Les étapes de la philosophie mathématique, par Léon Brunschvicg.
Brunschvicg, Léon, 1869-1944.

Page  [unnumbered] Start of sub OutputBib BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET Graduate Library University of Michigan Preservation Office Storage Number: AAN8827 UL FMT B RT a BL m T/C DT 09/12/88 R/DT 09/12/88 CC STAT mm E/L 1 035/1:: a (RLIN)MIUG84-B50831 035/2:: a (CaOTULAS)160099195 040:: a MiU I c MiU 100:1: i a Brunschvicg, Léon, | d 1869-1944. 245:04: a Les étapes de la philosophie mathématique, | c par Léon Brunschvicg. 250:: a 2. éd. 260:: a Paris, I b F. Alcan, I c 1922. 300/1:: ~ a 4 p. L., [3]-591 p. I b 13 diagr. I c 22 cm. 440/1: 0: | a Bibliothèque de philosophie contemporaine. 504/1::: a Bibliographical foot-notes. 650/1: 0: l a Mathematics I x Philosophy 998:: c KLB s 9124 Scanned by Imagenes Digitales Nogales, AZ On behalf of Preservation Division The University of Michigan Libraries Date work Began: Camera Operator:

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Page  [unnumbered] LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEÉMATIQUE

Page  [unnumbered] A LA MÊME LIBRAIRIE DU MIME AUTEUR BIBLIOTHÈQUE DE PHILOSOPHIE CONTEMPORAINE La Modalité du Jugement; 1 vol. in-8~. Spinoza; 2e édition. 1 vol. in-8~. Introduction à la Vie de l'Esprit; 4e édition. 1 vol. in-16.. L'idéalisme contemporain; 2, édition, 1 vol. in-16. X,'Expérience humaine et la causalité physique; 1 vol. in-8d Coulommiers. - Imp. PAUL BRODARD. - 475-5-22.

Page  [unnumbered] LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE PAR LÉON BRUNSCHVICG Membre de l'Institut Professeur à la Sorbonne DEUXIÈME ÉDITION PARIS LIBRAIRIE FÉLIX ALCAN 108, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, Vle 1922 Tous droits de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays,

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Page  [unnumbered] ERRATUM Page 8, ligne 32, lire. fort différents, au lieu de forts différents. - 15, note 2, lire: Unter den Naturvolkern, p. 408. 50, ligne 30, lire: deux armées, au lieu de deux années. - 74, note 1, lire: comicorum grxcorum, au lieu de comicorum crocorum. - 109, note 2, lire: employait des signes, au lieu de employait des symboles. - 172, note 1, lire: 1714, au lieu de 1754. - 191, note 1, lire: page 43, au lieu de page 44. - 195, ligne 3, lire: vitesse, au lieu de vitessse. - 294, note 6, lire: Cours, au lieu de Ibid. - 338 (quatrième alinéa), lire: La série converge uniformément; car ses termes.... - 407, ligne 10, lire: s'il est un terme, au lieu de s'il y a un terme. - 443, ligne 17, lire: a + b > a, au lieu de a + b = a. - 484, note 3, au début de la note, ajouter: Lettre ài Kant, de novembre 1765, apud. - 493, note 1, lire: Enseignement mathématique, au lieu de Revue générale des Sciences. - 527-533, dans le titre courant, substituer: Idéalisme à Réalisme. - 556, note 3, lire: Drach au lieu de Baire. INDEX, lire: BAIRE, 387-388, 531, 535; DRACH, 556; WINTER, 441, 446, etc. TABLE DES MATIERES, page 591, ligne 11, lire: Empirisme et idéalisme, au lieu de Empirisme et réalisme.

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Page  [unnumbered] PREMIERE PARTIE PERIODES DE COiNSTITT.tTION. BRUMSCHViCG. - Les étapes.

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Page  3 LIVRE PREMIER ARITHMÉTIQUE 1. - C'est sans doute un préjugé de croire que les notions les plus simples et les plus anciennement conquises par l'humanité soient aussi celles dont il est le plus facile de reconstituer la genèse et de déterminer la nature. En fait, il n'est guère de notion qui, de nos jours, ait soulevé plus de discussions, qui ait prêté à plus d'interprétations diverses, que la notion de nombre, principe de la science élémentaire par excellence, de l'arithmétique. La méthode historique, dont nous voudrions faire un usage constant, peut-elle même être directement appliquée à l'éclaircissement de la notion de nombre? L'histoire de la philosophie mathématique s'ouvre avec le pythagorisme, qui est l'une des doctrines les plus éclatantes, mais aussi l'une des plus mal connues, de l'antiquité. Si nous laissons de côté les conjectures sur la part qui revient aux représentants successifs de l'École dans' la constitution de la doctrine, ou les connexions souvent étranges et mystérieuses par lesquelles les données purement scientifiques se reliaient à la tradition des prescriptions morales ou des croyances religieuses, un problème subsiste où il serait essentiel d'avoir l'appui d'une documentation positive. Nous aurions 'k déterminer le progrès d'ordre technique auquel correspond la philosophie du pythagorisme; pour cela nous devrions pouvoir suivre la culture hellénique dans la continuité de sa croissance, savoir ce qu'elle a emprunté aux civilisations de l'Asie ou de l'Egypte. Plus encore, partant du premier systènme qui

Page  4 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE confère une valeur absolue aux objets de la science mathrmatique, nous aurions besoin de remonter jusqu'aux premieres lueurs qui manifestent dans l'humanité l'éveil de la pensée scientifique. Or, ici, l'histoire est presque silencieuse. Nous ne trouvons d'indications suffisamment précises que dans quelques documents égyptiens d'une antiquity reculée, dont le papyrus R'hind demleurel le plus important. Notre seule ressource estt de tourner la difficulté, de substituer aux recherches sur l'ère primitive de nos civilisations, les observations que, de nos ours, on fait directement surles' Sociétés inférieures. L'ethnographie, exerçant une sorte de function vicarian e, permet de combler en une large measure les lacunes de la préhistoire, et, par une hypothèse qui est assurément invérifi.able, mais: qui du nmoins a pour elle la vraiseamblance, de rétablir dans ses grades lignes le cours nature de l'é6voluton hiumaine. Ainsi l'étude de la constitution de l'arithmtique comportera l'examen de trois questions distinctes: 1~ De quelle manière les hommes effectuent-ils les premieres opérations du calcul? 20 Quels résultats étaient obtenus dans la pratique au moment de la rédaction du papyrus Rhind? 3~ Comment la science des nombres a-t-elle conduit, dans l'École pythagoricienne, à une representation intégrale el à une explication de l'univers? 2. - Ces trois ordres de recherches, dans l'état actuel de notre information, ne se font pas suite l'un à l'autre, non seulement parce qu'ils n'appartiennent pas à une même histoire, mais aussi parce que logiquement ils se déroulent dans des plans différents. Lorsque nous étudions le pythagorisme, nous avons pour tache de déterminer la conception que les Pythagoriciens se faisaiset:de la science, la portée qu'ils attribuaient à la notion de nombre et aux relations numériques; notre exposé doit coincider avec la réflexion consciente des penseurs du vIe ou du ve siècle avant J-sus-Christ. Au contraire, lorsque nous étudions les procdIés de calcul ou de numération dont les peuplades de l'Ocdanie ou du Brésil central font usage, nous avons affaire à des phénomrnes don't les esprits humains sont le siège, mais qui ne sornt pas pour ces mêmes esprits l'objet d'une réflexion conscierite. Les. non civilisés ~ se livrent à des actes d'échange, à des operations de calcul, sans avoir aucune idée des règles d'égalité, des lois d'addition ou de multiplication qui confèrent à leurs pratiques un caractère de vérité; le sociologue est placé devant

Page  5 ARITHMETIQUE la pensée primitive dont il essaie de saisir l'évolution, comme le physi.eien ou le phvsiologiste devant la nature extérieure dont il essaie de fixer les lois. Les études qui cofistituent ce premier livre seront donc faites de deux points de vue différents. Nous examinerons les premières manifestations de l'art de compter du point de vue critique où la science se place aujourd'hui afin de rétablir le détermrinis me mental dont ces manifestations sont le produit, tandis que l'ana!yse des speculations pythagoriciennes nous reporte nécessairement dans le cadre du dogmatisme antique. Une semblable dualité paraît, inévitable; elle est liée au progrès même de la science, qui montre la disproportion entre la croissance spontanée des phénomènes sociaux et la représentaLion que les sociétés s'en font. L'étude comparée des religions donne. par exemple, de l'origine effective des croyances chrétiennes une idée qui n'a aucune commune mesure avec les systêmes de théologie que les docteurs des Eglises chrétiennes ont construits à différentes époques. Comnme le dit fort bien M. Lévy-Bruhi:. Les Australiens connaissent admirablement les rites, céirémonies et pratiques de leui religion si compliquée: il serait ridicule de leur en attribuer la science. Mais cette. science qu'il leur est impossible même de concevoir, les sociologues l'êtd;abissent I ~ D'autre part il y a des reasons de croire que cette dualité sera iiastructivie. Pour comprendre le passage de la langue latine à la langue franraise, on a été anmené à distinguer deux modes de formation: le mode populaire, obéissant à des lois aussi naturelles aussi spontanées, aussi nécessaires que les lois de l'univers physique, et qui régissaient le langage des foules du rmoyen â ge, coomme les formules de Galilée régissent la chute des corps, - le mode savant, émané de la réflexion ultérieure, de la volonté systématique des grammairiens qui ont édicté une sorte de code pour la naturalisation du vocabulaire lattn. Peutêtre le.s a amiÂg.uïtés auxquelles donnent lieu les problèmes, et 'idée même, de la philoosophie matath5matique, commencerontelles à se dissiper si en dtudiant la formation des principes mathématiques nous pratiquons une distinction analogue. En d'autres termes, nous ne devrons pas nous corner à enregistrer les notions d'ordre philosophique qui se sont grefféest.. tel ou tel moment sur les propositions positives de la science et qui ont défini le cadre que la tradition dogmatique impose h la justifii La Morale et la Science des Meurs, 1903, p. 196 (Paris, F. Alcan).

Page  6 LES ETAPES ~ L LA PHILOSOPHIE MATHIMATIQUE cation métaphysique de la science. Par delà ces notions nous chercherons à dégager l'activité spontanée dont cette tradition dogmatique risquait d'altérer l'accent et de méconnaître la fécondité, mais qui, en dépit des interdictions a priori et des limitations définitives, a poursuivi à travers l'histoire le cours de ses conquêtes. Et il nous sera d'autant moins malaisé de suivre ces deux courants de pensée dans la multitude de leurs transformations et de leurs dérivations, que la constitution de l'arithmétique nous aura d'abord donné l'occagion de les saisir au point le plus rapproche de leur origine, qui est aussi le point de leur écart extreme.

Page  7 CHAPITBE PREMIER L'ETHNOGRAPHIE ET LES PREMIÈRES OPÉRATIONS NUMIÉRIQUES 3. - A la curiosité du philosophe qui cherche comment s'est introduit dans l'humanité l'usage du calcul et des termes numériques, une ample matière est offerte par les observations ethnographiques. Après l'ouvrage classique de Tylor: Primitive culture 1, dont la premiere edition remonte à 187f1 M. Lévi-Léonard Conant a publié une monographie extrêmement riche l The number concept, its origin and development, New-York, 4896. Toul~trécemnment enfin le sujet a été renouvelé par M Lévy-lBruh dan`s le chapitre v de son ouvrage sur Les F'onctions mentales dans les Sociétés inférieures (1910), chapitre intitulé: La Mentalitfeplrélogique dans ses Rapports avec la 'Vil lz é '1 ci 7.o n' Numération. Nous metttrons à contribution la moisson de faits qui est recueillie dans ces trois outrages; mais nous somrmes particulièrement redevable à M. Lévy-Pruhl qui a fourni l'indication initiale dont toute étude ethnographique doit procéder, en insistant sur l'opposition entire nos habitudes Iogiqules et la inentalité primitive. Dans les nations civilisées, la numération précède le calcul; les enfants y apprennent les noms des nombres avant d'être en état de distinguer les valeurs numériques. Si pendant cette phase transitoire on leur demande combien il y a devant eux de bonbons ou de fruits, ils disent au hasard tous les noms de nombre qu'ils connaissent. Il est à remarquer qu'une observation anaiolie a été faite par les missionnaires qui ont enseigne l'arithvmttique aux indigènes suivant l'usage européen, en commençant par la généralité de l'idée abslraite. Ainsi, au témoignage du P. Dobrizhoffer, les Guaranis du Paraguay qui i. Traduii t (e français par Mne Brunet, La civiisation primitive, 2 vol., 1876.

Page  8 8 LES ÉTAPES'APE DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE dans leur langue ne vont pas plus loin que 4 ~ savent tous énoncer les nombres en espagnol; mais en comptant ils se trompent si facilement et si frVquemnment qu'on ne peut être trop defiant à leur égard en pareille matière ' ~. Les Abipones égaletment ~ ne: ptuvent pas supporter d'avoir à compter: cela les ennuie; par suite, pour se débarrasser des questions qu'on leur faith, ils mSontrent n'importe quel nombre de doig[ts2 ). Or vo:ic qui est caractéristique: cmes mes Abipones ne se -tronpierent 3pius quand leur penssée au lietu d'être surplombée et compriméee ).par un langage qui lui est étrange'r, redeviendra librme l, suivre son ours 0originel, quand elle pourra s'appuyer sur la vision directe des choses, sur la représentation du lieu.qu'elles occu.pent, de la masse spéciale qu'elles constituent par leur ensemble. Quand ils marchent en troupes, entourés de chiefs de tous côtés, ~ j'ai souvent admire, dit le P. Dobrizhffier, comment sans savoir compter, ils pouvaient s'apercevoin i mmédriatement qùa'un chien manquait à l'appel sur une 'meate si considémrableL. ~ Assur meant -si l'on convenait de 6éserver le nom di, calcul aux combinaisons qui impliquent un systme régulier de numéreation, i faudrait,_avec le P. Dobrizboffer, dire que les Abipones ne comptent pas. Mais ce ne serait qu'une façon de parlert ~ en fait, puisque les Abipones sont capables d'opérations don't les r"sultats equivalent à ceux de notre calcul, ils savent comnpier ~ à leur imanière ~; il y a un calct qui est indépendant des systèmes réguliers de numération, qu l'"i.précède et le rend possible. Poulr saisir léveil de la pensée mathématique, nous relèverons, dan s tes rec'teils que nous avons cit.s, les procédés les plus!.érm'cntaires de ce ca cule Naous les p6ésenterons pour la clarté de ' analyese dans l'ordre de compilexité croissante, mais sans préoenidre, Ein -de là, qu un exprLériene empruntée à des peoples de r6g ions très éloignées et de niveaux'inellectuels forts différents, dive se.disposer dans un ordre unilinéaire. S.ER,AiON ET COR GRRESPONDANCE 4. -- Le plus simple le lus ~ primitif ~, des procédés qui peuvenit fournir l'équivalent du caleu1, nous paralt:tre celui 1..ist~ria de A&ipoeô ibs, equestri belicosaque Paraquarioe nation, Vien-.n, i784, P, IL? p. it par M. Lévy-Bruhl, opî ci, p. 207 2. Mhd, p.- 23, 3, Iîbid p. iP3.

Page  9 SERIATION ET CORRESPONDANCE 9 dont Tylor a signal l'emploi en Australie, en Malaisie, à Madagascarl: on donne aux enfants des noms qui sont fixés suivant l'ordre de la naissance de telle sorte que chacun de ces noms devient comme un numéro. Voici un tableau emprunté à la relation d'Eyre, l'explorateur de l'Australié: ~ Dans le district d'Adélaïde et chez les tribes du Nord, Moorhouse a trouvé (ue des enfants qui viennent au mondé reçoivent, dans l'ordre de leur naissance, des noms numériques, une variation dans la terminaison constituant la différence du nom pour les garcons et pour les filles. Le ier enfant serait appelé ou kertameru (garçon) ou Kerianya (fille) Le 2e _ -- ou Warritya - ou Wariarto -- Le 3 - - ou Kudnutya - ou Kudnarto Le 4e - - ou Monaitya - ou Monarti - Le 5 - - ou Milaitya - ou Milario - Le 6 - - ou Marrutya - ou Marruarto - Le 7e. - ou Wangutya - ou Wangwarto - Le 8o - - ou Ngarlaitya - ou Ngarlarto - Le 9e - - ou Pouarna, Les A:ustra.iens' îont pas de nombre cardinal au delàl de tiois3; l'Australien' pbre de nellf enfants saura dire st sa famille est au complet sans qu'il ait cependant la representation du nombre neuf, sans qu'il ait l'idée abstraite du nombre cardinal ou m8me- du nombre ordinal; il ne compte pas jusqu"a neuf; mais il posse jusqu'à ce terme que nous disons être le a nevième, la distinction qualitative des termes qui composeraient - nos yeux une série ordonnée. En.un mot il supple à la numé'.ato par e m0yon de 'dnuyemeeératio n J. - A ce perfemier siade, la-pensée numérique semble contenue dans les choses, putôt qu'dlle 'n'est présete à l'esprit de i'h nmmen. Ce sont les circonstances biologiqUes, qu font que chaque enaant appara lt d6ou d'une sore de'sighn termporel, et que l'enseambe des enfants forme une série ôrdonnée. C'est alors un progr6s important qu de de 'géralisr ide de ordre qui ests soxus-entendue dans la distinction qualitative dces ttemes dela série; de telle sorte qu'au lieu de s'appliquer i uah.roupe d'manliidus to'jours les manmes, cette distinction devient un pointi-e repre por l'ordiaition d'objets quelconques. i:, r a4.,traei,'L, 2.2. 2.- UarwaU CxaSp editions'.ef discOVyrfy ini Central AustralUa and Ouerknd fr'om. Ad e. d te Kin SGeorge's soa.un'{SO-lt ),l-par Edward John Eyre, t. II, Loadres, i84, p. 32. $. Iid., p. 392.

Page  10 i0 LES ETAPES DE LA PHILOSOPIIIE MATHEMATIQUE A ce nouveau stade il n'y a pas encore de noms de nombre; mais il y a des équivalents concrets de la numération. Les observations concordantes que M. Lévy-Bruhl a réunies, font voir avec clarté les pratiques encore complexes de cette pensée à l'état naissant. Nous citerons seulement l'une de celles qui ont trait aux îles Murray, dans le détroit de Torrès. ~ Ici, les seuls nombres des indigènes sont netat - I et neis 2. Aut-dessus, ils procèdent par réduplication, par exemple neis neta -- 2, I = 3: neis neis-= 2,2=- 4, etc, ou en se rapportant à quelque partie du corps. Par cette dernière méthode ils peuvent compter jusqu'à 31. On commence par le petit doigt de la main gauche, puis on passe par les doigts, le poignet, le coude, l'aisselle, 1'épaule, le creux au-dessus de la clavicule, le-thorax, ensuite dans l'ordre inverse le long du bras droit, pour finir par le petit doigt de la main droite 1 ~ Ainsi, ~ dans une question d'affaires, dit un observateur particulièrement pénétrant des tribus occidentales du détroit de Torrès, un homrne se rappellera jusqu'à quell point de sa personne un nombre d'objets était allé, et en recommençant par son petit doigt gauche, il retrouvera le nombre cherché 2,, Une telle operation est évidemment un procédé de correspon(lance; il imported seulement, en introduisant cette expression devenue si familière aux savants contemparains, de lui conserver sa signification originelle, qui est toute qualitative la portée de la correspondance s'épuise dans la relation d'un signe à une chose signifiée, d'une série de signes à une série de choses signifies. L'extension et la précision que comporte cet emploi de signes et de correspondances est mise en lumière dans une observation de Brooke, faite sur les Dayaks de Bornéo, que M. Lyévy-Bruhtl nous a fait connaître et qui est trop remarquable pour que nous ne la reproduisions pas en entier: ~ I1 s'agit d'aller faire savoir à un certain nombre de villages, qui s'étaient insurgés, puis soumis, le montant des amendes qu'ils auront à payer. Co nmerit le messager indigène s'y prendra-t-il? - ~ Il apporta quelques- feuilles sèches, qu'il sépara en morceaux; mais je les lui changeai pour du papier, plus commode. Il disposa les morceaux un à un sur une table, et se servit en même temps de ses doigts pour compter, jusqu'à dix; il mit alors son 1. Himnt, Ethnographical notes on the Marray Islands (Torres Straits), Journal of the Anthropological Institute of Great-Britain (par abréviation J.. 1.), voL XXVIII, année 1899, p, 13 (Lévy-Bruhl, p. 209). 2. Iladdon, The Ethnography of the Western Tribes of the Torres Straits, Ibid., t. XIX, année 1889, p- 304 (Lévy-Bruhl, p. 210).

Page  11 LA NOTION DE ~ DEUX {il pied sur la table, et en compta chaque doigt en même temps qu'un bout de papier, correspondant au nom d'un village, avec le nomr de son chef, le nombre de ses guerriers et le montant de l'amende. Quand il eut épuisé les doigts de pieds, il revint à ceux des mains. A la fin de ma liste, it y avait quarante-cinq bouts de paper, arranges sur la table. Il me demanda alors de répéter i nouveau mon message, ce que je fis, pendant que lui-mêrne parcourait ses morceaux de papier, et ses doigts des pieds et des mains, comme auparavant. ~ Voilà, dit-il, nos lettres a nous; vous autres blancs, vous ne lisez pas comme nous. ~ Tard dans la soirée, il répéta le tout correctement, en mettant le doigt sur chaque bout de papier successivement, et il dit:~ Allons, si je m'en souviens demain matin, tout ira bien; laissons ces papiers sur la table, ~ après quoi il les mêla, et il en fit un tas. Aussitôt levés le lendemlain martin, lui et moi nous étions a cette table; il rangea les bouts de papier dans l'ordre ol ils étaient la veille, et répéta tous les détails avec une parfaite exactitude. Pendant près d'un mois, allant de village en village, loin dans l'intérieur, il n'oublia jamais les différentes sommes, etc. * >~ L'usage de ces imorceaux de feulles sèches ou de papier extériorise l'opération de correspondance qui permet à l'indigène de suppléer au calcul numérique des peuples civilisés. Les nombres qui lui sont proposes sous la forme cardinale sont traduits en une série dont les terms successifs sont rapportés au système ordinal form par les doigts des mains ou des pieds. La fixité des signes locaux qui composent ce système permet de se reconnaître avec aisance et exactitude au milieu de comptes assez compliqués; et cependant l'expression du concept numérique n'est pas encore constitute. Par exemple, à Muralug, le nombre 5 se désigne d'un mot, nabiget, qui drive de get, main; mais ~ on ne saurait dire que. nab ide soit le nom du nombre 8; il veut dire seulement qu'il y a autant d'obhjets en question, qu'il y a de doigts dans la main2 ~. LA NOTION DE ~ DEUX ~. 6. - Que faudra-t-il alors pour que le concept propre du nombre apparaisse? Il ne sera pas nécessaire assurément q4e le langage s'enrichisse d'un vocabulaire nouveau, form par des 1. Ten years in Sarawak, I, 19 et suiv., apud Lévy-Bruhl p. 21 gtuiv. 2. Haddon, op. ci., p. 305 (LévyyBruhl, p. 217).

Page  12 i i LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE M&THEMATIQUE signes purement abstraits; caril n'y a pas d'expression abstrai'te qui n'ait commence par être une denomination concrete. A proprement parler, il n'est même pas besoin d'une nouvelle opération psychologique; la pensée arithnétique ne peut être ni plus complexe, ni plus assure d'elle-même, que dans la supputation telle que nous venons de la-décrire. Seulement l'habitude accomplira son oeuvre ordinaire de tassementn et d'économie: à force de parcourir, pour chaque problème à résoudre, les diff.vlents doigts des mains et des pieds, ou les différentes parties du corps qui sont les termes de la série de référence, on [n'a- plus' la peine de refaire ce travail prêliminaire. La mémoire en fixe le résultat, elle retient le rang de chacun des termes coanae exprimant le résultat d'un calcul antérieur, Comme étant donné à l'avance pour le calcul future. Il est possible alors, en nommant ce terme, d'évoquer en une-seule image, ere une collection sirnultanée, ce qu'il avait fallu se do;.mer d'abord par une série de mouvements successifs; dans l'nonciation du mot qui signifiera main, se trouvera impliquE le souvenir de tous les dbigts qui ont été. touches ou levés au préalable. Le mot s'enrichit ainsi d'un sens numérique cardinal qui finit, dans l]eslangues des peuples civiliséS, par effacer la représentation originaire. Autrement dit, la notion abstraite du nombre est flrmée quand 'image sonore, à quelque intuitiooncrète qu'elle.se ra itaca e, est capable de jouer à elle seule le rle que les morceaux de papier jouaient dans le calcul de l'indigènede Bornéo.. Seulement, tandis que ces morceaux de papier tenaient leur capacity numérative d'une association toute passagère par laquelle l'indigène les avait reliés à des operations particulières, l'association qui fait la signification de ces images sonores est une -association rendue constante par l'usage, par la trans-. mission héréditaire; elle dispense l'individu de refaire les opérations génératrices du calcul et, ainsi, s'accomplit le passage de la pensée spontanée qui a permis de constituer un siystè.me de numération, à la pensée de forme logique qui s'appuie sur les règles de la numération. 7. - En insistant sur les operations qui ont pour centre la notion dedeux, nous aurons l'occasion de marquer les traits les plus significatifs de ce passage. Deux fournit naturellement à la nlumération îa base la plus simple. La premiere représentation numérique est le couple. Certains indigènes d'Australie savent seulement repartir un ensemble d'objets en tas réguliers de deux unités, sans arriver à poser à prop's de ces-tas la question de nonbre. Il arrive alors que s'ils

Page  13 LA NOTION DE ~ DEUX ~ 13 ont sept objets placés devant eux. sur une table, par exemple des épingles, ils verront bien qu'ils n'ont plus leur compte lorsqu'on en e nlee un; mais qu'on en enlève deux, ls ne s'apercevront plus de la soustraction parce qu'en fait ils ne sont capables de distinguer que les nombres pairs et les nombres impairs'. Ce proc.éd rudimentaire explique assez bien comment les couples arrivent à jouer le rôle d'unités numériques. Ainsi ~ à l'île du duc d'York, on compte par couples, et 'on donne aux couples des noms différents suivant le nombre qu'il y en a. La manière polynésienne était d'employer les nombres en sousentendant qu'il s'agissait de tant de couples, et non de tant d'objets. Hoko;rua (20) voulait dire quarante, c'est-à-dire vingt paires 2 ~. La duplication devient une operation primitive qui est capable de contribuer, comme l'addition, à la formation des quantités numériques. De fait, une curieuse observation du Dr Stephan3, qu'a relevée également M. Lévy-Bruhl, montre les indigènes de la Nouvelle-Poméranie se servant de la même combinaison linguistique sanaul lta, c'est-à-dire 10 et 2, pour exprimer, suivant le groupement habituel des objets auxquels ils l'appliquent, ou 10-4-2, ou 10I><. ~ Manifestement, dit le Dr Stephan, ils n'éprouvent pas le besoin de distinguer dans le langage, parce qu'ils ne comptent jamais abstraitement et ne se servent que de nombres accompagnés de substantifs, par exemple: 12 noix de coco, 20 tubercules de taro, un tas de 10 servant d'unité dans ce dernier cas. Alors on voit bien s'il s'agit de 10 noix de coco plus 2, ou bien de 2 tas de 10'. ~ 1. Curr, The Australian 'races, t. I, Melbourne, 1886, p. 32 (Conant, p. 104). 2. Codrington, Melanesian languages, Oxford, 1885, p. 241 (Lévy-Bruhl, p. 220). 3. Beitrdge zur Psychologie der Bewohner von Neu-Pommern, Globus, Braunschweig, 1905, t. LXXXVIII, p. 206 (Lévy-Bruhl, p. 221). 4. Il est intéressant de retrouver la mêime dualité de combinaison à un stade beaucoup plus avancé de la culture mathématique. Pour la formation des puissances successives de la quantité inconnue, la terminologie de Diophante, qui s'explique tout naturellement par l'analogie des dimensions spatiales, consiste dans l'addition des exposants: la puissance cinquième se désigne par vuvao6y.xuov, la puissance sixième par xupox0upov (Arith., liv. I, éd. P. Tannery, t. I, Leipzig', 1893, p. 8). Au contraire, les Hindous conviennent de multiplier!es exposants: varga significant la seconde puissance et g'hanala troisième, varga-g'hana est la puissance sixième, l'hana-g'hana, la puissance neuvième.(CGolebrooke Algebra with arithmetic and mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara translated, Londres, 1817, Lilavati, ~ 25, p. 10, n. 3). Les mathéiriaticiens arabes ont puisé aux deux sources (Ibid., Dissertation préliminaire, p. x1II). De la, les équivoques que les,historiens signalent dans les ouvrages latins du moyen âge, la même expression quadratocubus significant ou la cinquième ou la sixième puissance suivant que l'auteur se référait à des

Page  14 14 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATIIEMATIQUE Ailleurs, enfin, la différenciation du langage accompagne la différenciation du nombre: les Dinka, dans la region du HautNil, ont la terminologie suivante: 2 - rou 5 wdyets d'où ils disent pour 7, wderou; pour 10, wfyer ou wtiar, c'està-dire, suivant Friedrich Mûller î, qu'ils forment les deux combinaisons 5 +- 2 et 5 X 2. Ainsi donc deux types de combinaison régulière peuvent se trouver oi le nombre deux joue le rôle fOndamental. L'un est purement additif, c'est celui qu'Haddon a trouvé chez les indigènes du détroit de Torrès: ~ il n'y a en fait -que deux nombres, urapun et okosa, qui sont respectivement un et deux dans le langae de l'Occident. Trois est okosa urapun, quatre est okosa okosa, cinq est okosa okosa urapun, six est okosa okosa okosa, après quoi on dit habituellement ras ou un task~. Dans l'autre deux se trouve un multiplicateur ce système a laissé des traces dans la numération des Karens de l'inde oh, le Rev. F. Mason3 a trouvé la terminologie suivante (échelle des Bghai). i Ta 2= Kie 3 Theu 4 = Lwie -= Yay = Theutho (3 x 2) 7 =-Theuthola (3<X 2) -+ 8 =Lwietho (4x 2) 9 = LwEielhota (4 X 2) +- 10= Tashie textes d'origine grecque ou d'origine hindoue. (Tropfke, Geschichte der Blementar-Mathematik in systematischer Darstellung, Leipzig, t. I, 1902, p.1 86.) 1. Grundriss der Sprachwissenschaf1, t. 1, p. 11,Vienne 1877, p. 55 (Conant, p. 147). L'interprétation du savant linguiste est d'ailleurs confirmée par la suite de l'échelle:' 11 = wtyer ko tok, c'est-à-dire 10 + 1; 20 == wtyer-roul, c'està-dire 10 X 2. 2. Op. cit., p. 303 (Lévy-Bruhl, p. 217). 3. Journal of the Asiatic Scciety of Bengal, année 1865, t. II, vol. XXXIV, Calcutta, 1866,. p. 245 (Clonant, p. 112).

Page  15 LE CALCUL DIGITAL i[ LE CALCUL DIGITAL 8. - La diversité des procédés numériques auxquels donne lieu l'usage de la notion de, deux se rencontre également, et à un degré plus haut, dans l'emploi du système quinaire. Tout d'abord c'est un problème à résoudre que d'arriver jusqu'à la supputation de tous les doigts de la main, jusqu'à la representation du nombre cinq. L'exemple des Bakaïris, dont M. Karl von Steinen a donné une observationr très complètei, montre combien le problème est ardu, et quelle distance spare l'usage des doigts pour le calcul et la connaissance du nombre des doigts. Le movement des doigts intervient d'une façon constant dans le calcul des Bakaïris. Pour compter un petit tas de grains de maïs, le Bakaïri commence par répartir les tas en groupes réguliers de deux grains; le premier groupe est facile à évaluer pour lui, car il dispose de deux nÔms de nombre: tokale et ahage. Il lève le petit doigt de la main gauche en prononçant le premier nom, le doigt voisin en prononçant le second. Puis il continue en juxtaposant les noms un et deux en mmre temps qu'il lève les doigts suivants; mais à partir du second groupe la main droite entre en scène, le Bakaïri touche le nouveau grain de maïs, et le représente par le nouveau doigt qu'il lève. Comme le dit M. Karl von der Steinen, ~ la main droite touchait, la main gauche comptait2 ~. Le procédé de calcul ne va pas au delà de 6. Au moment où le Bakaïri arrive à 6, il intervertit les mains, il lève les doigts de la main droite dans l'ordre où il a levé les doigts de la main gauche; mais il cesse de combiner les termes élémentaires qui désignent un ou deux, il n'efle'tue plus d'évaluation nouvelle, il se borne à répéter le mime mot e mera, c'est-à-dire e celui-ci. La pensée arithmétique ne se manifeste plus que par une mimique établissant une correspondance entre les objets et les doigts. Si les tas de grains que l'on présente au Bakaïri dépassent dix, il a recours aux doigts de pieds; s'ils depassent vingt, il se prend les cheveux et il les lire dans toutes les directions 3. Mais dans les limites même où il est capable 1. Unter den Nailiurvolkern Zentral-Brasiliens Reiseschilderung und Ergebnisss der zwueiten Schingu-Expedition (1887-1888), Beilin 1894, p. 406 et suiv. Cf., du mnme auteur, Die Bakaïri-Sprache, Leipzig, 1892, p. 70. 2. P. 408. 3. L'appel aux cheveux de la tête a été signal par Hlawtrey, The Lengua Indians of the Paraguayan Chaco, J. A. I., XXXI, année 1901, p. 290 (Lévy-Bruhl, p. 219). ~ Les Lenguas event compter sans trop de difficultés jusqu'à vingt,

Page  16 16 LES ÉTAPES DE LA. PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE de former une combinaison numerrique, jusqu'au nombre 6, le Bakaïri ne pratique pas à vrai dire le calcul digital; il compte avec les doigts, il ne compte pas les doigts eux-nmemes. A chaque problème qu'on lui propose il recommence l'opération, sans se servir du nombre de ses doigts conrne d'un conipte tout faith, d'un bar'mte pratique, qui dispense d'ule- addition nouvelle, qsui permette enfin d(e réaliser des (~ conomies de pensée ~; or c'est cela qui constituerait à proprement parler le calcul digital. 9. - La phase intermédiaire dans 'établissement de ce calcul est représentée par la distinction qualitative des doigts successivement énumérés. Nous retrouvons ici un cas particulier du procéde général que nous avons décrit au ~ 5. L'exemple des Bugilaï, de la Nouvelle-Guinée anglaise mi arque la transition de la façon la plus curieuse. Le R. P. Chalmers a trouvé chez eux les noms de nombre suivants ~ 1 = Tarangesa (petit doigtc de la main gauche) 2- Meca kina (doigt suivant) 3 - Guigimneta kina (doigt du minieu) 4= Topea (index) 5 - Manda (pouce). Tandis que dans la suite de la numnration lea Bugiaï se servent du bras et de la poitrine 6 = Gaben (poignet) 7 = Trankginmbe (coude) 8 _ Podei (épaule) 9 -Niganza (sein gauche) 10 ( Dala (sein droit) 1. 10. - Pour conquérir le nombre cinq,-il rested, à détacher de cette série hétérogène les termes capables d'être compris dan s une intuition d'ensemble et qui forme collection;. le contraste eftre les cinq premiers éléments et les cinq derniers du vocabuilaire des Bugilai montre à quel point la disposition anatomique des doigts de la main etait propice' à' la transformation de 'la série ordinale en collection cardinale. Les doigts de la main ont en se servant des doigts de leurs mains et de leurs pieds. Après cela ils disent beaucoup, et pour un nombre très élevé ils mettent, contribution les chevetux de la tête. ~ 1. Vocabularies of the Bigilai and Tagota dialects, J. XA;,, Xv I, 1898, p. 139 (Lévy-Bruhl, p. 216).

Page  17 LE- CALCUL DIGITAL 17 le privilège d'être à la fois mobiles et représentables, de telle façon qu'ils peuvent tour à tour jouer le double d'instrurents pour computer et d'objets à. computer. A cet égard lune sorte de division du t ravail s'établirait entre les deux ma.-.ns an s'aidant d'une remadrqe e Cushing L, on expliquerait ainsi cette particularité que les peoples non civilisés qui se servent du calcul digital l'exercent, à peu d'exceptions près, sur-la main gauche: comnme la main droite est celle avec laquelle on a pris l'habitude d'agir, c'est à la main droite que le sauvage recourt pour toucher successivement les doigts dont il fait le compte; et ce sont naturellement les doigts de la main gauche qui sont les objets à compter et auxquels s'applique le nom' qui. dé'signe une notation nunmrique ou plus exactement qui sera employ plus tard en gulise de notation numérique. Comment se constitue cette synthèse entre les movements et les représentations? La traduction 'donn4e par Cushing des mots désignanr chez les Zuïfis du Nouveau-Mexxiquae les cinq premiers nombres le montre à merveille: - TSipin1e = pris.pour commencer 2 Kwilli levé avec le précédent 3 — la'i le doigt qui divise également. 4-=Awi e = tous lesdoigts levés, except un5 - = pce - l'entaill Un est l'intuitio n simple du terme qui est l'objet du mouvement; deux la juxtaposition des termes qui sont les objets des mouvements successifs. D'autre part cinq est la fi du mouvement quia levéy successivemen. tous les doigts de la main jusqu'à l'enaill, c'est —dire jusqu'a u pouc. La representation de ce M movementt total, effectué avec tous les doigts de la.tnin, est suppose dans la dénomination de trois et de quatre, quatre resultant d'un retour en arrière où est déj. le germe de g'opération s aoustractive, _et trois traduisant le sentiment qu'on est as u nmiieu du chemin, qu'il reste à lever autant de doigts q'0on en. a levé antér.ieurement se 1. Voir l'article Mnual concepts a study. of the influence sf hand usage on culture growth.: ~ Si l'on admet l'universalité de l'usage de l% main droite et de la tendance a computer avec les doigts, alors la main droite a toiujours été le compteur, les doigts de la main gauche les unités compt6ées. ~ Anericanr anthropologist, 892s, p. 292. 2. Ibid,, 1892, p 285 (Lévy-Bruh, p. 218). 3. Pour les divers procédés du calcul digital, voir Conant, p. f3-i9. Dans le tableau donné, pa Adam de la nuramratao chez les Montagnais, on retrouve BRUNSCIHVcO - Les tapes, 2

Page  18 g 8 LES ETAPES DE' LA PHILOSOPHIE MATIHMATIQUE LES PROCÉDÉES DE NUMERATION:i.- - Pour l'extension du vocabulaire, numérique, à. partir du nombre cinq, la même variété de procédés s'est offerte aux observations. L'opération la plus simple est celle' qui est appliquée par les Zuris et qui done: pour 6, topalïk'ya, c'està-dire un autre ajouté à ce qui est déjà compté; - pour 7, kwillï'k'ya, c'est-à-dire deux amenU s et levés avec le reste;pour 8, hailïk'ya, c'est-à-dire trois amenés et levés avec le reste. John Murdoch, a relevé chez les Esquimaux du Cap Barrowt des forces analogues: 4-:aa'uzikt; 6 — aatltlyimi - (kkbinigin tudlinul, c'est-à-dire, une fois sut le plus proche (main oup pied), et -cinq; qui peut se simplifier en sousentendant trtdlimult (cinq ou unemai'a), el même en sous-entendant encore atautyimin (ùne fois). - zna'dro; 7- =madro'nin akbi'nigin (deux fois sur le plus proche). 3 =pi'nasum; 8 -pinas'unin akbi'nigin (trois fois sur le plus proche). Les dénominations numériques se correspondent pour 1 et 6, pour 2 et 7, p r 3et 8; cette correspondance met. sur la voie des anomalies de numération relevées par M. 'Conant dans le recueil où nous avons puisé tant de fois. Il emprunte aux Essays de Latham 2 des échelles, relevées dans des iles océaniennes, où 1 et 6, 2 et 7, 3 et 8, 4 et 9, 5 et 10 sont désignés par les mêmes mots: une mimique intéressante-pour la'représentation du nombre six. On sépare sur la main gauche le pouce et l'index des trois doigts restants, on joint aux deux premiers doigts. ie pouce de la main droite, et on dit trois de chaque côté, ce qui donne, pour t'apé = 3, èlckè-t'apé 6. Compte rendu du Congrès international des Américanistes de 1877 (Luxembourg), t. II, tableau VI à la suite de la page 244. - Non on-ins curieux est le ~< manège ~ des Diné-Dindjié du Canada, dont on trouvera la description, empruntee au Dictionnaire de la langue Déné-Dindjié, de Petitot, dans l'ouvrage de M. Levy-Bruhl, p. 233... Notes on Counting and Measuring among the Eskimo of the.Pointe Barrow, American Anthropologist, t. III, 1890, p. 38, et suiv., ef. Tylor tr. Brunet I, 286. 2. R. G. Latham, Opuscula, Essays, chiefly Philolog~ca. and Ethnographical,.Londres et Leipzig, 1860, p. 247 (Coiant, p. 67).

Page  19 LES PROCEDES DE NUMÉRATION t9 Balad Uea 1 -= pa:rai = 6 - tlahia= 6 -'pasroo -- 7 2-=aa --- 7 3- pargen_ 8 3 = olu - 8 4'==parbai )= 4=-fa -= 9 5=parrm -i 0 5 lina = 10 Aux yeux de M. Conant ces échelles sont paradoxales jusqu'a linvraisenblance, n t il en est nécessairement ainsi quand on suppose que l'expression verbale: épuise tout le mécanisme de la pensée arithmétique. Mais il n'en est plus de même si l'on est convaincu que l'expression n'en constitue qu'une partie et que les gestes sont capables d'entourer en quelque sorte les mots, de rétablir les differences dont le langage paraît ne pas tenir compte. Plus étonnante est l'chelle que Paul du Chaillu2 a rencontrée chez les Mbousha, qui habitent dans le bassin du Gabon: 1 =. Ivoco 6 -= voco beba (t,2) 2 =Beba 7 = Ivoco bebalo (1,3) 3 = Bebalo 8 = Ivoco bena'i (1,4) 4 - Benai 9== Ioco behano (1,5) 6 Betano 10=- Diorem. Nous ne pouvons vérifier pour nlotre compte l'exactitude de l:observation; mais nous sommes dans un domaine où l'observateur lui-même pouvait aisément' interpreter et contrôler le langage qui était employ devant lui. En tenant l'échelle pour exacte, nous en expliquerions la singularity en nous représentant la difficult que suppose:rsolue. un usage correct du système quinaire. 11 a fallu combiner deux types d'unités, lun fourni par l'image des doigts, l'autre fourni par l'image de la main. L'emploi méthodique de cette combinaison s'appuie sur une distinction fondamentale que certains peuples n'étaient pas capables d'apercevoir avec netteté; de là, dans leurs essais de synthèse, une incertitude, une gaucherie comme celle dont témoigne le rapport de du Chaillu et qui heurte si rudement les habitudes logiques de notre numération. Au lieu de dire: le premier, le second, le troisième doigt de la seconde main, les 1. Cf. Lévy-Bruil, op. cit., p. 214. 2. Transactions of 1the Etthnoloical Society of London, vol. I, New series, 1861, p. 35 (Cônant, p. 66-67).

Page  20 20 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATIHÉMATIQUE Mbousha disent: après une main, un doi g qui est second, troisinme, quatrième. 12 -, D'autre part, le système quinaire prête naturellement. application de l'op6ration duplicative dont nous avons déjà reconnu le caracttre primitif. La denomination de deulx est emprunt e à l'intuition des mains ou des bras dan'sle Puri et dans le Hottentot, dans les dialectes Dakota et Algonkin. De là:e fait remarquable, que de Ia représentation d'une main, 'est —dre du nombre S, le passage est directement ouvert au nombre 10. Bancroft a noté que chez les indigènes de la Californie inférieure, qui ne peuvert p s computer plus loin que 5, quelques individus pdi us intelligent étaient capables de conprendre la signification de deuxf fois cinq 2. Cette observation fait bien comprendre comment 10 peut devancer les nombres qui lui sont inférieurs, et jouer le rôle d'un point de repère auquel sont rapportées les denominations de o res res précédents. Le procédé soustractif dont les Zuais usaient déjà pour désigner 4 (et qu'ils emploient encore également d'ailleurs pour 9 9 - tenalik'ya, c'est-à-dire tous except un levé avec le reste 3), se retrouve avec une fréquence significative dans les sociétés inférieures. Par exemple chez les Esquimaux, que nous avons déjà eu l'occasion de rapprocher des Zunis, 10 se dit kod'iin (dérivé suivant M. Murdoch, de ku ou kule, la part supérieure, c'est-à-dire? par opposition aux pieds, les mains); et 9 se dit kodlinolai'la qui paraît signifier: ce qui n'a pas ses dix. De même, 15 se disant akimi'a, 14 est akimiaxotaityuna ou ~ je n'ai pas 15. De ce procédé soustractif dont M. Conant a relevé de multiples exemples, le tableau le plus complet se trouve chez les -Anu, qui de 6 à.0 comptent en'quelque sorte à rebours: 1 sine2e 6~== iwa (10 - 4) =2: itu 7.- ^ Larawa (0 —3) 3 =re 8 = tupe-san ( 1- 2) 4.- ie 9 -- sinepe-san (10 - 1) 5 = asikne 10== wa. Conant, op. cit. p. 92. 2. Bancroft, The native races f the Pacific States of North America, New-York, v. I, i875, p. 564 (Conant, p. 29). 3. Les expressions latines duodeviginti, pour 18, et undecentum pour 99, sont formées de la même façon. Cf. C Cantor, Vorlesungen ber di Geschichte der ZMathemati k, t, I 3a edlt., 1907, Leipzig (que nous désignerons par Cantor I8), p. 11. 4. Miller, Grundriss der Sprachwissenschaft, vol. IV, Part. 1, Vienne, 1888, p. 136 (d'apres Batclheor, Memoirs of the Literature Collge, Imperial University of Japan N' I. Tokio, 1887).

Page  21 RESULTATS DE L'INVESTIGATION ETHNO RAPHIQUE 2 R ÉSULTATS DE L'INVESTGa' TION ETHNOGRAPHiQEtiI 13.,- Ainsi, sans qu'il soi. utile à notre objet d"et&endre le champ de notre analyse, nous pouvons conclure: k ou l'on,attendrait en vertu dhabitudes transmises par l'eseignement, et perfectionnées aussi pour l'enseignement dans le sens d'un formalisme abstrait, un m ode ruliore de gulire e numérations nous nous trouvons en présence d'une diversity d'opérations qui attestent 'intenslté et la ffcondit de J'activité intellectuelie. Les primilifs sont'ici des inventeurs: pour avancer dans l'ordre des idées num6riques, pour- élargir le cercle de leurs procédés rudimentaires, mais sûrs de supputation, ils font ce que font les invenieurs, c'est-à-dire qu'ils font comme ils peuvent,. Ils. recourent tour à tour aux moyens les plus divers, sans souci de cette esthétique scolastique qui fait naître l'élégance de la simplicity et de l'uniformit6 Notus les-avons vus, Edans les limites 6troites où nous avons maintenu notre expos, employer l'addition, la duplication, la soustraction. Mais si l'on étudiait la formation de systèmes plus étendus, par exemitple d-u système vigésimal, il conviendrait de faire une place à la dimidiatioi'. Tylor l'a signalée chez les Indiens T'owkas de l'Amérique du Sud, chez quelques tribus australiennes occidentales; nous la retrouverions chie les insulaires de Nicobar, dent nous reproduisons d'après Müller le vocabuilaire rumérique, parce que c'est un des exemples qui mettent le mieux en lumière la multiplicité des rmthodes de calcul qui convergent vers institution d'un système de nm, ratioc: 1- hean a 6 ta fel (, "X 3) X — a,1- isîat 3 - = 'lue 8. on0foan (2 X 4) 4 flan 9 = ean-haa (0- ) 5 - anein iO0 $o ti - som hean (10 -- i) = som a (10- f^) h.0- Rean umdjome (un homin.e) i 2. hean umd/jome hean (0 -+-.) à. L'élévation aux pu'ssaâ.es serait mmn eo n gert'e.a s ie diaetete Kerepunu de la Nouvelle-Guiine o. suiva.nt. ehart~e (irgsechich der.Kustw, Leipzig et V'iezna, i9O;,. p, 68a) 7 strait exprihé par }ropé6ation < X 2). - 2 Pi 2, 2 tr. 8tun'et 1, 287, Lr. s tant, p, 78.. eO t 1, t, 1tV, pari, I, p.. 36.

Page  22 22 LES 'TAPE' DE LA' PHILOSOPHIE MTMATIHÉMTQUE 30=- hean umdjome ruktei (ruktei =demi), ou 2~) 40 a umdjomne (2 X 20) 50 = a umdjomne ruktei (2 X 20) + — 100= -tanein umdjomne (5 X So(). 14. -La consideration de tets procédés, à la fois élémentaires et disparates, évoque et brusquement va rejoindre les ré6flexions profondes sur lanalyse moderne' que l'on a -retrouvées dans les papiers d'Évariste Galois,: ~ De toutes les connaissances on sait" que l'Analyse pure est la plus immatérielle, la plus éminemnient logique, la seule qui' n'emprunte rien aux n anifestations des sens. Beaucoup en concluent qu'elle est, dans son ensembles, Ii plus méthodique et la mieux' coordonnée. Mais c'est erreur... En vain les analystes voudraient-ils se le dissimuter': ils rne déduisent pas, ils combinent, ils comparent; quand ils- arnrifent a la vérité; cest'en heurtant de c6ôt et d'autre qu'ils y sont tombés2... Tout cela, continue Galois, étonnera fort les gens du monde qui, en général, ont pris le mot Mathématique pour synonyme de régulier-3. ~ Cette même absence de coordination méthodique, de régularite caractérise les premieres operations sur les nombres; e'sct prar t- que la mentality primitive apparaît comme prpéloqiqae~ selon l'excellente expression de M. Lèvyg - Bruhi. M. Iévy-Brutil a fortement; insisté sur la signification r du prélogpiqte,': qui Eest nullement:'antigogiqute o0 l'alo(pque*. De fait, quand on limited la consideration du prélogique, à ce qui5 concerne le calcul, on voit que le prélogique prelude bien plutôt aux rges u du dsconrs logique qu'aux règles-de la pensée logique. Le prélogique ne serait nullement antérieur au logique si, par logique; on entendait le rationnel, comme fait Galois dans le passage que nous venons- de citer. Et en effet, le domaine du calcul est aussi le domaimIe de la pratique individuelle où le primitif fait preuve d'une intelligence anatlogE e à la nôtre. Il n'offre 1. Manuscrits et papiers inéddit de Gaiois,i publispn r'Jles p Tanfer.y. Bulletin des Sciences Mathématiques, 1906, ti partieQ pî,259 2. ibid., p. 260. 3. Ibid., p. 260. 8. Op. c., p. 79. 5. ~- Considér6- emmea individuL, en t cu'tI pesee qu il agit iindéeper: damment, sil' est' possible, d'e ces.représen.tati'onsa èoleetives, un. primiiti sentira, jugera,,e conduira le pius-souvent de la façon' que 1noe attendrions..Op cit., p. 79.

Page  23 RESULTATS. DE. L 'IVESTIGATION ETHNOGRAPRIQUO 23 pas de prise à ces formes singulières de solidariteéentre les 6tres et les choses qui contrastent si fortement avec la causalit- dans l'espace et. le temps; au contraire, ce qui frappe l'observateur, c'est l'exactitude à laquelle atteignent des procédés qui, du point; de vue dei nos théories apparaissent si rudimentaires. D'autre, part, les analogies mystiques ne jouent ici qu'un rôle secon; daire-; elles se développent après coup, dans les civilisations qui sont d'un type relativement élevé,. déjà semblables à ellles que 1'on rencontre au seui de la période.historique. La numération' peut y conduire; elle n'en procède pas; Les' civilisations' proprement inférieures et d'apparence prîmitiue, n'ayant pas réussi à isoler les expressions numériques, sont dépourvues des mote qui doivent être les véhicules, les ~( conadensateurs ~ des ~ vertus mystiques ~., Ainsi, en. nous restreignant au domaine du calcul, nous don nerions au prélogique un sens voisin de lirrationnel des géomètires gecs qui 'désignej nonï les gandeurs dont l'existence est conti-'dic-toire pour la. raison, mais celles. dont le. rapport a une grandeur: donnée sort des cadres du langage institué pour les mesures numériques i KXE~B: oTsv '49I 3 7p'TèIe? x 6 eF-X *ty:,y Xa04, eit J rU t |pO.-.. ' 9 ct c8 `TUntV^j Cr'cU Tp& *Oiy'lt yvX t, ri "01a7u v '15.-. D-èslors, pour qui veut saisir ce -qu'l y a de spécitfquemeent mnathimatiqune dans la constitution du calcul numérique~ on, comprend de. quel 'intérêt est' cette pensée' dont ia- d&arche naturelle ne s'est pas encore dissimulée sous le 'voile de la tamducion logique. Les indigènes de la région du détroit de Torrbs ou les Dayaks de Bornéo n'ont devant les yeux que des ensembles d'objets, que des images qualitatives: les parties de leur corps, des morceaux, de papier, des pieces de monnaie:. Si avee:ees images ils réussisasent à établir un compte et à, en contrôler l'exactitude, c'est qu'ils mettent en relation ces ensembles d'images, qu'ils établissent entre eux des équivalences implicites. Un' primitif maconte qu'il a pris autant de poissons qu'il a de doigts dans les mains; le concept numérique fait défaut au langage, il est dans la pensée sous sa forme originelle qui est pour la-psychologie sa réalité effective, Ainsi,. dès Papparition du calcul élémentaire, dès la formation des premiersombes om esquien est le résdlu, il'intelligence apparaît sous un aspect irréductible à la representation imaginative, 1. Op. cit., p. 2560. 2. Enclide, Eléments, X, déf. III.

Page  24 24 LES ETAPES DE LA PILOSOPHIE MATHIMATIQUE comme une activity dépassant les termes qui sont objets d'intuiiaon directe; elle a pour fonction de sous-tendre des relations, et c'est du jeu de ces relations qu'est fait. à proprement. par-er le calcul. Grâce à l'implication de ces relations une pantomime rudimentaire devient pour qui sait l'interpréterla manifestation d'une pensée systématique et déjà capable de evérité. Le contrastere e l'image et de q'intelligencee que nous avons suivi à travers la- mentality' primitive, nest pas moins frappant dans les populations qui utilisent le language de la civlisation sans y avoi? acquis eux-mêmes le degré de culture corresponda e.. Voici un trait qnr M. Ren Bazin a rapport d'ine excursion danss les marais du Bas-Guadalqrivir: ~...Une vieille é6ait - assisee près de la porte.. Quel âge avez-vous, lui demanadais-je? -r Quazte oWpostr et quactre;r'aux, Monsieur - C'est le ur manière de' compter h ces derni-saivages andalous. Quatre douros à vingt ~ax cha un nt quatre-vingt; plus quatre réaux l a vieille a voùlu dire qu'elle avait quatre-vingt-quatre ans ~. Interrogée sur son âge la vieilie f emme a eu recours tl'imagination; elle a vu devant elle un tas de pieces de monnaie. Cette intuition l'a aide/ à s'exprimer, mais elle ne l'a pas dispense de réflchir; au contraie, pour s'apercevoir quele compete des années était le méme que ie compte des réaux et pou; faire servir à ses fins le système monétaire du peuple espagnol, il faut qu'elle ait dissocié la relation de nombre et l'image de la monnaie. Plus l'expression est déconcertante de gaucherie et de naïveté, plus l'effort d'intelligenece apparait subtil et sûr de lui-même. Certes, il est vrai, que l'on ne pense pas sans image; seulement, à force de défendre l'évidence de l'axiome aristotélicien, les psychologues ont trop souvent négligé d'en déterminer l'exacte portée. Intelligence s'appuie sur l'imagination, mais elle ne s'y applique pas étroitement, comrme si l'imagination edevait en dessiner toute la structure, et en commander à I'aanée toul; le idveloppement. A vouloir saisir le mrécanisme de l'intelligence en tenant compte uniquement des objets qui sont représentables' dans 'intuition, sans faire intervenir I'activité interne de relation, on s'expose à faire fausse route. De. quoi témoi gne un. anecdote tirée e l'histoire mmle du problsme qui nous a occupy dans ce chapitre. Nous la reproduisons ici à titre de n morality ~, dans les termes où M. Conant la rapporte d'après es renseignements que lui avait fournis M1. Wili;ims de' Gisborn (Nouvelle-Zlandle). ~~ Il y a quelques 1, Terre d'Estpagne, 1895, p. 325.

Page  25 RÉSULTATS DE L'INVESTIGATION ETHNOGRAPHIQUE 25 aninées un fait vint attirer attention é tveiller la curiosity: les Maoris employaient comme base d'un système numérique le nombre li, et ce systèmet était développé dans toute son étendue comportant des mots simples pour 1i1 et pour 1331, c'est-à-dire pour ii2 et 1i3. Nulle raison de cette anomalie; l'échelle des Maoris fut pendant longtemps regardée comm.e tout à fait exceptionneile, hors des règles ordinaires des systèmes de narnmi ation. Mais une connaissance p pl rofo s pofd elus minutieuse du langage et des mneurs des Maoris permit de corriger la méprise en montrant que l'erreur venait de l'habiiude suivante: il arrivait assez souvent qu'en comptant un certain nombre d'objetsles s Maoris en mettaient un de côté qui représentait chaque dizaine, pour compter ensuite les units mises de c.ôte et érifier ensuitle e ombre e de dizaines du tas. Les premiers observateurs, quand ils virent le peuple computer la dizaine et l'unité maise de côté en prononçant en même temps'le mot: lekaua, imaginèrent que le mot signifiaient ç, et que le sauvage ignorant employait ce mot çonine base. Cette erreur fit son chemin dans les premières editions du dictionnaire des langues néo-zelandaises; mais elle a été corrigée dans les dernières editions i. 1. Conant, p. 122 et suiv.

Page  26 CHAP TR E II LE CA:ELCUL. É.GYP.TIEE UN PROBLEME 'D-'AIHr ÈS' 16, - Si haut que nous permettent de remonter les documents d'origine babylonielae ou égyptienne, qui ont été découverts de nes jours ils nous placent dans un milieu de pleine culture, dans une ère de véritable science. Pour leurs mesures pratiques, pour leurs combinaisons astrologEiques, les Babyloniens avaient construit de tables de calcul, qui reposaient sur une co -mbinaison. du syslème décimal et du système sexagésimal de numération, et qui comprenaient quelque vingt-quatre siècles avant JésusChrist, la multiplication, la division, la determination des puissances deuxième et troisième. Les exercices pour l'usage des tables de multiplication, en particulier, étaient poussés suivant l'expression d'Hilpreclht', à un point ph6noménal Mais, dans l'éeat actuel de nos connaissances, ce sont les Egyptiens qui peuvent nous fournir le trait le plus significati' de cette période archaïque. Nous prendrons comme exemple un problème emprunté aupapyrus Rhind ou MAanuel d'Ahmès, 1dont Eisenlohr a publié en 1877 le texte et la traduction 2, et qui daterait d'environ dix-sept siècles avant notre ère. Le problème 40 est énoncé dans ces termes: ~ 100 pains en 5 personees; ~ des trois premières, c'est la part des deux dérnières; quelle est la difference? ~ 1. Voir tlHilprecht, Die Ausgrabungen der Universitat von Pcnnrsylvania im BeclTempel zu N'ippur,.Leipzig, 3903, p. 60. - L'enseimble de nos informations sur le mathématique chez les Babyloniens et les Assyriens est expos dans la 3~ édit de Cantor, 1907 (chap- y, die Babylonier, p. 19 et suiv.) et, dans la dernière mo.iti.é du second chapitre de l'ouvrage de Max Simon: Geschichte der Mathcmatik im Alterthumn U Verbindung mit antiker Kulturgeschichte (Berlin, 1909). Babyonien-Assyrien, p. 89, et suiv. 2. BEn mathemnatiches.Flandbuch deCr alten,iEgypter, Leipzig, 1877.

Page  27 tro PROBLBÈME DAHNMS.27 l! est résolu par ces mots:a: Fais comme il arrive: diflfrence 2 '2 '2 ' Fais croître les nombres i fois; cela donne maintenant. Pour 23 3........... 3B -..... 29 - 1............ 20 - 6 - 1*o Ensebe 6.En.emb le.. 3! Ensemble. 60 Ensemble. s 00 ~ Nous avons à nous fire une idée du mouvemehnt de pensée qu; permet de rejoindre la solution à l'nonc6. I s'aglt de partager les pains en cinq parts croissant réguliêrement par diférences égalese, de tell sorte qFuei la somnm- ee deux; plus faibles- soit le septième de la somme des trois plus fortes. Nous laissons de côté pour le moment le n.ombre des pains à partager. Prenons pour unité la part de laplus faible, appelons difféentce la quantii- qti s'y ajoute pour former la part imiFrnné diatement supérieure et qui demeure constante entre deux parts orEosécutives. Nou"s obLtenons la répartition si vante: la pre.miilre part a une aunit; la seconde une unit plus une différence; la troisième, la quatrième, la cinquièmee une unit plus deidr; trois et quatre differences. Tandis que les deux premieres ont deux unités plus une différence, les trois dernières ont trois unités plus neuf differences. D'après les conditions du problème, trois units plus neuf differences valent sept fois deux units ples une diTffrerTce; c'est-à-dire quatorze units pins sept differences. La compensation s'établit donc entre les deu x sommes: i'une ayant deux differences de plus et onze nnit's de moins, l'autre ayant Uofze a-nités de plus et. deux-diffrences de moins; c'est-à-dire que deux differences équivalent à onze unités,;ta difference est de 5; conmme- lndique Ahmès2. i. Eiseniohib, p.i- 90. et.s: u~V;. Cl. r s l, p; 78. 2. M.. Bo3hyuni dOLat nous avotns o,r;:i'sé les é6tu:es sur Ies.procddds des; pa?. mières décartes UimatLf&aatt.lues suppose,.que le résuthata,été trouvé par -1'

Page  28 28 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE M.ATrMATïQUE Partant alors de l'unité, on obtient la succession des cinq nombres formant progression arithmétique: 6 - 12! 17 3 t 6~ t2.7~ 23, et satisfaisant au mode de réparttion qui est indiqué par l'énoncé: ( +- 6) est le 7e de la somme (1i 4-17 +- 3) ou 5 La somme des cinq nombres est 60; nous avons 100 pains à partager. C'est ici que nous voyons intervenir, après le nombredifférence 8, et sans aucune explication d'ailleurs, le nombrerapport ~; de 60 à 100 il y a une certaine relation numerique qui mett en connexion - le mode de répartition demeurant constant - la quotité des parts dans la distribution de 100 pains et la quotité des parts dans la distribution de 60. Cette relation se désigne comme ~< 'expression de 100 entre 60 ~. Or, 100, c'est 60 plus les (l de 60; 1 devient ainsi un coefficient de rmultiplication qui s'applique aux parts successives, ou plutôt qui sera pris lui-même pour point de depart à la place de l'unité, la I 2 difference.5 devant être elle-même majorée de 3 Il s'agit donc d'ajouter à 5 les de 5~ Les de 5 s'obtiennent 5 1 ~2~ par la duplication de - 4- qui donne 3-|-~, la some sera 3 q -donc: 8- - - ou 9 33 6 La. valeur définitive des parts est donc obtenue par l'addition successive de la difference 9 a la part la plus faible 1; ce qui fait: l o 10 + 20 29 38 formation d'une série de progressions à dlereni;e en i lre qui auiraient.é successivement éliminées eaprès vérifal tion, et par l'intercalat[iou tnale d'une difference à forme fractionnaire. L'hypothLse n'est nullement inadissi'ble; mais les operations seraient assez délicates, alors que vla voise.darece parent plus simple (cfe Méthode expérimentale da science des ombre-; tAC pripau résultats obtenus, L'Eseignement mtmathéatique, i5 mai 906, p. â78).

Page  29 UN PROBLEME D'AHMES 29 17, -- Tel est le minimum d'opérations qui se trouvent impliquées dans la solution d'Ahmns. Comment ces operations ont-elles été conçues explicitement par les maîtres dont Ahmès reproduit I'enseignement, quelle sorte de justification en a été donnée, nous l'ignorons Ni les fragments mathématiques des papyrus antiques, découverts postérieurement et qui contiennent la solution de problèmes fort intéressants; ni le papyrus mathématique en langue grecque que M. J. Baillet a public en 1892, et qui reproduit plus de deux mille ans après le papyrus Rhind les fortm es cristallisées de l'arithmétique égyptienne, ne nous apportent aucune lumière sur les conceptions fondamentales de la pensée égyptienne. Même, si l'on ose tirer une présomption des rares documents que nous possédons, et qui ne sont peut-être pas de la meilleure quality 3, c'est cette absence de considerations théoriques qui serait caractéristique de l'arithmétique égyptienne. Ainsi la première partie du papyrus Rhind contient de longues tables qui ont pour objet d'obtenir le résultat de la division de 2 par un nombre impair à l'aide d'expressions équivalant à des fractions dont le numérateur est toujours l'unité. Par exemple S i. Par exemple du problBme qui donnerait lieu, pour nous, au système d'équations e a2 + y2 100. Voir H. Schack-Schackenburg, der Berliner Papyrus 6619, Zeitschrift fir,Agyptische Sprache und Altertumskunde, t. XXXVIII, 1900, p. 137; et Max Simon, op. cit., p. 41. 2. Le Papyrus maihdmatiqule d'Akhmim (Mémoires publics par les membres de l:a Mission archéologique française au Caire, t. IX, fasce 1). 3. Eugène Révillout, suivi par Max Simon, op. cit., p. 28, ne veut voir dans le manuel d'Ahmés, où se trouvent d'ailleurs des fautes grossières, qu'un ~ cahier d'élève et d'élève peu intelligent ~. Relvue égyptologique, t. II., 1882, p. 292 et 304, n. 2. 4. 3e colonne, table III, Eisenlohr, p. 38. Cette indication est accompagnée dans le papyrus d'une vérification ~ Le calcul de r, par rapport à /- donne I 57-8 c'est ô 24.~ - ~ c'est t ^ c'est La some de ces quatre dernières expressions fractionnaires reproduit donc le dividende 2.

Page  30 30 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE' MATHEMATIQUE la division de 2 par 29 donne.cone.. résultat la somme des fractions suivantes:! I '.' Ahmès sait manier les fractions sinoTn avec dextérité, du moins avec sûreté. Pourtant on ne peut pas dire qu'il conçoive dans toute sa généralité le calcul des nombres fractionnaires. Seules les fractions qui ont pour numérateur l unit (auxquelles il faut joindre -, où l'on aperçoit immédiatement -4) sont des expressions numériques et.des auxiliaires du calcul. Les autres fractions telles que, sont au contraire des énoncés de problèemes, sembabables à des quantités inconnues, et la solution du problème posé par ces fractions consisted.:à obtenir une somme équivalente, dont les éléments soient des fractions de numérateur un (sauf encore une fois 3) e4 autant que possible de dénomrinateur pair, afin de rendre la duplication plus facile. D'autre part, à l'aide de ces tables, on peut trouver les équivalents de n'importe quelle expression fractionnaire par exemple pour ~ on posera 7 = - t -- 2 -- -4- 2 et on traitera la somme I 2 2 2 S 9 9 29 - 29 a l'aide de transformations de 'fractions comme on a déjà traité -. Mais ce qui est remarquable, c'est que cette résolution de la multiplication en duplication parait avoir été générale dans l'arithmétique égyptienne, la multiplication n'y est pas encore connue comme opération directe. Pour effectuer un produit par 13, on prend le nombre simple, puis successivement son double, son quadruple, son octuple; et en ajoutant le simple, le quadruple, l'octuple, on obtient le produit cherché2. 1. Voir l'exposé de Caator, I3, p, 61 et suiv. 2. Léon Rodet, Sur un Manuel du calculateur découvert dans un papyrus égyptien, Bulletin deala Societé mathématique de France, stance du 27 mars. 1'78, t. VI, p. 139.

Page  31 UN PROBLÈME D'AHMÈS 31 Par là nous soerés amenés à comprendre le jugement sévère -- d'une s6vérité qui n'était pas exempte d'ingratitude - que la raison spéculative des Grecs a porté sur la culture égyptienne les plus ingénieuses de leurs découvertes demeuraient à l'état de prescriptions utilitaires, de recettes techniques; elles inléressaient l'art de la ~ logistique ),, elles n'atteignaient pas à la science proprement dite, à l'arithmétique; car l'arithmétique suppose, ce que les Égyptiens en effet ne paraissent pas avoir conçu, le nombre devenant. par lui-mrnrme un objet de representation et pris expressément pour base d'un système de déaonstrations régulières. Mais, si nous dépassons le moment historique où le sort de l'arithmétique est lié au réalisme pythagoricien, la pratique des Egyptiens va nous apparaître sous un tout autre jour; le nombre y a un rôle scientifique qui va beaucoup plus loin que l'intnition du nombre-objet. Que l'on songe aux difficultés que l'interprétation des nombres fractionnaires a soulevées en plein xixe siècle, on admirera la hardiesse avec laquelle les Égyptiens manient des factions à mérateu3r fractionnaire tells ue tnumérateur fractionnaire telles que 6 Surtout, tue l'onr évoque ce qu'il conviendrait d'appeler la préalgèbre où les solutions pour des problèmes difficiles d'arithmétique, sont obtenues sans aucune justification d'ordre logique, par des procédés pratiques qui s'apparentent à ceux d'Ahmès 2 - que l'on se rappelle comment, de ces procédés, devait sortir l'algèbre, plus exactement cette arithmétique universelle où, suivant la fameuse remarque de Newton (( le nombre est moins une collection de plusieurs unités qu'un rapport abstrait d'une quantité quelconque à une autre de même espèce qu'on regarde 1. Léon Rodet, Les prétendus problèmes d'algèbre du Manuel du Calculateur égyptien, Journal Asiatique, 1881, t. XVIII, p. 214. 2. M. Zeuthen en a décrit le mécanisme avec une clarté remarquable. Considérant, dit-il, des quantités connues, mais quelconques, Diophante... attribue à ces quantités des valeurs déterminées et assez simples, dont il se sert pour cxécuter les calculs; ensuite, il retient en mémoire plutôt ces calculs que leurs résultats numériques, ce qui lui permet de voir immédiatement ce qu'on aurait obtenu en attribuant d'autres valeurs aux quantités supposées connues. En attribuant de même des valeurs déterminées aux quantités inconnues, on obtient de pouvoir effectuer.un calcul d'essai qui fait souvent découvrir ensuite la véritable valeur cherchée. Les Indiens, dans leur résolution des équations indéterminées du second degré, se montrent très versés dans cet emploi de nombres choisis arbitrairement ~. Sur '.Arithmétique géométriqtte des Giecs et des Indiens, Bibliotheca Mathéematica, sér. 1II, t. V, 1904, p. 110. Cf. Rodet, art. cité, p. 405, et suiv.

Page  32 32 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE comme l'unité' ~ on se rendra compte alors de l'intérêt que présente le papyrus Rhind. La difference 5 le coefficient de. multiplication i 2, qui interviennent dans la solution du problème d'Ahmès, ne sont, à aucun degré, des choses, ils n'offrent aucune prise à la spéculation, ce sont des instruments de pénétration et de liaison par lesquels des termes de l'énoncé l'esprit passe aux termes de la solution.- L'apparence pragmatique du calcul égyptien met à nu les ressorts proprement intellectuels de la pensée mathématique, et elle manifeste avec une sorte de profondeur inconsciente toute la fécondité dont la science des nombres se montrera capable. 1. Arithmetica uniuersalis (1707)> trad. Beaudeu.x, t.'1, 1802, p. 2.

Page  33 CHAPITRE JII L'ARIiTHMiÉTISME,.. DES PYTHIAG-ORICIENS LES NOMBRES-POINTS 18. -Les.alusions des anciens aux divers voyages de Pytlha,gore sont tropfiloign6ées des sourceeS pour avoir iune valeur historique; il appaîait eependant qu'on ne saurait rendre compte dJa formation de i doctrine pythagoricienne sans regarded du côté de l'Egypte, surtout peut-être du côté-de l'Asie. En effet, et sans que nous puissions dire avec exactitude quelle y ut; la part. de chacun, nous trouvons les penseurs ioFniens de la g'nr atio des Thalès et des Anaximandre occupés à un travail astronomique *qui se relief di.rectement aux recherches favorites des Chald ens; ils dressenut la certe du ciel en connexion aveci les divisions zodiacales; -ls établissent 'e tableau des constellaetionsl Ce travail, du point de vue oùt nous allons nous placer, présente un intérêt tout particulier. Observe l' ~oil nu, en effet, une constellation a deux caractéristiques ~ le nombre des astres qui la constituent et ia figure géométrique qu'elle dessine dans le ciel. Ces caractéristiques sont au' mê.me.titre des do.nées; imxntuables et obctives re association se f orne e ntre elles qui se revt de riécessi 68t naturelle et qui peutr server de base a un e'concepitio gén6érali de iUnivers. Nrous trouvona l, siron l'origi ne du moins l'i lustration saisissant e de 1a doctrine pythagoiiciete. De mêmne que les constellations on.t lun nombre qui leur est 'popretoutes l'es chos.es connues ont1. u-x'n nombre, puisque le nombre est la condition rm lie de leur copnlaissance. La formule de Philolaos que Stobée nous a conser-ve, est d'une remarquable precision 2 K itavx y v T* y2YV<i to.'vx Ct^o 1; P ial Tannery, Pour ' H.istoire de la Science hellne, 1.87, ch. Iv; ~ 3; p. 84, 2. H. Dieis, Die Fragnmente der Vorsokr'aiiker. 1''" vol. 2" edit. Berlin, 100f1, p. 240. BniNScuvICG. - Les e'apes. 3

Page  34 3; ÉLgs.TAP'E, DE LA PHILOSOPIUIE MATHBMATIQUE. y.ûv.T't OU yo ~V x5 c, o,8.v OUS- *voy,40 i.'v ou-cE (vL ocrj7J.v (U.'U 'rtUOU. Cete formuaie n 'exprime pas encore, semble-t-il, tout le con.-:eoa. du pythagorismçc. No. seulemnent toutes choses possèdent des nombres; mais encore to'u'es choses soni des nombres. Entre au,.res témoignages d'Aristoie, il suffit de relever ce passage du chapitre consacré, dans 1p p.'1emiter livre de la Miétaphysique, aux P yhagoriciens: aliovr~ 8 x$ i olrot Tb;v &Fi0ibv vOUQO'vTr.s pX/%v s/vdat 'xr g 5 Î'v Tro? o es xal a, xi -,',ri xol X.f xit. Proposition. qui du temps d'Aristote déjà. co-nstituait un paradoxe, qui devait prendre un air d, plus en plus étrange à mesure que la réflexion s6parait advantage ce qui est de l'ordre de intelligence et ce quit. est de i'ordre de ta réalité. Le nombre est un concept; les hoses sont des objets o' des substances. Commeait prétendre que le nombre soit son to.: r objet ou substance? Le dfficile, à dire le vrai, no;s iparaît ici que l'on sache ne pas s'engager dans le probl6me soulev6 par un historien systématique qui fai. sait entrer les concpt.ions des Présocratiques dans Ie cadre des categories et des causes. Au lieu de chercher le passage d'une notion abstraite à la réalité concrete, il conviendrait sans doute d'enlever à la. notion de nombre la signification abstraite que nous sommes habitués à lui attribuer, de lui réintégrer en quelque sorte l'application intuitive qui, pour les Pythagoriciens, en était inseparable, de voir un point lorsqu'on parle d'une unit, et, lorsqu'on parle d'un nombre,. de voir un groupe de points dessinant une figure de la façon dont les étoiles dess`inent une consiellation z. Bref, avant de dire que les choses sont des nombres, les Pythagoriciens avaient commence par concevoir les anombres comme des choses; les expressions de nombres carrés ou de nombres triangulaires ne sont pas des métaphores; ces nombres sont efectivetnent, devant les yeux et devant l'esprit, des carrés et des triangles. Aussi, lorsque Eurytos disposait des cailloux en nombre dlterniné de manière à obtenir par la forme de leur assemblage le nombre constitutif de telle ou telle réalité, 1, 5-986't15. 2. Voir le passage relatif aux Pythagorniiens, dans Met., N. 1090a 32 -(T évtOt O ro t ~1 QKtsÇ'iv ~. aàpl<tav Ta 'pv3&~àyn;JLcC, âx (J. EO"/VTOV pPoç PYIO; ".ou>T6'trQ. ~Xovra '^oup6:'T:r y ol | 3po. 3o De Coelo, Il, i, 300a 16: SY.I y'o ny ~ t&:V ' V à ptOa>iv avr3'raa'v, 5rc&s.p 'V'v Hu0ayOopsiov Tives. Suivant le iivre M de la Métaphysique, les Pythagcriciens constituent le cie[ tout entier avec des nombres; mais ces nombres rne.so t pas des units au sens spEéciiquement arithmétique, ce sont des unités qui ont une grandeur ~ -b y, p Oa'v, o.p vÎ v b'k(7caarxt id, O tv i àp0t6,.ôov, t).vt où oLvxaSzCV i),.& T& po:.ov8a~ V-6-al&.4vav ~gvi.v j, 'ys0o0, 6 1080718.. Gf. potit r ee àli:,r:ri,!wi: i ld. ptt. 3hag orisme Milhaud, les Philosopil:'s géomètres de ta Srèt)c.e, P.3aton c s p'ré idceessteUrs, '1900, p.' 107.

Page  35 TiMÉaOIE DES NOMBRES 35 le nombre de l'homme ou le nombre din cheval il ne faisait nui lemennt comme l'en cas'e f'auuteur du livre N de la datephysi.. que, la parodie de la doctor in t pyhag't rxien ne, I usiit d'un procédé rapide et simpliete poir donner aatisfatio:na lexig.ence psychologique que nous ret rouvero's dtins plus d'n s ystème. de phBosophis e m. h athnie atiq po-0ur oeffri. r - à lesrit un objet qui fi t l a fois h selon le language des Cartésien.s, o}3it de l'iagit nation et objet de ' entiedeeDnt. Enlore* conienti-il de pcisier tar ndis que la gomie 'r 4 a.naytique unira dans umne snthse originale ce qui avait éet préalablerment dissoci, idée a(qébrique et objel e'lend i l'ar-ihmétique géomrétrique des pyth;agoriciens atteste s simplement la connexion inséparable, l'impliceation spontanée et comrie naïve, d deux éléments que seule la réflexion ultérieure devait dis, jindre. La pensée mathurnatique, au. lieu d'aller de la nécessité aistraite à lrapplicatios) concerte, eaveloppe toutes les functions de 'r da e soesrrt da'ns u ne sorte dintution in;égrae où elle trouve son éeqUilibre. et sa plniutude. Le tenobre est présenté immrédiate aerie ca omme mie somme de points figures dans. 'espa:ce, et les.figures -ignes, surfaces ou volumes qui se trouvent tracées par ces points sont imnmédiatement données cormre des nombres. TIEÏÉOBÎE DES NOMBREnS -9. - cette conception gé.nrale du nAmbre quelleBqvg.ait6 particulière1.de science répond chez le s 'Pytha'goriciens? l imported d'entrer- ci d ans quelques détails; ia question a plus qu'un intérêtl historque; elle sert à fixer la physionormie origi nelle d'une doctrine que nous verrons réapparattre au codus:ie l' 6vo tiin de lra atheaIt tu.ique moderne. Le premier trait de Parithm-réutique pylhagoriciene~, c est qu'elle est' une théorie des nombres. Et, en effet, puisque les nombres sont, non plus des auxiliaires du caleul, des rmoyens ~ logistiques ~, mais des réalités natrelles, il conlvienrt de les considérer chacun à part, afin d'en déterminer les propri6tés intr. unsques. Une fois qu'on se place ainsi à lintérieur de cha:iac neombre, ses propriétés caractéristiques apparaissient comme les consequences des operations par lesquelles le nombre lui-mê0tne 1. Met. N. 5, 10S2h 10, aveC le commentaire d'Alexanrdre, Ed. Hayduck, Berlin, 1801, p. 827, apud Diels, op. cii,, p. 249. 2. Vide infra, 1. V, ch. xv.

Page  36 36 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE a été atteint et défini; ces operations décident de la forme du groupe de points qui constitue le noambre dans son essence. Et comme la plus simple et la plus féconde de ces operations est la duplication, le principe de la classification pythagoriciennne est emprunté à la consideration des nombres qui sont produits par la duplication, et susceptibles par suite de dimidiation. Le nombre disait Philolaos, a deux formes propres, l impair et le pair: "0 yx -ov ptô l oo è &;pios s 'uiS, âro;plrv oVl d p'novc. A cette distinction correspond une opposition fondamentale qui, dans la jeune école pythagoricienne au moins, rejoindra l'antithèse eosmologique du limité et de l'illimité, et fou'rnira unrbase àa table des dix oppositions, qiu'Aristote nous -a-transmise 2. On peut entrevoir, d'une façon.encore grossière sans doute, comment la connexion s'est établie entre l'impair et le limits d'une part, entre le pair et l'illimité d'autre part, si l'on considère les classifications numériques que les historiens de la mathématique rapportent aux Pythagoriciens. Déjà Philolaos ajoutait au pair et à 'imapair une troisième espèce: l -pox.p7ov~. Cette dénomination qui a été quelquefois appliquée à l'unité a, désigne aussi, suivant Jamblique *, les nombres pairs tels que 6 ou 10 qui à la premiere dimidiation âonnent des nomibres impairs. A cette acception se rapporte la distinction entre les n'ombres pairs qui comprennent parmi leurs facteurs un nombre impair intervenant à un moment donné pour mettre un terme à la ditnidiation, ErsCpOâtci,, et les nombres pairs qui ne sont pas sujets à cette limitation, qui se résolvent complètemnent par dimidiation,.pTiraK c pr' {.i. D'autre part, à cot de la duplication, outde la dinidiatior, l'addition joue un rôle dans la formation pythagorcienne des nombres; Philol'os exaite a. decade, no.rme de l'univers, puis sance ordonnaitrice des hoinmes. ti des-dieux M ysa', y&p z.a, 7taV'T~yiç îacl ata}-Tao0e.p p al s.iij, xa.ti', d t < tt ) XiU a:tal àvôpùj>'tIVt) ~p/ xal àY,/<Uv xOivcovoUh.. 8Av?'.j; x.'c rX:~; xS:X(. i La vertu de la decade est qu'etant const tuée par la sonmne des quatre premiers nombres-i.- 2-+-3+-4, elle enferme la nature des diverses 1. Diels, op. cit., p. 240. 2. Met., I, 5, O821 22. Cf. Zeller, Philosophie des Grecs, trad. E. Boutroux, t. 1, 1877, p. 343. 3. Tihon de Smyrne. Éd. Hiller, Leipzig, 1878, p. 22. Cf, Zeller, tr. citée, t 1, p. 383, n. 3. I. In Nicom Arithm. EdL'Pistelli, Leipzig 1894, p. 22. 5. Nicom, Arithm. sa. ad. Hocbe, 1866, ~ X, p. 21 et suiv. 6. Ibid., ~ VIII, p. 15. 7. ln Diels, p. 243, ce. Arist., Met. I, 5, 9860 8.

Page  37 THEORIE DES NYOMBR 3E7 espèces de nombres, cele du pair don t le prelaier est, de l'impair dont le premier est 3, du pair-i.mpair qui est ici l'unité, du carré parfait dont le premier est 4. 20. - Enfin, puisque les Grecs ont ainsi rapport la constitution des nombres deux. procédés de formation, 'un qui serait la duplication ou -pour prendre la forme la plus générale, la nultiplication, ct lautre qui serait l'addition, la trace de cette dualité doit se retrouver dans leurs speculations mathématiques. L'und des prncipaux problems qp) i c oncerinent la thétorie des nom ibre consiste à étudier le rapport d'in notmbre ses composants, sous le double point de vue de a multiplication et de addition, et à comparer entre eux les rêésultats obtenus. Ainsi, on considère les diviseurs d'uian noiblre donné, l'unité comprise, mais- à l'exception toutefois de ce' nombre lui-même (ce que l'on appellera ses parifes aliquotes), et on en fait la somme; cet.te sortixe sera en general cm- plus grande ou plus petite que!e nombre ]ui-mamre, lequel sera appelé en conséquence abondane ou déficiCen. 12 est abondant parce que la somme d(e ses parties aliquotes est: -+- 2 +-3 -4 -- on 16; 8 est deficient parce que ses parties aliquotes ajoutées produisent. I --- -r- 4 ou 7. Mais il y a quelques nombres quli sont équivalents à la somme de leurs parties aliquotes: S - + 2 -- 3 (avec cette particularity caractéristique du nombre 6, que l'on a également: 6= 1 >< 2X 3). 28-1 - + -q — 4- 7 4-+ i4 496 -- + 2 + 4 - 8 +- i6 - 31 62 4 -+-248 Une correspondance aussi remarquable entre le procédé de multiplication et le procédé d'addition confre à ces nombres un caractère de perfection 6, 28, 496 sont des nombres parfaits. Dans Euclide la théorie des nombres parfaits est développée jusqu'à fournir une relation d'ordre général centre la classes des nombres parfaits et ha classe des nombres premiers: Si, partant de l'unité, on forme la progression géométrique de raison 2, et si la sommnie de ces terms est un nombre premier, le produit de e nombr premier par le dernier terme de la progression est un nombre parfit. Par example la some -+- 2 +4- 8 -+ 16 donnant 31, qui est un nombre premier, le produit de 31 pay.16, ou 496, est un nombre parfait. I. Éldm., IX, 36. Ed. Heiberg, t. II, Leipzig, 1884, p. 408.

Page  38 3S nLES ÉTAPES DE LA PHILSSOPIE MATXIEMATIQUE RPOlaoREfSSINS ST M EDIDT'S 21. -- La théorie des nombres parfais manifeste d'une façon saisisant e Ie caractère spciéfique de: 'arithmétique grecque; le savant eact. au jour la structure interne des nombres, de la même fa,Ar r qu'il observe les propriétés des- figures gor0mé triques, ou qu'Ei décrit la forme des constellations cé sites. A cette ma6éhode est due la partie la plus solide et la plus belle de la doctrine py.hagoricienne, cello dt'où se dégagent des lois compatible en simplicity et en fécondité aux formules de l'l3gèbre smodtrne, On prend l'unit, pnt p or int de depart; on ajoute à l'unité la séi tre ascdante des nonbres impairs; la progression arithmétique que 'oa forme ainai jouit de cette proprieté qu'à chacune des tapes o s'a re tr, -a o ima de 1 it et les no bres -ip.pairs consitune In notabi'e ctaré ti.: 3 J 5 X 3 4 ^ —, 43 - -l- ' {6 i - 3 -+ 54 4 1 9 2 et que tou es os nombres car s soni donnés par ce processus de formation. (fig. ~). Par la seule corssidéreatrion d'une progression arithn.ti tique se trourvent dono constiées t:Loi s.its sr..es carries qui.ont pout r ô 6ts d es noblr'es ntiers. De plus, puisque l'addition successive d'un nombre impair 5, u 9, permet de passer d'un carré 4, 9 ou 16 au carré suivart, 9, 16f o0. i5, toat nombre impair se définit comme la difference de deux surfaces earrées ayant respectivement pour côtés deux enters onsco cutifs, c'est-4-dire cormme un gnomoR. Cette definition gê6oné trique explique la constitution interne du nombre impair; il et la somme d'un cartré yant l'unBit pour ct6é, e de deux rectangles égaUx. dost ibe eas ps etit t ôté est g rI i tnnité 5 == i 4 -- 9, i- 4;.3 ~,8;8 J= - 4 Si nous additionnons d'autre part ies nombres pairs cons6 -cutifs, nous obtenons une s'rie' de u omb.res qui sont des sommes de progressions arithm4tiques, et qui sont en méêrme temps des produits et paUr ccntséqnt des surfaces; use'le-ent es -fctie!ur de ces r produitvs sont égaux l'un à la moitiéê du denier nombe pair Bde la progression, I'autre à ce premier

Page  39 PRORESS380NS T AED tI&TÉS -g faceur augmenté de ]'uni2; la s,, r fce, a donc, ses deux côt6s i.égaux. elle esit héeé.roe.que oui rae iga-uaie Aige g). Par ÀI s'e.plique la déaiomination de nlm'bies iléS i-mques doie a sonmme de ces nouvelles c n, a.i.. - que, ei ù 'in production de opposition d ~, i cartr et de l'hé6tromrque dans la e | o [ ' sErie des dix opposition qu'Anrs-.. tote nous a transmises, en cor- ' l I rtalt.ion directed avec opposition..i. inilale de l'impair et du pir e * ** là encore l'indication d.'un nou- go i. g.. v.an lien en tre le couple antithétique impair-pair et le couple limieé-ilaimité, lien moins direct mais plus logique que celui que nous avons eu l'occasion de signaler et que l'on peut supposer lui avoir succdé -dans l'enseignement de 'École. En effect, tandis que la somme des nombres impairs engendre des carrés toujiours semblables à eux-m6mes, la somme des nombres pairs engendre des rectangles qui sont perpétuellement différents; de sorte que leur variation indéfinie fait contraste avec la fixit. du carré 1. 22. - La portée philosophique de la doctrine pythagoricienne des mdites n'apparatt pas moindre. En outre du moyen arith^ mndique et du moyen g#omntriqae, les Pythagoriciens introduisent le moyen harmonique. La médiêt ~ == donne l'égalité _i -a b Ainsi 8 est moyen harmoonique entre t1 et 6 puisque {S -_ A% ~ Nous retrouvons là, dît M. Milhaud, lorigine de la d(éominatiîon d'harmonique"' Si en effect, au lItii de faire` correspondre 1 à la premiere note de octave, on fait correspondre 6 pour n'avoir ensuite que des nombres enters, c'est 8 qui correspondra à la quarter, au lieu de e, et A ai r votavre, au lieu de 2 ~, Miilhaud, op. it,, p. ti5 et suiv. a. Voir le fragment d'Archytas 3u tlés médiètés (Po. phyreI. Cmnmentaire aiU Ha;rmoniques de Ptoltmée9 in Wallis,.,. 111, (ii, Ox~ford, f09, p. 267) et. Dies, 'p. 2 ti3 p., 51e tit, p. 93.

Page  40 40 iLES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE La merve lleuse découvert-e de la merve ileuse correspondance entree les nombres- et les sons (découverte qui senïble ren anter 5i Pythagore lui-nêimer ) est ainsi incorporée à larithmé[lique pythagoricienne, et elle achève d'en aixer le caractère.. Les rapports des nombres qui se nanifestent dans les accords musicau.x ont aussi ceux qui sont inscrits dans les figures de ta g$ométrie suivant une observation que Nicnomaque rapporte à Phiaos, te cube, rparfaiteinent harmodieix en soi pusqu'i es. par itemennt identique t lui-nm e -suivan t les trois d.mei. sions, préseinte la conne.xion des nombres com posan à m édBiét que nous nos dven décrire: il a i2 arêtes$8 someils, facess. Harmonkcie gléomnétrique et harmonie suSa6e se ~orrespondent ce quï est. hitelligible pour l'arithémticien, est aussi visible aux yeux que sensible aux oreilles. LE PYTHAGORISME 3,. - On conçoitr qu e. semblables correspondances soient apparues aux. Pythagoriciens comme susceptibles d'universalité, qu'ils se soient autorisés par example des lois numér:iq es de l'harmonie terresrese pour supposer une sorte de concert céleste, engendré par les 'nombres astronomiques l'harmonle des sphères célestes dont Ia légende veut que Pythagore, seul entree tous:es lmortels, ait jamais eu la perception *, On conçoit comment leur imagination spéeulatve a entouré le noyau lumineux que formaient les thories positives de l'arithméiique, de la géométrie, de l'acoustique et. il faut y ajouter l'esquisse de l'astronomie copernicienne d'une zone infiniment plus vaste, où, sans hésitation, une solution était donnée à tous les problèmes humains ou divins. Avec Philolaos, le nombre, qui par nature est incapable de recevoir le miensonge, devient le principe de la vérité; tandis que Ie imensonge et lenvie appartiennent l'infini, à l'insensé, i l'irrationlnel'a. L'avètneMant de l'harmonie dans le monde est la victoire du nombre i. o p; r )vpcca, W; o- rr *vo 't $i pC l p ',.'p'':itE, 't v ^v'. r.W '' T, i v; Xtspltç roi) T V? Eéeû- v ras OV ^~l Ya? p ç =' ï?tû' 7noi3 iPO' v. Por pI. in PÙoiem, harma. op. cit., 213, et Heinze, Xenokratesy Darstelt&ng der Lehre and Samnmung de.r Fragmente Leipzig, 1892, p. 102. 2- Nico.,m Arith., ~ XXV1, p. t13 et Dieis, op ci,, p. 238. 3,. rist. de Co II,, 290' 12 et Simplieini m, amm,. Leibers, Berlin i:1 83, p.. Ze r, op.. cZet.r, p., 09 et suiv. 4. \i1 ~èt:0 o'6n v o'~ îXETt O Tr & pîp.r ( ct. poI we 'pp.d Yt>? o l p 6 iîV(QV sayTËoï ê<mo. T7,ç td) àwrs(p() ~xr àvo YO*;l Y.ôîV ~UOY~ çyoç voç 'Q )~Ct t S'i$VB5

Page  41 LE 'PYT'HAGORISME i4 sur finxim. Nous n'avons pas à saivre le déveioppement de cette doctrine; ce. que nous ne pourrions fair d'ailleurs sans aborder une pé iode de 'histoire où les disciples éloignés de PyStagore se rencontrent, et pari';s se confondent, avec les iuc cesseurs de P1aitr. NTous nous c>lit. eaterons de rappeler les représentations numériques par-lesquelles les Pythagoriciens pr6ten.daient expliquer ie' a nature des réalités soiales justice, oeca~s.ion marriage2 sua-ns. insist e. sur I'extraordinaire floraison de symbols et d'analogies procédant de cette rdi.thode et présentaut ce m6tange de préision rigoureuse et d'arbitraire absolu qui est f esse-ne du msystérieux. Si ce sont là les traits s plus p oplaires du pythag. eisme, il n'est pas satr que c'enr soient es plus originaux; et il est probable qu'on peut appliquer ici la remarque pénétrante de M. Rivaud sur les doctrines pr36socratique s du deenir: le l'cadre et la matière sont fournis -par. la cosmogonie ancienne. L,'observation.et l'expérience n'interviennent guère que dans le detail. Pout ensembleie, elles laissent intactes les images anciennes3,. En fait, les lonieDs (et les Babyloniens par delà) ont transmais à Pythagore l'héritage des oppositions cos3moogiques, des correspondences astrolegiques et morales. Même si les Pythagoriciens n'ont vu dans leurs découvertes proprement math6ématiques, dans leurs expriences acoustiques, que des confirmations pour l'ensemble de leurs croyances supranaturelles, ce sont ces découvertes et ces experiences d'ordre rationnel qu'il est equitable de retenir et de considérer comme l'apport caractérirstique de leur pensée. -Cette pens6e, cristallisant dans un système qui n'est plus tout à fait I e nôtre, n'en avait pas moins. le droit de se croire assez forte pourrt e ter le p er le oids de l'utivers; car elle avait effective. ment atteint la plus haute quaeité de vYéiit dont l'homme est capable. Si l'idéal d'une scene posistie est de reposer sur des principes à' la fois chairs et d61imités, de se développer dans le cadre des principles déjà posés, et de maintenir le contact avec l'exp6Frience q-ui la confirm et la contrôle,, le mathêmatiisme pythagoricieen contenait de quoi satisfaire à cet idéal. En- impliquant dans la conception du nombre et le géomntrique e l:1. Diels, op. cit, p. 44,. oir Ne.wbo'd, PAthi lo s,; rchiv flr Geschichte der Philosophie, anne 8190,. X,. & 17T i. 'A pJ7T~ '; V r;6't 7 y6:.'zdr i.; àpJip.,gZ0qj &s '.î-ipOî) r: T zd a.t.e,'t.Q,tV 'itï 6i>;o yg p.oç t )x,~ i r aUi to cxy, m,,;., et. VIIi, p. 85 et. Bie s1 p, 2 e9. -- C. M. 8 ioi, Oj) ciL.., p,!32 wet:iT', * 2, Met, M. 4. 078 2. 3. Le problè'me du Dee)erxir et, la ntio -de ' a Matière dans la philosophie grecque depuis es olrigies usqu'à Théephraie^,. 905, p 267 (Paris, F` ASan),

Page  42 4i 2 LLES, ÉETAPES DE LA PHILOSOP'OIE MATHiESATQUE physique, il av ait (du fnm'êe c oup Conç'u létide des nombres come une tïde de la rait o dcoee de la la -rapports arxthmétiques eon déeauverte de rapp ors naturels. La vérité mathé-natique est unte eiYi au sens objectif du mot; elle se dégage par observation, eiie re'vé% progressrveBment la forme gunérale qu'elle comporte; la notion du nombre parfait et la notion. de 'accord parfait, les formules de l'arithmétisme géométriquee et celies de l'arithmétismne aco.,stique ont exactement e lme m e caractère, Et eos lois 'qui' régissent a titre égal et unisssent dans ut e synth6se homog6ae les differents ordcres de ha rFalié s i dune telle simplicity qu'eiôles sembledt adapt6es à la w atxure de lesprt, et desistines aassurer l'6quilibr dfiatif de ~toruties ses fonetions. L'harmonile de univlers se réftè,te dans i.armonie des idées, ou plutôt lune et l'autre se tfondent dans 'uumnt, dans 'indistinction qui, pour les Pythagortciet.s constitue le rG;tç

Page  43 LIVRE il G OM TRIE.CI H.A P IT B.;E I V LE TTÉ T MA, TI)SNE DES PLATGONCNIEN SECTION: A - s Bai position d problème platomniJeen. MI'-TATXON ET PARTICIPATION:4. - Le piaton>isme est. come le pythagorisme une philosophie de type matih&naique. A cet égard même, et s'il fal itat en croire Aristote, la d-is ace du pyihagorisme et du piatoaism.e serait purement erbale. Suivant les Pythagoriciens les choses i-mitent les noimbres, suivant Platon les choses parti-pe Bt auex nomxbres; le noa seu serait changé6. Mais il faut reconnattre que, prs en sOi, les mots d'imitation et de parEtiipati son t quivoques, au point de pouvoir être interchanges. Si m.nitati6n suppose avant tout -la s6paration de l'original et de la copie, les id es platoniieanes sont des ~ paradigmes >, dont lies choses sensibles sont des imitations; le Timer est, à cet 6gard, aussi ex iit qne possWih z:vtn è v -&e t! eY.' iw z. < 'iFszS~s^^8i T ç ieB er ~rw vo ~rv taI z tl xcrt& cnt, spC.ac z1 r i ~ yc t t ç <&np i W, s4 w# r G Y d ô Moit. D'autre par'l I nollt.. Gti $pv cafp fnv8.Ydpota W.4t~s;,rn evv 9qa*t (ivant TrSv &p:P5v9, l)~.d ~'v Sè AÊ~ *~~lié,o>v rjot sET~pso4v, At. 871 i8 {1. 2. 48 Dans ne s6rie d'anayset s e u ont paru de 1881 S' 88 d 'ns le TJornal ot Phiiology (vol. X, X;1i X1t-, XIV7, X), sous ce titre On Pats l't r thoryl f teg, M. JadI son a o n:i;ô pIro, t. c n me distinction radtiale entire Les dralograegs où Platof expose la Mhérie d oa paTti ipation iux eds, ie Pi~ on et la apubUqua, et les driS gaes ts qu le lThé Ste, e.Philbe, le P ltiqeî, t,

Page  44 ~44 LES ETAPES -DE LA PHILOSOPHIE MATHIEMATIQUE de participation est empruntée au vocabulaire d'Anaxagore, et elle y a un sens purement ratériel. Hava ~ cav.o Fo:pv C1E.' i~, cette parole exprime que tous les élé6ments de l'univers, le VoÛ; except, se mélangent effectivement les uns aux autres, que l univers est n auit~rs X:oWv Z IamacV 2. En ce sens, et si l'on faisait fond sur l'interprétation mraiêne que les livres M et N de is fétfaphaysique donnent du pylhagoris me il cronviendrait de lui restituer, par contraste avec le patoisme la thèse de la.~h`~ p~C=O);PP1i~Y taic~,a /~adirr:~ibn~rtonisme la th'se de,a. participation des choses aux nombres. O 8 1iîYt.'0EDto 8t E Tr npJ aoc?.x wv~;t9povY, ïtiorv n e>U TrSovr TO'; 1 ValG'3'? o'(o iao17v 's9a piv,pt.iouloç s-OrO v TrC ovrx., ou ~,)W,;mo u Se, à),: F?0. ik àtp v rx;Jvz. Le vocabulaire respectif qu'Aristote atribue aux Pyth.bagor, ciens et aux Platoniciens pourrait donc être interverti sans t(rop de difficult; mais, par delà les ressemblances erbals, subsise l'opposition profonde de l'immarnence pythagoricienne et de la transcendence platonicienne v r Ou JI ^o: Q e aT(:ïà O 'àprtôO0Lu; eîYtX tvrivC! a'Ur T T?av oY: J.c..orsque les.l Pyi-agoriciens disent que lsc choses imitent les nomxbres, ils mettent sur le même plan la réalité numérique et la réalité n-aturelle; ils constatent une ressemblance entre l'ensem.ble du nomnbr; et P'ensemrble de la chose: 'Ev UB Tô' - dp oTç ~8ioxou O.-wp&v 6;b.ir~. oXXol 'to o xcae. ytyvo'ivotF... xc! T ':v O)ov oulpAv <pPov'sav ii,.< Xt x pl.jpOp a. Au contraire suivani Pl aton, ia science de$ nonibres porte non pas sur les choses prices en soi, m.ais sur les caractères des chooses, qu'elle réussit à comprendre dans ses determinations. Le principe de ces déterminations, c'est le.îirpa dont le domaine est défini avec precision dans le'Philèbe: ~ Fégal et l'égalitée et après l'égal le double et tout ce qui serait rapport de nombre à nombre et de measure ruesur6. ~, Au même objet, suivant l'étalon de. ia -mesure ou de la numération,' s'appliqueroua difrents t types de détermiiaiation; matis ces types idéaux sont pris eRu soi-des réatis lit utonomes; ils constituents le plan Timée iou les Ides seraient remplacées par les types naturels, les paradigmes (t, XII, p. 242), et o la &it.OFc, sertaiten réalité, IlVt'rC; (. X, p. 289). Zeler a montré les dificu'glt d' e;esparation aulssi complete dans nln emé.oire Ueber die Unterscheidung einer dcppelten Gestalt der Ideeniehre i n Pden platoniws cSchri flen, (1887), Kleine Schriften, 9, I90, p. 309, e- suiv, 1. Diels, op. cit., p. 301. 2. lbid, p. 3t5. 3. N. 10902,0. 4.. Aet., A ( 98P ' 7, h f. P hy. I HÏ;, 4, 2033 6.. 5vFe.L A. 8 Sâ27O, 61 2) A, X5pSTo v k4AV TQ 't O Q xadi ZIger.yTt 6e S 1 TO 5OQ TO o iVtA. o xaiX i O t; 'îS 3 v T Cp' àrpM1Oibv &pbO,?; q ~iFP3l-Ov YÉ saoS ir'~POV aUtOl; 0IJL7wVT'' J stç s b,sepa ( aTC'oY7ldl'v 0t xsoû)\'co; avC foXOi5v Spy.v 5O.sO.

Page  45 LA DECOOUERTE DES IRtATIONsNELLES 45 suplrieur de vérité ou d'existence dont procède la participation 1. Que ce soit par présence, par communication 1o sous quelque autre forme ou par quelque autre moyen2, c'est la g-randeur qui fait que ceci est plus grand que cela, c'est la petitesse qui fait qu'une chose est plus petite qu'une autrea. Telle est, dans la lumière brutale des textes, la distinction spécifique qui nous conduit à l'6tude directe du mathématisme platonicien. Nous avons à déterminer d'une façon precise le progrès accompli par la rflexion de Platen. Comment de la m6nditation de la mathématique a-t-ii tiré une doctrine de ia connaissa:ce qui déborde par delàt le domaine mathématique, qui se prolonge mêéme au delà de l'antiqiiLté, puisque qurelques-uns des interprètes les plus profonds du platonisime y ont décelé le germe d'une méthodologie universelle, capable d'être reli.e T'lid6alisme critique des modernes? Mais comment, d'autre part, l'avènement de cette philosophic, dont le succès fut au début si brilliant que ia mathéematique semiblait avoir absoibé la philosophie L, a-t-il été suivi, à brief dé6ai, de la disparition de la philosophie mathématique? Comment la science des connexions entre les idéesla science rele - a-t-elke paru pendant près de viingt siècles, subordonni e. la science apparente — à la science des classifications verbales? Cet secd question ueti ne doit pas être séparée de la premiere; nous ne serons pas éloignlés de saisir le sens dt mathé6 'matisrme platonicien si nous nous rendons capable de satisfaire à cette double curiosité. LA DÉCOUVERTE DES IRRATIONNELLES 25.. - pirectement ou indirectdenent, la consideration de la technique est intervenue dans l'élaboration de la philosophie Pia:onricienne. L".dentfica-ion exact que le pythagorisme, au moins sous sa.forme p rimlitive et, en quelque -sorte, à l'état pur, avait 6tablie entire nle 'aembre et la grandeur, entre la pensée arithmétique et la r6t:itSiconcrtte, se trouve rompue, à l'époque oi fhAodore de Clrene enseignait les mathématiques i C. Cf. Phédon, 100 C: V0;.,EtC do FQ 01, Ts ~T: " a ~ );XO ~,,o x. Ce, xp' a6rbQ 0' xaXbv, o'8s ` 'ev a.)X, xA',bv e tv~g - &idÉrt Fa.STXC~ E ixaCvoU TOU -/aXOo'.J 2. Ibid., 100 D: oi ^ aXo.,t oiet kUra6 */a5 o. '~ ixYl èevo o t1o0 Y.Xo$ ~)t'. rtt apouJtj C ete xotsvowe>vi; s gWr.r. 89t/ ~Il ggooc arpoo s'y~yv;.y. 3. Ibid., 101 A: l )o, 8i fLO'tQpTy ' av, AbT cru tkv' o'u-8v o,),o ),^Yt'; & O'. zi p.kv fis~ov 7Cav 'ErpoV Ettppo çyl o t;X)p ptst'v 3rlUv yz GEyOt, al. ràc TO uTO i) r, 6ta iob I&*r0o5 t 8).TTrc V... 8& TTYh o eity-xP6-T;XT. 4. T'Y~ov. 'T; "sc'tlA':T' ToÎr v'rv', qXcjoo a ^,f Met,, A 9-992a32.

Page  46 ,6 LES ÎTAP DES LA ILOSOPE EMAT IQUE PIaton % Chose curieuse et 'us maifeiM: e la fnconditù de leurs proc6.dés scientifiques cestA -mtx Pyt. -agraciens eaux-m. rnes qu' i1 dua la découverte capltale qu devairet r etre fin ai règne du aombre, la déCouverte des grandeur s co-hmnsensurabIesa Dans la plus barmonieuse dees flnures qu'ls aimaient à. consld6re,' da-ns le carrée ils doevaiet i, econtier un é Cine-tat géo rm6trique qui n'était plus une somme de points. Conrnimen s'e st rév4lé1e c ete difficult? Autannt qu'on pen t le prsIurner, ce serait par é6tablissement de la >formule genfrle ae inuesous le om de th téonèrae,de Pythag re ' a et, b 6 t a les ciôt s d'u r triagnlîe, l'hypotinuse, a' -—. b - cCete relation était connule des Hi doous, i une époque que M. Bü'rk, dans son introduction. l'Bdito et i a publication 4es StiluasItras d'Apastamba., fait remonter au vier siôèle avant l'ère ehrétienne (et -a date est acceptée par!es eo rniers historiens de la mathématique). Mais si les Hindous onA exprimé le theorème de Pyfthagore dans sa généralité, nous ne pouvons pas affirmed' qu'ils en possédaient une démontraftiotn g~n Irase Peu. éit-L se conitentaién,-ils de poser la loi par iduction, en remarquanit la co-nesxion entre les différentes valeurs, exprinmées en hioiîbres enierss,-que Pon, pouvait donner aux c ôts de l'atgle droit du triangle (ou plutôt du rectangle) et deis v ealeu rs animriqtue entières qui leur cor.res pondaient po-ar 1'hypoténtte (ou pour la diagonale). L'induction devait leur paraItrXe'd'auianat n. oirs douteuse que, suivant. la remarque de ZeJttren, is devaient re pas hésiter-~ à croire que toujours il éeait possible d'exprirmer les trois c6tés d'un triangle comme des multiples enters d'un u. té assez petite. Au c onraire r iPyuthagore, don't ce rut: là sans doute l'apport original, le tl-;oreme est.une vérité qai. est ind'pendan e d cette pareIcuxari t i que les ctli;s du Iriangie eeLatngle percent être repose en6e's par-.d's nobresT.ten tirs. D.s ors,, les Pythagoriciens se trou-vaient, engaged dans dan domnlinet o4à le parallélismre du con ept numeriqu t et de la représen tatio.:. géométrique ne peut pli s se maintenir. Le carré est la figure rectangulaire la plus simple; le carré nunm-triquemeunt. le!. Diog. Laërt, III, 6. 2. Voir 2, Wie alt ist der Satz 0on Quadrat der Hypotenuse bei den fDdern?.eitschrift der deutschen morgenlandisehen Gesellschaft, t. LV, année 1901i, p o50 eL suiv. 3. Théorème de Pythagore, origine de la géomntrie sciengifique (Gongrès International de Philosophie, Ile session, Rapports et competes rendus, Genève, 1905, p. 846) Voir également Milhaud La Géométrie d'Apastamba, Revue Générale des Sciences, 1910, p. 512, et suiv., et Nouveltes Éitudes sur l'Histoire de la Pensée scenifiçrue, i1t1, p, 109 et suiv.

Page  47 LA DECOUVERTE DES I.tAAT[ONNELLES' 47 plus simple est celui don't on suppose que le. côt est 6gal a l'unité; or,.l'observatin e iprique a dûi le faire facilemeant découvrir, si la diagonale du carre, qui a ulnité pour c t4, est.prise à son tour comme côté d' un nouveau carré, l'ai. e e ce carré est égale à deux; quelle sera donc la longueur exact e ae B diagonale? on si l'on pr6fere, quelle ser la iongueur exacte de l'hypoténuse du triangle rectangle isoscèle donti les c6tés sont égaux à Funité? Tous les essais faits pour trouver 'une expression fractionnaire doelt le carré soit equivalent à î, échouent les uns après les autres. L'échec est-il définitif, et ne pourra. t-on en choiisissant des unieés de measure 'de plus en plus faibles finirpar découvrir une racine exacte' de S? Les Grecs se sont posé la question; ils l'ont itranché6e à l'aide d'une démonasraion qui donne une idée claire de leurs ressources logiques, et qu'il est- d'attant plus intéressant de reproduire ici qu'une allusion d'Aristote1 permet de la faire renter à une date très voisise de l'époque pythagoricienne. Si la diagonale est commensurable,' au côté du carré, le rapport peut être m mis soes la former d'une fraction irréductible d Le théorème de Pythagore dr^ 'a montre immédiatement que d est pair, d'où l'on conclurait, puisque d et c sont premiers entre eux, que c est Impair. Mais la parity de ç permet d'exprimer le théorème sous la forme sui" vante - ac% ou?z __C~ ce qui entraînerait la parity de c. Si d et c sont supposés cormensurables, il résulte de l'hypotièhse que c est h la fois impair et pair; Ainsi sb trouve établie à la pleine Blmière du-. raisonnement 'rigoureLux P ripossibilité de faree correspondre l:i.t nombre déterminé d'unités à a.iagonale d'un:c.rré qui a ' unmi: pour côté. Un tel nombre devrait être celui qui a poou cairrt; il devrait 6tre pair et 'il devrait, tre irmpair en même temp i. n!a pas d' ~ état civil ~, il est en dehors de l'inteiligibiité. E; pourtant-la grandeur que l'on se voit condamne à ne jama;s pouvoir mesurer avec exactitude est gédmét riquement construite et déterminée. Le domaine de Ilexistence déborde le type de l'intelligibilité; la rupture de.éI quilibrè où s'était tenu le dogmnatisme pythagocriien 'est inétvitable. i. Permiesrs Analytique.s, 23, 41 26, ' A,u $,pr po~ q *.~S c.o ç,. rT T-,-'.,0: TA -TÇ 'ïC Rà e3X T. tOÎ'Ç-ap Tià tip.tt S T ~~Q'3 v si -~)r 2. Voir ia proposition iatrod3 te dans.... Elme.s d. î'Eleiqdl (X, 17) Cipud Heibher, X, A pp 26, t. *ii. Lei zig 1p886, o 40i,

Page  48 LES ETAPES DE rLA PHrLOSOPHE MATHÉMATIQUE De cette crise il demure un témon0in, ZSnon- d'Elée. Quelle qu'en ait. été lintention, quelle que soit la Base positive qu'elles recouvrent, les apories de Zénon d'Eie ont signifi6 pour l'antiquité grecque impossibiité de fire coïncider la pluratité discontinue, pblralîié pythagoricienne des: points aritnhétiques ot encore pluralite démocritéennie des atomes éteFndus, avec a donnée concrète, avec la r6ali té continue de l'espace où leJ chose se deplacent; elles ont maerqué l'échec de la science tèllee que la matthématique paraiassat en avoir jusque-là fixé-ie modèle; elles'ont provoqué une conception nouvelle de la connaissance et de la vé rité. 6.. - A travers les Dialog ues d Plat on, plus d'un indice vient ténoigner que la découverte des irrationnelles n'est n pa étrangère à la doctrine platorincienne de la science. Dans!'introduction du'.Théetièe, dialogue destine à marquer Ies pre.miers degrés de l'analyse qui remonte de l'apparence sensible à la vérité, Platon rappelle les écrits de son maitre Théodore, qui établit l'irratio:alité de!Ô/, de V7 et poursuivit jusqu'à i lI la recherche des racines carries irrationnelles2. Au VIe' livre des Lois, il se plaint, cornme d'un crime Contre la patrie, qu'on laisse ignore aux jeunes Hellènes, qu'on lui ait laissé longtemps ignorer à lui-mmen, la distinction 'des grandeurs commensurables entre elles et des grandeurs inerrimen. surables 3, distinction dont il fait la base des ~ humanitls ~, Surtout il convient d'insister sur l'exemple du Ménon: le problème, l'un des plus simples qui pouvaient. se presenter après la découverte de l'incommensurabilité, conrsiste à déterminer la longueur du côté d'un carré qui serait double d'un a-ut're carré ayant quatre pieds de surface. Ce qui est significatif, c'est le bmt auquel cet exemple est destiné: il s'agit de prouver la thiè/se de la rdéminiscerce. Le Socrate platon-ic:ien faith introduire un esciave auquel, sans rien apprendre directement, par le selt efet. de la 1lumière naturelle qui se révèle à' elle-même, il pretend faire retrouver ]a véritable solution du problme 4. Les premieres réponses de i'esclave sont emprunte s aïux cadres de l'arilhm6tique pure: Le caré de surface double paraît avoir un c6té de longueur 1. Vide qi fra, ~ 95. 2. Théédtte, 147 D. Voir l'étude de Zeuthe SLur la constitution des livres arithmtétiques des Éléments d'lactide et leur rapport à la question de l'rrationalité. Academie Royale des Sciences et des îIettres-de& Danemark, 19i0; p. 395 et suiv. 3. 820 C: Ti Ti;ov u,^rT'o-nT/v; O &p,Tlop(v =p4ç é)SArFa, r:v '0 S YYovE. 4. 82 B. TIpr~:, ^ Tov vo0, 0o.o-Tp< aOt ^ i v qtoil a Tquj']6 vOç n E^,r"LcU~l~. v j~

Page  49 LA RÉGRESSION ANALYTIQUE 49 double. -Mais la longueur double est 4, la surface double est 16. - Le côté du carrr sera donc plus grand que 2, plus petit que 4, c'est-à-dire 3. -- Mais cette réponse, qui épuise en quelque sorte les ressources de l'inmagination proprement numérique, est encore inexacte; le carré de trois pieds de côté aurait une surface de neuf pieds. - Socrate suggère s alors une" considération exélusivement géomiétrique. 'Soit le carré-A B C D t (fig. 3), nous pouvons lui juxtaposer trois / carries égaux de façon à obtenir la surface c --- -i quadruple AEF. En prenant les diago- nales BC, GII, I, HB, no s coupons en \ deux chacune des quatre surfaces égales _ -- / au carré primitif.,Le carré BCIH est donc pig. 3 double du carré primitif; le. côté, dont la lonigueur serait égale à v/, est la ligne que les Sophistes appellent'diaméctre: c'est du diamètre que se forme donc la surface double. SECTION B.- La méthode platonicieiee. LA RÉGRESSION ANALYTIQUE 27. - Reconnaltre que ce qui est au delà du nombre n'est plus au delà de. 'intelligibilité, faire une place à la solution exacte de la géométrie la même où cette solution ne peut se ramener à la forme simple d'un rapport arithmétique, c'est élargir la base de la science, et c'est en transformer la notion. Il est devenu, impossible de maintenir dans toute sa rigueur, dans toute sa naïveté, l'identification que le pythagorisme avait affirmée entre les nombres et les choses; mais.il est également impossible d'accepter dans toute sa simplicity, dans toute sa crudité, l'oppositiôn etablie par Parménide entre le monde de l'être ou de la vérité et le mode de l'apparence ou de l'opinion. Sans rien relâcher de la sévérité dialectique avec laquelle lesEÉlates avaient marni le principe de contradiction, la philosophie platonicicnne se proposera de reconstituer le système organique où toutles les sciences trouveront désormais' leur harmonie et leur ruité,. Elle 'co.mmencera donc par suivre à 1. Cf. Cantor, 13,. p. 217U. *2..KcXoc y, T:auTrlV' Sti'P(;.p po' o% ot5a, dS~-;' E' *'rcz ' 8!tiTERpo 6C voa, 7i;Ou T?: OCtlE.csTpo1j àvy0 ô V -.cru, W iTZC MEYvam, yVVcOvT)^ ô' TO " î.TAaoi Coôp:ov. 85 B. BIetU-SCHVICG. - Les tapes. 4

Page  50 50 LES - ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATH'fMATIQUE travers la hiérarchie des différentes disciplines le progress d'analyse, grce auquel la imultiplici;té confuse c1t changean rt drtsensible se résout en un syst,ème de rapports inteligibles, En. ce sens, la doctrine platonicienne de la science peit.paraitre calquée sur la dialectique socratiquc, Socra&e a-obligé les hommes h considérer leurs propres actLions, à les onfronter avec les actions ou les discours des autres hommnraes, refléchir. sur 'incertituddede leurs maximes èt la contrar6éé de leurss d6sirsF jusqu' ce qu'ils soien. arrives, par des pîrocdés ei6shodiques et convergents d'épuration, à dégager a- notion qui par sa gn-rirailité môême était capable d'imprimer à Ia cond uit une directionn rationnelle en conformn-i avetc a n ature 'rai de 'honmmrne 1. Il avait poursouci cotnstan.t dle rarinener par- la penske de ses interlocuteurs vers Thypofhèse'. Platon fera de:mtnme, en se plaçant su -le terrain de la recherche spIcula.ive doxl Socrate s'était sy sténatiqueiment abstenu; il lenregistrera les contradictions du sensible, sur lesquelles après Heraclite!es Sophistes avaient insisté àvec tant de plaisir six,osselets sont à la fois plus et moins, suivant qu'on leur compare quatre osselets ou huit osselets!. Or,-comme les difficulties dont, l'iterrogation socratique embarrassait la discussion. ces contradictions sont fécondes;' elles servent d'aiguillon pour la recherche de l'hypothèse initiale. Les sens confondent la petitesse et la grandeur dans une nmême perception; intelligence est alors contrainte de venir démêler cette confusion et de consider comme distinctes firandeur et petitesse. Ainsi s'opérera le passag e de 'arithm6éique du vulgaire à l'ari.rhmétique du philosophe. Le vulgaire n'hésite pas à fire entrer dans un même calcul deux unités quantitativement inégales, par exemple deux ann6es, deux boeufs, deux cl-oses même qui seraient ou les plus grandes de toutes ou les plus petites; mais les philosophes refuseront de suivre quiconoque ne commencerait pas par poser l'homogné6iteé parfaite de c'haconc 1. Met M. 4. 1078' 27:... 1 8o;,p Zo-tv & TI; "v ctooii- " p 6,.tj to,5 r', eaz-. xo;q \6)dyaus xw t*b 6p!5cr.Q~: xa0dovu. 2. Mémorabtes, IV, 6 (13).... ès'i 'cv trsd6Oe v ixav-ry'v 'v x.dv TO, r 'vO' Cf. Jacksoni, On Plato's Republic, VI, 5,09, D. sqq. Journal opPhiloogy,., X 1881, p. '45. -3. 'ArTp~yc.)o;î Yap ' ou ig, av |ièv dt iT 'p#c aoVrTorç,p oavi'fxqtî, y^î.?.,*jA (tir,iv0a;Oiv;sET;r tùov x~;l q)u.ro).'ov~, Eiv sa &(it~,s~> E),tTrOyç Xtc ~*riB;,-;. Thddit6.eX 154 C. Voir Natorp, Platos Ideenlehre, Bine Eiiflhraung in den Idealisinas Leipzig, 1903, p. 160. 4. Rep., Vil, 524 C. MI'e ov l wit'.xa o( nt.p. v. b%. iîpIP, cft k l ot "9( - 'ptrpEvoVY,4~UXa tuyY.;ufiEévOv T,.. Ita ii~ rT^j TOuT'OU <rapIvet~v piEya UF. /cs aS QVpbv,i v&: ' Yi; vay.&iO-tj IseRv o'j C yE.^p vca, àX)^a& ôpsitrp.i6 voa, 'asv`toV ï O '. >f.i

Page  51 Lt BR6ORESSION ANALYTrIQUE 5 des up.tés.. 'd'unTe myriade Le calcul sert aux intérêts de la 'vie prîive onu do!a vie publique, pour les ventes et pour-les a8ehatsi pOur les bes.ons de. la guerre; mais les cailcus surp pioBent les rapports initrisèques des,norbres La praUique de la, kgisjtiqnue ~ invite' l'esprit -à une vrtériable conversion, qui Pite aed;iessu's de la, sphere l deu ven.ir, qui le tour.se ers; la conteî mploaion de la nature propre des nombres, qui ktsi ouvTre la voie de la 'vérité et de 'ét re 2. La ( logistique ~ ou anirtnhmî'tique aiteint ainsi des hypothèlses fondamentales, par epxemple la division des niomîbres en pairs et impairs; '.e; pre.''iant tes hypotheses pour point de départ, elle parvient ras>ownetiemeant aux propositions qu'elle a pour but de d4éhoBnretr, La géomét1rie es, susceptiblee dq m me progrès; se;s ppiicat.e ioxt s prs )_altiques p.ar example dans l'art. de Sa g;e;ti'.e, poiu Vêtab'issement,d'on camp, potur. e si ge "'u n e t lace, p3 l'ordre d'oIre marôche' ou d'un combat' tV xoig"i'eni des propriïétéGs que pyossdeAnt les figures. Les géomlres e -ee:? ' i e fig.uredsr vwrisies, tL eon vnt le sujet de leurs raisorene..e M.auisibje, v.ritab l e dt e leur pctseue, ce ne'sont pas;:'eS. s e P s sonit d'aieutre reait:.s auxquelles ces figures ressemb.l.et. Le'-r. 's (eomonst rai'o s'ki~,xt po'.r laison le carré ei soi et la àd i, na'.-l e1a- si, neot ia 'iagona.e qu 'ils tracent, ou quelque aui.e fitg!:.' ont ils se ldonent la reprenaion plastiq"uie oo p1rastiq oiqu et qui est a:sseeptible de projeter à son tour une omibre oi t.r i imag dans i "eau; routes ces figures ne sont ell;- mêmes queds ages aqees go tres oiagesres nt recourse da'ns leu, r effort pour atteindre.à. ces réalités qu'il n'est pas possible d'apercevoir azutrement qtig par la.pensée 7. Les hyp.othèes i, OtIpv Ytp ou p. ovwac-' cvalS f; 'rlo xw t.apt9ow ruvT~; rrt;;,pt Olsbv: oid,'s' r' çp ~td'x8r S8o Y.ti1 v oU ' So, xao 8ot ra tL& i.xlZoTTra r x1 l Tda r'V'a&vv dft:', os o o tx ~v:ot' ~Ù;ot; vvra.xo~ ou0Ocr.stav, ci pl pI.ov&ac ~av5So ~ èx&r';'rj~ 'r>v ~cpi hc:. v Pn.eltFj.a v XoX).Xv "a'iA- 8PohpouSt'v'rti O'es'. Pfhilbe, 56 I; 2. VIpoos<ry. v x,8s pO Ltr1-va. tXV' %.li, O PiTJX<V,, V <; tYio 'ts XR di sv 'eo$ a t.C pI)~)OVç, v 7,6tt 05~V t.E7 'T'tîXV T ' t>tû, tt6E'v )-.~9ét oy 'taCn Y al à'cadr e 0Tv eÔa, ocarsï q ry lôtorissc, &,)* ' eU, 1v n;i 6Oélra Xe' rtie iov 0apo v ot; ipofV xC,*rva c VY| rn v& `yi u^s,;iu fl'Oçr oU v m&paa~c) ç 'apwv ic & af4pî uç % naov'ï). cç p.e)^AT(fBx0, vxn),\S veo>;~.nsXoi0or''\ a af'sc u v r) V-X^l pa'5t0v'Ylç j,-Tas <po~r;ç c? Fo rYaVifg' it9' Xi~.à':i v t ra, v.cl otuoav. Rep., VII, 525 B. 3. Rtp.,, 0. to 7'epiod p arbv x. ' ptov. 4. "Ev 'toovt. S' àpyp.a~vot T& S.oità ï]ô% StEcLdv'~cc îEc h twîv 'ciô ^GYOypn Ent. oO',o, o v an 1't yA4'+v v ppl'lo ~o Ibid, s. Phlèbe; 50 E. 6. lep., V, 526 D..,. TçoZivo qlp~Xps et:~) tpO^PTI Afl.roù; qX ç '<xctl r-t`7s e'p'Ou`vTU't Q') spli.o sU'w v -a)vo,,.' xvov t' QOVpt, otr 'TstV?opX, 0' ' T'o or'a T c vovy O cTul t;n'.X'a:0,5- '6To'0 i O oto.Isvos.t 8tf{xtE:pou OiTq,~ Xi) "5 ra'T,'tq,:6v y7ep&o'u-;:,

Page  52 52 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE. de la géométrie, par exemple la division des angles en trois espèces, seront donc au delà des représentations figurées, tout en étant en deçà des rapports entre nombres entiers. ~ L'Epinomis qui reproduit ici, à n'en pas douter, la lettre de la doctrine platonicienne1 ~, marque nettement la fonction qu'à la suite de l'arithmétique, science.des ~e nombres qui n'ont pas de corps2 ~, remplit la science qu'on appelle du nom ridicule de géomérie * la géométrie rend évidente, en la faisant participer à la loi des figures planes, la similitude de nombres qui, dans leur nature purement numérique, n'étaient pas semblables les uns aux autres 3. Il s'agit ici comme l'a expliqué Paul Tannery4 de nombres plans semblables, c'est-à-dire qui peuvent être représentés par deux rectangles semblables. Pour que de tels nombres soient commensurables, il faut que les côtés des rectangles respectifs le soient eux-mêmes; ce qui exige que le rapport des deux nombres donnés soit un carré parfait. Or, la construction géométrique de la racine carrée incommensurable permet de déterminer des rectangles semblables, en dehors de l'hypothèse de la commensurabilité. L'intervention de figures géométriques étend donc les relations du type numérique au delà des limites où s'arrête l'expression du calcul en nombres entiers ou fractionnaires. Une méthode analogue d'analyse régressive permet enfin de déterminer l'objet propre de l'astronomie. La merveilleuse variété des corps célestes est pour l'astronome une sorte de modèle artificiel, destiny à provoquer une intelligence indépendante de l'intuition du modèle: l'intelligence des mouvements vrais, constitués par les rapports réciproques de la vitesse réelle et de la lenteur réelle se mouvant suivant le nombre vrai et suivant les figures vraies, entraînant dans leur mouvement toutes les choses qui sont en elles ". 28. - La doctrine platonicienne des sciences mathématiques exprime dans l'histoire le moment où intervient, comme aOl T&ÂOa O"TÇW, r&'jTà >a OiV aTU, à 7rXatTOUai te xc'r ypXçouov, v-Xcca o'xic xoa ev a eCtV î.v e6crC, TTOiçTOt p>Yv cb sinYa6v Ca 'p(6vOi, yto-VtÇ te U eX-rva ic ZTv, à o'jx &v iXXuc l8ot rts, e Tr% 8tavo6u. Rep.,VI, 510 D. 1. Elie Ilalévy, La théorie platonicienne des sciences, 1896, p. 236. 2. 'Aptôl1cv air:3v, &)X,' o. stop.ara XOdvTr(v, 990 C. 3. T5v o VJX 6 toev' aE ôp oit'v q))fi)o< t ç àVpet &pct0.iv 0oiwsrLç itpo; T'r -n Tc 7rt7rJC8E v totpav yeyovuoc Tart tcaç~cpv^ç, 990 D. 4. L'Éducation platonicienne, III, Digression sur un passage de l'Epinomis, Revue Philosophique, 1880, t. II, p. 529. 5. Tyev S T') OC\Vô^i..-. &ç T, Cv tya'og; Xa' o~Cra ppa5rI çv &r @ fXtivno az ptp.c.aCt 7raxt Top. s VI )-.i6,cTt Tat çop5a D. o poç osqa rçpeTai xal Tt iv6vYT çépci. Rep., YII, 529 D.

Page  53 LA RÉGRESSION ANALYTIQUE 53 démarche nécessaire et comme démarche distincte dans l'entreprise scientifique, une analyse régressive marquant à travers les degrés systématiques d'une théorie de la connaissance l'intensité croissante de l'activité intellectuelle. Que cette conception, dont l'originalité, dont la profondeur ne sauraient être exagérées, ait été présente explicitement à l'esprit de Platon, c'est ce qu'atteste, en outre des pages qui terminent le VI~ livre de la République, une indication formelle de l'EIhique à Nicomaque oi analyse et synthèse sont définies par leuropposition réciproque: Eu yp xat Iriaroiv r67i:p to.ro xc; ^'nei, aTOTOpO ov O ETi à v É Sc TÇ àp6/Ca icmV TV ôdç, 'iop ev Tw TtraS' àtr TOv itôo sr v 1b TÔ'TOpV.5 Q UYa6Ci. v 1. Une 'tradition que Diogèe de Laërte 2 et Proclus l nous ont transmise, précise davantage: c'est Platon qui aurait introduit dans la géométrie, en l'enseignant à Léodamas, la méthode analytique, celle qui remonte de la proposition en question jusqu'à un principe déjà admis. Mais, comme l'a fait remarquer Paul Tannery 4, il importe de limiter la portée de cette tradition. S'il s'agit de l'analyse sous sa forme féconde de procédé inventif, la découverte n'était plus à faire au temps de Platon: elle était impliquée dans les tâtonnements des premiers < géomètres ~ en vue de coordonner le résultats de leurs observations. Proclus lui-même ne nous apprend-il pas d'ailleurs qu'Hippocrate de C(hios, contemporain de Théodore de Cyrène, et le plus ancien auteur d'Élements géométriques ', avait usé d'une forme particulière de l'analyse, l'IY(orFy en ramenant le problème de la dup'cation du cube au problème de la détermination de deux moyennes proportionnelles entre deux droites données6? Cette réflexion sur les procédés d'invention devait conduire à un usage méthodique de l'analyse, non plus pour la découverte des vérités mathématiques, mais pour la découverte des propot. I, 2-t09~5 32. 2. Diog. iLaërt, 1I, 24: TIp>TOX Tov xTxr t )tv à v&?î v è t; 'qlc7bE>v r TpVov ~Î si#ato Acco.aiavdeTv T(3~ran)* 3. Ed. Friediein, p. 211 MèsoIoi 8 Ut) 7t t oûpalt;ovTa:, xa)ZlrO, t1 v '6 8tà T ÇvXTe; IC' &YpxEv 7 6p oOyoXup.lwV7Jv V(Y.ouVa TO rtTO LoSVOV, 'v xLc' 6 II6 )citov w; çqrt&` A~Ettteavst a i?ôea8exev, àp' ); xacl &xs:vo 6 1ro> )Aôv eax-a y (x5et'pi~v ~VpST:{; lTrzdpY)Tai; y6vécOa:. 4. L'éducation platonicienne, VII, L'Analyse géométrique, Revue Philosophique, 1881, t. I, p. 297, et La Géométrie grecque, 1887, p. 111. Cf. Du Sens des Mots Analyse et Synthèse chez les Grecs et de leur Algèbre gdométrique (Notions historiques à la suite des Notions de Mathématiques de Jules Tannery, 1903, p; 327 ). 5. Op. cit., p. 66 et Diels op. cit., p. 231. 6. Op. cit., p. 213.

Page  54 17$e ÉSTAPES DE BL PnHiLOSOPHruw WNiÏM OcE sitcions qui en permettraient la verification, des femmes; or, suivant observation de.P T'annery, c'est cet usage de Fanalyse que Prdclus vise expressément loraqu'il parole de la méthode platonicieine. A l'appui de cette interpretation ae l'analyse platonicienne on peut ajouter que dans les générations qui suivirent Pythagore, et sous l'ira ilnce de Pythagore le ne, un trav s'ait s'tai.ccom apli pour raimener à a forme re rigouruse les raisonnemenLts math6matiques, travail qui desait n cessairenment avoir pour conséquencee de dgager les méthodes de dùnonramiion J' Il nest m4me pas interdit de pen.sPer qu'un raelonneur à outraine cornme Socrate,.qui suivant Xéaiopho, 2 était loin d'être étranger.'à la culture mathématique, a subi, saks le savoir peut-être, influence de cette élaboration méthodologique. En tout cas, c'est ce travail qui paraît avoir abouti, avec Piston, à sl constitution de l'ainaiyse comme procédé de demonstration rcmontiant de la proposition nsloncée aux principles êl4mentàires xi peret t nt d'en ablir l'etxactitude. Votii enfin une consid6rai (o'(bn don't les itistoriens d e la Mrnatératique g'recqte t t soulign l'i tportan.e " cette analyst a ia m(ityrBe, c t e. inyse des. rd:etfi.n;., ne ssuffit Fpas à cIt3e-Tmme; cr es ancienxs se 01ont. p.acs., no3n sur le terrain de l'algè 'be, où Ies propositions s'cexprimet en g'né ' rat l par des équation;s et son t réiproqa es, mais Asur!e terr ain de la g'éonmtrie oi e li, soni d'ord. 'ire 'if, Earc )icquel.t (enti ord onnr11es Etabiir que, B ta. tX vrai, eC5 vrai, k-c'esit pas:d' Iontrer que la veriti,, deS A..t mplaiqn l.a v rii t:d:e B, " P x',:l mpl!, on pe t d/émontrer par r-gre8R, * na}..... 'iq:,ue qt.ue le; som ets dss triangles tan l yant une a se c a oms e et.;..D,.~-;, ir.et ani se-amet de valeuir constaotne S;ont sitlu4s sur an <.?'~ t a "')' w'.crcie',';'*i;.ma:Lis on ne peut pas renverser l'ordre des prIrpositi t.,o et poser' q).re pourtt tous les triangles à base r commune,lyant lear so'niet ir uiln.cer!e,b la valeur de i'aingl au so.mme tut t e ot rsa T..e". c a r O n 1i4 c igerai i t, ialors les cond itions qui sont nécessai es pou' y la i wValir'i d'e cette proposiio e e doit i l.cerc i passer pi'a. ie"s <eifr<t,' de e la ba, se 0 on ne doit c. nsi dlrer equ la r'- p te du cetcej; r s>ituée d'un i seul côté e la base. De fait, dans les d:i;Srtio ns dsi n odes.d' 5ayse usits pa les anciens, que iPapprs a places en têt e de, recueF ei de solf tions analytic es, Cf3: <.<at'qps, v.:; 'îu{.,f -, t.3.~;.s Pro (i p<;Eu. ~Jm~.e)< ut, 0 pp. FrStt ç x e i, p, 65.i Ta (0~ f tr' > -PcfiT w.`p -> r,'` * tonus (d.tiprs EuIltt n m 8 e), édi FriC S k -;, pdiu 6-.. Mer.,, IV, 7 (3) > 5x<>.'xeip,ç ' E. <'g ov [lt v?Jvu 'vv>,.t" ofgtypc-i' arta v] t,v. 3. Hankel, Z t Oeschichte der Mathemati k. in tertham fund Mi iAtekterit Leipzig, 1874, p. i39.

Page  55 LA DIALECTIQUE SYNTHÉTIQUE 5 '-rn; 'u&o cOi), vo, l'analyse est regardée comme conduisant à une démionsiraton synthétique. I1 n esi guère douteux, pour conclure encore avec Paul Tann ery, que cette liaison de l'analyse et de la synthèse, ne se retroeuve dans la conception platonicienne de l'analyse. Si la r6é'ression. 3qui part de l'observation du sensible et de la pratique vualgaire, abouatit aux hypotheses fondamentales du mathématiaien,la science dans sa constitution définitive procède de e s hypo thses, et marche verse les consequences: oOx i=' &p',v:îOpsU ôu-ivY'^'~ S iD^À''~ h;n7Ù~ ~,ê'Xsuy^el r v o # c 3 i 3 t $" O x 2 bt LA DIALEGTMQU E SYNTHÉTIQUE 29. - Poau suivre dans son développement la philosophic de Platon, il faut encore aller plus loin: l'analyse d(es mathlématic';ens n'est pas seulemtent relative d action progressive qu'el e prepare; e le est- en outre relative à un nouvel effort d'analyse; qui remote des. hypotheses aux principes absolus qui les fondent. La distinction de la science et de la philosophie est dans la République aussi rigqureuse qu'elle pourra l'être plus tard dans le positivisme; mais la conséquence que Platon en tire est inverse e celle du positivisme: c'est la philosophie qui est autonnome et non la science. Les techniciens prennent pour p.oits de d6part de leurs raisonnements des hypotheses qu'ils ne croient uil de e ustifier ni pour eùx-mêmes ni pour les autres, corZmme si elles étaient suffisamment claires pour tout le monde 3 Or,:an8t. qu'on ne sra pas remonté au delà de ces suppositions, la mat a i ique mérite'a pas le nom de science; ses notions initiales ne serat q- lue de simples possibilités k. Elle dearTer;ea une sor e die rêve ans 8Yri se direc e sur la réalité vraie i.. VIï, 634. Voira encore Zeuthen, Histoire des Maitrmataesiques dans iAntiq.ai eC i e moye t d Ige, tad. Mseara,- iS02, p. 75 et suiv, et Heath, The threes Books of L'Eucd's E tement c 1, L ri, Car.bridge, 1908, p. i37 et suiv. 2. Xep V'I, 510 B. 3. BepI.,, 510 C.,.TaciT.,,v tç d'e, îco:o'ai LSvot ' a5oOt:t~ aU'rt, BIv'GT.t,dyov O'T~ a ^T'S L oT 0,' 6 X c,i;C ET;.: itovOo. C pti 5 é'ijrv 8t$iôvat (ç; s:avrt.svÊpiv~ Lo <odier, Les nmathéotiques ct a dialectique dans le système de PIat il, ÂAahiv fir Ges.iehte der. Philosophic, ianne 1902, t. XV, p. 485. Cf. L'Évolution de la Dicalecfi qu de Platon, Année Philosophique, 290, p. 66. i, >Al ns Âîsrl r i vs J tw, 0â V ï O t ï, J.Cf V e7îî)ivEOcr, Cywt)~patc ts 'ext;! * tc, tr'tV; rt Vv i' ( s ô.vipî jè b tôt tL o &Pfi 1tap tE àûO V;ovaU 7çQ lûjX ~ j); Xré' t pf Sîcà? avoy eist,, i fiy v t t'ro,,/7,:T,'v o.;v,?. ez{,-',' i;'; ra p r ''i '6 P-,^'} o,.;O,~u;' \ TI r y.a;:".'a, ~'- f~i> jr...I, a3a, Pg,`.t:,t9f *t7~é<Xltu)isYsr x~xsllR~tJaiS

Page  56 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE Se séparant à la fois des Pythagoriciens, qui mettaient sur le même plan science et philosophie, et de Socrate, dont l'investigation prudente paraît s'être arrêtée à la determination de l'hypothèse, Platon engage la philosophie mathématique dans une voie toute nouvelle. Les mathématiques situées dans la region de la 8tivota ne sont plus qu'une science intermédiaire 1. Le:i vérité réside dans une science supérieure, qui est à leau égard ce qu'elles sont elles-mêmries vis-à-vis de la perception du cOncret. La dialectique a pour fonction de reprendre les hypotheses des techniques particulières et de les pousser jusqu'à liurs~principes 2, elle prend possession de -'incondiiGiqpneni; ot de 1i par une marche qui est inverse de l'analyse, elle forge une chaîne ininterrompue d'idées' qui, susrendue au principle absolu, constituera un monde complètement iadépendanrt du sensible, ie mohde de la vo-lcç'. La philosophie mathimatqu e de Platon son degré le plus haut et sous sa forme definitive sera donc la dialectique, ou, comme on serait tenté de l'appeler par analogie avec la mnéaphysique qui devait la supplanter, la me'taatha - matique. 30.- Malheureusement, nous ne possédons pas les renseignements directs et authentiques qui nous permettraient de donner de la métamalhématiquc proprement platonicienne un expos systématique et complet' Nous savons bien qu'elle-avait pour objet les nombres idéaux, et après eux les figures idéales; mais ni Platon ne nous dit, ni les allusions des anciens à cette thori e ne nous font comprendre, comment se déterminait d'une façon précise la nature de chacun de ces n(ombres et de chacune de ces grandeurs. Nous pouvons faire le tour extérieur de la théorie, emprunter aux Dialogues l'indication des principes auxquels elle se rattache et des consequences qui en dependent; mais àu centre une lacune subsiste; et. les livres M et N de la Mdéaphysique, auxquels nous recourrons plus lard, n'y jettent qu'une lumière oblique et faible, moins propre à révéler qu'à ~ noyer ~ les traits véritables de la pensée platonicienne. 1. Cf. Aristote, Met. B 2, 997 ^. Taà p,.~sta&J, nrpl a TC; c60Yp.atx à e&; va' p&a7tv evrt~LoSCÇ 2. Rep., VII, 533 G: q 5td).{a:xîly pt1oo pdîvs' r6vuYtr 'rop s~'rat, Tr&S C6,oQ&ar:s &votpoQoa Elt' aoUtrV TrY &vPXVpv. 3. To ToivJV iTspov pz..v0a,~a T(cypa roTo vo'To' >yoY<~a' IE:o9':o, o,5 r.î 8 ),yTc; 0c.treTa To rOU Sto8yTo<aOCtL uvpLec, t&à sro02crs 7'o^ctlo;'oq oue. àp-, cnà -o) OVTI îoto Csi;, oCo jt i E pOtcyç *c y-l ôpy~ a;;;va -Fi, xoOa cven e"îov ~T I Y F 'IV -'îro rtavTbC &pZX{v xlv, 4&i,4. voc &yri, TC rl)sta, aX e^X6svo~Le> te.v ixtv- -e oFvLov, ooturT.En t eX'JtuIrv x OataC)iv &o~trP q '3x Ti rdn a CTiV o68CvC l à 'ipôoXtposv rç,?)Et- ' ~')S~t:V a$UTo~l 8l'Z VT6zv Ec îç a'a, xal rTEEurT Eît s; 'ôr. Rep., VI, 511t B.

Page  57 LA DIALECTIQUE SYNTHETIQUE 57 Pour Platon les nombres sont des Idées. Dans les pages mêmes du Phédon, où nous avons relevé la théorie de la participation, l'idée de la dyade et l'idée de la monade sont alléguées pour expliquer le véritable caractère des nombres: on hésite à. dire que l'addition de un à un suffise pour produire le nombre de.u, il faut invoquer la participation -. l'essence propre de la dgadel. Le témoignage d'Aristote confirme et précise le texte du Phdon; l'idée du nombre, ou le norbr;e-idee, est non seulement par delà le nombre sensible, ais a ssi par delà le nombre arithmétique. 11 peut y avoa-r une multitude de soombres semblables entre eux, n'ayant qu'une unit spécifique; mais l'idée est le'-privilège de l'unité véritable, qui est l'unité numérique elle-même 1. A chacun des nombres naturls jusqu'à dix '3 correspond une idée et, suivant un textc du livre M qui est expressed ment rapport à Platon, chacune ce-ces idées passède unestructure interne qui lui est propre, sans qu'il y ait de l'une à l'autre transport et combinaison d'un)ités homogènes 3i. - Quelle place occupent les noizbres idéaux dans la théorie des ides? La premiezbe si nous. en juggeons par un texte très précis de Théophraste qui sit. c les nombres entre'le ées es et les principes-; et par l'.ancdote célèbre qu'Aristox ne dit tenir d'Aristote, et où i'enseignement de Platon, tout au moins dans les dernières années de sa vie, est caractérisé sur le vif. Platon avait annoncé qu'il parler ait du bien. ~ Les auditeurs se pressaient dans l'espicr d'entendre parler de ce qui est le bien pour les hommes, fortunr.e, santé, force, en un mot le bonheur parfait; mais ce furent des discours sur les' m1athématiques, sur les. nombres, sur la géomnétie et F]astronomie avec cette conclusion que le bien. est lIun; paradoxes qui laissrent l'audiLolre déconcerté, qui en in mrenmme ê ue un partie en fuite 6. ~ 1 i. T~ l u,0. é.tvi vt`o;. pTscvrO,rr, îipoc9v: l.v i,,..slt,, TO. Cvo 7ya,,,crû: h caat;Xts,,1,o~ p,,'û'y ou[ iôXa ol. ' Xdysa:, z~t p- a,, â SoL~orTS, 0TC o'Sx o[a,'cO aÀ,tô- ',;m; GX'3rQov y~vo~Slt, sov i".Xzr~TLo'Lv.jrC,;h''. ol 7'.t Sêx.artOVt ou' 2v p.seractX, xo. sv *'.uro0; oUx EXs:, [Xs~Tcv] C7ij',r;9 " a.',z{.av Tot ô5io t ~ vEc OTl ~X'? 'rlv 'Ti~ 8'ug.ûç i.ietc XsG,,V, xl. $s[v.'î 'rouT ltXc.Ta^nf. ". r& iui., kiiovArm 8'Jo 'c~sic, xaic LovàJoç, o &v péX)O iYv oo5ôai. 2. "Qa~T' gi {Un gcrC iocap& Ta atQ' rs Xol Ti CScidàc.TCOt ts'p' a&Tt oirc?çyoucr tro TVsra, oy'% s'rtC; a t pC.Op,:'L,' O t' i'is: oSaHco, oyC ' a c &opaC. T<ov Ov'tùv &pO p.68 Icot0 Tsro o cra( T1v o, XO);. M era. et. B, 1002b 22. 3. E[II)Xtwv]...- *-tiXpt ycp. 8sxa8o~ xor~.:ov p:p'Otv. Phys., 111,6, 206 32. Z4. MetM.. 1083 33. I1-ATW v iï'ovZ... sr ivC Tti'Y 'Eau i? (ÀR-Yi p TtPiàGa, xa o0 rufg6X), TTo,;ie - t ot'cç &eLspt.oLo pouç. R ), x.o^u;. 5. Metaph, Ft. XtI (13),.dit. Wrimmer, t. III, 1862. p. It4. I r... s; çZ i. àmen7ts h& rMv oLt;q eS, oir I, ~ 1o; pto a. c Toeite, v.i87 p a7. 6,Wetments harmoniques, livre 11, ~ 1; trad. IRuelle, 1876, p. 47.

Page  58 ~ ES ÉTAIPES DE LA PlJL.00P& M1THÉAMTiIWQiE AÂi-ftotie indique à plusieurs r.eprises Tue les principles 'des.hombIreb sont d'une part ti p Un rt'art p ar la g-y4e du aG.ad et du Pe'ti, L'un est forme, ajoute Ait'ore; la dtade' e st. Iatire.'. <Ce opposition fondamentale est conforme i la tradition gé6nérale de la cosmoltogie g@recque,.; elle se 'attache d* ne faon plU pari iculiètre aux oppose ms pythagor <iennes, mas le limit est. dewveu ul i taandis que ilmi, o ppos n.a perdu soi uniité sLatique, qvil s'est, Bix a ei d ra-ur I double..... -8emelt â de laugme aati d on 'A " ' x':ue. c' d.de.dimh'mtiou, La caractéristique doe. inini est' d'ome n.s.. e VPhine lbe ' i Tount ce qui deYviet plus ou mllinsqui ecormporte le fort t, le dÛcux, l'excès eI.: tuit amtre ho. e ec semb.:abe, ii faut ie ra-i veer au geijre tde l'in~fini ci _ e à u-n siortie.d;uil^t 'ti. >o -.'anu.,, c'est co qui es;t sous u.n.apport identiquxe dune nmar n*re.identic. e sur un obj et identique3; c'<est le m e, que Plon pace'parmi les4 genres s Upr*'Osd.i:Sop.hise en fPe do t I <-é'ro.'nu perp Rîuetle q ui S3:~. EL. définissanat les prn des nor res id' aux, nous.aonis 'dtfini tles principes qui commeandent ie sy. stme de la. philosopher platonicie.nne, Pla on pr....e q". ' un est le bienxs, que 'intfini est le mral, come_ fisaient les Pythagor icier s. est dans 'la combination de un et (de ini n que va consister tuit e développement de cette plhilesophie. Tandisq4ue ses prédecesseurs im.mdiats parouraient dA'un bond 'inte''valle qui spare 'un de i'in fini, Pliton pi ocmlame dans le Phiéèbe Sa ntrcessiLéttS de marquer dans la.cormbnatison de Fun 'et de l'infini l es tapes intermédiaires, de son lettre le divers et le nmouval à un principe de limitation qui. fasse cess&r les cou',te'ieiS.,s qui nirtoduise a ensuree et l'ha..,in par i'a,héTvemet'l d'u. L es textes sur ce, point fonda! o tl: ot,. (.lr-x, teod;' res' p'i8 ipoi tans ~ 5I. A, >a4j'/87 20:, Jr;;.v bo v v p'~.i x'. 'l O ''.t;'. v '. -,V p(;. s '; o oùcr-> 'v 'c t gv' ï, ( v p -vit t;'j Ls~ ê t 't% sJi ly.' - ç o pf-O:o. ot>o- &.p*,Olt aIx enterdu cortm e apposiion à7; 3à dv.], el,; ':b 6' t a ) r-;-po.o, ),; t vo> A;Ç%$ (U irjU; x'a Itt x t -':t< ^ p:. ' )~ < ':ta jf..o.-:,,or t8^;'v. - Cf. Phys, ItI, 6, 2056 27. I).H', 8~ a -O'::r t a CO'esmp..Wst'.U?. 'i o:yrv: t '~I'.t tr, i au'if' ê"s O p. s e;X;l iOO/r (ni p > vï^v tf i & C t'' 0~ pt?> t'. v2 Oo': - VC T%: c *3aV.;r0-rv., 2" E^ A t p' t k. T6uwÇ zX- s,à '<':, ''.`,-t,' '.ru v.I - t-p 'l -Ris. t 24'i 9 B a. J5i.', 253 C, et suisuv. Cf. A legx ad Metaph.:, 6, 987'33 td. Hayduck, p.... &p7. h.;. r tr S m.I. ~J. a i a I O G tai Ad t7 3> A t i - - t" _' A '/fi t rlyc '.%5 t ') A I Ait ato f lMe,: N /,. t O' Oj'/ 0.

Page  59 'nombre déteriiné Ie Les notions de proportion 4et de homAe n'ont plus un carat rctre puremei. rat t lma,igquh e eles,ne possèdesnt pas seulement cette b-e-t. ' t, eri te. qu iest isa" rablt de l'ordre inteiectueA' Platon eur at:ribue -hune tneur aective, un yvaleur morale. Le Podlitque distingue expresséwett "n deux sciences de ia measure, lunee constiituée par w es. proc dés purement mécaiqu e.s, qui ressortissent à Sa technique 'propremnt itmathématique, l'autrec O er.ntée ves U.n idéc-.' de:igaiXé ' De 1i une remarxque d'une importance capital la nathématique que l'on retrouve airt avoir travers6 la,phre de la dialectique, la, mathématique qui a par sa par1iiepa4ion à 'i dée diu bien taquis la dig ié de ti ràaiité, n'est phis îa scicene sricte-C ment positive dxont l'analyse régressive était partie; sa pureté spécifique s'est altére en même temps que s'é6tedait l'bhorrio de son applicaiiao. Le TimdAe tout entier viei xdrat, confirmed ctte remarque. Les corps emoexntaires y ont (comme l'enseignait d éj Philolaos 4) la forme de;olyèdres réguliers (dtraèdr'e, ocla? e, osadèc're, cube); ces polyèdres dérivent eux-mu'mes des fonres les plus simples du tigl riang le ( rectangle isoscèle, eti triangle rectangle dont R' ypoténuse est double du petit côté, c'est-à-dire qui est la moitié d'un-trianagie équilatéral) A quoi il convient d'ajouter encoe cc re lque e quare ments se-disposent suivant unte proportion goxnéri ute dont les i8embres sont dates tntbres soides~ 'es.& - -reù protdus du tro se tr omibrees premiers. L terre ei le fIeu sali te dlex cx c r, es l'eau ee; atr seront les deux moyens. Ainsi t son ati isfaitess et la condition de con xe.:don qui e~s t i'exigencI mêmilme dle a science platonmcienne '. et ia condition de beauté qui marque l'inteitentiOn' d'un' Désmiua' e essenteile ment bion et' perpétuelIement attentif au système les idées; car a proportion g'éomtriqjue est le plus beau des liens,-celui qui q de lu-même et d ses choe s tes ire 'iilé6 'la plus compièteé - [,Îtéxa9~, [i s. i ai'(v ' 8o'Xr.,tvroiaV.pi s.,, i,,L y, i &a55O4t0v ~. ptt' gatv 'ïS'd(. ' 2 t.,) x, E. 2, A4Hi '>.,liQ. L' |AÊ;V T -l*^ x )l z;toSQV ts.r.tOzs ' y. tp: - r 1 q4W,?vp -à ", âh: phl rs TnV cO, su te'Sp'OU Yéviv9tV... i^%lov V 'T1 -aV.pO'C, y V 'jlV $tS' Tpfrt4?irVf.. x.r T';"r ov, nda p,t-x p~: vx'p:ov z^S & cpi.;r v v.7àt l rb'v zc#tpbv xi; - 'r, TQiv xi vaS18' o6.r 'a,içg h ~ i; -,Cîv.t,,l r^dTfaiv.tr&XTt',.- 284 D. cf. B odrier, loc. ciL 3 R er, at. Rd i, L d, Archiuv, t XV p, 47p,, - et suiv. 4. 53 B et$ saiv 5. Dieis, op. cit, p. 23f7 6. Th,. berlin, t'itede sFr h Tiaae de Past one, t., ~84, p., 338. 7. Ati~?s! O, pe ~ p, O ~ T,'Ti'x'jl., rt',p- t 8ç,,M.d', rmIénon, 9 8 A. 8. tÂ5'i;'-,OV Ô~ xd'.,Q;.j, t O;. f, '_Xl X 't. CF B 4.t ',':va iitt ''!r41t'tt-U TiOnr e, 31 G,

Page  60 60 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE D'un mot, également, il importe de rappeler cette constitution singulière de l'âme universelle où viennent se mélanger tells choses que l'essence indivisible et toujours la rnme, que l'essence corporelle divisible et qui naît toujours, que l'essence mixte qui est formée de la combinaison de ces deux espèces, et à laquelle viennent s'unir également la nature du même et la nature de 'autre. Les nombres exprimant les quantités entrant dans le mélange psychique, correspondent à des progressions géométriques dont les déterminations paraîtraient tout à fait arbitraires si l'on' ne retrouvait ~ dans cette suite de nombres proportionnels aux parties de l'âme la théorie matlbématique de la musique d'après Platon1 ~, 33. - Si donc la cosmogonie arithmétique du Timée cornprend les différentes sciences depuis l'astronomiejusqu'a lapathologie générale, si, cormme les aneïns l'avaient déjà remarqué 2, Platon a mathémctisé la' nature, on voit dans quels sens divers cette mathématisalion est orientée. Elle est assurément, comme elle était dans le pythagorisme, le pressimeiment de ce que sera la science moderne; mais elle est autre chose, nous serions tenté de dire -elle est surtout autre chose. Pour un moderne, dire que la science rameèn la quality à la quantité, c'est dire que les lois qui régissent la succession des phénomènes perçus sont réductibles aux lois qui régissent les combinaisons num6 -riques ou géométriques i Un pythagorisant ou un platonisant ne se préoccupe pas seulement d'identifier des rapports; il veut établir des correspondances terme à terme-. Les propriétés d'une essence numérique étant données, ces propriétés Se retrouveront dans quelque réalité d'un ordre différent; elles seiront découvertes par voie d'analogie, à titre de figuration symbolique. Or, que les deux tendances soient non seulement divergentes mais contradictoires, c'est ce qui ne pouvait échapper aux auditeurs de celui qui avait fait de l'étude positive de la géométrie une introduction à la r6flexion philosophique, qui avait donné dans ses Dialogues dialectiques d'inoubliables modèles de la rigueur et de la précision nécessaires à l'analyse de la pensée. L'introduction de la notion de mythe témoigne que l'auteur du Timée avait pleine conscience de l'embarras inextricable où la diversité de ces orientations pouvait jeter la doctrine; et elle 1. Th. I. Martin, op. cit., 390. 2..,. IIXrTv, 7ep~p oU-zyXs v Trve~ f Ta)ç y.#rY. C 'aXVO TD^v Y p' U v. Adjonction d'origine inconnue au Commentaire de la Métaphysiqie d'Alexandre, A 5, 985b 23, cité. par Gomperz, tr. ReyInondc, t. II,, p. 648, n. 2.

Page  61 LA DIALECTIQUE SYNTHITIQUE 61 était faite pour redoubler cet embarras. Le mythe est une excuse personnelle de l'auteur; ce n'est pas une solution philosophique du problème; d'autre part, il est difficile d'admettre que le mythe s'emporte lui-même; car pourquoi Platon aurait-il écrit le Tiinée, et que resterait-il de sa doctrine speculative si elle 6tait condamnée à s'égarer elle-même dès qu'elle entre en cùonta, ave, la réalité 1? Le problème se pose donc de déterminer at nature et le degré de la vérité que le mythe recouvre. En particulie, que faut-il éliminer du Tirée pour ret'ouver la pensée propre et la conviction de Platon? est-ce la forme historique de lexposition, la personnalité du Démiurge, ou 3ien est-ce la méthode mêénhe de correspondance symbolique? Il conviendrait de répondre. a ces questions avant de fixer définitivement la physionomie de la philesophie mathénmatique chez Platof; et, pour répondre à ces questions, il serait nécessaire de tenir chacun des anneaux de la chaîne qui relie aux principes de l'un et de l'infini les nombres déterminants des âmes et des corps. En particulier il serait nécessaire de savoir comment ces.principes peuvent communiquer à ces nombres une vertu en quelque sorte ultra-quantitative. Bref,.il faudrait être renseigné sur le point central de la métamathématique: la détermination de ces nombres idéaux:qui seraient par delà les nombres proprement.mathématiques. Ici. les Dialogues de Platon ne nous apportent, à la lettre, aucmne indication. SECTION C.- Lies livres M et N de la Métaphysique. 34. - Une lacune si grave est-elle irreparable? ne peut-on suppléer au silence de Platon par l'étude des notes qui oit été recueillies à la fin de la Métaphysique d'Aristote? C'est dans cette voie que les recherches devaient naturellement s'engager au cours du XIXe siècle. Malheureusement, à mesure que ces rechecches se poursuivaient et par leurs divergences mêmes contribuaient à s'éclairer, le crédit des livres M et -N allait s'affaiblissant. De toute evidence, ils nous apportent l'écho de la polémique qtue le Lycéedirigeaitcontrel'Académie. Mais à qui exactement est due cette polémique, et contre qui porte-t-elle? Nous sommes hours d'état de le dire avec quelque precision, et notre incertitude est 1. Cf, Brochard, Les Mythes dans la Philosophie de Platon, Année philosophique, ~11 année (1900), 1901, p 5; et Etudes de philosophie ancienne et de philosophie moderne, f912, p. 50.

Page  62 ê2 3ES 2ETAIES LA PL S YOA!il MUTW TQUF d'autant apls ~ assure > que toutt récemmcnt leas ivresa Mi et N oint. soumis par M,. Robin à la p tu mintiause, à la pTu intelligence de s a nalyses Si.r &sote i es a rédig6s ou dict6s, à ccup sûatr;y parole en rival de Speuaippo et de X nocrate aunta qu'ie aien auditeur de Platon. La ore elliptique des témoi gnages, qu1i ne sont le pius souvent qte de mystérieuses allusions, ne fournit mrme pas le moren de distinguer les theories qui aufient éta professes par Plalon de cells que ses successeurs y auraient ajto tées, de faire le dépar entre des traditions que Platon a pu recueillir auprès des elprésentants du py hagorisme original et les enseignements que e' s Pythagoriciens ont ean pruntést au Platornisne pour les ncor pbrer g 8x dogiers de [ ccotse,. peino si:'Tlon peut csp5érer d4 apercn,,yoir avec quetqie. préc:sion dse optinins qui ont été ré eSienle souten'ues par tquelque peilscr'r pythiagorisa.t ou ipatonisant à travers les tiransfotarmationsu qne le rédacteiur de, s livre Mi N fait subir'a-:x théories pour les beswo't s de la pol..miqve, a.-tavers les. hypothseis fic'iv's qu'il lui arrive d'ifmagine;r piour rendre ses iassificaltst (,ionuc n yt;t rques et e xihausti ves<. Bon gré nma gré il faudra donc roolifer. es terms du problmel: pour lies ad;..ape.r à la solution qu'e. leos éléments co'Mns permeniet et d'en donner. Si nous dema-andions aux livres M et: N l'accs de l philosophie secr i i e ou de la philosophie deranière de jlaton, i ls nous refuseraient satisfaction. Mais ils -peuvent du moins Ious fire connaître l'eiisemble des opinions professes par Ble Schoiarqjues de l'ancienne Académie, et la résistance que ie L'céC y xopposait. C'est un fait qie le cours des derxniers dialogues spéculatifs de. Platon, le'Phifld le le Sophisle, le Poi:-' iqz,' le Tgaie, esL marqué suivant l'expression de Gomperz par ili ciat', igemeu nt d de ynastie: ~ le sceptre y passe 4e la dialeciiq 'e là la mathé'matique ~! Mais.'es; n ait aussi que la diure;. de la nouvelle dynastiée fut ecoua e, e q i'avec Aristote le sceptre revint lh:liétrei e de la diaect.iq;e idtrônée, à la logique ormelle, qui' devait le conserver jusqa l enaissance, Cete brusque i nfleion est,.pour. i'voliltiion d.I la philosophie maithmanhi-îue"e di'une importance IcaptIe; ett èà -et écgard les obscurités m me qui e Ltoure nt. les exposés e;. es réfutations d'origine' arisA ritroé'ic ienne 'e'en u'e s/gnifica tion positive,. Lt thJot e.iptla..totcinr, e des Idis et des i' ormrbres d c pres Aristote, Étude hîst'iîqe it cs.d,:ri' e, 9t08. 2. l'bi,r,,ile: 258 t 1), p, 23 C*f, ' 16 0, p. 7 et s; ~ 97., p. 377, 3. 5 pcit cT`e. n. *,I n, t.n. n, i pi. 6i47, n 1.

Page  63 LES NMBt'S 1DÉIlAUX 3i..- Les ti.extcs qui pe-Irio t i da saisir ave~toc le plus de neet,eté t a dsoct1rin e acadéemiqi' des dombres idéaux sont ceux q(tui c 'runcerneh'l a.idZf: e.l e La tétrade est compoe e de ha dgie pre-,ière et', de La d.ade lJr;die. 'SEx T'Ç. Cuo, ç o t'r baool't &; at) 4o; >'ytTvaO.t:ce, e.tft:pa~, 860 %Yx.~ 7 -,p.: 4. ~.-,,. 01rd W Da Ens e, te o0"pailioa de co~ r tosltion il y ' a éu,éiément passif et, i ra éiUment atctif; ia -yade indéfinie (celle que le eommentaire du Pseudo -A.lexatdre t ê; s.t l p r. S -.... -c 'u C,A te ex"reissho direct;ement Ec.mpru.,tef auxP a iaioniCievs, r d l ade dirni'te (ceie quQe le.ct.nme.rat.eur 'ppel ÛiuT8.'iç): ^i ^:< A t v' ) tt.. s.'.';.i t.} 5 ' t 3 'e r le dc ia dyae nd fi.n ir t do ne celui d u u 1 t iplicateurr plus exaciti.lemen d.. i dt:urlicateur i Tou.,tp u,y i vTZeo. q tu.o..e. re due t ' le dk duPOiIcaNieur,' i- le cI onserve ela prison de sa puissance iiiéni.e 'vis-à -vias de S a tOtrade, elle engendre -asi Po'lade', La. dyade d6tersmine s'e 'ong'orel-elee Ud'une ma'anire analogue par application à t 'tunit de la dyade i-u nde r:ioee? Certains textes dtoaneraient i le présumeri' qui font partir de l'unité la puaissance dujolcativ, de la dyade. Mais il convent. de remarquer que dians t6éco platonicienne, comme rtins l'école pyt hag ri ie<nne, t unit: piaraît n'avoir pas êt n.t nomsbre Aussi "bien, sUiw" t iun re narque express du livre M'7u la déduction des imbes nr, idax nbee coéu mprenait pat.a gên ér-atn 'oun de l'unite La set. t.-;"e.mat4r.Satique procde, omm re ie veu e PhilO eO, non du om.bre, manis' d t. gai. et tl, d' cest us s ce, t, forme 'cgatid ue que t'uite s'applique A!a dyade du grand el. "du petit, ozvu Bdyadé4 de!'inégal: ', ~gaisa.en2t le *^iernes iI;a.txt du 1 Mt. 7, A14 O 21. 2. Éd. eitla. p. a f. -., Be t sit p.> 28a n. 2. 3. M. 7, -08! f3,' 4, C'est àa ette gané,eration que fat ~alusio le texte du livre eM 7t % i$.. ou 4'aille urs il sWgi&t l'ase'sc'r iF'nt.rog.iti é des.O43 é met,;s i quli uco.'etystîitu 't. les nombre s ie-daoau.x AI' t $.iv %-0. *"- ~Y~ u o 'xS î t:eS i e. t" iï,': tP r,,xv K'.:, y''?: tttj s. '38' '[~;', T v 'ê. 6'T ô gt' îr(." 6':oak" gi,; xz;. ' Y.-rv-< o't,, x, &.o''w. 'r O'tç:,iJt.tr,'s o5. ' ', o s, "or'l o$ Gl.t v I.ctg, &t'k wT ' t tO-o ' 'f'-"?-'., "o'~ Ao;ol- to-" Lz nti A,i Ey [ a o.Ô 'do ç ~ 8 t ' V o 6. T'i otr d. S' myrne,,d. iter, LV eipzig, t88, [ / 2it, OV.~ o 't-t? fi po'& ~, b; )-rXa &pZ^- &ptot;ui~. CL^' Bobi'n, t? t64. 7, M. 8, 0OS^'s- ^ïi ^Wc tOQ à;';; i09.Oç [i41} p~Ept tr^i6 ÔSHÔÛO^;> pâ 9 1î ^ r ' v %%lt * I MV *cr X C S$%x8oï. Ks i'o vo y a.5 7Q,Q T YC ev grî.ç t(i 'ç é Trlç êti 8 y r~

Page  64 6 L LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE grand et du petit, elle engendre la dyade déterminée qui est le prototype du nombre deux. 36. — Si telle est la notion du deuç, idéal et si tel est le rôle de la dyade, comment cormprendre la déduction des nombres impairs? La difficulté se trouve signalée par Aristote dans le premier livre de la 'étaphysique: si la dytade est matrice, elle est bien capable d'engendrer les nombres; mais c'est à l'excep tion des nombres premiers, on plutôt, suivant le comnnmentaie rectificatif d'Alexandre, à l'exception des nombres impairs Or aucun texte ne nous permet de résoudre ditreetement la. question. Le livre M nous donne cette seule indication que, dans l'impair I'un est 'moyen l.Mais que fautil entendre par làa On ne peut admettre que l'intervention de l'un consiste uniquement dans l'addition de l'uiité àb chacun des nombres pairs; car ce serait méconnaître le caractère spécifique des nombres ideaux: 1 ~ iinadditionnabiiité ~ de leurs units qui les distingue des -nombres. arithm6tiques; ce.serait ruiner la théorie par la base. Que, d'ailleurs, cette-t herprétation soit mentionnée dans le.iivre sM cela suffit, senble-t-il, pour attested l'incohérence de l'exposé qui nous a transmit théorie des idées-nombres,,et I'impossibilité d'en obtenir un e reconstitution objective. Si l'on cherche malgré tout a deviner la pensée platonicienne, il faudrait, poiir demeurer sur le terrain arithmétique, déterminer uie relation entire la triade indéterminée et'la trade déderminée, entre la peniide indzleerminée et la pentade déterminée, semblable à celle que l'unit 'établit entire la dyade inddterminée et la dyade déterminnée. - Mais c'est supposer que triades ou pentades peuvent etre introduites à titre deprincipes premiers cormme la dyade indétfinie; et cette supposition ne détruiraitelle pas l'économie du dualisrme platonicien ou académinique? Suivant M. Robin 6 il faudrait, ponr entrer dans les intentions de Platon, prendre un tout autre poin. de depart; il conviendrait de géneraliser cette action égalisatfice- que nous- avons Vue a l'euvre dans la constitution de la première dyade, et attrit. 4,1091t" 24: TOv T'pbv tot rv H ~v^G-tv TuV~s */.C.C'U.iOU.' T0U ~.)QY'J z a: tl:''.,.o f' artrevtl~, v. 2. 6, 9387, 33....a;c,;o Tos' &p."tl.o; t c T v * t ptLo( v Eap,'JGc; ~;i aTrj [Trq tTp2 ri 0.6 E,, Y. l a commentaire d'Atlexandr~ -et les-. divergences d'interprétaton dans Rlobii, note 266, 11, p. 6', et suix. 3. 8,.1083b 28: aSO ob %~ e' oio bsv 'rv t.otrer: it rov. 4. 8, 1084a 4: wùSi.i L v TV lvos Etiç TOV apTm`wJ trx'v:vrOio' TSmpvtrr6;. 5. Elie Hlèlvy, op. cit.,. 218t 0. Op. cit., p. 446 et suiv.

Page  65 LES NOMBRES IDEAUX buer à l'unité le pouvoir de fixer le double mouvement de-progression et de régression qui exprime la nature de la d ade dul grand el du petit. On obtiendrait alors autant de stations que l'on voudrait; par exemple, si le mouvement de progreession part de'?, si le mrouvernent de rugression par de 4i, le point de l'equilibre mutuel est à mi-clhemniii et l'Un lui appor te la stabilité ean engendrant la prtmière trade. - L'hypothèseS, autorise par une meditation profonde des livres M et N, est, en tant lqu'hypothèse, des plus satisfaisantes; elle a lavanlag e d'accuser ce qui pouvait, dans la pensée des Platoniciens, sé1parer le nombre ideal du nomtbre proprement mathématlique. Peut-êétre même dépasse-t-elle le but à cet égard; en, dèpit de l'hétrogénéité, de la diversité de nature qui est essentielle à la dyade il est difficile de se convaincre qu'elle puisse intervenir dans uin mleme system e de degénration à la fois connuoe étant le principe de la duplication qui est une operation proprem.lent numnérique et 'cTmme ét-ant cet intervalle ou ce vide qui sera ~ le principe e`ssentiel des figures idéales' ~. D'autant que si la génér.ation does-tombries impairs n'implique aucune considération dordre proprement nrumrique on devra se demiander pourquoi!a vertu de l'unite s'épuise avec la déterminaution d'un point d' qutlbre enltre: et 4, pourquoi elle re s'étend pas- a' double mouvement inverse qui devra néeessairement s'établr entre 2 et 3, entire 3 et 4. Ces questions ne sont pas des objections à la reconsltlituion de M. Robin; car il est possible que la doctrine ds e s id es ait effetivenent soulevées, et qu'elle ne soit jarais arrive à satisfaire pleinement ni ceux à qui elle fut enseignée, ni mêg ie celui qui lseigna. En 'tout cas, il est à remarquer qu'après Platon un effort. a été'fait poiur séparer, plus coimplètement-que le maître n'avait sasiB doute r'éussi a le faire, -laà gnération des 'ormbres id6auXi a gl ~n6ratio0n des grandeurs id6ales quelques Plaitonaisants rermplacèrent dans la genRise des noombres idéaux le.y Xalt [6xpov; qui paraissait caractériser plutôt ia na ture des grandeurs; -par e xroXl x0a X ',yov 5. 1. Op. cit., p. 471, et suiv. 2 r. O10 4z t ) i 'To)v y.a Ô'yV, ÔTA 'TO itgi.L~ - o?.)xpbv aSYiO~a;j otxi':s4Pt ti v 'jw v, N 1,1087b 16. Cf. Robin, p' 654, et suiv. t3Rusc'vIc:,.CG - Leos tapes. b

Page  66 êê v g 2E ù; ~ TAPE$ DE LA PH LOSOP" - MÀ.A.iTfQtA t' E LES GRANDEURS IDÉALES,37a, ^ e m tme bouillard qui enveloppe la théorie des Ixonbres idéaux plane sur la. théorie des grandeurs idéales, avec laq uae l le platoon isme fet ur e aux considéra ons g'omtrie — ques q. i ont- aoiEtribu6 à forinner a théorie ds la aonn aissa nce. l pparat, au trroignage Ad' Ais3tote que, u eno mnç ant à l'idesti..fia to pythagorcie ne du norbre e; du point, P la on n 'ava t plus 'onerveW le point prouprement dit qu'à titre de ~ convention, g:~omé~t'riqu'e 1 I'appelait principle de la Jig'ea e, môme il.li e- a> 3<c l > 1 c4 p.4e lO 1" ~r a' t! m e tii arrivait de le ds.gner corne -. ge minséca ble.' En ce sens, le point 'irait sym-true de P'unité, qui es; pria ip du nombre pluôt que nombr e. D e fait, chez les P!atonicSiens, chRez Xtnocriae er. paricuiier la corrrenspour dat-4 e s' tr:blit entire dgade ei longueur e- entre ide' $surfe, entre rétrÂade er t so/dhe (p:ius exact*emet t ic e'nti re; -ia et lélrab f ' e rp./égie,' On ne saulrai mÀeonna-tre que e conception des fig ures îdé6,al -i capiaie an l'etnsein lre e l a t'on, Ari sti,t e ' L-ir des D>scour sur'Ia ihilosophie an p passage Itu' t foait rema.t$t quab.e:' (~ l'aslnima en so'i:ésulte de i'Id.de mie de frun, et de ai longueur et de la lareur et ce la profon eur pre mières, et tes autres- animal sont cns itués d'une mariare so<mblabi e...,a-'une autre fa.ona irellîect;ei t un, et i s a s... Lcadr (elle. te tf suivanat tune diretclio: unque ves un r sul tat uniqaiue}:- nombre de la surface est t'op&nion et, celui4 du t i volme, sensatrln 1t ~> Mais en raison r mlme de son import.anre ie ette téore demanded à être précisée. Quelle est la relation des figures idales aux nombres idéaux? Faut-il dire qu'il y a identity, ou qu'il y a simtpilement paral6léisme, transposition de lFordre puremnt abst —'ait dans l'ordre spatia? Les Platonîicies se s.on- posué a qe;st.io mais pour s e rivise" sur la solution. ls u, a. t n ge en oi n st r' dyad sla..q ve t 1 l"es a. y. a seu-y ' fenit e ntre <i (yu e'L ta lireie ten 'i), i1.re <o,'m munaité: - - ib.,'frei., A 94w 992 20": T:': q, p.l v i.,5' '.~y e io '-. [fvl t')y <r — jv x"c l %oies<,i fllclsrov. " ";:.:. cS c Vr:p:x -', J' ~ ra y4 L pX v Yp.aljciF j;, y.oO7 O ai c o),ÇX7 t5 êT^'4 7O; z.;,;t':JuU Y:;ypUp, it 2. [O1 e; t'-c.;r. T. aS.ursvv j, irot-cta; ia -e t.-?s' t -h ê.i",; T,- XA x 3.i o )A &p;8>, ix ^!L'e'. T.,c,.% o.S tx',', *î p"^Y, èx TFK'O<3g; 8't'qio;.i'O;^: X p.îg;:; ê ' ':q ~f * rf TFtd3 'rà r7 pae s s: C.Ç a. A,.A Xv — p v,. N3b., 1090 2.,.CL Hedi. e, - enocrate's, pO 7E 3. De anima. 404 0, trad. Rodier, t. I, t600, p. 9.

Page  67 LE PLATJONtSME APRES PLAT. N 67 f;dée,.tandis que pour la ligne en soi I conviendra it de spare l'adée de a ligne, qi serait la dyade, et la ligne elle-mme 1 fi est possible que cette division exprime une e ualité de tendances qui est inhérente au platonisme. L'étendue, mê me idéale, doit ajouter quelque chose à l'idée pure du nombre pour se caractérîser comrme étendue; ce quelque chose aura sa place dans le monde des idées, et il sera principe de participation, Mais en même temps pour que la participation ait lieu effectivement, il faunt quee ce quelque; chose se retrouve sujet parficipant, récept.acle des idées, opposant à l'action de l'intelligence l'inertie de la nécessité. Au contraire idéal se juxtapose le contraire des idées qui s'éclaire par lui mais qui ne s'en déduit pas. L'infini platonicien, commnre le dit Aristote, est à la f oi dans les idées et dans les choses sensibles. De fait, si l'on veut reconstituer le système platonicien de l'espace, on est conduit à placer, ainsi que l'a fait M. Robin39,l'espace géométrique entre deux specifications du Grand et du Petit: l'une correspondant à l'étendue perceptible ~ sous la forme de corps spécifiquement déterminés, étendus, composés et divisibles ~; l'autre, ~ qui n'a rien de commun avec l'étendue visible ~ est le videe, principe intelligible dont la détermination produit les figures idéales. LE PLATONISME APRÈS PLATON 38. Peut-être ne nous sommes-nous pas suffisamment défendu contre l'association d'idées qui ferait conclure Irop vite del'incertitude et de la confusion de notre inftrmaatio.n. à'iener-, titude et à la confusion des doctrines elles-mme s. i semble cependant que le caractère de la Lrad.ition due aux livres M. et N suffise à expliquer la défaite finale des planisants et des ipytha" gorisants,. Ils étaient désarimés par la perfection technique. de la math6matique, qui les rendait inalhabiles à irer 'de i:eurs connaissances plus que ne comportait 'étude de lenur' domain positif. La réflexion sur les notions mathématiques est incapable de fournir autre chose que des combinaisons par ticul4res 1. K~x' TrV T<X c 8 6Svx:.e1otOY v mC Uèvç ~yrolp.ytlX ri; cja eq c.t G 8 TU r i8eoSle T'^ TYp; u ptjç Y' ï ~ eù y v *y p Ev -'lr TO L;: 3i %'i û, 6i iO lî v ~)'aV X. t b U -to. 8ua ç ~ -îcix. Ypgtip^'-iS t Co~.:.?Met, Z. 1 x036 1> 5. 2. Phlys,, I, 4-203" 9, TT p.~T'o, ' t',pov za. &v -tt; u ti sx'^it xaL 'v ti ilvat. 3 ~ 218, p. 478, et note 414 C. C dans rl;iVaud, op. ci., l' éJud e sura, Spa eL Ie de ienir p. 303 et suiv,

Page  68 68 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE a chaque idée; le nombre idéal est défini par la connexion des notions génératrices et de la notion engendrée: celle-ci est poste'rieure, celle-là est antérieurei. Mais alors, comme le remarque:l'auteur de l'Ethique à Eudème 2, l'élément premier dans l'ordre de la connexnion compnréheniesive nest plus l'élément commun dans l'ordre de l'exten.sion ge'craiisahiice. L'équilibre que Platon avait, dans une partie au moins de sa carrière, essay d'établir entre la tradition de Socrate et la tradition de Pythagore, entre le conceptualisme et le mathéeinaisme, va se rompre. Les successeurs de Platon a perçoivent l 'impossibilité de suivre a la fois la ~ piste ~ des mathématiques et la ~ piste ~ dés concepts3. Aristote choisit; Speusippe et Xénocraie choisissent egalement. Les premiers Scholarques de l'Academie se sont propose l'un et l'autre de mettre fin à la dualité des, nombries et des idées, cei. ne retenant plus au delà du n1ombre ses;ible qu'un seul plan de transcendance. Mais cette simplification semble avoir eu pour effet d'accuser, avec une acuité, qui devait être mortelle, l'mnbiguïté fondamentale de la mathématique platonicienne. Demandera-t-on aux nombres idéaux de porter le poids de l'univers -tout entier, dui monde moral et religieux aussi bien que du inonde géométrique ou physique? alors par delà les dénoiinations numériques qu'il conserve, le philosophe fait appel à des entities supra-naturelles: Xnocrate, au rapport de Stobée, érige en divinités la monade et la dyade5. Au contraire, si avec Speusippe on sépare le quantitatif et le qualitatif6, si ce sont les nombres arithmétiques que l'on élève à l'idéalitê, on se rapproche bien e1. 0. ILv O O pO; JûOO û.pc -r; ou;, ioV p.,JV;2yo vr tO t~ pdSEo o/ ya\ COiî-O v rTa cOraC, / OV O 9r[l b J -Jp Tac mg cO ç Xa C T alo-OT a. M. 6-1080b' i, 2, 8 1 18 a 1 Etl Ct.iL; ôtâo.: s.', To J8TP.'Jo 'i %al C'tRpOv, OLx ~OT'. Y0,j\y'- Ti, T.pap v.5',v. xa.:o'ov Zop',.r:'v. Ern ~:P;Ji z:; TU 7'cp,~:o.j TCp6:~pc., xnpdr.,pv Ç0T. XD),t o;0'O /P'1o-;oV 0i ç rLAT "c' cmi"- T c:po0'J 7pr;) r, 7tRr` * J'io0 yàp To xovbov v.y.i > X po)'Pbv o O; &: s',mpo o.,'m,r;oJ y: o o") o 'o'.!Pt i Cg: Ta O t0;ropTov. OIoV El 1O 8ia7CXdO, TCPC'O~ 6,o;jV ':;O)mCAo)JîCmÀrm) o',x O'j;'V^~aiem TOi qrCO)>)?iT).aCdCoi '0b xo'vCr, 5aT'tyopopJ sîvo,) sli;Or XEOp';:J. 3. Ait'.ov C TjiÇ Y Oôj, 8ao'^'UO"Cq ct.'cipri:;î a '. auu, c/ aX. ^;(,v p.1Oj^'1: UCo'TC Sj-psCJv x l s''. rtv?oyr ov rt.. KOa6)oou. M, 8, 08,!s) 23. 4. Ps. Alex. ad Miet. M. 8-1083' l1, ed. Ilayduck, p. 766 o. 8' àysvwor.ov.I9POTzipoVr, [TO'vÇ p'tOtl0i o ] Y.Xi TOv eôrcyxov y.al TOV ['a0'YiqT.zodv, ',r To E: O'Ovjv, (irgcp S7TCxsrrrrooç xY SCEvoYXp5TrI. Cf. ibid., ad Mé. M. -1087"2, p. 782. Voir Heinze Xenocrates, fr. 34 et 35, p. 171. 5. Zsvo'xparrig... q 'mv Iov'Ga 8Cm t zr / Zi:6,a... OEOv:.; AiLius, place, 1, 7. ltei.nlXe, op. cit., fr. 15, p. 164; comme le fait observer Heinze, p 35, n. t, il s'agit ici non de la dyade indéterminée, mais de la dyade déterminée. 6. Met. A, 7-1072' 30: ô 5ro o S, U7XcapoXvcQyr;,t oeot, op!I0-J.bos6prc:r x.'i:C6'mrlgTCoq, T'r xÀA),.taOV r.Xi pGItO[TOV 'r~ [l rv Cp YO p v...

Page  69 LE PLATONISME APRÈS PLATON 69 de la conception positive que la science se fait des nombres, et du rôle effectif qu'ils jouent dans les combinaisons de l'arithmétique. Mais il devient alors inutile de faire appel à la dialectique pour fonder la nature qualitative de chaque nombre, l'essence de sa parilé ou de son imparité. I11 suffit comme le voulait peut-être Speusippc, comme l'ont pensé en tout cas certains représentants de la jeune cole pythagoricienne, qu'à I'unité s'oppose le principe général dé la multiplicité: T'O 1sX0o;; et, de ce principle, edr;ivera., par le. p)rocédé uniforme de l'addition, une série de nombres homogènes les uns par rapport aux autres 2. L'école platonicienne ne pouvait, semble-t-il, échapper à àl'iternative: ou la dialectique mathématique va rejoindre et renforcer la symbolique mystique -du -pythagorisme pour se perdre dans t'occultisme et dans la théosophie: ou elle doit se restreindre aux principes rigoureusement déterminés d'une science positive, et il n'y aura plus de raison pour les transformer en réalités séparées. Mais alors la mathématique cesse de répondre aux- espérances qu'on avait mises en elles, elle n'est plus l'organunm universel qu'à ce moment réclamait la spéculation grecque. 39.9 Le plalonisme sous la forme où nous l'avons considéré est une philosophie mathématique en un double sens du mot. D'une part l'ariLhmét.ique et la géométrie fournissent à Platon le modèle de découverte féconde et d'exacte démonstration auquel le penseur doit se référer pour tablir une doctrine de la connaissance vraie. Dans la direction de la conduite individuelle et dans l'organisation de la vie collective le moraliste et e; politique suivront de près les procédés qui permettent. la proportionnalité nrummérique et le dosage quantitatif. D'autre part, l'universalité qui- appartient aux raisonnements mathématiques implique l'universalité des principes auxquels ce raisonnement est suspendu; il faut justifier ces principes, en tant que principes, par anlie vue directe des genres suprêmes de l'otre. Tour à toulr, Piaton tire de la mathématique une philosophie et il fonde la mathématique sur une philosophie. Le double caractère de cette philosophie matLhédmatique 1. Zcller attribue cette conception à Speusippe (Ph. der Gr. I I, 4a éd. Leipzig,.889, p., 100i, n. 2). M. Ridva ud, n. 856, p. 362 et 5,M. Robin, p. 655 font. observer que cette at1tribution est tout à fait. incertaine. 2. M 6-1080 20: r e58-' q.O&.,'ïi %5* oa. x8.ù l oJ Xt,- îal r; atL..o.V 6r.oi;a crov, cotov sYbf)v l~ vat. bov tJp. aocl0; v 'ne. OpCt v 'Ev Typ 'i; pa.Q'cp.tx-c i o-8.v tq;x~ps. B Rùs lA p &ou 4 êrpa &T'pcç.

Page  70 Î LES ETAPES. DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE ex'pkique le double julgement que l'histoire a prononce sur elle, le pa-ado'xe de sa decadence.mmndiate et.de sa grandeur durable. Que la function de la pensée soit une fonction de resolution, qu' elle s'exerce à l'aide de la ece des norbrs es des figure, et que de degré en degré elle parvienne à découvrir dans le iss:s. e.cihevêtré des phénomrènes l'ordre des relations math&maiaaques, cette conception est, en un sens, le platonisme lui-mênme; et'puisqu'elle est destinee à réapparaître dès le lendemain de la Renaissance pour devenir avec les Galilée, les Descartes et les Newton, la substance de la civilisation moderne, il est permis de croire que le platonisme est la vérité même de la philosophie. Mlais certe vérité i! a ifalu vingt siècles de réflexion pour parvenir à la. dégager dans la pureté de sa lumière; il a fall que, la psychotogie se usabst.uian àt à a théologie et la critique au adogatiismea, ia.ét ahode d'anaiyse regressive' que Platon avait in.roduie dans le domaine de la réflexion speculative devînt la rmesure directe du progrès scientifique, et qu'elle se constituât ainsi comme une méthode indépendante, suffisante pour l'appropriation de la nature l'esprit. L'oeuvre positive de résolution, entrevue par Platon à un moment déterminé du processus dialectique, est donc loin de définir la forme sous laquelle ta doctrine s'est effectivement constitute et s'est offerte à la discussion des premiers auditeurs de Platon. L'analyse idéaliste n'est qu'une démarche préparatoire i la connaissance supérieure qui atteint les principes de l'être et du savoir, et déduit de ces principes les hypothèses nécessaires aux combinaisons du calcul et aux relations métriques; Le platonisme suspend la partie technique de: la mathématique, le domaine positif de la science, à une dialectique qui les dégpasse et qui leur est étrangère. Par là, non seue-eent son échec immédiat devenait inévitable; mais encore il était inevitable que cet échec fût tout autre chose que la ruine d'un système particulier, qu'il entraînat une éclipse séculaire de la philosophie à base mathématique. L'intellectualisme scientifique de Platon devra s'effacer devant l'intuitionisme grammatical; le sujet de la proposition, devenu l'dtre en tant qu'êire, sera l'objet par excellence du savoir, au préjudirce de 'id&e eni tant que nombre.

Page  71 C tHAPITRE 'V LA NAtSSANGE DE LA LOGIQUE 'FORMELLE AESRtOt -ET LA CRITiQUJE O'E LA DIALECTIQUE PLATONICIENNE 40. - L'orgm'm unvitrsel que ['école platonicienne n'a pas Crussi ca onsti.user, ta Grece a ct le trouver dans la syllogistique d'riAms3tte;:c ei pxenva..t. ing. sile.se,, les premiers rAa9lytiques rnoxioi ^not l he odè l'xposition dédulve. D'anO r part les teafit:'S iour.s <deit rui i s slde nos ijrs pou)r rapprocher ils lois de ia Pgqe formieaile et les principes de la nmath6ematque ont introiduit tr pn t c de la philosophic math:é.atiqu la consi6dératLin dis c sse, *deo 0l syllogistique é ait issue. P-ar suite, et uoitque a.nos nyons pas àa étudie ici a' 'iotélism pou r Slu-e.ix im porte d e faire *âne place aux idées génératrkices de n. log ar"i.stoltr cie:me Avec 'ue; admirable conscience det sa propre, destinaon ~ antelecitaelP AstI F. na marque les conditions auxquelles ]e plhatonisme. r ait manqu té eL auxquetles la lo hgique noiei s'efforce de satisfire: Platon n'a su ni parvenir jrisq&i,' des principes qui puissent t rc consider's d'une façon usniersecoi-lgre principes die l'-etre, t i se n rayre un c hemin qu i puisse être effectivemnci t parcouru paSr fa espriti,ui se impose seulemen id ' lt' ao e ni d 'iinteirrvles 'En premier lieu Platoon n'a pas de6term in de quoi il y a ide i en q aoi consiste 'idée, comment lFtre ena oi ou le beau en soi ra pprochent on- s i t.34ingt, e.B i. ndu h.ombre en soi ' il nes st arrive qu'. poser' des questietonsa qui par l eur nnc'..., mm.e: t par.aissent ri.ictles et qui i.?' 8~':e, vx CV 8t' a isearv vOvt'C, s An., 1, 22-83%6. 2. Pour ces embarras qa 'Arisotigne si e en terms qui mêlent d'une façon presque inextricable l'exposition et la critique, voir la otroisièie partie du jivre premier de M. iRobin: L'édendae du rmnde ds s.idées, p. i20 et suiv.

Page  72 72 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATRÉMATIQUJ, sont sans issue, come celles dont le livre M nous a conserve l'écho faire tenir dans la décade primordiale la. diversité des idées premieres. El I -8Fx&oç 6. tOpr.6iç, ('7r&,p *çt. (Ctiv, 1OpTO uV rL~V TOc/t7l'~l 7t^4 & ÊÏSt. Oo s iTV T ipt~ç C:uTOPlVpoCOTOs, TrC(ç. wr àPc6oç YTsOurnoçxo. En second lieu, pour expliquer le rapport entre le nombre idéal et le nombre sensible, Platon insere un intermédiaire, qui est le nombre arithmétique. Mais alors, pour expliquer le rapport du nombre id6al au nomibre arithmétique ou bien encore du nombre arithmétique aun nombre sensible, il faut insurer de nouveaux intermédiaires el ainsi de suite à I'infni. De là un absurde entassement, de 1à cette copeu:, qui (levient un argument décisif contre le platonisme 2 L'~ouvre d'Aristote ce sera de constituer un système de pensées qui soit à la fois universel et défini. Pour cela il rejette tout ce qu'il juge soit mythique ou métaphorique soit logique ou dialectique ` dans l'oeuvre de Platon. Les nomibres sont ramenes à Ieur usage proprement aritlhm étique; le domain cle la rmathiérnmatique est restreint à une catégorie qui est un mode partieulier d'entre les- affirmations sur 'iêtre, à ia catégorie de la. qantité;i conception qui. est lie aux notions fondamentales de la doc trini: i nd pedaince assure 'à. la catésgtori de ia qtualité physique s'éparée de la mathématique, supéioriorté reconnue à l'intuitioîitide la substance, don't Aristote fait la base de la phi — losophie premiere, enfin constitution d'une technique inéthodologique adéquate aux exigences de la physique qualitative et de la métaphiysique intuitive. ORIGINE BIOLOGIQUE -BS LA LOGIQUE 41. - L'objet de cette technique est la classification des espèces et des genres que la méthode platonicienne de le a di.vision se proposait d'instituer, c'est-ài-dire qu'elle prend pour 1,. M. 8 I%04 12. 2. Mett. B. 2 997b 12; M. 2 1076b 39, cités et conmmen-.ses par Robian, ~ 1f et sui'v p. 213 et la note 51, p. 609 sur l'oljection du troisime homme. Met. Z. 13 1i38~ 30. 3. Met. A 9, 9 91' 20. 4. M1or1 Eud., I, 1217 21, 8oyix c, x.ai xevit.. De — A4l., I, 03Sa2, 't)Xx~tx s, Cf.- Milha.ud, Ari.stote est les.Math madtiuesi Archiv fr G sehichte der Phi-!osophie, t. XVI, 1903, 368 et suiv., et Etudees sur ia pensée scientifique chez les Grecs et chez les, mode.res, 1906, p. 103 et suiv.

Page  73 ORIGINE 'BIOLOGIQUE DE LA LOGIOQUE, 73 base la notion de classes à l'exclusion de la notion de relation. Du platonisame Aristote conserve surtout la tradition socratique; il revient a, ces.procédés de sens commun que Socrate avait employs, que Platon avait transforms et transfigurés au contact de Ia réaiite mathématique; it ne néglige aucun des moyens d'approche qui permettent, par l'observation des cas particuliers, de pressentir la généralité de la règle: exeimpnie, sign es'2^ objecio 1 tion à l'absurde1' Seulement il aunt aller plus loin. S'ocrate s'était arrêté au discours induct1if. Il ne se préoccupait, en effet, que de questions morales; le concept une fois constitué dans l'esprit de l'interlocuteur, c'est par l'action qu'il rejoint le réel: la dialectique socratique est à la fois théorique et pratique6' Or, transportés sur le terrain de la science spéculative, les procédés régressifs de Socrate réclament le co mplment d'une synthèse progressive. A cet égard, Platon avait fort bien posé le problème; mnais il s'était egaré dans des speculations méta-mathrmatieues qui nè poumvaient mener à aucune solution effective. C'est par un autre b.ais qu'Aristote reprend la question; il demande à F!induction d'atteindre des principles tels qu'ils permettent d'intervertir la mnarche des raison n events et de retourner par une série tinie 2.'articulati.oss au..détail des choses. à la réalité des individus. La forme précise de cette induction sera d'ailleurs fournie lpal l'observation des démarches qui, au temps d'Aristote, et dans l'école même de son maitre, permettaient de constituer la kpremière classification biologique. Le syllogisme, qui pendant des siècles est apparu comme le type du raisonnement abstract et universel, est sorti d'une application de l'esprit à des piroblèmes d'ordre con cret et t particulier. Nous avons mêtme la bonne fo-n tune'de saisir sur le vif la formation des preemï-iers genres na'ilrels; le hasard.d'une.i dissertation sur la cou:ge nous'a value de consenveru un fragm ent èomique d'Epicrate dont Usener a, le premier, signalé l'importance exceptionnelle 7. La sc6ne se passe dans les jardins d'A cademos, En cherchant les limites qui 1- Tcxypâe',Yp' s t An. 8i, 24-68, 38. C. Bhet.; I, 2-357 25. 2. cntatsov, I An., I, 27-70a 3. 3. ~vai7q~c, IT An.,;l 2669a 37.,;A.;oX7try.I, y An., l, 25-69" 20,,. Mebt, A 6 9 87b1 6f erm. V, m, v tlI.'.ç o xp axTâ(C l6. voiç S~rv; xox Tr xprz:o: T-<(ov ray."' yXTa) XQa Àl >O~Yt If& tIa'aiiO;yovmo EaTàO '&v9- rà.èv yvO Tyfla ptuÏ;F1(a., t'uio r;- zy.xr.'ôv à'r;<QCi. -* * 7. Organisation dei wissenschaftlichen Arbeit, Preussische Jahrbùiher, 1884, t. LII, p. ',.

Page  74 74 L4ES ÉTAPf7S DE.A HIOSH E ÀT.TJi( eQî sépa ent des animaux vivaNets les gnres dus ar:bres ou de phlantes S, on est ame a se demand a,. ql gàr,cn fqi e....i rentrer la courge. A cette q'uestioa, silene des4 je.nes p.atk.-i cienas, puis réponses di.ergetea 4 _a co<rae est 'nepiane rnds une,eeb, un.rbr'e. à-ess rleia, m.éeio e S.i: e ie ui traie ces recherches de aatel- es jeunes genas one "i répondent pas ~ Platon est pr senL a, l.-f;. drn émot ion01, avec- beaucoup de doucur, i' d....... se d scIiples de repreadre la détermination des genreS 2., 42.. t.Celte partie de l'hé riage du maître, que les S h.arq. de l'Acaddmie paraissent avoir Bén-giig6e, A"tLoe P'a reprise. Au Lycée, la biologie naissante s substi ue a mathSn.tiàqe conrmme la discipline centrale, donT procèdent les gQ6raliia, oBoS de la. philosophie. Le rôle d e ola rgelle a xel les processus auxquels le naturaliste recous en fce es. êrs. vivants Quelles en sont les premieres données? La réponse c Aritate peut sembler au premier abord en ô itradict.io.avec I' form les les plus ordinalres de la doctrine; c qui se dé.ache pour nous le plus tôt et qui i a.pparaî't le plus nel ement. di' le premier chapitre du premier livre de. hsiue son.t b ltes chosos les plus complexes* $. Pour let sns i.e tout est avan les parties, dolt la distinction nécessi;e ai eiori ulté-ie.. de; la pensée; or le général est une espèce de tM.3 c"ar il coap en d en lui beaucoup de choses qui sont ses.. l es infants coL.S - lmencenti par appeler tou es hon m-es papa et Loutes les e femmes m -ian; plus tard se'ulexmen` i- di:tig u ea tleu pè're et leuir mnère. Voic.i donc le fait u. p.aurr serv.i'r 'e p,te e départ, au.beiogiste; nous eor aaisons! es amen: aux?.no.i:a;omm; iadi, ids q ue conie espèces Nousa dlso, q'e no;s 'oyohs u. mulet ou u he va, a va de savoir s ars savo r l.an.g::age oprv, un tra v-ai de s' cifcat io qui répo nd aux c?-;tns om a.. tnens de pee a po -,, T ion, Or ilei foi`;. e ~îâa po,' ssesior. i. l!apk 7Y^p p^.'ao" &?opsr6ge. vo,.~,?;,orr t?f. ed io - i'; V^ 5i 973 Poiirn au 'eoruw cm çrccorum f g n 0,;' Medna ke- Bo t he 1l355, -312' 13. - 2,.i.- a. 3.... 3. Cf. Pail't Tnnery, Sur unpouin de la mthode d'Ariotoe, Archiv far Geschic hite dler Phih)sop e, t* VI, 1893, p. 4618 et suiv. 4, }"f;o.t &xjiti O;.o 8-/;f l,, X0 f.ini\ c-g-/ zk. T' T x%,-. ivc p<ii.'k, Vov, CI '8&4" 2 i! 'I r i --:-a- ' a.c, iSrJipov 97 'S-o,.. t â * 2

Page  75 TYPESs ÉLÉE eNX AiJ S. W SEL;Esd'âs. 75 des çspèes entire lesquelles in adi0vidus ront parsi,, 'ia,t e propre du natUtmiste (st des rechercher c comment Ces espcS segroupent leur toar, Considérons 'ixempie céèbre qai' est donné dans les. Premier..Aaaigtiques -; s p d;u caes ar, de l'homme, du mulet se, rappxoheni e î'aide d'un pop' ité communen, la longvuité, II est possible de reicer cet, e proprit6 générale au roupe coniia part cs tois espces, en remarquant que homem, le cheval et le mrTîet ont da ins.en b, des animaux cette détermaination precise tre dres animaux sa *fiel. Mais te poilin essentiel -est celui-ci pour conférer une valeur démonstrative à ia connexion que f'o établit ebire la propriété général e de la ongévité et la determination par absenciede el, il faut s'eassurer ue lt'é ération est ex ahustive; il nesuffit pas quc i hrme, le cheval, Ie mu oiet;.l.. t s, des animaux sans fieA, l 3mporte qu zis soienrt ulo'us' es anïmwKar: sans iel. i Alors il y; a entre les deux termes de la propo^ili: B la mêmr e équivalence qu'enlre les deux termes d'une égait'6 matique: il est permits d'attribuer aux animaax sans field la propriété qui s'affirmait à la fois, de Ihomme, du cheval el d mulet; nous obtenons ia proposition de conclusion tos lies animaux sans fiel uvivctl ontlemps. TYPES ELEMENTAIRES- DU SYLLOGISME 43. - Ainsi conduite, l'analyse inductive permet Flinvension de movement qui est tout le secret de la logiique arisoiélicienne 3. La relation définie dans la conclusion deviet le pin:icipe d'une synthèse progressive; elle constitute ea e -'.ei unie verité totale qu'il est possible de diviser- n une sé,rie de e;'aié:;-S particulières, comme le genr e s divise en un cer -V nombgew d'espèces. De ce que tous les animaux sans fil -iveni- loe-:agiem,:. I An.,, 23,, 68' ' o i;v r~ A1~.i,`v.: B,.,: t,.:.r *33;s ~Jc'r.p)/~r 'OGT,~) Y;R n.o sa rC' Q; a;'ytïi&.,q:o tv E z.- A. -s A x.pio.', '-,, ' q '~ >' ) B ro ' /OrÛT pr; ov, X Q) C $ i r7ov..,1 t Fh o, z p^, i. ' ï is.ivp(lcxtoa; çl''; A'irO.o '. ~yrovo'. TT<j>!";['Oc r' C'S p i A''xSv r5>):5s.S&Ày*,k=: p.vxpJs':o,/. r'A).,x /.2.ta;,o B,:; ~{.;/' A - v;ot rv, a';v 'b?4ai':~ t;:. I o'':v.:'^ * - crpisi ~rb ' r,.l B z.'!'h 5X'rnrl_:sve?'.: p.~esQVç av..l y^'rr. A.T~i; B 5adp'~^v,. 2. Ibid., 27. 'A $ v1osr, 10 1 %> e- v~xt, v vr "O',. 0 g' txr?.>v uysa., '. a. 3. Cf. notre étudc: Que ratione Aristotere meitsphyicaim v/i io:ia>sn3, îi:.,m sa demonstraverit. 1897. 4. II An., t, 18-8i1 40 O: '-; 4t, 1v &4Scrç t ets î V x tAos, - ër1'îc YR ' bir rc;,v yr.ara. po. '&S-v';`ar ov 84 Ta '*oxOado' 0a~p:? 'St?a'y '' U Er! ' Yi j,'4, Gf../'.h..'Ni:,, Vi, 3-it9h28.

Page  76 76 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE je conclus que chacune des espèces d'animaux sans fiel que je viendrai à considérer vit longtemps, soit l'homme, soit le cheval, soit le mulet; et cette conclusion possède une vérité intrinsèrque qui est inébranlable à tos ls e arg'umenets sceptiques.!l est de toute impossibilité qu'une partie, du genre ne possède pas la propriété qui appartient au genre tout enter, Il arrivera seuile ment que nous n'ayons pas encore fait le rapprochement des deux propositions qui sont comprises dans te raisonnement; le développement logique aura pour rôle de fire sortir au jom, de réaliser en acte, la vérité qui 6ai ea pauissance dlans Irsperi, et de telle manière qu'une fois mise au jour ele s?'impose ir.s-ds: tiblement. L'homme qui refuserait de l'accepter sse rnettait en contradiction avec la loi fondarmentale e l'inteliigeilce il renoncerait à exercer sa fonction. d'être pen.san, il, redesundrait de la vie intellectuelle à la vie vegiaLive 4. La ne essait avec laquelle la vérité de la conclusi-on rse déduit de la vrité des prémisses est une propriété essentielle du syllogisme.. arisotelicien,. 44. - Ce n'est pas tout; du moirns I'o. rre.qe n ous. vonus suivi dans notre exposition pour ra-itacher aux- premieres démarches de la science biologque: a igenèse,.-.la:I gioque aristdtélicienne, nous oblige à ajouter à la prenmire former du syllogisme une seconde, quoique les deux formes soIeni'.a cnfondues par Aristote. Si les espèces de l'homme, Cu 'chevael et du mulet sont les éléments d'un groupe g6nérique, chacune des espèces j',e naturellementi le rôle d'un:goupe vis-à-viîs des -tres individuals que le progrès de la pensée iam.ie. distinguer, vis-à-vis de tel cheval, de tel -mule. Le raiisonnement doni n oui venon's d'étudier le mnécanisme se tlranisporte.donc à i.- degr nouveau de la connaiissance. Ainsi 0nos imagino;:s ce exemple: Tous les chevdux soni dépourvus de fie! BuntIéphal e's$ une cheval uncéphale est dépourvu de fiel. L'enchainemelnt des propositions a le mnême caract.re; ' conclusion est impliquée avec la même nécessiL6. Mais cette fois les mailles'du réseau logique desc.endent jusqu' I lin diivdu.; 1.-II An. I. 1, 71' fiî et L. An I, 1- 23. 2..Ti &v 8zca>epovwr [yXoc e.' V &VTw; Met. i4,, 00 il. Sur les d:iffrents exposés du principle d'identité 'ehey Arisfote, voir.Maer, die Syllogitik dest Aristote'skS;': t., Tfiblin"gen,.18906-i. 2, n. 1. 3. I An'., 2- 18: 1ui o uo c ue os EOc Àyo'?,v. ' *niJéT43 T-(ÔV V T~'vr i Tr E tiv xg.9sv'.v-e ~ c&voyx;> — upctve: TJ i o:;a, slv?.A:. Mais i f1aut note'r que ile dorarin e de-lafpecessité Iogique est plus large que eelui de se. syliogistique. 'r;l?7Xio, 8k ro o &vyx 'ov 6 ô Qtiv)oyl;co'-U;, I An... ï, 3247" 33.

Page  77 '-YPES LEMENTAIRES DU SYLLOGISME '77 elles saisissen:t la reality dans sa donnée la plus concrète, le sujet de la proposition qui ne peut pas devenir attribut saufpar un renversement tout accidentel des idées, le substrate des qualités qui demeure immuable à travers les modifications sensibles. L'ordre d u syllogisme se trouve donc presenter une conformité remarquable avec l'ordre objectif des choses. La forme spéciIique qui est exprimée par la notion du cheval est à la lois la totalité des caractères intelligibles qui représentent l'espèce du cheval, et la totalité des substances individuelles qui s'offrent à nos yeux commxe chevaux existant réellement. Elle est l'unité de cette matière logique qui est faite des notions génériques, et de cette matière sensible qui apporte l'être à ces qualités abstrate s 1;.elle es. 'essence 2 45. - Enfin, à cet;.orm.e directe et normale qui présente une sorte d'évideac* intri nstèue, la logique aristotélicienne relief d'autres forces de sy eirujsmes en recourant à un tour de raisonnemeent imite de cette inversion par laquelle s'est opéré le passage de l'anaiyse inductive à la liaison déductive des propositions. Nous avons attribué à l'espèce cheval la propriété essentielle d'être dépourvue de fiel; nous pouvons prendre cette propriété essen.tielle.omme sujet par accident de notre proposition, sujet auquel peut s'attribuer par accident aussi la propriété d'être cheval; ainsi nous donnerons à la proposition la marque de l'accident, la particularité:quelques animaux sans fiel seront chelvatla:. Ou encore, si nous avons traduit cette proposition initiale sous une forme negative: Aucun cheval n'est pourvu 'de fiel, nous transformons la relation de l'espèce ou du genre erel.lation d'exclusion l qui, par sa nature, implique la reciprocite 'au animal à fiel n'esi cheval. 'De là les, formes lnouvelles don'tt nous pourrons donner ces exemples: Tout. animal sans fiel vi longtemps; Quelque animal sans fiel est cheval; Quelque ch/eval vii Iongaemps. Ou encore: Nul animal à fiel n'est cheval; Bucéphale est un cheval; Bacéphale n'esl pas animal à fiel5. Ainsi, par le mécanisme de la conversion, les formes ~ impar-. Melt., Z. 6 -1045a 33 err:! G[ zq: tv,5ri *Q^ p.i vO'Tni.; q e'îo~rC0nr j. 2. Met., Z. 3-1'034~ 32/: ex yàop o0 zfi 7.'â, O 5uk).o,:[CC7o ctS:I. 3. L An., I, 3-25' 8 et-27. 4. Ibid., 6-28" 10. 5'. Ibid., 526b 34.

Page  78 78 tES ÉAPES D LE tP riOOPiIE MATHEÉA'QTIE f it es1 > d8 raisonnneraenrt o lie oyn enn' occupe peas:ne place médiane '2, incapables 'o btlenir aple c)nclusionf, soit gcnri alie dans le prernier.as, soii affirmative dans e s e second cas, sr e r'oen inte'grées i a théorie du svllogisme ~ parfit ~ et scietifique 3; le syllogisme se prBésente comme l'instrument 'unve rsl de la pensée. LIES PROBLEiMES DE LA LOGIQUE FORMEELLE -46-, *L L'expose que nous venons de fair.e et que nous avons a.mt:en;. dants les limites de ce qu i était utile pour 1la suite de nros ludes, suffit peut-être pour caractériser la situation historique de ha syliogistique et pour en apprécier la portée. La ogiquer aristotélicienne n'otfre pas seulement bà la philos, phjie i*î8a.pprciable avantage de tirer des cadres du langage an sysitme def concepts distinct et rigoureusément liés, de fonder pour les siècles, jusqu'à l'avènem ent de la critique cartésienae, t'ailiance du sens commun et de l'ontologie. Elle irflète avec exactitude les démarches préparatoires de la science de la nature, les p-roc(dés de classification qui, dans la zoologie et dans la botanique, conserveront une telle importance qu'ils éaeient regardés il y a quelque cent ans encore comme répondantt à la méthode sp6cifique de la biologie. D'autre part, toute déductio;n pratique qui se subordonne à une loi, qui passe de l']niversel ai cas particulier, est coulée dans le imoile du syllogisme; a ce point que lForganisation de la justice en France prévoit pour le jugement des crimes une division effective du travail correspondant à la division des propositions du syllogism normal d'Aristote. C'est au légistateur qu'il appartient lde forinmul er des raeurs: fout article du tCode doit s'exprimer sous une forme universelle. Le jury tablett 1a mineure. Dans 'le cas o6 son verdict affirme ta culpability, les magistrats de la Court d'assises interviennent, pour rapprocher la loi générale et le faith particulier; leur atrrt est, la conclusion vivantie d'un syllogimie en acte. Le sus d e la syllogisticqie est donc it contestable. On est tiea seulemea nt de trouver ce succès trop compleet, come maI.gr` soi, devant certaines toiles de Raphaël otn fait grief au:einte de l'admira on excessive qui les accueilli et qui fixa ' L i Aa,,, Â, S, 24* i 3.. 2. CL ibid.i. 4, '5> ".5 S i- '' 0. n, -, 479 3: t, } L.'f,. 2-T". G.O

Page  79 s" 'PwTacrBE'MEv' DE. LÀ L&gq FRi E 7 poatu kant de gééA&tiïo.s un idéal artifi-ciel de beati,é, oni ne peut 'emapêlcher dre faire édi.at contre Ari'stoie des illusions suar ta er.t de la logique Tformel.le, que la perfection des A.nalt yiqes a nf`ait naîire. Suivaant ane conception tradiltionnelle, e Ana/les iques soti une eu vre sans modèle; a peine avaient-ils des racines: la comparaisoRi avec m.nduction socratique, seurto'at avec la division platoniieinrne, esquissée da ileurs par Arist.te x i-r sne,s me. taiL que mui'x e- n r:meire l'originalité et la portée de la svlo:islique.:En, toir cas ils ne.r;ciamxaxesx. aucun cor'~tv'"ié pour l'aven t ir, Kair réc. dLuai e' 9 courage ù il rénovat a,r:t Héie: de la eo qnaissarer, rn". dae aitrl-i 'pas quel: a ogique r'esli.is desti.ée fe ps z an-m d dvi:.aeL e > q.:reme quS'ee n'a jlr am ai, dis o blî:gae ( der aEi-:re. -p:as ecin air jre, que s~e"on: to-.te apEparence elde es:t close eL' ah:.e... 9? l D a.r;lorn qui exp.rim-e d'ai.vl3o.irs,. tçqu'enseiognveoi.if; ' tla pb>up a,'rrt ds p sse-rs.rs-8 'v-8'ue og.qe..e q'ul aeie mas.-nue:is o'l:;inueroz' à ese;is'<nr>r p, endanFt pis, d'un sice. La logiEque se dtivise? ni-x pa.iS n u'vie partna éna6ria ieuera taitant des form.es d. e r'3aison:e',m3. ent nécessaires pour d:émont rer n'im-:portle q'oi uane parLie s.cia iequ traite des méthodes propres a.ux dif iren&"t or:dres de s science.' La méthode mathémath ique et. la méiLthode xpsrimen'.;l ota nsitaitent la logique spéciale, tandis que la 'iogi~': gfnritdaie à laquelle on les subordonne est eoïnxst'.itoe tlo. ei:r. jt.ile 'A la Iogîiq:ue du syllogismme 4..- rsrt 'ki..i i' 'h;. bonrs ~ to e mps, appeele à régenter la lma.fitma.Sii.ue au r me ti.r ue que les sciences de la nature oi de l'espritn la sylplgisflique soulève des problèmes qu'il est ncessair de d dien. r d" s maintenant, si 'l'on veut juger fin'iluernee d'u. syl.logisne sur le develop pement de la pensée matih8érlatiquel En. esfe, le sytlogisme fait abstraction de.lordre de la co'nnairssance, pour se placer l dans fordre de l'être. Aux yeux du biîologiste qu 'est Aristote, il semble que les deux prémnisses s'u mleiss nt con;mme d;- '- res vlvants, et, par leur vertu générat rice do..).n.c:': 'n.ais.snce. 4a )'co'nlusion s, Le systèie des ~trois tle~r.mes -,'t des t'rois )rope. siii.rs 'ofsiitaue.:une sort de vie organique, ~qi:x esi p:arallèle:.a' ':et:iste:et: dIs houses et qui donned e,e.:o:ye.r: d'en ornZ'endre a Rnf"ste r ais,et te prétendue indépendance t, I A.Ai^. m -i 3,-4 3. I A t., r. ' 1>2. â2. Cri,t de xî î arC s. oa.pt-r', p'aréf.ce dr e in a second édtWn.a, (1787j, Cd. de l'Aca-' u i. c f trur,. iL:,. i. m I, 9 p 7. T remnesaygues:;:. 'ae Yiel dirjv4isi est <oa^',:" e k ha pen sée d'ArntiSsote; II. Ate a, S, "r; Ct': 5a i rt ày ïir è5 (e'>i '1' 'ec ^> j ' >5 i '> êo0\r' >>' J5 ~rêtv e, eat St xsi > tâirt, 5'?' 1?s.> It, 3-A':L; c... An t 9 44 t y s ~4. ' 3 7, 1 9 4~" 2.i

Page  80 80 LES ETAPES DBE- LA PHILOSOPHI. M.ATIIEÉMATIQUE du syllogisme a une contre-partie, dont le réalisme scolastique acceptera et développera 4outes les conséquences: l'existence dl'une hiérarchie de réalités transcendantes correspondant à l'ordre de g6énralité des propositions. Si donc le logicien se refuse a cette edébauche d'imagination dogmatique, s'il s'int:erdit de déserrer la sphère des relations où il est nécessairement placé., il.ne lui reste qu'une alternative. Ou bien il envisagera les prémisses pur elles-mêmes, en les détachant de tout ce qui peuE les jistifier, et il y verra.de pures hypothèises, -comme ava'eni. fait, les Sioïciens dans leur curieuse recilfiicaiion de la t~giïque aristotlicienne 2, qui devance ici l'un ie s pde pu rcieuses découvertes de la logique contemporaine. u)u bien; et nous, restons alors dans le cadre e d l'aristotélisme, la ve&téd des prrmisses sera solidaire de l'analyse inductive qui a préparé la conception des propositions générales a. Bon, gré'mal gré, -le syllogisme aristotélz.cien ramène t esp),it à la consideration de l'induction régressive, de cet ordrepour nous qu'Aristote s'était propose de dépasser:' consideration d'autant plus difficile à éviter que sans elle nous ne saurions quelle expression correcte donner à l'universalité de la prémisse. B s'affirtme unirvewrse!lement deA, dit Aristote; masis, se sont de' andsé les génér atio'ns de penseurs qui ont agité depuis Arisstote les prosbèrraes de la logique, cela signifie-t-il que eous les A /nt par ie de la classe B, ou que le caracltère B apparlientc nd'cessaireen ie. A?:Dans le premier cas, le syllogisme s' inerprète en xtension; ii donne ait&si praise à l'accusation de cercle vicieux ou tout.au moins de petition de principe s.. )Das le second cas, il s'interprète en 1. CL t, An., I. 10-30b 32:T. Tb:iCpapa oe oiJ. i'T v àavxoy &iov.;, &)),V. -OVwVa 4v d'G(lV Gihedf' 10V. '2. "Gî..Brochard:La logique des -Sdiciens, Archiv fur iGeshichte der -P.Hio ~sophie, t. V, 1852, -. 456 et suiv.. et Etudes, p. 224 et suiv. 3,.I An. I, 23-08b 35: ritE p. ov' 0'5' pTEpo x. t: v:ptAoT~epo 0 6 Io& u:oI Moc u,,OYtcîrl.dç, Tp.Tv ''evap.tapoç 8 età trS ùtaywY'i'. Cf. Phys., 1, 184 i6, et Top. t: VIII, 1-15 4. * t. I An., 'I, 1-24 b 28':.XosPv ' tOb ra -;a vT7 v.tiYopsrO, ri;4 &,-g8-, ticciv v eTou xLoJ8 xpioQy6' o 'tsepoav.o'ji >e ~joeTn. TD'ailleurs, comlme, le remiarque M. Maïer, op. cit.,-II, Tubingue, 1900, p. 13,'n. 2, l'afflrrmative universelle se traduit indifféremment par les deux expressions mait- 6aspTuv et cavroz; xr:yTopsir0a, qu'on trouve identifiées sans plus d'explication dans les Premiers Analytiques, I, 4. 26"-23: ':UcapXr ix.) -àp 'o V.v, A 'sovrit.' B, TO.I B ~tv I'- -"1 oixooJv Si sa mV; xvtayC O-poto. 0p v o.: ~tv.XEOSv0, &vaW, TO A tlvi Ta~ f 7atpSetv. 5. L'objection qu'Aristote avait aperçue et essayé de prveanir (ilraierop., cit.,;t. I, p. i, p. 17', A. I)est classique depuis les ~ypotypases pyrrhoniennes de Sextus BEmpir[eus, II,:i90, éd. Bekker, 1842, p. 102. Voir Vailati, La méthode déductiue comme instrument de recherche, Revue de Métaphysique, 1898, p. 685., et Scriti, Leipzig et Florence, 1911, p. 135.

Page  81 LES PROBLÈMES DE AÀ -LOGIQUE FORMELLE 81 comprehension;' il se fonde suurl'inhérence et la connexion des concepts au risque de ne plus se plier avec autant de facility ou d'exactitude à la rigu'eur algBbrique d'un algorithme 1. Le débat est vital; comment essayer de le trancher, sans se rêfêire au -mode d'acqu isition des prémisses, sans examiner la signfication de l'induction préalable? Or sur ce point la réponse d'Aristote est' corplexe, et nous aJlons voir ici se traduire dans ses. consequences et sous une former explicite la dualité des experiences biologiques qui ont preside: à la liaissance du syllogismèe li y a deeux degrés dans 'induction aristotélicienne: l'un qui va de l'individu à {'espéce, l'attre de l'espèce au genre; et à chacun de ces degrés correspond une operation de nature différente. Le genre est urne siom nre d'esp6ces; l la classe des animaux sans fiel est épuis-e, quand les espèces cheval, homme et rmurl sonit' num.6éres-. De tait, affirmer que orus les p]oissons sont ovipares, c'st passer en revut e toutaes les epèces à nons cornnues, en nous réservant d'ailleurs d'éii.miner les exceptions apparentes grâce a nue refonte convenable de noire definition du poiss0n. L'induction énumérative des Premie4rs Analytiques estle procédé natural et- ndécessaire à la formation des classes: supérieures. Mais il. n'en est nullermente de mnme pour la.formation de l'espêct propremein t ditch:le rappor t de l'individu à l'esppèce est un.lien immnédat, un acted indivisible d'intuition. Btucph]e, pouer 'un regard parties qui ne s'attache qu'à la forme de la tête, peut avoir 'apparence- d'un b~eif;' l'observateur attentif y retrouve les traits cractéristhues et les organes essentials du cheval. Il a ainsi une sensatioi de l'uiiverseic:'xe y tp 'irc VÊs i 'u.v ' x" ' s.Gtaia'ô, ni'- 8 ''ao'6 ç Tjot:<.o A,&dX 't:v olov v0pto(jou, \)^' ou K a)Jou riPa,;,;o t. Cette sensation n impliquée dans les prenmires dmrar ches de la pensée commie le montre le début de la Physique, i. Voir en -pariculier Coutfurat, La logique de Leibniz 1901 p. 387::. La logiquie algorithmique (c'est-,-.dire, en somme, la logiqae:exacte et rigoureuse) ne peui p-as être fondée sur la consid6rationl confuse et vague de la compréhensio n; elle n'a réussi à seconstituer qu'avee Boole, parce qu'il l'a fait reposer sur la consideration exclusive de l'xtension, seule susceptible d'in traiteirent mathéematique. 2. II An., II, 7 -2'37: 6 &tdyeov Sè riTv xa'eO;'.a.: 8i),:.iv &i'/' tv [3G[,iv't.]j t:.=nv o; Jto.ç -i p6.'wtk (X.. '3. I An., Il 13-L00(7, Lp a traduction de sensation réDond ià l'intention d'Aristote, mais à la condition de ne pas chercher une interpretation littérale du point de. vue. psychologique. Le texte de An., - 8I288" 2 est formel o,ap -,v To; x0a06Xu agc~y q:ç-.. -1l s'agit de ce sernltient.imm diat, de cet.te intuition intellectuelle, qui est la fho-.Wioe.. la plus naute di-v o5; I An.,., 23S44 39:: v buXXoyr^ To 'tiv 6prTa.nî t iç, r oe ' tiî 'iX.I îa,'a &Suvo$. iSh. 'CNi., 'i, 9-i142'25,:'.! pi. y op voS T';V 'dpîv itv, 5 v,. oS aotm >Xdyoq. BîiJNSCEV'cG.:- iLes tapes. 8

Page  82 82 LES ÉTAPES DE LA P1HILOSOPHIE MATHEMATIQUE est capable de prendre une forme precise; mais elle conserve son caractère immédiat, elle est uhe sorte de sentiment intellectuel. C'est pourquoi l'induction qui discerne l'unité spiécifique est tout à fait distincte du processus proprement arithmétique dont résulte l'élément générique. La dualité de. ces formes d'induction, décrites avec tant cie netteté par Aristote,. s'explique:naturellement, puisque le lien du prédicat au sujet est d'ordre tout different suivant que le sujet est une réalité individuelle ito une classe logique. Il conviendrait pour donner à ce lien-une expression exacte de recourir à deux symboles de Copules, cornme l'a fait si heureusement M. Peano. 48.- Sur un autre point encore l'apparence purement formelle q-'on a prêtée à la logique d'Aristote masque une conception très. particulière, d'ordre dogmatique et métaphysique.'En effet, la portée des conclusions est relative au coefficient de vérité qui est accord aux prémisses; or, I'attribution du prédicat au sujet peut avoir la vaeur d'une reeati.on nece'ssaire, la vale ur d'un fif o a valeur d' une snilep possi'biliue, de là, danr les Pes remiers Analytiques' la théLoriu!aborieuse.et subtile des yllogisme modau::. La Ostinctiton ja pa ru suffisante, tant que- la spécuiation I ri âe "sges p^lau(cr" dt'em bléev dans l'être, et a born I e hori de ns vt adayse - ena d éfienir les ddegrés.e Mais il n'ien devrait plus ei':.c d-;Irne. e q.u..t and la ré6flexion moderne a is en q. question le 1. l.k e~ a:.marq2er qu- 'iks oe vedans Leibniz:- I principe de cette distine-,ion; 'e re di convi e.s poini 6e- iI, s Nudan{tlleusouVeauZ esais sur l'ete.te, mennt: htmait li.vre Ill, ciha. mi, ' ) '- eet usage des bs triactlions; YlUis c'éiai plst t an monr,-.;r:t des est avs-S -eU ' -res 3qe, des il.iv.idus aux esp)èes.... i '. S toi a uni s c.!asse, xa signitgii" - ~ x- est n a ~. Soient a et'.- des )clas ses, a. ' sigiie:, iu, a est. b,,. Ces deux: sigoe snt des valurs. dis nctce, t sM. Peario montre par "diffrent.s.et. 3 vers ié des opials ii s qui.e sy Erattachent,. Ainsi on peut 3. _ a b -.:.-r; x s,:. 3 ' b"; c 'et.; —dire ~ de ce oq'uX onombre ConnI.tjidslait à l'urne des deux Conditions d'Aiore z.mltiple de 1,3 ou diJvia `,or '.13 de. Iolnner i pour resle, on peutt - vBiafre -'J.ure c: n-rwle,,rc ~',st mui.Lipl. e i d p. - qi u divisé parr 13 il donnera *i P2 resc, 'u-, des de3x p roCposJiioons- est nessairement vraie. Mais l a i'rm. e u.a fetfgueO n -i:est. - exacte; r'cest-at- dire t oute t uissanc; ~ 'est de la formne 13n ou I3a -4-. i, minais on na l e d. roit d'en c!oncitlre ni que toi) te" puissance 12' soit de la rinme 3an, ni que toite puistsace 2i s.1.iit de la forme 13n —i' le2 eux pro pos";rois, précisr~ein enI raison de leur ge n.ra1ité, peuvent être fauss es i l roG.i h:btatioinrs de Logiqau mathémdrniet-.rn:,'ùdnectiuo au Formulaire de Mathénai";-es, Tur"lI 1894, 1â6. pQ C9 r;p` 7 ls'"^iA n.,,2; i" 2

Page  83 LES PROBLUMES DE LA LOGIQUE FORMELLE 83 rapport; de la pensee à l'tre. Le problème de ha rmodalité ne consist e plus à marq uer a.e é 4,,1 - rahhiiX dans le plan de,'1xl plan de la réalité ed>!e plan dé de>de idta ilé Or~ aiuxe xigiiens Îs:qde ce proMb e,e a ogiqua: arisool'icienne ne sauraîi, e.n ver <u. de s oix pe sa form e ' se %leappoter. atistaSi' oin empètAe.p Q.i on cp6. sid r,;ea crsiae fie du o sa tra e. yog r m n er 4 ei le pr dicat.de> a m'ineuare e e it a.u it, ei e' prtdia "' e a rmajeure. Mais, dans la transformations du prUdicat au suiett Xi y a une iamp(lcation d'exist.ece, qui peut ne pas htre justified par la sxa.re des pre4misses, I} y a tele atrUobulion d~ p:deicat a'>. sujet qu ne suppose aucuinement tl'existence rele d- - sujeti e.i par suite du pr dicat,. La proposition que le dIra gon es. uan-e qhuimn?èr, e tIt t é rae..ent vra ie ou, commn e let itua,,.t Mil ~ cette' proposition l.n dra;.pon eus.t'. tpenif gtqi nouwf e. eS flamtrmes, est ieontes"iAbementl correclte, c> De. e ite drfiSnii on,;poursut-i nous pou 'vo ns tirer lès prdmisses dce s éyvoi îs me-ci: Jar dragon es.une chose qui oseuffe des flamee s; tUn dragon est uan serpent.; Donc, queinque serpenl souffle des fl.ammes'2. Force sera.tbie d'aHdmeitr-e a."c8 'Mac- oGIL, que ~ le.ésyllo" gisnie appelé DaPapli n 'es pas vali'de sout sa oirme J.habi t.uelle.3 On pet le- rendre, c.an',tj m'ais, est à l.' a conditio'a d' ~ adjoindre aux deiu p,- issues un l ugemfnat d'exise'nce ' >. Si. Aristote a'' pas;explicit - ceLt>e co4itonito naécessaire pour maintenir dans son cadre" ie tgri le sy stilme dy u syllo0gsme, c'est que les principes de sa oiq ue éta ent suspends aux pX1ncipes de sa phtys.que e, de sa mitaphysique. Apres ii s'es e ffac,, ée rin'e&i e'genc h he lu Xc"a:n"-eiX:entre a e si s y i et. }'ontoiog'aie a log'ique,'t: dteven.vee U'o déiduct ion iRe r'ioure'eiRemen'-i't ' rmsel cu la se lie expression verbale 'seit 3tir le' i' eo'nlusetions; a cru ]i done ani a Uvaeur i 't e scien c e auj n. et. osi., tandîis q-'on ne ai ai I kI'c"; 'i véritable <e a sc e ce4, Gc:.' not.îe stude sur it(l r *i;. té>. d~, f':h,;d.ul~t' i:, p. J j-. 2. Sysbt~me de Logigus (di8e, tr. Lia,: is3 ' '' é t p_ O in. 3. La Lsgique syF7b.tiqisa e, scfs >I 'n',M;or's'ca, Bib-'t,è-'ïoP ueQ d girè; de,'ePh, - losc'p ie (Paris, fS900), î' -, 190)I p. i. t ei ~v..o. r ae ift>4,ephysau i> 1900, 4p 5i 4 La d1 eouver;rte Od 4:'",c ri i C 1~ii'. ' ' a it al é -i: i,!hf,~ pour ia p rem.i'r e ois das4ii le Pro<ceeci'gas ofî'` i.o n e?r tt>. r i '3, Aii?i,` > L }I i; 3 ei a!' " S; 'h é (cacul;.u of ruiv;aleint., lacti^.r:.on.i. (. '.i-, 8i-, J90 0 p. 33t..

Page  84 CHAPITRE VI LA GÉOMITRIE EUCLID1IENNE 49. - Dans l'étude historique des ceuvres qui ont marqué leur empreinte sur la conception philosophique "de la science, les ÉElments d'Euclide se présentent immédiatement aprls les Anai:yqiques d'Aristote. L'une et l'autre oeuvre fon[t cu la mêime destinée; elles ont traversé les siècles, d&tachées de ce ui pouvait les pr6céder et de ce qui pouvait les suivre, offrant le tableau d'une rigueur qui paraissait irLrprochable, nmarquant un point de perfection que l'on désespérait de surpasser. Par elles, la raison antique a modelé, en quelque sore, la pensée moderne. Euclide, pour les nombreuses générations qui se sont nourries de sa substance, a été moins peut-être un professeur de géométrie qu'un professeur de logique. La forme déductive des Élemenis rend évidente et consacre l'universalité d'application dont la logique d'Aristote était capable. Profond géomètre et profond logicien, Leibniz est le t émin qu'il convient de citer à l'appui de cette interpretation traditionnelle, I' écrit dans les Nouveaux essais: ~ Ce ne sont pas les figures qui donnent la preuve chez les géomètres... La force de la demonstration est indépendante e figure 1 era céee, qui n'est que pour faciliter l'intelligence de ce qu'on veut dire et fixer attention; ce sont les propositions universelles, c'est-à-dire les définitions, les axiomes, et les théorèmes déjà démontrés, qui font le raisonnement tet le contiendraient quand la figure n'y serait pas. C'est pourquoi, ajoute Leibniz, un savant géomètre, comme Scheubelius 1, a donné les figures d''Euctide sans leurs lettres qui les puissent lier avec la dé6monstrtion qu'il y joint; 1. Sur cette edition voir Staigmuller, Johaanes Scheubel, Ein:dealscher Agebraiker des XVI. Jahrhunderts. Abhandlungen zur Geschichte de Mathematik, t. IX, 1895, p. 441, et suiv.

Page  85 LA GROMETRIE EUCLIDIENNE 85 et un autre comm~e Hrlinus, a réduit les inmes démon strations en syllogismes et prosyllogismes2 ~ - et plus loini: ~ I y a des exen l.es assez conrsidéryables d d émonstration hors des math,ématiques, et on peut dire qu'Aristote en a donné déjà dans ses Premiers A.Analygiques; 8n effet, la logique est aussi susceptible de démonstrte lions que la géométrie, et l'on peut dire que la logique des géomètres ou les manières d'argumenter qu'Euclide a expliqu 6ées et établies en parlant des propositions, sopt une extension ou promotion particulière de la logique générale3 ~ 50. - Mais cettei perspective traditionnelle, oi la logique eucldienne apparait come un cas particulier dela logique aristotélicienne est rectifiée par la connaissance du développement de la pensée grecqe. S ils ont eté composes longtemps après les Analytiques d'Aristote, lees Eelmenis d'Euclide metteni à contribution l'~euvle des geé6nrations qui ont précédé Aristoe, non. pas seuleient l'oeuvre technique de découverte, mais l'oeuvre méthodologique d'enehainement de démonstration qui, entreprise dans Iécoleo de Py thag.ore, s'achève dans les écoles d'Eudoxe et de Platon. En fait, quand l'on extrait des écrits d'Aristote les passages conktenant des emprunts ou des allusions à la terminologi e des mathématiciens, reproduisant leurs conceptions systétmaiques des axtioes et des définitions', on se convainc que la thborie de la science à laquelle se rattache la- foime euclidienn.e.ttaiL, ds celte époque, arrivée à maturité, qu'elle était capable de suggérer l'idée d'une Combinatoire logique, et de fournir les tm-oyens pour la réaliser immédiatement en toute perfection', La logique d'A-ristote et la géométrie d'Euclde s'claireront donc mutuetlement, sans 'que la seconde en date procède n6cessairement de la premiere. Toutes deux, elles sont issues d'une mêtme race et d'unr même esprit 6 en toutes deux le génie grec a inscrit avec un tel succès son idéal d'harmonie interne qu'il leur est arrive d'apparaître à travers les siècles commnre déracinées de leurs origines historiques, sous l'aspict de la vérité éternelle: xrMj0a çs àE'. i. L'édition de Christiarn erlinus. et Conrad Dasypodius parut à Strasbourg de û564 à 1506, Cantor, Il, (1900) p. 553. 2. Livr, V, chap. I, ~ 9 subw fine. 3. Ibid., chap. I, ~ 9. 4. lieiberg, Mathematisches zu Aristotefes, Abhandlungen zur Geschichte der maîthcmatisllechen W\issenschaften, Cahier xvili, 1904, p. 4 et suiv. 5. Go6perz, Les penser rsde la Gr ce, t. llI, tr..Reymond, 1910, p. 51. Cf. V'aiiati, rLa iméhodeictiee act coemre is'rumnnt de recherche, Revue de Métphysique et de Morale, 1898, p. 683, n. t. 6. Cf. Har el, op. cit., p,.148.

Page  86 :.i,t,'L ES,.ÉPS L P-LOS "a,' R.E...aTMATIQUE t, - PLes Elmens d....uc.. co m men;e.nt par Unc S6: ie drI.e dé/fiitions; "i.'.s, s. lesi défini0ions so.nt ies principes deI la gé.om.étr. e,..c net p.a.s a '.i. sein. 'fii, 1. i. mot p:, f cipe. elles n'exrment pas l- s es-sn:i s es oss,, elies re torr-espordeut paR des r#e.s tè -.,:.-,s.. -i }:rs liole. 7n ' i t ive pas CieW i' P'> <î leJ dÏC SI Vl!)SStq. iOlheZ b'.eCii{e la d/i; a.::" -"a e' rd&(r;.o l q"i' e '" <'}' 1. xprs session assique.e Le.bt;z,.',.at.'Oir ha oibli éii >.. L.....et définitions euali"~:t.,tdiennes so...g't d, ét;mii"i'i[Bio'uaus L.so?. 7l.des n, ifrmées 'avec e seul dsouci d:a>orer le mi maximum i:f e c.at até..aa ie fangage, ae se rapp'lroclhant4et des tdoïinées ridmairllai:es dw igl"exp.i.cee..i:ansi c.'est u.n:ai na.ture~ 'il'y-a yae n.irne à partir de laqelle tla division.ne.corrfespcndrait plus à' aucun progrès appreciabie; c'st ce qu l'l e ' *ie y appc. la.it l'atome, e que e géom l re appeîlse epoini 'Le psint est ce don't. il. ny a pas departie: 2v'?Sov s itvPvs.ouiv (l i df. I,). IDe mnime qu'on ireon.oi ie pio)'int cs-L -dîireé u.1 élért ent qui 'n 'a pas de longueteur, on conçoit une lo.ngueom' quli n'a p as de larger ~d'. 1I), ou,. une surface qui n'.a que long r et lar ge r ddf, ). JL)es points s ont alors 'con 'idé cclSI, Ie ltes et rr mit des lines (df,'llis et-.ies ignes, cn, '- la es xt- Irottés de- asur pu passer t itre égal, pu a e pour anies n igm isoubles ou des mer` veilles de profound eur. La ligne droite est ce iye qui est ex maquo en tous ses points:E.t i"fn.cn &av, i r?uIIVî!ç t.>Nat (déf, IV). - Le plan est.la suirface qui est ex OquMO rSin'v,ir' ' t;"t ~ Ti^ g:;"' t":'ïk' a0Esîktv ava; (:têt.I!, E~ 1 faith, d.:ai..:inr, '~ cedés iînitioas paraisse'at provenir de' -a &tt'stqtie de 'il'ar dt, bainr, et n'a'oir dès lotrs qu'une porte tempi.rique' n). o,.N',(t m x:rissais, liv. 111, chapt, wi, ~ 19. Cf. ia ûote d.e 8itea t, p ot,, t, i, p. 144 et i;iiv2."Apud.Sgtoi.ée des maihAd: m at.itqus d.e %euthen tr, Meascarît p 94, 'n. 2, La sag^gestioûn.p e ' Paul Tgiîer v.i ite: p enser qu e cos idaes de ligue droite et de siuirfa. plain ont été acqnises p-r d.s procédts de )eomparaison: ea auo'i'n poïiù,t te la ii.gne constru.i.:e, isur aue.ne direS.:, i l. rf., r e const. ruit, ou ine con."etat.te 'tin dg:faaUt d. 'e 'crïncie.nre ne c ^ a c.sf ru, ) it et. l'i.st.i'u itenat qu'on & l:htoisi pour le conUtri. fCos 'iee e'ux notions ' vrijencatiim et. néaçdno de diffDrence, impliquées dannsla défititonr. de lar iig,Âe droite, sont cells qui se retrouvènt àa 'analyse comme les' conditions néevessaires à l'introduction

Page  87 LES AXIOMES 87 Dan s les autres définitions du premier livrce la tendante se manifeste disposer les notion. suivantM une hCirarchie de enr-es et d'espèces, qui rappelle e txaci.ment la cass lifcation a'istotéiicienne, Du genre anglc plan 8f. YBi), Euclide passe. 'esp3cè des, angles rectilignes (;af. " X);- len angles reciiiiigresh seront à leur to o' ou droits ou obtus o aigu (df. X,, XIIV X Pour les figures ulne hi(,rarch;i da me rre s'.....tablit; 'étnD. lo gique t e pa)r a bs Lract ion e i de l ons ira s.lig e oil des espa ces s'ap e le iei e eres, eL e tme Xlst ce ui est l a l itleM de quelque chose,id eles Ov,.u "T'f ier' <lé. f 7). XI I T''out ce qui es it eae ldans îi ou pi.s ie"rs t ms est ui te iage (d f,. XI v). II y a une ur- pa: i.e qui esu t co mpris. sous une seule ligne, totes ies doites qui sont menées surl iette i d'l u lrsn point intérieur de ia fis re sont é gales entire tee la igure es l e cefcg e et l le point ini Lnterir est le centre pu caie donc s'y aiqu tel~q,. quel on atteindrait/ansiun n'àJtô.fi;V `'' éiet)3.b c' -r~o,T(O,Iroç TOr, r;y^î rXZTO tIp YUViVi Tïs a^ î:ixt %tpo^^l X.û^~t eiâîx Dr, ÀX ' Lv liv/po Àà cO. xtuxb U;Kf-.séi.c e p.rTSo.s (lt.i XV-XVo I). l 'autrne part les fige, ures recst iigles;t à tois Côtést à quatre éricôqtés, etc, Idnfles.o XtX). Les t'nislatire-s smnat n cqula s: t raux o eu isosctles 0u sc aibns (def, XX) Aut tre prointcire dea division a pour les tri.a if res, i a considé ration dd'ens él. trilatiores recta, ansllass tsinace.ais l'puo lieéiats ij..CIn, e de, (i...,r oblsang, Po-il riJatb, re t cut.ta-ngles U(d. XXI). LES AXiOES 5. -- Plusieurs des définitionps du premier livre d'Etic lide, sont donc exactement rdu type qu'Aristote preconise, elles se font par le genre et par la difference 2. Le syllogisme d'Aristole pourrait donc s'y appliquer tel quel; on at.teindrait ainsi 1une série de propositions où l'oon transporterait: à l'espèce des angles obtus les propriétés gténériques des angles, oi l'on transformerait en connaissances explicites les vérités implicitement contenues dans une affirmation générale. A des données empides leéments fondamentaux dans la science. Mais n l'époque où Euclide écrit, on ne tient plus comrpte de ce travail de l'esprit, qui est devenu inconscient; on retire en quelque sorte l'instrumentde contrôle, et l'on ne conserve que la régularité du trace i. Cf. Platon, Parménide, 137 E: S pooy')3o ' yi no'5 &C rr, ' roSo' o (vi T%.z^C6R. 2a'vr ^ o parco voi ti.er'o. IGOV 8a-'0., 2. 'Voir en prt'iculier TrOpI)CG., I, s-iOsb 15: ô?pîS; è.% E!i)vY iCL`t Stafop\Co 9O'ZIV.

Page  88 88 LES 'TA.PES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE riques telles que les definitions euclidiennes, ne peut s'appliquer, en effect, que la logique des classes? t la logique des classes ne peut que suivre en sens inverse ie chemin que l'abstraction avait d'abord parcouru. La comparisons d'A.risote et d'Euclide 'srt donc. à préciser les terms du pro'lènm qui s e pse à partir des dé;finitionas. Pour passer de la ogique d e cl asses à. a lgéomri e il faudra procéder à une double elaboration, I'une portant sur le ode doe deduction, i'autre sur les objets mêlna de la science; et c'est bà quoi serviront les deux orares de principes que nous allons voir successiviement à l' uve ax axiomes, xoivs: vEvoa,, et p ostula s, a.t T a~:r,,:. Le premier axio.me d 'Eu(iide pourrai.:i-re appelé le principe -du syllogisme mathématique: Tcx rm urlici.y xcl. &,~AXoç ~.rtlv 'a:c. Les choses (nous introduisons cette expression afin de respecter le vague de la forimule grecque) egales à une même chose sont égales entre elles. L'axniome peut sexplicter. Sous la f orme d'un syllogisme: A B B. C C A. Mais à ce syllogisme ne serait-il pas possible de donner une fornme dont la vérité fût évidenste et dont nous pussions faire dépendre l'axiome euclidien d'égalité? C'est ce qu'a pensé Apollonius, et voici comment il raisonnait: puisque A égal à B comprend le rêrne lieu que ui, et puisque B 6gal à C comprend le mi m.e lieu qi-e lui, A comnpreid aussi le même lieu que G, et par conséqueat A et, C m-S:' eégauxi. A quoi Procl s,.ui nous a conserve ce raisonnemen.t, faisait. observer déji que, sans s'en apercevoir, Apolionius glise dans sa dA monisration deux hypot}hèsees à savoir que les figures qui comprreInnent le inme lieu sont égales entre elles, et que les figures qui comprennent le même lieu qu'une autre sont égales centre elles. En d'autres terms, Apollonius a dépla e champ de léavidence; il ramèn.ne l'égalité à l'identité e ri esi.e spatiale alors que precisémenlt c'est une question de savoir si l'identité de measure spatiale peut être assimilée à l'identité logique.;al r suite, lorsqu'on tranche cette question par l'affirmÀative, on se trouve 1. Prodlus, Commentaire sur le premiere livre d'Euclide, éd.. Friedtein, '873, p. 194, Cf. Paul ITannery, Apollonius de Perge. Buileitrn des SiencJes mathimatiques, P881, p. 126.

Page  89 LES POSTULATS S9 invoquer un axiome qui sera dans- ife terminologie différente l'équivalent de l'axiomi.e d'Euclide. Nous nous rendons facilemeat compte que si Apollonius n'a pas serni ia eéces sité d'expliciter cet axiome, c'est qu'il se fiait a son intuiti on de géomètre pour substituer directement les es.aux autres les lines ou les surfaces de mesure identiquie, et irer de cette substitution une définition générale de l'égalité. Nous apprécions d'autant mieux le procédé contraire d'Euelide, qui cojnsiste suitant lai distinction de Félix Kleirnk t ra1nsforr er par.u e élaboration savante l'intuition tnaïtve en rinruilion "rraffi né'i Euilide utilise d'abord la notion abstraite ed'égalité afin de constituer le cadre logique dans lequel il devra faire. rentrer lesraisonnements de la'géométrie. Puis il determine la condition qui permettra d'adapter à ce cadre les grandeurs qui sont l'objet propre de la science géométrique. Axiomes.: V deux granipdeurs qui peuvent s'appliquer l'une sur l','u tre, qui sont congiruentes, sont égales entre elles. Ka r y*P-i pfpJova?'"&tX '.a V, ' tovt Ce-V z, De même qu'à la forme parfaite et scentifique dua syorgrsne, imméd&iatement fondée sur l'évidence du lien entree erins- te propositions universelles affirmatives, l'analytique aristoté&i:cienne rattache Une $érie de formes indirectes, de crmên e,r ai principe de l'égalité directe, les axiomes Il e; Iij a3jouen't les cas. d'égalité qui résultent de l'addition oi: d a sfsc, ustraction d'éléments égaux à des élé1ments déjà égaux ent euxt D'autre part l'axiome VIII: le tout est plus gr'ad que la parties, introduit la consideration (de linégalit; sirf cei.te ingalitd se fonde une sélre d'axiomes, oi i":on a soupcomnl.des additions postérieures àa a rédaction primitive des É.e':endse par les successeurs d'Euclide, et qui constihent ule. unorps d de doctrine, une é,ritabFe Analytique de la géométrie parallèle i. l'Anailytique de la Logique foramelle. LES POSTULATS 53. - Si telle doit eêre la Logique de la G6ométriel taudra que les objets géométriques, préalablerment définis, subissent pour la plupart un traitement qui les rende maniables par cette logique, et c'est à quoi sont destinées les l trois premitres. 1. Conferences sur les AMathématiques (Chicago, 1893), tradc. Lrugel, 1898, p. 41. 2. -Ka *ïv < roç toa~. 7 srSE, T 'O if, l ' o, -a. Ka' eaav y ^tJo Cr( v i 'y at p (ti-, rPi Ta x ta:.TJc'- evc' '-o'Lsv fa e. Il est à remarquer que la J'ornmul est d à dasrts Aristote, 1 An. I, 24-lb 21 (Heiberg, op.-cil., p. ) r b) o T';v (trt-o) 'vt(t * aspo'F i.Évt)v e'at )stcaO;:; cf. Met K, 4, l06ib 20.

Page  90 LE0 LS TA.PES DE LA PHILOSOPHIE MATii'[1ÉMATIQUE dzmazles.}, i0onlt la simplicit,` risque de dissimuler importance....-...i:i soit demand: de men.r, d': point qulcnc e, à "un point que2.onque une r igne droite.' 'Y, O lu'il soit demandé,f pi lon r en e. o tsi t.i.e t e n "ont i ai5t' un:; droitde linmtM(eI i - Qu'il soit derandé d edcrireaun cercle d centre quel-.onque et de distance [es- a -dire de CIayon] qu(iconCO..U, Fair ie premier postalat, et bien qu'1 vrai dire EIuclide n'ait pas explicitlé l'ticiléd de la droite qui jo.in.deux points donCns é, la d t decent la distance entire deux )oints de iftle so0rte que la co, gu ence d es deux cx. tremités permettra de poser 'é -al té des dux. drOtes. Pare fi second postulat est endue possible `.-'a i d deux l4lmtents g -oométriques. Le troisième a une double pottle: i ètabhii' l'existence de la tfiIre (ir culaire don't la d Piinitio ind <i',u.ait seulementae:cte.pi s tj 'or tous,es piens, de sa priphérie à "gale dista-.ce dA center, et de cetie propriét i irîe icl'nstrumen t par exceeience de 'ac.ivité sc ienti.fiq.i '. En 0r1çan d. Q'u, point 1donn ' t ' Ou...tir nde lign.e éfa,' o. peut ainsi sub.;ituer S.F galié st atque.e..... e....l., ' 1;6Y"ali [c t t t r inpIepa 'si....ti,'on l té mouva rayond i Que ces pos''lats so l" en, l ite o'ièa. a sci eî lie e0u 1idi.ienre, c'est ce que mtani.este dégVjà!a premiere proposition de5 Ei me..t' s C'el te pror position est zun pirble: s r t$ nex. s "-, ".Oitns'v" Ufl 's" UIQ/> 4iC rai '., <' [Oion 'O", pro —,d:o(.~.n,,~e construL,'e un ~r'tngle e;,,juil.r.lLa solution' d pro-:bèm:i e-st imme date si de chlactne des xtrém'its (de la droite on decriît un' cerclée ayant pour rayon la longu'eCur mrdrme de cette droite. ALors onr voit sur la figure, du imoins Fuclide admtet sains aitre explication, que les deux cercles se rencontrent; si, en 1. Eucllide, faute d'une idée distinctement exprimée, c'est-à-dire d'une. definition de la ligne droite (car celle qu'il donne en attendant est obscure' et ne lui sert point dans les demonstrations), a été obligé de revenir à deux axiomes, qui.lui on.t tenu lieu de definition et qu'il emploie dans ses démonstratiOns; l'ua que deux droites n'ont point' de partie commune, l'autre qu'elles ne comprennent point d'espace. ~ (Leibniz, Noureaux Essais, IV, chap. 12, ~ 6.) Ces dseux préLtedus axiomes qui appartiennent à la ~ Vulgate ~ des Élésneons S-Rc regards aujourd'hui come des int'erpotations dans la rédaction original ~d."E-citie, Le 2e axiome est emprunté au texte de la démonstration donnée pir le théorême IV. du. u ", livrCe: 8'o C:vOCat copfor Nspi$PLo'rtv' Qtp str'sv a.&vzraov. Edi. eiberg, t. 1, 1883, p, 18; il a ItL aussi considéré comme postulat, et, à ce- titre, il devait jouer un rôle considerable dans le développement de la gsom'trie non euclidienne (vide infra, ~ 191). 2. Cette lacune a*été signalée peut-être pour la premiere fois par Leibniz. Parmi tis., endroits ~ que Clavius'a omis de corriger chez 2uclide. un 'des

Page  91 LES POSTULATS 9* veprtl 3.u io0u a p rienu;r, on joint l'u, in des points de rencontre au i. ex rmi Lt. l. ia tr ite doné e, ot ob ien un tr iange q i satisfait auix 4conditionsi d.u probltème. La possibl1ité du triangle;' ut.itl'-ai "est donC demonitree. En termes modernes, nous dio-ns q u'i la descr iptic. log.ique énonuant le genre et 1'espèce lnoas avonis ajou t, un théorm e d'existenre. Or le proc6édé est absohlumnentl générai * il est fondé sur la nméte, odoooge plro pr c la lmtlmaltiq suivant les anciens..Ari.. iote disait. le géoné,,:r1, tsutppose la signification du triangle, ta is i 1 a l Y veoit ir exise e: T v y p ^v t t u -.,I.?'' 6 S)-Aàs..v, QX':v ''; tWiXsY A;iinsi, ansa recourir ià' i'hypotltse on:'tologiqiCue quui étaitt la ver tu occulte, ou ie vice ach6i, de Ia togil. e, a-:Scrrtt1icicierine, éa géométrie est. capable de confrer à ses dS 6f loTnss nominales la 'valeur d'une définition rélle ' e'est par 1à qu'elle est a utre chose que I'instrument d'un raisonnement foreei, elle devient une science veritable. pluns re'marquat es et des moins remarqués se rerxcontre d'abord dans la dénmonstrationi de la prPemière proposition du premier livre, ou if suppose ':;citemusts t que les deux cercles qui servent à la construction d'un triangle équitatère, se doivctt rencontrer quelque part, quoiqu'on sach que e q uelu1es cercles ne se sauraient amais renconArer ~. (Gerhardt, Phil. Schr., t. YVT, Berlin,.1890, p. 13t66) ' 1. Zeut [eI, Die yeometrisch e onst stones als ~ Ex.te:beweis ~ in 'de aetiaken. Georetrie. Mathermatisehe Anneaen, t. XLVyVI, t895, p. 2 et suiv. 2. I.t Aa. k I, 7-92" 1i5 ù(Isiberg, op. cit, p, 7). G. Pa.seal:Lettre i M. te.Paitîleu (14, 8).. (~ i est évident qu'il nx'y a point de liaison nécessaire entre la d6flniliol d'n.ae chose et; assurancece de s:m êttre; et que l'on peut aunssi biena définir ne chose s possible qu'une éruiti.ale. Ainsi on peut appeler un tranglet r eotliilgnee et rectacg.e elui qu'on s'imaginerait avoir- deux aagles-droits, et aonatrer ensuite qi-u a tel ir.ngle, imposil; asi le; isi Et lde définit d'abord ls::.paraslt.i.let, e et, a, arie apr&s qu'il y e I peut avoir, ct la ds9n itioD du cerc e orpsercze le postiulat qui en propose la possibilit.é ~t ves, é.do L, Brîunschvi'eg et-'P, Btoutroux, t. IS, 1908, p. 185 3. Hobbe Ss iv&t for; bien compris la signification des posLulats euclidiens. ea quae postEla'a- et petitiones appellantur, principia quider. reyvera suunl, aon tanmen demonstrationis, sed constructionis, id est non scientie, sed potentre; sive quod id.em et, non. twheorematum qu'e suat speculationes, sed probienmaturmt qu ait praxi.i et opus aliquod faciendum pertinent. ~ (De Corpore, chap v,,~ s13, Op. 'atint, Ed. Molesworth, Londres, t. I, 1839, p. 72.) Corrélativereat à cete, coneptioB, il distingue deux ordres de définitions: celles qui eoquenrt dans J'esplnt l'idw e de La chose désignée par le mot, celles qri, portant st.r le nel. des chose susceptibles d'avoir une cause, contilennent ou lenu cause uon, tout eu mo1ins, ieur mode de génération: veluti cum ircnulium deflui.mns esse flug. ram natai ex circumlatione linee fecie, in plano. ~ (bid.) Cette consceptioD, conformt e à des indications de Descartes (infa, ~ 70), est aussi e*ele qti se. retrou:vera dans le Tractatas de Reformatione inceUleclus de gp:iozâa (i;/.', 90; et Lettre,! Tschirnhaas, LX (64), éd-. von.Voten et Land, 5. I ` L kaw Hy, 9883, p, 21, et it est permis de soupçonner ii~ lien d'iXfiluence direte t(Cssi'er, " Des Erkientanisproblem in der Philosophie-nad Wisslseschafl der neaeren eit, t IL, 2 édit., Berlin, 1911, p. 98).e Dlà, elle a passé chez

Page  92 92 LES ETAPES DE'.A.i PHILOSOPHIE MATHEIMATIQUE 54. - Ce n'est pas tout encore dans le développement de la géométrie m6trique;.'Eu.;cide renconrie'.deux notions qui sornt nécessaires pou-r édifie-, le':systèm j de la geometrie pla ne et qui ne peuvent pas 'tre- considéré,es, du` moin;s ave: Ie s- -carasrctères utiles pour le géomaètre- èo'nte consequencess de véritéts-déj acquises; ces notions, sunt celles de perperdic.utaires et de parallèles. Plus exacteemant, aux deux notions de eperpeldiculaires et de parallèles se rà,tachent deux faits géeomé'triques qui ne sont pas susceptibles de dmaonsira.s ion, qui doivecnt être inLoduits à titre de données natureliles, eL quai fourniront deux nouveaux postulais. Le premier-concerne les perpendiculaires tou s les angles drboits sont égaux. A vrai dire,- i peut -pairaître étriang qu'Et clide formule une pareille proposition, a près avoir deftini l'angle droit à -l'aide de la eonsstr ction 'qui, faisani t'omber une droite sur une autre, d6terimme deux arnges adjacents égaux; c'est par.'ê.galitéede c es deux an qu'ii arrive a 1ontevoir le caractière specifique e 'e angle'drsoi Mais si, cornice le demand. Zeuthen, on port s sn 'attent io` suIr 'l'appeication qi est fai.te d ce e postulat, on.comprend ique dans ai pensée d'Eiuclide ii a pour signification d'énoncer Ia 'i:proque g de a dfinition,- c'est-adire que, si deux angles droits sont a'djacints, les drotes itu.ée de part et' d'autre du côté cs:-namim sont siur le priolongement l'une de l'autre. La condition d'unicite, qi ava't ete sousentendue'dans la co exception de la li, le dite est. ci c xp.lcitée. A la définition des parallels se ra attache de a mê, me manitre un postulat. Pour E-cidei des lignes droites sont parallBles lorsque, siLuées dans un:même pian et prolongées de part et d'autre' l'infini, elle ne se rencon rent d'aucun ceôt; définition'singulière, si m6me elle n'est pas contradictoire, puisqu'elle repose sur une propriété qui est par sa nature à la fois relative à l'intuition et place au delde es limites de toute in tuition effective. Mais cette défi-nitiom, qui est ma.rifesteinent un. essa de description, une formula de d ictionnaire, ne compor;e aucun usage géométrique. Suivant la conlepticon que Zeuilhen a si. netLeibniz ~ — notio circuli ab) Euclide proposita quod sit figure descripta mota reetia in piano circa extremum -immotum, detfnitiolem prelhet reetIem, patet enin talem figuram. esse possibiiem. ~ (De Syzthesi et Analysi un iversali, seu Arte inveniendi et judicandi. Gerhardt Phil, Schr., t. VII, Ber!lin, 1, 0 p. 294.) I1 est; à remarquer d'ailleurs que.Leibniz trouvait dans cette conceptaion de la défin tio réelle la réfutation du nomianalisne absolu, te qu'il croyaitle rrencontter chBez Hobbe% (Ibid.; cf. Couturat, La Logiae de Leibniz 190f, p. 190, n 2). i. Prop. XIV du livre I; cf. Zeuthen,- op; cit., tr. Mascart,. p, 10.

Page  93 LA PaORTEE PHILOSOPHIQUE DES ~ ELEMENTS ~ o9 temnent mise en lumière, les Grecs, pour fonder d'unec façon positive les raisonnements relatifs aux paralltles, ont besoin d'une proposition d'existence; or le postulat des parallètes chez Eul.ilide est un théeorème imdiquat. les conditions dans lesquelles il exisie unl. oint d'intersection entre- deux droites rencontrées par une,trù isrième: ~( Qu'il soit demand que si une ~droite renconlirSntt deiux droites (situé es dans un mêmne plan) fait d'un même 6côt:des angles intérieurs doit.la some soit moindrc que deiux droits, les deux droites' prolongées indfiniiment se rencontrent du côté dont la somme est inférieure à (deux droits 2 ). LA PORTÉE 'PHlLOSOPHIQUE DES E~ itLMENTS ~ a. -L Les poslulati sont des faits natuelse; et, du ^ins dans les (qlatrpe prem.ie rs l-vre des es @'ments la géomé6triea le carac'tèroC dune science natdtrelle sexln:l'expression employée 'par JAuguste Com. te. Les dleux prem. ers livres glnt pour instrument la cc'nsLtuctioln des figurs'e t lur transformation par des tracés aiuithiires, pour but la demonstration de l'égalité de surfaces d iff rentes: recta 7ges, par allhlogra mes ou t riangles, le troisième le e quatrieème éudient le cer'le, et. i'inscription des polygones ré,gu.liers dan.s le cercleo Avec le cinquime iivre il semble qu'une science nouvelle commnen e, qui a pour objet la comparaison des grandeurs prises eni général. L'élétment est alors le rapport des grandeurs 3, et les jugements constitutifs de la science sont ceux qui posent la similitude (nous dirii ons aujourd'hui l'égalité) des rapports entre deux grande'urs, c'est-à-dire qui définissent des propor.fions. La théorie des proportions a ses origines dans la similitude géomeitrique. Le manuel d'Ahm.smontre comment, sans énoncer de doctrines généraies, les Egvptien s s'inspiraient dans la pratique du sentiment de la similitude.,Mais nous savons que dès le ïvl sicle' Eudoxe de Caide, dans le dessein sans dout.e d'échapper Aaux embarras que la découverte des incomh ArLt. ité, p. 225 et suiv.. 2. -Postulat V, KAt àv Eil eUo0 e.,eOaf s etIe, s;^'T.,roUac Tàs.ixvro& aoclt,ti T. 0UraM E~p"<Q YtiOVïosç êyo opO\v è)vai'yCovaç. sptlî, l*xpat)Vî>pvcc ç ra<; '5vo e MOE za ' êîç' aCrtCSioY tv '.ViwTEtYL ' I C.PI,")1a e i nv TCU'V o Ep(Ov F_ ~Xâer^ûV~<' 3.- Dc f;s,- a-Iiî~R A v gçi E L IV '0,XEY y é[iQ'}t 'ù' CTsy i4T& t( o i q cr. r iç,;-. Cainto3r, P, -.I-p -a...:L P. Tannery, La. Géométrie grecque, 1887, p. 92, et ZeuthenI, Histoire des Mathérmctiquues dannsVlAnsiquité, tr. Mascart, p. 4.

Page  94 9 4 LES ÉTAPES DE LA. PIILOSOPHIE MATUEMATkIQUE nenlsurables avait entraînés, se donna la tache d'extraire de Ensemble des vérités alors connues de la géométrie les é1éments de la théorie des proportions, et de les r 'aMr er 1u corps de doctrine autonomei. Loeuvrc d'Eudox;s explique. 'ordonnance des lEe',enis. Enclide sépare avec soein,.a: mo-ns dana l'exposition de la géométrie plane, ce que nous appelleroDs la géoomntrie métrique directe, et la théori.e de s-poporiqos,0 D une part dans les quatre premiers livres il s'est ni'ri t -t ir mode de d.émonstration-qui impliquerait un appe à la simlri' tu.d ggéométrique; il a refait, à ce point de vue, la dénonstration tralditionnelle du théor6me de Pythagore2. 'D'autre; par, eni réservant la similitude des triangles, des paralllogrammnes, tc., pour le livre VI, qusu uit immédiatement le IrV. sara les proportions, il semble faire d e u cette Ltude e puremet éonométriqte l'application d'une scienc de a p^rooreloîait- en gdn ral. Ce nest pas tout- au livre V, les terms des pop oriio'ns t.airent fig.urés par des lines, sans qu'i f't temz co.t e pite de la diférence entre grandeurs comme ensura.bles -et grandeur i comrme.s rabies. Au livre VIi, trade e des proportions est repise,, mais sur:l terrain proprement nurmérique., ~es pr.opositoris' sur les proportions y preenent. un nou-meau se-ns parice qiue ici il ne s'agit pas seulement de,égalité des rapports, mais aussi de la possibility de les réduite a-ux minmes' pi'as petits termles 3 ~. Avec le livre X, Euclide aborde les'icomm-ens-'rd.bies'.1 expose le classement des irrationnelles fournies. < par les con, structions géométtriques... avec leurs propriétés non seulem.ert pour l'équation du second degré et pour l'équation bi-carrée à coefficients rationnels, mais rmême en parties pour 'IéquatGion tri> carrée ~,~, Cete tude est comanme e li'o o uct on p our a emrétrie dans l'espace,- à laquelle so-,.s.t,eS,/' s ivrs ag - v ants La determination des 6élém eei s de po lédres rgu lier au livre XIII, fournira l'application de la thé.o -rie des irrati neiiaes, qui a été posée au livre Xa 6. -- Sous le désordre apparent de e'xpo n 5 a ' s' ence euclidienne implique une théorie Egéna.ie des'gaTni'deur, ire 1. Gantor, 1, p. 238 et, suiv. 2. Proclus, éd. cit., ad. I, 47, p. 420. Cif. Zeuthe, M itr'e u secon, rCn.n.,gis internalioral de Philosophie, p. 848. 3. zeutthen, Sur la constit.ticn des iivres arithimétques d t ".î e. ien. '. c'. Bulietii de l'ca.déamie de Danenmrk,:1090, p. '0i2. 4. Paul Tannery. La Géoté trie grecque, p. i01. 5. 5bid.

Page  95 LA PORTIES PHILOSOPHIIQUE DES ~ LLÉIMENTS ~ 91 ar/ih[innetiqu e?universelle. Si done nous prolongeons par la pen'é 'histoire dans leI sns où, suivant nos idées moderns, elle Tnous paraît naturellemrent orientée, nous attendrions que e le dvelppemnent de la science euclidienne eût pour cens fquence la riaction de la forme rationnelle et déductive sur le contenu encore inorganique. Non seulement les theories analogues de la gé>t métrie plane et de la géom6trie dans l'espace auraient natlure'ee *ment dû tre rapprochées. Mais surtout, de ces tires lie i f.raitent successivement des similitudes géométriques, des ranpporis numériques, des, de grandeurs incommensurables, devait se d6gager explicitement l'uiité don't l'aulteur: des ÉtIments ne pouvait pas ine pas prendre conscience au moment ou:i les disposait -à la suite les-uns des autres. En d'autres terest la e *aitre? d'une logique des relalion.s se trouve rassemblée udaEs ie. Eséi, ments d'Euclide; et puisque nCous avons releve, day's le clhoix des principes el des mrîhoe,,S leur pa renht i lteîlcbiet.e av<we les Analyiiques d'Aristote, il sembi qu'en. face de ie-tvre o. Jt togique d's classes s t u've co.t [ u;1e s tsr ses b e $,s.tives, il apteatt ati ux conlPuateus id'Eu Cia due étali(e oi-t r i.us sia formpe Frprpre l ogi, e des r elartiois. En fait te disordre qui nous. choq'ue aujourd'diu dans 3l'r trc dhE uclidet a pass F inap eru pe"nd ranit des siècles Ls Lesite oi nons déma.i tn t r ls com.s ca thedrales du moox1n â^c, 'a pport successif des' gé'n rationta et a ieli es sr *-, donné ' nsipr;ssi,n de 1r 'uvr'e homognte par. excellence, l'fL t a'ier jusqu'au nx '.'" sicle a ant de re.acontrr ine trlen ltaive our ro. rga iser: tes.SEléenfts suirant l. si v'rai ses dei "a Logt ique Dans les N'uveaux Elé. enes 'de Gcé Gtomî;rie qui on.t et6 pubi's en 16 67 $, qui son[ l'ceuivr.i e l nai ald, le hi.r ' premier cs coas t acr aux v.<l g randeurs e générai: et aux quatre opritions, Au liv re ciiqima e l se uleante..L AriUnatudl commence p e de la iete.Cdu.e.: deI a ligne,troile et circulaire, etc. Or, conmme leI m ontre e livre IV de ia Logique o..les extraits du Discours de la raéltode (et à,. partit do la sscconde edition, des Regiule) servent d'introdacition et dc base la; citique de i'(odre suivi par Eucli de dans ies l.menis, ia rirte tde 1: là o génomtrie élémentaire es,. dant l'esprit d'Arrauld, l consé8qence de la revolution cart'siennte,. 1. Voi' dans- L'EnseinemenRt mmatmatique du 15 mars 1t904 l'afii rice '-i-. iut t Ju.stification dles procdés et de l'ordonnance de mes Nouveauxs Éîclets de (Gomériri e par CGh Mdéray, p. 90 eêt suiv,. 2. oi::'aalyse t e de aié Karl BoppK o An.oine de riro d, d er grosuse 3rnsad,7 als Mat&eitaiiker 'Aithandtlunagen Ztur ' Geschieite der MIthematik, Leplzi,. Fascicine XIV 102,,p. 235 et suiv

Page  96 96 -LES `1'A.PES DE LA, PHILOSOPHIE MATHEMAT-XQUE Ainsi, quoique les Etéments (et cela deviendra plus manifeste erncore pr l'Estheliique transcendaniale de Kant, qui se-meut tout entire. darn s lès limits de la science euclididnne) soient gros d'une. philosophical de la matlhématiqtue,' antiîquité n'a pas effectiverent dégage cette philosophie. La mathématique est demeurée dans. l'é- tL de transition ett I'hétérogénéité, oi Euclide Pavait laissée. Des d6couvertes admirables qui devaient fire d'Euclide, d'Archimède, dApollenius,. de Diopha-nte, les, iniiateurs de la renaissance scitentifique et les éducateurs de la pensée moderne, l'antiquité ne s'est pas souclée de recherher' l'extension à la science rniverselle dJe la. nature ou à l'analysee de!a pensée humaine. Respectueuse ds es cadres tracks par Aristote, sa eurio'sité sp!cultative jse bornait 'à déftinr la ceàl'gorie à laquelle ress.cr:ssai l 'objei e ces -recherches. A- cet égard, rien n'estplus siigni ica.f que' a discusson:, conseré6e dans les commenta-ees de Pooe'us, sur la-nature de l'ange. EIuclde était considé6d cimme-'rattachant l'angLe àa la categorie-de relations, paree qu'il le déi.safisait l'cltnaisona"d'ua ine i e o d surface par. rappuortf Un a'l le eligne out par rappor à une autre surface. Eudéme, philosoplhe pé6rpatétiien, y voyait une quality: l'aéfec tion de la surface ou du solide consistant dans la rectitude ou dans obliquilé. E3fin, pour Plutarque, pour Apollonins, pour Carpuis d'AXntiochee, ( tait une quantity (soit surface, soit solid) compDrise sorts une.ligne ou une surfacee.ré,flc'hie.aitour d'un point, mesurant. en qeluele sorte la distance des deux parties de celle line ou de cell surface a. Proclus, fiddle ':à 'ensei.gnement de Syriainus, et en bon néo-platonicien, synthétisait toutes ces definitions et faisait participer i'angle h la nature des diverses categories, 5'7. Utne telle cristallisation, une telle stérilisation de la pensée. géométrique nous parait aujourd'hui singulière. C'est qu'en réali,- nous sommes pour le$ Grecs plus ambitieux qu'ils ne l'ont étd eux-mnmes.:L'idée d'une logique qui ferait sortir de l'esprit hiumain la connaissance des choses, qui engendrerait la vérité par rato'cination pure, a pu, dès la fin du moyen âge, être suggéréee par le crédit de l'organum aristotélicien; nous avons vu qu'elle est étrangère à la pensée d'Aristote lui-même. C'est sur les données des classifications naturelles, érigées sans doute en entities imétaphysiq ues, que la logique d'Aristote s'est constituée; elle aura la prétention de mettre de l'ordre dans ces 1. Proelus, p. 12;3. Cf. Heath, t. I, p. 177. 2. Traduction résumnée de Vincent, op, cigp. 2 et suiv.

Page  97 LA FORTE PiHILOSOPHIQUE DES ~ FL.'MEN'TS ~) 97 données, d'en dégager par la vertu du mécanisme déductif tout ~ce qui s'y trouvait implicitement contenu; mais d'aj9uter à ces données, ce n'est nullement enl dispenser. La géométrie grecque, qui a pu être prise pour modèle dans la constitution des Analytiques, conserve vis-à-vis de la r'alité extérieure la même attitude que la syllogistique. Elle ne prétend pas opérer sur les données immédiatesde ' expé rience une sorte de transmutation qui les rendrait semblables à la nature de l'activité intellectuelie; une telle operation serait en con.tradiction avec le Iralisme de la science antique, qui subordonne toujours les caractères de a science à la nature de l'objet, qui ne connaît rien de tel que la forme pure de la pensée. L'élaboration des principles de la géométrie consiste seulement à trouver un point d'équilibre où la simplicity de la representation spatiale et la clarté de l'enchaînement logique se rencontrent, où l'harmonie s établisse come d'elle-même entre la fonction d'imagination et la fonction d'intelligence, où l'esprit soit dans cet état de grâce esthétique dont Kant a si finement analyst les conditions dans la Critique du jugement de beaulé. La géométrie des anciens demeure donc ce que nous appellerions une étude qualitative de la quantity; il est naturel qu'elle ne conduise pas à l'étude quantitative des qualités, qui est le principe de la science moderne. L'analogie de la logique formelle et de la deduction euclidienne, l'introduction dans les Élémzents de théorèmes sur les proportions, sur la théorie des nombres, sur les grandeurs 'irrationnelles, enfin la correspondance des relations géométriques avec les relations d'ordre mécanique ou astron0mique, nous font pressentir, à'notfs qui la connaissons par ailleurs, la conception cartésienne dé la science une et universelle; elles n'ont pas suffi cependant pour qu'après l'échec du platonisme cette conception surgît de nouveau à la lumière de la réflexion, et s'imposât à la conscience intellectuelle des Grecsi -De là enfin le peu d'influence que la géométrie est alors capable d'exercer sur la physique. Les categories du physicien sont hiérarchiquement supérieures à celles du mathématicien. Le 'mathématicien se contente de dessiner la configuration des mouvements, en suivant les apparences et sans avoir à décider lesquelles de ces apparences sont conformes à la réalité; une telle décision relève du physicien. La tâche de l'un ne saurait empiéter sur l domaine de l'autre le mathématicien se meut dans les hypotheses, les principes appartiennent au physician. 1. '"OXct) 1 ox c 7':,v;â rIo.OYOV TO -Y/O)VY T p~{-teO ~vT' T! V (p t xa; BRUNSCHVICG. - Les étapes. 7

Page  98 98 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHmIE: MATHÉMATIQUE Cette restriction de l'horizon mathématique est un des traits qui marquent 1e mieux le caractère de la science ancienne par opposition a la: science moderne. Mais l'opposition apparaîtra dans une lumière plus vive encore, une fois que nous aurons déterminé, en face de la mathématique euclidienne, laphysionomie de la mathématîque, -tlle qu'elle s'est présentée au xviIn siècle dans l'école cartésienne: une logique universelle appelée à remplacer la-logique aristotélicienne des classes et a restaurer le platonisme sur une base positive. La comparaison sera d'ailleurs d'autant plus facile que la mathématique cartésierne se présente, du moins au premier abord, comme étant essenti'elem-ent une géomnétrie. loïràX 'C v, à, oO. r ';oO,'s' ei-s s VYw d1èv 4 w POv'ccOv, t âV ô- aC9o9up- vv, e(xoaret wr.e^'v *"^o6écEr<ri>,vy.XrijîO5 i 5 t, ~Ta '>~ r~ oYpa;H" v e abv Q v;. Arr8o v êI &aso &pX:s T;<cpà v: o;g Ur:.r;coJ... Commentaire de Simpliciùs à la Physiqued'tristote,, I, 2 93b 23. Ed. Diels, Berlin, 1882., p. 292tf c.. Duhem, Stetv '"&à qamv6.j*sva, Essai sur la.no.tion de théorie physique de Platon à Galilée, Annales de philosophie chrétienne, mai 1908, p. 122.

Page  99 CHAPITRE VII LA GÉEOMIÉTRIE ANALYTIQUE 58. - En franchissant des siècles qui sont demeuréeJs stériles, non certes pour la science elle-même, mais pour les idées constitutives d'une philosophie mathémathique en abordant la revolution de pensée qui se rattache au nom. de Descartes, nous devons marquer le caractère. nouveau que nos études vont prendre. L'historien n'est plus en presence d documents' fragmentaires qui serpent de,matière pour reconstituer la physionomie des ~ouvres, la filiation des idées, l'influence réciproque des philosophes et des 'savants. Désormais les écrits originaux lui sont directement accessibles; il connaît les dates des publications, souvent les dates des découvertes; il est inform des communications de travaux et des influences d'idées qui expliquent la succession des ouvres. Les recherches destinées à éclaircir les problèmes de la philosophie mathématique sont susceptibles d'une precision et d'une objectivité auxquelles nous n'avions pu viser dans nos chapitres précédents; et, si nous ne nous, faisons illusion, c'est ce qui commencera d'apparaître dans l'étude de la période qui se rattache à l'établissement de la géométrie analytique. Voici tout d'abord une rencontre d'un intérêt singulier pour notre objet: le système de traduction qui permet de ramener les questions de la géométrie à la solution d'équations aigébriques a été systémeatiquement employ par Fermat dans un écrit qui est antérieur à la publication de la -Géomnétrie de DLescartes. Nous devons chercher à dégager l'enseignement que comporte la simultanéité de ces découvertes, to.tes voisines par leur contenu technique, aussi différentes qu'il est possible si l'on considère orientation générale de l'esprit des inventeurs.

Page  100 ,100 LES LTAPES DE LA. P1ih.L(3SolHR: MATHEMA' TIQUE SEctIcoN A..- ermt. L' (( ISAG0GG APD LOGOS. PLANOS ET SOLUDOS ~ 59. -- 'auteur (lans ctdoui.e Cvr ca vi.) de 1'E.ioe q(ui pa.lul. au lendemain de la mort de 'Fermat, sigrialait parini ses oeuvres û ine introduction: adx lieux, plans et, solid's, qui est un traité analytique concernant la souit[iorn d,:,spmble0îi^ plans ei solides qui avit'6té vue devant que t M DTescarteseOit rien public sur ce sujet 1 >. Et, en effet, I'stsa'oge ad locosp)aos et solids cntient.le prin'cipe de la géoménett analy tivquei, énoncé sous la. forme là plus neitte qui puisste 'être souhait e2e: Cozmmlode autem institui possunt aequaitones, si duas quantitates ignotas ad datumi angulum coiîsttituamus (qu'em ut piluimumn rectumn sumemus), et alterius ex illis posltiene date terminu s unus sit datus. > On y trouve, n'on'seulement la definition des courbes principales du second degré, mais encoree l'.quation de la ligie droite ", qu1rM chercherait vainement das le Gom ie de 67 et dans le o ie I 7 t an es er-rits de she's premiers coinm'entateurs, juqU'aux Elemenla curvarrnt linearumn de Jean de W:i';t. De même ilu'il rèmontejus1. Étofge de M. deFernmat, conseitler au Parlement de Toulouse, Journal des savariss, lundi 9 février l665. Lte passage est col'firmé par une lettre - Mersoenn, ede f'évnier 1'638, où Ferniat écrit: o Je serai bien aise de savoir le jugement de IMM. de Roberrva' et de Pascal sur. mon!sagope lopique et. sur l'Appenrdix, s'ils ont vu l'un et l'autre. ~ OEares de Fermat, édit. Patul TanncryCharles Henry, que nous désigntns dans la suit'c par TiI, t. II, p. 134. 2. ~ Nulle part, dit Cartor, Descadtes n'a décrit l'établissement de l'équation 'd'un lieu géométrique arve autanlt de clarté que Fermat au cdnn1encfemeLnt.de son Isagogc ~ (II, p. 81'7). Cf. Mfilhaud Descartes et la gdométiie analytique, Revue gén'érale des scieitees, 1906, t. I. p. 73 et Nouvelles Études, '91i, p. 1)7. 3. TH, t. I, 1891, p. 92. 4. Ibid,, p. 95. Format, écrit.Brassine (Plrcis des oEuvres matlué'ntiques de Pierre Fermat et de l'Arithmétique de Diophante, A\i'Cllo Tlouose, 1843; p. li), considère ru tr droite indtllnie sur laquelle il prend un point lixe; ~/ \/, N (fig. 4). Il suppose qu'un point I est déter/' \ miiné de position par la relation comnstante d. xc — b. y; les quaatités d, b sont des lines ~/^ \~L__ données; le segetMet NZ reprëseûnte par x, et Na / M 4 la perpendiGulaire IZ à NM représentée par y sont des quantités variables. Or, si on joint -l-g. o4 IN, comme d'après la rlaItion établie le rapport y1x est constant pour toutes les plosiioi s di poi-tl, ii (-n " résulte.ra que l'antle N ne variant pas, l lieu du. ptint I sera la,roFte NI. I (Cf. Borl'dai-DTmouliin, Le Cartésiani:sme:o i v 3i,'ritable re"éove;io7n (les s.,i.t fic,?s, k.j'I, i8,43, p.! î3.),. ~',..."sis' Geor:neit'jia, 2'. dl, t.. l, i.[i ' }9, p. 2-., eet sItV, î

Page  101 LEiS ORIGiNES DEi) L~ 1 SA SOGE ' ~0 ( qu" l'e expre:sson la plus 5 simple de la c orr'espondance ente Ha for.me al-ébriq;tue e l;a forme geomeétrque, Fernnat est c ~apab'e de comnpléter (sinon, comme il écrit, de corriger) i'euvYre de Descartes, En 1660, l a montré la possibility de réduire les problèmes du septimte ou huitiè.me degré. des courbes du quatriBème, les problèmes du neuvième ou du dixième à des courbes du sixième, tandis que Descartes exigeait des courbes Ldu cinquièrne ou du sixièmne pour le premier problème, du septième ou du huitième pour le second. LES ORIGINES DE L' ~ ISAGOGE ~ 60.- Si donc on fait cette hypothèse que Descartes n'a pas écrit la Géometrie, on peut conjecturer que selon toute vraisemblance l'évolution de la mathématique n'en aurait pas été profondément modifiée; mais il est difficile de croire que le développement de la philosophie au xvwI siècle n'en eût pas été affecté, qu'en particulier les doctrines de Malebranche et de Spinoza eussent présenté la rigueur systématique que nous y retrouverons. C'est que la G 'oratrie est l'euvre d'uil. méthodique, qui procède d'unre conception universelle de la science et qui lègue à ses successeurs une notion original de la vérité scientifique,, L'Isagoge, par contre, est l'oeuvre d'un technicien, qui est en minne temps uln érudit, qui reprend et qui approfondit les procedés pratiqués a-vant lui pour les porter à leur plus haut point d'hSlegance et de simplicity. Fermnat a été en particulier le commentateur, l'exégète d'Apollonius des Perga eL de Diophante d'Alexandrie. 61. -- Iorsque', insruit des procédés analytiques des n-odernes, l'historien considére les travaux d'Apollonius sur les sections coniques, il est frappé d'y retrouvet les traits constitutifs d'une aigèbre géomnitrique qui, à l'aide de:ormes différentes de lan: gage et de représenation, suit un cours parallèle à celui de la geométrie analytique 2. Voici, pour prendre l'exemple le plus simple, l'ordre de consideration auquel Apollonius a recours pour introduire les diîffirenles esp-ces de sections coniques, dans l e the or ndbe oamental d'-. premier livre (prop. XII). Soit une ellipse (fig. 5); soit un dciamrtre AB de longueur 2 a, un' segment AC pris srt ce diamrètre, et une corde conju1. T,t t, [, p. 129. 2. Chasles, Aperçu historique sur l'originze et le deéveloppement des mnéthodes eca éjométcie, Brt xcties (1837) 2" 1d.it 1875, p, i8,

Page  102 0oe 1 'LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE guée CD; la caractéristique de. la figure, ce sera le rapport constant. entre le carré de la corde CD, et le produit des deux segments AC et CB du diamètre 1. La méthode d'Apollonius consiste à représenter cette relation, que nous traduirons aujourd'hui en termes algébriques, par la construction d'une figure auxiliaire. J'élève en A et en C les perpendiculaires au diamètre, je donne à AE la longueur 2 p, je joins E à B; EB coupe en F la perpendiculaire êlevée en C. La similitude des deux triangles AEB, CFB me donne la proportion CF _ A__E_p CB — AB - 2a d'où CF P CB. L'équation CD2 - AC.CB prendra donc la forme: CD, =AC. CF On voit'immédiatement que la corde CD et le segment AC qu'elle détermine sur le diamètre sont ~< ^\ ~ les éléments variables d'une relation qui est générale et qui s'exprime par l'équi-.A- valence du rectangle AC. CF au carré ayant pour c té la corde CD. Or, comme Apollonius applique cette relation, mutai s mutandis, à l'hyperbole et à la para~ >~/ ~ bole, on est autorisé ' dire qu'il a tracé la figure convenant ù la représentation IE Lt et à la solution de l'équation du second Fig.. degré; nous pouvons attribuer aux élémients qui servent de point de depart à cette relati.on, corde conjuguée et segment priest sur le diami tre, le rô e dc vé ritables coo ardonnées. 6(. e — - Seulement, si 1a généralieté de cete relation est paper e aussi n.tetemenit qu'il est possible, elle n'est pas dégagee sous une forme explicite; la construction auxiliaire, le rectangle de référence, demeurent des parties int6grantes de la solution; de sorte q:'il fa ut un théorème distinct pour chaque cas particulie.r et que d'autre part des combinaisons multiples s' éablissent suivanlt les expr'essi8ons de Zeutheni, entre le moyen et l'objet de 1. Voir Zeuthen, tr. Masart., p, 167 et fig. 20. 2. Ibid., p, 169.

Page  103 LES ORIGINES DE L' ~ ISAGOGE ~ 1i03 la représentation géométrique; d'oiù la complication et la difficulté de la science apollonienne. Aussi ce fut-il un trait de génie que de donner à l'usage des coordonnées la forme la plus simple possible en n'employant que des coordonnées rectangulaires, et d'autre part de mettre en évidence la nature auxiliaire et méthodique de ces coordonnées en les appliquant à des sortes de grandeurs qui ne pouvaient se confondre avec leur representation géométrique, telle que par exemple la chaleur. L'honneur en paraît appartenir à un savant français du xivo siècle, Nicolas Oresme. Le Tracatuts de latiludinibus formarum (dont l'influence fut grande et durable à ce point que, dès la découverte de l'imprimerie, quatre éditions s'en succèdèrent, de 1442 à 1515), enseigne à représenter les variations de quelque grandeur que ce soit en transportant sur une surface plane les lignes de repère qui avaient été jusque-là tracées sur une sphère. Les degrés du phénomène naturel se figurent par l'ordonnée, et constituent ainsi,ce que Nicolas Oresme appelle latitude de la forme; la longitude, c'est-à-dire la ligne des abscisses, figure les temps coirespondants, La courbe déterminée par les points d'intersection est le graphique des variations d'intensité que le phénomène a subies en fonction du temps 2. 63. -- De même, nous qui sommes avertis par la constitution de l'algèbre, nous reconnaissons dans l'arithmétique de Diopliante d'Alexandrie quelques-uns des traits essentiels du symbolisme opératoire. Les abréviations utilisées pour la désignation de l'inconnue et de ses puissances, la mise en equation de la relation entre cette inconnue et les quantités déterminées du problème, l'indépendance à l'égard des représentations géonétriques, l'emploi systématique de ce qu'on appellera la règle de fausse position, suggèrent l'idée d'une science qui se constitue sous une forme abstraite et tend à des solutions générales. 1. ( Ce qui manque aux Mahblématiques grecques, dit Paul Tannery (dans une remarque sur l'Arithmétique pythagoricienne, que Zeuthen a prise pour épigraphe de son ouvrage Die Lehre von den Kegelschnitteé inm Altertum. (éd. allemande. Copenhague 1886), ce sont moins les méthodes... que' ds formules propres à l'exposition des méthodes; ~ Bulletin des sciences miathematiques, 1885, p. 86. 2. Cantor,II2, p. 130; Voir les premieres lignes du manuscrit de Thorn: De latitudine Jormarum mnagistri Nicholai Iloren, étudié par Maximilian Curtze, Zeitschrift fur Mathematik und Physik, t. XIII, Suppl., p. 92: ~ Quia formarum latitudines multipliciter variantur et multiplicitas difficillime discernitur nisi ad figuras geometricas consideration referatur. Ideo premissis quibusdam latitudinum divisionibus cum suis diffitionibus infinitas species earundem demum ad infinitas species figurarum applicatio.. clarius apparebit. 3. Vide supra, ~ 17, et Zeuthen, op. cit., tr. Mascart, p. 206, et suiv.

Page  104 104 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHIEMATIQUE Mais il restait un pas décisif à franchir: il fallait débarrasser ces procédés opératoires de la restriction qui leur était imposée par la nécessité de l'application numérique. Et c'est à quoi on parvient grâce à l'usage. des signes littéraux pour designer les notions indéterminées sur lesquelles porte le raisonnement. On retrouve ainsi, avec le procédé qui était constant dans les Ana-ytiques d'Aristote 1, la conception philosophique qui s'y trouve associée. L'arithmétique, dit Viète, est une méthode opératoire sur les nombres: Logistica numerosa; l'Algèbre est une méthode opératoire sur les espèces ou forces des choses: Logistica speciosa2. Seulement, tandis que dans la logique formelle, dans la logique des espèces, cet usage demeurait passif et inerte, puisque les choses signifies, individus ou substances, possedent en propre: des qualités qui ne peuvent passer dans les signes pour les représenter, il devient dynamique et fécond dans la ~ logistique des espèces~; les lettres expriment des quantités dont la nature ne consiste qu'à se combiner suivant les lois de la mathématique. Tous les procédés dus aux algébristes du moyen âge et du xvIe siècle, recueillis et étendus par Viète, viendront se ranger sous les lois de l'analyse spécieuse, sans que Viète pourtant ait disposé d'un langage suffisamment gn érai pour réduirIe les différentes particularités d'une équation d'un nêm degr u a form e e dun equation type, sans qu'il ait tiré de, s découvertes et de ses theories,~ un corps parfait 4 ~. 64.,,- Assurément la découverte de la géorntrie analytique n'appartierin ni -Oresme ni a Viète, bien que le premier ait invent la méthode des graphiques, bien que. le second se soit perp6étuellement servi de son algèbre pour résoudre des problèmes de géomtrhie et qu'il ait ainsi pratiqué. ce qui littéralemleat mériterait mieux que l'sagoge ad locos, ou que la G(-6omérZie de 1631, le nom dei géométrie analytique. Du moins 1. Cf. Paul Tarinery: Sur l'Arithmdtique pythagoricienne, art. cit., BuleitiIn de sciences iahématiques, i88, 88 p. 86. ~ Quand 0 étudie dans Aristote le symbolisme des letres employees peur reprélsenter des objets de. la pensée, on doit se dire qu'il ne fallait anors qu'un pas aux Gres pour arriver a r'altor:cti;tns de Viète.2Lr.n arten aaalEyticarm saigoge, 59st, ~ 4, Ed. Sehooten, Leyde. '146, p. 4, 3. Cf.r Lia d, Dlscartes, 1882, p. 38, et Pierre Boutroux, L'imaginatiot.l et les mathetématiques selon Descartes, BibliothBquie de l.a.alncu1té des lettres de l'université de Paris, X, 1900. App.. L 'analyse di FVite et ctetle de Descartes Ca. pioin.7t de u re d rile dle l'imagination, p, 37 et suiv..4. Descartes, Lettre de juin 1645, Edit. Charles Adam et Pal2 Tannery (que nous désignerons dans la suite par A T), t< I, p. 228.

Page  105 L'IDÉE DE LA MATHÉMlATIQUE UNIVERSELLE 105 ont-ils porté les matériaux de la science nouvelle à un tel degré de perfection que l'avènement en a pris uin caractère de necessite logique. Du moment que les Grecs avaient su se servir de la géométrie métrique pour déterminer des types de relations générales entre les grandeurs, la découverte e Fermat devait se produire, comme les pratiques des astronomes grecs devaient conduire à l'emploi systématique de la trigonométrie, conmme l'étude simultanée de la progression arithmétique et de la progression géométrique impliquait le calcul logarithmique. Et les trois disciplines auront à peu près la même portée; elles apparaîtront comme le complément, comme la 'définitive mise au point, de procédés lentement élaborés. En terminant l'Isagoge, Fermat qui avait ~ rétabli et dimontré les deux livres d'Apollonius Perg~eus des lieux plans ~ exprime le regret de n'avoir pas disposé à ce moment d'une méthode -qui lui eût donné sans doute le moyen de rendre plus élégantes les constructions de ces lieux géométriques. En fait la géométrie analytique a servi surtout à perfectionner la théorie- des sections coniques jusqu'au moment où le progrès dés recherches infinitésimales a permis de transporter sur uzn nouveau terrain le principe de la correspondsance ere les courses e i es,quations, et d'en étendre ainsi la fécondité. SECTION B, — La mathé.matiaque un.i'ereselI.e de Descartes et la Physique. L'IDÉE DE LA MATHÉMATIQUE UNIVERSELLE 65. - Lagenèse de la gépométrie analytique de Fermnat éclaire dans une certaine measure la philosophie mathéinmatiqu e Descartes. Suivant, en effet, la quatrième des le gui ad dircionrem ingenii2 et la seconde partie du.Discours de le M1Ihorde^ deux.disciplines sont exceptées de la fin de non-recevoir que Descartes oppose systématiquement à ]a philosophies et a la' science telles qu.'elles li.av aient t é,e nseignées; 'e st. I'a.ritduéti8que et la géométrie. Sous leur forme éle:-entairc rQiih.nt tiqt.e de Pyilhaoe t geomlvtri e d'Eiucitde, ces scenes sont les t. Paragraphe fiual do 1'isagoge saoe: H invertio si libros duos de locis plans nohis dudum res itituos pr~cessisset, elcgantiores sane evasisseni localiura theoremlatuni constrictiones.,, 77, >,, p. 103. 2. AT, X, 373. 3. AT, VI, 17 et suiv

Page  106 o10 LES ITAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHIMATIQUE modèles de la logique véritable: ~ Arithmetica et Geometria... circa objectum ita purum et simplex versantur, ut nihil plane supponant, quod experientia reddiderit incertum, sed totoe consistunt in consequentiis rationabiliter deducendis1 ~. Sous la foirme supérieure que leur ont donnée Apolionius et Viète (Descartes dit ~ Pappus et Diophantee2 ) elles manifestent leur fécondité en engendrant, celle-ci, ~ une certaine analyse que les Géomètres anciens avaient pratiquée2 quoiqu'ils eussent refusé d'en livrer le secret, celle-là un certain, genre d'arithmétique qu'on appelle algèbre et qui permet d'opérer sur les nombres comme les anciens faisaient sur les figures ~. Mais l'analyse des anciens et l'algèbre des modernes avaient sacrifi.é à l'ampleur des résultats la simplicity et la pureté des principes; elles doivent se réorganiser, elles se fondront de manière à constituer une méthode universelle. Le principe de cette méthode consiste à s'élever au-dessus de la representation des figures, et à dégager ce qui est commun à ~ toutes ces sciences particulières qu'on nomme communément Mathéenmatiques... Encore que leurs objets soient différents, elles ne laissent pas de s'accorder toutes, en ce qu'elles n'y considèrent autre chose que les divers rapports ou proportions qui s'y trouvent ~. Dans une telle conception la géeomrtrie conserve un rôle: pour examiner ~ ces proportions en géenéra'I, i1 convient de les ~ supposer... dans les sujets qui serviraient à en rendre la connaissance plus aisée ~; ces sujets, c'est-à-dire les terms particuliers' destinés à être -e support iles relations géné.rales, devront, remarque Descartes, être des lignes parce qu'il n'y aurait ~ rien de plus simple ni que je pusse plus distinctement représenter à mron imagination et à mes sens,. Mais la relation qui s'ajoute aux termes ~ pour les retenir ou les comprendre plu:sieurs ensemble ~, et qui est I'ob je propre, de la mathématique universelle, n'est pas assujettie -t la nature géométrique des lines; elle s'explique ~ par queques chiffres, les plus courts qu'il serait possible. Par ce moyen, conclut Descartes, j'emprunterais tout le meilleur de l'Anialyse géométrique et de l'Algèbre, et corrigerais tous les dé.tfauts de l'une par l'autre. ~ 66. - Ainsi, suivant le Discours de la Méthode, une inspiration, qui rappelle de près l'Isagoge de Fermat, expliquerait la 1. eg., II, AT, X, 365. 2. Ibid. IV, AT, X, 376. 3. Ibid., X, 373. 4. AT, VI, 19. i5. Ibid., VI, 20.

Page  107 LES DIVERSES FONCTIONS DE L'ESPACE DANS LES ~ REGULAE >. 107 genèse de la nmahénmalique universelle..I reste à savor quelle est exactement, à la prendre en elle-même, la portée de cette mathématique universelle. A cette question la réponse sera différente, suivant que l'on considérera l'ceuvre de Descartes dans la philosophie géinrale, c'est-à-dire l'extension de la méthode mathématique à l'uaiversalité des problèmes cosmologiques, ou que l'on s'attachera seulement à louvre que Descartes accomplit dans le domaine propr le e la mathématique par la réduction des probièmes de la géométrie aux problèmes de l'algèbre. Que les deux entreprises procèdent d'un même esprit, la chose n'est, certes, pas douteuse; elles sont connexes, il serait pourtant inexact d'en conclure qu'elles puissent se ramener l'une à l'autre. La première est une réforme de la physique par les mathématiques, mais qui n'emprunte rien à la technique de la géométrie nouvelle, tandis que la seconde est une réforme de la mathématique elle-même. Ce qui a donné occasion de les confondre, et qui a rendu parfois inextricable l'interprétation de la pensée cartésienne, c'est que l'une et l'autrec euvre ont pour base la notion de l'espace. Or, il importe de le lire tout de suite, afin d'orienter le lecteur dans notre double exposé: l'espace joue dans la physique de Descartes et dans la géométrie de Descartes deux personnages bien différents. Dans la physique la réduction de la quality à la quantité consiste à ne retenir des phénomènes sensibles que des determinations mesurables à l'aide des dimensions de l'étendue. Dans la géométrie au contraire les figures spatiales apparaissent comme des sortes,.,dé qualités, qui seront ramenées aux forces purement abstraites et intellectuelles de a quantity, aux degrs de léquat ion. Bref les Principes de la Philosophie sont une physique d e géomètre la 'Géométrie est une géométrie d'analyste. Ainsi s'explique qu'en suivan[t les directions que dessinent I'un et I aut.re ouvrage on arrive à deux conceptions nettement dlistinctes de la philos.ophie math.6mtique. LlES DIVERSES FONCTIONS DE L'ESPACE DANS LES tl RlEGJUL. 67. - La premiere de ces conceptions dappa'trat dès les Reguloe, qui p:robablemenit remontent aux environs. de i'.année 1628'. L'idée fondamentale est que la science est essenL. Note de l'édition Adam-Tannery, X, 485i, et suiv.

Page  108 1.08 LES ETAPES DE LA PH,_AOSOPi E ATMgir ATIQLQU lieilemvnt unilé, parc.e qu'elle t Finteliene humaine 2.'1muvre,, et qu'il n'y a qui'une fa n de co mprendre '. a mthode est unique pour disposer les données ~oMpl. es d'un problem suivant un ordre intelligible, de façon à ne plus avoir qc u'une chaine de relations simples entre 6lémnents sim'ples: ~ Soit par exemple 3 et 6 les deux premiers termes d'une progression géométrique; rien n'est plus simple que d'en déterminer le troisième par. déduction; il suffit de noter que 6 est le double de 3 et de trouver le double de 6 qui est 122 ~. Une série de relations se constitue qui fournira autant de termes que l'on voudra. La solution du problème est parfaite quand la série a un ordre, c'est-à-dcire quand on peut, cormme dans le cas de la progression géométrique, passer d'un élémenta l'autre grâce à un <~ Imouveicent continue et ininterrompu de l'esprit ~, en se fondant sur une relation initiale qui peut être saisie dans l'acte un et indivisible de l'intuition, en partant du simple ou, conmme dit Descartes, de l'absolu. On le voit par cet example, la tnathematique est la science de l'ordre aussi bie.n qe'o la science de la mesure; et elle comprend, en outre de l'a ritlmin tique (ou algeèbre) et de la géomiétrie, l'astronomie, la musique, l'opttiue, la mncanique 3. 68. - Pour la constitution dC 'ord t', ) Scde. 's t' di'une 'faço générale, recomimande de mettro a profi la siTnpic:ité des images spatiales;-. Matis la portée de cetite prescription var:, e du tout a-i tout suirvant l'application qion e-n. e ria. Ainsi,:,es Regulkr envisagenL le cas oui.a re t-pse'.ttionr g(éomrtriqt'ue nest guurte pl.us qu'un tsctime c'yve:.it.o..nael. ((~ On peit supposer que la couleur est, tot ce.qu'o vod, ra, on ne nlera peulrt in.t pas qu'etle soit étende-ue et par. consiéque-at qu'elle ai t une figure. Qnuel inconvenient y atai — t-(ionc proc der de la fa3çon suiva'nte? sans admetl re iut&lerent 'u. foa rgtr s l. gre une no'uvelle essesnue, sans rien nier non plus des opinions des autres, nonus.nou:s contenteer:ons 'de n retenir (que cc qi a la nature de a1. figure, et-nous conicerons la diversitél (1ui est entire le@ blac, le beu, le rouge, etc;, coiinmtt celle (q, i eiiste centre telles figures que celles-c, o';;c c'i-conir r I, 6l. Eto perut e- dir artat d -te- c;s e..eri,.ieg., A T, X; 30. 2. Hanrequiji, La mEthode de Desartes', Ét;des d'si.Eoire des scierncCs et d'histoire de iIphilsophi e, t. i, 1t908, p 2.. 222 (Patrs, F., A.Ict.n), id'atpreis la R eg. C I, AT, X, p. 3i84 et suiv. -3. Reg., TV, AT, 'X,.37 et' suiv. 4. tie,..XIV, AT, X. 441..

Page  109 LES DiVERtSES FONCT'giON8 DE L:gS, GE DANS LES ~ BREGULt ~ 4 09 tain qute la. m it'u;t. de inftinie des fig.u.res suffit pour expri maer touees les dfféirences sensilbies 1,> Sous cette firme, l'introd c in de la notion d'espace n'au ait tq uni valeu. r mi.tldoi og:: i que E lIe signifierait sculem ent que iooir imna.giner clair een' It Pdistinctmel.t les dififrences qui 'ui s.nt dor:4nre At.- cotrln.3me d>quaitaC.i'vesi, le sale ant a bes oin de leaur I i 1... Fig. t. t'aire correspondre des graphiques suivant la méthode pratique qiie Nicolas Oresrne avait irnventée et rendue populaire. Si on opérait sur ces symboles, come on o opérerait sur les couleurs elles-mênres, afin de saisir les consequences qu'entraîne ieur diversity, on n'aurait qu'une série d'hypothèses, depourvues de consistance nint;i.nsque.,e destinées surtout, comme le vouaiaen t les astronomecs grecsi, ah q'cini!eii' les phénomènes, à coor(donner les apparences 3 69. -- Mais si Deéscartes a nettement marqué le rôle que l'espace serait capable de remplir conmme scheme arbitraire qui suppléerait aux connexions véritables des phénomènes, il n'est pas dout eux que le mriécanisme cartésien a une tout autre ambiLion. Descartes ne critique-t-il pas le mathématisme expérimental, de Galilée, précisément pierce que Galilée se borne, -ainsi que fera plus tard Newton, à rechercher par induction la firmule des lois naturelles? Ce n'est pas assez de connaître ~ les raisons de quelques effets particuliers ~; on bâtit (' sans fondement ~, tant que l'on n'a point considéré ~ les premières causes de la nature 4. En d'autres termes, comme Descartes 1. Reg., XlI, AT, X, 413. Cf. Berthet, La méthode de Descartes avant le Discours, Revue de Métaphysique, 1896; p. 409 et suiv. 2. t1: est à noter que dans le Valerius Terminus of the Interpretation of Nature, (qui n'a été, il est vrai, publié qu'en 1734), Bacon employait des symboles analbgues. (Lalande, Sur quelques textes de Bacon et de Descartes, Revue de Métaphysique, 191l, p. 309 et 311, avec référence àt Bacon. Ed. Ellis, Spedding et ieath, t. III, Loin.dres, 1876; p. 237.) 3. Voir la Note de M, Meontré: La théorie physique d'après Descarte. Revue de Philisophie, aooût 1004, p. 218 et suih. 4 Ci'. CtIettre. ieiersenne de octobre 1638. AT, AT, 30O.

Page  110 i' 0S LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE lui-même a distingué une morale ~ par provision. ~ de ce qui aurait, au terime de sa philosophie, constitué sa morale définitive, il y a lieu de' distinguer une méthode par provision, c'est —dire un artifice destiny à transposer les problèmes quels qu'ils soient dans un cadre adapté aux fonctions de l'esprit, et une méthode définitive, appuyée sur la relation généarale de l'esprit avec les choses, et qui implique suivant Descartes une théorie exacte de Dieu. Cette rmthode définitive se fonde sur l'espace en tant que l'espace est adéquat à la réalité des choses. Or cette adéquation sera obtenue effectivement, a la condition que l'espace ait subi une élaboration qui en simplifie et en généralise la notion. L'cspace, tel que l'avaient envisagé les géomètres anciens, est un système defigures susceptibles d'être mesurées suivant trois dimensions; grâce à l'énumération.de ces dimensions les problèmes de la géométrie sont aisés à déterminer facilement. D'autre part, les grandeurs dans l'espace représentent les trois premiers degrés des grandeurs arithmétiques ou algébriques: ~ la quantity simple [dite du premier degré dans l'algèbre moderne] s'appelle racine; la seconde s'appelle carré; la troisième cube, la quatrième bi-carré, etc. t ~ La simplicité iinaginative de cette correspondance est séduisante, et Descartes avoue en avoir été lui-même dupe pendant longtempr. Pourtant elle est trompeuse. En effet les degrés des grandeurs ne sont jamais que des relations à une unité donnée; la quantité du premier degré, ~ la racine, est une première proportionnelle; le carré est une seconde proportionnelle, etc. ~ Or, suivant la Rgyle XV, l'unité peut être à volonté ou surface ou longueur ou poini. L'essentiel, c'est la représentation d'un élément étendu qui se prête dans tous les sens à une extension illimitée. Descartes, il est.vrai, n'ajoute pas ici, ce qu'on attend qu'il dise, et ce qu'il dit de fait dans la Géométrie, que la composi1. Reg. XVI, AT, X, 456. 2. AT, X, 453: ~ primo unitatem pingemus tribus modis, nempe per quadratum, [, si attendamus ad illam ut longani et latain, vel per lineam, —, si consideremus tantum ut longam, vel denique per punctum,, si non aliud speetermus quam quod ex illa componatur multitudo; at quocumque modo pingatur et concipiatur, intelligemus semper eamdem esse subjeçtum ornimode extensum et inflnitarum dimensionum capax. ~ Ce passage permet d'expliquer le début de la Reg. XVI, où Descartes recommande de remiplacer les figures entières par des signes très cou-rts, per brevissimas notas. Ces signes rte sont pas nécessairement des ~ chiffres ~, comme dans le passage corres. pondant du Discours de la Méthode (Cf. Hamelin: Le système de Descartes;-1910, p. 68, n. 2); iiS peuvent être des points.

Page  111 LES DIVERSES FONCTIONS DE L ESPACE DANS LES ~ REGULA ~ 111 tion de ces degrés peut se faire à l'intérieur d'une seule dimension spatiale, que le produit de deux ou plusieurs longueurs peut encore être représenté par une longueur. Ne faut-il voir dans cette réserve que son éternel parti pris de prudence et de méfiance? ou faut-il croire que dans les Regulse, il n'avait pas encore amené les principes de la géométrie analytique à l'état de méthode claire et distincte? En tout cas, ce qu'on doit retenir de ces èi'gles XIV et XVI, c'est que la pensée de Descartes tourne autour de la dimension spatiale. L'!lémrent de dimen-. sion spaiiale est la iongueuer; on peiut partir de la. onguaur pour reconsituer la réalité spatiale, comme multiplicity à. ttrois.dimensions. Mais ce:uiode de composition n'es;t- aux; yeux de Deéscartes, qu'un cas particniier dans le mode 'd composition des grandeurs; tout élément —analogue à la lIongueur peut 8tre considéré corn-ne unc& dimension, et on introduira dans un probleme aitant de dimensions qu'on voudra. Dès lors la repr — senfation spatiale de la dimension ne depend plus de l9 nala.re ~spa iale de la dimension: ( non seulement, dit Descartes, la lcngueur, la largeur e.t la profondeur. sont dtes dimensions, mais en outre ia pesanteur est la dimension suivant laquelle les choses at peséeses; la vitesse est la dimension du mouvement, et ainsi pour une infinité de dimensions semblables. Tout mode de division en parties égales, qu'il soit effectif ou ihteljuectuel, constitue une dimension suivant laquelle se fait la numeration1 ~. Autant de dimensions dans unr problème, autant d'élémegts quantitatifs dont la mesure peut être naturellement indiquée-par une representation spatiale. 70. - Cette généralisation de la notion de dimension est le point capital des Reaui-s; elle explique comment la représentation spatiale peut acquérir une valeur tout autre que celle d'un symbolisme arbitraire, et conduire à une science effective ue l'univems. En effet entre 1a diversité des couleurs et la diversity des schemes spatiaux que l'on convenait de leur faire correspondre, il n'y avait qu'une analogie extérieure; les raisons hypothétiques que l'on enchaînait en-théorie simplement parce que la méthode enjoint de supposer ~ même -de l'ordre entre [les objets] qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres 2 ~,j taient propres - recouvrir plutôt qu'à manifester la réalité veritable des.phénomènes.-La notion de dimension généralisée permet de substituer à l'analogie extérieure la résoi. Reg. XIV, AT, X, 447. 2. AT, VI, 18.

Page  112 i 12 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATEHÉATIQUE lution interne. Traiter un:probOl me suivant lordr e la raison et suivant la nature des choses, ainsi que l'a fait Descartes dans la déicouverte fondamentale des lois de la réfraction, c'est le ramener à un nômbre détermiané de dimensions élémentaires, c'est rechercher les relations qui correspondent à ces 4iverses dimensions et à leurs rapports.rciproques, jusqu'à ce que le sy-stème de ces relations soit compris dans une énuméralion exh. ustive, et que ilon puI:lsse conclure e e la solution particulière de chacune des difficultés a la solution totale du problème. La réforme de la phitlosophie par les mathématiques sera donc accomplie si l'étude de tous les phénomènes peut être réiduite à des mesures de dimensions. Ce.but, Descartes l'atteint par la refonte de la notion du mouvemient. Pour Aristote, le smouvement est l'acte d'un &tre en puissance en tant qu'il est en ptissartce; sous cette définition générale ~ les Philosophes ~ conçroivent ~ plusieurs mouvements qu'ils pensent pouvoir être faits sans qu'aueun corps change de place, comme ceux qu'ils appellent moius ad formal, motus ad calorem, motus ad quan. liSatem. Et moi, continue Descartes au chi:pitre VII du Monde, je n'en co is auun q ce... qui fai que les corps passent d'un lieu en un autre, et occupent successivement tous les espaces qui sornt entre deux1 ~. La notion d'un tel movement rentre dans le cadre des notions géomnétriques; on pourrait même dire qu'elle est à la base le la géométrie. ~ La nature du mouvement duquel j'entends ici parler, est si facile à connaître que les Géomètres mêmes,, qui entre tous les homes se sont le plus étudié,à concevoir bien distinctement les choses qu'ils ont considéres, l'ont jugée plussimple et plus intelligible que celle de leurs superficies et de leurs lignes; ainsi qu'il paraît en ce qu'ils ont expliqué la ligne par le mouvement d'un point, et la superficie par celui d'une ligne ~ 2. Seules les notions ~ des figures, des grandeurs et des mouvements ~ constituent les idées ~< claires et distinctes qui peuvent être en notre entendement touchant les choses matérielles ~ 3. La science de l'univers devra donc se traiter uniquement en termes d'étendue et de mouvement, suivant ( les principes de la Géométrie et des Mécaniques ~; -les 1. AT, XI, 39. 2. Ibid. Cf. 'Arist. de An. 409a -4, (Ed. Rodier, t. I, p. 44.)... 'EzSL pa: lv.0rtl6 =v yv p Alaiv civ7 ov îotoaCv, rtYuG'yIv 8.- ' ypic4vv. Voir. aussi Proclus, op. cit., p. 97: ot' '.v [-Tv ypc. tvJ] npdiv -rgr ioX )Xso'rsç, et le texte des Reg. XIV. AT., X, 450: ~ idem erit cum puncto Geometrarum, dum ex ejus fluxu ineamrl componunt. ~ 3. P. Phil. IV, ~ 203, AT,, I (), 326, et trad. franç., IX, (2);.321.

Page  113 LES ~ REGULAE ~ ET LA ~ GEOMÉTRIE ~ 113 principes des mécaniques étant homogènes à ceux de la Géometrie, puisque l'idée de movement ne contient aucun élément qui ne soit impliqué dans l'idée de l'espace. Telle est la forme de la nima!hemaiique unierselle, que le mécanisme cartésien va remplir. La ma lière se définit ce qui est étendu en longueur, largeur et profondeur 1; mais les trois dimensions n'épuisent pas les éléments spatinaux qui peuvent se combiner pour rendre compete des phénomènes dle 'univers. Le mouvement est une grandeur susceptible de dimension connme la figure; la measure du movement s'ajoute à la iresure du volume pour constituer les quantités qui entrent dans les 'qulations fondamentales de la mécanique. Si on peut ainsi par des modifications de situation et de vitesse rendre compte de tout ~ ce que nous pouvons apercevoir par l'entremise des sens ~, et le ~ e denombrement ~ de nos sens est, très facile ~, on a prouvé par là-même ~ qu'il n'y a rien en tout ce monde visible, en tant qu'il est seulement visible ou sensible, sinon les choses qu'[on]y [a] expliquées ~, et conclure ~ qu'l n'y a ucu(n phlnomène en la nature dont l'explication ait é6t o mise a ~ SECTION; C. - La Géomét6ie de 1637, LES ~ REIGUI.;E > ET LA (~ GEOMETRIE ) 71. -- L'6lément mahémath tiqce sur lequel s'appuie le système cosmologique de Descartes n'est. autre que ia dimension spatiale; il participe aux caractires de l'étendue, et les carettères de l'étendue sont de ceux qui en raison de leur irréductibilité à l'esprit attestent l'exsteence d'u.n ordre de substances distinct de l'ordre des substances spirituelles; la dimension spatiale est un objet que l'intelligence se représente cor me lui rtant exterieur et qui s'accompagne naturellement d'un ecffrt de l'iinaginationw En ce sens la mathématique universelle est une extension des méthodes géométriques àa 'universalité e pobles de la mécanique, de la physique, de la bioiogie ou die a psyciophy-p siologie. Mais il est clair qu'en elle-rmême, cette extensi8 peut ne rien changer à l'idée qu'on se formait de la technique propre -la mathématiaue. 1. ~ Revera extensio in longumI, latumti et profundium quTe spattium coastituit eadem plane est curn illa que coinstituit corYps. ~ Principia Philosophie 1L. ~ 10, AT, VIII. (1), 45. 2. Ibid., IV, ~ 199. AT, VIII, (1), 323, (2): tr. franc.. IX, p. 317. BRUNSCHrVICG. -- Les tapes. 8

Page  114 114 LES ÉT&PES- DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE Au contraire la Gaométrie de 1637 opère une transformation des méthodes techniques de la Géométrie et de l'Algèbre. Quel a été le trait essentiel de cette transformation au jugement de Leibniz, le critique certes le moins indulgent, le plus enclin mnme à restreindre la portée de la revolution cartésienne, à tourner en accusations injustes de plagiat les inévitables ressemblances que l'oeuvre d'un grand mathématicien peut offrir avec les idées partielles de ses prédécesseurs ou de ses rivaux? La réponse précise à cette question est dans une lettre, vraisemblablement destined au Journal des Savants: (~ Ceux qui sont assez entrés dans lintérieur de l'Analyse et de la Géométrie savent que Descartes n'a rien déeouwNt de conséquence dans l'Algèbre, la spécieuse en ele-même étant de Viète, les résolutions des équations cubiques et quarrées-quarrées étant de Scipion du Fer et de Lolys. de Ferrare A, la genèse des Équations par la multiplicity des. équations égales à rien étant de Harriot Anglais, et la méthode des tangentes, ou de maximis et de mininimis étant de M. ermat, de sorte qu'il ne lui reste que d'avoir appliqué les équations. aux lignes de Géométrie des degrés supér-ieulrs, que iteii privenul) par les anciens qui ne les tenaient pas p assez gérométriques, avait négligés 2., Dès le premier livre de la (Zéondetrie, Descartes dégage de la façon la plus claire cette conception originate: ~ Il est à remarquer que par a2 ou bS ou semablabes, je ne conçois ordinairement que des lines toutes samples, encore que pour me servir des nomn usités en Algèbre, je les nomme ou des carrés o0u des cubes, etc. ~ 72. - Cette conception se ratache assurément à l'idée de la mathématique univterselle qu'exposent les Reguloe; mais, chose curieuse, elle n'est pas formellement exprimée dans les Regule. Il est même à remarquer que dalns les derni6res pages qu'il en a rédigées, Descartes semble tourner le dos à cette conception: il ~ propose dans la rbgle XVIII, de figurer par la surface d'un rectanglle e produit de deux 'acteurs ~ 3 Pourtant, il n'est guère douteux que Descartes n'ait pratiqié, dès les premiers temps de son activity intellectuelle les procédés dont devait sortir la géométrie analytique; la découverte de ces procédés devait enter pour une bonne part dans Perthou1. Sur les travauk d(e Scipione del Ferro et Lodovico Ferrari, voir Canlor 112, 482 et 490. Descartes rappelle le nom et l'invention de ~ ScipioFerreus anu 1ll livre de la Géométrie (AT, VI, 472). 2. Gerhardt, Phil. Schr., IV, 347. 3. P. Boutroux, op. cit., p. 43.

Page  115 LES'~ rEGJULAE ~ ETr ÏA ~ GÉOMETRIE ~ 1b siasme dOcrt Pinventionr de la méthode s'accompagnau1 de même que le usnccès'de leulr application systlmatiquement poursuivie pendant une p6riode d'épreuve qui dura niguf ans,: explique la confiance de Descartes dansla valeur et dans l fécondité de la méthode. Mais dans les Regulae déj s'affirme un trait qui est caractéristique de la physionomie intellectuelle de Descartes:son Mloignement, nuancé de quelque ddédain, posr les recherches de. ia mathématique abstraite: Neq u'eenim mragni f acererî has regular, si non sufficerent nisi ad mania problemata resolvenda quihus- Logistoe vel Geornetroe otiosi ludere consuetverunt.* ~ Pour des problèmes, éciit-il à Mersenne vers la même époque, je suis si las des mathématiques et en fais maintenant si peu d'état que je ne saurais plus prendre la peine de les soudre moi. même 3. ~ Les mathématiques des techniciens, les mathmatiques ~ vulgaires- ~,,ont l'enveloppe plutôt que les parties constitutives de la nmathématiqe universelte *. La pr occupatio' i sT: dcrsltans. d de-D scart es Regul, c'es': doi. briser 1'enveloppe pour mieux faire apparaître la portée de l'application aux sciences du scoicret. Il semble bien que, si une sollicitationn eXthrieulre n'avait pas conduit Descartes à composer la Géome'rie, il n'aurait tirét dlu contours de l'algbre etde. la géom6étrie que des procédés techniques a son usage personnel. La chose du moins semble s'être passe ainsi pour le calcul des indivisibles: Descartes, suivant les conjecture ts tès plausibles de' Paul. Tannery, disposait pour son compete de r-éthodes équivalentes à celles. de Cavalieri ou de Roberval `; il s'abstint poiratia d'en rien faire connaître, faute peut-ê tre d'en pouvroir donner une justification suffisamment rationnelei à son gré, abiandonant ses émunes l'hon.nneur de l'inventiton. Ainsi s'expliquerait sans doute la situation dsguièu r e la Géomnicétrie vis-à-vis des Regtulo qini 1m sont probablement antérieures d'une dizaine' d'aunées: Descaitest dans la G.e odétrie revient sur un sta de s sa pensée5 u'il croya it air,;é im nii.iement dépassé. Or, en approfondisant ce qui. dteait ne servir.-.D Sn s ses Speciétmn Philosophue: Ceirtcsian (,, Ciey6d, p ' 79, i r cité par Bailet.(t'/ c dce M. Descartes t, i 6, li, p. (O) tj;, i. ili iot er juisqu'! cc'lte! pétiodIe o se p)répairait la découverte td. la rntlhode (i6:l0ti620), la sohltion1 g'ti.'l!e, à 1'.fide dî ne paral;ole, des probirmea solides, rame.nés & lune qu:.i'-ion dtu troi.sinme ou d'tu qeriarii, e d eigr, 2. Re. f'^I.'A X. 373., 3. Lettre du 15 avriI l630, AT, J, 9. {i naegs, Ï, ATk',. X, 3 74 ATe, I':. ',

Page  116 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE que d'introduction et de préparation à sa philosophie de l'univers, il a créé une ceuvre qui devait modifier, la signification de la science mathématique au xvIi siècle et le cours de la philosophie mathématique. L ANALYSE CARTÉSIENNE 13. - Leibniz nous a conservé les circonstances de cet accident heureux: ~ Au sujet de la Géométrie de NM. Descartes, il est bon de savoir que ce fit M. Golius qui fournit l'occasion à la faire naitre, et qui contribua aux ouvertures qu'il eut sur cette science. Car M. Golius était très versé dans la Géomntrie profonde des aneiens qui avait été comme oubliée depuis. Et comme M. Descartes faisait sonner fort haut sa méthode et la facility qu'elle donnait de résoudre des problèmes, M. Golius lui indiqua le grand problème des anciens rapport par Pappus, qui consiste dans un certain dénombrement des lignes courbes par les lieux. Ce problème coûta six semaines B M. Descartes, et fait presque tout le premier livre de la Géométrie... J'ai cela de M. Hardy qui me l'a conté autrefois à Paris. ~ C'est vers la fin de 163t que Descartes paraît avoir envoy à' Golius ~ professeur aux mathématiques et aux langues orientales à Leyden ~ la solution de ce problème. En langage moderne le problème de Pappus se'nonce sous cette former trs simpler: p ~ ban données 2 droites, trouver le lieu d'un point tel que le produit de ses distances à n de.es droites soit dans un rapport determined au produit de ses distances aux n autres:. ~ Ce p,'<obl3me se rat. tache 4 à i:,uvre I A pollolius; c est suivant l rm,:he od e ides:inc. ies q.C Fer'ms.t i'ab}torde is sa solution,.règs. -yga'te, pour les lie x à trois droites, se LrouveJ seule conserv-e 4,>. En 1640, PRobervEal, qni Descartes Cavalt conseillé que ' 'on posai; à son tour!e problêème, de Pappunst, dit avoir restituré inté^graie meut les lieux slides à trois ou q.uatre IL Remarques sur 't eé Ia e: l iae e d Mois. des Cartes (tGehrardt, Philosophische Schrif te, t. IV, p. 3i6) 2. Voir la lettre adressie, suivant Adam et Tannery, à Golius, en Janvier 1632, t. 1, p. 232. 3. Tannery, in OEuvres de Descartes, t. i, p, 235. 4. Ibid., t. VI, p. 723. Cf. Fermiat, 1T, II, 105. 5. ~ Pour le candidatLuas de la 1he irnee e Ramus, je voudrais bien qu'on lui eût proposé quelque question urt peu plus diifleile, pour voir s'il en aurait pu venir à bout: comrnme par exemple celle de Pappus, qui me fut propose il y a près de trois ans par MI. Goilus.,, Lettire à Mersenne d'avril 1634, AT, I, 288. Cf. Lettre au même de juin 1632, AT, I. 256.

Page  117 LaANALYSE CAB TESENSNE { i lines î. Or à ce'te méthode des ancient^ et sur le terrain choisi par Golius, devait s'opposer la mrséhode nouvelle que DescartrAs présenltail cornimre le secret de son gnie, et. laquelle d'ailleurs il avait été théoriquement c onduiit: à lq'eI ilî s'était pra tiquement initieé, par l'ét.ude de la mathéimatiqae abstraite. 74. - La méthol de des aies est la tisynhèse. Descartes, dans un passage fort signficatif de ses Re >poses aux seconds o(Jec-!ions '/ties sur les dias mddalions nntaphysiques, la caractérise; com)rnme < examinant les causes par leurs eilets (bien que la preuve qu'elie contient sosit souvent aussi des effets par l e causes) ~". Uxn:aiu e ( inception d-le a sralltèse est assuréi6ent pa1radoxale, e la rse' v e\xp rin e dans la parenthèse prou. iv que Deac'.rie e ia le st:ntimicnt. Ele s'explique pourtan t-i s 1exemple nmi re lu pr obln e de Pappus. E1 c i ellet, la miét od syntlrwtiquer raisonne direcl.tement sur les l ignes qui composent, les figlere s, et c. erch suivarnt quel procedé elles peuvent êtc tracées de J'ael à salisfaire aulx con:diti du problème C Or ces lignes, qui sont, pour i rina at(îon les terms éimxnentairie du problème et (qui eprétsentent naturellement l'absolu, sont en réalité des effets, puisqu'elles dependent des relations m6triques qui sont conteulies (dansr l'éenoncé du problème; ce sont les relations métriques, et non les lignes, qui sont le veritable absoic, si nous entendons par aou non pas l'objet qui semble se idétacher pour les yeux avec une apparence d'indépend.ance, mais le principe simple, la cause, ce qui pour l'esprit comnmande et engendre un ensemble de dléterminations s. Ainsi compris, l'absolu peut être, comme ltindiquent les Reguloe, une relation: par example la relation qui définit une proportion géo-. métrique et qui en est appelée à bon droit la raison. Cette relation doit être exprimée en elle-même et pour elle-même; en cela consiste l'attitude de l'analyse: ~ l'analyse montre la vraie voie par laquelle une chose a été méthodiquement inventée, et fait voirl commerent les effets dépendent des causes ~. Or, ici, les 1 Letztre à Fermrot, iTH, 1l,. 2. AT, IX (1), 122. Quelques lines plus bas Descartes ajoute: ~ Les anciens Géeomxntres avaient coutume de. se servir seulement de cette synthèse dans ieurs csrits, non quîi'ils iniorassent entièrement l'analyse, mais, à monr avis, paree qu'ils en ufisaielt tant d'état qu'ils la réservaient pour eux seuls, comnre un secret d'importance. ~ 3. Reg., VI, AT, X, 381: A bsolutum voco, quidc.quid in se continet nati-ram puain et simplicen, de qua est quitstio; ut omne id quod consideratur quasi independens, causa, simplex, universal, unun, oequale, simile, rectum, vel alia hujus modi. ~ Cf. Hannequin, op. cit., p. 220 et suiv. 4. Rép. aux 2'; objections, AT, IX (t), 121.

Page  118 I 1!8 tLES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MAlTRHMATj'TUE m-auses, ce sont les rapports de grandeurs qui rendent.coute de. a:isition des.lignes; il est par conséquen-t nécessaire' de pouv'oi les,Cartr e des dson nés du probl1éme en V rimuina m les circonsttn.ces qui tiennent à la configurration des lignLe- en. particulier à la di.nci d es h ig~nes- suppotsées connue-s et des. ligInes sUpposées inco(aues et qui conféraient aux prc. é Me. employés par les anciens leur allure d'énigmes, de tours de force. Telle est la rméAhode à laqueleî Descartes do1nn e e nomn d'analyse bien qu'elle corporate, à coup sar, un travial de comniposition aprés te travail de rsoluton., La métodanatique sera, non pas celie qui exc ut [ synth6èse, mais celle qui ne fait intervenir la synathse que lorsque la resolution a été poussé,e'..usqu'au bout'; c'est L'i..ratralts de l'analyse qui nous parait être caractélstiqu;e et deécisive. '75, -Appliquée a'u probluame de Pappus, la resolution faith correspondre à chacun des éléments linéaires un ~ chiffre,, de façon obtenir une équation algébrique. ~ Voulant résoudre qielque problènme, on doit d'abord le considérer comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semble nt nécessaires p-our le constiruire, aussi bien. celles qui sont inconnues quj'atiux autres. Puis, sans considérer aucune difference entre ces lignes connues et. inconnues, on doit parcourir la difficult selon l'ordre, qui montre, le plus naturellement de tous, en quelle sorte elles dépelndent mrntlellemet les unes des autres, jusques à ce tqu'on ait trouvé moyen d'exprimer une même quantité6 en deux!'atlens ce qui se nomne une une quation, car les termes de l'une ~e cs deux façons sont égaux àaço ceux de l'autre. Et on doit trouver autant de telles ÉEquations qu'on a suppose' de lignes qui étaient inconnues '. ~ Les expressions de Descarles rappellent de très près, suivant l'observation intéressante de 4M. Gibson a les pages où s'est arrêtée la rédaction des Reg.uias. La Bè gle XIX se formuhle ainsi: ~ quoerendàl sunt tot magnitudines duobus moois difflrerentibu s expressed, quot ad (di'ficultatem direrte l'lercu....rrena.s,-e trino co tos incoo gmgo s suppo nus: itL eaXi tt comparationes inter' duo -equalia habebuntur,n. Mais cette règle, dont nous n'avons. que l'énoncé, pouvait ne I. Voir sur e' point les réefexions.de Cournot, Considérations sur la..marche des i.des et des vé.nements dans les temps modernes, t. I, 1872, p. 265. 2. 'V,.372.. 3. La Comédtrie de Descartes au. point de reue de sa méthkoi, sue de. Mét aphysiquea, anneée, i89, pT 395. 4. AT, X 46A8.

Page  119 LA rPORT' TEDE DL G. OMÉTR1E CARTÉSIENNE 119 s'appliquer encore qu'à la formation des équations proprement g6ométriques, tandis que la méthode de la Géornétrie prescrit d'exprimer les relations géométriquiles eui équations algébriques, et c'est cette expression qui est le point capital Pour obtenir une telle expression, la Geoméirie utilise le système de coordonnées le plis simple, celui qu'Oresme employait en vue de representations purement graphiques commne les symboles auxquels dans les e danula Descartes recommandait d'avoir recours: système des coordonnées rectangulaires qui sont appelées aussi coordonrées cartésiennes. La démarche méthodique de Descartes le conduit donc au procédé même que pratiquait Fermat. D'une parL la resolution du problème de Pappus se fait sur le terrain de l'aigèbre de Viète; par exemple, it'analyse du lieu à quatre droites ~ est ~ présentée sous forme d'mue discussion générale de l'équation du second degré à deux inconnues 1. D'autre part la considération des conditions gén6 -raIes du problème mène à envisagesr la nature des lignes courbes, et à-en fonder la classification sur le degré de leur équation: ~ Lorsue cete é quation nie monte que jusques au rectangle de deux qunantités indéter ieê::s, ou bient au carré d'une même, la lign;e' courbe est du premLier et plus simple genre, dans leque l i n'y a que le cercle, la parabole, l'hyperbole et l'ellipse qui soient compris. Mais-.. lorsqtue l'nquation monte jusques la trois ou quatrième dimension des deux ou de l'une des deux quantités indte.'inétes: car il e.n f a-ut deux pour expliquer ici le?rapport d'un point à un autre: elle est du second. Et... lorsque l'équation monte jusques à la 5 oul sixième dimension elle est du ttoisième: et ainsi des autres à l'tinfin. ~ *LA PORTÉE DE,LA GEOMÉETIE CARTESIENTNE 76. - La pensée cartésienne, pénétrée de la notion de l'unité de sa science human e, retenant comme matériaux l'analyse géométrique d'Apollonius et l'analyse algébrique de Viète, a engendré une discipline nouvelle dont le principe est, suivant l'xp3ression de Florinond de Beaune, ( la relation et la convenance muluelles de l'arithmétique et de la géométrie ~.. Du point de vue technique, cette corrélation entre l'algèbre 't. Ntie Paul Taimery, A, AT, pV, p 725 2. Liv. II, ~ intitulé La fa-on de distinguer toutes les lignes courbes en certains genres, et de connaître le rapport qu'ont ious leurs points à cerwx des lignes droites. AT, VI, p, 392. 3. Geometria, éd. Schooten, 1649, p. 140 (ad pag. 93).

Page  120 1a20 ES E'TAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE et la géométrie, donne lieu à deux pratiques différentes. On peutse servir des propriétés géométriques des courbes et, par exemple, v construire ~ les racines communes des équations en determinant. les points d'intersection des courbes correspondantes, On peut part, des équations des courbes et, par exemple, obtecnir leurs dpins d'tersection par le calcul de leurs racines communeaî3s. Dfans un cas on fai, J albre t'aide de ae a géo métri e; dans l'autre on fait de la géométrie à l' a de de l'algèbre. Les deux procédés se sont montrés d'une égale fécondité pour l'extension de la science; la géométrie analytique est indiffé6 -reinmtent l p'applicapion de l'alèbre aà a géométrie, ou lin.terprétation de 'Valgèbre par la géométrie. Mais les deux- façons de fire, cessentl d'(tre équ ivalentes -si Ton se préoccupe de dégager de la science nouvelle une conception théorique. La resolution s é~qiat'ons algsaicbquies à 'aide d constructions géométriqu;s est utn. p)rocédé d'indiuction qui va audevant des 'causes pa.i l.es e fetts; la doct;rine qui porte directement sur la constit.leorAi odes equations aig 'iques satisfait aux exigences de la m6thode analytique, dont la dmtarche essenrtielle est ainsi formulée daian l ics le ~ conduire pae-.r ordre, res pensées, en coi.,smmen e-an par es objets its plhus simpUles t les plus aisés ' connaître, pour monter peu a peu, coame pm ar d egrés, jusques la cennaissance des plus composés. ~ C'est à cette pratique intetlle.s etlle que se conformuenet les Méditalions létaphu y-ysiques: Dscres clartes idre expressmenLt dans les Réponses aux deuuxidmes objectin s, y avoirc suivi. ~ la voie analytique.. pour ce qu'elle [.i] serembe.être la plus vraie et la plus propre pour enseignero ~ Et c'est de cette pratique intellectuelle qu'est issue la théorie des équations, qui ouvre le troisième livre de la Géométrie: ~ Il faut, écrit Descartes, que je die quelque chose en général de la nature des Equations: c'est.-àdire des sormmers composée.s de plusieurs terms, partie connus et partie inonnus;,. dont nles uns sont égaux a ux autres, ou, plutôt, qui, considers tous Isensemble), sont égaux à rien; car ce sera sou yent le ml eileur de les ctnsitder cette sorte 1. > Malgré le désordre apparenti de la Géomdtrie, qui est un efet de: art, ou tous anu moins qui cache- une intention de défi 2, cette théorie est. danA la pensée de Descartes, eL elle fut pour les conte.mporains, la partie mattress e dela.tathéEmatique car té sienne., L'équatin alg6brique exprise!a relation fondamentale t, AT, I, *,44 p. 2. Liard, op. cit,f p, 48.

Page  121 LA PORTE D.E LA GEOMTRIE CARTESIENNE i21 qui constitue la grandeur; elle est l'absolu. Traiter des équations algébriques suivant la méthode de l'analyse, c'est assister à la génération des equations à l'aide de leurs formes les plus simples; c'est faire voir comment la notion de racine procède de l'équation. mise sous une forme telle que le second membre soit nul, et pourquoi la découverte des racines est une rêsolution de l'équation ~ Sachez donc qu'en chaque Equation, autant que la quantity inconanue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est-à-dire de valeurs de cette quantity: car, par exemple, si on suppose x égal à 2 ou bien x-2 égal à rien, et derechef, x-3, ou bien x - 3 0; en multipliant ces deux equations, -- 0 et a —3 0, V'uine par l'autlre; on aura --- 5 ) —h 6 - 0, ou biern x: - 'x -- 6 qui est une équation en laquelie la quantité x vaut 2, et tout ensemble 'v aut 3., 77. ---. Sa.ns avoir, besoin de rappeler le detail des lois qui concernent le.s operations sur les racines et la transformation des équations, nous pouvons apercevoir comment cette théorie de la nature des équations accomplit un tel progrès dans la reduction des ~ difficultés ~,,qu'elle transforme la conception de la riathnmatique pure et la notion fondamentale de quandite. Les Regulhe partaient de la mathématique proprement dite pour étendre à l'ensemble des problèmes qui pouvaient se poser à l'homme la mneétode de la résolution dont cette science avait, seule jusqu'ici, donné l'exemple. L'arithmétique et la géométrie y sont juxtaposes comme satisfaisant également aux exigences de l'ordre et de la mesure. Avec la Géomltrie, la juxtaposition se change en hiérarchie; la quantity soumise à la restriction que lui impose la representation spatiale devient quelque chose de compost par rapport à la quantitée définie uniquement au moyen des operations de l'arithmétique, exprimée à l'aide des,systè,mes symboliques de l'algièbre. De, à cette consequence que les limites de la science algébrique déterrinent les limites de la science géométrique. Vers la fin id t:roisième livre, après avoir indiqué la méthode-pour la résolutiorna des équations du quatrième degré, Descartes ajoute qu'il ne sait, ~ rien de plus a désirer, en cette matière... Il est iL Livre *ii, AT, VI, 444.

Page  122 12S LES, ETAPES DE -LA PS. ILOOPHIE:M.&TI`-MATIQUE vrai que je n'ai pas encore dit. sur queiles raisons je me fondee, pour oser ainsi assurer si une chose est. p ossi ble ou ne l'est pas, Mais, si on prend garde comment, par la m.thode dont je me sers, tout ce qui toumb sous ]a consideration dets omtrsse, réduit à un même genre de Problèmes, qui est de chercher la valeur des racines de quelque Equation, on jugera bien qu'il n'est pas malaisé de:faiie un danomebrement de toutes les voies par lesquelles 'on les peut. rotver, qui soit suffisant pour démon[rer qu'on a choisi la pl s- ga6érale et le plus simple t. ~ 78. - La conclusion de.la GeIéom ie est doue analogue à la conclusion des J>rincipde- a Philosophie, toates d(eux s'inspirent du même principe eformulé dès les Reg uix La Pègie VII prescrit, pour l'achèvemenit de la science, de prendre un un les éléments du problème et de les parcourir to-us d'un mouvemenit continl, nulle part interrompu, de la pensée, de façon à po.u11voir les comprendre dans une énutmération suffisante et méthodique. Or l'appiication de cette règle permet souvent. cette ( audacieuse ~ conclusion, qlue ~ si aucune des voices accessible aux homes ne conduit 1à a découverte de la solution, la conniaissance en est place au-dessus de la. portée de!1;i.tell igce humaine,2 )' ~La doctrine s'applique naturellement à la g(ométri e 1e mouvemlent non interrompu de l'esprit, tel qu'il apparaIt dans d l'algè'!W::re, trouve une matièie pour s'exercer sur les lines géolltrilues (~ pou.rvu qu'on les puisse imagin.er être décrites par un mouveme.nt continlu, ouL par plusieurs qui s'en ire-sui ven t. don't. les.derni,ers soient entièrement réglés par ceux qui les précdent. >'. Les iixgne qui ne satisfont pas à cette condition sontt au d duà domain de la résolution algébrique et, par là-mêemel au deli de la connaissance humaine: les lignes géomnétriques so nt par definition celles qui tombent sous quelque mesure bien déterminêe *. Descartes écarte les ~ lig.rie.s qui semblent à des cordes, c'est-à-die qui deviennent tantôt droites et tan.tôt courbes, à cause que la proportion qui est entire les droites et les courbes n'étant pas connue et même, je crois, ne le pouvant ê-re par les horrmmes, on lie pourrait rien conclure de là qui fut exact et assuré,. De tells paroles ont été jugées sévèremnMaL:. Leibniz ne. anquera guère l'occasion de rappeler qa'en declarant impossible la receificaiion d'une courbe, Descartes ~ s'est trompé par 1 AL, A, 47. i. AT, X, 389; cf. X, 393o:i. A. VI, 39YC.;i AT, VI. 392.., A,. VI, 412.

Page  123 LA, PORT ÉE DR LA GIÉOMÉTRIE CARTB8i:TNf iL'3 une trop grande présomption... mesurant les forces de toute la postérité.par les siennes 1 ~. Mais il faut voir là des parle]s de philosophe plutôt que de technicien; et c'est ce qi. ensfait pour nous l'intérit. La constitution de la g6ométrie carlxésiee est commre ~ subsume ~ sous une certaine philosopher., et à cette philosophie elle a dûl de marquer une date dé6csivei' an l'histoire de la pensée. Cela nmme qui est pour Fermai un procédé admirable d' ~ élégance ~ et de ~ commodity. ~, dievrient aux yeux de Descartes-une n1éthode fondée' dans la nature des choses. La facility et la simplicity des solutions ne sont plu. des aantaages qui mettent en lumière l'invention heureuse d"urn. savant: ce sont les marques et'les conséquences de la péntra tion du penseur don't la xmditsation est capable d'atteindre ia dri e profondeur de la réalité. Par là se dégage sous un jour:out.nouveau la notion. daéquation algébrique.. Elle était lun royen apyproprié à la resolution des problèmes géométriques; elie apparaît désormais comme la raison des déterminations de l'tendue. Avec la Géome'trie, l'idée cartésienne de la imathmatique acquiert une portée que le rests de l'oeuvre cartésienne ne pnermettait guère de préciser. Dans sa forme initial ta lmathhi maitique universtelle paraissait avoir surtout en vue, 'exteasi on de la géométrie à l'univers;.'lent était la dimension spatiale, qui servait de modèle à toute mesure et à toute combinais'ron des éléments du mnonde physique. La Géomnérie' donn.e pour base.' la mnathématique la resolution intellectuelle de la donnéie géomdétrique; la dimension spatiale, fournie par une so:rte d'inagination a priori, i n'est plus qu'un appui extérieur wpour une conception don't la valeur essentielle est indéperndante de toute representation,iaginative. Dès lors, l'idée de la sien ce mathématique est transforiée: la quantity n'est plus, CorCne chez Eucliide, u ne dt ermma,.; t ti irée par abstraction de '.-. rvation des objets; la science -de la quantity n'est plus crmaparable a une science naturelle. La notion de quantité est purement intellectuelle; elle s'établit a priori par la seule capacity qu'a l'esprit de conduie et de poursuivre l'infini de ~.ne changes de-raisons ~. Cette conception nouvelle de la mathématique enXtraPi.nait une conception nouvelle de la philosophie, qui devait precndre corps dans ls systèmes de Malebranche et de Spinoza et d'éter:inero une étape essentielle dans le développement de la phi'osepie. mathée m atique i. Lettre à Phiiippi, de janvier 1680, Geramrdt. Ph. Schr., IV, 28.

Page  124 CHAPITRE V. i LA PHILOSOPHI E MATHIÉMAT IQUE DES CAlRTÉESIEN S SECTION A. - L8es problèmes du car 6éadnsme. LA PLAC OTIE ~ DANS LE DEE LA TE DANS LO RE E DESATS 79. - La philosophie mathématique de Descartes, si nous l'avons bien interprétée, est une philosophie de ~ gé'omètre ~,, mais qui partant de la géométrie s'avance dans deux directions différentes. Étendre la géométrie proprement dite aux problèmes de la cosmologie, et réiduire les problèmes de la géomètrie à l'algèbre; généraliser la science d'Euclide de façon à y ramiener la mécanique, la physique, la biologie nmme, et intellectualiser la science d'Euclide de façon à la ramener à l'algèbre -- le deux tâ.nches non seulement ne se confondent pas, mais elles paraissent inverses l'une de l'autre. Il est vrai, pourtant, qu'elles sont issues d'une même inspiration méthodique. Logiquement l'unité doit s'établir entre ces deux parties de la mathématique: mathématique pure qui procède de l'analyse proprement algébrique, malhématique universelle qui procède de la synthèse proprement ~éomltrique. Et l'unité s'établit en effet; seulement ce ne fut pas dans l'ceuvre de Descartes lui-même, ce fut grâce aux commentateurs de la Géométrie, et par les systèmes des philosophes à qui les commentateurs livraient sous leur former explicite les principes de la science nouvelle. En effet la Géométrie ne fut qu'un épisode dans la carrière philosophique de Descartes. Au lendemain de la publication de ces trois livres don't l'excellence lui arrachait un cri d'orgueil, il renouvelle les declarations qu'il faisait au lendemain des. Lettre à Mersenne, de la fin de t637, AT, I, 478.

Page  125 LA PLACE DE LA ~ GEOMETRIE ~ DANS L OEUVRE DE DESCARTES i25 Regulo; il écrit à Mersenne: ~ N'attendez plus rien de moi; s'il vous plait, en Géométrie: car vous savez qu'il y a longtemps que je proteste de ne m'y vouloir plus exercer: et je pense pouvoir honnêtement y mettre fin. ~ Mais il y a plus: dans la rédaction de la Géomnétrie, Descartes dissimule avec soin la pensée philosophique qui en était l'âme; la théorie générale des équations ne forme, suivant l'expression de M. Pierre Boutroux, qu'une parenthèse 2. Et lorsqu'un lecteur pénétrant des Essais croit avoir rencontré dans la Géomtnerie cette mathématique pure et universelle dont la second partie du Discours de la Méthode contlerait l'annonce, reprochant même à Descartes de l'avoir reléguée à la fin (le ses Essais 3, il est significatif que Descartes fasse la sourde oreille, et interprète la généralité au sens vulgare 1 d'une revue générale des diverses parties de la mathdmatique: niylil enim ibi eorum, quoe ad Arithmeticam proprie pertinent, explicui, nec ullam solvi ex iis quostionibus in quibus ordo simuI cum mensura spectatur, quarum exempla habentur in Diophanto4 ~. Il est significatif qu'il ajoute encore, trahissant sa préoccupation constante: ~( Sed proeterea nihil etiam docui de motu, in quo tamen examinando Mathematica pura, ea saltem quam excolui, prcpipue versatur. ~ L'élan de pensée qui entraînait Descartes le pousse à ~ cultiver une autre sorte de Gtéométrie, qui se propose pour questions l'explication des phénomènes de la nature ~; afin d'en avoir le loisir, il a ~ résolu de quitter.. la Géométrie abstraite, c'est-àdire la recherche des questions qui ne servent qu'à exercer l'esprit 6. Dix ains plus tard, Descartes a une velléité de ret our renouaveiant l'avcu de 1'obscurité systématique qu'il a laissée plraner snr la GCométrie, il en exprime cormme un regret, soaus cette forne original: ~ n Ma Géométrie est comme elle doit [tre pour empêcher que le Rob. [Roberval] et ses semblables n'en puissenf médire sans que cela tourne à leur confusion; carils ne 1. Lettre du 12 septembre 1638. AT, II, 361; cf. Lettrc à Mersenne, du 3i mars 1t38 ( Vous savez qu'il y a déjà plus de quinze ans que je fais profession de nég'liger la Géométrie, et de ne m'arrêter jamais à la solution d'aucun problème qu'a la prière de quelque ami. ~ Il, 95. 2. Op. cit., p. 29, 3. ~ Mathematica tamen pura, potius quam Geometrica, dici mailem, quod non magis Geometrice, quam Arithmeticoe, coeterisque omnibus scientist Mathematics, ommunia sua unt. ~.Lettr (attribuée au P. Ciermans) vers mars 1638, AT, Il, 56. 4. Réponse du 23 mars, AT, I, 70. 5. Ibid., il, 71. 6. Lettre à Mersenne du 27 juillet 1638, AT, 1, 268.

Page  126 2^6 -LES ÉTAPiES DE LA PHILOSOPHtIE MAT.ÉMA(.QUJÈ so*t pas capable dle l'entendre, et je lai. compose ainsi tout à d;.;se1n et.; omettant ce quti 'tait le plus facile, et-n'y- metanit cue ': i, cheses qui' en valaient le plus la peine 1. Mais je vout avoue qiue, s;ans la conUsidération de ces esprits malins, je F'aurais ctrite touxt autrement que je n'ai fait, et l'aurais rendue beaucoup plus claire; ce que.je ferai peut-être encore quelque jour, 'si je vois que ces monstres soient assez vaincus ou abaissés2., LES GCOMMENTATEURS DE LA ~ GEOMEITRIE ~> 80. - Descartes mourut deux ans aprés ce singulier aveu, et sais avoir rieen entrepris; mais déjà les disciples avaient suppléé au silen.nce du maître. Quelques-uns des premiers lecteurs et des premiers admirateurs de la Géométrie avaient su en donner l'interpretation abstraite et universelle qu'elle comportait; et ils as'sraien!. à cette interprétation la possession des esprits par la ta raductin tlatine du livre, par la publication des commentaires.e des h'ait6s' 'annexes dans ces éditions successives où les gnéerations nouvelles devaient naturellem.ent chercher le secret *de la science cartésienne. Dès le début de 1639, Flordniond de Beaune rédige des Notie sr.. la Géométrie de Descatles 3T Il part de la notion de l'algè bre sp6cieuse, et il fait voir à quel point s'étend la science nouvelle, qui comprend nron seulement l'algèbre numnrique et l'analyse géométrique des anciens, mais encore tout ce qui a quelque relation ou quelque proportion, suivant la conception qu'il emprunte au Discours de la méthode. ~ J'ai admire, ~ ti écrit Descartes, que. vous ayez pu reconnaître des choses que je n'y ai mises qu'obscurément comme en ce qui regarde la géndsra.lité de la bméthode... ~ En 1649', les Notes seront imprinmes à la suite de la trad uctiont lat:ne de la Géomdétrie, accompagnées d'un commentaire plus enmp)et de 'François de Schooten, et de deux lettres importantef de Jean Hudde, bourgmestre d'Amsterdam et correspondent de Spinoza: l'une sur Ia reduction des équations, l'autre sur la métthode de inaximis et minimis. En 1t,659, ce premier recueil s'augmente d'unl nouveau volume,. Cf. L4tre à M. de Beaune, 20 février 1639; AT, 11, 51S et suiv.,2.Letire a Mersenne du 4 avril 1648; AT, V, 142. 3. Voir la traduction latino 4de ces notes dans editionn latino de la Géomdétrie, 169, p. 140. (1059, t., p, 107.) 4., Lettre du 20 fbvrier 1639, AT, Ii, 50.' Cf. Liard,:'p. ct, p '. 3.

Page  127 LES DIFFICULTES PHILOSOPHIQUES DU GART]BIANISME i t: qui achève de caractériser la physionomie sous laquelle le XVIIe siècle a connu la Géomr étrie de Descartes. Le tire du premier opuscuie est particulièremenl. expressif: Principia m-atheseos. universa7lis seu introducio adi. Geonmerti rnethodtm Renali.Des Cartes. L'auteur, Erasme Bartholin, y expose. une théorie génrale des operations, une logistique, en l'appliquant successivement aux quantités sim ples, aux quantités composers (c'estV — dire, aux fractions résultant d'une division imparfaite), aux quantités'sourdes (c'est-à-dire, aux ir rationuelles résaitauît de f extraction des racines applique aux n quantités qu; n'ont pas de racines 1). Cette introduction est suivie d'ouvrages qui développent les deux aspects complémentaires de la science, cartésienne, remontant aux principes et dérofilant nmthodiquement la chaîne des conséquences: d'une part les écrits posthumes de Florimond de Beasune sur la nature et la constitution des equalions, sur les limiles enre' lesquelles des equations comportent des racines ~ vraies ~; d'autre part les Éléments des lignes coarbes, r6digés par Jean de Witt, protecteur de Hollande, dont Spinoza fut l'ami personnel. Dans ces Éléments, premier traité systéma,. tique de géométrie analytique, on retrouve l'équation de la droite, que Fermat avait donnéree on y rencontre aussi iae éude des courbes de e( degré, quelconque, traitées suivant 'ordre de leur génération. Jean de Witt dans sa Préface oppose la simplicity lumineuse de cette méthode à l'opération complexe et obscure qui avait amren' les anciens à. traiter les courbes du second degré comme sections de cône. La 'disposition générale des deux recueils sauffit pour attester que les commentateurs de la Géométrie ont dégag,é Isprit de la Malhématique unwzivrsele, impliqué dans les formules concises et presque énigmatiques de la s.ec de- partie du Discours de la Méthode, dissimulé sous le désordre volontaire de la Géométrie. Il nous autorise à nous demanrder comment cet esprit, transmis aux philosophes de la g6énération nouvelle, aux Malebranche et aux Spinoza. devait leur permettre de résoudre les questions philosophiques que Descartes laissait en suspens. LES DIFFD.CULTÉS P-ILOSOPHQU.S DU GAB ITSIANISME 8.. -- Le cartésianisme est souvent considéré comme le modèle de la philosopher systématique chez les modernes, et rien ne parait plus légitime. Pour I'Itistorien de la mathématiquei L, Éd. ûitéze, t. II, p..29,

Page  128 1 8 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE le caractère propre de la géométrie cartésienne sera, ordinairement, le système deparaliélisme qui fait correspondre les équations aux courbes, et ramène les problèmes de la géométrie aux problèmes de l'algèbre. Pour 1'hsaorxien de la mécaniqire et de la physique, le caractère propre de la science cartésienne sera la considération systématique du mouvement dans l'6tendue à trois dimensions comme suffisant a déterminer ce qu'i, y a d'objectif dans les phénomènes, et comme fournissant la base de toutes les explications qui peuvent être- vraies. Pour l'historien de la métaphysique enfin, le caractère propre à la r ilexion cartrsienne serala liaison systématique qui fait dépendre ies unes des autres les thèses relatives à l'être pensant, à l'existence de Dieu, a la réalité des hoses matérielles. Il semblerait donc naturel d'attendre qu'on ne rencontre aucune difficulté à réunir dans un même corps de doctrine ces trois principales < changes de raisons ~, et à reconstiLuer l'unité de la philosophie cartésienne`. Pourtant il n'en est pas ainsi. Qu'il s'agisse de mettre en'connexion la science de 1'éte ndue et la connaissance de l'esprit; qu'il s'agisse, à l'intérieur de la science, de préciser le lien entre Ia nmathémaique pure, qui renouvelle la géométrie par l'emploi de la méthode analytique, et la athématique applique où l'étendue est nal.erellement envisagée sous son aspect synthétique, la continuity de la doctrine se se rourle enl défaut. De fait, Descartes prétend l'aire sortir de l'acdion purement mecanique qu'il attribue aux particules de la matière jusqu'aux mouvements intérieurs des appétits et des passions, jusqu'aux impressions produites par les idées des quality sensible dans l'organe du sens commun et de l'ismagination, jusqu'l la re'eniion ou empreinte de ces idées dans la mémoire. Or, si une telle action est capable de pareils effeis, d'ou vient que chez l'homme interviennent pour: se composer avec eIle, une intelligence et une volonté qui sont d'une tout autre essence, incomparable et incompatible? Et comment concevoir une arussi range composition? La philosophie de Descarteses nespas ici si plement gen6é par la complexité et par l'obscurité de la réalité psycho-physio-!ogique, qu'elle pouvait d'ailleurs se contenter d'enregistrer comme ~ notion primitive ~, unique de son espèce,; c'est dans intelligence de la méthode scientifique qu'elle se heurte à une dualité susceptible de compromettre l'équilibre et la solidity de l'édifice. Pour que la pensée constitue la science de la nature i. Lettre à la Princesse Elisabeth, du 21 mnai 1643, AT, IIl, 665.

Page  129 LES DIFFICULTES PHILOSOPHIQUES ADU CARITESIANISME 129 selon l'ordre e mme de la natureil faut q uelle puisse, en suivant ta connexion de ses idées, dérouler l'enchainerent des choses; il faut donc que la penséee comprenne, -omrme apparteinant au domaine de son activity, cette même notion de l'étlendue, tellemtent distincte pourtant de la notion de la pensée que attribute t de l'étendue et l'attribut de la pensée marquent (da' scores dif rentes de sulstancles. La difficilt fond amelae ndu cartéesianisme deborde ainsi le problème particulier de l'nion de l' âme eL du corps; elle est dans le rapport de la pensée et dn etlendue, consider même hors de cette region obscutre idu psycho-physique; elle est de justifier une science qui, asant sa valeur intrinsèque dans sa conformity stricte à lord.re de la pensée, puisse s'appliquer d'une façon directe à un n.uivers complc1 temrent dépourvu de pensée. 8S. - A cette difficu.lté fondanmentale répond ro nt enl me.lme temps les doctrines philosop.hiques de /Malebrainche et de Spinoza. Maais la diversité raême de i leur, réponses m)ontrent qu'ils obhissent une inspiration qui est éttrax e ' nau altesiais.me, don't i conviendrait sans doute de rechercbcr la source dans' i particularité de leur génie religiîeux. Pou, Malebranche, le dogme catholique est vrai, d'une vérité:ttiérale;.la philosophie, est justifiée pa la religion, en meme temps qu'eille claire cette religion par intelligence. Les questions que a. philosophie pose san ls es rsoudre sont preciséniennt celles dont la parole révélée contient le secret: tiran.scendance de Dieu par rapport à l'homme. dualité radicale dans le sujet divine de a sagess éternelle et de la puissance créatrice, mediation du Verbe entre 'infini et le fini. Au contraire, l'l6an qui vient. Spinoza de la tradition juive du tnoyen âge et des speculations cos-nologique-d dela Renaissance emporte sa pensée aun del, de tou te forr ule dogmatique; il lui interdit de se reposer ailleurs que dans i'i nte exclusive de toute limitation et de.oste n-mltlipliité, exclusive de la numémration mrme, et le fait r-emonit.r son insu jusqu'àa la spiritiualit, pure de Platon, Mais plus est nettement nm rqu6e I'opposition des caractères profonds qui définissent 1' ~ équaLtiroa per-sonelle ~ d e Malebr'anche et de Spinoza, plus il y a d'inAt àCt. rech ercher comment l'un et l'autre ont mis.au service de. ces nlisprations anLagoi,nistes une même conception de la science, que la méthode cartésienne leur apportait, ou plus exactem.ent cmonmrent cette conception de la science a sibie.n organism l'ensembne de leurs 1, Cf. Iamefin, op. cit. chap, xii, La pensée sieon Descaries. IBHTJSCHVICG. - Les tapes.

Page  130 130 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATIHÉMATIQUE doctrines qu'elles ont pu se presenter dans l'histoire comme des promotions de la mathématique, comme réalisant mieux que la philosophie propre de Descartes le type intégral d'une philosophie mathématique. SECTION B. - La philosophie mathmatique de Malebranche. LES NOMBRES NOMBRANTS ET L'ITENDUE INTELLIGIBLE 83. --- Que la géometrie de Descartes, dans ce qu'elle a de spécifique, soit perpétuellement présente a la pensée de Malebranche, on en a la preuve dans le chapitre v du livre VI de la Recherche de la V'ériEt où se trouve un parallèle remarquable entre la géométrie ordinaire et l'arithmétique ou l'algèbre. ~c La Géométrie ordinaire, dit Malebranche, ne perfectionne pas tant l'esprit que l'imagination... L'on connaît plus exactement \/8 ou V'~5 qu'une ligne.que lon. s'imagine ou que.l'on décrit sur le papier, pour servir de sous-tendue à un angle droit dont les c6tés sont 2, ou dount un côté est 2 et l'autre 4... lais parce qu'on se plaît beaucoup plus à faire usage de.son imagination que de son esprit, les personnes d'étude ont d'ordinaire plus d'estime pour la Gométriie que pour l'Arithmétique et pour l'Algèbre., Or, selon Matebrtant:he, ~ l'Arithmétique et l'Algèbre siont aensem;ble la vé ritabIe.logique qui sert à découvrir la vérité'. > Et ~ la vérité n'est rien autlre chose qu'un rapport réel, soit d'6ga iité, oi:d' inégalita,,. ~, Un nombre est un rapport: ~ Tous les nombres eitiers, cr it Malebranche, ont nime des rapport aussi véritablement que les nombres rompus, ou que les honmbres compares à un autre, ou divisés par quelqu'autrè; quoique l'on puisse n'y pas fa.ire de réflexion, à cause que ces nombres entiers peuvent s'expriter p ar n seul chiffre. 4 par exemple ou 8 I 2 est un rapport aussi véritablement que ou.. L'unité à laqcele 4 a rapport n'est pas exprimée, mais elle est sous 4 8 entendue, car 4 est un rapport aussi bien que - ou 8, puisquu 4 est égal à ou 83 1. Recherche de la. Vérité, liv. VI,- chap. v. (t. I, 1675, p. 305.) 2. Ibid., p. 300; f. Entretiens d'un philosophe chrétien avue un philosophe chinois: ~Faites attention quee e mot vrité ne signifle que rapport. ~ 3. Ibid. p. 303.

Page  131 LES NOMBRES NOMBRANTS ET L'ETENDUE INTELLIGIBLE E 31 Cette interpretation d'une clarté, d'une profondeur saisissante, est universelle. Malebranche poursuit immédiatemient après ( Toute grandeur étant donc un rapport, ou tout rapport une grandeur, il est visible qu'on peut exprimer tous les rapports par des chiffres, et les représenter à l'imagination par des lignes. ~ Seulement ces moyens d'expression et de représentation ont créé une équivoque: les chiffres sont naturellement employs à compter les choses, comme les figures géométriques se lisent dans la forme des objets; les nombres et l'étendue ne sont-ils pas, -demande un Arnauld, des abstractions tires de la perception sensible? A quoi Malebranche répond, armé contre son adversaire de l'autorité de Saint Augustin ': ~ Est-ce que les yeux nous apprennent la difference qu'il y a entre une somme de cent écus et une autre de cent un?... Ce n'est done pas la vue sensible des choses nomrbrée s qui nous sert à former les nombres nombrants; mais c'est par eux que notus comptons!e nombre de nos perceptions sensibles. C'est par ces nombtres immuables et divins, présents à touted les intelligences, que les Arithméticiens s'instruisent, et que les Marchands se rendenet compte. Et quand l'esprit fait abstraction des choses nombrées, c'est qu'il tourne son esprit vers les nombres immuables et éternels 1. ~ 84. - Les vérités de l'Aritirnaétique sont ~ des rapports êréels et intelligibles'2;- et de même le vs vités de la g'omtre ~ L'objet des mathématiques pures, c'est la grandeur en général, qui comprend: 1o les nombres ombiranlts 'avec ceurs propriétés, 2~ l'etendue intieligible avec toutes les lignes etl es figures qu'on y peut découvrir3. ~ ~ Le rapport d'égalité entre 2 fois 2 et 4 est une vérité éternelle, immuable, nécessaire, écrit Malebranche dans les 1Méditations chreétiennes. ~ Ce sont les mêmes expressions, qu'il appliquera dans le premier des Entretiens métaphysiques à ( l'idée de l'espace ou de l'étendue, d'un espace, dis-je, qui n'a point de bornes: cette idée est nécessaire, éternelle, immuable, commune à tous les esprits, aux 1. Réponse du P. Malebranche à la troisième lettre de M., ArnauEd. Recueil (le 1709, t. IV, p. 60. - I1 est remarquable que cette doctrine de Malebranche est en contradiction directe avec un texte des ReguIa (AT, X, 445), où Descartes se moque de ceux qui confèrent aux nombres des attributs mystérieux et purement chimériques; ce qui ne leur arriverait pas s'ils ne s6paraient les noribres des choses nombrées: ~ nisi numerum a rebus numeratis distincum n O'se conciperent. ~ 2. Médit. Chrét. IV, 4. 3. Réponse à la troisième lettre d'Arnauld, op. cit., p,53. 4. IV, 5.

Page  132 132 LEiS, ÉTAPES DE. 'LA PIILOSOPII. E. A;THEt:ATIQUE hommes, aux anges. à Dieu m-nem,. La relation de l'eétendu intelligible aux corps éteindus est exactement la relation des nom.bres nombrants aux nombres nonmbr&s: ~ L'étendue intelligible par exemple, représente les corps; c'est leur archétype ou leur idée. Mais quoique cette étendue n'occupe aucun lieu, ies corps sont étendus localement... Ainsi 'étendue intelligible représente des espaces infinis, mais n'en remplit aucun: et quoiqu' lle retmplisse pour ainsi dire tous les esprits, et se découvre à eux, il ne s'ensuit nullement que notre esprit soit spacieux, Il faudrait qu'il le fût infiniment pour voir des espaces infiulis s 'i les voyait par une union locale à des spaces localemeîn.t étendus2. ~ La correspondence avec Dort.ous de Mai.ran n 'est pa oins explicit ~: L'étendue intelligible n'est point localement étendue et n'a point de parties étendues3 ). Dans sa conception de l'étendue, Descartes n'avait pas réalisé cette éimination complete de l'imagination, a laquelle sa,:métnhode tndait manaifestement*; il pose, et il maintiendra en dépit de l'insistance de Morus, que l'étendue et la division en parties sont des notions indissolublement liess. Avec Malebranche le pas est franchi; la géométrie cartésienne devient, non plus application de l'algèbre à la géométrie, mais réduC'ion de la géométrie à l'algèbre. Grâce à une telle réduction, it. pouvait sembler que la mathémaatique'eût atteint son équilihbre ddéfini.tit, qu'elle eût réalisé en quelque sorte l'absolu de la science; elle était ài la fois par son objet capable d'égaler, sinon de dépasser, l'univers, et par sa méthode adequate h la pure forme de l'intelligence. 1. ~ 8. Plus loin, à propos de 'idée générale du cercle, Malebranche soutient que l'idée même du cercle, en tant qu'elle est distincte de ~ l'assemblage confus des cercles,, que i'n a vus, implique < l'idée de l inflni ~ qui possède siciie ~ assez de réalité pour donner de la géneralite [ai,] idées ~ (1I, 9). 2. Entret. I, 6. 3.' LJttre du 12 juin-171aî. Id. Cousin, F.ara me; de philosophie cartésietlne 1852, p. 310. 4. Pierre Boutroux, op. cit., p., 25 et 35. 5., Per ens extensum criommuiu S!:Ie o- nes isieli l'trn aliquid imag'inabi l',.., atque, iJn hoI ente,varias parts di eit. ermjina, magniudnis e figures, qusuiari u5na nulio modo alia sit, possumnt imaginatione dislinl tiur, unasque in locurm atliirutm possunt etiam imagoinatione tlransferre, sed 1non duss silmui inr uno et code rt loco imaaginari J Lettre du S fevrier1 649. AT Y, 270 bd. Cf. ibid.' e Revera nihil sub i magrtaiionnem cRi:lit, qtod non. - sit aliquo îmodo extensum, ~

Page  133 LA P RIOD E lE 'LALGE',E 133 LT PÉRIODIE DE L ALGÈBRE S... --..'.:.:exei c. d't une tell période dans l'histoire d'e Jai matlhé&atiqlue.c erait cr;on:Jrmée:, si en ésaàt b3esoin, par le témo -.. gnagse de Libi.iz, 'ode'ann a iiei:bi' qni1S889 une lettwre quce Leiibnz ad.sixSit à -'ci;rmharas:;< i1 y a quantité de iol.es peunses dans la ]fechchs dela Vér idr. é mais il. s'ey faut beaucoup qucr!;i; aii pé tntr b1tic atvat dans l'nalise et glneira eient a s l i d as 't inventer, et je ne pouvais m'empêcher de rire, quand je voyai.s qu'il croit ialgèbre la premiere et la plus sublime des sciencess, et que la vérité n'est qu'un rapport d'égalité et d'inégalité,... que l'arithmétique et que l'algèbre sont ensemble la veritable logique". ~ La critique de la Géométrie cartésienne deviendra l'un des principaux ~ motifs ~ de sa correspondence. ~ J'ai même osé, écrit-il au P. Verjus, attaquer les Cartésiens dans leur fort, en montrant combien la géom.etrie de M. Descartes est bornée ". > D'une part, ~ les problèmes les plus important ne dependent point des équations, auxquelles se réduit toute la géométrie de M. Descartes3 ~. D'autre part la.science des équations n'a par elle-même aucune signification géométtrique; il faut une traduction pour l'appliquler aux relations spatiales: ~( disant que x2 4 — y.- a' est l'équation du cercle, il faut expliquer par la figure ce que c'est que ce x et y, c'est-a-dire que ce sont des lignes droites, etc, 't ~, La coinelusion sera donc de reconnaître que la ~ synthèese des Géomèetbtres i'a pu être changée encore en analys e ~; mais Leibniz ajoute que cette conclusion va contre l'opiniot coinmune de ses contempora;ins. ~ On s'étonnera peut-être de ce que je. dis ici, mais il faut savoir que [l'algèbre], l'analyse de( Viet.e et' Descartes est pliutôt l'analyse des nombres que des ligines, qnoiqu'ton y réduise la géométrie indirectement, en tant que toutes les grandeurs peuvent e'tre 'exprimées par nombres s )~ 1. Écrite après i679, Der Briefwechsel von Leibniz, Hanovre, p.' 348 Cf. Briefweechsel mit Mafthematikerm, Id. Gerha.rdt, t. I, i899, p. 465. D'ailleurs il est à reinarquer que Malebranche introd.ira plus tard, à la fil du. c hapitre qui avait soulev6é la critique de Leibniz (liv. YI. chap. Y), l'éloge dc! l'in -ettion du calcul différentiel et du calcul integral ~ qui ' a donned l'a nalyse une étendue sans bornes, pour ainsi (dire ~. 2. Bodemrann, Briefwechsel, p. 356. 3. Gerhardt, Ph.ilt, Schr. ]:V, 291; cf. 347. 4. Lettre à H1uygens, Gerhardt Math. ScAhr,!i, 30. Briefwechsel, ed. Gerharadt, 580. ). Opusc. et fragm,. Indcits de Leibxmiz, di Louis CoutUrat, i903, p. 18'.

Page  134 134 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE En opposant les relations spatiales aux relations purement abstraites de l'équation, Leibniz soulève un problème nouveau, problème redoubtable dans sa propre philosophie, dont la discussion occupera les derniers moments de son activité intellectuelle et dont l'étude suggérera plus tard à Kant les idées maîtresses de la Critique de la Raison pure. Mais par la il nous avertit que pour ses prédécesseurs immédiats les termes du probléme étaient différents; l'espace leur paraissait présenté par la science analytique de Descares à titre de réalité intellectuelle, et c'est a partir de l'intellectualité pure de l'espace qu'ils formulaie it les questions d'ordre philosophique. L 'TENDUE INTELL1IGIBLE ET L'ETENDUE RiELLE 86. - Le meilleur moyen de péné,trter la pensée de Malebranche sous le biais où nous avons à l'envisager, nous semble être de mettre en regard deux passages tir6s, l'un des Entretiens, l'autre des Mldiations., Dans Ml'u alebranche crit: ~ Non, Aris'e, it tn' a point de deux sortes d'étendues, ni de deux sortes d'idées qu i les reoprés enter. Et si cette étendue à laquelle vous pensr;ez Tvus tou:<chait, mtlodi tiait votre àme par quelque sentinment, d4l.;hiteigible qune'lee est, ellc vous paraîtrait sensible ~ Dans l'autlre, il ait grif au ~i miserable Spinosa ~ de n'avoir pas su distinger (< deux especes d'étendues, l'une intelligible, l'autre atérelte )>,e~. Dans le premier cas Mal'ebranche parle en g6omaère; la géométrie a pour objet l'idée de l'étendue, et toutes Ies dé'terminations spatiales qui se présentent dans le monde sensible ont leurs raisons dans l'essence intelligible de l'étendue; et tel est le principle oi i alebranche s'accorde avec Spinoza. ~ Je, trove, Monsieur, écrit-il à Dortous de Mairan, que l'auteur est plein d'équivoques et qu'il ne prouve que'cette vérité, que l'idée d'une étendue infinie est présente à l'esprit en sorte que l'esprit ne peut l'épuiser, et cette vérité encore qu'il n'y a point deux sortes d'idées d'étendues s. ~ En passant de la science géomét rique à l'univers donné on ne rencontrera donc aucune pr:-p'ifétd spatiale dont l'étendue intelligible ne permette de rendre compte. Mais cela ne signifies nullement que l'existence même de l'univers soit une conséquence nécessaire de cette essence intelligible; et. c'est ici qu'au jugement de Malebranche t. hI, -12. 2. iX, i.e 3. Lettre du /12 juin 171i, Éd. Cousin, p. 312.

Page  135 L'ÉTENDUE INTELLIGIBLE ET L'ÉTENDUE RÉELLE 135 Spinoza s'gare: ~ il confond l'idée de l'étendue avec le monde' ), c'est-à-dire que prenant ~ les idées des corps pour les corps ~ et supposant a qu'on les voit en eux-mêmes... il confond Dieu ou la souveraine Raison, qui renferme les idées qui éclairent nos esprits, avec l'ouvrage que les idées represent ent2 Le début du 'le reldes Entreiiens sur la lMéaplhysique remonte au principe de cette contusion: il distingue radicalement deux ordres de science le s sciences exactes, telles que sont l'arithmétique et la géomtrie.., et d'un autre côté la physique, la morale et les autres sciences qui dependent souvent d'expériences et de phénomnènes assez ineertains,. Les premieres, ~.. dont les d.6ém osttra ion conenteaent ad1mirablement notre -vanle curiosité ~,> n'atleignent -quce ~ lIes rapports des idées entre elles ~, tandis qne nous nous engag0eosri dans les atres par- ~. e désir de connaître... les rapports qu'ont entre eux et av(c no les es ouvr.g es de Dieu pa r i lesq uels nots vivons ~. Je s lors, s'il n'y a qu'une idée Iniqu e de le'tendue, elle comporte.ne double relation à l'atffir-oation u réel. A l'idée correspond un.e iralité intelligible, ou plus exactement l'idée est cette raité intelliible. De l'argurenrtation, maintes fois reproduite.par Malebranche, l Enlrelier ( urtI philosophe chréliel avec un philosophe chinois present cette formule particulièretment;aisissante: ~ PRien de giti ne contPenant 'irefial de cela seul;:que D ls apercevons l'infini, il faut qu'il soitL. ~ Ce qui atteste la réalité de l'étendue intelligible, c'est donc sa disproportion à l'état dont nous avons conscience lorsque nous:contemplons les rapports idéaux de grandeur et de distance. Mais lorsque nous percevons cette même étendue à l'aide d'impressision senibles, sous la forme concrete de la couleur, de la saveur ou de la résistance, nous sommes en présence de modifications qui trouvent naturellement leur place dans le cadre de l'activité humaine; nous ne pouvons plus voir en elles que des modalités de l'âme, et il fau drait que les representations fussent autre chose pour acquérir quelque valeur de vérité. Considérée comme intelligible, l'idée de l'étendue se détache nécessairement.de son support psychologique, et d'elle-même elle pose son éternelle réalité. Cônsidérée comme sensible, elle est au contraire enfermée dans la subjectivity du psychique, et elle requiert l'existence d'un idealum extérieur comme une exi1. Ibid. 2. Lettre du 29 sept. 1713. Ed. Cousin, p. 272. 3. Cf. E sNtrctiens sur la Métaphysique, Il, 5.

Page  136 136 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE gence à laquelle en mnême temps elle est incapable de satisfaire L: L'idée de l'étendue est 'nfinie, écrit Malebranche à Dortous de Mairan. mais son ideaium ne l'est peut-être pas. Peut-ltr n'y a-t-i! actuellement aucun idealtain. Je nre vois immnédiatement ique l'idée, et non I'ideacl-u: et je suis persuadé que lrEidée a été- u éne ternité, sans ideaftum. L'idée est erielkles ininie, s..eécessaire et efficace même., car il u'v a que l'idcée qui,agisc sur les esiprits, qu(i les éclaire et qui puisse les rendre heureux ou imalheureux. Miais je ie vois point imrnédia temenet t'ideaiu,;,. >, Chtacune de ces deux faons d'envisager le rapport de l'id6e au réel peut serviir à définirun borme df e e idealism déaisme absolu où l'idée constitute la réaltée par excellence, -et dont Malebranithe recueille inspirationn piatonicieine à travers Saint-, Augustin; id.éalisime sceptique oe!a presence de l'idée ecelut l'exis;tence de lobjet en tant qu'extérieur à l'idée, et qui er ait de Malebranch le le précerseur de Berkeley ou de Hume. La te.tation est donc g. rande d faire enter la pensée de Malebranche dans le courant de la philosopaie idéaliste. Mais précisément, et d ulqe quelquemanire qu'on i nterpréte l'idéalisme, on ne -peut enfrmermer le nmalebranrchisme dans cette interprétation parce qu'il faudr-ai) y joduindre!inmterprl at)n oposée. L'originalité de Mla t s. ebra nce t d 'aoii ape i que par tant des conditions de ia connaisstance humlai n: on arriv-t deux former d'idéalisme: id6alisme îc de la science exacte, idé-alisme de l'impression subjective, d en avoi atperu l'incompatibl:teé naturelle, et de les avoir coniliées en. les suspendant à. une notion réaliste de Dieu '. LE DUALISME.DE i:MAL.FBRANCIHE 87. -- Nous.pouvons rattacher le rythke propre de la pensée, de Mb alebranche ' l'exigence cartésienne de, idées claires et distinctes. Les seules idées qui se détachent devant l'esprit sont les idlées de 1.a -ma'thrtiqepure l e nombre et I'étendue..r, la clarté de ces idles leur immxutabiie é et leur infinite, font contrse av:ec ].lobscurité^ avec le caractèire fugitif et limit de la quality senrsiîble, t elle qu'elle est donnée dans la conscience, Descarteis, dissocian, la forme et le ectt en du d ugement[, avaitl montré que Ie-Cogilo afirinait la certitude immediate de. l'acte 1. Lettre du sept. 1714. Éd. Cousin, p. 343. 2. Cf. Spinoza t 'ses contemptorans, levue de Métaphysique, 905, p. 698 et su i-,.

Page  137 LE DUALISME DE MALEBRANGCE 3 37 de la pensée, en laissant dans le doute l'existence même de son objet: l'me est plus aisée & connaître que le corps, c'est-à-dire plus aisee a dt.erminer c omme réalité substantielle. Malebranche interpr?,te la mn-me dissociation dans un tout autre sens: le contenu de la pensée est clair, la formne en est obscure. Si la connaissance signifie comprehension intégrale, l'etendue -est plus aisee à conaiître que l'âme; la géométrie peut devenir une science de l'intelligible, et non la psychologie. La clarté conctentrée sutr a matiematirque a donc ce résultat final de mieux faire ressortir la confusion qui pèse sur le domaine du sensible, qu'i s agisse des representations du'monde matériel, ou des sentiments que nous éprouvons directement de notre être propre" L'obscurite est en l'homme; en Dieu seul est la lumière. Mais ce n'est pas tout, et cette lumière elle-même est double. Dieu est d'abord le support, le sujet, de l'étendue intelligible: ~ Cetee étendue intelligible est sagesse; est puissance, est infinimrne.nt parfaite; non selon qu'elle est representative du corps, non selon' que nous tla voyons, non en tant qu'idée -ternelle des cré,atu!res, mais selon la substance que nous ne voyons pas cn cele-même. Car tout ce qui est en Dieu est Dieu tout entier pour parler ainsi. Sa substance n'est point divisible et quoi qu'il y ait dans l'étendue intelligible des parties intelligJibles, des figures i teliigibles u et toutes les vérités géom,étriques,, D ieu est un être simple, indivisible, et immuablex ~ L`a sp'ittualité de I'esepace permet du darme tdue de Dieu. ~.L'néte.ndue, Ahr'ste, est ine réalité, et dans 'infini toutesles s ré'alité:-s s'y 'itronvent. Dieu est donc étendu, aussi bien que les corps, puisquei Dieu possède toutes les réalités absolues, ou tloueis it pertectos. ns ais Dieu n'est pas étendu comme lescorps c'ar, coi je j viens de vous dirre, il n'a pas les iimitat.ios et ls imperfections do ses créatures2 ~ De cela mime résulte qu'on ne trouvera pas dans la contemplation de létenJdue inteligible, le secret de limitations et des imperfections que présente i'univers matMr'iel; la raison divine ne content pas ia volonté d:, cirel, ~ La volonté' de créer des corps.i'est poiat rd, cessaire(ienut renoferm.ée dans la notion de l'Être ifinimerit parfait, de 1'`:t;'r quo se suffit pleinemennt b luii-m.me-. Bien 1oin de l-, cette nation semble exclure de Dieu une tell volonit,6 1. ~ La sci.e ence de l'exislence'est incommensurable à la, 1. Rpozse au fa trai des doraies ei des fausses idées, 1684, chap. xvI. (Ed. 1709, p. 186.) 2, E!ttç'tiens ' Vi,.3. Ibid. Vf, '5.

Page  138 â38 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE science de l'essence; elle repose sur la révélation, non sur l'intelligence: ~ Certainmennt il n'y a que la Foi qui ipuisse nous convaincre qu'il y a effectivement des corps... Il n'est pus.même possible de connaître avec ine- entire evidence Dsi Dieu. est ou n'est pas verital:lercnt Créateur du monde matériel et sensible; car une telle evidence ne se rencontre que dats les rapports nécessaires, et il n'y a point de rapport nécessaire entre Dieu et un tel rmonde 1. ~ La conclusion à laquelle conduit toute la -doctrine spéculative, de Malebranche, c'est. l. ncessit.é d'appuyer au Dieu de i 'Svagile, au Vrbe médiateur,la dualitê de( la nmathé8rmatique et de la physique. D'une part, les mathématiques pures ont leur sige -e Dieu;l elles font connaitre re (e qe Dieu nous laisse voir de son essence, et c'est pourquoi < l'application h ces sciences est t'application de l'esprit à Dieus,, D'autre pari, la.mrécan'igquc', la physique ont un conteniu prop orbmenat contingent; car la communications des.,ouveme.nt:s, 'union de l'âme et.du corps, sont des relations en soi inexplicables qui mranifestent seulement le décret d'une volout5 touc.-puissante et libre; si elles retiennent, un caract.re scientifiquie, c'est par la généralité que Dieu s'est plu t leur imprimser, ain de manifester sa gloirie Il n'y a rien de commun entre les vérités immuables, nécessai@res et éternelles. qui constituent le monde intelligible du mnaZih.autisme, et les lois procédant de l'act.e arbitra;ire et gracieux du Créateur, qui comwandent le monde sensible du. mecaai sme. SECTION C. - La philosophie mathématique de Spinoza. L'INTUITION SPiNOZISTE ET L'iNTUITION CARTESIENNE 88. - La philosophie de Spinoza pretend, comme celle de Malebranche, satisfaire à l'exigence des idées claires et distinctes, mais suivant un rythme tout autre de pensée. La lumière qu'apportait avec elle la géométrie cartésienne, et que Malebranche concentrait sur l'objet, sur le siège de la science, Spinoza la réfléchit vers la source dont procède la vérité de la science. Le caractère de la géométrie cartésienne, c'est qu'elle applique une méthode originale à des problèmes qui avaient été, ou qui auraient pu déjà être, résolus par le raisonnement i. Recherche de la vérité, 6e éclaircissement. 2. Rech. de la veérité, 1. V, chap. v.

Page  139 L'INTUITION SPINOZISTE ET L'[NTUITION CARTESIENNE 1 39 synthétique des anciens. Sans modifier à proprement parler la réalité sur laquelle porte la mathématique, elle transforme le mode d'application de l'esprit à cette réalité; elle restreint la part de l'imagination, elle met en jeu l'activité de intelligence. La meditation de la science cartésienne conduit à dégager une hiérarchie de fonctions spirituelles, qui se succèdent pour la solution d'un même problem. Sur ce point, du Court raité à 1'Ethique, les textes se correspondent d'une façon remarquable. Supposons, lit-on au début de la deuxième partie du Court traité, qu'il y ait lieu d' ~ appliquer la régle de trois; l'un dirigera son travail d'après une indication recueillie au course d'une conversation; un autre vérifiera l'exactitude de la règle par le calcul de quelques cas particuliers - méthodes trompeuses qui correspondent à ce lue SpinoZa dans l'Éthique appelle connaissance du premier genre. Celui qui possède une règle universelle raisonne en s'appuyant sur les propriétés des nombres proportionnels. Un quatrièrne, enfin, n'a besoin ni de F'autori:l, ni de experience, ni mêrme de F'art de conclure: ~ par son.ntaition claire, il aperçoit aussitôt la proportionnalité dans tous les calculs'. ~ La difference de ces deux derniers degrs, qui constituent dans l'Éthique la connaissance du second genre et la connaissance du troisième genre, est précisée daons le traits inachevé de la Réforme de t'entendement et dans la deuxiême partie de l'Eizhiqu. En ces deux endroits Spinoza renvoie à Euclide. ~ Les Mathématiciens (écrit-il dans l Traité -s'appuyant sur la demonstration d'Euclide (proposition 19, iivre ViI), savent quels nombres sonat proportionnels entre eux ils le concluent de la nature de la proportion, et de cette propriété lui appartenant que le produit du premier terme et du quatrième égale le produit du second et du troisième; ils ne voient pas toutefois adéquatenient la proportionnalité des nombres donnés, ou s'ils la voient, ce n'est point par la vertu de la proposition d'Euclide mais intuitivement, sans fire aucune opération2., L'Ethique est plus explicite encore: ~ On donne, par exemple, trois nombres pour obtenir un quatrième qui soit au troisième comme le second au premier. Des marchands n'hésiteront pas à multiplier le second par le troisième et à diviser le produit par le premier; parce qu'ils n'ont pas encore laissé tomber dans l'oubli i. Court Traité de Dieu, de l'hommne ed (e la santé de son âme, II, i1; ed. Van VIoten et Land (à laquelle nous renvoyons dans la suite), La Raye, t882-83, t., p. 303; t.r. Appan, 1907, p. 102. 2. ~ 16. I, 9; trad. Appuhn, p. 234.

Page  140 i 40,LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MAT1EHM.ATIQUE ce qu'ils ont appris de leurs maltres sans aucune démonstratin, on parce qu'ils ont expérimenl6té cé pro'cédés. souvent dans le cas de nombres très sinples, ou par ia force de!a d6on.stration di lTa proposition 19, liv re, VII d'Euclide. c'est-.- -dire par la proplriété comInmune des nombres n res pporuionel, M uais polr es inom1ibres les plus.-simnpes, aucun de ces moyens n'es't n'c.ssaiet. Étant donnés, par eXerample, ies tlnobres c, 2, 3, l n'est personnel qui ne voiC que!e quatrime proportionun s-t. ei cela beaucoup plus claircmient, pace que e de la relation mme, ique nous voyons d'un, reward t'a ie premier aYec le second, nous concluons le quatrième l >, 89. - La.science eudlidienne t dounc une function nettement définie elle cherche à saisir les relations rationnelies par le détour de la généralité; elle s'exerce sur des concepts. Elle marque ainsi l'étape intermédi.aire, la igne d(e parltage, entre deuvx plans d'intuition: l'un auquel correspond la connaissance puremenrt inag'inative, l'autre auquel correspond la connaissanfee purement intellectuelle. Ii est à remarquner d'autre part que les deux formes d'intuition ont le mnme domaine. A dessein peut-être, Spinoza se sert de l'expression: i nameris simnpZicissirnis pour designer et l'objet auquel les -marchands appliquent leurs procédes' de verification empirique, et celui su'r sequel porte l'aperception inm6diate et adéquat e ela aproportionnalité. Le contraste des deeux modes cintuition résidera dans l'attitude du sujet pensant. Par une vue de la raison, imnmane..nt>e à la constitution même du nombre 6, la science intuitive fournit directem'emnt la s olutioni qui chez Euclide aptpav'aissait comme la r'ésuiltantte d'une série de démonstrations..A intuition sensible,.aclté rceptive qui a pour conDeiiU des images lidée s'oppoSe chez Spinoza parce qu'elle est uni acte dce ` 'esprit, c'est-a-duire l'établissement d'une reiat1ion, une misce (n éqcuation. L'intuition n'est pas- une forme supérieure de representation par laquelle!'esprit communiquerait avec une chose en soi, et affirmrerait la réalité transcendant Ie l'objet; elle est l'inteliection pure 'qui.. unit dans ui acte indivisible de connexion une diversity d;idées distînctes, et a[firmte leut.- unité comme vérité d'évidene: ce n'est pas une fac'ult;é étl'e.a.physique,, c'est le principle d'une science parvenue a son p1 ls haut degré de cla rté et d'intelligitilité_. Que cette doctrine de l'intuition proc de de l'esprit cartesien, cela n'est pas douteux. Le lien se pircise nmême à laide des 1. Po'rt. Il, prop. 40, Sch. II, 1, itU; trad. App1uha, 1909, p. 2'12.

Page  141 LA CONCEPTION SPINOZISTE DE LA VÉEE ITÉ4t ReguIe, dont nous savons que la copie était conserve en Holian.de dans le cercle des initiaés au spinozisme 1, des Schuiter et des Glazemaker. C'est une des conceptions les plus originals des Regulx que f'intuition y est définie commune un ac!e de l'esprit, comrme intelligence immédiate d'une relation2. Descartes ajoute que l'évidence et la certitude de l'intuition peuvent se transfer des simples énonciations à des discourse quelconques; l'objet de l'intuition, ce n'est pas seulement 2 + 2 ='-4 ou 3- -.= — 4, mais c'est encore la nécessité d'en conclure que 2 -24 -3 ---t. 2 I1 n'y a donc pas de difference de nature entre l'intuition et la déduction; la deduction cst comme la promotion de cette evidencee qui est liée l la nécessité de l'intelligible, extension de la certitude à la series de plus en plu s lo.gnée des é conséquences. Aussi les anne-aux,' successivemensne dont par cette pensée don't l'office proprec est l'intuition singulière, peuvesnt-ils être rassemblés cdans un conception totale où la chaine est parcourue entire et id'un mouvement assez rapide pour que la foncti.on de la nmémoire puisse être considérée comme éliminée. Pratiquement au aoins, la synthèse déductive finit par équivaloir à la simplicity de l'acte intuitif4. LA CONCEPTION SPINOZISTE DE LA VERITÉ 90. -- Avec Spinoza, et grâce al succès de la géométrie çartésienne, la transformation de la déduction en intuition prend une portée,à aquelle iauiteur des Regulso ne songeait peut-être pas. L'intuition n'est plus un accident dans li'istoire de la pensée individuelle, un -effort passager pour maintenir sous' la simultanéité du regard intellectuel les moments distincts du raisonnement.. La science intuitive se suffit'à elle-mrxme; elle est le développement du dynamisme interne qui:â't. la naturj de la pensée, la marque de e lautomatisme spirit el, pour. v ote de M,' Adam dans l'edition des o~uvres de. Decartes, X, 353. - L'exerirpJ.e de — a proportionnalité numérique sur lequel Spinoza ne ma.n.que pas d'insister est ir'udarnental dian ls Regulxe (supra, ~ 67); voir égalerent Haômlin, op.. cit. p. 106 2.,( It, 'unusquisque animo potest inLteri, se existere, se cogitare, tri.nguium ' ermharin trri rbus lineis tantum, globum unilnca- superfliiee... Reg, tlI AT,, X, 368; cf R.eg. IX, A, X, 401: ~ veritatem... uniico et distincto actu comrprehendunt ~, 3. Ibid., X, 369. 4. Re,'e, VII, AT, X, 388 Ïet suiv.

Page  142 i42 LES ETAPES DE LA iPHiLOSOPHIE MATHEMATIQUE reprendre l'expression remarquable du traits de la Reforme de l'Entendement ~ La consequence, - et qui fait l'originalité radicale (de Spinoza, non seulement par rapport aux penseurs qui Font précédé, mais encore par rapport à ceux qui devaient le suivre, jusqu'à nos jonrs même - c'est que seul il a été capable de pousser jusqu'au bout l'exclusion de la notion scolastique de faculty. L'intelligence est une activity coextensive à la vie de l'homme; elle est jugement et volonté. Toute idée s'affirme elle-même, et produit d'elle-même ses conséquences. La vérification n'est autre chose que la conscience de la puissance synthétique qui établit la coordination et la connexion des idées. ~ Par exemple, pour former le concept d'une sphère, je forge une cause à volonté, à savoir qu'un demi-cercle tourne autour d'un centre, et qu'une sphère est comme engendrée par cette rotation. Certes, cette idée est vraie, et bien que nous sachions que nulle sphère n'a jamais été engendrée de la sorte dans la nature, c'est là cependant une perception vraie et le moyen le plus aisé de former le concept d'une sphère2 ~. La vérité est bien, comme le voulait la definition traditionnelle, convenance de l'idée et de l'objet: idea vera debel cumz suo ideato convenire; seulement cette convenance est un effet, non u n principe. Dans l'adéquxation externe de la chose à l'idée il faut voir le corollaire de cette adéquation interne qui égale aux produits idéaux l'activité déployée pour les produire ~< Per ideam adequatam intelligo idea, quae, quatenus in se sine relatione ad objectum corsideratur, omnes veroe idea proprietates sive denominationes iltrinsecas habet 4. ~ 1. ~ 40, 1, 29; #r. Appuin, p. 206; cf. notre étude sur Spinoza, 2e édit. 1906, chap. il, La méthode. 2. Ibid., ~ 4i, p. 24; tr. Appuhn, p. 258. ~ Cette perception, continue Spinoza, affirme la rotation du demi-cercle; affirmation qui serait fausse si elle n'était pas jointe au concept de la sphère ou à celui de la cause déterminant le mouvement, c'est-à-dire, parlant absolument, si elle était isolée; car l'esprit en pareil cas se bornerait à affirmer le mouvement du demi-cercle, ce mouvement n'étant ni contenu dans le concept du demi-cercle ni issu de celui de la cause déterminant le movement. ~ - Vide supra, ~ 53. 3. Part. I, Ax. VI; cf. Freudenthal, Spinoza und'die Scholastik, Philosophische Aufsâtze Eduard Zeller gewidmet, Leipzig, 1887, p. 128. 4. Part. Il, def.:Tir, cf. Lettre IX (64) à Tschirnhaus (II, 212). Voir La révolution cartésienne et-ta notion spinozis:te de la substance, l{evue de Métaphysique. 1904, p. 772.

Page  143 LE PASSAGE DU MEÉCANISME AU MATHÉMATISME I43 LE PASSAGE DU MÉCANISME AU MATHEMATISME 91. - Cette conception purement, spirituelle de< la v6rit a une portée universelle; il n'y a pas de faculté, au sens réaliste du mot, qui soit capable de limiter du dehors l'action de l'intelligence. L'intuition sensible, la représentation imaginative ne porte pas sur un domaine -qui soit distinct du domaine de la science intuitive; c'est une vue partielle, discontinue, des choses, qui par le seul progrès de la puissance pensante se résout dans une aperception de la continuité une et infinie, Par suite il n'y a pas de place dans le spinozisme pour la distinction maeebranchiste entre un monde de vérités proprement intelligibles et nécessaires, qui serait l'objet de la mathématique abstraite - algèbre ou géométrie. —, et un monde d'existences cr.6éces par la volonté arbitraire de Dieu et proposes par lui à la sexsibilité de l'homme, auquel s'appliqueraient les lois de la communication du mouvement. A l'opp[osition du mécanisme et du nmathétnaisme, Spinoza substitute une hiérarchie e ndeI nilodes pour l'intelligence d'un mrime universe, comparable à la hiérarchie de la géométrie euclidiernne et de la géométrie cartésienne. Le mécanisme a nour fonction de rnqmener tous les changements de l'univers à des phénomxnes du mouvement, et d'étudier les phénomènes du mouvement à l'aide ce leur image spatial. Tant que cette image spatlale ctemeure le terme ultime de la reduction scientifique, l'univers est an ensemble de réalités dfîiles pal r a figure qu'elles découpent dans l'étendue, et reliées les. unes x aux autres par la loi de leurs déplacerments simultanés ou successifs. Le rapport du tout de la nature à chaoun{e de ses parties esti alors un rapport de nécessité externe; c'est pourquoi dans la IVe partie de l'Ethique la servitude morale apparaît comme le corollaire du mécanisme géométrique, pr, ce point de vue est celui de la pluralile, que Spinoza ne manque jamais de dénoacer conmme abstrait et superfcieel. L'existence in0;épendante des parties, la, multiplicit, en soi ne tiennent pas à l'essence de la quantité; elles expriment une propriété de l'imagination qui traduit et réfracte, qui crée la divisibilité par cette refraction miéme. Prise dans la pureté originelle de sa notion, la quantity est une idée absolue qui oxprime l'infinit6' ~ Si cependant vous demandez pourquoi nous 1. Ref. Int. ~ 67,, 36; tr. Appuhn., p. 277. 2. ilbid,, ~ 65,, 835; p. 276.

Page  144 4.4 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE M.&ATTHE'EMATIQUE sommes naturellement ports à diviser la substance étendue, je réponds à cette question que nous avons delux façons de concevoir la quantité: l'une abstraite et supericielle consisted à imaginer la quantity avec le secours des sens; l'autrc consisc h concevoir la quantité comme substance, ce qui reessortit a I.intei.igence. C'est pourquoi, si nous tournons noi re attention vers: la quantité, telle qu'elle est dans lriMagminatio.nlu, ce qui arrive le plus souvent et ce qui est plus facile, nous, la trou-verons divisible, finie, composée de parties, et multiple. Mais, si no-s nous référons à la même quantity, telle qu'elle est dans l'intelligence, si nous percevons la réalité telle qu'elle est en soi, ce qui est itrs malaisé, alors, comme e l'ai dé;mon trL, nous la 'rouvons infinie, indivisible et unique'.~ Grace à cette transfiguration intellectuelle de la quantit(, Spin.oza, come Malebranche, (, ad'met.. une étendue obj>}e de l'entendement qui, à la ldifférenc e lde la f.ass tendue de 'imLagination, n-e se laisse point couper en parties,; ce cqut ' evident à reconnaitre quelque chose- comme l'unité-.spirtu.elle au ifoRn de l'étendue, ~. En d'autres termes le parallé hisme de i'idée et de l'idéat, de l'équation et. de la courbe, conduit a dépasser le champ de la représentation spatiale. On cornçoit bien qu'à un cercle particulier, tracé avec une grandeur dle ermilne, correspond une idée; mais il faut aussi qu'à la formutle algébrique qui est l'idée du cercle en tant que cercle, que.lUe que soit la longueur assignée au rayon, corresponde une réalité, une essence dans l'ordre de l'étendue, ~ essence particui-r re affirmative3 ~, mais indépendante de telle détermination spatiale comme de telle détermination temporelle que l'on voudra. Dans le Scholie à la proposition VIII de la partie Il de l'.Éthiqtue Spinoza parle de l'équation dd' = ee' entre les segments d edt cd' e et e' des sécantes D et E tracées dans un cercle, comin e d'un e relation qui convient également à toutes les sécantes, qcuelles soient effectivement menées ou idéalement con çuaes. Et il ajoute qu'il recourt à cet exemple pour.~ illustrer ~ lerapp )ort des essences éternelles à leur réalisation tempore e, pour permettre d'entrevoir le grand secret de V'Êdi;ute co imelt, en dépit des transformations apparentes de la personnalité et en dépit de la mort même, un principe d'éternité se constitute, 1. Lettre XII (29) à Louis Meyer, du 20 avril 16i 3, II, 4; cf. Etth. i, 15, Sch.. 1, 52; tr. Appuhn, p. 57. 2. Hamelin, op. cit., p. 172. 3 Ref. Int. ~ 60, I, 32; tr. Appuhn., p. 269. 4. Éth. IV, 39, Schol. 1, 218; tr. Appuhn., p. 501.

Page  145 LE PASSAGE DU -MECANISME AU MA.THEMATISME 14, fondement de l'être dans tout ce qui esl, et dont il appartient au sage d'approfondir le sentiment, de conquérir la jouissance intellectuelle. Le corps — qui pour l'imaginatiou sensible est un individu distinct et indépendant de tout autre individu -- qui pour la science abstraite, pour le mécanisme,-est un.cassingulier de la loi'qui régit en général les relations du.mo.uvement — est dans sa réalit6 une ~ essence intelligible ~, fondée dans le système total des ~ essences intelligibles -,.;92. - De;ce point de vue, lles paradoxes auxquels la philosophie dé la nature s'est heurtée jusque-là, peuvent être éliminés. La ligne n'est pas compose de points; la durée n'est pas composée d'éléments temporels; l'eau elle-mnme, prise dans sa substance, n'est pas compose de particules qui se forment et se dissolvent 3. L'unité de la ligne est dans le mouvement intellectuel qui l'engendre tout entière par sa définition même; l'unité de la durée dans la ~ tendance a persévérer dans l'tre ~ qui est l'essence de chaque chose, parce qu'elle est la marque de.sa participation à la vie éternelle de l'Etre unique 4; l'unité de l'eau enfin dans la loi unique et universelle qui rend la matière indivisible eet fait du déplacement de chaque particule la conséquence nécessaire des mouvements de l'ensemble. On voit à quel point, trompés par le mot de substance, les. critiques de l'Éihiqule depuis Bayle jusqu'à Renouvier ont égaré leurs coups sur une caricature du spinozisme. Ce qui condamne le substantialisme 'vulgaire à n'être qu'une philosophie de l'imagination, ce n'est pas la notion de substance,.enr tant que telle, c'est l'affirmation d'une plurality de substances. Comment concevoir une pluralité sans imaginer derrière chaque série de: phénomènes un substrat invisible, autour de chaque groupe fini une clôture infranchissable, enfin entre ces diverse realitéseun lieu de contact et un mode de communication? De toutes ces.imaginations la mathleématique nouvelle affranchit la philosophie, elle constitue la science de l'univers par le libre jeu de l'activité intellectuelle; elle fait correspondre à l'idée 1. É. 2 Schol., I, 266 et suiv.; tr. Appuhn., p. 628. 2. Éth. V, 22, I, 266; tr. Appuhn., p 626.. Cf. Spinoza et ses contemporains, Revue de Métaphysique, 1900, p. 40. 3.' thU. I, iS,-Sch. et Lettre XII (29) (loc. cit.). 4. Lettre XIi(29) et Éth. III, 8, I,:î32;tr. Appuhn., p. 271. 5. th. l 5,.1.,, I, I, 53 ~ iateria ubique endera est, nec partes in eadam disthnguuntu., 'si quateuls materiam diversimode affectam esse concipirnmu; unldc: ejsu. patees xaditser.t'antuatm 'distinguuntur non auteir realiter ~. Ct. Lettre IV,:&l: ÔOldenburg,;' 11. BRUNSCHVIC. - Les tapes. 10

Page  146 146 ELES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE simple la définition premiere, qui est un point de départ pour une synthèse nouvelle, d'ou drive un système plus'étendu de définitions, jusqu'à ce que le tout de la réalité puisse être ramené à l'unité,. La juxtaposition des êtres matériels à. travers les différentes parties de l'espace, qui servait de base au inéca-nisme, se résout donc dans l'intuition du matheénatisme, c'est-àdire, dans leur connexion intime au sein d'une étendue indivivisible qui est l'essence intelligible, l'attribut, de la substance divine. Par la substance de Spinoza il ne faudra donc rien entendre d'autre que la réalité mirême, prise dans son intégralité et dans son unité. L'unité de la substance garantit que nul obstacle ni dans la nature des choses ni dans la nature de l'esprit ne surgira pour arrêter l'essor de la science intellectuelle. L'univers tout entier est intérieur à chaque intelligence; chaque intelligence porte en elle, comme la loi constitutive de son activité, le principe de l'adéquation entre l'idée et l'idéal; il suffit de réfléchir sur la vérité mnme de la connaissance pour apercevoir que la fécondité de la méthode s'étend à l'infini, que l'homme est,capable de se joindre du dedans à la totalité de la nature, à l'unité de Dieu. Le mathématisme intellectuel de Spinoza cond(uit à ce résultat que l'Éthique s'achève avec l'affirmation absolue de la liberté. LE MONISME DE SPINOZA 93. - Nous pouvons conclure: chez Spinoza comme.chez Malebranche, le cartésianisme aboutil à une liaison étroite de la mathématique et de la théologie; mais cette liaison a chez l'un et chez l'autre une signification toute différente. Déjà, Descartes avait compris qu'/ne science où l'expérience ne sertvait qu'à poser les problèmes eta à suggérer les solutions, où l'établissement définitif de la vérité était réservé au seul développement de l'activité intellectuelle, réclamait la garantie d'un Être qui fût à la fois la raison parfaite et la puisssance infinie, qui pût ainsi avoir adapté à< 'univers créé les facultés naturelles de la creature. Seulement, il s'étLit trop souvent content d'insoquer 1. Rfef. Int. ~ 49, 1, 30; tr. Appukn., p. 268: ~ Sopus... est elaras et distinctas habere ideas, tales videlicet, qme ex pura mente, et non ex iortuitis motibus corporis facl snlt. Deinde omnies ideee ad unam ut redigantur. conabimur cas tali modo co.catenare et ordinere, ut mens nostra, quoad ejus fieri potest, referat objective formalitatem nature, quoad totam et quoad ejus partes ~.

Page  147 LE MONISME DE SPINOZA i47 le. qualités que l'on ne peut manquer de conférer au Dieu dles religions traditionnelles. Au jugement de Spinoza ( le Dieu d'Abraham, d'Isaac et de Jacob ~, celui qui communiquait avec Moïse face à face, est le Dieu de l'imagination. Le Dieu, qui parle esprit à esprit conmme il parlait au Christ2, est (pour reprendre encore les expressions du Mémorial de Pascal) le Dieu ~ des philosophes et.des savants ~. I1 se définit par l'exigence dont la science et la philosophie ont fait la condition même de la vérité; il est la source commune d'où dérivent à la fois le système total des idées, et l'objet de ce système total; il est l'unité radicale de l'intelligence infinie qui est l;intégralité du savoir, et du mouvement infini qui maintient à travers les incessantes transformations des phénomènes, l'identité d'aspect de l'univers; il est la productivity éternelle de cette infinité d'essences qui expriment la réalité, qui débordent de toutes parts les limites de notre horizon humain - productivité à laquelle pourtant il nous a été donné de participer en quelque measure puisque nous sommes capables de poser le parallélisme de l'lattibut-pensée et de l'attribut-étendue. Et c'est pourquoi, au lieu d'intervenir comme le Dieu de Malebranche afin de jus.tifier du dehors la dualité irréductible entre la science des essences intelligibles et la science de l'univers réel, le Dieu de Spinoza permet d'approfondir et de confirmer du dedans la perfection et l'unité de la science humaine. En définitive, par delà l'inspiration de Descartes, par delà les dogmes de la théologie, l'intellectualisme de Spinoza tend à réaliser le rêve que faisait Platon lorsqu'il demandait à l';imc de se faire tout entire intelligence pour recevoir la vérité, comme le corps doit se redresser tout entier pour qlue l'ceil reçoive la lumière. Au-dessus du discours auquel étaient asservis le calcul, ou la g6ométrie prise dans son sens ~ ordinaire ~, au-dessus de la t'ivo/a, Platon plaçait le domaine de l'intelligence pure, la vorice. Mais, en voulant s'affranchir des hypothèses sur lesquelles s'appuient les disciplines particulières, la vo-',ltç platonicienne dépassait les limites de la science positive, et retournait aux spéculations méta-mathématiques des Pythagoriciens. La Géomt'rie de 1637 offre au rationalisme la base technique que le platonisme ne possédait pas 3. Dans l'Éthique la science 1. Hamelin, op. cit. chap. xv: Les attributs de Dieu, p. 217 et suiv. 2. Theol. Pol. I; 1, 383. 3. Peipcrs a remarrqué que, pour la détermination purenecnt intell.ectillee des figures géomntriques, telle que Platon paraît l'avoir conçue, cls meil

Page  148 148 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE de l'étendue, à la fois développée jusqu'à devenir la science de la réalité et spiritualisée jusqu'à devenir une science d'idées pures, est capable d'élever l'homme qui la conçoit et qui la pratique au sommet de cette ( vie unitive ~, dont on faisait le privilege des âmes extraordinaires aux heures rares de l'enthousiasme et du ravissement, qui apparaît maintenant fondée dans l'expérience et daxis l'intelligenc e de l'uivers total, qui participe à la solidité et à la continuité de la pensée mathémratique. LA LIMITATION TECHNIQUE DU SPINOZISME 9.4. -, M. Grosjean cite un jugement remarquable d'Arthur IHannequin sur Spinoza:-~ C'est peut-être le seul exemple d'une doctrine religieuse que n'ébranle enrien la ruine de toute la construction métaphysique qii l'enveloppe.,~ Ce qui est vrai de la -doctrine religieuse est vrai aussi de la doctrine scientifique, pour cette raisonr même que science et religion s'identifient suivant Spinoza dans l'unité de l'esprit. Jamais philosophic ale se refusa plus que ne le fit.l'Éhique à l'imagination des hypothèses' qui combleraient les lacunes du savoir; jamais philosophie ne fit un tel effort pour ne rien retenir que l'organisation effective de la pensée. Le système des relations intelligibles est unique par cela seul qu'il est total, et il constitue ainsi I'unilque et totale réalité. Or, ce qui a permis au spinozisme d'atteindre à une telle conception de la vérité, c'est qu'il est appuyé sur une technique qui semblait parfaiterrent transparent à l'intelligence et capable en même temps d'épuiser la réalité. Seulement, les remarques critiques de Leibniz l'ont déjà fait pressentir, ces caractères sont, aussi pour une part, liés à l'étroitesse de la ].bse que fournissait la géométrie analyLique. Dans l'évolution da la phiiosophie mathématique le moment du spinozisme m érite plus que tout autre de retenir notre attention, parce-que l'intellectualisme de la pensée moderne s'y dégage avec ses traits essentiels de liberty, et de 'fécondité illimitées. 11 s'explique pourlant que ce ne soit qu'un moment, qu'après Spinoza des problèmes nouleurs examples seraient fourais par la géométrie analytique de Descartes,,Die Erkenntaisstheoie Plato's,: LeipZig, 4, 87, p. 7 '945, n' 1. Cf. Gompèrz, Les Penseurs de la Grèce, tr. Beyond, t. II, p. 505, et Natorp, Plates Ideeenlehre, 1903, p. 420. i Éttludes, t. 'I,' 'Introdtuction,,p.i xx.

Page  149 LA:I LIMITATION TECHNIQUE DU SPINOZISME 1i9 veaux se soient posés, auxquels le spinozisme n'apportait pas de solution. De ces problèmes nouveaux, on trouverait facilement l'indication dans l'Étiqaue elle-même. En effet, c'est un caractère dominant, du spinozisme, comme du malebranchisme, que l'intellectualité de l'étendue conduit à Dieu, parce que l'étenidue est une totalitd infinie de relations. intérieures. Mais l'infinie grandeur de l'espace a pour contre-partie l'infinie pet:tesse de se- élé. méats, e5 t Spinoza entrevoit cette conséquence: sui:vant le Scholie du lemnte VII de la deuxième partie de l'Éthiq&ue, un individu. quelcônque, et la nature entière dans son individualité, comporte unë innfinité de degrés de composition. Quelles seront alors: es parties élémentaires qui constituent l'individu? sur ce point, Spinoza se dérobe: ~ Atque haec, si animus fuisset de corpore ex professor agere, prolixius exllicare et demonstrare debuissema. ) Les allusions contenues dans sa correspondance avec Tschirnhaus3 permettent de Ipr sunmer que sa doctrine de la matière. et da xmouvement n'a jamais été complètement. arrêtée. Peut-être cherclait-il, comme faisait Leibniz vers la même époque, dans des conceptions inspires par le conaasu de Hobbes4, le moyen de comprendre la résolution d'un système naturel. en une infinite de parties. Mais précisément 'instraiuent technique lui manquait, qui a manqué à Hobbes, que.Leibniz devait conquérir par la suite et employer pour la renovation de la philosophie universelle. Peut-être môme, cette limitation des resources scientifiques, qui marque la date du spinozisme dans l'6volution dse la philosophie- miathématiquei, s'explique-t-elle si 'on fait-é..at de la position singulière que Hobbes occupe à cet égard. Avec ha notion du conalus, Hobbes saisit le mouvement '!FêtLat naissant, est,-à-di re sur un espace et dans an temps les plus petits qui soient donnés; il lui: assigne unu situation et un nombre,, et:le représente par un point; il parait devancer ainsi les conceptions'les plus profondes de la imécanique moderne-. Mais;cette anticipation, si elle fait honneur à la perspicacité du philosophe, 1., 91; tr. Appu.hnm p. 162. 2. b îi. p.. 92 et 16î2. 3. Lettre LX (04), iI, 213; et LXXXIII (72), du 15 juillet 1676, II, 257. 4. Lasswitz, Geschichte der Atomistik vomr Mittelalter bis Newton, Hambourg et Leipzig, t. Il, 1890, p. 466 et suiv., et Hlannequin,, La première philosophic de Leibniz. Étuldes, t. II, 1908, p. 81. 5. De corp. Il, et 15 ~ 2, éd. Molésworth, op. lat., t. I, 1836, p. 177. 6. Cf. Lasswitz, op. cit., t. II, p. 214 et suiv.

Page  150 150 LES ÉTAPES DE LA. PHILOSOPHIE MATHIMATIQUE n'entraîne aucun progrès pour la science elle-même; le conatus est simplement ce qu'il n'y a pas d'intérêt à diviser, parce qu'au-dessous de cette limite on n'a plus à tenir compte de la quanttité. Pour que l'intuition du conatus fût susceptible d'être rnalthématiquement maniée, pour que le rapport entre l'élément de temps et l'élément d'espace pût être déterminé, nous savons par l'histoire ultérieure qu'il fallait s'engager plus avant dans la voie que l'école dc Galilée avait frayée, et clercher une expression analytique des relations entre infinimeints petits. Dans ce sens, l'Arithmnetica infinitorlum de Wallis, publiée en 1655, réalisait un progrès important. Or, Hobbes lut, étudia l'ouvrage. Mais, les dissentiments personnels ajoutant à sa prévention naturelle, il ne vit rien dans l'oeuvre de Wallis sinon un défi aux lois de la logique:puisque l'induction exige l'énumération préalable de tous les cas particuliers, elle est incapable de s'étendre à une série illimitée de termes; en raisonnant par induction sur l'infini, Wallis ajoute de nouvelles absurdités à totes celles dont l'infini avait été déjf l'occasion. Personne, ose écrire Hobbes en 1660, n'a rien vu de plus honteux que l'Arithmétique des Infinis 3. La même absence d'intérêt à l'égard du calcul nouveau se rencontre chez Spinoza, et cela est d'autant plus remarquable qu'il n'appartient pas h la même génération que Hobbes. Disciple et non rival de IDescartes, il est affranchi dcu préjugé qui avait fait méconnaitre àa lobbies la portée de la Geométrie de 1637, et maintenir.la supériorité de la géométrie synthétique sur l'arithmétique et sur l'algèbre. Seulement en vertu même de l'intellectualilé de l'algebre il se croira tenu de renfermer le domaine de la pure inteîligibilité mathnématique dans les bornes de l'analyse proprement algébrique; et c'est pourquoi, pas plus que Descartes ou que Malebranche, il n'arrive à faire descendre l'infini du ciel sur la terre. Quand Spinoza insiste, particulièrement dans la lettre à Louis Mevers, sur l'existence des grandeurs incommensurables, son but est uniquement de rabaisser 1. Kôhlcr, Studien zur Natutsphieosophi des Th. l1obbes, Archiv für GeÉchichte dcr Philosophic, t;. XVI, 1903, p. 79. 2.,, lnductione auteln denmonstrare non est, nisi ubi particularia omnia euliumeranltur, quod hic est impossibile. Examinatio et cmendatio. Mathematics hodiernoe, Dial. VI, d. Molesworth, Op. lat., t. IV. 1845, p. 179. Cf. Cassirer. Das Elkenntnisprobtem, 2e édit. p. 54 et suiv. 3. Ibid., p. 178 et suiv. - Pour l'ouvre de Wallis, vide infra, ~ 109. 4. Examinatio, Dial. III. Cf. lannequin, La philosophie de Hobbes, Étutdes t. I, 1908, p.;141 et suiv.. Lettre XII (29), I, 44.

Page  151 -LA LIMITATION yECHiNIQUE IDU SPINOZISME 51' le nombre à n'être, comme la m.esxre et commie le temps, qu'un xiliaire de l'imagination, et d'écarter ainsi es objectionss classic esc'entre l'infini actual. La rotation de L'in ommensurabilité et de linfinité ne conduit à alucune étude directe et positive. Comme on ie voit dans la seconde partie de l'Éthique, Spinoza, se bornant à retenir la constance des rapports de juxtaposition spatiale, la constance des rapports de vitesse ou de mouvement, définit lapermanence de l'individualité par la similitude de soi-mmr e à soi-même', sans mettre cete relativity de la rmne en. conifexion avec la conception que l'on doit se fare de lIte'aue.lénmentaire. Une iacune demeure dansle système; et, pour que cette lacune soit comblée, il faudra que la pensée humaine franchisse une étape nouvelle, qu'elle agrège l'infinitesimal au domaine de la sciencee exact. L. Lemme tà a suite de la prop. XIII, particulièrement le lemme V, I, 90; et tr. Appuhl., p. Ia9.

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Page  153 LIVRE III ANALYS E iNFINITTESIM1ALE CHAPITRE IX LA DÉCOUVERTE DU CALCUL IN'FINITÉSIMAL SECTION A: 'Lantiquité. zÉENO D' ÉLÉE ET ARISTOTE 95. -- 11 est remarquable que, pour retrouver la plus ancienne trace de la pensée infinitésimale, nous devions nous adresser, dans i' tat actuel de notre information, non aux mnathématiciens chez qui elle parait avoir été présente - soit Démocrite qui a le premier énoncé le théorè me de relation entire le volume du côhe et celui du cylindre s, soit les Pythagoriciens qui ont découvert et manié les grandeurs irratiÎonnelles- mais au penseur qui semble bien avoir té l'adversaire de ces mathématiciens, a Zanon d'.e. P.Lorsque Zen o formutle l'argument de la dicçhoiomie, lorsqu'i:i it ressortir la nécessité pour le mobile de parcourir avant la!igne tout entire la moitié de cette ligne, puis la moitié.de cette mtoiti6, et ainsi de suite 's'i-nfni 2; il conçoit suivant l'observation de Zeuthen, la série. 1. Cf. Un. tr'aite de géom.trie inédit d'Archimnde, trad. Th. Reinach, préalmbulec Rev. Gét. des Sciences, 30 novembre 1907, p. 614. 2. Ilp&ooc [L'.6yoi] 6 pe. st To 0 [ ^y xwvIcro-0o ' tC rb o.popoov iE;o Tltcrvu 8e'. '.,. TO,: sp i,eI, ov r.o.rt o n ';?J ) i,)OÇ. (.rist., Phys., Vi, 9, 239b 11.) 3f Histoire des mot:énmatiques dans 'uantiquité et le moyen âge, trad. Mascart, P7 $,

Page  154 1t 4 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHRE MATHEMATIQUE il applique à une longueur quelconque prise comme unité Popération mentale qui est constitutive de cette série. Oue d'ailleurs une pareille operation soil toute naturelle. qu'elle manifeste la loi de l'activité rationnelle, c'est ce qui ne fait plus de doute depuis le xvni siècle. A Bayle qui aiguise l'ironie de son bon sens au spectacle des paradoxes de la g6ométrie des indivisibles, tels que la découverte de figures d'une longueur infinie égales à des espaces finis, Leibniz répond: ~ Il n'y a rien de plus extraordinaire en cela que dans les Séries infinies, ou l'on fait voir que 2 —4t-A -48-: 6 4-.-3- etc. est gal 1 l'unit 1 i:Aussi rien n'atteste mieux la dire difér e structure entre la pensée: tique et la pensée moderne que l'usage fait par Z6non d'.Eiée de cette même série qui était destinée à devenir le mod81e de la clarté intellectuelle. Entre ses mains, ellè est une arme dialectique et destructive; elle met en déroute les premières speculations des mathématiciens sur les relations dans l'espace ou dans le temps, en interdisant à l'esprit humain d'obtenir l'intelligence d'une quantité totale par la mesure de ses parties. Et' e eef.et pour. le réalisme d'un Éléate c'est la représentation de la totalité des termes, et non la régularité de la loi de formation, qui peut assurer l'existence de la série. Il faudrait donc expliciter et saisir dans l'intuition spatiale tous les membres de la progression géométrique dont la somme équivaut à la ligrne tout entire. Or les ressources de l'imagination s'épuisent à la poursuite de cette représentation ultime qui serait nécessaire pour parfaire la ligne à décomposer. Un mobile qui aurait à parcourir toutes les divisions d'une ligne n'arrivera jamais à la parcourir tout entire. 96. -- De cette proposition peuvent se tirer deux consequences contradictoires, qui ont été toutes deux attribuéesà Zenon d'i1ée: 1. Philos. Schr., Gerhardt(que nous désignerons dans la suite par G), t. IV. p. 570. Voir aussi Lettre à Foucher, de janvier 1692: (G.,1, 403)., Le P. Grégoire de S. Vincentt, traitant de la sommie d'une multitude infinie des grandeurs qui sont en progression géométrique décroissante, a montré fort pertinemmnent autant que je m'en puis souvenir, par la supposition même de la divisibilité à l'infini, combien Achille doit avancer plus que la tortue, ou en quel temps il la devrait joindre si elle avait pris les devants. ~ Cf. Opi geometricum quadraturse circuli et sectionum coni, Anvers, 1647. Lib. II, De progressionibas geometricis, Scholie de la prop. 87, p.:10 et suiv.

Page  155 ZENON D'ÉLÉEE ET ARISTOTE 155 l'une que le mouvement n'existe pas, l'autre que l'existence du mouvement réfute l'hypothèse d'une pluralité discontinue d'éléments. Mais nous laisserons de côté, comme inutile à notre objet, le problème délicat de choisir. en l'absence de témoignages péremptoires, entre ces deux interpretations. Nous n'en retiendrons que l'élément commnun, le principe en qui se résume l'argument de la dichotomie, c'est-à-dire la separation radicale de deux formes d'intuition qui paraissaient inséparablement unies dans la notion de l'espace: d'une part la representation de la ligne totale, d'autre part la representation des parties élémentaires. L'expérience spatiale apprend à passer des parties qui sont données au tout qui est à reconstituer, en juxtaposant un nombre fini de lignes fines; elle nous enseigne ainsi les lois de la mesure. Mais la réciproque de cette opération, qui semble la plus aisée et la. plus naturelle du monde, se trouve n'être pas vraie dans les conditions où les anciens posaient le problèrne; il est impossible, en partant de la connaissance d'une ligne donnée et à l'aide d'un procédé aussi simple que la dichotomie, de terminer la résolution en parties élémentaires. La dissymétrie surprenante qui éclate ainsi au coeur de l'intuition spatiale marque les bornes de la logique des anciens, qui appuie toujours le raisonnement sur la nature de l'objet représenté. Aussi le prétendu sophisme le Zénon ne sera-t-il jamais réfuté. Aristote ne comblera pas le fossé creusé par la dialectique de l'éléatisme; il se contentera d'en parcourir les deux bords. D'un côté, puisqu'il n'est pas possible à l'esprit de parcourir une infinité de termes, il professera que la constitution de la science est liée à la position d'une limited. D'un autre côté, à la science en acte de. l'univers en acte il opposera la virtlualile d'un devenir qui apparaiît indéterminé et illimité. De ce dernier point de vue s'expliquent les ~ locutions toutes modernes ~ que Moritz Cantor relève chez Aristote: ~ L'infini n'est pas un état stable, mais la croissance elle-même, et le continu c'est la qualité des parties consécutives de posséder l'une et l'autre le mêae aboutissant par lequel elles se touchent' ~. Moritz Cantor ajoute: ~ Ne croirait-on pas se trouper en face lie l'introduction d'un traité de calcul infinitesimal? ~ Seulement il faut bien voir que ces formules ne sont d'aucun usage pour les mathématiques, ni mêlme pour une science positive; elles appartiennent à un traité de physique qui porte au plus haut point le caractère d'une méta1. Bibliothèque du Congrès international de Philosophie, t. 11I, 1901, p. 6. Cf. Cantor, 13, p. 20-.

Page  156 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE. MATHEMATIQUE physique. La divination d'Aristote, qui aurait donné le moyen de poser le problème scientifique, ne sert en fait qu'. montrer 'irmpossibilité de le résoudre. S'il y a lieu de faire intervenir la pensée d'Aristote dans le domaine de l'infinitésimal, c'est que l'autorit de son génie encyclopédique. et classificateur consacre pour des siècles le traité de partage qui abandonne le discret et le fini aux combinaisons de la science,. qui reserve aux spécula'fions de la métaphysique la virtualiîé du: continu et de l'infiAn ARCHIMEDE 97. -D'autant que la géométrie grecque demeure assujettie danrs la théorie à la loi de cette équilibre, il est plus inrstructif de suivre dans la pratique le mouvement de l'inteligence pour tourner cet obstacle factice. Déjà ce movement était dessiné dans les premières tentàtives pour résoudre le problème de la quiadrature du cercle. Assiurment Bryson. d'Héraclée avait tort de croire qu'il suffisait de constater que la surface du cercle est intermédiaire entre le polygone inscrit et le polygone circonscrlt, pour conclure que la surface du cercle: est la moyenne arithmétiique de ces deux surfaces. Mais que l on prenne pour ce qu'elles valent les considerations dont pi'ocde ete conclusion, et le passage va s'ouyrir d'une argumentation suspected d( sephistique à la mathématique proprement dite. On ne traitera plus comme équivalentes toutes les grandeurs- intermédiaires entire deux figures données; on mesurera l'écart de ces figures, on Xe fera diminuer progressivement. Si on double sans cease e nombre des côtés des polygones-réguliers qui sont ou inscrits on circonscrits au cercle, leur surface se rapproche sans cesse de la surface du cercle, et la difference devient plus petite que 'oimporte quelle quantity donnée. A.insi se constituera une science nouvelle, qui à l'aide d'inégalités décroissantes fournit de l'égalité une approximation aussi étroite que l'on voudra. Ainsi se constituera une logique de i'rngalitd, dont les géomètres du Ve siècle ontt dégagé les principes avec une irréprochable netteté. Leur méthode, appelée mnéhode d'exhaustion, est exprimée dans le premier théorèm a du Xc livre des Élérnents: < tant données deuxgrandeurs inégales, si on retranche plus de la moitié de la plus grande, puis plus de la moiti6 de la quantité restante, et toujours ainsi, le reste de la i. Voir les textes recueillis par Brandis Schtoliina AritOtetm (1836), 2i11l et. auiv. et 306a 5. Cf. Cantor. I13 p. 203.

Page  157 ARCHIMEDE 1 7 plus grande des quantités données sera plus petit que la plus petite de ces quantités i. ~ La démonstration du théorème repose sur urie très remarquable propriété introduite à titre de définition dans le e livré des Elénments, et qui joue, comme lilbert l'a fait voir 2, un rôle fondamental dans la structure de, la géométie:: < Deux grandeurs sont dites comporter un rapport lorsque, étant multiplies, elles peuvent se dépasser l'une l'autre.- AOy&ov EIft V Oq;0 a)CX) ~%a et SÔi. X&'eratt. à &uvr iY T'Y. a Xt- \y 0 C1.rna Svva à oiv ptCEpstv 3. La subtilité logique des Grecs semble ainsi avoir triomphé des obstacles que leur rigueur logique avait suscités. Grâce à une ruse tactique le sens et la portée de l'argument ont été comme retournés. Pour recomposer un mouvement total, il' fallait posséder un élément initial, et la dichotomie m.otra.t 'imrposssbilité de fixer cet élément initial. Au contraire, que l'onn-it devant: soi une difference entre deux grandeurs données, que l'on- enlève à cette difference sa majeure partie, 'puis au reste sa majeure partie, suivant un rythme visiblement imité du procédé de la. dichotomie, la répétition illimitée de l'opération permettra d'approcher autant que l'on voudra d'une solution exacte -du problème La mêre démarche de pulvérisation intellectuelle, qui avait créé un abime entre l'intuition du mouvement total et l'intuition des parties de l'étendue, apporte une justification logique à la série des théorèmes qui concernent les sr'faces circulaires ou les corps ronds. 98. - Mais il faut comprendre de quel prix la victoire devait etre achetée. L'artifice par lequel les créateurs de la rméthode d'exhaustion, Antiphon et Eudoxe, avaient réussi à adapter la dialectique discursive de Zénon à l'exposition des découvertes qui étaient nées du développement direct de la science mathlématique, détourne l'attention du progrès intérieur de l'esprit pour la porter sur la forme externe de l'exposition. L'inconvénient n'était pas seulement de superposer au problème résolu par l'intelligence un second problème qui ne concernait que le cliscours; il était encore, sinon pour les maîtres eux-mêmes, du moins pour les disciples qui s'initiaient.à la recherche par l'étude de leurs euvres, de subordonner nettement l'intelligence.a u discours. De là,les deux aspects sous lesquels il convient d'envisager la 1. Cf. Heiberg, EuctidiS Elementa, t. III, 1886, p. 4. 2. Voir le 9 groupe V d'axiomes: axiomes de la continuity (axiome d'Archimède) Les principes fondamentaux de la géométrie, trad. Laugel, 1900, p. 24. 3. Déf. IV, -bid., t. Il, 1884, p. 2:

Page  158 158 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE pensée d'Archimède. Nul, certes, ne porte plus haut la puissance de l'abstraction intellectuelle. Archimède ramène les problèmes de quadrature ou de cubature à la détermination d'une aire ou d'un volume compris entre deux sommations de surfaces ou de volumes élémentaires. Ces sommations elles-mêmes, il les fait reposer Sur des relations qui, prises en soi, sont d'ordre analytique. C'est ainsi par exemple que dans le Traité des Conoïdes et des Sphéroïdes' il fait intervenir l'inégalité suivante, tirée des propriétés depuis longtemps connues des progressions arithmétiques, Sh h + - + 3h n/i. h Une telle formule ouvre la voie à ce que Zeuthen appelle une intégration veritable 2. Si on fait tourner une parabole autour de son axe, on engendre le corps qu'Archimède nommait conoide parabolique. Je trace des plans perpendiculaires-à l'axe et équidistants, je détermine une série de volumes élémentaires auxquels je peux inscrire ou circonscrire une série de cylindres de même hauteur. Le volume du conoïde parabolique sera compris entre deux sonmmes de cylindres, les uns circonscrits, les autres inscrits; il est loisible de faire en sorte que la difiérence de ces deux sommes soit équivalente au plus grand cylindre circonscrit, et, la hauteur de ce cylindre étant d'ailleurs indéterrninée, il peut devenir plus petit qu'une quantité donnée. Ce n'est là qu'un premier pas: dans le traits de la Quadrature de la Parabole, Archimède substitue à cet élément qui demeure homogène à la figure totale un élément qui a une dimension de moins que le tout; l'étude d'une surface se ramène alors à la considération des lignes que l'on peut tracer dans cette surface. Ayant ainsi franchi les bornes de l'intuition géométrique, Archimède dépasse le domaine de la géométrie elle-même. Pour résoudre un problème de quadrature, il fait appel à des considérations de statique, ~ d'une statique tout intellectuelle )> suivant l'expression curieuse qu'emploie ici Montucla4. I1 a, par exemple, à comparer un segment parabolique 1. Archimedis Opera, Éd. Heiherg, t. I, 1880, p. 290. Voir l'étudc de Ileiberg sur les progressions arithmétiques chez Archimède, dans les Quoestiones Archimedeo, 1879, p. 51 et suiv. 2. Op, cit., p. 149. 3. Voir darts Montucla Histoire des Mathématiques, Part. I., liv. IV, la note E.; Ed. de '1799, t. I, p. 282. 4. Ibid., p. 235.

Page  159 ARCHIMEDE 9 5 et un triangle; il conçoit un levied idéal dont le point fixe est choisi de telle manière que chacune des droites tracées dans le triangle suivant une certain direction fasse équilibre à chacune des droites parallèles prises dans le segment et supposes transportées à une distance déterminée du point fixe. La some inme de ces droites équivaudra de part et d'autre aux figures qu'il s'agit de compare; la distance respective de leurs centres de gravity au point fixe du levier permettra de mesurer le rapport. des surfaces. ti erait difficile de pousser plus loin le génie.inventiif, et Archimède a pleine conscience que sa méthode n'est pas un expédient de fortune, qu'elle est un procédé général de découverte. Après la publication du Traité de la Quadrature. de la Parabole, qui en avait foarni pourtant un cxemple probant, il écrit un nouveau traité - celui qui vient d'être retrouvé par Schône et Heiberg -- afin de mieux faire comprendre la féconditédela méthode, afin de la recommapder aux savants actuels ou futurs 2. Mais le tableau a sa contre-partie: dans la Préface du -Traité de la Méthode, Archimède semble refuser à la méthtode qu'il a préconisée pour l'invention la vertu demonstrative. Il promet de reprendre, a l'aide de la ~ méthode géométrique ~ et montrant en détail qu'à chaque théorème les procédés de l'exhaustion peuvent s'appliquer, les propositions dont la ( méthode mécanique ~ lui avait pourtant fait apercevoir la véritéi avc certitude. Et ce contraste est plus accentué encore dans la partie de l'euvre qui était connue au moyen âge et dont l'influence s'est exercée directement pour la renaissance de la math matique moderne, en particulier dans le Trailé de la Quadrature de la Parabole: la méthode d'invention y est nettement subordo.néee àa la méthode d'exposition, le souci d'éclairer, comme dit Lacroix ', à celui de convaincre. De sorte qu'à travers tout le cours du xvIni siècle, ceux qui s'ouvrirontla ~ voie veritablement royale;4 de l'intégration se heurteront à l'autorité du nom d'Archimède, comme au dogme officiel d'une Église. 1. Éd. Heiberg, t. II, 1881, p. 300-et-suiv, Voir l'exposition de Milhaud, Le traité de la méthode d'Archinède, Revue scientifique, 3 octobre,008, p. 418, et NouvelUes Études..., p. 138. 2. Revue générale des Sciences, 30 novembre 1907, p. 9i0. 3. Préface du Traité du calcul différentiel et intégral, 2~ édit., 1810, t. I, p. 2. Cf. la Logique de Port-Royal (1662), IV, ix, Premier défaut [de la méthode des géomètres]: Avoir plus de soin de la certitude que de l'évidence, et de convaincre l'esprit que de l'éclairer. 4. C'est l'expression que Torricelli applique à la méthode de Cavalieri dans le De dimensione parabole, p. 56. Opera geometric, Florence, 1044.

Page  160 iâ60,LES ETAPES DE LA PHILQSOPmHE I.MATHIE:MAIQUE SECTiON B. - La géométrie des indivisibles et lalgorithme leibni^ien. VIETE ET KEPLER 99. - L'examen des ceuvres de Vièle, de Kepler, de Cavalieri montre par quels degrés la pensée des modernes a repris possession de la pelnsée directrice d'Archimbède. Viète se borne à une suggestion, profonde dans sa concision, mais qui demure perdue pour les contemporains. Au chapitre xvIi du recueil Variorum de rebus malhermaticis pesponsorm, intitulé.: Polygonorurm circulo ordinale inscriplorum ratio ', Viète, sans préteindre dissiper les difficultés philosophiques de la quadrature du cercle, étend nettement aux rapports d'ordre irrationnel la considération de l'infini qu'Arehinnede avait appliquée dans l'ordre rationnel à la quadrature de la parabole. Nous ne retien(trons ici que. le résultat auquel il arrive, et qui consîste à donner l'expression de - par le produit infini 90~ 900. 90o cos-v -,cos-i. cos-g-..* C OS OS' _COS c'est-à-dire Kepler, dans la Novae stereometria doliom7mi- vinario'ar (1i615), ne se propose qu'un problème e g géométrie pratique.déterminer la forme des tonneaux qui oint pour une même ligre de jauge la capacity maxima. Pour la srlution-de eeroime reprend'la géométrie des corps -ronds; mais'9. ajoute aux solides connus des anciens lune série de. corps noa'veaux, qu.i sonit engendrés par la revolution d'une section unique autour d'une ligne quelconque.relative' à la courbe, et qu'il:d-signe par les expressions familières de potmmnes, de citrons, etc. La caractéristique e cet ouvrage, c'est l'usage de la né:Uio0de directe; délibérément Kepler la substitue, - la. mXthode d'Ar'himcde, 1. Tours, 1593, P 29. 2- -.euthen, Geschichte 'der Mathemati in XVI.uad A. XVJ Jahrlutnderti Leipzig, t903, p. 121.

Page  161 VIETE ET KEPLER i6i qui est a ses yeux une méthode de reduction h l'absurde. Dès le début il voit dans le cercle une infinite de triangles qui ont chacun pour base un point de cette circonférence: Circuli B G circumferenlia parties habel tolidem. quoi punctapua infinitas; la quadrature du cercle consistera donc à déterminer la surface du triangle total qui a pour base le nombre infini des points de la circonférence. C'esL de là qu'il s'élèvera parintuition à la solution approximative de problèmes de plus en plus compliqués, indiquant au passage, et sans démonstration, quelquelques-ns des principes les plus féconds de la mathématique infinitésimale; en particulier cette proposition, connue déjà de Nicolas Oresme au xvi~ siècle 2, qu'aux environs de leur maximum les variations des grandeurs sont insensibles: Circa maximuam vero uitrinque circutmslanies decrmenila habent inilio insensibilia 3. On comprend que la hardiesse de Kepler a s'autoriser (les résultats obtenus par Arcihimède pour rormpre avec la philosophie classique e la science, ait déconcerté les géomètres form-:s à l'école des anciens. Anderson, ui fut i'éditeulr d'un ouvrage posthumr e de V'ièe, répondli aIu upplemei2um ad Archinmdem par les Vindicit Archimedis (1'16) I) l n'admet pas que Kepler prenne poudpoin[ de part ee qui'Arnchimède a mis tout son génie fi 6établir au te erm dne d'mlneonsLration laborieuse. On peut conclure l'équivalence 'une courbe cormme la circonférence avec une droite de longueur déterminée; mais on ne peut pas identifier dès le début d'une recherche un cercle et une infinité de triangles, sans contredire aux lois de l'intelligence: Quse mens capiat hujusmodi Metanmolphoses *? Il convient d'ajoiuter que cette fuia de non-recevoir semblait confirmée par les approximations, les aveux de lacunes dans la démonstration, que Kepler multipliait au cours de sa Nova sterneonmeiria. C'est pourttant à la Nova siereometria que se rattache le traits systématique où un savant tout nourri de l'esprit de Galil6e pretend, non plus ajouter aux résultats connuis d'Archimède, mais ~ promouvoir ~ la géométrie elle-même: Geomeiria nitdivisibilibus conlinuorumt nova quadam ratione promota (Bologne, 1635). 1. Stereometria Archinmedima Th. 11, Opera omnia, éd. Fritsch, t. IV, Francfort 1863, p. 557. 2. Voir Cantor, II2, p. 131. 3. Kepler, Stereometria doli Austriaci, Th. V, Cor. 'II, d. cit., p. 612. 4. Vindicise, p. 3. BRUNSCHVICo. - Les tapes. tt

Page  162 i62 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHIEMATIQUE CAVALIERI 1O. -- Il y a une grande difficulté à suivre les détails techniques d'un ouvrage où l'auteur posait des problèmes nouveaux, et les étudiait à l'aide d'unie méthode nouvelle, créant un langage sans.y joindre d'ailleurs de symboles appropriés. ~( Si l'on don-' nait des prix d'obscurité, dit, Maximilien Marie', Cavalieri aurait dû emnporter sans contest le p premier. ~ Pour ce- qui concerne du m-oins la pensée fondamentale de la géométrie des indivisibles, dont nous avens a nous occuper ici, les quelques explications qui vont suivre permettent d'en appeler de la sévérité de ce jugemenet. Les méditations de Cavalieri ont leur origine dans une réflexion théorique sur la genèse des figures géométriques. Du point de vue où l'on se place d'ordinaire, le cylindre est engendré par un parallélogramme, le cône par un triangle. Mais alors une anomalie se présente: la surface du triangle est la moitié de la surface du parallélogrammr e de même base et de même hauteur, le volume du cône est le tiers du volume du cylindre. Pour résoudre la difficulté qu'il a découverte, Cavalieri propose une nouvelle conception de la génération des solides, toute conforne à l'esprit qui dominait les recherches infinitésimales d'Archimède. Le cylindre et le cône auront même proportion que leurs éléments générateurs si, au lieu de les considérer cornmme coupés en hauteur suivant l'axe, on les considère comme coups parallèlement à la base par des plans équidistants2. De ce principe theorique va surgir une technique nouvelle; les problèmes de quadratiure et de cubalure consisteront à composer Aes ssurfaces ou i. ~ -- ' les solides à l'aide de ces elements caractéristiques qui sont fournis par les sections 1 ---_/~ 7 -/ parallèles à la base, et à détermi3ner ainsi / / / leI rapport de grandeurs inconnues à des / /; grandeurs connues.' Prenons l'exemple classique de la proposition xxiv du livre Fig. 7. [3I. Dans le parallélogramme AC EG (fig. 7) nous menons la diagonale EC; nous allons considérer d'une part. dans le triangle AEC les i.. Hist'oire de 'enc m,qes, nmthlldm'tit s: t. IV, 1884, p. 90; cf. Gantor, Bibliot.hèquie du Gorg.r s de 1900, op. ct.? p. i4. 2. Préface de la Geonetria. 3. P. 78, el. Zeuthen, op. cit., p. 20.

Page  163 CAVALIERI 63 droites parallè-les à AC telles que RT, d'autre part les transversales du pairallé,ogrammet telles que RV; nous chericon.s à déter — miner le rapport entree Ies carré s respectifs de toutes ces droites prises ensemble. Traçons la mndiane BF pour abréger, désignons, conmme le fait Zeuthen, RT par x, TV par /! AC par a ou?b, ST par z. Nouns avotns x z b - z, y - z; x: - i/ sera 2 -4"- 9. Or voici la remarque fonuldamentale du calcul des indi'visibles les x constituent le triangle ACEf es y constituent le triangle CEG, ies z constituent les deux t s I-aglt-es BCMt et EFI. les b le parallilogramnnme ABEF. Si nous dsignons les carrés des. x p le symbole [ACE], es ca:rés ldes y ar a- CG, less carr- ds s par [BCM]~ [.FENM], les caérrs des i pr; [ABPEF]i, ous obtenons pour x2-i- y_. 2,v.,, — a forme suV.vante. [ACE].+-[GEC]-.[ABFE] t [ BCM] -4.- [FEM, qui se réduit à 2lACE] 2[AB FE].t ' i t' '. C..K y_[ B C,, i 430 ou [AG.'E -j- [ABFi ]4 ---- [CM.....,,,~"l ABFE étant la nmoitli du parallbiogramm;: AgCE, [-ABPE] ^ [ACGE'; d'autre part, le triangle, BCM 6tant se b table an triangle ACéE deé côtés doubles le rapport de [BC. ] et de [A CE] est exprf:imé par ]a puissance troiSmr.. e s d; [&AC '- 8[CM. De l'é uation I'CE]rJACE- i[AGE] va se t irer l'expression filnae [ACE3 ( -] -[ G.. Cette expression, qui fouri la demonstration d'un théorbme d'énoncé purement glrctrique, done la re e nl's-tériae d finie ~ / ^a i o j a2dx -- 3 O Mais cette forire ne se trouve nat;ure3lement pas dan s a (eometria pr/omota. Cavalleri ns borde s "d.'une tac.ot directed le problème de l'intégration, en ce sens qu'il ne dteermine pas une

Page  164 164 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE grandeur totale par rapport bà ses parties élémentaires: ininiment petits ou, comme dit Cavalieri, indivisibles. Au contraire, et suiva1:nt les expressions de M. Marie, ~ l'évaluation d'une somme finie d'éléments infiniment petits se troupe remplacée par celle du rapport de deux sommes infinies d'éléments finis, en. nombre illimit ~,. M. Marie ajoute: ( cette préférence s'explique aisément...; les léements'finis des ternies du rapport peuvent être figures, tandis que les éléments infiniment petits de la somme ne pourraient pas l'être' ~l. La rermarque est importante pour' nous, parce qu'elle indique à merveille ce qui faisait la valeur pcoprement scientifique de la geométrie nouvelle, et ce qui devait donner prise aux critiques du dogmatisme philosophique. La méthode de, comparison permet d'éliminer dans les calculs la consideration de l'infini, qui a été utilisée pour poser les termes du problème. Cavalieri s'exprime sur ce point avec une netteté parfaite: ~ Dum consider omnes lines, vel omnia plan alicujus figure, me non numerum ipsarum comparare, quenm ignoramus, sed tantum magnitudinera quoe adoequatur spatio ab eisdem lines occupato, cum illi congruat, et quoniam illud spatiun terminus comprehenditur, ideo et earum magnitudo est terminis eisdem c~omnprehensa, quapropter illi potest fieri additio, vel subtrac[io, licet numîerum earumdem ignoremuts; quod sufficere dico, ut illa sint ad invicem conparabilia i >~ Mais comme; m faute de posséder l'instrument analytique qui l'en eût pu libérer, 'Cavalieri s'est maintenu sur le terrain de l'intuition géométrique, inévitablement il soulevait le problème dont ii voulait carter la consideration. L'imagination ne peut pas sîarrêter sur ces éléments de comparison, sans chercher h se représenter, en même temps que ces éléments, la figure totale qu'ils composent, sans exiger de voir comment ces éIéments se comportent par rapport au tout qu'ils constituent. La question classique de la corpositioin du continue s'impose donc à Cavalieri, malgré Cavalieri lui-même. De là le spectacle singulier que présente la Préface du VIIe livre. Apres avoir protesté encore une fois quei sa méthode ne l'oblige nullement à composer le conti nu l'aide d'indivisibles, Cavalieri reconnaît (ue son langage n'est pas exempt d'obscurité; il lui applique mêmel'épithète de durior, que Newton rendra fameuse en la reproduisant dans ses Principees; et, pour rassurer la conscieee des techni-.Op. citL, t. IV p, 53' 2. Liv,; p. i 7.

Page  165 CAVALIER! 6 5 ciens qui le client, il introdulit une méthode nouvelle, affranchie de toute considération d'infini, en ce sens que les indivisibles seront pris non plus collectiveiment, mais distributivemenl. 101. - La dlialit6, d'ailleurs tout extérieure et tout apparente de ces exposés; manifeistait l'instabilité de l'équilibre où se tenait encore la gomaétrie nouvelle; elle augmentait ainsi les scrupules des plilosophes. Guldin, qui appliquait avec success les iemétod-es ed'Archimde svr le terrain de la mécanique' esa s ûr d'avoir le bon sens pour lui, quand il reproche &à Cavalieri d'a voi ~ renversé ~, au lieu de 'étendre, la Géométrie des Anciens. il lui suffit d'invoquer enquelques braves formules la notion fondiamentale de l'homogénéité, qui ne permet pas de composer la moindre surface avec une multitude de lignes, si grande soitelle, qui interdit 6galement le passage du fini a l'infini. La réponse de Cavalieri était tecchniquement la meilleure de toutes, puisqu'il a)pprtait, comn lre e ait observer Marie, la solution des difficultés qu-i avaient arrité Guldin. Philosophiquement elle eût eté satisfaisante si Cavalieri s'était born,l confronter avec les objections de Guldin -la clart é int rinsèque de ses propres principes. Malheureus'ent. il n'a i a pas résisté6 i. la tLentation. de se placer, lui aussi sur le terrain de l'imagination vulgaire, sans prendre garde que la grossièreLt el l'inexactitude évidente des comparisons auraient né6cessairement pour' effet de.:endre suspecte la légitimité du. calcul des indivisibles. Si l'on nous dit que les sufTiares sont comrme des toiles formées de fils parallesleses solides comme des 'livres forms de feuilles. parallêles ", comment n'a percevrions-nolus pas que l'on contredit deux fois à la, réalité, etn dpouillant ces fils ou ces feuilles de leur é paisseut, et d'autre part en en réunissant une infinite dans une portion finite el'espace? i. ~ Quoad côntinni, utem 'cotpositionem manifestumr est ex prmostensis ad ipsum ex indivisibiiibus comîpouendumr nos minime cogi, soluni cnin conlinua sequi indivisibiliurn proportionem, et e converse, probare intntuen fuit... Tandem \vero dicta indivisibilium aggregata non ita pertraclavimus ut infinitatis ratioaem, propiter infiaitas lineas, seu plana, subite vident'ur, sed quatenus finitatis, quandaim conditionem et nataram sortiuntur, ut proptereaeet augeri et diminlui possint.. si ila prout diffinita sunt accipiantur. Sed. his nihilominus forte obstrepert Philosopbi, reclamabuntque Geometre, qui purissimos vertatis latices ex clarissimis haurire fontibis consuescunt sic objicientes. Hic dicendi modus adlhuc videtur subobscurus, durior quain par est evadit hic omRniurn. iiiearum. seu omnium planoruîn concepts. > 2. V oir dans la second partie de la Cerntrobarytica publiée à Viennr' en 1642, les pages 340-342. 3. Op, ci:. IV, 70. 4. Exercitationes' eomfetpic se, Boloegre, 1647, 1, IV et V, p. 3-4.

Page  166 {66 LES ÉTAPES DE LA PAILOSOPHIE MATILtMATIQUE Les difficultés que neos soualrvcrions ainsi n'atteindraient pourtant pas ta vraie pensée de' Cavalieri car il a toujours repousse 1 inlerprtCation do3gmatique du caîcuI des indivisibles, ùU la iotai itt des plans se raa identifiée sans reserve au solide' La representation de 'infiti tdes indivîisbles est, praliquement, aorv la teclaique de la geomé3riet élquivalente à la représenta — on fgu cntinn; ntau, 8 si ' on insisted si '.on prd teisd q ui 'y a auti. re,. citose danis le coi e cntiu qdes i tdi, visible. es,9 il suffira pour rudé ".f soud i ea d fit de aser d paissee vdorue satiiq/ue a'u point de vue d,'ynamirqle comme Souivey venait déJ" de e, fa'ire dans son I"rac<fltïs de Crevi ez r eci pr-poo9io.e (ado<e...1..30. Qe< lon rons.Ciere le mouve me. nt par sequel une ig-c dr'oi.tue w'ourn.iilour c)'1w de ses. ext ésDitas, on.x Ii endî.a pour:taque i nsta'rt du ite mps a d esription d'u- i point de la circoit-nfé.rence- pour la totaSit des insiat. Il.V n a otallité des points, pou:r. iotaliii,4 dau mouveme.t t otai0 tit de la Iligne.e 9.. quelque fLaon d'aileurs que 'oïa se Ïrepésen la coninexrl'i manifestée par l'ilmtitiion entree ls indivisiles, linéair'e ou superficiels, et la ig ure totale à deux ou trois dimensions, il dem)-eu.r que dans le manieient du ca.tul des indivisibles e m'ath enta h lti n'a r.nleatnena. à faire inLtervenir l'infin. sus —une ifor.me positive et métaphysque. L'essentiel de la méthode est danos la comparaisonrs des 66iments grn. raieurs, qui permet -de traite chaquRe n igu re, plane ou solide, ~ in ratione omnium suorum indi.visibilinim collective et siti?in iasdenmti reperiaitur una que dam c mmunis ratio) dstr lbutive. ad i nem o împaratortrn::,, Si l'on fai t de'plus appel -'à a consideration de leur iniint,?cest uniquementi a.fin de'e pas avoir à. tenir compte (le leur nombre. L'infini serait done. pour CVali.ri une considération d'ordre négatif, il i oue dans la gé'o.trie nouvellte ie rle d'auxaili}aie ique les algébistes attrituent: aux racines < inexprimabtles ~ de I atis qaons, sur lesquelles ils effectuent des mulhtiplicîatio ns et des divisains.4 i. V'oir a page de Sonvey,.ité;s par Vivantti dans Il concetto d'infnitesimlo C l sa sua ppFicaantone alla mnatematic, Maintous, 9, p 92 et suiv. 2. IEx., p, 99. 3. E'x..t, p, v. 4. Ex. iI1, p. 202: C., Ient, re ite rrpassages de Leibniz, la lettre a Yarignon1. pe'bliée dans ie Jeournal des Savaaqts en 1702: ~ Si quelqu'un n'admet point des'li.ignes infinies et ines i.ment fim petn r ei, " a rigu eu.r rétaphysique ^e omme des c rcoses réelles, il peut s'entS serVir sremeni- co omme.des neotiors idéaies, qui abrr.gent l e raisonnement, semblables a ce qu'on appelle races intaginaires dans!'Analyse commune, S Math. Schr,, Ed. Gerhardi (que nous désignerons dansi la suite pal, Mt) l, 92.

Page  167 *PASCAL {67 Le der.nier mot de Cavalieri consiste à séiparer ies problems techniques. don't s s différen e s miétho des ont apport la solution, et ]is questions philosoiiq'ues ur lesquelles il' peut y avoir iiet à discus ion et à polsémique; i écrit- avec quelque nmilancolie: ~< i.n his enim tjurgiis, et-a disp-ï tationibus potius phioSophidcis quam'H geometriae;is mihi fere kSemnper Sgrotanti, netqua. q.uila. quod superest tempus inanit,-er terendum esse censeol.~. PASCAL -i02. - Âi nsi, c'est- une légene de faire naitre les recherches infinitésimales parmi,les brouillards d'une métaphysique impénétra-ble; a contraire Flavènement de la géométrie de Cavalieri marque une victoire de ce qu'il faut appeler déjà 'lespri! positif. Les mathématiciens nr'ont plus d'hlesitat'io.n sur la légitimité du cacul 'des ndivisibles ni sur la verité. de ses conclusions. Que 'on. o'iv4e l Die i iDimnensione parabol et, le de Soifdo aculo h yperifb:tieo.4e Toricelli, on y verra se mêler à la pitié pour la pauv'rt, et laà stériilité de la méthode des anciens l'enthousiasme poar la- éthode nouvelle, ~ méthode véritable de la démonstration- siemntfique, apparentée à la nature elle-même ~): Verus est demonfstranbdi dmo:dus scientificus, semper directus et ipsi nature germcantes. La fécondité de l'abstraction intellectuelle se manifeste par'les conclusions inattendues qui en ressortent, Aux derniè-res pages de ses Exercitationes', Cavalieri avait résolu le problème suivant: ~ Soliduif infinite longum aequale finito per indivisibilia facile exhibere. ~ A son tour Torricelli reprend la démonstration de Cavalieri ~ <~ Non solurm îpsim 'Theorenia inexcogitattum et, ut ita dicam, paradoxicium' -erit, sed etiam demronlstrandi ratio inusitata, et penitus nova4. > Or, chose remarquable, ces paradoxes de la géométrie nouvelle soulèveront la résistance des penseurs qui ont été, eux auassi, les prcurseurs du positivisme, mais peut-être en ce sens surtout qu'ils' en ont devancé la d6fiaice' systée.atiqtue ' l6'gard des theories novatrices. Gassendi rmultiplie les sarcasmes. 'iégard de Cavrlieri et de Tonlie!.i, de ces- bstracteurs qU se croi'et tout pernmis: ( Profecl,o proaende, ut suumniltud Regn in quoi tam- iriania, Jueunda-qule xcogitant, tueantur, id, x. ti, p, 2i4. 2. Opera Oeometrica i6.&44, de Dimens- one et, tp. 94. *:'3. V I, p. 5 6. ' I. Op -, p~ ~..'

Page  168 16B8 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE cavent ne aut materie quidpiam intermisceant... aut adrnittant continuum ex indivisibilibus quasi ex quibusdam partibus numero finitis componi. ~ Dans les notes de son article sur Zenon de Sidon, Bayle relève 1' ~ observation ingénieuse ~ de Gassendi, e l'exemple qu'il a donné ~ de la vanité des prétendues démonstrations des mathématiciens ~, pour en faire un des points d'appui de son scepticisme mathérmalique. Il y joint de longs extraits de la lettre contre la Géom-étrie des indivisibles, adressée par le chevalier de Miér à Blaise Pascal. L'article de Bayle, les autorités qu'il invoque, déterminent le caractèire de la crise 'que le calcul des indivisibles ouvre dans la pensée du xvin6 siècle et dont Pascal a. été le théoricien. Il ne s'agit pas de prendre part pou' ou contre la raison; c'est, an contraire, après qu'on a rejeté l'idéal scolastique de deduction universelle, après qtion a montré l'impuissance de l'homme à réaliser l'idéal de la méthode parfaite où toutes les notions seraient définies, où tous les principles seraient démontrés, que l'on se heurte, sur le terrain mêmrne que l'on a choisi, aau mépriE et à l'ironie de 1' ~ esprit ortfrt ~, Voici l'accueil que Mér fait aux idées de Pascal de scïl s ii dpetitesse ~ Ce que vous-m'men écrivez 1me paraît e ncore plus éloigné du bon'sens que tout ce que vous m'en dltes dans note dispute,.. Je vous apprentds que, 4dès qu'il, entrie tant eoi1t pieu d'ixrhi dan.s une question, elle devient inexpicable, pace que l'esprit se trouble et se cfofond, De sorte qu'on el trouve mieux la vérilté -par 'le sentiment naturel que par vos démoistralions',~ Or, selon M:ir6, plus atomniste que Gassendi lu-i-mr e, le sentiment naturel n'accorde aucune place a l'abstraction mathématique distincte de la réalité physique. Pascal ne commence-t-il pas par reconnaître que ~ quelque petit que soit un espace, on peut encore en considérer un moindre, et toujours à l'iinfii, sans jamais arriver à un indivisible qui n'ait plus aucune étendue3 ~? Dès lors, si le géomètre pose, come élément de son calcul, un indivisible, il n'a pas le droit de le traiter comme un minimum, à plus forte raison comme un néant d'existence. Le bon sens de Mère re'ettera donc tout ce qui dans le calcul des indivisibles est en opposition, soit avec les règles ordinaires de l'arithmétique, par example cette proposition qu' ~ u in divisible multiplié autant de fois qu'on voudra est si éloigné de pouvoir surpasser t. Phy,. Op. Iyor, Ly6o, 8, t, p. 264. 2. O~uvres, t. Il, Amsterdam, 1692, p. 61. 3. Réflexions sur l'esprit géométrique, Pensée. et opuscules, 5S édit., 1909, p. 174.

Page  169 PASCAL 169 une étendue, qu'il ne peut [former qu un seul et unique indivisible 1 ~ - soit avec les lois de la representation spatiale, par exemple ~ ce langage des indivisibles, la somme des lignes ou la sonmme des plans... qui semble ne pas être géométrique à ceux qui n'entendent pas la doctrine des indivisibles, et qui' s'imaginent que c'est pécher contre la géoin tried, que d'exprimer un plan par un nombre indéfini de lignes ~. A quoi Pascal répond par une sorte de raisonnement expérimental 7 S' il était véritable que l'espace fût composé d'un certain 'nombre fini d'indivisibles; il s'ensuivrait que deux espaces, dont chacun serait carré, c'est-à-dire égal et pareil de tous cô[ts, étant. doubles t'un de l'autre, l'un contiendrait un nombre de ces indivisibles double du nombre des indivisibles de l'autre. Qu'ils retienrnent bien cette consequence, dit Pascal à ses adversaires, et. q''ils s'exercent ensuite ài ranger des points en carrés jusqu'à c', qu'iis en aienu rencontré deux dont l'un ait I double des points de l'autre, et alors je leur ferai céder tout ce qu'il y a de.'é,omètres aul monde3. > 103' -. La reason intervient'l donc ii. pour établir la contradiction inhérente à 'ataomime,ométrique; mais cette forictifo toute negative épuise se s ressources, De deux notions qui lui sont Sgatenrent inaccesbesseles en discernee tune qui est contrcdictoire et par conséquent fausse, elle ne sera pas capable de dqmon[trer que t'autre est nécessairement vraie. Seule une experience sEpéc[rique, rcoparable à l'oeuvre expérimentale du physieien o eiicoree au sentiment du chrétien sous l'action de la grâce, permlet de r étabiir les vrais principes de la science danus une sphere asupérieure au domaine de la raison. Et de là, dans la philosopher mathématique de Pascal, l'alliance d'un certain positivisme et d'un certain mysticisme, qui a séduit ples d'un de nos 0eontLemporains. Une division infinie est chose incompréhensible puisqu'elle échappe a toute representation di'recte; pourtant il est vrai il dire ql:, < il n'y a point de géomètre qui ne croie spaceae divisible à l'infini. On ne peut nca plus 1'être sa^s ce principle qu;'tre honmme sans nâme! La notion' mathématique de l'indivisible nest pas, à proprei. P. 18., 1 'iandiisible esF:, en raioslo de cetle proprié;lé, assimilé au zdro de il'arit. hmu;iqle qui es;, dit Pascal un' véritable indivisible de nombre,ommnne Ti'i.dsivstie est. un véitat;le zéro d'étendue ~ (p. i83) 2. Letter e dte l. DelonviLue M de Corcavi du 10 décembre 1659, Ed. Bossut, La Haye, i779, t, V, p. i247 '3. TIlxol.'zjs, p. 79. 4, lb6i,p. 178.

Page  170 i 170 LES ETAPES DE LA PHfILOSOPHIE M.TBi' EMATïIQUE imenti. parler une id; elle est, si F'on ose ansi, parlor, une 'penséee d coeur. <-.Nous oonnaissons la vérit, t non seul ement:pa-r, a ar~isovn, mais encore par le céuo;, ' est de cette dernière.sort'te ique 'nous cnna isonse p r eier pn rineiPpes, et 'e t en "vain 1que Ie raaisonnemaent':'it n - 'ya poi3t de part,. esaye de les combatre..., Et chest 'sur ces co onnaissan du c rc et de 'i.nstinct <u'l 1 aut que la raison s'a.puie, eli i qu ei'ell one o eut$ son discours. (Le coeur sent qu'il y a tirois dimensions dans 1 espace, et due les nonbre so t nf inis; 'e l a raison démontre ensuite qu'il n'y a point 'deux nombres.carrés dont!'un soit double de L autre1) i~ Dans application de la notion d'iidwuisible 'aux prtoblèmCOs d'int:gration le coeur miatevient encore - ou ce qu'on appelle aujourd'hui 'Finuizion quian on entend designer ilne vue implicate et synthitique, par opposition r la repr seen,at:ion i. tuitive proprement dite q:ui s'exerce directeement, sur -'oubjfet donné, dans l'expe;r since. Tandis que la mnthode d'exhaust ion, p ratiquiée par.ls ancens dans l'oxdpos démionstratif de eurs dJécouv.ereL s,. infnisitmsales, por te sur les figures elles-mmaes, telles qu'elies s'offrent au regard, la ramthode des indivisibles substitute a une figu re donneoe une somme d'une infinite d'éleéments qui ont une dimension de moins. Cette substitution, scandaleuse po1ur ceux qui sont profanes ou hérétiqu6s en matière de géomeé tri.e, parait toute simple et naturelle à ceux qui ont l'intelligence de la géomnriie; ils n'aperçoivent entre la méthode des. anciens et la m.éthode de Cavalieri (ou de Roberval) d'autre di ffrence que la façon de parler. La p remifre représente et exprime complètem. ent la chose; la seconde use de sous-entendus: ~ Quand on parlde lct a somnzme d'une mattziiude indéfinie de lines, on a tou;" ours gard à une certain droite, 'par les portions égales et indéfinies2 de laquelle elles soient multiplies. Maias quand on n'expri.me point ci(te droite (par les portions égales de laquell. on entend quelles soient multieplies), il faut sous-entendre que c'est celle des divisions de 'laquelle elle sn nées, coromme en l'txetnple... où les ordonnées Zi M du demi-cércle étant nées des di visions éegales du diamt Lre, iorsqu'on lit simple pement la some de, Ig nes ZM, sans exprinmer quele est la dr'oite par les portio;s de laquelle on les veut mutiplier, on doit entendre que.cest ke diamètri mnme, pa.rce qie "c'est le nature: et si on es voulaif multiplier par les portions dtne autre line, il le faudrait ~aiors exprin'ier3.,~ C. ) so0us-enteadu. ~ qui ne peut lesser les per<. iPens:es, f 9. Sect. ï.:, f 282, e2. Indehfiies, c'est-à-dire indt terminé'es. 3. Lettt 'le M M DetîionviUt, loc. ciL po 247,

Page  171 LA DEJCOJVERTE LEIBNIZIENNE 7 { sonnes raisonnables quand ou les a une fois averties ~ suffit pour d.gager la pratique g-oometriq e de l'embarras où la ~< timidity ~ des anciens l'asvai jetée pour constituer une méthode d d éceouvertei direce et féconde; il ipereet à Pascal de réso.idre des problèmes qi supposeraJienI chez un savanvt modernea 'usage d'dlnélrales doubles 1 -Enin, si î'on a, isivant l'expression remarquable de Pascal dans 1'Ar t de Pesuraader, assez d'imagination pour comprendre les hypotheses de la géométrie, la démonstration suit, et lée conseéquences qui- en dci-ou.lent doivent. être acceptées, quelque r ugnanc e qu.y é,pr-,o.u vnc1t notre prétendu bons sens et notre préftendrue nature. L parallélisme est étroit entre l.es paradoxes de a I g-9dor ie ni0uvele et, les absurdités appaorentes du cht'isit ansm 'eI.!mm diatemnent après s'être mis à. gonoux, avoir price D ies d.ie nii soumett re l'esprit et le c(our -'du libertin, Pascal crit L'.~ it,,t joint a l l'inn i ne l'augmente de rien, non plus quun u pied I. - n:e mriesure infinie,. Le fini s'an&-<tit en presence dei 'iin i.ie, ea devienlt n: pur ncéant. Ainsi notre esprit devant Die:u; ainsi nrotre justice devant la justice divine. I1 n'y a pas si grande 'disproportion entre notre justice et cell de Dieu,.qu',entre ru ité. et l'in-fini., Dans les notesje-tées pour une conféren-ce à orb tRoyal, o.n trouve cette suite d'idles. incotnmpr1éhensibi.e. -- Tou.t ce qui est incomprehensible Pe laisse pas d'être. Le nombre, inisi. Un space infini, égal au fini. - h icroyable que Dieu s'unisse nous, ~ LA FÉC3EOtJiiaTE tEIBNIZIENNE 04. -- L'exemple deI la g romctrie des indivisibles, qui est le calcul infinitesimal' à sa tnaissanle, per.rit au.éinie e d i Pasca de.-égge.: une thse quge ra. plhilTT s osCpet ileP nons a rendue fam.itinre; le conflict i ti. '.. rin ur de la pens. e es ent etrdes facuties.qui son t également itm'ng-ères 'l. reason d'une amrt, ~ puissa~ucets tromtpeuses >~ dets sensd1, de l'imagin.mtio,', de l a coutumed'aixtre part, puissances supérieures de 'inrstnçt,i du sentiimen.t, de la foi L'éitude du momDent hisorique auquel appartient la loso aphie ma thénmatique d.e-Pascal est donc important pour I'Yeciaircissement-de questions qui suont discutées aujourd'hui. Le initisme- de Renoui,'er,. qui ireprend à plus de vingtl sècles t. Voit Marie,.,., V, 89 t suiv,c paricuiClrlement p. 225. 2. PE séres, f~ 3, sect. III, ti. 233. 3. Ibid., P 322, sect `Vly, r. 430;. Cf. Revue de Métaphysique, i905, p. 680.

Page  172 a{. I2 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE de distance l'argumentatioin de Zénon d'E!de, n'est-ii pas de nature à montrer la fixité, mais aussi la fragilieté, des bornes que le bon sens, l'exigence du donné reeprésentatif, prétendent imposer à l'essor scientifique? Par contre, l tuitiono, qui refuse de se laisser enfermer dans les cadres du discours ex.plicite, qui anticipe sur l'analyse et sur ia logique, 1na —elle pas seule le Ipovoir d'assurer l'équilibre de la science parce que seule elle a e privilège de maintenir le contact entre le progrès de la pensée et la nature des choses? Techniquement, la question se pose de la façon suivante: la divina-tion qui permet de substituer unl éléent linéaire à un élément siuperficiel, de traiter une aire comrnme une somme dlle droites, renferme-t-elle ce qu'il y a de proprement éclairant et agissant dans les principes du calcul ininitésimal? les formes directed et abrégées de la géom6étrie des indivisibles emprunté-es par Pascal à Cavalieri ne diffèrent-elles ide ce ui deviendra l'expression des notions fondanmentales darts le discours de la ci'enc' achevée -que par des abréviations conventionnelles du.angsage? ou au contraire le parti pris de idgager tout ce qui (es irmpliqué dans une vue synthétique de l'esprit, si directed et si féconde qu'elle apparaisse à celui qui s'y appuie, d'expliciter chaque élément et de lui trouver une expression adequate, ne vaa-t-il pas avoir pour conséquence de reculer les limits de ia science, et ne tlendrait-il pas à établir qu'il appartient a l'intelligence de libérer le dynrimisme intérieur de la pensée ssr euquel les sous-entendus de l'anticipation intuitivie avaient laissé un voile, de lui restituer toute sa capace:it de progrès? A cette question, que l'histoire pcse, la r,éponse est d'une sing'ulière précision. Une dizaine d'années après la mort de Pascal, Huygens prêeait les écrits de Dettonville à un jeune Allemand qui venait d'arriiver à Paris, Gottfried 'Wilhelm Leibnniz. En lisant le Traité des sinus du quart de cercle, racone. plus tard Leibniz, < j'y trouvai une liumière que-l'auteur n'avait point vue1 ~. Voici le passage qui fut l'occasion de cette illumination, où est l'originei du calcul différentiel. Pascal énonce la proposition suiante: ~ Soi! ABC tun quart de cercle (fig. 8), dont le rtaylon AB soil considsnd cortume axe, et le ratyon perpendiculaire AC comnme base; soit-D un point quetconque dans l'arc, duquel soit -mene le sinus DI sur le raxlon i. Fragment destiny au marquis de l'Hospital. M, I, 259. Cf. IHistoria'et origo cartr.uU diffetenltalis 17t54, M, Y, 399. Les pirinciprux textes relatifs.' l'infiiaenaee de Pascal sûr Leibniz ont été réiunis par Gerhaïrt (C:?L. de l'Acad. des Se. de Berlin t809, I i.0 t3 et suiv.).

Page  173 LA DÉCOUVERTE LEIBNIZIENNE t 73 AC; cl la louczhane DE, clans laquelle soient pris les points E où l' on1 voiu ra, d'où soient menées les perpenldiculaires ER sur le rayon AC je dis qze le e rectangle compr. is du sinus DI et de la louchante EE, est égal au r ectangle- compris de la portion de la base (eeferméee en're les parallèles) et du rayon AB.,> La drmon-stlration est immédiate si l'on considère les ~ triangles rectangles et semblables DIA, EKE, l'angle E EEl(- ou EDI étant égalà l'angle DAI' ~. Seulement la proposition ainsi démontrée n'est, aux yeux de Pascal, qu'un lemme destiné à établir ce théorlèe que ~ la somme ~ des perpendiculaires élevées sur la base, ou, cortmne dit Pascal,,~ des sinus d'un arc [ __. quelconque du quart de cercle, est égale à I la portion de la base comprise entre les Fig. 8. sinus extrênies multipliée parle rayon ~. La considération du triangle EKE n'est donc qu'un emprunt de la géométrie des indivisibles à la géométrie ordinaire, un moment de la preuve qui ne survit pas à l'achèvement de ia,démonst.ration. Au contraire Leibniz considère ce triangle EKE pour luimaene. Les points E ayant Lté pris, ~ où l'on voudra ~, les côtés du triangle peuvent devenir aussi petits que l'on voudra; mais', alors même qu'ils deviennent inassignables, ils demeurent parfaitement déterminés par la similitude du triangle inassignable EKE au triangle assignable DIA. Or cette détermination subsistera, en dehors du cas particulièrement simple où. la normale aiu point de contact est un rayon du cercle. Il suffit d'expliciter les éléments des deux triangles, inassignable et assignable, pour apercevoir ce qui était demeuré caché a Pascal ~ les yeux ferm>s par une espèce de sort ~: la possibilité de traiter commne un élement caractéristique de la courbe le triangle constitué par une partie infiniment petite de la tangente, et les portions:iiniment petites des parallèles à l'abscisse et à l'ordonnée. La considération du ~e triangle caractéristique ~ est le premier pas fait par Leibniz en dehors de la méthode vulgaire des indivisibles. Ait point de vue théorique cette considération permet de rétablir i'homogér.sit6', rompue en apparence par les sousentendus de Cavalieri, entre les éléments des sommes et les sommes elles-mêmes; la surface sera composée de petite t. tt. Bossut, t. V, p. 331. 2. Breuillon d te letter pour Jacques Bernoulli, 1703, M, III, p. 72 et suiv.

Page  174 LES ETAPES DE LA. PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE surfaces, comme la ligne de ~ petites ligenes, ou le corps de corpuscules.: En même temps s'introdauit (ans le domain de l'infiniment petit la notion du rapport t or, tandis que l'image de l'ndivisible est incapable d'exactitude, la forme de similitude, n'étant nullement liée à telle ou telle grandeur. donnee, se c(onserve dans le passage du fini à l'infinitésimai, cornme elie subsistait dans le passage du rationnel à l'rration ne.. De là r(suite la fécondité technique de la méthode; il est à noter seiulenent que les résultats obtenus alors par Leibniz étaient déjà connrus de Hi-ygens, et qu'on les trou'vait pour' la plupar)t dahs l'exposition de la méthode des tiange.ntes que Barriow a.ait publiée en 1670 sur les instances d'un rami lqu parai't. n'avoir ét aute qu'Isaaac Newton2 A ce premier progrès s'en relief naturellemrenrt.i. st.econd; puisque le passage est ouv ert de i'.éleémenfz difflé'entiel à la tsomme totale, il peut indifféremment s'effectuer dan ns un sensou dans l'autre. Leibaiz rencontre ainsi le problème dont l'indi'ation était donnée au troisième, volume des LecUres de Des artes,:Je problème de e Beaun.e ou problèee inverse des targentes; il reconnaît du même coup l'analog-ie de e e probèime aavec les problèmes soit de quadrature, soit de rectification de couPbes, auxquels s'étaient appliquées.jusquici les rat.hodes dt'int.grat io. 105. - Ces vues générales ne~ sont encore que dcs preparCaio5ss à l'étape décisive. La representation spatiale à laquelle, éait, astreinte la méthode de Barrow pour les tarnentes. repugne auu genie de Leibniz qui se porte. irrésistibtilemnt ver' ce qui est i e -pls géenral et le plus clair. Les éléments rnoeaou x qui on té. introd uits darns la mathématique devront recevoirune tad.cL. ion: ' logique, suivant le plan de C:aracuerisiiue urivraselle 'riw. es/ i e Imotif.conducteur de la carrière philosophi"ue. l.de i z, de. 'in"strnient de la-traduction se trouvait ici tout forg-. 'es. celte géométrie cartésienne- dont les Roberval et ies Pasc'al paraissaient avoir si singulièrement méconnu la por-tée4 ~ I! est biern remarqu:able eécrit Comte, que des hom.nres tels q-te Pascal, aient fait aussi peu d'attention -la coneptjon fondamen.tale de 1. Lettre à Tschirnhaus, in Briefwechsel mit Malhematckern, Ed, Geralerdi, 1899, t. 1, p.-408. 2. Cf. Lectiones Geometrico, Londres, 10" leçon p. 80. 3. Ed. Cierselier, 1667. Lettre LX1JI, du 20 février 1639 à M. de Beaune, p. 412. (AT, II, 514). Voir l'écrit de jiill-et- f67 inti.tulé iMethodus tangerntiau inversa, in Briefîwechsel, éd. Gerbhtrdt; t.., p 201.) 4. Voir sur ce point la Logiqte éde Leibniz, par Louis Cousurat, i901; notammcnt p. '84 et suiv.

Page  175 LA DECOUVERT'E iLEIBNIZIENNE 7 [ Descartes, sans pressentir nullement la revolution générale qu'elle était nécessairement destinée à produire dans le systèmer entier de la science mathématique. Cela est venu de ce qeie, sans le secours de l'analyse transscendante cette admirable méthode ne pouvait, réellement encore conduire à des résuitais essentiels, qui ne pussent être obtenus presqu'aussi bien par la méthode géomrétrique des anciens1. ~ L'exemple de Leibniz permet de compléter, et jusqu'à un certain point, de retourne: la remarque de Comte: pour que l'analyse transcIndante pût se constituer, il fallait comrnener par se mettre à!'ecol de Descartes; et c'est ce que Leibniz declare expressémen' avcir fait sur le conseil de Ituygens. La connexion entre l'alghbre et la géométrie 1éémen'taire lu sservit de modèle pour i'intellctClualisation de la géon.métri infini.esimale: ~ Ce que j'aie le plus dans ce calcul, écrit-il à Huygens, c'est qu'il nons donne le même avantage sur les anciens dans la géom6trie d'A rchiméde, que Viète et Descartes nous ont-donné dans la gé'oamtrie d'Euclide ou d'Apollonius, en nous dispensant de tra-vailier avec l'imagination.,, De fait, dans la Nova methodus pro maximi s et minimis de 1684, Leibniz parait bien avoir voulu imiter la sinplici6t et la généralité des pages- où Descartes exposeau troisièsme livre de îa Géométrie la théorie générale des équations. Le trait distinctif de la méthode nouvelle est d'avoir exprimé. sous forme analy-tique tous les 1ééments du pr oblèiie de façon à faire corres — pondre au rapport L des quantités finies:le rapport; dies quantités infinitésimales, et: obtenir ainsi l ssge ipiss;ag e. teigibl d'une equation ordinaire à l' equation diEfferdnielVe ' ~ Ed.ita vero h-acenus method lalem. transitum non habehct, adhibe:. e nlmi plerum-que rectam ut dx vel al 'am hujusmodi, non vero rec ttam dy qume ipsis DX, DY, dx est. quarta proportionals, quod omniia turbat... ~ L'explicitation de tous ces éléments perme let d'6ét -bi un calcul d ddifferences el de soemmes, dont Leibniz enonce les règles. dans l'ordre mrnze oiù lon expose les rgles de l'agèbre t R[glespour les quaire oppéraions de l'arithmétique, inerteta ei on des sig esdifisfsane s uss e el des racines. La conclkusin- est l'avenemenlt d'une science genétrale ~ Ex cognito hoc velut A. gorithmo, ut ita dicame, calcul hxuusî quem voco diffirentialem, ora es ali equaltLioines 'ddierent:aies invenili 1. Cours de phiziosophie positive, 6B leçon, t I, 18 30, p.4237, not. 2. Lettre du 29 d ce:mbre.1691. 1f Il, 123 et Briefwechsel, t. l., p. G53

Page  176 176 B LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE possunt per calculus communere, maxiImn-que et miînirne, itenique tangentes haberi, ita ut opus non sit tolli fractas, aut irrationales, aut alia vincula, quo( tarmen faciendumn fuit secundum rnethodos hactenus editas 1., La crise ouverte dans la pensée du xvin' siècle, par la géométrie des indivisibles est résolue, mais dans un sens oppose à celui qu'avait indiqué Pascal. Au lieu de faire de la crise elle-même une sorte d'état chronique, de prétendrre justifier lh rupture d'équilibre qu'une invention audacieusce a introduite dans la structure dc la science par un appel à des facultés d'ordre mystérieux et transcendant, Leibniz compte sur l'intelligence ellemême pour compléter son oeuvre, pour dégager et mettre en pleine clarté les points que les rapides et fugitives illuminations du génie ont d'abord laissés dans '.ombre, pour réunir enfin toutes les articulations du système dans le courant continu et integral de la pensée. C'est à cette conception philosophique que Leibniz doit d'avoir pos(é le problème de. l' algorith me nouveau, puis, une fois résolues les difficultés techniques, d'avoir créé pour exprimer la solution, une notaLion excellent, plus compilète;que celle de Nevw on, enfin d'a voir dégagé la portée de l'invention avec une nettete qui parailî irréprochable tant du moins qu'il ne s'est pas soucié d'adapter son lan0g ge au rtalisme irréductible de sa nmtaphysique: Ai nlieu de prendre ies grandeurs infinitésimiales pour 0, coitmme i\. remainain, Descartes, et même Newton et tons les autres ont fait, avant îque mon A lgorithme des incomparalbles ait paru dans les Actes de Leipzig, il faut supposer que les grandeurs sont quelque chose, qu'elles different entre elles, et qu'elles soient marques de différentes manières dans l'analyse nouvelle; car elles seraient confondues, si elles étaient prises pour des zéros. Je les pends d on c, non 1. Ai, V. 222. Cf. l'article de 1686: de Geornetria recondita ei analysi indivisibiliutm atquc iifinitorum, ibid., 226 et sL.iv.; ct celui de 1692 sur la Chaînette (Journal des savants): ~... l'Analyse des I,.finis, qui est entièrement différente de la Géométrie des indivisibles de Cavalcri et de l'Arithmétique des inllnis de M. Wallis. Car cette géométrie de Cavaleri, qui est très borne d'ailleurs, est attachée aux figures où elle cherche les sormmres des ordonnées; et M. Wallis, pour faciliter cette recherche, nous donne par induction les sommes de certains rangs de nombres: au lieu que l'analyse nouvelle des infinis ne regarde ni les-fgures, ni les nombres, niais lea grandeurs en généeral, comme fait la spécieuse ordinaire. Elle nmontre un algorithmi nouveau,;en pariiculier,< au lieni-des puissances ou des racines, elle se sert dne nvelle n le afection des graandeurs variables,- qui est la variation minme, marque par certains carsac tères et qui consisted dans les dilIerences, ou dcans l s dilrérences des diférences ' de plusieurs degrés, auxquelles les nsomnes seon réciproques, comrme les racines le sont aux puissances. ~ M,V. 259.

Page  177 LES MÉTHODES POUR LES TANGENTES 177 pas comrime des riens, ni même pour des infiniment petits à la rigueur, mais,pour des quantités incomparablemrent ou indéfiniment petites, et plus que d'une grandeur donnée, ou assignable, inférieures à d'autres dont elles font ies differences, ce qui rend l'erreur moindre qu'aucune erreur assignable ou donnée et par conséquent elle est nulle '. ~ Mais pour expliquer comment les difficultés techniques ont été srtnrontées effectivement, avec quelle rapidity Leibniz a pass de ses premièrésrélexions. théoriques a la découverte triomphale de 1675, nous ne pouvons nous contenter d'opposer philosophie à philosophies; nous devons insister sur un double progrès scientifique, dont Leibniz, s'est trouvé le bénéficiaire. L'un, auquel nous avons euL occasion de faire allusion en parlant de laméthode des tangentes de Barrow, a été accompli par les mathématiciens français'de la génération au milieu de laquelle Pascal avait grand; l'autre, dû en particulier aux mnathématiciens qui travaillaient en Angleterre, est l'extension de travaux-arithmé — tiques dont "Pasca atvait rmarqué la connexion avec le calcul des indivisibles dans une page qui fut publiée en 16653. Nous avons donc à entreprendre une double étulde: l'une sur l'invention des methodes pour les tangenllçs, l'autre sur les operations relatives aux series infinies. Et,:en mnlmel temps, commune il- se trouve qu'histotriquementt cette dtude conduit aussi bien à la mnethode des f7uxios qu'au. calcul' diffe'renie l, elle aura l'avantage de mettr e.n videice le caractîère cillec.tiif de la pensée dont nolus vlouIons sui-re îi ciles e6apes i La n6écessité quti s'impose de décrire deux fois la gfenèse du calcul infinxitsi&mal, con-te celle ~de la.gnométrie- analytique, est: d'un. singulier appui pour l'objectivit6 de- cettte psychologie e le'intelligence dont i'tude du développement scientifique doit preparer la constitution SECTI' C..-' De Fermnat.. ev toi. LES M iFTHOuDESPR,, -.. LESI T' rANGENTFS5.t06. - Peu de Jignes so.i, ai a ri famc.: (dans ihisi r de a pensee humairnque le court écrii evoyé par F ermat i l) Descaries au lendemahin 'le la pubicat. ion de la G(aom'd!rie: Ho Me'iois ad disguirendaci.maxi. i1 m? elt m'iinu:, n. t oJc. n ii e i onlen,. Je 1. Lettre au P. ITourel';tir' e d: 28 octobre i714. Ed. Du utetls, 1.768 t,!1, p. 442. 2 r. 3 'u.6es, 10, i -. I i. 6, e. 3 t c l la oiî ed Piec'e Boorlio x.. Vide iitjra, ~ 272. 3. Fernrat, OEluves. Ed, P Taîinnryi-Ch. enri, 1891, t. I, p, 13. BRUJisGiSHVIC&. -- Lo étlapes. 12

Page  178 78 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE pose l'équation du problème, je suppose que dans cette equation une quantité A est augmentée d'une certaine quantity que je représente par E: et je forme l'équation en A -+ E. Le secret de la méthode est d'égaler alors ou, selon l'expression remarquable employée par Fermat, d'adégclei 1 l'équation en A et l'équation en A-+- E. Après réduction, on annule la quantity auxiliaire E; et l'on obtient l'expression de A qui fournit le maximum ou le minimum cherché. Soit une droite AC à diviser en un point B de telle manière que le rectangle dont AB et BC sont les côtés ait une aire maxima; ou, comme nous dirions aujourd'hui, soit un nombre à partager en deux nombres dont le produit soit maximum. Soit A une de ces parties, B leur somme;` leur produit sera A (B -A)- AB-A 2. Je substitue A - E A; j'obtiens l'équation (A E) (B - A - E) -- AB- A - 2AE.f-EB — E2. Je pose comme équivalents les seconds termes des équations précédentes: AB1 - A2 AB - A2 - 2AE - EB - El EB 2AE -— E2 B - 2A E L'annulation de E fournit le résultat cherché; le produit maxiB2 mumn des deux parties de la quantité B est - Méthode infaillible, ajoute Fermat, et susceptible d'être étendue à la plupart des plus belles questions. Il sera facile, en particulier, d'y ra mener la détermination des tangentes des lignes courbes; dans un second écrit qu'il envoie à Descartes, il prend pour exemple la tangente à la parabole qui est menée d'un point de l'axe, en la considérant comme la distance maxima entre ce point et la parabole. Si Fermat a eu la conscience la plus nette de la simplicity et 1. Cf. Ad eamndem rmethodumn. Ibid, p. 140. ~ Id comparo primo solido Aq. ia B- Ac. tanquam essent mqualia, licet revera emqualia non sint, et hujusmodi compa.rationem vocavi adaequalitatfem, utloquitur Diophanltus (sic emnim interpretari possuin gricai'vocem r;apo.-rt. qua ille utitur). - Paul Tannery, loc. ci,., p. 133,. 1, fait remarquer que Xylander et Bachet emploient l'expression adq-liatastu pour traduire r4p:p5o,;i;, qui signifie égalité approximative; il tlrduira lui-même d'ailleurs par appropinquatio. Diophant., Arithm., V, 14, Leipzig t, 1, i883, -p. 151.

Page  179 LES MÉTHODES POUR LES TANGENTES 79 de la généralité de sa méthode, l'avenir a justifié sa confiance plus encore qu'il ne pouvait le soupçonner lui-même. Certes, et malgré l'autorité de juges tels que Lagrange, il y a exagération et injustice à considérer Fermat comrne ~( le premier inventeur des nouveaux calculs,,. Sa méthode est loin de couvrir le champ des opérations qui procèdent des algorithmes de Leibniz ou de Newton. Du moins la pensée différentielle est-elle tout entire dans la conception de ce symbole auxiliaire E qui intervient pour fournir une seconde expression du rapport des grandeurs correspondant au problème, qui pourtant n'est pas, à ppropement parler, une grandeur déterminée, qui finalemecrt est supprimé comme étant un zéro. Et cette pensée différentielle se livre à nous dans sa nudité, elle ne se réfère à aucune forme de la logique traditionnelle; l'adégalité déborde le cadre rigide du principe d'identité. Au moment même où elle retrouve des résultats rappelant les divinations d'Oresne et de Kepler sur les variations insensibles des augmentations ou des diminutions aux environs du maximum, la pensée de Fermat ne cherche pas d'appui dans une intuition spatiale; notamment, elle est tout à fait indépendante de la consideration du mouvement et du temps où l'on'a voulu voir l'origine des notions différentielles. Elle est anée sur le terrain de l'algèbre, elle procède de l'euvre de eViète; elle applique aux problèmes de maximum ou de minimum transmis par Pappus les lois de la transformation des équations 2. Elle est une pensée abstraite qui suit le développement intérieur de intelligence et qui justifie la loi de ce développement' par la solution des difficultés poses. 107. - L'originalité de la conception de Fermat est encore accentuée par la résistance de Descartes. L'auteur des Reguoes ad directionemr ingenii. cherche en vain l'abselu auquel il pourra rattacher cornme à Sa raison le procé6dé inaventé par Fermat, la ~ notion claire et distincte ), par laquelle se fera i'uion de l'intelligence et de l'intuition. L'universaii.t à laquelle Ferrma prétendait, il l'interprete dans un sens puremefn o, scolasiique comme si la formule de la tangente à l ia parabole d devaitre a formule de la tangente à une courbe quelconque. Et nmême, dans le cas où la méthode de Fermat réussit à ses yeux, il n'y veut voir qu'un expédient, une application de la règle de ftùusse 1. Leçoïns sur le calcul des fonctions (1799-1801). OEavres, Éd. Serret, t. X, 1884, p. 294. Cf. Marie, op. cit., IV, 93. 2. o~uvres, t. I, p. 147. cf. C.. W. Iall lr, Entwickeeulngsgesch!icstche Momeentc bei Enstehung der nfinitesimalrechnung, Bibliotheca Mathemlatica, II série, -t V, 1904, p. 121.

Page  180 1 80 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE position, ~ fondée sur la façon de démontrer qui réduit à l'impossible, et qui est la moins estimée et la moins ingénieuse de toutes celles dont on se sert en mathématiques 1,. Selon Descartes la véritable méthode pour la résolution du problème est a priori; elle se déduit de la conception générale qui a inspiré la géométrie, comme un cas particulier de la conjonction entre la nature de la courbe et la forme de l'expression algébrique. Si l'on procède par ordre, si l'on considère la course la plus simple, qui est la circonférence, on s'aperçoit que la tangente y est déterminde d'une façon uniforme comme perpendiculaire au rayon. Or, conformément à cette ~ métaphysique de la géométrie2 ~, que Descartes avait malencontreusement applique à la règle de Fermat, mais qui demeure pour lui le secret de l'invention mathématique, cette caractéristique de la tangente à la circonférence sera universalisée, La détermination de la tangente aux courbes en général se ramène à donner ( la façoon de tirer des lignes droites qui tomnbent à angles droits sur tel ou tel de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose dire, ajoute Descartes, que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je sache, mais même que j'aie' désiré de savoir en géométrie3.. La métlhode générale de la solution est contenue dans la. position mème des termes du problème. Une courbe queltonque étant donnée, traçons d'un point intérieur à la courbe un cercle qui la rencontre au moins en deux points. A la courbe donnée et au cercle auxiliaire correspondent analytiquement deux équations; rapportées à un même système de coordonnées, elles auront au moins deux racines communes. Faisons décroître maintenant le rayon du cercle, deux des points d'intersection vont se rapprocher jusqu'à ce qu'enfin ils coïncident en un seul en ce point le rayon sera perpendiculaire à la courbe et à a tangente par rapport la courbe. Ce point de coïncidence joue donc le rôle de point limited; mais il est déterminée idéndépndamment de toute consideration infinitésimale: c'est celui pour lequel les valeurs communes à l'équation de la circonférence sont égales, et la méthode des coefficients indétermzin'és fournira la solution algébrique du problème. Ainsi pas un seul instant la pensée de Descartes ne s'est aventurée hors du domaine ou intelligence et intuition se prêtent un i. Lettre à Mersenne, datée approximnativement de javier 1038, A7T, t. I, p. 490. 2. Ci. Lettre à Mersenne, du 9 janvier 1639, AT, 1l, 490. 3. AT, VI, 413.

Page  181 LES MlÉTHODES POUR LES TANGENTES 181 mutuel appui, où la correspondance est manifïeste et littérale en quelque sorte en!tre l'algèbre et la géométrie. M&ais précisément pace qu'elle est assujettie aux lois de cette correspondance, l'application de la méthode demeure, de l'aveu final de Descartes lui-même, restreinte et pénible. 108. - La même simplicity dans les principes, la même complication à pousser un peu loin les applications, apparaissent dans la méthode mécanique que Roberval développait, concuremment d'ailleurs avec Torricelli. Voici comment, dans l'écrit rédigé sous son inspiration, Observations sur la composition des mouvements eè sur les moyens de trouver les louchantes des lignes courbes, est présenté ~ l'axiome du principe d'invention ~ sur lequel repose la méthode de Roberval: ~ La direction du mouvement d'un point qui décrit une ligne courbe, est la touchanite de la ligne courbe en chaque position de ce point-là. ~ A quoi sont ajoités ces c simplesTmots:r Le principe est assez intelligible, et. on l'accordera facilement dès qu'on l'aura considéré avec un peu d'attention, ~n De ce principe découle ~ la règle générale ~ que Roberval appliquera successivement aux ( touchantes ~ des sections coniques, et à diverses lignes nouvelles: ~ Par les propriétés spécifiques de la courbe (qui vous seront données) examinez les divers mouvements qu'a Ie point qui la décrit aà 'endroit où vous voulez mener la touchante: de tous les mnouvements composé en un seul, tirez laligne de direction du movement compost, vous aurez la touchante de la ligne courbe I. ~ Descartes qui réduisait lFintuition mécanique à l'intuition géométrique, ne voulut voir dans la méthode de Roberval qu'nn déguisement de la sienne 2; il méconnut ainsi l'élément nouveau qu'ajoute à la considération du problème la décomposition du mouvement dont le mobile est suppose animé, en mouvements plus simples, et différant non seulement de direction, mais de vitesse. Que cette decomposition mécanique ne soit pas moins féconde pour le développement des procédés de différenciation que le rapprochement graduel des points d'intersection, c'est ce que l'exemple de Barrow et de Newton suffirait à prouver. Pour nois, du point de vue où nous sommes actuellement placés, elle apparaît surtout capable de faire mieux ressortir la connexion de cette pensée différentielle, qui se retrouve explicite ou voilée dans chacune des trois méthodes rivales, avec le cours même de 1. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, t. VI, 173Ô0 p. 25-25. 2, Lettre à Mersenne du 1l novembre 1638, AT, II, 434.

Page  182 182 81 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE la natture. Roberval a et. le sentiment de cette connexion dans le passage même où il semble s'excuser d'avoir transporté le problème des tangentes hors du domaine de la mathémalique proprement dite. < Elle nest pas, écrivait-il à lFermat ei parlant de $a méthode, inventée avec une si subtile et si profonde géométrie que la vôtre Ou celle de MW Descartes et, partant, elle paraît avec moins d'artifice-; en recompense elle me semble plus simple,plus naturelle et plus courte, ~ Dans son éude, das Princip der Infinitessimal-Methode und seine Gestchichle, Hlerniauni Cohen, a signal un passage fort remarquable d'une lettre que Laplace écrivait à Lacroix en i792. sur l'exposition synthétique des diverses méthodes de calcul infinitésimal: ~ Le rapprochement des méthodes que vous comptez faire, sert àl les 6clairer mutuellement, et ce quelles ont de commun renferme le plus souvent leur vraie métaphysique; voilà pourquoi cette métaphysique est presque toujours la dernière chose, que l'on découvre3. ~ La réflexion de Laplace s'applique avec d'autant plus dp précision aux méthodes pour les tangentes que l'élément ~ commu n~ ren est plus éloigné des données de la representation. Dans la coincidence des deux points où se coupent les courbes de Descartes, dans la determination par Roberval de la direction de la vitesse des mouvements en un point donné, comme dans la notion de l'adégalilé qui est due à Fermat, c'est un même processus dynamique de l'intelligence qui est, engage; c'est le principe d'une logique nouvelle, que Leibniz portera à son plus haut degré de clarté et de généralité lorsque dans sa Justification du calcul des infinitésimales par celui de l'Algèbre ordinaire (1702), il fera de la relation fondamentale mathématique, de l'égalité ~ un cas particulier de l'inégalité. L'inégalité (infiniment petite), écrit-il à Arnauld, devient égalité ~. LES SÉRIES INFINIES 109. - Du moins, par l'attention qu'ils ont portée au problème des tangentes, les mathématiciens français ont-ils aperçu nettement une relation essentielle pour la constitution du calcul 1. Lettre du 4 août 1640 apud Fermat, op. cit. II, 201. - Cf. Chaslès, Aperçu historique, éd. cite, p. 61. 2, Berlin, 1883, p. 97. 3. Lacroix, op. cit., p. xix. 4. M, IV, 105. 5. 1t' août 1687. G, 1I, 105.

Page  183 LES SÉRIES INFINIES 183 infinitésimal, celle mlême o on a cru voir quelquefois le secret de la découverte de Newton et de Leibniz. Le rapport entre ce qui sera le calcul différentiel et ce qui sera le calcul integral est marqué par la recherche d'une ~ converse ~ pour la règle des tangentes. Et ainsi, quoique les operations équivalentes à l'intégration eussent été pratiquées dans l'antiquité, c'est la voie tenant de la différenciation à l'intégration qui a été reconnue la premiere. Il est vrai que les mathématiciens français n'ont pas réussi à parcourir effectivement cette voie. 11 leur eût fallu pour cela poser sur le terrain de l'analyse abstraite les problèrmes qui jusqu'ici avaient été résolus par les méthodes mécaniques ou géométriques d'intégration. Or cela dépassait les ressources des savants de la premiere moitié du xvIIe siècle; ils ne soupçonnaient pas, en effet, que la connaissance des fonctions transcendantes était en réalité acquise à la science depuis la découverte des logarithmes; ils ne voyaient dans les tables de Neper ou de Briggs qu'un travail de praticien, une technique utilitaire, comparable à ce qu'était au temps de Pythagore la logistique pour les théoriciens de l'arithmétique, destinée à demeurer dans l'ombré alors même qu'elle a été utilisée pour la découverte ou la vErification. Voilà pourquoi l'étude des séries infinies se trouva décisive pour la découverte du calcul infinitesimal. Non que la sommation d'une sêrte infinie constitue déjà une intégration. - ~J'ai observé, écrit Leibniz à Fontenelle, qu'il y a deux manières de venir aux sommes des aires ou aux rectifications des courbes par l'infini: l'une par les infiniment petits, ou quantités élémentaires, dont on clherche la somme; l'autre par une progression des termes ordinaires dont on cherche ou la somme ou la terminaison lorsqu'elle se termine enfin dans ce qui enveloppe l'infini..., et cette méthode diffère toto genere de notre calcul des differences, des sommes2. ~ - Mais la méthode par les séries apportait aux mathématiciens la certitude que l'infini était susceptible d'être manié sans qu'on eût à passer par le détour de l'image spatiale (~ Nous pouvons certainement concevoir aujourd'hui, dit Paul Tannery, la notation de Leibniz développée et applique sans l'emploi des series; mais au xvil siècle la chose n'était pas possible, parce que le concept général de fonction.. Loc. cit. AT, 1I, 5i4, 2. Lettre du 12 juillet 1702. Lettres et opuscules inddits, publiés par Foucher de Careil, 1854. p. 213.

Page  184 1 84 LES ÉTAPES DE LA 1PHILOSOPHIE Mt'ATÉIEMATIQUE faisait défaut, et. qu'il ne pouvait pas s'-introduire tant que les relations noni algébriques ne pouva ient, êtie fig ures que geéométr.-iquerment ou suca aiquement'. C'est précisfément cette lacurne que VW'aliis cimme:nra de cr prmb'le par ia p ratique de t(indteizoi - non pas de ~ l'induchon conmplte f qui. est une forrme spécifiqu e ea- deduction mlathinmatique - i mas de l induction centendue au sens strict des pihsiciens. L'induc[tio. d.e W\allis porte 'directement sur la réalité, elle tire de i'observ ation dei cas pa rtic.x:le.rs une.règle universelle 'r Simnplicissimus investigandi nodus, remarque Wallis dès la premiere p position de l.A'i iAimeicLa dinfi.tZForlum (.655), est rean ipsam nati qlousque prlqstouqre, et ratiores prodeuntes obsevare atqume invicem comparare; ut imnductione tandem universalis proposition inotescat. ~ Or la rtai.'.t qui, excluant -toute équivoque et toute indétermination., devient la matière privilégiée de cette observation méthodique, ic e sont les'relations numériques. 'Walis tr'aduit:en termes aritlhmnqtiqies les proobilèmries géométriques de quadrature; selon!'heureuse expression de Buffon, il applique réellemenl t 'A rithmétique aux idea's de 1'Infinli Pre.nons l'exenmple le plus simple. So't une.érie de fractions don't le numérateur est la sonmme (des carré,s des nombres naturels écrits à partir de zéro, dont lé dénominateur est le dernier des termes du numérateur multiplié par le nombre de ces termes: -+1 0- +4. 0i -i- 4- —. 9. 0 -1 - t-. -4-+-9 -+ i6 i > ' 4X 3 9x ' 4 6 16< Les diverses fractions equivalent respectivement à i I t I I ' *i i 1. 3- 6 3i+; 3 +;s 3 24 La consideration de ces résultats permnet de dégager une règle qui fournit les sommes de fractions foYreées successivement suivant le imême procédé. A mesure que le nombre des termes augmente, l'excès de ces sommes sur, diminue suivant une loi ré,gulière; d'où l'on peut conclure que si le num(rateur et le dénominateur comrportent une infinite de termes posés suivant. la loi ré,gulière qui vient d'être indiquée, leur rapport sera exprimé par la fraction -. ( Facto enim experiment, dit Wallis, i Bulletin des Sciences mathématiques, i 88,. 281, 2, Vide lnfra, ~ 298.

Page  185 LES SÉRIES INFINIES 185 patebit rationes indtucli.ne repertas. ad has [c'est-à-dire aux valeurs Iimit'es.j con'tinuei propius accedere, ita ut differentia tandem éeva.dat, qua.s 'ssgnabili minor; adeoque in infinituni coo ltin.uata evaniescetL.. ~ 110. -- A.i r:si; se retro uve au ceur de la méthode arithmétique ce même *pr-c6db de passage à la iimite qui:tait l'essence des méthrodes géoCéattriquces. Et puisque techniquement il s'agissait seriuement d re rsur des problBmes posés en termes geomtriques, on s 'explique que Fermat, si enclin pourtant à pratiquer l'Fhduction comme tmoyen de découverte, n'ait vu dans l'Arithme'tique des.I:fin/zis qu'uine inutile complication. Il écrit à propos de Waalis: Sa faç on de daémontrer, qui est fondée sur induction plutôt que sur un raisonnerment à la mode d'Archimède, fera quelque peine aux novices, qui veulent des syllogismes démonstratifs depuis le comi encement jusqu'à la fin. Ce n'est pas que je ne l'approuve; mais, -toutes ses propositions pouvant être démontrées via crdimariza, legitima, et Archimedea en beaucoup moins de paroles que n'e contient son livre, je ne sais pas pourquoi il.a préféré cette Itmaniere par notes algébriques à l'ancienne, qui est et plus convaincante et plus élégantie2. ~ Pour le moment, Fernmat a raisorn: Walis n'a fait que déplacer le terrain sur ]equei portaient les.considérations infinitésimales d'Arcbhim.de ou de -favadieri. Mais à ce déplacement de terrain correspond poulr ta.théorie un progrès, de la nature de celui que Fermat u12 —mme avait accompli lorsqu'il avait appuyé sur un algorit.hme d'ordre analytique la résolution du problème des tangentes. Grâce à. ce progrès, il sera possible de rattacher au processus abstrait de intelligence, les problèmes de quadrature qui avaient été jusque-l traitss avec l'aide, mais aussi à travers le voile, de l'i.ntuition géométrique. (C-ette conclusion apparaîtra plus clairement dans un passage célèbre de la Logaritlhmo-lechnia de Nicolas Mercator (Londres, 1668). Cherchant la quadrature de l'hyperbole, c'est-à-dire la' surface du segment compris entre l'hyperbole équilatère et ses asymptotes, lerc.a-cor est amené par le choix qu'il fait des coordonnées à exprimer lordonne par la fractin - Or il 1. lp. t. I (1609) p. 383. 2. Lettre à Digby, du 15 aoû t 16537, TI-, II, 343. - l n'est peut-être pas sans intérêt de rappeler que ie P. Graîry, dlans une Introduction ajoutée aà sa LogiIque a repris l'éude de ces te texes pour y appuyer sa conception de l'induction comm.e -roeédée transcendant de passage. l'infini métaphysique. (Logique, 5e édi t. t 8. 8, 88 p. 46 et suiv.)

Page  186 A 86 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE eifectue directement suivant l es r s ordinaires du calcul la division du numérateur par le dénomiinateur; il obtient, par la continuation de l'opération, uae série infinie ~: ~ Ita, continualta operation, ---- î= 1 — a-r - - aa a -4- a' (etc.)1 ~>. Avec cette formule nous passons en quelque sorte de l'aiizîmrtique de.l'infini à!'algèbre de l'iinini; au nieu de manier des quantités détierminées pour en observer du dehors les propriéttés,s Mercat.or donee directement la loi de formation d'oÙ drive une suite infinie die quantités. La régularité de cette formation suffit pour exprimer l'infinité de ce's quantités; l fraction Â-? - est le point de départ, au point d'arr ivée est la série nrlfnie. Dans le ca.s o; a est plus petit que l'unié, - remarque que nous ne trouvons pas, il est vrai, dans F oeuvre de Mereator; mais la notion eL lIexpression de convergence figurent, appliquées au rapport des polygones inscrits et du cercle, dans un écrit de James Gregory public à Padoue en 1667 la Vera circuli et hyperboht quadratura -- il n'y a pas de difference appréciable entre ia fraction qui représente les deux termes de la division et ie quotient exprimé par la série, La notion de lFinfi ni prise souss fa orme analytique acquiert droit de cité dans la science, àI titre d'expression exacte et intelligible; le paradoxe de Z6non d'"ieé.e est, définitivement résolu pour l'esprit humain 2. La voie est ouverte aux représentations de fonctions par les séries, qui implicitement ou explicitement sont appelées à jouer dans l'analyse un rôle prépondérant. Et voilà pourquoi la naïveté qui, suivant expression curieuse de Cantor, caractérise l'opération de Mercator, est bien celle o;ù l'on reconnaît le plus sûrement la marque du génie. 141. - Historiquement la portée immédiate de la Logarithmotechnia se trouve soulignée par un incident significatif: l'inquiétude que Barrow conçut de la publication de Mercator au sujet 1. Prop. XV, p. 30. 2. Par exemple, dit Leibniz dans le De vera proportione circuli ad quadratum Circn7 urcripultn in numel2is rationalibus (1682), si le diamètre est pris pour unit, 1'aire du cercle est - + 1 + o: Tota ergo series continue ones appropincnqatîiones simul sive valores justo majores etjiisto minores: prout enini longe continuata in elIigitur, erit error minor fraction data, ac proinde et minor daLa quavis quantitate. Quare tota series exactuin exprinit valorem. Et.licet uno 'numero summa ejus seriei exprimi non possit, et series in infinitum producatur, quoniam tamen una lege progressioois constat, tota satis mente percipitur. ~ M, V, 120.

Page  187 LES SElRIES INFINIES 487 de son élève Newton qui avait obtenu suivant une méthode semblable des résutlats plus généraux, et l'envoi qu'il fit aussitôt à Collins du traiée De Anaiysi per oequaliones umtero terminorurnm infinitas (31 juillet 1669). Comme la quadrature de l'hyperbole de Mercator, les premiers travaux de Newton dérivent de l'Airithmnétique des tIfinis. La genèse de ces travaux a été retrace par Newton lui-même dans une lettre écrite à O1denburg pour Leibniz,. du 24 octobre 1676. Il commença par reprlendre les méthodes d'infercalation exposes par Wallis; il considérait le déveioppetrent en série des expressions telles que 14~ ~~ 3,~ 54. (i, —:-) (1t — x)â (i - ( 1-z) (l1 -- ' -)~ i x)' et en chercXant les relations qui unissent les termes de mrnme rang, il obtenait une loi générale de formation pour les coefficients successifs du développement de binômres semblables. Par exetmple, (, z2\) -_.... _ t 6 e Ct. (1 t - 4 * — ' ' - " r> - e8. 1 (1 - x2)If i- |^ —,X X XIX etc. Ces rLésultats suggèrent naturellement l'idée d'une vérification à l'aidede e l'Arithmé6tique vulgaire. Multiplions par elle-même la série equivalent à (i ---xa2); il ne subsiste plus que les deux terms i et - — x; tous les antres terms sont éliminés par application des règles ordinaires du calcul. Il en sera de même pour la série (t - x). élevée a taoisième puissance. Dès lors, puisque 'élévation aux puissances réussit, l'extraction des racines réussira également; ce qui était moyen de contrôle ouvre la voie ' l'opération directed qui dispense de l'analogie et de l'induction. Newton retrouve la division de Mercator; mais il ne se content plus -de l'appliquer au succès d'une quadrature, il en fait une métlor.e générale appuyée sur la connexion des différents procédés qui ont été employs dans le calcul abstrait: il la présiente come la base originale- fundamnenia magis 1. Voir IRosenilrger, îsaac ANewton und seinephysikalischen Principien, Leipzig, i895, p. 433.

Page  188 188 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE genuinra, d'une analyse nouvelle où les opérations sur les series ininnies acquièrent la même facilité pratique et la même clart intrinsèque que les operations sur un nombre fini de termes. L'ANALYSE NEWTONIENNE i12. — La considération des séries infinies, qui a prepare les mathématiciens du XvIe siècle à l'étude directe du problèmie infinitesimal, permet de recueillir, dbs la premiere démarche de son génie, le trait caractéristique de la pensée de Newton: attachée à la pratique et à- la réalité, débutant par l'examen de cas particuliers, mais s'imposant, dès qu'elle anticipe sur les résultats obtenus pour formuler une loi générale, de vérifier la généralisation par des procédés qui dans un autre domaine ont été mis en dehors de toute contestation. L'édifice bâti pourra paratred du dehors entièrement nouveau, à ce point qu'on réclamera pour lui un nouveau fondement; en fait il comprendra sur un plan élargi les bâtiments anciens, il aura pour garantie de sa solidité l'épreuve qu'ils ont déjà subie. Telle est bien la nature du progrès de pensée qui apparaît à travers l'Anzalysis per æquaiones infinitas où \/- se trouve déjà - d'après la Recensio mise en tête de la publication du Commercium epistoX/ L licuni dAne Analysi promola (1712), --- la techA B - nique du calcul infinitésimal. Le point de départ est la proposition LIX de l'Arithmétique des Infinis. Soit (fig. 9) x l'abcisse AB, et y l'ordonnée BD d'une courbe dont l'équation est ax' y, m et n étant des nombres entiers: l'aire ABD est donnée par la formule an ît+ m__ — n m --- 1n Le point d'arrivée sera la démonstration générale de cette même relation par la méthode des moments. Le moment - désigné par la lettre o suivant une notation empruntée à Gregory - est ici l'accroissement d'une quantity quelconque dont on suppose la croissance uniforme, ligne ou surface; sur l'équation du problème on substituera donc à la quantité initiale la somm de e cette quantité et de son moment en opérant avec toute 1. Note de Cantor, III2 (1901), p. 157.

Page  189 L'ANALYSE NEWTONIENNE 189 l'exactitude que les anciens avaient apportée dans la géométrie du fini, sans aucune approximation. C'est seulement dans la seconde partie du raisonnement, après. toutes les reductions faites sur l'équation, que le moment pourra décroître à l':ifini et s'évanouir. Mais dans l'Analysis qui, d'après la Recensio, suit une méthode d'investigation plûtôt que de demonstration, et afin d'abréger, Newton suppose le moment infiniment petit, il le néglige dans les écritures et se sert de tous les modes d'approximation qu'il sait n'entraîner aucune erreur dans la conclusion. Voici la forme que revêt la démonstration, allant cette fois, de la mesure de l'aire à la détermination de y. Posons --- m _- n= m -+- n =-p; nous avons alors cxn =.z, out c'"x'- z1. Substituons maintenant d'une part x ~ o à x; d'autre part z — o, ou ce qui revient au même, dit Newton 2, z +- oy à z. Nous sommes en présence de l'équation c'"(x —. o)l'- (z -- roy), dont le théeorme du binôme nous fournira le développement. En laissant de côté les termes contenant les puissances de o, qui devront finalement s'évanouir quand on posera o= O, il reste cnX'- + C)poxp-I Z"n q- noyz7-1 ou, puisque les deux premiers termes de chaque membre sont égaux, cnpx,- i_ nz'-l y, Nous obtenons ainsi3 une expression qui permet les transformations suivantes: Clpx-___ CpX"- Z _ cxz i pxpZ _p p cx"'. J z- 1 r1 nz cnx nx nx et si nous rétablissons les signes initiaux in-+-n na x n g (inm -- ) - -- ou encore axn'. m -t- n nx I M. Mansion a attiré l'attention sur le passage de la Recensio (Edit. Biol; et Lefort, 1856, p. 18), dans le très substantiel Appendice à son' iérudé du cours d'analyse infinitésimale de l'Université de Gand, 1887, p. 210, note t18 2. Cette substitution ést conforme à la dernière règle de la méthode des tangentes de Barrow. ~ Quod si calculum ingrediatur curve cujuspiarn indefltnta particula: substituatur ejus loco tangentis particula rite sumpta; vel ei qulevis (ob indefinitami curvi parvitatem) oequipollens recta. ~ (Lectiones geometricoe 1670, p. 81). 3. Cf. Cantor, II12, p. 157.

Page  190 190 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHIEMATIQUE Ce que Newton ajoutait à Wallis apparaît clairement, c'est la considération db l'élément d'accroissement, du moment o, pris comme unité analytique; c'est par suite Ia voie de retour qui permettra de constituer la méthode d'intégration comme inverse d'une méthode de différenciation; c'est enfin l'idée qui est implicite encore dans l'Analysis per equationes infinitas, mais qui sera développée dans la Methodus fluxionum constituée vers les années 1670-1671 et que Newton retiendra comme une des marques distinctives de son invention: ~ l'idée de la generation des quantités i ). 113. -* A en juger par les Lectiones geometricoe publiées en 1670, ces conceptions se rencontraient dans l'enseignement de Barrow. Nous n'avons pas besoin, après ce que nous avons dit des melhodes pour les tangentes de Fermat et de Roberval, après surtout ce que nous avon* eu l'occasion de dire du triangle caractérislique, de revenir à nouveau sur cette méthode des tangentes qui, en partant de considerations à la fois mêcaniques et géométriques, en explicitant tous les lédments du problème, marquait nettement la connexité du problème des tangentes et du problème inverse. Nous nous bornerons à signaler la première Leçon où Barrow expose une théorie du temps comme grandeur mathématique caractliis8e par l'uniformité de son cours. De la possibilité de considérer I instantt coTme une particUle indéfiniment petite, Barrow conclut à la possibilité de reconstituer le temps, soit par la simple sommation des moments successifs, soit par le flux pour ainsi dire continuel d'un seul moment: velut ex simplici sapervenientlium monmentorum addilamenlo vel ex unius moment quasi conti'nuo fluaxu.xa. Or, ces idées exprimées déjà. dans un langage qui demeurera le sien, Newton les coordonne aux travaux de Wallis; il confère aux-éléments différentiels que Barrow avait représentés à l'aide de determinations mécaniqiues ou géométriques, une expression analytique qui en fait un objet indêpendant pour 'intelligence.; 1. Addition de la seconde d.ition des Pr'incipes, 1713, au fameux 'Scholic concernant Leibniz. 2. (p. 6). Newton lui-même avait indirectement soulevé la question de l'influence décisive de Barrow lorsque dans sa lettre du 26 février 1716 à l'abbé Conti il accusait ~ la réthode différentielle pour les tangentes ~ de n'être qu'un déguisement de ~ celle qui avait été publiée par M. Barrow en 1670 ~ Cf. Leibniz, Briefwechsel, etc. Ed. Gerhardt, I, 273. A quoi, Leibniz répondait: ~ Si quelqu'un a profité de M. Barrow, ce sera plutôt M. Newton qui a étudié sous lui., (9 avril. 1716), ibid., p. 281. - Voir sur la portée générale des travaux de.Barrow les ouvrages cités d'Hermann Cohen (~ 406, p. &2 et.suiv.), et de Zeuthen (1IS, 6 et 7; p. 351 et suiv).

Page  191 L'ANALYSE NEWTONIENNE 191 la différenciation devient alors une opération élémentaire comme elle l'était pour Fermat. Seulemîent, en raison des progrès accomplis par la pensée mathématique au cours des trente dernières années, cette opération élémentaire, au lieu d'être appliquée uniquement à la résolution de questions particulières, devient la base du processus intellectuel qui est engage dans les questions de quadraiure, ou de rectification de courbes, et qui est le processus de l'intégration. Le calcul infinilésimal est constitué, c'est-à-dire que non seulement la connexion est établie entre les méthodes inverses que.les mathlématiciens avaient découvertes, mais encore que l'identité fondamentale est reconnue entre les divers domaines auxquels ces nméthodes étaient appliquées: arithmétique ou algèbre, géométrie, mrcanique, L'analyse newtonienne, située au point de convergence des différentes disciplines de la mathématique, esl indivisible-. ment, commrie l'analyse leibnizienne, une promotion de la science tout entire. De là résulte la forme que prend chez Newton l'exposé' des principes du calcul infinitésimal. Newton ne se renferme pas dans un domaine particulier, il ne s'astreint pas à un langage fixe. Dans l'Intrôductio ad quadraturam curvarum(1704), il part de considérations sur la genèse des quantités mathématiques, qu'il rattache aux constructions géométriques des anciens: ~ Line describuntur ac describendo generantur non per appositionem partium, sed per motum continuum punctorumr... Hæ geneses in rerum natura locum vere habent et in motu corporun quotidie cernunturt. ~ L'élément de génération, ce sera donc la vitesse du mouvement de croissance; il est aisé de saisir cet élénment, et de l'introduire dans le calcul, en prenant l'accroissement de la grandeur pendant un intervalle de temps aussi court que possible e en déterminant le (~ premier rapport ~ de cet accroissement ~ naissant ~ à l'intervalle minimum du temps considéré comme variable ind6pendante. La grandeur ainsi engendrée est celle qui est communément donnée dans l'expérience; aussi, tandis que Leibniz invente pour ses somMers le signe de l'intégrale, Newvton se conetete-t-il pour cette grandeur engendrée, ou fluenie, -des signed ordinaires de l'algèbre. L'élément générateur, ou fluxion, est désigné par un point au-dessus de la lettre - notation choisie de façon à permettre de constituer des lfluions de fluxions, et à faire apparaître, par la suitedes symboles indiquant nettement les combinaisons dort ils 1. Ed. Amsterdam, 1723, p. 44.

Page  192 92 LES ETAPES DE 1,A PHILOSOPHIE DIATREMATIQUE procèdent, le degré d'approximation auquel le calcul parvient; ce qui est le trait essentiel de la m'thode des fluxions comme Newton l'avait indiqué, et comme M. Bloch l'a montré avec beaucoup de force dans son rema rquable ouvrage sur la P.ulo — sophie de iNetoni. Fluente et fluxion sont des notions corrélatives. Le calcul infinitésimal sera déterminé conrmme un calcul des relations, à ce point que les notions mêmes de fluxion et de fluente peuvert ne pas être explicitées. Dans ies Philosophis nacauralis Princîpin mathemalica (1687), Newton expose les règles du calcul,, sans prononcer le mot de fluxion, sans employer l'algorithme nouveau. Il ne se propose que d'éviter la complication des dée onstrations par l'absurde que les anciens employaient, et de remédier à la ~ dureté ~ de l'hypothèse des indivisibles. Il substitue donc aux indivisibles des quantités évanouissantes, de façon à considérer, non plus- les sommses et les rapports de quantités déterminées, mais les limites que i'on peut assigner aux sommes et aux rapports de ces cquantiits, torsqu'on les considère à leur état de naissance ou.,é 'évasnoisseR nent2- Les. quantités qui sont les termes mis en relation' dans les expremssions de ces limites, et qui constituen, t les é:éments infinitési. maux 'des quantités finies, sont apple ées par Newton des nmomRents; ce n'est pas la grandeur de ces ûmorents quci intervient dans le calcul, c'est leur premi.rl e proportions à la nais sane: ~ Neque enim spectatur in hoc Lemmain e miagnitudo. momentorum, sed prima nascentiumi proportio 3. 114. - Sans faire intervenir les polémiques personnelles qui devaient entraîner par exemple Jean Bernoe.li ài nier que Newvton possédât son calcul des fluxions lorsqa'il composite les Principes*, on pressent ce que la concision et la divesiîte apparente de ces énoncés devaient soulever de difficuités pour l'interprétation ce l'analyse nouvelle. Sur ce cqu.'on a pris,.au xvIIe siècle l'habitude d'appeler la -mdtaphysiqe du caLcul infinitesimal, Newton, comme Leibniz td'ailleurs, ne'st parvenu ni à se faire comprendre tout 'fait, ni peut-être s'texpliqu er tout à fait.. Et, en effet, la philosopher -tradiLtioneIlle x'av ait pas de cadre pour recevoir la forme depensée que rh1imani:té venait. de conquérir. Elle ne connaissait guèreqe lqe oppositionr du t. 1908, p. 61 et suiv.. Part. 1, Schol. V, du Lem. Xi. Ed. 1723, p. 33. 3. Parli; I' Lem. I, ibid.,p. 224. 4; Voir l'édlt. Biot e-' Lefort du Con'mercim? epistoUicuml (1i856) p. 185 et 243.

Page  193 L'ANALYSE NEWTONIENNE 193 raliondalismze et de l'empirismle, et; lle définissait le rationalisme par une exigence réaliste qui fait. d la notion a priori un objet d'intuition, intellectuelle. A. cette exigence le rationalisme de Descartes avait satisfait; par opposition à Descartes se caractérisait la méthode newtonienne qui prend pour point de départ le résidu de l'analyse effectuée sur les données de l'expdrience, et non les natures simples affirmnes a priori, qui substitute le réel à l'hypothétique. Une association d'idées presque inévitable devait conduire inteLrpréter la victoire de l'esprit newtonien, dans le domaine de la mathélmatique et dans le domaine de la physique, come marquant l'avéènement de l'empirisme. 11 semble que nous puissions, au ternme de cette étude, apporter quelque correction à ce,te simplification tradiotinnelle. Que les Principes mathmn.aliques de la Philosophie naturelle aient trouvé le cartésianisme en possession de la majeure partie des esprits, cela n'est pas douteuxy; mais il n'en demeure pas moins vrai qu'en dé'truisant le prestige des Principes de la philosophie et en reléguant les tourbillons au pays. des romans, ils n'ont fait que remettr e le monde intellectuel dans l'attitude où il n'avait pas cessé d'étre dars la premiere moitié du xvrulsiècle. De son vivant, Descartes n'avait guère été prophète en son pays. Les savants qui y faisaient autorité dans les Académies, autour de Mersenne Fermat, Roberlva, Gassendi, Etienne et Blaise Pascal, furent résolument anli- carésiens, critiquant la géométrie et la physique de Descartes tout autant que la -nétaphysique elle-n mme et pourles mnues raisons, parce que le cartésiani sme leur paraissait la confusion perp!tluell e dea deduction abstraite et de la vériiceabio concr, Rte Mmne sur le terrain de la -athl é matique, colmmle on le voit par1 la nature de leurs méthoies, depuis la théorie ds uombres jusqu'i a d mia méca nique de la tangtntre, ces. sava.ts fra ' ent recc upsé dl 'erprunter à i'expérience les r.ssources nc:essaireis -pouir cépasse r l'expérience; ils,font de l'induc.in la p: face du raisonnement déductif. En d'autres terms, et 1 'chang' actif do relations scientifiques qui s'établit entre ia Franc et i'l'alie tendrlait à confirmer ce rapproche meinr.t ls se rattacient au main.hiémaIiime expérimental de Gai 1e qu'ils opposent au maihfmaizise métaphysique de Descartes. C'est 'a tradition de ce, at. hénatisrne experimental que Newton r enoue avec éclat, et la remarque est. essentielle pour l'volution de la philosophie scientifique, en particulier pour la formation de la critique kantienne. Or, nmathématisme ex eérimental, c'est toutautre chose qu'empirisme mathématique. En dépit de la vivacité des polémiques entre carBRUNSCHVICG. - Les tapes t3

Page  194 19 4 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE tésiens et newtoniens, et surtout si nous substituons au Descartes schématique de la légende le Descartes vrai, si nous' songeons à la place que la méthode cartésienne réservait pour la régression analytique, au soluci perpétuel de l'expérience que Descartes a manifesté, la distance est infiniment moins grande du mathématisme newtonien au mathêmatimsme cartésien qu'à l'empirisme proprement dit. 115. - Pour que ce dernier point puisse être établi objectivement, il faut que l'histoire nous permette de confronter la mathématique newtonienne avec une interpretation authentique de l'empirisme. Ici les circonstances nous servent à souhait. Dans une intention pieuse, afin de détruire l'effet que pouvaient produire les declarations d'incrédulité attribuées à l'astronome Halley2, Berkeley a soumis a son examen le calcul infinité$imal de Newton, oùi il n'hésite pas à voir la clé pour la conquête scientifique de l'univers. Voici comment il aborde le problème au ~ VIII de son opuscule: The Analyst, or, A discourse addressed Io an infidel maihemnatician (1734): ~ Bien de plus facile que de choisir des expressions ou des notations pour des fluxions et des infinitésimales d'ordre premier, second, troisième, quatrième et suivant, le progrès se poursuivant dans la même forme régulière sans fin on sans limite... Mais si nous écartons le voile pour regarder par derriere, si, laissant de côté les expressions, nous nous mettons à considérer les choses elles-mêmes qui sont supposées être exprimées ou indiquées par elles, nous découvrirons une série d'inanités,,d'obscurités, de confusions; même, si je ne m'abuse, d'impossibilités directes et de contradictions 3, ~ Le problème est ainsi posé, et il ne pouvait l'être autrement par l'empirisme qui est nécessairement une philosophie de la donnée immédiate, de l'objet représenté: la mathématique nouvelle ne sera justifiée que si les symboles correspondent au contenu de l'expérience concrete, aux images sensible 4. Or, 1. Cf. Liard. Descartes, 1882,; chap. iv, Du rôle de l'expérience dans la physique cartésienne (Paris, F. Alean). 2. Voir la page ironique de ButIon dans sa Préface à la traduction de la Méthode des fluxions (1740): Ce Docteur monte en chaire pour apprendre aux fidèles que la Géométrie est contraire h la Religion... Selon lui le calcul de l'infini est un mystère plus grand que tous les mystères de.la religion ~ (p. xxv). 3. IWorks, Md. Campbell Fraser, t. IV, 1909, p. 22. 4. Cf. Commonplace Boo1 (1705-1708). ~ We cannot imagine a line or spac infinitely great, therefore absurd to talk or make propositions about it... No reasoning about things whereof we have no ideas, therefore no reasoning about

Page  195 L'ANALYSE NEWTONIENNE 195 de ce point de vue, et en raison de ce point de vue, les difficultés et les impossibilités vont se multiplier. Une fluxion est une vitessse; on ne saurait concevoir une vitesse sans temps et sans espace, par conséquence sans une longueur finie et une durée finie. Ainsi déjà les premieres fluxions semblent dépasser la capacité de l'homme à comprendre, puisqu'elles sont en dehors du domaine du fini. ( Et si la premiere fluxion est incomprehensible, que dirons-nous de la seconde ou de la troisième? Qui peut concevoir le commencement d'un commencement, la fin d'une fin i?, Ou bien soutiendrait-on avec les Principes qu'il ne s'agit que de déterminer la limite des rapports qui existent entre les accroissements de ces quantités données? Assurément, tant que les accroissements existent, ils sont mesurables, etils ont une proportion dcéterminée; mais ce n'est pas encore la- lite considérée par Newton; cette limite sera atteinte quand les accroissements s'évanouiront. ~ Et, certainement, observe Berkeley, en supposant que les accroissements s'évanouissent, nous devons supposer que leurs proportions, leurs expressions, et tout ce qui est dérivé de la supposition de leur. existence, s'évanouit avec eux. 2 ~ De ces impossibilités logiques Berkeley ne conclut pas à la condamnation du calcul nouveau, et par là il est strictement fidèle à-l'inspiration profonde de l'empirisme. Ce qu'il conteste c'est le droit que sst t attribué Newton d'écrire dans son Introduction à la Quadrature des Courbes: In rebus malhematicis errores quam minim.ini non sunt contemnendi3, axiome auquel il oppose le caractère paradoxal ou défectueux de certains théorèmes de Newton et les variations de son langag,. Il lui suffit que les mathématiciens abdiquent leur prétention à l'é'vidence dans les principes, a la rigueur dans les demonstrations, qu'ils renoncent à vouloir régenter les profanes au nom de leur infaillibilité; il reconnaîtra la valeur pratique du nouveau calcul en même temps qu'il en indiquera la véritable nature. Tout l'artifice de l'analyse infinitésimale consiste à négliger certain éléments dans les quantités qu'elle considère, et, en mettant en rapport infinitesimals. ~ (Life and Letters, ed. Fraser, 1871, p. 421; trad. Raymond Gourg, 1908, p. 88)- et plus loin: ~ The folly of the mathematicians in not judging of sensations by their senses. Reason was given us for nobler uses. Ibid., p..497, et Gourg, p.' 158. ~ Voir pour ces textes, Cassirer, op. cit. II, 302 et suiv. 1. The Analyst, ~ XLIV, ibid., p. 48. 2. ~ XIIÎ, p. 25. 3. Éd. cit., p. 44.

Page  196 196 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE f as valeurs approchées les unes avec les autres,'a s'arranger de telle manière que les erreurs dues à l'approximation se neutralisent. Berkeley partage ainsi - avec Leibniz qui avait cru devoir proposer une théorie de ce genre dans une lettre destinée à présenter I'analyse infinitésimale sous une forme accessible au vulgaire1 - l'honneur d'avoir formula la théorie des erreurs compensres, qu e Carnot devait découvrir à nouveau et rendre populaire en 7 97 dans ses Réflexions sur la méetaphysique du calcul infinitésimral. Quelle qu'en fût la faiblesse philosophique, l'ouvrage e de Carnet eut du moins l'avantage de mettre fin aux discussions théoriques sur le fondement de calcul infinitesimal, qui encombrèrent le xviIes siècle. Il justifie rétrospectivement, en même temps que l'exposé populaire de Leibniz, l'attitude~ pragmatique ~ que Berkeley avait adoptée; il met en lumière la péné tration à laquelle Berkeley avait atteint dans l'expression de la philosophie empiriste. L. Voir en particulier la lettre à Varignon. publiée en 1702 dans le Journal dès Savants, (supra, ~ s 01), qui a provoqué les observations sévères de Comte. Cours, t. 1, 18 30 p. 242.

Page  197 CiA P IT RE X. LA PAtI L OSOI AHl MATI'I-ÉMATIQU DE LE BNtZ S'ErTiN A, --- Le fondement. 1.6. - Comme la géométrie analytique, le calcul ifinitésimal a tté inventé deux fois. Mêne, quelques traits de l'opposition que nous avons signalée entre la découverte de Fermat et la découverte de Descartes se retrouvent dans la comparison de Newton et de Leibniz. Newton veut n'être qu'un praîicien: En étendant le domaine de la méthode mathématique, il cherche surtout à multiplier les moyens dont la science de la nature peut disposer. Non seulement coleqe de Newton eltlivera les proc dés techniques, hérités du maitre, dans un esprit de conservatisme qui n'était pas exempt- de chauvinisme; nais encore on peut dire que l'influence des Principes nathématiques de la science de la nature sur la spéculation proprement philosôphique-u xvmIII siècle s'exerce en dépit, pour ainsi dire, de leur caractère mathématique. Par exemple, si l'ouvrage de Newton est, pour Humae, le type accompli de la science, ce n'est nullemernt en raison de la precision qu'y apporte 'emiploi des forimules' et des relations géom1étriques, c'est parcel que l'image unique de l'attraction y est employée pour rassembler dans le cadre d'un système les phénomènes loes plus varies de l'univers. p ysi que. C'est l'élément, é a>phorique, et non!éle ' îcnt manhemîatique, qui fait à ses yeux la valeur de la ineiécaique inewtonienne. Par là s'explique la prétentiQn de comparer a ia théorie de attraction des théories métaphysiques commrae celles dee l'associationisme, prétention qui se retrouvera encore au commencement d4u XIXe' siècle dans les ouvrages où un Charles Foliier' imagine, a!'imitation de Newton, les lois de 1' ~ attraction indu pstrielle i Au eontrair)e, l'invention leibnizienne procède d'une concep

Page  198 198 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE tion philosophique, et devient la base d'un système général des choses: ~( Fortasse non inutile erit, écrit il à Fardella, ut non nihil... attingas de nostra hac analysi. infiniti, ex intimo philosophioe fonte derivata, qua mathesis ipsa ultra hactenus consuetas notiones, id est ultra imaginabilia, sese attollit, quibus pene solis hactenus geometria et analysis immergebantur. Et hlec nova inventa mathernatica partim lucem accipient a nostris philosophematibus, partim rursus ipsis auctoritatem dabunt1 ~. Après le pythagorisme, fondé sur la notion de nombre, et le platonisme,lié à la découverte des irrationnelles, après le malebranchisme et le spinozisme qui sont deux interpretations divergentes de la géométrie cartésienne, le leibrizianisme, procédant de l'analyse infinitésimale, paraît devoir marquer une étape nouvelle de la philosophie mathématique. POSITION DU PROBLÈME: LOGIQUE ET MATHEMATIQUE 117.- A vrai dire, la tâche n'est pas sans difficulté de fixer objectivement l'idée de la philosophie mathématique chez Leibniz, tant en raison des circonstances matérielles de l'oeuvre que de l'ampleur de génie dont elle témoigne. Tout d'abord, Leibniz n'a pas composé le grand ouvrage De la science de l'Infini qu'il avait promis tant de fois à ses contemporains, et où ils auraient trouvé non seulement l'exposé définitif des méthodes de l'analyse infinitésimale, mais encore la théorie générale qui, fondant l'algorithme nouveau sur les liaisons de notions claires et distinctes, en aurait fait en même temps une introduction à la métaphysique. Les idées de Leibniz ont été livrées au public du xvle siècle sous la forme d'articles dont les formules braves et frappantes ne révélaient qu'à demi leur véritable sens; ou bien elles apparaissent dans des lettres, traduites dans le langage que Leibniz supposait le plus approprié à la physionomie particulière de son correspondant; ou encore elles sont indiquées à l'état de notes et de projets dans la masse d'écrits qui sont conservés à la BIibliothèque Royale de Hanovre, et dont on entreprend seulement maintenant de publier un inventaire exhaustif. Non seulement la ~ notion complète ~ de la philosophie leibnizienne est devant l'historien comme un idéal dont il pourra tout au plus espérer s'approcher par degrés; mais c'est une question 1. Lettre du 3-13 septembre 1696. Nouvelles lettres et opuscules, Ed. Foucher de Careil, 1857, p. 327.

Page  199 POSITION DU PROBLEME: LOGIQUE ET MATHÉMATIQUE 199 préalable à toute étude du leibnizianisme que de déterminer un ~entre e er t tl e le rgr centrtte étude t de n'en soit pas arrêté. Jusqu'à la fin du Xixc siècle le leibnizianisme avait été interprété en général conmme iune philosophie du type mathématique. Pour MM. Russell et Couturat, qui ont publié presque simultanément le résultat de recherches indépendantes, ce serait une philosophie de type logique, comme celle d'Aristote ou de la scolastique; En effet, Leibniz n'envisage pas larithmétique et l'algèbre comme des disciplines autonomes; ce ne sont que des ~ échantillons ~ d'une science plus générale, ou plutôt de la science universelle, la Symbolique ou la Caractétrislique2, C'est de cette science que dépendrait alors le développement des différentes parties de la mathématique. Ainsi, le retard de la géométrie sur l'arithmétique et sur l'algèbre viendrait de ce qu'elle ne possédait pas encore une notation symbolique qui ait été constitute uniquement pour elle, et qui lui soit exactement appropriée; le génie de Leibniz s'efforce de combler cette lacune par la création d.e ce qu'il appelait l'Analysis sits. D'autre part, si la découverte du calcul différentiel a reculé les limites de ~ lart d'inventer ~, c'est que, chez Leibniz du moins, elle s'inspire du dessein de la caractéristique l ivwerse/le, et qu'elle apporte un algorithne adéquat aux notions impliquées dans les -processus de la différenciation et de l.'intgration. La mathématique est donc une application de la logique. Par suite, le passage n e sfait pas directement chez Leibniz de la mathématique à la philosophie. Entre les deux s'interpose la logique, lqgique qui pour être renouvelé.e par l'usage d'algorithmes précis et par un système rigoureux de combinatoire, pour paraître susceptible id'tre étendue à la totalité du monde intellectuel, n'en repose pas tmoins sur les categories fondamentales de la métaphysique aristotélicienne. Le problème de la connexion entre la science leibnizienne et la philosophie leibnizienne s'exprimera donc dans les termes correspondant aux préoccupations des péripa1. La philosophic de Leibniz, Exposé critique, Cambridge, 1900 (tr. fr. de Jean et Rlenée-J. Bay, PariF. AIcan, 90,8), et La Logique de Leibniz d'après des documents inédits, 1901 (Paris, F. Alcan). 2. Voir lettre à Tschirnhaus, 1684, M. IV, 465 -Leibniz dira de mnme, à Bayle, vers 1698. G.. IV, 571 J' ai insinué ailleurs qu'il y a un calcul plus important que ceux de l'Arihhmétique et de la Géométrie, et qui depend de l'Analyse des idées. Ce serait une Caractéristique universelle dont la formation aie paraît une des plus importantes choses qu'on pourrait entreprendre., 3. Voir dans l'ouvrage de M, Couturat La Logique de Leibniz, le chapitre ix, consacré au Calcul géomdtrique, p. 388 et suiv.

Page  200 200 LES ETAPES DE LA PRILOSOPHIE MATIIlEMATIQUE t6ticiens et des. scolastiques; il tournera autour de la relation d'inhérence entre le perédicat et le sujet: Toujours dans toute proposition affirm-ative veritable, nécessaire ou eontingente, universelle ou singulière, la notion du prédicat est comprise en quelque façon dans celle du sujet, prûd;ricactm inest sûbjecfo; ou bien je ne sais ce que c'est qlue la veérité '. ) 418. - Il n'est pas douteux que eette.rinterprétation du leibniziani.sme n'ait une attache solide dans les textes, soit dans la Corresp,.ondance avec -Arla ~ld et dans le Discours de Miéaphysiqut.e soit dans une série d'écrits et de notes dont nous dervois à M. Colura, t; la pulication mé thodique D'une part, aux envi — rons die lannme 686, Leibniz a cru qu'il pourrai[, en demeurant à l'intrieur' de 1.ogi-qte trad.itio.nmel, ralier des penscurs autorisés, tels qu'Arn au,. ses vu personnlelles sur l'individualité ded3 s ubstances eL solr Y' ~ harDonie pré6tablie ~. D'autre partt, à travers tou. se caire ar i n'a essé d' baucher des plans et de eonstruire des fra gents a e'difice pour I élargissement de a syilog isltque ariistottclelicene, qui éavai d le béut dé l bte sa premiere dissertation die lAr:e Com b.it,aldoria (i666) et pour ' tabiissemrent de la Cartacr'ristiue uiverselle.- La. persistance et la multitude de'ces tentatives, don't Gerhardt et surtout M. Couturat ont recueilli îes traces, nous obligent à réserver, dans l'examen du leibnii'anise effectif, les droits d'un leibnizianisme idéal, quii ne parviont sans doute pas à prendre corps dans un systrnie définitif, mais qui te cesse de projeter son ombre sur les thèses que Leibniz a réellenment soutenues2. Peut-être, quand nous aurons à expliquer l'échec final de l'nteHllectualisme mathémaaique chez Leibniz, sera-t-il nécess aire de faire appel à l'autorité inavouée de ces cadres logiques que l'analyse.nfinitLsimale aurai:t d'i avoir pour ef et d'élargir ou de,' supplanter. Il n'est pas. douteux non plus que la consideration de ces derits n'aitL renouvelé l'intVrtt edes études leibniziennes. En pre'ant, pour centre de ses critiques la relation lu sujet au pra-J dicat, peut-être est-il arrive à M. Biusse.l d'introduire dans son exposé du ieibnizianisme quelques-unes des difficultés mêmes '. A Arnuld, juin 1686, G, 11, 5 56. Cf. nitia et spccimina Scientii Generatis. (, VII, 02.:.. De e aliqua nihil' [a] nobis demonstrari potest ne ab Angelo quidenr, niai quatenus requisita ejus rei intellig1nmus. Jan in orni veritate omnni requisiti prLedicali continentur in requisitis subject, et requisita effectus qui quoeriïtlr continent arttificia necessaria ad eum produceendum. 2. C. Hannequin. La philosoph!ie de Leibniz et les lois du mouvement, dans Études d'histoi:e des sciences et d'histoire de la pilosohi t. I1, 1908, p. 240,: et _wiuv.et

Page  201 POSIT'ION DU P.OBL'ÈMElE: LOGIQUE ET 'MAIATHMATUE 201 qu.e Leibnié z se propos'ait d'écarter patr l'invention de, l logique infinitésiimale il est sart en tout cas, qu'il a réussi à mettre définitivement Fhers d(e outIe contestation les contradictions qu'enitranait la co vception ieibtnizienn e e l'space -. D'autre partc, cornroe la montré M. Couturat, il se dégage des es q'uisses logiques de Leibnirz ie plan idéal d'une constructiLon dnrit un Bonie ou un Grnsnsmann ont eu la gloire d'édifier certaine parties,,qui a trojrv avec un Peano et un Whitehead son, achu>veiiment syt;éat.' rilatque: t et l est arrive ainsi /à Leibniz, ce qiui es à.rrive à P>ascac., d'a'-Sir au début du xxe siècle cornme 9un contnemporain agit. sui r des contemporains de mê me qu'oln a demand à Pascai un secours contre la doctrine rationnelle d4e la rviif4, on a detimand a Leibniz de réfuter la it.horie kantienre des jrge-me:nr synnthétiquces a priori. 9. ~- es p: o,int accc rd,és -- et ils ont cour l'intelligence commroe pour l'appréciation. du leibnizianismre une importance eapitale -- nou avons à nous demander si, en faith, la pensée de Letibniz ne s'est, pas i.flé6chie sous la pression de ses découvertes sientiques. Mlvalgré lui peut —tre, et sans oser d'ailleurs pousser compiètennent - bout les dernières conséquences de cette substiiution, Leibniz a substitué à la syllogistique d'Aislote, qu i repose sur une division exacte d'un concept dans les éléments de sa matière, la méthode propre à la science infinitésimale; l'applica.ion d e ce processus tout mathématique a-ux divers problèm-es de la mécanique, de la psychologie, de la métaphysique paraît bien avoir. constitué la partie solide et directement fécon de d a doctrine. Il sufira de considélrer à cet (é,gard la formule même où M. Cou — turat resume son in n ntelrtt du lebnllzanissme 4:... totte vrite es t tornimeliement ou virtuclement identique, ou cormme d'.ra wXANh, anai.lige, et par consée.ucint doit poultoi se démontrer' pri' a" a r o;yen des dériitioensr et dI principe d'identit', et. Rss i dan]s it L Prei ae ela traduction francaise '. Vide infra, ~ 128. 2.!bid,,~ 5.as~ 3, bid,.. 22S,,t 225. 4. Op. cit., p, 21,, ~5... in. naseitur axioma receptum, rnhil esse sine ration sea nullain effecttm nsse absque cause. AIi. ioqi verit s daretiur -quoe non posset probari a prior seu3 quaon rcsoi6 veretrui -n itdeantia quode est contra natural veritatis, quo Se-nper vel exfreszes ve a',mpicte ide ntica, est., Texte publié par Couturai, dans. - a sevt die - i métphysique i0, 2 p.' 3. et dans Opuscules ei fraqmeais Iw:édis de Lei;aoiz, Extraits des ma.uscrits de la Bibliothèquic 'Boyvale de Hanovre, l903,, p. 519.

Page  202 202 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE de son ouvrage sur la philosophie de Leiblziz', se rallie à ceLle interprétation -. I1 est trop clair qu'une telle formule contient dans son expression même la difficult qu'elle prétend résoudre. Que signifie l'identité virtuelle? Si lFon entendait par là que la proposition est démontrable à l'aide d'un nombre fini d'opérations logiques2, alors il faudrait dire que toutes les -vérités sont justiciables de la logique au sens aristotélicien du terme, qu'elles sont analytiques au sens kantien; le virtuel rentrerait dans le formel; les deux mots ou virielleiemen! pourraient être supprimés sans inconvenient. Mais en fait cette suppression trahirait la pensée de Leibniz: entre la formaliié et la virtualié il y a la distance du fini à l'infini. ( L'analyse des nécessaires, qui est celle des essences, allant a natural posterioribtls ad natuira priora, se termine dans les notions primitives, el c'est ainsi que les nombrs r se rsolvent en units. Mais dans les contingents ou existences, cette analyse a natlra posterioribus ad nalura priora va à l'infini, sans qu'on puisse jamais la réduire à des éléments primitifs31. > Il faut donc, si l'on ne veut pas brouiller les termes et, comme dit Pascal quelque part, miepriser ses propres idées, reconnaitre que l'analyse leibnizienne prend le coutre:pied de la logiquc de l'École, pour qui la ~ régressiori à l'ilfini ~ est un type e de émonstration1 sophistique: ce que Leibniz appelle l'analyse constitue évidemment, dans la terminologie (le Kant, un processus de nature synth:étique.. Sans doute le principe de raison est le principe de la d(émonsIrabilité universelle' mais cette démonsirabili te comi)orte une acception toute différente, suivant qu'il s'agit des vérités universelles et éternelles dont la preuve peut êtr e fai l'aide d'un nombre fini de propositions, ou des vérités singulières, qui enveloppent l'infini. Dans le premier cas, la proposition à démontrer peut être ramenée par la méthode de la ~ substitution des équivalents ~ à une proposition justiciable du principe de contradiction; nul doùte que dans ce domaine la science ne revête aux yeux de Leibniz cette forme analytique que Hobbes lui reconnaissait déjà; le principle de raison se confond avec le 1. P. iv. 2. ï' Manifestumquc est omanes propositiones necessarias sive oeternoe veritatis esse virtualiter identicas., G, VII, 300. Cf. ibid. p. 200: ~ Queecumqte igitur veritas analyseos est incapax demonstrarique ex rationibus suis non potest, sed ex sola divina mente rationed ultimam ac necessitatem capit, necessaria non est. ~ 3. Lettre à Bourguet du 5 août 1715, G, III, 582.

Page  203 POSITION DU PROBLÈME: LOGIQUE ET MATIIÉMATIQUE 203 principe d'identité. Dans le second cas, au contraire, le principe de raison est le point de départ d'une irecherche qui dépasse les forces humaines. ~ Non datur progresses in infinitum in rationibus universalium seu oeternarum veritatum, datur tamen in rationibus singulariunm. Ideo singularia a mente creata perfecte explicari aut capi non possunt, quia infinitum involvunt >,. Il appartient à Dieu seul d'entendre comment le fait peut être déduit du principe2. Seul Dieu est capable d'apercevoir l'infinité des termes dont la connexion permet de poser l'unité du réel, et de rétablir l'homogénéité de la science; Dieu est ~ prophète ~ aussi facilement qu'il est ~ géomètre3 ~. Il ne serait pas tout à fait exact de dire avec M. Couturat' que chez Leibniz ~ le principe de raison, purement logique à l'origine, revêt un caractère métaphy/sique et théologique ~. Ou du moins on ne traduirait ainsi qu'une sorte de ruse diplomatique à laquelle Leibniz recourait dans l'expression de sa pensée: ~ Un de mes grands principes est que rien ne se fait sans raison, c'est un principe de philosophie. Cependant dans le fonds ce n'est autre chose que l'aveu de la sagesse divine; quoique je n'en parle pas d'abord 5. ~ 120. - En résumé, le principe de raison a chez Leibniz une tout autre portée que le principe d'identité. Les formes de la logique traditionnelle, constitutes par la consideration du fini et renfermées avec soin dans le cadre du fini, ne sauraient sans contradiction s'étendre à l'infini. Si tout actuel est fini, comme le pensait Aristote, l'infini est une virtualite' mais dans le sens tout négatif du mot, qui signifie l'impuissance à se réaliser. Pour que la virtualité de l'infini devienne capacity illimitée de réalisation, il faut qu'elle se rattache à l'actualité de l'infini, et, par là, l'intervention de Dieu est nécessaire. Parce que tout est démontré en Dieu,^ il est assure que l'honmme, engagé dans une résolution de notions qui doit se poursuivrle à 1. Lettre à des Bosses, du 1er février 1706. G, II, 300. Cf. VI1, 200. 2. Voir Nouveaux Essais sur l'entendement humain, 1704 (L'ouvrage sera désig'né dans la suite par N. E.) L. IV, ch. xvii, ~ 23. 3. Cf. Remarques sur la lettre de M. Arnauld, touchant ma proposition: que la notion individuelle de chaque personne enferme une fois pour toutes ce iui lui arrivera à jamais (1686): ~ Quoiqu'il soit aisé de juger que le nombre des pieds du diamètre n'est pas enfermé dans la notion de la sphère en général, il n'est pas si aisé de juger, si le voyage que j'ai dessein de faire est enfermé dans ma notion: autrement il nous serait aussi aisé d'être prophètes que d'8trogéomètres. ~ G, II, 45, 4. Op. cit. p. 221. 5. Bodemann, Die Leibniz-Handschriften,, Hanovre, 1895, p. 58 (Phil., I. 39).

Page  204 204 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPIIE, MATHEMATIQUE l'i flm.ni ne trouvera janmais dans la nature des choses un obstacle qui le condamnerait à s'arrêter defintivement, qu'il ne se heurtera nulle part à une irrationali.té radicale et irrtductible. ~ Dieu, comoime l'a dit fortement MI. E. Boutroux, est le' gtarant de la généralisation du calcul infinitésimnal,~ On comprend que Leibniz se soit cru autorisé n direr de la Ïp'rog;ession de l'infini une règle de demonstration et un crit.eriutm de vérité: ( Quod ci... contilnua ta resolutione prtetdical et çontinuata resolutione subjecti nuinquam quideal demonitstrair. pcossit coincidentia, sed ex continruata resolution et inde inata progressione ejusque regula saltern appareat'nunquam orittiram contradictionem, propositio est possibilis. Qutod si appar'at ex regular progressionis in resolveindo o ren)s reduci, ut die rentia inter ea qu'e coincidere debent, sit minus qualibet data, demonstratumn erit propositioneai esse veranl. ~ Mais on compre(nd aussi, qu'il ait également reconnu, et E dans le mnmee opuscule, qlue cette règle ne constitue pas une démonstration achevr'e: ( Petri notio est complete, adeoque infinita involvit, ideo n-unquam perveniri potest ad perfectain deronstrationem, attam.en semper maagis agisque acceditur, ut differentia sit nirnor quavi's data '. ~ NIous n'avons donc pas le droit de dire que la philosophie de Leibiz soit proprementy, sans équivoque et sans arrière-pensée, un paniogisme; car il faudrait que la relation du prédicat au suijt satisfit aux exigences de la démonstration achetéee En fait ~ les principes de la logique réeile, ou d'une certaine analyse générale indépendante de l'Algèbre, do0nt-Leibriz parlait à Malebranche4, nous renvoientl..de la logique traditionnelle au calcult infiniténsimal. Que d'ailleurs ce second terme de l'alternativre a-it jamais satisfait à l'ambition philosophique de Leibniz, q.ue dans le calcuil infitésimal, commeDe Descartes das sa Géomnzitie, Leibniz n'ait vu que i' < écihantillon, le plusprobant de sa method c eet qu'il n'ait pas reno ncé au syst.mrr e de logique uni-b verselte oi ia mathém-natiqule nouveill rentrerait à titre de cas 1. [Inltoductiozn à l '1tude des Nou veaL Essais, Paris, 1885, p. 71. Cf. G, VlT, 200.,, Ipse progressus in iinfinituin habet rationis locem, quod, suo quocdam nodo, extra series, in Deo rerum autore, poterat slatim ab initio intelligi. ~ 2. Cenerales laiquisitiones de Analysi notionun et veritatum 1680, ~ 66. Couturat Opu.scutles, etc., p. 374. 3. Ibid. ~ 74, p. 376. 4 G, 1, 34,',9. V. Voir l'Opuscule qui porte ce tire: Origo veritatum contingelniuim..wx process i inhfimiitlm ad exempltam. Proportionmrn inter quantitates incommensurabites, Tih.ol., VI, 2 f. Il. éd. Coulurat, p. i.

Page  205 L'ALGÈBRE ET, L'ANALYSE 205 particulier, cela est hors de doute; mais cela ne concerne, encore une fois, que le rêve du leibnizianisme par Leibniz, rêve destiné à se perdre dans les nuages d'une imagination inlassable, et que pendant deux siècles on a pu croir. sterile. La base historique du leibniiziaùisme doit être cherchée là où- la caracteri tique a immédiatement réussi à manifesteirsa vitalité et sa f6écondité, c'est-à-dire dans l'établissement de 'Algorithme différl'en iel Toutes les intuitions infinitésimales qui ont animé la pensée de Leibniz dans la période antérieure au voyage de Pars (intitions empruntées à Cavalieri et à Hobbes qui, l'un sur le terrain de la mathématique pure, l'autre sur celui de la philosoplie mécanique, avaient développé les germes jetés par Galilée '), reçocivent de l'algorithme découvert par Leibniz leur- pleine clarté intellect tuelle, tandis que les découvertes microscopiques de Leeuvenhek paraissaient leur apporter une confirmation exp6rimentale. Autour de la mathématique' nouvelle va donc s'orgraniser le systme de la philosophie leibnizienne, comme l'a vu M. Cassirer dans un ouvrage dont il nous stnble que MM. Russell et Couturaf ont contest à tort l'exactitùiude fondamentale et la profondeur' ' ~ Ma' métaphysiq'ue, écrivait Leibniz, est toute nmathnémtatiqu.e, pour' dire ainsi, ou la pourrait devenir4'. ~ -L'ALGÈBRE ET L'ANALYSE 1.21.- Dans un de ses premiers écrits scientifiques, Mediiaiio juridico-nirahematica de riterlisirio simplice (1683), Leibniz indique sur uin exemple très simple la conception original de la science, qui s'appuie sur la logique de l'infinitésimal. Supposonts que j'aie à payer, dans un certain temps, par exe mple dans une année, une certaine somme d'argent, qui sera;ir.ise ici pour unit. Mon créancier ie demand de lapayer imnédiatement. Le. droit exige qu'il ne la reçoive pas tout entire; il faut défalquer l'intérêt que l'argent aurait produit pendant cette année, s'il était rested dans mes mains. Comment calculer ce4te 'défahlation, ce rabat? Mon premier mouvement' sera de soustraire l'intérêt pour une année.de la somme que j'avais ià 9` q v - - i payer je paierais, au taux de -, 1 ou. Mais si je 'en 1, Voir dans les Élues s posthumes d'Hannequin ia rédaction française de 1a thèse lttine e 1890 sur La premiere philosophie de Leibniz, t. lI, p. 74 et suiv, 2^'Lettre à Arnauld, septembre ou octobre 1687, G, I1. p. 122. 3. Leibniz'System in seinen wissensehaftlichen Grundlagen, Marbourg, 1902. 4. Lettre à l'Hôpital, du 27 dée9rnbre 1694. IM, II, 258.

Page  206 206 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE tenais à ce calcul, je ferais tort à mon créancier. Je retrancherais, en effet, l'intérêt de la somme d'argent telle qu'elle sera due dans un an, alors que je rnai à tenir compte que de la somme telle qu'elle est due actuellement. La différence des deux sommes est précisément dans le montant de 'l'intérêt pour un an; il faut donc que jerétablisse la balance en portant au compte du créancier l'intérêt du montant de l'intérêt, ou -. Seulement, si v v j'arrêtais là l'opération je commettrais de nouveau une erreur, cette fois à mon désavantage, puisque l'intérêt de l'intérêt est encore calculé sur la somme totale à payer dans un an; il faut que j'en rabatte, à` mon profit, la portion afférente à l'intérêt de l'argent pendant l'année en cours X. A ce second rabat s'appliquera d'ailleurs un raisonnement de même ordre; il donnera lieu à une seconde ristourne au profit du créancier, qui elle-même donnera lieu à un nouveau rabat en ma-faveur, et ainsi de suite à l'infini. La somme que je devrais payer sera exprimée exactement par la série infinie: 1 I I I 1 i- - q --- - etc. v v V3 v)4 v La somme de cette série peut être déterminée, elle aussi,- avec exactitude; elle est égale à la fraction v-; car il est facile de voir que la multiplication de la série par v- +1 ne laisse subsister qu'un seul terme v. Le problème est donc résolu par l'analyse de l'infini. Mais au terme de cette longue demonstration nous ne faisons que retrouver une valeur que l'algèbre pouvait nous fournir de la façon la plus simple et la plus élégante; ne suffit-il pas de poser directement l'équation du problème +x -- pour obtenir presque immmédiatement la valeur de x? L'équation équivaut à vx +- x =v;'ce qui donne x = -—. Le contraste technique des deux méthodes souligne l'intérêt du jugement que porte Leibniz: < Quoique la second soit dans ce cas plus facile que la première, cependant'j'estime que la prenmière a une grande portée, parce qu'elle fournit l'exemple d'une

Page  207 L'ALGÈBRE ET L'ANALYSE 207 analyse remarquable et différant en cela de l'algèbre que l'algèbre... considère comme connue la quantité inconnue, et part de là pour l'égaler avec les connues, et en chercher la valeur; au contraire l'aalyse, procédant uniquemnent à l'aide de quantités connues, obtient directement l'inconnue. Ce qui, ajoute Leibniz, est d'un grand usage: lorsqu'il est impossible d'obtenir par l'aigèbre la valeur rationnelle de l'inconnue, on peut y arriver néanmoins grace à cette méthode, en faisant intervenir une série infinie. )) Ces réflexions suffisent à mettre déjà dans un relief saisissant la différence du malthmacisme leibnizien et du mathémalisme cartésien. La raison, chez Descartes repose sur un fond d'évidence et de simplicité. Le philosophe définit ce qui est absolument clair en soi, ce qui présente le maximum de simplicité; il pose le type de la relation intelligible: mesure des dimensions analogues aux dimensions spatiales, ou transformation des équations algébriques; il constitue la science par la combinaison de ces relations intelligibles. Les problèmes qui ne rentrent pas dans les cadres de ces relations échappent aux prises de la raison humaine; Descartes n'hésite guère, on l'a vu, à 'les croire à jamais insolubles. Une telle conception rappelle le dogmatisme de l'antiquité; c'est ainsi que la spécllation pythagoricienne avait commencé par identifier la raison universelle avec la pensée proprement arithmétique, au risque de se heurter aux paradoxes et aux contradictions nées de la découverte des irrationnelles. C'est ainsi qu'avec le système classique de Ptolémée l'astronomie hellénique procède du principe que tout mouvement céleste est nécessairement circulaire, jusqu'à ce qu'elle se perde dans l'enchevêtrement des cycles et des epicycles. Les embarras qui ont entraîné l'échec, ou tout au moins limits la portée, de ces diverses doctrines décèlent la faiblesse du préjugé dogmatique. La meilleure méthode pour l'intelligence inathématique de l'univers n'est nullement celle qui, dans certains cas élémentaires, présente l'application la plus facile; car cette facility même., de nature à séduire le 'philosoph.e, paralyse le savant eni présence des problèmes complexes que la r6alité ne peut manqucr de poser. C'est celle qui dans l'apparence du simple sait déjà discerner la complexité, 1' immense subtilité ~, caractéristique du réel; les principes n'y sont plus des formes déterminées et closes, destinées à opérer la cristal1. M, VIt, 129. 1

Page  208 2o08 HLES iTAPES DE LA PHVLOSO()PIHE MATH1ÉMATiQUE lisation du système scientifique; ce sont des r8esso rtsdaction, des armes pour l'extension illimité. e d sq-c ir posilif. Des; cartes, comnSbe les Grecs, se meut dans le domaine du fini; Leibniz fait intervenir l'infini dans la geééraiior du fini, La science de l'infini sert à trouver les quantités fines: i Itaque fMalheseos uivesals pani rs superior ihîl ahiud~ est ' uai. Scientia infiniti qiuatenus ad invenenadaus fnitas qatiitates prodest. ~. LE DYNAMISME IN1 TE LTLEC'LTUEL *i|G - L'explication universelle repose done sur e processes dynamuique qui constitue les series infini.es conYvergentes, commie la série alternante à termes décroissacnls quee nous avons euie à considérer d I i-'t.+v v4-... v>i v u î vi v > V ou, pour prendre i'exemple le plluss imple qui est a',s si l'ex-emple favori de Leibniz, la série -1- -4 ^-~ - etc. 4 -+ +8 + 16.. La difference est plus petite que toute quantity donnée, sans epex.ndantt ê're nulle. Elle n'empéchera pas de poser 4 ' t à la condition seulement de subslituer 'a l'g'ait staé.iqjue des, Cartésiens l'égalité dynanmque,, celle que Fernma avait envisag8e sous le nom d'adég1alilé. ~ L'égalité peut tire cotnsid{srée conime unie inégalité infiniment. petite- et on peut fair appr oche r I'i galité de l'égalité autant qu'on veut,2,> Nous sommes ainsi conduits' par ie rmouvememnt,de l'intelli1. Mathesis universalis. M. VII, 69. 2. Lettre de M. L. sur un principe géndta&, utile à l'ex plication des lois de la nature par la consideration de la sagesse divine. G, IY, 53. Cf. Cohen, op cit., p. 5S, et suiv. vide suprOa, ':08.

Page  209 LE DYNAMISME INTELLECTUEL 209 gence à concevoir une différence qui ne résulte pas d'une soustraction dans le sens arithmétique du mot, qui correspond, silon l'heureuse expression de M. Milhaud, au ~ moment infinitésirnal de tout devenir1,. De la différentielle, à laquelle il se thtte d'avoir lep;remier-donné un état civil, le génie de Leibniz a réussi à faire, nous l'avons montre,'la base d'une science nouvelle, ou la sommation s'effectue sans addition proprement dite, et qui rivalise en abstraction et en généralité avec l'algèbre. Le ~ <calcul infinitésimal, ou des différences et des sommes porte sa demonstration avec soi2 ~: il ne réclame pas de principe qui lui soit spécial et qui soit destiné à en justifier la légitimité; car ee qu'il suppose, c'est ptéeisément que l'intelligence soit conçue dès arbordl come. capable d'une extension illimitée, qu'on ne lui oppose pas exceptionion, mais qu'on fasse rentrer sous-la règle générale le cas particulier de l'évanouissement: ut casus specials reei evanescentis continealur sub regula general 3 11 arrivera d'ailleurs à Leibniz d'énoncer cette conception du dynamisme intellectuel sous la forme de principes principe de l'ordre général - datis ordinatis etigm qùesita suni, ordinata -dont dépend le principe de continuité: ( Lorsque la difference de deux cas peut être diminuée au-dessous de toute grandeur donnée in datis ou dans ce qui est posé, il faut qu'elle se puisse trouver aussi diminuée au-dessous de toute grandeur donnée in quoysitis 6u dans tout ce qui en résulte. ),, Mais il convient de ne pas chercher dans ces formules une sorte d'appui destine à soutenir du dehors les méthodes de:'analyse intellectuelle. Leur office est d'enregistrer, à titre de lif de la pensée, l'expansion spontanée dont l'analyse infinitésimale est la manifestation{ Le principe de continuité ~ a son origine de, l'infini ~. -La réalité ultime-chez Leibniz, c'est la raison conçue commre le progrès illimité 'd'u développement ordonné; et avec cette conception l'intellectualisme achève de prendre conscience de lui-nmême. 123. - Descartes avait posé en principe que l'unit de l'intel' ligence et la continuité de son msuvement sont les conditions 1. Noie sur les origins du calcul infinitesimal, Congrès de 1900, loc. cit., p. 46. 2. époanse aux réfleeions de Bayle, G, VI, 569. 3. Lettre à Jean Bernoulli, du 27 juin 1708, M,1III, 836. 4. G, loc. cil., III, 52. Cf. Principium quoddarn generale, etc.,-M VI, I2, et Specimen dynamicum, part. II: ~ Huic legi continuationis a mutation saltum excludtentis etian. illud consentaneum est, ut casss quietis haberi possit pro speciali casu motus, scilicet pro motu evanescente seu minllno, et ut casus tequalitatis haberi possit pro casu inequal1titas evanescentis. M, VI,- 249. 5. G, II, 52. BRauNSCHvico. - Les tapes. 1

Page  210 -210 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE de la science parfaite; mais il avait appliqué ce principe à un type déterminé d'idées claires et distinctes, d'essences librement créées par Dieu, ce qui dès le début imposait une borne extérieure au progrès de l'intelligence. En distinguant dans la connaissance de l'univers des degrés auxquels correspond la transformation parallèle de l'objet à connaitre, en les reliant par un progrès intérieur qui conduit à 'unification spirituelle du tout, Spinoza affranchit l'intelligence de la relativité qui la frappait chez Descartes; il lui assure une puissance d'expansion infinite. Mais il n'a pas réalisé cette puissance sous une forme précise et scientifique, propre à manifester dans une intelligence limitée l'immanence du Dieu infini; et c'est a quoi parvient enfin Leibniz grâce à la découverte ou, plus exactement, grâce à l'intellectualisation, de l'analyse infinitésimale. Nous pouvons dire alors que l'intellectualisme moderne est constitué sous sa forme historique et authentique; le fait ne' sera pas indifférent, lorsque nous essaierons de déterminer la signification objective du débat ouvert aujourd'hui entre l'intellectualisme et le pragmatisme. Leibniz a de fortes paroles contre le mépris où le commencement du xvmxi siècle, semblable au commencement du xx8 siècle, affectait de tenir la raison ~ ( Il y a,des gens aujourd'hui qui croient qu'il est du bel esprit de déclamer contre la raison et de la traiter de pédante incommode. Je vois de petits livrets, des discoulrs de rien qui s'en font fête, et même je vois quelquefois des vers trop beaux pour être employés à de si fausses pensées. En effet, si ceux qui se moquent de la raison parlaient tout de bon, ce serait une extravagance d~'une nouvelle espèce, inconnue aux siècles passés. Parler contre la raison, c'est parler contre la vérité, car la raison est un enchainement de vérités. C'est parler contre soi-même, contre son bien, puisque le point principal de la raison consiste à la connaître 'et à la suivre î. ~ Ce qui fait la portée de ces rexnarques- et';ce que l'accident Renouvier, qui command à son tour l'accidenti William James, a fait perdre de vue à trop de nos contemporains - c'est le principe leibnizien, que la raison est la source de l'infini- et du continu, c'est l'application du principe à travers tout le système, qui en atteste ( pragmatiquement ~ la fécondité, c'est '1élan de pensée qui conduit le philosophe de la spéculation sur l'étendue à la speculation sur Dieu, par le seul élargissement d'un thène initial emprunté a la logique de la mathématique nouvelle': ~ Le fond est par1. N. E. Il, ch. xxi, ~50.

Page  211 L'INFINI ET L'É.TENDUE "1 tout le môme, ce qui est maxime fondamentale chez moi, et qui règne dans touted ma philosophie. Et je ne conçois les choses inconnues ou confusément connues que de la manière de celles qui nous sont distinctement connues; ce qui rend la philosophie bien aisée, et je crois même qu'il en faut user ainsi; niais si cette philosophie est la plus simple dans l fond, elle est aussi la plus riche dans les manières, parce que la nature les peut varier à l'infini, coômme ellele fait aussi avec autant d'abondance, d'ordre et d'ornements qu'il est possible de se figurer.~ SEcTIOtN B - Les applications. L' NFLNI ET L'ÉETE,;NDUE 124. U — Une premiere application du dynamisme intellectuel permet de résoudre l'énigme, où les Cartésiens s'étaient embarrassés, des rapports entre l'infini et l'ét.endue. Précisément parcel qu'il maintient, contre l'interprétation purement intellectuelle que -alebranche et Spinoza donnaient à la mathématique cartésienne, la inécessite d une aperception synthétique à la base de la géomrtra e, eibniz se refuse, comme Descartes lui-môime, au paradox daune utendie indivisible. ~ Il est éItrange que Spinoza paraisse dans le trait de laRfor de lfr d 'Ernendement, nier que l'étend ue soit divisible en parties et compose de parties; ce qui n'a 'pas de sens, à moins qu'il ait fait de l'espace mue chose qusi ne serait pas divisible. - Mais l'espace et le temp so t ordres de chose, non ch-oses. ~ Senutemeci t il n s' ensuiat'pas de hl que nous derions revenir l'alterntivea ou ous eni'ermerait la logique toujours trop simple et, trop troite, la logique piar oui et par non, d'un Descartes, Seln Descat4es, on peutn acquérir ~ parpla méd:tation -- ou plus exacrkement peu it.-trce on s'aperçoit par la rmaditation que l'on possde --- ~ une c ronnaissance tlrs claire, et, soi j'ose ainsi parler inLuiîvL e, de t a natur e;mtiel.lete le en-. g,6néral l'idée ie laquelle. éOitan't c r s " -~,.cnsd esa.s imi;ration, est cele'- 'q ui sno-u -s reprseite( i. N7, E. IV, chap. Xi, - ~ t 2. Leibniz renvoie à la page 385 de l' ditrion originale, où Spinoza iler i coImmne exemp e d'erreurs duea à. bimginatio,- n à qIue l'étndule doit tre dans nn lieu. qu'elle doit être ni, av.ec une di, i l ion rCiten des parties ~ quOd extend io debeat csse i.-. loco' debeati esse inJlat Jeius padres ab invicem distingoatattur realiter-,.~ 6, I, 29; t rt Appui.lh, p 266. 3. Adimsadveersiones ad Joh, GSeorg, WIaMceri Ebruin de n recozdia Hebre erun phni~osophni publiées par.Fonelher' de Careil sous le titre de i,'éftation ilndite de Spinoza par' LeibniZ, ig,4f p.. 34.

Page  212 2ai LES ÉTAPES DE LA PHIILOSOPHIE MATHÉMATIQUE Dieu, et limitée, est celle d'un ange ou d'une âme humaine1 ~. La notion de l'infini ou notion générale de l'être 2 est primitive; ~ la limitation par laquelle le fini diffère de l'infini est un non être ou une négation d'être 3. Dès lors en partant du fini, en juxtaposant les parties de l'étendue, on 'n'obtiendra qu'une image indéterminéee d'ordre tout ~ négatif ~, pour laquelle Descartes réserve le nom d'indéfini`. En réaction contre les Cartésiens, Leibniz revient aux principes de Descartes. D'une part ~ le vrai infini, à la rigueur, nest que dans l'absolu, qui est antérieur à toute composition et n'est point formé par l'addition des parties 6 ~. D'autre part ~.on se trompe en voulant imaginer un espace absolu, qui soit un tout infini, compost de parties. Il n'y a rien de tel7 ~,. Mais entre la pure idée métaphysique qui est d'ordre transcendant et la représentation statique qui implique contradiction, ne peuton insérer le processus dynamique de'l'intelligence, et lui conférer une valeur positive? ~ Prenons une ligne droite, et prolongeons7la, en sorte qu'elle soit double de la premiere. Or, il est clair que la seconde, étarit parfaitement semblable A la première, peut être doublée de même pour avoir la troisiième qui est encore semblable aux précédentes; et la même raison ayant toujours lieu, il n'est jamais possible qu'on soit arrêté; ainsi la ligne peut être prolongée ~ l'infini; de sorte que la considération de l'infini vient de celle dela similitude ou de la même raison, et son origine est la même avec celle des vérités universelles et nécessaires 8 ~. Sans doute l'image spatiale demeure toujours inadéquate à l'idée pure de l'infini; mais aussi bien ce n'est pas sur l'image spatiale que s'appuie la réalité dle l'infini, c'est sur le processus de l'intelligence, dont les Cartésiens ne s'étaient servis que pour prouver l'existence d'une infinité transcendante à la puissance proprement humaine, et que l'originalité de Leibniz est de considérer 1. Lettre, écrite vers mars 1637, AT, 1, 353..2. Lettre à Clerselier, du 23 avril 1649. AT, V. 356. 3. Lettre, d'août 1641, AT, III, 427. 4. Lettre à Morus, du 15 avril 1649; AT, V, 344 ~ Dico... munduni esse indeterminatum vel indeflnitum, quia nullos in eo terminos agnosco; sed non ausiin vocare infinitum, quia percipio Deum esse mundo majorem, non ratione extensionis, quam, ut sope dixi, nullam propriam in Deo agnosco, sed rationed perfectionis. 5. Lettre à Clerselier, du 23 avril 1649, AT, V, 356; Cf. Principia Philosophia, I ~ 27. 6. N. E. Il, ch. xvi ~ 1. 7. Ibid. ~ 4. 8. Ibid.

Page  213 LE CALCUL INFINITESIMAL ET LA GÉOMETRIE 213 pour elle-même: ~ L'auteur (t. I, p. 307, dit Leibniz à propos (du P. du Tertre, qui venait de publier une Réfulttlion du système de Malebranche) ajoute que dans la prétendue connaissance de l'infini, l'esprit voit seulement que les longueurs peuvent être mises bout à bout et répétées tant que l'on voudra. Fort bien; mais cet auteur pouvait considérer que c'est déjàt connaître l'infini que de connaître que cette répétition se peut tou.jours faire. ~ LE CALCUL INFINITÉSIMAL ET LA GEOMIITRIE 125. - Dans l'ordre de l'accroissement, ce processus de répétition illimitée ne conduit pas, du temps de Leibniz du moins, à une notion dont la science positive ait su se rendre maîtresse. Mais il en va tout autrement dans l'ordre de la diminution; l'idée de l'infini permet ici de renouveler quelques-unes des idées fondamentales de la géométrie, et donne naissance a des méthodes qui, transportées du domaine de la géométrie dans celui de la dynamique et de la psychologie, serviront de base au spiritualisme de Leibniz. En un sens, la géométrie peut traiter la réalité continue en se dispensant de la considération de l'infini, en recourant h. l'unique principe d'identité. Un passage entre autres, tiré dq la correspondance avec Clarke, est formel: ~Ce seul principe sufAt pour démontrer toute l'arithmétique et toute la géométrie, c'est-à-dire tous les' principes mathématiques. Mais pour passer de la mathématique à la physique, ajoute-t-il, il faut encore un autre principe. ~ En un autre sens, la considération de I'infini est essentielle à la géométrie; le texte des Nouveaux Essais est également formel: ~ Les figures géométriques paraissent plus simples que les choses morales; mais elles ne le sont pas, parce que le continu enveloppe l'infinii ~. C'est que la science de. a réalité continue peut être traitée de deux façons, suivant qu'elle est fondée sur le ~ principe de position: le tout équivaut aux parties ~, et elle est alors ( science du fini >~- ou bien sur le ~ principe de transition ou loi de continuité ~, et elle est dans ce cas ~ science de l'infini * ~. Ces deux conceptions de la géométrie s'opposent l'une à l'autre, exactement comme nous avons vu que s'opposaient 1. Lettre à Remond, du 4 novembre, 1715, G, III, 658. 2. G, VII, 355. 3. N. E, IV, chap..i ~ 20. 4. Couturat, Opuscules, etc., p. 525.

Page  214 '24 I LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMAlTIQUE l'algèbre cartésienne et l'analyse fininitésim3îale Oue lon considère la circonférence du cercle: 'dans le domnamea d ill Fi, elle offre le type de la construction si mpe e t uniforte; en pregnant le centre du cerle p our origirjae des coordonnées rectangulaires, on obtient, commer consérqu.ence îimmn;.édiate du théorème de Pythagore l'équati.on x-l- y9-= R. i y a pourrant vantage à envisagter le cercle comrnme lplygotne dt'ue infiniti de côtéJs. C(ette définl;tion; qui paraît inutiiemt t ITcompitique tant qu'on s'en tient aux propriélés 1étmen'laites, est;, e.i réalit., la seule qui assure le progr s de i. scie.e. c Dij it est nécessaire d'y faire appel pour calculer la long:'eueur de h circonfi'renece 1, Mais surtout la consideration e ct. él entr d;iérenfiel, qui n'est simple que par accident, cans le cercl.e, pace que la courbure du cercle est constante. L'termet la gt né:rcaIisatinc de l'analyse géomnériqiue. -Dans une courbe en -nsral' il, a lie de distinguer deux ordres tde rapport: e rapleor de la Ico-urble a la direction, prise entire dx poin ini ni:mimeni. voisins, c' est — d ir à la ta.ngenri.e, et le rapport de cete ta:igent elte -it i e 1a un nouvel élémexntdiff trenliel, à.elui qui expriile le changemen.t de la direction: ~ Dans le pat s pat infaniment petites d'une ligne quelconque, on peut cosisdérer non seuleeni t lan direction, declW'ivi&s aui itzclin.!io, cornme il a été fa.it jus-qul ii, mais aussi le changemlent de direction, la coiurbure. fle.xu'ra; et de mamei que les Géomètrers ont mesuré la direction par la ligne la plus simple qui aurait en un point, de a co'.irbe ta tlmême direction qu'elle, c'est-à-dire par la droite laneîte, je oesucre la. courbu. e par la ligne la plus simple qui aurait au même point non seulerent la imme direction, mais aussi la même courbure, c.'est4 — dire par le cercle qui non seulement touche, xiais ce qui est plus embrasse la courbe proposée2'-. ~ La suite de cette. liMédiîaïon a pour objet de miontrer comment, au moyen de la détermination des angles de conltingence ou des anzges d osculcation, que les t1 Voir la note des Acta Eraditorunm de Leipzigo (1684): De dimensionibus curvilinreorum, additio ad schedame de 'dimensionibu. fiîgzurarum inver4iendis, où Leibniz rappelle ce principe: ~, quod figura curvilinea ceusenda sit Meqlipoelere polygono infinitorlum laterum,? et il ajoute ' ~ undt e sequitur, quidqtid de lali polyg'ono der.onstrari potest, sive ita ut nullus habeatur ad rnmerum latetrumi respects, sive ira ut tanto magis veriflcetur qu.nto major sumit-lur lalerumi niumerus, ita ut error tandem fiat quo'is datLo miuor"; id de curva posse pronintiari. Unde dum oriuntur methlodorum spcies, ex qui)ls me0ojudicio pendeI qtuidquid vei ihactenus inven.tum est circa dimensioones c-tvilineorum, vel impostlerrm poterit inveniri,~ M, V., 126, 2. Meditatio nova de natulra aenguli contacts et osculi, hortzmqué usa ir practeio, MathIesi ad figuras faciliores stccedaneas diftcitioribus subsitii)ehdas,. Acta E.ru.ditorum Lipsiensorum., 1686. 3i, VIl, 32.

Page  215 LE CALCUL INFINITÉSIMAL ET LA iMECANIQUE 21t Géomtètres de la génération précédente avaient employée à titre d'expédient, on peut retrouver dans l'analyse d'une courbe quelconque une hiérarchie de grandeurs incomparables les unes aux autres, comnme la ligne l'est déjà par rapport à la surface ou la surface par rappport au corps lui-même. Les degrés successifs de différenciation créés par l'algorithme de l'analyse de l'infini sont donor tout autre chose qu'un jeu d'écriture symbolique; ils constituent une méthode véritable d'explication, qui, à l'épreuve, va se révéler universelle. Le principe de continuité, dit Leibniz ~ est absolument nécessaire dans la géométrie, mais il réussit encore dant la physique 1. ~ De fait, la réforme de la mécanique cartésienne, que Leibniz accomplissait dans cette même année 1686, ne pourra s'expliquer complètement sans l'intervention de concepts que seule l'analyse infinitésimale pouvait fournir 2 LE CALCUL INFINITESIMAL ET LA MECANIQUE 126. - Le problème était posé par la découverte des lois relatives à la chute des corps. Pour passer de la formule qui donne les vitesses, à la formule qui donne les espaces parcourus, il y avait une véritable intégration à opérer, que Galilée, et indépendamment de lui Descartes, avaient effectuée à l'aide de considerations purement géométriques 3. Cette intégration implique un élément qui est, sous une forme intuitive, l'équivalent de la différentielle; Galilée ne s'y est pas trompé d'ailleurs. Dans le mouvement accéléré, ou retardé, le corps qui sort du repos ou qui y retourne, passe, dans un espace de temps qui, si petit qn'il soit, contient une infinité d'instants, par une infinité de degrés de vitesse4. De fait, nous l'avons vu, les intuitions mécaniques de Galilée ont i. G, III, 52. 2. Cf. Considérations sur la difference qu'il y a entre l'analyse ordinaire et le nouveau ca!cul des transcerdantes (Journal des Savants, 1694): Notre méthode étant proprement. cette partie de la Malthrmatique générale qui traite de l'infini, c'est ce qui faith qu'on ean a fort besoin, en appliquant les Mathématiques à la Physique, parce que le caractere de l'Auteur infini entre ordinairement dans les opérations de la nature. ~ M, V, 308. 3. Duhem, De l'accélération produlie par une force constante. Notes pour servir à l'histoire de la dynamique. Deuxième congrès international de Philosophie, IlP session, Genève, 1904, Rapports et Comptes rendus, p. 906. 4. Discorsi e dimostrazioni natematiche intorno à due nuove scienze attenenti alta Mecancaa e i movimenti locali, Leyde, 1638. Troisième journée. Edition nationale t. VIII, Fiorence, 1898, p. 201. Cf. Cohen op. cit., p. 44, et suiv.

Page  216 21f6 LES ÉTAPES' DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE inspire la renaissance du calcul intégral avec Cavalieri et Torrir celli, comme elles ont inspiré, i travers Hobbes, les premières hypothèses de Leibniz sur le mouvement abstrait u concret. Descartes a eu les mêmes intuitions. Non'seulement.dans sa tentative, d'ailleurs manquée, pour obtenir la loi des espaces,. il employait un procédé qui était, comme le dit, Paul Tannery, ~ tout à fait analogue à celui de la méthode des indivisibles (ainsi bien avant Cavalieri) t ~. Mais encore ses réflexions sur la statique montrent qu'il a ~ saisi et marqué nettement le caractère infinitésimal du principe des déplacements virtuels~)); il écrivait ài Mersenne, le 13 juillet 1638: ( La pesanteur relative da chaque corps ou, ce qui est le même, la force qu'il faut -enS:poyer pour le soutenir et empêcher qu'il ne descende, lorsqu'il est en certaine position, se doit mesurer par le oomnmencemeit du mouvement que devrait faire la puissance qui le soutient, tant pour le hausser que pour le suivre s'il s'abaissait3 ~. Mais Descartes est aussi un dogmatique, qui tient à faire rentrer la déduction scientifique dans les cadres d'une logique rationnelle. Or la logique rationnelle n'avait pas encore de police pour l'infiniment petit. Descartes hésite à professer avec Galilée ( que les corps qui descendent passent par tous les degrés de vitesse' ~. Et Mariotte, renchérissant, comme dit M. Bouasse', sur les dires du maître écarte, par le souvenir des arguments 'de Zénon d'Elée, les raisonnemrents de Galilée ~ pour prouver qu'au premier moment qu'un poids commence à tomber, sa vitesse est plus petite qu'aucune qu'on puisse déterminer G,. Descartes s'était donné la tâche de constituer la mécanique, conmme la mathématique abstraite et la géométrie, en se plaçant exclusivement sur le terrain du fini par la il s'exposait à se mettre en contradiction directe avec les exigences de la continuité. Ainsi, selon l'expression de la 'première loi du choc ( deux corps... exactement égaux et se [mouvant] d'égale vitesse. en ligne droite l'un vers l'autre... rejailliraient tous deux égaleinent, et retourneraient chacun vers le côté d'où il serait venu, sans perdre rien de leur vitesse7 ~. Mais que l'on 1. Note de la correspondance AT, I., 75. 2. Duhem, les Origines de la statique chap. xiv, t. I., 1905, p. 350, c, p. 337. 3. AT, II, 229. 4. Lettre à Mersenne 1i octobre 1638, AT., Il, 399. 5. Introduction à l'étude des theories de la' mécanique, 1895, p. 219. 6. De la percussion ou choc des corps, 1673, p. 248. 7. Priricipes, II, ~ 46.

Page  217 LE CALCUL INFINITÉSIMAL ET LA MÉCANIQUE 217 suppose l'un d'ex (~ tant soit peu plus grand ~ ou ayant ~ tant soit peu plus de vitesse ~, la seconde et la troisième loi portent que le plus petit ou le plus lent rejaillirait seul, et ils iraient désormais tous deux dans la même direction1. (~ De la sorte, fait observer Leibniz, deux cas qui, suivant les hypothèses ou données, auraient une difference infiniment petite (ou qui pourrait être prise inférieure à toute différence (donnée), auraient cependant, dans les-conséquences, une difference très grande et très notable... La règle de l'égalité, c'est-à-dire de l'inégalité infiniment petite, ne pourrait pas être comprise sous la règle générale de l'inégalité 2 ~ Une telle incohérence est une condamnation formelle aux yeux de Leibniz: la loi de continuité est un criterium général 3 une pierre de touche irrésistible. ~ I1 ne se peut pas que la conséquence de l'inégalité évanouissante ne s' vanouisse pas de façon à rejoindr la consequence de l'égalité'. 127. - I1 faut réformer la mécanique cartésienrle. Le principe de la réforme leibnizienne est assurément dans l'expérience. Mais il est remarquable que l'interprétation de l'expérience conduise à des résultats que Descartes ou tout autre savant de sa génération, en possession des résultats fournis par les observations physiques de Galilée, eût dû apercevoir s'il avait disposé d'une forme mathématique capable de pénétrer plus profondément le cours de la réalité. Archimède avait établi dans le Traité de I'équilibre des plans ou de leurs cenIres de gravie' la loi de l'équilibre: ( Prop. VI. Des grandeurs commensurables [GG'] son t en équilibre lorsqu'elles sont réciproquement proportionnelles aux longueurs [LL'], auxquelles ces grandeurs sont suspendues ~: GL = G'L'. Tout en refusant de s'appuyer sur l'exemple du levier, Descartes retrouve la rmme forme de relation dans le ~ principe,. qui est le fondement général de toute la Statique... (par exemple... la force qui peut lever un poids [P] de.00 livres à la hauteur [H] de deux pieds, en peut aussi revèr un de 00 lives [P'] la hauteur [H'] d'un pied... ) ~: HP;- H'P' 1. Principes, 47-48. 2. Adnimadversiones in Principia, ad II, 47, G, IV, 377. 3. Ibid. ad II, 45, G, IV, 375. 4. Ad il, 48, IV, 378. 5. Lettre du 13 juillet 1638, AT, II, p. 228.

Page  218 21 8 ILES ÉETAPES DE LA PHXLOSOP.IE MA.THEÉMATIQUE - et dans la loi fondamrentale de la consaervvation diu mouvementl: ~ Lorsqu'une parties de la maltière e r meut deux fois plus vitLe qu'une autre, et qllue cette autre et deux.fois plus grande que la premiere, nou-s devons penser qu'il y a tout autant de movement dans la 'plus petite que danrs ia plus grande '. ~ MV = --.M"V' Or, les lois de la chute ' de.. corps,:Ce (alée a tUrées de l'observation et de l'expérience,,:dment.ent la fortmu le de la conservation du movement: 2. Desaertes s'es; trompé, et il a été trompé par cette tendance constant e de son esprit à généraliser la solution du cas le plus simple, celle dont on peut se faire une idée tout h fait claire et distincte 3 A.u principe cartésien, Leibniz substituera cette ~ loi de la nsa ure, que je tiens, écrit-il, la plus universelle et la plus inviolable, savoir qu'il y a toujoulrs une par rfaie qt.ea on entr re.ln cau.sel pleine et l'effet entier... Et quoique ce. axiomre soit tout à fait 'mleap hysique, il ne laisse pas d'être des plus utiles qu'on puisse neployer en physique et il done le royen de réduire le s "o ie un.calcu de géométrie ",. De fait, dans sa premiere lettre à de Volder, du début de 1699, Leibniz montre comment ~ la nature a ménagé une i. Principes, II, ~ 36. 2r De cctte déinonstratibn, que Leibniz a iepeétée ' maintes reprises, nous empruntons le résumé à. une note parue dans les Nouvelles de la République des Lettres (février 1687): Réplique de M G.,i. Lcibrnz a M. l'abbé de Conti. Si le corps de 4 livres aavec, aa vitesse d''sn degré, qu'il a dans un plan horizontal, allant s'engager par rencontre au bout. d'un. pendule ou lit perpendiculaire, iponte à une hauteur de 1 ped: c\elui de 1 livre aura une vitesse e 2 degree, afin de pouvoir.(enr es di'? pareil engagemrent) monter jusqu' 4 pieds. Car ii falut la mIae force pour.levvr 4 3ivres àa I pied et 1 livre a 4 pieds. Mais si le corps d'une livre devait:recevoir ' degés de vitesse, suivant Descartes, il pourrait monter à la hauteur de 16 pieds. Et, par conséquernt, la rnême force quri pouvait élever 4 ivres àa pied, transférée sur 1 livre, la pourrait 6élever i '16 pieds. Ce qui est inpossible, car l'effet est quadruple, ainsi on aurait gagrne et dtir de rien le triple de a force qu'i y avait aupara.vant. ~ 0, Iit 4'5. 3. Cf. la Réplique à l'abbe de CConti, GIH, 48:, Ce qui peut, avoir séduit des auteurs;si exceitents, et qui a.e plus emrbrouill cet;e matière, est qu'on a vu que des corps dont, les vitesses sont réciproques aux atenAdaues, s'a,.rrêtent Fl'i l'autre, soit dans une balance, soit lhors d'une balance. 'est pourquoi on a cru que leurs forces étaient egales, d(autat. pls' qu'on an re car'q,.a ri aena dans les corps que la vitesse eet f'tcdue.. re s" doit par estimer par la corposition d'e la vitesse et de la grandeur, mlaiS pa r l'effet futur ~. Thèse liée à Ia distinction entre la force absolute qunial faut pour 'aire quelque etket. sabsistant (par example pour élever n tel pois u'1,ne tell hauteur, ou pour bander an tel ressort à un tel degré) et entre la force d,'avarner d'un certain côté, ou de conserver sa direction, 4. G., HI, 45.

Page  219 LA SUBSTANCE 219 conciliation très élégante entre la loi d'équilibre des corps en confiit, qui est relative, et la loi d'équivalence des causes et des fferts, qui est absolue, et cela au moyen de Ia loi de iransition graduelle qui évite toute espèce d(e sautL ~. La loi d'équtilibre s'applique ~ à la cause qui s'épiise. dans l'instant oi e(lie agi t equi peut alors être considérée cornmme proporionnelle.i son effet ~, à la force more, comme dit Leibniz. Nous pourtons donc ia retenir dans le problem génébral de la dyramtiql'ie, en la supposant vraie ent un moment infinitésimal, pur le premier élat que le grave reçoit en descendant, ou pour celui qu'iL acquiert à chaque instant en cours" (ie chute, La vitesse propremtent dite, qui manifeste la force vive, est constitute par l'accumulation de ces élans ou sollicitations élémentaires; or, la vitesse est à la sollicilation nue conmme l'infini au fini, ou comme dans nos différentielles la. ligne ses éléments, '. Ansi, les notions fondamentales de la mécanique leibnizienne seront. liées aux modes de relation et de calcul don't la pensée humane est redevable aI l'analyse infinitésimale. L'argumentation de Leibniz s'achève par une formule lumineuse: Selon l'analogie de la géomtrtie ou de notre analyse, les sollicitations ou acceé!léations, seront commre dx, les vitesses comme x,'les forces comme x ou fJx'dx 3 LA SUBSTANCE 128. - Si bref que soit l'exposé qui pr'cède, il sufiîtà montrer que la notion leibnizienne de force n'entre pas dans la mécanique du dehors, par une intuition irmmédiate ou par analogie avec t. G, IV, 154. 2. (Cf. Tentainen de motuvm colestium causis, 1689: ~ Ne... mirutlm est. quod voluit Gatile is, percussionem esse inflnitam ccmnparatione gravitatis nudm, seu, ut ego loquor, ximpiciis conatus, cujus mvi egoi mcrtuamn vocare soleo, que agendo dermum concipien.s impetum repetitis imrpresionibus viva tedditur.~ M, VI, îI3 3. G, II, 156;, Ut it.a secuduim anonitoog'ia g'eomnetrie seun analysis nostroe solli.itatiounes sint ut; dx, celeritales, ut x, vires ut xx sCi ut fcdx,,. Cf. TentamSen de moiuum CIest.ium cansis. ~ Et infinili suint "gradus taminffinlt ounî, quam infinite parvorum. Et possun.t adhiberi Iriangula communia iu.ssigaabilibuis illis similia, (qui Jin Tanoentibus, Maximisque el Minimis, et explicanda curvedinie linearum usurf hIabent maximumnl; iterm in'oiimni pene translatione Geolrnetriî adi naturamtr, nsm Si xotus exponatur per sirinean. communemlr quaim dato tempore mobile absolvit, impetus scu velocitas expoUetur per- li.ne.a iunrfiito parivam et' ipsum,aemenltuin velocitatis, qiule est gravitatis solhicitatio, vei co.atIus ceEtritfugus, per lineam infi.nities infinite paramn., (AcL Erud. l, i. t i 89p..5),, V 1' ii

Page  220 220 LES ETAPES DE LA PHILOSOPIIIE MATHEMATIQUE l'effort intérieur; elle- naît sur le terrain de la science, comme un requisit des expériences de Galilée sur la chute des corps. Mais cette notion, si elle n'est pas d'origine métaphysique, a, du moins dans la pensée de Leibniz, une portée métaphysique; la conception originale du rapport entre la force totale et la vitesse du mouvement en un point donné, et entre cette vitesse elle-même et l'accélération, sert de prototype au rapport que la substance soutient avec ses accidents, A cet égard, une remarque de M. Russell sur un passage important de la correspondance avec de Volder fournit une sorte d'experimentum crucis. M. Russell a certes fort bien vu qu'il était essentiel à la philosophie de Leibniz de conférer à la. distinction des substances un fondement intrinsèque: deux substances dont les prédicats seraient les mêmes se confondraient, et c'est la doctrine même de 1' ~ identité des indiscernables 2 ~. Mais' en même temps, comme il enferme la métaphysique de Leibniz dans le cadre de la logique scolastique, il veut y trouver l'affirmation opposée, que les substances ne sauraient se ramener à la somme de leurs prédicats; et il cite à l'appui ce texte, tiré d'une lettre à de Volder du 21 janvier 1704: ~ Substantiæe non tota sunt que contineant partes formaliter, sed res totales quoe partiales continent eminenter3. ~ Et en effet, il faudrait bien admettre que le philosophe s'est grossièrement contredit sur la conception fondamentale de la substance,.. si le rapport de sujet à prédicat ne pouvait être interprété que suivant le modèle de la logique aristotélicienne. Dans cette logique, en effet, il n'y a pas de milieu: du moment que le tout n'est pas formellement la somme de ses parties, il est ontologiquement autre que ses parties; derriere les attributs, il y a un substralum, un suppôt qui est, par rapport à ces attributs, une réalité métaphysiquement transcendante. Mais la conclusion ne vaut plus si la logique Ieibnizienne est d'un type que ni Aristote ni Descartes n'ont connu, du type infinitesimal. Alors le rapport d'éminénce, ou de transcendance malhématique, entre le tout et les parties n'est pas incompatible avec uneadctrine d'immanence métaphysique. Une série infinie, une chose totale est plus que chacun des termes successifs ou qua'une quantity déterminée de termes; ce qui ne veut pas dire qu'elle doive en soi être autre chose. La substance& pourrait être. alors 1. Voir en particulier Couturat, Sur la Métaphysique de Leibniz, Revue de Métaphysique, janvier 1902, p. 20. 2. Op. cit.,chap. iv, tr. Ray. p. 54, et chap. vi, p. 64. 3. G, 1I, 263.

Page  221 LA SUBSTANCE 221 la loi unique dont drive la multiplicity des prédicats, et c'est ce que Leibniz affirme expressément dans cette même lettre à de Volder où M. Russell croyait le saisir en flagrant délit de contradiction avec la doctrine de l'identité des indiscernables: ~. Legem quamdam esse persistentem qua o involvat futuros ejus quod ut idem concipimus status, id ipsum est quod substantiam eamdem constituere dico 1. ~ 29. - L'évolution de pensée qui devait conduire Leibnit à sa notion definitive' de la substance, a pour pivot la conception technique du calcul infinitesimal. Dans sa premiere philoBophie, Leibniz s'appuie. directement sur les indivisibles de Cavaalieri; ces indivisibles. ne sauraient être dans l'espace; l'idée d'un minimum étendu implique contradiction: ~ Ce à quoi ne peut être enlevée aucune parcelle d'étendue, est inétendu; donc le commencement du corps, de l'espace, du mouvement, du temps (c'est-à-dire le point, l'effort ou conatus, l'instant) ou est nul, ce qui est absurde, ou est inétendu, ce qu'il fallait démontrer2. ~ Or ce point et cet effort, éléments d'ordre infinitésimal par rapport a l'espace et au mouvement3, sont aussi des éléments spirituels ~'Il y a bien des années, écrit Leibniz en 1709, lorsque ma philosophie n'était pas encore parvenue à sa maturité, je logeais les Ames dans des points 4 ~ Mais dans la philosophie ultérieure de Leibniz on ne va pas de l'unité àl'.infini, on ne compose pas à l'aide du point ou de l'effort indivisible l'espace ou le mouvement; au contraire, c'est de l'espace et du mouvement, tels qu'ils sont donnés, que part le processus de divisibilité, sans jamais aboutir à une résolution complèteS.. Le 5 aoat 1715 Leibniz écrit ces lignes bien significatives: ~ Quand j'ai dit que l'unité n'est plus résoluble, j'entends qu'elle ne saurait avoir des parties dont la notion soit plus simple qu'elle. L'unité est divisible, mais elle n'est pas résoluble; car les fractions qui sont les parties de l'unité, ont des notions moins simples parce que les nombres entiers (moins 1. G,' II, 264. 2. Theoria -motus abstracti, 1671, _G IV, 229. 3. Cf. ibid. ( Conatus est ad motum, ut punctun ad spatium seu ut unum nd infinitum. ~ 4. P. S. d'une Lettre à des Bosses, 27. avril,:G, II, 372. 5. CfL Lettre à de Volder: ~ Numerus, Hora, ]inea, Motus, seu gradus vclaî tatis, et alia hujusmodi Quanta idealia seu entia mathematica revera non sunt aggregata ex partibus, cum plane indefinitum sit ono — i illis modo quis partes assignari velit, quod.vel ideo sic intelligi necesse est, cuin nihil aliud signifioent quam illam ipsam meram possibilitatem partes quotcumque assignandi ~, G, Il., 276.

Page  222 %22 JLES EÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE 'MATHEMATIQUE simples que l'unité), entrent toujours dans les notions des fractions. Plusieurs qui Ont philosophy en mathématique sur le point et sur tlunité se soat embrouillés, faute ie distinguer entre la resolution en notions et la division en parties. Les parties ne sont pas toujours plus simples que le tout, quoiqu'elles s-oient toujours moindres que le tout'. ~ Si le spirituel est l'unité du materiel, ce n'est do.nc plus en tant qu'élément constitutif, car cela le retenait malgré lout à Iritérieur de Iettendue, c'est en tant que principle total don't dérive la multiplicity des phénomènes étendus. Ce qui per met de concilier dans les ames l'unité et la unultiplicité, ce n'est pas le rapport géométrique de quantité, c'est la ~ force primitive d'agir-ou... loi de la [suitej-des changements cormme.la nature de la série dans les nombres 2 ~. LA MONADE 130. - L'application directe du calcul infinitésimal a permis de pénétrer la nature de;là substance; l'analogie du calcul infinitésimal va fournir le moyen de suivre le progrès et la diversity des formes de la substance, de passer de la monade-matiére à la monade-vie et à la monade-esprit. Suivant une pensée que Leibniz rapporte lui-même aux conceptions de sa premiere jeunesse,, une ame' ou un esprit ~ ne garde pas seulement sa direction, commre fait 'atome, mais encore -la loi des changements de direction ou la loi des courbures, ce que l'atome n'est point capable de faire >'. Par cette remarque se résolvent les cas qui aiu premier abord paraltraient mettre en échec la loi de continuity:, Commre dans une ligne de géomêtrie, il y a certains points distingués, qu'on appelle sommuets, points d'inflexion, points de rebroussement ou autremenlt et comme il y a des lines qui en ont d'une infiniité, c'est ain.si qu'il faut concevoir dans a vie d'un aimal ou d'une person e 2. Su'ite nous paraît Sre e la vraie tleon, au lieu de sorte, N otes sur I, critique de la Recherche de la 'vérité par Foucher, Lettres, etc. Ed. Folcher d Ca rei, p. 303. Cf. Lettre, de Volder, du 21 janvier 1704. ~ Vis auter. derivalt.iva est ipse status præ.sens dum tendit ad sequentem seu sequeni;em pr:ei nvolvit, uli omne presents gravidum est futuro. Sed ipsum persistens, quatenus involvit casus orsnes, primitivam vint habet, ut vis primitive sit velut determination quate terminuri a lquem in serie designate. ~ (G. II, 262). 3. Eseair cJ;sements des difficultés que M. Bayle a trouvé des dans le systèmea noueau &a tlIaon de P'âme et du corps (1698). G, IL., 544. Cf. lannequin, op., cit., I, 162, et 8uiv.

Page  223 LA MONADE 223 les temps d'un changemen'et eraordinaire, qui tne laissent pas d'être dans la règle gènérale: de même que les points distingués dans la courbe se peuvent déterminero par sa nature gédnérale ou son 6quationM. ~ La délicatesse et la rigueur de ce parallélisme conduisent à I'analyse la plus subtile, la plus profonde qui ait jamais été faite de la conscience et de la pensée. Tout d'abord, le calcul de l'infini, sous la fornme e la difF renciation ou sous la forme des series infiinsi à tes t es décrisant donne droit de cité d(ans la philosophie à celte noTion paradoxale de l'inconscient, que la psychologie mettra tdea cents ans s' assimiler, t ant l'inconscient contredit a spécificit dle sa méthode, et qui domine aujourd'hui la coînclpt:lion de la vie spirituelle. Sans doute, cette notion était dé,jà connue df it xv sti cle. Elle est esentielle au cartésianisme; et, dès a'vant son séjour a Paris, eibaiz s'était attaché à démontrer la hèse flaieuse que âlme pense toujours 2 De cette thèse Malebranche et Spinoza s'étaient tous deux inspirés; mais des notions comrne le ~ sentiment confus ~ que l'âme a de soi, ou la' ( conscience inadequate ~ dans la connaissance du premier genre, ont un aspect encore abstrait et schématique, tandis que la thorie leibnizienne des ~ petites perceptions ~ emprunte à l analogio de la malthmatique nouvelle et de la mécanique une precision et une extension inattendues. Qu'il s'agisse d'un.e multitude d'impressions infinitésimaies, qui s'agrègent pour consiiLuer un état ttdéfini3, ou d'une série ordonnée qui du centre de la réflexion cooscienlte. de l'aperception claire, plonge ses racines (ou est destin.e à se perdre) dans la pénombre et la confusion des sensations ou des souvenirs 4, chaqune moment de la vie consciente est, en dépit de son apparence simple, la sommnation d'une infinite d'létments. i. Lettre ot Reimonld, du i fev:rier i4 O, C IIl, 635. Cf. 'Tho'ic'ie, III, ~ 242, 2. ~ Cunt enim sit a rme de monstrnatu iocutl veruam x entis noset esse puneturn quodda m. s el centm, e" Co deduxi conse quentia qtuasdami mirabiles de mentis incorruptibii;tae, de impossibilitate qiuxesendi a cogfiando, de impossibilitate obivi. endL., (~ ettre Arnarit:Ed, G, 7 2) 3. ~ Pour ententdre ce ebru. it Lde. la mer] il faut iefa qui'o)n cutende les parties qui conlmposont ce tout', c'est-.dirCe s fruits d.e chaqque vague... autrem.ent on n'aurait pas [iîa perce'SOrin dL ceniille values, puisque cent mille riens ne sanraieur fair quelquie hose. ~ Ava:' nopo ds i ouveau?2s - s{iis' si' sr' ntendemnent humnain 4. On Ci ne strait jamEis eveilé par le plus grand ri uit dui monde, si o n'avait quelque perception de son com metincmat, qui. est. petrit; commie on ne romprait jarais une core p e p le plus grand e for du. monde, si elle n'tait tendue et allogée 'n.Feu pa. e moi.drc es esoti Ls, quoique cel.te pele. ite extension qu'ils font' ne, paraiase paseo n (Ibid,)

Page  224 224 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE Cette sommne est à son tour élément d'une somme nouvelle. De même que le, mouvement se ramène a un acte de différenciation qui fait le passage d'une manifestation de la force à une autre manifestation de la force 1, de même un moment de la vie conscience implique une.tendance à un nouvel état; il est un terme dans une série dont l'unité forme le cours de la vie consciente: ~ Et cum Monades nihil aliud sint quam representationes phaenomenorum cumn transitu ad nova phenomena, patet in iis ~b reprsesentationem esse perceptionem, ob transitum esse appettionem.. 131. - Enfin lanalogie du calcul infinitésimal va permettre de pousser plus loin encore l'analyse métaphysique, et de rendre raison Ce la representation elle-même: ~ La représentation a un rapport naturel à ce qui doit être représenté 3. ~ Or, ce rapport est exactement celui de l'unité à l'infini. Même lorsque Leibniz définissait l'âme comme un point, il y voyait, non un élément, mais un centre où concouraient tous les rayons de l'action universelle. La notion se precise dans la philosophie définitive où l'unité peut être la somme d'une infinite de termes si ces termes sont ou infiniment petits par rapport à cette unité, ou ordonnés en. série indéfiniment décroissante: ~une multitude d'impressions confuses s'intègre dans l'unité d'une perception consciente: Une substance qui est d'une.étendue infinie, en tant qu'elle exprime tout, devient limitée par la manière de son expression plus ou moins parfaite. ~ Le trait le plus original du leibnizianisme, son apport, comme l'a bien montré M. Cassirer, a la pensée de l'humanité, c'est que la conscience individuelle, appiofondie sans être élargie, y apparait équivalente à l'univers de la representation: <Chaque âme représente exactement l'univers tout entier 6 ~; mais elle ~ représente finiment l'infinité7 ~; elle est une somme où entre la tota1. Cf. Specimen dynamicurn: Nam, motus (perinde ac tempus) nunquam existit si rem ad axplp-ia^ revoces, quia nunquam totus existit, quando partes eoexistentes non -habet. Nihilque-adeo in ipso reale est, quam momentaneum ilud quod in vi ad mutationem nitente constitui debet. ~ M, VI. 235. 2. Lettre à des Bosses, du 23 août 1713; G, II, 481. 3. Théodicée, Part. 11i, ~ 356. 4. Iannequin op. cit., t. II, p. i63. Cf. Lettre d la princesse Sophie, du 4 novembre 1696:, Les units, quoiqu'elles soient indivisibles et sans parties, ne laissent do représenter les.multitudes, à peu près comme toutes les lignes de la ejreonférenee se réunissent dans le centre. ~ G, VII, 542. 5. Discours de métaphysique, XVG,IV, 440, Ed. Lestienne, 1907, p. 51. 6. Lettre a la princesse Sophie, G Vil, 542. 7. IRéponse aux réflexions-de M. Bayle, 0, IV, 562.

Page  225 LA MONADOLOGIE 225 lité des éléments universels, et pourtant cette somme est une partie: pars totalis 1. LA MONADOLOGIE 132. - Ce n'est pas tout: la conception du rapport entre l'unité du représentant et la multitude du représenté implique la solution du problème général de la communication des substances: ~ Les unités ne sont jamais seules et sans compagnie; car autrement elles seraient sans fonction et n'auraient rien à représenter 2., Comment les différentes monades se représentent-elles les unes les autres? Sans doute on peut répondre en général: < c'est l'expression de la cause commune qui fait l'accord des effets3. ~ Miais, si l'on veut préciser, on est encore ramené à l'analogie des formules mathématiques. Le premier résultat important que Leibniz ait obtenu pendant sa période d'initiation à la haute mathématique, ce fut, en 1674, la découverte de la série infinie qui permet la quadrature arithmétique du cercle: ~ Le rayon du cercle étant l'unité, et la tangente BC de la moitié BD d'un arc donné BDE étant appelée b, la grandeur de b b3 b6 b7 b9 bii l'arc sera 9 — -q —y-7 -9- 1,- etc. Or les arcs étant trouvés, il est aisé de retrouver les espaces; et le corollaire de ce théorème est que, le diamètre et son carré étant 1, le cercle est I I I I etc..~ — 1 -- -+ +D —l-4 etc. 4. )) Et, cette formule, Leibniz la rattache à la quadrature de l'hyperbole que Mercator avait publiée en 1670: ( M. de Leibniz écrivait-il plus tard à Hugoni, trouva dans le cercle ce qui répondait à la découverte faite sur l'hyperbole. ~ En tant qu'elle manifeste les ~ merveilleuses harmonies ~ du cercle et de l'hyperbole 6, la doctrine des séries fournit une résolution analytique dés relations spatiales. Or, et précisément au début de sa réflexion philosophique, Leibniz avait remarqué comme les jeux de la perspective per1. De rerum originatione radicali, 23 novembre 1697, G, VII, 307. 2. Lettre à la princesse Sophie; G, VII, 556. 3. Système nouveau de la communication des substances, 1695, G, IV, 475. 4. M, V. 88. Cf. De veraproportione circuli, 1682; M, V, 118. 5. Bodemann, Die Leibniz - Handschriften, 1895, p. 308. 6. Lettre à Oldenbourg, de Paris, 16 octobre 1674, Briefw., 1895, p. 107. BRUNSCHVICG. - Les tapes. 15

Page  226 226 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHRMATIQUE mettent d'illustrer la diversité des représentations que nous nous faisons d'une même réalité: ~ Uti enim eadem civitas alian sui faciem offert, si a turri in media urbe despicias (in Grund gelegt), quod perinde est ac si essentiam ipsam intueare; aliter apparet,.si. extrinsecus accedas, quod perinde est ac si corporis qualitates percipias; et ut ipse civitatis externus aspectus variat,' prout a latere orientall aut occcidentali dis-accedis, ita similiter pro varietate organorum variant qualitates 1., Grâce à la découverte de la quadrature des courbes, il est possible de passer de la relation purement externe entre figures spatiales à la relation intellectuelle entre les termes des séries, et d'apporter ainsi à l'explication du rapport entre les monades un sens plus intérieur et plus profond. Les monades s'expriment les unes les autres en ce sens ~ qu'il y a un rapport constant et réglé entre ce qui se peut dire de l'une et de l'autre. C'est ainsi qu'une projection de perspective exprime son géométral ~,. Or, dans l'ordre de la métaphysique commre dans l'ordre de la géométrie, la correspondance terre à terme sera la source de l'harmonie. ~ Les perceptions qui se trouvent ensemble dans une même âme en même temps, enveloppant une multitude véritablement infinie de petits sentiments indistinguables, que la suite doit d6velopper, il ne faut point s'étonner de la variété infinie de ce qui en doit résulter avec le temps. Tout cela n'est qu'une conséquence de la nature représentative de l'âme, qui doit exprimer ce qui se passe, et même ce qui se passera dans son corps et en quelque façon dans tous les autres, par la connexion ou correspondance de.toutes lès parties du monde3.- ~ 133. - Le parallélisme de la mathématique et de la métaphysique apparait plus étroit encore, si l'on se reporte aux travaux de Leibniz dans les années qui précèdent la publication du Système nouveau de la nature e de la communication des substances. En 1692 et en 1694, Leibniz fit paraître dans les Acta erudéforum de Leipzig, deux mémoires où il introduit dans la géometric deux notions d'une importance decisive, les coordonnées curvilignes et les lignes enveloppes: de Linea ex Lineis numero infinitis ordinalim d ctlis inier se concurrentibus formata, easque ones tangente, ac de novo in ea re Analysis infinitorum usu; et la Nova calculi di#jerenlialis applicalio et usus, ad multi1. Lettre à Thomasius, d'avril, 1669; G, 1, 19. Cf. IIannequin, op. cit., II, 48. 2. Lettre Arlnauld, septembre 1687; G. Il, 112. 3. Eclaircissements des difficultés que MI. Bayle, tc,; G, IV, 523. 4. Cantor, II2, 2H1 e-L 215.

Page  227 LA MONADOLOGIE 227 plicen linearurn conlstructionen2, ex data tangenlitinu condition. Leibniz commence par rappeler les travaux de Desargues; au lieu de s'appuyer sur les coordonnées rectangulaires de Descartes, Desargues part de la considération de la convergence et de la divergence des droites et il fait rentrer le parallélisme dans le cadre de la convergence, en supposant que les droites paralllèes ont un point de concours à l'nfini. Sur le modèle d'une semblable généralisation, il est possible de concevoir entre des lignes une infinite de relations de position, qui seront susceptibles d'être interprétées par de nouveaux systèmes de calcul pourvu seulement qu'il y ait une loi faisant correspondre à chacune de ces lignes un élément géométrique déterminé. Par ekemple l'observation ds es catiqesde réfleion suggère que -Von peut former un syst3nme de lignes qui ne constituent pas, a roprement parler, un faiseau convergent, mais qui esL pourta.nt un système régulier: deux lignes très voisines, c'est-à-di e, suivant les expressions employees par Leibniz, diftérant infiniment peu ou ayant une distance infiniment peite, sont convergenees, et le point de convergence peut être assign. L'ordre de tous ces points de convergence engendre une ligne de convergence qui est le lieu cozmmun de tous les points de convergence des lignes voisines, etl offre cete particularité remarqiuable d'être tangente à toutees les droites dont les intersections mutuelles le constituent, La dscrt desrton d es relations géométriques montre avec quelle facilité le calcul infinitesimal en fournira l'interprétation analytique: le passage d'un point de la tangente à, un point infiniment voisin correspond à la différenciation. En comparant les équations qui e.xpriment deux lignes de la série, nous pourrons séparer les coefficients constants et les coefficients variables des équations; les premiers constituent des pramettres indifféren7iîabes qui correspondent aux conditions générales des lines; les seconds constituent les éléments diff'rentiables qui permettent de passer d'une ligne particuiière à la ligne voisiIne Cette mnthode, tire de l'observation d'une famille de droites peut être étendue à une famille de courbes. Leibniz en précise application dans son mémoire de 1694. I1 appelle ~ equation primaire ~ celle qui donne la. loi de série des courbes et qui en explique la nature commune; il apprend à former à côté d'elle les ~ equations accessoires ~ qui traduisent la dépendance réeciproque, des coefficients variables, et qui donnent ie moyen i. M, V, 266 et suiv.

Page  228 228 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE d'établir le passage de courbe à courbe: iransiumn de curva in curvuam. Par exemple, (x-b)2 - y2=ab est l'équation d'un cercle où b est un paramètre variable. L'équation peut se mettre sous la forme b2 - (a -- x) b -x2-y2. La différenciation suirant b conduit à la relation b = x +; introduite dans l'équation du cercle, cette relation donne y2 =a (Xt a ), c'est-a-dire que l'enveloppe de la série des cercles est une parabole'. Le succès de ces inventions mathématiques éclaire l'invention de la métaphysique leibnizienne; la relation entre l'équation particulière d'une courbe et l'équation générale de la famille, c'est, d'une façon très précise, la relation d'une monade particulière au système général des monades. Leibniz le reconnaît dans la conclusion de ses Remarques en réponse aux objections de Bayle, où il résume tout le développement de sa spéculation métaphysique: ~ Lorsqu'on dit que chaque Monade, Ame, Esprit, a reçu une loi particulière, il faut ajouter qu'elle n'est qu'une variation de la loi générale qui règle l'univers; et que c'est comme une même ville paraît différente selon les différents points de vue dont on la regarde. Ainsi... le monde ayant déjà une variété infinie en lui-même et étant varié tel qu'il est et exprimé diversement par une infinité de représentations différentes, il en reçoit une infinité d'infinités 2. La conception philosophique qui procède (le l'idée mathématique des ~ lois de série ~ est donc d'une portée absolument générale3; elle donne ouverture enfin pour découvrir en Dieu le principe géométrique qui a présidé à la création de l'univers. L'unité de la loi suivant laquelle procèdent les termes de la série manifeste l'ordre; l'infinité des termes qui en procèdent manifeste la richesse. De l'infinité des combinaisons infinies que Leibniz attribue à la ~ sagesse de Dieu * ~, sort un univers dont le ~ progrès ordonné ~ satisfait aussi exactement que la géométrie à la loi 1. M, V, 305; et Cantor III2, 215. 2. Remarques sur le Dictionnaire de Bayle; G, IV, 553. 3. Cf. Lettre à de Volder, du 10 novembre 1703; G, II, 258: ~ Concipe igitur in primitivis tendentiis, quod agnoscere oportet in derivativis. Et res se habet velut in legibus serierum aut naturis linearum ubi in ipso initio sufflciente progressus omnes continentur. Talemque oportet esse totam naturam, alioqui inepta foret et indigna sapiente. Neque ego vel speciem video rationis dubitandi, nisi quod inassuetis absterrentur. ~ 4. Théodicée, Part II, ~ 225. Cf. Réponse aux réflexions de Bayle G, IV, 556.?î. Cf. Animadversiones ad principia, II, ~ 45;... Ut Parabolaconsiderari possit

Page  229 LA MONADOLOGIE 229 de continuité: ( Je pense donc avoir de bonnes raisons, écrit Leibniz dans la lettre publiée par S. Konig au cours d'une polémique avec Maupertuis (1752), pour croire que toutes les différentes classes des êtres, dont l'assemblage forme l'univers ne sont dans les idées de Dieu, qui connaît distinctement leur gradation essentielle, que comme autant d'ordonnées d'une même courbe dont l'union ne souffre pas qu'on en place d'autres entre deux, à cause que cela marquerait du désordre et de l'imperfection. Les hommes tiennent donc aux animaux, ceux-ci aux plantes et celles-ci derechef aux fossiles, qui se lieront à leur tour aux corps que les sens et l'imagination nous représentent comme parfaitement morts et informes. ~ tanquam Ellipsis, cujus alter focus infinite absit; adeoque omnes proprietates Ellipseos in genere etiam de Parabola tanquam tali Ellipsi verificentur. Et hujusmodi quidem exemplorum plena est Geometria: sed natura, cujus sapientissimus Auctor perfectissimam Geometriam exercet, idem observat, alioqui nullus in ea progressus ordinatus servaretur. ~ G, IV, 375. 1. Apud Guhrauer, G. W. Leibniz, t. I, 1846, Remarques, p. 32.

Page  230 CHAPITRE XI L'ID ALITÉ MATHIMl 'ATI: 'UE E.T LL RÉALISME) METAPHYSltQUE 134.- La philosophic mathématique de Leibniz offre, pour l'objet que nous nous proposons, un intérêt capital. i fallait en suivre la marche pour voir de quel rayonnement i'intellectua lité moderne est capable. Le rmalthés2aismeq que volontiers on se figure réduisant les divers aspects des choses: la monotone d'une abstraction unique, s'adresse en rfait à la discipline la plus exacte-et la plus profnde qui s.oit dans le dessein de surprendre - a nature à la source de sonn nfinnitée d'egaler l t irm menise stubtiiliei ~ du movement unrverseI. S'inspirant du principe spinozisie (que i'intelligence est esseatiielenment inmouvenien et vie, mais renouvelant l'applica.ion de ce principle par 'es inventions de son génie nmathématique, Leibniz aborde et prétend résoudre ha totalité des problèmes que la philo-sophic peut rencontrer, depuis la determination 'de la somime due pour un re:tbo.ursement anticipeé jusqu'au secret du calcul par sequel Dieu a conçu les plans de la creation et choisi celui qui joint le maximum d'ordre au. naxzimutm de variété. La hardiesse de la pensée métaphysique qui 'ne connait ni limits, ni obstacles. s'appuie avec une pgéeision etl une ingéniosité admirables sur l'analogie des découvertes techniquees' Après le pythagorisme et le platonisme, après les systèmes des Cartésiens, le leibnizianisme offre une forme nouvelle, non moins féconde, non moins complete, de la philosophie mathématique. ' Pourtant, pas plus qu'aux doctrines antérieures, il n'est arrivoé à la philosophie mathématique de Leibniz d'imposer sa vérité aux génératioins qui suivirent; bien plus, i semble qu'elle n'ait pas réussi à se définir elle-même et à se fixer dans sa vérité intrinsèque. Quelles sont les raisons d'un tel échec, aussi considerable pour la philosophie moderne que l'échec du platonisme'a pu

Page  231 LA LOGIQUE DE DL'IDÉAL 23 l'être dans l'antiquité? dans quelle mesure sont-elles liées aux bases scientifiques de la doctrine? et la richesse extraordinaire dont témoigne la spéculation leibnizierne, n'a-t-elle pas été achetée au détriment de l'homogénéié structurale? Peut-être, en réfléchissant sur la façon dont Leibniz fait servir les procédés qui réussissent dans la science à l'éclaircissement des problèmes métaplysiques, est-on conduit à distinguer deux motifs logiques, motif de l'actuel et motif de l'iddal,.dont Leibniz a marqué avec netteté l'opposition: ~ In actualibus simplicia sunt anteriora aggregatis, in idealibus tour est prius parte ~ - et peut-être y a t-il lieu de se demander si la difficulté essentielle du système, comme aussi son origitalité, ne vient pas du perpétuel enchevêtre ment de ces deux motifs. LA LOGIQUE DE L'IDÉAL 135. -- Quels sont les rapports entre la logique de l'acueI et la logique de l'idéal? En un sens celle-ci est d'un ordre plus élevé que celle-là. L'arithmétique et la géométrie élémentaires ne connaissent que les procédés vulgaires de l'addition et de la soustraction; mais la science générale des grandeurs, à laquelle on-doit le calcul des fractions, ou 1'~ analyse de l'infini ~, suit une marche inverse: ~ Unitatemque esse principium numferi, si rationés spectes, seu prioritatem nature, non si magnitudinem, nam habemus fractiones, unitate utique minores in infinitum. ~ Dans des Remarques de 169a sur les objections de M. Foucher (contre le nouveau système de la communication des substances3), Leibniz décrit avec précision cet ordre idéal: ~ Le nombre, en abstrait est un rapport tout, simple ~, c'est-à-dire qu'il n'est ~ nullement form par la composition d'autres fract t. tions ~ comme, ou 8 qui représentent cependant ses parties. On ne pourra c venir aux plus petites fractions, ou concevoir le nombre comme un tout form par!'assemblage des derniers éléments; il en est de même d'une ligne qu'on peut diviser, tout comme un nombre >~ Ainsi ~ l'6tendue ou l'espace et les surfaces, lignes et points, qu'on y peut concevoir... n'ont point de principes composants, nton plus que le nombre ~. 1. Lettre à des Bosses, du 31 juillet 1706; G, II, -379. 2. Lettre au même. du 14 février 1706; G, II, 300. 3. G, IV, 491 et suiv.

Page  232 232 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE Le développement de la mathématique se fait donc par une génération de rapports; mais ces rapports ne sont point des choses chimériques; [ils] renferment des vérités éternelles, sur lesquelles se règlent les phénomènes de la nature 1.: L'idéal est la forme du sensible, le critère du réel': ~ La trop grande multitude des compositions infinies fait à la vérité que nous nous perdons enfin, et sommes obligés de nous arrêter dans l'application des règles de la métaphysique aussi bien que dans les applications des mathématiques à la physique; cependant jamais ces applications ne trompent, et quand il y a du mécompte après un raisonnement exact, c'est qu'on ne saurait a.3ez épltcher le fait, et qu'il y a imperfection dan:s la supposition. On est même d'autant plus capable d'aller loin dans cette application, qu'on est plus capable de ménager la considération de l'infini, comme nos dernières méthodes l'ont fait voir. Ainsi, quoique les méditations mathématiques soient idéales, cela ne diminue rien de leur utilité, parce que les choses actuelles ne sauraient s'écarter de leurs règles; et on peut dire, en effet, que c'est en cela que consiste la réalité des phénomènes, qui les distingue des songes 2. ~ C'est pourquoi il est inutile, il serait même absurde, de prétendre réaliser dans Tintuition les idées que l'analyse infinitésimale met en jeu: ~ Le principe de continuité... pourrait sçrvir à plusieurs vérités importantes dans la véritable Philosophie, laquelle s'élevant au-dessus des sens et de l'imagination, cherche l'origine des phénomènes dans les régions intellectuelles 3. 136.- Dès lors, on peut affirmer que ~ toute la continuité est une chose idéale 4 ~ sans affaiblir, je ne dis pas la valeur intrinsèque du calcul infinitésimal, mais même la portée de son utilisation métaphysique. En effet, Leibniz a dû, malgré lui ou tout au moins contre son attente', demander à la science de l'infini le secret de l'union entre l'âme et le corps 1. G, IV, 491 et suiv. 2. Réponse aux réflexions de Bayle, G, IV, 569. Cf. NE., IV, ~ 5. ~ Le fondement de la vérité des choses contingentes et singulières est dans le succès qui fait que les phénomènes des sens sont liés justement comme les vérités intelligibles le demandent. ~ 3. Gurhauer, loc. cit., p. 33. 4. Lettre à Yarignon, publiée dans le Journal des Savants de 1702; MA IV, 93. 5. Il écrit à propos du problème de la liberté: ~ Tandem nova queedan atque inexpectata.lux oborta est unde minime sperabam: ex considerationibus scilicet -mathematicis de natura infiniti. Duo sunt nimirum labyrinthi humane mentis, unus circa compositionem continui, alter circa naturam libertatis, et ex eodem fonte infiniti oriuntur. ~ De libertate, Ed. Foucher de Careil, Nouvelles lettres, 1857, p. 179. Cf. Coùturat, op. cit., p. 210.

Page  233 LE RÉALISME SPATIAL 233 ~ Mes méditations fondamentales, écrit-ilà ' llectrice. Sophie, roulent sur deux choses, savoir sur l'unité et sur l'infini. Les ames sont des unités, et les corps sont des multitudes'. ~ Or, l'âme unit n'est pas l'é61ment du corps multitude; au contraire, la multitude étalée dans l'étendue est relative à l'unité du sujet qui est le centre de la perception. La logique de l'idéal, en tant qu'elle contredit l'ordre des sens et de la matière, en tant qu'elle va de la multitude a l'unité, non de l'unité à la multitude, est donc impliquée dans la solution que Leibniz donne au problème fondamental des rapports entre le corps et lâme. Elle permet à la fois de fonder la théorie de la monade sur la continuity de la vie intérieure, et d'égaler cette vie intérieure à la vie universelle. L'espace, au lieu d'être intellectuel, mais réel, cormme le voulait Descartes, devient chose ~ veritable mais idéale' ~. Il ne peut plus prétendre à la dignité de la substance; il est un ~ ordre de simultanéité ~, extrait par la réflexion de l'ensemtble dès perceptions, relatif à l'existence originelle de la monade en qui l'univers est compris. Au r6alisme de Newton, qu'il soupçonne de favoriser les tendances matérialistes, Leibniz opposera l'idgalité de l'espace, et l'idéalité corrélative du temps, comme les bases de l'affirmation spiritualiste: (( La source de nos embarras sur la composition du continu vient de ce que nous concevons la matière et l'espace comme des substances, au lieu que les choses matérielles en elles-mêmes ne sont que des phénomènes bien réglés: Spalium nihil aliud est precise quam ordo coexisfendi, ut Tenipus est ordo existendi, sed non simul. Les parties autant qu'elles ne sont point marques dans l'étendue par des phéinomènes effectifs, ne consistent que dans la possibilité, et ne sont dans la ligne que comme les fractions sont dans l'unité.t'. ~ LE RÉALISME SPATIAL 137.'- Ainsi la logique de l'idéal correspond non pas seulement à un idéalisme mathématique, mais à-Un idéalisme métaphysique, dont Leibniz aperçoit les consequences avec autant de netteté que les principes. Le bienfait' de l'idéalisme, c'est d'écarter, dès leur énoncé même, les problèmes insolubles aux1. Lettre du 4 novembre 1696, G, vII, 542. 2. Cf. Apostille eune lettre à l'abbé de Conti, Biefwechsel, éd. Gerhardt,,,265. L'espace et le temps ~ sont des choses véritables, mais idéales, commune es nombres ~. 3. Lettre à emrond, du 14 mars 1714, G, I11, 612.

Page  234 234 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHIEÉMATIQUE quels se heurtait le réalisme ontologique. Par exemple, remarque Leibniz dans le quatrième écri! contre Clarke, < si l'espace et le temps étaient quelque chose d'absolu ~, il y aurait lieu de se demander pourquoi Dieu fait avancer l'univers dans telle direction, ou pourquoi il l'a créé à telle époque; sinon les questions elles-mêmes correspondent à des ~ fictions impossibles r, et elles s'évanouissent. Mais cet avertissement que Leibniz, à la fin de sa cairrière, donnait à Clarke, il est possible qu'il ne l'ait pas toujours entendu pour son propre compte. Fidèle à l'ambition qui avait inspiré ses premiers écrits philosophiques, il n'a vu qu'une sorte de pis aller dans l'idéalité de ce processes infinitesimal, auquel il a dû cependant tant de découvertes inattendues. Pour passer de la théorie de la monade, considérée comme (~ monde à part2 ~ et se suffisant à soi-même, au système des monades ou monadologie proprement dite, il lui est arrivé d'abandonner la logique de l'idéal ou du rapport intellectuel, et de revenir à la logique de l'addition et de la juxtaposition spatiale, àla logique de l'actuel. Leibniz emprunte à Spinoza la conception spirituelle de la substance, activité spontanée, excluant tout rapport d'extéiorioté: rien nest donné hors de la monade, comme rien n'est donné en dehors de la substance 3. Seulement la proposition spinoziste est véritablement une proposition ultime, il n'y a pas un au-delà de la substance, tandis que pour Leibniz la monade, en tant qu'existence singulière, est l'élément d'une construction métaphysique, destinée à déterminer les rapports d'une pluralité de monades: ~ Par les âmes, comme par autant de miroirs, l'Auteur des choses a trouve le moyen de multiplier l'univers même pour ainsi dire, c'est-à-dire d'en varier les vues, comsnme une même ville parait différemment selon des différents endroits dont on la regarde ~. Reste-t-il possible alors de maintenir cette idéalité de l'espace, qui était la base du spiritualisme lei-bnizien? L'espace était relatif au point de vue sous lequel la monade envisage 1. ~ 13-16. G, VI1, 373. 2. Discours de métaphysique, XIV; G, IV, 439. Éd. Lestienne, p. 49, 3. ~ Naturellement rien ne nous entre dans l'esprit par le dehors, et c'est une mauvaise habitude que nous avons de penser comme si notre âme recevait quelques espèces messagères, et comme si elle avait des portes et des fenêtres. ~ Ibid., XXVI. G, V, 451. Ed. Lestienne, p. 73. 4. Lettre d l'électrice Sophie du 31 octobre 1705. G, VII, 567. Cf. Lettre à la reine Sophie-Charlotte, du 8 mai 1704, G, III, 347.

Page  235 LE REALISME SPATIAL 235 l'univers; voici maintenant que les divers points de vue des diverses monades sont donnés simultanément; il existe un lieu des points de vue, un ordre spatial, mais auquel cette fois les monades sont relatives, et qui acquiert la valeur métaphysique d'un absolu: ~ Chaque âme est un monde en raccourci, représentant les choses du' dehors selon son point de vue, et confusément ou distinctement selon les organes qui l'accompagnent, au lieu que Dieu renferme tout distinctement et éminemment 2. ~ 138. - Sans doute, comme l'a suggéré M. Russell, dont les critiques acérées portent ici à plein3, faut-il voir dans cette doctrine un résidu de la première philosophie de Leibniz où la liaison de l'âme et du lieu s'opère grâce au moyen terme du point indiJisible et inétendu. Leibniz ne se strait pas aperçu qu'il réintroduisait effectivement la réalité de l'espace dans une philosophie qui en avait proclamé lidéalité, parce qu'il ne s'agissait pas là pour lui d'une opération positive: il n'avait pas à démontrer la réalité objective de l'espace, lieu géométrique des points de vue de chaque monade; mais simplement il ne poussait pas jusqu'au bout la reduction idéaliste des notions spatiales. il laissait se glisser dans la pénombre, sous la forme adoucie d'une métaphore, cette connexion de l'âme et du point don't il avait aperçu,a et dénoncé, linsuffisance scientifique et le caract8re mnaterialiste:,( Les points physiques, écrit-il en 1695, ne sont indivisibles qu'en apparence: les points mathématiques sont exacts, mais ce ne sont que des modalités: il n'y a que les points métaphysiques ou de substance (constitués par les formes ou âmes) qui soient exacts et réels, et sans eux il n'y aurait rien de réel, puisque sans les véritables units il n'y aurait point de multitude 4 >. En tout cas il est inevitable que le problème se pose au coeur du leibnizianisme: comment traiter ces points mnétaphysiques sans subordonner, dans les pro(céd6 que suggre l'ana logie du calcul infinitésimal, l'analyse à la géométrie, le devenir intellectuet a la representation spatiale? Or, nous l'avons vu, lorsqu'il s'est proposé d'expliquer non plus la substance et la monade, mais la plurality des substances et des monades, Lebniz emprunte à ses recherches sur les series infinies, l'idée de correspondence ou d'expression. L'harmonie établie par le Créateur entre les différentes creatures est du mêmerde ordre que l'harmonie établie 1. Au lieu de au, leçon de Gerhardt. 2. Lettre à la princesse Sophie, 6 février 1706. G, VII, 566. 3. Op. cit. ~ 69 et suiv.; tr. Ray., p. 136 suiv. 4. Système nouveau, G, IV, 483.

Page  236 236 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉEMATIQUE entre leA différentes courbes grâce à la connexion de leurs déterminations analytiques. Les monades sont des ~ fulgurations 1 ~ de;Dieu, qui se correspondent nécessairement entre elles puisqu'elles représentent toutes une même réalité comme diverses projections représentent un même géomélral. Sans doute Leibniz. s'efforce de diminuer la distance entre ces courbes, de telle façon qu'elles semblent se toucher; il supposera la différence entre deux monades plus petite que toute quantité donnée, et l'assemblage de la multitude aura l'apparence extérieure de la continuity interne. Mais la difficulté initiale demeure la pluralité des termes doit être posée antérieurement au processus analytique qui permet de les relier; elle implique un rapport de simultanéité qtui, sous une forme aussi épurée, aussi sublimée que l'ons voudra, retiendra pourtant le caractère essentiel de la spatialité, et qui par-suite, Leibniz y a fortement insisté, demeure irréductible à la pure intellectualité 2 139. - Si l'espace est l'ordre des coexistences, la création ne s'imagine que dans l'espace; elle conduit à concevoir un Dieu qui imagine dans l'espace: ~ Or, il est premièrement très mahifeste que les substances créées dépendent de Dieu qui les conserve et même qui les produit continuellement par une manière d'émanation, comme nous produisons nos pensées. Car, Dieu tournant pour ainsi dire de tous côtés et de toutes les façons le système général des phénomènes qu'il trouve bon de produire pour manifester sa gloire, et regardant toutes les faces du monde de toutes les manières possibles, puisqu'il n'y a pas de rapport qui échappe à son omniscience; le résultat de chaque vue de l'univers, comme regardé d'un certain endroit, est une substance qui exprime l'univers conformément à cette vue, si Dieu trouve bon de rendre sa pensée effective et de produire cette substance'3,, ~ I. Monadologie 1714, ~ 47. 2. Cf. J. Lachelier, Bulletin de la Société française de philosophie, '902, p, 85.. 3. Discours de miéaphysique, XIV. G, IV, 439. Edit. Lestienne, p. 46. Dans une lettre à l'électrice Sophie, qui reproduit à plus de trente ans de distance la comparison de la lettre à Thomasius, citée -~ 132, Leibniz éeri: ~ [Dieu] est le centre universel, et il voit le monde comrnm je verrais la ville d'une tour [et non d'une cour, comme écrit Gerhardt] qui y est, c'es;-k-dire bien; nous *ie sormmes que des centres particuliers, et: ne voyons le monde présentement que par deux trous de notre tête, ou comme je ver'rais une ville de côté. ~ G, VII, 556. Ailleurs Leibniz attribue à Dieu ces visions particulières ~ Mundus unûs et tamen mentes diverse. Mens igitur fit non per idea corporis, sed qui a variis modis.Deus mundum intuetur, ut ego urbem ~. (Ad Ethicamn Il'

Page  237 LE RÉALISME SPATIAL 237 Dès lors, tout le spiritualisme de Leibniz, lié h l'idéalité de l'espace, va se trouver vidé de sa signification originale et univoque; une sorte de fatalité condamne l'auteur de la Monadologie à placer, en face de chacune de ses thèses sur l'immatérialité et sur l'autonomie de la monade, l'affirmation directement contraire. ~ Chaque âme est un miroir vivant représentant l'univers suivant son point de vue, et surtout par rapport à son corps ~. Et le corps lui-même se résout dans le système des relations qui rendent notre situation particulière solidaire de l'ensemble de l'univers: ~ Etiam que loco different, oportet locum suum, id est ambientia exprimere, atque adeo non tantum loco seu sola extrinseca denominatione distingui, ut vulgo talia loncipiunt., La reduction que Leibniz croyait avoir opérée, des dénominations extrinsèques dans l'espace et le temps aux déterminations intrinsèques de la substance est donc illusoire. Approfondir une substance particulière, c'est y retrouver la totalité des conditions universelles qui pèsent sur elle comme une contrainte extérieure, et y introduisent la limitation de la matière métaphysique: ' Je ne pense pas, écrit-il, à de Volder, qu'il y ait aucune substance qui n'enveloppe une relation à toutes les perfections de chacune des autres3. ~ La ~ parfaite spontanéité > de l'âme aà l'égard d'elle-même >>, ne doit s'entendre que sous réserve d'une ~ parfaite conformité aux choses de dehors i. ~ Cette loi de l'ordre, qui fait l'individualité de chaque substance particulière; a un rapport exact à ce qui arrive dans toute autre substance, et dans l'univers tout entier 2. ~ G, I, 151). Enfin à cette multiplicité d'intuitions qui engendre la diversité des êtres, il semble que Leibniz fasse correspondre une multitude de conceptions successives en Dieu, qui engendrerait la diversité des moments (passage d'autant plus remarquable qu'il se rattache dans la pensée de Leibniz à la demonstration de l'idéalité du temps). ~ L'on peut conclure aussi que la durée des choses, ou la multitude des états momentanés, est l'amas d'une infinité d'éclats de la Divinité, dont chacun, à chaque instant, est une création ou reproduction de toutes choses, n'y avant point de passage continuel, à proprement parler, d'un état à l'autre prochain ~. Lettre à l'électrice Sophie, du 31 octobre 1705, G, VII, 562. 1. Remarqucs sulr Rayle, G, IV, 532. 2. Lettre à de Volder, 1703, G, II, 250. 3. Lettre d'avril 1702: ~ Ego vero nullam esse substantial censeo quce non rclationem involvat ad perfectiones ones quarumcumquc aliarunm,. G, II, 239. Cf. Lettre à des Bosses, du 29 mai 1716, G, II, 516. 4. Système nouveau, G, IV. 484. 5. Eclaircissement des difficultés de Bayle, G, IV, 518.

Page  238 238 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE LA LOGIQUE DE L ACTUEL 140. -Il semble donc qu'à un moment donné il s'introduise dans la substructure logique du leibnizianisme une diversité de rythme et d'orientation, qui devait en compromettre l'équilibre. Ce serait, selon nous, lorsque délaissant le point de vue de la monade où l'univers s projette sous la forme de la continuity intérieure et de l'idéalité, Leibniz se place au pint de vue de la monadologie qui exige que l'on confère aux monades un ordre de coexistence, qui implique par conséquent, et qui rétablit devant le regard de Dieu même; la réalité du milieu spatial. A ce moment, l'unité cesse d'exprimer la double infinité de l'étendue e de la durée; elle redevient l'élément simple de Pythagore et de Démocrite. L'univers se constitue suivant l'ordre de 'aritlhmétisme ou de l'atomisme. La publication de la Monadologie (dans une traduction laLie, 1721.) fixe les traits populaires du système: ~ La monade don't nous parlerons ici, n'est autre chose qu'une substance simple, qui entre dans les composes; simple, c'est-à-dire sans parties. Et il faut qu'il y ait des substances simples, puisqu'il y a des composes; car le composé n'est autre chose qu'un amas ou aggregaumr des simples. Or, là où il n'y a point'de parties, il n'y a ni étendue, ni figure, ni divisibilité possible. Et ces monades sont les véritables atomes de la Nature, et,.en un n mot, les éléments des choses. ~ L'imagination métaphysique parait aller, comme l'intuition sensible, en sens inverse de la logique e l'idéal. Si, dans les Remarques écrites en réponse à Foucher, Leibniz a dénoncé ~ la confusion de l'idéal et de l'actuel ~, c'est pour réfuter, non seulement ~ ceux qui [composant] la ligne de points, ont cherché des premiers éléments dans les choses idéales ou rapports tout autrement qu'il ne fallait,,, mais aussi ~ ceux qui ont trouvé que les rapports comme le nombre ou l'espace (qui comprend l'ordre ou rapport des choses coexistentes possibles) ne sauraient être formés par l'assemblage des points; [ils] ont eu tort pour la plupart de nier les premiers éléments des réalités substantielles, [comme] si elles n'avaient point d'unités primitives, ou comme s'il n'y avait point de substances simples, En d'autres termes, la suprématie des relations intellectuelles sur la représentation matérielle n'empêche pas ces relations {. G, IV, p. 491.

Page  239 LA LOGIQUE DE L'ACTUEL 239 intellectuelles d'être ensuite subordonnées aux exigences d'une composition qui se fait dans le domaine de l'absolu comme elle se fait pour la perception vulgaire. Telle sera la conclusion des Reinarques de 1695 ~ Le rapport total d est antérieur (dans le signe de la raison, comme parlent les Scolastiques) au rapport partial, puisque c'est par la sous-division du demi qu'on en vient au quatrième, en'considérant l'ordre idéal; et il est de mêrne de la ligne, ou le tout est antérieur à la partie parce que cette partie n'est que possible et idéale. Mais dans les réalités oùuil n'entre que des divisions faites actuellement, le tout n'est qu'un résultat ou un assemblage, comme un troupeau de moutons'. ~ L'idéalité de la mathématique avait donné le moyen de résoudre l'actualité apparente de la représentation sensible; elle est tenue en échec par l'actualité de la composition métaphysique. Elle dépasse l'arithmétique et la géométrie de l'homme, qui aboutissent à la monade; elle est dépassée par l'arithmétique et la géométrie de Dieu, où la in onade est un élément. Bref, Leibniz est capable de trancher le conflit de l'idéal et de l'actuel tantt qu'il n'est en présence que de deux termes: actualité sensible et idéalité intelligible; mais son système en exige trois: actualité sensible, idéalité intelligible, actualité néfaphysique; et c'est pourquoi les efforts tentés pour diésiper la confusion ne font que mettre en evidencee l'inextricable embarras de la doctrine. I. Ibid., IV, 492. Leibniz ajoute ces quelques lignes qui montrent bien comment, au terme de la doctrine son réalisme ramène les ~ innombrables difficultés ~ que contenait, comme il l'écrira plus tard à des Bosses (P..S. cité, ~ 129, G, IlI 372), sa doctrine primitive des aâmes-points: ~ Il est vrai que le nombre des substances simples qui entrent dans une masse quelque petite qu'elle soit, est infini, puisqu'outre l'rme qui fait l'unité réelle de l'animal, le corps du mouton (par exemple) est sous-divisé actuellement, c'est-à-dire qu'il est encore un assemblage d'animaux ou de plantes invisibles, composés de même outre ce qui fait aussi leur unit réelle; et quoique cela aille à l'inini, il est manifeste qu'au bout du compte, tout revient à ces unités, le reste ou les résultats n'étant que des phénomènes bien fondés. ~ Or il semble bien que Leibniz mâle deux problèmes différents: compter les éléments du troupeau, et compter les éléments du mouton. La réponse de Leibniz est en dernier lieu relative au second problème, la logique de l'idéal permet de concevoir l'infinité de l'univers comme immanente a l'unité monade; mais il avait posé le premier problème, où les units monades entrent dans la composition de l'univers, suivant la logique de l'actuel.

Page  240 240 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE LE CONFLIT DE L'IDÉAL ET DE L'ACTUEL 141. -L'opposition des deux motifs logiques trouvera sa con — firmation, et comme sa justification historique, dans la doctrine des antinomies kantiennes. La logique de l'actuel inspire les thèses; la logique de l'ideal inspire les antithèses. Toutes deux apparaîtront ainsi comme exprimant des exigences également fondées dans la nature de la pensée humaine; en s'affrontant pour le progrès de la critique philosophique, elles manifesteront, par leur contradiction profonde, les conditions qui sont faites à l'esprit individuel: en tant qu'esprit, il est capable de se former une idée totale de l'univers a travers la double infinité de l'espace et du temps; en tant quindividu, il subit la double détermination qui s'attache à chaque endroit de l'espace et à chaque moment du temps. L'univers que l'homme connait est en lui; l'homme vit dans l'univers. Mais, en attendant que Kant vint s'y appuyer pour changer l'orientation de la réflexion philosophique, il était inevitable que le conflit de l'idéal et de l'actuel, latent à travers tout le leibnizianisme, en compromît le succès immédiat. D'une part, les métaphysiciens qui se réclament de Leibniz, se donnent pour tâche de faire rentrer les doctrines de la Monadologie dans les cadres d'un rationalisme purement logique, sans maintenir le contact immédiat avec le dynamisme de l'intelligence mathématique, qui avait été le moteur effectif de la pensée leibnizienne. D'autre part, les mathématiciens de l'école leibnizienne sont éloignés des principes philosophiques qui avaient inspire, et qui étaient capables de justifier, l'analyse infinitésimale, par le discredit dont le maître s'était plu à frapper sa propre conception de l'idéalité. Il semble que nous touchions ici a l'un des plus grands paradoxes de l'histoire,:au paradoxe central dans l'évolution de la philosophie mathématique chez les modernes. Nul n'a mieux que Leibniz compris comment l'intellectualité du processus infinitésimal, permettant d'entendre ~ par l'infiniment petit l'état de l'évanouissement ou du commencement d'une grandeur, conçus à l'imitation des grandeurs déjà formées )>, fondait rigoureusement la légitimité de l'analyse nouvelle. 1. Thédodicte, Discours de la conformité de la Foi avec la Raison, ~ 70. Par c( qui précède, on voit que Leibniz oppose cette conception à l'interprétation réaliste: ~ On conloit un dernier terme, un nombre infini, ou infinimeni petit; imais tout cela ne sont que des fictions. ~

Page  241 LîE CONFLIT DL'1 L'R)BAL ET DE L'ACTUEL Ç Et Pou cLat ce n~ie eidmiz, qui, w coinphaixui à VYe t-1. se iatldi dRavoio 1 été e LIS heureux Rn dî,i"ep1e, fl? réussit ils w ie' hvrer" le secret le son iléalisme, "i l ri f i re aiu qii uee cuise p.i-' 1 dils îîiéiri&-nié iatotW e; eu in.hîu~ti, 1' îa!. '4 i j') ~oie ~te contr0 Jî'l'u5ho I iC'n tir ï ii ~i~i1idi:, Oil d<é.t'i anl:jimei-nt p~,etilr, ce (àe ee uoi-n- oide i'on 'y (uUOî nOl ti i;i:: 1",lC'iv"i~c dàun f1ri11 aux etï en0e, dC, înt i Àon t'î 0, iSse4 i îe eondum ne ix' Ms prIncipe du re' lisriie. Jl' oui an (1 'nie il iavoque i îrOPO, îtodu i' e< ie r l'irdbïiFl poeur *'e'e tL'e les notion'n de, sofl ona m'u a Il e au raivd poLi" 'se' sa"î eo'n"îs suce îuhm'equ an ( o - d.lr'ict.io~ JliÂnfl axrii- c les cO~li) K.tr!:~c (i nîunIC~:te de Ua realiésu i"naIs q ari,à n~ec: dIexactitude t hî'î1U1,e se. etjat de l'a;prceala' - a j"''ri' t tV(fe-zq.noqn îe'bn Oui ni ion 'IM Se uns, e i ijQ n? Lî tiraet pas d la c 1 s- sie? <in peuit 'lu ie ge- era que i on te ki env ' lïu est une clu>'il IdO e <t qCi tt il a inarlaie aans iv nnl qu'.'i;-i~it. dess plnrtîeas partl'ain eme~-riat inia t'nianias; me- e ni oitoru D0>eulse te id:el ne~ use pas de sg oouvexier parraitern7îmi p"me I'rdcf hitisir'nt et ~l, ~:1 se thoAxe, qu lle les -renes cis fdu n'e reisnsssent cOmil1s Ledialni, coldliV'e "t i av (MS auines -u irde 'I. el înet, n'sigx7abLe'ls dei Is nlatKur) qîtoîqu1 n1, Se îeni b'1 ml' C va èri aiCul nt nc'Ci itnu Ao dxe'ev"unnqi ie<(i"Y s p i:-: z~tc.il es î n p e to Szz inEl ~ J I bliHii l"e1S'u5'"'~' '~"' ~ nul, 4]fi tri çC l'T'': ci~i hîl.c;t~, heuiiizn ~C."P" WRli tq joquo i'tu e-c'tflt v dîv-inre c t( Le ela t îe p ix ii jaiuî: <s e k A, k' ni' I âro de Igenidd>n<e e'nl << 1< I î n ~~~~~dicte I~ Xa~Ï~orthuîr:re.ci du; oeI ni`i - r'-t;A i 0 ~ Vn- nie i" <a dynairnîqueïo pun'r lu Ii n'tà o de en, 'e e' 'e e' I~~~~ dIVn pseotu< 'ni s nef' vin. es <M 5 d O'i"'U1î-é e id [ 1- I A ~ d< 4?bo L U l' "le 'i e~ e 'pi '' ïîe î ra nu ie, leur mtîe'ui' leilc Deiiiùiiiei(;.l i U i1iI. i I i i plu" lei'eu\cux eti1 ule, O i '- S. ruj "'echiel, (i. Ge Ihe, ie ll 2. Vo ir la e, I r er oo' rii d a,'te Gi C eÜai J i< 'idoUi (hî(re du 7 d i i 1 î08 8.J M iï î i)re J' eltetiie<ic C ou4 ier " d ie li 'tL'c res c t i Se ij4- i< ~ s" ~i~~, ~~.. 9' i i i el ~d ee i A i Ile '/ ' ii ne ' t emu' l' Hie ~'i, b~trii i '>1 i 44 IlIU>' ii dc"(i t"i c "'il '<ii t riii pcîrtiîsan de t < i E ê"' caje- i

Page  242 tS;2 $S ÉTA.ES D1 DE LA PHILO.SOPHIE MATHIMATIQUE sent à is contem porains, prend l'aspect d'un relativiisme sceptiqiue, dont on concoi. qu'ilAs se soient scandalisés. Dan-s une iettre écrite, quelques semrifIes ayant sa mort, Leiî-x fai t un récit bien instxalctif à cet érd: ~ (untd [nos 'mis dis ut r'ent en France..., je leur I moignai que je ne - nv:ls proit qu'1i y e.At des ranude i urs vrl t ablem ei nt fnies n i.é.:i.t:- 5 abJs. em sJLt j,,,in, lté simes. q'uie ie t eu des u c.tiln maisç des flci.ions utiies pour abréger et pourt piarier uni verselleren,, ic meUr les r cines imaginaires dans 'albre teltes graidin w sable mêmenIl 34 celui du globe (e 'a Ter 4 la itstane re dI' li 11 fixe de nous,. 5,l gralll.deu.i. de Ot oIdtm e e sys t-me. iids. r1 xes.; iSfîie (l}0tç ujie o ft yéareti e oi seond I uéerg t é, 2~ unel r{f{t:rr.?,:~te te diu pru-temier.degré, 3" une ligne ord na re assignable, 4 un i. i;i fitne Se 'ne ligne infinimen. atiniie, Ei' plus on I'ais il I proportion onu 'intervalle, grand entrie ces debiegs, iplus on apprschait de ' exactitude, et plus oni po'uva.,it rendre l'erreur pe.;.i-. c nurme la tt rancher itoutl 'luOt ctot.ip par lat:cioXi d'un interval te il.fi.i, qui poutv\ait toujurs étre rjéalisée à: t:ia çion de i.ot.. >it '. r',/'deci.e. Jais'. M marquis de l'ilospilai cro.ait iue par la je trahissais-a i 8catuse, ils mîie prière t de n 'n..ie. ir., d;itr ce que j'en avais dit dans un endrit des acte:i. d<:..eipzic, e?t il me fut aisé de d;iéférer curs p rirp LM 'ané. se nuia, idans I'Eogt e I.e eibniz q'il p rononailI, A l'aa.de A es S U cieces de Paris, F onele,t s'eprEat 'aiifc:t I It ne faut ['as dissimuler ici îne h.>iose asez sing i è1re. Si;M. i,:bni" t',, est ua o. de son coté, a;iis'.i ben qle M Ne,wtjion, i miveaeur du sy stim,:u des Intinimaent peit.s, il s en t' elt ininir'En, peau. Ii a connu ceit infinit d'or dr d infein i t nt pe t i.louJe' s ini'imeni pl~tus petits peis e. t ue le s autries, eL cela rdans ma rig'i{e-r' gçontrique' et les pnlus grands gComnùl rel oati aiop. cetle. id..é dans 'toute ce.tt rieaur. 11I se imble repn-. da:.i t"t'ii eln ait ensuite t:eté effrayé ni uei-femêtme, el, qnt'i'l ait, cra it' i e ces d iiT'ents ordires d'ini-mimeni, petits ntaient que des gr'aetutim -r itncompiips,'ahle, à causeP de teur ex rmrise iinegalité, corni e le seaienl 'i n g rain de salte et le giobR e Ie t terre, ia 'teri et la sthète qfi. compriend ls t in est. ( )e'. r, te ne i ' rai, *,t,'ur: gr d e io t l. ma. i n.on ipas *in ni, t'e'l. i.,crittt ei.t Stj-.i bre t.1 717, it D-it ts, til, t500-. Ct. Letr 1 7} Pinson le 2' t! 111 ' 17i, ' V, p. 95, f': iJt"r: ù 'ftt or dI. t d'evrier 170ii,,, tl, )i. 91.

Page  243 LA <( METAPHYSIQUE ~ DU CALCUL INFINITESIMAL 243 qu'on l'établit dans ce système. Aussi ceux-mêmes qui l'ont pris de lui, n'ont-ils pas pris cet adoucissement qui gâterait tout. Un architecte a fait un bâltiment si hardi qu'il n'ose lui-mnime y loger; et il se trouve des gens qui se fient plus que lui à sa solidity, qui y logent sans crainte et, qui plus est, sans accident. Mais, peut-être, l'adoucissement, nq'était- i qu'une condescendance pour ceux dont l'imagination se serait r voitée. S'il faut tempérer la vérité en gé'ométrie, que sera-ce en di'aut.res matières?, LA ~ MA'TAPIiTY1IQE ~) DU CALC(i..!NFNITîESiiMAL.43. - L'effort pour déterminer la place que le leibnizia.isme occupe dans l'évolution de fl philosoiphie mathématique, aboutit à une conclusion qui est d'apparence déconcertante. Le dessein initial de la doctrine avait été de faire reposer sur la d(1co'uverte de nouvelles méthodes intellectuelles le renouvellement de la speculation philosophiqlu; la destinée finale a é6é de jeter le soup'on, presque'e l discrédit, sur e ioind(ment },Tehioso.phique des m6thodes elles-mm ses. Les discpl de libni au lieu d'être affraichis par leur maitre du Ipréjugé raliste, se sont c1rus astreints à justifier dans l'intuition i'existence d'ltinents infinitésimaux. Ils se sont engagés ainsi dans les aventures d'une métaphysique sansssue, i dont les obscu.rités et les contradictions, rendues plus choquantes encore par la solidité et la fécondité des résultats techniques, furlent le scandal du xv ir. siècle. Le premier trait, le plus frappant peut-tre, de ce- tableau eAst folurni par l'ouvrage où ce mêarme F ontenelle, que Leibniz avait averti de ne point ~ pousser au delà du bon sens 2, se flatte de surmonter les faiblesses et les timidités de l'exposition leibnizienne: ~ e Jquel ioids, écrit-il en t>7I dans la Pr'/ace 'aux Élémenit s de la Géomnztréle de l'.nfini, ne doit pas être l'aautorlité de l'nventeu:ir contIe l'invention? Malgr' olut cela i' ifini a iriomphé, et s'es-, emparé de toutes les hautes spSéculations des tGeomlètres. Les infinis ou Infiniment petits de tous les ordres sont aujourd'hui egalement établis, il n'y a plus deux partis dans l'Acaedémie, et si M. Lei-bits a chanceleé on se fie plus:aux lumières qu'on tient de lui, qu'a son autonriit mnime.,, La philosophie ma:thmatinque de Fontenellel esl n dlogma". is i. Elojges (éd. 17I6s). Tom<' o. 1p. p 81. 2, Letires et opuscules, d(i. Foucher de Ctareil, ti834, pl. 234.

Page  244 24.4 LEÉS ETAPES DE LA PHILOSOPHIE hfMATHEMATIQUE absolu:, La Géométrie est toute intellectuelle, indépendante de la description actuelle et de l'existence des F'igures don't elite cd-couvre Tes Ipropridéts. Tou ce lu'elle c)onoztri ncesesaire est réel de la réalité qu'elle supposée cldas son ojIt. it tl fiii qu'e!t lld dontre est don.aussi réel cque it ni., -.i I' idée qu'elle an i es i. points l pi lu;s que toutes les autres, ut'1 'de ie suppi tion, lui 'n soit. q commnode, ot qui doive dispa lraître:dès qu'n ien fa aili sage.,i L.a Ré- ali'c; dc inlins-iJ.ee; ci;, ';l c li..'e;5i. ia réI l-iité de t l'infui.ient ~t.nnd qui, elile —n'e.e es.inlt id.tei ent. t 'don éte }pa' a c ~yi:e naturele |ll des lno.013ls nties. lti*.;Dan-s la s uitle, i tii 3,rei -il Ie.-t cs. egal a nom)b ie d es rncs teni e is i l dtpuis i.usqu' ieui hiclulsivellai cl Doi-c, puisque l.e I11,om).b (ie oU-;.u es taerii; es s-;t in inl el, a un derlnie t errme qui est ce iEme i. fini. On i' fexprin pa le caractere. ' O La conclu sioiL..el vide i u.e,.uoique le passage h i n:inl ne i puisse ire l'objei d'une repr'sentatlion c:aire:, il est inconcevable comment ia Suiie itaturelie > passe tdu Fini à 1'jnfini, 'esl-h-dire commnen apr x's avoiri e.ci des terms finis elle vient i ent avoitk uln infini. Cependaint ca (_toi. i êt-re, 0ou bien il fau, absotuinenl.si}anidonner toute idée de l'nfiaic, et l'en prononcer jamais le inom, ce qui i erait p rir Î: plus grande tt, l plus nIoble partie des Mathéma — t. iq-es. dJe suppose donc quce c'est là un fail certain, quoi qu'incom 'éfiensipble. ei je prends la grandeur qui doii être infinite, non11 coife tlant tains ce passage obscure du fini à l'in ini, rmais comnit' l'iayat il 'rnchi entire recent, etl ayLn passé par les degrés li{tcs-;:i.es, îqucls i.u'ils soient, si ce n'etC-ll qe je puisse queiquetlois entrevoit queiqu;e lamière sur la natl. e de: es degrés 2, Le colntradictions apparentes dcu calcul de!-'i itnii ser-ont dourc ré, solues par la distinct ion entie let. dyunvaisi e obsciuri du. p)ssa -à', l: i'infini et la clar in'h rente l t 'id:,t stc l ati't: q ie te-'iit ini. Ainsti du itpremier point do ve il est vai qe. e, étan t uncIno imbtre z-ic-b- "" ' O aI.hdis' que 1 ';-par la 'aison des con — tl_';ires,,it. encore plus par ia nitrtl e l'i'i(' de e 1;! nose, j'e iuis dirt,c --. ou o,. ODe ilê me, si je (.tsid.,re la uièie A cde-s 1tomliies na'tUels, et l- su te Al de lie eurs carrs e -- ( ii est t isibie, ajoutli' Fontien;i. luCe n': e al uanl de elns e A - je dois adm1ett.tre qu,, 'le passage à 1 'infini se i'ati plIt, jS en A qu'e-n A: C-.Ai' i.-S es.t ri'-ldel-i.lin t moiS loin de l'infih i quel:' i v al urt a tne'l 1. N" 8). p;. i30, 3,.5 88., p. p. 3. 4. o ~ ~i}, p. ) '5 '

Page  245 LA ~u M14TAPFIYSIQUE ~ DU CALCUL 1NINi1TS1SMAI, 4S sri de d finis indêterminables. ~ don't les carrés seront infinis dans la série des A2. A44* -D)e ce calcul de l'infini on pourrait dire, avec ReBoÛvier, qu'il ~ ressemblle a uwe gageure ridicule 2 ),, si de nos jours Georg ' antor n'avait restauré la doctrine en corrigeant, il est vrea, Fontenelle sur un point essentiel-3 On comprend du moins que les savants du xvlle siècle, dont Foittenelle escomptait l'adhésion unaaime, aient souri de cette assurance initiale suivie de tant d'aveux d'irréméndiable obscurity, En fait, si l'inin est ce qui est plus grand que toutte g)randetr finie, le contraire de l'infini ne saurait être 'in irim ent petit, considéler commue une grandeur distincte d'une grarmdei- finie. Puisque le veritable infini est pour Fonte nelle au delà du passage entire le fini et l'in-ini, l'infiniment petit doit être en deçà du passage entire l'infiniment petit et le zëéro. Telle est. la conception qu'Euler appuie de son autorit-édanss11se Inslitiliones racutz (iifzjereniai.s ~ Unle quantity infiniment petite n'est iet dt'au.l-e qu'une quantitLé évanouissante, et c'est pourquoi en reality elie sera égale à 0. ' )) Mais entre quantités infiniment petites il 3 a un rapport, lequlel s'approche d'une limile déterminée, par la -vaia lion gradIuelle de ces quaintités; la limited est rigoureuseml-eat altemi:tec quand les quantities elles-mêmes sont tout à faith nananties. 6Cette limited, qui constitue le rapport ultime de ces variations es t le véritable objet di. caicul différentiel "; Suivant la formule inlgé nieuse de M. Mansion ( le calcul infinitésiia t. dans ce le ma1iare de voir, est un calcul sur d1es zéros, mais sur des zéros qui cgardent la trace e eur origine, si l'on peut ainsi parier 6., Cette formule 6même fait apparaître l'emrbar-as que les mathd.m-aticiens -du xvmn e siècle ont. éprouvé à réaliser l'idée d' Eu7er ~(( uoiqu'onT conceive toujours bien, écrit Lîagraange, le rapport de deux quanitités tant qu'elles deme,urent fines, ce rapport n'otlrc plus a l'esprit une idée claire et precise, aussitôt (que ces de'ax teromes deviennent l'un et l'autre nuls à la f ois 7 ).. N~ 198, p. 66. 2. critiquee philosophique, VIe anrné; 18, I,. 1, p. 30. 3. Vide infira, ~ 28. 4. Saint-Pétersbourg, 1755, p. 77. a. PirJace, p. 14. 6. Réstumé du course d'arnalyse infinitésimale de l'Uni.ve-rsitt de Gand,, 8p,. 213. M. Vivanti en a rapproche ce texte de Leibniz (Lettre à Grandi, 6 -ept. 171:3, M, IV, 218)., Infinite parva onrcipimus, non ut nihila simpliciter et absoiute, sed ut zihila respecliva..., idi et iIa eCva(lcentia quidern ii niliilinu, rniientia tam.lren charactererl ejus quod exvanescit.:'Il concetlo, note 2 11, p. 130. 7. Théorie des functions analytiques, 1797, 6ouvres, 1;d. Setrlel, t. IX, 1881, p. 18. Voir ['Analyst de Berk<eley, cité plus haut ~ 1 5, ct celte réflexion de t'lemeri:

Page  246 246 IES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIOUE 145. - On comprend comment, desespérant de fonder sur des principes intrinsèques et autonomes le calcul de l'infini, les mathématiciens du xvmne siècle se sont repliés sur les notions plus simple de la gComftie et de l'algièbre, D'A.lem bert fait.appel a l'image géométrique de la-limite; mais, outre la difficult d'appliquer exactement dans tos les cas le langage de la géomnétrie, on sexpose en prenant cette notion telle qu'elle est présent,ée par l'imagination à introduire dans l'exposé du principe sinon la contradiction du moins une reserve qui en affaiblit singulièrement la portée: l'ininni tel que l'analyse le considère est proprement la limited du fini, c'est-a-dire le terme auquel le fini tend toujours sans jamais y arriver, mais don't on peut supposer qu'il approche toujours de plus en plus, quoiqu'il n'y atteigne jamais2. ) 146. -. Lagrang'ir e recourt aux opérations de l,'algèbre. IBroo; Taylor avait faith connaatre, dans sa l[elihodus Incremnentorun direc1a ef iwversa 3, "l'égalité fournissant ce qu'on appellera plus tard le développement en seri e de Taylor; E tant l'accroissement d'une variable x, on a l'expression suivante pour f(x -- [): gAi2-1 27m!'( _ -(x) ') /:I où les functions successives de x, f'-(x*), f" (x), etc. (auxquelles Lagrangeo donnera les noms de dérivée pretrmire, dr;,icde.seconle, etc.) sonl ot)ltenues 'epar un proc,;édé régulier de formation. Or, la fonction f.n'est pas autre chose que la limiie de af(x -+-J) — fx e la fraction i — -- f pour =0. Elle marque la limite de l'accroissement d'une fonction par rapport à l'accroissement de la variable, c'est-à-dire qu'elle est le quotient diffJrentiel. On pourra donc, à l'aide des seules lois de l'algèbre, définir les Une quantité est quelque chose ou rien; si elle est quelque Chose, elle p'est p.as encore évanouie, si eile n'est rien elle est évanouie tout à fait. ~ Eclaircissenme~ts sur les éléments de philosophie, XIV. Mélanges de littérature, d'histoire et dc philosophie,. t. V, 1767, p. 249. 1., La sous-tangente, remarque à ce propos Lagrange, n'est pas à la rigueur la limited des sous-sécantes, parce que rien n'empche la sous-sécanie de croître encore lorsqu'elle est devenue sous-tangente. ~ (Euvres, Ed. Serret, I. VII, 1877, p. 324. 2. Op. cit., p. 240. 3. Londres. 115, prop. VII, Thétor. 111, p. 21.

Page  247 LA ~ MTAPHYSIQ'UE ~ DU CALCUL INFINITESIMAL 4 opéattosii fonBdame.nta.les de l'analyse infi itisiail.e. En eTi7 dans un MIiémoire à I'Acdlmie des 'Sciences de Berlin. Sur une nouveile espèce de calcul relatif a la différeci(aionm l e à'iietgralion dJes quantités va'iables 1, Lagrange écrit: Le calcut d'iffaretiiel, considér6 dans toute sa généralité, consiste à trou ver directemnent, et par des procédés simples et faciles, les foaceto s p ', p",., g', g", e^tc. r,", etc., dérivées de Ja onction.; et le calcul integral consiste à retrouver la function u par le lmoye n de ces dernières fonctions. Cette notion des calculs diffèrenliel et integral me paraît la plus- claire et la plus simple quiton ait encore don'ée;:le est, comme on voil, indpndantc de.oute mtt ns i - que et.dc t. iote théorie des quantités intimenl petites ou ) évanouissantes 1 ~ En 1797, il public une Théorie des f/onctions ana/yiques, ot/lenani /oes piurincpes du ceacul différenliel, dégagés de loe'e cunsi'ae....on d"'ianimnent pelits ou d'eévanouissants, de lm!fes et de fal'^fiot, el ré.uits à i'n alyse algébrique des qe:ùk t l-[iie )Dans c.ette c"uvre, Ies m.athmaticiens reodenes a,. rrr ri lei mrT....i. ' eix p'e rre'ssent. im 'ient du rôle que d vat dour t l ' t - teio: s.. ae pr'sent.ées par une série de puissancets o,. s;: es de ql' ~ Maior il s feront routes reserves sur i'a val e' proba ui de la méLhode suivie dans l'établissement des notio-ns tondalentales. En regardant, ~ comme d6terminée la somnl.e dcs termaes que renfeimre raie une série quelconque prolongée à Finfi'a ~, nLagratnge stp.po:e résolue la question capital 15de ia Io.v. t.:o', c des séri do.t (i:t, ucehy et Abel ont 'montré ue ' l-u, de, - lable était access ire pour la justlification rigt outset de m6éthodes de l'anaIyse. Ainsi.: et c.ti'e conclusion sera confirm. ltée par l'examen de7 ila. MIcaiq..uj_ An;al'ytiqîem it semble que Lag'range se pa.:e à un pointt de:u prag matiquei ~ ' le développemien ei s.:rtes a,';'s.:i<, w p..4 2 Pic'ard, La scienc moderne et sot dial actuel. i905, p. 25. 3. Cancly 1, S.i)i ltpto.ns de physique générale, rédigées par i'abhé Moi.:n, 80i8, 3': h.;on, p. 25. k4. 1i:i; i l"'a~ ~ 14, 5.. C'J rl, Àxio s d. e Macti à popo du calcul des var atioan que i pgrr,ue a dé:in'itivemeanîat t air t"u dans 'anaiyse:, Lsagrang'a l'a pas do4é 6t n' a mêémee jamais chercht à d otAuer de preuve ulté riere:.e ~sa méthotiet, qui S 'e3 nmont:r6e' d'une ares gradele fertiliteé Scia travail e't enti/reit:.; orit inalî. I ';.nue perspicaeilé don't la vialu' é on.lomiique est r'as grade, il apertoi eos bases qt lIai paraissenlq sfli iamr ent certain eo t titi'li sbe s pour îq.e l'on paisse éditleî sur elles. I.es prineipes fondamentaux se justifient. d'eaux-Aiî? m.es par teull eti.,ucaeité. u lieu Je se préoccuper d'en donner USe drmonstraLion,

Page  248 4 H8 LtS- ÉTAPES DE LA PHIILOSOPItIE MATH 1MAT.QiTUE de Tayvkfhr est uts preceéd simpIe et éléegant qui est liégitime tli;isqu'1i réussit.pour tautes les fonctions connues. La Théorie ( e- /'ondcions aialty.fiues ne pouvait donc pas.me-tt re [l aux diificultés et aux incertlitudes theoriques& dont le xvnIc siècle s'est ertmba-,reassé. Au contraire., elle achève de faire comprendre le retour des mahathéiaciens à la thléorie des ere'i'ers cnompe-ses, que déjài Berkeley avait imagine, en opposition m:,uo -preUla:-.ions newtonniennes et dont Leibniz avaitl esquissé une forme populaire- Les Réflexions de Carnot sitt la nmélI'phlsiqte d1t Cacutl infinitésimal (1797), qui dé.lhargeaient l'atalyse,' 'wniiu.sixnale de l'oblig'aton de faire la preu.ve directie de sa propre vérité, et qui, par suite. écartaienlt de la recherclte scin lt'tinlqeu tout danger de controverse philosophique, conquirent l'autoriti d '1nu ouvrage classique i. Fi447. -— Au- terame de cette eétude, on s'expl;iqu-e que l'api1or-;t de la seien. ee du xvîile sitcle à a r é('fiexioà proprem:i em philosophtique.,ai.t paru conssl.er, 10n dans i e s i os leso t ndai11 ie.tales de lanarlvs. que les math(nmatciens etux-mtmes vai'mi,. r:eoline:- présenti.r comnre idée -s claires iet d t;es, tais "ie piltt ds'ns.]e s'lccis de son appl ica tio ' i à i'étide des plihtnontsi,'i astro-:o 1ique eS t., siques Les g rta nds g é om itr es du i.; -iècl e, I:3.Lt reinpti le pr;ogu e racrne rc ]e s PrcI. les Ii Zat lhmtl//'iiqu1es de la philosopilie n;uatrelle, Ils n' ont pas él.ucidé ées ir. tinqils,: e.oinsidéres drian s.inifiÛmïca.'tio;n i nt insque mai, ils 1; ori t vé,rifiJés, a titre (de formuiles soumises u cot.rôe:de is 'exp '''ience. (Grece a eux, ce qui -ait pcour les pri'miers ileci.ell s,ie N\\eon l s-sVme dsyt ae l 'un e sn' e se dressa-n en face id.u sRtè!i: n 'ulut autre holimoe, se,berclan par exen pl: a:: c ci l,:,. e,:i.s i ni - physiquies d'un D)ecarlecs ou.t'nu }eihbniz, de:v:ii. ' I:!tce i.opersonneile que e."orl progressi.f des "'!erali:.}o:, ' I'adhésion uiani. me' '.,' Je su.is O l.tch, é'ci'i va. i V. s t l.-e e-I I,, - a,' I.., que 0oîis désigniez plr' l evl.neienr s 0', eux quei,ont }' iotnti 1l' v1rité des Îdéco1vert es, de 'Newton/ 't '. ' o e,, oa 'i a 1 ppl ai[. les geiomèin res euucliidiens: s 1,éril.é n'a oin'it de, no I: 1 iili. L'e rr e-u peu.. admeiti.l. des nmot-,. dé ralli.mcnlt l.es s,. ctles ont des LaT'rngrt e.'nonltrra ae(i\ f quel succ-s onL peut ies.(inpjo)yer., (a mécanique, exposii.é I,;tori:ia e ei c!.ritique de son dl.veloica e ment,, i.er 'e.i. '0t, '. i;:i 4 L. l. tDans urne io' s. la i elap-y'siqle ldu calcul i.j.{initesimlt, q'tue (Carlno ni'a peut-eure pas coituie, i.i.a.n: 'e lui-mrrfle aviait, plus -de t.ri'tt.e ni ii ptiravan'l'l:, rat-ppele 'celte interpret-a ti,: L. Selon lat tn.hode des infinimeni petits, qu'il attribue ta. Lei.)niz, et J ui op'i, e iSAi.tlaéthodIei ' ew:' t ieni d: pl.rem./I 't, derni r'C rai..;o:~s,, le calcul redress e d(e i-' mu lme. i(' i ussi's 'iyp,.thises (q 'on v fait., X'iscellane T' aurine s i. 'er-ia.t. j. 0 17 1 (L e. dre,I., 'l -i. ' C 'd. 't ii ' l. '.Vi 1877, p. 598.

Page  249 LA ~ METAPHIYSIQUE. DIJ CALCUIL INFINTrlESIMAL 249A noms et la vérité est la vérité J. ~ Kant noc reconna' ni Psychologie Irationnelle ni (osm.oloqie ralionnelle; la Ph/isique rationne1/le esl pour lui ]a science rat ionlill-l par e xcellence la partie i'),iti\ve,.e t', ';;t'iqjue de la.i a ison/ pl'e a pour mcoe'o laire lcs Je're/nziel's P.) i:cipes I ielaphîsiqjues de tl scieti'ce (',: l(a naturee, les deux ouvrages (.en e ve, rs le mmn e bu., i-,7 i lq. a priori la former,r tlma t iaLque tdott est revê(tue-!a c nnali -: sale scientiiqe: de l" nivers. Ii n'eIn sera pas Iaut:reme-n '.'.LAu uslte Comitle a 3 iecti(lue aa//(tIitq'de C.aga/l ' "',: niet ]a tmécanique a u corps des ma ahénma tir es, tanlis que e1i 'iconiqute c:élesite e eLa:-la(Ie n a die niii veImeiiL e:labi le Csicc(';-:, idanls 1 (0OIl tliee dl te Ma 'htiit'ue e, A Is!io loi e pe.'melln doe fixer les c'aractres d.e la sci enc p sitv,'. probilntes 's, la pd hiiosopie si l'asec l pop:,r at 'xux /cle, le kantismt et le pl osi[tvise, î 'lc.;cvi ju.it ( e 'el ' grnvi,.c la tuelets qî,t,,t s iL-,r a l ii'V la na.. ("e Ji t ic (e tèe iouvealt cn'eit't' t e. hils i.nllemai-le t,.,t,, o}te ni cnle dT(csii 'lda n.s. i'iu,ai.n e ['ii' ( (t ( dtle tll i' i. 'e ldl e ' qui c cup: e l''a:'ie s la Ctq. ais ~, ]puIF' (qte t d l.^'.C s.ite ]t ' ï ''.'' ','t li/i tt3 "itl t. Lettre de 179,, p?_!i.il'' \. i7, Tta.;.'' c i i7 a, je'tik l JL' itut i' p);l t. l. T,'.[)t7, l tiui Metuei. r', Su.jpp i~elttpl,-i l Pii t'.'i!'., 1 i;.'/-'iti',tr. '..1 itmti [Wi.

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Page  251 DEUXI Ei E. P.ART I PIRIODE MODERNE

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Page  253 I,T'\VRE IV 1A PEIILOSOOPHI CBJTIQTQ E ET LE POSI TIVISMI-E C -H A IT T E X-I] LA PHIT.L SOPHlE T''HE' ATSIT H 'T) E -E KA'NT LA POSiTIO.N j }p'';OBui'E ' 148. — 'impoitanc qe Ka.ti i atia(haie it la philosophi(i mathilmalaliquejU., le,cIar'aci(re dt la Ith orie (t''il en a propose, seraientl dfiile;ies a compreiindre s ion nr e ée rérart ai au probl'ime q.ul'alai l soul.ievé, v..i'-,o t s i 'a'lneiei:i; td la [1ensv;e moderne. la co0'ltiLution d 'une s,-citecc raiîonnedbl<c dc la.at'ura. La phys4ique mnatelematiiqe:cslt (dvelopp)C sous dteux.-oirmee dtiffiétentes qui avaienl nhis aux r rises, ed'abordt t l' cte i'antaise de IDescartes el l'col, I iiiiin de (;aliée le ( t t iTot ici li tis les,aiie.~iim (t(:: {;-ali16 LI d e "-lis Wes partiksans de Leibniz el.!es pa'tisns I' Nel\,[n: les unis, gmètres p[rns qui procédaiet pr déductéiod n t a priori, le:s autres. obse.'val.eur.,s ava'nt lou (l'i [.cnai.nit te relever qu-;e Cie l'expérienl(ce. L'oppositionl d ee ce's dtliux ltda-ces availt de bonne i'e ure,:altiré attention d ilant, { lloi il e déo bul d-e la /eirtphysicea 'uM' cjeolmetria jtu,'lÙ isu Si ]i/hJoso]/hita natu'ali, ('ujus specti,.'} '< /.',,.l M'oti t: (li ', uji.t, tdoloçi,./ }si[camw (I 75G), oh lon "'it\'O''e:,oi:,t - d;,t oe,1.u gt'(~ it< i t.itip'e,'prit, original dont, oc'(:Cde la docilrite d.es a l/n.i:iotzi. - I esst puis facile d'atteler ensemble chevaux eit cgriflons que la philosophie transcenldentaie et la géomdiltlrie. Trandis que I'utne ie absolument la divisibilil't de l'espace a l'imni, l'autre i'afirnme avfec son assurance

Page  254 2 ) L iF ES ETAPES DE LA PHILOSP01HIE MATUEMATIQUE labituelle. L'une réclame le vide conmme nécessaire à la liberty du mouvement; l'autre le bandit. L'une montre que l'attraction o, g'tri,vl aiton uni verslle n'est; guère explicable )par les causes m- cani t: C'.lle u.t dtrivtC de forces inhérentes aux corps en t-eio, l. atit:sstani t dis!atnce, forces que l'ault re elgue parrit ies chii mères de i'} a' tt n tlit.: i. o ie 1.i756 dl'ailleurs, ' Knt eCtime qu'il e st possible de concilier tes deux. tises en demeura; t su l terrain dui dogmatisme, en ttra iipolsant le % e eiptus cocepLions n nienes dans le language. 7Icivn ret, ej (.{loiaiin. 1: le: onaces d'une force attractive qui sao te l i impe ta biiite d, léten t du carté sie nne, c'est-a-d.ire( e-n elsquissani, tros n aSvant B3oscovic'h, le plan d'une alomnis-.aiqje t:/al.mique?. Le pro' gr lde sa nméditatiton tlamene à reconLnaîtri:u peu t e,I:l1 coiti. n est p-s:seulement une opposiiioi;t de iait entire ldes rétisuitats obtenus par ddeshodes.t!)::tr[s.- qil et. e cau S 1x. types de vérité, dont il fa1ut taproliiav dia ire p ot te det portée: je e vérit,' mathdématiquce' c. le typ,1 e d vérite pehysi-lte.,i.i9. ~. —.:i-lvant De'tscarles' et:. suivanl. etx.ib.i-l z, 1 iJl p hysiquIe ('es lne e xtetsio de la ii:,alttiint-uie. ' Desc artcs 'ubst.it(ue bru.aementn ài ensemblee dest re prset itLions sensible,., aà i'univers de t'im tgi nation, u n moud, qui pris dans sa alit6, n est autre( chose que <~ l'objet de la géomé-tLrie speculative ),. Leibnia, qui pense avoir trouvé dans Fianayse e Ide'nlnfl lt mtoyen d'atteindre mathématiquement la mu latitudee f.tfugitive des movements donit les qu1alités sensibles soni la 1mani est a ion, demande à l'ordre de:s vérités abstrai;tes le p rincip:e d-i discernement entree les données illusoires et les ~, phé btnom lnties bien fondés ). Or, une philosophie qi préend ainsî proctder de pirncipes a priori, est tenue de justifier non seuleient I'accord de l'intelligible et du sernsible, nai' encore i' exi -tnc u sens ibl. Si le con fu.s est ipos6,n ot-nd obien c ef'u'ii s'explitqu' paro le clair, en remonant drans i'ordre de i'iclealgrurd: par conire, si le clail esit pose. d'ab-ord, conrnre il doi t l ire dans 'cidre du "Real.yru d. on ne..omprend pas le movement qui s''loigne de la lumière, la d'hteance tans l'o'bseu ri 'té - i. fd. -dtie i'A tta. d tlmi,. de Be:lin (qune nous éesignon;s pr AKAB, t. t. 1!02, '. tiehit, der Pr.t Philoig.:pjhische 'iticSlits,, L2" edi( t. Leipsig, 1908, p. 332. f3, Ko '179:t, dan< iecrit ilnach evé Su.' r les 3,i;'- rles de la mr aphysiqi. e ideplis;i'poqii de e Licbniz et die olf, }Kiant trouvera.l)iour st;, pUiso uner fSor-nit:i ~i -- sis.. ante a u i fa.i. pn'trr jt.usque ians sa dernière profotd.eur l'opposition (id d.l\`cix i"_ ies ph.jilospltlques.'s A. ' inti e' unitssnt t out. l1e 1a appeal Inîl':ph' — siqu:' au hien nmlétaphlaysique, Leibniz comptosait..n moede de putre} liilit:re ei.

Page  255 LA POSITION DU PROBLÈME 25S La (~ philosophic expéri menitale ~, d -Newton c onçoit d'une tout autre façon l'alliance des mnathénmliiue et de l'expérience. C'(est à exp.érte:ne qu'il apptartient de fànder,t J.e justifier les fgrntules mathnmatiques de- pIhys iquet ti!a valitrlde lexpérience est prcisémlent qu'elle fait cilater les c adres trop étroits de i'èvidenre métphy sique, qu'e a. blit (l ds. types de relations auxquel e raisonnement pur' i'La, rai p ras ce nduit. (u1elles sont alors pour le dogimatisme rationaliste les conséquences d'un1 sembitablre pril.:cipe? A. la lecture de-s IEssais de Huame concern! v 't;tditem ent hum.ain (t.19; a) t.'taductiot; arîadè o'est de l.76), elles se ma ni.itesenOi- ax.., yeru\x (de Kant sous la forme suivante*: il est possible que des conr;exions d'idées, result;ant d'rte drmtionstiralion en r' ele' — artieaiie. à la néceessité i:c ct — e-ki-t ml,3;o:nlstration et q'ei.lbes eo:'sacrYveut leur rigutelur quelque; apptica.tionl qi n soi, laite; '' a,i'i s nlc'essié el ul aive'r saié so t dtj 6 é c-es de toute sig sii cation tn risque lorsqutii cs',i. d"1 suci sessions de f ait, tnr i -ri st es tlS es quelles, dans un mnsoment dl-. -tl:indé et. avec les eirt oi-t'slances l' articuliè. res don't. eltles:)nt. insél"parabes. La fiorrme primordaiae de la relation, c ast 1 assOciaioz tt entre é,tats (de 0cons1:icene, reposantl sur des conditions de iteu, de telmps, etc,, qui sont extérieures a la nature de ces' r tats, et à qui. lhabitl.ud communique la force d'enagendrer des croyances en apparentce naturelles. La pilosohie di e J lurmeî serait aiisi la doctrine de l'attractio'n, rameini e.s son applica tion cosologique à sa source pstychlct'lo"i'e, dépout illée de la former ' Cutft,îitaive d;oùt elle tena[i son caractru de esienct e e acte. eI e ie c ompo rtai t plus qt > des relationss quaiiiti'ves d apparentc conli0ngente il part ui'i'i ^re e t-e so ti: que pia une cot.sq-uenciLt e ( ér angel l'ex.te:snion de la sieinc k newtorienneii au dotmaine de l' esprit avail)t po-u..idia!L d,:: mel't:,tre on.e douti'e la apaoiité mêr e dme;ti '?ine ~'.,t t'-, 'b l -; - i'fs::t;ieri. eà et:ci s iuit'o e h-'t p li *ébiit l a bas t (tom.b:., sn8^ cO.i'C.idehre.' que pour pr,une ' ae par.le de itr,:pac'., da,;s ['.ombr~ il était n.ces-t<aire d'y intlrod(ire a e. corps, c,'st- -dirte vaieql. chose (;.:t fei qui resist e t la ti' mi6rc (iilir, r tenstreit9, 9. VIîi, B8e8, p.,'.) 1. i'l,,. t )eli.: Lt,(!Lo - tai t -t l phiosoph c'ri tiq gue, Bi iîbi l'ft' d'i C(i ngr's Inîternaioval de pI.tilostophi'e (psars 9, io,, I, I, p. 3I,.9 Ie s'ii, 2. Cf. Trait de la nature humaine (1739-i 40))de entendetmrni Par. 1, st:ci. IV. ~ C'est la une qspèce - d'L ati:r:cioi? qui. 'dns le mornde mlt"la, stal trouv- ' s vr i r' diCs efieti s uah i i ext raorii.;re:. 'i d.u moad.<s.n iure, ' -t 'i 7 '':.,:'.'.''t t' sons des.frm s at ssi ''.no '.iL '.... ~' u'.;t-.t...... t.f'estes, mais, juantt à,e;e ^au~es, l a -it.' ti l?..i gitrd" ptsL s'i_ a es. doiv(e' t 1, s '., iq'{ O1 )- do; i i: 'r':i7. q'i-i j.,,, t t ' s '.t ' r. tteunouviî '-87'8, -.,i

Page  256 L56 S E iTES DE LA P L[tUSOPHik MPATHiEMATIQU, rnte de l'édifice n.ewtonien. Ce que Kant retiendra des Essai, de Htultme, ('est la Séparation radical et-re les vtrit ds de raisot et les vérités de /hit- L'usag' log'ique de la prison. consiste, a enchaîner l:es unes aux ant —res les relations d'idées,;à aide d'une substitution. de terms qui est purement analytique. L'expérie'nce, etIeni:duL( (tans ee sens psychologique oit Leibz a prenait déjà lorsqu'il faisait du Cogilo a premiere ~ vérité de fait-, est incapable de fournir. autre chose que des impressions toutes saubjectives et toutes passageres1 i50. ~- Dans ces conditions, entire le domaine de la pure iogiqjue et ie domfTain e la pure s lapresati.on, il n'y aurait plus de place pour la science propremenl dile, celi.e par laquelle les règiles de 1a pesdée s'applique.nt aqux données d(e la perception, ia ijstlifi ciion de la physique rationnelle parait désespé,rée Cest ce moment que la théorie c(e la coniaisalnce mn;alt 0inr[iqiue entre en jeu. Tout au nroinrs dans la période d'élabo'aliio 'olr.[prise entre la Dissertlaeiol de '170: de Mundi sezib, ilis U /q r& iniiteligibilis' orta e pzrincitPiris, et la putlicaticn de ia (C'riqiue d'e a RAaison pure (178 1), IKalrt s'avisa que!a.souiiA.i.i o du psobjl6rne relatif à la science de.la nat,.ure éiai t comn, e la corli laire de la solution d'un prob)lme^ alnaih/u' qfui. aau lieii de porter sutr la physique, c'est-à-udire sur applications de la lathi"émnatiqie a 3'expéerience, serait intêrieur la nmathéiat-ique elle-.i-lme. O(r, en face des matlhéinatiques, -le doutme sceptique lde H[tiume cu(i pouvait; assez légi.iiie.t-ren1 p raîi li" i analy ai ie la ca.usa-ité, revêtirail un caractère dit paraidoxe don't.Kanit suppose que le sagge auteur des Essais ues t é ti effray6:, Dayvid Hunie, éeriti4l dans la seccnde édition de la (Ci iqetie qui de tous les philosophes s'est le plus app)roih.1, du probt!me [Com-,enli sont possibles des jugemren-ts sy-nihtiques a priorij?] esi. po:..riantt loin de l'avoir 1conç;u d'une i'aon sufiisanmment détermine et dans son univerlsali!é... car ii a urai a p c l que, suivant so.n argunmenl.,taion, il.ne pouvait ps y a.'oi non plus de rahalli umainique pure... affirmaticoit contre laciuelle son abo'n sensi l'aurait bien rlis en1 g arde -., I. (il R/exionen.Kz Its ur Kvi'iiic der>;'e i'. eaa t. i'ni'nt, "' a 50t0 (Benno Erdia 1,tn., i 884, p1). 155). \' i ' A ll aiy is'hnt [trlhe 'il ht s ii at'tni lnld ili: ngkel hriL allt,; 5:'it!elischen. Ut.i h ile. s eind nipiris ch udl umir ekehr. " - '2. i't t.ltio't IV, B., 19. AKB, I, 1, tr. Ba.rni, d.sigiée ulttie rt.im enl p r.iB. 1809, i,3, et TIreLmsaygucs (t Paeau, design. ( pan TP, i.3, pI.;3. Voir Critique de la raçisot, pralique, Pre'19 AKi,. 90, c. 3 et,:.cae 1888, p. 18.

Page  257 LA CONCEPTION TECHNIQUE, DES MATHEMATIQUES' 27 LA CONCEPTION TECHNIQUE DES MATHIEMATIQUES 151.- La transposition à Iaquelle nous venons de faire allusion, expliquecomment la philosophie mathémlatique est devenue la pierre angulaire de la Critique de la Reaison pure. Elle explique en' même temps comment la philosophie mathématique chiez Kant no sera nullement comparable à celle que nous avons vue, dans le cartésianisme et dans le leibrizianisme, jaillir de progrès techniques, capables. de renouveler lidee que l'esprit, se fait de lui-même et de son aptitudci à prendre possession de l'univers. Kant ne s'adresse pas, aux méthodes originales de la mathématique nmoderne pour; qu'ellees lui su'ggèrent une vision plus profonde' de l'intelligence humailne. Sa meditation se concentre sur les parties lé6mentaires, dont la véritée se trouve depuis des siècles unanimemrent rêconnlue et qui retienrnent la pensée dans un horizon bien délimité. L'addition des nombrnes entiers ou- les premieres propositions dlEucihde ilui ifournissent ses types habituels de -ifére:nce:- 7 --.5 -2 oi l.a s(mm de s. angles d'un triangle est égale a deux d^roiits, Pour -lui '.artl.hm' - tique et la géométrie ont le mêne caractre de perfection qu'il reconnaissait à. la logique d'Aristote. Lxe. riasoinement les constitue, conférant à totes les parties de. la théorie une valear incont stable de nécessité et d'universalité; et le 'aisoaneu en t y est d'autant plus assure de iui-même qu'i. an au. même tti.e que., le syllogisme d'Aristote, la certitude de renmontrer dans. l'expérience, la- reprsentation de chacu de ses li,5'xents, la confîirTatiaion de 'chacune e ses articulations 1. -I1 faudrait même aller.plus loin la formation.( tragmentaire -de. la philosophie critique e onne le tmoyen d'apercevr3-'h comInent sos-'infliuenc. 'de. cette physique ne'wtni enme, ldot elle-: devait' plus tard serviir à jaitifier lanvaleur. rationnelge, ridée de la mathématique a' subi chei Kant 'une sorte de glg.issei. Le processus de-.lî pensée kantienne est. ntnas semble —ii, éclaire par la rnemarque suivante qu'on trouve dans les Nou vaux 'Essais de Leiubn)iz (DI',.2 ~9): ~ Coe quii a: fait qu'il pa lt6 u s aiséd de raisonner délmonsfràstivemeut en mathématiques, c'est en bone parties parueque i'expériencey pleut qaraii&:;' leiaisonnement.à tout moment, rontme il arrive aussi. dans les figures d e syUllogismes. Mais dans' la métaphysique et dans la morale, ce pàra} iEisie des 'aisons et des experiences n:e 'se toi'uve plus; et dans la physique, ies expéieneesi demafdent de'la peine et de i. dépense. ~ Cf. Cournot, Tra.;-t de l'Enchaînement des Iddes fondamentales dans les sciences et dans l'histoire (1861) ~ 5. La logique aristotélicienne, a cause. de sa nature purement formelle, coômporte biep, conmme les mathématiques, une sorte de vérification expérimentale. ~ 2e édition, 1911, p. 6. BRiNscivIc(. '- Les étapes. 17

Page  258 ,<<tS ' Mtt '3 LA *SiiM6OP*11 TvtnlM ime\ nid. ecscrie:ati, qui i a eu potur résultat de faire porter les dé6aiostr.ir.tioas de ri8,ithlnétique ou de la géométrie directemtet st' les coes sB lombroées ou sur les figures tracées. Plus lard.saius d;out, iorsqu'il compose la Critique ou les Prolo-,ndi'es, Kait é croira qu'il va de ia <~ mathématique pure ~ à lui phbys iqe-,.,"iais la question est de savoir s'il n'a pas commence par subsitt.er. à la not e l tion qd ie athmatiqe pure une conception de.i'arithmttiq; appliquée et de la gomeétrie appliqruée, de tell sorte quc le passage de ' arithméatique ou de la géormétrie àa a physique ne sera ern hfa que le passage dTuoe forlne simple à une forme plts complex de la mathêmatique appliquée. ti, -- A cet égard, on peut reliever comme caractéristique l'é cr importatla de 1473, qui marque la rupture decisive de Kant avec la i.ogique miat 6tmatiqu de Leibn;iz: Vtrsuch de.Bga'ff der n etqatiiren. GrOssen. ift die Weltweislheit einzuaftihren. i t 'es cons;idarons une série de grandeurs qui vont en diroisanT t à 'parrir d'une quantittt positive que1on'quc, nous obtenolons la gandeur rgative par une inartche inéaire d l'esprit, o'u, con e dira Kant, en ' 791, pr iune simple 'dégradation de.i.tre. s.i-:is nous ne possédons alors qu'une repé senita'io s antique de la grandeur négative: or 8i les grande ur n tge'raties intervieienti.e dans u;n cal Eu pour modifier!e résultat ~toat, ('es t quri'teles sont' autre c ose qu'une absence de grander pasi tve, c''est 'felles ont une efficacité d' 1 pp i qe' t'll:s exti.rcer t uine action positive, cormro e m'.i éti ran stl stl) obs tacle pcsitif à la tran.sm ission de la lunmière. Les exempiles ique anf..t.i.prése- a:à 'appui de sa thèse sont partictiA recent significaeif:,., i nt'avire va du Portugal au Brésil; en sept jo;iurs i rgane.9 mXâilles; il se peut que les vents aient cortetrarié sa:1:ia 'che, lis 'aient, r amnené pendant un ' certain tem;nps de!l 'oes:t; vri l'es, d<le teile 1mni ère que pour esurer le gain: iza <:: 'i 9 milles, il ait f'al faire la difference entre le parcours direct qui rapproche e naevire de son but, et le parcours inverse qui. fen éoigne. Supposons qu'il ait d ainsi efifectuert 8 mtilles à rerbur, r on comprend Xque ce chenmin doive, entrer dans l'O, quaion à Litre, de grandeur negative; l nae v aiearia fail i ailles dans la direction de i'iuest, nonus crirons:. —.8:::':9. 'ais la i.rad:tciotu mathénatiqute de I'criture ei la L. Cf. Wolf, i.l:Ce.,l aiwiyuyOs u, titemC atict, Ia.llc, i ' 17, IP- ril. I, ~ 1 e (i. 2(0. o Sunt ideo quiaital.tiî privatt' vertiraol, per quas inLteilius.'il.nt.r, directlis; (consequunt(r o)n quan itil ts t vera. v 3efectlum iu. per 'au t (l iarttita.lem i ltii)i.l c 'u ll de ciei, et sic inte.ia ibill s eadit. l> 2. AKhi, Il, t72 et suiv

Page  259 Lk CONCEPTION TECHNIiQUE DES MATHEIATIQUES 2 5 forme conventionnelle des signes ne sauraient nous dissimuler le caractère des grandeurs qu'ils figurent; les milles de sens.utéigai: co. ',r. pond...t i i chen heroin réellementl eflectué, aussi bien q'ue i.:es' miites de eis positif. [I n'en ies.t pas autre,'elnt pO'ur;les d tics d'un ceiïint an elles sont soustraite s Ide son. a'oi*.lr-, e r't suaivnt une r'iremart qu qute ies I1TindouIs a:vieti.,Ij iaia.e et iutiiisé,e pour l'extension di t ca ctul aritimttiqae "t el:te (oi 'ent ent rer avec le sign'e m2oi,'i dtans ile caictul de la ioi'i:ttî'r défnlenlive d~ c c commerçuant. Mais il serait ridicule d'en conc;i'ur e c[l8,ii'e`teS ine soni r'ie!) (upj'l mianique de possession, d'asismirne' ' '.a fn' e dui t crtanci e et du d, bitLeulir hà une simple opposition iogitque, t;ndis 'i quelei est en réalité le con:fU.it dt ide n réalités ic onci'tes et a aissant e sens contralrXe.c n me font it'attraclion e, la rtéplsion. Ces considéIrations d'apparence si simple impliquien. l une tsurbstitution donrt la hardie-^i deltu.euura peuLt-être ignrorée de Ktani;, mais doit les consé, qiuences d'evaient do.miner la r vol.ution, critique. L'ariirmdnîttique s nest plus ta science des nombres en tant qu'objets id-éati x '.esi ila science des choses inmbr'es, et c'e at la nature idre deslations enitre les chooses, elles-mames qui decide des relations entre les no-'iabres. De lFait, si dans la Disserlîilon de 4 5770: De mandi sensibils (,; te inieiigibilis formna et princip, iis, Kant 3risenti'e le jiombrr e o,me u un concept intellectuel e( so i >, c'est o a. i ajouter imm mdiatmlv ent qu'il ne s'actua lise da.s le ion ci et. 'aide d es l c ions du te.tp)s et de l'espace o; doctrine q:.Ui ' i,.ti.t ent ge t ere idée du scheme tIatisctndenia[. 153.-1.... t'ati.^e,at, il ne semble pae ps que tt an< airt jamais consiadté i'anaivys intli.ntésimale àf tiire i dediscipinme autonote..tEn '176, t atins I l ssais.i,'/res t: in',letui ng.,; atives, it se cone. ten d.ieT la.itû<. '.-*'eit la couitini.; dj temi.eps et du trouvement '. St.ia ntiion tdi i i.ttini. lent, pet.i t esit i'ute mdodiit, dans les I"remier' iPrin'cif;es m^'la;/hi/sljes de; I S:irce si e d a nature (t'1. 86 ) u o!.rti. i.ni i rl'i i e i ani'. I ai; le ti, ue, Kani st i s.,te ausss1 ô srt e i aracter, t t i la',r-0 ir. t 4: - e 1I, e l a notIion tps' la I. 'I.yagniilta, t.ari. i. Riia oi cs,. ya. -' - trioins, litl,ial. cniL dette Lu pier' e, quatl:iet t (;'uativ ` td'hant,ut swa t... -;:>\. t iti i'eralemn t t'rihes;.se. ou propriét é, qtm.ni i ti(;1 a ~' lhi'~G tîiv(, ofnt i)sit; po iv. V0ir Colebrooke, Ajba... o' B a hO riekjlitra ai7d Bhasfce(ra, LondrSs 1817, ) 1. i [. i. ut2,,, li, M:. TE!S Pu.:.,;p ii u':t: siderat in GEOMTi'IA, îm _. tESCHiANIA pi ra.ti l'.cce, dii ' is,l t ',. t i t't tpitt quidil am, in >, quide;( ini;ileci, 'it:ii."t -'L;ii -:.O:, *o-'. ifi V a tai.ddsdci o ptiur, t juxla ts int piOl.elid.i:), 'itti. tnt. coNt t et t3tu ttitl 't "" t tP'. 2'"tut p''t' J I. 1,p

Page  260 260 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE dégager des difficultés dont l'application mathématique' a pu se trouver entourée1. La veritable auxiliaire de la mécaniquie demeure, à ses yeux, la géoméetrie synthétique des Anciens; paradoxe qui s'explique par là forme êmme que Newton s'est plu à donner aux Principes mathématiques de la'-philosophie naturelle. ~ Le livre qui avait pu: réaliser aux yeux de Kan la mathématique la plus réelle, ti plus féconde, la plus parfaite, procédait par la representation de l'intuition concrète et non point par les abstractions de l'analyse 8. 154. -A Pégard de la Géométrie enfin, la même préoccupation se retrCuve' cez Kant. On relève bien dans l'écrit de 1747: Gedanken t'on d rler. ahr.'e ScS.adzung der lbendigen Krâfie, un passage que le d6veloppement de sa propre philosophie et le développemnent de la géométrie moderne devaient contribuer également. rendre fameux: ~ une science de toutes les espéces possibles d'espaces serait sans aucun doute la plus haute géoméntrie que p'ûb entrepeondre une intelligence finie 3 ~ Mars il faut voir aussi pourquoi Kànt écarte cette conception abstraite, et relègue la quatrième dimension a. rang des fictions pures (Unding) C. Ce n'est pas en raison des caractères intrinsèques qui appartiendraient à la notion d'espace en: tant qn'élément logique ou tout au moins puremente géomlétrique, c' est parce que l'espace est sous la d épendance de conditions physiques, parce qu'il est lié au syst6me Tdes forces e't aà luri mode d'actionR réciproque. Dans un monde ou les corps s'attireraient en proportion inverse du cube des distances, notre sensibility recevrait du monde extérieur d'autres impressions et le nombre des dimensions serait change. En 1764, dans son écrit Unzertsuchung ûber die Deullichkei! der Grùndiiatre der natirlichen Theologie und der Moal, 0o il se propose dée dlimiter avec exactitude les conditions de la certitude, et d'emprunter à la:méithode pratiquée par Newton dans la science de la nature:mfin modle utile pour la métaphysique, 1. Ch. IL T. rViI, Sch. I, AKEXBf V, 522; tra. Ardier et.Chavainnes, S'89f, p. 55 et suiv. Cf. IratodeCionm d' Andtle p. XLV. 2. Milhaud. La conraissance nathdrnfitiqce ei l'idéalisnte irraseendenetal:Revue de métaphysique, 1904, p. 395. Les 'ém.ents de pZlosophie de d'Alerpbert crntiennent 'iet égard des remarque s cureis ontre: les. Anglais, grands partisans; la géométrie ancienne, sur la foi de Newton, qui la louait, et qui s'en servati pour cacher sa route, en employant ^'analyse pour se conduire luimêrne. (Mélanges, t. IV, 179, 1 p. 176). Voir aussi Laplace, Exposition du système du monde, 0~ édit., 1835, in t~ras; -t;.Yl, 1884, p. 465. 3 ~ 10. AKB; I, 24. ' i, l. (). AKB, I; 23.

Page  261 LA CONCEPTION TECHNIQUE. DES MATHlÉMATIQUES 26ti Kant insiste, d'une part, sur le processus synthétique qui permet à la mathématique -de parvenir à ses definitions. D'autre part, il met en lumière l'objectivité concrète sur laquelle repose sa méthode de demonstration. Ainsi, pour établir ala divisibilité indéfinie de l'espace, le géomètre recourt à une construction; suivant l'exemple indiqué par Kant1 (fig. 10), il trace une droite AB perpendiculaire à deux parallèles CAD, EBF; d'un point C de c " l'une de 'ees parallèles, il trace. des drives qui coupent la perpen- dieulaireet l'autre parallèle. Cette _ E B F' parallèle EBF pouvant être prolongée à l'infini, on peut mener Fig. i0, autant de sécantes que l'on voudra, de telle sorte que le segmentte ni AB apparait Susceptible d'être divisé en une infinite de parties. ~ A ce symbole, conclut Kant, le géomètre reconnaît avec la plus grande certitude que la division devrait se, prolonger sans fin 2, ~ La cutriosité philosophiique de Kant le pousse à examiner de plus près la nature de cet objet, qui est ainsi capable de réppndre de: -lii-rême aux questions du niathérnmticien. En 1768,' il fait nuùe remarque qui parait; tLrs particulière, nmais ' laquelle il attacha' une importance décisive, piSqu'il enE fit l'objet d'un article: Von dem ersten Grunde des Unterschiedes 'der Gegenden im Raume. I1 s'agit des notions de droite et de gauche il n'y a guère de rnotioaquli au premnier abord ne paraisse mieux répondre à lidée, que n6us n uo s faisons de notions réciproques et susceptibles d'interversion, qui ne paraisse mieux justifier la conception leibnizienne d'un ordre,idéal de coexistence. Voici pourtant un fait qui dément cette conception: ~ Un triangle sphélrique peut être tout à fait égal et semblable à un autre san1s le recouvrir cependant s. ~ De même pour la main droite et, pour la main gauche. De tels exemples sont suffisants pour faiie enttendre la possibility d'espaces tout à fait semblables et égaux, el, cependant incongruents. l.. ABK,, I, 279. La démonstration était indiquée sous former de théorème duas la Mon4dologia physica, sect. 1, part, 1l1, AKB, I,p. 478. Voir la discussion d'Evellin, La raison pure et les antinoiies, Essai critique sur a philosophie Kaantienne, 1907, p. 107. 2it bid. CLf issertation de 1770: ~ Geometria propositiones suas universales non demonstraLobjectum cogitando per conceptam universalem, quod fit ianrationalibus, sed illud oculis subiicieudo per hltuîitum singaulrem,.quod fit in sensitivis:,. ~ 5, C, AKB, 1, 403. 3. AKB, II, I385. 4. Ibid. lI, 382. Cf. la Dissertation de 1770, ~ 15, D.. AKB, II, 403.

Page  262 f$i-2 LES6 ETÂraP Dg LA PHLOSPfi-;o MAtH MATIQUE Entre les theories de Leibniz et de Newton, qui se sont heumtées avec tant de netteté dans la polémique de 1716 avec Clarke, et dont les mathématiciens du xv Iv siecle n'avaient cessé de poursuivre l'examene, le (~ paradoxe des objets symétriques '> constitue ne sorte d'experimnertiim crucis. La nature intrinsnque e l'espace, telle qu'elle se manifeste dans la géeomtrie à trois dimrensionis,- ne perlmet pas de le transposer en un systèBume de relations purement intellect[uelles, et de le ramenetr à l'oydre 4abstirai des places; il y a en lui quelque chose d'inhélrent au don:né de l'uni-ver's, qui appparait lié aux parties de notre corps, qi attte at u fond une relation à l'espace absolu et original.. LES FO''rMES DE i LES2PACE ET DU TEMPS 15, - Avec l'article de 1768 s'achève pour Kant l'investigation directe de a -science mathématique. Désormais les propositions de 'arP!hmnétique élémentaire ou de la géométrie euclidienne ne serviront plus que de références pour Fléablissemenait d'une théorie de la connaissance scientifique, Encore la pe nsée. de Kaaxt a-t-elle pass par deux phases bien distinctes. En J.'770, la découverte des ~ intuitions pures, du temps et de I'espace a pour consequence de restreindre au monde sensible l'application de la mécanique et de la géométrie; elle laisse le champ du monde intelligible ouvert aux concepts de 'enliendementt pur. En 1781 au contraire, c'est la restriction pose par la forme a priori de l'intuition sensible, qui fonde l'application effective des concepts de l'entendernent, qui assure la ~ positivité. ~ de totle science rationnelle. En ajoutant à l'Es/hétique transcendena!le, qui reproduit les formules essentielles de la Dlisesclatio de 1770, l'Analytique transcendenlEle, Kant présente les j.ugemeonts synthétiques a prior de la mathéèmatique come exactement parallèles dans l'ordre de la quantitié ceo que peuvent être les ijugements synthétiques a priori dans I'ordre de la relation. La t.heorie de la connaissance matathématique est, dans la Critique dl..e lQa:'c1',son pure! remaniée et réajustée suivant ies eigrences d') i-tr. stnt e lnoàu-eau là le caractère de complication qu'elle ()r.:-. en contraste singutier avec la simplicity presque ru dinta'tiid''re des exemples in'voqués par Kant. 16u. - Quoiquet dans la Disselaiionl de 1770, l'exposi.tion 1 Volir dains important ouvraSge de Cassirer, auquel nous avons souvent ren. voy (Das Ei/';l.e iispo./'.cmR e't:i.),!e livr'e Vi., Von Newtonr za Kant, thap I1, Oaumw. und Zeii. 2, A.KB iL, 38,.

Page  263 Lfi FORMES DE L'ESPACE ET DU TEMPS t63 relative au temps précède l'exposition relative à lespace, il semble bien que ce soit, le désir de résoudre les difficuttés pro pres Ia justification de la geomdiiéatrie, qui ait usci la so.ution kantienne. S'il es.t établi en efiet, par articleie de -> 68 que l'espace est aun. abso'lu, en ce SCs-s qu-'i es[: iréductible i -tun système idéal, il ne s'ensuit nullementei q ue iou pruisst d4tach-er les relations spatiales des termes réels entire tsquels elies sont établies; pris dans sa nature intrinsqtue, l'espace est un non êdre. Kanit reprend dans la (Czitique pour l'appliquer a l'objet de la géométrie euclidienne, cette mmne expression de tuningg quil avait employ ée trente ans at uparavant pour d<.signer '.space à plus de trois dimensions. D'autre part,!'espace n'ei.4. pas an concept. Outre que si l'espace était abstrait de l'expériece sensible on coutredirait à la nécessité et à l'universal4té des propositions géom6étriques, - '< il taudrait, par exe:mpe., se ornery à dire que, autant qu'on a pu jusqu'à p,'.ent faire d'obse.i.-. vations, on 'a pas encore trouvé d'espace ayar.t pl.us de ',is dimensionsîi?~ --- rien ne r6épugne pAlis a la nature de space que la foUt i o -prpre du co ncept, a ses os Ka t emplo i e moi et qu'il precise par les épit'ètes de disc:; sif et d'ti:, 'e d termiD.natiiotS dle l'espace sont ses parties, el:.non - es séci.fications; il n'y a don qu'un espace, et., qui esL coinprise tla oa lité des hoses 4. 'aa-ttithèse traditionnelle de!a donné ee empiiq t. concept abstraiL iaisse donec échapper la nature de l'espace il fau créer pour iti une forme nouvelle d'état civil et c'est à quoi parvient Kanlt, dans cette année 1'69 ~ qui lui apporta une grande lumiore h ~, par la méditatiol simultanée de la doctrine newtoaienne et de la doctrine leibnizienne..1. 7- Suivoyant Newton. écivai Kant a li-méme, 1 space est senso-'ium onïniîproesent-ie dtvi n. Or danis ce notion d( sensoriam Dei, est impliqué un dogmatisme métaphysique qu'il 1. A, 39. A-K, IV, 41. Ra, 1, 95 et TP, 7, C Diss. 5 D. /iB,. 43)'. '2. Eaxposition mtétaphysiqtae tde t'space, ~ 3 (al s la pemin re é edition seulem'ctcn). À. 24. AiR'B., I V 32> Ba, L 78 et TP, 67. C'f Diss I5 D. AKB) il. 404. 3. ibid. ~ 4. À, 24, AK. IV 32 tr. Ba, JL 7' T.P. 67 4 Cf. G. Viss. 5, BI A<KB, 11, 402 ' ~ C~onc-epîus est sinqu'aris est eprsentatio omnia inr se compreherades, non sub se coruines utlio absieraca et com'nis...e >. A l'appui d ceLt'e opposition entre le eWo' t t lee oci a.lt V aihinger cite dans son Commtentaire, II, 212 une iormu'itc frappintc de l'ouvrage poslth!lnîx ('Reicke, Altpretit;iohet Monatschrife J884, X$ XI, 587 et suiv..,La graide'ur illimitée de iiuliluition spatiale est oa 1' i'Altt emlheitih (uive rsu lit'as, est-'a-dire omniteudo confeptus), inais '.Atlheii, tu.ioer$it&s ('tls.-dii' omni.do comple.d:'ds) c, 5. Ben. o EIsvdina.in, Reflexione,, n" *i op. C't. p, 4~ (.. Ise:;iit:'r ans kant':.oa se < e. ids,,. i. t. 'i;-la S...S., p 1

Page  264 E4 S ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE est difficile de vérifier, peut-.ttre même- d;e. concevoir avec clarté. Mais Leibniz, qui a critique les formules newtoniennes de Clare, fournit par ailleurs le moyen de ramener la notion idu -ensorium Dei à ce qui en a été nécessairement la donnée iatiale, c'est-à —dire au- sensorium hominis. En tant que ~t -onade l'esprit de l'homme est coextensif a l'univers de la Iretprsent.atio; ne sera-t-il pas capable de soutenir avec les images des choses, cette relation d'omniprésence que Newton attribue à Dieu vis-à-vis de la réalité des choses? La Dissertalioz de '1770 répond avec clarté: ~ spatium, quod est condict.o ri:' ersalis et necessaria. coinpresentiei sensitive cognitoe, dici.p'otest.Ominiprtesentia Phoenomenon. ~ L'analogie des expressions marque la parents des conceptions, qui n.'a vai, d 'aileurs pas échappé aux contemporains de Kartn: Schwlab 6écrivait djà, dans un article le relevé par Vaihinger2, que Ka.nt paraissa. avoir tformé son concept de.'espace en i'.m.sporarnbt le ensoritm nevwtonien de Dieu à l'esprit humain. Parce qu' enitre Pirmmensiit die Dieu et la limitation de la créature dans l'espace le leibnlzianisme a insré la conception de la mtonade parts ïloalis, l est possible de dire que l'espace est, su'iant t'expressi.on eibnizienne que Kant reproduit dans ia Critique de la Raison pure, rla tif au point de vue de l'homme s Mais aussi parc e qe a consideration de l'espace est ramenée de 'Pordre de l'absolu à l'ordre du relatif, du domaine de la réalité au doimaine de la representation, il est possible de concevoir la constitution de l'espace par l'homme sur le module qu'offraiL la constitution newtonienne de l'espace par Dieu. D'un mêrne lcoup se trouvent assures les conditions nécessaires, sinon suffisantes encore, pour établi r 1'a priorité des propositions mathématiques et leur application aux phépomènes de l'univers. Tel est l'effrt de pensée qui est recueilli dès 1770 dans les formules qui définissent (paallèlement avec le temps, fondement de la mécanique) l'espace, fondement de la géométrie: ~ Conceptus spafii... est iniuit'us purus; cumn sit conceptus singularis, sènsationibus non conflatus, sed omnis sensationis externxe forma iundamentalis... Spatium non est aliquid obiectivi et realis, nec substantia, nec accidens, nec relatio; sed subiectivua 1. ~ 22, Sch. AKB. II, 4.10. 2. Eberhard's Philosophisches Magazin, III, 132, apud Vaihinger, Comm. II, 426. n. 3. 3. ~ Wir kônnen.demnach nur aus dem Standpunkte eines Menschen vom Raum, von ausscdehntcn Wesen u. reden. ~ A. 26. AKB, IV, 33 tr. Ba, 1, 82 et TP., 69.

Page  265 LA DÉDUCTION TRANSCENDENTALE ET LE SCHEMATISME 265 et ideale et e natura mentis stabili lege profisciscens veluti scherna omnia omnino externe sensa sibi coordinandi1 ~ LA DÉDUCTION TRANSCENDENTALE ET LE SCHEMATISME 158. - Les formules qui terminent la Dissertation de. 1770, et l'Esthé'ique transcendentale,.ne résolvent pas entièrement le problème de la science mathématique. Autre chose en effet est d'avoir démontré que les formes de l'intuition sensible sont a prior en ce sens qu'elles précdent et qu'elles rendent possible I'expérience; autre chose, est de faire voir comment elles deviennent matière d'intuition a priori, comment elles apportent son objet à une science qui.se passerait de l'expérience2 A cette seconde q estion, l'Analytique transcendezltaie répond par une théorie de, la spontanéité intellecltuelle, qui est calquée sur la. théorie de la r6ceptivité sensible dans l' shethtiue transcertdenalie. L'Esthétique avait mis en evidence la relativité,!a phénoménalité, qui sont inhérentes au monnde de l'expérience; l'Analytique s'appuie sur cette phénonmnalité pour en fonder la rationality, la legislailvité; elle fait comprendre ainsi que l'esprit humain puisse déterminer de lui-même le principe de l'ordre auquel la science soumettra les données ce la sensibility. Là est le. secret de la Critique, qui échappait à l'empirisme de Locire et de Hume, mais qui échappait aussi à l'intellectualisme pur de Leibniz 8. Seul, en effet, l'établissement d'une différerwe radicale, d'une diff6rehce de nature>, entre le phénlomène et l'être considé&r dans l'absolu, permet d'affranchir le sujet pensant de toute relation à autre chose que soi, et de chercher dans la structure de ses fonctions ce quijustifie la valeur et le contenu ménte des axiomes scientifiques. Une telle recherche n'aura rien de commun:.avec la psychologie ordinaire, qui se borne à l'observation della conscience individuelle; sonbut est de déterminer les conditions de droit qui sont impliquées dans le fait de la science rationnelle. Elle a pour objet (suivant une conception où il convient de relever l'influence des Nouveaux Essais sur l'Entenzdement, publiés en 1765), une activité commune à tous les esprits, antérieure en chacun d'eux' à l'éveil de la perception et de l'intelligence réfléchie, une activité a priori, transcendentale, qui marque de 1. ~ 15 C etD. AKB, II; 402. 2. Cf. Vaihinger,, Comm. II, 268. 3. Amphibologie des concepts de la Réflexion, A, 267, AKB, t. IV, 173, Ba, 1, 332 et TP., 273.

Page  266 Iffl LIt& ÉTAPES bE LA P-iLSONtUiE MAT,ÉMA'T]l.U son empreinte < intemporelle ~ les destinées spéculatives de l'humanité. Le domaine de cette activité inconsciente s'ételnd de la matière du divers, que fournit l'intuition, à l'unité de a raisoln Tout acte de pensée suppose ( l'unité synthétilque et or-iginairre de l'aperception ~, grâce à laquelle les terms dun jugement sont rassemblés dans une même conscience et font parties d'un acte unique d'affirmation. Dans l'application, cette unlté synthétique revêtira différe;nts aspects selon la nature du concept! qui preside à la liaison des termes dans le jugement: 7-t 5 - 12 inrplique le concept de la quantité, commune l'affirmation que le soleil echau/fe la pierre implique le con-cept de la causalité. Mallheureusement, quand il s'agit de iîrer parti de cette notion et dc dresser le tableau systématique des categories, Kant recourt. a la tradition de la logique formelle, dont ses écrits de 7i63 et dc t 764 avaient pourtiant. dénoncé, l'incormpatibiliit radicale avec les procédés féconds de la science rationnell-e; il ait reposer la distinction et la nature des categories sur c les foinctions logiques de la pensée dans le jugemenit. De là, une ~éritable inaterruption dans le courant de la réflexion critique.?Potu ce qui concerne les mathématiques par exemple. les categories de la quan.tité: united, pluralitéotalité, correspondront aux espèces dil'frentes de la quantity logique: ju gement généraux, particuliers, singuliers. Mais il est difficile d'aperce vor entre ces deux idées de la quantié un autre lien qu'une qivuple coincidence verbal. Aux yeux de Kant, la question essentielle sera, d ailleu.Irs, non de déterminer les modes d'unification réelle, mais d'en établir l'objectivité. Comment les categories soni-elles susceptibles d'avoir un objet? Comment s'opère le rapprochement de 1 unit conceptuelle et de la diversité sensible? Pout rlpo'nd)tc à/ ces questions, Kant intlroduit une.fonction intermédiaire qu s emnpare de la matière à unifier, et lui communique la possibilit d unifi — cation intellectuelle; cette fonction, particiant à la fois de l'activité a priiori qui appartient à intelligence el de l'inlulivite qui appartient à la sensibilité, nest autre que l'imagiaation. Entire ( la synthèse de lappréhension dans l'intuition, qui permet d'obtenir la matière du divers, et ~ la synthèse de la recognition dans le concept ~ où se manifeste l'unité de l'apercepopin transcendentale, Kant insère l~ la syntlhèse de la reproduction dans l'imagination l,3 Et ainsi faisani passer du plan de 'la psycho1.,, il esl; ltntl l'eI.t.:u -e. ji l ire une iigne par lt pelsl-:s(-.e oi (lquef J1 veuille co ceoi e lie-' I j ' le1 MLdi il un autre, oit; Se-tlelot [i. le représln

Page  267 LA ~EDOUtC ON TROAÂSCBEN TALC ET L' U MATISM, 267 logie eJipirique dans le plan de la ~ logique transcendentale ~ les remarques des psychologues allenands tels que Georg Friedrich Meier et surtout Tetens i, sur le rôle de l'imagination dans la production des concepts scientifiques, rejoignant plus visiblement encore la conception cartésienne de 'i-maginatiorn intellect.elie, Kant fait naître la réalité mathématique d' ~ une fortntion pure de l'imagination productrice ~ qui subordonne sous les concepts de quantité les formes de l'espace et du temps, 159. -- Kant precise le mécanisme de cette function en marquant la part qui revient à l'espace et la part qui revient au temps. Le ~ jeu des forces ~ se déploie dans ''espace.. Afin de se presenter comnrme image proprement dite, d'être prêt a de;venir le réceptacle de la réalitéqui pénètre d'abord dans la conscience sous i'espèce de l'étendue, le temups revêtira la forme de l'espace ~ Pour que nous puissions concevoir 'des changements intérieurs, il faut que nous nous représentlions d'une manière figure le temps, considéré coimme forme du sens intime, par une ligne'. ~ Mais, si au lieu d'envisager le résultat de l'imagination pure, nous nous attachons à la fonction productive ellemême, le temps acquiert une situation privilégiée. En fait, Kant a été peut-être conduit à cette conception, qui est. fondamentale ter un certain nombre, il faut nitcessairemeut que je commence par saisir une a une dans rna pensée ces diverses representations. Si je laissais toujours échapper de ina pensée les representa.tions antérieures (tes premieres parties de la ligne, les parties préc6.. entes du [emps, ou les unités représentées sue-,essivement), et si je ne les reproduisais pas à mesure que j'arrive aux suivantes, jamais une représentation total ne pourrait avoir lieu, ni auciun.e des pensées dont je viens de parleri pas même les plus purses et toutes pieiléi6ress représentations fondamentales d'espHie ot de temps. La syinthèse d'a.ppréehnsion est donc inséparablenient.ice à ia synt. hse de reproduction. Et pukisque cette synthèse d'appréhension constitute le fonatemaent rarnscendental de la possîbilité de toutes les connaissaaces en général (non seulemaen-t des connaissances empiriques, maist aussi des connaissiances purest a prior'), lta snt.lhèse reproductive de!'imagination apparsi.ent oau aclct, It..s ' enet'tiux de eI'eprit, et par rapport a ces actes nous dolniercns o c'lle l'oritioa dte snttis le no1i de fonction trarnsendentale de l'iîmauiiaitio.l -., A. 102..iB, iV, 78. Ba, Il. 416, TP., 134. 1. Les textes essentiels eimprulines (à a Meaphy.isi de I'un (3e parie', 'Psychologie, I alle 1757), et aux Phluosophische Verstlchi.. ber iie iirelscJiic ie î.' lur und ihre BEntwicklung, de l'auttre (Rliga, 1777 ), s 'rouven; nl n ili-rticlier ci'clz. Cassirer, ed. cii., t. li, 567 el; suiv. 2. ~ Die Zeit [ist] die Bedinlgungu des Spieis der Empîiîndulle der RIaunm aber des Spiels der Gestatlen. ~ Bennoe lrdmaii, a:lmit heiuagcit 'bee Kan.t's metaphysischen Standpuaki in l de ZeZi tiar 1T/, Plhiojsophische Moniatshef'tc. t. XX, '1884, p. 76. 3. B. 292, AKB 1, II.. B, 302; TPl. Cf D i.;s (770) AKB, II, 405. ~, Spàbtu tetiporis ipsilus eonceplitui ':e i i l;;i.iflhilliul'. repr'! e isenando hoc per lineaiu eicusque terir.nos (Jieo!':-iilt,) fil.' i i, ('i l.

Page  268 1268 LES' É'iaPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE dans!'Analytique îranscçn4en.tale, par les conditions particulieèr au problème de la causalité; I'application de la catégorie de cai salité aux phénonènes de la -nature implique.la propriété sp,éc fique du temps,'l'irréversibilité. En droit, il invoque pour l ju tifier l'universalité du sens intérieur dont la forme est le temp par rapport au sens extérieur don't la formne est l'espàce.. mouvel.ent, en tant qu'acte du sujet (et non en tant que dete Tinatio` d'unL objet), par suite; la snthèse diuers dai ilespacç, en faisant abstraction de cet espace et:e' considérai selulement l'acte par lequel-nous déterminons el'ens inter selon sa forme, produit avant tout le -concept de succession2-; En d'autres termed, les représentatiQns statiques qui s'étalei dais l'espace sont issues d'une function. dyinamique," qla s'exer dans le temps:~ Qfiand "je -`lace; rêpon. KanL ta site les ui des autres cinq poits...., c'est.là, une image du nombre cni ' cAu contraire, quand je ae faii.que penser un1 uiombre en. généra qui peut être e0u cinq ou cent, cette pensée représente une méihoA pour présenter, dans Uine im age conorm.metxet à unn certa'i concept un ensemble par exempie mille, ph.x'lôt que ce'tte imaF elle-m.nme, difiieiile. A parcourir des/:yeux et ' conmparer avec u concept. C'est cette,représena sioln d'ia procédé général d l'imagination pour fournir h un concept. son image que j'appell sehème ~pour ce concept. i' L ta'. ion de nombre n'est don ps' iàproprement parter un concept; elle- est un "<. 'mon~.gramme de i'imaginatin: pure a.priorii >, un scheme. Mais la pensée de Kant va encore plus loinsl'e nombre.t'ea pas seulement un example de scilhmze; il est, dans l'ordre de 1 quantité, le scheme unique. Du moment, en effet, que le sch( Inatisme est un processus dynamique, capable de s'appliquer la représenfation spatiale, nlais en soi indépendant de l.espacr il trouve son expression quantitative dans le nombre, qui tiel bien son origihe 'empirique de la figuration spatiale-", mais qi. '.- L'image pure de toutes les grandeurs (quantorum) devant le ser externe, c'est l'espace; de tous les objets des sens en général, c'est le temps, A. 142, AKB, IV, 102, Ba, I, 203-et T.P., 178. Cf. Cf Ds,: t7,0, 1, 05 ~ Tempt autem universal atque 'rationali conceptui.S lgis appropinqua, complecteand omnia omnino suis respectibus, nempe spatium ipsum et priterea accidentii quaf in relationibts. spatii comprehensa non sunt, uti cogitationes anini. ~ 2.B..-1B,5i. AKB, 111, 121, Ba, I, 180, T.P., 154. 3.:A. 40:,O KB, IV, 100; tr. Ba, 1, 201'et T.P., 177. Cf,:. Pr. V, 68,.t picaet,'-p". i2i. 4. -Le. concept de la quantité cherche son soutien et sa signification ldar fe nombre, et celieci à s'n tour dans les doigts, les boules du tableau' c.a: culr, ltes tritiou iiespoints, qui pervent être places deviant les yeux. ~ A, 2'1 ÂKB,:,' 15, i i,, 308 et T.P., p. 252.

Page  269 LA RELATIVITE DE LA CONNAISSANCE MATHÉMATIQUE 269 ins sa production ~ transcendentale ~ se définit par le temps mui. ~Le pur.schème de la grandeur (quantilts) en tant qu'elle 5t un concept de l'entendement est le nombre qui est une repré-,ntation embrassant l'addition successive de l'unité a une unité lomogène). Ainsi le nombre n'est rien d'autre que l'unité de la rrthèse du divers` d'une intuition homogène en général, étant )nné que je produis le temps lui-même dans l'appréhension de ntuition'1 ~ De là on ne peut pas conclure que l'arithmétique soit la science.1 temps connm e la géométrie est la science de l'espace. e temps n'est pas un -objet; il est une condition de l'arithétique, ou plus exactement de la mathématique en géné-.12. Il reste toutefois que l'arithmltique jouit de ce primal le Kant accorde au temps: le sch/ie temporel, le nombre, iut aussi pour la. géométrie. Dans:,.ijntervalle qui spare les rmes. pures de la connaissance et les données empiriques, où telligence et imagination. se rencoeitre.t dans une ~ harmonie rrialie 3 ~, l'arithrnmétique et la géométrie oecucpent deux places fférentes la premiere, toôurnée vers l'activité interne, vers le pense, est plus intellectuelle; la seconde, tourine vers la ~ syn-:se figurative ~, est plus- Iagi1ative. LA RELATIVYTV[,I DE LA CONNAISSANCE *MATHIÉMATIQUE 60. -- La doctrine du schmatlisme montre à quelle profonur l'idée de ia.synthèse o priori a pénétr6 la philosophie thàématique de Kant. Cette philosophie ne consistera pas element a opposer I'int itiité tdes formes de la sensibility à rdre abstract de sirnultanéité ou de succession que Leibniz ait con'çu, à fire valoir par exemple contre l'inteilectualité de space le ~c paradoxe des objets symétriques ~: ce paradoxe, r sequel Kant iinsistera de nouveau dans l'exposé qu'il voudrait pulaire des Prole'gomênes, est passe sous silence dans la itiqluede la Raison pure. Elle ne résultera pas non plus d'une raparaison extrieutre entra orme des jfgements logiques. A 42, AAKB,V, I02, Ba, 0 i 203 et TP., p. 178. Cf. Lettre à Schultz, du 15 novembre 178. AKB, t. X, 1900, p. 530: ~ Le. tps... n'a pas'd'influence sur les propriétés des no0mbres (comme pures déteriations des grandeurs), ni en général sur la propriété d'un cha.ngement cleonque (en tant que quantuml), quoique cette 'variation ne soit possible s par rapport à une. essence spécifique du sens interne et de sa forrmst-à-dire du teips). ~ Basch, DLu rôle de imagination: daïé la théoi i kantienne de 1 connaissance de Métaph. 1904, p. 438.

Page  270 270 LES 1TAPEIS DE LA PHiLOSOPHIE MATH.EMATIQUE et la forme des jugements mathémaatiques. Il est clair, trop clair mêrne. que si on conserve les cadres du rationalisme wolffien, si le libnizianisffc esi, in.ierprLét co rmm e un panîogisme au sens ie plus,:troit du i.miol>,a i 'n'y i aara de iju'geuentl'! proprement (aaltriqttie (q1 ilC ia i'e ln.lé,rence indt) disat.e du prédicat dans le sujie'; eas proposi[t;ios isoI; plus lI.mentaires de la mathématiique ne "seronlt p>as ramenées au type analytique: a somme arithmliqu<ie 12 n'i cs, pas un prédticat doint les parties 7 et 5 seraieint le su-_je.t. 5!ais ti que les jugements d'Equivalence rne ren;ren. 1:as d':ux-ilnres dans les cadres de l'inclusion logique, c'est là un fait d'une portée tou teta négal.ive et dont l'usage essentie est d de ldfinir le )problèTme. La oluo a unie tout autre signliication. Pour la préciser, on peut se reporter aux questions posées par d'Alembert, dans le Discours préli/minaire sur /f ]i"cycltdie, (et dont Condillac. donnera le développement dans sa Logiqzue, 1 776):~ Qu'est-ce que la plupart de ces axiomes dont la G(ométrie est si orgueilleuse, si ce nest l'expression d'une même idée simple par deux signes ou mots différents? C elui qui dit que deux et deux font quatre a-t-il unre con naissance de pLus que celui qui se contentera.it (t desire que deux el deux fon cl dex et deux ux? ~ l est visible que Kant pourrait donner gain i de cause à d'Alembert sans ébrans ler dans ses racines laistse fondam.entale de la Critique. Si de 2 - 2 ou de, 7.- <t passe analyatiquerment à 4 on i 12, il faudra rmoditier sans (Jdo;te cerLains ldtailss de 1 expo~:,i.ion k'mantien1ne, ou se n.e let, dans 1un désordre inetricabl 1e language de la ogique fori:elle t le lan gage de la scienti.cc positive; mais, au fond, cela laisse intact le problème critique. La plac e la synvthèse a priori n' est pas dan s la liaison des terms cdu j elgement, ou dans ia dénotnstration de te telle ou telle ( formule nun rique,i ^ ptartLicie;' I e.ll lesat d(ans le processus général dont drive tout )ombre particulier, dans la creation dets no'tilns Als-ti e. (A ' égard l 'ee ics; preaièreci pges de ia D)isc ipi rine dre a iso: p:qre ta:'"sa/. gt iqe sotgli c xpli — cites et dceisives: si ~ les mat.ilmat;iques fournlissent le plus éclatanl, xemple d'unei réasisonit pi sre qiii i sit s'èendr d'ellemêamie san es le secours de t 'expriene m,, c'e;t que ( la connaissance iîat<hlimal.ique est la cninaiss'ance rationnelle paIr construction de s con cepts,>. Oe( 4 soi t coiso./ruii quandi te group (o -2- 2) esl donné, cela poiurr it ans doute se dérimonrer; mais ce qui 1C l,' ',,; n". 1vf, M tan(/le, `. t, l7,; 1.. t. 4. 't, \, 7';! "l;'[:.;uiv. A,1(B, m. 46,SS.;', iL 28ti, 7".,"-'0'.

Page  271 LA ILA.TIWTITE na L, cOQ NMALSGE MATHEMAQ6QUî 27t est en réalité cons ruree, c9est le groupe (-2 - t), irreéductible à la siîïple conception de '2 d'une part et de 5G de l'autre; ce qui est à établir, c'est la possibility de réunir dans une même notion les units homogènes qui se succèdent dans le temips. Or pour cela il ne faut rien de mroins qne la deduction traanscendentale; i.intuition a priori a pour condition une imagination a prior, qui est eHe-même sous la dépendance de l'unité syntihétique de l'entendement. En d'autres termes - et l'originalité de cette formule explique assurément tous les malentendus et toutes les controverses auxquels devait, donner lieu la philosophie mathématique de iTant, -c'est pou rendre raison du signed t -, de la constante et. commre (diront les logisticiens contemporains, que Kant a donné ce génial coup de sonde dans le schématisme,, art caché dans les profondeurs de tl'âme humane, et dont il sera, toujours diflieite diarracher à la nature le vrai mécanisme pour l'exposer à découvert devant les yeux1 >. 6l N. - Nous pouvons maintenant déterminer la perliée de la pl1iosophtie mdathl6matique de Kant. A coup sûr, si l'on exige que la philosophie d'nie science se transport;e à l'avant-garde de cette sciexne, qu'elle tranche les débats qui divisent les techniciens, qu'elle éciair'e t qu''elle stimule leur marche- vers de nouvelles eonqu.tie, nous dirons qu'il n'y a pas grand fond à faire urt la Critique de ia Raison paur. Mais si on maintient le problème de la philosophia maihématique dans les limites et sur le terrain où l iuentrion ae Kant a été de le placer, si on demandee a l'intelligence de la,èat hmiimatique de dfinir un nouveau type de connexionl entre, a dlict ion rationnele et le contenu de l'exp6 -rience, c'est-à- dire ni. nrouveaul type de v(rit, nous trouvons dans la Cr'itique une philosoihie mathmil atique, et qui marque une dae décisive.tins 'histoire di la pensée hiumaine. Pour la prei.:rc ois., en effet, avec la doctrine de Kani slur tes mathé;matique's, ia théorie de ta science( nest, par rapport à la science elle-mêmeio, ni au delà (cormmnle la métaphysique des cartésiens et des leibnîziens, qui suspendait les principes de la raisotn à une thé,l~.ogie), ni en deçà (cormmne l'empirisne anglais, qui ne rvoyait. l.an, es notions de a mathématique qu'une approtxmationi e t expéritetce); la th(.rie kant.ienne e la science esxt exacteen. t a.i xi. veau d lat e iece clte-mime..16(.L --- [c' ce e point dc vse, les fit bilesse- apparente.s dl kantisme seront pflll.-i'te.e tles f.)res. Ltes p)rol)Ilmes j que ia t.héorie( kiantti-lne de 1a il t.I hmail a t' e tI rélsout pas sont ceux diont il 1. A\. l4, AI B K t, I 101, Ba, I, 20'2 el 'P.. 178.

Page  272 272 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE importait de montrer qu'ils' ne comportent pas de solution, positive, afin de tirer de cette impossibility toutes ses conséquences philosophiques. Voici en effet la grave difficulté qui est inhérente aux formules de Kant: si le nombre est le schème de la quantité en général, comment concevoir le rapport du fini et du discontinu qui sont les caractères apparents du nombre, avec. l'infini et le continue qui sont les caractères apparents de la quantité? La question n'est pas traitée pour elle-même dans la Critique; les indications que l'on peut recueillir indirectement témoignent d'une grande incertitude; ou, dune grande indifférence.. Tout d'abord, suivant la doctrine de; l'Esthétique transcendenltale, ~l'espace ~, ainsi que le temps d'ailleurs, est représenté come ~ une grandeur infinie ~, et Kant dira 'rnême dans la seconde' édition, comme ~ une grandeur infimie donnée ~; les parties de l'espace ou du temps ne constituent pas l'espace ou le temps pVy leur assemblage; au contraire, elles ne peuvent être conçues' qu'en lui. Mais si ces formes sont toutes prêtes dans l'esprit, pour recevoir ou l'expérience qui vient des objets réels- u l'expérience idéale qui constitue le jeU de l'imagination a priori, elles ne sont, prises en elles-môraes~ que des virtualitds2 Dans l'Analytique transcendentale cette double virtualité. s'actualise à l'aide de synthèses mentales 'qui forment une série finie de termes discrets: ~ Je n. puis pas, écrit Kant- dans I'exposé des Axiomes de l'intutiion; me représenter une ligne, si petite qu'elle soit, sans la tireti par la pensée, c'èst-à-d're sans en produire successivement toutes les parties d'un point à un autre, et sans en retracer enfin de la sorte toute l'intuition,.Il e.n est ainsi de toute portion du temps, mêrme de la plus petite',~. Les quantités extensives que le mathématicien construit apriori dans l'espace et dans le temps, se définissent ici par un caractère contraire au caractère essentiel que l'Esthétique Iranscendentale reconnaissait à l'espace et au temps. ~ J'appelle'quaûtité extensive celle où la representation des par-ties rend possible la 1..A, 25, B; 39, AKB, IV, 32, et III, 53; Ba. 1, 79 et TP., 67. Cf. Van Biéma, L'espace et.-le temps chez Leibniz et chez Kant, 1908, p. 234. 2. ' La' simple forme de l'intùition sans substance, in'est pas un objet en soi, mais la condition simplement formelle de cet objet (en tant que phénomène), comme.l'espace pur et le temps pur, qui sont à la vérité quelque chose commrneformes d'intuition, mais qui ne sont pas eux-mêmes des objets d'intuition (ens inmaginarium).,, Amphibologie' des concepts de réflexion, A. 291, AKB, t. IV, 186, Ba. I, 352 et TP., 288. 3. A. 162, AKB, T. IV, 113 Ba, 1,,222 et T 1.,- 192.

Page  273 LA RELATIVITÉ DE LA CONNAISSANCE MATHEMATIQUE 2'73 représentation (ld tout (et par conséquent la précède nécessairement) ~., L'opposition, presque libttrale, des formules souligne l'in"d quation essentielle entre les formes d'intuition qui servent seulement de réceptacle aux constructions de la mathénmatique, qui sont des données d'ordre métaphysique 2, et le pro.essusr de l'imagination pure par lequel l'objet de la science se ralis effectivement. 163. - Le problème de la continuity se présente sous une forme moins aiguë: l'espace et le terips sont essenti.ei.:ce;it ~des grandeurs fluentes, c'est-à-dire que dans leur prodaueTion la synthèse (de l'imagination pr\oductriee) est une progression dans le temps dont on a l'habitude dle designer la coniuiitr', par ]'expression d'écoulement8 ~. Tout ce qui est rmesluré dans l'espace et dans le temps participe done à ce caractère de conti.-' nuit6; même lorsqu'on dit que 13 thalers sont une quantie' d'argent, Kant veut que l'on retrouve, derrière l'agrégat discre-t dep pieces de monnaie, la quantité continue du métal, div;s'i.e en autant d'unités que l'on voudra 4. Dès lors, le sethèt ',pro.prement.numérique, où le caractère essentiel -de Ia continnité se trouve relégué au second plan et demeure latent, ne donnera pas l'idée complete de la quantité. A côté des quanUtié;s extensives qui sont lies aux. axiomes de l'intuition les ri;. nc pes synthétiques de l'entendexient pur dans lordre de I,:law-|u é, les anticipations de la perception, font une place a noa 1i)'on de la quantity intensive; ~ Toute sensation, par suite, loJlte r<ai ti dans le phénomène, si petite même soit-elle, a un degré, c'està-dire une grandeur intensive qui peut toujours être dinminuée; et entre la réalité et la négation, il y a un enchainemnt continu de réalités possibles et de perceptions plus petites encore possibles. ~ Il semble ainsi qu'à. l'arithmétique et à la géométrie se juxtapose une mathématique de la qualité Sensible. Seulement, faute d'avoir aperçu ou la fécondité, ou la clarté intrinsèque, d'une semblable discipline, qui se rattacherait a l'analyse infinité.simale 1..:' 1,62AAKB, T. IV, 113, Ba, I, 222 et TP, 192. 2. Cf. Diss., 177, sect. III, Cor., [I, ABK, II, 405: ~ Nonnisi dato inflnito tam spatio quain tempore, spatium et tempus quodlibet deflbitnm mitmando est iassignabile. ~ Voir les remarques de Kant sur les articles de Kastner (1790), apud Dilthey, Archiv fir Geschichte der Philosophie, t. II, t890, p. 87.. C ibid,-p. 275 et suiv. 3. A. 170, AKB, IV, W1'i. Ba, I, 230 et TP, 197. 4. A. 170, AKB, IV, t18. Ba, 1, 231, et TP, 197. 5. A. 169, AKB, IV, 117, Bg. i, 229 et TP, 197. USHlvs CG uic..- Lés tapes. 18

Page  274 274 e3 LES ÉTAPES DE iA PRHILSO(PHIE MATHÉMATIQUE de Leibnriz et de Ne 'wton, Kan-i' ne 1,a constiStue pas en partie auton ome des mathématiques; de telle sore qcie, par une silgularité atssur6ment étrangce chez un penseurn si épris de ca ssiiications syst m atiue s, il ne réussit. pas oga niser d 'une fao, déiuit'ryi ie plan de ta nmthématique. Pour dét'ermiierla science *diu temrps, il hésit te etrhela mécanique et. h'ari'thmtlique, conmlme en témoignie la formule oscillante des Pologom2nes:8 < La géom'trie prend pour base litutuition pure de l'espace. L'ahrithméetique' produ ll.t e-mnrme ses concepts d o re nonbr e leteirps p-:tr t'addiMon. suaccessiv'e des units; mais s.urtout la lmécaniqul4e pure aiC p put rodixire ses. conepts de mouvemient' qui'au toyen de la e'epr:s'entatioan d'n.Itemps '.,~ 4.. A3ur, d-'u pSirtde:.vue d ogman tiqe.ton es ces indéuiasoL rs apparaissent Prineusfes; la fhnité -a. {a: iscolntiitilHé dC ea s rlythse numdérique son itnco.pRpatibles.vec }ridIiR-it6i et îa.contimat-é.de la -grandeur spatiale;de'à, sielon l'expressiaD. favorite die Re.xioier, un dilemme que le phl1osophe devrait iranteh r se us peine de mort. M ais la pensée critique. a cet evant.ag queluie n'oblige n'ullemrnt hant à supprnimer l'un des terms d'u1ne opposition qu'il conaidère comme essentielle à la nature deï l'es'prit iauma-in, comme:,en.. caractirisanit la physio — nomnne.. Au contraire, si l'évolution de KIant fut cons. sammfien't demire^ corante il le dit luiamfme, par li'det de Ie lainaomie, c'est q.ue intelligence. de cette opposition devait; serviri à découvrir la' i~s line de parttage ~ entreP.e dom)aine de-.la scielnce positive e-t le domain e dle.a lmétapIhysique. La science positive échappe, la nécessité de ctie is r,- tenvertu. de cette relativit;é qui, Ia restreignant au donaine du sensible, en fonde la rationuaiil. L'arihméticien pou:rra prolonged indéfin imfent son procédé de nuam1rati1 on s san se s`uier d'épuiser a' totalité termes ee suc.cessifs, puisqu'il n a pas besoin de fire du temps une -rôtilite: de mane, le g6onetre ne snupprimera pas la simiultniéiit des objets sp'atiaux parce quT'l constitue à l'aide dee lha syunthsc successive les lines1 et ie siuriaces. Ceslt ia meltapsique l.see, c'est ta eosnîoiog'. e ratiôbnnelie ~,> 'on;idérée -. m pn< a;î.e.e h rfnie. lhysiqu.e, qui apporte avec ellc l'exi;ec d'un- choi:. c'a: t'espace el, t iexaps; on v i: r te alors,;tir t ' es s ihoei de.iu moi cadre d.s.t..-c aoses. Etie ' fini el. 'i, c'ir ' Ie d'iscontuiln: ei le con.tinn, Il,1 evtiedr'y a néycessa'i;r e, el cpt nndilanI,; ifi liar.;'It: m(éi... i90t),5, p 337 ('.i 3 '1. ': '. PLt:-. p:'% '/cs J-e 'malh&i',~az i.'^e, t Ofl. x 190 ) AP }C. 'p.::''. 12.. e i::: t 'r,,, d, i 21,.pi.'.re.;,.,t t; t. Xli4 f J p, 2:S i <w - - 1(cv, 0e1-, -t 3ji~ _-,1;n~tgr ol

Page  275 LA RELAT' TAI. E1j. LA CON:AISÙSNCE MM.'H MAT1QiE;t: f apparatît impossible, de i rancher 'altternati.v-. Toiute olJtjiH;a d'objet ajbsortlu i nmpl}iq'e uine d te\iS;ation. relatives àb t'eBtC, et au. etu ps; po ur qute.'i uvs s i t re 1, s il eu 'ne a w-v Nhse qui le constitute:partie p.r pa.tie prs.se ê:e achrvé, qe!a s*rie des ciuoseal: t1l cs;por..ne n..tai:...-. dtts. l r. ire di tr.:,.r: '' s et tians.['nuordre de l'espa c. Or t 4eaci ':u.r' î "'np h,entt qi e I 'id sué t e.,a: da et ed I, t ialer.dit.que i'e p.rii..stn-ta iy c,q.luolque ' par,:'i. dan. s is. i'Ot'formt:Jini d}e ce.q-imtum'; qu'il s'a.gaisse d'embrass^-oaua r 1a 'to.taliati. de...fi..s au l io si' nc e.s;aire.en, relative à t n e nouvelle déte minat'on la5. -- t Tell.e, st, h a prene en solx thtme i ntiae, a dorctrinef dies.anzin omieîs,,diestinwae 'a CoUSQoWLr la.urine i toute ~, cos mor.tfu 'e; mais pa.tun retour d'i dées, curieux ici à ob server,!'.rgunmentiion de K ant est iirv',lrse' de celle qui.e Leibniz faiait. l.o. Au titouism-e de Uhiq/uc e qui impiqu e ao ne ienerrpr Mtation iteulle.:tuel!ei de lt'espacc, la:1*le l'ogadoig Sopposait la psinaitt des substlcaes. Lei.oniz re cruii à' Bourg'uel e pu ar lant de lSpinoza a <. II a'ur:t rai son, s'il n'y avai. pointde tmno.'ales; a!ors I.out, hots de.Dliou, s} r i[E passage e S'&évaiU ieuaai en I simple t.d:d ci.nisLs ou.moddifie';tions puisqu'il n'y aiaitl, point ta base d'es sublsnties ditn let-s choses, lquel.lle consis.e dLeban.'s xi.itece dets 3Iocnides. IOr ave la 'p-e tplr lit des ':t:a^ 'nacrLesL quii.i nei ut;. pte ouxi et, n e.. o ex s er d ans ua |r miie.u d'oos it a p ritc rmutueli e, tieib'lni faisait renaître tioutes ltes dit; cuitéa iinhe.rentcees ara 'aÇismae a. spatial, Sui'.an Kani. au contraire, '.e' qui iatinedi de poser i'unit de a ubsm tae, c'est la drcoue p e de l'Es.thîliiq'e Ira:sce:,'.dertlEalee l'espace et le temps, né't:it pa.s d'otdreC intelicluel, te.saiiraient e. primer ui tljie en soi' edt il écr it..dani.a Cr(l/iqe de c lh aison pa/iquqt e: Sie I 'atd Inet pas c t ile iditiiti ds u i, -.ps el de i'es pac, il ne rest plus gque }e Sintoi.smue, dans equ ai ",'estpacte eti l te os so ijt dk 's tiér-lat "ii 'i, S e.sset ti'nie ' d.tr. e 'ii-.êa. ui D e.orntais, Sp} ino Te.t l, L ihi, s c teot, galmet ors d e j e' u; >'les,hii!oso t i)i.8e' in i t t s,'e 51' e,tf. snrsit I dpaisser ef: eoi ems en l pso t de vuede l' Ihootin,: poutir" i t I;ïnel/i/ecas ar chef /qî s dt. rCl teut, ei[ ss 'et e cet t.e i a 'céatirn mi e. ime d oni not iJ soms la 2.', 36t,i, 8i4 ï (_,e, l,:t f; -1)a,t '. 1............^ p.

Page  276 276 HLES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE produit 1. L'lan est brisé qui, pendant tout le xvIin siècle, avait conduit de la science a l'absolu, qui avait permis d:6riger l'application aux mathématiques pures en une application de l'esprit à' Dieu'. L es conditions qui permettent de fonder a priori la science de ( universe, sont celles mêmes qui interdisent la connaissance speculative d'une réalité,- en soi. Les principes qui légitirnent les raisonnements de la mathématique permettent de dénoncer les sophisnres1 dissimutes dans les preuves de l'existence de Dieu en particulier dans cet argument ontologique auquel DescarteslP s'.éait fiatté d'avoir apporté l'exactitude et. la rigueur d'une demonstration géométrique. LES MITATHIMATIQUES ET LA MNT'APIHYSIQcUE DE LA NATURE 166. -- Par cette condamrnation de la métaphysique antérieure, la philosophie kantienne de la mathématique a déjà un caractre positif'; mais elle est encore positive en un autre sens, qu'Auguslt C omte nous a rendu familier, en ce sens qu'elle a pour. résultat de délimiter le domaine proprement scientifique,.et d'6tablir a prior les cadres généraux dans lesquels la science, nmême la science de i aveen.r, est appelée à rentrer. -La concepLion cartésienrne de la mathénmatique avait permis dc u.ivre a travers la hitéarchie des fo rmes de ia conaissance le;, dé?eloppement, parallèle d'unle ~< adéquation ~ interrne et d'une réalité externe. La conception kanti-enrne, en intercalant entre la pensée pure' et les données extérieures une double forme médiattice, qui est substumee sous la catégorie de l'entendement et sous 'aquelle à leur tour seront sbisumts les phénomènes sensibles, excl ut toute égalité de tniveau, toute correspondance exacte, entre l'idée et 'ideaéa. Mais, eln rmnme temps, elle permet de déterminer une forme nouvelle de liaison entre l'intelligence eI 'i magination, entre la forme de la déduction et application nimm'udiate au réel, de créer, come nous l'avons dit, un nouveau type'de vrité. La vérité doit se définir, en ré-gime d'inadée'qalion essentielle, par une sorte de ~ compromise ~ entre deux 1. (, Unere Vernunft ist ja kein UrbilSd soudern eil Ektypon, ~ apud Benno Erdmaan, in Philosophische Monatshefte (1884), art. cité, p. 91. 2. Voir 4alehranche, texte cité, ~ 87, et ce passage significatif d'une lettre de Leibniz ài Burnett, vers 1701, i, L, I 270 ~ I! rne semble qu'on écrit trop de livres chez vous pour prouver ln. vérité de ta religion. C'est une mauvaise marque.o. Je voudrais qu'on s'attachât à faire contitatre la sagesse de Dieu par la physique et mathématique, cen découvriant de plus en plus les. merveilles de la nature. C'est là je vrai moyen de convaincre les profanes, et doit être le but de la philosophie,.

Page  277 LES MATHEMATIQUES ET LA MÉTAPHYSIQUE DE LA NATURE. 277 ordres de réali,és hétérogènes, par une limitation et par un ajustement réciproques don't la Critique de la Raison pure avait pour objet de délerminer la base juridique' à la possibility logique, définie en soi, par, le principe de contradiction, elle oppose et substitute la possibilité mahénmatique, définie en connexion avec la réalit.é empirique. 167. - En pesant la portée de cette substitution, Kant pouvait légitimement comparer l'avènement lde la philosophie critique à la revolution opérée par le système astronomique de Copernaic En effet, le priicipe de contradiction ne fournit à aucun degré le critère entre la relation d'ordre scientifique et la relation d'ordre non scientifiqe' il suffit d'ailleurs de se rappeller que l'explici{tation.du principle de; contradiction est coitMcrmpotrail d'une métaphysique lde la sUbsALnce et de la finalité. La science d'Aristote est uine science: du cen'r fall qui, dans sa définiion même, reserve li:part de exception, du hasard, de la volonrté trains cendan te. Avec Galilée et Descartes, ce n'est plus la combinaicso syllogi.tique, c'est la mresuLre dans l'espace et ldanrs le temps, qui est l'instrumenti du savoir scientifique. Peut-on lui demander (l'en être:W'ssi la limited? Pent-on excnlure les faits apriiends qui contdeiraient aux conditions suivani lesquelles s'établit la connexion dans l'espace et dans le temps?La réponse des Carésieins nest. pas douteuse, mais elle est surabondante; car elle implique une do.crine de la sagesse de Dieu': ~ la cons. taiton d'un miracle, dit Spînoza, qui exprime sans aucune réserve la teidance de lÉcole, sermit la d6déionstration irréfutable de.'atlhéism ), La réponse de Humne n'est pas douteuse non plus; mais il est; visible qu'elle pech.e par défaut. En critiquant la prétention dela raison la a vérit, Hume s'est retranché la faciulté d.e discuter en droit. Il luii resieraa a ressource d' ~ éplucher le fait ~, pour reprendre un mot de Leibniz: il invoquera des règles de prudence historique, ou de l'uniformité du cours de la nature il tirera une sorte de <~ preuve ~ contre la réalité de l'ivénement qui dérogerait à l'ordre coutumier'. Mais il est clair que la i. ~ Siquid igit.r ia natura fiert, quod ex ipsins legibus tin sequeretur, id necessario ordini, quem Deus in oeternrun per legIe natural universales ia natural statuit, repugnaret, adeoque id contra naturm ejusque leges esset, et consequenter ejus fides nos de omnibus dubitare faceret, et ad atheismum duceret. ~ Tr. Theol. Pol. Ch. VI, ed. cit., 1, 449. 2. Voir les Essais philosophiques sur e'tendemlent zhumain, dixième Essai: Des Miracles, éd. Green-Grose, t. Il, 1875, p. 93, trad. fRenuvier-Pil)on, p. 513.

Page  278 TSie zxLES DTA ES DR LA PHILOSGXEPH MA-THLiATIQU possib;iité du miracle n'est pas exclUe. La confiance de, Hnme daaiî' l'uni)formité de l'expérience.pourrait être seulement l le product d'une observation supeerficielle, q 'unei applicaliour plus i'pro:f'_: de à '[ expériernc elle- imêgme dooneraît tmoyen de démentair; ce. serait urte impression subject te, atl.estant la vari aton dans ces croyanîces collectives qtn 'it vet a rret 'irt ois accr eédité le miracle, fLascen1d.an du rat ona!'i sme chei.kt xvoi sitcle sur cellui-à même qui en avait le mieux dénoncé la rag4il.t. Et ent effet, si le,rrijugé de la ~ connexion nécessaire,> es véritlablement renversé, il ''y a plus de fond à faire sur ia vag-ue généralité qui 'naît de l'habi tude, sur l'uniformité app:rox: imative qu'offrent les sutccessions naaturelles. Les part'sanrs des miracles une s'y sont: d'ailleurs pas t romf)tés, et ils s'ataccordent dans un mmne jugement: celui qui nie sans principe est toins éloigne d'e.ux que celui qui. nie par principe. Pascal acd.'irat '>iron' ie ode 'Montaignge olon tre les douleurs de li';'.w ic.es: ei iOi', verra de.nos joutrs William James traiter Hume a-vec la m tTIme ctairvoyance int éress'e. 'Pour-se donner la iberlt6 u proiesser des doctrines toutes proches'de la mystique de Swe den. borg, J ames romfpt ave e- len L-s tde avec les exig'ences de la Critit ue Contre la science ratioJmiele don't la i'mati.tma'tique e Ist. la forme', 'il cherche son appui dans ie retor la tranldititni anglo-saxo<lnne dte et. eCmpirisme t raical', elon lIequel rlien ne peut être a /.i priori considerr c e C - tnraire aux lois de l'univers selon lequel < n'importe quoi peut prod re n porte quoi. Cetieresi il demeure permis de eprétendre, suivant la formule tant da fois ddébattlue, que Kant n'a pas répondlu à- HIumern; il est str de mrroinS tqu'taprès. Hurne une réponse 6tait fire, qu'iALeritnéd-aire entre. a thao logie du cartsianism-?. et la dissolution pthél&ri.oMénis.tk i.e. place étai à prendre pour 1eéttablisser eut d'une doctrine dre 1a science positive; et cett.e place, Ka.nt a' cru s'ei. epare u tr 'ce la reliorrt: e da notio(.n de possibilt,. 1368g -- Ai clet é6galrd,- ia t lendaic original de son. esprii t.se a3ifes86e nès.s. p. eies, é:.ts. Le réet nest pas, comi,-ne t':o Vulai. MWolff, ie- <~ cormplément du possible,. Le prin:cipe de c,:rl:dicio, 'lc:; q.'u:t principe Iog'iqten or, ia possibility 'i;ii t:re supp8(> aos tu-, ]j:'i,:,r q'i es[,r 4xe r lit t ' De ce i. [. v.<e t j tans'es, ft /:, f.. t1).,t. ' 'L:rgntaftismef iYvue ''.p'hi o oi" - i ( 19,3il p. 3t84.;t. t'r.ilt de la n..tlmi rte, ti e l leiiV nt. ts, Pari. 1l,? 'et. XV, éd. 't Green,, j!:"t:i'" > tr,:tieo'.'iuvi,'r.-P i t,.. -' t,,:9:,>). ~ t,',.. i n 'r'rce t'y rthii:t. > 4. (:r ":; "..<ni'. 'O{<.ici;, C4e ' c" ci,>;'i@'itd: r. r 'i't,'.el,',trii't'rit., d "' Dasc'îrs Gottes,

Page  279 LES MATHEMAaTQUES ET LA MÉTAPHYSIQUE E LA. rATl-,: 279 initial drive l i doctrine dees 0ostaa(s de a r pense emirique 1i n'y a pas de concepts axqa'tels!.e seut examen. de l1: u js proi-. pîiétés int ltrinasèques pertl'lte;: de ',onérerr la possibi/id ia.rs la significant. io pleine et objcive du mo i. Le co(ncapt du tiriang est assurémenut i.ndépecndantrdt dct eSp-rintce; mais une construction formellie esuffit pas à met re h!ors de doute l'existen.: e de I'objet correspondlant. lt faut autire chose: il faut établir ~ que l'espacte est une condition ~ormeile a prior des e xpe f riences externes, que cette synthèse figurante par laquelle, nous coistruisons dans l'imagination un triangle est absolume'nt identique à celle qui s'exerce dans l'appréhension d'un phdnomène pour nous en apporter un concept pique Si la consideration de l'expérie;nce achve se e seule de donner toute leur portée aux notions mthlématiques, à plus irrte raison cette considération sera-t-elle requise pour les concepts d'ordre physique substancese, forces, i.. ùciion2s éciproques. On peut imaginer ~ une substance qui serait const;amenet pré6ente dans l'espace, sans cependant le remplir (comme cet interr6 -diaire enl.tre la matière et l'être pensant que quelques-unns ont voullu. introduire), ou une faculty particulière -qu'aurait note esprit de voir d j'à i'avenir (et non pas simplenment de le conlurete), ou entl la faculté qu'il aurait d'être en commerce ase^ d'autres hofilm;es, quelque éloignés qu'ils fussent. ~ Mais si onl n'a point ( cmprulnté à l'expérience mrêmae 'exemple de leur liaison,, on n'a pas ie droit de-e dire que ces concepts soie1nt possib. bes ~ Onu leur possibility doit être connue a 'posteriori et empiriquemenn t out elle n peut' l'être du tiut2. ~ CLa conclusion deS 'empirisme est justilée, sans que poletant [" f1k. C i l d' ' 1 ~ lu P. ' If. 1,r'gtqL a l'empirism ait gai.n de cause. L'effort original de la Cr.'Iqae a 'ti en efeet de faire voir que la possibilityt, a posierFiori nes! 'nullement, cotnine ele doit l'être -chez l'e npirie i p ssi" biira i;ndetermainée qui reservcrait l' aveni? muystérieux, les apparitions singolières les creations 'jnatteildulles. C'est unl possibili;té qi, desntinée à se manifste'sr dans l'espacc elt dans a. temps,' esi, saujctte aun conditions de 'itiu iiion dans l'espace et Jans le tiemps. piès lors, si des liaisons sont algiéeu er con-.7163, ]? I,,. Ai KB, ft, p. 79. Cf P.)rcipio.ai m rriiimum coypa.îi'nja pme.i',iphyssc nova dîiï. idrti ('1755) sect. IIt, prop, Vii: V Setquitur quod nfihil tc..qrt ami pou3i hii c.toun ipi. po;Sit, nisi, qutid quid e-t in. omni possibi!i notioue ret.ci r'" xis',U. ~ AX', t. [. p,; 95, n voir.Delthos, su" tla formati o, drli t'ii e d(:'n jtgemiient s synthé;i?-,.es a r philori s-chzh t(t,.L'anne ph p qu8 e sui v. i. 2. V?, t. i 47.r..B.., 8 el ' T p. 23) '~ Ibid.

Page  280 280 LES ÉTAPES DE'LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE tradiction avec la nécessité de cette intuition, il est impossible a priori qu'elles deviennent possibles a posteriori. Leralisme e.mpirique est une pièce essentielle de la doctrine k.antienne' mais il ne s'applique qu'à l'ordre de l'acquisition de la connaissanc, h l'ordre de 'Idealgrund.. Suivant l'ordre véritable, l'ordre du Realgrund, le réalisme empirique implique l'idéealisme transcendental. La pensée n'a d'autre objet effectif que le phénomène des choses; mais le phénomène des choses est en même temps son propre phénomène. Si les données empiriques sont aptes à constituer une experience dans le sens scient.ifique du mot, c'est qu'au moment même où elles se présentent à la conscience du sujet pensant, elles ont déjà subi une élaboration inconsciente qui les, a rendues. justiciables des ~ principes de l'entendement pur ~. Les formes de l'espace' et du temps, qui offrent un théâtre au jeu de-l'imagination prod.uctrice, ne sont pas constitutives de la: réalité prise en soi; rmais, en tant qu'elles déterminent les "conditions auxquelles la représentation de l'univers doit obéir, elles sond régulatrices de Ia réa ité empirique. Du pohit de vue transcendental, ~.l'intuition et le concept ~, en ta.n qu1ils expriment les conditions formelles de l'expérience, définissent, le possible 1. La métaphysique kantienne ira de nouveau, oomnre le faisait le dogmatisme wolffien, du possible. au réel; mais c'est que le possible logique, le possible en extension qu i embrasse -neI sphèbe plus vaste que le domaine du réel,. " céed la place possiblee mathématique, possible en compréhen-:ion qui determine le cadre exact de la réalité. 1i9,.- Kant pourra donc effectuer ce qui avait été soq premicr rêve philosophique; il achèvera l'oeuvre que les Principes naihér/maiiques de la Philosophie naturelle n'avaient pu réussir à ter'miner cornplètement. En 1755 il s'était placé sur le terrain de la science même, et il s'était efforcé de reconstituer la formatioa.du système cosmique. A l'antériorité chronologique, la Cit.,.iqae substitue l'origine transcenden1tale, c'est-à-dire en dernière analyse les conditions qui permettent d'appliquer les formes de la mathématique 'à la science -des mouvements c:lestes ou terrestres: ~ Une philosophie pure de la nature absolument parlant, c'est-à-dire celle qui recherche seulement ce qui constitue le concept d'une nature en général, serait, à la i., Ce qui s'accorde avec les conditions formelles de l'expérience (sùivant l'intuition et les concepts) est possible. ~ A. 218, AKB, IV, 145, Ba, I, 278 et T'P,.232,

Page  281 LES MATHEMATIQUES -ET LA EMÉTAPIYSIQ(JE DE LA NATURE 281 vérité, possible sans mathématiques; mais unei théorie pure de la 'nature, portait sur des objets naturels détlerminés (théorie des corps et théorie de -l'me) n'est possible qu'au moyen de mathématiques; et comme dans toute théorie de la afiture il "'y a de science veritable qu'autant qu'il s'y trouve de connaissance a priori, la thé6rie'de la nature ne contiendra donc de science proprement dite que 4ans la mresure où les mathématiques pourront y être appliques 1. ~ Or ia oe tLinuité du sens intime ne suffit pas pour fonder une connaissance mathématique, c'est-à-dire scientifique au sens propre du mot, de l'âme, Seules les notions de matière et -de movement peu-vent recevoir la détermination mathématique. Sous quelle forme, nous pouvons le savoir a priori en appliquant le tableau des categories, qui a été posé dans la Critique de la Raison pure. Dans les divisions logiques: quantité, qualité, relation, modalidé, rentreront tour à tour les principes de la phoronomie, de la dynamique, de la mécanique, de la.phénoménologie2. En fondant la connaissance scientifique de l'univers sur les lois-de la pensée, la Critique astreint cette connaissance à des bornes immuables. Aux -yeux de Kant, la logique d'Aristote épuisait la science des combinaisons formelles; et de mêm.e, il semble que l'arithmétique de Pythagore, la géomrnérie dEuclide: la physique de Newton épuisent la science rationnelle de la nature, comme si, pour légitimer le savoir, il était nécessaire, non seulement de le rattacher à l'esprit du droit, mais encore de l'enfermer dans la lettre d'un Code. 1. AKB, IV. 470, tr. Andler et Chavannes, p. 6. 2. [bid., p. 477 et 12.

Page  282 CHAPITRE Xlii LA P.1iIOSOP IilE M ATLIfMEM'ATr.yIOI U 1IY ~A GUA'GST 1< C O MTE DE EANT A COMTE 17*J%, - Not-a avons étudie lia ede la Rai'o parc,o st) mme, Pro(;lIégomètnies à la. étaphysique îe la Naltre. Mais, en vertu du rckitiiSme eUs iudo LEs Illie Iduonte,dentale est la basc, la, e ril(-e r1i "pare 'usa- à unes, pSpeculation &tlnul ord~~lre t.orut. diereépùnt, qui suhsuitue e lit croya1nce auti svoir',~. Pafr d dlà le, do'rauR i e de peKrinc positive, lant prêtend mnainteii'î tout leuL r 1 credit iu:xi i., îdelraltaeues de la r A io. e, erm e de la fia1ccwc-, euren ndeuLde: il bii3.t~SC~i uni orr spc~la -upéàen d e;~F~~ur l aije propre de venî-î-îtés est q$it.felle Cha)pea-ni: - touted ri a o lvîe e(e c'î, tieioi, tants qu ai a l coniraîri ce qui se vért i h e '4rr. q'e, vé~ri~tè.mpir)ITiquil. e aet phénom iénleS 1 SuDordonio e àX, l oti fiCn w -ci auin iuiragye, de. la réal it.1 e e nCiI CeLt écvuilibre p'raidoxal s t;ait -I 1i0 ea % po l de la nature et ba puifio. ptue 4 Ic, Z'asi!a dai~Lnîriîte sl~t F~d infranchissable? I rien îî'Pî'Uuu par I atir it 1 a Lad o i physiquie et don't (a. CritiqPu e w i Erîr del a it M preinier Ver îoigu:0 1 0 etiutl ro[ v1iO1i tu peI ia l a L q i inti deîuieu"'itiz 'eiul~ i i5ponse) 1011 D E lj? s dI ans lia 'vî" i rtc W 'el~ îch i~ ru ~-b 'ut i i 'a e m t U"(i~~ t~iI(,11 i:f~ C t' COlS I CP.tL 'i1fl CCiIQldit IOn- 4[Q~iLfe~llC ai' l i: scuieùee cu ee est ' i ue peut ste ïe.' e' toW a nié dc-Y' léehech subi r1,a'u LI philosopher mâ teroietîq ue diic ',it n nu w e eact et' un e 0-' i ciit ei a' v/t anu tîî'u: i S a,> ptenu lett do nu dc k

Page  283 D. îL- À A COMT 283. conquérante. Ils se sont contents d'envis ger le seavnir hliaiain come. une vast encyclsopédie régulièren men ddstribuée, en une série de cadres.auxq1uels la philosophie avait pour io.n'rcltion d'asign.ier un n aom et (.e arcqe unce place i.:écie dns le syst'me n tniversel des chose; de t&ei.e sorite qu'i c, mou.t.veÏ'.tent admiIi'ral b13 dans (jdr, p(le lt, lW;(ir el itat. tetipion it.l. apsiqoe )noIs n'a: vos. pas le dmoyen de fire co.r espondr o.n e t.e'ape spéci.afe dauis 'tsvoliution do la philosophit e nmaLthélaiiqut. Du point de vue où nou1s nous plaçons, l'hérithier de K an e n serairt ni Fi chte, ni IH'-Is.el, 'i Schopenhauer; ce ser.ait Auguiste Comte. La Critique dc la Raison prie est tabilie sr deux pou:i, 8, s -D'une part, la scence est en possesion d'une cert itude minute, c'est-à-dire q le est capable de fe le ear centre les énonces vrais et les énoncés faux. D'autre part, la science et en possession d'une constitution definitive, c'est —dire que le systémne des principes 'esl; établi ne uva.rieltrw; le progr'.s de la technique aura pour effect d'augmenter le nonmbrke des cs ons.équences, imais ion d.e changer la nr-ature des propositiion i ni. tiales. Le rôle propre de Ja critiqu se est d recherche_ o!es conditions d'exist ence qui sont impliquées dans le.ié v. Ip':enen-:tl organiqu-e de la science, e.t,, r c attaclhanlt ces conditions CI;is.-.ence aulx former et aux caotl gories qui dessintel la s'ticnture mentale de l'h.omme, d'ajouizlte àt la donn. e de faith lai).e ncsoie de légi. tinmatio j uridiqueq. Pour Aug.'aste.orte, ome t pour Kant, la vérité es.t int&cieure à la science, sans qu'il y ait lieu de pîratiquer de séipara.tio:n enre lit mé6thode de' dmon:stratitio et le contenu des connaisseamnces techniques, sani qu'il y vit lieu de s-asenedre la -ert tude ( des notions fonda l. ).t. les à tissue 4'un ti{sio dialetiqu. e. tour Auguste Comte, cortnxm pour 'Karl: a ial,,6 — lmalotiquce.est.ne. disipline constiùuOe, dont l.a p hS-.MdionoïiieC générale esL tellement accusCe q. 'i n'y pv ti' iS inrl e de transformrationl ou'l d'altérat'[iio a: l mate,ih.:;:a', iq-'.e fou'nrl'it. au philosophy le tye dfinitif d.u savoi.. Par ces postulats conmnuns, i'.::vre d eClu. e s' relie a celle de KaInt; mais de ces postulats comnrrt;s, il arrti que Comrte ie tire pas les mnnes co.nsqueitcr(s ql.e KaRtr: il refuse de poser la questiar de idroit, il se Iborline àt 'n repitin-.er e: fzil.t.171. -- Cette.opposition initial datl:.te itde, qti modify l'obiet et la fonction de la phiilosophi scient ifrque, a donnré lii à des jiug't.em'e..nt fts:vres pLo:ir A.,ugle use Com-t0. Il pu il se t-i:bler,.n efiet Lt,e poslir, s cale Par t e fil.t u, de éaoRn-:et, voir a

Page  284 284 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE la fois brutale et injnstifiée le problème-qu'il appartient au phi losophe de traiter, et que cet abandon d le condamne à retombe nécessairement dans les errements du dogmatisme. Le positi visme serait, suivant la 'fomule de M. Liard, ~ un dogaatism sans. critique,. Or, selon la méthode que nous avons pratiquée jusqu'ici, u] jugement de cette nature nous paraît 'soulever une question; préalable. La philosophie mathémiatique de Kant et la philosc. phie mathématique de Comte ne seraie.ti: directement compa rabies, nerelèveraient en quelque sorte 'd'un même système d rmesure, que si la mathématique dtait. encore à la veille d Cours de philosophie positive ce qu'ele lait à l'époque de 1 Critique de la Raison pure, si des uoeuvreé capitales n'avaient pa été publiées qui avaient eu pour effet dé modifier, je ne dis pa les solutions de la philosophic mathématique, mais les prc blames eux-mêmes. Les maîtres de la génération à laquelle appartenait August Comte sont, pour la mathématiqu.e, Lagrange et Laplace, her tiers de la pensée des Encyclopédisles, et qui eurent, ave M.onge, l'initiative de la réorganisation d(e l'enseignement scier tifique en France, qui, en particuiier, furent parmi les premier professeurs de l')cole polytechnique. La Mécanique céleste de Laplace est à la fois une traductio des Prïincpes de Newton dans la iangu de l'analyse moderut et une vériflcation (le la loi de la gravitation par l'accord de.s conséquences- avec les observations les plus précises, par i connexion` étroite et perpétuelle de l',astronomie matlhématiqu et de l'astronomie physique. Suivant l'expression remarquab] de Fourier, auquel Auguste Comte était intimement atlacht Laplace ~ a, pour ainsi dire termin6e2 ~ les grandes question dont la discussion et l'approfondissemnentt avaient rempli tout ' xvnIt siècle. Étant ainsi lertmine, l'astroinomie est un mod.t de positlivilé; Auguste Comte consacre ~ l'une des rares intei mitlences de [sa] grande élaboration philosophique >~ à la pubi cation de son cours public d'astronomie populaire. Son objet ei 1. La science positive et la métaphysique, 2e édit. 1883, p. 72. Cf. Hannequi Preéface e la traduction Tremesaygues-Pacaud de la Critique de la Raison pu (19):), p. i: ' On étonnerait... beaucoup la plupart des savants français, gagn en grande majority a un positivisme sans critique si on leur apprenait que Critique de la Raison pure a posé, dès 1781, c'est-i-dire soixante ans avant plibliclation du Cours de philosophie positive, les fondements d'un positivisrt rigoureux S.. 2. Eloge historique de AI. le marquis de Laplace (1829), Mémoires de l'Académ des Sciences (t. X, 1831, p. xc).

Page  285 DE KANT A _OMTE 285 de récrire l'Exposilion du système du Monde qui n'est pas '~euvre d'un philosophe, qui est ~ a proprement parler une;able des matières d'un traité mathématique ~'. En caractéri-;ant ~ chaque transformation essentielle des questions célestes n recherches géométriques ou mécaniques ~, en communiquant ) ses lecteurs le ( sentiment profond de la vraie filiation néces-;aire (les diverses conceptions et études astronomiques ~,;omte a l'intention de constituer ~ un préambule indispensable ou plutôt un premier degré normal de l'établissement prochain d'un nouveau système philosophique pleinement homogène, seul susceptible désormais d'organiser des convictions durables et unanimes 2 ~. Déjà donc, si le problème de la philosophie consistait pour Kant à établir en droit les conditions d'existence de la science newtonienne, l'oeuvre technique de Laplace aurait eu pour effet de changer les termes du problème. Mais l'oeuvre de Lagrange est, à cet égard, beaucoup plus significative que celle même de Laplace. Kant allait audevantdes Principes de Newton avec les seules armes de l'arithmétique et de la géométrie; tout l'intervalle devait être comblé à l'aide des ressources que la théorie de la connaissance pouvait fournir. Or, si une semblable construction, qui servira de modèle à la dialectique imnaginativo des post-kantiens, paraît à Comte superflue ou dangereuse, il ne suffit pas d'invoquer pour le comprendre un partipris anti-métaphysique; il faut prendre acte d'un fait: la tâche que Kant avait assumée, Auguste Comte la trouvait déjà tout accomplie à l'intérieur de la science, dans un ouvrage qui parut quelques années après la Critique de la Raison pure, dans la 3Mécanique analytiqte de Lagrange (1788). Le philosophe n avait plus à chercher dans ses propres meditations le secret de la Théorie et Histoire du Ciel, du moment qu'il avait lu la Mécanique céleste de Laplace. I1 n'avait plus à fonder spéiculati'eement les Premierrs Principres mnéaphysiques de la science de la nature, une fois qu'il connaissait la Mécanique Analytique de Lagrange. Ici encore on trouvera chez Fourier le mto décisif. Dans l'Éloge de Laplace oùI Lagrange est exalté avec une préférence si manifeste sur li héros officiel du discours, il dit de la Mécanique analytique qu'elle pourrait être noammée la Mécanilqe philosophique. EXpliquer cette parole, ce'ne sera pas!. Fourier, ibid., p. xcv!X. Dans 1t Préface de Soni T 'aiti phiosophiZque d'asiroiomie populaire (1844), Comte renvoie ài l'appréciaiion de Fourier, p. ix. 2. Préface, p. x. 3. Op. i., p. LXXXV.

Page  286 LES ÉTAPES, DE LA?1ÎILO&OPHIE MATIIEmANQTIQU ~smueXic[flf preciser unerediu1 t1'ieene Cm e;- ce vra peusti Mre au~Leani'.' unle liaisûxn(m~~e vi-sine, & la p~V,îdcsd dec lhins -ir de hi tsci Ilî est d )ar ',renahraîyi C ralliOn 1:te.t 1. 1eî otre cOa~c)fl..' U t s ~iT L'M c od él O,~ d PidéSé 1-Àd p-îR1d 'i 1) f.t suh 1ifC s. a d 1artie~pr f mr Y k) cet léesetrn";sse cl e s se s due -àa ane il (4'V;Ài i sf' va ÂL elPei/C) hU -iL/iî qe ~ n. nle h'ûro il i us>tu- (i. oeun saie.t<ie>a les ïDI~~{11OdCS Ifs y expo(sc le c ~iswu ni~1sîuei~, des:arai IL î i' 1' etvs' 5( C Uh- s.uir ei l ie;s Gisîe notî' O c ssl e, t nile Sauryont gr, ~fsn.vivt~t.ItIS ùu.î e ~.1î -Voie'. dVuîmLre ar qùu nie p"'a ~4 monsîl important pourU reinire, csînpte t1c &' l a i Ct. I-) O i' d it ''u e CO.titef, O v-i e no0 -pî upres c ustephous usn~~ emput tint. Iiitdmss d.limécanique 'a un systèmle d suuhn î1-ae 's asin~ths pa r La gra fgo,' il un c i4c a Ipri (J1i a u c-O ilra n'ce ele v a uèsfier de i histuire- di nred ravziil de inhiaio rgenv qui (troi ns.reqe ~ lrzr esru4ecs -s 4. i CLîùue' l s1a ph îios op h i d e la mén:nniqu c oepose-ra 5-ur hIs /sou i d e,1~î la XIL -a i nqc-lae. IS lecsCfd' pg 1la3iaiqjue A lal nc ïibîvu e se, i ma i feste1tilt Augu"Isti~ coude, ~lrnuit supt'ori pnOsshqkedeLgru D ur osi. érnLe po~s.t riur a, Dî scàItes ci d eiiit;~;l preuve fia plms. déciSiy(5 efil eSt, (lit-il, c1ai-s ~ >e u.bliffTRt chapitres -prel~iiiiuairc1s des' di~vt.r:-es &wton..Ai exposant. cettLe ahubetiti des iicipls ocr don 4e.esjsr't tna.t aisne à Lasésj sitî aio uiedpi liugie. la sknejsu~ I (I~s~z~'~d2 ]IîT's7is"'. ~d~t.Sor'r -Ds~hûses ivJ I SLt s. XII.

Page  287 LA MCANQUE- ANALYTIQUE 287 JOLIrs, le génie de Lcagrage a reainement pressenti -le ul esp'ii gn de, Ja neihoade hi. ciaique, p&î cela l s" l <411 Hi. hioiii une te1143 appréciation fondYni ct t e pour ase or nn'vc de l'iîs tal de ses propres speç lîerv s, mti ejc( clin, 1, d cI, t a t i O r -i S'P]~J BCIGl.~ilOi Y CIB:L~ Î. 73. De cetie hsk h'e un t.rah e 1 e iet' ici t t eteun'S po ri conip"""if a e mnce on centre loeuvXI1ret cif ia~'II g ea'~- et l.'ot~'.vrre deI (>înte;c la 'Ï2rtïncs du: pl~rincipe" des niI&?ss 'n v'rPl/'i~Ads O n (9 -ckuTt { ~aL I.exiQ f f il. Fr~i~:ta'n e nl~J u.asr la p oi o e i ion de le S tique, 1)IU t <I il t LeIe~ CCJtO 'PUUU cotpl < qu e 1ndifibre esi c à'- -nire, la vitess;e fh,orps urendeat e aie O inren dans Je ïirenarrix arainsct~ rc: wsoi:nou'~c emv îî:i ~ <te k. rinalcipie: d xu ai sut~lj<~ colisiste e.,n ce, qute de's fiHs1IYcIY sonte nu <' îalïbîc Fn nidlr <i:;ot eil raifoii SiiO '"' nis "ne se" vartnte es s tu'ne sui vaillt les di etiôïns de cop, PniSarv e ~ Selon ia~î uge aes Ani~jsme 8~~nau intai Bntpa' cbourutn ai appar~i k d'aws la >Vu h/Lac Xl' 1. Lioni~: <t s agi,. tae clint.. de sub~Ldnt r i 0< corqposataon clmn nawci et t."esque eanatèrieî don > A u se sont pros'que 50.sa.p~onr. XIIOP' <'o, Uflt bs îa le,' i r:rtf m" cot pour 'on fwer: no's enudia ', 'a n&ion d'ut Ofcto kerraen iîîfinnicîd Tons ai c vu na rke I eUe con n'ntioe aSo'; ne I`i fouirne Imntuitive ch<vlo Gabzi"'e: t wl'i08.~ec,'r~zir 1-es a L.e pnliiacripo ctecs mireôs&-e vu inca/es ionanîi2~ douer h~i pa!;~bl'iVal roifve, soli~~~~~~( ~ \.l Ii t la Il à fit~7P t( LL~, 1~ - ritlune d.1 xLQI 21ÏLL: ~ d1 appliquer Pét. l'éLdde iei a les ressoHuoc~' de. h nthîu.tacp~grange applique ~et pinc ipe 'uv 1robîcunca <'< 3 mi lie. Poc0ur cota iL ie une proposiLiort îpital:eR qe dt1eu qheroli avait, én3cnîcObe on Fil 1213 dans sou I T'1dailé d nom'que!)'.~aiennberi l'avaii ut ilc casne C0I< (U n prîncripa c8éivrat pou,' tfou-ver le dso t a t i nu peun'r "oros oui 'ioaceut les 'tins sUrI les autres 4' une uiiruee qucleiouqu C~ lYuis r eo d cette îIéu~~iiitadwii pia"aVzcac l ''< Fitu"Gle 001 Volute~ ~rl}r ~c`r1cr u d'in uit'io:ht~t <lu mri~`1tpo iLodn hic lOuî'a rrage l' a c alleurs cil'eY d 1 Cnonré ii "e domd a."Îe 'nu acoraParablo)k Sn n î ~ n nv u' d. CO1'O, de t~o xenvtrueatslc q:xvion ai soen br.lou~ dubi~ie "Lane a "uailsî ~1,r'lul~ 3eplios~rfiii: Z~stiv:,. i: PC fo rc l"S cie, 1, c, US P'f'p.C,:i ~~. C~~i~~L71t`r 15, f;. K., p L, ' i I 4 4,Ï) t i. <0i<le p<f('/aopfl e t LS!t îtiX lc *..a i V I I$P t

Page  288 288 LES ETAPES DE.LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE de leur action mutuelle, il est clair qu'on peut regarder ces mouvements comme composés de ceuX que les corps prendront réellement, et d'autres mouvements qui sont détyuits; d'où. il suit que ces derniers doivent être tels, que les corps, animés de ces seuls mouvements se fassent équilibre '. ~ ~ Ce principe si simple, qui réduisait à la considération de l'équilibre toutes les lois du mouvement, a été, dit Condorcet-dans l'Éloge de d'A lembert, l'époque d'une grande revolution dans les sciences physico —mathématiques 2. ~ Et cette revolution aboutit à l'ceuvre de Lagrange qui ~ choiisssant 3 ~ suivant le mot curieux d'Auguste Comte, le principe des vitesses viirtuelles comrme loi primitive de la mécanique tout entière, communiquait à l'ensemble de cette science ( un caractère d'unité désorrnais irrévocable 4 ~. 174. Nous avons insisté sur le rôle primordial qui est r6servé dans la aMecanique analytique au principle des vitesses virtuelles, parce qu'il nous fournit le moyen de préciser les conditions dans lesquelles s'est dégagée et constituée la conception proprement positiviste de la mathématique. Non seulement, en effet, Lagrange écarte- d'une façon définitive le problème toujours en suspens depuis Descartes et Leibniz du rapport entre la mécanique et la théologie. Mais il pose sous un jour nouveau la question ndu rapport entre la science et la métaphysique. En mmrn e temps qu'il ( choisit ~ eprincipe des vitesses virtuelles pour organiser sur un plan commun la statique et la dynamique, Lagrange convient que le principe des L Op. cit. p. 255. 2. oeuvres, t. III, 1847, p. 58.- Peut-être n'est-il pas sans intérbt de rappeler que c'est à l'imitation du principe de d'Alembert que Comte déclare expressément avoir procédé à l'établissement de son système sociologique ~ Les plus nobles phénomènes permettent aussi, d'après une marche analogue, une équivalente rméuction des conceptions dynamiques aux notions statiques, C'est ainsi que j'ai construit le krand aphorism sociologique (leprogrès est le développement de l'ordre) sur Iequel repose tout ce traits. ~ Système de politique positiWe, t. (1851), 3~ edition, 1890, p. 494. 3. Curs de philosophies positive, t. I, 1820, p. 603. 4. rbid. 5. ^ ers la fin du xvlyI siècle, on est frappé par un revirement en apparence tout à fait sut.. Lagrange, après avoir, dans une ceuvre de jeunesse, voulu baser tolte la mécanique sur le principe de la moindre action d'Euler, report a nouveau le même sujet et déclara qu'il voulait s'abstenir entièrement de toutes spéculations théologiques, comme très nuisibles:et absolument étsangères à la science. Il reconstruisit la mecanique sur d'autres')ases, ct aueun esprit competent ne peut nier la supériorfte. a:obivel expos. Après Lhrancge, tous lés hommes de science adoptèrent sa'nimante de voir, et c'est ainsi que fut déterminée, dans son principe, la lpositieqû actuelle de la physique vis-à-vis de la théologie. ~ (Mach., La mécanique, p..427.)

Page  289 LA MaCANtQUE ANALYTIQU 289 vitesses virtuelles nest pa pa ase idntar lui-mmre pou pouvo v être 6rigé.en prineipe primitif;.i' cherche donc à en do-n.er la demonstration. Maid^a méthlode n'est pas, ren apparence, n0oins sirgullère, pour reprendre l'expression de M. Picard, i.que cei a laquelle il a eu recours aru début du Trait d'es fonct.Jios ne.lygtiqaue.s Voici en effet ce que Lagrange demande de concevoir: des machines qui.sont dJes combinaisons d'une, moufle fx e d'une u.:ouflte mobile e uto-ur desquelles s'enroule une corde, fixement attache a l'ue" de sos extrémités, supportant,in poids i l'a-tre exrémit6...En 7mulf;lpliant les moufles fixes et les m oufes mobiles, on obtient un Syst.r1me de ~ puissances ~ qu:e ion peut imaginer remplatees par -u n poids unique. Pour expr.mer la condition ('é,quiieibre reaUe a 'en sembie ee cet moufles, oni suppioser un id6placement infiniment petit ~quelconque du sysitme: ',>si" enons par a, Çf, Y,... les spaces infiiniment petits que ce dpIracemient ferait parcourir aux différents points du systme suixva;t la direction des puissances qui les;irent, et par P,.. le nombre des cordons des moufles appliquées ài. ces points pour produire ces io.mes puissances; il est visible que lis espaces t., Ç3, y,... seraien.t aussi ceux par lesquel les mnoufle mobiles se rapprocheraient des mouil-les fixes qui leur ré1pondent, et que ces rapprochements diminueraient la iongueur de la corde qui e lembrasse des quantit6s Pa, 0S, y,... d(e Sorte qu'à cause ud ia lo,..ueur invariable de la corde, le. poids descendrait.te l' espace PC.-S -t-RI -4-.. Donc il faudra, pour tl'quilibre:el puiis"sances reprte&',ntées par les n-omlibres P, 7Q),:il,.., ue!'on ait l'équatLio Pa-.- Q — Y- R- -+.. -- `o, ce qui estI l'expression analytique du pi'incip g'IénM ra des vileéses virtiuelles2 ". Une telle demonstrations revel ia;spec: d'un t ilradoxe. )d'une part elle se place délib6rérent 1e dehors des conditions ef'ectives de l'observation, commar e le fait par definition mnime la mécanaique rationnelle; et Lagrange note, au dl ut nme me. dE -on argumentalion, qu'il faith, atbstractioln,du frott-a;enr t ( d la roildeur de la corde ~. Mîais, d'iautre part. elle intlrodtii dans le rai-. Op. cit. p. 25. Cf. p. 10!4i. I'i(:.reel.iitof d i:; d.^it )nsi.atl -it. doin.é l r I.,rl'ingl e du prbii.cipr e dees rtes ses i' "tele.: i ';'', till s'i lUl. lt de i,':'e.`.ve. yrnais~ c,')~l. ien ltl i!iia i,ux. 4,,,' oe:it, ici iu p. 24, B.It Svt[,, @ "<-.t,`

Page  290 0 ^ÉLEj ÉTAPES DE LA PHLLOSOPIIIE MATH*MATIQUE sonnemenrti un postulat qui ne peut être assimilé aux principes a prio.i odc la raison, o Fort elon IeconLa au contraire, comme le f;it remarqPuer 5. B0o1asse, une m ~ conséquwence immédiate ~ du pi icip e- s v.siLes ~ Vitel ' tfief 11 est 6videnti, dit Lag. itng, q:n- po'u qe ltc vs me... d teiCre, e.n é quititbr, iL fat\ qO ie,:, poids' i puiss pas descendre par un depl aement q dconquei tniUirnieei ptlitt des poin.- lu système ar,.le poids tlendant t.oujo.trs à tercendre, s'il va uni d6placemnent du systenme qui l.ui ei'inele d Aescendre, il descendra nécessairement et produira c dtéplaeetuien da:it le syst6ème'., L 'vidience, si evidence i! y a, ne saiurait être que d'ordre pliyàique' elle.est liée à le'tude expérimentale de la pesanteur, et it si. là prrésumerl que Lagrange l'enit end ainsi d'ailleurs. La propotîili dot J lI g énéralisation est j ustilier, il co(am.ence par 'tahblir d(ans un romaine d défini ou il eslt possible d'obteu n1l eAntière certitude. Une fois iistalé sur te terrain de la vérité, il lut i sufi de faire voir que l'extension du procédé6 ne soulève ac.t:u1e objection théorique, pour ouvrir la voit:-à la dédtct.ion sdientifiçque dont le succès maninfestera détinitivement l llégititeité..Telle du [moins wolils apparni t la rméethiode suivie par Lag r,, auge. ussi bien pour le développeiment tdes ioactions eut series de Taylor, o' il passait des operations algébriques aux operations proprement a.,ytttiqtes, quie pour le principe des,ideces ir sue/lle, oit. il passe dut doaitn de la pesahteur aui doniat t uni e.seL.t de la éIltcakiiite.... — io.s avons appris, aujourd'huti iit reconnaître la valent pratii que et l a fétcondité d'iune setinl.)ltlie mciétiode. Nou comp.iU.?.(,,,s d'autant mieux à quel point cite s'éloignait radicatetwnt de tid eC que les conieîupou'ins de Lagrange poutaVi(ti:.- ir do la déiJ ~onsitrnîiion d'un p'ritipt, et pourqu;oi eli:. 'I::e'!e: i: pdrs s de dcuux.sitctes;an.s la liiloso.ohie de ta -' 1!.'^.!t cç)a niiq i i '..'^'~ '';", e E9 t;o~ltlleli[ a-t:,-elÈle, co}.lit'ib'tl<;, àa i';) toir }'.-,::,: F > ie,, P.i is:..fi t i.; i ase4 du Ai i?:.tl ',re:qORii ùi^V. li.) I t ofi' J.at ]t1ie -lVîi.ttie dce o v( l toil l t }lte i lii,. a'i..}.. i't e,z:C: rveilii us.i C H ltiii 7.. l"oi;.ii —:,. l.,e <ti ntti du 5i.L; ioi,', t... ' l iUt;- " /;,;t; ge't(;,'t),';t)n,:/',l t" ' |e'.;'it.'i'f.:l (l_ its}tt, 1 '8i:., *p,.3 6}.-.IL: idi tU t, 4.

Page  291 LA M4.1ANIQUE ANALYTIQUE 29J ténes est un examen magistral de la Mécanique analytique. Ce fut alors une heureuse idée de partir sur Ic champ du principe des vitesses virtuelles, cormme d'un ax.iome, et, sans s'arrêter davantage à le cdonsidérer on lui-même, de ne singer qu'à en tirer une méthode uniforne de cal;ul pour forme. les équations de l'équilibre et du movement dans tous.e.s systètmes possibles. On franchit par là toutes les dif'ficullls de la Mécanique vitant, pour ainsi dire, de faire la science elle-même, on la transforme en une question de cal cul el ceLtt transformation, l'obetl et le résultat de la Mécanique inalltique, parut comme un exemple frappant de la puissance de l'Analyse, Cependant come dans cet Ouvrage, on ne fut d'abord atlenl ftt qu'à considérer ce beau développement (e la Mécanique qui semblai, sortir tou. entire d'une seule et 1mêmre formnle, on crut naturellement que la science était faite etl qu'il ne restait plus qu'à chec'cher la ldémonstr;ationi du priticipe des vitesses irttuilcs. Mais c;elte recherche ralena toutes les difficultés t qu o alvait 'ranct.his par le principe mème. Cette loi si générale, où se mê lent des idées vagues et étrangeres de mouvements inflniment pets et lde perturbationl d'équilibre, nle fil., en quelque sorte, que s'obscurc. ir à l'examen' et le livre de Lagrange n'oifranl pils alors rien de clair que la marche des calculs, on vit bien que I^s nuages,n'avaient paru levés sur le ceour*t 'le la Mécanique, que ptcU' qu'ils élaient, p')our ainsi dire, 'a.einh."s aà l'origie même de cette science. - Y a-t-il lieu d'essayer de cheràeb. ri di si.per c(s nuags soil cn trou-vant quelque io auss fé'conde,i mais lus clair', soI C it 1 tondant sur lea principes ordinair'n, tlih:, ie genéraie de l'équilibre, don't la propriité des v'it es.es irt. i llne d vlienl pis alors i u'un s impie o ollaie,'? Polno!. X pe. 'se: à la b1ase de1 la. science, les p')"(uves ne stiiffilseotl. pus,, l t'aui. une, vriabi. e d;inw sih'a! l'; '. à issi coroit-il une n i-t alriltui lgi. que;:' t <; v6ttc c e el ii'r.'proclîabt!' e l i',tl;s:, i*'; 'p\';'cih^(,: 't:t.:t,!i* ti. l. {.:aMoi;e avniit pari,' d'tbord duils IP J t J'1;.1- ' i'l. t c O t p ')lyt.' "ll 'Jitq:'. i. Vl. y\t18 )},1 p. 20),;.' 1. Eu 1it t'(l.'ip ri)aali t:.o ii(,'t.:. s<t: g'rt. nts s:' a;Situe. i )<,iJn->:oe on A Io[.î til-''t.itn.ti.. ^iv.toppct [t;,it\(' t'oO.: pa: t;('. h t ]. Vt ', ttions t'e: i'te. ii h.iii,'::di;i: da: '_t ' i.vt." ~c,î f!-.' ';1 i'hé t if;!tS d' ott}it,?.ts. A'. ci't. p;. 4.S ':;. 1 id. i. lt ns til?. tof;.' 'tt'' I S!a,te O:u <i -,'',>. <;'f.'./ t.' i';', i' t....;., i: lt. t J'li4, ' i.U i * i; [tiitit i ( /,i, t< bi. si t, i..:î t e -,i [ ':(;i.* s;.ac l',i.,L:t ( v [ ' i;:.''ttl:. c i l.O l î'Ct'Oll'âtitil t si i }J [ [l ile'' O i<. ';pc; "i. t $, _? > rti;...i t t i.!q n, '.I. i'7.I

Page  292 .92 (fLES EiTAPES IE LA: PHILOSOPHIE MATItMATIQUE par itagrang~e.. ~ tLa écanqteie a.auiyhi:ue, tPele que l'auteur l'a C-or irue, est, ai fondt' ce qu'elle doit. être et a dé1nmonstiration du priincipe des vit;ess.i virtuelles n'y mian;uque point, puisque, si 'i om 'es'sav'5a[i de l.a mettre à la tête de ce xivre d'une manière générale et bicnt developpée, l'ouvragel se trouv.erait fait deux fois; ve veua:'4: di:;*a# qmiu, cette déumonstiration comprendrait dé,j toute a méi..calntique. Or n ndoit dionc considering qu e L.agIra.îge s'est r. tot. d'i t n coii p sur un des poinis ée1 és de la Secince, ain. de découv-rir quelque règle générale pour résoudre, ou du roins pou,<lr me!,3i'e en'. etquations, tou.s les -probltmes de la Méec.anique e.t iet, 0obde est, pIar(aii;emtt L:t mp(i. Mais po01u' fomer a scien 3-tOU2ieL b 4 f i OtO tfu e ' 2o q l ûJ:. ut u c, ine 'leîtr d1t les points dl t e (cI d 'o1 n o pei. i t l'e i sge}, ii ia i aller diO re. -.i:'ient, ]ii3o:i parA ain pr-nj ijp<' olbscui, d<'.s t.eses virit:iuetles:maia a cete,èarle clair-e 'o> c. a:: e pttie a sto liorii t' (es problèEmesi:., 6. *- On.e sariaP, s:Lo.haiéer iarwagae plt: proifonid et puis,préci.:. s,. (CL:o:te;l: r- ia e:1 q'à traii'afi'cher. '8 daiw l]e sens cont.taire à Pn t MV"v' rive'W. Poasc>t 2...>.oée>: pour défini l'intermt-P 0'3..... po."d.,:. it 'iIv.,!, o si it pre q3 ieU nt de 'di 'trmai-i, dt a.s.cie. Da's.a seizième Ion du ours le PhilosoPihie positive i cesart( totes tes tenta tives ite por" i.co3mpile.'r~uvrea do. Lagk gei par itnte dinmodl:.^r 'aittion1 dir'te du i éldo è)le..... <-d vies i.q v i te/l es, ou par uA.bs, 1 è. (ï it T o l 1 d-.. te pr',"i-,seo ph.:;-s ié:',ériaa::x. >De lelle es l entaives nie pourraie''u avoi q'i 0>1>: teile P '. t:ii.é eief loive, te serail:. de simuî)'liiir co::i;.-i r-'..e....i. i... -eci:rches a.ahi. 1: ti, - es at xqlles ia s.ie,.e:-': "?..îite âia. r u.i'. t.' c> q-i-',: aloio i (t0h11[e, jioi:)'t 'o e t'i'c:- ' ipo ''- e.< leu(andi.... k"P a'lc qielie ad Ic'iie c:i 'b lp' ie: i': i ii,:, i<: l p:=.=it=a=p== dcti v!.i'se:i) \:itt.,it-lele,-i a -it:a dapt', Ja.î'.rtil:'e a pas à erpéir-r 1dc per ect io:ner l1 e ca t: t ReLre p. ilsi o )i q te i. ' - M.a llSaif, Cst v ai/ urteirrS o ot' o.cdodu n t ('. il e' pfna.i aais, o TLes., n-uages,:- que 'opn.,,vait c,- it. af ~,t:ercevoi à S 'n i a e de la.Me'aniqî. ~e Anlyilique sotit dus à.ne illusion deo!imag-intion iLijt13physiq:uC;o> Oa impos',e -t~ i"ù'Vi'r de it{I kagTa ri'e l'tdéul d"i'une tiJS:losop,' hie qe-te 'i a port e;li rT- d'exi re, e de rejl.ete dans l Co Cs,. 1:i. p.; c, '

Page  293 LA. GOII'TRIOMBE ANAL'YI QU E ET Li TWE.iMOLOGIB AN'.LYTIQUE I t93 qu'elle est, pour compreidre le cariact èrvde Jvéria de la Mdéc(tique rat iotnnelle. La Mécaniqute ratioznnelle se dédui. t ut{ et\re d(u Ihéor.éne des vitesses viîrluteles; ce ithiort-e gene;a est une consequence rncetssaire des lois i:ondamentales du nm:uvemen(it inertie, i ga /il dre /'ci/n et de la reaction, in[.,a:'pe.duicI ou coe'Xtislence des fmouvvmeiets, el 'es 1o01 fondamentales à leur itor ~ doivenAt Ire envis ages cormme de simples réslta ts de L'o bsef va lion, 4onL t est, absurde de vouloir ltei,1 bi t pn 3ro i a rali, bicn qu'on n'ai- tenté f,iquemrmen i. Ce qui ttblit a r Xité d e la Imcani tque rationnele, c'ste,4- fondle s rl t.i ueqtes aitas grlncrac x, immêédiaieuent f)IuCtrnis par 'oObservai:ii, et. qpue tout pi ilosotphe vraiment positif d tde -visag' Ee (. se-tle. coiinme n'ilanto suseepu. ibles d'a,'tCel explica>iIn qd tri.!cqu: '\:,: A.ins t l al e l- vre C ypélaive don t ul'a mé;can-t!_e:.;.. I h. <i e t î 1, 'fl.JSta, et} ' c tI t't t ' P1?r t i ei l. i t S p / ['t1L ' jys s e la sc ienc e de i s( e rt, désormais piérim:e; lt a m étaphlsique nest d.t aucu():,-t:, s- cir.: dau,. ~; [t 4,.':-.... eg (piriq'tt $.es,'O - g: t JSra;.: que po. rnit 'oqbseu"e lei,"t 't' _m -i ' soniI en l,...... " te'e simpli.c"t. quls..... t:radui'.t eu relations mat tlmatiques t qu'ils tperet tet 'ia n s... ltict, i d'une discipline abstraite, qui a tous le ca"ractè:reas d'une,, tog'ique >;. LÀ\ GiiOK5t. TRit! ' ANA.,i'iTSiQE EIT LA- THEtM EMOi. OGI ALA. ' /.L' ( iQl:tE i7I. - ~ jLa YI~ r volun u. Iu inaimentYV p'loit.leit S ii tp. oé,é par,agran.ge dants son admirable te raite Mi aidtique &, t.:ly-. iartte ", esl, nos yeux, le ai; n:,.uva u,eo'u q,.: dc t idt!,U,i:é tl' ciaoneeptiorn tposii'viste{;r d"e.us math é' t- i ame - at: ique s. Mais.e ti. tîouve reijoint 'tn f t ai acie.n n 'vai pas sats..o ii;i dt,:a s,I 'sattolj~ de 4o,.mtlt un. e port( e (i. noirtt c: c nsil s Utit-utin cd. al (l om? ti' (t.aii:iue. L'uvn de:t 'Desr'av'ies, qui a faith de'a lo,,;;Irici, u '. sciecc de I pui calc ul, est le ptotyp'e dte cellt qe o iSt effectue pouri t - la (imcanique. ' it la trarLnsformationn t des considétratiots gnom>R t: iq: i:::i n: ctnsidralt.ions anaiytiqoutes lquivalentes... caractlérise avec uine parfaite évidencx e la mloéthode gdénrale é i empIl}oyer poit orga1. otoai,, nI, 5. 2. Ibid., 542. 3. bi-:,, 1, 03,

Page  294 Q-41 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE- MATHEMATlQUE niser les relations de l'abstrait au concret en lmlathématiques, par la representation analytique des ph(nomines naturels. II n'y a point, dans la philosophie mlathérmantiq;e. it petsée qui imrite davantage de fixer lotlte notre attention. i On sait ave quelle insistance Aulgust ome rappelle, on poi:!;al presqu dire révèle, à ses contemporains qui senl}.aiet nig tra - vaux de Mo-nge en avoir laissé échapper le seons la "u, gnill.te1 ic mè,re de Descarles!,, destinée à: diriger indeiiXimi.*l, ui.ils 1n s speculations géometriques2 ). Il profile de i' ~ ietrwil.'ln philosolphiqui ~ qui lui Iaissait une sort i'e ioisi ti'e:s tasss'-t,'ert entire l'achévemrent du (Cos dSe [ihiosop/hie l( l'ci;aborai0i i. tid Sy sème politiquie, pouri, public ai nt oins lIa purple dI,:':es leçons qui se rapporte au deSgré le > lus inapoltlnt, le plu-,il' - ficile, et le plus impariait de ['iniliatiolin -iail;.hlmtinue;.. <( Cette double relatio al ternative entre l'abs.tri tit lte coe.:.' dont la pensée cartésienne î'onsi li lc rinci[e ioud;inec ili n ':. ou, comme dit encore Conio, -t l'in1iime inttiirii ilati 'i rele..., entre les icdes de idiene t leIs iue ti ~ i; no sugir et énrti nie si bien n Ade `e hrlic ie'"e tair ' quoe t i.'iii par perdre ~ de vue le carai:ilt èe dc sc,ic; nrt1u'eiic(' ile.ssa tire meant ihnlrrenit a la geon- tried T., Mais précisément, on eLtl; ssant possi ilité c, eon.ainte d'une... co-relation ~ entr les c.o:side'aS iols ^-éont'riltues el les considerations analylttiies, l)escales n'a lait que pl)rt' à son plus hautl point l'ilte des x -cr-aract rs qt<i coli i ucilt la mathlmatique cortnre sciee: c^et-n-uii' la clartt i';tiséque du calclul et l'applic..t.ion directed atu ril. 1is lors, dit Auguste Comté, ~ plus nous devons iii consi(é'ret'r la gi:Ltrie conmme étant aujourd'hli essuntiellement ii.al iique, plus ilt s.aii necessaire de prémulnir les espits co;Ltre ce.tte e xa"it',ération albusive de l'aialyse mrathéemaliqiu, sluaivan laquelle on pir.éter-idrai se dispenser de toute observation geomnrétique pri'oprem'ut1 dite, en établissart sur de pures absiractions algiclbrique ls I i>indements mê.nmes de cette sciel:e ina ltu rlle',. 17V. -- D[)éjà les ma liitlini a,-,t li. du xvît'- siècle, en particriier 1.;o3, rs 1,, l29. 2. I bid^ 1, 003. 3. ' >'rait' ite c 'q '/domuê~'e eo a( ialiq e.'w d;i.,t, 'ois din: ensions, '184.3, p. vu. 4. Ibid., p. 22. l.!bid, 1 p. 21., bi d, I. {, t;. 7:3t,,. bid.. &}4p.. 8. Ilbid. 4!t'.,!b d,,. 1d,, i.*i"

Page  295 LA GÉOMÉTRlE ANALYTIQUE ET LA THERMOLOGIE ANALYTIQUE '296 d'Alembert, don't Auguste Comte a fortement subi!'inftlence - avaient protest contre l'effort inutile et strile de le atiocimatioe. auquel avaient, cé('i soumises les propositions ifon4ida en _iles <le la g4(>éoméetrtie. ~~ La déefi nitionB et les proprietés( d la. lie' doii t ainsi que des lines parali les, sont ecueil et, pout aisi d.ie, le scandale des éléments de Géométrie' ". Pouirtantl.i, 1edre sc propose encore de rancher le probl me centre le pismne., et l'on suit'à travers les diverse éditions de son trait classi.ue la s'rie de ses tentative' pour' venir à bon du p s 'ost iat reli' at ux parallèles. Dans ces tenlalives, qui ont la préieniion de ~ perfectionner véritablebnw,:t l'ie caractl6ère philosophiqti)1ie, de:n dehgo mét.ie, Comte. signile ~ un. retour vers ' état mictaphysique', Le calcul. est un moyen, non un f(odemenit; de si.mp.l..es a.srai,-, tions logiques ~ ne peuvent. fourni.t ~ de s connae^,ssa. ie et ine sauraient éviter de recourir à l'observa!tio.ln immédiae. Il n' aura (doinl pas plus (de mystère 'à 1 originc de tai oiontrie qu'à l'origile de la mcanique. Une fois dissipe le ~ u:ag ont.ologique:;*> dont on lies eniveloppe' ordinaiar emen., les noiions prcmières de la géo.cmtrie se ramènenlt '.is(ément.:, de.s 'aiis d'expérience. La.otion de }'espace (, nous esi naliurellerne'nl suggée p-ar l'observ'al'in, qutand:ouns penson. ' i.em;eie'/ que laisserait un corps dann c un fluide o, il;.î rairt élé plact.ie;). De même, (( les surfaces. iest lines -ol... réellemelti i loujurs conçues avec trois dimensions; il strait, in elf1i, impossible de se rpré)rsendter une surface autrement que com.me uie plaqu e,extrmemeent mince et une lig'ne aulirenient que clommne un fil infiniment d éliié(. En.tre la ogomé(ètrie aitnsi cone. I la nlcanique, il y 1.a donc )parall'.iisrme ou, mieux en'or(, il ya c,îtinuité.. On pet, tc.rin Lagrange dans la T7'orie des o iiions ana/yijlque, regarded la mécanique cone un g ot' i étr ci à quatre diUnnsions, et l'analvse ineé.canui'ue con- lne une exte.sion de l'analys.e gé 'omlétrique8,. On petot aller plus loi' ncot'e. lanis le.Discotl pllitiire à la hthIéo ie aCialytique de ica chaleu,, F ourier disait ~.e;S i. Levv-Blruhl, La Philosophie. d'Auqi,;SU Co/n, 1900, p. I12 (Paris, F, i can..,'. ': D'.ilemib t, Ellémeiats de ptbilo:-;o ie. rcUi'ncisô'ael.S1 Il, Y~ H,..',.aîcs Y 1t77, ). 206.::h. lurs, t. 1 p. 4i94. 4. Iid. p '3.. Ibid., p. 3^2. 7.I b li, p, 3 '7. S, Ot2tvt'cs, tXi 337.

Page  296 2 9 6 LES EÉTAPES DE LA PHIILOSOPHIE MATHIMATIQUE équa6tions analytiques, ignorées des anciens géomètres, que Descartes a introduites le premier dans l'étude des courbes et des surfaces,' ne sont pas restreintes aux propriétés des figures et à celles qui sont l'objet de la Mécanique rationnelle; elles s'étendent à tous les phénomènes généraux' ~. De cette proposition Fourier fournit une demonstration partielle, mais singuiièremenI. éclatanlte, en rcduisant, suivant sa propre expression, touts les recherches physiques sur la propagation de la c;haleur à des questions de c alcul int gral dont les éléments sont donnés par l'expérience. Rien n'achève mieux de faire.comprendre la optionn positiviste de la mathéat:ique que cett.e note de la iToisimne Zecol ~ ( Je n'aurais pas ihési-t des h prtseni à traiter Ia tIhermffol'gi, aini conrçue, coimmel une. troiîsime branch principal e dea matl.hmatiique cont Its, i je n'avais er;,t de diminnier ' utilii.té de cet ouvrage en m1'écaarl;nt trop des t: biiudes o:t'di?.etires. ~. x M.ATIHÉMA'TI'QUIE 'ABSTBAITE 79. -- Ainsi, pour Auguste Comte, la mathématilque concrèblte est le ~ centre de gra'vité, du systnèm:e des mathémaitiques. ( ue l'on consulte à cet égard le Discours ~pre..u'iaie oùi Fourier célèbre les vertus de Fanalyse: ~ On y voit, comme dit M5. lEmile Picar'd4 peter lea iendanee qui failt.auiqueiment de l'analyse, l'auxiliaire, si incomparable qu'il soit, des sciences de la:.nature ' F-?, Les reche-Irches suscitées par les travaux même de Fourier devaienlt fournir à Comte l'occasion d'accentuer ce iedantices. Dans le second volume (du C(ocurs te philosophies p:osiiive (183'3). au c(ré,ateur' de énie, au grand Fourier, il o>pptose les géoi:èt.res contiemporains (lui, plour la plupart, et Poi ssonrr a leur têie, < n'onlt vu essentielement encore, en de tiles rechercies, qu'un nouveau champ d'exercices analt iqes... Ces travaux secondaires n'lndiquent pas, le plus sonuYvn, ce -sentiment profond de la vraie ptiilosotphi: matlhéma1ti qe, d. ntV Fouriier fut peut-être plus éminemnment p,énétré q:i'auca. n., uw:es, d. l)arbox,. I, - 188, p8s.. xxIii 23 <, Les pr'nctpes de cete Il'torie solli; déduits, comme.-ceux de la Mlté aniqi e:i iraiim):. t l,5 cil'ui ilrs pl('it nomlmbri i f e faits p'iTlu'adia x, dc.nlt ts:~ont.res..s'r e co:tsiètu. i ~t!: poini. I- c.t.use, miais qt'ils Nadmettî. ii i llm e r';Sutli t des obsei'v'i.:i n. S oflmm l)'s el. c(:r;' ilf;c'';i pat t(outes te~ experiences. I I'Jt'L'res de Fot rieir, tzit u e t-i3t3, t. î, t xT 4. Cou~s, c, p. i2, CL, pp. 3î1 eL 737. 4. la sci. ec.r~ o, t t..mo, f. FourieC, o:i: t.il., p. ";xli.: til!e!aU.Ud atpprofondie de i'ti.amr~,7 c~i }.;,;ou &, tt plus feconote dus d <'e~i;vrt'î. nrtQ'n iatiques., -

Page  297 f ATl1tMATiQUE >ElS 'FNr c auùe grand géQtrière, e-t qui consiste -surhndt azvàs la i'etio ia~intime et continue -de î'abst ait C0 1111.. 1teon le SjUis tant effricé. de iYLablir nette inen t. La mathiîic&atique abs t. Dx e $.est donc eo ist iLueée yr vue de résoudre les équa ions four ines p r les dit 4i'e;te 'wcrs bWcb -ls (le la mathémInnatique cncrêe. c Iaile es, un caicul, et elle a pour as calcul des valemus 13tuumoriq3ue' Ioïla LIti ne. M' is iéaiua' n rumneilàouii e r:ts npeutii pa' eas géflinral:'c rrss lr. nsf`' nation pv-éalable des équîationsi l'étude de ce-s W îyl-i va donner lieu à ev4' 'rjle qr4 v>d '. - ' 1 Ia "àt -uhî abstraite, calcuiil de s fonetwn)dyCre qu( essi Cdi3i-i ni des qunc/ioi-is îre"t~-s juî ~si oued r Une telle corlu'"elbO (le "a uxuh-i-.ah uu adstr — 'e r n dt i resiti.jtuer la clati" pro-, pr ai uI- 1-e m -c4Ud;e r rc Codlaie avcr pro'todeur', lauanQ1vs; n~ ~etui- spa a Z'I1C eweaaro put'- claii~,.r-tiee euee le ICtvd,1 u e-nalry p m tiaVt ceo S,:tL ea U 1,r-o u p Auicune s ifhi 1< e t l I o, ~/4iTT4t neq(tti W claiet F'a~it br~c~! unfte t oiS qu n( J o1neîtsemewî déiïo S, ude l'irn tor e)éal1 1011 - i ~t' s.nîfielonP bTaLte- l'- aI I 7u aVnI". dans j emplo'i et c juantîi a'uct s ou Sx' e1 m n âFle OR,ana~yiy t que pouti~ u~caidte fo ku mules plus 6ieil(lilesc uc i diffii''llé l~oi- pjilus dan.s li{ Piisatien eé ~ 'y îîeolnk' s'i urulisc u:Oi'nttu Fr ('\ùji>slo1lda <triOS Ut t(J!tinairets> des qu 01 o a.-î1 ~ envi.7. sagcî uÙ ai esuîta1c -fUnemixl SoUS vl - ru net oitk dCe vue, cornrai f de s rdnp -] fî't'- au >îi ï quoi.e si ti h es-, c -ncriw ni ai s, il este aisé de recoil d ai t nr de.c. oè-4at-. de put t t e teul po> et dte, t ilVU "'î' f a k -4 J~ al'4-it 'E ii Cn(.f -,(-14 I P. 5e t h On 4 ~ou ~ ctmparor ïï-t o texc let 1 iitir;iiîl lrll:!,ciitI!: it ~ ~ l~i~ d psi te n,,vîcPi i ~5.~ ~,iSf1~ r~IQP sur!'étildf, dls t> d n lor iii cii boe, in'>; p 'lu ii. v î i 4' lai 5,t les ilrÉîe'r44 't n tî O" u r.;ï ~t8ï e-ov ervi qu,;t rnll!ltipteîr d" yv-,Îits exitcic M c. ni x-It~qa - i te-t i o nU It pîj-t 4-e zr'. utÇtell c, dt>r v-t- "n littîlOn lit I n i'- t~l 111 O; ~ii ' t> L Clf-:~Q e~.i it: u~!:'îli: 4.4t4 ift'1 nkt14'ifi t 4~(b i sf~' natiotnitdtn1t"t> ]itaiit qctiMt 4f e it ' et i Tîu nu) e tt j anlc ij e n de\ p ot eri (l ié c, -ct -' J 417-'''e T unia (>1 <' cf,11t '~<'s1-,_V 1, 11ît n 'su i s ' e lit~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~; p::i;pe~I it.f5-t-t -c-QO..4. ('tttu~s. ti 1i ~ i;.:d- a t

Page  298 S98 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHIÉMATIQUE les analystes l'obligation constante d'admettre indifféremment toutes les ssortes d'expressions quelconqures que pourront enendrer lescombinisos algébriqueS 3 ~. Auculne ditficulte enfin dauns l'etablissemenLt de l'analyse transcenldante cn depit de la diversity des procédés" d'exposition ou d'introductlion, (en parttic ulier de la divergence lde. r. mét},hodes dues à Leibn)iz, ia Nelton et a Lagrange; car ~< ces trois lmthodes quant à leur destination ffeTecive, indépendam mefnt des idées prl iminaires... consistent toutes en un nimnme artifice logique egénral...: l'introduction d'un certain systtme des grandeurs a uxiiaires, uniiformémenlt corr latives à celles qiu isoin l'objet propre le la. question, et qu'on leur substitute e,'es"semient pour.;acliter l'expression: analytique des lois i.tiil.aticques des phénomèenes, quoiqu'eiles doiventt ette final>tuent iéli;inéeLes, à l'aide d'un calcul-spécial. C'est, ajoute Comte', ce qui m'a détermin;é à décni'r rCg.llremientl'analyse t aranscendanl te le c ualcu des fonicions incliirectes, aifirn de muarquer son vrai car:t're philosophique, en écartant toute discussion sur la 1maniére la plus. convena-bIle de la concevoir el de l'appliiquer. L'effet gén;éral de cet.te analyse, quelle que soit la mét1hode employee, est d(.,nc de laire rnitrer beaucou) plus tpronptemienlt ichaqe question mathématique dan.s le domaine.!du calcul, el de di.minuer;c ainsi considérablenmen t la difficult -calptale quet présellei, ordinaireimint. le passage du conli:et à l'abstrait " -. La inécessité osi est la m.athéiiatiqlue abstrlaie de:s'app-i:,uyer BYur la Ilatlhématiique concrete ne rompt donc nullement l'hom0ogénéiie: de ia science. Au contraire, et c'est en partic ulier le rtsutltat des ( d(1erniers perfecttionnements capitauitx 'pru'uvès par la science mathé,matique 3 >,, elle contribue à lui impriinr un caractère d'uni:ité suivant l'esprit des ta ravau de nl'mlnortel auteur dc la Théorie des Fonclions elt d la Mtlcauniqw'e anrtyiilique'1i >. La mathém6iaatique n'est cerats pl S la sie nce inslgra'le, il sien faut presque du tout au tout, et dlès le premier volnime d. Co'ts de Philosophie positive, Comte proteste conitre ce,utt'il appeilie d.éjà les ( aberrations ~ de le sprit mlatiatiimal.ique-. Mais ia mathé maltiqlue e st la science type; elie offre l'cxemplaire acc(ompli de l: a 1al7ioaalilé posiiide. C'est d'elle que nous vient la m(ttihdc. C'est donte i.r l'éti(ie des matlhénalique-^et sele1, Cors, t. L. p. 214. 2. Ibid., >. 2;. 43. I&i.. p. 18}. 4. Nid. p. 119.

Page  299 LA MATHIEMATIQUE DANS LE POSITIVISME 9e nment plar elle, que l'on peut se faire une id.le jusie. t app:e r.fondie de ce que c'est ~qu'u'ne science ', LA.MA,Àt I:'MATIQ(Ui DANS LE POSiTmrVIM:l 180. — JiLa philosophic mathdmatiq, de Co(nc pe ril.de.;t. uine mnit. apIt siqu Ie qui iporl'rait se p}'ésente itili:' m-le scie, e' -, moais i 'orvg'an;sati:l sil.r ruelle de l'luman it; du!ans i' fére (ositive. Vi asplnuy',ant son ssti,:e gén''al 'sur l'inelipi.tSiatio:u. de la mlat h ima tique, Corl e ep 1 1 ai it i ie un.erm a ix,ei!. d actions qui avaient jusque-l:a red dui t la pensie [ilI!oeo[hi'un, ri'zilctii.sanL e CoLte Kanil ' sopsi"t ais i s'nl,. se l iei, iit t:n ': arîi'tone^i.t' l qu'avaiel maiiii te l ediii(.s -oi *, l, trlaire ele [t lle:'',:t.-'e i. la eritiqie les Oouies septique- (le.liuJe ani dte,'ii:.i,.l' d itint i tivem nt le ira ionalism q 'il i avaie1 }, iii i t e i, e i i (t' Wolt', c'es! l' coie do Diderol t.et de iuiue qui e's l';l:en iosi i i.i d it la snthe ol oTis t, le prin ipe de a ~i rSgnés atiot l o c - denitale.. cete grande souche historique i cri-il dans i ' Perfia/c e du Catl chise. posiivise, j'ai c. onsiam ae, rall.:, ce coili'onl' 'iCIl `tde 'vrai'enl ('minenii nos deniers idversai, soit tlhuoito ilue., soii, méltaphysiques. Tandis que t lumth, olistlitue mon ii inlte'i précurlseu,r philosophique, Kant s'\y I ro'vi ac essoirentenit.li 5;' sa conception fondameutale. nte f;at aimi,:.,î svstémati-ise et dé 'teloilpée que(l palra' le positivisme. Eu. d'aui;-'i termies, Kant a net. l ment aperilu la former relative du ( >s ' humîain, e i i.a dlete.irinl que ce te relation consi.stait edansio af connexion: constant, d as l'ilîlication mutueile, dt subje.i' te de 'olbjectif, des lis logiques et des lois physiqies. Il reste? ceMpendant que Kanit est in imtapiysic ien, que 't e"ptérience choz lui se subordon iie à l'a lrioi, que la physi(u;e se cos.t t en remplissant led's cadre' qu 1e la matilemxt ique lui i lpos e Pout' tri. other d (cetLe étaphlsique, il faltail que 1'e c i — risill e se endliiît matre de l(a:a thniliquie, qu'au lie i di y 'voi avec.Hobes ou Condiiac un jeLt d' trnsi'malions iom i ales. ou avec [Iume ine approximation toujours iwertaine de la ré.lité: ddonn.e, il ru-s.it en fire des: ' ences naliurei.es 2, q ui, I;ut en se (ve' ulpat aec une rigueur irréprocl'abe,.ussen i t.j->puyéef sr lliser;".. il.,a ()1', eu.I. 1 'Suli',i'.i.[laliîL, auitx for e!is 'l prio'i htles fa/.is fe;énéet!;, Je po..itivi.sme c:ha ge'~ du: tout:u Sla le ''a port d 1'd l iala-: *;,:r' s. i. î p. 1 '..

Page  300 30*0 L..ES L tJaIEPEE S D. E.Li,A i'lut.LOSOPsi:i1t Mit TH;,TiMATIQYE tique avei le sys tèmii e des ci en:.es. Jil es1t c.li en! elf et que si ia valeur de vérité que l, s mati 'i mai: iqtes possttdeti t est liée à la, dixte des cadr es qu i iso v itteillenet iel;s i d ans d e lf o Vleb!., conlgélit i 'ale -' pa< e e,,pac e d te i.:a sc,:sece semble sl'arrIelr l e t n écis me n P S i ~f,"i a o l;. s A 'A t o*'e} les i-.'. pt t"vet plusi s i 't' odui.t ot ai_.l in t;eiti f- S' O e off t ptlot' 1s, ttformes mar i t'atfq es. 0':s <p iqf O. ) 'm t lhai;tt -liltia1;bp~miS{ nba ir(z7a ai[i).ft85, ) -';ll3f3'evi. 0-R I /.;'(}/,et.iF [a, i;'.cat t \iqi.', ' pu ise ie dom aise "des pt o lO' iion n,:,cess res ei; universellc s, et elle ~permct de d it sermi r le s do:ai lilr'ophe i ts lt,- ft ni régularilte ni prévMii biit;'e l'eif pi r s e h idelii, de i'histoire, ou.,l e laI psycolti ogie dr scri l ive. A' ia i'i4r, t.iir', c I"e s'i'itt'ie e: des affirmati ons: ' tordre moral ou religie:.i x 4q:-li cesies, ne so'i. nulhlement étLra.ngeres à ai raison, iïais q.ui n: rit'etl..ni d'Aue min.éthodicA îl e d oie Io' r la construe etion dos concept ft', i d i u t ontrôle positif da l'exi[ ence, tquis idt eq.. rre,' l: eo')ptis uie ct Soyean;, c et non de stuvo," Pou'r le {osi '-' di Oit(i e pice de a s..i..c.. est dars 1 ob'sevati'n des is r, l e s{'t s d/ i m t, ei-f mai, IUe 1. i 'tn -out[. l.t a siti, ca ioi f t- s,-,ic n.i. so1ique ct non plun une si ll a, i. rncil.Le cal l i;(, l eA mioyven id'ét t de ti at t; le piu- Ite ppc' t'i ptt i' i o' n il a le p-remaieri permi, is a Constitil io tt d'i <iencet positive, par,:.Ce (iqu le ctal'c;i l est pIartlicuetlieliert adi. p t ap '. t ia c n't ai-;sa~ic?, de.:;s.i.!es pi (.l, iitz)t,, 't;,'1-a'".lit. j ri.], iit i';. l}?': S1. des, t f d faits î t ls p ipl g( om triq't res ou,i, e.. aniq ues 'f;ni'';tt 'A. tfsi;Mt ' pluisqie le ~ f I''i i ci i q..'. sif. \n. I Apou ob a i aiso des faits, à des fai, ts d'une a. e ni at, re po"otil. o'rrcspondirt d'aun res mt.oyensw log'iques' e" c'es '''t (e q ui arrive ef cItl, ),t ji, sit I 'on pass le du dot 1i:a a..'o tn e.i au domai p'-i!.', la mti thode sctiennnifitiue. e se 'rduit, plus l'tan(i:'. l'bse' 'a i `o It.,t t calcl i ce (ie i i 1caract ' ris e tes df A if'{ '; lfife * de... f- lai.lsi eAt l p'lae els font it au S e t },: s,-. f A',: t. l ' i;! ij Lt tfIt'tt a, A tS, je. lois te Is pot fY tep(,ftn) t' iontIi iii Iii4oi'iit&c i '. raison, lo des en......de; p;r I,, pré(do finance de mvi..ode s 6c ilique l: méthode comXn,?',i,,.',:tiive e' biol,:.'`g'i.e, in_ét!tode hisl iq~.tcçe en s ociologie, t )e àt tel l,: '.tt'e cn,t4fé'qt ' e tce j captitae til" l; pi{si- 'visme ne t ttf1sis-1 1 I t:,.i.U t i 'i' j ni ',,rl.te;. av y eme i: d. er e ac p)osit if, don't te A'rss.l.erl st'.leii!ique lremont. e at temp s 'is 'ha1 s et Itdes Pi-:'v'ago.:3. Le. rle d 'la pt 'il" o!so i positive es t lacCifel non pa,4si/' i} es. A - ' pé rer autt seit mtn e dne Ir"ge po.sitif un itrans-:;r i é t t fA, Ge^ t}-, s i) -t i er ai 'O S it {f';e mathtmat iqs e t ' ' i. i-re:i.oc;iq....... t. i i ie"' L' iç Cous d' e P/ zlo

Page  301 LA S'MATIIÉMl; ATIQUE DANS ii POTViSM33E 301 sophiepositive est ign ificative: < Ai lieu de che-clier svneugement utne sterile u'ité scientifique: alissi oppressiv q:i rique., dans la viciese fr:ductiovn dl to.s les ' I oi mèn: e quelconques ià u.n seol iordi e d lois. 'lt:spri;t I:i n:.':tg'ardera finalemetnt les di'vrsi s classes d( etmtl its c,:lme ati 1ers lois spciales, d'aileurs invitableen: i con. vee ws c i:'-ti:,.: rOe. h quelques éga'rd-, arniiog'ues., Ainsii s achèv e L movement de' riac lion.ii:'o qe a,'tl.. aiait dja dessiné contre la philos. ophie cartésienne dtu xvle siè-î. )Pour les Ciar itsierns, la maimatiquc imliquait la spi.tilt. i Coiii i e au cont'raire, ic:ldera na s1pirz'iatiisjze zoa!Uve.tlJ s1i'1.la spédi:(ficité,, sur th rr. 'i-ibi. E' s:. l i'es discipline s cieni t:l:i:ues: l Vrai phil.,>.` o,-" àt -) '{ (~:b --- vrai phmilosp.(h: r'ei':ceoe: aleît autant le mal.é.'iaisn, means la endance du vulgaie" des ma'eiwimtîicmiens:i ctu:els. cbsoix')er ia géométrie ou la ménc"l;aniquie pai le calcui, (uil-C dans i'usui rpation pluis ïpro-norncée,( de }a phii~sique par t'nse.mble de a mathmatique, ou de la chimiî'e ->ar la physique,.u.toil t a e. biolgie par la chiî-'ie,n el e iini dans la disposition coiit i.ani dies pins mernu i et s b)iogSes o concevoir la science.iae.omi<n'. uni simple coriollaire o'1 appendîice di:le la ler. C'e.st parl oui le.ilmeo.,vi e radicall, I'abus de ka logiq ue déductive et le n' ~e r l I'sulttia necessaire, Iim.a::ineinie désor~ganisatiori des étude s: ipriiei.ies sou s 1i.veugie domsiniation. des infé'.ie:(lees I o,'(eluvre du positiv:isme F'ut, en. d.i:;' I a i o ganisal io de ces!tudes supérieu.res. LJ'ifl:entce dle t;omte est il cmmé date c ch. ez les sax.vants qui se giroupèé're.fi poit>v: iFonder la Sociéet de Biologiet, comme etlle s'exer.a pnlus tard po:t' la rttnovatio, i d!a psychologie avec M. Bib,.ot de ha tsoc. io'logi av.i r i:. Durkh'.., i ', ', p, 8 '45t, Pot'r se. ioivaincri, ql'te cel7. le i vle ine ri a n.'rqu pas ch-ez Aug;ust e GCl'o tt n ori i:enta.i i,)it i:ovJl de.:.!a peIinselt ' plhil.osiopthi quei, il suffit d e ire.p:ort-.:'r ii e{ia crtiit. i d i: C.ot:iorce't, qui se itrouve daliiî l 'e tlan des itavaiaw scieittiioesi ié tcess("fi:' C e,:i.. ' 'roi'UiBS,'r la soci.te. '(nii 1822) t: -(Le p:rojt ite' i Inrier.ai science soc.ialie ct.'m Uie 'tt'.i ap plicationi, des imath1 îniutiq'es, aein di li.'t reiicdr( positive, a. p s ris i ( i: u p nt l; iju m taphyiq que. hours ds maih..l é mia.iquesi il ne 'ci. '.t, e<;i: lr d e vé..ri t.tie certitude. 'e piréjo ug' tai' l a'atu:i'., it i 'époque où toll' ce qii et-las post i t se Iroui vai t-re d u d Ja)inn die, 'aîii, 'mat.iques appliqi u etC:s,:1:; oii, p r''.: i, tit ce,.^:,teil,' s tn' c i l.:i ri: si; i'.'.l; pas était vague et, eo iLecl'ara. Mais depuis la forat'l.ion de deS iix grpiijdes:c'ienice' p iosipive:, la chitlui e la physio'logie h u' ",î' t't:, d:lrs iue.d'isq?clte l s iu'a.:niyse n-i' thî matiqae ur. t, e au:a t:i. eî qui ie _:.: pa i 'C}iit;.us.u 1 1 c~eî iie îqaI l. e l ts a t..:e"',t u. i i t ûl..:.iex ii i, i.D.S'ystème de.i' tiqtza e justi,,. ve, é.i't. i.. V 180^. Ade.? p. i2;:. 2. Sy.Sès~ 'i..e:, tJ, p.;51 e. G1;, Ess de phiosotihie t d is e t, ' rh.i,.i ep.. 0. Pa'!. ', Aus. et is de., d: i9O0, p. 411i.

Page  302 CHAII TRItE XIV T7RA.N-FO.MATIOTON D)ES BASES SC1ENTIFIQULES 184. -- Ave:. les Pythagoricieis, avec les Cartésiens, avec Leibniz, la philosophie mathémnatique était un maihmatism.e, c'esta-dire un effort pour constituer le système de la vérité universelle sur 1e modèle et dans lies cadres que fournissait la science vivante et féconde part excellence. A lire la Critique de la Raison piure ou le Cours de philosophie positive, on dirait aulO contraire quei le rôle historique de la malthématique est t1er - miiné. Elle deleurlie un instrument puissant pour l'établissement des lois naturelles; mais Flusage de i'instr'ument imported plus au philosophe q{ue l'instrument lui-même, et, plus encore peut- -lêre que l'usage, la limitation qu'ii y a lieu d'y apportetr. Ce n'est pas du progrts de la technique mathématique que Kànt ou Auguste Come attendaient le progtès des speculations philosophiques. Il y avait plutôtt ilntérêt pour eux à cei qu-e la maathématique fit enfermé ( dans son rôle d'auxiliaire, fquelle ne franchît pas les bornes assign.es soit par les proc'éds synthétiques de calcul que Newton utilisait dans l'exposition des Pj'iaciia I2(mathemenlica, soit pai le foues mes analytiques don't Lagrange avait accrédité. l'emploi. Sans dou.te, le premier soinl des deux penserîs avait été de déterminler les conditions (qui font 'exa; tilude de la science nitatlhéîiatii| ue' mais c'était, sembic-l-il, ailr. quI le glîenéraiions suivaitles u'eu1ssenti piiis à y revenir. Le:centrdse dleurs pré&occii:upatioins pi:ilo.,Oiphiqlelu;. étai aiti ul^u, dants!YS discipliells qui en coi, iras~!e ave,: les dé{term int iit iois bstrai les d!i objc l,i malU cinaliinuc s'al atehent aux don'nét " }Ins f )r.. lndesi e.ls pl.' c ile.:es de l a naure, la rat ait'I mi')ai!l on sociae, ei aracu-l'il t.iqi ue ie.1.iuma tiSé. etrs do Kiat ou deCom, Qu'ile s tetorent ia iaiecti q, t Otl qtitis s, ' i'l'c'l, i t de lu,toihode positive is se seni

Page  303 T"AN$FORM4ATION liES AE LIN1fQ4 30O, împosé de parcourir le systèm-ie général (lés soJences. Avani il deterînci'le-$ pri'fCipCS qlui 'OXWffl O hCne<l)les et les rfùLsquielle', S'ouietîfIien les uu'î ive' les " -~ ils- ont.. p,îotr e piobléeînes qu on-reî ar Mî tes SCkie;mt(n.buslis 0j111. d,<a ~'Oi5 el que a î4uantîu.' o Ie S1) P OU tI t ezJS ils~ onit d 1t' demarliesdu raisonnement mlRdiq<pa I~ oppo'siit"u ~U' 1'elern'i'Cne x5iîna dont ot'iiit ie'occix ( iï L'luistore de la pilosophlie t eî'îa eaul JcS~eh'' ~i~à" (lOfrlI fro[p daûti ("cet. o1ïo souteun t-" uoîîI111 Oun dcae Inos jouisd al)oilitit aÏ1 des oeu'Lvr(, 'mu -aes nn ii-sw "w1 i>e1 Lils Gî'undla c la d r eX(4kien is,,vn~ </'un dt in toi t Do'-eàîn'c/(ii poijit de vuet ic 5 ome uc nî ' t t-''v'(i * îîots nie pouvolns îP's posli- le pîokiiïc"i de k h 'oîen!e nuatique t1out. 'i fiaîï daits 1c îW~&-k ms Nos éu e mt rieures nouis ont, faUt Voir a ul point, le,'s ssè phî.los.opîhiqu'es- -soLI l au ji J0,re l e a làec ll-m î a'I elles nous amènent a ùîîî garde qrwfoisdmal 't t enties 110atre tahîiirukt e ermne dk 104 4n qiles vat.d'abo O tuslercio ciiî.t unV.it'ase <4hez h~ut c let âÀC;r'â '~e j1iIW40 i 4'Ji17e~4Llid Ounei 'S'uiaîl,On UV cO-tn' '& t M'1~1î1 l OIiP' Ol 'jt ue kt l r itîe l î 'fîe îu o q. p l a 1 - cac, I ' 5 e 't e ei il Iîts qui utiO'hi 'l'-'nele ér il d' V pom' im d' è b naiti -n 'tî - n 1- O l L c if '-u t'hnIl t L' dIoma ine( dll<' Uu1in' e sci- to-'10l e " f-i i' t ei ' Punl ~Si'n;tt il 1cum jtiSoîÎn'~-. te 'l' t '1-à 14' i nîh u''uiî O~~ c'u'''~~-'' ~ impurlm ' ''-i t'- 't -u St ~t -caru't~o k JI în, a j -t - ' - i"' ' ntt

Page  304 314 t, Ti ÉtP D B- LA P ILOS OgIRE MATHEMSATIQUE iune rir,rte de questinol préaalafeb1, Est-ce q la notion de la foj rnie temt qte f drme,;i a. grénéralité eîi tant que généra'li:.6 expr,3.me-e.ncore as vecs i edi il nde F tt de a steInce atuelle? 'an:s,:s airLes r mmes qui psu deIt 'iaIppa àtion du pro5'ie r oin e du )on. 's c Phiiosoph ie positiven ( Caucby Lobat: C}d ewuk$, Sadi C 1 et-ontl époé rNe de transfirt.a" Eins prl o '.'dti a l t i,'*I iue la maIthlmauque atbstraite, d { gG pomrf..î ic..assiq i: r, 5 e ]a mé.'.. c unique g6.nérale. Et nous cVb.yons ~Que cI;: iit rarso'nilateins. a!ilt rompu l{'équi:libre qui pe3-.ne. -at à5. KanI etLà At.A*.tet:':, Co.ie fo ait & e ' i< itrer ces diver ses dic pl.e. did.ag 'uit< i i. i e, d "'ss urer le passage du raisî i:me1inn't ciktiitu i a'n tt,au -r nenu de I. experience Par là même elles on. ren ei. '..i queil, j" n dis: pai ' tel o.lej ei princi'pe dn.la m e i' i qu. l:. j: i:r si mm. i io se faisai d es kpri:. cip c:f, la i im]:l..it:*..' ci:'te\ sa'iU t des^ pe tent d es.doun es prei:'res s uir lieS.lqu:iw: l:a: ie,:.... sle ri ' 'appuyait pour le dertouIî,m-et id: Le '.... o,; "ciiies. lMogi.ques. Noi!S n: Cdli rons ce rtes 'pa'; q.ells oi entra'-t t a ri.i.n e l'i nspi)iraio: t critique or' -d, Iesprit p',sitf.; ais o.ps aJvo tns à mo n Oi'er co01nment etlles -r mairquit l'a fin d- e oa pJ-iode où a }pilosophie nmaibthéLmaliq'ueyr u pou4ait r p en de po'r base objective d ditsc, ssion ta d)ctrt in e de' 'sthriue eai id.Aln.qiu e /rafsceisidenlaie, ouI le premier volume lu.ours de.Philso.phie po;iize. SECTION A'.. T.- o encep)s.to dn- e rl ream anqu-aje r4ton e i82: -..* Au. /pi t'd er Catao s nr-lonai de P t;s i osph/t z (Paris 1900); %. Tenri Polenar6 écrvait. e t,:,i.a -,. ston M:,fr~oiure Sl.' mes- p-in. cyet di la m.et'écni'qu ': < Les Anglais, et:'eigne:.n i a necaniquea oe vlnu v.une science expérimeîn;tale; st.r le. con'ti3tene'i, ot l' expose [oui ours pîi:s ou mio.inus t'conce tune scine d(ductlive i-l pt, -proi. Ce esont les Anglais q.u onl raJis;o cela v sans dire' m-ais comment a-t-on peu ers4vér:. sl lon.tremps dans alleS c-'rremeni'.s'? > Assuré.ment. ni planss la pensé de Kani, ani dans la pens e (t Comte,, la mIcaniq r. eait sans connexioni aiYec le.x rienCe; rnas.e c'est dain un toui:. i-u. trc seins.que i'oî e;te'i,:d aujotij:rd 'h.i la s C:iefcfe efxpe'ri~Ci'c;,r. d'~'~_a(vse acï'gé''rfi,:tte. '821..~ l J:(,'ati/re publicali:.: de. 0'J..t.silw,.iiy t.'la'i9.e ( ia Hom i:ie i.,;i,'' f:,,:..,"e ^;':,t d}.I '582(9, dat s E t 3e.tf a:;t'i ' e;-qaza't,:l..3I 'Q'f'wn s~' hW pu'issanc'e 'o>"ice d'u 1t24 ' z. 4'', -ia:'i t du on,', t (!.)t l,.'. (F, ulhùiïl bttii 'n d:s, il eS 'aitIPaiCli qu[tS. i9 l, p. I......

Page  305 LA CONCEPTION. DE LA MÉCANIQUE RATIONNELLE 305 mentale. Il ne. suffit pas que l'ou justifie l'accord des principes de la science avec la' matièr e Ide lxpérience en montrant, comme a fait Kant, que les princjpes de la science sont les conditions de l'expérience; il:faut dire que ia science expérimentale reçoit ses principes de l'expérience.:I! faxut même ajouter, et ceci à l'adresse de Comte, que ces 'principes demeurent, comme cette experience elle-même, sujets a caution et à revision; nous n'aurons jamais. le droit de les 6noncer à titre définitif comme s'ils comportaien't en eux-nêmes leur justification et leur' légitimité; ce sont des résidus d'-oirdre tout.négatif, les limites d'une régression qui porte sur les-dounées concrètes, et les ramène par voie d'analyse à des éléments maniables pour la synthèse déductive; ce sont des hypotheses dont le savant devra, dans le laboratoire, éprouver;et vérifier les couséquences: la dépendance perpétuelle des principes à l'égard d'un tel co.ntrôle est la marque d'une science expérimentale. Tel est le problème qui nous paraît posé par la déclaration de M. Poincaré. Ici nous n'avons pas à envisager ce problème dans sa généralité; pour fixer la place que la m6canique rationnelle peut occuper entre les -siences d'ordre proprement mathématique et les sciences d'ordre proprement physique, il faudrait sortir des limites que nous nous sommes assignées. Ce qui nous intéresse, c'est uniquement de savoir si la mécanique rationnelle est encore capable de- jouer darts l'établissement de la philosophie mathématique le rôle que Kant et Auguste Comte lui avaient attribué. Sans doute, il existe une discipline mécanique qui peut être enseignée commre parties intégrante de la mathématique: ~ Ea dehors de ses -applications, écrit Jules Tannery, la mécanique rationnelle. peut être...,regardée comme un chapitre spécial de la science du nomnbre, commre é'tud.e d'un certain système d'équations différentielles. Plus particulièrement encore, la mécanique céleste traite des cas où les forces que l'on considère obéissent-à la loi' de Newton; elle a affaire à un système d'équations différentielles plus particulier'. ~ En raison de cette transparence complete la forme mathé.matique, la miécanique rationnelle et la. mcanique céleste seront les modèl.es de-ce que peut devenir une science achevée' de l'univers; il ne s'ensuit nullement qu'elles soient indépendantes de la science g6nérale de l'univers. Les principes peuvent. en être mnathérmaiquement ~. Du rôle du nontbre dans les sciences, Revue de Paris, 2e année (1895), t. IV, p. 197, et Science et philosophie, '1.912, p. 24. BRUNSCHVICG. - Lès 6tàpes, 20

Page  306 $930%6 t Es ES'TAPE DE LA PRIMILO PtDIE a;,tçI', QLJS nonc4i mais i ri n-e peuven pas -tre prhI oh ohiqe h emueni conç;us, a'raction f e applicatn ae 're t l Brref, la.'mécanique esi' la pti". deA a p.s.,-ioques qui a la priem.iare atteint son point d.-: p::.;erfe;ctit; on ne conroit pcro s entire la phliosuop'olitie de ta é,.c.aniq'e et la pnilosophie de lt nathémaqu cet t s liaison nt — it- tqui't pourrait donner tlespoirx d'éclairer celle-ci au moyen "83. -- A l'appui de cette conclusion, il suffira de rappetier brièvemTiènt les grades lignes de l'évolution des sciences rm casuophysques au cou rs'des cent'dectrnicres annties. ()r peut dire e.nore ici que le. problème est posé6 par Lagrange et pa-, t' os 5o,' En dsna a forme toue mathénatique de la déaductic, e:t le con tenu des prince pes' que l.'expérince eu.le a stggérés, [graçn f 'iom9pu lt'uniîté que la (irersen'ta tion gér(f:-oetriq e et proprementt.mécas ste cr f4rtit à la m eécam I q<e r atiomnelI. La simplicité apparente des pn i évope s voqu'Us par;Lagrfange a`vai9 t p fire illusion à Au. guste Co'mte mas un Poinsot ne s'y éait. pas tromp: ( EL'oeuvre de Poinsot, dit tl annequ.in est en r6éaction sur P1oeuvre (le Lagrange, et tend substitiuer aux équ.tji ns pour. ainsi dire abstraites de la m6caniquie aiartiqrFse des conditions conc-rbts et intuitives de, l'quifibre et du rI;,ouvemtlcntt, Or'i'est faile, t de csmPren.dre qu'tune, semlblable eenda.nce priéIjuge s - i:, fe;r:tai a sens ta fo rme que; revtira la e=i,plict, tion de la -ma:t,, faêto.~:. ~.e à~ l'muvernd;! a r elaton d:'négaPite est eteffet A.v"ec i:a etteé,-i:mmi eU8 se i l qui est propèf, ptoin-} ét' ct, a.u' débu t de ionMnoivre sur la théor'ie et ddéer.rmnalion 'de! 'jtUi.i,i.atr du. Si:La tme so/arle: ~ Nous:te connais,.ons en toute.lumàiOrre qr'a:i'-e secule loi- c'est celle de ta constance et: de l 'ni tforrmi',.... uand nous étudions les hoses qui chang-ent pour dAécOu vir,ce u' on appelle la loi de leurs varia itns, notre unique 3 JobjeOest de roverr ce qu'il peut y avoir d'uniforme et de constan, aiA m"iÀ.jeu -d ce s chioses'qui varien.,. Que si, avc, 1i temps w.;dàr; e. -e is oire des sciences, ete. t, I,. 56. 2, CL Là théorie nlouv.elle de la rotation des corps (i8334): O. peu t bien, par ces- calscusl plus ou miins logss et coripliques, par.tenir, déterminer le lieu où se 'trotera', le corps au bout d'u"n temps donné; mais on ne voit point du tout oma.WMet.g, orps y arrive; on le perd entièrement (d e vir, tandio quion vouâxe'Ù, t.ibservyer: ele euivre, pour ainsi -ire,, 4de yeux, dans tout le colors de, t tieonSi.., t ' ment a, di stat q.e 8 t, ï.let, 8-2, 4 p. 486. Voir tJoseph 'gertr fandi-e.l di' Louid 'Poi nsot (29 demb 1890),,-W auelte série.'iloges eitcadéimmeqi, ' 902, p. 21,

Page  307 LA CONCEPTION DE LA MECANIQUE RATIONNELLE 307 et par un nouvel examen, nous venons à reconnàaître que des rapports qui nous avaient paru constants sont eux-mênmes variables, il nous faut faire un nouveau pas: mais stn marche est toujours la même; car alors ce n'est plus dans ces rapportt, rais dans quelqueautré forme de leur combinaison, que anoti-r esprit va rechechher cette loi.de constance q ui avait, pour ainsi dire, echappé à, ses premières conclusions. Tel est, je crois, le movement naturel de l'esprit humain, movement qu'ion pourrrait même femarquer dans la géométrie et dans l'analyse. ~ Ainei, par l'intermédiaire du mécanisme géométrique, la nécaniqune rationnelle se proloingerait et s'étendrait, (pour devenir la science de l'univers entier. Entre les ann'es 1:84, et 1847 la-dé.coiuerte de la conservation de l'energie, qui. en dépit desP provisions et des interdictions d'Auguste Comte dotait ernfin la physique de son unit, apportait à ces vues une confirmnation siingulièreicent précieuse. Mais ce triomphe du- mcanisme pur qui devait, dans la période qui s'étend entre 1860 et 1890, donner lieu à une renaissance du monisme matérialiste, n'6tait, et ne pouvait guèree être, qu'un accident. Il s'est trouvé en effet que des deux principes fondamentaux de lta t]ermodynamique, principe de la conservation de l'énergie, et principe de.Carnot ou principe d, la de'gradalion de l'énergie, un seul avait passé dans la circular tion générler, san s doute par ce q'il se prêtait mieux aux aspirations d'une certaine philosophic populaire qui se fondai sua }uiïté. et suP l' ternit6 de la matièree. Or, à pr(ndre la thermffodyn ramiqne dans l'intégralil6 de son développement technique on. voit- se dessiner une oaopostiaon entr le le mi6écaise géom6trique, et l'usage des rntrods anaytiyqUes au se'as coomi' et 4gatqque prgmoatiqueoas a3 r vons 4At cque Lagrfang'e es entenadai Par exgempie, un physiciena comm.e 'Gibbs ~ esest esn.e eilemn t algbriste. Il' lest, ajoute M. Duhemn aloirs amêmne'.qu'on pour.rait -s'ate'fedre à le trouver geomètre. t)ans. les.deux M éoirie où il. étudi 'eles divers diagramrnm es propres à.r r epr6smenter ies propriétés.-thermodynarniques des 3 uides e.t leurs: transformationsl, les d monstratiouns 'gaoé6 -tr3iqueds îe jolue t à p ri p prs ucun rôle; c est parl ' des Consd6rationss danalys: agbriqe e que.sat établies la phlnpart. des 1. Apuid l iénd ts de statique, p. 382. 2, Voir le -texte de Rankine (887), cité par Beard Bruatiles, L dlgradation J t'éner ie, i90,' p..3'78, et La diers dwers e fortune s des ex principes de la Thaer'c mnoynamique, Steietia's 1910,-t. VI, p. 7 et suiv.

Page  308 8 'LES. ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE propriétés de ces diagrammes.. ~ La science moderne, ainsi conçue, abandonne come un ~ faux idéal ~ la tentative de réduire à la figure et au mouvemen,: tes les propriétés des corps. Par là sans doute lteel entend nrulement renoncer à la constitution d'une physique mathématique2 si elle se prive des facli.ités offertes par la representation 'géométrique, c'est pouri étendre, là même où les images spatiales ne pourraient plus s offrir à nous, le rôle des symboles algébriques. Seulement, il est clair que, dans une telle conception, la mécanique cesse d'être une introduction, nécessaire à la connaissance de l'univers, foindée sur les formes a priori dé l'esprit ou liée aux faits gné-aaux de la nature; elle est seulement un cas abstrait et particulier d'u.ne physique: analgrique qui doit être prise dans son ensemble pour avoir toute sa valeur de science. 184. -- Le problème que soulève opposition de la mécanique éne-rgétique et du mecanismé gyométrique n'est pas tranché à l'heure actuelle. Par un de ces renversements du pour au.ontre, qui semblent essentiels au rythme du progrès humain, voici qu'au lendemain du jour o M. Ostwald célébrait la déroute de l'aiomisme contemporain 3, d'éclatantes découvertes dans le domain de l'électro magnétisnme coiduisaient à chercher la raison des phinomènes physiques, chimiques, gravifiquies même, dans la decomposition de la molécu.le en particules qui seraient chargées d'électricit6, soit positive, soit negative. Peut-être le problème ne doit-il pas être définitivement tranch6. Il se peut que, suivant les conditions du'problème, le physicien utilise tour à tour les ressources du symbole aig6brique et de l'intuition géom trique, sans se préoccicper d'une philosophie qui lui imposerait de choisir, en faisant comparaître devant lui comme devant un- tribunal. ~ l'énergétique et le mécanisme. Mais ce qui dès maintenant peut être considéré comme acquis, c'est que la science ne reviendra pas cen arri ère. De quelque manirtire qu'elle conçoive la liaison de la mécanique à la physique, elle débordera les catégories a prior du criticism coum'e elle a brisé les cadres prétendus immuables: di posttiv isme.' Certes, il est utile de remarquer que le principe de CarnotClausius donne à l'énergétique la physionomie que Kant avait prévue pour la science de la atiure lorsqu'il avait lié le principe 1i Bulletin des sciences mathématiques; 1907, p. 190. â2 Ïhîuhen, L'évolntion de la mécanique. T. Les fondements de la thermodynamiqae, Revue générale des sciences, 1908, p. 301b, 3. Revue générale des sciences, I895, p. 953.

Page  309 LA CONCEPTION DE LA MECANIQUE RATIONNELLE 309 de causalité à l'irréversibilité du temps1; et c'est là un argument important pour décider de la portée rationaliste ou anitirationaliste du principe. Mais il serait dangereux d'aller plus loin, de prétendre établir un lien de justification réciproque entre une conception philosophique qui exprimerait une exigence nécessaire de la raison, et un principe qui est manifestement issu de l'expérience, dont les physiciens discutent encore au.jourd'hui et l'extension au problème général de l'univers-et la relation aux principes du mécanisme 2 De même, si la mécanique nouvelle issue de la théorie des électrons ramène au premier plan de l'exposition physique les notions d'attraction et de répulsion, et se confor me ainsi au programme que Kant traçait dans IesPremiers Principes indéaphysiques de la science de la nature, ne suffit-il pas, pour limiter la portée de ce fait, d'ajouter qu'elle arrive à mettre en question la.constance de la masse, c'est-à-dire e 1priicipe- qui paraissait satisfaire de la façon la plus simple à l'idce. d'uie vérité intelligible, et se démontrer le plus facilemernt à i'aide de catégories de l'entendement pur? De toutes façons, par conséquent, nous savons que nvus n'avons plus h faire fond sur la législation rationntelle de la physique, sur la systématisation abstraite de la mécanique, pour apporter un centre de stabilité au corps des mathématiques, et assurer la connexion entre les sciences de raisonnement et les sciences d'expérimentation. La nature mixte de la mécanique rationnelle, loin d'apporter par elle-mr- me une sol ution aux-difficultés de la philosophie scientifique, soulève des probllèmes qui ne sont ni préliminaires ni simples, puiasqu'cr dehors même de leur application au réel elle h-et nécessairement en cause la valeur des notions et des méthodes que la mécanique rationnelle, en tant qu'analyse ou géomntrie prolongée, reçoit de la mathéjmatique proprement dite. Si nous avons rencontré des thèses contraires dans le kantisme et dans le positivisme, nous pouvons les considérer cormnme résolues par la méthode historique, c'est-à-dire rapportées à ur état particulier de la science qui en légitime l'apparition, rmais auquel néanmoins elles ne sont pas destinées à survive. Il a 1. Cf. Lasswitz, Die moderne Energetik in ihrer Bedetuzang fr die ErkenntnissKritik, Philosophische Monatshefte, t. XXIX, 1893, p. 17; et Hannetuaiu, Revue de métaphysique, 1904, p. 41?. 2. Voir Boltzmann, Leçons sur la théorie des gaz, tr. Gallotti et Bénard, t. Ii, 1905, p. 250 et suiv.; et Seeliger, Ueber die Anwendung der Naturgesetze arf das. Universum, Scientia, t. VI, p. 240 et tl, fr., p. 103.

Page  310 3 0 IE S ETAPES DE LA PEHILOSOPHIE MATlIEMATIQUJE, existé u-ne etdape e la philosophie matbhmatique, sOù- l.e 'consi.PatiB de sta tique et -de dyvnamique, uti'lisées depuisArïhi-:inède et Gaiil6e cornmeo - auxiliaires, c6omixne. motrLIeeS prl.. ai. dVcouvre,-te se sont introduites:dans linite.rpréttion' de- la science constvituée. -Ctte étape semble aujourd 'hui defi.iivemienit franchise grâce à intervention de il'expérien ce dont l'importance primordiale n'avait certes- échappé ni à Ktant nl Comte, 'mais don't ils n'a.vaitent pts prèvu suffisamient sembxlen t-il, la complexity 'croissant avec le progr s des insramenix s techniques, -i. l a radicale plasticity. SECTION B-. Les géomzé-tries non. eclidiesnnes, 185, -... Cest 5la meditation de la géométrie euclidietne quri a coxndii at à.., a, l aâ doct.riede: sB'Ishdiquae transcendenlale et qrui u.. a pe i s oi;nser ls rmes d'intitionI comnRe m6dia.rice entre l.s:;atiéres dtd jugement et sles principes de la physique 'aionnie;le. Dee mê me, on peus sou-pçoner que la g6ométrie de Descartes a servi de prototype " la mécanique de Lagrange, et quie, par là, aComte fut amené à..les considérer toutes deux come d'tant au m.ême titre des branches de la mathématique. La -phl!osop ie nmathérmatilue, dans cette période où laI science,ted.dait. se cc.istituer sous une forme positive et organique, supposait à titre de postulat la simplicity de la notion' d'espace, qui manifestait d'une façon irrécusable. l'unit: de l'inteltigible et du réel. Or, l'àétonnement, au scandal, des génlratiorp de penseurs qi faisaient fond sur cette simplicity, la physionomie de la géméotrie s'est transforméee radicalement au cours du ix.e sièl-de par'a miltiplicité des mdthodes géométriques, par la'constitu — tions des géométries non euclidiennes, par la conception de Ja Géométrie générale. Quelle est, du point de vue proprement scientifique, la portée de cette transformation? La géométrie classique est-elle devenue, comme la mécanique rationnelle, ' ~ amorce ~ d'une science expérimentale? ou la g6ométrie classique a-t-elle simplemeat change de situation, de la façon dont la perspective d'un monument ancien vient à être modifiée- par- a construction. d'édifices. modernes dans le voisinage, sans qu la structure ou la solîditê ens soient raltéres le moins du monde? Bien plus, n'est on pa auIoris'c à dire que dans le plan initial de la géomtrie classi.s. ces constmetioEns etaient prévues, tout au moins qu'une pac

Page  311 LES GEOMÉTRIES NON EUCL DENNES 311 leur était réservée dès le moment où l'on cherchait i organiser la science dies relations géométriques suiv-at u sdai die dc duc teon a plaori? Tele est la ques ion que norus devons s oumet" e ' x 1. me' t dles faits. Déj, nous avons eu l'ocasioîl de considérer la consiLution des E/léments d'Euclide, et nous.avons recorDim qu'e>. dépit de la ratioenalité de la forrre, ils répo'nrdent. coinm e les Analvtiques d'Aristoteo eux-rmêmes, au type de;:e que C(omrte appelait uneuscitniIe naturelle. Dans l'une et da ans rae -s i -, u:ne place es[t fate aux iois physiques qui experiment; scii a clastI - si cation des caractres bioogrques, soi lt I '.iio des rapports spa tiaux:.es ine sont pas entièrement flndées dar; ls li s logiques el,.e dewmeurent présentes, et néces:; aire. me present - [ tes dasr leur si spéecificité irréduc'etibie, afi d'imp.i.me ui mou-. verident et ~11.- orientation an mécanisme ndi fférent de ia transfeo ation hoiqa? -Sr e 4elmet ce qul.tl i ctz t es créat te:sl l'équ'ilibrt har:'riemonieux du physique et du 0lo.gque, rsi it t.erpét. par les discipi.e da ns 1e isens d-r>e hormogénit.é coatpi&te. Lie sytiogisme dcvient ia mrétnode capable e d'engendrer t e soi la sciCence l.in mersele;, e a. '-. rgu'eur q' l eGno n tc dan s le, dé.il des détmostrations eu clidienu es, f t onclure a une sorte de déionstra6ton totale ou les n.oti — s cor.i 8ti-iY- ve-s t'd' savoir seraient, aussi bien que les principles c gulateurs du raiso.n6iem-ent, des éléments purrement ogiques -i< e.atir dns.s l'esprit -in pouvoir de creation absolue. Or un suremrblable idé4al suggéré par la for.,x des E/'.lCens,,t dépass ait naturetllement le degré de perfection quae. les EI:'te:m:es avaient atteint ue n effect; la probité scrupuaeus e de positia euclidienne T me'tait L d'aillÇaeurs en lumnière les points qui d'euxmmones s'offraient à a critique, ees axiomes po..uvaieit paratF.se tiustifi6s par leur écvidence intrinsèque, et ' co~m.te lte cordi'io-is cde activité.i..e tellectuelie; ies définiliowns pouvraiet>n tre u itri;oduites à titre de prodnits légitimes de la penstée gom striq.(J, Mais ' es-pottatsla' talent 'des affirmations.anaiogues par e iconet.ni aa' thé'orèmes, et sollicitant par conséqulent le riêmae efiorî, de demlonstratfo i. -De l 'iné1vitable reaction de I'idéal. s:ggére par EucEides'su la science m8me telle qu'Eucii5 e i'a c-ron,,.;,:ti-t, de l l'leprobl"ie auquel donnera lieu, en particulier, e pos,1,. t relatiff.:,a'ix 'para!illes. Si la gé0ométrie 'd'êue rtre, r6ptt l'art *de to'ut pri-e.Ivcer il est inadmissible que i'on demsade d'acrcoder ce qui'doit 'être conquel pia la. déaoer.nstratioi.. h t-,-ls sii'c,cesseeus dE...t.i,x xemple GemOus, s' rappuie.,nt sur!' au- - torité de Pat, a, t t ett.os t, ice cp n - t chasser:ds:. ge c ét:.ie-i"'.o;(ir,

Page  312 .31 '2 LES ÉTAPES D'E LA' PHILOSOPHIE MATIHMATIQUE ippel à la vraisemblance et à la probability 1. Et, dès le second siècle de l'ère chreien:ne, avec l'ouvrage de Ptolémée dont Proclus nous- a conserve une fort intéressante analyse, se manifeste un effort méthodique pour combler cette lacune capi-.tale de la demonstration euclidienne, et faire entrer le postulat d'Euclide dans le tissu des théorèmes. Le problème qui va se poser'nest donc pas de ceux où serait engagée, ainsi qu'on l'a cru quelquefois, la destinée de la science euclidienne. En réalité le débat est entre la géométrie, telle qu'elle est chez Euclide, et la géométrie telle qu'elle.devrait être suivant certain disciples plus logicieins que le maitre. Il est elair, en effet, que si la géométrie doit apparaître capable de rendre raison de {out, même de son propre point de départ, s'il faut n'introduire aucun totrne qui ne soit strictement réductible à des termes déjà définis, aucune proposition qui ne soit la conséquence logique de propositions dëjà déjmontrées, l'attribution aux. parallèles de propriétés quti n6.résultent pas de leur définition, sous quelque forme qu'elle soit donnée, est une proposition qu'il est nécessaire de vérifier, sous peine de faire peser le soupçon d'incertitude sur tout lecorps de doctrine qui est suspendu à cette proposition initiale. S lt1ise trouve, au contraire, que cette réduction intégrale est impossible en fait, sinon en droit, si, pour parler avec Pascal, ~( e qui passe la géométrie nous surpasse ~, alors Euclide a raison:-il fallait ~ s'arrêter quelque part ~, et, à l'aide des demandes euclidiennes ou par d'autres énoncés équivalents, placer en tête. de la science qquelques propositions qui marquent explicitemnent la connexionr entre la forme abstraite,du raisonnement et i'objet même auquel cette forme doit s'appliquer. Voilà, expdtriée en ses termes historiques, l'alternative que;l'histoire'avait à rancher Or il semble que la solution de lfhistoire ne laisse plaoe.aucun doute, à' aucune équivoque. La constitution des goém6tries7 -non euclidiennes a 'confirmé d'une façon definitive la conception proprement e~ euclidienne ~ de la géométrie: les propositions qu'Euclide a eu la sagesse d'admettre sans demonstrations s't, efftectivement, indémontrables. 1. o rs'O -tvo; ôp1OC àv T )3y-XYv si'?~p o' v çi. nôOopCV Tc>9v C îT](i èTCKt y Tma'jT'ç 'yed6vov pV àtvu mPoXsv T voOv oV' 'T avt; (vr.c.g sct 7v -:v X.)oytov cv iv ntp s.s, c~p8p.XoX(v. Proclus in Eucl. éd. Friedlein, 1873, p. 192. Le.passage de Proclus est traduit dans Vincent, Sur un point de l'histoire de la géométrie chez les Grecs et sur les principes philosophiques de cette science, 1857, p. 10. 2. Ibid., p. 362. Cf. Vincent, op. cit., p. 15-21, et Heath, The thirteen' Books of Suclid's Elements, t. I, 1908, p, 204 et suiv.

Page  313 LES PRÉCURSEURS DE SACCHERI 313 LES PRECURSEURS DE SACCHERI 186. - Les considérations précédentes, l'apparence de paradoxe qu'une terminologie confuse donne à leurs conclusions, font prévoir à travers quelles équivoques devait se dégager la véritabl Sporté.e des géométries non euclidiennes, de quelles illusions de.perspective les Lobatschewsky, les Bolyai, et leurs premiers commentateurs, ont pu etre les victimes, cornme il a dû arriver sôuvenit aux initiateurs ou aux contemporains d'une grande découverte..Lrsque l'oeuvre à laquelle Lobatschnwsky en particulier avait consacré sa vie, fut connue, et agrégée au domaine commun de la science, lorsqu'il fut admis qu'un système cohérent de propositions géométriques pouvait être développé dans lequeI la somme des angles d'un triangle rectiligne fût moindre que deux angles droits, cette découverte fut regardée naturellelement comme marquant une rupture avec le passé. La géométrie d'Euclide avait, jusque-là, semblé si profondément grave dans la nature de l'esprit humain, elle dessinait si nettement la.figure immuable des choses, qu'elle délimitait à l'avance l'horizon de la recherche scientifique; or, voici qu'une bifurcation apparaît brusquement à un détour de la route, et l'effort de l'investigation scientifique s'engage pour une autre destinée. La géométrie où la somme des angles d'un triangle est moindre que deux droits a été appelée, par celui-là même qui l'a constituée, gomnétrie imaginaire; 1a géométrie où la somme des angles du triangle est égale. à deux droits, la géométrie d'Euclide, est déchue du monopole séculaire qui lui avait été reconnu; elle prend place à côté de la géométrie de Lobatschewsky, et il semblait que par cette juxtaposition même, elle dût être rabaissée au niveau de celle-ci, qu'elle perdit sa valeur de réalité pour devenir, sinon ~ imaginaire ~, du moins hypothétique., Les'études historiques que devait provoquer le succès même:de la géométrie non euclidienne, conduisent ià presenter les choses sous un jour different. L'avènement de la. geométrie lobatschewskîenne est moins un point de départ qu'un point d'arrivée. Elle est le dénofiment de la crise ouverte dès l'antiquité et au cours de laquelle se sont lentement. laborées les notions qui.devaient présider à- la géométrie non euclidienne. Au cours de 'ce travail, un premier résultat fut acquis: on reconnut que laforme ous laquelle Euclide introduit le postulate

Page  314 31 4 LES ÉTAPES DE LA. PHTLOSOPHIE MhTEsMATIQiE ne correspond pas à un fait, unique et hors de: pair. Laor: t drio emploryée par Euclide peu-t étre rem.plaée p ar d -'at res i forTiles, capables de mettir davantage en lu mière les p.o.ri.tés carac-. téristiques des parailèles euclidiennes et de Iespace auquel elles se rapportent. A cet égard, les traits les plus signinlicatifs sont peut-être 'eux qu'on relève aux deux extrétité s de cette évolutiorn au.. sieèle av. J.-C., la definition des parallèles que Posidolnus. substitute à la definition d 'Euclide au xvnW siècle, la proposition que Wallis.inv. oque pouir lea drneirstraion du posatulat d'Euclide. -187. -Pour Posidonius, deux parallèles son- deux droites to-u jours équidistanles, -Et Proclus, qui n ous a. transr cM' ette d4finilion1, la defend en insistant sur le ~ 'paradoxe géoméitri, ue q'a signalé Gerninus: l'existence de droites: asyrmp-o"es à l'hyperbole ou à la conchoide. Puisqie deux lignes peuvent ne pas se rencon-. trer, sans pourtant être parallèles, la lia ison de it qr'Eucide a ntarlqurée pour les droites entre l'asymptoeie et le paral1élis iXe. n'est pas un rapport essentiel; la definition des parallèles doit' etre fondée sur un caractère positif, qui expliqu e l'impoertancer déc,1isive de la théorie dans le développxemen t de a gé,omiétrio, D'autre part, poursuivant l'effort nintineromfpu, grâce aux:coles de mathematiciens arabes, pour parvenir a la moénstration du postulat euclidien, Wallis dégage- comme une des conditions requises pour la rigueur de la démronstratiotn, ce letnme fondamental que pour toute figure il existe une figure semblable de grander r arbitraire 2. Wallis fait remarquer que le postulat IiI d'Enclide: Qu'il soil demandé de décrire 'n cercl e de centre quelconque, est un' cas particulier du théoreme gelexral de sirmilituot'B et il réclame le droit de présenter le théorètmne (conome une ~ notion commune,, fondée sur la ~ nature de la quantity. ~,: il est de l'esence de la quanftié, que toute figu-re soit, sans perdre la ^qualité spécifique de sa figure,: usceptible d'ê,tre augmentée ou diminuée, majorée, ou minorée comrme dira Delbeuf3. Ainsi, avec l'instinct d'un mathiématici.en de race., i, OpC. cZ, p. 176..2. ~ Pirsarmo tandem (ex prmsupposita ratiohum aintura tanquanm cognia et figurarum similium definitione), ut eommunem notionem, date cuicunque figure, similemr tlim cujuscunque magnitudinis possibilem esse. Hoc enim (propter qùantitates continuas in infinitum divisbiles,- pariter atque' n iainitum auQibi!es), videtur cx ipsa quantitatis.nattura:nuere; figuram sclicet quan-mlibet eontiit:a posse (reft2UEta âguroe specie) tam niani, tum augern in- infinitum. Lemonsitra o postulati quinti Euclidis (1663),: prop. VII, Oémeri, t. i;, Oxford, Î693, p. b76. 3. Proidgomènes philosophiques de la gomrîtrie et solutions des:pstial's, Litge,

Page  315 LE 'P SACCRER1 3 i. Wallis a mnis: en lu-ièe l car actèrre - ajp, rè. 1 crns Lc tion des géomtries no- e uciidi myCesc de:at ait en tenr gi la géom ie; euclidienne un priviglè, de e simplicity o.: q 'e[que-t~uns oat v un degré spérieunr de reti-'ixait ':M.ais; pour conférer à ceLte 'Tu intu V tive s'a ju.. tri...e ei dissipant tout. e illusion d'év ci'ene in "tel i: il failBit se rendre capable! oaneYoir ddfonéevi nts ty-ps~ possb esepaces entre lesquels la comparaisn pût 6tre:st e, s e se ',erminât au profit de l'espace euclidien;; il,lla:t 'préparer le. terrain, c,ù s'établiraient les géomdtriesï no..id..e..i. s... LE P. SA4G HPF SN 188. -- Telle fut i'ouyre, dcisRv, s u poit- dse vrue o f nous sommes placé, que Sr.&che.i accomfpit. Cr -. r, a1 eefm:len.e montré Vailati, ' Sc.i po.è,d,- og ci:E..;. p.. i..e.. d'une façon systématique a dîmo Busration. des, 'Kpncipes un raisonnement que l'on troupe.daà danis la th..o....e (e.acidie.ne des'nombres, et qui est ui:n elahbora.tio — s'abtie e a.r. édt i.ion a l'absurde. On y suppose fausse la proposition ' qei Io;' v eut établir, et l'on fait voir qu'ell e Se retrouver vraie'ds l'hypothèse mêrm'e qui en avait posé la fausseté. La mdéithoae.- rssm; 'dans lalogique formelle. Pour 'reprendre l'ex-emp.ple 61 gaat qaue Sac, cheri -donne de cette méthode dans sa Logitoa dcm on.rai va (1697), soient les deux propositions suivantes Tout A est B, Nul C n'ees A; de ces deux propositions, on ne peut rien tirer parce que dans, le syllogisme oiù le moyen terme. est sujet de a maje e.ere pet prédicat de la mineure, c'est-à-dire 'dans ie sy.logisme de la première figure, Ia mineure est troujoars affirnmative.. Or eite règle '1868 p. 132. Cf, Cournot, Essai sur les fn demsni de nas conS ces et sua les caaçtères de la critiquephilosophique, ~ 2Sa, Il, 18i. 5, i. n. n It ne faut que de médiocres Connaissances en géortri e nér&eataire, et. un peu de réflexion, pour se convaincre que l'r mserfectiotn d(e ia tho3iet des pEarailèles (pOtiur employer le mot co.nsacr) rtiet,. as ief:.-s d'cd.ne-tatre co.ffîe Iotâos:u nattre!leet primitive, la notion de tza siit. i.e o l'ide et q.nuene f igare é6tat. doannnée ôn peut toujours oen.maginer ae.a.aite..qi ne gi;d.'*^ de i', ù,X'.' primitive que parce.qu'on a chengt h e 'consructione.s b^le ' qu.e toutes'les lines de.ia figure ont crt - ob ducr~ iblo:ttionaefiemet' ~' f.$ru une classe remarquable ds raisone.ela r s in r..- o',triea ros.e. de métaphysique, — 9804, p, 799 et suiv, 2. lm&ents, iX, 12. EdB. iHeihber; gI, p. 3 et A.

Page  316 316 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE scolastiqrie, que dans le syllogisme de la première figure la mineure ne doit jamais, être negative, peut-elle être établie? I1l suffit de supposer que la règle est fausse; les deux propositions deviennent alors les prémisses d'un raisonnement, que nous appellerons, pour la commodity du discours, pseudo-syllogisme, et qui prendra la forme suivante: Tout A est B, Nul C n'est A, Donc nu C n'est B. -Si la règle à démontrer est niée, le type de ce pseudo-syllogisme devient légitime. Mais si le type est légitime, il est possible de construire un raisonnement oi., les deux prémrisses. tant vraies, la conclusion serait précisément la règle scolastique à laquelle le pseudo-syliogisme prétendait contredire. Voici, en effet, la connexion qu'obtient Saccheri. D'une part, les deux propositions évidentes: Tou syllogisme de lapremière figure ayant les deux premisses universelle. affirmatives est valide. Nul syllogisme de la prenmire figure ay-ant une mineure négative n'est un syllogisme e la preire figure agant les deux prémisses universelles affirmatives. D'autre part, la conclusion: Nul syllogisme de la premiere figure ayant l'une des deux prémisses negative n'esl valide. De deux choses lune, dira Saccheri. ~ Ou vous accordez, o.u vous niez la collusion. Si vous l'accordez, le but est atteint. Sinon, en-refusant la conclusion après avoir accordé les prémisses, vous avouez qu'i n'est pas légitime de tirer de deux pr6misses de cette forme la conclusion visée 1. ~ La démonstration est donc aussi rigoureuse qu'on peut la souhaiter; la vérité de la règle scolastique s'impose irrésistiblement à l'qsprit humain, parce que, comme la vérité du Cogito cartésien, elle s'affirme dans sa négation même. 189. - L'effort de Saccheri va être maintenant de transporter en géométrie le procédé qui a fait ses preuves pour la logique formelle. L'effort est destiny sans doute à échouer; mais en raison des difficultés qu'il rencontre, il se.6évèle d'une fècandité inattendùe. En effet, conformément à la marche que:.ous l'avons vu suivre dans sa Logica deductiva, Saccheri va constituer dee s typesde géométries où, le postulat d'Euclide éta'ait suppose faux, l'h'pothèse de la fausseté aurait pour conséquence de ramener à ce postulat, ou du moins à une proposition équivalente. i./Logica demonstrativa, p. 132, apud Vailati, art, cit., p. 05

Page  317 LE P. SACCHERI 317 La création de ces pseudo-géomtiries, parallèles aux pseudosyllogismes dont nous venons de parler, anticipe, en dépit des intentions de Saccheri, l'euvre des Lobatschewsky et des Riemann. Avec une pénetrafion tout à fait remarquable, il prend pour base la consideration du quadrilatère birectangle isoscèle AB CD ou mieux du quadrilatère trirectangle LMBD. Les angles L,M,B étant droits, D peut être droil (fig,, 11) (et c'est le postulat d'EuClide, sous la forme e- ) que déjà lui avait donnée au xm~I siècle le commentateur persan Nasr Eddin-al-Tusi 1) ou bien soit obtus soit aigu -deux hypotheses A M B dont il s'agit de suivre les consequences jus- Fig. 41. qu'à ce qu'y apparaisse une contradiction formelle: Vélimination de ces hypotheses apporterait alors une valeur apodictique a la thèse euclidienne. A l'épreuve, les deux hypotheses témoignent d'une dissymétrie curieuse. Saccheri croit pouvoir faire -la preuve que l'hypothèse de l'angle obtus est absolument contradictoire. I1 lui suffit-de quelques propositions pour démontrer que l'hypothèse conduit à' concevoir deux droites distinctes ayant deux points cQmmuns; ce qui la met, suivant Saccbheri, en contradiction avec une propriété essentielle de l'espace, elle qui, dans la Vulgate des Éléments, forme le postulat VI. Il y a donc clarté parfaite2. Au contraire, Saccheri ne parvient à devoiler de contradiction dans l'hypothèse de l'angle aigu qu'au prix de deductions laborieuses et donit il n'est pas lui-même entièrément satisfait; il réussit seulement a montrer que dans l'hypothèse de l'angle aigu, on arriverait à concevoir deux lignes qui ont une perpendiculaire commune et un point commun. Cela est, ajoute-t-il, contraire à la nature de làaligne.droite. Mais de cette assertion, qui conserve une forme métaphysique,, peut-on conclure à une contradiction formelle? Saccheri ne regarde pas son couvre comme la solution définitive du débat.. Il avait, semble-t-il, retardé autant qu'il était possible, la publication de son Euclides 1. Cf. Bonola (tr. LiebranE),,Die Nichteuklidische Geometrie, Leipzig, 1908, p. 13. 2. -Euclides ab omni næovovindicatis sivé Conatus geometricus quo:sabiliantur prima ipsoe universal geometrit- principia, Milan, 1733e prop., XIVÏ.p. 19.' Cf. Mansion, Annales da 'la Société scientifique de Bruxelles, t. XIV, 1889-1890, p. 35 et suiv. 3. Prop., XXXHII, p. 70. 4. IProp., XXXIX, Schol., p. 98.

Page  318 3 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE oPb xm ni n~ovo vindicisf, qpui ne parut qu'en 1732, à la veille de sa:mort., et trenlt-ci'nq ans. a-.pr&. P la Logica demonstrativa. Il i;vitie ses ' stcese'r3 s à8:....."rfto-:,era suivant la rméthode dont sa og',iie a'e tarsci le oi.dBale ' la reduction à l'absurde de i S:u,::.enc i:t 5ces l t aives s: destinées à é chouer fnalemre-i.n.:i'apd'pi.cation e la.é.. n: e se retiou. rrai S a contr e le dessein. uson prorot eur;' lli. po:i e,- dos -ut:.o ne peut démontrer qu'elle est conlrad tictoire, mnritera 'd:r 'tre retenue, au: dmême titre quae a thè.se e.c -idjenne,. Lobratsbehew&sky, conc:nilt.i êment avec B 'o'yai, a censttué', d'une faS on positive, cet-t}géemotrie non eucidienne dol-Si acher ri, e t aprs lui Lamlbert, avaient, soUi une former negative, dessin é l'avance les traits essentiels. LOBAT'SGHq-XiWStIY ET RIEMAÏ4 190. - Ren rn'eÙ t plus - caBir que la march des idées de Lobatsctewsky,1 tellte qqu'elle resort, par example; de la Pangeéoméetrie Id. i8. LatiJZt Jialto des, parallèles, dans la géomtrcier classieque, est i-u isante pour caractériser une;etle ligne droite;- et.,il ny a rien qui empreche d' tendre la notion de par llle àS dux.dro-,ker. qui- comprennent un faisceau de droites non sScantes: ~ Ét'Unt donne une droite et un point danis un plan, ce rira tob.fatse... e. j'. appelle parallèle à la droite donnée, >enéite'par le, pot't do9nnée Ca droè, it' l limté. î entre celles des.d-oites men.'es -dans~ ie:r:m:'e pan- par le Imême point et prolong ds'. a ('n cée d - ia pe e nS.dil.aSie aba.lsse d e ce point sur la d/,:LoiML dMx:iM.ée, qui i.t a couapenLt et ceos ui une la coupent pas2, ~ Les cns'aqu"cs. -' *ct. -! -'o ion pe uvent être déveIô,pi-,.......,4'B q c.onûtr-dic -,l apparaisse"; il y 'a donc une3géo)iéri iiffreln: de la gé.. triie:, o: rd: air'. Ce.te geéomé -trie estel v.r<Ie.? - Pour;ré..>. dr. à.... àla" ti'-4a, il. faut réfléchir aux con. liiti'osl 'qui nous oin, crmis d 'atribuer ta vérité a la propooitio (u o lie t peut voi':.:n marqte sppcifiquel de la geomnélrie clasisiqueG -, seom-' e' d-es a2.nge.s: d 'zun triangle recliligne est é,ale '- de-x' dMrI -o Ce — thSeorée se trouve d-montré par les s'a.ies ~.notions èondamenalles: c'est-.-'dir le s- seules données id i 6 denc rationnefle otlu iIti.ive ~; si s:.personne jusqu ' ps'et, n',n a masa e'n doeute la vériB est, 'i, it Lbatsehewskyy, 1. Pe'.:p' XXXIX, S'hiO,,, pÇ 99. 2. PanlJi; îrie,. orr récis de géiométrie fondue sur une théorie générale et rigo^ars oe des pralèr!es. (Colctio des i ravixS gomt riques. de Lobiat.scheswJrsy, 'VoL<if, pi 6 8>.

Page  319 LOBATSCrIs SKY ET -RIEMA.NN 319 ~ parce qu'on ne rencontre aucune contradiction, dans les coxséquences qu'on en a déduiltes; et que les resures directes des angles des triangles rectilignes s'accordent, dans les limites des erreur',s desv raeuses l>es plus::parfaites, avec ce théorème1. ~ A la prmira e coditon sditi atisfera égale t e ssment ls de geoméntrie o la so.nmea d4;s angles à'un triangle rectiligne est moindre -que dux drp oits; reste;donce 1 crlitère de I'ex p rience qui pourrai at, su'ivant Lobatschewsky, devenir décisif si l'on considérani dans l'espace des triangles dont les côtés soient très gramnds ' En atLetd.ans et di [point de vue logique, la géométrie euciidienne et la 6omnétrie nouvelle doivent être retenues toutes Md~sI;X Lobatschewsky abandonne la prmitère d noi xination de yeéomndr e 2 irw inagr ire, 'qui avait l'inconvénient de p-araltre aux yeux des.phi loophes reléguer dans le domaine des fictions la science aissante, en même temps que pour les nathématici.ens ele voquaitai' es probl6mes d'apparence inextricable auxquels ils se he[ient.-alors pour 'Pintroduction des quantités imaginaires..1 Siutlsitune à la -géométrie imaginaire la Pangéonmétrie, c'est-à-dire 'iidée d'une ~ théorie géométrique générale qui eompn.rerî la gtéomrétrie ordinaire comme cas particulier3 191.- La Pangéeomdtrie ne comporte pas de place pour tle.ystè6e o la some l e des angles du triangle rectiligne surpaserait Jdeux droits; Lo batichewsky t croitmême l'avoir exCSil par une d. monsratiotn formelle *. C'est que, conrformément cd'aillea lsti ce que pouvaieint faia e prévoir les recheriches S et$sa r qui en, jugeait la ré fiction pius ai.ée, t hypothèse de Pi goa ~t e' s d t 6i p&ut $ dlt u t ifficil t. r a, liser. L 'effort d'abstracio.n est tout autre, du nmoits pour le pgomnètre, puisqu'il dem:anîde de mettre en questio n.non pls une propriété; dater — rzi.aue et indrmnontrable des parallèles, mais l'existlece même de parallles. Il falut conrcevoir une surface plane oùi les droites pewuent avoi' deux points commu.ns, courne les arcs des grands cercli cs trac4is ss une surface sphérique; alor:-que l proposirtio. contraire, i toduit e (acom rme postulat déit' frIs Elém ents d'Ë Einc <. avait tojours pa ru ià 'abri de la contestation. Le mai roirô de Rdiemani, Uber.die tiypoihesen:wlche der Geoi-'fi/d., p. 617. M.'b67,3., 678.,i^S6d, p. 6t9..'; echer'ches géométriques sur la théorie des p'rallètles, proposition n~ 19, ti. Foie,8. 5, p. p. 5, Vide sutu 'a, 53.

Page  320 320 LES ETAPES DE LA: PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE metrie zu Grunde liegen (1854), montre coriment s'est accomplie la dissociation entre éléments jusque là indissolublement unis. Riemann part de notions, purement analytiques; il cherche à construire le concept le plus gdnéral de l'espace en determinant les diverses formes de relations m6étriques susceptihbes de s'établir entre des multiplicités d'éléments, et qui caractériseront chaque espèce de multiplicité. Ainsi on peut faire intervenir d'àabid le nombre des dimensions. Il s'agira de pousser plus loin la discrimination des types spatiaux: le procédé de Riemann consisted à considérer l'espace dans l'infiniment petit, au lieu de se donner d'un coup l'espace infinhi I1 prend pour base l'élment de distance linéaire, ~ qu'il suppose exprimable sous la forme ds = vydikd7xidxka.; de sorte que le problème de la constitution d'une géométrie métrique se pose alors dans les termes suivants: à quelle condition la mesure de distance demeuret-elle la même, quel que soit le jieu où elle s'opère? Pour le résoudre, Riemann introduit la notion de la courbure de l'espace -'notion originale sans doute, mais dont la constitution a été rendue possible par les travaux de Gauss sur la courbure propre des surfaces 2. En généralisant cette notion, en l'appliqualnt à l'espace, et en particulier à notre espace à trois dimensions, Riemann est en possession des relations métriques intrinsèques qui rendent possible le déplacement d'une figure sàns déforma. tion, qui satisfont à ce qu'lHelmholtz appellera plus tard l'axiome I. Klein. Conferences sur les Mathé,natiques (Chicago, 1893), tr. Laugel, 1g98, p. 86. 2. Disquisitiones generales circa superficies curvas, (1827). OEuvres, FI, 219 et suiv. Voici comment on peut, avec M.;Lechalas, préèsenter l'idée de la courburé propre: ~ Si, sut une surface, on limine une région par une courbe fermée quelconque et si, par le centered' raie sphere de rayon 1, on mène,.d^ parallèles aux normales ou dsperpendiculaires aux plans tangents à la surface aux divers points de la courbe,:la surface de la région découpée sur la sphère par l'ensemble de ces droites est Lpar rapport à la portion de surface comprise c l'intédieur de la courbe] ce que Gauss appelle la courbure intégrale de.la region Considérée. sur la surfhe doQnqée. Si maintenant celte région se resserre indéfiVpieqnt autour d'un point M, la limite vers laquelle tend cette courbure intégrale, limite indépendante de la loi suivant laquelle s'évanouit la region considérée, est la courbure de-la surface au point M, sa courbure totale, pour employer l'expression généralemeat adoptée. On sait que, parmi toutes les courbes tracées sur la surface;par le point M, il eneest deux, rectangulaires l'une à l'autre, dont les rayons'de courbure, dits principaux, sont l'un Imaxii).mumr et l'autre mininimum. Si donc; on considl'u em lé6meit de surface rectangulaire, ayant ses côtés parallèles aux directions principales, on voit que-la courbure totale est égale à l'inverse dul produit des detlX 'rayoas de courbure principaux. Suivant tque ces deux rayonss sont de rninc sens ou:de sens opposés, la courbure est positive ou -négative ~ La cqa.bur8 et la distance en géométrie générale, Revue de métapiysiqui,, 189 p. 195

Page  321 LES MTAGÉOMÉTRIES 32 i de libre mobiii', Or ces relations correspondent à un cadre pilus large que ie type euclidien de l'espace: dans la géométrie ueulidienne la courbure de l'espace est partout nulle, il suffit à existence d'une géométrie métrique que l'espace.ait ue courbure parbtou constant. Bi.emann c doncl,!: doe les ' imdtiplîit6s 'dont la courbure est; partout égale à zéro, pevenit être cons.idréres comme un cas particulier des multiplicités de courbure partout cotstaute' ~,. Dans ces spaces la seomme ldes matagies rl'ua tri-an gle rectiiiigne ne sera pas 6gale à de'ux dtrits;.mais elie est d6teerminée en fonction de lta. -urface porl tlout triangle qua!sdi elle l'est dans. un seul. Si la courFiure çonstunto est n gati' ve, la somme des angles du trangl, est plus petite que de1ux doit'. et l'on retroave ainsi, comme Beltrami 1'a fait voir., la géomlétrie dlont Lobatschewsky et Bolyai avaieant tudié 'es prtopri6tées. Si la courbure est. positive, la somme est plus gra ndue q iue ux droits; on obtlient une géométrie où les triangils jouiss.ent de propr4tés analogues aux triangles sphériques, où tes lign.es géodésiques eonit deux points communs,, cosame les arcs s des grand s circles sur une sphere, où 1 space etfin est illimité sans être infini.: et ce sera la géeomnétrie de Riemanr.. L ES. ME A.GEIOMTRIES 19, -- L'établissement de la géométrie riemauni:-:'~n, i acl.hve de remplir le programmed que al logiqul rigoureis d.ti S;icheri 1avait tr'acé. Du même coup, il fait évanouir le rve' qui.avait été celui de Sachchem et de tous leï. nuila-eid/er.d:; 's n ou enteln~. dons par' } c e'ux qui, )oussant plus loin qu'E.Iuc;id": I'.uSe de rédlicti.on logique, pr6tendaient irvendre traison ot de, t 'rme des principles de la géométriie. ii justifie définativcieen E.ucidet et, les Etucitens. Nous pouvons -mC~r e ajoutcr qu'i ju:.itiie une des. thè;ises essentielles du- kantis.me. M a. Mansioi, qui qdonsid:'re la géomi'tnrie non e-iclidieni: come uinc. r'fut-ation par le 1aiit de:la CzriiquL e ela raison e pure, remarqe pourtant qu'il est..atfir6é ài Kant de parl.r le langage du pur riemaameitiln: dans les P'ostulacis dc tld pej?ée emtiirique, Kan' t otii i observer qu'i n- y a auc.e cnrenirari'il. iori dains le: cr.nceptl i'uneh fi'( cUmpri.se. t Hrke. 2,sd ift. 1892, p 2^.8 3. r aigel, e1l8,. 2 't 2. ds.ai,'itù'.rp, etauinu, de!a j qé(e ri~ aoc. el '~iietne, it. sooi.,`:,.rl. tiHt's sc,itiiql.ii.q d u'' ~l },co!Ie,torrnmale 'lupériruWtO, l i, V!L. 869, p 2 ri est st r.T Ci'. hllitiUlK.i t, L't s t.:,i:dm.:: (le. O.;imt;lrie, elreui' esi'.niO; et ttsl.r 'si;f.Ia.')!s.sReve 1s c'i:i (f our:', i;l, '.icsi. t..i, C' f ux 'iem.r$l.}ri,,, i X '.1 T,,., Ip'Ol s"u',' iiev N6-. jeot.sji'.. [. a',-n lSi p 2'O 5 ~~.7,'}yC, V'i':.'~. -, S i k.,:,a.pt'g <2'

Page  322 322 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE entre deux lignes droites'. Il a donc nettement aperçu que la géom.étrie réclamait une addition à la pure logique. i1 est vrai pourtant que cet élément ajouté à la logique reçoit une déternination trop simple parce qu'il est enfermé dans les bornes de la géométrie euclidienne. La forme- d'intuition a priori est conçue sur ler-modèle de la catégorie logique, c'est-à-dire qu'elle est exclusive de la détermihation opposée. Tout en plaçant les principes de la géom.étrise en de hors du domaine de l'entendement pur, Kant les avait retenus sous l'empire de la contradiction. Çe qui était diffei'ent de l'espace euclidien, pour n'être pas contradictoire eni soi, n'en était pas moins contradictoire avec les formes nécessaires de la représentation, ~ incompossible ~ pour l'humanité. La Critique en arrive à cette conclusion singulière -que, tout entire fondé6e sur la distinction radicale des jugements analytiques et des jugements synthétiques, elle restituait aux jugemients synthétiques a pririo la caractéristique essentielle des jugements analytiques, à savoir que le.contraire en était inadmissible. Or, ce que la géométrie ndn euclidienne a ruiné, c'est l'assimilation qui subsiste chez Kant entre les formes d'intuition et les form'ns logiques. Le jeu de l'imagination constructive dont la théorie du schématisme avait révélé le mécanisme recouvre une liberté, une plasticity que Kant était loin d'avoir soupçonnées. Et en effet, du moment que le postulat des parallèles, où lis mathématiciens- avaient depuis l'antiquité reconnu le défaut de la cuirasse euclidienne, n'est pas le seul dont on puisse écarter la nécessité, il semble qu'il n'y ait plus de limite à l'audace de la critique non euclidienne. Chose curieuse, Renouvier prend acte de cettei4iberté illimitée pour réduire à l'absurde la géométrie non euclidienne: ~ La géométrie non euclidienne a sa raison d'être ou son prétexte détruits, dès qu'il paraît clair que le postulat des parallèles n'est ni plus ni moins démontrable - ou indémontrable - qued'autres propositions premières en dehors des'q.elles on lne peut asseoir aucune géométrie 2. ~ 193. - Mais il est bienl t6méraire de vouloir arrêter le mouvement de l'esprit humain, en se faisant contre, lui une arme de son succès même. La conclusion la plus logique ne serait-elle pas au contraire de n'admettre la nécessité intrinsèque d'aucune 1. A, 220. AKB, IV, 146. Ba, I; 280 et TP, 233.. 2. La philosophie de la règle et du compas, théorie logique dai jugement dmns ses rapports et ses applications aux id!es ygOomitriques ea à la mdthbode s giomètres, Anlée philosophique, 2' an (9née ), s1892, pi 22.

Page  323 LES MÉTAGÉOMETRIES 323 proposition premiere? On se fera une loi d'analyser tous les éléments dont se compose l'intuition spatiale, et de les soumetire à la même épreuve que l'idée des parallèles; on se demandera quels axiomes correspondent dans la géométrie Classiqule à chacun de ces éléments; et, excluant par l'hypothèse tel ou tel de ces axiomes, on étudiera le système de relations qu'il est possible de constituer encore dans cette hypothèseo C'est ainsi que, pour M. Gilbert, la géométrie générale, dont Lobatschewsky croyait avoir atteint le terme, que l'on a ensuite étendue à la considération des trois types d'espaces métriques, doit épuiser toutes les relations dont la géométrie a le devoir de donner ~ une description exacte et complete ~, relations ~ désignées par des mots tels que sont situés, entre, parallèles, congruent, continue ~. Les géométries non euclidiennes déjà constituées ne sont donc que des cas particuliers de la métagéométrie. Par exemple, pour prendre la tentative la plus audacieuse de M. Gilbert, on pourra écarter du groupe des axiomes fondamentaux l'axiome d'Archimède auquel M. Hilbert donne aussi le nom d'axiome de continuité: soit un segment linéaire AB et un segment AA, pris sur la même droite, A1 étant entre A et B, il est toujours possible d'obtenir par l'addition de segments égaux A., A, A3, etc. l'inégalité A An > AB. M. Hilbert conçoit un système numérique complexe (t), dont deux nombres 1 et t. tous deux > O, ~ jouissent de cette propriété qu'un multiple quelconque du premier sera plus petit que le second de ces nombres s ~, En faisant correspondre à ce système de nombres complexes des convention ~ relatives a la distribution des élé-ments ainsi qu'au déplacement des segments et des angles ~, on arrive à concevoir entre un segment t et un segment 1 une relation telle qu'on puisse faire ~ glisser le segment i bout à bout une infinite de fois sans jamais arriver à atteindre l'extrémité du segment t; or, cela est en contradiction avec l'axiome d'Archimède " ~, La dissociation pourrait difficilemen- être poussée plus loin. Il convient seulement de prendre garde à en apprécier exactement la portée. Il n'est pas sûr qte I'évocation idaale d'un sys1. Les principes fondamentaux de la géométrie, tr. Laugel, 1900, p. 24. 2. À l'égard de.cette denomination il n'est pas inutile de rappeler cette remarque importante de m. Veronese que, pour rendre complètement compte de la continuity géométrique, il faut' introduire encore un autre postulat, de la formte suivante ~ Tout segments même variable, continent un point distinct de ses extrxémités. ~ Les postulats de la géométrie dans!'enseignement-, Congré.s des mathérnaticiens, Paris, 1900, p. 449. 3. Tra4. Laugel p. 33. 4. 1bidW

Page  324 LES EiTAPES D:B L~A P.~.LOSUPIII MATHItMATIQUE -!,.ie spat ial que l'on dérive de la constitution articielle. d'un domai.e -algéèbrique, suffise pour apporter une s-.iut'ioî positl.{ie aix problnmes de. i philosophies; et les nmathématiciens ne:le pr6terndentassurément pas. M. Mansion, qui a. tait de fois invoqu6 coatre Kant l'autorité de Gauss, de Lobatselhewsky, de iemamn, refuse à la g6éomtrie non- archimédienne de i, Hilbtert la dé'iomination de gomnétrie:. ~ Supposer que les distances ne sont pj des grandeurs, c'est Supprimner la géo.m6trie. La die'fuilté que signale M. Mansion ne saurait être. ranch e par des-. eoni dratons plutenmen tecdhniquù~s. 'tm.e part, on voudrait demtander Tmx recherchcs deo la metagéomét. e de no iS rnsitrunre sur la nature de l'espace; d'autre part, pour savoir daas. qul. cas ces recherches denmeurent à l'intérieur du dormaine,de la gléornétrie et dans quel cas elles en sortent, itl fal déj% possé6doer me notion de l'espace. iMais ce qu'il est permis d'affirmer à titre défmitif, c'est le caraeLtère complexe de eette science euclidienne oÙ l'oni s'est plu,pendant. des. sêècles à voir le m odèle de l'honogénéité rai.. - xrelle. Eile unit en elle les deux'éléments d'ordre el die esure qe s Dscartes proposait con'mme objets à a mathi matique. Chacl de ces élémentts peut êtrte cultivé à part, et donner naesantce t des disciplines particuliAtres. S.ians que o.0is de-i oas sivre ici le développemnentl de ces is3'ip ines, il suefire pout notre objett de rappeler que, si av.ec Kantl. on s in:sLe sur l'U.inîit.ion or'gw.aec de l'esp<ace coUY'e îh::t.... b1I. la nw'tre spécifique de la.geo. i.trie l con' ent' "'le Ài' 'ne pace aux dereYuis Vypes de g1,é îtrie non mélriq;e i eaj&:mirie 'project ivet qui tconsidèére entre les segments spatiaux les liaisons de direction et d'intersection, "- qomu";ie de pcen onl A?ais W/aus (qi ne reLî.at que l'ordr de de distribution, l. exationr Ce tre D'autre parti. si avec fCoeD. on t l-las la réc1t ion det rei- alios spatiat tes aux reil. ions. s raies de t" ab,la arque de ia gnéralité dont la gé, omt 'ie esL:': ti. ) l:> JSli, tiJ e'v ie lenir compete u vaux types de:.ali v,u Cmtr~iq xe, tels que l t.hé'cie des (q i ev'irni: de,ana.ilXt. o' d e caicul de..t..n. d " Àas ]..4 t { i l: Sociéité seiet iiquS (e i..,> - s t XX3;,, p 200. Cf.t Pomt.ecSé,- Jouml'c, des 3~a;ant. s. I{73'3, '[,. 20i2-,,; '.a ~e éom i.s'i'ie 3.A2 euclkii'enne:ciit,;ipe(,<,,ii p,ir atahi. n i d:ire nct,!'t'-'. cit:,.c. ephi oi q.u ii ta it.5;;edu co.r~ t~im gnométlr, qai1. t> lot> r'" c:i,. (ojcp1iii,'-, icviU.qi O;...S[; ifarlan? Le'1î ite!s e? le' p'i'i'x^j i<. a; at,,',X;_.riqutew B.sbt(liothlque Ldi Uotl1i"r'i' iitfriiu "dle KUl 1i. h s t.'tttt't Pt hiiî îI. - i lt 100 j' 41. ta.,45 n

Page  325 LE PitOBLÈME' AU XVILL' SIÈCLF 5 Scït C. -L'analys~e e&t 1. LU OY~5 AU XVIle> SIE~cLI 114. — Et ce, qui concern. anie. ou c.ae, quli - e'erise la li écalniqule ratiaunriefe et la géomét-rie, -no-as ~1h aUex roir à, ÏOSu PesÎn amI de ru dure, eu tre, aepi t.nune. oU., comt iste, de; la s>ience,etacoî la ruîe.;r éc.1 la o s dvou Aous -attacherl Surtout F<c'l e t de e' xvinuîLe t,)efctacie est d'adfleurst~ de lu v- e. i que ~;~ 'e ~orur l -irt ie de la pci sée~ (1'n'v pae puise our <idé Phst' pueJ oi t i.''t —,tu îilie S'gt u' di~dêes ceeîde v-r& t l vi sfev 04. î muoir l (laste, d see s v-rnne sc'cres seuoeax Fr t b.s So e11 kv-tI e q1i L'~,eqi olnés4e r4<t t' t nixs la re etCph s foudemîïiet. de la. Jex I -'s m h vbt Ctd vï''.' 3èluSd&Ct de ils mii ho u- IU. aklaî it ah -iqu ix calcul îi1 t. i s ua s u olide ils êtîuu <udmin I15Çf ' ''I. f e laItn rI I, i knlLil tIl3~~ iiU(~ 1. a i)r~5tv3it-Pli * triqi, eturtationqui é;tait le ji pede, i,; Scieîî-lcertsv D'une. p-rt, Soi slltarité dIf- la. lutai>Ide lahâ 1-q ni nifes4h dris 1Uordrze obsh-,îxt pa-' lae-t eiv-r ~nun~nentpetit-s de teieki ouvesuOtIvxto 'ui Stration dan'1s lai dexirié i ~e A- dî u - aîttléra tiqrje,- r Livi e jOur l'u1sage siC lui Ï1.1pos d i ' cninuesu t.es fo iu.î C'est aiwîquEîeîouîdle<v'x tati ~ ~ente t uî fi.niciloil >, e st-àù-dîrc.,y ofei~.La ev-te. 4rs4iIlieles cueS sOnrt tehjes unie 1 -vvs ci_ cite stont) di11atiwe po r ae dé r11 ' i-1 ppe;~t n'~. ~-r- -'- direc e e i<U s qu - i h CI IC5i-til ~itU 4~ P Sj~îth - d 4 dev iflau~iu J d 'IC tec~pLîoîîd'44t'pier si. Y ol 4(-1 e~ke- -

Page  326 326 LES ETAPES DE. LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE débat ouvert par les-recherches de d'Alembert sur ~ la courbe que forme une corde tendue mise en vibration,. D'Alembert avait indiqué une solution ~ pour les cas où les différentes figures de la corde vibrante peuvent être renfermées dans une seule et même équation ~,. Daniel Bernoulli, d'autre, part, reprend l'examen synthétique de la question 2; il s'attache particulièrement à l'expression mathématique du ~ méiange de vibrations ~ auquel correspond le phénomène des sons harmoniques, et il aboutit à cette conclusion que ~ la courbe de la corde vibrante est toujours une frochoïde [ou sinusoïde] allongée, ou un composé de pareilles trochoïdes, quelques figures initiales que i'on ait données à la courbe 3 ~. Autrement dit ~ si au temps! les coordonnées (x, y-) des points de la corde [de Iongtteur X] vérifiènt, l'équation at 2- ia2' (u. constant). Bernoulli montra... que l'équation est satisfaite par des produits de sinus et de cosinus, ce qui l'amena à prendre comme intégrale générale la série y_ -- Iian cos- - bn sin nt s) n —. Pour t =-o, cette relation devait donner la position initiale de la code. Cette position était arbitraire: une fonction arbitraire pouvait donc être représentée par une série trigonométrique 4 ~ Mais cette conclusion ne pouvait manquer dé heurter les contemporains de Bernoulli: comment une série qui est une.D transcendante périodique, pourrait-,\.- ~-.- 1 _elle représenter des fonctions non périodiques? Aux yeux d'Euler, ~ la Fig. 12. solution tirée de la combinaison des trochoïdes ne saurait être regardée que co rnle trrs particulière' ~. La condition nécessaire pour qie l'on puisse comprendre une courbe dans une équation, c'est i: Mémoires de l'Académie de Berlin, 1750, p. 358. 2. Nérmoires de lAcadémie de Berlin, 1753, p. 148: ~ Une analyse abstraite, qu'o.n écooute sans aucun examen synthétique de la question proposée, est sujitte i nous surprendre plutôt qu'à nous éclairer. ~ 3. Iontucla, Histoire des mathématiques, t. II, 1802, p. 662. 4. Fouet, Leçons élémentaires sur la théorie.des fonctions analytiques, 2e édit., t, tI, 1910, p. 4.. Etuler, Mémtoires de l'Académie dûe Berlin, 1753, p. 201.

Page  327 LA CONTINUITÉ CHEZ PONCELET 327 ~ que la figure ADB (fig. 12) soit telle que sa continuation naturelle entraîne toutes les autres parties réitéré6es. ~ Or, la trochoïde de Bernoulli ne satisfait pas à cette condition: ~ Les différentes parties semblables de cette courbe ne sont liées entre elles par aucune loi de continuité, et ce n'est que par la description qu'elles sont jointes ensemble 1. ~ LA CONTINUITE CHEZ PONCILET 195. - Ainsi, et c'est tout ce que nbuS pouvons retenir du débat, les mathématiciens du xvim siècle ont eu le sentiment que, fondée sur la notion tout intuitive de la continuity', l'a:iayse risquait de demeurer inadéquate à la complexité des phénomènes naturels;' mais ils n'ont pas réussi à briser le cercle où ils étaient enfermés. Il y a plus; ct afin de saisir dans sa portée et dans son originaliié l'idée qui a transformé la physionomie de l'analyse, il convient de s'arrêter encore au stade de la continuité intuitive, et d'insister sur le parti que Poncelet a su en tirer pour l'extension des méthodes géométriques. L'épisode est inattendu dans l'histoire de la science. L'analyse, au commencement du XIXe siècle, apparaît constitute sur la base de la continuité spatiale. Par un mouvement tournant d'une audace extrnême, Poncelet va demander à l'analyse d'étendre et de'féconder la:science mnême de l'espace pour les cas particuliers où l'expérience spatiale de la continuité se dérobe; il emprunte a l'analyse la notion, de la continuité idéale, qu'il substitue à la discontinuité réelle de certaines images spatiales, et il proclame ainsi un certain axiome de continuity qui lui permet de reprendre la géométrie descriptive de Monge, et de l'élergir jusqu'à en faire une science presque toute nouvelle: la geomlétrie projectile. La definition et la genèse de cet axiome de continuité sont indiquées avec la plus grande netteté dans une lettre de Poncelet à 0. Terquem, du 23 novembre 1818: ( L'axiome jusqu'ici examiné n'est, au f nond, and le considère sous un certain point de vue, qu e le principe depermanence, ou conlinuité indéfinie des lois mathématiques des gsrandeurs variables par succession insensible, continuity qui, pour certains états d'un même système ne subsiste souvent que d'une manière purement abstraite et id ale 2. 1. Euler, Mémoires de l;ecadémie de Berlin, 1753, p. 217. 2. Applications d'analyse et de géométrie, t. II, 1864, p. 533.

Page  328 328 -LES ETAPES DE LA PUILOSOPITIE MATHEMATIQUE Ce principe est le fondement de l'AIlgêbre pure, fondement impleite, ajoute Poncelet, et ~ entièrement gratuity puisqu'il revient en léfinitive à admettre que les operations élémentaires de FAlgibre s'étendent immédiatement à tous les états, méme i,-a^:inaires, des lettres que ces opérations concernentl. Or, on sai. c(;ombien cette extension volontaire est jusqu'ici peu rdenmontrée, et qu'elle n'a de certitude que celle que lui a.inprimnée l'expérience de deux siècles de découvertes et de Lravaux mathmrnatiques ~. De là cette question générale: On se. demanded pouirquoi la géomtrie est si restreinte dans ses conceptions, et s'il ne serait pos possible, jusqu'à un- c~rtawi point, de la faire jouir des maimres avantages que 1lnalyse algébrique s., Pourl rr:mpiir:e ~;' programimte, pour atteindre à (: ce caractere d'extLenion et de g e ralité d)ont les rsuiltats de.a géométrie pure sonlt natureieileni t dépourvus ~;, Poncelet transporte 'application des ~ propriétés d'couvertes pour la figure primitive.. enon seulemnent aux états d'une figure donxt la corréi(lation av'ec la primitive est implement indirecte et par con.séqluent réelle, laencore à tous ceux où certaines parties de la figure so't. 'levenIes nue lle imginaires, iinfinies, en perdant ainsi ieur i stenice gométriquet individuelle, c'est-à-dire à: to.is les [':.tsJ qui n.'atuia.iolt plus conservé qut'une corrélatio iodiale s avec l'éitat 3primitif du système', A. isi on dAit, on conçoe.it que ~ le fa.isceai de psie droites parallèles, situées ou non. dans un min.e- plan a son point de coilcours placé a 'i m.li ~. Et (< pa. i;- m.ême raison, on dit, on coni.Oit, (ue la dsistace du poit-in d concourrs à`t un point quelconqr; e >Ittir darnns i'esace est in;finrie, et cette distance se resure évidemtnment sur uine autre parall.te 7. De même, si nous con.sidéiro.ns ie motuveminert 't une l igne droit6e qui Tcoupe tne coirbe qoielo rXiqe co..n.tic <. i pourra arrivaer... qdie deux.quelconques d'il re tcs point nliin teu>rs- 't'io, réels se rapprochent continuellemni et fnnissent par s;e cîlfoindre, en cessant par couscIciual,:t I etre' distincts: Is.eu di tanrc muiuuitlle se sera palor évanouie ct at ra perdu toulte i.icPi.teir lt gr. atitiii, ind.!sJct nniil e ae. our ainsi dire. tCo i idérctîons ph! lt:sop,.ilc.:ie s sei tchnjuces sia le plriîlip.e de conti,:ii; ars.da i: ois gé c'ilétiqt.te i.,: v cr i11 l 81Ti). Alpplication:s d>cl nat.i et d e 9eoCrfieii, p,3.0, I3 IObd., i!, o33. 3 Iid., I1, 5331. 4 d, 11., 31 $5 ~ dltai.:., c'e sI-a-dide i!ctie e et abstract;.:;Ttdl,.J; 'L. 6 lT;i,,!. ' 3.!..d. 1:1, 3{.7,

Page  329 -LA. CONTINUITÉ CHEZ PONCELET 2 3^9 existence g6om6trique. Pour lui conserver, malgré cela, une existence au moins idéale, et, par suite, pour rendre les deux points d'intersectio}n correspondants distincts dans la conception, comm-e ils 1l'a ient au.iparavant,:n dit et l'on conçoit qu'ils sontl, à.- une distance ptlus pelire que lou te ldis1ance donne'e, à. une distance infinimrenz:eile. e 3Supposons, en:in,. que par la contiluité du m1ime mou'ei rnmen ~ les deux points d'intersection que I'on considère en part -iculier, apr.s s'tre rapprochés à une distance infinimep:t pet.ite, percent tout I; coup e' s'imul:anément leur existence g'éomT é rite, parce que ta dro e s sera idtachée de la portion de cour'be correspondante; alors, pour leur conserver une existence de signe, au monl idéalle dans le 'iscotrs et-dans la conception, on dil que ce. duax points son1t devenus à la fois imafinaiîres, ai.ssi bien ('ie les dis!ianc, s qui Ies s6éparent de tout point i rel donn; e ainsi s'tabli lide du.ine continuity indéfini. dans la commlune.anlterscc tion des deutx lines s, De ces conceptions, Potc:le' 'ourni. t l assur:ément la preuve la plus parfaite, qui se pluisse concevoir, au point de rue pragmatique, puisqu il 3 rattache le développement régulier et systématique de ce qui est devenu la g oéenitrie moderne, Polartant, lorsqu.'il a communiqu ii i. Acad-.mie des sciences son M;lnoir sur i es pr/,,pr ié; jprojCectites des sections coniques, qtui contenait quelqutres -uns d.e ses pus beaux.résultats i] trouva I.ans le Raplporf del Cau, hly mune réser&ve res netle, et qui lui fut cruiellie, sur la porc du pri e ede n continizlé. ~< C principe, écrit Cauchy, n'esi, ' propr:ieiaen't par(ltcr, qu'une fo.te induction, à l'atde dt- laquellle on.tend des i héornir es établi' d'aboxrd a la faveur de certaines restr LOtion aux cas ou ces ramtêes ree s:frictions n'existenti. plus. f.El an t mpliq aux courses d second Uegré}, il a conduit autur ài des résultlat.s exacts NéIannIoius, siov.s peio;is qu'ii ne saurail'. t. 'te 'admis générnilemnent e'' al;tiqué-,ue indistincte'mentt à touted. s sorts dc questions en gromie trle, nt' mmne en analyse. En lui accordant rop cde colnfiance on poui.rrait tomber qtelqteiefois d1an1,s es erreurs manilkestes. ()n.su i,, par exemple, q e ictai la di. erumnaion des it,.;grales defîinie::, ct, par stu d le l' t. vacation des logueuirs, des suIrfrace et des t volulmesi, o.in iu:ontre uns grand niombre dei. iot-.:mul'es qu(i ne sontl vraiei; q-.'autant que le vale(' ers des quanQi[, qu'eiles recnfermetri; reste; comprises:j. e ntrte certai.niI.i:....i, ^7.

Page  330 330 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE LA CONTINUITÉ CHEZ CAUCHY 196. -I1 serait oiseux de prolonger la polémique lointaine que ces lignes ont soulevée; entire la géométrie projective et l'analyse, il n'est pas nécessaire C'opter. Du point de vue technique, les malentendus auxquels pouvaient donner lieu ou un énoncé trop bref du principe, ou une critique trop elliptique, sont faciles à dissiper: Poncelet, écrit M. Darboux, lui faisait du tort en se refusant à le, présenter. comme une simple consequence de i'anralyse; et Cauchy, d'autre part, -ne voulait pas reconnaitre que ses propres objections, applicable& sans doute à certaines figures transcendantes, demeuraient sans force dans les applications faites par I'auteur du Traité des propriétés projectiles >. Par les citations que nous avons faiteq on aperçoit que dtans la réalité Poncelet et Cauchy-n'avaient pas eté loin de satisaire à ce double desideratum. Mais il reste qu'à travers ieu; honmmes deux philosophies de la mathématique s'affrontent; ou d'une façon plus exacte, et pour nous plus instructive, à travers ces deux honImes le passage se laisse saisir de la'philosophie qui avait inspire la période classique des mathématiques à la philosophie de la période moderne. Dans la période classique, la continuity apparaît cormnie ta racine commune de l'analyse et de la géomntrie. La formule abstraite et la représentation concrète, associées grâce à elle, se fécondent par leurs connexions réciproques, se dépassent tour à tour l'une l'autre, jouent alternativement le rôl e de p.rteur ou d'emprunteur. Là géométrie ou la mécanique.avaient fourni à l'analyse ses principes; c'est sur le crédit de l'analyse que Poncelet dtendra les relations géométriques au delà des bornes de l'intuition. Au contraire, Cauchy-fonde la science moderne de l'analyse, en commençant par mettre en question l'évidence intuitier qui avait permis d'appuyer l'une sur l'autre la definition anaiytique de la fonction et la continuité de la courbe prise dans son ensemble. Par delà la généralisation géométrique de Poncelet, il récuse la généralisation algébrique qui avait inspire la formule et l'usage nouveau du principle de continuity. Il faut, écrit-il dans introductionon du Cours d'analyse. algébrique, s'imposer de ~ ne jamais recourir aux raisons tires de la généralitê de i. LÉtde sur le développement'des mlthodes géométriques, Bulletin des sciences mathématiques, 1904, p, 239.

Page  331 LA CONTINUITI CHEZ CAUCHY 33t l'algèbre. Les raisons de cette espèce, quoique assez cqmmunément admises, surtout dans le passage des series convergentes aux séries divergentes, et des quantités réelles aux expressions imaginaires, ~e peuvent être considérées, ce me semble, que comme des inductions propres à faire pressentir quelquefois la vérité, mais qui s'accordent peu avec i'exactitubde, (es sciences mathématiques. On doit même observer qu'elles tendenth àfaire attribuer aux formules algébriques une étendue indéfinie, tandis que dans la réalité la plupart de ces formules subsistent uniquement sous certaines conditions et pour certaines valeurs des quantités qu'elles renferment ~. 497. - Seulement il importe de ne ps fire r Cauchy plus spéculatif, plus ~ philosophe > qu'il n'a prétendu I'6tre; ce serait du même coup altérer la nature spécifique du progrès que nous cherchons à retracer. La réorganisation ntel letuelle de 'an - lyse, dont le logicien est tenté de faire un point d depart absolu, marque effectivement ici l'achèvement d'une ceuvreqye 'observation de la nature a provoquée, qu1'elle a rendue néce ssaire. )e même que la constitution par Newtorn et pal Leibniz du calcul infinitesimal couronne une série d'efforts poursuivis sur le terrain de la mécanique et de la gomnLtrie, de nixême la conception moderne de l'analyse est liée à des découvertes mathématiques que les problèmes de la physique avaient provoquées, et (qui apportaient une solution aux questions laissées en suspens par le xvimle siècle. La mise en équation des conditions de l propagation de la chaleur conduit Fourier à des formules analogues à celles qui régissent les vibrations des cordes vibrantes: ~ Les formules ne diffèrent que par la valeur d'une même indéterminée, qui est réelle dans un cas et imaginaire dans l'autre:. Fourier part de la remarque, due à Euler3, ~ que dans la série trigonométrique a, sinx -+- a, sin x -x... f(x>\ - f+ -o + b~ b cos x -~ 6- cos 2x-H. les coefficients se déterminent par les formules a,= —! f(xsinnxdx, b (x) cos nxdx. 7 (/ -- si n X - b 1L 1821. Introduction, p. il. 2. Note relative aux vibrations des surfaces élastiqu.es et au mouvement des ondes, 1818, O(uvres, éd..Darboux, t. II, 1890, p..261. 3. Cf. Sachse, Essai historiquea sur la representation d3unr function arbitraire

Page  332 332â LES ETAPES DE LA fP'tILOSOP~IE MATHÈEMATïQUE Il vit que cette determination reste encore applicable lorsque la fonction /[x) est donn6e tout à fait arbitra;rement; il substitute d'abord pour f(x) une fonction dite ~ discontinue ~ (l'ordonnée d'une ligne présentant un point de rupture pour certaines valeurs de l'abscisse x) et il obtint ainsi une série qui, effectivement, donnait toujours la valeur de la foncttion 1., > Une fonction qui ~ grapliquement ~ serait donnée d'une façon arbitraire 8 c'esth-dire dont la determination dans un certain intervalle de la variable n'entraînerait pas la determination dans un autre intervalle, serait représerntable par une série trigonométr;que. La généralité que Fourier donnait à sa proposition de vait être de la part de ses successeurs l objet d'un examen ttentif. En. particulier, Leje.:e-Dirichlet a posé le prob1ème sde fixer les conditions auxquelles la function devait satisfaire pour que l'on pût démontrer la convergence de la série qui la représente, convergence que Fourier' avait seulement suppose. Du m oi s Forieer a-t-i e's conscience d'avoir brise le cadre oh une iotioin trop étroit. de la contLinuité (elte qlue lon appeilera d sormais coîdiîité z ui Irienn aev'ait teinu l'anal se il a ~ formé ~ une méthode gén.érale qui a pour e élément principal.. l'express.i;so analytique des functions separées, ou des parties de function. Nous entendons par foenctios spare ou parties de fonci ï. 1ne fonction /(x) qui a des valeurs subsistantes lorsque la variable d'une seule variable par une série trigonmert iqse, t rad. franCaise, Belletia des sciences malthématiques, ]880, p. 47 t Riemann, lUebe die. Darsiellbarkeit ciner F:nctfion durch eine trigsonometische Bteihe (85), Werike, p. 232, tro Laugel, p. 231. 2. Sur cette lotion, il es intresat de repedure po u e rf cexion,.e d~ro, necker: ~~ La propriét: qu'oni les séries de Fourier de representer deïs foncti ons arbitraires a extraordi airemeit. frappé les maths mat:cincas Il conv cnt`' cependaut d'obser-yer. que c'cst seulernennt a8 s ens util;thmiquc. que P oi. doit entendre cettte 'totioi d:ar>itlaire; elie reste toujouiis piun 'snumïse à Vne r q'pe que la loi ta plus pre ise de la pratique, L'arbitraire co^isite n ceci que ours poo i is sioiIr d.ilttar(t{enlit pour ditrérenters valinr"s dte l fonction, la loi (dr parcours, qt'ii de iieu. e icondit.on.reil(e^li:nt pr.cciite à ia foriction. ~ Vorlesaunien iiber die Theorie der eriffachets ns.d der icftach e1n f[ategrale, publiées par Netlo, Leipzi-, 1894, p. 4. 3. Sars a cor vergence des series isriTonsor triquses, eqsi seruvent à rep. résete 'n,,e toItsiol srbitrai,'e entire le.s limsites do:n'.ies. journal 4l Cra lt, r. IX, Berlin, 1829, p. 157. Voit Fount, Leçons, éd fitde I, pil. 97. 4. n 'Il es[ nteessaire d'admettr ee dans I artIuyse des l'onctions qtui ont (ises valeurs g'-ales, toutes.es fois que t1i variable reçoit des vjleurs: quelconques copripsoses entre deux tiSite ns donnetanis qu'en sxbt:ltsusn[t 4a't (^e' de;., fe.;tctions, aet liem de la variable, 'un iombre comprise dans un aiUre i'. tro' s hl:. e,.sutais daes deux sulstitsttions ne soun p[ntoln le, mimes. {.,es ts(. r cs.i, qui jouissient de' cetIe pro(priri,i-it reprrî.entes' paxi' de tig'it d;.p:::reu-t; qui ue cCiic(derl'ti fue daJ.;. un t1or to., dOt\vmiruSR:e.^t ens. eourst îio;r: tune esSc.se d':îatn.>,,,!'a.'('.ss, t. I, 22e.. p

Page  333 LA CONTINSUIT CH(EZ CA.UCtY 333 est comprise entire des lmraites donrnees, et dont ta valeur est toujours nulle si la variable n'est pas comprise entree ces limits. Cette fonctilon esnure l'ordonnée d'une ligne qui comprend un arc fini d'une forme arbitraire, et se coonLnd avec l'axe des abscisses dais outl le reste (de son cours i ~. {98. - De ces conséquences pratiques, Cauchy dégagea in praobème théorique i il remarqua. dit M. Lebesgue? ~ quite ies difficultés qui ré su!tent des recherches de Fourier se preser.teit rirême lorsqu'on se s sert qae d'expressions très spiples, c'est-àdire que, suivant le pr océd employé pour donner iua function, elte apparait comrree tlconinue ou non. Cauchy citLe, c0mnme Bexemplei la flonction égale à - -x pour x positif. à -- x pouir négatif. Cette tfonction n'est pas continue, eile est ifrmée Ade parties des deux fcnr actions continues.-+- x et, -- e; elie apparaît au. conrtraire comme continue quand on la note: q t/1 ~, De'.là devait scertir la refonte de la notion de contiinL.ui A.u lieu d'être la p opriété d'une courbe ou d'une fonction, prise dans son ensemble; un attribut inherent à'un sujet rmailtmatiqrue. la continuity devient, une relation élémentaire, cqi servi ra d'iiustrulment pour I'étude d'une fonction < Soil f(x) une f nction de a variable x,i (-t strpposons q'ue, pour* chaque vaieurt e:c ilirfftdsl édia e ir e e e eux limits données, cette fon(ction audmctLe corsLa i mment une valour unique et fiije. Si, en partanl d'una val'eur de;. comprise en.lre ces i:.mites, on attribuJe k la va riable x ur. au cr<oi;:en-meni infi:iment. pet.iii a, le fonctioni eliel-mnXe recevra pour accrois;.c:neDt 1a m"iit::l:i e.C qui dépendra, eni mtndmletemps, de la nouvelle- variable a et de la va.evir de x;. Cela pose, la tfonctio f/x) isera, ei tre <es ideux limites assi:lgnre as l a voariabl e x? forti.on con, ltiu e d cet.te va'rible, si, pour~t chaque vi;alcu,: de x:.i.eiîcediamnr, e en.?.ees re titÉ es,!a valetur nm 'iqnie I de la différenc fk. ( >.-i+-) /.'...'(:) décoi:t ind innirmenltvrî ce X e ai ( id n o anlr's terne s, )la ]fo 'io. /) res.era c.:i:. aIre pat. rapport t l.. eilre es. limits doutes', i,', eire ces lmi te.s un acccroissement i.niniment petit,de la vt-abPle p~o.. l ou o'urs 'un accro i sscment tfinilnel, ft pe ti "t (.... e-, f' 88. 33%0. '2 t'.:r.,-;~r t'ii',s.rq..A:,n c t.. recherch # Pz:, ':,.o.cti.;,l's tr.mit,.ves,!tO4. p. ',..

Page  334 33-~4 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE de la fnctiont ele-mê.te. On dit encore que la fonction f(x) est,. dans le voisinage d'une valeur particulière attribute à la variable, function continue de cette -ariable, toutes les fois qu'elle est continue entre deux limites de x, même très rapprochées. qui renferment la valeur doing il s'agit1., ~ Ces définiti:ns ont une importance capitale. La notion de fonction cesse d'être,' au troins pour son usage analytique, subordonnéee à l'hypothSse de la continuité; elle recouvre techniquement toute la g6n6ér alité que théoriquement les mathématiciens lui avaient assignée déjà 2. D'autre part, unlefonction étant donnée, c'est un problème de décider si la continuity peut lui être attribuée, problème qui se résout grace à une tude positive du cours de la fonction et par rapport à des intervalles définis de la variable. Ainsi, suivant Cauchy ', a function ax es4t continue dans le voisinage de toute valeur finie attribute à la variable x; est continue seulement x entre les limits X~ x — -- o,.. O.êo et 2~ x — o, x — -- oo. L'AUTONOMI E DE I'ANALYSE.!99. - Que Cauchy ait renouvelé la conception philosophique de la continuity, il est facile de mettre ce point en évidence, si nous nous référons, selon notre p'rocédé habituel, à une comparaison de textes. En 18 17, Cournot écrivait: ~ C'est par une vuede la raison que l'idée de la continuité, et par suite l'idée de la grandeur cont -.le, sont saisies dans leur rigueur absolue. Ainsi nous conucevons enécessairement que la distance d'un corps mobile à.n- corps ent repos, ou celle de deux corps mobiles, ne peuvent varier qu'en passant par tots les états intermédiaires de grandeur,. en nombre ili'mité ou infini; et il en est de mnme i. cauchy, op. cit., p. 34. 2. ~Les,nnciens analystes comrprenaient, en général, sois la dénomination de founctioas d'une quantité, toutes les puissances de cette quantité. Dans la suite, on a éten.du le sens de ce mot, en. l'appliquant aux résultats des diverses opérations-a lgébriques: ainsi on a encore appelé fonction d'une ou de plusieurs quantités,' toute expression algébrique renfermant, d'une manière quelconque, des sommes. des produits, des quotients, des puissances et des ~ac~ines de ces quantités. Enfin de nouvelles idées, amenées par les progrès de l'analyse,-.ont donné lieu à la definition suivante des fonctions. Toute quantité dont la valeur' depend d'une ou de plusieurs autres quantités, est dite function de ces de.rnières, soit qu'on sache ou qu'on ignore par quelles operations il faut passer pour remonter de celles-ci à la premiere. ~ (Lacroix, Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, t. 1, 1810, p..) 3. Op. cit., p. 30.

Page  335 L'AUTONOMIE DE L'ANALYSE 33 ' du temps qui s'écoule pendant le passage des corps d'un lieu à un autre. ~ Eni 1874, dans son Mémoire sur les fonctions discontinues, M. Darboux fait la remarque suivante: <( l existe des fonctions discontinues qui jouissent d'une propriété que l'on regarde quelquefois comrne le caractère distinctif des fonctions continues, ctIe de nae pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires. ~ Ce sera pour prendre l'exemuple ie plus simple, ~ le cas de la fonction égaleà sin - pour x - o et à n'importe 'quelle valeur de l'intervalle (-1-, -- 1) pour xz0 )0~ il est incontestable que ce renouvellement de l'analyse apporte plus de precision dans le langage, plus de clarté dans les idées. Mais on voudrait savoir. davantage; on voudrait savoir s'il correspond à une pénétration plus profonde de la réalité mathématique, s'il trouve sa consecration dans. les faits. A cette (lqestion, qui pour le philosophe est la question capitale, l'évolution de la mathé6ratique depuis Cauchy, fournit les éléments d'une réponse significative. 200. -Tout d abord, il convient, en raison de son importance intrinsque, d'insister sur l'extension que- reçoit la notion de '?intégration,2 et sur la transformation dans la physionomie du calcul iifinitésimal qui en est la consequence. Avec Cauchy, l'intégrale définie, dont la représentation géométrique a provoquéi les premièires opérations d'intégration, recoit une d'finition analytiquie' elle est ( la sommre des valeurs ihfininent petitaes de l'expression différentielle place sous le signe f, qui correspondent:aux diverses v-aleurs de la variable renfermée entre les limSites don't il s.'agio,... Une semblable intégrale a une valeur unique et finie, toutes- l.s fois que les deux limi;tes de la variable étant des quanti:tés finies, la fonction Sous le signed de f demeure elle-mêYme finie et continue dans tout l'intervalle compris entre ces limites-". ~ Ce qui importe, c'est d'étendre la notion de l'intégrale définie hors du domaine de la continuité. Cauchy appelle intégrale définie singulière, une intégrale prise relativement à une ou à 1. De l'origine et des limites de la correspondence entre l'algèbre et la géométrie, 1847, p. 23. Cf. Essai, chap. xiii: de la Continuité, t. I, p. 390. 2. Annales scientifiques de l'É(elé normal supérieure, t IV,, p. 109. 3. Lebcesue, op, cit., p. 90. 4. Journal de l'Ecole polylechnique, t. XII, xix cahier, p. 571. OEuvres, 2 série, tL i, p. 333.

Page  336 3.26 LES ÉTAPE.S DE LA îBL, EoS O MA" THÉMATIQUE plusieurs variables entre des imitnes infiniment rapprochées dscertaines valeurs attribuées à coes mrnme s variable, savoir, d* valeurs infiniment grandes, ou de valeurs pour iesquetlls fo n ction-so le s ignc f dcvient infinie ou indktermini e:. Supposons, par exemple, qu'uane fornctÎion soil c'2oniinue dants un intervalle (a, b) sauC ern ui point; e, nous pouvons fo-rmear!s intégrales f- dx e et f(x) Si ces deux intéglraleys t'endent vers des }inliites détermiv'c.: quanrd h lend Vrers zéro, la sommn e de ces3 limits repré-seintw.: I'in tgrale j f(x)dx, ffA etits-ous poseron.s l'quation: ell,' dx-&~'-?1> —h 'b..,a.i ~(:,d.!.m' --. (x)dx.. O.) obtieid'ait 'i. nitigr'al;e prise daâi s L'ia-iervalle (a:, b). al.O'rs xrme qu'il. y a pluI.sieurs pointS dS isrfoilluilt, re divisant l'intervale (a, ) en inferva.les parties e te.. qu'il n'v ex.iit.c plus q:tutn4l point sing.ulier, et en appliquari., s'it 4es'it np.s>ii.;l,, l:,l t6thode pri',c édent.e. A.vec Rienmann, qui po'uvait puise, dans.'enseig'n'mc.I.,;le 'Lee.~l;une-DM icihlct, ce:, considerations, I a-DotionI. d'uaiig'rîile va recevoir une exitenr.sion plus grande encoire -: ~: ~ lmi4iann dit Mi. Lebesgune dont n.ous suivons ici l'e.lxpo,)si,, por.e sea t tei:.tion su:r le proceédd op-4.rat.oire qjui perm..et, dan s i:e (s.i'des fi:.i':cltins conrti. ueis, d{-. calicule: ]'i.intégrae avec telle a.i;p:roxi'.au'orl. - v[ue rt 'vet, et i dctmande dains. quets c.as c p oc(idés apl':).tiqml àh de; fonc.tioîi's dis.o.t.rlues., done uni:x noui:i)~bre d.1 te'rm;.n 2. > C]oisid,'Xro.ts m]no on action qui est étermine e.3t qui dijemiQe bottle dans un intervaie 'do.ané, e:ll' e a utne lmlite supl.,n.,urC.e ' tI, et unrie,lir it i ric tre..., i'ou pou:rr't.oi: doWlnc [ ar.la. p *e ]'in,.ervalle en uine: ée dt:'i' er'valiï:. pr. il.H (axx) ( b, <: ', '...,, 7..! t tl;afvr,-. se jie,... p u 7., r>. 2' et.p.. 3'3. À:.:.2., O,..'it p. 2:'

Page  337 L'AUTONOMIE DE L ANALYSE 337 Dans chaque intervalle la fonction a-une limite supérieure (L,, L,... Ln,) et une limite inférieure (l, l.,... n-). Nous obtiendrons donc les sommes: S,, — (x a) L, + (x - ) L( ^... + (b - n-I) Ln. sn- (.% — a) 4 — (x -— x) l+ +... - ( x,,- i )ln, NaouS formons ainsi les concepts d'une limited supérieure et d'une limited inférieure de la fonction de l'intervalle (a, b) - intégrale pacr excès et intégrale par défaut, suivant l'appellation de M. Darboux. Si ces deux limites ont mrnême valeur, la valeur commune des limites est aussi, par definition, la valeur de l'inl6grale. 201. - C'est ici que l'analyse retournera sur elle-même, pour produire le fait décisif: après' avoir fait sortir l'intégration des tbirn es où la;notion intuitive de la continuity l'avait tenue enfermée, elle va déceler dans cette notion une source d'illusion et de faunsseté. En effet, S'il existe des fonctions discontinues susceptibles d'intégration, il y a des fonetions continues n'ayant pas de ddrivées'1. Or, que la continuity de la fonction entrainât existence de la déri.vée, c'était une proposition fondamentale dans la conception intuitive du calcul infinitesimal. Par example, dans un fragment de son Cours à l'école polytechnique, Poinsot établissait l'existence de la dérivée de la 'façon suivante: ~ On pent même dire que le rapport de deux hoses homogenes ne dépendant ni' de leur nature, ni de leurs grandeiurs absolues, par la définition nmême duu rapport, la quantity ({y: Ax) a toujours une limite; et c'est ce que la considération d'une courbe et de sa tangente, dont l'existence n'est pas douteuse, fait voir d'ailleurs avec la dernière évidence2. ~ Bien plus, dans son mémoire de 1806 intitulé: Recherches sur quelquespcoin's de la théor;ie des fonctions déivées, etc., Ampère i. Darboux, op..cit., p. 58. ~ La tradition, dit M. Klein, nous apprend que plus tard. ienann lui-même indiquait a ses élèves 'le poi.it suivant; comme éitant le résultat le plus merveilleux die la critique moderne: l'existence de fonctions continues qui ne sont, en aucun point, susceptible de diff4renciation ~ in Biemann, a(uvres. mathédmatiqtes, tr:, Laugel, p. xxxmi. Voir le début de la note de Weierstrass.- Ueber corti:nuirlictle Iunktionen eines reeilen Arguments, die fur keinneni Werth des letzeren einen bestimmten Differentialqzotienten besitzen (1872). Verke, t. l-1, Berlin, 1895, p. 70. 2. Des principes fondamentaux e' des règles générales du calcul différentiel. Correspondance sur 'EÉcole polytechnique, t. III, n~ 2, mai 1815 p. 115, citée par M. MPasion, Résumé du.Cours d'analyse infinitésimale, p. 291. BR.NSitViî.t CG. Les étapes. 22

Page  338 L3ES ÉTAPES DE LA PHILOSOPIIE MATHEMATIQUE s' tait fiatti de démontrer que la function de x el de i ~ n;e peut. develir -n nulle ni infinie pour toutes les valeu.rs de x, ]lorsqcu'oln fait 1-i,. Et l'on trouv a1 e dans ie Trailé d'Aglbre de Josephi Bertrand et Henri Garcet les lignes suivantes, qui sont emprutlit.ées àa l'édition de 1878:. ~ On peut demaAder si une lone 1ion 'continue quelconque a une dérivée. i Nous réporndrons d'abord qu'en fait nosus alnlns trouver, dans le: paragraph.es.suivants, les dérivées des principles fonctions; ce qui dérnontr era leur existence a posteriori, Nous ajouterors d'"ailleurs que e aI foncti;on étant continue, l'équation: g /(. fx), représente une,courbe plane continue, rapportée i deux axes rectangulaires; et l'on démontre, en géométrie analytique, que la dérivée représente la tangente trigonométriqiue de l'angle que fait avec l'axe Ox la tangente à la courbe au point (:, y). Come en chaque point une courbe continue a une tangente bien d[termnin-e, la fonction admet une dérivée,. Mais, dis.87, WXeierstrass avait communique à l'Acad6mie des sciences de Berlin, l'exemple d'une fonction continue qui n'a pas de dtérivée pour l'ensemble des valeurs' de la variable comprises dans un certain intervalle. La folnction don[t il s'agit estl reIprésent(ée par la s6érie coF.stx *4 — b cos a r:; -!- 2 os a x -h b' cos ca '. x. - -... où x; est ine variable réelle, a un nombre enter impair plis grand que't, b' um'ne constante positive inférieure a l'uuité. En d'autres;lermes, Vo a F(x):).' I, h2cos (a". x). L4:a s'ie converge uniforrmmerri (e'est,:al-dire quei qu.sboii Io rd;re d(- ses lter mes); car ses tennes ne surpas..ent-pas ce:u de la )rog 'rssio. iE by; F: x est une foncrtion cont inuea 3. ~( Si l'on a ab <., F (x) a pour' dérivée la sir'ie F'x — = _.'. (a,)'!^ ~si nia. x).2 Ma is 1i i: surpasse. -.t -., F.(;'z) n'a pins Dte déritv;:ée. En e let. i. Jou..it (..(', 't;c e ipoiy cblnique. X']l" ca' i,. p } 4. 2. 2' pari......i. 3. f,':'tit, 1.c,.'?s, 2 Ct;14-.,. T }907, p.; r 10) et t., H 1 t0.., [_

Page  339 L'JTAUTONOMIE DE L'ANALYS-E i9 l'existence d'une d4rivée:exigeraiL que la fraction h I - restat inflrieure ' a àpotr to(utes le val eur':. t! < O, s étl,ant arbitraire et 8 tn notice d éterlmi é. Or des ira sior s[tioîAs assez simple montt'enl qiiue, dans lef cas con.idr:'', 1Ihypothl-e ih! < en traîne a> - — ~ (ab)"'.', C'est-à-dire que, la valeur absolue de h tendant vers z.éo, l'entier ni a.ugmente indlliirnent, et A. avec lui; la fonctioi Ft(-) n'a pas de dérivée, quel que soit x. 2 La découverte de Weierstrass a la valeur d'un experleenelum crucis. Elle consacre l'avénemrent de l analyse cornwe cdi.scipline indépendante des tfrmnes de l'intuition spatiale ou e. l'observation des faits gDn'raux de la ai lre, 1n3 revendiquanlt son autlonomii.e que pour accrottre la rigtaeur de ss e s mthodes uivarn i'exigence;'lte iles recherches londailneitales d.'Abel stur la 'tonverge'ncet des series entières avaient impose en qu(tilqu' sorte aux matchématiciens dLu xixe siècle. Ainsi -la conclusion laquelle conduit vo ( l'voltie d l'analyse com-plèe la conclusion que nous avait lournii o 'e(xamien des conceptions lmécaniques et des méthode:' s gOoiutriques, Tand3is que celles —c percent ia silmp.licitté apparentC e t e)thom(gnit sur lesquelles crticismne iet posiliviismie avaient- fait fiond, l'analyse et nreptrend pour sot propre compte la revision de( ses. principles, et el1(.l alboutilt à dépasser la sphere des vues itmmrdiatement sugér;,érres part lts applications. Suivant le mot. profond de Lejeune )iicahlet, sa tendance est de sutbstituer les Aidées au calcut 1. En suivant;, aussi pres que possible des texte,:s j'iginaiu, le imouvcime-t de la nmathéna'tique modi.lrne. nouts inous sormnles conai;.incu qu'il a ses racines lans la réalité des ftaits. L'orien$ ai ion àt [ anlle il correstpon))d s'est imposéet aun \'éow.,i'e:. ei. aux analystes pesque cu déii)it (,l'ux-ml-mes, eni li:,iE. dte la iraI. Ft'oui,. Le'ons, * é édit, '. 1, 1(7, p, ',0. 2: i;. V W cui ir?. \',i,r,; cit'., W eir'e. 1i, 7i, r4d',,il hp'm 5tri.ci, i P ic, i t.ci, p. 249 3. A,!: c.i. c c i, ci sa., h ' W'er!e, t. I, |hii, -, p. 'i; ', c 'ti phr c li,;i L'.^'Wf^i ~ h, H~i K'O'If, p.; 2^!8, n' 1,

Page  340 3 4O LES ÉÎTAPES DE LA PHILOSO4PHE MATHREMATIQUE 4.ition séculaire qu'ils avaient tend nce prendre pour intuition inimmdiate. Les résultats de ce d6velopperment ne peuvent manquer d'avoir leur répercussi. on sur la )phios2lophie des mathématiques. Ils la mettent en face de. ruptures dé,isiLves à lintérieur d'idées autrefois impliquées les unes danes as aut res, de diss catidons d6finitives qui lne operetten pluss de s'en tenir aax categories simple, qui rejettent dlans le passe la' doctrine mathématique de, lae Citique de la RtYaiso putt'e, o.u-C du o de philosophie positive... Su"s l'?impùication et la dissoiatt-iS;. des'notions, commlrnication au Congrès dr.Heid.eelerg, Revne de métaphysique, 1908, p, 757, et Bericht, p. 463.

Page  341 LIVRE- V LE'VO UTION DE L'ARITHM;TISME.5. -- En retraçant les différentes étapes que la pensée antique a parcourues,.:unous avons assisted à la formation de trois êdifices logiques qui ont attest par leur persistance:sculaire la solidit6é de leur structure: l du nombogique d ombre gque s classes, logique des relations spatiales. Sur la logique du nombre s'est établie la speculation. arithmdé.tico-géométrique des Pythagoriciens, qui fut compromise par la découverte des irrat.ionnelles, La logique des classes, calquée de près sur l'analyse des formes grammaticales et confirmée par le succès des premières classifications naturelles, fut interprétée comme une logique ggénérale, qui planait au-elessus des sciences particulières et -pr îsidait à toutes les operations de l'esprit Isramair. La-logique d'Euclide et d.'A 4Ih^iLde, où l'iftisition spatiale était 'u.tilisée.pour la constitti'oa des d6i nations initiales eiM pour la mise eni forme (des axiorres et des postulats, es-t celle dont lès math6matti.cens modernes reçurent l'héritage, dont ils cherchbrent. a -pprofondir Les prin-cipes; en" les épurant et en les étendan' tOut à la- fois. Du Discour7:&s- lia Mithode au Cours de philosoph'ie posiivée nous avons suivi les vicissitudes de cette logique, Nouo avons montré comMept elle avait survéuo. aux tentative provoquées par la décot.veie du calcul infinitésinma en vue de constituer une logique de l an'alyse mathatmaique, qui ft indépendante, de l'intuition spatiale, de l'expérience de la eontmiité.e, Uespac, de. euru e a.vec Kant -e:tIeédiateulr; néces saire, avec Cmte. n 'm diateur priv-légi,é. por la conne xion detsrapot abstraites:: i -onstituelnt la science et des faits empiriques qui. conslite.it la réaiat1é.

Page  342 342 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE Or les progrès de, la science positive ont renversé c.e qui était l'une des bases de la philosophie critique et du positivisrme la géométrie n'est pas la science d'un espace unique qui serait unécessairement le irceptacle des phénomnines; l'analyse mathématique a un objet qui ne:se subordonne pas aux lois (le la representation spatiale; le mathématicien ne se confond plus avec le g éomètre; Ia logiquie de l'espace ne suffit pas à porter le poids de la science. I1 (était naturel dé's lors que la philosophic mathréatiqle se rejetâit sur les positions que la pensce moderne avait abandonnées en croyan-t les avoir dépassées pour toujours, lqe la logique du nom'bre oula logique des classes fussent invoquées à nouveau pour sou.tenir l'édifice de la mathématique. De là un spectacle paradoxal: les doctrines de philosophie rnathématilqe qui, de nos jours, sont le plus fortement constitutes, se préseîtenit comnime des. restaurations ou: des renaissances des,nmétaphysiques antiques: fléo-pythafo;isme ou; iéo-aCrisoteélisme. Notus ne croyons pas que.'antiquité de cette origin suffise à créere un préjugé contre tes doctrines que nous avons maintenant à examiner; elle serait au contraire de nature h mettre en lumière la permanence des inoioîns fondamentales sur l}squelles ces doctrines s'appuient. Renouvier o1u Mray justifient rEtrospectivement t P-yl gore, et inversemeln ils sont justified par tlui. Dc même. lree,: e' M. Russell justifieront rétrospectivemenft, Aristote, et ils seront justifies par lui. I1 n'en est pas moins important d'avoir bien corn pris la genèise, etl d'avoir retenu la date de naissance, des notions phi:losophiques auxqueltle ssc rf'frent l ari1hméismee moderne ou la logistique conltem;poraine. Ces doctrines ont institué des rapprochemenet;s s&.isantts ntreI. certaines thiéories nouveles dans la science, t ltles (que I'., zitiïnisatio:. de l.'analyse ou la théoJer'e (des ensemble,, et ter7tains principes consacrés dans la philosophie ancienne. Mais il pourra se faire qu'elles aient rencontré des dlii'icu'_n6.é. dans l'eIxt ension et dans 1'applicat.ion de (es principle iis 11 lpourra mimnle arrivelr que. ces diftficultls soiente cd.lles-là mê, auxquellies le dogmatisme aritmEtiste des pyt.aoriciens ou le i-'dalisme ontologique. e la scolastique aris-torté6l[cienne s-'étaient djàIt hleurtés. Danls ce cas, il nous sera plus facile de faire le dé6pati t centre les difficultés qui sont e.ffectivtementl sjo.evées ptar la et il i la sii eiience act.iueile, et el.les qu.'or a ridi ts dans a ruéinirdus (in i 1ati:on lodeli'n parce flu'or?; c u l'i npud.l eu. e dt repuc lre l' I.s postulaIs; du: realisme antique. oiis:(inImes don.ic aiverltis lorsque MCl'ay iablit

Page  343 L'ÉVOLUTION DE L'ARITHMÉTISME 343 entre le calcul des nombres entiers et le calcul des nombres irrationnels une séparation radicale qui fait de l'un une science veritable, de l'autre une combinaison de symboles fictifs; lorsque le finitisme d'un Renouvier ou d'un Evellin renouvelle contre l'interprétation positive des mathématiques modernes toutes les subtilités et tous les paradoxes d'un Zénon d'Elée; ou encore, lorsque la combinatoire abstruse et profonde d'un Frege viendra échouer devant l'impossibilité de constituer une classe avec la totalité des classes, lorsque la di alectique d'un Russell aura pour résultat de réveiller Epiménide d'un sommeil qu'on pouvait croire éternel, et de lui faire débiter a nouveau le sorite du menteur, il y aura lieu de demander si les ermbarras inextricables auxquels ils s'exposeat sont objectivement liés aux conquêtes de la science moderne, ou si ce n'est pas u~e nécessite logique, dont on peut déjà retrouver les traces dans l'histoire, qui fait surgir à nouveau les consequences inhérent,.es à la métaphysique de l'antiquit. Et l'avertissement aurait d'autant plus de portée qu'il atteindrait, ern même temps que les disciples attardés de Pythagore ou d'Aristote, ceux de leurs adversaires qui ont accept de discuter les problèmes dans les termes où pythagoriciens et aristotéliieéns les posaient, qui, se soumettant à l'alternative d'où les écoles du moyen âge n'ont pu s'échapper, se sont crus tens de répoXndre au dogmatisme et au réalisme par le nomiirnaisme el par le scepticisme.

Page  344 CHAPITRE XV LE DOGMATISME DU NOMBRE 03, — 'Une théorie de la mathématique qui prend pour base l'idée du niombre entier positif peut avoir la prétention légitime de ch.asser des principes de la science toute obscurité et-toute inceritude. Rie"n, en-effet, ne répond mieux à l'idéal de.la noti-on claire et distincte, de l'élément intellectuel simple: ~:JUn n-ombre,.dit: C:oûi:nùt,:est une colection oairn group d'unités, décomposable en-' d'utres groupes, ou susceptible d'être formné de diverses maniéères par la réunion d'autres groupes; De là les idées de' l'addition et de- ta soustraction des nombres, idées si simples qu'il suffit de les indiquer: de là ces jugements dont quelques-uns servent de citations proverbiales, et qui consistent à reconnaître l'identité des- mêmes nombres obtenus de diverses manières, par l'addition ou la soustraction de nombres différents't. ~ Cette remarque de Cournot est conforme à ce qu'on pourrait appeler le sens commun des mathématiciens; nous en retrouverions l'expression chez les: mathématiciens les plus soucieux de pousser à -sa perfection la rigueur logique de la science ~ nous entendons clairement, dit G. Robin, ce que veut dire computer ou dénombrer.- des objets distincts2. ~ Dans une communication récente Sur les fondements arithmétiques de la théorie des fonctions d'après Weierstrass, Mittag-Leffler énonce une conviction du même ordre: ~ Il me semble que le point de départ des mathmat-iques comme, en effet, de toute pensée, c'est la notion de. nombre enlier et que, par conséquent, toute tentative de donner une définition au nombre entier par d'autres notions 1. De l'origine, etc., p. 3. 2. Théorie nouvelle des fonctions exclusivement fondée sur V'idée-de nombre, 1903, p. 2. Cf. Poincaré; Science:et mréthode, 1908, p. 1:4 ~- On n'a.pas à définir le nombre entier.,

Page  345 'LA ~ LOI DE NOMBISiRE )) 3 considér6es alors comme étant anti eures, e si. - regarder comme vaine1., De cette transparence de l'idée résulte l'impossibilht i de i ettr en doute l'existence des nombres entiers positifs et des relations dont ces nombres sont. les Itermes. Le langage de 'Mb'-!olk danfs sa Thèse est trop laractéristique pour ne pas atre reproduit ici: ~.L'arithmétique et l'algèbre ont... un domaine bien défini; les nombres entiers positifs, les systèlmes de nombres euti rs représentés par 'des fonctions entir es- - coefficient c.s nt:iers, positifs, y sont considérés comme existant, cormme le mouvement. en cinématiqu e et 1a matière danrs es sci e,,.ce s natéurelies,.'~> Le lien de l'intelligible et du réel' paraît, dans-. kaFtion de nombre, si évident que l'on est tenté de chercher dans le nombre entier positif la mesure, et l'uniqu e measure, de la réalité. Le pas a été franchi par le-math6maticien qui a réorganisé la mathématique abstraite,.enw la. ren indn pendante de l'ntuition géométrique, par Cauchy. LA ~ LOI DE NOMBRE.~ 204. — En 1833, dans ses leçons de: Turi: qui ont été conservées- par t'abbé Moigno, n voit que Cauchy reprend une remarque d Gai, d o, nt naml avons retrov unvé i cho dans la- Goméetrie de l,'infni de Fontehelle; il compare Ia suite des nombres entiers positifs:et la suite de e rrs as. ~ Si la suite des iombres enters pouvxait étre Supposése ctueillement pro-!ongde 'à lrinfnfi, les ternes career s y seraient t tris grande minority 8. -~ La suite des nom. bres enters. est donc plus raùfdeque. la suite des "nombres ca'r'is.'et tpo'iur tant les deurx sulte doivent être-:'finies, puisque tous les' fombrt e ts enirs onrt un -carré. Dé 'àI G:ile s'dtait born.- àtirer cette conclf o.in touted négative que ~ lèsa attributs d'éeal, de phls Rg-a- ou de, plus petil, ne conviennenit pas a ilxnfinis don't on. e pfeuu paas dire que l'un soit, par rapport à l'autre, ou plus gratd. 'o. plàs petit ou égal. ~a Mais Cauchy conclut à une contradicttion;i da.ns la 1. Compte rendu..dt- Congrrès des mathématiciens tenu à Stockho:m, 22-25 septembre 1009, Leipzig et Beirlin,. i10, p. 13. 2. M1olk, Sur la notion: de divisibilitd 'e. sur la thdorie. géaéi$te de5i' l"daittiat,; Acta mathematica,-t. V, 1885,- p. 3. 3S. ept'leçons de physique générie, 1868, troisième le0on, p.-24. C Couturat, De l'infini mathématique,: 896, p. 480. 4. Discorsi e Demostriazioni (1638).. Pemière journée, F}; nationatt vnri, 1898, p. 78.

Page  346 34 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉIMATIQUE conception d'une suite infinie de nombres, et il confère à cette conclusion une portée. positive et métaphysique: ~ On ne saurait admettre la supposition d'un n1ombre ilnfini d'êtres, ou. d'objets c.exisitants, sans tomber dans des conlradietions manifestes., C'est-à-dire que les lois relatives au calcul 1 des nombres entiers positifs conviennent nécessairement aux choses données dans!a nature, par exemple aux étoiles, qu'elles peuvent servir à en déterminer a priori les caractères, ce qui est en contradiction avec l'arithmétique des nombres finis, devant être considéré comme contradictoire,en soi. Une telle conception introduit danis des raisonnements de forme arithnmétiique des postulats im plicites qui d6bordent le cadre de la science dont Cauchy parait invoquer l'aut'orité; elle se réfère, par conséquent, à une théorie de la connaissance, qu'il appartient au philosophe de dégager. En 18.4, dans son Prentie' Eissai de Cr itique géendrale Renouvier a présenté cette thléorie sous une forme systématique; il l'a développée depuis, avec une patience. avec une passion inlassables; nous lui emprunterons les traits essentiels de ce qui constitue la philosophie aritlhr étiste. '205. - Renouvier définit la connaissance par la liaison de deux fonctions qui ne peuvent se développer que corrélativenrent et parnallèlement l'une à. l'autre: la fonction du J'epirésenlatif (fonction subjective dans le langage ordin aired, fonction objective dans la terminologie de Renouvier); la fonrction du ieprésenté functionn objective dans le langage ordinaire, fonction subjective dans la terminnologie de Renouvier). ~ Nulle représen;ation n'est sans un représenté de la mime reé'alité qu'elle, quoique irreprésentable et par conséquilent inconniaissable eni dehors (le Loute representation'. ~ L'intelligibilité intrrinsèque ne ss.:t-it donc pas pour conférer ài la science une vaileur de vérité; il faut y joindre un objet concrete. La condi[ion de la connaissance est la connexion et la réciprocité de la pensée pure et de l'inltuition empirique: ~. Les données des sciences mathématiques sont. à la fois représentiéesi a piori, vriiGables et 'vé?riées a posfcriorlii. >~ La nècessilt de cette correspondence apporte une précision. silngulière la tahèiehS( généraele dru relativisme; la relation fondar.lentael qui penrmet d'appu.yc le cours de la pensée sur une, PLssai: Ce rii.quic,;réralc, premilrl' essai. Trait de tIoyiqut tc.téi,.",le. eti de [,J<:tq il /)1 'l ^'nc e, " il. (:i{'lt il, i t '), tl. 1875, p 38, 2. ' bt'.. l 17.

Page  347 LA ~ LOI DE NOMBRE ~ 3W' vue directe des chooses est la relation de composition. Voici le texte décisif qui nous parait impliquèr, par voie de consequence, la doctrine spéculative de Renouvier: ~ La composition et la reltion sont deux propriétés qui s'accompagnent. (On dit qu'il y a composition, quand la représentation d'une chose entraine celle de certaines autres qui s'offrent comme ses parties, ses imembres, ses éléments, ou réciproquement quand on ne comprend quelque chose que par la conception d'un tout ou elle entre; et on dit d'une chose qu'elle est relative, quand on la comprend soit comme compose, soit come composante à l'égard d'une certaine autre chose. L'idée de ccmposilion étant prise ainsi dans son acception la plus large, établir une relalion, définir un rapport, c'est définir une chose à l'aide e a composition par laquelle elle se lie à d'autres 1. Le rapport du lout aux parties done iimmédiatiement naissance à la notion du;iobre. Le nombre, au sens où Itenouvier l'entend, c'est-à-dire come somme d'unlitée districts 2, 'est à aucun degré le produit d'une élaboration techlniqul; ce n'est pas la première articulation d'unL systèrle de re'(latLi(lî lqui serait appelé à devenir de plus en plus complex et die plus en plus subtil; c'est une condition spontanée el universelle d( la connaissance des choses, de sorte que le seul rôle réservé a la reflexion, consiste i reconnaître que le nonbre est!u termm e en naême temps qu'un principe. Ce qui échappe at lrati)jt.' fondamental du tout aux parties nous dépassee, et, puisque to nombre est ~ ouvrier de réalité i, sort (du doiaine du irîiei: ~ La manière dont Pythagore a compris le nombre estn la maoire (le tout le monde. Je ne vois pas colmelnt il aurait eu besoin de l'élaborer en elle-même. Son travail a consisted à chercher coniment toutes les essences déterminit es rpouvaxint t. tre identiites avec les noimbres, tels que chacun les enrend, et il a doQiné le noma d'in/iid à ce qui est rebelle a i'application du nomibre. Cette opposition est uu trait doe ni qui devrait fiaire riflechir nos iniinitistes ",lticths tlu rapprochenien t absurde des mots: infini et.l Ino/7m ' La notion de noillbre:orrelspodtl à toui. attire cithos qi'l uri 1. Essai de (Critique générale, ['uie-Ul c 'r.S i. Trailt de ioiqt-!;ér'atle et de togiguc formelle, 2~ édit. (alig cntle:l ',. i. 1, 18.:;). p. 1i.2. Cf. Remurques str une;.rupositiown de tI. uiiiruic ' el.live '( la /o tio, ne ombre. trliquo philosophiquc, t1l. eIin"., ' 2'. (\:i julei J S2) fp. 36!. ' Si j'... avli tCulnu ui [Iferiime] qtui piu 'ti.; s tiicititc: t tli5 lit i i.i pure c,,.!l:eptio< du n^rrîlmre l'Ctilliliqluc, q dis(c[, je le ' i.et' s lcOr: pi rk r.,; Ibid., p. 371.

Page  348 3 S8 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE simple impératif méthodologiqye, elle a la valeur d'un indicate métaphysique. Le principe du' nombre signifie, non pas seule. ment qu'il faut compter-pour comprendreles cshoses, mais que les choses ont effectivemet un compte; elles sont constitutes par des parties en deçà desiueiles. il ni'y a plus de division, elles forment un tout au delà duquel il n'y a pli sd'addition. Fidèle peut-être aux intentions de Kant, pour qui l'ordre des notions morales était intéressé à la limitation de l'univers dans l'espace et dans le temps, mais contrairement au résultat spéculatif de la Critique qui devait dispenser à jamais l'esprit humain de prendre parti entre des métaphysiques contradictoires, Renouvier édifie sun le principe du nombre un système néo-criticiste, dont les thèses essentielles seront la determination dun nombre des êtres, le commencement du monde, la discontinuité et la contingence des phénomènes. LA THÉORIE DU SYMBOLISME 206. - En dégageant toutes les consequences qui étaient impliquôes dans un raisonnement tel que celui de Cauchy, la doctrine de Renouvier a ressuscité en plein xixe siècle l'arithmétisme d Py thagore; elle' en a exprimé, peut-on dire, toute la substance ontologique.,La ~, hardiesse paradoxale 2 ~ de cette restauration devait séduire les esprits qui apportent dans la spéculation philosophique le goût des lignes nettes et tranchantes, des horizons clairs et bien définis. Mais, du point de vue scientiflque, et en particulier pour l'interprétation des mathé'matiques, il,,tait inévitable qu'elle soulevât des problèmes nouveaux, ou plus exactement qu'elle ramenât ceux qu'avait posés aux Grecs la découverte.des irratioarrelles, et qui avaient donné occasion à la dialectique de Zénon. Renouvier, avec sa connaissance approfondie de l'histoire, avec la forte probité de son esprit, ne dissimule'pas qu'à ses yeux cette dialectique subsiste inëbranlable, qu'elle; est en définitive un corollaire de la loi dp hombre: scLes. arguments de Zknon sont nombreux et de différentes form eingénieuses.; au fond, ils reviennent à un seul qui.est extrêmement simplee et ne laisse pas la moindre échappatoire "la riumératiôn; interminable ne saurait aboutir, et, par consequent, rien de ce qui se compte in infinitum, ne 1. Cf. Delbos, La philosophie prttWqe de Kant, 1905, p. 2t0. 2 Cf. Séaillts, La philosophie de enouvier, 1905. chap.,v, La loi du nombre et ses conséquenoes, p. 69 (Paris, F. Alcan).

Page  349 LA THEORIE DU SYMBOLISME 349 peut s'épuiser, se déterminer finalement et s'accomplir,. ~ Seulement le développement des mathématiques modernes ne permet plus que l'on arrête là le débat; on se condamnerait soi-même si on opposait une brutale fin de non-recevoir aux parties de la science qui dépassent les vérités de l'arithmétique élémentaire, et qui se sont manifestées d'autant plus précieuses et d'autant plus fécondes. L'antinomie, que par un brusque retour au dogmatisme de l'antiquité le néo-criticisme avait chassée de la métaphysique, reparaît alors au coeur de la science. D'une part, selon Renouvier, ~ les relations qui appartiennent à la science de la quantité et de la mesure sont toujours dans le fond des relations numériques: elles sont exprimées par des équations entre des quantités évaluées, ou rapportées à leurs unités respectives, c'est4dire entre des nombres2 ~. Et d'autre part, ( l'espace et le temps sont des fonctions générales de tous les phénomènes en tant que sujets à des lois de quantité. C'est par l'intermédiaire de ces fonctions que certains autres peuvent se présenter, sous un certain point de vue, comme des fonctions mathématiques,. Si l'antinomie doit être résolue, il faut que les quantités d'ordre numérique, qui sont discrètes et les quantités d'ordre spatial ou temporel, qui sont continues, n'appartiennent pas au même plan de vérité. La connexion entre le représentatif et le représenté ne s'y fait pas de la même façon. ~ C'est la représentation actuelle qui borne la division, tandis que la divisibilité répond seulement à la représentation possible. ~ 207. - La science de la quantité a donc un double caractère. Tant qu'elle se maintient dans le domaine du nombre, elle est à la fois objective et subjective, elle est la science.dans la pleine acception du terme. Au delà elle n'est plus que subjective (ou objective suivant. la terminologie de Renouvier): ( Voulonsnous parler des quantités? si elles sont discrètes, la division, arrête à l'unité, qui, sous ce point de vue, pose une borne infranchissable en une chose numériquement simple, quelle que soit à d'autres égards sa nature composée. Si elles sont continues, la composition va à l'indéfini, mais de cela mêrme nous avons tiré la conclusion que cette forme de la quantité est purement objective "., 1. Esquisse d'une classification systématique des doctrines philosophiques, t. I, P8g, p. 36.' 2. Premier essai, édit. cit., p. 136. 3. Ibid.. p. t37. 4. Ibid., p. 109. 5. Ibid.: p. 109.

Page  350 3 iO LES ETAPES DE LA PHILO9OPHtE MATHÉIMATIQUE La moindre démarche de l'arithmétique en dehors du calcul des entiers positifs, par exemple le partage d'un entier en deux ou en trois parties, suffira donc a faire évanouir la relation dll sujet et de l'objet qui avait rét le principe et la garantie du savoir humain. l)e la sphere (le réeaité on tombe dans la région des symboles r ~ Ce serail renversr les iaotions les plus claires que d'admettrie dans l'ari}lumnlique abstraite des nolmbre hybrides tels qu;e q -- Q, q étant form au tnoyen d'une unité ct p au moyen d'uie autre... C'est cependant ceque l'on fait quanid on parle de nombres firactionnaires, et qu'on appelle les fractions des nombres... i> Mais ~ le problème de l'unité divisée, impossible arithmnétiquement, se irésout à volonté pour de certaines grandeurs concrètes et... le quotient ci-dessus q -- p prend une signification en tant que partie d'une quantité continue. On convient alors d'adopter le symbole - au lieu de p, pour la representation de r* units b fois moindres ique celles qui servent à estimer la quantity r., dividende propose ' ~. 208. - ~ Les fractions ne s'étendent pas à l'expression du ontinu tout entlier. ~ Il faut faire intervenir ~ les grandeurs inoommensurables, dont l'existence se révèle au mathématicien dès les premiers pas qu'il fait dans sa science )>. Mais, par leur definition même, ces grandeurs excluent toutte repr'aentation de rapport s par des nombres oil par des fractions, c'est-à-dire C par des quantités abstraites suivant la definition rigoureuse du qiuatumn à laquelle, dit Renouvier, on a souvelnt le tort dee pe as s'attacher 2 ~. Le problèime sera doiic plus complexe que le prol)ième relatif aux fractions; lmais la solution scra <de mn3me nature, elle exigera seulemenit la constitution d'un symbolisme plus oompliqué, symbolisme du second detgr'.K En effet, dans la fraction t ant que les termes sont commensurables, b et a sont de.; nombres; il n'et est plus do môme (lans l'hypothèse de l'incomuiiensuraLbilité. Il n'existe plus (le rapport entire tes quantités b et a; ~ mais un rapport existe toujours entre i'une d'entre elles, soit a, et une autre quanlité b)- r s variable, que l'on penut toujours supposer dit'lérente de b, de moins- qlue dI'uii quantity assignée, quelque petite que soit cette deriière... Les rapports de la forme b seront le siiymbole des rappoits possibles 1. 'renmier essai, édit. cit., p.:197. 2. lbfi., p. 361.

Page  351 LA TH}ORIE DU SYMBOLISME 351 b ~ ~ Cette substitution évite la contradiction inhérente ait a ~ calcul des incommensurables mi:rnes,; elle permet l'anlyse infinitésimale, et lui confère en même temps ilune (rit rig011 -reuse, Il faut bien voir en effet que la substitution de b _+; à b n'entraînerait d'er'reur que dans le cas où & seraitl quantité déterminée. Or, l'hypothèse même est que e est quantity inidêterminée et arbitraire, moindre qu'une quantity assignée quelconque; l'erreur est donc inassignable ~( discrétionnaire, indéfiniment réductible ~', ou plus exactement l'erreur est nulle '. Les objections que o'u a élevées contre l'exactiitude de cette conception n'ont aucune liaison avec la science proprement dite; elles ne viennent que d'un préjugé métaphysique auqiicl Carinot, qui a vulgarisé la ~ théorie des erreurs compensees,, n'avait pas lui-même échappé: ~ Le réfalisme accoutunin' des mathinaticiens, come des philosopher, a empêché Cariuol de voir que l'erreur introduite caest déjà une erreur nulle, et que ce serait inanquer à la délfiuitixo dles diterentietles que d'rtmett re que, comptées en plus ou en moini dans le résultat diiiu calc.ul. lles Floivent nmodifier ce rssultai... 209. - SeuleitLm t, au tiomeloncl ltnslie )o il 'vPnt.d i'primer Sa convict ion que lidc.alisitce relativisite dissipc détitnitivemrnent les obsicurités et les conl.radi tiorts <iont Je Nvu~ siè cl e f entour les priinctipe(s d' calcul inliniltimal, il arrive à4 Ilenouvier de rappeler et de rerendre la critiqtte traditiotnelle (ui, du point de vue du:tr-îrali tisn eL de l'onto>logie. a étc oppc',see à l notion 1. Frc.l.er~ eass.i, etliw e.il., p. 440. 2. lbid., p t40 3. Df. 1e l.a iu'sti,' iooa fie h tniehode i hf?.?i(rîe f. tfIctliCiriC. ecen'erta dul sysItme de M. d,:lliu. Critiui pl-u iijr>l, ptqlte 1I0' lUtilct. n 21. clu;25 juin I881, P. 32. si, dlit-on, vous rclrnPciiezl dcs re; jUanrl.e qui tr,n partlte (rc votru équation, vouns;orrtmile/. Udoc arii errreur qullclrolnfqio. Je riepds^ îi'e! Ifs quantités don't il est quesltior, iLe sont pas des (lultities de lil I.t li'C, aynlil utn exXî'stenc( proairer c.:Ii~ i'ar c lheI:;p,'ntndée. S1 elics 'op. pHr'tiC de rri(Ji qnuation, c'est. iu titre.tllus tlI qlel jt let.v iatroduid 5 et noia paF;s. sHCuu aul'tio. tL'equtitin esl nioi ro0uvre, ina ponwsee; riit a!*I spris!u.}P lui dlonrn.i, et il $IffRt pour i'ixactctilltdc q > j rest tidèlt aux fonver;Ji1i;it, ft.; je fais ave,: moi-rmnmte ne la poattnt. i', )es dti frernc^^s irndiernir.fes t a.bh;!.inire'- dit jP fai; ust3ag e, je le d. r tii s ct)o ne ne levtiiit ijatmais recevair u: a iitc: 'lt'r quclconque isusicptible 4d'ttre nssignnc;. J l.ire [trti 1( I pler:i s:'apl)p'ts ntlxquels cette hypothtse n' prte i nllie alteitc. J'nlbj irti tl res.tlia'.ts. Qlli1nd dans ue equation il lartttll jt p:t',; viil>. i11i c qualt.i le dte rt.et i(îrlt( ligure catmie tirnpifcri nt;jiutetS oL rCtranu( lec, ti uteS It nuira ll'tiS tl;int i s 'ut,,;:x ti-; i ts vitp-t t ^"si-.,s c'sl ' c h l, t tihtriîl aîlt l c v.ie.aut- q et:urque <iu' j<' t,'oltrîtîaIl.a lttl. crelujr; 'e. s it i 'i.. otuidi.uut cnllie rinttp [u. je i.t s iop'1q) t el o.t,tqnent u noU hypl s l r:h^se. 4 i<. i.. p.

Page  352 352 LES ETAPES DE -LA PHILOSOPHIE MATHiMATIQUE de l'infinitésimal: ~ Il y a une autre question essentiellement différente.o qu'on a le tort de confondre avec la première; c'est celle de.e 'idé'te à se fire de cette.méthode, c'est-à-dire de ses applicai-ons, e!n ant. qu'eile permettrait, en géométrie et en aig 'bre, de résoudrl dr, prohbltmes à mon avis contradictoires: dornner la measure d'tine quantity t don't l'incommensurabilité est d6mo"n tr'e, te)rmtle l'a3cinrilation r'igozureutse d'une circonférence è tun poi.ygone, supposer 'ure limited atteinte dans une suite d'op rations ilimintées. aiutriser l'assimilation à un nombre tdonn;' e soi d'une série ind,'ilie de nombres dont la some numérique est irréali'sabe, et enfin, dans l'ordre concret, considérer.ijn corps commIne tordé di'un assemblage d'élément réels et donlus ie no:nbreb i u.5ii. Sous ce rapport je ne puis consi-. délrer que commn e un ca cu! dl'approximation, mnais d'approximaLioni indéfinie, ce mlme calcul quie je soutiens itre absolument rigoureux quand on ne le considIre é qu'idéalement et dans les conventions qui lui donnent naissance, ou encore dans celles de ses applications qui ne supposent aucun infini réalisé. ~ En un sens donc, l'idéalité rigoureuse du calcul infinitesimal suffit à le constituer conrme science-; en un autre sens, elle ne suffit pas à lui conferer une pleine valour de vérité, il lui mranque la réalité. La philosoph'ie math:ématique que Renouvier a présentée commrne idéaliste imp!ique donc, sous l'homogénéité apparente de la terminologie, deux conceptions bien différentes. La première, toute rationaliste, constitue l'idée en tant que rapport i'terne, procédant du dynamisnme essentiel- à l'intelligence; l'idée (de fraction, ou de grandeur incommensurable, se justifié ainsi en toute rigu'eur par la chalne de raisons qui en fonde le symbolisme.- Dans la seconde conception, qui s'apparente à l'empirisme` de Berkeley et de Hume, la relation constitutive de l'idée est-externe, et non interne; l'idée s'accompagne d'un objet qui, au-lieu d'être une chose en soi, est une image, mais qui garde à travers cette transpcasition le caractère essertiel que l'intuition réaliste lui avait attribué, qui demeure un élé-, ment sensible,.une individuality concrète. Le rôle privilégié, exclusif, que Renouvier réserve au nombre entier positif, relève de cette iunerprétationr purement imaginative de l'idéalisme. Les deux formes de l'idéalisme sont-elles compatibles? Renouvier esf réduit, poIu' les concilier, à invoquer cette distinction du uirtuel et dëe l'actuel, qu'Aristote avait imagine 1. Cf. De a justification de la méthode infinitésimale en géométrie, examen du système dc M. Evellin, p. 334.

Page  353 LA THEORIE DU SYMBOLISME 353 pouir répondre aux paradoxes de Zenoîn sur l'infini; et c'es; p-&. cisément une question de savoir si celte disinctition n impiuite pas, e ne r grpas ne as en fait dans le néo-criticisme, le deogmatisme métaphysique dont elle est née, si des peise-.e-r tIas que Il)hihri.ng ou Evellin n'ont,pas étlé mieux inispir:s..; to>-,t au moins, plus conséquents que laenouvier, en rtat:o.tait i; principle du nombre à unle conception franchemenrt arnacihsme d- e l'un;ive'rs '. En tout cas, ei. si nons laissons de côt.: la 'destne. ti o ophique du renouviérisme pour n'en cet-nir que la liaison *aavec la science, nous comprenons facilemtent que lesi mathsi at.iciens ne s'embarrassent guère de distincti'ons spéculatives entire le possible et le re[. )Dut momlen.t que les notions fondamrentialc de la, mathématique abstraite sont possibles, elles ont toute la réalité don't la science a besoin poVur se coastituer. Déjà Desa rgucs écrivait:, Ent géométri., on ne raisonne point des quai.ntit.és avec cette distinction qu'elles existent ou bien effec.ivemilent en ac te, ou bien seulement en puissance. ~ il ne pou ait el êaIre autrement pour. les savants du xïxf sibcle. S ÀCeux-là ~mêmes qui ont suivi la voie o.ù Renouvier s'é6tait engage par la conception du symbolism, se sont affranchis des timidit.é6 et des restrictions auxquelles sa théori e la coi}aissauce le condamnait. Ils ont donné une definition direclct de la limi/e et de 'irraàionreile, dont RLenouvier ne se lassait pas d(: dénounceci la cont.radicctin intri sèquet lse; les ont itil; eitrer a itre posi.if' d`ns iia costitutiion de i'analyse., i..i. 'lit dles doctrines dtne D)uiring et d'Eveiilii. c elld de niul' et,v -a i t: l uitiee dn.ti; ['A.lieC' philo.sophiqu::,LeJ:itist, i.dfc kiDri;ij pnr l t'sI. Bi;is, 20" ati:.6e (1j0;~)) ilA 0, p. t12 el; S Iuiv., et Le realisme I.iitUif l e,e. /5,h?, par L,. i)->riac, 21' art.ée (1910) l191l p. i75 et suiv,), Traite de.s co.i,iqatcs, dit. Poudrl, t., '1864,. 228. Cf. Co1ttiura De r:; jii niitf/cii atiqv.l, 18, I tiU. 493. iE.u6'~s:.;,",.- -- te é.,pea,2..

Page  354 CIAPITRE XVI L'AhRt ÀT1MI TISATION E L,ANA.. i SIE 10. -1- 1D)s J.or.i:, t'atriihméd'ttisme s prs'enLiV no us sous une iforme't; s'vetl corrmme unea ds octri.e Se tce.ct:it ns qui ent.endeo _;se,: m',.a,'ui,.'i dants'la region des idc:es claiirs t. di0siintes, en ècaL..i.. d.If:r exposi ion to'us les nuages de a coi1.roverse;ruMrla piqeJ-lae. P;:v 6 i4 j t: dn t ~ s i n t e, Da;éiias:. lle otrine~ **""- dont.' MCay a u. peul't.r.e iiiliailive1 dnt A- k p,'réseé) du mnoin.s, eti eil eiiet qui ai éni e' aboard sorn imflece personne lle, t exposé Je plts dilirec.t t l.,hi s sys-nté. ma iq e a. -;é t JÇ0. dfe s eions itOute.ile sui l' naSl ise in i/ ii sna; e ---—. c'est la notion p.rement, absl.saile:'nmalginaiec. etl on)a pt.;i aI.: notion encore inti.1uiive de fr l ', iui sec. de:yen i.t.et-tne e nt.re lre i nomlbr cnl'ie eti. tle moirr Jj iî rattionnel. i Da'ns lta P1é.;;:ce de son Cousi' d a al/r se afiCl'ricq:, Ct7, corncre i e.l dist:li-m I ine, al isvque d'<norncer de( s propositions peu.te-ree un peu dures au premier abord ~ C(lucby pose en principle < ~U'ine éPqiinatioo. imiagibaire est, seullenil, la représen-l nation sytmnbotitque de dcux équ.ations enl.re quatiis itlls 3 i r Ctet 1' IRem;,-rques sur 1t.! otua;': des quinltél.ts déjinlieu puit' l. a ct'mdition de ser -ir ac iirutel. des 'ii- blies don.ts, 4ievYe des Sciéte s.a vant' l., àScieu.r -'îuathia.i;:ique,, physsiques et nt.u nr.eli{Les, 2 série, i.. I, 869, p. 280.-. M( 3. ra. e;; le ~p.,.'Tr ie f q.i a. it. i.lroivée uni sens pti'rmenl ariithnieit.uiqtU i 'exi r)vc:si. ml: nonb)il'tr I~'atiiol..f l.-.i. LEn cyelopl:die dts science s nmathematliqes, 1, ', 3 ', 1 i0.. Noinbres irrl' - io0.t1 s a e't;. otion s de' liaite. par PLrinlntici.i-Mo lk. p,:18. 2. &acz..'riques, p. 284. 3. P. iv. Cf. chap. v.i, p. 173: Ei.n tialyrt, iot appielt eCsbpS;,:sio n synmboiquc ou sy'ziboL,loute conibii eoistn de si s i igbriq es q i sign l if'.ie. e1 l rien p f i'.:ie-e;Simn, ou a eisl a i&1e!e o atribue uine e va:leur ditrete di e celle qi'elle doit air,, t..iï.e'.l (ient asvoir. OIn aiomie de mtnme énquanions raymboliqu utes celloe; qti, prisei a ia lettres:4 intelrpr't0 e d(apr s le.' convecn lion- s 'riOiralrS tt eit a' li'{`.i;.z, soIt ituexa:cste.ts ou.n out. pas de stons, IIatis desquvîj.les oun p-'t d.éduire. dtEs i' t r,:;itJtais oxancte, erin modifiani t fli't &i?loi des {'r- le.'s Ixe;: oil t-es cq-u tui il tesl:.a-mIiiôimr ut e 11t lei sutY loles qu'jelles reulri-ail -i

Page  355 L'ARITHAMEÉTSATION D)E L'ANALYSE 3 conception, -- qui n'a sans doute pas satisJait complètement C:aulhy, pulsqu'il tentera successivement, conmme nouS le verrons, une justification g6éméturique et unie justitic atin) algébrique des.quantités inaginaires -- ac quiet loute sa precision elt toute sa portée avec l'exposé( de MIray. Selon: Méray, ~ si quelques trac'Is géorometriques oi'unissenti pour ces quantités [les imaginaires] des-notations très coimmodes... il n'en résslte pas, tant s'en faut q... qu'lil y ait puns det rapports entre ces de5ux sortes de hoses qu'enlfre un phleiéomène quelconque, statistique;ou autre, et la courbe quli ev fournit une image optiqae a. ~,11 n'y a pas lieu de faire ~ de vains efforts poiur p énétrer le sens du signe -i: quii, effectivemert ntr,n'en a au cun, parce qu'une (quantite négative n'a point de racine carrée 3 ~. La quantity désignée par -i i es alutre chose cqu'une combinaison de nombres réels (a, b), ranges gdeans un ordre déterriné etauxqu.els on convient a plorti d' appliquer un certain nombre de ie ègles, rlglfes concues par analogie avec les règlIes de l'arithmétique ordinaire el qui véerifient les lis di e i'associativilétd e de la cotmmin fatiauvi'. 1 sufflit d'insister ici sura la rle de ta ltiplication qui f.urnit, la caractéristique de la quantity imaginaire: ~ Le produii de (a', a") par b', b") se forme en prenant la qu anitité (a ^ b' - ", a' b:' 4- a" b') ~ ' Si aous appliquons cette règle pour former le carré de la quantity imaginaire (0,t), nous obtenons,a' b'- - ';., b '". — I et,.par suite, (0,' -- (0 ---, -4- O) c'est-à-dire lue ie carré de l'expression imaginaire (,0i) est égal à -1., et que si nous désignons par un symbole special tel que i l'expression! (0,1), que no'ts pouvons faire entrer comme fracteèur dans toute expression imaginaire, nous obtenons la relation: i'=. —.t. En errtu de cette relation, it May, it,~ notr'e signed i représente bien... une racine carrée de -- mais de -.1l écrit par convenrtion exjpresse ii laC place de, la quanfité imagilnaire ( —i ',0), ce, qui est tout difflrenti. ~ ibars la pratique '(, b} \. ['ide if, n., 348S. 2. Leeons su t1'F. naiyf.se il!tiîtesita et ses appiica' i,: l) t,, i84, p. S. 3.-'ibta'.; s, 51. ". [bi,., i. M tY

Page  356 35 ES ÉTAPES DE LA PILOS6PirtE MTIZ EMATIQUE preandla Ia fe..a. -. b, o-u t a- -- b ce qui imp ort(f cesl de bieu coaompendre qu on a ain. s donné corps à de, (, simulacres, s l' 01 i'on redescend... àa volonté ei a et s o'n t aux. réalité s du ca cul vu. aigaire. t? Le ca.lcu des imaginaiires est une extensio des e 'arithanif tiqéue ordina:ire i. se justified a )prior pfar U 'srie r,; de conve>nlions qui no,-tr'ea"t à auU le '0)scalrité, è aucudt, équi;;voqiue, puisque les niombres éels ena sont le s seuls emliats.. 1i. -- Utae conception du mme ordre petmet tie c, oncevoir ie passage, du rationnel à r ir aio nnI, er co! e CaCy est un pré,curseai; plus exactement ':-et luii quoi doi`n f avi r définîtivenent intrboduit dans li science positive la conception tout arinthmn ti q e de qa liai e ue 1'on trouve djà e-c hez les maas;h~,6 -maticieins di xv iNa siécle, et partitcuiremen t:'iez. Wallis.:Le Course de 1821 s exprime -ainsi Lors fque Ules valeurs successi.veleant attribu ées à une amême 'variable sa ppr chent isdftlni — mnet d'iune valeur fixe, de mranière a finsit par eu diff6érer aussi pen qu'on voudra, cette dernière est apple ine i ua lini de toutes les autres 2 Lalimite se définit donc a l"'aide de valeurs exactes qui sont successivemen assign:ées.la I Yvariable; elie-m3me acquiert une valenr exact e ld orsqu'elle ee diffie d telle valer déterminée de la 'variaable que d'ue qu.anti.. itné rure à s, si petit que soit l. Mais cette conception ne suffit pas encore" a trancher une difficult, qui se présente imindiatement dans lI passage même que nous venons de citer: ~ Ainsi, par exempte, éccrit. Cauchly, un nombre irrationnel est la limited des diverses fractions qui en fournissent des 'valurs e(l plus en plus apptrochiés. ~ Faut-il csomprenBdre par là qu'ant6rieuremlent au jpiocessus d'approximtatio qui définit la limit e, I pour le justifier, l'existence du.nombre irrationnel est déji supposé6e, qu'il convent par conséquent d'en chercher l'origine. ailleuris, dans les images qui fournissent la representation gyomitrique? Oa bien le i. Le-o ns sur i'aaiyse irfinitésniale et s. iw tl,ppicaittl.;,, 1.:5i, p.:'. 2 1.,. o4. Cf Bozai o,.'ira:' tnAytischer eWIeiis, tc. 'alit?. P a11, e 7,: 7;i unli sé re dft grcander!rs Fx, F'... e. -x.. -. est tellei que la difference entre son nate,leîrn1e F t 1 e *1.ri 1t s l.;aS l gn-è Fn+e, demeure quelle q[uei soit la dista.pci re des de -u. tirrnt., p!ut. pt ei. que toute qtuaatitk donnie, quiad ao prend n:n is.tlskr;tirn 'r,.nd, eto;. e il y a iune quuntité d{terai iné' consiante, et u!ne set<le. di:1îit: it.-1, i,;t dei tl; srase s'appr-eclac La jou ru;s davanl.ae.... (a ied ai. it 'eilrd t;'. t ',-. -. -.- '

Page  357 L'ARtT"HMTIATION DE LANALYSE 357 mouvement logique qui a présidé h la rénovation de l'analyse ne conduit-il pas plutôt à faire naître l'idée de nombre irrationnel sur le terrain pureraent arii 'étiqte, en vertu du procédé qui a réussi pour la notion de limited? On comamecera par restreindre la notion de limited au cas où ta grandeur limite est une quantité rationnelle. Dans ce cas, les notions s'enchalnent naturellement, sans qu'on ait à supposer d'autres quantités que des quantités rationnelles, c'est-à-dire rien d'autre que des nombres définis par les opérations ordinaires de l'arithmétique. Nous considLrons une suite formée par une iafinité de valeurs numériques assignées à une variable. Pl\g v*, v^ *. et que nous comprendronrs sous le Ôoxm gdénrai de variable progressire, ou de vaJiante i S'il arrive. qu'à partir d'un certain ranag m la difference v,_ —v,, est plus petite en valeur absolue que le nohmbre rationnel <, si petit que soit s, on dira que la variant est coinergfiele. Nous pouvons, pour abréger les opé-' rnations, re:présenter les variantes convergentes par (les signs a)Pro-r"i. Nous désignerons, par exemplle, par U la variante conivergente de la s ue IL, u!.,, telle que, à paritir d'un certain rang m, tl.' —l,, <:, quel mque soit c, Lorsque U1 se trouvse t' re une quarn6 r aotit on.nelle, nous n'aurons fait autre chose quse (d'gr i discourse. Qu'arriverrtà-l das le cas où il 'tv alurait pas de quantity rattionnelle U telil que - u,, < s? Alors, à preardre les choses et toute rigueur, nous nDauroxsî pas le droit de dparle; de limited, mais nous pouvons, pour exprrimer 'la con'rverg'ctc'te de la var 8minte qui réIsuite de e'in>4 a]é ^U;... _,. î r qiR fer cn nlere l oea qis e in ctmeulaci: absoii el:. taita 1r la quantitye non!l-raîionne le. ia quatlité Fcl:iv, ou i.'coDmensi râb i, cornr)e io uS feri onS ld''ue liialt ei~ctive,:<( Q î1v(-uad un.ie vurianit >ovrgC.e:conveel e. ti'd pas vers iqueique!i-: lîfe. on ili n ass.i>ne une idaule qu'on niommue un n.ombre rou 'i:ie q3uanlii i.co-:.aM'ens R'a>let s1; quon re1 esein s i par ie Xme siA: 'e que sI eile e i xi sta i r8élIe men,. O3 pe;1 alor.3S exprnimer a c:o:'errgen: 'ne ~ariante quieiconquîi ci; disai qu elle Lered ver;s ie c, eraine imite (eilecltv'e ou idéale suivant!c aCs) ~. Ainsi, nons c ons îéros! a sui;h: iBdéfinié e. s. nobs rationnels I., cyl, pd, o r., I, 1,,3. p. i8. 23. Mtr-ny o' r i., p. 3.

Page  358 398 LES ETAPES DE LA PHILOSOPRIE MATHiMATIQUE 4 -a i I ti 9. 3 * * * 2 + < G)3 +*' çi2n la variante convergente qu'elle exprime a pour li-mite l'unité. Au contraire, la variante convergente: I 1 i, A'- a,-L~.,.. I 1. ".9,.,3 *" 1..,3...n n'a pas de limite, à moins qu'on ne lui en assigne fictivement une en créant le nombre irrationnel, qui sera rigou1reusement défini par la suite des valeurs qui exprime la variante convergente. En résuméu, par une combinaison de termes arithmétiques, il est possible de définir rigoureusement la notion d'imaginaire et la notion d'irrationnelle. Or; ainsi dérinies, ces deux notions suffisent à constituer l'analyse, telle que Méray la conçoit. L'instrument de cette analyse, est le développement des fonctions en séries qui plrocèident suivant les puissances de la variable, tells que la. série de Taylor; mais l'horizon en est étendu par introduction des variables imaginaires, qui est l'un des titres de gloire de Cauchy. La théorie des functions analytiques, que Lagrange avait laissée à l'état d' ~ hypothèse,, est devenue, écrit Méray, -ne ~ réalité' ~; ou, pour reprendre l'expression que Félix Klîcin applique au movement parallèle qui s'est accompli en Allemagne avec KIronecker et Wciestrass, l'analyse s'est aritZhnzf tisee 2. 1. Méray, AoNouveau pr'écis d'ancalse inrfinrtsirnale, 1872, p. xiv. 2. Nouvelles annals de Malhei -alliques3, 1897, p. 1!5.

Page  359 LE-: PÂ.SSAOT ÀÏJ MôMImAUMShiE 3t- 9 LE PASSAGE' AU NOMImA.ISME 3 MS- i.- VLar.ihmdléUiaion. de analyseyse a pour csonu séqiuj.ee, naturelle une interprétation arithmi- 'iste de la 1nathémat tixe m3ais qui diffère proondéimext.de ' arithmitism e de.Renluiaie., L'arithmn élis ne cieoz Renouvier est. une doc.'eirL d' i.enr( philosophtiqBu. L'arit, hbméti-qlue étlémientaire n 'y était pa- aeuleimel't le type de a science claire et incontestable; elaie pos-sé-&ai ce privilege de rvééler lafor;me d'intelligibilité que la philos.phla. la tâthe de, projeter sur l'univers. Le nombre est lacé 'gorie par excellence; le principle du nombre suffira pour Utracther e9, problèmes jusque-la insolubles de la métaphysique, peur détrer miner la structure du moinde pris en soi, et presque pou-r prouver la niécessî tt d 'ne puissance réatlrice. L'éclat d'une,ielle I1uixr na: rendait 6obsaure les autres p. ', es de la niathnlat.iq.'iue' En piartana, des condi.-iVons réunies,.dame l'arithmnétique pour la compréhen io1. de la q-ua'n.it., R'nio Uaier était amené à ne plus regarder l'analys.e- infitni.tin-,ae coimn-ie relevant'.à proprement parler de'.la science de la quaxntî.AtL; ce n'était qulal -prix d'un artifice profitant. de 1,'. ietlarat.tn -n inhérenie, à ce qui est arbitraid e.t iassig naab. b a:e'*il pt' vai. substituer un rapport déterminé à ce qui, en soi, n'aki!; p~as susceptible'de esure. L'artifice pourra se justice du poiu t ie vrue de l'artifice mume,s c.'es V-dire tani qu'on se m'.l, dan its u; e systième de conrvertilions et de fictions; r e ai, d6s quan l-e rap-r proc.he. de la réafli'tb (et on est i.bie a obligéd de id e k:'~re po 'ar ' - tirer quelque application), il capparaltra co'mc e 'i.: mutihlod d'approximation, dtpourvue de l'exac.titude xrigoureduse q:i. aai; fait leu crédit de i'aritthautitique. _L'arithi:métlition d1e ' anaVlyse a ams in àr- ce.te si:a i 'ai instable et précaire. Le calcul deé nxombres `enier:s.e -,c pos;itfs sert encore de point ide repre'e pour lirtl;e-igexrce dpo u catc. ilfinitsinmal;.mais ce n'est plu.i e,1n vuy, de de cre.r une oppfositionY centre la représentation actueltei j la uetle saisf it l'mnacg'e sensible, et la représentatlion virtiuelle et fici'e; c'est afin de relief les opérations cnstt.,it' utivS da i calcul itnfinilé,s;imai ' aJ x operations propremnent arithmnéticues d Ie-montrer con;xment l'exactitude e!t la rigueur des ra'isionerments arithini.;uiqaes se transmettent de proete en proche à toutes les discip lines de( la muathé.minatique abstraite. EnL d'autres terres le passage de la reéalité à la niiction qui s'op:e dants la doctrine de -' éray ln'..s la 4îuî.u.te (i';équeuce que dans le.é.-cxri.c-sm, il.et r lom.pt

Page  360 3ê0 -î.Ls ETAPES DE LA PaILOSOPHIE MATEHMATIQUE plst avec le rythme normal de la science ~ Les nombres entiers de l'aritihméique élémentaire, sur lesquels roulent exclusivement en definitive toutes les operations exigées par les applications numériques, sont aussi les seuls qui interviennent au fond des speculations théoriques. Mais l'impossibilité fréquente de certaines operations troublerait gravement luniformité desirable dans le mecanisme des transformations analytiques; elle con — pliquerait les.;.énoncés de restrictions continuelles si l'on ne tournait obslarle en substituant aux nombres et aux operations véritables d3s fictions pour lesquelies cette impossibility ne se préserme j-amais, et d'où, quand il tI faut, on revient ' la réalité sans aucun effort. Telle est en particulier, continue Méray, l'origine des fractions. ~. c, c'est-à-dire 3 à diviser par 5, n'est pas un nombre, puisqu'il n'y a pas de nombre qui multiplié par 5 donne 3; iais les deux nombres 3 et 5 sont susceptibles d'être réunis ensemble, union: que nous pourrons, s'il nous plaît, représenter par le symbole, A cette forme on convient d'appliquer certaines règles de combinaisons, calquées sur les lois addition et d'égalité qui régissent les nombres entiers, et telles que 3 et;. 3 5 puissent être mis à leur tour' sous la forme et, telles aussi que les résultats concernant les expressions symboliquers '. ou, soient identiques aux résultats obtenus sur les nombres véritables 3 et 5. Le calcul des entiers posiXifs devient ainsi un cas p.arilii'ier des combinaisons que i'o:n a d cidd'appliquer aux ex.pressions /tractiotïmnairtes et c'est par 1i que le calcul nouveau s'inc'orpore au doSmrain de e a maihlnatique, et marque un éiargissemelnt de la science ~ B1ien que les diverses espèces analytiques constitueiti des, tmondes distincts, leurs definitions néanmoins sont dans dates rapports tels, que tout calcul à exécuterî sir ades nfmbres (.fiun e ceritne espèce peut s'ef ctCuer à laide du cal ul parallèle exécuté sur des nombres de l'espèce sui.ante.'2. ~ Cet.te loi de coistitutioin ieret de former de nouvelles quantitdés,< fctices ~. En corbinatl à l'aide de règles conventionnel!es le signs de l'addition et de la soustraction, on former un c.alcul. l. Me.ray, do.nvel!.es lonçons, p. 2. 2. Rfiquie r, Ders a~xiomes tnal/t5linatiques,.l v':t de rtnétaphysique f, 189l, p. '2~.

Page  361 LE P..'SSA(OE -A.U NOM elSNA M, 3.. où il n'y a plus de soustraction impossible, et dans lequei o. f;era rnrentr le ca(lcul des Vt aleurs rabsoltes. ce serat le cacur de valeurs qualifies 1, d'o0ù Ien passer par ies proc"édi; qud e, <, 1.s avons indiqués au calct u des valetrs 'iraM!inn? es eL i.- ginaires. En résumé.l, l arltlmdtiqqe des enters positifs a fouit le thème 1éé6nentxaire. De èi on assisted a d'r oueleent ile 'uvariations qui dé.concertent d'abord par leur c-mplicati.on et leur apparent.e irréalité, mais qui livren. le secret de liur naJCie dès qu'une expression $onvenable a rmarqué lleu rapport au thème fundamental. Au contraste dialect.iql.e qi; niarq-al;t chlz Renouvier le passage du fini etdu discouninu à I.fihI;sM O, au continu, cette second form e de l'arit hmérn ise bst.i eo 1'élargissement progressif du rythme initial a 213.-:Au point de vue pnremient technique le progrè.s est incontestable. La route de l'analyse est débarrassée des probh}i es métaphysiques où des math6éaaticiens inmlril:d.t ss'étaie': jadis fourvoyés. Mais au point de vue thorneiqe.. s difficult s paraissent plutôt évifté,es que réeisoluesi On di.;a bie qfe l'existence de l'objet: mathémnatique ne fit plus qu estgion; ras il faut ajouter aussitôt que c'est pour deux raisons d:'ordre o)pos;, ssivant qu'on est dans le fdomai. e des nombres enit5:crs po. it ifs o1 qu'on est dans le domaine des nombres irratiornels, anega'tfs imlaginaires. Dans le premier des domains, ia question re et posera pas, parce quou ia sup.se dij.à rsolue; i:les rnombires arithmétiques sont des réalité8s doiniées, d scon[Paea.-.ic,, c.tome!t disait M. Molk, aux objets des sciences nat.i*.l..'... Dans les aitr-es domains, la question ne se posera pas, )parce q'il n'y a pas lieu de Ia poserl au deit d e Im tiitqure!'omev:aire!e concepts; de la science ne p'uveri, ptrSteadre I au.tn e e'pîjdc_ (d'objecti.'vit ~: 'Ili n'ont du n)ombre (qu '1e lpe"n, ee faii e sont de purs -synbholvs3 ~. tUne lthorie smblabi nireir'ai de coimpre.l- ldre 'unité de cette science mrmee dont ors ient <d. const;,ter q2.'ei.; i: maJntleste pratiquenent conmme 11aun stv.éyeS dle c:.).i,u.ll.sl-.:.;') ho. i). Tg-nues les unes par rappori aux au t:s. I est par sin e ivit ab qu'elle soulève cée:vanit la réfiexioa un probilme s:Xo'Iveai, 0u la.. notiion de nombre, corr-esp'un.dan.to il. s s 'ne fcurms.'de i'enlen.de1. Riquiet.r '. r; e id de n e ombre considér'de ccii,.;me f. -deit i^'. des sciCeS.tmc t-^ rtliiques, Revuil de ifftiaphysique, t 83, ip. 30 2. Vo it e ' iir ': i r em, sarq l ua bi de la t.<,'a.tSioh c i.^l ' n,.: i ir <i.,ts.(ho turart, D Jr; QF.f1 i i t.i f a tiqu, Vi p.t'',at. iv't e 1 t3 Jik, Visl.,ire Lcité, Acta mathematics, t. VI 3.

Page  362 362- LES ETAPES >DE LA PHrLOSOPrHI MATUHÉMATIQUE ment soit à une réalit de la nature, possède une vérité intrins6que.t.L nécessaire; mais.cettie vérité, liée l'int,égrité et à. la positivité du nombre propremien alithméthiqe, est incapable de se Itransmnlettre aux.ormies g énéralisées sur lesquelles se fondent l'algebre et lianalyse. La conception de la vérité, qui en avait été l'fane, a banudoir la théorie ar)thm'étisante, ds qu'il s'agit de comprendre la valeur inhérente aux disciplines mathématiques qui attestent le mieux, avec la fécondité det lesprit spécu — latif da is los sciences, son aptitude b envelopper dans le réseau de ses relations l'ampleur et la ubtilité des: phénomnfes nlaturels. - Ou bien toutes- les parties de la manthématique abstraite ont eff'ectivemrtent pour le savant le m'rneme caractère d'exactitude'aet de rigueur. Unle tléorie de la science, respeetue.ude de la réalité qu'elle doit interpreter, est tenue de. rétablir I'égaitéa de fniveau. entire les différentes diseiplnes de l'arithmétique, de l'algèbre ou de i analyse. Mais il.est évident que. celt:e galité ne pe ut tre atteinte que sur le niveau lem noir é evé. Le nombre entier serait alors absorb dans les es. ganraflies, dtlt il deviendrait un cas particulier- il participerait a. eurl' etractre symbolique; la maLhérmatique ab)straite deviendrait tout entiière u-ne creation conventiortnelie e. arbi.traie. La. juxtapositioul des nombres: naturels. et des es.p'ressionre urtitficielles ne constitute do nc qu'un. -arri proviso a e. dan le nmouve.bent, d l'arttiethimélse..'audira qu'il rem.o;n.e 'i; lsqul'au.réalisim-e des Pythagorienels, o.u qu'il descended lIa p lte du. nominaitisne.et du septi.ecisme 214. -- Or, l'alternataive étlant ainsi pré,:sen.de;,, co que nous avons déjtj tit de hl formation et de I'evolution de larixth n:tlsme fait prévoir que les savants du XXe siècle de:;;ia;ievkt:invitabtemeîal. prenldre le second parti. Ern d épi e F'autorité de Cauhcvii ii est ciair, uen effect, que ti i la logique;i t'arit. hmét- iqe eIl.te —..i.me 1 Uéaieli interessées dans la l>r4tendue loi de n.ombre. La pr.opo);sitioni LJe loral espl ui s traInd Ique la parfie, t:is érée dès 'anutiquiité parmi les nlion.s (comiitmues de Ii géomér3ie', peu.t. ti re g'arddée, scion R-ltenoiuvier., ~, c mmT un.jgement anayLtique ou d'idenlité. Mais il fiait', joutc-l.-iil, que l'ide da ttout s,'i;: ptlise' dait-..F:,i 4.q i'-ot ueuti. t.ee.i. exclsiveie't. math itiqu^l "',; Cela x ne aid'i:i, puaeps.:e: i. lfaut que le ens naIth. — 'l..i.;q.tlq. soi[ ):cs.itl."i[!l àtl.a"'.i ' l it.'iq.iue des aiombres pos:aii its; car déj3à por le i no h- iûbi w lnI'Uv. i''.' i;/ i s cl cî!i déi 'c tl: a. -;-a xa.}o'. tse., étll. i t i.,t'}:., f. i;.); 2. P;"rmi' r i,;$.'!, eril.,:,iU,!:,;t?.

Page  363 LE PASSAGE AU NOMINA-LIM' 363 peut être plus petit que a. En d'utres terrnes,nous voyons bien qu'an refusant de faire de cette proposition. Le tout est plus gyrund que la parties, une none du possible, un critère d r el, on contredit aux règles qui conviennent au calcul des enters positifs et finis; mais on n'a pas!e droit de conclure de l1) qu'on tomberait dans une contradiction intrinsèque et absolue... à moins d'ériger l'arithmétique élémentaire en science uninverselle, et d'assimiler les principes qui la régissent aux lois nécessaires de la logique. Chose piquante d'ailleurs, cette assi nmiation( de la vé'-iaté arithmétique et de la vérité logique se produlit su'r le point. prcis oi il y a une divergence radicale entre l'arjilihmtique dies nombres finis et le calcul logique des classes. Si,j'ajoue et 7, li somme ie est pjus grande que chacune de,es Iarties; mais si j'ajoute la classe des Français et Ila classe des. No'elrds, la somnre des deux classes n'est nullement plus grande quc chacune des parties. Dès le dix-septième siècle d'aitleurs, SLe):ni avait mis cette remarque en evidence, lorsqu'il formulaih ]a loi dicitde laulealogie a, et qu'il en marquait expressment l'aipplication a l'addition des classes: dans ce qu'il appélle le (~ calcul aliernatif,, où la composition des iééments se fait uivtanlt; l oridre dei lteusion logique, ~ il n'y a pas à tenir compte de la composting dc'une lettre avec elle-même3. Mais, en interrogeant l'arithm:étique éltmentaire elle-nênme, on voi' se dérober la base sur laquelle était établie la loi du nombre. Si l'arit-hmltique nous apprend à computer, n'estil pas évident qu'elle demeure. indifférente à la question, qu i la dépasse et qui nous dépasse, de savoir si nous pourrons jamais avoir fini de tout cornpipr? II convient d'aller plus loin: 3lnjre Si nous accordons que les problèmes posés par la nature des closes doivent se résou>ire par le seul calcul des nombres erntiers, nons retrouveron-s d'lans la suite natr'ejlle de (-e nomubres infîni, que l'on prCtelndit exclure au nomi dte l'arithméte!ique: ( La notion dte linfini, dont. il nie iftl pas fire. mystèe e en nma- htmatique, se réduit, à ceci - près chaque iomibre e lier il y e;t u 'r a et'. f, ~ I, Vtoir Milhalid, csai our les coacittios le tes liînics t. ' a ',; ce. 'ti'udi t i;,iqî.e 1809, p. 1)8 el- suiSi. 2. ~ Si idem secure ipso stamall;ur, nihi l cmonstitui;tr' Iinov, s-8 4 -::: A. G., V, [ 230. 3. Matll. 1. 2 (0.t. (ver~ i83). Opuscules e' f'!rai.F'rn ts ié;its, édt. Ci.r. p. t;6. IC. Ci nt.iis.La lo.tg iqjue d reibliz p p. 3 S, 4. J ills T;na oi rv ': t i. odiucti; ài tla lheor'ie des fs-onredios: ane rieabtc, i t e I t.i b.886, p. - Vtl, (1' I.'ir, fi i tauthé!dnfiiqe, l.e vittc ' i.' dt' sci(cce, i s,

Page  364 Sa4 É~ TAPES DE LA LO6wRm Tm.MA.TQUE La même raison subsistant toujours, co-mrme disait Leibniz, on ne peut pas poser leux après ua sian avoir déjà impliqué. l'infini dais l: notionr de deux, de menme que, partant de l'unité pour concevoir la fraction t, o n ne peut pas se refuser à la divisibifil6 itnd.éfinie qui conu.duit à. faire de l'unité, suivant la remarque c.rieuse e Galilée, e' type du'nombrs e snfini' Pour nolus, la ~ loi de neombre ~ n'a d on pas ph.us de racine dans 'aith iq que dans l logique El a eU sans doute sa cause occasionneiie, d'ordre négatift dans l S difficulLés que renontrailt darnis ls pre.mièéres a.t.ées; dn Xx0 sicle tl'exposition du principe et des applications dt calcul infinité mal; et 1Rnl'f:vier luimx e idiqu qe iiuque iidée ~< p'ivotale, de sa doctrine a pLrocédé ~ 'une m ditation prolongée sur ie sens, et sur la seule justification rationnelle possible, des mxnéthodes transcendantes en geométrie. '; Mais nous sermons disposé à chercher 1a raison positive de la solution dans l'atmosphrite scien ti:que oi baignait la pensé.ée de Cauchy et, de Renouvier. Lia conception chimnique qui a dominé de Daltonà i Jean-LeBtiste ' )".nr, e:t qui. raM.enait. au c~ (se. la s1 science expé'i ' tal e ioderle es; théories spéculatives d 'un Pythagore ou d'ur D1amoci'te. serait i'inaspirarice inonscienteo mais 1véritabe,. du tiniesme: ele seule, en tout cas, noi>s paraît capable d'expliquer i'i"dentiication irmmpdiate <qie Renouvier.t étito e.ntri l'idSe gdn6ral.e de relation et le rapport détermirne- d empi ssiion.., iden.;iil.cat.ion qui est ie principe du n6o.-critcisnie et. qiui en cond-dit, e d iveloppment, jusqu'à la Nouvelle Monadod qit Or, tandis que le progrès des scinces phiysico ch:imiqus au cou rs du xix. siele, aftlranhiscs:ai: l.s esprits d.f q, ltiasme at.[mist `ique,: i- succi s cé- I'vty're ir iau. reltir.e pcar. Caichy f ', ait. voir que ies diversesa parties de aigbli-'r oei d l' anilysAe pouvaient. ê-tFr exposés esn ioute riguleur à:'aide.d'u' dobl e s'ystème de con ve.ntiones, porli:.rtt surie s defik.flin:: dixes ex' rc'isusi'ons (Iractionnaires, negati'v'es, im. agina.ires, irrat iniaelles) et su le s oiE)drations qui en 'peaettent le calcul. Ds lorsi (l cnclsion s'iuimposat: co qui -suffit pour al',a'gIbre ct. pIor m' nail:.ce devra surfir [c poiir arithmétiq.,ir.u. A.t u nol.m d.1t pincipe:(t::a Irnzom.e don l;es Svanis di'x.X sical. se [' plaiSenl. t livq.felr ut f'aurltor, i ft{ha t at.[er d ie la noti( n e nombre t' out p,;il'".: ~ Qi qine coneei:pti,?'.:u';rOt so' L'at, o,4f.l notilbre' e:t.ier., W - tu: t cot,.cip-;l:7r; ll',ittt'{i,îI I déja 'fid.ée d l' 'fifnl i.,:,, c; '.i! ' iS.I.. cns i. 4e.ssai're, r. 's Di's`ori i 1> ^i nn', t r in î3,. '...., t.[.a fa c, ie t. 'Ir, p, 8r,

Page  365 CL>XOSI TION tOMIYALISflT 3I ee qui permcis d'v v&lr un objet d'intuition, une réalité naturelie, pour ne retenir que les caractères tnécessaires at. systèrme des Bconmbiaisons numérqaes. FBef, afin de fonder 'arilhméti. r.XI ds ho mbrs d,tiu trS a.i maoins de f'ra is po-:ssible, on tdvra diss3cier ls lao is du.procs. s nombrant eCt: l'existenc de la chose nombrtée. ln imitan poutr li' teilig n e de ces -0lo la métbhode qui a réitssi poutr le calcul des frac lins 4ou des imagiaires, en dlétermKuiera le minimum des conditions requises pour fixer sans équ.i ro que ces r4 r gi ses du ymbioisme opéeratoire. 'L' SX POSiTION ONOM'INALISTE 21.5* -- Telte ^:st la tc)he dont IHelSihiolz s'est ac:quitt,. dans son nmémoire de 8B7; ' Zahlen tand Meslen eenntnil$theoretisch befrachtetl ~ I Noîu.s pouvons consider les nombres commne, tant une seére dr e signed arbitrairemene choiAsis, mais auxquels nons appliquons un molde d1 lermlnminé de sxcc.ession à ti.tre d su uession reg.i è re ou, a'u'vai; t t'ex';,ressio'; ha ituelle, de stuccssiona n aturelle I,, Encore convei-ti vi pe as se li sser tronmper par l'8quivoque die. expreqnsSion ~ ce qui polurait être. nalture.i, c'est le dha oi brmea, iRe e e bmen iA a.h. liés don. st es.: La science' des nombres n'a jatmais ai ire à rienI de tel: "ordre es signe s numériqul es t a.ussi covenvtionnel que l'or', o ere s.ttae les diverse leagues; ordre qi, ne fois adopt et employvé dtune faç:on cosinsaP e. g prend également iue appa'reù1c"e nomrnalie et ruéhrl.ire. Coa mme le disent spiriiuellement MMa. Le Boy e Vinc ent,,i no.!us cr,,onts une rininmité de pet it.s dessins, qte nO.i< appelons ldes sî,ig es, bien qu'ils n:e dsignenta, ica, se swccédan rku,.i... eu. d'raprès une loi de formatio- qu e no'i gallons idiqaer..,es I re - miers sont donné's individruetlemeri e,'[ ', 8., ~ (, e k >, o t Cf. Poin.caré, JoSa rs i s; t.^vfnls, t90.', i. 3P0 a ~ 2 p^ ^a t. (aIv 'is nommbres? Ce son;. avanil oo.I: u m e';r -leïts q;ue u'oas s va ao 'dYetiM.1g'u1 {itX uasg des;.uthr~;3 rdour' >aiti.V*' f>X etr'e drflir ii a 'soi''S'ic.î p.r>41o2ai 4 dj' deu.x de cm. a.ésen[t, eê.n.a}< mai: u..aons dee règles poris.r 's.:C;.ngat.U, cr nr..' x noritireps iùrel est ie- pJo1s::A'r<di et que.i est; le pi as petai Vr.i. e:t'. I VItr:de vori cons.i3 drer comit:.ci,: es,-'e ie(4; mw iî. i s1.l clair que, Si xous 'e ntrsia -'e.> frégles cr' e(, des oni~vetij!!.s. eril:ïo s pouvon'' apploiquer r ps pco.llîtv;',', t.l ' A d e'i!res elErietrts u'& nosaa>j,i tînI''s o;'di aire:, et.que. Ba.mî po'ruvons qrtiî'i(. hAl.'i s er ct'es 4 nr.venUofri dIans!: ti n'xture tIlus Cu" moits e side,< C'es- < >n 2, Apnd. ifhilo.uiophish,: {Au `'.:it:; ' L(: d,'ijr,.1 s e ' lr' ' e:,r!idt!t,,lipzi' - f. p,,w

Page  366 36.6 LES ETAPEI)S DE LA -PHILOSOPHIE MATI:IH'MATIQUE Ils sont d'ailleurs supposés rangés. Ceux-là écrits, nous faisotns précéder chacu d'eux successivement de chacun d'eux sauf de c-elui qui est avant tous les autres... Il et clair qu'on peut prolonger indefiniment ce jeu, puisque rien n'est capable d'imposer un arrê t a l'espril dans une operation: purement logique u;l: n'inte rvient;pas la consid-érat.ion de l'extériler. Chaquie signed de la suite créee est 1u symbole... -Voila ce qu'o appelle la sulle des nombres entiers positifs.,'arittinétique n'els pas altre chle qut le. récit des operations que. l'csprit peult 'amuser 'air:'e s ur ces symboles ' ~. L'addint. ioa deu evrta dontc rentrer dans.le cadre de ' i 'mraiion puI'trem'el'l ord irn.le-: ~ Par (a -r- b), je dcés.igne it nomblre de la1 se-rie sur laqrelle je!timbe si je compete un poul (c -- -1), deux pour (a — 4-2), etc., jiusluà ce que j'ai, compté jusq'tlà 6b.:, Cette dCftaitoôn de addition permet d'en d(monLtrer les deux lois essentielles ' o assciat, c('st-à-.dire a — i —( - () --- (a -- b) -4- c, et loi 'cfrmmtntaictti c('est-à-dire a — 1 -b b ----c. Il est aisé eli effect d'établir que ces lois sont vraies pour a^. 1 d',o.) l'on déduit qu'elles sont vraies pour poou' r a -. 3, etc. Itelmhollz a ainsi i onde la théorie des operations aritllmui ti ques, sans faire appel a ucune espèce d'intuition, sanis former mêramei'idd l'idée election d'Its ollectihomogènes. Su)pposon mnaintenant que no us soyons en presence ti d'un group de termes distincts, tels que les lettres de l'alphabet grec ijusqu'a s, nous pouveons fire correspondre à chacun des termes dau group unsitlne de notre itsérie o..rdinale et couvrir a insi la séie j ilsqu '(I un nonmbre i. Il est, facile de voir que je puis p:rmi.ter dans l.' group des lettres l'ordre de de1ux lettres voisines sans ri:,ie Changer aui rsut-lal de la correspondance; et, s'il en est insi ii puis, en étendant cette permutation de pl:tche en prtoche, mri permcett-re n'importe quelle interversion. Pourvu qu'il n'yr i;, ni la-cune, ni répétition, le même groupe, pris dans -quelque ordre que ce soit, ne donnera le même no.mblre: il sera dénombi'. L'acte psyc.ologiqt ue du dénombreent est, parft, itcmei.n!.lé-crit; l' exa1tUtude de cette description )poulrai!t f;aire iilusioi. sur la portée que lui co nfre effec2tivement la doctrine nominatiste, ou mienx lotitrentiontliste, de i'elmmhloltz. Il -ie. s'agit pas de roader l'idée dt rnombre.sur!t correspondan:ce de ia série e t de 1.iar I ''idée d nrombore, 1evu de i métaphysique î1, p. 74i~ h 2. Helmholiz, op. c-,:,1 p. 24, 3. C:'/,.it.,a;,.L'inft m nuthéIdmatiqa e, p. e 3.0}9.

Page  367 ' gXP)SrtON OM1M4NA.TLtSTe 3T;7 la ooilecùin' ias l série ordinale sui'fit poured constituer.le inombe. Il ne s'agit pas n-on plus de 'retrouver après coup le passage de la conception ordialte à n-'e con:ciepi on catrdinale, dia isttituée par aitleurs, et d'étabitir ainsi une1 rela.tio( qui serai sluse ptible de verification. Le but de Helelholtz est, au contraire, d se dispenser de la notion pr,. preme1t; dit e d uoibrc cardinal. ~ ulle part..., dans la lthorie du xombre pur, iimlhoitz n'e npjie mot, ni u'ivoiqnte lidée fd'u'Ji/ed 'i En face e de la sér'ie ordinale ji n y a rie'a ' utrea que.!. ensenmble eoncret prise:,-. dia.s lia p erepti o.; l e rappro eheme.ni Le les formeas abstraiates u calcul ct ie s doé1les lel tl q'uelles de r'expérience doane.siiaplemet.[ i..bu:un post.tlat de plus; la correspiondanee eiàt.re la éri'e idéaombranle.t la eo;iiecion a déno1mbrer est iit,"oduit coinre une regle de jeu, qui 6échappe par hypothèsi e à tLoute obection, paisque,, pair hiypo.>thses e}le es;l absolunient arbitrai;,lr. jL'a ri:lt.'mséiqc rtenonce d6éftitn'~e re>nut à toute valeur de science? cr ila srcie ce est au ' oits Ipr ieiition àt a vérit6. L cye cCie d'voltilion q.i 'a rItihtffi(ti'im p)ouvail pai-Ctirir est donc uacivté. Partl d iune conception du nombre qui tfis- ai de 'entl.ieru positti l la s, ynlitèse, dlc.'int.elligible et du réel, il a été con0duiF par la coh'sidr:!io de ia g'netéralisatio diu n.xLmre. qui aussi bien a ét:, l'inir tileni duI p rogrs n at.lhmatique, àéliminelr la conlception iilialeu et il n' ai plu das v ds ense biblee des.sp,éculaii io. s ina th' miqatiques qlu'un syst. e de comibinaisons l symnolicies reposan ut sur des diitious 'aribitrai;es et des règ'eleos couventiotlltioeltel l)'ii la Sori t de, scandal ilt eiic tuel qui a marqu les deri es e années dui xix" siécle En inetlll temlps que la mathématique perfeéL, onnaiit la 'igerl' ei;'es l.nmit.@hodes, qu'elle dispo9sait d'a rnes plus sulbt.iles el pl:ts fortes pour la conquete de l'univers pphysique, la philosoprie malhrnatique apparaissait inipu-istsantie à rendre- aison de la v érité que la science posstd, e. 1le aisait se perdre d anis le courant pragqma!iquc, elle eOn redoublait la force jusqu'a lui don1ere flaspect d'un ~ raz de m-tar'ée 2, justiliault,.malgré soi, la irarole brutale, nains profound, que Poinsot prononçait au lendlnuain du Génie du Ch/'is/i.iat,.es à tl.'auror(e d( roma n uisiee ~: Si les natiLuaf.ii:luies cesse;ient d'cire la véri.té. mnene, une ouie d'oli '. roui iur.l, o. c;i., p. 32. 2. Cf. W. Jitme:;', Hmiun'tiisz d li h n't! ic. Ior(e M)ind, avrii 'I905t, pi i!t0,. 3. Cit" é par J. Ier'. l ai ti.t din- }'É.io, c dt L,.is Poi;::>,t. Eltoges ('tccadémiq'i s, f iYl: ';,, ',', z "{ 2, ' ]. i. t. i';,

Page  368 368 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE vrages ridicules deviendraient t1res rérienx, plusieurs' mô8nme,com~nenre'ra.ieni dêtre suabfines-e., 1. Quel Faot:>oE;liqu t de Chatea'ueriea d, a taquelle Poi rn^oi nous parait avoir fait atiusiCO'., soit u.e dis soutirces d'u ou'rant p. rngmatisie au xixt siecle' c'est ei( qllue maiiesv r,lte pa g' Ta o la det T t. ta e st sai mftcative (185.5): 1 n'en. est a pas r. i tarin~ nots ptrs ugran>ts maitrel qui,o vingt lois dans sa vie, n'lit proyé6 cb prup'g;', âa r dol rinel e'a t disant au:mm. es qu'elle est tonsolaal. e puer le gen'e b.'uyji, Le pi e tr>l cr et te plu co. ntPl feux de' ces exempes fat <irge', du c.hri '~risitr me Chtqi~i dL 'ti'rinet aii'ate ser crut obligée d' etabltr qu' ie 'veniait a p'fi\,B qiue tf, t. 1coi a: l. aa T. récl an ien-t que les thommes la d(;.is.au~ itu, u'eie veetn.it t oe. i.r t 'enrte, hb an.I. - Elle se se déifeadit avec des axir3'e:.ts d.s. mit co mnida.ii.v.e polite e;t. d'atche, en procla.imant!,u'eit' 'eait. eo Sitfor'm^:. o' I rdre i iiale e l t'q, que le besoin de o.u v0..iite l.n f8i lsa. lit parou. setir. O.r t l ji." o'a 1. vé"rité I'obli>2aiou(l d'dtr', p.eàtiq pou èr vrae."t- Ois. 'im'îoîîltira des de i retiress sc s s par dte argumlenit dti.rus, or. t'o i c't:'i uit.r i'a popular. et. 1a pi3sa. e a. x depends de la certitud.' t die In v,'citJ,,, ( di[cv;e d tes D:ux M _iid< 's t., j X(i.X,. 660.)

Page  369 LIVRE VI LE -MOUVEMENT LOGISTIQUE 26. - Si l'idée est finalement apparue décevante de s'appuyer sur l'intelligibilité intrinsèque du nombre entier. positif pour justifier a priori la vérité mathématique,.c'est qu'il y a contradiction entre la conception arithmétiste qui procède du particulier au génral, et les condition de la justification a priori qui impliquent une deduction à partir des nations les plus générales. L'arithmétisme doit donctre considéré comme une étape dans un mouverment- qui, par delà les formes- spécifiques du nombre; rejoint les formes universelles de l'etre; le movement parait commandé par la nature de l'esprit huimain puisque c'est celui-là même que nous avons vu se produire du pythagorisme à l'aristotélisme. Mais la logique formelle d'Aristote n'est queele prototype de la logistique oPntemporaine: au contact des méthodes modernes, en imitarit l'algorithme perfectionné des mathématiques,. celle-ci ' manifesto une souplesse d'analyse, un souci derigueur, dont celle-là demeurait infiniment éloignée. La logistique est bien une technique nouvelle; la philosophie de la mathématique, que certain penseurs (M. Bertrand Russell au premier rang d'entre éeux) ont cru pouvoir en tirer est bien, en dépit de sa fidélité à l'ontologisme d'Aristote et de la scolastique, un événement nouveau. BRUNSCHVICG..- Les tapes. 24

Page  370 CHAPITRE XVII FOtRMATION DE LA PHILOSOPHIE LOGISTIQUE DES MATHÉMATIQUES %91I7. - N... ous avons à rechercher comment s'est accomplie et.te rénovation de la logique formelle, et quelle part en revient a. l'imitation des procédés mathématiques d'exposition et de eionstraation. '. En un sens, c'est de Leibniz que procèdent les idées générat prices de l.a logistique il a ouvert les différentes routes que le xixe siècle devait suivre; il a entrevu les perspectives que pouvaient offrir, ou la mise en forme mathématique de la logique, ou4 la raise en forme logique du calcul. Toutefois, si nous faisons abstraction des révélations dues à l'étude des manauscrits de ta.novre par Gerhardt et surtout par M. Coutuûrat, et si nous- nous repoa3rton s à 'fiuence que Leibniz pouvait exercerursur ses successeur s.irmtédiats, nous ne pouvons guère retenir de la te.ntative de caractri.stique universelle que cette conception encore tvage: i doit nessLer nne science des'équations logiques comparable à la science des équations-algébriques, etcertains systènes dse r-eprésetati3..:s spatiales peuvent fournir 'une illstration dies,,t.mb rais ons, n rgiques, comme les courbes cart;siennes 'foursse.nt 'f.image des relations analytiques. Qut'elie est la portée exacte de cette conception? En develop. pa ys ys ma ueqmenit ya logique mathémaiique s-ivant 'une e 'auaitrc des interprétations que la géomntrie analytique compor. le ele- mroe, c'est-à-dire dans le sens de l'algèbre pure et dj-n le sens de la géométrie pure, Salomon Maimon et Gergonne o pnt, apporté une réponse précise à cette question.,. N1oit:us titi.lions, dans!es pages qui vont suivre, le Courrs magistral proess au ColHlg e de France par M. Couturat,:sur l'fistoir e ela iogiq.e formelle rmoderne (1905-1906). Voir la leçon d'ouverture,. qui seule a été publiée, dans 'i'a 'evut e'd.e aat.liahysi.que, 0, p. 318 et suiv.

Page  371 ANALYSE ALGEBRIQUE ET ANALYSE GÉOMÉTRIQUE 37 ANALYSE ALGEBRIQUE ET ANALYSE GEOMETRItQT 218. - Ce qui nous intéresse dans l'ébauche d'aigoiillthi que Maïmon a trace, c'est que nous croyons y trouver un sen.timent très rare de la différence radicale qui exista- etre la logique et la mathématique, différence que risque de, disimulaer l'usage de signes communs. Logique et mathématique so.nt susceptibles d'exposition formelle; mais dans la logique ordinaire la forme se réfère à une matière qui lui est extérieure; ce qui fait la vérité de la proposition Socrate est home n'est pas conservé dans la proposition écrite symboliquement X est Y. Les prémisses sont introduites dans le s:liogisme, sous )tntéice d'une hypothèse préalable sur leur vêt'ité ou sur leur faiussetl: la conclusion es s relative à la valeur de ces hypothèsess dont le contrôle échappe à la compétence du logicien. Alu,nt.ra ire, ce: -qui faith que les conclusions du raisonnement mathmatiitque sont suscepei-bles de vérit( catégorique, c'est-i-dirc, àh!roprement parler, de vrtité, cest que les propositions iathéinatiques n'ont pas d'autre matitre que leur forme même. L'algèbre,es;t capabl e tde fire elle-mime la policies à l'intérieur de son domat.inle; elle sépare des valeurs faussea les valeurs vraises. c'est —di ".:recelles- qui transformenrt i 'i:i aiei en identity. 'Tele est. l'i.dée simple, À1 do tle,. dont nous parait.i'nspi;-, it:-utèc Xilo l.e }ique.. MJ.t i 11; on P>our lui, comme pour Ka;n, ie. i. d.: j. ge~.' ti'ement iog'iq ei. si at sv.ta tique; il irmporte d(io c de; t, e ni éi denc(' i el} te aenalytique dut jugemcL e htdiqa lt expresséeinennt q(lt e p éltcilat est déjà contenu alll i sueit. De Il le symbolism it rofont cet naïf de Maimon. I1! nous suffira d'indiqueri la tradc iion de Barbaura: —,-tan.c:i;si comme- sign de l'afirmati(on, x désignant n'imporle. ituoi, et par suite étant equivalent a tout, et signifiant l'univertitlité, 1i vél.ité de tout b est a s'écrira abx —a; la vérité de i c e st. 6 s'inscrira abcx-+-cabx; la vérité de la conclusion tout cest az s'offrira d'elle-mêne sous la forme: abcx ---. La i. Ma:amn, Ve'such' ener neuen Logik oder Theorie des Denkens, Berlin, 17i94, p. 9 i '

Page  372 372 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE résolution des équations logiques a le même caractère de perfection que la résolution des équations algébriques, et l'ceuvre d'élimination que, le syllogisme accomplit est rendue ainsi manifeste; mais manifested aussi l'ceuvre d'appauvrissement qui en est la conséquence. La logique, pour se mouvoir dans la sphère de la vérité, ne peut guère dépasser l'horizon étroit de l'évidence verbale; l'algèbre logique de Maimon est viable au sens rigoureux du mot, elle n'est pas destinée à survivre parce qu'elle est nécessairement sterile. 219. - L'algorithme de Gergonne procède d'une vue inverse et complémentaire; il a pour base l'intuition géométrique. Les cercles d'Euler, au lieu d'être de simples traductions de propositions logiques, vont déterminer des relations initiales entre l'idée du sujet et l'idée du prédicat: ~ examinons, dit Gergoine, quelles saot les diverses circonstances dans lesquelles deux idées, compares l'une. l'autre, peuvent se trouver relativement à leur étendue. Cette question revient évidemment à demander quelles sont les diverses sortes de circonstances dans lesquelles deux figures fermées quelconques, deux cercles, par exemple, tracés sur un même plan, peuvent se trouver l'un par rapport à l'autre; l'étendue de chaque cercle représentant ici, celle de chaque idée, ~ De là, le tableau des relations suivantes: 1~ L'exclusion @~ =H. 2o La sécance ( ~ x. 3~ L'identité ~ = I; La contenance, étant susceptible d'inversion, s'exprime par deux relations inverses 40 s est contenu dans P =c. 5o s contient p (_)=3, Si on forme les combinaisons de ces cinq relations deux à deux, et si on y comprend la répétition de deux relations identiques, on obtiendra vingt-cinq combinaisons. On n'aura qu'à se demander dans quel cas la combinaison des deux prémisses permet de 1. Annales de Mathématiques pures et appliques, Ntmes, t. VII, 1816-1817, p. 193.

Page  373 LOGTIQUE: DES CLASSES 373 poser dans la conclusion l'une quelconque des cinq relations. C'est ainsi que si les prémisses sont toutes deux de la forme H, ou toutes deux de la forme X, la conclusion peut avoirles cinq formes que. nous, venons d'énumérer, tandis que, si elles ont toutes deux la forme C ou la forme 3, une seule alternative est possible la conclusion doit avoir la même forme que les prémisses. Les cadres de Gergonne sont plus facilement représentables que ceux d'Aristote, et les articulations du discours sautent immédiatement aux yeux; mais, à s'appuyer ainsi sur l'intuition, il arrive qu'on atteigne trop rapidement les limites du savoir. De fait, quand Gergonne a marqué les points de concordance entre son algorithme et la logique traditionnelle, il semble que sa propre recherche soit épuisée. D'autre part, les principes du raisonnement n'ont nullement été éclaircis. La forme traditionnelle ne réussit pas a justifier certains syllogismes de la troisième figure, parce qu'elle n'explicite pas la condition d'existence qui est nécessaire -pour passer des prémisses à la conclusion; mais Gergonne ne. se trouve pas dans une meilleure situation qu'Aristote; les considerations purementintuitives dont il part impliquent d'emblée qu'on est dans lordre de l'existence, et il nest pas possible de discerner le cas où il faudrait, soit fournis la preuve, soit énoncer: l'hypothèse, que la condition d'existence est effectivement remplies LOGIQUE DES CLASSES 220. - Ainsi, de part et d'autre, la route est barrée. Si la logique doit posséder l'ampleur et la rigueur qui en feront une science comparable à la-mathématique, il faut qu'une invention de-génie lui permette dàe:tfanchir la sphère où la retient l'initation de la géormétrie analytique. Cette invèntion-est due à Georges Boole, qui publia en 1847: The,naihematica analysis f Logic, being an essay towards a calculus of -deductive reasoning; en 1854, An investigation of the Laws of the thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities!. Elle consiste avant tout dans l'introductior de deux constantes logiques par rapport auxquelles s'organise le systène des relations logiques, de même que le système des relations géométriques s'organise i. Ct Liard, Les logiciens anglais contemporains, 1878, chap. v, p. 99 et suiv.

Page  374 3714 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE par rapport aux coordonnées choisies. La valeur logique de ces constantes est mise en relief par le symbole qui les exprime. L'une est 0, de tell façon que, si y désigne une classe quelconlque d'objets, on ait, comme en algèbre, xy ou OyZ= 0; ft.autie est 1. de lclle faç.on que l'on ait l'équation formelle: t xy ou ly- y. 1 est ifa ci le de dégager la signification de ces symboles, en consid(lirant i la combinaison de classes qui constitue la muiliplicaion logiqule. Oy désigne la classe formée par tes éléments c'iilt rlns de 0 et de y; pour que le résultat de la raulti)plication ldonnc, 0O quel que soit y, il faut que la classe O désigne la classe 1i.rule, le inant logique. De nime, pour: que ly désigne y quell qi. soit i, il faut que la combinaison de I avec y n'enlève ij.n-nais tien 'i l'extension de y, par conséquent qu'il représente 1'euseomldo1 de totes les classes, l'univers logique. 01. fi }'dide du symbole 0 et du symbole 1, il sera-possible de f. l-ondic les opérations élémentaires du calcul logique, de mtanîir 'ra-nchir les bornes étroites de la combinatoire d'ArisItote, et à tenlre lcs ressources de la logique formelle. Les optérations élémentaires entre les classes sont la multiplication et l'-addition. La premiere, nous l'avons vu, retient d'un certain nombre de classes logiques leurs caractères communs; elle est l'addition des compréhensions. Si x désigne la classe dels manmmifères, et y celle des animaux aquatiques, le produit xy désigne la classe des nmammifères aquatiques. L'addition des extensions donne l'addition proprement logique, où il est supp)0osé d'ailleurs que les'classes ajoutées l'une à l'autre n'ont auicun caractère commun; l'addition de Boole est disjonctive. Si x désigne la classe des mammifères et y celle des poissons, ia combinaison x — y désignera l'ensemble des classes mam-,nifè'es elt poissons. Lc signed - exprimera l'opération inverse de l'addition logique, la soustraction. La soustraction permet d'obtenir la classe supplemeintaire de toutes les classes que l'on considère. Si x désigne les hzomnes, -x désignera les non-hommes. Le principe d'identité se traduira, sous la forme particulière du principe du tiers exclu, par l'équation: x(i — x)= (). 1. An investigation, L,nr1r,, 1854,.,, 47.

Page  375 LOGIQUE DES CLASsE:;S 3,75 Il est à remarquer que l'équation r'est pas primitive; elle peut se démontrer à l'aide d'une loi quti e-xprine une propri té immediate de la multiplication logique. et oi Leibniz rvaift dij' reconnu le caractère spécifique de l'algèbre de la loggique j:ar rapport à l'algèbre proprement mathéniatique'. C4ele ti;st la loi de-dualité, qui s'exprime par l'équation xa=x. Il est clair, en effet, que le produit logique form p:-v' i~:c -binaison de deux classes qui comprennent les.même. t '!'t::t, e,:t,' exemple la classe des homes et la classe des bima-nes, qu:;ivt>, iaui à l'un de ses éléments. Si x =y, xy x y. I1 en serae êj ': pour le produit xx ou x". Or, en posant x —x, i::or- vrificrj: immédiatement 3 x(4 - x) =. 221. - Une fois fixées les bases de cet algorihtne cgiq.e, Boole opère entre ces divers symboles toutes,e combin- a.i:s. ns possibles, sans se soucier de faire correspond."e à' chacunt. de ces combinaisons symboliques une representation -ltuit'ive::ce qui importe, c'est uniquement l'interprétation finale des 'irans formations, ainsi que le montre d'ailleurs l'emploi des itmagiginaires en trigonométrie '. La logique de Boole fait voir à quel point le domaine de la raison dépasse celui de imaginationn; elle sera par rapport à la logique d'Aristote ce que l'algèbre est a l'arithmétique. Soit une classe ou, comme dit Boole pour bien marquer 'qu la classe est la délimitation d'un domaine particulier danls!'ni — vers du discours, un symbole électif x, nous pouvons poser une fonction logique f(x), à laquelle nous donnerons la forme sivante f(x)- aax +- b(1 — x). Le problème sera de déterminer les coefficients c et a5 P'ci> cela nous substituons successivement à x les syixbolTes i ei..i 1. ~ IHoc loco nulla habetur ratio repetitionis, seu AA idenm nobis est qo-nce A GVII, p. 245. Cf. Couturat. La logique de Leibniz, p, 320 et suiv. 2. An investigation, p. 31. 3. Op. it.., p,.49. 4. Op. cit., p. G9, 5. Op. cit., p. 405

Page  376 37 6 LES ETAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE Nous obtenons f(t) b( — ) — = f(O)- a-lt —O0) b d'oiù f() =f() x4- Af((O)t - ). Cette formule fournit le d6veloppement, l'expansion de (x). Par des procédés identiques on trouvera pour une fonction de deux symboles 'x et, la formule suivante: f(x,y) =f(,14).y -f(to)x(l -y)+ f(Q,1)( - )y + f (oo),( - x) (-y). Les procédés d'expansion appportent à la logique formelle la fécondité qui lui. manquait depuis Aristote; la rigueur lui viendra des procédés d'élimination qu'elle emprunte à l'algèbre. Prenons ]'exemple le plus simple; constituons l'équation correspondent à une définition, la définition de l'homme comme animal raisonnable. Homme est x-; animaqt est y; raisonnable est z; animal raisonnable est un produit logique ou yz; d'où x= -yz, ou encore x - yz- O. Si l'on soustrait de!a classe des hommes celle des animaux- raisonnablesy on obtient la classe nulle. Dès lors, pour obtenir le plein développement de xyz, nous devrons former suecessiviemTent les diverses combinaisons de ces symboles -élec4ifs, les divers.-constituanls; et nous devrons déterhniner leurs coefficients en fonction de 4 et de-0. D'une part, les constituants sont xyz. xy({- z) x(i-y)z (-x)(i. t)(~ -y})z (. - 72.x)( -y)Cf. Ld cz) i. Op. cil., p. 72. Cf. Liard, op. cit. p. 117.

Page  377 LOGiQUE DgS PROPOSITIONS ET LO6IQUE DES RELATIONS 377 D'autre part, à chacun de ces constituants, la forme x-y =0 fait correspondre les coefficients suivants: I- -- O I-O O-I 0 1 0 O0-0 0 — o O-O c'est-à-dire, (après elimination d4es termes à coefficien. 0), xY (I-z) - x. (i-y) z.4- x. (i-y) (!-,.)~-+ (I-y) yz O. Cette:simme, d'après les lois de l'addition, 'n'étant nulle que si chacun des termes est nul, nous obtenons séparément ' ' xy(l-z) 0 x(Oy)(i = } 0 (i-x)yzO. La théorie des équations logiques est donc fondée, en ce sens que de la relation primitive, qui identifiait la classes des homes et la classe des animaux raisonnables, nous avons conclu la non' existence des classes suivantes: honmmes animaux non raisonnables; honmmes non animraux -raisonnables; hommes non'anincaul non raisotnnables; non hommnes animaux raisonnables. ~ Chaque proposition primaire peut être ainsi résolue en une série de négations d'existence pour certaines classes définies de Choses82 ~ Telles sont les idées maîtresses de cette logique symbolique des classes, à laquelle on devait demander plus tard de jouer un rôle décisif dans la philosophie des mathématiques. LOGIQUE DES PROPOSITIONS ET.LOGIQUE DES RELATIONS 22. - Boole lui-même a 6tendu-la portée de son algorithme; du moment qu'il s'applique aux classés logique, ou proposii. Op. ct., p. 84. 2. lbid.

Page  378 378 LîS IET.APES DE LA PHILOSOP.HIE ~ATISMATJQ'U' tions prim aires, il doi't réïussir pour les propositions secondaires, ou propositions absolues. L'analogie des concepts èt des propositions, qui est, peuta re, dit M. Couturat, lia plus belle découverte deLBoole, procède d'auie conception générale sur la nature de la mathérnatque:. II n'est pas de l'essence de la mathéEiatique de s'occuper des idées de nombre et de quantity 2 ~ La mathématique traite ~ des opraotins consid''rées en elles-mêmes indépendamment des matières d;verses auxquelles elles peuvent 'tree appliquess. ~ El.e tudierta les transfformlations qu'il 'est permis d'opérer sur im 4*e torn'.ue ~e, ttse formuie'opo' vatit < repr.sent er avec un.e interprteaion la solu.tdo;n d'u'.e question relativ aux prpriétés des 'BamabrxeS, avee un te autre eled'un problnrme géemttrique, avec n:e t Irois..me celIe d' une question de dynamique ou d'optique ~..Cle (conception de la mathématique, dont vers la même époque Grassmann s'inspirait qgalement dans son A usdehnungslehre, IBool.e la transporte sur le terrain de la logique, et il en tire un éiargi.sse.ment singulier du cadre de la science. La logique ne s'occupew pas seulement des relations entre les choses; elle s occupe aussi des relations entre les faits. Or les fits s'exprimleitf par les propositions: si le soleil est totalement éclipsé, les étoiles deviendront visibles. Pour former, suivant les mêmes procédés d'expa'i. on qui ont réussi dans la logique des classes, les équations propositionnelles., et leur appliquer les mêmn-nes procédés de résolution, il suffira de donner aux deux symboles. et 0 une significant. ion valable pour les propositions, en les rapportant au temps 4de vd.reit. 1 désigne la totality du temps où une proposition est Nraie, iaffirmaation sans reserve de la vérité; 0 désigne e le néant.de t emps, en t par suit e ia glation de la vérité de la proposition; Pour traduire une proposition disjonctive, en égale à 1 la someme des alternatives; pour traduire une propoisitiiot oondbitonneie, on exprime que pendant un temps indeéermin. v où une premre proposition est vraie, la seconde proposition y est vraie par lâ rnmXne y vx. ~?..- -Ce n'est, pas tout enfin. si nous remari.quons qu'entre 'j La togique de Leibniz p 354.. Boole,; opJ cit,, p. 12. 3 Thré matheimatioa analtysises, Cambrid, S 84?, p. 3, Cf, Liard, op. cil., p. 104.;,. ( G4,4). nsnment e ler:ke, édit. E g'en, ti. i 18, P8,. 23, 5, 4 e invest.at ion, 7.* 7.r, 6O, c, ~ Dt. '72, CI. Liard, op. ci., p. 139 et suiv,

Page  379 LOGIQUE DES PROPOSITIONS ET LOGIQUE DES RELATIONS 379 divers individus, ou classes d'individus, il existed des relations, nous pouvons constituer un nouveau orps de doctrine ologique Prenons pour exemple la relation binaire, celle qli s',éablit entre un couple d'individus ou un couple de classes, par exemple père et filsnous obtiendron;s pour base de calcu. la considération des couples qui vréiienr t cett relation. Les synmboles logiques 1 et 0 désignerontf, ] vn enstebei- de touis tes couples, l'univers des relations; Iautre:s:l'bsence e tout coupe, le néant lIe relation. iAi'nsi;,congue tidde de-e.'lati. on est. une forme nouvelle de l'idée d'ext en sioBn loegque; ele pertt dt'appliquer une troisième fois es lrresa -ds operaois d'e.pansion et d'élimination. Mais la sp ec di c e f 'id e da 'elation apparait dans. les caractères original. x de c eriai nS modes opératoires. Quand on intervertit l'ordre des coup-les, C- cang e' e relation en une relation inverse; cerlil'-is relat rions sont identiques à leur inverse.: relation de fTrère oC)r:' ( ( rel.aio.n s meétriq] ue), tandis que d'autres sont i,rreé'sibie.s, cmme l;a e'latin "e pe re (relation asyméerique). Ou e nore, qu d On composi les relations les unes avec les autres. on obftiet,n lprodutfj reIlat fi. Par sa nature la mult-ipication rela..-tive rn'est pas crnmualiave à la différence de la multiplication iogqJue; on ne peut pas confondre le frère du père et le pere d i.rère., }'aini du bienftaieur et le bienfaiteur de l'ami. De ce i poilt de vrue, le,cas essenitiel mettre en lumière est celui ouù e prod:oit relatif de la relation par elle-même est identique à cet.e relation: dis que 1 mi de noire ami n'est pas né6cessairement notre a:Ui, C e fT de e Inoire fi.ère est notre frère; la relation de fialic." est. rantsitie, sluivant l'expression introduite par de Mor'g n 'es exempl3es suffisent à montrer qu'il entr'l e dans la oie des rla tis des carac'téristiques nouvelles qui la rendent.i-dpndate de a logique des classes; et il n'est pas sans iUtérêt ph il osophiqu-e de consacrer cette indépendance en inrlois-an t, coniae t'a faith MA. Bus- sell, un symbole special R: xRy signifier~ q il existe une' relation entre' x et y. De la sorte, rau lenu de se corner à définir des relations.par des classes cvomm.ete le f,.aiuient;encrre C. S. Peirce. et Schrrder, on poulrra dtfinir des classes par des relations s. 1. Voir son mémoire de 1850, 01 the symbazos of togc, ete. Transactions of the Cambridge philosophical Society, t. LX, 1855, p. 104. La symétrie s'y trousv aussi définie sous le nom de couiverUtibli!t 2. Russell, The prilqipceS of mnatlhemat isvol, vro i t mb'ind.:903, ~ 2- 8,."p, 3. Couturat, Les principes des maidhmatiqes, f.,, p. 27 et sli.,

Page  380 380 LES EIÉTAPES DE LA; PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE LA TRADUCTION LOGIQUE DES MATRÉMATIQUES 224. - Quelle répercussion la constitution de l'algèbre de la logique va-t-elle avoir sur la conception philosophique des mathématiques? Tout d'abord,. on pourra songer à réunir dans un même corps de doctrine l'algèbre de la logique et l'algèbre de la mathématique, conçue elle-mame dans toute sa généralité. Cette réunion sera entendue implement cornme une juxtaposition, qui ne préjuge en rien l'identité des deux dîscipi$nes. I1 se peut, et il arrive, que le rapprochement des deux oalculs ne serve qu'à faire éclater les dissemblances. Ainsi, dans le' -raifé d'Algèbre universelle où il se propose d'étudier t lues types de édduction formelle, M. Whitehead distingue i des algèbres mathématiques en général où a +a_2a, l'Algèbre de la logique symbolique, ou algèbre non numérique, qui a pour loi spéciale de l'addition: a — a — a. 225. - Mais la juxtaposition de la logique et des mathématiques peut se presenter sous un jour nouveau après avoir fait profiter la logique formelle des progrès que permet l'introduction de l'algorithme empruinté aux mtnatihmatiques, on essaiera, par une sorte de choc en retour, de faire profiter la math6inatique' des progrès nouveaux que la logique a réalisiés en dépassant son module, en poussant plus loin que la mathématique le souci d'énumérer exacterment les éléiments et les conditions de la demonstration. Alors il y aurait lieu d'exposer tout le contenu des différentes discipline, matlhmatiques dans le langage symbolique adopté par les disciples de Boole. Cette oeuvre considerable, l'cole italienne a réussi à l'accomplir, en suivant les principles de notation proposes par M. Peano 2; 1. Treatise of universal Algebra, vol. I, Cambridge, 1898. p. -22 et 35. Cf. Couturat, Revue de métaphysiqùe, 1000, p. 331. 2. Notations.de logique mathématique, Turin, 1894. La Rivista di 'miatematica a public, en 1895, la premiere édition du Formulaie' de Mtathématiquest di.:la collaboration de savants, tels que Burali-Forti, ailati, Vivaiti. La logique mathématique de Peano-a -ét expose par Vailati et par Couturat dans.la Revue de métaphysique, 1899, p. 94 et 616 et suiv.

Page  381 LA TRADUCTION LOGIQUE DE9 MATHÉMATIQUES 381 et l'oeuvre est féconde. Récrire ainsi les mathématiques, c'est en réalité les repenser'. C'est donner à l'esprit pleine conscience de tout ce qu'il a, souvent sans le savoir, engagé dans son propre travail, c'est faire apparaître les formes identiques de raisonnements qui ne différaient que par leur application, ces révéler aussi les postulats spécifiques qui ont donné naissance à un système consistent de deductions: ~ La logique mathématique, écrit M. Peano, représente avec le plus petit nombre de conventions toutes les propositions de mathérnatique, mêmee celles très emompliquées, dont la traduction en langage ordinaire serait fatigante. Mais elle ne se réduit pas implement - une écriture symbolique abrégée, à une espèce de tachygraphieS; ele permet d'étudier les lois de ces signes, et les transformations:des propositions. ~ En tant qu'elle peut présenter comme organum le Formulaire, sans cesse éiendu et perfectionné par le labeur de M. Peano et de ses collaborateurs, la logistique existe, et elle est à l'abri de toute contestation sérieuse. C'est une méthode didactique pour la science, heuristique pour l'épistémologie; e!le traite des diverses formes de la logique ou de la mathématique, mais sans décider de l'identité. de leur contenu; elle transerit, en les rainenant à leur expression la plus simple et la- plus claire, les principes de la science; mais elle n'a pas la prétention d'en rendre compte. Elle offre au philosophe une matière dont:elle a poussé l'élaboration aussi loin que possible; mais elle-demeure dans le domaine de la science positive: ~ Ce n'est pas un des moindres mérites du symbolisme logique adopt par Peano et ses collaborateurs, écrit l'un des principaux d'entre eux, que de rendre possible l'énonciation des prémisses fondamentales de chaque branche des mathématiques sous,une forme extrêmement réduite et simplifiée, dépouillée de tout élément accessoire, et susceptible, par. cela même, d'assumer les interprétations les plus varies et les plus hétérogènes3. ), 226. - En ce sens l,:e problème e la philosophie mathématique serait au delà de la méthode logistique; mais il pourra trouver sa solution dans un système logistique où les notions, jusque-là rapprochées par l'usage d'un algorithme commun, 1. Notations, ~ 8, p. 10. 2. Sur la definition de la limite d'une fonction. Exercice de logique mathématique, American journal of mathematics, t. XVI, 1895, p. 67. 3. Vailati, De quelques caractères du mouvement philosophique contemporain en Italie. La Revue du mois, 1907.' I,- p. 173, et Scritti di G. Vailati, Leipzig et Flirence, 1i91, p. 761:

Page  382 38gi2 LEtS ETAPES DE LA. PHILOSOPHIE MATHÉIMATIQUE sont d[sormais forndues dans funité d'une même synthèse. Les propositniti.os de la.matl, 4mstq; sontl ramlenées aux proposi-[tCons de la 1ogique, (Je.elle sort, que pour justifier la vérité de la ma. matque, iln ni'y autP'<5. plus besoin de fare appel- des prin|(ip3Vs5 fS SCi,_(, tnqJs t i.nq la t1r.die la logiqe étant faite, la th4orie d: la nmat,ématiqu1 se rouverait faite du. même coup. Ce passage t-T e a o'is t.gîute în4iehode à la logistique système, c'est M, Fregi qui 'g a Iopére w premier'. Il constitue lui-même son aagorithme ymbclique, 1t il l'appuie sur une refonte des idées fondamintaiae e ' m'P,e d e concept, de' fonction et de. relation; *. Du pa}}-rt,. t re,du àa la logiqsie toute sa portée philosoopique en u ins., i.ta 7,s:ur Ja: distinction de ce que la. pensée si]gni —f. -,f ' a-ous Ç'jS ), ei de ce qu'eie dénote de la réalité (B edet,:) il * aut' cho;s;e dans un. jugeament que l'affir-..i. ol 'mire hios4e:. aussi que ' la re presentation de son contenu, il y a la valeu., de v'rité qui.ti appartient. D'autre part, à la logique. ainsi;nvisagée, M 4ree l aire la mathématique par l'analyse originale et profonde qu'; t done de la proposition, et- qui' vaut aussi bien pour Llte assertion.: 1 < 2, que pour cette a'utre César a conquis la Gactue. I. supprime successivement, en les remplaç an pacie ';igne ( ) s terms César et Gaule, I et, 2 la partie ainsi remplacde est une sorte 'de variable, elle est i'rguameni; 'autre sea. par rapport à cette variable, une /:obctio:"W, -Le concept est unre function simple ( ) a conquis la Ga.ne^ ou bien ( ) <. La relation est une fonction à deux valences qui a besoin de deux arguments pour être sature ( ) a conquis( o, ( ) < ( ) Nous n'auron ts pas a. siuivr, chez M. Frege lui-même, les con.séquences u'en''tincn't cIette réforme de la logique et ce rapprochem.ient avec les m-atnématiques.; Nous les retrouverons, pour ce qu'elles ont d' -essentiel, chez M. RusselI qui a été amené, iu une lfacon indélpendanle. à des conclusions du même ordre. Scule.ement, an lieu de ée r lc sur nouv'eaux frais un algorithme ot:g;n.al qui court le risque d e. ntre manié que par son invenIeur, M'.., ussol i 'est don:aé u cet avantage de prendre pour base es rsli.t"at's ateints tdé àta par les mathéliat iciens et les logistici.es. y a -ura it certes inustice. ne pas marquer la place de M. rge dans hi mas il f'au It aj outer que son oeuvre est 3i; 'yt.fs, schrift. EÏ.C sr - -'r:,i~., teichr' nactahqeffebildete Formeisprache des reinen Denkens, lHall,t 187l? ti. ^~i.-:tf..: iagen,: de.r Ariithmetik, eine logisch-mathematische (1tiCsersu flungQ t.ier dci;/?. -v ' &. 'Zahl; Bresl a u, 1i884. 2 sJrundg' seie 5' A.'")'i;,' i ffsschriftih abgnleitet, t. I., lena 1893, p. x. '." 'B.e 'rssGr' {:.:sG t i ',-s, T i e principles of mathemaics, 'p. 505.

Page  383 LE:TRA:NSFJNT ET LE O4?ITINU 33N encore à certains égards l'f~uvre d'un précu.rseur. La. philosophie natrhmatiqutq, {u doit, t;re ici lobjet de. notre étude, eist celle qui a éié, expose par M,- -.usseli danis 1, *remi-:er volume - de ses Princiewples of! -ahemaaiics. Cette '-hilosophie..eçoit elle enreloppe et 4'Algèbré e dea.o'iqs a. point,ù 'ai'l p.t.. l'ouvrage magistral d Sci roder.et la misee e ir: 'e symb0 lique. des mathémait(iques, qtue M, Peano- avait cons tit. ée; & ele y joint enfin, -pour les rappi ro herï e. poBr.e dominef, la Thiéorie des ensembles de M. Georg C'a-tor'; LE TRANSFIN. ET LE CONTINU 227. - De la théoie des ensembles, nous Oûrs borneros à. détacher les traits caract6iristiques qui noi s font apercevoir comment les mathélmaticiens ont é6t aLu-dev:Ai, t ds logicie"ris, ont eux-miêmes élabor Jles notions qui ont, servi de mooyen terme entre l'algèbre de la logique iet la phiosophie iogistique des mati6ématiques. i <- st essentiel nota e but de bien établir d'abord que ces notionXs ne sont pas des constructions dialectiques, qu'elles ont leur racine dans' la;echnique de 'analyse. C'est pourquoi-nous commencerons pa r.ippele- certaines idées pré.sentées par Paul du Bois-Reyrnond dans s-a Theorie génértale des fonctions (1882), et qtui nous fout assister a lél aboration analtlique de la notion de transfine. Du Bois-Reymond considère l'analys oe o ecomnpor'ant ne théorie special des functions et une théorie gndrale. ( La première, e. r-i.utudiant dune manière très géniraie les fonc:'a'Iions des variables conlexes, a pour but de présenter des f ins de proproites éer "mi i et. eét uder.t lae' nature de ga'de' classes de transciendantes, etn particulie de celloes ui, ont des relaions av cles.o nctio os algébriques,7 C'est I" s d. 3c W, i.erstrjeiass.,-de M3.r,~-:'elr e e quO i peu t. se 'c t, i tu: pr s:u"e,i basf. d! 1o:ribre eai e.~;,: Dans la téori e généra'le au -cntr'i"'re, il ey B is lei? id'..i.s, ani'uf rest ric iion..l'idé e de fonctin p, ar. eem.pl:e,' et pour insister sur le point que nous avons à retlntr dans les travaux de du Bois-Reym-ond, n y étudiLera ~ la condition comune de convergence et de divergence des di ffrentes op6rafions n infines > i, Cf. L'importance philosophies de ia ' oistique, Revue de oStiu, ive do m aphysiqie, 9 p. 280. 2.Op. cit., tur Milhau&d-irootp 8, 87 p~ t7,

Page  384 384 LES ÉTAPES DE LA PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE Si x croît indéfiniment par valeurs réelles positives, que devientf(x)?Toutd'abord,.il se peuti quela diffêrence/f(x) -f(x), (xt > x, et x crpissant indéfiniment), demeure inférieure à la quantité e, si petit que soit S, en d'autres termes qu'elle ait pour limite zéro; il est facile/alors de démontrer que f(x) a une limite déterminée pour un accroissement indéfini de la variable. A ce cas s'appliquera donc un principe que du Bois-Reymond appel-, lera, par analogie avec le principe qui régit les séries, principe géndral de convergence. Considérons, maintenant, les cas -de divergence. Une fonction qui ne possède pas de limite- déterminée, peut néanmoins, quand x croit indéfiniment, rester comprise entre deux quantités fixes qui marqueront les bornes d'une oscillation indéfinie, et que du BoiîîReymond appelle limites d'indétermination2. Reste le cas où les fonctions croissent constamment et indéfiniment avec la variable. Ces fonctions dépassent toute limite; il ne s'ensuit nullement qu'elles échappent au calcul, et c'est ici que les recherches de du Bois TReymond deviennent le plus originales et le. plus profondes' En effet, par une nouvelle analogie avec les règles de divergence dans la théorie des series, nous pouvons établir une comparaison entre ces fonctions indéfiniment croissantes, et déterminer des degrés dans la vitesse de. croissance. ~ On dira que f (x) croît plus rapidement que p (x), si, à partir d'une valeur X suffisamment 'grande de x, f (x) > y (x) et si la difference f (x) -? (x) augmente avec x. Les applications, ajoute du Bois-Reymond, donnent à cet accroissement diversement rapide des fonctions un intérêt particulier si la fonction f (x) qui croît le plus vite présente une supéiorité de vitesse telle que le quotient f(x) croisse également sans limite. ~. Ce sont ces considérations qui serviront de base au calcul infiniiaire. Par exemple, on pourra ranger les fonctions de X, en une série fMx) -... (x).. (., (x) telle que chacune ait un infini plus grand que tçutes tes préc6 -dentes et que toute fonction entrant dans la suite y ait une place déterminée 4. Nous obtenons ainsi une spite de functions 1. Trad. cite, p. 199 et sqiiv. 2. Ibid., p. 204. 3. Ibid., p. 211. 4. Ibid., p. 213.

Page  385 -L-F TRANSFINI ET LE CONTINU 3 comparables à la suite des nombres entiers. Si grand qua soit un enter n,- il existe un entier plus grand n.; et de frm.me en vertu:du procédé de formation que,ous euvistgeons, si rapidemnenut que croisse une fontion positive, i eiste ue fornculion qui croît encore plus vite. Mais it est facile de voir que lanalogie n est pas complrie entire la suite infinie des nombres caie'.t s t ila bsu i eiaiîic i. des.ronctions croissantes. "Con rtisi es b e in'i ~o elieuS t(,tc) lel que ~ deux fonitlions quc;telconqui.'s.,' de (e. esem'if soietlt cLompar4ables entire elles, et [que] e plus ue forencic;n croissasnte quelconque de cet ensemble ';" ét ant idone;.i existed dans 'enenieble une fonction (\.' 1 supérieure i,(-,x,. Nous aurons alors ce que M. Borel appielie < une échelle de iypes croissants >. La formaIion de ctlte clihette va nous obligr à ldpasser la stph reie di'ensernble à.iaqueitlc, pa^ aialogi avec l'en.sm! des rnombres enitiea rs, on a. aait pu '.strindre. id(e le ln'iLadéi.oi (ce que NI Georg Calntr appe!le i'ctseet.ble dC&wmi+,ae..E'i. ile i pose, pour rrelpredre lts etx!'p-s,3ioals s.i itkes de M. Bore,;,. la' ndcessi!é logique d'etendre le sens d.u mnoi inrdé-. ff~., Borcf, (I Ur 1 11 e U 1 finmrarteer; polur éviter toute cotnfusiooi nots éviterons de.dif.ier le sens de ce' maot, et prI'étf rer ns introduire le"mot nouveau r.ansfrTitmen!. RBpdter transf/. inment l'application dl', procédé dei du.Bois-B.eymnond, ce sera la re.pter cheque fois que l'on aura.uie t innilt.é d' uombrabie de -.ypes croissants, quel que soit le prvocédé par lequei on o a obteu cette. ini.itéi. Par,coséquenit. pra definition mme;- on obtien:l ainsi une iSzfnaiie no dinonbfirt.le de types; cal, si ',n (;;btLenait seulement une ifinite diuno'mbrable, on devrait encore appiquer e. mfimre proctéd sans cD rester i. ~I. 83. -EiDu Bois-Reymond s'est borni6 à suivre l'ordr' t de l'anayse et de l a science positive. M. Cantor, au contrtaire orga-.nise t l^.s coniceptionPs a,.xquelcs ili it (-te eo. dtilt 0ga(lem.-ét. par des reh erches spé.ciaed:::-in i a base d-e t'iéte ia pils gnsérai.e que le math6imaticimeî:i puii.ssc conllsidrer; il arrive ainsx, a pré,senter les distinctions lfndarisentales d'lindélin; et de transfiani commrne les consequences (tuine const.r'uctiou a p:iori. Pour M-. Canter l'enmserube n tesi t de plus q 'ure ré;ui:i d'télilnets don't oIn sait se.ienent q'urn lme-i, q(ueiconquie élat <l'a fo.ne on p.eut. rco.nnaitre, ou [out ao u,!:-i.ns aiiirme, qu. Leos i'u -ir:l thié rie des fo;rtin. l; f 8, i. il. 2. Iid. p. liO. 1;. Vt:ir' M d-miio ir'e 'traduit da-attm; les A, a m t.r eitai c;, t. Pi,! 8', L p. 33 0. E.:;':;ioi'.J c' iho;' ormèrede:t. l,a/ -,;, d'es s:':'ies t:i9ono,,itrilas, (1.'.47!L 's: o::, <,m.i '[ 1,es dULt..:.pe -s ' 2b

Page  386 3Bê LI;S;ET'APES DE LA PHILOSOP0II0 MA'THMATIQUE ceY. élè:ri[ément appartient à l'ensemble:. Luts:embleS M se projette daxis oItre esprit sous la forme d'un nombre < nous appelons Pa tîE'rpi,;, ou nombre cardinal de Mi la notion générale que n ou dédt- u! ijiso.s de M à l'aide de nofre facrlt6 de penser, en 'is-a ' a.,sractiof de la nature des différents m. et 'de leur La mesur e de la puissance sefait de la' façon suivante:. nous disons qe dteux ensembles M.et N -sont équit.trenVs.. lorsqu'il est. possible' de de s associer, de telle *sorte qu ' chaque 6élment de l ' i, co rresponde un et un seul élé ment de l'autre... L'équiTaId-lec de deux ensembles est. aussi lta condition nécessaipe et su-ffisante de l'égaidté de leurs:tombres cardtinaux,. ~ Caette conâception.s'applique naturellement aux nombres finis; hun %i 'rt iso.lé? contSidéeré conmme élém.ent unique d'un eensembe, corrtieêpofnd corrtme nombre cardinal celui que nous nomMnons t; à parjir de cet élément, l'adjonction successive de neouve'aux éiémen ts fournit une série s illimitée de noembres cardi-.naux flois;, dont les tevrmes sont tous différents entre eux. Ce principe de formation constitue une ciasse (I) de nombres i.3.,.. 1 qui sont tous finis et parmi lesquels on ne trouve pas de noimbre r.a:zaxim.ïtm, piisque si grand que soit n, on peut toujou trs poser nt -+- L. Or 1'ensemblee de. ces nombres est infini; f'i n&ni ma.t ha. atique existed donc, pourvu qu'on ne le cherche pas, cornme Fontenetle a-vait eu le malheur de le faire, l-' inté ri eur de la série; c'est après ta fin, et non ves la fin, de la série que -o, i tn tl't finti actel out lel n ombre transfini, que M, Cat désinira par: ra. r ~, On peut. ( diit-il' se ren dpré setr le no -u tve-a u normbe t, con'e a o win la limte Yers laquelle tendent l:es nombr.: s v à 1a condition do'entendre par là que <) sera le p.4remir noVmbr:'i 1Lti-ier (qui suivra tos les nombres v, en sorte qt.'il <ti i l.ie diélareir sp rien à tous les nambres v. ~ La..erésiot. i. dnu n ombre o perimet d'appliq)uer de nouveau le *,rt.... 3d'a d on.ction successive, grâce a quel on a obtenu la:4:i.4de ileitée ds i I omtbres; oi aura dorc un second principe t~de f-Lrmati;on., qui ùpermettra d'obtenir tur u tour ~i CLf, Su7r {s tfnse.ides infinis e.t linaire' s de points (1882). trad..rarnç., Acta ma l eti ati:ica, I I, 363. 2 s $ur les 'onde'nctis ide lta /tdori c es ensembles trersfinis trsdis (19 trid. Marotte, *1899, p. 4. e. Ibid i p. 13 et. suiv. 4.. /iei!u riS e izt Ilur ci/'lc o' e 't' ratnsfinitern Zeîtshritt fiir Philosophtti uand [s.i.';! v.t'` i tk' l K. 'i~tik, ' I.. XC I. 48,~' 'p. lI1? n;de:eti.'fe '.to" e ie;r i e 't ' tsmbtee 1883, A...U. th t, r.;:';,

Page  387 LE TRANSFPNI iT LE CONTINU 387 co 4 —::; > o. * + —n; -, + *-.; 3.; ns. tt)0) (t}?}7.]tsj i~+1t) <,tn O')t - t& ù,)0;, o(O, WO o - e LC. Les suites intiniment infinies des nom-bres de la deuxième classes n'onta pas pius que ceux de la premiere classe, de nombre m.axinmum,2 elles impliquent par conséquent l'existence d-'uni nombre qui exprime la totality de leurs termes et qui est supérieur chacun d'eux; de là un troisième principe de formation. Mi. Cantor rencontre ainsi dans l'abstrait les idées que l'analyse de dU Bois-Reymond avait permis de poser come ~ faits mai thma tiques 3 ~.?29. -. LI'originalité de M. Cantor se manifestera surtout dans tes résultats auxquels conduit dans l'étude de l'infini l'usage systé t:mtique de a otionde puissance. Co -siedéircs l'ensemble infmi le plus simple, celui qui est form( par la suite des nombres naturels: l.2.3...s n A chaque entier correspond un nombre double, de telle sort que ensemble des nombres pairs est équivalent à l'ensemble des so.mbres naturels. L'ensemble des nombres impairs est équiviaient à i'ensemble des nombres pairs. Il y a plus: un nombre -irautinei comporte la déteri-nination de deux entiers, zznumeurleaz et déromtinateur; en disposant un tableau a double enLtrée., qui comprend à partir d'un point déterminé une file oertieaie el une file horizontale de nombres entiers on peiut arrirer à -faire correspondre c-aculne des combinaisons de deux nollbTs.S la suite des nombresntiers. a suite des no.mbres ~rakt-inels a la mê-me puissance que la suite des nombres naturea-s et il en sera de mêmer encore pour la suite des inombres algé'briqu.es. Ces résultats sutsceptibles d'être inttodui.s dan.s la tmaté-.emati q, e positive., condn-isent, colmme le la-ii rtemarq.ier' M Dedeiindr a ranger tlious iss nomlbres équivalents à l'e. semble ides noïe-bres nat-.res i dans une même classe, qui ser'a a cila;se des ensembles dn ombrable. ais il' e; s; ^,'ag pasi d' un. simple rapprochement verbal: il I. Voi- Co4itr l ut, De i'Inf.ni maui a.qua, note 1-V, ~ -2, p. 637 et suiv. 2.:1;or t; op. tt., p: i2i. 3, t:L Slur une propritP du s;ystme de tous les îî.ofbres algébrigjues réels (1874), A('ca rn.ihe; atl e, - iti, a t. ei psuiv. CfL Sch.ntlies-Bai re,;/cyliopdidie des s iaences 7mattelnatiqa, t.,;, ivot. 1. 909, fase. 4-. p 49 el 498. i. Voir Juits Tatlnery.,trdcitcltion lad thdorie -des fonctions d'une yaf'iakb e, 4'" adiisLs '886, ~ J6, p. a57 e. stiv. 5, a. i:<!,d un'd wuas. sllr.en fdis,Z:ahe, I!87;, 28 b. ii, Braunschweti ~ 3, p. 34< C...ol...urT:. i ': l. i.r fin ratrXmIt iique. p. 6i8.

Page  388 388 LES ETAIPES DE LA P. IULSOPIIHE MATHÉMATIQUE y a eultre la logique des classes el la logique des ensembles uue analogie intime. Si on joint t'ensemble des nombres impairs et e.sefnb'e-, dees norambres pairs,o o btient fe.nscnbl!e des noinm bres naturels; or l'cnsenbi'e total ei, éu', ivale-it chacun des ensembles partiels. De l, réisuteit im miédiathemen: une fornme do ombinaisoa analogite à la loi de duait6é ou de taulto1loi, c'està-dire que l'on a1 (, ds.ignant la puissanei des eserobles dénombrables) R o'qf- =11 - " n >'(o..., R o X N o:;,. En d'autres termes, le criie/ium de la separation eltare ta logique des case t la logique des mbres h (altbre,o, nmérique et algbre rum'rique suivant; M. WlhiLchead), devie:nt la marque de la d distinction qui existe, à l'intérieur mêrmte de i'a mathématiqute, entre le calcul des nombres transfinis et le calcul des nombres finis. L'axiom que le touit est plus g..rand. que la parties, est vrai pour 6is iomrbre(s inis; ce qui caracui..éris.e., l'ensemble iflni, au conrraire, c'est qu'il est parole intégrartte de lui-mnmoe: La théorie des ensembles ineorpore, tLitre d'id&e claire et distincte, la notion philosophique d l'iniii telle 1 que Pascal et Kant l'avaient déjà rentcontr-e. a30.- En faisant voir, par. un partage systémalique de,inte:' valle compris entre deux nombres A et B, que les hiombres rationnti, s n, s'.raiernt épuiser l'intervalle de ces deux Slombres, XWeierstrass achevait de mettre en ev.ience l'existence e..s nombres irrationnels 4'; il établissai ain. si t'impossibilitV de firee 'zorrespondre l'enrsembhle des nombres&réels, compris par exe. ple ent.e 0 el, "a leînsem'ble (ies nombres ralionneui., i/'eiseuîb!e C de ces in bres' réels, le cnlinuw lin:éaire, a uone p.uissa.te: snri'.tre à lia p'eraire puissance, ou puisslncef des ensembles d nom'itbrabies. el.te pui:sanc. de. "',"se' C',' Mi... el.,.:s','ic-~B' ire, op. c.,:,u pt. &00. t! ')ediek ind, op'. cit., 5 L C)uiu.. De f! /b mi.4;: ai'. p. '1}8 Po ir' t'anliripaiiot do. i.no.;..J.;io: Paratoi.n d'fs7 i'":!.-e,;' ' '" ' f "ii i}i.< 9.0.... idv. v-"i r [",cra'i n.aj',;.~ 'hilo^ophi^lw Werk 'ernard 9'" - c A^'i;,]ttts, p. "}02. "3, - l/tiu.i'l jo'ir'.: l, aà l:Ji: l i 'r, e l';au[,'i..;^. d1. 'et ~, ~ * J:i.',,;i;, ' " 3'. gi s '&n}t'. 213 -.... L:iinti i est d'i.o (..;. l{,.~*s?:,i-''i. t,.',;ir:,.i.li l ' )<.:,. as i i!~.Qjé., ~a.r J. suy'....4ctil..i (['1i;~, ' p'.i.rt. o fisru. i.,4?i.i/,.aHy:î.ii'.e A'ki'J/';, c:;:J:ic,5î-d, T 7"héer;ie de:';i*t'^z.: 1'7 5:, 3" ' par^ 6,, " i, 3:. HJ, C; '.7,.:,.;,: i,''.'. Iu.; — i.....4..f.'îU~. 'e.i S'ki v

Page  389 Ls aLAtISMES:.LO GSTIQOe.389 l'appeSie puaissance dr coniniu;a et.il faith voir, par n procéd 'analogue à celui qui lui a servi pour a comparison des ensembles dénombrables, que la puissance demure la mir me, quel que soit le nombre des dimensions que l'on attrJbue a l'ensemble': ~ Si l'on fait abstraction de la continuité de la correspondance entre deux ensembles continues, il n'y a pas de difiérence essentielle entre les