme la quantite h tiree de l'equation T0 ---ph) diminue au contraire d'une maniire continue quand I augmente, pour tendre vers 0 quand I tend vers l'infini. I1 faut cependant observer qu'il est rare de pouvoir donner la

Page  180 180 S TA TIQ UE fleche qui correspond au minimum de tension au point le plus haut; la regle pratique est done de placer autant que possible les points d'attache sur le nume niveau, et de prendre la fliche la plus longue possible. 181. Vottes lineaires. - Tout ce qui precede sur les polygones et courbes funiculaires s'applique sans y rien changer a ce qu'on appelle les vozltes lineaires. Imaginons des fils qui, par definition, puissent resister a des compressions dirigees suivant leur direction meme; changeons le sens de toutes les forces appliquees a une courbe ou a un polygone funiculaire: nous aurons une voute lineaire en equilibre. Par exemple, une parabole est la figure d'equilibre d'une voute lineaire dont les elements d'arc sont charg6s proportionnellement a leur projection horizontale. Une chainette est la figure d'equilibre d'une voite lin6aire chargee proportionnellement a la longueur de ses elements d'arc. Si la pression est partout normale, sa grandeur est T: p par unite de longueur d'arc (~ 173); T est la compression de la voute lineaire. Nous trouverons plus loin (~ 188) un exemple interessant de cette transformation des propositions applicables aux cordes ou chaines en propositions applicables aux voutes. Elastique. 182. Gas particulier des forces normales. - Nous avons demontre au ~ 173 que la composante de la force exterieure normale a la courbe funiculaire a pour expression T p, par unite de longueur, ou T est la tension du fil, p son rayon de courbure. Nous savons aussi que si la force exterieure est partout normale, la tension est constante tout le long du fil. On a la relation F-T: p, oiu F designe la force normale par unite de longueur. Nous sommes done amen6s a 6tudier des courbes definies par une relation entre leur rayon de courbure et une fonction des coordonnees. L'une d'entre elles, connue sous le nomr d'Elastique et decouverte par J. Bernoulli, a une importance capitale. Elle se rencontre en Capillarite et en Elasticite: c'est le profil de la surface liquide qui monte par capillarit6 le long d'une paroi plane, et, d'une nianiere g6nerale, de la surface liquide dans tous les phenomenes capillaires cylindriques; c'est la forme d'equilibre d'un arc homogene band6,

Page  181 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 181 d'un fil elastique maintenu fl6chi en equilibre par deux forces paralleles, opposees, dirigees suivant la m6me droite. Enfin c'est ici la forme d'equilibre d'un fil ou d'une voiute lineaire soumis a une pression hydrostatique. 183. Elastique. - L'elastique est d6finie par la condition suivante: le produit du rayon de courbure p en un point par la dislance y aI une droite est constant. Nous posons: p?/ - poyo, (1) po est le rayon de courbure pour un point remarquable d'ordonnee y0: nous choisissons le point d'ordonne maxima. Pour simplifier l'ecriture, nous representerons par y' et y", les derivees de y par rapport a x. Rempla9ons p par sa valeur en fonction des coordonnees et de leurs 3 variations: -y poYo y": (1 + y'2)-2 Une integration est immediatement possible. Multiplions par 2dy; il vient, en ecrivant qu'on a y - o pour dy: dx- 0 (ordonnee maxima) - oY-22^Y( 1 ~ ' (2) I1 est possible d'exprimer x en fonction de y au moyen des integrales elliptiques, mais cela n'avance en rien la discussion de la forme des courbes qu'il vaut mieux faire sur l'equation differentielle (2). L'expression ordinaire du rayon de courbure ne prejuge rien sur son signe; on devrait la faire preceder du double signe -4. Nous conviendrons que le rayon de courbure conserve le meme signe tant que le centre de courbure se trouve d'un mnme cote de la courbe. II change de signe quand le centre de courbure passe d'un c6te a l'autre, ce qui arrive seulement quand le rayon de courbure s'annule ou devient infini. Laissons de c6te le premier cas qui implique y oc. Le second implique y= 0, p-oc. La courbe possede done une inflexion sur l'axe des x; son rayon de courbure infini change alors de signe en meme temps que y; le centre de courbure passe d'un cote de la courbe a l'autre. Ces conventions posees, reste a donner au rayon de courbure une expression de signe convenable. Considerons la figure 146 et convenons qu'au point A le rayon de courbure est positif p > 0 pour y0> 0. A partir du point A, y" est negatif; il faut done choisir le signe - et le conserver pour les deux courbes de cette figure. Mais dans la figure 147, y' devient infini au point B et y" change de signe.

Page  182 182 STA TIQ UE Comme par hypothese le rayon de courbure conserve son signe,. c'est alors le signe + qu'il faut choisir. Nous reviendrons la dessus plus loin. Si la courbe traverse l'axe des x, elle possede surement des parties identiques de part et d'autre de cet axe, mais qui ne sont pas symetriques par rapport a lui; pour les deduire les unes des autres, il faut faire une translation puis prendre la symetrique par rapport a Ox. I1 se peut du reste que la courbe ne traverse pas l'axe des x: d'oh la classification qu'on trouvera plus loin. Les constantes p, et y, sont les parametres de la courbe 6tudiee. Le produit poYo est la constante de l'equation (1); l'integration donne comme arbitraire soit po, soit yo, ce qui definit po et yo. Pour simplifier les formules, nous prendrons pour variables: y0 et aov =o o yo. Pour classer les courbes, nous fixerons uniformement la valeur de l'ordonnee maxima yo, puis nous ferons varier po des plus grandes valeurs positives aux plus petites. Calculons l'inclinaison de l'6lastique a sa traversee de l'axe des x. Posons y = 0 dans l'equation (2) et resolvons par rapport a y': y,' + _\/4 — 1 - 2a -- ' La valeur a=l 4, separera done les elastiques en deux categories; celles qui ont des points d'inflexion et rencontrent l'axe des x, celles qui ne le rencontrent pas. Comme intermediaire, on trouve la courbe caracterisee par la valeur a= -1 4, qui ne pr6sente qu'une seule boucle et possede l'axe des x comme asymptote. 184. Premiere categorie; a >: 4. - Pour de grandes valeurs de a, la courbe ressemble a une sinusoide; nous reviendrons la-dessus plus loin. A 7 --- --- --- A - - - - - - - C. 3 ~/, '"=1 "'I a0=0,5 Fig. 1i6. La figure 146 represente la courbe pour -= i; le coefficient angulaire de la tangente a la traversee de l'axe des x est /3. A mesure que x diminue, c'est-a-dire que le rayon de courbure p,

Page  183 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 183 au point A d'ordonnee maxima y0 devient une fraction de plus en plus petite de cette ordonn6e, la courbe tend naturellement a se boucler. D'abord elle coupe normalement l'axe des x pour ca 0,5 (fig. 146). Puis la tangente s'incline en sens inverse (fig. 147, a gauche). Pour une certaine valeur de a., la courbe C se boucle exactement; elle est finie. Enfin pour des valeurs plus petites, mais toujours superieures a 0,25, la courbe forme une serie de boucles avec points doubles. A Fig. 147. II est facile d'obtenir toutes ces formes au moyen d'un fil mince d'acier, rectiligne quand il est abandonne a lui-meme. On exerce sur les extremites des forces egales et opposees. Elles sont dirigees l'une vers l'autre comme quand on bande un arc pour toutes les formes en deca de la forme C; elles sont dirigees vers l'exterieur de la portion de fil utilise pour toutes les formes au delb de C. Naturellement aux points doubles le fil doit passer dans un petit anneau, obtenu par exemple avec un fil a coudre. La forme C est celle d'un cerceau mince qu'on ploie sur luimeme. Maais on realise aussi ces formes, et nous revenons ainsi aux courbes funiculaires, en remplissant d'eau une rigole cylindrique constituee par une bande d'etoffe souple qu'on fixe a deux tiges paralleles TT (fig. 148). La pression hydrostatique est normale a T T l'etoffe et proportionnelle a la distance g au niveau superieur de l'eau. Nous sommes done dans les conditions du probleme; car, la courbure de l'6toffe 6tant nulle, Fig. 148. parallelement aux generatrices du cylindre, seuls les fils qui sont dans la section droite soutiennent le liquide: les fils paralleles aux generatrices ne sont pas tendus; du moins leur tension n'a aucun rapport avec la sustentation du liquide

Page  184 184 S TA TIQ UE Aux extremites du cylindre une paroi d'etoffe de forme quelconque empeche l'eau de s'ecouler. On obtient la succession des formes, en rapprochant plus ou moins les tiges paralleles auxquelles la bande d'etoffe est attach6e. On modifie ainsi la courbure sur la generatrice d'ordonnee maxima; correlativement on modifie la tension. REMARQUE I. Appelons 0 l'angle que fait la tangente a la courbe avec la verticale. On a: y' cotg 0, 1: \ /1 + y' — sin 0; Y2 -y-2 p2 oyo( sin 0). REMARQUE II. Supposons que le liquide ait l'unit6 pour densite. La force normale exercee par unite d'arc est simplement y. La tension de la corde, qui est constante, est mesuree par le produit py. Soit a d6terminer l'aire ACD limitee par la courbe (fig. 146). II suffit d'ecrire que le poids du liquide correspondant est soutenu par les projections verticales des tensions en C et en D. D'oi la relation Aire ACD = 2poyo cos 01; 01 est l'angle que font avec la verticale les tangentes en C ou en D. 185. Calcul approche de la courbe funiculaire quand a est tres grand. - Resolvons l'equation (2) par rapport a y' dy q\//J - y V\/4e -, + y2. dx A o Y~ I (2') dx 2po yo yl 'T y Si po est tres grand devant yo et par consequent devant y, on peut ecrire comme premiere approximation dya qy -Yy2 x dx - \oyo Y yo COS Ainsi, comme premiere approximation, la courbe se confond avec une sinusoide. C'est la forme admise dans la theorie de la deformation des prismes charges debout (voir Mecanique Physique) Comme seconde approximation, nous pouvons ecrire /4pyo _(-y_ y2) - 2 5poYo L - 1' 2 0:O8O PON^2O 8 J|0n o y2 _ ( -2 2) - 2 2 +YV eooo ~ O \/Po~82 ' \jpyo p^y l+ ~^^; -p^ -ll+ sm

Page  185 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 185 Les variables se s6parent et l'integration est immediate: I x 3x/ 3_ _. 2x (7 (.Pco Vp Po 32^, 1poyo V0yo 186. Cas intermediaire; a= 1: 4. - La courbe admet l'axe des x comme asymptote; elle ne presente plus qu'une seule boucle (fig. 149). L'equation (2') se simplifie et devient ly 2y?/- 2 - dx r ydx s= / n 2 y2 _ l, +, \/y y2 'y/ Y x —/ y 4, log / \/o -z On trouve aisement 1'aire limitee par une portion de la courbe, o - L0o,25 A A _ Fig. 149. aire qui intervient dans certaines questions de physique. On a immediatement: '187. Seconde categorie; < 1 4. - Dans ce cas le rayon de courbure au point A d'ordonnee maxima est trop petit par rapport a cette ordonnee pour que la courbe atteigne laxe des x, malgre l'agrandissement des rayons de courbure a mesure que y decroit La courbe presente alors un maximum et un minimum. Le rapport a peut decroitre jusqu'a 0, auquel cas la courbe se compose d'une infinite de boucles infiniment petites situees sur 1'horizontale y - y.

Page  186 186 S TA TIQ UE L'equation de la courbe est: Y2 _Y2P_ 2 (1T 1 ); y~ -- y~ — 2poyo l ~ ~/l +u' 2' le changement de signe a lieu quand la tangente devient verticale, y'-oc. Les deux valeurs pour lesquelles la tangente est horizontale (y'O0) ont pour ordonnees y0, y= -/ - \/ y 4p.oyo ~ Cette derniere valeur n'est r6elle que si yo >4po, < 0,25. Pour a —0,25, on a y - 0; pour a=0, on a y1 =-y6 C'est le resultat annonce ci-dessus. Considerons les rotations de la tangente se deplacant le long de la courbe. Tant que a est plus grand que 0,25, la tangente oscille entre les deux positions qu'elle occupe i la traversee de l'axe Ox. L'amplitude de l'oscillation part de 0 pour a tres grand, est egal 7x pour a.-0,3, atteint 2- pour a -0,25. Pour <0,25, la rotation est de 2x par boucle de courbe; le nombre de boucles et par consequent la rotation de la tangente sont ind6finis. 188. Vouftes hydrostatiques. - D'apres ce que nous avons dit au ~ 18t, 1'elastique est la forme d'equilibre d'une vouite lineaire supportant une pression hydrostatique et formee d'un fil qui par definition resiste a des compressions dirigees suivant sa propre direction. Statique graphique. 189. Procede fondamental. - On appelle Statique graphique l'ensemble des methodes qui permettent de resoudre les problemes d'equilibre graphiquement, c'est-a-dire au moyen d'epures. Les solutions sont plus rapides et tres suffisamment approchees. En definitive, il s'agit toujours de composer des forces suivant la regle du parallelogramme, ou inversement de decomposer une force en des composantes suivant des directions donnees. Mais l'application brutale de la methode generale serait souvent impossible pour des raisons pratiques: par exemple les forces dont on cherche la resultante, ne se coupent sur la feuille de papier dont on dispose. On a 6te conduit a une methode fondee sur les proprietes du polygone funiculaire. Expliquons-la dans le cas de la composition de deux forces concourantes et par consequent situees dans un plan (fig. 150).

Page  187 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 187 Pour composer les forces 1 et 2, il suffit de prolonger leurs directrices jusqu'au point G de rencontre, et d'appliquer la regle du parallelogramme sur les forces 1 et 2 transport6es au point G. Nous determinons ainsi d'abord un des points de la directrice de la resultante cherchee, puis la direction de cette directrice et simultanement la grandeur de la resultante. Mais supposons le point G hors de l'epure. Nous pouvons recou13 i// A A Fig. 150. rir au procede du ~ 22; menons une droite quelconque BC, prenons B et C pour points d'application des forces 1 et 2, ajoutons le groupe des forces CF et BE egales et opposees. Nous remplaqons les forces I et 2 par les forces BA et CD dont les directrices se coupent en I. Nous procedons necessairement ainsi quand les forces sont paralleles (~ 22); le point G est alors a l'infini. Remarquons tout de suite que le probleme possede trois infinites de solutions; les points B et C sont arbitraires sur des droites donnees, la longueur de la force auxiliaire est egalement arbitraire. Mais, dans tous les cas, les forces BA et CD obtenues se coupent

Page  188 188 S TA TIQ UE sur la droite invariable R directrice de la resultante dont un point se trouve ainsi determine. Remarquons aussi, et c'est precisement le fondement de la m6thode g6nerale, que a}y est un polygone funiculaire en equilibre sous l'action: 1~ des tensions 1' et 2' dirig6es suivant a et e et de grandeurs BA et (CD; 2~ des forces 1 et 2 supposees prises en sens contraires. En effet, BA se d6compose en les forces 1 et BE; CD se decompose en les forces 2 et CF; 1 et 2 sont equilibr6es par les forces egales et de sens contraires dont on suppose l'existence; BE et CF, qui sont egales, s'equilibrent par l'intermediaire du cordon &. Par le point O quelconque, menons des droites egales et paralleles a 0x, (, y; joignons leurs extremites; nous obtenons le polygone de Varignon (~ 167) correspondant au polygone funiculaire. Le triangle 12R donne la resultante en grandeur et direction. Tout ceci pose, voici la methode de composition des forces. Soit a composer deux forces 1 et 2 dont on donne les directrices et les grandeurs. Construisons le polygone des forces MPN. II fournit la r6sultante MN en direction et grandeur; il 7ne la fournit pas en position: le probleme n'est donc pas encore resolu. D'un point 0 quelconque, menons les droites a, B, y, joignant 0 aux sommets de ce polygone gCeneralement ouvert. D'un point B quelconque pris sur la directrice 1, menons joignant les directrices 1 et 2; puis y par le point C obtenu; puis c par le point B primitif. Les droites a, -, y, des deux figures sont respectivement paralleles. Prolongeons a et y jusqu'a leur point d'intersection I; ce point appartient a la directrice cherchee; le probleme est maintenant resolu. THtERE.AME. On peut remplacer le systeme des deux forces 1 et 2, par le systelne des deux forces de grandeurs MO et OiN, respectivementplacees en BA et CD. La construction contient naturellement encore une triple ind6termination; le point O est quelconque dans le plan (deux indeterminees), le point B est quelconque sur la directrice 1 (troisieme ind6 -terminee). 190. Generalisation. - La generalisation est immediate. On se reportera aux figures 135 et 136. Soit a composer des forces 1, 2, 3, 4, toutes dans le meme plan. Construisons le polygone des forces 4, 3, 2, 1 (fig. 136). I1 nous donne bien la r6sultante QM (non tracee) en grandeur et direction; ii ne la donne pas en position: le probleme n'est pas encore completement resolu.

Page  189 APPLICATIONS DE LA STA TIQ UE 1 89 Prenons un point O quelconque et joignons-le aux sommets du polygone des forces, polygone generalement ouvert. Nous obtenons ainsi cinq droites a,;, y, 3, s. Nous sommes en possession du polygone de Varignon correspondant a un certain polygone funiculaire. Pour construire celui-ci, prenons un point arbitraire sur l'une des directrices, par exemple le point C sur la directrice 2. Joignons les directrices 2 et 3 par la droite CD parallele a la droite y qui joint le point O au point de rencontre des forces 2 et 3 dans le polygone des forces. Et ainsi de suite de proche en proche. Nous determinons ainsi les directions (a et E) des cotes extremes du polygone funiculaire. Ces droites prolongees fournissent un point de la directrice de la resultante cherchdee: le probleme est donc completement resolu. Prenons sur les directions a et s des longueurs egales aux cotes a et s du polygone de Varignon; la resultante du systeme de forces donne 1, 2, 3, 4, est precis6ment egale a la r6sultante de ces deux forces dirigees suivant les cotes extremes du polygone funiculaire. Ii n'y a pas d'arnbiguite sur le sens dans lequel il faut les prendre. Le polygone des forces nous apprend que la resultante est QM dans le sens QM. Elle est equivalente aux deux forces QO et OM. Les forces dirigees suivant a et E seront done prises dans les sens AB et FE (en sens inverses des forces 1' et 2' qui 6quilibrent le systeme 1, 2, 3, 4). 191. Composition des forces paralleles; centres d'inertie des aires planes. - La construction s'applique immediatement aux forces paralleles, et par suite a la determination des centres d'inertie ou de gravite des aires planes. Expliquons la methode generale sur un exemple. Soit a determiner le centre de gravit6 de l'aire representee par la figure 151. Nous la decomposons en trois parties dont les aires et les centres de gravite partiels se trouvent aise'nent. Les aires sont entre elles comme les nombres 4, 16 et 20. Nous avons done trois forces paralleles dont nous choisissons arbitraire 20 - 2 16 \ / R~ 1 2 3 o 0 Fig-. 151. ment la direction; supposons-la horizontale et traqons les directrices 1, 2, 3.

Page  190 190 S TA TIQ UE Portons bout a bout des longueurs representatives des forces, c'est-a-dire qui soient entre elles comme les nombres 4, 16, 20. Prenons un point 0 quelconque et construisons le polygone de Varignon. Construisons enfin le polygone funiculaire. L'intersection des droites extremes a et 8 de ce polygone fournit un point de la resultante R dont nous connaissons la direction. Le centre de gravit6 cherche est sur cette droite. Recommencons la meme construction en prenant les directrices 1, 2, 3, dans une autre direction. Nous trouverons par le meme procede une seconde droite It' qui contient le centre de gravit6. Done ii est a l'intersection de R et de R'. Nous n'avons pas effectu6 cette seconde construction pour ne pas embrouiller la figure. Generalement on prend les deux systemes de directrices a angle droit, et on utilise le meme polygone de Varignon apres rotation de 7: 2. Si l'on possede une equerre rectangulaire, il n'est meme pas necessaire de le construire effectivement une seconde fois. 192. Cas ou le polygone des forces se ferme. - Pour savoir ce que la construction devient quand le polygone des forces se ferme, supposons qu'il ne se ferme pas absolument (fig. 152). Construisons le polygone de Varignon; ses / ~3 c6tes extremes x et s sont presque confondus. Cela signifie que les c6tes extremes du polygone funiculaire sent a tres peu pres paralleles, et que les forces qui les tendent, sont a peu pres egales 1\ / eet de sens contraires. Quand le polygone des forces se ferme exacFig. 152. tement, les cotes extremes du polygone funiculaire sont rigoureusement paralleles, et les forces qui les tendent sont egales et de sens contraires. Ceci pose, deux cas peuvent se pr6senter. 1~ Le polygone funiculaire ne se ferme pas. Dans ce cas, le systeme des forces donnees se reduit a un couple (force nulle tout entiere situee a l'infini). En effet le polygone des forces se fermant, la resultante est nulle. D'ailleurs les c6ts extremes du polygone funiculaire, qui sont paralleles, se coupent i l'infini. Le moment du couple est fourni par la construction, puisqu'elle donne les deux forces egales, paralleles et opposees, equivalentes au systeme, ainsi que leur distance. 2~ Le polygone funiculaire se fernme. Dans ce cas, le systeme des forces donnees a une resultante effectivement nulle; les forces donnees se font equilibre.

Page  191 APPLICATIONS DE LA STATIQUE 191 193. Exemples. - 1~ Soient trois forces 1, 2, 3 (ig. 153, I) complanaires, appliquees au meme point A et telles que leur r6sultante soit nulle. Construisons en II le polygone des forces et le polygone de Varignon. Le polygone funiculaire se ferme. Il resulte de la un interessant theoreme: Si cinq des six lignes joignant quatre points d'un plan sont paralleles a cinq des six lignes joignentquatre autres points, lasixiemee /lieI de l'une des figureses t parallele a la sixieme \ ligne de l'autre./ I1 est evidemment z2 necessaire que parmi les cinq premiers\3 groupes de deux / lignes, lestrois lignes / d'une figure qui aboutissent a un point, soient paralleles aux trois lignes qui abou- tissent au point correspondant de l'autre figure. Fig'. 153. 2~ Soient les trois mmmes forces (fig. 153, III) agissant suivant les c6tes d'un triangle, evidemment identique ou semblable au polygone des forces II. Appliquons la construction generale. Le polygone funiculaire ne se ferme pas. C'est evident a priori, car le moment des forces ne peut etre nul pour aucun des points pris i l'interieur du triangle. On d6termine ainsi le moment du couple resultant. 194. Frames ou systemes articules sans frottement.- On designe sous le nom de frame (du mot anglais frame, charpente) une construction composee de barres, de tiges, de cordes, reunies par des joints sans frottement, par des articulations qui leur permettent de tourner librement les unes par rapport aux autres. Nous supposerons dans ce qui suit que le frame est plan. On appelle tirant une piece du frame qui subit des tensions; elle peut etre rigide ou remplacee par une corde, par une chaine. Son equilibre est stable; c'est-a-dire qu'angulairement deplacee de sa position d'equilibre, elle tend a y revenir sous l'action des forces qui la sollicitent. Nous la representerons par une simple droite avec deux fleches ff qui indiquent le sens de l'action que le tirant exerce sur

Page  192 192 S TA TIQ UE ses articulations A et B, ou encore le sens de ses reactions contre les forces exterieures FF (fig. 154). On appelle etresillon une piece de frame qui subit des compressions; elle doit 6tre assez rigide pour ne pas flechir. Son equilibre est instable; derangee de sa direction d'equilibre, elle ne tend pas a y revenir. Nous le representerons par une droite avec deux fleches f'f' qui indiquent le sens de l'action F A f fB F que l'etresillon exerce sur ses -----— ' '> -' articulations A et B, ou encore I. Tranf1 le sens de ses reactions contre F' A f' fB F' les forces exterieures F'F'. - ^a ---~- t '+ ---- Dans tout ce qui suit, nous HF./-r 1es1 negligeons le poids des barres Fig. 154. qui est le plus souvent petit par rapport aux charges que le frame est destine a porter. Nous localisons les charges aux nceuds ou articulations du systeme. En realite elles sont reparties plus ou moins regulierement le long des 6elments du frame qu'elles tendent a flechir. Mais nous pouvons toujours les remplacer par des forces convenables appliquees aux extremites de ces pieces. Si besoin est, le poids des barres se traite de meme. I1 n'entre naturellement pas dans le cadre de ce Cours de donner la theorie complete des systemes articul6s; elle forme un important chapitre de la M'canique appliquee. Nous desirons seulement par quelques exemples fixer la nature du probleme. 195. Ferme simple. - Nous voulons supporter un toit par deux murs verticaux. Le moyen le plus simple parait d'employer deux poutres (arbaletriers) AB et BC, M articulees en B et reposant en ~1 I\ A et C sur le mur: nous traiterons les points A et C comme RZ/B5, i deux articulations (fig. 155).;/^ \s 3 // Determinons les reactions des /A C S t / murs. La charge (tuiles, neige,...) / \ NY / est repartie le long des arbaletriers. Nous la remplacerons par 2/ des forces verticales: 1 en B, 2 P et 3 en A et C; nous admettons Fig. 155. que les forces 2 et 3 sont egales entre elles et a la moiti6 de 4, ce qui revient a poser que la charge continue est uniforme. Menons une droite MN verticale mesurant la force, et deux droites a et, paralleles aux arbaletriers. Les segments OM et NO mesurent les compressions de ceux-ci.

Page  193 APPLICATIONS DE LA STA TIQ UE 193 Menons la droite NP verticale et egale a la moitie de MN; joignons les points P et 0. Le segment PO mesure en grandeur et direction la r6action du mur au point A. Done les murs tendent a s'ecarter, puisque leur reaction est inclinee. EMPLOI DU TIRANT (fig. 156). Pour eviter cet 6cartement, relions 1s les points A et C par une tige rigide B qui sera le tirant de la ferme. Cherchons les conditions d'equilibre dans l'hypothese oiu la r6action des murs doit etre verticale. AC Menons une droite verticale mesu- 3 rant la reaction verticale 2 du nmur (moitie du poids total de la ferme chargee); menons deux droites respec- / tivement paralleles a l'arbaletrier a et- au tirant J.. Elles mesurent les reactions de ces pieces. Comme nous d6ter- 3 ninons ce qui se passe en A, la figure montre immediatement que l'arbaletrier travaille par compression et le Fig. 156. tirant par traction. EMPLOI DU POINCON. Si le tirant est constitu6 par une barre de fer de poids mediocre, la ferme se trouve ainsi complete, au moins si sa portee n'est pas trop grande. Mais, pour 6viter que le tirant ne fl6chisse outre mesure sous laction de son propre poids, on peut faire supporter une partie de ce poids par une tige BD (non tracee) joignant le faite B au milieu du tirant: c'est le poinlon. Naturellement, la charge supporte par le poin9on en D se reporte en B comme accroissement de la force verticale 1. Dans le cas precedent, le poinqon travaille par traction; loin de s'appuyer sur le tirant, il le soulage d'une partie de son poids qu'il reporte sur les arbaletriers. 196. Poutre armee. - Soit la poutre ADC (de bois ou de fer) reposant sur des appuis A et C (que pour simplifier nous supposerons au meme niveau) et supportant des charges r6parties d'une maniere quelconque (fig. 157). Les reactions des appuis sont evidemment verticales. Mais la poutre flechit. Pour eviter la flexion, et partant la rupture, on arme la poutre: on lui adjoint d'autres pieces qui la soulageront d'une partie de sa charge, nous verrons plus loin grace a quelles reactions complementaires. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 13

Page  194 19i S TA TIQ UE Adjoignons a la poutre ADC deux tirants. et, et un poincon I. Decomposons la charge comprise entre A et D en deux forces verticales appliquees en A et en D; operons de meme pour la fraction DC de la poutre. Composons les forces appliquees en D en une force 2, et convenons de faire porter au poincon cette charge 2. II la transmet en B; en definitive elle est supportee par les tirants a et t. z 2 3 Construisons le triangle des forces ~A ' ___D au point B; MN mesure la compresA!^~X / sion du poingon en B; PM1 et NP ^\ r y mesurent les tensions des tirants S et a. B D6terminons maintenant les condiOQ / tions d'equilibre en A et C. Les r6ac7/ ~ tions sur les appuis devant etre verticales, les triangles NRP, MQP, P < 2 donnent la compression longitudinale de la poutre et la valeur des reactions verticales. K — ^ —N Naturellement, les charges de la Fig. 157. poutre AC etant normales a sa direction, sa compression a partout la meme valeur (~ 173), conformement au r6sultat de la construction graphique. Naturellement encore, la charge 2 se retrouve repartie entre les appuis A et C, PR sur A, QP sur C. En d6finitive, les appuis doivent supporter le poids total de la poutre, soit la somme des forces 1, 2 et 3. On voit grace a quelles reactions complementaires la poutre est soulagee. Elle se trouve maintenant comprimee de bout en bout. A la verite une telle compression, si elle est exageree, ne va pas sans danger: si la pi-ece commence a flechir, la charge debout augmente la flexion. Mais une poutre r6siste infiniment mieux a une charge debout qu'a une charge transversale. 197. Ferme Polonceau. - Le procede de determination des efforts est toujours le meme. On suppose que les appuis ne supportent que des actions 'verticales, en d'autres termes que la ferme est simplement pos6e sur eux (fig. 158). Partons de la reaction 2; menons deux droites a et e paralleles a l'arbaletrier a et au tirant s. Nous d6terminons par le triangle MNP la compression du premier et la tension du second. Passons au point D; menons deux droites paralleles a j et a j; nous determinons par le triangle PNQ les tractions de ces deux pieces.

Page  195 A 'lT TT114"I - 1 'I 1 -- I -1 I" AL'LLCUAT1I'OiV DE LA STA'lIQUEL 195 Les autres efforts sont sym6triques par rapport a NQ. Dans les deux fermes precedentes, les arbaletriers n'ont pas de point d'appui interm6diaire; ils doivent etre assez resistants pour ne pas flechir demesurement. Dans les fermes de grandes portees, on les soutient par deux poin9ons DD' et EE' normaux a leurs directions. Ils ne changent pas la compression de bout en bout des arbaletriers; mais ils les soulagent d'une partie de leur charge. Au point D aboutissent alors quatre tiges. II y aurait indetermination dans la r6partition des efforts, si la compression des poincons DD' et EE' ne se trouvait pas determinee par la condition d'annuler la fleche des arbaletriers en D' et E'. 198. Autre ferme usuelle. - Considerons enfin une ferme formee de deux arbaletriers, deux sous-arbaletriers se croisant et 3 U2 P 3 des appuis sont 1 et 5. On commence par determiner les conditions d'equilibre au noeud A (triangle MNP), puis au nceud E (quadrilatere MPQR). On recommence pour l'autre cote; les figures sont sym6triques. Enfin on determine l'equilibre au noeud B par le polygone RSTQR; on trouve ainsi l'effort le long du poin9on o. On peut verifier les constructions sur le nceud D au moyen du polygone QTUNPQ.

Page  196 196 S TA TIQ UE 199. Poutre droite de hauteur constante portant des charges verticales. - Voici maintenant un exemple de determination des efforts dans les poutres en treillis, comme celles qu'on utilise dans la construction des ponts de chemin de fer. Nous choisirons la poutre i triangles isoceles; nous supposerons que les charges sont regulierement reparties (fig. 160). MQ represente la reaction verticale 1' d'un des appuis; PQ -NP 2 MN, representent l'une ou l'autre des charges 1, 2,... 5. Au point de rencontre des barres a et,, les efforts sont determines par le triangle QMRQ. Done la barre, est comprimee, la barre a est tendue. Passons au point de rencontre f, y ' _ s 1 des barres a, y, o. Les efforts;\ At \. -x t sont determines par le quadri\ \ /'~ \ / /a' latere QRUPQ. Done la barre y /I |,-Y- J '2'' 1' -4 2' est comprimee, la barre 6 est tendue. Et ainsi de suite. On verifiera 1 2 3 r. 5 aisement les propositions suivantes., /1~ Les barres superieures sont toutes comprimees, les barres E,. r \ / > iinferieures toutes tendues. M 2~ Les barres inclinees sont, -V\/ L\- / \ N a conmmencer par les extremes, alternativement tendues et comU \ 1 primees. Comme elles sont en Q nombre pair, les deux du milieu Fig. 160. sont traitees de la meme maniere. 3~ Les tensions ou compressions des barres horizontales croissent des extremites au milieu. 4~ Les tensions ou compressions des barres inclinees d6croissent des extremites au milieu. 200. Grue. - La grue est une machine destinee a elever des fardeaux. Nous la reduirons a cinq tiges: un arbre vertical BD, une volee AD, un tirant AB, un autre tirant CB, enfin un ectresillon CD. Nous admettrons d'abord avoir affaire a un systeme articule; la reaction en D doit etre verticale et par consequent la charge 1 et le contrepoids 2 doivent equilibrer leurs moments. Commengons la determination des efforts au nceud A (triangle NRP); passons au nceud B (triangle M PP), puis au nceud C

Page  197 APPLICATIONS DE LA S TA TIQ UE 197 (triangle MQR). Le probleme est ainsi resolu. La reaction 3 est egale a la somme de la charge 1 et du contrepoids 2, puisque nous negligeons le poids des pi6ces. A lB /P / N R Q Fig. 161. On peut supprimer le tirant y et le contrepoids 2, pourvu que l'arbre vertical soit pris en deux points dans le sol et resiste a des efforts transversaux; il flechit alors plus ou moins.

Page  198 CHAPITRE III FROTTEMENTS 201. Diverses especes de frottements. - On dit que deux corps glissent Fun contre Fautre quand leurs points de contact eprouvent a chaque instant des deplacements relatifs (~ 94). I1 nait, pendant ce d6placement, une force parallele et toujours opposee au mouvement, dont le point d'application est au point de contact lui-meme. Cette force mesure le frottement. Nous pouvons immediatement classer les frottements en deux groupes: les uns sont fonction de la vitesse relative et s'annulent avec elle; les autres, fonction ou non de la vitesse, conservent une valeur finie quand la vitesse tend vers zero. I1 est clair que seuls les frottements du second groupe interviennent pour l'equilibre, les frottements du premier s'annulant quand la vitesse tend vers zero, c'esta-dire quand l'6quilibre a lieu. Nous retrouverons les frottements du premier groupe (et aussi du second groupe) en Dynamique; occupons-nous pour l'instant des frottements qui conservent une valeur finie, si petite que soit la vitesse relative, et qui par consequent peuvent s'opposer au d6placement relatif a partir du repos. 202. Lois du frottement de glissement entre solides. - Considerons le cas particulierement simple de deux corps limites par des plans (fig. 162). Les resultats experimentaux sont \tN contenus dans la formule r I- SeSns uronemer f / N. ~ ]~\ iJ NN est la composante normale de la force qui s'exerce entre les deux Fig. 162. plans; f est la force tangentielle qui mesure le frottement; k est un coefficient qui ne depend que de la nature des surfaces. I1 est tres remarquable que dans cette formule n'interviennent pas deux specifications qu'on s'attend a y trouver: la vitesse relative et l'aire de la surface de contact.

Page  199 FRO T TEMEN TS 199 1~ Les experiences prouvent en effet que le frottement est le meme, quelle que soit la vitesse relative des corps frottants. Mais il faut bien comprendre ce que cela signifie. Quand la vitesse est nulle, le frottement cesse d'etre determin6. I1 a une valeur comprise entre 0 et la limite f; il n'acquiert cette limite f qu'au moment ou la vitesse cesse d'etre nulle. Supposons un corps plac6 sur une table horizontale: le frottement n'intervient pas. Appuyons le doigt sur le corps tangentiellement a la table, ce qui produit une force horizontale F. Le corps ne se deplace pas tant que la force F est inf6rieure h f= kN; N mesure ici le poids, k le coefficient qui caracterise les surfaces au contact. Au debut le frottement equilibre h chaque instant la force F; il a done une valeur variable avec F jusqu'au moment ou F l'emporte. Alors la force qui s'exerce est F -f. Nous verrons en Dynamique comment on mesure la quantite F - f. Pour linstant, admettons le frottement f determine par cette experience elle-mnme: c'est la force qu'il faut exercer tangentiellement pour que le corps se decide au mouvement. 20 Le frottement f est independant de laire de la surface de contact. Assurement, quand l'aire diminue, les points de contact sont mnoins nornbreux; mais la force normale P se r6partit sur une aire moindre, la pression par unite de surface augmente. On pourrait 6noncer la mnme loi en disant que le frottement est proportionnel a la pression et l'aire de contact; cela revient i ecrire N f- k,s- kN. Voici quelques nombres pour fixer les idees. Lorsqu'on fait frotter du chene sur du chene sans enduit, k- 0,4 environ; c'est dire que pour entrainer 100 kilogrammes, il faut exercer une traction de 40 kilogrammes; on realise ainsi une vitesse nulle, il est vrai. Si on exerce une force de 40 —p kilogrammes, c'est comme si, avec un frottement nul, la force etait seulement de p kilogrammes. Quand on savonne les surfaces avec du savon sec, k =0,16; ii ne faut plus que 16 kilogrammes pour imposer a 100 kilogrammes une vitesse constante. Lorsque de la fonte frotte sur de la fonte sans enduit, k-0,415. La valeur de ce coefficient tombe a 0,05, quand les surfaces sont grasses et le lubrifiant convenablement renouvele une traction de 5 kilogrammes suffit pour entrainer 100 kilogrammes. 203. Reaction de la surface frottee. - I1 resulte du frottement que la r6action R de la surface n'est plus normale (comparer au ~142). Elle se compose d'une force normale N, precisement egale a la force normale exercee, et d'une composante tangentielle: 'f kN.

Page  200 200 S TA TIQ UE La reaction R fait done avec la normale un angle r caracteristique des surfaces au contact (fig. 162). On a en eftet tg f =-= k. Ceci n'est vrai que lorsque la vitesse n'est pas nulle. Tant qu'elle est nulle, la reaction tangentielle peut prendre toutes les valeurs entre 0 et f; par consequent l'angle de la reaction R avec la normale peut varier entre 0 et y. On a les formules R-\/N2If = -N/l+k2, kR= Quelques problemes eclairciront ces notions. 204. Angle du plan incline a partir duquel les corps commencent a glisser. - Placons un corps de poids P sur un plan incline faisant l'angle a avec le plan horizontal (fig. 163). La composante de la pesanteur qui presse normaleP / ment les surfaces l'une contre l'autre est P cos a. La composante de la B T pesanteur dirig6e suivant le plan incline et qui tend a faire descendre le corps est P sin oa. Pour que le mouvement ait lieu, il faut qu'elle soit FC nprsuperieure au frottement qui resulte Fig. 163. de la composante normale. D'oi la condition P sin a > kP cos a, tg a >k,. > 9. Ainsi l'angle a, pour lequel le corps commence a glisser, est independant du poids et ne depend que du coefficient de frottement k ou, ce qui revient au meme, de l'angle o. On a par exemple k-0,15, o=8038'; k 0,40,? 22~. Quand on fait l'exp6rience, les resultats semblent contredire les consequences de la theorie. Cela vient de la complication qu'introduit ce qu'on appelle le frottement au depart. Quand deux solides ont 6t6 longtemps au contact, ils sont toujours plus ou moins col16s; le frottement est momentanement plus grand. Or cette valeur anormale intervient si l'on n'a pas pris le soin de commencer par d6placer le corps avant de determiner l'angle a pour lequel il commence a glisser. 205. Arc-boutement. - On peut presenter le meme probleme sous une forme un peu differente qui nous offrira l'exemple le plus simple d'arc-boutement.

Page  201 FtIO T TEl ME NTS 201 Nous voulons deplacer un corps sur le plan 00 (fig. 164). Nous appuyons dessus dans une direction AO faisant l'angle a avec la normale au plan. Au moment du depart vers la droite, a supposer que le glissement puisse se produire, la reaction OB fait avec la normale ON un angle o caract6ristique des surfaces frot- A B tantes. N A N En effet, la poussee AO a une composante normale NO, d'ou r6sulte un frottement kN et une reaction \ representee par OB en grandeur et direction. 1 o z 2 o La figure 164 a gauche suppose a<. La resul- Fig. 164. tante de la force exercee AO et de la reaction OB est la force AB dirigee vers la gauche. I1 y a contradiction avec l'hypothese d'un mouvement s'effectuant vers la droite. Donc le mouvement n'aura pas lieu; on dit que les pieces sont arc-boutees. Nous venons de demontrer l'impossibilite du mouvement, mais non l'impossibilite du repos. Dans le cas du repos, l'angle BON n'est plus determine; il peut varier entre 0 et q. I1 prend precis6ment la valeur a telle que la reaction equilibre l'effort. La figure 164 a droite suppose a> o. La resultante tangentielle est AB dirigee dans le sens ou le mouvement doit se produire par hypothese et se produit effectivement. 206. Prison des bocards. - On veut soulever le pilon ou bocard P a l'aide d'une force F appliquee verticalement au mentonnet Q (fig. 165). Le pilon glisse entre des pieces horizontales qui lui servent de guides. La force F tend a le faire pivoter; elle R, 1'eloigne d'un cote de ses guides, l'appuie sur eux de l'autre cote, comme le montre la ' figure. Si le frottement etait nul, les reactions B1 Qi ---— get R2 des guides seraient normales. En vertu F du frottement, elles font l'angle o avec cette R normale. Ecrivons les equations d'equilibre. Les reactions R, et R2 sont de meme grandeur, car la somme des projections des forces sur un axe horizontal doit etre nulle: Fig. 165. R, R,- R.

Page  202 202 STA TI'IQ UE Ecrivons' l'egalite des moments par rapport au point 0 aF —bR cos o. Les forces R ont des composantes verticales dont la somme est 2R sin. Quelle que soit la force F appliquee au mentonnet, le bocard sera prisonnier si l'on a: F < 2R sin, bR cos o < 2aR sin, tg o (= f) >): 2a. Pour qu'il n'en soit pas ainsi, il est done avantageux de diminuer la longueur a du mentonnet et d'augmenter autant que possible la distance h des guides. -— ~;p — *'...........La theorie est la mme pour /4RI^~~~ ~une enseigne supportee par des G anneaux passant a frottement sur un poteau de bois (fig. 166). REItMARQUE. La condition tgo b: A2c, T^ isignifie que les forces 11I, et R, se coupent sur la verticale Fi-. 166. directrice de la force F. Si elles se coupent plus pres du bocard, celui-ci est prisonnier; si elles se coupent plus loin, il est libre. 207. Valet de menuisier. - Cest un morceau de fer au moyen duquel le menuisier assujettit les planches contre le banc. 11 fixe le valet (ou varlet) par un coup de ~ A maillet applique suivant la fleche A; > D il le degage par un coup de direction D (fig. 167). ") 0 V —1 7 La theorie est identique a celle \ du bocard. La force F est equili- \\ 9 'Ban 1 bree par les composantes verticales des reactions des boerds du trou clindrique qui est perce dans le ~\ \ dbanc et dans lequel entre libre\meznt le valet. Les reactions doivent se couper en avant de la verticale qui passe Fig. 167. par le point de contact du valet et du corps assujetti. Le poids de l'instrument aide a l'equilibre, mais d'une maniere insignifiante. Il reporte un peu plus loin le point d'application de la force F (~ 24).

Page  203 FR O T TEME N TS 203 208. Echelle homogene appuyee contre un mur vertical; on ne tient pas compte des frottements. - Soit 21 la longueur AB de l'echelle qui pese le m6me poids par unite de longueur, 2h la hauteur de son extremit6 superieure, P son poids, a l'angle qu'elle fait avec l'horizon. Negligeons les frottements. On demande quelles forces il i faut exercer suivant AO sur le point A, ou suivant OB sur le point B pour main- B 2 tenir l'echelle en equilibre. Traitons le probleme par les deux \ methodes (~ 137). \ PRINCIPE DU PARALLILOGRAIMME. Puisque nous negligeons les frotte- \H ments, les reactions R, et R1 des plans P 1 contre lesquels l'echelle s'appuie, sont F, normales a ces plans. Ecrivons les con- 0 A ditions d'equilibre en consid6rant comme Fig. 168. positives les forces representees. Les sommes des projections des forces suivant Ox et suivant Oy sont nulles P-=, 1 FF2, F1 -,. La somme des moments des forces par rapport au point 0 est nulle: 2h1Ra - PI cos a - 2RL cos 2 - 0. D'o: 2 (F. sin Fa, cos a) P cos.. PIcNCIPE DU TRAVAIL. Ecrivons que la somme des travaux est nulle. Pdc/ - 2F2dh + F, dx = 0. Or on a xt 21 cos, dx -- 21 sin adz; h - sin, dh I cos a. dr. D'oi 2(F1 sin a -- F2 cos -a)= P cos 2. La 'discussion du resultat est tr&s simple. Si a est petit, il est avantageux d'utiliser une force F2; si 2 est voisin de 2, il est avantageux d'utiliser une force F1. 209. Echelle appuyee contre un mur vertical; on tient compte des frottements. - Nous pouvons utiliser les calculs du paragraphe precedent. Mais les forces tangentielles F1 et F2 ne sont plus independantes des reactions iR et R.. Elles leur sont liees par les lois du frotteinent. 1~ Le sol est rugueur, le tmur est poli.

Page  204 204 S TATIQUE Posons F, -0. Les lois du frottement donnent: F, - kR,1 kP. Le mouvement commence quand l'6quation 2F, =P cotg a, 2k =cotg a, est satisfaite. A mesure que k diminue, que le sol est plus glissant, il faut pour l'6quilibre que a soit plus voisin de x 2, que l'echelle soit plus verticale. Le poids de l'echelle n'intervient pas. 2~ Le mur et le sol sont rugueux. Supposons-leur le meme coefficient de frottement. On a: F2 kR2 kF,, F - kR1. On trouve ais6ment Pk kF- P i- 1 +k I +h * D'oi la condition: tg a 2k._' 210. Modification des conditions d'equilibre quand un homme monte a l'echelle. - Soitp son poids et 2hp la hauteur a laquelle il se trouve; p est la fraction d'6chelle qu'il a grimpee, en comptant a partir du bas. En introduisant immediatement le coefficient de frottement, les equations d'equilibre deviennent (~ 208) P +p R, -+ kR2, kR, =R2. 2hR2 + Pl cos.' + 2pl( -p) cos a'- 2Rl cos ' = 0. On tire de la: 1 —P t- -k P1 +P tg x' 2 (I 2'p) 1 + +k'2,_ 1-k p -1+1k t -g ---2-k-, 2 + pp 2k L'angle limite a' est plus petit que l'angle a du paragraphe precedent, si 1 —2p est positif, c'est-a-dire si le point H est audessous du point M. La stabilite de l'equilibre a augmente. L'angle limite d' est plus grand que l'angle a, si le point H est au-dessus du point M. La stabilite de l'equilibre a diminu6. Elle est la meme que precedemment si p,=, c'est-a-dire si l'homme est au milieu de l'echelle. C'est evident a priori; tout se passe comme si le poids de l'echelle homogene avait augmente, et nous savons qu'il n'intervient pas dans l'expression de l'angle a. Pour la stabilite, il est avantageux d'avoir des echelles lourdes du pied.

Page  205 - FRO TTEMENTS 205 211. Equilibre des tableaux. - On suspend les tableaux inclines par rapport aux murailles, de maniere qu'on les voie de pres sous une incidence approximativement normale (fig. 169). / | Soit CC' la projection du cadre sur un plan vertical normal au mur Ay, luimeme vertical; soit G le / — centre de gravite, B la pro- - jection des points d'attache des cordes dont les extremites sup6rieures fix6es au mur se projettent en A. Posons: AB-c, BC -b, GC —a. Cherchons les conditions d'equilibre, en tenant compte y du frottement du bord infe- Fig. 169. rieur C contre le mur. Determinons la trajectoire du centre de gravite G quand on impose au cadre les d6placements compatibles avec les liaisons. On a pour les coordonn6es x, y, de G: x - c sin + (a - b) sin Y, y c cos 3 - (a - b) cos y. Les angles F et y sont li6s par la relation sin S: ) =sin: c. (1) ac D'out: ~ b sin x, a h y ccos -- - b2 c2 sin2. La figure 169 represente un certain nombre de trajectoires. La longueur BC b, est uniformement prise egale a MN. On fait varier la longueur GB a - b. Pour a-b, la trajectoire est evidemment l'arc de cercle PBN parcouru dans les deux sens. Pour a-b petit, la trajectoire superieure presente d'abord sa concavite vers le haut. Le cadre a done une tendance a se mettre vertical, tendance equilibree par le frottement agissant pour empecher le deplacement du point C vers le bas. Pour a-b assez grand, la trajectoire superieure presente sa con

Page  206 206 S TA 'TIQ UE cavite vers le bas. Le cadre a donc une tendance a se retourner, tendance equilibree par le frottement agissant pour empecher le deplacement du point C vers le haut. Ecrivons les equations d'equilibre: nous supposons que le mouvement du point C tend a se faire vers le haut. Les forces sont le poids P appliqu6 en G, la tension T de la corde dirigee suivant BA, la reaction R normale du mur, et la composante tangentielle, qui r6sulte du frottement. On a: Rtgo. Ecrivons que la somme des projections horizontales est nulle T sin =- R,, T sin S tg o. Ecrivons que la somme des projections verticales est nulle T cos 3 =- P +-, =P + R tg P +T sin 3tg?. T D'ou: P T(cos 3 - siln t tg) COS ( +o (2) Ecrivons que le moment des forces par rapport au point B est nul Rh~ (a- b)P sin y- Rh (cos, + tg o sin y) - c os - ). (a - )P sin= Tb CO (3) C — os (: -o). (3) Pour trouver la condition d'equilibre, il faut eliminer P et T entre les equations (2) et (3). I1 reste (a - b) sin y cos( -) cos sin (y- o); et en vertu de la condition (1) c(a- ) cos (3 + o) 2 cos ( - ). Telle est la condition realisee quand le mouvement du point C commence h se produire vers le haut. Sans qu'il soit necessaire de discuter les equations, on voit que la composarnte,: est proportionnelle a sin. Si le point d'attache A est tres eloign6, l'equilibre devient impossible. En effet, la corde est presque verticale; la composante horizontale de la tension et par suite la reaction normale du mur sont quasi nulles. Le poids"P n'est pas equilibre. 212. Equilibre du coin. - Soit P la force qu'on exerce sur la tete du coin d'angle 2C pour le faire entrer (fig. 170). Si les frottements etaient nuls, on aurait simplement pour l'equilibre: P -2N sin C; N est la reaction normale de chacune des pieces A.

Page  207 FR 0 T' TEMEN TS 207 Mais les frottements ne sont pas nuls. La force P doit equilibrer, non seulement les composantes normales exercees par les pi6ces A sur le coin, mais encore les composantes tangentielles; la reaction en effet s'est relevee d'un angle Q. On a: P = 2N sin C + 2f cos C 2N (sin C + k cos C). P - 2N sin (C — ) 2Rsin (C_-). cos 0 Le coin n'entrera pas necessairement, meme si les deux pieces A sont simplement posees sur le plan B. En effet, la force P est en d6finitive supportee par ce plan. D'ou une force tangentielle (horizontale dans la figure) qui s'exerce entre A et B et qui est pour chaque cote de l'appareil: kP:2, en admettant le mneme coefficient de frottement pour les deux syst6mes. / Elle s'oppose a l'ecartement des pieces A AA. La force qui tend a ecarter ces pieces, \2 est la projection horizontale de R, c'est- B B a-dire: Rcos (C + - ). Fig. 170. D'oi la condition P < 2R cos (C +o ), /ktg(C ) < 1. Si petit que soit C, il faut que? soit inferieur a 45~. De plus Fangle C doit etre suffisamment aigu. Nous laissons au lecteur le soin de compl6ter le probleme en donnant des poids arbitraires aux pieces A, et en supposant exercees sur elles des composantes horizontales F. II est clair que, dans la pratique, cette theorie ne fournit que des ordres de grandeur. L'angle du coin etant toujours petit, il revient pratiquement au meme de se donner N ou F. 213. Traineau. - Un traineau de poids ' est remorque sur un plan incline (faisant avec ]'horizon un angle a, et dont le coefficient de frot- tement est =k tg?) par une force R faisant avec le plan inclin6 l'angle I. On demande les conditions d'equi- libre. La pression normale du traineau sur le plan inclin6 est: I' - P cos. - R sin,. Fig. 171.

Page  208 208 S TA TIQ UE La composante utile de la traction est R cos }. On a R cos i = P sina - k(P cos a-R sin i); p sin c -F k/cos p sin (a?) cos +c -k sin cos(-9) R est minimum quand le d6nominateur est maximum; il vient alors =- o, - P sill ( +); on doit tirer dans une direction faisant l'angle o avec le plan inclin; tout se passe comme si l'angle du plan incline avec lFhorizon etait augmente de o. Pour le tirage horizontal, on a = ----, R-P tg(c4-o); la force necessaire au tirage devient infinie pour + y = 2; il y a arc-boutement. 214. Generalites sur les vis. - On appelle helice la trace sur un cylindre circulaire d'une droite normale a l'axe du cylindre, qui rencontre toujours cet axe et se d6place parallelement a lui, proportionnellement a l'angle dont elle tourne autour de lui. Une generatrice du cylindre est coupee par l'helice en un nombre infini de points equi' B I B II B B IV V P C C C C Fig. 172. distants. L'equidistance s'appelle pas; nous le designerons par la lettre a. Imaginons maintenant une figure ABECD de hauteur AD a, se deplacant de maniere que AD soit toujours sur l'axe du cylindre et que le point B decrive l'helice. La saillie BEGC engendre le filet d'une vis. Les figures I, II,..., V montrent divers profils. Mais, avant de les etudier, donnons le classement usuel des vis.

Page  209 FRO TTEMENTS 209 On appelle vis mecaniques des vis metalliques dont le diametre est g6neralement compris entre 6 et 100 millimetres et qui servent, soit a obtenir des mouvements plus ou moins lents, soit a etablir un serrage (boulons,...). Les vis horlogeres sont des vis mecaniques de diam6tres plus petits. Les vis decoupees dans les tubes (tuyaux de gaz, instruments d'optique) ont un pas tres petit et generalement un profil assez vague. Enfin, les vis mnetalliques a bois ont des filets tres espaces et d'un profil sans grande precision; tandis que toutes les autres entrent dans une contre-partie obtenue a l'avance, ces dernieres se font a elles-memes leur propre logement. La figure I represente un filet triangulaire simple souvent employe pour les vis en bois de fortes dimensions (vis d'etabli,...). Le triangle est gen6ralement: isoscele rectangle pour le chene, l'orme,... qui ne sont pas tres durs, equilateral pour les bois durs, tels que le buis, le charme... Le filet IV est triangulaire double; si l'on veut, le cylindre est entoure de deux systemes d'helices de meme pas. Les filets II et III sont carres simples ou doubles. Les vis de fer de fortes dimensions adoptent g6neralement ce profil. Enfin les vis ordinaires metalliques at bois ont le filet V. Dans les vis qui doivent servir au serrage (boulons,...), l'inclinaison a de l'helice est tres petite, de l'ordre de 2 a 3~; tg c est, par suite, de l'ordre de 0,04 a 0,05. Dans les vis a bois, a est de l'ordre de 10~, tg de l'ordre de 0,17. Dans certaines vis speciales, telles que celles des balanciers,. est de l'ordre de 45~. Le pas est considerable, aussi la vis est-elle multiple, triple, quadruple,... On lui donne ainsi une resistance suffisante, sans etre forc6 d'exagerer la saillie. 215. Theorie elementaire de 19equilibre de la vis. - Supposons que la vis porte comme tete un disque de rayon r, _, Q sur le pourtour duquel nous exercons une force tangentielle Q. A l'aide de cette // Q force, nous 6quilibrons une force P qui agit sur la pointe de la vis et dans la direction de son axe (fig. 173). Negligeons les frotte- | J men ts. Quand la tete tourne d'un tour, le travail de la force Q est 2,rQ. La vis avance de Fig. 173. Cours de Physique.. H. BOUASSE. 14

Page  210 210 S TA TIQ UE la longueur de son pas a; le travail de la force P est Pa. On a pour 1'6quilibre: aP 2wrQ Pa, Q= 2r Le pas est generalement d'un petit nombre de millimetres (~ 214); r peut etre beaucoup plus grand. Il est done possible avec des vis d'exercer des pressions enormes. Appelons r' le rayon d'un cylindre ayant pour axe l'axe de la vis et coupant les filets, par exemple, en deux moities. Nous pouvons definir l'inclinaison moyenne des filets par la relation 2:,r'tg a a; d'oui l'expression: Q P tg. 216. Theorie de la vis en tenant compte du frottement: serrage. - Cette theorie 6lementaire de la vis n'en donne qu'une idee tres imparfaite; le r6le veritable des vis a pour origine le frottement. Pour fixer les idees, etudions la vis a filets carres dont la theorie est plus simple. Nous sommes exactement dans le cas de la remorque par une force horizontale d'un poids le long d'un plan incline. Il faut poser - = c-, dans les formules du ~ 213. D'oui R ktg o A Cette force agit a la distance r' de l'axe de la vis. Ecrivons l'egalit6 des moments des forces R et Q: R,'- Qr, Q= P r tg (-+). (2) On peut ecrire l'expression (2) sous la forrne Pa r' 1 tg. Q spr r — k tg a Q se divise en deux parties: la premiere correspond au frottement nul, la seconde equilibre les forces de frottement. Par hypothese, il s'agit du serrage; par exemple des boulons qui serrent les eclisses rendant solidaires tous les rails d'une voie. I1 faut done: 1 qu'on puisse serrer l'ecrou sur le boulon (ou le boulon sur l'ecrou, ce qui mecaniquement revient au meme); 20 qne de lui-meme il ne puisse se desserrer. La premiere condition implique que l'inclinaison des filets ne soit pas trop grande; autrement on ne pourrait pas plus visser qu'on ne peut remonter un poids le long d'un plan incline, en utilisant une force horizontale, si la pente est trop grande: il y a arc-boutement.

Page  211 FR0 T TEMIEN TS 211 Q doit rester fini: tg < 1: k, a < 7: 2?. L'inclinaison des filets doit etre inferieure au complement de l'angle de frottement. Nous allons voir que cette condition est necessairement realisee. Il faut de plus que l'ecrou ne se desserre pas de lui-meme. Nous sommes maintenant dans les conditions d'un poids place sur un plan incline et qui ne doit pas descendre spontanement: d'ou la condition (~ 204): tg</<k, < 2<. Le coefficient de frottement fonte sur fonte etant de l'ordre de 0,14, o est voisin de 8~. L'inclinaison des filets doit rester audessous de cette limite. Pratiquement (~ 214) on ne depasse pas 3 a 4~. I1 va de soi que la premiere condition est toujours satisfaite quand la seconde l'est: elle donne 2 < 820. On pent envisager la question serrage du point de vue tout theorique du rendement. Ecrivons que le rapport de la portion de Q perdue par les frottements, a la portion correspondant an travail utile, est minimum. Au facteur k pres, ce rapport a pour expression 1 +tg% _ 2 tg 1 -- tg - sin 22 - k(1 - cos 2a) Il est minimum pour k itg 2a = I, 2.: 2 -? 441~. Avec une telle inclinaison, le serrage ne serait pas stable. 217. Vis du balancier pour la frappe des monnaies. - Dans certains cas on ne veut pas qu'il y ait arc-boutement. Une force tangentielle Q et une force longitudinale P doivent alternativement faire fonctionner la vis (fig. 173). C'est ce qui a lieu dans le balancier employe pour la frappe des m6dailles, et sur la theorie duquel nous reviendrons en Dynamique. On lance le balancier en agissant sur un levier horizontal. II descend en tournant sous l'action de son poids et du couple Qr. Apres la frappe, il ne se coince pas, mais rebondit en quelque sorte: il remonte en tournant, naturellement beaucoup au-dessous du niveau duquel il etait parti. Vu la quasi-symetrie entre les effets des forces Q et P, on donne aux filets de la vis une inclinaison voisine de 45~. Naturellement le pas est considerable: a- 2r'; il est necessaire d'employer une vis multiple (~ 214). 218. Vis sans fin, vis tangente. - Reprenons la figure 83 qui nous a servi a etudier la cremaillere; remplacons-la par un cylindre filete. Pour cela, faisons decrire a tous les points du profit des helices admettant comme pas la longueur a et comme axe la droite AA. Quand nous faisons tourner la vis ainsi obtenue, la roue d'engre

Page  212 212 S TA TIQ UE nage que nous supposons d'abord infiniment mince, et dont le plan passe par l'axe de la vis, se trouve successivement, par rapport au profil de la vis, comme elle etait par rapport a la cremaillere. Pour chaque tour de la vis, elle tourne d'une dent. Tout se passe comme si la cremaillere avancait, a cette difference pres que ce ne sont pas les memes sections axiales de la vis qui a chaque instant sont en prise. 11 resulte de 1a que les profils sont les memes que pour la cremaillere d6veloppantes de cercle pour la roue, droites pour la vis. Tres souvent la vis est a filets carres. Redonnons a la roue son epaisseur; pour qu'elle soit tangente a la vis, on la constitue geom6triquement au moyen d'une serie de roues tres minces, identiques, et qui ont tourne, les unes par rapport aux autres, d'angles tels que l'inclinaison des plans tangents aux dents ainsi formees soit celle de l'helicoide constituant la vis. I1 va de soi que la vis peut etre a pas multiple. On appelle vis tangente une vis sans fin qui se loge dans une gorge creus6e dans l'epaisseur de la roue a entrainer. Le contact entre les deux pieces est beaucoup plus intime et l'on evite ainsi completement les temps perdus. La vis tangente est utilisee dans les appareils de precision (fig. 174). Dans la pratique, on obtient les dents (0~ ~( ~en entamant la gorge (faite au tour) au moyen d'une vis en acier analogue a celle qui doit ulterieurement servir, mais capable de tarauder son propre logement. On la Fig. 174. fait tourner en appuyant dessus la roue tenue par son axe; la vis creuse un sillon sur tout le pourtour de la roue, a laquelle elle imprime un mouvement de rotation. Qu'il s'agisse de vis sans fin ou de vis tangente, l'inclinaison des filets est telle que la vis entraine le pignon, mais que le pignon ne puisse entrainer la vis. 219. Tourillons. - Quand un arbre cylindrique d'axe 0' tourne sur un coussinet d'axe 0, il y a frottement (fig. 175). L'experience montre que les lois sont exactement les memes que dans le cas de deux surfaces planes. Mais, a cause du frottement meme, le contact ne se produit plus a la base B du coussinet. Le tourillon tend a remonter; il n'y a plus qu'une composante P cos a du poids qui agisse pour engendrer le frottement. Ecrivons en effet que la Fig. 175.

Page  213 FR O T TEIMEN TS 213 resultante des forces P et f est normale au plan tangent de contact: f - kP cos P sin a, tg = k; a, - P - P k'P. Le rayon de contact fait l'angle de frottement avec la verticale, et generalement avec la resultante des forces appliquees quand l'arbre porte des poulies tirees par des courroies. 220. Encliquetages par arc-boutement et coincement. - Une roue tourne autour de l'axe fixe 0!. Deux pieces E sont mobiles autour des axes fixes 0 et sont pressees interieurement contre la roue par des ressorts r. Je dis qu'elles permettent la rotation de la roue dans le sens de la fleche F2 (partie droite de la figure). Quand leR mouvement se produit, la roue / exerce contre la piece E, comme (F F_ consequence du frottement, une N reaction R qui fait l'angle o avec \ la normale, s'oppose a laction du ressort et tend a 6carter lune de l'autre les surfaces frottantes. Le mouvement est done Fig. 176. possible. Il n'en est pas de meme pour une rotation dans le sens F1 (partie gauche de la figure). Le moment de la reaction R par rapport a l'axe 0 s'exerce dans le meme sens que le moment de la force du ressort. Plus le frottement est grand, plus la piece E tend a s'appuyer contre la roue et par suite i augmenter le frottement. Sa forme est choisie, et elle est disposee par rapport aux axes 0 et O', de telle sorte qu'il y ait coincement. Dans une rotation autour de O dans le sens F1, le rayon vecteur suivant lequel elle doit tangenter la roue augmente, tandis que la distance du point O a la roue diminue. 221. Autre encliquetage par arc-boutement. - Une roue tourne autour de l'axe 0' dans le sens de la fliche; une piece coudee tourne autour du point fixe O et s'appuie en raison de son poids sur la jante de la roue. Suivant la longueur de la tige et sa position par rapport a la roue, il y a ou il n'y a pas arc-boutement (fig. 177). Pour savoir ce qu'il en est, cherchons si le moment du poids de la tige par rapport a l'axe O est de mmem sens que le moment de la reaction de la roue 0', ou de sens contraire. Dans la disposition figuree a droite, il n'y a pas arc-boutement,

Page  214 214 S TA TIQ UE quel que soit le coefficient de frottement et par consequent langle p. Les moments par rapport au point O des forces P et R sont de sens contraires. I1 en est de meme dans la partie gauche de la figure gauche. Etudions maintenant la disposition du milieu de la figure. L'arc-bou0 ReR N f ~N R Fig. 177. tement a lieu si le frottement est suffisant, c'est-a-dire si l'angle p est assez grand. La reaction R passe alors de l'autre cote du point O; les moments des forces P et R sont de meme sens; le frottement tend a appliquer le coude contre la jante de la roue: il tend par suite a s'exagerer. I1 est necessaire que la tige soit assez solide, car l'arc-boutement ne va pas sans une tension consid6rable. 222. Effets des enduits sur le frottement. - Le frottement est independant des aires des surfaces en contact; il faut cependant qu'elles soient convenablement proportionn6es a la charge totale, autrement dit que la pression (charge par unite de surface) ne soit pas exag6ree. Si elles sont trop restreintes: I il tend h se produire une usure profonde et irreguliire; 20 les enduits sont trop rapidement elimin6s. L'enduit le meilleur est le plus fluide, a la condition qu'on puisse le maintenir entre les surfaces frottantes. Trop fluide comme l'eau, il est expulse par la pression; mais si par un procede quelconque on maintient un courant d'eau entre deux corps durs, elle constitue un excellent lubrifiant. On peut en dire autant d'une gaine d'air interpos6e. L'eau de savon est tres employee pour lubrifier et rafraichir les surfaces (forage de la fonte,...). Le suif et les graisses conviennent aux fortes pressions: ils ne sont pas assez fluides pour les petites. L'erploi des paraffines (vaseline, etc...) se generalise. Un navire se construit sur un plan incline (coulisse). Le lancement

Page  215 FR 0 T TEMEN TS 215 consiste a le faire glisser jusqu'a la mer. I1 faut que l'inclinaison du plan soit suffisante et que les lubrifiants soient convenables. On diminue la pression par centimetre carre en fixant a la quille une savate assez large qui partira avec elle. C'est entre la savate et le plan incline que se fait le glissement et qu'on introduit le lubrifiant (suif). Adherence, freins. Mesure du travail. 223. Adherence. - Une locomotive ne peut entrainer elle et son train que grace a une force parallel a la voie. Elle trouve son point d'appui dans le frottement qui se developpe entre le bandage des roues motrices et les rails. Bien que le contact n'ait lieu que sur un petit nombre de centimetres carr6s (les rails et les roues flechissent plus ou moins, se deforment et se touchent alors autre part que sur la tangente theorique a la circonference qui limite les roues), le frottement de l'acier sur l'acier s'oppose au glissement, au patinage. I1 est en effet independant de la surface de contact et vaut environ 14 ~/o, non du poids de la machine, mais du poids supporte par les essieux moteurs. Si le poids utile est vingt tonnes, la traction maxima dont la machine soit capable (pourvu que ses organes mecaniques le permettent) est de 0,14 X 20 =-2,8 tonnes. Si ses organes permettent un effort plus grand, ou si le frottement diminue pour une cause quelconque, l'adh6rence ne suffit plus a eviter le glissement: les roues tournent sans avancer, la machine patine. Naturellement, un lubrifiant place sur la voie diminue le frottement; la pluie, et surtout la boue ou le verglas, jouent pratiquement ce role. Par les temps humides et dans les souterrains, on ne compte plus que sur une adherence de 10 ~/o. En matiere de tramways, on est expose a ce que le rail soit non seulement humide, mais sale et gras; l'adherence diminue beaucoup. On augmente artificiellement l'adherence en mettant du sable sur la voie. Les locomotives ont une reserve de sable fin qu'un tuyau convenablement recourbe amine exactement en avant des roues motrices, dans l'angle qu'elles font avec la voie. Pour augmenter la fraction du poids de la locomotive servant a ladherence, on couple les roues de maniere a solidariser leurs mouvements de rotation (fig. 178). On arrive ainsi a rendre (J adherente la presque totalite du poids. On a par exemple, pour remorquer des trains de grande Fig. 178. vitesse sur fortes rampes, des machines dont 40 tonnes sur 55 reposent sur des essieux couples.

Page  216 216 S TA TIQ UE On r6alise l'accouplement a l'aide de bielles, barres dont les extremites (tetes de bielle) recoivent des tiges fix6es sur l'une et l'autre roues parallelement B leurs axes. La figure 478 represente schematiquement le dispositif. L'accouplement a de graves defauts. On n'evite ni le glissement des roues sur les rails par l'impossibilite de realiser deux circonf6rences egales, ni le ferraillement par la necessite de laisser un certain jeu. Enfin l'inscription dans les courbes ne peut evidemment pas se faire commod6ment, si 1'on maintient plusieurs essieux solidaires et automatiquement paralleles. Le grand avantage de la traction electrique est de pouvoir rendre tous les essieux moteurs. L'adh6rence est alors de 14 ~/% du poids, non plus d'une partie de la voiture motrice, mais du train tout entier. On s'imagine parfois que la machine patine davantage quand elle est attelee a un train lourd; la verit6 est que le poids du train n'a aucune influence sur le patinage. II depend seulement du poids adherent et de l'effort d6veloppe sur les pistons, et par consequent sur les roues motrices. Une machine lourde et de faible puissance ne patine pas, serait-elle attelee a un mur inebranlable. Une machine legere et de grande puissance patinera, serait-elle haut le pied, a la condition bien entendu que l'admission de la vapeur soit de nature a d6velopper un grand effort. Si les locomotives ont une tendance a patiner au demarrage, c'est qu'alors le m6canicien donne la vapeur de maniere a obtenir une grande acceleration et d6passe la limite imposee par l'adherence de la machine. 224. Rampes. - L'angle o du plan de la voie avec le plan horizontal, tel que la composante de la pesanteur parallelement a la voie fasse equilibre au frottement, est donne par la condition (~ 204) tg a 0,14, d'oui sensiblement (en radians) a 0,14. Done en utilisant l'adherence de toutes les roues, il est impossible a un train de gravir sur rails lisses des rampes dont la pente est sup6rieure a 14 0/,, c'est-a-dire qui s'elevent de plus de 140 metres par kilometre, qui fait avec l'horizon plus de 8~. C'est 1l un maximum dont cependant on s'approche; on a construit des voies avec des rampes de 10 ~/,, parcourues par des voitures automobiles sur rail, dont tous les essieux sont moteurs. Ce maximum pent 6tre theoriquement depasse par une automobile ordinaire, l'adherence de lenveloppe en caoutchouc contre le sol depassant 14 ~/o. Mais les routes atteignent exceptionnellement cette pente: une pente prolongee de 100 milliemes est deji extraordinaire; on s'efforce de ne pas d6passer 50 milliemes ou 5 /. La pente ayant pour definition (fig. 163) _ BC: AB sina, un poids P remorque sur une pente T, doit etre tire par une force,P.

Page  217 FRO TTEMENVTS 217 On s'explique aisement la faiblesse des pentes que les voies ferrees ne depassent pas. Soit p le poids adherent de la locomotive. Elle ne peut plus remorquer son train de poids P (y compris son propre poids) quand: 0,14.p< TP. Or p P peut 6tre de l'ordre de 0,1; d'oui une pente maxima de 14 milliemes. On cite des pentes de 29 milliemes (rampe de Capvern sur le Midi), de 33 milliemes (rampe du Brenner en Autriche); mais pour les gravir, on doit atteler en tete et en queue du train deux puissantes machines, et encore progresse-t-on au pas. 225. Freins. - Les freins sont des appareils destines a appliquer des pieces de bois ou de metal (sabot du frein) contre la jante d'une roue, pour produire un frottement, diminuer sa vitesse et meme arreter sa rotation (caler la roue). Les sabots doivent prendre leur appui sur des points ne participant pas au mouvement de la roue. Pour fixer nos idees, supposons un wagon de 20 tonnes monte sur quatre roues; cherchons par quel moyen caler ces roues en utilisant le frottement. Quand une roue est calee et glisse sur le rail, la force qui s'exerce entre le rail et la jante par suite du frottement est 14 ~/0 du poids qui repose sur la roue, soit 0,14 X 5-0,7 tonnes -700 kilogrammes. 11 faut donc, pour caler la roue, exercer en sens inverse sur sa jante un effort au moins 6gal. Si le sabot du frein (piece en contact) est en metal, le frottement etant encore I4 ~/0 de la pression, il faut donc que cette pression soit de S tonnes. D'ou ces resultats tres simples. 1~ La force totale avec laquelle tous les sabots d'une voiture doivent presser sur les jantes, est precisement egale au poids de la voiture, a supposer que le frottement de la jante sur le sol (rail ou route) soit le meme que son frottement sur le sabot du frein. 20 La somme des efforts tangentiels auxquels les sabots sont soumis, est egale au produit du coefficient de frottement par le poids total de la voiture. Si le nombre des sabots est de quatre, il faut dans notre exemple, pour caler les roues, presser chaque sabot contre la jante avec une force radiale d'au moins 5 tonnes, et le maintenir en place avec une force tangentielle d'au moins 700 kilos. On comprend maintenant la necessit6 de puissants appareils de serrage et d'un systeme d'attache solide du sabot au chassis de la voiture. La figure 179 montre un schema du dispositif le plus ordinaire. Le levier OAD tourne autour de l'axe O solidaire du chassis C. Les

Page  218 218 STATIQUE sabots sont articules a l'aide de deux tiges TT dont l'une sert de tirant, lautre d'etresillon (~ 194); ils sont relies au levier par les tiges AB. Enfin la piece CD est mue soit a la main au moyen d'une T D CT O B I ///-B0 0 // Fig. 179. vis dont elle porte Fl'crou, soit par un mecanisme quelconque (vapeur, air comprime, vide). Les tiges AB transmettent la pression; les tiges T equilibrent l'effort tangentiel. On admet que l'effet des freins est plus grand si les roues ne sont pas absolument bloqu6es. Cela tient a ce que sur la jante bloquee l'usure du frottement cree un meplat parfaitement poli, pour lequel le coefficient de frottement est plus petit. 226. Mesure du travail; frein de Prony. - Le probleme est de determiner le travail disponible sur un arbre donne. La methode du frein consiste a absorber ce travail au moyen du frottement. Nous d6crirons le frein sous la forme que lui a donnee Kretz, il y a une cinquantaine d'annees (fig. 180). Une poulie ou volant d'assez grand diametre est /i/4/ | h, montee sur l'arbre. Elle r r I \ \ \ 2 est enveloppee d'une couE^-^1^~ ftl== jj ~; rronne de voussoirs en bois _ \H~C1:B fixes sur une bande de fer; _\_\ t _ ~ \ on peut serrer la couronne p contre la poulie au moyen de deux vis solidaires de la bande et entrant dans bFig. 180. un double ecrou E qu'on manceuvre a l'aide d'un croisillon. A la partie diametralement opposee est fixee une tige radiale T qui porte un plateau sur lequel on placera des poids P. Des buttoirs massifs B1 et B2 r6duisent l'amplitude des mouvements de la couronne. L'experience consiste a serrer l'Fcrou de maniere que les frotte

Page  219 FRO TTEMENTS 219 ments developpes maintiennent l'arbre a sa vitesse de regime. Ils absorbent alors exactement la puissance disponible. Si le mouvement a lieu dans le sens des fleches, la tige T bute contre B2. Quand le serrage n'est pas assez fort, la machine s'emballe ou bien son regulateur supprime l'arrivee de la vapeur; quand le serrage est trop fort, la machine ralentit ou s'arrete. Ce premier reglage obtenu, mettons des poids P sur le plateau jusqu'a ce que la tige T reste en equilibre sans buter ni sur B1 ni sur B2. Connaissant le nombre n de tours par seconde de la poulie, nous avons les elements necessaires pour calculer le travail absorbe. Le frottement des voussoirs contre la poulie developpe des forces tangentielles qui sont a une distance r de l'axe. Designons par Fr le moment de la resultante. Le travail de ce moment est par seconde: =2nF r. Il nous suffit de mesurer F pour connaitre '. Supposons qu'avant de commencer l'experience, on ait equilibre le frein autour de l'axe 0. Pendant le mouvement, le moment des poids P appliques a la distance I de l'axe 6quilibre le moment des forces dues au frottement. Le poids du frein n'intervient pas. Ecrivons que les moments des forces F et P sont egaux PI =Fr, S = 27nPI, formule dans laquelle toutes les quantites sont d6terminables par l'exp6rience. Les morceaux de bois chauffent beaucoup; on doit les refroidir en les mouillant a grande eau pour eviter qu'ils ne s'enflamment. Raideur et frottement des cordes et courroies. 227. Raideur des cordes et des courroies. - Nous avons sup pose jusqu'a present que les cordons, fils, courroies,... etaient parfaitement flexibles. En realite ils ne le sont pas; ils ont une raideur plus ou moins grande (fig. 481). I1 resulte de 1h qu'un cable qui passe sur une poulie ne se met en mouvement que si la puissance P est superieure a la resistance R. Au lieu de s'appliquer exactement sur la poulie, le cable en est plus ou moins eloigne du cote de la resistance. Les deux bras du levier r. et r2 (distances de l'axe de la poulie aux axes des portions paralleles du cable) sont differents. I I I I ' IW I In I I,ance I j s s, ance 1 C Fig. 181.

Page  220 220 STA TIQ UE Au moment oil le mouvement commence, on a Pr, -Rr, P- R1+ 2 - r=R(1+). La quantite ~R=Rp mesure la raideur de la corde. I1 est evident a priori, et l'experience confirme, que le parametre p diminue quand augmente le rayon r de la poulie; p est sensiblement en raison inverse de ce rayon. En toute rigueur, il n'est pas independant de la charge R, il diminue legerement avec elle; de sorte qu'on a: P= (a + En d'autres termes, la raideur intervient de moins en moins, le rapport de la puissance a la resistance diminue, a mesure que la charge augmente. Pour donner une idee des ordres de grandeur, une corde qui supporte 500 kilogrammes et passe sur une poulie de 25 centimetres de diametre peut avoir une raideur de lordre de 25 kilogrammes, soit du vingtieme de la charge. Tandis qu'en Statique theorique, le rayon de la poulie n'intervient pas, en Statique pratique il importe de le prendre aussi grand que possible. 228. Mesure de la raideur des cordes. - La raideur des cordes se determine par une ancienne et interessante exp6rience d'Amontons (fig. 182). A A A Deux cordes ABC, fixees en A, font un tour sur le cylindre B et sont tenP dues par une masse C. Par leur raideur, elles soutiennent le cylindre B, du -.-.| — moins s'il n'est pas trop lourd. Pour B 0 -0-.-B 13 iL qu'il commence a descendre, il faut ajouter des poids sur le plateau D susD R / pendu par une cordelette fixee au cylindre. C C C Soit II le poids du cylindre et celui de sa surcharge (poids et plateau). Evaluons la raideur. Les brins Fig. 182. inf6rieur et superieur de chaque fil sont in6galement tendus; du reste ils ne sont pas tout a fait dans le prolongement l'un de l'autre. Ecrivons les conditions d'equilibre. On a d'abord: 2(P - R)-=n+-, (1) qui exprime que la somme des projections verticales des forces est nulle. Prenons le moment des forces par rapport a l'axe 0 du

Page  221 FROT TEMENTS 221 cylindre; conservons les memes notations qu'au paragraphe pr6cedent; n6gligeons le diametre de la cordelette: r + 2 (Pr -Rr) =. (2) De (1) et (2) on tire r, - r l r 229. Frottement des cordes. - Cherchons comment s'equilibrent deux forces F1 et F2 agissant aux bouts d'une corde enroulee sur un cylindre fixe (fig. 183): c'est le probleme fondamental qui se pose a propos du frottement TaT _? des cordes. Nous negligerons la raideur. Soit R le rayon du cylindre, k le coeffi- cient de frottement de la corde sur le cylindre. Supposons que F2 est plus grand que Fl; le frottement s'exerce pour empecher la corde de glisser dans le sens MN. Soit s la longueur de la corde comptee dans Y le sens MN, a partir du point M ou elle com- Fig. 183. mence a toucher le cylindre. Aux bouts d'un 6elment ds s'exercent des tensions T et T + dT qui n'ont pas tout a fait mmee direction et dont les composantes tangentielles s'equilibrent grace au frottement qui r6sulte de la pression de la corde sur le cylindre. Cette pression elle-meme est 6gale a la resultante normale des tensions. Nous avons demontre au ~ 173 que la resultante tangentielle des tensions est dT, que leur r6sultante normale est Tds: R, ou R est le rayon de courbure du fil, ici le rayon du cylindre. Les equations d'equilibre de 'ele6ment ds et de la corde entiere sont donc: Tds ks dT k, lognep T= =- +Constante. Pour determiner la constante, ecrivons que pour s=0, on a T==F,, que pour s=-l- la longueur de la corde, on a T-F2. I1 vient: F, - F, exp ( —). (1) Or 1 R est l'arc (evalue en radians) suivant lequel la corde touche le cylindre; appelons-le 3. La formule devient: F, = F, exp (k3). (2) Le rayon du cylindre a disparu. On verifiera immediatement que la formule (2) s'applique a un cylindre de section quelconque (fig. 184). Aux deux points de contact

Page  222 222 S TA TIQ UE M et N, menons les normales; elles determinent langle, qui entre dans la formule. En effet, l'6quation diff6rentielle peut s'ecrire: dT ds P~-~ M~ -1 =T k R kd. Voici pour fixer les idees quelques valeurs de ^N^C Fl'exponentielle quand on prend k 0,5; c'est Fz Fj. a peu pres le coefficient de frottement d'une corde contre le chene. On exprime en tours Fig. 184. l'arc de contact: la valeur numerique de F pour un tour est evidemment egale a 2-. Tours 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00. F2: F 4,82 10,5 23,2 51 112 245o 537. On voit avec quelle rapidite croit le rapport des forces. On s'explique ainsi qu'avec une force F1 minime, on puisse resister a une force considerable F. 230. Homme suspendu a une corde. - Les applications des resultats precedents sont innombrables. Par exemple, un homme peut s'attacher a une corde qui passe sur un cylindre horizontal de bois (appui de fenetre) et se tenir lui-mem suspendu sans aucune difficulte. Soit P son poids; il le divise entre les deux brins 1 et 2, en deux parties F1 et F2. Puisque la corde s'enroule d'un demi-tour, on doit avoir F2: F- 4,82, F F2 —P. D'ou: F2 0,83.P, F,1 0,17.P. Si l'homme pese 70 kilogrammes, c'est done seulement une force de 12 kilogrammes qu'il doit exercer sur le brin ' pour se maintenir en l'air. Bien entendu, il serait incapable de soulever 70 kilogrammes en tirant de haut en bas sur une corde qui passerait sur un cylindre de bois; il devrait exercer un effort de 340 kilogranmes environ. I1 peut toutefois se soulever lui-meme; mais l'operation se divise en deux temps. Dans le premier temps, il soulage le brin 2 auquel il est attache, en reportant sur le brin 1 les 83 centiemes de la charge. Dans le deuxieme temps, il se redresse en prenant appui sur le brin 2. Grace a ce balancement, il peut s'elever. Mais le travail qu'il doit depenser est naturellement superieur a celui qui correspond a l'elevation de son corps, a celui qu'il depenserait par exemple en se hissant le long d'une corde dont l'extremite superieure serait fixe.

Page  223 FRO TTEMENTS 223 231. Freins a corde ou a courroie. - On sait que pour arreter les bateaux on enroule un cable sur un cylindre de bois vertical. Un homme peut resister a une force enorme, se chiffrant par tonnes. Grace au frottement, il n'est pas necessaire de fixer la corde du treuil au cylindre sur lequel elle s'enroule, pourvu qu'elle fasse plusieurs tours. Un effort insignifiant suffit pour 6quilibrer des charges enormes. C'est ainsi qu'on procede sur les navires avec les treuils a vapeur. Un avantage de cette disposition, c'est qu'en donnant du mou a la corde, on arrete instantanement l'effet du treuil. Enfin on peut utiliser le frottement des cordes a realiser des freins puissants (fig. 185). Soit O une roue sur la jante de laquelle passe une courroie,. ou encore une poulie dans la gorge de laquelle passe une corde. La corde est fixee en D a un point invariable, en B a un levier qui tourne autour du point 2 /F1 A et qu'on actionne avec la poignee C. D C La roue tourne dans le sens de la fleche. A B On l'arrete rapidement en agissant sur le Fig. 185. levier. Pour nous rendre compte des phenomenes, fixons la roue et cherchons a d6placer la courroie en sens inverse de la fleche. La force F, exercee du cote B gene le mouvement; il faut une force considerablement plus grande du c6te D pour le produire; c'est ce que nous apprend le ~ 229. Par suite, le couple qui s'exerce sur la roue et tend a l'arreter est C =(F- F,)r - F, [exp (k3)- 1]. On peut rendre le frein aussi brutal qu'on le desire en augmentant l'angle B le long duquel touche la corde. Ce frein est employe dans les omnibus. Une corde solidement fixee par l'une de ses extremites au chassis de la voiture, s'enroule sur un cylindre m6tallique de petit rayon solidaire des roues arriere; elle est manceuvree par une pedale 'a la disposition du cocher. Le moindre effort suffit pour caler la roue. En calant trop brusquement, on risque de faire sauter les rayons. 232. Courroies sans fin. - Dans la transmission du mouvement par courroie sans fin, le frottement intervient au premier chef. Pour que l'entrainement se produise, il faut que la courroie soit assez tendue et surtout qu'elle touche les poulies suivant un angle assez grand. Appelons T la tension du brin qui mene la poulie, t la tension du brin mene, To la tension moyenne, c'est-a-dire la tension de la courroie au repos. Pour que le glissement ne se produise pas, on doit avoir entre T et t la relation: T < t exp (kg).

Page  224 224 STA TIQUE L'angle [ est generalement voisin de 7. L'experience montre que pour les courroies ordinaires et des poulies de fonte, on doit avoir sensiblement: T-2t. Comme les allongements des courroies sont proportionnels aux tensions, on a: T + t = 2To. En effet, l'accroissement T -To de la tension du brin qui mene se traduit par un allongement; d'ou resulte une diminution egale To -t de la tension du brin mene. Enfin soit r est le rayon de la poulie menee; le couple qui l'entraine est: (T- t)r- 2T: 3r. Puisque 1'occasion se presente de parler de l'entrainement des poulies par des cordes, rappelons une regle qu'il ne faut jamais oublier dans le montage d'un appareil. Pour qu'une corde ne sorte pas lateralement de la gorge d'une poulie, il faut que le brin qui arrive sur elle soit dans son plan; il importe peu que cette condition soit satisfaite pour le brin qui quitte la poulie. II resulte de la qu'on peut entrainer l'une par l'autre, mais seulement dans un sens, deux poulies dont les axes ne sont pas paralleles. Frottement de roulement. 233. Experience fondamentale. mentale (fig. 186). Un cylindre d< i C r N M| M~ A B N OQ P jQqT Fig. 186. couple C q=y est n6cessaire pour - Voici l'experience fondae poids P est pos6 sur deux madriers M dont les surfaces superieures sont dans un plan horizontal. Un cordon passe dessus et supporte deux poids Q et Q+q. L'experience montre que pour obtenir le roulement, il faut que la difference q soit suffisante. L'axe instantane passant par le point A (~ 94), il revient au meme de dire qu'un le roulement. La reaction des pieces sur lesquelles le cylindre appuie est 6videmment verticale et egale a nI P+2Q q; sa directrice passe par un point B situe a une distance ~ - AB de l'axe instantane donnee par la condition: - qr- C.

Page  225 FROTTEMEN TS 225 On peut definir la resistance au roulement d'un corps de poids total II en donnant cette distance: le roulement ne se produit que si la r6action passe un peu en avant du point de contact. Coulomb trouva que cette distance 8 est constante pour un meme rouleau, quelle que soit sa charge: par suite le couple necessaire a produire le mouvement serait proportionnel a la charge totale II. La resistance au roulement provient d'une deformation des corps en contact. Le cylindre entre dans le plan qui le supporte et s'aplatit lui-meme. Cette deformation est tres apparente sur le pneumatique d'une roue de bicyclette. Il n'y a donc rien d'etonnant h ce que la resistance croisse proportionnellement au poids, au moins varie dans le meme sens. On n'est pas d'accord sur la relation entre 3 et le rayon. D'apres Coulomb, la quantite 8 serait aussi independante du rayon; il en serait par consequent de meme du couple C; la surcharge q varierait en raison inverse du rayon. Enfin l'aire de contact semble intervenir; le frottement diminue a mesure qu'augmente la largeur des bandes sur lesquelles le contact a lieu. 234. Glissement accompagnant le roulement ou le pivotement. - Dans l'experience precedente, le glissement est impossible, toutes les forces agissant normalement a la tangente de contact. II n'en est generalement pas ainsi: le roulement se complique de glissement. Par exemple: un rouleau de poids n tire par une force q horizontale et rencontrant son axe (fig. 187). Le moment par rapport l'axe instantane de rotation est qr. Si le glissement avait lieu, la reaction tangentielle serait kII. I1 peut arri- ver que l'on ait: q>kn. Dans ce cas, le glissement est possible. En / fait, suivant les facilites relatives du Fig. 187. roulement et du glissement, le mouvement se composera exclusivement de l'un ou de lautre, ou encore les contiendra tous deux. Nous aurons l'occasion de revenir sur ces problemes au Chapitre XI de la Dynamique. Le pivotement (~ 94) est toujours accompagne de glissement, parce qu'il est impossible qu'il ait lieu en un point geometrique. Les corps s'aplatissent au voisinage du point de contact. I1 est evidemment avantageux de faire l'un des corps aussi pointu que possible au pivot, et de les prendre tous deux aussi durs que possible. En horlogerie, des pointes d'acier pivotent sur des pierres dures. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 15

Page  226 CHAPITRE IV ENERGIE POTENTIELLE 235. Definition de l'energie potentielle. - On appelle eaergjie potentielle d'un systeme le travail que les forces agissant sur lui sont capables d'executer en raison de ia forme, de la position et generalement de l'etat actuel du systeme. Pour d6finir mathematiquement l'energie potentielle, il faut exprimer l'etat du systeme au moyen d'un nombre fini de variables a: b, c,..., que nous supposons independantes. L'energie potentielle W est une fonction de ces variables. Le passage de l'etat 1, caracterise par les valeurs a,, bh,..., des variables, a FI'tat 2, caracterise par les valeurs a,, b,..., peut generalement s'effectuer par un nombre infini de chemins reels ou symboliques. Or, le travail effectue par les forces agissant sur le systeme, quand on passe de l'etat 1 a l'etat 2, est par definilion: =W(a, b,...) -W(2, b2,...); il est 6gal a la diminution de l'energie potentielle. I1 resulte de la que le travail est independant de la voie choisie pour aller de l'etat 1 a I'tat 2; c'est la condition indispensable a l'existence d'une energie potentielle. On voit quels rapports 6troits existent entre l'existence d'une energie potentielle et l'existence de forces admettant un potentiel. Mais une infinite de problemes peuvent etre resolus par la connaissance en bloc de l'energie potentielle, sans qu'il soit n6cessaire, ni quelquefois possible, d'expliciter les forces et les potentiels qu'elles admettent. La th6orie actuelle est done infininent plus generale que la theorie des forces derivees d'un potentiel. L'energie potentielle n'est generalement connue qu'a une constante additive pres. I1 importe peu, puisque seules ses variations interviennent. 236. Expression des forces suivant les variables en fonction de l'energie potentielle. Conditions d'equilibre. - Nous avons defini plus haut (~ 152) ce qu'on appelle force suivant une variable.

Page  227 ENERGIE POTENTIELLE 227 Donnons au syst6me un petit deplacement, naturellement compatible avec les liaisons; le travail des forces agissant sur le systeme a pour expression: d -=Ada +-Bdb + Cdc...; (1) A, B,..., sont les forces suivant les variables a, h,... Admettons qu'il existe une energie potentielle. On a par definition: -dC -dW= a da + b db +... (2) Identifions (1) et (2); il vient: A- b — B- --..., (3) r6sultat qu'on enonce en disant que la force suivant une variable est egale au taux de diminution de l'energie potentielle suivant cette variable. La force est compt6e positivement dans la direction oui croit la variable correspondante. Le principe du travail (~ 152) nous apprend qu'il y a equilibre suivant une variable a quand la force suivant cette variable est nulle. Cette condition revient a ecrire: - 0. Donc I'equilibre RELATIF A UNE VARIABLE, pour une valeur donnee de cette variable, exige que l'energie potentielle passe par un maximum ou un minimum RELATIVEMENT A CETTE VARIABLE. L'equilibre est stable, s'il y a minimum; en effet, les deplacements suivant la variable entrainent un accroissement de l'energie potentielle: ils sont effectues contre la force correspondante. L'6quilibre est instable, s'il y a maximum. Enfin l'equilibre est indifferent relativement a une variable, lorsque l'energie potentielle ne d6pend pas de cette variable. L'equilibre par rapport a toutes les variables, ce qu'on entend sans plus par equilibre, exige que l'energie potentielle soit maximum ou minimum pour toutes les variables. Du reste, l'equilibre peut etre stable pour certaines variables, instable ou indifferent pour les autres. Si, par rapport a une variable, le d6placement possible est unilateral, il y a equilibre si l'energie potentielle croit pour le deplacement possible. II n'est pas necessaire pour l'equilibre qu'elle passe par un minimum; il suffit que sa valeur soit plus petite que pour les valeurs voisines admissibles de la variable. 237. Energie potentielle et equilibre d'un systeme de corps pesants, - Prenons commne axe Oz une verticale dirigee vers le haut et comnme axes Oy, Ox, deux droites quelconques rectangulaires dans un plan horizontal.

Page  228 228 S TA TIQ UE Soit p le poids d'un point pesant. Son energie potentielle est: V =p+ Wo. (1) On comprend immediatement a quoi correspond la constante W0. Le travail disponible depend non seulement de la position actuelle du point, mais encore de la hauteur du sol. Creusons un trou suivant la verticale du corps: nous augmentons son energie potentielle. Celle-ci n'est done fixee qu'a une constante pres. Elle est W0 dans le plan xOy, WVo dependant des conditions actuelles de l'experience. Cependant, une fois WVo arbitrairement choisi, l'energie potentielle a une valeur parfaitement determinee dans tout l'espace, au moins tant qu'on peut considerer le poids comme invariable en grandeur et direction. L'energie potentielle d'un syst6me de points pesants est: V -- pz + W, o-0 p + W, z0 est le z du centre de gravite du systeme dans sa forme actuelle. La generalisation est immediate pour un systeme de corps finis en nombre quelconque. L'energie potentielle a pour expression: W=PzO+W0-jJzpJzdv+WVo; (2) p est la densite (masse par unite de volume), g l'acceleration de la pesanteur, z la hauteur de l'6lement de volume dv au-dessus du plan de reference, z0 la hauteur du centre de gravite du systeme total dans ses position et forme actuelles. L'integrale est 6tendue au volume occupe par tous les corps du systeme. On tire de l'equation (2) un theoreme historiquement celebre; I'equilibre d'un systeme quelconque de corps pesants a lieu lorsque son centre de gravite est le plus has possible. Pour appliquer le principe, il suffit donc d'exprimer z0 en fonction des variables independantes a, b, c,... qui fixent l'ftat du systeme, et d'ecrire les conditions du minimum. S'il y a maximum pour une variable, l'equilibre est instable pour cette variable; si z0 ne depend pas d'une variable, l'equilibre est indiff6rent pour cette variable. 238. Exemples. - j~ Un fil de longueur invariable I passe sur une poulie 0 et supporte deux poids P et P'. L'un d'eux P est astreint a decrire une courbe plane ou gauche; on demande sur quelle autre courbe doit se trouver le poids P' pour que l'equilibre soit indifferent. Soient r et r' les distances OP et OP'; on a: r+ r'=l. (1) Calculons la hauteur du centre de gravite des deux poids (P + P') G = Pr cos p + P'r' cos '-= Constante = C. (2)

Page  229 ENERGIE POTENTIELLE 229 Cette equation exprime que le centre de gravite qui est dans le plan horizontal passant par G est a une hauteur invariable. Enfin la courbe decrite par P peut etre considere comme l'intersection d'une surface qu'il nous est inutile de connaitre, et de la surface de revolution: fi(r,?)=0. (3) Eliminons r et o entre les equations (1), (2), (3); il reste une fonction: f'(r, ')= 0, (4) / G qui represente une surface de revolution sur P laquelle la courbe decrite par P' doit se trouver. Le probleme est done indetermine; c'etait evident a priori, puisque le poids P peut se Fig. 188. deplacer sur un parallele de la surface (3), ou le poids P' sur un parallele de la surface (4), sans qu'il en resulte du travail. 20 Reprenons une fort vieille experience qui n'en est pas moins interessante (fig. 189). Un cylindre de bois est ' ^ surcharge de plomb inte- ---— _ = -- - rieurement et lateralement, B de maniere que son centre ---- de gravite soit reporte en G, assez loin de l'axe de revolution de la surface. Place sur un plan incline, Fig. 189. de maniere que les gen6ratrices soient normales a la ligne de plus grande pente, il peut remonter le long du plan. En effet, le centre de gravite decrit une cycloide raccourcie (~ 85). A partir du point A (situe apres le maximum G de la cycloide rapportee au plan incline) jusqu'au point C (situ6 avant le minimum D de la cycloide, rapportee au mene plan), la remont6e du cylindre correspond a une descente du centre de gravite. Quand le centre de gravit6 est en A, il y a equilibre instable; quand il est en C, il y a 6quilibre stable. A mesure que l'angle a du plan augmente, les points A et C se rapprochent. La remontee n'a plus lieu quand l'angle a vaut l'angle que fait avec le plan incline la tangente d'inflexion de la cycloide. 239. Remarque sur la rigidite du systeme. - I1 ne faut pas oublier que la position du centre de gravite et ses variations de hau

Page  230 230 S TA TIQ UE teur dependent essentiellement des deplacements de toutes les pieces du systeme. Pour fixer les idees, reprenons la theorie de la balance (~ 160) en appliquant le principe que nous 6tudions. Reportons-nous a la figure 130. Determinons la distance A du centre de gravite du systeme total (fleau et plateaux) au plan horizontal passant par l'axe 0: A(P1 + P. + 21) = P[H, -- I cos (, - 0)] + P2[H2 + 12 cos (2 +- 0)] + IID cos 0. Les quantites H2 et H, sont les distances respectives des centres de gravite des plateaux charg6s aux points A1 et A,, distances naturellement comptees sur la verticale, puisque les plateaux sont libres de tourner autour des points A, et A2. Elles vont disparaitre dans l'equation d'equilibre. Celle-ci est fournie par la condition que A est un maximum par rapport a l'unique variable 0, fixant la position et la forme du systeme. On trouve immediatement: Pel sin (1, - 0) = P2I sin (a2- + 0) + 17, sin 0. Mais le r6sultat serait entierement different si les plateaux etaient solidaires du fleau, de maniere a ne former qu'une seule piece rigide. En particulier, les conditions d'equilibre dependraient au premier chef de la distance verticale au fleau de la masse surajoutee. I1 ne suffit pas pour Fl'quilibre que le centre de gravite soit sur la verticale du point de suspension; il faut encore qu'il soit le plus bas possible. La seconde condition est satisfaite quand la premiere l'est si le corps est rigide; s'il ne l'est pas, la seconde condition n'entraine pas la O premiere. F o Soit par exemple le systeme rigide AOB (fig. 190) pouvant tourner autour du point 0. En A et B sont suspendus des poids egaux C et D suffisants pour abaisser le centre de gravite du n' r1 systeme au-dessous du point 0. Si la suspension a lieu au moyen de tiges solidaires du bras AB, Fig,. 190. formant avec lui un systeme rigide, l'equilibre est stable. Si la suspension a lieu au moyen de cordes, l'equilibre est instable. Nous laissons an lecteur le soin de discuter ce qui arrive quand une seule des masses est reliee au bras d'une maniere rigide. 240. Formes simples de l'6nergie potentielle. - [1 CORPS PESANT TOURNANT AUTOUR D'UN AXE INCLINE SUR L'HORIZON. Un corps de poids P tourne autour d'un axe faisant l'angle y avec

Page  231 ENERGIE POTENTIELLE 231 la verticale. Son centre de gravite E est a une distance OE - OA - I, de l'axe (fig. 191). On demande l'expression de l'energie potentielle. Placons l'axe de rotation dans le plan xOz; reperons par l'angle 0 le centre de gravite E a partir de sa position la plus Axe basse A. L'6nergie cherclee e est une fonction de 0. Evaluons la hauteur ED = z en fonction de l'angle auxiliaire o compte a partir de la ligne des nceuds OB. On a: 0-?- 7: 2. c \ A Tragons la circonference ABA' d6crite par le centre de gravite et sa projection Fig. 191. sur le plan xOy. Le triangle spherique BED, rectangle en D, donne immediatement la relation: ED =z - 1 sin o sin +. Appelons WV0 l'nergie potentielle au point le plus bas; l',nergie a done pour expression: V =-V W, + PI(1 - cos O) sin +. lEvaluons le couple F qui tend a faire tourner le corps autour de son axe: dWi dr.-.-.- -PI sin 0sin. I1 tend a diminuer l'angle 0. L'equilibre est stable au point A (0 0), instable au point A' (0 - ). Si l'on reste au voisinage du point A, on pent developper cos 0 en serie; on a Pi W +W" y+-02 sin. Le couple a alors pour expression: F1 — P 0 sin L. Nous allons voir de suite a quoi correspond cette forme generale d'energie potentielle. On obtient tous les resultats precedents intuitivement, en posant que seule intervient la composante de la pesanteur parallele au plan dans lequel le centre de gravit6 doit se deplacer. Le probleme que nous venons de traiter est souvent applique: nous citerons par exemple les portes qui se referment d'elles-memes.

Page  232 232 S TA TIQ UE I1 suffit que l'axe de rotation soit incline de maniere que le centre de gravit6 soit le plus bas quand la porte est ferm6e. Nous retrouverons le meme artificice dans les sismographes. 2~ ENERGIE POTENTIELLE PROPORTIONNELLE AU CARRE D'UNE VARIABLE. Dans un tres grand nombre de problemes de la Physique et parmi les plus importants, on rencontre une force proportionnelle a 1'ecart a partir d'une position d'equilibre, un couple proportionnel a l'angle de torsion. A supposer que la force ou le couple soient parfaitement determines en fonction du deplacement ou de la torsion (absence d'hysteresis), il est clair que l'6nergie du systeme deforme disponible a partir d'une position donnee, est egale au travail necessaire pour atteindre cette position. On a done: rF- k, W=- / kO dL'energie potentielle est proportionnelle au carre de la variable. C'est precisement ce que nous avons obtenu pour un corps pesant tournant autour d'un axe, lorsque l'ecart a partir de la position d'equilibre est petit. Le couple est proportionnel a 0, l'energie potentielle a 02. C'est encore ce qu'on trouve dans la torsion, la flexion, et generalement toutes les deformations parfaitement elastiques des solides, dans la compression des liquides. L'energie potentielle est une fonction quadratique homogene des variables, fonction qu'on peut reduire a une somme de carres par des changements convenables dans le reperage des deformations. Comme nous rencontrons cette forme dans un tris grand nombre de problemes de Dynamique, nous n'insistons pas pour 'instant. 244. Un corps est simultanement soumis a la pesanteur et a un couple de torsion. - L'energie potentielle d'un systeme peut etre due a diverses causes agissant simultanement, pesanteur, torsion, etc. Voici un exemple tres simple d'un tel cas. Soit un corps tournant autour d'un axe incline sur l'horizon, comme au 4~ du ~ 240. Nous supposons maintenant que l'axe est constitue par un fil qui se tord pendant la deformation: il n'est pas tordu quand le centre de gravite est en A', dans sa position la plus elevee par cons6quent. L'energie potentielle a pour expression: W - Wo + Pl(1 - cos 0) sin k + - (7 - 0)2. Le couple est: r = — Pl sin 0 sin + k(7: - 0).

Page  233 tJNERGIE POTENTIELLE 233 Au voisinage de la position A', nous pouvons poser: r=(-) ( —Plsin ++k). Suivant les valeurs relatives des deux termes de la seconde parenthese, suivant que le fil l'emporte ou la pesanteur, l'equilibre en A' est stable ou instable. Supposons-le stable: le role de la pesanteur se reduit i diminuer apparamment la constante de torsion du fil. Tout se passe comme si le fil 6tait plus fin qu'il n'est en realite. Cette disposition a ete proposee pour augmenter la sensibilite des galvanometres a cadre mobile, sans diminuer outre mesure le diametre des ils de suspension. Le couple, qui 6quilibre le couple F, est du au passage d'un courant dans le cadre. Celui-ci porte une petite surcharge excentree qui amene son centre de gravite hors de l'axe de rotation constitue par les fils deformables. On regle la sensibilite de l'appareil en l'inclinant plus ou moins sur l'horizon. Si l'on ne superpose aucun couple a ceux qui resultent de la pesanteur et de la torsion du fil, et si la position A' est d'6quilibre instable, l'equilibre a lieu pour un angle 0 qui satisfait h la relation: - P sin + sin 0 + k(r ) - 0) = 0. II est 6vident qu'il existe une position d'6quilibre stable comprise entre 0 =0, 0 7. 242. Pendule cycloidal. - On demande une courbe plane OB telle que l'energie potentielle d'un corps pesant A qui la decrit, soit de la forme (fig. 192): W= py==ks2; (1) s est l'arc compte a partir du point O. D'apres les paragraphes prce6 -dents, il revient au meme de de- // i B mander que la force tangentielle a la courbe soit proportionnelle a la A / longueur de l'arc. --- La courbe cherch6e est une cycloide tangente en 0 a l'horizon- Fig. 192. tale Ox. L'equation des cycloides rapportees aux axes Ox et Oy, est d'apres le ~ 85: y = R(l - cos 0), x R(0 + sin 0); dy = R sin 0 do, dx = R(1 + cos 0) d0. On tire aisement de 1: 0 dy cos- dy ds = 2R cos- do, cos; (2) Vy V Y

Page  234 234 S TA TIQ UE L'identification des conditions (1) et (2) permet de determiner R en fonction des parametres p et k. Pratiquement, pour forcer le point A a decrire la cycloide, on s'appuie sur le theoreme denontr au ~ 86: la developpee de la cycloide est une cycloide egale convenablement d6placee. On attache le point A a un fil dont une extremite est fixee en D et dont la longueur est quatre fois le rayon du cercle generateur de la cycloide. Nous reviendrons la-dessus en Dynamique. 243. Energie potentielle mesuree par le flux d'un vecteur. - Les energies potentielles peuvent avoir les formes les plus diverses. En tilectromagnetisme, elles s'expriment generalement au moyen du flux d'un vecteur. Voici un exemple de ce cas. Nous supposons qu'il s'agit du champ cylindrique qui serait effectivement dui a un fil rectiligne indefini siege d'un courant; nous 1'avons etudie aux ~~ 43 et 50. Les surfaces equipotentielles sont des demi-plans limites a l'axe Oz; les lignes de force sont des circonf6rences; la force est en raison inverse de la distance a l'axe Oz. Nous supposerons que \7 a A, b -m - '! B 0 C Fig. 193. I'energie potentielle d'un contour ferme place dans ce champ est proportionnelle au flux du vecteur a travers le contour. Nous savons que le flux est conservatif; done notre hypothese a un sens. Nous donnerons un signe au flux; il sera positif ou negatif suivant qu'il entrera par l'une ou l'autre face d'une surface, d'ailleurs arbitraire, limitee au contour. Pour fixer les idees et ne pas nous livrer a des calculs inutiles, nous prendrons un cadre plan rectangulaire, de dimensions a et b; nous nous limiterons a des cas particuliers simples (fig. 193). I 10 EXPRESSION DU FLUX A TRAVERS UNE BANDE LIM1TIEE PAR DEUX DROITES PARALLELES A L'AXE Oz ET SITUEES DANS LE IMEIE PLAN QUE LUI. Le phenomene etant cylindrique, nous evaluerons le flux par unite de longueur. Soit r, et r2 les distances des deux droites a la droite Oz. Soit k r l'expression du vecteur. Le flux par unite de longueur est: Posons: er2 kdr r2 W = / ~ --- =/logr r, r1 r2-r -a; W -- klog-ij r /k log(1 +- ) fr, rn r, il vient:

Page  235 ENERGIE POTENTIELLE 235 Le flux ne depend que-du rapport a: r1. Nous pouvons diminuer la largeur de la bande, pourvu que nous la rapprochions de l'axe Oz dans le meme rapport. 2~ CADRE AYANT LES COTES PARALLELES A Oz ET MOBILE DANS LE PLAN xOz. L'energie potentielle du cadre est W=~kblog(l r) suivant la face qu'il presente au flux. Nous changeons le signe par un retournement. Pour avoir la force suivant la variable r, il suffit de deriver par rapport a r: F =- *I _ kb +- kab. dr L r + r r(r+-a) 3~ CADRE AYANT LES COTtS b PARALLiLES A OZ ET MOBILE AUTOUR DE L'UN D'ENTRE EUX (fig. 194). Figurons une projection sur le plan xOy. Le probleme revient a determiner a quelles distances de laxe Oz se trouvent simultane- 'a\ ment les deux c6tes du cadre qui lui sont o paralleles, en fonction de la variable 0 qui mesure la rotation. Soit r, la distance invariable OC du cote qui sert d'axe. On a dans le triangle ODC: ' r9r2 + a2 2r2 cos. Fig. 194. rI r-2 - 2ra cos 0 Le flux a travers le cadre est en fonction de 0 ~WV klog 2 - k log2 k |, 2 k a ~ - log tt -2 r cos Le couple qui fait tourner le cadre autour de l'axe C, est donc, en posant a:r2- h: dwV kh sin 0 -T dO -d- - + h2 - 2hcos0 Le couple est nul pour 0 -0, 0 = —. En effet, le flux et l'energie potentielle sont maximums pour l'une de ces positions, minimums pour l'autre. Pour savoir oui est le maximum, il faut regler la question de signe du flux. Faisons h tres petit, k tres grand; posons hk- Ir. Nous sommes

Page  236 236 S TA TIQ UE sensiblement dans le cas d'un champ uniforme; les lignes de force sont sensiblement paralleles et normales au plan xOz. On a: - F 0 sin 0, formule sur laquelle repose la theorie du galvanometre a cadre mobile. 4~ CADRE SITUE DANS LE PLAN xOz ET TOURNANT AUTOUR D'UNE DROITE NORMALE A SON PLAN. Nous ne ferons pas le calcul, mais les resultats sont faciles a prevoir en gros. L'etude de la derivee de 1: r nous apprend que si, a partir d'une position donnee, une petite surface dS s'approche de Ar, tandis qu'une petite surface d'aire egale s'l1oigne de la meme quantit6, la compensation n'a pas lieu; le flux croit en valeur absolue. II r6sulte immediatement de la que le cadre tournant autour de son centre de figure M est en equilibre stable ou instable, quand deux de ses cotes sont paralleles h l'axe Oz. L'alternative depend de la maniere de definir le flux positif. Ce resultat est encore exact si l'axe de rotation se trouve sur lune ou l'autre des droites joignant les milieux des cotes opposes. On peut imaginer sans difficulte toute une serie d'autres cas particuliers. 244. Energie potentielle de surface: capillarite. - L'energie potentielle peut dependre de l'aire d'une surface. Par exemple, toute la Capillarite est fondee sur la proposition suivante: Sur la surface limitant deux milieux reside une energie potentielle qui ne depend que de 'aire de la surface, et de parametres tels que la temperature, la difference de potentiel electrique, etc. En particulier, l'dnergie potentielle par unite d'aire ne depend pas des courbures de la surface. Soit un systeme forme de milieux 1, 2,..., n. Pour determiner son etat d'equilibre, nous devons ecrire qu'une expression de la forme ZAj S+, (1)+w est minima; A^j repr6sente l'energie, par unite d'aire et dans les conditions actuelles, de la surface de contact des milieux i et j; Sj represente l'aire de contact; W represente la somme des energies potentielles dues a la pesanteur par exemple. Dans le probleme actuel, les liaisons sont des conditions telles que l'existence de parois solides, indeformables par les forces en jeu, l'invariabilite d'une masse liquide et son incompressibilite pratique, etc. Toute la Capillarite proprement dite n'est que le developpement de l'equation (1). Elle a ete mise sous cette forme par l'illustre Gauss. Elle se ramene donc a des problrnes qui dependent explicitement ou implicitement de la Methode des variations.

Page  237 ENERGIE POTENTIELLE 237 Attractions en raison inverse du carre des distances. 245. Forces en raison inverse du carre des distances; potentiel correspondant. - Nous etudierons dans les paragraphes suivants les actions en raison inverse du carr6 des distances. Par hypothese, une masse punctiforme m agit sur une autre masse m' suivant la droite mm' (force centrale), proportionnellement au produit mm' et en raison inverse du carre de la distance r. mm' F ---- r Pour faire rentrer dans notre etude 1'Electricite et le Magnetisme, nous supposerons que les masses (dont la nature importe peu) sont susceptibles de deux specifications opposees, que nous appellerons positive et negative. Le changement d'une specification en l'autre intervertit seulement le sens de la force: sa direction et sa grandeur restent les memes. Nous prendrons, pour potentiel de l'intensite du champ cree sur un point P par une masse m situee en un point M, la quantit6: V_-. r La grandeur du champ suivant la direction MP est par consequent: aV m Or r2 Les signes choisis conviennent parfaitement a l'Electricite et au Magnetisme, pour lesquels les agents de meme denomination se repoussent. En effet, I'intensite d'un champ n'est pas une force: la force n'existe qu'a l'etat virtuel; elle existera reellement quand nous disposerons au point P une autre masse m'. Si nous la supposons de meme denomination que la premiere, la force a pour expression bV mm' F -m - -mOr r2 elle est positive et par consequent dirigee dans le sens ou la variable r croit; elle est donc repulsive. Quand il s'agira de la Gravitation universelle, oui les masses de meme denomination s'attirent, nous en serons quitte pour changer le signe du potentiel; il n'y a jamais difficulte. Quand il existe des masses punctiformes en nombre fini (ou par generalisation des masses distribuees d'une maniere continue), nous admettons que leurs actions sont independantes de l'existence les unes des autres. Le potentiel, qui est une quantite scalaire, sera donc la

Page  238 238 STA TIQ UE somme algebrique des potentiels respectivement dus a chacune des masses. Nous aurons: V mn V f/ pAdv suivant les cas. Voici ce que signifient ces deux expressions (fig. 195). Pour obtenir en un point P le potentiel du a des masses punctiformes m, m2,..., situees en des points Mj, Ms,..., nous determinons les distances MiP -= r, MP r,,..., et nous faisons la somme: 1 ml +M2 +_E m Quand les masses sont continues, nous definissons d'abord une densite de volume p; c'est le coefficient par lequel il faut multiplier M l'6element de volume dv pour obtenir '- l'6elment de masse. Puis nous procedons comme plus haut la somme Tr / p est remplacee par une int6grale eten_M2,~ ~ due a tous les volumes pour lesquels " / ~3 la densite n'est pas nulle. 0 /W On verifie immediatement que le potentiel satisfait a l'equation de / iM, Laplace en dehors des masses agissantes (~ 49). Fig. 195. I1 suffit de montrer que la fonction 1 r y satisfait; car il en resul-,ra que la somme d'autant de quantit6s '1 r qu'on voudra y te satisfait aussi. Soit x, y, z, les coordonnees du point P; x, yi, z, les coordonnees du point Mi. Donnons au point P un petit deplacement PP' et determinons les derivees partielles de ri par rapport aux coordonnees x, y, z, du point P. On a: r = x - x) + - yi)2 + ( - Zi)2 1ri dr, - (x - xi)} x (y -y ) dy + (z - zi) lz; i>)3 x —i 6x 7li - __y y-Yi y ~ 7'r. ri Z -- z 0:~~~~~~~~~~ 0 / 1 \ x-x1 r Xj Vx 7/ r_ 6 X7 r - r 4b2 X ] g i i 7 xi r Ox2 ) \.J - ~' ~ 77~ ) = + Ox /2 1 3 (x x)' - 3(x - x)4-2 0 x72 (r - r ~-_i _i

Page  239 ENERGIE POTENTIELLE 239 On obtient deux expressions symetriques en y et en z. Additionnant, il vient brM (J)+ 6y2 \)+ 02 ('i 0. Le flux du vecteur intensite du champ est donc conservatif en dehors des masses agissantes. 246. Equation de Poisson. - I1 s'agit de savoir ce qui arrive pres des masses agissantes. Et tout d'abord ecartons une difficulte qui ne manque pas d'arreter les d6butants. La force est en raison inverse du carre des distances; il semble done que tout pres des masses agissantes la force devienne infinie. 11 n'en est rien parce qu'on ne se rapproche infiniment pres que d'une masse infiniment petite. La force a pour expression: p dv ' r2. Assurement r2 tend rapidement vers 0, mais dv s'annule encore plus rapidement. Tout le secret du fait que les forces restent finies tient dans cette remarque. Pour 6tudier ce qui se passe pres des masses agissantes, la methode la d N plus simple est geom6trique et fond6e N sur la consideration des angles solides (fig. 196). Un cone quelconque de sommet 0 o d6limite sur la sphere S1 de centre O et de rayon I une aire s qui par definition mresure l'angle solide du cone. I1 peut varier de 0 a 4:,; c'est un nombre, autrement dit ses dimensions 1 sont nulles..Soit une surface quelconque S. Un cone de sommet O et d'angle solide infiniment petit dw decoupe sur la surface un element d'aire dS. Soit l la distance OA; soit, l'angle de la direction moyenne AN' des g6neratrices du cone avec la normale AN a la surface. On a evidS cos a demment: do - s Lorsque la surface a deux faces distinctes, l'angle solide est susceptible de deux determinations, suivant que du sommet on voit l'une ou l'autre face. G6neralement nous distinguerons les faces et les angles solides par les signes + et -. Ceci pose, montrons que le flux envoye par une masse punctiforme nm a travers une surface qu'elle voit sous un angle solide infiniment petit do, est: mn do.

Page  240 240 S TA TIQ UE En effet, soit dS l'e6ment a travers lequel nous evaluons le flux. La force est: m r2; elle est dirig6e suivant AN'. Le flux est: m r2 dS cos o= m dco. COROLLAIRES. 1~ Le flux etant independant de la position de l'dlement dS, on peut parler sans ambiguite du flux envoye dans un cone d(: le flux est le meme a travers les elements que decoupe le cone sur des surfaces quelconques. Cela revient a dire que le flux est conservatif hors des masses agissantes, ce que nous savons deja (~ 245). 20 Les flux s'additionnant algebriquement (ici arithmetiquement), la proposition s'applique a un cone d'angle fini quelconque o. 30 Nous pouvons parler sans ambiguite du flux a travers un contour ferme; c'est le flux envoy6 dans le cone qui a pour sommet le point agissant et qui s'appuie sur le contour. 4~ A travers une surface ferm6e quelconque, le flux est: m dcz= 4wm, si le point agissant est dans la surface. 50 Si le point agissant est hors de la surface fermee, le flux total est nul. En effet, consid6rons le contour apparent de la surface vue du point agissant. I1 la separe en deux portions S, et S2, a travers lesquelles le flux est le m6me en valeur absolue (3~). Mais dans l'un des cas il entre dans la surface, dans l'autre cas il sort de la surface: la somme est nulle. Nous pouvons affecter d'un signe la face externe et du signe contraire la face interne; la proposition s'enonce en disant que la somme alg6brique des flux est nulle. 6~ La surface fermee est traversee soit deux fois, soit un nombre pair de fois par une droite emanant du point agissant. Les propositions 4~ et 5~ s'appliquent, quelles que soient les complications de la surface, en considerant comme positifs les flux qui sortent et negatifs les flux qui entrent. 70 S'il y a un nombre quelconque de masses (positives ou negatives) a l'interieur de la surface ferm6e, le flux total est 4k,=m. Le flux sortant est en exces, quand Ym> 0; il est en defaut, quand 2m <0. Exprimons analytiquement les resultats precedents. Ecrivons que le flux a travers l'6elment dv est 6gal a 47 fois la somme des masses contenues dans l'dlement: - Vdv- 4,p dv, VV+4-p = 0, ou p est la densite de volume. Telle est l'equation de Poisson qui regit les variations du potentiel au voisinage des masses agissantes.

Page  241 ENERGIE POTENTIELLE 241 247. Action sur un point ext6rieur d'une couche spherique, uniforme, infiniment mince. - Soit 0 le centre de cette couche, R son rayon, c la densit6 superficielle. Evaluons le flux a travers une sphere concentrique S de rayon r. Par raison de symetrie, les lignes - ~. de force hors de la couche sont des rayons AB, A'B',...; la force est constante en tous les points de S B / et normale a S. Soit F sa valeur, le flux de force a pour expression: 47ir2F. I1 doit etre egal a 4hrm. ' D'ou: F= -. -r2 Fig. 197. Done la force exercee en un Fig. 197. point quelconque par une couche spherique, uniforme, infiniment mince, est la meme que si toute la masse etait concentree au centre de la couche (Newton). COROLLAIRES. 1~ La proposition s'applique evidemment a une couche d'epaisseur quelconque de densit6 constante, ou meme a une couche d'epaisseur quelconque formee de couches concentriques de densites constantes. 2~ Evaluons la force a la surface; il faut faire r — R; d'ailleurs mn-= 4-. R2C; d'ou: F= 4C. Nous verrons que cette proposition est vraie d'une maniere absolument g6enrale (~ 255). 248. Reciproque: loi d'attraction telle qu'une couche spherique uniforme attire comme si elle etait concentree en son centre. - Reprenons le probleme par la m6thode gn6erale (fig. 198). Soit F(p) le potentiel cree par la masse punctiforme unite a la \B distance p. Calculons le poten- O A tiel V cree en un point A par une couche spherique uniforme de densite c. La zone comprise entre les deux cones de demi-angles au sommet 0 et 0-+dO, a pour aire: 2R'2sin0d0. Le potentiel V est done: V -- 2R r F() sin 0 d- F) sn 0 d V 2i^R2^ F(p) sin 0 dO = 2 F(p) sin 0 do. uous e Pysqu.o H.BASEo1 tlours de Physique. - H. BOUASSE. 16

Page  242 242 S TA TIQ UE On a: p2=R+ r2 —2Rrcos, pdp =-Rr sin dO; d'ou: V -2Rr F(p)pdp. L'integrale doit etre prise de B a C, soit entre les limites r-R et r+ R. Si F(p) =: p, on retrouve bien: V=M: r. Ceci pose, ecrivons que tout se passe comme si la matiere etait concentree au point 0. I1 suffit pour cela que le potentiel soit la somme de deux fonctions ne dependant respectivement que de r et de R. Dans les derivations par rapport a r donnant la force au point A, la fonction du rayon R disparait. La fonction de r est d'ailleurs connue: c'est evidemment F(r). Nous avons done identiquement: /'+ F(p)p dp =,(r + R) - (r — R) =Rr[F(r) + F,(R)]. Derivons deux fois par rapport a r, et ensuite par rapport a R; appelons i' et f" les d6rivees par rapport a la variable r —R ou r- B, suivant les cas; il vient: dF d2F +t"(r+R) - "(r-R) =2R d - Rr dr2,(r R) - "(r - R) =2r dt + Rr dR. Egalons membre a membre et divisons par Rr: 2 dF d2F 2 dF, d2F, r dr + dr2 - R dK + dg2 = Constante- C, puisque les deux membres de la premiere de ces equations ne dependent respectivement que d'une des variables r ou R. Pour satisfaire a cette condition, on doit avoir dF Cr D dr 3 + r2 La loi en raison inverse du carre de la distance est done la seule loi pour laquelle l'attraction diminue avec la distance, et pour laquelle une couche spherique uniforme attire comme si elle etait concentree en son centre. REMARQUE. Dans le cas d'une attraction proportionnelle a la distance, tout se passe comme si la masse M entiere etait concentree en son centre de masse, quelle que soit sa distribution. Soit en effet F(p) - p2 le potentiel cree par une masse punctiforme.

Page  243 ENERGIE POTENTIELLE 243 Prenons le centre de masse du corps attirant pour origine des coordonnees. Appelons t, v, t, les coordonnees d'un point attirant, x, y, z, celles du point attire. Le potentiel total a pour expression: V- ff d fff(x -)2 (y_ - - + (z - ] dm - Mr2 +fff R2 dm - 2xJ/I d - 2yf dnm - 2zf f^ d m. Mais l'origine etant le centre de gravit6, les trois derniers termes sont nuls: V Mr2 +fff dm. L'integrale ne dependant pas de r, l'action au point attire ne depend que de Mr2. Tout se passe bien comme si la masse entiere etait concentr6e au centre de gravit6. Dans le cas d'une couche spherique, on a: v = M(R2- 12) 249. Action sur un point interieur d'une couche spherique, uniforme, infiniment mince. - Soit A un point quelconque (fig. 199). P Menons le diametre AO et le plan d/ PQ normal a ce diam6tre. Tracons deux cones infiniment petits opposes par le sommet A et d'angle solide N do: ils decoupent sur la couche 0 deux elements dS et dS', faisant r'y/S avec les generatrices le meme angle oc. Leurs charges agissent en sens contraires suivant la meme direction. Q Les forces qu'ils exercent sont proportionnelles a: dS do~ dS' d6o F FI r2 sin - r'2 sin a' elles sont done 6gales: les actions des elements consideres s'equilibrent. Sans rien n6gliger, nous pouvons decomposer la surface spherique en groupes de deux elements dont les effets se d6truisent. Pour chaque groupe, les 6elments sont de part et d'autre du plan PQ. Done laction totale de la couche spherique en tout point int6rieur est nulle. 250. R6ciproquement, parmi toutes les lois fonction de la distance, la loi en raison inverse du carre est la seule pour

Page  244 244 S TA TIQ UE laquelle Faction de la couche uniforme, spherique, est nulle en tout point interieur. - En effet, soit?(r) r2 la loi de la distance. Si o(r) est constant, l'action est nulle. Supposons done que?(r) ne soit pas constant: nous pourrons toujours trouver deux limites r1 et r2 entre lesquelles (r7) varie dans le meme sens, croisse par exemple d: o dr 0. Traqons une sphere de diametre r,- +- r, et considerons le point A tel que: AM r, AN -- r. Pour les deux cones oppos6s par le sommet, les forces sont: F^^^ ^ ^-^ ^, F-^^ ^ld,.?,. F -dS () -s dS. () do,, sinm. a(), r 7' sina o( ) Puisque r est plus grand que r' et que do: cdr>O, on a: F>F'. Cette conclusion vaut pour un groupe quelconque d'elements dS, dS', pris de part et d'autre du plan PQ. Comme cette division en groupes ne n6glige aucune partie de la surface spherique, l'action totale de cette surface ne peut etre nulle au point A. Done si l'action est nulle, o(7r) est constant. CQFD. 251. Action d'une sphere homogene sur un point situe a l'interieure - Soit R le rayon de la sph6re, soit r la distance du point consider6 au centre de cette sphere. Toutes les couches dont les rayons sont compris entre R et r n'ont aucune action: la seule action resulte de la sphere de rayon r. Tout se passe (~ 247) comme si sa masse entiere 47r3 3 etait concentree en son centre et agissait a la distance r en raison inverse de 7r. La force est done radiale et 6gale a: 4 7r3 4 F -_? 2- - 3, -?r. Elle est proportionnelle a la distance au centre. Representons 'attraction en ordonnees en fonction de la distance r au centre port6e en abscisses A ~fr7actfnn ((fig. 200). La courbe est une droite entre r - 0 et r- R;......./ \ elle devient ensuite une hyperbole cubique. Les deux courbes ne se raccordent pas tangen/ __ tiellem-ent; elles se coupent ----------- sous un angle fini pour r - R. Fi 200. Le poids P varie d'une maniere continue, mais sa d6rivee dP' dr presente une discontinuit6 pour r —R.

Page  245 ENERGIE POTENTIELLE 245 252. Application a la Terre. - I1 est impossible meme approximativement de traiter la Terre comme une sphere homogene. Considerons-la comme formee de couches sph6riques homogenes. On salt que sa densite globale moyenne est A\m 5,53 (~ 585), tandis que la densite moyenne a la surface est A0 -2,5. Pour aller plus loin, admettons la loi de variation: A - po 1-0a R) oih R est le rayon terrestre. La masse contenue dans une sphere de rayon r est: / r /~~ r2 \~ p,:r3 ar 5 M — 4po (- 4:?d0r 41po. - s~o 3 Ecrivons que la densite moyenne est 5,53 et que la densit6 a la surface est 2,5: p0 l - - 5,53, p (i - ) = 2,75. On tire de la: po = t0 a- - 0,76. Avec cette loi d'accroissement, la densit6 serait 10 au centre de la Terre. Calculons l'attraction sur un point situe a une distance r du centre; on trouve aisemnent: F_ -t0r I -3 R j)-?w0 or7 '(1-O046.) Le poids ne diminue donc pas constamment a partir de la surface; il commence par croitre comme lFindique la courbe en pointille (fig. 200). 11 passe par un maximum quand la condition:: R_ =0,85, est satisfaite. Le rapport du poids maximum au poids at la surface est: 0,85 [I - 0,46. 0,852] [ - 0,46j =1,06. Pour calculer l'effet d'un rapprochement du centre (descente dans un puits de mine) gal a h et petit par rapport au rayon terrestre, remplacons dans la formule r par P - h. Le facteur de correction devient: I - 0,7(h: R). Il indique un accroissement de poids de l'ordre du dix-millieme, au fond d'un puits de mine d'un kilometre de profondeur; en gros ce resultat est conforme a l'experience. Au moyen du pendule, Airy a trouve qu'au fond d'un puits de mine de 385 metres, la pesanteur est augmentee de 1: 9550 environ. Le rayon terrestre valant 6366 kilom6tres en moyenne, le quotient

Page  246 246 S TA TIQUE h 'R est egal a 4 1 6500. La formule indique une augmentation de I 23600, plus petite que l'augmentation mesuree. I1 suffit d'admettre que la densite moyenne A0 a la surface est inferieure a 2,5 et voisine de 2,15, pour trouver un facteur de correction: + 0,85(h: R), qui donne presque exactement le resultat d'Airy. 253. Potentiel cree sur la surface d'une sphere par une masse suffisamment eloignee. - Assimilons la masse agissante a un point A (fig. 198). C'est un corps de forme quelconque suffisamment eloignd. A mesure qu'il est plus legitime de l'assimiler a une sphere homogene ou composee de couches spheriques concentriques homogenes, on peut supposer sa distance moins petite par rapport a ses dimensions, sans qu'il en resulte d'erreur sensible provenant de la reduction h un point. Calculons le potentiel V sur la surface d'une sphere de rayon R. A un coefficient pres (masse concentree en A), il a pour expression au point M V -- \/ 2- ' 2r rcos 0= 1 r V+ h — 2h cos 0 en posant: R r= h. Nous pouvons developper le radical en serie, comme il est explique au ~ 58. Nous obtenons: V -= (Po + AP, + h2P2 - +..). Explicitons les polynomes P de Legendre; il vient: 1 R R2 3cs20-1 R3 5cos3 O-3cos o V + --- 4 r+cos 0+ -3. 2 -,.+ -h -.... r r C 2 + 2 Cette expression tres importante est a la base de la Theorie des marees. Le point A est le Soleil on la Lune. Nous n'insisterons pas ici; nous retrouverons la question en Mecanique physique. 254. Action d'un plan recou/ vert d'une couche uniforme de j ~/ ~ densite superficielle c. - Par rai-,zCo i son de symetrie, la force F que nous cherchons est dirigee suivant la norD male AO abaissee du point A considere sur le plan agissant. Additionnons ii' ^\IS edone toutes les composantes suivant I-u — -AO des forces f dues a chaque e1 -ment de la couche. Decomposons la couche en anneaux Fig. 201. de centre 0, de rayon r et d'epais

Page  247 ENERGIE PO TENTIELLE 247 seur dr. La force exercee en A, suivant AO, par un tel anneau, est: r dr dF = 2W 2 2 cos 0 = 27: sin 0 dO, F = 2ro(1 - cos 0). Pour le plan indefini, il faut poser: O =: 2; d'oui le resultat classique: F=27,a. 255. Discontinuite produite par une couche de densite c. elquation de passage. - Appelons 1 et 2 les deux parties du milieu situees de part et d'autre de la couche. La couche peut etre repartie sur une surface quelconque, et la densite peut etre variable d'un point a l'autre; au voisinage de la surface, les effets sont les memes que si la densite etait constante et la surface plane et indefinie. Soit F, la composante de la force normale a la couche en un point du milieu 1 tris voisin de cette couche; elle est comptee positivement vers le milieu 4. Soit de meme F, la composante de la force normale a la couche, en un point du milieu 2 tr&s voisin; elle est comptee positivement vers le milieu 2. Nous savons (~ 2.54) que la couche de densite 7, (qui peut etre considere comme plane et indefinie en vertu de la proximite du point agi), exerce une action normale et egale a 27,. S'il n'y avait dans l'espace que cette couche pour produire le champ, on aurait simplement: F, = F2 - 2, F, +- F. =- 4t. Mais, a l'action de la surface agissante, s'ajoute un champ continu qui donne en valeur absolue la m6me composante normale de part et d'autre de la surface. Avec nos conventions de signes, il produit de part et d'autre de la surface des composantes egales et de signes contraires. Nous avons done encore: F, - F2=4, ou F1 et Fo sont maintenant les composantes normales totales. Reperons les normales vers les deux milieux au moyen des distances n1 et n2 compt6es sur elles a partir d'origines quelconques et dans les sens convenus. On a (~ 39) b v 6V b6V _ V FP. ---, F2 —an2; - -+ — = +4T ~0. F1 6On,~' nF2 bn1 +n2 + Les composantes tangentielles de la force sont evidemment continues: la discontinuite ne porte que sur les composantes normales. Si la force est nulle d'un cote de la couche, elle est normale a la couche et egale a 4Ax de l'autre cote. Le theoreme est du a Laplace; il sert h tout instant en llectricite statique. Nous en verrons une application au ~ 270.

Page  248 CHAPITRE V FIGURE DE LA TERRE Tant comme application des potentiels et de l'attraction des ellipsoides (dont les physiciens ne pourraient se passer en Electricit6 et en Magnetisme) que commre illustration du role du pendule (qui tient tant de place dans l'enseignement secondaire et superieur), il est utile d'exposer le probleme de la Geodesie, tout en laissant de cote les questions trop difficiles. Ainsi le lecteur apprendra, avantage qui n'est pas negligeable, la relativite de plusieurs notions fondamentales dont il a coutume d'user avec une entiere securite. Toutefois il pourra passer ce Chapitre dans une premiere lecture. Etude jgeometrique de 1'ellipsoide terrestre. 256. Formules relatives a l'ellipse en fonction de la latitude. - Soit representee xe Y (fig. 202) la meridienne de ^^- ^ p.' Vl'ellipsoide de revolution aplati B/.^ < ~~~auquel nous assimilons la Terre; posons f o~ i2 I x OA a, OB =b. \/n jA T On appelle excentricite la \.~N /yc lquantit: ja2 - b2:a-e; d'oh: ]b==a/i —e2. Fig. 202. d'ou b a e On utilise souvent une seconde espece d'excentricite definie par la relation "/a2- b: b -E; d'ou: a=b/+- E2.. On v6rifiera immediatement l'equation *(1 - e) (1 + E) _ 1, E2 - e2 E2; donc, partout oui nous negligerons les termes en e4 ou en E4, nous poserons e2-=E2.

Page  249 FIGURE DE LA TERRE 249 On appelle aplatissement ou ellipticite la quantite (a — ): a = a. On trouve ais6ment e2 e4 2a - a2 e2, et par approximation: a=- -2- 8 Nous posons done aC e2: 2, chaque fois que nous negligeons les termes en e4. On utilise quelquefois l'aplatissement defini par la relation (a - ): b =-. On a: (4 -c)( +,) —, -3 - o-; done, partout ou nous negligeons les termes en e4 ou en E4, nous poserons a --. Pour fixer les idees sur les approximations qui vont suivre, on a pour l'ellipsoide terrestre o - I: 300 0,00333, c' 0,00666. Les termes en e'; sont de l'ordre du vingt-millieme; or les quantite a et e2 ne sont guere connues a plus du centieme. C'est done en toute legitimite que nous poserons e =E2, a — 3. Nous prendrons pour variable la latitude 1; c'est langle de la normale PN avec le grand axe de l'ellipse OA, c'est-a-dire avec l'equateur de lellipsoide aplati. Nous utiliserons de plus la latitude reduite, - P'0A; la latitude 9geocentrique, h -- POA. Considerant l'ellipse comme la projection d'un cercle, on a immediatement: tgh tg Menons les tangentes PT et P'T a l'ellipse et au cercle. Les angles PTO et P'TO etant les complements de I et de i, on a: b L tg) g- tgl, et par suite tg=h - tg. Evaluons x et y (coordonn6es de P) en fonction de l. On a _j_? - C _ bdx -_ I a" + b2 1 dx a - tg I a2cos I a cos V sin2 1 + a2 cos2 I \/ -- e2 sin2 ' (1) b2 sin I a(l e2) sin \b2 sin2 1 +- a2 cos1 - / 1 - Ce sin2 I

Page  250 250 STATIQUE On appelle petite normale la longueur n — Pn, grande normale la longueur N — PN. cx a Y a(l -e2) N = cos /l-1 sin sin1 2 -esin ) 257. Rayon de courbure, arc d'un degr6. - Partons de la formule _p= +( J) -2 dy = (sin31 d j On a: d2 y d dy_ I dl dx 1 dx2 dx \dxJ sin2 dx ' P dl sin ' On trouve ais6ment, en differentiant la formule donnant x en fonction de I: dx - a(4- e) sin I a(I -e2) d l (1 -- ~ s i n (1- e2sin2 1) 2 (4 e sin2 1) L'arc d'un degre de meridienne est sensiblement A-= p7: 180; dans l'expression de p, on remplacera 1 par la latitude moyenne. Negligeons les puissances de e2 sup6rieures h la seconde; la formule se simplifie A = 7a( -e2) 3.a esin1. 1T8 2 - e sin2. L'arc de meridienne d'un degre croit de l'equateur au pole d'une quantite proportionnelle an carr6 du sinus de la latitude. 258. Rectification d'un arc d'ellipse compris entre deux latitudes l0 et 1. - La diff6rentielle de l'arc se tire immediatement de la formule donnant le rayon de courbure ds = i=- a(i — e2)dlI (1 - e2 sin2 1) 2 La quantite e2 etant tres petite, nous pouvons developper en serie par la formule du binome:.~ 3 1 35e (t - e" sin 1)- 1 + sin + -6 e6 sin6 1 +... Nous pouvons remplacer les puissances du sinus par leur expres

Page  251 fIGURE DE LA TERRE 251 sion en fonction des cosinus des multiples de larc, et nous borner aux termes en e4, ce qui est largement suffisant. On a: 1 cos 21 3 cos 21 cos 41 sin 2 - 1 - sin 1 - - + 2 ' 2 + '8 ds: dl = a(1-e2)(A+ B cos 2 + Ccos 4 +...), -B= +3 _ 15e e - CB - e2 el C e Effectuons les calculs, integrons entre les limites lo et 1l; il vient en ddfinitive s -- a 1 --- 63 e, (1, - lo) + e+ -a32 e,) (sin 21 -sin 210)+- 6 e(sin4l- sin4lo). (1) Si done on connait deux arcs de m6ridienne s, d'amplitude 1- lo, et de latitude moyenne I 1(l-1 lo) 2, on pourra, grace h la formule (1), determiner a et e, c'est-a-dire le rayon equatorial de l'ellipsoide et le carre de son excentricite (ou, ce qui revient au meme, le double de son aplatissement). On trouve, m etant l'amplitude s a —a - e — 64 (+ w (e2 +|- v 4) s.inmco2 ee sin 2mcos2 e. On procedera par approximations successives, ne conservant d'abord que les premiers termes du developpement, et rempla'ant ensuite dans le reste les inconnues par les resultats trouves. 259. Application a la Terre. - Theoriquement, et sans qu'il soit necessaire d'insister sur les operations geod6siques, on conqoit comme possible de determiner la forme de la Terre sans poser aucune hypothese. Enserrons-la tout entiere dans un polyedre d'un tres grand nombre de faces, dont les sommets sont des points remarquables (clochers, pics, signaux de nature quelconque). Mesurons les triangles formes par ces points: nous les pouvons considerer comme plans. Plaqons-nous sur un des signaux, et determinons l'angle, avec une droite invariable de reference, des plans de tous les triangles qui y aboutissent: nous en possedons une fort commode, la verticale ou direction du fil a plomb; nous ne lui demanderons que d'etre invariable.

Page  252 252 S TA TIQUE I1 va de soi que nous pourrons construire une figure semblable a celle de la Terre. Mais il est non moins evident que si nous attendions le resultat de ce travail diabolique pour avoir une id6e de la forme de notre demeure, nous pourrions quitter l'espoir de lacquerir de notre vivant. Nous verrons d'ailleurs plus loin que l'operation, correcte en theorie, est pratiquement impossible. On procede d'une faqon exactement inverse; on procede comme dans toutes les parties de la Physique: on fait une hypothese et l'on regarde comment les faits peu nombreux que l'on connait veulent bien s'y loger Or, ici, l'hypothese est si naturelle qu'elle a frapp6 les premiers qui se sont occupes de la question: Newton, Clairault, Laplace. On remarque que la majeure partie de notre globe est couverte d'eau; de plus, l'exp6rience vulgaire apprend que la d6clivite des plus grands fleuves est tres faible; d'ou la conclusion que la surface terrestre ne s'eloigne pas beaucoup de ce qu'elle serait, si elle etait enti6rement couverte d'eau. Les mecaniciens se sont alors demande quelle doit etre la surface d'equilibre d'une masse fluide homogene, anim6e d'un mouvement rotatoire d'ensemble uniforme, sous l'influence des attractions mutuelles entre ses parties suivant la loi 6noncee par Newton. Ils ont trouv6 que l'ellipsoide de revolution satisfait aux conditions impos6es: nous d6montrerons plus loin ce theoreme (~ 276). Admettons done que la surface terrestre est un ellipsoide de revolution aplati suivant son axe, et essayons de verifier l'hypothese. Nous ne serious guere plus avance si l'hypothese ne fournissait pas un renseignement supplenentaire: la pesanteur (c'est-a-dire la resultante de l'attraction nmtuelle des parties de V'ellipsoi'de et de la force centrifuge consequence de la rotation, ~ 278) est norrnale a la surface moyenne des mers qui est une surface de niveau, une surface equipotentielle du potentiel resultant de la gravite et de la force centrifuge. Ce que vaut ce systeme d'hypotheses, c'est aux resultats qu'il faut le demander; toute discussion a priori serait privee de bases. Operons comme s'il 6tait correct, nous verrons ensuite. 260. Coordonnees g6ographiques. - Rappelons les definitions des coordonnees geographiques, afin d'en bien montrer la relativite. Elles s'appuient sur l'hypothese que la Terre tourne d'un mouvement uniforme.; elles sont rapport6es a une droite de reference qui est la verticale (c'est-a-dire la direction de la pesanteur), dont a priori 'nous le savons riel.

Page  253 FIGURE DE LA TERRE 253 Nous appelons mneridien d'un liei, eI plan qui passe par la verticale de ce lieu et par la direction de l'axe de la Terre. Nous nous garderons bien de dire: qui passe par la verticale du lieu et l'axe de la Terre, parce que ce serait poser que la verticale coupe cet axe, ce dont nous ne savons absolument rien, et ce qui du reste doit etre gen6ralement faux. Par dcfinition, sont sur le ni6me m6ridien geographique les lieux qui simultanement voient passer la mrne etoile dans leur mdridien. I1 resulte imm6diatement de cette definition que les lieux de mmee meridien geographique ne sont pas n6cessairement dans le meme plan; ils se disposent g6enralement sur une courbe gauche quelconque. Nous trouvons done deux definitions du meridien geographique 1~ La dfinition elernentaire: le meridien geographique d'un lieu est le plani passant par ce lieu et par I'axe de rotation de la Terre. Elle est theoriqueiment simple; malheureusement nous ne connaissons aucun procede exp6rimental qui nous dise si deux ou plusieurs points sont ou non dans un meme plan passant par l'axe de rotation de la Terre. Cela tient a ce qu'experim7entalemntent laxe de la Terre ne nous est donne qu'en direction. 20 La definition experimentale rappelee ci-dessus necessite l'emploi de la verticale. En fait, elle supprime le meridien en tant que plan. Si on veut consid6rer l'ensemble des points 2 l'interieur de la Terre, le meridien est une surface gauche. L'hypothese de l'uniformite de la rotation terrestre nous permet de reperer les courbes gauches meridiennes h partir de l'une d'elles prise pour repere la cote s'appelle longitude. Nous retrouverons les memes considerations dans la definition des paralleles et de la latitude. La colatitude d'un lieu est langle de sa verticale avec la direction de l'axe de la Terre, direction determinee par le mouvement apparent des etoiles; la latitude est le complement de la colatitude. Les paralleles sont les lieux de ueme latitude. Impossible de conclure que les paralleles sont des plans normaux a i'axe de rotation. Cela impliquerait que les verticales de la trace d'un tel plan sur la surface terrestre coupent l'axe au meme point, ce dont nous ne savons absolument rien. Les lieux de la surface terrestre qui out meme latitude sont a priori sur une courbe gauche quelconque. Meimes difficultes, quoique d'un autre ordre, pour la definition des lignes geodesiques. Nous avons vu au ~ 175 qu'on les obtient en jalonnant une surface quelconque par des jalons normaux a la surface, de maniere que le jalon de numero n efface le mieux possible le jalon de numero - + 1, pour lobservateur place au pied du jalon n - i.

Page  254 254 STA TIQUE Dans le trace experimental d'une geodesique, l'hypothese est done qu'on pourra disposer des jalons suivant la normale a la surface terrestre. Or la verticale n'est evidemment pas normale a la surface reelle. Elle est normale a une surface a priori inconnue, dont nous ne connaissons que la direction du plan tangent; de sorte que nous tracons une courbe de longueur minima sur une surface que nous ne connaissons pas: nous voici vraiment bien avances. L'hypothese de l'ellipsoide nous sauve du desespoir. Elle pose: 1~ que les verticales coupent l'axe de la Terre, ce qui transforme les meridiens en plans; 2~ que les verticales en tous les points qui sont sur la trace d'un plan normal a l'axe le coupent en un meme point, ce qui aplanit les paralleles. Jusqu'ici l'hypothese implique seulement que la Terre admet pour son attraction une symetrie de revolution. Mais elle va plus loin; elle pose que la surface terrestre differe extr6mement peu d'un ellipsoide aplati, et que la verticale est normale a cet ellipsoide. Du coup elle legitime la definition des geodesiques et rend possible la mise en ceuvre des resultats exp6rimentaux. 261. Resultats des operations geodesiques. - Disons tout de suite que les resultats se concilient avec l'hypothese aussi mal que possible, etant donne que la Terre differe peu d'une sphere et qu'il s'agit seulement d'un terme de correction. Les resultats anciens ne concordent pas et les modernes ne valent pas mieux. Naturellement on leur applique la methode de discussion qui consiste a les affubler de poids arbitraires, ce qui est une A_Ae mauvaise plaisanterie; mais on a beau torturer les nombres, la concordance se refuse a apparaitre. I1 resulte des equations du ~ 257, que la longueur du degre croit de l'6quateur au pole proportionnellement au carre du sinus de la latitude __atfiude (fig. 203). 0~ 90~ Naturellement, les exp6riences conFig. 203. firment en gros ce r6sultat. I1 est sur qu'en gros la Terre ressemble a un ellipsoide aplati. Mais si on etudie par exemple les mesures de Delambre pour la France, on trouve que: de Dunkerque au Pantheon, la diminution du degre est.. 10,33 du Pantheon a Evreux, (( 63m, 1 d'Evreux a Carcassonne, (( 25m,34 de Carcassonne a Mont-Juich, l'augmentation du degre est 3m,90.

Page  255 FIGUR E DE LA TERRE 255 La longueur moyenne du degre de meridienne a travers la France est: 111 m,130= 111 I30m. La valeur de l'aplatissement calcule a partir de ces nombres est e2: 2- -: 148-0,00676, double de l'aplatissement moyen que necessitent les experiences du pendule et la theorie de la Lune. Pour fixer les idees, rappelons que, d'apres la definition du metre, le degre moyen vaut: 107: 90 = 111 l1m. Si on admet l'aplatissement de 1: 300, la difference de longueur du degre au pole et du degre a l'equateur est de 370 metres. 262. Definition historique du metre. - Aujourd'hui nous appelons metre la longueur a 0~ d'une certaine regle conservee dans un certain bAtiment. Mais la d6finition historique est toute diff6 -rente. On prend pour unite de longueur la dix-millionibme partie du quart du m6ridien terrestre. Cette definition n'a de sens que si tous les meridiens sont egaux, si la surface terrestre est de revolution. Supposons mesure un arc d'amplitude m et de latitude moyenne 1. On a (~ 258) f/,! e2 3e4\ s = a ---- m 3e 1 - - ) sin m cos 21 + e4 sin 2m cos 41 Le quart du meridien a pour expression: ma /r.2Q, \- m=.: 2, 1= 7: 4; Q -4 ) Ainsi, la mesure de Q en une unite arbitraire (la toise par exemple) ne peut 6tre obtenue, i partir de la mesure avec cette meme unite d'un arc s d'amplitude m et de latitude moyenne 1, qu'a la condition de connaitre e. Nous venons de voir avec quelle erreur grossibre on e'value l'aplatissement a- =e: 2, quand on utilise seulement les mesures faites en France. La comparaison des mesures faites en France et au Perou a donne a la Commission du metre nommee par la Constituante la valeur e2 - 0,00598, a = 0,00299 = 1: 344, nombre plus approche de la realite, mais encore trbs errone. C'est alors qu'on resolut de reprendre les mesures (dont il est

Page  256 256 S TA TIQ UE parle au paragraphe precedent) de Dunkerque 'a lile Formentera au dela de Barcelone, de maniere a obtenir un arc dont la latitude moyenne soit exactement 45~. L'avantage de cette circonstance est d'annuler cos21 et de supprimer les termes en e2 dans le quotient s: Q. En effet on a alors: s 2 n 15 sin 2m Q z 764 e Connaissant m par des mesures astronomiques, s (en toises) par la triangulation, admettant pour e2 la valeur 1 334, on peut calculer la valeur en toises du quart du miridien, et par consequent la valeur en toises de sa dix-millionienme partie, c'est-a-dire du metre. Ce qu'on fit. Mais si l'on introduit dans les calculs la valeur correcte de l'aplatissement determine depuis par le pendule et les methodes astronomiques, on trouve pour la distance du pole a l'equateur: 10'001'877 metres. L'erreur serait de 2 kilometres environ. 263. Causes de l'incertitude des resultats geodesiques. - Les resultats precedents n'ont rien qui puisse nous Leonner. Qu'il y ait, dans la direction de la pesanteur, ce qu'on appelle conventionnellement des perturbations locales, est plus que probable a priori. Cela signifie simplement que les verticales ne sont pas perpendiculaires a la surface fictive par laquelle nous voulons remplacer la Terre; en d'autres termes, la direction du fil a plomb n'est pas ind&pendante de la distribution des masses au voisinage du lieu d'observation. Nous aurons l'occasion de revenir la-dessus. Mais si cette distribution change la direction du fil a plomb, elle a beaucoup nioins d'influence sur la grandeur meme de l'attraction. Les experiences avec le pendule donnent des resultats beaucoup plus concordants, ce qui est, independamment de la nature de ces r6sultats, une preuve que les causes accidentelles de variation (qu'on appelle conventionnellement les erreurs accidentelles) sont moins a craindre. Aussi procede-t-on en definitive de la maniere suivante. On admet que la surface de reference pour la for.me de la Terre est un ellipsoide de r6volution, dont l'aplatissement est determine par le pendule, d'accord avec les phenomenes astronomiques. On compare les resultats geodesiques aux r6sultats deduits de cette hypothese; tout ce qui differe trop sensiblement devient perturbation locale. Etudions done quelles sont les attractions dues a un ellipsoide.

Page  257 FIGURE DE LA TERRE 257 Attraction des ellipsoides. Pour etudier la figure de la Terre, nous pourrions limiter notre etude a un ellipsoide de revolution ayant un aplatissement tres petit (~ 279). La concordance des faits et de cette hypothese est telle qu'une complication plus grande est encore inutile. Mais les physiciens ont besoin de quelques resultats plus generaux; d'oui le developpement que nous donnons a F'attraction des ellipsoides. Nous suivons la methode de Chasles; elle est longue, mais claire; on y suit aisement la marche des idees. L'expression homor'd est empruntee au traite de Tait et Thomson. 264. Definitions. - 1~ On appelle homo'd une couche mince comprise entre deux surfaces homothetiques (semblables et semblablement placees) (fig. 204). Soit BB', CC', les surfaces qui limitent la couche; soit O le centre de similitude. L'epaisseur e au point B est mesuree par la distance des plans tangents qui corres- Q pondent aux points homologues B et C. Elle est proportionnelle a la perpendiculaire C p =OP, menee du centre de similitude B sur le plan tangent au point B. Soit en effet 0 et 0 + dO les rapports de similitude des surfaces considerees par rap- port a une surface semblable de reference. Fig. 204. On a evidemment: E:p=de: 0. Un homo'id elliptique est une couche mince comprise entre deux ellipsoides semblables, concentriques et semblablement plac6s; par exemple comprise entre les ellipsoides: x,2 /2 z2 x 2 2 z2 (1 a2+- +cn 1, a,+;+"=2. (1) 20 On appelle ellipsoicles homofocaux des ellipsoides dont les sections principales sont decrites des memes foyers. Is rentrent dans l'equation generale: _2 y2 _2 + +./ + =1; (2) X est le parametre variable qui definit le faisceau des surfaces. 3~ Soit deux ellipsoides: x2 22 xz '12 12 z'2 a2 +b2+ + 2 i2 12 + bl2 Cours de Physique. - H. BOUASSE. 17

Page  258 258 S TA TIQ UE On appelle points correspondants deux points respectivement pris sur lun et l'autre ellipsoides dont les coordonnees satisfont aux relations x x' y. y' z _ ' a' h -b C C' 265. Action d'un homoid elliptique homogene sur un point int6rieur. - Elle est nulle. C'est la generalisation du theoreme de Newton (~ 249). Par le point A et le centre des ellipsoides faisons passer un plan (fig. 205). I1 les coupe suivant deux,,\ _-, ' ellipses concentriques et homothe-,< c' -, 'tiques, admettant par consequent les -c/ F ^ \ m6mes systemes de diamitres conju( b 's0 A 0 gues. Par le point A menons une droite abed; les cordes ad et be ont >1. 3 / le m6me milieu M; d'oui l'egalite: ab = cd. Ceci pose, par le point A menons Fig. 205. deux c6nes infiniment petits, opposes par le sommet et d'angle solide do. Je dis qu'ils decoupent dans l'homoid des volumes dont les actions au point A sont egales et de sens contraires. En effet, la force exercee en A par l'un ou l'autre volume a pour expression / d ---. / d - dr d o d- dr=. ab = d. cd. On verra, comme au n 249, que nous pouvons, sans rien negliger de l'homoid, le decouper en groupes de deux elements de volume dont les effets se detruisent. 266. Application a lElectricite statiqueo - La densit6 superficielle 7 d'une couche d'electricite en equilibre sur une surface conductrice est, par definition, proportionnelle a l'6paisseur de la couche fictive de densit6 solide (ou de volume) uniforme. Soit s 1l'paisseur comptee suivant la normale a la surface conductrice (fig. 204), dS l'element de surface pris au voisinage du point B ou C, 8 la densit6 solide. On pose: PzdS -= dS. Pour obtenir la densite 6 d'une couche d'electricit6 en 6quilibre sur un ellipsoide conducteur portant une charge totale M, (c'est-ha-dire d'une couche exerqant une action nulle en tout point a l'int6rieur de l'ellipsoide), on imaginera done une surface concentrique et homotlhtique extremement voisine de lellipsoide donn6, et on 6valuera

Page  259 FIGURE DE LA TERRE 259 la distance - des plans tangents en deux points homologues, B et C par exemple. Soit X 2 y 2 Z2 a2 1 c2- ) a C l'ellipsoide conducteur. Appelons 1 +dO le rapport de similitude, p la distance au centre du plan tangent au point x, y, z; Fl'paisseur de la couche. Le volume des deux ellipsoides et le volume de la couche sont 4 4 -3^abc, 3 7abc( + dO)3, 4abc. d. Soit M la masse totale d'electricite; on a M _= 4:. abc. dO, =~ =Sp.(0-) =-b P \ 0 — I6= 4abc ' Reste a evaluer la distance p a l'origine du plan tangent au point x, y, z, de l'ellipsoide. Le plan tangent a pour equation X +Yb2 + =; 2 z M 2 y'2 z d'ouii: p= I: a ++ +, eX: 4 (1 4 -41) Ce qui r6sout le problkme. 267. Correspondance par points et par elements de volume de deux homoids. - Consid6rons, d'une part, l'homoid limite par les ellipsoides: 2 +- +2 =1 I, et =(1+^, (1) d'autre part, l'homoid limite par les ellipsoides x2 y2 z2 13-+ '2 C+ — C 1, et -(1 + ). (2) Pour les faire correspondre deux a deux points par points, il suffit x y y' z z' de poser: - I c (3) Les points x, y, z, appartiennent a l'un des ellipsoides (1); les points x', y', z', appartiennent a l'ellipsoide (2) correspondant. Au surplus, la correspondance a lieu pour toute la serie des ellipsoides intermediaires qu'on obtient en faisant varier le parametre a entre 0 et sa valeur actuelle a; a chaque ellipsoide (1) correspond point par point un ellipsoide (2), la loi de correspondance restant toujours exprimee par les relations (3). La correspondance en volume element par element va de soi. Les

Page  260 260 STA TIQ UE volumes correspondants sont limites par des points correspondants. On a videm t dxdydz dx'dy'dz' On a evidemment: ac b'c abc a'b'c' autrement dit, les volumes des elements correspondants sont comme les volumes de deux ellipsoides correspondants quelconques de l'une et lautre s6ries. Tout ce qui precede est vrai quel que soit le choix des quantites a, b, c, a', b', c'. Comme cas particulier, on peut supposer satisfaites les relations: a2 a'2 = b2 b'2 - 2 C12 les ellipsoides correspondants sont homofocaux. 268. Theoreme o soit deux couples de points correspondants sur des ellipsoides homofoP' caux- M, P, sur l'ellipsoide 1, M', P', sur l'ellipsoide 2; on a MP'- M'P. Soit x, y,, les coordonnees du point \ ~~~H > / M; {, '4, {, celles du point P. Les coordonnees des points correspondants sont accentu6es. Les ellipsoides ont pour Fig. 206. equations: x,y2 z2 x2 y2 z2 +b2 + C-i, 2+ '2 +-1 On a par definition: x xi ___,_ c -_c, a a''; a a" MP =(- )2+ (()2 + (y ^ +( _Z )2 ( ) 2 ~+ + —a\ 2a p= )2 + (y' - )2 + (Z 2 =(x — +... 2_ l=( a 2 2a a +(b ' 2 C Clz M- 2 2_ 2 8_ + 2) 2 +2) 12 x t (7 - y(- 2 2) T __ _ 2 2 a^ -a ^[^+ ^+2-^+^+ C en vertu des hypotheses que les ellipsoides sont homofocaux et que les points M et P sont sur l'ellipsoide 1. 269. Potentiel d'un homold homogene sur un point exterieur. - Demontrons d'abord le theoreme suivant: le potentiel d'un hoonmoid honmogene H en un point P' de l'homol'd H' homofocal cor

Page  261 FIGURE DE LA TERRE 261 respondant, est au potentiel de l'homoid H' au point P correspondant de P', comme sont entre eux les volumes abc et a'b'c'. En effet, les potentiels dont il est parl6 ont pour expressions V~ ~ MP, TAIT Dans ces integrales, M et MI' sont les points variables oiu nous prenons les volumes dv et dv'; P et P' sont les points fixes. Decoupons les homoids IH et H' (figur6s par un simple trait dans la figure 206) en el6ments de volume correspondants dv et dv'; on a dv: abc - dv': a'b'c'. A tout 61ement dv: MP' de l'integrale V correspond un 6elment de l'integrale V' contenant l'el6ment de volume dv' correspondant a dv, et la distance M'P correspondant a MP'. On a: dv dv' V V' -MP' l M abc MP' a'b'c'. M'P ' abc a'b'c' Comme les volumes totaux des homoids sont eux-memes dans le rapport abc: a'b'c', on peut dire que les potentiels V et V' aux points correspondants P et P' sont comme les volumes des homoids. COROLLAIRES. 1~ Les surfaces equipotentielles de l'attraction d'un homoid H sur tout point exterieur sont des ellipso'des homofocaux de H. En effet, nous avons montre, au ~ 265, que le potentiel V' de H' est le meme sur tout point interieur; il est done le meme en tous les points P de l'homoid H. Reciproquement, V est le meme pour tons les points de H', qui par suite est une surface equipotentielle. 20 Consequemment, l'action d'un homoid en un point exterieur Q est normale a l'ellipsoide homofocal qui passe par ce point. 3~ Tracons un faisceau d'ellipsoides homofocaux. Soit H,, H2 et H', trois de ces ellipsoides. Utilisons les ellipsoides H, et H2, pour former deux homoids, c'est-a-dire tracons deux ellipsoides respectivement concentriques, semblables, semblablement places a H, et a H, et tels que les volumes des couches soient comme ab,c, a2b2c2. Ils admettent l'un et l'autre comme surface equipotentielle l'ellipsoide homofocal H'. Determinons leurs potentiels en un point de H'. Nous aurons: VI V2 V' a,,bic. a2b2c2 a'b'c' Donc, deux homoids homofocaux determinent en un point exterieur des potentiels qui sont entre eux comme leurs volumes. 4~ En un point d'un homoid homogene, le champ exterieur dcu i cet homoid lui-meme est normal a la surface exterieure, qui est la premiere des surfaces equipotentielles.

Page  262 262 STA TIQUE C'est le complement de la proposition du ~ 266. Une couche d'6lectricit6 repandue sur un ellipsoide suivant la loi indiquee produit un potentiel constant a l'interieur; elle est elle-meme une surface equipotentielle et exerce une action normale sur tout point voisin. 270. Attraction d'un homoid sur un point exterieur. - Commenqons par determiner l'action d'un homoid H sur un point de sa surface. L'action d'un homoid sur un point qui est a sa surface se deduit immediatement du theoreme general de Laplace (~ 255): Quand on traverse une couche dont la densite superficielle est a au point de traversee, la discontinuite normale de la force est 47 4 - iTC~. Quand a I'interieur de la couche le potentiel est constant et la force par consequent nulle, la force exterieure en un point de la surface est normale a cette surface et egale a 4Tig —74z. Soit 0 et + dO les parametres qui definissent les ellipsoides limitant l'homoid H par rapport a un ellipsoide de reference semblable et semblablement place. On a (~ 264):: p=dO: 0, E- pdo: 0. La force a done pour expression: 4-rcp. d: 0. Nous pouvons supposer la densit6 solide c egale a l'unite et prendre pour expression de la force normale, due a un homoid en un point de sa surface F 4ip.dO: 0. Soit a, b, c, les demi-axes de la surface interieure de l'homoid H; a + da, b+- db, c- dc, les demi-axes de la surface exterieure; dO da db dc on a ona~: 0 - a b c de sorte qu'on peut ecrire F 4,p da: a = 4pdb 'b... Ainsi est determinee l'action a la surface de 1'homoid. Soit maintenant le point agi A hors de l'homoid. Pour trouver la force, faisons passer par le point A un homoid C homofocal au premier. Sa surface ext6rieure aura done pour 6quation; + 2 Z2," m,, ---— i —, as'+y + b2+; c2+elle est assujettie a passer par le point A: ce qui determine A. Son volume doit etre le meme que le volume de l'homoid H (~ 269). Posons 8' a-p +, '2 b +, c' c2 + 2j.

Page  263 FIGURE DE LA TERRE 263 On doit avoir: da db dc da' db' dc' a - b c' a' b' c et par consequent c da ' da' abc a'bc' —. a a L'action de l'homoid homofocal C en un point A de sa surface est: da', da abc aP a- 4=Pa ac' Nous savons par le corollaire 3~ du ~ 269 qu'elle est 6gale a 1 action de l'homoid interieur H, au meme point. La force cherchee est par cons6quent normale a l'homoid C; ses cosinus directeurs sont ceux de la normale au point A p'x p'y p'z a2 ' b2/ C'2 7 puisque p represente la longueur de la perpendiculaire menee du centre au plan tangent en A. 271. Potentiel en un point exterieur. - Puisque nous savons calculer laction de l'homoid en tout point exterieur, nous pouvons calculer le potentiel de proche en proche. I1 s'exprime tout naturellement par une integrale prise suivant une ligne, puisqu'il represente le travail d'une masse qu'on prend a l'infini et qui s'approche jusqu'au point considere. Nous allons reperer F'espace au moyen des ellipsoides equipoten2 2 2 tiels: I.+- t- ( ) a-2 + + C2 '.j Quand nous passons de l'un t l'autre, le potentiel varie de la meme quantite, quel que soit le chemin choisi; ), sert done de parametre d'integration. Soit x, y, z, le point consid6er sur F'ellipsoide (1). Le plan tangent en ce point est: xX yY Z 2 _~ + 2 + 2 - La distance p' a l'origine est: p - 1'lX2 y z2 p ( 2/ Va2{ j~ -2)2 +(C2+ WDifferentions 1'equation (1); il vient: / xdx ydy 3 r X2 b2) 1 dj 2+ $+ 2+ + - (22 + )X + (.2.)A - 2 a (at - itP'

Page  264 264 STATIQUE Les cosinus directeurs de la normale, au voisinage du point x, y, z, sont: p'x: (a+-X), p'y: (b2 +)), p': (C2+,). Tout ceci pose, allons de l'ellipsoide C a l'ellipsoide homofocal voisin; avanqons-nous de dx, dy, dz, dans le sens de la normale. Nous obtenons pour la distance dn des deux ellipsoides 3p'xdx p'yldy p'zdz (1d a2 + j2-+ F c2.2p- Nous connaissons don: d'une part la force F, d'autre part la distance normale dn de deux surfaces equipotentielles voisines; nous connaissons par suite la variation du potentiel (au signe pres qui d6pend des conventions): -d. da abe Fdn 2 dV - dV-. 4-p ' -FndV - ~ 2p 2a \/(a2A7) (b2+) <)(C2+?) I1 suffit maintenant d'integrer a partir de l'infini ou X oc, jusque sur la surface homofocale de l'ellipsoide attirant -H et passant par le point exterieur ou l'on calcule l'attraction: cia ' V-2ac a 2 Wa+ + ).c a 2(a+7) (b2 +7) (C2 +7) 272. Potentiel du a un ellipsoide homogene. - Nous devons decomposer l'ellipsoide homogene par une serie d'ellipsoides concentriques, semblables et semblablement places X2 __/2 z 2 + 2 + z2 2 Nous obtiendrons done, entre ces ellipsoides, des homoids dont nous savons calculer Faction. A chacun d'eux, correspondent des surfaces equipotentielles d'6quation 2 2 y2 y/2 2 - _ ( 022 + X- 022 7+ + j22 - ) IL va de soi que tous ces faisceaux de surfaces equipotentielles sont diff6rents; peu importe d'ailleurs. La quantite X est une fonction de 0. Une fois choisi l'homoid, defini par la variable 0, et dont l'epaisseur est fixee par la variation dO, nous ecrivons que ]'ellipsoide homofocal (1) passe par le point ou nous voulons calculer le potentiel; ce qui fournit une relation entre X et 02. L'expression du potentiel total se deduit immediatement de la. Rempla9ons: a, b, c, da:a par ao, bO, cO, d;:0.

Page  265 FIGURE DE LA TERRE 265 Integrons entre 0 - 0 et 0 - 1; nous utilisons ainsi tout l'ellipsoide. V= 27-2,a~c 02/Q do -^=-, -d — -_ -22abc y02d0 (026?+X)(02b T+ )(02c + 0)2 Nous obtenons une expression tres analogue en supposant, au lieu d'un ellipsoide homogene, un ellipsoide decompose en couches concentriques, semblables, s6parement homogenes. I1 suffit d'introduire la densite o-=f(0) sous le premier signe 1. Cette expression est mal commode parce que ), est une fonction de 0. Transformons-la en faisant bien attention au sens des symboles. Posons: X-02u. Nous pouvons ecrire la seconde integrale, dans laquelle 0 doit etre considere'e comrne une constante: d: 02 0, (2 +: 02) (b2 +: 02)(C2 + 02) 4 rU du t 2x 0 J (a2 +u)(b2 + u)(C2+ u) Lorsque 0 est choisi, u s'en deduit par l'equation (1) modifiee; c'est la racine positive de cette equation 2 2,2 x + — + - 02.- (_) a2 + U b2 -1- C& + (1) Nous pouvons donc ecrire le potentiel sous la forme V -27ahc } (0O / - dui Jo J +t(a2 + u) (b2 + U))(C2 + U) La seconde integrale effectuee nous donne une fonction de u, que nous exprimons en 0 au moyen de l'equation (1'), ce qui permet la seconde integration. On peut naturellement 6viter d'exprimer la fonction de u au moyen de 0, en explicitant Odc sous forme d'une fonction de u. Il suffit de differentier (I') oi x, y, z, sont des constantes, puisqu'elles representent les coordonnees du point ou l'on calcule le potentiel -2odo Kai+ U)2 + (b2 aU) +] C2+U)2 I1 faut enfin changer les limites. Pour 0 0, on a u c; pour 0 - 1, u prend la valeur q qui est la racine positive de l'equation: a + 2 +- c. (2) a2 _q — —. h l_ -_

Page  266 266 STA TIQUE Le potentiel s'ecrit V warc y2Y2 z2 V=~abc L (a2 +- )2 + (b2+ u)2 (c2+ U)2 X \ /(a2 + )(b2+U)(2+ U) du. Si l'ellipsoide est forme de couches concentriques separement homogenes, mais dont la densit6 est variable de l'une a l'autre, o s'introduit dans la premiere integrale; on ne peut simplifier davantage. Quand l'ellipsoide est homogene, on va plus loin. Posons 1: -(+.u)(-+ u) (c+ u) f -(u), j f(u) du = O (u). Integrons par parties la quantite: _ F ~dn _ r 9u") _ d'?'(u)du ((- ' u- + C c+u' On voit ais6ment que cette expression a pour valeur S C-q,ff fu f(u)dul - S~c+q C(+) ~- c^ ~ Appliquons la meme transformation aux trois integrales doubles; c'est-h-dire faisons successivement C a2, b2, c2. Tenons compte de l'equation (2). 11 vient: X2 2 1a 42+ i c2 (a2 + U) (b2 + U) (C2 + U) Si le point attire est a la surface de l'ellipsoide, l'equation (2) y2 + devient a+ b + C-=. (2') Les int6grations ont pour limite inferieure q O. 273. Action d'un ellipsoide homogene sur un point exterieur. - I1 faut calculer les derivees de V par rapport a x, y, z; sans oublier que la limite q depend de x, y, z, en vertu de l'equation (2). bV du -- -- = 2c (a2 u) (a2 + ) (b2 + ) ( + u) b [1tK a2q + iy2 c+ 2 ( q) xc a2+-y2 ga + 2+y C2+9J (0+94)(b2+gr) (c2+g) '

Page  267 FIGURE DE LA TERRE 267 Le second terme est nul en vertu de (2). I1 reste donc: 6X (a 2(a2 + uu + ) (b + u) (c + u) et deux expressions symetriques pour bV bV by, - abz 274. Action sur un point interieur. - Nous ne devons considerer que l'ellipsoide semblable a l'ellipsoide donne et passant par le point x, y, z (comparer au ~ 231). La quantit6 02 est fournie par l'equation X2 y2 2_ 02 a2 b2 c2 8". Le point etant a la surface de l'ellipsoide utile (~ 265), on a: bV f /du - V = 2~0bcx (02a2 + u) 1/(02a + u) (0b2 + u) (0c + u) ou, divisant tout par 03, et prenant pour variable une nouvelle quantit6 u egale a u:02, ce qui ne change pas les limites d'int6gration bV __ _ _ _ _ __ _ __du__ _ - V- =2cabcx (- V( ~(~ ( 2rabcLx. ax _T~(a_ + u) (a2 + u) ()^2 + u) (c + ) Nous pouvons donc ecrire bV b6V bV — = 2XtabcLx, - - 2abcMy, - = 27abcNz. Et par consequent: V = VO + ' abc (Lx2 + My2 + Nz2). Ces quantites L, M, N, ne dependent pas de x, y, z; ce sont des parametres constants pour un ellipsoide a, b, c, donne. On conclut de la que les actions de deux ellipsoides homogenes, semblables et de merre densite, sur des points homologues de leurs surfaces, sont dirigees de m6me, et proportionnelles a leurs dimensions homologues. C'est la un theoreme tres souvent utilise par les physiciens pour l'etude du Magnetisme induit dans l1s corps assimilables a des ellipsoides.

Page  268 268 S TA TIQ UE Figure de la Terre deduite de l'attraction. Etudions les attractions dans le cas d'un ellipsoide de revolution d'excentricite tres petite, par consequent differant peu d'une sphere. Comparons-les aux attractions mesur6es par le pendule, comme on l'expliquera longuement au Chapitre IV de la Dynamique. Pour l'instant il nous suffit de savoir que l'attraction en un point est proportionnelle a la longueur du pendule simple battant la seconde. 275. Attraction d'un ellipso'de de revolution aplati sur un point de sa surface. - Posons a -b, et, pour nous conformer aux notations du ~ 256, appelons b le demi-petit axe de l'ellipsoide dirige suivant l'axe de revolution; c'est dire que nous remplagons c par b. On a: X - 2a2bx -- U-"2 — + a, du Y=2 ahj/ (a + U) (b2 + u 2 e2a_ 2 e a2 Posons: a -- u e2 2 + u e.a2 82 7 s2 e represente l'excentricit6 a:e2 = a2 - b2. Substituons dans X et Y. On trouve ais6ment: 4_bx 0 2ds iTby sids e3a 2 e3a e ( s2) On a: s2ds s ds s 1(1 — 3 ====.fV~s2 -V- / -=I===- - --- - arc sin s. J/ (s2ds 4 /. J s, - 2 (arc sin s - s s). Pour s=0, les valeurs des integrales sont nulles. D'oi, en multipliant par la densit6 et en explicitant la masse M de l'ellipsoide 3 Me X= e3a3- (arc sin e-e /l-e2 ) Y=3 M3Y ( / - arcsine).

Page  269 FIGURE DE LA TERRE 269 Au lieu de l'excentricite e, Laplace utilisait l'excentricite E reliee a e par les equations (~ 256): a2 -b 2 a2 - b2 e2= -2 E2- -; (1-e2) (1 + E2) =1. Les expressions de la force deviennent: 3 M (1 E X=- 2 E a x (arctgE — I-E2' (1) M Y- 3 E3b3 y(E- arctg E). Developpons en s6rie dans l'hypothese que E est suffisamment petit: E3 E -1 arc tg E -E- 3 + -..., (I +E2)-11 - E+ E-; x- b3 -(1 - Y-) MY ( — 3 2) Pour aller plus loin, reprenons les formules du ~ 256 donnant x et y. En posant e2-E2, on a aEa x= a cosl+ 2 cos I sin l, aE2 y - a sin l - ( 2 sin 1 l+sin3 ). Substituons dans X et dans Y: M7 aE2 2 12 X b3 -a cos + 2- oss sin2 1 - M 7 aE2 1 6 b3 -aa sin sin l s in2 - ). D'ou en definitive: (X + Y2) - F = F F (1+ 0 sin2l). 276. Figure d'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation d'ensemble. - Reprenons la question de la figure de la Terre par la methode de Clairaut. Son hypothese est qu'elle depend des lois de l'Hydrostatique, qu'elle est a peu pres celle d'une masse fluide qui se serait durcie apres avoir pris sa forme d'equilibre. L'hypothese est legitimee par le fait que la Terre est en majeure partie recouverte d'eau, et que la surface d'affleurement solide ne differe pas beaucoup de ce que serait la surface liquide supposee complete, ainsi que le prouve la faible declivit6 des fleuves.

Page  270 270 S TA TIQ UE Nous sommes donc conduits a chercher quelles sont les formes d'equilibre d'une masse fluide tournant d'un mouvement d'ensemble autour d'un axe. Elles sont multiples; nous n'etudierons que l'une d'entre elles: l'ellipsoide de revolution. Nous supposerons la masse homogene. A la verite, le probleme est de Dynamique. Mais nous n'utiliserons que ce r6sultat elementaire: soit Oy l'axe de rotation; la force centrifuge, sur un element de masse rn, est normale i Oy, proportionnelle h la distance x a cet axe et au carre de la vitesse angulaire o; elle a donc pour expression: m2x. Explicitons la masse dans les formules (1) du ~ 275; introduisons la constante G de la gravitation jusqu'ici negligee; il vient: GM 4 a2 4 1 + E2 E3b3 3a E3b3 -= 3 t E3 Recrivons l'expression des forces, X normale a l'axe de revolution, Y parallele a cet axe. Choisissons les signes de maniere que les forces soient negatives: elles sont en effet attractives et par consequent dirigees du c6te de l'origine: X =2G EE3 [E-(1 + E2) arctg E] - x, Y -4G 7 - (1 + E2) (arc tgE -E)- 2y La force centrifuge a pour composantes: X'=-)2X y 0. L'equation differentielle de la courbe meridienne de la surface libre du liquide se trouve, en ecrivant que la force lui est normale, qu'elle est une ligne de niveau: (Q- o2)xdx -+ Q2ydy -0. La surface libre est un ellipsoide de revolution. Identifions-le avec l'ellipsoide dont la courbe meridienne est: x2 2 a-+ y- 1, x2+(1 +E2)y2 a. (Q2 - (2) (1 +E2)- Q. Resolvant par rapport a (2, il vient: o (3 + E2) arctgE-3E 2u -2r3G E3 3().

Page  271 FIGURE DE LA TERRE 271 277. Discussion du resultat. - VALEURS TR]ES PETITES DE L APLATISSEMENT. Supposons le mouvement de rotation tres lent: l'aplatissement est petit. On peut d6velopper en s6rie le second membre de l'equation (1). E3 EE5 2 4E2 On a: arctgE=-E — + -+ 5 2G ' Comparons les valeurs que prennent a I'equateur la force centrifuge et la gravite; leur rapport u est: 4 2E2 4 E2 U - woa -:ra - —. Or E2: 2 ne differe pas sensiblement de e2: 2. Cette quantite mesure l'aplatissement a (~ 256). Done l'aplatissement est egal aux 5/4 du rapport de la force centrifuge mesuree a l'equateur, a l'attrac5 tion a la surface: ~ a - u. L'experience donne pour ce rapport u= 1: 289 -0,00346. L'aplatissement calcule par cette voie est done a- (: 289)(5: 4)=1: 232 0,00431. D'ou l'on tire pour l'excentricit: e - 0,00862, e -0,0928. Ces nombres sont beaucoup trop forts pour convenir h la Terre. Mais ce r6sultat, c6lebre dans l'histoire de la Geodesie, suppose legitime de calculer la figure de la Terre comme celle d'une masse liquide homogene en equilibre. Nous savons combien cette hypothese est eloign6e de la realite (~ 252). VALEURS QUELCONQUES DE L'APLATISSEMENT. Sans faire aucune hypothese sur la valeur de E, construisons la courbe (1) en prenant E pour variable, u pour fonction. C'est une affaire de pur et simple calcul. La courbe debute par la branche de parabole que nous avons calculee ci-dessus: u 2E2: 5. Elle passe par un maximum pour E =2,56. La valeur correspondante de u est 0,337. Elle diminue ensuite et tend asymptotiquement vers zero. La figure 207 represente la marche de la fonction. Ainsi, pour des vitesses tres grandes, c'est-a-dire pour des forces centrifuges tres grandes par rapport a l'attraction, l'ellipsoide de

Page  272 272 S TA TIQ UE revolution n'est pas une figure d'equilibre des masses fluides homogenes. C'est tout ce que le calcul prec6dent puisse montrer. 0,3 _ 0,1 /E I 2 3 5 s 6 Fig. 207. Au-dessous d'une vitesse angulaire, determinee par la valeur u- 0,337 a chaque aplatissement correspondent deux vitesses possibles. 278. Direction et variations d'intensite de la pesanteur. - II est important de ne pas confondre les mots pesanteur et gravite. La pesanteur est la force qui entraine l'unit6 de masse; la gravite est la force qui provient des attractions, qui par consequent s'exercerait seule sur les corps si la masse ne tournait pas. Determinons la direction de la pesanteur dans l'hypothese de Clairault. Nous allons montrer que la pesanteur en un point, pesanteur qui est par hypothese normale a la surface limite, est inversement proportionnelle a la distance du centre de l'ellipsoide au plan tangent a la surface en ce point. Le theoreme n'est pas exact pour un ellipsoide immobile, serait-il homogene et de revolution; la pesanteur se reduirait alors a la gravite. II n'est exact que parce que nous supposons a sa surface exterieure la forme d'equilibre qui convient a la vitesse de rotation. La demonstration est immediate. Nous avons (~ 276) X+X Y 2-,y. x + x'= ( — 0 + a)\, ~ _ - ~y. Le carre de la resultante est: (Q- o2)22 + Q2y; elle est done proportionnelle a: 2 + 2(1 +E2)2, en vertu de 1'equation qui exprime que la force est normale a la surface de l'ellipsoide. Mais la distance du centre au plan tangent est: ~=1 */( a' + b)-a-: /x Y2 (4 + E2)y. ( )

Page  273 FIGURE DE LA TERRE 273 La resultante est done bien inversement proportionnelle h cette distance. Calculons le terme variable de cette resultante; il suffit d'introduire, dans l'equation (1), les valeurs de xI et y2 tirees des equations (1) du ~ 256. Remarquons qu'on peut remplacer e2 par E2 quand on se limite aux termes en e2. I1 vient p = a 1 - -2 sin2 a (1 -- smin Soit g, et g, les accelerations au pole et h l'equateur. On a done _( Es2 l-. g-ir + -- -sin~)2, 2 ye La pesanteur crolt de l'equateur au pole; la variation est proportionnelle au carre du sinus de la latitude. L'aplatissement est mesure par le quotient de la difference de la pesanteur au pole et a I'equateur par la pesanteur a l'Vquateur. Rapprochons du resultat du paragraphe precedent: r 1- cc —4 u. Ces resultats satisfont h la formule celebre de Clairault-Laplace +:-[ - - u, qui s'applique, comme nous allons le montrer, aux spheroides heterogenes. 279. Spheroide de revolution et admettant l'equateur pour plan de symetrie, recouvert d'une couche liquide en equilibre. - I1 semble que le probleme d'un sph6roide uniquement determin6 par sa sym6trie soit ind6termine ou d'une complication quasiment infinie. I1 n'en est rien: la solution de premiere approximation est imm6diate pour un spheroide s'ecartant peu de la sphere. Prenons pour potentiel les fonctions les plus simples compatibles avec la symetrie et satisfaisant a l'equation de Laplace: il faut en effet que le flux de force soit conservatif en dehors des masses agissantes. Introduisons done les polynomes de Legendre. Appelant r la distance au centre du spheroide, nous posons (~ 58): V GM L- 1+ (1-3sin2) 1. Nous laissons de c6te le polynome P2 en sin 1, dont l'existence ne serait pas conciliable avec le plan de symetrie equatorial. Introduisons la force centrifuge. On peut la consid6rer comme dependant du potentiel: )2X2 (02r2 COS2 1 ~ - 2 2 Cours de Phy~sique. -- H. BoUASSE. 18

Page  274 274 STA TIQ UE Le potentiel total est en definitive GM [. A,o23 3 ~| /.. V= r - + r (1 -- 3 sin2 )+- cos2. (1) La pesanteur n'est pas tout a fait dirigee suivant le rayon, mais peu s'en faut. On aura done tres approximativement: V r2 GM + 2r2 ( 1-3 3 sin2 1)- c os3 (2) g= — br — r 3A- GM C los (2) Enfin, la surface libre etant liquide, il faut ecrire qu'elle est de niveau,: le potentiel y est constant. Ce qui fournit l'equation de la meridienne du spheroide r= B 1 + r (1-3 sin ) + 2GM-.2 2r2 3 sin.,, i~3Cos]. Avec une approximation tres suffisante, nous pouvons remplacer r par sa valeur approximative B dans les termes petits du second membre: r=B[+ ( A - 32B3 cos1]. +B2 ( — 3 sin2 ) 2GM cos2 (3) Le probleme est ainsi completement r6solu. Explicitons les donnees de l'experience. Nous pouvons remplacer dans (2) r par B, puis mettre g sous la forme J = (1 +. sin2), p -.qe 20oB3 3A = (l+ s ), Y a -f/e GM - 2B ' Le rapport u de la force centrifuge 6quatoriale a la pesanteur equatoriale est: co(B3 u- GM Enfin, les rayons equatorial a et polaire b, et l'aplatissement a sont: - 1, A w 2B3', / A\ [+2B2 + 2GM ] b. -; a - b 3A 2B3 a 2B2 + 2GM D'ou la celebre condition de Clairault-Laplace: u 280. Reduction des experiences au niveau de la mer - Les experiences avec le pendule ne se font pas au niveau de la mer; il faut donc leur faire subir une correction sur laquelle on a beaucoup discut6 et dont la signification et la grandeur restent douteuses. Rien ne serait plus simple si l'on s'elevait au-dessus de la Terre,

Page  275 FIGURE DE LA TERRE 275 en ballon par exemple. L'attraction se faisant comme si toute la masse etait concentree au centre, on aurait g R 12-H ) — yh(l 2 t)h (l-3,14.10 h). R est le rayon terrestre, h la hauteur a laquelle on se trouve audessus de la surface; le coefficient numerique suppose que h est exprime en metres. Mais les choses ne se presentent pas ainsi; on est generalement sur un sol a peu pres plat, formant ce qu'en Geographie on appelle un plateau. Faut-il tenir compte de l'epaisseur du plateau? Nous savons (~ 254) qu'une masse homogene, de densite A,, comprise entre deux plans paralleles d'epaisseur h, produit une attraction normale, ind6pendante de la distance et qui a pour valeur 27Aoh. Appelons Ai la densit6 moyenne de la Terre. L'attraction totale a pour expression: g 3: RAm, - R-) + 2,Aoh, 4t R < L h 7( 3 AO \l On I sensiblement (~ 252): A: 2; d'oi la correction: 9=o[l 4 H o' go I- + T _ 9-= [ + 1-,96.10-7h], ou hest exprime en metres. Les experiences semblent prouver que la correction de plateau ne doit pas etre faite. On explique ce singulier r6sultat en disant qu'une elevation du sol correspond a une diminution de densite au-dessous du plateau. Du reste, si on admettait la correction de plateau, on devrait tenir compte, dans les observations faites en mer, de la petitesse de la densite du liquide qui n'est que le cinquieme de la densite moyenne: on n'y a pas songe et les resultats n'en concordent que mieux. Que tout cela soit parfaitement satisfaisant pour l'esprit, il serait imprudent de l'affirmer. 281. Representation des resultats obtenus avec le pendule. - La theorie indique que l'acc6leration de la pesanteur (proportionnelle a la longueur du pendule simple qui bat la seconde) varie comme le carre du sinus de la latitude. Appelons g9 l'acc6elration a l'equateur, g7, l'acceleration a la latitude 45~; on peut poser indifferemment g- g(- +sin), g g(l - y'cos21); y' -y: (2 +:y)

Page  276 276 STA TIQUE Les experiences concordent bien avec ces formules, beaucoup mieux que les mesures d'arc de meridienne; les anomalies sont moins nombreuses et d'amplitudes moindres (~ 263). On admet comme valeurs les plus probables: y 0,00520, y'- 0,00259. Les mesures absolues donnent pour g et pour la longueur L du pendule simple battant la seconde: g -980,6 (1 - 0,00259 cos 21), L 993,6 (1 - 0,00259 cos 21); 978,1 (l + 0,00520 sin2 1), L= 991,0 (1 + 0,00520 sin2 1). Le rapport u de la force centrifuge i la pesanteur equatoriale est connu avec une grande approximation u- 0,00347, 5u: 2-0,00867. La formule de Clairault donne pour l'aplatissement: - 0,00867 - 0,00520 0,003i47 -1: 288. Nous devons ajouter qu'Helmert propose d'elever le coefficient y jusqu'a la valeur 0,00531, ce qui donne pour l'aplatissement: a- 0,00867-0,00531-=0,00336- 1: 300. Ces nombres fixent la precision actuelle des mesures. fltude des surfaces de niveau autour d'un point. 282. Expression de la force et de ses variations au moyen du potentiel. - Prenons pour axes z la verticale dirigee vers le haut et deux droites rectangulaires quelconques Ox et Oy dans le plan o x horizontal (fig. 208). Le potentiel V T ih - [ de la pesanteur est dui h l'attraction et a la force centrifuge (~ 278); la premiere partie satisfait a l'equaI / i \\. tion de Laplace hors des masses agissantes, la seconde n'y satisfait pas. Fig. 208. Ii s'agit d'exprimer les composantes de la pesanteur X, Y, Z, et leurs variations au moyen des derivees partielles premieres et secondes

Page  277 FIGURE DE LA TERRE 277 du potentiel par rapport a x, y, z. Entre toutes les deriv6es existent les relations bX bY 61V by bx - xby ' bY bZ _2V bz - by 6byz bZ bX b2V -x z bzabx / — 6b by 2 \ Div(X, Y,Z) ( + a +-^)= 2; o est la vitesse angulaire du mouvement de rotation terrestre. Avec la disposition d'axes choisie, on a X 0, Y 0, Z -g. Cherchons les courbures Rx et Ry au point 0 des sections de la surface equipotentielle par les plans xOz, yOz. bV bV 6V On a: --- dx + y- d -- z 0, Ox [ by 6z sur une surface equipotentielle. La courbe d'intersection par le plan xOz satisfait done a la relation bV bV dz 6bV V b dx+ dz- d- O dx -- x ' bz La tangente de cette courbe a l'origine etant horizontale, la courbure a pour expression: 1 d2z bWV bV 1 b2V RX dx2 6- 2 * z -g 6x2 Au signe pres, on a les formules I I b2V I 1 b2v RX- g Ox2 ' 149 g 9y2 La position des centres de courbure correspondants se determine sans ambiguite. Les rayons de courbure principaux satisfont a la relation 1 1 1 b2V b2V \ nR,+ R2 — g q-+ )'Le theoreme de Meusnier donne pour la difference des rayons de courbure principaux: 1 1 _ 1 / b2V 2V \ R - R2 gcos2o \ bx2 by2 2' p est l'angle que fait la section principale 1 avec le plan xOz.

Page  278 278 S TA T1Q UE Pour determiner l'angle 0, le meme theoreme de Meusnier fournit la relation: tg2=2 bV ( b. 2 b2V t 29 b bx 2 — y2,, La ligne de force au point 0 est d'abord dirigee suivant Oz; ses cosinus directeurs sont, au signe r~z~~ ~ pres bV 1 bV a bV 1 o' ax g' by g' y z g' c'est- a-dire 0, 0, — 1. Au point voisin O' (fig. 209), ils deviennent: Fig. 209. bv dz b"V dz ixbz g bybz g ' 6V 1 b2V dz 6s U - z2 l~ * (I) Determinons l'angle de contingence s et le rayon de courbure correspondant; on a: sp dz, p = 2: j (< )2 Faisons passer un plan par Oz et par la droite dont les cosinus directeurs sont (1). Determinons sa projection sur xOy. L'angle qu'elle fait avec Ox est: 6yV /6/ V\2 / 2V \ cos, ab bz Va + b Voici enfin le tableau des variations de la pesanteur b [_ b2v bg b2V x )x6az ' by - bz Oz 6 bJ\1V 11 9, /! 283. Variation de g avec la hauteur (von Jolly). - Une balance porte aux extremit6s de son fltau deux doubles plateaux relies par une tige d'une vingtaine de metres de longueur (fig. 210). Utilisons quatre spheres de mgme verre et de meme volume, les unes vides, les autres pleines de mercure; celles-ci pesent environ 5 kilogrammes. Plagons les spheres pleines en 1 et 3, les spheres vides en 2 et 4. Parfaisons l'equilibre au moyen de poids. Echangeons alors les spheres 3 et 4 l'equilibre est detruit. La sphere actuellement en 4 a

Page  279 FIGURE DE LA TERRE 279 augmente de poids comme consequence de son rapprochement de la Terre. Cherchons l'ordre de grandeur de la variation prevue. Le facteur de correction se reduit a (~ 280): 1i-2h: R= +3,14. 10- 7/ V h est exprimee en metres. Pour 20 metres et 5 kilogrammes, la variation prevue est done en milligrammes: 6,28. 1 0.. 1 0 31, 4 Elle est parfaitement accessible aux procedes actuels de pesee. Les resultats experimentaux sont tres voisins. La balance utilisee est assez sensible pour g nesurer l'attraction qui resulte de l'introduction sous le plateau d'une sphere deig. 10. plomb de six tonnes environ. Elle permet done de mesurer la constante de l'attraction, et par consequent la densite moyenne terrestre. Les erreurs dans ces experiences proviennent des inevitables courants d'air contre lesquels la balance et les tiges de suspension sont soigneusement d6fendues. 284. Etude experimentale du champ de la pesanteur au voisinage d'un point (E6tvos). - Soit un corps mobile autour d'un axe vertical. Evaluons le couple auquel il est soumis du fait des variations de la pesanteur. Soit X0, Yo, ZO, les composantes de la pesanteur au centre de gravite du corps, centre que nous prenons pour origine des coordonnees. Comme les variations sont tres petites, nous ecrirons X '6X 6X 6xx byy 6zz~. Y 4Y -f- b Y 6Z 6Z bZ z -x - + o x - -+ - y y ) +, _ _ bZ _ _ Z 0 Z.+a X+T / 6z aZ; x, y, z, sont les coordonnees des points du corps; les derivees partielles qu'elles ont en facteur sont des constantes qui earacterisent le lieu de l'experience. Le couple auquel le corps est soumis est F-=f/f(xY -yX) dm 2b Y bX b, /Y b)X\ a d. ( b 6x by 6 \ y az

Page  280 280 S TA TIQ UE Cherchons l'expression de cette quantite dans deux cas simples. PREMIER TYPE DE BALANCE DE TORSION (fig. 211). ^A Imaginons une simple tige creuse B horizontale BOC chargee a ses bouts de deux masses m et supportee par \0N^~ un fil tres fin AO. Negligeons ses 0o f" dimensions en hauteur et assimilonsla a une droite pesante. On a x y rcoso, y - sin c; x-2 y2 -.r2 cos 2x, 2xy /2 sin 2a. Appelons I le moment d'inertie de la barre par rapport a l'axe Oz. v^ s t - Substituons dans (1) les expressions 'N'li ~ des derivees des composantes de la pesanteur en fonction du potentiel. Fig. 211. I.vient: 2b__ IV 2V sin 2a — I P xby I cos 2a + ( y2 _ ) I 2 —.' SECOND TYPE DE BALANCE DE TORSION. On l'obtient en suspendant l'une des charges de masse m par un fil de longueur 1. Soit b le bras de levier. On a: fxzdm =-blm cos a, fyzdm - blm sin a. Le couple est: bV b2V " = - r y + 6Vz hblm cos a — V blZsn ia. 285. Nature des experiences. - 1~ Supposons le fil de suspension AO sans torsion, c'est-a-dire ne pouvant opposer aucun couple a l'action de la pesanteur. Utilisons le premier type de balance. La condition F= 0 signifie que la barre est dans l'une des sections principales de la surface equipotentielle passant par le point 0 (~ 282). L'une des sections correspond a l'equilibre stable, l'autre a l'equilibre instable. Prenons pour sections principales les plans xOz et yOz (fig. 212). I1 faut, pour l'equilibre stable, que la barre soit le plus possible dans la surface 6quipotentielle la plus basse, dans la surface 2 par consequent, puisque l'axe Oz est tourne vers le haut. I1 faut donc qu'elle se mette dans la section de moindre courbure. Au voisinage d'une section principale, le couple devient (au signe pres): r = gI: R;

Page  281 FIGURE DE LA TERRE 281 il est proportionnel a la courbure de la surface equipotentielle dans cette section. Le couple est maximum a 45~ des sections principales. 2~ Utilisons un fil dont la constante de torsion ne soit plus nulle. Soit CO, le couple qui correspond a la torsion 0. Determinons l'azimut de la barre par rapport a la cage a un point de laquelle l'extremite superieure du fil est attachee.......1 Si les variations de la pesan- / teur n'intervenaient pas, l'azimut relatif resterait invariable. Pour / un fil assez fin, l'effet de ces variations n'est pas negligeable; l'azimut de la barre relative- I ment a la cage depend de l'azi- mut de la cage relativement au Fig. 212. sol. Pour l'equilibre on a: Co r. Par exemple, voici les variations d'azimut relatif quand on passe de l'une a l'autre des positions: = O, =: 2; CAO 21 xy' a=: 4, =3: 4; CA0=I 6x2 6y ). 30 On peut aussi determiner la duree d'oscillation (~ 403). Elle est: To= 27 \I C, quand on neglige le couple F. Elle devient: VC RI To- 8W gT T —2 \/ C + gI R = T~ + 82 R ' quand on tient compte des variations de la pesanteur et qu'on opbre dans l'une ou l'autre des sections principales. C'est alors que les dur6es sont maximum et minimum. 4~ Les memes experiences, recommencees avec la balance de torsion du second type, fournissent deux autres d6rivees partielles secondes de la fonction V(x,, z). En utilisant au surplus la methode de la balance ordinaire (~ 283), on determine completement la forme des surfaces de niveau au voisinage d'un point.

Page  282 282 S TATIQUE Attraction sur un point eloigne. 286. Attraction d'un A Fig. 213. corps de forme quelconque sur un point eloigne. - Rapportons le corps a son centre d'inertie comme origine, a ses trois axes principaux d'inertie comme axes de coordonnees (fig. 213). Soient X, Y, Z, les coordonnees d'un de ses points, p la densite en ce r point. Nous cherchons 1'attraction sur un point eloigne A situe a une distance r et dont les coordonnees sont x, s Z. D'apres ce qui precede, nous avons: Y^~ JfaXp dv =fjY dv fff Z dv - 0; nous exprimons ainsi que le centre d'inertie est a l'origine; ffXYp dv - fYZp dvA= fZXp dv = 0; nous exprimons ainsi que les axes sont principaux d'inertie. Enfin nous poserons A=fff(Y2+ Z2) pdv, B fff(z2 + X2) pcv, C fff(X2+Y2) pcv. Ce qui donne: /f / c XXodv_ B - C Yodv- C+A —B - 2 Zpdv - 2 //nz/ =- - *y *y o2 Le potentiel que nous voulons calculer au point A, a pour defini tion v j) ~ J dJd <y.,.. pdv /K —+ r 21ir cos 0

Page  283 FIGURE DE LA TERRE 283 Developpons en serie (~ 58); conservons les premiers termes; il vient: ~.!rB1 __ 2 1 i 1 // L 3 cos 0 — 1 pdv~-+ ffR cos 0.,dv 2+ dv. V r jrP /I2cos9.v. / R -- — pdv. I1 suffit maintenant de remplacer R cos 0 par sa valeur et d'exprimer les integrales au moyen des quantites ci-dessus d6finies rR cos 0 = Xx + Yy - Zz. La seconde integrale disparait; elle devient en effet 3 Xpdv + y Ypdv+. z Zpdv. La troisieme s'exprime imm6diatement en fonction de A, B, C; il reste: M I V- r + 2r-[x(B+C - 2A)+y2(C+A-2B)+Z2 (A+B-2C)]. Derivons par rapport a x, y, z. Le premier terme du potentiel donne une force en raison inverse du carre de la distance, identique a l'action de la masse totale au centre, a l'origine des coordonnees. Les composantes de la force due au second terme sont: X=- -Y. B+C-2A+ [2(A-B)+ (A -C)] ^ 3? f -- - C+A- 2B+ [z(B-C)+ (B-A)] Z ---- -. A+B-2C+ -[x(C-A)+ (C B)] Si le corps est de revolution autour de l'axe des Z, posons A- B Y2 — -(C r5 -A)( z 3 z (C -A) \-2+ 5(+ t2) 287. Couple exerce par un point tres eloigne sur un corps de forme quelconque. - Nous venons de calculer la force exercee sur un point suffisamment eloigne par un corps de forme quelconque, uniquement defini par son ellipsoide d'inertie. En vertu de l'egalite de laction et de la reaction, nous trouverions evidemment le mgme resultat pour les forces exercees par le point sur le corps.

Page  284 284 S TATIQUE Les formules pr6cedentes vont donc nous servir pour determiner le couple directeur que le point eloigne exerce sur le corps. Les composantes de ses moments ont pour expressions (au signe 3 pres): L=yZ — zY --- (B-C)yz, r M= zX- xZ- C - A)zx, Nx Y- yX= - (A -B)xy. Dans le cas d'un corps de revolution, il reste A-B=O, L 7(A-C)yz, N =; M= — (C-A)zx. Le couple s'annule pour z z — 0, ce qui est evident a priori. Imaginons que le corps soit de revolution (fig. 214) et que le point attirant A decrive un cercle dans un plan faisant avec xOy l'angle 0. Sa position est definie sur ce plan par /0 / / l'angle xOA-=1. Dans la disposition de la figure on a: / I~~X/ - x= cosl, — y = rsin I cos0, z - r sin I sin 0. Fig. 214. Les composantes du couple deviennent: o 3 L =-3 (C - A) sin21 cosO sin = 23 (C -A) cos 0 sin (1 -cos21); 3 3 M -3 (C - A) sin (C A) sin cos sin 21. Le couple s'annule evidemment pour -- 0, ==:. Nous retrouverons ces formules dans l'explication de la precession des equinoxes.

Page  285 DYNAMIQUE CHAPITRE I THEOREMES GENERAUX 288. Enonce du principe de la Dynamique. - Toute la Dynamique tient en trois propositions: I. Chaque element de volume est caracterise par un parametre appele sa masse. II. Par definition, la force d'inertie d'un element de volume est un vecteur, parallele au vecteur acceleration, de sens contraire, et dont la grandeur est celle du vecteur acceleration multipliee par la mesure de la masse. III. PRINCIPE: II y a equilibre a chaque instant entre toutes les forces appliquees a l'element de volume, y compris la force d'inertie. Ce principe a ete enonce d'une maniere absolument generale par d'Alembert dont il porte le nom; mais il etait connu et applique par Huyghens et Newton. TOUTE DEMONSTRATION A PRIORI DE CES PROPOSITIONS EST UN NON-SENS. Nous devons les developper par voie deductive et comparer leurs consequences avec les faits. La Dynamique n'est done plus qu'une question de calcul, qu'un recueil d'exemples fondes sur des hypotheses particulieres. La comparaison de la theorie et des ph6nomenes se fait par les methodes ordinaires de la Physique experimentale. La proposition III ramene les problemes de la Dynamique a ceux de la Statique. En particulier, interviennent nlcessairement les liaisons et les suppositions plus ou moins arbitraires que nous faisons sur ces quantites et leur role. Nous poserons qu'elles peuvent etre remplac6es par des forces convenables, ce qui leur rend applicable le principe. On a beaucoup discute sur l'opportunit6 du noin forces d'inertie donn6 an vecteur defini dans la proposition II. Ces sortes de debats sont prodigieusement vains et fastidieux; il est une regle de logique qu'on semble oublier: on ne discute pas les definitions de mots. Tous les termes de la Physique sont mal choisis, l'etant par

Page  286 286 D YNAMIQ UE les premiers a en avoir besoin qui naturellement ignorent la nature des choses a nommer. Pourtant on ne change pas la nomenclature tous les dix ans. Quelques auteurs se demandent si la proposition III est rigoureuse. Quand on excepte certains phenomenes electriques et quand on se borne a la Mecanique proprement dite, elle l'est certainement a l'heure actuelle, etant donnee la precision des experiences; elle l'est done absolument, car nous ne connaissons pas d'autre absolu. Rien n'est amusant comme l'attitude des savants qui s'imaginent la Mecanique battue en breche par la Theorie des Ions; ils se decernent automatiquement le brevet auquel ils ont manifestement droit. 289. Formules generales. - Appelons X, Y, Z, les composantes suivant les trois axes de la resultante de toutes les forces appliquees a la masse punctiforme in, y compris les forces de liaison. Le principe general de la Dynamique se traduit par les equations: __ __ dy m~Th(d2z d -x mn Y - Z. dm, dt ' d2 - (1) Pour un systeme quelconque de masses, nous avons, en additionnant les equations analogues ecrites pour toutes les masses Im dt2 [x m dt Multiplions la troisieme equation (1) par y, la seconde par -z, additionnons; ii vient: ( dz d ( dz dy), mIn y - d) dt t yZ -t )=yJ zY, (2) et deux equations synmtriques obtenues par permutation circulaire. Nous retrouvons dans le second membre les moments des forces par rapport aux axes: L, M, N (~ 33). Additionnons les equations analogues pour toutes les masses; il vient le systeme dLm d-x m =, (II) d yi( dx dz ) ___e__ jonsim^aion sj -af i q n N. cltC conirations sappliqut a erme force e quo nous t plu l. I Ces considerations s'appliqucent au lerme force vive quci nous dkfinilrons plus loin.

Page  287 THEOREMES GENERA UX 287 Les systemes d'equations I et II traduisent completement le principe fondamental et sont absolument generaux; ils sont toute la Dynamique au meme titre que le principe III. Mais ici une remarque s'impose. Ces equations ont la forme precedente, parce que nous supposons les points materiels rapport6s a des axes fixes. Comme cette hypothese, nullement necessaire, est souvent genante, donnons tout de suite i ces equations une forme qui ne suppose rien sur les axes. Prenons trois axes mobiles et soit a l'instant consider6 vX, v, v, les composantes de la vitesse absolue rapport6e a ces axes. Le systeme I s'ecrit d 2:mv^=z-.X, i - v, Y d m --- v 1Z. Le second devient K d d \ Tr (dt v- dt x V? (I/) Nmox exvdt- p e - vt l -- Nous exprimons purement et simplement le principe fondamental, en ne supposant rien sur la mobilite des axes auxquels nous rapportons le corjs. Nous verrons l'importance de ces remarques en traitant le cas general du mouvement d'un solide, 290. Forces exterieures, interieures, de liaison. - Avant d'aller plus loin, etablissons entre les forces appliquees au systeme une classification commode. On appelle forces exterieures celles qui proviennent de causes exterieures au systeme. Par exemple, s'il s'agit du systeme solaire, les forces exterieures sont celles que produisent les etoiles. A priori ces forces sont quelconques. Nous en d6signerons les composantes par les symboles X,, Y,, Z,. On appelle forces interieures celles qui mesurent les actions mutuelles des elements de volume du systeme; nous en designerons les composantes par Xi, Yi, Zi. Nous ADMETTONS que les forces interieures vont deux par deux, egales et de signes contraires, dirigees suivant la meme directrice. C'est en cela que consiste le principe de l'egalite de 'action et de la

Page  288 288 D YNVAMIQ UE reaction; il n'y a pas plus a le demontrer a priori que n'importe quel autre principe; il vaut ce qu'il vaut, c'est a l'experience de dire quand il est applicable. Dans un systeme rigide, les liaisons jouent le role de forces interieures. Nous ADMETTONS que la rigidite provient d'actions mutuelles, 6gales et oppos6es, entre tous les elements du volume dans lesquels on peut decomposer le systime. Quand le systeme n'est pas rigide, les forces interieures sont les attractions d'especes quelconques, que nous supposerons encore telles que le principe de l'egalite de l'action et de la reaction soit satisfait. On a done: x,- O, Y, =, - Zi=0. Les forces de liaison tiennent lieu des conditions analytiques qu'on pose entre les points; nous reviendrons plus loin sur la maniere de les traiter. Theoreme des forces vives. 291. Theoreme des forces vives. - Multiplions la premiere equation (1) du ~ 289 par dx, la seconde par dy, la troisieme par dz; additionnons. Faisons la somme pour toutes les masses dont se compose le systeme. I1 vient: ISm d +2dx dz+ d z dz d)-= (Xdxt+Yd+Zdz):= dC. \dt V dt2 dt2 (1) Appelons v la vitesse de la masse m; on a 2d. 2d dt) +2 dt +(t- ) d2x d':y d2z - dt2 d+ dt2 dy+ dt dz. L'equation (1) s'dcrit: d rM nv2 dC L mr1 2 (III) Elle exprime le theoreme ABSOLUMENT GENERAL des forces vives. Appelons force vive d'un point la quantite scalaire mv2 2. La variation de la force vive totale du systeme, entre les temps 1 et 2, est egale a la somme des travaux de toutes les forces du systeme, tant exterieures qu'interieures ou de liaisons, entre ces memes temps.

Page  289 THEOREMlES GENERA UX 289 Le theor6me est absolument general; mais il ne faut pas oublier que les liaisons peuvent travailler; elles peuvent done modifier la force vive. Aussi bien il est toujours loisible de considerer une force comme liaison: c'est une pure affaire de mots. Les forces interieures qui vont g6neralement par groupes de deux egales et de signes contraires, travaillent si leurs points d'application ne sont pas a des distances invariables. 292. Decomposition de la force vive. - Transportons l'origine des coordonn6es au centre d'inertie dont les eoordonn6es actuelles sont J,, >. Les coordonnees deviennent.: x' x —., y' = y-r, Z,!G-. On a 7 m ( f) J mn ( ) +(2 d C z d' M Or les coordonnees x', y', z', sont rapportees au centre d'inertie; on a Emx'- 0, = my'' 0, mz' 0. D'ou nv2 1 dx' dy' / dz' 2 u2 - 2 2 n L dt + d +t dt +-2 u est la vitesse du centre d'inertie. La force vive d'un systene est egale a la force vive calculee en supposant immobile le centre d'inertie, plus la force vive de la masse totale concentree au centre d'inertie. 293. Force vive dans un mouvement de rotation. - Nous reviendrons plus tard (~ a20) sur l'expression generale de la force vive pour un corps tournant autour d'un axe variable. Supposons ici l'axe invariable. Soit I le moment d'inertie par rapport a cet axe, et o la vitesse angulaire. La force vive d'un point qui est a une distance r de l'axe est: mr2 9 2 La force vive totale est done (1)2 2. On comparera utilement cette expression a celle de la force vive dans le mouvement de translation. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 19

Page  290 290 D YNAM1QUE 294. Principe de la conservation de l'energie. - Le principe de la conservation de l'energie est essentiellement different du theoreme des forces vives. Mais les debutants eprouvent la plus grande difficulte a les bien distinguer; c'est pourquoi il est bon de les opposer. L'exemple suivant eclaircira la question. Un pendule oscille; nous connaissons l'une des forces appliquees c'est la pesanteur. Le principe fondamental de la Dynamique, et par suite le theoreme des forces vives qui en est une consequence necessaire, nous permettent d'en determiner les effets; nous verrons qu'a chaque passage par la verticale, la vitesse angulaire doit se retrouver toujours la meme. Or elle diminue. COMaME NOUS VOULONS QUE LE PRINCIPE DE LA DYNAMIQUE, ET PAR SUITE LE THEOREME DES FORCES VIVES, SOIENT TOUJOURS SATISFAITS, nous disons qu'il existe une force, autre que la pesanteur, dont le travail total par oscillation est negatif: c'est elle que nous appelons le frottement. II n'y a pas a discuter cette echappatoire; elle est necessaire. Ceux qui ne sont pas contents n'ont qu'a installer la Dynamique sur un autre fondement. Mais tant que nous admettons le principe enonce au ~ 288, nous devons conclure comme plus haut. C'est alors qu'intervient le principe tout different de la conservation de l'energie. Pour des raisons sur lesquelles il n'y a pas a insister ici, NOUS VOULONS QUE L'ENERGIE SE CONSERVE. Par energie nous entendons l'energie potentielle, c'est-a-dire la possibilite de faire du travail (~ 235), l'energie cinetique, c'est-a-dire la somme des forces vives de toutes les masses en mouvement, et toutes les autres especes d'energie que nous aurons besoin d'imaginer pour que l'energie totale se conserve. I1 va de soi que notre volonte d'admettre que l'6nergie se conserve est subordonnee au resultat de l'experience. Des experiences particulieres, une heureuse intuition ou des idees precongues ont sugger6 un principe trbs g6neral. Des experiences indefiniment variees ont a juger de la valeur de ce principe. Depouill6s de toute grandiloquence, c'est a de tels procedes logiques que se ramenent la decouverte et l'utilisation de tous nos principes. Reprenons notre exemple. Nous voulons maintenant que l'energie se conserve. Or le pendule finit par s'arreter: nous avons certainement perdu de l'energie potentielle, ou de l'energie cinetique, suivant qu'au debut de l'experience nous prenons le pendule au bout d'une de ses oscillations (vitesse nulle, energie potentielle maxima), ou au passage par la verticale (vitesse maxima, energie potentielle nulle). Nous nous satisfaisons en disant que les supports, que l'air se sont echauffes. L'echauffement est si petit qu'il est indemontrable. Mais les principes servent precisement a combler les lacunes

Page  291 THIORIEMES GNLNERAUX 291 de l'exp6rience, a en fournir le resultat quand elle est impossible 1. 295. Cas ou les forces obeissent a un potentiel. - Supposons que chacune des forces obeisse a un potentiel. Le potentiel etant une quantite scalaire, il suffit d'additionner les potentiels, dont dependent respectivement les diverses forces, pour obtenir le potentiel total V. L'equation III devient 2 2 [ m =v,- V2, 1 +v 2,2-V,=0. (IIr) Mais V est aussi bien l'energie potentielle du systeme. Par exemple, soit un corps de masse m dans le champ de la pesanteur. Rapportons a des coordonn6es cartesiennes; prenons pour axe Oz la verticale dirig6e vers le haut. bV V =V+mgz, - - mg; mgz repr6sente, h une constante pres, le travail qui est disponible du fait de la situation actuelle du corps dans l'espace. L'equation (II') s'enonce alors en disant que la somme de l'energie potentielle et de l'energie cinetique est constante. Le principe de la conservation de l'energie se trouve satisfait sans faire intervenir d'autre forme d'6nergies que les energies proprement mecaniques. On tire de (III') un interessant corollaire: la force vive est maxima quand le systeme passe par une position d'equilibre stable; elle est minima quand le systeme passe par une position d'equilibre instable. La demonstration resulte immediatement du ~ 236. 1 C'est une aimable plaisanterie de soutenir quc le principe dc la conservation de l'energie se ramene 'a dire que dans les transformations physiques QUELQUE CHOSE se conserve. D'abord, pour qu'une telle proposition ait un sens, il faut que le QUELQUE CHOSE soit forme de parties mathematiquement homogenes ct physiquement interchangeables, ce que nous appellerons pour faire court, de parties de meme nature; la tautologie ou l'indetermination disparaissent deja. Mais si nous ajoutons que ce quelque chose est de la nature d'une energie, ce qui a un sens unique et parfaitement net diu point de vue experimental, et qu'il se conserve sous cctte forme generale, nous retombons sur le principe tel qu'il a ete toujours 6nonce. I1 est vrai que d'autres se sont avises de soutenir que les parties de la somme, constante d'apr6s par le principe, ne sont pas de meme nature. Nous ne renouvellerons pas une discussion celebre oil intervient un iota de plus ou de moins et qui fit un schisme. Nous faisons de la physique et non de la m6taphysique, et laissons a d'autres le soin d'6pater a peu de frais. I1 y a dans les principes et dans les theories une part suffisante d'arbitraire et d'artificiel pour qu'on n'y ajoute pas benevolement. L'energie cinetique et l'energie potentielle sont experimentalement interchangeables avec une perte negligeable sans contradiction, voilA tout ce qui nous sert comme mecaniciens; libre a tous de soutenir qu'au vrai elles ne sont pas de m6me nature: nous conseillons ces discussions pour les jours de pluie.

Page  292 292 D YNAMIQ UE 296. Unites mecaniques. Systeme du kilogrammetre. - Pour fixer les id6es, nous devons rappeler les conventions des Physiciens au sujet des unit6s. Les unites m6caniques les plus naturelles, celles dont on se sert toujours en definitive, font partie de ce qu'on appelle le systeme du kilogrrammetre. On prend pour unite de masse la masse du kilogramme, pour uni-t de poids le poids du kilogramme, enfin le metre pour unite de longueur. On sait que la force du kilogramme appliquee a la masse du kilogramme lui communique par seconde une acc6elration de g= 9m,81 a Paris. Puisqu'en vertu du principe du ~ 288, il y a proportionnalit6 entre les forces appliqu6es a la meme masse et les acc6lerations, puisque d'autre part les accelerations imprimees par la meme force a des masses differentes sont en raison inverse de ces masses, l'acceleration y (en metres par seconde) imprimee a la masse m (en kilogrammes-masse) par la force F (en kilogrammes-poids) est: F. (1) T —Sm Si F m, c'est-a-dire si la masse et le poids s'expriment par le meme nombre, ont meme mesure, on a evidemment =g. Cherchons l'equivalence num6rique entre le travail et la force vive. L'unit6 de travail est le kilogramnmetre; c'est le travail effectu6 par la pesanteur quand un kilogramme descend d'un m6tre de hauteur. Soit un kilogramme masse tombant en chute libre. Au bout d'une seconde, il a parcouru le chemin g 2. Le travail de la pesanteur est g 2 kilogrammetres. La vitesse du corps est devenue g. Done g 2 kilogrammetres valent l'energie cinetique d'un corps de masse unite animre d'une vitesse g. Ce resultat suffit pour trouver la formule generale. Nous devons 6crire m v2 P?2. — A -;-M le coefficient A est seul inconnu. Posons m l, - =g 2, v- g; il vient A =1:g. MV 22 G- 2 — o 0,0510. myv kilogrammetres. (2) Une masse d'un kilogramme, animee d'une vitesse d'un metre par seconde, possede une 6nergie cinetique de 0,0510 kilogrammnetre. Rappelons qu'une grande calorie, quantit6 de chaleur necessaire pour elever un kilogramme- d'eau de 0~ a lo, vaut 425 kilogram

Page  293 THEOREMES GIENERA UX 293 netres. Le cheval vapeur est la puissance capable d'effectuer 75 kilogrammetres a la seconde. 297. Unites C. G. S. - Le systeme pr6cedent a un defaut, du reste beaucoup plutot th6orique que pratique. L'acceleration de la pesanteur varie d'un point a l'autre du globe. La formule (1) du paragraphe precedent exige, pour la determination de l'acc6leration due a une force connue en kilogrammes-poids en un lieu donne, que l'on connaisse l'acceleration de la pesanteur en ce lieu. I1 est 6videmment plus simple, en theorie au nmoins, de se passer de l'intermediaire du kilogramme-poids et de mesurer la force par l'acceleration qu'elle produit sur une masse unite. Par raison de commodite, on prefere comme unites le gramme-masse au kilogrammemasse, le centimetre au metre; on aboutit au systeme C. G. S. La dyne est done la force qui imprime en une seconde une vitesse d'un centimetre par seconde au gramme-masse. L'unit6 de travail, erg, est le travail d'une dyne dont le point d'application se deplace d'un centimetre. Les formules (1) et (2) deviennent y = F m, - = rnv2: 2. Un gramme-poids de Paris, qui imprime au gramme-masse une acceleration de 981 centimetres par seconde, vaut 981 dynes. Un gramme-poids de l'equateur vaut 978 dynes. Quelque avantage qu'on trouve a supprimer le coefficient g dans les formules, il ne faut pas oublier qu'il reapparait dans la pratique. Les forces se d6terminent toujours en grammes-poids du lieu ozi on opere. Pour les reduire en unites absolues, on est force de connaitre l'acceleration de la pesanteur en ce lieu. Ajoutons que les mesures dont la precision excede le millieme, sont rares, et que la pesanteur ne varie pas d'un millieme quand on se deplace a travers les pays ou la science est d6velopp6e. La dyne vaut done un peu plus d'un milligramme. L'unite de travail etant tris petite, on lui prefere le joule qui vaut 107 (dix millions d'ergs), soit environ un dixieme de kilogrammetre. L'unit6 de puissance est le watt; c'est la puissance capable du travail d'un joule par seconde, soit d'un dixieme de kilogrammetre environ par seconde. L'unite usuelle est le kilowatt; le cheval-vapeur vaut 735 watts. Nous admettons connue la definition de la seconde (Voir Cours de Physique pour la classe de Mathematiques A, ~ 44, Bouasse et Brizard, Delagrave).

Page  294 294 D YNA M1 Q UE Mouvement du centre d'inertie. 298. Mouvement du centre d'inertie. - Rempla9ons dans les equations (I), X par Xe+Xi, Y par Ye+Yi, Z par Ze+Zi. Englobons les forces de liaison parmi les forces interieures. Nous avons ~xi -, Yi =0, zi ~-o. Soit ~, Y, ~, les coordonnnees du centre d'inertie, defini par les equations EM -= mxy, ' m r=Z=my, iTmY = mz. Remarquons que, les masses m se deplaqant, la position du centre d'inertie est generalement variable, non seulement dans l'espace absolu, mais encore par rapport aux masses constitutives du systeme. Posons m-= M. Derivons les equations une fois et deux fois par rapport au temps. I1 vient: M, d^ v dx cit Cl dt et deux equations symetriques en y et z; ~ d^ d~x M ( -- m t2 It et deux equations sym6triques en y et z. Le vecteur dont les composantes sont dx dy dz m m mf cm t c t m' dt' est la quantite de mouvement; les Anglais l'appellent momentum. On a done la proposition suivante: Les vecteurs representant les quantites de mouvement de chaque point du systeme admettent comme vecteur resultant un vecteur qui represente la quantite de mouvement du centre d'inertie ou serait condensee la masse entiere du systeme. Mevme proposition pour les forces d'inertie. Ceci pos6, les equations (I) deviennent: M dtr Y=Xeu M dt2 Ye d it2 Ze Le centre d'inertie du systeme se meut comme un point dont la

Page  295 THEIOREMES GENERAUX 295 masse serait egale a la somme des masses et qui serait sollicite par les forces exterieures. COROLLAIRE. S'il n'existe que des forces interieures, ou si les forces exterieures ont une somme nulle (se reduisent a un couple), le centre d'inertie se meut d'un mouvement rectiligne et uniforme. Comme cas particulier, il reste immobile. Par exemple, les mouvements volontaires d'un animal dans sa chute ne peuvent modifier la trajectoire du centre d'inertie; en effet, a la condition de negliger la resistance de 'air, les forces qui entrent en jeu pendant la deformation sont int6rieures. Nous reviendrons plus loin sur les mouvements de rotation qu'il peut s'imprimer. La trajectoire du centre d'inertie d'un obus qui eclate reste la meme, toujours a s&upposer qu'on puisse negliger la resistance de I'air. I1 est important de remarquer que dans les exemples precedents les forces exterieures sur chaque point (pesanteur) ne sont pas modifiees par les mouvements de l'animal ou l'eclatement de l'obus. Mais imaginons qu'une planete eclate; il n'est pas exact de dire que le mouvement du centre d'inertie des morceaux de la planete continue sans modification. Car l'eclatement aurait pour effet de modifier les forces exterieures; certaines masses se rapprocheraient du soleil et seraient plus attirees; d'autres s'eloigneraient et seraient moins attirees. Toutefois le nouveau centre d'inertie se mouvrait comme un point de meme masse totale, sollicite par les nouvelles forces exterieures transportees en ce point parallflement a ellesrnemes. De meme, du fait de l'eclatement de l'obus, la resistance de l'air, qui n'est generalement pas negligeable, est completement modifiee; la trajectoire du centre d'inertie ne reste donc pas la meme que si l'obus n'avait pas eclat6: le theoreme permet cependant de la calculer, si toutes ces nouvelles resistances de l'air sur les morceaux de l'obus sont connues. 299. Application au pendule balistique, au recul des armes a feu, aux fusees. - Nous aurons l'occasion de revenir a propos des impulsions sur des applications de ce th6oreme. Le pendule balistique en est une (~ 435). Signalons pour le moment le recul des armes a feu. Supposons un fusil monte de maniere a se deplacer librement dans le sens de sa longueur. Pendant tout le temps que le projectile est dans le canon de l'arme, les gaz de la poudre exercent des forces egales et de sens inverses sur le fusil et sur la balle; ce sont des forces interieures. Le centre d'inertie du systeme forme des deux corps de masses M et m doit rester invariable. On a donc: (M + In) - Mxl - mx2; dt dt ~ Mvl -+ mv2 O.

Page  296 296 D YNA MIQ UE Les quantites de mouvement Mv, et mv2 sont done egales et de signes contraires, a tout instant, pourvu que les forces exterieures soient negligeables. I1 est clair que si le fusil est appuye contre l'epaule d'un tireur, il prend une vitesse moindre que quand il est libre: la pression de l'epaule est une force exterieure. Comparons les travaux emmagasines: ils sont entre eux comme les forces vives: w mv2 M W:-Mv2 n-m Aussi, bien que les quantites de mouvements soient egales, l'energie emmagasinee par la balle surpasse de beaucoup celle qui reste perdue dans le fusil sous forme cinetique; elles sont en raison inverse des masses. La th6orie precedente suppose negligeable la masse de la poudre ou, ce qui revient au meme, la masse des gaz qu'elle produit. Ceux-ci prennent une vitesse de meme sens que celle de la balle; il est done necessaire que la pression ne soit pas exactement la meme en avant et en arriere de l'espace occupe par les gaz. Le recul du fusil doit etre un peu plus grand que ne le fait pr6voir la vitesse de la balle, abstraction faite de la masse des gaz. Si l'on admet que les gaz ont la vitesse meme de la balle, m doit representer la somme des masses de la poudre et de la balle. La meme theorie explique l'ascension des fusees. Les fusees vulgaires sont des tubes de carton fermes a la partie anterieure, remplis de poudre et portant a l'arriere comme gouvernail une longue baguette de bois. On allume la poudre a l'aide d'une meche posterieure. L'inflammation de la poudre produit des gaz qui se degagent avec une grande vitesse par l'orifice arriere. D'ou projection en avant du corps de la fusee. Theoreme des aires. 300. Theoreme des aires. - Reprenons les equations g6nerales (II). Remarquons que deux forces egales, de sens contraires et de m6me directrice, (comme les liaisons interieures et les forces interieures satisfaisant au principe de l'egalite de l'action et de la reaction), ont un moment total nul par rapport a un axe quelconque. Remarquons, en second lieu, que les premiers membres contiennent les moments par rapport aux axes des vecteurs acceleration qui correspondent aux diverses masses (~67). Les equations fondamentales (II) peuvent done s'ecrire:

Page  297 TIHEOREMES GENERA UX 297 2 m d(-t2 2zm d2S. Ne dt -2 A chaque instant, la somme des produits de chaque masse par la projection de l'acceleration areolaire sur l'un des axes de coordonnees, est egale a la noitie de la somme des moments des forces exterieures par rapport au meme axe. Rappelons que S est laire balayee par un rayon vecteur qui va de l'origine au point considere; nous representons cette aire par un vecteur normal. La vitesse et F'acceleration areolaires sont la vitesse et l'acceleration definies pour ce vecteur. CAS OU LES FORCES EXTERIEURES ONT UN MOMENT NUL. Si les forces exterieures ont un moment nul par rapport a un axe, l'axe des x par exemple, on a: ~m- dt2 0, ~m dSx Constante. La quantite ImSX varie proportionnellement au temps. D'ou le theoreme: si les forces exterieures ont un moment nul par rapport a une droite, (si par exemple elles admettent une resultante qui rencontre cette droite), la somme des produits de chaque masse par la projection, sur un plan normal a la droite, de laire balay6e par le rayon vecteur partant d'un point quelconque de la droite et aboutissant a la masse, varie proportionnellement au temps. Si les moments des forces exterieures sont nuls par rapport aux trois axes de coordonnees (ce qui arrive si les forces exterieures sont nulles, ou si elles se r6duisent a une resultante passant par l'origine), les trois quantites: nmSx, 2i mS,, mS,, varient proportionnellement au temps. Donc, la somme des produits de chaque masse par l'aire balayee par un rayon vecteur, allant de l'origine a la masse, varie proportionnellement au temps. REMARQUE. Nous supposons dans ce qui precede que l'origine des coordonnees est fixe. Le theoreme subsiste en la supposant mobile, a la condition que son mouvement soit rectiligne et uniforme. Appelons a, P, y, ses coordonnees; on a par hypothese dca c2 c d3 dt~ dt2 dt2 -

Page  298 298 D YNAMIQ UE Prenons ce point comme origine des coordonnees; on a, entre les anciennes et les nouvelles coordonn6es, les relations: x- a+- X y -- + 1 z — t zi. / m d2z d2 y\ / d2z, d2yi \ i, 2Y yM V CJ2ZY Y d I my, t2 l-~ ~ cit2 A6it dt d dt ' Clt2 dt2 Les quatre derniers termes sont nuls, deux par la condition que le point pris pour origine se deplace uniform6ment en ligne droite, deux parce qu'on suppose que les forces sont toutes int6rieures. Ce qui d6montre la proposition enoncee. En particulier, on peut prendre pour origine des coordonnees le centre de gravit6 du systeme. C'est par exemple ce que. l'on fera en etudiant le mouveinent de notre syst6me solaire. 301. Plan du maximum des aires; plan invariable. - Reprenons la meme theorie sous une autre forme. A chaque instant et pour chaque point, nous pouvons definir un vecteur passant par l'origine et dont les composantes sont: (t d ct t m dt m( dx dlz dS m(z c-dt c dt) =2m i dt __dy dx\ ciS, xdt -dt y2m dt C'est le produit du moment de la vitesse par la masse; les Anglais l'appellent moment of momentum. Additionnons geometriquement tous les vecteurs qui correspondent aux divers points. Nous obtenons ainsi un certain vecteur de composantes A, B, C. Les equations II s'interpretent en disant que la vitesse de l'extr6mite de ce vecteur est egale au vecteur qui mesure le moment total des forces. Le plan P perpendiculaire au vecteur A, B, C s'appelle plan du maximum des aires, nom qui n'est exact qu'en un certain sens. C'est sur ce plan qu'il faut projeter toutes les aires balayees dans le temps dt par des droites allant de l'origine aux diff6rents points, pour obtenir, non pas la projection maxima (c'est en ce sens que l'appellation est inexacte), mais le maximum de la somme des produits des projections par les masses correspondantes. Si nous decomposons toutes les masses en masses egales, et si nous considerons la somme des aires balayees par toutes ces masses egales, le plan P est alors rigoureusement le plan du maximum des aires projetees.

Page  299 THEOREMES GENIARA UX 299 Generalement, le plan P varie de position h chaque instant. Mais supposons nuls les moments des forces exterieures par rapport aux trois axes de coordonnees: les composantes A, B, C, sont invariables. Le plan du maximum des aires est fixe; on l'appelle plan invariable. Sa normale fait avec les axes de coordonnees les angles dont les cosinus sont: A VA2 + B2 + C2 B VA2+B2 I C2 ' C iA2 + B2 +C2 302. Corps rigide tournant autour d'un a l'axe de rotation suppose fixe (fig. 215). Consid6rons un point A du corps qui se deplace dans le plan xOy. Rep6rons sa position au moyen de l'angle 0 que fait la droite OA avec l'axe des x. Tout autre point du corps sera repere par sa hauteur z au-dessus du plan xOy, par la variable 0 + —, ou 01 est une constante caracteristique du point considere, et enfin par sa distance r a l'axe des z. Nous avons appele cylindriques ces coordonnees (~ 48). La projection sur le plan xOy de laire balay6e pendant le temps dt par le rayon vecteur allant du point 0 a un point B du corps, est d r dt. Le theor6me du ~ 300 nous permet de poser: 2 mrd d 0 d mr2= M. Ymr dt dt2,xe fixe.- Soit Oz Fig. 215. (1) M est le moment des forces exterieures par rapport a l'axe Oz. Les forces de liaison n'interviennent pas; les reactions de l'axe Oz rencontrant cet axe ont un moment nul par rapport a lui. La quantit6 I - mr2 est (~ 11) le moment d'inertie par rapport a Oz. Nous avons en definitive I d M. dt2 (2) Le theoreme des forces vives est 6videmment satisfait. La vitesse d'un point est: rd: dt; la force vive totale du corps est par suite: 1 tmrr2 (d) I (dl e Le travail eleentaire du couple es-t (~38). Le travail e1ementaire du couple M est MdO (~38).

Page  300 300 D YNAMIQUE Le theoreme des forces vives s'exprime par l'equation (I [ d0 \1= M qu'il suffit de deriver par rapport h 0 pour retrouver l'6quation (2). Si le couple est nul, il vient: dO dt - Constante. La vitesse angulaire est constante; le theoreme des aires est ainsi satisfait. 303. Theoreme des aires dans le cas d'un systeme deformable tournant autour d'un axe. - Si le corps, qui tourne autour d'un axe invariable, n'est pas rigide, l'equation (1) du paragraphe precedent doit Wtre maintenue sous la forme: Lmr2 =. (iM ct2 (1 Considerons le cas ouf le couple M est nul, et, pour fixer les idees, imaginons le corps divise en deux parties I et 2, de moments d'inertie I1 et 12 et dont nous repererons les azimuts au moyen des variables 01 et 02. L'equation (1) s'ecrit 1 -dt +I2 dt~ - Constante. La figure 216 represente un appareil facilement realisable. Le cadre CC est suspendu a un fil tres fin qu'on peut considerer comme sans torsion; ce sera la partie I du systeme. La partie 2 est constituee par un axe vertical tournant entre deux pivots fixes au cadre. II porte un levier horizontal sur lequel - ----- J ------ gse deplacent deux masses m permettant de faire varier le moment d'inertie I1. 2z ft -= B2 Les parties I et 2 sont reliees par c ---- 'un ressort a boudin dont nous pouvons negliger le moment d'inertie. Fig. 216. Par une rotation convenable du levier, bandons le ressort; fixons le levier au cadre par un fil a coudre et laissons le systeme revenir au repos. Brulons alors le fil. Les vitesses initiales etant nulles, les equations I~- + 2 cit 0, 110 I+1202 = Constante, sont toujours satisfaites. Grace a un choix convenable des origines

Page  301 TH6OREiMES GEN'ERA UX 301 des azimuts, par exemple en prenant pour azimuts nuls ceux qui correspondent a la position pour laquelle le ressort est debande, on peut ecrire: 1, -1 202 -. (2) Le couple du au ressort est alors proportionnel a 0 - -2. Les equations du mouvement de chaque partie du systbme considere isolement sont: dt, ~~~~~~~d202 ~(3) 1 dt'- C (01 - 02). dt2 Comme nous aurons l'occasion de le montrer en detail au ~ 337, les oscillations des parties 1 et 2 sont sinusoidales et decalees de 7x. Posons: 01 in Ot, 0 in (- ) sin 2 2 sin (- sin t. Substituons dans (2); il vient la condition: Il0 1- I202, les amplitudes 01 et 02 sont en raison inverse des moments d'inertie. C'est ce qu'on montre ais6ment en deplaqant les masses nm. Substituons dans l'une ou l'autre des equations (3); appelons T la periode 2T =C( +I T== 27(\/c I + ) La periode d'oscillation du systeme depend des moments d'inertie des deux oscillateurs. 304. Possibilite pour un systeme uniquement soumis a des forces interieures de tourner autour d'un axe, toutes les pieces revenant a la fin de l'operation dans leurs situations respectives. - Ce probleme correspond au fait suivant: un chat tenu par les quatre pattes, et qu'on laisse tomber d'une certaine hauteur, arrive toujours sur ses pieds. Il faut donc que, pendant la chute, il tourne d'un demi-tour autour d'un axe horizontal. Or les forces sont toutes interieures, car la resistance de l'air est negligeable. C'est done un fait d'experience qu'un systeme d6formable uniquement soumis a des forces interieures peut tourner d'un angle quelconque autour d'un axe A, les diff6rentes pieces du systeme revenant en definitive a leurs situations respectives initiales. La theorie interprete le fait avec la plus grande aisance. Pour que la rotation soit possible, il faut que certaines pieces puissent osciller autour de l'axe, tandis que certaines autres modifient le moment d'inertie par rapport au mgme axe.

Page  302 302 D YNAMIQ UE Reprenons l'appareil represente figure 216. Supposons qu'au bout des oscillations, les masses m se transportent brusquement et alternativement soit aux extremites de la barre, soit tout pres de l'axe. Il en r6sultera que le moment d'inertie du systeme 2 sera I' quand la barre va dans un sens, I'' quand elle va en sens contraire. Remarquons que l'operation n'implique aucun travail, (ce qui d'ailleurs importe peu), mais surtout qu'elle laisse immobile le centre d'inertie du systeme, (ce qui est conforme au ~ 298). Nous pouvons d6terminer les azimuts successifs absolus des parties du systeme au bout des oscillations, en nous appuyant sur les deux propositions suivantes 10 les deplacements sont en raison inverse des moments d'inertie; 20 le ressort doit etre band6 de la meme maniire au bout de toutes les oscillations, puisque rien n'absorbe d'energie dans notre appareil et que l'energie potentielle du ressort est proportionnelle au carr6 (0,- -0)2 de la diff6rence des azimuts des parties 1 et 2 de l'appareil (~ 240). Sans qu'il soit necessaire de faire aucun calcul, il est evident qu'il n'y aura pas compensation: apres chaque oscillation complete, le systeme aura tourne du meme angle dans le m6me sens. Ceci pose, admettons que le chat puisse d6composer son corps en deux parties sensiblement 6gales, suffisamment mobiles l'une par rapport a l'autre. L'axe horizontal passe a travers le corps dans le sens de la longueur; les deux parties sont constitutes par l'avant-train et l'arriere-train. L'animal etend ou replie les pattes de devant ou de derriere: admettons, pour simplifier le raisonnement, qu'il puisse ainsi donner a l'une ou l'autre partie de son corps l'un des deux moments d'inertie i ou I (i < I) par rapport a l'axe. Il veut tourner dans un sens que nous appellerons positif. I1 donne a son avant-train le moment i et at son arriere-train le moment I, et tourne son avant-train dans le sens positif. L'arriere-train tourne dans le sens negatif, mais d'un angle moindre. II donne alors le moment I a son avant-train et le moment i a son arriere-train; il tourne son arriire-train dans le sens positif. L'avanttrain tourne dans le sens negatif, mais d'un angle moindre. Quand les deux parties du corps sont de nouveau dans le prolongement l'une de l'autre, le corps entier a tourne d'un certain angle dans le sens positif. Si compliqu6 que semble ce procede, il est seul conforme avec les principes de la Mecanique. 305. Autre forme d'experience. - Imaginons un plateau P suspendu par un fil tres fin, ou encore fixe a un axe vertical mont6 sur pivots, de maniere qu'il soit le plus mobile possible (fig. 217). Il porte une sorte de toupie T egalement montee sur pivots et dont

Page  303 THt~OREMES GIMIRA UX 303 le disque est suffisamment lourd. La toupie est equilibree statiquement et dynamiquement (~ 363) par une masse M. On la lance avec une corde et on abandonne le plateau sans vitesse. Analysons les phenomenes. Negligeons les frottements de l'air et supposons d'abord le disque T assez mobile sur ses pivots et assez bien 6quilibre, pour que les frottements entre lui et son support soient negligeables. I1 conserve done une vitesse sensiblement uniforme. ~ I Correlativement, le plateau P reste immobile. S En effet, cherchons la projection sur le plan horizontal de l'aire / balayee par le rayon vecteur allant \ d'un point quelconque de l'axe RS ------- --- - a un point du corps tournant. Celui-ci decrit une circonfdrence \ ABCDE; il est aise de voir que Faire totale balayee par tour par Fig. 217. le vecteur qui emane du point 0, est egale a l'aire du cercle comptee dans le sens de la fltche. Soit I1 le moment d'inertie du corps T par rapport a son axe, I le moment d'inertie du systeme tout entier par rapport a RS; le theoreme des aires fournit la relation: d1, d e Ii dt +I dt- Constante; 0, est l'azimut de la toupie par rapport aux axes lies au plateau, 0 est l'azimut du plateau par rapport a des axes fixes. Appelons o1 la vitesse angulaire initiale de la toupie; il vient: I, +I do=, d- t Si la vitesse de la toupie reste constante et egale a o1, la vitesse du plateau reste nulle. Mais, en brulant un fil a coudre f, laissons retomber sur le disque un tampon r qui produit un frottement. La vitesse de la toupie diminue, correlativement la vitesse du plateau augmente. Le plateau prend un mouvement de rotation dans le sens de la rotation de la toupie; celleci l'entraine en quelque sorte. I1 arrive un moment of la vitesse relative de la toupie devient nulle. Le systeme total est alors anime d'une vitesse angulaire o telle que: oI -- ill.

Page  304 304 D YNAMIQ UE L'operation ne va pas sans une perte d'energie. Les energies cinetiques sont au debut W~ et a la fin W: 2Ilc0. O I o2 V )2 o Ii V1 — 2 ' W 2 ' t-I, = - I 306. Troisieme forme d'experience. - Disposons sur le plateau un moteur electrique M 6quilibre statiquement et dynamiquement par la masse M'. Il met en rotation le disque T dans un sens que nous appellerons positif. Un tampon t permet d'augmenter le frotte - p M' _- v I I _ _ I _P ment entre le disque et le bati du moteur (fig. 218). Le courant necessaire au moteur est amene par des contacts plongeant dans des rigoles circulaires pleines de mercure: le frottement est n6gligeable. Conservons les notations du paragraphe prece _ __ __ _ T dent. Fig. 218. Supposons que le disque T ait pris une vitesse uniforme; abandonnons alors le plateau P. II reste immobile quels que soient les frottements entre le disque et le reste du systeme. Supprimons le courant, le plateau est entraine dans le sens positif; reinstallons le courant, le plateau est entraine dans le sens negatif tandis que le disque l'est dans le sens positif. Tous ces phenomines se deduisent aisement du fait qu'il n'existe que des forces interieures. En particulier, les deux dernieres propositions expliquent la premiere ou le regime est permanent. En vertu des frottements, le disque tend a entrainer le plateau dans le sens de sa propre rotation; mais les forces necessaires pour maintenir sa vitesse constante prennent leur appui sur le plateau et tendent a le faire tourner en sens contraire. Ces deux systemes de forces interieures s'equilibrent exactement: le plateau reste immobile, si on labandonne sans vitesse. Nous ne saurions trop conseiller au lecteur de repeter toutes ces experiences en en variant les conditions. Principe du travail virtuel. 307. Equation generale fondee sur le principe du travail virtuel. - Nous ne saurions trop le repeter: la Dynamique entiere reside dans cette proposition: II y a equilibre a chaque instant entre toutes les forces appliquees a chaque element de volume, y comp7is les forces d'inertie. Autant de manieres d'exprimer cet equilibre, autant

Page  305 THEOREMES GENERA UX 305 de formes logiquement indiscernables des 6quations fondamentales de la Dynamique. Nous avons demontr6 que, pour exprimer l'equilibre, il revient exactement au meme d'utiliser le principe du parallelogramme ou celui du travail virtuel. Cherchons sous quel aspect apparait le postulat general de la Dynamique quand on met en ceuvre le second principe. Ecrivons donc que, DANS LA SITUATION ACTUELLE DU SYSTEME, le travail de toutes les forces (y compris celles d'inertie) est nul pour tous les deplacements compatibles avec les liaisons, TELLES QU'ELLES EXISTENT ACTUELLEMENT. Le lecteur voudra bien mediter les motsdeux fois soulignes; sur eux viennent buter des generations entieres d'etudiants. Ils expliquent pourtant l'adjectif virtuel qui entre dans le nom du principe. En effet, il s'agit ici, non pas de determiner le travail effectif des forces dans les deplacements reels, mais d'ecrire que ces forces se font actuellement equilibre. La mise en ceuvre du principe du travail virtuel est la mise en ceuvre d'un procede GEOiMETRIQUE capable d'exprimer que la r6sultante de certains vecteurs est nulle. I1 ne faut pas chercher une raison d'etre mecanique a un theoreme de Geometrie pure. Au reste, les exemples suivants montrent de quoi il retourne, mieux qu'une dissertation. 308. Expression analytique du principe du travail virtuel; equation de d'Alembert-Lagrange. - En coordonnees cartesiennes, nous devons 6crire: 1(,X-m t ) +Y-m dY )/ y+ Z-M - ) -- =0; (IV) dt2, 6 —\ - lt2/ dt2 ou, ce qui revient au meme: L ( S+dt + d z)=T(Xx+Yy+Zz). (IV) Les 6x, 0y, 8z, sont les dcplacements virtuels; ils sont compatibles avec les liaisons au temps t; ils sont generalement differents des deplacements reels. Autrement dit, soit (~ 146)?i1=0, %2-=,...?p-=, les p conditions auxquelles sont assujetties les coordonnees des n points du systeme. A la difference du ~ 146, elles peuvent contenir le temps explicitement; ce qu'on exprime en disant que les liaisons dependent du temps. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 20

Page  306 306 D YNAMIQ UE Les cdl, dy1/, dcl,... satisfont aux equations:,+... + z+ dt —0,, dx +...+, dz t dt Au contraire, les x,1, 8Yi, Sz, satisfont aux equations: 8?1 +.. + ^ 8., X +... + z 0. L'equation IV a la meme forme que l'equation (1) du ~ 291 d'oui nous tirons le theoreme des forces vives. Mais ici l'int6gration est impossible: le theoreme des forces vives ne s'applique done que si l'on tient compte du travail des liaisons. Insistons sur ce paradoxe. 309. Paradoxe sur le theoreme des forces vives. - Nous savons que l'emploi du principe du travail virtuel comme procede analytique d'expression de l'equilibre des vecteurs, elimine les liaisons qui PAR HYPOTHESE ne travaillent pas. Mais des liaisons qui ne travaillent pas, en supposant les deplacements compatibles avec ce qu'elles sont au temps t (deplacements virtuels), peuvent travailler quand il s'agit des deplacements reels. D'ou ce paradoxe que le theoreme des forces vives, qui est pourtant absolument general, semble ne plus s'appliquer quand les liaisons dependent du temps. Cela tient a ce qu'en etudiant les deplacements virtuels, on supprime automatiquement le travail de ces liaisons, travail qui n'est generalement pas nul quand elles d6pendent du temps. II va de soi que la variation de force vive des masses n'est pas egale au travail des forces qui ne sont pas conventionnellement de liaison, c'est-a-dire que le procede de calcul employe n'elimine pas; il faut ajouter le travail des liaisons. Ces remarques sont fondamentales; elles sont d'ailleurs a peu pres incomprehensibles dans leur enonce abstrait. Le seul moyen d'en montrer l'interet est d'etudier en detail quelques exemples. 310. Exemple d'application du principe du travail virtuel. - Un point M se deplace dans le plan xOy (fig. 219). 11 est tenu par un fil qui passe dans un anneau 0 et dont la longueur r est arbitrairement variable. On a: r - f(t). (1) On demande la trajectoire du point M qui n'est soumis a aucune autre force que celle qui remplace la liaison.

Page  307 THAOREMES GENIRA UX 307 Pour appliquer le principe du travail virtuel, nous arretons le systeme dans sa position actuelle; nous ecrivons qu'il y a 6quilibre entre toutes les forces, y compris celles d'inertie. Nous donnons done un petit d6placement compatible avec les liaisons actuelles, ce qui revient Y a amener le point M en M' sur la circonf6rence M de centre 0 et de rayon r, qui n'est pas la tra- N \ jectoire reelle MM,. Nous ecrivons alors que le travail est nul. Or les forces se reduisent ici a la force _ ____ d'inertie. Nous exprimons done qu'elle est diriFig. 219. gee suivant OM, normalement a la trajectoire virtuelle. D'oui l'quation de condition: d2x dxy d 2x dCy dt2 x~ dt: y, Y d - tx Lte =; dt 2 ) = 0, 72 d - Constante C. (2) C/dt C ct Nous aurions pu ecrire cette condition comme corollaire du theoreme des aires. L'equation (2) est valable quelle que soit la loi (1) suivant laquelle on tire sur le fil, ou suivant laquelle on l'abandonne. Du reste le probleme est completement resolu si l'on donne f(t). On a: C), dt r-f (t), 0 J [f(t)]2 11 est ais6 de voir que la liaison travaille; l'6ner'gie cinetique W du point varie. Supposons-lui la masse unite. On a: 2W 7 + (/ \- ( d -r ) C. APPLICATION. Soit r -at; il vient a2 o t )t a \( r (3) Le point decrit une spirale hyperbolique. Nous pouvons mettre l'6quation (3) sous la forme: C 0,0 — =r; (3') OO est l'azimut de l'asymptote. L'energie cinetique a pour expression: 2WV a- 2. 2 4- r2

Page  308 308 D YYNAHIIQ UE Elle diminue a mesure que r augmente. La force que le fil exerce sur la masse (force de liaison) est: dW C dri' r3 Le signe - indique que la force est dirige vers le point 0. D'oiu une seconde maniere de traiter le probleme. Consid6rons une masse soumise a une force centrale: F —C: r3; c'est-a-dire a une force qui passe par un point fixe. On demande sa trajectoire. La liaison a disparu. I1 faut ecrire d2x C x d2y C y d-t2 - r3 r ' dt - r3 r Multiplions la premiere par- y, la seconde par x et additionnons: d2y d2x d12 y dt2 ---0 C'est l'equation qui exprime le theoreme des aires. Multiplions la premiere par dx, la seconde par dy; additionnons: 1 v C C 2.... - d, v-~- a 2 d. v,x (dx +- y dy)- 3 dl, v2= C + a2 Nous retrouvons bien les r6sultats precedemment obtenus. Cette exemple montre clairement comment interviennent les liaisons, comment l'application du principe du travail virtuel pour exprimer l'quilibre les elimine, et comment il parait ne plus se trouver d'accord avec le theoreme des forces vives: tout s'explique quand on n'oublie pas que d'une maniere gene'lale les liaisons travaillent. L'equation de d'Alembert-Lagrange exprime simplement qu'un certain vecteur est nul, ou qu'il y a 6quilibre entre certaines forces. Les travaux r6els n'y interviennent pas. 311. Second exemple. - Voici un second exemple symetrique du pr6cedent ou la liaison consiste a donner arbitrairement l'autre coordonnee polaire 0. Un corps est assujetti y a glisser dans un tube rectiligne parfaitement 1 /i poli qui tourne autour de l'origine suivant ' /M une loi: 0 - F(t). (1) On demande la trajectoire (fig. 220). Nous arretons le systeme dans sa position -- actuelle. Nous donnons un petit deplacement Fig. 220. compatible avec les liaisons actuelles, ce qui revient a amener le point M en M' sur le rayon OM; la trajectoire reelle MM, est generalement tres diff6rente.

Page  309 THEOREMES GENERAUX 309 Les forces se reduisent a la force d'inertie. Nous exprimons done qu'elle est normale a MM'. D'oii la condition x c- t2 - 2 y -- (2) qui doit etre satisfaite quelle que soit la relation (1). Exprimons (2) en coordonnees polaires. On a: r dr-= x dx -c - y dy; d(dr (, / 2 dx \\2 (dy \2 ( dcx + d2, ) 2 r -t/-+\c-t- \cit 2+ cit ~ xt - Y dt2 V Exprimons la vitesse en fonction de r et de 0; il reste cl"r7 / (02 t2 -- \ dt (2') Telle est l'equation a satisfaire quelle que soit (1). Ici encore la liaison travaille; l'energie cinetique n'est pas invariable. APPLICATION. Supposons que le tube poll soit anime d'une vitesse angulaire uniforme (. L'equation (2') devient: 0 -( t; c2 co2, r - Ae)t + Be - Le point derit une spirale loga7ithmique. L'energie cinetique a pour expression: 2W r-d 2 2-2(+re2I (BC Be- 20t) W -( dt ) + ( dt ) e ' Nous traiterons a nouveau ce probleme au ~ 604, en etudiant les mouvements relatifs. Equations de Lagrange. 312. Coordonnees generalisees. - Les equations de d'Alembert-Lagrange (~ 308) ne sont vraiment utiles que sous la forme proprement dite de Lagrange, oui sont explicitees les variables ind6 -pendantes. L'etat actuel d'un systeme est generalement defini par les valeurs d'un certain nombre de variables independantes a, b, c,.., auxquelles les coordonnees de tous les points sont reliees par des equations de la forme: x-f1(t, a, b, c,...), y= f2a(t 8, b, c,..), (1 Z f3(ta,b,c,...). Le probleme consiste a supprimer l'intermediaire des coordonnees cartesiennes dont nous n'avons pas besoin, et a exprimer le principe de la Dynamique au moyen des variables a, b, c,...

Page  310 310 D YNAMIQ UE C'est un simple changement de coordonn6es. Nous repr6senterons par x' la derivee totale de x par rapport au temps. Nous ecrirons donc: 'x t+ t a' + ab b' +. (2) Nous representerons, comme plus haut par 8x, yy,..., les deplacements virtuels. Pour les definir, on suppose le temps invariable et on donne un deplacenient compatible avec les liaisons telles qu'elles sont a l'instant considere. On a done par definition Ox x'dt -ox + t dt, 6x bx bx S=- Sa 8+ Sab b+ b-S-C + (3) Le travail virtuel a pour expression: dG=C Aa + Bob+Coc+... (4) Dans les equations de Lagrange n'entrent que les coordonnees generalisees a, b, c,..., et les forces A, B, C,..., suivant les variables a, b, c,... 11 est 6vident a priori que le probleme est possible, car le systerme est determin6 geometriquement par les coordonnees generalisees, mecaniquement par les forces qui leur correspondent. 313. Lemmes preliminaires. - LEiME I. Des equations (2) et de la definition des derivees partielles, il resulte immediatement la relation bx' bx ha' ba? et de m6me pour les autres variables. Pour qu'il en soit ainsi il faut que a', b', c',... n'entrent pas dans les equations de condition (1), ce que nous avons suppose. LEMME II. Derivons l'equation (2) par rapport a a: bx' b2X b2x 2, bi. ba - bat + 6a2 a+ -6 ba + (A) I N'hesitons pas a rappeler des verites Wl1mentaires. II est bien clair par definition que: ab' _ ( db d (ja ) aa aa \Y =al, ' — o; car b est une variable independante qui doit par ddfinition rester invariable quand nous nous occupons des variations de a. On a non moins evidemment: aa ta~ ( dt ~dt a D~a dt ( da) d () ~0 -a-d_ dt a da dt

Page  311 THEOR2MES GE:NERA UX 311 Le second membre de cette equation peut 6tre consider6 comme la derivee totale: d b: dt a' 6x En effet, a est une certaine fonction de a, b, c,... Sa derivee totale par rapport au temps a pour expression: d bx b2X 2X / xY. -d ^x _ ^x 6x) da b a x \ db dt ax - bx axt a2 + b..., c'est-a-dire precis6ment l'equation (5). Nous ecrirons done bx' d( bx ba - dt 6a EXPRESSION DE LA FORCE VIVE. Elle est par definition T - 2 — (12+ y2 + 2) Pour 1'exprimer en fonction des coordonnees generalisees, il faut substituer les valeurs des derivees totales tirees de (2), puis eliminer x, y, z,..., au moyen des equations (1). La fonction T contient generalement les puissances 1 et 2 des vitesses a', b', c',... Si les equations (1) ne renferment pas explicitement le temps, T est une fonction quadratique homogene des vitesses a', b',... 314. Etablissement des equations de Lagrange. - On a: b6T,, d2x d bT m x-a mxx - ctm 2 dct 6x' Le principe fondamental de la Dynamique a pour expressions equivalentes: (m + md X-S + m t )= (Xcad + Y'y + Z)z); 7d _T d T cid bT\ 8x- b- d+ t y' + z dt z- A8a + BSb + Coc +... (6) Changeons de coordonnees, en utilisant les relations (3). Considerons tous les termes du premier membre ou entre la variation aa. On a identiquement: abx d baT cd T bxd (bT d bx ^a a- dt 0x't a - Zdt- Ox' dt 6a

Page  312 312 D YNA MIQ UE On a (lemme I): ^j d laT bx\ d bT bx' d bT c-dt x' 6a - dt _x' — a' - dt ba' On a (lemme II): bT d bx\ T T x' bT jx' dt 6a = x' 6a da Identifions dans les equations (6) les coefficients des variables independantes: d bT bT A d bT bT dt bb'- b -. Ce sont les equations de Lagrange. EXISTENCE D'UN POTENTIEL. On dit qu'il existe un potentiel V, quand la differentielle du travail prend la forme (~ 39) bV bV bV dG - cia a- db - dc-.. --- dV. Les equations de Lagrange prennent la forme d 6T bT 6V dt ba' - ba + a - Posons T-V- H; nous pouvons ecrire d bT bH dt ba' - b - 0; H est la fonction de Lagrange; c'est la difference de l'energie cinetique et de l'energie potentielle. On peut encore ecrire, puisque V ne depend que des coordonnees a, b, c,..., et non des vitesses a', b', c'...: d bH IbH dt ba' - a -a 315. Theoreme des forces vives. - Montrons que les equations de Lagrange redonnent le theoreme des forces vives, a la condition que les liaisons soient independantes du temps. Nous savons qu'alors T est est une fonction quadratique homogene de a', Li, c',... On a par consequent (~ 54): 2T. (1) la a'

Page  313 THIOREMES GENJ9RAUX 313 Ceci pose, multiplions les equations de Lagrange respectivement par da, db,..., et additionnons. I1 vient: Za'Kd b- da =a- Ada+ Bdb+... d(a' ) da'+ a da) Ada + Bdb +...; et, en vertu de l'identite (1) et de la definition de la differentielle totale: 2dT - dT = dT Ada + Bdb +.~.. Cette equation exprime le theoreme des forces vives: la variation de la force vive est 6gale au travail total effectu6 par les forces. Theoreme de la moindre action. 316. Enonce du theoreme (Maupertuis). - L'interet pratique de ce theoreme est mediocre dans toutes les questions que nous avons a considerer. Nous nous contenterons donc de l'6noncer sans en donner la demonstration. Supposons les liaisons independantes du temps et les forces derivees d'un potentiel. Considerons un systeme qui passe de la situation 1 a la situation 2. I1 y a generalement pour chacun de ses points une infinite de trajectoires possibles; les lois de la Dynamique imposent une certaine trajectoire parmi cette infinite. Considerons un systeme de trajectoires possibles; rep6rons-le par la longueur s de l'arc compte sur chaque trajectoire; 6valuons en chaque point quelle serait la vitesse de chaque masse en vertu du theoreme des forces vives. Effectuons pour chaque masse l'integrale: / mv ds, et faisons la somme de toutes les integrales analogues pour toutes les masses du systeme. Le theoreme nous apprend que les trajectoires effectivement decrites sont celles pour lesquelles 2 X 2 mv ds est minimum ou maximum relativement a la valeur que prend cette quantite si on introduit de nouvelles liaisons dans le systeme, limitant ainsi le nombre de trajectoires possibles. Par exemple, une masse se meut sur une surface parfaitement polie,

Page  314 314 DYNAMIQUE sans qu'aucune force agisse sur elle, autre que la reaction (normale) de la surface. Le theoreme des forces vives nous apprend que sa vitesse est constante. Les lignes qu'elle decrit sont done telles que rB l'integrale: ~ ds, soit minimum. Cette condition definit les lignes geodesiques (~ 175).

Page  315 CHAPITRE II DYNAMIQUE DU POINT I1 semble que la Dynamique du point ne doive presenter aucun interet. Le point n'existe pas; c'est un 6tre de raison. Mais dans une infinite de problemes, qui seraient trop compliques si l'on tenait compte du detail, il suffit de considerer le corps comme reduit a un point materiel pour avoir une vue suffisamment nette et exacte des phenomenes. I1 ne faut donc pas prendre le titre de ce Chapitre au pied de la lettre; plus justement, au lieu de dynamique du point, on devrait parler de solutions approximatives de problemes complexes. iChute libre. 317. Mesure d'un temps au moyen d'un corps tombant en chute libre. - II ne viendrait aujourd'hui a l'idee de personne de mettre en doute la loi fondarnentale de la Dynamique et de chercher a la verifier par des mesures experimentales directes; pas davantage de soutenii que la pesanteur n est pas une force pratiquement constante tant qu'on ne s'eloigne pas trop d'un lieu donne. Tout le monde admet par consequent qu'un corps tomberait en chute libre d'un mouvement uniformement acc6elre, si aucune force ne s'ajoutait a la pesanteur. En pratique, la resistance de l'air diminue la vitesse. L'acceleration de la pesanteur n'est pas determinee par l'etude des corps tombant en chute libre; nous trouverons plus loin (Chapitre III) une methode infiniment plus precise. Au contraire, les corps tombant en chute libre permettent de determiner des durees, dans l'hypothese que le mouvement est uniformement accelere, et que l'acceleration de la pesanteur est determinable une fois pour toutes en chaque lieu. Ce renversement dans l'utilisation des phenomenes est habituel. Au debut on etudiait la loi de la chute des corps comme le pheno

Page  316 316 D YNA MIQ UE mene le plus simple, pour affermir les principes de la Dynamique. Aujourd'hui qu'une infinite de consequences lointaines ont mis ces principes hors de doute, on admet en quelque sorte les lois de la chute des corps pour s'en servir comme mesure du temps. Par exemple, pour determiner le temps de pose qui correspond a un obturateur de chambre photographique, on photographie une bille brillante (grosse bille pour automobile) tombant devant une graduation en centimetres. Sur une bande de papier noir mat de 20 centimetres de largeur, on trace a la craie ou a la gouache une graduation en centiinetres sur une longueur par exemple de 2 metres. On fixe cette graduation verticalement et on l'eclaire fortement. C'est tout pres, en avant d'elle, que tombe la bille lachee sans vitesse du zero de la graduation. Le temps qu'elle met a aller du trait n1 au trait n2 est at- -/2 - ), (g- 981), formule dans laquelle ni et n2 sont exprim6s en centimetres. L'experience consiste a relever sur le cliche la position de la trace lumineuse de la bille par rapport aux divisions de la graduation. La seule difficult6 de l'experience consiste a faire fonctionner l'obturateur ni trop tot ni trop tard. SENSIBILITI. La methode est d'autant plus sensible qu'a un intervalle de temps t donne correspond un intervalle An plus grand. Or, on a sensiblement \ t \/g 2\/n All at V-a Vn V-A A=llV29fn. Ait. La sensibilite de la methode crolt done proportionnellement a la racine carree du chemin moyen deja parcouru par la bille au moment oit on la photographic. On arrive au m6me resultat par un autre raisonnement. Soit v la vitesse au moment oi l'on photographie, et t le temps qui s'est ecoule a partir du lache de la bille. On a v gt, An Z vAt- =jt At. La sensibilite est proportionnelle au temps qu'a dure la chute t avant l'ouverture de l'obturateur. 318. Chronographe Le Boulange. - Le chronographe Le Boulange est un instrument tres ingenieux utilise dans l'artillerie pour mesurer de tris petites durees. I1 est fonde sur le principe suivant. Le projectile coupe successivement les circuits de deux electroaimants E, E' qui supportent deux tiges de fer, F, F'. Celles-ci

Page  317 DYNlAMIQUE DU POINT 317 tombent en chute libre avec un retard At qui est precisement la quantite a mesurer (fig. 221). Considerons deux points P et P', pris respectivement sur les deux tiges et qui sont au meme niveau quand les electros maintiennent les tiges en place. Les espaces qu'ils ont parcourus au bout du temps t, et la difference de ces espaces sont 1 I e-2 = gt2, e' 9-1 g(t +t); Ae =gtAt. Pour que la mesure precise du petit temps At soit possible, il faut done laisser les tiges tomber librement un temps t suffisant, et mesurer alors la difference d'altitude Ae de deux points qui etaient initialement au meme niveau. Voici par quel artifice on y parvient. La tige F tombe sur un mecanisme (non represente) et declenche un couteau qui se deplace dans le plan horizontal C. Le couteau trace une encoche sur B F' un tube de zinc (metal mou) qui recouvre la A tige F' comme une chemise. L'encoche se fait done apres le latch de F, un temps t egal au P p' temps de la chute de F, et au temps necessaire pour le declenchement et pour le deplacement du ll c couteau. Au moyen d'un commutateur special, rompons simultanement les circuits de E et de E': le Fig. 221 couteau trace une encoche sur F', par exemple en A. La distance AC permet de calculer le temps t. Recommengons l'experience, mais cette fois en mettant entre les ouvertures des deux circuits le temps At. Le couteau trace une encoche sur F, par exemple en B. La connaissance des distances verticales AG - n,, et BC- n, permet de calculer At par la formule du ~ 317. On modifie la sensibilite de l'appareil en plaqant l'electro E plus ou moins haut. On fait ainsi varier le temps t. Pour juger de la precision de l'appareil, calculons la vitesse de F' apres un metre de chute; elle est v = \/2g 4m,43 = 4 430 millimetres. Le millieme de seconde correspond a un deplacement 4,mm4.

Page  318 318 D Y)NAMIQ UE Mouvement dans un milieu resistant. 319. Determination de la grandeur du frottement entre solides. - Un corps qui tombe en chute libre est anime d'un mouvement uniformement accelere. On peut admettre en effet que la pesanteur est une force constante. II en sera de meme chaque fois que la force sera constante, d'ou qu'elle provienne. Voici, comme exemple, la methode experimentale de Coulomb pour determiner la valeur du frottement entre solides, dont nous avons enonce par anticipation les lois au Chapitre III de la Statique. Imaginons un traineau de poids P, dont la base AB est un plan qui glisse sur un plan horizontal pl00O CD (fig. 222), et qu'on charge O 00 uniformement de maniere que la A j0OOOB pression (c'est-a-dire le quotient cD ) du poids par la surface) soit la meme en tous les points. I1 est tire par le poids P' a l'aide d'une corde qui passe sur une poulie. L'experience d6montre que le p' mouvement que prend ce systeme est uniform6ment accelere: Fig. 222. donc la force f de frottement est independante de la vitesse. On peut la calculer facilement. Soit y l'acceleration du mouvement experimentalement determinee et exprimee en metres par secondes; soit g- 9m,81 l'acceleration de la pesanteur. La force motrice est le poids P'; la force retardatrice est le frottement f; la masse - mouvoir est P'-+ P, en nogligeant la masse de la corde et le moment d'inertie de la poulie. P' f L'appareil est une machine d'Atwood (~ 357) dont les frottements sont majores. Modifions le poids P; l'experience montre que f est proportionnel a P. Tout en conservant le meme poids P, modifions laire du plan de contact AB; le frottement est ind6pendant de cette aire. Nous pouvons donc poser (~ 202): f/ kN, ou k est un coefficient qui caracterise les surfaces frottantes, quelle que soit l'aire de la surface de contact.

Page  319 DYNAMIQUE DU POINT 319 320. Freins. - Etudions le frein du point de vue dynamique; on se reportera au ~ 225 pour la disposition des appareils et leur mode de fonctionnement. Bloquons toutes les roues d'un train de 200 tonnes. C'est exactement comme si nous agissions contre le train avec une force sensiblement constante de 200 X 0,14 28 tonnes; c'est comme si le train avait a tirer ce poids. Nous produisons done une acceleration negative egale au 14 centiemes de l'acceleration g de la pesanteur. Soit g- 9m,81; 9",8l X 0,14: 11,37. Soit v la vitesse du train a chaque instant, v0 la vitesse initiale au temps 0, quand on bloque les freins, e l'espace parcouru (en metres) a partir de la position au temps 0. On a: v- v - 1,37. t, e —Vot - 0,69. t2. Le temps que le train met a s'arreter et l'espace alors parcouru sont donnes par les formules t-v0: 1,37, e -=v:2,74. Voici les resultats pour les diff6rentes vitesses v0 exprimees en kilometres a l'heure, et v' exprimees en metres a la seconde Vo 40k 60k 80k 100k 120k v 14' 1, 1 16m,7 22m,2 27m,8 33mn,3 t 8,1 12,2 16,2 20,3 24,4 e 45 102' 180 282 405 Ainsi, un train lance a la vitesse de 100 kilometres a l'heure ne peut s'arreter qu'apres 20 secondes et un parcours de pros de 300 metres. La manceuvre du frein demandant quelques secondes, et toutes les roues n'etant pas necessairement bloquees, ces nombres sont au-dessous de la verite. Nous negligeons, il est vrai, la resistance de lair et le frottement des diverses pieces du train les unes contre les autres et contre les rails. Ces quantites dependent de la vitesse; nous retrouverons le probleme un peu plus loin (~ 323). 321. Probleme de la balistique interieure. - Comme exemple de questions se rattachant a la Dynamique du point, enongons le probleme de la Balistique interieure. On cherche comment varie la vitesse d'un projectile dans le tube d'un canon. Definissons sa position par l'abscisse x; soit P la pression des gaz, S la surface sur laquelle elle agit, m la masse du projectile. L'equation du mouvement est done m 2X d -77- (1)

Page  320 320 D YNAHMIQ UE La pression P depend de la loi de combustion de la matiere explosive. Appelons z la fraction de la charge qui est transform6e en gaz au temps t. A mesure que celle-ci brule, la forme et la surface des grains ou des brins se modifient; la vitesse de combustion, mesuree par le quotient dz: dt, varie done avec la quantit6 deja brulee. L'experience montre qu'elle varie aussi avec la pression P. On a done generalement: de dt =f(Z) (P). (2) Enfin, le gaz produit par la combustion se detend et se refroidit. La pression P n'est done pas proportionnelle a z. Par exemple, en admettant une loi de detente analogue a la loi adiabatique de detente d'un gaz parfait, on a une expression de la forme: P (x- Xo)n = Az, (3) ou une expression encore plus compliquee. En definitive, nous avons trois relations entre les trois fonctions du temps P, x, z; le problbme est done r6solu. Le travail des experimentateurs consiste a determiner la forme et les constantes des relations (2) et (3). 322. Frottement fonction de la vitesse. - Supposons le corps soumis a une force fonction de la vitesse. On a les expressions identiques d2x dv dv dt -- (p(v), mit — (v), mv d — (dv). La solution s'obtient immediatement par des quadratures dv vdv t -t+m o(v) ' x=Xo+v m (v. (1) On ecrira qu'au temps t - t0, la vitesse est v0 et la distance a l'origine est x0. Des equations (1) on deduira l'expression de x en fonction de t. REMARQUE. D'une maniere generale, la fonction o(v) se developpe en serie () - a - bv - cv... D'apres la nature meme du probleme, les coefficients b, c,... sont tous negatifs, ce qui signifie que le frottement est une force retardatrice, quelle que soit la vitesse. Si la proposition est theoriquement contestable, elle ne l'est pratiquement pas. Quant a la constante a, elle repr6sente la force proprement dite qui peut 6tre acceleratrice ou retardatrice. Si elle est retardatrice, on parviendra a la vitesse nulle; apres quoi le phenomene se modifiera.

Page  321 DYNAMIQUE DU POINT 321 Si elle est acceleratrice, on parviendra necessairement ai la vitesse constante qui correspond a une racine de l'equation Y(v) O. Ainsi, un corps abandonne dans l'atmosphere (ou nous supposerons la pesanteur constante) tend necessairement vers une vitesse limite, quelle que soit la loi de resistance de l'air. Remarquons enfin que, dans la plupart des cas usuels, il suffit de conserver un seul terme en v, soit bv, soit cv2, soit quelquefois dv3. 323. Frottement proportionnel a la vitesse. - Soit p (v)=a-bv. On tire immediatement de la: m -a\ aba t= to —b log a — b -- exp - ( -to) + Nous pouvons resoudre par rapport a x; il vient: m ma o a- bv x — Xo = - (v -0- v - log a -by 0 b av 0 a- byVo 1~ FORCE ACCELERATRICE (a > 0). Supposons par exemple qu'un corps parte du repos sous l'influence d'une force acceleratrice constante, dans un milieu qui resiste proportionnellement h la vitesse. I1 est d'abord 6vident que la vitesse tend vers la limite: V-a: b. Pour t to — 0, nous avons v0o0. D'ou: m ~ ~, b I/ bt t b log 1- a v = I 1 -exp - b Pour t-=0, faisons x-0; il vient: at am bt, t\ x- b ---b l-exp - J. 20 FORCE RETARDATRICE (a < 0); APPLICATION AUX CHEMINS DE FER. L'experience a montre que les frottements de toutes natures, qui s'opposent, en palier et en alignement, i la marche des trains, pouvaient etre representes en bloc par une forniule telle que: -F=-(a+bv). On utilise souvent la formule F =- 1,5 + 0,1 v; F est exprimee en kilogrammes par tonne de train, v en metres par seconde. Par exemple, contre un train de 300 tonnes a la vitesse de 60 kilometres s'exerce, en palier et en alignement, une force, provenant de Cours de Physique. - H. BOUASSE. 21

Page  322 322 D YNAMIQ UE la resistance de l'air, des frottements des pieces les unes contre les autres et contre les rails, egale a: 300 [1,5 + 0,1. 60] =2 250 kilogrammes. Pour maintenir cette vitesse, il faut donc que la machine fournisse un travail par seconde egal au chemin parcouru (16"1,7) multipli6 par cette force: 16,7 X 2250 - 37'575 - 501 X 75. Sa puissance est de 500 chevaux-vapeur environ. En fait, elle doit 6tre beaucoup plus grande, car la resistance a vaincre crolt notablement dans les courbes et dans les rampes. Au surplus, un train de 300 tonnes, y compris la machine, est relativement leger. Quoi qu'il en soit, remplaqons dans les formules a par a. Supposons que pour x 0, la vitesse soit v0; cherchons le chemin x qui doit etre parcouru avant que la vitesse ne devienne nulle. On trouve M1 a 7 b\ x-~ v -~b log (1 i+- v0 Admettons la formule num6rique donn6e ci-dessus et calculons les phenom6nes. Ramenons tout au systeme du kilogrammetre. La vitesse etant exprim6e en m6tres par seconde, la resistance en kilogrammes par kilogramme de train est: F t,5 X 0- + 10-4 X 3,6. v. L'acceleration est done a +hv.9,s1 [, X1 0-3+ 0- X3,6.v]. Elle serait en effet 9m,81, si la force d'un kilogramme etait appliquee a la masse d'un kilogramme; de plus nous savons qu'il y a proportionnalite entre les forces appliquees a la meme masse et les acc6lerations qu'elles produisent. On tire de la pour la distance?(x evaluee en mrtres, la vitesse v, etant donnee en metres par seconde: x 283 [v,- 4,17 log (I + 0,24 v0)]. Supposons par exemple une Ivitesse de 72 kilom6tres a l'heure, soit 20 metres a la seconde; il vient (en remarquant qu'il s'agit de logarithmes neperiens, et qu'on les obtient en multipliant les logarithmes vulgaires par 2,30) x - 283 [20- 4,17 X 1,7 55] 4154 metres. Ce nombre donne -une id6e de la distance d'arret, a supposer que les freins ne fonctionnent pas.

Page  323 DYNAMIQUE DU POINT 323 L'accroissement des frottements avec la vitesse explique que la vitesse d'une rame de wagons abandonnee, meme sur de fortes rampes, ne depasse pas une certaine limite. Sur une rampe de n milliemes, l'acceleration due a la pesanteur est: n X 9,81 X 10-3. Ecrivons qu'elle equilibre le frottement: 1,5 X 10-3 + 10-4 X 3,6. v 0,001. n. D'oui: v -2,78.1 - 4,17. Si n vaut 10, autrement dit si la rampe est de 1 o/0, on trouve v — 23m,6 a la seconde, soit 75 kilometres a l'heure environ. I1 faut, bien entendu, que la rampe soit assez longue pour que la limite soit approximativement atteinte. La formule donne v -0 pour n- l,S. Cela signifie que pour de tres faibles rampes de l'ordre du millieme, la rame ne tend pas a demarrer. 324. Frottement proportionnel au carre de la vitesse. - Soit: (v)= -a- a cvz. Suivant le signe de a, l'integration se fait avec des fonctions exponentielles ou des fonctions circulaires. Nous devons done immediatement distinguer deux cas. 1~ FORCE ACCELERATRICE: a > 0. Posons V2 a: c; V designe la vitesse limite. Admettons que pour t 0, on ait x- 0 v= 0, ce qui nous debarrasse des constantes d'integration. L'experience consiste par exemple a licher un corps dans l'atmosphere, en supposant la resistance proportionnelle au carre de la vitesse. m cv __ _ V-1 v On a: t= V2 t 2cVlog VOn peut resoudre par rapport a v - r I I mt\ 7 mt i n / t \ \ ( rt v =V exp(Vexp - ) [exp +exp- )J On trouve ais6ment x c log2 expCv+exp-C J. 2~ FORCE RETARDATRICE: a < 0. Rempla9ons a par - a (v) = - (a + CV = - c(V2 + S); m dv m d(v' V) m v t - jv v= cvJ (v V)2 c arctg - C f

Page  324 324 D YNAMIQ UE' Si au temps t-0 le corps est lance avec la vitesse v0, on a t= -c- (arc tg -a- artg V). Le corps s'arrete au bout d'un temps: t= cV arctg V 325. Projectile dans un milieu non resistant. - Supposons un projectile se mouvant dans un milieu non resistant (fig. 223). La force se reduit a laction de la pesanteur. Le mouvement horiFig. 223. zontal est uniforme, le mouvement vertical est uniformement varie. Soit V la vitesse initiale, a l'angle de depart. On a: =VcosCa. y V sin. t — gt2. (1) Eliminant t entre ces equations, il vient: gX2 y x tg a- - y Xtg- 2V2 cos2 a. La trajectoire est une parabole a axe vertical. La portee X a pour expression: (y = VO), X V2sin2: g. Elle est maxima pour a ==45~; elle est alors double de la hauteur a laquelle monte un corps lance verticalement avec la meme vitesse V. Deux angles 6quidistants de 45~ en plus et en moins donnent la meme portee. La hauteur Y1 du point le plus haut est: YI = V2 sin2 a g. La vitesse en un point quelconque est fournie par le theoreme des forces vives (~ 296): v2 -V2- 2gy.

Page  325 DYNAMIQUE DU POINT 325 Enfin la duree T du trajet s'obtient en substituant X a x dans la premiere equation (1): X 2V sin _ 2 T Vcos \/ Xtga. 326. Probleme du cycliste crotte. - Reprenons le probleme pose au ~ 87. Nous avons montre que les masselottes de boue se detacheront avec desvitesses qui dependent du point de depart d6termine par l'angle 0 (fig. 224). Nous supposons le mouvement de transla- / tion du cycliste uniforme et egal a Ri; pour faciliter la discussion du probleme, imprimons a __ tout le systeme une vitesse egale a R(o et de sens contraire. Nous immobiliserons ainsi la machine, les roues con- tinuant a tourner. Fig. 224. La vitesse au depart de la masselotte de boue sera done (~ 86) dx dy RB sin 0. dt — Rco cos 0, dt- K sin. Ecrivons qu'au temps 0, le mobile occupe les coordonnees actuelles, ce qui determine les constantes. La trajectoire a pour 6quation: x =- R sin 0 - R( cos. t, y =R(l - cos 0) +- R sin 0. t — gt2. Le cycliste ne sera crott6 que si cette parabole le rencontre. Remplagons-le par une verticale situee a la distance b en avant de l'axe de la roue arriere, dont l'abscisse est par suite x- =b. La condition de rencontre est: -R sin -R Rccos 0. t= b, t - (b + R sin ): Ro cos0. Encore faut-il qu'au moment oui le projectile traverse la verticale du cycliste, il soit a bonne hauteur. C'est ce qu'indique l'equation donnant y dans laquelle on remplace t par la valeur precedente. La discussion ne presente aucune difficulte. I1 est clair que les masselottes qui se detachent au point A ont la verticale pour trajec

Page  326 326 D YNAMIQ UE toire relative; le cycliste ne les reooit pas. Celles qui se detachent en C arrivent sous la selle. Le cycliste ne reqoit que celles qui emanent d'un arc BC, naturellement a la condition que la vitesse o soit suffisante. Dans la discussion numerique, on prendra RI 0m,35. La condition de crottage est que y varie entre 70 centimetres et 140 centimetres environ. On pourra prendre v- 7 metres par seconde pour vitesse lineaire, et bh R /2, ce qui est approximativement exact et simplifie les calculs pour la valeur remarquable 0= 33: 4. On remarquera que la quantite g: o)2, qui s'introduit dans la valeur de y, est tres petite pour les hypotheses enoncees. Cela revient a dire que, pour les valeurs pas trop grandes de t, tout se passe comme si les trajectoires des masselottes de boue etaient rectilignes. Pour 0 compris entre 0 et r: 2, les paraboles absolues et relatives sont tournees en sens contraires. Pour obtenir les trajectoires absolues, il suffit de retablir le terme Rot supprime dans l'expression de l'abscisse x. Nous conseillons au lecteur de v6rifier la discussion en faisant tourner autour d'un axe horizontal immobile une roue dont il immergera la jante dans un vase plein d'eau. L'exp6rience est tres brillante. 327. Probleme principal de la balistique exterieure. - Les artilleurs designent sous le nom de probleme principal de la balistique exterieure, l'etude du mouvement dans un milieu homogene, immobile, resistant, d'un point materiel soumis a une force constante en grandeur et direction. Dans l'espece, il s'agit du deplacement d'un boulet spherique dans lair immobile; on suppose que le projectile ne monte pas assez haut pour qu'il soit necessaire de tenir compte de la variation de la pesanteur; le vent est cense nul; on admet que la pression atmospherique, et generalement les conditions atmospheriques, sont invariables en tous les points de la trajectoire. Nous ne supposerons d'abord rien sur la resistance, sinon qu'elle s'exerce suivant la trajectoire elle-meme. Designons par r la force tangentielle due au frottement, par i l'angle que fait la tangente a la trajectoire avec l'horizon; les equations du mouvement sont d2x. dx dt2 -- rcos -- ds d2y.. dy (1) dt2 =-r sin — g ~ r rds g' Eliminons r entre ces equations, il vient: dx dI/ dy d2x dx dct dt d d ~t2 dt

Page  327 DYNAMIQUE DU POINT 327 Or on a: dy dy dx di [dy. dx tg- dx~ dt dt ' cos - Ldt dt' On tire de l: di cdtg i g (2) dt7~ v(2)CosiI 9- 2 dt - v ' dt v cos I I1 est interessant d'obtenir directement ces dernieres equations. La resistance de lair est tangentielle: par consequent, elle n'influe pas sur la courbure de la trajectoire. Soit p le rayon de courbure; ecrivons que la force normale a la trajectoire dont l'expression est v2 p, est egale a la composante de la pesanteur normale a la trajecv2 dx toire: — gds g cos. I d2y dx3 d dx3 Or on a: p dxtg i d -- dx ds dx ds, ds dx3 d dtgi q d'ou vdt ds dx tg - gcosi, ct - vcosTi Recrivons les equations fondamentales d12x dx, dt2 - r cosi --- rd (1) di cosi, dtg i g ( dt - C dt v vos i (2) I1 est facile de montrer que, si la trajectoire etait connue, il serait possible de calculer la vitesse en tous ses points et la resistance de lair. Pour simplifier l'ecriture, posons: dy,, d2 y dx ' J- dx2 La seconde equation (2) s'ecrit: d2y dx ds g d'o: +- -y'2 X2-7 7, d'ou ' v=-q (3) dx2 dt ds - v cos i; 3Y Cette meme equation s'ecrit 2 2 / dx\2 q v Cos i -- dt -- d'ou, derivant par rapport au temps dx d2x g dy" _ y"' dx d2x gy"' 2 dt - ylZ2 t y12 dt - c dt 2yt 2 En vertu de (1), la resistance r a pour expression d2x dx y'" dx y"' - r dt2:ds -Y 2 gds 2y"2 (4)

Page  328 328 D YNAMIQ UE 328. Resistance proportionnelle a une puissance de la vitesse. - Supposons la resistance proportionnelle a une puissance de la vitesse: r- bvn. Cherchons l'allure de la trajectoire. L'equation (1) devient dclx dx ddt2 - ds (1) I1 est impossible d'obtenir des formules aisees a calculer, meme dans ce cas particulierement simple. On est conduit a remplacer la vitesse v, dans l'expression de la resistance, par sa projection v cosi sur l'axe des x. Autrement dit, on remplace la quantite variable cos i par sa valeur moyenne I:0. L'equation (1) s'ecrit: l2x / clx du cdt =-bn-_( xd - tn-)-n, (2) en posant dx: dt — u. Rappelons que pour t 0, u V cos a. L'equation (2) s'integre immediatement. On a donc u en fonction de t. On trouve de meme aisement t et u en fonction de x. Transportons ua=f(x) dans l'6quation (2) du paragraphe precedent qui peut s'ecrire: dy dx2 y" =l - g v u2 COS2 i) d' ( dx )2 y"-' vcos i dx ' dt ' integrons deux fois; on trouve y en fonction de x. Nous laissons au lecteur le soin de faire tous ces calculs. Le resultat est facile a prevoir. La trajectoire est celle qui correspond au vide, avec un terme de correction transformant, comme premiere approximation, la parabole quadratique en une parabole cubique: y x tg Ka - 2Cos2 -V+Ix. La portee est donnee par la formule sin 2c 1 gX -v + KX La trajectoire est figuree en pointille sur la figure 223. La constante K de la formule se d6termine par l'experience. Est-il besoin d'ajouter que ce probleme est l'un de ceux ou les anciens bons eleves de Speciales montrent avec le plus d'ardeur leur savoir faire? 329. Hodographe. - Nous avons d6fini l'hodographe au ~ 62. C'est une courbe telle que le rayon vecteur issu d'un point fixe, et aboutissant a un point de la courbe, represente en grandeur et direction la vitesse d'un mobile aux divers points de sa trajectoire. Les questions precedentes nous offrent quelques exemples d'hodographes simples.

Page  329 DYNAMIQUE DU POINT 329 Nous devons poser: X —dx V_ dy dt dt Si le frottement est nul (~ 325), l'hodographe est une droite verticale ABC. La vitesse minima OB, correspond au point le plus haut de la parabole. Si le frottement est proportionnel a A la vitesse, les equations du mouvement sont: dcx dx dX d — bX;B X dcy, dy dY D dtY =- dt ' dt d -h d —g, dt — =-hY —g. / L'hodographe est la droite: X a(bhY+ ). La constante arbitraire a se determine par la condition que la droite E passe par le point A, extr6mite du vecteur representant la vitesse du projectile au depart. On n'atteint le point E Fig. 225. qu'apres un temps infini; la vitesse horizontale est alors nulle, la vitesse verticale OE est constante et egale a g: b. Dans un milieu dont la resistance crolt mnesure que y diminue, la vitesse verticale tend vers 0; l'hodographe prend une forme telle que AFGO. Raccordements. 330. Position du probleme; devers de la voie. -Pour forcer un point materiel a decrire une trajectoire de courbure 1: R au point considerS, il faut exercer dans le plan osculateur de cette courbe une force centripete (c'est-a-dire dirigee vers le centre de courbure) produisant l'acceleration v2 R. Soit m la masse du corps en kilogrammes-masse, g l'acceleration de la pesanteur au lieu ou l'on opere. La force, evaluee en kilogrammespoids de ce lieu et necessaire pour imposer la courbure I R, est: m v2 g R Ceci pos6, considerons un vehicule roulant tel qu'un wagon, une voiture, une bicyclette. Les forces appliquees sont la pesanteur ver

Page  330 330 D YNA IHIQ UE ticale et la reaction c1t exercee par la voie. Transportons ces forces au centre d'inertie. La reaction se compose de deux parties: l'une verticale et dirigee vers le haut qui equilibre la pesanteur; l'autre horizontale et dirigee vers le centre de courbure qui oblige le centre d'inertie a decrire sa trajectoire courbe. Soit a l'angle de la reaction du sol avec la verticale; on a dans le systeme du kilogrammetre: R cos a 9= m, ~ sinl g- I tg a=R. Dans le systeme CGS, on ecrirait?c cos ac = my, g sin= -; tg.a g La formule donnant langle c est naturellement ia meme. Dans les applications, a est generalement petit. On peut poser: a - v: gR, v est mesure en metres par seconde, jg- 9m,81, R est evalue en metres. Occupons-nous d'abord des chemins de fer; nous reviendrons ensuite sur la construction des velodromes. On appelle devers de la voie le surhaussement du rail exterieur en vue d'incliner le plan de la voie vers le centre de courbure. Nous venous de voir que la reaction du sol fait avec la verticale un angle a. Si le plan de la voie est horizontal, la reaction n'est pas normale au plan de la voie: d'ofi pression sur.le rail exterieur, deraillement possible, ripage de la voie (glissement en bloc), usure excessive. On evite evidemment ces inconvenients en donnant au plan de la voie l'inclinaison a sur l'horizon, auquel cas la r6action devient normale a ce plan. Le train tend de lui-mene a parcourir une trajectoire courbe, comme une bille lancee sur un plan incline. Soit I l'ecartement des rails (i11,50 d'axe en axe, Im,44 entre les bords int6rieurs, pour l'ecartement normal). Le surhaussement h est donne par la formule: h= 1=- lv2: gR. (1) Supposons par exemple la vitesse de 72 kilometres a l'heure (soit 20 mntres a la seconde), et le rayon de courbure de 600 metres; on trouve h -(1,5 X 00): (9,81 X 600) 10 centimetres environ. Naturellement le surhaussement depend de la vitesse. Il est par consequent impossible de satisfaire a la condition (1) pour toutes les vitesses avec lesquelles les trains peuvent parcourir la portion de voie consid6ree. Pour calculer les devers, on prend generalement la vitesse noyenne de marche des trains les plus rapides. Naturellement

Page  331 DYNAMIQUE DU POINT 331 les trains les plus lents pressent sur le rail int6rieur; les trains rapides eux-memes, dont la vitesse reelle est plus grande que la vitesse moyenne, pressent sur le rail exterieur. On aboutit ainsi a un compromis qui a l'avantage de ne pas exagerer le devers. 331. Raccordements. - Ainsi le devers de la voie est une fonction de la courbure; pratiquement on le prend proportionnel a la courbure I: R, et calcule pour la vitesse moyenne des trains rapides. Mais on con9oit l'impossibilite de passer brusquement d'un devers nul a un ddvers fini. I1 faut necessairement une transition entre le plan horizontal qui correspond a l'alignement et le cone qui corres — pond a la courbe. Le probleme des raccordements consiste a chercher le meilleur raccordement, c'est-a-dire parmi les plus rationnels celui dont l'execution est suffisamment aisee. Le trace primitif d'une voie se compose toujours d'alignements A'AM, ND, raccordes par des arcs de cercle MN. Pour intercaler le raccordement, il faut done: soit d6placer le centre du cercle sur la bissectrice des alignements, l'amener de O \ en 0' par exemple (raccordement a rayon con- y serve), soit diminuer le\ \ rayon du cercle (raccor- ' dement centreconserve) "-'/ (fig. 226). Quoi qu'il en soit, le \ probleme complet re- vient a chercher une courbe tangente en A a A A M l'axe Ax, et dont le Fig. 226. rayon de courbure, infini en A, diminue progressivement jusqu'au point B qui est donne. La courbe est alors normale a une droite OB donnee et son rayon de courbure a une valeur R donnee (fig. 227). Mais quand on utilise pour le raccordement une courbe tangente en A a laxe des x, dont le rayon de courbure est alors infini, et qui au surplus ne possede qu'une constante arbitraire (nous verrons qu'on opere generalement ainsi), il est clair qu'on ne peut se donner le point B, la tangente en B et le rayon de courbure en B, ce qui fait trois conditions. Dans le raccordement a rayon conserve, on se donne R; on laisse indeterminees les positions du centre de courbure et du point de tangence. Dans le raccordement a centre conserve, on se donne la position du centre de courbure; on laisse indetermines le rayon de courbure et le point de tangence.

Page  332 332 D YNAMIIQ UE Reste a fixer la loi de variation de la courbure p. Trois hypotheses se presentent, pratiquey Iment aussi rationnelles les unes que les autres. On pose que 0 / la courbure est proportionnelle RT // ~(fig. 227): ".~B ~ soit a 'abscisse AE: on a la radio'de aux abscisses; F/ / soit a la corde AF: on a la A2 -< -IE~ / _____ 2) radio'de aux cordes; A E soit a l'arc AF: on a la raFig. 227.. dio'de aux arcs. L'elastique (~ 182) peut etre considere comme une radioo'de aux ordonnees. 332. Radioide aux abscisses. - La courbure a pour expression: p. dxS j 1? \d ] j Ecrivons qu'elle est proportionnelle aux abscisses. L'equation de la courbe est: 3 dhy r,, __dy_ ax 4 L I + d) d IX2 dxi RACCORDEMENTS PARABOLIQUES. Quand le raccordement ne differe pas trop d'une droite, on peut negliger (dy dx)2 devant l'unite. I1 reste: 4 d2y x Cx p dxz~ C ' Y- C ' en determinant les constantes de maniire qu'a l'origine la courbe soit tangente a l'axe des x et possede une courbure nulle. On dit que le raccordement est paraholique. On prend pour valeur numerique de la constante C des nombres d'autant plus petits que le rayon R de la circonference a raccorder a 1'alignement est plus grand. CAS GENERAL. Posons dy dx-t; ii vient dt x x - I a-t = C (1 +z2 r o (2C r+p a - e~ e a ' Posons x2 2C z2; resolvons par rapport a t et remplagons t par sa valeur. On peut ecrire: y o7 _ 2C ^z2dz 0 f Z 4

Page  333 DYNAMIQUE DU POINT 333 Posons z cos o. Il vient: J c 1 2- ysin2? cos 2d? y Fig. 228. I1 est facile de ramener cette integrale elliptique aux formes ordinaires des integrales de premiere et de seconde espece: y —/G = aC *d - -2C d \/1V-2 sin2?. J v1_ 1 2 sin2 La figure 228 repr6sente la radioide aux abscisses. 333. Radioide aux cordes. - Prenons la courbe en coordonnees polaires. On d6montre aisement que le rayon de courbure en ~dr cl2r fonction de: - r'. et de d.r", a pour expression p (r - r'2): [r2 + 2r'2 - rr"]. Ceci pose, il est facile de voir que la courbe r2 - 3C sin 20, a une courbure proportionnelle au l rayon vecteur. 1 r C'est une double lemniscate de Ber- noulli repr6sentee par la figure 229. B Dans la pratique on n'utilise que les paraboles cubiques et les lemniscates qui correspondent a un petit ___ nombre de valeurs de C et dont on a A dresse des tables. La constante C a Fig. 229.

Page  334 334 D YNAMIQ UE les dimensions du carre d'une ligne. Voici les valeurs admises (en metres carres) 24 000, 12000, 6000, 3 000, 1500, 750. On choisit lune ou l'autre suivant les conditions du raccordement. Les rayons de courbure des voies h ecartement normal descendent rarement au-dessous de 300 metres. Si l'on pose C 6000, il faut 20 metres comptes sur l'axe des abscisses ou sur la corde pour atteindre le rayon de la circonf6rence. 334. Radioide aux arcs. - Considerons une courbe d6finie par les equations dx = a cos udv, dy = a sin udv. (1) Soit ds 1'element d'arc; on a ds - /dx 2 + dy"- - adv; dy: dx -= tg u; u est done l'angle que fait la tangente a la courbe avec l'axe des x; c'est une fonction de la variable auxiliaire v, et par consequent de l'arc. ]Evaluons le rayon de courbure. On a par definition 1 i du odu = ds = adv c - (2)?1 a Ar' Toute courbe, dont le rayon de courbure est donn6 en fonction de l'arc, peut done se mettre sous la forme: x- a cos u dv, y - a Jsin u dv, ofi u est une fonction de s ou de v definie par l'equation (2). En particulier, supposons la courbure proportionnelle h l'arc. 7: 7: Posons v - s: il vient: p a a;' U- 2V La courbe cherchee est definie par les equations v v x=aG-a / cos j v2 Ldv y aFV -a sin- v2 dv. (3) go o /o 0- ~ aF0 2 sin -~ Les integrales F et G sont bien connues sous le nomn d'integrales de Fresnel; on en trouvera des tables a la fin du tome IV de notre Cours de Physique; nous en donnons plus loin le debut. La courbe (3) est une spirale represent6e (fig. 230); elle est fort employee dans l'etude de la diffraction. Son rayon de courbure est infini a l'origine; il diminue progressivement et tend vers 0 en s'approchant des points asymptotiques J.

Page  335 D YNAMIQUE DU POINT 335 La radioide aux arcs satisfait absolument au probleme du raccordement: la courbure, et par consequent le devers, varient regulie\Y 1,0 Fig. 230. aement a mesure qu'on se deplace sur ment au chemin parcouru. la courbe, proportionnelle 335. Conditions de virage d'une bicyclette. - Cherchons les conditions d'6quilibre d'une bicyclette tournant sur un plan inclin6 dont l'angle avec le plan horizontal est p. v La resultante de la pesanteur et de G la force centrifuge doit etre dans le plan de la machine; ce plan fait donc / G avec la verticale un angle a donne par la formule: V2 tg gi - l Mais, pour que la machine ne derape pas, il faut que l'angle de son plan avec la normale au plan incline soit inf6- - - - rieur a 1'angle de frottement o (~ 204). Fig. 231. Posons1: p- tg f —tg. Ceci pose, il est facile de voir que, pour tourner sans deraper sui 1 p n'est pas ce qu'on appelle habituellement la pente (~ 224).

Page  336 336 D YNAMIQ UE vant une trajectoire de rayon R et dont le centre de courbure est vers le bas de la pente, la vitesse doit etre comprise entre deux limites (fig. 231). LIMITE INFERIEURE. Le centre de gravite est en G,. On a _ 2 p-f.- —?, tg( - ) =-; v IgR I+p. LIMITE SUPERIEURE. Le centre de gravite est en G,. On a 2~ p -2- f.= -P _, tg ( + ) gR; v gR I -- f Le cycliste n'est en equilibre que si sa vitesse est comprise entre les limites v, et v2 pour un rayon de courbure R de la trajectoire. Si l'angle ( est inf6rieur a o, si par consequent p est inferieur a f, la limite inferieure de vitesse disparait; on peut aller en toute suirete aussi lentement qu'on veut. La limite superieure subsiste. Comme f est de l'ordre de 0,3, la pente n'est jamais assez forte pour que 1 -pf devienne n6gatif. 336. Construction des velodromes. - Tout ce que nous avons dit des raccordements des voies A — B --- —-— _____ —,- ferrees s'applique exactement aux velodromes. Ils se composent g6 -neralement de deux alignements i^c_~' ' '0_' \ paralleles AB, ED, reunis par des courbes BC, DC, dont la courbure varie progressivement (fig. 232). I1 semble naturel de choisir pour - i --- raccorder les alignements deux EI D morceaux de la radioide aux arcs, Fig. 232. symetriques par rapport a l'axe CC' de la piste. dy ~ a On a: d-tg,2; on utilisera done la portion de courbe qui va de l'origine (points B et D) au point C ou la tangente a tourne de 7: 2 et qui correspond a v -. Voici le tableau des int6grales G et F, multipliees par 10: v G F v G F 0,0 0 0 0,6 5811 1105 0,1 1100 5 0,7 6597 1721 0,2 1999 42 0,8 7230 2493 0,3 2994 141 0,9 7648 3398 0,4 3975 334 1,0 7799 4383 0,5 4923 647

Page  337 DYNAMIQUE DU POINT 337 Attraction proportionnelle a la distance. 337. Oscillations d'un point peu ecarte de sa position d'equilibre. - La question que nous allons trailer se retrouve a toutes les pages des Cours de Mecanique physique et d'Optique: Un point est ecarte de sa position d'equilibre; il y est rappele par une force proportionnelle a I'ecart; on demande d'etudier son mouvement. Tout se passe comme s'il etait attire par sa position d'equilibre proportionnellement a la distance. Nous supposerons d'abord que le mobile est lache sans vitesse, ou lach6 avec vitesse dans la direction meme de la position d'equilibre. La trajectoire se r6duit evidemment a une droite. L'6quation du mouvement est cl'x d x m t;+ o aC=O. (1) La constante a etant positive (force attractive), l'integrale generale se met sous la forme x =A sin (ot - c), avec la condition: 02 a m. Le mouvement est periodique; A mesure l'amplitude, c'est-a-dire le plus grand 6cart de part et d'autre de la position d'equilibre; la phase a d6termine le moment oi le mobile passe a sa position d'equilibre, par rapport a l'origine choisie pour le temps; A et a sont les constantes arbitraires d'integration. La periode T est determinee par la condition qu'apres un nombre n quelconque de periodes, le mobile se retrouve au meme endroit avec la m6me vitesse. I1 faut done que l'arc ait cru du nombre entier n de fois 27. D'ou la condition: tt -(- noT - - - + 2,:n, w 27, T - 2- 27,VM. to) T T ( - a Le mouvement est permanent; il y a conservation de l'energie; l'amplitude ne decrolt pas. En fait, l'amplitude decrolt toujours; nous verrons que la periode n'est pas pour cela sensiblement modifiee (~ 411). Le mouvement du mobile est sinusoidal, simple, harmonique, pendulaire; ces noms sont equivalents. On a une representation excellente du mouvement, en faisant tourner un disque horizontal portant un goujon vertical excentrique. On place l'Feil assez loin sur la ligne 00' normale an plan P et dans le Cours de Physique. - H. BOUASSE. 22

Page  338 338 D YNAI MIQ UE plan du disque (fig. 233). La projection du goujon sur le plan P oscille harmoniquement quand le disque tourne d'un mouveme,nt uniforme. Portons les deplacements en ordonO' C' B' p n6es, les temps en abscisses. Nous --------, obtenons une sinusoide (fig. 234). La,',t^i ~ variation de l'amplitude modifie la / i valeur de l'ordonnee maxima ou mi/;' \, '\, nima; la variation de la phase transI A O0 Bt+ porte en bloc la courbe paralllement I\ \\/ / a l'axe des abscisses. La periode est - - /> ~ ~ mesuree par la distance des points 0 ' ' —< ~ et D ou B et F. Pour realiser trois mouvements Fig. 233. sinusoidaux de meme periode, decales regulierernent les uns par rapport aux autres de 60~ (systeme triphase), on placera sur le disque de la figure 233 trois goujons formant les sommets d'un triangle equilateral dont 0 est le centre. Pour un systeme tetraphase, les goujons seront aux sommets d'un carre, et ainsi de suite. E~__o,, _ E C Fig. 234. On appelle frequence le nombre de vibrations par seconde; on a 1 ( done: n -T 2w' Par definition, l'intensite du mouvement est mesuree par le carr6 de l'amplitude. 338. Generalisation. - Le mouvement pendulaire a pour caracteristique que les oscillations sont isochrones, c'est-a-dire que leur duree est ind6pendante de l'amplitude. Mais il est tres rare que la force soit rigoureusement proportionnelle a l'ecart. D'une maniere gen6rale, on doit poser: d/x ndt' t — ()

Page  339 DYNAMIQUE DU POINT 339 Developpons la fonction ( (x) suivant les puissances croissantes d2x de x: m1-2x (a-XX bxc2+ CX3 +...). (1) Nous n'introduisons pas de constante dans le second membre, parce que nous prenons la position d'equilibre comme origine des coordonnees. Nous montrerons au ~ 432 comment il est possible d'integrer l'equation (1) quand les coefficients b, c,... sont petits. Nous donnerons au ~ 430 une methode generale pour la correction a introduire dans la valeur de la periode. Pour que le mouvement soit symetrique par rapport a la position d'equilibre, il faut que les puissances paires de x disparaissent dans le second membre. Quoi qu'il en soit, le mouvement sera tres sensiblement pendulaire, a la condition que l'amplitude soit assez petite, et que les coefficients b, c,... ne soient pas trop grands vis-a-vis de a. C'est toujours ainsi que le probleme des oscillations se pose dans les applications. La periode est: T -_ 2- z/ a oil a est le coefficient de l'ecart dans le developpement de la force suivant lespuissances croissantes de cet ecart. Nous retrouverons ces notions en etudiant les oscillations d'un corps tournant autour d'un axe. 339. Oscillations rectilignes, experiences. - Pour obtenir des vibrations rectilignes, suspendons un poids P soit a un ressort a boudin, soit a une corde de caoutchouc (fig. 235). Sous l'action de cette charge, la longueur devient L. I1 importe peu de savoir suivant quelle loi Ie ressort ou la corde se sont allonges. En fait, l'allongement du ressort est sensiblement proportionnel a la charge, tant qu'elle ne depasse pas une certaine limite; l'allongement de la corde de caoutchouc ne l'est pas du tout. Dans le cas actuel, il suffit d'admettre qu'a partir de cette longueur L, les petits allongements sont proportionnels aux accroissements de la charge, les petites diminutions de longueur proportionnelles aux ( diminutions de la charge. Fig. 235. Posons: F -aY; (1). Y mesure la variation de longueur a partir de la longueur L; a est une fonction de L quijoue le role de constante dans notre experience; F est la force qu'il faut appliquer pour produire l'allongement Y.

Page  340 340 D YNAMIQ UE Le poids P est equilibre, pour la longueur L, par la reaction elastique du corps deforme. A la masse P s'applique done une force qui tend a la soulever, si la longueur du ressort est superieure a L (poids P inferieur h la reaction elastique), qui tend a l'abaisser, si la longueur est inf6rieure a L (poids P superieur a la reaction elastique). Puisque nous admettons la formule (1), nous retomrbons dans la theorie des paragraphes precedents. En r6alite, le phenomene est beaucoup plus complexe qu'il ne parait, et l'experience correcte difficilement realisable par ce procede. Une onde vibratoire se propage le long du ressort ou du caoutchouc. Nous etudierons ce qui se passe au ~ 482. Pour que le mouvement de la masse P soit simple, il faut qu'elle soit considerable par rapport a celle du ressort, ou, ce qui revient au m6me, que la p6riode de son oscillation soit tres grande par rapport au temps que le mouvement oscillatoire met a parcourir le ressort. On se heurte alors a une autre difficulte: si la masse P est considerable, le poids P l'est aussi; le ressort est demesurement tendu. Le probleme est done de faire agir le ressort sur une masse dont on equilibre le poids. Nous verrons (~ 403) que ce n'est pas impossible. Mais le probleme se trouve transforme, on introduit des rotations; nous reviendrons la-dessus plus loin. 340. Mouvement dans un y plan d'un point attire par un centre fixe proportionnellement a la distance. Considerons un element de trajectoire AB du point mobile P attire par le centre 0 proportionnellement a la distance. I1 n'y a pas de raison pour que le mobile sorte du plan OAB; done la trajectoire est dans un plan que nous prenons pour plan des xOy. 0 1 Fig. 236. Les equations du mouvement s d2x dt2 - ax — 0, Les integrales generales sont:.YI - A sin.\f - r\,ont d2+ y. dt2 k ayO- O. (1) 7/ Bsin (()t- Bd (2),kv - I% sA, \ t V y & V.) 7 " \- r- 7 avec la condition: o — a. Eliminons t entre les equations (2); il vient Fellipse: x2 3 2xy 2(a A2 2- AB cos (a -- ) = sin+ (B -- ).

Page  341 DYNAMIQUE DU POINT 341 Rapportons-la, a ses axes et changeons l'origine des temps; les equations (2) prennent la forme simple: x- Ao cos ot, y = Bo sin ot. Verifions le theoreme des aires. La vitesse areolaire a pour expres dS dy dx sion: 2 x -y -d -t ABsin(-a) AoBo. Elle est constante. Explicitons la periode; il vient en integrant 7rAB. B ABo S —Soo + T sin ( — )- S+ -T ~ SkS0-VTT formule evidente a priori d'apres le theoreme des aires. Le mouvement elliptique que nous venous d'etudier a une importance capitale. Toute l'Optique roule sur lui. Les particules fictives de l'ether, d6placees dans un milieu isotrope, sont ramenees a leur position d'6quilibre par des forces proportionnelles a l'elongation. y A B y -o0 s=e. 2e Fig. 237. Nous supposons que les phases oc et des mouvements constituants sont invariables. Si, pour une raison quelconque, elles changent, l'ellipse se deforme tout en restant inscrite dans le m6me rectangle, dont les cotes mesurent le double des amplitudes A et B. La figure 237 montre la succession des formes de l'ellipse dans le cas oui A et B sont 6gaux. On posera aC — - 2s: e. 341. Mouvement dans un plan; forces conservatrices d'energie. - Supposons que, par rapport I deux droites convenablement choisies et que nous prenons pour axes de coordonnees, on puisse poser: dlx ax d +y 0. (1 dt2 +, dt2-+y=. (1) L'integration est imm6diate; on a x = A sin (ot - a), y - B sin (o2t- ), (2) avec les conditions ()2 2a, ( b. Le mouvement resulte de la composition de deux oscillations harmoniques, a angle droit, dont les periodes ne sont plus les memes.

Page  342 342 D YNAMIQ UE Pour que la courbe decrite soit fermee, il faut qu'on ait mi -- n02, nT - miT2, ou m et n sont des entiers que nous pouvons supposer premiers entre eux. Apres m periodes de l'un des mouvements, et par consequent apres 72 periodes de l'autre, tout revient dans l'6tat initial. 1~ Supposons qu'il en soit ainsi. Les courbes sont inscrites dans des rectangles de cotes 2A et 2B. Cherchons comment elles dependent des parametres a et 3. Quand nous changeons l'origine des temps, nous ne modifions pas la forme des courbes. Cela revient cependant a remplacer oWt par ()1t — Io, -o)t par ' 2t-1- 020. La forme des courbes ne depend done plus de la difference a -B; elle depend de la difference (O1 (02 I1 est facile de voir que nous obtiendrons toutes les formes possibles en posant: x = A sin (ot -), y =- B sin (j2t — 5), (3) et en faisant varier G de 0 a 2w. Le calcul des courbes se fait tres simplement. La figure 238 represente le cas de l'octave x - sin (2ot- O), y =sin (Cot - ). Le changement de sens de circulation du mobile se produit sur S=o s ~=<2. 8-=- < Fig. 238. une courbe parcourue successivement dans les deux sens; par suite le sens de circulation y est ind6termine. La figure repr6sente la moitie du ph6nomene total. Quand a varie de x a 27v, on obtient des courbes symetriques par rapport a une verticale. 20 Si la condition: m/l - nco2, ou m et n sont des entiers, n'est satisfaite qu'approximativement, la courbe n'est pas fermee. Soit (t)1 (A -- 3' )92 2 - )- ~

Page  343 DYNAMIQUE DU POINT 343 des valeurs voisines de col et 0)2 et dont le rapport est rationnel. Les 6quationsc du mouvement peuvent s'ecrire sous la forme (3), a la condition de poser s —t. Tout se passe comme dans le premier cas, mais avec un c lentement variable. On observe done successivement toutes les courbes pour lesquelles les frequences sont en rapport rationnel. C'est en cela que consistent les battements pour deux mouvements a angle droit. 342. Caleidophone. - Nous pouvons realiser tres aisement les mouvements pr6cedemment etudi6s, au moyen du caleidophone de Wheatstone ou des dispositions analogues (fig. 239)..-:::.- --—..-...: Une lame mAtallique AB est fixee. B dans un etau. La figure la repr6sente vue par la tranche. Elle porte une F bille nmtallique plus ou moins lourde. On demontre que tout se passe comme si cette balle etait soumise a une force proportionnelle a l'ecart a partir de E la position d'equilibre. Son centre ////////// ////, oscille done suivant la loi pendulaire, Fig. 239. a la verite sur une circonference, mais approximativement sur la droite normale a la lame pour la position d'equilibre. Rempla9ons la lame par une tige cylindrique de section circulaire. Le centre de la balle d6crit une ellipse. A la verite, la section de la tige n'etant jamais rigoureusement circulaire, l'ellipse se deforme, d'autant plus lentement que la condition est plus pres d'etre satisfaite. M6me phenomene si la tige est a section carree. Si la tige est a section rectangle, les vibrations dans les deux directions principales (directions paralleles aux cotes du rectangle) n'ont pas la m6me periode. On est dans le cas gen6ral. Le rapport m: n depend du rapport des cotes a et b du rectangle. On peut encore realiser le cas general avec un appareil qui fournit un rapport m: n quelconque. On soude a angle droit deux lames EF et FG. La longueur FG est invariable; mais on peut faire varier EF, en prenant la lame plus ou moins loin dans l'6tau. La periode de la vibration normale au tableau ne d6pend que de EF; la periode de la vibration parallle au tableau ne depend que de FG. Le rapport m: n' ntant jamais rigoureusement rationnel, les courbes se d6forment d'autant plus lentement que le r6glage est mieux fait.

Page  344 344 D YNAMIQ UE 343. Mouvement dans un plan; forces dissipatrices ou accumulatrices d'energie. - Generalisons le probleme du ~ 341. d2x Posons dt2 + ax+py =0, dtd + qx +b y - 0. Cherchons a quelle condition on peut ramener le systeme (1) au systeme (1) du ~ 341. Multiplions la premiere equation par dx, la seconde par dy; additionnons. Nous obtenons d (v2) + 2ax dx - 2by dy - 2py dx - 2qxdy = 0. o1 Pour que les forces soient conservatrices d'energie, condition necessaire pour qu'il soit possible de retomber dans le probleme du ~ 341, il faut que d(v2) soit une differentielle exacte; d'ou la condition: p q. Posons alors: 2W = ax2 + by2- 2pxy; les equations (1) s'ecrivent: d2x ____ dci> ___ dt2 6x ' d12 by (2) I1 est maintenant facile, par un changement d'axes de coordonnees, de ramener les equations (1) h la forme des equations (1) du ~ 341. Prenons, comme nouveaux axes de coordonnees, les axes de l'ellipse: ax2 + hy2 2pxy = 1; elle s'ecrit a'x2 + b'y2 1. Or les equations (2) sont de forme invariante, puisqu'elles expriment des propositions independantes des axes de coordonn6es. On a donc par rapport aux nouveaux axes, Ox', Oy': d~x dil dt2 + a'x-O d2l +ay0. dt-2 di4'a=0, -^-4-/=0 20 Supposons maintenant p diff6rent de q. Ecrivons p=r- 5-, q= r-s; dU = d (ax + by2 - 2rxy) + 2s (ydx - xdy) = dW - 2s (ydx - xdy). dU n'est plus une differentielle exacte. La quantit6 y dx-xdy represente (au signe prbs) deux fois l'aire dS balaye par le rayon vecteur qui emane de l'origine et aboutit au mobile. On a done d (nIv2) + dW- 4s dS=0. Les forces ne sont plus conservatrices d'energie. Suivant la trajectoire, la force vive reprend des valeurs differentes lorsque le

Page  345 DYNAMIQUE DU POINT 345 mobile revient au meme point. La perte (ou le gain) d'energie est proportionnelle a l'aire balayee par le vecteur qui part de l'origine et aboutit au mobile. I1 est facile de voir qu'on superpose aux forces qui entrent en jeu quand dU = dW, une force normale au rayon vecteur et proportionnelle a la distance. D'ou resulte immediatement qu'on peut generalement, par un choix convenable d'axes, ramener les equations (1) a la forme dcx + ax + syO0, d(1gl~~2y 2(l') dt2 by sx O. Les termes multiplies par le coefficient s portent le nom de termes rotationnels. 344. Etude du mouvement precedent: stabilite de la trajectoire. - Substituons dans les equations (1') la solution: x- Aei~t, y= Beiwt. (2) II vient: A(- (-+ a) -- sB, B(- -+b) sA; (()2- _a) (2 - ) + -2 =0, 4 _(a + b) )2 + ab S2 0; 2 a - b + (a-b_) a2 2 _ _ - -— _ _ Cherchons a quelles conditions les trajectoires sont stables, c'esta-dire a quelles conditions le mobile ne se collera pas a l'origine ou ne s'ecartera pas indefiniment de l'origine. I1 faut evidemment que les integrales soient des fonctions circulaires et non des fonctions exponentielles; cela exige que o soit reel, c'est-a-dire que (o2 soit reel et positif. D'oui les conditions: a - b >, 4 < ( a- b)2, ab + 2 >0. S'il en est ainsi, nous trouverons des int6grales generales de la forme x = x sin (ot- a) — + x sin (tt - ) =/o sin (tot - a) + y, sin (tot - ), avec les conditions deux a deux equivalentes: xto (-o2+ ) - syo, yo(- o2+ b) sxo; (3) X1( — (tO2 + a)= - sy" Y,1 — 2 + b)== sx La solution generale se compose done de deux vibrations independantes (integrales particulieres), d'amplitudes Xo, Yo, d'une part; x1, y1, de l'autre. A chacune d'elles correspond une des racines positives de l'equation bicarree en w.

Page  346 346 D YNAlIIO UE Nous avons bien ainsi les quatre constantes arbitraires necessaires: c, 3, puis x0 et x1 par exemple; y, et y5 s'ensuivent en vertu de (3). II y a dans cette solution un tres curieux paradoxe; comment pouvons-nous obtenir des trajectoires stables avec des forces qui ne sont pas conservatrices d'energies? Ecrivons les equations (1') sous la forme t2 +X 0, +Y-0. () Substituons la solution (2); remarquons que dcx d2y d t2 - -dt2 - y Les equations (2) deviennent: -_co)2+XX 0, -c)2 =+0Y; -x0 Y x Y Nous ecrivons done en d6finitive que la force est dirigee parallelement au rayon vecteur qui joint le mobile a l'origine. Considerons maintenant l'une des integrales particulieres x - xo sin (ot - a), y / y0 sin (ot- oc). La phase etant la meme, l'oscillation est rectiligne et d'une direction telle que la force soit toujours dirigee suivant la trajectoire. La force normale au rayon vecteur, force qui d6pend du coefficient s, ne travaille done pas; consequemment, quand on revient au meme point, on y revient avec la meme vitesse. I1 resulte de ce raisonnement que, si nous imposons au mobile une trajectoire circulaire, il existe sur cette trajectoire des positions d'equilibre. Mais la question m6rite d'etre reprise par une autre nethode. 345. Stabilite et instabilite des oscillations. - Transformons les equations (1') en coordonn6es polaires p et 0 (fig. 240). Nous nous garderons bien de changer tout betement de coordonnees; nous profiterons des proprietes invariantes pour operer intuitivement. Les 6quations (1') expriment qu'il existe o1 une energie potentielle: 1 1 -2 (ax2 +by= 2 (a cos2 0 b hsin20)p2; c'est un invariant de position; 2~ une force normale au rayon vecteur, proportionnelle a la distance a l'origine, et, avec les signes choisis, tendant a faire tourner le mobile dans le sens negatif (sens amenant F'axe Oy sur l'axe Ox); c'est encore un invariant.

Page  347 DYNAMIQUE DU POINT 347 Ceci pos6, nous pouvons ecrire immediatement les equations du mouvement: d2O bW d20 B dt2 - - - s, d1 (a - b)sin0cos -s; d =d - -W p ( a co2 0 + b sin2 0). Imaginons que le mobile soit astreint a tourner sur un cercle. La premiere equation (1") fournit la loi du mouvement. Le carre de la vitesse angulaire est: jY = 20, -- (2- ) cos 20 - 2. (5) I1 existe des positions d'equilibre statique; elles sont fournies par la condition: sin 0 cos 0 = s: (a- ). (6) Or cette condition est precisement celle qu'on obtient en eliminant (c2 entre les deux equations (3) s(x2 + yj2)=(b - a) xy/, sp2 =(b - a) sin O Cos. p2. On retrouve bien ce que nous avons pr6vu: les deux vibrations simples, qui composent l'integrale generale, s'effectuent suivant les rayons vecteurs d'equilibre. 1~ Soit d'abord s — 0. On a les quatre positions d'equilibre P, Q, R,S. Posons: a>b> 0; les forces composantes sont centripetes. En un point A, la r6sultante ne passe pas par le centre; le rapport de la composante suivant Ox a la composante suivant Oy etant superieur a 0 % Aa, la force resultante passe par un point C au deli du centre. Done l'equilibre est instable en P et par consequent en Q. Le point ecarte des posi- FE tions P ou Q ne tend pas a y revenir.. En un point E, le m6me rai- / \/ sonnement montre que la resultante passe par un point G, en c \ deca du centre 0. Done l'equilibre est stable en S et par con- sequent en R. Le point ecarte des positions S et R tend a y revenir. R R 20 Supposons maintenant s Fig. 240. different de zero. Admettons s> 0; la force qui en depend est donc dirigee dans le sens de la

Page  348 348 DYNAMIQUE fleche. Elle est constante en grandeur, puisque la distance p reste invariable par hypothese. Les positions d'equilibre sont deplacees. La composante tangentielle due aux forces qui dependent du potentiel W devant s'opposer a la force qui depend de s, les positions d'equilibre viennent en P1, S~, Q1, R1, dont la distance angulaire aux points correspondants P, S, Q, R, est egale au plus petit angle defini par la condition (6). L'equilibre est stable en Si et R1, instable en P1 et Q1. Si le mobile est lache au voisinage de S, et R1 avec une vitesse suffisamment petite, il oscillera donc autour de ces positions. Si la vitesse est trop grande, il pourra d6passer la position d'equilibre instable; des lors son mouvement cessera d'etre oscillatoire, pour devenir continu. Sa vitesse croitra au dela de toute limite, puisqu'en vertu de (5), elle augmente de \/4rs a chaque tour. I1 resulte immediatement de cette discussion que des deux vibrations fondamentales etudiees au paragraphe pr6cedent, l'une est stable et l'autre instable. Cela signifie que si le mobile decrit la trajectoire rectiligne qui correspond a la premiere et en est le'gerement ecarte, sa nouvelle trajectoire differera extremement peu de l'ancienne; si au contraire il decrit l'oscillation rectiligne instable, pour peu qu'il soit ecarte de sa trajectoire, il se mettra a decrire une trajectoire toute diff6rente. Attraction en raison inverse du carre de la distance. 346. Quelques proprietes de 'ellipse. - Considerons l'ellipse: a2 +- 2 1. La distance OF du centre aux foyers F et F' est c - a2 - 2; a et b sont les demi-axes principaux. On appelle excentricite le rapport (~ 256) a ja2 ^2 C b2 e - -e2 -a a a2" Ecrivons 1'equation de l'ellipse en coordonnees polaires; prenons F comme origine et appelons r et 0 les coordonn6es; 0 est l'anomalie vraie. On a, en appelant encore x et y les coordonnees: (x [_ C) yo ( )2 +-1; x=rcos 0 y r sin 0. On verifiera aisement la relation r- -ea(cos) ' ) l+ecos6

Page  349 DYNAMIQUE DU POINT 349 Elle s'ecrit en effet: b2 r —ex - On trouve aisment On trouve aisedment: x2 2 ( ex ) t+ \ a / dr 2e r4 2r3 do -- -a ( —e2)+- a(1 - e2) r2 (2) Exprimer Ceci pose, cherchons a resoudre le probleme suivant: comment doit varier 0 en fonction du temps pour que les aires balayees par le rayon vecteur FB= r, varient proportionnellement au temps. La solution est immediate en considerant l'ellipse comme la projection du cercle de rayon _ _ a dont le plan fait avec le plan, F de l'ellipse un angle de cosinus b: a. Ecrivons done que l'aire FCD prise dans le cercle varie proportionnellement au Fig. 241. temps: FCD = OCD - OCF - - (u - e sin u) = Ct, u - e sin u = ot o -- 27:T; T est la periode du mouvement; cot est l'anomalie moyenne. FBD FCD. (b: a). (3) Or on a: Si la premiere aire varie proportionnellement au temps, il en est de meme de la seconde. Relions les coordonnees r et 0 a l'angle u qu'on appelle anomalie excentrique. On a d'apres (1) et dans les triangles OCA et FBA: FA = r cos 0 = OA - OF a cos u - ea, r(l + e cos 0) =r + ea cos u - e2a= a ( - e2), r=-a( l-ecos u). Substituons a r sa valeur dans (1); il vient: (4) e -- cos 0 cs- -1 e cos 0 u 2 1+ —e 0 tg 2 -- I-e tg2-0' (5) La deuxieme formule s'obtient en formant les expressions 1 - os U, 1 - cos u, et en divisant membre t membre.

Page  350 350 D YNAA MIQ UE 347. Probleme de Kepler; serie de Lagrange. - Le probleme de Kepler consiste a trouver 1'expression des coordonnees 0 et r en fonction du temps. Theoriquement, le probleme est resolu par i'intermediaire de la variable auxiliaire u et des equations (3), (4) et (5). Mais on congoit l'avantage d'une expression directe. Elle est fournie par la serie de Lagrange, tres convergente quand l'excentricite e est petite. Voici quelques excentricites d'orbites planetaires pour fixer les ides: Mercure. Venus. Terre. Mars. Jupiter. Saturne. Uranus. Neptune. 0,203 0,007 0,017 0,093 0,048 0,056 0,047 0,009 On n'oubliera pas que pour e=O, l'orbite est un cercle; c'est une parabole pour e =l, (b2: a= 0). La plus grande excentricite est celle de la petite planbte Istria (0,349). Le calcul se fait par approximations successives. Indiquons-le pour u. Comme premiere approximation on a u = ot; u t= t + e sin u -= ot +- e sin ot; formule deja plus approchee. Continuons; on a: u = ot +- e sin u - ot + e sin [ot -+- e sin ot]. Developpons le second membre et bornons-nous aux termes en e2; il reste u - ot + e sin ot -- - sin 2ot. Et ainsi de suite. SERIE DE LAGRANGE. L'expression precedente rentre dans une serie beaucoup plus generale due a Lagrange et dont les applications sont nombreuses. Soit une fonction u reliee a la variable x par la formule u=-x+ef(u). (1) On suppose que e est une quantite assez petite pour qu'on puisse developper u en serie convergente ordonn6e par rapport aux puissances croissantes de e. Considerons u comme une fonction de e; nous pouvons ecrire e. ( e2" e3 u= (e) - ()+ ' (0)+ (0)+ 1..3 (0)+ (2) Identifions (1) et (2). Derivons (1) par rapport a e bu bu - — f (u) - ef'(u) -; (3) faisons e=- 0. I1 vient u=x, u= (0); '(0) f().

Page  351 DYNAMIQUE DU POINT 351 Derivons (3) par rapport a e: e2 2f' (u) +e +ef" (u)( + ef'(l)) 2e Faisons e 0: b u b"u d -~ - f(x), a = 2f, (x)f(X) -dx [d f(x). Identifions avec (2) dx [f(x). Et ainsi de suite. On trouve la serie: e2 d e3 d2 u= + _ef(x)+ 1. 2 dx [()]2+ 1. 2 3 dx2 f(x)] + () En particulier, si nous posons: x=-ot, f(u) = sin u, il vient: u - (ot —+e sin t +- -. 2 2 sin ot cos o(t +-. GtNERALISATION DE LA SERIE DE LAGRANGE. Soit maintenant une fonction r- F(u), de la quantite u definie par l'equation (1). On demande de la developper en une s6rie ordonnee suivant les puissances croissantes de e. Nous poserons comme plus haut e ea r - q=(e)- = (0) + (0)+ y (0)+... On a 'F F() (5) On a: -F'(u) e ' () et pour e 0, en vertu de l'equation (3) bF -_ F'(x) f () -T '(0). Derivons (5) par rapport a e; faisons e-0; utilisons les formules precedemment trouvees: b2F I/ bU 2 b2U F= (a)(U ) +F(u) b2 ' b2F F" e — F" (x) f(x)]" + 2f' (x)f(x) F'(x) d F'(x) [f() Et ainsi de suite. D'ou la formule generale e e2 d F(u)=F(x)+ I F'(x)(x)+ 1 2. d F'(x)[f(X)]2 +~ 1. 3 dx2 F'(x()]3[f+).

Page  352 352 D YNAMIIQ UE. Par exemple, nous avons: r: a= -e cos u F (u); F' (u) e sin u, f(u) -sin u. I1 vient: e3 d sin3 x r a= - ecosx +e2sin2 x+ - d - +.. e2 r: a_= 1 -ecos cot --- (cos 2 ot - 1) -... On trouverait de mgme pour le developpement de l'anomalie vraie: = u+ 2 (X sin u - 2 sin 2 u -3 sin 3 u-...), en posant: = e: (1 -/1 - e ). 348. Cas de l'hyperbole et de la parabole. - L'hyperbole rapportee a son centre est en coordonnees cartesiennes X2 y2 a2 -b2 Posons: c =\/ t2 -- 2, e=c: a. L'excentricite e est superieure a 1; elle etait inferieure pour l'ellipse. Elle est egale a 4 pour la parabole. Transportons l'origine au (X -r +)2 y' - foyer a( 2 a2 Fig. 242. Fig. 243. Introduisons les coordonnees polaires (fig. 242): 1 -- e cos 0,a(1 -e2) 0 variant entre 0 et 00, on decrit la branche DBE de l'hyperbole; r varie entre a(l -e)=a —c= ---(c-a), pour 0 —0, et -cc pour 0 - 0.

Page  353 DYNAMIQUE DU POINT 353 L'equation differentielle (2) subsiste; mais le coefficient de r4 est positif. Le terme en r3 conserve son signe, car le coefficient et la variable ont simultanement change de signe. Enfin considerons la parabole rapportee a son foyer (fig. 2&3) y 2= 2pX +p2 On peut l'identifier avec l'equation: _ P - +cos 0 Quand 0 varie de 0 a 7, r passe de -p: 2 a -oc. L'equation diff6rentielle (2) devient (dr \2 2r2') Supposons la courbe parcourue de maniere que les aires balayees soient proportionnelles au temps employe a les parcourir. Cherchons h relier r et 0 au temps t. On a r2d0 - Cdt, dt B (1 +cos 0)2 ' ou B est une constante. On verifiera que l'integrale est B 0 1 3 Pour t-=0, on a 0 -0; on suppose done que le mobile passe au sommet de la parabole a l'origine des temps. En definitive, etant donne le signe des valeurs acceptables du rayon vecteur, l'6quation differentielle (2) ou (2') a toujours le troisieme terme du second membre negatif, le second terme positif; quant au premier il est negatif pour l'ellipse, il est nul pour la parabole, il est positif pour l'hyperbole. Nous allons comprendre l'int6ret de ces remarques. 349. Mouvement d'un point attire par un centre fixe en raison inverse du carre de la distance. - Soit un point de masse m attire par un centre fixe F de masse M, en raison inverse du carre de la distance et proportionnellement au produit des masses. La force d'attraction F a la distance r est FGmM F --- 7 2 G s'appelle la constante de la gravitation. Considerons un arc BB' de trajectoire; il est clair qu'il n'y a aucune raison pour que le mobile sorte du plan FBB'. La trajectoire Cours de Physique. - H. BOUASSE. 23

Page  354 354 D YNAMIIQ UE est done plane. Soit r et 0 les coordonn6es polaires par rapport au centre d'attraction. On a: r2d - Cdt (1) ou C est une constante. Le travail de la force F est egal a la variation de la quantit6 GMm: r, cest-a-dire a la variation du potentiel GM r, multipli6e par la masse nm sur laquelle la force F est appliquee. Soit v la vitesse de m; le theoreme des forces vives donne: myv2 GMm 2GM__ d. 7l= d G I v2C CI2+ (2) '2 F r ' En coordonnees polaires, on a: ( dr 2 do ( dr\2 C_ 2GM V2 ( + dt )=(dt r + c + 2GM (3) d'apres les conditions (1) et (2). On tire de la (dr\2 2GMi C2 / do2 C2 (dt) CL + r 'r 2 dt- ) r ' Divisant membre a membre ces deux equations, il reste: /dr) C, 2GM 3 0w) =C2 r - r3 -7' (4) I1 resulte de la comparaison de cette equation (4) et des 6quations diff6rentielles des coniques ci-dessus etudi6es, que le mobile d6crit une conique. La nature de la courbe depend seulement du signe de C' et par consequent [eq. (2)] de la vitesse v du mobile quand il est a la distance r du centre d'attraction; la direction de cette vitesse n'intervient pas. Pr6cisons la signification de l'6quation (2). Si le mobile etait parti de l'infini sans vitesse et parvenu a la distance r sous 'influence de l'attraction, le travail total effectue par la gravitation sur l'unite de masse serait 6gal a la valeur du potentiel a cette distance: soit GM: r. En vertu du th6oreme des forces vives, la vitesse serait V= /2GM: 7. L'equation (2) nous apprend que si la vitesse actuelle v est superieure a V, la courbe est une hyperbole. Si elle est egale a V, c'est une parabole. Si elle est inf6rieure a V, c'est une ellipse. On comprend immediatement la raison de ces conditions. Identifions les 6quations (2) du ~ 346 et (4) du ~ 349 i C' 1 GM I C' a2(l e2-) - a( -eu C- 2; 2 GM' L'equation (2) devient 2GM GM r V2 v r a V2 - 2 (w )

Page  355 DYNAMIQUE DU POINT 355 Les relations (5) expriment que la vitesse en un point quelconque de l'ellipse est la meme que si le mobile etait parti sans vitesse du cercle du rayon 2a et etait venu en sa position actuelle sous l'influence du centre d'attraction. Elles expriment encore que, non seulement la nature de la conique, mais encore la grandeur du grand axe dependent de la vitesse v a la distance r, et non de la direction de cette vitesse. CONSTRUCTION DE LA TRAJECTOIRE (fig. 245). Soit M le mobile, MN sa vitesse toujours directe (~ 350), S le Soleil. Joignons SM; la droite MQ, sur laquelle est le second foyer S' est completement determinee par la condition angle N MS' angle N'MS. Puisque la vitesse v est connue ainsi que la distance MS r,, le grand axe est connu et par suite r, en vertu de la condition: r, + r- 2a. Done S' est connu. On a pour l'excentricite: e =SO: a. L'anomalie vraie, 0 PSM, 6tant connue, on en deduit l'anomalie excentrique u par la formule (~ 346) t e t i c esnd D'oiu enfin, connaissant l'dpoque t qui correspond aux anomalies 0 ou u, on tire le temps - de passage au perihelie par la formule o(t- r)- u - e sin u. Soit T la periode, c'est-a-dire la duree d'une revolution. En vertu de l'equation (1), on a 4;2a3 27=ab 2:a I-1 - e2' - CT, GM T2 Les carre's des periodes de differents astres attires par le mneme centre fixe sont comme les cubes des grands axes. C'est la seconde loi de Kepler. 350. Elements d'une orbite. - Pour permettre au lecteur de comprendre une description succincte du systeme solaire, nous devons rappeler quelques definitions (fig. 244). Nous rapporterons les courbes decrites par les astres a l'ecliptique au moyen de la longitude et de la latitude celestes. Menons une sphere ayant pour centre le Soleil; soit AyB le plan de la trajectoire terrestre ou ecliptique. Comptons les angles sur-ce plan a partir du point vernal y (longitudes) dans le sens AyB du deplacement de la Terre (sens direct). La latitude d'un point P sera done l'are de grand cercle P=.

Page  356 356 D YNAA MIQ UE Ceci pose, on determine le plan de l'orbite d'un astre par son inclinaison sur l'ecliptique, POQ i, et par la longitude ySQ du noeud asceldant Q; autrement dit, par l'angle que la ligne des noeuds (trace SQ du plan de l'orbite sur l'6cliptique) fait avec la ligne Sy des equinoxes. On appelle ligne des apsides le grand axe de l'ellipse decrite par P '-P l'astre; ses extremites sont le periA ------- -- /-t - B helie et l'aphelie. La position de l'ellipse dans son plan est d6terminee y\ T7~-^ / p'ar la longitude du perihelie, c'est~ /1 /Y^ y / a-dire par langle que fait la ligne des 6quinoxes Sy avec la trace S= du plan SPr nornal a l'ecliptique et paszFig. 2!4. sant par la ligne des apsides. Le sens de la demi-droite S= est determine par la condition que l'astre soit le plus rapproche du Soleil quand il est sur SP (perihelie). L'ellipse est determinee par son demi-grand axe a et son excentricite e. Enfin la position de l'astre sur son orbite a une epoque determinee est fournie par la connaissance de l'6poque du passage au perihelie. En tous six 1eements: deux pour fixer le plan de lorbite (longitude du nceud ascendant, inclinaison), un pour fixer la situation de lorbite dans son plan (longitude du p6rihelie), deux pour fixer la forme et la grandeur de l'orbite (grand axe, excentricite), un pour fixer la position de l'astre sur l'orbite a une epoque connue. La p6riode ne constitue pas un septieme element independant, parce qu'elle est reli6e a la longueur du grand axe par une des lois de Kepler. Ceci pos6, l'observation montte que: 4 les planetes se meuvent toutes dans le meme sens (sens direct); 2~ les plans de leurs orbites sont peu inclines les uns sur les autres: les inclinaisons de Mercure, de Venus et de Saturne sont 700', 3023' et 2030'; celles des autres planetes principales sont encore plus petites; seules certaines planetes secondaires ont des inclinaisons notables; 3~ leurs excentricites sont petites: leurs orbites sont presque circulaires. Parmi les cometes, une dizaine sont periodiques; leurs orbites sont des ellipses tres allongees. L'excentricite, generalement superieure a 0,5, s'approche beaucoup de l'unite pour quelques-unes d'entre elles. Cependant la distance a l'aphelie de celles qui s'eloignent le plus du Soleil ne depasse pas beaucoup la distance moyenne de Neptune au Soleil. I1 faut attribuer leur invisibilit6 a leur manque d'eclat.

Page  357 D YNAMIQ UE D U POINT 357 Les autres cometes ont des orbites qu'on ne peut distinguer de paraboles. Ce qui revient a dire que l'arc sur lequel on les observe est trop petit pour preciser la trajectoire elliptique ou hyperbolique qu'elles decrivent. L'excentricite est si voisine de l'unite que mieux vaut la poser 6gale i l'unite. Les elements de lorbite se reduisent a cinq. Cependant, pour quelques cometes, il semble que la trajectoire soit nettement hyperbolique; elles n'apparaissent qu'une fois et se perdent pour toujours dans l'espace. Les cometes se meuvent sur leurs trajectoires soit dans le sens direct (comme les planetes), soit dans le sens retrograde. Les inclinaisons sont souvent grandes. Chaque fois qu'une comete apparait, on calcule les elements de sa trajectoire, supposee parabolique, et on les compare aux 6ele6ents des cometes consignees dans un catalogue sp6cial. S'ils coincident a peu pres avec les elements d'une comete deja etudiee, on soupqonne l'existence d'une comete periodique: il n'y a plus qu'a attendre une nouvelle periode pour que l'hypothese soit confirmee ou detruite. 351. Perturbations. - I1 n'entre pas dans notre plan de faire une etude tant soit peu etendue des perturbations; nous voulons seulement poser le probleme. Nous en dirons encore quelques mots au ~ 582. Imaginons qu'outre ia force en raison inverse du carre des distances emanant d'un point que nous imaginons fixe (nous verrons au ~ 581 comment on leve cette restriction), existent d'autres forces petites et presque paralleles au nnmee plan (ecliptique): elles produisent une perturbation. La trajectoire ne sera plus rigoureusement une ellipse immobile et decrite selon la loi des aires. Mais en vertu de l'hypothese que les forces perturbatrices sont petites, nous pourrons continuer a considerer la trajectoire comme une ellipse dont les elements sont variables. A chaque instant le mobile sera cens6 decrire une ellipse tangente a la trajectoire reelle, parcourue avec la meme vitesse que la trajectoire reelle, et telle que, si les perturbations disparaissaient subitement, elle serait la trajectoire rigoureuse. Envisageons le probleme de ce point de vue, en nous limitant a une trajectoire plane. Les equations du mouvement d'un corps de masse m, attire par l'origine fixe en raison inverse du carre des distances, sont dt2 +G r3, It2 +GM - O. ciOt2.r3

Page  358 358 D YNAMIQ UE Nous savons que le mobile decrit une ellipse caracterisee par: son grand axe a, son excentricite e, 'angle y que fait son grand axe avec 'axe des x, le temps T auquel elle passe, par exemple, au p6rihelie. La periode est reliee au grand axe par la loi de Kepler. Supposons maintenant l'existence de forces perturbatrices. Dans le probleme astronomique elles admettent toutes un potentiel; posons d2x x 6R done: it-+GM r3 = x ~~d2y~~ GM~~~~-6~(2) dt2 r3 - by R est la fonction perturbatrice. Dans les cas (1) et (2), la solution peut etre mise sous la forme: x-= f(ta, e.=,,, ), = F(t, a, e,, r). (3) Mais dans le cas des equations (1), a, e, 9,, sont des constantes. Dans le cas des equations (2), ce sont des fonctions du temps. Du reste, si brusquement je les consid6re comme des constantes (ce qui revient a supprimer la perturbation), les solutions (3) deviennent par hypothBse acceptables pour les equations (1). Comme on dispose de quatre fonctions arbitraires pour deux equations a satisfaire, on peut ecrire deux conditions supplementaires. Elles expriment precisement que la vitesse est la meme a chaque instant sur l'ellipse (a, e, y, T, constants) et sur la trajectoire reelle (a, e, p, T, fonctions du temps). It faut 6crire bf da f de f d+ —bf d 6a - Oe t t - 4 (4) _F _F 6F _ aF _ dy dab-F bF dea b- de 4 -F d = F d0 6a c 6ecie~ y ) c- 0; Grace aux equations (4), nous avons par deux derivations d2 x 6f +2 2f da b2f de b2f d+ 2f c ( dt-2 612 dl~a dt +-b6te dt - 6t6p ddt + 616 dt' d2y 62F 62F da b2F de b)F d 6 b2 - d () dt2 - 612 + 6b6t dt + 6e dt bt6?- dt 6t6- dt Mais considerant a, e, o, T, comme des constantes, on doit avoir: ( Gf x b2F 7/ 6-+GM 3 0, — +GM, 0. (7) 6,2 A 6t (

Page  359 D YNAMIQ UE DU POINT 359 D'oui enfin: n"Y',,b,f byf bYf 6R 2f da+ de+ d cO+ d-, 6R _c ( dt; cta te 6T: 6x. _2F b F 2F b2F b FR l (8) t6 da d - tbe de+ to d?+ t: ydt Les equations (4) et (8) resolvent le probleme. La substitution de quatre equations du premier ordre a deux du second serait illusoire si par hypothese les quantites da, de,... n'6taient pas tres petites par rapport a dt. I1 sera done permis de substituer les valeurs constantes approchees de a, e,... a leurs valeurs variables exactes, dans les valeurs obtenues pour da, de,... par resolution du systeme des equations (4) et (8). On sera done ramene a des quadratures pour calculer les parties variables de a, e,... Nous supposons connue la fonction perturbatrice R; on la calculera au moyen des positions approchees des astres. Le developpement en serie de cette fonction dans chaque cas particulier est la principale occupation des astronomes. Nous n'insisterons pas sur ces questions eminemment techniques; elles font la joie et le tourment des mathematiciens. 352. Perturbation tangentielle (force tangente a la trajectoire). - Montrons sans calcul comment interviennent les perturbations. Etudions successivement Faction d'une perturbation tangentielle a la trajectoire, d'une perturbation normale a la trajectoire, enfin d'une perturbation orthogonale au plan de l'orbite. Nous les assimilerons a des impulsions (~ 298). Une perturbation tangentielle augmente ou diminue la vitesse actuelle, sans changer sa direction. En vertu de la formule (5) du ~ 349: v2I GM(-)2 I, tout accroissement de v augmente a et par suite augmente la periode; toute diminution de v diminue a et par suite diminue la periode., Mais si a augmente brusquement, E r1 conservant sa valeur, r, augmente; S' vient S' (fig. 245). \ Donc la ligne des apsides tourne A ' dans le sens direct si le mobile est P dans la moitie PEA de la trajectoire, dans le sens inverse si le mobile est dans la moitie PFA. N'oublions pas que le mobile est toujours cense Q tourner dans le sens direct (fig. 244).ig. 25. La conclusion est inverse si la perturbation diminue la vitesse (force tangentielle retardatrice).

Page  360 360 D YNAMIQ UE Cherchons enfin la variation de l'excentricite. Montrons qu'une force acceleratrice tangentielle accroit l'excentricite dans la moitie FPE du parcours, la diminue dans la moitie EAF, ne la modifie pas en E et en F. Au perihelie, l'excentricite a pour expression 2a - 2r, 7 r 2a a Si a augmente, r1 restant invariable, e augmente. A l'aphelie, l'excentricite a pour expression r - r2 2r, - 2a r 2a 2a a Si a augmente, r1 restant invariable, e diminue. Enfin supposons l'astre en E (ou F). On a (fig. 246) SS' SS' GIe 2a' e- 2a +2Aa ' GH S'O SS' S'G-S'E 2a ' 2a-+ 2Aa e' e 2+a 2z\- a GH — 2eAa; Par exemple, l'effet de la S/ E 1I resistance d'un milieu tres rare sur le mouvement d'une planete serait de diminuer indefiniment le grand axe et la p6riode; de faire osciller la ligne des apsides; enfin d'imposer a l'excentricite une oscillation autour d'une valeur r6gulierement decroissante. En effet, la force etant retardatrice et croissant avec la vitesse, e diminue dans l'arc FPE, pr6cisement la oui la vitesse a ses plus grandes valeurs et par cons6quent agit davantage. A Z 0 \GH F /P Fig. 246. 353. Perturbation normale (force normale a la trajectoire). - Elle ne modifie pas la vitesse et par suite laisse le grand axe inaltere (fig. 247). Supposons-la dirigee vers l'interieur de lorbite. Elle modifie la direction de la vitesse et par suite de la droite qui contient le second foyer S'. Connaissant la direction de cette droite, il faut, pour obtenir le nouveau foyer, mener une circonference avec M comme centre et MS' —r2 comme rayon. D'oui resulte que la direction de la ligne des apsides reste inaltere

Page  361 D YNA MIQ UE D U POINA T 361 quand le mobile est en I et en J, puisque IS' et JS' sont normales sur AP. Le long de l'are JPI une perturbation dirigee vers l'interieur E de lorbite d6place la ligne des ' apsides dans le sens direct; le long de lare IAJ, la ligne des \ apsides retrograde. P On verifie aisenent qu'une perturbation dirigee vers l'interieur de l'orbite diminue l'excentricite quand le mobile est sur l'arc PEA, F l'augmente quand le mobile est sur Fig. 247. Fare AFP. Les conclusions sont inverses si la perturbation normale est diri gee vers l'ext6rieur de l'orbite. 354. Perturbation orthogonale (force normale an plan de l'orbite). - Supposons qu'elle s'exerce vers le plan de l'ecliptique: elle produit alors une variation periodique de l'inclinaison et une retrogradation de la ligne des nceuds. Son action, 6tant toujours normale a la trajec- z toire, ne modifie aucun des UR elements qui en d6finissent S la forme (fig. 248). L'inclinaison decrolt apres le passage aux noeuds, sur/ 0 i les parcours TU, VWV, par / // P consequent. Elle crolt avant le passage aux noeuds, sur T les parcours UV, WT, par consequent. Cela resulte immediatement de la figure Fig-. 248. 248. En M, par exemple, la. trajectoire est devi6e de MN en MP sous l'influence d'une force dirigee vers l'ecliptique (ici le plan xOy): l'inclinaison diminue. La meme figure rend evidente la retrogradation des nceuds. Le nouveau plan de l'orbite, devant passer par OM et MP, coupe l'ecliptique suivant une droite OT' qui est dans le quadrant - xOy. De meme le nouveau plan de l'orbite, devant passer par OQ et QS, coupe l'ecliptique suivant une droite OV' qui est dans le quadrant yOx. 355. Variations seculaires et periodiques; stabilite de notre systeme. - Les perturbations sont seculaires ou periodiques suivant

Page  362 362 D YNA MQ UE que leur expression en fonction du temps contient le temps par ses puissances, ou le contient sous une fonction circulaire. Dans le premier cas les effets s'accumulent; dans le second les elements oscillent autour d'une valeur moyenne. Par exemple, les nceuds de la Lune retrogradent d'un tour complet en 18 ans 2/3; la longitude de la ligne des nceuds s'exprime en fonction du temps, entre autres, par un terme contenant en facteur la premiere puissance du temps; c'est une variation seculaire. Le plan de l'orbite de la Lune oscille autour d'une inclinaison moyenne (50 8' s8"); c'est une variation periodique. En developpant la fonction perturbatrice et en effectuant les calculs dont on a donne une id6e au ~ 350, on est parvenu a ce resultat capital que les grands axes des orbites ne presentent que des variations periodiques, d'ou resulte l'invariabilite des durees moyennes des revolutions planetaires. Au contraire, les excentricites, ies longitudes du noeud ascendant et du perihelie, l'inclinaison sur l'ecliptique subissent des variations seculaires. Les excentricites eprouvant des variations differentes pour les diverses planetes, il n'est pas impossible que leurs orbites se coupent. Mais Lagrange a prouve que les variations s6culaires des excentricites et de l'inclinaison ne sont que des variations periodiques a tres longue periode. Tout ceci nous rassure sur la stabilite de notre systeme, non seulement pour quelques milliers de si6cles, mais jusqu'a la consommation des temps. C'est une consolation appreciable de penser que le systeme planetaire sera sensiblement tel qu'il est aujourd'hui, longtemps apres que le dernier astronome sera mort pres de la derniere lunette!

Page  363 CHAPITRE III CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 356. Equation du mouvement. - Nous avons demontre au ~ 302 que l'equation du mouvement d'un corps solide tournant autour d'un axe fixe est: d2& dt -'; (l) I est le moment d'inertie par rapport a l'axe de rotation; 0 est l'angle qui repere l'azimut du corps; F est le moment par rapport a l'axe de rotation, de toutes les forces appliqu6es au corps. Si le couple est constant, l'equation (1) s'integre immediatement: dO 1) IF dt t-+ a, 0 -+at+b; la vitesse angulaire varie proportionnellement au temps; l'azimut est une fonction parabolique du temps. En fait, s'introduit ordinairement un frottement qui est fonction de la vitesse angulaire. Nous poserons d20 dO dt2 =-r (o), t -= dt' Nous ne repeterons pas pour les mouvements de rotation ce que nous avons dit pour les mouvements de translation (~~ 319 et sq.). Les equations, et par consequent les solutions, sont de mrnes formes. En particulier, la vitesse tend asymptotiquement vers la valeur: (o)=r. Le frottement sur Fair est utilise pour regulariser le mouvement, par exemple au moyen des regulateurs dits a ailettes, dans les tournebroches et la sonnerie des horloges; nous les retrouverons plus loin. 357. Machine d'Atwood. - Le mode de suspension de la poulie de la machine d'Atwood est decrit au ~ 101. Etudions-en le fonctionnement dynamique.

Page  364 364 D YNAMIIQ UE Appelons I le moment d'inertie de la poulie, I' le moment d'inertie de chacun des galets. Soit R, r, R, 7^^~^"^ ~~les rayons de la poulie, de l'arbre A I/ I et des galets; soit Q. et c les vitesses / / angulaires de la poulie et des galets. ^A RP On a: Rco r Q. i t i \ jEnfin appelons v les vitesses egales \ _X^I ~ et de sens contraires des masses P +p et P suspendues au cordonnet; nous n6gligeons la masse de celui-ci. On a: - L v-R,,Q; 0=R-, -RRv?|p) 1-~ i Ecrivons l'equation des forces vives quand les masses ont parcouru une Fig. 249. hauteur h: I + 4 (2 I) )+ 2 (2P 4+p)v =-pgh; v2 L42 4 2' 2R2 2+ P +p 2pgh. A cause de la petitesse du rapport r R, le second terme du premier membre est g6enralement negligeable. Soit m la masse de la poulie: supposons qu'elle se compose d'un anneau etroit reli6 a l'arbre A par des bras tres legers; on a sensiblement: I mR,; d'oui vIm + 2P +p] - 2pgh. Un corps tombant en chute libre prend, apres le parcours h, une vitesse determinee par la relation: V — 2gh. Done tout se passe comme si l'intensite de la pesanteur etait reduite dans le rapport: p:m+ 2P +p]. Dans la theorie elementaire, on neglige m devant 2P+p. C'est illegitime, car m est g6neralement de beaucoup superieur a 2P -p. On trouve done pour g des nombres trop petits. Les frottements interviennent de deux manieres. Les frottements des axes sur les galets ou les tourillons jouent le role de forces constantes, independantes de la vitesse; elles diminuent la valeur apparente de g d'une quantite constante. Les frottements contre l'air sont sensiblement proportionnels a la vitesse. Le mouvement n'est done plus uniformement accelere; la vitesse tend vers une valeur asymptotique.

Page  365 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 365 Pour toutes ces causes, la machine d'Atwood ne saurait pretendre a une grande precision; elle n'en reste pas moins un remarquable appareil d'etude pour les debutants en Mecanique. 358. Pressions sur l'axe. -Nous supposons l'axe de rotation invariable; par axe il faut entendre, non pas l'arbre reel, mais la droite autour de laquelle se fait la rotation. z On peut remplacer la condition d'un axe fixe par celle de deux Z points fixes arbitrairement choisis sur l'axe que nous prendrons pour X2 axe Oz (fig. 250). Nous placerons 'un a l'origine des coordonn6es 0, l'autre en O' a une distance h de l'origine sur laxe Oz,' ses coordon- nees sont done: 0, 0, h. Ecrivons les equations de la Dynamique pour l'ensemble des points, en nous souvenant que le z /Y de chaque point est constant. Outre Fig. 250. les forces exterieures de composantes X, Y, Z, il faut introduire les reactions X1, Y2, Zi, X2, YT, Z2, appliquees aux points 0 et O' du corps. Appelons $, r^, ', les coordonnees du centre d'inertie =- j Tn2tx, p.rn,.my, U-= 2mz;, u. est la masse totale. On a g6enralement: ~m dfx d t2 - X+X- + X2 t2y - Y+Y1+Y2 (1) dt2 Posons: x- r Cos 0, y == sin 0. d2x / dO \2 d 20 / d \2 d2 dt - rcos 0 dtJ -rsin dt/2 -- xdt - Y dt2 d2y. / i dOs c0 / d- \2 d2 dt2 -rS \ +r cosO dt - + dt2 -; \ 2dt d~ x + x, - x2, /de \" d~ ~E Z Z Y ~ -^ (t) + Z, d +t Y+Y, ( 0 o + Z +Z2,.

Page  366 366 D YNA JIIQ UE Ecrivons maintenant les equations exprimant qu'il y a equilibre dynamique autour des axes Oy, Ox (equations des moments); l'equation qui exprime l'equilibre dynamique autour de l'axe Oz est celle meme du ~ 356. Les composantes X1, Y1, Z1, disparaissent, puisque la force correspondante passe par l'origine et consequemment par les axes Ox et Oy. La force appliqu6e au point 0' donne les couples -hY2 autour de Ox, hX2 autour de Oy. On a: m(g -z- cl ) L-hY (3) Zll tz -F- -t x ~t ) = M + hX2. Introduisons les coordonnees cylindriques ( 2 IyV z - -d l nzx = L - hY2, (-J n ) Lmzx- ( )myz = +()hX -/ \dt dt2 ~myz M-jhX2. Les equations (2) et (4) resolvent completement le probleme des pressions sur l'axe. Elles supposent connue la loi du mouvement, determinee par la troisieme equation (4) que nous n'avons pas recrite et qui est celle meme du ~ 356. Comme les inconnues sont au nombre de six (X,, Y1, Z1, X2, Y2, Z2), et que nous n'avons que cinq equations, il y a necessairement une indetermination. Elle porte sur les composantes Z1 et Z2 dont nous ne pouvons determiner que la somme: z, +z - z. Les equations (4) donnent X2 et Y2. Transportons ces valeurs dans les equations (2); nous calculons immediatement X1 et Y1. 359. Cas particuliers. o1 Si le corps n'est soumis a aucune force exterieure, on a les conditions: X -Y Z 0, L = M N- 0. La vitesse angulaire o autour de laxe Oz est constante. Les equations determinant les pressions sur l'axe deviennent: - J+.X, Xy +- X, —, - Z,2 + Y, + Y2, 0=-Z + Z; (2') - 2Lmyz = hY2, - 321zx = hX2. (4') A) X2 et Y2 sont nulles si le corps tourne autour d'un axe principal d'inertie par rapport au point 0 (~ 13). B) Si laxe Oz est principal pour le point 0 et si de plus il contient le centre d'inertie (ce qui revient a dire qu'il est principal pour

Page  367 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 367 tous ses points), les composantes X1, X,, Y1, Y2, sont nulles. On peut d'ailleurs supposer que Z1 et Z2 (qui sont egales et de signes contraires) sont separement nulles. Dans le cas A), le corps lance autour de Oz conserve Oz comime axe de rotation, alors meme que le point fixe O' est supprime. En effet les reactions de ce point sont nulles. Dans le cas B), le corps conserve l'axe invariable Oz de rotation, alors meme qu'il est absolument libre. 20 Supposons le corps libre. Cherchons la condition pour qu'il tourne indefiniment autour de Oz, bien que les forces exte'rieures ne soient pas nulles. I1 faut qu'elles se reduisent a un couple N ayant Oz comme axe. I1 faut de plus que Oz soit un axe principal pour 0 et passe par le centre d'inertie. Le corps lance autour de Oz continuera a tourner autour de cet axe. En effet, le couple N n'entre pas dans les equations contenant les reactions de l'axe. 360. Force centrifuge. - On retrouve les resultats precedents par une methode interessante et que nous aurons l'occasion d'utiliser plus loin. Soit un corps tournant autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire constante. La force centrifuge sur la masse m situee a une distance r de l'axe a pour expression: mo2r. Ses composantes sont: mcX(, m2 y. On peut la considerer comme derivant d'un potentiel (~ 276 et 279) V_ oi)i +_ _ (I Y v o -— oon reconnalt l'expression de l'energie cinetique (~ 293). Le corps auquel on impose la vitesse de rotation w tend a s'orienter, sous l'influence des forces centrifuges supposees seules, de maniere que le potentiel soit minimum, c'est-a-dire que le moment d'inertie par rapport a l'axe de la rotation impose Oz soit maximum. D'ou quelques corollaires interessants 1~ Si le corps est mobile autour d'un point de l'axe Oz autour duquel on lui impose la vitesse angulaire o, il s'oriente de maniere que l'axe Oz soit un des axes de l'ellipsoide d'inertie. L'equilibre est stable quand c'est le grand axe, instable quand c'est le petit (~ 13). 2~ Si le corps est mobile autour d'un axe parallele et invariablement lie a Oz, il resulte du ~ 14 que le centre d'inertie tend a se mettre dans le plan des deux axes; c'est alors que le moment d'inertie par rapport a Oz est maximum ou minimum. 3~ Si le corps est mobile autour de son centre d'inertie invariable

Page  368 368 D YNAMIQ UE ment lie a Oz. un des axes de l'ellipsoide d'inertie correspondant au centre d'inertie tend a se placer parallelement a Oz (~ 14); l'equilibre est stable si c'est le petit. 4o Si le corps est mobile autour d'un point quelconque invariablement lie a Oz, il resulte du 20 que le centre d'inertie tend a se placer dans le plan passant par Oz et le point donne. La r6sultante de toutes les forces centrifuges est: XI =- to mx = (O 2V, yX =_ c2Erny -= o2J,7 (1) Z'0. Donc la force centrifuge resultante est la meme que si toute la masse etait concentree au centre d'inertie; ce qui ne veut pas dire qu'on la peut toujours remplacer par une force unique passant par ce centre. Pour savoir ce qui en est, cherchons le moment resultant de toutes les forces centrifuges. Utilisant les notations du ~ 12, on a: L o- 2myz - (Do2, M = -,2V 71-nZ= co2 (2) N — 0. Pour que la force centrifuge put etre remplacee par une force unique passant par le centre d'inertie, il faudrait que: L =- o2J M =2:; c'est-a-dire: (3) En particulier, il en est ainsi quand le corps se reduit a une plaque mince normale a l'axe de rotation. Prenons le moment des forces centrifuges par rapport a un axe parallele a Oz et passant par le centre d'inertie. Appliquons les formules du ~ 36. I1 vient immediatement N'- 0, ce qui demontre la proposition. Du reste, on peut la d6duire du ~ 14 et de l'expression ci-dessus donnee du potentiel V. On tire des propositions pr6cedentes les corollaires du ~ 359. En effet, pour qu'un corps lance autour d'un axe continue a tourner autour de cet axe, il faut que la force centrifuge ait un effet nul. La condition X' Y' -Z'= 0 revient h faire passer l'axe de rotation par le centre d'inertie. La condition L' = M' -N' = 0 exige que l'axe soit principal d'inertie. I1 faut naturellement de plus que les forces exterieures soient nulles, ou se reduisent a un couple N dont l'axe soit parallele a l'axe de rotation choisi.

Page  369 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 369 361. Exemples. - Comme ces considerations sont importantes et delicates, donnons des exemples simples dont le calcul se pousse a bout et qui fournissent d'interessantes manipulations. 1l Le systeme se compose de deux masses punctuelles egales, plac6es dans le plan xOz (fig. 251). Mettons leur centre d'inertie G sur l'axe F Ox. Posons OG=a' \ appelons 21 la distance des masses. Les forcesG centrifuges appliquees / aux masses sont / F m02(a - 1 sina), F' F _ m(2(a -- I sill a). /y On a: Fig. 251. (= )F + F'- mco2a. La force centrifuge I r6sultante est la meime que si toute la masse etait concentree au centre d'inertie; mais elle est appliquee en un point y qui differe de G. Posons: G. On a: F(I +)j=F'(I - ), 7 1sina: a. Le moment autour de l'axe des y est M - - cos.. - 2m(2a, cos - m2l~ sin 2a. C'est ce que donnent les formules generales du paragraphe precedent. 2~ Le systime se compose z de deux masses punctuelles egales, placees dans le plan xOy (fig. 2S2). Les forces cen- trifuges ne sont plus paralleles; elles passent par l'origine des coordonnees. Elles sont d'ail- leurs proportionnelles a OM et 0/ \_ _,_ _ a ON. Leur resultante est dirigee suivant la diagonale du parallelogramme construit sur OM et ON; elle passe par con- sequent par le centre d'iner- tie G. Fig 252. Generalisons ces resultats. Quel que soit le corps, menons par le centre d'inertie deux plans Cours de Physique. - H. BOUASSE. 24

Page  370 370 D YNAMIQ UE rectangulaires, l'un P1 passant par l'axe de rotation, l'autre P2 normal a cet axe. Si le corps est symetrique par rapport a P1 (fig. 251), la force resultante est dans ce plan et normale a l'axe de rotation: elle ne passe pas necessairement par le centre d'inertie (Exemple lo). Si le corps est symetrique par rapport a P2 (fig. 252), la force resultante est dans ce plan, normale a l'axe de rotation; elle passe par le centre d'inertie. En effet, prenons le plan P2 pour plan xOy. A toute valeur x ou y correspondent deux valeurs 6gales et de signes contraires de z avec des masses identiques; on a par suite ~- c -0. D'oui resulte que l'equation (3) du ~ 360 est toujours satisfaite. 362. Autre exemple. - Un triangle isoscele rectangle homogene pesant peut tourner autour de l'axe A horizontal et solidaire de la droite verticale PQ, elle-meme animee d'une PA D B x vitesse angulaire o. Quand l'axe PQ ne tourne pas, le triangle repose par le / '..: / point C sur l'axe. On demande la vi-!y I / tesse o telle que la pression sur l'axe '-y /aau point C devienne nulle. Appelons a le c6te AB du triangle. Son aire est a2 2; soit m la masse par unite d'aire; le poids applique au C point G est gma2:2. On verifiera immediatement que l'x Q Iz du point G est a: 3. Le moment du Fig. 253. poids par rapport a Oy est done gma3: 6. Evaluons le moment de la force centrifuge par rapport au m6me axe. La masse de l'element dxdz est mdxdz; la force centrifuge est mo2xcdx dz; le moment de cette force par rapport a Oy est (au signe pres): mo2xz dx dz. Le moment total est done: mo2- xz dx dz =- 2 2x dx = - (a x)2x dx. Egalons les deux couples, il vient: gma3 mo2a" 6 - 24- o 2:a On voit encore ais6ment que la r6sultante des forces centrifuges ne passe pas par le centre d'inertie. Elle passe plus haut.

Page  371 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 371 En effet, la somme des forces centrifuges est la meme que si toute la masse etait concentree au centre d'inertie. Elle est done ma2 a ma302 2 *3 6 Si elle passait. par le centre d'inertie, son moment par rapport I Oy ma32 a mno2a4 serait: 6 3 6 '3 18 Or nous avons trquve un resultat qui n'est que les 3/4 de celui-ci. 363. Corps dynamiquement equilibre6s - Les propositions precedentes ont une importance capitale; elles expliquent le soin qu'il faut prendre, d'equilibrer par rapport a 'inertie tous les corps qui doivent tourner autour d'un axe qui n'est pas materiellement fixce. Par exemple un corps oscille sous l'influence de l'lasticite de torsion d'un fil auquel il est librement suspendu et qui produit un couple horizontal. Pour que tout se ramene a un mouvement de rotation autour du fil, il faut, non seulement que le centre de gravite soit dans le prolongement du fil, ce qui est automatiquement obtenu (au moins tres approximativement, si le fil n'est pas trop raide), mais encore que la verticale du fil soit un axe principal d'inertie du centre de gravit6. Si cette condition n'est pas realisee, le mouvement se complique immediatement d'oscillations pendulaires. Memes remarques quand un aimant oscille sous l'influence du champ terrestre. Le moyen le plus simple de realiser les conditions est de donner au corps oscillant une forme de revolution et de s'arranger de maniere que l'axe de revolution soit vertical. Ce procede n'est evidemment pas toujours applicable, comme le prouve l'exemple de l'aimant. I1 faut 6quilibrer par rapport a 'inertie un corps tournant tres vite autour d'un axe meme materiellement fixes, si l'on ne veut pas que les pressions sur l'axe le faussent rapidement, ou produisent des frottements trop consid6rables. I1 faut s'arranger de maniere: 1~ que l'axe de rotation passe par le centre d'inertie et soit un axe principal d'inertie; 20 que les forces motrices se reduisent a un couple normal a l'axe. Volants. 364. Position du probleme. - Supposons une machine parvenue a l'6tat de regime; elle est animee d'un mouvement p6riodique. Puisque la vitesse de toutes les pieces redevient la meme au bout de chaque p6riode, les travaux s'equilibrent pour une p6riode; on peut dire que, dans cet intervalle, la somme des travaux positifs dus aux puissances balance la somme des travaux negatifs dus aux resistances.

Page  372 372 D YNAMlIQ UE Mais cette egalite n'ayant generalement pas lieu a tout instant, les vitesses des diverses pieces ne sont pas constantes; elles ne le redeviennent que periodiqiaement. Les volants servent a limiter l'amplitude des variations. Le volant est donc une piece d'un moment d'inertie suffisant et animee d'une vitesse de rotation Q assez grande pour que les moindres variations de la vitesse correspondent a un gain ou a une perte notable d'energie cinetique. L'6nergie cinetique a pour expression: W= - IQ2; d'oui: AW- IQ. A -- )IQ2. Nous posons AQ= ); )X est le coefficient de regularisation. I1 signifie que nous ne tolerons pas entre la vitesse maxima et la vitesse minima une plus grande difference que la fraction A de la v fr7 yV?y?7X A E B -J^j / ^^T^~ vitesse de regime. Ceci pose, representons (fig. 254) les travaux en fonction du temps. Le travail pendant le temps dt est d=-y- dt. Nous obtenons deux courbes, l'une pour la puissance, l'autre pour la resistance. Dans le temps OT representant la periode, les _7rws deux sommes de travaux doivent etre 6gales, ce qui implique l'egalite des aires OEFCGT et OABCDT. 0 T I Fig. 254. Pendant une partie Oy -T de la p6riode, les travaux resistants l'emportent; la compensation se fait pendant l'autre partie. La vitesse est maxima aux temps 0, T et generalement /kT; elle est minima au temps T, + —T, et g6enralement - kT. Ecrivons que la variation de vitesse du volant compense precisement le travail S repr6sente par l'une ou l'autre des aires egales EABCF, CGD. I1 vient la condition: XIQ2-S. A la verite, toutes les pieces mobiles de la machine servent plus ou moins de volant; nous realiserons done a fortiori la regularite exigee, si nous ne tenons compte que des variations de vitesse du volant seul. Nous pouvons meme, sans erreur sensible, reduire le volant a un anneau et ne pas tenir compte des bras qui relient cet anneau a l'axe. Soit alors M la masse du volant, R le rayon moyen de l'anneau; on a la condition: k)2^MR2 - S.

Page  373 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 373 Dans le systeme du kilogrammetre, il faut ecrire AQ2MR2 - gS. Montrons par quelques exemples comment s'applique la theorie generale. 365. Manivelle unique a simple effet. - On se reportera au ~ 157. Par hypothese, une force constante F est appliquee a la bielle; c'est la puissance. La machine etant a simple effet, elle ne travaille que la moitie du temps. Pendant un tour son travail est done 2rF. C Par hypothese, un couple constant r est applique a l'arbre 0 D/.. F (resistance); pour une p6riode (tour) son travail est 27r (fig. 255). E A Le regime une fois atteint, les travaux se balancent pour chaque periode: C =2rF = 2,r. (1) Fig. 255. Cherchons pour quelles positions du systeme les travaux elementaires sont egaux. Nous devons ecrire que les forces se font 6quilibre. La condition est: Fr sin- F, (2) en negligeant le carre du rapport 1: r devant l'unite. D'oi en vertu de (1): sin a- 1: r, ac- 180331, a 6 16127'. Quand le bouton de la manivelle parcourt l'arc BCD, la vitesse passe de son minimum en B, a son maximum en D. Les travaux sont entre a, et.2, pour la puissance: Fr /2 sin a da Fr (cos c, - cos 22)= 2FR cos a; pour la resistance: r(a,-o)2)=2r(j- i). La diff6rence des travaux est: S 2Fr cos a - 2F - a - cosa - + ] = 0,552.. D'oui la condition de regularisation:?)Q2MR2- 0,552. gS. Evaluons la vitesse Q par le nombre n de tours par minute, le travail G par tour d'apres la puissance 9 en chevaux-vapeur Q a ' n6 n2-.60, '? 75 60 -

Page  374 374 D YNAMIQ UE La formule devient: MR - 222.10~6. La solution precedente est tres mauvaise. Nous ne l'avons traitee que comme exercice. I1 ne viendrait a l'idee de personne d'utiliser une machine a manivelle unique et a simple effet. 366. Manivelle unique a double effet; manivelles multiples. - La periode du phenomene est maintenant un demi-tour. Ecrivons que les travaux de la puissance et de la resistance se compensent pour un demi- tour: - 2rF = 7r. Cherchons pour quelles positions du systeme les travaux elementaires sont egaux: Frsin a —, sin a 2: x, -- 39032', a2 =40 28'. On a comme plus haut: S 2FR cos a,-2 2 -) cos 1 -l + 1, S - 0,210. G, )Q2MR2 -0,2210. g;. G represente le travail par demi-tour. Si on introduit le travail par tour, il vient: ),Q2MR2= 0,105. gy. Comme plus haut; exprimons la vitesse Q par le nombre n de tours par minute, le travail par tour au moyen de la puissance en chevauxvapeur. La formule devient: MR2 0,424. 106.~. On calcule aisement, d'apres les memes principes, les volants necessaires pour une manivelle double et generalement pour une manivelle multiple (~ 158). Le tableau suivant contient les resultats. Posons: MR2 - K: Xn3. Manivelle unique double triple quadruple K 4240. 4102 424.102 84. 102 1. 102 Toutes choses egales d'ailleurs, le moment d'inertie du volant necessaire a la regularisation est dix fois moindre avec une manivelle double qu'avec une manivelle unique. 367. Construction des volants. - Le coefficient ) de regularisation est ordinairement compris entre 1/20 et 1/40. Pour les filatures par exemple, et dans les industries ofi la regularite est absolument necessaire, on va jusqu'a 4/60. Le volant est ordinairement constitue par un anneau de fonte relie

Page  375 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 375 a l'axe par des bras de meme metal. S'il est de petites dimensions, il est obtenu d'une seule piece; sinon il est constitue par plusieurs pieces reunies aussi solidement que possible. Le danger des volants est l'eclatement. Ils doivent en effet resister a la force centrifuge dont l'expression est mQ2R, pour une masse m. Elle agit de deux manieres. Si l'anneau est d'une seule piece, elle tend a en ecarter les parties et a distendre l'anneau tangentiellement; elle tend a rompre les bras, si l'anneau est fait de plusieurs morceaux lies a ceux-ci. Nous retrouverons ces questions comme application de la Theorie de l'llasticite dans la Mecanique physique. Reulateurs. 368. Regulateur de Watt. -Un arbre vertical entraine deux tiges articulees en B et C et pouvant se deplacer dans un plan passant par l'axe (fig. 256). Elles portent deux masses metalliques egales, generalement sph6riques; elles sont reliees par des tiges articulees, 6gales, a B c un manchon M qui peut glisser sur l'axe. Quand les boules se deplacent dans le plan verti- A D cal, le manchon se deplace lui-meme le long de l'axe. I1 entraine un bouton ter-/ \EF ninant le levier NP qui 0 peut tourner autour du point O dans le plan de la P figure. On con~oit l'utilisation du deplacement d'un point P de ce levier pour Fig. 256. produire une operation quelconque (ouverture ou fermeture d'un robinet, rupture d'un courant electrique,...). Cherchons les conditions d'equilibre quand l'appareil est anim6 d'une vitesse angulaire uniforme co autour de l'axe vertical. Si nous n6gligeons le poids des tiges devant celui des masses spheriques, la theorie est tres simple. I1 suffit d'ecrire que la pesanteur et la resultante des forces centrifuges donnent une resultante dans les directions BA ou CD. Ces deux forces sont appliquees aux centres des spheres (~ 361).

Page  376 376 D YNA.HIll Q UE Soit 1 la distance du centre des spheres aux articulations superieures (que nous supposerons coincider avec l'axe); on a 1o)2 sin 7c F = -r m2l sin 2, P mg; tg Z - d'ou enfin: cos a -. 27 I cos a Posons: o -; on peut ecrire: T 2 \/ Les boules ne commencent a s'ecarter de l'axe que si cos a est reel, c'est-a-dire <. I1 faut que la vitesse angulaire soit sup6rieure a: 9 g la periode est alors T- 2i/. A mesure que la vitesse angulaire croit au-dessus de cette limite inf6rieure, cos a decroit, a croit. A cause des proprietes du cosinus, la periode demeure tres sensiblement la meme tant que a reste petit. L'angle a etant une fonction de o, il en est de neme de la position du manchon et par suite d'un point P quelconque du levier qu'il commande. On conqoit que le deplacement du levier ferme plus ou moins le robinet d'admission de la vapeur dans une machine a vapeur, introduise une resistance electrique dans le circuit de la dynamo qui conduit l'appareil, agisse sur un frein qui, absorbant de l'energie, reduise automatiquent la vitesse. 369. Regulateur parabolique; solution de Farcot. - Le regulateur de Watt est tres imparfait. 11 ne peut agir sur les organes de regulation dont nous venons de parler, que si l'ecart des boules varie, et par consequent si la vitesse est modifiee ce qui est contradictoire dans un regulateur. Bien avant Watt, lluyghens avait indique le principe d'un appareil tel qu'une masse mobile d6crive toute sa course pour une variation insignifiante de la vitesse angulaire. Cherchons sur quelle courbe doit se deplacer un mobile pour qu'il soit en equilibre dans toutes les positions, sous l'influence de la pesanteur et de la force resultant d'une certaine vitesse angulaire o. I1 faut ecrire que la resultante de la force centrifuge et de la pesanteur est constamment normale a la courbe, ou, ce qui revient au meme, que le travail virtuel de ces deux forces est nul: mo2xxm: dx- mg dy d 0, o0x2 = 22gy. Le mobile doit decrire une parabole d'axe vertical (fig. 257). La solution theorique prec6dente est difficilement r6alisable. Elle consiste a suspendre les masses par des lames elastiques s'appuyant sur la d6veloppee de la parabole. Ce n'est pas pratique.

Page  377 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXEI 377 Farcot eut l'idee de maintenir le mode ordinaire d'articulation, en plagant les axes d'articulation notablement en dehors de l'axe de rotation. Les tiges portant les boules sont croisees (fig. 258). I1 est aise de comprendre ce qu'on obtient par cet artifice. Soit j.v (fig. 257) la partie de la parabole qu'on veut utiliser. Aux points,. et v correspondent les centres de courbure M et N. Par un point O intermediaire menons l'axe de rotation: la circonference de centre 0 et qui passe par les points j, et v, se confond tres approximativement avec lare de parabole entre ces points. et v. Si la vitesse angulaire actuelle est inf6rieure ou superieure la / / Fig. 257. Fig. 258. vitesse o pour laquelle la parabole a ete construite, l'equilibre est impossible. Si elle est inferieure, les boules sont au bas de leur course; si elle est superieure, les boules sont au haut de leur course. Le passage se fait brusquement d'une position limite a l'autre. Pour la vitesse o, les boules sont n'importe oui sur le cercle osculateur de la parabole. Cependant il ne faut pas croire que la realisation d'un isochronisme absolu soit desirable. D6s que la vitesse deviendrait legerement superieure ou inf6rieure a la vitesse de regime, le syst6me se deformerait sans jamais rester dans une position d'equilibre intermediaire. Par exemple, le levier ouvrirait en grand ladmission et ne quitterait cette position que pour une vitesse legerement superieure a la vitesse de regime; il irait alors brusquement a l'autre extremite de sa course, supprimant completement l'admission; et ainsi de suite. Ces oscillations brusques de position seraient une cause d'oscillation de la vitesse. Aussi bien les appareils les plus isechrones ne le sont jamais, ne serait-ce qu'en vertu des inevitables frottements.

Page  378 378 D YNA M1 Q UE 370. Regulateurs a ressorts. - Nous ne voulons pas etudier tous les regulateurs; il y en a plusieurs centaines, de constructions differentes; leur discussion est un fatras sans interet. Nous voulons seulement mettre en evidence les principes. Les deux regulateurs, que nous allons decrire, suppriment a peu pros completement l'action de la pesanteur et la remplacent par des ressorts. Etudions l'6quilibre des masses m sous l'action des forces centrifuges et du ressort AB (fig. 259). Nous supposons le ressort completement detendu lorsque l'angle a Fig. 259. est nul; quand l'allongement est x, la tension du ressort deforme est Ex. Nous negligeons le poids des tiges et faisons coincider les articulations avec l'axe de rotation. Quand nous d6formons le systeme, le point d'application de la force centrifuge se d6place de: d(l sin a)-1 cos a d2. Son travail virtuel est done: 2mo21o sin a. I cos a d- 2rml12 sin a cos a da. Lorsque a crolt de dic, 'extremite du ressort B se deplace de x =/21(1 -cos a); dx 21 sin a da. Le travail virtuel est: - Ex dx - E. 412(1 - cos a) sin a da. Ecrivons que la somme des travaux virtuels est nulle: 2E mo2 cos a 2E(I -cos a), cos a 2E - mo

Page  379 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 379 La pesanteur n'intervient pas, quelle que soit l'inclinaison de 'axe sur l'horizon. En effet, quand une des masses monte, l'autre descend d'une quantite egale. Tel quel, l'appareil n'est pas isochrone; a chaque valeur de o correspond un angle l bien determine. 371. Regulateur de Foucault. - Les articulations fixes sont maintenant a la partie inferieure de l'appareil, en B et en C; le manchon M est a la partie superieure (fig. 260). Le paralllogramme articule ABCDFE est un losange et l'on a RA AE, SD_ DF. Quand l'appareil se deforme, les centres d'inertie R et S des boules decrivent une horizontale: la pesanteur est pratiquement eliJ S 1L B I:=J _I.. Fig. 260. minee. Tout se passe comme si les boules glissaient sur une tringle horizontale. La projection horizontale de l'appareil represente le systeme de ressorts qui ramenent les boules vers l'axe. Pour ne rien compliquer, on ne les a pas figures sur la projection verticale; ils sont represent6s par un double trait sur la projection horizontale. Une de leurs extremites est fixee a un bati IJKL rigidement lied l'axe de rotation. On s'arrange de maniere que leur tension soit nulle, quand les boules sont sur l'axe de rotation, a supposer bien entendu qu'elles puissent effectivement prendre ces positions. Quand l'appareil tourne, les boules sont sollicitees par deux especes de force qui sont les unes et les autres proportionnelles a la distance r

Page  380 380 D YNA MIQ UE des points R et S a l'axe de rotation. Appelons E la constante de l'ensemble des ressorts. L'equation d'equilibre est: 2mrnx2= Er, 2mo -E. (1) La position des boules est indeterminee quand l'equation (1) est satisfaite; l'equilibre est indifferent. Le regulateur est isochrone; pour peu que la vitesse soit inferieure ou superieure a la vitesse determinee par l'equation (1), les boules viennent le plus pros possible de l'axe ou sont rejetees a l'autre extremite de leur course. La theorie de l'appareil se complique du fait que le manchon est pesant et surtout qu'il doit conduire un appareil regulateur proprement dit. 372. Manipulation. - Voici une experience tres instructive. Une boule est enfilee F; — A B_ 1A sur une tringle AA a laquelle on peut donner Iv un mouvement de rota< -_ < - tion autour d'un axe vertical V, au moyen E j /" ^ _\ E ~ d'une poulie P entrai~~~~D! ~ \ nee par un petit moteur electrique (fig. 261). A. A, On linmite la course de c \ EXi la boule par des goujons F qui entrent dans Fig. 261. la tringle. La boule est tir6e (voir la projection horizontale) par des ressorts figures en doubles traits. On peut deplacer les extremit6s C des ressorts, extr6mites fixes par rapport a la y, tringle, en modifiant la position de la cou/ /37 /g lisse D. Elle est ren~/ / / ~due solidaire de la tringle par une vis de pression v. / / / -' Representons (fig. /-/,/ /..-'" 262) les tensions des /,',/ - ^-/ ressorts et la resultante -/, ^ — '" /~ ~de la force centrifuge 2_' 62_/.-/ _ - - en fonction de la dis7? 0 P r tance r a l'axe. Fig. 262. La droite representative des tensions a la meme inclinaison, quelle que soit la position de la coulisse D; le

Page  381 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 381 deplacement de la coulisse la transporte parallelement a elle-meme. Nous avons represente trois droites y', y, y", qui supposent: y', que le ressort ne commence a 6tre tendu que si la boule est deja a une certaine distance rO de l'axe; y, que le ressort est juste detendu quand la boule est sur l'axe; y", que le ressort est alors deja tendu. La droite Y, figurant la force centrifuge, passe toujours par l'origine. Son inclinaison varie proportionnellement au carre de la vitesse angulaire. Ceci pose, installons un goujon F de maniere que le centre de la boule ne puisse venir a une distance de l'axe moindre que p; augmentons progressivement la vitesse. PREMIER cAS. y'- E(r- ro), Y =- mnr. L'6quilibre a lieu pour: Er0 y' —Y; r7 —co I1 existe une position r d'equilibre stable, a la condition que mo2 <E; ce qui revient a dire que les deux courbes y' et Y se coupent. On a necessairement r> r0. L'equilibre est stable parce que, pour toute position de la boule plus rapprochee de l'axe, c'est la force centrifuge qui l'emporte; elle eloigne la boule de l'axe. Pour toute position plus eloignee, c'est le ressort qui lemporte; il rapproche la boule de l'axe. Done pour une certaine vitesse (00 telle que: mcop E(p -r), la boule cessera d'appuyer sur le goujon F. Pour toute vitesse supdrieure a o)0, mais restant inf6rieure a Q -— E: m, il y a equilibre stable. La position d'equilibre passe a l'infini pour co=Q. SECOND CAS. y - Er Y - mO2r. Ce cas est etudie au paragraphe precedent. L'equilibre est indifferent pour co -=Q. I1 n'existe du reste que pour cette valeur de la vitesse angulaire. TROISIEME CAS. Er1 y'-=E(r r), Y - mo2r; r - mE I1 ne peut y avoir equilibre que si > Q. Mais l'equilibre est toujours instable. En effet, pour toute position de la boule plus rapprochee de l'axe, c'est la tension du ressort qui l'emporte et qui rapproche encore la boule davantage; pour toute position plus eloignee, c'est la force centrifuge. Done, pour une certaine vitesse w, la boule cessera d'appuyer sur

Page  382 382 D YNAMIQUE le goujon. Pour toute vitesse superieure, elle viendra buter contre le support de la tringle, prenant la plus grande valeur de r compatible avec la construction de l'appareil. Si nous diminuons alors la vitesse, la boule reste appuyee sur le support jusqu'a ce que la vitesse ait suffisamment decru; brusquement alors la boule se decolle; elle se rapproche autant que possible de l'axe. 373. Regulateur a anneau. - Le r6gulateur a anneau (fig. 263) consiste en un anneau de fer qui peut tourner autour d'un de ses diametres. Celui-ci est fixe normalement a l'arbre qui l'entralne dans sa rotation. Un ressort tend a coucher l'anneau sur l'arbre; la force centrifuge tend a amener son plan normalement a l'arbre (~ 360). Fig. 263. Fig. 264. Cherchons les conditions d'equilibre. Pour ne pas nous livrer a des calculs penibles et sans interet, nous reduirons lanneau a sa circonference centrale. Prenons l'axe Oy comme diametre entraine, l'axe Ox comme axe de rotation (fig. 264). Cherchons le moment des forces centrifuges par rapport a Oy; il mesure le couple qui tend a placer l'anneau normalement a l'arbre. Reperons les points A de lanneau par l'angle 3 que fait le rayon vecteur OA avec le diametre OB normal au diametre entraine. Soit m la masse de l'anneau par unite d'angle. La force centrifuge sur l'el6ment de masse md, est: md3. o2. AC. Comme nous cherchons son moment par rapport a Oy, decomposons-la en deux composantes proportionnelles a CB et BA; negligeons BA qui est parallele a Oy. Le moment de la force centrifuge de l'6elment considere est donc: dC — md. oG CB. OC.

Page  383 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 383 Soit r le rayon de l'anneau. On a: OB = r cos ~, CB = r cos F sin a, OC - r cos ( cos a. 2dC nm)2r2 sin 2 a. cos2 d. dc. Pour avoir le couple total, il faut integrer entre les limites ~=0,:=2~: C - m()2r sin 2- = K sin 2a. Le couple du aux forces centrifuges est represente par une demisinusoide, en fonction de l'angle a que fait avec l'axe de rotation Ox leplan de l'anneau (fig. 265). Le couple est nul pour a =0, a -: 2. Quand co croit, la sinusoide grandit. Nous l'avons representee pour deux valeurs de la vitesse. Supposons le couple du au ressort antagoniste represente par une droite en fonction de l'angle a. Pour E nous limiter au cas usuel, posons que le ressort est / \ encore tendu quand l'an- 0 r:2 neau est couche sur l'arbre. Usons du meme mode de Fig. 265. representation qu'au paragraphe precedent; il est facile de discuter les conditions d'equilibre. L'6quilibre n'est possible que si la vitesse est suffisante pour que la sinusoide soit tangente a la droite. Pour toute vitesse inferieure, l'anneau reste couchd sur l'arbre. Pour les vitesses superieures, la droite des tensions et la sinusoide des forces centrifuges se coupent en deux points: d'ou deux positions d'equilibre. Celle qui correspond au plus petit angle a, est instable; l'autre, qui correspond a l'angle 02, est stable. En effet, pour a < a, c'est le ressort qui l'emporte; pour tout angle a tel qu'on ait a2> > ai, c'est la force centrifuge; enfin pour ac>a2, c'est encore le ressort. 374. Tachymetres. - On appelle tachymetres des appareils destines a mesurer la vitesse angulaire d'un arbre. Il est clair que tous les regulateurs precedents peuvent etre transformes en tachymetres, a la condition qu'ils ne soient pas isochrones. Les appareils ouf la pesanteur intervient ne peuvent servir que si l'axe de rotation a une position determinee, verticale ordinairement.

Page  384 384 D YNAMIQ UE Les appareils qui utilisent les ressorts ne presentent pas cet inconvenient. La grande difficulte consiste a obtenir un appareil d'un reglage industriel facile, c'est-a-dire dont la graduation soit simple. Ce n'est pas le cas des appareils precedents. Reprenons par exemple celui du ~ 370; fixons un repere sur le levier qui est mu par le manchon, et determinons la vitesse par la position de ce repere le long d'une graduation. On a: x 2E x - 21(1 - cos C), cos I- -2E- 21 2E -t- m'' Le deplacement du manchon est tres loin d'etre proportionnel a la variation de la vitesse. Les tachymetres usuels sont souvent fondes sur des principes tres differents. Par exemple, une petite dynamo, mue par l'arbre dont on veut mesurer la vitesse, envoie son courant dans un amperemetre. On peut faire en sorte que l'intensit6 soit proportionnelle a la vitesse; d'oui une mesure de celle-ci. On a l'avantage d'utiliser ainsi des appareils de construction courante (voir aussi ~ 476). 375. Regulateurs d'absorption. - On appelle regulateurs d'absorption ou de destruction des appareils qui detruisent l'excedent de travail moteur. En geB. B r 'T. X neral ils accroissent un frottement. Nous avons deja renconLE- - r.* e-I~ ~tre, sous le nom de regulateur B \ B a ilettes (~ 356), un tel appareil. Dfcrivons quelques dispositifs plus rationnels. L'un des plus employes est du' a Foucault (fig. 266). Un regulateur a ressort isochrone, analogue a celui du ~ 371, porte deux ailettes qui s'ecartent de Fig. 266. l'axe, lorsque la vitesse depasse une certaine valeur. Pour des vitesses notables, le couple dui au frottement sur l'air croit a peu pres comme le carre de la vitesse lineaire, et par consequent, pour une vitesse angulaire donnee, a peu pres comme le carre de la distance a l'axe du centre de surface des ailettes. Une petite bielle BB oblige les deux ailettes a s'ecarter de l'axe symetriquement. La figure 267 represente schematiquement un dispositif qui utilise le frottement de deux solides. L'axe entraine un regulateur a ressort analogue a celui du ~ 372. Ie cylindre AB est fixe. Si la vitesse

Page  385 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 385 depasse une limite, le mobile M frotte contre la surface interne du cylindre. Un goujon D maintient l'avant du mobile toujours tres pres de cette surface. A, A B X B Fig. 267. Quand on utilise un regulateur d'absorption, il faut naturellement que le travail moteur soit en exces sur le travail resistant de regime. 376. Regulateurs d'acceleration. - Les appareils precedents sont des regulateurs de vitesse; pour qu'ils fonctionnent, il faut que la vitesse se soit plus ou moins ecartee de la vitesse de regime. IIIII 111111III1lllllllll On peut construire des r6gula- / teurs dits d'acceleration, qui obeissent, non plus a des variations de vitesse deja realisees, mais a des tendances a la variation de vitesse. Pratiquement, ( on reunit dans le meme appareil les deux principes. La figure 268 represente un dispositif simple. Le regulateur, analogue a celui de Watt, n'a plus aucune articulation invariablement liee a l'axe. Le manchon est filete ainsi que l'axe. La partie superieure du regulateur est un volant qui repose sur l'extremite de l'axe, a frottement plus ou moins dur. Supposons d'abord que le re- Fig. 268. gulateur et l'axe aient tous deux la vitesse de regime. Brusquement ralentissons l'axe qui tourne, par hypoth6se, dans le sens de la fleche. L'inertie du regulateur le force a continuer son mouvement; d'apr6s le sens d'enroulemient du filet, Cours de Physique. - H. BOUASSE. 25

Page  386 386 D YNAIAMIQ UE on verifiera que les boules descendent. Le ralentissement de l'arbre joue exactement le meme role qu'une diminution realisee de vitesse. Ce serait l'inverse, si brusquement laxe accelerait son mouvement; le regulateur retarderait sur laxe, d'ou e6levation des boules. Les frottements tendent a egaliser les vitesses entre le regulateur et l'arbre. Quand les accelerations sont petites, le regulateur reprend son role habituel de regulateur de vitesse; les boules tombent si la vitesse est au-dessous de la vitesse de regime; elles s'elevent dans le cas contraire. EIquilibre des machines. Dans les paragraphes suivants, nous traitons rapidement une question pratiquement tres importante, dont la premiere partie aurait pu trouver place dans le Chapitre I (~~ 298 et sq.) t propos du mouvement du centre d'inertie, mais dont la seconde necessitait la connaissance des proprietes du mouvement autour d'un axe. I1 s'agit d'6tudier l'effet des d6placements alternatifs ou circulaires de masses sur la stabilite des machines, par suite d'expliquer les trepidations des machines fixes et les mouvements oscillatoires des machines mobiles telles que les locomotives. 377. Deplacements du centre d'inertie. - Quand un systeme n'est soumis qu'a des forces interieures, nous savons que son centre d'inertie decrit une droite avec une vitesse constante ou nulle. Si le centre d'inertie ne se deplace pas suivant cette loi, il existe surement des forces exterieures. Ceci pos6, consid6rons une locomotive se mouvant en alignement et d'un mouvement noyennenment u uiforme. Le travail du a la vapeur compense done nmoyennement les resistances passives. Mais le piston est anime par rapport au chassis d'un mouvement alternatif; chaque point des bielles d'accouplement d6crit un cercle par rapport au chassis; chaque point des bielles motrices decrit une trajectoire plus compliquee. Le centre d'inertie de la machine ne decrit done une droite d'un mouvement uniforme qu'en moyenne. En realite, il subit des oscillations complexes par rapport a la partie invariable de la machine. Les consequences de ces oscillations sont faciles a prevoir. Si le centre d'inertie de certaines pieces s'abaisse sous l'influence des forces interieures, il faudrait, pour qu'on pit se passer de forces exterieures, que le centre d'inertie d'autres pieces s'elevat. S'il n'en est pas ainsi, il faut que certaines forces exterieures servent a maintenir fixe le centre d'inertie du reste de la machine. Par consequent, la pression de la machine sur le sol diminue.

Page  387 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 387 La conclusion est inverse si certaines pieces s'elevent; la pression de la machine sur le sol augmente. Dans le premier cas, la machine tend a sortir des rails; dans le second, elle tend a les ecraser. De meme, si le centre d'inertie de certaines pieces va vers l'avant de la machine, le centre d'inertie des autres devrait aller vers F'arriere pour qu'on put se passer de forces ext6rieures; comme il n'en est pas ainsi, l'effort que la machine exerce sur le train, diminue. Inversement, si le centre d'inertie de certaines pieces va vers 'arriere de la machine, son effort de traction augmente. Le deplacement des pieces peut ne pas etre symetrique de part et d'autre du plan vertical passant longitudinalement au milieu de la voie; il peut s'effectuer sur lavant ou sur l'arriere de la machine. D'oi la classification des mouvements oscillatoires que les paragraphes suivants elucideront: 3IOUVEMENTS RECTILIGNES TIOUVEMENTS CIRCULAIRES PARALLELES AUX AXES AUTOUR DES AXES Axe longitunal Ox. Recul ou va-et-vient. Roulis. Axe transversal Oz.,. Tangage. Axe vertical Oy. Galop. Lacet. 378. D6placements alternatifs des pieces mobiles. - Cherchons les deplacements des centres d'inertie des pieces suivantes (fig. 125 du ~ 157) 1~ piston avec sa tige de masse P totale; 2~ bielle motrice de masse B; le centre d'inertie G est a la fraction b de la droite AB a partir de A; 3~ manivelle et bouton de masse totale m; le centre d'inertie est a la distance r1 de l'axe 0; 4~ bielle d'accouplement de masse A (~ 223); les axes d'accouplement sont a la distance r2 de l'axe 0. Nous supposons le corps de pompe horizontal et prenons l'axe Ox dans le sens OB, l'axe Oy vertical. Les coordonnees du point A sont: x' Rcos, y'- Rsin a. Le point B a pour abscisse: XRCOS + -- Scos 2 s, x- ~R cos a I- 1 ~ — -sin2 a R cos + 4 — l-2 sin' 2, a la condition que le rapport R: I ne soit pas trop grand. Le point G a pour coordonnees hR2 (t - b)x' - bx - R cos -- bl - O~ sin2 a, (1 - h)y'= (' - b) R sin c.

Page  388 388 D YANAMIQ UE Les coordonnees 5, -a, du centre d'inertie des pieces mobiles sont proportionnelles aux sommes des produits des masses des diverses pieces, par les coordonnees de leurs centres d'inertie respectifs. Ecrivons ces produits, en laissant de c6te les quantites constantes qui n'ont rien a voir dans le probleme actuel; ne conservons donc que les termes fonctions de a: 12 [mr1 -A- Ar, + (P + B)R] cos a - - (P + Bb) sin2 a, [mr, ~ Ar +- BR (1 - b)] sin c. Telles sont les parties variables des produits iJ,, -q, des coordonnees du centre d'inertie des pieces mobiles par la masse p. totale de ces pieces. Le double signe correspond aux deux manieres differentes dont on cale habituellement la manivelle d'accouplement. Pour le signe -, l'un des axes extremes de la bielle d'accouplement est le bouton meme de la manivelle; pour le signe -, cet axe est diametralement oppose a la manivelle. Generalement on utilise le premier mode de calage. Remarquons que la periode du terme en sin2 a est moitie moindre que la periode des termes en cos a et en sin a; cette derniere est un tour de roue, la premiere est un demi-tour. 379. Emploi du contrepoids. - Le deplacement du centre d'inertie est done notable et, comme les mouvements sont rapides, il en resulte des variations considerables de la pression sur les rails (equilibre vertical insuffisant) et de l'effort de traction (equilibre horizontal insuffisant). Pour pallier ces inconvenients, on utilise le contrepoids (fig. 125). C'est une masse considerable, venue de fonte avec la roue et placee sur le rayon oppose a la manivelle. On introduit ainsi le meme terme negatif dans les coefficients de sin a et de cos a: tout se passe comme si une bielle d'accouplement de masse convenable etait cale l'oppose de la manivelle. Nous diminuons ainsi consid6rablement les coefficients de sin a et de cos y; mais nous ne pouvons annuler que l'un ou l'autre de ces coefficients. I1 n'est done pas possible de realiser simultanement l'equilibre horizontal et l'equilibre vertical, d'abord h cause du terme en sin2 ' dont la p6riode est un demi-tour (nous allons voir grace a quelle circonstance il disparait), ensuite a cause de l'inegalite des coefficients de sin a et de cos a. On prefere de beaucoup sacrifier l'6quilibre horizontal; Fleffort de traction varie periodiquement, il y a recul ou va-et-vient. L'equilibre vertical est indispensable pour 6viter le galop et par suite les deraillements.

Page  389 CORPS TOURNANT AUTOUR D'UN AXE 389 Nous ne tenons compte dans ce qui precede que d'un cote de la machine. Nous savons (~ 158) que pour regulariser la traction, on utilise deux manivelles calees a angle droit. Nous aurons done les deplacements du centre d'inertie des pieces qui sont de l'autre cote de la machine, en remplaqant a par a —7:; 2, c'est-a-dire sin c par cos, cos par -sin a, sin2 a par cos2 a. Mais on a: VW2 (co sin ) s + (sin +os ) sin ( ). Les termes en cos a et sin a conservent done la meme forme. Au terme en sin2 a s'ajoute un terme de meme coefficient en cos2 a; d'oui un terme constant dont 'effet est nul. Ainsi nous n'aurons plus a tenir compte du terme dont la periode est un demi-tour. Quant aux deux autres termes, le contrepoids nous permet de les diminuer tous les deux et d'annuler l'un ou l'autre. 380. Mouvements oscillatoires circulaires. - Quand un systeme n'est soumis qu'a des forces interieures, ou quand les forces exterieures ont un moment total nul par rapport a une droite, nous savons (~ 300) que la somme des produits de chaque masse, par la projection, sur un plan normal a la droite, de Faire balayee par un rayon vecteur, partant d'un point quelconque de la droite et aboutissant a la masse, varie proportionnellement au temps. Menons trois axes: l'axe longitudinal Ox parallele a la voie et passant par le centre d'inertie moyen de la machine, l'axe vertical Oy, enfin l'axe transversal Oz perpendiculaire aux deux autres. Cherchons quelle est la somme des projections sur les plans coordonnes des produits de chaque masse par laire balay6e par un rayon vecteur allant de l'origine a la masse consideree. Elles ont pour expressions: m y dt - dt i~ n -7 v / dx dz \ _ dx zm~z 2dt x dTt M zclt vm /_ dy dxr\ Im x dt Y dt 1 puisque les pieces se deplacent dans des plans parallbles a xOy. ROULIS. Supposons que la quantit: dy d v TI d -t it 'maz Y ne soit pas constante, mais varie periodiquement. I1 resulte de cette hypothese que le couple autour de Ox (axe longitudinal) n'est pas

Page  390 390 D YNA MIQ UE nul, mais est une fonction periodique du temps. La machine oscille done autour de sa grande dimension: c'est le mouvement de roulis. Pour calculer Imzy, les pieces mobiles etant relativement plates, nous pouvons multiplier le ~my qui correspond h la piece par le z de son centre d'inertie, c'est-a-dire par la distance de ce centre a un plan vertical passant par le milieu de la voie. Nous obtiendrons done pour l'ensemble de la machine un terme: [mr1z, _ Ar,z2 + BR(1 - b)z,] (sin a - cos a). Les contrepoids introduiront dans le crochet un terme negatif multiplie par la distance Z de leur centre d'inertie au plan xOy. Il resulte de cette arbitraire Z que nous pourrons simultanement satisfaire h la condition d'6quilibre vertical (~ 379) et supprimer le roulis. La place de la projection des contrepoids sur le plan xOy etant determinee, il suffira de les eloigner convenablement de ce plan. LACET. Pour qu'il n'y ait pas d'oscillations autour de l'axe vertical Oy (lacet), il faut que: mz dx - d mzx - 0, Imzzx Constante. Le lacet a done une cause analogue a celle du va-et-vient. On peut l'annuler, mais en sacrifiant l'equilibre vertical. Nous n'insistons pas sur le detail du calcul qui est identique au precedent. Nous laissons aussi de cote le tangage comme trop complique. 381. Resonance. - Tous les mouvements que nous venons de considerer, etant alternatifs et sinusoidaux, exigent pour se produire des accelerations elles-memes sinusoidales. Il est facile de voir, en differentiant deux fois sin (ot, que la grandeur des reactions est proportionnelle au carre de la vitesse angulaire o(2. L'experience montre cependant que les mouvements de la machine sont particulierement desordonnes a une vitesse dite critique, qui n'est pas necessairement la plus grande a laquelle elle soit soumise. Cela tient a ce qu'une partie de la machine est monte sur des ressorts, et possede par consequent une duree d'oscillation propre. Quand la vitesse est telle que la periode des perturbations dues au deplacement alternatif des pieces mobiles, est precisement egale a la periode propre, il y a resonance; les oscillations augmentent beaucoup d'amplitude. Nous reviendrons longuement sur ces phenomenes au Chapitre VII.

Page  391 CIIAPITRE IV PENDULE CIRCULAIRE 382. Pendule; 6quation du mouvement. - Un pendule est un corps de forme quelconque pouvant tourner autour d'un axe horizontal et sounis a la pesanteur seule. On dit parfois qu'un tel pendule est compose, par opposition avec le pendule silmple ou la masse est par hypothese concentree en un point. k Soit I la distance du centre d'inertie a l'axe de rotation, p le poids du corps c' suppose applique en ce point (fig. 269). Pour une elongation 0, le corps est soumis a un couple de moment: 0< r- -pl sin 0 -- C sin. \ 0 Le signe - indique que le couple D B agit dans le sens des 0 decroissants, tend a ramener le corps a sa position A d'equilibre pour laquelle on a: 0 0. L'6quation du mouvement est: d2O dt" -- On effectue immediatement une premiere integration. Appelons 00 l'amplitude, c'est-a-dire l1elongation maxima; il vient: I ( ddt 2C (- cos 0o + cos 0), equation qui resulte du theoreme des forces vives (~ 291). On peut l'ecrire: a /-iCo _ el(0 do d(o2), __fdt_ _ v I -- /2 (- cos 0o + cos 0) Vsin2 (0: 2) -sin2 (0 2) Elle se met sous une forme type au moyen d'un changement de variable. Soit 0 la trace de l'axe, OA la longueur 1.

Page  392 392 D YNA MIQ UE Menons l'horizontale CC' par le point C le plus eleve qu'atteigne le centre d'inertie; nous definissons ainsi un point C'. Sur AC' comme diametre traqons une circonf6rence. A tout point B de la circonference decrite par le centre d'inertie correspond un point B' de la circonference auxiliaire. A tout angle 0 correspond un angle? determine par la verticale EOA et la droite C'B'. Relions 0 et '; on a 0 AD = ( -cos 0) - 21sin2 AC' l ( - cos ) = 21 sin2 2 AD corde AB'. sin (, corde AB'= AC' sin o, AD AC' sin2. 00 D'ou: sin- 2- sin2 - sin 2. Quand 0 varie de - 00 a + 00, l'angle o varie de -: 2 a -+-: 2. Substituons? a 0. Le temps mis pour aller de A a B est fourni par l'equation: 1/ 2/- nsin2- sin Posons sin -2=k; k s'appelle le module. La periode vaut quatre fois le temps necessaire pour aller de A a C, point pour lequel O: 2. Elle a done pour expression T -4i/ z /^ —l k sin2' o 383. Petites amplitudes. - Pour de tres petites oscillations, on a: k -0, T 2 \ Les oscillations ont une periode ind6pendante de l'amplitude: on dit qu'elles sont isochrones. Si les oscillations ne sont pas assez petites pour que k soit negligeable, on developpe le denominateur en serie en se bornant aux premiers termes. On a par la formule du binome: (1- -k sinr 0) 2 1 + 2 k2 sin2 o + -2- k4 sin, o +,.. Une formule connue donne -r 2 (sip2P 1.3.3... (2p-l) (sin ()2" d- 2. 4.6... 2' 0o 2

Page  393 PENDULE CIRCULAIRE 393 D'ou enfin T= \/ [+( +( -) I+(..6 +... Si k est petit, on peut le remplacer par 0: 2. D'ou le developpement usuel: T 27\/l- + L2+ 1 384. Manipulation; enregistrement de la loi des petites oscillations. - L'oscillation du pendule est sinusoidale, harmonique ou simple, quand elle est de petite amplitude (~ 337). On peut verifier le fait par l'experience suivante, qui est instructive de bien des manieres. Un pendule entretenu par un mouvement d'horlogerie (il suffit de prendre une horloge comme on en fabrique encore pour la campagne) oscille perpendiculairement au tableau (fig. 270). I1 porte a sa base une plaque c metallique p normale au tableau et percee d'un trou dans lequel est sertie une lentille 1. Un ecran E est perce d'un tres petit trou T qu'on eclaire fortement; l'image de T a travers I se fait en T' sur une P L plaque photographique appliquee contre une lourde plaque metallique P. Celle- T ci est suspendue a la corde C qui s'en- T roule sur un des axes d'un mouvement P d'horlogerie (mouvement de gros tour- E nebroche) r6gle par une ailette. La Fig. 270. plaque est protegee par une boite B percee au niveau de T' d'une large fente horizontale. Sous l'action du poids de la plaque P, le cliche prend rapidement une vitesse verticale constante de quelques centimetres a la seconde. Quand le pendule oscille, l'image T' decrit tres sensiblement un morceau de droite horizontale suivant la loi pendulaire 0 = 0 sin ot, - T I 27. On enregistre done sur le cliche une sinusoide. I1 est avantageux de donner au pendule une grande longueur, d'abord pour que la trajectoire de T' soit plus exactement rectiligne, ensuite pour ne pas etre oblige d'imposer au cliche une vitesse verticale trop grande, la duree d'oscillation croissant avec la longueur du pendule, comme nous le verrons plus loin.

Page  394 394 D YNATAIQ UE 385. Grandes amplitudes. - Pour de grandes amplitudes, nous devons utiliser l'integrale elliptique u_ U-Z I - k- sin2 o qu'on appelle integrale complete de premie7re espece; u est une fonction du module k dont on trouvera une table a la fin du volume. On y pose k=sina; o varie de degr6 en degre de 0 a 900. Dans le probleme que nous traitons, on a: k == sin sin -, o - 2a. La figure 271 represente en abscisses les amplitudes 00, en ordon/Rappor/ T To 2,0 -2,i — - 10..,In,, '. o0~ 60~ 120~ lt 0~X0A&fjuie 0o Fig. 271. nees le rapport T: To de la periode T pour 0 00, a la periode To pour la limite 0o=0. Elle montre par exemple que pour obtenir des periodes qui soient 3, 4, 5 demi-fois la periode To, il faut des amplitudes de 133~, 160~ et 171~. L'isochronisme des petites oscillations tient a ce que cette courbe rencontre normaleennt l'axe des ordonnees. Pour 00o -, k i, le rapport T: T0 est infini. C'etait a pr6voir, puisque nous partons d'une position d'equilibre et y revenons sans vitesse. I1 n'y a pas plus de raison pour la quitter que pour y revenir jamais. Le cas est limite et parfaitement irrealisable. La vitesse est maxima au bas de la course, au passage par la ver

Page  395 PENDULE CIRCULAIRE 395 ticale. Sa valeur Q est imm6diatement connue par le theorbme des forces vives: I 0_ H Q2 = C (1 - cos 0) =2C sin2 00 = 2Ck, = 2k c Pour de tres petites oscillations, il vient Q=-4wk: T. Quand le pendule part sans vitesse de la verticale, la vitesse maxima est: = 4: T. 386. Manipulation. - Voici comment on peut verifier les resultats precedents. Un cercle gradue de grand rayon (de 50 centimetres a 1 metre) est dresse verticalement (fig. 272). Autour d'un axe horizontal passant par le centre du cercle tournent deux bras, independamment l'un de l'autre. Le premier B B porte un electroaimant; une vis de pression permet de le / fixer dans un azimut quelconque. L'autre bras B2 est monte sur pivots; il porte une masse de fer M; on repere sa position par rapport au cercle, quand il est maintenu par I I'attraction de l'electro. / Coupons le circuit de l'elec- p tro; le bras B2 tourne autour de son axe. Quand le centre/ d'inertie du corps jouant le c r61e de pendule passe par la nrtre verticale, il pousse la tige Fig. 272. CD qui peut tourner autour de l'axe C et est prise a frottement doux dans la pince metallique P. Le circuit est de nouveau rompu. La duree du quart d'oscillation est mesuree par le temps qui s'ecoule entre les deux ruptures du circuit. Voici comment on peut la mesurer (fig. 273). Un disque 1, d'assez grand moment d'inertie, est solidaire d'un cylindre coaxial r. Si on leche la cordelette C, le cylindre 1 s'appuie sur r (sous l'action de son poids et du ressort b); quand R tourne, il forme avec r une sorte de petit laminoir, et entraine une bande de papier telegraphique dont on voit a gauche le reservoir. La bande passe sur l'arc AB et sous les tire-lignes t.

Page  396 396 D YNAMIQ UE Le lecteur se reportera maintenant a la projection horizontale de la figure. Les tire-lignes t verticaux sont fixes a des bras horizontaux tournant autour d'axes verticaux a. Ils portent les armatures de deux 6lectroaimants et sont ramenes par des ressorts a boudin; ils butent alors sur la piece G. Quand on envoie un courant dans un electro, il se produit un deplacepC ~ ~ ment du trait laisse sur la bande par le tire-ligne correspondant. a t / Ceci pose, voici la - ~ /K Q~ —(9= e marche d'une experience. Un des electros est electriquement relie a une horloge donnant la seconde. Cela signifie que toutes les secondes l'horloge envoie un courant dans l'6lectro. La trace 'G^ 1 ---"~~"~ ~laissee par le tire-ligne correspondant porte des coches qui marquent les secondes. L'autre electro est dans Fig. 273. le circuit de l'appareil repr6sente par la figure 272. On peut le rompre de deux manieres, soit a l'aide du levier L, soit au moyen de la tige CD. Supposons que le courant passe, que la piece M soit maintenue par l'electro et que le disque R tourne sans entrainer la bande. On lache la cordelette C, on coupe le circuit a l'aide du levier: la bande est entrain6e et le poids M tombe. L'electro trace une coche sur le papier. On a le soin de laisser retomber aussitot le levier L; le circuit est de nouveau ferme. Quand M arrive sur la verticale, il pousse le levier CD; d'ou nouvelle rupture du circuit et nouvelle coche sur le papier. La distance sur le papier des deux coches, comparee a la distance de deux coches de la trace de l'autre tire-ligne, donne en secondes le quart de la periode d'oscillation. On ne laisse pas le papier se derouler indefiniment pour ne pas luser inutilement. 387. Rotation continue. - Supposons qu'au passage superieur par la verticale la vitesse ne soit pas nulle. Le pendule tourne alors toujours dans le m6me sens, avec une periode qu'il s'agit de determiner (fig. 274).

Page  397 PEND ULE CIRCULAIRE 397 Puisque la vitesse ne depend que de la hauteur du centre d'inertie, soit C' l'horizontale de laquelle il faudrait lacher le centre d'inertie pour retrouver les vitesses r6elles. Posons: AC' - 21. On a ( — - pl(1 — cos 0) +-2pl (1) C C'est l'equation des forces vives ou la constante est convenablement determinee. E Prenons pour nouvelle variable l'angle:: o 0:2, 1 -cos 0 2 sin2. Enfin posons: k2 =' lo. Le parametre k est done egal a 1, lorsqu'on passe sans vitesse au point E (cas limite du probleme precedent); il tend vers 0 lorsque la vitesse en E tend vers l'infini. L'equation (1) se transforme aisement et A devient: Fig. 274. dt kC do dt v=T/ 1 -/- k2 sin2 o Pour obtenir la duree d'une revolution complete, il faut integrer entre 0 et, 2 et multiplier par 2. On trouve T2 -2 /tk2sino La vitesse angulaire passe par un maximum Q0 au point A, un minimum Q, au point E. L'equation (1) donne aisement 1 I,/c,/ 1 02 Q, 2vT/-. Pour k = 1, on retrouve la valeur precedemment determinee pour Q0. Naturellement, on a Q, =-0. A mesure que k diminue, Q0 et Q2 different de moins en moins; elles deviennent egales et tres grandes quand k tend vers 0. Pour des valeurs suffisamment petites de k, c'est-a-dire pour des vitesses en E assez grandes, on peut developper en s6rie. On trouve immediatement d'apres le ~ 378 T —=,k C 1 ( +...1= 1 +( k2...]. Il est clair que pour une vitesse en A assez grande, les variations de vitesse dues a la pesanteur sont insignifiantes et qu'on a: T=2: Qo0. L'erreur sur la periode est par d6faut, puisque c'est la vitesse maxima que nous utilisons. Le coefficient de correction est donc positif.

Page  398 398 D YNAMIQ UE 388. Tension du fil ou de la tige d'un pendule simple. - Nous nous sommes arranges de maniere a ne pas expliciter les liaisons; il est avantageux parfois de les considerer. Ecrivons les equations en x et z du mouvement d'un pendule simple; nous prendrons l'axe des z positivement vers le bas (fig. 275). Soit G la tension du fil comptee positivement dans le sens OB; ses composantes sur les axes sont: - Cx: l, - z: 1. Les equations du mouvement deviennent: _0, modl+ -mg,= 0. (1) Fig. 275. d2x )X in +, Multiplions-les respectivement par x et z, additionnons: / ddX. d2Z I Des direntiations suc - - cessives donne z = Des differentiations successives donnent: (2) x2 +- z2 12, xdx + zdz - 0; / 21 d z\ | c \,/ z\ 2 2 d- C +te Xz dt tsVtp dt _ 0. Le crochet repr6sente le carre de la vitesse V2; on a done: 1l - mg, gz+ mv2, S= Ing cos 0 m- -. (3) Nous aurions pu ecrire imm6diatement cette relation; en effet mg cos 0 est la projection du poids sur la direction du il; myv 1 est la tension necessaire pour compenser la force centrifuge. La tension est maxima pour 0 0, d'abord parce que cos0 est egal a l'unit6, ensuite parce que la force centrifuge est maxima, la vitesse etant elle-meme maxima. Rempla9ons v par sa valeur tiree de l'equation des forces vives v2 2pl (cos 0 - cos 00), S: g- m (3 cos - 2 cos 00). TENSION 31OYENNE. Calculons la tension moyenne pour une oscillation tres petite. I/ l]lmcf!3\ 3 j02 t 1T s t Tm~ j~l o ) 3d mq _ t | TL + mn [1 + %J _ 3 ^ sin2 ( dt = m7g '1 + ] — 2T~~~~~~~~~~ J

Page  399 PEND ULE CIRCULAIRE 399 La tension moyenne est superieure au poids. Tirons sur le fil; pour elever le poids de -dz;, il faut fournir un travail plus grand que l'accroissement de l'energie potentielle correspondant a cette variation de hauteur. I1 faut done que l'energie cinetique croisse. On se reportera au ~ 417 pour la suite de la discussion. FIL REMPLACE PAR UNE TIGE RIGIDE. Reprenons les notations du ~ 387. On a my= - - 2mgl (1 -cos 0) + 4,nglo, mg [3 cos 0 — 2 -410: '!. Si 1I est assez petit et 0 assez grand, G peut etre negatif. C'est evident a priori, car la tige supporte alors le poids qui se trouve audessous de l'horizontale Ox. Si la vitesse est assez grande (1I assez grand), G est toujours positif; la tige est toujours tendue. 389. Reaction de l'axe d'un pendule compose. - Reportonsnous au ~ 358, et remarquons que la rotation se fait actuellement autour de l'axe des y. Les moments L et N sont nuls. On peut admettre, comme condition ordinairement realisee par construction, que laxe de rotation est principal d'inertie pour l'origine des coordonnees, origine que nous choisissons sur la verticale du centre d'inertie pour le pendule au repos. Les reactions X2 et Z, sont done nulles. Le probleme se ramene a calculer les reactions XS et Z1 de l'origine. Nous appellerons - S le vecteur dont X1 et Z1 sont les composantes. On a: r1 = sin0, 1= cos0. Les equations (2) du ~ 358 deviennent d2 - jl sinO Q; cose -0 c —,j. sin 0 dt =X, -, sin d2 - u, l cos 0 ( dt --- j + Zi. Multiplions ces equations respectivement par sin 0 et cos 0; additionnons - (X sin -0 Z, cos 0) = = g cos 0 + i-) C'est l'equation (3) du paragraphe precedent, puisque u. designe la masse totale. On a en effet: X, - - ( sin 0, Z1 - - cos 0; X, sin 0 j+ Z cos 0 - '. 390. Axe de suspension et axe d'oscillation - Soit I' le moment d'inertie autour d'un axe parallele a l'axe de rotation et pas

Page  400 400 D YNAMIQ UE sant par le centre d'inertie; soit i. la masse totale du pendule et p le rayon de giration defini par l'equation (~ 18) I'_ IJp2. Nous avons la relation (~ 14) I I'+ I2= (p+ 12),. Que l'amplitude soit petite ou crande, la duree d'oscillation ne depend que de l'amplitude maxima et de la quantite: (,2 + l) IJ 1 ( 2) Il resulte immediatement de cette formule que la duree d'oscillation est respectivement la meme autour de toutes les generatrices de chacun des cylindres circulaires 1, 2, 1', 2',... admettant comme axe une droite passant par le centre d'inertie (fig. 276). En effet, pour toutes les generatrices de chacun de ces cylindres, I et p2 sont 2,1 A les memes. (\G ) ) /P Mesurons la duree d'oscillation autour d'un axe distant de I du centre d'inertie, puis la duree d'oscillation autour d'un axe parallele au premier et distant,A: ^ de 1' po2 1. La nouvelle periode est donnee par la formule dans laquelle on Fig. 276. remplace I par l'; elle est la meme que precedemment. Il existe done une infinite d'axes paralleles, formant les generatrices d'un cylindre circulaire 1', pour lesquels la duree d'oscillation est la meme que pour les generatrices du cylindre concentrique 1. A tout cylindre 1, 2,... dont les generatrices out une direction donnee, correspond un cylindre conjugu6 1', 2',... pour lequel la duree d'oscillation est la meme. Leurs rayons satisfont a la relation l' 1 p2. On appelle axes reciproques deux axes paralleles A et A', appartenant a l'un et l'autre systemes de cylindres (2 et 2' par exemple), situes de part et d'autre du centre d'inertie et comprenant ce centre dans leur plan. L'un est dit axe de suspension, l'autre axe d'oscillatiorn, et reciproquement. Les points de l'axe d'oscillation oscillent autour de l'axe de suspension comme s'ils appartenaient a un pendule simple de longueur: G2 AA' 1+ I ' egale a la distance des axes A et A'.

Page  401 PENDULE CIRCULAIRE 401 Le systeme des cylindres 1, 2,..., 1', 2',..., admet un cylindre double C de rayon: -) -. T La longueur du pendule simple synchrone est 2p. Sa duree d'oscillation est minima. Faisons osciller un corps autour d'un axe de direction invariable (p invariable), situe a une distance I variable du centre d'inertie. La duree d'oscillation est infinie quand ~ P I est nul. Elle decrolt tres Fig. 277. vite quand I augmente, passe par son minimum pour I -p, puis croit lentement pour devenir de nouveau infinie pour I=oc (fig. 277). 391. Pendule simple, pendule de Borda. - C'est un lieu commun des Mecaniques elementaires de dire que le pendule simple est irrealisable. I1 est beaucoup plus exact et plus int6ressant de montrer qu'une balle metallique homogene de rayon R, suspendue au bout d'un fil tres leger de longueur I- R, realise un pendule simple de longueur 1 avec une tres grande approximation, a la seule condition que 1: R soit assez grand. Le carre du rayon de giration d'une sphere par rapport a un diametre est (~ 18): p2-2R: 5. La periode vraie pour de petites oscillations est done T -72W\/g 01 + )- (12+ 12 7 2) L'erreur relative faite sur la periode, en assimilant le pendule compose a un pendule simple de longueur 1, est R2: 512. Par exemple, faisons: R 1, 1 100; R2:51 5=1: 25 000. L'erreur est absolument negligeable, si les mesures ne sont pas d'une extreme precision. Elle est du reste facile a calculer. C'est avec un tel pendule que Borda fit a la fin du xvmI0 siecle ses memorables experiences sur la mesure de g. Le fil de suspension etait m6tal- lique et fin; il etait attach6 a la queue d'une 278 monture (fig. 278) dont, a l'aide d'un bouton mobile sur une vis, on reglait le mouvement oscillatoire de maniere Cours de Physique. - H. BOUASSE. 26

Page  402 402 D YNAMIQ UE qu'il ait la m6me duree que celui du pendule. Son influence etait eliminee par cet artifice. Nous verrons plus loin (~ 397) comment on comparait la periode du pendule a la seconde d'une horloge, elle-meme etalonnee par des comparaisons astronomiques. Connaissant T en secondes de temps moyen, determinant les dimensions du pendule, on pouvait calculer l'acceleration g de la pesanteur. 392. Pendules composes de formes particulieres. - Etudions quelques formes particulieres de pendules composes. CERCEAU (fig. 279). Posons un cerceau' circulaire de rayon R sur un clou A. Sa periode est la meme que (distance du clou au centre de la balle) est l(. ~ G- egale au diametre 2R du cerceau. En effet, le moment d'inertie du cerceau par rapport a un axe passant par le centre '< B / G est mR2, en supposant la masse concentree -^ sur la circonference moyenne. Le moment Fig. 279. d'inertie par rapport a l'axe A est donc 2mR2. La periode est T= 2V 2mR _ 2r 211 gmR 9 Elle est celle d'un pendule simple de longueur 2R. PLAQUE M]ETALLIQUE PERC1E DE TROUS. Nous recommandons comme manipulation l'experience suivante. On prend une feuille de zinc ou de laiton rectangulaire de cotes a et b. Le centre d'inertie est au centre de symntrie. On calculera le rayon de giration (~ 18) 2= (a2 +b2): 12. On tracera des circonfrrences de rayons I et I' satisfaisant a la relation: II'= p2 En particulier, on tracera le cercle double I p. En quelques points pris au hasard sur les circonferences, on percera de petits trous. On verifiera la theorie en determinant la duree d'oscillation autour d'axes passant par les trous. I1 suffit de prendre un clou horizontal comme axe materiel. On tracera la courbe de la figure 277. PLANCHE RECTANGULAIRE HOMOG~ENE (fig. 280). Si lune des dimensions du rectangle est tres grande par rapport a l'autre, on a simplement: 2=a2: 12.

Page  403 PENDULE CIRCULAIRE 403 Disposons un axe de maniere qu'il soit en A tout pres de I'extremite de la planche; on a A a 2 2a z —y, z — F —' L'axe d'oscillation A' est aux 2 3 de la planche. Pour verifier ce resultat, il suffit de planter deux --- clous aux points A et A' et de se servir d'un support analogue a celui represent6 dans la figure 278. Les axes autour desquels la periode est minima sont a une distance 0,289. a du centre d'inertie G. DISQUE PLAT TOURNANT AUTOUR D'UNE PARALLELE A SON AXE. On a: p2= R2 2. L'axe de periode minima est a une distance C R: \/= 0,70. R de 1'axe du disque. SPHtRE TOURNANT AUTOUR D UNE PARALLELE A UN DIA- Fig. 280. MtTRE. L'axe de periode minima est a une distance R: \0,40 - 0,63. R du centre. 393. Metronome. - Le metronome est un pendule entretenu dont on modifie le moment d'inertie par le deplacement d'une masse m; on change en m6me temps le couple du a la pesanteur (fig. 281). Appelons OG=x, la distance du centre d'inertie de la masse in l'axe de suspension 0; x est compte positivement vers le haut. Soit M et x, la masse du reste de l'appareil et la distance (comptee positivement) de son centre d'inertie i l'axe 0. Pour determiner la position I du centre d'inertie de l'ensemble (qui se trouve ordinairement au-dessous de l'axe 0), nous avons la relation: (M + m) I Mx,- nmx. (1) Cherchons la position m pour laquelle le centre d'inertie est report6 au point O. I1 suffit d'ecrire -- 0. D'ou.0 Mx, - mx0. L'equation (1) devient: (M + m) I = m (xo — x). Le moment d'inertie du systeme entier est de la forme Fig' 281. (~ 14): I ==, + 7nx".2X

Page  404 40,I D YNAMIQUE On a pour la frequence des petites oscillations: = T 1 \/ mq (xo0-X) (2) 1~N - T - 2r. V -[^mx^ (2) T + MX2 La frequence est nulle pour x- xo; elle croit ensuite a mesure que x decrolt, que la masselotte s'abaisse. Elle prend la plus grande valeur mat6riellement possible quand la masselotte touche l'axe 0. On concoit que la tige ne soit pas prolongee assez loin pour qu'on atteigne x - x; outre que ces oscillations tres lentes n'ont aucun interet, l'appareil fonctionnerait tres mal pour la raison suivante. La formule (2) suppose les amplitudes tr6s petites, ce qui n'est pas vrai dans la pratique. Quand on eleve la masselotte, les oscillations prennent une periode plus grande et en meme temps l'amplitude crolt jusqu'a atteindre 70 a 800. Cela tient a ce que l'echappement, r6gle pour une certaine periode, ne l'est plus pour une autre (~ 437). Le pendule finit par buter contre ses supports. Le maximum de la frequence N correspond a la condition mx — 2mxxo - Io -0. (3) I1 n'y a pas de racine comprise entre 0 et x0. Nous reviendrons plus loin sur cette 6quation. La courbe utile des frequences est repr6sentee dans la figure 282.!Fr. Aueces C 0 s 9fe:snco aS lxe '0' Fig. 282. La tangente pour x-=x est verticale. Une partie BC de la courbe est quasiment rectiligne; c'est celle qu'on utilise. On verifiera sur un metronome que la graduation pratique N f(x) est lineaire. 394. Curseur pour changer la periode d'un pendule. - On appelle curseur une masse m qui se deplace sur la tige d'un pendule entre l'axe de suspension et la lentille principale (fig. 283). On demande comment ce deplacement influe sur la p6riode. Le lecteur reconnait un probleme identique a celui du me7tronome.

Page  405 PENDULE CIRCULAIRE 405 Seul le signe de x se trouve change. Comptons maintenant les x positivement vers le bas. La frequence est N 1 '/1 M/g+m (Xi- X N —T- 2 v I,+ _m2 (2') Le maximum est donne par la formule: mx -+ 2mxx I - 0. (3') -- -- Xo 1 - +1 -(+ 2mx)] a la condition que le nmxo soit assez petit devant I. Les deux racines sont done xi 2 x0 ' __2x mx0 2mx,? 2mx La seconde racine est negative et superieure en valeur absolue a x0; elle ne convient ni au probleme actuel, ni au probleme precedent. La premiere est positive et accep- table. Done, si le curseur est d'abord en haut de sa course et descend, la fr6quence commence par croitre, passe par Fig. 283. un maximum et diminue ensuite. La figure 284 represente la courbe complete des frequences. Quand, au debut du siecle dernier, les horlogers se sont avises d'utiliser le curseur, ils ont 6te fort surpris du phenomene qu'ils Axe Curseur IMetrolnome os3e eet Uuyghes. Fig. 284. observerent et qui du reste avait ete prevu et etudie par Huyghens. La remontee du curseur a partir de sa position la plus basse commengait bien, suivant leur attente, par augmenter la frequence; mais a partir d'un certain point son role s'annulait, pour s'intervertir ensuite. Un peu de reflexion suffisait pourtant a prevoir le phenomene. Quand on sbuleve le curseur, on diminue bien le moment d'inertie; mais on diminue aussi le couple moteur. Reprenons le calcul sous une forme plus generale. Soit un pendule de masse totale M dont le centre d'inertie est a

Page  406 406 D YNA M[I Q UE une distance x, de laxe de suspension et dont le moment d'inertie est Io. Pour des oscillations de petites amplitudes, la frequence est: Ajoutons une petite masse mn a la distance x; on a, avec une approximation tres suffisante *TV - i~k0_ g/-.mx _N V I~ mxl N — 2VlI+J N L 2I1 +2MxN1J La masse n'a aucune action quand x -- X c'est evident a priori; elle est alors placee sur l'axe d'oscillation reciproque de l'axe de suspension. La masse a une action maxima quand le crochet est maximum: X I0 x- 2 2 2Mx, Correlativement, Huyghens avait reconnu qu'il existe a peu prbs au milieu de la tige d'un pendule a lentille un point au-dessus et au-dessous duquel le curseur produit le meme effet sur le reglage. On voit avec quelle simplicite la theorie interprete ce resultat. 395. Pendules compensateurs. - Soit un pendule forme d'une mati6re homogene. Quand toutes ses dimensions sont multipliees par un meme coefficient k, le moment d'inertie I devient Ik0, le parametre C devient Ck. La dur6e d'oscillation: T - 2w \/l C, est multipliee par /k. La periode d'un pendule homogene croit done comme la racine carree du binome de dilatation: /- + at - 1 + at: 2. Le coefficient c est de l'ordre de 0,000'0 pour lacier. La periode augmente done sensiblement d'un demi-centmillieme par degr6, de 5 centmilli6mes pour dix degres. Une telle variation de temperature produit un retard d'environ 4 secondes par jour. Pour eviter les corrections, on utilise les pendules compensateurs. 11 ne s'agit pas de maintenir le centre d'inertie a une distance fixe de l'axe; il faut assurer la constance du rapport I: C. D'apres ce qui precede, il est impossible d'obtenir ce resultat au moyen d'un pendule de matiere homogene; il doit contenir au moins deux substances se dilatant differemment. Le compensateur a grille (fig. 285) est construit avec des tiges d'acier et des tiges de laiton ou de zinc. Choisissons ce dernier m6tal qui est beaucoup plus dilatable que le laiton, et par cons6quent que

Page  407 PENDULE CIRCULAIRE 407 'acier. Le compensateur est alors tres simple. Des tiges d'acier ab, cd (doubl6es pour la sym6trie), sont reliees par une barre de zinc. Sous l'influence d'une elevation de temperature, les tiges d'acier abaissent la lentille, la barre de zinc la souleve. En choisissant convenablement la longueur de la barre de zinc, on arrive par tatonnements a rendre constant le rapport I; C. Pour regler l'appareil, on utilise une etuve a temperature variable. Le coefficient de dilatation du zinc est voisin de 0,000'03. Fig. 285. Fig. 286. Le defaut capital du compensateur b grille reside dans les frottements, surtout quand on emploie le laiton avec lequel le nombre des barres doit 6tre porte de cinq a neuf. De plus le metal le plus dilatable travaille par compression, d'ou, a la longue, d'inevitables flexions et la n6cessite d'un nouveau r6glage. On peut realiser la compensation par l'emploi du mercure (fig. 286). La lentille est remplacee par un tube T de verre on mieux de fer, dans lequel on verse du mercure en quantite convenable. Le coefficient de dilatation cubique du mercure est 0,000'18. Si on neglige la dilatation transversale du tube de fer, la colonne de mercure se dilate lineairement avec le coefficient 0,000'18, dix-huit fois plus grand par consequent que celui de l'acier. La hauteur de la colonne de rnercure necessaire pour la compensation depend de la dilatation du tube; elle est de lordre d'une dizaine de centimetres.

Page  408 40 D YNAMIQ UE Le pendule de Graham est peu volumineux; les tiges travaillent par traction. On lui reproche que la tige ob6it a la variation de temperature plus vite que le mercure dont l'6paisseur est beaucoup plus grande. I1 y aurait retard a la compensation. On peut encore compenser au moyen de bilames AB (fig. 287) formees de deux m6taux dilatables, le plus dilatable en dedans, dans la A gdisposition figuree. Quand la temperature s'eleve, la lentille L s'abaisse, mais les boules A s'elevent @^B BCD et font compensation. On. regle l'appareil en,B~- deplapant les boules A le long des bilames, en modifiant par consequent l'action de celles-ci. On a propose d'utiliser des pendules en L verre; le verre est peu dilatable, mais il est fragile. On emploie frequemment le sapin fortement verni. I1 est peu dilatable, mais sa longueur depend de l'6tat hygrom6trique: le Fig. 287. vernissage diminue cette influence. On le choisit bien sec et a fil droit. Pour eviter les torsions, on refend la tige, on retourne les morceaux obtenus et on recolle. Mesure de g. Le probleme de la mesure de l'intensite du champ de la pesanteur est des plus int6ressants pour illustrer la th6orie du pendule. On a rarement a effectuer des mesures avec la precision que comportent la determination du parametre fondamental g. Mais il est bon de voir mettre en ceuvre toutes les ressources de la technique et de discuter en detail une experience. 396. Mesure de la periode: methode des passages. - La methode des passages est surtout utilisee lorsqu'on ne possede comme garde-temps qu'un chronometre. Voici en quoi elle consiste. On trace sur le pendule dont on veut determiner la periode en fonction de la seconde de temps moyen (par l'intermediaire de la seconde siderale), un trait fin qu'on vise avec une lunette. Quand le pendule est au repos, l'image du trait coincide avec le reticule de la lunette. Le pendule etant en marche, on note les instants du passage de l'image du trait sur le reticule, dans un sens determine. Pour avoir une approximation suffisante, il faut operer sur un temps tres long. II semble necessaire de compter un tr6s grand nombre d'oscillations, de Fordre d'une dizaine de mille. L'exp6 -rience montre qu'il est quasiment impossible de ne pas se tromper, sans parler de linsupportable ennui d'une telle besogne. Mais elle est parfaitement inutile.

Page  409 PENDULE CIRCULAIRE 409 Supposons qu'au d6but de l'op6ration, on determine la duree A1 de n, oscillations (par exemple la duree de 500 oscillations), et que l'approximation sur la mesure soit 0s, 1 au commencement et a la fin. L'erreur est 0s,2. S'il s'agit d'un pendule battant a pen pres la seconde, les 500 oscillations font 1 000 secondes. La dur6e d'oscillation T est donc connue a 1/5000 pres. Recommen9ons l'exp6rience et, sans compter les oscillations, d6terminons seulement le temps A qui s'ecoule entre deux passages. Soit n2 le nombre encore inconnu d'oscillations. Je dis qu'il est possible de le determiner grace a la premiere experience, pourvu qu'il ne soit pas trop grand. Utilisons la periode T1 deja obtenue et faisons le quotient A,,: TI=n. Generalement ni n'est pas un nombre entier; le nombre n2 qu'il faut choisir est 'entier le plus voisin de n', i la seule condition d'8tre sur que l'erreur sur n} est inf6rieure a une demi-unite en plus ou en moins. Or, d'apres nos hypotheses, T1 et par consequent nl sont connus a 1/5000 pres: il faut done que n' soit inf6rieur a 2500. Admettons la meme pr6cision experimentale que plus haut: le nombre n, et par consequent la p6riode T, sont maintenant connus avec une approximation de 1: 12500. Mais rien n'empeche de continuer et, sans jamais plus compter des nombres d'oscillationss, d'operer sur des temps de plus en plus grands et d'obtenir des approximations de plus en plus satisfaisantes. On admet que l'erreur est de 'ordre de 0s,t pour chaque passage, soit 0s,2 pour l'operation. S'il s'agit d'un pendule battant la seconde, c'est-a-dire dont la periode est 2 secondes, l'erreur relative sur la periode est 0,1 N: I (O.N), oi N est le nombre d'oscillations. On reproche a la methode des passages que, par suite de l'amortissement, les passages ne se font pas de la meme maniere au commencement et a la fin de l'operation. L'equation personnelle (difference entre le temps vrai et le temps marque par l'observateur) n'intervient pas de la meme maniere au commencement et a la fin. Les erreurs ne se retranchent pas. Dans le calcul precedent, nous admettons bien qu'elles s'ajoutent, mais nous les limitons a 0(S,l. Or elles peuvent 6tre beaucoup superieures pour certains observateurs la m6thode perd toute precision. 397. Mesure de la periode: methode des coincidences. - Cette methode consiste a comparer directement la marche du pendule a etudier a celle du pendule d'une horloge, qui enregistre luimeme le nombre total de ses oscillations.

Page  410 410 D YNAMIQ UE Les plans d'oscillation des deux pendules sont paralleles; dans leurs positions d'equilibre, deux fils prolongeant leurs tiges se projettent lun sur l'autre pour un observateur convenahlement place. S'il regarde les fils a travers une lunette, il peut faire coincider leurs images avec le reticule. Supposons peu differentes les durees d'oscillations des pendules. Mettons-les en marche et admettons, pour simplifier le raisonnement, qu'aussitot apres le lancement les images des fils passent simultanement sur le r6ticule et avec des vitesses de meme sens. Soit T la duree d'oscillation du pendule P a etudier, T' celle du pendule P' de l'horloge de comparaisonso oit T > T. Le pendule P avance done sur le pendule P'. Bientot les images des fils ne passent plus simultan6ment sur le reticule de la lunette, c'est-a-dire par leurs positions d'equilibre. Le fil de P passe avant le fil de P'. L'avance augmente; elle devient 1/2 oscillation: les fils passent alors simultanement sur le reticule de la lunette, mais avec des vitesses opposees. L'avance de P continue a croitre. Enfin, au bout d'un temps A1, l'avance de P est d'une oscillation entiere: il y a encore coincidence des fils lors de leur passage sur le reticule de la lunette avec des vitesses de meme sens. Soit n le nombre des oscillations de P', n+ 1 celui de P; on a A, - T'z-( +- 1)T. (1) Or le nombre n est donne par 'horloge; T', exprime en secondes de temps moyen (~ 297), resulte de la comparaison des indications de l'horloge au jour sideral; on a tout ce qu'il faut pour calculer T en fonction de la seconde de temps moyen. Rien n'empeche de determiner le temps qui s'ecoule entre k —+ coincidences. On a: A, = nT'- (n -k)T. Nous supposons dans notre raisonnement que les coincidences ont necessalrement lieu, et que leurs epoques sont bien determinees ceci demande quelques explications. Il n'y a aucune raison pour que les pendules passent jamais au meme instant par leurs positions d'equilibre. Mais si rien n'oblige l'existence de coincidences mathematiques, il est clair que les coincidences physiques auront toujours lieu, a la seule condition que les periodes soient suffisamment voisines et les amplitudes suffisamment petites. Correlativement l'epoque de la meilleure coincidence sera grossierement determinee; les pendules paraitront en coincidence pour un nombre relativement grand de coincidences approchees successives. L'equation (1) doit etre remplacee par l'equation (n +- )T'=- (7 +- + - 1) T. (2)

Page  411 PENDULE CIRCULAIRE 411. T n+6 7- - 1( 7 — + L + )+ 'I + '1 + n est grand devant l'unite l'erreur relative est done ': n2. Comme on n'emploie que des oscillations de petites amplitudes, les pendules conservent leur mouvement pendant plusieurs heures, pourvu que les couteaux soient bien travailles. L'exemple numerique suivant, emprunte au memoire de Borda, montre la precision de la methode. Admettons que les coincidences se fassent toutes les 50 minutes, que l'on puisse observer 5 coincidences, c'est-a-dire faire durer l'experience pendant 4 X 50 200 minutes 31`20 1, et qu'il y ait une incertitude de 30 secondes sur l'instant des coincidences, c'est-a-dire que pendant 15 oscillations il soit impossible de distinguer les fils l'un de l'autre, lors de leur passage sur le reticule. En mettant les choses au pis, cela fait une erreur de 60 secondes, soit une minute sur 200. Mais cette erreur de 1 200 sur le nombre n ne porte que sur une correction tres petite. Les dur6es T' et T different en effet tres peu. En 50 minutes, soit 3 000 secondes, il y a 1 501 oscillations de lhorloge et 1 500 du pendule qu'on lui compare. La difference relative est tres approximativement de 4: 1 500. Une erreur de 1: 200 sur cette difference est done une erreur de: (1 00 X 200)=-: 300 000 sur la quantit6 T a nmesurer. 398. Realisation de la methode des coincidences. - En visant avec une lunette deux objets qui, necessairement, ne sont pas a la meme distance, on obtient des images peu nettes; un perfectionnement notable consiste a projeter les plans d'oscillations i'un sur l'autre avec une lentille plac6e entre les deux pendules; on peut ainsi, sans diminuer la nettete des images, eloigner autant qu'on le veut les pendules l'un de l'autre et eviter qu'ils ne s'influencent par resonance. On ameliore la methode d'observation par le dispositif suivant (fig. 288). La figure montre en projections verticale et horizontale les extremit6s du pendule P et du balancier B de l'horloge de comparaison. La lentille L donne de la pointe P du pendule une image qui se forme dans le plan d'une fente B portee par le balancier de l'horloge. Lorsque les appareils sont au repos, l'image de P apparait sur la fente synmetriquement, comme la montre la figure 289 B. L'eclairage est obtenu a l'aide d'une fente E voisine du pendule P et sur laquelle

Page  412 412 D YNVA MIQ UE des miroirs et des lentilles envoient un faisceau de lumiere. Enfin on vise dans le plan B i l'aide de la lunette ou du microscope V. IProj eci on verTzcale \E i L V -B --- —---- -------- Ro ectmn horioonJa/e Fig. 288, Lorsque le balancier oscille, on n'aper9oit la fente B dans la lunette que lorsqu'elle coincide avec l'image (approximative) de E, c'est-a-dire quand elle passe par la verticale. Si les deux pendules oscillent et sont loin de la coincidence, la fente B apparait vide, formant fenetre (figure 289 A), au moment de son passage par la verticale. Si la coincidence approche, l'image de P empiete sur la A B C fenetre; au moment de la Fig. 289. coincidence, l'image de P se detache sym6triquement sur la fendtre: les filets ab, cd, sont egaux. Pour determiner l'oscillation de coincidence, il est preferable de noter les numeros d'ordre des oscillations pour lesquelles, par exemple, le filet de gauche apparait, puis le filet de droite disparait. La moyenne donne le numero d'ordre de l'oscillation pour laquelle la position est sym6trique, c'est-a-dire pour laquelle la coincidence a lieu. 399. Pendule reversible de Kater; manipulation. - Nous avons d6montr6 ci-dessus (~ 390) le th6oreme suivant: Etant donne un axe cde rotation, il en existe toujours un second paralllel au premier, situe dans le plan passant par le premier et le centre d'inertie, tel que la duree d'oscillation autour des deux axes

Page  413 PENDULE CIRCULAIRE 413 soit la meme. De plus, cette duree est celle d'un pendule simple dont la longueur serait egale a la distance A des deux axes T 2,r \/g Dans le pendule de Kater (fig. 290), les deux axes 0 et 0', representes par les aretes de deux couteaux, sont fixes. La distance A —OO' est donnee. La masse m, est invariablement liee a la regle qui porte les couteaux. II s'agit, par le deplacement d'une masse mobile m2 le long de la o regle, d'amener a l'6galite les durees d'oscillations autour des deux couteaux. Cette condition n'est realisable que si la masse mobile a ete prise assez grande et si sa course est suffisante. De la mesure de la distance A des couteaux et de la duree commune d'oscillation T (par comparaison avec une horloge regle sur le temps sideral, et par consequent sur le temps moyen), on d6duira la valeur de g. I1 est commode de faire les tAtonnements d'une maniere systematique. Supposons la tige 00' graduee. Le pendule oscillant autour de l'axe 0, deplagons la masse m,; determinons la courbe PQ des p6riodes en fonction de la position o' de m2 entre les points 0 et O' (fig. 291). Retournons le pendule, determinons la nouvelle courbe MN, bien plus inclinee que la premiere, des periodes en fonction de la position de m2. Elles se coupent en un point R qui donne une premiere approximation de la position de m2 pour laquelle les pdriodes sont egales. Le Fig. 290. tatonnement est ainsi singulierement abrege. Cette experience est excellente pour se familiariser avec la mesure des durees et les mouvements oscillatoires. T P --------- PF,'N 0 F A O' Fig. 291. Pour mesurer g avec precision, on prefere op6rer autrement.

Page  414 414 D YNAMIQ UE 400, Pendule de Bessel. - Le pendule est symetrique par rapport aux couteaux quant a sa forme exterieure; il ne doit pas j.ll p ']!| It circulaires D de meme grosseur, fixes normalement a la tige dans H II I Ir WI ^des positions semblables par rapport aux couteaux; Fun est plein, l'autre creux et parfaitement \ P 1l}iih|] e'tanche (fig. 292). Les couteaux sont interchangeables. I1 n'y a aucun moyen de reglage, on s'arrange seulement par construction, de maIff _ IgI ~ niere que les periodes T et T' I|II lIlll ~1 S lllllif soient tres voisines. Soit p le rayon de giration 1I' |j~ ~autour d'un axe parallele aux couteaux passant par le centre Fit. 292. d'inertie. On n'a plus l'- p2; il faut poser: _-2 (It+t! +, -' (, 2++ T~ —=4~(lqkl+-L-i), T'' — /_ T,), g I g I 4 2 IT2 Il'T'2 d'ou: ' 2 _(1- /)- - l ' T est calculable avec une grande approximation pourvu que T et T' soient tres pen differents; il faut evidemment mesurer I et 1', mais une grande approximation n'est pas necessaire. Posons en effet: TI2 - T" + p2, il vient T2 T i-/I'' Pour determiner le centre d'inertie et par consequent 1 et 1', on fait reposer le pendule dont la tige est creuse et cylindrique, sur un double tronc de cone en acier, formant une sorte de gorge, mobile a l'aide d'une vis de rappel autour de laxe commun des deux cones. En faisant tourner lentement ce support, on amene le pendule en 6quilibre: le centre d'inertie du pendule et l'axe du support sont alors dans le meme plan vertical. On parvient ainsi a determiner I et 1' facilement a un dixieme de millimbtre pres. En general 1 21' par construction; I- 1' vaut done plus de 30 centimetres, le facteur du

Page  415 PENDULE CIRCULAIRE 415 terme de correction est tres bien determine (a 1/3000 environ dans notre hypothese); puisque E est petit, la correction est trbs petite, l'approximation de 1/3000 sur I et l' est plus que suffisante. La n'est pas le principal avantage de la methode, comme nous le verrons plus loin. La figure 292 represente schematiquement l'appareil. Sur le support S invariablement li6 au pendule, s'appuie le couteau CCr qui est maintenu par des brides et des vis de pression. Le couteau repose sur le plan d'agate A porte par la potence P. I1 existe audessus du disque D2 un second dispositif symetrique non represente. Le pendule est n6cessairement evide pour laisser passer la potence et le plan d'agate. Dans la partie droite de la figure, on a supprime le support S pour montrer la relation entre le couteau et son appui. 401. Influence de la courbure de la section droite du couteau. - La suspension par couteau est tres superieure a la suspension ordinaire par ressorts, quand il s'agit de connaitre exactement la position de l'axe de rotation. Mais les couteaux n'ont pas une arete geometrique; Lagrange remarqua que leur section droite peut etre assimilee dans sa partie utile a un cercle dont le rayon de courbure atteint facile-/ T ment 200 microns. Nous sommes donc ramenes au probleme sui- p vant qui est un excellent exer-,, cice et dont on fera une bonne -' manipulation Un pendule est G^ -- suspendu par un cylindre circu-,, ---—. ----- laire qui roule sans glisser sur un plan fixe: on demande la loi du mouvementt (fig. 293). ' A chaque instant, le pendule -.,. ~ ---- --- / admet comme axe instantane de rotation l'arete C de tangence du cylindre avec le plan P. Cherchons l'expression du moment Fig. 293. d'inertie autour de cet axe. Nous appelons comme precedemment p le rayon de giration autour d'un axe passant par le centre d'inertie et parallsle aux generatrices du cylindre, r le rayon du cylindre, I la distance GC du cylindre au centre d'inertie. Pour une inclinaison 0, on a: G,2 (, + 1)2+ r 2-2(7- + 1) cos = 12 +- ( — 1- ) sin2 (0: 2). Le rayon de giration autour de l'axe instantane quand l'inclinaisan est 0, est done: p- + 1: + 4r(r - 1,) sin2 (0: 2).

Page  416 416 D YNA IMIIQ UE Le centre d'inertie est au-dessus de la position du centre d'inertie pour l'equilibre, d'une quantit: (r +) (1- cos 0). L'6quation exprimant le theoreme des forces vives est donc [pP- - 1- + 4r(r-+ 1) sin" (0: 2)] d( = 2g(+ 1) (cos 0-cos 0). Le terme en sin2 (0 2) du premier membre est n6gligeable pour de petites oscillations, tant a cause de la petitesse de sin2 (0 2) que du coefficient r par lequel il est multiplie. Nous pouvons sans erreur sensible r6duire l'equation a: (_2 + 12) (do ) 2g(r + ) (cos 0- cos 0,). C'est l'equation ordinaire du mouvement d'un pendule dont la distance de l'axe au centre d'inertie est 1, 't la condition de remplacer l'intensite de la pesanteur j par g + l -- Ceci pose, soient r7 et r2 les rayons des deux couteaux. Completons les equations du ~ 400. On a T 4 ( I+l-{T )(t 1 _2 IT- T.2+2 4 2 )(+ l'2-r On peut eliminer le terme en r7 et r2, en recommencant' les experiences apres avoir echange les couteaux. On trouve 4 i )- ( { 7',-2 T,2,_ ( +I1+ —l '. D'oui: r1 -+ y2(t + I ) 402. R61le du milieu ambiant. - L'action de l'air est multiple. S'il n'agissait que par sa viscosite, nous verrons plus loin (~ 411) que la duree d'oscillation ne serait pas sensiblement augmentee. Mais l'action de l'air accroit la duree d'oscillation, tant par l'entrainement d'une queue gazeuse qui augmente la masse a mouvoir, que par la diminution du poids qui tend a mouvoir cette masse (application du principe d'Archim6de). Bessel, a qui sont dus les premiers travaux sur cette question, disait que le pendule se meut dans lair

Page  417 PENDULE CIRCULAIRE 417 comme il le ferait dans le vide, en supposant attachee au centre d'inertie une masse supplementaire dependant de toutes les conditions de l'experience. On tient suffisamment compte de cette perturbation au moyen d'un facteur de la forme ( ) ou (1 ) Si le pendule est symetrique, l'action de l'air est la mgme apres retournement du pendule; elle s'elimine done dans le calcul de T, tout comme s'elimineraient les rayons de courbure, si l'on avait r2 r1. Ainsi le pendule reversible, symetrique, a couteaux interchangeables de Bessel, elimine par quatre experiences les principales perturbations, a la condition que les mesures soient effectu6es dans les memes conditions d'amplitude. Nous reviendrons plus tard (Chapitre VIII) sur les perturbations dues a l'elasticite du support. Mesure des couples et des moments d'inertie. 403. Pendule de torsion. - On appelle pendule de torsion le systeme forme d'un fil flexible, encastre verticalement par son extremite sup6rieure et supportant une masse de forme a priori quelconque. Quand le systeme est abandonne a lui-m6me, le centre d'inertie de cette masse se met automatiquement dans la verticale du fil; generalement on s'arrange de maniere que cette droite soit un axe principal d'inertie pour le centre d'inertie et par consequent pour tous ses points (~ 15). Nous savons cu'alors la masse, lancee autour de la verticale, continue a tourner autour d'elle, que les forces exterieures soient nulles, ou qu'elles se reduisent a un couple d'axe vertical (~ 359). La pesanteur est equilibree par la tension du fil. Nous admettrons que la reaction elastique du fil est donnee par la formule OWR4 -- L- u --- Co;,. s'appelle le coefficient de rigidite; R est le rayon en centimetres, L la longueur en centimetres; 0 est l'angle de torsion en radians. On a alors, quelle que soit l'amplitude ou I est le moment d'inertie de l'oscillateur autour de l'axe de rotation. L'ordre de grandeur du coefficient p. pour le cuivre est 4. 10. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 27

Page  418 418 D YNAAMIQ UE Generalement on emploie comme unites, pour les longueurs, non plus le centimetre, mais le millimetre; pour les forces, non plus la dyne-centimetre, mais le gramme-cen-timetre. Le coefficient doit 6tre divise par 9,81. 10. On remplace le rayon par le diametre, ce qui divise encore le coefficient par 16. Enfin on bloque de maniere h oeD ecrire: -Y L' Il vient Y - 1j_ 1-1 T-J' 2 9,81. 10 16 10-. Voici quelques nombres pour fixer les idees Fer y: 76. 103; cuivre: Y40.103; argent: y-27.103. Soit, par exemple, un fil de cuivre d'un metre de long (L= 1000) et d'un millimetre de diametre (D 1); quel est le couple en grammes-centimetres necessaire pour le tordre d'un radian, soit 570 environ (0= - )? On a C -40. 103 1 3- 40 grammes-centimetres. Pour un fil de fer, on trouverait 75 grammes-centimetres. Il est bon de se rendre compte de la petitesse des couples mis en jeu dans un appareil de torsion, afin de comprendre son role dans la mesure des couples. II faut pour tordre un fil d'argent d'un millimetre de diametre et d'un metre de long, de l'angle d'un radian, 27 grammescentimetres environ. Si le fil a un diametre d'un dixibme de millimetre, soit 10 fois plus petit, le couple est 10000 104 fois plus petit. Nous sommes ramen6s a 2,7 milligrammes-centimetres, soit environ 2,64 ergs. Mais la methode de Poggendorff (~ 4l14) permet d'apprecier aisement les 10 secondes d'arc, soit environ le 1/20'000 de radian. En definitive, on mesure des couples qui ne depassent pas 4,3.10- ergs. Rien n'empkehe dans bien des cas de prendre un fil plus fin. 404. Determination en valeur absolue d'un couple et d'un moment d'inertie. Manipulations. - La determination de C en valeur absolue implique la connaissance de I, et r6ciproquement. Il s'agit de trouver une seconde equation ne contenant encore comme inconnues que I et C; car la determination directe du moment d'inertie du corps oscillant, d'apres sa masse et sa forme geometrique, est generalement impossible, cette forme ne pouvant etre choisie assez simple. La methode generale consiste a augmenter le moment d'inertie d'une quantite connue I'.

Page  419 PENDULE CIRCULAIRE 419 On obtient alors une nouvelle duree d'oscillation T' donnee par la formule: T' 2V/ II' De ces deux 6quations, on tire T_ __ _ 41IT -- I'. C --- T- `-T - T,2 _ T-2 I expressions qui resolvent le probleme. Voici comment on applique la methode (fig. 294). Deux masses m, de forme geometrique simple, peuvent etre placees h des distances coniues d de l'axe AB autour duquel oscille le systeme. Le moment d'inertie de chacune de ces masses est (p2+d2)m, en appelant p le rayon de giration autour d'un axe parallele a l'axe AB et passant par le centre de gravite de chaque masse. Ce rayon de gira- tion est directement calcule d'apres la forme d-.. geometrique. On pent, dans une premiere experience, faire osciller le systeme sans ces masses, puis dans une seconde le faire osciller avec Fig. 294. ces masses, placees a une distance d connue de l'axe. L'inconvenient de cette methode est de changer le poids de l'oscillateur d'une experience a l'autre. On peut encore faire deux experiences avec deux distances d aussi diff6rentes que possible. On connait dans les deux techniques la quantite I' dont le moment d'inertie est augmente; on a tout ce qui est necessaire pour calculer C et I en valeurs absolues. Le lecteur fera avec des fils de tres interessantes manipulations. Laissant invariable l'oscillateur, limitant, par une pince fixe et placee a diverses hauteurs, la longueur utile du fil qui produit le couple, il verifiera la loi des longueurs. Le couple est en raison inverse de la longueur; la dur6e d'oscillation est proportionnelle a la racine carree de la longueur. Pour determiner la constante absolue du fil, il utilisera, comme il est dit plus haut, des masses dont il calculera le moment d'inertie. Des cylindres, des prismes de plomb ou de laiton, sont faciles a obtenir dans les laboratoires et font bien l'affaire. I1 mesurera les dimensions a l'aide d'un pied a coulisse. I1 ne mesurera pas directement le diametre du fil; le resultat serait par trop inexact, a cause des variations possibles du diametre qui entre a la quatrieme puissance. II mesurera le poids, la longueur et la densite, par suite le volume: cette derniere operation fournira une excellente occasion d'apprendre a se servir d'une balance.

Page  420 420 D YNA MIQ UE On trouvera au ~ 414 la description de la methode d'observation. Le meme appareil permet de d6montrer que les ressorts spiraux plans (ressorts de petites pendules) ou les ressorts a boudins cylindriques produisent des couples proportionnels a l'angle de torsion. On suspendra l'oscillateur par un fil tres mince dont on determinera la constante. Tout en conservant le fil, on installera le ressort spiral plan ou helicoidal. On verifiera que les oscillations effectuees sous l'influence de la somme des couples dus au fil et au ressort, sont encore isochrones, et on determinera la nouvelle constante C de torsion. Le moment de loscillateur doit etre tris grand par rapport a celui du ressort, pour qu'on puisse negliger celui-ci. Les experiences prec6dentes sont tres heureuseument completees par celles du ~ 608. 405. Moment magnetique d'un aimant; champ magnetique. Tout ce que nous avons dit du pendule compose s'applique a un aimant permanent oscillant dans un champ uniforme. L'etat interieur d'un corps aimante d'une maniere permanente est completement defini quand on se donne en chaque point un vecteur j (de composantes A, B, C) appele intensite d'aimantation. Soit dv un element de volume. On appelle moment magnetique de cet element le vecteur, parallele a 5, de composantes Adv, Bdv, Cdv. On admet que dans un champ d'intensite H (repr6sente par un vecteur de composantes X, Y, Z), l'element est soumis a un couple dont l'axe est normal au plan des vecteurs c et H, et dont la grandeur est l'aire du parallelogramme construit sur ces vecteurs. Il r6sulte immediatement de la que les composantes du couple auquel est soumis l'element sont (~ 35) (BZ - CY) dv, (CX - AZ) dv, (AY - BX) dv. Ceci pose, considerons un corps aimante place dans un champ uniforme, c'est-a-dire tel que le vecteur H soit constant en grandeur et direction. Il est soumis a un couple dont les composantes sont L = ZfBdv - Yf Cdv = ZG3 - YC, M =XfCdv - ZfAdv = X -Z A, N = YfAdv - XfBdv Y - X3. Le corps aimante place dans un champ uniforme est assimilable a une particule dont le moment magnetique a pour composantes: CA= f- Adv, 93-= fB7dv, 0= lffCdv.

Page  421 PEND ULE CIRCULAIRE 421 L'etude des oscillations d'un aimant autour d'un axe se deduit immediatement de la. Prenons l'axe de rotation pour axe des z. Seul intervient le couple N. Choisissons l'axe Ox parallele a la projection du champ H sur le plan xOy; il faut poser Y -0. Enfin appelons Mi le vecteur /c2+-2 2, et 0 l'angle qu'il fait avec laxe Ox. On a: N - MX sin. L'equation du mouvement est Gd20 I -- IMX sin O. Nous sommes ramenes au pendule compose. En particulier, les oscillations sont isochrones, si leurs amplitudes sont petites. 406. Autre maniere de presenter les memes hypotheses. - Voici une maniere de presenter les m6mes hypotheses qui a lavantage d'introduire des centres d'inertie et des flux. Le milieu etant magnetiquement defini par le vecteur g, posons /6A B 6\ ( a=- + 4 y + y4 ) _ Div.(A, B C); C = Cos O. p sera, en grandeur et en signe, la densite de volume d'une masse fictive que nous appellerons magnetisme; pdv sera done la quantite positive ou negative de magnetisme que renferme l'elment dv. Nous admettrons que cette masse, placee dans un champ magnetique H, subit une force oHdv, dans le sens du vecteur H si elle positive, dans le sens inverse si elle est negative. Ce qui revient a dire que la force a pour composantes, en grandeurs et en signes pXdv, pYdv, pZdv. Voila pour l'interieur du corps. Passons h la surface. En tout point de la surface, la normale dirigee vers l'exterieur fait avec le vecteur 3 l'angle 9. Nous admettons l'existence sur la surface d'une densite superficielle de magnetisme representee en grandeur et en signe par 3 cos o. La masse supportee par l'element d'aire dS est done,dS cos O -- sdS. Par hypothese, le champ H agit sur cette masse superficielle comme sur les masses interieures. Ceci pose, cherchons Faction d'un champ uniforme sur un corps aimante comme on voudra, c'est-a-dire pour lequel on se donne une distribution arbitraire du vecteur 3. THEORtEME. La masse totale de magnetisme est nulle.

Page  422 422 D YNAMIQ UE Cela revient a dire que la relation: bA 6bB JC dcosodS =0, 6,( + 6y + \dxdzd7o d est verifi6e, quelle que soit la surface fermee d'integration. C'est evident, car l'une et l'autre de ces expressions representent (au signe pres) le flux du vecteur A, B, C, a travers la surface (~ 47). Comme elles sont de signes contraires, la somme est nulle. COROLLAIRE I. Les composantes de Faction d'un champ uniforme quelconque sont nulles. L'action est purement directrice. COROLLAIRE II. Determinons les centres d'inertie respectifs de toutes les masses positives et de toutes les masses negatives; nous les appelons pdles de l'aimant. Le th6oreme nous apprend qu'aux poles peuvent 6tre consid6rees comme concentrees des masses egales et de signes contraires. La theorie des oscillations de l'aimant dans un champ uniforme se deduit imm6diatement de la. I1 peut 6tre considere comme un pendule ayant deux centres d'inertie de memes masses, le champ produisant sur ces centres des forces egales et de signes contraires. Dans bien des cas, la position des poles se calcule ais6ment. Soit par exemple un cylindre circulaire d'aimantation uniforme et paralllel aux generatrices, termine par des sections droites. Le magnetisrme se reduit a deux couches de densite -+-, recouvrant les sections droites (o= 0). Les poles sont les centres de ces sections. Le moment magnetique du corps est un vecteur passant par ces poles et dont la grandeur est 3.LS --.V; L est la longueur du cylindre, S est l'aire de la section droite, V le volume. 407. Manipulation avec des aimants. - Les oscillations des aimants permettent d'instructives experiences. En particulier, nous conseillons de faire osciller autour d'un axe vertical, en le suspendant par un fil metallique fin, un systeme de deux aimants montes sur une masse metallique et pouvant prendre une inclinaison arbitraire sur l'horizon. On pourra faire ainsi varier le moment d'inertie et en meme temps le couple (composante utile du moment magnetique). La mesure des durees d'oscillation dans le champ terrestre fournira des v6rifications du calcul pour toutes les inclinaisons.

Page  423 PENDULE CIRCULAIRE 423 408. Manipulation avec un caoutchouc ou un ressort A boudin. - Reprenons (fig. 295) l'experience dont il est parle au ~ 339. Un ressort a boudin (ou un caoutchouc) est fixe en un point A a une piece qu'on peut deplacer soit verticalement, soit -A horizontalement. Une barre tourne autour de laxe horizontal 0; elle porte deux 3 lourdes masses M et M' qu'on peut deplacer le long de la barre et fixer a l'aide de vis de pression. M X M Nous admettrons qu'a par- 0 tir d'une longueur quelconque L du ressort (dont la lon- g gueur est L0 quand la tension est nulle) il faut, pour produire un petit allongement Y, un accroissement de force EY. Cela n'implique en aucune maniere que la force soit proportionnelle a l'allongement total L -L; la force est une fonction a priori quelconque de cet allongement. Nous admettons seulement que Y est assez petit pour qu'au voisinage de Y-0, nous puissions remplacer par un element de droite la courbe reliant la force a l'allongement total L-L0. En d'autres termes, E qui est generalement une fonction de L -L- sera consideree comme une constante pour de petites variations de longueur Y au voisinage de la longueur actuelle L (Voir ~ 339). La tension du ressort est equilibree par une masse convenable m, de maniere que la barre soit horizontale quand les masses M et M' sont equidistantes de part et d'autre de l'axe 0. Dans le mouvement du systeme, nous n'avons plus a tenir compte de la pesanteur.. Soit I le moment d'inertie de la barre et des masses M, M', m; l'6quation du mouvement est d20 I d - EYX- 0. Mais on a sensiblement: Y o6X; d'o U I- d20+EX. 0 0 T 2X X \/ dt2- EXi / EX2 XVE2 L'experience consistera a modifier la distance X, tout en laissant le ressort vertical et tendu de la m6me maniere: on v6rifiera la constance du produit TX. Assurement, quand on eloigne la masse m de l'axe 0, le moment d'inertie I croit. Mais l'accroissement est negligeable si les masses M et M' sont grandes.

Page  424 424 D YNAMIQ UE On pourra changer la position des masses et etudier les variations de I. Soit x leur distance a I'axe O; on verifiera que I est de la forme: I = Io + I X2. Enfin on changera la tension du ressort et on determinera pour diverses tensions la valeur du parametre E. S'il s'agit d'un ressort a boudin, on verifiera que E est sensiblement ind6pendant de 1'allongement total L - L; ce qui signifie que la fonction reliant la tension a l'allongement total est lin6aire. I1 n'en est plus ainsi si on utilise un caoutchouc. Nous conseillons au lecteur d'effectuer ces manipulations avec le plus grand soin et de determiner toutes les quantites en valeurs absolues.

Page  425 CHAPITRE V AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES Frottements. 409. Frottement proportionnel a la vitesse, couple proportionnel a l'longation. -L'equation du mouvement est: d20 dO I d +f d-+CO- C (1) Le corps tourne autour d'un axe; il est ramene a sa position d'equilibre par un couple r -CO, proportionnel a l'elongation 0. 1 subit une force f du d toujours oppos6e au deplacement actuel et proportionnelle h la vitesse: elle constitue le frottement. Suivant la valeur de la constante f qui mesure le frottement, l'integrale de l'6quation (1) est un mouvement sinusoidal amorti (periodique) ou un mouvement aperiodique. Dans ce dernier cas, le corps ecarte de sa position d'equilibre y revient sans osciller. Pour que le mouvement soit periodique, il faut que f soit assez petit pour satisfaire a la condition: 4CI _ /2> 0. L'integrale est: 0 = e- t sin ot. (2) Substituons (2) dans (1); il vient comme conditions: W Les T' en e i s. Le m e p e aa T T2 IC J21 Les oscillations sont encore isochrones. Le mobile passe a sa position d'equilibre 0 0, avec une vitesse de meme sens (points A, C, E,... de la figure 296), a des temps s6pares par un nombre entier de fois la periode T'. Les passages a la position d'equilibre avec des vitesses de sens

Page  426 426 D YAA MIQ UE contraires se font a des intervalles T': 2, egaux a la moitie de la periode. Les passages aux points a, }, y,..., de vitesses nulles, se font aux temps donnes par la condition: do -- lt I d-=0, e,~lt[-X sin wt+cost] =0, tg ot =-. Comme X est generalement tres petit vis-a-vis de o (nous jdonneT /A _ \\\B ('3 C/ _E/ Tems7, Fig. 296. rons tout a l'heure des nombres), o X est tres grand. L'angle ot est donc voisin de: 2, et un peu plus petit que '2. Posons ot=:: 2 -E; d6veloppons en s6rie g-)=t-tg gt -tg(-2 — cotg E - 6 tg E 6 — 2 - -- -- —, T' ), 20 Ct2 4 G)2 On trouverait evidemment de meme: T' X c 4 + ~2' La demi-oscillation n'est done pas coupee en deux parties egales par le passage a la vitesse nulle. Le temps necessaire pour aller de la position d'equilibre a l'elongation maxima est un peu plus petit que le temps n6cessaire pour revenir h la position d'equilibre. Experimentalement, cela n'a aucune importance, parce qu'on ne mesure jamais les durees d'oscillations a partir des positions de vitesse nulle; elles seraient trop mal determinees. 410. Variation des amplitudes. - Les amplitudes decroissent en progression yeometrique. Soient ~1 et 62 les amplitudes consecutives du meme c6te de la

Page  427 AMORTISSEMEN T ET EN TRE TIEN DES MO UVEMENTS OSCILLATOIRES 427 position d'equilibre, ax', yy', par exemple. D'apres ce qui precede, le mobile y parvient a des temps t et t+T'. On a done 1 -_ 0oco)-t sin wt, 02 -= - t- XT sin (ot+ oT'). Que t corresponde ou non a un maximum pour sin ot, toujours est-il qu'on a: cT':= 2:,, sin cot sill (wt -+ T'). D'ou: 0( 2:,e)T' Le rapport est constant: les amplitudes decroissent done en progression geometrique. On remarquera que le r6sultat est plus general que cet enonce. Les amplitudes obtenues aux temps t -kT', oi t est quelconque et k est la suite des nombres entiers, forment une progression geometrique. Mais la proposition n a d'interet pratique que pour les amplitudes (elongations maxima). Les temps cons6cutifs d'observation different alors automatiquement de T'; de plus, comme l'elongation est maxima, une petite erreur sur les temps d'observation est sans importance. Si ) est petit, on a e)T'1 +),T', 01 La quantite 8 qui mesure la diminution relative d'amplitude est immediatement accessible a l'experience. 411. Periode T sans amortissement, T' avec amortissement. - Comparons la p6riode T' avec amortissement a la periode T sans amortissement. On a: '-IT T_~' 1 /-f_2 f/ /_2T2 T 2V- -,j=:-T 41C $-8C I- 4+ s - 327r2I2 Or: o = xT' fT sensiblement. T' ~ D'ou: T- l+ - Admettons par exemple que la diminution relative d'amplitude soit d'un dixieme, — 0,1. C'est deja un amortissement considerable. Les amplitudes forment la serie: 100, 91, 83, 75, 68, 62, 57, 52, 47,... On trouve: T': T -1,000127; la diffdrence depasse a peine un dix-millieme. D'oui la proposition tres importante:

Page  428 428 D YNAMIQ UE Un frottement proportionnel a la vitesse ne modifie pas sensiblement la duree d'oscillation pourvu quz'il ne soit pas trop grand. Du reste la variation est tres facile a determiner. Ce r6sultat ne vaut evidemment que pour f petit. Si f croit beaucoup, T', qui d'abord ne depend pas de f, croit ensuite enorm6ment et devient infini pour une certaine valeur de f. Nous sommes ainsi amenes aux phenomeines ap6riodiques. 412. Energie absorbee. - Reprenons la question d'une maniere plus generale. Supposons que l'amortissement soit une fonction quelconque de la vitesse, d6veloppable en serie suivant les puissances croissantes de la vitesse. L'equation du mouvement est: It2 + CO + fiv + fv2 + f3v3 - o u d ct Comme les termes amortissants ne sont par hypothese que des perturbations, posons comme premiere approximation: 0 0 sin ot. Le travail des frottements pendant une demi-oscillation, de tj -T: 4 a t2 T:4, est: W = (fv + 2 - 3 + -...)do, expression dans laquelle il suffit de remplacer v par la valeur approchee Oro cos ot. + 2 Posons: I cos7 +.; 2 2' I 4 372_ 16 6__ I=2,2 I, 12 13 ' 15I, I 5,16 On a par derni-oscillation: W - fIoO) + f2I2c03 + fI3 +.. Nous choisissons les limites t1 et t2, parce qu'entre elles le cosinus ne change pas de signe. Or par nature les frottements doivent toujours produire un travail negatif. Quand n est pair, il faut changer le signe de f au bout des oscillations. Pour obtenir l'energie absorbee pour une p6riode entiere, il suffit de multiplier par deux l'expression que nous avons trouvee. Au bout des oscillations, l'energie potentielle (de deformation, s'il s'agit d'un fil parfaitement elastique) est: 01 CO2 C 0 dO- 2 f/9^

Page  429 AMORTISSEMENT T ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 429 Quand l'longation decrolt de A~, cette energie varie d'une quantite qui doit compenser l'absorption due aux forces amortissantes. Si nous mesurons le A) du meme cote de la position d'equilibre, c'est-a-dire pour une p6riode, nous avons donc: AO 2 C~. A~ -2W, -=+ 2I[,2(h+ +...j. En particulier, si le frottement est proportionnel a la vitesse, on a: T _. _, r. 2 21 2, - 0 - C 21. C'est la formule trouvee plus haut (~ 411). D'une maniire generale, l'amortissement 8 s'exprime par un developpement ou se trouvent les puissances de o ou de 1 T qui entrent dans le d6veloppement du frottement en fonction de la vitesse. Cet exemple est interessant, comme montrant la maniere de traiter les perturbations. 413. Mouvements aperiodiques. - Si le frottement est suffisant, le mouvement cesse d'etre periodique. L'integrale devient: e =e-)t (Ae-lt + Bek), avec les conditions 21' 2, Les constantes d'int6grations sont A et B. Ecrivons que pour t 0, la vitesse est nulle et l'elongation 00; l'integrale generale devient: 0 f 6es - [(k - X je-kl+ ( a + )e'il Si f est enorme, k )=; on a sensiblement 0 00. Le mobile ne tend plus a revenir a sa position d'equilibre. Quel que soit f, le mobile met un temps infini a revenir a sa position d'equilibre. I1 arrive a une fraction determinee 0 00o, de 1'elongation initiale au bout d'un temps qui croit a mesure que f croit et qui devient infini en meme temps que f. RACINES IEGALES. Si les racines sont egales, l'integrale est 0 - e-t (A + Bt), avec la condition: '= /C I. Ecrivons que pour tO0, la vitesse est nulle et l'elongation 0,; l'integrale generale devient: - OOe t(l +,t). Le mobile arrive a une fraction determinee de son elongation initiale en un temps t donne par la relation: t Constante. I1 est

Page  430 430 D YNAMIQ UE paradoxal qu'il diminue quand le frottement augmente. Mais dans le cas limite oui nous sommes, le frottement est li6 aux autres caracteristiques de l'appareil; on ne peut le faire varier, les racines restant egales, qu'en modifiant le couple ou le moment d'inertie. Pour que X croisse, il faut que le couple augmente ou que le moment d'inertie diminue, conditions qui diminuent la periode de l'oscillateur non sountis a des frottements. I1 n'est pas etonnant que les mouvements avec frottement deviennent plus rapides. 414. Manipulations. - L'experience la plus simple consiste a utiliser le dispositif du ~ 404, en installant un systeme amortisseur. L'air suffit a amortir les oscillations; on peut admettre que pour les mouvements tres lents que nous etudions, le frottement est proportionnel a la vitesse. L'amortissement d'un pendule de torsion est du, non seulement a l'air, mais encore au fil. Sans insister sur le mecanisme de l'absorption d'energie, toujours est-il que la matiere deformee en absorbe. Pour de tres petites oscillations, on admet generalement que le frottement est proportionnel i la vitesse. Pour se rendre compte des phenomenes, on diminue autant que possible ces absorptions en utilisant un mince fil d'acier et en donnant a l'oscillateur une forme sur laquelle l'air ait peu de prise: un systeme cylindrique realise cette derniere condition. On cree alors un frottement supplementaire variable. Par exemple, on plonge plus ou moins dans un liquide une surface cylindrique mince liee a l'oscillateur (fig. 297). Une vis permet de soulever le vase contenant le liquide. Le frottement est h peu pres exactement proportionnel a la vitesse et a la surface immergee. En modifiant le liquide, on verifie que sa nature influe = =-= ~ beaucoup sur la grandeur des phenomenes. Un autre procede consiste (fig. 298) i _ -- utiliser les phenomenes d'induction electrique. On d6montre qu'un disque D (de cuivre rouge par exemple), tournant dans un champ invariable (dui l'aimant NS par exemple), subit un frottement proportionnel a la vitesse. On fait varier le frotteFig. 297. ment en eloignant plus ou moins l'aimant. On mesure les amplitudes par la methode de Poggendorff (fig. 299).

Page  431 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSC1LLA TOIRES 431 On vise une echelle al'aide d'un viseur, par reflexion sur le miroir vertical M lie a l'oscillateur. Comme echelles on utilise des regles en bois mince, graduees en millimetres, qu'on cloue sur des formes circulaires en bois BB. On en fait ainsi des circonferences dont le centre doit coincider avec 1'axe de rotation de l'oscillateur. Quand le miroir tourne, l'image de la regle se deplace par rapport B M, I _ c,sc}teur \I N-^- I! JJ ^- -\ \.- --— e Fig. 298. Fig. 299. au reticule de la lunette. On demontre immediatement que" si le miroir tourne de l'angle a, les traits de la regle qui viennent sur le reticule sont a une distance angulaire 2a de ceux qui s'y trouvaient precedemment (fig. 299). Si la regle est a un metre de 1'axe de l'oscillateur, un degre de rotation du miroir vaut un deplacement de: 17m M45 X 2 - 34m,90. On observe aisement au 1/1 0 de millimetre, soit environ au 4/360 de degre, soit encore a 10 secondes d'arc pres. Equation et fonctions de Bessel. A la question du frottement sur les corps oscillants se rattache une serie de problemes dont les solutions dependent de l'equation et des fonctions de Bessel. Comme elles interviennent a chaque instant en Physique, nous allons montrer comment la Mecanique en fournit une representation tres simple. C'est un excellent exemple de l'aide reciproque que les sciences mathematiques appliquees fournissent aux sciences mathematiques pures, quand il s'agit d'acquerir une idee generale de l'allure des fonctions,

Page  432 432 D YNA MIQ UE 415. Equation de Bessel. - On appelle equation de Bessel 1'equation diff6rentielle du second ordre: clO + dO +(- /1 0; (1) n est un nombre quelconque que nous supposerons generalement entier. Les fonctions de Bessel sont des integrales particulieres de l'equation (1). Etudions d'abord les proprietes de l'integrale generale. Nous avons affaire au mouvement d'un mobile sollicit6 par une force CO et soumis a un frottement fdO:dt. Si l'on veut, c'est le mouvement oscillatoire d'un pendule dans un milieu resistant; mais les coefficients C et f sont maintenant des fonctions du temps. Apres un temps suffisant, C devient constant, f s'annule. D'oui la conclusion 6vidente: le mouvement tend comme limite vers une oscillation pendulaire tres lentement amortie. Pour une valeur suffisante du temps et un intervalle assez petit, on pourra done toujours poser: d20 2 7 Cdt- +- 0 0, O- 0sin+ot- +-0coscot; c= T =-l, T 2. Le phenomene tend donc a etre p6riodique avec 27t pour periode. A la verite, 00 et 02 sont des fonctions lentement decroissantes du temps. Ne consid6rons que les valeurs positives de t. Pour t 0, le frottement est infini; mais sauf pour n- 0, la force est egalement infinie et tend a ecarter le corps de sa position d'equilibre. 416. Fonctions J de Bessel. - Les fonctions J de Bessel sont des integrales particulieres de l'equation de Bessel pour les valeurs entieres de n. Elles sont definies par les series: itn t2 t4 Jn(t)- 2'2n! 2 1 2. (2 2 ) + - 2. 4. (2n + 2) (2n + 4) 2.4.6.(2n+2) (2n 4)(2n+6) +' i..J (1) n! -.2.3... n, 0! =1. Ce sont des integrales particulieres: en effet nous posons que pour t 0, J-=0, excepte pour J0 qui vaut 1. Nous nous donnons de plus la vitesse initiale. On a pour t=0: dt 0 except pour laquelle on a: dJ exepa fonction J pour laquelle on ade Bessel. dt 2 La fonction Jn satisfait bien a l'6quation de Bessel.

Page  433 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 433 Considerons en effet deux termes cons6cutifs qui sont de la forme, au facteur -4- 2n!, pres tn + 2s 2.4...2s.(2 -+ 2)(2n +4)... (2i + 2s) t 4-l 2 S + 2 2.4... (2s + 2). (2n + 2).. (2 + 2s+ 2) Les termes qui seront en 1t'"2' apres la substitution dans l'equation diff6rentielle, proviennent de l'un ou l'autre de ces termes: trois proviennent du second, un du premier. Negligeant les facteurs communs, on verifiera l'identite: (n +2s +2)(n+ 2 1) + (n+2s + 2) -(2s +2) (2n +2s + 2)-n 0. Voici quelques formules fondamentales reliant entre elles les fonctions de Bessel. On a: dt - Jn n+ (2) Pour verifier cette identite, il suffit d'utiliser le terme en tn+2S+2 (ci-dessus ecrit et appartenant a Jn) ofi l'on retablira le facteur [1 (2'"n)!], et le terme suivant de J,,+, 1 tn + I + 2s 1 + I 2 t+(n- + )! 2.4..7 2S.(2nz+6)7... (2n+2 —+ 2)' On a encore: d -( -J+) (3) Eliminant dJ: dt, entre (2) et (3), il reste 21n Jn _ ---- t J + Jn. + =0. (4) La formule (3) ne s'applique pas t n=-0; on verifie l'identite: dJo t ---J. (8) I1 est facile d'obtenir les derivees successives des fonctions J en fonction les unes des autres; il suffit de deriver (3) CdJ, 1 dJn_-1 I Jn + /1 t2 2 _ - d7-$ J (JfL_( n- 2-Jn) -(Jn — Jn+2)]' d12 - 2Jdt dt / A 4 d =J,8_-2J8+ n,2 (6) dlt2 -,,_,- - J Jn 2+ (6) Et ainsi de suite. Conformement au ~ 415, on dcmontre que la valeur asymptotique de Jo(t) est: Jo(t) / cos i- (7) Cours de Physique. - H. BOUASSE. 28

Page  434 434 D YNAMIQ UE Voici les zeros de cette derniere fonction; on donne au-dessous les zeros exacts de Jo: 2,36 5,50 8,64 11,78 14,92 18 2,40 5,52 8,65 11,79 14,93 18 La diffrrence est insignifiante a partir du sixieme.,06 21,21,06 21,21 Comme on a exactement: do/Idt —J1, il resulte de la formule (7) que les zeros de J1 sont bientot exactement intermediaires aux zeros de J0; et inversement. Voici les premiers zeros de J, et les valeurs intermediaires: 0 3,83 7,02 10,17 13,32 16,47 19,62 1,92 5,43 8,60 11,75 14,90 18,04 En d'autres termes, les zeros sont donnes par les formules: pour J0 t= ( - 0,25)-, pour Ji t (k- 0,75)7, sauf pour les petites valeurs entieres de k qui est le numero d'ordre du z6ro. 417. Pendule de longueur variable. - Le probleime suivant utilise les fonctions de Bessel. Voici d'abord la question usuelle qui lui a donne naissance: une benne est remontee dans un puits de mine; elle oscille; on demande quelle est l'influence sur les oscillations de l'enroulement de la corde sur le treuil. Reprenons les equations du ~ 388 pour le pendule simple; rapportons-les a l'unit6 de masse: d2x So dt2 + 0' d+2z - dt2 + Gz - 9 — 0. Ces 6quations restent vraies dans tous les cas, que I soit constant ou non. IEliminons: d2x dt2 + ~. z -d x d-O Les conditions: z I cos0, x - I sin, donnent: / d2X d2z) \ d ( dx dz\ d / do\ D'ou l'equation differentielle dj12 d~l - sin 0 O. dt(Idt)+gLsi'9 o. Pour les petites amplitudes (les seules que nous considerons), elle se reduit a d2+ 21 d do+ g it + dt dt - - (o1)

Page  435 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 435 Bornons-nous au cas oi la longueur varie proportionnellement au dO o O c O d 2O temps: l a+t bt, b ' t2 b +dt - b dl V d - dl d20 2 d g 0 (2) dl+ T - 4? -ty- -o. -O) Posons 10=, 7 -=b2: g. L'equation (2) devient: d2 + - 0. (3) Les equations (2) et (3) se raminent aisement a l'equation de Bessel d'ordre 4; par consequent, des solutions particulieres de (2) et (3) sont imnmediatement calculables par les tables de la fonction J,. Posons: = -J(y), -=2 V. On a: dc 1 2 d%2 2 d 4 ci?. i, -6, die- '2 dd?2 y3 ' d _ dO d _ dOE 2 d20 4 d2e 4 di - dd dhX " dd b' dX2 - 3d 62 d 'd 2 Substituons dans l'equation (3), il vient la nouvelle forme: d2O 1 d@ I1 ne reste plus qu'a exprimer 0 et ses derivees en fonction de J; il n'y a aucune difficulte, puisque ce sont des fonctions de la mme variable y. Substituant dans (4), on trouve: d2J I -, (5) d 2 D iiy - /22/ qui est l'equation de Bessel d'ordre 1. Les formes (2), (3), (4), (5), sont 6quivalentes. Le lecteur s'amusera a leur trouver des interpretations mecaniques. Comme solution particuliere, on a la fonction J: b 1 7 2b -\ 0-7 J-, r. Admettons cette solution particuliere; cherchons a quels temps ou, ce qui revient au m6me, h quelles longueurs correspondent les elongations maxima. I1 faut que: rd 1lJ/1-0 dJ -0 y-J 2b dy JY), dy y Y,~f D'apres la formule (2) du ~ 416, cela revient a ecrire: r [L 2bi ] = - (6) J'\is

Page  436 436 D YNAMIQ UE Reciproquement, nous serons suirs que la solution particuliere convient, si nous lachons le pendule hors de la verticale et sans vitesse angulaire pour une des longueurs en nombre infini qui satisfont a la condition (6). ALLURE DU PHENOMIENE. On se rend imm6diatement compte de l'allure du ph6nomine en etudiant l'6quation (1). Suivant que le poids descend on monte, la vitesse di: dt est positive ou negative, le frottement est un frottement au sens ordinaire du mot (force qui s'oppose au mouvement) B /ou un frottement n6gatif (force dirigee dans le sens du mouvement). c Le lecteur fera l'experience (fig. 300). I1 consta/- - tera que si on tire sur le fil AB, l'amplitude des oscillations augmente; elle diminue si on laisse descendre le pendule. A / Comme l'amplitude crolt pendant le raccourcissement du pendule, et decroit pendant son allongement, il ne s'ensuit pas a priori que l'energie cinetique maxima augmente. En effet, maintenons ^P au pendule une longueur constante 1: l'energie Fig. 300. cinetique maxima, ou encore la somme constante de l'energie cinetique et de l'6nergie potentielle pour cette longueur 1 a pour expression: mgl/0 2. 418. Fonctions I de Bessel. - Remplacons dans l'equation de Bessel t par ti (i2 - 1). Elle prend la forme: ddt+ T i _( + t Nous avons maintenant un mouvement aperiodique. La force tend toujours a eloigner le mobile de sa position d'equilibre; pour un temps t suffisant et un intervalle assez petit, le frottement devenant nul et la force proportionnelle a l'ecart, la solution est exponentielle. Nous retrouvons done avec des coefficients variables les deux cas precedemment traites (~~ 409 et sq.) pour des coefficients constants. Le mobile s'6loigne indefiniment et avec des vitesses croissantes. Comme solutions particulieres de (1), nous considerons les fonctions I de Bessel definies par la relation I,,(t)- i-'J(it), 2t 2( 2 t4 +-) ]- (1) 2 nl 2(27) 2) 2A. 4.(2 t_ + 2) (2it +3 A)

Page  437 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 437 On demontrera comme pre'demment les proprietes din n (2 -dtn t I+ J1, (2) dIt n 2n Ll t-L -In- -, (4) do () dt Entretien d'une oscillation par deplacement de la position d'Squilibre ou du centre d'inertie. 419. Deplacement brusque de la position d'equilibre. - Soit un mobile qui se meut suivant la loi (courbe AOC... de la figure 301) 0 00 sin ot, u= 0 cos (ot; (1) u represente sa vitesse pour l'elongation actuelle 0. Brusquement on 0.... 0 33 A Fig. 301. amene la position d'6quilibre dans l'azimut.i. On ne change evidemment pas la periode de l'oscillation; elle continue a se faire suivant la m6me loi, mais autour de l'azimut ~. On doit poser: 0' -- 0o sin (rot- ), u'- 0O cos (Cot- a). (2) Determinons la nouvelle amplitude 0 et la phase a, par la condition que: 0 = 0', u = u' quand s'est effectue le changement, c'est-a-dire pour le temps defini par la condition: 0 = 0o sin (t.

Page  438 4i38 D YNAMIQ UE Les equations a satisfaire sont: 0o(0 - ) = o0 cos - Oo0 - 02 sin a, 0o2/ — 02 - Oo\/ - 02 cos. + 0o0 sin. Elevons au carre et additionnons; divisons membre a membre; il vient: 0o — 0 + 2 - 2oe, tg - - (3) DISCUSSION. Si le changement s'effectue quand le mobile est aux points A et C de la courbe figurative de son mouvement (points pour lesquels la vitesse est nulle), on a: 0 - 90; tg= -0, =; 0 00= 0 ~. Le changement de phase est nul; c'est alors que l'amplitude varie le plus. Les nouvelles sinusoides sont les courbes en pointille 1 et 2, tangentes a la sinusoide primitive respectivement en A ou en B. Leurs maximums, minimums et zeros sont synchrones des maximums, minimums et zeros de la sinusoide primitive. Si le changement se fait pour 0 -0, on a 0' - o2 + 2, tg -~: 0o. Le changement de phase est maximum quand 0 = t, c'est-a-dire quand le changement s'effectue lorsque le mobile passe au point B. On a: 0' o 2- ~, tga v-: 0-. Le changement de phase est represente en temps par la distance BD. Si le deplacement ~ est assez petit pour qu'on puisse negliger son carre, il reste: S0o - -~ sin cot, Sa O -- cos ot. 00 420. Manipulations. - L'experience vulgaire montre que, pour lancer un pendule tenu a la main, on imprime h l'extremite superieure de petits deplacements horizontaux lorsque le pendule atteint ses positions extremes. Pour diminuer l'amplitude des oscillations, on procede de m6me, mais en changeant le sens des petits mouvements. On realise ainsi assez exactement la condition 0 =- -O, etudiee au paragraphe precedent; mais l'experience est r&itere toutes les demi-oscillations. La theorie ne s'applique au pendule que si les oscillations sont assez petites, puisque c'est seulement a cette condition que la loi sinusoidale est verifiee. Elle s'applique bien plus rigoureusement a un pendule de torsion;

Page  439 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 439 d'ou une interessante manipulation. On fixe l'extremite superieure du fil a une piece tournant autour d'un axe vertical et a laquelle on peut imprimer un petit deplacement angulaire limite par des buttoirs. La figure 302 la represente vue d'en haut. Si on opere exactement au bout des oscillations, on modifie l'amplitude sans toucher ( a la phase; on ne change pas la periode. I1 serait cependant assez difficile d'obtenir par ce procede une constance absolue de la periode, car tg a varie relativement vite au Fig. 302. voisinage de 0 00. Le procede est au contraire excellent pour maintenir une amplitude constante malgre les frottements. 421. Deplacement continu du point de suspension d'un pendule. - Nous avons demontre au ~ 95 que l'acceleration absolue est egale a l'acceleration relativement a un systeme d'axes entramnes, plus l'acceleration d'entralnement, a la condition que le mouvement d'entraine- 0 A ment soit une translation. Imaginons un pendule dont le point de suspension decrive une droite horizontale suivant une loi quelconque. Prenons pour axe de r6ference la verticale qui passe par le point de suspension (fig. 303); soil: d2X -my T- -d' zI l'acceleration du point de suspension O m (acceleration d'entrainement). Pour obtenir le mouvement relatif, nous Fig. 303. devons done appliquer au centre d'inertie du pendule, verticalement la pesanteur mg, horizontalement la force - my. D'ou l'equation rigoureuse du mouvement: d2O I d-t- ml(g sin 0 - -y cos 0) = o0. Si les amplitudes sont petites, l'equation se simplifie dt2 idt + ml(gO +y )- 0. Si le pendule peut Qtre reduit a un point pesant, il reste: d2 + T o. dt2 u0 y 0. (1)

Page  440 440 D YNA MIQ UE Nous retrouverons ce probleme au Chapitre VII sur les oscillations entretenues. CAS PABTICULIER. Bornons-nous pour l'instant au cas ou le point 0 est anime d'un mouvement de meme periode que celui du pendule. Posons - 0o sin ot- Ot cos (ot - ), x = x sin (ot -). Substituons dans l'6quation (1); il vient: (OX0 (o - by. I n i '- 21 On peut ecrire la valeur de 0 sous la forme 0 = sin (ot- A), 02 0 + 02 - 20o00t sin o, tg A -- ts Olt sin 6 - 00 Soit maintenant xo assez petit pour qu'on puisse negliger le terme en 02; il reste 2 _02 -- 2o000t sin, A. (2) L'oscillation ne change pas de forme; seule son amplitude varie a mesure que dure l'experience. Calculons cette variation d'une autre maniere. Multiplions les deux termes de l'equation (1) par mldO, et int6 -grons pour une oscillation entre deux passages a la position d'equilibre. Le second terme disparait; il reste L__ de\1 t ml2 T LI2 1 1 @22lI jo m yd0. TI La variation de Q2 entre les temps 0 et T, est ~2- 02; toute r6duction faite, il reste: ~0 o — 2 o1T sin, et par consequent la formule (2), quand on fait durer indefiniment l'exp6rience. DIscussION ET EXPERIENCE. L'amplitude reste constante pour o - 0, 8==7Z. Elle est au contraire le plus variable possible pour 7 37.3 Tout ceci confirme ce que l'experience vulgaire nous apprend.

Page  441 AMORTISSEMENTT ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 441 La figure 304 montre les positions correspondantes de la masse du pendule et de l'extremite superieure du fil pour le meilleur lancement. La phase de cette extr6mite est en avance de::2; on a alors 86 =- -: 2. En effet, tant que le pendule redescend (de 1 a 2), l'extremite superieure du fil se trouvant entre les positions I et 2, la force (qui est acceleratrice) est plus grande que si l'extremite restait immobile en 1. Au contraire, quand le pendule remonte (de 2 a 3), 3 3 2 anc 2C e Fig.emen Arre304. Fig. 304. la force (qui est retardatrice) est plus petite que si l'extremite superieure restait immobile en 1. De meme pour l'autre moitie de l'oscillation. Pour arr6ter le pendule, on change de ~ la phase du mouvement de l'extremite superieure. Quand on lance le pendule a la main, le mouvement communique au point de suspension n'est pas strictement sinusoidal; on retombe sur la theorie du ~ 419. Nous trouvons que l'amplitude ne varie pas pour: -0, — 7. Reprenons ce cas particulier. Posons: 0; 00 sin cot x — - p0o sin ot. L'equation (1) est satisfaite avec la valeur de to )= -\/: (i+,) - Tout se passe comme si la longueur du pendule etait augmentee si les mouvements ont une diff6rence de phase nulle (F > 0), diminuee si le decalage est de ( (, < 0). Nous aurons l'occasion d'utiliser au ~ 462 l'equilibre relatif du pendule sous l'influence de son poids et de l'acceleration de son extremite superieure.

Page  442 442 D YNAMIIQ UE 422. Entretien par deplacement du centre de gravite. - Un pendule simple de masse m, de poids p et de longueur I oscille avec une amplitude 00. Au passage par la verticale nous diminuons brusquement de A la longueur du fil de sus0 pension (fig. 305). Nous pouvons adnettre (ce n'est rien 01o\ S~imoins qu'6vident) que le travail d6pense \\ B pour obtenir ce raccourcissement est \ C E/ p........... ^B - \^ '"/ ~Voici la difficulte rencontree dans A;\ ^ D~ cette evaluation. Quand le mobile passe par la position d'equilibre, la vitesse Av,-~ ~angulaire est 00o, puisque le mouvement Fig. 305. est represente par l'equation: 0) 00 sin ct. La force centrifuge est done: m0Oco2l. Elle augmente la tension du fil; on est tente d'en tenir compte dans l'evaluation du travail de raccourcissement. Mais si, par hypothese, on diminue brusquement la longueur du fil, on modifie la trajectoire qui devient rectiligne, sauf tout a fait au d6but, ou son rayon de courbure est tres petit. Le travail de la force centrifuge est par consequent negligeable. Nous n'avons pas modifie la vitesse lineaire du mobile normalement au fil; sa vitesse angulaire est donc apres le raccourcisseinent: 900 ~ (l-A). D'une maniere plus generale, la force vive du mobile n'etant pas chang6e, il doit parvenir a une elongation 0o qui corresponde a la meme hauteur h que pr6cedemment au-dessus du niveau de passage par la verticale. D'ou la condition h -=-( A) (1 - cos 0O) l(1 - cos 00). (1) Lorsque le mobile est en C, ramenons-le en D suivant la trajectoire CD. I1 descend de ED; nous recuperons un travail: C' -pA cos Oo. Mais alors il repart du point D et parvient au point A avec une vitesse sup6rieure a celle du precedent passage; l'amplitude a passe de 00 a 0o; son energie a augmente de: W -pl(cos 00 - cos 0'). Montrons que cette energie est fournie par le travail execute en tirant sur le fil: W - - C'.

Page  443 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 443 On verifiera en effet que la condition: pl(cos 00 - cos 0') =pA(l - cos 0'), est identique a la condition (1). L'entretien des oscillations d'une escarpolette se ramine pour la majeure partie au phenomene precedento Alternativement loperateur flechit les jambes et se redresse. Impulsions. 423. Impulsion appliquee a un corps tournant autour d'un axe fixe. - Soit r le moment du couple applique. Nous avons a chaque instant, en appelant u la vitesse angulaire I d2-=r, Idu Fdt. Nous supposons que la duree d'action du couple est tres petite. Nous appelons impulsion ou percussion l'integrale par rapport au temps: 3- = /Pdt I du- Iu2 - 1u1. L'impulsion est done mesuree par la variation de la quantite Iu, produit du moment d'inertie par la vitesse angulaire, qui joue dans le probleme actuel le m6me role que la quantite de mouvement dans le cas des deplacements lineaires. 424. Application au pendule. - Un pendule, d'abord au repos, re9oit une impulsion 3. On demande jusqu'a quelle elongation il ira, a partir de sa position d'equilibre. On neglige les frottements. Ecrivons que le travail effectue contre les forces de la pesanteur est egal a l'energie cinetique au depart. Soit p le poids, I la distance du centre d'inertie a l'axe de rotation; pour une elongation 0, le travail contre la pesanteur est: 0 pl(l - cos O) = 2pl sin2 -. La vitesse angulaire au depart est: u -: I. L'energie cinetique est: 2 L'equation donnant 0 est done: 0 32 2plsin2 2- D'ou: ~ = 2v'pI. sin -2

Page  444 444 D YNAAMIQ UE On a plus simplement: =\I/plI.0, si 0 est assez petit pour 0 0 qu'on puisse poser: sin -2 - Dans ce dernier cas, on peut donner a la formule des expressions souvent utilisees. Soit T la duree d'oscillation du pendule T =2 / On tire de la: 0 — /pi ^Tpl' Les raisonnements precedents s'appliquent a un corps mobile autour d'un axe, soumis a Faction d'un couple CO proportionnel a l'angle d'ecart avec la position d'equilibre (galvanometre balistique). 3 273 On a: 0 6 TC 425. Impulsion appliquee sur un corps mobile autour d'un axe dans le cas ou le frottement est proportionnel a la vitesse. - L'equation du mouvement est: I dt- + f d/-+ CO =. Soit 3 l'impulsion: le corps part du repos au temps t 0 avec une vitesse angulaire uo ==( )/ 1. MOUVEIMENT PERIODIQUE. Supposons d'abord l'int6grale de la forme 0 - 0oe sin ot. La vitesse a generalement pour expression: u 00e [- Lk sin tt -- o cos ot]. La condition initiale est donc uo =: I = 0o(o. uoT -v D'ou l'integrale: 0 = - e sin cot. L'amplitude (1longation maxima) est donnee sensiblement par uoT T )T T sinot=- t, tT 4, 0- TT-: ~e-. Puisqu'on a tr6s sensiblement 27m~5 T T=:- 27, C il vient enfin: 0 — e e- T; c'est la meme formule que plus haut, a un facteur constant pres.

Page  445 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 445 MOUVEMENT APtiRIODIQUE. Supposons maintenant le mouvement aperiodique. Ecrivons que pour t = 0, la vitesse angulaire est u0, et l'longation nulle, 0 = 0. Dans le cas general, on a: uo e- )i e-,kti - Ecrivons que la vitesse est nulle, c'est-a-dire l'6longation maxima le temps doit satisfaire a une equation ou 1z0 n'entre pas; sa valeur 1 ne d6pend donc que de X et de k, c'est-a-dire des constantes de l'appareil. Autrement dit, le mobile met a aller jusqu'a l'elongation maxima un temps independant de la vitesse initiale. L'elongation maxima est proportionnelle a la vitesse initiale u, puisque le rapport 0: u0 est egal a une fonction du temps t dans laquelle la variable t prend une valeur constante. Dans le cas particulier oi les racines soat egales, on a -'At 0 -- ut. e L'elongation maxima, donnee par la condition dt — 0, arrive au temps t —: X - / C; elle a pour expression Ae eli eyIC Imaginons- qu'il soit possible de supprimer l'amortissement; la periode deviendrait T -22/I: C. Introduisons cette valeur dans la formule, il vient: -T -. TC' e L'appareil est e fois, soit environ trois fois moins sensible avec l'amortissement critique que sans amortissement. En definitive, quelle que soit la grandeur du frottement, suppose proportionnel a la vitesse, l'impulsion est mesuree en valeur relative par l'angle d'ecart a partir de la position d'equilibre. 426. Travail correspondant a une impulsion determinee.Voici une remarque fondamentale: A une impulsion determine'e ne correspond pas une quantite de travail determinee. Ce n'est qu'a la fin du xvie siecle qu'on a precise lero6le des deux integrales: travail (integrale du vecteur force le long d'un parcours), impulsion (integrale du vecteur par rapport au temps). La fameuse dispute du xvIII siecle sur la force des corps, a laquelle tout le monde prit part, m6me Voltaire, a pour cause la confusion entre les notions fondamentales de travail et d'impulsion. Les uns mesuraient la force des corps par la force vive (6quivalente au travail), les autres par la quantite de mouvement (equivalente a l'impulsion). I1 va de

Page  446 446 D YNAMIQ UE soi que la lutte pouvait durer longtemps; les adversaires combattaient dans des plans differents. Cherchons a quel travail correspond une impulsion. Soit F le couple a chaque instant, 0 le deplacement, u la vitesse angulaire. Le travail est: -C s/Fdo - u. dt. II est done impossible de le calculer quand on connalt seulement l'impulsion 3= j dt, a moins d'hypotheses particulieres. Nous allons voir a quel point les hypoth6ses influent sur le resultat. 1~ Supposons d'abord le corps au repos et le couple exterieur nul. Impossible alors de considerer la vitesse comme constante, puisque le role de l'impulsion est precis6ment de faire passer cette vitesse de 0 a une certaine valeur Au. Remplagons la vitesse par sa valeur moyenne; le travail est: Au 32 2- 21' II est d'autant plus petit que le moment d'inertie du corps percute est plus grand. Sans changer le couple C, modifions le moment d'inertie par l'adjonction de deux masses egales, symetriquement disposees par rapport au centre d'inertie du pendule, ou par rapport a l'axe de rotation du corps oscillant sous l'influence de l'elasticit6 de torsion d'un fil: la duree d'oscillation augmente. Correlativement, a une meme impulsion 3 correspond une elongation maxima 0 plus petite, car l'energie potentielle pour l'angle 0 conserve la meme expression C02: 2. 20 Supposons encore le corps au repos et le couple exterieur non nul, 6gal a FO. Nous ne pouvons plus meme prevoir le signe du travail execute par l'impulsion. Un exemple bien simple prouve le fait. Un oscillateur se trouve exactement au bout de son oscillation; nous profitons de l'instant ou il est immobile pour produire l'impulsion. Admettons, pour faciliter la discussion, qu'on la puisse considerer comme due a un couple constant F: Si r=r, le couple auquel etait soumis l'oscillateur est equilibr6; il reste immobile le temps: le travail de l'impulsion est nul. Si F> O, l'oscillateur est soumis a un couple F- F0 tendant a accroitre l'amplitude. Le travail est ( F-r)Ao, que nous pouvons encore prendre egal a 32 21, mais a la condition d'appeler 3 l'impulsion correspondant, non plus au couple F, mais au couple F - F0. Pour les mecaniciens, r etant toujours enorme devant toutes

Page  447 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 447 les autres forces en jeu, il importe peu; mais pour les physiciens qui appellent impulsions des forces relativement grandes et de dur6es relativement courtes, mais qui sont toujours de l'ordre de grandeur des autres forces, la distinction est essentielle. Enfin si F< Fo, le travail de l'impulsion est negatif: loscillateur parviendra en un point plus rapproche de sa position d'equilibre avec une vitesse moindre que sans limpulsion;. celle-ci est incapable de s'opposer efficacement au couple FO pour arr6ter l'oscillateur, et a fortiori pour augmenter l'amplitude. 3~ Si la vitesse est quelconque au moment de l'impulsion, le terme ou entre la variation de la vitesse, qui etait principal dans les cas precedents, devient ici secondaire. Nous pouvons prendre comme travail de l'impulsion: C-j/u+ Au) Au repr6sentant la variation de la vitesse pendant que dure l'impulsion, variation due a l'impulsion et aux autres forces existant simultanement. I1 serait illegitime de remplacer dans la formule Au par S: I. Tout ceci prouve que si la notion d'impulsion est commode, sauf exceptions elle ne represente quelque chose de net que quand on peut expliciter la force ou le couple en fonction du temps; mais alors l'impulsion n'est plus que le nom d'une certaine integrale, ou encore un artifice de raisonnement. 427. Insuffisance de la percussion pour 1'etude des phenomenes. - Voici une experience simple qui met autrement en evidence l'insuffisance de cette notion (fig. 306). — (_? L'un des plateaux d'une balance est charge de poids. A l'autre est fixe un prolon- 13 J J gement P auquel s'attache en A un fil plus ou moins elastique. L'experience consiste B a lacher un corps de poids p d'une hauteur invariable h, et Fig. 306 a observer si le prolongement P' quitte le buttoir B1 et choque le buttoir voisin B,. On est averti du choc par la fermeture d'un circuit electrique a travers un galvanometre. On peut faire varier la hauteur h, le poids p, la longueur L et la constante elastique E du fil, c'est-a-dire le coefficient par lequel il faut multiplier l'allongement I pour avoir la tension du fil.

Page  448 448 D YNAMIQ UE Ii est evident que la condition indispensable pour que le prolongement P' quitte le buttoir B1, est cue cette tension devienne superieure a une certaine limite, condition qui depend essentiellemerit de la nature du fil. Ecrivons, en effet, que la vitesse du poids est nulle, ou, ce qui revient au meme, que les travaux s'equilibrent pour un allongement lo: 2p(h + L + lo)- Eil. L'energie potentielle due a l'allongement du fil est en effet: El- 2. On tire de la: F = oE=p '+ \ l+2(h +L) -. Cette force maxima F croit a mesure qu'augmente le rapport E: p. Si le poids est attache avec un caoutchouc de grosse section, une hauteur de chute suffit a d6placer les plateaux, qui est insuffisante quand on utilise un caoutchouc plus mince. CALCUL DES IMPULSIONS. Evaluons les irnpulsions, c'est-a-dire les integrales par rapport au temps des forces qui agissent sur le corps p et sur le point A. Quand le poids commence a allonger le fil, sa vitesse est: V =2g(h +L). L'impulsion qu'il regoit alors jusqu au moment ou il s'arrete a une valeur bien determinee et independante de la nature du fil; elle est mesuree par la quantite de mouvement initiale = 3 {(El-p)dt —7n \/2j(h — L). L'impulsion recue par la balance n'est pas egale a la pr6c6dente elle d6pend do la nature du fil. L'integrale par rapport au temps de la force appliquee en A est S' fEl dt. Tout ce que nous savons a priori, c'est que 3' est plus grand que c. En effet,; annule seulement la vitesse que possede le poids au moment ouf il commence a allonger le fil, tandis que;' annule, non seulement cette vitesse, mais encore celle que la pesanteur, qui continue a agir, fournit au mobile jusqu'a son arret. Pour calculer exactement 3', il faut utiliser la loi d'allongement: El p 1 + - 2(h + L) sin g/-. t. On verifie cette formule en ecrivant que pour I 0, on a dl: dt=V; qu'au milieu de loscillation (t-0), la tension du

Page  449 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 449 fil equilibre le poids du corps: Elp; enfin qu'au bout de l'oscillation (t -: 2), on a I lo-. On se reportera aussi au ~ 339. L'impulsion r' reque par la balance surpasse d'autant plus c, est par suite d'autant plus grande, que E est plus petit; c'est cependant alors qu'il y a moins de chance pour que le poids p souleve le plateau. Quand le fil s'allonge peu, on peut poser 3= '. L'impulsion sur le point A est immediatement connue. Elle produit cependant les effets les plus differents suivant la nature de la ficelle ou du caoutchouc qu'on emploie. FIL A PEU PRES 1NEXTENSIBLE. Si le choc est extremenzent brusque, le phenomene est entierement renverse. C'est qu'alors il faut tenir compte de la loi de transmission de l'ebranlement le long du fil, tandis que, dans le raisonnement pr6ecdent, nous admettons que la tension est a chaque instant la meme tout le long de ce fil. Une experience vulgaire est a citer. Dans les foires, les bateleurs posent les extremites d'un manche a balai sur deux verres; d'un coup violent en son milieu, ils le cassent sans que les verres aient le moindre mal. Un coup moins violent casserait les verres, mais non le manche a balai. Dans le premier cas, l'effort n'a pas le temps de se transmettre aux verres; le bois est brise avant, ce qui change les conditions du probleme. De m6me pour le fil. Un choc trop brusque peut, sans casser le fil, amener des vibrations, mais non soulever le plateau de la balance. Nous insistons sur ces considerations, parce que nombre de physiciens s'imaginent qu'on peut calculer l'effet d'un coup de marteau independamment de la nature des matieres qui forment le marteau et l'objet sur lequel on frappe. 428. Influence d'une ou plusieurs percussions a certains points d'une oscillation sinusoidale. - Soit 0=00 sin t, la loi d'oscillation d'un pendule. Lorsqu'il est dans l'azimut 0, on lui imprime une petite impulsion qui modifie sa vitesse angulaire actuelle u de Su; on demande ce qui resulte pour la dur6e d'oscillation. On a: 0 - 0sin (ot u -- (=o cos wt; tg cot = o0: u. Le temps necessaire pour aller de l'azimut 0 0 a l'azimut actuel, est done: t1 -arctg to' (o [/ A partir de cet azimut, le pendule continuant son oscillation parvient a l'amplitude 0, dans le temps: t2. 1arctg. t -t'@ t J Cours de Physique. - H., BOUASSE. 29

Page  450 450 D YNAJMIQ UE Supposons que, dans l'azimut 0, on donne une petite impulsion qui modifie la vitesse angulaire de 8u. Le pendule continue l'oscillation avec une vitesse un peu plus grande; le temps qu'il emploie pour parvenir a l'elongation maxima est: I - (2- arctg -. L'accroissement de duree est done: _1 - coO (00 1 Otl ajrctg, o0,) I Oa |arctg arctg.() a -t2 Cette formule donne d'interessants resultats. Si l'impulsion a lieu lors du passage a la position d'equilibre (0 = 0), la duree de l'oscillation n'est pas modifiee. On s'efforcera done qu'il en soit ainsi dans tous les echappements (voir plus loin); car ils produisent precis6ment une petite impulsion. Le resultat etait bien evident a priori puisque, la duree d'oscillation etant independante de l'amplitude, elle l'est par suite de la vitesse au passage par la position d'equilibre. o1 Supposons que les impulsions utilisees augmentent toujours la valeur absolue de la A c! _____ 0vitesse (fig. 307). -J_ _A 0 0____ B____ Le mobile allant de O en C regoit une impulsion quand il passe en C; elle est par hypo-~_ _ c oI0 D 0 these dirigee dans le A B sens CA. I1 est clair qu'elle augmente la duFig. 307. ree de l'oscillation. Car le mobile a accompli le parcours OC avec une vitesse plus petite qu'il ne conviendrait pour la vitesse qu'il a desormais en quittant le point C. Si le mobile revenant en C reqoit une nouvelle impulsion (par hypothese dans le sens CO), la dur6e d'oscillation sera diminuee, car le mobile parcourt l'espace CO avec une vitesse plus grande qu'il ne conviendrait pour la vitesse possedee en arrivant en C. Deux impulsions au point C egales, et qui toutes deux augmentent Ia valeur absolue de la vitesse, laissent done a la duree d'oscillation sa valeur premiere. La formule nous apprend, en effet, que les variations de dur6e sont egales et de signes contraires; les 5u correspondant aux deux passages ont meme valeur absolue, mais l'une des impulsions augmente la valeur absolue de la vitesse qui est negative, Su < 0; l'autre augmente la valeur absolue de la vitesse qui est positive, u > 0. De m6me, deux impulsions egales en C et en D, le mobile allant

Page  451 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 451 dans le m6me sens, ne modifient pas la dur6e. Les 8u sont de m6mes signes, les '0 de signes contraires. Si done il est impossible de produire l'impulsion lors du passage par la position d'equilibre, on obtient le meme effet par deux impulsions sym6triques. 2~ I1 est aussi aise de prevoir les phenomenes lorsque l'impulsion diminue la valeur absolue de la vitesse. Par exemple, nous avons vu qu'une impulsion acceleratrice en C augmente la duree de l'oscillation. Quand le mobile revient en C, une impulsion de m6me sens, et par cons6quent retardatrice, augmente aussi la duree de l'oscillation. Cela se comprend immediatement; le parcours CG sera effectue avec une vitesse relativement trop petite. D'oui un r6sultat interessant et que nous retrouverons plus loin. Nous donnons a un mobile oscillant une serie de percussions egales et de meme sens, separees par un intervalle T -- s; T est la periode de l'oscillateur sans amortissement. Comme la periode des deux phenomenes n'est pas la meme, les impulsions successives ne correspondent pas a la m6me position de l'oscillateur. Supposons qu'elles correspondent successivement a tous les points de l'oscillation qui sont a gauche de la position d'equilibre, et que limpulsion soit ellenmme dirigee vers la gauche; la periode moyenne de l'oscillateur est augmentee (~ 487). De la valeur T, elle passe a la valeur T-+ —'; on a generalement < s. 429. Representation par un vecteur. - Nous pouvons figurer l'oscillation au moment du choc par un vecteur OA (~ 477). La longueur OA represente l'amplitude 00; l'angle y est ce que j'appellerai le decalage c'est la mesure en angle du temps qui s'est ecoule B B depuis le passage a la position / d'6quilibre, au moment oiu l'impulsion a lieu. Cela revient A A a poser: ~t=. Cherchons comment l'impul- / D //D sion modifie le vecteur repre- \ / sentatif. / / Nous avons vu au ~ 428 C/ qu'une impulsion, mesuree par la variation de vitesse 8u, amene Fig. 308. un retard: ua en temps, evalue en temps, ct c,202-; W 1) evalue en angle, - IcoV- E -- o0~ ' o2O

Page  452 452 D YNAMIQ UE II faut le signe - devant 8p, parce que si la periode se trouve allong6e, le decalage est diminue; le temps que l'oscillateur a mis pour venir de sa position d'equilibre est diminue, non pas en valeur absolue, mais par rapport a la nouvelle periode. Posons 0 0 0o sin (ot = 00 sin o; il vient: -s Op =- sin? =p sin?; p est une mesure de la percussion: c'est une grandeur Tau 2x ayant les dimensions d'une amplitude et representee par le vecteur 00'. Cherchons la variation de l'amplitude. On a: u = o00 cos?, u - toS0o cos o-0, sin o s; 8u = 80o cos o + 8u sin2?, 800 cos = p cos. En definitive, nous trouvons les expressions 00OSp= -p sin (, 00 =p cos?. Menons du point 0' comme centre une circonf6rence de rayon OA. Pour obtenir la variation d'un vecteur quelconque OA, il faut mener la parallele AA' a la droite de reference et joindre OA'. On a en effet: AA" = - o008p AA' cos A'AA' =p sin p, A"A' p cos o. On retrouve tous les resultats du paragraphe pr6c6dent. Si l'impulsion a lieu an passage par la position d'equilibre, le vecteur OD devient OD'; il y a variation d'amplitude sans decalage. Si limpulsion a lieu au bout des oscillations, le vecteur OB vient en OB'; il y a ddealage sans variation d'amplitude. Ce mode de representation nous servira plus loin a discuter lentretien par une s6rie de chocs periodiques (~ 487). 430. Oscillations a peu pres sinusoidales. - Sur le mobile agissent: 1~ une force proportionnelle h l'l6ongation; 20 d'autres forces quelconques suffisamment petites par rapport h la premiere. On pent regarder ces forces comme proc6dant par impulsions successives infiniment petites. Si, pour l'azimut 0, l'une d'elles F produit une variation Su de vitesse angulaire, elle change la duree d'oscillation de 0au: w200. Mais le principe de la conservation de l'energie donne la condition u2 0 8Is" FOdt FdO Id — IuIou; d'o: 0 - 20. Ainsi la p6riode de l'oscillation troublee par de petites forces

Page  453 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 453 differe de la periode de l'oscillation rigoureusement sinusoidale d'une quantite immediatement calculable par l'int6grale JFOdt (I) Comme c'est correction, il suffit d'y supposer le mouvement rigoureusement sinusoidal. 431. Forces agissant sur l'amplitude et n'agissant pas sur la duree. - Les amortissements proportionnels a des puissances de la vitesse sont dans ce cas. Nous avons vu au ~ 428 comment ils interviennent sur l'amplitude. I1 est evident, d'apres ce qui precede, qu'ils n'interviennent pas sur la duree. Ils jouent en effet le role de percussions agissant toujours pour diminuer la vitesse absolue. Au signe pres, nous sommes dans le cas 1~ du ~ 423. Il y a compensation. Le quart de periode pendant lequel le mobile va de la position d'equilibre a l'amplitude maxima, est raccourci d'une quantite r; mais le quart de periode pendant lequel le mobile retourne de lelongation maxima a la position d'equilibre, est rallonge d'autant. Il est tres facile de calculer cette quantite -T. Le terme qui depend de la puissance nT..'e de la vitesse est: JF __dt 1 f no — 3 o)'1 cos _to fo" n- O~ o~ c os ' Fodt I fn'1 %~ ') j -- ~ I 1+1 0 (t)cosf c0t soit, pour un quart d'oscillation: 1i f,_ _ o '-l -3 + 0 Or nous avons trouve pour l'amortissement o par oscillation enti6re (~ 412): 5,1 I vient en definitive pour le temps: a.T 4-(n- + 1)I, On a par exemple pour le frottement proportionnel a la vitesse I es, Laformule du f 10. C'est la formule du ~ 410. Nous savons que la compensation n'est pas absolument rigoureuse: la duree d'oscillation augmente un peu du fait des actions amortissantes.

Page  454 4541 D YNVAMIQ UE 432. Forces agissant sur la duree et n'agissant pas sur l'amplitude. - Supposons l'equation du mouvement de la forme: d20 dt2 + C10 + C2 + C33 +... 0.O. Nous considerons les termes en 02, 03,..., comme de simples perturbations. La formule generale du ~ 428 nous permet de calculer immediatement leur action sur la duree. I1 n'y a plus compensation, au moins dans la demi-oscillation qui va de la position d'6quilibre a la position d'equilibre. Les forces perturbatrices conservent en effet la meme direction; nous sommes dans le cas 2~ du ~ 428. Une distinction est ici necessaire. 1~ Les forces qui dependent des puissances impaires de l'elongation changent de signe en passant par la position d'equilibre. Done la compensation, qui ne se fait pas pour une demi-oscillation, ne se fait pas davantage pour une oscillation entiere. Si les coefficients C3, C5,..., sont positifs, la duree est diminuee, comme il resulte imm6 -diatement du ~ 428; elle est augmentee si les coefficients sont negatifs. 20 Les forces qui dependent des puissances paires ne changent pas de signe. L'oscillation est dissymetrique; ii y a conmpensation pour les variations de duree. Si!'on change le signe des forces au passage par la position d'equilibre, de maniere que l'oscillation reste symetrique, il va de soi que la compensation na plus lieu. Ceci pose, calculons la correction. On a: FO dt CQ, 0o-' 1(.)202 2, sin"' + t. dt. Posons comme au ~ 412: I=n sin" '. d3. La correction pour une demi-periode (de la position d'equilibre a la position d'equilibre) est: CA n- 1, Cn 0O'- I - C - I /n TO-1 13 C1 o C, T- o ' 27 CAS PARTICULIERS. 1~ n 2; I ---; C2 2T Ci 3,7; La periode modifiee T' est done: T'- T -3 9 C [o) T (-0,423 ' 0).

Page  455 AMORTISSEMENT ET ENTRETTIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 455 Ce resultat suppose que l'oscillation reste symetrique, par suite qu'on change le signe de C2 au passage par la position d'equilibre. Nous admettons de plus que le terme de correction C,02 est positif; sinon la periode serait augmentee au lieu d'etre diminuee. Dans le cas ou l'on ne change pas le signe de C2, nous savons qu'il y a compensation. 90 ~ n-3 I3. I, 3 C302 "27 n=-3, I3-8; ' 16 CI T"o. La periode modifiee est done: T' T (t - 3 C 02) TT1 8 C 03 Quand il s'agit d'une force pendulaire, on a C,sin 0 C (- )-C0 + C303, C3 -- j. D'ouf: T' T (16+); c'est la formule bien connue donnee au ~ 383. 433. Percussion sur l'axeo - Un corps tournant autour d'un axe (que nous prendrons pour axe Oz, fig. 309) est mis en mouvement par une percussion; on demande quelles sont les reactions sur l'axe et a quelles conditions elles sont nulles. Reprenons les equations (2) et (4) du ~ 358. Integrons-en les deux membres par rapport au temps, dans le petit intervalle t-t qui correspond a la percussion. t2 (7)dt dt est negligeable devant: dt Au. Cela resulte de la definition mmee de l'impulsion. Les equations se simplifient. Conservons pour designer les impulsions les lettres qui representaient les forces; il vient: X +4-X,1 + 2+ ^ Az -=0, Y —Y1+Yt- Au- o, (2) Z-Zl+Z2:0; - Au _ mzx=L - hY2, - A ui myz M +- hX,. Rappelons que 4 et.r sont les coordonnees du centre d'inertie; p. designe la masse totale. Soit a,, y, les coordonnees du point d'application Q de la force

Page  456 456 D YNA MIIQ UE qui percute; X, Y, Z, sont les composantes de la percussion. On a pour les composantes du couple percutant: L Z - yY, M-yX - cZ. Les equations (2) et (4) resolvent completement le probleme pose. Cherchons les conditions Z Axe deroiaYon pour que les percussions sur l'axe soient nulles. I1 vient: A X+-t- Au 0, Y- Au - 0, (2') CCIenfre nerte Z ~ 0. Cette derniere equation nous o0 ________ apprend que la percussion appliquee est dans un plan 2~/ \7 \ ^ ~ normal a I'axe de rotation. Q En second lieu, elle est norY \ ercson male au plan qui passe par /P<^B l'axe de rotation et le centre d'inertie. On a en effet: X + -X+}Y-=O. Fig. 309. Les equations (4) deviennent: -Auu mzx = — yY, — Au myz= yX. Elles sont satisfaites pour: 1mzx myz= 0, y-0. Or rien n'empechait de prendre le plan xOy passant par le point d'application de la percussion. Les conditions reviennent a ecrire que l'axe de rotation est principal pour le point 0 oui il perce le plan qui lui est normal et qui passe par la percussion. Pour que la percussion soit completement determinee, il faut connaitre sa distance a l'axe. Reprenons les deux premieres equations (2'); elles donnent: N - oY- (X= A (o )A+ N)u =IAu, en vertu du ~ 423. Or a+- -B,8 c'est le produit de la projection 00' de OQ sur OG' par OG'. On a done I. OG'. 00'- I [(p2 +- 1'), ou p est le rayon de giration par rapport a un axe vertical passant parG; I-=OG'.

Page  457 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 457 D'ou enfin: 00'- P 1. 0' est le centre d'oscillation correspondant au point O. En definitive, il n'y a pas percussion sur l'axe a la condition: 1~ que la percussion QP soit normale au plan OAG passant par l'axe de rotation OA et le centre d'inertie G; 20 que l'axe de rotation OA soit un des axes principaux d'inertie relatifs au point O oui il perce le plan OO'P qui lui est normal et passe par la percussion; 30 que la distance 00' soit egale a 1-+ -- ou I est la distance du centre d'inertie G a l'axe, p le rayon de giration relativement a la droite GG' passant par le centre d'inertie et parallele a OA. Le point 0' s'appelle centre de percussion. Par exemple, si on veut lancer le pendule de Kater (~ 399) d'abord au repos sans percussion sur l'axe, il suffit de frapper sur le second axe, horizontalement et dans le plan d'oscillation. Les conditions 1~ et 30 sont ainsi satisfaites. La seconde est satisfaite par construction. Reciproquement, si un corps est en mouvement autour d'un axe, on peut l'arreter brusquement sans percussion sur l'axe, en appliquant une force instantanee comme il vient d'etre dit. 434. Theorie du marteau. - On va comprendre maintenant la theorie du marteau (fig. 310). Le marteau est generalement une masse considerable et tres ramassee portee par un manche long et leger. Quand on l'utilise, il tourne autour d'un axe OA passant dans la main, par G. l'extr6mite du manche et / B perpendiculaire a un plan de synmetrie. Grace a la --------------------------- forme ramassee de la masse lourde, le rayon de gira- percssio tion par rapport a la droite GG' parallle ah OA et pas- Fig. 310. sant par le centre de gravite, est tres petit; p2 I est done tres petit. On comprend des lors que la percussion appliquee au centre de la partie plate, et passant pros du centre d'inertie, donne une percussion nulle sur la main. Le bec B du marteau est d'ailleurs plac6 de maniere a reporter le centre de gravite entre 0 et 0' comme le veut la th6orie. Quand l'axe de rotation passe par le centre d'inertie, il 6prouve toujours une percussion, puisque le centre de percussion est alors a l'infini. Si done on veut lancer un corps autour d'un tel axe, sans qu'il y ait percussion, il faut, conformement a la theorie generale

Page  458 458 D YNAMAI1Q UE du ~ 433, employer un couple normal a l'axe et faire en sorte que cet axe soit principal d'inertie. Ces remarques ont des applications tres importantes dans les appareils tels que galvanometres a aimant et a cadre mobile, etc. 435. Pendule balistique. - Le pendule balistique servait couramment a determiner la vitesse des projectiles quand on ne leur donnait pas les vitesses et les masses 6normes auxquelles nous o n, sommes maintenant habitues. I1 'I T pourrait encore servir pour determiner les vitesses des balles de 1 \\^~ lfusil. Nous le decrivons parce 11 \ \\\ 'qu'il fournit une excellente manipulation (fig. 311). Un r6cipient tronconique de 1r \\ 'y ~ fer R est rempli de sable et ferme! I lMa' l'avant par une mince feuille,I t-ill \\ ' de plonmb pour que le sable ne // \ \ s'ecoule pas. II est supporte par i ___\z \ 'un pendule a couteau construit -\ u 'en fers cornieres, de maniire a -_ ___- _ L _ ---^ avoir une grande rigidite. Le centre d'oscillation du pendule est B sur laxe de revolution du recipient R. A -^ ^Appelons I le moment d'inertie de l'ensemble, I la distance de Fig. 311. 1'axe de suspension au centre de percussion. L'experience consiste a envoyer dans le recipient R, horizontalement et suivant son axe, un projectile de masse n et de vitesse lineaire v. Quand on se servait effectivement de l'appareil pour determiner la vitesse des boulets, le canon etait place a une dizaine de metres du pendule. Un ecran de bois perce d'un trou etait dispose pros du pendule, pour arreter le vent des gaz de la poudre. Ecrivons que la meme impulsion fait passer la vitesse lindaire du projectile de la valeur v a la valeur la, et simultanement la vitesse angulaire du pendule de 0 a u. I1 vient F dt - m(v- lu), Fldt I F dt l/u; I + -ml2 Iu -ml(v- lu), v=u ml- ' On est done conduit a determiner la vitesse angulaire de depart u.

Page  459 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 459 Pour cela on mesure l'angle 0 d'elongation maxima, au moyen d'un curseur pousse sur l'arc AB par l'index I lie au pendule. Soit M la masse du pendule, L la distance de son centre d'inertie a l'axe de suspension. Soit ), cette distance lorsque le projectile est introduit dans le recipient. On a: (M +- m)) = ML + ml. Quand l'appareil a tourne de langle 0, le travail de la pesanteur est: g(M + m)X(l - cos 0)= 2g(ML - ml) sin2 - L'energie cinetique au depart de la verticale est u2(I + 2): 2. D'ou les relations: 0f6 / -ML + ml. 0 \ig(ML+ ml) (I -ml2) u 2 sin - m l- - v 2 sin - - 2 1 m12 2 ml De la formule, on peut faire disparaitre le moment d'inertie en remarquant que la longueur I (distance de l'axe de suspension au centre de percussion) est la longueur du pendule simple synchrone. Soit T la periode; on a: T 2,,- =2, / i-L 2 d'o u: I MLI; 0 9/q- ML- -ml et enfin: v = 2 sin 2 - ML - n Pour verifier que l'axe horizontal du recipient R contient le centre de percussion, il suffit de suspendre un pendule simple de m6me axe O et de longueur 1, et de v6rifier que sa duree d'oscillation est la meme que celle du pendule balistique. 436. Manipulation. - La manipulation s'effectue avec un fusil monte sur son trepied de tir pour etre sur de la visee. Elle consiste, non seuleme'nt a d6terminer la vitesse de la balle a diverses distances, mais encore a verifier la theorie du centre de percussion (~ 433). En d6plagant une masse M' le long de la tige EF, on peut modifier la position du centre de percussion, le faire passer soit au-dessous, soit au-dessus de l'axe du r6cipient R. On s'apergoit alors que limpulsion due aux balles fait glisser le couteau sur son plan de suspension suppose poll et horizontal. Si le centre de percussion est au-dessous de laxe du recipient, le couteau glisse dans le sens du mouvement de la halle, dans le sens de l'impulsion. Si le centre de percussion est au-dessus de l'axe du recipient, le couteau glisse en sens inverse du mouvement de la balle, en sens inverse de l'impulsion.

Page  460 460 D YNAAM IQ UE Le couteau reste immobile malgre le poll du plan de suspension, quand la balle frappe le pendule au centre de percussion, ce qu'on verifiera comme il est indique a la fin du paragraphe precedent. On peut faire la meme experience avec le pendule de Kater. Pour le mettre en mouvement a la main, sans risque de deranger le couteau, il faut agir a la hauteur de lautre couteau. Echappements. Nous avons demontre ci-dessus que pour ne pas changer la periode d'un pendule, il etait necessaire de lui fournir au passage par la verticale l'energie que les frottements lui enlevent. Les echappements sont les appareils remplissant ce role. Simultanement ils permettent la mise en marche discontinue de rouages destines a compter les oscillations du pendule. Nous allons decrire les combinaisons mecaniques les plus int6ressantes. Nous negligerons les plus imparfaites, aujourd'hui abandonnees ou qui devraient l'etre, par exemple les echappements a recul. 437. Echappements a repos; ancre de Graham. - Le plus celebre des echappements est celui de Graham. II appartient a la classe des echappements a repos, nous verrons tout a l'heure pourquoi. La roue de centre O' /'?, tend a tourner dans le I/ / 1 \< \, sens F sous l'influence du // i\.,g\ poids P. Elle porte des,/ / --- - =_ \ dents que nous figurons triangulaires; nous ver~~F'S ^Y ^ / l~\'^ ~rons que seule leur pointe entre en prise, de sorte que le profil peut etre quelconque, a la condition qu'il soit suffisam^.-" _ment evide pour ne pas -... ge6ner le mouvement des autres pieces (fig. 312). L'ancre tourne autour |P de l'axe 0; elle porte Fig. 312. deux becs abc, def, qui constituent toute sa partie utile; le reste peut avoir une forme quelconque, a la condition d'etre

Page  461 AMORTISSEMENT T E ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 461 suffisamment evide. Les parties ab, de, sont les repos d'entree et de sortie; les parties bc, ef, sont les inclines d'entree et de sortie. Considerons l'appareil dans la position figuree. Nous supposons l'ancre liee au pendule; elle se d6place actuellement dans le sens de la fliche F'. Le pendule passe par la verticale. L'echappement a donc lieu a gauche. La pointe d'une dent va courir sur l'inclin6 bc, appuyer dessus et donner a l'ancre, et par suite au pendule, une petite impulsion. Mais alors la pointe d'une dent de la partie droite de la figure bute contre le repos ed. Comme le profil ed est un arc de circonference ayant le point 0 pour centre, il y a repos; c'est dire que l'azimut de la roue reste invariable pendant une demi-oscillation environ du pendule. Naturellement la pointe de la dent frotte contre le repos dans un sens, puis en sens inverse; d'oui absorption d'energie. Apres une demi-oscillation, l'echappement a lieu a droite de la figure. La pointe glisse en appuyant sur l'incline de sortie ef, donnant au pendule une petite impulsion et fournissant l'energie necessaire a l'entretien de son mouvement. Mais alors la pointe d'une dent de gauche bute sur le repos ab d'entree, dont le profil est un arc de circonference ayant le point O pour centre,... Et ainsi 0 de suite. L'experience et la th6orie montrent que \ I'6chappement tangent est avantageux (fig. 313). Le bee (consid6rablement grossi sur la figure) est au point de contact de la tangente menee du point O a la circonference, lieu des pointes des dents de la roue d'echappement. On appelle levee l'angle A dont tourne Flancre pendant que la pointe d'une dent est en prise avec l'incline du bec. Entre la hauteur 0 h du bee, son inclinaison y et la lev6e, on a la Fig. 313. relation h tgy AL.. On fait g6neralement ^y 25~; tg y vaut environ 0,5. La levee est de l'ordre de I a 20, soit en radian 0,017 a 0,035. L'energie fournie par la roue ne depend que de l'angle u parcouru pendant la levee, abstraction faite des frottements. 438. Echappement a chevilles. - C'est encore un echappement a repos. Il est schematiquement repr6sente dans la figure 314. Une roue 0' est tiree par le poids P dans le sens de la feiche; elle porte des goujons a, a', a',..., implantes normalement a son plan. La piece ABO, qu'on appelle fourchette, est liee au pendule, tourne

Page  462 -162 D YNAMIQ UE autour du meme axe 0 et le suit dans ses mouvements de va-etvient. Par construction, quand le pendule passe par sa position d'equilibre, la droite Oa passe par les deux points m et n. Au moment out nous commenqons notre raisonnement, la fourchette tourne dans le sens f. Le goujon a s'appuie sur le repos du bec B qui est un cercle de centre 0; la roue reste \ immobile., / /\\ Le point s arrive sous le goujon a qui glisse sur l'incline sMi. La roue 0' - A t \ se met a tourner; le goujon a repousse le pendule dans le sens de son mouvea// \ \ \ ment et lui donne une petite impulsion. / \I \ \ I tombe alors sur le bec A, un peu 0( o /' /, \ au dela du point n, et glisse sur le, / tA 7- repos de ce bee: la roue redevient -- t/immobile. a"/ Le pendule continue son mouvement /J/ dans le sens f, puis revient dans le sens f'. Quand le goujon a arrive en n, la roue 0' se met a tourner; le goujon glisse sur l'incline du bee A, fournit j~ijip ~une certaine energie au pendule et 6chappe definitivement. Mais alors le Fig. 314. goujon a' entre en prise avec le repos du bee B: les phenomenes se reproduisent. Dans cet 6chappement comme dans tous les echappements a repos, la roue ne tourne que pendant une tres petite fraction de la periode. Les impulsions ont lieu tres pres du passage par la verticale; elles ne modifient pas la periode du pendule. i39. Echappement a cylindre. - La figure 315 repr6sente une coupe de l'appareil. Au ressort r6gulateur (qui est ici un ressort spiral et dont l'oscillation a necessairement une amplitude consid6 -rable) est fix6 coaxialement un cylindre evide qui tourne autour de l'axe 0. I1 oscille entre les positions ac d'un cote, df de l'autre. La roue d'echappement porte des dents dont les seules parties utiles sont la pointe g et le plan inclin6 gh; le reste peut avoir une forme quelconque, a la condition d'etre suffisamment 6vide pour ne pas gener les oscillations du cylindre. La pointe g butera, soit sur la partie exterieure du cylindre ef, soit sur la partie interieure ab. L'echappement est a repos, car pendant la butee la roue est immobile. Quand la butee est interieure, la

Page  463 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 463 dent est disposee commie la figure l'indique en pointille. On remarquera que le plan gh mis en place coupe diametralement le cylindre. Les impulsions sont communiqu6es au cylindre pendant les echap0gi'. "31: Fig. 315. pements; le plan gh de la dent glisse en appuyant contre la paroi e l'entree (imprimant un accroissement de vitesse dans le sens ef), contre la paroi b a la sortie (imprimant un accroissement de vitesse dans le sens inverse ha). 440. Echappement libre a ancre. - Dans les echappements libres, le regulateur est soustrait l'action de la roue d'echappement pendant toute son oscillation, sauf aux passages par la position d'equilibre ou: 1 ii declenche l'echappement, ce qui diminue sa force vive; 20 aussitot apres, il recoit de la roue d'echappement une impulsion qui compense non seulement la perte d'energie immediatement precedente, mais encore la perte qu'il a subie du fait des frottements pendant la demi-oscillation tout entiere. La partie droite de la figure 316 montre le ressort spiral regulateur R fixe par l'une de ses extr6mites au bati P du chronometre, par l'autre l'axe 0" du balancier (en forme de volant). Celui-ci porte un goujon g qui oscille par exemple entre les positions a et b. La partie droite de la figure represente la roue d'echappement, et l'ancre mobile autour de l'axe O. L'ancre est parfaitement libre. On produit des echappements en appuyant avec le doigt tantot d'un cote de l'axe 0, tantot de lautre: ce sont ces declenchements que le regulateur doit effectuer. Pour cela l'ancre est terminee par une sorte de fourche. A l'instant ou l'appareil est represente, le balancier se meut dans le sens f; le goujon est entre dans la fourche et, poussant sur le bee m, fait echapper la dent p. Celle-ci pousse alors sur, incline q, donne une impulsion a l'ancre dans le sens f'. Le bec n de la fourche rattrape le goujon et le lance dans le sens f. Grace a l'inclinaison

Page  464 464 D YNAMIQ UE de la fourche, le goujon echappe de lui-meme; l'oscillation du balancier redevient libre pour un peu moins d'une demi-oscillation. Au retour, le goujon retrouve le bec m dans la position ou il l'a laiss6. I1 entre donc librement dans la fourche. I1 pousse sur le bec n, ~0 Fig. 316. fait echapper la dent r qui bute a ce moment sur le repos du bec s de l'ancre. De ce chef le r6gulateur ralentit. Mais aussitot l'6chappement commence, la pointe r glisse sur l'incline du bec s, rejette vers le haut la fourche de l'ancre. Le bec m de l'ancre rattrape le goujon et le lance vers le point a... Et ainsi de suite. 441. Echappement a detente. - Dans l'Xchappement libre ca detente et a coup perdu, le declenchement de la roue d'6chappement ne se produit qu'a un passage sur deux par la position d'equilibre; d'oi le nom de a coup perdu. Correlativement le balancier ne re9oit d'impulsion qu'une seule fois par oscillation complete. La figure 317 represente l'appareil. La piece 0' est solidaire du ressort spiral -:. \regulateur; elle oscille autour d, l'axe 0'; 1mTe ] elle passe librement entre les dents de la roue d'echappement dans leur position actuelle. Ob 1Une dent de la roue d'echappement repose sur le demi-cylindre b de la piece abc, montee sur le ressort ab. Enfin de est un ressort tres leger que peut actionner le doigt m solidaire de la piece 0'. O' est actuellement dans sa position d'equiFig. 317. libre et se meut dans le sens f. Le doigt 7. bute sur le ressort de, l'applique sur le goujon c solidaire de abc qu'il entraine; la dent r echappe au cylindre h. Correlativement la dent s attaque l'incline n et communique au regulateur une impulsion. Mais le doigt nt echappe au ressort e; le

Page  465 AMORTISSEMENT ET ENTRETIEN DES MOUVEMENTS OSCILLATOIRES 465 repos b revient a sa position d'equilibre et repoit la dent t. La roue d'echappement est a nouveau immobilisee. Le regulateur continue son oscillation et revient. Au moment de passer par la position d'equilibre, le doigt in, qui est maintenant a droite de e, rencontre e, echappe; rien ne se produit. Le r6gulateur fait done librement a peu pres une oscillation. Et ainsi de suite. 442. Echappement pour pendule entretenu electriquement. - Le pendule electrique de Hipp ne contient aucun rouage. Le mecanisme se reduit a un ressort leger qr, a une palette d'acier p tres mobile autour de l'axe 0, enfin a un petit pilier m porte par le pendule et creus6 d'une coche a sa partie superieure (fig. 318 et 319). Si les oscillations du pendule ont c b b b c une amplitude suffisante, la palette _; a- fd~ passe librement d'un c6te a l'autre du pilier m. Mais si l'amplitude diminue par trop, un coincement se produit, dont la figure 319 montre le s mecanisme. Le pendule est cense au.q ~ r \,.bout droit de sa course; il revient vers la gauche. La palette, qui n'a pas pu 6chapper, est prise dans la ^ -)~ ^.... /. m'................ Fig. 318. Fig. 319. coche. Elle est soulevee, le ressort monte de 00'; un contact s'etablit entre r et s. Le circuit de 'electro E est ferm6; il attire l'armature A. I1 suffit d'admettre que l'lectro est non pas exactement dans la verticale d'equilibre, mais un peu a gauche, pour que son attraction cree un couple par rapport a l'axe du pendule et par consequent produise un lancement vers la gauche. Cours de Physique. - H. BOUASSE. 30

Page  466 466 D YNAMIIQ UE L'impulsion n'est donnee que toutes les quinze ou vingt oscillations completes; l'appareil est done essentiellement a amplitude variable. Mais il est tres simple et quasiment indereglable: il bat generalement la demi-seconde. I1 sert a envoyer, toutes les demi-secondes, des courants de faible duree. Pour cela il porte une piece horizontale terminee par deux nez aa. Quand le pendule est dans la verticale, le circuit cbaabc est ferme. Des que le pendule sort de la verticale, il coupe ce circuit a droite ou a gauche. D'ou un courant de duree faible et facilement reglable. On utilise ces emissions pour synchroniser d'autres pendules, pour actionner des compteurs, pour marquer les demi-secondes sur les appareils enregistreurs,...

Page  467 CHAPITRE VI PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 443. Equations du mouvement. - Nous appelons pendule conique une petite masse M assujettie a rester sur une sphere. II revient au meme de dire que nous nous proposons d'etudier le mouvement le plus general d'un pendule simple, constitue par une masse petite suspendue a un fil tres fin et inextensible. On realisera les experiences au moyen d'une masse spherique suspendue par un fil d'acier aussi fin que possible; l'acier etant tres resistant, le fil peut etre extremement fin (quelques dixiemes de millimetre de diametre). A la verite, nous particularisons ainsi le probleme, car la masse ne reste sur la sphere que si la tension du fil est positive. 11 faut qu'elle soit dans l'hemisphere inf6rieur. Pour que l'experience soit aussi generale que l'enonce, nous supposerons la masse fix6e h l'extremite d'une tige rigide montee sur une suspension a la cardan. Prenons pour axes de coordonnees la verticale Oz dirigee vers le bas et deux axes Ox, Oy, dans le plan horizontal passant par 0 x le point 0 de suspension (fig. / / 320). Soit I la distance OM. Nous emploierons aussi le systeme de coordonnees 0 (colatitude), angle de OM avec l'axe des z, y longitude comptee a partir du plan xOz. On a: x 1 sin 0 cos, A y = I sin sin, 7 Z_ 1 cos 0. ^z t =l^COS 9~0. FFig. 320. Nous poserons encore r OM' —Isin. Les deux equations du mouvement sont immediatement fournies

Page  468 468 D YNAMIQ UE par le principe des forces vives et la remarque que le moment des forces par rapport a l'axe Oz est nul. Cette derniere condition donne (~ 300) r2 -- Constante, sin2 0 a- = a. ( Soit v la vitesse du point. On peut la considerer comme la resultante de deux vitesses rectangulaires: ldO/dt, suivant le m6ridien; rdy/dt suivant le parallele. 0 2 d 2 i 2e \y i * ~v v2= 2 (dt)c + r t = [ clt + sin2 0 t Le theoreme des forces vives donne 2 = - 2gl(' - cos ) + gl 0 2glcos + 2g (21,- 1); dt sin2 t cos O + (1 - Posons: 2g l=-b, 10 l 1-=; remplagons dpo/dt, par sa valeur tiree de (1); il vient: / wi/t s 0o ( dO ) + si_ bcos +b(2 -1). (2) Les equations (1) et (2) r6solvent le problieme pose. 444. Autre maniere d'etablir les equations du mouvement. - Nous nous sommes arrang6s de maniere a ne pas expliciter la force de liaison qui est ici la tension C du fil ou la reaction normale de la surface. Miettons-la en 6vidence; ecrivons les 6quations en x, y, z. Les composantes de G suivant les axes sont: - x l, — y l, -Cz: l. Les equations rapportees a l'unite de masse sont d2x. Gx d(t2 +, -) d2t -, (3) d2z Cz dt+ - -- o0. Multiplions la premiere par -, la seconde par x et additionnons.,dhy dz d 2X dy dx\ 1 vient: x dt -y d t2 -t - ct 0. C'est l'equation (1) du ~ 443. Pour obtenir l'equation (2), il suffit de multiplier les equations (3) respectivement par dx, dy, dz, et d'additionner. La tension est multipliee par: xdx - ydy + zdz =- Idl - 0

Page  469 PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 469 445. Cas de tres petites oscillations au voisinage du point A. La troisieme equation (3) fournit immediatement: d2z d=x, -o d:y/=~ (4 dt dt2-, d + dFx +,yxI =, o dtJ + -= 0. La trajectoire est une ellipse immobile representee par les equations: xx - x sin (ot, y = y sin (o)t - ). Le sens de rotation du mobile sur l'ellipse depend de la valeur de la phase. La periode est T= 27/ On peut consid6rer le mouvement comme resultant de la composition des mouvements de deux pendules simples, isochrones et n'agissant pas l'un sur lautre. C'est ce qui resulte immediatement de la forme des equations (4) oui les variables sont separees. Tout se passe comme pour une masse mobile dans un plan, attiree par un centre fixe (origine des coordonnees dans le plan) avec une force proportionnelle a la distance r- 1, a ce centre. La force attractive a pour valeur: g0 gr: 1. L'ellipse est balayee par le rayon vecteur aboutissant au mobile de maniere que les aires varient proportionnellement au temps. C'est ce qu'exprime l'equation (1) du ~ 443; les variables r et o sont maintenant les coordonnees polaires de l'ellipse. Nous retrouvons la question deja traitee au ~ 340. 446. Manipulation. - L'experience se fait avec un pendule constitue par un long fil fin AB (fig. 321), de 2 on 3 metres de longueur, et une sph6re metallique lourde S. On prendra par exemple une sphere de laiton, comme le commerce en fournit pour l'ornementation des lits metalliques, et on la remplira de plomb; on utilisera encore une boule de fonte comme l'industrie en fabrique pour les regulateurs de machines B a vapeur. Une pointe P trace sa trajectoire sur un plan de sable (ou plus exactement s sur une sphbre de sable de grand rayon). La trajectoire est une ellipse dont le rap- port des axes depend de la vitesse et de la direction de lancement. Naturellement le mouvement s'amortit. Fig. 321. -

Page  470 4? O D YIVNAlIQ UE La pointe decrit par consequent une spirale circulaire ou elliptique qui reste creusee dans le sable. L'experience est tres simple et tres jolie. 447. Cas oui le mobile d6crit des paralleles. - Si le mobile decrit un parallle, r et 0 sont constants. I1 resulte de (1) que dy/dt est aussi constant le parallele est d6crit avec une vitesse angulaire uniforme 2 T- to =- a: sin2 0. Le theoreme des forces vives ne donne rien, car si le point decrit un parallele, aucune force ne travaille; la vitesse est constante. Les equations du mouvement en x, y, z, sont: x - 1 sin 0 sin wtt, y -- I sin 0 cos wt, z = I cos 0. Substituons dans les equations (3). On a pour determiner T et 0 -' olo21 g- C Ccos 0 = C21 cos; cos 0 -- l T- 2 -cos0. (5) Ainsi a toute vitesse angulaire c, superieure a coo= /y l, correspond un angle 0. Pour que la masse continue a tourner sur le parallele 0, il suffit qu'elle soit lancee tangentiellement a ce parallele avec la vitesse angulaire correspondante. L'angle 0 est n6cessairement compris entre 0 et 7: 2, comme on le voit immediatement en remarquant que la resultante de la force horizontale centrifuge et de la pesanteur verticale doit etre dirig6e suivant le rayon pour etre equilibree par les liaisons. Si la vitesse est inferieure a (),, la masse reste en equilibre stable au point A, le plus bas qu'elle puisse occuper. Si le poids, au lieu d'etre suspendu a un fil, est lie a une sphere, il peut aussi rester en equilibre instable au point diam6tralement oppose. En effet, les equations (3) sont satisfaites pour x-=Y = 0, z -- _l, =-_ g. Nous reviendrons plus.loin sur les applications de ce cas particulier. 448. Cas general. - Montrons que dans le cas general le point se deplace sur la sphere entre deux paralleles de colatitude 00 et 01; nous supposerons 00<0,. On a lt - dO V/bcos0- -i +b(2A -l)

Page  471 PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 471 Multiplions le second membre haut et bas par sin 0, remplagons sous le radical sin20 par I cos2 0; il reste sin d 0 s a2 dt=_+- b ): cos 0- - (2- ) cos20 +cos 0 + (2X - )-bLa composante dO: dt de la vitesse s'annule quand s'annule la quantit6 sous le radical; la vitesse est alors horizontale. D'apres la nature meme du probleme, si le point ne decrit pas un parallele, il est certain que la vitesse dO dt s'annule au moins deux fois. Appelons cos 0, cos 0, et p les trois racines de la quantite sous le radical egalee a 0, racines certainement reelles. --. — Dire que les racines sont reelles ne signifie pas qu'il existe un troisienme \ cosinus acceptable; nous allons precise- ment montrer que la troisieme racine p est plus petite que - 1. D'apres les proprietes des racines des Fig 32 equations algebriques, nous avons: cos 00os 0 + p(coso0 + cos )= =-1, P =- co 0o + cos 0 Nous pouvons poser: cos 00 - o cos 01= - s, oU Eo et ~, sont certainement des quantites positives. D'ou: 2 - q- ( + ) + 1. _ 1l- _ % 2- - (o + E) 2- -(o +,)' Or le second terme du second membre est surement negatif. puisqu'on a: s o- -s <2. Done la troisieme racine p est certainement inferieure a - 1; elle ne peut repr6senter un cosinus reel. Done le point oscille entre les paralleles de colatitudes 00 et 01. Quand il est sur le parallele inf6rieur 0o, sa vitesse horizontale est plus grande qu'il ne convient pour qu'il reste sur ce parallele. La force centrifuge l'emporte: il remonte. Quand il est sur le parallele superieur 01, deux cas peuvent se presenter. Si o0 > ' 2, quelle que soit la vitesse, il ne peut 6tre en equilibre; il faut qu'il redescende. Si 01 < -: 2, sa vitesse horizontale est plus petite qu'il ne convient pour qu'il reste sur ce parallele; la force centrifuge ne peut donner avec le poids une composante dirigee suivant la liaison; le pendule redescend. Aux divers passages sur les paralleles 00 et 01, il recouvre respectivement la meme vitesse. En effet, il est a la meme hauteur: le

Page  472 472 D YNAlMlIQ UE theoreme des forces vives exige que la vitesse redevienne la meme. D'oui la conclusion que les phenomenes se repetent identiquement entre un maximum et un minimum successifs, ou inversement. Par analogie avec le pendule circulaire, nous appelons periode T, deux fois ]e temps qui s'ecoule entre deux passages consecutifs sur le parallele 00 (ou sur le paralele 01). On peut ecrire en explicitant les racines sin90 do I,. - + C-cos0ocos0o) dt-~- y (coseo-coso)(cosO-cos1,) os+ co+ _.b cos 00__cos 0, (1) 449. Calcul de la periode. - Le temps croit necessairement, dt est donc necessairement positif; sin 0 est positif par nature ainsi que b. Done, quand on va de 0o a 01, il faut prendre le signe +; quand on va de 01 a 00, il faut prendre le signe -. Pour calculer la p6riode, nous ferons un changement de variable. Nous poserons: cos 0 - cos 0, sin2? +- cos 00 cos2, sin 0 d = 2 (cos 00 - cos 01) sin ( cos o do. Quand 0 passe de 00 a 0,, o varie de 0 Ia: 2. On trouve aisement cos Oo - cos 0 (= co00 --- cos 01) sin2?, cos 0 - cos0 (cos 0- cos I) cos2. Substituons dans (1) apr&s avoir pose: k2 - cos2 0o - cos2 01 1 + 2os0os cos2 0 O On trouve: dt CVs VI+ oo o + cos 01 cl g 1 + 2 cos 0 cos, +- cos3 00 /- k~ sin? Nous sommes donc ramenes aux integrales elliptiques de premiere espece. En particulier, la periode a pour expression - V V1 - 2 co 2cos0o os +cos200 \i/ - k sin2 ( le tableau de la page 667 donne les valeurs de l'integrale. Quand 00 et 01 sont tres petits, le coefficient qui precede l'integrale vaut: \/2; l'integrale vaut. 2. On a T__4~'21/ 4 ~ Tvaleur con-2 valeur connue.

Page  473 PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 47t; Supposons 0, =0, ce qui transforme le pendule conique en un pendule circulaire; on retrouve la valeur k -- sin Enfin posons 00 = 1; il semble que nous devions retrouver les resultats du ~ 447 sur le pendule parcourant un parallele. On a k 0, l'int6grale vaut: 2. Mais il vient cos 0A T' 4 1 + 3 coso, et non pas TV = / 9 cos 08, On a evidemment: 2T > T' > T. Nous allons trouver plus loin l'explication de ce fait bizarre: elle reside dans la d6finition de la periode pour le pendule conique. Pour ce qui va suivre, nous avons interet a mettre la periode sous une forme un peu differente. On a: dt=\/ \/cos 00 + cos 0, -d I 91 O A. A = \/(1 +2 cos 0 cos 0+cos200) cos2 +(' +2 cos0ocos 0+coS2 01) sin2 2 Quand o varie de 0 a ' 2, A decroit regulierement de Ao — /l- 2cos ocos01 -— cos 00, a A1 —1/ +2cos0 cos01 — cos20 On a done inmeddiatement deux valeurs entre lesquelles git la periode T > 2 / 2 cos C, + cos 2, T >2 \/ 1 + 2 cos 00 cos 01 + cos2 0o VT < 2 /- /- cos 00 + cos 01 v \/ 'I + - 2 cos 0o cos 01 + cos'2 0' 450. Calcul de 1'angle T. - I s'agit de determiner la difference d'azimut T entre les passages par un minimum et le maximum consecutif, ou inversement; c'est-h-dire l'azimut parcouru dans un quart de pe'riode. On a (~ 443) adt adt sin1 0 sin m0 (' Calculons la valeur de a en fonction de cos 00 et de cos 0i. D'apres. les propriet6s des racines des equations algebriques, on a (~ 448) ' (2. - 1) cos o 0 cos 6 0. + (2- i) -a2: b pcos O6 cos O,. On tire aisement de la sin 06 sin 0, a= \b o- 00-_co ycos 60 - cos 0i

Page  474 4174 D YNAMIQ UE Nous obtiendrons aisement deux limites entre lesquelles ~T est surement compris. I1 suffit de remplacer dans l'expression de dt le denominateur variable A par ses limites AO et A1. 7C 7C 2 sin 0sin 0 2 sin 0 sin 01 s d2 ~ A1l isin 2 0 A0 sin20 0 0 Reste a d6terminer la valeur de l'int6grale. On a: I _ _ _ r 1 F 1 1 sin2 - 1 -cos20 - 2 + L-c os 1 cos d? d? / sin-2 9 (( - cos 01) sin2 o + (1 - c oss ) cos2 (1 - cos 0O) sin2 o - (1 - cos O0) cos' o Or on salt que: 7C - 7r 2 si dp 2- _L arctg(V tg ) 2 /P Ce dernier resultat est immediatement fourni par la consideration de l'aire d'une ellipse en coordonnees polaires et rapportee a son centre. D'ou 0 -- 4 j so +\/(l-|-cosO1)(1 -cos0o) /(1 + co) (+ cos 0)) + -- c os 0) -- \l -cos 0) / cos ~~~~~4 ~ ~sin 0i sin o00 0 9i-00 1 1-2 + cos 0o cos O+ - - 2 sn0sin sin0 — 2 soil sin 0, sin i 4 sin 0o si On tire de la pour les limites de i:. 'T/2 - 2 cos 0o cos 0 — 2 sin 0o sin 0, <2 8 1 + 2 cos 60 cos 0i + cos2 01 2 -- 2 Csco s 0 cO - 2 sin 0o sin 0O F 2 > 1 + l 2 o os 0, + cos cos + cos00 Considerons par exemple la limite inf6rieure; nous pouvons ecrire /Ib > 7V /1 I - cos2 o 0- 2 sin 00 sin 0i ' -> 2 V' - I1 + 2 cos 00 cos 0, + cos2 00 2 Ainsi est constamment superieur a 7 '2. On comprend maintenant le sens du resultat du paragraphe precedent quand le pendule decrit un parallele. La periode n'est pas egale

Page  475 PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 475 a un tour; elle est superieure a un tour. Aussi bien les deux limites deviennent alors egales a: \/1 3 cos200. La periode en arc est donc: 4t: l/ + 3 cos2 o. La periode en temps est multipliee par: 2: \ l + 3 cos2O. Ce facteur vaut 1 pour 0o=0; il vaut 2 pour l'autre limite 0o =: 2. 451. Forme de la projection horizontale. - Supposons d'abord 0o et 01 assez petits pour qu'on puisse negliger (0 - Oo)2, ou, ce qui revient au m6me, remplacer 0 + 02, par 20o80. Les quantites Ao et A, sont sensiblement egales entre elles et a: V +3cos o0os O V=/4- (o+o ) =2 -2 1 —o 0=2 (1 — O1o). On a done tres exactement: -=,: A= -- + 8 -00.) Ainsi l'arc d6crit entre un maximum et le minimum consecutif, ou inverseient, est un peu plus grand que ' 2, d'une quantit6 de l'ordre du carre de l'amplitude. On peut dire que la trajectoire du centre de gravite projetee sur le Fig. 323. plan horizontal est encore une ellipse) mais qui tourne autour de son centre avec une vitesse uniforme egale a 33 4 ff7 3/ g 3 _ 16 0~0 T 16 0001 2 V T 0 8 V dans le sens suivant lequel le mobile se deplace lui-meme sur 'ellipse (fig. 323). Considerons maintenant le cas general. La figure 324 a gauche suppose 0i <: 2. La projection horizontale de la trajectoire ne touche done pas la projection de l'equateur. On reconnait encore la forme elliptique avec le deplacement des points

Page  476 476 D Y'NAIMIQ UE de tangence aux deux paralleles 00 et 01 dans le sens du mouvement du mobile. La figure 324 a droite suppose O, >.. 2. La projection horizontale ( T.: Z 0 1 >: <72 - 2 ' Fig. 3s4. de la trajectoire touche l'equateur entre deux tangentes consecutives aux paralleles de colatitudes 00 et 01. Naturellerent la forme de la courbe s'eloigne de plus en plus de l'elliptique. 452. Realisation des courbes, manipulation. - Pour etudier les trajectoires on peut utiliser l'appareil represente fig. 321, tant que 00 et 0i sont petits. On lance plus fortement, apres avoir eu le soin de limiter le sable par une surface sensiblement spherique, ce qu'on obtient aisement a l'aide d'une planche courbe ou d'un cerceau ayant un rayon convenable. On voit les ellipses tourner comme le veut la theorie. Dans le cas de plus grandes oscillations, on fait osciller un pendule portant une tres petite lampe electrique. On la photographie avec un objectif d'axe vertical dispose sur la verticale du point de suspension, assez loin au-dessous du pendule pour que la projection ne soit pas trop deformee. Si les amplitudes ne sont pas trop grandes, on peut encore disposer sous le pendule un r6servoir a encre ou a sable fin qui s'ecoulent et tracent sur un papier la trajectoire de l'extremit6 de l'ajutage. Utilisation du pendule conique comme r6gulateur. 453. Horloges a pendules coniques. - Un pendule conique decrivant un parallele fait un tour dans le temps (~ 447) T 2, cosF) 2i ) T( (. 9 I

Page  477 PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 477 Comparons cette formule a celle du pendule circulaire (~ 383) T' =T (1 + - (2) Quand les amplitudes sont petites, on a T=T'=To; la periode du pendule conique est 6gale a celle du pendule circulaire de meme longueur. Quand l'amplitude croit, T diminue, tandis que T' augmente. Les deux pendules ont leurs oscillations isochrones, ce qui veut dire dT dT' que: dO= dO --, pour 0 =0. On peut utiliser le pendule conique a la regulation des horloges; l'avantage evident de cette disposition est la suppression de l'6chappement, le remplacement d'un mouvement saccade par un mouvement continu. Parfois cette modification constitue un d6savantage, par exemple pour la determination des passages en Astronomie a l'ceil eta l'oreille. I1 est necessaire d'entendre le bruit de l'echappement. L'axe vertical AB est lie6 l'appareil h r6gler (fig. 325). Il porte une fourchette F dans laquelle entre \ o ~ librement la pointe P fixee a la masse du pendule. Celui-ci est attache en 0 sur la verticale de l'axe AB. Tant que la vitesse 'angulaire de l'axe AB est inferieure a une certaine limite, la pointe P repose sur l'extr6mit6 C de la fourchette. Des que la vitesse de l'axe devient telle que la duree du tour 6gale T< To, le pendule s'ecarte de la verticale C s avec laquelle il fait un angle 00 donn6 par la formule (1). Mais, et c'est en cela que consiste la rjeulation, des qu'il s'ecarte de la verticale, le frottement sur i1 — l'air croit tres vite; d'autre part, son 6cart avec la Bj verticale est relativement considerable pour pen Fig. 325. que T surpasse To. De sorte que la moindre difference To-T donne un angle 0, relativement grand, augmente par suite le frottement, et correlativement diminue la vitesse. En definitive, le fonctionnement est exactement le meme que pour le pendule ordinaire. La figure 325 suppose que le pendule est supporte par un fil. En realite il est suspendu par une tige mont6e a la cardan. Cette monture differe du cardan d6crit au ~ 130; elle est a ressort et representee fig. 326. La piece fixe O porte deux lames minces faisant ressorts CC; la piece E qui terniine le pendule porte deux autres ressorts DD. Les pieces 0 et E sont dans deux plans rectangulaires. Elles sont reliees

Page  478 D YNAMIQ UE 478 par une piece formee d'une colonne I a laquelle sont fixes deux bras A et B dans deux plans rectangulaires. A ces bras sont fixes les ressorts. La figure montre les projections sur deux plans verticaux rec0 C CB I B A A A IA E EJ E Fig. 326. tangulaires. Le systbme equivaut a un cardan, a la condition que les ressorts soient identiques et que leurs milieux soient dans le m6me plan horizontal. 454. Accroissement du frottement par augmentation de l'angle 0o. - Nous supposons au paragraphe prec6dent que l'accroissement du frottement de l'air suffit a la regulation quand 00 augmente, et que, par consequent, pour la meme vitesse angulaire, la vitesse lineaire de la sphere croit. Si l'appareil a regler met en jeu des travaux considerables, il n'en est plus ainsi: l'accroissement de 00 doit creer un frottement supplementaire aussi considerable qu'on le desire. On peut utiliser le dispositif du ~ 375. En voici un autre (fig. 327) souvent D;>^ ^\~ ~ employe (voir plus loin, ~ 457). A est le bout de l'axe du rouage qui est dans la verticale du point de \[ /~ ^\ ( A \ suspension du pendule conique. L'axe \0 i ~_) D porte normalement le doigt AB sur (,/ /y ~ ~lequel est articule en B le doigt BO. c \o0 ~ // En 0 est un ceil dans lequel entre la pointe du pendule conique. Quand la vitesse angulaire de l'axe augmente, I)^ -— "^D ~ le pendule tend a s'ecarter de la verFig. 327. ticale; l'ceil O decrit la circonference Aa par rapport au doigt AB. Le nez C vient frotter contre la paroi interieure du cylindre fixe d'acier D.

Page  479 PEND ULE CONIQ UE. APPLICATIONS 479 Pour adoucir les frottements et les regler, on dispose en C un tampon ou une brosse de filasse. On realise ainsi une sorte de frein dont laction crolt avec la tendance du pendule conique a s'ecarter de la verticale. 455. Emploi d'un train differentiel. - Le pendule conique permet un reglage au moyen d'un train diff6rentiel (fig. 328). Soit R' le dernier rouage du systeme a regler. I1 est reli6e la roue R sur laquelle agit le pendule, par le train r, r' (voir ~ 12'1)... Soit o et o' les vitesses angulaires I des roues R et R'; soit?, la vitesse 1 angulaire de l'arbre porte-train; on a (~ 121): /R R R,R' i — r -- 7- (r' Faisons R =r; il reste.( [) — ~ == - -r'-. IFig. 328. Quand l'arbre porte-train est immobile (X 0), on a simplement: -0 ("r' R'. En tournant l'arbre porte-train dans un sens ou dans l'autre, on augmente ou l'on diminue d'aussi peu qu'on veut la vitesse angulaire c'. D'oui une remise a l'heure qui peut etre automatique. 456. Utilisation du pendule conique pour realiser des fractions connues de seconde (Bouasse). - On a souvent besoin dans les laboratoires de produire des signaux lumineux periodiques, distants d'un intervalle de temps connu, de l'ordre de 0,1 a I seconde. II est bon qu'on puisse de temps a autre reetalonner l'appareil. Outre que les diapasons ne sont commodes que pour l'inscription directe (style fixe sur le diapason et agissant sur une plaque enfumee), le probleme tourne dans un cercle vicieux des qu'on n'a pas confiance dans l'etalonnage du constructeur. La solution qui suit ne presente d'autre inconvenient que le prix necessairement eleve de l'appareil, bien qu'a la rigueur on le puisse construire soi-meTmie (fig. 329). Un pendule conique entralne un disque d'aluminium, de 40 centimetres de diametre. Ii est fendu d'un trait de scie suivant 12 rayons 6quidistants, sur une longueur de quelques centimntres a partir du

Page  480 480 D YNAMIQ UE pourtour. Ces fentes decouvrent, tous les douziemes de periode, une fente etroite eclairee par une lampe Nernst. Des prismes a reflexion totale renvoient la lumiere horizontalement. De petits volets permettent de couvrir de 1 a 11 fentes; on obtient done a volont6 12, 6, Fig. 329. zn 4, 3, 2, 1 eclairs equidistants par periode du pendule< Rien n'empeche de prendre 24 fentes au lieu de 12; mais ce dernier nombre suffit generalement. La periode du pendule est commod6ment de 2 secondes. 457. Oscillation d'une tige rigide chargee d'un poids - Nous savons qu'une tige cylindrique (~ 342) se conduit exactement comme un pendule conique, au moins pour les petites amplitudes. Elle peut done servir ' r6gler un appareil. Pour ne pas exagerer l'encombrement et pourtant avoir des durees assez longues sans etre force de trop diminuer la section de la tige, on en enroule une partie sous forme de ressort a boudin (fig. 330). La partie rectiligne porte Fig. 330. une sphere; on regle la periode en faisant varier sa position le long de la tige. L'extremite de celle-ci entre dans la fourchette de la figure 325 ou dans l'ceil de la figure 327. Le regulateur a tige est employe dans les telegraphes Hughes et Baudot: voici en quelques mots le principe du premier de ces appareils.

Page  481 PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 481 TELEGGRAPHE HUGHES. Deux appareils places aux deux extremites d'une ligne doivent 6tre exactement synchronises, de facon que l'emission d'un courant par le premier produise l'impression d'une certaine lettre par le second. Imaginons un chariot qui tourne autour d'un axe, decrit en une demi-seconde une circonference et passe, sans les heurter, au-dessus de vingt-huit goujons r6gulierement espaces et relies aux touches d'un clavier. En appuyant sur une touche, on releve le goujon correspondant qui est alors rencontr6 par le chariot: un courant est lance dans la ligne. Imaginons, a l'autre bout de la ligne, une roue portant radialement vingt-huit caracteres et tournant au-dessus d'une bande de papier qui se deplace uniformement. A chaque emission de courant, un electro applique le papier contre la roue: un caractere s'imprime. I1 est clair que si le chariot et la roue des types tournent svnchroniquement, l'abaissement d'une touche produira l'impression d'un caractere. Si leur phase relative est convenable, le caractere imprime sera precisement celui qui correspond a la touche. Sismographes. 458. Nature du probleme. - La determination des mouvements du sol (ou Seismes), qui fait 'objet de la Sismologie (ou Seismologie ), irait de soi si lon poss6dait des reperes fixes. En fait, le sol entraine avec lui les objets qui reposent dessus. IHeureusement il ne les entraine pas tous avec la meme vitesse; de sorte que si nous ne possedons aucun repure rigoureusement fixe, nous pouvons obtenir des A reperes dont la fixit6 au moins i momentanee soit aussi complete qu'il est d6sirable. I1 suffit de realiser des masses suffisamment lourdes, reliees au sol de la s ^ / maniere la plus lache possible, c'est-'a-dire soustraites autant A que possible a l'action motrice J de la pesanteur. Par suite, le plus simple des Fig. 331. sismographes pour mouvements horizontaux du sol est une masse lourde M suspendue a un fil tres Cours de Physique. - H. BOUASSE. 31

Page  482 482 D YNAFAMIQ UE long. Plus long est le fil, mieux la masse est soustraite a l'action motrice horizontale de la pesanteur; correlativement, plus sa periode d'oscillation est longue. Elle nous servira de point fixe (fig. 331). A son extremite inferieure est fixe un style qui se meut dans deux coulisses creusees dans les bras courts de deux leviers rectangulaires tournant autour des axes verticaux a. Par l'intermediaire des articulations B3, ces leviers agissent sur les axes verticaux A, et par suite sur les styles horizontaux s qui en sont solidaires. On obtient sur le cylindre horizontal C, recouvert de papier enfumeo, deux graphiques qui correspondent a deux composantes du mouvement horizontal du sol. L'inconvenient de cet appareil est son encombrement. Un pendule ayant une p6riode de 2 secondes est long d'un metre environ; un pendule ayant une periode de 10 secondes est long de 25 metres. Or un bon sismographe doit osciller aussi lentement, pour que ses deplacements propres ne g6nent pas l'inscription des deplacements du sol. De cette condition derivent les appareils d6crits dans les paragraphes suivants. 459. Axe de rotation incline sur l'horizon; pendule dit horizontal. - Si l'axe de rotation d'un pendule est incline d'un angle i sur la verticale, chacun de ses points decrit un plan incline de l'angle i sur l'horizon. Tout se passe comme pour un pendule ordinaire d'axe horizontal; mais seule intervient la composante de la pesanteur normale a l'axe de rotation (~ 2/41) p sin i. La ligne de plus grande pente du plan normal a l'axe de rotation joue le role de verticale: c.... pour l'quilibre, elle contient le centre d'inertie../ \. I ^ On prendra comme exemple d'un tel pen- ~~~/ \ /dule les portes qui se ~/ \. ~ referment seules par suite de la non-verticalite de leur axe de rotation (portes des passages...........:=. hia niveau,...). La periode du pendule ordinaire doit etre mulf tipliee par 1: /sin i Fig. 332. La figure 332 represente un pendule tres employe en Sismologie, sous le nom de pendule horizontal. Une

Page  483 PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 483 masse tres lourde (qui peut atteindre plusieurs centaines de kilogrammes) glisse sur une tige AB, dont la pointe A fait pivot sur une piece lourde solidement liee au sol et entrainee par lui dans ses mouvements. Le fil CB est fixe en C b une piece permettant d'avancer ou de reculer le point d'attache C, et par consequent de modifier l'inclinaison i de l'axe de rotation, appel6e angle de stabilite. On impose au pendule une periode aussi longue qu'on veut. On atteint aisement 20 secondes. C'est une excellente manipulation que d'6tudier le fonctionnement de cet appareil (changement de i, d6placement de la masse,...). Avec deux appareils paralleles ou a angles droits, on repete tres ais6ment les experiences de composition d'oscillations paralleles ou rectangulaires (~~ 473 et 340). 460. Pendule duplexo - Soit un pendule ordinaire dont l'extremite sup6rieure est fixee en A. Appelons m sa masse, p son poids, l la distance AG de son centre d'inertie au point A, I son moment d'inertie par rapport a un axe horizontal quelconque passant par A. A Soit un second pendule renverse qui s'appuie au point B situe sur la verticale du point A. Accentuons ses caracteristiques. Les deux pendules sont rendus solidaires par le procede suivant. La sphere S est creus6e d'un canal diametral cylindrique, dans lequel entre la boule b terminant le second pendule. Dans la figure 333, la sphere S est coupde en deux pour montrer le dispo- -- sitif. Soient: ( L=Ab, L'- Bb; on a: L — ='L'. (I) Ecrivons les equations du mouvement. Comme nous nous bornons aux petites amplitudes, nous pouvons calculer la periode - B en supposant plane l'oscillation du point b. Fig. 333. Nous n'avons alors qu'une seule 6quation a consid6rer. Soit 0%, 00 les elongations maxima; l'energie potentielle est: p1 p'l' W-pl(cos0- cos Oo)-p'tl (cos0'-cos 0') 2- -(0- -02) ---- (0o — 0'). Le signe - devant le second terme provient de ce que le pendule infdrieur est au voisinage d'une position d'6quilibre instable.

Page  484 484 D YNAlII Q UE Le theoreme des forces vives donne: d I(d -)2 +- (d ) -p' (O'2 - 02). Utilisons la condition (1); multiplions partout par L'2: (IL'2 + I'L) 2 (-) (pl"-L2 -p'l'L2) (02 0). (2) Comparant avec les r6sultats obtenus pour le pendule compose (~ 382), on trouve la periode: T - 2Jipz p'' (3) En particulier, supposons les pendules constitues par deux masses placees aux extremites des tiges Ab et Bb; posons: I L, I'1 L'; I-= ml, I' m'l'2; il vient T -2r. V -/.! m m ) ii g mnl'-m'l (3') Les equations (3) et (3') montrent qu'on peut obtenir des p6riodes longues avec des dimensions restreintes. Faisons par exemple m n- nil 1 1 metre, 1' =1,25; d'oui T 2 Tout se passe comme si on avait un pendule de '10 rntres, avec une hauteur de 2"',2a seulement. 461. Pendule de Wiechert. - Pour resoudre le meme problme, obtenir une duree d'oscillation considerable sans un encombrement inadmissible (pendule quasiment astatique), WViechert emploie une masse M enorme (on est alle jusqu't plusieurs milliers de kilogrammes), placee en equilibre instable sur la pointe P qui repose sur le sol (en realit6 par l'intermediaire d'une suspension a la cardan). Le point A de cette masse est articule sur deux systeines de tiges a angle droit l'un de l'autre. La figure 334 n'en represente qu'un. I1 faut d'abord transformer l'equilibre instable en equilibre stable. Pour cela, la tige OBCD quitourne autour de l'axe horizontal 0, est tiree par deux ressorts antagonistes RR. Si les ressorts sont assez puissants, c'est-a-dire si le coefficient E, par lequel il faut multiplier l'allongement pour avoir la tension, est assez grand, l'Fquilibre devient stable; il l'est pour toutes les directions, puisque par hypothese il existe deux systemes identiques rectangulaires. En second lieu, il faut amortir les oscillations; c'est a quoi sert le

Page  485 PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 185 cylindre E articule sur le levier OCD, suspendu par deux fils et se deplacant dans un cylindre de rayon peu superieur. Le frottement est du a l'air. On peut rendre le systeme presque aperiodique (~ 413). Enfin il faut multiplier les deplacements du pendule. On y parvient par le jeu de leviers OB, OD; 1J, KL. L'amplification est mesuree par le rapport (D. K-L) (03B. ). Quand le sol se deplace, il entraine les pieces S, S. Le point A S __L AY//// /. 34. / // Fig. 331. reste momentanement fixe; d'oui un deplacement de l'extremite L mesurant, en lamplifiant, le mouvement du sol dans la direction AB. Le systeme at angle droit mesure au meme instant le mouvement du sol dans la direction rectangulaire. Si le sol n'accomplit qu'un seul deplacement, le point A du pendule finit par reprendre lentement, sans oscillation appreciable, du moins avec des oscillations tres lentes et tres amorties, sa position d'equilibre par rapport a la nouvelle situation du sol. Si le sol oscille, le point A du pendule reste quasiment immobile, vu la dur6e de ses propres oscillations. Le lecteur trouvera dans notre Mecanique Physique la discussion des resultats obtenus avec les sismographes. 462. Emploi du pendule pour determiner l'acceleration des trains. - Nous pouvons rapprocher de la sismologie l'emploi du pendule dans la determination de l'acceleration imprimee a un vehi

Page  486 486 D YTNAMIQ UE cule; h la diff6rence pres cependant que cet emploi n'est pratique que si l'accleration est relativement faible. Nous avons demontr6 au ~ 95 que l'acceleration absolue est egale a1 l'acceleration relativement a un systeme d'axes entraine's, plus l'acceleration d'entratnement, a la condition que le mouvement d'enltrainement soit une translation. Nous pouvons donc traiter les problmnes par rapport a des axes entraines par le vehicule suppose anim7e d'un mouvement de translation varie, comme si ces axes etaient fixes, a a condition de joindre aux forces une acceleration egale et opposee a l'acceleration du vehicule. Soit F (fig. 335) la direction dans ^^\ ~ laquelle progresse le wagon dont on veut determiner l'acceleration y (direction de ~/ / Xla voie). Un pendule peut tourner autour d'un axe O horizontal et normal a la voie. Pour savoir quelle est sa position d'equiF/ _ F libre, il faut appliquer au centre d'inertie -my -\ G G deux forces, lune m1 verticale, l'autre my dirigee parallelement a la voie I,~ ~~/ I (sensiblement horizontale). En effet, l'acceleration y etant la meme pour tous les Fig. 335. points, les forces sont proportionnelles aux masses; la resultante est done une force passant par le centre d'inertie. Dans le cas d'une voie horizontale, l'angle 0 de la droite OG avec la verticale est donne par la relation tg0 =:g. Cet angle est generalement petit. Supposons le cas d'une locomotive tirant sur un train de 300 tonnes avec une force de 10 tonnes. Le rapport: g est egal a: 30, puisque l'acceleration g correspond a un poids de 300 tonnes tirant sur une masse de 300 tonnes. Nos hypotheses sont du reste exagerees. La tangente 1 30 correspond a /. -- \ un angle 0 =2 environ. ~/ "/').0 /' F L'appareil ne serait pas assez sensible: on tourne la difficulte par des procedes analogues a ceux employes en Sismologie (fig. 336). /L --- —--- e pendule est remplac6 par un cylindre de centre 0, roulant sur un Fig. 336. chemin parallele a la voie, et dont le centre d'inertie G peut etre aussi rapproch6 qu'on veut du centre de courbure 0. Ecrivons que la resul

Page  487 PENDULE CONIQUE. APPLICATIONS 487 tante des deux accelerations, y horizontale et g verticale, passe par la generatrice de contact C, ou, ce qui revient au meme, que la somme des couples, par rapport a lhorizontale passant par C et normale a la voie, est nulle. On a: gl sin 0 - y(r- 1 cos 0). Pour atteindre cette position d'6quilibre a partir de la position ordinaire d'equilibre, le roulement du cylindre est: =- r0. Si 0 est petit, on peut ecrire I P I 10[= — r = Y(r-1), -= g —O -- = --- guo 7. 7- - 1 Ir r - r 7'L'appareil est devenu plus sensible dans le rapport (r- 1):1. Comme pour les sismographes, il est necessaire de produire un amortissement: nous ne pouvons insister sur ces d6tails de pure technique.

Page  488 CHAPITRE VII OSCILLATIONS ENTRETENUES Les Physiciens confondent sous le terme de RESONANCE deux groupes de questions qu'il importe de distinguer. Dans le premier, on suppose qu'une force est IMPOSE a un oscillateur: c'est une des donnees du probleme. Elle est g6neralement periodique ou sinusoidale amortie. Nous 6tudions ce cas dans le present Chapitre sous le titre d'oscillations entretenues. Une telle hypothese est le plus souvent simpliste. En general l'oscillateur reagit sur le systeme qui produit la force; les vibrations excit6es deviennent [a leur tour excitatrices. En definitive, nous avons affaire a un systeme complexe dont les parties vibrent tout autrement que si elles etaient isolees. C'est la le vrai probleme de la Resonance merveilleusement resolu par Lagrange et qu'illustrent de tres curieuses et tres nombreuses experiences. I1 fait l'objet du Chapitre suivant. Rappel de quelques propositions d'analyse. 463. Representation d'une fonction par une serie trigonometrique. -Soit donnee une fonction F(t), absolument quelconque, entre deux limites t, et ts de la variable. Posons T t2 - t, 27=2: T. Fourrier a enonce qu'on pouvait toujours repr6senter la fonction F(t) par la serie: F(t) = A1 sin t +- A2 sin 2t +-... + A,, sin nt +... + Bo + B, cos ot + B cos 2ot-...+ B,,cos zot +..., ou par la serie equivalente: F(t) = B0 + a1 sin (ot —.) + a2 sin (2t.- 2) +.. ( +- a,, sin (ltot - a) +-... Calculons les coefficients de la serie (1). Multiplions les deux

Page  489 OSCILLATIONS ENTRETENUES 4t89 membres de (1) par sin mot ou cos mot; integrons entre 0 et T. Nous trouvons trois sortes d'integrales definies. r\t 1 r4 sin mct cos oot. d - sin(m +n) (ot + sin (i - ) ot] dt, qui est nulle quels que soient les entiers m et n; simotsininot. t —2 [cos (in-n) (t-cos (m-n) ot] dt, ^~~~~~o ~~o~/0 qui est nulle quand m diffire de n, et vaut T: 2 quand i = n > 0; T 1 /T c c tos ncos t. clt:d- - [cos(mn-) (t)t+cosn (+n)otlt, qui est nulle quand m difflre de n, vaut T: 2 quand mn it > 0, et enfin T quand m n= 0. D'oui la valeur cherchee des coefficients de la s6rie 1: 2 2 An=- T sin not. F (t). dl, B=-1 j cos 7,,ot. F (t). dl, T 0- 0 T B.o Tr F (t)dt. Connaissant Al et Bn, on calculera a,, et a,, par les formules a,, A2 + By, tg. n - 1B, A,,, qui resultent de l'identification des series (1) et (2). Nous ne supposons rien sur la fonction F(t). I1 est d'ailleurs evident que les series (1) et (2) [qui repr6senenent F() dans l'intervalle de tl 1t2l, repr6sentent generalement une fonction periodique admettant T conmme periode. D'oii r6sulte que les s6ries (1) et (2) representeront F(t) pour toutes les valeurs de la variable, si F(t) est une fonction p6riodique qui admet T comme periode. Employons le langage de l'Acoustique; nous dirons qu'un son periodique quelconque peut toujours etre considere comme la solnme de sons simples [serie (2)] dont les frequences sont double, triple, quadruple... de la frequence de 'un deux. Celui-ci, qui est le plus grave, s'appelle fondamental ou premier harmonique; les autres s'appellent second, troisieme,... harmoniques. Nous admettons ici sans la ddmontrer la valeur du developpement; c'est une question de mathematiques pures qui n'est pas de notre ressort. REMARQUE. Si la fonction F(t) est periodique et admet T pour periode, il est evident que dans le calcul des coefficients, on peut prendre pour

Page  490 490 D YNAMIQ UE limites d'integration, au lieu de 0 et T, deux quantites quelconques, pourvu que leur difference soit egale a T. Par exemple, on peut integrer entre -T 2 et - T:2. 464. Exemples de dveleoppements trigonometriques. - Soit a d6velopper en serie trigonometrique la fonction periodique represente par la courbe OABCDE, EFGHKI,... (fig. 337). Posons: OA- = T, OD - 'T. B C ', H _-__B_ _ _G L ___I _ _I O A D E F K I t Fi'g. 337. La fonction est done partout nulle, sauf dans les intervalles AD, FK,... de grandeur (k' -k)T, oit elle est constante et egale a F. On a _n kT ts not. (2F r F B,, - cos n7t. dt (sin 27k'n - sin 2wkn), Bo- (' -k)F. En particulier, posons k~-, k'- ': 2. I1 vient, en divisant les deux membres de la serie par F ' 1 1 2 =s in in 3 co- s in 5ot -... (1) Le developpement represente bien r 2 quand t varie entre 0 et T '2, entre T et 3T 2,... Mais il est nul identiquement quand t varie entre T 2 et T, 3T 2 et 2T,... Nous pouvons trouver une infinit6 de d6veloppements trigonometriques representant la meme constante dans la premiere mnoitie de la periode, et representant une fonction arbitraire dans la seconde moitie. I1 est incorrect de dire que nous developpons une constante en s6rie trigonometrique. La serie (I) represente non pas la constante ': 2, mais bien une fonction prenant: 2 conmme valeur dans une partie de la periode, et 0 dans une autre partie.

Page  491 OSCILLATIONS ENTRETENUES 49]l 465. Autres exemples. - oici trois autres exemples empruntes a Fourrier et representes par les courbes de la figure 338. I F, x j 2 /(cos cosx cos 3x cos ox I F()= ----' 2 -+ 32 + 52 + '-') sin x sin 2x sin 3x sin 4x II F2 (x) 1 - 2 + 3 - -4 -— III F3(x) — 2(si x sin 3x sin 5x sin7x III F,3z) -- + -z. I 111 III I I I I I I II I Fig. 338 I Fig,. 338. Pour effectuer les integrations, on usera des formules mx sin mx dx: cos mx dx - d (x cos mx), mx cos mnx dx - sin mx dx + d(x sin mx). La periode est ici 27. Ainsi, voila trois developpements parfaitement equivalents entre 0 et 7: 2. Ils representent tous les trois x 2. En particulier, faisons x=: 2; la premiere serie ne donne rien; les deux dernieres deviennent: z7 1 I 1 1 -4 1 3+5 -7, 1 '1 1 T8 -T + 49 + 2 + 9 + I1 va de soi qu'en dehors de l'intervalle 0 et: 2, les series ne sont plus equivalentes. Les figures 338 representent les courbes correspondantes.

Page  492 D YNAMIQ UE 466. Developpement des valeurs absolues d'un sinus ou d'un cosinus. - 11 est clair que le sinus et le cosinus sont a euxm.emes leur propre developpement en s6rie trigonom6trique. Mais cherchons a developper non plus le sinus, mais une nouvelle fonction egale aux valeurs absolues du sinus. Elle reprend la nmeme valeur pour x et x-+-, (fig. 339). On trouve aisement: I cos 2x cos 4x cos 6x F(.x) --— 2 1 -- 3~-. — 5. 7 Entre 0 et:, le developpement vaut identiquement (i sin x: 4). Mais il vaut (-7 sinx: 4) entre: et 2T,. Un courant alternatif redresse est repr6sente par la serie precedente. I1 est interessant de voir une fonction impaire telle que le sinus developpee au moyen d'une fonction paire; mais le fait de ne prendre que les valeurs absolues transforme la fonction impaire qu'est le sinus, en une fonction paire. 467. Principes des petits i soumis a une force periodique c 'I "......... mouvements. - Soit un corps tuelconque, ou a plusieurs forces periodiques quelconques. Nous pouvons les remplacer par un certain nombre de series trigonometriques qui, analytiquement, sont - absolument equivalentes aux forces donnees. Mais, d'une maniere generale, il n'est pas permis, pour avoir le mouvement du corps, de determiner les phenomines pour chaque muouvement d'additionner les r6sultats obtenus. un exemple quelle erreur grossiere Fig. 339. simple constituant ces series, et Nous montrerons au ~ 481 sur on ferait. Toutefois cette separation du probleme en problemes plus simples est licite, si l'equation differentielle du mouvement est lineaire et a coefficients constants. Par exemple soit l'6quation I dt + o - +CO=-F(t), ofi I, f, C, sont des constantes, F(t) une fonction periodique du temps on la somme de plusieurs fonctions periodiques. Nous remplacerons

Page  493 OSCILLA TIONS ENTRE TENUES 4' F(t) par la somme de plusieurs developpements trigonometriques ' F (t) B0 + a, sin ((4, - c s) + a2 sin (2ot - a) -... a1 sin ('t- ) a sin (2o'l- G) +.. a sin (t - ) sin (2 -... + al' sin (t - a) —... Nous chercherons i'action des differents termes. La solution generale est la somme des solutions particulieres ainsi obtenues. C'est en cela que consiste le prillcipe des petits mouvements. Nous ramenons done l'6tude de l'action d'une force p6riodique quelconque a l'etude de laction d'une force sinusoidale par rappor;t au temps. Force iniposee sinusoidale non amortie. 468. Position de la question. - Nous allons poser le probleme sur une experience particuliere, celle meme que nous conseillons an lecteur d'etudier pratiquement dans tous ses details. I1 ne comprendra bien la question que s'il s'est donn6 la peine sinon de monter un appareil, du moins de manipuler avec un appareil B,. tout monte. B, Une barre (fig. 340) tourne autour de l'axe horizontal 0 et porte deux masses M, M, dont on peut faire varier la distance a l'axe. Le centre d'inertie du systeme coincide avec Flaxe; la pesanteur n'intervenant pas, les oscillations auraient une periode infinie. ' (0 M Attachons en A un ressort a boudin dont l'extremite Fig. 340. superieure est fixee en B. Pour equilibrer la tension du ressort quand la barre est horizontale, ajoutons une masselotte 7n. Dans ces conditions, le moment d'inertie du systeme oscillant est I. Soit E la constante par laquelle il faut multiplier l'allongement dl ressort pour avoir la force correspondante (~ 339). La partie dn couple, due au ressort et noln quilibree par la masselotte in, est t. orsqu la barre s'incline de angle 0 lorsque la barre s'incline de l'angle 0.

Page  494 494 D YNAMIQ UE Quand le point B est fixe, l'equation du mouvement de la barre autour de son axe est: d~O dO I-t + - t +I-=o. (1) Nous supposons que le frottement est proportionnel a la vitesse. Nous admettons de plus que la duree d'oscillation est assez grande pour que la deformation du ressort puisse etre consideree comme identique en tous ses points; c'est dire que l'accroissement de longueur se repartit a tout instant uniformement le long du ressort. Nous reviendrons plus loin sur les phenomenes dans le cas ou cette hypothbse n'est pas exacte (~ 482). Aux ~~ 409 et suivants nous avons longuement etudie les proprietes du mouvement represente par l'equation (1). Supposons maintenant qu'on imprime au point B une oscillation verticale definie par l'equation: x X0 sin cot; x est compt6 positivement vers le bas, de meme que 0. Dans ces conditions, le couple a pour expression ER ( - x); O- x represente en effet 'allongement du ressort. L'equation du mouvement devient tI -+ dc- C Asin ct, (2) en posant: C=- E~2, A- = EAx,. Quant le point B descend, quand par consequent x croit, la tension du ressort diminue. C'est comme si on appliquait une force dans le sens des 0 croissants. Cette force, nulle quand B est au milieu de sa course, suit les variations de B. Le parametre A est une quantite positive. Le problime que nous traitons a done l'6nonce general suivant Un corps est soumis C une force proportionnelle a sa distance 0 a sa position d'equilibre, et qui tend a l'y 7amener; le frottement est proportionnel a la vitesse. On impose une force periodique sinuso'dale: F- A sin 0ot; on demande la loi du nmouvement. La solution a 6t6 donnee dans tout son detail par Helmholtz, il y a une cinquantaine d'annees; elle est exposee avec un grand luxe d'exp6riences dans son Acoustique. Depuis, une infinite de Physiciens (en particulier Cornu) ont repris le problerne, du reste sans ajouter un seul mot a ce qu'avait dit leur devancier dont ils n'ont pas l'air de soupconner l'existence. L'appa

Page  495 ,OSCILLATIONS ENTRETENUES 49.5 reil que nous decrivons a ete etudie par nous pour l'etude des proprietes elastiques du caoutchouc et des substances fortement absorbantes d'6nergie. 469. Manipulation. - Avant d'aller plus loin, montrons comment il est possible de realiser l'experience. Le pendule represent6 dans la figure 341 est entretenu electriquement. En passant par la position d'equilibre, sa pointe agit sur une petite piece metallique, mobile autour de l'axe 0 et terminee par un p P bout de papier jouant le role de 7. ressort. Quand le pendule va dans,- le sens de la fleche f, la piece metallique obeit et ferme le circuit de deux bobines (grace a un fil de cuivre plongeant alors dans un godet de mercure). Les connexions sont telles qu'il en resulte des actions concordantes sur les pales de l'aimant A: d'oui entretien du mouvement du pendule. Quand - celui-ci passe par la verticale en sens inverse, it flechit le papier sans que la piece m6tallique se F deplace. Cela est n6cessaire, car si le courant etait alors ferme, il agi- R T N rait pour arreter le pendule. - En reglant convenablement la A resistance du circuit, on peut maintenir l'amplitude a la grandeur qu'on desire. Pour modifier la periode T 2': 2 o, sans arr6ter l'experience (~ 394), on deplace la lentille L au moyen Fig. 341. d'un fil d'acier qui passe sur deux poulies P et s'attache a l'extremite d'une vis V. En agissant sur l'ecrou E, on allonge ou on diminue la periode du pendule. Une fourche F, fixee a l'extr6mite de la vis, prend entre ses comes la tige fixe MN et emp6che la vis de tourner: autrement le fil serait tordu et casserait au bout de pen de temps. Enfin il faut entrainer le point B, extremit6 sup6rieure du ressort. La figure 342 represente les deux pointes qui servent de couteau au pendule. On eloigne ainsi autant qu'on le desire le point B du pendule, ce qui est necessaire comme nous le verrons plus loin (~ 474).

Page  496 196 D YNAMIQ UE En d6plagant le point B sur le bras transversal BI, on modifie l'amplitude de l'oscillation du point B, amplitude representee par x0 au Fig. 3i2. paragraphe precedent. Comme le pendule est en porte a faux, on alourdit l'extremite I de la piece IJ, ce qui n'a pas d'inconvenients. 470. Solution de l'equation du mouvement. - L'integrale generale de l'equation (2) se compose de deux parties. L'une est l'int6grale de l'equation privee du second membre; nous l'avons longuement etudiee aux ~~ 409 et sq. Nous savons qu'elle fournit un mouvement oscillatoire de p6riode T' 2- ~I' (C —1), amorti, soit periodique, soit ap6riodique, suivant la grandeur du parametre f. La p6riode T' diffre generalement fort peu de la periode T=2,/l: C, qui correspond au frottement nul. A cette int6grale generale de l'quation privee de second membre, il faut ajouter une int6grale particuliere de l'equation avec second membre; elle constitue precisement la solution (du probleme dont nous nous occupons. Elle est: A sin - 0 = /. - - sin (ot- s) 0 sin (cto- s), fo avec la condition: tgs: C -l.' Ainsi, apres un temps suffisant pour que la partie amortie du ph6nomene (int6grale gen6rale de l'equation privee du second membre) disparaisse, on obtient une vibration d'amplitude constante et dont la periode est celle meme de la force periodique impos6e. Son amplitude est fonction des divers paramnetres definissant cette force; il existe g6neralement un certain d6calage entre la force et la vibration.

Page  497 OSCILLA TIONS ENTRETENUES 497 CAS PARTICULIER. Un cas particulier echappe a l'analyse precedente; c'est celui oui l'on aurait f- 0. Lorsque C- c2J n'est pas nul, il suffit de poser: sins- tg, A pour obtenir: 00 -o 1 La difficulte n'existe donc que si C -o I 0, c'est-a-dire si la periode de la force impos6e est precisement egale a la periode propre du corps oscillant. Nous avons (~ 421) dans ce cas pour solution 0 - Ot cos wt, avec la condition: 0O =- A: 2!o. Ainsi l'on n'arrive jamais a un mouvement d'amplitude constante; l'amplitude croit indefiniment. II est tout naturel que nous trouvions une valeur infinie pour l'amplitude limite. En fait, il existe toujours un amortissement, de maniere que si ce cas particulier ne pouvait etre pass6 sous silence, son interet pratique est minime. 471. Energie transmise au corps oscillant. - A chaque instant le couple qui tend a faire tourner l'oscillateur vers le bas, est: A sin ot - CO; quand l'oscillateur se deplace de dO, il lui est done fourni un travail: (Asin ot - CO)d. Pendant une oscillation complete, il recoit l'energie T T(A i t ) A A sinot CE)=Ao7sin. L'6nergie moyenne regue est: A00,7sin s A2 sin2 s T = 2f On peut la calculer autrement. Puisque l'amplitude est constante, l'6nergie recue est egale a l'energie absorb6e par les frottements T T d 0 f-l- c/o --,fo j cos 2 (,t )- ~)di. 0 En substituant a o0 sa valeur, nous obtenons l'expression de l'energie absorbee par oscillation 7;A2 sin2 E /f(. Divisant par la periode 2,: o, on retrouve l'expression cidessus donnee de l'energie moyenne. Elle est maxima pour sin s =1. On a alors: C o2I.- L'Meergie w fournie a l'oscillateur est done Cours de Physique. - H. BOUASSE. 32

Page  498 498 D YNAMIQ UE maxima quand la periode du son excitateur est egale a ce que serait la periode propre du corps excite, si l'amortissement f etait nul. C'est pourquoi la vibration de periode (que pour abreger nous appellerons le son de periode) T 2\/ C, s'appelle son de plus forte resonance. Si l'amortissement est faible, la periode T differe tres peu de la periode T' du son propre. Nous poserons: Q 27: T. Appelons W l'energie transmise pour le son de plus forte resonance Q. On a. w - W sin2 s. 472. Resonance d'un appareil donne quand varie la periode de la force excitatrice. - On maintient invariables les parametres de l'appareil excite, ainsi que l'amplitude A de la force excitatrice on modifie seulement la periode de cette force, ou, ce qui revient au meme, la quantite (o. Pratiquement, on eleve ou on abaisse la lentille du pendule, et on modifie la resistance du circuit de maniere at maintenir constante son amplitude. I~ Soit i = co, l'intervalle musical entre le son excitateur et le son de plus forte resonance. On a: f~0 f i tgo- C (c2I - 1 1-i2; tg E reprend la meme valeur au signe pres, sin2 c reprend la meme valeur quand on remplace i par: i. La transmission d'energie ne depend done que de l'intervalle; un son excitateur en fournit autant, qu'il soit par exemple un ton au-dessus ou un ton au-dessous du son de plus forte resonance de l'appareil entretenu. Les decalages s sont egaux et de signes contraires. 20 Prenons comme seconde variable la quantite f _, - 21NQ (La quantite f: 21 est definie au ~ 409. C'est d'elle que depend l'amortissement d'apres le facteur e -'t. Pendant une p6riode T du son de plus forte resonance, et par consequent tres sensiblement pendant une periode T' du son propre, l'amplitude de l'oscillation du corps est diminuee dans le rapport: exp (- XiT) exp - - oa -exp (- 27 ); a exprime done l'amortissement pendant une periode T.

Page  499 OSCILLATIONS ENTRETENUES 499 Grace aux variables i et a, on peut ecrire 2ai tg 1 i2 30 Discutons la valeur du rapport: wo W sin2, quand i varie de 0 a oc. On a wo =Wsin2-E - 4a2W: ( — i La courbe est represente en trait plein dans la figure 343. Les points M et N sur une meme horizontale correspondent au m6me I i, w:w.?_. B_ Nj I I......... A C \'. I I II" /-iB I I 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Fig. 343. intervalle i ou ' i. La courbe est une cloche dyssymetrique, avec un maximum tres aigu pour i- 1. 4~ VARIATION DE L AMPLITUDE. L'amplitude 00 de la vibration excitee est: A sin s A 00= f ( -- (c -()2- + f)2(, C, i, f, A, sont donnes. Le maximum de 00 a lieu pour le minimum du denominateur considere comme fonction de oi2. On verifiera que la periode correspondante est: IT" —x\ /~ ( 2 )' i 2,r, 1. C -2. Fi 2143

Page  500 500 D YNA MIQ UE Elle. n'est egale ni au son de plus forte resonance T, ni au son propre T'. On a T" > T. On pouvait aisement le prevoir. L'energie W d'une vibration 0 - 00 sin (t - s), est proportionnelle a OQco2, ou encore a 06: T2. Le carre de l'amplitude est done proportionnel a wT2. L'amplitude maxima ne correspond done pas a la periode qui rend l'energie maxima; elle correspond a une periode un peu plus grande qui, tout en laissant w quasiment invariable, augmente le second facteur du produit. L'o correspondant au maximum de 00 est done plus petit que Q; la valeur de la variable i correspondante est < 1. Pour c 0, 00 tend vers une limite finie, ce qui etait evident a priori. Nous n'avons plus qu'un phenomene statique represent6 par l'equation: CO A sin tot. L'acceleration et la vitesse ont disparu de l'6quation du mouvement [(2) du ~ 468]. Le maximum 00 de 0 est done A: C, conformement a l'expression generale de 00. Prenons cette quantite pour unite; la courbe 00 =f(i) est represent6e en pointille sur la figure 343. 473. Champ de resonance.- Maintenons invariables les parametres C, I, A; tracons, pour chaque valeur de f, la courbe de l'energie transmise w en fonction de l'intervalle i (fig. 344). Posons A —; on a: 2w =/f: 22( +2 - Pour i, 1 ona: w 1: 2f. L'ordonnee maxima des courbes est en raison inverse de f ou de a qui lui est proportionnel. L'ordonnee devient nulle, quel que soit f, pour i 0, i-oc, qui sont les limites de variation de i. w passe brusquement de sa valeur maxima a une valeur nulle, si f est nul, si l'amortissement est extremement faible. Mais ceci demande une explication. Nous avons vu que pour i-l1, f= 0, l'amplitude maxima etait sans limite. Effectivement, a chaque oscillation, on fournit de l'energie qui n'est jamais perdue, puisque les frottements sont nuls. La forme de l'int6grale est diff6rente pour ce cas particulier (~ 470). Au contraire pour i 1, f -0, nous rentrons dans le cas general. L'amplitude a une valeur parfaitement determinee. Correla

Page  501 OSCILLATIONS ENTRETENUES 501 tivement, on ne fournit aucune energie, puisque l'amplitude etant constante, l'6nergie absorbee par les frottements est nulle. En definitive, pour f 0, la courbe des amplitudes est analogue a la courbe en pointille de la figure 343, a la difference pros qu'elle admet une asymptote verticale correspondant a i 1 la courbe des energies reques se reduit aux deux droites rectangulaires: axe des i, ordonn6e d'abscisse i -i. Revenons au cas oi f > 0. I1 est facile de voir que les courbes qui correspondent a deux valeurs f, et f, (f, < f) du frottement se coupent necessairement. La courbe 1 est au-dessus de 2 au voisinage de i-=, elle est au-dessous au voisinage de i=0, ou quand i devient tres grand. w:W 0 1. Fig'. 344. En eftat, ecrivons que leg couvbe sge coupent o z est ariable d 0 (i) (iO, o) C). ou z est variable de 0 (i_-1) a (i- 0, ou i oc). La condition (1) revient a ecrire z=AA. (2) Or, quels que soient f, et f2, il existe toujours une valeur reelle de z qui satisfait a la condition (2). La figure 344 represente en traits pleins deux courbes du systeme. Si l'amortissement du corps excite est grand, l'amplitude maxima de la vibration n'est pas grande; mais la hauteur du son excitateur peut differer notablement de la hauteur de plus forte resonance, sans

Page  502 502 D YNAMIQ UE que cette amplitude tombe a une tres petite fraction de sa valeur maxima. Si au contraire l'amortissement est tres petit, l'amplitude maxima est enorme; mais la moindre variation du son excitateur la fait tomber a une tres petite fraction de sa valeur maxima. Les diminutions relatives sont beaucoup plus rapides. Pour qu'on se rende compte des variations relatives, on a r6duit la courbe I de maniere que les maximums des courbes 1 et 2 soient les memes; la courbe obtenue est representee en pointille. 474. Difference de phase entre la force excitatrice et la vibration excitee. - I1 existe un decalage s entre le son excita teur et le son excite: F Asinot, 0 - 00 sin (t-s); E represente un retard de la vibration sur la force. On a _ f _ 1 fo tgs C _ - 2I - I Q2 2 Quand 1'energie transmise est maxima, on a Q= -, tg oc, ~=7T: 2. Quand Q > o, quand par consequent la p6riode de la force est plus grande que la periode du son de plus forte resonance tgE>0, ~<7: 2. Quand Q < o, quand par 0 consequent la periode de la force est plus petite que la periode du son de plus forte resonance: tg E, >7:2. DepjaceOment. I Ii-' 0 Q 3i U Pour nous representer la signification mecanique de ces resultats, reprenons la figure 340. Supposons le decalage egal a: 2. Au moment oui nous regardons l'apP *oFce pareil, la barre est horizontale et le point A va vers le bas (vers les 0 croissants). Le point B est en avance de: 2 sur le point A; il est done en B1 a l'extr6mite inf6rieure de sa course (x maximum) et commence a se mouvoir vers le haut (vers les x!D decroissants). Portons en abscisses la force F, en ordonnees le d6placement 0. Nous g. 345) dont les axes sont paralleles aux axes A 'I,- --- -f I - Fig. 345. obtenons l'ellipse 1 (fit de coordonnees et qui est parcourue dans le sens de la fleche.

Page  503 OSCILLATIONS ENTRETENUES 503 Quant Q > o (ce qui correspond a une augmentation de la periode de la force), ~ devient inferieur a: 2; l'ellipse est figuree en 2. Si Q < co (si nous diminuons la periode de la force), l'ellipse est figuree en 3. Toutes ces ellipses tournent dans le meme sens; A 6tant invariable, elles sont toutes tangentes a deux verticales d'abscisses - A. Elles admettent comme limites l'ellipse evanouissante QP. C'est pour i l, que vaarie le plus vite possible. L'ellipse se deforrne done rapidement, en restant tres sensiblement inscrite dans le rectangle ABCD, puisque 00 passe par un maximum pour i 1. D'oui une methode tres importante (explicitement proposee par Helmholtz) pour determiner la periode de plus forte resonance d'un oscillateur: on l'entretient par une force sinusoidale de periode connue et arbitrairement variable; on determine la periode pour laquelle les vibrations de la force et du corps sont en quadrature. Nous ne saurions trop engager le lecteur a verifier ces phenomenes. Une legere complication de l'appareil decrit permet de realiser les ellipses dont il vient d'etre parle (fig. 340, 341 et 346). Le pendule U RL Lz La Fig. 346. entretenu porte une plaque de laiton R percee d'un petit trou T qu'on eclaire a l'aide d'une source lumineuse S et d'une lentille L1. L'oscillateur porte une lentille L2. Tandis que le trou T decrit sensiblement une horizontale, le centre optique de la lentille L2 decrit sensiblement une verticale. On obtient l'ellipse sur le tableau U qui est le plan conjugue de la plaque R par rapport a la lentille L2. On comprend maintenant pourquoi il est necessaire d'eloigner du pendule entretenu le point d'attache B du ressort. I1 doit etre dans l'aplomb du point A de l'oscillateur. On peut installer sous l'oscillateur des pots pleins d'huile dans lesquels oscillent des cylindres fixes a l'oscillateur; on fait ainsi varier le frottement et par suite le coefficient f.

Page  504 504 D YNAMIQ UE 475. Exemples de phenomenes de resonance. - Le nombre des exemples quasiment vulgaires est infini; en voici quelques-uns pour fixer les idees. 1~ On soude au support d'un gyroscope une tige metallique, parallelement a l'axe de rotation; on la saisit verticalement dans un etau (fig. 347). F F On lance le disque du gyroscope. Comme il n'est jamais absolument centre, il donne de petites percussions a son support. Pour une certaine vitesse de rotation, la p6riode des percussions est egale a la periode des vibrations du systeme sous l'influence de 1'elasticite de flexion de la tige. I1 y a resonance. On voit l'amplitude des oscillations (generalement coniques) de la tige croitre, puis decroitre quand la vitesse de rotation du disque est devenu trop petite. 2~ Dans l'experience precedente, la resonance a lieu pour de tres petites vitesses de rotation, la Fig. 347. masse du gyroscope etant grande et les vibrations de longue periode. Pour avoir une resonance avec une vitesse quelconque, on soude au support du gyroscope des lames (ou fils) metalliques F de periodes propres variees. Elles entrent en vibrations (coniques si ce sont des fits) quand la vitesse de rotation passe par une valeur convenable. 3~ Un navire est entretenu en oscillation par la houle dont la periode est reguliere (roulis et tangage). Si la periode de la houle est egale a la periode du navire en eau calme, l'amplitude des oscillations croit excessivement: le navire peut etre en danger. D'oUi la preoccupation des ingenieurs de donner au navire une periode propre tres superieure a celle de la houle (Voir Mecanique-Physique). 4~ Nous avons vu (~ 381) qu'une locomotive a une periode propre d'oscillation sous l'influence des ressorts de suspension sur lesquels une partie de son poids repose. I1 y a resonance, pour une certaine vitesse, entre les diverses forces periodiques dues a l'inertie, et l'oscillateur constitue par les ressorts et la masse qu'ils soutiennent. 476. Mesure d'une frequence par la resonance; tachymetres, - Pour mesurer la fr6quence des courants alternatifs, on emploie tres frequemment des jeux de lames d'acier accord6es sur des sons dont les frequences varient regulierement de 50 a 200 (fig. 348). On d6place devant le jeu de ces lames un electro traverse par le courant alternatif. On determine quelle lame prend l'amplitude maxima. Soit n la frequence du courant alternatif. A u signe pres, il atteint 2nz

Page  505 OSCILLATIONS ENTRETENUES 505 fois par seconde son intensite maxima. L'attraction etant independante du signe du courant, et par consequent du sens de l'aimantation, l'electro exerce sur la lame une force constante, plus une force periodique de frequence 2n; ce qu'exprime l'identit:~ 2 sin2 cot I - cos 2o1t. La force constante ne joue aucun autre r1le que de d6placer la position d'equilibre. Avec les lames que nous avons dites, I.,. 3 l'appareil permet de determiner des frequences de 25 a 100. La mesure se Fig. 38. fait avec une precision de 1 0/,, ce qui est largement suffisant, sans tatonnement si l'on dispose a poste fixe un electro sous chaque lame. Sur le meme principe on a construit des tachym6tres, c'est-a-dire des appareils destines a mesurer la vitesse de rotation d'un axe. Une sorte de petit alternateur a fer tournant (fig. 349) envoie des courants alternatifs dans l'appareil precedent. D'apres la construction de l'alternateur, on connalt le rapport du nombre de tours par seconde de son axe a afrequence du courant. De la mesure de celleci, on deduit celui-la. On peut remplacer le jeu de lames par un simple fil d'acier plus ou moins tendu, ou plus ou moins long, devant lequel est un electro traverse par le courant alternatif. De la tension ou de la longueur pour la resonance maxima, on deduit la frequence. Fig. 349. On peut encore monter un jeu de lames vibrantes sur le bati de la machine dont on veut determiner la vitesse de rotation: c'est I'application de l'experience 20 du paragraphe precedent, ou la machine sert de gyroscope et oh les lames vibrantes sont etalonnees. 477. Regle de Fresnel; resonance sous 'action de plusieurs forces de m6me periode. - Faisons agir sur le meme mobile plusieurs forces de mnene periode, mais d'amplitudes et de phases differentes. Elles produiraient agissant isolement des mouvements permanents de meme direction et de meme periode, mais d'amplitudes A, B, C,... et de phases c,, y,... D'apres la forme lin6aire admise pour l'equation du mouvement, nous obtiendrons le mouvement general en additionnant les solutions particulieres (~ 1467). Nous obtiendrons assurement un mouvement resultant de meme direction et de meme periode que les constituants; il s'agit de calculer son amplitude R et sa phase p.

Page  506 506 D YNAMIQ UE Pour cela identifions les deux membres de l'equation: A sin (cot - a) + B sin (co( - ) +... - R sin (t - p); A sin a - B sin 8 --... -- R sin p, A cos - + B cos - +... -- R cos p; R2 = zA + 2 AB cos (a - 3), tg& p - A sin a: 'A cos a, Ces equations fournissent les valeurs de R et de p. On donne a ce calcul une interpretation geometrique connue sous le nom de regle de Fresnel. A partir d'une demi-droite de ref6rence quelconque OX (fig. 350), B decrivons dans le sens de la / a fleche f (sens positif arbitrairement choisi) des angles / < > egaux ta a, n,... supposes positifs. x Si'ils sont negatifs, on les ~/ '^.T decrira en sens inverse de la fleche f. Portons dans la direction /-^~~~a ^~(0, + — ) definie par l'angle Fig. 350. a, une longueur proportionnelle a A, si A est positif; portons-la en sens inverse, dans la direction (0,-a), si A est negatif. Nous definissons ainsi des vecteurs OA, OB,... qui representent respectivement en grandeurs et en signes les groupes de quantites A, a; B,;... Composons ces vecteurs; le vecteur resultant repr6sente les quantites R, p. Cela resulte immediatement des equations de conditions que les quantites R et p doivent satisfaire. Nous supposons dans ce qui pr6cede les mouvements donnes par des sinus. Admettons que l'un deux se presente sous la forme A cos (ot - ). Nous avons identiquement cos (o^ -= sin - ( t - a) =-si()t o - j On construit done le vecteur en cosinus comme un vecteur en sinus, puis on le fait tourner de r: 2 dans le sens n6gatif; operation qui revient a le faire tourner de: 2 dans le sens positif et a le retourner bout pour bout, conformement a la formule.

Page  507 OSCILLATIONS ENTRETENUES 507 Enfin soit un mouvement: a - A sin (tot -); representons la vitesse da ct - Ao) cos (ot - a). I1 resulte immn6diatement de la regle precedente que la quantite: da/dt, est representee par le -ecteur figuratif de a, multiplie par (o et tourn6 de: 2 dans le sens negatif. Voici un corollaire de la Regle de Fresnel frequemment utilis6 en Electricite et Optique. Des vecteurs 6gaux, symetriquement disposes autour du point 0, ont une resultante nulle. 1I resulte de la que les deux sommes suivantes sont nulles: sia+sina+ )sin )+... +sin + — -- - cosa+cos 2+ —)+cos a+ l - +cos(o - 2( - -) 0. 478. Battements. - Supposons que le mobile oscille sous 'influence de deux forces qui lui irnposeraient, agissant isolement, des mouvements de meme direction mais de periodes un peu diff6rentes: a - A sin (tot +- 't), hJ B sin (o0t- o't). I1 est inutile d'introduire une phase, parce que, les periodes etant differentes, on peut toujours pratiquement choisir l'origine des temps de maniere que pour t= 0, a et b soient simultandment nuls. Le mouvement r6sultant a pour expression: 7' = a - b = sin t (A cos ('t + B cos c't] + cos ot [A sin o'- B sin o't]. Posons: r= R sin (ot- ). Cela revient a considerer le son resultant comme de periode T -2: o, mais d'amplitude et de phase variables. On a A B R2= A2+ B + 2AB cos 2o't,