Pojęcia i metody matematyki. Tom I. Część I. Teorya działań. Napisał S. Dickstein.
Dickstein, S. (Samuel) 1851-1939.

Page  [unnumbered] Start of sub OutputBib BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET Graduate Library University of Michigan Preservation Office Storage Number: AAN9465 UL FMT B RT a BL m T/C DT 07/15/88 R/DT 07/15/88 CC STAT mm E/L 1 035/1:: a (RLIN)MIUG84-B51514 035/2:: a (CaOTULAS)160099833 040:: laMiU I c MiU 100:1: | a Dickstein, Samuel, I d 1851 -245:00: 1 a Pojecia i metody matematyki. I c Napisa S. Dickstein. I n Tom I. I p Czesc I. Teorya dzia an. 260:: | a Warszawa, | b Wydawnictwo redakcyi, "Prac matematyczno-fizycznych," c1891. 300/1:: a vi, 268 p. | b incl. tables. I c 25 cm. 500/1:: a No more published. 650/1: 0: j a Mathematics I x Philosophy 998:: c KLB s 9124 Scanned by Imagenes Digitales Nogales, AZ On behalf of Preservation Division The University of Michigan Libraries Date work Began: Camera Operator:

Page  [unnumbered]

Page  [unnumbered]

Page  [unnumbered] POJICIA I METODY MATEMATYKI.

Page  [unnumbered]

Page  [unnumbered] POJECIA I METODY MATEMATYKI. NAPISAL S. DICKSTEIN. Matematyka jest to kr6lowa wszystkich nauk: jAj oblubiericem jest prawda, a prostoc; i oczywistosc jej strojcm. Jan Sniadecki. TOM PIERWSZY. CZFSC PIERWSZA. TEORYA DZIALAN. WARSZAWA. WYDAWNICTWO REDAKCYI,,PRA C MATEMA TYCZNO - FIZYCZNYCH". SKLAD GtOWNY W KSIIGARNI GF.BETIINERA I WOLFFA. 1891.

Page  [unnumbered] ,,0o3BoAeHo LeH3ypoio. BapmaRa, 24 AIptJA 1891 I. PAPIER Z PAPIERNI W JEZIORNIE. DRUK J. SIKORSKIEGO POD ZARZ4DEM A. SALADYCKIEGO, W WARSZAWIE, WARECKA 14. SKLADA, W. SKIZYCKI.

Page  V SPIS RZECZY. WSTFTP. 1. Przedmiot Matematyki............ 2. Wielkosc.......... 3. Formy przerywane i ciagle.......... 4. System Matematyki....... 5, Matematyka i Logika............. 6. Analiza i synteza............... 7. Zasada zachowania i warunki stosowalnosci dzialaif formalnych Przypisy.................. ROZDZIAL I. LICZBY CALKOWITE. 1 6 15 18 21 23 27 32 8. Dzialania proste........ 9. Dzialania odwrotne. 10. Liczby nadskofczone... Przypisy....... ROZDZIAL II. TEORYA DZIALAN FONRMALNYCI. 11. Teorya Grassmanna i Hankela... 12. Teorya Dedekinda......... Przypisy....... ROZDZIAL III. LICZBY ULAMKOWE..*.. i45.... 51.. 55.... 58... 67..... 85.... 92 13. 14. Teorye dzialai nad ulamkami.... 101 Wielkosd ulamka. Mnogo6c liczb ulamkowych...... 105 Przypisy.................... 107

Page  VI VI ROZDZIAL IV. LICZBY UJEMNE. 15. Rozw6j pojd o liczbach ujemnych.......... 110 16. Teorye dzialafi nad liczbami ujemnemi........ 112 17. Wielkosc liczb ujemnych. Mnogosd tychze........ 114 Przypisy,......... 115 ROZDZIAL V. LICZBY ZESPOLONE ZWYCZAJNE. 18. Rozw6j pojgd o liczbach urojonych.. 122 19. Teorye dziatafi nad liczbami urojonemi......... 125 20. Normy, wartosci bezwzglgdne i mnogosc liczb urojonych..132 Przypisy................. 134 ROZDZIAL VI. LICZBY ZESPOLONE WYZSZE. 21. Rozw6j pojg6 o Jiczbach nadurojonych. 22. Teorya Weierstrassa.... 23. Pojgcia zasadnicze metody G r a s s m a n na. 24. Gatunki mnozenia wedlug G r a s s m ann a. 25. Mnozenie zewnetrzne..... 26. Wyznaczniki............ 27. Iloczyny odniesione do dziedziny go6wnej. 28. Mnozenie wewngtrzne. 29. Mnozenie srodkowe..... 30. Kwaterniony H a m i l t o n. 31 Dzialania nad wektorami........ Przypisy...... ROZDZIAL VII. FUNKCYE CALKOWITE..... 137.... 142... 151.... 153..... 157.... 159.... 165... 169. 170.... 171... 180.... 183 32. Okreslenia.............. 33. Twierdzenie zasadnicze..... 34. Iloraz funkcyj calkowitych.... 35. Najwigkszy wsp6lny dzielnik.... 36. Rozklad funkcyi calkowitej wedlug potgg inn6j 37. Funkcye symetryczne.... 38. Pochodne funkcyi calkowitej.... 39. Wz6rTaylora...... 40. Roznice funkcyi calkowitej... 41. Wz6r interpolacyjny L a g r a n g e'a. 42. "Prawo najwy2sze,, W r o i s kie g o... Przypisy............ 193..... 198......200..... 205..... 209......210.......228..... 238..... 2241 *.. 25(....... 255.......260

Page  1 WSTEP. Die Mathematik ist in ihrer Entwickelung vIllig frei nnd nur an die selbstredende Ricksicht gebunden, dass ihre Begriffe sowohl an sich wiederspruchlos sind als auch in festen durch Definitionen geordneten Beziehungen zu den vorher gebildeten bereits vorhandenen und bewiahrten Begriffen stehen. U. Cantor. 1. P'lZEDMIOT MATEMATYKI. Bogactwo tresci najscislejszej wiedzy ludzki6j, jakq jest Matematyka, stanowiaca swiat odrgbny pojc6, odzwierciadlajacycll w sobie wiekowa pracq ducha ludzkiego nad trudnemi zagadnieniami bytu, nie da si~ zawrzec w kilku slowacl wstpnuego okreslenia; przytaczajiac witc ni2ej niektore z czgsciej napotykanych okresleii Matetematyki, musimy zastrzedz z gory, ze zadle z nich nie jest wystarczajacerm, bo wlasciwe zadanie nauki dopiero przy wykladzie jej pojc6 i metod najlepi"j uwydatnic sic daje. Matematyka jest nauka o wielkosciach - oto najpospolitsza z napotykanych definicyj. Jest ona wszak2e niezupelnq, bo nie wszystkie twory Matematyki sa wielkosciami i nie we wszystkich jej badaniach idzie o zwiazki pomigdzy wielkosciami. [O wielkosci mowimy obszerniej w nastgpnym artykule]. Nauka kombinacyi np. nie na nic do czynienia bezposrednio z wielkosciami, a do takich np. twor6w, jak liczby urojone i nadurojone, nie mozna wprost stosowa6 pojecia wielkosci. I Geometrya w wielu badaniach swycl obywa sie zupelnie bez pojceia miary wielkosciowej. l'oj(cia. T, I. 1

Page  2 2 WSTEP. [1 Do nastgpuj acych typow glownych sprowadzaja sie wszystkie twory lubformy badani matematycznych2. Do pierwszego typu naleza liczby, a wiec przedewszystkiem liczby calkowite, stanowi.e zasadniczy materyal Arytmetyki, nastepnie wszystkie inne rodzaje liczb, ktore droga uogolnienia dzialani powstaja, a wiec liczby ulamkowe, ujemne, urojone, nadurojone, liczby idealne Kummer a, "idealyn, Ded e k i n d a; liczby nieskoficzenie wielkie i nieskonczenie male, nadskoiiczone (transfinite) G. C a n t o r a, wymierne i niewymierne, algebraiczne i przestepne. Dalej naleza tu funkcye matematyczne, wyobrazajace w jednem pojeciu szeregi stanow, przez jakie przechodza liczby, zmieniajace swa wartosc w zaleznosci od innych liczb. Do typu drugiego nale2z formy geometryczne, t. j. ciala geometryczne trojwymiarowe, formy dwu i jednowymiarowe, punkt geometryczny, oraz ogolniejsze formy rozmaitosciowe czyli przestrzenie wielowymiarowe; dalej uklady czyli kombinacyc rozmaitych form, i formy, wyobrazajace w jednem pojtciu szeregi stanow, przez jakie przechodzi pewna forma geometryczna lub uklady podobnych form. Do trzeciego wreszcie typu nale2q rozmaite formy matematyczne, utworzone przy badaniu zjawisk, jak formy foronomiczne, mechaniczne, fizyczne i t. p. Na pierwszy rzut oka zdaje sic, 2e objecie tych r6onorodnych przedmiotow jednj nauka odbiera tejze charakter jednolitosci: liczby bowiem zdaja sie bye czems zupelnie r6onem od form geometrycznych, te zas r6oniq sie zasadniczo od twor6w, cechujacych zjawiska. Rozwoj nauki, jak to zobaczymy, zbli2a wszak2e do siebie te r6onorodne poczatkowo dziedziny. I tak pojtcie liczby przez uogolnianie prowadzi kolejno od liczb calkowitych dodatnych z jednej strony do urojonych i nadurojonych, z drugiej zas strony do niewymiernych i przestcpnych. Tworzenie liczb urojonych i nadurojonych odpowiada wprowadzeniu do nauki o liczbach wymiarowosci, stanowiacej cechg twor6w geometrycznych. Tworzenie zas liczb niewymiernych i przestpnych i w ogole uwa2anie calego continuum liczb odpowiada ciqglosci, uwa2anej za ceche pierwotna form geometrycznych. Tak wige przy pomocy liczb daji sig przedstawic formy geometryczne i obie r6one napoz6r dziedziny jednoczj metody badania form analitycznych. Na odwr6t, formy geometryczne sltuyc mog4 do przedstawienia wla

Page  3 1] PRZEDMIOT MATEMATYKI sciwosci form liczbowych. Dalej znow badanie zjawisk prowadzi do konstrukcyj analitycznych i geometrycznych. Pr6cz tego, jednos~ i jednolitosc Matematyki jest ugruntowan% na jednolitosci genezy psychologicznej jej form. Formy matematyczne powstaja przedewszystkiem za-pomoca abstrakcyi z przedmiotow doswiadczenia, po usunieciu wszelkiej ich tresci specyficzn6j, z zachowaniem wszakze syntezy tych akt6w swiadomosci, ktore wsp6odzialaly przy abstrakcyi. Tak np. wielosc przedmiotow doprowadza przez abstrakcyj do liczb calkowitych, gdy olwracajac uwagc od wszelkich wlasciwosci przedmiot6w, jedynie przy pomocy syntezy akt6w, kt6re przy abstrakcyi wsp61dzialaly, tworzymy formy, bgdace odbiciem umyslowem wielosci spostrzezonej. Od cial fizycznych o ro6nej postaci abstrakcya doprowadza do form geometrycznych, ktore sa wlasnie owaq postaciq, od tresci oderwanq. Taki sam proces doprowadza do pojecia przestrzeni, obcjmujce'j w sobie wyobrazalne utwory geometryczne, a tak2e do pojecia czasu. bcdacego formq nastcpstwa zjawisk. Opisany wyzej proces nie wystarcza wszak2e do tworzenia form wszystkich; albowiem umysl z jednej strony kombinuje i laczy formy; z drugiej zas strony uogolnia formy raz utworzone i dochodzi tym sposobem do form nowych, nie bedacych bezposrednio odwzorowaniem przedmiotow lub zjawisk. Tak np. od ukladu liczb rzeczywistych o jednej jednostce zasadniczej przechodzi do liczb urojonych lub zespolonych o dwu lub wigcej takich jednostkach; przestrze'i trojwymiarowa uogolnia, tworzac rozmaito6s wielowymiarowa. Postepowanie w tym razie jest tak samo uzasadnionem jak i abstrakcya, ktora z przestrzeni tr6jwymiarow6j prowadzi do dwu lub jednowymiarowej. Wprowadza ono wprawdzie twory niewyobra2alne wprost, ale wyobrazalnosc, w zwyklem znaczeniu tego wyrazu, nie stanowi zasadniczej cechy pojc6 matematycznych. Pojtcia bez pogladu sq puste, powiedzial K an t, ale w tym, jak i w innych przypadkach, pogladowo6s czyli wyobrazalno.s dostatecznie wynagradza og61 tych cech, kt6remi dane pojecie okreslamy. Tworzenie form podobnych, ogolniejszych od form pierwotnych, przez abstrakcya utworzonych, stanowi wlasnie cech9 wlasciwq Matematyce i jest jednym z najwa2niejszych czynnik6w jej rozwoju. Winnismy wprawdzie na samym wstgpie zaznaczyc, co dokladniej przedstawionem bedzie w dalszym wykladzie, ze uogolnianie pojc6

Page  4 4 WSTlP. matematycznych mooe bye podjgte dwojako. Mozna bowiem z jednej strony uwazac pojecia uog6lnione, jako odpowiadajace formom istotnie nowym, majacym w dziedzinie badania takie same prawa bytu, jakie maja pojgcia form pierwotnie wprowadzonych; albo tez mozna widziec w formach uog6lnionych tylko nowe zwiazki, w jakie wprowadzamy formy pierwotne, czyli nowe a raczej uogolnione dzialania. Tak np. mozna uwazac liczby ujemne, urojone, niewymierne i t. p. za nowe rodzaje liczb, majace tako saman samodzielnosc, jak4 maja liczby calkowite; przestrzenie czyli rozmaitosci wielowymiarowe mo2na uwazac za uprawnione z przestrzeniq zwyktl, enklidesowa; albo te6 widziec w nowych liczbach formy, pod jakiemi liczby calkowite dodatnie wchodza do zwiazko6v i do rozumowania, a w nowych przestrzeniach -przestrzeli zwyklt, przy przyjeciu za element nie punktu, lecz innego tworu geometrycznego. Lecz przy jednym zarowno jak i przy drugiml sposobic uwa2ania, Matematyka wznosi Si; po nad dziedzin9 pierwotna, uogolniajqc raz pojecie twor6w, drugi raz pojtcie dziatail. Wyb6r pomiedzy jednym a drugin sposobem uwazania zale2y od poglhdu teoretyczno-poznawczcgo na podstawy Matematyki. W sameij Maltematyce oba sposoby uwa2ania sa r6wnouprawnione i kaSdy z nich w spos6b sobie wlasciwy prowadzi do wynikow prawdziwych. Ta dowolnosc tworzenia form w Matematyce nasuwa nawet poglad, 2e w tej nauce umysl sam sobie stwarzaprzedmioty badani, bez 2adnego udzialu doswiadczenia, 2e, jak powiada H. Grassmann:3 "Matematyka jest nauka o bycie szczegolnym, ktory statl sie przez myslenie,,, i 2e tem r62ni sie od nauk realnych, ktorych przedmiotem jest byt zewngtrzny, przeciwstawiajqcy sie mysleniu. Winnismy wprawdzic nadmienic, 2e to okreslenie stosuje G r a s sin a u n do Matematyki czystdj, z kto6rj wvylcza Geometryq, zaliczajac j4 wraz z Foronomi; i Mechanika do nauk stosowanych (por6 -wnaj art. 4.). Ka n t 4 uwaza formy matematyczne za konstrukcye,,wewnatrz czasu,,, gdy sa liczbami, lub "wewnatrz przestrzeni,,, gdy sa formami geometrycznemi. Przestrzefi i czas sa wedlug niego "form anli pogladu a priori,,, od wszelkiego doswiadczenia niezale2nemi; stad twierdzenia Matematyki zasadnicze sa prawami koniecznemi i powszechnemi. Z tego wszakze, ze wszystkie zjawiska uwazamy, jako zachodzqce w przestrzcni i w czasie, nie wynika jeszcze, aby formy

Page  5 1] PPRZEDMIOT MATENATYKI. 5 matematyczne byly tylko konstrukcyanti wewnatrz przestrzeni i czasu; przeciwnie pojgciamatematyczne sa ogolniejszeod pojceia przestrzeni i czasu: czas jest jednym z przyklad6w formy jednowymiarowej, przestrzen przykladem formy trojwymiarowej. Liczenie odbywa si9 w czasie, ale liczba - wytwor liczenia-nie ma w sobie nic z pojecia czasu; formy geometryczne wyobra2amy sobie w przestrzeni, ale pojtcie rozmaitosci wielowymiarowej nie koniecznie miec winno cechy przestrzenne. W r o i s k i, kt6rego poglaqdy na calo6s badaif matematycznycli postaramy sic w ksiz2ce nasz6j przedstawic, w podstawowem sw6m dziele o filozofiii Matematyki 5 w tworzeniu jej zasad idzie za K a nt em. Matematyka nazywa on naukc o wielko~ci, uwa2anej intuicyjnie [pogladowo]; wielkoscia jest u niego, jak i u K a n t a, "stan przedmiotu uwa2anego z punktu widzenia syntezy tego, co zawiera w sobie jednorodnego,,. Inaczej mlowiac, przedmiotem Matematyki jest forma t. j. spos6b bytu natury czyli swiata zewnctrznego, gdy przeciwnic tresc tego bytu jest przedmiotem Fizyki. Forma swiata zewnetrznego, powstajaca ze stosowania praw transcendentalnych zmyslowosci do zjawisk, danych a posteriori, jest czas dla wszystkich, a przestrzeii dla przedmiotow zewnetrznych. Prawa czasu i przestrzeni sa prawdziwym przedmiotem Matematyki. Prawa te morgab by uwazane in concreto lub in abstracto; w pierwszym razie stanowiq przedmiot Matematyki czystej, w drugim-stosowanej. Stosuja c do czasu, uwaaanego objektywnie za nalezacy do zjawisk fizycznych. danych a posteriori, prawa transcendentalne poznania, a mianowicie prawo ilosci, wziete og6lnie, dojdziemy do pojecia nasttpstwa momentow, a w najwyzszej tegoz abstrakcyi do liczby. Stosuja c znowu to samo prawo do pogladu przestrzeni, jako nale2acej do zjawisk fizycznyeh, danych a postcriori, dojdziemy do pojecia "lacznosci,, (obokle2nosci. conjonction) punkt6w, a w najwy2szej tgo2 abstrakcyi do pojecia rozciaglos'ci. Liezba i rozeiqglos'c sa wiec ostatecznie przedmiotem Matematyki. To okreslenie W r o i s k i e g o mogloby byc wystarczajace i w dzisiejszym stanie wiedzy, je2eli w niem liczbg uwa2ac bcdziemy nie za zwiazana z nastgpstwem moment6w czasu, lecz jako form~ zupelnie od czasu niezalezna; pod nazwa zas rozciaglosci rozumiec bcdziemy nietylko formy przestrzenne ale i ogolnie rozmttosci wielowymiarowe. Tw6rca filozofii pozytywnlej C o m t e, wspo(czesny W r o n s k i e

Page  6 6 WSTP. [2 mu, zbyt jednostronnie pojmowal zadanie Matematyki. I Co mt e'a wprawdzie nie zadawalnialo okreslenie Matematyki, jako nauki o wielkosciach; niedostatecznosc wszakze okreslenia widzial on nie w tem, ze pojecie wielkosci nie obejmuje wszystkich pojtc matematycznych, lecz w tem, 2e iie wskazuje, o co w Matematyce idzie przy badaniu wielkosci. C o m t e widzi eel Matematyki w mierzeniu wielkosci, nie w mierzeniu wszak2e zwyklem i bezposredniem, kt6re nie mo2e stanowi6 jeszcze nauki, lecz w mierzeniu po.sredniem,,,w oznaczaniujednych wielkosci przez drugie, wedlug zwiazk6w scislych, jakie miedzy niemi istniej,, 6. Dla C o m t e'a Matematyka nie ma wlasciwie odmiennego zadania od nauk fizycznych, ktore r6 -wnie2 szukaj zwiazku pomitdzy wielkosciami, zachodzacemi w zjawiskach; tylko ze zjawiska, badane przez Matematykt, sa bardziej proste, a przedmioty j j oderwane. Ograniczenie Matematyki do roli nauki niejako pomocniczej dla badani fizykalnych odejmuje jej charakter wiedzy niezaleznej, powstajacej i rozwijajacj sig o silach wlasnych przez samodzielne tworzenie pojtc, nie zawsze bezposrednio zwizanych z przedmiotem doswiadczenia. Matematyka w rzeczy samej zajmuje w systemie wiedzy ludzki6j stanowisko odrebne. Badajac przedmioty tylko ze wzglcdu na ich wlasnosci formalne, albo, jak m6wi Wundt7, ze wzgledu na porzqdek, a nie tresc rozmaitosci, danych w doswiadczeniu, albo te2, co na jedno wychodzi, ze wzgltdu na funkcye intelektualne przy spostrzeganiu przedmiot6w, nie zas ze wzgltdu na tresc wrazeii zmyslowych, Matematyka jest naukal folrmaln i tem r6zni sit od nauk doswiadczalnych czyli realnych, w ktorych do wlasciwosci czysto formalnych przybywa szczegolnajakoc (qualitas) element6w, t. j. najprostszych czesci skladowych rozmaitosci. Stosunek Matematyki i nauk doswiadczalnych okreslic mo2lna w ten sposob, ze "pierwsza ma za przedmiot to, co w doswiadczeniu jest wedlug warunk6w formalnych moiliwzeem, drugie to, co wedlug formy i tresci jest rzeczywistein,, 8. Wyjasnlienie tego stosunku wska2a niejednokrotnie dalsze artykuly. 2. WIELKOSC. Nazwt wielko6s spotykamy juz u Eukli d e s a, wedlug ktorego do wielkosci zalicza sie formy geometryczne: linie, katy, powierzch

Page  7 21 WIELKOk. 7 nie, ciala, oraz liczby calkowite, kt6re maja nastgpujace cechy wsp6lne: wielkosci jednorodne moina porownywac, dodawac, odejmowac i dzieli6 na czesci. Wedlug Ha n k e a 9, pojecie "wielko6s,, nie potrzebuje wcale definicyi metafizycznej, ale tylko wyjasnienia. Wielkosci% nazywa on kazdy przedmiot, kt6ry jest wiekszy, mniejszy lub r6wny innemu przedmiotowi, kt6ry moze bye uwielokrotniony lub dzielony na czesci, albo, wyra2ajqc sie slowami B o l z a n o 10, "ktory nalezy do gatunku rzeczy, z kt6rych dwie kt6rekolwiek M1 i N nie mogn miec nigdy innego stosunku, jak ten, ze sa albo r6 -wne, albo jedna jest suma zawierajaca jedn9 z nichjako czesc". Szeroko rozwodzi sig nad pojeciem wielkosci P. Dubois-Reymn o nd, kt6rego wywody postaramy sig tu strescic. Nie wszystkie szeregi wyobrazel], z jakiemi mozna wykonywa6 dzialania matematyczne, podpadaj a pod zwykle okre lenie wielkosci, t. j. nie wszystkie dajas sig por6wnywac liczebnie, jak np. dtugosci lub citzary. Wielkoscias matematyczna jest og61 (Inbegriff) nastepstwa takich tylko wyobrazeil, o kt6rym powiedziec monna. 2e 1. kazde pojedyiicze wyobrazenie ma w tm nastgpstwie miej see dostatecznie okreslone; 2. pomitdzy wielkosciami danego nastepstwa lub tez pomiedzy wyobra2eniami, nale2acemi do innych ustalonych nastepstw, istniejc zwiazki, kt6re nogq by6 kombinowane w nowe zwiazki. Trzebaprzyznac, 2e to okreslenie, bedace abstrakcyjnenm przedstawieniem znanych cech kazdej wielkosci, podlegajacej porownaniu z innemi, nie jest wcale jasnem; zrcszth nie zadawalnia ono i samego autora, kt6ry widzi w ni6em "produkt dyploratycznej sztuki definicyi, rie dajacy wcale poznac ani zakresu ani tresci tak delikatnego i bogato rozwinigtego pojceia wielkosci,,. Jak nie mo2emy poznac, powiada trafnie D u b o i s-R e y m o n d, nowej formy zwierzccej, oznaczajac liczbg ptaszczyzn, kt6ra jI w sobie zamyka, tak samo powyzsza definicya nie daje nam pozna6, czem jest wielkosc matematyczna i czem r6zni sie od wielkosci niematematycznuj. Szuka przeto D u b o i s - e y m o n d tego pojtcia we wszystkich dziedzinach, w ktorych je przypuszczalnie znalezc moze, i bada nastepnie, co wszystkie przypadki majaq w sobie wsp6lnego. W przegladzie tyrm znajduje najprz6d wielko6s matematyczna w liczbie, jako w wielkosciprzerywanej, kt6ra sig wprawdzie r6oni zasadniczo od wielkosci ciqgelj, jakaq naprzyklad widzimy w linii geometrycznej, [o formach ciaglych i przerywanych mowi6 bedziemy

Page  8 8 WSTFP. 12 wart 3.], ale r6onice te usuwa powoli rozwoj Matematyki, gdy2 wielkosc ciagla, aby mogla bye mierzona, poddana bye musi pod pojecie liczbowe. Przykladem wielkosci matematycznych ciaglych s4 dJugosci, powierzchnie, objttosci, ciz2ary, czas, prgdkose, sila, ilo6s ciepla, nat2znmie swiatta, napitcie elektryczne, sita pradu elektrycznego itd. Typem wszystkich tych wielkosci moze bye odcinek linii prostej. Jak odcinki moga bye dodawane i dzielone na cztsci, jak r6znice odcink6w, wielokrotnosci i czs~ci tych2e nie zmieniaja swej natury, daja sit porownywac, powitkszac i zmniejszac, podobnie i ka2da z wymienionych wielkosci te same wlasnosci posiada. Z tego powodu nazywa je wszystkie wielkosciami matematycznemi linearnemi. Do tych wielkosci naleza, wedlug niego, nie tylko wielkosci, wziete ze swiata zewnetrznego, ale i takie, do kt6rych prowadzi badanie 2ycia psychlicznego, a wiec np. wraienia, jako stopniujace sic w zale2nosci od podra2nienia zewnctrznego. Cala dziedzina Psychofizyki opiera sie wlasnie na tej mozliwosci zaliczenia wielkosci badanych do szeregu wielkosci linearnych. Do wielkosci nielinearnych, nalezcycl do dziedziny badania matematycznego, zalicza D u b o is-R e y m o n d przedewszystkiem wielkosci, "powstajace ze stosowania dzialail matematycznych po za granicami naturalnej ich stosowalnosci,,, albo przy pomocy analogij. "kt6rym nie przypada w udziale 2adne liczbowe znaczenie,,, jak np. wielkosci urojone, lub pojecie "nieskol'iczonosci funkcyj,,. Do pierwszych nie przypada bezposrednio pojecie wigkszosci lub mniejszosci, kt6re przenosimy do ich modulu12, przy drugich o wiekszosci lub mniejszosci rozstrzyga nie r6onica lecz iloraz. Jez2li mimo to t, formy matematyczne nazywa.my wielkosciami, to tyiko diatego, ze mozemy wykonywac nad niemi rachunki tak samo jak nad wielkosciami linearnemi, rozumie sic, przy pewnem ograniczeniu lub modyfikacyi zasadniczych praw dzialaii. Takie wielkosci nielinearne nazywa D u b o i s-R e y m o n d aznalitycznemi. Jest wreszcie trzecia kategorya wielkosci, r6ona zupelnie od poprzednich i nie nadaj4ca sic, wedlug D u b o is - R e y m o n d a, do traktowania matematycznego. Nazywa je on wielkoSciami giernemi [Spielgrossen]; w tych do elementu, kt6ry poddaje sie rachunkowi, przybywa element niematematyczny "bltd6w myslenia,,. Istotne wlasnosci wielkosci linearnych zamyka D u b o i s-R e ym on d w nastpujj:cych oliresleniacli:

Page  9 2] UWIELKOSC. 9 I. Wielkosci inatematyczne linearne sa albo r6wne albo nier6 -wne. Rownemi sa wtedy, gdy ich objawy zmyslowe sprawiaja zawsze to samo wrazenie przy tych samych warunkach. Jedna wielkos6 jest witksza od drugi6j, gdy obraz zmyslowy jednej moze bye zmieniony za pomoca "wyczerpania, [t. j. przez kolejne zmniejszanie] w taki spos6b, ie zawrze w sobie calkowicie obraz drugiej ale nie odwrotnie. Ii. Zadna szczegolna z wielkosci linearnych danego gatunku [t.j. iaden odcinek z pomiedzy mozliwych odcinkow], nie posiada sam przez sit pierwszeiistwa przed innemi, i dlatego nie posiadamy wyobra2enia kresu [granicy], koniecznego tak dla malosci jak i wielkosci [Grossheit] kt6rejkolwiek z nich. III. Dwie lub witcej wielkosci tego samego gatunku, dodane do siebie, daja wielkosc tego samego gatunku, wieksz4 od kade6j z cztsci skladowych. Kazda wielkosc mo2e bye dzielona na dowolnH liczbe czGsci, z kt6rych ka2da jest mniejsza od wielkosci danej. IV. Jezeli jedna wielkosc jest wieksza od drugiej, to istnieje zawsze trzecia wielkosc tego samego gatunku, ktora, dodana do drugiej, daje pierwsz. v. Wielkosci r6wne lub nier6wne, z kt6rych najmniejsza nie ma bye mniejsza od wielkosci dowolnie matej, mozna zawsze w dostatecznej liczbie poltczyv tak, aby otrzymac wielkosc, nie mniejsza od jakiejkolwiek wielkosci dowolnej tego samego gatunku. vi. Wielkosci daja sic niezliczonenmi sposobami dzielic na mniejsze; miedzy temi sposobami wyr6onlia sie ten, w kt6rym wielkosc rozpada sit na dwie, trzy i witce'j cztsci r6wnych. Dzielenie wielkosci daje sie prowadzic tak dlugo, dop6ki wszystkie czesci nie stana sie mniejszemi od wielkosci dowolnie malej. Lecz jakkolwiek daleko prowadzic btdziemy w mysli ten podzial, czesci otrzymywane btdl zawsze tego samego gatunku, co dana wielkosc. Wylozona w tych twierdzeniach teorya jest urobiona na podstawie doswiadczenia i stosuje sie przedewszystkiem do wielkosci geometrycznych. Gdy idzie o formy matematyczne, ogolnie uwazane, pojtcie ich r6wnosci lub nierownosci nie moze oczywiscie opierac sic na por6wnywaniu wra2eil zmyslowych, jak chce D u b o i s-R e yin on d, leez musi by6 dane za pomoca r okreSlenia formalnego, takiego np., jakie znajdujemy u H. G r a s s m a n n a 1. Pojqciem wielkosciowem, wedlug G r a s s m a n n a, nazywamy takie pojecie, 2e dwa

Page  10 10 WSTEP. [2 podpadajace pod nie przedmioty moga byc uwa2ane za r6wne lub nier6wne. Rownemi nazywa on takie przedmioty, gdy w kazdym sadzie [Aussage] jeden mo2na zastapic drugim. Nale2y to rozumiec w ten sposob, 2e gdy A = B, B= C, to stad wynika A= C, i 2e tym sposobem A, B, C moga sig wzajem zastepowac we wszelkich polaczeniach czyli dziataniach. Bez takiej podstawy zadna teorya dzialafi nie bylaby wcale mozliwa. Co sig zas tyczy okreslenia nier6wnosci np. wiekszocei, to musi ona czynic zadosc warunkowi:,Jezeli A > B>, C, to A > C. Ale warunkow tych dla r6wnosci i nier6wnosci bezposrednio do wszelkich form matematycznych stosowac nie mozna, i dlatego przy ka2dem nowo wprowadzanem pojeciu przedmiot ten wymaga oddzielnego roztrzasania. Podzial wielkosci na linearne i nielinearne jest zbyteczny, jezeli dla przedmiot6w badania matematycznego zachowamy ogolna nazwe formy, a wielkosciami nazywac bedziemy takie formy, do kt6 -rych potrafilismy zastosowac pojtcia r6wnosci, wiekszosci i mniejszosci. Pytanie o mo2nosci stosowania dzialafi i metod Matematyki do form, otrzymywanych z abstrakcyi przy badaniu przedmiot6w i zjawisk swiata zewnetrznego, a mianowicie okreslenie ich rownosei i nier6wnosci, oraz spos6b wprowadzania ich we wzajemne zwiazki nie s4 tak proste, jak to z przyklad6w 2ycia codzicnnego wydawac sig moze. Pytanie to wymaga gruntownego oswietlenia, opartego na wynikach teoryi og6lnej dzialafi matematycznych. Podjat je niedawno H e lm h o lt z w rozprawie o liczeniu i mierzeniu 14. II e 1 il h o t z uwaza Arytmetyk czyli nauke o liczbach za metode, zbudowanq na faktach czysto-psychologicznych, kt6ra uczy nale2ytego u2ywania ukladu "znak6w,, [liczb] o nieograniczoiej rozeiaglosci i zdatnych do nieograniczonlj subtelnosci [Verfeinerung]. Liczby sa zatem, wedlug niego, symbolami, "dajacemi nam opis przedmiotow rzeczywistyclh; opis, kt6remu mo2emly nadac zadany stopieil dokladnosci i za pomocaq ktorego dla wielkiej liczby przypadkow dzialania cial, pozostajacych pod wladza znanych praw przyrody, mo2na znalezc rachunkowo wartocei liczbowe, mierzace skutek dzialania,. Zapytuje dalej H e 1 m h o t z, jakie jest objektywne znaczenie tego faktu, i2 stosunki rzeczywiste pomitdzy przedmiotami wyrazamy, jako wielkosci w liczbach mianowanych, i przy

Page  11 2] WIELKOS6. 11 jakich warunkach uczynic to mo2na? Pytanie to, wedlug niego, rozpada sit na dwa nasttpujace: I. Jakie jest znaczenie objektywne faktu, ze dwa przedmioty uwazamy za ro'wne w pewnym wzgledzie? 1i. Jaki charakter musi miec fizyczne laczenie dw6ch przedmiot6w, aby ich atrybuty por6wnalne mozna bylo uwazac za dodajne [additiv], t. j. mogace bye dodanemi, i za wielkosci, dajlce sie wyrazic liczbami mianowanemi? Przy stosowaniu Arytmetyki do wielkosci fizycznych, przybywa do pojc6 r6wnosci i nier6wnosci, kt6re wymagaja wyjasnienia, jeszcze pojgcie jednostki. Uwa,a H e 1 m h o 1 tz, 2e bez potrzeby ograniczamy dziedzint stosowalnosci twierdzeli Arytmetyki, gdy wielkosci fizyczne z g6ry przyjmujemy, jako zlozone z jednostek. Wyloiywszy najprz6d teoryaq dodawania i odejmowania liczb "czystych,,, w czem gl6wnie opiera sie na teoryi Gr as s m a n a 15, przechodzi Helmholtz do okreslenia wielkosci fizycznych, ich r6wnosci i dzialail nad niemi. Wielkosciami nazywa, jak zwykle, przedmioty lub atrybuty przedmiot6w, do kt6rych stosowac mozna pojecia r6wnosci, wilkszosci i mniejszosci. Posttpowanie, za pomoca ktorego do kazdej uwazanej wielkosci przystosowujemy liczbt tak, aby r6onym wielkosciom odpowiadaly liczby r6one, i aby liczba, odpowiadajaca danej wielkosci, mogla zastepowac ja w ciagu rozuwania, jakie przeprowadzamy nad wielkosciami, nazywa mierzenienm. Stosunek, zachodzacy mitdzy atrybutami dw6ch przedmiot6w, nazywajacy sie r'ownosciq, charakteryzuje pewnik: "Dwie wielkosci, z kt6rych kazda jest r6wna trzeciej, sa sobie r6 -wlle,,. Nie jest to, jak m6wi H e m ho l t z, pewnik o znaczeniu objektywnem; zadaniem jego jest wskazanie tylko, jakie zwiazki fizyczne winnismy okreslic nazwa r6wnosci. Jezeli A== C, i B= C, to stad wynika A —B, jak rowniez B==A. Stosunek r6wnosci jest wzajemny. R6wnosc por6wnywanych atrybut6w jest wogole przypadkiem wyjatkowym i przy spostrzeganiu faktycznem moze by6 wskazanaq jedynie w ten spos6b, ze dwa przedmioty r6wne, spotykajaic sie lub dziatajac wspolnie pod odpowiedniemi warunkami, dajq spostrzedz szczegolny skutek, nie zachodzacy pomitdzy innemi parami podobnych przedmiot6w. Posttpowanie, za pomoca ktorego wprowadza

Page  12 wIELKOS. [2 my p)rzeclmioty badant w takie wla'nie warunki, aby zachodzenie tego skutku mozna bylo stwierdzic, nazywa H e 1 m h o l tz metodq poro'nani2a. Z powyzszego pewnika wynika najprzod, ze skutek porownania nie zmienia sic, jezeli oba przedmioty przestawimy, stosujac metod9 por6wnania. Dalej, je2eli okazalo sic, ze dwa przedmioty A i B sa r6wne, i jezeli za pomoca tej samej metody por6wnania znaleziono, ze przedmiotA r6wna sie trzeciemu przedmiotowi C, to wnioskujemy stad i za pomoca tej metody sprawdzic mozemy, i2 przedmioty B i C sa rowne. To sa warunki, jakie stawia H e 1 m h o t z metodzie porownania. Tylko takie metody sa w stanie wykazac r6wno6s, ktore warunkom tym czynia zadosc. Wielkosci, o ktorych r6wnosci lub nier6wnosci przekonywamy sig za pomoca tej samej metody por6wnania, nazywaja si9 jednorodnemi. Je2eli atrybut, kt6rego r6wno6s lub nier6wnosc z atrybutem innego przedmiotu znalez:lismy, oderwiemy za pomoca abstrakcyi od wszystkiego, co w tych przedmiotach jest wogole r6one6m, pozostanie nam dla odpowiednich przedmiot6w tylko r6onica wielkosci. Na przykladach pokazuje H e m ho lt z, jakie metody porownania obmyslono dla rozmaitych gatunkow wielkosci: dla ciezar6w, odleglosci punktow, przeclzialow czasu, jasnoSci swiatla, wysokosci ton6w. Nastgpnie bada warunki. przy jakich polaczenie fizyczne dw6ch wielkosci moze byc nazwane dodawanien. Sa one: 1~) jednorodnos6 sumy i skladnik6w; 2~) prawo przemiennosci, wedlug kt6rego wynik dodawania jest niezale2ny od porzadku, w jakim dodajemy sktadniki; 3~) prawo lacznosci, wedlug kt6rego polcezenie wielkosci jednorodnych moze bye uskutecznione w ten spos6b, 2e dwie lub wigcej z nich zastapimy jedna, ktora jest ich sumea. [0 prawach dodawania mowic bgdziemy szczeg6lowo w nastgpnych rozdzialach]. Poniewa2 wynik dodawania uwazamiy za wiekszy od kaddego ze skladnikow, posiadamy przeto mo2no6s poznania, kt6ra z dw6oc wielkosci jest wigksza, a ktora mniejsza. Przy takich wielkosciach, jak przedzialy czasu, dlugosci, ciz2ary, kt6re znamy od wczesnego dziecifistwa, nie mamy nigdly 2adnej watpliwosci co do tego, co jest wigksze lub mnicjsze, bo zainy metody dodawania tych wielkosci.

Page  13 2 WIELKOS6. 13 Gdy takie dwie wielkosci sa r6wne, to i wielkosci od nich zale2ne, utworzone dla obu w spos6b zupelnie jednaki, sa r6wne; ale co nalezy uwaza6 za dodawanie takich wielkosci, o tem rozstrzyga tylko doswiadczenie. Sa np. przypadki, gdzie mozliwe sa dwa gatunki dodawania. Tak np. za pomoca tej samej metody por6wnania oznaczamy w Fizyce, czy dwa druty maja r6wny op6r galwaniczny w, albo te2 czy maja r6wna zdolnosc przewodnictwa A, gdyz w = 1/2,. Lecz opory dodajemy, umieszczajac druty tak, aby prad przebiegal po kolei jeden drut za drugim; zdolnosci zas przewodnictwa, dodajemy, umieszczajac druty tak, aby koiice ich odpowiednio byly zltczone. Pytanie, cojest wieksze a co mniejsze, znajduje dla oporu odpowiedz przeciwna nic dla przewodnictwa. Podobniez i kondensatory elektryczne [butelki lejdejskie] umieszczamy obok siebie lub jeden za drugim; w pierwszym przypadku dodajemy pojemnosci, w drugim potencyaly [napiecia] dla r6wnego naladowania. Wielkiego uproszczenia doznaje przedstawienie wielkosci dopiero wtedy, gdy je rozlozymy na jednostki i przedstawimy za pomoce liczb mianowanych. Wielkosci, kt6re nmozna dodawac, daja sie v og6lnosci i dzielic. Je2eli bowiem ka2da z uwa2anych wielkosci moemy uwa2ac, jako powstata z dodania pewn6j liczby skladnik6w wedlug praw dodawania, to, je2eli idzie o jej wartoic, mozemy j, zastoqpic przez sume tych sktadnikow. Te skladniki r6wne so wtedy jednostkami. Je2eli wielkos' nie jest podzielna bez reszty przez dobranm jednostke, dobieramy wtedy jednostek mniejszych, a to przez podzial jednostki poprzediiij na czesci r6wne. Tylko w przypadkach wymierno:ici mogl by6 wielosici wyra2one przy pomocy jednostek z zupehia dokladnoiciq. Opr6cz wielkosci, dla kt6rych zawsze okreslic mo2zna dodawanic, istliejA szeregi stosunkow, wyra2alnych za pomocIC liczb mianowanych lub niemianowanycl, dla kt6rych to stosunko6w nie znamy doted polaczenia, ktore mo2na by nazwva dodawaniem. Stosunki to zachodz,% wvtedy, gdy zwiazek pomiedzy wielkosciami dodajnemi ulega wplywowi pewnej specyficznej substancyi, pewtvego ciala i t. p. Tak np. prawo zalamania swiatla wyra2a, 2e pomicdzy wstawu kata poldania i wstawa kqta zalamania promienia oznaczonej dlugosci fali, przechodzqcego z pr6oni do substancyi przezroczystej, istnieje stosunek oznaczony. Dla r6onych cial stosunek ten wszakze jest r6 -

Page  14 14 WSTgP. [2 2ny, stanowi zatem wlasno6s specyficznq danego ciala, wyraza jego zdolnosc zalamania. Podobne znaczenie maja: ciezar wlasciwy, zdolno6s przewodnictwa elektrycznego, pojemnosc cieplna. Podobnej natury sa pewne stale, ktore nazywamy stalemi calkowania w Dynamice. Mozemy wprawdzie dodawac liczby oderwane, odpowiadajace tym wielkosciom, ale jakie znaczenie przypisac by mo2na dodawaniu samych wartosci? I e I m h o t z utrzymuje, ze r6onica tych stosunkow, kt6re nazywa "wvsp6lczynnikami,,, od prawdziwych wielkosci nie jest istotnq, 2e z czasem nowe odkrycia moga doprowadzid do znalezienia polaczefi dodajnych tych "wsp6lczynnikow,,, przez co stana sie one wielkosciami w zwyklem znaczeniu tego wyrazu. Teorya Helmholtza ma tt zastugt, ze kladzie nacisk na konieeznose badania warunkow stosowalnosci dzialali matematycznych do wielkosci, przejmowanych z badani fizykalnych, a przedewszystkiem na warunki rownosci i dodawania. W samej rzeczy, gdy idzie o przeniesienie dzialani liczbowych na polaczenia wielkosci, potrzebn jest wielka ostro2nosd, aby,jak sie wyra2aKrone ck er, przez rozszerzenie znaczenia wyra2ze technicznych nie ucierpiata dokladnosc przedstawienia. Uwaga o "wsp6lczynnikach,, jest wazna i wskazuje na zagadnienia, ktore nauka ma rozwiazac w przyszlosci. Sprowadzenie wszystkich "wsp6Iczynnik6w,, do trzech jednostek zasadniczych dlugosci, czasu i masy-jak to czyni Fizyka nowoczesna,-jest zdobycza wazna, ale zdobycz ta dotad ogranicza sie, jak wiadomo, przewaznie na wyrazaniu wymiar6w wsp6tczynnik6w za pomoca odpowiednich symbol6w15. Niektorym tylko "wsptlczynnikom,,, jakpredkosci, przyspieszeniu, sile, momentowi, i t.p. nauka nadala postac wielkosci zwyklych [ekstensywnych] i bada je wyczerpuj co, analitycznie i geometrycznie. H e 1 m h o t z przewiduje. 2e to2 samo stanie sit z innemi "wsp6lczynnikami,,, to jest, 2e np. dodawaniu ich bedzie mozna nadac znaczenie fizykalne w ten sam spos6b, w jaki maja je dodawanie prtdko~ci, sil, momentow i t. p. A priori wydaje sit mozliwa i inna droga, a mianowicie, odszukanie warunkow dzialan bezposrednich nad "wsp6lczynnikami,, bez sprowadzania ich do wielkosci zwyklych. Metoda taka bylaby w takim stosunku do metody poprzedniej, w jakiem jest naprzyklad badanie bezposrednie form geometrycznych za pomoca metod

Page  15 3] FORMY PRZERYWANE I CI4OGE. 15 geometryi syntetycznej do badania ich posredniego za pomoca form liczbowych w geometryi analitycznej. Bylaby to "Matematyka wielkosci intensywnych,, w przeciwstawieniu do dzisiejszej Matematyki wielkosci ekstensywnych. W takiej Matematyce teorya jednostek fizycznych moglaby rozwinac sie w samodzielna umiejttnosc. Nie wchodzimy tu w rozstrzygnigcie tego pytania, powiemy tylko, 2e wszystkie dotychczasowe proby utworzenia podobnej Matematyki nie daly zadawalajacych rezultatow. Nietylko Fizyka ale i Psychofizyka, majaca do czynienia z wielkosciami intensywnemi, stara si9 dla badafi swych znalezc odpowiednie formy liczbowe lub geometryczne l. 3. FORMY PRZERYWANE I CIAGLE. Formy matematyczne dziela sie na przerywane i ciqgle. Przykladem pierwszych jest uklad liczb calkowitych, szereg punkt6w, pomyslanych dowolnie na prost6j, plaszczyznie lub w przestrzeni; jako przyklad drugich sluzyc moga: continuum liczb, linie, powierzchnia, przestrzen geometryczna, czas. Pragnac okreslic ciaglosc, natrafiamy na wielkie trudnosci. K a n tl7 nazywa ciagloscia te wlasnosc wielkosci, mocaI kt6rej 2adna jj cztsc nie jest najmniejszq mozliwa. "Czas i przestrzeli s, ciglemi, bo nie mo2e byc dana zadna ich czesc, kt6raby nie dala si% zamknac; pomieidzy dwiema granicami [punktami lub chwilami], tak 2e czCscia przestrzeni jest znowu przestrzefi, czescia czasu-czas,,. Wlasciwie m6wiac, ciaglo6s np. linii sprowadza sie do tego, 2e miedzy ka2demi, dowolnie pomyslanemi, punktami na niej mozna pomyslec sobie punkt trzeci. Czy przestrzei, objektywnie uwazana jako podscielisko zjawisk fizycznych, jest w istocie rzeczy ciagl4 w tem znaczeniu, tego doswiadczeniem rozstrzygnqc nie mo2na. Mozna najwyzej uwaiac to za postulat, kt6ry nam umozliwia wszelkie pomyslane konstrukcye. G. C a n t o r 18 utrzymuje, ze cigtlosc przestrzeni polega na tem, iz kazdy punkt, ktorego wsp6lrzgdne x, y, z wzgltdem pewnego ukladu dane sa w liczbach rzeczywistych, wymiernych lub niewymiernych, uwa2a sie jako istotnie do przestrzeni nale2zcy. "Do podobnego uwazania nie ma wszak2e wewnetrznego musu, stanowi ono akt wolny dzialalnosci konstrukcyjnej nasze

Page  16 16 WST4P. [3 go umyslu,,. Hypoteza ciglosci przestrzeni jest, wedlug Canto ra, jedynie dowolnem zalo2eniem o zupelej jednoznacznej odpowiedniosci inidzy czysto arytmetycznem continuum (x, y, z) a przestrzenia, bedeca podstawa swiata zjawisk. Ta swoboda umyslu sigga nawet tak daleko, 2e mo2na utworzy6 pojecie przestrzeni nieciaglej, w kt6rej ruch odbywa sie sposobemi ciaglyl. To2 samo utrzymuje Dedekindll19, wedlug kt6rcgo ciaglos6 przestrzeni nie jest wcale konieczna podstawa geometryi, bo w ni6j nigdzie nie bywa nalezycie wyjasniana. Jezeli obierzemy sobie, twierdzi D e d e k i n d, trzy punkty dowolne A, B, C, nie le2zce na jednej prostj, z t6m tylko ograniczeniem, aby stosulki ich odleglosci AB, AC, BC byly liczbami algebraieznemi, i bedziemy uwa2ali za istniejice w przestrzeni tylko te punkty il, dla ktorych stosunki AM, BlM, CM dol AB wyra2ajia sie r6wnie2 liczbami algebracznemi; wtedy przestrzefi, zlo2ona z punkt6w M11, bcdzie oczywiscie nieciagla, i pomimo tej nieciqglosci, konstrukcye, kt6re uskutecznia w ni6j geometrya elementarna, dadza sie zupetnie wykonac tak samo, jak w przestrzeni ciqgltj. Tak jest bezwatpienia. Zachodzi tylko pytanie, ezy por6wnywanic stosunk6w odleglosci nie wymaga w istocic rzecczy ukrytego przyjecia pewnych form ciagtych i ezy wog6le ta niecigglosc6 przestrzeni da sig pojac czy wyobrazi6 bez pewnej rozmaitosci ciqglej? W ka2dym rasie, usuwaja c tt cidgosc6 z przestrzeni, Canto r i D) c ( ekind wprowadzaja jq do ukladu liczb. Podobny poglqd wyglaszajq i niektorzy filozofowie. "Cidglosc, powiada Cohen 20, jest og6lnaI podstawa samowicdzy, walnym warunkiem mylenlia, kt6rego dzialalnos6 okazuje sie w ciaglosci [nieskoiezonej podzielnoscij przestrzeni, lecz przedewszystkiem w tej dziedzinie matem atycznej, ktora jest najbli2sza ogolnego myslenia, a wiec nauce o liezbie,. Inni uczeni sa przeciwnego zdania. Twierdza oni, 2e ciagtosc spoczywa przedewszystkiem w formach geometrycznych, w przestrzeni. W bltdzie jest D edeki nd, powiada A. F i ck 21, jeeli nie w Geometryi, lecz w dziedzinie liczb szuka ciaglosci. "Cidglos6 nie mo2e nigdy le2ec w akcie liczenia, ani z liczenia powstac; szukac jej nale2y tylko w wyobrazeniu przedmiot6w liczonych,,. Przeciwieflstwo tych poglad6w polega na r6onicy zasad teoretyczno-poznawczyclh wiedzy ludzkij wv o6olnosci; w Matenatyce sa

Page  17 3] FOtMY 1'RZEKYW\ANE 1 CIAGtiE. 17 mej nie stanowi ono przeszkody w rozwoju jej poj6c. W Geometryi trudnosc, tkwiaca w pojeciu ciaglosci, nie wystepuje wyraznie; rozpoczyna sie ona wlasciwie dopiero wtedy, gdy idzie o stosowanie analizy do badanf geometrycznych, oraz Matematyki wogole do badail fizykalnych. Uniknac tego pojecia niepodobna; usunitte z przestrzeni zjawia si9 ono w ukladzie liczb i odwrotnie. Uklad liczb calkowitych okazuje sic niewystarczajacym do opisu form wszystkich; "siec Arytmetyki,, jak sic dosadnie wyra2a W e rnick e 22, ma poczqtkowo za wielkie oka,,, aby mogla pochwyci6 twory swiata zewnctrznego. Umyst ludzki rozpoczyna przeto pracg tw6rcza nad zaggszczeniein tej sieci: wprowadza kolejno ulamki, liczby niewymierne i przestepne i wznosi sic do pojtcia continuum. Te to wiasnie zagadnienia czynia koniecznem wprowadzenie pojgcia ciqglosci form na zasadzie scislego okreslenia, kt6rego nalezy pilnowac sie na wszystkich stopniach rozumowania. Przedmiot ten we wlasciwem miejscu bcdzie nalezycie wyjasniony; tu powiemy tylko, ze jest niezmiernie wa2nem staranne oddzielenie tych prawd, dla uzasadnienia ktorych nie jest koniecznem wyraznie poj cie ciaglosci, od twierdzeni, kt6re jedynie przy pomocy ciqglosci uzasadnic sic dadza. Na puiikt ten w wywodach naszych szczeg6lna zwracac bCdziemy uwage. Powiemy jeszcze, w jaki spos6b wprowadza G r a s s m a n n pojecie ci4gtosci do swojego wykladu Matematyki. Formy matematyczne, stanowiace przedmiot nauki Grassmannowskiej, kt6ral nazwal naukc rozciqglosci [Ausdelnungslehre], sa to formy rozciagle, wielowymiarowe i ciagle, kt6re wszak2e nie maja bye pogladowemi, jak formy przestrzenne, lecz " czysto myslowemi,,. To te2 usiluj e G r a s s m a 1n 1 nadac swym formom ciaglosc na podstawie okreslenia, kt6re brzmi w ten sposob 23: "Kazda forma myslowa staje sig w spos6b dwojaki: albo przez prosty akt jej tworzenia [Erzeugen], albo przez akt podw6jny postawienia [Setzen] i polaczenia [Verkniipfen]; forma, powstata pierwszym sposobem, nazywa sic ciagla, powstala drugimprzerywana,. Przeciwieiistwo wszak2e tych dw6ch rodzajow form nie jest, wedlug niego, stanowcze: forma bowiem przerywana mo2e bye uwazanq za ciagla i odwrotnie. I tak, jezeli to, co aiczymy w forme, uwazamy w mysli, jako stawajace sic, a sam akt laczenia za moment stawania sie, forma przerywana mo2e bye poczytana za ciagla. loj cia, T. I.

Page  18 18 WSTEP. [4 Jezeli, przeciwnie, pojedynicze momenty stawania sit uwaa6 btdziemy za akty laczenia, to forma ciagla moze bye poczytana za przerywanq. Nie wiem, czy czytelnika zadowolni to kunsztowne okreslenie ciaglosci. Bezwatpienia dostrze2e on w niem pozorne ominiecie tylko tych samych trudnosci, ktore napotykamy, chcac okreslic bezposrednio utwory przestrzenne ciagle. Pokazuje to wyraznie, 2e zagadnienie o ciaglosci, obok swej trudnosci czysto-matematyczn6j, kt6 -ra tylko, jak to zobaczymy, za pomoca analizy zwalczyc mozna, posiada wazne znaczenie dla Teoryi poznania w og61nosci. 4. SYSTEM MATEMATYKI. System wiedzy matematycznej dzieli sit na Matematykl czyst4 i stosowana. Przedmiotem Matematyki czystej jest badanie form, nalezacych do pierwszych dw6ch typ6w, o ktorych m6wilismy w art. 1., a witc form liczbowych i geometrycznych; przedmiotem Matematyki stosowanej sq formy trzeciego typu, t. j. formy matematyczne, utworzone przy badaniu zjawisk. Nazwa Matematyki stosowanej pochodzi stad, 2e badanie form do niej nale2Scych sprowadza sic, jak to ju2 powiedzielismy, do badania form liczbowych i geometrycznych. Do Matematyki czystej nalezaloby tym sposobem zaliczyc Arytmetyke, Algebra, Rachunek wy2szy czyli Analizt i Geometryqa ze wszystkiemi ich rozgaltzieniami; do Matematyki stosowanej - Mechanikp i Fizyke matematyczna 24 Podzial Matematyki na czysta i stosowana nie daje sie wszakze przeprowadzic z cala scisloscia, zale2y bowiem od pogltdu na podstawy Matematyki i nauk realnych oraz od danego rozwoju wiedzy. W samej rzeczy moina z Mechaniki wylaczy6 Foronomia lub Cynematyke, t. j. naukg o ruchu samym w sobie, bez wzgltdu na sily dzialajqce, i zaliczyc ja do Matematyki czystej; z drugiej zas strony mozna Mechanike wraz z Fizyka matematyczna, jak to czynia4 niektorzy, zaliczy6 do nauk realnych, czyli doswiadczalnych, na tej zasadzie, ze nauki te maja4 z naukami fizycznemi, opr6cz gl6wnego

Page  19 4] SSTEM MATEMATYKI. 1 9 celu, jakim jest badanie zjawisk, to wspolnego, 2e opierajq sit na pewnikach, uwazanych za podstawy nauk doswiadczalnych. I Geometrya tez, poniewaz ma do czynienia z formami, urobionemi przy pomocy abstrakcyi z przedmiot6w swiata zewnetrznego i opiera si9 takze na pewnikach, zaliczana bywa niekiedy do Matematyki stosowanej, a nawet do nauk doswiadczalnych, na r6wni z Mechanikq. Poglad podobny znalezc monna u N e w to n a, w kt6rego wiekopomnem dziele25 czytamy, 2e Geometrya ma swoja podstawe w Meclhanice praktycznej i jest cztscia Mechaniki ogolnej, kt6ra podaje i uzasadnia sztukt dokladnego mierzenia. G au s s 26 jest zdania, ze nauka o przestrzeni zajmuje zupelnie inne stanowisko wzgledem wiedzy naszej o prawdach, rozumiejacych sie same przez sic, aniieli czysta Matematyka; brak w ni6j bowiem tego zupelnego przekonania o koniecznosci tych prawd, a zatem o ich bezwzgldnej prawdziwosci, kt6ra jest wlasciwoscia drugiej; "z pokora wyznac musimy, powiada G aus s, 2e je2eli liczba jest czystym produktem naszego ducha, to przestrzefi zewnttrz nas posiada swa rzeczywistosc, kt6 -rej my praw a priori przypisywac nie mo2emy,,. Wiemy juz, 2e i G r a s s m a n n podziela ten poglad. "Pojecie przestrzeni, twierdzi on, nie mo2e bye wytworzone przez samo myslenie; przeciwnie, przeciwstawia sit ono mysleniu, jako cos danego. Ktoby cheial twierdzic przeciwnie, musialby przedewszystkiem uzasadnic koniecznosc trzech wymiar6w przestrzeni przy pomocy czystych praw myslenia,,. Stanowisko Geometryi wzglddem nauki o formach czyli Matematyki czystej zalezy, wedlug G r a s s m a n n a, od stosunku, w jakim pogladowosc przestrzeni jest do czystego myslenia; toz samo odnosi sit do czasu i do ruchu w przestrzeni i diatego to Geometrya, Forometrya [Foronomia] i Mechanikt uwaza on za zastosowania czystej nauki o formach do zasadniczych "pogladowosci,, [Anschauungen] swiata zewnetrznego 27. Powiedzielismy ju2, ze glowna r6onica, jaka upatruja wymienieni uczeni pomitdzy MatematykaB czysta a stosowana, polega na tem, i2 pierwsza nie potrzebuje 2adnych pewnik6w i rozwija sit zupelnie samodzielnie przy pomocy czystego mySlenia; druga zas przeciwnie opiera sit na pewnikach, ktore umysl przy pomocy indukcyi ze zjawisk swiata zewnetrznego wnosi do jej dzicdziny. Rozstrzygnitcie pytania, ktora z nauk jest czysta, kt6ra za~ stosowana, sprowa

Page  20 20 WSTEP [4 dza sig zatem do pytania z Teoryi poznania o podstawach wiedzy scisl6j w ogolnosci. Rozbior tego pytania nie mo2e wchodzic w zakres naszej pracy; dla naszego celu wystarczy jasne wskazanie stanowiska, z jakiego zapatrujemy sig na zadania Matematyki. Wyrazilismy to juz na koncu artykulu 1., tu dodamy jeszcze, 2e wszelka wiedza teoretyczna opierac sie musi na pewnycli faktach zasadniczych, bez wzgledu na to, czy fakty te sa rezultatem indukcyi, czy tez sa zatozeniami umowionemi, na wzor wynik6w indukcyi urobionemi lub uogolnionemi, i na mocy pewnych definicyj formalnych do nauki wprowadzonemi. Rozumie si9 samo przez sic, ze zalozenia, stanowiqce podstawe nauki, nie powinny pozostawac z soba w sprzecznosci. Jezeli te zalo2enia wraz z definicyami form, do dziedziny nauki nalezacych, wystarczaja, aby, przy pomocy dzialali i konstrukcyj czysto matematycznych i wnioskowali logicznych, zbudowac umiejctno6s, bez potrzeby jakiegokolwiek zasitku z zewnatrz; je2eli formy i dzialania zdolne sa do uogolnieii, nauka jest czysta, w razie przeciwnym jest stosowana. Wynika stad, ze nauka ze stosowanej moze sic stac czysta, je2eli w rozwoju swym to, co do formy i tresci jest rzeczywistem, zastgpuje warunkami formalnemi. Mozemy przeto Geometrya zaliczyc do nauki czystej, bo przyjtwszy raz pewien uklad pewnikow, budujemy te naukg przy pomocy konstrukcyj matematycznych na formach, wprowadzonych za pomoca definicyj. Tak pewniki jak i formy geometryczne zdolne sac do uogolniei, kt6re doprowadzaja do innych gatunk6w Geometryi, opierajacych sie na ukladzie pewnik6w, r6onym od ukladu euklidesowego, wreszcie do ogolnej nauki o rozmaitosciach, kt6ra jest wlasciwie tem, w czem G r as s m ann nwidzi Matematyke czysta. Gl6 -wna r6znica miedzy tym pogladem a Grassmlanowskim polega na tem, ze to, co wedlug naszego rozumienia stanowi jeden z przypadk6w szczegolnych nauki czystej, u niego stanowi nauke stosowana. Toz samo powiedzie6 mozna o Miechanice, jako nauce o ruchu cial przyrody, opierajacdj sic rowniez na pewnikach. Mo2na Mechaclianike uwazac za nauke ruchu form geometrycznych, a uklad jej pewnikow za uklad zalozeil, w takiin razie Mechanikg zaliczyc wolno do Matematyki czystej. Stosuje sie to przedewszystkiem do cztsci Mechaniki, zwanej Foronomiaq lub Cynematykq, kt6rej przedmiotem, jak to powiedzielismny wy2ej, jest ruch cial pomysalanych w prze

Page  21 MATEMATYKA I LOOIKA. 21 strzeni, bez uwagi na sity. Mo2na i te galaz Mechaniki uogolnic, zastepujac forme przestrzeni, w kt6rej ruch sie odbywa ogolniejszq forma rozmaitosciowa. Jezeli zas w Mechanice opieramy sit na pewnikach, uwazanych za wynik indukcyi z doswiadczenia albo za prawa natury, i w dalszem budowaniu umiejttnosci odwolujemy sie do do fakt6w doswiadczalnych, Mechanika bgdzie nauka stosowana. Tym sposobem Matematykg czysta skladaja nastepujqce nauki: 1. Arytmetyka, Algebra i Rachunek wyzszy, kt6re W r o iski obejmuje jedna nazwa og6lna Algorytmii28. 2. Geometrya, 3. Foronomia czyli Cynematyka. Mozna z innego punktu widzenia ustanowic klasyfikacya Matematyki czystej. Wiemy, 2e formy matematyczne [art. 3.] sa przerywane i ciagle, mamy wiec Matematykl form przerywanych, nieciaglych lub uwazanych bez wzgltdu na ciagtlosc, oraz Matematykt form ciaglych. Do pierwszej z nich nalezaloby zaliczyc Arytmetykt, Algebrt i tc czgsc Geometryi, kt6ra mo2na rozwinac bez potrzeby uwazania ciaglosci; do drugiej Rachunek wy2szy i Geometrya ukladow ciaglych wraz z Foronomia29. Podzial ten przyjmujemy w niniejszej ksia2ce, przyczem w pierwszym tomie zajmiemy sit pojtciami i metodami Arytmetyki i Algebry, drugi poswiecimy Analizie, Geonetryqa zas, jako majaca swoje odrebne metody, oraz Cynenatyka zajmiemy sit w tomie trzecim. 5. MATEMATYKA I LOGIKA. Logika formalna, jako metoda szukania zwiazkow pomitdzy przedmiotami, oderwanemi od wszelkiej tresci, jest nauka zblizona do Matematyki czystej. Majac do czynienia z ogolnemi prawami nmylenia, t. j. z prawami laczenia pojec, sadow i wnioskbw, obejmuje ona prawa taczenia pojtc form matematycznych oraz sadow i wniosk6w, kt6re z tego laczenia wynikaja; jest zatem nauka og6lniejsza od Matematyki i zaliczana bywa do Teoryi poznania. Wszystkie galtzie Matematyki mozna uwazac za zastosowania Logiki formalnej do pojtc poszczegolnych form matematycznych 30 Organem Logiki formaln6j do ostatnich czas6w byl jtzyk wyraz6w, jako g6twny srodek przedstawiania i rozwijania mysli. Gdy wszakze wyrazy nie maj4 scislego i niezmiennego znaczenia, jakie

Page  22 2.2 WSTEP. maja np. symbole matematyczne, gdy dalej na tej drodze kombinaeye zlozone pojec i wogole operacye logiczne w szacie slownj lie sa ani dosc przejrzyste, ani tez nie zawsze pozwalaja na wyprowadzanie wszystkich wniosk6w z danych rozumowan, przeto jeszcze L e i b n it z powzial pomyst zastosowania do przedmiot6w i operacyj logicznych takich samych symbolow, jakich uzywa Matematyka, a mianowicie Algebra, t. j. liter. Pomysl ten dopiero w dziele B o o1 e'a o prawach mysli zostal po raz pierwszy urzeczywistniony i systematycznie wykonany 3. Dzis Logika formalna w szacie matematycznej, albo, jak ja nazywaja, Algebra Logiki posiada wielu pracownik6w i bogat4 literature, kt6rej wykaz znalezi mo2na w swie2o wydanym pierwszym tomie obszernego traktatu E. Schr d era32. Ze stosunku Mlatematyki do Logiki wynika, 2e Algebra Logiki nie jest bynajmniej zastosowaniem metod Matematyki do dzialani logicznych; owszem, mimo to2samosci symbolistyki i wyrazeni technicznych, dzialania logiczne miaja znaczenie wog6le odmienne od dzialani matematycznych, jakkolwiek istnieja tez godne uwagi analogie. Zauwaz2y przytem nalezy, ze przejawszy symbolistykg od Matema. tyki, Logika formalna przejEla zarazem zasadniczal wlasciwosc Matematyki, kt6ra jest uogolnianie pojc6, i na tej drodze dochodzi do.wynik6w, jakich nie znala Logika, traktowana sposobem zwyklym. Zastqpienie Inowy slownej symbolami matematycznemi jest nietylko rodzajem pisma stenograficznego, ale jest zarazem metoda scislego wyra2ania zwiazkow logicznych, nie dopuszczajacego zadnej dwuznacznosci i pozwalajacego na latwe i prgdkie wyrazanie zachodzacych w nauce twierdzeni i wnioskow. Jest zasluga matematyka wloskiego G. P e a n o obmyslenie systemu prostych znak6w, za pomoca kt6rych wyrazaja si9 prawdy logiczne i zastosowanie tego nowego jezyka do przedstawiania zasad i twierdze'i rozmaitych galezi Matematyki. Najprz6d zastosowal on t9 metod~ do Arytmetyki i Geometryi, a obecnie pracuje nad wprowadzeniem tego nowego jgzyka do Matematyki wy2szej. Owocem jego pracy jest najnowsza rozprawa, w kt6rej sig zawiera dow6d twierdzenia o calkowalnosci r6wnan r6oniczkowych zwyczajnych. W przypisach dajemy zwiezly wyklad metody P e an o, majacej, jak si~ zdaje, pigkna przyszlosg W nauce33

Page  23 5] ANALIZA I SYNTEZA. 23 Od Algebry Logiki nalezy odr6oni6 Logikg Matematyki, kt6rej przedmiotem jest badanie zwiazk6w logicznych migdzy pojeciami i metodami, gdy samo stosowanie i rozwinigcie tych pojec i metod jest przedmiotem Matematyki wlasciwej. Logika Matematyki moze wychodzic z dwoch punkt6w widzenia. Po pierwsze moze pytac, jakq postac przyjmujq metody badania naukowego w zastosowaniu do dziedziny Matematyki?; sa to. analiza, synteza, abstrakcya, indukcya i dedukcya. Po drugie mo2e pytac o charakter logiczny metod w poszczeg6lnych dziedzinach Matematyki; s% to metody matematyczne wlasciwe, o jakich m6wimy w niniejszej ksia2ce.34 6. ANALIZA I SYNTEZA. Euk i d e s w nastcpujacy sposob okresla obie metody: W analizie rzecz szukana uzasadnia sig za pomoca kolejnych wniosk6w, prowadzacych do prawdy uznanej; w syntezie rzecz uzasadnia sie za pomoca wnioskow, kt6re do niej prowadzq od prawd uznanych. Te niezupelne jasne okreslenia utrwality sic, jak powiada H a - k e 1 35 w tradycyi szkolnej i pozniejsze komentarzo licznych pisarzy nie uczynily ich jasniejszemi. Aby pokazac, na czem istotnie polega r6onica obu metod, wezmy dla przykladu jedno z twierdzei' geometrycznych i dowiedzmny go metodl analitycznq, a nastgpnie syntetyczna 36. "Niechaj bedzie prosta AB, podzielona w stosunku skrajnym i srednim w punkcie C, i niechaj AC bgdzie czgsc wigksza. [Czytelnik zechce sam nakreslic potrzebny do tego rysunek; punkt D znajduje sie po przeciwleglej stronie punktu C wzglgdem punktu A]. Jezeli linia AD r6wna sig polowie linii AB, m6wig, 2e kwadrat odcinka CD jest piec razy wiekszy od kwadratu odcinka AD,,. 1~. Sposob analityczny. Poniewaz kwadrat odcinka CD jest pi6c razy wigkszy od kwadratu odcinka AD, kwadrat zas odcinka CD rowna si9 kwadratowi odcinka AC wraz z kwadratem odcinka AD i podwojnym prostokatem, zbudowanym na odcinkach AC i AD, przeto suma kwadrat6w odcink6w AC i AD i podw6jnego prostokata, wystawionego na tych odcinkach, r6wna sig pieciokrotnemu kwadratowi odcinka AD. Odejmujqc od wielkosci r6wnych po kwadracie z odcinka AD, otrzymujemy, ze suma kwadratu odcin

Page  24 24 wsTErP. [6 ka AC i podw6jnego prostokata, wystawionego na odcinkach AC i AD, r6wna sie poczw6rnemu kwadratowi z odcinka AD. Lecz podwojny prostokat, wystawiony na odcinkach ACi AD, rowna sit prostokatowi, wystawionemu na liniach A Ci AB, gdy2 linia AB jest dwa razy witkszq od odcinka AD. Prostokat, wystawiony na odcinkach AC i BC, r6wna sit kwadratowi, wystawionemu na odcinku AC. gdy2 ten ostatni odcinek jest czescia wicksza linii AB, podzielonej w stosunku skrajnym i srednim; otrzymujemy tedy, 2e suma dw6ch prostokat6w —jednego, wystawionego na liniach A C i AB, drugiego, wystawionego na liniach BC i AB-ro6wna sit poczwornemu kwadratowi, wystawionemu na odcinku AD. Lecz ostatnie dwa prostokaty stanowia razem kwadrat, wystawiony na linii AB; a wigc kwadrat, wystawiony na linii AB, jest cztery razy witkszy od kwadratu, wystawionego na odcinku AD, co jest oczywiscie prawdl, gdy2 linia AB jest r6wna podwojonremu odcinkowi AD. Twierdzenie tym sp-osobem jest dowiedzione. 2~. Sposob syntetyczny. Poniewaz kwadrat linii AB r6wna sie poczw6rnemu kwadratowi odcinka AD, kwadrat zas, wystawiony ina linii AB, r6wna sit sumie prostokt6ow- jednego, wystawionego na liniach AB i AC, drugiego na liniach AB i CB,-przeto suma tych dwoch prostokat6w r6wna sig poczwornemu kwadratowi, wystawionemu na odcinku AD. Lecz pierwszy z tych prostokat6ow rowna sic podw6jnemu prostokatowi na liniach AD i AC, drugi zas kwadratowi odcinka AC. a wiec suma kwadratu odcinka AC i podw6jnego prostokata, wystawionego na odcinkach AC i AD, rowna sie poczw6rnemu kwadratowi odcinka AD. Dodajac do wielkosci r6 -wnych po kwadracie z odcinka AD i zwazywszy, 2e kwadrat z odcinka AC, kwadrat z odcinka AC i podw6jny prostokqt, wystawiony na odcinkach AD i AC, stanowia razem kwadrat odcinka CD, otrzymamy, ze ten kwadrat r6wna sie pieciokrotnemu kwadratowi odcinka AD, co nale2alo dowiesc. Jezeli wprowadzimy nastgpujace oznaczenia AB==a, AC=b, CB=c, AD=d, CD=f, to obie metody dadz% sie w skroceniu przedstawic w spos6b nastepujgcy: 1~. Sposob analityczny. f2=5 d2,

Page  25 6] ANALIZA. I SYNTEZA. 25 f2 b2-d2+ - 2bd, b2+d2+2 b d =5 d2, b2=ac, 2bd= ba, a c + b a 4 d2, a(c b) = 4d2, a. a = 4 d, a2 - 4 d, co jest prawda, gdy2 a = 2 d. 2~. Sposob syntetyczny. a2 4 d2, a(b + c) 4 d9, a b + a 4 d2, b2= ac, 2bd= ba, 2 b + b2 = 4d2, d2 + 2 bd - b2 = 5 d2, (b + d)2- 5 C2, f = 25 d2, co nale2zao dowiesc. Porownywajac obie metody dowodzenia, spostrzegamy z latwoscia, 2e metoda syntetyczna jest najzupelniej wystarczajaca, gdyz wychodzac z prawdy znanej i kombinujac ja z innemi prawdami pewnemi i znanemi, dochodzimy w niej do twierdzenia, kt6rego nale2alo dowiesc6 gdy tymczasem w metodzie analitycznej, przyjmujac twierdzenie nasze za dowiedzione, przychodzimy wprawdzie do prawdy uznanej, nie mamy wszelako zupelnej pewnosci, czy wychodzac i z innych zatozeni, r6onych od przyjgtego, nie doszlibysmy do tego samego wyniku. Aby wiec upewnic sig, czy metoda analityczna w naszym przypadku prowadzi do twierdzenia szukanego, nalezy jeszcze dowiesc, ze gdy kwadrat odcinka CD nie jest r6 -wny pitciokrotnemu kwadratowi odcinka AD, to stad wyniknie ze poczworny kwadrat odcinka AD nie jest r6wny kwadratowi odcinka AB. W jednym przypadku mozna dowodzenie analityczne uwazac za wystarczajace, mianowicie, je2eli wychodzac z pewnego zalo2enia

Page  26 26 WSTP. [6 i kombinujac je z prawdami poprzednio dowiedzionemi, dochodzimy do wniosku niezgodnego z prawdq: wtedy bowiem zalo2enie musialo bye oczywiscie falszywe, gdy2 jest rzecza niemozliw%, aby z prawdy, uznanej za pewna, mo2na bylo przez kombinacya z prawdami dowiedzionemi dojsc do wniosku niezgodnego z prawda. W tym przypadku spos6b dowodzenia znany jest pod nazw8 sprowadzenia do niedorzecznosci (reductio ad absurdum) i jest najzupelniej wystarczajacy, jakkolwiek moze nie posiada tej sily przekonywajacej, jaka ma spos6b dowodzenia bezposredni. Mimo to sposob ten cztsto byl u2ywany przez staro2ytnych i dopiero metody Rachunku wyzszego Matematyki nowo2ytnej daly nam srodek zastapienia go sposobem bezposrednim dowodzenia. Hankel 37 scharakteryzowal metody syntetyczna i analityczna w Geometryi staro2ytnych i okreslil warunki, pod kt6remi sa one zawsze stosowalne, w spos6b nasttpujacy. Ka2de twierdzenie geometryczne wyraza, 2e gdy pewna figura posiada pewna wlasnosc A, wtedy konieeznie i ogolnie posiada inna wlasnosc B, czyli mowice kr6tko: jeieli jest A, to musi by6 i B. Jeieli obok tego twierdzenia zachodzi i drugie twierdzenie, mianowicie: jeieli niea A, to niema i B, to oba twierdzenia mo2na zawrzec w jednem: A jest warunkienm koniecznym i dostatecznym dla B. Poniewa2 wynika stad, 2e gdy jest B, to jest i A, a wiec w tym przypadku twierdzenie jest bezwarunkowo i ogolnie odwracalne: obie wlasnosci A i B warunkuja sit wzajemnie. W przypadku gdy A nie jest koniecznym warunkiem zachodzenia B, twierdzenie "A jest B,, nie jest odwracalne i wynika z niego jedno z dw6ch; "B jest A,, albo "B jest nie-A,,. W tym wlasnie przypadku znajdujaq sie wszystkie twierdzenia, w kt6rych B jest wlasnoscia podrzedna, w A zawarta, jakiej sie u2ywa czesto w twierdzeniach pomocniczych. Twierdzenie zas, wyrazajace zwizesk pewnej wlasnosci A z inna, nie zawarta z niq logicznie, musi by6 odwracalne. Twierdzenie: "Je2eli jest A, to jest i B,, gdy nie jest odwracalne, wskazuje, 2e istnieje inne twierdzenie odwracalne: "Je2cli jest A' to jest i B',, gdzie A' oznacza wlasnosc ogolniejszqa od wlasnosci A, lub B' wyra2a wlasnosc specyalniejsza od wlasnosci B. Synteza przy dowodzeniu twierdzenia "A jest B,, polega na kombinowaniu twierdzeni, poprzednio dowiedzionych: "A jest D,,

Page  27 7] ZACIIOWA'IE DIZIALAN FORMALZYCII 27 "D jest E,,..., dopoki nie dojdziemy do wyniku "F jest B,, skad bezposrednio wnosimy: "A jest B,. Analiza przy dowodzeniu twierdzenia "A jest B, polega na kombinowaniu twierdzeni: "B jest C,,, " C jest D,,..., skad wynika "A jest C,, "A jest D,... p6ki nie dojdziemy do wyniku "A jest E,, kt6ry jest albo falszywy, albo wyraza pewna wlasnos6 figury. W pierwszym przypadku, jak to juz powiedzielismy, twierdzenie "A jest B, jest stanowczo falszywem, w drugim zas jest prawdziwem, ale tylko przy warunku, aby wszystkie twierdzenia uzyte, poprzednio stosowane, byly odwracalne. O ile synteza przewa2ala u staro2ytnycl przy dowodzeniu twierdzen, o tyle analiza znowu miala wainiejsze znaczenie, jako droga rozwiazywania zagadnien; czytelnika, interesujacego sie ta kwestya stosowania analizy do zagadnien, odsylamy po bli2sze szczeg6oy dodziel H a n kel a i D u h a m ela3s, z ktorych ostatni znaczna cz6sc pierwszego tomu swojej ksiazki o metodach rozumowania w naukach scislych poswieca analizie i syntezie staroiytnych. W Matematyce dzisiejszej analiza i synteza utracily znaczenie dawne i przybraly znaczenie zupelnie odmienne. Przez analiz~ rozumiemy dzis zbior metod rachunkowych, a w scislejszem znaczeniu Rachunek wyzszy czyli nieskoiiczonosciowy; synteza zas oznacza badanie bezposrednie form geometrycznych i foronomicznych. Geometrya zowie si9 analitycznq, je2eli formy geometryczne badamy w niej pod postacia form liczbowych, im odpowiadajacych; syntetyczncq zas, jezeli nie posilkujemy sit narztdziem rachunkowem i uzywamy jedynie konstrukcyj gcometrycznych. Gdy idzie o dowodzenie twierdzen w ktorejkolwiek galtzi nauk matematycznych, uiywamy bez zadnej r6onicy jednej lub drugiej drogi rozumowania, ktora staro2ytni starannie odr6oniali, jako analizt i syntezt; dzis jednak nie przywiazujemy znaczenia do tych nazw specyalnych, gdy2 analiza i synteza st obie w uslugach dedukcyi, stanowiac j przewazn. metodt rozumowani matematycznych 3. 7. ZASADA ZACHOWANIA I WARUNKI STOSOWALNOSCI DZIALAN FORMALNYCH. Wiemy juz z powy2szego, ze Matematyka rozwija sig, dzitki uog6lnianiu pojtc i zwiqzk6w pomigdzy przedmiotami swojego ba

Page  28 28 WST P. L7 dania. Jak z postepem techniki cziowiek z kombinacyi najprostszych machin, spo2ytkowujac czynniki przyrody, zdobywa coraz doskonalsze narzedzia pracy, podobnie2 w Matematyce uog6lnianie pojc6, bedace wynikiem pracy umyslowej pokoleni, daje nowe i doskonalsze narzedzia myslenia, kt6re nastepnie z po2ytkiem stosujemy do badania przyrody. Najbardziej oderwane i wyidealizowane formy matematyczne, kt6rym zdaje sie nie odpowiadac nic rzeczywistego, okazuja sig nastepnie potgznemi narzcdziami badania; za przyklad slu2yc moga nieskoiiczenie male, jedna z najwa2niejszych form Matematyki wy2szej, dzi}ki kt6rej udoskonalily sie tak znakomicie Mechanika, Astronomia i Fizyka. Wa2nosc i plodnosc tego kierunku tw6rczo~ci ludzkiej wykazuja dostatecznie dzieje nauki, a prawa tego postepu mysli w nauce tak scislej, jak Matematyka, stanowia zadanie wielce ciekawe dla filozofa 40. Przed 23 laty H a n k e 141 sformulowal dla dziedziny liczb zasade, ktora kierujemy sie zwykle przy uogolnianiu prawd i zwiszkow matematycznych, i nazwal ja zasadq zachowania praw formalnych [Prinzip der Permanenz formaler Gesetze]. W postaci nadanej przez H a nk e a, zasada ta jest wtasciwie tylko szczegolnym przypadkiem zasady og6lniejsz6j, kt6ra ni2ej podajemy. Oto jak uzasadnia rzecz tg H ank e l: Niechaj a,b,c... bgda pewne formy lub zwiazki pomi}dzy formami Wyobrazmy sobie, ze formy a i b skombinowalismy czysto pojgciowo i 2e na wypadek tego polaczenia czyli dzialania otrzymalismy nowa formg c. Forma ta we wszystkich dzialaniach, jakie nad formami wykonywac bedziemy, zastepujc polaczenie form a i b, jest r6wna temu polaczeniu. Rzecz oczywista, 2e jezeli formy 14czy6 bgdziemy ze soba wedlug pewnych stalych prawidel, to pomigdzy wynikami ro2nych polaczeli otrzymamy pewne zwiazki, wynikajace z samej natury polaczeli, bez wzgledu na istotg form taczonych ze soba; zwiazki, dajace sie wyprowadzic z samych zalo2zei droga dedukcyi. Poniewa2 natura polaczeil form jest zupelnie dowolna, wiec i prawidla dzialan czysto formalnych sa zupelnie dowolne, z tem tylko zastrze2eniem, aby nie wylaczaly sig wzajemnie i nie zawieraly sie jedne w drugich: wybieramy przeto prawidla bezwzglednie dostateczne. Mo2na oczywiscie utworzyc system takich form, w ktorym wszystkie formy i dzialania sa okreslone dostatecznie [i nie bardziej niz

Page  29 71 ZACUOWANIE DZIALA* FORMALNYCII. 29 dostatecznie], kt6ry wszakze pozostanie bez wartosci, jezeli w tworzeniu systemu nie zwracalismy wcale uwagi na znaczenie dzialani. Aby wiec nasze formalne dzialania mialy istotne znaczenie dla nauki, trzeba, aby prawidla ich obejmowaly w sobie prawidla dzialani nad formami znanemi, aby z jednej dziedziny mo2na bylo dzialania te przeniesc do innej, gdzie maja juz znaczenie ustalone. Albo, objasniajac rzecz na przykladzie: je2eli tworzymy nowe liczby np. urojone, trzeba dzialania nad temi liczbami poddac takim prawidlom, kt6reby jako szczegolny przypadek zawieraly w sobie dzialania nad liczbami rzeczywistemi; je2eli wprowadzamy potggi z wykladnikami ulamkowemi, trzeba, aby dziatania nad nowemi formami dawaly nam wyniki pewne i ustalone, jezeli ulamki stanj sic r6wne liczbom calkowitym. Zasad9 zachowania w zastosowaniu do liczb H a n k e 1 wypowiada w ten sposob: "Jezeli dwie formy, zwyraone iv ogolnych znakach algebraicznych, sq sobie rowne, to majq takiemi pozostac, jeieli znaki te nie oznaczaja liczb rzeczywistych, gdy przeto dzialania nad niemi otrzymujqy nowe znaczenie,,. Dodaje przy tem Hankel, 2e nie nale2y zasady tej stosowad wszedzie bez zadnych zastrzezefi; 2e ma ona sluzyc przedewszystkiem do okreslenia prawidel koniecznych i dostatecznych, o ile te sa od siebie niezalezne, ale wymaga zarazem, by stosowanie zasady pozwalalo na rozwiniecie nale2ytej ogolnosci w tworzeniu form. Zasad~ zachowania mozemy wypowiedziec w postaci og6lniejszej, a mianowicie: "Jeieli formy pewne1 okreslonej dziedziny poddajemy okreslonym konstrukeyom i dzialaniom, ktore doproivadzajq do pewnych zwiqzko5w micdzy formami tej dziedziny, to zzwiqz'i te uwaiamny, za zachodzqce i wtedy, gdy konstrulccye i dzialania prozadza do wynikow, ktory/ch nie oizna umvaac6 za formy, bezposrednio do naszej dziedziny naleiqce,,. Utrzymanie wlasnie zwikzkow tych samych dla jednych i drugich form pozwala objqc te formy jedn4 dziedzinq rozszerzona. Je2eli teraz z g6ry pomyslimy sobie dwie dziedziny czyli rozmaitosci takie, 2e kazdej formie czyli ka2demu elementowi jednej rozmnaitosci odpowiada pewna forma lub element drugiej; jezeli to przejscie od jednej rozmaitosci do drugi j, stanowilce pewien proces myl1owv, majacy swoj wyraz w pewnej konstrnkeyi lub dzialanin, na

Page  30 30 WSTEP. [7 zwiemy wog6le odwzorowaniem lub przeksztalceniem, to z poprzedniego wynika zasada odwrotna:,,Moina pomyslec takie przeksztalcenia, ii zzwiqzki, zachodzqce mifdzy formami pierwszej rozmaitosci zachodzic bfdq ponmidzy formami drugiej; pomyslane przeksztalcenia majq tf wlaslosc, ze nie zmieniajq zwiqzkow zachodzacych pomifdzy formami". Przettomaczona na jezyk geometryczny zasada wypowiedziana w tem twierdzeniu prowadzi nietylko bezposrednio do dwoclh og61nych zasad Geometryi: duoistosci i odpowiedniosci [la dualite et homographie) C h a s 1 e s'a 42, ale siegajeszcze dalej i glcbiej; przez wprowadzenie bowiem pojccia grupy przeksztalcenia t. j. szeregu przeksztalcei, majacych tt wlasnosc, ze kazda zmiana, wynikajaca z kombinowania tych przeksztatceii, znajduje sie w tym szeregu, prowadzi do zagadnienia, obejmujacego w sobie najwy2sze uogolnienie Geometryi, ktore w przedstawienin F. Klein a 43 wyraza sit w ten sposob: "Dana jest rozmaitogc i w niej pewna grupa przeksztalcenia; zbadab formy naleiqce do jej rozmaitosci co do takich wzasnosci, ktore nie zmieniaja sif przez przeksztalcenia tej gruy,,. Tak wiec zasada zachowania panujc nad rozwojem Geometryi; z niej to wyplywaja: wa2na zasada ciqglosci [principe de continuite] P o n c e 1 e t a44 i wspomniane dwie zasady C h a s 1 e s'a; ona to kierowala tworczoscia St e i n r a 45, kt6ry "odkryl organizm, talczacy najr6onorodniejsze zjawiska w swiecie przestrzeni". Potezny jej wplyw widocznym jest w Analizie, gdzie nietylko otworzyta dla umyslu dziedziny nowych liczb, ale i teoryI funkcyj doprowadzita do wysokich uog6lnieii. Ona to byla kierowniczka wielkiego matematyka W r o fi s k i e g o w zdobywaniu dla nauki nowych pogladolw; ona doprowadzila go do prawa najwyzszego46, kt6re uwa2al za twierdzenie naczelne calej wiedzy matematyczndj. Smialo rzec mo2na, 2e calkowity rozw6j Matematyki odbywa sit pod przewodnictwem zasady zachowania, pojtej w calej jej og6lnosci. Poniewa2 zas rozw6j nauk fizycznych scisle jest zwilzany z postcpem nauk matematycznych, latwo przeto rozumiec, ze wplyw t6j zasady musi sit dac uwidocznic i w pierwszycl. W samej rzeczy, w naukach fizycznych zasada zachowania uwidocznia sit w zwiazkach stalych, zachodzacych pomiedzy elementami zjawisk w rozmaitych dziedzinach; Fizyka z wiqzki te odkrywa, Matematyka zas urabia je w formy sobie wla

Page  31 7] ZACIlOWAVAIE I)ZIALAN FORMALNYCII. 31 sciwe i odpowiedniemu poddaje badaniu. Zastosowanie Matematyki do nauk realnych polega utas'nie na tem, 2e zwiazki formalne, jakie Matematyka stwarza, znajduj a swoje urzeczywistnienie w zwiazkach, zachodzacych pomigdzy elementami zjawisk. Zasada zachowania jest wszakze tylko lderujqcq; oprocz niej konieczna jest zasadaregulujaca, aby uogolnienia poj c, dzialan i zwiazk6w nie doprowadzaly ani do sprzecznosci logicznych, ani do niezgodnosci z prawdami, poprzednio dowiedzionemi. Zasadc te mozemy wyrazi6 w sposob nasttpujacy: " Wszelkie zwiqzki, konstrzukcye i dzialania w dziedzinie form nowycl nie powinny prowadzic do wynikow logicznie sprzecznych lub niezgodnych z prawami, odnoszqcemi sif do dziedziny form. dawnych,,. W wielu razach, do usuniccia tej sprzecznosci lub niezgodnosci wystarcza, jezeli przy przenoszeniu zwiazk6w z dziedziny pierwotnej do dziedziny ogolniejszej pomijamy pewne prawa, ktbre w takim razie charakteryzowa6 bod4a specyalnie dziedzine pierwotna. Niekiedy jednak, gdy do form ogolniejszych dochodzimy innae droga, wyjasnienie i zbadanie niezgodnosci logicznej, a zarazem okreslenie dziedziny form uogolnionych za pomoca warunk6w koniecznych i dostatecznych jest rzecza nietatwa, i to stanowi pow6d, dla ktorego czesto uogolnienia nauki nie maja tak szerokiego zastosowania, jakie im przypisywano, dlaczego np. prawo najwyzsze nic ziscilo w calej rozciqglosci oczekiwani jego tw6rcy. Stosowalnosc prawa zachowania w specyalnych dziedzinach badania powinno dac sie w ogolnosci sformulowac za pomoca warunk6w, wyrazaja cych niezmiennosc pewnych form oznaczonych przy wszelkich zmianach i konstrukcyach, jakie w badanej dziedzinie wykonywamy; co ostatecznie wyrazac powinno koniecznosc zgodnosci logicznej wynik6w calego biegu rozumowani z prawdami, przyjetemi za podstawe badania. W naukach formalnych te podstawe stanowia, jak wiadomo, poczynione zatozenia; w naukach realnych-system fakto'w zasadniczych, hypotez lub wreszcie praw natury. Zbadanie istoty prawa zachowania i warunkow jego stosowalnosci w Matematyce godnem jest gruntowniejszych ni2 dotad study6w ze strony filozofow wiedzy. Tymczasem to, co znajdujemy u W u n dt a 47 lub B r i xa 48 i innych, kt6rzy ze stanowiska Teoryi poznania badali podstawy wiedzy matematycznej, jest malo wystarczajace. D u b o i s-R e y m o n d49, kt6ry nie nale2y do zwolennikow wybitnie

Page  32 32 WSTEP. formalnego kierunku clzisiejszej Matematyki, zapatruje si9 te2 sceptycznie i na sama zasadQ zachowania, opierajqc si9 na tem, 2e istnieje wiele przypadk6w, w ktorych zasada ta prowadzi do wynik6w zupenie falszywych. Jako przyklad podaje on twierdzenie - d /L - - ' --- dup 1 1 kt6re, jak wiadomo, wypowiada swoje uslugi w wielu przypadkach. Uwaga Dubois-Reymonda jest slusznq, ale nie swiadczy na niekorzysc samej zasady, owszem powinna, zdaniem naszem, pobudzic matematyk6w do badania granic jej stosowalnosci. 1 0 niedostatecznosci okresleniaMatematyki,jako nauki o wielkosciach, m6wia: K. Ch. Fr. Krause, Tagblatt des Menschcheitslebens, 1811, por6wn. wydane w r. 1889 tegoz Philosophische Abhandlungen, str. 271, i nastepne; H. G r a s s m a nn, Ausdehnungslehre, wydanie 2-e, 1878, str. XXII, i inni. 2 Nazwyformy 1da utworbw matematycznych uzywa H. G r a s s m a n n Ausdehnungslehre, str. XXII. Matematyka jest wedlug niego nauka o formach [Formenlehre]. Wedlug R o b e rt a G r a s s m an n a, Die Formenlehre oder Mathematik, 1872. nauka o formach czyli Matematyka jest nauka o prawach scistego naukowego myslenia i sklada si9 z pieciu galIzi, a mianowicie: z nauki o wielkosciach, Logiki,nauki o kombinacyach, nauki o liczbach i z nauki o rozciagtosci [Ausenlehre]. 3 G r a s s a n n, Ausdehnungslehre, str. XXII. 4 K a n t, Kritik der reinen Vernunft, wydanie E r d m, n n a 1880. Poglad ten wypowiedziany jest w wielu miejscach np. na str. 145, 488-494 it. d. Wro ii s k i, Introduction h la philosophic des Math6matiques, 1811, str. 1 - 4. Por6wn. takze tego2, Sept manuscrits in6dits 6crits de 1803, 1806, oeuvres posthumes, 1879. 6 C o m t e, Cours de philosophie positive, wydanie z r. 1863, I, str. 98. 7 W u n d t, System der Philosophie, 1889, str. 26. s W u n d t, tam2e, str. 123. 9 H a n k e l, Theorie der complexen Zahlensysteme, 1867, str. 48. 10 B o 1 z ano, Paradoxien des Unendlichen. Wydanie 2-e, 1889, str 4-5. 11 P a u l D u b o i s-R e y m o n d, Die allgemeine Functionentheoric, 1882, str. 14-57. 13 Dzis wyraz modul, n znaczeniu uzytem w tekscie, zastgpujemy wprowadzonem przez W e i e r s t r a s s a wyraneniein wartosc 'bezwzglfdna.

Page  33 PRZYI'ISY. 33 3i H. G r a s s m a nn, Lehrbuch der Arithmetik, 1861, str. 1. 1- H e 1 m h o t z. Zihlen und Messen, erkenntnisstheoretisch betrachtet [Philosophische Aufsitze, Eduard Zeller zu seinem finfzijqiehrigen Doctorjubilaum gewidmet, 1887, str. 16-52]. W roku 1868 R i e m a n n w rozprawie, napisan6j jeszcze w r. 1854., Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen [G6ttinyer Abhandlungen, XIII, 1 - 20, takie B. R i e m a n n's Gesammelte mathematische Wlerke, 1876, str. 254- 269; przeklad polski S. Dicksteina i WI. Gosiewskiego w Pamiftniku Towarzystwa Nauk Scislych w Paryiu, IX, 1877] i jednoczesnie Helmh ol t z w pracy: Ueber die Thatsachen der Geometrie [Gottinyer Nachrichten, 193-221. takie Wissenschaftliche Abhandlungen von H e rm an n H e 1 m h o t z, II, 1883, str. 618 - 639], zajgli sie zbadaniem podstaw, na kt6rych spoczywa nasza Geometrya. Te znakomite rozprawy wplynlty na poglebienie calej wiedzy matematycznej i zrodzily bogata literature [por6wn. Wiadomo6s o pracach z dziedziny Geometryi wielowymiarowej, Prace matematyczno-fizyczne. I, 1888, str. 128-135]. Wyniki tych nowych badan przedstawimy we wlasciwem miejscu; tu powiemy tylko, ie H e 1 m h o 1 t z holduje teoryi empirystycznej, wedlug kt6 -rej pewniki Geometryi nie sa twierdzeniami a priori, jak utrzymuje Kan t, lecz prawdami, kt6re doswiadczeniem zdobywamy i kt6remi jedynie doswiadczenie zachwia6 by moglo. Rozprawa o liczeniu i mierzeniu ma by6 odnosnie do Arytmetyki dopelnieniem tych poglad6w wielkiego fizyka. Winnismy dodad, ie pod tym wzgledem mial H e 1 mholtz poprzednik6w w Grassmannie, Hankelu i Schroder z e. R6wnoczesnie z praca podobnej tresci wystapii K r o n e c k e r w rozprawie, Ueber den Zahlbegriff. [Philosophische Aufsitze i t. d., str. 263-274.]. Z krytyka pogladow Helmholtza i Kroneckera wystgpuja: G. C a n t o r, Zur Lehre von Transfiniten, 1890, str. 17, oraz K e rr y, Ueber Anschauung und ihre psychische Verarbeitung [Vierteljahrsschriftfiir wissenschaftliche Philosophie, XIV, 1890, str. 317-353]. 15 Por6wn. E v e r e t t a, Jednostki i stale fizyczne, przeklad polski J. J. B o g u s k i e g o, 1885., WI. N a t a n s o n a, Wstep do Fizyki teoretycznej, 1890, str. 8-11., oraz J. B e r t r a n d a, Lemons sur la theorie math6matique de l'electricite, 1890, str. 266-296. N. T h i e 1 e, Til Afslutning af Regneundervisningen, 1883, dzieli przedmioty badafi matematycznych na pie6 klas nastepujacych: Do pierwszej naleiz mnogosci, posiadajace jednosc bezwzgledna [indywiduum] i dajace sig przedstawi6 za pomoca liczb calkowitych. Do drugiej wielkosci [dlugosci, powierzchnie, objgtosci, cigzary, wartosci]; te maja jednosci wzgledne, dowolnie przyjete, a do opisu ich potrzebne sa liczby ulamkowe i niewymierne dodatne. Przedmioty pierwszej i drugiej klasy maj4 zero bezwzglgdne. Trzecia klas~ stanowia punkty rzeczowe - Tingpunkter - [temperatura, momenty czasu, punkty na prost6j nieograniczonej], przy opisie kt6rych nie potrzeba ani zera bezwzgleJo~iT I. Pojecia, T. I. 3

Page  34 34 WSTEP. dnego ani jednosci bezwzglednej; maja one tylko zero wzgledne i jednosci wzgledne. Do klasy czwartej naleza "wyrazy,,-Led-[np. wyrazy nieskofiezonego lancucha], miaja one jednosci bezwzgledne, lecz nie maja bezwzglednego zera. Wreszcie do klasy piatej zalicza Th i e e katy i wog6le przedmioty, prowadzace do pojec, nie djacych sie zawrzec wjednej z klas poprzednich. 16 Niemo2nods utworzenia Matematyki wielkogci intensywnych tkwi wedlug D ii hr i n g a, [Logik nnd Wissenschaftstheorie. 1878, str. 254] w braku koncepeyj czysto myslowych i czysto konstrukeyjnych odnosnie do istoty materyi. "Gdyby, powiada on, o ogolnym osrodku materyalnym mozna bylo powiedzie6 cos podobnego do tego, co sie m6wi w pewnikach o przestrzeni, i gdyby nad tworami, zawartemi w tych orzeczeniach, mozna bylo wykonywa6 takie same dzialania, jakie wykonywa Arytmetyka na liczbach, albo t6ez Matematyka w og6le w przestrzeni i czasie, to doszlibysmy do nowej Matematyki materyi. Przy braku takich poje6, dochodzimy tylko jedynie do zastosowaf Matematyki do materyi i do cial fizycznych,,. 17 Kant, Kritik der reinen Vernunft. Wydanie E r d m a n na, 1880, str. 163. 18 G. C ant o r, Ueber unendliche lineare Punktmannichfaltigokeiten. [Mlathematische Annalen, XX, 1882, str. 113.]. 19 D e d e kin d. Was sind und sollen die Zahlen, 1888.; por6w. tez prace tegoz autora: Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872, w kt6r6j istote ciaglosci widzi w nastepujacen twierdzenin: "Jezeli punkty na prostej rozpadaja si~ na dwie klasy w ten spos6b, 2e ka2dy punkt pierwsz6j klasy lezy na lewo od kazdego punktu drugiej, to istnieje jeden i tylko jeden punkt, kt6ry daje ten podziat punkt6w na dwie klasy,to rozciecie prost6j na dwie czesci,,. Za D e d e k i n d em idzie S t o 1 z w Vorlesungen iiber allgemeine Arithmetik, 1885, I, str. 80 —84. 20 C o h e n, Das Prinzip der Infinitesimalmethole und seine Geschichte, 1883, str. 37. 2 A. F i c k, Das Grissengebiet der vier Rechnungsarten, 1880, str. 6. 22 W e r n i c k e, Die asymptotische Function des Bewusstseins. [ Verteljahrsschrift fir wissenschaftliche Philosophie, XI, str. 485. 23 H G r a s s m a n n, Ausdehnungslehre, str. XXIII, XXIV. 24 Do systemu wiedzy matematyczn6j nalezy Rachunek prawdopodobieiistwa, nie wynieniony wyrainie w tekscie. Nauka ta, bedaca wedlng wyrazenia L a p 1 a c e'a,,zdrowym rozsadkiem sprowadzonym do rachunku,, wedlug W r o i s k i e g o "teorya prawa teleologicznego, jakie rzadzi przypadkiem,, [loi teleologique du hasard], ze wzglgdu na metode swoja nalezy do Algebry i Analizy, ze wzgledu na pojecie zasadnicze prawdopodobiefistwa do Teoryi poznania i do Logiki, ze wzgledu wreszcie on zastosowania do r62nych gatezi wiedzy moze by6 zaliczona do Matematyki stosowan6j. Teorya prawdopodobiefistwa jest dotad wiecej wyrobiona pod wzgledem metod matematycznych, anizeli pod wzgledem teoretyczno-pozn awczym.

Page  35 ['iZYfPISl. 35 25 N e w t o n, Philosophiae naturalis principia mathematica. Przedmo - wa. Przeklad niemiecki W o 1 f e r s a, 1872, str. 1. 26 Gauss wlisciedoBesselawr. 1829. Por6wn.:Kronecker, Ueber den Zahlbegriff [Journal fur die reine und angewandte Mathematik, CI, str. 339]. 27 G r a s s m a n n, Ausdehnungslehre, str. XXIII. 38 WV r o fi s k i, Introduction i t. d. str. 464 i nastepne, dzieli tak Algorytmia jak i Geometrya na dwie gatezie: Teorya i Technia. Teorya nazywa on og6l twierdzeA, czyli podafi, majacych za przedmiot nature ilosci, t. j form matematycznych, Technia-og61 metod, kt6re on nazywa podaniami, odnoszacemi sie do mierzenia tychze form. Mamy wiec Teorya i Technia Algorytmii oraz Teorya i Technia Geometryi. Dalszy podzial kazdej z tych czgeci oparty jest na istocie dziatafi matematycznych, a mianowicie: je2eli Teorya i Technia uzywaja tylko dziatafi elementarnych, noszanazwe Teoryi i Technii elementarne/; je2eli u2ywaja "system6w, dzialafi elementarnych, nosza nazwe Teoryi i Technii systematqycznejf. Pr(cz tego tak Teorya i Technia mogga sie odnosic juz to do powstawania [gen6ration] form matematycznych, jui to do ich zwiazk6w wzajemnych, do ich pordwnania [comparaison l; stad wynika dalsze rozcztonkowanie systemlu AIatematyki. Calyswoj system przedstawit W r o in s k i na wielkiej tablicy "archftektoniczn6j,,, dohaczonej do swego dziela, i uzasadnil go szczego6owo w tekscie. Wrofiskiemutez wsp6lniez Kantem i Carnotem przypada zasluga wprowadzenia Foronomii do systemu MIatematyki czyst6j; patrz jego dzielo Sept manuscrits i t. d. Por6wn. S. D i c k s t e i n, Foronomia W r o fi s k i e g o [Rocznik Towarzystwa Przy/jacit Nauk w Poznaniu, XVII, 1890.]. 29 Arytnetyka i Algebra obie zajmuja sie liczbami; obu podstawa jest teorya dzialan, dziedziny ich wzajemnie sie krzyzuja. W znaczeniu scislejszem pod nazwa Arytmetyki rozumiemy Teorya liczb, to jest nauke o liczbach calkowitych, o funkcyach, za pomoca skoficzonej liczby dziatafi elementarnych utworzonych a takie liczby przedstawiajacych, i w og6le o ukladach czyli ciatach liczbowych, za pomoca podobnych funkcyj okreslonych; przyczem pod nazwa liczb calkowitych rozumiemy nie tylko liczby calkowite rzeczywiste [Teorya liczb zwyczajna] ale i liczby calkowite urojone, idealne, idealy. Gt1wnem zadaniem Algebry jest og6lne badanie funkcyj, zbudowanych za pomoca skoficzonji liczby dziataii zasadniczych, r6wnafi, z takich funkcyj utworzonych, i liczb oraz ogolniej funkcyj, przez takie r6wnania okreslonych. Lecz gdy badania arytmetyczne sa przywiazane niejako do stalego ukladu liczb okreslonej natury, badania algebraiczne, przeciwnie, sa prowadzone bez wzgledu nia podobny uktad; pierwsze sa specyalne, drugie og6lne, skad plynie r6onica metod w obu naukach, kt6ra W r o fi s k i charakteryzuje, nazywajac metody Teoryi liczb teleologicznemi [celowemi]. Wedlug pomysl6w, kt6re obecnie rozwija K r o in e c k e r, cata tresc badaft algebraicznych powinna dac sie "zarytmetyzowa6,, t. j. Algebra zamieni6 na Arytme

Page  36 tyke czyli Teorya liczb. Tym sposobem obie nauki, wyszedlszy z jednej podstawy i rozwijajac kazda swe metody, ztaczylyby sie we wsp6lnych pojeciach i metcdach. We wlagciw6m miejscu rzecz te szczeg6lowo przedstawimy. Wazne metody Algebry, kt6re rozwinety sie nawet w samodzielne gatlzie, mianowicie: Teorya podstawien i grup, Teorya przeksztalcei i niezmiennik6w, stanowia tak nazwana Algebr9 nowa. Jeszcze og6lniejsze formy i za pomoca og6lniejszych metod bada Rachunek wyzszy czyli Analiza. Funkcye, ktoremi si9 ta gaaz Mlatematyki zajmuje, nie sa pod wzglgdem tworzenia swego ograniczone do skoiiczonej liczby dzialani elementarnych, a gl6wnem narzgdziem badania sa tu pojgcia grauiczne czyli nieskoficzonosciowe, do kt6rych zalicza sie takze pojgcie ciaglosci, zbieznosci i t. d. Mozna Rachunek wyzszy nazwa6 Teorya funkcyj matematycznych, najogblniej uwazanych. Analiza ma oczywiscie wiele punkt6w wsp6lnych z Algebra, i wog6le wszystkie trzy nauki: Arytmetyka, Algebra i Analiza, stanowia wlasciwie jedn9 tylko umiejetnodc, w ktor6j formy matematyczne badamy z r6onych stanowisk, i, co za tem idzie, przy pomocy r6onych narzgdzi. Slusznie przeto wszystkie je polaczyl W r o ii s k i jedna nazwa Algorytmii. Przedmiot nauk, nazywanych w szkole Arytmetyka i Algebra, stanowi zbi6r wiadomosci elementarnych z trzech dziedzin powyiszych. Arytmetyka elementarna obejmuje nauke czterech dzialafi nad liczbami calkowitemi i ulamkami, przedstawionemi w dziesietnym ukladzie liczenia wraz z zastosowaniami do zadaii praktycznych. Algebra elementarna obejmuje naukg o liczbach ujemnych, elementy teoryi funkcyj calkowitych i rozwiazywania r6wnani algebraicznych oraz teorya kombinacyi, z analizy zas przejmuje elementarna teorya postgp6w geometrycznych nieskoficzonych i teorya logarytm6w. Aby da6 wyobrazenie o bogatym rozwoju dzisiejszej Matematyki, przedstawiamy tu tytuly dzialow i poddzial6w, na jakie dziela si9 sprawozdania o postepie Matematyki czystej, podawane w specyaln6m czasopismie Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mlathematik. wedlug XIX-go rocznika tego pisma: I. Historya i Filozofia:,:atematyki. II. Algebra. 1. R6wnania. Teorya ogoliia. R6wnania algebraiczne szczeg6lne. 2. Teorya form. 3. Eliminacya i podstawienia. Wyznaczniki i funkcye sym trycz e. III. Arytinetyka nizsza i wyzsza. 1. Arytmetyka niZsza. 2. Teorya liczb.

Page  37 I'RYMTSY. 37 a) Rzeczy og61ne. b) Teorya form. c) Teorya ulamk6w ciaglych. IV. Rachunek prawdopodobiefistwa. Nauka o kombinacyach. V. Szeregi. a) Rzeczy ogolne. b) Szeregi szczegolne. VI. Rachunek r6oniczkowy i calkowy. 1. Rzeczy og6lne. 1. Rachnnek r6oniczkowy [R6iniczki, funkcyer6oniczek, maksyma i minima]. 3. Rachunek calkowy. 4. Calki okreelone. 5. Rownania r6iniczkowe zwyczajne. t6. Rwnania r6zniczkowe czastkowe. 7. Rachunek waryacyjny. VII. Teorya funkcyj. 1. Rzeczy og6lne. 2. Funkcye szczegolne. a) Funkcye elementarne. b) Funkcye eliptyczne. c) Funkcye hypereliptyczne, Abelowe i t. p. d) Funkcye kuliste i t. p. VIII. Geometrya czysta, elementarna i syntetyczna. 1. Zasady Geometryi. 2. Badania w dziedzinie ciag'losci. 3. Geometrya elementarna. [Planimetrya, Trygonometrya, Stereometrya]. 4. Geometrya wykreslna. 5. Geometrya nowa syntetyczna. a) Rzeczy ogolne. b) Utwory plaskie szczeg6lne. c) Utwory przestrzenne szczeg6lne. d) Geometrya liczaca. IX. Geometrya analityczna. 1. Wsp6lrzedne. 2. Geometrya plaska. a) Og6lna teorya krzywych plaskich. b) Teorya krzywych algebraicznych. c) Proste i stozkowe. d) Inne krzywe specyalne. 3. Geometrya analityczna przestrzeni. a) Og(lna teorya powierzchni i krzywych w przestrzeni.

Page  38 38 wrST;,P. b) Teorya powierzchni i krzywych algebraicznych c) Utwory przestrzenne 1-go, 2-go, 3-go stopnia. d) Inne specyalne utwory przestrzenne. 4. Geometrya liniowa [kompleksy, uklady promieni]. 5. Pokrewiefistwo, przeksztalcenia liniowe, odwzorowania. a) Pokrewieistwo, przeksztalcenie liniowe i odwzorowanie. b) Odwzorowanie podobne |[conforme Abbildung]. V un d t, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften, [Philosophische Studien, 1I, 1888, str. 1-55] przedstawia nauki matematyczne w nastepujacym systemie: I. Nauki matematyczne og6lne. A) Nauka form ilosciowych: Nauka B) Nauka form jakosciowych: Teoo wielkosciach. rya rozmaitosci. 1. Nauki o dzialaniach nad wielkogciami: Algebra. 2. Teorya zwiazk6w pomniedzy wielkosciamni: Teorya funkcyj. II. Nauki matematyczne specyalne. A) Nauka o liczbach. B) Nauka o przestrzeni: 1. Arytmetyka: Nauka o dzia- 1. Geometrya syntetyczna: Nalaniach nad liczbami. uka o powstawaniu form 2. Teorya liczb: Nauka o licz- przestrzennych z element6w. bach i zwiazkach pomie- 2. (eometrya analityczna; Teodzy nieimi. rya zastosowania poje6 wielkoiciowych do utworbw przestrzennych. C) Nauka o ruchu. 1. Cynematyka syntetyczna: Nauka o skladaniu ruch6w. 2. Cynematyka analitycznaa Zastosowanie ogolnych pojec wielkosciowych do zagadniefi ruchu. Por6wn. uwagi nad tym systemem w artykule S. D i c k s t e i n a, 0 najnowszych probach klasyfikacyi nauk. [Ateneunm, 1889, I. str. 266 i dalsze.]. 30 X u n d t, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften [P/ilosophische Studien, V, 1889, str. 35.]. 31 G. B o o 1 e, An investigation of the Laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. 1854. Tresciwie zebrane wiadomogci o pracach uczonych angielskich nad Logika formalna znaleiz mozna w ksiazeczce L i a r d a, Les logiciens anglais contemporains, 2-e wyd. 1883, kt6ra wyszta i w niemieckii przekladzie p. t. Die neuere englische Logik, 2-e wyd. 1883, Inne pr6by Logiki, traktowa

Page  39 PRZYPISY. 39 nej sposobelm matematycznym, oglosili J. D e 1 b o e u f, Logique algorithmique, Essai sur un systeme de signes applique a la Logique, 1877, i G. F r e g e, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens; wszakze tylko metody logik6w angielskich wywalczyly sobie pierwszefistwo przed innemi. Dzielo J e v o n s a p. t. The Principles of science, a Treatise on logic and scientific method, 1887 [wydanie drugie] zawiera wykiad Logiki formaln6j, zastosowanie tejze do nauki o liczbach, do teoryi kombinacyi, przemian, prawdopodobiefistwa, do metod mierzenia, do badafi indukcyjnych, do teoryi uogolnieli, analogii i klasyfikacyi. 32 E. S c h r 6 d e r, Vorlesungen fiber die Algebra der Logik [exacte Logik]. Tom I. 1890. Kr6tki wyklad Algebry logicznej znaleid mozna w rozprawie St. P i a t k i e w i c z a, Algebra w Logice [Sprawozdanie gimnazyum we Lwowie za rok 1888]..'3 Peano wylozyt metode swoja w nastppujacych rozprawach: Arithinetices principia nova methodo exposita, 1889; Principii di Geometria logicamente esposti, 1889; Les propositions du cinqui6me livre d'Euclide, r6duites en formules [Mathesis, X, 1890, str. 73 - 74]; Demonstration de l'integrabilite des equations differentielles ordinaires [Matheinatische Annalen, XXVII, 1890]. O metodzie tej powziac mozna wyobrazenie z nastepujaeego tresciwego j6j przedstawienia: Znaki, uzywane w tej metodzie, sa nastepujace: K oznacza klase [rozmaitosc, mnogos6 przedmiotow i t. p.], j oznacza spbjnik i, n albo, s znaczyjest, = rdwna si[, 0 jest zawarty albo wynika A-nic albo niedorzecznosc. Jeieli a, b, c sa K [klasami], to a r- b r6 c oznacza: klase wsp6lna klasom a, b, c. abc,, to samo co a - b rN c. a b 1v c. najmniejsza klase, zawierajaca w sobie klasy a, b i c. -a,. klas9 ztozona z element6w nie-a. x a,. x jest a [nalezy do klasy a]..r,?/ a,, x i y naleza do klasy a. a = b,, klasy a i b sa tezsame. a 9 4,, klasa a jest zawarta w klasie b, albo kazde a jest b A,, nic albo klas9 "zero,,. Tak np. ab = A oziacza, ie zadne a nie jest b. Jezeli a, b, c sa zdaniami, to a r 1) r- c oznacza: jednoczesne potwierdzenie zdafi a i b; abc t to samo co a r\ b r- c; a ' b -, c,. ze przynajmnij jedno ze zdai a, b, cjest prawdziwe -a, zaprzeczenie zdania a. Jezeli zdanie a zawiera jeden ze znakow 0, =. *, wtedy znak- dogodniej jest pisa6 przed temi znakarni. Tak np. a - = b piszemy zamiast -(a = b), x - sa zamliast — (xsa) lub xa-a.

Page  40 40 WSTP. Jezeli np. a, b sa K, to ab -= A oznacza, ze jakies a jest b. a = b oznacza: zdania a i b sa tezsame. a 3 b ze zdania a wynika b, albo jezeli jest a, to jest b. A,, niedorzeczno6s. Tak np. a- b=A oznacza a, b. Jezeli a i b sa zdania, zawierajace przedmioty nieoznaczone x, y,... wtely a 0x b oznacza: jakiekolwiek jest x, z a wynika b. a 0y / n jezeli x i y czynia zadods a, to czynia zado6s i b. a =, b, dla wszystkich wartosci x zdania a i b sa teisame. a - =-x A, warunek a nie jest co do x niedorzeczny, albo istnieje x, czyniace zado6s warunkowi a. Rozmaite czQgci jednego wzoru oddzielaja sie od siebie nawiasami, jak w Algebrze. Do oddzielenia czgsci twierdzenia uzywamy punkt6w.:..:: i t. d. Aby przeczyta6 wz6r opatrzony takiemi punktami, taczymy najprz6d znaki, nie rozdzielone punktami, nastqpnie znaki, rozdzielone jednym punktem, rozdzielone dwoma, potem trzema i t.d. Tak np. ab. cd: ef. g.' h. kl oznacza {[(ah) (cd)] [(ef) g]}[h(kl)] Przy pomocy tego znakowania twierdzenia Logiki wyrazaja si9 nadzwyczaj zwigzle, jak to pokazuja nastgpujace przyklady: a s K. O. a. 0 a (quod est. est. a, b, c S K. a b. cb f c: c. a 0 c wyraza sylogizm: Jezeli a, b, c sa klasami, np. sadami, to: jezeli z a wynika b, z b zas wynika c, to z a wynika c. a. b K.: aa-=-a. a =a =. — (-a) -a. a- - a,A = A, a A =_ a. Jezeli a. b sa klasami, to stad wynika, ze klasa wsp61la klasom a i a jest klasa a; najinniejszaklasa,obejnmujca klasy a i a jest a; klasa, bgdaca negacya klasy nie-a. jest klasa a; klasa wspolna klasie nie-a jest klasa zero; klasa wsp6lna klasie a i klasie zero jest zerem; najmniejsza klasa, obejmujaca klase a i klas9 zero, jest klasa a. Nastepujqce trzy wzory czytelnik z tatwoscia sam odczyta. a, b K. 3: ab b a. a 'J b =b v a.ab r a. a 'a b. -- (a r b) = - a ( -- a) b).-(a " b) = (-a) r' (-b); a, b, c e K. 9: (ab) c - a(bc) = abc. (a u b) c - = a j (b u c) = a, b > c; a, b.. a 9 b. =: x s a,x x x b. Liczb9 tych przyklad6w moznaby znacznie powiekszy6; ale i podane wystarczaja do pokazania, w jaki spos6b symbolistyka P e a n o skraca wy

Page  41 PRZYPISY. 41 stowienie twierdzefi. R6wnie zwiezle przedstawic mozna twierdzenia matematyczne, jak to pokazuja nastepujace przyklady, kt6re czytelnik latwo odczyta. W nich klasa N sa liczby calkowite dodatnie, inne znaki sa zwykle arytmetyczne. a b s N.. a+-(b —1l) a (b+-1); a b c N1. a+-(b+c)= a+b4-+c; as. N. - +a — l; abs N. o: a<b. =. b-a —=A a s N. 0. aX1=a; a b s N.. a b N; a, b, c N. =:: a-b ac bc.; a, b, c,,.. a<b. --. a c bc: a = 6. - ac b c: a>.b... ac7>bc.; a, b, c s N.. a (bc) abc; a, b s N. 0: b/a = N[xs] (x a = 6). Ostatnie twierdzenie wyraza: jezeli a i h sa liczbami calkowitemi, to iloraz z podzielenia b przez a jest, liczb4 calkowita, jezeli istnieje takie x, dla kt6rego xa = b. W nastepujacych przykladach q niechaj oznacza klase liczb rzeczywistych; mozemy napisac nastgpujace twierdzenia: a, b s q. 9. ab =ba [jezeli liczby a i b sa rzeczywiste, to iloczyn ab r6wna sig iloczynowi ba] a, b s q. a2 +-b-:: a=0. b ---0 a, b s q.ab = 0:a: a=0.. b —O Wz6r ostatni oznacza, ze jezeli iloczyn dw6ch liczb rzeczywistych a i b jest zerem, to albo a albo b musi by6 zerem. a,, x, y s q.. x+y a. -y = -b: =: 2x a - b. 2y = a — b. a b s q.: x s q. x2 - a x + - b =: -- =. =a a2 - 4b > 0. Wz6r drugi wyraza twierdzenie: "Jezeli a i b sa liczbami rzeczywistemi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby pierwiastek r6wnania x +- a x + b = 0 byl liczba rzeczywista, jest: a —4 b > 0,. Twierdzenia piatej ksiggi E u k 1 i d e s a przedstawiaja sie pod postacia wzor6w nastgpujacych. w kt6rych G oznacza klas~ wielkosci, N zag, jak wyzej, klase liczb calkowitych dodatnich: 1. a, b G. m s' N:.ma - n bz (a-{-b) 2. a G,, N:. m a N- m +na (n+-n) a 3..: 9. n(m.a) (nm) a 4. a, b,. c, d, G,, n s N. a/b c/. / = (ma)/(nb) = (,nc)/(n/d) 5. a, b s G. m i N:. ma-mb=m(a-b)

Page  42 42 WSTE;I. 6. a s G, n, n ~ 7: r. )ma-na=(li —n)a 7. a, b, c s G. a b a a/c = b/c. c /a = c/b 8.,, a> b: ac > b /c b. b > c/a 9.,, a/c =- b/: 0 a b (, c/a = e/b:. a-= b 10., a/c>b/c:. a> b \, c/b > c/a: 0. a > b 11. a, b, c, d, e, f s G. a/b- = c/d. c/d = e/f': 0. a/b - ejt 12. ab cd e. a/b = (a+c+e)/(b+dtf) 13.,,. a/b = /d. c/d > e/f:. a/b > e/ 14. a, b, c, d s G. a/b == cid: 3.'. a > c. [. b > d: a=-1'. ). b=d: a < c. ). b <d. 15. a, b6 G. m s N: 0 (mua)/(mb) - a/b 16. a, b, c. d G. a/b = cid:. ajc — b/d. 17.,,,: ~. (a-b)/b=(c-d)/d 18...,: 3. (a+-b)/ b(c+d)/'d 19..,,:. (a-c)/(b —d) a/;b 20. a, b, c, d, e~f Ga. a/b — d/e. b/c = ef: 03 a C> c.. d >f. a = c.. d =f a<Cc. d. <f 21.,. a/b -= f/lf. b/c d/e:;.'. a L> c. 0. d >f: a - c. 0. dc =/': a < c. d). d <.f 22.,, a/b - die. bc e/; ).c a/c =- d/f 23.,, a/b= e/f. b/c. a/c = d/f 24.,. a/b c/d. ee/b =fld:. (a+e)/b (c+t')/d 25. a, b, c, d, ~ G. a/b -- c/id a b. a > c.a - d:> ) + c. Dla przykladu pokazemy jeszcze, w jaki spos6b P e a n o wyraza niekt6re twierdzenia geometryczne. WV Geometryi Koznaczaklase lub kategoryq utwor6w geometrycznych, 1 wyraza punkt, K1 oznacza klase punkt6w albo figure geometryczna, znak = miedzy dwoma punktami oznacza ich to2samos6. Jezeli a, b sa punktami. to ab oznacza klas9, utworzona z punkt6w wewngtrznych odeinka ab.Wz6r c ab oznacza, ze c jest punktern wewngtrznym odeinka ab. a, b a 1. 0. ab t K1 a, b, c, d, 1.a =b.c= d:. a c = bd. Ostatni wz6r wyraza aksiomat o prost6j. a, b, c, d s 1. c sad. b a c: o. b s a d.

Page  43 PRZYPISY. 43 Wz6r ten wyraza: jezeli a, b, c, d sa punktami odcinka, punkt c lezy wewnatrz odcinka a d, punkt b wewnatrz odeinka ac, to wynika stad, ze punkt b lezy wewnlatrz odcinka ad. a b 1 c, b d a' b.. e 1. c, d ae: —e A Wz6r ten wyraza, jezeli a i b s4 punktami, c i d zas sa punktami prostej a'b, to istnieje punkt e taki, ze punkty c i d naleza do odcinka ae. Wz6r a, b, c, d 3 1. p, q s ab. p, q s cd. p -=q:.. x, y s. a, b, c, d A y: -- xA wyraza: Jezeli a, b, c, d sa punktami i jezeli odcinki ab i cd maja wsp6lne dwa punkty r6ine, to te cztery punkty naleza do jednego odcinka. 34 Wykladowi og6lnych metod Matematyki poswiecony jest rozdziat tomu 2-go Logiki W u n d t a, 1883, str. 76-114, w kt6rej czytelnik znajdzie nastgpujace rzeczy: o zadaniach badania matematycznego, o analizie i syntezie matematycznej, o indukcyi i abstrakcyi matematycznej, o dedukcyi matematycznej. Ten sam przedmiot opracowal wczesniej Wun dt wrozprawie Ueber die mathematische Induction [Pl/ilosophische Studien, II 1883, str. 90-1471. 35 Ha k e 1. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und 3Mittelalter, 1874, str. 137-150. 36 Przyklad wziety z D a u g e'a Leeons de Methodologie math6matique 1881-1882. 37 H a n k e 1. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, jak wyzij.: J. M. C. D u h a in e 1. Des methodes dans les sciences des raisonnement. Premi6re partie. Des m6thodes communes a toutes les sciences de raisonnement. Wydanie 3-e. 1885. 3!) 0 indukcyi i dednkcyi matematycznej, patrz W u n d t, Logik II. 85-114. 40 Potgenym bodicem do uo6olnienia badaLf matematycznych byto wprowadzenie liter do oznaczania liczb w rachunkach algebraicznych. Przy przedstawianiu dzialaf w taki6j postaci, musialy naturalnie powstawa6 pytania o og6lnem zlnczeniu dzialaii, gdy sig zadnych co do liczb, wyrazanych przez litery, nie czyni zalozef specyalnych..Przez Geomletry4 D e s c a r t e s'a wplyw tej metody przeszedl nia Geonetrya i rozwinal sig nastgpnie w Geometryi syntetyczn6j. 41 H a n k e 1, Theorie der complexen Zahlensysteme, 18o7. str. 10-12. 42 C h a s 1 e s. Apercu historique sur l'origine et le developpement des methodes en geomitrie, particulierelnent de celles qui se rapportent a la g6ometrie noderne, suivi d'un memoire sur deux principes g6enraux de la science, la dualite et l'homographie 1847, wyd. 3-e 1889, str. 586-695. 43 K 1 e i n F., Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometrische Forschungen, 1872, str. 7.

Page  44 44 WSTwP. 44 P onc e 1 e t, Trait6 des proprietes projectives des figures, 1822, Wydanie 2-gie, 1865. Dwa tomy. Por6wnaj nadzwyczaj interesujpce uwagi zawarte we wstgpie do tego znakomitego dziela. 45 S teine r. Systematische Entwickelung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten, 1832; takze w J a c o b St e i n e r's Gesammelte Werke I., 1881. str. 233. 46 W r o i s k i podal w r. 1810 "prawo najwyzsze,, w rozprawie: Premier principe des methodes algorithmiques comme base de la Technie mathematique, i rozwinat ja w dwoch wielkich tomach dziela: Philosophie de la Technie algorithmique, 1815, 1816 -1817. Por6wnaj 0.,prawie najwyzsz6m,, H o e n e - W r o i s k i e g o w Matematyce, przez S. D ic k s t e i n a, [Prace matenatyczno-fizyczne, tom II, 1890. str. 145-168]. 48 B r i x, Der mathematische Zahlenbegriff und seine Entwicklungsformen. [Plilosophische Studien, VI, 1890 str. 290]. 49 D u b o i s-R e y m o n d. Die allgemeine Functionentheorie, str. 38.

Page  45 CZESC PIERWSZA. TEORYA DZIALAN. La science arithmetique se ddveloppe a la facon d'un arbre dont chaque branche donne naissance a plusieurs branches qui a leur tour se divisent et se rainifient a l'intini. J. Delboeuf. ROZDZIAL I. IICZBY CALKOWITE. 8. DZIALANIA PROSTE. Wiemyjui, ze liczby calkowite stanowia fundamnet Arytmetyki i ze prowadzi do nich abstrakcya z dostrzeganej wielosci przedmiotow. Przedmioty, zjawiska dostrzegane, lub odpowiadajace im akty mysli nazywamy: pierwszynl, drugim, trzecim, i t. d. Ka2demu z dostrzezonych przedmiot6w odpowiada pewien liczebnik porzadkowy; inaczej m6wiac, przedmioty, przez nas dostrzezone i odroznione, odpowiadaja kolejno wyrazom szeregu: pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,. Szereg tych wyraz6w zastapic mozna szeregiem innych przedmiotow lub znak6w w ten spos6b, aby kaIdemu przedmiotowi z pierwszego szeregu odpowiadal jeden przedmiot lub znak z drugiego szeregu, i odwrotnie, aby kadenmu przedmiotowi z drugiego szeregu odpowiadal jeden przedmiot z pierwszego. Podobne przystosowywahie czyli odwzorowywanie wzajemne dwoch szereg6w przedmiotow sta

Page  46 46 CZESC I. ROZDZIA, I. Is nowi nie tylko podstawv liczenia, ale jest zr6dlem wielu wa2nych metod matematycznych, o ktorych w t"j ksia2ee m6wic bedziemy. Je2eli z wyrazow szeregu pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,... utworzymy szeregi: pierwszy, pierwszy, drugi, pierwszy, drugi, trzeci, pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, I)ierwszy, drugi, trzeci, czwarty,... n-y, to do ka2dego takiego szeregu bdcziemy mogli przydzielic liczlh, a mianowicie, do pierwszego szeregu liczb jeden, do drugiego liczbe clwa,... do ostatniego liczbe n. Przy tworzelniu liczby umyst wykonywa syntezt akt6w mysli, odpowiadajaqcych ka2demn z powyzszych szereg6w: do dziedziny nazw lub) dziedziny przedmiot6w dodaje cos nowego, a mianowicie szereg form matenatycznych. Formy te odtadi stuzyc nmaj za szereg zasaldniczy, z kt6rymn porowniywac bedziemy zawsze jakiekolwiek szeregi przedlmiot6w, podleglych naszemu spostrzeganiu 1. Liczba, otrzymana z syntezy akt6w, o jakich m6wimy, uiwa2a sie za liczbe przedmiot6w badanego przez nas szeregu. Liczqc przedmioty, t. j. dajac kazdemu z nich nazwe, wzictzb z szeregu liczebnik6w porzadkowych, przez to samo przedmioty te porzqdkujemy. Jezeli zmienimy porzadek przedmiot6w, t. j. przestlwimy je w sposob dowolny, i nastepnie por6wnamy z szeregiem liczebnik6w porzadkowych tak, aby kolejnym przedmiotom przypadly znowu nazwy pierwszy, drugi, trzeci..., to oczywiscie ostatnienu przedmiotowi, bez wzglcdu na poezynione przestawienia, odpowie taz sama nazwa, kt6ra odpowiadala ostatniemu przedmiotowi w poprzedniem uporzaqdkowaniu. Liczba przeto, odpowiadajtaca szeregowi po przestawieniu, bedzie taka sama, jak liczba, odpowiadajaca mu przed przestawieniem; liczba przedmiot6w nie ulega zmianie, czyli, wyra2aj e sie slowami K ron e c k e r a, liczba jest niezmiennikiem danego szeregu przedmiot6w 2. Liczba w tem zatczeniu, to jest liczba calkowita, zastepuje przy liczeniu liczebniki porzadkowe, zamiast wiec nazywac przedmioty

Page  47 8] DZIALANIA PROSTE. 47 pierwszym, drugim, trzecim,..., liczymy: jeden, dwa, trzy.,. Przy liczeniu w ten spos6b nie tylko oznaczamy ka2dy przedmiot, ale jednoczesnie wykonywamy syntezt aktow mysli, odpowiadajacych ka2demu z przedmiot6w, to jest okreslamy 6w niezmiennik, owaq formt matematyczna, ktora pozostaje niezmienna przy dowolnem przestawianiu przedmiot6w liczonych. [Na nazw\ tego niezmiennika jezyk niemiecki posiada wyraz "Anzahl,,, gdy wyraz "Zahl,, u2ywa si9 w znaczeniu og6ln6m, a wiec nie tylko dla liczl calkowitych, ale i ulamkowych, ujemiych i t. d. I my w tem samell znaczeniu u2ywamy wyrazu "liczba,,, dla oznaczenia zas pojecia "Anzahl,, najwlasciwszym bylby wyraz "ilos6,,. Lecz upowszechnito sit w naszym jgzyku naukowym uzywanie wyrazu ilosc, raz w znaczeniu logicznem, w przeciwstawieniu do wyrazu jakosc, drugi raz do oznaczania wogole liczb jakichkolwiek, a nawet do oznaczania wielkosci. Dla niewywolania wiec zamieszania w jtzyku naukowym, dla wyrazenia pojecia "Anzahl,, uzywac bedziemy wyrazenia "liczba calkowita,, lub, gdy nie zachodzi obawa dwuznacznosci, wyraza liczba; m6wic tez bedziemy o wielosci, mnogokci lub rozmaitosci przedmiot6w, nadajacej si~ do przedstawienia za pomoca liczby]. Szereg liczb: jeden, dwa, trzy, cztery,.. lub w znakach: 1, 2. 3,4,... wystarcza do liczenia jakiegokolwiek szeregu przedmiotow, ale posiada on jeszcze inne wazne zastosowania, kt6re zaraz przedstawimy. Niechaj btda dwa szeregi przedmiot6w, nazwijmy je A i B. Kazdy z tych szereg6w mozemy liczy6 oddzielnie, nazywajac przedmioty szeregu A kolejno: pierwszym, drugim, trzecim,..., n-ym, przedmioty szeregu B, nazywajac takze kolejno: pierwszym, drugim, trzecim,.., n-ym. Wyobrazmy sobie teraz szereg liczb calkowitycli 1. 1, 2, 3, 4,..... i przystosujmy do niego liczebniki porzadkowe z poprzednich dwoch szereg6w w ten spos6b, aby liczbom szeregu 1. odpowiadaly po kolei i bez przerwy liczebniki pierwszy, drugi, trzeci,..., n-y, pierwszy, drugi, trzeci,..., n2-y, wtedy ostatniemu przedmiotowi

Page  48 48 CZE,3 1. ROZDI)IAL 1. [8 szeregu B odpowie liczba szeregu 1., kt6ra nazywamy sunma liczb n1 i n2 i oznaczamy przez n +- n2. Liczba n1 + n2 w odniesieniu do dw6ch danych szereg6w A i B oznacza, ze jezeli przedmioty obu szereg6w wyobrazimy sobie, jako stanowiace szereg jeden, w kt6 -rym ida przedmioty najprz6d szeregu A, a nastepnie szeregu B, to, bez wzgledu na porzadek przedmiot6w w kazdym z szereg6w danych, liczba, odpowiadajqca temu jednemu szeregowi zlozonemu, bedzie n1 +n2. Jezeli znowu do szeregu 1. przystosujemy w spos6b wyzej opisany najprz6d liczebniki porzadkowe pierwszy, drugi, trzeci,...,n-y, odpowiadaj ace szeregowi A, nastepnie liczebniki porzadkowe, pierwszy, drugi, trzeci,.., n1 -y, odpowiadajace szeregowi B, to dojdziemy do pewnej liczby, kt6ra bedzie suma liczb n2 i nh, a kt6rl wedle przyj tego znakowania przedstawiamy za pomoca4 n +nl. Liczba ta wyraza oczywiscie, ze jezeli wyobrazimy sobie przedmioty obu szereg6w, jako stanowiace szereg jeden, w kt6rym najprz6d ida przedmioty szeregu B, a nastepnie przedmioty szeregu A, to, bez wzglgdu na porzadek przedmiot6w w kazdym z szereg6w danych, liczba, odpowiadajaca temu jednemu szeregowi zlo2onemu, bgdzie 22 + nl. Dzialanie, za pomoca kt6rego otrzymalismy liczbe nz + n2 lub n2 + nl, nazywa sie dodawaniem. Jest oczywistem-i oczywistosc ta niezaleznie od pogladu na ro6 -dla naszego poznania, musi bye uwazana za zalozenie zasadnicze teoryi dziataii,,-e liczba n2 +n1, do ktorej doszlismy przy drugiem liczeniu, jest t4 sama liczba szeregu 1., jaka jest liczba nI +-n2, do kt6orj doszlismy przy pierwszem liczeniu, co wyrazamy w ten spos6b: 2. nl + 722 = 7 + nl. Prawo to nazywa sie prawem przemiennosci dodawania [commutativ Law]. Wz6r 2., wyra2ajacy to prawo w przypadku dwoch skladnik6w, z latwoscia moze byc rozszerzony dojakiejkolwiek [skoiczonej] liczby skladnik6w, je2eli znaczenie dodawania trzech i wic6ej liczb za pomoca okreslenia ustalimy. Prawo to wyrazic mozna ogolnie za pomoca wzoru n1 + 2+ +... -a + nn + *. + n,, gdzie a, fP...., stanowi jakakolwiek przemian9 szeregu 1, 2,..., r.

Page  49 8] 1)%ZALANIA PROSTE. 49 Z poprzedzajacego wniesc mozna, 2e dodawanie dw6ch [i wiecej liczb] jest tylko uogolnieniem liczenia. W dodawaniu zestawiamy szeregi przedmiot6w, z kt6rych kazdemu odpowiada jedna z liczb szeregu 1., w liczeniu zas te szeregi skladaja sie kazdy z jednego przedmiotu, kt6remu w szeregu 1. odpowiada picrwszy wyraz. Jezeli liczbt, odpowiadaj ca takiemu pojedyficzemu przedmiotowi, nazwiemy jednosciq, to liczenie bedzie mozna nazwac dodawaniem jednosci. Widzimy zarazem: 1. ze gdy idzie o dodawanie i wogole o dzialania na liczbach calkowitych, wszystkie przedmioty liczone, bez wzgledu na ro6nice, jakie pomitdzy niemi istniec mogq, zamieniaja sie w procesie liczenia wszystkie na jednosci, wszystkie zatem staja sic rownemi. 2. 2e ka2dqc liczbe szeregu 1. wyrazic mo2na jako suing liczby, bezposrednio przed nia sit znajdujcej, i jednosci, czyli, liczba szeregu 1., bezposrednio nastgpujaca po liczbie n, jest n + 1. Z prawa przemiennosci 2. wynika 3. n + 1 =1 + n. JeZelibySmy wz6r 3. stanowiycy przypadek szczeg61ly wzoru 2., przyjeli za zalozenie zasadnicze, to z niego i przy pomocy okreslenia 4. n + (n2 + ) = (n, + n2) + 1, moglibygmy wyprowadzi6 tak wz6r 2. jako te2 i wszystkie wlasnosci dodawania. Wzor 4. stanowi przypadek szczeg6lny ogolniejszego wzoru 5. ~n4 + (n2 + n3) (n, + n- ) + n3, wyrazaj cegoprawo qcznosci [associative Law] dodawania. Prawo to okresla wlasnie sumt trzech skladnik6w: jedna i druga strona wzoru 5. oznacza sume trzech liczb n +- n2 - n3. Prawo to rozciaga sig na jakqkolwiek [skoliczonq] liczbe skladnik6w. igczac prawo przemiennosci i ltcznosci w jedno prawidlo, mo2emy powiedziec, ze majac do dodania ilekolwiek liczb nl, n2,...,n, mo2emyotrzymac sum9 ich, Itczac kt6rekolwiek i ilekolwiek z nich w sumt czqstkowa, z pozostalych liczb hlczac zn6w ktorekolwiek i ilekolwiek w druga sumg czrastkowa i t. d., p6ki nie wyczerpiemy wszystkich skladnik6w danych, i dodajac nastgpnie sumy czastkowe w dowolnym porzadku3. Pojqecia. T. I. 4

Page  50 50 cz7SC 1. ROZDZIAL 1. I[ Je2eli pojedylicze skladniki sumy ni + n2 +... + nr s wszystkie r6wie jednej liczbie n, wtedy dodawanie przechodzi w mnoienie, suma zas n1 + n2... + n, = -n n... + n przyjmuje na. zwe iloczynu liczb n i r i oznacza sie przez nr. Liczba nr jest niezmiennikiem, odpowiadajacym szeregowi utworzonemu ze zltczenia r szereg6w, z ktorych kazdy zawiera po n przedmiotow. Jezeli w tym szeregu zlozonym zmienimy ustawicnie przedmiotow w ten sposob, aby najprzod staly obok siebie wszystkie przedmioty, ktore w szeregach danych byly pierwszemi, nastepnie wszystkie, kt6re byly drugiemi i t. d., wreszcie wszystkie, ktore byly ostatniemi, to dojdziemy tym sposobem do liczby rn. Poniewa2 liczba przedmiotow nie ulegla zmianie, a zatem 6. n r = r in. Wz6r ten wyraza prawo przemiennosci mno2enia dla przypadku dwoch czynnikow. Jezeli okreslimy mnozenie trzech [i wiicej] czynnikow za pomoca wzoru 7.,,, (.12 n3) = (2I n12):,3 wyra2ajacego prawo tlcznosci, przycz6m pierwsza i druga stroin wzoru 7. wyrazaja iloczyn ni 2 n3, to na zasadzie tego okreslenia bedzie mozna wz6r 6. rozszerzy6 na dowolna [skoiiczona] liczbe czynnikow t. j. napisac ogolnie 2a nl... ne-n172... gdzie a, f,..., o oznacza jakakolwick przemiang szeregu 1, 2,..,. Laczlc prawo przemiennoSci i htcznoSci mno2enia w jedno prawidlo, mo2emy powiedziec, 2e majac do mno2enia ilekolwiek liczb n,, nn.., n,, mo2emy otrzymac iloczyn ich, tworzac z kt6rychkoli ilukolwiek z nich iloczyn czastkowy, z pozostalycl ilukolwiek tworzac drugi iloczyn czastkowy i t. d. p6ki nie wyczerpiemy wszystkich czynnikow, i mnoz2c nastgpnic przez siebie iloczyny czqstkowe w jakimkolwiek porzadku. Opr6cz przemiennosci i lacznosci mnozenie liczb calkowitych posiada jeszcze jedna wazna wlasnosc, nazwanj prawem rozdzielno,ci [distributive Law] 4, kt6re wyraza sie wzorami 8 i w (ny1 + n2) 3 = 121 113 + n2 123 n-, ("1 +- n.))?n9 n12 -+ n3 2a Pierwszy z tych wzordw daje sie dowicsc przez rozklad iloczynu po

Page  51 91 DZIALANIA OI)\WI OrSE. 51 prawej stronie na sume n3 r6wnych skladnik6w, a nasttpnlie przez odpowiednie uporzqdkowanie tycl skladnik6w, drugi zas wynika z pierwszego przy zastosowaniu prawa przemiennosci. Jezcli czynniki iloczynu n n2,...,n. sa wszystkie r6wne jednej liczbie n, wtedy mno2enie przechodzi w potfgowanie albo podnoszenie do potfgi, iloczyn zas n1 n2... = n n... n przyjmuje nazw9 r-ej potegi liczby n i oznacza sit przez n'. Liczba n nazywa sit podstawq pottgi, liczba r jej wykladnikiem. Pottgowanie nie jest przemienn6em ani t1cznem, gdyi n' jest wog6le r6one od r" oraz ~s),,.,, (n')~, posiada natomiast wlasnosci wyra2one wzorami n'-. = ' n^ 9. nrs -- (nrj)' (mn)r 'mr n, odpowiadajace prawu rozdzielnosci mno2enia; wlasciwie tylko, ostatni z wzor6w 9. wyraia scisle te wlasnosc, ktora laczy potegowanie z mno2eniem w podobny spos6b, w jaki wzory 8. lacza mno2enie z dodawaniem. Pierwsze dwa wzory 9., nie majqce analogicznych sobie w dodawaniu i mno2eniu, wyra2aja charakterystyczne wlasnosci potegowania 5. 9. DZIALANIA ODWROTNE. Opisane wy2dj dzialania: dodawanie, mnozenie i pottgowanie nazywaja sit dzialaniami prostemi; w przeciwstawieniu do nich cztery nastepujace nazywaja sit dzialaniami odwrotnemi. [Dzialania proste nazywa H a n k e 1 tetycznemi -- thetische Operationen, odwrotne — litycznemi. lytische Operationen]. Odejmowanie jest to dzialanic odwrotne wzgledem dodawania; jest to takie dzialanie, za pomocn kt6rego wyznaczamy liczbt z, czyniaec zadods r6wnaniu 1. x - 2 n= nl Liczba x nazywa sit rozSnic liczb nl i n2 i oznacza sit przez nl-n2. Ktadac za x to wyrazenie w r6wnaniu 1., otrzymujemy

Page  52 52 czFSc I. RozI)ZIAl 1. [9 2. (nJ -n.^) + n. = n1. Wz6r 2. moze bye uwa2any za okreslenie r62nicy lub odejmowania. Z istoty odejmowania wynika, ze jezeli ni i n sas liczbami szeregu 1., 2e wtedy tylko na x otrzymujemy odpowiedz, to jest otrzynujemy liczbe, znajdujqca sie w tym szeregu, jezeli liczba n1 znajduje sic w szeregu na prawo od liczby n2, jest od liczby n2 wicksza. Jezeli zas co do nI i n2 nie czynimy z g6ry 2adnycl zastrze2e'l. wynika potrzeba nadania znaczenia odejmowaniu i w tym przypadk,. w kt6rym warunek powyzszy sie nie spelnia. To prowadzi do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia zera i liczb ujemnych, przyczem naturalnie rownanie 2. slu2yc winno za okreslenie nowych liczb. Tak wiec definicya formalna liczb ujemnycl jest tozsama z definicya odejmowania. 1)zielenie jest dzialaniem odwrotnem wzgledem mno2enia; jest to dziatanie, za pomoca kt6rego wyznaczamy liczb.v, czyniac zadosc r6wnaniu 3. t 2nl2 = nl, gdzie n1 i n2 sa liczbami szeregu 1. Liczba x oznacza si; przez _ lub n1jn2 i nazywa sie ilorazem. Kladea za x to wyrazenie w r6wnanin 3., otrzymamy r6wno6s 4. -n n n2 2- n_1 kt6ra mo2e by6 uwazana za okreslenie ilorazu lub dzielenia. Z istoty dzielenia wynika, 2e je2eli n^ i n2 sa liczbamni szeregu 1, to wtedy tylko otrzymujemy na x odpowiedz, to jest otrzymujemy liczbe zawarta w 1., je2eli liczba n1 jest wielokrotnosciq liczby n.,. Jezeli zas co do n1 i n2 nie czynimy 2adnych zastrzeeii', to wynika wtedy potrzeba nadania znaczenia dzieleniu i w tym przypadku, w kt6rym warunek powy2szy sie nie spelnia. To prowadzi do nowego rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia liczb ulamkowych, przyczem naturalnie r6wno6s 4. winna slu2zy za ich okreslenie. Tak wiec definicya formalna liczb ulamkowych zawarta jest w definicyi dzielenia. Z przyczyny prawa przemiennosci, stosujacego sig do dodawania i mno2enia, ka2demu z tych dzialan odpowiada jedno dzialanie odwrotnc, tynczasem potegowaniu, kt6re przemienn6m nie jest

Page  53 9] DZIALANIA ODWROTNE, 53 odpowiadaj, dwa dzialanie odwrotne, a mianowicie pierwiastkowanie [wlasciwie: wyciaganie pierwiastka] i logarytmowanie. Pierwiastkowanie jest dzialaniem, za pomoca ktorego wyznaczamy liczbe x, czyniacaa zados6 r6wnaniu 5.,=2 _ nl Liczba x czyli podstawa potcgi otrzymuje nazwe pierwiastka [pierwiastka n2-ego lub pierwiastka n2-ej potegi] i oznacza sic w ten sposob: 11.-2 _ Jezeli to oznaczcnie wprowadzimy do r6wnania 5., otrzymamy wz6r 6. 1 _ 12 kt6ry mo2na uwazaci za okreslenie pierwiastka i pierwiastkowania. Jezeli n1 i n2 sq liczbami calkowitemi, to na x wtedy tylko otrzymujeny odpowiedz w szeregu 1., gdy liczba n1 jest pot~gc zupelna t. j. iloczynem n 2 rwnych czynnik6w; w przeciwnym razie odpowiedz nie moze zawierac sie w szeregu 1. Jezeli wiec co do n1 i 11 nie czynimy zadnyeh zastrzezen, to wynika stad potrzeba nadania znaczenia pierwiastkowaniu i w tym przypadku, w kt6rym warunek powy2szy sit nie spelnia. To prowadzi nas znowu do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do tworzenia liczb niewymiernych, przyczem r6wnanie 6. mo2e stuzyc za formalne ich okreslenie. Rownanie 5. stanowi przypadek szczegolny r6wnania algebraicznego og6lnego, to te2 liczby niewymierne, okreslone formalnie za pomoca takiego r6wnania, zawieraja si wv pojecin og61niejszem liczb algebraicznych. Logarytmowanie jest dziataniem, za poroca kt6rego wyznaczanmy liczbQ x, czyniaci zados6 rownaniu wykladniczemu 7. n12 _ — ni. Liczba x nazywa sie logarytmem liczby n1 przy podstawie n9 i oznacza sie w ten spos6b: x = log" n21 Wstawiajgc to oznaczenie w 7., otrzymujemy r6wnosg 8. log2 =11, 122 - 11 71

Page  54 54 C'/ESC I. I;OZDIZIAL 1. kt6ry imo2e by uwazany za okreslenie logarytmu i logarytlnowania. Jezeli n1 i n12 s liczbami szeregu 1., to na x otrzymujemy tylko wtedy liczbe szeregu 1., jefeli n1 r6wna sie liczbie n2 lub jakiejkolwiek potcdze [z wykladnikienm bedacym liczba szeregu 1.] liczby.12 Jezeli wiec co do n1 i n2 nie czynimy zadnych zastrze2zei, wynika potrzeba nadania logarytmowaniu znaczenia w przypadku, w kt6 -ryin warunek powy2szy nie spelnia si9. To prowadzi do nowego uog6lnienia pojecia liczby, do tworzenia liczb przestqpnych [transcendentalnych]. Poniewaz r6wnanie 7. stanowi tylko jedni z postaci, jaka przybierac mogq rownania przestepne, wiec definicya formalna, zawarta we wzorze 8., daje tylko specyalna klas~ liczb przestCpnycli, klase logarytm6w. Z dotychczasowego przedstawienia widac jasno, 2e proces liczcnia, podnoszac sig na coraz wvysze stopnii, prowadzi do trzech dzialaii prostych: dodawania, mno2enia i potegowania; odwr6cenie zas zagadnielnia zawartego w dzialaniach prostych, prowadzi do czterech nowych dzialafi: odcjmowaliia, dzielenia, pierwiastkowania i logarytmowania, i zarazei wywoluje potrzebe rozszerzenia dziedziny pierwotnej, zawartej w szeregu 1. Odwrocenie zagadnien, zawartych w dzialaniach prostych, jest myslab tw6ocza, ktora stwarza nowe dziedziny badania. Przekonamy sie niejednokrotnie, ze ten sam )pomysl w innych galtziach Matematyki, a glowvnie w teoryi funkcyj eliptycznych i hypereliptyczlyclh, stal sic p1odstawav znakornitych odkr-y i uogolniem'i. VW wa2anym obecnie przypadku mamy do czynienia z zagadnieniami najprostszemi, bo z najprostszemi polaczeniami liczb, wchodzacemi do uwa2anych dzialai'. Przy polaczeniach bardziej zlo2onych, utworzonych z rozmaitych kombinacyj powy2szych dziataii, dochodzimy naturalnie do zagadniel' odwrotnych ogolniejszycll, i dlatego podane przez nas wy6ze nowe dziedziny liczb nie wyczerpuja catej rozmaitosci nowych form liczbowych, do jakich prowadzq, dzialania matematyczne. Z siedmiu opisanych dzialtai, cztery, a mianowicie dodawanie, odejmowanie, mno2enie i dzielenie, nazywamy dzialaniami zasadniczemi albo arytmetycznemi dla tego, 2e stanowih one przedmiot Arytmetyki elenentarnej, kt6ra obejmuje dziedziny liczb calkowitych i utamkowych, z wylaczeniem [dla wzglcd6w dydaktycznych] dzie

Page  55 10] LICZnY NADSKOrCZONE. 55 dziny liczb ujemnych, uwzglednianej dopiero w Algebrze elementarnej. Dolaczajac do powyzszych czterech dzialani jeszcze podnoszenie do potgg calkowitych i wycilganie pierwiastkow o wykladniku calkowitym, otrzymamy szesc dzialaii elementarnych, stanowiacych podstawt dzialan algebraicznych. Zawarta w tym i w poprzedzajacym artykule teorya dzialafi zawiera tylko zarys ogolny, w ktorym, opierajac sit na szeregu podstawowym 1., podalismy zasadnicze wlasnosci dzialai', ich zwiqzki wzajemne i wskazalismy zr6dlo, z ktorego pochodzi potrzeba rozszerzenia pierwotnej dziedziny liczb calkowitych oraz znaczenia dzialani. Pozostaja atoli do rozstrzygnigcia pytania wazne, a mianowicie, w jaki sposob wskazane uogolnienia urzeczywistnic, czyli innemi slowy, jakie wlasnosci nadac nowym formoml; czy i w jaki spos6b rozszerzenia, wskazane w r6znych kiernnkach, to jest z r6 -2nych pochodzace dzialan, lacza si~ ze soba w jednt organiczna calo6c, wreszcie jaka rozmaitosc form wydaja kombinacye dzialain? Czytelnik przewiduje, ze w tych pytaniach mieszcza sic doniosle zagadnienia nauki o liczbach. Zanim wszak2e do rozwiazania tych pytali przejdziemy, musimy jeszcze raz zastanowic sit nad wylo2onemi wyzej prawami, okreSlajacemi wlasnosci dzialan zasadniczyclh, i, wziawszy je za punkt wyjscia, zbadac konsekwencye, do jakich prowadza. Stanowic to btdzie przedmiot nastcpujaeego rozdzialu o teoryi dzialaii formalnych, w kt6rej formy, podlegle dzialaniu, bedziemy uwa2ali w calej ogolnosci, nie przywiazujac do nich zg6ry charakteru liczb calkowitych6. 10. LICZBY NADSKONCZONE. Elozwa2ania nad naturq liczb, podane w art. poprzedzajacym, mo2na uogolnic, zakladajqc, %e mnogosc przedmiot6w, z ktorej za pomoca abstrakcyi dobywamy pojccie liczby, jest nieskoniczona. O nieskoniczonej mnogosci przedmiotow nie mo2e nas przekonac doswiadczenie: w nieskoiczonosci widzimy przedewszystkiem tt wlasnosc zasadnicza, jaka posiada szereg liczb calkowitych. 1. '1, 2, 3, 4...n,n,.... w ktorym od ka2dcgo dowolnie wielkiego wyrazu n mo2zeny przejsc do nastepujcego n + 1 w taki sam spos6b, w jaki przechodzimy np. od 1 do 2. W tem posuwaniu si coraz dalszem wv szeregu na

Page  56 56 CZES6 I. ROZDI)ZrL 1. [10 szym lie napotykamy 2adnej przeszkody, 2adnej sprzeczno~ci z prawami logicznego myslenia. Podobnie rzecz sie ma nietylko z szeregiern 1., ale i z wielu innemi szeregami np. z szeregiem liczb parzystych: 29, 4, 6.... z szeregiem liczb nieparzystycl: 1, 3, 5... z szeregiem ulamk6w: 1 1 1 * 1- 2'1 ' 4 Takich przykladow w dziedzinie badaii matlmatycznych napotkamy wiele w cigu dalszego wykladu. Ta wlasnosc szeregu 1. i innych podobnych "urzeczowiona,,, ze tak powiemy, lub przeniesiona do dziedziny przedmiotow, stanowi o nieskoficzonosci rozmaitosci lub mnogosci. [Pojeciem nieskoiiczonoSci i rozmaitemi jego odmianami, tak waxnemi w Matematyce, zajmiemy sie szczeg6lowo w tomie drugim; tu idzie nam gtownie o wyprowadzenie pojecia liczb nadslkofizonych, majacychl charakter liczb calkowitych]. Jeeli powiemy, 2e liczba wyraz6w szeregu 1. lub liczba elenent6w pewnej mnogosci jest nieskonczonq, to uzywamy wyrazu liczba w ziaczeniu rozszerzonem. Liczba ka2da, odpowiadajaca skoliczonej muogosci przedmiot6w, jest zupelnie oznaczong, i mozemy od niej za pomoca skoniczonej liczby dzialail elementarnych cofnqc siq do pierwszego wyrazu szeregu; tego samego nie mozemy wszak2e powiedziec o liczbie nieskoiczonej, bo odejmiuja od( niej kolejno po jednosci, nie dojdziemy po skoniczon6j liczbie dzialani do 2adnej liczby okreslonej. Wyrazenie przeto "liczba nieskoliczona,, jezeli nazwe liczby chcemy tu zachowac, oznacza liczbc, znajdujaca sie na kresie procesu mysli, wytwarzaj'cego szereg 1.; pojecie jej jest pojeciem granicznem, w kt6r6mr proces ten, jakkolwiek wyobra2alny tylko w znaczeniu dowolnego przedluzenia, uwazamy za wyczerpany; nieskoiiczono6s jest tu niejako gotowq, urobiona w pewn5 formn, jest nieskoiiczonoscia, jak jq nazywa C a t o r, "bezwzgldne,, lub wtasciwl, aktualna; jest liczba po za wszelk, liczba skoiiczona, lub, inaczej m6wi'c, jest pierwszq liczba nadskohozonq (transfinite Zahl) catkowita o. Liczba ta stanowic moze poczatek nowcj

Page  57 101 I,ICZBY.NAISKO.N-CZONE. 57 rozmaitosci liczb, w taki sam sposob, w jaki liczba 1 stanowi poczatek szeregu liczb calkowitych skoiczonych. Nasttpujace po o) liezby nadskoliczone btda )o+1, (o+2, wo+3, +4,... Jezeli do tego szeregu zastosujemy ten sam proces mysli, jaki stosowalismy do szeregu 1., dojdziemy do liczby 2o, po kt6rej nastepuj2w(+l, 2co+2, 2co+3, 2+4... Proces, prowadzacy od liczby, zawartej w kt6rymkolwiek z powy2 -szych szereg6w, do liczb innych w tym2e szeregu, nazywa C a n t o r pierwszqa zasadq tworzenia liczb; proces zas, prowadzacy od liczby co do 2ow, nazywa drugq zasadq. Skombinowane zastosowanie obu zasad tworzenia prowadzi do kolejnych szereg6w 3co, 3co-+1, 3o) +2, 3co-+3, iuc, uo +1,,ua +2, u +3. po ktorych znow dalszy proces daje nam liczby Ao 3 +,aw + v i og6lniej liczby postaci Vo wto + v,1 Ot-1 +... + V-1 0 + V,. Lecz i tu proces tworzenia liczb nie konezy sic, bo prowadzi do liczb nadskoliczonycl (OQ it. p. Tworzeiiiu liczb nadskoriczonych w dalszym ciagu nic nie staje na przeszkodzie; zdaje sie, wszak2e, 2e proces ten gubi sie w gltbiach nieskonczonosci, nie prowadzac do scisle okreslonych dziedzin badania. Tak jednak nie jest, jezeli przy tworzeniu nowych liczb uwzglednimy warunek, nazwany przez C a n t o r a trzecia zasadq, zasada regulujca [Hemmrungs oder Beschrirnkungsprincip 1, kto6r zaraz przedstawimy. Uczynimy tu uwage, ze teorya C antor a podlega og6lnej zasadzie zachowania, kt6ra przedstawilismy we wstepie [str. 27-32]. Zasade regulujac stanowi wlasnie zastosowanie poje

Page  58 58 Ct' k. 1. ROZ,)ZTAI, 1. [10 cia niezmiennika danej mnogosci nieskoiczonej, podobnego do pojecia niezmiennika, stosujacego sie do mnogosci skoiiezonych. Niezmiennik ten, kt6ry Cantor nazwal najprzod mocq (potega, Macchtigkeit, puissance), a p6oniej liczbq kardynalnq, danej mnogosci odpowiadajaca, powstaje przy pomocy tej samej abstrakcyi, przez kt6rl w mnogosci skolezonej dochodzimy do pojecia liczby skoi'czonej. Jezeli mianowicie w danej rozmaitosci albo mnogosci M, skladajacej si9 z oznaczonych i dobrze wyroznionych przedmiot6w konkretnych lub z pojc6 abstrakcyjnych, kt6re nazwiemy elementami mnogosci, odwr6cimy uwagg tak od natury element6w jako te2 od ich porzadku, to dojdziemy do okreslonego pojecia ogl6nego [universale], kt6ry nmo2na nazwac moc mnogosci M, albo odpowiadajaca j6j liczba kardynalna. To ogolne okreslenie liczby kardynalnej obejmuje w sobie pojicie liczby skoiiczonej i nadskoliczonej; daj4 si9 z niego wyprowadzic, jak to pokazujemy w przypisach, ogolne prawa dzialaii, odnoszace sic dojednych i drugich, jako tez r6ioice, charakteryzujce oba rodzaje liczb. Pr6cz pojecia liczb kardynalnych utworzyl jeszcze Cantor pojtcie typow lub liczb porzqdkowych, nazwanych tak dla tego, 2e xv procesie abstrakcyjnym, o kt6rym mowa wyzej, ie odwracamy ju2 uwagi od porzadku element6o7. () szeregu tyin m6wi K e r r y, Ueber Anschiauniig i t. d. [1. c., str. 324], ze jest uielosdcia miarowa przyrodzona [natiirliclle \[assvielheit) do mierzenia wszystkich innych wielosci, podobnie jak nasze oko, nasze ucho, nasze organa dotyku, nasza pami96 sa przyrodzoneii wzorcaii do miierzenia dtugogci. ( pojecin liczby calkowitej traktuje obszeriiie F r e g e w pracy, I)ie Grundlagen der Arithmetik, eine logislch-niatlheintischle Untersuclhlng fiber den Begriff der Zahl, 1884. K r o n ec k e r, Ueber den Zahlbegriff... 1. c. str. 342.: Suma z1oZona z dw6ch liczb mo2e by6 utworzona 2 sposobami, z trzach liczb-18-ma, z czterech-264-ma, z piecin —5400-ma, z szesciu 141840-ma sposobami. Toz samo stosuje sie i do mnnozenia. 4 Nazwy praw przemiennosci, lacznosci i rozdzielnosci podajemy w nawiasach po angielsku dlatego, ze one rozpowszechnity sig najwczesniej w literaturze ancielskiej, jakkolwiek pierwszy i trzeci terilin wprowa

Page  59 IERZYPISy. 59 dzit do nauki prawdopodobnie S e r v o i s w r. 181. P(orownl. H a n k e l, ITeber die complexen Zahlensysteme str. 3. Powtbrzenie potegowania prowadzi do dzialani a at a a a a... i t. d. kt6re uwazaja niekt6rzy za nowe dzialanie, za "czwarty stopien,, dziaI}a. Wszakze dziatanie to jest malego uzytku i malo zbadane. Por6wn, artykul E. S c h u 1 t z e g o, Die vierte Rechenstufe [Archit, der Mathematik wid Physik, 2 ser. IX, zeszyt 3, 1890, str. 320-326]. '; W r o ii s k i [Introduction, str 6. i 7.] dzieli dzialania, opisane w art. 8 i., kt6re [za wytaczeniem logarytmowania] nlazywa algorytmaminpierwotnema, lna trzy klasy, z kt6rych kazda znowu dzieli siq na dwie galtzie prosta 1[progressive] i odwrotna [regressive]. Podzial ten przedstawia nastepujaca tabliczka: Stumowallie proste: Dodawanie, [Soimination] odwrotne: Odejmiowanie. Reprodlukcya proste: Mnozenie, Reprodlcytion [Reproduction] odwrotne: Dzielenie. Stopniowanie proste: Potggowanie, [Gradatiioi] odwrotne: Pierwiastkowanie. Reprodukcya uvwaza W r o ii s k i za alogorytmi posredni miedzy sulmo waniem i stopniowaniem, algorytny zas pierwotne sumowania i stopniowania nazywa "biegunami intelektualnemi,, pozilania w zastosowaniu do form algorytmicznych. W snmowaniu czesci wielkosci uwaia za przerywaue, majcce charakter agregat6w [per juxta positionem]l, w sumowaniu za ciagle, w pewnej Inierze za intensywne i majace charakter wielkosci wzrastajzcych lper intus susceptionem]. Te dwie funkcye maja, wedlug niego, kazda swoje prawa specyalne; sa one zupelnie r6znorodne i niepodobna jedn6j z nich wyprowadzid z drugiej. Pierwsza jest oparta na prawach budujacych rozsadku [Ilois constitutives de l'entendement], druga na prawach regulujacych rozumu [lois regulatives de la raison]. Neutralizacya tych dw6ch funkcyj intelektualnych daje funkcya posrednia, a mianowicie algorytm reprodukcyi, kt6ry z metafizycznego punktu widzenia odnosi do zdolnosci sadzenia [Ifaculte du jugemient]. Dajemy tu kr6tki wyklad teoryi liczb kardynalnych i porzadkowych, opierajac sie gl6wnie na dw6ch pracach C a n t o r a: Grnndlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, 1883 i Zur Lehre vom T'ransfiniten Erste Abtheilung, 1890. loriwn. takze artykuly tegoz w Acta Mlathematica. TT. 1883.

Page  60 60 cCZFS I. ROZDZIAL I. Dwie oznaczone mnogosci 31 i 3il nazywaja si~ rdvnowaznemi, co wyraiamy przez M/~ l, jeieli mozna je przyporzadkowa6 wzajemnie tak, aby kaidemu elementowi pierwszej odpowiadla jeden oznaczony element drugiej, i odwrotnie. Jezeli 1M ~ M1 i M3 ML, to wynika stad,.e 31 -~ M,. Przi/klady. MInogosc barw teczowych [czerwona, pomnaraniczowa, 6olta, zielona, blgkitna, niebieska, fioletowa] i mnogosc ton6w gamy [C, D. E. F, G, A, H] sa mnogosciami r6wnowainemi: obie podchodza pod poj?cie og6lne siedm. Mnogosd palc6w oba rak i mnogoos punkt6w w tak nazwanym tr6jkacie arytmetyczlym sa r6wnowazne. Liczba kardynalna, im odpowiadajacC jest d:iesi~c. Mnogosc nieskoiczona (v) wszystkich liczb calkowitych szeregu 1. [str. 55.1 jest r6wnowaina: mnogosci wszystkich liczb parzystych, mnogosci wszystkich liczb nieparzystych, mnogoSci (ll+ —i) wszystkichliczb zespolonych calkowitych,+-]i, gdzie i i v przyjmuja niezaleznie od siebie wszystkie wartogci calkowite. Wszystkie te innogosci sa zn6w r6wnowanue mnog osi ( wszystkich liczb rzeczywistych —, gdzie It i v sa liczbami wzgl dnie pierwszelni, iiawet mnog'osc wszystkich liczb a]lgebraicznych jest rwnowowana kazdej z powyzszych mnogosci. [Porown. art. 14.]. Oznacza to. ze wszystkie nieskonizone mnogosci, o kt6rych tu mowa, moina przystosowac do szeregu 1. w spos6b, wyzej podany. Przeciwnie, mnogosci wszystkich liczb rzeczywistych Ft. j. liczb wymiernycll, niewymiernych, algebraicznych i przestepnychJ, jak tego dowiio(l C a in t o r, Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlein [Journal fiur die reine end angewandte Iathematilk, LXXVII, 1874, str. 258]. nie jest r6wnownwana mnogosci ('). [Mozemy tez wsponnie6 tu o waznem twierdzeniu C a n to r a, ze rozmaitosc n-wymiarowa ciagla, nwazana jako rozmaito6s punktbw jest r6 -wnowazna continuum linearnenu. [Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre Journ../: die reine u. ang. Mathem. LXXXIV. 1878, str. 242.] 1 Z poprzedzajacego wynika, ze mnogosci r6wnowazne maja moc albo liczbe kardynalna r6wna i ze naodwr6t mnogosci o r6wnej liczbie kardynalnlj sa r6wne. Jezeli wiec 1M ~ Mll, to lM~ M- i odwr otnie. Tu przez M1 i Mi oznaczamy liczby kardynalne. Jezeli dwie dane mnogosci nie sa r6wnowazne, to musi zachodzi6 jeden z dw6ch nastepujqcych przypadkow: 1-o mozna z Nwydzielid czesd skladowa N7, aby bylo 31M A'; 2-o mozna z M3 wydzieli6 czec6 skladowa A'

Page  61 PRZYPrSr. 6'1 aby bylo M1" N. W pierwszym przypadku mowimy, ze 1 jest mniejsze od N, w drugim: M jest wigksze od N. Muogodc, powstata z potaczenia mnogosci M i N, —na porzadek polaczenia nie zwracamy tu uwagi-oznaczamy przez M+- N. Jezeli mamy dwie inne mnogosci M' i N' tak, ze M X M', N N', to S+ N -Mt+NT. Na t6en twierdzeniu opiera si9 okreslenie sumy dwoch lub wiecej liczb kardynalnych. Jezeli a = M, b =N, to przez a + b rozumiemy taka liczbQ kardynalna, ktbra odpowiada mnogosci M+-N, to jest a -b = 1 - 1A Prawo przemiennosci a-b=b-+-a i prawo tacznosci a-+-(b-c)(a+-b)+-c wynikaja tu wprost z uwagi, ze liczby kardynalne,juz ze wzglgdu na sam akt abstrakcyi, przez ktbry powstaja, sa od porzadku element6w niezalezne. Jezeli M i N sa dwie mnogosci, to przez M. N rozulniemy trzecig muogo6d, powstajqca z mnogosci N w ten sposbb, ze na miejsce kazdego pojedyficzego jej elemelntu kladziemy mnogosc r6wnowazna mnogosci M — porzadek elementbw tu hie ma wplywu. - Wszystkie mnogosci M i N, otrzymane wedlug tego sposobu, sa r6wnowazne, a liczba, im odpowiadajaca, jest ab — MN. Z tego okreslenia wynikaja z tatwoscia: prawo przemiennogci ab -ba, prawo tacznosci a. (b.c) (a b)c oraz prawo rozdzielnosci a (b - c) ==a b +- a c. Wszystko, co wyzej powiedziano, odnosi sig zar6wno do mnogosci i liczb skoiczonych, jako tez do liczb i mnogosci nieskoficzonych. Dla mnogosci skoliczonych moina dowieSd, ze gdy z trzech liczb kardynalnych a, b, c jedna jest rowna sumie dwoch drngich np, a-+ b- c, to liczba c nie moze by6 rowna zadnemu ze skladnik6w. Jezeli wszakze pominiemy warunek skoiczonosci, to twierdzenie to przestaje bye prawdziwem, i w tem tkwi, jak twierdzi C a n t o r, glboka i istotna roznica pomiedzy liczbami skioiczonemi i nadskoiczonemi. )la liczb nadskoiczonych stosuja sig twierdzenia a v - a, a. v a, a'r. = a gdzie v jest liczba skoiiczona, a zas liczba nadskoficzona. Opr6cz pojecia liczby kardynalnej wprowadza C ant o r do swojej teoryi pojecie liczby porzadkowej [Ordnungszahl], ktbre rozwija w najnowszej swojej wyzej cytowanej pracy. Aby pojgcie to uzasadnid, trzeba najprz6d poznad, co C a n t o r rozumie przez pojgcie mnogosci dobrze uporzadkowanej.

Page  62 62 C.ES' 1. ROZI).IA1 I. Mnogoscia dobrze uporzadkowana nazywamy kazda okreslona mnogosc kt6rej elementy sa zwiazane z soba pewnem z g6ry okreslon6m prawem nastepstwa, wedlug kt6rego pewien element mnogosci jest pierwszym, po nim [o ile on nie jest ostatnim] nastepuje okreslony drugi, i wog6le po kazdej skoficzonej lub nieskoiiczonej mnogosci element6w nastgpuj e element rozmaitosci zupelnie okreslony. 0 takich rozmaitosciach czyli mnogosciach mowi6 mozna, ze sa odliczalnemi [abzahlbar] jedna na drugiej. Takiemi rozniaitosciami sa np. (a, a', a") i (b, i/, b") (a, a', alt)... a',)...) i (b, bt, b"... b5 )...) (a, a, a"... a(').. c, c', c") i ( f, 6', b"... b(').. d, d, d 1") Pojpcie mnogosci dobrze nporzadkowan6j daje sig uog6lnid w spos6b nastqpujqcy: Wyobrazamy sobie, ze mnogosc dobrze uporzadkowana sklada sie z element6w E, E, E"..., kt6re sa uporzadkowane w n r6onych niezaleznych kierunkach [bierzeny tu pojecie kierunkn w znaczeniu ogolniejszem od geometrycznego]. Nazwijmy te kierunki 1-ym, 2-gim,... v-yn,... a sama mnogo6s nazwijmy n-krotnie uporzadkowana. Wprowadimy nastepujace oznaczenia: Jeieli E i E' si jakiekolwiek dwa elementy mnogosci M, to pomigdzy niemi w kazdym z n kierunk6w istnieje okreslony stosunek polozenia [ein bestimmtes Rangverhaltnissl, do oznaczenia kt6rego uzyjmy znak6w <, =, >. Jezeli v jest jedna z liczb 1, 2. 3,., to w kierunkn v-ym zachodzi jeden z trzech przypadk6w E <E 1 E --- E, E >E'. Dla rozmaitych kierunk6w stosunek ten moze b)y taki sam. jak dla kierunku v, lub r6ony. Jeieli E, ', E," sa jakiekolwiek trzy elementy rozmaitosci.l i jezeli w kierunku v-ym zachodza zwiazki E<E' i E'<1E" to w tym samym v-ymi kierunku musi by6 E < E", przyczem r6wnods zachodzi w ostatnim zwiazku tylko wtedy, jezeli zachodzi jednoczesnie w obu zwiazkach poprzednich. Przy takiem zalozeniu, dana n-krotna rozmaito6s albo mnogosc nazywa sie nporzadkowana w n kierunkach porzadkowych 1, 2, 3,. n-ym. Jako przyklady podobnych rozmaitosci stuzyc moga: trojkrotnie uporzadkowana mnogo6s punkt6w w przestrzeni odno.nie do ukladu trzech osi prostokatnych; dwukrotnie uporzadkowana mnogo6s pnnkt6w plaszczyzny odnosnie do ukladu dwoch osi prostokatnych; utw6r muzyczny [melodya, symfonia i t. p.], bedacy mnogoecia ton6w czterokrotnie upo

Page  63 PRTZYPISY. 63 rzadkowana ze wzglgdu na nastgpstwo ton6w w czasie, ich trwanie, wysokosd i nateienie, i t. d. Jeieli w takiej oznaczonej n-krotnie uporzadkowanej mnogc sci M odwrcilny uwage od istoty element6w, przy zachowaniu zwiqzk6w ich poloienia w n r6inych kierunkach, powstanie w nas obraz intelektnalny, pojecie ogolne, kt6re C an to r nazywa typem porzadkowym [Ordnungstypus] albo tez liczba idealna, odnoszac~ si9 do danej mnogosci [tych liczb idealnych nie nalezy mieszac z liczbami idealnemi K u n m er a, o kt6rych m6wic bedlziemy w czgsci drugiej niniejszego tomu] i oznacza ja przez M. Pojedyficzym elementom E. E', E" mnogosci Ml odpowiadaja w jej typie porzadkowym M same jednosci e-1, e==l, e"-l..., ktbre r6 -znia sig tylko wzajemnem polozeniem w Ml ich zwiazki sa takie same, jak zwiazki pomigdzy elementami mnogosci M. Tym sposobem n-krotny typ porzadkowy jest niejako liczba calkowita n-wymiarowa, jest organiczn6m skupieniem jednosci, uporzadkowanych w n r6inych kierunkach. Typ porzadkowy nazywa Cantor czystym, jezeli kazde dwiejednosci tego typu e i e' maja przynajmniej w jednym z n kierunk6w polozenie r6 -zne; w przeciwnym razie typ nazywa nieszanyn. W typie mieszanym jednosci tacza sig w oznaczone grupy, tak, ze jednosci, nalezace do jednej i tej samej grupy, maja we wszystkich kieerunkach polozenie jednakowe i zlewaja sie w jedn9 liczb ekardynalna, gdy jednosci, nalezace do grup r6 -znych, przynajmniej w jednym z n-kierunk6w maja polozenie r6zne. Typ mieszany powstaje z oznaczonego typu czystego, je2eli w tym ostatnii zamiast jednosci podstawimy pewne liczby kardynalne. Dwie mnogosci Mi NV, n-krotne uporzadkowane, nazywaja sie podobnemi, je2eli mozna je wzajemnie przyporzadkowac w ten spos6b, aby, gdy E i E' sa dwoma elementami pierwsz6j mnogocei, F i F' - odpowiedniemi elementami drugi6j, to dla v - 1 2, 2,.. n polozenie elementu E wzgldem E' w kierunku v-ym jest w rozmaitosci M takie same, jak poloienie F wzglgdem F' wewnatrz rozmaitosci N. Podobiefistwo takich dw6ch mnogosci oznacza6 bgdziemy przez M _ N. Dwie n-krotnie uporzadkowane mnogoesi maja wtedy i tylko wtedy jeden typ porzadkowy, je2eli sa podobne, i odwrotnie. Jest tedy M —;N, jezeli A! N i odwrotnie 3I NS, jezeli M-= V. Typem porzadkowym danej mnogoeci n-krotnej M jest wigc to pojecie og6lne, pod kt6re podpadaja mnogos6 M i wszystkie jej podobne. Z podobiefistwa mnogosci M11 i N wynika ich r6wnowaznosd; odwrotnie wszak2e, z r6wnowaznogci dwoch mnogosci nie mozna wog6le wnosid o ich podobieistwie. Mozemy przeto wypowiedzie6 twierdzenie: Jezeli

Page  64 64 CZI6, I. O1/I)ZIAL I. dwie mnogosci dobrze uporzadkowane maja ten sam typ porzadkowy, to maja i jedne liczbe kardynaln1; t. j. jezeli M=1 A, to M1= N. Tak wiec liczba kardynalna czyli moc mnogosci M jest jednoczesnie liczba kardynalna jej typu porzadkowego M i powstaje z tego ostatniego, jezeli oderwiemy uwage od polozenia jego jednosci. Jezeli a jest znakiem dla typu porzadkowego M, to a jest znakiem dia liczby kardynalnej M. Stosownie do tego, czy liczba kardynalna mnogosci jest skoficzona lub nadskoficzo na, i sama mnogosd oraz jej typ porzadkowy nazywamy skniiczonym lub nadskonczonym. Typ n-krotny a sklada sig z pewnych jednosci e, e', e"..., majacych oznaczone polozenie w n kierunkach. Jezeli wezmiemy pod uwage tylko pewna cz9c6 tych jednosci, to okresli ona pewien typ r, kt6ry mozna uwaza6 za czesc "przygotowana,, [mozliwa, virtuell] typu a. Kazdy typ c. sklada sig z takich typ6w przygotowanych, 7', y"..., kt6re w czesci znajduja sie jeden zewnatrz drugiego, w czgsci zachodza wzajem na siebie. Rozpatrzmy dzialania elementarne, wykonalne na dwoch takich typach a i. Wyobrazmy sobie dwie mnogosci M i N o typach M =a i N=-3 i utw6rzmy z nich nowa uporzadkowana mnogod6 M+ N pod nastepujacemiwarunkami. Elementy M niechaj maja wewnatrz M —+Nto samo polozenie w n kierunkach, jakie mialy w M, podobniez elementy mnogosci N niechaj maja w M-+ N wzglgdem siebie to samo polozenie w n kierunkach, jakie mialy w N, wreszcie niechaj w M-l+ N wszystkie elementy mnogosci N maja w kazdym z n kierunk6w polozenie wyzsze od wszystkich element6w mnogosci N. Wszystkie mnogosci M + N, czyniace zadosc tym warunkom, sa oczywiscie mnogosciami n-krotnie uporzadkowanemi i podobnemi, i okreslaja ten typ, kt6ry nazywamy a 4-. Mamy wiec a + M- N, gdzie a nazwijmy dla odr6inienia skladnikiem pierwszyml [augendus], F skladnikieln drugim [addendus]. Stad wynika latwo stosowalno6s prawa lacznosci a+(S + T)=(a ) +-* Prawo przemiennosci w og61nosci sie nie stosuje, gdyz a +- 3 i 1q+ a sa r6znemi typami. Zauwazmy jeszcze. 2e liczba kardynalna sumy a +- P r6wna sie sumie liczb kardynalnych odpowiadajacych typom a i [, Dla otrzymania iloczynu a. P, wyobraimy sobie mnogosc n o typie P, tak ze N=, i oznaczmy elementy, z kt6rych sklada sig N, przez F1. F2,... F... Niechaj dalej M, M,,... Me. beda mnogosci typu a, tak ze

Page  65 PRZYPIiY. 65 MI = M2.... M)-... == a. Odwzorujmy wzajemnie te mnogosci, tak ze E1,1, E1,2.... E,,.... beda elementami mnogosci M,, E2,1, E2,2.. E!l...., M, A, EZ.,1, E).,2... EA,f...... AM1,..................... El1,,, E2,....E., [ = 1, 2... sa odpowiadajaeemi sobie elementami mnogosci M,, M2,... M... Utw6rzmy nowa mnogosd MN z mnogosci N w ten sposob, ze w miejsce element6w F1, F2, _... F... podstawiamy odpowiednio M1, M2, A... M.., przycz6m wzajemno6s polozenia podlega6 ma nastgpujacym warunkom: Wszystkie elementy E,,,, E~, jednej i tej samej mnogosci Mkz maja wewnatrz MN zachowa6 wzglgdem siebie to samo polozenie, jakie mialy w MX; dla dw6ch element6w E,, i E,,' nalezacych do r6inych mnogosci MX i MX naleiy przyjac nastepujace rozr6onienie: 1.) Jezeli F, i FT maja wewnatrz N w kierunku v-ym polozenie r6ine, to wzajemne polozenie element6w E,,, i E,,y, wewnatrz MN w kierunku v-ym ma by6 to samo, jakiem jest polozenie element6w F, i FA w rozmaitosci N w kierunku v-ym; 2.) Jezeli F, i F) maja wewnatrz N w kierunku v-ym polozenie jednakowe, to polozenie Ex,, wzglgdem Ex,,, wewnatrz MN w kierunku v-ym ma byd takie, jak polozenie E,,, wzglgdem E,,,u, wewnatrz 1,,, albo, co na jedno wychodzi, jaki6m jest polozenie Ez: wzglgdem E.,,' wewnatrz MA w kierunku v-ym. Wszystkie mnogosci MN, utworzone wedlug tego przepisu, sa podobne, iloczyn zas, im odpowiadajacy, ap okresla sie w ten spos6b: a.= MNV gdzie a nazywamy czynnikiem pierwszym [mnoina], - czynnikiem drugim [mnoznikiem]. Stosuje sie tu prawo lacznosci a. (~.;)= (a. [) a., gdy tymczasem a. P jest w og6le r6one od. a. Prawo rozdzielnosci. (+r)- + = -1-. r ma tu miejsce. Liczba kardynalna iloczynu dw6ch typ6w r6wna sig iloczynowi liczb kardynalnych czynnik6w, t. j. a3==a. '. Z danym typem n-krotnym a zwiqzane sa scisle inne typy, kt6re nazywamy sprzfzonemi. Pojjcia, T. I. 5

Page  66 66 czBg6 i. ROZDZIAL I. Mozna wzajemnos6 polozenia wlasciwa typowi a przemieni6 w ten spos6b, ze polozenia wzajemne jednosci e, e', e"... w kierunkach p-ym i v-ym przestawiaja sie, w innych zas kierunkach pozostaja bez zmiany. Takich przeksztalcefi, kt6re nazwa6 mozna przestawieniami ze wzglfdu na kierunki JL-y i v-y, jest oczywiscie n (n-1)/2, a wszystkie one, kolejno stosowane, daja wraz z typem danym wog6le 1.2... n typow sprzezonych. Jezeli odmienimy typ a przez to, ze odwr6cimy polo2eniejednosci w jednym v-ym kierunku, t. j. jezeli polozenie jednosci e i e' w nowym typie bedzie takiem, jakiem bylo polozenie jednosci e' i e w typie dawnym, to przeksztalcenie takie nazwad mozna odwlr6ceniem. Takich odwr6cef jest n, a kolejne ich stosowanie daje wraz z typem danym 2n typow r6onych. Wszystkich typ6w r6inych sprzezonych z danym bedzie zatem wog6le 2.n.1.2... n. C antor zajmuje sie jeszcze zagadnieniem o oznaczeniu liczby wszystkich typ6w porzadkowych danej liczby m, po rozwiazanie kt6rego odsylamy czytelnika do drugiej z cytowanych prac lub do rozprawy H. C. S c h wartz a, Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen, 1888. Teorya C an t o r a, kt6rej zarys przedstawilismy, zawiera w sobie cenne zadatki przyszlego rozwoju. Pomysly w niej tkwiace, stosowat Cantor juz wczesniej do badania rozmaitosci punktowych [mowid o nich bgdzieiny w tomie drugir], gdzie doszedl do wynik6w bardzo waznych dla teoryi funkcyj. Nauka juz teraz z tych pomysl6w czerpie pozytek, przedewszystkiem zas wplyn9ly one na poglebienie i udokladnienie badain analitycznych.

Page  67 ROZDZ IAL II. TEORYA DZIAELAN FORMALNYCH. 11. TEORYA GRASSMANNA I HANKELA. Tw6rca teoryi dzialani formalnych jest wlasciwie H. Grassm a n nl, rozwinal zas i uprzystgpnil j a szerszym kolom H a n k e 1. Jest ona urobiona na podstawie dzialan z liczbami calkowitemi, o ktorych mowilismy w rozdziaie poprzedzajicym. Lecz teorya dzialaii, przywiqzanych do dziedziny specyalnej, nie uwidocznia nalezycie zwiqzk6w og6lnych, jakie pornicdzy dzialaniami, niezaleznie od istoty form im poddawanych, istnieja; nie pozwala przeto oddzielic wyraznie tego, co charakteryzuje dana dziedzinQ. Zadanie to spelnia teorya dzialaii formalnych, ktbrq stosowac mozna do rozmaitych ukladow form. O tem, jak rozumiec nalezy r6wnolls form, inowilismy juz we wsttpie [str. 10.1; co sie zas tyczy dzialail czyli potczeni, to uwazacje nalezy zapewien proces mysli, za pomoca kt6rego od dwoch lub witcej form danych przechodzimy do formy nowej, zwanej wynikiem poltczenia. W jaki sposob polaczenia sit odbywajq, tego zgory nie rozstrzygamy, badamy tylko prawa polaczeri. W przedstawieniu tej rzeczy pojdziemy przewaznie za Hankelem, zmieniajac nieco znakowanie i uzupelniajac niektore punkty teoryi2. Niechaj a, b, c... przedstawiaja formy, ktore zamierzamy poddac rozmaitego rodzaju polaczeniom czyli dzialaniom. Dzialania te

Page  68 68 czSA6 1. RO%)ZDIA, In. [11 maj. posiadac pewne wlasnosci formalne, stanowiace okreslenie kazdego z nich i wyr6oniajace jedne od drugich. Polaczenie dwoch form oznaczac bedziemy najczesciej za pomoce symbolu A (a, b) lub tez V(a, b). W przypadku, gdy dzialaf r6znych bedzie wiec6j, pisae btdziemy A1 (a, b), A2 (a, b)... V (a, b), '2 (a, )....; A (a, b, c) oznaczac bgdzie polaczenie trzech form, V (a, b, c, d)polaczenie czterech form i t. d. Znaczenie polaczeni trzech i wiekszej [skonczonej] liczby form bcdzie dopiero ustanowione i wyjasnione po ustanowieniu prawidel dla polaczefi dw6ch form. R6wnanie A (a, b) = oznacza6 ma, ze wynik polaczcnia form a i b jest pewn% forma c. Podobniez r6wnanie V (a, b)- d oznacza, ze wynik innego polaczenia tych samych form jest pewnq forma d, r6wn5 formie c lub roz6na od niej. Niechaj bcda dwa dziatania A i V. Zastosujemy pierwsze do dw6ch form mn i n, drugie do form a i b, i niechaj bedzie A (m, n) p V (a, b)= c. Miedzy temi dwoma dzialaniami ustanowimy zwiazek nastepuj cy: jezeli w pierwszem z r6wnal' zastqpimy m przez c, n przez b, to p r6wnac sie bedzie a. Zalozenie to daje sic wyrazi6 w ten spos6b: 1. A [V (a, b), b] = a i okresla zwiazek, zachodzacy miedzy formalnemi dzialaniami A i V, lub okresla dzialanie V, gdy dane jest dzialanie A. Obok tego zwiazku przyjmijmy jeszcze, 2e dzialania A i V se jednowartosciowe, co ma oznaczac, ze jeeeli dzialanie np. A(a, b) doprowadza raz do wyniku c, drugi raz do wyniku c', to formy c i c' s4 tozsamosciowo r6wne. Toz samo rozumie sie o dzialaniu V(a, b). Z tych dw6ch zalo2efi daje sie wyprowadzic nowa wlasno6s naszych dzialani, wyrazajqca si9 nastgpujtacem twierdzeniem:

Page  69 11] TEOKYA GRASSMANNA I 11ANKELA. 69 "Jezeli w dzialaniu A (a, b) lub V (a, b) pierwsza forme zmienimy, druga zas pozostawimy bez zmiiny, to wynik dzialania zmienic sie musi,,. W samej rzeczy, niechaj bedzie V (a,b)=c, V(a',b)= c' gdzie a' ro6ne od a; twierdzimny, ze c' musi by6 r6one od c. Gdyby bowiem c' r6wnalo si9 c, mielibysmy V (a', b) V (a, b), a laczac obie strony z forma b za pomoca dzialania A: [V (a', b), b] A [V(a, b), ]; Stosujqc wreszcie do obu stron wz6r zasadniczy 1., otrzymalibysmy a - a, co sig sprzeciwia zalo2eniu. Wynika stad, ze rownanie V (x, b) moze miec tylko jedno rozwiazanie, kt6re mo2emy znalezc, laczac obie strony z forma b za pomoc dzialania A. Otrzymujemy wtedy na zasadzie wzoru 1. cc = A (C, b) a wstawiajac znalezionawartosc do poprzedniego r6wnania, zwiazek 2. V[A (, b), b] - c, analogiczny ze zwiazkiem 1. i okreslajacy dzialanie A, gdy danem jest dzialanie V. Na podstawie zwiazku 2. mozemy dowiesc, ze gdy a jest r62ne od a', to i A (a, b) jest r6ine od A (a', b). Za okreslenie dzialaii A i V przyjlismy zwiazek 1. i jednowartosciowosc obu tych dzialaii; stad wyniklo powy2sze twierdzenie i zwitzek 2. Oczywista, 2e gdybysmy zamiiast r6wnania 1. przyjcli za podstaw9 r6wnania 2., to przyszlibysmy do r6wnania 1.,jako do wyniku tego przyjecia oraz jednowartosciowosci obu dzialai'. Mo2na zreszta uczyni6 i inne zalo2enia, np. przyjqc za okreslenie dzialan zwiazek 1. i zalozyc, 2e jedno z dzialain A i V jest jednowartosciowem i posiada wlasno wo, wyrazona powyzszem twierdzenienl; wyniknie stad zwiazek 2. oraz podobna wlasnosc drugiego z dziatlai.

Page  70 70 CZE6 I. ROZDZIAL II. [11 Dia rozszerzenia naszych dzialani na wieksza liczbe form, za1ozmy, ze do dzialania A stosuje sie prawo lqcznosci. Jezeli mamy trzy formy, to prawo to wyraza, 2e otrzymamy jeden i ten sam wynik, laczac pierwsza forme z wynikiem polaczenia drugi6j i trzecie6j czy tez tqczac wynik polaczenia pierwszej i drugiej formy z forma trzecia. DzialaniaA, posiadajace podobna wlasnosc-i tylko takie dzialania-nazywac bgdziemy prostemi. Dzialania V, zwiazane z takiemi dzialaniami A na podstawie rownan 1. lub 2., nazywac bedziemy odwrotnemi. Wlasno6s lacznosci przedstawic mozemy za pomoca wzoru 3. A [a, (b, c)]= A [A (a, b), c]. Przez A (a, b, c) rozumiec bedziemy kt6rekolwiek z tych dw6ch r6 -wnych sobie wyrazeni 3. Przy takiem zalozeniu, moina juz dowie6s, ze prawo lacznosci stosuje sie do dzialania prostego nad czterema i wiec6j formami. W samej rzeczy, na zasadzie r6wnania 3. mamy A[a, A(b,c,d)] =A{a,A[A(6,c),d]}= AA[a. A(b,c)]d}= A[a,A,(^,),dj i takze A[a, A (b, c, d)] = A {a, A [b. A (c, d)] -- A [A (a, b), A (c, d)]. Kazde z tych szesciu r6wnych wyrazeni nazwiemy polaczeniem A (a, b, c, d). W podobny sposob okreslic mozna polaczenie jakiejkolwiek [skonczonej] liczby form. Do wszystkich tych polaczefi stosowac sie musi prawo ItcznoSci, je2eli zalozymy, ze ono stosuje sit do trzech form, i jezeli pollczeniem n form nazwiemy polaczenie jednej formy z wynikiem polYczenia n-1 pozostalych. Okresliwszy dzialania proste lacznosciowe, podamy wynikajace z okresleni tych twierdzenia, wyrazajace wlasnosci naszych dziataii. Wlasnosci te wyrazic sie daja nasttpujaqcemi trzema wzorami: A la,V(,c)l - V[A(a. t). c| 4. V[a, A(c, ) — V (V, ), 'l jA(a.c),b6 V [a,V(b, c) Pierwsza tych wlasnosci dowodzi sie w spos6b nastepujacy. Niechaj bedzie., — \[a, (.c

Page  71 11] TEORYA ORASSMANSNA I HANKELA. 71 Polqczywszy obie strony z forma c zapomoca dzialania A, otrzymamy A (x, )= A ( la, V (1b c)],c,} A {a, A lA (b, c), } A(a,b); stad V [A (x, C), c] = [A (a, b), c], [A(a, b),c], czy li A [a, V (b, c)J = V [ A (a, b), cl c. b. d. o. Drugq wlasnosc oka2emy, zakladajac XI V [V (a, b) c]. Polaczenie obu stron z forma c za pomoca dzialania A daje A (', c) a {V[V (a, b), c], c} = V(a, b), skad A [A (', c, ] - A [V (a, b), b] = a, a wigc takze A[L,A(c,) b= a, Polqczywszy obie strony z forma A (c, b) za pomoca dzialania V otrzymamy v=' V|a, A (c, b) czvli V V(a, b), c] = V[a, A (c, b)] c. b. d. o. Dla okazania trzeciej wlasnosci pol6omy "' == V[A(a,c),b] i polyczmy obie strony z forma b za pomocg dzialania iA: A (i, b) =A {VI(a, c,), hi, z} =A(a,c).

Page  72 72 czISs I. ROZDZIAL U. [11 LaZczac obie strony z forma c przy pomocy dzialania V, otrzymujemy na podstawie pierwszej dowiedzionej ju2 wlasnosci A [x", V (b, c)1 a; wreszcie laczac obie strony z forma V (b, c) za pomoca dzialania V, otrzymujemy X= V[a (,,c) czyli V [A (a, c), b = V a, V b, c). c. b. d. o. Z jednowartoseiowosci dzialani A i V wyprowadzilismy wlasnos6, 2e gdy w kazdem z tych dzialani druga forma zostaje stahl, pierwsza zas zmieniamy, to i wynik polaczenia zmienia sie. Teraz przyjmujemy, ze dziatanie A (a, b) jest zupelnie jednowartosciowem, t. j. ze wynik jego zmienia sig takze, gdy pierwsza forma pozostaje stala, druga zas ulega zmianie. Przy taki6m zatozeniu, z r6wnania A (a, b') = — A (a, b) wniesc nalezy, 2e b' = b. Z zupelnej jednowartosciowosci dziatania A wynika, jak o tem latwo przekonac sie mozna, zupelna jednowartosciowo6s dzialania V. Okreslmy forme m, ktorej polaczenie za pomoca dzialania prostego A z forma jakakolwiek a, niechaj daje wynik rowny formie a. Forme, majaca tg wlasnosc, nazywac bgdziemy inodwlemn dziatania A. [Gr a s s m a n nazywa j "forma obojetna,,]. Okreslenie modulu zawiera sig w r6wnaniu 5. 5 (a,m) = a. Poniewaz na zasadzie prawa lacznocei: A [a, A (m, b) - A [A (a, mi), hJ, przeto na podstawie 5. bedzie A [a, A (m, b)] A(a, b), a 2e dzialaiie A jest jednowartosciowem, otrzymujemy zatem 6. (m,b) =b. R6wnania 5. i 6. wykazuja, ze porzadek, w jakim przy pomocy dzialania prostego laczymy forme z modulem, nie ma wplywu na wynik dzialania.

Page  73 11] TEORYA ORASSMANNA I HANKELA. 73 Zbadajmy teraz wynik dzialania odwrotnego V (a, m); w tym celu polz6my x V(a,m) i polaczmy obie strony z modulem m za pomoca odpowiedniego dzialania prostego A; bedzie tedy (x, m) -= A [V (a, m), n]. Stosujac do strony pierwszej rownanie 5., do drugiej zas rownanie 1., otrzymujemy 7. x = (a, m) a, Wz6r ten wyra2a, 2e laczac jakakolwiek forms z modulem, jako format druga, za pomoca dzialania odwrotnego, dochodzimy do wyniku r6wnego formie danej. Z r6wnania znow 2., gdy w niem forme c zastqpimy modulem m, otrzymujemy V[A(m, b), b] = m, a wiec na zasadzie wzoru 7. 8. V(b,b)= m. Wzor ten wyra2a, 2e modut dziatania A uwazac mozna za wynik dzialania odwrotnego V, wykonanego na dwoch jakichkolwiek formach r6wnych. Formg, okreslona za pomoca dziatania V(m,b), nazywa6 bgdziemy formni odwrotna wzgleden formy, A(mn,b) r6wn6j b; oznaczamyja dla kr6tkosci przez b,,,, tak ze 9. V(m, b)= b,, jest okresleniem formy odwrotnej. Z tego okreslenia wynika, ze formac odwrotna wzgledem formy b,n jest forma b. W samej rzeczy, (bin,,= 7 V (, m, bn) V [m, V(m, b)] = V[A (m, b), m1 =V (b, m) — b. Wprowadzenie form odwrotnych daje nam moznosc zamiany dzialania prostego na odwrotne i odwrotnego na proste. Istotnie, pierwsze i trzecie z r6wnafi 4., gdy w nich polozymy b = m, daja

Page  74 74 C7ZFC6 I. ROZDZIAL 1I. [11 10. A(a, c,) — V(a, c); A(a,c) V(a, cm). Dotad badalismy wlasnosci dzialal', oparte na prawie lacznosci; teraz zbadajmy wnioski, jakie wynikna z zalozenia, 2e dzialania proste ulegaje prawu przemiennosci, kt6re wyraza sie wzorem 11. A(a, )==A(b,a). Przy takiem zalozeniu, wzory 1. 2. 4. przechodza w nastgpujace. 1'. A [b. V (a, b),] = a. 2'. V[(b, c), b.] = c. AV (b, c), a =V[A(b,a), e 4'. V [a, A (b, c)| = V [V (a, b), c] V [A (c, a),b] - [a, V (b, c)]. Do tej pory uwa2alismy jedno dzialanie proste A i odpowiadajace mu dzialanie V. Przejdzmy teraz do ustanowienia zwiazkow miedzy.dwoma r6znemi dziataniami prostemi. Niechaj beda dwa dzialania proste i laczne A1 i A2, polaczone ze soba nastepujacemi rownaniami: A. [IAi (a, b), C] = A [A2 (a. ), 2 (?, c), 1i2. A2 [a, A1 (, d)] A [A2 (a, c). A2 (a, d)], wyraZajacemi prawo rozdzielnosci. Dowiedziemy, 2e jedno z tych dzialaii, a mianowicie dzialanie A1, jest przemienne. W tym celu, w pierwszem z r6wnani 11. zastapmy c przez A, (c,d), w drugiem a przez A1 (a, b), otrzymamy wtedy A-. I A,2 (a, b), A1 (c, d)] A1 {As I a, A1 (c,d)], A2 [b, A1 (c, d)]} A2 [A1 ta b), A1 (c, d)] A1 {A, [A1 (a, ), c] A2 [L1 (a, b),d]} Z r6wnosci pierwszych stron tych wzorow wynika rowno6s stron drugich: A1{A2[a,Al (c,d)].A [b, (cd)]}=-1 A2 [A1 (a,b),c ],2[A1 (a, ),d]} Przeksztatcajae stront pierwsza tego r6wnania przy pomocy pierwszego z r6wnaiI 11., druga zas przy pomocy drugiego z tych r6wnaii, otrzymamy A, {A [A2 (a.c), A. (ad)], Ai[d (,C) A (bd)]} -A1 {A1 [A9 (a,c), A., (/,c) 1| A1 I A, (ad), A. (b,d)]}.

Page  75 11] TFORYA GRASSMANNA I HANKELA. 75 Poniewaz dzialanie A1 jest laczne, przeto r6wnanie to napisac monna pod postacia A1 [2(a2(a,),a A2bc),,A(b,dj] =A1 A2(a,c).A2(b,c),A2(a,d),A2(b, d)] Obie strony rboniaq sie tu tylko porzadkiem wyraz6w; kladqc wigc dila skr6cenia A2(a,c) =P A(a, d) =q,, (b, c), A 2(b, d)=s i stosujac do r6wnania A, (Pj, q, r, s) = 1 (p.. q7, s) prawo tacznosci, mozemy napisac A1 [A1 (p q. r),] s 1 [ (P, r, q), s, skad, z przyczyny jednowartosciowosci dziatania Al, otrzymujemy 1 (, q, r) = i (p, r, q) co moina napisac pod postacia A1 [p, A1 (q, r)] A1 [P, Ai(r, q)]. Stad tez, z powodu jednowartosciowosci dzialania A1, otrzymujemy Al (q, r) A1 (r, q), co dowodzi przemiennosci dzialania A1. Wazne to twierdzenie w teoryi dzialaii formalnych mozemy wyrazic w spos6b nastcpuijcy: "Jezeli dwa r6kne dzialania jednowartosciowe i taczlie sa zwiezane z soba prawem rozdzielno.ci, to wtedy jedno z nich musi by6 przemienne,,. W podobny spos6b mo2naby dowie6s, ze dzialanie A, jest przemienne, jezeli czyni zadosc nastepujacym dw6m zwiazkom A[ A,9 (a, b), c] = A9 [A1 (a, c), A1 (b. c), A1 [a, A2 (c, d)] = A, [ (a, c), A (a,d)]. Zwiazek, wyrazony og61nie r6wlnallicl 12.,obejmuje w sobie zwiazek, zachodzacy miedzy dodawaniern i mnozeniem liczb; wynika z niego, ze prawo rozdzielnosci, wiazaece mnozenie i dodawanie, pociaga za soba przemiennosc dodawania, je2eli zaloymny, ze oba dzialania sq jednowartosciowe i laczne, Przemiennos6 zas mIlnoenia nie jest koniecznym wynikiem tego zalozenia; istotnie, m!oze

Page  76 76 cz1f6 1. lOZ)zIAF. 1I. [11 nie, jak to przekonamy sie na przykladach w rozmaitych dziedzinach, moie nie bye przemiennem 3. Wlasnosci formalne dzialai' A1 i A2 oraz zwiazek 12. pomitdzy niemi nie wystarczaja wszakze do zupelnego okreslenia dodawania i mnozenia w kaidej specyalnej dziedzinie, wymagajqcej jeszcze odpowiedniego ustanowienia w niej znaczenia dodawania. Moiemy wyprowadzic wz6r analogiczny do wzoru 12., a wyraiajqcy zwitzek miedzy dzialaniem A2 i dzialaniem odwrotnem Vl. W samej rzezy, wedlug okreslenia tego dzialania, mamy A1 [V1(a, b), b] = a; laczac obie strony z forlia c za pomoca dzialania A2, otrzymujemy A2{ A1 V1 (a, b), b] c,}= A (a, c). Do strony pierwszej mozemy zastosowac pierwszy z wzor6w 12., zasttpujqc w nim a przez V1 (a, b), otrzymamy wtedy l {A,2 L l (a, b),c], A2 (b, c)) - A,(a,c) Lgczac obie strony z form A,2 (b, c) za pomoca dzialania odwrotnego V1, miec bgdziemy po redukcyi 12'. A2 [TV (a, b), c] - 1 I A, (a, c), A, (b, c)] c. b. d, o. Dziedzina form a, b, c,... iad kt6remi wykonywainy dzialania proste, zawiera wedlug naszego zalozenia, wszystkie wyniki dzialai prostych A (a, b), A (a, b c)... Wykonywajac w niej i inne dzialania proste 2 (a, b), A3 (a, b)..., przyjmowalismy, ze wyniki tych dzialaii do naszej dziedziny naleza, a r6wnania takie jak 12., okreslaja zwiazki, zachodzace pomicdzy dzialaniami prostemi i 1 A2. Zwi4 -zek pomitdzy trzema dzialaniami prostemi jednowartosciowemi A2, A2, A3, mo2e mie6 np. postac nastepujqcv A2 [A3 (a, b), A3 (a, c) A3 [a, A1 (b, c), przy zalozeniu,ze wyniki dzialania A prowadzt do form, nalez2cych do dziedziny pierwotn6j; ju2 z tego zwiazku wniesc mo2na, ze dzialanie A3 wzglddem form b i c jest przemiennem, jezeli dzialania Al i A, sS przemiennemi. Rozmaitosci podobnych zwiazk6w nie podobna z g6ry wyczerpac: kazde badanie specyalne nasuwa je umyslowi. Najprostszym bylby taki system form, w kt6rym wszelkie wyniki

Page  77 1 i] 'TFORYA GRASSMANNA I IIANKELA. 77 dzialai prostych i ich kombinacyj dajaq sie przedstawi6, jako wyniki jednego dzialania prostego A, stosowanego do form pierwotnych. Taki system stanowia dodawanie, mnozenie i potegowanie w ukladzie liczb calkowitych. Co sie tyczy dzialail odwrotnych, to zwiazek ich z odpowiedniemi dzialaniami prostemi okreslamy za pomoca wzor6w 1. i 2. Jezeli wyniki tych dzialani nalez% wprost do form badanych, to wykonywanie dzialaii prostych nad niemi podlega prawom, wyzej przedstawionym; jezeli zas te wyniki nie znajdujl sig w dziedzinie pierwotn6j, to r6wnania powyzsze okreslaja nowe formy, kt6re do tej dziedziny wcielamy. Powstaje tedy pytanie, w jaki spos6b wykonywac nale2y polaczenia form dawnych z nowemi i nowych pomigdzy soba. Zasada zachowania uczy nas, jak nale2y postapic; wedlug jej wymagaii, winninmy polaczenia nowych form z dawnemi i nowych pomigdzy soba okreslic w ten spos6b, aby one czynily zadosc tym samym wlasnosciom formalnym, jakim czynia zadosc dzialania na formach pierwotnych. Niechaj V (a, b), V (c, d) oznaczaja formy dawne; na podstawie r6wnail 4. otrzymamy z tatwoscia wzdr 13. A[V(a.b), V(c,d)] = [A(c.a), A(db)], kt6ry przyjmujemy za okreslenie dzialania prostego i w przypadku ogolnym, t. j. i wtedy, gdy jedna lub obie formy V (a,b),V (c,d) nie znajduja sie w dziedzinie pierwotnej. Ze zwiazku 13. wniesc mozna, ze dzialanie proste nad nowemi formami: 1-o jest przemienne, 2-o jest taczne. Zbadajmy jeszcze dzialanie odwrotne, wykonane na dwoch formach nowycl V (a, b) i V (c, d); w tym celu po6lomy V IV (a, b) (c, d)] = =, gdzie,v niechaj bedzie wynikiem dzialania V (y, z), w kt6rem y i z sa formami dziecziny pierwotnej. Laczac obie strony z forman V(c,d) za pomoca dziatania A. otrzymujemy na zasadzie wzoru 13. V(a, b) = V [ (y,c), (,d)]. Aby z tego r6wnania wyprowadzic zwiazek miedzy formami szukanerni y i z a danemi, zauwazmy, 2e z r6wnania

Page  78 78 74^6 1. LOA/DZ1A IL [11 T [A (a, u), A (b, u), = A [V (a, b), V (, u ), w zalozeniu, ze r6wnania, okreslajace modul dzialania, odnosza sit do form jakichkolwiek, nowych czy dawnych, otrzymujemy V [A (a, u), A (b, u)] V (a, b). Telmu rownaniu uczyni sit zadosc, gdy zalozymy a= A (a, u), b = A (b,). Wog6le staje sie zado6s r6wnaniu V (e,f) (q, h), gdy przyjmiemy A=)(e, u A, h (fu). Stosujac to do r6wnania V (a, b) (y,c) A (z, d), otrzymujemy A (y, c) a= (a,, a (z, c) - A (b, u), skid dochodzimy do rozwiazan y=V[A (a, u), cl, z=V[ (b, ), d, kt6re mo2na przedstawic pod postaciq y = A[ a, V (u, c) l. z A/ [^,V (u, d,], gdzie u jest formb dowolna. Jezeli w szczegolnosci wezmiemy takJ formt u, aby bylo V (u, ) =d, t. j. u - A[V(uc), = A(d,c), to otrzymamy Y = (a,), z-A(zbc) co wskazuje, 2e formy y i z, przy powy2sz6m zalozeniu o wlasnosci modulu; zawsze znaleci mozna, ze przeto forma =V (y, z) = V[A (a, d)A(b, c)] zawsze znajdzie sie w dziedzinie uzupelnionej form dawnych i nowych. Wykazalismy tym sposobem, ze uzupelniona dziedzina jest wystarczajaca i po wlaczeniu w zakres badania dzialail odwrotnych

Page  79 11] TEORYA GRASSMANNA I HAIKELA. 79 pomiedzy formami nowemi; czyli innemi slowy, ze dziedzina form dawnych i nowych miesci w sobie wszystkie mozliwe wyniki dziaIan, jakie otrzymujemy przy aIczeniu jej form za pomoca dzialal A i V. Toz samo powiedziec mo2na o kazdej innej parze dzialani. Przy stosowaniu teoryi formalnej do poszczegolnych rozmaito~ci, trzeba przedewszystkiem okreslic, co w tych rozmaito~ciach przyjmujemy za dziedzing form pierwotnych czyli element6w. Okreslenie to wyraamny, wskazujac proces, za pomoca kt6rego przechodzimy od clementu do elementu w danej dziedzinie, a nastgpnie badamy, czy istnieje dla tych form dziatanie proste, majqce cechy zasadnicze dodawania. Po znalezieniu dodawania, badamy, czy istnieje inne dzialanie proste, zwiqzane z poprzedniem za pomoca rownan 12. Niekiedy przyjtcie podobnego rownania dla przypadkow szczeg6lnych pozwala juz na uog6lnienie, gdy sit uwzgldni istote badanej dziedziny. Po okresleniu wlasnosci dzialail prostych, przechodzimy do dzialan odwrotnych, kt6re za pomoc4 znanych r6wnan okreslamy i ktorych wyniki sposobem wyzej opisanym badamy. Teorya powyzsza stosuje sie do dzialaii elementarnych i do ich kombinacyj, przy zalo2eniu, 2e tak liczba elemeut6w jak i dzialai', kolejno stosowanych jest skoi'czona. Kolejne stosowanie dzialani do element6w danych prowadzi do pewnych form liczbowych, i dla tego teorya dzialaii stanowi istotna podstawt rachunku elementarnego takicl form liczbowych, jest podstawq Arytmetyki i Algebry. Przypadki, w kt6rych liczba element6w i liczba kolejnych dzialaii, lub jedna i druga sag nieskoclzone, nalea w ogole do dziedziny Analizy wyzszej. Wreszcie teorya dzialaii moze byc rozwinitta i w innym kierunka, wyplywajacym ze spostrzezenia, ze pojecie dodawania i mnozenia mozna objac w jednem pojgciu dzialania prostego, ktoremu, jeSeli z gory nie zakladamy przemiennosci, odpowiadaja dwa dzialania odwrotne. Ta droga poszedl S c h r 6 d e r, ktoremu zawdzitczamy pierwsze w tym kierunku badania 4. Przedstawimy tu zastosowanie powy2szej teoryi do dziedziny liczb calkowitych, to jest do szeregu 1, 2, 3,4.. ktbrego wyrazy otrzymujemy kolejno w nastepujacy spos6b 2 = 1 + 1, 3-2 + 1,...

Page  80 80 CZFS6 I. ROZDZIAL I1. [11 tak ze w ogolnosci liczba, bezposrednio nastgpujqaca po liczbie n, jest r6wna n+-1. Proces ten, za pomoca kt6rego przechodzimy od elementu do elementu, jest szczeg6lnym przypadkiem dzialania zasadniczego dla naszego szeregu. Dzialanie to, dodawanie, okreslamy za pomoca r6wnan a + (b + 1) = (a + b) + 1 a+ -l 1 + a [porown. art. 8.], ktore nazwijmy pewnikami dodawania [H elmh olt z nazywa pierwsze z nich pewnikiem Gr a s s m ann a] 5. Dzialanie odwrotne, odejmowanie, okreslamy za pomoca rownania odpowiadajacego r6wnanliu 1. la. (a-b)+ b =a Dodawanie jest jednowartosciowem, bo jezeli a+ -b doprowadza raz do sumy c, drugi raz do sumy c', to wedlug pierwszego pewnika tego dzialania musi bye a + (b + 1) = c + 1 =c' +, std oczywiscie wynika c = c'. Stad na zasadzie wylo2onej teoryi wynika, 2e jezeli w dzialaniu a + b lub w dzialaniu a - b zmienimy pierwsza liczb} a, to wynik dzialania zmienic sie musi, a wiec.i r6 -wnanie - b = c moze miec jedno tylko rozwiaqzanie. Zwiazkowi 2. odpowiada w naszym przypadku zwiazek 2 a. (a + b) - b = a. Rownaniu 3. odpowiada r6wnanie 3 a. a + (b - c) = (a + b) + c, wyrazajace prawo lacznosci. Wynika ono z pierwszego r6wnania, okreslajgcego dodawanie. W samej rzeczy, zakladajac, ze wz6r 3 a sprawdza sie dla danej liczby c, mo2emy stwierdzi6, ze sprawdza sie i dla liczby c +1, gdy2 na zasadzie pierwszego pewnika mamy a + [(b+c) + 1] = La + (b + c)] + 1; kladac po stronie drugiej w miejsce pierwszego wyrazu jego wartos6 z r6wnania 3a, a nastgpnie stosujac znowu pierwszy pewnik dodawania, otrzymujemy: a + [b + (c+1)] = (a + b) + (c + 1),

Page  81 11] TEORYA GRASSMANNA I HANKELA. 81 a poniewaz r6wnanie 3a jest oczywiscie prawdziwem dla c= 1, wigc jest prawdziwem dla c = 2, 3..., t. j. ogo6nosd jego jest stwierdzona. Rownaniom 4. odpowiadajq nastgpujace: a + (b - c)= (a + b)-c 4 a. a- (c + b) (a- b)-c (a + c)-b= a- (b-c) Miodulem dodawania, okreslonym za pomocar6wnania 5., jest zero, czyniace zados6 r6wnaniu 5a. a- 0 = a, skid wynika: 6 a. 0 + b b, 7a. a -O a, 8a. b- b 0. Zero, r6wne b-b lub 1-1, wprowadzmy jako nowa liczb9 do naszego szeregu, kt6ry tym sposobem bgdzie: 0, 1, 2, 3, 4... Formy odwrotne okrealamy za pomocq r6wnania, odpowiadajacego r6wnaniu 9., mianowicie za pomocq r6wnania 9a. 0 - b= b. Formy te nazywami liczbami ujemnemi i oznaczamy przez -b; szereg liczb ujemnych bcdzie: -1, -2, -3, -4... Rownaniom 10. odpowiadajq wzory 10 a. a +(-c)= a-c, a + c=a-(-c). [Liczbami ujemnemi zajmiemy si w rozdziale IV.]. Rownaniu 11., wyrazajacemu prawo przemiennosci, odpowiada rownanie 11a. a +b= + a, kt6re w naszej dziedzinie pierwotnej wynika bezposrednio z pewnieo~ia T.e, Pojecia, T. I, 6

Page  82 82 czS 1. ROZDZIAL II. [11 k6w dodawania. Z powodu przemiennosci dodawania, r6wnania 1', 2' i 4' przyjmuja obecnie postac: 1'a. b + (a —) =a. 2'a, a -- a =a (b-c) + a,-(b-+a) - c, 4'a. a - (b+c) = (a —b) — c, (c+a) - =a-(b-c). Mnozenie jest drugidm dzialaniem prostem A2, kt6re mozemy okreslic za pomoca zwiazku jego z dodawaniem, wyrazonego r6wnaniami 12.' Je2eli za znak dzialania A2 przyjmiemy kropko, to r6wnaniom 12. odpowiadac bcda zwiazki (a +1) ).c -a=. c + b.c a. (c + d) a. c + a. d. Wystarczy wszak2e do okreslenia mno2enia w naszym ukladzie przyjac prawo rozdzielnosci dla przypadku mniej ogolnego a.(c1) = a. c +- a i nastgpujace zalo2enie, dotyczace modulu mno2enia, ktorymn jest liczba 1., a mianowicie a. 1 = a. Z tych zalo2ei wynikaja ju2 wszystkie wlasnosci mno2enia. Okresliwszy jeszcze dzialanie odwrotne za pomoca wzoru, a, lb. -. b =a, b mo2emy z larwvoscia napisac nastppujace wzory, odpowiadajace wzorom, stosujqcym sie do dodawania i olejmowania: a. b 2b. ab =- a b 3b. a.(b. c) = (a.b). c

Page  83 ll 4b. TEORYA GRASSMANNA I HANKELA. b a.b c c a \b) c.b c a.c a 5b. odpowiada zalozeniu a. 1 = a 6b.,, 1. a - a a - a 1 b 83 7b. 8b. 9b. 1 - b Wz6r ten jest okresleniem liczby odwrotnej, zwanej tu ulamkowq. Szereg liczb ulamkowych [prostychl jest nastqpujacy: RI 1', at R6wnaniom 10. odpowiadajq nast~pujqce: lOb. 1 aC a a.e -— C c [Liczbami ulamkowemi zajmiemy sic w rozdziale III]. Wzory 5b. i 6b. wyrazaja w przypadku szczegolnym prawo przemiennosci, ktore latwo uogolnic. PrzemiennosC w przypadku dwoch czynnik6w przedstawia wz6r: lib. a.b — b. a, a stud wynikaj4 nastgpujqce wlasnosci: l'b. b. a=-a b 2'b. b.a ab b

Page  84 84 cz4S 1. 8OZDZIAL VII. b b.a C C c c ( ) a t bJ b.c c c,a a b b c [11 4'b. R6wnaniu 12'. odpowiada wz6r 12'b. (a-b).c = a. c-b. c, kt6ry dopelniamy, przyjmujae O.c- 0, a gdy zachowamy i dla tego przypadku prawo przemiennosci, c.O - 0. Ostatnia dwa r6wnania wyrazaja, ze jezeli jeden z czynnik6w jest zerem, to iloczyn jest zerem. Naodwr6t, iloczyn dwoch liczb moze bye zerem tylko wtedy, jezeli przynajmniej jeden z czynnikow jest zerem. Z powyzszych r6wnan wynika -- 0. c We wszystkich poprzednich wzorach dzielniki nalezy uwazac za liczby r6one od zera [dzielenie przez 0 na teraz z dziedziny dzialani wylaczamy]. Opierajac sig na powy2szych wzorach, mozemy jeszcze dowiesc r6wnosci nastgpujacych: a b a - b d d d 14. a c a.o b ' b.d a c a.d b d b.c Pierwsze dwa wzory mo2na rozszerzyc do trzech i wice6j skladnik6w lub czynnik6w.

Page  85 12] TEORYA DEDEKINDA. 85 12. TEORYA DEDEKINDA. W przedstawionej w poprzednim artykule teoryi dzialali, mysl podstawowi stanowilo 1tczenie form, naleizcych do pewnej dziedziny, wedlug praw, utworzonych na podobienistwo prawidel, jakim podlegaj dzialania na liczbach calkowitych. D e d e k i n d wystapil niedawno 6 z now4 teorya, kt6rej podstawg stanowi zasada odwzorowania, stosowanajuz przez nas w art. 9. do szeregu liczb calkowitych. Wedlug poglhdu D e d e k i n d a, liczby sa swobodnemi tworami ducha ludzkiego, sa srodkiem latwego i scislego przedstawiania rozmaitosci rzeczy; cala umiejttnosc liczb polega na zdolnosci umyslu do wzajemnego przyporzldkowania rzeczy, do ustanawiania pomiedzy niemi odpowiedniosci. Odwzorowanienz p ukladu element6w nazywa D e d e k i n d prawo, wedlug ktorego do kazdego elementu ukladu S nalezy przedmiot oznaczony s, nazwany obrazen elementu s, a ktory przedstawic mo2na pod postacig (p(s). Mowimy. 2e (p(s) odpowiada elementowi s, ze q((s) przez odwzorowanie (p powstaje z s, lub wreszcie, ze s za pomocq odwzorowania 9p przechodzi w qp(s). Przykladem takiego odwzorowania jest juz samo nadawanie nazw oznaczonych lub znak6w elementom ukladu; najprostszem zas odwzorowaniem jest to, przez ktore elementy ukladu przechodz4 same w siebie. Takie odwzorowanie nazywamy toisamosciowezm. Odwzorowanie nazywa sie podobnzem [wyrazinm], jezeli ro6nym elementom a i b ukladu S odpowiadaj4a zawsze obrazy r6one a'==-p(a) i b' =q(b). Poniewa2 w tym przypadku z rownosci s'=t' wynika odwrotnie r6wnosc s = t, zatem kazdy z element6w ukladu S' = (p(S) jest obrazem s' pewnego zupelnie oznaczonego elementu ukladu S. Odwzorowanie tedy, za pomoca ktorego od ukladu S' przechodzimy do ukladu S, jest rowniez podobnem. Oznaczmy je przez p, bgdzie tedy p(S') = S. Odwzorowanie, zoioone z odwzorowain ( i R9, a kt6re oznaczmyprzez 9pp, prowadzi do ukladu pierwotnego, jest wigc odwzorowaniem to2samosciowem. Dwa uklady R i S nazywajq sig podobnemi, jezeli istnieje takie odwzorowanie podobne T, Ze p(S) = R lub p(R) = S. Z tych okreslel' wynika, ze kazdy uklad jest podobny do siebie

Page  86 86 CZ]~6 I. ROZDZIAt II. [12 samego; ze jezeli dwa uklady R i S sa podobne, to ka2dy uklad, podobny do ukladu R, jest podobny do ukladu S. Na tej zasadzie mo2na wszystkie uklady podzielic na klasy. Do jednej klasy naleza wszystkie-i tylko te wszystkie-uklady Q,R,S,... kt6re sa podobne do jednego z nich R; ten uklad R mozna uwa2ac za przedstawiciela klasy. Je2eli R i S sa uktady, nale2zce do jednej klasy, to kazda cz6sc ukladu R jest podobna do pewnej czsci ukladu R. [Czgscia ukladu R nazywa sie uklad R', kt6rego kazdy element jest elementem uktadu R; czescia wlasciwq nazywa sie uklad R', jezeli przytem nie jest identyczny z uktadem R, to jest jezeli w R jest przynajmniej jeden element, ktorego w R' niema]. Je2eli stosuja c odwzorowanie [podobne lub niepodobne] (p do ukladu S, otrzymujemy uklad 9p(S), kt6ry jest czegcia pewnego ukladu Z, to 9(S) nazywamy "odwzorowaniem ukladu S w ukladzie Z,,. Odwzorowanie to mozemy wyrazic w ten spos6b Sp (S) 3 S gdzie znak 3 oznacza, 2e uklad pierwszy jest czgscia drugiego. Ka2dy uklad, kt6rego obraz jest czgscia samego ukladu, nazywa D e d e k i n d lancuchem [Kette]. Zwracamy uwage na to, 2e nazwa laiicucha stosuje sie do ukladu lub do czesci ukladu ze wzgledu na odwzorowanie oznaczone cp; przy innem odwzorowaniu uklad mo2e nie bye laiicuchem. Latwo dowiesc, ze obraz laiicucha jest takle laiicuchem, i, je2eli pewien uklad A jest czegcia laiicucha, to i obraz jego jest czescila tego2 lanicucha. Niechaj uklad A bedzie czscia ukladu S; wyobrazmy sobie wewnatrz S wszystkie laiicuchy, ktorych A jest czegcia. Uklad Ao, kt6rego elementami sa wszystkie elementy wspolne tym lailcuchom, jest oczywiscie sam laicuchem; D e d e k i n d nazywa go lancuchem ukladu A 7. Uklady bywaja4 skoiiczone i nieskoniczone. Uklad nazywa sic nieskofnczonym, gdy jest podobny do cztsci wlasciwej samego siebie; w przeciwnym razie jest skonczonym. Wynika stad, 2e kazdy uklad, skladajacy sie z pojedyniczego elementu, jest skonezony, bo nie posiada wcale czesci wlasciwej [inaczej m6wiac, czesc wlasciwa tego ukladu nie zawiera wcale elementow].

Page  87 12] TEORYA DEDEKINDA. 87 D e d e kin d dowodzi istnienia uklad6w nieskonczonych w nastepujacy spos6b: Swiat moich mysli albo og6o S wszystkich rzeczy, kt6re moga by6 przedmiotem mojego myslenia, jest nieskoiiczony. Gdy bowiem s jest elementem ukladu S, to mysl s', 2e s jest przedmiotem mojej mysli, jest takze elementem ukladu S. Jezeli s' bedziemy uwa2ali za obraz elementu s, t. j. za 9 (s), to odwzorowanie 9q(S), jakie tym sposobem otrzymujemy, ma te wlasnosc, ze obraz S' jest czescia ukladu Si mianowicie czeScia wlasciwq, bo w S zachodza elementy In. p. moje wlasne jal, kt6re sa r62ne od kade j tkimysli s', a wiec nie sa w ' zawarte. Dalej widoczna, 2e jezeli a i b sa r6 -znemi elementami ukladu S, to i ich obrazy a' i b' sq r6one, odwzorowanie p jest podobne, uklad S-nieskonczony y. Z poprzedzajaccego wynika: ze je2eli R i S sa uklady podobne, to R jest ukladem skoniczonym lub nieskoficzonym, stosownie do tego, czy uklad S jest skoiiczony lub nieskoficzony; ze ka2dy uklad, podobny do czetci ukladu skoiiczonego, jest sam skoiiczony. Uklad N nazywa sit pojedynczo-nieskoniczonym, jezeli istnieje takie odwzorowanie p, w skutek ktorego uklad N jest laiicuchem elementu, nie zawartego w obrazie (p(N). Ten element nazywamy elementem zasadniczym, oznaczamy go przez 1, i m6wimy, ze uklad pojedyiczo-nieskoniczony jest przez odwzorowanie p uporzqdkowanym. Warunki, ktorym czyni zadosc uklad pojedyficzo-nieskoliczony, mo2na w skroceniu przedstawic w spos6b nastepujacy: a. N 3 0, y. Element I nie zawiera sie w N', 6(. Odwzorowanie (p jest podobne. W kazdym ukladzie nieskoniczonym S zawiera sit jakozgsc uklad pojedyniezo-nieskofczony. W samej rzeczy, wedlug okreslenia ukladu nieskoliczonego, istnieje takie odwzorowanie 99, 2e qp(S) albo S' jest czgscia wlasciwa S, istnieje przeto taki element 1 w S, kt6ry nie zawiera sie w S'. Eanicuch N = i, odpowiadajycy temu odwzorowaniu ukladu S w samym sobie, jest ukladem pojedyliezo-nieskonczonym, uporzadkowanym przez odwzorowanie q. Je2eli w ukladzie pojedyliezo-nieskoliczonym, uporzadkowanym

Page  88 88 CZI^C I. ROZDZIAE 11. [12 przez odwzorowanie p, odwrocimy uwag~ od natury element6w i uwzglednimy tylko zwiazki, wynikajace z odwzorowania 99, to elementy nazywamy wtedy liczbami naturalnemi lub wprost liczbami, a element 1-podstawq szeregu liczbowego N. Zwiazki albo prawa, wynikajace z powyzszych warunk6w a, fi, y, 6, stanowia najbli2szy przedmiot nauki o liczbach czyli Arytmetyki. Wychodzac z tych okresleni wyprowadza D e d e kin d wlasnosci, dotyczace nastgpstwa liczb szeregu N [kazda liczba, nastgpujaca bezposrednio po liczbie n, jest jej obrazem n'], znaczenie liczb witkszych i mniejszych, liczb niewitkszych i niemniejszych od danej, wlasnosci ukladu Zn liczb niewigkszych od liczby n i t. d., a nasttpnie przechodzi do teoryi dzialali, ktora w streszczeniu daje si9 przedstawi6 w spos6b nasttpujacy. Niechaj bgdzie uklad Q zupelnie dowolny, kt6rego elementy nie koniecznie maja by6 zawarte w N. Niechaj x oznacza odwzorowanie tego ukladu w samym sobie, co-zas element oznaczony ukladu. D e d e k i n d dowodzi za pomoca indukcyi zupelnej, ze kazdej liczbie n ukladu N odpowiada jedno i tylko jedno odwzorowanie Vy, ukladu Zn [t. j. ukladu liczb niewigkszych od liczby n], czyniqce zado6s warunkom: I. n (Zn)3x, II. (1-()= o, III. n (t') = X t (t), gdzie t < n. [Z)n jest odwzorowaniem, zlozonem z kolejnych odwzorowaii $n i Xi. W podobny spos6b okazac mozna, ze istnieje odwzorowanie 99 ukladu N, czyniace zados6 warunkom: I. y(N)3 Q, II. y (l)= co, III. v(n') == (n) gdzie n jest liczb% dowolna. Dodawanie. Stosujac te twierdzenia do przypadku, w kt6rym Q jest ukladem nieskofczonym N, x(n) -= p(n) = n', a wigc I. (N) 3 N, moiemy dia zupelnego oznaczenia Iy przyjqc co = i; wtedy W ozna

Page  89 12] TEORYA DEDEKINDA. 89 czac btdzie oczywiscie odwzorowanie tozsamosciowe, gdy2 warunkom < (1) = 1, $(n') = q4(n) = cp(n) = [(n)]' staje sit zado6c, je2eli przyjmiemy Tp(n) = n. Je2eli chcemy mie6 inne odwzorowanie ukladu N, przyjmujemy za co liczbg r6ozn od 1, np. liczbt m' zawarta w V'. Oznaczmy obraz ((n) liczby n przez m+n i nazwijmy go sumq liczb n i n. Otrzymamy tedy wedlug twierdzeni powyzszych: II. m -+ = n' III. n+ n' =( +n)' Z r6wnafi tych wynikaja nasttpujace wlasnosci dodawania: m' + n (m + n', n' |- n =+ (7b +- n)' 1 +n -n' 1 +n =n+ 1, M + 71 - n + mr (I + m) + n = t + (m + n) nm + n > n. Mnoienie. Zal6omy Q- = N, X(zn) = m + n = n +- m; bgdzie tedy I. p (N) 3 I. Wybierzmy co =m, obraz t (n) oznaczmy przez mn i nazwijmy go iloczynem. Wedlug twierdzeni powyzszych btdzie II. m.1= m III. mn'-= mn+m, skad wynikaja nastepujaace wlasnosci mnozenia: in' ==m n - n 1 n n n n = nm min n +4- m 7 m + m

Page  90 90 CZ14Sk I. ROZDZ.tA II. [12 I(m + n)= Im + in (m, + n)I ml - nl (lm) n' -= (mn -+ mn) - I! m n'. Potfgowanie. Q = N, Z(n) an= na, a wiec I. v (NV) 3 N. Odpowiednie odwzorowanie y(n) oznaczmy przez a" i nazwijmy t9 liczb~ potfgq liczby a,n - wykadclnikiem potggi. Dzialanie nasze czyni zado6s warunkom: I. a= a II. a =a. a. a. a, skid wynikaja nastopujace wtasnosci: amuala -= a l a am+'. a _ (a". a)a (a"')" a""' (al" ) a7 _ a.6 W koncu podamy jeszcze twierdzenia D e d e k i n d a, w kt6rych uzasadnia pojgcie liczby [kardynalnej] elementdw danego ukladu. 1. Je2eli uklad Z jest nieskoliczony, to ka2dy z ukladow Z,, daje si9 odwzorowac w ukladzie Z za pomoca obwzorowania podobnego. 2. Uklad Z jest skoiiczony lub nieskoiczony, stosownie do tego, czy istnieje lub nie istnieje uklad do niego podobny Z,,. 3. Jezeli 2 jest ukladem skonczonym, to istnieje jedna i tylko jedna liczba n, ktorej odpowiada w ukladzie 2' uklad Z,; ta liczba stanowi liczbe [kardynalna] element6w ukladu. Wszystkie uklady, podobne do danego skoiiczonego ukladu, majj jedne i tz2samc liczbe kardynalna n. 4. Je2eli uklad A skiada sit z m element6w, uklad B z n elementow, przyczem A i B nie maja element6w wspolnych, to uklad AI(A, B), kt6rego kazdy element jest elementem albo ukladu A albo ukladu B, zawiera m - n element6w. 5. Kazdy uklad, zlo2ony z n ukladow skoniezonych, jest sam skoiiczony.

Page  91 12] TEORYA DEDEKINDA. 91 Teorya, kt6ra przedstawilismy w streszczeniu, nasuwa nastepujace uwagi: Odwzorowanie stanowi bezwatpienia dzialanie zasadnicze, bedlce podstawa tak liczenia jak i dzialani arytmetycznych; twierdzenia D e d e k i n d a, oznaczone wyzej przez I, II, III, ukazuj a wsp6lne zrodio tych dzialai w postaci scislej i wyraznej. Okreslenie szeregu liczb naturalnych, jako lanicucha elementu 1, charakteryzuje ten szereg wsrod innych szereg6w nieskoiiczonych i okresla zarazem jego znaczenie zasadnicze. Wreszcie twierdzenia o liczbie elementow ukladu wskazuja wyraznie, 2e liczenie jakiegokolwiek ukladu X jest oparte na odwzorowywaniu wzajemnem tego ukladu i ukladu Z. Teorya D e d e k in d a jest odmiennen rozwiniceiei tej samej mysli, ktbra kierowala badaniami G. C a ntor a, kt6ra ujawnia sie w rozwazaniach Kr o n e ck era. Uklady podobne pierwszego z nich-to uklady o r6wnej mocy drugiego lub uklady r6wnowa2ne trzeciego [porown. ni2zj str. 96.1. Ukazuj c nam liczby calkowite, jako formy szczegblne, wynikajace z pewnego rodzaju odwzorowania, teorya D e d e k i n d a zadawalnia w wysokinl stopniu upodobanie do og6lnosci w badaniach matematycznych. Uderzajacem w teoryi tej jest to, 2e uklady nieskoniczone zajmuja w niej niejako pierwsze miejsce, sa w niej pierwotnemi, bo po okresleniu ich nastcpuje dopiero okreslenie uklad6w skoiczonych. Dow6d wszakze istnienia uklad6w nieskoiiczonych niezupelnie nas zadawalnia. Punktem gl6wnym tego dowodu jest to, ze uklad S' jest czescia ukladu S, poniewaz w Sistnieja elementy jak np. moje wlasne ja, ktore sa r6one od kazdej mysli zawartej w S'. Ale zapytac mo2na, dlaczego by wlasnemu ja w ukladzie S nie miala odpowiada6 my~lo wlasnem ja w ukladzie S'. Naszem zdaniem, "istnienie,, uklad6w nieskonczonych, jak to juz powiedziano w art. 10., nie moie wyraac6 nic innego nad mo2nosc odwzorowywania kolejnego, bez 2adnych przeszk6d, albo moznosc liczenia tak daleko, jak chceny. Ta to mo2nosc w formie matematyczn6j przedstawia sie jako nieskoiiczonosc ijest zr6dlem wszelkich innych form, jakie za pomoca odpowiednich konstrukcyj tworzyc mo2emy i tworzymy w 5Iatematyce.

Page  92 92 CZgA6 I. ROZDZIAL n Gr a s s man n. Ausdehnungslehre... str. 1-14. 2 a n k e l, Ueber complexe Zahlensysteme str. 18-34. 3 N. T h i e 1 e w pracy, Analytiske Studier de rene Mathematiks Printiper [Tidskriftfor Mathematik, 1880], kt6rej tresc znamy tylko ze sprawozdania [Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik, XII, str. 46-48], poddal og6lnemu badaniu zwiazek, zachodzacy pomigdzy dodawaniem i mnozeniem, oparty na wzorach a+-b=c, ab- c, at+- c-, (a+-b)c a +-(b+-c), a+b= b +a, (a+b)c- ac bc, wyrazajacych jednowartosciowosc dodawania i mnozenia, odwracalnos6, ltcznos6 i przemiennos6 dodawania oraz rozdzielno6s mnozenia. Najog6lniejsze dzialania, czyniace zado6s tym zwiazkom, nazywa on "pseudodowaniem, i "pseudomnozeniem,, i oznacza pierwsze przez x # y=z, drugie przez x o y=z. Z badania, przeprowadzonego przez T h i e 1 e g o, wynika, ze obie funkcye suma i iloczyn zawarte sa4 w funkcyi exy+fx+gy +h axy + bx+ —cy+-d lub tez, ze pomiedzy x, y, z musza zachodzi6 r6wnania postaci f(z)= (x) / (y), F(z)= G (x) H(y), Z wzor6w, wyrazajacych wlasnosci dzialali, tylko wz6r, okreslajacy zasad9 rozdzielnosci, stanowi jedyna r6inice pomigdzy mnozeniem a dodawaniem; do zupelnego wszakze okreslenia mnozenia wzory powyzsze nie wystarczaja i potrzebn6m jest jeszcze twierdzenie a. a a4 - a... (n razy) = n.a kt6re dla "pseudodzialafi,, moze by6 przedstawione pod postacia og6lniejsza a aa... (n razy)= e, o a gdzie n w (e - o) o( -e) tn - 0 1 - oc n (e - o) + (o - e) n -oo 1 0 -Tu -. i oznaczaja "pseudoodejmowanie., i "pseudodzielenie,,. Dla o = 0, e =, -=-O jest en, =n, i wtedy przechodzimy do Arytmetyki zwyklej. Bez uwagina twierdzenie dodatkowe, "pseudodzialania,, czynia zado6s warunkom

Page  93 PRZYPISY. 93 F(x y)= F(x)+ F(y) F(x o y) Fx Fy,x - o e~-o Wzor6w, wyrazajacych zwiazki pomigdzy dzialaniami, nie uwaza T h i e1 e za pewniki, lecz pragnie dojsc do twierdzeni jeszcze prostszych, opier-a jac sig na oryginalnym pogladzie na istot9 liczb. Wedlug tego pogladu liczba niemianowana nie jest abstrakcya, lecz opisaniem liczby mianowawan6j [realnej] za pomoca innej takiej liczby, liczby za~ mianowane sa znowu opisaniem "objekt6w matematycznych,,jakiemi sa up. punkty czasowe, przestrzenne i t. d. [por6wn. str. 33]. Wedlug tej teoryi liczba niemianowana moze by6 okreslona jako stosunek anharmoniczny, wyznaczajacy dokladnie dany przedmiot przy pomocy zwiazku a. przez trzy inne dowolne tego samego gatunku, po ustaleniu punkt6w 0, 1, oo. Wrozprawie Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestimmelser, 1886, T h i e 1 e rozwija w dalszym ciagu poglad sw6j na istotg liczb i dzialani nad niemi. Punktem wyjgcia sa dla niego tak nazwane "numerale, [Numeraler], t. j. "bezwarunkowe, pojedyficze, wzgl9 -dne i zupelne jednowartosciowe oznaczenia,,, kt6rych najprostszy przyktad stanowia "punkty rzeczowe,, "wyrazy,,, i t. d. Jeieli B jest numeralem, to pojtcie B okresla sit za pomoca pojgcia A w ten spos6b: B-B* A. ''Numeral tozsamosciowy,, O okresla tozsamog6 A =-O A,t.j. A=A. Nad numeralami wykonywac mozna dwa dzialania: "przeciwstawienie,, [Modsaetning] i "przydawanie,, [Tilfjolse]. Pierwsze z nich oznacza, ze z r6wnosci B = IV * A wynika r6wno6s A=( N) * B, gdzie numeral (- N) jest przeciwstawieniem numeralu N. Drugie wyraza, ze z r6wnan B =A * A, C= B s B wynika r6wnanie C C A. Dzialanie to, jak latwo sie przekonac, czyni zadosd prawu lacznosci. Jezeli wprowadzimy oznaczenia

Page  94 94 CZ4xId. OZDZIAL II A * A= A, A * A * A=-= A,........... *.. A * (A * (A... * (A)) — A., to stad wyplywaja r6wnogci (n A) * (mA)= ( A) * (n A), n(- A)- ' (nA) it. d. Znak. jest "numeralem numeralu,, czyli liczbq. Powyisze wlasnosci numeral6w prowadza do wlasnosci liczb i dzialafi nad liczbami. Do liczb dochodzi sie tu zatem od wielkosci. Na tej drodze, jakkolwiek w spos6b odmienny, stara sie uzasadni6 teorya dzialafi A. F i c k we wspomnianem wyzej dzielku [Das Grossengebiet i t, d.]. Kazda jednostka J i kazda wielko6s A jest, wedlug F i c k a, miara pew'nej wzajemnosci [zwiazku, stosunku, Beziehung] pomigdzy dwoma przedmiotami. Jeden z przedmiot6w. do kt6rego odnosimy szystkie przedmioty badane, jest przedmiotem zerowym; jego wartos6 wzglgdna [Beziehungswerth] jest zerem. Wielkosci, kt6rych przedmioty zerowe sa rozne [t. j. wielkosci r6onorodne], nie moga wchodzid z soba w polaczenia. Dodawanie okresla F i c k w spos6b nastepujacy: suma A -+ B wyraza wzajemnosc wzgledem przedmiotu zerowego takiego przedmiotu, kt6rego wzajemnosd wzglgdem jednego ze skladnik6w [A lub B] jest r6wna wzajemnosci drugiego ze skladnik6w [B lub A] wzglgdem tegoz przedmiotu zerowego. Z tego okreglenia wynika bezpoSrednio wlasno6s A —B==B-A i zarazem twierdzenie, ze kaida suma, o ile ma byd wielkoscia uwazanej dziedziny, moze by6 przedstawiona jako wielokrotnods pewnej jednostki lub jej czgsci. Ta jednostka nie bedzie wog6le ta sama. jednostka, kt6rej wielokrotnoscia jest B. Jezeli wigc zalozymy, ie A ==m J,, B=n J, to otrzymamy A 4- B=pJx, gdzie J<,, J,, Jx sa r6znemi jednostkami. Ogolna wykonalnosd odejmowania poddaje dziedzine wielkosci warunkowi, aby kazdej wzajemnosci odpowiadala wzajemnosc przeciwna [odwrotna], tak ze do kazdej wielkosci A mozna znalei6 druga, kt6ra, dodana do niej, daje na wynik zero. Warunek ten spelnia sie, jezeli do kazdej jednostki J, pomyslimy sobie inna qJ taka, aby bylo J4 + - J==0; wtedy odejmowanie dw6ch wielkosci A-B=1miJq -nJv sprowadza sie do dodawania mJqp -+- n vJ i jest zawsze wykonalne. Mnoienie wielkosci opiera F i c kna pojeciu stosunku, ktore uwaza jako niezalezne od pojgcia dzielenia i dajace sie okresli6 za pomoca pewnych warunk6w. Tu, jak i wszedzie, najwazniejsza rzecza jest okreslenie r6 -wnosci: r6wnogs stosunk6w przedstawia F i c k za pomoca wzoru A: B= C::D,

Page  95 PRZYPISY. 95 kt6ry ma wyrazac, ze wielkosc D powstaje z wielkosci C przy pomocy tych samych prawidet, przy pomocy kt6rych B powstaje z A. Prawidla te maja czyni6 zado6s nastgpujaecym warunkom: I. Prawidlo musi bye odwracalne, to jest, z prawidla, wedlug kt6rego B powstaje z A, otrzymujemy wprost prawidlo, wedlug kt6rego A powstaje z B: z proporcyi A:: B C:: D wynika proporcya B:: A-=D:: (7. II. Z proporcyi A:: B== C:: D wynikaja proporcye A:: C B:: D i D:: B C::A. III. Stosunek pozostaje bez zmiany, jezeli do jego wyraz6w dodajemy wielkosci, bedace w tym samym stosunku, t. j. z proporcyi A:: B- C:: D wynika proporcya A + C:: B +- D = C:: D. Do definicyi mnozenia potrzebny jest jeszcze wyb6r jednostki pierwotnej' [Ureinheit] pomiedzy rozmaitemi jednostkami dziedziny. Jednostk9 te oznaczmy przez 1. Definicya mnozenia jest nastepujaca: "Pomnozyc wielkogs A przez wielkosc B, t. j. utworzy6 iloczyn AB, jest to znalezi wielko6s, bgdaca w takim stosunku do wielkosci A, w jakim wielkosc B jest do jednostki pierwotnej,,. Poniewai wedlug warunku II, z proporcyi 1:: B=A::A A B wynika proporcya 1:: A =B:: A B, ostatni zas wyraz drugiej proporcyi, wedlug okreslenia, winien bye BA, jest przeto A B = BA. Z trzeciego warunku wynika znowu prawo rozdzielnosci (A - B) -A C+- B C oraz (A - B)C = AC-BC. Dzielenie w tej teoryi polega na znalezieniu ilorazu A/B lub A: B, kt6ry ma sig tak do wielkosci A, jak jednostka pierwotna do wielkosci B. Na t6j podstawie latwo okazac mozna twierdzenia A+B A B A. B A G - + C B C C C it. d. Potggowanie i wyciaganie pierwiastka okreslaja si9 sposobem zwyklym. Dalsze rozwiniecie swojej teoryi opiera Fi ck juz na pojeciu ciaglosci. Pr6ba F i c k a zbudowania teoryi dzialafi niezaleznie od nauki o liczbach nie wydaje nam sie dostatecznie og6lna, z tego wzgledu, ze autor odrazu przyjmuje wielkosci, jako ziozone z jednostek; ze nie poddaje og6lnemu badanin zwiazk6w pomiedzy dzialaniami, lecz dzialania te odrazu specyalizuje; ze wreszcie okreslenie mnozenia na podstawie pojecia stosunku zbyt jest skomplikowanem. Droga, wskazana w teoryi dziatafi formalnych przez Gr as s mann a i Hankela, zdaje sig by6 dotad jedyna droga, na kt6rej mozna zbudowa6 teorya wielkosci. Najnowsze w tym wzglgdzie badania K r o n e c k e r a w rozprawie, Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modul-Systeme [Mittheilungen der Berliner Akademie, 1888.,str. 379-396, 615 -648], kt6re wiaza sie z przedstawiona wyej teorya H e 1 m h o l t z a [art 2.] w gruncie rzeczy nie r6onia sie pod wzgledem zasad od teoryi formalnhej.

Page  96 96 0Z]6 I. ROZDZIAL II. K r on e c k e r uwaza uktad element6w [wielkosci, wartosci, liczb] z -2 z3... z...., kt6ry dla kr6tkosci oznacza przez (z). Wyobraimy sobie proces, za pomocb kt6rego uklad (z) przechodzi w inny r6wnowazny uktad (z'), przy zachowaniu warunku, ze z r6wnowaznosci (z) (z), (z) ~ (z ) wynika r6wnowazno6s (z) - (Z"). Jezeli w szczegolnosci uklad (z") jest identyczny z ukladem (z'), to stad wyniknie, ze kazdy uklad jest r6wnowazny samemu sobie; jezeli zas uklad (z") jest identyczny z ukladem (z), to otrzymujemy (Z) ~ (Z) jako wynik dw6ch r6wnowaznosci (Z) W (d) W ^) Z (Z) Niechaj (z), (z'), (z")... beda uklady r6ine i niechaj 1. ((), (Z')) ~ z,, wyraza, ze uklad z12 za pomoca pewnego procesu powstaje z uklad6w (z) i (z'). Za16imy przytem, ze zachodzi warunek 2. y [(Z), Y ((Z'), (z"))]. CD [(z'), T ((z), (Z")) t. j. ze dochodzimy do tego samego wyniku, taczac uklad (z) z wynikiem polaczenia uklad6w (z') i (z"), czy tez laczac uklad (z') z wynikiem polaczenia uklad6w (z) i (z"). Niechaj bgda dwa uklady (z~) i (z'), dla kt6rych ((zo), (z')) - (ze). Jezeli wiec zachodzi zwiazek T ((Z"), (z')) - (), to zachodzi takze zwiazek [(, z,), ((zo), ())] (z). Uwzgledniajac tu warunek 2., otrzymamy 9 ((z), ()) - (z). Dodajac teraz nowy warunek 3. t ((z), (z'))= Y((z)^ (z)), z latwoscia dochodzimy do wniosku, ze wynik polaczenia ilukolwiek uklad6w nie zalezy wcale od porzadku, w jakim je ltczymy. Jezeli mamy uklad (z(1)) i oznaczymy wyniki polaczefi: f((zl).(z1))'przez (Z(2)), 9 (((l)), (Z(2))) przez (z'3))... i ogblnie

Page  97 PRZYPISY. 97 ((z(1)), (Jm))) przez (z("'+1)) to oczywiscie dia jakichkolwiek liczb calkowitych m i n bedzie ', ((Z(,, (z(1))) - (+ ) t.j. skaznik ukladu, powstajacego z polaczenia uklad6w (z(')) i (z(')) r6wna si9 sumie ich skainik6w. Twierdzenie to utrzymuje sie, jezeli wprowadzimy uklady (2 ) ze skaznikami ulamkowemi; (z /oznaczac ma taki uklad, ze pollczenie yp r6wnowaznych mu n uklad6w daje wynik r6wny nkladowi (z(m)). Jezeli dane uklady nie daja sit wyczerpac za pomoca uklad6w oznaczonych przez(z( )i jezeli () jest nowymjakims ukladem, to moza oznaczyd szereg uklad6w nowych za pomoca z i kazdy z uklad6w, utworzonych z polaczenia uklad6w scharakteryzowa6 za pomoca ukladu skaznik6w -,. Post7puja w ten spos6b dalej, dojdziemy do oznaczenia wszystkich danych uklad6w za pomoca uklad6w skainik6w 1,,2, 43 * ~ ~ kt6rego elementy,, 2,... ~ sa liczbami wymiernemi. W ten spos6b potaezenie uklad6w, kt6rym odpowiadaja uklady skainik6w?"1,, - '..; 2,' ' 3','.; charakteryzuje uklad l + e', Y2 + V, C 3 + C3' * - Jezeli np. uktad (z) jest uklademliczb calkowitych mniejszych od M1, a polaczenie p mnozeniem, to kazda liczba ukladu daje si9 przedstawi6 pod postacia n = pl C P242 P3i3 * * ' gdzie p, PI, P2 sa liczbami pierwszemi, i1, "2, C.. przyjmuja wartoeci 0, 1, 2... Uklad skaznik6w bgdzie zat6m C1, 2i 3.* * a zastosowaniu do wielkosci teorya ta przedstawia sie w ten spos6b: Ukladom (z), (z'), (z")... odpowiadaja wielkoci fizyczne 0, 0', 0", kt6re wchodza w polaczenia, podlegajace warunkom 2. i 3., zastgpuja Pojqcia, T. I. 7

Page  98 98 czES6 I. ROZDZIAL II. cym warunki tacznosci i przemiennosci w teoryi H e l m h olt z a. Jezeli wyjdziemy z pewnej wielkosci O0i), to moina wszystkie inne scharakteryzowac [w przypadku wymiernosci] za pomoca skainik6w calkowitych lub ulamkowych. Wielkogd Ootrzymuje skainik (^) jezeli polaczenie s' wielkosci r6wnowaznych wielkosci 0 daje wynik, r6wnowazny polaczeniu m wielkosci r6wnowaznych wielkosci 0(1). Je2eli uporzadkujemy wielkosci wedlug skainik6w w ten spos6b, aby wielkosd ze skaznikiem ( ) poprzedzala wielkogs ze skainikiem (, gdy mn' mt'n, to, jezeli skainiki odpowiadaja. np. masom lub ciezarom, skaznik mniejszy nale2ze bedzie do wielkosci mniejszej. Por6wnanie rozmaitych wielkosci fizycznych daje si9 przeto sprowadzid teoretycznie do por6wnania ich skainikow, praktyczna wszakze strona tego oznaczenia wymaga metod,pozwalajacych na rozstrzygniecie pytania, ktora z dw6ch wielkosci jest wieksza lub mniejsza. Pigknie skreslony wyklad teoryi wielkosci znalei6 mo2na w swiezo ogloszonej rozprawie B e t t a z z i'ego, Teoria della grandezze, uwieficzonej przez Akademia dei Lincei, 1890. Opierajac sie na podstawach, danych przez Grassmanna, Hankela, Cantora i Dedekinda, autor przedstawia zwiazek pojgcia wielkosci [formy] matematycznej z dzialaniem zasadniczem, za pomoca kt6rego wytwarzamy "klasy,, wielkosci i przedstawia nastepnie teorya dzialafi na liczbach. 4 W dziele E. Sc hr o d e r a, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 1873, zwlaszcza w rozdziale IV-ym (str. 174-294) o zwiazkach wzajemnych pomiedzy dzialaniami, znalezc mozna obszerny wyklad teoryi formalnej dzialafi z drobiazgowem rozwinigciem wszelkich konsekwencyj, jakie z okreslefi ich wynikaja. Badania te proponuje autor objac nazwa Algebryformalnej, do kt6rej zadani nale2y przeto: 1. zbadanie wszystkich zalozefi, koniecznych do scharakteryzowania kazdego dzialania rachunkowego w danej dziedzinie liczb; 2. wyczerpanie wszelkich wniosk6w z kazdej przeslanki lub kombinacyj przeslanek; 3. znalezienie zamknigtych uklad6w liczbowych, podleglych prawom potaczefi i dajacych sie zbudowa6 za pomoca znalezionych dzialafi; wreszcie 4. zbadanie, jakie podscieliska realne moina dad tym liczbom i dzialaniom, t. j. jakie nadad im znaczenie geometryczne, fizykalne i. t. d. Dwa ostatnie zadania stanowia jui, zdaniem S c h r d e r a, przejgcie od Algebry formalnej do bezwzgldnej [absolute Algebra]. Pomysly swoje rozwinal autor w nastepnych pracach: Ueber die formalen Elemente der absoluten Algebra. 1873, Uber v. S taud's Rechnung mit Wirfen und verwandte Processe [Mathematische Annalen, X, 1876. str. 289-317]. Ueber eine eigenthiimliche Bestimmung einer Function durch formale Anforderungen [Journal fir die reine und angewandte Mfathematik, XC, 1881, str. 189-220], Ueber Algorithmen und Calculn [Archiv der Mathematik und Physik, 1887, ctr. 225-278] i Tafeln der eindeutig

Page  99 PRZYPIST. 99 nmkehrbaren Functionen [Mathematische Annalen. XXIX, 1887, str. 299 -326]. Interesujace te badania, majace niejaka analogia do odmiennie przeprowadzonych badali Thi e leg o, wkraczaja juz w czgsci w dziedzine Teoryi funkcyj, i dlatego powiemy tylko kr6tko, ze polegaja one gl6 -wnie: 1. na przyj Qciu za podstawe dzialania jednowartosciowego i nieprzemiennego a b, kt6re Sch r der nazywa mnozeniem,symbolicznm,,; mnozeniu temu odpowiadaja zat6m dwa dzialania odwrotne, t. j. dwa dzielenia "symboliczne, 2. na ustanowieniu mozliwych zwiazk6w zasadniczych, jakie pomiedzy temi trzema dzialaniami zachodzic moga, a wi9c np. w przypadku dw6ch element6w a i b, nastgpujacych czterech uklad6w czyli "algorytm6w,,, a:b -- a b — a a:b =, a b =;b a:b bb: a, - ba; a b a ab=- ba; a b wkt6rychjestrazem9 r6wnafi-i badaniu wniosk6w, jakie stad wynikaja. W przypadku trzech element6w a, b, c, otrzymujemy takich wzor6w wog6le 990; z nich zbi6r 150 r6wnani, ze wszelkiemi konsekwencyami stanowi to, co S c h r 6 d e r nazywa algorytmem Algebry zwyczajnej, a kt6remu podlega nietylko mnoienie i dodawanie liczb rzeczywistych i urojonych, ale i dodawanie geometryczne punkt6w plaszczyzny oraz dodawanie logiczne pojgc i sad6w. W og6le te badania maja zwiazek z dziedzina Logiki formalnej; we wspomnianem zas dziele Sc hr d e r a [art. 6.] znajdzie czytelnik najnowsze w tym przedmiocie poszukiwania, kt6re nie wchodza juz w zakres niniejszej ksiazki. 5 H elmhol t z, Zahlen und Messen, 1. c. str. 24. 6 D e d e k i n d, Was sind und sollen die Zahlen, 1888. 7 Na teoryi laficucha opiera D e d e k i n d uywana w Matematyce metod9 indukcyi zupelnej, kt6ra wedlug niego ma swoje podstawg w nastgpujacem twierdzeniu: "Aby dowies6, ze laficuch AO jest czgscia pewnego ukladu S, kt6ry jest lub nie jest czescia ukladu S, wystarcza dowiesc: a. ze A 3 Y; p. ze obraz kazdego elementu wsp6lnego ukladom Ao i S jest takze elementem ukladu E,. Twierdzenie to mozna wypowiedzie6 w ten spos6b:,Aby dowiesc, ze wszystkie elementy a laficucha Ao posiadaja pewna wlasnosc Tq [lub ze pewne twierdzenie, w ktorem jest mowa o nieoznaczonym elemencie n, stosuje si9 do wszystkich element6w lainucha Ao], wystarcza dowiesc:

Page  100 100 czIs6 I. ROZDZIAL II. a. ze wszystkie elemejaty a ukladu A maja wlasnosc6 [lub ze twierdzenie T stosuje si9 do wszystkich element6w a]. B. ze obraz n' kazdego elementn n laincucha Ao ma tez sama wlasno6sc. [lub ze twierdzenie c, jezeli stosuje sie do elementu n laficucha Ao jest prawdziwem takze i dla obrazu n' tegoz elementu.] 8 Dow6d "istnienia., uklad6w nieskoficzonych, podany przez D e d ek i n d a, jest wlagciwie inna postacia dowodu, jaki znajdujemy u B o 1 -z a n o, [Paradoxien des Unendlichen, str. 14] kt6ry twierdzi, ze mnogos6 twierdzefi i prawd samych w sobie [Wahrheiten an sich] jest nieskoiiczonq. Jezeli bowiem uwazamy jaka prawd9 A, np twierdzenie, ze prawdy istnieja, to twierdzenie: "A jest prawda,, jest cz6em r6in6m od A, bo podmiotem jego jest samo twierdzenie A. Wedlug tego samego prawa, za pomoca kt6rego z twierdzenia A wyprowadzamy r6one od niego twierdzenie B, nmona zn6w z B wyprowadzic twierdzenie C i tak dalej bez koiica. Og6o tych wszystkich twierdzeli obejmuje mnogo6s czesci. [twierdzefi], kt6ra jest wieksza od kazdej mnogosci skoficzonej. K e f e r s t e i n, Ueber den Begriff der Zahl, [Festschrift, herausgegeben von der mathematischen Gesellschaft in Hamburq, 1890, str. 119-124], uwaza dow6d D e d e k i n d a za niendany, gdyz przy okresleniu uklad6w podobnych, pojgcie r6wnosci jest przyjete jedynie w t6m znaczeniu, ze a = b tylko wtedy, gdy a i b sa znakami jednej i tej samej rzeczy, a r6 -wnosc taka nie moze oczywiscie zachodzic pomigdzy ukladem i jego cz~scia wlasciwa.

Page  101 ROZDZIAL III. LICZBY ULAMKOWE. 13. TEORYE DZIALAI NAD ULAMKAMI. Rachunek na ulamkach sigga czasow najstaro2ytniejszych. Przed czterdziestu wiekami rachuistrze egipscy znali ju2 sposoby oznaczania ulamk6w i umieli rozkladac je na ulamki prostsze; babiloc'izycy hindusowie, grecy i rzymianie poslugiwali si ulamkami, lecz dopiero po wprowadzeniu Arytmetyki cyfrowej ustanowiono og6lne prawidla rachunku tak z ulamkami zwyczajnemi jak i dziesitnlemi1. Tu, jak wsztdzie, praktyka poprzedzila teorya. Dzialania nad wielkosciami wykazaly potrzebl i wa2nosc ulamk6w, wszakze dopiero teorya dzialali wyjasnila wlasciwa istot9 tych nowych form liczbowych i dzialaii nad nienmi. Wedlug teoryi, wylo2onej w art. 9. i 10., ulamkiem nazywamy liczb~, zadosc czyniaca r6wnaniu x b --- a gdy co do a i b nie czynimy 2adnych zastrze2eii Lz wyjatkiem warunku, by b nie bylo r6wne zeru]; pojtcie zatem liczby ulamkowej obejmuje w sobie i pojecie liczby calkowitej, mianowicie dla przypadku, gdy a b lub a jest wielokrotnoscia liczby b. Zasada zachowania przepisuje nam stosowanie do dzialai' nad nowemi liczbami tych samych praw, ktore maja miejsce dla dziedziny pierwotnej liczb calkowitych.

Page  102 102 CZESC 1. ROZDZIAL II. [13 Z r6wnai 10 b. w art. 11. otrzymujemy 1 a a. - b b ' co oznacza, ze kazdy ulamek a/b przedstawi6 moona jako iloczyn liczby calkowitej a przez ulamek 1/b o liczniku r6wnym jednosci. Je2eli zalozymy przemiennosc mnozenia, to moiemy napisa6 1 1 1 1 1 a. - - a -- +- qto jest ulamek a/b rozloZy6 na sumc a skladnikow, z kt6rych kazdy rowna sig 1/b. Poniewa2 z r6wnania xb = a, wynika x. m b = ma, a wifc na zasadzie okreslenia dzielenia i liczb ulamkowych bgdzie a m a b rmb' skad wynika, ze kazdemu ulamkowi mo2na nadac nieskonczona liczbe postaci. Z r6wnan l'b., 2'b., 13 w art. 9., otrzymujemy a 1). - = a b b.a.a c c a a c -'= b ae a: --- c b a b a+ b d d d a c ac b d bd a c ad b d be S% to wzory, okreslajace dzialania zasadnieze nad ulamkami i stwierdzajace zarazem, ze dzialania te posiadaja tez same wla

Page  103 13] DZIALANIA NAD ULAMKAMI. 103 snosci formalne, jakie majg odpowiednie dzialania nad liczbami calkowitemi. Mozna latwo dowies~, 2e wszystkie powyzsze wzory utrzymuja sie w zupelnosci i wtedy, gdy w nich a, b, c, d... sa jui nietylko liczbami calkowitemi, ale dowolnemi liczbami ulamkowemi. Tym sposobem przez wprowadzenie liczb ulamkowych dzialania arytmetyczne, otrzymujta znaczenie ogolniejsze od tego, jakie mialy w przypadku liczb calkowitych. Poniewa2 mno2enie przez ulamek 1/b daje ten sam wynik, co dzielenie przez liczbe b, mnozenie przez ulamek a/b zastepuje dzialanie, zloione z mno2eniaprzez a i dzielenia przez b, moina przeto liczby ulamkowe, uwaza6 jako znaki dzialai i na tem oprzec teorya dzialani nad ulamkami. Mysl ta, nienowa zreszta, stanowi podstawe nowej teoryi elementarnej Ch. M e r a y'a 2 Teorya W ei e r s t r a s s a 3 opiera sie na wprowadzeniu nowych jednostek e, okreslonych r6wnaniem En. n 1. Za pomoca takich jednostek daja sic przedstawic liczby calkowite. np. liczba calkowita a a. 1 bedzie miala postac aeon, lub te2 nas,, je2eli przyjmiemy prawo przemiennosci. Ogolnie liezba calkowita lub ulamkowa daje sic przedstawic pod postacia, aj + a1 e,, + a2 E,2 + *. + a,,li( gdzie a0, al,... a^ sa liczbami calkowitemi, E,,,, En,... e % —jednostkami, okreslonemi jak wy26j. Poniewaz na zasadzie tegoz okreslenia jest m.. Em n 1, gdzie m i n sa liczbami calkowitemi, wnosimy witc stdd, ze (m,, n ) n = 1, a wiec m em 1 =E,N (n n,, )m =-,,, ne,,~= E Na tej zasadzie mo2na kazda4 liczbe a = aO + a1en, -+. + Eam,, przeksztalcic w ten spos6b, aby zawierala tylko jednostki e,, jednego'gatunku. W samej rzeczy, jezeli n jest najmniejsz4 wsp6lnf

Page  104 104 CZIA6 I. ROZDZIALt II. [1. wielokrotna nclzb n1, n,....,, to mozna napisa6 nl V1 - n 2 --...= nm v,, n gdzie v,, v2,., V. sa liczbami calkowitemi; bedzie zatem,el =- V. v, V. - -= V,.C I1 (at = 1,2,..., m), skutkiem czego a przyjmuje posta6 a = (aO n + a v - +. + a+nvn ) et. Na tej podstawie wykonywamy dodawanie i odejmowanie liczb ulamkowych o dowolnych mianownikach. Mnozenie liczb ulamkowych winno czynic zadose prawidlom mno2enia liczb calkowitych i dla tego bedzie (e, + em +.. razy ) (,, +,, +.. + razy ) = m, (*n.I)0; poiiewaz zas rlEme.= 1, (ne, =, mn (,,,)1, przcto: r2n n (l m (m) (2 FC) =m 2, nzEn --- m u P FCm. q el P qm I. Wzory te wystarczajq do znalezienia iloczynu jakichkolwiek liczb ulamkowych. Iloraz dwoch liczb ulamkowych otrzymujemy za pomioc prawidla pem 12 __- = fpn. Ce q, q c~ kt6re stwierdzic mo2emy, mno2ac obie strony przez qeC, przez co otrzymujemy po jednej i drugiej stronie iloczyn pe,,,. Jezeli e, zastlpimy przez 1/n, m Ce przez m/n, otrzymamy wszystkie wzory dzialaii nad ulamkami w postaci zwyktej. K r o e c k e r 4 dla ominiecia pojccia liczb ulamkowych, zast9 -puje czynnik 1/m forma nieoznaczona x,, a r6wno6c —kongruencyg. [O kongruencyach m6wimy w czgsci II[. Prawidla dzialtai nad ulamkami, a mianowicie prawidlo dodawania i odejmowania

Page  105 14] VIELKO6 ULAMKA. MNOGO^6 LICZB UtLAMKOWYCH. 105 a b an+-bm m n mn mno2enlia a b ab mn n?f n i dzielenia a b an m n bm zastgpuje on trzema nastgpujqcemni kongruencyami: a x, + bxn =(an + bm)x,. n (modd.mx^_,, nn a -,? n v, — 1 )) ax,,. bx,=abxvfn1 (modd. m x-12, nx-1, mn?^X,, -1 ), a x. xbn =anXb m^ (modd.7nx,, — 1,n7n - 1,bmXz., 1,bx,,x -1), ktore wyplywaj4 odpowiednio z nastcpujacych trzech tozsamosci: a 4m.- bx, = (an + bin) x,, + a n x2,, (mn x) -1) + b mn x2,, (n x -- 1) - (a x,) + b x,) (mn n2v - 1), a xz. b,, a b xcZ + a b r2 nC,,, al (2n xi,, - 1) + a b 6x,,l7 (n x, - 1) - ab x,, x,, (mnxZ - 1), a. -Vx,, = anvr,,L + anxo, (mx - 1) - a b n Xz, Xb, x nx (n,- 1) - axM z,, (b nm x, - 1) + arnnx,,, x&)n(b6xxr -- 1 ). 14. WIELKOSC ULAMKA. MNOGOSC LICZB ULAMKOWYCH. W powyzszym wykladzie teoryi ulamk6w nie m6wilismy o tem, w jaki spos6b rozumiec nale2y, co jest ulamek wigkszy lub mniejszy od drugiego. Jezeli pojtcie ulamka opieramy na pojtciu podzialu jednosci na czgsci, to oczywiscie z dw6ch ulamk6w o rownym liczniku ten jest wickszy, kt6rego mianownik jest mniejszy; z dw6ch ulamk6w o r6wnym mianowniku - ten, kt6rego licznik jest wiekszy; gdy zas dwa ulamki maja, ro2ne liczniki i mianowniki, to sprowadzenie ulamkow do wsp6lnego mianownika pokaze z latwosciq, kt6ry jest wiekszy lub lmniejszy. Jezeli ulamkami danemi sq a/m i b/n, to wniesiemy stad, ze — 6 stosownie In <- n do tego czy a n bm.

Page  106 106 cz7r6 I. ROZDZIAL III. [14 W teoryi formalnej dzialaii nad ulamkami mozna albo wprost wynik ten uwa2a6 za okreslenie, albo te2 przyjacE, ze ulamek, bgdecy suma dw6eh ulamkow, uwaza sie za wiekszy od ka2dego ze skladnik6w. Przyjmujae to okreslenie, bedziemy w zupelnej zgodzie ze zwykla teory4 i potrafimy kazdemu ulamkowi, stosownie do wielkosei jego, wyznaczyc miejsee wlasciwe w dziedzinie liczb calkowitych i ulamkowych. Wszystkie ulamki wlasciwe, to jest mniejsze od jednosei, kt6 -rych mnogosC jest nieskoniczona, mo2emy uporzadkowac w spos6b nastepuj acy. Wyobrazmy sobie wszystkie te ulamki w postaci nieprzywiedlnej, to jest wtaki6j, abyich liczniki i mianowniki byly liczbami wzgltdnie pierwszemi. Nieehaj suma licznika i mianownika r6wna sie liczbie calkowit6j p. Ot6o ka2demu ulamkowi wlasciwemu odpowiada oznaczona wartosc liczby p, i odwrotnie, do kazdej danej liezby p nalezec moze tylko skoniczona mnogose ulamk6w. Je2eli przeto pomyslimy sobie wszystkie ulamki wlasciwe, uporzadkowane w ten spos6b, aby te, kt6re odpowiadaja mniejszej wartosci liczby p, znajdowaly sie przed temi, kt6re odpowiadaja wartosci wiekszej, i aby ulamki r62ne, odpowiadajace jednej i tej samej wartosci liczby p, nastepowaly po sobie porzadkiem wielkosci, to wtedy oczywiscie ka2dy z ulamk6w wlasciwych bedzie mial miejsce zupelnie oznaczone; to znaczy, ze jeden z nich bedzie pierwszym, inny-drugim, inny zn6w-trzecim, i ze liczac w ten spos6b, nie pominiemy 2adnego. Mnogosc zatem nieskoniezona wszystkich ulamk6w wlasciwych, jest, wyra2ajac sie stowami De d e k i n d a, podobna do mnogosci 1,2, 3,4..., albo, wedlug terminologii C a n to r a, posiada te samq moc, t. j. tt sama liczbe kardynalnn, jaka ma szereg nieskoi'czony liczb calkowitych, jest mnogoscia odliczalna. Tym samym sposobem mozna dowiesc, 2e mnogoOs wszystkich liczb ulamkowych, a wige mniejszych i wiekszych od jednosci, jest r6wniez odliczalna, czyli, innemi slowy, mnogosc zszystkich liczb wymiernych jest odliczalnq. Twierdzenie to, dajace sie jeszcze uogl6nic, zawdzieczamy G. Cantorowi5.

Page  107 rRZYPISY. 107 1 Szczeg6ly historyczue o ulamkach u starozytnych znaleic monna w dziele M. C a n t o r a, Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, I. Band. 1880; o rachunku z ulamkami w wiekach srednich i nowoiytnych u G ii n t h e r a, Geschichte des mathematischen Unterrichts im deutschen Mittelalter bis zum Jahre 1525,1887 i u U n g e r a. Die Methoden der praktischen Arithmetik in historischer Entwickelung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart, 1888. 2 Ch. M 6 r a y. Les fractions et les quantit6s imaginaires, nouvelle theorie 616mentaire, 1890, w ten spos6b wprowadza pojecie ulamka: Wynik dzialania, polegajacego na pomnozeniu danej calkowit6j Eprzez liczbe calkowita m i nastepnie na podzieleniu iloczynu przez trzecia liczb9 calkowita n [nie r6wna zeru], przy zalozeniu, ze to dzielenie jest mozliwe, moze byd takze otrzymany jednym z dw6ch sposob6w: 1. Jezeli E jest podzielne przez n, dzielimy E przez n i iloraz mnozymy przez m. 2. Jezeli m jest podzielne przez n, uskuteczniamy to dzielenie, a nastepnie E mnozymy przez otrzymany iloraz. Aby zachowad korzysci, wynikajace z drugiego sposobu i w tym przypadku, gdy m nie jest podzielne przez n, umawiamy si;, by wynik dzialania, o kt6r6m mowa, przedstawi6 w tym przypadku przez E.- [lub -X E] n n - i nazwad go iloczynem liczby E przez czynnik "fikcyjny,, [facteur fictif] m/n. Te czynniki "fikcyjne,, sa liczbami ulamkowemi lub ulamkami. Latwo juz widzife, jak na tej podstawie buduje sie dalsza teorya. Jeieli przy pomnozeniu jednej i tej samej liczby calkowitej E, nie r6wnej zeru, przez dwa ulamki m'/n', i m"ln"' zachodzi jeden z trzech zwiazk6w t '> m" to zwiazek ten pozostanie niezmienny dia kazd6j innej liczby calkowitej E [zakladamy, rozumie sig, ze nlnozenia przez czynniki "fikcyjne,, sa wykonalne]. Ten zwiazek staly wyrazamy piszac: m' > m" n' C ntt i m6wimy, ze wartosd pierwszego ulamka jest wieksza, r6wna lub mniejsza od wartosci drugiego. Aby zachodzil jeden z tych trzech przypadk6w, warunkiem koniecznym i dostatecznym jest ' n" -m" n' Z warunku tego wynika bezposrednio, ze mnozac licznik i mianownik ulamka przez jedne i tq same liczb9 calkowita lub dzielac licznik i mianownik przez ich wsp6lny dzielnik, otrzymujemy ulamek r6wny danemu. Na tej wlasnosci polega sprowadzanie ulamk6w do wsp6lnego mianownika.

Page  108 108 CZ.sd I. ROZDZIAL III. Jezeli dzialania, oznaczone przez.J m" m111 ~if nf MlE -T-, n- - E/ n —/ sa mozliwe, to polaczenie ich wynik6w za pomoca dodawanla i odejmowania E -- E -+ E +..... n' - — " - fl" - daje liczbg, kt6ra moiemy otrzyma6, mnozac E przez pewnm liczbe ulamkowa. Ta liczba ulamkowa nazywa sie suma ulamk6w, m'/n', nl"/n", mr"n"" i nie zmienia sig, jezeli za punkt wyjscia przyjmiemy inna liczbe calkowita, od E r6ina. Jezeli dzialania In',? ( - X m-) sa mozliwe, to wynik ostatniego z nich, oczywiscie r6wny E I nII i mo2na otrzyma6, mnoa c E przez ulamek mnl'r/'n'n", kt6ry nazywamy iloczynem ulamk6w m'/n", Min"/t1. Jezeli mamy dwa ulamki - I -- [im jest nie zerem] to ulamek Xr Mn y ~Nm ma t9 wlasnog6, ze iloczyn jego przez utamek m/n daje wynikr6wny ulamkowi M/N. Ten ulamek x/y nazywa si ilorazem ulamk6w Ml/N i m/n. L e r c h [Zakladove ryze arithmetick6 theorie veliczin, Athenaerum, 1886] podaje teorya ulamk6w, polegajaca na wprowadzeniu form liczbowychpostaci (-). PRwnowazno6s dwoch takich form (a) ( c okreslamy za pomoca r6wnani a a d = b c. Z tego okreslenia wynika bezposrednio 0) 0)

Page  109 PRZYPISY. 109 /a-L-o'\ a. I>R a 0a' Forma( -— ) nazywa sig suma form ( i (-). Na zasadzie tych okreslef dowie6s mozna, ze ( a) + ( c (ad+bc T)+ { bd Iloczyn form okreslamy za pomoca r6wnania skad wynika, ze jezeli (b ) ( (d ) (d') to bgdzie takze (a) (c) (a) (at ) Z okreslenia iloczynu wynika pojgcie ilorazu. Jezeli przez a/b oznaczymy wyrazenie, przedstawiajace kazda z form rownowaznych formie (b ) to na zasadzie poprzedzajacych wzorow mozna juz bgdzie wyprowadzic wszystkie wlasnosci dzialaii nad liczbami ulamkowemi. 3 Por6wn. P i n c h e r e, Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche [Giornale di Matematiche, XVIII, str. 179.], oraz B i e rmann, Theorie der analytischen Functionen, 1887., str. 9. K r o n e c k e r, Ueber den Zahlbegriff, [1. c. str. 346]. 5 G. C a n t o r. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. [Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, LXXXIV, str. 250.]

Page  110 ROZDZ[AL IV. LICZBY UJEMNE. 15. ROZWOJ POJEC 0 LICZBACH UJEMNYCII. W "Arytmetyce,, D i o f a t a, o kt6rej powiedzial L a r an g e, ze jest jednem z dziel, przynoszacych najwiekszy zaszczyt duchowi ludzkiemu, znajdujemy ju2 prawidla znak6w w mnozeniu liczb dodatnich i ujemnych, jakkolwiek same liczby ujemne nie wystepuja% nigdzie u D io f a n t a wyraznie. Przeciwnie, wszystkie zagadnienia, o ile moglyby prowadzic do rozwiazan ujemnych, arytmetyk grecki opatruje starannie warunkami, majacemi na celu ominitcie podobnych rozwiazaii1. Liczby ujemne w dzisiejszem znaczeniu tego pojtcia nie istnialy w6wczas w dziedzinie. matematyki; nawet w dziesite wiekow po Diofancie matematycy wloscy Fibonacci, P a c c io i, C a r d an o, natrafiajac przy rozwiazywaniu rownail na pierwiastki ujemne, odrzucali je, jako liczby falszywe, fikcyjne, niemozliwe. Fakt analogiczny, jak to powiemy ni2zj, powtorzyl sie nastgpnie z liczbami urojonemi: duch uogolnienia, stanowiqcy wybitna ceclle p6oniejszych badali, nie panowal jeszcze tak dalece nad umyslami, aby bez pewnego oporu mo2na bylo oglosic r6wnouprawnienie dla liczb, ktore wedlug pojc 6owczesnych byly niejako przeciwienstwem rzeczywistosci. Wprowadzenie liter do Algebry, a wiec powstala stad koniecznos6 przywiazywania znaczenia do dzialan w przypadkach ogolnych; a nastepnie zastosowanie rachun

Page  111 15] POJ]~CIA 0 LIOZBAOH UJEIMNYCI. 11I ku do Geometryi, wkt6rej oznaczanie dlugosci o kierunkach przeciwnych, wykazalo waznosc a nawet koniecznosc uzywania liczb o znakach przeciwnych, przyczynila sie w wysokim stopniu do oslabienia owego oporu matematyk6w. Liczby ujemne pozyskuja tedy zupelne prawo obywatelstwa w rachunku, a teorya ogolna r6wnan jeszcze bardziej uzytek ich utrwala. Mimo to, jeszcze w konicu ubieglego i na poczatku biezacego stulecia, matematycy nie byli w zgodzie co do istotnego znaczenia liczb ujemnych. Euler2 nazywa liczby ujemne mniejszemi od zera, przeciwko czemu powstaj.a D'Alembert3 i Sniadecki4. L. N. M. Carnot5 widzi w liczbach ujemnych tylko symbole, slu2zce do zachowania ogolnosci zwiazk6w algebraicznych; W r o i s ki 6, zwalczajac ten poglad, uwa2a liczby dodatnie i ujemne, jako przedstawicielki dw6ch ro6nych stan6w jakosci, i nie uznaje 2adnej r6onicy stanowiska jednych i drugich w Matematyce. Podobny poglad wyglasza Gau s 7, wedlug kt6rego liczby dodatnie i ujemne przedstawiajf przeciwienstwo pewnych dw6ch proces6w elementarnych np. przeciwie'istwo przejscia w szeregu element6w od elementu A do elementu B a przejscia odwrotnego od B do A. Nastgpny rozw6j nauki, a mianowicie wprowadzenie liczb urojonych, rzucilo nowe swiatio na znaczenie liczb ujemnych, bo pozwolilo proces mysli, kt6ryprowadzi do nich, uwa2ac za przypadek szczegolny procesu, prowadzacego do ogolniejszych gatunk6w liczb. Winnismy zauwazyc, ze i dzis spotykamy u teoretyk6w wiedzy poglady na istotH liczb ujemnych, niezupelnie zgodne D u h a m el, stojqcy na stanowisku C a r n ot a, twierdzi, 2e nie mo2na nadawac zadnego znaczenia rzeczywistego dziataniom arytmetycznym nad liczbami ujemnemi samoistnemi 8. D i hring widzi w nich wlasciwie symbole dzialania, majacego bye wykonanem na wielkosciach bezwzgltdnych, a rachunek na liczbach ujemnych uwaza za rachunek nad "niemozliwosciami,9, Kr o n e c k e r wreszcie pragnie je usunac z Arytmetyki, a r6wnosci, w ktorych wystgpuja liczby ujemne, zastapic kongruencyami, w kt6re wchodzi pewna nieoznaczona. Ta teorya znakomitego matematyka jest w zwiazku z jego dazeniem do oparcia calej dziedziny Arytmetyki i Algebry jedynie na liczbach calkowitych dodatnich. Teorya formalna dzialai, kt6ra z g6ry nie jest przywiazana do zadnej specyalnej dziedziny przedmiot6w, wprowadza liczby ujemne

Page  112 112 CZF^6 I. ROZDZIAL IV. [15 na podstawie okreslenia formalnego i stosuje do nowych liczb dziatania na podstawie prawa zachowania. Teorya ta czyni zado6s wymaganiom scislosci i nie przesadza wcale znaczenia, jakie nadajemy lub nadac mo2emy liczbom ujemnym w specyalnycli dziedzinach zastosowafi. 16. TEORYE DZIALAN NAD LICZBAII UJEMNEMI. Ju2 w art. 11. olreslilismy liczby ujemne jako formy odwrotne za pomoca rownania 0 - b -- - b i podalismy r6wnania a + (-c) = a - c, a + c = a - (-c) R6wnania 1'a. 2'a. 4'a. i 12. art. 11., stosuja si~ do liczb ujemnych zar6wno jak do dodatnich; btdzie tedy: b - (a-b) a b - a - b a (b - c) + a =( + a) - e, a -(b + c)-= (a - b) - c, (c - a) - b = a - (b - c), (a-b) + (c-d) = (a + c) - (b + d). Wedlug r6wnania 12'b. tegoz artykulu mamy (a - b) c = a c - be; czyniac a= 0 i uwzgledniajac przyjtta wlasnosc modulu dodawania, otrzymujemy (-b).c =- bc. Zakladajac znow w rownaniu a(c + d) = ac - ad d = - c, otrzymujemy na zasadzie wlasnosci modulu ac + a(-c)= 0, skad a (-c)=- ac.

Page  113 16] TF.ORYE DZIALAN NAD LIC7BAMI UJEMNEMl. 113 Z r6wnania wreszeie (-b)c= -be gdy w iinime napiszemy -c zamiast c, otrzymaly -) (-)= -- b( —c)=- (-bc) = bc. Tlym sposobem prawidlo znakow w mino2eniu jest wynikiem okreslen formalnycli teoryi dzialaii. Prawidlo znak6w w dzieleniu wynika bezposrednio z prawidla znak6w w mnozeniu. Powy2szy wyw6d stosuje si~ oezywiscie nietylko do liczb ujemnych calkowitych ale i do liczb ujemnych ulamkowych, jezeli liczby ulamkowe wprowadzimy na podstawie teoryi, wylo2onej w rozdziale poprzedzajacym. Kr o n e k er podal o teoryi liezb ujemnych kr6tkq uwagC polegajaec na tem, ze rownos6 taka, jak np. 7-9=3-5 mon0ia zastlpic kongruencyq 7+-9 x- 3 +5x (modC - +1), gdzie "nieoznaczona,, x zastgpuje jednostke — 1. Kongruencya ta ma tresc szersza od poprzedniej rownosci, bo dla kazdej liczby calkowitej x wyra2enia 7 + 9 x i 3- 5 x, przy podzieleniu przez x- 1, daj reszty rowne. Przy dolaczeniu warunku x 4-1 =0, kongraencya przechodzi na rownosc i otrzymujemy liczby ujemne. Teorya liczb ujemnych wyplywa przeto z teoryi kongraencyj powyzszego ksztaltu, W mysl tej uwagi K r o n e c k e r a, mo2emy z latwosciL wyrazic wzory glowne, odnoszce sie do dzialaii nad liczbami ujemnemi, pod nowa postacia. Przedewszystkiem liczby ujemne — 1, -_ c, -... mozemy nastapic wyra2eniami x, 2x,,... gdzie x jest liczba "nieoznaczona,,. Rownania a - (-c)= a- c, a +4-= a - (-c) mozemy zastapic kongruencyami a + c: v a-c-o (modx 4- 1), a +- c -a-c-x (mlodx-+1) Pojecia. T. I. 8

Page  114 114 CZE;6 L ROZDZIA, IV. 116 Wz6r (a —b) + (c-d) = (a + )-( — ( d), w kt6rym a - b i e - d sa liczbami ujemnemi, mo2emy zastpic wzorern (a + b,,) +- (c + cl.) -. (a + c) - (b -+ ) (l)iol!., +1) Prawo rozdzielnosci wyraza sig pod postacia: (a - bx) c -- ac + bc (mod xv-l1) Prawidlo znakow, np. wz6r — a. -b- + ab wyplywa z kongruencyi a x. b x -ab (mod +-l). W podobny sposob wszystkie inne wzory z latwosciq uzasadnic sit daja. Wiaz2e zas te teorya z wylooona w artykule 13. teorya liczb ulamkowych, mo2emy te prawidla rozciqgnac do wszystkich liczb wymiernych dodatnich i ujemnych, tak 2e w teoryi Kron e c k e r a wystgpowac bgda tylko kongruencye pomiedzy liczbami calkowitemi dodatniemi 11 17. WIELKOSC LICZB UJEMNYCH. MNOGOSC TYCHZE. Liczby ujemne calkowite i ulamkowe stanowia nowe uzupelnienie dziedziny liczb dodatnich caikowitych i ulamkowych, kt6rej wlasnosci poznalismy w artykulach poprzedzajacych. Liczby calkowite ujemne 1. -1, -2, -3... stanowiiT mnongosc nieskoliiczonlt, zlo2ona z wyraz6w, odpowiadajjcych wyrazom mnogosci 2. 1,, 3,.. Kazdy wyraz szeregu 2. nazywa sie wartoJciq bezwzzglfdnq odpowiedniego wyrazu szeregu 1.; moremy zatem powiedzie6, ze kazdy wyraz szeregu 1. ma wartosc bezwzgledna wieksza od wartoSci bez

Page  115 17j WlELKOS( I MNO,6OS( LICZB UJFMNSCH. 115 wzglcdnej kaidego z wyrazow poprzedzajtcych, mniejsza zas od wartoesi bezwzglednej kazdego z wyrazow nastepujecych. Oba szeregi 1. i 2., z dotaczeniem do nich zera, grupuja sig wjeden szereg -3, -2 -1, 0, 1 2, 3... ciagnacy sie w obie strony do nieskoiiczonosci. Je2eli n oznacza kt6rakolwiek liczbe tego szeregu, to liczba, po niej bezposrednio nastgpujaca, bedzie n - 1, bezposrednio poprzedzaj ca — n —. Szereg 3., uporzqdkowany w ten spos6b, aby pierwszym jego wyrazern bylo 0, drugiim 1, trzecim -1, czwartym 2, piatym -2 i t. d. daje si9 oczywiscie przyporz}qdkowa6 do szeregu 1.; odpowiadajaca mu liczba kardynalna jest taka sama jak dla szeregu 1. Je2eli opr6cz liczb calkowitych pomyslimy tak w szeregu 1. jako te2 w szeregu 2. wszystkie liczby ulamkowe, otrzymamy znowu dwie odpowiadajace sobie mnogosci nieskoliczone; kazda liczba —, drugiej mnogosci bedzie wartosciq bezwzgldna odpowiedniej liczby, w pierwszej z nich. Obie mnogosci dadza sie r6owniez uporzdklowac w szereg podw6jnie nieskoiiczony, odliczalny na szeregu 1. i zawierajacy w sobie wszystkie liczby wymierne dodatnie i ujemne. Przy por6wnywaniu liczb wymiernych por6wnywamy ich wartosci bezwzgledne. Przyjety niekiedy spos6b m6wienia, 2e liczby ujemne s;a od zera mniejsze, wyraza tc okolicznosd, ze w mnogosci podw6jnie nieskoiiczonej wszystkich liczb wymiernych liczby ujenne znajduja sic po lewej stronie zera, a nier6winos -- a < — b nalezy rozumiec w ten spos6b, 2e wartosc bezwzgledna liczby a jest wieksza od wartosci lbezwzgldnej liczby b, to jest, 2e w mnogosci liczb wymiernych liczba ujemna o wartosci bezwzglednej witkszej.zznajduje sie na lewo od liczby ujemnnji, majqcej wartosc bezwzgledna mniejsza. Por6wn. najnowsze wydanie Arytmetyki D i o fan ta w przekladzie niemieckim G. W e r t e i m a, 1890., gdzie we wstgpie [str. 6.] znajdujemy nastpujvace twierdzenie: "Liczba, majaca by6 odjeta, pomnozona przez takaz liczbe, daje liczb)e, kt6ra naleky doda6; liczba za., majqca by6 odjgta, pomnoiona przez liczbg, majaca bye dodana, daje liczbe, kt6ra nalezy odja6.,. Twierdzenie to L"X]j^ IKd X.4slev XoCrigGOaao ot'?iu Stapitv, ^T4!i

Page  116 116 CZESC I. 1ItOZZl.AL lY. ' '~ %,v r.~:f.< }ts;l';';:, J,,]. \VrWyrazy i,f'!- i Ua%.,jr przelozono tu ulmySlnie za pomoca wyraz6w "liczbat. majaca by61 odjgta,,, "liczba, majaca bye dodana,,, dia zaznaczenia, ze liczby te nie wystgplja, jako samoistne liczby ujemne. Jako przyklad staraneogo omijania liczb njemnych saimoistriycl przez naszego autora niecliaj posluzy np. zadanie 5-e ksiggi I-ej:,Liczb9 dana podzielic na dwie inue liczby w ten spos6b, aby pewna przepisana czesc pierwszej. dodana do pewnej, rowniez przepisalej czgci drugiej liczby, dala sume dana,,, (0o ktorego D i o fant dodaje warunek nastgpujacy: "Suma dana musi byd zawartapomiedzydwiema liczbami, kt6re powstaja, gdy wezmiemy przepisane czgsci obu liczb danych,, Rozwiazemy zadanie to og6lnie. Liczbe a roztozyc na dwie liczby, aby m-a czesc pierwszej, powiekszona o n-a czg6s drugiej, rownala sie b. Niewiadoma liczbe pierwsza x znajdujemy z r6wnania r a ---.. _ + 7, 7, z kt6rego otrzyiujclmy --- (bn —a), a -x = — (a - binl). Aby liczby x i a-x byly dodatnie, trzeba aby bylo jednoczesnie > < n 1 a. bian a skiad oczywicie wynika, 2e b musi by6 zawarte pomiedzy liczbami a/m i b/n. Przy spelnienin sie tego warunku, zagadnienie nie bedzie inialo rozwiazafi ujelmlych. 3 E u le r. Vollstandige Anleitung' znr Algebra, 1770. Wydanie nowe e cl a m a, str. 18.:; D'A 1 e m b e r t, w Opuscules math6matiqnes, I. [Por6wn. D n h a m e 1 Des iethodes etc. II. str. 165.] dla okazania falszywogci pogladu E ni er a, przytacza propoorcya 1: - 1- — 1: 1. w kt6r6j, zgodnie z zasadnicza wlasnoScia proporcyj, iloczyn wyraz6w skrajnych r6wna sie iloczynowi wyraz6w srednich i stosunek -- 1 — 1 jest r6wny stosunkowi - -- 1. Tylczasem, jezeli b.dziemy uwazali liczby ujemne za mniejsze od zera, btdzie w pierwszym stosunku 1 > - 1 w drugim a zas - t < 1, co nie zgadza sie znowu z r6wnoScia stosunk6w. "Prawda, mowi dalej D'Alembert, ie, wedihng pogladu Leibniz a, liczba - 1 nie jest sredniai proporcyonalna pomiidzy

Page  117 PRZYPIISY. 117 pomiedzy 1 i 1, cli -2 pomiudzy 1. i 4., gdy2 liczby njemne wchodza do rachnnku, nie wchodzac do stosunk6w, ulamki zas nie sa term samem, co stosunki; przyzn.aj jednak, ze nie rozumiem ani sily ani prawdy tego rozumowania. Rozumowanie podobne obalitoby wszystkie nasze pojecia algebraiczne za pomoca niepotrzebnych i sztucznycih ograniczefi i bylo by zreszta stuszn6m tylko w razie przypuszczenia, ze liczby njemne sa nizsze od zera, co nie jest prawda,,. S n i a d e c k i w 'Rachunki algebraiczlego teoryi,, 1783, kt6ra pozostahie najpigkniejszym pomnikiem literatury matematycznej polskiej XVIII stulecia, m6wi [tom I. str. 10]: "Ilosci ujemne [u Sniadeckiego "odjemne,,] maja swoje jestestwo tak rzetelne i prawdziwe jak i ilosci dodatnie, tylko ie w sposobie miedzy soba przeciwnym. A przeto wyrazenie ilosci ujemnych nie zawislo od tak dzikich i oblakanych tlomaczefi, ktreni niekt6rzy antorowie uczacych si9 batamuca. Jezeli to jest prawo dla ludzkiego rozumu, ie we wszystkich poznawaniach nie moze przeniknia do prawdy tylko droga por6wnywania, rozstrzasajac nature ilosci, wpada w konieczna potrzebg nwazania ich jedne wzglgedem drugich, a, przeto znaki na wyraienie tvch wzo'ied6w i stan6w sa mu nieprzerwanie potrzebne...,, Co si? zas tyczy nazwy nadanej liczbom ujemnym, jako mniejszym od zera [minores nihilo], to ona, weduhg S n i a d e c k i e g o, oznacza tylko zmiang stanu, pochodzaca stad, ze pewne iloici zmieniajace sie staja sie z dodatnich njememi lub odwrotnie. "Je.eli wigc, powiada [str. 83], niekt6rzy antorowie wyrywaja si9 zaraz z ta nazwa przy wstepie, mozemy z terazniejszych i przeszlych uwag rozsadzic, jak malo znaja teorya ilosci dodatnich i ujeimnych. Opr6cz wielkiej nieprzyzwoitoSci, przez kt6ra uczacych si9 wprawiaja w ciemne i dziwaczne rzeczy opisywanie, bladza przeciwro prawom geometrycznym, dajae nazwisko powszechne bardzo szczeg'6lnemn przypadkowii wprowadzajac niezroznmiany jezyk w te nauke, kt6ra z swej natnry jest stolica, jasnosci i przekonania,,. C a r n o t zastanawia sie obszernie nad liczbami ujemnemi we wstepie do swego dziela G6ometrie de position [An XI, 1803 str. II-XX], oraz w innem slawn6m dzielku. Reflexions sur la metaphysique du calcul infinit6simal [1797., wyd. 5-e, 1881. str. 173 - 200]. Teorya liczb ijemnych opiera na nastgpujacej zasadzie gl6wn6j: "Kaida wartods ujemna, znaleziona na niewiadoma w rozwiazywanin zaogadnienia, wyraza-jezeli odwr6cimy uwage od znaku tej wartosci-r6 -Znice dw6ch innych wartosci, z kt6rych wieksza zostata wzieta za mniejsza, mniejsza zas za wieksza w wyraieniu warunk6w zagadnienia,,. Nie bgdziemy przytaczali ani dowodu tej zasady, prostego zreszta bardzo, ad.i rozmaitych wniosk6w, jakie z niej wyprowadza C arn o t, powiemy tylko, ze idzie mu przedewszystkiem o wytlomaczenie znaczenia rozwiazafi ujemnych, do jakich prowadzi rachinek algebraiezny. Rozwiazania te, wedlug niego, nie maja znaczenia same przez sig, wskazujac tylko, jakie zmiany poczyni6 nalezy w warunkach zagadnienia, aby utrzy

Page  118 118 CZES(6 I. ROZDZIAL 1T, ma6 rozwiazanie dodatnie. Zwiazki albo r6wnania zachodza, wedlug niego, tylko pomiedzy wielkosciami bezwzglednemi pewnego ukladu; jezeli zmienimy w zwiazkachl tych znaki jednej lub kilkn wielkosci, to wzory, tak przeksztalcone, naleze6 beda do innego stanu ukladu, w kt6rym wielkosci, ze zmienionemi znakami sa odwrotnemli [inverses] wzgledem wielkosci w pierwszym stanie ukladu. Gdybysmy tych zmian znakow nie dokonali, doszlibysmy do rwartogci unjemnych. Dla uniknienia wyrazeni niewlasciwych, proponuje C a rn o t wprowadzenie pojecie wielkosci wzy1ldn' j [valenr de correlation] dia wyrazenia, majacego zastapic wielkosd bezwzgledua przy stosowaniu zwiazk6w, nie objgtych warunkami pierwotnemi. 0 takiej wartosci wzglednej m6wi, ze staje sic ujemna, a odpowiednia jej wielkos6 staje sie wtedy odwrotnq, co odpowiada, wedlug niego, zasadzie, wyra2an6j dotad niegcigle: 'wartosci ujenne nalezy bra6 w kierunkuprzeciwnym wartosciom dodatnim,. Wartosc wzgledna ujemna jest dla C a rn o ta pewna formia algebraiczna zloZona, wskazujac. zarazemn wielkosi dzialanie nad niemi, jest dzialaniem, kt6re staje si9 niewykonalnem, jezeli to wyrazenie ma zostad odosobnionem. Lecz wszystkie te "formy czysto hieroglificzne. powiada, znikaja przez przeksztalcenia, a formy pierwotne, stosowane poczatkowo tylko do przypadku, dla kt6rego przeprowadzono rozuinowanie, staja sie przez to przeksztaltenie wlasciwemi i dla innych przypadkow. Ten sam pogla.d, jak to zobaczyiy, stanowi podstawe teoryi D ii 11 -ring a. 6 WVrofiski povwieca w swell dziele Introduction i t. d. [str. 159], kr6tkie tylko uwagi liczbom ujemnym. Dwa zwiazki wzajemne A+- B= C i C — 3==A, wskazuja na szczeg6lne znaczenie wielkosci B, ktfre —gdy odwrocimy uwage od dzialaii dodawania i odejmowania- - wystpluje w plierwszvym z tych zwiazk6w, jako majace wlasnosc powigkszania, w drugimn zas. oplatrzone wtasnoicia zmniejszania. R62inoi roli liczby B w tych dwoch przypadkach pozwala na stosowanie prawajakoii, a stad wynikaja. cechy szczeg6lne, kt6re nazywa stanain dodatnim i ujemnlym liczby B. Stany odnosza sie dojakosci, powiada Wr o i ski, dzialania -do ilosci; brak tego bardzo prosteo'o rozr6znienia zaciemnil wszystkie dotSychczasowe teorye liczb dodatnych i ujemnych. 7 Liczby dodatnie i ujemne, powiada G ais s [G6ttinjsiscie yelehrte A nzeijen, 1831, takie 1Werke II, str. 176], moga znalei6 zastosowanie tylko tam, gdzie rzeezom liczonym odpowiadaja przeciwne, kt6re, pomyslane z niemi razem, wzajemnie si9 znosza. Dokladniej m6wiac. zalozenie to ma miejsce wtedy tylko, jeieli rzeczami liczonemi nie sa substancye [przedmioty pomyslane w sobie], lecz zwiazki pomiiedzy dwoma przedmiotami. Zaklada sie przytem-, ie te przedmioty sa uporzadkowane w szereg, w pewien oznaczony sposob, np. A, B, C, D... i ze wza.jemnosC [stosunek] miedzy A i B nwaiamuy za rVwny wzajemnoll i, zachlodzacej

Page  119 PRZYPIST. 119 pomiedzy B iCi t. d. Tu do pojgcia przeciwiefistwa nalezy tylko przestawienie [Umtausch] wzajemnosci, tak, ze jezeli wzajemnosd albo przejscie odA do B uwazamyza +1, to wzajemnosc albo przejscie od B do A oznaczamy przez -1. Jezeli wigc taki szereg po obu stronach jest nieograniczony, to kazda liczba rzeczywista calkowita wyraza wzajemnosd pewnego dowolnego wyrazu, przyjetego za pierwszy, do pewnego oznaczonego wyrazu szeregu. 8 Duhamel, Des methodes etc.II. str. 169. 9 Znaki, powiada Diih ring [Neue Grundmittel und Erfindungen, 1884 str. 8. i dalsze] moga oznaczac tylko dzialania lub zwiazki, z dzialani wynikajace; znak - nigdy nie oznacza nic innego niz odejmowanie. Jezeli w wyraienin postaci a-x, a jest wielkoscia oznaczona. x wielkoscia zmienna np. rosuaca, to z chwila, gdy x staje sie rbwnem a. poczyna si9 niemoZno6C wykonania dzialania. Jezeli napiszemy a-x=-y, to r6wnanie to nie wyraza nic innego nad te niemoinoiog. Taka jest, wedlug Diihr ing', geneza i ziaczenie liczby ujemnej odosobnionej. Znaczenie zas rozwiazafi ujemnych wyjasnia on w sposob nastgpujacy: Jeieli mamy r6wnanie x+Y-=a, gdzie x i y sa liczby zmienne, a zas jest liczba stata, to r6wnanie y =a —x w przypadku, gdy x jest wieksze od a, przedstawia niemoznos6. Kladac x - a = z, mamny y -z jako wskazowke, ze y nie moze by6 wielkoicia bezwzgledna. Zastepujac y przez z. otrzymujemy r6wnanie x - z=a, gdzie wszystkie liczby [wielkosci] sa jun bezwzgledne, a zmieniajac tu litere z na litere y - oznaczenie jest tu obojgtne-otrzymujemy zamiast r6wnania pierwotnego x+3y=a rownanie x-y=a nowego typu. Rozwiazanie ujemne daje przeto pozna(, ze w warunkach zadania miesci si9 niemoznosc, i jak t? niemozno6s usnnac przez zmiane znaku. Diihring stoi tu, jak widzimy na stanowisku C a r n o t a. Przyjimnjac rozwiazania ujemne, obejimujemy dwa typy r6wnafi x —=a x —y-ajednymtypemnp. x+ —a; vprowadzenie liczb ujemnych oznacza tedy to samo, co zastapienie jedneu6 r6wnaniem dw6ch rownan r6znych. Ten sam fakt powt6rzy sig, jak to zobaczymy, w teoryi liczb urojonych. Rachunek liczb ujemnych jest, wedlug D ii h r i n g a, rachunkiem niemozliwosci."M3itdeml nmoglichen, powiada on, wenn man es eben als unmiiglich setzt und behandelt, muss es in Schliissen und Rechnungen hantirt werden, sonst bleibt jeder Gedankengang in der Kindheit,, - wiec i wedlug jego teoryi ten rachunek "niemozliwosci, ma swoje pewne prawidla, ktore nie moga si9 r6oni6 i nie r6znia sie od prawidel dzialai nad liczbami dodatniemi [bezwzglgdnemi]. Mimo zasadniczej r6onicy pogladu, cale nastepne rozwiniecie rachunku liczb ujemnych bedzie zupelnie takie same, jak gdybyliczby te wprowadzone zostaly, jako formy nowe, za pomoca okresleii formalnych. 10 K r o n e c k e r. Ueber den Zahlbegriff [1. c. str. 345]. 11 L e r c h we wspomnian6j wy6zj pracy podaje teorya liczb ujemnych, polegajaca na zasadzie, podobnej do t6j, na jakiej oparl teorya liczb

Page  120 120 CZFs I. ROZ)ZI)AL IV. ulamkowych. Wprowadza on formy czyli pary liczb (a | b), w kt6rych a i b sa liczbami calkowitemi. Dwie takie formy (a I b) i (c I d) nazywaja sie rwnowxazneini, jezeli czynia zadods r6wnosci a+-d-=b-c. Okreslenie to stosuje sig zar6wno do przypadku, w kt6rym a > b, c > d, jako t6, do przypa(dku, w kt6rym a < b, c < d. Z dw6ch rownowaznosci (a a') b (b I b') (c | ') (b | b) wynik., na zasadzie povwyZszego okreslenia, r6wnowaznosc (a I a') (c I c') WyraZenie, przedstawiajqce og6l form wzajem r6wnowva'znych, nazywa L e r c h "differenta,. Tak np. differenta (1 1 4) obejmuje foriny (2 1 5), (3 1 6), (4 1 7) ~. Differerenta (x I x) = (0 1 0) nazywa sie differenta zerowa. Suma form (a I a') i (b I 6') nazywamy forme /a +- b \ a' + b'). Z tego okreslenia wynika, ze jeieli (a I ) 1 C. Ic') (b I b) (d\ d'), to ( I t ')-l-() [ f ) (c | c')+ (d I d') (a-+b i a'- t/) c (c-+d I c'-+d') Jednowartosciowos6 i przemiennosc dodawania stwierdzamy na zasadzie powyzszego, bez trudnogci: Suin m form (a I b) oznaczamy przez m (a | b)- jezeli A jest znakiem formy (a I b), to sumi t9 oznaczyc mozemy przez mA1 lab Am, przyczen mA - (ma I mb). Kazda differenta jest postaci mE, gdzie E jest diff. (1, 0) lub postaci m'E' gdzie A'-=diff. (0 I 1). E nazywa sie jednostka dodatnia^ E jednostka ujemnra. Ogolnie jest mi E- + -n - = diff (, In). Iloczyn form (a I b), (c \ d) okresla1y za ponmoc r6wnania (a. I b). (c I d) = (ac+bd I ad+bc), z kt6regoo wynika jednowartosciowosc i przemiennosc mnozenia. Jezeli A i B s4 dwie "differenty dowolne,, (a t a'), (b [ b') dwie odpowiadajace im formy, to differenta C iloczynu (a a'), (b I b') nazywa sie iloczynem different A i B, co oznaczamy w ten sposob C= A B-=BA. Na podstawie tego okreslenia mozna hatwo dowies6. ze mE. nE — = ninE, nmE. JE'- =omnE', mE. n E - - manE, co wyraia znane pi awidlo znak6w w mnozeniu.

Page  121 PRZYPrIY. 121 Teorya L e r c h a nie jest w istocie rzeczy nowa, bo zawiera si9 jako szczeg6lny przypadek w teoryi "par algebraicznych,, [algebraic couples] ogloszonej przez S i r R o w a n a H a n il t o n a jeszcze w roku 1835. O tej teoryi podamy wzmianke w nastepujacym rozdziale. Ogloszona niedawno teorya elementarna liczb ujemnych Ch. Mi e r ay'a [Les fractions et les quantites negatives, 1890], polega na tem, ze uwaa wielkosci dodatnie i uljemne, jak to czyni W r o i s k i, za dwa stany, r6 -zuij jakosci [quantites qualifiees] i zamiast znak6w +- i - wprowadza na poczatek dla objasnienia teoryi znaki -* i <-, umieszczone-nad gloskami. Iloczyn okrela MI 6 r a y za pomoca wzor6w: -) ->- ~- -<- -_a >X b --- a X b = (ab). -_ __ _. < (ab). a X b --- a: w2< 6 - (a6).

Page  122 ROZDZIAL V. LICZBY ZESPOLONE ZWYCZAJNE. 18. ROZWOJ POJEC O LICZBACH UROJONYCIH. lHistorya liczb zespolonych, zwanych inaczej urojonerni, podobnt, jest do historyi liczb ujemnych. Do ostatnich prowadzi potrzeba uogl6nienia odejmowania, do pierwszych taka2 potrzeba uogl6nienia wyciagania pierwiastk6w; jedne i drugie przez dlugi czas uwazane byly za falszywe i slad tego pogladu pozostal w nazwie liczb urojonych. Nad istotl liczb urojonych zastanawiano sie wielokrotnie i dzis jeszcze, mimo zupelnego ustalenia ich uzytku w nauce, r6one na ten przedmiot panuja poglady. Przebiegnijmy pokr6tce dzieje tego nowego gatunku liczb. Ju2 C a r d a no zwrocil uwag naa pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, do jakich doprowadzalo rozwiazywanie r6wnai' stopnia drugiego. Bombelli, Girard, de Moivre i inni rozwintli rachunek na liczbach urojonych. Jan e r no ulli za pomoca liczb urojonych przedstawia rozmaite wzory Analizy, niedzy innemi podaje slawny wzor T llog i/-I E u 1 e r zas odkrywa wzory

Page  123 18] POJFCIE I.ICZB LUIOJ.ONYCH. 123 Sill - ---— = --- 2 1 -1 e e-'l-7 COS%'z - _-'_-. Cos'V - ---- ------- 9 kt6re wwysokim stopniu )rzyczy-lity sig dlo postgpu Analizy. J an Sn i a d c k i ttomaczyl znaczenie rozwiqzani urojonych w ten spos6b, 1z "pokazuj namrn one niepodobieiistwo tego, czego szukamy,, dla jakiejs przeciwnosci, kt6ra sie w pytanie, iiinio uwagg naszt wniieszala; poniewa2 wszak2e do przypadk6w szczeg6lnych, kt6re ogarnia rowxnanie, nalezy i ten, ktory to pytanie czyni niepodobnem, plynie stqd uzasadnienie potrzeby rachlnku nad temi liczbami1,,. G aus s w swojej slawnej rozprawie inauguracyjn6j [1799] o rozkladzie funkcyj algebraicznycl calkowitycl na czynniki rzeczywiste pierwszego i drugiego stopnia nie uzywa w dowodzeniu liczb urojonych, jakkolwielk jasno i dobitnie wyraza swv6j poglad na mo2noso6 i prawo icl stosowania2. Jeszcze dobitniej rolg tych liczb akcentuje Wro iski [1811.], powstajac przeciwko przyjgteij przez natematyk6w nazwie i proponujqc dla nich nazwg liczb idealnych, kt6ra p6Oniej K u in m e r zastosowal do analogicznych formi liczbowychl w Teoryi liczb. Jednostkl urojona czyli idealnl I7 /-1 uwa2a W r o i ski za oparta bezposrrednio na pojeciu nieskonczollnoci liczby urojone nazywat jednym z fenomenlw umyslowjych, najlbardziej godnych uwagi, dajacym sie uiywac bez 2adn6j sprzecznosci logicznlj we wszystkich dlzialaniach algorytmicznych i prowadzxqcym do wynik6w zgodnych z naszrmn rozumnem;. To tei posluguje sic Wr o l ski liczbamni urojonellc i z cala swoboda wv badaniacl swoich; on to jeden z l:)icrwsz.clh stosuje je do logolnicnia powy2 -szych dwoch wzor6w1 Eulera, stwarzajac tyin sposobem nowec funkcye trygonomletryczne wvy2szych rzedc6w. Niestety jdnalk, amii ten stanowczy sad W r o I' s k i e go o liczbach urojonych, ani jego odkrycia, nie zwr6cily na siebic uwagi wspl6czesnych, i trzcba bylo dopiero p)owagi imienia takiego G a u s s a, aby liczbom nrojonyli zapewnic r6ownouprawnienie w nauce. Uczony ten w I-ej rozprawie o resztaclh dwukwadratowych [182 5.j], wskazuje Arytmnetyce wyZszej czyli Teoryi liczb nowe pola baldania przez wprowadzcnic do jej

Page  124 124 CzES I. ROZDIIA, V. [1-8 dziedziny liczl) urojonych i wyklada [1831.1 znana obecnic i ogolnit u2ywan1 mnetode przedstawiania liczb urojonych za pomloca punkt6w na plaszczyznie, chocia2 co do tego uprzedzil go byl juz Argan d [1806.]4. Przez to geomietryczne przedstawienie badanie ukladu liczb urojonycl zamienia sic na badanie rozmaitosci d(wnwymiarowej. Jednoczesnie stawia Ga u s s wa2ne pytanie, rozwiaizane p6oniej przez innych [por6wnl. rozdzial VI-y], "dlaczego stosunki pomincdzy rzeczami, przedstawhiajacemi rozmaitos6 w\ic6j ni2 dwuwymiarowa, nie daj:a jeszce innych gatunk6w wielkosci. dopuszczalnychl w Arlytnmttyce og6lnej,,. Tcorya ogol6a rozvwizywania r6wnai,' a zwlaszcza badania w dziedzinic fulnkcyj, jakie zawdziczamy A b e o w i, J a c o b i'einun, Cauchly'emu, Ri e wi, i ano Weierstrassowi i innym, oraz badania w Teoryi liczb, kt6re prowadzili G au s s, I)iriclilet, Eisenstein, Kummer, Dedekind i t. d. zapewnily liczbom urojonyln niezbcdne stanowisko we wszystkich gahtziach Algorytmlii, a wazne zastosowania w dziedzinie Geometryi wykazaly wysolka uzyteceznosc tego narzgdzia. 'Ten rozwoj zastosovwail liczb urojonych nie mo6g nie wywola6 badaii, skicrowanycli ku wyjasnieniu istoty ich i uzasadnienin podstaw rachunlkt nad niemi. Tu, jak i w tcoryi liczb ujemlych, g6ownie (dwa uwidoczniaja sie poglatfy. Wedlug jednego z nich, za przedstawicieli kt6orego nalezy nwa2ac W r o ii s k i e g o, G a u s s a, W e i r s tr a s s a, H a n k e 1 a i t. p. liczby urojone mlaj w ldziedzinie liczb stanowisko takie, jakie przyznajemny liczbom ulanmkowyml i ujeninyn: uzupelIiajoI one dzizine pieirwotnt liczb calkowitych i stanowia razein z liczbamii rzeczywistemi jedne mnogosc dwuwymiarowa. Drugi poglad, reprezentowany przez C a I e h y'e g o, ) u ham e 1 a, D iihin g a6, Lipsc litz a7. Kro n eckera8 i innych orzeka, 2e liczby urojone sa tyllko symnbolami, znakamli dziatani, jakie wykonywamly na liczbacl rzeczywistycll. Najbardziej w ty n kierunku posuwa sic K r o n e c k e r, wedlug pogldo6w lit6rego liczby urojone moga by6 usunitte z dziedziny badafi analitycznych. Tu, jak i 1przy liczbach ujemnlych, tcorya formalna godzi, zdaniem naszem, pogl(ady sprzeczne, bo wprowadzajac liczby urojone i dzialania nad niemi za pomoca Scislych okrelleii, uzasadnia tem sam6m stosowanie icl w nauce, pozostawiaj, c swobodt interpretacyi tych form liczbowych w posuzczeg)lnych dziedzinach badarnia.

Page  125 191 D)Z7.TAI.N1A NAD I1CZ7IBAMI U'lOJONYMI. 125 19. TEORYE DZTIALAN NAD LICZBAMI UIROJONEMI. Niechaj bedzie liczba dwuwlymiarowa ae 4-t-/e, w ktordj a i / s4 jakiemikolwiek liczbami calkowiteni lub ulanmkoweini, dodatniemi lub ujemnemi, eI i e. mnaja byd dwiemta jeduostkami zasadniczenmi, o ktorych zakladalmy, e nie moga czynid zadosc 2adnemu r6wnaniu m1 e - 1 e. -- 0, w kto6reim 7m i n sa liczbami catkowitemii lub ulamnkoweini, (odlatniemi lub ujemnemni, r6onemi od zera. Rownosc dwoch takich liczb ae +/- fe1 i a'e +- 'e., okireslim-y ten spos6b: Jest (l.e -+ ', - - (l'eI -' wtedy i tylko wtedy. jeieli a - a, /t - f. Z okreslenia tego wynika, 2e liczba zespolona a(e1 -/-e., jest zerem wtedy tylko, je2eli ka2dy ze wspolczynnik6xw a i f/jist zerem. Dodawanie (Iwoch liczb ae1 - fe,, i a'e, + f-'e, okreslam-y za pomoc wzoru (ael + /)'es) -(a'e, +[fe,) -- (a + a')e- +() +/ )e,. Na podstavie tego wzoru latwo uskutecznic dodawanie trzech i vieeHj liczb zespolonych, a tak2e wykazac, 2e dodawanie to jest dzialaniem larczneln i przemiennem i,e odejmowanie takich liczb wykonywa sie na podstawie wzori (,e. +/le2)-(,(ac +/e>) =- (a~-, a)e, l- (t -')e. Widzimny stfid, 2e suma i r6onica dwclh liczl dwuwymviiarowych sat tej samej postaci, co liczby dane. Przechodziniv teraz do inno2enia, o kto6re zatozmy, 2e jest dzialaniem tlcznem i przemiennem oraz zwiazanem z dodawaniem prawem rozdzielnosci. Na tej zasadzie iloczyn dw6ch liczb ae- +-e-e, a'el + 1t'e, bedzie (ael +4-3e2 ) (dace e-2) — aa elel - (a/:' 4-aut)ele, - ft/3'e2e2. Jezeli nie uczynimy zadnycll nowycl zalo2ei co do iloczynow elel, ele = e2e, e2e2, to iloczynu dw6ch liczb zespolonych nie btdzie

Page  126 126 cz6^ I. ROZDZIAL V. [19 mozna sprowadzi6 do postaci prostszej, ani dac mu postaci, jakic maja czynniki. Aby wiec iloczynowi mo2na bylo nadac znaczenie w dziedzinie naszej, musimy ustalic znaczenie iloczyn6w jednostek. Dla przeprowadzenia badania tego w calej og61nosci, p6jdziemy droga~, wskazanq przez W e i r s t r a s s a 9 Niechaj a oznacza pewn liczba zespolonq, q i h dwic inne liczby zespolone dowolne, nalezqce do tej samej dziedziny i takie, 2e nic mozna jednej z nieli otrzymac z pomno2enia drugiej przez czynnik rzeczywisty o. Powiadam, ze liczbie a imona bedzie nadac postac, a -- + ~h gdzie ~ i ~' s4 liczbami rzeczywistemi. W samej rzeczy, niechaj btdzie a = ael + a'e,, g = el d-;,'e0, h I el e - be,. Bedzie tedy ael + (xte, = (;eel ) - (e + 6e) (e 'e,), skad na zasadzie okreslenia r6wnosci: I. - - - + 'i <5 ar-,' + ~'<5 Z tych ldw6och riwnaii stopnia pierwszego miedzy liczbami rzeezywistemi, oznaczymy szukane liczby 5 i ~', byleby r6znica byla r6ozn od zera. Warulek ten, i6wnowazny warunkowi, aby stosunek y/S nie byl r6wny stosunkowi '//5'. spelnia siC na zasadzie uczynionego zastrzezenia, ze liczba g nie moze r6wna6 sie liczbie h, pornno2onej przez jakikolwiek czynnik rzeczywisty o. Majac zatem do pomnozenia dwie liczby zespolone a i b, mozemy przedstawic jo pod postaciq a ~= g +- 'h, b = sg + 'ilh, a nastepnie wykonac mnozenie wedlug podanego wy2ej prawidla. Bedzie wiec

Page  127 19] DZJIALANTA NAD LIC'BA3MI UROJOIEMI. 127 1. a b..g - (( + gl)9 + $'V. MA. Zagadnienie nasze sprdwadza sie do znalezienia znaczenia iloczynow gg, gh, h w zalo2eniu, 2e liczba, g nie jest r6wna e h. Dla oznaczenia tych iloczyn6w przyjmijmy r6wnania nastepujqce:.gg _- 2gq + )'h 2. hg = gh =,ug + -i'A hzh v g -+ v'h. Pomirdzy wsp6czynnikami 2, 2'; t, it'; r'. v zaehodzc pewne zwiazki, wynikajace z przyjgtej przez nas wlasnosci mnozenia ggh == ghg, ighl -= hAg. Wstawiajac w te rownania wartosci iloczyn6w gg, gh, hg i hh, wzitte z r6wnan poprzednich, otrzymamy nastepujace r6wnania warunkowe,, i' 3. 2? +,'r' --,'/, - -d =,,u + I'V -- v -- v.lC = 0. Zauwazmy, ze nie moze bye 21' I - v- i /2' = vi. - v'= -A- v' = 0, gdyz stad wynikloby 2 - i v- -, a wiec: gg 2= '(kg+h), gh = u' (kg+h), t.j. g =i Ah co si~ sprzeciwia naszemu zalo~eniu o liczbach g i h.

Page  128 128 czSC, I. RO1)ZIAL V. [19 Jezeli istniej4 wartosci,, 2', /t, I', v, v', czyniqce zadosc r6wnaniom 3. to mozna oznaczyc liczb -e, aby czynila zadosc warunkowi ela -= ae1 a, t. j. aby byla modulem mno2enia. W samej rzeczy, aby iloczyn ab byl r6wny a, to jest aby b bylowlasnnie tyrn modulem e1, nusi bye, wedlug 1. 9Igq + (t + ij') gh +. i - g + 'Ah, Kladac po stronie pierwszej wartosci iloczyn6w gg, gh i hh, wzigte z r6wnai 2., a nastwpnie stosuja c warunek r6wnosci, dochodzimy do r6wnaii 61) + (+O' 4- j')+.a + q'i = ' mR' + (~1 +~ ')a'+ 'y'v'= -' kt6re winny sic sprawdzac dla kazdej liczby a, to jest niezaleznie od wartosci liczb e i ~'. Kladqc przeto raz ~=1, t='O, drugi raz $==0 i '=-1, otrzymujemy z powy2szego ~i + 'I1t,1 =1,N 'It( +, r, + ' ' =1, -— t+ v'' 1. Wartosci, ktore otrzymujemy z dw6clh pierwszych r6wna'i zgadzajl sit z warto~ciami, jakie otrzymujemy z dw6ch dirugicb, ato na mocy r6wnall 3. Liczba witc e1, majaca wlasnosc modulu, istnieje; jezeli przyjmiemy za liczbe g ten wlasnie modul, to iloczyny gg, gh, h7h przejda w nasttpujace e el -e el, elh h, h -= vee + r'h; bgdzie zatem;i,=1, '-=o, /=0, /.=l i zagadnienie nasze sprowadza sig do oznaczenia wsp61czynniko6w v iv'. Poniewaz liczba h jest dowolna, okreslmy jl za pomoca nasttpujlcego zalo2enia: Uczyilmy hi - - e1 + i, 2 e -~

Page  129 19] DZIALANIA NAD LICZBAMI L UOJONEML 129 to otrzymamy vP2 h -( 4 +v) el, V2 a jieeli wartos6 bezwzgldni liczby rzeczywistej -+ oznaczymy przez 02 [O i L2 maja bye liczbami rzeczywistemi]: hI h1 - 2e1 lub h1 l = -- 2el,,'2 stosownie do tego, czy -- v jest dodatnie lub ujemne. 4 1 Je2eli przyjmiemy, 2e druga jednostka zasadnicza e2- h, otrzymamy z r6wnali poprzedzajacych e2e2 = e lub e2e2 - el. nale2y zatem rozstrzygnac, ktbre z tych dwoch zaloieii stosowac mozna w teoryi naszej. Gdybysmy przyjcli pierwsze z zalozeli, to wtedy iloczyn dwoch liczb el + e2 el - e2, r6znych od zera, r6wnalby si~ ele1 + e1e2 - ee - e2e elel -e2e2 -- 0, a zatem bylby zerem, mimo ze zaden z czynnik6w zerem nie jest. Zalo2enie to nalezy przeto odrzuci i pozostaje jedynie drugie zalozenie e2e2 =- e1. A zatem: Je2eli dla liczb zespolonych, utworzonych z dw6ch jednostek zasadniczych e i e2, pragniemy zachowa6 wszystkie w1asnosci mnoienia liczb rzeczywistych, to dla iloczynu jednostek nale2y przyjqc zalozenia: e1el = e1, ele2 = e2el = e, e2e2 -- e. Przyjmujac e1 = 1, t. j. zwyklej jednostce rzeczywistej, i oznaczajac e2 przez i, otrzymujemy liczby zespolone postaci a +f i, dla kt6rych jednostka urojona i okresla sic r6wnaniem Pojecia, T. I. 9

Page  130 130 czFS6 I. ROZDZIAL V. [19 - 1, lub i2- - 1. Takie liczby a +- i nazywaja sie liczbami zespolonemi lub urojonemi zwyczajnemi, liczba a nazywa sie czescia rzeczywista, /fi-czsci% czysto urojona. Liczby zespolone a + fPi obejmuja w sobie liczby rzeczywiste, ktore otrzymujemy, zakladajaec P = 0. Dzialania nad liczbami zespolonemi a+-fi odbywaja sie wedlug prawidel, wyzej wskazanych, a mianowicie: (a + fi) + (a'+ 1'i = (a + a') + (/3 +/ ')i (a + i) — (a'+ 3'i) =(a - a) + (- ')i Iloczyn liczb, na podstawie okreslenia podanego wy2ej, przyjmuje posta6 (a + pi) (a'+/'i) = ad'-? ' + (a/'+ )2a')i, skad bezposrednio wnosimy, 2e iloczyn dwoch liczb urojonych postaci a + 3Bi jest liczba tej samej postaci. Toz samo stosuje si~ do iloczynu trzech i wigcej czynnik6w. Z okreslenia wynika ii=-1, i3 - i, i4=, i o 1.. i w og6le ivm+1 -- in gdzie m jest liczba calkowita dowolnq, n zas przyjmuje wartosci 0, 1, 2, 3. Iloraz dwoch liczb zespolonych a+f/i i a'+f/'i, z ktorych druga nie jest zerem, mozemy latwo znalezc. Oznaczmy ten iloraz przez + i; na podstawie okreslenia dzielenia bedzie (+-i) (a'+/) = a + /i, czyli a'- 3'+ (/3'+,ta')i = a+ /i, skad a'- ]f3=a JeSeli wiec a' i /' nie sa zerami, otrzymujemy z tych r6wnali

Page  131 19J DZIALANIA NAD LICZBAMI UROJONE)J. 131 aa' + fP' _Ba' -- a/' a2' + i fi 2 a'2+,2, a wiec a +i _ aa'+Pf f pla'-afl' a' +i a'2+ f2 'a '2 + f'2 Poniewaz kazde z dzialani elementarnych nad liczbami zespolonemi postaci a+/f i doprowadza do liczb t6eje postaci, a witc i wszelkie kombinacye skoiczon6j liczby takich dzialani doprowadzaj r6wnie2 do liczb postaci a+/fi. Dwie liczby a+fli i a-fli r6oniace sie znakiem wspolczynnika przy jednostee urojonej, nazywaja sig wzajemnie sprzqzonemi. Suma dwoch liczb sprzezonych a+fli i a -fti r6wna sit liezbie rzeczywistej 2a, r6znica jest liczba czysto urojonq 2fli, iloczyn r6wna sit liczbie rzeczywistej a2 +-2. W mysl pogladow K r o n e c k e r a, mozemy liczby zespolone, w kt6rych jednostka urojona jest 1/-1, przedstawi6 pod postaciq a+-bx, gdzie x jest "nieoznaczona,,, r6wnosci zas, w kt6rych wystepuj a takie liczby zespolone, zastapic kongruencyami wedlug modulu X2+-1=0. Tak np. r6wno6s dw6ch liczb a +- b i a' - b'x wyraza si~ za pomoc kongruencyi a +- b x a' + b' (mod - + 1) Poniewa2 obie strony tej kongruencyi sa stopnia pierwszego wzgledem %, modul zas jest stopnia drugiego, kongruencya zatem sprowadza sit do wyiej podanych warunkow a = a', b =b'. Suma i iloczyn liczb a - bi i a'+ b'i wynikaja z kongrueneyj: (a + bx) + (a'-+b'x) (a +a') + (b -+b') (mod2 + 1) (a + bx) (a' + b6') - aa'- (a' 4- a'+b) x + bb' x2 (mod v2 + 1), z ktorych, przy dolaczeniu r6wnania x2-1-=0, otrzymujemy znane wzory na dodawanie i mnozenie liczb urojonych. Metoda ta ma slu2zy mo2e nie tylko dla liczb zespolonych a-+-b/-1, ale i ogolnie dla liczb postaci a+-b /-n, jezeli zamiast moduu 2-1 przyj modu 2+n; mo2e te2 sluiy6 do badania wyra2eii, zale2nych od liczb niewymiernych; tak np. r6wnosci,

Page  132 132 CZEa6 I. ROZDZIAL V. -19 w ktore wchodzi 1/2, nmona zastppic kongruencyami wedlug modulu x2 —2, z dolqczeniem rownania x222-2 0. Zasada metody niniejsz6j jest zupelnie zgodn% z zasad4 podanej przez C au ch y'ego jeszcze w r. 1847 metody r6wnowaznosci algebraicznych, majacej wyjasnic teoryl liczb urojonych. U Kr onec k e ra zasada ta wyplywa z ogolnej teoryi arytmetycznej wielkosci algebraicznych, kt6ra znakomity uczony przedstawil przed dziewitciu laty w slawnej rozprawie poswieconej K u mm e r o wi i ktora% w szeregu dalszych prac swych rozwija. Waine i gltbokie pomysly, zawarte w tej pracy, jednoczace z soba rozlegle dziedziny badal' arytmetycznych i algebraicznych, pozwalaj % wzniesc si na ogolne stanowisko, z ktorego poszczeg6lne teorye, j akie przedstawilismy w artykulach poprzedzajacych, stanowia tylko pojedynicze fragmenty'0. 20. NORMY, WARTOSCI BEZWZGLI~DNE I MNOGOSC LICZB UROJONYCH. Noram liczby zespolonej a + bi nazywamy wyrazenie a2-+b2, Co wyrazamy w ten spos6b: Na(a+bi) - a2+b. Norma liczby a -+ hi rowna sic iloczynowi liczby a + bi przez wzajemnie z ni4 sprzgzonq a-bi. Liczby a-b i, a-bi. -a- hi, -a-bi, maja oczywiscie normy rowne. Poniewaz iloczyn liczb urojonych (a —bi) (a —b'i) r6wna sit aa' -- bb' - (ab' + a'b)i norma przeto iloczynu bedzie (aa' -- bb)2 + (ab' + a' b)2. To wyrazenie jest tozsamosciowo r6wne wyrazeniu (a2'- + )(a'2+b2) a zatem norma iloczynu rowna sie iloczynowi norm czynnik6w. Wlasnosc tt mozna latwo udowodnic dla jakiejkolwiek skoficzonej liczby czynnik6w.

Page  133 20].ORMA I MNOGOS( LICZB UROJONYCI1. 133 tWartoscia bezwzglfcdn liczby urojonej nazywamy wartosc dodatnia pierwiastka kwadratowego jej normy; warto6s tg, nazywanS dawniej modulem liczby urojonej, oznaczamy wraz z W e i e r s t r a ss m w ten sposob I a-+bi - =Va2-+b2 Z okreslenia tego wynika, ze liczby a - b i, a - b i, -a + bi, -a - bi majaa wartosci bezwzgldne r6wne; ze wartolsci bezwzgldna liczby rzeczywist6j — a [zgodnie z okresleniem w art. 17.] jest a, wartoscia bezwzgldna liczby +bi jest b. Do wartosci bezwzglclnych liezb urojonych stosuja sit nastgpujace twierdzenia: I. Wartosc bezwzgltdna sumy dw6ch liczb urojonyeh nie jest mniejsza od r6onicy a nie witksza od sumy wartosci bezwzgldnych skladnik6w. II. Wartosc bezwzgltdna iloczynu liczb urojonych r6wna sic iloczynowi wartosci bezwzgltdnych czynnik6w. III. Wartosc bezwzgldna ilorazu dw6ch liczb zespolonych r6wna sie ilorazowi wartosci bezwzgltdnIych dzielnej i dzielnika. Dow6d tych twierdzel' jak i dalsze rozwinigcie opartej na nicli teoryi znalezc mozna w podrccznikach Algebry i Rachunku wyzszego'l. Powiemy tu tylko, ze przy dowodzie tych twierdzeil elementarnych nale2y pamitta6 o tem, iz stosowanie ich w przypadku niewymiernosci liczb wymaga naturalnie uprzedniego ustanowienia dzialaii nad liczbami niewymiernemi. Jezeli ograniczymy sie na dziedzinie liczb zespolonych wymiernych, to jest takich liczb a+bi, dla kt6rych a i b sa liczbami wymiernemi dodatniemi lub ujemnemi, ogol ktorych nazywa D d ek in d "cialami liczbowemi wymiernemi drugiego stopnia, lub "cialem kwadratowemi wymiernemi,,, to zamiast wartosci bezwzglgdnych, kt6re sa wymiernemi lub niewymiernemi, poslugujemy sit normami, kt6re sa zawsze wymiernemi. Mozemy z latwosciea wykazac, ze mnogosc wszystkich liczb zespolonych wymiernych jest r6wnowazna mnogosci nieskoliczonej liczb calkowitych [por6wn. str. 60.] W samej rzeczy, wyobrazmy sobie, ze norma przyjmuje kolejno wszystkie wartosci wymierne, uporzddkowane w szereg odliczalny.

Page  134 134 CZS4C I. ROZDZIAL V. o kt6rym mowimy w art. 14. Do kazdej wvartosci normy a2+-^2 do bierzmy wartosci wymierne liczb a i b [o ile sie znajduja], nie opuszczajqc 2adnych. Liczba wartosci dla kazdej skoliczonej wartosci normy bedzie oczywiscie skoiczona; wypisuj ac wic naj prz6d liczby a -+ i, odpowiadajqce pierwszej wartosci normy, nastepnie liczby, odpowiadajqce drugiej i t. d. bedziemy po kolei wypisywali wszystkie i otrzymamy mnogosc odliczalna na szeregu 1, 2, 3-.. Do tego samego wyniku dochodzimy na podstawie uwagi, ze mnogosci zlo2onej z elementow a 4- bi, nusi olpowiadcla ta sama liczba kardynalna, jaka odpowiada ka2dej z dwoch mnogosci a i li; kamda zas z nich jest r6wnowaz2n mnogoSci liczb calkowitych dodatnich. 1 Sniadecki, Rachunku algebraicznego teorya przystosowana do linij krzywych. Tom I. str. 69. 2 G a u s s, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Por6wnl. E. N e t t o, przeklad niemiecki tej rozprawy 1890. [O stwal d's Klassiker der exacten, Wissenscchaften N. 14. str. 6-7.] W r o is k i, Introduction etc. str. 167-168. 4 G au s s. Werke II, str. 174. Arg and, Essai sur la maniere de representer les quantites imag'inaires dans les constructions geometriques, 1806. Wydanie drugie o iiela, 1874. 5 aa uchy. Analyse algebrique, 1821. str. 173 i dalsze, Exercices d'analyse et de physique math6matique, IV. 1847., str. 87. 6 Wedlug pogladu Diihrin ga [Neue Grundmittel und Erfindungen, str. 26 - 54], liczby urojone sa tylko dalszem skomplikowaniem niemozliwosci, jaka przedstawiaja juz liczby ujemne; liczba czysto urojona nie wyraza, zdaniem jego, nic wiecej nad to, ze pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej jest niemozliwoscia. To polaczenie znaku pierwiastka kwadratowego ze znakiem - jest niejako nowym znakiem VT —, kt6ry D iihr i n g pisze wprost V- lub F. Znak ten, postawiony przed wielkosciami, wyraza odejmowanie, o kt6rego wykonalno6s wtedy dopiero pytad mozna, gdy przez podniesienie do kwadratu przywracamy warunki mozliwosci. Caly rachunek nad liczbami urojonemi jest tylko przeprowadzeniem biegu mysli przez niemozliwos6. Niemozliwosc, oznaczona za pomoca r, wynika juz wprost z r6wnania z -2= a, z kt6rego otrzymujemy y= a-z. Jezeli z ma warto6s wieksza od a, to liczby, zados6czyniacej r6wnaniu, niema, a zatem y' I__a — wyraza niemozliwo~c, ktora piszemy pod postacia y_= V-1 Tz —a lub

Page  135 PRZYPISY. 135 V- Vz —a lub wreszcie r(z —a), gdzie z - a jest wielkoscia bezwzgl9 -dna. Nazywajac te wielko6sprzez v, mie6 bedziemy z- (F)2v2 - a, albo — va2=a, a kladac zn6w tu y za v, otrzymujemy rownanie z —y2=a w miejsce poprzedzajacego r6wnania z+y2 —a. Stad, tak samo jak przy liczbach ujemnych, wynika, ie naleiy uiywa6 dw6ch r6wnaii, jeieli chcemy obej6s sie bez uiywania znak6w liczb urojonych. Oba r6wnania z -y2 = a, z-y= —a przechodza jedno w drugie, jeieli uczynimyy urojonem; kt6rekolwiek z nich moina uwazac za glowne, og6lne, drugie zas jako przypadek szczeg6lny. Jeieli wigc mamy r6wnanie z+w2 = a, to w ni6m w moze oznacza6 albo wielkosci bezwzglgdne albo wielkosci, opatrzone znakiem niemoiliwosci F, a w1asciwie dwoma takiemi znakami ' i -r; w pierwszym razie r6wnanie to przedstawia z+y ---a, w drugim z-y2-a, gdzie y jest jun wielkoscia bezwzglgdna. Tei same uwagi poczyni6 moina o rownaniu x +-y2-=r2, kt6remu odpowiada przytnm interesujaca interpretacya geometryczna, a mianowicie przechodzenie kola na hiperbole i odwrotnie. Liczba zespolona, zloiona z dw6ch czgsci rzeczywistej i urojonej, jest, jak si9 wyraa D ii h r i n g, pojgciem jasnem jak slofice [ein sonnenklarer Begriff]; jest ona ztozona z dw6ch czsci, kt6re nalezy uwaiza za r6ine pod wzglgdem zwiazk6w, w jakie wchodzi w rachunku nad wielkosciami; znak V-l, znajdujacy sie przed czgscia czysto urojona, przypomina wykonanie tego, co powiedziano wyzej o znaczeniu tego znaku. Liczba a+b V1-i wyraza sie geometrycznie za pomoca sumy dw6ch odeink6w a i b na osi odcigtej, w kt6r6j to sumie wszakze odcinek b nie traci swego znaczenia, wskazanego znakiem V-i, ukazujacym zwiazek rachunkowy z innemi wielkosciami. Geometryczne przedstawi.enie G a u s s a D it hI r i n g odrzuca. Teorya, zblizona do teoryi Diihri n g a ogtosit niedawno S. V e c c h i: L'essenza reale delle quantita ora dette immaginarie e. c., 1890. 7 Wedlug Lips c h i t z a [Lehrbuch der Analysis I, 1883. str. 75, 76], do liczb urojonych prowadzi uwaga, ze suma dw6ch kwadrat6w a +- b2 nie moze by6 przedstawionl, jako iloczyn dw6ch czynnik6w rzeczywistych stopnia pierwszego wzgledem a i b; aby rozklad ten umozliwic, wymyslono symbol i odpowiedni rachunek, przez kt6ry rozklad taki staje sieformalnie mozliwym. Wyrazenie a2 - b z2 r6wna sig iloczynowi dw6ch czynnik6w (a- b z) i (a+b z). Jeieli wigc przyjmiemy, ze z oznacza symbol, przy kt6rym prawidla mnozenia wyrazefi dwumiennych nie ulegaja zmianie, to kladac w wyniku inozenia Z2 r6wne -1, otrzymamy oczywifcie rozklad liczby a2+bs na dwa czynniki a-bz i a+-bz. Symbol z r6wny 1/-1, oznaczany zwykle przez i, daje rozklad formalny: a2 + b2= (a-bi) (a + bi) Wog6le zagadnienie o przeksztaleeniu wyrazelf algebraicznych stano.

Page  136 136 CZk^ I. RO3DZIAL V. wi wedlug L ip s chi t z a, ir6dlo, z ktorego wyplywa teorya liczb urojonych i nadurojonych. Potrzeba utrzymania ogolnosci twierdzef, odnoszacych sie do tych przeksztalceii, prowadzi do symbolow, umozliwiajacych t~ ogolnosd. Mysl te rozwinal szczeg61owiej L i p s chit z w badaniach swych nad sumami kwadratow [Untersuchungen ueber die Summen von Qnadraten, 1886.] w kt6rych podaje teorya liczb urojonych zwyczajnych, kwaternionow i liczb urojonych wielowymiarowych. Sir R. W. Hamil ton, [por6w. str. 121] wychodzi z uwazania par czyli dw6jek [couples] (a, b), w kt6rych a i b sa liczbami rzeczywistemi. Dla przypadku b-0, uwazamy (a, 0) za liczbe rzeczywista a. Dwie dw6jki (a, b) i (c, d) uwazamy za r6wne, jezeli a =c, b6d Stud wynika, ze dw6jka (a, b) jest rowna (0, 0)= 0 tylko wtedy, jeeeli a =0, b 0. Dodawanie okreslamy za pomnoca wzoru (a, b) -(c. d) (a+c, b- d), iloczyn za pomoca wzoru (a. b). (c, d)==(ac - bd, ad - bc). Kladac w ostatnim wzorze a = c = 0, b =d=1, otrzymujemy (0, 1). (0, 1) _ (-1, 0) -1. Oznaczajac dw6jkq (0, 1) przez i, mamy i2 --- 1. Poniewaz wedlug powyzszych okreslefi: (a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1), mozemy przeto dw6jke (a, b) przedstawid pod postaciz a+-bi. Podana przez Lercha we wspomnianej wyzej rozprawie [1886] teorya liczb urojonych niczem sih nie r6oni od teoryi H am i l t o n a. 8 Por6wn. M o 1 k, Sur une notion qui comprend celle de la divisibilite et sur la theorie g6enrale de l'elimination [Acta mathnematica, VI, str. 7, 8] 9 Por6wn. Pincherle 1. c. str. 205 -210. Biermann 1. c. str. 44 - 47., a takze K o s s a k, Die Elemente der Arithmetik, 1872 str. 25-26. 10 Kr o n e ck er, Grundziige einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen [Journal fiir die reine und angewandte AMathematik, XCII, 1882.]; Molk i t. d, jak wyzej. n Np. w Zasadach Algebry wyzszej Z a j ac z k o w s k i e g o, 1884 lub w Zasadach Rachunku r6zniczkowego i c~lkowego F o k i e r s k i eg o, 1870.

Page  137 ROZDZIAL VI. LICZBY ZESPOLONE WYZSZE. 2. ROZWOJ POJ]iC O LICZBACH NADUROJONYCII. Liezby zespolone wy2sze, inaczej nadurojone lub wielowymiarowe stanowia jeden z najnowszych nabytk6w w dziedzinie badail matematycznych. Doprowadzila do nich naturalna droga uogolnien, ktora ujawnila sig przedewszystkiem w usilowaniach, skierowanych ku znalezieniu narzedzia do badania form geometrycznych w przestrzeni, analogicznego do narztdzia, jakie dla geometryi na plaszczyznie stanowia liczby urojone zwyczajne. Hamilton, Grassmann i Scheffler niezaleznie od siebie pytanie to podjgli i w sposob odmienny rozwiazali. Badania Hamiltona, rozpoczgte jeszcze w r. 1833, doprowadzily go do utworzenia skupieni, zlozonych z n liczb rzeczywistych, tak nazwanych "sets,, ktore sia uogolnieniem par czyli dwojek, na ktorych oparl teorya liczb urojonych zwyczajnych [por6wn. str. 1361. P6oniej wszak2e, majac gl6wnie na celu zastosowania rachunku do badania figur i ruchu w przestrzeni, zatrzymal si9 na liczbach czterojednostkowych i stworzyl rachunek tak zwanych kwaternionow, ktory rozwintl znakomicie w szczegolach i wa2nemi opatrzyl zastosowaniamil. Gr a s smann rozpoczal r6wniez od rozwazai natury geometrycznej i uogolniajac pojecia dzialan i konstrukcyj, nadal bardziej abstrakcyjny charakter poszukiwaniom swoim, ktorych owocem bylo utworzenie nowej nauki, stanowiacej organiczna i pieknie zbu

Page  138 138 CZg,6 I. ROZDZIAE V. [21 dowana calos6. Nauke t9 nazwac mozna ogoln% teorya rozmaitosci albo geometrya wielowymiarowa, wysnuta z zalo2eii najog6lniejszych, a nie ograniczona postulatami, charakteryzuja cemi geometrya zwykla. Ta ostatnia w stosunku do nauki G r a s s m a n n o wskiej stanowi przypadek specyalny, albo, jak chce sam Grassm a nn, zastosowanie jego nauki og6lnej do naszej przestrzeni [por6w. art. 4.]. To, co m6wimy o nauce Gra s smannowskiej, stosuje sig przedewszystki6em do tej postaci, jaka nadal j6j w pierwszem dziele z roku 1844. [wydanie drugie z r. 1878]. W dziele drugi6m z r. 1862 te same pomysly przybraly inna szatc, a mianowicie wystgpuja jako system nauki o liczbach [wielkosciach]l n-wymiarowych, kt6ra obejmuje w sobie teoryaq dziatafi i rachunku nad formami liczbowemi najogolniejszemi, ktora zatem jest niejako Algebra powszechna- [universal Algebra, jak ja nazywa S y 1 -vester] 2 Na innej znowu drodze usilowal rozwiaza6 S c h e f f e r zadanie o zastosowaniu form liczbowych do geometryi3. Metode jego mo2na uwaza6 za rozwiniecie pomyslu A r g a n d a [art. 18.], wedlug ktorego /- 1 wyraza obr6t w plaszczyznie xy od dodatniej czSgci osi r do dodatniej czesci osi y. Jezeli idzie o przedstawienie figur w przestrzeni, trzeba wprowadzi6 nowy znak 1/-1 na oznaczenie obrotu w plaszczyznie yz od dodatniej cztsci osi y do dodatniej czesci osi z. Tym sposobem punkt w przestrzeni, ktorego wsp6orzedneni w ukladzie prostokatnym sa x, y, z, a wlasciwie promieli wodzacy tego punktu wyra2a sig u S c h e f f 1 e r a w spos6b nastgpuj cy: r - +y 1/ —1 - +Z /-1 1/- 1 Wspomniane w art. 18. pytanie G a u s s a o stosowalnosci prawidet dzialani arytmetycznych do liczb wiecej niz dwumiarowych pobudzilo matematykow do zastanowienia sie nad natura tych liczb i dziatali nad niemi. Pierwszy, o ile wiemy, na pytanie to odpowiedzial H a nk e 1 w r. 187,, w wielokrotnie cytowanej pracy, wykazujaac, 2e uklad liczb zespolonych wyzszych [to jest wiecej niz o dwu jednostkach zasadniczych], w kt6rym iloczyny jednostek saq funkcyami liniowemi tych jednostek, podlegajacy wszystkim prawom dziala'i Arytmetyki zwyklej, a wiec i warunkowi, aby iloczyn dwoch czynnikow stawal sig zerem tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynnik6w jest zerem - taki uklad nie istnieje4. Czyli m6wiac inaczej,

Page  139 21] POJCIA O,ICZBACII NADJUROJONYCI. 139 tylko uklady liczb jedno i dwuwymiarowych czynic moga zados6 wszystkim powy2szym wiasnosciom, przy wiekszej zas liczbie jednostek zasadniczych iloczyn mo2e bye zerem, gdy czynniki sa od zera r62ne. Ten sam przedmiot podjt V e i e st r a s s jeszcze przed H a nk e 1 em w wykladach uniwersyteckich w roku 1861/2, ale spostrze2enia swoje oglosil dopiero w r. 1884 5. Bada on, w jaki spos6b mo2na okreslic dziatania w dziedzinie liczb o n jednostkach el, e2...en, aby, je2eli a, b, c. s4 dowolnemi liczbami tej dziedziny, liczby a a+b, a-b, ab, nale2aty tak2e do niej i aby dzialania arytmetyczne czynily zado6s warunkom: a+-b -+a, (a+b)c -= (a+c)+-b, (a-b) +- ba a ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b + c) - ab +- ac, -- b=a. Wynik tych badall jest nastepujqcy: Wprowadzenie liczb zespololonych wy2szych do Arytmetyki nie jest nieuzasadnion6m, lecz jest zbytecznem, bo Arytmetyka tych liczb nie mo2e prowadzic do 2adnego wyniku, ktorego by nie mo2na otrzyma6 za pomoca teoryi dzialaii w ukladzie liczb jedno i dwuwymiarowych. D e (ikin d wrozprawie, ogloszonej w r. 1885fi, badajac ten sam przedmiot, dochodzi do podobnego wyniku, wychodzec wszak2e z odmiennego pogladu na istotC liczb zespolonych. Poglad ten stresci6 mo2na w ten spos6b: Niechaj bedzie uklad n12 liczb e, (\), [,s - 1, 2... nl, takich, ze ich wyznacznik jest r6ony od zera. 1-0 wyznacznikach mowimy w art. 26.. Uklad n jednostek -e1 e 2... e! ma bye wielowartosciowy w t6m znaczeniu, ze mo2e przedstawiac ktorykolwiek z n uklad6w el(), e i),...,e,); s 1, 2... n. Nale2y to rozumiec tak, 2e ka2de rownanie, zawierajace. obok liczb rzeczywistych i urojonych zwyklych, liczby el, e2.. e,, wtedy tylko mo2e bye uwa2ane za prawdziwe, jezeli utrzymuje sic, gdy

Page  140 140 CZF16 I. tOZuzIAt Vi. [21 w miejsce e1, e.. e,, podstawimy odpowiednie liczby ka2dego z powy2szych n uklad6w. Ot6z, wedlug pogladu D e e k i nd a, uklad liczb a el + ca e, +... Ca, e,, winien bye uwa2any za przedstawiciela n uklad6w liczb zwyczajnych, rzeczywistych i urojonych. Kr o n e c k er w najnowszej swej pracy, poswitconej liczbom zespolonym 7, wykazuje, ze teorya dzialail nad niemi sprowadza sic si9 do oznaczenia w spos6b najog6lniejszy 1 v (v-l1) funkcyj calkowitych IV, N", N'"... postaci y/ y/ - C( h'1)-c1(' ) -...-, (' k [ k, hk 1, 2... zale2uych od v zmiennych nieoznaczonych l, Y2,..,, aby czynily zadosc kongruencyi F(yy,y2,...-y)= CO C y1 + C2yj2 +...- C,,y (modd. ', N", '...) w kt6rej strona pierwsza wyraza jakakolwiek funkcya calkowita zmiennych yl, y2...y, na stronie zas drugi6j C0, C.... Cv sv wsp6oczynnikami oznaczonemi, od zmiennych niezaleznemi. Wedlug tego pogladu zatem teorya liczb zespolonych wyzszych sprowadza sit do badania arytmetycznego funkcyj calkowitych. Wyniki, do jakich dochodza ostatni trzej badacze, zdaja sie dowodzid zbytecznosci nowego narzedzia, jakiem saq liczby zespolone wyzsze. Ale wniosek taki bylby, zdaniem naszem, zbyt pospieszny. IMo2no61 sprowadzenia dzialafi nad liczbami zespolonemi wy2szenii do dzialan nad liczbami rzeezywistemi i zespolonemi zwyczajnemi nie moze przesadzac kwestyi uzytecznoscipierwszych,podobniejak mo2nosc sprowadzenia rachunku na liczbach urojonych do dzialaii nad liczbami rzeczywistemi nie przeczy zupelnie u2ytecznosci i wa2nosci liczb urojonych. Owszem, dopiero wprowadzenie tego ostatniego algorytmu pozwolito na uogolnienie zasadniczych twierdzeli Algebry, nadalo nowa postac catej Teoryi funkcyj, wzbogacito Teorya liczb, - jednem slowem, otwarlo nowe i rozlegle widoki badali. Liczby zespolone wyzsze, jako nowsze, nie zdolaly dotad rozpowszechnic sie w badaniach; sadzimy wszakze, 2e rachunekkwaternion6w, kt6remu i sam D e d e k i n d nie odmawia znaczenia 8, a jeszcze bardziej rachunek Gr as s m a n n a stanowia potg2ne i bogate w zastosowaniu metody. Je2eli dodamy jeszcze, ze L i p s c h i t z9 zastosowal nieda

Page  141 21] POJIJCIA 0 LIOZBACH NADUROJONYCH. 141 wno te formy liczbowe do teoryi przeksztalceli form kwadratowych, 2e S c h u r10, S t u d yll i S c h ef e r s12 stosuj a z powodzeniem uklady zespolone wy2sze do jednej z najnowszych gatezi nowoczesnej nanauki, do tak zwanej Teoryi grup przeksztalceni L i e'go, zajmujacej wa2ne stanowisko wsr6d metod Rachunku wy2szego, to nie bhdziemy watpili o donioslosci nowego narztdzia, ktorego u2ytecznosci zreszta nie wyprobowano dotad w r2onych dziedzinach. Sam G r as sma n n wskazal scisly zwiazek jego nauki z teorya niezmiennikow13, a sadzimy, ze zastosowanie wylozonych w drugiej czesci jego dziela z r. 1862 zasad nauki o funkcyachliczbwielowymiarowych, najmniej mo2e dotad znanej, przyczyniloby si~ bezwatpienia do wzbogacenia Teoryi funkcyj. Pole to otwarte i wdzieczne do uprawy dla tych, kt6rzy zglebia swietne i gltbokie pomysly G r a s s manna. W Arytmetyce wyzszej liczby zespolone staly sie narzddziem wa2nem i u2ytecznem; w tej wszakze dziedzinie liczby wielowymiarowe maja charakter odmienny od liczb zespolonych o n jednostkach e, es... e, niezale2nych, to jest niezwitzanych z soba r6wnaniem liniowem; sq one postaci a=a r+ + al.' + ~+ OC,H-1 r", gdzie rl, r... rs, s pierwiastkami r6wnania stopnia n-go: I r =_ 1. Je2eli r jest pierwiastkiem pierwotnym tego r6wnania, to pozostale pierwiastki sq jego potegami calkowitemi i liczba a mnoze bye przedstawiona pod postacia a -a, -4- a, r +-... - a,, r"-1 Dirichlet, Ku mimer, Eisenstein, Dedekind i inni roz. winli teorya tego gatunku liczb calkowityclh4. Inne zastosowanie liczb zespolonych tej postaci wskazal D ai ir i n g. Wedlug pogladu, kt6ry rozwinal w kilkakrotnie cytowanej juz pracy, liczby r, r2... r"-l odgrywaja role znakow, podobna do tej, jaka maja znaki + i - i jak4 wedlug jego teoryi odgrywa znak 1 - 1. R6wnanie, w kt6rem wystgpuja liczby, opatrzone podobnemi znakami, wyra2a zwiazek pomiidzy formsllli o r62nej liczbie wartosci, rozpada sie na pewna liczbt innych r6wnail pomigdzy liczbami dodatniemi. Zasada ta stanowi podstawe metody rachun

Page  142 142 CZE6 I. ROZDZIAL vI. [22 kowj, kt6ra Dii h r i ng nazwal "rachunkiem wartosciowosci,, [Werthigkeitsrechnung] 15. 22. TEORYA WEiERSTRASSA. Liczba n-wymiarowa o jednostkaeh zasadniczych e1, e... e,, wyra2a sig pod postacia a = a1 e1 -t a 2 e+ -.. a-* en --- ai ei. Liczby rzeczywiste a1 a2... a,, mo2na nazwac wsp6lrzfdnemi liczby zespolonej a. R6wnosc liczb zespolonych, a mianowicie liczby a i liczby b == P el +f2 +l. + 8,, e,= - l ej ma miejsce wtedy i tylko wtedy, je2eli odpowiednie wspol6rzdne sa r6wne, t. j. jezeli a1 =- /, a2 == 2... a;,, =fl. Wynika stad, 2e liczba zespolona a jest rowna zeru wtedy i tylko wtedy, jeieli ka2da z j6j wsp6orzqdnych jest zerem. Sume dwoch liczb okreslamy za pomoca wzoru a+b = 2 (a, + P,) ei, skad wynika, 2e dodawanie jest lqcznem i przemiennem i 2e r6onice dwoch liczb otrzymuje sig wedlug wzoru a - b = (: (a,-f) e,. Iloczyn dwoch liczb a = a, e, i b =- ' fl, en, na podstawie prawa rozdzielnosci, bgdzie ab = ~ a, af e, e, - a, f,, e, e:, X=1, 2... n Jezeli chcemy, aby iloczyn nale2al do dziedziny danej, to jest, aby byl liuzba postaci tej, jaka maja czynniki, winnismy przyjac, 2e iloczyny jednostek e, i e, daja sie wyrazic jako funkcye liniowe jednostek zasadniczych, a mianowicie, 2e e,e, = Z J, i,, ee, s, X = 1,2.1.. n,

Page  143 22] TEORYA WEIERSTRASSA. 143 gdzie i,,,, sa liczbami rzeczywistemi; otrzymamy tedy ab= b S 1s,,, >C a, P e= C r, ip,z a, /3 es. Zal6omy dalj, ze mnozenie liczb badanych jest laczne, to jest, ie posiada wlasnosci (ab)c = a(bc) (e, e) e;. — e, (e. e;) Wstawiajac w ostatnie r6wnanie w miejsce iloczynow ei e,, e. eA ich wyraienia powyisze, a nastgpnie por6wnywajae wsp6lezynniki po obu stronach otrzymanego zwiazku, dochodzimy do warunku S.s (,,,s A= ~ 'Vs,, gdzie o, i, x, A przybieraja wartosci 1, 2,.... Je2eli zalozymy procz tego przemiennosc mnozenia jednostek, wyrazajqcq sie wzorem e, e, - e. e,, znajdziemy r6wnania warunkowe Iloraz dlw6ch liczb zespolonych a i b ma czynic zadosc r6wnaniu a b.b a. Oznaczmy ten iloraz przez c i za16omy, 2e jest postaci c= y 7es' bedzie zatem 2 y7 e. Y l t e. -- a, e5 Wykonywajac mnozenie wedlug otrzymanego wyzej wzoru, bedzie my mieli S rfsL,:y 3Xl e, -= - as e, stad dla oznaczenia szukanych wspotrzednych y,, mamy uklad r6 -wnan Z s,it, x yt i = as (,% s 1=, 2... n

Page  144 144 CZSO6 I. ROZDZIAL VI. [22 R6wnania te sa liniowemi wzgledem wspolrzednych y; z teoryi r6 -wnani liniowych wiadomo [por6wn. art. 26.], ze mo2na niewiadome oznaczyc, jezeli tylko wyznacznik ukladu, kt6ry oznaczmy przez nie jest toisamosciowo rowny zeru. Przy takiem zaloieniu mo2na znalezc uklady wartosci dla liczb y7, Y2.. yl, przy kt6rych dzielenie liczby a przez liczbe b daje iloraz oznaczony. Gdy zas wyznacznik A jest zerem, wtedy dzielenie jest mozliwe tylko wtedy, je2eli pomiedzy a,,... a, zachodzi pewien zwiqzek okrelony; w6wczas zas iloraz ma nieskoiczenie wiele wartosci. Warunek, by wyznacznik A nie byl tozsamosciowo zerem, spelnia6 sie mo2e w ogolnosci, mimo to wszak2e istniec mogai pewne szczeg6lne wartoeci wsp6orzednych ll, f2,.., %, przy kt6 -rych wyznacznik jest zerem. Liczba b o takich wsp61rztdnych fil f2 -. /Pn ma tt wlasciwosc, ze moina do niej dobrac inna liczbe zespolona c, ro6na od zera, aby iloczyn liczb b i c byl r6wny zeru, t. j. aby bylo he - 0 Liczbe b nazywa W e i e r strass dziel,'ikiem zera. Dzielnik zera, pomnozony przez liczbt dowolnq, jest takze oczywiscie dzielnikiem zera6. Istnienie dzielnik6w zera, od zera r6onych, stanowi, wedlug W e i e r st r a s s a, istotna r6onict pomiedzy Arytmetyka liczb zespolonych wyiszych a zwyczajna. Ta uwaga zgadza sit z przytoczonem w poprzednim artykule twierdzeniem H a n k ea, ze w ukladzie liczb zespolonych wy2szych, w ktorych iloczyny jednostek sa funkcyami liniowemi samych jednostek, iloczyn dw6ch czynnikow moze bye zerem, jakkolwiek zaden z czynnik6w nie jest zerem7. Je2eli zalozymy, ze wyznacznik nie jest tozsamo~ciowo zerem, to mozemy wykazac, iz w ukladzie naszym istnieje liczba e,, posiadajaca wlasnos6, wyrazona r6wnanienm eo a - a e -- a, gdzie a jest liczba dowolna. Ta liczba eo jest modulem mnozenia.

Page  145 221 TEORYA WEIERSTRASSA. 145 W samej rzeczy, jezeli wyznacznik A nie jest toZsamosciowo zerem, w takim razie iloraz a/a jest oznaczony. Na podstawie okreSlenia.dzielenia bedzie a - a == a a skad wynika, zc a/a jest wlasnie owym modulem e,. Latwo teO widziec, ze tak okreslona liczba eo r6wna sie takze b/b, gdzie b jest liczba od a r6ozn. Kladac bowiem b - ka, znajdziemy zawsze liczbe k, jezeli wyznacznik A nie jest zerem; bcldzie zatem: be =- (lea) eo = k (aet,) -= a = b, skid 0/e = b, b b Jak w teoryi liczb zespolonych zwyczajnych wprowadzalismy nowe jednostki g i h zamiast pierwotnycl el i e2 [art. 19.], podobniez i tu mozna w miejsce n jednostek e1, e... e,, wprowadzic n liczb go, gl. ~ g.-., nalezaqcych do tej samej dziedziny, a to nastepujacym sposobem: Niechaj bedzie liczba zespolona 1. g = e + 2... e2., ~. Zapomocanmnozenia i przy zato2eniu wzor6w, wyrazajacych iloczyny jednostek, mozemy otrzymac kolejne potegi liczby g, wyra2one w postaci: g = 1() e1+ 2- () e, +...+,, e,, 22 _ 1(2) el + ~(2) e~ +... +~,, (2%e,, 2...... 2 + 2. q17 = l('')e, +,)eI +.. 2 ++.")e,, gdzie 10(1), (21),...,() napisalismy w miejsce 1, '...,,. Z tych n rownafi, jezeli zalozymy, ie wyznacznik 1(1), ~,(l',...,,(1) ^3. ^~1(2) ~l(2),... 2).. )..........1 t17) 2(2 *** t 71 l'ojqcia, T. I. 10

Page  146 146 CZ4e^ I1. HOZDZIAL VI. [22 nie jest to2samosciowo zerem, mo2emy wyrazic jednostki el, e2...e,, jako funkcye liniowe liczb g, g2,... g,. Poniewaz na podstawie r6wnali 2. potegi liczby g wyzsze od gn dajq sie wyrazic jako funkcye liniowe poteg ni2szych: g, g2... g1, mozemy wiec napisac g1?+l - - ~l -.9 + e-g -- 0, gdzie el, E2... e, sS pewne liczby rzeczywiste. Dzielqc obie strony przez g i zwazajac, ze g e g 05 gdzie eo jest modulem mnoze.nia, otrzymujemy 4. g' + ei gn-I + E2 91-2 +... + _}_ e eo 0. Wprowadzmy w miejsce jednostek e1, e2,..., e,, nowe jednostki g90 gl, g2, * *, g -1; ~g5. -,) eo, g -0 gt,, ^= 1, 2... n-1. Poniewaz jednostki el, e2,..., e,^ wvyrazaja sic jako funkcye liniowe liczb g, g"2,., g, a wiec na mocy rownania 4. i okreslen 5., bcdziemy mogli jednostki el, e,..., e, zastqpic funkcyami liniowemi jednostek go, g1...,g-1, a kazda liczba a, do nasz6j dziedziny nale2zca, da si9 przedstawic pod postacia a - y asgy, s -- 0, 1, 2,..., n-1. Iloczyn dw6ch takich liczb a = — 2a, q i b -=, g, btdzie -b =: ag,..2Y f gs= (af p)gt+,t, t, t t, u =, 1, 2,..., n-1. Liczby gt+u - gt+?, gdy t + u > n- 1, sprowadzamy na podstawie powy2szego do poteg ni2szych, tak ze ostatecznie iloczyn ab przybierze posta6 S7ysg.; s-O0, 1, 2,...,n-1. Mnozenie to, jakie przy ukladzie jednostek go, q1,..., gy,, wykonywamy, mo2na, poslugujqc sig niekt6remi twierdzeniami Algebry, scharakteryzowa6 w spos6b nastpuqjqcy:

Page  147 221 TFORYA WEIERSTRASSA. 147 W r6wnaniu 4. napiszmy s w miejsce g, gdzie ~ ma oznaczac zmienna jedno- lub dwuwymiarowa, 1 zas w miejsce eo, otrzymamy wtedy funkcya f() = 1 +E -n-1+ E2 + -... + E. Liczbe a -= 2 asgs i funkcya calkowita Js as S nazwijmy odpowiadajacemi sobie wzajemnie. Jezeli mamy dwie liczby 2 a, gs i 2fisgs, to iloczyn ich, r6wny (at fu) gt+., przy pomocy r6wnaii 2. sprot,u wadza sit, jak wiemy, do postaci V ysg,. Jezeli liczbom a i b odpowiadaja funkeye as s i ZS ts, to funkcya, odpowiadajaca iloczynowi ab, jest 2 (at pf)~t+t; ta funkcya zas przy;pomocy rownat, u nia /($) 0 sprowadzic sie daje do postaci 2 ys s. Widzimy zatem, 2e, aby otrzymac funkcya, odpowiadajtcaf iloczynowi, nalezy pomnozyc przez siebie funkeye, odpowiadajace czynnikom, iloczyn podzielic przez funkeya f($), a reszta, pochodzaca z tego dzielenia, bedzie funkcya, odpowiadajaea iloczynowi ab. Na tej podstawie uskuteczni6 mozna podzial liczby zespolonej na scladowe, z kt6rych ka2da zmienia sit w dziedzinie jedno lub dwuwymiarowej. W samej rzeczy, niechaj liczbie 2 asg, odpowiada funkcya p9(s) stopnia niewy2szego od n-1. Iloraz ),wedlugteoryi rozkladu ulamk6w na ulamki czesciowe, jezeli zalozymy, ze funkcya f() nie posiada pierwiastk6w wielokrotnych, daje sie przedstawic w ten sposob: (1) _- 1() + 2( - + r$) 7() JA (~) l2().. fr() Tu ka2dy z licznikow qp,($) jest albo staTa albo funkcya liniowa, ka2dy zas mianownik f,,() jest odpowiednio funkcya pierwszego lub drugiego stopnia zmiennej f; jest przytem f(M) =/f1()./ ( ) ~* ~ *f,'()' gilzie czynniki po stronie drugiej sa wszystkie r62ne. Otrzymujemy zatem J,- ) \

Page  148 148 czISC 1. ROZDI.IAL VI. [22 skad wynika, ze funkcya 9p (s), odpowiadajqca danej liczbie zespolonej, jest suma funkcyj z kt6rych kazda odpowiada liczbom, zmieiajacym sic w dziedzinie jedno lub dwuwymiarow6j. Wsamej rzeezy, mo2na wszystkie liczby, nale2zce do powy2szej funkcyi, otrzymac, gdy czynnik f,, ($) jest f (^) stopnia pierwszego, z liczby, odpowiadajacej funkcyvi gdy zas jest stopnia drugiego-z dwoclh liczb, odpowiadaj iscych funkcyom f(O) f($) /l, (~) ' f, ) ' Ka2da wiec liczba zespolona a moze by6 przedstawiona jako suma r liczb zespolonych a, a,... a,., nalezcych do dziedzin czlstkowych, kt6re nazwijmy G1, G2...., G,..Mona dowiesc: 1. ze liczba a jest zerem wtedy i tylko wtedy, jezeli kazda ze skladowych jest zerer; 2. ze liczba a jednym tylko sposobem moze by6 rozlo2onqa na skladowe w uwa2anych dziedzinach; 3. 2e iloczyn dwochl liczb, nale2zcych do dwoch r6onych dziedzin czqstkowych, jest zawsze zerem; 4. 2e iloczyn dwoch liczb, nale2zcych do jednej dziedziny czqstkowej, jest zerem tylko wtedy, je2eli jeden z czynnik6w jest zerem. Niechaj skladowemi modulu go btda g', g",...,. Je2eli a,, oznacza liczbe zespolona, nale2zcat do dziedziny Gf,, to z r6wnania =sgo - + "+.- +.q(-' na zasadzie powy2szego, bedzie go a/ c g(= i) a a poniewaz g, Ca =- a,, przeto g0sf a,, --- a,,. Jezeli wiec odpowiednia funkcya f,,($) jest stopnia pierwszego, to ka2da liczba, nale2aca do dziedziny G,, moze bye przedstawiona pod postacia a g1', a iloczyn agq(). flg(/' bedzie r6wny af. g(. Jezeli zas odpowiednia funkcya f,() jest stopnia drugiego. to ka

Page  149 22] TFOIiYA WEIERSTrRASSA. 149 2da liczba dziedziny G,, daje si9 otrzymac z dw6ch liczb g('L) i h(,), od siebie niezale2nych. Niechaj bcdzie h ' =) h(,') y — h1) + yl'g(L); metoda podobnl do tej, jaka stosowano w art. 19., mo2na okaza6, ze ka2da liczba tej dziedziny GC, daje sie przedstawic pod postacia ag(,t,) ~- I a'k," ) gdzie liczba,hi') okreSla sic za pomoc r6wnania k )(/) k (,) _ g przyczell iloczyn dwoch liczb wyra2a sie w ten spos6b: (a g(') + a('l'"t)(flg() + fS'a()) =- (afi - (xa'')g(") + (a'ft + (afT')ki:). Wynika stad, 2e badanie w dziedzinie n jednostek el, e2,..., e, sprowadza sig do badania r dziedzin, z ktorych ka2da jest jedno lub dwuwymiarowa, Wszystkie dzialania w dziedzinie jednowymiarowej wykonywajq sie wedlug prawidel rachunku z liczbami rzeczywistemi, wszystkie dzialania w dziedzinie dwuwymniarow6ej-wedlug prawidel rachunku z liczbami urojonemi zwyczajnemi. Liczba nowych jednostek, zastepujacych dane, jest r6wna n. Jezeli a i b sa, dwie liczby, nalezace do dziedziny n-wymiarowej, i je2eli a, a2,... a,.; b, b,.. b,.r sa ich odpowiednie skladowe w dziedzinach czafstkowych G, Go...., G,, wtedy, na zasadzie powyzszego iloczyn cdwoch liczb a i b bedzie 6 = Ia b =-, a,, b, gdzie iloczyn liczb a6,b,, nale2acych do jedn6j dziedziny G,, wykonywa sie wedlug prawidel dzialaii nad liczbami rzeczywistemi lub urojonemi zwyczajnemli. Poniewaz iloczyny ab, b,, stanowia skladowe iloczynu ab w dziedzinach czastkowycb, zatem iloczyn ab mo2e bye zerem tylko wtedy, jezeli kaida ze skladowych a,, b/ jest zerem. Gdy wiec b nie jest zerem, to iloczyn ab mo2e byc zerem wtedy tylko, gdy a jest zerem. Jezeli niektore ze skladowych liczby b sa zerami, to, aby iloczyn ab byl zerem, trzeba, aby w pozostalych skladowych iloczynu ab odpowiednie skladowe byly zerami. Wy nika stad, ie liczba b mo2e by6 dzielnikiem zera tylko wtedy, gdy nie wszystkie jej skladowe s4 od zera r6one.

Page  150 150 CZi3< I. ROZDZIAI VI. Je2eli przyjmiemy, 2e b nie jest dzielnikiem zera, to mo2emy napisac a a a a, b bl *,. ' gdyv mno2lc obie strony przez b = b +-b2 +...- b,., otrzymujemy h = a, (b +. + ^.., +b(, )+... + (+ '.)+. ~61 t "....-..' a a= b + a2b6 + a b,. a = a + +... + a,, przyczdm iloraz dw6ch liczb a,1/b, nalezacych do dziedziny jednolub dwuwymiarowej, daje si~ otrzymac wedlug prawidel dzielenia liczb rzeczywistych i zespolonych zwyczajnych. Z tych rozwazai wyprowadza W e i e r s t r a s s nasttpujace twierdzenie: "Je2eli a, b, c,... sa liczlbami dziedziny wielowymiarowej i je2eli za pomoca raclhunku, w kt6rym zachodlz4 tylko dzialania elementarne: dodawanie, odejmowanie, mno2enie i dzielelie, mamy z tych liczb otrzymac nowa, to skladowaq liczby szukanej dla kazdej dziedziny czastkowej G,, znajdujemy, wykonywajaqc przepisany rachunek ze skladowemi liczb danych w dziedzinie G',-.7 Okreslenie dziedzin czastkowych G, G,..., CG opiera sic na przyjeciu jednostki g o wspolrzednych 1,....,,, takich, by wyznacznik 3. nie byl zerem i aby funkcya /(i) mie miala pierwiastk6w rownych. Mo2na przeto zapytac, czy okreslenie dziedzin czastkowych zale2v rzeczywiscie od daneji liczby g, albo innemi slowy. czy, przy wyborze inneij liczby q, dziedziny cztstkowe zinieniaja4 sit lub nie? Pytanie to postawil i rozwizal II. A. S c l w a r z 18 a wynik jego badania jest nastgpujacy: "Dziedziny czastkowe G, G,...., Gr nie zmieniajaq sic, je2eli zamiast liczby g-==S iei przyjmiiemy innqL liczbe g'='. S 'ei, czyniaqca zadosc tym samym, co pierwsza, warunkom,,. W kolicu winnismy jeszcze przypomniec, 2e teorya W e i e r s t r a ssa stosuje sic do liczb zespolonych, w zalo2eniu, 2e mnnozenie ich czyni zadosc prawom ltqcznosci, przemienllosci i rozdzielnosci, oraz

Page  151 23 TEORTA WEIERSTRASSA. 151 ze iloczyny jednostek sa funkcyami liniowemi samych jednostek. Gdy ktorekolwiek z powy2szych zalo2el'i miejsca nie ma, teorya dzialan prowadzi w ogole do wynikow odmiennych, jak to ma miejsce w metodach Gr a s s m a n n a i H a mi t o n a, kt6re rozpatrzymy w nastepnych artykulaclh. Podobnie jak w art. 20., mozemy okazac z latwosci%, ze mnogosc nieskoniczona liczb zespolonych wymiernych, nale2cychl do dziedziny jednostek el. e2.., e,, jest odliczaln na szeregu nieskoiiczouym liczb calkowitych. 23. POJ~CIA ZASADNICZE METODY GRASSMANNA. Wtasciwym punktem srodkowym nauki G r a s s m a n n owskiej jest poj cie mno enia liczb wielowymiarowych, polegaj ce na r62 -nych zalozeniach o iloczynach jednostek; zanim wszak2e przedmiot ten rozpatrzymy, winnismy przytoczy6 okreslenia niektorych pojec w wyslowieniu wlasciwd m G r a s s m a nn o w i9. Liczbe zespolon~ postaci 1. a = e1 a, + l - 2 2... + -,/ a,,. gdzie li,,...,, sa liczbami rzeczywistemi, naiy;:y r. u:tlo.zo^z liczb a, a2,....,a, przy pomocy liczb e1, ~s,...,,,kt6re mo2emy, jak poprzednio, dla kr6tkosci nazywac wspolrzdclnemi. Je2eli pomicdzy liczbami al. a2,..., a, nie zachodzi 2aden zwiazek postaci p1 al + P2a. + a* * +,n a7 = 0, w kt6rym nie wszystkie wspolczynniki sa od zera roz6e, to liczby al, a,...,a, nazyxwa bedziemy liniowo niezaleinemi, lub, wprost kr6tko, niezale2nemi. Liczbe a%, utworzona z jednostek el, e...,e,, wedlug wzoru 2. ai =-,1 e1- +a,2 e2, +.. + ai,,, e, nazywa G r a s s m an liczb 1c [wielkoscia] prosty pierwszego stopnia, a dziedzin9 wszystkich liczb utworzonych z a,, a2,... a,, kt6 -ra4 oznaczac bedziemy przez (a1, a,..., a,,), nazywa cdziedziln n-go stopnia [n-wyvmiarowafl. Prawidla dodawania, odejmowania liczb postaci 1. lub 2. oraz mno2enia i dzielenia ich przez liczby rzeczywiste s4 najzupelniej

Page  152 152 CZF6 1. ROZDZIJA V1. [22 zgodne z prawidlami dzialain, przedstawionemi w poprzednim artykule. Dwie dziedziny A i B liczb zespolonych nazywaja sic toisanmosciowemi, je2eli ka2da liczba pierwszej z nich nalezy do drugi6j i odwrotnie. Nazywajat sie zas wzajemnie zachodzqcemi na siebie, je2eli ka2da liczba, nale2aea do pierwszej, nalezy do drugi6j, odwrotnie zas nie wszystkie liczby dziedziny drugiej sa zarazein liczbami pierwszej; dziedzina A nazywa sie wtedy nizszcq [objetq], dziedzina B —wyisza [obejmujcq 1. Ogo6 liczb, nalezacych do dwoch dziedzin, stanowi dziedzinc wspolna obu; og61 zas liczb, dajacych sic utworzyc z liczb, nale2zcych do dw6ch lub wiecdj dziedzin, nazywamy dziedzina 7Iqczqca. Tak np. je2eli dziedzina A jest utworzona z jednostek el, e2, e3, dziedzina Bz jednostek e2, e., e4, to dziedzina wsp61nu bcdzie dziedzina jednostek e2, e., dziedzina lqczaca —dziedzina. utworzona z jednostek el, e2, e3, e. Z latwoscia dowiesc moina twierdzeii nastepujaeych: I. Je2eli n liczb znajduje sie w zwiazku liniowym i jezeli nic wszystkie sa zerami, to mo2na wydzielic z nich mniej ni2 n licz), micdzy kt6remi nie zachodzi ju2 zwiazek liniowy. II. Je2eli w ukladzie n liczb a1, a,..., a,, pierwsza a1 nie jest zerem, a 2adna nastepujaca nie daje sie utworzyc z poprzedzajacycl, to pomitdzy temi liczbami nie zachodzi zwiazek liniowy. III. Je2eli liczba al daje sie utworzyc z n liczb b, b,...,, a jej wsp6lrzedna, odnoszaea sie do liczby bl, nie jest zerem, to dziedziny (bl, b2...b,,) i (al, b2,.. b,,) sa to2samosiciowe. Mozna to twierdzenie uog6lnic w ten spos6b: IV. Jezeli n liczb al, a..., a,,, nie bda~cych w zwiazku liniowym, daje sig utworzy6 z n liczb bl, b6,..., b, (n > in), to mo2na do mn liczb a, a,..., a,, dobrac n —m nowych liczb a,,H,...,a, z tej samej dziedziny, tak aby dziedziny (a1,a,...,a,) i (b1,b,...,b,) staly sie tozsamosciowemi. Wynika stld: V. Jezeli n liczb a1, a2,..., a,, mona utworzyc z m, liczb bl b2,...,b, (m<n), to liczby a1, a2,...,, pozostaja ze sobQ, w zwivzku liniowym. VI. Dodajac stopnie dwoch dziedzin, otrzymujemy liczbc r6wna sumie stopni dziedziny wspolnej i 1,czacej.

Page  153 204] MNOZENIA WEDLUG GRASSMANNA. 153 VII. Dwie dziedziny A i B odpowiednio stopni a i fi, jezeli obie naleza do dziedziny stopnia n-go, maja dziedzini wspo6ln stopnia co najmniej r6wnego a+ —n. VIII. R6ownanie, wyrazajace r6ownog6 dw6ch liczb jednej dziedziny, z ktorych pierwsza jest utworzona z n liczb niezale2nych a, b,..., druga z innych n liczb niezale2nych k, I, m..., a mianowicie ro6wnani aa + fib + yc... = + i +} 74 +* -..., jezeli zachodzqce w nienm formy a, b, c... k., 1, m... przedstawimy przy pomocy jednostck e, e,,..., e,, w ten spos6b: a = ale1+ -- e..- +a, eIt; k -- ze1 + e.2e2 - +.. + e, b = 1el + le2 + fi2e.. - f' e,; I =- 1e,1 + 22e1 + * * + 2, e, =- 71e, + — "e% 4-... + 7; e,; m -,leI + /-t le2 -... -* - a, ej, sprowadza si dlo nastlpujaqcego ukladu r6wnaii pomiidzy liczbami rzeczywistemi a(l + liP'1 + ~'71 +.* * * x + i2i + ~, +.. a% + 4-/ +,72 - +' *- = 2 + i2, + t-tt +. (W - + L - / L - + p + * * * =, +; + tLt + * * 24. GATUNKI MNOZENIA WEDLUG GRASSMANNA. Mno2enie dwoch liczb a = S a, e,, b = es, uskutecznia sie wedlug prawidla Lodlancgo w art. 22., opartego na prawie rozdzielnosci: 1. ab =- a),. ps. e,.. Z okreslenia tego wynikaja wzory: (, a, e,.) b - 2 a,(e,. b). (a+b+-.. )p = ap-bp+-... p (a - b +-... ) =p — p b -+... 2 a,.. a fl.bs -b- t a, p3i. ar b, w ktorych a, b,...,p sa liczbami zespolonemi.

Page  154 154 CZE6 I. ROZDZIAL VI. [24 Iloczyn trzech czynnik6w otrzymujemy, mno2zc na podstawie powy2szego prawidla iloczyn dw6ch czynnik6w przez czynnik trzeci; podobnie tworzymy iloczyn czterech i wigcej czynnik6w. Wyra2enie 1. iloczynu dwoch czynnik6w nie da sit przedstawic w postaci prostszej, je2eli nie poczynimy pewnych zalozeli o iloczynach jednostek, lub je2eli wogole przyjmiemy, 2e te iloczyny e,.es sq od siebie wszystkie niezalezne. Inaczej jednak rzecz si; ma, gdy zalo2ymy, ze pomiedzy iloczynami ere, zachodzq zwiazki lub r6wnania warunkowe takie, ze przyjmujac pewne z tych iloczyni6w za dane, mo2emy na podstawie tych warunkow oznaczyc iloczyny pozostale. Niechaj jedno z r6wnani warunkowych bcdzie postaci: 2. Z a,,,. e,e 0. r,s-1 l, 2... n, gdzie ars s, liczbami rzeczywistemi, nie r6wnemi jednoczesnie zeru. Zaiozmy, 2e r6wnania warunkowe nie ulegaja zmianie, gdy zamiast jednostek e1, e2.... e......e podstawimy liczby z nich utworzone, t. j. zamiast er podstawimy Z x,,, eu gdzie u zmienia sie od 1. do n wlavcznie, zamiast e, podstawimy vxx.vee,, gdzie v przyjmuje r6wniez wartosci 1, 2,..,n. Tu liczby x sa rzeczywistemi i moga przyjmowac wartosci zupelnie dowolne. Jezeli rzeczone podstawienie uskutecznimy, dojdziemy do r6wnania 0. S r.,, X,,v(ar,seu ev+ — a, reve, ) = 0. Poniewaz wartosci liczb x saq dowolne, przyjmijmy przeto, ze jeden ze wspo6czynnik6w xvr,? np. wsp6lczynnik xa,c rowna sit 1, a nastepnie -1. Otrzymamy tym sposobem dwa r6wnania, kt6re, odjete od siebie, doprowadzaja do zwiazku 4. X s,v(aa, +,- as,ae, e-z,)= o, gdzie pomiedzy parami wartosci, jakie przyjmuja s i v, nale2y wylEczy6 s = a i v = c. W r6wnaniu 4. przyjmijmy znowu, ze jeden ze wsp6lczynnik6w np. Xb,d r6wna sit raz 1., drugi raz -1.; odejmujac od siebie dwa otrzymane w ten spos6b r6wnania, dochodzimy do zwiazku 5. aca,b eeced+ab,ae e,, = 0, gdzie a, b, c, d przyjmuja wartosci 1, 2,...,n z wylqczeniem wszak2e a=b, c=d.

Page  155 24] MNO2ENIA WEDUT' GRASSMANNA. 155 Przy uwzgltdnieniu r6wnania 5. zwigzek 3. przyjmuje postac prostsza Xr,tU 'zr,( uar,- eu eu, = O, z ktorej, poniewaz liczby x,.,, majq wartosci dowolne, wynika r6 -wnanie a,, e ec = 0, stwierdzajace, ze zwiazek 5. zachodzi takze dla wylaczonego wyi6j przypadku a = b, c = d. Tak witc r6wnania warunkowe 2. przy uczynionem zalozeniul, doprowadzaja do zwiazk6w 5. Kladac w 5. raz c=d, drugi raz a=b, otrzymujerny 5'. (a,4-f, a,, ) e, ee, =)0. 5". al,, (ee,.-ed eec )0. Rownaniom 5' mo2na uczynic zadosc, przyjmujqc 1~. a,, + ao,- 0, 2~. ec, -0. Warunek C.X,bz + (b,~, = 0, wprowadzony do r6wnania 5., daje a,,T (eced -e ec) = 0, skad, jezeli a,,b nie jest dla dowolnych wartosci a i 6 zerem-co bylo zastrzezonem- -wynika e,.e( -e e, 0, czyli 6. e,. eg_ = ei ec. Drugi warunek e,.e = 0 lub ee = 0, je2eli mamiy go uwa2a6 za identyczny z r6wnaniami warunkowenii 2. pociaga za sobq wartosci wspolczynnik6w: ca,, =1, a, -- 0 (a rozle od b). Uwzglecniajqc te wartosci w r6wnaniu 5", docliodzimy do zwilzku ee,. e,,,- e, e= 0 t.j. 7. e,. -- -- e,. 'c

Page  156 156 cZ 8 I1. ItROZX AI. I. [-24 Wynik ostateczny calego poprzedniego wywodu da sig strescic w nastpaujacem twierdzeniu: "Mno2enie liczb wielowymiarowych, podlegle r6wnaniom warunkowym 2. przy zalo2eniu, 2e te rownania utrzymujas sie, gdy jednostki zastapimy liczbami dowollnemi, liniowo z jednostek utworzonemi,-nazwijmly je mno2eniem liniowerm -winno czynic zado6 j ednemu z dwocli uklad6w eed =e — e, e, e, e, - e- e,,. Mno2enie liniowe, czyniqce zado6s pierwszemu ukladowi, nazywamy mno2eniem algebraicznem; czyniace zadogc drugiemu - mno2eniem zeuwnftrzne'rm. Do tych dw6ch gatunk6w mno2enia liniowego mozna jeszcze dla zupelnosci clolczy6 dwa mno2enia: jedno, w kt6rem iloczyny e,e,l nie czynij zadosc 2adnym r6wnaniom warunkowym, w ktorem zateml wszystkie wsptlczynniki aa,b sa zerami; drugie, w kt6rem wszystkie iloczyny jednostek sa zerami. Mamy witc razem cztery gatunki mno2enia liniowego. Mnozenie liniowe zawiera sig jako przypadek szczegolny w mlnoenin, ktore G r as s m an n nazywa kolowe'n, a ktore okresla na podstawie wlasnosci, 2e r6wnania warunkowe 2. iie ulegaja zmianie, je2eli zamiiast dwochl jednostek n.p. erie wprowadzimy liczby, liniowo z nich utworzone. Zalozenie to doprowadza do osmiu gatunk6w mno1 2enia; cztery stanowiq wyzej objasnione mnozenie liniowe, pozostale jeszcze cztery liniowemi nie sa. Z nich zasluguje na szczegO61in uwage mnozenie wzewnftrzne, podlegle warunkom e, e0 =, e6 e, = ei, e, Mno2enie kolowe zawiera sie znowu w mnozeniu symetryczne^, opartem na zalozeniu, 2e r6wnania warunkowe 2. nie zmieniaj4 sie, gdy zmienimy znak ktorejkolwiek jednostki, oraz gdy dwie dowolne jednostki przestawimy. Przy tem zalozeniu otrzymujemy w ogole 16 gatunk6w mno2enia. Je2eli napiszemy trzy grupy r6wnani el. e, - es ee,. r.

Page  157 '251 MNOZENIE ZEWNIjTRZNE. 157 [F. e,e<4- -e e, = O, e e -- e... = e, e,,: s <: y'. e?el4- e e e —.. - + e, e,, = 0. s, r=l2... n to na podstawie poprzedzajacego mo2na bgdzie powiedziec, 2e mnozenie zewngtrzne czyni zados6 grupom fi i y, mnozenie wewngtrzne grupom a i fB. Mona pomyslec mno2enie, czyniace zadosc jednej grupie srodkowej a; mnozenie takie nazywa G r a s s m a nn srodkovem22. Rozpatrzymy po kolei wlasnosci ka2dego z wymienionych trzech gatunk6w mno2enia. 25. MNOZENIE ZEWNETRZNE. Z teoryi, wylo2onej w artykule poprzedzajacym, wynika bezposrednio, ze mno2enie zewnttrzne dw6ch liczb zespolonycl nie jest przeiniennem. W samej rzeczy, niechaj bedzie a- =- ar,.e,., b= ZSf e.; iloczyny ab i ba, na podstawie wzoru 1. poprzedzajacego artykulu, beda I|alb - = a,.: le,.e |l, baJ =. a,.f? [e, e,l, [Mno2enie zewnetrzne dla oldr6nienia od innych gatunk6w mnozenia oznaczac bedziemy nawiasem klamrowyml. Poniewaz w mnozeniu zewngtrznem zachodza zwiazki [e,re = -- -[ee,e przeto 1. \lab = -\- ba1. Jezeli b=a, ubedzie [|aa] = - [aal, a wiec 2. [aa] = 0. Iloczyn zewnttrzny dw6chl czynnikow r6wnych jest zerem. Iloczyn zewnetrzny [abed...] wiekszej liczby czynnikow otrzymujemy, mnozac [ab] zewnctrznie przez c, iloczyn [abc] mnozac przez d i t. d. Powstaja stiad rownosci:

Page  158 158 C1Z6 J. ROZDZIA, VI. [25 [abcd...] - [bacd...] [abcd...] - [dbc a...] wyra2ajace, 2e iloczyn zewnetrzny zmienia znak przy przestawieniu dwoch jakichkolwiek czynnik6w. Stad wynika, ze iloczyn zewnetrzny, w kt6rym dwa kt6rekolwiek czynniki sq r6wne, jest zerem; bedzie zatem naprzyklad 4. [abacd...] = 0. Dwa iloczyny, zionone z tych samych czynnik6w, inaczej uporzadkowanych, btda~ oczywiscie jednego znaku lub znak6w przeciwnych stosownie do tego, czy od szeregu czynnikow w pierwszym iloczynie mozna przejsc do szeregu czynnik6w w drugim za pomoca parzystej lub nieparzystej liczby przestawieni dw6ch czynnikow. Mozna przeto napisac 5. [ala2a. a,, = (-1)8 [a a,,..., gdzie po drugiej stronie 2,,,.., jest pewna przemiana liczb 1, 2,.., n i gdzie s jest liczba przestawien, za pomoca kt6rej od jednej przemiany mo2emy przejsc do drugiej. Je2eli pomiedzy czynnikami zachodzi zwiazek liniowy, to iloczyn zewn}trzny jest zerem. W samej rzeczy, niechaj pomitdzy czynnikami iloczynu [a b c d...] zachodzi zwiazek a = flb+-yc+... Uwzgledniajac ten zwiazek, znajdziemy na zasadzie prawa rozdzielnosci: Labcd... = [b-b-yc+...] [bcd... = [pbbd... - + [ycbcd... -... = |bb cd...] + y [c cd *..1 -...; Ka2dy z wyraz6w w ostatniem wyra2eniu na mocy r6wnania 4. jest zerem, a zatem 6. [abed... a=pb-yc+... Z tego twierdzenia wynika, 2e iloczyn zewnetrzny liczb zespolonych nie zmienia sit, je2eli do kt6regokolwiek czynnika dodamy wielokrotnosci pozostalych czynnikow.

Page  159 26] WYZZNACZ.IKr. 159 Jezeli okreslimy dzielenie, odpowiadajace mno2eniu zewnetrznemu, jako dzialanie, za pomoca kt6rego znajdujemy liczbg x, czyniaca zadosc r6wnaniu xb = a, to latwo sie przekonac, 2e dzielenie to nie jest jednowartosciowem; jezeli bowiem x = x1 jest jednem z rozwiazan, to, na zasadzie poprzedniego twierdzenia, r6wnaniu b=-a czynic bedzie zadosc kazda liczba zespolona x1 -+ fb, gdzie jest liczba rzeczywista dowolna. 26. WYZNACZNIKI. Niechaj bedzie uklad n2 element6w, uporzqdkowany w n wierszy, zawieraj cych kazdy po n elementow al,l a1.2,.. * tl,n a2,1, a2,2,...~. 2,1...*.. *.. *.. an,1, a1,2,.~ ~ ~ a,,,,, Z ukladu tego wybierzmy n element6w, a mianowicie po jednym z ka2dego wiersza z r6onych kolumn, a wiec np. z pierwszego wiersza element a3,,, z drugiego a2,,,... z ostatniego a,,, gdzie skazniki,,.... T sI wszystkie r6one, i utworzmy iloczyn a1, a2,o,.. a,T-,. Takich iloczyn6w bedzie oczywiscie tyle, ile przemian mo2na utworzyc z szeregu skaznikow,, o,..., lub, co na jedno wychodzi, z szeregu 1, 2,..., n, a zatem bedzie ich n!. Ka2demu z iloczyn6w dajemy znak dodatni, je2eli szereg skaznikow e, o,..., powstaje z szeregu 1, 2,...,n za pomoc parzystej liczby przestawien dwoch skaznlik6w, -znak ujemny, jezeli powstaje przez nieparzystga liczb9 takich przestawieii. Z teoryi elementarnej przemian wiadomo, ze liczba przemian tak jedn6j jak i drugi6j klasy jest rowna polowie liczby n!; a zatem polowa iloczyn6w, jakie tworzymy, bedzie miala znak dodatni, polowa znak ujemny. Suma tak utworzonych iloczyn6w, kto6r oznaczamy dla skr6cenia przez + a1,1 a2,2.. ~ a,^)

Page  160 160 CZkA6, I. ROZDZrIA VI. [26 wypisujac pod znakiem Z iloczyn wyrazow na przekatnej ukladu 1., albo przez Qal,l, al,.2,.. ~ 1l,u 12,1, (a2,2,... ~ 2,n 2..............,\,2i.......n an,,,l, a.,2. ~ ~ Qv,n lub te2 przez 3. - ai,;i, r 1, 2,... n. nazywa sie wyznacznikiemn20 ukladu 1. Stopnienl jego jest liczba n. Teorya wyznacznik6w daje sic wysnuc w zupelnosci z teoryi iloczynow zewnttrznych. W samej rzeczy, niechaj bgdzie uklad liczb zespolonych: 1 a1,1 a1 - al,2a2 -'+.' +..,,, a, =X2 -2,1 al t X2,2a2 +... -.-2,la, 4.,, =,clX al + -,,2 a+... +. f..,,,? a, Utw6rzmy iloczyn zewnetrzny. a.....x,,. Na podstawie twierdzen, wylo2onych w poprzedzajqcym artykule, wnosimy z latwoscia, 2e w iloczynie tyrl znikna wszystkie wyrazy, w kt6rych ktorykolwiek z czynnik6w a, a... a,, powtarza sit raz lub kilka razy i pozostanq tylko wyrazy, zawierajace iloczyn zewnttrzny n czynnik6w a1, 2,.., a,,; wyrazow tych btdzie oczywiscie n!. Poniewa2 przestawienie czynnik6w moze wplynac tylko na zmiang znaku, a zatem iloezyny czastkowe bgda wszystkie zawieraly czynnik -+ [a a2 -... a,,] ub -[a1.*.. a,]; przyjmujac wicc [a a2... a,] za czynnik wspolny dla calkowitego iloczynu i wylaczajac go za nawias, btdziemy mieli w nawiasie polowe wyrazow dodatnich i polowc ujemnych. Wyrazenie, zawarte w nawiasie, jest wlasnie, jak latwo widziec, dopiero co okreslonym wyznaeznikiem 2. lub 3. Mo2emy witc napisac:

Page  161 WYZNACZNlIKlI. 161 5. [I1V... x] --- | /ai,,. I [al a.... a,l, i, r l, 2... n, a witc wyznacznikiem ukladu 1. jest wspolczynnik iloczynu zewnetrznego liczb ukladu 4., okreslony za pomoca r6wnania 5. Gdybysmiy zamiast ukladu 4. przyjtli uklad l1 -- a(X,l al + C2,1 a2 +-.. a L,1 a,,._ --- al, a1 + a 2,2 a2 + + q,2, t%' - (,a1,,, a + a2,,, 2 * + a,,,,, a,,, rozniacy si~ od pierwszego tem, 2e wspotrzgdne, kt6re poprzednio stanowily wiersze, stanowiq obecnie kolumny, to iloczyn zewngtrzny [X7.2'.'..x,/] bylby to2samosciowo r6wny iloczynowi [x1 x2...xZ ] skadc wynika, ze wyznacznik ukladu 1. nie ulega zmiauie, je2eli w ukladzie tym przyjmniemy wiersze za kolumny i kolumny za wiersze. Z rownanlia 5. wyplywa cala teorya wyznacznik6w. Stosujqc do tego rbwnania prawa, zawarte we wzorach 3. 4. 5. artykulu poprzedzaj cego, otrzynujemy bezposrednio nastepujace twierdzenia: I. Wyznacznik zniienia znak przy przestawieniu dwoch ktorychkolwick rztd6w poziomych [pionowych]. II. Przy jakiejkolwiek przemianie rzedow poziomych [pionowych] wyznacznik zmienia znak lub nie zmienia znaku, stosownie do tego, czy od dawnego ukladu przechodzimy do nowego za pomoca parzystj lub nieparzystej liczby przestawie'i dwoch rztd6w. III. Wyznacznik, w kt6rym dwa rzedy poziome [pionowel skladaj. si9 z element6w r6wnych lub proporcyonalnych, jest tozsaiuosciowo r6wny zeru. IV. Wyznacznik uie zmienia swej wartosci, jee2li do elenment6w kt6regokolwiek rzedu poziomego | pionowego] dodamy, lub od nich odejmiiemy, r6wne wielokrotnosci odpowiednicli element6w innego rzedu poziomego [pionowego]. Je2eli w r6wnaniacll 4. w Iniejsce a, a2,...,a,, napiszemy PojQcia 1'. I. 11

Page  162 162 CZES6 I. ROZ)ZIAL VI. [26 al = 1,1 el +- 1 1,2 e2 +.. 1,, e, a2 =fl e,1 el + (2,2 e2 +.. +~/3, el,, 6. a 1, = P,l el -+ fl,2 e2 J- *. fl7,n- el,, otrzymamy 1 — (afl,ll + aj,22.l.. +a-l,a,/l)el+, -.. (alAl,/.+al,2/2,.+aln,) 7 =2(a2,l1fl,l + a,2/2,1 +... +a~2,n1-,l)el +.... +(a2,1lf2,n,+a2,2fl2,n,... +a2,nfn,%)en, n=(a,lfl,, +an,2l2,l +... + a l,, l)el +... + (a~,l l,2+an, +2 2..-..a.)~t Kladqc dla skrocenia 8. ys,t = aS,t lit + as,22,t+ —...-+as,, p, otrzymujemy z r6wnali 7. na podstawie r6wnania 5. 9. [1 [ 2... n -= I ys,t [ee2... e,] s,t-= 1 2,..,n. Na tej samej zasadzie z rownali 6. wyplywa [al a.. a,,] =,,, I [e e2... e,,, m 12,2,... n, a podstawiajac ten wynik we wzorze 5., znajdziemy 10. [IT 2 * * *.Z ] = | CIar | * | B, E | [e e2 * **,] i, r.. - = 1, 2... e. n. Por6wnanie wzorow 9. i 10. doprowadza do zwiazku 11 - air. /|3 im=| Ys,t i, r, 1, m, s, t, = 1, 2,..., n. kt6ry w polaczeniu z wzorem 8. wyraza twierdzenie o mno2eniu wyznacznikow. Jezeli w iloczynie zewnetrznym [x1 x2.. x, w miejsce kt6regokolwiek z czynnikow, np. w miejsce czynnika x, podstawimy jego wyrazenie z r6wnan 4., t. j. xs -= as,1 a + aC,2 a2 + + s,1, a,,, to bedzie moina napisac t=1l 1 2 * **,] - (,/ It1 2 * * * t-1at fl+ *@ * 1

Page  163 261 WYZNAC/%IKI. 163 Iloczyn zewnetrzny [' ~... *._I a/, ~ *... *,,], na podstawie r6wnania 5., mozemy przedstawic pod postacia [xl 2.. a+, x,..... 1=,, [a. a ^l a gdzie A,,t oznacza wyznacznik ukladu wsp6lczynnikow al,l, 01,2,.., ( 1,t - l, -1,1.. -l,. - -1,' ~ ~. ~.s —I,7 Q,~j,1, C_1,2.... 0, 0,..., 1......,,+,l,1, Ct+l,2,... C. * ^ Cs+l,t. ~ ~ *(.+],i, Ct,1~ C,2,...?; t?... * t7. bgdzie zatenm [ I....,] = I V, A,,, [a,... a,,l. t=l Por6wnywajac to wyra2enie z wzorem 5., otrzymujemy r6wnanie t=-1 12. a|C,, = z t A,, i, r 1. 2,... n. przedstawiajace rozklad wyznacznika danego wedlug elementow wiersza s-go. Wyznaczniki As,t stanowia tak nazwane wyznaczniki czqstkowe, inaczej podwyznaczniki lub minory, wyznacznika danego; daja si9 one przedstawic jako wyznaczniki stopnia (n-1)-go. Jezelibysmy w wyrazeniu iloczynu zewnetrznego [xl s2.. x ] zastapili dwie liczby x, i xt ich wyrazeniami, wzittemi z r6wnani 4., doszlibysmy do rozkladu wyznacznika danego na sume iloczynow. kt6rych czynnikami beda wyznaczniki czastkowe, dajace sit przedstawic, jako wyznaczniki stopnia (n-2)-go. Zastepujac wogole mn z pomiedzy czynnik6w 1, x2,...,,, ich wyrazeniami 4., dojdziemy do wyznacznik6w czastkowych stopnia m-go. Dalsze rozwinitcie teoryi wyznacznik6w czastkowych znajdzie czytelnik w podrecznikach Algebry i w dzielach, specyalnie traktujacych o wyznacznikach.

Page  164 164 CZES6 I. Roz/zD)XAL VJ. 126 Podamy tu jeszcze zastosowanie teoryi iloczyn6w zewnetrznych (o rozwiazywania ukladow r6wnaii liniowych. Niechaj bedzie uklad n rownali liniowych o n niewiadomych a1,1 1+1- a2 + ~.. -* -al,= 1, ( 2,1 $1 + "2,2,2 + ' +* * 4, a u - -- = /2 13. ~ * *. ~... ~.... w ktorym wszystkie liczby maja bye rzeczywiste. Niewiadome mo2emy wyznaczyc w sposob nastgpujacy: Pomnnomy rownanie pierwsze przez el, drugie przez e... ostatnie przez e,, i dodajmy je nastepnie odpowiedniemi stronami. Kladac: ai,1 e cil e +- ~ ~ ~ + a i,, e, - ai /1 el + 2, e + *.. + +. p e, - b otrzymujemy 14. 1 a1 ta,+ 2 a+.. + a,, b IMnoZac zewngtrznie obie strony r6wnania 14. przez [al a2... a,-1 a,-... aj I i uwzgldniajac wlasno~ci mno2enia zewnetrznego, znajdziemy 15.,r [a, ' a - a,.+... a, a=[- a.. a..aa,,,_ Lb a....a,,] Z r6wnal' 13. na podstawie wzoru 5. wynika, ze iloczyn zewnetrzny po lewej stronie rownania 15. r6wna sic wyznacznikowi ukladu 1., pomnoioneemu przez [e1 e... e,], iloczyn zas zewnttrzny po prawej stronie r6wna si9 wyznacznikowi tego ukladu, po zastapienliu w nim kolumny r-ej rzedem element6w /f1 B...., takze pomnozonemu przez [ e.l... el; mozemy przeto napisac: 16.,. | as,sl [el e.... e,, = a,,/l(,) [ e 2... e, | s, t 1,2,...n, gdzie znaczek (r) ma przypomina6, iz w kolumnie r-ej ukladu 1. uskuteczniono powyzsza zmiane. Z r6wnania 16., poniewa2 r,. jest liczb<, rzeczywistq, [e,, e.,..., en zas jest od zera rozne, otrzymujemy

Page  165 271 ILOI00'ZNY ODNIESIONE DO DZIEDZINY G;LA('NFTJ. 165 17.,} I,tl(, s, t, 2... n. - 1, 2.... n. Z wzor6w 17., jezeli wyznacznik lastl nie jest tozsamo'ciowo zerem, znajdziemy oznaczone wartosci dla niewiadomyclh,.,...,, Jezeli w uldadzie rownali 13., zalozymy 18. /11 - 1. -, = 0, to wyznaczniki jab,tj(,), jako zawierajace w kolumnie r-ej same zera, beda zerami, a wiec, je2eli wyznacznik a.,, I niejest zerem, otrzyma my l = 2 0. Uklad 13. przy zalo2eniach 18., stanowi uklad ro6wnafi liniowych je(norodnych z n niewiadomemi; mozemy wiec wypowiedziec twierdzenie: "Je2eli wyznacznik ukladu r6wnali liniowych jetldorodnych nie jest zerem, to wartosci niewiadomych, czyniace zados ulkladowi, sq wszystkie zerami,,. Gdy ten warunek nie spelnia sie, to wtedy ma miejsce nasteplnj< ce twierdzenie: "Je2eli wyznacznik ukladu jest zerem i wszystkie wyznaczniki czastkowe stopnia n-i-go, n-2-go,...,n —l+-go sa zerami, a nie jest zerem jeden z wyznaczniko6 stopnia n —g'". wtedy I niewiadomych n.p. ^,,_1+1, -_/2,...,, mo2na uwaiac2 za nieoznaczone a pozostale ~1, 2,..., _/ za pomoca pierwszycll wyrazi6,, 21 27. ILOCZYNY ODNIESIONE DO IDZIEDZINsY (,GLCnNEJ. Dziedzinq glUwna nazwijlny dziedzine jednostek e1, e.... e,, jej stopniem jest liczba n. Iloczyn m czynnikow postaci 1. (-a U1= e 4- a., e., —. + *1,, e,, zawierac bedzie w kazdym wyrazie iloczyny m jednostek e,, e,>,...e.; iloczyny te nazwijmiy jednostkami stopnia m-go. Liczba, utworzona z takich jednostek E1, E2... stopnia m-go, bedzie miala postac

Page  166 166 cz1SO I. ROZ)ZIAt VI. [27 2. A= al a +a -+... i nazywa sig liczba stopnia m-go. Iloczyn dw6ch liczb, z kt6rych jedna jest stopnia ml, druga stopnia m2, bedzie liczba stopnia (m —m2)-go. Jezeli ml-7-mn jest wieksze od n, to iloczyn dw6ch takich liczb zawiera6 bgdzie jednostki stopuia wy2szego od n, a wige iloczyny jednostek, w kt6rych jedna lub wic6ej jednostek powtarzaja sig; iloczyn zewngtrzny takich liczb jest zerem [art. 25.]. Jest przeto rzecza widoczna, ze w dziedzinie n-go stopnia iloczyny czynnik6w postaci 1., je2eli ich liczba jest wieksza od n, oraz iloczyny czynnik6w postaci 2., przy mniejszej liczbie czynnik6w, se zerami. G r a s s m a n n obmyglil metod~, za pomoca kt6rej iloczyny w przypadku, gdy suma stopni czynnik6w ich jest wiklsza od stopnia dziedziny gl6wnej, zastgpujemy innemi iloczynami, dla kt6rych suma stopni nie jest wigksza od n. Metoda ta opiera sig na pojgciu tak zwanego dopelnienia [Erganzung]. Niechaj E oznacza jednostk~ jakiegokolwiek stopnia, to jest albo jedn9 z jednostek prostych e1,,... e,e, albo iloezyn pewn6j liczby tych jednostek; ot6o dopelnieniem jednostki E, kt6re oznaczac bgdziemy przez \E, jest iloczyn zewnttrzny E' wszystkich jednostek prostych, w E niezawartych, wzigty ze znakiem dodatnim lub ujemnym, stosownie do tego, czy [EE'] jest r6wne 1 lub -1. Iloczyn [e1 e2.. e1l] przyjmuje si~ jako r6wny 1. Mozemy przeto napisa: | E= [EE' E' Bgdzie wiec naprzyklad: e1 [e2 e3... eI = Let e3 * * e,l, [ o ~~e l.. e- = ( —1)"-1 [e1 e... e,j, Ie, e2, == Le e... e,,], I [el e= - [e, e4... en], [e,,- e,, = |I_ e... e,,-2] i t. d.

Page  167 271 ILOCZYNY ODNIESIONE DO DZIEDZINY GOtOWNEJ. 167 Iloczyn zewnetrzny jednostki przez jej dopelnienie jest oczywiscie rowny 1. 3. [E E'] =1. Dopelnieniem liczb zespolonych 1. i 2., nazywamy wyra2enia: a a, | e, -,.... — a e,,, 3. A a,- EI a, E+...-..... Je2eli m jest stopniem liczby, to n-m jest stopniem jej dopelnienia. Iloczyn zewnltrzny dw6ch jednostek E i E', gdy suma ich stopni jest mniejsza od n albo r6wnan, -lub tez liczbe, kt6rej dopelnieniem jest iloczyn dopelniefi tych jednostek, gdy suma ich stopni jest od n wiklsza —nazywamy iloczynem jednostek E i E', odniesionym do dziedziny glownej. Iloczyny odniesione bda wiec mialy tq wlasnosc ze suma ich stopni nie jest od n wigksza. Niechaj np. dziedzina g1lwna btdzie 3-go stopnia, i dajmy, 2e mamy dwie jednostki E el i E' = [e2 e 1, to iloczynem odniesionym bcdzie wprost L[E']- e [el e2 e3] =. Jezeli za E = [el e21, E' = [e2 e3], to iloczynem odniesionym bgdzie liczba, kt6rej dopelnieniem jest iloczyn dopelniein, t. j. I! I El E:]. Poniewa2 I = I [e e, = e3, 1e2 el, przeto I E.' ] = le3el; iloczynem odniesionym bgdzie e2 = Le, e ] e,. Podobnie2 rzecz si~ ma z mno2eniem nietylko jednostek ale i liczb zespolonych w ogolnosci. Je2eli suma stopni tych liczb jest r6wna n lub jest mniejsza od n, to tworzymy wprost iloczyn zewnctrzny; jezeli zas suma stopni jest od n wigksza, bierzemy iloczyn dopelnien czynnik6w, tworzac dopelnienie na podstawie prawidla 3. Niechaj np. dziedzina dana bedzie stopnia 3-go, a czynnikami liczby a = 1 a el -2 C e2+ a3 e3, b = f11 el- P22+fl3 e3.

Page  168 168 CZESC r. RDozzI.r, vr. f 7 Iloczyn ab = (al#2-a 2fl)[1ele-+(all3s -r3/l)J[e1e]+(a2fl3 -u,3 )[ee,] jest jui odniesionym do dziedziny gl6wnej. Gdy wszakze mamy liczby A = a[ele-+a'[eLe,l, B /3P[e2e]+f'[ele, dla kt6rycll suma stopni obu czynnik6wjest wigksza od 4. wtedy bierzemy dopeliiienia. Poniewa2 I [e e2] - e. [eC e.,] -e [e, e;. I l bedzie wiec A = e, - a' e, I 3 _ el - - ' e;, Wykolywaj( ac mnozenie, otrzymujjenmy | I A \ B1 — 'f/ [e1 e/!| —|/_l el e,, - '/ I[ee.,,1. a bioral dopelnienia stron obu, mieC bedziemy | I A B] = a'e, + -ap e/ - a'l'e,. Strona druga wyra2a iloczyii, odniesiony do dziedziny gl6wnij22. Na podstawie tycl okresleii mozna dowiesc twierdzenia, 2c "jeieli E,F, G sa jednostkami, kt6rych stopnie r6wnaj, sic razem n, to iloczyn [EF.EG], odniesiony do dziedziny glownej, r6wna sie iloczynowi [EFG].E,,, oraz uogolni6 to twierdzenie w spos6b nastepujlcy: "Je2eli liczba A jest postaci 1., liczby B i C postaci 2., i jezeli suma stopni tych trzech liczb jest r6wna n, to wtedy iloczyn lAB. AC], odniesiony do dziedziny gl6wnej, r6wna sie iloczynowi I ABC] A,,. Twierdzenia te i wynikajqce z nicli wnioski, kt6rych uzasadnienie szczeg6oowe znajdzie czytelnik w dziele G r a s s ma n n a, maja wa2ne zastosowanie w badaniaclh geometrycznych, gdzie z nadzwyczajna latwoscia pozwalaja na wyw6d wielu wlasnosci linij i powierzchni. [ W tomie trzecim podamy zastosowania geometryczne tych metod G r a s s m a n a].

Page  169 28] M!NO, NIF. W\\F. WI'r ' RZNF. 169 28. MNOZENIE WEWNETRZNE. Iloczynem wewnetrzlnymI dw6ch jednostek E i F dowolnego stopnia nazywa Grassman n iloczyn odniesiony pierwszej z nich przez dopclnienie drugiej, co wyrazamy w ten spos6b: 1. (EF) = [E F ]. [Do oznaczenia iloczynu wewnttrznego u2ywac btdziemy nawiasu okrglego]. Z tego okreslenia wynika, ze iloczyn wewnttrzny dw6ch liczb A i B rwna sig iloczynowi odniesionemu pierwszej z nich przez dopelnienie drugiej, t. j. (A) _- A I B]. Jezeli stopieli czynnika A jest r6wny m, stopiei czynnika B r6wny m', to stopieli iloczynu wewnetrznego bgdzie oczywiscie n-rn —m' lub m —m', stosownie do tego, czy m' jest mniejsze lub witksze od m. Wynika stad, ze iloczyn wewnetrzny dwoch liczb jednego stopnia jest stopnia zero, czyli jest liczbl rzeczywista. Iloczyn wewnetrzny dw6clh jednostek r6wnyclh jest 1, cdw6ch jednostek r6onych. tego samego stopnia jest 0, t. j. 2. (EEr), 1, (E,.) = o. s. W samej rzeczy, na zasadzie okreslenia oraz wzoru 3. art. poprzedzaj acego, jest (EEL) = [E:, | E,]=1. Poniewaz [ E, jest iloczynem wszystkich jednostek prostych, w E, nie zachodzqcych, a wiec takich, kt6re zachodza w,E., witc iloczyn [E,. I E,] zawiera czynniki rowne, jest przeto r6wny zeru. Stosljace to twierdzenie do przypadku jednostek prostych, otrzymuj emy (e,.e) -= 1, (e,e,) 0, t. j. uklad r6wnaii r6wnowaniycli grupom a. i /f. w art. 24., charakteryzujacym mnozenie wewnDtrzne. Okreslenie przeto, podane na wsttpie niniejszego artykulu, zgadza sit z okresleniem, przytoczoczonem w art. 24.

Page  170 170 CZES6 I. 1lOZXDZIAL VI. [29 Je2eli E1, E2,...,^E, sa jednostkami dowolnemi r6wnego stopnia, to na podstawie wzor6w 2. otrzymujemy al E1 + c2-'2 +.. + an-)! (,BE1 + P22E2 + -. -+,.Ea) = aC1l + a2 P2 +. '. + CUml,, skqd wynika, 2e mno2enie wewnetrzne, je2eli oba czynniki sa r6 -wnego stopnia, jest dzialaniem przemiennlen. Iloczyn wewnetrzny dw6ch czynnik6w r6wnych nazywa Gr a s sm a n n kwadratem wewnttrzanym i oznacza w ten spos6b (AA) - A-. Z tego okreslenia wynika: (aC1 El + aE +.., +,il )-= ai + a-+. C^ Dwie liczby, ktorych kwadraty wewnetrzne sa r6wne, nazywa G r a s s m a nn liczbami rownej wartosci bezzwzgldne'j. Normalnemi wzgltdem siebie nazywa dwie liczby r62ine od zera, kt6rych iloczyn wewnitrzny jest r6wny zeru; ukladem normalnym stopnia n-go w dziedzinie stopnia n-go -uklad n liczb pierwszego stopnia r6znych od zera, majacych rowna wartosc bezwzgledna, kt6ra uwaza sig zarazem za wartosc bezwzgltdna samego ukladu. Uklad jednostek pierwotnych e, e,.., e,, stanowi taki uklad normalny, ktorego wartosc bezwzgltdna jest 1., gdyz dla tego ukladu zachodza r6 -wnosci 2 2 2 el ---= e2-... -e,- (el e) = (e e,).. -- (e, _. e) = 0. 29. MNOZENIE SRODKOWE. Mno2enie to, jak wiemy, czyni zadosc r6wnaniom warunkowym P w art. 24. t. j. r6wnaniom 1. e — + es =e 0; s > r; e e e l e=...- e, e,. Por6wnywajac rownanie 1. z warunkami mnozenia zewnttrznego, i wewnetrznego, dostrzeiemy z latwoscia, e pomigdzy temi trzema mnoieniami zachodzi zwiazek bardzo prosty, kt6ry, wedlug G r a s sm a n n a23, mozna przedstawic pod postacia

Page  171 29] KWA'ERNIONY rIAMILTONAS 171 ab = A (ab) +-,a [ab]. W r6wnaniu tem a i b sq liczbami zespolonemi, utworzonemi z jednostek prostych, abjest iloczynem.srodkowym, (ab) wewnetrznym, [ab] zewnetrznym, 2I i u peewnemi wspolczynnikami dowolnemi, nier6 -wnemi zeru. Poniewa2, gdy 2I i Iu zmieniaja sie w stosunku stalym, t. j. gdy 2/lu pozostaje pewna liczbq rzeczywistq, r6oni od zera, iloczyn ab zmienia tylko sw6j czynnik rzeczywisty, w skutek czego ani istota powyzszego zwiazku ani istota mno2enia nie ulega zmianie, mozna przeto przyjac, ze jeden ze wsp6lczynnik6w, np. t=-1. Bgdzie tedy 2. ab = (ab) + [ab], Kladac w tem rownaniu a -e,., b- e,, i zwa2ajqc, ze iloczyn wewn^trzny (e,.e) = 1, iloczyn zas zewinutrzny [ee,.. ] - 0, otrzymujenmy 3. e,.er —, r = 1, 2,... n Kladac zas a = e,., b = e, r s, i zwazajac, ze (e,.e) = 0, mie6 bedziemy 4. e es [e, es] t. j. 2e iloczyn srodkowy dwoch jednostek r6onych r6wna sig ich iloczynowi zewnitrznemu. Z r6wnali 3. i 4. wynika, ze okreslenie istoty mno2enia srodkokowego sprowadza sie do okreslenia znaczenia iloczynu ere,. zgon (n -1) dnie z r6wnaniem 3. i do oznaczenia --- iloczynow zewnetrznych eres; razem wiec mamy do okreslenia - 2 -- 1 iloczynow jednostek. Na teoryi mnozenia srodkowego oparta jest teorya kwaternionow, do kt6rej teraz przechodzimy. 30. KWATERNIONY HAMILTONA. Kwaternionem nazywamy liczbg zespolona postaci 1. a = aO + _a l + a2 e2 + e a e a3 e3, utworzona z czterech jednostek, z kt6rych jedna jest 1, trzy zas pozostale el, e2, e3 ulegajq prawu mnozenia srodkowego.

Page  172 172 CZESC' I. IiO/nDlA1, V'T. [0o Na podstawie rownaii 1., artykulu poprzedzaj4cego bgdzie 2. e. e2 e;;, el e eel, e - -el e. 2. 2 2;1/ I I.~ = - - C i el el = c.)== e., e. Aby okreslic istot~ nmozeuia trzeba. wedlug podan6j wy2ze teoryi, oznaczyc liczbe 2, dla kt6rej: el1 = 2e2 =; =- 2, oraz trzy iloczyny e1 c.,, e.e., e;e1. Poo62my tedy 3. e1 e. = e, wia c e., c1 -- e;.C i przyjmijmy, 2e do mno2enia jednostek stosuje sit prawo lIcznosci. Na tej zasadzie z pierwszego rownania 3., otzrzymujemy e C1 C.) 1., / P. -- eC ~;; stad: el e. 2 e2 4. e, el -- 2 Podobnie2 z drugiego rowniania 3. bedzie e2a2e -- 2 ' 2 e.:: el = e., e;: stafd: e, e., =- -- Ce, 5. -. - e. 2 - e Poniewa2 el 2 e3 ro6wna sie z jetdn6 strony e1 e2.e3 =e.e=,, z drugiej zas e1.e2 e3= —Ae el = - a2, a zat6m byv winno -- 2 = 2, skid A = -- 1. Wstawia.jac t? wartosc w r6wnania 4. i 5., otrzymij emy e e, -e,.;1 =e e,: -- el, e:, ---- el Ostatecznie wiec mamy nastepuj4cy szereg r6wnaili, cliarakteryznj cych jednostki zasadnicze kwaternion6w:

Page  173 30] KWATERNIONY IIAMILTO SA. 173 e1 c= -1, e, e, -- 1, e e3 -- 1 el e.=, e 2e1= - e 6. % C% -1, e. ~ C e. el e. 1, e e= - e., C1 ee:, -- e. eC1; c Ce1 e, - 1. el C3 e2-= - -e2 el 3 1 -. Dodawanie i odejmowanie kwaternion6w odbywa si wedlug og61 -nych prawidel tych dzialaii dla liezb zespolonych wyzszych art. 22.]. Mno2enie wykonywamy, uwzglgdniajae prawo rozdzielnosci oraz r6wnania 6. Na tej podstawie iloczyn dw6ch liczb a-,a, l el +a-,e,e+ a-e,,, a -- =ao + (11 e1 + e2 3a e:, przyjnuje postac nastpluj aca a b=(aOPlo -(,1,l a - -2)- -; ',() 7 +(aofkS-,aI-ta, f W+a.1 - i3 ",'fl i2 $-+(~0^:-+ 1 '3+2-fl + 3,/1o) e;.. Widzimy wiqc, ze iloczyn dw6ch kwaternion6w jest kwaternionem tej samej postaci, jakiej s czynniki. Wlasnosc ta stosuje sie do jakiejkolwiek skoniezonej liczby czynnikow. Mnozenie kwaternion6w nie jest przemienniem. W samej rzeczy, tworzqc, wedlug powyzszego prawidla, iloczyn ba, otrzyrmamy ba = (Boo -- All -fP, X -. -):a,:) +-(/Boal+. fal, +/A2r3I -- ax2).I +(oa3 +-fla2 - i ail +aoa )e;. Dwa iloczyny ab i ba nie sq zatem wogol6e r6wnc. Celem prostszego przedstawiania wynik6w dziatai nad kwaternio - nami 1. zastosujemy niekt6re poj cia i odpowiadaj ce im oznaczenia, wprowadzone przez H a mi i t o n a. Cztsc rzeczywisti ao kwaternionu a nazwijmy skalarem i oznaczmy przez Sa, czsc zas nierzeczywistaq ale,+-ae2f-a-e3 nazwijmy wektorem i oznaczmy przez Va; bcdzie tedy:

Page  174 174 C('ZEC I..OZI)Z1A\I VI, [30 9. a = Sa - Va. Z tych okresleii wynika, 2e skalar sumy rowna sie sumie skalarow, wektor sumy sumie wektor6w; podobnie2, skalar r6znicy rowna sie r6inicy skalar6w, wektor r62nicy jest r6wny r6onicy wektor6w. Z wzor6w 7. i 8. wyplywa, 2e skalar S(ab) iloczynu dw6ch kwaternion6w a i b 6rwna sie a0o/3 - all + - 2t - a22 1:3 wektor zas iloczynu wyra2a sie za pomoca wzoru V (ab) =(a0/1l+afl+i t-a2Pi3 -3 fa2)e +(aofl2 - a"A+C2a2 AQ+/3)9l)'2 +(aoBf3+-afl2 -- a41-X+af)e3-. Mo2emy te2, korzystajac ze skr6conej formy 9., przedstawi6 iloczyn dw6ch kwaternion6w a i b pod postacia (Sa+- Va) (Sb+ Vb) = Sa. Sb — Sb. Va-+- Sa. Vb + Va. Vb: iloczyn zas h badzie mial postac (Sb +- Vb) (Sa -- Va) = Sa. Sb - Sb. Va - Sa. Vb + Vb. Va. Oba iloczyny r62nia sig tylko czwartemi wyrazami, gdyz wedlug wzorow 7. i 8., zakladajac w nich ao=- = o =0, otrzymujemy: Va. Vb= - (al f +a2pf2+a,33) 10. + (a2f3 — a3f2)el + (a3f1 - all3i) e2-+ (a1f2- a231)e3 Vb. Va = - (al/31 + a2f2 + a3f3) -(a2fl3- a3fl2e, -(a3,1 -a fl3)e2 -(a 1 2- afll)e3. Te wzory pokazuja, ze skalary iloczyn6w Va. Vb i b. Va s' r6wne, ich wektory sa znak6w przeeiwnych; mamy tedy S(Va. Vb)=S( Vb. Va) V( Va. Vb)=-V( (Vb. Va) skutkiem czego iloczyny ab i ba przyjmuja postac: ab = Sa.Sb -- Sb. Va + Sa. Vb + S( Va. Vb) + Vt Va. Vb) ba = Sa.Sb - Sb. Va~ + Sa. V + S( Va. Vb)- V( Va. Vb). skad 13. a b - b aa2 V(Va. Vb).

Page  175 301 KWATERNIONY HAMIITONA. 175 Zakladajac a =b, otrzymujemy ab I ba==a2, V (Va Vb) = 0, S(Va.Vb)==(Va)2, a zatem 14. a2 = (Sa)2 2 sar Va + ( a)2, skad S. a2 (Sa)2+( Fa)2 V.a2=2Sa. Va. Z r6wnali zas 10., gdy w nich zalo2ymy a=-b, znajdziemy 15. (Va)2 (a2 + a22 + 32) Pottga trzecia kwaternionu a bgdzie miala nastepuj ace wyrazenie a3 = (Sa)3+ 3(Sa)2. Va + 3 Sa.(Va)2 + (Va)3, przyczem, jak latwo okazac, zachodzi zwiazek a = (3 ao2- a2- 22 - 2) a —2 O(aO2 a1 + a2 + a32) = 0, z kt6rego wyplywa, 2e kwaternion a czyni zadosc nastgpujacemu r6wnaniu stopnia trzeciego: a - (3 aC a 2 - a2 2 - 32)a a + 2ao (ao12 + 22 + + a32) = 0 Dwa kwaterniony Sa-+ Va i Sa - Va, r6oniace sic znakiem cz~sci wektorowej, nazywaja si9 wzajemnie sprzfionemi; kwaternion sprzc2ony z kwaternionem a oznacza H a milton przez Ka. Z okreslenia tego otrzymujemy bezposrednio a + Ka 2 Sa a - Ka- 2 Va a. Ka= (Sa+ Va) (Sa — Va) (Sa)2 - (Va)2, a przy uwzgltdnieniu wzoru 15.: a. Ka = ao +al2+a2-2-a32. Wyrazenie na stronie drugiej tej rownosci nazywa sie normnq kwaternionu i oznacza sie przez N(a), bgdzie zatem 16. a. Ka = N(a) = a02+a-12+a22+a32. Je2eli w wyrazeniu 12. iloczynu ab zmienimy znak czsci wektorowej, znajdziemy K(ab) = Sa.Sb - Sb. Va- Sa. V Vb+S( Va. Vb)- V( Va. Vb) V Vb).

Page  176 176 c iSC I. lOZD7LL VI. [30 Dwa ostatnlie wyrazy, na podstawie r6wnaii 11., mo2na zastapi6 jednyn Vb. Va, b}dzie zatem K(ab) =Sa.Sb - Sb. Va - Sa. lb-+ - b. a. Z drugiej strony Kb. Ka=(Sb- Vb)(Sa - Va) - Sb.Sa - Vb.Sa - Sa.Vb-+- Vb. la, dochodzimy wiec do zwiazku 17. Kb. Ka =K ((ab). z kt6rego, kladac b= a, otrzynmnjemy (Kal =) K. a2 Mnozac obie strony r6wnania 17. przez b i zwazjajc, ze b.Kb=N (b), miec bedziemy V (b). Ka= b. K(ab), a przez pomno2enie obu stron przez a. znajdujem y N(b). a.a -= ab. K(ab) lub N (a)N (b) =NV (( b). Wz6r ten wyraza, 2e nolrma iloczynu dw6ch czynnik6w r6wna sie iloczynowi norm tychze czynnik6w. Stosujac do tego twierdzenia wzory 7. i 16. otrzyiujemy tozsamosc ((24 (1l2+ t.22 (:) (/3of2 — 1'2 + /2 + 32,) (a"/)0 - Ca/O + U..4 - a a/1,)' + (0A/ A + cel/3 + 0-23 - 2.i) + (,,fs -- i,/, +,- (- 2t F% 1)2 + (a0/of3 + (1/)2 - a2/)1 -+- (:lJ0)2 pozwalajaca nam przeksztalci6 iloczyn dwclh liczb, z kt6rych ka2da jest suma czterech kwadrat6w, na sume czterech kwadratow. Wz6r ten zawdzieczamiy E u e r o wi.

Page  177 30] KWATERNIONY IIA MIII'ONA. 177 Z okreslenia normy wynika ze wszystkie kwaterniony a -= a + a, el - a2 e2 + a3 e, w ktorych odpowiednie wsp6lczynniki majaq wartosci bezwzgltdne, rowne wartosciom bezwzgltdnym wsp6oczynnik6w kwaternionu a, beda mialy normy rowne. Jezeli wyobrazimy sobie, ze ao jest stale i ie zmieniamy tylko znaki wspolczynnikow pozostalych, otrzymamy 8 kwaternion6w: a, + z1, el l+ a2 e2 + 13 e3, a0 - al el 4- a2 e2 + a, e1, a0o-ale1 +a2e —a:e3, ao - a1 e2 -- a2 2 + a3 e3 0 (1 e a el - a e - 3 3, ao+ - al e1 - a2 a1 + 3 e;:, a0 + a1 el - a2 e2 - a, e3 aT + a el + aa2 e2 a - 3 e, Co - (a1 el + a2 e - a3 e3, majacych normy r6wne, a gdy zmienimy jeszcze znak przy ao, to takich kwaternion6w bedzie szesnascie. Ale wymienione kwaterniony nie wyczerpuja jeszcze mnogo~ci kwaternion6w, majacych normy rowne, albowiem jest rzecza widoczna, ze dojdziemy do tej samej normy ao -a12+a 22+a32, skoro przemienimy wszystkiemi mozliwemi sposobami wsp6lczynniki przy jednostkach; poniewaz zag tych przemian mo2e by6 1.2. 3.4 6 4, a zatem btdziemy mieli 16.64 = 1024 kwaterniony, majace normy r6wne [od zera r6one]. Wartos6 bezwzgltdna pierwiastka kwadratowego z normy nazywa Ha m i lto n tensorenz kwaternionu, oznacza go przcz Ta i kwaternion a przedstawia pod postacia a - Ta. Ua. Czynnik Ua nosi nazwe wersora. Wlasnosciami kwaternionow, wynikajacenmi z tej postaci, nie bedziemy sit tu zajmowali. Iloraz dwoch kwaternion6w a okreslamy jako kwaternion x, dla kt6rego zachodzi r6wnosc Pojdcia, T. L 12

Page  178 178 CZ^6~ I. ROZDZIAL VI. [30 x. b = a. Dla oznaczenia - pomnbomy obie strony przez Kb: x.b. Kb — a.Kb xN(b) a.Kb stud 18. x - - a.Kb V (b) a wiec iloraz jest oznaczony, gdy -N(b) =Vf + 2l + - fl 22- 32 nie jest zerem, co spelnia si9 zawsze, jezeli kwaternion nie jest zerem. Gdybysmy przyjgli, ze wspolczynniki kwaternionu sa liczbami zespolonemi zwyczajnemi, to norma mogla by bye zerem, jakkolwiek sam kwaternion nie jest zerem. Przypadek ten wylaczamy. Kladac X + l el + 2 e2 4+ 3 e3 i uwzgldniajac, ie na mocy wzoru 7., jest a Kb = (a + a el + a2 e2 + a3 e) (fo - fi el -f2 e2 - 3 e3) =(ao PO + a0 f1 + a2 2~ + a3 fl3) + (a1 Po - aofi1 + a3 P2 - (12 3) e1 + (a2f0 - a3 i1 - aO Pf2 +a a1 3) e2 + (a3 fio + a2 f1 - a, f2 - a0fPo) e3, otrzymujemy N0 == (bt(A()A + a~f 1 + a2 af2 + a3:3), 1= _") (acl~o - af1 + a3s 2 -- 2 f3), 19. 1 2 = )(a20o - a3fl1 ' aO f2 + al f3), 1= -7()(3 a2 l 2 - a) $3 = ("~/3, + 012o~1 -al/.- - aO fl3)' N (b)

Page  179 30] KWATERNIONT HAMILTONA. 179 Z rownania 18. znajdujemy r. a aKb b V(b) ' a dla a = 1: 1 Kb b N(b) stad za~ wynika: 1 Kb a a.-' N(b) b ' t.j. zwiazek analogiczny do zwiazku 10b. art.11 w teoryi dzialai formalnych. Na podstawie okreslenia ilorazu bgdzie b bKc bK ab ab a. -- a. N c a (c) lN(c) c Jest to zwiazek tej samej postaci, jak zwiazek 4b. art. 11 w teoryi dzialafi formalnych. W podobny spos6b moina okazac, 2e dzielenie kwaternion6w posiada wlasnosci, wyrazone wzorami a (b) a c cb ' (a ac /b b analogicznemi z drugim i trzecim wzorem 4b. art. I1 w teoryi dzialani formalnych; ze natomiast do kwaternion6w, z przyczyny nieprzemiennosci mnoienia, nie stosuj4 sir np. nastgpujace r6wnania: a ba b- = a, -- a, b b a a cb b b Ic

Page  180 180 CZa^ 6 I. ROZDz7AL VI. [31 31. DZIALANIA NAD WEKTORAMI. Prawidla rachunku nad wektorami, t. j. nad liczbami tr6jjednostkowemi postaci al el + a2 e2 + a3 e wynikaja bezposrednio z teoryi, podanej w poprzedzajacym artykule. Niechaj b}d% dwa wektory a - a1 el + a2 e2 2+ a3 e3 b - 1f el + fl32 e2 + /3 e3. Suma ich a - b= (al + 1) el + (a2 + )e + (a3 + fl3) e) bedzie rownie2 wektorem. Dodawanie wektorow jest dzialaniem tacznem i przemiennem. R6inica wektorow a i b. a —b = (a1 -ll) el + (a2-[2) e% + (a3 —l3) e3 jest rownie2 wektorem. Roznica ta jest zerem, t. j. dwa wektory s% r6wne wtedy i tylko wtedy, gdy (1 -= (-2 PI1 = 2 (3= z 23' Iloczyn wektorow a i b, wedlug wzorow poprzedzajacego artykulu, bedzie ab= -b (a1,+ a2fl2 +a 333) + (a23 - a322)e1 +- (a31- (Xl3 )e2 + ((1/22-a21l)e3. a zatem iloczyn wektor6w jest kwaternionem. Iloczyn ba wyrazi sic w ten spos6b: ba= -(aAfl + a3 f32 ~+ a3 t3) - (a2f3 - a32)el - (a1 - U133)e2 - (a1l2 -a2fl)e3 Iloczyny ab i ba maja czgtci skalarowe rowne, wektorowe zas czesci r6wne i znakow przeciwnych, sa wiec kwaternionami sprzz2onemi, a zatem: S(ab)= S(ba), V(ab) =- V(ba).

Page  181 31] DZIAZlAN-IA NAD WEKTORAMI. 181 ab + ba = 2S (ab), a& - ba= 2 V(ab). Mnozenie wektor6w nie jest wiec dzialaniem przemiennem. Kladac b=a, otrzymujemy a2 - (al2+a22+a32) Kwadrat wektora jest zatem rowny normie, wzi}tej ze znakiem przeciwnym. Wyrazimy iloczyn trzech wektorow, mnozac iloczyn ab dw6ch wektorow przez wektor trzeci C = y1 el 1- + e2 -+ Y3 e. Na zasadzie prawidla mnozenia kwaternion6w otrzymamy abc= — (a2p3 -a3 fl)Y1-(a3fl1 -a l)Y2 — (a1/2 -a2fl)Y3 + [- (afll + a22 + a33)'17 + (a31-al 3)Y3 - (aflP2-a2l)y2el + [- (cfl1 ~+a2fl2 + a3 f,)y2 + (afl2- a2fl)yl+(a2fl3- a3f2)Y31e2 +[ —(a1fl +a2fl2 + a8 3 )3 (a'23-a3 f2)2 —(a3 fl1-a 1f3)Y1 e3' Skalar iloczynu, t. j. S(abc) = - (a2f3-a3fl2)y1-(a3fll-a1fl3)Y2-(aCfl2-a2fl1)Y3, mozemy przedstawic pod postacia wyznacznika al, C2 a3 s (abc) =- -fl, 2 fl3 Y1, I2, 73 Na podstawie tej formy wyznacznikowej wnosimy, ze skalar iloczynu trzech wektor6w zmienia znak przy przestawieniu dwoch czynnik6w. Wektor iloczynu V(abc) mozemy przedstawic pod postacia skr6 -cona, wychodzac z toxsamosci 2. abe - bca = (ab + ba) c — b (ca + ac). Na podstawie rownan 1. mamy 2 V [a. V(bc)] = a. V(bc) — V(b). a, a dodajac do tego tozsamosc

Page  182 182 czE6 1. ROZDZIAL VI. [31 0 = a. S(bc) - S(bc).a, otrzymujemy: 2 V[a (bc)] = a [S(bc)+ V(bc)] - [(S(bc)+ V(bc)] a lub 2 V[a V(bc)] = a be - be a. Na podstawie tychze r6wnani 1. jest ab + ba=2 S(ab), ca - ac= 2 S(ca). Kladac przeto w r6wnanie 2. wartosci, otrzymane dla obu jego stron, znajdziemy V[a. V(b c)] = c S(ab) - b. S(c a); dodajac tu do obu stron tozsamosc V[a. S (bc)] = a S (bc) i zwazajac, ze V[a S(bc)] + V[a V(bc)] V (a. bc), dochodzimy do r6wnania V(a b c) = aS(bc) - bS(ca) + cS(a b), przedstawiajacego wektor iloczynu trzech czynnik6w. Iloraz wektorow, okreslony za pomoca r6wnania Z'b = a, jest wogole kwaternionem. Zakladajac w r6wnaniach 19. art. poprzedzaj cego: ao 0, 0 = 0, otrzymujemy iloraz x pod postaciq x = + $,e,1 + e2 + e 3e, gdzie = Y(b)(a1Pl+aP12+at)3) 1 N(b) (a32-a2 ),

Page  183 PREYPISY. 183 2 - 7-(^lfl -ai3p 1). $3- (6a2 P -afl2), Nb(b) _N,(b) = f12+fl2+p32 Teorya kwaternion6w jest nauka czysto angielska, kt6ra dopiero w ostatnich czasach zaczgla rozpowszechniac si9 na kontynencie. Opowiadanie o usilowaniach swych utworzenia nowego rachunku umiescil H a m i to n w przedmowie do dziela: Lectures on Quaternions containing a systematic statement of a new mathematical metod etc. 1853. [Jednoczesnie tym samym przedmiotem zajmowali si9 bracia J. T. Grave s i Ch. Grave s]. Najwieksza trudnosd stanowilo ustanowienie wlasnosci zasadniczych mnozenia wektor6w [por6wn. art. 31.], przedstawianych za pomoca liczb o trzech jednostkach zasadniczych i,j, k [u nas e1, e2, e3]. H a m i to n mniemal zrazu, ze utrzymanie przemiennosci mno2enia jest rzecza konieczn4; po wielu wszakze pr6bach przekonal sig, ze iloczyn i iloraz wektor6w nie sa juz wektorami, lecz kwaternionami, i ze nalezy odrzuci6 przemiennosd mnozenia wektor6w, zachowujac lacznosc i rozdzielnosd tego dzialania. Wedtug teoryi, kt6ra dajemy w tekscie, fakty te sa nadzwyczaj prostemi, ale H a m i t o w i, ktory dazyl do nich na innej drodze, nie mogly si9 one prgdko ujawnic. Drugie obszerne dzielo Hamil ton a, poswiecone kwaternionom, wydane zostalo w r. 1866. [po smierci autora] p. t: Elements of Quaternions [Przeklad niemiecki G1 an a p. t. Elemente der Quaternionen, I, 1882, II. 1884.] zawiera tresd poprzedzajacej jego pracyw bardziej systematycznym ukladzie. Wyklad ma charakter geometryczny, rozpoczyna sie od teoryi wektor6w, a nastgpnie przechodzi do kwaternion6w, uwazanych jako ilorazy wektor6w. Algebra kwaternion6w, Teorya funkcyj kwaternionow, wreszcie liczne zastosowania do rozmaitych zagadnieni Geometryi i Fizyki wykazujz uzytecznosd i elegancya metod kwaternionowych. Uczeni angielscy z upodobaniem stosuja tez te metod9 do badaf fizykalnych; C 1e r k-M ax w e 1l uzywa jej w znakomitym swym Traktacie o elektrycznosci i magnetyzmie. Elementarn4 teorya kwaternion6w oglosil T a it uczefi Hamil to n a: An elementary treatise on quaternions [drugie wydanie 1873.]. K ell a n d i tenze T a it napisali Introduction to quaternions with numerous examples, 1873. We Francyi All e g r e t [Essai sur le calcul des quaternions, 1862.], H o ii e [Th6orie 6elmentaire des quantites complexes. IV-me Partie, 1Elments de la theorie des quaternions, 1873.] i Laisant [Introduction a la methode des quaternions, 1881.] przeszczepili nauk9 angielska na grunt francuski. W Niemczech H a nk e l, jeden z pierwszych, uprzystepnil ja w tresciwe6n, niezaleznem od

Page  184 184 CZz^6 I. ROZDZ1AL Vl. metod geometrycznych przedstawieniu, z kt6rego po czgsci korzystamy i w naszym wykladzie. W jgzyku polskim mamy pracg K. Hertza p. t. Pierwsze zasady kwaternion6w H a m i to n a, 1887. Skupienie [a,, a2,..., an], w kt6rem a,, ao,...,.n sa liczbami rzeczywistemi, okreslamyjako liczbe, podlegajaca nastgpujacym prawom: [Por6wn. Peano, Integration par series des equations diff6rentielles lin6aires Mathematische Annalen, XXXII, 1888, str. 451 i dalsze, a takze dzielo Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Gr a s s m ann etc., 1888.]: R6wnoS6 dw6ch skupieii a = [i, a,...,-,4 b [= [ -, b=[, *..,,, gdzie a i S sa liczbami rzeczywistemi, okreslamy za pomoca r6wnaii C1 = 1' pi, -.2=... C.Jb,a =; sume a - b za pomoca r6wnania a+b =[a1+3I, at+2~2,... i * -14- +n]; iloczyn?.a, gdzie X jest liczba rzeczywista, za pomoca wzoru Xa [, a, a,....., an]; r6onice za pomoca r6wnania a - b = a - (-1) b. Zerem jest skupienie, dia kt6rego al =O, 02 =O...., a- =0. Liczba ) a +- I b -... gdzie ), j.... sa liczbami rzeczywistemi, jest oczywiscie liczba, podlegajaca powyzszym okresleniom dzialafi. Jezeli polozymy e, -= [1, 0,0,...,0], e, = [0,1, 0,..,0],., e. = [0, 0,..., 1], otrzymamy skupienie a pod postacia a = i el -+- -2 e2 +... + a en, to jest pod postaeia liczby zespolonej wyzszej o n jednostkach zasadniczych. Teorya ta obejmuje w sobie podane w art 22. teorye Hamin l to n a i Lercha. 2 Pierwsza pobudke, do badai wvspomnionych w tekscie, daly G r a s sin a n n o w i spostrzezenia nad stosowaniem liczb ujemnych w Geometryi, jak to ezytamy w przedmowie do dziela z r. 1844. Podobne pomysly podjeli wczesniej jeszcze M obius w raehunku barycentrycznym [1827.], i B e la vi ti s wteoryi ekwipolencyj [1839], ale najplodnidj mysltarozwinela sig w umysle Gras s m anna. Twierdzenie, ze gdyA, B, Coznaczaja punkty na prostej, jest zawsze AB+BC==A C, bez wzgltdu na to, ezy punkt ClezymiedzypunktamiA i B, czy zewnatrz ich, rozszerzyl Gr a s s

Page  185 PRXYPISY. 185 m an n do przypadku, w kt6rym punkty A, B, C nie lez na prostej, a przechodzac, od sumy do iloczynu zauwazyl, ze nietylko prostokat ale i r6wnoleglobok mole byd uwazany za iloczyn odcinkow, w kt6rych, opr6cz dlugosci, uwzgledniamy jeszcze i kierunki. To uogolnione mnozenie pozostawalo w zwiazku z uog6lnionem dodawaniem, podobniejak mnoienie zwykle ze zwyklem dodawaniem. Lecz zachodzila i r6inica obu mnozeni, polegajaca na ten, ze w mnozeniu nowem porzadek czynnik6w nie byl bez wplywu na znak iloczynu. Wnikajqc coraz gigbi6j w tres6 tych wynik6w, przekonal sig Grassmann, ze polegaja onenapewnych zasadach og6lnych, niezaleznych od obrazu geometrycznego form badanych, i tym sposobem doszedl do og6lnej nauki, kt6ra przedstawil w dziele: Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, 1844. Dzielo to, odbiegajace tak metoda jako tei i forma od 6wczesnych dziel matematycznych, pozostalo na razie bez wplywu, mimo ze G r a s s m a n n w rozmaitych rozprawach, ogloszonych w dzienniku Journal fir die reine und angewandte Mathematik, wykazal cata plodno6s i uzyteczno6s swojej metody. Nawet i nowe opracowanie z r. 1862. w szacie algebraicznej na razie pozostalo prawie niepostrzezonim. Dopiero H a n k el w pracy swej Ueber complexe Zahlensysteme, 1867. wykazal donioslos6 badafi G r a s s m a n n a, i od tej chwili pomysty jego zaczly sobie zdobywa6 uznanie. Schlegel, Preyer, Notb, Schendel, Caspar y, Peano i inni w wielu kierunkach wykazujaz wazno6 i uzytecznos6 metod nauki Grassmannowskiej. Sam G ras sm an n udowodni LDer Ort der Hamiltonschen Quaternionen in der Ausdehnungslehre, Mathematische Annalen, XII. 1877. str. 375 - 386.], ze rachunek kwaternion6w stanowi tylko szczeg6lny przypadek jego metody og6lnej. [Mowimy o tem w artykule 30.]. 3 H. Scheffler oglosil swoje pomysly w pracach: Ueber das Verhaltniss der Arithmietik zur Geometrie etc. 1846. i Der Situationscalcul etc. 1851. Na takiejze podstawie oparta jest metoda Zmurki, kt6ra rozwinal w dziele: Wyklad matematyki na podstawie ilosci o dowolnych kierunkach. [Por6wn. P. D z i w i i s k i, Rys dzialalnosci naukow6j i nauczycielskiej Wawrzyfica Z m u r k i, Prace matematyczno-fizyczne, II, 1890, str. 433-453.]. 4 Hankel 1. c. str. 106 -107. Dow6d H a n k e a podajemy nizej w przypisie 17-ym. 5 W e i e r s t r a s s. Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grossen. [G6ttinger Nachrichten, 1884. str. str. 395-419.]. 6 D e d e ki nd. Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grossen [Gottinger Nachrichten, 1885. str, 142-159.]. 7 Kr o n e c k e r. Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modulsysteme [Mittheilungen der Berliner Akademie, 1888. str. 249 -250]. Por6wn. takze tego autora Sur les unit6s complexes [Comptes Rcndus, XCVI, XCIX, 1883. 1884.]. 8 De d e k i n d, 1. c. str. 156.

Page  186 186 CZLC 1. IIOZI)ZI.A, VI 9 Lip s c h itz, Untersuchungen iiber die Summen vou Quadraten, 1886. 10 S c h u r, Zur Theorie der aus n Haupteinheinten gebildeten complcxen Zahlen [Mathematische Annalen, XXXIII, 1889., str. 49-60.] 11 S t u d y, Complexe Zahlen und Transformationsgruppen [Berichte der k. saiclsischen Gesellschaft d. Wiss. 1889. str. 217-228]. la S c h e ff e r s, Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grossen, tamze, 1889. str. 290-307 oraz, Ueber die Berechunng der Zahlensysteme, tamze, 1889. str. 400-457. 13 G r a s s m a n n, Die neuere Algebra und die Ausdehnnngslehre [Mathematische Annalen, VII., 1874. str. 538 —58]. 14 0 tych i jeszcze og6lniejszych liczbach calkowitych m6wi6 bgdziemy w czgsci II. niniejszego tomu. 5 Rachunek D iih r i n g a [Neue Grundmitte], i t. d.] polega na rozkladzie rownani, wtedy mianowicie, gdy wielkosci, zachodzace w r6wnaniu, nie sa jednowartosciowe. Jest on rozwinieciem tej samej zasady, na kt6rej opieramy okreslenie r6wnosci liczb urojonych [art. 22. i 24. zwlaszcza twier. VIII. a kt6ra oddawna stosowano w Algebrze w teoryi zwiazk6w, zawierajacych wyrazenia wymierne i niewymierne. Najprostszy przypadek takiego rozkladu przedstawia juz r6wnanie A + B - 0. w kt6rem A jest jednowartosciowem, + B — dwuwartosciowem, rozkladajace sie na dwa r6wnania A= 0. B =0. Drugi przyklad przedstawia r6wnanie A+ B V- = 0, w kt6rem A jest jednowartosciowem, B V — zas przedstawia rbwniez dwie wartosci +-BVi- i -B V-1; z tego r6wnania wynika r6wniez A=0, B=0. Wyra2enie A + B +jC, gdziej jest pierwiastkiem pierwotnym trzeciego stopnia zjednosci, jest zlozone z wielkosci jednowartosciow6j, dwu i trojwartosciowej, i dla tego r0wnanie A ~+ B +jC 0, sprowadza sie do nkladu trzech rownani A =0, B =0, C= 0. W samej rzeczy, jezeli oznaczymy A + B przez S, bedziemy inieli S+j0c=o. R6wnanie to przedstawia trzy nastpujtce: S-+jC=O, S+jaC=0, S+jd3C=0, kt6rych dodanie, z uwagi, zej+ —2+- 0,, daje: S= 0, czyli A B = 0, Stad, na zasadzie powyzszego, znajdziemy A 0. B =0,

Page  187 187 a uwzgledniajac wynik S-0 w r6wnaniu S+-jC=0, otrzymujemy te C — 0. Og6lnie, jezelij oznacza pierwiastek pierwotny r6wnania x'- = 1, a wiec gdyj, j3,...,jn-1 sa pozostalemi pierwiastkami tego r6wnania, wtedy z r6wnania A +jB +j2+...+ ' K-1 z O, w kt6r6m A, B, C,...,K sa liczbami rzeczywistemi bezwzglgdnemi, otrzymujemy A= 0, B=0,...,K 0. Jakkolwiek rozwiazywanie r6wnafi nalezy wlasciwie do czgsci III-ej, podamy jednak dla przykladu zastosowanie powyzszej zasady do rozwiazywania r6wnafi stopnia drugiego, trzeciego i czwartego. Pierwiastkiem r6wnania kwadratowego czystego x2=a jest wyrakenie dwuwartosciowe + T7; jezeli zas r6wnanie kwadratowe jest mieszanem postaci x2 +px +q- =0, to winnigmy przyjaci, ze pierwiastek jego sklada sie z czgsci jedno i dwu - wartosciowej, t.j. nada6 mu postac k + 1. Wstawiajac te warto6s w r6 -wnanie dane i uskuteczniajac rozklad, wedlug zasady og6ln6j, otrzymujemy dwa r6wnania k2'+1-+ p+q =0, 2 kl -pl 0. Z drugiego z tych r6wnafi, je2eli I nie jest zerem, znajdziemy k- p 2 ' skutkiem czego pierwsze przechodzi w nastepujace: 12- +q=o skd. Bgdzie tedy x — k+l - - -. Dla r6wnania stopnia trzeciego x3 +-px2 + qx r = 0 nalezy przyjac, ze pierwiastek sklada si9 z czesci: jedno- dwu- i tr6jwartosciowej, ze ma zat6m postac k +jl +j2m. gdziejjest pierwiastkiem pierwotnym stopnia trzeciego z jednosci. Wstawiajac te wartosd w r6wnanie dane, otrzymujemy

Page  188 188 CZFS(' I. ROZDZIAl; VI. K +jL +j2Al = 0. gdzie K= k3 +- 6k 1+ - 13- + a3 +-p k2 +- 2p I m +- q k- r, L = 3 k2 '1+3 k m -4- 3 12m + 2pp kc l p m2 + q 1, M2= 3 k 12 + 3 k I m-+ 3 2 + 2p k m +p 12 - q m. R6wnanie powyisze rozpada si~ na trzy nastgpujace: K-=0, L 0, 1 M 0. Z dw6ch ostatnich, znajdujemy z latwoscia p — 3k, q 3k -3 1 m, skad k --, q 313, - 1 - ): wstawiajac zas w pierwsze z nich wartosci za kc i m, dochodzimy do r6 -wnania stopnia 6-go: 16 + (2 3 + 13 + (t 3 2 2 2 P 3 Pq ' 7 8t 2-7 -27-1 0' kt6re nazywa sig r6wnaniem rozwiqzujacen i daje si} sprowadzi6 do r6wnania stopnia drugiego. Metoda niniejsza daje si9 znacznie uproscic, jeieli uwzgldnimy znane wyrazenia wsp6lczynnik6w w funkcyi pierwiastk6w r6wnania [por6wn. art. 37.]. Pokaiemy to na przykladzie r6wnania stopnia czwartego, kt6re wyobraimy sobie bez wyrazu, zawierajacego trzecia potggg niewiadomej, [do takiej postaci latwo kaide r6wnanie stopnia czwartego sprowadzi6 moina] x4 + q 2 + r x - = 0, Kladac dla pierwiastk6w x,, x2, x3, x tego r6wnania wyraienia x1 =jl +j-j2 + -j3 X -j2a +-j4m +j2n, x, =-jl +-j2n — +jn, x, -j41 +-j4m +./4n, gdziejjest pierwiastkiem pierwotnym czwartego stopnia z jednosci, i uwzgledniajac znane zwiazki q - 2 (XA, + x32 + x.3 + x 2,). r -- ( (x13 + x,3 + x3 + x,3), = - _ (X12 )2x + xa2 + x,)2- _ (X14 + X.24+.34 + X.4), otrzymujemy wedlug zasady rozkladu, prawie bezposrednio

Page  189 189 I'RZY I'IY. q -(4 In + 211s), r - (4 1nm +- 4 n n2), s = - (14.+ 4 l m2 n - 2 1' n - In4 4- n4), co nas doprowadza do r6wnania rozwiazujacego q 2m4? 2 + 2 (16 4) 62 - = dajacego sig sprowadzic do r6wnania stopnia trzeciego. 16 Rownanie a + bx-=O, ma nieskofnzeniewiele rozwiazafi, jeeli wsp6tezynniki a i b maja postad a=ck a', b k b'. gdzie k jest dzielnikiem zera, b' zas nie. W samej rzeezy, bedzie wtedy k (a +- b'x) - O; poniewaz zas k jest dzielnikiem zera, mozna przeto oznaczyc x tak, aby byto a' + b'x 1, gdzie Ijest jakimkolwiek dzielnikiem zera. Podobniez, r6wnanie algebraiczne a+bx+... +hx/a 0, posiada nieskoficzenie wiele rozwiazal, jezeli wsp6lczynniki sa postaci a=kIa', b-k b',... h k h', gdzie k jest dzielnikiem zera. Albowiem dosc oznaczyc x tak, aby bylo a' +b' x...+/' x,2t 1, gdzie I jest jakimkolwiek dzielnikiem zera takim, ie kl O TQ wlasnose r6wnaii o wsp6lczynnikach, bgdaeyeh dzielnikami zera, mozna uwaiac, jak twierdzi We ie r s t r as s, za uog6lnienie znanej w Algebrze wlasnosci r6wnafi, wedlug kt6rej posiadaja one nieskoficzenie wiele pierwiastkow, jezeli wsp6lczynniki ich sa zerami. 17 H a n k e 1 w nastepujacy spos6b dowodzi twierdzenia wymienionego w tekscie. Niechaj iloczyny jednostek wyrazaja sie jako funkcye liniowe samych jednostek za pomoca wzor6w s, -1 2..; S( t:= 1, 2.. *<).

Page  190 190 CZ,66 I. ROZDZIAL VI. t, i sLX s liczbami stalemi rzeczywistemi. Ktadac tu L=- 1x=2,3,...,n otrzymujemy uklad n-1 r6wnafi e, e. -= C,2 + Z s,l,2 es el e3 =,3, — s+ s',1,3 es el e2, 7 C3,+ " qsl,? es kt6re moina przedstawic pod postacia - -1,2 - 1,1,2 e1 = (-12,1,2 - el) e2 + 'q3,l,2 e3 +... -- +Yn,l,2 en — C,3 - 1,1,3 el - r2,1,3 e2 +(&q3,1,3 - e)e3 +..... n,1, en ~....................... - l,n-^1,1 2,1, e + l3,1,n e3 -..... (n,1,-e)en Z tych r6wnafi mozemy otrzymad e., e,..., e w funkcyi jednostki el, jezeli wyznacznik ukladu [por. art 26.], t.j. | 2,1,2-e1, 3,1,2,....., n,1,2 q2,1.3, 'q3,i;,-e,.......w,1, 3... ~...,.. j,... 'q2,l,n, ~?,1,,...... ~'g,l,n-e1 nie jest tozsamosciowo r6wny zeru; kazda z tych jednostek wyraza si9 wtedy jako iloraz dw6ch funkcyj stopnia n-1-go wzglgdem el, mianownikiem wsp6lnym wszystkich wyrazeli jest wypisany wyznacznik. Tak otrzymane wyrazenia wstawmy do rownania, wyrazajacego iloczyn e,e,, a mianowicie do r6wnania el el = -11 + ql,l,l el + -q2,1,1 e2 -,..., -t7-n,l,li en i zniesmy mianownik, to dojdziemy oczywiscie do r6wnania stopnia n+1-go wzglgdem e, w kt6rem wsp6lczynnik przy en+l bedzie + 1. Niechaj t6m r6wnaniem bgdzie: ell+1l +- A, el -+- A2 el,-1 +... + An.-. = 0. R6wnanie xnl+1 4 Al xl + A2 xn —1 -... -- An^+= 0, jak wykazuje teorya r6wnafi, ma n + 1 pierwiastk6w zespolonych zwyczajnych l,, 2...,, kt6re czynia zadosc nastepujacym r6wnaniom.1 + t! + * ~ + t3- +1 - -A1,1 -2 + 1 3 t +.* * +, n n+l = A2, 1........ 1=. -A.+.1.9. ~ ~ W.,+1 —(-1),,+1 An1+1,

Page  191 PRZYPISY. 191 a zatem by6 musi tozsamosciowo: Cl+n- +4 Al e, n + A, en —.. + A-,+ e- e,l+l-(, + 2 + - +') e. +.. (-1)n+ t1 +2.n+1 albo, jezeli przedstawimy strong druga pod postacia iloczynu, winno bye eln4-1 +- Ale)" -- Aet-1 4 —... + A,-+1 (e, -,) (e2 —2)... (el —n+l). Poniewaz pierwsza strona ma by6 zerem, powinna przeto i druga bye zerem. Lecz strona ta staje sie zerem, gdy el =- -, k==1,2,...,n+1, co wylaczamy, poniewaz e, nie ma by6 liczba zespolona zwyczajna. Jezeli wiec et ma by6 liczba zespolona wyzsza, to iloczyn poprzedni musi stawa6 sie zerem, jakkolwiek zaden z jego czynnik6w zerem nie jest. 18 H. A. S c h w a r z. Bemerkung zu der in Nr 10 dieser Nachrichten abgedruckten Mittheilung des Herrn Weierstrass [Gittinger Nachrichten, 1884, str. 516 - 519, takze Gesammelte mathematische Abhandlungen II, 1890, str. 346-349]. 19 Zasadnicze pojecia nauki G r a s s m a n n a i jego teorya mnoienia przedstawiamy na podstawie dziela: Die Ausdehnungslehre vollstandig und in strenger Form bearbeitet, 1862., oraz klasyczn6j rozprawy Sur les differents genres de multiplication [Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, XLIX., 1855. str. 123-141]. 20 Metode wyznacznik6w, kt6rej poczatki znajdujemy u L e i b n i z a [1693.] rozwineli i udoskonalili. C r a m e r, B e z o u t, V a n d e r m o nde, Laplace, Lagrange, Wroiski, Cauchy, Jacobi, Sylvester, Cayley i wielu innych. Wrofi s ki jul w rozprawie [niedrukowan6j], przedstawion6j Instytutowi francuskiemu w r. 1810, [por6wn. wyzej str. 44.], uywa tak nazwanych sum kombinatorty.jnych. W rozprawie Refutation de la theorie des fonctions analytiques de Lagrange, 1812. str. 14, okresla on sume kombinatoryjnq 2 [ a x, Ab X2... a. X ] gdzie X,, X2,...X sa funkcyami jednej zmiennej, jako sum9 iloczyn6w, kt6re otrzymujemy, tworzac wszystkie mozliwe przemiany wykladnik6w a, b, c..., umieszczajac te wykladniki, tak jak tworza przemiany, nad czynnikami iloczynu AX.X... -. AX,, dajac tak utworzonym iloczynom znak dodatni, gdy liczba waryacyj wykladnik6w a, b, c.., uwazanych w porzadku alfabetycznym, jest zerem lub liczba parzysta, znak ujemny, gdy liczba waryacyj jest nieparzysta, i wreszcie tworzac sum9 wszystkich tych iloczyn6w. W r o i s k i dodaje, ze tworzenie tych sum kombinatoryjnych, jest zupelnie analogiczne do tworzenia takichze sum przy rozwiazywaniu r6wnafi liniowych; jest mianowicie

Page  192 192 CZES6 I. ROZDZIA, V ty[ XA ]== AX1: [AX aX.Ab X2] A= AXI.Ab X2- Ab X.A^ X,; t[ aX,.^A X2.ANc X3]= AaX.Ab^ X2.AC X, AaX.Ac X2.A X. + Ai X.AC X2.AAX - AiX,.AaX2.Ae X + ACX.AI AX _ A-A.A ba; it. d. W dziele Philosophie de la technie algorithmique, I. Section, 1815 nazywa on sumy kombinatoryjne funkcyami schin. Funkcye schin, wkt6rych, zamiast rO6nic funkcyj, wystgpuj% pochodne, nazwal M u i r [A Treatise on the theory of determinants, 1882] wroiskianami [por6wn. art. 38.]. Literatura wyznacznik6w jest bardzo obszerna. Wyklad wlasnosci i zastosowafi znajdzie czytelnik szczeg6lowo podany w Teoryi Wyznacznik6w 3M. A. B a r a n ie cki e g o, 1879; tresciwe przedstawienie w pracy: Kr6tkie wiadomosci o wyznacznikach skreslil Wladyslaw Trzaska, przypisek do dziela: Zasady rachunku r6kniczkowego i calkowego W1. Folkierskiego, 1870. Z dziel obcych klasycznem jest Baltzera: Theorie und Anwendung der Determinanten. wyd. 5.1881. Historya tego algorytmu zawiera MA uira The Theory of determinants in the historical order of its developpement, kt6rego czesc I wyszla w r. 1890. 21 Por6wn. M. A. Baraniecki 1. c. str. 297-301. 22 Dlaotrzymania iloczynu odniesionego wzielismy tu wprost iloczyn dopelnieli, na tej zasadzie [G r a s s m a n n, Ausdehnungslehre, 1862, str. 60.], ze jezeli stopiei n dziedziny g6lwn6j jest nieparzysty, to dopelnieniem dopelnienia liczby zespolon6j jest r6wne samej liczbie. [Gdy zas stopieii dziedziny jest parzysty, to dopelnienie dopelnienia liczby zespolonej jest r6wny tej liczbie pomnozonej przez (-l1)q, gdzie q jest stopniem tej liczby]. 2t Grassmann. Der Ort der Hamiltonschen Quaternionen in der Ausdehnungslehre, 1. c.

Page  193 ROZDZ[AL VII. FUNKCYE CALKOWITE. 32. OKRESLENIA. Funkcye calkowite sa tem dla Algebry, czem sa liczby calkowite dia Arytmetyki. Twierdzenia, kt6remi wyra2aja sie ich wlasnosci, zawieraja sie w teoryi funkcyj algebraicznych i zarazem w teoryi ogblnej funkcyj, naleacej do Rachunku wyzszego. Do wywodu wszakze zasadniczych wlasnosci funkcyj calkowitych wystarczaja prawdy, podane w poprzedzaj4cych rozdzialach, i diatego zajminimy si9 tu zbadaniem istoty funkcyj calkowitych na podstawie elementarnej teoryi dzialali, oraz przedstawieniemich wlasnosci, potrzebnych nam w czesciach nasltepnych tej ksiaki. Funkcya calkowitc n zmiennych xl,,...,^,, nazywamy wyra2enie, zlozone z wyrazow postaci: Cag,,2...a njest w.1 1aya i ^i * * ykadnii gdzie cl,~,.,,, jest wspotlczynnikiem stalym, Tvykladnilki ras a,, a2,..., a przyjmujaq wartosci calkowite i dodatnie, nie wylaczajac i zera. Ogolna wiec postac funkcyi calkowitej n zmiennycl 21. 2,... zv, jest F(lr,,...,XI) — = Xc,,,.. nl..2'1 ~'^,, gdzie strona pierwsza wyraza og6lnie funkcya n zmiennych. Liczbe wyraz6w przyjmujemy za skoliczont. Pojecia, T. I.

Page  194 194 CZF,6 I. ROZDZIAL VII. [32 Jezeli suma wykladnik6w ala2- -... -+ a. przynajmniej w jednym z wyraz6w o wsp6tczynniku nierownym zeru jest r6wna m, w pozostalych zas wyrazach jest mniejsza od m lub r6wna m, wtedy funkcya calkowita nazywa si9 funkcya stopnia m-go. Jezeli suma wykladnik6w w kaidym wyrazie jest r6wna m, funkcya nazywa si9 jednorodnq stopnia m-go. Je2eli funkcya calkowita nie zmienia sic, gdy przestawiamy dwie ktorekolwiek zmienne, nazywamy ja symetrycznq. Przyklady. 1 2+X22+-x 2- 32-31 2 r3 + ~,1 + - 4 3 + 5 x3 X4 jest funkcya stopnia 3-go czterech zmiennych xa, %, X3, X4; xi14+~xi2X22- 2 X24 +- X X2 X3~+ 3X1 2 323 +- 4x1.rV2 X3 jest funkcya jednorodna stopnia 4-go trzech zmiennych x1, 2, X3; x 12 +22 +~ 3 2_ 31 x, x3 ^Xlin+Xl +... + X)m Xlrx+2s + 3L... + nlrsIX s + -Xls X2'+. X,,_ls Xr sa funkcyami symetrycznemi: pierwsza stopnia 3-go trzech zmiennych l, x2, X3, druga stopnia m-go n zmiennych x,... x1,, trzecia stopnia r+s tychze zmiennych. Liczba wyraz6w funkcyi calkowitej jednorodnej stopnia m-go zupeln6j, to jest taki6j funkcyi jednorodnej tego stopnia, w ktorej nie brak 2adnego wyrazu, wynosi, oczywiscie, tyle, ile mo2na utworzy6 kombinacyj z powtorzeniem z n element6w, wzietych po m, jest zatem r6wna n(n-+l)... (nn-m-1) 1....... m Funkcya stopnia m-go niejednorodna mo2emy wyobrazic sobie, jako zlo2ona z funkcyi jednorodnej stopnia m-go, funkcyi jednorodnej stopnia (m-1)-go, stopnia (m-2)-go..,, z funkcyi stopnia 1-go, wreszcie z wyrazu stalego; liczba zatem wyrazow zupelnej takiej funkcyi bedzie n(n+l)) )...(z — 1) n(n)...(n+ m —2) n(n+-tl), n 1.2...m 1. 2.(m-1) ' 1.2 1 Z elementarnej teoryi kombinacyj wiadomo, ze wyrazenie to jest

Page  195 32] OKREI.LENIA. 195 r6wne liczbie kombinacyj bez powtorzenia z n + m element6w, wzietych po m; otrzymamy tedy na liczbe wyraz6w funkcyi niejednorodnej zupelnj stopnia m-go wyrazenie (n+l)(n+2)... (n+m) 1. 2... m Poniewaz ta liczba, jak widzimy, jest zarazem liczba wyraz6w funkcyi jednorodnej stopnia m-go, zale2nej od n+l- zmiennych, przeto funkcya niejednorodna zupelna stopnia n-go, zale2na od n zmiennych, zawiera tyle wyraz6w, ile ich ma funkcya jednorodna zupelna stopnia m-go, zalezna od n —l zmiennych. Do tego samego wyniku mozna dojsc bezposrednio, zwazywszy, 2e funkcya jednorodna stopnia m-go, zalezna od n zmiennych t1, x w2 X *, I.. r+1 zamienia sie na funkcya niejednorodna zupelna, zalezna ocl n zmiennych x1, 2,...,, gdy w pierwszej funkcyi uczynimy jedne ze zmiennych, np. zmienna x2+x r6wna 1. Zwa2ywszy dalej, 2e liczba, wyzej otrzymana, mo2e bye przedstawiona pod postaci,% 1_ 2. n. (n+1) (n 2).... (n-+m) 1. 2.. n 1. 2..... n wnosimy, 2e liczba wyrazow funkcyi niejednorodnej stopnia m-go zupelnej, zaleznej od n zmiennych, jest r6wna liczbie wyrazow funkcyi niejednorodnej stopnia n-go zupeln6j, zalene6j od m zmiennych. Przyklad funkcyi jednorodn6j stopnia m-go w ktorej nie brak zadnego wyrazu, stanowi rozwinitcie m-ej potegi wielomianu X1 + 2 + * * * + Xnl wyrazajace sit w spos6b nastcpujacy: mn! (-1f2t+. *. + i)in-)l —"! a!...a ^a1 Vlat^.a a,a m!=1, 2,... m; x! [, 2,... [ =- 1,2,... nJ, gdzie suma S rozciaga sit na wszystkie wartosci calkowite i dodatnie, nie wylqczajac i zera, liczb a,, a2,..,a,, czyniace zadosc r6 -wnosci a, + a +... + a, =a,.

Page  196 196 cOZSq~ I. IOZDiAfL I l, [32 Wz6r ten stanowi uogolnienie tak nazwanego diwumianu Newt ona: k -- m (-i — +'2) - ('n-)!k 'i I k-=o Wedlug okresleiia, w kazdym wyrazie funkcyi jednorodnej Z, Ca, a,,. ' IVal S IV2as.. T,, A, suma wykladnik6w ac -+ a2 --... + a, jest r6wna m; jezeli przeto zamiast 1l, x...,. podstawimy exl, ~Q2.. L)xn, bgdzie - I2Vu__Q Cal, a,.... ' 'aC1.at +. aa l Ca... a cC..n co moina napisac w skr6ceniu tak: F(Qzl, Q2...,,) -= )'F('1.? x... Vt). Wz6r ten wyraza wlasnosc zasadnicza funkcyj jednorodnycli. Jezeli w jakiejkolwiek funkcyi calkowitej X2 Cal I. al.., c'71 aIt 2 a2...~ Cl wspolczynniki sa liczbamZi rzeczywistemi, zmiennym zas nadajemy wartosci rzeczywiste, to i sama funkcya przyjmuje wartosci rzeczywiste. W szczegolnosci, jezeli wspolczynniki sa calkowite, a zmienne przyjmuja~ wartosci calkowite, funkcya przedstawia liczby calkowite. Jezeli przy wsp6lczynnikacl rzeczywistycl zmiennym nadajemy wartosci zespolone zwyczajne, to funkcya przyjmuje wog6le r6 -wnie2 wartosci zespolone zwyczajne. W szczegolnosci, jezeli w funkcyi jednej zmiennej F (2) = co C2.1 + cl,2.-1j +.,. c,-1_ + C., o wspolczynnikach rzeczywistych, za zmienn ' v podstawimy raz y —zi, drugi raz y-zi, wtedy, jak latwo sprawdzic, i funkcya F(7) stanie sie w pierwszym razie P (y, z) -+- f(y, z)i, w drugimn q(y,z) -- P(y, z)i, gdzie 0 i f s, funkcyami stopnia m?-go cdwoch zmicnnych y i z. Jezeli wiec funkcya F(v) staje sie zeremr dla 1)ewnej wartosci x-=y+-zi, to by6 musi jcdnoczecnie

Page  197 32] OKRlESLENIA, 197 P(y, Z) = -, f(y, z) = 0, skad wynika, 2e funkcya F(x) musi stawac sie zerem i dla wartosci sprzezonej x -= y - zi, Jeieli w funkcyi calkowitej zmienne przyjmuja wartosci zespolone wyisze, to wartosci funkeyi calkowitej zaleiz od zalozeni, jakie przyjmujemy dla dzialan nad liczbami zespolonemi. Przy zalo2eniach, jakie sluiz za podstawe teoryi Weier s tr a s s a [art. 22], funkcya calkowita liczb zespolonych przyjmuje wogble wartosci, nale2ace do tej samej dziedziny, do jakiej naleza zmienne. Funkcya calkowita n zmiennych, przyjmujacych wartosci rzeczywiste, moze bye przedstawiona jako funkcya jednej liczby n-wyniarowej. W samej rzeczy, majac funkcya F(x1 2... )), po16lomy X= -1e- l 2e2 +-... + Xen, gdzie e,,... e,, stanowia uklad normalny [por6wn. art. 28.]; bgdzie tedy, na podstawie prawidel mno2enia wewnttrznego: (x el) = x1, (x es) = 2... (xen) = x, a witc F(x1, x2... ) = F((xel), (xe)... (xe,1)). Przeksztalcenie to, wskazane przez G r a s s mn a nn al, moze bye zastosowane do funkcyj nietylko calkowitych ale i do jakichkolwiek. Jezeli jednostki el, e,,... e, zastapimy ich dopetnieniami [art. 27.], kt6re oznaczmy dla krotkosci przez r, r2,... r,,, wtedy mnozenie wewnttrzne na stronie drugiej powyzszej r6wnosci mozemy zastapic mno2eniem zewnttrznem i napisac F(1l, 2 -. n) == F([xr], [xr2].... [X']). Jezeli w szczegolnosci funkcya F jest funkcya calkowita jednorodna stopnia m-go, to w ka2dym wyrazie liczba zespolona x wystepuje in razy jako czynnik. Wyobranimy sobie, ze we wszystkich wyrazach rozwiniecia strony drugiej usuwamy liczbe x z polaczeil [ zri ], otrzymamy wtedy wyrazenie, w ktorem miejsca, zajete poprzednio przez liczbe x, sa pustemi. Oznaczmy to wyra2enie dla skrocenia przez a, wyrazenie tedy funkcyi F(lxr2], [xr,.. [ rrn]) stanie si9 nadzwyczaj prostem, bo przybierze postac

Page  198 198 ozBi6 I. ROZDZIAL VII. [33 a M, kt6ra ma wlasnie oznaczac, ze w wyra2enia a z pustemi miejscami ["Luckenausdruck,, jak sie wyraza Gr a s s m a nn] w kadem z tych miejsc umieszczamy zmiennsa x. 33. TWIERDZENIE ZASADNICZE. "Jezeli dwie funkeye calkowite zmiennych xl, 2... x1 sX a tozsamosciowo rowne, w6wczas wsp6lczynniki odpowiednich wyrazow sa r6wne,,. Niechaj bgda dwie funkeye calkowite to2samoSciowo rowne: F(x1,, ) =-... ^ a, % * X t, F (x,,... x,) -- 2c. a rl~ x....,n; wyrazami icl odpowiedniemi nazywany dwa wyrazy, w kt6rych wyktadniki przy ka2dej ze zmiennych sa odpowiednio r6wne2. Uporzadkujmy obie funkeye dane wedlug poteg jednej ze zmiennych np. zmiennej x, wzgltdem ktorej niechaj funkeye beda stopnlia m-go; przyjnma one tedy posta6 F, =.'f(l (1Z23... X), 1/ X2 - fk(2) (2f,r3 * * * 1lE,) 1k gdzie fk(1).fA.(2, sS funkcyami, zale2nemi tylko od pozostalych zmiennych x27, X3,...,. Poniewa2 funkeye F1 i F2 sa tozsamosciowo r6wne, r6znica zatem F1 - F2 dla kaz2dj wartosci zmiennej x1 [przy danym ukladzie wartosci pozostalych zmiennych l, X2... v ] jest tozsamosciowo zerem; a wive v (fA('1) -Af(2)) XI-' 0 Jezeli za xI podstawimy t kolejno mn liczb dowolnych ale ro6nych a,,... x, otrzymamy nastepujacy uklad r6wnali: (fo (1)fo (2) +f (f1)_f (-2))a + (f2(1) -f2(2)) +.. + -(f (l ) —,,(2)al - (fo(l)-fo(2) + (fi(l)-fi(2))i + (f2(1) — 2(2)) -2+.. +(fl (1) _f (2),, (fO()-_f ) (( l) f l(2))x (f2(l)~- f.2l-)2 + (/-fn )'.1

Page  199 33] TWIERDZENIE ZASADNICZE. 199 Jako uklad r6wnaii wzgledem r6onic fo(1)-fo(2), f(l)-f(2... J )-f ( 2) jest to uklad jednorodny i liniowy; poniewaz zas wyznacznik tego ukladu, t. j. I, a, a2.. a 1, p,.2. pna l,.....'" 1. 2..... jest rozny od zera, gdy a, f,... x sa liczbami r6inemi3, co bylo wy26j zastrzeione, na podstawie witc znanego twierdzenia [art. 26.] wnosimy, ze musi bye koniecznie fo()l-_(2) - 0, fi(1)) _f i... fJ(l1)-f(,2)= 0. skad wynika nastgpujacy uklad funkcyj tozsamosciowo r6wnych, zale2nych od zmiennych Xl, i.. 2,; f/l) -fo(2), fl(2) -fl(2)... l), Je2eli do dw6ch funkeyj ka2dego z tych uklad6w zastosujemy metodd, uzyta przy funkcyach F1 i F2, dojdziemy do r6wnani, wyrazajacych tozsamosc funkcyj, zaleznych od n- 2 zmiennych 3, 4, x... Postgpujac kolejno taz droga, dojdziemy wreszcie do r6wnail c(1) - C(2) (Xa,Ca2,. - ala.. co bylo do okazania. Z twierdzenia powyiszego wyprowadzic mo2na wiele wainych wniosk6w, z kt6rych przytoczymy nastepuj ce: I. Jezeli funkcya calkowita jestto2samosciowo zerem, to jej wspolczynniki sa zerami. II. Jezeli dwie funkcye calkowite F1 i F. stopnia n-go zmiennej xe sa r6wnemi dla m —+ r6znych wartosci tej zmiennej, to funkcye te sa toisamosciowo r6wne. II1. Jezeli funkcya calkowita stopnia m-go zmiennej x staje sie zerem dla m+-1 ro6nych wartosci tej zmiennej, to jest tozsamosciowo rownq zeru.

Page  200 200 CZIFC 1. ROZDZIAl VII. [34 34. ILORAZ FUNKCYJ CALKOWITYCH. Niechaj bedq dwie funkcye calkowite F i f stopnia wn-go i n-go, [m nie mniejsze od n], a mianowicie: F 0= om +m alln-l+... + ai 4+ a^,, f = bo x. + bl vZ-1 +.,. + bi, _1 x Jr bi. Oznaczmy dwie inne funkcye calkowite Q i R, jednt stopnia (m —n)-go, druga stopnia (n- 1)-go: Q =- co0 — +Clm-1 —l+... +C-,-m__1+X -_, R = 0 x" —+d1 -2 +. -. d- 2 X +d-_, tak aby zachodzila to2samos6 F= fQ +R. Pomn6omy funkcya f przez funkcya Q i dodajmy do iloczynu funkcyaI R, nastepnie por6wnajmy wsp6lczynniki otrzymanej funkcyi ze wsp6lczynnikami funkcyi F. Na podstawie twierdzenia w art. poprzedzajacym podanego, otrzymany uklad m+1 r6wnani b o a bl c + bo l al, bmn-n Co+b —1^1 — l. — +^UC -_,, a,L, bm_-n-l+CO bm-n cl-+.. -6+bl-Jn- do = an+l ~-. ~ ~-~-l l ~ ~ ~.~ ~.i.- ~ 1 =~ a + b. co + b,_-1 cl+. * * +b;cAn-um-~d —l= a)^, w ktorych dla symetryi wprowadzono wsp6lczynniki b,+i,b,+2,...b,,, rowne zeru. Z r6wnaii 1. mozemy wyznaczyc [por6wn. art. 26.. -n+l wsptlczynnik6w Co, C1.. Ce,,-, do, d1.. d_.l, a wiec tem samem funkcye Q i R, z kt6rych pierwsza nazywa si9 ilorazem funkcyj F i f, druga resztq z podzielenia funkcyi F przez przez funkcyv f. Do wyznaczenia m - n — 1 wsp6lczynnikow ilorazu wystarcza

Page  201 34] ILORAZ FUNKCYJ OALKOWITYCII. 201 m-n+1 pierwszych r6wnaf powyZszego ukladu, a mianowicie dla wyznaczenia wsp6lczynnika cr r r m-n] dosc uwzgledni6 tylko r pierwszych r6wnani. W samej rzeczy, wyznacznik ukladu r pierwszych r6wnan jest: bo,0,0 0 b o,,O,...O ~.......= ~bo,'+l br, br-1, br2,... bo wspolczynnik zas cr przyjmuje posta6 wyznacznika 2. Cr -- ' al, b 1 o,..0 bor-+l1 ar, b, b- r-,. b Celem wyznaczenia wsp6oczynnika dr reszty [r=0,1,2,...n-1] uwazmy uklad, zlozony z m —n+-l pierwszych r6wnafi 1. oraz z jednego z r6wnani, kt6re po nich nasttpujl, mianowicie r6wnania bin-n+tr+1 CO + bm-nr+r 1c + -.. br-1 C-n + dr = 4m-n-+r+l; bgdziemy mieli tym sposobem uklad m - n —2 rownaii, z ktorego rugujac nm - n - 1 liczb co, c,... c._,, otrzymujemy jedno r6 -wnanie bo,0,...,, ao b, b*bo a,, bm —r+n, bm-n-..., a,-+,, -d Rozklad tego wyznacznika na dwa inne daje: bo0,0...0, 0,0...0 a, bl,bo...0,0b,...O at 6,,_n bm- n —...b, b 0 b-n,m-n-1...bo, a,-, b-a-n+rlb,, + -.+1,bn-+......br+,,a. drn-+

Page  202 202 CZr6d I. ROZDZIAL VII. [34 skad za pomoca latwego przeksztalcenia dochodzimy do wzoru ao, a1... a-n —l, al-t, aIm-n+r+1 0,0 0,0,.. 0, bo, br+l.. bo bl, br42 3. dr 0, bo,.. b. n-,l-2, b-,,_-1-I br+j-mbo7 b1. * *,,+^+-l, bn-,,1 b,+,,-,1+1 Wzozy 2. i 3. daja szukane wyra2enia wsp6lczynnikow ilorazu i reszty za pomoca wspolczynnikow funkcyj danych. Mo2emy tez wyrazi6 sam iloraz i reszte bezpogrednio pod postacia wyznacznikow. Jezeli mianowicie do powyzszego ukladu rn-n-l r6wnafi dodamy tozsamosd m —nC +-)n- l 'C1 +... Cmn- Q 0, bgdziemy mieli uklad m-n+2 r6wnai, z kt6rego rugujqc CO 1C '.' Ccm —n otrzymamy zwiazek aO, bo, 0 al, bl, b1 a2, b2, bI,......0,......0,...... 0 I 0. 6m-2117 bm-nj n nl, — 6 b Q,.7n -n, Xm-n-l 7I,. ~ L 21 Wynika z niego 4. 0,,0... 0 0,0, 0... bo, arn-n2 0, b, 1,b,G (in-n) (m-n-1) 4. Q-() 2 b0o — n+l 10,bo I bl.. bm-u-2;, b,,,-,,, Xqn- ft- Gdy zas w wyrazeniu reszty

Page  203 34] 1LORAZ FUNKCYJ CALKOWITTOH. 203 R _ d]O T-I + dl K1-2+ * C. 3+ dl-j podstawimy wartosci 3. wspolczynnikow d,, dojdziemy po odpowiednich przeksztalceniach5 do wzoru: i (n-(n-n-1) a., a1.. a -,,_l, a,,_,-, F 2 0,0,...,b,,f 0, bo,... b,-,-2, b, —l,. -9' —f bo, 6b... b,_,,,-1, b,,_, -f Niechaj w szczegolnym przypadku funkcya f bgdzie stopnia pierwszego, i dajmy, ze f - iA. Dla otrzymania ilorazu i reszty nalezy tedy w powyzszych wzorach polozyc b=1, bl = -, b2 =b =...=0, skutkiem czego dla kolejnych wspleczynnik6w ilorazu otrzymujemy CO =a C1 = C0 h -+ a1 C2 C1 h — + a2 6. Cm_- --- cC,, —2 A + a,,_skid wynika: co ao c1 = a +- a1 C2 - a h2 -t- a1 h - + a * ~ ~. * * *.. *,; c,,,-l = ao h)'l-'l+al h"'-2'J l-a h -3+ -... a,,,)-; reszta zas R sprowadza sig do wyrazu 8. dc,_,=ao h"- +a, hl-l+a- n '-2..... + a,,,

Page  204 204 C'z46 1. RuZDZIAL VII. [34 t. j. do wart6oci funkcyi F przy x = h, kt6ra oznaczamy przez F(h). Jezeli wiec dla x = h bgdzie F(h) = 0, to: F=(x (-h)fi, gdzie fi jest funkcya o wsp6lczynnikach co, c1,... c.,_1, wyej wypisanych. Jezeli funkcya F staje sit zerem dla m r6onych wartosci zmiennej np. dla x —h, h..., h, wtedy, na zasadzie powyiszego, btdzie najprzod F -(x-h)f,, gdzie f jest funkcya oznaczona stopnia m - 1-go, ktora nie jest zerem dla x =-h, lecz musi stawac sie zerem dla x = 2 h, h.... hm. Z tego powodu mo2na zn6w funkcya/ fl przedstawi6 pod postacia (-fi - h)f2, gdzie funkcya f stopnia m —2-go nie jest zerem dla X -- h2, lecz staje sit rowna zeru dia - h13,.,. h,,. Mozna tedy napisac: F=(x-h,) (-z-h,)f, oraz, - (- /)f3, gdzie f jest funkcya stopniam-3-go. Postepujac ta droga dalej, otrzymamy funkcye f4, f,..- fn-lf kolejno stopnia m-4-go, m —5-go....1-go, 0-go, z kt6rych ostatniafl jest r6wna wspotczynnikowi aO. Tym sposobem dochodzimy do nasttpujacego rozkladu funkcyi danej: F (v) = ao (x ---hl)(x- h2)... (Vc-,) t. j. do rozkladu funkcyi calkowitej m-go stopnia na m czynnik6w stopnia pierwszego. Funkeya F(x) stopnia in, stajqc sit zcrem dla m ro6nych wartosci zmiennej x, t. j. dla h, h2,.. h,,, nie moke bye juz zerem dla zadnej innej wartosci zniennej, chyba, 2e [na zasadzie twierdzenia w art. 34.] jest to2samosciowo r6wna zeru. Oznaczenie liczb hi, h...., dla kazdej danej funkcyi F(xi) t. j. dla funkcyi, kt6rej wsp6lczynniki sa dane, nalezy do Algebry.

Page  205 35] NAJWI]FKSZY WSPOLNY DZI!LNIK. 205 35. NAJWIEKSZY WSPOLNY DZIELNIK. Jezeli funkcya F (x) = ao, -" + al t'n-1-.. + a,,, nie jest podzielna bez reszty przez funkcya f (v) -,bU m - + b +l x -1+. + bn, wtedy jest: F -f -Q+R,, gdzie reszta R1 jest funkcya calkowita stopnia nl, nie wi}kszcgo od n - 1, iloraz Q jest stopnia rownego m -n. Podzielmy funkcya przez funkcyal R i niechaj bgdzie f — R- Q1 - R2:1 Reszta R2 bcdzie stopnia n2, nie wiekszego od nz-1, funkcya zas Q stopnia n-n1. Postepujac t dlrog4, dochodzimy do nastgpujacego ukladu r6wnafi: F =fQi +- R f R Q1 + R2 1. R1 R2Q2 +-R3 Rzl-l, RQ,, + Pt,,,+ w kt6rych stopnie reszt R1, R2,... R,,+ sS kolejno: nl, n2 < nl, n3 < n... n,,_1 < n,, stopnie zas iloraz6w Q, Q1...Q,, sa: nm-n, n-n, n —n2... n_ —n,,. Wspolczynniki wszystkich iloraz6w i reszt mozna wyznaczyc na podstawie wzor6w, podanych w poprzcdzajacymn artykule. Z r6wna'i 1. otrzymujemy: Ra=-i - _ R,, 1 Q2a (a-2 - Q/2-I R_-i) - -Q. q _-2+ ( 1i+QQ.! _,) P,-i Widzimy stid, 2e podstawivajqc wyrazenia reszt,^-1,,l2...

Page  206 206 cz~6e I. ROZDZIAL VII. w poprzedzajace r6wnosci, kolejno otrzymywane, dochodzi sie do zwitzku 2. R,t+l=P-. F+ Q. *f. w ktorym P,~ i Q,, sa funkcyami calkowitemi zmiennej x, pierwsza stopnia n-n,,, druga stopnia m-nn,, o wsp6lczynnikach, kt6re daja sie wyrazic wymiernie przez wsp6lczynniki funkcyj danych Fif. Kolejne dzialania, wykonywane wedlug algorytmu, wskazanego w rownaniach 1., doprowadzaja ostatecznie do reszty r6wnej zeru. Niechaj taka reszta btdzie R,+2. Poprzedzajca reszta R++1 stopnia n,+l bedzie albo stalq, ro62n od zera, wtedy n,-= 0; albo te2 pewna funkcya calkowita zmiennej x, wtedy n,+l > 0. W ka2dym razie ta poprzedzajaca reszta R27+,, na mocy r6wnania RA = Rtt+1 Q1+1, bedzie dzielnikiem reszty R,, a wiec na mocy r6wnan 1. bgdzie dzielnikiem kolejnych funkcyj RE+,,,R,_...Rf, F. Jest ona najwifkszym wspolnym dzielnikiem funkcyj f i F. Jezeli R,,+1 jest stala, r6 -2na od zera, to funkeye dane F if nie maja zadnego wspolnego dzielnika, ktory bylby funkcya calkowitaq i nazywamy je wowczas wzglcdnie pierwszemi; je2eli zas R1,+i jest funkcya calkowita stopnia n,t+1 1 m6wimy, ze obie funkcye F if za najwigkszy wspolny dzielnik maja funkcya calkowita stopnia n,,+;. W przypadkul gdy funkcye F i f sa wzglednie pierwsze, gdy wiec P-+1 jest stala, od zera r6ozn, mozemy r6wnanie 2., przez podzielenie przez R,+1, sprowadzic do postaci 3. 1 - PF+ Qf; gdzie funkeya calkowita P bedzie stopnia najwy2ej n —i-go, funkcya calkowita Q stopnia najwy2ej mn-l-go. Kladac: P - po X-+1 -+ P.-2 _ +P.-1, qo = -+ Pl +-. + q, _,, mozemy wspolczynniki p i q oznaczyc ta sama metodl, jakiej u2ylismy w poprzednim artykule do oznaczenia wspolczynnikow ilorazu i reszty. Mnoizc P przez F, Q przez fi stosujac twierdzenie artykulu 33. otrzymujemy uklad m-n r6wnali

Page  207 35] N AJWIIKSZY WSP6OLN DZIELNIK. 207 a0po -rboo = a1 po+aopl +blqo+boq =0 a2po+alpl+ao P1 +b2qo+blql+bo2 0 a^m+2_2po+am,+~_3ptj+...+ai,p;j_2+ap_lpn- +b,+n_2qo+bm+^ n-3ql1t.-..*+bq_-2+bn-lqiF-l=! 0 an+_n]po- aM+n-2P1+............ +anpn-_l-bm+~-lqo+bb+q-2ql+...+b+lqm-2+b+,qla,-1= 1 w kt6rych dla symetryi wprowadzilismy wsp6lozynniki am+l, am+2,...,am+wn-1, b,+l, bn+2.. bn+m-1, r6wne zeru. Z tych m+n r6wnani oznaezymy m-+n wspolczynnikow Po -, qP, q 1.. ~ n-1. W samej rzeczy, jezeli wyznacznik ukladu powy2szych r6wnani, t. j. wyznacznik [podany przez S yl v e s t e r a] aO, al, a2... a,, a,,+1.. a,,,...0 0, a0,... a,-l, a,,... a,,i,.. 0, 0...... a2... a, -n+l, am-,,+2... am bo, b,..... b,, 0... 0, 0... 0 0 bo,.... b bl, b...0............. 0, 0,................bo, b1...... b oznaczymy przez Co, a wyznaczniki czastkowe, odpowiadajqce elementom ostatniej kolumny, oznaczymy odpowiednio przez Coo, Co01 * * Co,,-1 Doo Do,...1 * * * D0,m-1 otrzymamy Co,1 Do,1 P-i -- CoT ' qi — oo a r6wnanie 3. przyjmie postac i-n —1 k=v-m-1 4. C0 = 7F F Co, iZ22-ai+f 2 Doi ^n-k-1 i=O -O=0 Gdy wiec funkcye F i f s% wzglednie pierwsze, zachodzi zwitzek 4. w kt6rym C0 jest od zera r6one, i odwrotnie, jezeli wyznacznik Co

Page  208 208 OZx46 I. ROZDZIALt VIL [35 jest rozny od zera, zachodzi zwiazek 4. lub 3., funkcye F if sq wzglgdnie pierwszemi. Gdy wszakze wyznacznik C0 jest tozsamosciowo zerem, funkcye F i f, jak to zaraz okazemy, maja za najwiekszy wspolny dzielnik pewna funkcy% calkowita stopnia L-go [e 1]. W samej rzeczy, zwiazek 2., gdy w nim uczynimy u-+1-=e, przez Xe zas rozumiec bcdziemy reszte Re, w ktorej wsp6tczynnik przy xe uczynilismy rownym 1, a zamiast P,, i Qk, napiszemy wprost P i Q, przedstawic mozna pod postacia 5. X2=PF+ Qf. Kladac p q0 p n-e-l +PI n-e —2+ +p -— 1, Q _- qo X-e-14_qlxi-o-2 +... Q,,,-,_-l 1 Xe= ^^QZ l z-1+-.. fr, mozemy metoda poprzednia wyrazic wspolczynniki Po, P * Pn- e- -, q, q * * * m-e-1 oraz ri, r2, * * r przez wsp6oczynniki funkcyj danych F i f. Je2eli oznaczymy mianowicie wyznacznik aO, al, a..... a,+_2_l ao, al, a2,..a,,1+,-2 —2 b, b1 b.... -2 -|,, bl, b.... b,,,+ - 2-2Q-2 bo....... przez C., a jego wyznaczniki czastkowe, odpowiadajace elementom ostatniej kolumny, przez C9,0 C,,l * * * Dn-o-1 o,, >,0 * * * 1 l),m-o-1 znajdziemy, jak wy2zj;

Page  209 36] ROZKLAD FUNKCYt CALKOWITiJ. 209 C_,_i De, i PI C ' q=- C ' a zwiqzek 5. przyjmie postac i=n-e —1 i=m-e-1. 6. CeXe = F. 2 ce,,i-e-i —l +f. De, ise ---1. i —O i-=O Zachodzenie tego zwiqzku stwierdza, ze funkcye F i f majq za najwiekszy wspolny dzielnik DeXe, t. j. funkcye calkowit% stopnia a-go, a nie maja dzielnika stopnia wyzszego. Gdy witc wyznacznik CO jest zerem, wyznacznik zas C1 nie jest zerem, funkcye F if majf za najwigkszy wspolny dzielnik funkcye caEkowita stopnia pierwszego C, X1. Gdy wyznaczniki CO i C1 sa tozsamoseiowo zerami, wyznacznik zas C2 nie jest zerem, funkcye F if maj4 za najwiekszy wsp6lny dzielnik funkcy0 C2X2 stopnia 2-go. Wogole, je2eli Co =, c, c_, -=0 wyznacznik zas Ce jest od zera r6ony, wtedy funkcye F if maj za najwiekszy wspolny dzielnik funkcy4 CeXe stopnia p-go, a nie maj4 wspolnego dzielnika stopnia wyzszego6. Jezeli nakoniec Co - 0, c1 = ~,... c, to wtedy funkcya / jest sama dzielnikiem funkcyi F. Tak wite Co - 0, przedstawia warunek konieezny i dostateczny, aby dwie funkeye F i f mialy czynnik wspolny. Wyznacznik CO nazywa sit rugownikiem funkcyj danych. Twierdzenia te majq wazne zastosowanie w teoryi eliminacyi. 36. ROZKLAD FUNKCYI CALKOWITEJ WEDLUG POTIG INNEJ. Je2eli F i f sq dwie funkeye calkowite zmiennej x stopni m i n [m > n], to pierwszs z nich mo2na przedstawi6 pod postaciq F = F0) + P-)f + PF2)f +.. + F(P)fP, gdzie F(o), F(), Ft2)...F(,) sa funkeyami calkowitemi tejze zmiennej stopnia co najwy2ej (n-1)-go, p zas jest liczba, calkowita nie wickszJ od m/in. Pojecia, T. I. 14

Page  210 210 CZ^65 I. ROZDZIAL VII. [37 Dla okazania tego twierdzenia7 podzielmy funkcya F przez f, i niechaj bgdzie F = Qf + -F) Jezeli stopien funkcyi Q jest wigkszy od stopnia funkcyi f, podzielmy Q przez f i dajmy, ze Q = Qlf + I1) Jezeli stopieni funkcyi Q, jest wigkszy od stopnia funkcyif, podzielmy znowu Q1 przez f, otrzymamy tedy Ql = Q2f + F(2) Prowadzac to dzialanie w dalszym ciagu, otrzymujemy szereg r6 -wnai Q2 =O, f + -(3 Qp-2 = Q-lf + 1(-1) Znajdujemy z tych r6wnai F Qf + (0) = (Qlf + F() )f + F( - F') + F()+ l- Qf2 = F() + F()f + (Qf + F()))f2 = F(0)+ F(l)f+ F](2)f2 + Q2/3 Ostatecznie witc, je2eli Q_,- oznaczymy przez F(p), dojdziemy do wzoru, kt6ry nalezalo dowiese. Z natury ilorazu wynika, ze funkcye F(~), F(),... F(p-1) sa wszystkie stopnia nie wyzszego od n-1, stopnie zas funkcyj Q1, Q2....,-1 sa odpowiednio nie wy2sze od m - n, m - 2. - n,... n, azatem np musi by m mniejsze od m, czyli p <-. n 37. FUNKCYE SYMETRYCZNE. Okreslenie funkcyj symetrycznych podalismy ju2 w art. 32. Nie wdajc si9 tu w szczeg6lowy wyklad teoryi tych wa2nych form matematycznych, cheemy tu podac niektore tylko ich wlasnosci zasadnicze8. Przedewszystkiem rozpatrzmy iloczyn 1. ('IC - IV, ) (a, -,v 2 )... (" - 'vn)

Page  211 37] FUNKCYE SYMETRYCZNE. 211. Kt6ry, jak to bezposrednio wida6, jest funkcya symetryczn4 zmiennych x, 27... xn. Wykonawszy mno2enie, otrzymujemy funkcy4 1. pod postaci4 - (1i + t2 + * * + ) -+( 2+1 + * * *X +,-_1 n),-2 + *... + ( —1) T1 XZ2... tx t. j. pod postaci4 funkcyi calkowit6j stopnia?-go wzglgdem zmiennej x 2. n -pi n-1+ n-2 +... +(-1l)2zpn. Wspotczynniki tej funkcyi, t. j. Pi =- i + 2 + *. n P2 = 1l-2 + m13 +* * * + X-1 tr 3. Pn = T1,2 ~. 'Tn s% funkcyami calkowitemi, jednorodnemi i symetrycznemi zmiennych x, x2,... n Funkcye symetryczne 3., ktore oznacza sit dla krotkosci przez 4. P1 -1 i 2 =, P2- P1 = " 1l "' ~***t, nazywaj q si9 funkcyami symetrycznemi elementarnemi. Funkcye jednorodne Vrl +' +2. * * +t, ktore oznacza si krItko przez s, lub ' lr, t. j. sumy jednakowych poteg zmiennych x1, x ~... sS funkcyami symetrycznemi jednorodnemi; funkcye te mo2emy wyrazi6, jak to zaraz oka2emy, za pomoc funkcyj symetrycznych elementarnych. W sam6j rzeczy, wedlug 2. i 3. mamy 5., - p -1 -+P2,?,-2 -... +(- )! p,=( -1) ( - 2)'...( -2). Druga strona tej r6wnosci jest podzielna przez kazdy z iloczyn6w vx —' —x1 2... x-x, toz samo wigc stosuje sic do strony pierwszej. Iloraz z podzielenia strony pierwszej przez kt6rykolwiek z tych czynnik6w jest funkcy. calkowita stopnia (n -1)-go. Wsp61 -czynniki funkcyi calkowitej, jaka otrzymujemy, dzielac strong piersza rownosci 5. przez x — r, oznaczmy przez p1(r), p(r).. pn-(); sam wiec iloraz bgdzie mial postac

Page  212 212 CZEM6 I. ROZDZIAL Vn. [37 6. xn-l-p(r)Xn-'2+....+(-1)p,(r)Xn- - (-n-'-l (",) 6. p +-1. + (- t- )ip6(r)~... + ( — i p) 71p 1. Wsp6lczynniki funkcyi 6., obliczymy wedlug wzor6w 7., w art. 34; wsp6oczynnik pir) bedzie mial wyrazenie nastgpujace: Pi() =pi -P_1 xr + Pi-X2 2 --.. - +(-l1)iXi, i =1, 2,...n-1. Poniewa2 zas na zasadzie wzor6w 6. w tymZe artykule 34. jest Pi p. (r) + Pi-1 (r) x, otrzymujemy przeto pi_ (r) r ( —l)i-l r -pl -l+... + (-1)i-lpi-_ r] r= l, 2,... n. Sumujac obie strony wzgltdem r, i zwa2ajqc, ze stosujac wzory 3. do funkcyi 6., mamy P-1 (r) x,.- ipi, dochodzimy do zwiazku: 7. si -p3S_-1 + P2 i-2...+ (- 1) -l p:_ 1 + l- ( —1)i ipi=0 i1, 2,... n-1. z kt6rego wynikaja to2samosci Si - Pi = 0, S1 - 1 s1 + 2P2 = 0, 8. s l - pI s2+ P2 - 3P =,,-1- — p s,_1 + P2 si-2... - ( — 1 )~(n — ) p,-1= 0, znane pod nazwa wzor6w N e w t o n a9. Za pomoca z nich wyra2amy s1, S,... s,, przez pl, P2,.. P-1, to jest przez funkcye symetryczne elementarne. Rozwiazujac r6wnania 7., wzgldem sl,s2..,s? 1, otrzymujemy p1, 2P3, 3pt... ipi 1, p, P...i9. s,=.0 1, P0... P^I 0, O. O. O..... p,

Page  213 37] FUNKOYB SYMETRYCZNE. 213 Dla obliczenia funkcyj symetrycznych si o skainiku wiekszym od n-1, pomndomy tozsamosc rn -pi xr'- +P2 x -2... ++ (- 1)n p = 0 r 1, 2,... n. przez Mrk, gdzie k jest dowolna liczbA calkowita, i w otrzymanej nowej tozsamosci r"+k -p -P x"+k-1 +P-2 r"+-2.. +(-l)"p Crk = 0 zmieniajac r przez wszystkie jego n wartosci, a nastgpnie sumujac wszystkie tozsamosci, znajdziemy r6wnos6 9. Sn,+-k-PiSn+k-1 + P2 s,,+k-2 +-. ~ (- 1)" p, = 0 k 0,1,2... pozwalajaca nam oblicza6 s,, s,+..., gdy znamy juz s8, s2...sn-1, i stwierdzajaca zarazem, ze wzor 9. jest wzorem ogolnym, sluzacym dla dowolnych wartosci skainikow i, byleby wsp6lczynniki pi ze skainikiem i wigkszym od n uwazac za zera. Wz6r 9. mozna przedstawic pod postaci% 10. si. i'( -- + 1) ~ + n+z + ~' +2 +. +P P P -- P1 2 Pn /q! /2 2!... An!' gdzie,2, 2,... czyni4 zadosc rownaniu warunkowemu 21 +22+... +n/n=i. Wzor ten znany jest pod nazwa wzoru W a r i n g a. Naodwr6t mozemy wyrazi6 funkeye symetryczne elementarne przez sumy jednakowych potgg, to jest przez funkcye s. Mianowicie z powyzszych r6wnan 7. dochodzimy do wzoru og6lnego. S1i S2, S3... Si 1 8, S... Si-/ 11. Pi — 1.2.3.... *0,, -... s1 -0, 0,0.... s1. W badaniach Wr o A s k i e g o wazna rol odgrywaja funkcye symetryczne, ktore nazwal funkcyami alef; powstaja one, gdy w rozwinieciu m-ej potggi wielomianu [por6wn. art. 32.] uczynimy wszystkie wsp6lczynniki rownemi jednosci. Funkcye te oznaczacbg

Page  214 214 czE;C I. ROZDZIA, vII. [37 dziemy" przez Am(a, +-a2+... + xz), lub gdy nie zachodzi obawa dwuznacznosci, wprost przez A,,,; jest zatem 12. Am =. xla, 2...2 Xa,' a1 + a2 +...+ a = m. Funkcye alef daja si9 wyrazic za pomoca4 funkcyj symetrycznych elementarnych. W samej rzeczy, z latwoscia dostrzegamy, ze A1 (xl + 32 + -* * + X1) = '1 + X2 +.. - + Zi =Pl, A2(I +2+... +X,, ) =(X+X. *.. +,,). AI (: +I.*.. +,2,) — (V +... +._-1 ),) =pi Al(X-Z2+ —... -Xi)-P2 Ao(P+v'2+... -+ n), gdzie Ao (x, +t2 + -.* * + x,) uwazamy jako r6wne 1. A3 (X1 -+ X2 - * +.-',) = (atk + t2+...+-2t,).A2 (xV1 +~', + -...-+tz) - (xX2 +.* * * -,_- - xl,).,A (tXl+t-2+. * * *:) - (Xi X2 X3 + * * - - X-2 Xi-1 l).4AO (x1 +2+ +. 11* ) =P A2(,(lX-,...+,) —) -P2Al(Xl +...+t?)+P3Ao(x + 2+... +t ), co prowadzi do nastepujacego wzoru12 13. Ai =-p Ai -2 Ai-2 +-p3A3 A -...+(- 1) —1 -' Ao kt6rego ogolnosc stwierdzid mo2na za pomoca przejscia od Ai do Ai+,. Z wzoru 13. wynikaj nasttpujace wyrazenia funkcyj alef pierwszych osmiu rztd6w: A1 = Pi1 A2 =P12-P2, A3 P3 - 2pP2 +P3 A4 - P4 - 3 p2p 2 plp3 P-22 - P4

Page  215 37] FUNKCYE SYMETRYCZE. 215 A5 -P15- 4Pl3P2 + 3 Pl"P3 + 3 Pl P2 — 2PlP4 - 2P2 P3 +-p5 A,; = P6 - 5p 4 P2 + 4p, 3p3 + 6_ p '2p22 - 3P12 4-6 PP2 P'3 + 2 P1 P.5 - P23 + 2 2 p4 + p32 - p, A7 - 6pl P2 - p P4P3 P1 0 pP" 2 —4 pP 4-12 P12P2P3 + 3P12p5 - 4p, 2 + 3 pi32, +6 PlP2P4 - 2 pl P6 3 22p3 - P2P -- 2p3 P4 + P7, As — 8- 7 pi6P2 6pljp3 + 15i4 P22 - 5P14p4- 20 PP2P3 + a Ps 3P - 6 pi p3 2 - 1 pl23 12 p2 p - 3 p12P + 12Pl p22p3 - 6 PP2 5 - 6 p P3 p4 + 2 pp7 +P24 - 32 P4- 3P2P32 - 2 2P6 + 2 P3P5+P42 -- P. Og6lnie mona wyrazic funkcyq alef Ai pod postacia wyznacznika P1,i 2, P3... P 1, i1 P 2 P — 1 14. Ai-= 01 1,P.. P-2 0,0.... p ktory slu2y dla wszelkich wartosci dodatnich skaznika i, byleby wartosci pi dla skaznikow i wiekszych od n uwa2ac za zera. Na podstawie wzoru 13., mo2emy otrzymac zwiqzek pomitdzy funkcyami alef a sumami rownych potgg, wyra2ajacy sig wzorem 15. iAi=s1A_-1 + s2Ai_+-... + s._- Ai_-1+-jo *. Wz6r 14., mo2na przedstawic pod postacia analogiczna do wzoru W a ring a, mianowicie 16. A -)2:^(-iy+...+2,(21t+2+>+ n') ~A!2 J Pi P2>P -P...P,, 1 +2 +... + n. -. Gdy rozwiniemy tu strong druga, dojdziemy do wzoru, podanego przez Wro fi ski e g o:

Page  216 216 czEA6 i. ROZDZIAL vIn. [37 17. A = pi —pl-2(i —1)p2 +pli4((i-2)plp3+(i-2)21-1l P22 - P {(i- p i- t~p1211 — li-6 {(i- 3)p12p44+(i-3)21 —' P lP2P3 p2P3 + (i- 3)31-1 1-5}+ p -8 {(i-_4)P1 3p5+(i-4)21 12(P2P3 + 1 2 P22 -1P24 t +(i-4)3( —pl 13- P3- (i-4)41, 1- } Strona druga przerywa si~ na wyrazie, w ktorym wykladnik przy p, staje sig ujemnym; symbole (i-2)21-1,(i —3)31-"... it. p., 1211,1311... majq znaczenie, kt6re objasnia wz6r l2\_n = (1-+n) (1t2n)... (+(m —n-l)n). Za pomoca wzoru 16. lub 17., mo2na obliczac kolejne wartosci funkcyj alef, potrzebne zwlaszcza w tak zwan6j teleologicznej metodzie W r o is k i e g o rozwiazywania r6wnan algebraicznych. Wyzej podane wyrazenia fuukcyj alef osmiu pierwszych rztd6w zawieraja sit oczywiscie w tym wzorze. Zauwazmy, ze na zasadzie okreslenia 12. funkcya alef Ai jest funkcya symetrycznq jednorodna, kt6ra mo2na rozlozyc na sum9 funkcyj symetrycznych prostych 1~X t i -l Z, 1 "1 i —2 T 2,.1r —3.23.,T1 —2.23, (C- l-3 R2 V3. Z Xi-3 w'2V3a4 * Tak np. funkeye symetryczne Aj, A2, A3, A4,... wyrazic mo2na w ten sposob: A1 -.Zx,, A2 'Z1 2-+-Z1X2, A3 -=_ t 3+J.1 2X2+ZlX 2'23, A4 _ X_ 1 4+-tHX1 3*X2+Za 2rx2 2+Ztl 22rtV3+ yXlv2x3tr4 v

Page  217 37] FUNKCYE SYMETRYOZNE. 217 A5 =_ Xt 15 '+ Xt I4 '2 + '1 3X 3 +-2 - J,~ 2 2 2X3.+ Z, Xi2 X2,34 ~+ Y._ X2X31X4,45, A6 v Z J6l + -'X t 5 t2 + C 2 14X C22 2+ 14x2 tr3 + lT3 2 3 + ZXI 3 'X2 2X 3 +a 1i 3 XI X23 X4 + _ Xl12 X22 X232 "+ "1 2 X22,I3 IT4 +- - XI2 i2 IV3 74 X5+ Z IX23X43Xt 6 it. d. W Teoryi liczb stosuje W r oiski inna wlasnosc fankcyj alef, kto6rl mozna przedstawic w ten spos6b: 18. Ai (2+1 r3+... - + )- A (al +,2 + * * * +n-l) = — ( -iV1) Ai-, ('r1 + `2 + +X) W samej rzeczy, z to2samosci (X1- +2+. -.._+-3)= (Z2 + 373 +t... % )i+;i l(Z'W+'r3+ '+tn)t) -. + i(i —2) T2( 2+r3+. *-)i 2+ ~ +1 f- ~.{q(,I-2q-+X+...-t-T)-+.. ' przechodzqe do funkcyj alef otrzymujemy A, (11 + 2.. - * l)) == Ai (XT + T3 + * * + x) +X1 A -l( f2+tt-5 +-. *.*+-)+t2l 2Ai ('T2+Y3 -+'-..-*-t')+-... —+Xi skqd A (-+3+.X..++,X,,) = Ai, ( -.t2.. +*+) —{(1 A-i(r2-r3,+...+.i,) + lVl Ai-2(Xt+t+ * * * + —? )+. *.. Wyrazenie, zawarte w nawiasie, jest oczywiscie r6wne A,_1 (X1, +... +* ) bedzie przeto Ai(z2-Z3+....4-+Xn) A (V1-+2+~.+.. ) - -l A/_I (v1 T+'2+.*.*-+) Podobniez Ai(xl +2+...4xn-) - 4zA(xl2+. * *+. ) -- 2n Ai^(-1X l 2+~ * *+Xtn )-. Odejmujac od siebie ostatnie r6wnosci, dochodzimy do zwiazku 18. Poniewai xI i x,, sa dowolnemi z pomigdzy liczb v1, x2..,X,, mozemny wiec, kladfc za nie x, i x, i oznaczajqc dla skrocenia xl+X2+...+x, przez X, napisac wz6r 18. pod postaciqa, nadana mu przez Wro fiskiego 14

Page  218 218 czq6 I. ROZDZIAL VII. [37 19. 4i (X -- x) - A (X — q) - (Xq - ) Ai (X). Wszystkie podane wzory na wyra2enie funkcyj symetrycznych przez funkcye elementarne wynikaja z ogolnego twierdzenia, orzekajacego, 2e Ekada funkcya calkowita symetryczna mo2e by6 przedstawiona jako funkcya calkowita funkcyj symetrycznych elementarnych. Wsamej rzeczy, dana jakakolwiek funkcya symetrycznt gp uporzqdkujmy w spos6b nastcpujacy15. Niechaj ac bedzie wykladnikiem najwy2szej potegi zmiennej x1, zachodzae6j w wyrazach tej funkcyi, a2 wykladnikiem najwyzszej pottgi zmiennej x2, znajdujgcej sit w wyrazach funkcyi po czynniku xl'; a3 wykladnikiem najwyzszej pottgi zmienn6j x3, znajdujqc6j sie w wyrazach funkcyi po czynniku xalX2a2, i t. d.; wreszcie niechaj a, bgdzie wykladnikiem najwyzszej pottgi zmiennej x,, w wyrazach funkcyi po czynniku x X22... X, _1n —. Ot6o wyraz CX 1 3a,2.,..~ tX_lan-lZan gdzie c jest wsp6lczynnikiem stalym, przyjmujemy za pierwszy wyraz funkcyi 9. Z powy2szego wynika, ze niekt6re z wykladnik6w al, a2 a3... a-_l, an, mogq bye zerami, ze ka2dy z nich moze byc r6wny poprzedzajacemu, lecz 2aden nie mo2e byc wiekszy od poprzedzajacego. Gdyby bowiem bylo naprzyklad a3 > a2,wtedy - poniewaz w danej funkcyi symetrycznej by6 musi i wyraz c, a.v"ra"...x"-ai,1x -1Cl-ni e byn —1 loby x2a" najwy2szq pottga zmiennej 2, nastepujqcq po x*,. Majac ju2 pierwszy wyraz funkcyi 9o, przyjmujemy jako drugi jej wyraz ten, w ktorym zmienna x, ma wykladnik najwy2szy po wykladniku al, zmienna x2 wykladnik najwy2szy po czynniku, zawierajqcym poteg9 pierwszej zmiennej i t. d. Tym sposobem bgdzie 9p = C X 2.. X11_n-lan-1 x -an-+. Z wzorow 4., po podniesieniu obu stron pierwszego z nich do potegi a1-a2, drugiego do pottgi a2-a3,.... przedostatniego do potegi a,-aa-, ostatniego do potegi an,, a nastepnie po pomnozeniu przez siebie otrzymanych rownosci, dochodzimy do zwiazku 20. C. pIt -a2pa2-a3.... pi,_la1a-N 1- pta n C(CZ )al -a2 (XZ1X2 )a,- a3 —.(JZl2-.Xll) an

Page  219 FUNKTYE SYMETRYCZNE. 219 Pierwszy wyraz strony drugiej bgdzie oczywiscie r6wny CXa-a-2(X1 2)a-...(.. (, )-..,,X,-C LX aL- to jest wyrazowi pierwszemu funkcyi danej (p. Je2eli funkcya symetryczna 20. oznaczymy przez P, to r6onica p - P btdzie nowa funkcya symetryczna (p, do kt6rej mo2na zastosowa6 toz samo postgpowanie i dojsc w ten spos6b do funkcyi symetrycznej p=?(p —P, gdzie P1 powstaje tak samo jak funkcya P, przez podniesienie funkcyj elementarnych Pl, P2... do pottg wskazanych przez r6onice wykladnikow w pierwszym wyrazie funkcyi qT. Proces ten doprowadza do szeregu funkcyj symetrycznych T91 T932.. pTi-t, i czynicych zadosc r6wnosciom T1 - i p T 2i-2 -Pi- 2 - Ti-1, Qi-1 - Pi i, gdzie funkcya,i jest stal1. Z tych rownani wynika 9= -P+ P, + 2 +. * * Pi - + T9i, co stwierdza wlasnie, ze funkcya (p daje si9 przedstawic jako funkcya calkowita funkcyj elementarnych. Spos6b, w jaki dowiedlismy ogolnego twierdzenia o funkcyach symetrycznych, jest zarazem metoda przedstawiania ich za pomoce funkcyj symetrycznych elementarnych. Metodt tg obmyslil W aring. Przyklad. Niechaj bcdzie dana funkcya symetryczna 9p T= x13X2 x2 x.3 Pierwszym jej wyrazem jest z =, V. Tw zateymy a 3, 2=2, a3-1; a,-a1, a.-a3-1. Tworzymy

Page  220 220 CZ]i6 I. ROZDZIALE VII. [37 P-= Pi Pa ps 3 —= r2l. 1rl 2.' x - x3. Wykonawszy iloczyn funkcyj symetrycznych xl, ILx12, CXlX2 tX3, otrzymujemy funkcya symetryczna +X 322^I.22^'3 X4Ie X.260^r 2 X2 9 X13 22 Z3+ 3ZX S 3 z2 Xt4 t 3 3ZX, 2 Xa2 tX3 2 + 8.XX, 2 tr2 t 3 tX4 -+ 22 Z X, 2 X2 3 x4 V5 +_ 60 Z x t'2 z3 x4 eV5 %,6 skid (p1 = (p - P 3= - 3,23 t2 3 X4 -3 1 2 22 3 2 -8Z 2 'T2 2 '- 4 - 22ZS X12 X2 '3 X4 "5 - 6 0 Zx,1 Z '3 X4 5 %6. Pierwszym wyrazem funkcyi 91P jest - 3 l1 3X2 23?41 a kolejne r6onice wykladnikow sa 2, 0, 0, 4; tworzymy przeto funkcya symetryczna P = - 3p,2 P4 - 3 (Sx1)2. 1 2 x3 — 3 - xx2 2 3 x - 6 12 2 x 3^ x4- 2 7 ' x2 2 T 4 X5 - 90 '1 s2 33 6'4 '5 x62 oraz r6onice 2 T=1 - P1 - -- 3 Z x122232- 2 2 1 2 X2 2 99 2 91, 2 Xl2 3 4 + 5 X12 X2 "r x4 5 + 30 XS X2 X3 x4 V5 Xt Pierwszym wyrazem funkcyi T2 jest - 2 2X 2 1 2 3 a kolejne r6onice jej wykladnikow sa: 0,0, 2; tworzymy przeto funkcya P2 = - 3 p32 = - 3 (Z X1 X'2 '3) = - 3 2 2^23 -6 Zx12X2 2X3 - 18 Z2x2x r3 X4 X5 - 60 x 2 s2 X3 34 I'T5 X6' skutkiem czego bgdzie: 93-2 -P 2 — 4'2x2X 23x34 + 2+ 33x1 2x~23x45 + 90 z'x12x 3x4x5x6,

Page  221 37] FUNKCYE SYMETRYCZNE 221 gdzie pierwszym wyrazem jest 412 a"X3 a kolejne r6onice wykladnikow sa 0, 1, 0, 1. Tworzymy funkcya P3 - 4 p P4 = 4 l X2 '* Z. 2 X3 x4 = 4 Z XL12 2 %23,4 +- 16 y X12 X2 X3 %24 V5 + 60 ZS xi x9 x3 X4 x,5 tak ze 94 == 993 - P3 = 7 Z x1222 X 3 4 +5 - 30 Z 1 x2 3 x4 X5, gdzie pierwszym wyrazem jest 7 x 2 %2 3 4 5, a kolejne ro2nice wykladniko6w wynosza 1, 0, 0, 0, 1. Tworzymy dalej funkcya P4 = 7 pl P5 == 7 ' Xl., Z1' x2 x3 X4 X -- 7 Zx12 X2 33 24 X5 + 42 x1 X,2 3 a X4 25 X6 a witc 995 = 94 - P4 = - 12 1 2 3 X4 x5 'r6 Pierwszym wyrazem funkcyi 95 jest -12 x1 x2 X3 x4 5 X6, kolejne zas roznice wykladnikow sa, 0, 0, 0, 0, 1; tworzymy wiec funkcya P5 - 12p6 - 2 Z X'1 2 3 X4X5 6, skutkiem czego bTdzie 96 9 -5 - P- 0, tak ze ostatecznie = P +P1 + P2 +P3 +P4 + P5, to jest

Page  222 222 CZE]5 I. ROZDZIAL VII. [37 Z1 3X223 =-P1P2Pv3 - l3P2P4 - 332 + 4P2P4 +7 P1P5 - 12 6 Z tego przykladu widac, 2e przedstawianie funkcyj symetrycznych za pomoca funkcyj symetrycznych, w zasadzie proste, jest jednak w wykonaniu za pomoca metody W a r i n g a zmudne, bo wymaga wielokrotnego mnoienia funkcyj symetrycznych elementarnych. Zauwazmy, ze og6lny ksztalt kazdej funkcyi symetryczn6j, wyra2onej przez funkcye symetryczne elementarne, jest 21. p =_ Apllp2.....pn2, zadanie przeto, o kt6rem mowa, sprowadza sit do oznaczenia najprz6d wykladnik6w 2, 22...n, a nastepnie wsp6lczynnik6w A we wszystkich wyrazach. Oznaczenie wykladnikow jest rzecza latwa i opiera sic na poj ciu tak zwanej wagi, wprowadzonem przez C a yley'ai Sylvestera. Przy sprowadzaniu funkcyi symetrycznej 22. - Z x~. " x,, do postaci 21. zachodzi mianowicie, jak to zaraz okazemy, ta wazna okolicznosc, ze stopien funkcyi 21. jest rowny najwy2szemu z wykladnikow a, a2... a,, wykladniki zas 2,, 2.... i,, czynia zadosc r6wnosci 23. 21+222 +... + an a+ = 2..al +a. W samej rzeczy, jezeli w wyrazeniu 21. zamiast p, P2. p napiszemy odpowiednio, co jest dozwolonem na mocy r6wnaii 3., 11Xl l, + i ^112X4~M2.... 11* ^+721zn, gdzie 1, m 12, m2.. I, mn, sa funkcyami calkowitemi zmiennych l... *tx-1i, z+..l. * x, otrzymamy wyra2enie C? S-. (11 ~Sm)i. (12 x+-l)2. * *. (l,:.r +m,) ',n kt6rego stopniem wzgl1dem Ix, jest oczywiscie najwy2sza wartosg sumy 2,^ -22 +.... i, ta zas jest r6wna najwyzszemu z wykladnik6w a1, a2... a.. Dalej zn6w, gdy w 22. zamiast xl,,..., napiszemy Q1, QX,...'Q,, to qp przejdzie w l.+a3**+...+np; jednoczesnie zas funkcye symetryczne elementarne pt, P2... p, jako funkcye jednorodne, na podstawie twierdzenia w art. 32., przechodzt w 9QP, Q2P2.. ~ Q'1p, przez co druga strona r6wnania 21. staje si9

Page  223 371 FUNKC(YE SYMETRYCZNE. 223 A,+2- 1...2n S A plP2A'. p.; otrzymujemy witc at+a+-..~+an p = 9d7+2-..+ T, skad bezposrednio wyplywa warunek 23. Liczba i1-+22~2+...+n 2 nazywa sig wagq wyrazu pl1 P2;' * *Pn'. Funkcya, kt6rej wyrazy maja wagi rowne, nazywa si9 izobarycznq. Przyklady Funkcya Zx1=x21 +2"2+ *. * =-Pl ma wag9 r6wna 1. Funkcya Sx,.z =P2 ma wagt r6wna 2; takz wage ma funkcya symetryczna 2..'12 + 2, X1 d2 = P2 Funkcye: 2 z1:e2 T3 = -P3, E 312 ~31 + 3 x xa X3 = P P2, 2 x113+ 3+3x12 -x2+6'Xl 2 1 V3 - Pl3, maja wage rowna 3. Funkeye: 2Z X1 X1 % x4 = P4 Z 12 X2 3 + 4 xZ,1 2 3 X4 = P1 P3 Z X12 X22 + 2,212?X12 t x3 + 6 X XTL 2 x2 i 3 4 p22 i t. d, majs wage r6wna 4. Twierdzenie powy2sze ulatwia wielce przeksztalcanie funkcyj symetrycznych dowolnych na funkcye elementarne. W samej rzeczy, jezeli mamy przeksztalci6 funkcya np.,x13%22V3, to wiemy na zasadzie tego twierdzenia, ze odpowiadaj ce jej wyrazenie, zlozone z funkcyj elementarnych, musi bye stopnia trzeciego i wagi r6wnej 6., t. j. ze zawierac bedzie wyrazy pp2p3,l2 p4, p32,p2 p4,p1 pI P, pozostaje witc tylko oznaczenie wsp6lczynnik6w. Do tego celu slu2z specyalne tablice funkcyj symetrycznych, ulo2one przez Meiera Hirscha16, Cayley'a17, Faa de Bruno18 R e h o o v s k y'e g o19. Objasnimy tu uklad i sposbb uzycia takich tablic wedlug symbolistyki C a y 1 e y'a.

Page  224 224 CZF66 I. ROZDZIAL VII. [37 Funkcye symetryczne oznacza sie za pomoca symbolu, zawierajacego wykladniki jej element6w, tak np. funkcya Zx1 oznaczamy krotko przez (1), Z1X2 przez (11) lub (12), JZxX2x3 przez (111) lub (1 3), Zx13X2 przez (31),.X1322x, 3 przez (321), VZY4X23x3X4X5 przez (43111) lub (4313) i t. d. Funkcye symetryczne, wyrazone przez funkcye elementarne, oznaczamy za pomoca podobnych symbol6w, w kt6rych wykladniki zastgpujemy wagami. Musimy wszakze zwr6cie uwag9 na to, ze w tablicach funkcyj symetrycznych zamiast P1, P2, P3 '. Pi... pn znajdujemy al, a2, a3.. a.... a, gdzie: a ---plpa2-p2,a'3 —p3.... a -=(-)ip... a, ( —l)p,. Funkcya ai a,'a, a,"... oznacza sig za pomoc symbolu ix i'"' z"A"'.. tak ze np, a1 = 12, a = 22 aa3, a4 4, a14a2=142, aa2a3-=123, al3a22a3 = 13223, i t. p. Przy takiem znakowaniu, funkcya, kt6rq obliczylismy wyzej za pomoca metody W a rin g a, przedstawi sig pod postacia (321) =123 - 3.124 - 3.32 - 4.24 + 7.15 - 12.6 a funkcye, podane w przykladach na poprzedzajqcej stronnicy, w spos6b nastgpujqcy: (1)= — 1, (12) = 2, (2) - 2.(12) =12, (1) -- 3., (21) + 3.(13) = 12, (3) + 3.(21) + 6.(13) 13, (14) - 4, (212) + 4.(14) = 13, (22) + 2.(212) + 6.(14) = 22

Page  225 37] FUNKCYE SYMETRYCZNE, 225 Tablice funkcyj symetrycznych kolejnych wag sa tak urzadzone, ze w kolumnie pierwszej po stronie prawej sa wypisane wyrazenia funkcyj symetrycznych w zmiennych x,,x2..., wpierwszym zag wierszu poziomym od gory agregaty funkcyj symetrycznych elementarnych; w innych kolumnach i wierszach sa wypisane wsp6tczynniki. Do kazdego agregatu postaci pierwszej naleza wsp6oczynniki, znajdujace sie w tym samym wierszu poziomym; wsp6lczynniki te, przy przeksztalcaniu funkcyj symetrycznych, wypisuja sie obok odpowiednich agregat6w postaci drugiej. W przypisach20 podajemy tablice funkcyj symetrycznych, odpowiadajace wagom od 1 do 8 wlacznie, tu zas na kilku przykladach objasniamy ich uzytek. Przyckady. 1. Mamy do przeksztatcenia funkcya Xxl 2. Funkcya ta jest wagi _2; znajdujemy ja pod forma (12) w tablicy2-ej, bgdzie wigc (12) - 1. 12 - 2. 2 t.j. 12 - a12 - 2a2 = p2 - 22. 2. Niechaj btdzie do przeksztalcenia funkcya, wyzej podana: Zxl 3X2X23. Funkeya ta jest wagi=6. Znajdujemy jq w tablicy 6-ej pod postacia (321); wsp6lczynnikami jej sq +1, -3, -3, +4, +7, -12 a odpowiedniemi agregatami funkcyj symetrycznych elementarnych: 123, 32, 124, 24, 15. 6, otrzymujemy przeto (321) =+ 1. 123-3- 32-3. 124+4. 24+ 7.15- 12. 6 t.j. '1'3 V22I 3 = ala2a3 - 3 a32 3al2 a4 - 4 a 2 a4 +{ 7aa, - 12a PlP2P - 3P3 2 — 3p12 4 + 4P2P4 -7PlP —1 2P6 3. Dajmy funkcya ZS l3 X3 4 = (313). Podlug tablicy 6-ej jej wsp61czynnikami beda Pojqcia, T. I. 15

Page  226 226 CZFrI6 I. ROZDZIAl VII. [37 1, 0, -2, -1, 6, a odpowiedniemi agregatami 32, 124, 24, 15, 6; znajdujemy przeto (313) = 1.32 + 0.124 - 2.24 - 1.15 + 6.6, a witc: S 3 X13 X4 x = a32 - 2a2a4 - aa5 - 6a p= 32 - 2P2P4 - PiP5+6p6. Niechaj bedzie jeszcze funkcya symetryczna ZX^16 X2 X3 - -'14 X22 2 (612) _ (422). Podlug tablicy 8-ej mamy: (612) 1.153-. 1323 + 5.5.123 + 5.1 - 5 232 1.144 + 4. 1224 - 2.224- 9.134 + 442 + 1.135 - 3.125 + 8.35 - 1.126 - 2.26 -+1.17 - 8.8; (422) = 1.1232 - 2.232 + 0.144 - 2.1224 +- 4. 224+0.134 - 4.4- 2.135 - 4.125 + 8.35 - 2.126 - 4.26 +8.17 -8.8; a wiec (61)2-(422) = 1?5, - 5. 1323 + 5. 1223 + 6.132 - 7. 23 - 1. 144 - 2. 122 2224 - 2.4 - 9.134 3. 15 -7.125+16.35 —3. 126-2.26- +9.17 -16.8; t. j. Z1X'X23 - ' X1 X23 = laa3 5al13a2a3 5aa2a3 + 6al2a32 -7a2 a3- a4 a4 + 2a2 a2 a4 + 2a2 a4 - 9a a3 aa4 +- 3 al a - 7ala2a +-16a3a - 32a6- 2a + 9a1a7 - 16 a,, lub,S^\~.f 1,x'2aV33 - 142233 pp, - __p13P2P3 + 5OP31223 _ 6P2-P32 -7 P2P3" - p14 4 + 2 P1 2p2p4 + 2 222p4 - 9 PiP3P + 321 3p, -- 7 / P2P., + 16 P3p5 -3 p p1; - 2 p2; + 9 P 7 - 16 s.

Page  227 FUNKOYE SYMETRYCZNE. 227 Tablice funkcyj symetrycznych moga tez sluzy6 do obliczania funkcyj alef. Wsamej rzeczy, dajmy, ze mamy do obliczenia funkcya A5. Funkcya ta, jak wiadomo, jest suma funkcyj symetrycznych (5), (11), (32), (312), (221), (213), (55), kt6rym odpowiadajq nastepujace wsp6lczynniki: -1 przy agregacie 15, +5-1-4,, 132, -5+3-1 — 3,,,, 122, -5 + 1+2-1= —3,,, 1 3, +5-5+1+2-1=2,,,, 23, -5-1-5+1+3 —12,,,, 14, -5+5+5 —5-5+5-1=-1,,,, 5, bCdzie zatem A5 = - 1.15 + 4.132 - 3.122. 3.123 + 2.23 + 2.14- 1.5, to jest A5 =- a15 + 4a13a2 -3ala 2- 3a12a3 + 2ala4+ 2a2a3 -a lub A5 = 1 5- 43P2 + 3PI31P22 + 3p,2P - 2plP4 — 2P2P3 + P5s Wynik ten jest zgodny z podanym wy2ej. W konicu wspomnimy jeszcze o metodzie, za pomoca kt6rej K r o n e k e sprowadza badanie funkcyj symetrycznych, zaleinych od zmiennych x1, X..., x,, do pewnego ukladu takichze funkcyj, zwanego ukladem zasadniczym. Do ukladu zasadniczego nale2s funkcye J tla 32a'.. *?j__la-1I dla ktorych al>a,... > a-l1 al < n — a2 < nZ-2... *..

Page  228 228 CESC zE. TOZDZIAL VII. [38 W sam6j rzeczy, jezeli iloczyn 1., kt6ry jak wiadomo, r6wna sic xI - ' -1 -- p "-2 +. + (-I)" n, podzielimy przez iloczyn k-1 czynnikow: ( —X 1) ( -2)... **(-h-_1), otrzymamy iloczyn n —k —l czynnik6w (x-7h ) (,V-,?/C+J)... (X-gn) pod postacia funkcyi calkowitej stopnia (n - k-+ 1)-go, kt6rej wsp6lczynniki, na podstawie teoryi, podanej w art. 34 wyrazic mozna, jako funkcye calkowite liczb X1, '2.. *' T P1- P2 '* * * P Funkcya ta staje sig oczywiscie zerem dla x =- Xl; kladac wigc w niej xk na miejsce tX otrzymujemy r6wnanie, ktorego pierwszym wyrazem bedzie xil-~+l1, a pozostale wyrazy zawierac bdas pottgi liczby x,, o wykladniku mniejszym od n ---+-1. To wige r6wnanie daje nam mozno6c wyrazenia kazdej potggi liczby Xk, wyzszej od (n-k)-ej za pomoca pottg ni2szych. Ktadac wiec k=- 1,2...n, bcdziemy mogli kazda funkcya zmiennych xl,.2.. x.n sprowadzic do takich funkcyj calkowitych, ktore wzgltdem zmiennej,V sq stopnia n-1, wzgledem zmiennej 2 stopnia n-2,.. wzgltdem zmienn6j x7 stopnia 0, a kt6rych wsp6oczynniki sa funkcyami calkowitemi funkcyj symetrycznych elementarnych. Tym sposobem twierdzenie og6lne o funkcyach symetrycznych zostalo jeszcze raz dowiedzione. Funkcye calkowite, do kt6rych zredukowalismy funkcye dane, stanowia uklad zasadniczy. Funkcye tego ukladu mo2na uporzadkowac wedlug ich wag, wypisujqc najprz6d funkcye symetryczne o wadze r6wnej 1, nastppnie n(n-1) funkeye o wadze r6wnej 2,..., w koicu o wadze r6wnej (- 38. POCHODNE FUNKCYI CALKOWITEJ. Niechaj bcdzie funkcya calkowita n zmiennych x,',,....: 1. tF = nk c~.. ed.g '7'l n'2 jzze.... 7nc np a Uporzqdkujmy tc funkcya wedlug potg jednej ze zmiennych np.

Page  229 38] POCUODNE U.NKCYI CAEKOWITEJ. 229 zmiennej xi i dajmy, 2e otrzymujemy w6wczas funkcya calkowita stopnia mi wzgledem tej zmiennej: 2. F a('i) x —axm) - +i-.+l -— a (i) x_2+2-aii -a (i) xO. 2. F I ' ~ -- 2 in4- 1 ~ i) m -- l ~ I-Im --. a/t xi i 1=o wsp6lczynniki al(i)[l=0, 1,2....mn] s tu funkcyami zmiennych x1, %...xil,-+i... x.. Ka2dy z wyraz6w funkcyi 2. pomn6omy przez wykladnik znajdujadej sit w nim pottgi zmiennej ci, a nastgpnie w kazdym wykladnik zmiennej znizmy o 1, t. j. zamiast 3. a() Vi i-1 napiszmy 4. (mi-1) a(i) xim,-1-1 [Zamiast ostatniego wyrazu a()., napiszemy oczywiscie 01. Nazwijmy wyrazenie 4. pochodna wyrazu 3. wzglfdem zniennej xi i utworzmy funkcya stopnia nzi-1, zlo2onq z wyraz6w postaci 4. Funkcya ta?ni a() i,-1 + (^i -1 a(i) )n2. —2 + 2a') _ + -a( 1=Mni - 1 (= a (v'"a('1,-1-1 1=0 nazywa sie pochodnq funkcyi calkowitej F wzglfdem zmiennej xi i oznacza sit przez F'f lub D)i F. Bcdzie tedy l-=- - 1 5. Fxi =- Dx F -- (mi- ) a() xm-g -1 i =0i Z tego okreslenia wynika: 1~. ze pochodna funkcyi calkowitej wzgledem zmiennej zi jest r6wna sumie pochodnych jej wyraz6w wzgledem tejze zmiennej; 20. pochodna wzgledem zmiennej xi wyrazu, zmiennej tej nie zawierajacego, jest r6wna zeru; 3~. stopien pochodnej wzgledem zmiennej xi jest o 1 ni2szy od stopnia funkcyi pierwotnej wzgledem tejze zmiennej.

Page  230 230 CZFC6 I. ROZDZIAL VII. [38 Zmieniajqc we wzorze 5. skaznik i, to jest kladac kolejno i=1, 2, 3... n otrzymujemy n pochodnych -F', 1... F'. Niechaj bcdzie naprzyklad fankcya jednorodna a, a 2f... -a.n m-= m Biorac wedlug prawidla pochodne wzglgdem zmiennej xi, znajdujemy F-xi -, Ca,a,.a ai xlaI '2a2... Tai —1 ~ -1 lQ+1... Van.. i —i. "l '+1 skad Vi l,i = ala,.. c,, aJ 1 t 2..-'...'-lXai,ail..,n n i —i i-+1 Suma podobnych r6wnosci dla i- 1, 2,... n daje:, Ii= c,,...( aca,....a(a 2 +2 a), la"V2c. *..n = (alfa2+... +a2) Cata 1.. r... Ita =mF, skad 7. F =- - -i m Wz6r ten, zwany wzorem E u 1 e r a, wyraza nastgpujaca wlasnosc funkcyj calkowitych jednorodnych. "Kazda funkcya calkowita jednorodna stopnia m-go, zalezna od n zmiennych, jest r6wna m-ej czesci sumy pochodnych, wzittych wzgldem kazdej ze zmiennych a pomnozonych przez zmienne odpowiednie". Wlasnos6 ta przedstawia pod inna postacia twierdzenie o funkcyach jednorodnych, podane w artykule 32. Do funkcyi 5. mozna zastosowac to samo dziatanie, jakie stosowalismy do funkcyi 1. lub 2. Biorac pochodna wyrazu 4. wzgldem zmiennej xi, znajdujemy: 8. (mi —l) (m,-l-i) al(i) xti - 1 —2 a suma wyrazow 8., t. j. funkcya calkowita stopnia (mi — 2)-go

Page  231 38] POCHODNE FUNKCYI CALKOWlTEJ. 231 I = mi- 2 X (m,-I) (m, - 1 i) a'n -r1 —2 -o0 jest pochodna funkcyi F-i wzgledem zmiennej mi; czyli jest pochodna pochodnej funkcyi danej F; nazywamy ja pochodnq rzfdu drugiego lub pochodnA drugq funkcyi F i oznaczamy przez F'i albo przez F"x2, albo wreszcie przez D2 2F bedzie zatem I = m- 2 9. F'=2 2= F (mi-z) (ni1-z1)a(l/), —2 1=0 Wyraz 4. jest funkcy4 calkowita nietylko zmiennej xi ale wogole i pozostalych zmiennych; mozemy przeto otrzymac pochodna jego wzgltdem ktorejkolwiek z tych zmiennych np. wzglgdem wk; w dzialaniu tem czynnik x~i2? ---1 nalezy wtedy uwazac za wsp6lczynnik staly. Pochodna tedy wyrazu 3. wzgltdem xk bgdzie rowna: 10. (m i 1) 1 Dx al(i) gdzie pochodna funkcyi calkowitej a/l wzgledem vk. wyznaczamy na podstawie tego samego prawidta, podlug ktorego oznaczylismy wyzej pochodna wzglcdem xj funkcyi F. Biorac sum9 wyraz6w postaci 10., otrzymujemy pochodna wzglcdem,x. pochodnej Fi; t~ pochodna druga funkcyi F oznaczamy przez F',.c lub D2'ik F, bedzie tedy 11. -Fok =De w kF s (mi- ) DpI)Z, k. i -, - 1 ik =0 Wzor 11. obejmuje w sobie n(n-1) pochodnych, ktore otrzymujemy, zmieniajac skazniki ii k; pomiidzy temi pochodneni bgdzie wszakze tylko polowa r6onych, o czem przekonywa twierdzenie 12. 1F". = F'kI wyrazajace, 2e pochodna druga nie zalezy od porzadku skaznikow. W samej rzeczy, biorqc pochodna wyrazu 3. wzglcdem zmiennej xk, otrzymujemy DJk al() ZXli —, pochodna zas tego wyrazenia wzglgdem Xi, poniewaz Dkal(i) od zv nie zale2y, bgdzie

Page  232 232 CZis6 1. lOZDZJAL 11. [38 (min - 1) Dxk al(i).xi mi m- - 1 to jest zupelnie identyczna z wyrazeniem 10. Jest zatem: t-mi — Fk — =. (mi —i)Dka(i). mi — i -1, 1=0 skad wynika prawdziwosc twierdzenia 12. Pochodnych rzedu drugiego roznych bedzie (n. 2' Od pochodnych rztdu drugiego mo2emy przejsc do pochodnych rzfdu trzeciego, biorac pochodne funkcyj calkowitych 9. i 10. wzgldem kt6rejkolwiek ze zmiennych. I tak biorac pochodne funkcyi calkowitej 9. wzglgdem zmienn6j xi, otrzymujemy pochodna rzfdu trzeciego lub pochodng trzeciq funkcyi F wzglgdem xi. Wyrazenie tej pochodn6j jest nasttpujace: I ~,mlm -3- 13. F"3 = D3xi F== (mi —l) (m —l-l-) (mi-l-2)a x"~'-z-31 [zzO Biortc zas pochodnq funkcyi calkowit"j F"' lx lub F', wzgledem zmiennj x,., znajdziemy: 1 -= mi -- 1 14. 1'"k xx —r 3xix - (mi - 1) D2xh x.r a( ) i i — I tu sposobem, podobnym do podanego wy2ej, przekonac sie mo2na, 2e pochodna nie zalezy od porzadku skaznik6w. Postepujac ta metoda dalej, dochodzimy do pochodnych rzedu czwartego, piatego i t. d. Pochodne te btda mialy nastepujace wyrazenia: I = m-4 FX Fz(F= F- (i l-1) (mr n 1-2) (mi-l-3) a() -1-4 15 V 5- DD5 5F= - (mi) (?i —1) (?n —2) (i — 3)(mi- - 4) aW ni1 15. x=0 i = mi- s RF) = Z)S - - (m, —i-s) (mi — 1)... (m I- - -) a( i - wi Xi 1=0

Page  233 38] POCBODNE FUNKCY1 CALKOWITEJ. 233 Pochodna rzedu mi-go funkcyi F wzgledem xi bgdzie skladala sie z jednego wyrazu 16. F("z) D F r= (mn-1)(m-2)... 2.1.a) to jest bedzie funkcya calkowiti, zalezn4 tylko od zmiennych pozostalych, a wszystkie jej nastgpne pochodne wzgledem zmiennej xg, to jest (ms +1) (M +2) xi 7 * *+2 btd4 zerami. Jezeli w szczegolnosci funkcya F jest funkcye calkowiti stopnia m jednej tylko zmiennej x, to kolejne jej pochodne: pierwsza, druga i t. d. sa funkcyami calkowitemi stopni: m-1, mn-2..., pochodna rztdu m-go jest stopnia zero, czyli jest liczba statl, a wszystkie pochodne rztdow wyzszych od m-go saq zerami. Niechaj btda dwie funkcye callkowite zmiennej x F1 _=_ a), x, 2 1 — ZI,E bf, Xet; postarajmy sie oznaczy6 pochodna ich iloczynu F1 F2 wzgltdem zmiennej x. Poniewaz F1F, -= 2.,ca b,, xi xi,- a b,, x,+t', przeto na podstawie okreslenia btdzie: DxC(F1F2) =, (A2jru )aj bc, i+EIt-= - btc z^s. 2^ i aS. ^-l+ 2^ a, tt7. i IU 8^g Gi(-1, skid wynika wz6r 17. Dx (F1 F2) F2.DxF + F1.Dx F2 wyrazajcyy, ze pochodna iloczynu dw6ch funkcyj rowna sit sumie iloczyn6w pierwszego czynnika przez pochodna drugiego i drugiego czynnika przez pochodna pierwszego. Na zasadzie tego twierdzenia mozemy otrzymac prawidlo, wedlug kt6rego znajdujemy pochodn4 trzech, czterech i w ogole skoniczonej liczby czynnik6w. W samej rzeczy:

Page  234 234 OZE^6 I. ROZDZIAL VII. [38 F, FFs = (F1.F 2)F3 a wiec wedlug 16. Dx (F1 F2 F3) = F3.D (F F2) + F Fi2. D 13 F3 (F2.DxF, + -F.DF,2) + F12F.DxF3 - F3F2.D F- + F 3F1.DF2 + F1F2,.D, Podobniez bgdzie D, (F1F23F4) =F2F3F4.DxFi+FlF3 F4. D F2+-F1 F2 F4. D, F + F, F, F3 Dx F, i w ogolnosci 18. Dx (iFi F2... Fn-, Fn) = F2...F,.0 FI Jr FF... Dx.ZF2 +.. + F1F,. *. F_.DZF. Je2eli przez 0i nazwiemy iloczyn F, F2..Fn, to wz6r 17 mo2emy przedstawi6 pod postacia D, 0 F x=.o F, + F.D F2 +...+ 19. 1 2 _ (D D F..' +17,) Zakladajqc F,F=. F..= F =. F F, a wiec -= FT otrzymujemy z wzoru 17. 20. D F' — n F1'-1. D, F, t.j. wz6r na pochodna potggi funkcyi calkowitej. Biorac pochodna obu stron wzoru 16., otrzymujemy na zasadzie tego samego wzoru: D2.(F1F2)=Dx F1. DF2 + F2. D2 F+D F2.D FI+FiDx I2 =F2. D'l2F, +2 D1 Fl. D, F2 + F1.Dl2 F2 Biorpe pochodna obu stron, btdziemy mieli D3 (Fl F2) =F2. D3 F, +3 Dx F2 D j1 + 3 Do 2. rFU l +F3. D3 eF2, a postgpujac w ten sam spos6b dalj, dojdziemy do wzoru og6lnego

Page  235 38] PO0HOPNE F UNKCYI CALKOWITEJ. 235 Dm(FF2) =F2.D F, + n D, F2.D"xl F 1(m- ) in- / --- 1 'F + 1 2 1D"2F2. D Fl_2F1D+...,mF2' 1.2 1-7n- XF;n- FL2' kt6rego ogolnosc stwierdzic mo2na, przechodzac od rztdu m do rzcdu m+l-go. Wz6r ten, znany pod nazwa wzoru L e i b n i z a, mozemy przedstawic pod postacig, lIm 21. D M -1.2.(1F — D(I) F2.D("-i),F 1z~ll I=0 rozumiejac przez pochodne rzhdu 0, t. j. przez D o 1 i D( X F1 same funkcye F1 i F2. Wz6r ten mo2na uogolnic, rozszerzajac go na iloczyn ilukolwiek funkcyj calkowitych. Wz6r ogolniejszy ma postac 22. D mF ' Y X 22. Dm (F1F2...FI) = D, ' F pa2, F ^, m ( ial! a! a,! U.1 +.2 + * * * - = m. analogiczna z wzorem, daj cym rozwiniPcie vw-ej potggi wielomianu Z1 + 2 4+...- + n [art. 32.1. Wzory 21. i 22. przedstawia sit niekiedy symbolicznie pod postacia D),,(FF F 2) -(DJ+F1 —DF)', 23. D "n (FlF,..F,)=(DZ)F+Dx)F+. '.+D(Ft)', kt6ra nalezy rozumiec w ten sposob, 2e rozwijaja4c potegc m-a- sumy DxFJr-DxF2 lub sumy DF1 - DxF2 +-...D F,, nie opuszczamy wyraz6w z wykladnikiem zero, oraz zastgpujemy (DZFT), (Dr2). ~ ~ przez D atF Da, C-F2 Dgdy1 Da2....n ga-i 1 2 a gdy a,, a2..n. ie sa zerami, a przez gdy te wyktadniki sa zerami.

Page  236 236 CZEI 1. ROZDZIALE VI. [38 Jeieli w rownaniu 17. napiszemy F1 F2 = F, skid F2, znajdziemy z niego F 1 F D ) DF. DF- DF lub 24. D) F F1.DxF-F.DxF, 24. Dx- - F12, FI2 t. j. wz6r na pochodnq ilorazu dwoch funkcyj calkowitych. Jezeli w szczegolnosci F=l, otrzymujemy 1 DxF1 25. D = — Jezeli we wzorze 18. poloiymy F l- -a1, F/ a-a -... F,= -an, 0=(x-al) (x-a)... (x —an), gdzie al, a... an sa liczby r2one, bedziemy mieli D F = D1-D =... = DxF=1, zatem 26. Dli 0 0 +- - + -- -. -a1 - a2 - a -a ai i=l Podamy jeszcze okreslenia kilku pojtc, kt6re bcda p6zniej potrzebne. Jezeli dla funkcyi F = ao xm- al 1m —1+ a2 x" 2 +... + aln-1 x + a, i jej pocllodnej F' - m ao x-1 4+ (m —l) a, x-2 +... - a,_-,, utworzymy rugownik wedlug teoryi podanej w art. 35., otrzymamy wyznacznik, kt6ry podzielony przez a, stanowi wyroznik [discriminant] funkcyi danej22. Wyrbonik ten, przyr6wnany do zera, przed

Page  237 381 POCIODNE 'FUNKCYI CALKOWITEJ. 237 stawia warunek, przy kt6rym funkcya dana i jej pochodna maja czynnik wsp6lny. W Algebrze pojgcie wyr6onika ma znaczenie bardzo waine. Wronskianem m funkcyj F1,F2,..,F m jednej zmiennej, nazywamy wyznacznik F/, F2.. F F, F... 2 V1' 2 DIn F',F2'. Fn' DF, DF,. DFj F", F"... " D2F1, D2F2... 2F,,.......... Fl(O), F2(nz-1).. F, (M-1).Db-1 Fl, D)z2-1F2...Dn-lFn w kt6rego pierwszym wierszu znajduja sig funkeye dane, w drugim pochodne pierwsze tych funkcyj, w trzecim pochodne drugie..., w m-ym pochodne (m-l)-e. Wroiskian oznaczac bedziemy przez W7(F,, F2,. F,). W r o i s k i nazywal te wyznaczniki funkcyami schin [por6w. str. 192]23. Pojgcie wroliskianu mo2na rozszerzyc do funkcyj F1,F2..Fm, zaleznych od n zmiennych x1, x2... x, wprowadzajac funkcye utworzone z pochodnych, a mianowicie funkcye Fj = ql D~xFt + F q2Dz F, -.. -- -qDXF, F; gdzie ql, q2,.. qn sa liczbami dowolnemi, oraz b6F,-=- 6(F ), 3F, = 6,(82F.) Wroniskianem takich funkcyj nazwiemy wtedy wyrazenie: F1, F2.... Fm 6F1, 2F2,... 6F, W(F,,F2,...F.n.)= - 2F1 8F2... 82F', |"'-lF1, 6m.-lF2... " 6m-l F, Jakobianem24 funkcyj F1, F2,.. Fn n zmiennych x 2, x... *V nazywamy wyznacznik

Page  238 238 CZESd I. RUZI)ZIAL VII. [39 I DX, FI DX F1,... D* F1 Dx F2, D2 F2,... Dn F2 DX, F,, DxF,.n.DX F1 Wyznacznik ten oznaczac bgdziemy przez J(F1, F,... ). Je2eli funkeye F,, F2,... Fs, s same pochodnemi pierwszemi pewnej funkcyi F, to jest jezeli F1D, F, F2=DxF,... F= Dx F, wtedy elementy jakobianu sa wszystkie pochodnemi drugiego rztdu funkcyi F; oznaczajac pochodna Dx1., Fdla kr6tkosci przez Fikna mocy twierdzenia 12. jest Fk^= F1i — otrzymujemy wyznacznik Fl F,.. F. -, -V21 22 F2H, T nI, F 2... F!I nazwany hessianem funkcyi F i oznaczany zwykle przez H (F)25. Okreslenia tu podane sa ogolne, bo stosiuja sie nietylko do funkcyj calkowitych, ale do wszelkieh funkcyj w ogolnosci. We wlagciwem miejscu poznamy wazne wlasnosci i zastosowania tych algorytm6w, a zastosowania wrofiskianow wska2emy ju2 w art. 42. 39. WZOR TAYLORA. W art. 36 podalismy wz6r F=-F)+-l-F(f-F+2f22-+.. —Fp. na zasadzie kt6rego funkcya calkowita F zmiennej x mo2emy rozlo2yc wedlug potgg innej funkeyi calkowitej f tej2e zmiennej. Nieehaj bgdzie 1. 1F(v.) = ao '2-l+ a, xl-1 + a2 n-2+... - -+ an_ + a,,,

Page  239 39] WZOR TAYLORA,. 239 f zas niechaj bgdzie funkcya liniow4, 2. f = -h. Wedlug teoryi podanej w art. 36, wsp6lczynniki rozkladu otrzymujemy, dzielhc F przez f, iloraz z tego dzielenia przez f i t. d. i oznaczajac reszty w kazdem z tych dzielefi. Kolejne ilorazy i reszty oznaczymy na podstawie wzor6w 7. i 8. art. 34. Wedlug tych wzor6w, iloraz z podzielenia funkcyi 1. przez funkcyqa 2. bcdzie 3. aO "l-l_ + (aoh + al)a2?-2+ (aoh2 + alh + a2)xm-2 +.. + (ao hrn-1 + al h^n-2 +,.. + a)n-,), reszta zas bedzie r6wna F~) = ao hm + al htl —1+... a,,,_ h + a,, = F(h). Dzielqc funkcya 3. przez x-h, otrzymujemy iloraz 4. aoX —2-+ (2aoh^ al) x-3 + (3aOh2 + — 2alh + a2)X-l +.. + ((m-1l)aoha-2 +(m —2) al h"-^-3+...+a,_-2) reszta zas Fil) bgdzie r6wna wartosci funkcyi 4. dla x = h, to jest: 5. t1)= mao 1i-l-+( ---l) a hz-2-... +2a^_2- +an-1. Dzielhc funkcyq 4. przez x —h, znajdujemy iloraz ao0 -3+(3aoh+al),l-4_ +...+{(..~ 1)(m- 2)ahn-3+ + 3 a reszta btdzie 6. F(2)- 1 m(m-l)ah^A-2+(M-l)(}-2)allil-3+...+2.1.a-n-2 1. 12t Post.pujqc t4 droga dalj, otrzymamy nastgpujqce wyrazenia reszt: 13.2 7.......... F 2.=..(m-1)(m-2)... 3.2.1.a 1.2.3... ' 7'

Page  240 240 czR3 O I. ROZDZIAL vl. [39 Z por6wnania wzor6w 5. 6. 7 z wzorami 5. 9. 15. 16 artykulu poprzedzajacego widzimy, ze pomigdzy resztami F(~), F1), Fi2)...F',") a wartosciami, jakie przyjmuja funkcya F(vx) i jej kolejne pochodne wzgldem zmiennej x, przy wartosci a r6wnej h, zachodza zwiqzki bardzo proste, a mianowicie: Fl) =F'(h), - F' (i), 8. 1.2 1.2.3 F(3) -- F"'(h) 1.2.3... gdzie F^)(h) oznacza wartosc, jaka przyjmuje pochodna F]'(;)(x) dla wartosci.z=h. Dochodzimy witc do wzoru: 9. F(x)=-F(h)+( —h)F'(h)+(z-h)2 (h) +...+ (,-h)g n:).g ) kt6ry mo2emy napisac takze pod postacia 10. F(z+h)=F(,)-+hr(, ) + T2 F~(x)+...+ -I F,")(X) 1.2 1.2...m Wz6r ten nazywa sie wzorem Tay l o r a. Daje on rozwinitcie przyrostu funkcyi, t. j. r6onicy F (x+h) - F(x), wedlug pottg przyrostu zmiennej: h2 h7, 11. F(x+h) —F(z)=hF(-i. 2 Fl(x)+1 () +..... 'x+ '2 1.2... in Z wzoru 9. gdy w nim napiszemy h == 0, wyplywa, I1, F(x) =- F(0) +-, F'(0) +,2 () +.).. - ( 0) 1.2 1.2...m,

Page  241 40] ROZ!,ICE FUNKCYI UA1.KO'VIlr J. 241 Wz6r ten nazywamy wzorem M a c 1 a u r i n a. Z wzoru 11. kladac w nim F(,) = x^, otrzymujemy ( + -h)m - xm +q m hl- + m (m ) h2x-2.. - hm 1.2 to jest dwumian N e w t o n a. Naodwr6t, opierajac sie na dwumianie N e w ton a, mo2na rozwiniecie funkcyi F(x -+h), przedstawiajace sie pod postacia (+h) = ao (t+h)m + al(+h)m-1+..+ a (a,,,_l(-+h)+a,,, przeksztatcic na wzor T a y 1 o r a lub M a c 1 a u r i n a. Od wzoru, dajacego rozwinigcie przyrostu funkcyi jednej zmienn6j, moina z tatwosci% przejsc do wzoru, dajacego rozwiniecie funkcyi, zaleinej od wielu zmiennych. Dla przypadku dwoch zmicnnych X1, x2 otrzymujemy wtedy rozwiniecie F(, l+ h, x 9+h,) = F(:1,,2) + (hi D, F + h2 D,) 1 -I- fl<2^ -^2^ <- l+^ D"?n(mn 1 2 )I13. + ne —2 2 F-l...+ F. +,1.2 1),,, _,2 F *+ 2, Wyw6d tego wzoru, jak i rozciagnitcie go na wieksza, liczbt zmiennych, znajdzie czytelnik w podrtcznikach Algebry lub Rachunka Wy2szego. 40. ROZNICE FUNKCYJ CALKOWITEJ. Wzor 11. art. poprzedzaj bcego daje nam przyrost funkcyi calkowitej, t. j. roinicf dw6ch jej wartosci F(x-+h) i F(x), wyra2onq za Pojecia. T, I. 16

Page  242 242 CZESC I. ROUDZIAL VI., [40 pomocas przyrostu h, zwanego r6onica zmiellej x. Je2eli rwprowadzimy oznaczenia Ax = h, F(x+h) - F(x) = F(), to wz6r ten mo2na napisac w ten spos6b: 1. F(x) = -1.F (x) +( 'i (r"(x)+... + -. ( ' () 1.2 Zajmiemy sie tu blizszem zbadaniemn ro6Znic pomiedzy warto'ciami funkcyi, odpowiadajacemi r6onym wartosciom zmienlej. Wtym celu wyobrazmy sobie szereg wartosci funkcyi calkowitej F(x), odpowiadaj acych wartosciom zmiennej x, x + 2 Ax, 6 + 3 XA...; t. j F(x), F(x+ x), F(Ix+2\x), Fl,' —+3Ax),.. RZ6nice pomiedzy kolejnemi wyrazami tego szeoegu. t. j. F(xt\-Ax) -F(x),F(x-+2A)-(Zx) - (x ),F(x+3Ax) -F(x+ 2ax), kt6re oznaczamy przez AF(x), F(x~Ax), A Fx+2x), Fx+.... stanowiq, roznice piezwszego rzfdu funkcyi F(x). Ro6nice pomiedzy kolejnemi r6znicami picrwszego rzedu ozntaczamy przez F(x), A nazywo. b i nazywamy ro'nicami drugiego rzdu. W 1)podobny sposob otrzymnujemy r62nice rzgdu trzeciego, czwlartego i t. d.. ktore oznaczamy przez AZ3F(x), A4F(x) i t. d. Jezeli dana funkcya calkowita F(x) jest stopnia zn-go, to r62nicc rzedu pierwszego sq funkcyami calkowitemi stopnia (,m-1)-go, r6 -znice rzedu drugiego ---funkcyami stopnia (mn-2)-go i t. d. r6onice rzedu (m-l)-go ss funkcyami stopnia pierwszego, wreszcie r6onice rzgdu m-go sa stopnia zero, t. j. sa wszystkie rowne jednej liczbic statej. Rozinice rzgcd6w wy2szych od rm-go sa wszystkie zerami. W samej rzeczy, je2eli funkcyaF(x) jest stopnia m-go, to z wzoru 1. widzimy bezposrednio, ze funkcya AF(x) jest stopnia pochodnej F'(x), a witc, jak to widzielismy w art. poprzedzajqcym, sto

Page  243 40] ROZN1CE FUNKOYI CALKOWITEJ. 243 pnia nzm —go. Kladac we wzorze 1. x-+-x w miejsce x, otrzymujemy Ax (AX2) F (x +A) = F'(x + tx) + (- ) (x + +... ^ 1.2 + (Ax "' ) l)(x+ x), a odejmujac r6wnanie 1., bgdziemy mieli A2 F(x A F ) A)+ (-2 AF"(x) +... +(2) AF' )(x 1 1.2 1.2...m skad widac, 2e rbonica A2F(x) jest funkeya stopnia r6wnego stopniowi funkcyi AF'(.); a ze stopieni funkcyi F'(x) r6wna sic m —1, stopieli przeto funkcyi A F' (x) i funkcyi A2 F(x) r6wna si mn —2. Wynika stad zarazem, ze stopien funkcyi A2F'(x) jest m-3. W ten spos6b rozumujac dalej, przekonywamy sie o prawdzie powyzszego twierdzenia. Z tego twierdzenia wynika, ze dwie funkcye, r6oniace sie stala dowolna, maja oczywiscie r62nice pierwszego rzddu r6wne; dwie funkcye, r6oniace sie od siebie funkcya stopnia pierwszego, majq r6onice pierwsze, r6zniace sie o stata, r6inice zas rzedu drugiego rowne. Wogole funkcye calkowite stopnia m-go, r6oniace sig od siebie funkcya stopnia k-go [k < m], maja r62nice rzedu k-l1-go r6wne. Z podanych okreslen wynikaja bezposrednio r6wnosci: A F(x F(x ) - F(x+ - F(x), A2IF(x) AF(x+Ax) - A\F(x) =F(x+2Ax)-F(x+Ax) - F(x+Ax) + F(x) -= (x~+ 2x) - 2F(x+Ax) + F(x). A3F(x)= F(x+3x) - 2F(x+2Ax) + IF(x+ Axx) - F(x+2Ax) + 2F(x+-Ax) - F(x) = F(x+3Ax) -3F(x+2Ax)+3F(x+Ax)-F(x). Za pomoca tego rachunku dochodzimy do wzoru ogolnego 2. A F(x) F(x + i Ax) - iF(x+ (i-1) Ax) + + (i —2) F(x+(i-2)A)-... + (-1i)F(), 1. '"

Page  244 244 czA6 I. ROZDZIAL VII. [40 o kt6rego ogolnosci przekonywamy sic, przechodzac od skaznika i do skaznika i+-1. Wz6r 2. daje r6onicq rzadu i-go funkcyi F(x), wyraiona przez wartosci funkcyi F(x), F(x+x)... F(x —ix); wspolczynniki rozwinitcia sa takie same, jak w rozwinitciu potggi i-ej dwumianu. Poczynimy po kolei rozmaite zalozenia o funkcyi F(x). Jezeli F(x) = m, to (x+AX)m = x~ -lx+ - m( )m —) 2(AX)~+...q_(A.), x~m 3- m xm-~l~x+ e"-"(1. 2 a witc 3. A n =-nzx+-lAx+-M( ) x-2(A)2+-. +(AX).Wogole bgdzie Ai Xm = m(nz- 1)...(m-i+l)xm-i(Ax)i Axm-i-l(,Ax)i+l + Bxn-i-2 (Ax)'+2... gdzie A, B... oznaczaja wspolczynniki przy dalszych pottgach zmiennej x. Dla i=m bedzie 4. Am = m(nz- 1)... (A x) = m! (ix)" = lm1 (Ax)M; dla i > m btdzie Ai xm =0. Je2eli F(x) = ao xm + a xm —... am, wtedy z wzoru 2 lub na podstawie wzoru 4. otrzymamy z latwoscia 5. AmF(x) = lmll,.a (Ax)m Ai F(x)- 0, gdy rzad r6onicy jest wikkszy od stopnia funkcyi, co zgadza sie z wyzej podanem twierdzeniem. Niechaj

Page  245 40] 4ROZNIdE FULNKCYI eALKOWITEJ. 245 F(x) = x(x-Ax) (x-2x)... (x-(m- 1)Ax. Funkcya ta oznacza sie za pomoca symbolu XmI-d;X i nazywa sie faktoryalnq. Jej kolejne rbznice maja nastepujace wyrazenia: AF(x) = mAx.x (x-Ax) (x-2Ax)... (x-(m-2)Ax), 6. A2F(x) =m(m-)(-lA)(Ax)2.x-Ax)(x-2Ax).. (x-(m-3)Ax), A'F(x)=m(m- 1)(m-2)...(m-i+1)(Ax)ix.(x-Ax)(x-2Ax)...(x- (m-z-1)A) = l-1. (Ax)i. zn-il-A. Jezeli funkcya faktoryalna F(x) jest postaci F(x) = x (x + Ax) (x + 2Ax)... (x + (m-1) Ax) = a,1lf1, wtedy podobniei dochodzimy do wzoru AF(x)=-(m-1 )...(m —i+1)(Ax)i (x+iAx).(x+(i+l)Ax)...(x-tm -1)Ax) -= m (il-(x) (aX+i) (+ x)'-il-'. Jezeli funkcya F(x) jest iloczynem dwoch funkcyj Fl(x)F2(x), to AF(x) = F, (x+Ax). F2 (x+A) - Fl (x)F2(x) = {F(x) + AF1(x)} {(F2() + F2()} - Fl(x) F2(x) - F (x).A F2 A (x) + () F (z) +A F2(x)} Biorac r6onice drugiego rzgdu, otrzymujemy A2 F (x) = F (x) A2F2 (x) + 2AF1 (x) (AF2 (x) + A2 F2 (x)} + A2 F (X) {F2(x) + 2AF(x) + A2F()} Postepujqc w ten spos6b dalej, dochodzimy do wzoru og6lnego A^, F(x) = F,(x)m F2(x) + mDlF( )(A)-lF2(x) +A n F(x)} 8. +m r2-l) Al(x){A-2+2( )+ 2-2AM-F (a)+A,F2(x)} + 18. ( )F+1.2 2 + m(m-l) (nm-2)A 3Fl(x){Am_-3F(x) + 3A,_-2F2(x) + 3A,"-1lF2()+A, ' F2(x)} 1.2.3 4,.. ~.. ~... ~..........~ ~.....

Page  246 246 cz4 I. RoOZDZnE VII. [40 kt6rego ogolnosc za pomoca indukeyi zupelnej sprawdzic mo2na. Wz6r ten na roznic m-go rzgdu iloczynu funkcyj odpowiada wzorowi L e i b n i z a, podanemu w art. 38. Majac dla danej wartosci x wartosc funkcyi calkowitej F(x) oraz jej r6onic AF(x), 2F(x).... AF(x), mozemy oznaczyc wartosc F(x +-i\x), za pomoca wzoru 9. F(x +iAx)- -F(x)+i.F(+x))+ (i-) F(,2). + i.F(x), 1.2 kt6rego wsp6lczynniki sa takie same, jak w rozwinieciu potggi dwumianu. Dla wyprowadzenia tego wzoru, zauwa2my, ze, je2eli mamy szereg wartosci funkcyi F(x), F(,-+Ax), F(x + 3 Ax)... F(x + mA), to wtedy zacholdza nastgpuj4ce r6wnania: F(x+ Ax) = F(x) + AF(x), F(x +2 x) = F(x +A-x) + AF(x +-cAx) W(x) + AF( ) + AF(x) + A2 F(x) = F(x)+2AF(x) + A2F(x) F(x+ 3,Ax) = F(x + 2.x) +- AF(x-+2Ax) = 1Fx) + 2s F(x) +2Fi(x) + AF(x)+~2 2F7(x) -+ - 33(x) = F(x) + 3AF(x) + 3A2 z (x) + A3F(x). Postgpujac dalej tym sposobem, dochodzimy do wzoru 9., ktorego og6lnosc stwierdzi6 mo2na, przechodzac od liczby calkowitej i do i+-1. Kladac i = m, gdzie m jest stopniem funkcyi calkowitej, otrzymuj emy F(xt+ a.x) =F(x)+ ZAx^ +*( -n 1)A2F(x) + 01n(n- )(m-2)A3 1.2 1.2.3 +..... + AiF(x) k Poto2my mA x =k, a wiec m --- — wtedy wzOr ten przybiera postac,

Page  247 40] R(OZMCE F'UNKUYI CALKOWITEJ -.t = F) + hk Al1l I) k _ AX) )A2F(X) +k, (k 7-A) (k -— 2 ) A3F() F^ +~1 )^ F^ )+ Y- - + - r.T 'Ti.F + -- r 273 - 1 Ax.IAx21.2.3 (Ax. )3 (A -,k ) (k - 2 Ax).. (. -(m- ) A) A, F(X) + '. 1 2.3... m (t\)" lub k.AF(x) k2-A' F(x) k31-xA A3Fx F( +k-) =FF()+ h + -— 1 + t IF (x k) FAx)+- 1,A 1211 (Ax)2 l 131 (Ax)3 kn\1-A x A'F(X) * ll (, )V ' Wz6r ten zawdzigczamy N e w t o n o w i26; sltuy on do tak nazwanej interpolacyi, kt6rej najogolniejsze zadanie polega na oznaczaniu wartosci funkcyi z dostatecznej liczby innych jej wartosci. Je2eli mamy dane wartosci funkcyi F(x), F(x + Ax).... F(.+ (n — )), to mozemy obliczyc kolejne r6onice AF(x), A2F(x).., A7F(x), a na podstawie wzoru 10. znalezc warto6s fankcyi dla wartosci zmiennej+, gdzie k jest liczba dowolna. Rozwiazaniemtego samego zadania inna metoda zajmiemy sie w nastepnym artykule. Dzialanie, za pomoca kt6rego znajdujemy r6onice funkcyj nazywamy roznicowaniem. Dzialanie odwrotne, za pomoca kt6rego od r6onic przechodzimy do samych funkcyj, nazywa sie rdinicowaniem odwrotnem albo calkowaniem (sumowaniem). REznica odlrotna lub calka oznacza sit za pomoca znaku 2, a za jej okreslenie sluz2y mo2e r6wnanie AF(x) F(-), kt6re wyraza, ze dzialania A i Y, zastosowane do funkcyi F(x), nie zmieniaja tej funkcyi; podobnie2 jest AF(x) =- F(x). Do wyra2enia calki danej r6onicy mo2emy zawsze dodac stala dowolna, dlatego 2e, jak wy2ej objasniono, dwie funkeye, rSoniace sit stala, maja oczywiscie r6znice r6wne. Z powyiszego okreslenia wynika, ze r62nica odwrotna sumy dwoch funkcyj r6wna sit sumie r6onic odwrotnych obu funkcyj i ze wogole dla zcalkowania sumy trzeba dodac sumy calek jej skladnik6w.

Page  248 248 czI6 1. ROZDZIAL VII. [40 Na tej zasadzie z wzoru 3., calkujac obie jego strony, otrzymujemy: 2(Am)=, = mA, (m- -l)1 + (-)(A r)22 xM.n —2. R6wnanie to pozwala nam znalez6 calkZ 2'x-1, gdy znamy calki fxm-2, Zxm-3. Kladac w niem m-1=i, bgdziemy mieli xi+1 {i 11. x; 1 -{z t!\f?-l+ i(i- 1 r)2. —(i-+ 1)A 1.2 — 1.2.3. Kladac zas tu kolejno i = 0, 1, 2... dochodzimy do nasttpujacych wzorow:, A.e x 1 2 1 2 Ax 2' x2 1 x3 1 1,V x2 Ax - 22 +3 Ax 12. 1 X4 1 1, ~T3 — _ 3 1+ 2_ 2- T r' 4 2 2.2 15Jei n y rZ1 c2X4 I~4 + IR Ax -- x(A x)3 5 ' 2 3. 1 6 1 5 _ A --- + 14Ax- (r)3. 2.6 2.6 Je.eli napiszemy og6lnie X "tm- = An+l + Bx"' + C-rl- -1 +. to biorac r6onice stron obu, mozemy dojsc z latwoscia do bezposredniego oznaczenia wsp6lczynnik6w i do nastgpujjcego wzoru: 13. ' =z _ 1j,,?I+-2 2A+ tx.x, (Ar +)21? (m+ 1)4-11 (+l) (, _+)6+-1 - B2 (Ax)4X-a -3- 161 B(. —... C, ~~~~4!t~~~~~~~

Page  249 40] ROZNICE FUNKCYI CAAKOWITEJ. 249 gdzie C jest stala dowolna. Wsp6lczynniki B1, B2, B3..., zachodzace w tym wzorze, nazywaja sie liczbami B e r n o u 11 i'e g o i majl nastgpujace wartosci 1 1 i 1 5 B1=i, B 2 = -, 3 42 B4 30' =66 691 7 3617 43867 6 2730' B7- 6' B 510' B 798 1222277 10 - 2310 Liczby B e r n o ul 1 i'e g o maja zastoswanie w wielu zagadnieniach Analizy. [Niekiedy znakowania, uzywane przez roznych autorow, r6 -znia sit od podanego tu, mianowicie nasze wsp6lczynniki B1 bywaja oznaczane przez B2i lub przez B2-i_; w pierwszym razie wszystkie liczby B e r n o u 11 i'e g o ze skaznikiem parzystym, drugi raz liczby ze skaznikiem nieparzystym sa zerami]. Wr o A s k i n azywa liczbami B e r n o u 11 i'e g o wsp6lczynniki I B1 B2 B3 B4 B5 2' 2 ' 4' 6 ' 8' 10 i oznacza je przez 01, 02, 04, 06, 08' 010, wszystkie zas wspolczynniki 0 ze skaznikami nieparzystemi procz 01, t. j. 03,05... przyjmuje za zera27. Liczby B e r no u 11i'ego napotkano po raz pierwszy w rozwi%zaniu zagadnienia, dotyczacego oznaczenia sumy jednakowych poteg kolejnych liczb calkowitych, to jest sumy li+ 2i + 3 +... + - _)i, gdzie x jest liczba calkowita. W kursach Algebry elementarnej podawane bywaja wzory 1 + 2 + 3 +... + (-1 - 2 2 12+22+32+. + — ( —1)2 - - 3 +r r4 r3,2 ~j- ''-1)~- 4 2 4 13+ 23+33+... + (.-1)3- 4 - 2 + 4,T 5 rX4,3 IV 14+ 24+34+.. ---. _,_(,-1)4- --- - 3 30

Page  250 250' OZ6 1i. ROZDZAT. VIT. [41 Pierwszy z nich otrzymujemy, jezeli w to2samosci (t +- 1)2 - t2 - 2t + 1 za t polo2ymy 1, 2... -1, a otrzymane r6wnosci dodamy; drugi wynika podobnie z tozsamosci (t4 1)3 —t3 -3 -3t+-l, trzeci z tozsamosci (t+1)4-t4-4t3+6t2-+-4t+l, czwarty z tozsamosci (t+1 )5' — t 5t4-1 0t3+10t+-5t+1. Podobna drog4 prze. kona6 si9 mozna, ze suma ld 2i+2 3i+.. x. + l(r_1)i jest funkcya stopnia (i-l)-go liczby iv. Funkcya ta ma postac nastopujcat ____ - 2 -B v-' ^ -^' B. 2 i+1 2x 2' — P Ia B),i14. (i —)(i — 2)( — 3)(i — 4) 3 Wz6r ten podal Jak6b B e r n o u 11 i28. Podana w przypisach tablica ca liczb 0, wzicta z dziel W r o i s k i e g o29, slu2yc mo2e do rozwiqzywania zagadniei, w ktorych stosowane bywaja liczby B e r n o u 1 -i'ego. 41. WZOR INTERPOLACYJNY LAGR.NGE A. Rozwia2my zadanic: "Znalezc najogolnicjsza funkcya calkowiti zmniennej x, kt6ra dla m —+ r62nych wartosci zmiennej: ao, a... am przyjmuje m —+ wartosci danych wO, wI,.. w,,. Niechaj funkcya szukana F(x) stopnia n-go bcdzie 1. F(r) == cZ0 + C1 m en-1+.. + C(,, 1 T + CMI Dla oznaczenia m-1 wspolczynnikow jej mamy. wedlug zalozenia, 2. I(ao) == W F(al) = l... (a,,) = w,, t. j. uklad r6wnaii C% om q-t 1 ao — 1+ *.~ ~q- ~c-, ao q- c,, = wo, co am om +.. +, 1 c, + c-, = wl, C),, + C1 a,,- -l.. + -c,,1 a. + C = W, 00am~'r~ +1Ct~,m-l+ ~ ~ o +0,,,lam —~c., ---Wr

Page  251 41] 'WZiOR INTERPOLACYJNY LAGRANGE'A. 25; Poniewa2 wyznacznik ukladu 3.,t. j. wyznacznik ao a^-1... ao 1 0 ' 0 0' 1/ ~', tl —1,.,/1 1 aU, a,... a. a, TIV=..... a,(l"f, a,'-1... a,,,, 1 jest r62ny od zera, mozemy przeto wsp6lczynniki ~o, c.. c, oznaczyc; a mianowicie btdzie,) ao-l.a.0. ao, I. 1 1 w, al~-1,.. al, 1 alz, w1.. 1 el — ~. 2..,,, a,1 Iaala,wm... 1 it. d. Wsp6lczynniki, jak widac z tych wzor6w, sa funkcyami liniowemi liczb wv, wl... w,,. Mozna witc napisac 4. c,= c- aoi) + a-l() w1 +... - a,,L1) w,, [i 0, 1, 2...n1], gdzie wspolczynniki ac, a,... a,, sa zupelnie oznaczone; wstawiajac 4. w r6wnanie 1., otrzymamy po odpowiedniem uporzadkowaniu wyraz6w: 5. F(x ) - wo Fo(I) + wlF, (x) +.. - w,,, +,, (, ). Tu F,, 1... F, sa funkcyami stopnia m-go, miajacemi tg wlasno6s, ze funkcya Fi(x) jest r6wnai 1 dla x-=ai, r6wna 0 dla ak, gdzie k > i. Poniewaz funkcya Fi (xi) staje sig tym sposobem zerem dla rm wartosci zmiennych a0, a...a1_l, ai+l...a,, nie wite mo2e byc jul zerem dla 2adnej innej wartosci, bo w takim razie na zasadzie twierdzenia, podanego w art. 33, bylaby to2samosciowo zerem, co nie jest, gdy2 dla x. —a jest r6wna 1. Na tej zasadzie mozemy napisac: 6. Fi (x) = b, (x-ao)... (x-a_l ) (,-a+l )... (x —a,,) gdzie bi jest pewna stalt. Wprowadzajac funkcye, okreslona za pomoca rownania:

Page  252 252 czl;6 I. ROZDZIAL V'I. [41 f(x) (-al)(x-a)....(- am), bedziemy mieli: f(x) Fk (X) bk h a poniewaz wedlug wzoru 26. w art. 38 jest f(x) -= k -ak przeto F(,) f) Kladac tu x= —i i uwzgldniajac warunki, jakim czynia zados6 funkeye Fk, otrzymujemy z tego r6wnania: b- 1 b —f (ai) skutkiem czego funkcya 6. przyjmuje postac Fi (-) f ( )(-ao)...(x-al)(t —ail)...(x-a,) (- Xai)f(ai)' a r6wnanie 5. przechodzi w nastcpujace 7. (a ) 7_a ' stanowiace tak nazwany wz6r wzor interpolacyjny L a g r a n g e'a. Jezeli w miejscef(ai) napiszemy wartosc tej pochodnej, r6wna (a, -ao)...(a; —ai_x )(a,,,-a+i, )...(ai -am), otrzymamy wz6r L a g r a n g e'a pod postacia 8. F(x) w (-ao)...(-a-1 )( — ai-l )...( - a_) (X-ao)...(ax-ai_ )(ai-ai+l )...(a —am) Znalazlszy funkcyae F(x), czyniacq zados6 warunkom zadania, mo2emy znalez6 rozwiazanie jeszcze og6lniejsze. W samej rzeczy, jezeli l(x) jest inna funkcya, czyniqca zados6 tym samym warunkom,

Page  253 41] WZOR 1NTERPOLACYJNY LAGRANGE'A 253 to oczywiscie roznica 0(x) -F(), staje sie zerem dla m l-1 wartosci x = a, a... am, jest zatem podzielna bez reszty przez iloczyn (x-ao) (* —a)... (x —a, ), to jest przez funkcya f(x); mo2emy przeto napisac, 0 (x)-F() =- f(). 0(x), gdzie O(x) jest pewnq dowolna funkcya calkowitq zmiennej x. Otrzymujemy witc i(x) — F(x) f(x) 0(x). Tak witc 9w (,i f (' ) +f(V )o(z) gdzie 0() jest f o, =tawia na gdzie 6(x) jest funkcya dowolna, przedstawia najogolniejsze rozwiazanie naszego zagadnienia30. Je2eli funkcya szukana ma by' stopnia m-go, musi bye 0 (x) = 0 i otrzymujemy jedno tylko rozwiazanie, dane za pomoca wzoru 7. Je2eli rownosc 9. napiszemy pod postaci4 10 (x) 0()-+ Wo.+ 1. f(x) f'(a)o x-ao ' (a) x-a,, otrzymamy wzor, dajqcy rozklad ulamka 0 ) f(x) na cz~sc calkowita 0 (x) i ulamki cztsciowe, i stanowiacy uogolnienie wzoru 26. w art. 38. Wzor 10. ma wa2ne zastosowania w Algebrze i w Rachunku calkowym. Na wzorze 5. lub 8., kt6ry mo2na przedstawic pod postacia 11. F(x) )F )F(aO) F)F() )+. + F(a ) Fm(x) = 2 F(ai) F1 (x), opiera Kronecker metode badania podzielnosci funkcyj cal

Page  254 254 czE6SC I. ROZDZIAL VI1. [41 kowitych3t. Dajmy na to, ze mamy pewna funkcya calkowita cp (x) stopnia 2m lub 2m +- 1 o wsp6oczynnikach calkowitych i chcemy zbadac, czy funkcya ta jest lub nie jest podzielna przez inne funkcye calkowite o takichze wsp6lczynnikach. W tym celu, oczywista, dostatecznie jest zbada6, czy posiada dzielniki calkowite stopnia m-go lub nizszego. Dzielnik stopnia m-go mo2e bye przedstawiony pod postacia 1.; jezeli wiec funkcya calkowita;p(r) ma bye podzielna przez funkcya F(x), to liczba calkowita tp(a ) musi bye podzielna przez F(a). Jezeli oznaczymy wszystkie dzielniki calkowite dodatnie i ujemne liczb p (a1) dla i - 1, 2,... otrzymamy tym sposobem skoficzona liczb9 ukladow wartosci liczb F(ai). Te uklady, wstawione do r6wnania 11., dadza nam funkcye stopnia m-go, miedzy ktoremi znajduja sie, o ile istnieja, wszystkie dzielniki stopnia m-go funkcyi dan6j. Widac staqd, 2e za pomocq skoliczon6j liczby dzialani przekonac sic mozna, czy funkcya calkowita dana jest podzielna przez inne lub nie podzielna. Funkcya calkowita o wspolczynnikach calkowitych podzielna przez inna takaz funkcya calkowita, nazywa sie przywiedlnq [reductible], w przeciwnym razie nieprzywiedlnq [irreductible]. Pokazemy jeszcze jedno interesujace zastosowanie wzoru Lag r a n g e'a, rownie2 wskazane przez K r o n e c k e r a32, do teoryi liczb B e r n o u 1 i'e g o, o ktorych m6wilismy w poprzedzaj acym artykule. Dajmy, 2e mamy oznaczyc funkcya calkowita stopnia 7n-go nt nocy -n-1 warunk6w, aby mianowicie dla wartosci zmiennej r6 -wnej zeru byla zerem i aby dla wartosci calkowitych 1, 2, 3.,. —1 r6wnala sic odpowiednim wartosciom wyrazenia Iml-1 + 2ln-1 +.. + (- 1)m-1 Kladac we wzorze 8. ao -= 0, wo -0= a1 - 1, w1 = 0, a2 = 2, wv2 = 1, ai -= i, wi 1= l"-1-+21-1+.. 4 (i —1)"'a,- m, w,,= l'"-;+2"-v2-+l... -(m —l)'-1,

Page  255 41 PRAWO NAJWY~ZSZE WRONSKIEGO. btdziemy mieli F()= { l n-'+2"n-l+ (i- ),, (- 1)...( - i+ 1 )(,-i- 1)... (-m)^ _( -1)(-:2).. (-m) l)1-+2_-1 +-..+ (i-l l -1 )..( - - -1 1.2.. ~n 1.2... i 4(x —1)(x-2)... ( —m),m(m-l)...(m-zi+l) ( — _l 1.2.. r n 2 1.2.3....i?i i, A, i —,2,...m-1; k- 2,3,...m, czyli 0 < i < i Wsp6lczynnik przy potgdze pierwszej zmiennej x w tern rozwiniiciu jest r6wny m(M-il).. (M- i+) ( -1)1 _ 2j 1.2.3... i i e, I; a por6wnywajac to wyrazenie zwzorem 14. w art. poprzedzajqcylIm, otrzymujemy bezposrednio iZ.2 (ml). 3.1 iq-) 1) ( —1)i k""-l:0 lub ( —) l2 B _( i, 1i 0< i< c k m, stosownie do tego, czy m jest parzyste lub niieparzyste. Kladac n. p. nm-5 i m==6 tu, znajdujemy 10-10.- 4(1-4)+24)+5.-(1 + 24+34) —1(14+ 24 +3-4 4)= =; 15.4-20. (1+2 5)+15. - (1 '+25+35) -6.(1 +25+3+4 5) + (1 5+25+ 3 5+45+5 55)- 0. 42. "PRAWO NAJWYZSZE,, WR\\()ONSEGO. Rozwiz2imy zadanic: "Danq funkcya calkowitaq F(x) zmiienn6j rozwinac6 wedlug innycl funkcyj calkowitych F1(v), F2(x))... F v(), tj2e zmiennej, czyli, innemi slowy, oznaczy6 wsp6lczynniki stale AO, A, A.... A),, aby bylo tozsamosciowo 1. F() = A, + A1,11(,) + A2,F(,)+.-... +AI,,(,),,.

Page  256 256 czES6 I. ROZDZIAL VI5. [42 Aby zadanie to rozwiaza6, naleiy miec dana wartosc funkcyj F(x), F1(v)... Fy(v) i jej pochodnych az do pochodnych rzdcu p-go wlacznie dla pewnej wartosci zmiennej x np. dia x = a. W samej rzeczy, jezeli r6wnanie 1. ma byc to2samoscia, to pochodne obu stron winny bye tozsamosciowo r6wne, otrzymujemy przeto uklad r6wnal 2. F=A,,+AF1 -A2F2 -.., +i- F DF= A DF, + A2DF2 +. + ~ ApDF, j D2F= AD2F1 + AD2F2+... + A,,D2F, I'D-PF A DIF + A2D + * *.+ A1Di), gdzie F,F,.. D. 1,DIFx... D2F1,,D2F... i t. d. oznaczaja wartosci, jakie przyjmuja funkcye i ich pochodne przy wartosci x=a. Z p rownai 3., jezeli wyznacznik DF, DF2 7... DFI, D2F, D2",,.. D2 4. D1,F, DPF1.... DP~ F,, t. j. wroisskian funkcyj DF1,DF,... Di],, ktory oznaczamy przez WTV(DF, F.. DF1), nie jest zerem, mo2emy wyznauzy6 wspolczynniki A1, A2... A,; bedzie mianowicie W(DI?,J, DF,.... DFi DFI DF+ 1..DI, ) V (D { 1, DE9............. DI-,,) gdzie wyznacznik w liczniku powstaje z wyznacznika w mianowniku, gdy w pierwszym elementy kolumny i-ej zastapimy odpowiednio elementami DF, D2F... TDLF. Oznaczywszy przy pomocy 5. wsp6lczynniki A, A... Ap, znajdziemy z r6wnania 2. wsp6lczynnik Ao. Tym sposobem zadanie zostalo rozwitzane. Wr o i ski podaje dla wsp6lczynnika Ai wzor, w ktory wchodza wspolczynniki A+,, Ai2.. po nim nastepujace. Wsp6lczyn

Page  257 42] PRAWO NAJW\Y'i, SZE WRON'SKIEOO. 257 nik Ao na zasadzie r6wnania 2. wyra2a pod postacia;. 6. A = F- AlE - A2 -... - A,. Biorac pochodne obu stron r6wnania 1. otrzymujemy DF'(,) = A1D)F1 (r) + A2,DF2(.r) +... +A,(,DF,(r) skad JDFI) 2 D F,) DF+i(r) 7. (A)1 +A2$2{+ * * P * ' ( ' a wigc, kladae a za x, btdziemy mieli Dz' D- F)2;, 8. Al -A - A 8.~ A1 DF-[ A2 O\~.*..** AD DF/ ' Przechodzimy do wyrazenia wspotczynnika A2. BiorLc pochodne obu stron r6wnania 7. [na podstawie prawidla 24. w art. 38], znajduj emy DF1(,v)D2F^(e)- P)F(v)D2I() A_ D-',)22()-) D2Ff.t2 Fl () (O71 (,T,))2 — 'A2' (DF,))2 (DDF (D())r)* + A), (DF) D2F, (T) - DPF (?r) D2F1(,r) (.DTF1(,())2 Dzielac obie strony przez wsp6lczynnik przy A2, kladqc nastepnie we wszystkicl wyrazach r-a, otrzymujemy DF r-DF —DFD2F_, I DFODF, -DTJ'F~ D2 A2 DFF2 -DF-PF - 3 )FP2_F-DF P2F1 *_ JJ' P 1)2 2F1P 2D-PF,_])2_Fi 1 A 1) F F2- 21.). Jeteli zauwaiymy, ze kazde z wyrazeil,i zawartych po Idrugi6 stronie, la sic przedstawi6 pod postacih ilorazu wyznacznilk6w, btdziemy mogli napisac: I DF1, ])- I ] D'1, D F ])~ ' D, ] I F | I), P)22 1 ), )JDI, 1 ' 2 1 I2 1' 2 Jojecia, 7 1. I7,7 l'ojecia, T. X. 17

Page  258 258 czEd6 I. ROXDZIAL VII. [42 Postepujac ta droga dalej, t. j. po podzieleniu obu stron przez przez wspolczynnik przy A2, biorac pochodne i nastcpnie kladac x=a [wykonanie tego rachunku pozostawiamy czytelnikowi], dojdziemy do wzoru DF1, DF2, DF DF, DF,, 1DF D2F1, D2F2, D2F D2F1, DF2. D2F D3F, D3F, D3F D3F, D3F D3F4 10. A3 - A -4- 2 4 3 DF, DF,, DF3 DF1, DF2, DF3 D2F1, D2F2, D2F, D2F,, D2F2, 1DF, D3F1, D3F,, D2F D3F1, D3F2, D3F3 DF1, DF2,, DF~ D2F_, D2F2, D2F3, A - 3 - DF,1, DF2, DF3 D2Fl, D2F2, D2F D3F,, D3F2, D3F3 Wyznczniki, zachodzace we wzorach 9. i 10., sa wroniskianami; wprowadzajac przeto skrocone oznaczenie wroliskian6w, mozemy napisac wzory te w sposob nastgpujacy: _ W(DF,, DF) W(DF,, DF) W(DF1, DF,) 2 W(DF1, DF2) 3 W(DF,, DF2). W(DF1, DF2)' W(DF1, DF2, DF) W(DF), DF, DF,) W(DF, F, DFDF3) 4W(DFI, DF2, DF3) A W(D-1, DF,, DF,) Tp (DF,, DF2, DF3) * Postcpujac ta droga dalej, dojdziemy do wzoru ogolnego 1 WV(DF1, DF... DF_1,DF) A+ W(DFI, DF... DF.i-DF1. ) -1 W(DF,, DF2... DFDF,) A TW(DF,, DF2... DF_,DF,) p W(DF,, DF2... Dli_,DFi) ' ktorego og61nos6 sprawdzic mo2na, przechodzac od wzoru na Az do wzoru na A+1.

Page  259 42 1 PRAWO NAJWYZSZE WRONSKIEGO. 259 Zastosujmy wz6r 11. do przypadku szczegolnego. Niechaj bedzie F,(x) =f(), (Z)f(Z)=, * * 2 () f(^), Pochodne kolejne funkcyi Fr(x) -f(X)r btda: DFr () = rf(x)rD-f(x) D2F, (x)= r(r -1 )f(X)r-2(Df(x))2+rf(X)r-lD2f(x) D3rF ()= r(r- 1)(1' —2)f()r-3 (Df(,))3+.. DrFr (x) = r(r- 1)... 2.. 1 (Df(x))r +... Jezeli zalozymy, 2e dla wartosci x=a funkcya f(x) przybiera wartosc f r6wna zeru, otrzymamy DFr(,) = 0, )D2F () - 0.. Dr-l (x) = 0 Dr F(x) - r(r —1 )....2.1(Df(x)) Je2eli te wartosci pochodnych tvstawimy do wroliskianu, stanowiacego mianownik we wzorze 11. otrzymamy wyznacznik, w kt6rym wszystkie elementy, znajdujace sit po prawej stronie glownej przekatnej, sa zerami; wyznacznik ten sprowadza sit przeto do jednego wyrazu,r6wnego iloczynowi element6w na przekatn6j, t. j. r6wna sie l.Df.1. 2. (DJ)2. 1.2.3.(Df)3... 1.2... it Df)i i(in-1) = 1! 2! 3!... i! (Df)l+2+.'.+il! 2! 3!... i! (Df) Wroiiskiany W(DF1, JDF.2..DF1,, DFj7+ ) W(DF]D, D I2.. DF]1, DP].) beda zerami i wyrazenie wsp6lczynnika Ai sprowadza sit do jednego wyrazu W(Df, D/2, Df3..,Df-1,DF) A, = - — ~ (iJ ) ) 1! 2! "a I... i! (Df) 2

Page  260 260 ('c,, 3(. I tO/.'D/,nI. \.':1. 142 Rozwinicie funkcyi F(,r) wvedug funkcyj f(,'), f()2.... f(.r), bedzie zatem mialo postac: 1V v(Df. f42. f..3 1fi-' D) 12. Fx)= Id(i4-fi) =1 1! 2! 3!... i (Df) 2 Jest to pod inna postaci' rozwiniecie podane w art. 36. Zakladajac tu, jak to uczynilismy w art. 38, f=r -h, otrzymamy wz6r T a y1o r a. Zakladajqc we wzorze 11. 1F ( )-= f xt). f(/ +-h)...f(.+(i - 1)4), doszlibys'my podobnym sposobem do rozwiniecia funukcyi danej F wedlug funkcyj faktoryalnych Fi, ktorego rozwinitcie poprzedzajace jest przypadkiem szczeg6lnym dla h=0. Dodamy tu jeszcze, 2e mo2na otrzymac6 za pomoca tej samej metody, inna postac "prawa najwy2szego,,, zastepuj ac w r6wnaniach 3. pochodne r6onicami odpowiednich rzed6w. "Prawo najwy2sze, mozna uwazac za najog61niejszq postac rozwiniecia funkeyi calkowitej wedlug innych funkcyj. W r o i s k i zastosowal podana tu formt nie tylko do funkcyj calkowitych ale do wszelkich funkcyj analitycznych. W przypadku tym wszakze rozwinitcie sklada sie wogole z nieskoiezonej liczby wyraz6w i stosowalnosc jego wymaga pewnych warunk6w i zastrze2en. [por6wn. art. 7]. Zbadanie tego przedmiotu nale2y jnu do og6lnej Teoryi funkcyj. 1 G r a s s m a n n, Ausdellungslehre, 1862 str. 223, oraz Die nenere Algebra und die Ausdehnungslehre [lllathematiscle Annalen, VII, str. 543.] 2 Twierdzelia w art. 33 i 34 przedstawiamy wedluog dzieta A. C a p el i -G. G a r bieri, Corso di analisi algebrica. Volume I. 1886, Capitolo VI, a teorya, podana w art. 35., wedlug dziela F a A d i B r u n o [W a t er], Einleitung in die Theorie der binaren Formen, 1881, ~ 5. 3 Wyznacznik, podany w tekscie, r6wna sie, jak to tatwo okaza6, iloczynowi in (n —1) roznic, ktOre utworzy6 mozna pomiedzy liczbami a, t,..., t. j. iloczynowi: (~ —) (r.) ( (Y-).-. ) (-)( ) '-... (Y.-, —)... 4 Dochodzimy do wzoru 5.. rzktlidajic pierwsza stroni otrzlmaneg'o zwiazku na sum9 dw6ch wyznacznikow. kt6re powstaja z niej: pierwszy przez postawienie zer w koluinie plierwszej na miejscu elementwv ao, a,.. am-n, drugi przez zastapienie elementu Q zerem. Przeksztalcenia te polega l.a ia zebraniui otrzymanych wyznacznik6w

Page  261 PllRZPISY. 261 w jeden, a nastelpnie na dodaniu do element6w kolumny tego ostatniego element6w kolumn pozostalych, pomnozonych odpowiednio przez x^, xm-1.. x.. 6 Temn waznemu twierdzeniu nadac mozna jeszcze wyrazenie nastqpujace: "Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby dwie funkcye F ifmialy czynnik wspOlny stopnia p-go a nie wyzszego, jest, aby wszystkie minory stopnia (p —)-go rugownika Co byly zerami, a nie byly zerami wszystkie minory stopnia p-go tegoz rugownika,. 7 Por6wn. G. Chrystal, Algebra. Part I. 1886, str. 103. 8 Szczeg6lowy wyklad teoryi funkcyj symetrycznych znajdzie czytelnik we wspomnianim dziele Fa di Bruno lub tez w dziele V. Rehorovsk 'ego, Theorie soumernych funkci korenu, 1883. 9 N e w t o n, Arithmetica universalis, Ed. 1732, str. 192. '0 Wz6r ten podal Waring w pismie Meditationes algebraicae, 1782; przed niim wszakze oglosil go matematyk holendlerski A 1 b e r t G i r r d w r. 1629 w pismie Invention nonvelle en Algebre. Por6wn. M att h i es e n, Grundzige der antiken und modernen Algebra, 1878, str. 62. 1 Funkcye alef oznacza W r o ski w dziele swem Introduction a la philosophie des mathlemstiques, str. 65 w sposob nastepujacy: [x +-X+-... + xuj'f; w rozprawie Resolution generale des equations (le tons les degres 1812., pisze zas juz wprost K,, 2, 3.... 12 W r o Ai s k i, Introduction etc. str. 143. 13 Wz6r ten podany przez W r o fi s k i e g o bez dowodn w dziele Reforme absolue et par consequent finale du savoir humain. Tome III, 1847, str, 30. Dow6d tego wzoru, jak i uzasadnienie innych wtasnosci funkcyj alef podal S. D i c k s t e i n w Pamnitnikach Akademii Krakowskiej, Tom XII, 1886 i XVI, 1888. 14 W r o ii s k i. Introduction etc. str. 68. 15 Por6wn. J. A. S e r r e t, Handbuch der hhieren Algebra, deutsch bearbeitet von G. W e r t h e i m, 1868, str. 304-308 1G Pierwsze tablice funkcyj symetrycznych Meiera H i r s c h a znajduja si9 w dzielku Sammlnng von Anfgaben aus der Theorie der algebraischen Gleichungen, Erster Theil, 1809. 17 C a y 1 e y. A memoir on the symmetric Functions of the roots of an equation, [Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol CXLV1I, 1857, takze A. C a y e y, The collected mathematical Papers vol. II, 1889, str. 417 i dalsze]. 18 Faa di Bruno 1. c. 19 Rehorovsks', 1. c., a takke tegoz Tafeln der symmetrischen Functionen der Wurzeln und der Coefficienten-Combinationen vom Gewichte 11 und 12 [Denkschriften der k. Akadeoie in TVien, XLVI, 1882, str. 51-58].

Page  262 262 CZESC I. ROZI)ZIAL VII. TABLICE FUNKCYJ SYMETRYCZNYCH. Waga= 1. 20 Waga — 2. b r Waga = 3. 3 12 (21) 1 3 - 1 1 (1) 1- i...... ll WaN ' - 4. 4 13 22 12 1 4 13 2' 142 2 " I (4) (27) (1'2) | (122) I (14) I -4 + 4 -4-2 +2 -4 +,1 +4 + 2 — 4 — 1-T-+1 -1 - 2 +1 - 2 + 1 +1 1 I+ 1 I

Page  263 PUzY L'ISY. Waga - 5. 263 i I 5 14 23 123 122 32 15 (5) 5 +5 +- -5 -5 + 5 — 1 (41) +5 1 -5 +1 +3 - (32) +s -5 +1 +2 1 (312 - 5 + 1 +2 -- 1.. I ~ i. i: (221) (213) (15) - 5 +5 -1 +3 1-1 -1 I i I I I I Waga = 6. I 6 15 24 14 32 123 133 23 1222 1' 2 16 (6) 6 + 6 +- 6 66 + 3 -2- + 6 -2 + 9 -6 +1 (51) +6 -1 -6 +1 -3 +7 -1 +2 -4 +1 (42) + 6 6 + 2 < 2 - 3 4 2 -2 + 1 __ (32) +3 -3 -3 +3 +3 1 l (412) -6 +1 +- 2- 1+ - 3 +1 (321) 1-12 +7 + 4 31 - 3 +- 1 _ *. *... _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1I (23) (313) (2212) (214) (16) — 2 +6 +9 -6 + 1 +2 -2 0 o1+ - 1 - 2 -+1 - 4 1 + +- 1 i I 1 1 I l

Page  264 Wanga = 7. 7 16 25 12 5 34 124 134 132 223 1223 13 123 132- 2 1 7 (7) 7 - 7 -+7 7 + 7 -14 + -- 7-7 +21 - 7 +7 -14 +7 1 (61) +7 +- -147 1 - +81 +4 +7-9 +1 -5 +-5 1 (52) + 7 37 2 -7 +4 '+ - 37 - +2 4- - __ (43) +t 7 7 + 7 +- 5+ - 3 - 5 +T -1 +- 3 (5P12K)7 + 414 - 1 4+ 7 -3 + 1 -4 - + 4 (4.Lt) -14+8 +- 4 3 +-2 8 +- 3 +- +, 1 (3'1) -7 4 +7-4 - +1 O +2 -1 (322) - -7 + 1-3 - 17+2 0 - l _..-._ _- 3_ (41) +- 7 -1 -2 +1- +3 1 - - (321) +21 3 -9 6 + 4 +3 ('2'1) +7 - 5 +3 -l i 3 i - (3 )l-7 + 1 +2 -2 (21''1) -14 + --- /- __ I i I.I I I (215) (17 + 7 - 1 -1 I I I i 1

Page  265 Waga = 8. I (8) I (71) I (62) i, t I 8 - 81 + 8 + 8 '! (53) (42) (6p1) i (521) (431, j I (42); (322) i (513) (4212) (321 2) (3221)' 42T) (414) (3213) 1(2312) (315) (2214) (216) (18) + 8 + 4 - 8 -16 -16 - 8 -8 + 8 +24 +12 +24 + 2 - 8 -32 -16 +8 +20 - 8 + 1 17 -1 - 8 - 8 +1 + 9 - 1 -10" -.5 -17 -2 -+1 +11 +9 1 -6 + 81- 8 + 81-16 26 - 8+1-8 +9 126 35- 125 - - _ ------ - 8 -4 + 4 +16 - 4 + 2 _- 6 + 2 + 8 - 4 - 2 + 8 - 4 -1 --— 3 I-9 - 2 — 5 + 1 +5 - 1 - a 0 + 1 + 71+ 1l - 4 + 8 + 8 _- + 1 - 8 _-+8 + 1i -10 I+ 8 - 4 - 7 A- 5 I-3 + 1 - 9 +11 + 3 - 1 - 1+) +6-3 ~-2 0 + 31-3 -31+ 15 42 134 224 1224 14 22232 131223132 153 24 1223 -+ 8+ 4'116 - 8i - -"8'- 8 +12!+241-321+ 8 + 2 -16 rLA^~^+8^^l+Jl!~J- 5?r17+l-1+2+ 9 I1-4! 9+8-10 1+ 81-5 -1+17,-11- 1-21+ 9 - 2 - 4 +16 — 4- 61+ 2+ 2'1- 92 -9 + 8 — 2 +- 2 - 4 -3- 4+ 1+ 8 -9+ 3 — 7+ 3+ 6-i ~, - 3 + 1 - 41+ 6'+8- 4 - 41 - 4+ 2'- 41 Oi ~0+ 1 + 1+ 41 — 91-2 1-2 +4 1 - 5 5'_ I - + + —1 — 4 3+ - I4 I + 1 +3 + 81-l -4 — 4+1r3+ 1 01-3+- - +4'8+10j 1 - 14- 2 —1 + 2 - 40 + 4 -2 0+1 1 ____ I _! —4 I,1,, 0 + 4 1- 21 i _I_ - _ I 0- 41+1 I -- I~ 1- 0+1 — _I__I — ' -_1_ - _ 1 — _-_1 1 -- _ _ _-II1 s - -i I _ X - _ --— i- — 1 - ---- 1 __1_- 1__ __ -- I I I I Iz i- I I I I i I |+20|- 81+ 1 3-6+1 1 I+ 1 1 -I __ l l l I _-II l I l_ ~~ _ j __ _- _ I _ _ i -_ 1422 12 182 I

Page  266 266 cziSC I. 0.Z1D)JAL VII. 21 K r o n e c k e r. Grundziige einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen, 1882, str. 39. 22 Na zasadzie okreslenia mozna dowies6, ze wyroznik funkcyi f(x) -= a (x-x) (x-x2)... (x-xm), r6wna siQ iloczynowi ~n(m-I) 2mz-2 (-1) ao P, gdzie czynnik P jest kwadratem wyznacznika 1X, Xl,. X. Xl-1 1, X, X 2.... xm —i r6wnego, jak wiadomo [przyp. 3.] iloczynowi r6inic (X2-Xl)(X3-Xl) (Xrn-Xl) (x3-x2)... (Xo-X') (xin - Xn-l) 23 Wyklad wlasnosci wrofiskian6w znale6s mozna w artykule S. D ic ks t e i n a w Pracach matematyczno-fizycznych, I. 1888, str. 5-25. 24 Jakobiany nazywaja siQ inacz6j wyznacznikanmifunkcyjnemi. Teorya ich podal J a c o b i w klasycznej rozprawie De determinantibus functionalibus [Journalfiir die reine und angewandte ilathematik, XXII, str. 319 i dalsze]. Por6wn. M. A. B a r a n i e c k i, Teorya wyznacznik6w, Rozdzial XII, str. 471 i dalsze. 25 Wyznacznikten, nazwany tak zostal przez Sylvestera od inienia matematyka H e s s e g o, kt6ry go uiyl w rozprawie Ueber die Elimination der Variabeln aus drei algebraischen Gleichungen etc. [Journalfur die reine und angewandte Mathematik, XXVIII, 1844, str. 83.]. Por6wn. M. A. Baranie cki. e. str. 510. 26 N e w t o n, Methodus differentialis, 1704. [por6w. S u t h e r, Geschichte der mathematischeni Wissenschaften, 1873, II, str. 175]. 27 W r o fi s k i. Refutation de la theorie des fonctions analytiques de L a g r ang e, str. 115. gdzie znajdujemy zwiazek n+l-1 n n n-1 n n-1 n —2 0+ e)I O3+,-.e+... -1 '2 ' 03+ 2 3 43' +- (-i)n 0e,+1. 28 B e r n o u ll i Jak6b. Ars conjectandi, 1713; p6iniej badali liczby te: de 31 o i v r e, Miscellanea analytica, 1730, E u 1 e r, Institutiones calculi differentinlis 1755. L a c r o i x, R a a b e i wielu innych. Por6wn. J. W o r p i t z k y, Studien fiber die Bernoullischen und Eulerschen Zah

Page  267 1,RZYJlSy. 267 len [Journalfiir die reine und angewandte Malhematik, XCIV, str. 203-232]. oraz A. B e r g e r, Recherches sur les uombres et les fonctions de B e rn o u 11 i. [Acta mathematica, XIV. 1891, str. 249-304-]. 29 Tablic9 liczb B e r n o u I1 i'e g o, ktora niiej z dziela W r o i s k i eg o Ieforme des [Mathematiques, 18471. str. CXXVI-CXXVII podajemy, obrachowal A r s o i, uczefi W r o fi s k i e g o. 1 1 12 1 =+, = 2O +252 =' 240' 1 691 1 3617 43867 10 = +-132'l 2 32760' 6413+ 12' 61 8160' 16+ 4364' 174611 - 77683 _ 236 364 091 657 931 020 - 16600' 02 +,2(-4 — 2 -- 12 6600 ' - 276 65 520 ' 12 3 392 780 147 1 723 168 255 201 7 709 321041217 (28 = ---~-)(30- I 32 - 3480 ' 30 - 85 932 -- 16 320 151 628 697 551 26 315 271 553 053 477 873 12 ' 36- 69 090 840 154 210 205 991 661 261 082 718 496 449 122 051 12 ' 64 -- - 541 200 1 520 097 643 918 070 802 691 __ 2 530 297 234 481 911 294 093 475 852 - 44- -2760 25 932 657 025 822 267 968 607 646 — q564 ' 5 609 403 368 997 817 686 249 127 547 2 227 680 19 802 288 209 643 185 928 499 101 132 61 628 132 164 268 458 257 532 691 681 6360 29 149 963 634 884 862 421418 123 812 691 0s4 - -_43092 354 198 989 901 889 536 240 773 677 094 747 5s6 - 6960 2 913 228 046 513 104 891 794 716 413 587 449 e58= -- -_ 708 1 215 233 140 483 755 572 040 304 994 079 820 246 041 491 3 407 203 800 Logarytmy wartosci bezwzglgdnych tych liczb, sa log 60 = 9,6989700, log 63 = 8,9208187, log 64 = 7,9208187, log 06 = 7,5985995, log 68 = 7,6197888, log 6o0= 7,8794261, log 6,2= 8,3241341, log 614= 8,9208187, log 6j16 9,6466583, log 8,,= 0,4848625, log 620= 1,4225277, log 6.-= 2,4494169,

Page  268 268 CZESO I. ROZDZIAL VH. log 024= 3,5572075, log 026= 4,7389991, log 28=- 5,9989765, log e,0=. 7,3021732, log 032= 8,6742958, log 834=10,1016010, log 836=11,5807882, log 038-13,1089312, log 040=14,6834208, log,42=16,3018766, log 804417,9622629, log 046=19,6625679, log 84s=21,4010636, log o50=23,1761418, log 8,5=24,9863217, log 0,-426,8302i21, log E56=28,7066381, log -8,,=30,6143415, log 060=32,5522609. 30 Por6w. B. N i e w en g l o w s k i. Cours d'Algebre, Tome II, 1889, str. 477. 31 K r o n e c k e r. Grundziige einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen, str. 11. 32 K r o n e c k e r. Ueber die Bernoullischen Zahlen. [Journal fur die reine und anyewandte Matlhematik. XCIV, 1883, str. 268-269.

Page  [unnumbered]

Page  [unnumbered]