Mathematische werke von Karl Weierstrass. Herausgegeben unter mitwirkung einer von der Königlich preussischen akademie der wissenschaften eingesetzten commission.

ZUR DETERMIINANTENTHEORIE. 279
Dieser Ausdruck ist eine lineare homogene Function der Elemente jeder
Zeile des Systems
al a^... -
(4.) a21 a22 a.. 2, n-'i
n-1,1 an-1,2 * * * an-1, n-1;
ferner verschwindet er, wenn zwei Zeilen dieses Systems einander gleich gesetzt werden, weil dann auch zwei Zeilen des Systems
cai\ } (a, - 1, 2,...n)
für die speciellen Werthe (3.) einander gleich werden; endlich wird offenbar A =:, wenn
all -a = -.. _ tn- 1
und alle übrigen Elemente von (4.) gleich Null sind. Mithin ist A" gleich
der Determinante des Systems (4.), welches aus dem ursprünglichen System
durch Weglassung der nt"" Zeile und der nt"" Colonne hervorgeht.
Um nun A" zu berechnen, bringen wir es durch (n-A) Vertauschungen
dahin, dass die;te Zeile zur ntn" Zeile wird, wobei zunächst die ite Zeile mit
der (Ai+l)6, dann mit der (A+2)to" u. s. f. vertauscht wird; ebenso machen
wir durch (n-y) aufeinanderfolgende Vertauschungen die Ste Colonne zur nten,
so dass jetzt das Element a, die Stelle von a einnimmt. Durch diese
2n-A-, Vertauschungen ist aber die Determinante mit (-1l)+'" multiplicirt
worden, und es ist daher
AU = (- 1)I+'L A(2",
wo A',^' die Determinante desjenigen Systems von (n-1)2 Elementen bedeutet,
welches aus dem gegebenen durch Weglassung der Aten Zeile und "ten Colonne
hervorgeht.
Die Grössen A2, werden als Unterdeterminanten der Determinante A des
Systems bezeichnet. Das System A heisst das dem gegebenen adjungirte.
Man kann die hier gegebene Definition der Determinante durch die drei
charakteristischen Eigenschaften auch für die Auflösung eines Systems von
linearen Gleichungen benutzen.